Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Величина	, от которой вычисляют проценты ( например , сумма денег на банковском вкладе , длина участка ремонтируемой дороги , количество компьютеров , выпускаемых фирмой , число учащихся в классе ) , составляет 100 своих сотых долей , т .
	Величину	расхода мы определили сложением соответствующих противоположных чисел .
	Величину	дохода в этом случае мы нашли вычитанием .
	Величину	убытка мы также нашли вычитанием .
	Вес	годовалого ребёнка составил 300 % от его веса при рождении .
	Выражение	величин дробями .
	Выражение	, содержащее буквы ( одну или несколько ) , называют буквенным .
	Выражение	отношения в процентах .
	Выражение	называют по действию , которое должно выполняться последним .
25	Выражение	отношения в процентах .
	Выражение	дроби в процентах .
Глава 7	Выражения	.
	Высота	колонн храма на макете равна 41,7 см. Найдите реальную высоту колонн храма , выразите её в метрах , округлите ответ до десятых .
	Высота	стен дома равна 6 м .
37	Вычитание	целых чисел .
	Вычитание	целых чисел .
	Вычитание	.
	Вычитание	десятичных дробей .
	Вычитание	чисел .
	Вычитать	десятичные дроби также можно в столбик .
	Градус	разделили на 60 равных частей , получили минуту , которая равна — 1/60 градуса .
	Деление	в данном отношении .
	Деление	уголком десятичной дроби на десятичную .
	Деление	уголком десятичной дроби на натуральное число .
	Деление	десятичных дробей .
	Деление	десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
15	Деление	десятичных дробей .
	Деление	.
	Деление	целых чисел .
	Деление	десятичной дроби на единицу с нулями .
	Деление	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 и т .
	Деление	десятичной дроби на степень 10 .
	Деление	на десятичную дробь в общем случае .
	Десятичная	дробь .
	Десятичная	запись дробей .
	Десятичная	дробь представлена в виде суммы разрядных слагаемых .
	Десятичную	дробь читают следующим образом : сначала читают её часть , стоящую до запятой , и добавляют слово « целых » , затем читают часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
	Десятичные	дроби 2,5081 и 2,5080 различаются только цифрами в разряде десятитысячных : у первой дроби в этом разряде стоит цифра 1 , а у второй — цифра 0 .
	Десятичные	дроби появились в математике гораздо раньше , чем современные единицы измерения — метры и граммы .
	Десятичные	дроби и метрическая система мер .
	Десятичные	соотношения между различными метрическими единицами отражены в их названиях .
	Десятичные	и обыкновенные дроби — это две различные формы представления чисел .
Глава 3	Десятичные	дроби .
	Десятичные	представления некоторых обыкновенных дробей .
	Десятичные	дроби , так же как и обыкновенные дроби , изображают точками на координатной прямой .
	Диаметр	шара равен 10 см. Какие из изображённых на отрезков равны 5 см ? .
	Диаметр	круга будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через центр шара .
	Длина	провода 63 м .
	Длина	отрезка равна с м .
	Длина	первой грядки на 0,9 м больше длины третьей грядки , а длина второй грядки на 0,55 м больше длины третьей грядки .
	Длина	, ширина и высота одного из них — м , а другого .
	Длина	окружности и число π .
	Длина	каждой из пяти сторон здания равна 281 м .
	Длина	отрезка ΜΝ будет одной и той же , в каком бы месте ни был проведён перпендикуляр с.
На плане это точка М.	Длина	отрезка AM и есть расстояние от дома лесника до озера .
	Длине	какого отрезка равно расстояние .
	Дробь	можно представить в виде десятичной .
	Дробь	нельзя обратить в десятичную , поэтому запишем в виде обыкновенной дроби число 0,27 .
	Дробь	.
	Дробь	- в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 .
	Единицы	двух соседних разрядов различаются в 10 раз .
	Единичные	отрезки на обеих осях , как правило , одинаковы .
	Единичные отрезки	на обеих осях , как правило , одинаковы .
	Знак	результата .
	Знак	« – » употребляется не только для записи отрицательных чисел , но и для обозначения противоположного числа .
	Знак	компонентов действий .
	Знак	суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
	Знаки	, стоящие в десятичной дроби после запятой , называют десятичными знаками .
	Знаменателями	таких дробей служат числа 60 , 602 , 603 .
	Значение	каких выражений равно значению произведения ab ?
	Значение	до сих пор считается вполне хорошим приближением числа π для прикладных задач .
	Значение	выражения .
	Значение	дроби останется тем же , а от дробей в числителе и знаменателе мы избавимся .
	Касательная	перпендикулярна радиусу окружности , проведённому в точку касания .
	Касательная	играет важную роль при описании многих физических явлений .
	Квадрат	разделён на 16 маленьких квадратов , один из которых окрашен .
	Квадратная	сетка , играющая роль координат , была обнаружена на стене одной древнеегипетской гробницы .
Впервые учение о десятичных дробях в XV в . изложил среднеазиатский учёный аль - Каши в книге «	Ключ	арифметики » .
	Кольцо	ограничено двумя окружностями , радиусы которых равны 3 см и 5 см. Чему равна площадь этого кольца ? .
	Комбинаторика	.
	Комбинаторные	задачи занимали умы математиков на протяжении тысячелетий .
	Конус	в определённом смысле напоминает пирамиду .
	Координата	точки Е равна 4 ; это записывается так : Е ( 4 ) .
	Координата	х всегда пишется на первом месте , а координата у — на втором .
	Координаты	.
	Координаты	точки на плоскости .
43	Координаты	.
	Корень	уравнения — это число , при подстановке которого в уравнение получается верное равенство .
	Круг	изображает всех жителей города , внесённых в списки для голосования , т .
Английский поэт У. Х. Оден с огорчением воскликнул : «	Минус	на минус — всегда только плюс .
	Многогранники	, изображенные на рисунке , — антипризмы .
	Многоугольник	, у которого равны все стороны и все углы , называют правильным .
	Многоугольник	, изображённый на рисунке , называют снежинкой Коха .
	Многоугольники	.
Глава 12	Множества	.
	Множества	обычно обозначают большими буквами латинского алфавита : А , В , С , М , Р и т .
	Множество	, состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из данных множеств , называется их объединением .
Основатель теории множеств немецкий учёный Георг Кантор ( 1845–1918 ) так разъяснял смысл понятия множества : «	Множество	есть многое , мыслимое нами как единое » .
	Множество	А называют подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является элементом множества В .
	Множество	может содержать несколько элементов , только один элемент и даже не содержать ни одного элемента .
	Множество	каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
	Множество	, состоящее из элементов , входящих в каждое из данных множеств , называется их пересечением .
	Модуль	отрицательного числа равен числу , ему противоположному .
	Модуль	положительного числа равен самому числу .
	Модуль	числа .
	Модуль	числа – 5,8 равен 5,8 ; модуль числа – 4 равен 4 .
	Модуль	нуля равен нулю .
	Найдите	объединение и пересечение множеств .
	Найдите	периметр и площадь прямоугольника ABCD .
	Найдите	расстояние между центрами окружностей .
	Найдите	их с помощью перегибания .
	Найдите	углы , обозначенные цифрами 1 , 2 , 3 , 4 .
Известно , что .	Найдите	.
	Найдите	сумму противоположных чисел .
	Найдите	величину каждого угла .
	Найдите	сумму ( представьте , что вы подсчитываете доходы и расходы ) .
	Найдите	города , расположенные на 60 ° с. ш.
	Найдите	сумму ( приведите разные способы вычисления ) .
	Найдите	значение выражения .
	Найдите	сумму , выполнив вычисления столбиком .
	Найдите	приближённое значение частного , выраженное десятичной дробью с двумя знаками после запятой .
б )	Найдите	наибольшую из десятичных дробей с четырьмя знаками после запятой , при округлении которой до сотых получается число 8,65 .
а )	Найдите	все десятичные дроби с тремя знаками после запятой , при округлении которых до сотых получается число 3,27 .
Фигуры , ограниченные окружностями и их дугами .	Найдите	длину дуги окружности , выделенной на рисунке жирной линией .
	Найдите	значение степени : а ) Найдите число , квадрат которого равен 0,64 ; 0,01 ; 0,0009 .
Найдите значение степени : а )	Найдите	число , квадрат которого равен 0,64 ; 0,01 ; 0,0009 .
	Найдите	расстояние от центра окружности до прямой .
	Найдите	сумму всех целых чисел : а ) от – 100 до 100 ; в ) от – 70 до 50 ; б ) от – 100 до 150 ; г ) от – 150 до 70 .
	Найдите	АСОК , АКОВ , ABOD , ADOM . б ) Через точку О проведены три прямые , ААОС = 130 ° , АЛОВ = 91 ° .
	Найдите	на все пары перпендикулярных прямых .
	Найдите	на рисунке все : а ) параллелограммы ; б ) ромбы ; в ) прямоугольники ; г ) квадраты .
	Найдите	величины остальных углов .
	Найдите	в окружающей вас обстановке : а ) перпендикулярные прямые ; б ) прямые , перпендикулярные плоскости .
	Найдите	частное , представив данные дроби в виде обыкновенных , и , если возможно , выразите ответ десятичной дробью .
	Найдите	частное и результат проверьте умножением .
	Найдите	периметр .
	Найдите	периметр треугольника , если .
	Найдите	периметр треугольника , если . Найдите третью сторону треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
Найдите периметр треугольника , если .	Найдите	третью сторону треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
	Найдите	S , если .
	Найдите	остальные углы .
	Найдите	массу большего куска .
	Найдите	частное натуральных чисел , выполнив деление уголком .
	Найдите	частное ( в качестве образца воспользуйтесь примером 3 ) .
Если .	Найдите	неизвестное число х .
	Найдите	радиусы первых двух окружностей .
	Найдите	значение степени : 2 ) Сколько цифр после запятой содержит десятичная дробь , равная .
	Найдите	значение суммы при указанных значениях а , b и с .
Из формулы площади прямоугольника выразите а через S и Ь.	Найдите	сторону а , если .
	Найдите	произведение чисел .
	Найдите	расстояние от точки А до прямой а и до прямой Ъ .
	Найдите	число , куб которого равен 0,064 ; 0,008 ; 0,125 . 1 )
	Найдите	среди них : положительные , отрицательные , целые , натуральные , отрицательные дробные числа .
	Найдите	расстояние от каждой из этих точек до прямой .
	Найдите	отношение длины окружности к длине диаметра .
Высота колонн храма на макете равна 41,7 см.	Найдите	реальную высоту колонн храма , выразите её в метрах , округлите ответ до десятых .
	Найдите	модуль числа .
	Найдите	площадь закрашенной части круга .
	Найдите	Р , если .
	Найдите	периметр четырёхугольника ABCD .
	Найдите	несколько чисел , которые .
	Найдите	множество : 1 ) Пусть А — некоторое множество .
	Найдите	площадь обрезков .
	Найдите	площадь закрашенного треугольника .
	Найдите	площадь оставшейся части .
	Найдите	значения выражений .
На плане это расстояние равно 2 см.	Найдите	масштаб плана .
	Найдите	значение буквенного выражения .
5	Найдите	разными способами значение выражения .
	Найдите	длину окружности , радиус которой равен 10 см .
	Найдите	какую - нибудь обыкновенную дробь , большую 0,1 , но меньшую 0,2 .
	Найдите	какую - нибудь десятичную дробь , заключённую между : а ) 2,7 и 2,8 ; б ) 0,8 и 0,9 .
	Найдите	на рисунке фигуры с осевой симметрией , перерисуйте их в тетрадь и проведите оси симметрии .
	Найдите	закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
Радиус одной из них равен 4 см , а расстояние между центрами окружностей — 7 см.	Найдите	радиус другой окружности .
	Найдите	объединение и пересечение множества чисел , кратных 5 , и множества чисел , кратных 10 .
	Найдите	фигуру , имеющую центр симметрии , перерисуйте её в тетрадь и отметьте её центр симметрии .
	Найдите	отношение площадей квадратов ABCD и KMLN .
Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 10 см и 15 см.	Найдите	площадь закрашенной фигуры .
	Найдите	1 от 1 кг ; 9 от 1 кг ; 18 от 1 кг .
	Найдите	длину оставшейся части .
	Найдите	отношение числа правильных ответов к числу всех присланных ответов .
	Найдите	отношение числа учащихся , занимающихся в музыкальной школе , к числу всех учащихся класса .
	Найдите	часть от величины .
	Найдите	, сколько процентов одна величина составляет от другой .
	Найдите	примерный процент брака на каждом заводе , округлив результат до единиц .
	Найдите	сумму .
	Найдите	: а ) сколько примерно процентов от площади Франции составляет площадь Италии ; б ) сколько примерно процентов от площади Италии составляет площадь Франции .
	Найдите	объём многогранника .
	Найдите	скорость пешехода , если он прошёл 80 м за 5 мин .
	Найдите	рост Маши . б ) На первый курс университета может быть принято 150 человек .
	Найдите	объёмы наименьшей и наибольшей частей .
	Найдите	эти ошибки .
а )	Найдите	1от 1 км ; 6от 1 км ; 35от 1 км .
	Найдите	каждое из отношений .
	Найдите	длину дорожки и площадь стадиона .
	Найдите	задуманное число .
	Найдите	число жителей Москвы в 2002 г .
	Найдите	расстояние от точки А до прямой I .
	Найдите	.
	Найдите	. .
	Найдите	углы 2 и 3 .
	Найдите	на четыре пары параллельных прямых .
	Найдите	значение степени .
	Найдите	произведение или частное .
	Найдите	значение выражения ab при .
	Найдите	расстояние .
	Найдите	сумму или разность .
	Найдите	длину меньшей части провода .
	Найдите	произведение .
	Найдите	расстояние между каждой парой этих прямых .
	Найдите	длину отрезка , если его длины равны м . а )
	Найдите	величины углов 1 , 2 и 3 .
	Найдите	значение выражения ab .
а )	Найдите	площади закрашенных треугольников .
	Найдите	разность .
	Найдите	величины остальных углов , обозначенных цифрами .
	Найдите	длины рёбер этого многогранника , если диаметр каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса .
	Найдите	эти числа .
	Найдите	неизвестное число , обозначенное буквой .
	Найдите	значение суммы .
	Найдите	площадь игрового поля .
	Найдите	отношение .
	Найдите	длину каждой части и округлите результат до сотых долей метра .
	Найдите	корень уравнения подбором .
	Найдите	реальную высоту стен и выразите её в метрах .
Известно , что .	Найдите	значение выражения .
	Найдите	значение каждого из выражений .
	Найдём	0,13 от 6500 .
	Найдём	12 % от 20 000 р .
	Найдём	разность . .
	Найдём	с помощью перебора все возможные варианты освещения : .
	Найдём	1 от 600 р .
	Найдём	разность .
	Найдём	, какой примерно длины потребуется бордюр для ограждения клумбы , имеющей форму круга с диаметром , равным 4 м .
	Найдём	, например , площади квадрата и прямоугольника .
	Найдём	вычитанием неизвестное слагаемое 2х .
	Найти	точки , равноудалённые от концов отрезка , нам помогут две окружности .
	Натуральное	число и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
	Натуральное число	и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
	Натуральные	числа мы записываем в том порядке , в котором они появляются при счёте .
	Натуральные	числа принято называть также положительными целыми числами , т .
	Натуральные	числа , противоположные им отрицательные числа и число 0 составляют множество целых чисел .
	Натуральные	числа 1 , 2 , 3 , , отрицательные числа – 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином — целые числа .
	Натуральные	числа округляют до десятков , сотен , тысяч и т .
	Натуральные числа	округляют до десятков , сотен , тысяч и т .
	Натуральные числа	1 , 2 , 3 , , отрицательные числа – 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином — целые числа .
	Натуральные числа	, противоположные им отрицательные числа и число 0 составляют множество целых чисел .
	Натуральные числа	принято называть также положительными целыми числами , т .
	Натуральные числа	мы записываем в том порядке , в котором они появляются при счёте .
	Неравенство	треугольника .
	Объединение	отрезка KL и луча LM есть луч КМ .
	Объединением	этих множеств является всё множество натуральных чисел .
	Обыкновенная дробь	.
	Округление	по правилу . Округлите до единиц .
	Округление	по смыслу .
	Округление	и прикидка .
	Округление	десятичных дробей .
16	Округление	десятичных дробей .
Округление по правилу .	Округлите	до единиц .
	Округлите	число 1,666666 до тысячных ; до сотых ; до десятых .
	Округлите	это число до сотых ; до десятых .
	Округлите	это число до десятых ; до единиц .
	Округлите	число до десятых ; до сотых ; до тысячных : а ) 28,37267 ; б ) 43,52859 ; в ) 106,09311 ; г ) 4,03954 .
	Округлите	.
	Округлите	: а ) число 572 до сотен ; б ) число 1,654 до сотых .
	Окружности	часто можно видеть на различных эмблемах .
	Окружность	и правильный многоугольник .
	Окружность	, а также ограниченный ею круг можно отнести к « самым симметричным » фигурам на плоскости .
Глава 5	Окружность	.
	Оператор	должен был за день набрать 50 страниц текста , но набрал на 14 % меньше .
	Операции	над множествами .
49	Операции	над множествами .
	Опишите	словами множество , которое является пересечением .
	Опишите	аналогичным способом следующую ситуацию .
	Опишите	словами , как построить с помощью циркуля правильный шестиугольник , правильный треугольник .
	Опишите	по шагам решение уравнения .
	Основанием	параллелепипеда является квадрат .
	Основания	цилиндра — это два равных круга , расположенные в параллельных плоскостях .
	Основания	представляют собой равные многоугольники , расположенные в параллельных плоскостях .
	Откладывая	последовательно единичные отрезки вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых чисел .
	Отношение	числа красных шариков к числу зелёных равно .
	Отношение	стоимости товара к его количеству ( массе , длине , числу штук и пр. ) — это цена товара .
	Отношение	числа мальчиков в школе к числу девочек равно .
	Отношение	h к а определяет крутизну лестницы .
а )	Отношение	числа красных шариков к числу синих равно .
	Отношение	величин .
	Отношение	двух чисел показывает , во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого .
	Отношение	.
	Отношение	длины окружности к её диаметру — величина постоянная , она не зависит от размеров окружности .
Глава 6	Отношения	и проценты .
	Отношения	между странами изучают экономические и политические науки .
	Отношения	между людьми изучает специальная наука — психология .
	Отрезок	, соединяющий центры оснований , перпендикулярен каждому из них .
	Отрезок	АВ разделён точкой С на две части так , что АС = 18 см , ВС = 9 см .
	Отрезок	длиной 36 см разделили на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
	Отрицательные	дробные числа , так же как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительному числу знака « – » .
	Отрицательные	числа были известны математикам ещё 2 тысячи лет тому назад .
	Отрицательные	числа на координатной прямой отмечаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее нуля .
	Отрицательные	дробные числа используются и в математике , и в реальной жизни .
	Отрицательные	числа математики открыли очень давно .
	Параллелепипед	.
	Параллелепипед	— это четырёхугольная призма .
	Параллелограмм	является центрально - симметричной фигурой .
	Параллелограмм	снова « войдёт » в свой контур .
	Параллелограмм	, у которого все стороны равны , называют ромбом .
	Параллелограмм	удалось перекроить в прямоугольник , а способ вычисления площади прямоугольника известен .
	Параллелограмм	.
44	Параллелограмм	.
7	Параллельные	прямые .
	Параллельные	прямые .
	Пентагон	( от греч .
	Перемножив	числа 215 и 33 , которые получаются , если не обращать внимания на запятые , мы получили в произведении число 7095 .
	Перемножив	числа 5,6 и 3,8 , получим 21,28 .
	Пересекаясь	, касательные образуют пятиугольник .
	Пересечение	и объединение множеств .
	Пересечение	множества всех треугольников и множества правильных многоугольников есть множество равносторонних треугольников .
	Пересечение	множеств записывают с помощью символа П , а их объединение — с помощью символа .
	Пересечение множеств	записывают с помощью символа П , а их объединение — с помощью символа .
	Пересечение множества	всех треугольников и множества правильных многоугольников есть множество равносторонних треугольников .
	Периметр	прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длины смежных сторон и результат умножить на 2 .
	Перпендикуляр	, проведённый из вершины конуса к плоскости основания , попадает в центр круга .
	Перпендикулярные	прямые можно построить и с помощью угольника , и с помощью транспортира .
	Плоскость	, на которой задана система координат , называют координатной плоскостью .
	Плоскость	, параллельная основанию конуса , рассекла его на две части .
46	Площади	.
	Площади	параллелограмма и треугольника .
	Площади	.
	Площадь	треугольника .
	Площадь	какой комнаты больше — размером .
	Площадь	закрашенной рамки , изображённой на , вычисляется по формуле .
	Площадь	территории Италии примерно равна 300 тыс. км2 , а Франции — 550 тыс. км2 .
а )	Площадь	территории Норвегии составляет примерно 123 % площади Великобритании .
	Площадь	квадрата равна ( кв. ед . ) , площадь прямоугольника равна ( кв. ед . ) .
	Площадь	какой страны больше и во сколько раз ? .
	Поверхности	цилиндра и конуса состоят как из плоских частей , так и кривых , а шар — « абсолютно круглый » .
