Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Величина	, от которой вычисляют проценты ( например , сумма денег на банковском вкладе , длина участка ремонтируемой дороги , количество компьютеров , выпускаемых фирмой , число учащихся в классе ) , составляет 100 своих сотых долей , т .
	Величину	расхода мы определили сложением соответствующих противоположных чисел .
	Величину	дохода в этом случае мы нашли вычитанием .
	Величину	убытка мы также нашли вычитанием .
	Вес	годовалого ребёнка составил 300 % от его веса при рождении .
	Выражение	величин дробями .
	Выражение	, содержащее буквы ( одну или несколько ) , называют буквенным .
	Выражение	отношения в процентах .
	Выражение	называют по действию , которое должно выполняться последним .
25	Выражение	отношения в процентах .
	Выражение	дроби в процентах .
Глава 7	Выражения	.
	Высота	колонн храма на макете равна 41,7 см. Найдите реальную высоту колонн храма , выразите её в метрах , округлите ответ до десятых .
	Высота	стен дома равна 6 м .
37	Вычитание	целых чисел .
	Вычитание	целых чисел .
	Вычитание	.
	Вычитание	десятичных дробей .
	Вычитание	чисел .
	Вычитать	десятичные дроби также можно в столбик .
	Градус	разделили на 60 равных частей , получили минуту , которая равна — 1/60 градуса .
	Деление	в данном отношении .
	Деление	уголком десятичной дроби на десятичную .
	Деление	уголком десятичной дроби на натуральное число .
	Деление	десятичных дробей .
	Деление	десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
15	Деление	десятичных дробей .
	Деление	.
	Деление	целых чисел .
	Деление	десятичной дроби на единицу с нулями .
	Деление	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 и т .
	Деление	десятичной дроби на степень 10 .
	Деление	на десятичную дробь в общем случае .
	Десятичная	дробь .
	Десятичная	запись дробей .
	Десятичная	дробь представлена в виде суммы разрядных слагаемых .
	Десятичную	дробь читают следующим образом : сначала читают её часть , стоящую до запятой , и добавляют слово « целых » , затем читают часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
	Десятичные	дроби 2,5081 и 2,5080 различаются только цифрами в разряде десятитысячных : у первой дроби в этом разряде стоит цифра 1 , а у второй — цифра 0 .
	Десятичные	дроби появились в математике гораздо раньше , чем современные единицы измерения — метры и граммы .
	Десятичные	дроби и метрическая система мер .
	Десятичные	соотношения между различными метрическими единицами отражены в их названиях .
	Десятичные	и обыкновенные дроби — это две различные формы представления чисел .
Глава 3	Десятичные	дроби .
	Десятичные	представления некоторых обыкновенных дробей .
	Десятичные	дроби , так же как и обыкновенные дроби , изображают точками на координатной прямой .
	Диаметр	шара равен 10 см. Какие из изображённых на отрезков равны 5 см ? .
	Диаметр	круга будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через центр шара .
	Длина	провода 63 м .
	Длина	отрезка равна с м .
	Длина	первой грядки на 0,9 м больше длины третьей грядки , а длина второй грядки на 0,55 м больше длины третьей грядки .
	Длина	, ширина и высота одного из них — м , а другого .
	Длина	окружности и число π .
	Длина	каждой из пяти сторон здания равна 281 м .
	Длина	отрезка ΜΝ будет одной и той же , в каком бы месте ни был проведён перпендикуляр с.
На плане это точка М.	Длина	отрезка AM и есть расстояние от дома лесника до озера .
	Длине	какого отрезка равно расстояние .
	Дробь	можно представить в виде десятичной .
	Дробь	нельзя обратить в десятичную , поэтому запишем в виде обыкновенной дроби число 0,27 .
	Дробь	.
	Дробь	- в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 .
	Единицы	двух соседних разрядов различаются в 10 раз .
	Единичные	отрезки на обеих осях , как правило , одинаковы .
	Единичные отрезки	на обеих осях , как правило , одинаковы .
	Знак	результата .
	Знак	« – » употребляется не только для записи отрицательных чисел , но и для обозначения противоположного числа .
	Знак	компонентов действий .
	Знак	суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
	Знаки	, стоящие в десятичной дроби после запятой , называют десятичными знаками .
	Знаменателями	таких дробей служат числа 60 , 602 , 603 .
	Значение	каких выражений равно значению произведения ab ?
	Значение	до сих пор считается вполне хорошим приближением числа π для прикладных задач .
	Значение	выражения .
	Значение	дроби останется тем же , а от дробей в числителе и знаменателе мы избавимся .
	Касательная	перпендикулярна радиусу окружности , проведённому в точку касания .
	Касательная	играет важную роль при описании многих физических явлений .
	Квадрат	разделён на 16 маленьких квадратов , один из которых окрашен .
	Квадратная	сетка , играющая роль координат , была обнаружена на стене одной древнеегипетской гробницы .
Впервые учение о десятичных дробях в XV в . изложил среднеазиатский учёный аль - Каши в книге «	Ключ	арифметики » .
	Кольцо	ограничено двумя окружностями , радиусы которых равны 3 см и 5 см. Чему равна площадь этого кольца ? .
	Комбинаторика	.
	Комбинаторные	задачи занимали умы математиков на протяжении тысячелетий .
	Конус	в определённом смысле напоминает пирамиду .
	Координата	точки Е равна 4 ; это записывается так : Е ( 4 ) .
	Координата	х всегда пишется на первом месте , а координата у — на втором .
	Координаты	.
	Координаты	точки на плоскости .
43	Координаты	.
	Корень	уравнения — это число , при подстановке которого в уравнение получается верное равенство .
	Круг	изображает всех жителей города , внесённых в списки для голосования , т .
Английский поэт У. Х. Оден с огорчением воскликнул : «	Минус	на минус — всегда только плюс .
	Многогранники	, изображенные на рисунке , — антипризмы .
	Многоугольник	, у которого равны все стороны и все углы , называют правильным .
	Многоугольник	, изображённый на рисунке , называют снежинкой Коха .
	Многоугольники	.
Глава 12	Множества	.
	Множества	обычно обозначают большими буквами латинского алфавита : А , В , С , М , Р и т .
	Множество	, состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из данных множеств , называется их объединением .
Основатель теории множеств немецкий учёный Георг Кантор ( 1845–1918 ) так разъяснял смысл понятия множества : «	Множество	есть многое , мыслимое нами как единое » .
	Множество	А называют подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является элементом множества В .
	Множество	может содержать несколько элементов , только один элемент и даже не содержать ни одного элемента .
	Множество	каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
	Множество	, состоящее из элементов , входящих в каждое из данных множеств , называется их пересечением .
	Модуль	отрицательного числа равен числу , ему противоположному .
	Модуль	положительного числа равен самому числу .
	Модуль	числа .
	Модуль	числа – 5,8 равен 5,8 ; модуль числа – 4 равен 4 .
	Модуль	нуля равен нулю .
	Найдите	объединение и пересечение множеств .
	Найдите	периметр и площадь прямоугольника ABCD .
	Найдите	расстояние между центрами окружностей .
	Найдите	их с помощью перегибания .
	Найдите	углы , обозначенные цифрами 1 , 2 , 3 , 4 .
Известно , что .	Найдите	.
	Найдите	сумму противоположных чисел .
	Найдите	величину каждого угла .
	Найдите	сумму ( представьте , что вы подсчитываете доходы и расходы ) .
	Найдите	города , расположенные на 60 ° с. ш.
	Найдите	сумму ( приведите разные способы вычисления ) .
	Найдите	значение выражения .
	Найдите	сумму , выполнив вычисления столбиком .
	Найдите	приближённое значение частного , выраженное десятичной дробью с двумя знаками после запятой .
б )	Найдите	наибольшую из десятичных дробей с четырьмя знаками после запятой , при округлении которой до сотых получается число 8,65 .
а )	Найдите	все десятичные дроби с тремя знаками после запятой , при округлении которых до сотых получается число 3,27 .
Фигуры , ограниченные окружностями и их дугами .	Найдите	длину дуги окружности , выделенной на рисунке жирной линией .
	Найдите	значение степени : а ) Найдите число , квадрат которого равен 0,64 ; 0,01 ; 0,0009 .
Найдите значение степени : а )	Найдите	число , квадрат которого равен 0,64 ; 0,01 ; 0,0009 .
	Найдите	расстояние от центра окружности до прямой .
	Найдите	сумму всех целых чисел : а ) от – 100 до 100 ; в ) от – 70 до 50 ; б ) от – 100 до 150 ; г ) от – 150 до 70 .
	Найдите	АСОК , АКОВ , ABOD , ADOM . б ) Через точку О проведены три прямые , ААОС = 130 ° , АЛОВ = 91 ° .
	Найдите	на все пары перпендикулярных прямых .
	Найдите	на рисунке все : а ) параллелограммы ; б ) ромбы ; в ) прямоугольники ; г ) квадраты .
	Найдите	величины остальных углов .
	Найдите	в окружающей вас обстановке : а ) перпендикулярные прямые ; б ) прямые , перпендикулярные плоскости .
	Найдите	частное , представив данные дроби в виде обыкновенных , и , если возможно , выразите ответ десятичной дробью .
	Найдите	частное и результат проверьте умножением .
	Найдите	периметр .
	Найдите	периметр треугольника , если .
	Найдите	периметр треугольника , если . Найдите третью сторону треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
Найдите периметр треугольника , если .	Найдите	третью сторону треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
	Найдите	S , если .
	Найдите	остальные углы .
	Найдите	массу большего куска .
	Найдите	частное натуральных чисел , выполнив деление уголком .
	Найдите	частное ( в качестве образца воспользуйтесь примером 3 ) .
Если .	Найдите	неизвестное число х .
	Найдите	радиусы первых двух окружностей .
	Найдите	значение степени : 2 ) Сколько цифр после запятой содержит десятичная дробь , равная .
	Найдите	значение суммы при указанных значениях а , b и с .
Из формулы площади прямоугольника выразите а через S и Ь.	Найдите	сторону а , если .
	Найдите	произведение чисел .
	Найдите	расстояние от точки А до прямой а и до прямой Ъ .
	Найдите	число , куб которого равен 0,064 ; 0,008 ; 0,125 . 1 )
	Найдите	среди них : положительные , отрицательные , целые , натуральные , отрицательные дробные числа .
	Найдите	расстояние от каждой из этих точек до прямой .
	Найдите	отношение длины окружности к длине диаметра .
Высота колонн храма на макете равна 41,7 см.	Найдите	реальную высоту колонн храма , выразите её в метрах , округлите ответ до десятых .
	Найдите	модуль числа .
	Найдите	площадь закрашенной части круга .
	Найдите	Р , если .
	Найдите	периметр четырёхугольника ABCD .
	Найдите	несколько чисел , которые .
	Найдите	множество : 1 ) Пусть А — некоторое множество .
	Найдите	площадь обрезков .
	Найдите	площадь закрашенного треугольника .
	Найдите	площадь оставшейся части .
	Найдите	значения выражений .
На плане это расстояние равно 2 см.	Найдите	масштаб плана .
	Найдите	значение буквенного выражения .
5	Найдите	разными способами значение выражения .
	Найдите	длину окружности , радиус которой равен 10 см .
	Найдите	какую - нибудь обыкновенную дробь , большую 0,1 , но меньшую 0,2 .
	Найдите	какую - нибудь десятичную дробь , заключённую между : а ) 2,7 и 2,8 ; б ) 0,8 и 0,9 .
	Найдите	на рисунке фигуры с осевой симметрией , перерисуйте их в тетрадь и проведите оси симметрии .
	Найдите	закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
Радиус одной из них равен 4 см , а расстояние между центрами окружностей — 7 см.	Найдите	радиус другой окружности .
	Найдите	объединение и пересечение множества чисел , кратных 5 , и множества чисел , кратных 10 .
	Найдите	фигуру , имеющую центр симметрии , перерисуйте её в тетрадь и отметьте её центр симметрии .
	Найдите	отношение площадей квадратов ABCD и KMLN .
Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 10 см и 15 см.	Найдите	площадь закрашенной фигуры .
	Найдите	1 от 1 кг ; 9 от 1 кг ; 18 от 1 кг .
	Найдите	длину оставшейся части .
	Найдите	отношение числа правильных ответов к числу всех присланных ответов .
	Найдите	отношение числа учащихся , занимающихся в музыкальной школе , к числу всех учащихся класса .
	Найдите	часть от величины .
	Найдите	, сколько процентов одна величина составляет от другой .
	Найдите	примерный процент брака на каждом заводе , округлив результат до единиц .
	Найдите	сумму .
	Найдите	: а ) сколько примерно процентов от площади Франции составляет площадь Италии ; б ) сколько примерно процентов от площади Италии составляет площадь Франции .
	Найдите	объём многогранника .
	Найдите	скорость пешехода , если он прошёл 80 м за 5 мин .
	Найдите	рост Маши . б ) На первый курс университета может быть принято 150 человек .
	Найдите	объёмы наименьшей и наибольшей частей .
	Найдите	эти ошибки .
а )	Найдите	1от 1 км ; 6от 1 км ; 35от 1 км .
	Найдите	каждое из отношений .
	Найдите	длину дорожки и площадь стадиона .
	Найдите	задуманное число .
	Найдите	число жителей Москвы в 2002 г .
	Найдите	расстояние от точки А до прямой I .
	Найдите	.
	Найдите	. .
	Найдите	углы 2 и 3 .
	Найдите	на четыре пары параллельных прямых .
	Найдите	значение степени .
	Найдите	произведение или частное .
	Найдите	значение выражения ab при .
	Найдите	расстояние .
	Найдите	сумму или разность .
	Найдите	длину меньшей части провода .
	Найдите	произведение .
	Найдите	расстояние между каждой парой этих прямых .
	Найдите	длину отрезка , если его длины равны м . а )
	Найдите	величины углов 1 , 2 и 3 .
	Найдите	значение выражения ab .
а )	Найдите	площади закрашенных треугольников .
	Найдите	разность .
	Найдите	величины остальных углов , обозначенных цифрами .
	Найдите	длины рёбер этого многогранника , если диаметр каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса .
	Найдите	эти числа .
	Найдите	неизвестное число , обозначенное буквой .
	Найдите	значение суммы .
	Найдите	площадь игрового поля .
	Найдите	отношение .
	Найдите	длину каждой части и округлите результат до сотых долей метра .
	Найдите	корень уравнения подбором .
	Найдите	реальную высоту стен и выразите её в метрах .
Известно , что .	Найдите	значение выражения .
	Найдите	значение каждого из выражений .
	Найдём	0,13 от 6500 .
	Найдём	12 % от 20 000 р .
	Найдём	разность . .
	Найдём	с помощью перебора все возможные варианты освещения : .
	Найдём	1 от 600 р .
	Найдём	разность .
	Найдём	, какой примерно длины потребуется бордюр для ограждения клумбы , имеющей форму круга с диаметром , равным 4 м .
	Найдём	, например , площади квадрата и прямоугольника .
	Найдём	вычитанием неизвестное слагаемое 2х .
	Найти	точки , равноудалённые от концов отрезка , нам помогут две окружности .
	Натуральное	число и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
	Натуральное число	и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
	Натуральные	числа мы записываем в том порядке , в котором они появляются при счёте .
	Натуральные	числа принято называть также положительными целыми числами , т .
	Натуральные	числа , противоположные им отрицательные числа и число 0 составляют множество целых чисел .
	Натуральные	числа 1 , 2 , 3 , , отрицательные числа – 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином — целые числа .
	Натуральные	числа округляют до десятков , сотен , тысяч и т .
	Натуральные числа	округляют до десятков , сотен , тысяч и т .
	Натуральные числа	1 , 2 , 3 , , отрицательные числа – 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином — целые числа .
	Натуральные числа	, противоположные им отрицательные числа и число 0 составляют множество целых чисел .
	Натуральные числа	принято называть также положительными целыми числами , т .
	Натуральные числа	мы записываем в том порядке , в котором они появляются при счёте .
	Неравенство	треугольника .
	Объединение	отрезка KL и луча LM есть луч КМ .
	Объединением	этих множеств является всё множество натуральных чисел .
	Обыкновенная дробь	.
	Округление	по правилу . Округлите до единиц .
	Округление	по смыслу .
	Округление	и прикидка .
	Округление	десятичных дробей .
16	Округление	десятичных дробей .
Округление по правилу .	Округлите	до единиц .
	Округлите	число 1,666666 до тысячных ; до сотых ; до десятых .
	Округлите	это число до сотых ; до десятых .
	Округлите	это число до десятых ; до единиц .
	Округлите	число до десятых ; до сотых ; до тысячных : а ) 28,37267 ; б ) 43,52859 ; в ) 106,09311 ; г ) 4,03954 .
	Округлите	.
	Округлите	: а ) число 572 до сотен ; б ) число 1,654 до сотых .
	Окружности	часто можно видеть на различных эмблемах .
	Окружность	и правильный многоугольник .
	Окружность	, а также ограниченный ею круг можно отнести к « самым симметричным » фигурам на плоскости .
Глава 5	Окружность	.
	Оператор	должен был за день набрать 50 страниц текста , но набрал на 14 % меньше .
	Операции	над множествами .
49	Операции	над множествами .
	Опишите	словами множество , которое является пересечением .
	Опишите	аналогичным способом следующую ситуацию .
	Опишите	словами , как построить с помощью циркуля правильный шестиугольник , правильный треугольник .
	Опишите	по шагам решение уравнения .
	Основанием	параллелепипеда является квадрат .
	Основания	цилиндра — это два равных круга , расположенные в параллельных плоскостях .
	Основания	представляют собой равные многоугольники , расположенные в параллельных плоскостях .
	Откладывая	последовательно единичные отрезки вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых чисел .
	Отношение	числа красных шариков к числу зелёных равно .
	Отношение	стоимости товара к его количеству ( массе , длине , числу штук и пр. ) — это цена товара .
	Отношение	числа мальчиков в школе к числу девочек равно .
	Отношение	h к а определяет крутизну лестницы .
а )	Отношение	числа красных шариков к числу синих равно .
	Отношение	величин .
	Отношение	двух чисел показывает , во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого .
	Отношение	.
	Отношение	длины окружности к её диаметру — величина постоянная , она не зависит от размеров окружности .
Глава 6	Отношения	и проценты .
	Отношения	между странами изучают экономические и политические науки .
	Отношения	между людьми изучает специальная наука — психология .
	Отрезок	, соединяющий центры оснований , перпендикулярен каждому из них .
	Отрезок	АВ разделён точкой С на две части так , что АС = 18 см , ВС = 9 см .
	Отрезок	длиной 36 см разделили на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
	Отрицательные	дробные числа , так же как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительному числу знака « – » .
	Отрицательные	числа были известны математикам ещё 2 тысячи лет тому назад .
	Отрицательные	числа на координатной прямой отмечаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее нуля .
	Отрицательные	дробные числа используются и в математике , и в реальной жизни .
	Отрицательные	числа математики открыли очень давно .
	Параллелепипед	.
	Параллелепипед	— это четырёхугольная призма .
	Параллелограмм	является центрально - симметричной фигурой .
	Параллелограмм	снова « войдёт » в свой контур .
	Параллелограмм	, у которого все стороны равны , называют ромбом .
	Параллелограмм	удалось перекроить в прямоугольник , а способ вычисления площади прямоугольника известен .
	Параллелограмм	.
44	Параллелограмм	.
7	Параллельные	прямые .
	Параллельные	прямые .
	Пентагон	( от греч .
	Перемножив	числа 215 и 33 , которые получаются , если не обращать внимания на запятые , мы получили в произведении число 7095 .
	Перемножив	числа 5,6 и 3,8 , получим 21,28 .
	Пересекаясь	, касательные образуют пятиугольник .
	Пересечение	и объединение множеств .
	Пересечение	множества всех треугольников и множества правильных многоугольников есть множество равносторонних треугольников .
	Пересечение	множеств записывают с помощью символа П , а их объединение — с помощью символа .
	Пересечение множеств	записывают с помощью символа П , а их объединение — с помощью символа .
	Пересечение множества	всех треугольников и множества правильных многоугольников есть множество равносторонних треугольников .
	Периметр	прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длины смежных сторон и результат умножить на 2 .
	Перпендикуляр	, проведённый из вершины конуса к плоскости основания , попадает в центр круга .
	Перпендикулярные	прямые можно построить и с помощью угольника , и с помощью транспортира .
	Плоскость	, на которой задана система координат , называют координатной плоскостью .
	Плоскость	, параллельная основанию конуса , рассекла его на две части .
46	Площади	.
	Площади	параллелограмма и треугольника .
	Площади	.
	Площадь	треугольника .
	Площадь	какой комнаты больше — размером .
	Площадь	закрашенной рамки , изображённой на , вычисляется по формуле .
	Площадь	территории Италии примерно равна 300 тыс. км2 , а Франции — 550 тыс. км2 .
а )	Площадь	территории Норвегии составляет примерно 123 % площади Великобритании .
	Площадь	квадрата равна ( кв. ед . ) , площадь прямоугольника равна ( кв. ед . ) .
	Площадь	какой страны больше и во сколько раз ? .
	Поверхности	цилиндра и конуса состоят как из плоских частей , так и кривых , а шар — « абсолютно круглый » .
	Поверхности	цилиндра и конуса , как и поверхность многогранника , можно развернуть на плоскость .
	Поверхность	шара называется сферой .
	Поверхность	цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности , которую ещё называют цилиндрической .
Говорят , что множества чётных и нечётных чисел составляют разбиение множества N.	Подмножества	, составляющие разбиение , обычно называют классами .
	Подмножества	.
	Подобным	образом можно найти и площадь треугольника .
	Положительное	число 256 расположено справа от 0 , а число – 104 — слева от 0 .
	Положительное	направление на каждой оси показывают стрелкой : на горизонтальной оси это направление .
	Положительные	целые числа , т .
	Положительные	и отрицательные целые числа .
	Положительные	и отрицательные числа .
	Положительные	дробные числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные целые числа , можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
	Положительные	целые числа расположены справа от нуля , отрицательные — слева .
	Положительным	или отрицательным является частное .
б )	Правильную	шестиугольную призму распилили на 3 части , как показано на рисунке .
	Правильные	многоугольники обладают удивительным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
	Правильные	многогранники называют ещё Платоновыми телами , так как в картине мира , построенной древнегреческим мыслителем Платоном , им отводилась ведущая роль .
45	Правильные	многоугольники .
	Правильные	многогранники .
	Правильные многоугольники	обладают удивительным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
45	Правильные многоугольники	.
	Прибавив	единицу к цифре 9 в разряде сотых , мы получили 10 сотых .
	Приближенное	частное .
	Приведите	свои примеры чисел , относящихся к каждому классу .
Если существуют , то назовите их : 1 )	Приведите	примеры чисел , модуль которых равен 12 ; больше 12 ; меньше 12 .
	Приведите	примеры целых чисел , целых отрицательных чисел , дробных положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
	Приведите	примеры .
	Приведите	дроби к одному из знаменателей 10 , 100 или 1000 и запишите соответствующие десятичные дроби .
	Приведите	примеры комбинаторных задач , которые имеют ту же математическую модель , что и задачи , приведённые выше .
	Приведите	примеры использования положительных и отрицательных чисел в жизни .
	Приведите	примеры объектов , обладающих зеркальной симметрией .
	Приведите	пример классификации множества треугольников .
	Приведите	примеры конечных и бесконечных множеств .
	Приведите	пример .
	Приведите	примеры классификаций .
	Приведите	пример , когда в результате округления десятичной дроби получается целое число .
	Приведите	примеры разбиения множества на классы из математики и из какой - либо другой области .
	Приведите	примеры конечных и бесконечных подмножеств множества натуральных чисел N .
8	Приведите	к наименьшему общему знаменателю дроби .
	Приведите	дроби к знаменателю 80 .
	Приведите	дроби к знаменателю 18 .
	Приведите	примеры параллельных и скрещивающихся прямых , которые встречаются в комнате , на улице .
	Приведите	примеры конечных множеств ; бесконечных множеств .
	Приведите	пример числового выражения и буквенного выражения .
	Приведём	каждую из дробей к знаменателю 33 .
	Призма	.
47	Призма	.
	Произведение	двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
	Произведением	естественно считать сумму трёх слагаемых , каждое из которых равно -5 .
	Противоположные числа	изображаются точками координатной прямой , симметричными относительно точки О ( 0 ) .
	Противоположные числа	.
	Противоположные числа	изображаются точками , симметричными относительно точки с координатой 0 .
	Процент	от некоторой величины — это одна сотая её часть .
	Проценты	и десятичные дроби .
	Проценты	, так же как и дроби , выражают доли величины .
	Прямая	BD перпендикулярна отрезку АС и делит его пополам .
	Прямая	и окружность .
17	Прямая	и окружность .
	Прямая	и окружность могут иметь одну общую точку ( прямая является касательной к окружности ) , две общие точки ( в этом случае прямую называют секущей ) , а могут и не иметь общих точек .
	Прямая	k — ось симметрии многоугольника ABDKNC .
	Прямая	ОР — ось симметрии треугольника КРМ .
постройте прямую d , перпендикулярную радиусу О А и проходящую через точку А.	Прямая
	Прямоугольная	система координат .
	Прямоугольник	разрежьте по одной из его диагоналей .
	Прямоугольник	, ромб , квадрат .
	Прямоугольник	, равнобедренный треугольник , окружность .
	Прямоугольник	и квадрат имеют одинаковые периметры .
	Прямоугольники	, изображённые , равновелики .
	Прямоугольной	сеткой для разметки холста пользовались и художники Возрождения .
а )	Прямые	АВ , CD , КМ пересекаются в точке О , причём ZLАОМ = 47 ° и ААОС = 32 ° .
	Прямые	тип параллельны .
	Пустое множество	считают подмножеством любого другого множества .
	Равновеликие	и равносоставленные фигуры .
	Равновеликие	фигуры .
а )	Радиус	меньшей окружности равен 3 см , радиус большей — 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей ? .
	Радиус	второй окружности , см .
	Радиус	первой окружности , см .
	Радиус	апельсина равен 4 см , а толщина кожуры равна 1 см. Объём какой части больше : съедобной или несъедобной ? .
	Радиус	основания цилиндра равен 5 см. Чему равен диаметр шара ?
	Радиус	одной из них равен 4 см , а расстояние между центрами окружностей — 7 см. Найдите радиус другой окружности .
	Радиус	земного шара равен примерно 6400 км .
	Радиус	окружности равен 2 см. На каком рисунке изображён случай , когда расстояние от центра окружности до прямой равно 1 см ?
	Радиус	окружности , см .
	Радиусы	двух окружностей равны 3 см и 5 см , а расстояние между наиболее удалёнными точками : а ) 18 см ; б ) 16 см ; в ) 13 см ; г ) 8 см .
	Радиусы	двух окружностей равны 7 см и 11 см , а расстояние между их центрами — 19 см. Как расположены окружности по отношению друг к другу ? .
	Разделив	, получим тот же результат .
	Разложив	на простые множители знаменатель этой дроби , получим произведение 3 - 5 , содержащее число 3 .
Глава 10	Рациональные	числа .
	Рациональные	числа .
Глава 10	Рациональные числа	.
	Рациональные числа	.
	Ребро	куба равно 6 см. Чему равен диаметр шара ? .
	Решение	задач .
	Решение	уравнений .
	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	комбинаторных задач .
50	Решение	комбинаторных задач .
	Решение	.
	Решение	уравнении .
	Ряд	целых чисел .
	Секунду	делят не на 60 равных частей , а на десятые , сотые и тысячные .
	Симметрия	четырёхугольников .
Глава 8	Симметрия	.
	Симметрия	и равенство .
	Симметрия	в пространстве .
«	Симметрия	» — слово греческого происхождения .
	Симметрия	.
	Симметрия	и асимметрия тесно « соседствуют » друг с другом .
	Симметрия	относительно точки .
	Симметрия	равнобедренного треугольника .
	Системы	координат пронизывают всю практическую жизнь человека .
	Системы координат	пронизывают всю практическую жизнь человека .
	След	, который оставляет точка А при повороте , — это дуга окружности .
	Сложение	и вычитание десятичных дробей .
	Сложение	обыкновенной дроби и десятичной .
	Сложение	и вычитание рациональных чисел .
	Сложение	десятичных дробей .
	Сложение	.
	Сложение	целых чисел одного знака и разных знаков .
41	Сложение	и вычитание рациональных чисел .
	Сложение	чисел .
	Сложение	целых чисел .
	Сложение	двух целых чисел .
Сравните – а и – b . 36	Сложение	целых чисел .
12	Сложение	и вычитание десятичных дробей .
	Сложите	из получившихся частей треугольник .
	Совместные	действия с обыкновенными и десятичными дробями .
	Сократите	дробь .
В	Средние	века во многих европейских учебниках математики раздел о дробях помещался в самом конце .
а )	Средний	рост девочек того же возраста , что и Маша , равен 140 см. Рост Маши составляет 105 % среднего роста .
	Сторона	квадрата равна 4 см. Постройте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий этому квадрату .
	Сторона	треугольника , равная 11,5 см , на 0,6 см меньше второй его стороны и на 0,9 см больше третьей .
	Стороны	прямоугольника 60 см и 80 см .
	Строили	его больше 20 лет около 20 тыс. рабочих .
	Строим	параллельные прямые .
	Сумма	двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемого , у которого модуль больше .
	Сумма	противоположных чисел равна нулю .
	Сумма	двух чисел одного знака имеет тот же знак , что и слагаемые .
	Сумма	трёх углов , образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 240 ° .
	Сумма	двух отрицательных чисел отрицательна , поэтому сначала запишем знак « минус » , а затем сложим .
	Сумма	противоположных чисел равна 0 .
	Сумма	двух положительных чисел положительна , а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
	Сумма	двух чисел разных знаков может быть как положительным числом , так и отрицательным .
	Точка	их пересечения О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой , её называют началом координат , а координатные прямые называют осями координат .
	Точка	, изображающая на координатной прямой число 2,7 , расположена левее .
	Точка	О — её центр симметрии .
	Точка	О — центр большей окружности , точка Р — центр меньшей .
	Точка	О — центр двух окружностей , касающихся каждой из трёх построенных окружностей внешним и внутренним образом .
Расстояние между параллельными прямыми т и n равно 5 см.	Точка	А находится на расстоянии 3 см от прямой т .
	Точка	– 5,8 расположена левее точки – 4 , поэтому .
	Точка	О — центр симметрии шестиугольника ABCDEK .
Верно ли утверждение : «	Точка	К находится на расстоянии 3 см от точки А и на расстоянии 4 см от точки В » ?
На рисунке точки пересечения окружностей обозначены буквами А и В.	Точка	А находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка ( оно равно радиусу окружности ) .
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О отложите отрезок , равный отрезку ОА	Точка	В симметрична точке А относительно точки О .
	Точка	с координатой – 1000 оказалась левее точки – 989 , значит , .
	Точка	с координатой 0 делит прямую на два луча .
	Точка	К симметрична точке М относительно прямой l .
	Точка	О — центр симметрии шестиугольника ABCDKM .
Расстояние между точками А и В равно 4 см.	Точка	А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
	Точка	, симметричная относительно прямой .
	Точка	является центром симметрии , если при повороте вокруг этой точки на 180 ° фигура переходит сама в себя .
	Точки	касания окружностей обозначьте следующим образом : точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне .
	Точки	пересечения касательных обозначьте буквами К , М , L и N. Эти точки — вершины квадрата .
При повороте на 180 ° точка А переходит в диаметрально противоположную ей точку В.	Точки	А и В называют симметричными относительно точки О .
	Точки	А , В и С — вершины параллелограмма .
	Точку	пересечения лучей обозначьте буквой О .
	Третьим	идёт разряд тысячных и т .
	Третья	вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
	Треугольная	антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
	Треугольник	легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его сторонам .
	Треугольник	, у которого все стороны равны , называется равносторонним .
	Умножение	целых чисел обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных , — переместительным и сочетательным .
38	Умножение	и деление целых чисел .
	Умножение	и деление рациональных чисел .
	Умножение	десятичной дроби на единицу с нулями .
	Умножение	целых чисел .
	Умножение	десятичном дроби на обыкновенную .
	Умножение	десятичной дроби на натуральное число .
	Умножение	десятичной дроби на десятичную .
	Умножение	.
	Умножение	десятичных дробей , как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
42	Умножение	и деление рациональных чисел .
	Умножение	рациональных чисел , так же как и целых , обладает переместительным и сочетательным свойствами , что позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы .
	Умножение	десятичной дроби на обыкновенную .
	Умножение	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 и т .
	Умножение	десятичных дробей .
14	Умножение	десятичных дробей .
	Умножение	и деление целых чисел .
13	Умножение	и деление десятичной дроби .
	Умножение	и деление натурального числа на 10 , 100 , 1000 и т .
	Умножение	и деление десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 .
	Умножение	и деление десятичной дроби на единицу с нулями .
	Умножив	0,78 на 100 , получим , что 0,78 — это 78 % .
	Умножив	80 000 на , получим тот же результат .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби на 12 .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби на 4 .
	Умножим	на .
	Уравнение	как способ перевода условия задачи .
	Уравнения	.
	Фигура	, которую мы получили , симметрична .
	Фигура	на кальке совместится с фигурой на бумаге .
	Фигура	может иметь и не одну ось симметрии .
	Фигуры	, ограниченные окружностями и их дугами . Найдите длину дуги окружности , выделенной на рисунке жирной линией .
	Целые	части этих дробей одинаковы ; совпадают также первые три цифры после запятой .
	Целые	числа также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
	Целые	части этих дробей одинаковы , но различаются цифры в разряде десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
	Целые	и дробные числа вместе образуют множество рациональных чисел .
	Целые числа	также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
	Центр	куба — это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	симметрии имеет и прямоугольник : это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	симметрии фигуры .
	Центр	симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей .
	Центр	окружности лежит на биссектрисе угла А. Объясните , как начертить окружность , касающуюся сторон угла .
	Центр	симметрии , и ось симметрии .
	Центры	окружностей соединены отрезком .
	Цилиндр	, конус , шар .
	Цилиндр	помещён в параллелепипед так , что касается всех его граней .
	Четырёхугольник	с равными сторонами и равными углами — это хорошо вам известный квадрат .
	Четырёхугольник	ABCD — параллелограмм .
	Четырёхугольник	ABCD — не параллелограмм , но у него есть одна пара параллельных сторон и одна пара равных сторон .
	Четырёхугольник	при этом будет трансформироваться , а треугольник нет .
	Четырёхугольники	на рисунке — параллелограммы .
	Числа	0 ; 3,5 ; – 3,5 и – 5,2 являются координатами точек О , А , В и С. Записывается это так .
	Числа	0 и 1 при умножении целых чисел сохраняют свои свойства .
	Числа	, которые различаются только знаком , т .
	Числа	, которые можно подставлять в буквенное выражение , называют допустимыми значениями букв .
	Число	21,3 — результат округления дроби 21,28 до десятых .
	Число	0 считается противоположным самому себе .
	Число	поданных заявлений составило 220 % от числа мест .
	Число	0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к положительным , ни к отрицательным числам , а как бы разделяет их .
Иногда отношение оставляют « невычисленным » и говорят : «	Число	лыжников прошлого года относится к числу лыжников этого года как 75 к 25 » , при этом для записи отношения используют двоеточие .
	Число	жителей 1 в ) 1900 г. — это 100 % , а в 2002 г. от числа жителей в 1900 г .
Тогда предложения «	Число	13 простое » и « Число 15 не является простым » можно записать так .
	Число	, записанное над чертой , — числитель дроби , под чертой — её знаменатель .
	Число	21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Тогда предложения « Число 13 простое » и «	Число	15 не является простым » можно записать так .
	Число	, противоположное числу а , обозначают – а .
а )	Число	16 кратно 8 , значит , оно и является наименьшим общим знаменателем .
	Число	мальчиков относилось к числу девочек как , причём мальчиков было на 10 больше , чем девочек .
	Число	1000 на координатной прямой расположено правее , т .
	Число	мест в кинозале можно вычислить по формуле .
	Число	, выражающее отношение длины окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π — первой буквой слова « периферия » ( греч .
	Число	красных карандашей относится к числу синих как .
Запишите на математическом языке разными способами предложение : «	Число	а на 10 больше числа Ь » .
	Число	12 называют корнем уравнения .
	Шар	помещён в цилиндр так , что он касается и его боковой поверхности , и оснований .
а )	Шар	поместили в куб так , что он касается всех граней куба .
	Элементы множества	можно перечислять в любом порядке .
Горизонтальную ось обычно называют осью х или осью	абсцисс	; вертикальную — осью у или осью ординат .
Ось	абсцисс	.
Эта пара чисел х и у и есть координаты точки А. Координату х называют	абсциссой	или первой координатой точки А , а координату у — ординатой или второй координатой точки А .
Это время распределяется между	алгеброй	и геометрией в отношении .
Сколько в учебном году уроков	алгебры	и сколько геометрии ? .
Треугольная	антипризма	получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
Для каждой дроби существует	бесконечное множество	равных ей дробей .
В натуральном ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до	бесконечности	.
К тому же в математике рассматривают и	бесконечные множества	.
Приведите примеры конечных и	бесконечных множеств	.
Приведите примеры конечных множеств ;	бесконечных множеств	.
Рассмотрите рисунок : углы ВОС и СОА — смежные , луч ОМ —	биссектриса	угла СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
Рассмотрите рисунок : углы ВОС и СОА — смежные , луч ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON —	биссектриса	угла АОС .
Чему равен угол между	биссектрисами	? .
1 ) все прожекторы погашены.1	вариант	. 2 ) горит один прожектор .
1	вариант	.
4	варианта	. 5 ) горят четыре прожектора .
Начав маршрут с Рима , получим ещё два	варианта	: РВФ , РФВ .
б к з ж.4	варианта	.
Сколько существует различных	вариантов	флагов с белой , синей и красной полосами ?
Сколько существует	вариантов	такого маршрута ? .
Приём решения комбинаторных задач с помощью перебора всех возможных	вариантов	.
Постройте дерево возможных	вариантов	к задаче о туристских маршрутах .
Сколько	вариантов	для выбора есть у Феди ? .
Сколько есть	вариантов	, в которых Игорь на первом месте ?
Сколько существует	вариантов	, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде ? .
Сколько	вариантов	отбора новеньких у руководителя студии ? .
Сколько имеется	вариантов	освещения сцены ?
Сколько этих	вариантов	? .
Общее число	вариантов	.
Сколько существует	вариантов	для выбора четвёрки участников соревнования и сколько для выбора пары запасных ?
бк бз бж ; кз кж зж ; 6	вариантов	.
Таким образом , существует 6	вариантов	маршрута : .
а ) Сколько существует	вариантов	выбора двух кандидатов ? .
( Будем считать	вариантом	освещения и случай , когда все прожекторы выключены . ) .
Выпишите все	варианты	такой очереди .
Найдём с помощью перебора все возможные	варианты	освещения : .
Наконец , начав с Флоренции , получим	варианты	ФВР , ФРВ .
Перечислите все	варианты	выбора участников соревнования в этом случае .
Перечислите все	варианты	выбора участников соревнования .
Как составляют формулы для вычисления значений	величин	.
Если же находят отношение разноимённых	величин	, то получают новую величину .
использование букв для обозначения неизвестных	величин	стало общепринятым .
В задачах , а также в практической деятельности часто приходится находить отношение	величин	.
Примером практического применения отношения	величин	, который известен вам из уроков природоведения , географии , является масштаб .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения	величин	— так называемую метрическую систему мер .
Для выражения	величин	, которые могут изменяться в двух противоположных направлениях , людям потребовались отрицательные числа , т .
А вот математика изучает отношения чисел , отношения	величин	.
С помощью формул довольно сложные предложения , выражающие зависимость одних	величин	от других , могут быть записаны в удобной и компактной форме .
Вы уже знаете , что буквы необходимы для записи общих утверждений ( например , свойств арифметических действий ) , а также формул , описывающих на математическом языке правила нахождения одних	величин	по известным значениям других .
Отношение	величин	.
Чем различаются отношения одноимённых и разноимённых	величин	.
Действительно , если из равных	величин	( площади квадрата и площади прямоугольника ) вычесть поровну ( площадь белого многоугольника ) , то поровну и останется .
Выражение	величин	дробями .
Рассмотрим несколько задач , в которых требуется выразить в процентах отношение двух	величин	.
Как вам известно , один из способов сравнения чисел или	величин	заключается в нахождении их отношения .
Какая	величина	является отношением пути ко времени ?
На изображены две пересекающиеся прямые а и b и задана	величина	одного из углов .
Такие числа , « похожие » на натуральные , но со знаком « минус » , нужны в тех случаях , когда	величина	может изменяться в двух противоположных направлениях .
Поскольку	величина	каждого угла равностороннего треугольника равна 60 ° , то три их угла , приложенные друг к другу , образуют развёрнутый угол .
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое число , до нуля иначе называют модулем этого числа ( ещё говорят « абсолютная	величина	» ) .
Найдите , сколько процентов одна	величина	составляет от другой .
После того как найдено , сколько процентов одна	величина	составляет от другой , полезно проверить себя , выполнив обратное действие .
Как найти , сколько процентов одна	величина	составляет от другой .
Отношение длины окружности к её диаметру —	величина	постоянная , она не зависит от размеров окружности .
Обозначьте буквой меньшую	величину	.
Изготовьте развёртку этого цилиндра в натуральную	величину	и сверните её в цилиндр .
б ) Выразите обыкновенной дробью каждую	величину	: 0,2 кг , 0,6 кг , 0,25 кг , 0,375 кг .
а ) Выразите десятичной дробью каждую	величину	.
обозначить неизвестную	величину	буквой .
Если же находят отношение разноимённых величин , то получают новую	величину	.
Чтобы найти один процент от величины , нужно эту	величину	разделить на 100 .
В таких случаях говорят : разделить	величину	в данном отношении .
В жизни нам часто приходится делить ту или иную	величину	на части , отношение которых равно заданному отношению .
Как разделить	величину	в заданном отношении .
Найдите	величину	каждого угла .
Поэтому , чтобы найти 10 какой - либо величины , достаточно разделить эту	величину	на 10 .
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу a = vt , в которой участвуют три	величины	.
И если значение	величины	ниже нулевой отметки , то ставят знак « минус » .
Для выражения	величины	отрицательным числом вводят некоторую начальную , нулевую отметку ; например , при измерении температуры за начало отсчёта принимается температура замерзания воды ( при нормальном атмосферном давлении ) , а при измерении глубины морей — уровень Мирового океана .
Чему равны	величины	углов правильного треугольника ?
Основа такого перевода — введение буквы для обозначения какой - либо неизвестной	величины	.
Найдите	величины	остальных углов , обозначенных цифрами .
Известны	величины	двух углов .
Найдите	величины	углов 1 , 2 и 3 .
Впервые применил букву для обозначения неизвестной	величины	Диофант Александрийский - древнегреческий математик , живший в III в .
При вычислении отношения в таких случаях важно следить за тем , чтобы	величины	были выражены в одних и тех же единицах .
Проценты , так же как и дроби , выражают доли	величины	.
Иногда при нахождении процента от некоторой	величины	удобно пользоваться обыкновенными дробями — в тех случаях , когда , используя их , вычисления можно выполнить устно .
В каждом случае поясните смысл образовавшейся	величины	и укажите , в каких единицах она измеряется .
Поэтому , чтобы найти 10 какой - либо	величины	, достаточно разделить эту величину на 10 .
Вы знаете , что 31от величины — это этой	величины	.
Вы знаете , что 31от	величины	— это этой величины .
Вычисление процентов от заданной	величины	.
Для решения разнообразных задач на проценты важно научиться решать одну из главных задач : находить некоторое число процентов от заданной	величины	.
Увеличение и уменьшение	величины	на несколько процентов .
Вообще если надо получить качественную оценку ситуации , то числа или	величины	сравнивают с помощью деления .
Процент от некоторой	величины	— это одна сотая её часть .
Если это одноимённые	величины	— длины , площади , массы и т .
Найдите	величины	остальных углов .
Как находить процент от	величины	.
Нахождение	величины	по её проценту .
Найдите часть от	величины	.
Чтобы найти один процент от	величины	, нужно эту величину разделить на 100 .
Сравнить между собой два числа или две	величины	можно двумя способами .
Как вы знаете , процент — это сотая доля	величины	: 1 % — это одна сотая , 8 % — это восемь сотых , 17 % — это семнадцать сотых .
Иногда нужное число процентов от	величины	можно найти совсем просто .
а ) У призмы 2000	вершин	.
в ) Начертите ломаную из двух звеньев , одна из	вершин	которой лежит на прямой т .
Сколько	вершин	в каждом основании этой призмы ?
На координатной плоскости постройте треугольник АВС по координатам его	вершин	.
Что это за многогранник , если у него : а ) 13	вершин	; б ) 15 рёбер ? .
Сколько	вершин	, рёбер , граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Сколько у этой призмы	вершин	? .
Обозначьте эти два треугольника и запишите координаты их	вершин	.
На нелинованной бумаге начертите произвольный треугольник и постройте симметричный ему относительно одной из	вершин	.
У этих углов общая	вершина	— точка пересечения прямых .
Третья	вершина	треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
Существует ли призма , у которой 2001	вершина	? .
У него , как и у пирамиды , есть	вершина	и основание , только в основании лежит не многоугольник , а круг .
Из понятно , как построить треугольник AlB1Clt симметричный треугольнику АВС относительно точки О : достаточно построить точки , симметричные его	вершинам	.
Проведите окружности с центрами в	вершинах	треугольника и радиусом , равным 2 см .
Назовите : а ) вершину многоугольника , симметричную	вершине	В . б ) сторону , симметричную стороне KN ; в ) отрезок , симметричный отрезку ВС ; г ) равные стороны многоугольника .
проведите окружность произвольного радиуса с центром в	вершине	углов .
Какая точка симметрична	вершине	М относительно точки О ?
Правильным называют выпуклый многогранник , все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой	вершине	сходится одинаковое число граней .
с помощью транспортира , постройте пять равных углов с общей	вершиной	, составляющих в сумме 360 ° .
Назовите : а )	вершину	многоугольника , симметричную вершине В . б ) сторону , симметричную стороне KN ; в ) отрезок , симметричный отрезку ВС ; г ) равные стороны многоугольника .
Рассмотрите рисунок четырёхугольники ABCD и симметричны относительно прямой k. Симметричные	вершины	четырёхугольников обозначены одной и той же буквой , но с добавлением индекса — цифры , поставленной внизу .