	Поверхности	цилиндра и конуса , как и поверхность многогранника , можно развернуть на плоскость .
	Поверхность	шара называется сферой .
	Поверхность	цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности , которую ещё называют цилиндрической .
Говорят , что множества чётных и нечётных чисел составляют разбиение множества N.	Подмножества	, составляющие разбиение , обычно называют классами .
	Подмножества	.
	Подобным	образом можно найти и площадь треугольника .
	Положительное	число 256 расположено справа от 0 , а число – 104 — слева от 0 .
	Положительное	направление на каждой оси показывают стрелкой : на горизонтальной оси это направление .
	Положительные	целые числа , т .
	Положительные	и отрицательные целые числа .
	Положительные	и отрицательные числа .
	Положительные	дробные числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные целые числа , можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
	Положительные	целые числа расположены справа от нуля , отрицательные — слева .
	Положительным	или отрицательным является частное .
б )	Правильную	шестиугольную призму распилили на 3 части , как показано на рисунке .
	Правильные	многоугольники обладают удивительным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
	Правильные	многогранники называют ещё Платоновыми телами , так как в картине мира , построенной древнегреческим мыслителем Платоном , им отводилась ведущая роль .
45	Правильные	многоугольники .
	Правильные	многогранники .
	Правильные многоугольники	обладают удивительным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
45	Правильные многоугольники	.
	Прибавив	единицу к цифре 9 в разряде сотых , мы получили 10 сотых .
	Приближенное	частное .
	Приведите	свои примеры чисел , относящихся к каждому классу .
Если существуют , то назовите их : 1 )	Приведите	примеры чисел , модуль которых равен 12 ; больше 12 ; меньше 12 .
	Приведите	примеры целых чисел , целых отрицательных чисел , дробных положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
	Приведите	примеры .
	Приведите	дроби к одному из знаменателей 10 , 100 или 1000 и запишите соответствующие десятичные дроби .
	Приведите	примеры комбинаторных задач , которые имеют ту же математическую модель , что и задачи , приведённые выше .
	Приведите	примеры использования положительных и отрицательных чисел в жизни .
	Приведите	примеры объектов , обладающих зеркальной симметрией .
	Приведите	пример классификации множества треугольников .
	Приведите	примеры конечных и бесконечных множеств .
	Приведите	пример .
	Приведите	примеры классификаций .
	Приведите	пример , когда в результате округления десятичной дроби получается целое число .
	Приведите	примеры разбиения множества на классы из математики и из какой - либо другой области .
	Приведите	примеры конечных и бесконечных подмножеств множества натуральных чисел N .
8	Приведите	к наименьшему общему знаменателю дроби .
	Приведите	дроби к знаменателю 80 .
	Приведите	дроби к знаменателю 18 .
	Приведите	примеры параллельных и скрещивающихся прямых , которые встречаются в комнате , на улице .
	Приведите	примеры конечных множеств ; бесконечных множеств .
	Приведите	пример числового выражения и буквенного выражения .
	Приведём	каждую из дробей к знаменателю 33 .
	Призма	.
47	Призма	.
	Произведение	двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
	Произведением	естественно считать сумму трёх слагаемых , каждое из которых равно -5 .
	Противоположные числа	изображаются точками координатной прямой , симметричными относительно точки О ( 0 ) .
	Противоположные числа	.
	Противоположные числа	изображаются точками , симметричными относительно точки с координатой 0 .
	Процент	от некоторой величины — это одна сотая её часть .
	Проценты	и десятичные дроби .
	Проценты	, так же как и дроби , выражают доли величины .
	Прямая	BD перпендикулярна отрезку АС и делит его пополам .
	Прямая	и окружность .
17	Прямая	и окружность .
	Прямая	и окружность могут иметь одну общую точку ( прямая является касательной к окружности ) , две общие точки ( в этом случае прямую называют секущей ) , а могут и не иметь общих точек .
	Прямая	k — ось симметрии многоугольника ABDKNC .
	Прямая	ОР — ось симметрии треугольника КРМ .
постройте прямую d , перпендикулярную радиусу О А и проходящую через точку А.	Прямая
	Прямоугольная	система координат .
	Прямоугольник	разрежьте по одной из его диагоналей .
	Прямоугольник	, ромб , квадрат .
	Прямоугольник	, равнобедренный треугольник , окружность .
	Прямоугольник	и квадрат имеют одинаковые периметры .
	Прямоугольники	, изображённые , равновелики .
	Прямоугольной	сеткой для разметки холста пользовались и художники Возрождения .
а )	Прямые	АВ , CD , КМ пересекаются в точке О , причём ZLАОМ = 47 ° и ААОС = 32 ° .
	Прямые	тип параллельны .
	Пустое множество	считают подмножеством любого другого множества .
	Равновеликие	и равносоставленные фигуры .
	Равновеликие	фигуры .
а )	Радиус	меньшей окружности равен 3 см , радиус большей — 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей ? .
	Радиус	второй окружности , см .
	Радиус	первой окружности , см .
	Радиус	апельсина равен 4 см , а толщина кожуры равна 1 см. Объём какой части больше : съедобной или несъедобной ? .
	Радиус	основания цилиндра равен 5 см. Чему равен диаметр шара ?
	Радиус	одной из них равен 4 см , а расстояние между центрами окружностей — 7 см. Найдите радиус другой окружности .
	Радиус	земного шара равен примерно 6400 км .
	Радиус	окружности равен 2 см. На каком рисунке изображён случай , когда расстояние от центра окружности до прямой равно 1 см ?
	Радиус	окружности , см .
	Радиусы	двух окружностей равны 3 см и 5 см , а расстояние между наиболее удалёнными точками : а ) 18 см ; б ) 16 см ; в ) 13 см ; г ) 8 см .
	Радиусы	двух окружностей равны 7 см и 11 см , а расстояние между их центрами — 19 см. Как расположены окружности по отношению друг к другу ? .
	Разделив	, получим тот же результат .
	Разложив	на простые множители знаменатель этой дроби , получим произведение 3 - 5 , содержащее число 3 .
Глава 10	Рациональные	числа .
	Рациональные	числа .
Глава 10	Рациональные числа	.
	Рациональные числа	.
	Ребро	куба равно 6 см. Чему равен диаметр шара ? .
	Решение	задач .
	Решение	уравнений .
	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	комбинаторных задач .
50	Решение	комбинаторных задач .
	Решение	.
	Решение	уравнении .
	Ряд	целых чисел .
	Секунду	делят не на 60 равных частей , а на десятые , сотые и тысячные .
	Симметрия	четырёхугольников .
Глава 8	Симметрия	.
	Симметрия	и равенство .
	Симметрия	в пространстве .
«	Симметрия	» — слово греческого происхождения .
	Симметрия	.
	Симметрия	и асимметрия тесно « соседствуют » друг с другом .
	Симметрия	относительно точки .
	Симметрия	равнобедренного треугольника .
	Системы	координат пронизывают всю практическую жизнь человека .
	Системы координат	пронизывают всю практическую жизнь человека .
	След	, который оставляет точка А при повороте , — это дуга окружности .
	Сложение	и вычитание десятичных дробей .
	Сложение	обыкновенной дроби и десятичной .
	Сложение	и вычитание рациональных чисел .
	Сложение	десятичных дробей .
	Сложение	.
	Сложение	целых чисел одного знака и разных знаков .
41	Сложение	и вычитание рациональных чисел .
	Сложение	чисел .
	Сложение	целых чисел .
	Сложение	двух целых чисел .
Сравните – а и – b . 36	Сложение	целых чисел .
12	Сложение	и вычитание десятичных дробей .
	Сложите	из получившихся частей треугольник .
	Совместные	действия с обыкновенными и десятичными дробями .
	Сократите	дробь .
В	Средние	века во многих европейских учебниках математики раздел о дробях помещался в самом конце .
а )	Средний	рост девочек того же возраста , что и Маша , равен 140 см. Рост Маши составляет 105 % среднего роста .
	Сторона	квадрата равна 4 см. Постройте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий этому квадрату .
	Сторона	треугольника , равная 11,5 см , на 0,6 см меньше второй его стороны и на 0,9 см больше третьей .
	Стороны	прямоугольника 60 см и 80 см .
	Строили	его больше 20 лет около 20 тыс. рабочих .
	Строим	параллельные прямые .
	Сумма	двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемого , у которого модуль больше .
	Сумма	противоположных чисел равна нулю .
	Сумма	двух чисел одного знака имеет тот же знак , что и слагаемые .
	Сумма	трёх углов , образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 240 ° .
	Сумма	двух отрицательных чисел отрицательна , поэтому сначала запишем знак « минус » , а затем сложим .
	Сумма	противоположных чисел равна 0 .
	Сумма	двух положительных чисел положительна , а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
	Сумма	двух чисел разных знаков может быть как положительным числом , так и отрицательным .
	Точка	их пересечения О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой , её называют началом координат , а координатные прямые называют осями координат .
	Точка	, изображающая на координатной прямой число 2,7 , расположена левее .
	Точка	О — её центр симметрии .
	Точка	О — центр большей окружности , точка Р — центр меньшей .
	Точка	О — центр двух окружностей , касающихся каждой из трёх построенных окружностей внешним и внутренним образом .
Расстояние между параллельными прямыми т и n равно 5 см.	Точка	А находится на расстоянии 3 см от прямой т .
	Точка	– 5,8 расположена левее точки – 4 , поэтому .
	Точка	О — центр симметрии шестиугольника ABCDEK .
Верно ли утверждение : «	Точка	К находится на расстоянии 3 см от точки А и на расстоянии 4 см от точки В » ?
На рисунке точки пересечения окружностей обозначены буквами А и В.	Точка	А находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка ( оно равно радиусу окружности ) .
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О отложите отрезок , равный отрезку ОА	Точка	В симметрична точке А относительно точки О .
	Точка	с координатой – 1000 оказалась левее точки – 989 , значит , .
	Точка	с координатой 0 делит прямую на два луча .
	Точка	К симметрична точке М относительно прямой l .
	Точка	О — центр симметрии шестиугольника ABCDKM .
Расстояние между точками А и В равно 4 см.	Точка	А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
	Точка	, симметричная относительно прямой .
	Точка	является центром симметрии , если при повороте вокруг этой точки на 180 ° фигура переходит сама в себя .
	Точки	касания окружностей обозначьте следующим образом : точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне .
	Точки	пересечения касательных обозначьте буквами К , М , L и N. Эти точки — вершины квадрата .
При повороте на 180 ° точка А переходит в диаметрально противоположную ей точку В.	Точки	А и В называют симметричными относительно точки О .
	Точки	А , В и С — вершины параллелограмма .
	Точку	пересечения лучей обозначьте буквой О .
	Третьим	идёт разряд тысячных и т .
	Третья	вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
	Треугольная	антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
	Треугольник	легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его сторонам .
	Треугольник	, у которого все стороны равны , называется равносторонним .
	Умножение	целых чисел обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных , — переместительным и сочетательным .
38	Умножение	и деление целых чисел .
	Умножение	и деление рациональных чисел .
	Умножение	десятичной дроби на единицу с нулями .
	Умножение	целых чисел .
	Умножение	десятичном дроби на обыкновенную .
	Умножение	десятичной дроби на натуральное число .
	Умножение	десятичной дроби на десятичную .
	Умножение	.
	Умножение	десятичных дробей , как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
42	Умножение	и деление рациональных чисел .
	Умножение	рациональных чисел , так же как и целых , обладает переместительным и сочетательным свойствами , что позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы .
	Умножение	десятичной дроби на обыкновенную .
	Умножение	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 и т .
	Умножение	десятичных дробей .
14	Умножение	десятичных дробей .
	Умножение	и деление целых чисел .
13	Умножение	и деление десятичной дроби .
	Умножение	и деление натурального числа на 10 , 100 , 1000 и т .
	Умножение	и деление десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 .
	Умножение	и деление десятичной дроби на единицу с нулями .
	Умножив	0,78 на 100 , получим , что 0,78 — это 78 % .
	Умножив	80 000 на , получим тот же результат .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби на 12 .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби на 4 .
	Умножим	на .
	Уравнение	как способ перевода условия задачи .
	Уравнения	.
	Фигура	, которую мы получили , симметрична .
	Фигура	на кальке совместится с фигурой на бумаге .
	Фигура	может иметь и не одну ось симметрии .
	Фигуры	, ограниченные окружностями и их дугами . Найдите длину дуги окружности , выделенной на рисунке жирной линией .
	Целые	части этих дробей одинаковы ; совпадают также первые три цифры после запятой .
	Целые	числа также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
	Целые	части этих дробей одинаковы , но различаются цифры в разряде десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
	Целые	и дробные числа вместе образуют множество рациональных чисел .
	Целые числа	также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
	Центр	куба — это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	симметрии имеет и прямоугольник : это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	симметрии фигуры .
	Центр	симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей .
	Центр	окружности лежит на биссектрисе угла А. Объясните , как начертить окружность , касающуюся сторон угла .
	Центр	симметрии , и ось симметрии .
	Центры	окружностей соединены отрезком .
	Цилиндр	, конус , шар .
	Цилиндр	помещён в параллелепипед так , что касается всех его граней .
	Четырёхугольник	с равными сторонами и равными углами — это хорошо вам известный квадрат .
	Четырёхугольник	ABCD — параллелограмм .
	Четырёхугольник	ABCD — не параллелограмм , но у него есть одна пара параллельных сторон и одна пара равных сторон .
	Четырёхугольник	при этом будет трансформироваться , а треугольник нет .
	Четырёхугольники	на рисунке — параллелограммы .
	Числа	0 ; 3,5 ; – 3,5 и – 5,2 являются координатами точек О , А , В и С. Записывается это так .
	Числа	0 и 1 при умножении целых чисел сохраняют свои свойства .
	Числа	, которые различаются только знаком , т .
	Числа	, которые можно подставлять в буквенное выражение , называют допустимыми значениями букв .
	Число	21,3 — результат округления дроби 21,28 до десятых .
	Число	0 считается противоположным самому себе .
	Число	поданных заявлений составило 220 % от числа мест .
	Число	0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к положительным , ни к отрицательным числам , а как бы разделяет их .
Иногда отношение оставляют « невычисленным » и говорят : «	Число	лыжников прошлого года относится к числу лыжников этого года как 75 к 25 » , при этом для записи отношения используют двоеточие .
	Число	жителей 1 в ) 1900 г. — это 100 % , а в 2002 г. от числа жителей в 1900 г .
Тогда предложения «	Число	13 простое » и « Число 15 не является простым » можно записать так .
	Число	, записанное над чертой , — числитель дроби , под чертой — её знаменатель .
	Число	21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Тогда предложения « Число 13 простое » и «	Число	15 не является простым » можно записать так .
	Число	, противоположное числу а , обозначают – а .
а )	Число	16 кратно 8 , значит , оно и является наименьшим общим знаменателем .
	Число	мальчиков относилось к числу девочек как , причём мальчиков было на 10 больше , чем девочек .
	Число	1000 на координатной прямой расположено правее , т .
	Число	мест в кинозале можно вычислить по формуле .
	Число	, выражающее отношение длины окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π — первой буквой слова « периферия » ( греч .
	Число	красных карандашей относится к числу синих как .
Запишите на математическом языке разными способами предложение : «	Число	а на 10 больше числа Ь » .
	Число	12 называют корнем уравнения .
	Шар	помещён в цилиндр так , что он касается и его боковой поверхности , и оснований .
а )	Шар	поместили в куб так , что он касается всех граней куба .
	Элементы множества	можно перечислять в любом порядке .
Горизонтальную ось обычно называют осью х или осью	абсцисс	; вертикальную — осью у или осью ординат .
Ось	абсцисс	.
Эта пара чисел х и у и есть координаты точки А. Координату х называют	абсциссой	или первой координатой точки А , а координату у — ординатой или второй координатой точки А .
Это время распределяется между	алгеброй	и геометрией в отношении .
Сколько в учебном году уроков	алгебры	и сколько геометрии ? .
Треугольная	антипризма	получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
Для каждой дроби существует	бесконечное множество	равных ей дробей .
В натуральном ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до	бесконечности	.
К тому же в математике рассматривают и	бесконечные множества	.
Приведите примеры конечных и	бесконечных множеств	.
Приведите примеры конечных множеств ;	бесконечных множеств	.
Рассмотрите рисунок : углы ВОС и СОА — смежные , луч ОМ —	биссектриса	угла СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
Рассмотрите рисунок : углы ВОС и СОА — смежные , луч ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON —	биссектриса	угла АОС .
Чему равен угол между	биссектрисами	? .
1 ) все прожекторы погашены.1	вариант	. 2 ) горит один прожектор .
1	вариант	.
4	варианта	. 5 ) горят четыре прожектора .
Начав маршрут с Рима , получим ещё два	варианта	: РВФ , РФВ .
б к з ж.4	варианта	.
Сколько существует различных	вариантов	флагов с белой , синей и красной полосами ?
Сколько существует	вариантов	такого маршрута ? .
Приём решения комбинаторных задач с помощью перебора всех возможных	вариантов	.
Постройте дерево возможных	вариантов	к задаче о туристских маршрутах .
Сколько	вариантов	для выбора есть у Феди ? .
Сколько есть	вариантов	, в которых Игорь на первом месте ?
Сколько существует	вариантов	, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде ? .
Сколько	вариантов	отбора новеньких у руководителя студии ? .
Сколько имеется	вариантов	освещения сцены ?
Сколько этих	вариантов	? .
Общее число	вариантов	.
Сколько существует	вариантов	для выбора четвёрки участников соревнования и сколько для выбора пары запасных ?
бк бз бж ; кз кж зж ; 6	вариантов	.
Таким образом , существует 6	вариантов	маршрута : .
а ) Сколько существует	вариантов	выбора двух кандидатов ? .
( Будем считать	вариантом	освещения и случай , когда все прожекторы выключены . ) .
Выпишите все	варианты	такой очереди .
Найдём с помощью перебора все возможные	варианты	освещения : .
Наконец , начав с Флоренции , получим	варианты	ФВР , ФРВ .
Перечислите все	варианты	выбора участников соревнования в этом случае .
Перечислите все	варианты	выбора участников соревнования .
Как составляют формулы для вычисления значений	величин	.
Если же находят отношение разноимённых	величин	, то получают новую величину .
использование букв для обозначения неизвестных	величин	стало общепринятым .
В задачах , а также в практической деятельности часто приходится находить отношение	величин	.
Примером практического применения отношения	величин	, который известен вам из уроков природоведения , географии , является масштаб .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения	величин	— так называемую метрическую систему мер .
Для выражения	величин	, которые могут изменяться в двух противоположных направлениях , людям потребовались отрицательные числа , т .
А вот математика изучает отношения чисел , отношения	величин	.
С помощью формул довольно сложные предложения , выражающие зависимость одних	величин	от других , могут быть записаны в удобной и компактной форме .
Вы уже знаете , что буквы необходимы для записи общих утверждений ( например , свойств арифметических действий ) , а также формул , описывающих на математическом языке правила нахождения одних	величин	по известным значениям других .
Отношение	величин	.
Чем различаются отношения одноимённых и разноимённых	величин	.
Действительно , если из равных	величин	( площади квадрата и площади прямоугольника ) вычесть поровну ( площадь белого многоугольника ) , то поровну и останется .
Выражение	величин	дробями .
Рассмотрим несколько задач , в которых требуется выразить в процентах отношение двух	величин	.
Как вам известно , один из способов сравнения чисел или	величин	заключается в нахождении их отношения .
Какая	величина	является отношением пути ко времени ?
На изображены две пересекающиеся прямые а и b и задана	величина	одного из углов .
Такие числа , « похожие » на натуральные , но со знаком « минус » , нужны в тех случаях , когда	величина	может изменяться в двух противоположных направлениях .
Поскольку	величина	каждого угла равностороннего треугольника равна 60 ° , то три их угла , приложенные друг к другу , образуют развёрнутый угол .
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое число , до нуля иначе называют модулем этого числа ( ещё говорят « абсолютная	величина	» ) .
Найдите , сколько процентов одна	величина	составляет от другой .
После того как найдено , сколько процентов одна	величина	составляет от другой , полезно проверить себя , выполнив обратное действие .
Как найти , сколько процентов одна	величина	составляет от другой .
Отношение длины окружности к её диаметру —	величина	постоянная , она не зависит от размеров окружности .
Обозначьте буквой меньшую	величину	.
Изготовьте развёртку этого цилиндра в натуральную	величину	и сверните её в цилиндр .
б ) Выразите обыкновенной дробью каждую	величину	: 0,2 кг , 0,6 кг , 0,25 кг , 0,375 кг .
а ) Выразите десятичной дробью каждую	величину	.
обозначить неизвестную	величину	буквой .
Если же находят отношение разноимённых величин , то получают новую	величину	.
Чтобы найти один процент от величины , нужно эту	величину	разделить на 100 .
В таких случаях говорят : разделить	величину	в данном отношении .
В жизни нам часто приходится делить ту или иную	величину	на части , отношение которых равно заданному отношению .
Как разделить	величину	в заданном отношении .
Найдите	величину	каждого угла .
Поэтому , чтобы найти 10 какой - либо величины , достаточно разделить эту	величину	на 10 .