Назовите	вершины	куба , симметричные относительно его центра .
Если вы перегнёте его так , чтобы совпали	вершины	при основании , то линия сгиба и будет его осью симметрии .
Опровергните утверждение , сделав рисунок : « Расстояние от точки до треугольника равно расстоянию от этой точки до ближайшей	вершины	треугольника » .
в ) от	вершины	К до диагонали основания АС ? .
Точки пересечения касательных обозначьте буквами К , М , L и N. Эти точки —	вершины	квадрата .
Постройте четырёхугольник ABCD , если его	вершины	имеют координаты .
Постройте все параллелограммы ,	вершины	которых находятся в этих точках .
Постройте окружность , касающуюся сторон угла , центр которой удалён от	вершины	угла на 5 см .
Постройте такую окружность , касающуюся сторон угла , чтобы точка касания была удалена от	вершины	угла на 3 см .
Начертите отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначьте его концы — две	вершины	будущего треугольника — буквами А и С .
а ) от	вершины	К до основания ABCD . б ) между рёбрами AD и ВС , АВ и CD .
Точки А , В и С —	вершины	параллелограмма .
Правильные многоугольники обладают удивительным свойством : все	вершины	правильного многоугольника лежат на одной окружности .
Третья вершина треугольника удалена от одной	вершины	на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
Перпендикуляр , проведённый из	вершины	конуса к плоскости основания , попадает в центр круга .
Рёбра , соединяющие	вершины	оснований , называют боковыми рёбрами призмы .
от	вершины	А до задней грани ; до левой боковой грани .
а ) от	вершины	В до передней грани параллелепипеда ; до его нижней грани .
	Вес	годовалого ребёнка в 3 раза больше , чем новорождённого .
Исходный	вес	ребёнка составляет 100 , т .
За год его	вес	увеличился на 200 .
Вес годовалого ребёнка составил 300 % от его	веса	при рождении .
На упаковке с сахарным песком , взвешенной на электронных	весах	, указана её стоимость : 25,30 р .
Чтобы	возведённые	на равнине стены крепостей и храмов стояли устойчиво , все вертикальные конструкции должны быть перпендикулярны плоскости земли .
Так	возводили	стены зданий ещё древние строители .
Нижняя часть башни — это куб , а средняя её часть —	восьмиугольная призма	, « вырезанная » из такого же куба .
Постройте правильный	восьмиугольник	.
правильного	восьмиугольника	? .
В таком случае говорят , что окружность	вписана	в пятиугольник или что пятиугольник описан вокруг окружности .
Точно так же можно начертить , например , треугольник , описанный вокруг окружности , окружность ,	вписанную	в четырёхугольник .
Постройте окружность ,	вписанную	в этот квадрат .
Правильным называют	выпуклый многогранник	, все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней .
Вы уже знаете , что числовое	выражение	можно вычислить , т .
По условию задачи составим	выражение	.
Это	выражение	задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения п. Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом .
Например ,	выражение	— числовое , а выражение — буквенное .
Что буквенное	выражение	можно превратить в числовое , заменив буквы числами .
Например ,	выражение	означает произведение всех натуральных чисел от 1 до 50 .
Это	выражение	означает , что собеседника просят оставить свой номер телефона или адрес , которые и считаются в этом случае координатами , по которым его можно будет найти .
Например , выражение — числовое , а	выражение	— буквенное .
Подставьте в	выражение	указанные числа и выполните вычисления .
Запишите	выражение	в виде дроби и сократите её .
Не выполняя вычислений , для каждого выражения из первой строки подберите равное ему	выражение	из второй и запишите соответствующие равенства .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы	выражение	которое имеет другой смысл : это сумма числа а и произведения чисел b и с .
Заметим , что , хотя	выражение	записывают без скобок , они в нём подразумеваются .
Прочитайте	выражение	, используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » .
Используя полученный результат , запишите	выражение	, значение которого противоположно данному выражению .
Составьте	выражение	для ответа на вопрос задачи : « Одноклассники подарили Маше на день рождения а гвоздик .
Подставив в	выражение	вместо а и b указанные числа , получим .
Возьмём , например ,	выражение	.
Буквенное	выражение	можно превратить в числовое , если все содержащиеся в нём буквы заменить числами .
Придумайте задачу , на вопрос которой можно ответить , составив	выражение	.
Если все содержащиеся в выражении буквы заменить числами , то получится числовое	выражение	.
Запишите это буквенное	выражение	, если в результате подстановок получились следующие числовые выражения .
Поставьте в	выражение	указанные числа и выполните вычисления .
В	выражение	, содержащее букву а , последовательно подставили три числа .
Рассматривая	выражение	как сумму , переставьте слагаемые в этой сумме всеми возможными способами .
Например ,	выражение	является другим способом записи частного .
Не записывая	выражение	в виде суммы явно , перечислите входящие в эту сумму слагаемые .
Используя рассмотренный приём , замените	выражение	равным , не содержащим скобок , действуя по следующему образцу .
Возьмём	выражение	.
Представьте	выражение	в виде суммы и выполните вычисления .
Представим данное	выражение	в виде суммы .
Чем различаются записи буквенного выражения числового , которое получается при подстановке в это	выражение	?
Подберите значение буквы , при котором	выражение	.
в	выражение	— нельзя вместо с подставлять число 0 .
А в	выражение	пока нельзя подставлять числа , меньшие 10 .
Так же как и в случае частного , отношением называют и значение выражения , и само	выражение	.
Числа , которые можно подставлять в буквенное	выражение	, называют допустимыми значениями букв .
Воспользуемся основным свойством дроби и преобразуем	выражение	так , чтобы в числителе и знаменателе дроби оказались натуральные числа .
Запишите	выражение	для вычисления числа осей симметрии правильного n - угольника .
Говорят , что при это	выражение	не имеет смысла .
О допустимых значениях букв в	выражении	.
Если все содержащиеся в	выражении	буквы заменить числами , то получится числовое выражение .
Если в	выражении	нет букв , то его называют числовым .
Допустимые значения букв в	выражении	.
На значения букв в	выражении	могут накладывать ограничения не только указанные в нём действия , но и условия рассматриваемых ситуаций .
Какие из чисел 0 , 10 , 20 , 25 , 30 являются допустимыми значениями буквы х в	выражении	.
Какие из чисел 0 , 2 , 6 , 10 являются допустимыми значениями буквы а в	выражении	.
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в	выражении	нет скобок , то умножение выполняется раньше сложения .
Вычисление значений буквенных	выражений	.
Запись и чтение математических	выражений	.
Правила конструирования математических	выражений	относятся к синтаксису математического языка .
Запишите каждое из	выражений	с соблюдением правил записи буквенных выражений .
Проиллюстрируйте эти правила на примерах вычисления значений	выражений	.
Сравните значения	выражений	.
Найдите значение каждого из	выражений	.
Из математических	выражений	составляют математические предложения .
При записи	выражений	, как числовых , так и буквенных , важно уметь правильно пользоваться скобками .
Найдите значения	выражений	.
В математике черту дроби используют как знак деления не только для натуральных чисел , но и для более сложных	выражений	.
Нахождение значений	выражений	.
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных »	выражений	, составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Запишите каждое из выражений с соблюдением правил записи буквенных	выражений	.
Чему равно значение каждого из	выражений	? .
Возможность заменять буквы числами — это , можно сказать , главное свойство буквенных	выражений	.
Вычисление числовых значений буквенных	выражений	.
Вычисление значений числовых	выражений	.
Для записи длинных	выражений	в математике часто используют многоточие .
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов — чисел ,	выражений	, точек , фигур и т .
Не производя вычислений , найдите значения следующих	выражений	при тех же значениях а и b .
Вычисление значений	выражений	, содержащих деление на десятичную дробь .
При нахождении значений таких дробей сначала вычисляют значения	выражений	, стоящих в числителе и знаменателе , и только потом выполняют деление .
Определите порядок действий и найдите значения	выражений	.
Вычисление значений	выражений	.
Значение каких	выражений	равно значению произведения ab ?
Кроме числовых	выражений	, мы имеем дело и с буквенными .
Не выполняя вычислений , сравните значения	выражений	.
Используя полученный результат , запишите выражение , значение которого противоположно данному	выражению	.
Математические	выражения	.
Приведите пример числового выражения и буквенного	выражения	.
Так же как и в случае частного , отношением называют и значение	выражения	, и само выражение .
5 Найдите разными способами значение	выражения	.
Приведите пример числового	выражения	и буквенного выражения .
4 Определите порядок действий и найдите значение	выражения	.
Записи и а 0 — это математические	выражения	.
Такие	выражения	, как — – 15 , смысла не имеют .
В этом языке , как и в других , есть свои буквы , слова и	выражения	.
Буквенные	выражения	и числовые подстановки .
Буквенные	выражения	записывают по определённым правилам .
Математические	выражения	— слова математического языка .
Для	выражения	величины отрицательным числом вводят некоторую начальную , нулевую отметку ; например , при измерении температуры за начало отсчёта принимается температура замерзания воды ( при нормальном атмосферном давлении ) , а при измерении глубины морей — уровень Мирового океана .
Часто употребляемые	выражения	.
Не выполняя вычислений , для каждого	выражения	из первой строки подберите равное ему выражение из второй и запишите соответствующие равенства .
Обратите десятичную дробь в обыкновенную и найдите значение	выражения	.
Объясните , как можно найти значение	выражения	.
Для	выражения	величин , которые могут изменяться в двух противоположных направлениях , людям потребовались отрицательные числа , т .
Известно , что . Найдите значение	выражения	.
Запишите в виде буквенного	выражения	произведение пяти последовательных натуральных чисел , начиная с числа .
Запишите в виде математического	выражения	.
Запишите ответ на вопрос задачи в виде	выражения	.
В дальнейшем вы будете часто встречать такие « многоэтажные » дроби , в которых числители и знаменатели — различные	выражения	.
Примите по очереди каждую дробную черту за основную и запишите соответствующие	выражения	.
Найдите значение	выражения	ab .
Обозначьте его какой - нибудь буквой и запишите в виде буквенного	выражения	.
Определите модуль какого из чисел , а или b , больше ; 2 ) положительным или отрицательным является значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	.
Запишите в виде буквенного	выражения	.
Найдите значение	выражения	ab при .
Запишите в виде математического	выражения	: а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Запишите в виде буквенного	выражения	произведение и сумму двух последовательных натуральных чисел .
Из одного буквенного	выражения	можно получить сколько угодно числовых .
Найдите значение буквенного	выражения	.
27 Буквенные	выражения	и числовые подстановки .
положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале	выражения	, записывают без скобок .
Так как , то значение	выражения	равно 35 .
Значение	выражения	.
Будем подставлять вместо буквы х различные числа , например и каждый раз вычислять значение получившегося числового	выражения	.
значение	выражения	равно 0 .
а ) значение	выражения	равно 0 .
Составление	выражения	по условию задачи с буквенными данными .
Его значение называют значением буквенного	выражения	при данных значениях букв .
Найдём значение	выражения	Заменим деление умножением на обратное число .
Найдём значение	выражения	.
Так , для	выражения	— допустимыми являются все числа , кроме 0 .
Чем различаются записи буквенного	выражения	числового , которое получается при подстановке в это выражение ?
Буквы , входящие в состав буквенного	выражения	, не всегда можно заменять какими угодно числами .
Запишите в виде буквенного	выражения	произведение суммы двух чисел на их разность .
Ответ на этот вопрос можно дать в виде буквенного	выражения	.
Таким образом , при и значение	выражения	равно 0,4 .
Запишите это буквенное выражение , если в результате подстановок получились следующие числовые	выражения	.
Измените знак перед каждым слагаемым на противоположный и найдите значение нового	выражения	.
Найдём значение	выражения	при .
Числовое значение буквенного	выражения	.
Укажите значение	выражения	при этих же значениях а , b и с .
Укажите значение	выражения	при этих же значениях букв .
Обратите внимание на то , что в числовых	выражениях	, которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали точку — знак умножения .
Определите по масштабу , во сколько раз реальная высота стен больше , чем их	высота	на чертеже : в 40 раз .
Определите по масштабу , во сколько раз реальная	высота	стен больше , чем их высота на чертеже : в 40 раз .
Длина , ширина и	высота	одного из них — м , а другого .
Чему равна его	высота	?
Чему равна	высота	стен дома , если на чертеже она равна 16 см ? .
Чему равна	высота	цилиндра ? .
Чему равна	высота	цилиндра ?
Сверните из этого же листа цилиндр с другой	высотой	.
Этот перпендикуляр называют	высотой	конуса .
Его называют	высотой	цилиндра .
Высота колонн храма на макете равна 41,7 см. Найдите реальную	высоту	колонн храма , выразите её в метрах , округлите ответ до десятых .
Найдите реальную	высоту	стен и выразите её в метрах .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а длину , ширину и	высоту	буквами а , b и с. Получим формулу .
Например , у параллелепипеда , имеющего различные длину , ширину и	высоту	, три плоскости симметрии .
а ) Андрей задумал число ,	вычел	из него 10 и получил 15,6 . б ) Таня задумала число , прибавила к нему 1,7 и получила 20,7 .
Составьте уравнение по условию задачи : « Коля задумал число , прибавил к нему 7 , результат умножил на 2 и из полученного произведения	вычел	10 .
Ученик задумал число ,	вычел	из него 1 , результат умножил на 5 , к произведению прибавил 10 и получил 15 .
Ученик задумал число , прибавил к нему 7 , эту сумму умножил на 3 , из результата	вычел	15 и получил 30 .
а ) Ученик задумал число , умножил его на 2 , из результата	вычел	15 , полученный ответ разделил на 10 и получил 0 .
Для нахождения суммы надо из 8	вычесть	3 и поставить перед результатом знак числа – 8 , т .
Действительно , если из равных величин ( площади квадрата и площади прямоугольника )	вычесть	поровну ( площадь белого многоугольника ) , то поровну и останется .
Как из одного целого числа	вычесть	другое ? .
Чтобы из одного числа	вычесть	другое , нужно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
В множестве натуральных чисел сложить можно любые два числа , но	вычесть	одно число из другого можно не всегда .
Так , нельзя из числа 3	вычесть	5 .
а ) Сформулируйте правила сложения чисел одного знака ; разных знаков ; найдите сумму чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5	вычесть	число – 10 .
Чтобы найти модуль суммы , нужно из большего модуля	вычесть	меньший .
Чтобы	вычесть	из одного числа другое , нужно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа	вычитаем	меньшее .
В этом пункте вы повторите сложение ,	вычитание	, умножение и деление дробей , а также научитесь выполнять более сложные вычисления .
Вычислите , заменив	вычитание	сложением .
41 Сложение и	вычитание	рациональных чисел .
Как вы знаете ,	вычитание	целых чисел сводится к их сложению .
Заменим	вычитание	числа .
Сложение и	вычитание	рациональных чисел .
Выполните	вычитание	.
Объясните , как заменить сложением	вычитание	числа – 3,5 из числа – 10 .
Замените	вычитание	сложением и вычислите .
Дело в том , что	вычитание	всегда сводится к сложению .
Запишите равенство , заменив	вычитание	сложением .
Сложение и	вычитание	десятичных дробей .
12 Сложение и	вычитание	десятичных дробей .
Затем заменили	вычитание	сложением и вычислили значение получившейся суммы .
выполнить	вычитание	, не обращая внимания на запятые .
Вообще	вычитание	всегда можно свести к сложению .
Найдём	вычитанием	неизвестное слагаемое 2х .
Величину убытка мы также нашли	вычитанием	.
Величину дохода в этом случае мы нашли	вычитанием	.
Так же поступают и при	вычитании	любых рациональных чисел .
Правила	вычитания	чисел .
Сначала приведём дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом	вычитания	дробей с равными знаменателями .
Результатом сложения ,	вычитания	и умножения двух десятичных дробей всегда является десятичная дробь .
Правило	вычитания	.
И в множестве целых чисел действие	вычитания	выполнимо всегда .
Только действия сложения и	вычитания	.
Рассмотренные правила сложения и	вычитания	позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
2 Сформулируйте правила сложения и	вычитания	дробей ; умножения дробей ; деления дробей .
Сначала сформулируем правила сложения и	вычитания	.
Запишите правило	вычитания	с помощью букв .
В 5 классе вы многое узнали о дробях , научились складывать ,	вычитать	, умножать и делить дроби , сравнивать их , отмечать точками на координатной прямой .
Вы уже умеете складывать ,	вычитать	, умножать и делить целые числа .
Дело в том , что с их введением нарушалось древнее правило , гласившее , что нельзя из меньшего числа	вычитать	большее .
Благодаря введению отрицательных чисел мы получили возможность	вычитать	из меньшего числа большее .
Дело в том , что ваши знания о числах ещё не позволяют	вычитать	из меньшего числа большее .
На примерах вычисления суммы и разности чисел 28,4 и 16,65 расскажите , как складывают и	вычитают	десятичные дроби .
По каким правилам складывают и	вычитают	десятичные дроби .
На примере вычисления суммы и разности чисел 5,63 и 4,972 объясните , как складывают и как	вычитают	десятичные дроби .
тетраэдр куб	гексаэдр	октаэдр икосаэдр додекаэдр .
Слово « тетраэдр » переводится с греческого как « четырёхгранник » ( « тетра » — четыре и « хедрон » — грань ) , «	гексаэдр	» — шестигранник .
Вы уже знакомы с очень многими	геометрическими фигурами	, а вот вычислить площадь можете только прямоугольника или квадрата .
Вспомните параллели и меридианы , нанесённые на	глобус	.
Если животное будет поворачиваться вокруг этой прямой на определённый	градус	, то оно снова будет входить в исходный контур .
В самом деле , вполне можно было бы говорить так : « Сегодня ожидается температура от одного	градуса	мороза до одного градуса тепла » .
Одна 1 секунда равна — 1/60 минуты или 1/3600	градуса	.
Градус разделили на 60 равных частей , получили минуту , которая равна — 1/60	градуса	.
В самом деле , вполне можно было бы говорить так : « Сегодня ожидается температура от одного градуса мороза до одного	градуса	тепла » .
Запишите с помощью знаков « + » и « – » сообщения службы погоды : а ) 20	градусов	тепла ; б ) 20 градусов мороза .
Запишите с помощью знаков « + » и « – » сообщения службы погоды : а ) 20 градусов тепла ; б ) 20	градусов	мороза .
Правильным называют выпуклый многогранник , все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число	граней	.
а ) Шар поместили в куб так , что он касается всех	граней	куба .
Среди	граней	призмы различают основания ( их два ) и боковые грани .
В куб с ребром 4 ед . поместили шар , который касается всех	граней	куба .
Сколько вершин , рёбер ,	граней	: а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Цилиндр помещён в параллелепипед так , что касается всех его	граней	.
Сколько	граней	?
Сколько у неё боковых	граней	?
всего	граней	?
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до	грани	CMND равно длине ребра ВС .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые	грани	— правильные треугольники .
а ) от вершины В до передней грани параллелепипеда ; до его нижней	грани	.
Боковые	грани	прямой призмы — прямоугольники .
Среди граней призмы различают основания ( их два ) и боковые	грани	.
Его называют прямоугольным параллелепипедом : все его	грани	являются прямоугольниками .
а ) от вершины В до передней	грани	параллелепипеда ; до его нижней грани .
Правильным называют выпуклый многогранник , все	грани	которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно	грани	AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
от вершины А до задней	грани	; до левой боковой грани .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно	грани	CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
от вершины А до задней грани ; до левой боковой	грани	.
Закрасьте видимые боковые	грани	одним цветом , а видимое основание другим .
в ) У призмы 22	грани	.
Какую форму имеют	грани	призмы ? .
Существует ли призма , у которой 23	грани	? .
от точки С до передней	грани	; до нижней грани .
от точки С до передней грани ; до нижней	грани	.
б ) Какой из отрезков самый длинный : ребро куба ВС , диагональ	грани	АВ или диагональ куба АС ?
Слово « тетраэдр » переводится с греческого как « четырёхгранник » ( « тетра » — четыре и « хедрон » —	грань	) , « гексаэдр » — шестигранник .
Столбчатые диаграммы удобно использовать в тех случаях , когда нужно сравнить некоторые данные ( например , результаты опроса общественного мнения в разных возрастных	группах	по одному и тому же вопросу ) , показать , как меняется со временем интересующее нас явление ( или , как говорят иначе , показать тенденцию ) .
в 2 раза длиннее , чем	данный	?
в 3 раза короче , чем	данный	? .
А если каждую из шести дуг окружности разделить пополам , то мы сможем построить правильный	двенадцатиугольник	.
а ) На рисунке показано , как можно построить правильный	двенадцатиугольник	.
В старинных системах мер , которые не сохранились до нашего времени , чаще всего деление единиц измерения шло по	двоичной	системе , т .
Размеры участка земли на плане составляют его	действительных	размеров .
Он нужен для того , чтобы мы знали , во сколько раз размеры местности , изображённой на карте или плане , меньше её	действительных	размеров .
Выполните	деление	( используйте в качестве образца пример 1 ) .
Поэтому	деление	уголком и оказалось бесконечным .
Что отличает	деление	от других действий с десятичными дробями .
Выполните	деление	.
Умножение и	деление	десятичной дроби на единицу с нулями .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить	деление	на натуральное число .
Поэтому	деление	никогда не закончится , сколько бы мы его ни продолжали .
Если частное десятичных дробей выражается десятичной дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и	деление	натуральных чисел .
В старинных системах мер , которые не сохранились до нашего времени , чаще всего	деление	единиц измерения шло по двоичной системе , т .
Сначала рассмотрим	деление	десятичной дроби на натуральное число .
Этот случай можно считать главным , так как	деление	на десятичную дробь , как вы потом увидите , всегда можно свести к делению на натуральное число .
Разберите , как выполнено	деление	.
После этого продолжали	деление	до тех пор , пока не получили в остатке нуль .
Этот нуль означает , что	деление	закончено .
При нахождении значений таких дробей сначала вычисляют значения выражений , стоящих в числителе и знаменателе , и только потом выполняют	деление	.
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и	деление	натуральных чисел .
Сразу после того как закончено	деление	целой части , в частном ставят запятую .
В таких случаях в частном пишут 0 , после чего ставят запятую и продолжают	деление	.
Выполнив	деление	, получим .
Найдите частное натуральных чисел , выполнив	деление	уголком .
Поэтому , чтобы продолжить	деление	, мы последовательно приписывали к делимому нули и вычисляли следующие цифры частного .
Если частное десятичных дробей выражается десятичной дробью , то	деление	можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
42 Умножение и	деление	рациональных чисел .
Выполнив	деление	уголком , получим , что .
Найдём значение выражения Заменим	деление	умножением на обратное число .
Рассмотрим теперь	деление	на десятичную дробь .
Таким образом , вместо деления на десятичную дробь 0,45 можно выполнить	деление	на число 45 .
Посмотрите , как выполнено	деление	.
Вычисление значений выражений , содержащих	деление	на десятичную дробь .
Умножение и	деление	рациональных чисел .
А умножение и	деление	десятичной дроби на единицу с нулями сводится к переносу запятой .
Умножение и	деление	целых чисел .
Вычислите частное , выполнив	деление	уголком .
Умножение и	деление	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 .
На примерах объясните , как выполняют	деление	чисел одного знака и разных знаков .
Умножение и	деление	натурального числа на 10 , 100 , 1000 и т .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с целыми числами — умножение и	деление	.
Проверьте с помощью умножения , верно ли выполнено	деление	.
38 Умножение и	деление	целых чисел .
Что умножение и	деление	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 сводится к переносу запятой .
13 Умножение и	деление	десятичной дроби .
В этом пункте вы повторите сложение , вычитание , умножение и	деление	дробей , а также научитесь выполнять более сложные вычисления .
Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по и и t умножением находим а ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по	делением	находим и ) .
Иначе обстоит дело с	делением	.
Найдём	делением	неизвестный множитель х .
Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по и и t умножением находим а ) ; ( по s и v	делением	находим t ) ; ( по делением находим и ) .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при	делении	на 3 в остатке 2 .
Сформулируйте правила знаков при умножении и при	делении	.
При	делении	любого целого числа на – 1 получается противоположное число .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при	делении	на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Сформулируйте правила знаков при умножении и	делении	.
При	делении	числа на десятичную дробь можно действовать в соответствии со следующим правилом .
При	делении	любого целого числа на 1 получается это же число .
При	делении	нуля на любое целое число , не равное нулю , в частном получается нуль .
Этот случай легко свести к	делению	на натуральное число , выполнять которое мы уже умеем .
является сигналом к	делению	.
В примерах , рассмотренных выше , для вычисления частного десятичных дробей мы прибегали к	делению	уголком .
Этот случай можно считать главным , так как деление на десятичную дробь , как вы потом увидите , всегда можно свести к	делению	на натуральное число .
Если обыкновенная дробь представляется в виде десятичной , то получить её десятичную запись можно с помощью	деления	уголком .
Построить правильный многоугольник можно так : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки	деления	отрезками .
Для ответа на вопрос задачи мы записали дробь которая выражает частное от	деления	32 000 на 80 000 .
Правила умножения и	деления	рациональных чисел одного знака и разных знаков .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие	деления	выполнимо не всегда .
В математике черту дроби используют как знак	деления	не только для натуральных чисел , но и для более сложных выражений .
Сколько классов содержит разбиение множества натуральных чисел по остаткам от	деления	на 4 ?
Черту дроби рассматривают как другое обозначение действия	деления	двух натуральных чисел .
Таким образом , вместо	деления	на десятичную дробь 0,45 можно выполнить деление на число 45 .
2 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей ; умножения дробей ;	деления	дробей .
Попробуем вычислить его с помощью	деления	уголком .
Сформулируем правило	деления	рациональных чисел .
Можно указать и другие разбиения множества N , например по остаткам от	деления	на 3 .
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет находить результат	деления	на 10 , 100 , 1000 и т .
д. раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и	деления	на степень 10 .
Сформулируйте правило	деления	дроби на дробь .
Вообще если надо получить качественную оценку ситуации , то числа или величины сравнивают с помощью	деления	.
Действительно , вы знаете , что частное от	деления	натурального числа а на натуральное число b равно дроби .
Вы видите , что в процессе	деления	всё время повторяется один и тот же остаток — число 2 .
Наконец , сформулируем правило	деления	дробей .
Многие закономерности , которые были связаны с измерениями длин , площадей и объёмов , необходимыми для строительства зданий , прокладывания каналов ,	деления	земельных участков , торговли , путешествий , стали известны человеку уже очень давно .
Правила	деления	двух целых чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Придумайте другую ломаную , которая	делила	бы квадрат 4X4 на две равные части .
каждая единица	делилась	на две равные части .
В Вавилоне действовала не десятичная , а шестидесятеричная система счисления , поэтому единицы измерения	делили	не на 10 , 100 и т .
Вспомним , как мы	делили	целые числа .
Этот пример отличается от предыдущего тем , что целая часть	делимого	меньше делителя .
Его значение не изменится , если	делимое	и делитель умножить на 100 .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в	делимом	и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите внимание : чтобы получить частное , достаточно в	делимом	и делителе перенести запятую на два знака вправо .
Поэтому , чтобы продолжить деление , мы последовательно приписывали к	делимому	нули и вычисляли следующие цифры частного .
Заметим , что в подобных случаях нуль можно приписывать не к	делимому	, а непосредственно к остатку .
Прямая BD перпендикулярна отрезку АС и	делит	его пополам .
Точка с координатой 0	делит	прямую на два луча .
Она проходит через середину основания , перпендикулярна ему и	делит	противолежащий основанию угол пополам .
Значит , диагональ	делит	параллелограмм на два равных треугольника .
д. , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в	делителе	.
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и	делителе	запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите внимание : чтобы получить частное , достаточно в делимом и	делителе	перенести запятую на два знака вправо .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в	делителе	; выполнить деление на натуральное число .
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В — множество натуральных	делителей	числа 24 .
Пусть А — множество натуральных	делителей	числа 18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Будем последовательно находить общие	делители	числителя и знаменателя и сокращать на них дробь .
Если знаменатель обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой	делитель	, отличный от 2 и 5 , и эта дробь несократима , то её нельзя представить в виде десятичной .
Преобразуйте частное так , чтобы	делитель	был целым числом .
Сначала избавимся от дробей , умножив оба члена отношения на 10 , а затем разделим оба члена нового отношения на их общий	делитель	.
Его значение не изменится , если делимое и	делитель	умножить на 100 .
Чтобы найти модуль частного , надо модуль делимого разделить на модуль	делителя	.
Этот пример отличается от предыдущего тем , что целая часть делимого меньше	делителя	.
На сколько частей	делится	сфера одной большой окружностью ?
Например , её нельзя привести к знаменателю 10 , так как 10 не	делится	на 3 .
В системе измерения времени и углов сохранились древние традиции : например , час	делится	на 60 минут , минута - на 60 секунд .
На сколько частей	делится	окружность одним диаметром ?
Зеркальную симметрию организмов , которая выражается в том , что тело	делится	на правую и левую половины , биологи называют билатеральной .
Наименьшим числом , которое	делится	на каждое из них , является их произведение — 33 .
Будем последовательно перебирать числа , кратные 25 ( большему знаменателю ) , и проверять , делятся ли они на 15 : число 50 не делится на 15 , а число 75 уже	делится	.
Вот примеры математических предложений : 3 ) 87	делится	на 9 ; 4 ) а — чётное число .
Будем последовательно перебирать числа , кратные 25 ( большему знаменателю ) , и проверять , делятся ли они на 15 : число 50 не	делится	на 15 , а число 75 уже делится .
В самом деле , при с = 0 в знаменателе дроби окажется 0 , а на 0 , как вы знаете ,	делить	нельзя .
Вы уже умеете складывать , вычитать , умножать и	делить	целые числа .
В жизни нам часто приходится	делить	ту или иную величину на части , отношение которых равно заданному отношению .
В 5 классе вы многое узнали о дробях , научились складывать , вычитать , умножать и	делить	дроби , сравнивать их , отмечать точками на координатной прямой .
Начертим координатную прямую и выберем такой единичный отрезок , который удобно	делить	на 10 равных частей .
Так как , то будем	делить	0,5 на 3 .
Как обычно , на нуль	делить	нельзя .
Поэтому будем	делить	уголком 10 на 6 до тех пор , пока не узнаем цифру в разряде тысячных .
Приведём дробь — к знаменателю 16 . б ) Общий знаменатель данных дробей должен	делиться	и на 11 , и на 3 .
Секунду	делят	не на 60 равных частей , а на десятые , сотые и тысячные .
п. приняты именно потому , что расстояние	делят	на время .
По какому правилу	делят	десятичную дробь на единицу с нулями ?
Они	делят	плоскость на четыре угла .
По каким правилам десятичную дробь умножают и	делят	на 10 , 100 , 1000 и т . д. ? .
Например , ботаники	делят	деревья на лиственные и хвойные .
Два взаимно перпендикулярных диаметра	делят	окружность на четыре равные части .
Пусть А — множество чисел , которые	делятся	на 4 , но не делятся на 2 .
Пусть А — множество чисел , которые делятся на 4 , но не	делятся	на 2 .
Будем последовательно перебирать числа , кратные 25 ( большему знаменателю ) , и проверять ,	делятся	ли они на 15 : число 50 не делится на 15 , а число 75 уже делится .
Какие из них	делятся	: а ) на 2 ; б ) на 5 ; в ) на 3 ; г ) на 6 ? .
Это означает , что диагонали точкой пересечения	делятся	пополам .
На рисунке большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел ,	делящихся	на 3 .
На рисунке большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел ,	делящихся	на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Например , участок маршрута , идущий от сухого	дерева	к белому камню , можно записать так : ( сухое дерево , 53 ° , 100 м ) .
Например , участок маршрута , идущий от сухого дерева к белому камню , можно записать так : ( сухое	дерево	, 53 ° , 100 м ) .
Постройте	дерево	возможных вариантов к задаче о туристских маршрутах .
Например , ботаники делят	деревья	на лиственные и хвойные .
	Десятиугольника	?
В Вавилоне действовала не	десятичная	, а шестидесятеричная система счисления , поэтому единицы измерения делили не на 10 , 100 и т .
Читается	десятичная	дробь 7,35 так же , как и число 7 : « 7 целых 35 сотых » .
Что	десятичная	система записи натуральных чисел распространяется и на запись дробей .
Однако мы знаем , что	десятичная	дробь не изменится , если справа к ней приписать нули .
Дана	десятичная	дробь 6,73401152 .
Например ,	десятичная	дробь 3,047 читается « 3 целых 47 тысячных » .
Найдите значение степени : 2 ) Сколько цифр после запятой содержит	десятичная	дробь , равная .
Результатом сложения , вычитания и умножения двух десятичных дробей всегда является	десятичная	дробь .
Чтобы запомнить первые цифры	десятичного	приближения числа π , существуют забавные поговорки , например : « Это я знаю и помню прекрасно » .
Таким образом , 7,35 — это	десятичное	представление 35 смешанной дроби .
Какие разряды содержатся в	десятичной	дроби 12,0345 ?
Как выразить проценты	десятичной	дробью ?
Представьте самостоятельно каждую обыкновенную дробь , приведённую в таблице , в виде	десятичной	и запомните результаты .
Главное преимущество	десятичной	записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий над натуральным числами — надо только научиться правильно ставить результате запятую .
Представим дробь — в виде	десятичной	.
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении	десятичной	дроби на десятичную дробь ; на натуральное число .
Найдите частное , представив данные дроби в виде обыкновенных , и , если возможно , выразите ответ	десятичной	дробью .
Всякую ли обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	?
Например , в	десятичной	дроби 0,0105 последний разряд — это десятитысячные .
При округлении	десятичной	дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом десятичных знаков или даже целым числом .
Чтобы перейти от	десятичной	дроби к соответствующей обыкновенной , достаточно её прочитать и записать знаменатель дробной части в явном виде .
Представьте в виде	десятичной	дроби .
13 Умножение и деление	десятичной	дроби .
Выразите	десятичной	дробью 35 % .
Как выразить проценты	десятичной	дробью .
Однако после сокращения дроби он « исчезнет » , и эту дробь можно будет записать в виде	десятичной	.
Чтобы выразить проценты	десятичной	дробью , надо число , стоящее перед знаком процента , умножить на 0,01 , или , что одно и то же , разделить на 100 .
Выразим	десятичной	дробью проценты в следующих предложениях .
Сложение обыкновенной дроби и	десятичной	.
д. , т . е . её нельзя представить в виде	десятичной	.
Поэтому при округлении	десятичной	дроби 21,28 до десятых её и заменяют числом 21,3 .
Если знаменатель обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , и эта дробь несократима , то её нельзя представить в виде	десятичной	.
Способ записи десятичных дробей является естественным обобщением	десятичной	системы счисления , принятой для записи натуральных чисел .
Знаки , стоящие в	десятичной	дроби после запятой , называют десятичными знаками .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде	десятичной	или десятичную в виде обыкновенной .
Найдите приближённое значение частного , выраженное	десятичной	дробью с двумя знаками после запятой .
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить проценты	десятичной	дробью .
Представление процента	десятичной	дробью .
Чтобы перейти от	десятичной	дроби к процентам , надо выполнить обратную операцию .
У каждой	десятичной	дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Выразим долю каждого газа	десятичной	дробью .
Итак , чтобы перейти от процентов к	десятичной	дроби , надо число процентов разделить на 100 .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую	десятичной	дроби 0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть единичного отрезка , которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Умножение и деление	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 .
Не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде	десятичной	.
Что произошло с этой	десятичной	дробью ? .
В	десятичной	дроби с « длинным хвостом » зачеркнули две последние цифры .
Но для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную дробь заменяют близкой ей	десятичной	дробью .
Сравнение обыкновенной дроби и	десятичной	.
д. Что происходит с этим числом , если оно является : а ) натуральным числом ; б )	десятичной	дробью ? .
Приведите пример , когда в результате округления	десятичной	дроби получается целое число .
Выразим проценты	десятичной	дробью .
Дробь - в виде	десятичной	дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 .
Выразите приближённо обыкновенную дробь	десятичной	с одним , двумя , тремя знаками после запятой .
Чтобы построить точку , соответствующую	десятичной	дроби 0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
а ) Выразите	десятичной	дробью каждую величину .
Выразите время в часах сначала обыкновенной дробью , а затем , если можно ,	десятичной	.
Поэтому любое натуральное число можно представить в виде	десятичной	дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
Выразите время в часах и , если возможно , запишите ответ в виде	десятичной	дроби .
Если в	десятичной	дроби последние цифры — нули , то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Если к	десятичной	дроби приписать справа какое угодно количество нулей , то получится дробь , равная данной .
В	десятичной	дроби с « длинным хвостом » среди цифр после запятой есть один нуль ( все остальные цифры не нули ) .
Образец . б ) нельзя представить в виде	десятичной	дроби дробь .
Сравните получившееся число с исходным , если этот нуль стоял : а ) в конце	десятичной	дроби ; б ) не в конце десятичной дроби .
Выразите	десятичной	дробью : 124 % , 175 % , 105 % , 250 % .
а ) можно представить в виде	десятичной	дроби дробь .
Докажите , что можно представить в виде	десятичной	дроби .
Понятно , что нули , записанные в конце	десятичной	дроби , можно отбросить .
Выразите	десятичной	дробью .
Сколько цифр после запятой должно содержаться в	десятичной	дроби , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 1000 ?
д. к	десятичной	?
Как , например , записать в виде	десятичной	дроби число .
Как записать десятичную дробь , равную данной	десятичной	дроби ?
Запишите в виде	десятичной	дроби .
б ) В каком случае несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде	десятичной	? .
а ) Какую обыкновенную дробь можно записать в виде	десятичной	? .
Выразите	десятичной	дробью , а затем обыкновенной .
Представьте дробь в виде	десятичной	: Образец .
Вы могли увидеть точку в записи	десятичной	дроби , пользуясь калькулятором или компьютером .
Чему равен знаменатель обыкновенной дроби , если в её	десятичной	записи содержится 2 знака после запятой ?
Запишите в виде	десятичной	дроби число .
В знаменателе этой дроби 5 нулей , поэтому в	десятичной	дроби должно быть 5 цифр после запятой .
Сравните получившееся число с исходным , если этот нуль стоял : а ) в конце десятичной дроби ; б ) не в конце	десятичной	дроби .
Определите в виде	десятичной	( если да , то запишите ) .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент	десятичной	дробью можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
Дробь можно представить в виде	десятичной	.
Деление уголком	десятичной	дроби на натуральное число .
Представьте дробь в виде	десятичной	двумя способами .
д. с помощью переноса запятой в любом случае : при необходимости к	десятичной	дроби слева нужно приписать вспомогательные нули .
Что умножение и деление	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 сводится к переносу запятой .
Деление	десятичной	дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
При этом в произведении нужно отделять запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся	десятичной	дробью .
Выразите это частное приближённо	десятичной	дробью с двумя знаками после запятой .
Какие разряды используются для	десятичной	записи дробных чисел .
Умножение	десятичной	дроби на натуральное число .
Вы видите , что мы смогли представить обыкновенную дробь в виде	десятичной	новым способом , не домножая знаменатель на .
Умножение	десятичной	дроби на единицу с нулями .
Деление	десятичной	дроби на единицу с нулями .
В настоящее время с помощью компьютера найдено приближённое значение π , выраженное	десятичной	дробью , содержащей более триллиона знаков после запятой .
Умножение и деление	десятичной	дроби на единицу с нулями .
Если обыкновенная дробь представляется в виде	десятичной	, то получить её десятичную запись можно с помощью деления уголком .
Как изменится положение запятой в	десятичной	дроби , если .
Представьте дробь — в виде	десятичной	дроби двумя способами .
Чтобы записать . обыкновенную дробь в виде	десятичной	, нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и т .
Однако не всякое число можно записать и в виде	десятичной	, и в виде обыкновенной дроби .
Если число выражено	десятичной	дробью , то его всегда можно представить и в виде обыкновенной дроби .
В первом множителе две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в знаменателе дроби — получилось число с тремя нулями , а в соответствующей	десятичной	дроби оказалось три цифры после запятой .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде	десятичной	дроби .
Это и понятно : ведь умножение	десятичной	дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Сначала рассмотрим деление	десятичной	дроби на натуральное число .
Деление	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 и т .
Умножение	десятичной	дроби на десятичную .
Деление	десятичной	дроби на степень 10 .
Умножение	десятичной	дроби на обыкновенную .
Умножение	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 и т .
дробь - можно представить в виде	десятичной	.
Как проценты выразить	десятичной	дробью ?
Выполните умножение и , если возможно , представьте ответ в виде	десятичной	дроби .
Как определяют положение запятой в произведении	десятичной	дроби и натурального числа ?
Выразите	десятичной	дробью : а ) 39 % ; б ) 50 % ; в ) 6 % ; г ) 230 % .
Запишите в виде	десятичной	дроби и прочитайте её .
Таким образом , частное двух десятичных дробей не всегда можно выразить	десятичной	дробью .
Случай , когда частное выражается	десятичной	дробью .
В первом случае мы получили дробь которую можно представить в виде	десятичной	дроби : = 0,2 .
Если знаменатель обыкновенной дроби не имеет никаких простых делителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	.
А умножение и деление	десятичной	дроби на единицу с нулями сводится к переносу запятой .
Деление уголком	десятичной	дроби на десятичную .
Вспомните : к	десятичной	дроби можно приписывать справа любое число нулей , при этом получается дробь , равная данной .
В	десятичной	дроби после запятой столько цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Если частное десятичных дробей выражается	десятичной	дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
Рассмотрим теперь деление на	десятичную	дробь .
а ) В числе 54038 отделите запятой одну цифру справа и прочитайте получившуюся	десятичную	дробь .
Перевод обыкновенной дроби в	десятичную	.
Если обыкновенная дробь представляется в виде десятичной , то получить её	десятичную	запись можно с помощью деления уголком .
Последовательно сдвигайте эту запятую на одну цифру влево и каждый раз читайте	десятичную	дробь .
Таким образом , вместо деления на	десятичную	дробь 0,45 можно выполнить деление на число 45 .
Рассмотрите	десятичную	дробь 687,02569 .
Как записать	десятичную	дробь , равную данной десятичной дроби ?
Прочитайте	десятичную	дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби : а ) 0,9 ; б)0,123 ; в ) 0,03 ; г ) 0,027 ; д ) 10,1 ; е ) 12,10002 ; ж ) 6,009 .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых : а ) натуральное число 3205 ; б )	десятичную	дробь 0,3205 .
Запишите частное в виде обыкновенной дроби и , если возможно , обратите её в	десятичную	.
Обратите	десятичную	дробь в обыкновенную и найдите значение выражения .
До какого разряда округляли	десятичную	дробь , если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Найдите какую - нибудь	десятичную	дробь , заключённую между : а ) 2,7 и 2,8 ; б ) 0,8 и 0,9 .
Это столь привычное сегодня удивительное число позволило им создать	десятичную	систему записи чисел и разработать правила операций над записанными так числами .
Этот случай можно считать главным , так как деление на	десятичную	дробь , как вы потом увидите , всегда можно свести к делению на натуральное число .
Запишите	десятичную	дробь : а ) нуль целых одна десятая ; б ) нуль целых сорок семь сотых .
Дробь нельзя обратить в	десятичную	, поэтому запишем в виде обыкновенной дроби число 0,27 .
Чтобы перемножить	десятичную	дробь и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Отделив запятой справа три цифры , получили	десятичную	дробь 28,200 , т .
Верно ли , что . Замените данную	десятичную	дробь равной наиболее простого вида : а ) 3,6000 ; б ) 70,0200 ; в ) 0,8700;г )
Выразите	десятичную	дробь приближённо в процентах , предварительно округлив её до сотых : а ) 0,843 ; б ) 0,1391 ; в ) 0,5016 ; г ) 0,0449 .
Запишите какую - нибудь	десятичную	дробь с четырьмя знаками после запятой и прочитайте её .
	Десятичную	дробь 282,0954 до десятых ; до сотых ; до тысячных .
А дробь полученная во втором случае , в	десятичную	не обращается .
10 Перевод обыкновенной дроби в	десятичную	.
Как	десятичную	дробь выразить в процентах ?
Деление уголком десятичной дроби на	десятичную	.
Умножение десятичной дроби на	десятичную	.
Как выразить	десятичную	дробь в процентах ?
Как выразить	десятичную	дробь в процентах .
Чтобы умножить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 и т .
По какому правилу делят	десятичную	дробь на единицу с нулями ?
Представьте	десятичную	дробь в виде суммы разрядных слагаемых : а ) 0,149 ; б ) 2,36 ; в ) 15,03 .
Читайте каждую получившуюся	десятичную	дробь .
По какому правилу умножают	десятичную	дробь на единицу с нулями ?
На примере вычисления частного расскажите , как можно разделить уголком	десятичную	дробь на десятичную .
Таким образом , чтобы выразить	десятичную	дробь в процентах , надо эту дробь умножить на 100 .
Выразив	десятичную	дробь 1,6 в процентах , получим 160 % .
По каким правилам	десятичную	дробь умножают и делят на 10 , 100 , 1000 и т . д. ? .
В каком случае данная обыкновенная дробь обращается в	десятичную	.
Чтобы разделить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 и т .
Обратите обыкновенную дробь в	десятичную	, разделив уголком числитель на знаменатель .
Как можно сравнить обыкновенную дробь и	десятичную	.
Чтобы сложить обыкновенную дробь и	десятичную	, их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или	десятичную	в виде обыкновенной .
На примере вычисления частного расскажите , как можно разделить уголком десятичную дробь на	десятичную	.
Как можно сложить	десятичную	дробь и обыкновенную .
Вычисление значений выражений , содержащих деление на	десятичную	дробь .
Чтобы разделить число на	десятичную	дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
При делении числа на	десятичную	дробь можно действовать в соответствии со следующим правилом .
Как умножают десятичную дробь на	десятичную	, на натуральное число , на обыкновенную дробь .
Чтобы выразить в процентах обыкновенную дробь , надо сначала превратить её в	десятичную	.
Как умножают	десятичную	дробь на десятичную , на натуральное число , на обыкновенную дробь .
д. , которые имели большое практическое значение , они стали применять так называемую	десятичную	запись , похожую на запись натуральных чисел .
Вычислите , обратив обыкновенную дробь в	десятичную	.
Будем умножать	десятичную	дробь 6,735 на 10 , 100 , 1000 и т .
Новый способ перевода обыкновенной дроби в	десятичную	.
Вычислите , обратив	десятичную	дробь в обыкновенную .