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу a = vt , в которой участвуют три	величины	.
И если значение	величины	ниже нулевой отметки , то ставят знак « минус » .
Для выражения	величины	отрицательным числом вводят некоторую начальную , нулевую отметку ; например , при измерении температуры за начало отсчёта принимается температура замерзания воды ( при нормальном атмосферном давлении ) , а при измерении глубины морей — уровень Мирового океана .
Чему равны	величины	углов правильного треугольника ?
Основа такого перевода — введение буквы для обозначения какой - либо неизвестной	величины	.
Найдите	величины	остальных углов , обозначенных цифрами .
Известны	величины	двух углов .
Найдите	величины	углов 1 , 2 и 3 .
Впервые применил букву для обозначения неизвестной	величины	Диофант Александрийский - древнегреческий математик , живший в III в .
При вычислении отношения в таких случаях важно следить за тем , чтобы	величины	были выражены в одних и тех же единицах .
Проценты , так же как и дроби , выражают доли	величины	.
Иногда при нахождении процента от некоторой	величины	удобно пользоваться обыкновенными дробями — в тех случаях , когда , используя их , вычисления можно выполнить устно .
В каждом случае поясните смысл образовавшейся	величины	и укажите , в каких единицах она измеряется .
Поэтому , чтобы найти 10 какой - либо	величины	, достаточно разделить эту величину на 10 .
Вы знаете , что 31от величины — это этой	величины	.
Вы знаете , что 31от	величины	— это этой величины .
Вычисление процентов от заданной	величины	.
Для решения разнообразных задач на проценты важно научиться решать одну из главных задач : находить некоторое число процентов от заданной	величины	.
Увеличение и уменьшение	величины	на несколько процентов .
Вообще если надо получить качественную оценку ситуации , то числа или	величины	сравнивают с помощью деления .
Процент от некоторой	величины	— это одна сотая её часть .
Если это одноимённые	величины	— длины , площади , массы и т .
Найдите	величины	остальных углов .
Как находить процент от	величины	.
Нахождение	величины	по её проценту .
Найдите часть от	величины	.
Чтобы найти один процент от	величины	, нужно эту величину разделить на 100 .
Сравнить между собой два числа или две	величины	можно двумя способами .
Как вы знаете , процент — это сотая доля	величины	: 1 % — это одна сотая , 8 % — это восемь сотых , 17 % — это семнадцать сотых .
Иногда нужное число процентов от	величины	можно найти совсем просто .
а ) У призмы 2000	вершин	.
в ) Начертите ломаную из двух звеньев , одна из	вершин	которой лежит на прямой т .
Сколько	вершин	в каждом основании этой призмы ?
На координатной плоскости постройте треугольник АВС по координатам его	вершин	.
Что это за многогранник , если у него : а ) 13	вершин	; б ) 15 рёбер ? .
Сколько	вершин	, рёбер , граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Сколько у этой призмы	вершин	? .
Обозначьте эти два треугольника и запишите координаты их	вершин	.
На нелинованной бумаге начертите произвольный треугольник и постройте симметричный ему относительно одной из	вершин	.
У этих углов общая	вершина	— точка пересечения прямых .
Третья	вершина	треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
Существует ли призма , у которой 2001	вершина	? .
У него , как и у пирамиды , есть	вершина	и основание , только в основании лежит не многоугольник , а круг .
Из понятно , как построить треугольник AlB1Clt симметричный треугольнику АВС относительно точки О : достаточно построить точки , симметричные его	вершинам	.
Проведите окружности с центрами в	вершинах	треугольника и радиусом , равным 2 см .
Назовите : а ) вершину многоугольника , симметричную	вершине	В . б ) сторону , симметричную стороне KN ; в ) отрезок , симметричный отрезку ВС ; г ) равные стороны многоугольника .
проведите окружность произвольного радиуса с центром в	вершине	углов .
Какая точка симметрична	вершине	М относительно точки О ?
Правильным называют выпуклый многогранник , все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой	вершине	сходится одинаковое число граней .
с помощью транспортира , постройте пять равных углов с общей	вершиной	, составляющих в сумме 360 ° .
Назовите : а )	вершину	многоугольника , симметричную вершине В . б ) сторону , симметричную стороне KN ; в ) отрезок , симметричный отрезку ВС ; г ) равные стороны многоугольника .
Рассмотрите рисунок четырёхугольники ABCD и симметричны относительно прямой k. Симметричные	вершины	четырёхугольников обозначены одной и той же буквой , но с добавлением индекса — цифры , поставленной внизу .
Назовите	вершины	куба , симметричные относительно его центра .
Если вы перегнёте его так , чтобы совпали	вершины	при основании , то линия сгиба и будет его осью симметрии .
Опровергните утверждение , сделав рисунок : « Расстояние от точки до треугольника равно расстоянию от этой точки до ближайшей	вершины	треугольника » .
в ) от	вершины	К до диагонали основания АС ? .
Точки пересечения касательных обозначьте буквами К , М , L и N. Эти точки —	вершины	квадрата .
Постройте четырёхугольник ABCD , если его	вершины	имеют координаты .
Постройте все параллелограммы ,	вершины	которых находятся в этих точках .
Постройте окружность , касающуюся сторон угла , центр которой удалён от	вершины	угла на 5 см .
Постройте такую окружность , касающуюся сторон угла , чтобы точка касания была удалена от	вершины	угла на 3 см .
Начертите отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначьте его концы — две	вершины	будущего треугольника — буквами А и С .
а ) от	вершины	К до основания ABCD . б ) между рёбрами AD и ВС , АВ и CD .
Точки А , В и С —	вершины	параллелограмма .
Правильные многоугольники обладают удивительным свойством : все	вершины	правильного многоугольника лежат на одной окружности .
Третья вершина треугольника удалена от одной	вершины	на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
Перпендикуляр , проведённый из	вершины	конуса к плоскости основания , попадает в центр круга .
Рёбра , соединяющие	вершины	оснований , называют боковыми рёбрами призмы .
от	вершины	А до задней грани ; до левой боковой грани .
а ) от	вершины	В до передней грани параллелепипеда ; до его нижней грани .
	Вес	годовалого ребёнка в 3 раза больше , чем новорождённого .
Исходный	вес	ребёнка составляет 100 , т .
За год его	вес	увеличился на 200 .
Вес годовалого ребёнка составил 300 % от его	веса	при рождении .
На упаковке с сахарным песком , взвешенной на электронных	весах	, указана её стоимость : 25,30 р .
Чтобы	возведённые	на равнине стены крепостей и храмов стояли устойчиво , все вертикальные конструкции должны быть перпендикулярны плоскости земли .
Так	возводили	стены зданий ещё древние строители .
Нижняя часть башни — это куб , а средняя её часть —	восьмиугольная призма	, « вырезанная » из такого же куба .
Постройте правильный	восьмиугольник	.
правильного	восьмиугольника	? .
В таком случае говорят , что окружность	вписана	в пятиугольник или что пятиугольник описан вокруг окружности .
Точно так же можно начертить , например , треугольник , описанный вокруг окружности , окружность ,	вписанную	в четырёхугольник .
Постройте окружность ,	вписанную	в этот квадрат .
Правильным называют	выпуклый многогранник	, все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней .
Вы уже знаете , что числовое	выражение	можно вычислить , т .
По условию задачи составим	выражение	.
Это	выражение	задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения п. Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом .
Например ,	выражение	— числовое , а выражение — буквенное .
Что буквенное	выражение	можно превратить в числовое , заменив буквы числами .
Например ,	выражение	означает произведение всех натуральных чисел от 1 до 50 .
Это	выражение	означает , что собеседника просят оставить свой номер телефона или адрес , которые и считаются в этом случае координатами , по которым его можно будет найти .
Например , выражение — числовое , а	выражение	— буквенное .
Подставьте в	выражение	указанные числа и выполните вычисления .
Запишите	выражение	в виде дроби и сократите её .
Не выполняя вычислений , для каждого выражения из первой строки подберите равное ему	выражение	из второй и запишите соответствующие равенства .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы	выражение	которое имеет другой смысл : это сумма числа а и произведения чисел b и с .
Заметим , что , хотя	выражение	записывают без скобок , они в нём подразумеваются .
Прочитайте	выражение	, используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » .
Используя полученный результат , запишите	выражение	, значение которого противоположно данному выражению .
Составьте	выражение	для ответа на вопрос задачи : « Одноклассники подарили Маше на день рождения а гвоздик .
Подставив в	выражение	вместо а и b указанные числа , получим .
Возьмём , например ,	выражение	.
Буквенное	выражение	можно превратить в числовое , если все содержащиеся в нём буквы заменить числами .
Придумайте задачу , на вопрос которой можно ответить , составив	выражение	.
Если все содержащиеся в выражении буквы заменить числами , то получится числовое	выражение	.
Запишите это буквенное	выражение	, если в результате подстановок получились следующие числовые выражения .
Поставьте в	выражение	указанные числа и выполните вычисления .
В	выражение	, содержащее букву а , последовательно подставили три числа .
Рассматривая	выражение	как сумму , переставьте слагаемые в этой сумме всеми возможными способами .
Например ,	выражение	является другим способом записи частного .
Не записывая	выражение	в виде суммы явно , перечислите входящие в эту сумму слагаемые .
Используя рассмотренный приём , замените	выражение	равным , не содержащим скобок , действуя по следующему образцу .
Возьмём	выражение	.
Представьте	выражение	в виде суммы и выполните вычисления .
Представим данное	выражение	в виде суммы .
Чем различаются записи буквенного выражения числового , которое получается при подстановке в это	выражение	?
Подберите значение буквы , при котором	выражение	.
в	выражение	— нельзя вместо с подставлять число 0 .
А в	выражение	пока нельзя подставлять числа , меньшие 10 .
Так же как и в случае частного , отношением называют и значение выражения , и само	выражение	.
Числа , которые можно подставлять в буквенное	выражение	, называют допустимыми значениями букв .
Воспользуемся основным свойством дроби и преобразуем	выражение	так , чтобы в числителе и знаменателе дроби оказались натуральные числа .
Запишите	выражение	для вычисления числа осей симметрии правильного n - угольника .
Говорят , что при это	выражение	не имеет смысла .
О допустимых значениях букв в	выражении	.
Если все содержащиеся в	выражении	буквы заменить числами , то получится числовое выражение .
Если в	выражении	нет букв , то его называют числовым .
Допустимые значения букв в	выражении	.
На значения букв в	выражении	могут накладывать ограничения не только указанные в нём действия , но и условия рассматриваемых ситуаций .
Какие из чисел 0 , 10 , 20 , 25 , 30 являются допустимыми значениями буквы х в	выражении	.
Какие из чисел 0 , 2 , 6 , 10 являются допустимыми значениями буквы а в	выражении	.
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в	выражении	нет скобок , то умножение выполняется раньше сложения .
Вычисление значений буквенных	выражений	.
Запись и чтение математических	выражений	.
Правила конструирования математических	выражений	относятся к синтаксису математического языка .
Запишите каждое из	выражений	с соблюдением правил записи буквенных выражений .
Проиллюстрируйте эти правила на примерах вычисления значений	выражений	.
Сравните значения	выражений	.
Найдите значение каждого из	выражений	.
Из математических	выражений	составляют математические предложения .
При записи	выражений	, как числовых , так и буквенных , важно уметь правильно пользоваться скобками .
Найдите значения	выражений	.
В математике черту дроби используют как знак деления не только для натуральных чисел , но и для более сложных	выражений	.
Нахождение значений	выражений	.
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных »	выражений	, составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Запишите каждое из выражений с соблюдением правил записи буквенных	выражений	.
Чему равно значение каждого из	выражений	? .
Возможность заменять буквы числами — это , можно сказать , главное свойство буквенных	выражений	.
Вычисление числовых значений буквенных	выражений	.
Вычисление значений числовых	выражений	.
Для записи длинных	выражений	в математике часто используют многоточие .
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов — чисел ,	выражений	, точек , фигур и т .
Не производя вычислений , найдите значения следующих	выражений	при тех же значениях а и b .
Вычисление значений	выражений	, содержащих деление на десятичную дробь .
При нахождении значений таких дробей сначала вычисляют значения	выражений	, стоящих в числителе и знаменателе , и только потом выполняют деление .
Определите порядок действий и найдите значения	выражений	.
Вычисление значений	выражений	.
Значение каких	выражений	равно значению произведения ab ?
Кроме числовых	выражений	, мы имеем дело и с буквенными .
Не выполняя вычислений , сравните значения	выражений	.
Используя полученный результат , запишите выражение , значение которого противоположно данному	выражению	.
Математические	выражения	.
Приведите пример числового выражения и буквенного	выражения	.
Так же как и в случае частного , отношением называют и значение	выражения	, и само выражение .
5 Найдите разными способами значение	выражения	.
Приведите пример числового	выражения	и буквенного выражения .
4 Определите порядок действий и найдите значение	выражения	.
Записи и а 0 — это математические	выражения	.
Такие	выражения	, как — – 15 , смысла не имеют .
В этом языке , как и в других , есть свои буквы , слова и	выражения	.
Буквенные	выражения	и числовые подстановки .
Буквенные	выражения	записывают по определённым правилам .
Математические	выражения	— слова математического языка .
Для	выражения	величины отрицательным числом вводят некоторую начальную , нулевую отметку ; например , при измерении температуры за начало отсчёта принимается температура замерзания воды ( при нормальном атмосферном давлении ) , а при измерении глубины морей — уровень Мирового океана .
Часто употребляемые	выражения	.
Не выполняя вычислений , для каждого	выражения	из первой строки подберите равное ему выражение из второй и запишите соответствующие равенства .
Обратите десятичную дробь в обыкновенную и найдите значение	выражения	.
Объясните , как можно найти значение	выражения	.
Для	выражения	величин , которые могут изменяться в двух противоположных направлениях , людям потребовались отрицательные числа , т .
Известно , что . Найдите значение	выражения	.
Запишите в виде буквенного	выражения	произведение пяти последовательных натуральных чисел , начиная с числа .
Запишите в виде математического	выражения	.
Запишите ответ на вопрос задачи в виде	выражения	.
В дальнейшем вы будете часто встречать такие « многоэтажные » дроби , в которых числители и знаменатели — различные	выражения	.
Примите по очереди каждую дробную черту за основную и запишите соответствующие	выражения	.
Найдите значение	выражения	ab .
Обозначьте его какой - нибудь буквой и запишите в виде буквенного	выражения	.
Определите модуль какого из чисел , а или b , больше ; 2 ) положительным или отрицательным является значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	.
Запишите в виде буквенного	выражения	.
Найдите значение	выражения	ab при .
Запишите в виде математического	выражения	: а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Запишите в виде буквенного	выражения	произведение и сумму двух последовательных натуральных чисел .
Из одного буквенного	выражения	можно получить сколько угодно числовых .
Найдите значение буквенного	выражения	.
27 Буквенные	выражения	и числовые подстановки .
положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале	выражения	, записывают без скобок .
Так как , то значение	выражения	равно 35 .
Значение	выражения	.
Будем подставлять вместо буквы х различные числа , например и каждый раз вычислять значение получившегося числового	выражения	.
значение	выражения	равно 0 .
а ) значение	выражения	равно 0 .
Составление	выражения	по условию задачи с буквенными данными .
Его значение называют значением буквенного	выражения	при данных значениях букв .
Найдём значение	выражения	Заменим деление умножением на обратное число .
Найдём значение	выражения	.
Так , для	выражения	— допустимыми являются все числа , кроме 0 .
Чем различаются записи буквенного	выражения	числового , которое получается при подстановке в это выражение ?
Буквы , входящие в состав буквенного	выражения	, не всегда можно заменять какими угодно числами .
Запишите в виде буквенного	выражения	произведение суммы двух чисел на их разность .
Ответ на этот вопрос можно дать в виде буквенного	выражения	.
Таким образом , при и значение	выражения	равно 0,4 .
Запишите это буквенное выражение , если в результате подстановок получились следующие числовые	выражения	.
Измените знак перед каждым слагаемым на противоположный и найдите значение нового	выражения	.
Найдём значение	выражения	при .
Числовое значение буквенного	выражения	.
Укажите значение	выражения	при этих же значениях а , b и с .
Укажите значение	выражения	при этих же значениях букв .
Обратите внимание на то , что в числовых	выражениях	, которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали точку — знак умножения .
Определите по масштабу , во сколько раз реальная высота стен больше , чем их	высота	на чертеже : в 40 раз .
Определите по масштабу , во сколько раз реальная	высота	стен больше , чем их высота на чертеже : в 40 раз .
Длина , ширина и	высота	одного из них — м , а другого .
Чему равна его	высота	?
Чему равна	высота	стен дома , если на чертеже она равна 16 см ? .
Чему равна	высота	цилиндра ? .
Чему равна	высота	цилиндра ?
Сверните из этого же листа цилиндр с другой	высотой	.
Этот перпендикуляр называют	высотой	конуса .
Его называют	высотой	цилиндра .
Высота колонн храма на макете равна 41,7 см. Найдите реальную	высоту	колонн храма , выразите её в метрах , округлите ответ до десятых .
Найдите реальную	высоту	стен и выразите её в метрах .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а длину , ширину и	высоту	буквами а , b и с. Получим формулу .
Например , у параллелепипеда , имеющего различные длину , ширину и	высоту	, три плоскости симметрии .
а ) Андрей задумал число ,	вычел	из него 10 и получил 15,6 . б ) Таня задумала число , прибавила к нему 1,7 и получила 20,7 .
Составьте уравнение по условию задачи : « Коля задумал число , прибавил к нему 7 , результат умножил на 2 и из полученного произведения	вычел	10 .
Ученик задумал число ,	вычел	из него 1 , результат умножил на 5 , к произведению прибавил 10 и получил 15 .
Ученик задумал число , прибавил к нему 7 , эту сумму умножил на 3 , из результата	вычел	15 и получил 30 .
а ) Ученик задумал число , умножил его на 2 , из результата	вычел	15 , полученный ответ разделил на 10 и получил 0 .
Для нахождения суммы надо из 8	вычесть	3 и поставить перед результатом знак числа – 8 , т .
Действительно , если из равных величин ( площади квадрата и площади прямоугольника )	вычесть	поровну ( площадь белого многоугольника ) , то поровну и останется .
Как из одного целого числа	вычесть	другое ? .
Чтобы из одного числа	вычесть	другое , нужно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
В множестве натуральных чисел сложить можно любые два числа , но	вычесть	одно число из другого можно не всегда .
Так , нельзя из числа 3	вычесть	5 .
а ) Сформулируйте правила сложения чисел одного знака ; разных знаков ; найдите сумму чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5	вычесть	число – 10 .
Чтобы найти модуль суммы , нужно из большего модуля	вычесть	меньший .
Чтобы	вычесть	из одного числа другое , нужно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа	вычитаем	меньшее .
В этом пункте вы повторите сложение ,	вычитание	, умножение и деление дробей , а также научитесь выполнять более сложные вычисления .
Вычислите , заменив	вычитание	сложением .
41 Сложение и	вычитание	рациональных чисел .
Как вы знаете ,	вычитание	целых чисел сводится к их сложению .
Заменим	вычитание	числа .
Сложение и	вычитание	рациональных чисел .
Выполните	вычитание	.
Объясните , как заменить сложением	вычитание	числа – 3,5 из числа – 10 .
Замените	вычитание	сложением и вычислите .
Дело в том , что	вычитание	всегда сводится к сложению .
Запишите равенство , заменив	вычитание	сложением .
Сложение и	вычитание	десятичных дробей .
12 Сложение и	вычитание	десятичных дробей .
Затем заменили	вычитание	сложением и вычислили значение получившейся суммы .
выполнить	вычитание	, не обращая внимания на запятые .
Вообще	вычитание	всегда можно свести к сложению .
Найдём	вычитанием	неизвестное слагаемое 2х .
Величину убытка мы также нашли	вычитанием	.
Величину дохода в этом случае мы нашли	вычитанием	.
Так же поступают и при	вычитании	любых рациональных чисел .
Правила	вычитания	чисел .
Сначала приведём дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом	вычитания	дробей с равными знаменателями .
Результатом сложения ,	вычитания	и умножения двух десятичных дробей всегда является десятичная дробь .
Правило	вычитания	.
И в множестве целых чисел действие	вычитания	выполнимо всегда .
Только действия сложения и	вычитания	.
Рассмотренные правила сложения и	вычитания	позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
2 Сформулируйте правила сложения и	вычитания	дробей ; умножения дробей ; деления дробей .
Сначала сформулируем правила сложения и	вычитания	.
Запишите правило	вычитания	с помощью букв .
В 5 классе вы многое узнали о дробях , научились складывать ,	вычитать	, умножать и делить дроби , сравнивать их , отмечать точками на координатной прямой .
Вы уже умеете складывать ,	вычитать	, умножать и делить целые числа .
Дело в том , что с их введением нарушалось древнее правило , гласившее , что нельзя из меньшего числа	вычитать	большее .
Благодаря введению отрицательных чисел мы получили возможность	вычитать	из меньшего числа большее .
Дело в том , что ваши знания о числах ещё не позволяют	вычитать	из меньшего числа большее .