А вот сумму дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в	десятичную	не обращается .
это частное равно дроби , которая в	десятичную	не обращается .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на	десятичную	дробь ; на натуральное число .
Деление на	десятичную	дробь в общем случае .
Всякую ли	десятичную	дробь можно представить в виде обыкновенной ?
Выполните прикидку результата , округлив	десятичные	дроби до единиц , а затем найдите точный ответ .
а ) Найдите все	десятичные	дроби с тремя знаками после запятой , при округлении которых до сотых получается число 3,27 .
Как округляют	десятичные	дроби .
Вы уже умеете сравнивать две обыкновенные и две	десятичные	дроби .
В Европе	десятичные	дроби в XVI в .
На примере вычисления суммы и разности чисел 5,63 и 4,972 объясните , как складывают и как вычитают	десятичные	дроби .
Равные	десятичные	дроби .
Сравним	десятичные	дроби 2,7 и 3,1 .
Сравним	десятичные	дроби 2,5081 и 2,508 .
Например , две	десятичные	дроби 0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число .
Сравним	десятичные	дроби 1,8 и 1,42 .
А	десятичные	дроби , как и натуральные числа , сравнивают по разрядам .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать	десятичные	дроби при выполнении процентных вычислений .
Запишите все	десятичные	дроби , которые можно составить из цифр 1 , 2 и 3 , соблюдая следующее условие : каждая цифра используется в записи числа не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
Напишите три	десятичные	дроби , каждая из которых : а ) больше , чем 9,61 , но меньше , чем 9,62 ; б ) меньше , чем 0,0001 .
Вычитать	десятичные	дроби также можно в столбик .
Приведите дроби к одному из знаменателей 10 , 100 или 1000 и запишите соответствующие	десятичные	дроби .
Запишите три	десятичные	дроби , равные числу 5,070 .
Прошли века , прежде чем	десятичные	дроби приобрели современный вид .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных дробей , назвал	десятичные	доли десятыми , десятичными секундами , десятичными терциями , десятичными кварталами и т .
Используя	десятичные	дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы длины .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение —	десятичные	дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Проценты и	десятичные	дроби .
По каким правилам складывают и вычитают	десятичные	дроби .
Их	десятичные	представления полезно помнить .
Известны	десятичные	приближения числа π с очень большим числом десятичных знаков .
Выпишите все	десятичные	дроби с одним знаком после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между .
Чтобы понять , как складывают	десятичные	дроби , обратимся к примеру .
На примерах вычисления суммы и разности чисел 28,4 и 16,65 расскажите , как складывают и вычитают	десятичные	дроби .
Поэтому , чтобы сложить эти	десятичные	дроби , необязательно обращать их в обыкновенные .
Но для практических расчётов	десятичные	дроби удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью .
д. , а	десятичные	дроби можно округлять до единиц , десятых , сотых и т .
В самом деле ,	десятичные	дроби — это другая форма записи соответствующих обыкновенных дробей , а для обыкновенных дробей эти свойства выполняются .
Теперь вы сможете использовать при решении таких задач	десятичные	дроби .
Прочитайте	десятичные	дроби .
Как сравнивают	десятичные	дроби .
Перейдём от обыкновенных дробей к	десятичным	, а затем к процентам .
Но в такой форме ответ неудобен , поэтому перейдём к	десятичным	дробям .
Совместные действия с обыкновенными и	десятичными	дробями .
Удобство обращения с	десятичными	дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Мы уже говорили о том , что с	десятичными	дробями работать легче , чем с обыкновенными .
Что отличает деление от других действий с	десятичными	дробями .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять	десятичными	дробями и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных дробей , назвал десятичные доли десятыми ,	десятичными	секундами , десятичными терциями , десятичными кварталами и т .
Такие записи называют	десятичными	дробями .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных дробей , назвал десятичные доли десятыми , десятичными секундами , десятичными терциями ,	десятичными	кварталами и т .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над	десятичными	дробями почти не отличаются от действий над натуральным числами — надо только научиться правильно ставить результате запятую .
Действия с	десятичными	дробями .
Знаки , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют	десятичными	знаками .
Какие дроби называют	десятичными	.
9 Какие дроби называют	десятичными	.
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных дробей , назвал десятичные доли десятыми , десятичными секундами ,	десятичными	терциями , десятичными кварталами и т .
Эти действия с	десятичными	дробями мы можем выполнять практически так же , как с натуральными числами .
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к дроби или от дроби к процентам , вычислять с	десятичными	дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Разные действия с	десятичными	дробями .
Действия с обыкновенными и	десятичными	дробями .
Число 21,28 заключено между	десятичными	дробями 21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Умножение	десятичных	дробей , как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
Найдём произведение	десятичных	дробей 3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными дробями .
14 Умножение	десятичных	дробей .
Таким образом ,	десятичных	знаков в произведении столько же , сколько их в множителях вместе .
Известны десятичные приближения числа π с очень большим числом	десятичных	знаков .
Рассмотренный пример подсказывает нам правило умножения	десятичных	дробей .
Чтобы найти произведение двух	десятичных	дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
В примерах , рассмотренных выше , для вычисления частного	десятичных	дробей мы прибегали к делению уголком .
Частное	десятичных	дробей всегда можно найти , перейдя к обыкновенным дробям .
Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных	десятичных	дробей убрать запятые .
Чем отличается округление	десятичных	дробей от округления натуральных чисел ? .
При умножении	десятичных	дробей в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
Результатом сложения , вычитания и умножения двух	десятичных	дробей всегда является десятичная дробь .
15 Деление	десятичных	дробей .
Коля и Петя выполняли задания на умножение	десятичных	дробей .
Запишите в виде	десятичных	дробей следующие обыкновенные дроби .
Сколько	десятичных	дробей у вас получилось ? .
Таким образом , частное двух	десятичных	дробей не всегда можно выразить десятичной дробью .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько	десятичных	знаков содержится в обоих множителях вместе .
Изображение	десятичных	дробей точками на координатной прямой .
Поэтому выполним умножение в	десятичных	дробях .
Если частное	десятичных	дробей выражается десятичной дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
Тогда можно воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом умножения	десятичных	дробей .
При этом в произведении нужно отделять запятой столько	десятичных	знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Правило умножения	десятичных	дробей применимо и в том случае , когда один из множителей — натуральное число .
Таким образом , для умножения	десятичных	дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства , а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
На примере вычисления произведения расскажите , как находится произведение двух	десятичных	дробей .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3	десятичных	знака .
В самом деле , заменим каждую из этих	десятичных	дробей обыкновенной дробью , получим .
16 Округление	десятичных	дробей .
11 Сравнение	десятичных	дробей .
б ) Найдите наибольшую из	десятичных	дробей с четырьмя знаками после запятой , при округлении которой до сотых получается число 8,65 .
Поразрядное сравнение	десятичных	дробей .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление	десятичных	дробей ? .
Чтобы сравнить дроби 2,5081 и 2,508 , у которых число	десятичных	знаков различно , можно рассуждать так : уравняем число разрядов , приписав ко второй дроби справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
Сравнение и упорядочивание	десятичных	дробей .
Проиллюстрируйте правило округления	десятичных	дробей на примере округления дроби 0,2835 до сотых и до тысячных .
Как решать задачи на проценты с использованием	десятичных	дробей .
Выразите проценты , приведённые на диаграмме , в	десятичных	дробях .
Правило округления	десятичных	дробей .
Выпишите дроби , которые можно представить в виде	десятичных	.
Запишите : а ) пять отрицательных дробей со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных	десятичных	дробей с одним знаком после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
Сложение и вычитание	десятичных	дробей .
При округлении десятичной дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом	десятичных	знаков или даже целым числом .
Умножение	десятичных	дробей .
Запишите в виде	десятичных	дробей .
Деление	десятичных	дробей .
При использовании	десятичных	дробей в практических расчётах их обычно округляют .
Так же обстоит дело и при записи чисел в виде	десятичных	дробей .
Чтобы найти разность	десятичных	дробей , нужно .
Вычитание	десятичных	дробей .
если количество	десятичных	знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули .
При сложении	десятичных	дробей руководствуются следующим правилом .
Вычисление частного	десятичных	дробей в общем случае .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число	десятичных	знаков , приписав к дроби 3,5 справа цифру 0 .
Найдём сумму	десятичных	дробей 3,44 и 7,28 .
Сложение	десятичных	дробей .
12 Сложение и вычитание	десятичных	дробей .
Представление обыкновенных дробей в виде	десятичных	.
Выберите дроби , которые можно представить в виде	десятичных	.
Округление	десятичных	дробей .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из	десятичных	дробей убрать запятые .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию	десятичных	дробей , назвал десятичные доли десятыми , десятичными секундами , десятичными терциями , десятичными кварталами и т .
Для сложения	десятичных	дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства .
Сравнение	десятичных	дробей .
Для записи	десятичных	дробей используют новые разряды , в которых указывают доли единицы .
Способ записи	десятичных	дробей является естественным обобщением десятичной системы счисления , принятой для записи натуральных чисел .
Впервые учение о	десятичных	дробях в XV в . изложил среднеазиатский учёный аль - Каши в книге « Ключ арифметики » .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество	десятичных	дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Изображение	десятичных	дробей точками координатной прямой .
в разряде	десятков	?
Например , в числе 2408 содержится 2 тысячи , 4 сотни , 0	десятков	и 8 единиц .
натуральное число 2 820 954 до	десятков	; до сотен ; до тысяч .
Петя , округляя число 31526 до	десятков	, записал .
( Ответ округлите до	десятков	миллионов . ) .
Ответ округляйте до	десятков	.
( Полученные числовые значения округлите до	десятков	. ) .
Натуральные числа округляют до	десятков	, сотен , тысяч и т .
Постройте параллелограмм по заданным сторонам и	диагонали	.
Диагонали прямоугольника равны , а	диагонали	квадрата не только равны , но и перпендикулярны друг другу .
а ) Постройте прямоугольник ,	диагонали	которого равны 6 см. Постройте другой прямоугольник с такими же диагоналями , не равный первому .
Таким свойством обладают	диагонали	только параллелограмма .
а ) Начертите два разных параллелограмма ,	диагонали	которых равны 4 см и 6 см . б )
Начертите ромб ,	диагонали	которого равны 4 см и 6 см .
Постройте параллелограмм ,	диагонали	которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под углом 30 .
Измерьте длину диагонали прямоугольника на своём чертеже и найдите длину	диагонали	данного прямоугольника .
Возьмите квадрат и разрежьте его по одной	диагонали	.
Измерьте длину	диагонали	прямоугольника на своём чертеже и найдите длину диагонали данного прямоугольника .
в ) от вершины К до	диагонали	основания АС ? .
б ) Какой из отрезков самый длинный : ребро куба ВС ,	диагональ	грани АВ или диагональ куба АС ?
б ) Какой из отрезков самый длинный : ребро куба ВС , диагональ грани АВ или	диагональ	куба АС ?
а ) Что больше :	диагональ	прямоугольника или его сторона ? .
Каждая	диагональ	заняла своё прежнее место .
Значит ,	диагональ	делит параллелограмм на два равных треугольника .
Является ли	диагональ	осью симметрии прямоугольника ? .
Радиус основания цилиндра равен 5 см. Чему равен	диаметр	шара ?
Самая большая параллель — это экватор , его	диаметр	равен диаметру Земли .
Известно , что во всех цирках мира	диаметр	арены равен 13 м .
Найдите длины рёбер этого многогранника , если	диаметр	каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса .
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и	диаметр	.
Обозначим длину окружности буквой С , а	диаметр	буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то можно записать .
Ребро куба равно 6 см. Чему равен	диаметр	шара ? .
Обозначим длину окружности буквой С , а	диаметр	буквой d.
а ) Вычислите длину окружности ,	диаметр	которой равен 10 см ; 2,5 м . б )
Чему равна длина окружности ,	диаметр	которой равен 1 ? .
Затем измерьте линейкой	диаметр	донышка .
Выполните задание : 1 ) Начертите окружность с центром в точке О и проведите два перпендикулярных	диаметра	АС и BD .
Иными словами , длина окружности примерно в 3 раза больше её	диаметра	.
Найдите отношение длины окружности к длине	диаметра	.
Два взаимно перпендикулярных	диаметра	делят окружность на четыре равные части .
тремя	диаметрами	? .
двумя	диаметрами	?
Сколько шаров	диаметром	1 см войдёт в коробку с ребром 4 см ?
Найдём , какой примерно длины потребуется бордюр для ограждения клумбы , имеющей форму круга с	диаметром	, равным 4 м .
На сколько частей делится окружность одним	диаметром	?
Так как отношение длины окружности к	диаметру	равно π , то можно .
Число , выражающее отношение длины окружности к её	диаметру	, принято обозначать греческой буквой π — первой буквой слова « периферия » ( греч .
Обозначим длину окружности буквой С , а диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к	диаметру	равно π , то можно записать .
Отношение длины окружности к её	диаметру	— величина постоянная , она не зависит от размеров окружности .
Их диаметры равны	диаметру	шара .
Самая большая параллель — это экватор , его диаметр равен	диаметру	Земли .
Когда параллели приближаются к полюсам , их	диаметры	уменьшаются .
В таблице даны	диаметры	d ( в м ) различных круглых салфеток .
Их	диаметры	равны диаметру шара .
Золотое сечение - это отношение	длин	отрезков , примерно равное 5:3 .
Многие закономерности , которые были связаны с измерениями	длин	, площадей и объёмов , необходимыми для строительства зданий , прокладывания каналов , деления земельных участков , торговли , путешествий , стали известны человеку уже очень давно .
Какими бы ни были конкретные значения	длин	сторон треугольника , чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Математики Древней Греции обнаружили , что для измерения	длин	отрезков не хватает даже дробных чисел .
Начертите окружности радиусами 2 см и 4 см. Во сколько раз	длина	второй окружности больше длины первой ?
Расстояние — это всегда	длина	кратчайшего пути .
Чему равна	длина	отрезка , который на 10 м длиннее данного ?
Во сколько раз при этом уменьшается	длина	её стороны ?
Чему равна	длина	каждой части ? .
Начертите отрезок АВ ,	длина	которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых составляют 80 % , 150 % , 200 % , 220 % длины отрезка АВ .
Пусть	длина	стороны равностороннего треугольника равна а .
Иными словами ,	длина	окружности примерно в 3 раза больше её диаметра .
На чертеже , выполненном в некотором масштабе , она равна 25 см. Чему равна	длина	фасада этого дома , если на чертеже она изображается отрезком , равным 35 см ? .
Длина первой грядки на 0,9 м больше длины третьей грядки , а	длина	второй грядки на 0,55 м больше длины третьей грядки .
Как надо провести прямую , пересекающую окружность , чтобы	длина	отрезка , соединяющего точки пересечения , была наибольшей ? .
Сколько метров шоссе отремонтировано , если	длина	всего участка равна 7 км ? .
Величина , от которой вычисляют проценты ( например , сумма денег на банковском вкладе ,	длина	участка ремонтируемой дороги , количество компьютеров , выпускаемых фирмой , число учащихся в классе ) , составляет 100 своих сотых долей , т .
Чему равна	длина	окружности , диаметр которой равен 1 ? .
Чему равна	длина	каждой части ?
Его	длина	и есть расстояние между точками А и В .
Отношение стоимости товара к его количеству ( массе ,	длине	, числу штук и пр. ) — это цена товара .
Найдите отношение длины окружности к	длине	диаметра .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно	длине	ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
Расстояние от центра О до прямой равно	длине	перпендикуляра ОМ .
Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к	длине	соответствующего отрезка на местности .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно	длине	ребра ВС .
Даны четыре отрезка	длиной	2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков ? .
Отрезок	длиной	36 см разделили на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
а ) От верёвки	длиной	2 м 40 см отрезали - её длины .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок	длиной	3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
а ) Проволоку	длиной	24 см согнули в прямоугольник .
а ) Сколько кусков ленты по 2,5 м каждый получится из мотка	длиной	23 м ? .
б ) Чтобы сшить кухонные полотенца , хозяйка отрезала от куска полотна	длиной	5,5 м несколько кусков по 0,65 м каждый .
У неё остался кусок	длиной	0,95 м .
Бригада дорожных строителей проложила асфальтовую дорогу	длиной	9 км за четыре месяца .
Отметьте отрезок АВ	длиной	5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
а ) Доску	длиной	6,5 м распилили на 6 одинаковых частей .
Ленту	длиной	2,5 м разрезали на 8 равных частей .
Найдите	длину	окружности , радиус которой равен 10 см .
Измените	длину	одной из сторон так , чтобы треугольник можно было построить .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а	длину	, ширину и высоту буквами а , b и с. Получим формулу .
Чтобы получить формулу , по которой можно вычислить	длину	окружности , проведите такой эксперимент .
Запишите формулу периметра равностороннего треугольника , обозначив	длину	его стороны буквой с .
Например , у параллелепипеда , имеющего различные	длину	, ширину и высоту , три плоскости симметрии .
Измерьте	длину	диагонали прямоугольника на своём чертеже и найдите длину диагонали данного прямоугольника .
В результате вы получите	длину	окружности , ограничивающей дно стакана .
Как вычислить	длину	окружности
Обозначим	длину	окружности буквой С , а диаметр буквой d.
Найдите	длину	каждой части и округлите результат до сотых долей метра .
Измерьте длину диагонали прямоугольника на своём чертеже и найдите	длину	диагонали данного прямоугольника .
Обозначьте	длину	его ребра какой - нибудь буквой и составьте формулу объёма куба .
Найдите	длину	меньшей части провода .
Фигуры , ограниченные окружностями и их дугами . Найдите	длину	дуги окружности , выделенной на рисунке жирной линией .
Вычислите	длину	окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м . а ) Вычислите площадь круга , радиус которого равен 100 м ; 20 см . б )
Выразите	длину	какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и длины двух других рёбер .
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2	длину	каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Какую	длину	будет иметь другая сторона этого прямоугольника , если одна из сторон равна 8 см ?
Найдите	длину	дорожки и площадь стадиона .
Вычислите	длину	экватора ( ответ округлите до тысяч километров ) .
а ) Вычислите	длину	окружности , диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б )
Вычислите	длину	третьего ребра параллелепипеда , если .
Найдите	длину	отрезка , если его длины равны м . а )
Обозначим	длину	окружности буквой С , а диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то можно записать .
Оберните стакан ниткой и , развернув нитку , измерьте её	длину	линейкой .
в )	длину	ломаной AKNC .
Обозначьте	длину	его стороны какой - нибудь буквой и составьте формулы периметра и площади квадрата .
Найдите	длину	оставшейся части .
Подставим d = 4 м в формулу	длины	окружности и возьмём π 3,14 , получим .
Выразите длину какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и	длины	двух других рёбер .
29 Формулы	длины	окружности , площади круга и объёма шара .
Начертите окружности радиусами 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше	длины	первой ?
Используя десятичные дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы	длины	.
Отношение	длины	окружности к её диаметру — величина постоянная , она не зависит от размеров окружности .
Чему равна площадь квадрата , если	длины	сторон прямоугольника равны 1,8 см и 3,4 см ? .
Вам известны соотношения , с помощью которых одни единицы	длины	выражаются через другие , более мелкие .
Если в формулу вместо d подставить 2 г , то получим другую формулу	длины	окружности .
Именно так обстоит дело с единицами	длины	и массы .
Найдём , какой примерно	длины	потребуется бордюр для ограждения клумбы , имеющей форму круга с диаметром , равным 4 м .
Обозначим периметр треугольника буквой Р , а	длины	его сторон , выраженные в одних и тех же единицах , буквами а , b и с. Тогда .
Это формула	длины	окружности .
а ) От верёвки длиной 2 м 40 см отрезали - её	длины	.
Действительно , чтобы получить правильный результат , надо выразить эти	длины	в одних единицах , например в сантиметрах .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых составляют 80 % , 150 % , 200 % , 220 %	длины	отрезка АВ .
Как построить треугольник , если известны	длины	его сторон .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от нуля отрезки ,	длины	которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Найдите отношение	длины	окружности к длине диаметра .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки ,	длины	которых составляют 80 % , 150 % , 200 % , 220 % длины отрезка АВ .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью ,	длины	сторон которых ( в см ) выражаются целыми числами ? .
Так как отношение	длины	окружности к диаметру равно π , то можно .
Запишите формулу периметра прямоугольника (	длины	сторон обозначьте буквами а и Ь ) .
Если это одноимённые величины —	длины	, площади , массы и т .
Пусть а , 6 , с —	длины	сторон треугольника .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же	длины	, получим точку – 3,5 .
Чтобы найти площадь прямоугольника , нужно перемножить	длины	его смежных сторон .
Чему равны	длины	сторон прямоугольника , который является частью развёртки ?
Масштабом называют отношение	длины	отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить	длины	смежных сторон и результат умножить на 2 .
Длина первой грядки на 0,9 м больше длины третьей грядки , а длина второй грядки на 0,55 м больше	длины	третьей грядки .
Обозначим	длины	смежных сторон прямоугольника буквами а и b. Тогда .
Найдите	длины	рёбер этого многогранника , если диаметр каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса .
Обозначим длину окружности буквой С , а диаметр буквой d. Так как отношение	длины	окружности к диаметру равно π , то можно записать .
Число , выражающее отношение	длины	окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π — первой буквой слова « периферия » ( греч .
Определите	длины	сторон зелёного треугольника .
Найдите длину отрезка , если его	длины	равны м . а )
Запишите формулу для вычисления	длины	I проволоки , которая потребуется на изготовление каркаса правильной n - угольной призмы с боковым ребром , равным а см , и ребром основания , равным b см .
Запишите формулы	длины	окружности и площади круга .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица	длины	на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Формулы	длины	окружности , площади круга и объёма шара .
Боковое ребро параллелепипеда равно а см , ребро основания равно b см. Запишите формулу для вычисления : а )	длины	l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса ; б ) площади S поверхности параллелепипеда .
Запишите , чему равны	длины	его сторон .
Формула	длины	окружности .
Длина первой грядки на 0,9 м больше	длины	третьей грядки , а длина второй грядки на 0,55 м больше длины третьей грядки .
тетраэдр куб гексаэдр октаэдр икосаэдр	додекаэдр	.
Выберите одну из развёрток , перенесите её , увеличив , на лист бумаги и склейте из неё многогранник : тетраэдр , октаэдр , куб , икосаэдр ,	додекаэдр	.
Четыре из них олицетворяли стихии : тетраэдр — огонь , куб — землю , икосаэдр — воду , октаэдр — воздух , а пятый ,	додекаэдр	, — всё мироздание ;
Если	домножить	его на три пятёрки , то получится один из знаменателей указанного ряда — число 1000 , т .
В примерах , рассмотренных выше , для вычисления частного десятичных	дробей	мы прибегали к делению уголком .
Сравнение и упорядочивание десятичных	дробей	.
Сформулируем теперь правило умножения	дробей	.
Запишите : а ) пять отрицательных	дробей	со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных десятичных дробей с одним знаком после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
Как решать задачи на проценты с использованием десятичных	дробей	.
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество	дробей	с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Какая из	дробей	5,031 ; 0,53 ; 5,1 ; 5,03 наибольшая ?
В этом случае нужно перейти к какой - нибудь одной форме представления	дробей	.
Мы продолжим изучение	дробей	.
Целые части этих	дробей	одинаковы ; совпадают также первые три цифры после запятой .
Какие существуют способы записи отрицательных	дробей	.
При нахождении значений таких	дробей	сначала вычисляют значения выражений , стоящих в числителе и знаменателе , и только потом выполняют деление .
Если частное десятичных	дробей	выражается десятичной дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
Таким образом , частное двух десятичных	дробей	не всегда можно выразить десятичной дробью .
Целые части этих	дробей	одинаковы , но различаются цифры в разряде десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
Наконец , сформулируем правило деления	дробей	.
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить числители	дробей	и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Для каждой дроби существует бесконечное множество равных ей	дробей	.
Если же знаменатели	дробей	различны , то нужно либо приводить их к общему знаменателю , либо пользоваться специальными приёмами .
Приведём каждую из	дробей	к знаменателю 33 .
Значит , наименьший общий знаменатель	дробей	равен 75 .
Результатом сложения , вычитания и умножения двух десятичных	дробей	всегда является десятичная дробь .
Значение дроби останется тем же , а от	дробей	в числителе и знаменателе мы избавимся .
Английский просветитель Джон Керси ( XVIII в . ) объяснял это тем , что « доступ к крутым путям	дробей	» приводит некоторых учащихся в такое уныние , что они останавливаются и восклицают : « Non plus ultra ! »
Найдём произведение десятичных	дробей	3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными дробями .
Сложение десятичных	дробей	.
Найдём сумму десятичных	дробей	3,44 и 7,28 .
И математики придумали способ , позволяющий упростить вычисления : для	дробей	со знаменателями 10 , 100 , 1000 и т .
14 Умножение десятичных	дробей	.
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из десятичных	дробей	убрать запятые .
Сначала избавимся от	дробей	, умножив оба члена отношения на 10 , а затем разделим оба члена нового отношения на их общий делитель .
А как найти сумму	дробей	3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после запятой различно ?
Именно так строилась система	дробей	в Древней Руси .
Что десятичная система записи натуральных чисел распространяется и на запись	дробей	.
При сложении десятичных	дробей	руководствуются следующим правилом .
если количество десятичных знаков у	дробей	различно , уравнять их число , приписав справа нули .
Десятичная запись	дробей	.
Для сложения десятичных	дробей	справедливы переместительное и сочетательное свойства .
В самом деле , десятичные дроби — это другая форма записи соответствующих обыкновенных	дробей	, а для обыкновенных дробей эти свойства выполняются .
В самом деле , десятичные дроби — это другая форма записи соответствующих обыкновенных дробей , а для обыкновенных	дробей	эти свойства выполняются .
Вычитание десятичных	дробей	.
Чтобы найти разность десятичных	дробей	, нужно .
Для записи десятичных	дробей	используют новые разряды , в которых указывают доли единицы .
Объясните на примере	дробей	, как привести дроби к общему знаменателю .
А вот сумму	дробей	и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в десятичную не обращается .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных	дробей	со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Способ записи десятичных	дробей	является естественным обобщением десятичной системы счисления , принятой для записи натуральных чисел .
Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных	дробей	убрать запятые .
Изображение десятичных	дробей	точками координатной прямой .
Сравнение десятичных	дробей	.
Главное преимущество десятичной записи	дробей	заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий над натуральным числами — надо только научиться правильно ставить результате запятую .
15 Деление десятичных	дробей	.
Коля и Петя выполняли задания на умножение десятичных	дробей	.
в ) В качестве общего знаменателя данных	дробей	можно взять произведение чисел 25 и 15 — число 375 , но такой знаменатель не будет наименьшим .
Запишите : а ) пять отрицательных дробей со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных десятичных	дробей	с одним знаком после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
На примере вычисления произведения расскажите , как находится произведение двух десятичных	дробей	.
2 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей ; умножения дробей ; деления	дробей	.
2 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей ; умножения	дробей	; деления дробей .
2 Сформулируйте правила сложения и вычитания	дробей	; умножения дробей ; деления дробей .
Тогда можно воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом умножения десятичных	дробей	.
Тогда можно воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных	дробей	, либо правилом умножения десятичных дробей .
Правило умножения десятичных	дробей	применимо и в том случае , когда один из множителей — натуральное число .
Сложение и вычитание десятичных	дробей	.
Таким образом , для умножения десятичных	дробей	справедливы переместительное и сочетательное свойства , а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
Умножение десятичных	дробей	.
Деление десятичных	дробей	.
Рассмотрите , как выполнено умножение этих	дробей	на полях .
Округление десятичных	дробей	.
При умножении десятичных	дробей	в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
Знаменателями таких	дробей	служат числа 60 , 602 , 603 .
Вавилонские учёные изобрели и упрощённый способ записи шестидесятеричных	дробей	- в строчку , без знаменателя .
Позднее подобный подход был принят и для	дробей	со знаменателями 10 , 102 , 103 .
Самаркандский учёный Джемшид аль - Каши ( XV в . ) , разработавший теорию десятичных	дробей	, назвал десятичные доли десятыми , десятичными секундами , десятичными терциями , десятичными кварталами и т .
Чтобы найти произведение двух десятичных	дробей	, можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Рассмотренный пример подсказывает нам правило умножения десятичных	дробей	.
12 Сложение и вычитание десятичных	дробей	.
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных	дробей	со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Поразрядное сравнение десятичных	дробей	.
Умножение десятичных	дробей	, как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
Наименьший общий знаменатель	дробей	равен 36 .
Чем отличается округление десятичных	дробей	от округления натуральных чисел ? .
Сравнение	дробей	.
Проиллюстрируйте правило округления десятичных	дробей	на примере округления дроби 0,2835 до сотых и до тысячных .
Десятичные представления некоторых обыкновенных	дробей	.
Запишите обратную ей дробь и определите , какая из этих двух	дробей	ближе к 1 .
Правило округления десятичных	дробей	.
б ) Найдите наибольшую из десятичных	дробей	с четырьмя знаками после запятой , при округлении которой до сотых получается число 8,65 .
Укажите наибольшую и наименьшую из этих	дробей	.
Представление обыкновенных	дробей	в виде десятичных .
Перейдём от обыкновенных	дробей	к десятичным , а затем к процентам .
В этом пункте вы повторите сложение , вычитание , умножение и деление	дробей	, а также научитесь выполнять более сложные вычисления .
Приведём дробь — к знаменателю 16 . б ) Общий знаменатель данных	дробей	должен делиться и на 11 , и на 3 .
В самом деле , заменим каждую из этих десятичных	дробей	обыкновенной дробью , получим .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление десятичных	дробей	? .
Чтобы найти сумму ( или разность )	дробей	с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму ( или разность ) их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Так же обстоит дело и при записи чисел в виде десятичных	дробей	.
2 ) Чтобы найти сумму или разность	дробей	с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю , а затем воспользоваться первым правилом .
11 Сравнение десятичных	дробей	.
Вы видите , что при записи отрицательных	дробей	« – » можно ставить перед дробью , вносить его в числитель или в знаменатель .
Сделайте вывод о том , какая из	дробей	ближе к 1 — правильная или обратная ей неправильная .
Это преимущество становится очевидным уже при рассмотрении вопроса о сравнении	дробей	.
16 Округление десятичных	дробей	.
Сколько десятичных	дробей	у вас получилось ? .
Запишите в виде десятичных	дробей	следующие обыкновенные дроби .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных	дробей	, заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
При использовании десятичных	дробей	в практических расчётах их обычно округляют .
Частное десятичных	дробей	всегда можно найти , перейдя к обыкновенным дробям .
Запишите в виде десятичных	дробей	.
Изображение десятичных	дробей	точками на координатной прямой .
Вычисление частного десятичных	дробей	в общем случае .
Сначала приведём дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания	дробей	с равными знаменателями .
Основные задачи на	дроби	.
Нашим предкам нелегко давались	дроби	.
В первом множителе две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в знаменателе дроби — получилось число с тремя нулями , а в соответствующей десятичной	дроби	оказалось три цифры после запятой .
Не приводя	дроби	к общему знаменателю , установите , какая из них наибольшая .
В первом множителе две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в знаменателе	дроби	— получилось число с тремя нулями , а в соответствующей десятичной дроби оказалось три цифры после запятой .
Умножение десятичной	дроби	на десятичную .
Число , записанное над чертой , — числитель	дроби	, под чертой — её знаменатель .
Запишите три десятичные	дроби	, равные числу 5,070 .
Как , например , записать в виде десятичной	дроби	число .
У каждой десятичной	дроби	две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
По каким правилам складывают и вычитают десятичные	дроби	.
9 Какие	дроби	называют десятичными .
Это можно сделать , представив	дроби	в виде обыкновенных .
Разложив на простые множители знаменатель этой	дроби	, получим произведение 3 - 5 , содержащее число 3 .
Рассмотренные примеры подсказывают правило , по которому	дроби	можно округлять , не выбирая лучшее из двух приближённых значений .
Таким образом , 7,35 — это десятичное представление 35 смешанной	дроби	.
Как записать десятичную дробь , равную данной десятичной	дроби	?
Но для практических расчётов десятичные	дроби	удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью .
Вспомним , как решаются основные задачи на	дроби	, и рассмотрим разные способы их решения .
Действительно , вы знаете , что частное от деления натурального числа а на натуральное число b равно	дроби	.
Сколько цифр после запятой должно содержаться в десятичной	дроби	, если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 1000 ?
Чтобы понять , как складывают десятичные	дроби	, обратимся к примеру .
А у немцев в старину была поговорка « In die Brüche kommen » , что в дословном переводе звучит как « Прийти в	дроби	» , а означало это попасть в трудное положение .
Какие разряды содержатся в десятичной	дроби	12,0345 ?
Решим задачу , опираясь на смысл понятия	дроби	.
А как перейти от обыкновенной	дроби	со знаменателем 10 , 100 , 1000 и т .
Приведите	дроби	к одному из знаменателей 10 , 100 или 1000 и запишите соответствующие десятичные дроби .
Умножение десятичной	дроби	на натуральное число .
Умножение и деление десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 .
Запишите в порядке возрастания	дроби	.
Используя десятичные	дроби	, можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы длины .
Умножим числитель и знаменатель	дроби	на 12 .
Число 21,3 — результат округления	дроби	21,28 до десятых .
Чтобы перейти от десятичной	дроби	к соответствующей обыкновенной , достаточно её прочитать и записать знаменатель дробной части в явном виде .
Как округляют десятичные	дроби	.
Поэтому при округлении десятичной	дроби	21,28 до десятых её и заменяют числом 21,3 .
Учёные Древнего Вавилона , использовавшие шестидесятеричную систему счисления , распространили её и на	дроби	.
д. , а десятичные	дроби	можно округлять до единиц , десятых , сотых и т .
При округлении десятичной	дроби	её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом десятичных знаков или даже целым числом .
Переход от одной формы записи	дроби	к другой .
Значение	дроби	останется тем же , а от дробей в числителе и знаменателе мы избавимся .
Это , например , такие	дроби	, как .
Сформулируйте основное свойство	дроби	.
Имея	дроби	, мы всегда можем разделить одно натуральное число на другое ( чего нельзя сделать , если ограничиться только натуральными числами ) .
Некоторые	дроби	особенно часто встречаются в задачах , в практических расчётах .
Проценты и десятичные	дроби	.
Например , в десятичной	дроби	0,0105 последний разряд — это десятитысячные .
Какие	дроби	называют десятичными .
Возьмём несколько рациональных чисел и представим каждое из них в виде	дроби	, у которой числитель — целое число , знаменатель — натуральное .
Однако после сокращения	дроби	он « исчезнет » , и эту дробь можно будет записать в виде десятичной .
Перевод обыкновенной	дроби	в десятичную .
В каких случаях все три	дроби	равны .
Приведите дроби к одному из знаменателей 10 , 100 или 1000 и запишите соответствующие десятичные	дроби	.
Умножение десятичном	дроби	на обыкновенную .
Если знаменатель обыкновенной	дроби	имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , и эта дробь несократима , то её нельзя представить в виде десятичной .
Глава 3 Десятичные	дроби	.
Поэтому , чтобы сложить эти десятичные	дроби	, необязательно обращать их в обыкновенные .
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные	дроби	с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать десятичные	дроби	при выполнении процентных вычислений .
Прочитайте десятичные	дроби	.
Вы видите , что в результате умножения в исходной	дроби	меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Запишите в порядке убывания	дроби	.
д. , нужно перенести в этой	дроби	запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
10 Перевод обыкновенной	дроби	в десятичную .
Умножение десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 и т .
В таблице на полях приведены некоторые легко вычисляемые проценты и соответствующие им	дроби	.
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в	дроби	6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
Десятичные и обыкновенные	дроби	— это две различные формы представления чисел .
Сложение обыкновенной	дроби	и десятичной .
А	дроби	, записанные с помощью дробной черты , называют обыкновенными дробями .
Вспомните : к десятичной	дроби	можно приписывать справа любое число нулей , при этом получается дробь , равная данной .
Деление десятичной	дроби	на степень 10 .
Представьте дробь — в виде десятичной	дроби	двумя способами .
На примере вычисления суммы и разности чисел 5,63 и 4,972 объясните , как складывают и как вычитают десятичные	дроби	.
А умножение и деление десятичной	дроби	на единицу с нулями сводится к переносу запятой .
В Европе десятичные	дроби	в XVI в .
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной	дроби	или смешанной дроби : а ) 0,9 ; б)0,123 ; в ) 0,03 ; г ) 0,027 ; д ) 10,1 ; е ) 12,10002 ; ж ) 6,009 .
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной	дроби	: а ) 0,9 ; б)0,123 ; в ) 0,03 ; г ) 0,027 ; д ) 10,1 ; е ) 12,10002 ; ж ) 6,009 .
Запишите в виде десятичной	дроби	и прочитайте её .
Сформулируйте основное свойство	дроби	и проиллюстрируйте его примером .
Запишите в виде десятичных дробей следующие обыкновенные	дроби	.
Запишите все десятичные	дроби	, которые можно составить из цифр 1 , 2 и 3 , соблюдая следующее условие : каждая цифра используется в записи числа не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
Запишите выражение в виде	дроби	и сократите её .
8 Приведите к наименьшему общему знаменателю	дроби	.
В десятичной дроби после запятой столько цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной	дроби	.
13 Умножение и деление десятичной	дроби	.
« Многоэтажные »	дроби	.
Но её всегда можно представить в виде	дроби	, знаменатель которой кратен 3 , например , равен 6 , 9 , 51 , 72 .
Выпишите все десятичные	дроби	с одним знаком после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между .
Что умножение и деление десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 сводится к переносу запятой .
В десятичной	дроби	после запятой столько цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Однако не всякое число можно записать и в виде десятичной , и в виде обыкновенной	дроби	.
С развитием математики	дроби	стали использоваться не только для решения простейших практических задач , но и для более сложных расчётов .
Вычитать десятичные	дроби	также можно в столбик .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении десятичной	дроби	на десятичную дробь ; на натуральное число .
Сколько цифр после запятой должно содержаться в десятичной дроби , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной	дроби	равен 1000 ?
Умножение и деление десятичной	дроби	на единицу с нулями .
Приведём к наименьшему общему знаменателю	дроби	.
Выражение	дроби	в процентах .
Как изменится положение запятой в десятичной	дроби	, если .
Объясните на примере дробей , как привести	дроби	к общему знаменателю .
Применяя это свойство , можно приводить	дроби	к новому знаменателю , а также сокращать их .
Приведите пример , когда в результате округления десятичной	дроби	получается целое число .
Прошли века , прежде чем десятичные	дроби	приобрели современный вид .
Итак , чтобы перейти от процентов к десятичной	дроби	, надо число процентов разделить на 100 .
Если знаменатель обыкновенной	дроби	не имеет никаких простых делителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной .
Соотнесите проценты ( верхняя строка ) и соответствующие им	дроби	( нижняя строка ) .
Чтобы перейти от десятичной	дроби	к процентам , надо выполнить обратную операцию .
Проиллюстрируйте правило округления десятичных дробей на примере округления	дроби	0,2835 до сотых и до тысячных .
Знаки , стоящие в десятичной	дроби	после запятой , называют десятичными знаками .
Деление десятичной	дроби	на единицу с нулями .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число десятичных знаков , приписав к	дроби	3,5 справа цифру 0 .
Ниже в левом столбце записаны некоторые применявшиеся	дроби	( в их современной форме ) , а в правом - их словесные обозначения .
д. , нужно перенести в этой	дроби	запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака , но у	дроби	851,3 перед запятой только 3 знака !
Если число выражено десятичной дробью , то его всегда можно представить и в виде обыкновенной	дроби	.
Если знаменатель	дроби	— единица с нулями , то для неё применяют не « двухэтажную » запись , а запись в строчку , без явного указания знаменателя .
В самом деле , десятичные	дроби	— это другая форма записи соответствующих обыкновенных дробей , а для обыкновенных дробей эти свойства выполняются .
д. с помощью переноса запятой в любом случае : при необходимости к десятичной	дроби	слева нужно приписать вспомогательные нули .
На примерах вычисления суммы и разности чисел 28,4 и 16,65 расскажите , как складывают и вычитают десятичные	дроби	.
Умножим числитель и знаменатель	дроби	на 4 .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде десятичной	дроби	.
Умножение десятичной	дроби	на единицу с нулями .
3 Основные задачи на	дроби	.
а ) Найдите все десятичные	дроби	с тремя знаками после запятой , при округлении которых до сотых получается число 3,27 .
записать	дроби	в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой .
Выполните прикидку результата , округлив десятичные	дроби	до единиц , а затем найдите точный ответ .
9 Сравните	дроби	и запишите результат с помощью знаков .
Деление десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 и т .
Запишите в виде десятичной	дроби	.
Выберите	дроби	, которые можно представить в виде десятичных .
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к дроби или от	дроби	к процентам , вычислять с десятичными дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Приведите	дроби	к знаменателю 80 .
Чтобы сравнить	дроби	2,5081 и 2,508 , у которых число десятичных знаков различно , можно рассуждать так : уравняем число разрядов , приписав ко второй дроби справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
Но у дроби 2,5081 есть ещё и четвёртая цифра , а у	дроби	2,508 соответствующий разряд отсутствует , поэтому .
Но у	дроби	2,5081 есть ещё и четвёртая цифра , а у дроби 2,508 соответствующий разряд отсутствует , поэтому .
Равные десятичные	дроби	.
Воспользуемся основным свойством	дроби	и преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе дроби оказались натуральные числа .
Как сокращают	дроби	.
В 5 классе вы многое узнали о дробях , научились складывать , вычитать , умножать и делить	дроби	, сравнивать их , отмечать точками на координатной прямой .
Как сравнивают десятичные	дроби	.
Если в десятичной	дроби	последние цифры — нули , то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Сначала рассмотрим деление десятичной	дроби	на натуральное число .
6 Расскажите , как найти дробь от числа ; число по его	дроби	.
Десятичные дроби , так же как и обыкновенные	дроби	, изображают точками на координатной прямой .
Напишите три десятичные	дроби	, каждая из которых : а ) больше , чем 9,61 , но меньше , чем 9,62 ; б ) меньше , чем 0,0001 .
Преобразовать дробь в равную позволяет основное свойство	дроби	.
Приведите	дроби	к знаменателю 18 .
Десятичные	дроби	, так же как и обыкновенные дроби , изображают точками на координатной прямой .
Сравним десятичные	дроби	2,5081 и 2,508 .
Выразите время в часах и , если возможно , запишите ответ в виде десятичной	дроби	.
Десятичные	дроби	и метрическая система мер .
Как приводят	дроби	к новому знаменателю .
Десятичные	дроби	2,5081 и 2,5080 различаются только цифрами в разряде десятитысячных : у первой дроби в этом разряде стоит цифра 1 , а у второй — цифра 0 .
Запишем это частное в виде дроби и затем , воспользовавшись основным свойством	дроби	, преобразуем её так , чтобы в числителе и знаменателе оказались целые числа .
Запишем это частное в виде	дроби	и затем , воспользовавшись основным свойством дроби , преобразуем её так , чтобы в числителе и знаменателе оказались целые числа .
В первом случае мы получили дробь которую можно представить в виде десятичной	дроби	: = 0,2 .
Вы знаете , что представить число в виде обыкновенной	дроби	можно разными способами .
2 ) Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти	дроби	к общему знаменателю , а затем воспользоваться первым правилом .
Сначала разделили на 3 целую часть	дроби	7,47 и поставили в частном запятую .
Представьте в виде десятичной	дроби	.
Но это частное , как известно , можно записать и в виде обыкновенной	дроби	.
Частное двух чисел , обозначенных буквами , записывают обычно с помощью черты	дроби	, например .
Вы уже умеете сравнивать две обыкновенные и две десятичные	дроби	.
Воспользуемся основным свойством дроби и преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе	дроби	оказались натуральные числа .
Многоэтажные »	дроби	.
В математике черту	дроби	используют как знак деления не только для натуральных чисел , но и для более сложных выражений .
Дробь - в виде десятичной	дроби	записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 .
В самом деле , при с = 0 в знаменателе	дроби	окажется 0 , а на 0 , как вы знаете , делить нельзя .
Чтобы сравнить дроби 2,5081 и 2,508 , у которых число десятичных знаков различно , можно рассуждать так : уравняем число разрядов , приписав ко второй	дроби	справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
Если к десятичной	дроби	приписать справа какое угодно количество нулей , то получится дробь , равная данной .
Совсем не всегда	дроби	записывали в привычном для нас виде .
Дробь - в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной	дроби	число 0,6 .
Сравним десятичные	дроби	1,8 и 1,42 .
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к	дроби	или от дроби к процентам , вычислять с десятичными дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Понятно , что нули , записанные в конце десятичной	дроби	, можно отбросить .
Перечислите	дроби	в порядке убывания .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую десятичной	дроби	0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть единичного отрезка , которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Сравните	дроби	.
Чтобы построить точку , соответствующую десятичной	дроби	0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
По основному свойству	дроби	.
В дальнейшем вы будете часто встречать такие « многоэтажные »	дроби	, в которых числители и знаменатели — различные выражения .
Например , две десятичные	дроби	0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число .
Считают , что в конце XVIII мексиканский издатель газет Мануэль Антонио Вальдес ( конец XVIII в . ) , использовал для обозначения	дроби	наклонную волнистую черту .
Деление десятичной	дроби	на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
Деление уголком десятичной	дроби	на натуральное число .
Теперь вы сможете использовать при решении таких задач десятичные	дроби	.
Основное свойство	дроби	.
Найдём значение	дроби	.
Сравнение обыкновенной	дроби	и десятичной .
В знаменателе этой	дроби	5 нулей , поэтому в десятичной дроби должно быть 5 цифр после запятой .
Выпишите	дроби	, которые можно представить в виде десятичных .
Выполните умножение и , если возможно , представьте ответ в виде десятичной	дроби	.
Для каждой	дроби	существует бесконечное множество равных ей дробей .
Запишите в виде десятичной	дроби	число .
Сформулируйте правило умножения	дроби	на дробь .
Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной	дроби	, причём с каким угодно знаменателем .
Умножение десятичной	дроби	на обыкновенную .
Чему равен знаменатель обыкновенной	дроби	, если в её десятичной записи содержится 2 знака после запятой ?
Вы могли увидеть точку в записи десятичной	дроби	, пользуясь калькулятором или компьютером .