На примерах вычисления суммы и разности чисел 28,4 и 16,65 расскажите , как складывают и	вычитают	десятичные дроби .
По каким правилам складывают и	вычитают	десятичные дроби .
На примере вычисления суммы и разности чисел 5,63 и 4,972 объясните , как складывают и как	вычитают	десятичные дроби .
тетраэдр куб	гексаэдр	октаэдр икосаэдр додекаэдр .
Слово « тетраэдр » переводится с греческого как « четырёхгранник » ( « тетра » — четыре и « хедрон » — грань ) , «	гексаэдр	» — шестигранник .
Вы уже знакомы с очень многими	геометрическими фигурами	, а вот вычислить площадь можете только прямоугольника или квадрата .
Вспомните параллели и меридианы , нанесённые на	глобус	.
Если животное будет поворачиваться вокруг этой прямой на определённый	градус	, то оно снова будет входить в исходный контур .
В самом деле , вполне можно было бы говорить так : « Сегодня ожидается температура от одного	градуса	мороза до одного градуса тепла » .
Одна 1 секунда равна — 1/60 минуты или 1/3600	градуса	.
Градус разделили на 60 равных частей , получили минуту , которая равна — 1/60	градуса	.
В самом деле , вполне можно было бы говорить так : « Сегодня ожидается температура от одного градуса мороза до одного	градуса	тепла » .
Запишите с помощью знаков « + » и « – » сообщения службы погоды : а ) 20	градусов	тепла ; б ) 20 градусов мороза .
Запишите с помощью знаков « + » и « – » сообщения службы погоды : а ) 20 градусов тепла ; б ) 20	градусов	мороза .
Правильным называют выпуклый многогранник , все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число	граней	.
а ) Шар поместили в куб так , что он касается всех	граней	куба .
Среди	граней	призмы различают основания ( их два ) и боковые грани .
В куб с ребром 4 ед . поместили шар , который касается всех	граней	куба .
Сколько вершин , рёбер ,	граней	: а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Цилиндр помещён в параллелепипед так , что касается всех его	граней	.
Сколько	граней	?
Сколько у неё боковых	граней	?
всего	граней	?
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до	грани	CMND равно длине ребра ВС .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые	грани	— правильные треугольники .
а ) от вершины В до передней грани параллелепипеда ; до его нижней	грани	.
Боковые	грани	прямой призмы — прямоугольники .
Среди граней призмы различают основания ( их два ) и боковые	грани	.
Его называют прямоугольным параллелепипедом : все его	грани	являются прямоугольниками .
а ) от вершины В до передней	грани	параллелепипеда ; до его нижней грани .
Правильным называют выпуклый многогранник , все	грани	которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно	грани	AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
от вершины А до задней	грани	; до левой боковой грани .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно	грани	CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
от вершины А до задней грани ; до левой боковой	грани	.
Закрасьте видимые боковые	грани	одним цветом , а видимое основание другим .
в ) У призмы 22	грани	.
Какую форму имеют	грани	призмы ? .
Существует ли призма , у которой 23	грани	? .
от точки С до передней	грани	; до нижней грани .
от точки С до передней грани ; до нижней	грани	.
б ) Какой из отрезков самый длинный : ребро куба ВС , диагональ	грани	АВ или диагональ куба АС ?
Слово « тетраэдр » переводится с греческого как « четырёхгранник » ( « тетра » — четыре и « хедрон » —	грань	) , « гексаэдр » — шестигранник .
Столбчатые диаграммы удобно использовать в тех случаях , когда нужно сравнить некоторые данные ( например , результаты опроса общественного мнения в разных возрастных	группах	по одному и тому же вопросу ) , показать , как меняется со временем интересующее нас явление ( или , как говорят иначе , показать тенденцию ) .
в 2 раза длиннее , чем	данный	?
в 3 раза короче , чем	данный	? .
А если каждую из шести дуг окружности разделить пополам , то мы сможем построить правильный	двенадцатиугольник	.
а ) На рисунке показано , как можно построить правильный	двенадцатиугольник	.
В старинных системах мер , которые не сохранились до нашего времени , чаще всего деление единиц измерения шло по	двоичной	системе , т .
Размеры участка земли на плане составляют его	действительных	размеров .
Он нужен для того , чтобы мы знали , во сколько раз размеры местности , изображённой на карте или плане , меньше её	действительных	размеров .
Выполните	деление	( используйте в качестве образца пример 1 ) .
Поэтому	деление	уголком и оказалось бесконечным .
Что отличает	деление	от других действий с десятичными дробями .
Выполните	деление	.
Умножение и	деление	десятичной дроби на единицу с нулями .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить	деление	на натуральное число .
Поэтому	деление	никогда не закончится , сколько бы мы его ни продолжали .
Если частное десятичных дробей выражается десятичной дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и	деление	натуральных чисел .
В старинных системах мер , которые не сохранились до нашего времени , чаще всего	деление	единиц измерения шло по двоичной системе , т .
Сначала рассмотрим	деление	десятичной дроби на натуральное число .
Этот случай можно считать главным , так как	деление	на десятичную дробь , как вы потом увидите , всегда можно свести к делению на натуральное число .
Разберите , как выполнено	деление	.
После этого продолжали	деление	до тех пор , пока не получили в остатке нуль .
Этот нуль означает , что	деление	закончено .
При нахождении значений таких дробей сначала вычисляют значения выражений , стоящих в числителе и знаменателе , и только потом выполняют	деление	.
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и	деление	натуральных чисел .
Сразу после того как закончено	деление	целой части , в частном ставят запятую .
В таких случаях в частном пишут 0 , после чего ставят запятую и продолжают	деление	.
Выполнив	деление	, получим .
Найдите частное натуральных чисел , выполнив	деление	уголком .
Поэтому , чтобы продолжить	деление	, мы последовательно приписывали к делимому нули и вычисляли следующие цифры частного .
Если частное десятичных дробей выражается десятичной дробью , то	деление	можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
42 Умножение и	деление	рациональных чисел .
Выполнив	деление	уголком , получим , что .
Найдём значение выражения Заменим	деление	умножением на обратное число .
Рассмотрим теперь	деление	на десятичную дробь .
Таким образом , вместо деления на десятичную дробь 0,45 можно выполнить	деление	на число 45 .
Посмотрите , как выполнено	деление	.
Вычисление значений выражений , содержащих	деление	на десятичную дробь .
Умножение и	деление	рациональных чисел .
А умножение и	деление	десятичной дроби на единицу с нулями сводится к переносу запятой .
Умножение и	деление	целых чисел .
Вычислите частное , выполнив	деление	уголком .
Умножение и	деление	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 .
На примерах объясните , как выполняют	деление	чисел одного знака и разных знаков .
Умножение и	деление	натурального числа на 10 , 100 , 1000 и т .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с целыми числами — умножение и	деление	.
Проверьте с помощью умножения , верно ли выполнено	деление	.
38 Умножение и	деление	целых чисел .
Что умножение и	деление	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 сводится к переносу запятой .
13 Умножение и	деление	десятичной дроби .
В этом пункте вы повторите сложение , вычитание , умножение и	деление	дробей , а также научитесь выполнять более сложные вычисления .
Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по и и t умножением находим а ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по	делением	находим и ) .
Иначе обстоит дело с	делением	.
Найдём	делением	неизвестный множитель х .
Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по и и t умножением находим а ) ; ( по s и v	делением	находим t ) ; ( по делением находим и ) .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при	делении	на 3 в остатке 2 .
Сформулируйте правила знаков при умножении и при	делении	.
При	делении	любого целого числа на – 1 получается противоположное число .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при	делении	на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Сформулируйте правила знаков при умножении и	делении	.
При	делении	числа на десятичную дробь можно действовать в соответствии со следующим правилом .
При	делении	любого целого числа на 1 получается это же число .
При	делении	нуля на любое целое число , не равное нулю , в частном получается нуль .
Этот случай легко свести к	делению	на натуральное число , выполнять которое мы уже умеем .
является сигналом к	делению	.
В примерах , рассмотренных выше , для вычисления частного десятичных дробей мы прибегали к	делению	уголком .
Этот случай можно считать главным , так как деление на десятичную дробь , как вы потом увидите , всегда можно свести к	делению	на натуральное число .
Если обыкновенная дробь представляется в виде десятичной , то получить её десятичную запись можно с помощью	деления	уголком .
Построить правильный многоугольник можно так : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки	деления	отрезками .
Для ответа на вопрос задачи мы записали дробь которая выражает частное от	деления	32 000 на 80 000 .
Правила умножения и	деления	рациональных чисел одного знака и разных знаков .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие	деления	выполнимо не всегда .
В математике черту дроби используют как знак	деления	не только для натуральных чисел , но и для более сложных выражений .
Сколько классов содержит разбиение множества натуральных чисел по остаткам от	деления	на 4 ?
Черту дроби рассматривают как другое обозначение действия	деления	двух натуральных чисел .
Таким образом , вместо	деления	на десятичную дробь 0,45 можно выполнить деление на число 45 .
2 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей ; умножения дробей ;	деления	дробей .
Попробуем вычислить его с помощью	деления	уголком .
Сформулируем правило	деления	рациональных чисел .
Можно указать и другие разбиения множества N , например по остаткам от	деления	на 3 .
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет находить результат	деления	на 10 , 100 , 1000 и т .
д. раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и	деления	на степень 10 .
Сформулируйте правило	деления	дроби на дробь .
Вообще если надо получить качественную оценку ситуации , то числа или величины сравнивают с помощью	деления	.
Действительно , вы знаете , что частное от	деления	натурального числа а на натуральное число b равно дроби .
Вы видите , что в процессе	деления	всё время повторяется один и тот же остаток — число 2 .
Наконец , сформулируем правило	деления	дробей .
Многие закономерности , которые были связаны с измерениями длин , площадей и объёмов , необходимыми для строительства зданий , прокладывания каналов ,	деления	земельных участков , торговли , путешествий , стали известны человеку уже очень давно .
Правила	деления	двух целых чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Придумайте другую ломаную , которая	делила	бы квадрат 4X4 на две равные части .
каждая единица	делилась	на две равные части .
В Вавилоне действовала не десятичная , а шестидесятеричная система счисления , поэтому единицы измерения	делили	не на 10 , 100 и т .
Вспомним , как мы	делили	целые числа .
Этот пример отличается от предыдущего тем , что целая часть	делимого	меньше делителя .
Его значение не изменится , если	делимое	и делитель умножить на 100 .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в	делимом	и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите внимание : чтобы получить частное , достаточно в	делимом	и делителе перенести запятую на два знака вправо .
Поэтому , чтобы продолжить деление , мы последовательно приписывали к	делимому	нули и вычисляли следующие цифры частного .
Заметим , что в подобных случаях нуль можно приписывать не к	делимому	, а непосредственно к остатку .
Прямая BD перпендикулярна отрезку АС и	делит	его пополам .
Точка с координатой 0	делит	прямую на два луча .
Она проходит через середину основания , перпендикулярна ему и	делит	противолежащий основанию угол пополам .
Значит , диагональ	делит	параллелограмм на два равных треугольника .
д. , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в	делителе	.
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и	делителе	запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите внимание : чтобы получить частное , достаточно в делимом и	делителе	перенести запятую на два знака вправо .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в	делителе	; выполнить деление на натуральное число .
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В — множество натуральных	делителей	числа 24 .
Пусть А — множество натуральных	делителей	числа 18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Будем последовательно находить общие	делители	числителя и знаменателя и сокращать на них дробь .
Если знаменатель обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой	делитель	, отличный от 2 и 5 , и эта дробь несократима , то её нельзя представить в виде десятичной .
Преобразуйте частное так , чтобы	делитель	был целым числом .
Сначала избавимся от дробей , умножив оба члена отношения на 10 , а затем разделим оба члена нового отношения на их общий	делитель	.
Его значение не изменится , если делимое и	делитель	умножить на 100 .
Чтобы найти модуль частного , надо модуль делимого разделить на модуль	делителя	.
Этот пример отличается от предыдущего тем , что целая часть делимого меньше	делителя	.
На сколько частей	делится	сфера одной большой окружностью ?
Например , её нельзя привести к знаменателю 10 , так как 10 не	делится	на 3 .
В системе измерения времени и углов сохранились древние традиции : например , час	делится	на 60 минут , минута - на 60 секунд .
На сколько частей	делится	окружность одним диаметром ?
Зеркальную симметрию организмов , которая выражается в том , что тело	делится	на правую и левую половины , биологи называют билатеральной .
Наименьшим числом , которое	делится	на каждое из них , является их произведение — 33 .
Будем последовательно перебирать числа , кратные 25 ( большему знаменателю ) , и проверять , делятся ли они на 15 : число 50 не делится на 15 , а число 75 уже	делится	.
Вот примеры математических предложений : 3 ) 87	делится	на 9 ; 4 ) а — чётное число .
Будем последовательно перебирать числа , кратные 25 ( большему знаменателю ) , и проверять , делятся ли они на 15 : число 50 не	делится	на 15 , а число 75 уже делится .
В самом деле , при с = 0 в знаменателе дроби окажется 0 , а на 0 , как вы знаете ,	делить	нельзя .
Вы уже умеете складывать , вычитать , умножать и	делить	целые числа .
В жизни нам часто приходится	делить	ту или иную величину на части , отношение которых равно заданному отношению .
В 5 классе вы многое узнали о дробях , научились складывать , вычитать , умножать и	делить	дроби , сравнивать их , отмечать точками на координатной прямой .
Начертим координатную прямую и выберем такой единичный отрезок , который удобно	делить	на 10 равных частей .
Так как , то будем	делить	0,5 на 3 .
Как обычно , на нуль	делить	нельзя .
Поэтому будем	делить	уголком 10 на 6 до тех пор , пока не узнаем цифру в разряде тысячных .
Приведём дробь — к знаменателю 16 . б ) Общий знаменатель данных дробей должен	делиться	и на 11 , и на 3 .
Секунду	делят	не на 60 равных частей , а на десятые , сотые и тысячные .
п. приняты именно потому , что расстояние	делят	на время .
По какому правилу	делят	десятичную дробь на единицу с нулями ?
Они	делят	плоскость на четыре угла .
По каким правилам десятичную дробь умножают и	делят	на 10 , 100 , 1000 и т . д. ? .
Например , ботаники	делят	деревья на лиственные и хвойные .
Два взаимно перпендикулярных диаметра	делят	окружность на четыре равные части .
Пусть А — множество чисел , которые	делятся	на 4 , но не делятся на 2 .
Пусть А — множество чисел , которые делятся на 4 , но не	делятся	на 2 .
Будем последовательно перебирать числа , кратные 25 ( большему знаменателю ) , и проверять ,	делятся	ли они на 15 : число 50 не делится на 15 , а число 75 уже делится .
Какие из них	делятся	: а ) на 2 ; б ) на 5 ; в ) на 3 ; г ) на 6 ? .
Это означает , что диагонали точкой пересечения	делятся	пополам .
На рисунке большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел ,	делящихся	на 3 .
На рисунке большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел ,	делящихся	на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Например , участок маршрута , идущий от сухого	дерева	к белому камню , можно записать так : ( сухое дерево , 53 ° , 100 м ) .
Например , участок маршрута , идущий от сухого дерева к белому камню , можно записать так : ( сухое	дерево	, 53 ° , 100 м ) .
Постройте	дерево	возможных вариантов к задаче о туристских маршрутах .
Например , ботаники делят	деревья	на лиственные и хвойные .
	Десятиугольника	?
В Вавилоне действовала не	десятичная	, а шестидесятеричная система счисления , поэтому единицы измерения делили не на 10 , 100 и т .
Читается	десятичная	дробь 7,35 так же , как и число 7 : « 7 целых 35 сотых » .
Что	десятичная	система записи натуральных чисел распространяется и на запись дробей .
Однако мы знаем , что	десятичная	дробь не изменится , если справа к ней приписать нули .
Дана	десятичная	дробь 6,73401152 .
Например ,	десятичная	дробь 3,047 читается « 3 целых 47 тысячных » .
Найдите значение степени : 2 ) Сколько цифр после запятой содержит	десятичная	дробь , равная .
Результатом сложения , вычитания и умножения двух десятичных дробей всегда является	десятичная	дробь .
Чтобы запомнить первые цифры	десятичного	приближения числа π , существуют забавные поговорки , например : « Это я знаю и помню прекрасно » .
Таким образом , 7,35 — это	десятичное	представление 35 смешанной дроби .
Какие разряды содержатся в	десятичной	дроби 12,0345 ?
Как выразить проценты	десятичной	дробью ?
Представьте самостоятельно каждую обыкновенную дробь , приведённую в таблице , в виде	десятичной	и запомните результаты .
Главное преимущество	десятичной	записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий над натуральным числами — надо только научиться правильно ставить результате запятую .
Представим дробь — в виде	десятичной	.
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении	десятичной	дроби на десятичную дробь ; на натуральное число .
Найдите частное , представив данные дроби в виде обыкновенных , и , если возможно , выразите ответ	десятичной	дробью .
Всякую ли обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	?
Например , в	десятичной	дроби 0,0105 последний разряд — это десятитысячные .
При округлении	десятичной	дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом десятичных знаков или даже целым числом .
Чтобы перейти от	десятичной	дроби к соответствующей обыкновенной , достаточно её прочитать и записать знаменатель дробной части в явном виде .
Представьте в виде	десятичной	дроби .
13 Умножение и деление	десятичной	дроби .
Выразите	десятичной	дробью 35 % .
Как выразить проценты	десятичной	дробью .
Однако после сокращения дроби он « исчезнет » , и эту дробь можно будет записать в виде	десятичной	.
Чтобы выразить проценты	десятичной	дробью , надо число , стоящее перед знаком процента , умножить на 0,01 , или , что одно и то же , разделить на 100 .
Выразим	десятичной	дробью проценты в следующих предложениях .
Сложение обыкновенной дроби и	десятичной	.
д. , т . е . её нельзя представить в виде	десятичной	.
Поэтому при округлении	десятичной	дроби 21,28 до десятых её и заменяют числом 21,3 .
Если знаменатель обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , и эта дробь несократима , то её нельзя представить в виде	десятичной	.
Способ записи десятичных дробей является естественным обобщением	десятичной	системы счисления , принятой для записи натуральных чисел .
Знаки , стоящие в	десятичной	дроби после запятой , называют десятичными знаками .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде	десятичной	или десятичную в виде обыкновенной .
Найдите приближённое значение частного , выраженное	десятичной	дробью с двумя знаками после запятой .
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить проценты	десятичной	дробью .
Представление процента	десятичной	дробью .
Чтобы перейти от	десятичной	дроби к процентам , надо выполнить обратную операцию .
У каждой	десятичной	дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Выразим долю каждого газа	десятичной	дробью .
Итак , чтобы перейти от процентов к	десятичной	дроби , надо число процентов разделить на 100 .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую	десятичной	дроби 0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть единичного отрезка , которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Умножение и деление	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 .
Не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде	десятичной	.
Что произошло с этой	десятичной	дробью ? .
В	десятичной	дроби с « длинным хвостом » зачеркнули две последние цифры .
Но для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную дробь заменяют близкой ей	десятичной	дробью .
Сравнение обыкновенной дроби и	десятичной	.
д. Что происходит с этим числом , если оно является : а ) натуральным числом ; б )	десятичной	дробью ? .
Приведите пример , когда в результате округления	десятичной	дроби получается целое число .
Выразим проценты	десятичной	дробью .
Дробь - в виде	десятичной	дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 .
Выразите приближённо обыкновенную дробь	десятичной	с одним , двумя , тремя знаками после запятой .
Чтобы построить точку , соответствующую	десятичной	дроби 0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
а ) Выразите	десятичной	дробью каждую величину .
Выразите время в часах сначала обыкновенной дробью , а затем , если можно ,	десятичной	.
Поэтому любое натуральное число можно представить в виде	десятичной	дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
Выразите время в часах и , если возможно , запишите ответ в виде	десятичной	дроби .
Если в	десятичной	дроби последние цифры — нули , то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Если к	десятичной	дроби приписать справа какое угодно количество нулей , то получится дробь , равная данной .
В	десятичной	дроби с « длинным хвостом » среди цифр после запятой есть один нуль ( все остальные цифры не нули ) .
Образец . б ) нельзя представить в виде	десятичной	дроби дробь .
Сравните получившееся число с исходным , если этот нуль стоял : а ) в конце	десятичной	дроби ; б ) не в конце десятичной дроби .
Выразите	десятичной	дробью : 124 % , 175 % , 105 % , 250 % .
а ) можно представить в виде	десятичной	дроби дробь .
Докажите , что можно представить в виде	десятичной	дроби .
Понятно , что нули , записанные в конце	десятичной	дроби , можно отбросить .
Выразите	десятичной	дробью .
Сколько цифр после запятой должно содержаться в	десятичной	дроби , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 1000 ?
д. к	десятичной	?
Как , например , записать в виде	десятичной	дроби число .
Как записать десятичную дробь , равную данной	десятичной	дроби ?
Запишите в виде	десятичной	дроби .
б ) В каком случае несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде	десятичной	? .
а ) Какую обыкновенную дробь можно записать в виде	десятичной	? .
Выразите	десятичной	дробью , а затем обыкновенной .