А десятичные	дроби	, как и натуральные числа , сравнивают по разрядам .
Сложим	дроби	.
Сформулируйте правило деления	дроби	на дробь .
В знаменателе этой дроби 5 нулей , поэтому в десятичной	дроби	должно быть 5 цифр после запятой .
Сейчас , особенно в нематематических изданиях , вы можете увидеть такую запись	дроби	.
это частное равно	дроби	, которая в десятичную не обращается .
Дополнительным множителем для первой	дроби	является число 2 , а для второй — число 3 .
Как определяют положение запятой в произведении десятичной	дроби	и натурального числа ?
Вы знаете , что две обыкновенные	дроби	легко сравнить , если у них одинаковые знаменатели .
Докажите , что можно представить в виде десятичной	дроби	.
Найдите частное , представив данные	дроби	в виде обыкновенных , и , если возможно , выразите ответ десятичной дробью .
а ) можно представить в виде десятичной	дроби	дробь .
Сначала приведём	дроби	к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания дробей с равными знаменателями .
Образец . б ) нельзя представить в виде десятичной	дроби	дробь .
Дробь нельзя обратить в десятичную , поэтому запишем в виде обыкновенной	дроби	число 0,27 .
Поэтому любое натуральное число можно представить в виде десятичной	дроби	с каким угодно количеством нулей после запятой .
Черту	дроби	рассматривают как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел .
Представьте в виде обыкновенной	дроби	число : а ) 0,7 ; б ) 0,091 ; в ) 1,203 .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные	дроби	— повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Десятичные дроби 2,5081 и 2,5080 различаются только цифрами в разряде десятитысячных : у первой	дроби	в этом разряде стоит цифра 1 , а у второй — цифра 0 .
Проценты , так же как и	дроби	, выражают доли величины .
Сравните получившееся число с исходным , если этот нуль стоял : а ) в конце десятичной дроби ; б ) не в конце десятичной	дроби	.
Будем опираться на смысл понятия	дроби	.
Можно преобразовывать « многоэтажные » дроби и другим способом , применяя основное свойство	дроби	.
Сравним десятичные	дроби	2,7 и 3,1 .
Но в числителе	дроби	— только 3 цифры .
Можно преобразовывать « многоэтажные »	дроби	и другим способом , применяя основное свойство дроби .
Деление уголком десятичной	дроби	на десятичную .
Объясните на примере нахождения суммы как складывают	дроби	с разными знаменателями .
Новый способ перевода обыкновенной	дроби	в десятичную .
Древние греки , а позднее индусы ( около 1500 лет назад ) записывали	дроби	с помощью числителя и знаменателя , но без дробной черты .
В десятичной	дроби	с « длинным хвостом » среди цифр после запятой есть один нуль ( все остальные цифры не нули ) .
Десятичные	дроби	появились в математике гораздо раньше , чем современные единицы измерения — метры и граммы .
Запишите частное в виде обыкновенной	дроби	и , если возможно , обратите её в десятичную .
Это и понятно : ведь умножение десятичной	дроби	на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Если числитель и знаменатель	дроби	умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то получится дробь , равная данной .
В десятичной	дроби	с « длинным хвостом » зачеркнули две последние цифры .
Значит , все три	дроби	равны .
Сравните получившееся число с исходным , если этот нуль стоял : а ) в конце десятичной	дроби	; б ) не в конце десятичной дроби .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно	дробное	число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Древние греки , а позднее индусы ( около 1500 лет назад ) записывали дроби с помощью числителя и знаменателя , но без	дробной	черты .
Теперь для отделения целой части от	дробной	мы ставим запятую .
Чтобы перейти от десятичной дроби к соответствующей обыкновенной , достаточно её прочитать и записать знаменатель	дробной	части в явном виде .
С другой стороны , каждое из этих частных можно записать с помощью	дробной	черты .
Для этого , как вы знаете , нужно просто записать знаменатель	дробной	части в явном виде .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью	дробной	черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
А дроби , записанные с помощью	дробной	черты , называют обыкновенными дробями .
Впервые ввели	дробную	черту арабские математики , а в Европе , уже в XIII в . , - Леонардо Пизанский ( Фибоначчи ) .
И в этих обозначениях принято использовать косую	дробную	черту .
Записав	дробную	часть со знаменателем , получим число , таким образом .
Примите по очереди каждую	дробную	черту за основную и запишите соответствующие выражения .
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и отрицательные	дробные	числа .
Отрицательные	дробные	числа используются и в математике , и в реальной жизни .
До сих пор на уроках математики мы рассматривали натуральные числа и	дробные	.
Найдите среди них : положительные , отрицательные , целые , натуральные , отрицательные	дробные	числа .
Отрицательные	дробные	числа , так же как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительному числу знака « – » .
3 ) целые числа ; 2 ) отрицательные числа ; 4 )	дробные	отрицательные числа .
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют	дробные	числа , так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и отрицательные дробные числа .
Между целыми числами на координатной прямой расположены	дробные	числа , на правом луче — положительные , на левом — отрицательные .
Целые и	дробные	числа вместе образуют множество рациональных чисел .
Это выражение задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения п. Понятно , что вместо n нельзя подставлять	дробные	числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом .
Положительные	дробные	числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные целые числа , можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
Приведите примеры целых чисел , целых отрицательных чисел , дробных положительных чисел ,	дробных	отрицательных чисел .
Приведите примеры целых чисел , целых отрицательных чисел ,	дробных	положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
Необычность и удивительность этого числа состоит в том , что среди известных вам чисел — целых и	дробных	— его нет .
В том же смысле арифметика	дробных	чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Какие разряды используются для десятичной записи	дробных	чисел .
Математики Древней Греции обнаружили , что для измерения длин отрезков не хватает даже	дробных	чисел .
Используя описанное свойство , можно действовать , не выясняя , модуль какого из данных	дробных	чисел больше .
Пусть А — множество целых чисел и В — множество	дробных	чисел .
Попробуем теперь разделить ту же	дробь	851,3 на 10 000 .
При делении числа на десятичную	дробь	можно действовать в соответствии со следующим правилом .
Результатом сложения , вычитания и умножения двух десятичных дробей всегда является десятичная	дробь	.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то получится	дробь	, равная данной .
Таким образом , вместо деления на десятичную	дробь	0,45 можно выполнить деление на число 45 .
Округлим	дробь	0,172504 до десятых .
В первом случае мы получили	дробь	которую можно представить в виде десятичной дроби : = 0,2 .
Чтобы разделить одну	дробь	на другую , нужно первую дробь умножить на дробь , обратную второй .
Представьте	дробь	в виде десятичной двумя способами .
Округлим	дробь	0,39608 до сотых .
Не всякую обыкновенную	дробь	можно записать в виде десятичной .
На примере вычисления частного расскажите , как можно разделить уголком десятичную	дробь	на десятичную .
Приведём	дробь	— к знаменателю 16 . б ) Общий знаменатель данных дробей должен делиться и на 11 , и на 3 .
Чтобы умножить дробь на	дробь	, нужно перемножить числители дробей и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
А	дробь	полученная во втором случае , в десятичную не обращается .
Вычисление значений выражений , содержащих деление на десятичную	дробь	.
Чтобы умножить	дробь	на дробь , нужно перемножить числители дробей и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Сформулируйте правило умножения дроби на	дробь	.
Найдите значение степени : 2 ) Сколько цифр после запятой содержит десятичная	дробь	, равная .
Преобразовать	дробь	в равную позволяет основное свойство дроби .
Деление на десятичную	дробь	в общем случае .
6 Расскажите , как найти	дробь	от числа ; число по его дроби .
Сформулируйте правило деления дроби на	дробь	.
Опираясь на это свойство , приведите	дробь	к знаменателю 24 ; сократите дробь .
Отделив запятой справа три цифры , получили десятичную	дробь	28,200 , т .
Опираясь на это свойство , приведите дробь к знаменателю 24 ; сократите	дробь	.
Чтобы перемножить десятичную	дробь	и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Вычислите , обратив обыкновенную	дробь	в десятичную .
Чтобы разделить число на десятичную	дробь	, нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Будем умножать десятичную	дробь	6,735 на 10 , 100 , 1000 и т .
Но для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную	дробь	заменяют близкой ей десятичной дробью .
исследование . 1 ) Дана правильная	дробь	.
Вы видите , что мы смогли представить обыкновенную	дробь	в виде десятичной новым способом , не домножая знаменатель на .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 и т .
По каким правилам десятичную	дробь	умножают и делят на 10 , 100 , 1000 и т . д. ? .
По какому правилу умножают десятичную	дробь	на единицу с нулями ?
Запишите какую - нибудь правильную	дробь	и дробь , обратную ей .
Выразите приближённо обыкновенную	дробь	десятичной с одним , двумя , тремя знаками после запятой .
По какому правилу делят десятичную	дробь	на единицу с нулями ?
Если обыкновенная	дробь	представляется в виде десятичной , то получить её десятичную запись можно с помощью деления уголком .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на	дробь	, обратную второй .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную	дробь	; на натуральное число .
Вспомните : к десятичной дроби можно приписывать справа любое число нулей , при этом получается	дробь	, равная данной .
Будем последовательно находить общие делители числителя и знаменателя и сокращать на них	дробь	.
Понятно , что	дробь	1/3 можно привести не к любому знаменателю .
Рассмотрим теперь деление на десятичную	дробь	.
А как , пользуясь сформулированным правилом , умножить эту	дробь	на следующие степени числа 10 , т .
Однако мы знаем , что десятичная	дробь	не изменится , если справа к ней приписать нули .
Представьте	дробь	— в виде десятичной дроби двумя способами .
Этот случай можно считать главным , так как деление на десятичную	дробь	, как вы потом увидите , всегда можно свести к делению на натуральное число .
а ) эту	дробь	уменьшить в 100 раз и ещё в 10 раз .
эту	дробь	уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
До какого разряда округляли десятичную	дробь	, если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую	дробь	умножить на дробь , обратную второй .
Как умножают десятичную	дробь	на десятичную , на натуральное число , на обыкновенную дробь .
Обратите обыкновенную	дробь	в десятичную , разделив уголком числитель на знаменатель .
Чтобы умножить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 и т .
Запишите какую - нибудь правильную дробь и	дробь	, обратную ей .
Как умножают десятичную дробь на десятичную , на натуральное число , на обыкновенную	дробь	.
Запишите обратную ей	дробь	и определите , какая из этих двух дробей ближе к 1 .
Сократим	дробь	.
Как выглядит « многоэтажная »	дробь	и как находить её значение .
десятичную	дробь	282,0954 до десятых ; до сотых ; до тысячных .
Последовательно сдвигайте эту запятую на одну цифру влево и каждый раз читайте десятичную	дробь	.
Чтобы сложить обыкновенную	дробь	и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Выразите десятичную	дробь	приближённо в процентах , предварительно округлив её до сотых : а ) 0,843 ; б ) 0,1391 ; в ) 0,5016 ; г ) 0,0449 .
Десятичная	дробь	.
Решим задачу следующим образом : сначала выясним , какую часть составляют свободные места , а затем выразим эту	дробь	в процентах : Ответ : 20 % всех мест не занято .
А вот сумму дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как	дробь	в десятичную не обращается .
Представьте самостоятельно каждую обыкновенную	дробь	, приведённую в таблице , в виде десятичной и запомните результаты .
Всякую ли десятичную	дробь	можно представить в виде обыкновенной ?
Чтобы записать . обыкновенную	дробь	в виде десятичной , нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и т .
Можно поступить иначе : сократим дробь на 11 , а	дробь	на 111 , в каждом случае получим .
Всякую ли обыкновенную	дробь	можно представить в виде десятичной ?
Верно ли , что . Замените данную десятичную	дробь	равной наиболее простого вида : а ) 3,6000 ; б ) 70,0200 ; в ) 0,8700;г )
Какую обыкновенную	дробь	можно записать в виде десятичном , а какую нет .
Найдите какую - нибудь обыкновенную	дробь	, большую 0,1 , но меньшую 0,2 .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это число умножить на данную	дробь	.
Запишите какую - нибудь десятичную	дробь	с четырьмя знаками после запятой и прочитайте её .
Выразим эту	дробь	в процентах .
В каком случае данная обыкновенная	дробь	обращается в десятичную .
Десятичную	дробь	читают следующим образом : сначала читают её часть , стоящую до запятой , и добавляют слово « целых » , затем читают часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Читается десятичная	дробь	7,35 так же , как и число 7 : « 7 целых 35 сотых » .
Обыкновенная	дробь	.
Возьмём	дробь	.
Как можно сложить десятичную	дробь	и обыкновенную .
Значит ,	дробь	— нельзя привести ни к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и т .
Дана десятичная	дробь	6,73401152 .
Представим	дробь	— в виде десятичной .
Если знаменатель обыкновенной дроби не имеет никаких простых делителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную	дробь	можно представить в виде десятичной .
Таким образом , чтобы выразить десятичную дробь в процентах , надо эту	дробь	умножить на 100 .
Выразив десятичную	дробь	1,6 в процентах , получим 160 % .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную	дробь	в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
	Дробь	- можно представить в виде десятичной .
Возьмём , например ,	дробь	.
Таким образом , чтобы выразить десятичную	дробь	в процентах , надо эту дробь умножить на 100 .
Вычеркните одну цифру после запятой так , чтобы	дробь	: а ) увеличилась ; б ) уменьшилась .
Можно поступить иначе : сократим	дробь	на 11 , а дробь на 111 , в каждом случае получим .
Не выполняя вычислений , определите , больше или меньше 50 % получится , если выразить в процентах	дробь	.
Однако после сокращения дроби он « исчезнет » , и эту	дробь	можно будет записать в виде десятичной .
, а затем выразим полученную	дробь	в процентах .
Если знаменатель обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , и эта	дробь	несократима , то её нельзя представить в виде десятичной .
Десятичная	дробь	представлена в виде суммы разрядных слагаемых .
Поэтому первая	дробь	больше .
Найдите какую - нибудь десятичную	дробь	, заключённую между : а ) 2,7 и 2,8 ; б ) 0,8 и 0,9 .
Как выразить десятичную	дробь	в процентах .
Как записать десятичную	дробь	, равную данной десятичной дроби ?
Симон Стевин	дробь	35,912 записывал так:359(T)1020 .
б ) В каком случае несократимую обыкновенную	дробь	нельзя представить в виде десятичной ? .
Как можно сравнить обыкновенную	дробь	и десятичную .
Чтобы выразить в процентах обыкновенную	дробь	, надо сначала превратить её в десятичную .
а ) Какую обыкновенную	дробь	можно записать в виде десятичной ? .
Например , десятичная	дробь	3,047 читается « 3 целых 47 тысячных » .
Вычислите , обратив десятичную	дробь	в обыкновенную .
а ) В числе 54038 отделите запятой одну цифру справа и прочитайте получившуюся десятичную	дробь	.
Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество нулей , то получится	дробь	, равная данной .
Для наглядности	дробь	в таких случаях часто выражают в процентах : 0,54 — это 54 % .
Обратите десятичную	дробь	в обыкновенную и найдите значение выражения .
Запишите десятичную	дробь	: а ) нуль целых одна десятая ; б ) нуль целых сорок семь сотых .
Запись вида а / b где а и b — натуральные числа , — это	дробь	.
Как выразить в процентах обыкновенную	дробь	?
Сократите	дробь	.
Чтобы найти число по его части , нужно эту часть разделить на	дробь	, ей соответствующую .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых : а ) натуральное число 3205 ; б ) десятичную	дробь	0,3205 .
Рассмотрите десятичную	дробь	687,02569 .
Образец . б ) нельзя представить в виде десятичной дроби	дробь	.
Читайте каждую получившуюся десятичную	дробь	.
Если в десятичной дроби последние цифры — нули , то , отбросив их , получим	дробь	, равную данной .
Прочитайте десятичную	дробь	и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби : а ) 0,9 ; б)0,123 ; в ) 0,03 ; г ) 0,027 ; д ) 10,1 ; е ) 12,10002 ; ж ) 6,009 .
Для ответа на вопрос задачи мы записали	дробь	которая выражает частное от деления 32 000 на 80 000 .
а ) можно представить в виде десятичной дроби	дробь	.
Как обыкновенную	дробь	выразить в процентах ? .
Представьте десятичную	дробь	в виде суммы разрядных слагаемых : а ) 0,149 ; б ) 2,36 ; в ) 15,03 .
Представьте	дробь	в виде десятичной : Образец .
Как выразить десятичную	дробь	в процентах ?
Как десятичную	дробь	выразить в процентах ?
Чтобы выразить проценты десятичной	дробью	, надо число , стоящее перед знаком процента , умножить на 0,01 , или , что одно и то же , разделить на 100 .
б ) Выразите обыкновенной	дробью	каждую величину : 0,2 кг , 0,6 кг , 0,25 кг , 0,375 кг .
Выразите время в часах сначала обыкновенной	дробью	, а затем , если можно , десятичной .
Что можно делать со знаком « – » перед	дробью	.
Выразите проценты	дробью	и сократите её .
а ) Выразите десятичной	дробью	каждую величину .
При округлении десятичной дроби её заменяют близкой	дробью	, но с меньшим числом десятичных знаков или даже целым числом .
Замените проценты	дробью	и сократите её , если возможно .
В самом деле , заменим каждую из этих десятичных дробей обыкновенной	дробью	, получим .
Выразим проценты десятичной	дробью	.
Выразим десятичной	дробью	проценты в следующих предложениях .
Найдите частное , представив данные дроби в виде обыкновенных , и , если возможно , выразите ответ десятичной	дробью	.
Вы видите , что при записи отрицательных дробей « – » можно ставить перед	дробью	, вносить его в числитель или в знаменатель .
д. Что происходит с этим числом , если оно является : а ) натуральным числом ; б ) десятичной	дробью	? .
Часто бывает удобно выражать проценты обыкновенной	дробью	, и некоторые из этих представлений полезно запомнить , например те , которые приведены в таблице на полях .
Если частное десятичных дробей выражается десятичной	дробью	, то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных чисел .
Найдите приближённое значение частного , выраженное десятичной	дробью	с двумя знаками после запятой .
Если число выражено десятичной	дробью	, то его всегда можно представить и в виде обыкновенной дроби .
Выразите	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	35 % .
Решая задачи на проценты , вы выражали процент	дробью	.
Что произошло с этой десятичной	дробью	? .
Представление процента десятичной	дробью	.
В каждом случае найдите разность между полученным приближённым значением и данной	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	: а ) 39 % ; б ) 50 % ; в ) 6 % ; г ) 230 % .
Выразите это частное приближённо десятичной	дробью	с двумя знаками после запятой .
Выразите десятичной	дробью	: 124 % , 175 % , 105 % , 250 % .
Выразите десятичной	дробью	.
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить проценты десятичной	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	, а затем обыкновенной .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной	дробью	, можно записать в виде десятичной дроби .
Выразим долю каждого газа десятичной	дробью	.
Таким образом , частное двух десятичных дробей не всегда можно выразить десятичной	дробью	.
Как выразить проценты десятичной	дробью	.
Как проценты выразить десятичной	дробью	?
Иначе обстоит дело с	дробью	.
Случай , когда частное выражается десятичной	дробью	.
Но для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому при необходимости обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной	дробью	.
Как выразить проценты десятичной	дробью	?
При этом в произведении нужно отделять запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной	дробью	.
В настоящее время с помощью компьютера найдено приближённое значение π , выраженное десятичной	дробью	, содержащей более триллиона знаков после запятой .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент десятичной	дробью	можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
Действия с десятичными	дробями	.
Вычисления с	дробями	.
Это часто используется при выполнении действий с	дробями	, делая вычисления более простыми .
Удобство обращения с десятичными	дробями	привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
2 Вычисления с	дробями	.
Совместные действия с обыкновенными и десятичными	дробями	.
Выражение величин	дробями	.
Разные действия с десятичными	дробями	.
Правила действий с	дробями	.
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к дроби или от дроби к процентам , вычислять с десятичными	дробями	или , если удобно , с обыкновенными .
Запишите ответ разными	дробями	.
Такие записи называют десятичными	дробями	.
Найдём произведение десятичных дробей 3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными	дробями	.
Мы уже говорили о том , что с десятичными	дробями	работать легче , чем с обыкновенными .
Вспомним правила , по которым выполняют действия с	дробями	.
На протяжении тысячелетий математики искали приближения числа π , выраженные	дробями	.
А дроби , записанные с помощью дробной черты , называют обыкновенными	дробями	.
Выполнять действия с	дробями	, записанными в таком виде , почти так же легко , как и с натуральными числами .
Эти действия с десятичными	дробями	мы можем выполнять практически так же , как с натуральными числами .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными	дробями	почти не отличаются от действий над натуральным числами — надо только научиться правильно ставить результате запятую .
Число 21,28 заключено между десятичными	дробями	21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Иногда при нахождении процента от некоторой величины удобно пользоваться обыкновенными	дробями	— в тех случаях , когда , используя их , вычисления можно выполнить устно .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными	дробями	и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Что отличает деление от других действий с десятичными	дробями	.
Однако правила действий с	дробями	, как вы могли уже убедиться сами , достаточно сложны .
Действия с обыкновенными и десятичными	дробями	.
А если каждую из шести	дуг	окружности разделить пополам , то мы сможем построить правильный двенадцатиугольник .
Построить правильный многоугольник можно так : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных	дуг	) и соединить последовательно точки деления отрезками .
След , который оставляет точка А при повороте , — это	дуга	окружности .
Фигуры , ограниченные окружностями и их дугами . Найдите длину	дуги	окружности , выделенной на рисунке жирной линией .
В числе 7,35 содержится 7	единиц	, 3 десятых и 5 сотых .
Выразите в процентах , округлив ответ до	единиц	: а ) учащихся школы ; в ) населения Хабаровска ; б ) всех книг библиотеки ; г ) семейного бюджета .
Округлим значение площади арены до	единиц	, получим .
В старинных системах мер , которые не сохранились до нашего времени , чаще всего деление	единиц	измерения шло по двоичной системе , т .
г ) Сколько всего	единиц	продукции было выпущено за месяц , если жакетов было выпущено 3000 штук ? .
д. раз , то переход от одних	единиц	измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на степень 10 .
Но на практике такие обозначения	единиц	цены не употребляются .
Выполните прикидку результата , округлив десятичные дроби до	единиц	, а затем найдите точный ответ .
Числовое значение площади округлите до	единиц	.
Цифра 0 говорит об отсутствии	единиц	соответствующего разряда .
д. , а десятичные дроби можно округлять до	единиц	, десятых , сотых и т .
Округление по правилу . Округлите до	единиц	.
Округлите это число до десятых ; до	единиц	.
Например , в числе 2408 содержится 2 тысячи , 4 сотни , 0 десятков и 8	единиц	.
— округление до	единиц	( 3,802 ближе к 4 , чем к 3 ) .
В каких разрядах содержится одинаковое число	единиц	? .
Переход от одних	единиц	измерения к другим .
Найдите примерный процент брака на каждом заводе , округлив результат до	единиц	.
Если знаменатель дроби —	единица	с нулями , то для неё применяют не « двухэтажную » запись , а запись в строчку , без явного указания знаменателя .
В метрической системе мер одна	единица	отличается от другой в 10 , 100 , 1000 и т .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз	единица	длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
каждая	единица	делилась на две равные части .
Поэтому в разряде сотых оказался 0 , а в разряде десятых добавилась одна разрядная	единица	.
Именно так обстоит дело с	единицами	длины и массы .
Десятичные соотношения между различными метрическими	единицами	отражены в их названиях .
Такие же равенства можно записать и с	единицами	измерения массы — тоннами , килограммами , граммами .
Выразите расстояния в одних	единицах	.
В каких	единицах	она измеряется ? .
В каких	единицах	будет выражена скорость , если расстояние выражено в метрах , а время — в минутах ?
Она тоже измеряется в аналогичных	единицах	: p./кг , р./м , p./шт .
Обозначим периметр треугольника буквой Р , а длины его сторон , выраженные в одних и тех же	единицах	, буквами а , b и с. Тогда .
Действительно , чтобы получить правильный результат , надо выразить эти длины в одних	единицах	, например в сантиметрах .
В каждом случае поясните смысл образовавшейся величины и укажите , в каких	единицах	она измеряется .
При вычислении отношения в таких случаях важно следить за тем , чтобы величины были выражены в одних и тех же	единицах	.
В древних системах мер	единицей	измерения расстояний был стадий ( греч .
Не выполняя вычислений , сравните с	единицей	сумму : Образец .
Интересно отметить , что в современном спорте , где секунда оказалась слишком большой	единицей	для измерения результатов , используется смешанная система измерения времени .
Так как справа от этого разряда стоит цифра 7 , то прибавили	единицу	к цифре разряда десятых .
Прибавив	единицу	к цифре 9 в разряде сотых , мы получили 10 сотых .
Деление десятичной дроби на	единицу	с нулями .
А умножение и деление десятичной дроби на	единицу	с нулями сводится к переносу запятой .
По какому правилу делят десятичную дробь на	единицу	с нулями ?
Умножение десятичной дроби на	единицу	с нулями .
Умножение и деление десятичной дроби на	единицу	с нулями .
Это и понятно : ведь умножение десятичной дроби на	единицу	с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
По какому правилу умножают десятичную дробь на	единицу	с нулями ?
Сохраняются свойства нуля и	единицы	при умножении .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5	единицы	, получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Действительно , точка – 5,8 удалена от начала координат на 5,8	единицы	, а точка – 4 — на 4 единицы .
Запишите с помощью букв свойства нуля и	единицы	при умножении .
Действительно , точка – 5,8 удалена от начала координат на 5,8 единицы , а точка – 4 — на 4	единицы	.
Десятичные дроби появились в математике гораздо раньше , чем современные	единицы	измерения — метры и граммы .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей	единицы	на местности .
Запишите в буквенном виде свойство нуля при сложении и свойство	единицы	при умножении .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от нуля отрезок , равный 5,2	единицы	, получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
В Вавилоне действовала не десятичная , а шестидесятеричная система счисления , поэтому	единицы	измерения делили не на 10 , 100 и т .
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4	единицы	влево от нуля .
Например , числам 2,5 и – 2,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 2,5	единицы	; числам 5 и – 5 — точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 5 единицам .
Используя десятичные дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же	единицы	длины .
Для записи десятичных дробей используют новые разряды , в которых указывают доли	единицы	.
Так как в метрической системе мер	единицы	различаются в 10 , 100 , 1000 и т .
Например , модуль числа 2,5 равен 2,5 , так как число 2,5 удалено от начала отсчёта на 2,5	единицы	.
Так как 2	единицы	меньше , чем 3 единицы , то 2,7 < 3,1 .
Так как 2 единицы меньше , чем 3	единицы	, то 2,7 < 3,1 .
Вам известны соотношения , с помощью которых одни	единицы	длины выражаются через другие , более мелкие .
Затем отсчитаем от точки 0,36 четыре тысячные доли	единичного	отрезка .
Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю	единичного	отрезка , которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть	единичного	отрезка , которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Получим сотые доли	единичного	отрезка .
Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю	единичного отрезка	, которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть	единичного отрезка	, которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Получим сотые доли	единичного отрезка	.
Затем отсчитаем от точки 0,36 четыре тысячные доли	единичного отрезка	.
Откладывая последовательно	единичные	отрезки вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых чисел .
Откладывая последовательно	единичные отрезки	вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых чисел .
Начертите координатную прямую , взяв за	единичный	отрезок 10 клеток .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный	отрезок 8 клеток .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный	отрезок 10 клеток .
Начертим координатную прямую и выберем такой	единичный	отрезок , который удобно делить на 10 равных частей .
Начертите координатную прямую (	единичный	отрезок — 2 клетки ) и отметьте на ней числа .
Начертим координатную прямую и выберем такой	единичный отрезок	, который удобно делить на 10 равных частей .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный отрезок	8 клеток .
Начертите координатную прямую (	единичный отрезок	— 2 клетки ) и отметьте на ней числа .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный отрезок	10 клеток .
Начертите координатную прямую , взяв за	единичный отрезок	10 клеток .
а ) Начертите координатную прямую с	единичным	отрезком , равным 6 клеткам .
а ) Начертите координатную прямую с	единичным отрезком	, равным 6 клеткам .
Теперь понятно , с чем связана	жёсткость	треугольника : как говорят математики , треугольник однозначно определяется тремя своими сторонами .
Целые части этих дробей одинаковы ; совпадают также первые три цифры после	запятой	.
Поэтому нет смысла давать в результате больше знаков после	запятой	, чем в условии .
Отделив	запятой	справа три цифры , получили десятичную дробь 28,200 , т .
а ) В числе 54038 отделите	запятой	одну цифру справа и прочитайте получившуюся десятичную дробь .
Поэтому любое натуральное число можно представить в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после	запятой	.
При этом в произведении нужно отделять	запятой	столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после	запятой	в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
В настоящее время с помощью компьютера найдено приближённое значение π , выраженное десятичной дробью , содержащей более триллиона знаков после	запятой	.
Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной с одним , двумя , тремя знаками после	запятой	.
б ) Найдите наибольшую из десятичных дробей с четырьмя знаками после	запятой	, при округлении которой до сотых получается число 8,65 .
Выразите это частное приближённо десятичной дробью с двумя знаками после	запятой	.
Вычеркните одну цифру после	запятой	так , чтобы дробь : а ) увеличилась ; б ) уменьшилась .
Как определяют положение	запятой	в произведении десятичной дроби и натурального числа ?
4 знака после	запятой	? .
Найдите значение степени : 2 ) Сколько цифр после	запятой	содержит десятичная дробь , равная .
Чему равен знаменатель обыкновенной дроби , если в её десятичной записи содержится 2 знака после	запятой	?
а ) Найдите все десятичные дроби с тремя знаками после	запятой	, при округлении которых до сотых получается число 3,27 .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение	запятой	при умножении десятичной дроби на десятичную дробь ; на натуральное число .
Найдите приближённое значение частного , выраженное десятичной дробью с двумя знаками после	запятой	.
В десятичной дроби с « длинным хвостом » среди цифр после	запятой	есть один нуль ( все остальные цифры не нули ) .
Вот как , например , выглядит приближённое значение с десятью знаками после	запятой	: π 3,1415926535 .
В знаменателе этой дроби 5 нулей , поэтому в десятичной дроби должно быть 5 цифр после	запятой	.
Запишите какую - нибудь десятичную дробь с четырьмя знаками после	запятой	и прочитайте её .
Сколько цифр после	запятой	должно содержаться в десятичной дроби , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 1000 ?
Запишите : а ) пять отрицательных дробей со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных десятичных дробей с одним знаком после	запятой	; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
Это и понятно : ведь умножение десятичной дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу	запятой	на столько же цифр вправо .
д. с помощью переноса	запятой	в любом случае : при необходимости к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные нули .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить	запятой	справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
д. также сводится к переносу	запятой	, но только влево .
Десятичную дробь читают следующим образом : сначала читают её часть , стоящую до запятой , и добавляют слово « целых » , затем читают часть , стоящую после	запятой	, и добавляют название последнего разряда .
Десятичную дробь читают следующим образом : сначала читают её часть , стоящую до	запятой	, и добавляют слово « целых » , затем читают часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
В первом множителе две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в знаменателе дроби — получилось число с тремя нулями , а в соответствующей десятичной дроби оказалось три цифры после	запятой	.
В первом множителе две цифры после	запятой	, во втором — одна , поэтому в знаменателе дроби — получилось число с тремя нулями , а в соответствующей десятичной дроби оказалось три цифры после запятой .
У каждой десятичной дроби две цифры после	запятой	, поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без	запятой	, так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
В первом разряде после	запятой	указывают число десятых долей ; его так и называют — разряд десятых .
Затем в этом произведении мы отделили	запятой	справа пять цифр ( для этого нам пришлось слева приписать нули ) .
А в сумме после	запятой	тоже оказалось две цифры — столько же , сколько их содержится в каждом из слагаемых .
Знаки , стоящие в десятичной дроби после	запятой	, называют десятичными знаками .
Как изменится положение	запятой	в десятичной дроби , если .
Что умножение и деление десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 сводится к переносу	запятой	.
Выпишите все десятичные дроби с одним знаком после	запятой	, которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между .
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака , но у дроби 851,3 перед	запятой	только 3 знака !
А умножение и деление десятичной дроби на единицу с нулями сводится к переносу	запятой	.
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение	запятой	: при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
поставить в разности запятую под	запятой	в данных дробях .
поставить в сумме запятую под	запятой	в данных дробях .
В десятичной дроби после	запятой	столько цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под	запятой	.
А как найти сумму дробей 3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после	запятой	различно ?
Теперь для отделения целой части от дробной мы ставим	запятую	.
Обратите внимание : чтобы получить частное , достаточно в делимом и делителе перенести	запятую	на два знака вправо .
д. , нужно перенести в этой дроби	запятую	на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
поставить в сумме	запятую	под запятой в данных дробях .
Сразу после того как закончено деление целой части , в частном ставят	запятую	.
Сначала разделили на 3 целую часть дроби 7,47 и поставили в частном	запятую	.
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий над натуральным числами — надо только научиться правильно ставить результате	запятую	.
д. , нужно перенести в этой дроби	запятую	на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
В таких случаях в частном пишут 0 , после чего ставят	запятую	и продолжают деление .
В числе 6,012345 последовательно сдвигайте	запятую	на одну цифру вправо .
Поэтому мы имеем возможность переносить	запятую	на столько знаков , сколько требуется .
поставить в разности	запятую	под запятой в данных дробях .
Последовательно сдвигайте эту	запятую	на одну цифру влево и каждый раз читайте десятичную дробь .
Сравнив списки парусников , находившихся в указанное время в указанных местах , Шерлок Холмс установил , что только американское судно « Одинокая	звезда	» входило в каждый из них .
Какие цифры можно подставить вместо	звёздочки	, чтобы полученное неравенство было верным .
Попугай и канарейка склевали 29,9 г , а канарейка и щегол — 25,1 г. Сколько	зерна	склевала каждая птица ? .
Попугай , канарейка и щегол вместе склевали 45,6 г	зерна	.
Этот	знак	вошёл в обиход и постепенно преобразовался в знакомый нам символ .
Поставьте вместо многоточия	знак	или .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1	знак	, при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Этот	знак	мы будем использовать и для обозначения числа , противоположного отрицательному .
Если поставить	знак	« – » , то получится противоположное число .
Поэтому в натуральном ряду запятые можно заменить на	знак	« меньше » .
Для того чтобы на математическом языке записать предложение « х — элемент множества А » , используют	знак	.
Записывая целые числа в ряд , мы также можем заменить запятые на	знак	« меньше » .
Какой	знак	имеет произведение чисел одного знака ?
Какой	знак	имеет сумма двух положительных целых чисел ?
Запишите ответ , используя	знак	.
Определите	знак	суммы и выполните сложение .
Сначала , пользуясь правилами знаков , определяют	знак	произведения , а затем перемножают модули множителей .
Для обозначения слова « процент » применяется	знак	.
Перед положительными числами , для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от отрицательных , иногда ставится	знак	« + » .
Измените	знак	перед каждым слагаемым на противоположный и найдите значение нового выражения .
Поставьте вместо	знак	включения так , чтобы получилось верное утверждение .
В математике черту дроби используют как	знак	деления не только для натуральных чисел , но и для более сложных выражений .
Если перед некоторым числом , положительным или отрицательным , поставить	знак	« + » , то получится то же самое число .
Какой	знак	имеет частное чисел одного знака ?
И если значение величины ниже нулевой отметки , то ставят	знак	« минус » .
Выпишите эти пары , используя	знак	.
Получить модуль отрицательного числа тоже легко — достаточно просто отбросить	знак	« минус » .
числовой множитель записывают перед буквенным и точку (	знак	умножения ) между ними не ставят .
Обратите внимание на то , что в числовых выражениях , которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали точку —	знак	умножения .
Для обозначения перпендикулярности используют	знак	, а фразу « прямая а перпендикулярна прямой b » записывают так : a Lb .
Изобразите соотношение между множествами Р , N и Z с помощью кругов Эйлера и запишите соответствующую « цепочку » , используя	знак	.
Для нахождения суммы надо из 8 вычесть 3 и поставить перед результатом	знак	числа – 8 , т .
При этом главным будет вопрос : « Как по знакам компонентов действия определить	знак	результата ? » .
Правила деления двух целых чисел аналогичны правилам умножения —	знак	частного определяется по следующему правилу знаков .
Сумма двух чисел разных знаков имеет	знак	того слагаемого , у которого модуль больше .
Опустите скобки и	знак	« + » там , где это возможно .
Обратите внимание : в каждом правиле выделяются два момента — сначала определяют	знак	суммы , а затем находят её модуль .
Сумма двух чисел одного знака имеет тот же	знак	, что и слагаемые .
Используя координатную прямую , выясните , какой	знак	имеет целое число b , если .
Сначала надо определить	знак	суммы — она будет отрицательна , а затем сложить 5 и 9 , т .
Сумма двух отрицательных чисел отрицательна , поэтому сначала запишем	знак	« минус » , а затем сложим .
Обратите внимание : чтобы получить частное , достаточно в делимом и делителе перенести запятую на два	знака	вправо .
С помощью	знака	« – » , как мы видели , записывается число , противоположное натуральному .
Сравните числа и запишите результат с помощью	знака	.
На примерах объясните , как выполняют деление чисел одного	знака	и разных знаков .
а ) Сформулируйте правила сложения чисел одного	знака	; разных знаков ; найдите сумму чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5 вычесть число – 10 .
Частное двух чисел одного	знака	положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно .
Сравните числа с нулём , результат запишите с помощью	знака	.
Правила умножения и деления рациональных чисел одного	знака	и разных знаков .
Запишите соответствующие равенства с помощью	знака	модуля и прочитайте их .
Замечательным вкладом индийских математиков в развитие теории чисел было введение понятия нуля и	знака	для него .
Частное двух чисел одного	знака	положительно ; частное двух чисел разных знаков отрицательно .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных	знака	.
положительные числа записывают без	знака	« + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Как записать с помощью	знака	« – » число , противоположное числу а ? .
Сумма двух чисел одного	знака	имеет тот же знак , что и слагаемые .
Запишите ответ с помощью	знака	.
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2	знака	, при умножении на 1000 — на 3 знака .
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4	знака	, но у дроби 851,3 перед запятой только 3 знака !
Отрицательные дробные числа , так же как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительному числу	знака	« – » .
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака , но у дроби 851,3 перед запятой только 3	знака	!
Сначала рассмотрим сложение чисел одного	знака	.
Сложение целых чисел одного	знака	и разных знаков .
В настоящее время обозначение отрицательных чисел с помощью	знака	« минус » принято везде .
4	знака	после запятой ? .
Запишите ответ с помощью	знака	« – » .
Чему равен знаменатель обыкновенной дроби , если в её десятичной записи содержится 2	знака	после запятой ?
Натуральное число и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему	знака	« минус » , называют противоположными числами .
Какой знак имеет частное чисел одного	знака	?
Произведение двух чисел одного	знака	положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
На примере объясните , как умножают числа одного	знака	.
мы будем рассматривать отрицательные числа , каждое из которых получается приписыванием к соответствующему натуральному числу	знака	« минус » .
Как можно вычислить сумму двух целых чисел одного	знака	и двух целых чисел разных знаков .
Запишите ответ с использованием	знака	.
Какой знак имеет произведение чисел одного	знака	?
Поэтому о двух целых числах можно сказать , что это числа одного	знака	, если они оба положительны или оба отрицательны .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3	знака	.
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного	знака	) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
При этом главным будет вопрос : « Как по	знакам	компонентов действия определить знак результата ? » .
Последнее равенство показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков сложения — просто выписать одно слагаемое за другим с их	знаками	.
а ) Найдите все десятичные дроби с тремя	знаками	после запятой , при округлении которых до сотых получается число 3,27 .
О противоположных числах говорят , что они отличаются только	знаками	.
б ) Найдите наибольшую из десятичных дробей с четырьмя	знаками	после запятой , при округлении которой до сотых получается число 8,65 .
Современное обозначение положительных и отрицательных чисел	знаками	« + » и « – » было введено только в конце XV в .
Вот как , например , выглядит приближённое значение с десятью	знаками	после запятой : π 3,1415926535 .
Знаки , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют десятичными	знаками	.
Найдите приближённое значение частного , выраженное десятичной дробью с двумя	знаками	после запятой .
Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной с одним , двумя , тремя	знаками	после запятой .
Выразите это частное приближённо десятичной дробью с двумя	знаками	после запятой .
Чтобы понять , как перемножают целые числа , рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только	знаками	.
Математическими	знаками	являются также и скобки .
Вы знакомы и с другими математическими	знаками	.
Запишите какую - нибудь десятичную дробь с четырьмя	знаками	после запятой и прочитайте её .
Что можно сказать о	знаке	суммы чисел а и b , если известно , что .
Какие	знаки	, используемые в математическом языке , вам известны ? .
Запишите , используя	знаки	« + » и « – » , общий итог в следующих ситуациях .
Запишите ответ , используя	знаки	« + » и « – » .
Буквами в нём являются различные математические	знаки	.
Для каждой четверти укажите , какие	знаки	имеют координаты точек , находящихся в этой четверти : А. I четверть ;
При округлении десятичной дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом десятичных	знаков	или даже целым числом .
Использование	знаков	« + » и « – » в записи чисел .
разных	знаков	? .
д. , нужно перенести в этой дроби запятую на столько	знаков	влево , сколько нулей содержится в делителе .
При этом в произведении нужно отделять запятой столько десятичных	знаков	, сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Предложения в математическом языке короче , чем в естественном языке , именно благодаря использованию специальных математических	знаков	.
Частное двух чисел одного знака положительно ; частное двух чисел разных	знаков	отрицательно .
противники французского короля Генриха IV для переписки с испанским двором использовали сложный шифр , насчитывавший более 500	знаков	.
Сложим теперь числа разных	знаков	, например – 8 и +3 .
Сформулируйте правила	знаков	при умножении и делении .
В настоящее время с помощью компьютера найдено приближённое значение π , выраженное десятичной дробью , содержащей более триллиона	знаков	после запятой .
Запишите с помощью	знаков	« + » и « – » сообщения службы погоды : а ) 20 градусов тепла ; б ) 20 градусов мороза .
В противном случае , если одно число положительно , а другое отрицательно , говорят , что эти числа разных	знаков	.
прибавлением противоположного числа и воспользуемся правилом сложения чисел разных	знаков	.
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных	знаков	содержится в обоих множителях вместе .
Сумма двух чисел разных	знаков	имеет знак того слагаемого , у которого модуль больше .
Представьте в виде суммы двух слагаемых разных	знаков	число .
Последнее равенство показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных	знаков	сложения — просто выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных	знаков	) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
д. , нужно перенести в этой дроби запятую на столько	знаков	вправо , сколько нулей содержится в множителе .
Сложение целых чисел одного знака и разных	знаков	.
Сформулируйте правило сложения чисел разных	знаков	.
Правила умножения и деления рациональных чисел одного знака и разных	знаков	.
Известны десятичные приближения числа π с очень большим числом десятичных	знаков	.
Сначала , пользуясь правилами	знаков	, определяют знак произведения , а затем перемножают модули множителей .
если количество десятичных	знаков	у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули .
9 Сравните дроби и запишите результат с помощью	знаков	.
Правила деления двух целых чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу	знаков	.
Поэтому мы имеем возможность переносить запятую на столько	знаков	, сколько требуется .
а ) Сформулируйте правила сложения чисел одного знака ; разных	знаков	; найдите сумму чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5 вычесть число – 10 .
Коротко правила	знаков	при умножении формулируют так : плюс на минус даёт минус , минус на минус даёт плюс .
Сформулируйте правила	знаков	при умножении и при делении .
Произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных	знаков	отрицательно .
Таким образом , десятичных	знаков	в произведении столько же , сколько их в множителях вместе .
Поэтому нет смысла давать в результате больше	знаков	после запятой , чем в условии .
Сумма двух чисел разных	знаков	может быть как положительным числом , так и отрицательным .
Их составляют из чисел , букв ,	знаков	действий и скобок .
Правила	знаков	.
Как определить , каким числом - положительным или отрицательным — является сумма двух целых чисел разных	знаков	?
А как складывать числа разных	знаков	?
Чтобы сравнить дроби 2,5081 и 2,508 , у которых число десятичных	знаков	различно , можно рассуждать так : уравняем число разрядов , приписав ко второй дроби справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью	знаков	« плюс » и « минус » .
На примере объясните , как умножают числа разных	знаков	.
Заметим , что распределительное свойство выполняется именно потому , что для умножения мы приняли указанные выше правила	знаков	, в частности правило « минус на минус даёт плюс » .
Правила сложения чисел разных	знаков	.
Частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух чисел разных	знаков	отрицательно .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число десятичных	знаков	, приписав к дроби 3,5 справа цифру 0 .
Как можно вычислить сумму двух целых чисел одного знака и двух целых чисел разных	знаков	.
На примерах объясните , как выполняют деление чисел одного знака и разных	знаков	.
Сравните – а и – b . в ) Известно , что а и b — целые числа разных	знаков	, причём .
Что можно делать со	знаком	« – » перед дробью .
Выпишите все десятичные дроби с одним	знаком	после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между .
Запишите : а ) пять отрицательных дробей со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных десятичных дробей с одним	знаком	после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
Чтобы выразить проценты десятичной дробью , надо число , стоящее перед	знаком	процента , умножить на 0,01 , или , что одно и то же , разделить на 100 .
Общий итог — выигрыш или проигрыш — записывают со	знаком	« + » или « – » .
Такие числа , « похожие » на натуральные , но со	знаком	« минус » , нужны в тех случаях , когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях .
Положительные дробные числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные целые числа , можно записывать со	знаком	« + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
В первом множителе две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в	знаменателе	дроби — получилось число с тремя нулями , а в соответствующей десятичной дроби оказалось три цифры после запятой .
Запишем это частное в виде дроби и затем , воспользовавшись основным свойством дроби , преобразуем её так , чтобы в числителе и	знаменателе	оказались целые числа .
В десятичной дроби после запятой столько цифр , сколько нулей в	знаменателе	соответствующей ей обыкновенной дроби .
В	знаменателе	этой дроби 5 нулей , поэтому в десятичной дроби должно быть 5 цифр после запятой .
Уравняем число цифр в числителе и число нулей в	знаменателе	, приписав к числителю слева вспомогательные нули , получим = 0,00187 .
При нахождении значений таких дробей сначала вычисляют значения выражений , стоящих в числителе и	знаменателе	, и только потом выполняют деление .
Воспользуемся основным свойством дроби и преобразуем выражение так , чтобы в числителе и	знаменателе	дроби оказались натуральные числа .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить числители дробей и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в	знаменателе	.
В самом деле , при с = 0 в	знаменателе	дроби окажется 0 , а на 0 , как вы знаете , делить нельзя .
Значение дроби останется тем же , а от дробей в числителе и	знаменателе	мы избавимся .
Значит , дробь — нельзя привести ни к одному из	знаменателей	10 , 100 , 1000 и т .
Приведите дроби к одному из	знаменателей	10 , 100 или 1000 и запишите соответствующие десятичные дроби .
Чтобы записать . обыкновенную дробь в виде десятичной , нужно привести её к одному из	знаменателей	10 , 100 , 1000 и т .
Если домножить его на три пятёрки , то получится один из	знаменателей	указанного ряда — число 1000 , т .
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же	знаменателем	, равным 100 .
Запишите : а ) пять отрицательных дробей со	знаменателем	3 ; б ) пять отрицательных десятичных дробей с одним знаком после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби , причём с каким угодно	знаменателем	.
Записав дробную часть со	знаменателем	, получим число , таким образом .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со	знаменателем	10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
а ) Число 16 кратно 8 , значит , оно и является наименьшим общим	знаменателем	.
А как перейти от обыкновенной дроби со	знаменателем	10 , 100 , 1000 и т .
В частности ,	знаменателем	может быть любая степень числа 10 .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со	знаменателем	10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Если же	знаменатели	дробей различны , то нужно либо приводить их к общему знаменателю , либо пользоваться специальными приёмами .
Вы знаете , что две обыкновенные дроби легко сравнить , если у них одинаковые	знаменатели	.
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить числители дробей и их	знаменатели	и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
В дальнейшем вы будете часто встречать такие « многоэтажные » дроби , в которых числители и	знаменатели	— различные выражения .
Обратите обыкновенную дробь в десятичную , разделив уголком числитель на	знаменатель	.
Чему равен	знаменатель	обыкновенной дроби , если в её десятичной записи содержится 2 знака после запятой ?
Сначала мы разделили числитель и	знаменатель	на 2 , потом ещё раз на 2 , затем на 3 и , наконец , на 9 .
Если	знаменатель	дроби — единица с нулями , то для неё применяют не « двухэтажную » запись , а запись в строчку , без явного указания знаменателя .
Приведём дробь — к знаменателю 16 . б ) Общий	знаменатель	данных дробей должен делиться и на 11 , и на 3 .
в ) В качестве общего знаменателя данных дробей можно взять произведение чисел 25 и 15 — число 375 , но такой	знаменатель	не будет наименьшим .
Число , записанное над чертой , — числитель дроби , под чертой — её	знаменатель	.
Чтобы перейти от десятичной дроби к соответствующей обыкновенной , достаточно её прочитать и записать	знаменатель	дробной части в явном виде .
Можно было сделать это и иначе : например , сразу разделить числитель и	знаменатель	на 4 и т .
Наименьший общий	знаменатель	дробей равен 36 .
Если	знаменатель	обыкновенной дроби не имеет никаких простых делителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной .
Для этого , как вы знаете , нужно просто записать	знаменатель	дробной части в явном виде .
Разложив на простые множители	знаменатель	этой дроби , получим произведение 3 - 5 , содержащее число 3 .
Её	знаменатель	содержит простой множитель 3 .
Но её всегда можно представить в виде дроби ,	знаменатель	которой кратен 3 , например , равен 6 , 9 , 51 , 72 .
Умножим числитель и	знаменатель	дроби на 12 .
Если	знаменатель	обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , и эта дробь несократима , то её нельзя представить в виде десятичной .
Возьмём несколько рациональных чисел и представим каждое из них в виде дроби , у которой числитель — целое число ,	знаменатель	— натуральное .
Значит , наименьший общий	знаменатель	дробей равен 75 .
Умножим числитель и	знаменатель	дроби на 4 .
Сколько цифр после запятой должно содержаться в десятичной дроби , если	знаменатель	соответствующей ей обыкновенной дроби равен 1000 ?
Вы видите , что при записи отрицательных дробей « – » можно ставить перед дробью , вносить его в числитель или в	знаменатель	.
Вы видите , что мы смогли представить обыкновенную дробь в виде десятичной новым способом , не домножая	знаменатель	на .
На какие бы целые числа ни домножали	знаменатель	, множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому произведение только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Если числитель и	знаменатель	дроби умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то получится дробь , равная данной .
Чтобы найти сумму ( или разность ) дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму ( или разность ) их числителей , а	знаменатель	оставить прежним .
Приведём дробь — к	знаменателю	16 . б ) Общий знаменатель данных дробей должен делиться и на 11 , и на 3 .
Не приводя дроби к общему	знаменателю	, установите , какая из них наибольшая .
Как приводят дроби к новому	знаменателю	.
8 Приведите к наименьшему общему	знаменателю	дроби .
Сначала приведём дроби к общему	знаменателю	, а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания дробей с равными знаменателями .
2 ) Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему	знаменателю	, а затем воспользоваться первым правилом .
Приведём к наименьшему общему	знаменателю	дроби .
Понятно , что дробь 1/3 можно привести не к любому	знаменателю	.
Приведите дроби к	знаменателю	18 .
Объясните на примере дробей , как привести дроби к общему	знаменателю	.
Будем последовательно перебирать числа , кратные 25 ( большему	знаменателю	) , и проверять , делятся ли они на 15 : число 50 не делится на 15 , а число 75 уже делится .
Приведём каждую из дробей к	знаменателю	33 .
Если же знаменатели дробей различны , то нужно либо приводить их к общему	знаменателю	, либо пользоваться специальными приёмами .
Опираясь на это свойство , приведите дробь к	знаменателю	24 ; сократите дробь .
Например , её нельзя привести к	знаменателю	10 , так как 10 не делится на 3 .
Приведите дроби к	знаменателю	80 .
Применяя это свойство , можно приводить дроби к новому	знаменателю	, а также сокращать их .
Вавилонские учёные изобрели и упрощённый способ записи шестидесятеричных дробей - в строчку , без	знаменателя	.
При разложении её	знаменателя	на простые множители получается произведение 2 - 2 - 2 .
в ) В качестве общего	знаменателя	данных дробей можно взять произведение чисел 25 и 15 — число 375 , но такой знаменатель не будет наименьшим .
Будем последовательно находить общие делители числителя и	знаменателя	и сокращать на них дробь .
Древние греки , а позднее индусы ( около 1500 лет назад ) записывали дроби с помощью числителя и	знаменателя	, но без дробной черты .
Если знаменатель дроби — единица с нулями , то для неё применяют не « двухэтажную » запись , а запись в строчку , без явного указания	знаменателя	.
В каждом случае определите , какую погрешность вы допустили , заменив точное	значение	приближённым .
Известно , что . Найдите	значение	выражения .
Как выглядит « многоэтажная » дробь и как находить её	значение	.
Обратите десятичную дробь в обыкновенную и найдите	значение	выражения .
В записи натурального числа	значение	цифры определяется тем , в каком разряде она находится .
Чему равно	значение	каждого из выражений ? .
	Значение	выражения равно 0 .
Число 21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое	значение	числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Вот как , например , выглядит приближённое	значение	с десятью знаками после запятой : π 3,1415926535 .
Найдём	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения .
Число 21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое	значение	с избытком .
а )	значение	выражения равно 0 .
Найдите приближённое	значение	частного , выраженное десятичной дробью с двумя знаками после запятой .
4 Определите порядок действий и найдите	значение	выражения .
в ) принимает значение , равное 0 ; 1 ; 100 . г ) принимает	значение	, равное 0 ; 1 ; 10 .
Округлим	значение	площади арены до единиц , получим .
В настоящее время с помощью компьютера найдено приближённое	значение	π , выраженное десятичной дробью , содержащей более триллиона знаков после запятой .
Таким образом , при и	значение	выражения равно 0,4 .
Используя полученный результат , запишите выражение ,	значение	которого противоположно данному выражению .
Найдём	значение	выражения при .
Измените знак перед каждым слагаемым на противоположный и найдите	значение	нового выражения .
Так же как и в случае частного , отношением называют и	значение	выражения , и само выражение .
Найдите	значение	суммы .
Его	значение	называют значением буквенного выражения при данных значениях букв .
Найдите	значение	выражения ab .
При этом выбирают такое приближённое	значение	, при котором ошибка получается меньше .
Найдите	значение	степени .
Найдите	значение	выражения ab при .
Найдём	значение	дроби .
Будем подставлять вместо буквы х различные числа , например и каждый раз вычислять	значение	получившегося числового выражения .
Числовое	значение	буквенного выражения .
Найдите	значение	каждого из выражений .
Так как , то	значение	выражения равно 35 .
найти его	значение	.
Определите модуль какого из чисел , а или b , больше ; 2 ) положительным или отрицательным является	значение	выражения .
Объясните , как можно найти	значение	выражения .
Найдите	значение	степени : а ) Найдите число , квадрат которого равен 0,64 ; 0,01 ; 0,0009 .
Найдите	значение	суммы при указанных значениях а , b и с .
Найдите	значение	степени : 2 ) Сколько цифр после запятой содержит десятичная дробь , равная .
5 Найдите разными способами	значение	выражения .
Найдём	значение	выражения Заменим деление умножением на обратное число .
Найдите	значение	буквенного выражения .
И если	значение	величины ниже нулевой отметки , то ставят знак « минус » .
д. , которые имели большое практическое	значение	, они стали применять так называемую десятичную запись , похожую на запись натуральных чисел .
в ) принимает	значение	, равное 0 ; 1 ; 100 . г ) принимает значение , равное 0 ; 1 ; 10 .
б ) принимает	значение	, равное 0 ; 1 .
Числовое	значение	площади округлите до единиц .
а ) принимает	значение	, равное 1 ; 100 .
Подберите	значение	буквы , при котором выражение .
Его	значение	не изменится , если делимое и делитель умножить на 100 .
Затем заменили вычитание сложением и вычислили	значение	получившейся суммы .
Укажите	значение	выражения при этих же значениях а , b и с .
Укажите	значение	выражения при этих же значениях букв .
В каждом случае найдите разность между полученным приближённым	значением	и данной дробью .
В расчётах число π заменяют его приближённым	значением	.
Его значение называют	значением	буквенного выражения при данных значениях букв .
Замену буквы числом называют числовой подстановкой , а число , которое подставляют вместо буквы , —	значением	буквы .
Вычисление	значений	буквенных выражений .
Вычисление числовых	значений	буквенных выражений .
Вычисление	значений	выражений .
Нахождение	значений	выражений .
При нахождении	значений	таких дробей сначала вычисляют значения выражений , стоящих в числителе и знаменателе , и только потом выполняют деление .
Проиллюстрируйте эти правила на примерах вычисления	значений	выражений .
Вычисление	значений	выражений , содержащих деление на десятичную дробь .
Расположите произведения в порядке возрастания их	значений	.
Вычисление	значений	числовых выражений .
Как составляют формулы для вычисления	значений	величин .
Рассмотренные примеры подсказывают правило , по которому дроби можно округлять , не выбирая лучшее из двух приближённых	значений	.
Вычисление	значений	выражении , содержащих .
Значение каких выражений равно	значению	произведения ab ?
а ) Составьте из чисел 4,84 ; 5,055 ; 10,5 все возможные суммы и найдите их	значения	.
Подберите какие - нибудь допустимые	значения	букв а , b и с в этой задаче и вычислите результат .
Определите порядок действий и найдите	значения	выражений .
( Полученные числовые	значения	округлите до десятков . ) .
Существуют ли такие	значения	х , при которых выполняется данное равенство ?
Не выполняя вычислений , сравните	значения	выражений .
Все они похожи тем , что для вычисления	значения	каждого из них нужно выполнить одни и те же действия в одном и том же порядке .
При нахождении значений таких дробей сначала вычисляют	значения	выражений , стоящих в числителе и знаменателе , и только потом выполняют деление .
Найдите	значения	выражений .
Не производя вычислений , найдите	значения	следующих выражений при тех же значениях а и b .
2,13 ; 4,85 все возможные разности и вычислите их	значения	.
Встречаются различные	значения	стадия : вавилонский - 194 м , греческий - 178 м , олимпийский — 192 м и др .
Допустимые	значения	букв в выражении .
Какими бы ни были конкретные	значения	длин сторон треугольника , чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Сравните	значения	выражений .
На	значения	букв в выражении могут накладывать ограничения не только указанные в нём действия , но и условия рассматриваемых ситуаций .
Это выражение задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от	значения	п. Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом .
Подставим вместо букв их	значения	и выполним указанные действия .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять	значения	« длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Вы уже знаете , что буквы необходимы для записи общих утверждений ( например , свойств арифметических действий ) , а также формул , описывающих на математическом языке правила нахождения одних величин по известным	значениям	других .
Какие из чисел 0 , 10 , 20 , 25 , 30 являются допустимыми	значениями	буквы х в выражении .
Числа , которые можно подставлять в буквенное выражение , называют допустимыми	значениями	букв .
Какие из чисел 0 , 2 , 6 , 10 являются допустимыми	значениями	буквы а в выражении .
Не производя вычислений , найдите значения следующих выражений при тех же	значениях	а и b .
О допустимых	значениях	букв в выражении .
Найдите значение суммы при указанных	значениях	а , b и с .
Укажите значение выражения при этих же	значениях	а , b и с .
Укажите значение выражения при этих же	значениях	букв .
Его значение называют значением буквенного выражения при данных	значениях	букв .
Например , эмблема Олимпийских	игр	- это пять сплетённых колец .
Вот примеры такого задания : множество стран , принявших участие в Олимпийских	играх	в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ; множество чисел , кратных 5 .
На распродаже цена диска с компьютерной	игрой	составила 80 % от прежней цены , т .
Площадка для	игры	в бадминтон имеет размеры 13,4 м и 5,2 м .
тетраэдр куб гексаэдр октаэдр	икосаэдр	додекаэдр .
Четыре из них олицетворяли стихии : тетраэдр — огонь , куб — землю ,	икосаэдр	— воду , октаэдр — воздух , а пятый , додекаэдр , — всё мироздание ;
Выберите одну из развёрток , перенесите её , увеличив , на лист бумаги и склейте из неё многогранник : тетраэдр , октаэдр , куб ,	икосаэдр	, додекаэдр .
Были « изобретены » новые числа ( вы узнаете о них в старших классах ) , и их назвали	иррациональными	, т .
Их изобретение было вызвано потребностью в создании небесных и географических	карт	.
Любая географическая	карта	или план какого - либо участка земной поверхности содержат указание на использованный при их составлении масштаб .
Похожие « клеточные » координаты обычно используются на военных , морских , геологических	картах	.
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на	карте	меньше соответствующей единицы на местности .
Определите , чему равно расстояние между двумя пунктами на местности , если на	карте	оно равно 8,5 см .
Определите , каким должно быть расстояние между двумя точками на плане , если в действительности оно равно 0,5 км . а ) На	карте	, масштаб которой , расстояние между Москвой и Курском составляет 9 см. Чему равно расстояние между этими городами в действительности ? .
Масштабом называют отношение длины отрезка на	карте	к длине соответствующего отрезка на местности .
Так , из сообщения о погоде вы могли услышать , что температура воздуха была , например , – 12 ° , а на географической	карте	увидеть отметку – 1637 м для глубины озера Байкал .
Расстояние между посёлками на топографической карте , масштаб которой , равно 12 см. Увеличится или уменьшится это расстояние на	карте	этой же местности , но с другим масштабом , равным ?
Выполните на	карте	необходимые измерения и определите , чему равно расстояние от Москвы до Санкт - Петербурга ; от Москвы до Архангельска ; от Архангельска до Петрозаводска .
Расстояние между двумя посёлками на	карте	равно 4 см , а расстояние между этими посёлками на местности равно 4 км .
Масштаб указывается на любой географической	карте	.
Он нужен для того , чтобы мы знали , во сколько раз размеры местности , изображённой на	карте	или плане , меньше её действительных размеров .
Каким будет оно на новой	карте	? .
Это означает , что 1 см на	карте	изображает 35 000 000 см в реальности , т .
Расстояние между посёлками на топографической	карте	, масштаб которой , равно 12 см. Увеличится или уменьшится это расстояние на карте этой же местности , но с другим масштабом , равным ?
Слово « масштаб » употребляется не только в связи с	картой	, но и более широко — во всех случаях , когда речь идёт о копии какого - либо объекта , выполненной с уменьшением или увеличением размеров в одном и том же отношении , — о чертеже , плане , макете и др .
Рассмотрите	карту	Европы и выполните следующие задания .
б ) Возьмите	карту	европейской части России .
Запишите в тетради масштаб этой	карты	.
Так , на вы видите фрагмент	карты	Зарубежной Европы , масштаб которой .
Определите масштаб	карты	.
Масштаб	карты	.
Цилиндр помещён в параллелепипед так , что	касается	всех его граней .
Обратите внимание : окружность	касается	каждой стороны пятиугольника .
Вы видите угол А и окружность , которая	касается	сторон этого угла .
а ) Шар поместили в куб так , что он	касается	всех граней куба .
Шар помещён в цилиндр так , что он	касается	и его боковой поверхности , и оснований .
В куб с ребром 4 ед . поместили шар , который	касается	всех граней куба .
Проведены две окружности с центром в точке Р и окружность с центром в точке О , которая	касается	первых двух .
Начертите в тетради две равные окружности так , чтобы они : а ) пересекались ; б ) не пересекались ; в )	касались	друг друга .
Расположите их так , чтобы каждый	касался	трёх других .
d —	касательная	к окружности в точке А .
В каждой из них проведена	касательная	к окружности .
Каким свойством обладает	касательная	к окружности ? .
Из рисунка понятно следующее важное свойство	касательной	.
Прямая и окружность могут иметь одну общую точку ( прямая является	касательной	к окружности ) , две общие точки ( в этом случае прямую называют секущей ) , а могут и не иметь общих точек .
г ) является	касательной	к окружности .
Проведите прямую и постройте какую - нибудь окружность радиусом 3 см , для которой эта прямая является	касательной	.
О том , какую прямую называют	касательной	к окружности .
В этом случае прямую k называют	касательной	к окружности , а точку М — точкой касания .
Какая из четырёх параллельных прямых является	касательной	к окружности ? .
Как только оно опять станет равным радиусу , мы получим ещё одну	касательную	.
Начертите окружность , отметьте на ней какую - нибудь точку и постройте	касательную	к окружности в этой точке .
Через каждую из точек А , В , С и D проведите	касательную	к этой окружности .
Пусть дана окружность с центром в точке О и на ней отмечена точка А. Проведите	касательную	к окружности в точке А. Для этого : 1 ) проведите радиус ОА ; 2 )
Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку А. Постройте	касательную	к окружности в точке А .
Как построить	касательную	.
К окружности , радиус которой равен 6 см , проведены две параллельные	касательные	.
Постройте	касательные	к окружности : а ) перпендикулярные проведённой прямой ; б ) параллельные проведённой прямой .
Проведите : а ) три	касательные	к окружности так , чтобы они образовали треугольник ; б ) четыре касательные к окружности так , чтобы образовался четырёхугольник .
Пересекаясь ,	касательные	образуют пятиугольник .
Проведите : а ) три касательные к окружности так , чтобы они образовали треугольник ; б ) четыре	касательные	к окружности так , чтобы образовался четырёхугольник .
Постройте какую - нибудь окружность , для которой обе эти прямые являются	касательными	.
Сколько можно провести	касательных	к окружности , параллельных некоторой прямой ? .
Точки пересечения	касательных	обозначьте буквами К , М , L и N. Эти точки — вершины квадрата .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В	касаются	окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
Две окружности	касаются	внешним образом .
Две окружности пересекаются , не пересекаются или	касаются	друг друга .
Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей определите , сколько можно провести различных прямых ,	касающихся	обеих окружностей .
Точка О — центр двух окружностей ,	касающихся	каждой из трёх построенных окружностей внешним и внутренним образом .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов ,	касающихся	данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Постройте такую окружность ,	касающуюся	сторон угла , чтобы точка касания была удалена от вершины угла на 3 см .
Центр окружности лежит на биссектрисе угла А. Объясните , как начертить окружность ,	касающуюся	сторон угла .
Начертите произвольный угол и постройте окружность ,	касающуюся	сторон угла .
Постройте окружность ,	касающуюся	сторон угла , центр которой удалён от вершины угла на 5 см .
Постройте	квадрат	с диагоналями , равными 8 см. Можно ли построить не равный ему квадрат с такими же диагоналями ? .
Четырёхугольник с равными сторонами и равными углами — это хорошо вам известный	квадрат	.
Перекроите каждую фигуру в	квадрат	.
Закончите предложение : а ) всякий прямоугольник является ; б ) всякий ромб является ; в ) всякий	квадрат	является ...
Начертите в тетради	квадрат	со стороной 8 см .
Постройте окружность , вписанную в этот	квадрат	.
Начертите	квадрат	клеток .
К параллелограммам относятся и такие хорошо вам знакомые фигуры , как прямоугольник и	квадрат	.
А вот слово «	квадрат	» произошло от латинского слова quadratus — четырёхугольный .
На изображены	квадрат	4X4 и часть ломаной линии , проходящей по сторонам клеток .
Продолжите линию так , чтобы она разделила	квадрат	на две равные части .
Начертите	квадрат	.
Оставшаяся часть —	квадрат	.
Придумайте другую ломаную , которая делила бы	квадрат	4X4 на две равные части .
Начертите в тетради	квадрат	и проведите все его оси симметрии .
Прямоугольник , ромб ,	квадрат	.
Таким образом , равносторонний треугольник — это правильный треугольник , а	квадрат	— это правильный четырёхугольник .
Постройте квадрат с диагоналями , равными 8 см. Можно ли построить не равный ему	квадрат	с такими же диагоналями ? .
а ) Из проволоки согнули треугольник со сторонами 7,5 см , 8,3 см и 9,4 см. Затем из этой же проволоки согнули	квадрат	.
Такую призму можно получить , например , если разрезать параллелепипед , основанием которого является	квадрат	.
Из проволоки согнули	квадрат	со стороной 8,4 см. Из этой же проволоки согнули равносторонний треугольник .
Основанием параллелепипеда является	квадрат	.
Найдите значение степени : а ) Найдите число ,	квадрат	которого равен 0,64 ; 0,01 ; 0,0009 .
ABCD —	квадрат	.
Какое число перегибаний нужно сделать , чтобы окрасить весь	квадрат	? .
Возьмите	квадрат	и разрежьте его по одной диагонали .
На кальке отметьте точки А и В. Перегибая её , постройте	квадрат	со стороной АВ .
Так , в одной из трёх знаменитых задач древности - задаче о квадратуре круга - требуется построить циркулем и линейкой	квадрат	, равновеликий данному кругу .
Те же	квадрат	и прямоугольник наложены друг на друга .
Прямоугольник и	квадрат	имеют одинаковые периметры .
произведение двух чисел ; г )	квадрат	суммы двух чисел .
а ) число k больше 5 ; г )	квадрат	числа а равен 4 . б ) число х меньше 18 ; д ) куб числа т меньше 1 .
в ) число а больше 0 и меньше 1 ; е )	квадрат	числа b больше 100 .
На изображена пирамида , в основании которой	квадрат	.
Расскажите о симметрии круга ,	квадрата	, прямоугольника .
Два одинаковых	квадрата	расположены так , как показано .
Этим же словом называли и бубен , который в те времена делали в форме	квадрата	или ромба .
У	квадрата	четыре оси симметрии .
От	квадрата	отрезали четыре равных треугольника .
Используйте это для построения	квадрата	.
Чему равна площадь	квадрата	, если длины сторон прямоугольника равны 1,8 см и 3,4 см ? .
Обозначьте длину его стороны какой - нибудь буквой и составьте формулы периметра и площади	квадрата	.
Точки пересечения касательных обозначьте буквами К , М , L и N. Эти точки — вершины	квадрата	.
На рисунке показаны способы построения : 1 ) прямоугольника ; 2 )	квадрата	; 3 ) ромба ; 4 ) параллелограмма .
Вы уже знакомы с очень многими геометрическими фигурами , а вот вычислить площадь можете только прямоугольника или	квадрата	.
Площадь	квадрата	равна ( кв. ед . ) , площадь прямоугольника равна ( кв. ед . ) .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у	квадрата	и все углы прямые , и все стороны равны .
Сторона	квадрата	равна 4 см. Постройте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий этому квадрату .
Найдём , например , площади	квадрата	и прямоугольника .
Действительно , если из равных величин ( площади	квадрата	и площади прямоугольника ) вычесть поровну ( площадь белого многоугольника ) , то поровну и останется .
Диагонали прямоугольника равны , а диагонали	квадрата	не только равны , но и перпендикулярны друг другу .
В	квадрате	клеток изображена цифра 4 .
Из	квадратного	листа картона вырезали круг .
Но в документах при указании площади помещения принято ограничиваться десятыми долями	квадратного	метра .
Ответ округлите до десятых долей	квадратного	сантиметра .
Квадрат разделён на 16 маленьких	квадратов	, один из которых окрашен .
в ) Пусть К — множество	квадратов	, Р — множество прямоугольников , R — множество параллелограммов .
Найдите отношение площадей	квадратов	ABCD и KMLN .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий	квадрату	со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью , длины сторон которых ( в см ) выражаются целыми числами ? .
Сторона квадрата равна 4 см. Постройте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий этому	квадрату	.
Так , в одной из трёх знаменитых задач древности - задаче о	квадратуре	круга - требуется построить циркулем и линейкой квадрат , равновеликий данному кругу .
Найдите на рисунке все : а ) параллелограммы ; б ) ромбы ; в ) прямоугольники ; г )	квадраты	.
И только математик Франсуа Виет сумел быстро найти	ключ	к этому шифру .
Например , эмблема Олимпийских игр - это пять сплетённых	колец	.
Кольцо ограничено двумя окружностями , радиусы которых равны 3 см и 5 см. Чему равна площадь этого	кольца	? .
Иван бросил мяч в баскетбольное	кольцо	20 раз .
А как область научных знаний	комбинаторика	сформировалась в XVII в .
Сам термин «	комбинаторика	» впервые был введён в работе немецкого математика Готфрида Лейбница « Об искусстве комбинаторики » ( 1666 г. ) .
Со временем стали применяться шифры , основанные на принципах	комбинаторики	, например на различных перестановках букв в словах .
Толчком к развитию	комбинаторики	послужило искусство шифрования .
Сам термин « комбинаторика » впервые был введён в работе немецкого математика Готфрида Лейбница « Об искусстве	комбинаторики	» ( 1666 г. ) .
Решите	комбинаторную	задачу .
Какие задачи называют	комбинаторными	.
Приведите примеры	комбинаторных	задач , которые имеют ту же математическую модель , что и задачи , приведённые выше .
Чтобы осуществить перебор при решении	комбинаторных	задач , часто удобно вводить условные обозначения .
Приём решения	комбинаторных	задач с помощью перебора всех возможных вариантов .
Решение	комбинаторных	задач .
50 Решение	комбинаторных	задач .
С помощью формул довольно сложные предложения , выражающие зависимость одних величин от других , могут быть записаны в удобной и	компактной	форме .
только простейшие уравнения , для решения которых достаточно знать свойства арифметических действий и правила , по которым находят неизвестный	компонент	действия .
Знак	компонентов	действий .
При этом главным будет вопрос : « Как по знакам	компонентов	действия определить знак результата ? » .
А в математике есть формула , позволяющая определять число подмножеств любого	конечного множества	по числу его элементов .
Иногда , чтобы задать	конечное множество	, можно просто перечислить все его элементы .
Если множество содержит конечное число элементов , то говорят , что это	конечное множество	.
Приведите примеры	конечных множеств	; бесконечных множеств .
Если животное будет поворачиваться вокруг этой прямой на определённый градус , то оно снова будет входить в исходный	контур	.
Параллелограмм снова « войдёт » в свой	контур	.
Какая фигура может получиться в сечении , если плоскостью симметрии рассечь : а ) параллелепипед ; б ) цилиндр ; в )	конус	? .
Из уже известных вам тел это цилиндр и	конус	.
Слово «	конус	» переводится с древнегреческого как « шишка » или « верхушка шлема » .
Вырежете и склейте из них цилиндр и	конус	.
Как надо разрезать	конус	, чтобы в сечении получить треугольник ?
Цилиндр ,	конус	, шар .
Что представляют собой шар , цилиндр и	конус	.
Прежде всего это цилиндр ,	конус	, шар .
б ) Вылепите из пластилина	конус	.
Какой	конус	оказался выше : полученный из большего сектора или из меньшего ? .
Сверните каждый сектор в	конус	.
Поверхности цилиндра и	конуса	, как и поверхность многогранника , можно развернуть на плоскость .
Поверхности цилиндра и	конуса	состоят как из плоских частей , так и кривых , а шар — « абсолютно круглый » .
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность	конуса	— в круговой сектор .
При рассечении цилиндра и	конуса	плоскостями наряду с окружностью получаются и другие линии .
Перпендикуляр , проведённый из вершины	конуса	к плоскости основания , попадает в центр круга .
Скопируйте в тетрадь изображение цилиндра ,	конуса	, шара .
Плоскость , параллельная основанию	конуса	, рассекла его на две части .
Назовите несколько предметов , имеющих форму шара , цилиндра ,	конуса	.
Форму	конуса	имеют , например , воронка , горка песка , вулкан .
Этот перпендикуляр называют высотой	конуса	.
Зарисуйте ту часть , которую называют усечённым	конусом	.
Начертите три	концентрические	окружности с радиусами 2 см , 3 см , 4 см .
В случае когда центры совпадают , окружности называют	концентрическими	.
Какие окружности называют	концентрическими	.
Бросив камешек в спокойную гладь водоёма , вы увидите , как от точки падения камня разбегается сразу несколько	концентрических	окружностей .
Действительно , точка – 5,8 удалена от начала	координат	на 5,8 единицы , а точка – 4 — на 4 единицы .
Запишите координаты точек , в которых стороны четырёхугольника пересекают оси	координат	.
Примеры	координат	.
Постройте прямоугольную систему	координат	и отметьте в ней точки .
Аналогичная система	координат	используется в шахматах , горизонтали на шахматной доске всегда обозначаются цифрами , а вертикали — латинскими буквами .
Термин « координаты » произошёл от латинского слова ordinatus упорядоченный ; приставка со- указывает на совместность : чаще всего	координат	бывает две , три или больше .
« Зашифруйте » эту цифру с помощью	координат	: на первом месте пишите букву , на втором — цифру .
Точка их пересечения О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой , её называют началом	координат	, а координатные прямые называют осями координат .
Какие названия имеют оси	координат	? .
Вы встречаетесь с системой	координат	в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических координат ( долгота и широта ) и т .
Какое название имеет точка пересечения осей	координат	?
Почему рассмотренную в пункте систему	координат	называют прямоугольной ? .
Квадратная сетка , играющая роль	координат	, была обнаружена на стене одной древнеегипетской гробницы .
Каждый участок маршрута , изображённого на рисунке , можно описать с помощью трёх	координат	: заметный ориентир , угол между северным направлением и направлением движения ( азимут ) , расстояние .
Точка их пересечения О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой , её называют началом координат , а координатные прямые называют осями	координат	.
Буква О для начала	координат	выбрана не случайно - это первая буква слова origo начало .
Что такое прямоугольная система	координат	.
Идея	координат	зародилась в глубокой древности .
Эта система	координат	называется прямоугольной или декартовой по имени французского философа и математика Рене Декарта , который первым ввел её в 1637 г .
Суть	координат	, или , как говорят обычно , системы координат , состоит в том , что это правило , по которому определяется положение того или иного объекта в пространстве .
Суть координат , или , как говорят обычно , системы	координат	, состоит в том , что это правило , по которому определяется положение того или иного объекта в пространстве .
Плоскость , на которой задана система	координат	, называют координатной плоскостью .
Системы	координат	пронизывают всю практическую жизнь человека .
Прямоугольная система	координат	.
Долготой и широтой в качестве географических	координат	пользовался древнегреческий астроном Птолемей ( II в .
Вы встречаетесь с системой координат в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических	координат	( долгота и широта ) и т .
Те из вас , кто играл в морской бой , пользовались при этом соответствующей системой	координат	.
С помощью этих	координат	можно записать ход любой шахматной партии .
Определите , какая из данных точек расположена на координатной прямой дальше от начала	координат	.
Покажем , как находят координаты точки , например точки А. Опустим из точки А перпендикуляры на оси х и у. Первый « попадёт » в точку оси х ,	координата	которой равна 4 , а второй — в точку оси у с координатой 3 .
Координата х всегда пишется на первом месте , а	координата	у — на втором .
Построим на координатной прямой точки , симметричные точкам с	координатами	989 и 1000 относительно точки 0 .
Числа 0 ; 3,5 ; – 3,5 и – 5,2 являются	координатами	точек О , А , В и С. Записывается это так .
Выпишите пары точек ,	координатами	которых являются противоположные числа .
Каждая клетка на игровом поле определяется двумя	координатами	— буквой и цифрой .
Положение точки на координатной плоскости определяется парой чисел — её	координатами	.
Это выражение означает , что собеседника просят оставить свой номер телефона или адрес , которые и считаются в этом случае	координатами	, по которым его можно будет найти .
Установите соответствие между точками , заданными своими	координатами	, и координатными четвертями , в которых они расположены .
Противоположные числа изображаются точками , симметричными относительно точки с	координатой	0 .
Покажем , как находят координаты точки , например точки А. Опустим из точки А перпендикуляры на оси х и у. Первый « попадёт » в точку оси х , координата которой равна 4 , а второй — в точку оси у с	координатой	3 .
Эта пара чисел х и у и есть координаты точки А. Координату х называют абсциссой или первой координатой точки А , а координату у — ординатой или второй	координатой	точки А .
Точка с	координатой	– 1000 оказалась левее точки – 989 , значит , .
Вы знаете , что если точка А изображает на координатной прямой некоторое число , например 3,5 , то число 3,5 называют	координатой	точки А и оно определяет положение точки А на прямой .
Точка с	координатой	0 делит прямую на два луча .
Отсчитав от точки 0,3 шесть сотых долей , отметим точку с	координатой	0,36 .
Указать только одну	координату	точки было бы недостаточно .
Эта пара чисел х и у и есть координаты точки А. Координату х называют абсциссой или первой координатой точки А , а	координату	у — ординатой или второй координатой точки А .
Запишите их	координаты	.
Запишите	координаты	точек , в которых стороны четырёхугольника пересекают оси координат .
Что такое	координаты	точки на плоскости .
Что такое	координаты	.
Вы , наверное , слышали в жизни такую фразу : « Оставь мне свои	координаты	» .
Похожие « клеточные »	координаты	обычно используются на военных , морских , геологических картах .
Постройте четырёхугольник ABCD , если его вершины имеют	координаты	.
Покажем , как находят	координаты	точки , например точки А. Опустим из точки А перпендикуляры на оси х и у. Первый « попадёт » в точку оси х , координата которой равна 4 , а второй — в точку оси у с координатой 3 .
Для каждой четверти укажите , какие знаки имеют	координаты	точек , находящихся в этой четверти : А. I четверть ;
Сопоставьте	координаты	точек , симметричных относительно оси х , и сделайте вывод .
в ) Определите , какие города имеют	координаты	.
Для каждого города определите географическую долготу и запишите его	координаты	.
а ) Запишите	координаты	( широта , долгота ) городов : Киев , Минск , Париж , Гамбург , Лондон . б )
Эта пара чисел х и у и есть	координаты	точки А. Координату х называют абсциссой или первой координатой точки А , а координату у — ординатой или второй координатой точки А .
Запишите	координаты	отмеченных точек .
Обозначьте эти два треугольника и запишите	координаты	их вершин .
Запишите их	координаты	( например , король — f3 ) .
Посмотрите на рисунок и расскажите , как определяют	координаты	точки на координатной плоскости .
На координатной плоскости постройте данную точку и точку , симметричную ей относительно оси у , запишите её	координаты	.
Сопоставьте	координаты	точек , симметричных относительно оси у , и сделайте вывод .
Термин «	координаты	» произошёл от латинского слова ordinatus упорядоченный ; приставка со- указывает на совместность : чаще всего координат бывает две , три или больше .
На координатной плоскости постройте данную точку и точку , симметричную ей относительно оси х , запишите её	координаты	.
Запишите	координаты	точек , отмеченных на координатной прямой .
Записывают	координаты	точки так : А ( 4 ; 3 ) .
Найдите	корень	уравнения подбором .
Есть ли среди чисел 3 , 4 и 5	корень	уравнения .
Что такое	корень	уравнения .
Решите уравнение и с помощью подстановки проверьте , правильно ли найден	корень	.
Объясните , почему данное уравнение не имеет	корней	.
Число 12 называют	корнем	уравнения .
Что называется	корнем	уравнения ? .
Проверьте , является ли	корнем	уравнения число 0,5 .
Но её всегда можно представить в виде дроби , знаменатель которой	кратен	3 , например , равен 6 , 9 , 51 , 72 .
а ) Число 16	кратно	8 , значит , оно и является наименьшим общим знаменателем .
Постройте разбиение множества натуральных чисел , используя два признака : чётность и	кратность	числу 5 .
	Кратные	5 .
Будем последовательно перебирать числа ,	кратные	25 ( большему знаменателю ) , и проверять , делятся ли они на 15 : число 50 не делится на 15 , а число 75 уже делится .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел ,	кратных	3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел ,	кратных	4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
А — множество чётных чисел ,	кратных	5 .
Найдите объединение и пересечение множества чисел ,	кратных	5 , и множества чисел , кратных 10 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел ,	кратных	2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел ,	кратных	5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , Б — множество натуральных чисел ,	кратных	6 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел ,	кратных	2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Вот примеры такого задания : множество стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ; множество чисел ,	кратных	5 .
б ) Пусть А — множество натуральных чисел ,	кратных	4 , Б — множество натуральных чисел , кратных 6 .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел ,	кратных	10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел ,	кратных	9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел ,	кратных	5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел ,	кратных	3 , и множества чисел , кратных 9 .
Найдите объединение и пересечение множества чисел , кратных 5 , и множества чисел ,	кратных	10 .
Поверхности цилиндра и конуса состоят как из плоских частей , так и	кривых	, а шар — « абсолютно круглый » .
а ) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так , чтобы в сечении получился	круг	; эллипс .
На рисунке левый	круг	изображает множество А , правый круг — множество В. Вся заштрихованная область — это множество A U В , а область , заштрихованная дважды , — это множество А n В .
На рисунке большой	круг	изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
На рисунке левый круг изображает множество А , правый	круг	— множество В. Вся заштрихованная область — это множество A U В , а область , заштрихованная дважды , — это множество А n В .
У него , как и у пирамиды , есть вершина и основание , только в основании лежит не многоугольник , а	круг	.
Большой	круг	разбивается малыми на четыре области ( они закрашены разными цветами ) .
Окружность , а также ограниченный ею	круг	можно отнести к « самым симметричным » фигурам на плоскости .
	Круг	? .
При рассечении шара может получиться только	круг	.
Из квадратного листа картона вырезали	круг	.
	Круг	?
Найдите площадь закрашенной части	круга	.
Не участвовал в выборах 31избирателей , на диаграмме им отведено около трети	круга	.
За кандидата Б проголосовали 12 избирателей , соответствующая часть диаграммы составляет примерно восьмую часть	круга	.
За кандидата А проголосовали 52 избирателей , поэтому на диаграмме эта часть составляет чуть больше половины	круга	.
Нанесите на изображение каждого тела какое - нибудь сечение , имеющее форму	круга	.
Запишите формулы длины окружности и площади	круга	.
29 Формулы длины окружности , площади	круга	и объёма шара .
Существует и формула площади	круга	: где S — площадь круга , г — радиус круга В эту формулу тоже входит число к .
Границей	круга	, как вам известно , является окружность , а границей шара — сфера .
Существует и формула площади круга : где S — площадь круга , г — радиус	круга	В эту формулу тоже входит число к .
Формула площади	круга	.
Факт включения множества А в множество В проиллюстрирован с помощью так называемых кругов Эйлера Вы видите , что все точки	круга	А принадлежат также и кругу В .
Так , в одной из трёх знаменитых задач древности - задаче о квадратуре	круга	- требуется построить циркулем и линейкой квадрат , равновеликий данному кругу .
Найдём , какой примерно длины потребуется бордюр для ограждения клумбы , имеющей форму	круга	с диаметром , равным 4 м .
Диаметр	круга	будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через центр шара .
Формулы длины окружности , площади	круга	и объёма шара .
Существует и формула площади круга : где S — площадь	круга	, г — радиус круга В эту формулу тоже входит число к .
Основания цилиндра — это два равных	круга	, расположенные в параллельных плоскостях .
Перпендикуляр , проведённый из вершины конуса к плоскости основания , попадает в центр	круга	.
Вырежете из одного и того же	круга	два неравных сектора .
Вычислите длину окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м . а ) Вычислите площадь	круга	, радиус которого равен 100 м ; 20 см . б )
Возьмите стакан или какой - нибудь другой предмет , дно которого имеет форму	круга	.
У шара и сферы , так же как у	круга	и окружности , есть центр , радиус и диаметр .
Во сколько раз площадь второго	круга	больше площади первого ? .
, площадь	круга	и объём шара .
Расскажите о симметрии	круга	, квадрата , прямоугольника .
Соответствующие таким	кругам	окружности называются большими окружностями .
Проиллюстрируйте это определение на	кругах	Эйлера .
Дайте иллюстрации на	кругах	Эйлера .
Изобразите соотношение между множествами Р , N и Z с помощью	кругов	Эйлера и запишите соответствующую « цепочку » , используя знак .
Факт включения множества А в множество В проиллюстрирован с помощью так называемых	кругов	Эйлера Вы видите , что все точки круга А принадлежат также и кругу В .
Прочитайте разными способами указанные соотношения между множествами и изобразите каждое из них с помощью	кругов	Эйлера .
Изобразите соотношения между этими множествами с помощью	кругов	Эйлера и запишите соответствующую цепочку включений .
Изобразите соотношение между этими множествами с помощью	кругов	Эйлера и запишите соответствующую цепочку включений .
Так , в одной из трёх знаменитых задач древности - задаче о квадратуре круга - требуется построить циркулем и линейкой квадрат , равновеликий данному	кругу	.
Факт включения множества А в множество В проиллюстрирован с помощью так называемых кругов Эйлера Вы видите , что все точки круга А принадлежат также и	кругу	В .
Взгляните на фото : частички песка , земли , вырывающиеся из - под колеса автомобиля , летят по касательной к	кругу	в точке касания .
б ) Можно ли поместить в	куб	с ребром 7 см шар радиусом 4 см ? .
а ) число k больше 5 ; г ) квадрат числа а равен 4 . б ) число х меньше 18 ; д )	куб	числа т меньше 1 .
а ) Шар поместили в	куб	так , что он касается всех граней куба .
И этот	куб	тоже заполнили водой .
Четыре из них олицетворяли стихии : тетраэдр — огонь ,	куб	— землю , икосаэдр — воду , октаэдр — воздух , а пятый , додекаэдр , — всё мироздание ;
В	куб	с ребром 4 ед . поместили шар , который касается всех граней куба .
В другой такой же	куб	поместили 8 шаров радиусом 1 ед .
Начертите	куб	.
Найдите число ,	куб	которого равен 0,064 ; 0,008 ; 0,125 . 1 )
Посмотрите на	куб	, изображённый на .
На сколько частей распилен	куб	?
Выберите одну из развёрток , перенесите её , увеличив , на лист бумаги и склейте из неё многогранник : тетраэдр , октаэдр ,	куб	, икосаэдр , додекаэдр .
Посмотрите на	куб	, изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
Деревянный	куб	с ребром 10 см распилили на части вдоль трёх плоскостей , параллельных его граням , как показано на рисунке .
тетраэдр	куб	гексаэдр октаэдр икосаэдр додекаэдр .
Например , равновеликие тетраэдр и	куб	не равносоставлены — их нельзя разбить на попарно равные части .
На изображён	куб	.
Нижняя часть башни — это	куб	, а средняя её часть — восьмиугольная призма , « вырезанная » из такого же куба .
Центр	куба	— это точка пересечения его диагоналей .
а ) Шар поместили в куб так , что он касается всех граней	куба	.
Назовите вершины	куба	, симметричные относительно его центра .
Если необходимо , воспользуйтесь моделью	куба	.
Посмотрите на фото : кристалл поваренной соли имеет форму	куба	, а кристалл пирита — форму октаэдра .
Сколько плоскостей симметрии у	куба	? .
В куб с ребром 4 ед . поместили шар , который касается всех граней	куба	.
На рёбрах	куба	взяты точки О и Р. Пересекает ли прямая ОР следующие прямые : AD , DN , KN , ВМ , МК , LN , АВ ? .
Обозначьте длину его ребра какой - нибудь буквой и составьте формулу объёма	куба	.
Ребро	куба	равно 6 см. Чему равен диаметр шара ? .
Нижняя часть башни — это куб , а средняя её часть — восьмиугольная призма , « вырезанная » из такого же	куба	.
б ) Какой из отрезков самый длинный : ребро	куба	ВС , диагональ грани АВ или диагональ куба АС ?
б ) Какой из отрезков самый длинный : ребро куба ВС , диагональ грани АВ или диагональ	куба	АС ?
Одинаковые шары укладывают в коробку в форме	куба	, располагая их строго один под другим .
Сколько плоскостей симметрии у правильной : а ) треугольной призмы ; б ) четырёхугольной призмы ( не являющейся	кубом	) ; в ) пятиугольной призмы ? .
в ) длину	ломаной	AKNC .
На изображены квадрат 4X4 и часть	ломаной	линии , проходящей по сторонам клеток .
Придумайте другую	ломаную	, которая делила бы квадрат 4X4 на две равные части .
в ) Начертите	ломаную	из двух звеньев , одна из вершин которой лежит на прямой т .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную	ломаную	, а все боковые грани — правильные треугольники .
Постройте	ломаную	, симметричную ей относительно прямой т . г )
Рассмотрите рисунок : углы ВОС и СОА — смежные ,	луч	ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
Рассмотрите рисунок : углы ВОС и СОА — смежные , луч ОМ — биссектриса угла СОВ ,	луч	ON — биссектриса угла АОС .
Объединение отрезка KL и луча LM есть	луч	КМ .