Представьте дробь в виде	десятичной	: Образец .
Вы могли увидеть точку в записи	десятичной	дроби , пользуясь калькулятором или компьютером .
Чему равен знаменатель обыкновенной дроби , если в её	десятичной	записи содержится 2 знака после запятой ?
Запишите в виде	десятичной	дроби число .
В знаменателе этой дроби 5 нулей , поэтому в	десятичной	дроби должно быть 5 цифр после запятой .
Сравните получившееся число с исходным , если этот нуль стоял : а ) в конце десятичной дроби ; б ) не в конце	десятичной	дроби .
Определите в виде	десятичной	( если да , то запишите ) .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент	десятичной	дробью можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
Дробь можно представить в виде	десятичной	.
Деление уголком	десятичной	дроби на натуральное число .
Представьте дробь в виде	десятичной	двумя способами .
д. с помощью переноса запятой в любом случае : при необходимости к	десятичной	дроби слева нужно приписать вспомогательные нули .
Что умножение и деление	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 сводится к переносу запятой .
Деление	десятичной	дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
При этом в произведении нужно отделять запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся	десятичной	дробью .
Выразите это частное приближённо	десятичной	дробью с двумя знаками после запятой .
Какие разряды используются для	десятичной	записи дробных чисел .
Умножение	десятичной	дроби на натуральное число .
Вы видите , что мы смогли представить обыкновенную дробь в виде	десятичной	новым способом , не домножая знаменатель на .
Умножение	десятичной	дроби на единицу с нулями .
Деление	десятичной	дроби на единицу с нулями .
В настоящее время с помощью компьютера найдено приближённое значение π , выраженное	десятичной	дробью , содержащей более триллиона знаков после запятой .
Умножение и деление	десятичной	дроби на единицу с нулями .
Если обыкновенная дробь представляется в виде	десятичной	, то получить её десятичную запись можно с помощью деления уголком .
Как изменится положение запятой в	десятичной	дроби , если .
Представьте дробь — в виде	десятичной	дроби двумя способами .
Чтобы записать . обыкновенную дробь в виде	десятичной	, нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и т .
Однако не всякое число можно записать и в виде	десятичной	, и в виде обыкновенной дроби .
Если число выражено	десятичной	дробью , то его всегда можно представить и в виде обыкновенной дроби .
В первом множителе две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в знаменателе дроби — получилось число с тремя нулями , а в соответствующей	десятичной	дроби оказалось три цифры после запятой .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде	десятичной	дроби .
Это и понятно : ведь умножение	десятичной	дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Сначала рассмотрим деление	десятичной	дроби на натуральное число .
Деление	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 и т .
Умножение	десятичной	дроби на десятичную .
Деление	десятичной	дроби на степень 10 .
Умножение	десятичной	дроби на обыкновенную .
Умножение	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 и т .
дробь - можно представить в виде	десятичной	.
Как проценты выразить	десятичной	дробью ?
Выполните умножение и , если возможно , представьте ответ в виде	десятичной	дроби .
Как определяют положение запятой в произведении	десятичной	дроби и натурального числа ?
Выразите	десятичной	дробью : а ) 39 % ; б ) 50 % ; в ) 6 % ; г ) 230 % .
Запишите в виде	десятичной	дроби и прочитайте её .
Таким образом , частное двух десятичных дробей не всегда можно выразить	десятичной	дробью .
Случай , когда частное выражается	десятичной	дробью .
В первом случае мы получили дробь которую можно представить в виде	десятичной	дроби : = 0,2 .
Если знаменатель обыкновенной дроби не имеет никаких простых делителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	.
А умножение и деление	десятичной	дроби на единицу с нулями сводится к переносу запятой .
Деление уголком	десятичной	дроби на десятичную .
Вспомните : к	десятичной	дроби можно приписывать справа любое число нулей , при этом получается дробь , равная данной .
В	десятичной	дроби после запятой столько цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Если частное десятичных дробей выражается	десятичной	дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
Рассмотрим теперь деление на	десятичную	дробь .
а ) В числе 54038 отделите запятой одну цифру справа и прочитайте получившуюся	десятичную	дробь .
Перевод обыкновенной дроби в	десятичную	.
Если обыкновенная дробь представляется в виде десятичной , то получить её	десятичную	запись можно с помощью деления уголком .
Последовательно сдвигайте эту запятую на одну цифру влево и каждый раз читайте	десятичную	дробь .
Таким образом , вместо деления на	десятичную	дробь 0,45 можно выполнить деление на число 45 .
Рассмотрите	десятичную	дробь 687,02569 .
Как записать	десятичную	дробь , равную данной десятичной дроби ?
Прочитайте	десятичную	дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби : а ) 0,9 ; б)0,123 ; в ) 0,03 ; г ) 0,027 ; д ) 10,1 ; е ) 12,10002 ; ж ) 6,009 .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых : а ) натуральное число 3205 ; б )	десятичную	дробь 0,3205 .
Запишите частное в виде обыкновенной дроби и , если возможно , обратите её в	десятичную	.
Обратите	десятичную	дробь в обыкновенную и найдите значение выражения .
До какого разряда округляли	десятичную	дробь , если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Найдите какую - нибудь	десятичную	дробь , заключённую между : а ) 2,7 и 2,8 ; б ) 0,8 и 0,9 .
Это столь привычное сегодня удивительное число позволило им создать	десятичную	систему записи чисел и разработать правила операций над записанными так числами .
Этот случай можно считать главным , так как деление на	десятичную	дробь , как вы потом увидите , всегда можно свести к делению на натуральное число .
Запишите	десятичную	дробь : а ) нуль целых одна десятая ; б ) нуль целых сорок семь сотых .
Дробь нельзя обратить в	десятичную	, поэтому запишем в виде обыкновенной дроби число 0,27 .
Чтобы перемножить	десятичную	дробь и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Отделив запятой справа три цифры , получили	десятичную	дробь 28,200 , т .
Верно ли , что . Замените данную	десятичную	дробь равной наиболее простого вида : а ) 3,6000 ; б ) 70,0200 ; в ) 0,8700;г )
Выразите	десятичную	дробь приближённо в процентах , предварительно округлив её до сотых : а ) 0,843 ; б ) 0,1391 ; в ) 0,5016 ; г ) 0,0449 .
Запишите какую - нибудь	десятичную	дробь с четырьмя знаками после запятой и прочитайте её .
	Десятичную	дробь 282,0954 до десятых ; до сотых ; до тысячных .
А дробь полученная во втором случае , в	десятичную	не обращается .
10 Перевод обыкновенной дроби в	десятичную	.
Как	десятичную	дробь выразить в процентах ?
Деление уголком десятичной дроби на	десятичную	.
Умножение десятичной дроби на	десятичную	.
Как выразить	десятичную	дробь в процентах ?
Как выразить	десятичную	дробь в процентах .
Чтобы умножить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 и т .
По какому правилу делят	десятичную	дробь на единицу с нулями ?
Представьте	десятичную	дробь в виде суммы разрядных слагаемых : а ) 0,149 ; б ) 2,36 ; в ) 15,03 .
Читайте каждую получившуюся	десятичную	дробь .
По какому правилу умножают	десятичную	дробь на единицу с нулями ?
На примере вычисления частного расскажите , как можно разделить уголком	десятичную	дробь на десятичную .
Таким образом , чтобы выразить	десятичную	дробь в процентах , надо эту дробь умножить на 100 .
Выразив	десятичную	дробь 1,6 в процентах , получим 160 % .
По каким правилам	десятичную	дробь умножают и делят на 10 , 100 , 1000 и т . д. ? .
В каком случае данная обыкновенная дробь обращается в	десятичную	.
Чтобы разделить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 и т .
Обратите обыкновенную дробь в	десятичную	, разделив уголком числитель на знаменатель .
Как можно сравнить обыкновенную дробь и	десятичную	.
Чтобы сложить обыкновенную дробь и	десятичную	, их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или	десятичную	в виде обыкновенной .
На примере вычисления частного расскажите , как можно разделить уголком десятичную дробь на	десятичную	.
Как можно сложить	десятичную	дробь и обыкновенную .
Вычисление значений выражений , содержащих деление на	десятичную	дробь .
Чтобы разделить число на	десятичную	дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
При делении числа на	десятичную	дробь можно действовать в соответствии со следующим правилом .
Как умножают десятичную дробь на	десятичную	, на натуральное число , на обыкновенную дробь .
Чтобы выразить в процентах обыкновенную дробь , надо сначала превратить её в	десятичную	.
Как умножают	десятичную	дробь на десятичную , на натуральное число , на обыкновенную дробь .
д. , которые имели большое практическое значение , они стали применять так называемую	десятичную	запись , похожую на запись натуральных чисел .
Вычислите , обратив обыкновенную дробь в	десятичную	.
Будем умножать	десятичную	дробь 6,735 на 10 , 100 , 1000 и т .
Новый способ перевода обыкновенной дроби в	десятичную	.
Вычислите , обратив	десятичную	дробь в обыкновенную .
А вот сумму дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в	десятичную	не обращается .
это частное равно дроби , которая в	десятичную	не обращается .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на	десятичную	дробь ; на натуральное число .
Деление на	десятичную	дробь в общем случае .
Всякую ли	десятичную	дробь можно представить в виде обыкновенной ?
Выполните прикидку результата , округлив	десятичные	дроби до единиц , а затем найдите точный ответ .
а ) Найдите все	десятичные	дроби с тремя знаками после запятой , при округлении которых до сотых получается число 3,27 .
Как округляют	десятичные	дроби .
Вы уже умеете сравнивать две обыкновенные и две	десятичные	дроби .
В Европе	десятичные	дроби в XVI в .
На примере вычисления суммы и разности чисел 5,63 и 4,972 объясните , как складывают и как вычитают	десятичные	дроби .
Равные	десятичные	дроби .
Сравним	десятичные	дроби 2,7 и 3,1 .
Сравним	десятичные	дроби 2,5081 и 2,508 .
Например , две	десятичные	дроби 0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число .
Сравним	десятичные	дроби 1,8 и 1,42 .
А	десятичные	дроби , как и натуральные числа , сравнивают по разрядам .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать	десятичные	дроби при выполнении процентных вычислений .
Запишите все	десятичные	дроби , которые можно составить из цифр 1 , 2 и 3 , соблюдая следующее условие : каждая цифра используется в записи числа не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
Напишите три	десятичные	дроби , каждая из которых : а ) больше , чем 9,61 , но меньше , чем 9,62 ; б ) меньше , чем 0,0001 .
Вычитать	десятичные	дроби также можно в столбик .
Приведите дроби к одному из знаменателей 10 , 100 или 1000 и запишите соответствующие	десятичные	дроби .
Запишите три	десятичные	дроби , равные числу 5,070 .
Прошли века , прежде чем	десятичные	дроби приобрели современный вид .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных дробей , назвал	десятичные	доли десятыми , десятичными секундами , десятичными терциями , десятичными кварталами и т .
Используя	десятичные	дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы длины .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение —	десятичные	дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Проценты и	десятичные	дроби .
По каким правилам складывают и вычитают	десятичные	дроби .
Их	десятичные	представления полезно помнить .
Известны	десятичные	приближения числа π с очень большим числом десятичных знаков .
Выпишите все	десятичные	дроби с одним знаком после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между .
Чтобы понять , как складывают	десятичные	дроби , обратимся к примеру .
На примерах вычисления суммы и разности чисел 28,4 и 16,65 расскажите , как складывают и вычитают	десятичные	дроби .
Поэтому , чтобы сложить эти	десятичные	дроби , необязательно обращать их в обыкновенные .
Но для практических расчётов	десятичные	дроби удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью .
д. , а	десятичные	дроби можно округлять до единиц , десятых , сотых и т .
В самом деле ,	десятичные	дроби — это другая форма записи соответствующих обыкновенных дробей , а для обыкновенных дробей эти свойства выполняются .
Теперь вы сможете использовать при решении таких задач	десятичные	дроби .
Прочитайте	десятичные	дроби .
Как сравнивают	десятичные	дроби .
Перейдём от обыкновенных дробей к	десятичным	, а затем к процентам .
Но в такой форме ответ неудобен , поэтому перейдём к	десятичным	дробям .
Совместные действия с обыкновенными и	десятичными	дробями .
Удобство обращения с	десятичными	дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Мы уже говорили о том , что с	десятичными	дробями работать легче , чем с обыкновенными .
Что отличает деление от других действий с	десятичными	дробями .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять	десятичными	дробями и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных дробей , назвал десятичные доли десятыми ,	десятичными	секундами , десятичными терциями , десятичными кварталами и т .
Такие записи называют	десятичными	дробями .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных дробей , назвал десятичные доли десятыми , десятичными секундами , десятичными терциями ,	десятичными	кварталами и т .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над	десятичными	дробями почти не отличаются от действий над натуральным числами — надо только научиться правильно ставить результате запятую .
Действия с	десятичными	дробями .
Знаки , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют	десятичными	знаками .
Какие дроби называют	десятичными	.
9 Какие дроби называют	десятичными	.
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных дробей , назвал десятичные доли десятыми , десятичными секундами ,	десятичными	терциями , десятичными кварталами и т .
Эти действия с	десятичными	дробями мы можем выполнять практически так же , как с натуральными числами .
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к дроби или от дроби к процентам , вычислять с	десятичными	дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Разные действия с	десятичными	дробями .
Действия с обыкновенными и	десятичными	дробями .
Число 21,28 заключено между	десятичными	дробями 21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Умножение	десятичных	дробей , как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
Найдём произведение	десятичных	дробей 3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными дробями .
14 Умножение	десятичных	дробей .
Таким образом ,	десятичных	знаков в произведении столько же , сколько их в множителях вместе .
Известны десятичные приближения числа π с очень большим числом	десятичных	знаков .
Рассмотренный пример подсказывает нам правило умножения	десятичных	дробей .
Чтобы найти произведение двух	десятичных	дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
В примерах , рассмотренных выше , для вычисления частного	десятичных	дробей мы прибегали к делению уголком .
Частное	десятичных	дробей всегда можно найти , перейдя к обыкновенным дробям .
Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных	десятичных	дробей убрать запятые .
Чем отличается округление	десятичных	дробей от округления натуральных чисел ? .
При умножении	десятичных	дробей в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
Результатом сложения , вычитания и умножения двух	десятичных	дробей всегда является десятичная дробь .
15 Деление	десятичных	дробей .
Коля и Петя выполняли задания на умножение	десятичных	дробей .
Запишите в виде	десятичных	дробей следующие обыкновенные дроби .
Сколько	десятичных	дробей у вас получилось ? .
Таким образом , частное двух	десятичных	дробей не всегда можно выразить десятичной дробью .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько	десятичных	знаков содержится в обоих множителях вместе .
Изображение	десятичных	дробей точками на координатной прямой .
Поэтому выполним умножение в	десятичных	дробях .
Если частное	десятичных	дробей выражается десятичной дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
Тогда можно воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом умножения	десятичных	дробей .
При этом в произведении нужно отделять запятой столько	десятичных	знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Правило умножения	десятичных	дробей применимо и в том случае , когда один из множителей — натуральное число .
Таким образом , для умножения	десятичных	дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства , а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
На примере вычисления произведения расскажите , как находится произведение двух	десятичных	дробей .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3	десятичных	знака .
В самом деле , заменим каждую из этих	десятичных	дробей обыкновенной дробью , получим .
16 Округление	десятичных	дробей .
11 Сравнение	десятичных	дробей .
б ) Найдите наибольшую из	десятичных	дробей с четырьмя знаками после запятой , при округлении которой до сотых получается число 8,65 .
Поразрядное сравнение	десятичных	дробей .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление	десятичных	дробей ? .
Чтобы сравнить дроби 2,5081 и 2,508 , у которых число	десятичных	знаков различно , можно рассуждать так : уравняем число разрядов , приписав ко второй дроби справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
Сравнение и упорядочивание	десятичных	дробей .
Проиллюстрируйте правило округления	десятичных	дробей на примере округления дроби 0,2835 до сотых и до тысячных .
Как решать задачи на проценты с использованием	десятичных	дробей .
Выразите проценты , приведённые на диаграмме , в	десятичных	дробях .
Правило округления	десятичных	дробей .
Выпишите дроби , которые можно представить в виде	десятичных	.
Запишите : а ) пять отрицательных дробей со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных	десятичных	дробей с одним знаком после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
Сложение и вычитание	десятичных	дробей .
При округлении десятичной дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом	десятичных	знаков или даже целым числом .
Умножение	десятичных	дробей .
Запишите в виде	десятичных	дробей .
Деление	десятичных	дробей .
При использовании	десятичных	дробей в практических расчётах их обычно округляют .
Так же обстоит дело и при записи чисел в виде	десятичных	дробей .
Чтобы найти разность	десятичных	дробей , нужно .
Вычитание	десятичных	дробей .
если количество	десятичных	знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули .
При сложении	десятичных	дробей руководствуются следующим правилом .
Вычисление частного	десятичных	дробей в общем случае .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число	десятичных	знаков , приписав к дроби 3,5 справа цифру 0 .
Найдём сумму	десятичных	дробей 3,44 и 7,28 .
Сложение	десятичных	дробей .
12 Сложение и вычитание	десятичных	дробей .
Представление обыкновенных дробей в виде	десятичных	.
Выберите дроби , которые можно представить в виде	десятичных	.
Округление	десятичных	дробей .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из	десятичных	дробей убрать запятые .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию	десятичных	дробей , назвал десятичные доли десятыми , десятичными секундами , десятичными терциями , десятичными кварталами и т .
Для сложения	десятичных	дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства .
Сравнение	десятичных	дробей .
Для записи	десятичных	дробей используют новые разряды , в которых указывают доли единицы .
Способ записи	десятичных	дробей является естественным обобщением десятичной системы счисления , принятой для записи натуральных чисел .
Впервые учение о	десятичных	дробях в XV в . изложил среднеазиатский учёный аль - Каши в книге « Ключ арифметики » .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество	десятичных	дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Изображение	десятичных	дробей точками координатной прямой .
в разряде	десятков	?
Например , в числе 2408 содержится 2 тысячи , 4 сотни , 0	десятков	и 8 единиц .
натуральное число 2 820 954 до	десятков	; до сотен ; до тысяч .
Петя , округляя число 31526 до	десятков	, записал .
( Ответ округлите до	десятков	миллионов . ) .
Ответ округляйте до	десятков	.
( Полученные числовые значения округлите до	десятков	. ) .
Натуральные числа округляют до	десятков	, сотен , тысяч и т .
Постройте параллелограмм по заданным сторонам и	диагонали	.
Диагонали прямоугольника равны , а	диагонали	квадрата не только равны , но и перпендикулярны друг другу .
а ) Постройте прямоугольник ,	диагонали	которого равны 6 см. Постройте другой прямоугольник с такими же диагоналями , не равный первому .
Таким свойством обладают	диагонали	только параллелограмма .
а ) Начертите два разных параллелограмма ,	диагонали	которых равны 4 см и 6 см . б )
Начертите ромб ,	диагонали	которого равны 4 см и 6 см .
Постройте параллелограмм ,	диагонали	которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под углом 30 .
Измерьте длину диагонали прямоугольника на своём чертеже и найдите длину	диагонали	данного прямоугольника .
Возьмите квадрат и разрежьте его по одной	диагонали	.
Измерьте длину	диагонали	прямоугольника на своём чертеже и найдите длину диагонали данного прямоугольника .
в ) от вершины К до	диагонали	основания АС ? .
б ) Какой из отрезков самый длинный : ребро куба ВС ,	диагональ	грани АВ или диагональ куба АС ?
б ) Какой из отрезков самый длинный : ребро куба ВС , диагональ грани АВ или	диагональ	куба АС ?
а ) Что больше :	диагональ	прямоугольника или его сторона ? .
Каждая	диагональ	заняла своё прежнее место .
Значит ,	диагональ	делит параллелограмм на два равных треугольника .
Является ли	диагональ	осью симметрии прямоугольника ? .
Радиус основания цилиндра равен 5 см. Чему равен	диаметр	шара ?
Самая большая параллель — это экватор , его	диаметр	равен диаметру Земли .
Известно , что во всех цирках мира	диаметр	арены равен 13 м .
Найдите длины рёбер этого многогранника , если	диаметр	каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса .
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и	диаметр	.
Обозначим длину окружности буквой С , а	диаметр	буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то можно записать .
Ребро куба равно 6 см. Чему равен	диаметр	шара ? .
Обозначим длину окружности буквой С , а	диаметр	буквой d.
а ) Вычислите длину окружности ,	диаметр	которой равен 10 см ; 2,5 м . б )
Чему равна длина окружности ,	диаметр	которой равен 1 ? .
Затем измерьте линейкой	диаметр	донышка .
Выполните задание : 1 ) Начертите окружность с центром в точке О и проведите два перпендикулярных	диаметра	АС и BD .
Иными словами , длина окружности примерно в 3 раза больше её	диаметра	.
Найдите отношение длины окружности к длине	диаметра	.
Два взаимно перпендикулярных	диаметра	делят окружность на четыре равные части .
тремя	диаметрами	? .
двумя	диаметрами	?
Сколько шаров	диаметром	1 см войдёт в коробку с ребром 4 см ?