Объединение отрезка KL и	луча	LM есть луч КМ .
Направление	луча	, на котором отмечают положительные числа , называют положительным направлением и указывают стрелкой .
Точка с координатой 0 делит прямую на два	луча	.
На правом	луче	будем , как обычно , отмечать натуральные числа ( т . е .
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные числа , на правом	луче	— положительные , на левом — отрицательные .
Точку пересечения	лучей	обозначьте буквой О .
Проведите	лучи	.
Для математики особенно важны множества , составленные из	математических объектов	— чисел , выражений , точек , фигур и т .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на минус даёт минус , минус на	минус	даёт плюс .
Такие числа , « похожие » на натуральные , но со знаком «	минус	» , нужны в тех случаях , когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и «	минус	» .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на минус даёт минус ,	минус	на минус даёт плюс .
Заметим , что распределительное свойство выполняется именно потому , что для умножения мы приняли указанные выше правила знаков , в частности правило «	минус	на минус даёт плюс » .
Сумма двух отрицательных чисел отрицательна , поэтому сначала запишем знак «	минус	» , а затем сложим .
Самым « таинственным » во всей теории отрицательных чисел было правило « минус на	минус	даёт плюс » .
И если значение величины ниже нулевой отметки , то ставят знак «	минус	» .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на минус даёт	минус	, минус на минус даёт плюс .
Получить модуль отрицательного числа тоже легко — достаточно просто отбросить знак «	минус	» .
Английский поэт У. Х. Оден с огорчением воскликнул : « Минус на	минус	— всегда только плюс .
Знака «	минус	» тогда не было , а чтобы различать положительные и отрицательные числа , Джань Цань писал их чернилами разных цветов .
Заметим , что распределительное свойство выполняется именно потому , что для умножения мы приняли указанные выше правила знаков , в частности правило « минус на	минус	даёт плюс » .
мы будем рассматривать отрицательные числа , каждое из которых получается приписыванием к соответствующему натуральному числу знака «	минус	» .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на	минус	даёт минус , минус на минус даёт плюс .
Самым « таинственным » во всей теории отрицательных чисел было правило «	минус	на минус даёт плюс » .
Натуральное число и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака «	минус	» , называют противоположными числами .
В настоящее время обозначение отрицательных чисел с помощью знака «	минус	» принято везде .
Правильным называют выпуклый	многогранник	, все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней .
Выберите одну из развёрток , перенесите её , увеличив , на лист бумаги и склейте из неё	многогранник	: тетраэдр , октаэдр , куб , икосаэдр , додекаэдр .
Известно , что	многогранник	является либо пирамидой , либо призмой .
Что это за	многогранник	, если у него : а ) 13 вершин ; б ) 15 рёбер ? .
Найдите объём	многогранника	.
Поверхности цилиндра и конуса , как и поверхность	многогранника	, можно развернуть на плоскость .
Назовите рёбра	многогранника	, принадлежащие скрещивающимся прямым .
Найдите длины рёбер этого	многогранника	, если диаметр каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса .
В сечении какого	многогранника	плоскостью симметрии можно получить треугольник ? .
Вершинами какого	многогранника	являются центры этих шаров ?
Запишите формулу для вычисления объёма V	многогранника	, изображённого на рисунке .
У	многогранника	все части поверхности плоские .
А вот с	многогранниками	дело обстоит иначе .
Какие	многогранники	называют призмами .
А	многогранники	? .
Среди них встречаются не только	многогранники	, но и так называемые круглые тела .
Правильные	многогранники	называют ещё Платоновыми телами , так как в картине мира , построенной древнегреческим мыслителем Платоном , им отводилась ведущая роль .
Глава 11 Многоугольники и	многогранники	.
Внимание учёных и художников всегда привлекали правильные	многогранники	.
Какие	многогранники	при этом получились ? .
Симметричными могут быть и	многогранники	.
Правильные	многогранники	.
О симметрии круглых тел и	многогранников	.
Используя изображения правильных	многогранников	или их модели , заполните таблицу .
На изображены развёртки правильных	многогранников	.
Сколько существует правильных	многогранников	.
Форму правильных	многогранников	имеют некоторые кристаллы .
С одним из семейств	многогранников	— пирамидами — вы уже знакомы .
Вы удивитесь , но существует всего лишь пять правильных	многогранников	.
Как бы вы перевели с греческого языка названия других правильных	многогранников	? .
Несмотря на всё	многообразие	орнаментов — плоских узоров , оказывается , что почти в каждом из них можно разглядеть симметрию .
Начертите	многоугольник	, у которого : а ) нет осей симметрии ; б ) одна ось симметрии ; в ) две оси симметрии .
Как вы думаете , какой фигурой является этот	многоугольник	? .
Построить правильный	многоугольник	можно так : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления отрезками .
Какой	многоугольник	называют правильным .
Существует и пятиугольник с такими же свойствами , и шестиугольник , и вообще	многоугольник	с любым числом сторон .
У него , как и у пирамиды , есть вершина и основание , только в основании лежит не	многоугольник	, а круг .
Пользуясь рисунком расскажите , как построить	многоугольник	, симметричный данному многоугольнику относительно прямой .
Окружность и правильный	многоугольник	.
Как можно построить правильный	многоугольник	.
Если основанием прямой призмы служит правильный	многоугольник	, то и призму называют правильной призмой .
Какие стороны	многоугольника	параллельны .
Вычислите площадь этого	многоугольника	двумя способами .
Назовите : а ) вершину	многоугольника	, симметричную вершине В . б ) сторону , симметричную стороне KN ; в ) отрезок , симметричный отрезку ВС ; г ) равные стороны многоугольника .
Правильные многоугольники обладают удивительным свойством : все вершины правильного	многоугольника	лежат на одной окружности .
Верно и другое : если два	многоугольника	имеют одинаковую площадь , то их можно разрезать на попарно равные куски .
Действительно , если из равных величин ( площади квадрата и площади прямоугольника ) вычесть поровну ( площадь белого	многоугольника	) , то поровну и останется .
3 ) повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося	многоугольника	;
Например , у	многоугольника	, изображённого на рисунке , её нет .
Прямая k — ось симметрии	многоугольника	ABDKNC .
Назовите : а ) вершину многоугольника , симметричную вершине В . б ) сторону , симметричную стороне KN ; в ) отрезок , симметричный отрезку ВС ; г ) равные стороны	многоугольника	.
Составьте формулу для вычисления периметра	многоугольника	.
Какие	многоугольники	называют правильными ?
Закрашенные	многоугольники	тоже равновелики .
45 Правильные	многоугольники	.
Правильные	многоугольники	обладают удивительным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
Такие	многоугольники	выделяются среди своих « собратьев » , например , тем , что они « самые симметричные » .
Какие	многоугольники	называют правильными .
Основания представляют собой равные	многоугольники	, расположенные в параллельных плоскостях .
Правильным называют выпуклый многогранник , все грани которого — равные правильные	многоугольники	и в каждой вершине сходится одинаковое число граней .
Немало замечательных свойств , связанных с параллельностью сторон , есть и у	многоугольников	.
Свойства правильных	многоугольников	.
Пересечение множества всех треугольников и множества правильных	многоугольников	есть множество равносторонних треугольников .
Соответствующие стороны этих	многоугольников	параллельны .
Построение правильных	многоугольников	.
У каких правильных	многоугольников	есть центр симметрии ? .
Составьте формулы для вычисления периметров	многоугольников	, изображённых на .
Пользуясь рисунком расскажите , как построить многоугольник , симметричный данному	многоугольнику	относительно прямой .
Пересечение и объединение	множеств	.
Приведите примеры конечных множеств ; бесконечных	множеств	.
Множество , состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из данных	множеств	, называется их объединением .
Пересечение	множеств	записывают с помощью символа П , а их объединение — с помощью символа .
Приведите примеры конечных	множеств	; бесконечных множеств .
Какое множество называют объединением	множеств	А и В ? пересечением множеств А и В ?
Основатель теории	множеств	немецкий учёный Георг Кантор ( 1845–1918 ) так разъяснял смысл понятия множества : « Множество есть многое , мыслимое нами как единое » .
Что такое пересечение и объединение	множеств	.
д. Именно из геометрии этот термин пришёл в теорию	множеств	, но здесь он используется не только для геометрических объектов .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных	множеств	.
Эту задачу тоже можно рассмотреть с позиции теории	множеств	.
Какое множество называют объединением множеств А и В ? пересечением	множеств	А и В ?
В переводе на язык теории	множеств	эта задача звучит так : « Сколько всего подмножеств у множества из 4 элементов ? » Путём перебора мы выяснили , что у такого множества имеется 16 подмножеств .
Что называют объединением	множеств	А и В ?
В математике часто приходится получать с помощью специальных операций из данных	множеств	новые множества .
1 ) Какое из двух	множеств	является подмножеством другого .
Задание	множеств	.
Объединением этих	множеств	является всё множество натуральных чисел .
Найдите объединение и пересечение	множеств	.
Множество , состоящее из элементов , входящих в каждое из данных	множеств	, называется их пересечением .
Что называют пересечением	множеств	А и В ?
Какое из	множеств	является подмножеством другого : а ) N или Q ; б ) Q или Z ? .
Если отвлечься от сюжета этой задачи и сформулировать её в терминах теории	множеств	, то она будет звучать так : « Дано множество , содержащее три элемента .
Приведите примеры конечных и бесконечных	множеств	.
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства операций объединения и пересечения	множеств	? .
в )	множества	предметов , изучаемых в начальной школе , и предметов , изучаемых в 5–6 классах .
Эти	множества	общих элементов не имеют ; в самом деле , любое натуральное число либо чётное , либо нечётное .
Основатель теории множеств немецкий учёный Георг Кантор ( 1845–1918 ) так разъяснял смысл понятия	множества	: « Множество есть многое , мыслимое нами как единое » .
Любое натуральное число принадлежит одному из этих подмножеств	множества	N , и общих элементов они не имеют .
а ) множества шестиклассников некоторой школы и	множества	отличников этой школы . б ) множества учащихся начальных классов некоторой школы и множества девочек , обучающихся в этой школе .
а ) множества шестиклассников некоторой школы и множества отличников этой школы . б )	множества	учащихся начальных классов некоторой школы и множества девочек , обучающихся в этой школе .
В каждом случае укажите наибольший элемент	множества	( если он есть ) .
Запишите множество АП Б. Укажите наибольший элемент этого	множества	.
Какое наибольшее число элементов может содержать подмножество	множества	В ? .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть подмножество	множества	целых чисел , или так : всякое натуральное число является числом целым .
Обратите внимание на важное отличие	множества	целых чисел от множества натуральных чисел .
Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от	множества	натуральных чисел .
Для математики особенно важны	множества	, составленные из математических объектов — чисел , выражений , точек , фигур и т .
а ) множества шестиклассников некоторой школы и множества отличников этой школы . б ) множества учащихся начальных классов некоторой школы и	множества	девочек , обучающихся в этой школе .
Укажите несколько конечных и бесконечных подмножеств	множества	натуральных чисел N.
Разбиение	множества	на непересекающиеся подмножества составляет основу классификаций объектов , применяемых в самых различных областях человеческой деятельности .
Что называют подмножеством данного	множества	.
Разбиение	множества	.
а )	множества	шестиклассников некоторой школы и множества отличников этой школы . б ) множества учащихся начальных классов некоторой школы и множества девочек , обучающихся в этой школе .
Например , Санкт - Петербург — элемент	множества	городов европейской части России .
Для того чтобы на математическом языке записать предложение « х — элемент	множества	А » , используют знак .
Легко догадаться , что запись означает : « х не является элементом	множества	А » .
Назовите несколько элементов	множества	.
Чтобы ответить на вопрос задачи , нужно выяснить , сколько у данного	множества	существует двухэлементных подмножеств .
48 Понятие	множества	.
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и	множества	чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
д. А основные числовые	множества	всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
К тому же в математике рассматривают и бесконечные	множества	.
	Множества	натуральных чисел N : множество чётных чисел и множество нечётных чисел .
Из определения , в частности , следует , что в число подмножеств данного	множества	включается и само это множество .
Запишите какое - нибудь подмножество	множества	В , содержащее один элемент ; два элемента ; три элемента .
В переводе на язык теории множеств эта задача звучит так : « Сколько всего подмножеств у	множества	из 4 элементов ? » Путём перебора мы выяснили , что у такого множества имеется 16 подмножеств .
Говорят , что	множества	чётных и нечётных чисел составляют разбиение множества N. Подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
Вообще если	множества	А и В таковы , что ,
Понятие	множества	.
Пересечение множества всех треугольников и	множества	правильных многоугольников есть множество равносторонних треугольников .
В переводе на язык теории множеств эта задача звучит так : « Сколько всего подмножеств у множества из 4 элементов ? » Путём перебора мы выяснили , что у такого	множества	имеется 16 подмножеств .
Это разбиение составляют три	множества	: множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Если множество А является подмножеством	множества	В , то это записывают так .
Факт включения	множества	А в множество В проиллюстрирован с помощью так называемых кругов Эйлера Вы видите , что все точки круга А принадлежат также и кругу В .
Приведите пример классификации	множества	треугольников .
Сколько классов содержит разбиение	множества	натуральных чисел по остаткам от деления на 4 ?
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и	множества	чисел , кратных 9 .
Если говорить математическим языком , то сыщик , имея три	множества	, построил новое , содержащее их общие элементы .
Укажите какое - нибудь подмножество	множества	А , содержащее один элемент .
Можно указать и другие разбиения	множества	N , например по остаткам от деления на 3 .
Приведите примеры разбиения	множества	на классы из математики и из какой - либо другой области .
В математике часто приходится получать с помощью специальных операций из данных множеств новые	множества	.
Пересечение	множества	всех треугольников и множества правильных многоугольников есть множество равносторонних треугольников .
В каком случае множество А называют подмножеством	множества	В ?
Выполните это же задание для	множества	целых чисел Z .
Придумайте пример	множества	, которое является пустым .
Укажите какое - нибудь подмножество	множества	А , содержащее 3 элемента .
С подмножествами мы встречаемся всякий раз , когда некоторое множество рассматривается как часть другого , более широкого	множества	.
А в математике есть формула , позволяющая определять число подмножеств любого конечного	множества	по числу его элементов .
Найдите объединение и пересечение множества чисел , кратных 5 , и	множества	чисел , кратных 10 .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством	множества	целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством	множества	рациональных чисел .
Множество А называют подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является элементом	множества	В .
Множество А называют подмножеством множества В , если каждый элемент	множества	А является элементом множества В .
Пустое множество считают подмножеством любого другого	множества	.
Каждый элемент первого	множества	принадлежит также и второму .
Множество А называют подмножеством	множества	В , если каждый элемент множества А является элементом множества В .
Найдём пересечение и объединение	множества	натуральных чисел и множества целых чисел .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением	множества	чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
А можете ли вы без перебора сказать , сколько у этого	множества	подмножеств , содержащих 4 элемента ? .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и	множества	чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Всё это разные представления одного и того же	множества	.
Какие из чисел 0 , – 125 , 135 , – 99 , 100 , – 100 являются элементами этого	множества	?
Назовите несколько элементов	множества	, которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Постройте разбиение	множества	натуральных чисел , используя два признака : чётность и кратность числу 5 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением	множества	чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Найдите объединение и пересечение	множества	чисел , кратных 5 , и множества чисел , кратных 10 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и	множества	чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Укажите наименьший элемент этого	множества	.
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением	множества	нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Элементы	множества	можно перечислять в любом порядке .
Даны	множества	.
Поэтому чаще всего	множества	задают описанием .
Приведите примеры конечных и бесконечных подмножеств	множества	натуральных чисел N .
А вот « нематематический » пример : множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством	множества	млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества животных .
Закончите равенство , в котором большими буквами обозначены некоторые	множества	.
Говорят , что множества чётных и нечётных чисел составляют разбиение	множества	N. Подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
Сколько всего одноэлементных подмножеств у	множества	А ? .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением	множества	чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Таким образом , мы имеем разбиение	множества	натуральных чисел на два класса — чётных и нечётных чисел .
А вот « нематематический » пример : множество кашалотов является подмножеством	множества	китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества животных .
А вот « нематематический » пример : множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством	множества	животных .
Возьмём	множества	.
Найдём пересечение и объединение множества натуральных чисел и	множества	целых чисел .
Придумайте несколько различных классификаций	множества	учащихся вашего класса .
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита ,	множестве	всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной системы .
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре ,	множестве	планет Солнечной системы .
В	множестве	натуральных чисел сложить можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Можно , например , говорить о	множестве	дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной системы .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в	множестве	натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Можно , например , говорить о множестве дней в году ,	множестве	букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной системы .
И в	множестве	целых чисел действие вычитания выполнимо всегда .
а ) Пусть Р —	множество	простых чисел .
На рисунке большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В —	множество	чисел , делящихся на 3 .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б )	множество	неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Если отвлечься от сюжета этой задачи и сформулировать её в терминах теории множеств , то она будет звучать так : « Дано	множество	, содержащее три элемента .
Пусть А — множество натуральных чётных чисел , не превосходящих 10 , Б —	множество	натуральных нечётных чисел , не превосходящих 10 , С — множество простых чисел , не превосходящих 10 .
Пусть А — множество целых чисел и В —	множество	дробных чисел .
Пусть А — множество параллелограммов , В — множество прямоугольников , С —	множество	ромбов .
множества натуральных чисел N :	множество	чётных чисел и множество нечётных чисел .
Опишите словами	множество	, которое является пересечением .
В дальнейшем вы узнаете формулу , с помощью которой можно путём простых вычислений получать ответ на вопрос о том , сколькими способами можно упорядочить	множество	, содержащее любое конечное число элементов .
в ) Пусть К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , R —	множество	параллелограммов .
Пусть А —	множество	параллелограммов , В — множество прямоугольников , С — множество ромбов .
Пусть А —	множество	целых чисел и В — множество дробных чисел .
множества натуральных чисел N : множество чётных чисел и	множество	нечётных чисел .
Натуральные числа , противоположные им отрицательные числа и число 0 составляют	множество	целых чисел .
Сколькими способами можно упорядочить это	множество	, т .
На рисунке левый круг изображает множество А , правый круг — множество В. Вся заштрихованная область — это множество A U В , а область , заштрихованная дважды , — это	множество	А n В .
Целые и дробные числа вместе образуют	множество	рациональных чисел .
Слово «	множество	» в математическом языке употребляется , быть может , даже чаще , чем слово « число » .
Пусть А — множество параллелограммов , В —	множество	прямоугольников , С — множество ромбов .
Пусть А — множество натуральных чётных чисел , не превосходящих 10 , Б — множество натуральных нечётных чисел , не превосходящих 10 , С —	множество	простых чисел , не превосходящих 10 .
Конечным или бесконечным является : а )	множество	правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
б ) Пусть А —	множество	натуральных чисел , кратных 4 , Б — множество натуральных чисел , кратных 6 .
На рисунке большой круг изображает	множество	натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Пусть А — множество всех треугольников , В — множество равнобедренных треугольников , С —	множество	равносторонних треугольников .
Это разбиение составляют три множества :	множество	чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Если множество нечётных чисел обозначить буквой А , а	множество	чётных чисел — буквой В , то можно записать .
Из определения , в частности , следует , что в число подмножеств данного множества включается и само это	множество	.
Пусть А — множество всех треугольников , В —	множество	равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников .
Пустое	множество	считают подмножеством любого другого множества .
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В —	множество	натуральных делителей числа 24 .
В таком случае говорят , что первое	множество	является подмножеством второго .
Пусть А —	множество	всех треугольников , В — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников .
Задайте	множество	А описанием .
Найдите множество : 1 ) Пусть А — некоторое	множество	.
Такое	множество	называют пустым множеством и обозначают символом .
Значит , мы описали	множество	, которое не содержит ни одного элемента .
Конечным или бесконечным является : а )	множество	натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Пусть А —	множество	чисел , которые делятся на 4 , но не делятся на 2 .
Задайте перечислением элементов	множество	цифр , с помощью которых записывается число .
На рисунке большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А —	множество	чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Если	множество	А является подмножеством множества В , то это записывают так .
Факт включения множества А в	множество	В проиллюстрирован с помощью так называемых кругов Эйлера Вы видите , что все точки круга А принадлежат также и кругу В .
Запишите	множество	АП Б. Укажите наибольший элемент этого множества .
Пусть С —	множество	рациональных чисел , больших 0,3 и меньших 0,6 .
Пусть А —	множество	целых чисел , больших – 100 и меньших 150 .
А вот « нематематический » пример : множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих ,	множество	млекопитающих — подмножеством множества животных .
в ) Пусть К — множество квадратов , Р —	множество	прямоугольников , R — множество параллелограммов .
А вот « нематематический » пример : множество кашалотов является подмножеством множества китообразных ,	множество	китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества животных .
А вот « нематематический » пример :	множество	кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества животных .
Вот примеры такого задания : множество стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ;	множество	чисел , кратных 5 .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а	множество	целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
б ) Покажите штриховкой	множество	всех точек , расположенных от точки О на расстоянии , большем 2 см и меньшем 3 см .
Так ,	множество	натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному :	множество	натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел , или так : всякое натуральное число является числом целым .
С подмножествами мы встречаемся всякий раз , когда некоторое	множество	рассматривается как часть другого , более широкого множества .
в ) Пусть К —	множество	квадратов , Р — множество прямоугольников , R — множество параллелограммов .
В каком случае	множество	А называют подмножеством множества В ?
Пусть А —	множество	натуральных чётных чисел , не превосходящих 10 , Б — множество натуральных нечётных чисел , не превосходящих 10 , С — множество простых чисел , не превосходящих 10 .
а ) Что представляет собой	множество	всех точек плоскости , удалённых от точки О на 3 см ? .
На рисунке левый круг изображает множество А , правый круг — множество В. Вся заштрихованная область — это	множество	A U В , а область , заштрихованная дважды , — это множество А n В .
Вот примеры такого задания : множество стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ;	множество	растений , занесённых в Красную книгу ; множество чисел , кратных 5 .
Вот примеры такого задания :	множество	стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ; множество чисел , кратных 5 .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д )	множество	целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Пусть Р —	множество	простых чисел .
В самом деле , восемь приятелей — это	множество	, в котором 8 элементов .
Всякий объект , входящий в	множество	, называют его элементом .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z ,	множество	рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N ,	множество	целых чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Объединением этих множеств является всё	множество	натуральных чисел .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г )	множество	целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q :	множество	натуральных чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Какое	множество	называют объединением множеств А и В ? пересечением множеств А и В ?
В каких случаях в математике употребляют слово «	множество	» .
На рисунке левый круг изображает множество А , правый круг —	множество	В. Вся заштрихованная область — это множество A U В , а область , заштрихованная дважды , — это множество А n В .
Оказалось , что это новое	множество	состоит всего из одного элемента .
Для каждой дроби существует бесконечное	множество	равных ей дробей .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в )	множество	дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
А —	множество	чётных чисел , кратных 5 .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е )	множество	целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Пересечение множества всех треугольников и множества правильных многоугольников есть	множество	равносторонних треугольников .
Дано	множество	.
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ;	множество	чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , Б —	множество	натуральных чисел , кратных 6 .
Ведь гораздо проще сказать , к примеру , что В —	множество	двузначных чисел , чем перечислять все двузначные числа от 10 до 99 .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ;	множество	чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Однако задавать	множество	перечислением его элементов удобно только в том случае , когда их число невелико .
Например ,	множество	{ 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 } можно записать так : { 9 ; 7 ; 5 ; 3 ; 1 } — или так : { 1 ; 9 ; 3 ; 7 ; 5 } .
Найдите	множество	: 1 ) Пусть А — некоторое множество .
Пусть А —	множество	натуральных делителей числа 18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Например , запись С = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 } означает , что С —	множество	первых пяти нечётных чисел .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г )	множество	десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Иногда , чтобы задать конечное	множество	, можно просто перечислить все его элементы .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б )	множество	натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Слово «	множество	» в математике необязательно означает « много » .
Если	множество	нечётных чисел обозначить буквой А , а множество чётных чисел — буквой В , то можно записать .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в )	множество	натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Так ,	множество	жителей нашей планеты конечно ( хотя число людей на Земле очень велико — около 6 млрд 800 млн ) .
Если множество содержит конечное число элементов , то говорят , что это конечное	множество	.
Если	множество	содержит конечное число элементов , то говорят , что это конечное множество .
На рисунке левый круг изображает	множество	А , правый круг — множество В. Вся заштрихованная область — это множество A U В , а область , заштрихованная дважды , — это множество А n В .
Такое множество называют пустым	множеством	и обозначают символом .
Какие из чисел не принадлежат этому	множеству	?
При этом в произведении нужно отделять запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в	множителе	, являющемся десятичной дробью .
В первом	множителе	две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в знаменателе дроби — получилось число с тремя нулями , а в соответствующей десятичной дроби оказалось три цифры после запятой .
д. , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в	множителе	.
Правило умножения десятичных дробей применимо и в том случае , когда один из	множителей	— натуральное число .
Так как , то . Понятно , что произведение , которое получается из произведения перестановкой	множителей	, тоже должно быть равно -15 .
Если необходим именно такой порядок	множителей	в произведении чисел а и 7 , то точку обязательно ставят , т .
Представьте число -60 в виде произведения : а ) трёх	множителей	; б ) четырёх множителей .
Представьте данное число в виде произведения двух целых чисел ( произведения , отличающиеся порядком	множителей	, считаются одинаковыми ): 2 )
Сначала , пользуясь правилами знаков , определяют знак произведения , а затем перемножают модули	множителей	.
Чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить модули	множителей	.
Представьте число 120 в виде произведения нескольких	множителей	, среди которых есть отрицательные .
Представьте число -60 в виде произведения : а ) трёх множителей ; б ) четырёх	множителей	.
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из	множителей	запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Дополнительным	множителем	для первой дроби является число 2 , а для второй — число 3 .
При разложении её знаменателя на простые	множители	получается произведение 2 - 2 - 2 .
Чтобы понять , как перемножают целые числа , рассмотрим четыре произведения ,	множители	в которых различаются только знаками .
д. При разложении каждого из этих чисел на простые	множители	получается одинаковое число двоек и пятёрок .
Разложив на простые	множители	знаменатель этой дроби , получим произведение 3 - 5 , содержащее число 3 .
Вычисления будут проще , если в произведении переставить	множители	.
На какие бы целые числа ни домножали знаменатель ,	множитель	3 всегда будет присутствовать , поэтому произведение только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Найдём делением неизвестный	множитель	х .
Её знаменатель содержит простой	множитель	3 .
числовой	множитель	записывают перед буквенным и точку ( знак умножения ) между ними не ставят .
Остаётся найти неизвестный	множитель	х. Ответ : 18 пачек .
Таким образом , десятичных знаков в произведении столько же , сколько их в	множителях	вместе .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих	множителях	вместе .
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое число , до нуля иначе называют	модулем	этого числа ( ещё говорят « абсолютная величина » ) .
Чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить	модули	множителей .
е . , как вы теперь знаете ,	модули	чисел .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней точками числа ,	модули	которых равны 4 ; 2 ; 1,5 ; 0 .
Чтобы найти модуль суммы , надо сложить	модули	слагаемых .
А у противоположных чисел , которые изображаются точками , симметричными относительно нуля ,	модули	равны .
Сначала , пользуясь правилами знаков , определяют знак произведения , а затем перемножают	модули	множителей .
Ясно , что	модуль	может быть только положительным числом или нулём .
Чтобы найти	модуль	произведения , нужно перемножить модули множителей .
Чему равен	модуль	числа 0 ? .
У отрицательного слагаемого	модуль	больше , поэтому сумма отрицательна ; чтобы найти её модуль , вычтем 0,3 из 0,7 .
Определите	модуль	какого из чисел , а или b , больше ; 2 ) положительным или отрицательным является значение выражения .
У отрицательного слагаемого модуль больше , поэтому сумма отрицательна ; чтобы найти её	модуль	, вычтем 0,3 из 0,7 .
Обратите внимание : в каждом правиле выделяются два момента — сначала определяют знак суммы , а затем находят её	модуль	.
Если а — некоторое число , то его	модуль	обозначают символом .
Чем дальше от нуля точка , изображающая некоторое число , тем больше	модуль	этого числа .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел ,	модуль	которых больше 10 ? .
того слагаемого ,	модуль	которого больше .
Чтобы найти	модуль	суммы , нужно из большего модуля вычесть меньший .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел ,	модуль	которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Сумма двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемого , у которого	модуль	больше .
Как найти	модуль	положительного числа ?
Чтобы найти	модуль	суммы , надо сложить модули слагаемых .
Например ,	модуль	числа 2,5 равен 2,5 , так как число 2,5 удалено от начала отсчёта на 2,5 единицы .
Назовите	модуль	числа .
Используя описанное свойство , можно действовать , не выясняя ,	модуль	какого из данных дробных чисел больше .
Чему равен	модуль	положительного числа ?
Что такое	модуль	числа .
Найдите	модуль	числа .
Модуль числа – 5,8 равен 5,8 ;	модуль	числа – 4 равен 4 .
Из двух отрицательных чисел больше то , у которого	модуль	...
А	модуль	числа 0 равен 0 , так как число 0 находится на « нулевом » расстоянии от самого себя .
Используя термин «	модуль	» , можно рассмотренный выше способ сравнения отрицательных чисел сформулировать в виде правила .
Из двух отрицательных чисел меньше то , у которого	модуль	больше .
Понятно , что	модуль	положительного числа — это само это число .
Получить	модуль	отрицательного числа тоже легко — достаточно просто отбросить знак « минус » .
Чтобы найти модуль частного , надо	модуль	делимого разделить на модуль делителя .
Если существуют , то назовите их : 1 ) Приведите примеры чисел ,	модуль	которых равен 12 ; больше 12 ; меньше 12 .
Чтобы найти модуль частного , надо модуль делимого разделить на	модуль	делителя .
Чтобы найти	модуль	частного , надо модуль делимого разделить на модуль делителя .
Как найти	модуль	рационального числа .
Назовите числа ,	модуль	которых равен 3 , и изобразите эти числа на координатной прямой .
Используя понятие	модуля	числа , сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел .
Чтобы найти модуль суммы , нужно из большего	модуля	вычесть меньший .
Теперь эти правила можно сформулировать более точно , используя понятие	модуля	числа .
Для	модуля	есть специальное обозначение .
Запишите соответствующие равенства с помощью знака	модуля	и прочитайте их .
В какой - то	момент	расстояние от центра до прямой станет равным радиусу и точка М окажется на окружности .
В какой - то	момент	меньшая окружность коснётся большей , а расстояние ОР между центрами станет равным сумме радиусов .
В начальный	момент	времени расстояние между ними равно 7 км .
Обратите внимание : в каждом правиле выделяются два	момента	— сначала определяют знак суммы , а затем находят её модуль .
Стадий представлял собой расстояние , проходимое человеком спокойным шагом за время восхода солнца ( от	момента	появления над горизонтом краешка солнечного диска до полного его появления ) , т .
Решите уравнение и с помощью подстановки проверьте , правильно ли	найден	корень .
В настоящее время с помощью компьютера	найдено	приближённое значение π , выраженное десятичной дробью , содержащей более триллиона знаков после запятой .
После того как	найдено	, сколько процентов одна величина составляет от другой , полезно проверить себя , выполнив обратное действие .
Определите порядок действий и	найдите	значения выражений .
4 Определите порядок действий и	найдите	значение выражения .
а ) Сформулируйте правила сложения чисел одного знака ; разных знаков ;	найдите	сумму чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5 вычесть число – 10 .
В каждом случае	найдите	расстояние между самыми близкими точками двух окружностей .
Объясните , как найти отношение 40 см к 25 м , и	найдите	его .
Первый способ : сначала	найдите	, какая часть стакана заполнена ; второй способ : сначала найдите , сколько граммов молока ещё может поместиться в стакан .
а ) Возьмите прямоугольный лист бумаги и	найдите	все оси симметрии этого прямоугольника путём перегибания .
Среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9	найдите	: а ) целые положительные числа ; б ) целые отрицательные числа .
Первый способ : сначала найдите , какая часть стакана заполнена ; второй способ : сначала	найдите	, сколько граммов молока ещё может поместиться в стакан .
а ) Составьте из чисел 4,84 ; 5,055 ; 10,5 все возможные суммы и	найдите	их значения .
Измерьте длину диагонали прямоугольника на своём чертеже и	найдите	длину диагонали данного прямоугольника .
Используя этот результат ,	найдите	.
В каждом случае	найдите	разность между полученным приближённым значением и данной дробью .
Выполните прикидку результата , округлив десятичные дроби до единиц , а затем	найдите	точный ответ .
Объясните , как найти отношение 90 мин к 2 ч , и	найдите	его .
Проиллюстрируйте это правило на следующем примере :	найдите	, сколько процентов 18 кг составляют от 200 кг .
Не производя вычислений ,	найдите	значения следующих выражений при тех же значениях а и b .
Зная , что	найдите	частное .
Проведя необходимые измерения ,	найдите	площадь параллелограмма .
Измените знак перед каждым слагаемым на противоположный и	найдите	значение нового выражения .
Скопируйте фигуру , изображённую на рисунке , и	найдите	её центр симметрии .
Обратите десятичную дробь в обыкновенную и	найдите	значение выражения .
Проведём теперь точные расчёты ,	найдём	20 % от 9990 р .
Теперь	найдём	31 его стоимости .
	Найдём	25 от 300 .
Теперь	найдём	число москвичей в 2002 г. млн .
Сначала	найдём	отношение 80 м к 50 м .
Сначала	найдём	радиус арены .
	Найдём	740 % от 1,2 млн .
Сначала	найдём	1 от стоимости кресла .
получим ( кг ) ; теперь	найдём	24 .
Чтобы понять , как воспользоваться правилом и в таком « неприятном » случае ,	найдём	частное , перейдя к обыкновенным дробям .
Так как 25 — это 7 числа участников , то	найдём	четверть от 300 .
Так , в задаче 2	найдём	20 % от 800 р .
Сначала	найдём	, сколько всего мест в самолёте .
Сначала	найдём	, на сколько рублей снизили цену рубашки во время распродажи .
Поэтому сначала	найдём	, какую часть составляют 160 р .
В результате	найдём	точку озера , ближайшую к дому лесника .
	Найдём	отношение 160 р .
Найдём 24от 5 кг : сначала	найдём	1 от 5 кг .
Как	найти	, сколько процентов 160 р .
У отрицательного слагаемого модуль больше , поэтому сумма отрицательна ; чтобы	найти	её модуль , вычтем 0,3 из 0,7 .
Поэтому можно сразу	найти	112 % от 20 000 .
Объясните , как	найти	число , 4 .
Расскажите , как	найти	14 % от 250 р . ;
Чтобы	найти	произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Чтобы узнать , какая часть избирателей посёлка Славино приняла участие в голосовании , надо	найти	отношение 189 к 350 .
Частное десятичных дробей всегда можно	найти	, перейдя к обыкновенным дробям .
Как	найти	, сколько процентов одна величина составляет от другой .
Остаётся	найти	неизвестный множитель х. Ответ : 18 пачек .
б ) Чтобы	найти	четверть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
Чтобы	найти	модуль суммы , нужно из большего модуля вычесть меньший .
Чтобы	найти	модуль частного , надо модуль делимого разделить на модуль делителя .
а ) Чтобы	найти	половину некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
Как	найти	расстояние .
Как путём перекраивания можно	найти	площади параллелограмма и треугольника .
Чтобы	найти	модуль суммы , надо сложить модули слагаемых .
Чтобы	найти	модуль произведения , нужно перемножить модули множителей .
Как	найти	, сколько процентов одно число составляет от другого ?
Пусть нужно	найти	частное .
Объясните , как	найти	отношение 90 мин к 2 ч , и найдите его .
Объясните , как	найти	, какую часть число 24 составляет от числа 54 .
6 Расскажите , как	найти	дробь от числа ; число по его дроби .
Но оказывается , этого вполне достаточно , если вы сумеете перекроить фигуру , площадь которой хотите	найти	, в ту , площадь которой находить умеете .
Расскажите , какими способами можно	найти	её новую цену .
Это выражение означает , что собеседника просят оставить свой номер телефона или адрес , которые и считаются в этом случае координатами , по которым его можно будет	найти	.
Пусть теперь нужно	найти	расстояние от дома до шоссе .
И только математик Франсуа Виет сумел быстро	найти	ключ к этому шифру .
2 ) Чтобы	найти	сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю , а затем воспользоваться первым правилом .
Объясните , как	найти	отношение 40 см к 25 м , и найдите его .
Как	найти	число по его части .
Объясните , как можно	найти	значение выражения .
	Найти	его значение .
Чтобы ответить на поставленный вопрос , надо	найти	от 80 000 .
Как	найти	модуль рационального числа .
Чтобы	найти	часть от числа , выраженную дробью , нужно это число умножить на данную дробь .
Чтобы определить расстояние от точки А до прямой Ζ , нужно	найти	ближайшую к А точку этой прямой .
Используем этот приём , чтобы	найти	площадь параллелограмма .
Можно	найти	число девочек иначе .
Расскажите , как	найти	расстояние между двумя параллельными прямыми .
Иногда нужное число процентов от величины можно	найти	совсем просто .
Чтобы	найти	одну пятую часть всех жителей , надо 32 000 разделить на 2 .
Чтобы	найти	число по его части , нужно эту часть разделить на дробь , ей соответствующую .
Как	найти	точку , равноудалённую от концов отрезка .
Поэтому , чтобы	найти	10 какой - либо величины , достаточно разделить эту величину на 10 .
Чтобы	найти	разность десятичных дробей , нужно .
Чтобы	найти	от 3200 р . , можно 3200 умножить на .
А как	найти	сумму дробей 3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после запятой различно ?
Если надо	найти	расстояние от точки до плоскости , его тоже измеряют по перпендикуляру .
А как	найти	площадь параллелограмма , вы уже знаете .
Как можно	найти	произведение и частное двух целых чисел .
Как	найти	часть от числа .
Подобным образом можно	найти	и площадь треугольника .
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности положительные и отрицательные слагаемые , а затем	найти	сумму двух получившихся чисел .
Чтобы	найти	один процент от величины , нужно эту величину разделить на 100 .
Чтобы	найти	сумму ( или разность ) дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму ( или разность ) их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Чтобы	найти	площадь прямоугольника , нужно перемножить длины его смежных сторон .
Объясните , как	найти	числа 600 .
Чтобы	найти	площадь изображённого на многоугольника , его можно разбить на прямоугольники или достроить до прямоугольника .
Как	найти	модуль положительного числа ?
Чтобы найти сумму ( или разность ) дробей с одинаковыми знаменателями , нужно	найти	сумму ( или разность ) их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Чтобы	найти	периметр прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Чтобы ответить на вопрос задачи , это неизвестное число нужно	найти	, или , как говорят , нужно решить уравнение .
Таким образом , чтобы	найти	разность чисел 2 и 7 , нужно к числу 2 прибавить число – 7 .
Какими бы ни были конкретные значения длин сторон треугольника , чтобы	найти	его периметр , их надо сложить .
Периметр прямоугольника можно	найти	и другим способом — сложить длины смежных сторон и результат умножить на 2 .
Представьте в виде	натурального	числа : Образец .
Действительно , вы знаете , что частное от деления	натурального	числа а на натуральное число b равно дроби .
Как определяют положение запятой в произведении десятичной дроби и	натурального	числа ?
Умножение и деление	натурального	числа на 10 , 100 , 1000 и т .
В записи	натурального	числа значение цифры определяется тем , в каком разряде она находится .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего	натурального	числа вычитаем меньшее .
Натуральное число и отрицательное число , полученное из	натурального	приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего	натурального числа	вычитаем меньшее .
Представьте в виде	натурального числа	: Образец .
Умножение и деление	натурального числа	на 10 , 100 , 1000 и т .
В записи	натурального числа	значение цифры определяется тем , в каком разряде она находится .
Действительно , вы знаете , что частное от деления	натурального числа	а на натуральное число b равно дроби .
Как определяют положение запятой в произведении десятичной дроби и	натурального числа	?
Имея дроби , мы всегда можем разделить одно	натуральное	число на другое ( чего нельзя сделать , если ограничиться только натуральными числами ) .
Действительно , вы знаете , что частное от деления натурального числа а на	натуральное	число b равно дроби .
Как умножают десятичную дробь на десятичную , на	натуральное	число , на обыкновенную дробь .
Этот случай легко свести к делению на	натуральное	число , выполнять которое мы уже умеем .
Деление уголком десятичной дроби на	натуральное	число .
Вообще любое рациональные число может быть представлено в виде , где т — целое число , n —	натуральное	.
Возьмём несколько рациональных чисел и представим каждое из них в виде дроби , у которой числитель — целое число , знаменатель —	натуральное	.
Правило умножения десятичных дробей применимо и в том случае , когда один из множителей —	натуральное	число .
Поэтому любое	натуральное	число можно представить в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых : а )	натуральное	число 3205 ; б ) десятичную дробь 0,3205 .
Сначала рассмотрим деление десятичной дроби на	натуральное	число .
Деление десятичной дроби на	натуральное	число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
Запишите на символическом языке следующее утверждение : а ) число 10 —	натуральное	; б ) число – 7 не является натуральным ; в ) число – 100 является целым ; г ) число 2,5 — не целое .
Этот случай можно считать главным , так как деление на десятичную дробь , как вы потом увидите , всегда можно свести к делению на	натуральное	число .
слова «	натуральное	число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел , или так : всякое	натуральное	число является числом целым .
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое	натуральное	число либо чётное , либо нечётное .
	Натуральное	число 2 820 954 до десятков ; до сотен ; до тысяч .
Умножение десятичной дроби на	натуральное	число .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную дробь ; на	натуральное	число .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на	натуральное	число .
Любое	натуральное	число принадлежит одному из этих подмножеств множества N , и общих элементов они не имеют .
Всякое	натуральное	число можно представить в виде обыкновенной дроби , причём с каким угодно знаменателем .
Этот случай легко свести к делению на	натуральное число	, выполнять которое мы уже умеем .
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое	натуральное число	либо чётное , либо нечётное .
Любое	натуральное число	принадлежит одному из этих подмножеств множества N , и общих элементов они не имеют .
Деление уголком десятичной дроби на	натуральное число	.
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную дробь ; на	натуральное число	.
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на	натуральное число	.
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых : а )	натуральное число	3205 ; б ) десятичную дробь 0,3205 .
слова «	натуральное число	» и « положительное целое число » означают одно и то же .
Этот случай можно считать главным , так как деление на десятичную дробь , как вы потом увидите , всегда можно свести к делению на	натуральное число	.
Всякое	натуральное число	можно представить в виде обыкновенной дроби , причём с каким угодно знаменателем .
	Натуральное число	2 820 954 до десятков ; до сотен ; до тысяч .
Действительно , вы знаете , что частное от деления натурального числа а на	натуральное число	b равно дроби .
Сначала рассмотрим деление десятичной дроби на	натуральное число	.
Умножение десятичной дроби на	натуральное число	.
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел , или так : всякое	натуральное число	является числом целым .
Правило умножения десятичных дробей применимо и в том случае , когда один из множителей —	натуральное число	.
Поэтому любое	натуральное число	можно представить в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
Деление десятичной дроби на	натуральное число	выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
Как умножают десятичную дробь на десятичную , на	натуральное число	, на обыкновенную дробь .
Имея дроби , мы всегда можем разделить одно	натуральное число	на другое ( чего нельзя сделать , если ограничиться только натуральными числами ) .
Поэтому в	натуральном	ряду запятые можно заменить на знак « меньше » .
В	натуральном	ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до бесконечности .
С помощью знака « – » , как мы видели , записывается число , противоположное	натуральному	.
В натуральном ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по	натуральному	ряду вправо как угодно далеко , до бесконечности .
мы будем рассматривать отрицательные числа , каждое из которых получается приписыванием к соответствующему	натуральному	числу знака « минус » .
мы будем рассматривать отрицательные числа , каждое из которых получается приписыванием к соответствующему	натуральному числу	знака « минус » .
Изготовьте развёртку этого цилиндра в	натуральную	величину и сверните её в цилиндр .
До сих пор на уроках математики мы рассматривали	натуральные	числа и дробные .
Как и	натуральные	числа , их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом , как это показано рядом .
Воспользуемся основным свойством дроби и преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе дроби оказались	натуральные	числа .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся	натуральные	числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Найдите среди них : положительные , отрицательные , целые ,	натуральные	, отрицательные дробные числа .
А десятичные дроби , как и	натуральные	числа , сравнивают по разрядам .
Как иначе называют	натуральные	числа ? .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти	натуральные	числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
При умножении десятичных дробей в столбик их записывают одну под другой как	натуральные	числа , не обращая внимания на запятые .
Это	натуральные	числа 1 , 2 , 3 , противоположные им числа – 1 , – 2 , – 3 и число 0 .
На правом луче будем , как обычно , отмечать	натуральные	числа ( т . е .
Такие числа , « похожие » на	натуральные	, но со знаком « минус » , нужны в тех случаях , когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях .
Фактически нам пришлось перемножать	натуральные	числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных дробей убрать запятые .
	Натуральные	числа , мы складывать умеем .
Сравним сначала противоположные им	натуральные	числа 1000 и 989 .
Запись вида а / b где а и b —	натуральные	числа , — это дробь .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся	натуральные числа	; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти	натуральные числа	складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
А десятичные дроби , как и	натуральные числа	, сравнивают по разрядам .
	Натуральные числа	, мы складывать умеем .
Воспользуемся основным свойством дроби и преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе дроби оказались	натуральные числа	.
Запись вида а / b где а и b —	натуральные числа	, — это дробь .
На правом луче будем , как обычно , отмечать	натуральные числа	( т . е .
При умножении десятичных дробей в столбик их записывают одну под другой как	натуральные числа	, не обращая внимания на запятые .
Как иначе называют	натуральные числа	? .
Сравним сначала противоположные им	натуральные числа	1000 и 989 .
Фактически нам пришлось перемножать	натуральные числа	376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных дробей убрать запятые .
Как и	натуральные числа	, их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом , как это показано рядом .
Это	натуральные числа	1 , 2 , 3 , противоположные им числа – 1 , – 2 , – 3 и число 0 .
До сих пор на уроках математики мы рассматривали	натуральные числа	и дробные .