Найдём , какой примерно длины потребуется бордюр для ограждения клумбы , имеющей форму круга с	диаметром	, равным 4 м .
На сколько частей делится окружность одним	диаметром	?
Так как отношение длины окружности к	диаметру	равно π , то можно .
Число , выражающее отношение длины окружности к её	диаметру	, принято обозначать греческой буквой π — первой буквой слова « периферия » ( греч .
Обозначим длину окружности буквой С , а диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к	диаметру	равно π , то можно записать .
Отношение длины окружности к её	диаметру	— величина постоянная , она не зависит от размеров окружности .
Их диаметры равны	диаметру	шара .
Самая большая параллель — это экватор , его диаметр равен	диаметру	Земли .
Когда параллели приближаются к полюсам , их	диаметры	уменьшаются .
В таблице даны	диаметры	d ( в м ) различных круглых салфеток .
Их	диаметры	равны диаметру шара .
Золотое сечение - это отношение	длин	отрезков , примерно равное 5:3 .
Многие закономерности , которые были связаны с измерениями	длин	, площадей и объёмов , необходимыми для строительства зданий , прокладывания каналов , деления земельных участков , торговли , путешествий , стали известны человеку уже очень давно .
Какими бы ни были конкретные значения	длин	сторон треугольника , чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Математики Древней Греции обнаружили , что для измерения	длин	отрезков не хватает даже дробных чисел .
Начертите окружности радиусами 2 см и 4 см. Во сколько раз	длина	второй окружности больше длины первой ?
Расстояние — это всегда	длина	кратчайшего пути .
Чему равна	длина	отрезка , который на 10 м длиннее данного ?
Во сколько раз при этом уменьшается	длина	её стороны ?
Чему равна	длина	каждой части ? .
Начертите отрезок АВ ,	длина	которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых составляют 80 % , 150 % , 200 % , 220 % длины отрезка АВ .
Пусть	длина	стороны равностороннего треугольника равна а .
Иными словами ,	длина	окружности примерно в 3 раза больше её диаметра .
На чертеже , выполненном в некотором масштабе , она равна 25 см. Чему равна	длина	фасада этого дома , если на чертеже она изображается отрезком , равным 35 см ? .
Длина первой грядки на 0,9 м больше длины третьей грядки , а	длина	второй грядки на 0,55 м больше длины третьей грядки .
Как надо провести прямую , пересекающую окружность , чтобы	длина	отрезка , соединяющего точки пересечения , была наибольшей ? .
Сколько метров шоссе отремонтировано , если	длина	всего участка равна 7 км ? .
Величина , от которой вычисляют проценты ( например , сумма денег на банковском вкладе ,	длина	участка ремонтируемой дороги , количество компьютеров , выпускаемых фирмой , число учащихся в классе ) , составляет 100 своих сотых долей , т .
Чему равна	длина	окружности , диаметр которой равен 1 ? .
Чему равна	длина	каждой части ?
Его	длина	и есть расстояние между точками А и В .
Отношение стоимости товара к его количеству ( массе ,	длине	, числу штук и пр. ) — это цена товара .
Найдите отношение длины окружности к	длине	диаметра .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно	длине	ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
Расстояние от центра О до прямой равно	длине	перпендикуляра ОМ .
Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к	длине	соответствующего отрезка на местности .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно	длине	ребра ВС .
Даны четыре отрезка	длиной	2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков ? .
Отрезок	длиной	36 см разделили на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
а ) От верёвки	длиной	2 м 40 см отрезали - её длины .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок	длиной	3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
а ) Проволоку	длиной	24 см согнули в прямоугольник .
а ) Сколько кусков ленты по 2,5 м каждый получится из мотка	длиной	23 м ? .
б ) Чтобы сшить кухонные полотенца , хозяйка отрезала от куска полотна	длиной	5,5 м несколько кусков по 0,65 м каждый .
У неё остался кусок	длиной	0,95 м .
Бригада дорожных строителей проложила асфальтовую дорогу	длиной	9 км за четыре месяца .
Отметьте отрезок АВ	длиной	5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
а ) Доску	длиной	6,5 м распилили на 6 одинаковых частей .
Ленту	длиной	2,5 м разрезали на 8 равных частей .
Найдите	длину	окружности , радиус которой равен 10 см .
Измените	длину	одной из сторон так , чтобы треугольник можно было построить .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а	длину	, ширину и высоту буквами а , b и с. Получим формулу .
Чтобы получить формулу , по которой можно вычислить	длину	окружности , проведите такой эксперимент .
Запишите формулу периметра равностороннего треугольника , обозначив	длину	его стороны буквой с .
Например , у параллелепипеда , имеющего различные	длину	, ширину и высоту , три плоскости симметрии .
Измерьте	длину	диагонали прямоугольника на своём чертеже и найдите длину диагонали данного прямоугольника .
В результате вы получите	длину	окружности , ограничивающей дно стакана .
Как вычислить	длину	окружности
Обозначим	длину	окружности буквой С , а диаметр буквой d.
Найдите	длину	каждой части и округлите результат до сотых долей метра .
Измерьте длину диагонали прямоугольника на своём чертеже и найдите	длину	диагонали данного прямоугольника .
Обозначьте	длину	его ребра какой - нибудь буквой и составьте формулу объёма куба .
Найдите	длину	меньшей части провода .
Фигуры , ограниченные окружностями и их дугами . Найдите	длину	дуги окружности , выделенной на рисунке жирной линией .
Вычислите	длину	окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м . а ) Вычислите площадь круга , радиус которого равен 100 м ; 20 см . б )
Выразите	длину	какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и длины двух других рёбер .
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2	длину	каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Какую	длину	будет иметь другая сторона этого прямоугольника , если одна из сторон равна 8 см ?
Найдите	длину	дорожки и площадь стадиона .
Вычислите	длину	экватора ( ответ округлите до тысяч километров ) .
а ) Вычислите	длину	окружности , диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б )
Вычислите	длину	третьего ребра параллелепипеда , если .
Найдите	длину	отрезка , если его длины равны м . а )
Обозначим	длину	окружности буквой С , а диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то можно записать .
Оберните стакан ниткой и , развернув нитку , измерьте её	длину	линейкой .
в )	длину	ломаной AKNC .
Обозначьте	длину	его стороны какой - нибудь буквой и составьте формулы периметра и площади квадрата .
Найдите	длину	оставшейся части .
Подставим d = 4 м в формулу	длины	окружности и возьмём π 3,14 , получим .
Выразите длину какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и	длины	двух других рёбер .
29 Формулы	длины	окружности , площади круга и объёма шара .
Начертите окружности радиусами 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше	длины	первой ?
Используя десятичные дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы	длины	.
Отношение	длины	окружности к её диаметру — величина постоянная , она не зависит от размеров окружности .
Чему равна площадь квадрата , если	длины	сторон прямоугольника равны 1,8 см и 3,4 см ? .
Вам известны соотношения , с помощью которых одни единицы	длины	выражаются через другие , более мелкие .
Если в формулу вместо d подставить 2 г , то получим другую формулу	длины	окружности .
Именно так обстоит дело с единицами	длины	и массы .
Найдём , какой примерно	длины	потребуется бордюр для ограждения клумбы , имеющей форму круга с диаметром , равным 4 м .
Обозначим периметр треугольника буквой Р , а	длины	его сторон , выраженные в одних и тех же единицах , буквами а , b и с. Тогда .
Это формула	длины	окружности .
а ) От верёвки длиной 2 м 40 см отрезали - её	длины	.
Действительно , чтобы получить правильный результат , надо выразить эти	длины	в одних единицах , например в сантиметрах .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых составляют 80 % , 150 % , 200 % , 220 %	длины	отрезка АВ .
Как построить треугольник , если известны	длины	его сторон .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от нуля отрезки ,	длины	которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Найдите отношение	длины	окружности к длине диаметра .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки ,	длины	которых составляют 80 % , 150 % , 200 % , 220 % длины отрезка АВ .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью ,	длины	сторон которых ( в см ) выражаются целыми числами ? .
Так как отношение	длины	окружности к диаметру равно π , то можно .
Запишите формулу периметра прямоугольника (	длины	сторон обозначьте буквами а и Ь ) .
Если это одноимённые величины —	длины	, площади , массы и т .
Пусть а , 6 , с —	длины	сторон треугольника .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же	длины	, получим точку – 3,5 .
Чтобы найти площадь прямоугольника , нужно перемножить	длины	его смежных сторон .
Чему равны	длины	сторон прямоугольника , который является частью развёртки ?
Масштабом называют отношение	длины	отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить	длины	смежных сторон и результат умножить на 2 .
Длина первой грядки на 0,9 м больше длины третьей грядки , а длина второй грядки на 0,55 м больше	длины	третьей грядки .
Обозначим	длины	смежных сторон прямоугольника буквами а и b. Тогда .
Найдите	длины	рёбер этого многогранника , если диаметр каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса .
Обозначим длину окружности буквой С , а диаметр буквой d. Так как отношение	длины	окружности к диаметру равно π , то можно записать .
Число , выражающее отношение	длины	окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π — первой буквой слова « периферия » ( греч .
Определите	длины	сторон зелёного треугольника .
Найдите длину отрезка , если его	длины	равны м . а )
Запишите формулу для вычисления	длины	I проволоки , которая потребуется на изготовление каркаса правильной n - угольной призмы с боковым ребром , равным а см , и ребром основания , равным b см .
Запишите формулы	длины	окружности и площади круга .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица	длины	на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Формулы	длины	окружности , площади круга и объёма шара .
Боковое ребро параллелепипеда равно а см , ребро основания равно b см. Запишите формулу для вычисления : а )	длины	l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса ; б ) площади S поверхности параллелепипеда .
Запишите , чему равны	длины	его сторон .
Формула	длины	окружности .
Длина первой грядки на 0,9 м больше	длины	третьей грядки , а длина второй грядки на 0,55 м больше длины третьей грядки .
тетраэдр куб гексаэдр октаэдр икосаэдр	додекаэдр	.
Выберите одну из развёрток , перенесите её , увеличив , на лист бумаги и склейте из неё многогранник : тетраэдр , октаэдр , куб , икосаэдр ,	додекаэдр	.
Четыре из них олицетворяли стихии : тетраэдр — огонь , куб — землю , икосаэдр — воду , октаэдр — воздух , а пятый ,	додекаэдр	, — всё мироздание ;
Если	домножить	его на три пятёрки , то получится один из знаменателей указанного ряда — число 1000 , т .
В примерах , рассмотренных выше , для вычисления частного десятичных	дробей	мы прибегали к делению уголком .
Сравнение и упорядочивание десятичных	дробей	.
Сформулируем теперь правило умножения	дробей	.
Запишите : а ) пять отрицательных	дробей	со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных десятичных дробей с одним знаком после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
Как решать задачи на проценты с использованием десятичных	дробей	.
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество	дробей	с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Какая из	дробей	5,031 ; 0,53 ; 5,1 ; 5,03 наибольшая ?
В этом случае нужно перейти к какой - нибудь одной форме представления	дробей	.
Мы продолжим изучение	дробей	.
Целые части этих	дробей	одинаковы ; совпадают также первые три цифры после запятой .
Какие существуют способы записи отрицательных	дробей	.
При нахождении значений таких	дробей	сначала вычисляют значения выражений , стоящих в числителе и знаменателе , и только потом выполняют деление .
Если частное десятичных	дробей	выражается десятичной дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
Таким образом , частное двух десятичных	дробей	не всегда можно выразить десятичной дробью .
Целые части этих	дробей	одинаковы , но различаются цифры в разряде десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
Наконец , сформулируем правило деления	дробей	.
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить числители	дробей	и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Для каждой дроби существует бесконечное множество равных ей	дробей	.
Если же знаменатели	дробей	различны , то нужно либо приводить их к общему знаменателю , либо пользоваться специальными приёмами .
Приведём каждую из	дробей	к знаменателю 33 .
Значит , наименьший общий знаменатель	дробей	равен 75 .
Результатом сложения , вычитания и умножения двух десятичных	дробей	всегда является десятичная дробь .
Значение дроби останется тем же , а от	дробей	в числителе и знаменателе мы избавимся .
Английский просветитель Джон Керси ( XVIII в . ) объяснял это тем , что « доступ к крутым путям	дробей	» приводит некоторых учащихся в такое уныние , что они останавливаются и восклицают : « Non plus ultra ! »
Найдём произведение десятичных	дробей	3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными дробями .
Сложение десятичных	дробей	.
Найдём сумму десятичных	дробей	3,44 и 7,28 .
И математики придумали способ , позволяющий упростить вычисления : для	дробей	со знаменателями 10 , 100 , 1000 и т .
14 Умножение десятичных	дробей	.
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из десятичных	дробей	убрать запятые .
Сначала избавимся от	дробей	, умножив оба члена отношения на 10 , а затем разделим оба члена нового отношения на их общий делитель .
А как найти сумму	дробей	3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после запятой различно ?
Именно так строилась система	дробей	в Древней Руси .
Что десятичная система записи натуральных чисел распространяется и на запись	дробей	.
При сложении десятичных	дробей	руководствуются следующим правилом .
если количество десятичных знаков у	дробей	различно , уравнять их число , приписав справа нули .
Десятичная запись	дробей	.
Для сложения десятичных	дробей	справедливы переместительное и сочетательное свойства .
В самом деле , десятичные дроби — это другая форма записи соответствующих обыкновенных	дробей	, а для обыкновенных дробей эти свойства выполняются .
В самом деле , десятичные дроби — это другая форма записи соответствующих обыкновенных дробей , а для обыкновенных	дробей	эти свойства выполняются .
Вычитание десятичных	дробей	.
Чтобы найти разность десятичных	дробей	, нужно .
Для записи десятичных	дробей	используют новые разряды , в которых указывают доли единицы .
Объясните на примере	дробей	, как привести дроби к общему знаменателю .
А вот сумму	дробей	и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в десятичную не обращается .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных	дробей	со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Способ записи десятичных	дробей	является естественным обобщением десятичной системы счисления , принятой для записи натуральных чисел .
Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных	дробей	убрать запятые .
Изображение десятичных	дробей	точками координатной прямой .
Сравнение десятичных	дробей	.
Главное преимущество десятичной записи	дробей	заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий над натуральным числами — надо только научиться правильно ставить результате запятую .
15 Деление десятичных	дробей	.
Коля и Петя выполняли задания на умножение десятичных	дробей	.
в ) В качестве общего знаменателя данных	дробей	можно взять произведение чисел 25 и 15 — число 375 , но такой знаменатель не будет наименьшим .
Запишите : а ) пять отрицательных дробей со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных десятичных	дробей	с одним знаком после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
На примере вычисления произведения расскажите , как находится произведение двух десятичных	дробей	.
2 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей ; умножения дробей ; деления	дробей	.
2 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей ; умножения	дробей	; деления дробей .
2 Сформулируйте правила сложения и вычитания	дробей	; умножения дробей ; деления дробей .
Тогда можно воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом умножения десятичных	дробей	.
Тогда можно воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных	дробей	, либо правилом умножения десятичных дробей .
Правило умножения десятичных	дробей	применимо и в том случае , когда один из множителей — натуральное число .
Сложение и вычитание десятичных	дробей	.
Таким образом , для умножения десятичных	дробей	справедливы переместительное и сочетательное свойства , а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
Умножение десятичных	дробей	.
Деление десятичных	дробей	.
Рассмотрите , как выполнено умножение этих	дробей	на полях .
Округление десятичных	дробей	.
При умножении десятичных	дробей	в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
Знаменателями таких	дробей	служат числа 60 , 602 , 603 .
Вавилонские учёные изобрели и упрощённый способ записи шестидесятеричных	дробей	- в строчку , без знаменателя .
Позднее подобный подход был принят и для	дробей	со знаменателями 10 , 102 , 103 .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных	дробей	, назвал десятичные доли десятыми , десятичными секундами , десятичными терциями , десятичными кварталами и т .
Чтобы найти произведение двух десятичных	дробей	, можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Рассмотренный пример подсказывает нам правило умножения десятичных	дробей	.
12 Сложение и вычитание десятичных	дробей	.
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных	дробей	со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Поразрядное сравнение десятичных	дробей	.
Умножение десятичных	дробей	, как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
Наименьший общий знаменатель	дробей	равен 36 .
Чем отличается округление десятичных	дробей	от округления натуральных чисел ? .
Сравнение	дробей	.
Проиллюстрируйте правило округления десятичных	дробей	на примере округления дроби 0,2835 до сотых и до тысячных .
Десятичные представления некоторых обыкновенных	дробей	.
Запишите обратную ей дробь и определите , какая из этих двух	дробей	ближе к 1 .
Правило округления десятичных	дробей	.
б ) Найдите наибольшую из десятичных	дробей	с четырьмя знаками после запятой , при округлении которой до сотых получается число 8,65 .
Укажите наибольшую и наименьшую из этих	дробей	.
Представление обыкновенных	дробей	в виде десятичных .
Перейдём от обыкновенных	дробей	к десятичным , а затем к процентам .
В этом пункте вы повторите сложение , вычитание , умножение и деление	дробей	, а также научитесь выполнять более сложные вычисления .
Приведём дробь — к знаменателю 16 . б ) Общий знаменатель данных	дробей	должен делиться и на 11 , и на 3 .
В самом деле , заменим каждую из этих десятичных	дробей	обыкновенной дробью , получим .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление десятичных	дробей	? .
Чтобы найти сумму ( или разность )	дробей	с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму ( или разность ) их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Так же обстоит дело и при записи чисел в виде десятичных	дробей	.
2 ) Чтобы найти сумму или разность	дробей	с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю , а затем воспользоваться первым правилом .
11 Сравнение десятичных	дробей	.
Вы видите , что при записи отрицательных	дробей	« – » можно ставить перед дробью , вносить его в числитель или в знаменатель .
Сделайте вывод о том , какая из	дробей	ближе к 1 — правильная или обратная ей неправильная .
Это преимущество становится очевидным уже при рассмотрении вопроса о сравнении	дробей	.
16 Округление десятичных	дробей	.
Сколько десятичных	дробей	у вас получилось ? .
Запишите в виде десятичных	дробей	следующие обыкновенные дроби .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных	дробей	, заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
При использовании десятичных	дробей	в практических расчётах их обычно округляют .
Частное десятичных	дробей	всегда можно найти , перейдя к обыкновенным дробям .
Запишите в виде десятичных	дробей	.
Изображение десятичных	дробей	точками на координатной прямой .
Вычисление частного десятичных	дробей	в общем случае .
Сначала приведём дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания	дробей	с равными знаменателями .
Основные задачи на	дроби	.
Нашим предкам нелегко давались	дроби	.
В первом множителе две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в знаменателе дроби — получилось число с тремя нулями , а в соответствующей десятичной	дроби	оказалось три цифры после запятой .
Не приводя	дроби	к общему знаменателю , установите , какая из них наибольшая .
В первом множителе две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в знаменателе	дроби	— получилось число с тремя нулями , а в соответствующей десятичной дроби оказалось три цифры после запятой .
Умножение десятичной	дроби	на десятичную .
Число , записанное над чертой , — числитель	дроби	, под чертой — её знаменатель .
Запишите три десятичные	дроби	, равные числу 5,070 .
Как , например , записать в виде десятичной	дроби	число .
У каждой десятичной	дроби	две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
По каким правилам складывают и вычитают десятичные	дроби	.
9 Какие	дроби	называют десятичными .
Это можно сделать , представив	дроби	в виде обыкновенных .
Разложив на простые множители знаменатель этой	дроби	, получим произведение 3 - 5 , содержащее число 3 .
Рассмотренные примеры подсказывают правило , по которому	дроби	можно округлять , не выбирая лучшее из двух приближённых значений .
Таким образом , 7,35 — это десятичное представление 35 смешанной	дроби	.
Как записать десятичную дробь , равную данной десятичной	дроби	?
Но для практических расчётов десятичные	дроби	удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью .
Вспомним , как решаются основные задачи на	дроби	, и рассмотрим разные способы их решения .
Действительно , вы знаете , что частное от деления натурального числа а на натуральное число b равно	дроби	.
Сколько цифр после запятой должно содержаться в десятичной	дроби	, если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 1000 ?
Чтобы понять , как складывают десятичные	дроби	, обратимся к примеру .
А у немцев в старину была поговорка « In die Brüche kommen » , что в дословном переводе звучит как « Прийти в	дроби	» , а означало это попасть в трудное положение .
Какие разряды содержатся в десятичной	дроби	12,0345 ?
Решим задачу , опираясь на смысл понятия	дроби	.
А как перейти от обыкновенной	дроби	со знаменателем 10 , 100 , 1000 и т .
Приведите	дроби	к одному из знаменателей 10 , 100 или 1000 и запишите соответствующие десятичные дроби .
Умножение десятичной	дроби	на натуральное число .
Умножение и деление десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 .
Запишите в порядке возрастания	дроби	.
Используя десятичные	дроби	, можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы длины .
Умножим числитель и знаменатель	дроби	на 12 .
Число 21,3 — результат округления	дроби	21,28 до десятых .
Чтобы перейти от десятичной	дроби	к соответствующей обыкновенной , достаточно её прочитать и записать знаменатель дробной части в явном виде .
Как округляют десятичные	дроби	.
Поэтому при округлении десятичной	дроби	21,28 до десятых её и заменяют числом 21,3 .
Учёные Древнего Вавилона , использовавшие шестидесятеричную систему счисления , распространили её и на	дроби	.
д. , а десятичные	дроби	можно округлять до единиц , десятых , сотых и т .
При округлении десятичной	дроби	её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом десятичных знаков или даже целым числом .
Переход от одной формы записи	дроби	к другой .
Значение	дроби	останется тем же , а от дробей в числителе и знаменателе мы избавимся .
Это , например , такие	дроби	, как .
Сформулируйте основное свойство	дроби	.
Имея	дроби	, мы всегда можем разделить одно натуральное число на другое ( чего нельзя сделать , если ограничиться только натуральными числами ) .
Некоторые	дроби	особенно часто встречаются в задачах , в практических расчётах .
Проценты и десятичные	дроби	.
Например , в десятичной	дроби	0,0105 последний разряд — это десятитысячные .
Какие	дроби	называют десятичными .
Возьмём несколько рациональных чисел и представим каждое из них в виде	дроби	, у которой числитель — целое число , знаменатель — натуральное .
Однако после сокращения	дроби	он « исчезнет » , и эту дробь можно будет записать в виде десятичной .
Перевод обыкновенной	дроби	в десятичную .
В каких случаях все три	дроби	равны .
Приведите дроби к одному из знаменателей 10 , 100 или 1000 и запишите соответствующие десятичные	дроби	.
Умножение десятичном	дроби	на обыкновенную .
Если знаменатель обыкновенной	дроби	имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , и эта дробь несократима , то её нельзя представить в виде десятичной .
Глава 3 Десятичные	дроби	.
Поэтому , чтобы сложить эти десятичные	дроби	, необязательно обращать их в обыкновенные .
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные	дроби	с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать десятичные	дроби	при выполнении процентных вычислений .
Прочитайте десятичные	дроби	.
Вы видите , что в результате умножения в исходной	дроби	меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Запишите в порядке убывания	дроби	.
д. , нужно перенести в этой	дроби	запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
10 Перевод обыкновенной	дроби	в десятичную .
Умножение десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 и т .
В таблице на полях приведены некоторые легко вычисляемые проценты и соответствующие им	дроби	.
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в	дроби	6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
Десятичные и обыкновенные	дроби	— это две различные формы представления чисел .
Сложение обыкновенной	дроби	и десятичной .
А	дроби	, записанные с помощью дробной черты , называют обыкновенными дробями .
Вспомните : к десятичной	дроби	можно приписывать справа любое число нулей , при этом получается дробь , равная данной .
Деление десятичной	дроби	на степень 10 .
Представьте дробь — в виде десятичной	дроби	двумя способами .
На примере вычисления суммы и разности чисел 5,63 и 4,972 объясните , как складывают и как вычитают десятичные	дроби	.
А умножение и деление десятичной	дроби	на единицу с нулями сводится к переносу запятой .
В Европе десятичные	дроби	в XVI в .
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной	дроби	или смешанной дроби : а ) 0,9 ; б)0,123 ; в ) 0,03 ; г ) 0,027 ; д ) 10,1 ; е ) 12,10002 ; ж ) 6,009 .
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной	дроби	: а ) 0,9 ; б)0,123 ; в ) 0,03 ; г ) 0,027 ; д ) 10,1 ; е ) 12,10002 ; ж ) 6,009 .
Запишите в виде десятичной	дроби	и прочитайте её .
Сформулируйте основное свойство	дроби	и проиллюстрируйте его примером .
Запишите в виде десятичных дробей следующие обыкновенные	дроби	.
Запишите все десятичные	дроби	, которые можно составить из цифр 1 , 2 и 3 , соблюдая следующее условие : каждая цифра используется в записи числа не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
Запишите выражение в виде	дроби	и сократите её .
8 Приведите к наименьшему общему знаменателю	дроби	.
В десятичной дроби после запятой столько цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной	дроби	.
13 Умножение и деление десятичной	дроби	.
« Многоэтажные »	дроби	.
Но её всегда можно представить в виде	дроби	, знаменатель которой кратен 3 , например , равен 6 , 9 , 51 , 72 .
Выпишите все десятичные	дроби	с одним знаком после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между .
Что умножение и деление десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 сводится к переносу запятой .
В десятичной	дроби	после запятой столько цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Однако не всякое число можно записать и в виде десятичной , и в виде обыкновенной	дроби	.
С развитием математики	дроби	стали использоваться не только для решения простейших практических задач , но и для более сложных расчётов .
Вычитать десятичные	дроби	также можно в столбик .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении десятичной	дроби	на десятичную дробь ; на натуральное число .
Сколько цифр после запятой должно содержаться в десятичной дроби , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной	дроби	равен 1000 ?
Умножение и деление десятичной	дроби	на единицу с нулями .
Приведём к наименьшему общему знаменателю	дроби	.
Выражение	дроби	в процентах .
Как изменится положение запятой в десятичной	дроби	, если .
Объясните на примере дробей , как привести	дроби	к общему знаменателю .
Применяя это свойство , можно приводить	дроби	к новому знаменателю , а также сокращать их .
Приведите пример , когда в результате округления десятичной	дроби	получается целое число .
Прошли века , прежде чем десятичные	дроби	приобрели современный вид .
Итак , чтобы перейти от процентов к десятичной	дроби	, надо число процентов разделить на 100 .
Если знаменатель обыкновенной	дроби	не имеет никаких простых делителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной .
Соотнесите проценты ( верхняя строка ) и соответствующие им	дроби	( нижняя строка ) .
Чтобы перейти от десятичной	дроби	к процентам , надо выполнить обратную операцию .
Проиллюстрируйте правило округления десятичных дробей на примере округления	дроби	0,2835 до сотых и до тысячных .
Знаки , стоящие в десятичной	дроби	после запятой , называют десятичными знаками .
Деление десятичной	дроби	на единицу с нулями .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число десятичных знаков , приписав к	дроби	3,5 справа цифру 0 .
Ниже в левом столбце записаны некоторые применявшиеся	дроби	( в их современной форме ) , а в правом - их словесные обозначения .
д. , нужно перенести в этой	дроби	запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака , но у	дроби	851,3 перед запятой только 3 знака !
Если число выражено десятичной дробью , то его всегда можно представить и в виде обыкновенной	дроби	.
Если знаменатель	дроби	— единица с нулями , то для неё применяют не « двухэтажную » запись , а запись в строчку , без явного указания знаменателя .
В самом деле , десятичные	дроби	— это другая форма записи соответствующих обыкновенных дробей , а для обыкновенных дробей эти свойства выполняются .
д. с помощью переноса запятой в любом случае : при необходимости к десятичной	дроби	слева нужно приписать вспомогательные нули .
На примерах вычисления суммы и разности чисел 28,4 и 16,65 расскажите , как складывают и вычитают десятичные	дроби	.
Умножим числитель и знаменатель	дроби	на 4 .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде десятичной	дроби	.
Умножение десятичной	дроби	на единицу с нулями .
3 Основные задачи на	дроби	.
а ) Найдите все десятичные	дроби	с тремя знаками после запятой , при округлении которых до сотых получается число 3,27 .
записать	дроби	в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой .
Выполните прикидку результата , округлив десятичные	дроби	до единиц , а затем найдите точный ответ .
9 Сравните	дроби	и запишите результат с помощью знаков .
Деление десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 и т .
Запишите в виде десятичной	дроби	.
Выберите	дроби	, которые можно представить в виде десятичных .
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к дроби или от	дроби	к процентам , вычислять с десятичными дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Приведите	дроби	к знаменателю 80 .
Чтобы сравнить	дроби	2,5081 и 2,508 , у которых число десятичных знаков различно , можно рассуждать так : уравняем число разрядов , приписав ко второй дроби справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
Но у дроби 2,5081 есть ещё и четвёртая цифра , а у	дроби	2,508 соответствующий разряд отсутствует , поэтому .
Но у	дроби	2,5081 есть ещё и четвёртая цифра , а у дроби 2,508 соответствующий разряд отсутствует , поэтому .
Равные десятичные	дроби	.
Воспользуемся основным свойством	дроби	и преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе дроби оказались натуральные числа .
Как сокращают	дроби	.
В 5 классе вы многое узнали о дробях , научились складывать , вычитать , умножать и делить	дроби	, сравнивать их , отмечать точками на координатной прямой .
Как сравнивают десятичные	дроби	.
Если в десятичной	дроби	последние цифры — нули , то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Сначала рассмотрим деление десятичной	дроби	на натуральное число .
6 Расскажите , как найти дробь от числа ; число по его	дроби	.
Десятичные дроби , так же как и обыкновенные	дроби	, изображают точками на координатной прямой .
Напишите три десятичные	дроби	, каждая из которых : а ) больше , чем 9,61 , но меньше , чем 9,62 ; б ) меньше , чем 0,0001 .
Преобразовать дробь в равную позволяет основное свойство	дроби	.
Приведите	дроби	к знаменателю 18 .
Десятичные	дроби	, так же как и обыкновенные дроби , изображают точками на координатной прямой .
Сравним десятичные	дроби	2,5081 и 2,508 .
Выразите время в часах и , если возможно , запишите ответ в виде десятичной	дроби	.
Десятичные	дроби	и метрическая система мер .
Как приводят	дроби	к новому знаменателю .
Десятичные	дроби	2,5081 и 2,5080 различаются только цифрами в разряде десятитысячных : у первой дроби в этом разряде стоит цифра 1 , а у второй — цифра 0 .
Запишем это частное в виде дроби и затем , воспользовавшись основным свойством	дроби	, преобразуем её так , чтобы в числителе и знаменателе оказались целые числа .
Запишем это частное в виде	дроби	и затем , воспользовавшись основным свойством дроби , преобразуем её так , чтобы в числителе и знаменателе оказались целые числа .
В первом случае мы получили дробь которую можно представить в виде десятичной	дроби	: = 0,2 .
Вы знаете , что представить число в виде обыкновенной	дроби	можно разными способами .
2 ) Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти	дроби	к общему знаменателю , а затем воспользоваться первым правилом .
Сначала разделили на 3 целую часть	дроби	7,47 и поставили в частном запятую .
Представьте в виде десятичной	дроби	.
Но это частное , как известно , можно записать и в виде обыкновенной	дроби	.
Частное двух чисел , обозначенных буквами , записывают обычно с помощью черты	дроби	, например .
Вы уже умеете сравнивать две обыкновенные и две десятичные	дроби	.
Воспользуемся основным свойством дроби и преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе	дроби	оказались натуральные числа .
Многоэтажные »	дроби	.
В математике черту	дроби	используют как знак деления не только для натуральных чисел , но и для более сложных выражений .
Дробь - в виде десятичной	дроби	записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 .
В самом деле , при с = 0 в знаменателе	дроби	окажется 0 , а на 0 , как вы знаете , делить нельзя .
Чтобы сравнить дроби 2,5081 и 2,508 , у которых число десятичных знаков различно , можно рассуждать так : уравняем число разрядов , приписав ко второй	дроби	справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
Если к десятичной	дроби	приписать справа какое угодно количество нулей , то получится дробь , равная данной .
Совсем не всегда	дроби	записывали в привычном для нас виде .
Дробь - в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной	дроби	число 0,6 .
Сравним десятичные	дроби	1,8 и 1,42 .
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к	дроби	или от дроби к процентам , вычислять с десятичными дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Понятно , что нули , записанные в конце десятичной	дроби	, можно отбросить .
Перечислите	дроби	в порядке убывания .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую десятичной	дроби	0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть единичного отрезка , которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Сравните	дроби	.
Чтобы построить точку , соответствующую десятичной	дроби	0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
По основному свойству	дроби	.
В дальнейшем вы будете часто встречать такие « многоэтажные »	дроби	, в которых числители и знаменатели — различные выражения .
Например , две десятичные	дроби	0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число .
Считают , что в конце XVIII мексиканский издатель газет Мануэль Антонио Вальдес ( конец XVIII в . ) , использовал для обозначения	дроби	наклонную волнистую черту .
Деление десятичной	дроби	на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
Деление уголком десятичной	дроби	на натуральное число .
Теперь вы сможете использовать при решении таких задач десятичные	дроби	.
Основное свойство	дроби	.
Найдём значение	дроби	.
Сравнение обыкновенной	дроби	и десятичной .
В знаменателе этой	дроби	5 нулей , поэтому в десятичной дроби должно быть 5 цифр после запятой .
Выпишите	дроби	, которые можно представить в виде десятичных .
Выполните умножение и , если возможно , представьте ответ в виде десятичной	дроби	.
Для каждой	дроби	существует бесконечное множество равных ей дробей .
Запишите в виде десятичной	дроби	число .
Сформулируйте правило умножения	дроби	на дробь .
Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной	дроби	, причём с каким угодно знаменателем .
Умножение десятичной	дроби	на обыкновенную .
Чему равен знаменатель обыкновенной	дроби	, если в её десятичной записи содержится 2 знака после запятой ?
Вы могли увидеть точку в записи десятичной	дроби	, пользуясь калькулятором или компьютером .
А десятичные	дроби	, как и натуральные числа , сравнивают по разрядам .
Сложим	дроби	.
Сформулируйте правило деления	дроби	на дробь .
В знаменателе этой дроби 5 нулей , поэтому в десятичной	дроби	должно быть 5 цифр после запятой .
Сейчас , особенно в нематематических изданиях , вы можете увидеть такую запись	дроби	.
это частное равно	дроби	, которая в десятичную не обращается .
Дополнительным множителем для первой	дроби	является число 2 , а для второй — число 3 .
Как определяют положение запятой в произведении десятичной	дроби	и натурального числа ?
Вы знаете , что две обыкновенные	дроби	легко сравнить , если у них одинаковые знаменатели .
Докажите , что можно представить в виде десятичной	дроби	.
Найдите частное , представив данные	дроби	в виде обыкновенных , и , если возможно , выразите ответ десятичной дробью .
а ) можно представить в виде десятичной	дроби	дробь .
Сначала приведём	дроби	к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания дробей с равными знаменателями .
Образец . б ) нельзя представить в виде десятичной	дроби	дробь .
Дробь нельзя обратить в десятичную , поэтому запишем в виде обыкновенной	дроби	число 0,27 .
Поэтому любое натуральное число можно представить в виде десятичной	дроби	с каким угодно количеством нулей после запятой .
Черту	дроби	рассматривают как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел .
Представьте в виде обыкновенной	дроби	число : а ) 0,7 ; б ) 0,091 ; в ) 1,203 .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные	дроби	— повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Десятичные дроби 2,5081 и 2,5080 различаются только цифрами в разряде десятитысячных : у первой	дроби	в этом разряде стоит цифра 1 , а у второй — цифра 0 .
Проценты , так же как и	дроби	, выражают доли величины .
Сравните получившееся число с исходным , если этот нуль стоял : а ) в конце десятичной дроби ; б ) не в конце десятичной	дроби	.
Будем опираться на смысл понятия	дроби	.
Можно преобразовывать « многоэтажные » дроби и другим способом , применяя основное свойство	дроби	.
Сравним десятичные	дроби	2,7 и 3,1 .
Но в числителе	дроби	— только 3 цифры .
Можно преобразовывать « многоэтажные »	дроби	и другим способом , применяя основное свойство дроби .
Деление уголком десятичной	дроби	на десятичную .
Объясните на примере нахождения суммы как складывают	дроби	с разными знаменателями .
Новый способ перевода обыкновенной	дроби	в десятичную .
Древние греки , а позднее индусы ( около 1500 лет назад ) записывали	дроби	с помощью числителя и знаменателя , но без дробной черты .
В десятичной	дроби	с « длинным хвостом » среди цифр после запятой есть один нуль ( все остальные цифры не нули ) .
Десятичные	дроби	появились в математике гораздо раньше , чем современные единицы измерения — метры и граммы .
Запишите частное в виде обыкновенной	дроби	и , если возможно , обратите её в десятичную .
Это и понятно : ведь умножение десятичной	дроби	на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Если числитель и знаменатель	дроби	умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то получится дробь , равная данной .
В десятичной	дроби	с « длинным хвостом » зачеркнули две последние цифры .
Значит , все три	дроби	равны .
Сравните получившееся число с исходным , если этот нуль стоял : а ) в конце десятичной	дроби	; б ) не в конце десятичной дроби .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно	дробное	число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Древние греки , а позднее индусы ( около 1500 лет назад ) записывали дроби с помощью числителя и знаменателя , но без	дробной	черты .
Теперь для отделения целой части от	дробной	мы ставим запятую .
Чтобы перейти от десятичной дроби к соответствующей обыкновенной , достаточно её прочитать и записать знаменатель	дробной	части в явном виде .
С другой стороны , каждое из этих частных можно записать с помощью	дробной	черты .
Для этого , как вы знаете , нужно просто записать знаменатель	дробной	части в явном виде .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью	дробной	черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
А дроби , записанные с помощью	дробной	черты , называют обыкновенными дробями .
Впервые ввели	дробную	черту арабские математики , а в Европе , уже в XIII в . , - Леонардо Пизанский ( Фибоначчи ) .
И в этих обозначениях принято использовать косую	дробную	черту .
Записав	дробную	часть со знаменателем , получим число , таким образом .
Примите по очереди каждую	дробную	черту за основную и запишите соответствующие выражения .
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и отрицательные	дробные	числа .
Отрицательные	дробные	числа используются и в математике , и в реальной жизни .
До сих пор на уроках математики мы рассматривали натуральные числа и	дробные	.
Найдите среди них : положительные , отрицательные , целые , натуральные , отрицательные	дробные	числа .
Отрицательные	дробные	числа , так же как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительному числу знака « – » .
3 ) целые числа ; 2 ) отрицательные числа ; 4 )	дробные	отрицательные числа .
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют	дробные	числа , так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и отрицательные дробные числа .
Между целыми числами на координатной прямой расположены	дробные	числа , на правом луче — положительные , на левом — отрицательные .
Целые и	дробные	числа вместе образуют множество рациональных чисел .
Это выражение задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения п. Понятно , что вместо n нельзя подставлять	дробные	числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом .
Положительные	дробные	числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные целые числа , можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
Приведите примеры целых чисел , целых отрицательных чисел , дробных положительных чисел ,	дробных	отрицательных чисел .
Приведите примеры целых чисел , целых отрицательных чисел ,	дробных	положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
Необычность и удивительность этого числа состоит в том , что среди известных вам чисел — целых и	дробных	— его нет .
В том же смысле арифметика	дробных	чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Какие разряды используются для десятичной записи	дробных	чисел .
Математики Древней Греции обнаружили , что для измерения длин отрезков не хватает даже	дробных	чисел .
Используя описанное свойство , можно действовать , не выясняя , модуль какого из данных	дробных	чисел больше .
Пусть А — множество целых чисел и В — множество	дробных	чисел .
Попробуем теперь разделить ту же	дробь	851,3 на 10 000 .
При делении числа на десятичную	дробь	можно действовать в соответствии со следующим правилом .
Результатом сложения , вычитания и умножения двух десятичных дробей всегда является десятичная	дробь	.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то получится	дробь	, равная данной .
Таким образом , вместо деления на десятичную	дробь	0,45 можно выполнить деление на число 45 .
Округлим	дробь	0,172504 до десятых .
В первом случае мы получили	дробь	которую можно представить в виде десятичной дроби : = 0,2 .
Чтобы разделить одну	дробь	на другую , нужно первую дробь умножить на дробь , обратную второй .
Представьте	дробь	в виде десятичной двумя способами .
Округлим	дробь	0,39608 до сотых .
Не всякую обыкновенную	дробь	можно записать в виде десятичной .
На примере вычисления частного расскажите , как можно разделить уголком десятичную	дробь	на десятичную .
Приведём	дробь	— к знаменателю 16 . б ) Общий знаменатель данных дробей должен делиться и на 11 , и на 3 .
Чтобы умножить дробь на	дробь	, нужно перемножить числители дробей и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
А	дробь	полученная во втором случае , в десятичную не обращается .
Вычисление значений выражений , содержащих деление на десятичную	дробь	.
Чтобы умножить	дробь	на дробь , нужно перемножить числители дробей и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Сформулируйте правило умножения дроби на	дробь	.
Найдите значение степени : 2 ) Сколько цифр после запятой содержит десятичная	дробь	, равная .
Преобразовать	дробь	в равную позволяет основное свойство дроби .
Деление на десятичную	дробь	в общем случае .
6 Расскажите , как найти	дробь	от числа ; число по его дроби .
Сформулируйте правило деления дроби на	дробь	.
Опираясь на это свойство , приведите	дробь	к знаменателю 24 ; сократите дробь .
Отделив запятой справа три цифры , получили десятичную	дробь	28,200 , т .
Опираясь на это свойство , приведите дробь к знаменателю 24 ; сократите	дробь	.
Чтобы перемножить десятичную	дробь	и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Вычислите , обратив обыкновенную	дробь	в десятичную .
Чтобы разделить число на десятичную	дробь	, нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Будем умножать десятичную	дробь	6,735 на 10 , 100 , 1000 и т .