д. Что происходит с этим числом , если оно является : а )	натуральным	числом ; б ) десятичной дробью ? .
Запишите на символическом языке следующее утверждение : а ) число 10 — натуральное ; б ) число – 7 не является	натуральным	; в ) число – 100 является целым ; г ) число 2,5 — не целое .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий над	натуральным	числами — надо только научиться правильно ставить результате запятую .
Это выражение задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения п. Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться	натуральным	числом .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий над	натуральным числами	— надо только научиться правильно ставить результате запятую .
д. Что происходит с этим числом , если оно является : а )	натуральным числом	; б ) десятичной дробью ? .
Это выражение задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения п. Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться	натуральным числом	.
Имея дроби , мы всегда можем разделить одно натуральное число на другое ( чего нельзя сделать , если ограничиться только	натуральными	числами ) .
Выполнять действия с дробями , записанными в таком виде , почти так же легко , как и с	натуральными	числами .
Умножение десятичных дробей , как и сложение , сводится к действию над	натуральными	числами .
Эти действия с десятичными дробями мы можем выполнять практически так же , как с	натуральными	числами .
Итак , при сложении целых чисел мы работаем в действительности только с соответствующими	натуральными	числами .
Наряду с	натуральными	числами .
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : с целыми числами мы можем обращаться более свободно , чем с	натуральными	.
Между какими последовательными	натуральными	числами заключено число : а ) 9,8 ; б ) 15,03 ?
Итак , при сложении целых чисел мы работаем в действительности только с соответствующими	натуральными числами	.
Выполнять действия с дробями , записанными в таком виде , почти так же легко , как и с	натуральными числами	.
Способ записи десятичных дробей является естественным обобщением десятичной системы счисления , принятой для записи	натуральных	чисел .
Но так же как , кроме	натуральных	чисел , существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и отрицательные дробные числа .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех	натуральных	чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
д. , которые имели большое практическое значение , они стали применять так называемую десятичную запись , похожую на запись	натуральных	чисел .
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В — множество	натуральных	делителей числа 24 .
Найдём пересечение и объединение множества	натуральных	чисел и множества целых чисел .
Конечным или бесконечным является : а ) множество	натуральных	чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Найдите частное	натуральных	чисел , выполнив деление уголком .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество	натуральных	чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
На рисунке большой круг изображает множество	натуральных	чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
б ) Пусть А — множество	натуральных	чисел , кратных 4 , Б — множество натуральных чисел , кратных 6 .
Чем похожи и чем различаются округление	натуральных	чисел и округление десятичных дробей ? .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество	натуральных	чисел есть подмножество множества целых чисел , или так : всякое натуральное число является числом целым .
Черту дроби рассматривают как другое обозначение действия деления двух	натуральных	чисел .
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление	натуральных	чисел .
Пусть А — множество натуральных чётных чисел , не превосходящих 10 , Б — множество	натуральных	нечётных чисел , не превосходящих 10 , С — множество простых чисел , не превосходящих 10 .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество	натуральных	чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Наконец , правило сложения целого числа с нулём такое же , как и для	натуральных	чисел .
Укажите несколько конечных и бесконечных подмножеств множества	натуральных	чисел N.
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , Б — множество	натуральных	чисел , кратных 6 .
Объединением этих множеств является всё множество	натуральных	чисел .
Таким образом , мы имеем разбиение множества	натуральных	чисел на два класса — чётных и нечётных чисел .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество	натуральных	чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Если частное десятичных дробей выражается десятичной дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление	натуральных	чисел .
Умножение целых чисел обладает теми же свойствами , что и умножение	натуральных	, — переместительным и сочетательным .
множества	натуральных	чисел N : множество чётных чисел и множество нечётных чисел .
Что десятичная система записи	натуральных	чисел распространяется и на запись дробей .
Вспомним , что из двух	натуральных	чисел большим считается то , которое при счёте появляется позже , и меньшим то , которое появляется раньше .
В математике черту дроби используют как знак деления не только для	натуральных	чисел , но и для более сложных выражений .
В множестве	натуральных	чисел сложить можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Так , множество	натуральных	чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
Рассмотрим частное	натуральных	чисел 17 и 8 .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве	натуральных	чисел действие деления выполнимо не всегда .
Заметим , что действие сложения целых чисел , как и действие сложения	натуральных	чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению	натуральных	чисел 344 и 728 , которые получаются , если из десятичных дробей убрать запятые .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех	натуральных	чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Сколько классов содержит разбиение множества	натуральных	чисел по остаткам от деления на 4 ?
Для	натуральных	чисел умножение сводится к сложению , поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех	натуральных	чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики	натуральных	чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех	натуральных	чисел от 1 до n .
Пусть А — множество	натуральных	делителей числа 18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Приведите примеры конечных и бесконечных подмножеств множества	натуральных	чисел N .
Чем отличается округление десятичных дробей от округления	натуральных	чисел ? .
Запишите в виде буквенного выражения произведение и сумму двух последовательных	натуральных	чисел .
Двигаясь по ряду	натуральных	чисел вправо , мы переходим от меньшего числа к большему , а двигаясь влево — от большего числа к меньшему .
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики	натуральных	чисел : с целыми числами мы можем обращаться более свободно , чем с натуральными .
Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных	натуральных	чисел , начиная с числа .
Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от множества	натуральных	чисел .
Пусть А — множество	натуральных	чётных чисел , не превосходящих 10 , Б — множество натуральных нечётных чисел , не превосходящих 10 , С — множество простых чисел , не превосходящих 10 .
Например , выражение означает произведение всех	натуральных	чисел от 1 до 50 .
Постройте разбиение множества	натуральных	чисел , используя два признака : чётность и кратность числу 5 .
Естественно правило сравнения	натуральных	чисел распространить на целые числа .
Чем похожи и чем различаются ряд	натуральных	чисел и ряд целых чисел ? .
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики	натуральных чисел	: с целыми числами мы можем обращаться более свободно , чем с натуральными .
Вспомним , что из двух	натуральных чисел	большим считается то , которое при счёте появляется позже , и меньшим то , которое появляется раньше .
Но так же как , кроме	натуральных чисел	, существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и отрицательные дробные числа .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению	натуральных чисел	344 и 728 , которые получаются , если из десятичных дробей убрать запятые .
Таким образом , мы имеем разбиение множества	натуральных чисел	на два класса — чётных и нечётных чисел .
б ) Пусть А — множество	натуральных чисел	, кратных 4 , Б — множество натуральных чисел , кратных 6 .
Если частное десятичных дробей выражается десятичной дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление	натуральных чисел	.
Для	натуральных чисел	умножение сводится к сложению , поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Найдём пересечение и объединение множества	натуральных чисел	и множества целых чисел .
Сколько классов содержит разбиение множества	натуральных чисел	по остаткам от деления на 4 ?
Постройте разбиение множества	натуральных чисел	, используя два признака : чётность и кратность числу 5 .
Так , множество	натуральных чисел	является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
Чем похожи и чем различаются округление	натуральных чисел	и округление десятичных дробей ? .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество	натуральных чисел	есть подмножество множества целых чисел , или так : всякое натуральное число является числом целым .
Конечным или бесконечным является : а ) множество	натуральных чисел	, кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве	натуральных чисел	действие деления выполнимо не всегда .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики	натуральных чисел	: одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
На рисунке большой круг изображает множество	натуральных чисел	N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Что десятичная система записи	натуральных чисел	распространяется и на запись дробей .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество	натуральных чисел	, больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
В множестве	натуральных чисел	сложить можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Рассмотрим частное	натуральных чисел	17 и 8 .
Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от множества	натуральных чисел	.
Естественно правило сравнения	натуральных чисел	распространить на целые числа .
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , Б — множество	натуральных чисел	, кратных 6 .
Запишите в виде буквенного выражения произведение и сумму двух последовательных	натуральных чисел	.
Наконец , правило сложения целого числа с нулём такое же , как и для	натуральных чисел	.
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех	натуральных чисел	от 1 до n .
Чем похожи и чем различаются ряд	натуральных чисел	и ряд целых чисел ? .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех	натуральных чисел	от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Приведите примеры конечных и бесконечных подмножеств множества	натуральных чисел	N .
Способ записи десятичных дробей является естественным обобщением десятичной системы счисления , принятой для записи	натуральных чисел	.
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех	натуральных чисел	от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Например , выражение означает произведение всех	натуральных чисел	от 1 до 50 .
Заметим , что действие сложения целых чисел , как и действие сложения	натуральных чисел	, обладает переместительным и сочетательным свойствами .
д. , которые имели большое практическое значение , они стали применять так называемую десятичную запись , похожую на запись	натуральных чисел	.
Найдите частное	натуральных чисел	, выполнив деление уголком .
Чем отличается округление десятичных дробей от округления	натуральных чисел	? .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех	натуральных чисел	от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество	натуральных чисел	— буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных	натуральных чисел	, начиная с числа .
Двигаясь по ряду	натуральных чисел	вправо , мы переходим от меньшего числа к большему , а двигаясь влево — от большего числа к меньшему .
В математике черту дроби используют как знак деления не только для	натуральных чисел	, но и для более сложных выражений .
Укажите несколько конечных и бесконечных подмножеств множества	натуральных чисел	N.
Объединением этих множеств является всё множество	натуральных чисел	.
Черту дроби рассматривают как другое обозначение действия деления двух	натуральных чисел	.
множества	натуральных чисел	N : множество чётных чисел и множество нечётных чисел .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество	натуральных чисел	, меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление	натуральных чисел	.
Однако Таня	нашла	себе трёх помощниц , с которыми разделила свою часть работы поровну .
Величину убытка мы также	нашли	вычитанием .
Вы видите , что сумма , которую вы	нашли	прикидкой , только на 2 р . отличается от точной суммы , которую можно сэкономить .
Сначала мы	нашли	отдельно сумму отрицательных и сумму положительных слагаемых , а затем сумму двух получившихся чисел .
Величину дохода в этом случае мы	нашли	вычитанием .
Николай задумал число , умножил его на 2,5 и получил 10 . г ) Олег задумал число ,	нашёл	этого числа и получил 5 .
Если	необходим	именно такой порядок множителей в произведении чисел а и 7 , то точку обязательно ставят , т .
Язык	необходим	для передачи и хранения информации .
Если	необходимо	, воспользуйтесь моделью куба .
б ) Сколько существует способов выбора пассажиров , если одного из них	необходимо	срочно отправить на другой берег в больницу ? .
Вы уже знаете , что буквы	необходимы	для записи общих утверждений ( например , свойств арифметических действий ) , а также формул , описывающих на математическом языке правила нахождения одних величин по известным значениям других .
Введите	необходимые	обозначения и запишите ответ .
Выполните на карте	необходимые	измерения и определите , чему равно расстояние от Москвы до Санкт - Петербурга ; от Москвы до Архангельска ; от Архангельска до Петрозаводска .
Проведя	необходимые	измерения , найдите площадь параллелограмма .
Многие закономерности , которые были связаны с измерениями длин , площадей и объёмов ,	необходимыми	для строительства зданий , прокладывания каналов , деления земельных участков , торговли , путешествий , стали известны человеку уже очень давно .
Будьте внимательны : в последнем случае ответ	неоднозначен	.
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество	неправильных дробей	со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Поэтому предложения « а — положительное число » и « а — отрицательное число » на математическом языке записывают в виде	неравенств	.
Ответ запишите с помощью двойного	неравенства	.
Запишите ответ в виде двойного	неравенства	.
Между какими двумя ближайшими целыми числами находится данное число ( ответ запишите в виде двойного	неравенства	) .
Запишите в виде	неравенства	.
Запишите в виде двойного	неравенства	оценку числа π , которую дал Архимед .
Расположите числа в порядке возрастания , ответ запишите в виде двойного	неравенства	.
Изобразите схематически на координатной прямой данное число и ближайшие к нему слева и справа целые числа , затем запишите двойное	неравенство	, например .
Какие цифры можно подставить вместо звёздочки , чтобы полученное	неравенство	было верным .
Прочитайте двойное	неравенство	.
Какие целые числа можно подставить вместо буквы а , чтобы получилось верное	неравенство	.
Сформулируйте	неравенство	треугольника .
Отвечая на вопрос , запишите соответствующее двойное	неравенство	и покажите примерное положение числа на координатной прямой .
Подберите такие целые числа а и b , чтобы выполнялось	неравенство	.
Мы пришли к выводу , который математики называют	неравенством	треугольника .
Что называют	неравенством	треугольника .
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое натуральное число либо чётное , либо	нечётное	.
Таким образом , мы имеем разбиение множества натуральных чисел на два класса — чётных и	нечётных	чисел .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества	нечётных	чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Пусть А — множество натуральных чётных чисел , не превосходящих 10 , Б — множество натуральных	нечётных	чисел , не превосходящих 10 , С — множество простых чисел , не превосходящих 10 .
Если множество	нечётных	чисел обозначить буквой А , а множество чётных чисел — буквой В , то можно записать .
Говорят , что множества чётных и	нечётных	чисел составляют разбиение множества N. Подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
множества натуральных чисел N : множество чётных чисел и множество	нечётных	чисел .
Например , запись С = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 } означает , что С — множество первых пяти	нечётных	чисел .
от точки С до передней грани ; до	нижней грани	.
а ) от вершины В до передней грани параллелепипеда ; до его	нижней грани	.
Первый пешеход идёт со скоростью 4 км / ч , а второй идёт вслед за	ним	со скоростью 6,5 км / ч .
Прежде всего к	ним	относятся цифры 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 .
Когда , например , говорят « возьмём число а » , то это означает , что некоторому числу — неважно , какому именно , — дали имя а , и дальше с	ним	можно обращаться так , как будто оно вполне определённое .
Для выражения величины отрицательным числом вводят некоторую начальную , нулевую отметку ; например , при измерении температуры за начало отсчёта принимается температура замерзания воды ( при	нормальном	атмосферном давлении ) , а при измерении глубины морей — уровень Мирового океана .
д. , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо , сколько	нулей	содержится в множителе .
д. сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества	нулей	.
Вспомните : к десятичной дроби можно приписывать справа любое число	нулей	, при этом получается дробь , равная данной .
Уравняем число цифр в числителе и число	нулей	в знаменателе , приписав к числителю слева вспомогательные нули , получим = 0,00187 .
д. , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько	нулей	содержится в делителе .
В знаменателе этой дроби 5	нулей	, поэтому в десятичной дроби должно быть 5 цифр после запятой .
В десятичной дроби после запятой столько цифр , сколько	нулей	в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество	нулей	, то получится дробь , равная данной .
Поэтому любое натуральное число можно представить в виде десятичной дроби с каким угодно количеством	нулей	после запятой .
Однако мы знаем , что десятичная дробь не изменится , если справа к ней приписать	нули	.
Уравняем число цифр в числителе и число нулей в знаменателе , приписав к числителю слева вспомогательные	нули	, получим = 0,00187 .
Понятно , что	нули	, записанные в конце десятичной дроби , можно отбросить .
если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа	нули	.
Если в десятичной дроби последние цифры —	нули	, то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Затем в этом произведении мы отделили запятой справа пять цифр ( для этого нам пришлось слева приписать	нули	) .
д. с помощью переноса запятой в любом случае : при необходимости к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные	нули	.
Поэтому , чтобы продолжить деление , мы последовательно приписывали к делимому	нули	и вычисляли следующие цифры частного .
Заметим , что в подобных случаях	нуль	можно приписывать не к делимому , а непосредственно к остатку .
Этот	нуль	вычеркнули .
Как обычно , на	нуль	делить нельзя .
В десятичной дроби с « длинным хвостом » среди цифр после запятой есть один	нуль	( все остальные цифры не нули ) .
При делении нуля на любое целое число , не равное нулю , в частном получается	нуль	.
Новым в этом примере оказалось то , что , когда все цифры делимого были снесены ,	нуль	в остатке не получился .
Этот	нуль	означает , что деление закончено .
После этого продолжали деление до тех пор , пока не получили в остатке	нуль	.
Обратите внимание на последнее приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , сохраняют цифру	нуль	в разряде сотых .
отрицательное или	нуль	?
К числу приписывают справа один	нуль	, два нуля , три нуля и т .
Например . 1	нуль	1 цифра .
Запишите десятичную дробь : а ) нуль целых одна десятая ; б )	нуль	целых сорок семь сотых .
Какое число больше : положительное или	нуль	?
Сравните получившееся число с исходным , если этот	нуль	стоял : а ) в конце десятичной дроби ; б ) не в конце десятичной дроби .
Запишите десятичную дробь : а )	нуль	целых одна десятая ; б ) нуль целых сорок семь сотых .
Очевидно , что в этом случае прибыль равна	нулю	.
При делении нуля на любое целое число , не равное	нулю	, в частном получается нуль .
Модуль нуля равен	нулю	.
Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же число , не равное	нулю	, то получится отношение , равное данному .
Сумма противоположных чисел равна	нулю	.
Любое положительное число больше	нуля	.
Любое положительное число в ряду целых чисел расположено правее нуля , а любое отрицательное — левее	нуля	.
А у противоположных чисел , которые изображаются точками , симметричными относительно	нуля	, модули равны .
Положительные целые числа расположены справа от	нуля	, отрицательные — слева .
2	нуля	2 цифры .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от	нуля	отрезки , длины которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Любое положительное число в ряду целых чисел расположено правее	нуля	, а любое отрицательное — левее нуля .
Отрицательные числа на координатной прямой отмечаются точками , расположенными левее	нуля	, а положительные — точками , расположенными правее нуля .
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое число , до	нуля	иначе называют модулем этого числа ( ещё говорят « абсолютная величина » ) .
Запишите с помощью букв свойства	нуля	и единицы при умножении .
При делении	нуля	на любое целое число , не равное нулю , в частном получается нуль .
Например , числам 5 и -5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от	нуля	на одном и том же расстоянии , равном 5 единицам .
	Нуля	? .
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных чисел – 5,8 и – 4 меньше , мы сравнили положительные числа 5,8 и 4 — расстояния от	нуля	до соответствующих точек координатной прямой .
Отрицательные числа на координатной прямой отмечаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее	нуля	.
Замечательным вкладом индийских математиков в развитие теории чисел было введение понятия	нуля	и знака для него .
Откладывая последовательно единичные отрезки вправо от нуля и влево от	нуля	, будем получать изображения на прямой целых чисел .
Любое отрицательное число	нуля	.
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от	нуля	.
Откладывая последовательно единичные отрезки вправо от	нуля	и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых чисел .
Сохраняются свойства	нуля	и единицы при умножении .
Модуль	нуля	равен нулю .
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число , отличное от	нуля	, то получится дробь , равная данной .
Любое положительное число	нуля	.
Любое отрицательное число меньше	нуля	.
К числу приписывают справа один нуль , два	нуля	, три нуля и т .
Запишите в буквенном виде свойство	нуля	при сложении и свойство единицы при умножении .
К числу приписывают справа один нуль , два нуля , три	нуля	и т .
Чем дальше от	нуля	точка , изображающая некоторое число , тем больше модуль этого числа .
3	нуля	3 цифры .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от	нуля	отрезок , равный 5,2 единицы , получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
Проведите : а ) три касательные к окружности так , чтобы они	образовали	треугольник ; б ) четыре касательные к окружности так , чтобы образовался четырёхугольник .
Нарисуйте в тетради « линзу » ,	образованную	двумя пересекающимися окружностями равных радиусов .
Скопируйте узор ,	образуемый	дугами окружностей .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра	образуют	зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
Целые и дробные числа вместе	образуют	множество рациональных чисел .
Смежные углы	образуют	развёрнутый угол , т .
Поскольку величина каждого угла равностороннего треугольника равна 60 ° , то три их угла , приложенные друг к другу ,	образуют	развёрнутый угол .
Пересекаясь , касательные	образуют	пятиугольник .
Постройте прямоугольный треугольник , у которого стороны ,	образующие	прямой угол , равны 4 см и 3 см .
Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника со сторонами а и b ,	образующими	прямой угол .
Сделайте вывод о том , какая из дробей ближе к 1 — правильная или	обратная	ей неправильная .
Найдём значение выражения Заменим деление умножением на	обратное	число .
После того как найдено , сколько процентов одна величина составляет от другой , полезно проверить себя , выполнив	обратное	действие .
Запишите	обратное	отношение .
а ) Вычислите отношение числа солнечных дней к числу дождливых дней и	обратное	отношение .
Верно и	обратное	: если , то оно отрицательное .
Найдём значение выражения Заменим деление умножением на	обратное число	.
Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам , надо выполнить	обратную	операцию .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на дробь ,	обратную	второй .
Запишите	обратную	ей дробь и определите , какая из этих двух дробей ближе к 1 .
Рассмотрим	обратную	задачу .
Запишите какую - нибудь правильную дробь и дробь ,	обратную	ей .
Удобство	обращения	с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Пересечение множеств записывают с помощью символа П , а их	объединение	— с помощью символа .
Что такое пересечение и	объединение	множеств .
Найдите	объединение	и пересечение множеств .
Найдите	объединение	и пересечение множества чисел , кратных 5 , и множества чисел , кратных 10 .
Пересечение и	объединение	множеств .
Найдём пересечение и	объединение	множества натуральных чисел и множества целых чисел .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г )	объединением	множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Какое множество называют	объединением	множеств А и В ? пересечением множеств А и В ?
Что называют	объединением	множеств А и В ?
Множество , состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из данных множеств , называется их	объединением	.
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства операций	объединения	и пересечения множеств ? .
Пример	объёмной	столбчатой диаграммы приведён на .
Так , столбчатые диаграммы могут быть плоскими ( как диаграмма ) или	объёмными	, столбцы на них располагают вертикально или горизонтально .
В каком случае данная	обыкновенная дробь	обращается в десятичную .
Если	обыкновенная дробь	представляется в виде десятичной , то получить её десятичную запись можно с помощью деления уголком .
10 Перевод	обыкновенной дроби	в десятичную .
А как перейти от	обыкновенной дроби	со знаменателем 10 , 100 , 1000 и т .
Дробь нельзя обратить в десятичную , поэтому запишем в виде	обыкновенной дроби	число 0,27 .
Всякое натуральное число можно представить в виде	обыкновенной дроби	, причём с каким угодно знаменателем .
Дробь - в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде	обыкновенной дроби	число 0,6 .
Вы знаете , что представить число в виде	обыкновенной дроби	можно разными способами .
Новый способ перевода	обыкновенной дроби	в десятичную .
Запишите частное в виде	обыкновенной дроби	и , если возможно , обратите её в десятичную .
Но это частное , как известно , можно записать и в виде	обыкновенной дроби	.
Перевод	обыкновенной дроби	в десятичную .
В десятичной дроби после запятой столько цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей	обыкновенной дроби	.
Если знаменатель	обыкновенной дроби	имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , и эта дробь несократима , то её нельзя представить в виде десятичной .
Сравнение	обыкновенной дроби	и десятичной .
Сколько цифр после запятой должно содержаться в десятичной дроби , если знаменатель соответствующей ей	обыкновенной дроби	равен 1000 ?
Если знаменатель	обыкновенной дроби	не имеет никаких простых делителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной .
Сложение	обыкновенной дроби	и десятичной .
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде	обыкновенной дроби	или смешанной дроби : а ) 0,9 ; б)0,123 ; в ) 0,03 ; г ) 0,027 ; д ) 10,1 ; е ) 12,10002 ; ж ) 6,009 .
Однако не всякое число можно записать и в виде десятичной , и в виде	обыкновенной дроби	.
Представьте в виде	обыкновенной дроби	число : а ) 0,7 ; б ) 0,091 ; в ) 1,203 .
Если число выражено десятичной дробью , то его всегда можно представить и в виде	обыкновенной дроби	.
Чему равен знаменатель	обыкновенной дроби	, если в её десятичной записи содержится 2 знака после запятой ?
Часто бывает удобно выражать проценты	обыкновенной дробью	, и некоторые из этих представлений полезно запомнить , например те , которые приведены в таблице на полях .
В самом деле , заменим каждую из этих десятичных дробей	обыкновенной дробью	, получим .
Но не всегда число , выраженное	обыкновенной дробью	, можно записать в виде десятичной дроби .
Выразите время в часах сначала	обыкновенной дробью	, а затем , если можно , десятичной .
б ) Выразите	обыкновенной дробью	каждую величину : 0,2 кг , 0,6 кг , 0,25 кг , 0,375 кг .
Вы видите , что мы смогли представить	обыкновенную дробь	в виде десятичной новым способом , не домножая знаменатель на .
Не всякую	обыкновенную дробь	можно записать в виде десятичной .
Но для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому при необходимости	обыкновенную дробь	заменяют близкой ей десятичной дробью .
Как	обыкновенную дробь	выразить в процентах ? .
а ) Какую	обыкновенную дробь	можно записать в виде десятичной ? .
Выразите приближённо	обыкновенную дробь	десятичной с одним , двумя , тремя знаками после запятой .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить	обыкновенную дробь	в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Чтобы сложить	обыкновенную дробь	и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Как можно сравнить	обыкновенную дробь	и десятичную .
б ) В каком случае несократимую	обыкновенную дробь	нельзя представить в виде десятичной ? .
Вычислите , обратив	обыкновенную дробь	в десятичную .
Всякую ли	обыкновенную дробь	можно представить в виде десятичной ?
Обратите	обыкновенную дробь	в десятичную , разделив уголком числитель на знаменатель .
Представьте самостоятельно каждую	обыкновенную дробь	, приведённую в таблице , в виде десятичной и запомните результаты .
Как выразить в процентах	обыкновенную дробь	?
Как умножают десятичную дробь на десятичную , на натуральное число , на	обыкновенную дробь	.
Найдите какую - нибудь	обыкновенную дробь	, большую 0,1 , но меньшую 0,2 .
Если знаменатель обыкновенной дроби не имеет никаких простых делителей , кроме 2 и 5 , то эту	обыкновенную дробь	можно представить в виде десятичной .
Чтобы записать .	обыкновенную дробь	в виде десятичной , нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и т .
Какую	обыкновенную дробь	можно записать в виде десятичном , а какую нет .
Чтобы выразить в процентах	обыкновенную дробь	, надо сначала превратить её в десятичную .
Запишите в виде десятичных дробей следующие	обыкновенные дроби	.
Вы знаете , что две	обыкновенные дроби	легко сравнить , если у них одинаковые знаменатели .
Десятичные и	обыкновенные дроби	— это две различные формы представления чисел .
Десятичные дроби , так же как и	обыкновенные дроби	, изображают точками на координатной прямой .
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся	обыкновенные дроби	с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Иногда при нахождении процента от некоторой величины удобно пользоваться	обыкновенными дробями	— в тех случаях , когда , используя их , вычисления можно выполнить устно .
Найдём произведение десятичных дробей 3,76 и 2,4 , заменив их	обыкновенными дробями	.
А дроби , записанные с помощью дробной черты , называют	обыкновенными дробями	.
Тогда можно воспользоваться либо правилом умножения	обыкновенных дробей	, либо правилом умножения десятичных дробей .
В самом деле , десятичные дроби — это другая форма записи соответствующих обыкновенных дробей , а для	обыкновенных дробей	эти свойства выполняются .
Перейдём от	обыкновенных дробей	к десятичным , а затем к процентам .
Представление	обыкновенных дробей	в виде десятичных .
Десятичные представления некоторых	обыкновенных дробей	.
В самом деле , десятичные дроби — это другая форма записи соответствующих	обыкновенных дробей	, а для обыкновенных дробей эти свойства выполняются .
Какова ширина	окна	в действительности ? .
На макете	окно	имеет ширину 60 мм .
Общая площадь	окон	, которые надо вымыть , составляет 24 м2 .
Определите площадь	окон	, вымытых за это время .
—	округление	до единиц ( 3,802 ближе к 4 , чем к 3 ) .
Друзья — шестиклассники Петя и Коля выполняли задания на	округление	чисел .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и	округление	десятичных дробей ? .
—	округление	до десятых ( 3,802 ближе к 3,8 , чем к 3,9 ) ; — округление до сотых ( 3,802 ближе к 3,80 , чем к 3,81 ) .
Чем отличается	округление	десятичных дробей от округления натуральных чисел ? .
Обратите внимание на последнее приближённое равенство : чтобы показать , что	округление	проведено до сотых , сохраняют цифру нуль в разряде сотых .
Чем похожи и чем различаются	округление	натуральных чисел и округление десятичных дробей ? .
— округление до десятых ( 3,802 ближе к 3,8 , чем к 3,9 ) ; —	округление	до сотых ( 3,802 ближе к 3,80 , чем к 3,81 ) .
а ) Найдите все десятичные дроби с тремя знаками после запятой , при	округлении	которых до сотых получается число 3,27 .
При	округлении	десятичной дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом десятичных знаков или даже целым числом .
б ) Найдите наибольшую из десятичных дробей с четырьмя знаками после запятой , при	округлении	которой до сотых получается число 8,65 .
Поэтому при	округлении	десятичной дроби 21,28 до десятых её и заменяют числом 21,3 .
Чем отличается округление десятичных дробей от	округления	натуральных чисел ? .
Число 21,3 — результат	округления	дроби 21,28 до десятых .
Правило	округления	десятичных дробей .
Проиллюстрируйте правило	округления	десятичных дробей на примере округления дроби 0,2835 до сотых и до тысячных .
Проиллюстрируйте правило округления десятичных дробей на примере	округления	дроби 0,2835 до сотых и до тысячных .
Приведите пример , когда в результате	округления	десятичной дроби получается целое число .
Найдите примерный процент брака на каждом заводе ,	округлив	результат до единиц .
Выразите десятичную дробь приближённо в процентах , предварительно	округлив	её до сотых : а ) 0,843 ; б ) 0,1391 ; в ) 0,5016 ; г ) 0,0449 .
Выразите в процентах ,	округлив	ответ до единиц : а ) учащихся школы ; в ) населения Хабаровска ; б ) всех книг библиотеки ; г ) семейного бюджета .
Выполните прикидку результата ,	округлив	десятичные дроби до единиц , а затем найдите точный ответ .
Именно поэтому полученное в первом действии число 8,88 млн мы	округлили	до десятых .
Ответ	округлите	до десятых долей сантиметра .
Ответ	округлите	до десятых долей квадратного сантиметра .
Найдите длину каждой части и	округлите	результат до сотых долей метра .
Высота колонн храма на макете равна 41,7 см. Найдите реальную высоту колонн храма , выразите её в метрах ,	округлите	ответ до десятых .
Вычислите длину экватора ( ответ	округлите	до тысяч километров ) .
Ответы	округляйте	так , чтобы кружева наверняка хватило .
Ответ	округляйте	до десятков .
До какого разряда	округляли	десятичную дробь , если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
д. , а десятичные дроби можно	округлять	до единиц , десятых , сотых и т .
Рассмотренные примеры подсказывают правило , по которому дроби можно	округлять	, не выбирая лучшее из двух приближённых значений .
При использовании десятичных дробей в практических расчётах их обычно	округляют	.
Как	округляют	десятичные дроби .
Натуральные числа	округляют	до десятков , сотен , тысяч и т .
Подчеркните разряд , до которого число	округляют	, и посмотрите на цифру , расположенную справа от него .
Петя ,	округляя	число 31526 до десятков , записал .
Коля ,	округляя	число 123,756 до десятых , записал : Исправьте их ошибки .
Теперь рассмотрим взаимное расположение двух	окружностей	.
Пусть радиус одной окружности равен 4 см , а другой - 3 см. В каком случае касание	окружностей	будет внешним , а в каком внутренним ? .
Расскажите о всех случаях взаимного расположения двух	окружностей	и изобразите их от руки .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких	окружностей	? .
На рисунке точки пересечения	окружностей	обозначены буквами А и В. Точка А находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка ( оно равно радиусу окружности ) .
Точка О — центр двух	окружностей	, касающихся каждой из трёх построенных окружностей внешним и внутренним образом .
Радиус одной из них равен 4 см , а расстояние между центрами	окружностей	— 7 см. Найдите радиус другой окружности .
Точка О — центр двух окружностей , касающихся каждой из трёх построенных	окружностей	внешним и внутренним образом .
Радиусы двух	окружностей	равны 7 см и 11 см , а расстояние между их центрами — 19 см. Как расположены окружности по отношению друг к другу ? .
Сближая и дальше центры	окружностей	, мы снова получим непересекающиеся окружности , но теперь меньшая будет лежать внутри большей .
О том , что касание	окружностей	может быть внешним или внутренним .
Такое касание	окружностей	называется внешним .
Сколько таких	окружностей	можно построить ?
Проведите на поверхности мяча несколько больших	окружностей	.
При этом центры	окружностей	будут сближаться .
Точки касания	окружностей	обозначьте следующим образом : точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне .
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения	окружностей	буквой К .
Проведём ещё пару	окружностей	равных радиусов — одну с центром в точке М , а другую с центром в точке N. И ещё .
Где лежат центры	окружностей	.
Центры	окружностей	соединены отрезком .
Чтобы рассмотреть все случаи взаимного расположения двух	окружностей	, снова используем перемещение .
Однако различают два разных случая касания	окружностей	.
Бросив камешек в спокойную гладь водоёма , вы увидите , как от точки падения камня разбегается сразу несколько концентрических	окружностей	.
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько	окружностей	разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения	окружностей	радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
На рисунке их изображают в виде двух эллипсов — « сплюснутых »	окружностей	.
Радиусы двух	окружностей	равны 3 см и 5 см , а расстояние между наиболее удалёнными точками : а ) 18 см ; б ) 16 см ; в ) 13 см ; г ) 8 см .
В каждом случае измерьте расстояние между центрами	окружностей	.
Найдите расстояние между центрами	окружностей	.
Скопируйте узор , образуемый дугами	окружностей	.
Для каждого случая взаимного расположения двух	окружностей	определите , сколько можно провести различных прямых , касающихся обеих окружностей .
Узоры из	окружностей	.
Найдите радиусы первых двух	окружностей	.
Назовите все случаи взаимного расположения : а ) прямой и окружности ; б ) двух	окружностей	.
Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей определите , сколько можно провести различных прямых , касающихся обеих	окружностей	.
Понятно , что если бы мы взяли другую точку пересечения	окружностей	, то получили бы треугольник , равный треугольнику АВС .
Расстояние между центрами окружностей равно 2,5 см. Чему равны радиусы	окружностей	? .
Дополните предложение : « Две окружности пересекаются , если расстояние между их центрами суммы радиусов	окружностей	, но разности их радиусов » .
Расстояние между центрами	окружностей	равно 2,5 см. Чему равны радиусы окружностей ? .
В каждом случае найдите расстояние между самыми близкими точками двух	окружностей	.
а ) Радиус меньшей окружности равен 3 см , радиус большей — 5 см. Чему равно расстояние между центрами	окружностей	? .
Начните с построения центров	окружностей	.
Сколько осей симметрии имеет фигура , состоящая из трёх	окружностей	одинакового радиуса ?
Найдите расстояние от центра	окружности	до прямой .
Это связано с важным свойством	окружности	.
Через каждую из точек А , В , С и D проведите касательную к этой	окружности	.
Любая прямая , проходящая через центр	окружности	, является её осью симметрии .
Подставим d = 4 м в формулу длины	окружности	и возьмём π 3,14 , получим .
Если в формулу вместо d подставить 2 г , то получим другую формулу длины	окружности	.
а ) Вычислите длину	окружности	, диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б )
Так как отношение длины	окружности	к диаметру равно π , то можно .
Это формула длины	окружности	.
Отметьте на	окружности	точку , ближайшую к данной прямой .
Вычислите длину	окружности	, радиус которой равен 7,5 см ; 5 м . а ) Вычислите площадь круга , радиус которого равен 100 м ; 20 см . б )
В геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой фигуры ( прямой ,	окружности	и др. ) , расстояние между двумя параллельными прямыми .
Найдите отношение длины	окружности	к длине диаметра .
Обозначим длину окружности буквой С , а диаметр буквой d. Так как отношение длины	окружности	к диаметру равно π , то можно записать .
Обозначим длину	окружности	буквой С , а диаметр буквой d.
Иными словами , длина	окружности	примерно в 3 раза больше её диаметра .
29 Формулы длины	окружности	, площади круга и объёма шара .
След , который оставляет точка А при повороте , — это дуга	окружности	.
Длина	окружности	и число π .
Фигуры , ограниченные окружностями и их дугами . Найдите длину дуги	окружности	, выделенной на рисунке жирной линией .
Чему равна длина	окружности	, диаметр которой равен 1 ? .
Начертите окружности радиусами 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй	окружности	больше длины первой ?
Начертите	окружности	радиусами 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше длины первой ?
Отношение длины	окружности	к её диаметру — величина постоянная , она не зависит от размеров окружности .
Формула длины	окружности	.
Число , выражающее отношение длины	окружности	к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π — первой буквой слова « периферия » ( греч .
Формулы длины	окружности	, площади круга и объёма шара .
Будем проводить	окружности	с центром в точке А , увеличивая их радиусы , пока одна из них « не достигнет » озера .
Чтобы получить формулу , по которой можно вычислить длину	окружности	, проведите такой эксперимент .
Отношение длины окружности к её диаметру — величина постоянная , она не зависит от размеров	окружности	.
Сколько осей симметрии у прямоугольника и	окружности	.
В результате вы получите длину	окружности	, ограничивающей дно стакана .
В пространстве сходным свойством обладает шар — он симметричен относительно любой плоскости , рассекающей его по большой	окружности	.
Обозначим длину	окружности	буквой С , а диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то можно записать .
Как вычислить длину	окружности
Перечислите все случаи взаимного расположения прямой и	окружности	.
В таком случае говорят , что окружность вписана в пятиугольник или что пятиугольник описан вокруг	окружности	.
Известен радиус третьей	окружности	и расстояние между центрами .
Две	окружности	на плоскости .
Проведены две	окружности	с центром в точке Р и окружность с центром в точке О , которая касается первых двух .
а ) Радиус меньшей	окружности	равен 3 см , радиус большей — 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей ? .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются	окружности	с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две	окружности	с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр	окружности	, радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
Радиус второй	окружности	, см .
Радиус первой	окружности	, см .
В хитросплетении линий развязки , которая носит название « бабочка » , легко различить прямые и фрагменты	окружности	.
Постройте две	окружности	по данным , приведённым в таблице .
Начертите три концентрические	окружности	с радиусами 2 см , 3 см , 4 см .
Правильные многоугольники обладают удивительным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной	окружности	.
Дополните предложение : « Две	окружности	пересекаются , если расстояние между их центрами суммы радиусов окружностей , но разности их радиусов » .
О том , какую прямую называют касательной к	окружности	.
Чертим	окружности	.
Касательная перпендикулярна радиусу	окружности	, проведённому в точку касания .
В таблице даны радиус	окружности	и расстояние от центра этой окружности до некоторой прямой .
В таблице даны радиус окружности и расстояние от центра этой	окружности	до некоторой прямой .
Пересекаются ли	окружности	, если их радиусы равны 4 см и 3 см , а расстояние между центрами : а ) 7 см ; б ) 6 см ; в ) 8 см ? .
Пусть радиус одной	окружности	равен 4 см , а другой - 3 см. В каком случае касание окружностей будет внешним , а в каком внутренним ? .
На рисунке точки пересечения окружностей обозначены буквами А и В. Точка А находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка ( оно равно радиусу	окружности	) .
Возьмём отрезок MN и проведём две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в точках М и N. ( Чтобы эти	окружности	пересеклись , радиус каждой из них должен быть больше половины отрезка MN . )
Возьмём отрезок MN и проведём две пересекающиеся	окружности	равных радиусов с центрами в точках М и N. ( Чтобы эти окружности пересеклись , радиус каждой из них должен быть больше половины отрезка MN . )
Радиус	окружности	, см .
Найти точки , равноудалённые от концов отрезка , нам помогут две	окружности	.
В случае когда центры совпадают ,	окружности	называют концентрическими .
Сближая и дальше центры окружностей , мы снова получим непересекающиеся	окружности	, но теперь меньшая будет лежать внутри большей .
Начертите в тетради две равные	окружности	так , чтобы они : а ) пересекались ; б ) не пересекались ; в ) касались друг друга .
d — касательная к	окружности	в точке А .
К	окружности	, радиус которой равен 6 см , проведены две параллельные касательные .
Какая из четырёх параллельных прямых является касательной к	окружности	? .
Пусть дана окружность с центром в точке О и на ней отмечена точка А. Проведите касательную к	окружности	в точке А. Для этого : 1 ) проведите радиус ОА ; 2 )
Назовите все случаи взаимного расположения : а ) прямой и	окружности	; б ) двух окружностей .
Начертите окружность , отметьте на ней какую - нибудь точку и постройте касательную к	окружности	в этой точке .
Две	окружности	касаются внешним образом .
Радиус одной из них равен 4 см , а расстояние между центрами окружностей — 7 см. Найдите радиус другой	окружности	.
Радиусы двух окружностей равны 7 см и 11 см , а расстояние между их центрами — 19 см. Как расположены	окружности	по отношению друг к другу ? .
Ответьте на вопросы , нарисовав соответствующие	окружности	мелом на мяче .
Проведите	окружности	с центрами в вершинах треугольника и радиусом , равным 2 см .
Можно ли провести две большие	окружности	так , чтобы они не пересекались ? .
Проведите эти	окружности	: с меньшим радиусом — от руки , с большим с помощью циркуля .
в ) проходит через центр	окружности	.
г ) является касательной к	окружности	.
Параллели — это и есть	окружности	, получаемые при « разрезании » земного шара параллельными плоскостями .
Чтобы разделить окружность на шесть равных частей , достаточно « пройтись » по	окружности	циркулем с шагом , равным её радиусу .
В каждой из них проведена касательная к	окружности	.
Соответствующие таким кругам	окружности	называются большими окружностями .
У шара и сферы , так же как у круга и	окружности	, есть центр , радиус и диаметр .
соедините последовательно точки пересечения	окружности	со сторонами углов .
Точно так же можно начертить , например , треугольник , описанный вокруг	окружности	, окружность , вписанную в четырёхугольник .
Касательные к	окружности	.
Сколько можно провести касательных к	окружности	, параллельных некоторой прямой ? .
Во втором построении	окружности	не пересеклись , так как расстояние между центрами равно сумме радиусов .
Обратите внимание на то , что в первом построении	окружности	не пересеклись , потому что расстояние между их центрами больше суммы их радиусов .
Неудача постигнет нас и в том случае , если мы попытаемся построить треугольник со сторонами 2 см , 2 см и 4 см :	окружности	лишь коснутся друг друга .
А если каждую из шести дуг	окружности	разделить пополам , то мы сможем построить правильный двенадцатиугольник .
Убедитесь , что	окружности	пересекаются в двух точках .
Каким свойством обладает касательная к	окружности	? .
На этом свойстве основан способ построения касательной к	окружности	.
С термином « пересечение » вы не раз встречались при изучении геометрии : например , когда находили общие точки двух прямых , прямой и	окружности	и т .
Если дальше сближать центры , то	окружности	сначала будут пересекаться , а затем снова коснутся друг друга .
Попытаемся построить треугольник со сторонами 1 см , 2 см и 4 см. Сделать это нам не удастся :	окружности	не пересекутся .
В какой - то момент расстояние от центра до прямой станет равным радиусу и точка М окажется на	окружности	.
Радиус	окружности	равен 2 см. На каком рисунке изображён случай , когда расстояние от центра окружности до прямой равно 1 см ?
18 Две	окружности	на плоскости .
Какие	окружности	называют концентрическими .
Что можно сказать о взаимном расположении прямой и	окружности	в каждом случае ?
Оно больше радиуса	окружности	.
Мы рассмотрели взаимное расположение двух прямых , прямой и	окружности	.
Запишите формулы длины	окружности	и площади круга .
Постройте касательные к	окружности	: а ) перпендикулярные проведённой прямой ; б ) параллельные проведённой прямой .
Две	окружности	пересекаются , не пересекаются или касаются друг друга .
Да и не пересекаться	окружности	могут по - разному , ведь одна окружность может оказаться внутри другой .
Найдите длину	окружности	, радиус которой равен 10 см .
Две	окружности	.
На , а изображены две	окружности	.
Будем теперь перемещать прямую параллельно самой себе , приближая её к центру	окружности	.
Проведите : а ) три касательные к	окружности	так , чтобы они образовали треугольник ; б ) четыре касательные к окружности так , чтобы образовался четырёхугольник .
Радиус окружности равен 2 см. На каком рисунке изображён случай , когда расстояние от центра	окружности	до прямой равно 1 см ?
Начертите окружность радиусом 3 см. Проведите какую - нибудь прямую через центр	окружности	.
Точка О — центр большей	окружности	, точка Р — центр меньшей .
Прямая и окружность могут иметь одну общую точку ( прямая является касательной к	окружности	) , две общие точки ( в этом случае прямую называют секущей ) , а могут и не иметь общих точек .
Расстояние от центра	окружности	до прямой , см .
Центр	окружности	лежит на биссектрисе угла А. Объясните , как начертить окружность , касающуюся сторон угла .
В этом случае прямую k называют касательной к	окружности	, а точку М — точкой касания .
Взаимное расположение прямой и	окружности	.
Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку А. Постройте касательную к	окружности	в точке А .
Проведите : а ) три касательные к окружности так , чтобы они образовали треугольник ; б ) четыре касательные к	окружности	так , чтобы образовался четырёхугольник .
Начертите какую - нибудь	окружность	и прямую , её не пересекающую .
На сколько частей делится	окружность	одним диаметром ?
Пусть дана	окружность	с центром в точке О и на ней отмечена точка А. Проведите касательную к окружности в точке А. Для этого : 1 ) проведите радиус ОА ; 2 )
Проведите прямую и постройте какую - нибудь	окружность	радиусом 3 см , для которой эта прямая является касательной .
Начертите	окружность	и постройте симметричную ей окружность относительно прямой , которая .
Всё время , пока это расстояние будет меньше радиуса , прямая будет пересекать	окружность	.
Границей круга , как вам известно , является	окружность	, а границей шара — сфера .
Постройте какую - нибудь	окружность	, для которой обе эти прямые являются касательными .
Как построить	окружность	, симметричную данной относительно прямой ? .
Точно так же можно начертить , например , треугольник , описанный вокруг окружности ,	окружность	, вписанную в четырёхугольник .
Обратите внимание :	окружность	касается каждой стороны пятиугольника .
А затем прямая и	окружность	вновь не будут иметь общих точек .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и	окружность	с центром в точке С радиусом 4 см .
а ) не пересекает	окружность	.