Но для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную	дробь	заменяют близкой ей десятичной дробью .
исследование . 1 ) Дана правильная	дробь	.
Вы видите , что мы смогли представить обыкновенную	дробь	в виде десятичной новым способом , не домножая знаменатель на .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 и т .
По каким правилам десятичную	дробь	умножают и делят на 10 , 100 , 1000 и т . д. ? .
По какому правилу умножают десятичную	дробь	на единицу с нулями ?
Запишите какую - нибудь правильную	дробь	и дробь , обратную ей .
Выразите приближённо обыкновенную	дробь	десятичной с одним , двумя , тремя знаками после запятой .
По какому правилу делят десятичную	дробь	на единицу с нулями ?
Если обыкновенная	дробь	представляется в виде десятичной , то получить её десятичную запись можно с помощью деления уголком .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на	дробь	, обратную второй .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную	дробь	; на натуральное число .
Вспомните : к десятичной дроби можно приписывать справа любое число нулей , при этом получается	дробь	, равная данной .
Будем последовательно находить общие делители числителя и знаменателя и сокращать на них	дробь	.
Понятно , что	дробь	1/3 можно привести не к любому знаменателю .
Рассмотрим теперь деление на десятичную	дробь	.
А как , пользуясь сформулированным правилом , умножить эту	дробь	на следующие степени числа 10 , т .
Однако мы знаем , что десятичная	дробь	не изменится , если справа к ней приписать нули .
Представьте	дробь	— в виде десятичной дроби двумя способами .
Этот случай можно считать главным , так как деление на десятичную	дробь	, как вы потом увидите , всегда можно свести к делению на натуральное число .
а ) эту	дробь	уменьшить в 100 раз и ещё в 10 раз .
эту	дробь	уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
До какого разряда округляли десятичную	дробь	, если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую	дробь	умножить на дробь , обратную второй .
Как умножают десятичную	дробь	на десятичную , на натуральное число , на обыкновенную дробь .
Обратите обыкновенную	дробь	в десятичную , разделив уголком числитель на знаменатель .
Чтобы умножить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 и т .
Запишите какую - нибудь правильную дробь и	дробь	, обратную ей .
Как умножают десятичную дробь на десятичную , на натуральное число , на обыкновенную	дробь	.
Запишите обратную ей	дробь	и определите , какая из этих двух дробей ближе к 1 .
Сократим	дробь	.
Как выглядит « многоэтажная »	дробь	и как находить её значение .
десятичную	дробь	282,0954 до десятых ; до сотых ; до тысячных .
Последовательно сдвигайте эту запятую на одну цифру влево и каждый раз читайте десятичную	дробь	.
Чтобы сложить обыкновенную	дробь	и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Выразите десятичную	дробь	приближённо в процентах , предварительно округлив её до сотых : а ) 0,843 ; б ) 0,1391 ; в ) 0,5016 ; г ) 0,0449 .
Десятичная	дробь	.
Решим задачу следующим образом : сначала выясним , какую часть составляют свободные места , а затем выразим эту	дробь	в процентах : Ответ : 20 % всех мест не занято .
А вот сумму дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как	дробь	в десятичную не обращается .
Представьте самостоятельно каждую обыкновенную	дробь	, приведённую в таблице , в виде десятичной и запомните результаты .
Всякую ли десятичную	дробь	можно представить в виде обыкновенной ?
Чтобы записать . обыкновенную	дробь	в виде десятичной , нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и т .
Можно поступить иначе : сократим дробь на 11 , а	дробь	на 111 , в каждом случае получим .
Всякую ли обыкновенную	дробь	можно представить в виде десятичной ?
Верно ли , что . Замените данную десятичную	дробь	равной наиболее простого вида : а ) 3,6000 ; б ) 70,0200 ; в ) 0,8700;г )
Какую обыкновенную	дробь	можно записать в виде десятичном , а какую нет .
Найдите какую - нибудь обыкновенную	дробь	, большую 0,1 , но меньшую 0,2 .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это число умножить на данную	дробь	.
Запишите какую - нибудь десятичную	дробь	с четырьмя знаками после запятой и прочитайте её .
Выразим эту	дробь	в процентах .
В каком случае данная обыкновенная	дробь	обращается в десятичную .
Десятичную	дробь	читают следующим образом : сначала читают её часть , стоящую до запятой , и добавляют слово « целых » , затем читают часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Читается десятичная	дробь	7,35 так же , как и число 7 : « 7 целых 35 сотых » .
Обыкновенная	дробь	.
Возьмём	дробь	.
Как можно сложить десятичную	дробь	и обыкновенную .
Значит ,	дробь	— нельзя привести ни к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и т .
Дана десятичная	дробь	6,73401152 .
Представим	дробь	— в виде десятичной .
Если знаменатель обыкновенной дроби не имеет никаких простых делителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную	дробь	можно представить в виде десятичной .
Таким образом , чтобы выразить десятичную дробь в процентах , надо эту	дробь	умножить на 100 .
Выразив десятичную	дробь	1,6 в процентах , получим 160 % .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную	дробь	в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
	Дробь	- можно представить в виде десятичной .
Возьмём , например ,	дробь	.
Таким образом , чтобы выразить десятичную	дробь	в процентах , надо эту дробь умножить на 100 .
Вычеркните одну цифру после запятой так , чтобы	дробь	: а ) увеличилась ; б ) уменьшилась .
Можно поступить иначе : сократим	дробь	на 11 , а дробь на 111 , в каждом случае получим .
Не выполняя вычислений , определите , больше или меньше 50 % получится , если выразить в процентах	дробь	.
Однако после сокращения дроби он « исчезнет » , и эту	дробь	можно будет записать в виде десятичной .
, а затем выразим полученную	дробь	в процентах .
Если знаменатель обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , и эта	дробь	несократима , то её нельзя представить в виде десятичной .
Десятичная	дробь	представлена в виде суммы разрядных слагаемых .
Поэтому первая	дробь	больше .
Найдите какую - нибудь десятичную	дробь	, заключённую между : а ) 2,7 и 2,8 ; б ) 0,8 и 0,9 .
Как выразить десятичную	дробь	в процентах .
Как записать десятичную	дробь	, равную данной десятичной дроби ?
Симон Стевин	дробь	35,912 записывал так:359(T)1020 .
б ) В каком случае несократимую обыкновенную	дробь	нельзя представить в виде десятичной ? .
Как можно сравнить обыкновенную	дробь	и десятичную .
Чтобы выразить в процентах обыкновенную	дробь	, надо сначала превратить её в десятичную .
а ) Какую обыкновенную	дробь	можно записать в виде десятичной ? .
Например , десятичная	дробь	3,047 читается « 3 целых 47 тысячных » .
Вычислите , обратив десятичную	дробь	в обыкновенную .
а ) В числе 54038 отделите запятой одну цифру справа и прочитайте получившуюся десятичную	дробь	.
Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество нулей , то получится	дробь	, равная данной .
Для наглядности	дробь	в таких случаях часто выражают в процентах : 0,54 — это 54 % .
Обратите десятичную	дробь	в обыкновенную и найдите значение выражения .
Запишите десятичную	дробь	: а ) нуль целых одна десятая ; б ) нуль целых сорок семь сотых .
Запись вида а / b где а и b — натуральные числа , — это	дробь	.
Как выразить в процентах обыкновенную	дробь	?
Сократите	дробь	.
Чтобы найти число по его части , нужно эту часть разделить на	дробь	, ей соответствующую .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых : а ) натуральное число 3205 ; б ) десятичную	дробь	0,3205 .
Рассмотрите десятичную	дробь	687,02569 .
Образец . б ) нельзя представить в виде десятичной дроби	дробь	.
Читайте каждую получившуюся десятичную	дробь	.
Если в десятичной дроби последние цифры — нули , то , отбросив их , получим	дробь	, равную данной .
Прочитайте десятичную	дробь	и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби : а ) 0,9 ; б)0,123 ; в ) 0,03 ; г ) 0,027 ; д ) 10,1 ; е ) 12,10002 ; ж ) 6,009 .
Для ответа на вопрос задачи мы записали	дробь	которая выражает частное от деления 32 000 на 80 000 .
а ) можно представить в виде десятичной дроби	дробь	.
Как обыкновенную	дробь	выразить в процентах ? .
Представьте десятичную	дробь	в виде суммы разрядных слагаемых : а ) 0,149 ; б ) 2,36 ; в ) 15,03 .
Представьте	дробь	в виде десятичной : Образец .
Как выразить десятичную	дробь	в процентах ?
Как десятичную	дробь	выразить в процентах ?
Чтобы выразить проценты десятичной	дробью	, надо число , стоящее перед знаком процента , умножить на 0,01 , или , что одно и то же , разделить на 100 .
б ) Выразите обыкновенной	дробью	каждую величину : 0,2 кг , 0,6 кг , 0,25 кг , 0,375 кг .
Выразите время в часах сначала обыкновенной	дробью	, а затем , если можно , десятичной .
Что можно делать со знаком « – » перед	дробью	.
Выразите проценты	дробью	и сократите её .
а ) Выразите десятичной	дробью	каждую величину .
При округлении десятичной дроби её заменяют близкой	дробью	, но с меньшим числом десятичных знаков или даже целым числом .
Замените проценты	дробью	и сократите её , если возможно .
В самом деле , заменим каждую из этих десятичных дробей обыкновенной	дробью	, получим .
Выразим проценты десятичной	дробью	.
Выразим десятичной	дробью	проценты в следующих предложениях .
Найдите частное , представив данные дроби в виде обыкновенных , и , если возможно , выразите ответ десятичной	дробью	.
Вы видите , что при записи отрицательных дробей « – » можно ставить перед	дробью	, вносить его в числитель или в знаменатель .
д. Что происходит с этим числом , если оно является : а ) натуральным числом ; б ) десятичной	дробью	? .
Часто бывает удобно выражать проценты обыкновенной	дробью	, и некоторые из этих представлений полезно запомнить , например те , которые приведены в таблице на полях .
Если частное десятичных дробей выражается десятичной	дробью	, то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
Найдите приближённое значение частного , выраженное десятичной	дробью	с двумя знаками после запятой .
Если число выражено десятичной	дробью	, то его всегда можно представить и в виде обыкновенной дроби .
Выразите	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	35 % .
Решая задачи на проценты , вы выражали процент	дробью	.
Что произошло с этой десятичной	дробью	? .
Представление процента десятичной	дробью	.
В каждом случае найдите разность между полученным приближённым значением и данной	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	: а ) 39 % ; б ) 50 % ; в ) 6 % ; г ) 230 % .
Выразите это частное приближённо десятичной	дробью	с двумя знаками после запятой .
Выразите десятичной	дробью	: 124 % , 175 % , 105 % , 250 % .
Выразите десятичной	дробью	.
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить проценты десятичной	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	, а затем обыкновенной .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной	дробью	, можно записать в виде десятичной дроби .
Выразим долю каждого газа десятичной	дробью	.
Таким образом , частное двух десятичных дробей не всегда можно выразить десятичной	дробью	.
Как выразить проценты десятичной	дробью	.
Как проценты выразить десятичной	дробью	?
Иначе обстоит дело с	дробью	.
Случай , когда частное выражается десятичной	дробью	.
Но для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной	дробью	.
Как выразить проценты десятичной	дробью	?
При этом в произведении нужно отделять запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной	дробью	.
В настоящее время с помощью компьютера найдено приближённое значение π , выраженное десятичной	дробью	, содержащей более триллиона знаков после запятой .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент десятичной	дробью	можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
Действия с десятичными	дробями	.
Вычисления с	дробями	.
Это часто используется при выполнении действий с	дробями	, делая вычисления более простыми .
Удобство обращения с десятичными	дробями	привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
2 Вычисления с	дробями	.
Совместные действия с обыкновенными и десятичными	дробями	.
Выражение величин	дробями	.
Разные действия с десятичными	дробями	.
Правила действий с	дробями	.
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к дроби или от дроби к процентам , вычислять с десятичными	дробями	или , если удобно , с обыкновенными .
Запишите ответ разными	дробями	.
Такие записи называют десятичными	дробями	.
Найдём произведение десятичных дробей 3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными	дробями	.
Мы уже говорили о том , что с десятичными	дробями	работать легче , чем с обыкновенными .
Вспомним правила , по которым выполняют действия с	дробями	.
На протяжении тысячелетий математики искали приближения числа π , выраженные	дробями	.
А дроби , записанные с помощью дробной черты , называют обыкновенными	дробями	.
Выполнять действия с	дробями	, записанными в таком виде , почти так же легко , как и с натуральными числами .
Эти действия с десятичными	дробями	мы можем выполнять практически так же , как с натуральными числами .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными	дробями	почти не отличаются от действий над натуральным числами — надо только научиться правильно ставить результате запятую .
Число 21,28 заключено между десятичными	дробями	21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Иногда при нахождении процента от некоторой величины удобно пользоваться обыкновенными	дробями	— в тех случаях , когда , используя их , вычисления можно выполнить устно .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными	дробями	и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Что отличает деление от других действий с десятичными	дробями	.
Однако правила действий с	дробями	, как вы могли уже убедиться сами , достаточно сложны .
Действия с обыкновенными и десятичными	дробями	.
А если каждую из шести	дуг	окружности разделить пополам , то мы сможем построить правильный двенадцатиугольник .
Построить правильный многоугольник можно так : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных	дуг	) и соединить последовательно точки деления отрезками .
След , который оставляет точка А при повороте , — это	дуга	окружности .
Фигуры , ограниченные окружностями и их дугами . Найдите длину	дуги	окружности , выделенной на рисунке жирной линией .
В числе 7,35 содержится 7	единиц	, 3 десятых и 5 сотых .
Выразите в процентах , округлив ответ до	единиц	: а ) учащихся школы ; в ) населения Хабаровска ; б ) всех книг библиотеки ; г ) семейного бюджета .
Округлим значение площади арены до	единиц	, получим .
В старинных системах мер , которые не сохранились до нашего времени , чаще всего деление	единиц	измерения шло по двоичной системе , т .
г ) Сколько всего	единиц	продукции было выпущено за месяц , если жакетов было выпущено 3000 штук ? .
д. раз , то переход от одних	единиц	измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на степень 10 .
Но на практике такие обозначения	единиц	цены не употребляются .
Выполните прикидку результата , округлив десятичные дроби до	единиц	, а затем найдите точный ответ .
Числовое значение площади округлите до	единиц	.
Цифра 0 говорит об отсутствии	единиц	соответствующего разряда .
д. , а десятичные дроби можно округлять до	единиц	, десятых , сотых и т .
Округление по правилу . Округлите до	единиц	.
Округлите это число до десятых ; до	единиц	.
Например , в числе 2408 содержится 2 тысячи , 4 сотни , 0 десятков и 8	единиц	.
— округление до	единиц	( 3,802 ближе к 4 , чем к 3 ) .
В каких разрядах содержится одинаковое число	единиц	? .
Переход от одних	единиц	измерения к другим .
Найдите примерный процент брака на каждом заводе , округлив результат до	единиц	.
Если знаменатель дроби —	единица	с нулями , то для неё применяют не « двухэтажную » запись , а запись в строчку , без явного указания знаменателя .
В метрической системе мер одна	единица	отличается от другой в 10 , 100 , 1000 и т .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз	единица	длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
каждая	единица	делилась на две равные части .
Поэтому в разряде сотых оказался 0 , а в разряде десятых добавилась одна разрядная	единица	.
Именно так обстоит дело с	единицами	длины и массы .
Десятичные соотношения между различными метрическими	единицами	отражены в их названиях .
Такие же равенства можно записать и с	единицами	измерения массы — тоннами , килограммами , граммами .
Выразите расстояния в одних	единицах	.
В каких	единицах	она измеряется ? .
В каких	единицах	будет выражена скорость , если расстояние выражено в метрах , а время — в минутах ?
Она тоже измеряется в аналогичных	единицах	: p./кг , р./м , p./шт .
Обозначим периметр треугольника буквой Р , а длины его сторон , выраженные в одних и тех же	единицах	, буквами а , b и с. Тогда .
Действительно , чтобы получить правильный результат , надо выразить эти длины в одних	единицах	, например в сантиметрах .
В каждом случае поясните смысл образовавшейся величины и укажите , в каких	единицах	она измеряется .
При вычислении отношения в таких случаях важно следить за тем , чтобы величины были выражены в одних и тех же	единицах	.
В древних системах мер	единицей	измерения расстояний был стадий ( греч .
Не выполняя вычислений , сравните с	единицей	сумму : Образец .
Интересно отметить , что в современном спорте , где секунда оказалась слишком большой	единицей	для измерения результатов , используется смешанная система измерения времени .
Так как справа от этого разряда стоит цифра 7 , то прибавили	единицу	к цифре разряда десятых .
Прибавив	единицу	к цифре 9 в разряде сотых , мы получили 10 сотых .
Деление десятичной дроби на	единицу	с нулями .
А умножение и деление десятичной дроби на	единицу	с нулями сводится к переносу запятой .
По какому правилу делят десятичную дробь на	единицу	с нулями ?
Умножение десятичной дроби на	единицу	с нулями .
Умножение и деление десятичной дроби на	единицу	с нулями .
Это и понятно : ведь умножение десятичной дроби на	единицу	с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
По какому правилу умножают десятичную дробь на	единицу	с нулями ?
Сохраняются свойства нуля и	единицы	при умножении .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5	единицы	, получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Действительно , точка – 5,8 удалена от начала координат на 5,8	единицы	, а точка – 4 — на 4 единицы .
Запишите с помощью букв свойства нуля и	единицы	при умножении .
Действительно , точка – 5,8 удалена от начала координат на 5,8 единицы , а точка – 4 — на 4	единицы	.
Десятичные дроби появились в математике гораздо раньше , чем современные	единицы	измерения — метры и граммы .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей	единицы	на местности .
Запишите в буквенном виде свойство нуля при сложении и свойство	единицы	при умножении .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от нуля отрезок , равный 5,2	единицы	, получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
В Вавилоне действовала не десятичная , а шестидесятеричная система счисления , поэтому	единицы	измерения делили не на 10 , 100 и т .
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4	единицы	влево от нуля .
Например , числам 2,5 и – 2,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 2,5	единицы	; числам 5 и – 5 — точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 5 единицам .
Используя десятичные дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же	единицы	длины .
Для записи десятичных дробей используют новые разряды , в которых указывают доли	единицы	.
Так как в метрической системе мер	единицы	различаются в 10 , 100 , 1000 и т .
Например , модуль числа 2,5 равен 2,5 , так как число 2,5 удалено от начала отсчёта на 2,5	единицы	.
Так как 2	единицы	меньше , чем 3 единицы , то 2,7 < 3,1 .
Так как 2 единицы меньше , чем 3	единицы	, то 2,7 < 3,1 .
Вам известны соотношения , с помощью которых одни	единицы	длины выражаются через другие , более мелкие .
Затем отсчитаем от точки 0,36 четыре тысячные доли	единичного	отрезка .
Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю	единичного	отрезка , которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть	единичного	отрезка , которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Получим сотые доли	единичного	отрезка .
Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю	единичного отрезка	, которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть	единичного отрезка	, которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Получим сотые доли	единичного отрезка	.
Затем отсчитаем от точки 0,36 четыре тысячные доли	единичного отрезка	.
Откладывая последовательно	единичные	отрезки вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых чисел .
Откладывая последовательно	единичные отрезки	вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых чисел .
Начертите координатную прямую , взяв за	единичный	отрезок 10 клеток .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный	отрезок 8 клеток .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный	отрезок 10 клеток .
Начертим координатную прямую и выберем такой	единичный	отрезок , который удобно делить на 10 равных частей .
Начертите координатную прямую (	единичный	отрезок — 2 клетки ) и отметьте на ней числа .
Начертим координатную прямую и выберем такой	единичный отрезок	, который удобно делить на 10 равных частей .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный отрезок	8 клеток .
Начертите координатную прямую (	единичный отрезок	— 2 клетки ) и отметьте на ней числа .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный отрезок	10 клеток .
Начертите координатную прямую , взяв за	единичный отрезок	10 клеток .
а ) Начертите координатную прямую с	единичным	отрезком , равным 6 клеткам .
а ) Начертите координатную прямую с	единичным отрезком	, равным 6 клеткам .
Теперь понятно , с чем связана	жёсткость	треугольника : как говорят математики , треугольник однозначно определяется тремя своими сторонами .
Целые части этих дробей одинаковы ; совпадают также первые три цифры после	запятой	.
Поэтому нет смысла давать в результате больше знаков после	запятой	, чем в условии .
Отделив	запятой	справа три цифры , получили десятичную дробь 28,200 , т .
а ) В числе 54038 отделите	запятой	одну цифру справа и прочитайте получившуюся десятичную дробь .
Поэтому любое натуральное число можно представить в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после	запятой	.
При этом в произведении нужно отделять	запятой	столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после	запятой	в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
В настоящее время с помощью компьютера найдено приближённое значение π , выраженное десятичной дробью , содержащей более триллиона знаков после	запятой	.
Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной с одним , двумя , тремя знаками после	запятой	.
б ) Найдите наибольшую из десятичных дробей с четырьмя знаками после	запятой