В таком случае говорят , что	окружность	вписана в пятиугольник или что пятиугольник описан вокруг окружности .
Если же плоскость пройдёт « наискосок » ( как показано на рисунке ) , то в сечении получится уже не	окружность	, а эллипс .
В сечении получается	окружность	.
Как надо провести прямую , пересекающую	окружность	, чтобы длина отрезка , соединяющего точки пересечения , была наибольшей ? .
Это прежде всего	окружность	, а также эллипс .
б ) пересекает	окружность	, но не проходит через её центр .
Сколько общих точек могут иметь прямая и	окружность	? .
Прямая и	окружность	могут иметь одну общую точку ( прямая является касательной к окружности ) , две общие точки ( в этом случае прямую называют секущей ) , а могут и не иметь общих точек .
Начертите произвольную	окружность	и отметьте на ней точку А. Постройте касательную к окружности в точке А .
В какой - то момент меньшая	окружность	коснётся большей , а расстояние ОР между центрами станет равным сумме радиусов .
Начертите окружность и постройте симметричную ей	окружность	относительно прямой , которая .
проведите	окружность	произвольного радиуса с центром в вершине углов .
Начнём перемещать меньшую	окружность	по направлению к большей .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите	окружность	с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
На нём вы видите	окружность	, на которой отмечены 5 точек .
На этот раз касание будет внутренним , потому что меньшая	окружность	целиком окажется внутри большей .
А прямая и	окружность	?
Начертите	окружность	радиусом 3 см. Проведите какую - нибудь прямую через центр окружности .
Начертите	окружность	, отметьте на ней какую - нибудь точку и постройте касательную к окружности в этой точке .
На , а изображены	окружность	с центром в точке О и прямая , её не пересекающая .
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и	окружность	с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
Меньшая	окружность	целиком находится вне большей , и , как вы видите из рисунка , в этом случае расстояние ОР между их центрами больше суммы радиусов .
Вы уже знаете , что в геометрии самые важные линии — это прямая и	окружность	.
Два взаимно перпендикулярных диаметра делят	окружность	на четыре равные части .
Да и не пересекаться окружности могут по - разному , ведь одна	окружность	может оказаться внутри другой .
17 Прямая и	окружность	.
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите	окружность	с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
Выполните задание : 1 ) Начертите	окружность	с центром в точке О и проведите два перпендикулярных диаметра АС и BD .
Постройте такую	окружность	, касающуюся сторон угла , чтобы точка касания была удалена от вершины угла на 3 см .
Построить правильный многоугольник можно так : разделить	окружность	на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления отрезками .
Постройте	окружность	, вписанную в этот квадрат .
Прямоугольник , равнобедренный треугольник ,	окружность	.
Центр окружности лежит на биссектрисе угла А. Объясните , как начертить	окружность	, касающуюся сторон угла .
Проведены две окружности с центром в точке Р и	окружность	с центром в точке О , которая касается первых двух .
Чтобы разделить	окружность	на шесть равных частей , достаточно « пройтись » по окружности циркулем с шагом , равным её радиусу .
«	окружность	» ) .
Начертите	окружность	.
Постройте	окружность	, касающуюся сторон угла , центр которой удалён от вершины угла на 5 см .
Прямая и	окружность	.
Вы видите угол А и	окружность	, которая касается сторон этого угла .
Начертите произвольный угол и постройте	окружность	, касающуюся сторон угла .
При рассечении цилиндра и конуса плоскостями наряду с	окружностью	получаются и другие линии .
На сколько частей делится сфера одной большой	окружностью	?
Выберите одну из развёрток , перенесите её , увеличив , на лист бумаги и склейте из неё многогранник : тетраэдр ,	октаэдр	, куб , икосаэдр , додекаэдр .
Четыре из них олицетворяли стихии : тетраэдр — огонь , куб — землю , икосаэдр — воду ,	октаэдр	— воздух , а пятый , додекаэдр , — всё мироздание ;
тетраэдр куб гексаэдр	октаэдр	икосаэдр додекаэдр .
Посмотрите на фото : кристалл поваренной соли имеет форму куба , а кристалл пирита — форму	октаэдра	.
Сколько страниц набрал	оператор	? .
Кстати , именно так обычно поступают , подводя итоги денежных	операций	: подсчитывают отдельно доходы и расходы , а затем находят общий результат .
Подсчитайте итоги денежных	операций	и запишите результат с помощью положительных и отрицательных чисел .
Это столь привычное сегодня удивительное число позволило им создать десятичную систему записи чисел и разработать правила	операций	над записанными так числами .
Выполнение	операций	над множествами .
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства	операций	объединения и пересечения множеств ? .
В математике часто приходится получать с помощью специальных	операций	из данных множеств новые множества .
Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам , надо выполнить обратную	операцию	.
заново открыл нидерландский учёный и инженер Симон Стевин ,	описавший	их теорию в книге « Десятая » .
, разгневавшись на учёных ,	описавших	в своих трудах отрицательные числа , велел все их рукописи сжечь , а самих авторов , а заодно и их читателей казнить .
Значит , мы	описали	множество , которое не содержит ни одного элемента .
В таком случае говорят , что окружность вписана в пятиугольник или что пятиугольник	описан	вокруг окружности .
Используя	описанное	свойство , можно действовать , не выясняя , модуль какого из данных дробных чисел больше .
Точно так же можно начертить , например , треугольник ,	описанный	вокруг окружности , окружность , вписанную в четырёхугольник .
Каждый участок маршрута , изображённого на рисунке , можно	описать	с помощью трёх координат : заметный ориентир , угол между северным направлением и направлением движения ( азимут ) , расстояние .
Для каждого четырёхугольника	опишите	словами способ построения и выполните построения .
Горизонтальную ось обычно называют осью х или осью абсцисс ; вертикальную — осью у или осью	ординат	.
Ось	ординат	.
У него , как и у пирамиды , есть вершина и	основание	, только в основании лежит не многоугольник , а круг .
равнобедренный треугольник ,	основание	которого равно 4 см , а боковая сторона равна 5 см .
Постройте : а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б ) равнобедренный треугольник ,	основание	которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в ) равносторонний треугольник со стороной 5 см .
Закрасьте видимые боковые грани одним цветом , а видимое	основание	другим .
Если	основанием	прямой призмы служит правильный многоугольник , то и призму называют правильной призмой .
Такую призму можно получить , например , если разрезать параллелепипед ,	основанием	которого является квадрат .
На рисунке изображена развёртка треугольной призмы ,	основанием	которой является прямоугольный равнобедренный треугольник .
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является	основанием	? .
Если вы перегнёте его так , чтобы совпали вершины при	основании	, то линия сгиба и будет его осью симметрии .
Сколько вершин в каждом	основании	этой призмы ?
На изображена пирамида , в	основании	которой квадрат .
У него , как и у пирамиды , есть вершина и основание , только в	основании	лежит не многоугольник , а круг .
Рёбра , соединяющие вершины	оснований	, называют боковыми рёбрами призмы .
Отрезок , соединяющий центры	оснований	, перпендикулярен каждому из них .
Шар помещён в цилиндр так , что он касается и его боковой поверхности , и	оснований	.
Поверхность цилиндра состоит из двух	оснований	и боковой поверхности , которую ещё называют цилиндрической .
Плоскость , параллельная	основанию	конуса , рассекла его на две части .
Она проходит через середину основания , перпендикулярна ему и делит противолежащий	основанию	угол пополам .
Перпендикуляр , проведённый из вершины конуса к плоскости	основания	, попадает в центр круга .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего	основания	на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
в ) от вершины К до диагонали	основания	АС ? .
Чему равен радиус	основания	цилиндра ? .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной призмы , все рёбра которой равны 10 см ; б ) правильной пятиугольной призмы , боковое ребро которой равно 8 см , ребро	основания	— 5 см ? .
а ) от вершины К до	основания	ABCD . б ) между рёбрами AD и ВС , АВ и CD .
Запишите формулу для вычисления длины I проволоки , которая потребуется на изготовление каркаса правильной n - угольной призмы с боковым ребром , равным а см , и ребром	основания	, равным b см .
Она проходит через середину	основания	, перпендикулярна ему и делит противолежащий основанию угол пополам .
Называют призму по числу сторон	основания	.
Боковое ребро параллелепипеда равно а см , ребро	основания	равно b см. Запишите формулу для вычисления : а ) длины l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса ; б ) площади S поверхности параллелепипеда .
Среди граней призмы различают	основания	( их два ) и боковые грани .
Радиус	основания	цилиндра равен 5 см. Чему равен диаметр шара ?
На рисунке поверхность цилиндра рассекается плоскостью , которая параллельна его	основаниям	.
Все боковые рёбра прямой призмы равны , параллельны и перпендикулярны	основаниям	.
В первый час он прошёл 40 всего пути , во второй час — 50	остатка	.
Сколько классов содержит разбиение множества натуральных чисел по	остаткам	от деления на 4 ?
Можно указать и другие разбиения множества N , например по	остаткам	от деления на 3 .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в	остатке	1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в	остатке	2 .
После этого продолжали деление до тех пор , пока не получили в	остатке	нуль .
Новым в этом примере оказалось то , что , когда все цифры делимого были снесены , нуль в	остатке	не получился .
Заметим , что в подобных случаях нуль можно приписывать не к делимому , а непосредственно к	остатку	.
Вы видите , что в процессе деления всё время повторяется один и тот же	остаток	— число 2 .
Если одну пару вертикальных углов составляют	острые	углы , то другую — тупые .
Если одну пару вертикальных углов составляют	острые углы	, то другую — тупые .
Пусть , например , каждый из	острых	углов равен 30 ° , тогда каждый из тупых углов равен 180 ° - 30 ° = 150 ° .
Пусть , например , каждый из	острых углов	равен 30 ° , тогда каждый из тупых углов равен 180 ° - 30 ° = 150 ° .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 :	отложим	от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ;	отложим	от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О	отложите	отрезок , равный отрезку ОА Точка В симметрична точке А относительно точки О .
на одной стороне угла	отложите	отрезок , равный 3 см , а на другой — равный 5 см .
На одной из прямых	отложите	циркулем равные отрезки ОА и ОС , а на другой — равные отрезки ОВ и OD .
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо	отложить	отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от нуля .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо	отложить	влево от нуля отрезок , равный 5,2 единицы , получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо	отложить	вправо от нуля отрезки , длины которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Число мальчиков	относилось	к числу девочек как , причём мальчиков было на 10 больше , чем девочек .
В школьном хоре число пятиклассников	относится	к числу шестиклассников как .
Он	относится	к искусственным языкам , которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой .
Оно	относится	к числам новой природы , с которыми вы познакомитесь в старших классах .
Число 0 занимает , как всегда , особое положение : оно не	относится	ни к положительным , ни к отрицательным числам , а как бы разделяет их .
Иногда отношение оставляют « невычисленным » и говорят : « Число лыжников прошлого года	относится	к числу лыжников этого года как 75 к 25 » , при этом для записи отношения используют двоеточие .
Число красных карандашей	относится	к числу синих как .
30 кг относятся к 1 т как ; 2 ) 1,2 ч относятся к 24 мин как ; 3 ) 20 см	относятся	к 2 м как .
Прежде всего к ним	относятся	цифры 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 .
30 кг относятся к 1 т как ; 2 ) 1,2 ч	относятся	к 24 мин как ; 3 ) 20 см относятся к 2 м как .
30 кг	относятся	к 1 т как ; 2 ) 1,2 ч относятся к 24 мин как ; 3 ) 20 см относятся к 2 м как .
Сплав состоит из меди и цинка , массы которых	относятся	как В сплаве 1 кг 350 г меди .
Правила конструирования математических выражений	относятся	к синтаксису математического языка .
К параллелограммам	относятся	и такие хорошо вам знакомые фигуры , как прямоугольник и квадрат .
Дайте словесное описание каждого класса и приведите примеры	относящихся	к нему чисел .
Приведите свои примеры чисел ,	относящихся	к каждому классу .
Что показывает	отношение	.
Найдите	отношение	числа правильных ответов к числу всех присланных ответов .
Найдите	отношение	числа учащихся , занимающихся в музыкальной школе , к числу всех учащихся класса .
найдём	отношение	160 р .
Найдите	отношение	площадей квадратов ABCD и KMLN .
Объясните , как найти	отношение	90 мин к 2 ч , и найдите его .
Объясните , что показывает это	отношение	.
Находя	отношение	двух чисел , мы узнаём , во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого .
В таких случаях иногда удобно выражать полученное	отношение	в процентах .
Чтобы узнать , какая часть избирателей посёлка Славино приняла участие в голосовании , надо найти	отношение	189 к 350 .
Обозначим длину окружности буквой С , а диаметр буквой d. Так как	отношение	длины окружности к диаметру равно π , то можно записать .
Чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо разделить первое число на второе и выразить полученное	отношение	в процентах .
Рассмотрим несколько задач , в которых требуется выразить в процентах	отношение	двух величин .
Так как	отношение	длины окружности к диаметру равно π , то можно .
Сначала найдём	отношение	80 м к 50 м .
Найдите	отношение	длины окружности к длине диаметра .
Число , выражающее	отношение	длины окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π — первой буквой слова « периферия » ( греч .
Замените данное	отношение	равным ему отношением целых чисел .
Какое из следующих отношений означает	отношение	количества вылитого молока к оставшемуся ? .
Так , например ,	отношение	10 м к 15 см равно не 10:15 или 2:3 , а 200:3 .
Заменим	отношение	равным ему отношением целых чисел .
Иногда	отношение	оставляют « невычисленным » и говорят : « Число лыжников прошлого года относится к числу лыжников этого года как 75 к 25 » , при этом для записи отношения используют двоеточие .
Что такое	отношение	.
д. , то их	отношение	выражается числом .
В задачах , а также в практической деятельности часто приходится находить	отношение	величин .
Начертите какой - нибудь прямоугольник ,	отношение	сторон которого равно .
Объясните , в чём ошибка , и запишите	отношение	правильно .
В этих случаях вместо слова « частное » употребляют термин «	отношение	» .
Используя термин «	отношение	» , в первом случае можно было сказать : отношение числа участников лыжного забега этого года к числу участников прошлого года равно 3 .
Найдите	отношение	.
а )	отношение	числа финалистов к числу участников конкурса равно .
	Отношение	числа забитых шайб к числу бросков по воротам равно .
Например , или 75:25 ( читают :	отношение	семидесяти пяти к двадцати пяти ) .
Ответьте на вопрос задачи , составив и вычислив соответствующее	отношение	.
Сформулируйте утверждение иначе , используя слово «	отношение	» : а ) каждый тридцатый школьник — рыжий ; б ) каждый восьмой из пропустивших уроки — прогульщик .
а ) Вычислите	отношение	числа солнечных дней к числу дождливых дней и обратное отношение .
Иными словами ,	отношение	двух чисел — это другое название их частного .
Если же находят	отношение	разноимённых величин , то получают новую величину .
Упростим это	отношение	.
Чему равно	отношение	стоимости карандаша к стоимости ручки ? .
Золотое сечение - это	отношение	длин отрезков , примерно равное 5:3 .
Прочитайте	отношение	и вычислите его .
В результате опроса , проведённого в школе , выяснилось , что	отношение	числа школьников , не умеющих плавать , к общему числу учащихся школы равно .
Так , фасад древнегреческого храма Парфенона вписывается в прямоугольник ,	отношение	сторон которого равно золотому сечению .
Запишите обратное	отношение	.
Чему равно	отношение	стоимости ручки к стоимости карандаша ?
На плане : 2 см ; на местности . 2 ) Составьте	отношение	расстояния на плане к соответствующему расстоянию на местности и упростите его .
а ) Вычислите отношение числа солнечных дней к числу дождливых дней и обратное	отношение	.
Масштабом называют	отношение	длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности .
21 Что такое	отношение	.
Упростите	отношение	.
Так ,	отношение	пути ко времени — это скорость .
Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же число , не равное нулю , то получится	отношение	, равное данному .
Используя термин « отношение » , в первом случае можно было сказать :	отношение	числа участников лыжного забега этого года к числу участников прошлого года равно 3 .
Что показывает	отношение	двух чисел ? .
В каком случае применяют термин «	отношение	» .
Объясните , как найти	отношение	40 см к 25 м , и найдите его .
В жизни нам часто приходится делить ту или иную величину на части ,	отношение	которых равно заданному отношению .
Что называют	отношением	.
Что называют	отношением	двух чисел .
а ) Что называют	отношением	?
Заменим отношение равным ему	отношением	целых чисел .
Замените данное отношение равным ему	отношением	целых чисел .
Так же как и в случае частного ,	отношением	называют и значение выражения , и само выражение .
а у боксёра В —	отношением	.
Какая величина является	отношением	пути ко времени ?
Что называют	отношением	двух чисел ?
Доля побед у боксёра А выражается	отношением	.
Он разделил между ними пакет с кормом в	отношении	, равном отношению их масс .
Время на уроки и перемены распределяется в	отношении	.
Это время распределяется между алгеброй и геометрией в	отношении	.
Как разделить величину в заданном	отношении	.
а ) При выборе президента школьного совета голоса между двумя кандидатами распределились в	отношении	.
Таким образом , надо разделить 35 билетов в	отношении	, т .
в	отношении	54 к 72 .
В его коллекции марки по темам « Авиация » и « Автомобили » распределяются в	отношении	.
Слово « масштаб » употребляется не только в связи с картой , но и более широко — во всех случаях , когда речь идёт о копии какого - либо объекта , выполненной с уменьшением или увеличением размеров в одном и том же	отношении	, — о чертеже , плане , макете и др .
Деление в данном	отношении	.
Учитель разложил весь имеющийся мел в две коробки в	отношении	.
В таких случаях говорят : разделить величину в данном	отношении	.
Решили , что будет справедливо разделить билеты между пятыми и шестыми классами в том же	отношении	, в котором находится число пятиклассников к числу шестиклассников , т .
Это означает , что размеры изображения или макета уменьшены по сравнению с самим объектом в одном и том же	отношении	.
Мир	отношений	широк и разнообразен .
Объясните , что показывает каждое из этих	отношений	.
Напишите несколько	отношений	, равных .
Что показывает каждое из	отношений	?
Замените каждое из данных	отношений	равным , записанным меньшими числами .
Какое из следующих	отношений	означает отношение количества вылитого молока к оставшемуся ? .
Найдите каждое из	отношений	.
два целых числа , можно представить , как они расположены по	отношению	друг к другу на координатной прямой : какое из них находится правее , а какое — левее .
Радиусы двух окружностей равны 7 см и 11 см , а расстояние между их центрами — 19 см. Как расположены окружности по	отношению	друг к другу ? .
В жизни нам часто приходится делить ту или иную величину на части , отношение которых равно заданному	отношению	.
Он разделил между ними пакет с кормом в отношении , равном	отношению	их масс .
А вот математика изучает	отношения	чисел , отношения величин .
Выражение	отношения	в процентах .
При вычислении	отношения	в таких случаях важно следить за тем , чтобы величины были выражены в одних и тех же единицах .
Иногда приходится даже выяснять	отношения	.
Чем различаются	отношения	одноимённых и разноимённых величин .
Примером практического применения	отношения	величин , который известен вам из уроков природоведения , географии , является масштаб .
Составьте по данному условию два	отношения	.
Сначала избавимся от дробей , умножив оба члена	отношения	на 10 , а затем разделим оба члена нового отношения на их общий делитель .
Сначала избавимся от дробей , умножив оба члена отношения на 10 , а затем разделим оба члена нового	отношения	на их общий делитель .
А вот математика изучает отношения чисел ,	отношения	величин .
У каждого из вас свои	отношения	с друзьями , с родителями , с учителями .
Масштаб обычно записывают в виде	отношения	( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Как вам известно , один из способов сравнения чисел или величин заключается в нахождении их	отношения	.
25 Выражение	отношения	в процентах .
Если умножить или разделить оба члена	отношения	на одно и то же число , не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
Составьте и вычислите ещё какие - нибудь	отношения	, используя условие задачи .
Иногда отношение оставляют « невычисленным » и говорят : « Число лыжников прошлого года относится к числу лыжников этого года как 75 к 25 » , при этом для записи	отношения	используют двоеточие .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых составляют 80 % , 150 % , 200 % , 220 % длины	отрезка	АВ .
Объединение	отрезка	KL и луча LM есть луч КМ .
Как надо провести прямую , пересекающую окружность , чтобы длина	отрезка	, соединяющего точки пересечения , была наибольшей ? .
Чему равна длина	отрезка	, который на 10 м длиннее данного ?
Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего	отрезка	на местности .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть единичного	отрезка	, которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Получим сотые доли единичного	отрезка	.
Заметьте : если точки А и Б симметричны относительно некоторой точки О , то точка О является серединой	отрезка	АВ .
Затем отсчитаем от точки 0,36 четыре тысячные доли единичного	отрезка	.
Даны три	отрезка	.
Масштабом называют отношение длины	отрезка	на карте к длине соответствующего отрезка на местности .
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого	отрезка	, соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
Длина	отрезка	равна с м .
Построение точки , равноудаленной от концов	отрезка	.
Найдите длину	отрезка	, если его длины равны м . а )
На плане это точка М. Длина	отрезка	AM и есть расстояние от дома лесника до озера .
Эти примеры показывают , что не любые три	отрезка	могут быть сторонами треугольника .
Как найти точку , равноудалённую от концов	отрезка	.
Возникает вопрос : в каком случае три	отрезка	могут быть сторонами треугольника , а в каком нет ?
Каждый раз при этом мы будем получать две точки , равноудалённые от концов	отрезка	.
Длина	отрезка	ΜΝ будет одной и той же , в каком бы месте ни был проведён перпендикуляр с.
Возьмём отрезок MN и проведём две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в точках М и N. ( Чтобы эти окружности пересеклись , радиус каждой из них должен быть больше половины	отрезка	MN . )
Середина	отрезка	одинаково удалена от его концов .
Найти точки , равноудалённые от концов	отрезка	, нам помогут две окружности .
Даны четыре	отрезка	длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков ? .
Длине какого	отрезка	равно расстояние .
Разрежем параллелограмм вдоль	отрезка	, перпендикулярного двум параллельным сторонам , и переложим отрезанный треугольник , как показано .
Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю единичного	отрезка	, которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
Длину этого	отрезка	и называют расстоянием между параллельными прямыми .
Представьте , что параллелограмм разрезали вдоль красного	отрезка	и из получившихся частей сложили прямоугольник .
На рисунке точки пересечения окружностей обозначены буквами А и В. Точка А находится на одном и том же расстоянии от концов	отрезка	( оно равно радиусу окружности ) .
Построить правильный многоугольник можно так : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления	отрезками	.
Соедините последовательно точки А , В , С и D	отрезками	.
И другой такой точки на	отрезке	нет .
Откладывая последовательно единичные	отрезки	вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых чисел .
На одной из прямых отложите циркулем равные	отрезки	ОА и ОС , а на другой — равные отрезки ОВ и OD .
Кроме того , при повороте	отрезки	ОА и ОС , а также ОВ и OD поменялись местами .
На одной из прямых отложите циркулем равные отрезки ОА и ОС , а на другой — равные	отрезки	ОВ и OD .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от нуля	отрезки	, длины которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить	отрезки	с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от нуля .
Обозначьте одну из них буквой В и проведите	отрезки	АВ и ВС .
Какие	отрезки	вы бы назвали параллельными ? .
Отметьте равные	отрезки	и равные углы .
Известно , что пройденный путь равен произведению скорости и времени движения ( при условии , что за равные промежутки времени будут пройдены одинаковые	отрезки	пути ) .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите	отрезки	, длины которых составляют 80 % , 150 % , 200 % , 220 % длины отрезка АВ .
Единичные	отрезки	на обеих осях , как правило , одинаковы .
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих	отрезков	? .
Из любых ли трёх	отрезков	можно построить треугольник ?
Золотое сечение - это отношение длин	отрезков	, примерно равное 5:3 .
Математики Древней Греции обнаружили , что для измерения длин	отрезков	не хватает даже дробных чисел .
Из проведённых построений понятно , что из трёх	отрезков	можно построить треугольник , если каждый из этих отрезков меньше суммы двух других .
Из проведённых построений понятно , что из трёх отрезков можно построить треугольник , если каждый из этих	отрезков	меньше суммы двух других .
соедините концы	отрезков	.
Какой из этих	отрезков	самый короткий ? .
Сколько всего получилось	отрезков	?
Через точку А проведена прямая , параллельная I. Какие из	отрезков	ВС , CD и DB эта прямая пересекает , а какие нет ? .
б ) Какой из	отрезков	самый длинный : ребро куба ВС , диагональ грани АВ или диагональ куба АС ?
Диаметр шара равен 10 см. Какие из изображённых на	отрезков	равны 5 см ? .
Центры окружностей соединены	отрезком	.
Каждые две точки соедините	отрезком	.
На чертеже , выполненном в некотором масштабе , она равна 25 см. Чему равна длина фасада этого дома , если на чертеже она изображается	отрезком	, равным 35 см ? .
а ) Начертите координатную прямую с единичным	отрезком	, равным 6 клеткам .
	Отрезку	АО ?
	Отрезку	БС ?
Назовите : а ) вершину многоугольника , симметричную вершине В . б ) сторону , симметричную стороне KN ; в ) отрезок , симметричный	отрезку	ВС ; г ) равные стороны многоугольника .
На прямой , перпендикулярной	отрезку	MN и проходящей через его середину .
	Отрезку	CN ?
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О отложите отрезок , равный	отрезку	ОА Точка В симметрична точке А относительно точки О .
Прямая BD перпендикулярна	отрезку	АС и делит его пополам .
Какой отрезок симметричен	отрезку	AD ?
	Отрезку	DB ?
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую т . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т . б ) Начертите отрезок , пересекающий прямую т , и постройте	отрезок	, симметричный ему относительно прямой т .
Начертите	отрезок	, равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначьте его концы — две вершины будущего треугольника — буквами А и С .
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О отложите	отрезок	, равный отрезку ОА Точка В симметрична точке А относительно точки О .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо	отрезок	длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
На самом деле достаточно проверить , что наибольший	отрезок	меньше суммы двух других .
Начертим координатную прямую и выберем такой единичный	отрезок	, который удобно делить на 10 равных частей .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево	отрезок	такой же длины , получим точку – 3,5 .
на одной стороне угла отложите	отрезок	, равный 3 см , а на другой — равный 5 см .
Какой	отрезок	симметричен отрезку AD ?
а ) Чтобы построить точку , соответствующую числу 0,3 , разделим	отрезок	между точками 0 и 1 на 10 равных частей и отсчитаем от точки 0 три такие части .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую т . а ) Начертите	отрезок	, не пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т . б ) Начертите отрезок , пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т .
Начертите координатную прямую , взяв за единичный	отрезок	10 клеток .
Назовите : а ) вершину многоугольника , симметричную вершине В . б ) сторону , симметричную стороне KN ; в )	отрезок	, симметричный отрезку ВС ; г ) равные стороны многоугольника .
Начертите координатную прямую ( единичный	отрезок	— 2 клетки ) и отметьте на ней числа .
Возьмём	отрезок	MN и проведём две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в точках М и N. ( Чтобы эти окружности пересеклись , радиус каждой из них должен быть больше половины отрезка MN . )
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что	отрезок	АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
Начертите	отрезок	АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых составляют 80 % , 150 % , 200 % , 220 % длины отрезка АВ .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую т . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую т , и постройте	отрезок	, симметричный ему относительно прямой т . б ) Начертите отрезок , пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т .
Самый короткий путь из точки А в точку В —	отрезок	АВ .
Начертите	отрезок	.
Отметьте	отрезок	АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
Начертите координатную прямую , приняв за единичный	отрезок	8 клеток .
Перенесите развёртку на лист плотной бумаги , увеличив каждый	отрезок	в 3 раза .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую т . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т . б ) Начертите	отрезок	, пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т .
Начертите координатную прямую , приняв за единичный	отрезок	10 клеток .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от нуля	отрезок	, равный 5,2 единицы , получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
Начертите	отрезок	АВ .
Сумма двух отрицательных чисел	отрицательна	, поэтому сначала запишем знак « минус » , а затем сложим .
У отрицательного слагаемого модуль больше , поэтому сумма	отрицательна	; чтобы найти её модуль , вычтем 0,3 из 0,7 .
Сумма двух положительных чисел положительна , а сумма двух отрицательных чисел	отрицательна	.
Сначала надо определить знак суммы — она будет	отрицательна	, а затем сложить 5 и 9 , т .
Получить модуль	отрицательного	числа тоже легко — достаточно просто отбросить знак « минус » .
	Отрицательного	числа ?
У	отрицательного	слагаемого модуль больше , поэтому сумма отрицательна ; чтобы найти её модуль , вычтем 0,3 из 0,7 .
Любое положительное число любого	отрицательного	числа .
Модуль	отрицательного	числа равен числу , ему противоположному .
х — положительное число , у —	отрицательное	.
х —	отрицательное	число , у — положительное .
Любое	отрицательное	число нуля .
Любое положительное число в ряду целых чисел расположено правее нуля , а любое	отрицательное	— левее нуля .
Любое	отрицательное	число меньше нуля .
Если а —	отрицательное	число , то .
Поэтому предложения « а — положительное число » и « а —	отрицательное	число » на математическом языке записывают в виде неравенств .
	Отрицательное	или нуль ?
а ) Определите , какое из этих чисел положительное и какое	отрицательное	.
Поэтому утверждения « а —	отрицательное	число » и означают одно и то же .
Верно и обратное : если , то оно	отрицательное	.
если b —	отрицательное	число , то – b .
одно число	отрицательное	, а другое положительное ? .
Любое	отрицательное	число меньше любого положительного числа .
Верно ли утверждение : а ) а — число положительное ; б ) – а — число	отрицательное	? .
Знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или	отрицательное	.
Для того чтобы записать число , противоположное отрицательному , мы заключаем это	отрицательное	число в скобки .
положительное или	отрицательное	? .
Натуральное число и	отрицательное	число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
Сначала мы подставили вместо букв указанные числа , заключив при этом	отрицательное	число в скобки .
а ) – 5 —	отрицательное	число .
	Отрицательное	или 0 ?
	Отрицательное	или 0 ? .
Таким же образом изображается на координатной прямой любое положительное или	отрицательное	число .
а ) 3 и – 8 ; в ) – 1 и – 10 ; д ) 4 и 0 . б ) – 8 и 8 ; г ) – 6 и 0 ; е ) – 9 и – 2 . а ) Какое из двух целых чисел больше : положительное или	отрицательное	?
Обратите внимание : подставляя	отрицательное	число , мы заключаем его в скобки .
положительные числа записывают без знака « + » , а	отрицательное	число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Для того чтобы записать число , противоположное	отрицательному	, мы заключаем это отрицательное число в скобки .
Каждое из них равно	отрицательному	числу .
Этот знак мы будем использовать и для обозначения числа , противоположного	отрицательному	.
Например , если убыток фирмы составил 1,5 млн р . , то его удобно показать как	отрицательную	прибыль : – 1,5 млн р .
Поэтому о двух целых числах можно сказать , что это числа одного знака , если они оба положительны или оба	отрицательны	.
в ) все три числа	отрицательны	? .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх чисел , если : а ) два числа	отрицательны	, одно положительно ; б ) одно число отрицательно и два положительны .
Среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 найдите : а ) целые положительные числа ; б ) целые	отрицательные	числа .
Положительные целые числа расположены справа от нуля ,	отрицательные	— слева .
Положительные и	отрицательные	числа .
Остаётся сообразить , как перемножить	отрицательные	числа -5 и -3 .
Известно , что а и b —	отрицательные	целые числа , причём .
3 ) целые числа ; 2 ) отрицательные числа ; 4 ) дробные	отрицательные	числа .
3 ) целые числа ; 2 )	отрицательные	числа ; 4 ) дробные отрицательные числа .
, разгневавшись на учёных , описавших в своих трудах	отрицательные	числа , велел все их рукописи сжечь , а самих авторов , а заодно и их читателей казнить .
Представьте число 120 в виде произведения нескольких множителей , среди которых есть	отрицательные	.
Вычислите , сложив отдельно положительные и	отрицательные	числа .
Натуральные числа 1 , 2 , 3 , ,	отрицательные	числа – 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином — целые числа .
мы будем рассматривать	отрицательные	числа , каждое из которых получается приписыванием к соответствующему натуральному числу знака « минус » .
А можно сначала сгруппировать	отрицательные	слагаемые .
х и у —	отрицательные	числа .
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче — положительные , на левом —	отрицательные	.
Запишите все	отрицательные	целые числа , которые .
Положительные и	отрицательные	целые числа .
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности положительные и	отрицательные	слагаемые , а затем найти сумму двух получившихся чисел .
Зачем нужны	отрицательные	числа .
На примере числа -5 расскажите , как целые	отрицательные	числа изображают точками на координатной прямой .
Натуральные числа , противоположные им	отрицательные	числа и число 0 составляют множество целых чисел .
Для выражения величин , которые могут изменяться в двух противоположных направлениях , людям потребовались	отрицательные	числа , т .
а ) оба числа	отрицательные	.
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и	отрицательные	дробные числа .
широко использовал	отрицательные	числа - за много столетий до того , как они пришли в Европу .
целые положительные числа ) , а на левом —	отрицательные	.
Знака « минус » тогда не было , а чтобы различать положительные и	отрицательные	числа , Джань Цань писал их чернилами разных цветов .
Из примера с подсчётом денег легко понять , как складываются	отрицательные	числа .
Найдите среди них : положительные ,	отрицательные	, целые , натуральные , отрицательные дробные числа .
Математики древности ( например , древнегреческий математик Диофант , живший в III в . , индийский математик Брахмагупта , живший в VII в . , арабский математик Абу - ль - Вефа , живший в X в . ) называли	отрицательные	числа словами , означавшими « долг » , « недостаток » , в отличие от « имущества » — положительного числа .
Найдите среди них : положительные , отрицательные , целые , натуральные ,	отрицательные	дробные числа .
Отрицательные дробные числа , так же как и	отрицательные	целые , получаются приписыванием к положительному числу знака « – » .
Или если популярность политического деятеля упала на 8,5 % , то этот «	отрицательный	рост » можно записать так : – 8,5 % .
Если же человек получил денег меньше , чем ему надо потратить , то его доход выражается	отрицательным	числом .
Если перед некоторым числом , положительным или	отрицательным	, поставить знак « + » , то получится то же самое число .
Каким числом — положительным или	отрицательным	— является произведение трёх чисел , если : а ) два числа отрицательны , одно положительно ; б ) одно число отрицательно и два положительны .
Верно ли , что любое целое число является либо положительным , либо	отрицательным	? .
Сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным числом , так и	отрицательным	.
Положительным или	отрицательным	является частное .
Число 0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к положительным , ни к	отрицательным	числам , а как бы разделяет их .
Как определить , каким числом - положительным или	отрицательным	— является сумма двух целых чисел разных знаков ?
Определите модуль какого из чисел , а или b , больше ; 2 ) положительным или	отрицательным	является значение выражения .
Для выражения величины	отрицательным	числом вводят некоторую начальную , нулевую отметку ; например , при измерении температуры за начало отсчёта принимается температура замерзания воды ( при нормальном атмосферном давлении ) , а при измерении глубины морей — уровень Мирового океана .
При этом израсходованные суммы денег будем обозначать	отрицательными	числами .
Однако в жизни вы уже наверняка встречались и с другими числами —	отрицательными	.
Какие из чисел – 7 , +4 , 12 , – 18 , 0 , 3 являются : а ) положительными ; б )	отрицательными	? .
Древнекитайский математик Джань Цань правило сложения	отрицательных	чисел формулировал так : « Если к одному долгу прибавить другой долг , то в результате получится долг , а не имущество » .
Из двух	отрицательных	чисел больше то , у которого модуль ...
двух	отрицательных	целых чисел ?
Примеры использования	отрицательных	чисел в жизни .
Вы видите , что при записи	отрицательных	дробей « – » можно ставить перед дробью , вносить его в числитель или в знаменатель .
Чтобы разработать современное толкование	отрицательных	чисел , понадобились усилия многих учёных на протяжении 18 веков от Джань Цаня до Декарта .
Запишите : а ) пять отрицательных дробей со знаменателем 3 ; б ) пять	отрицательных	десятичных дробей с одним знаком после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
великий учёный , математик и механик Леонард Эйлер , работавший в России , объяснял правило умножения	отрицательных	чисел примерно следующим образом .
Приведите примеры целых чисел , целых	отрицательных	чисел , дробных положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
Самым « таинственным » во всей теории	отрицательных	чисел было правило « минус на минус даёт плюс » .
Сумма двух положительных чисел положительна , а сумма двух	отрицательных	чисел отрицательна .
Например , на рисунке 10.6 вы видите координатную прямую , на которой отмечено несколько положительных и	отрицательных	чисел .
В настоящее время обозначение	отрицательных	чисел с помощью знака « минус » принято везде .
Знак « – » употребляется не только для записи	отрицательных	чисел , но и для обозначения противоположного числа .
Заменим число 0,9 на противоположное число ( – 0,9 ) и выполним сложение , воспользовавшись правилом сложения	отрицательных	чисел .
Приведите примеры целых чисел , целых отрицательных чисел , дробных положительных чисел , дробных	отрицательных	чисел .
Сначала мы нашли отдельно сумму	отрицательных	и сумму положительных слагаемых , а затем сумму двух получившихся чисел .
Сумма двух	отрицательных	чисел отрицательна , поэтому сначала запишем знак « минус » , а затем сложим .
Сформулируйте правило сложения	отрицательных	чисел .
Запись суммы положительных и	отрицательных	чисел часто упрощают .
Представьте в виде суммы двух	отрицательных	слагаемых число .
Пусть требуется сложить два	отрицательных	числа , например – 5 и – 9 .
Поэтому , « открывая » правило умножения	отрицательных	чисел , можно было бы рассуждать так .
Благодаря введению	отрицательных	чисел мы получили возможность вычитать из меньшего числа большее .
Используя понятие модуля числа , сформулируем правила умножения положительных и	отрицательных	чисел .
Какие существуют способы записи	отрицательных	дробей .
Чтобы выяснить , какое из двух	отрицательных	чисел – 5,8 и – 4 меньше , мы сравнили положительные числа 5,8 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих точек координатной прямой .
Используя термин « модуль » , можно рассмотренный выше способ сравнения	отрицательных	чисел сформулировать в виде правила .
Из двух	отрицательных	чисел меньше то , у которого модуль больше .
Для сравнения двух	отрицательных	чисел также обратимся к координатной прямой .
Запишите : а ) пять	отрицательных	дробей со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных десятичных дробей с одним знаком после запятой ; в ) пять чисел , расположенных между числами – 1 и 0 .
Перед положительными числами , для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от	отрицательных	, иногда ставится знак « + » .
Правила сложения	отрицательных	чисел .
Сформулируйте правило сравнения двух	отрицательных	чисел .
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют дробные числа , так и , кроме	отрицательных	целых чисел , существуют и отрицательные дробные числа .
Приведите примеры использования положительных и	отрицательных	чисел в жизни .
Современное обозначение положительных и	отрицательных	чисел знаками « + » и « – » было введено только в конце XV в .
Подсчитайте итоги денежных операций и запишите результат с помощью положительных и	отрицательных	чисел .
Такую призму можно получить , например , если разрезать	параллелепипед	, основанием которого является квадрат .
Цилиндр помещён в	параллелепипед	так , что касается всех его граней .
вам представитель семейства призм —	параллелепипед	.
На изображён	параллелепипед	.
Какая фигура может получиться в сечении , если плоскостью симметрии рассечь : а )	параллелепипед	; б ) цилиндр ; в ) конус ? .
Выразите длину какого - либо ребра	параллелепипеда	через его объём и длины двух других рёбер .
Основанием	параллелепипеда	является квадрат .
Объём	параллелепипеда	, как известно , равен произведению трёх его измерений .
Боковое ребро	параллелепипеда	равно а см , ребро основания равно b см. Запишите формулу для вычисления : а ) длины l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса ; б ) площади S поверхности параллелепипеда .
Формулы периметра треугольника , периметра и площади прямоугольника , объёма	параллелепипеда	.
Вычислите длину третьего ребра	параллелепипеда	, если .
а ) от вершины В до передней грани	параллелепипеда	; до его нижней грани .
Пусть а , Ь , с — измерения	параллелепипеда	.
Составим формулу объёма прямоугольного	параллелепипеда	.
Воспользовавшись формулой объёма	параллелепипеда	, выполните следующие задания .
Например , у	параллелепипеда	, имеющего различные длину , ширину и высоту , три плоскости симметрии .
Обозначим объём	параллелепипеда	буквой V , а длину , ширину и высоту буквами а , b и с. Получим формулу .
Боковое ребро параллелепипеда равно а см , ребро основания равно b см. Запишите формулу для вычисления : а ) длины l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса ; б ) площади S поверхности	параллелепипеда	.
Его называют прямоугольным	параллелепипедом	: все его грани являются прямоугольниками .
Когда	параллели	приближаются к полюсам , их диаметры уменьшаются .
Вспомните	параллели	и меридианы , нанесённые на глобус .
Постройте	параллелограмм	, измерьте его стороны и углы .
Чтобы убедиться в этом , наложите на	параллелограмм	кальку , проколите её в точке пересечения диагоналей булавкой , переведите параллелограмм на кальку и поверните кальку на 180 .
Какими свойствами обладает	параллелограмм	.
Чтобы убедиться в этом , наложите на параллелограмм кальку , проколите её в точке пересечения диагоналей булавкой , переведите	параллелограмм	на кальку и поверните кальку на 180 .
Слово «	параллелограмм	» - греческого происхождения , в переводе оно означает « изображающийся параллельными » .
Четырёхугольник ABCD — не	параллелограмм	, но у него есть одна пара параллельных сторон и одна пара равных сторон .
Постройте какой - нибудь	параллелограмм	: а ) со сторонами , равными 3 см и 4 см ; б ) с диагоналями , равными 5 см и 4 см .
Постройте	параллелограмм	, диагонали которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под углом 30 .
Четырёхугольник ABCD —	параллелограмм	.
Такой четырёхугольник имеет специальное название —	параллелограмм	.
б ) Вырежьте из бумаги	параллелограмм	и перекроите его в прямоугольник .
Значит , диагональ делит	параллелограмм	на два равных треугольника .
Постройте	параллелограмм	по заданным сторонам и диагонали .
а ) Перенесите рисунок в тетрадь и покажите , как	параллелограмм	можно перекроить в прямоугольник .
Разрежем	параллелограмм	вдоль отрезка , перпендикулярного двум параллельным сторонам , и переложим отрезанный треугольник , как показано .
Представьте , что	параллелограмм	разрезали вдоль красного отрезка и из получившихся частей сложили прямоугольник .
Начертите в тетради , используя свойства клетчатой бумаги , какой - нибудь	параллелограмм	.
Назовите известные вам свойства	параллелограмма	.
Точки А , В и С — вершины	параллелограмма	.
Проведя необходимые измерения , найдите площадь	параллелограмма	.
Составьте формулу для вычисления площади S	параллелограмма	.
Используем этот приём , чтобы найти площадь	параллелограмма	.
Центр симметрии	параллелограмма	— точка пересечения его диагоналей .
Треугольник легко достроить до	параллелограмма	, проведя прямые , параллельные двум его сторонам .
Как путём перекраивания можно найти площади	параллелограмма	и треугольника .
Вычислите периметр	параллелограмма	со сторонами 9,4 см и 5,7 см. Обозначьте стороны параллелограмма буквами и составьте формулу для вычисления периметра параллелограмма .
Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см. Обозначьте стороны	параллелограмма	буквами и составьте формулу для вычисления периметра параллелограмма .
Площади	параллелограмма	и треугольника .
На рисунке показаны способы построения : 1 ) прямоугольника ; 2 ) квадрата ; 3 ) ромба ; 4 )	параллелограмма	.
Вычислите периметр	параллелограмма	со сторонами 10 см и 15 см. Найдите площадь закрашенной фигуры .
Свойства	параллелограмма	.
Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см. Обозначьте стороны параллелограмма буквами и составьте формулу для вычисления периметра	параллелограмма	.
а ) Начертите два разных	параллелограмма	, диагонали которых равны 4 см и 6 см . б )
Таким свойством обладают диагонали только	параллелограмма	.
Чему равна площадь	параллелограмма	? .
Эксперимент с калькой позволяет нам открыть и другие свойства	параллелограмма	.
Например , в результате выполненного поворота противоположные стороны	параллелограмма	« поменялись местами » , значит , противоположные стороны параллелограмма не только параллельны , но и равны .
Например , в результате выполненного поворота противоположные стороны параллелограмма « поменялись местами » , значит , противоположные стороны	параллелограмма	не только параллельны , но и равны .
А как найти площадь	параллелограмма	, вы уже знаете .
Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного	параллелограмма	.
Диагонали ромба , кроме свойств , присущих всем	параллелограммам	, обладают ещё одним : они перпендикулярны друг другу .
К	параллелограммам	относятся и такие хорошо вам знакомые фигуры , как прямоугольник и квадрат .
Виды	параллелограммов	.
У некоторых	параллелограммов	есть свои названия .
Пусть А — множество	параллелограммов	, В — множество прямоугольников , С — множество ромбов .
Какие выделяют виды	параллелограммов	.
Сколько различных	параллелограммов	вам удалось сложить ?
Сколько	параллелограммов	? .
От других	параллелограммов	прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все углы прямые , и все стороны равны .
Какие виды	параллелограммов	вы знаете ? .
Назовите виды	параллелограммов	.
в ) Пусть К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , R — множество	параллелограммов	.
Какой четырёхугольник называют	параллелограммом	?
Какой четырёхугольник называют	параллелограммом	.
Какой четырёхугольник называют	параллелограммом	? .
Самая большая	параллель	— это экватор , его диаметр равен диаметру Земли .
На рисунке поверхность цилиндра рассекается плоскостью , которая	параллельна	его основаниям .
Через точку А проведена прямая ,	параллельная	I. Какие из отрезков ВС , CD и DB эта прямая пересекает , а какие нет ? .
Плоскость ,	параллельная	основанию конуса , рассекла его на две части .
Будем теперь перемещать прямую	параллельно	самой себе , приближая её к центру окружности .
На показан способ построения прямой ,	параллельной	данной , с помощью одного угольника .
Начертите какую - нибудь прямую и постройте с помощью угольника прямую , ей	параллельную	.
Перегибая лист , постройте прямую , ей	параллельную	.
Через точку К проведите прямую ,	параллельную	прямой а .
Пусть дана некоторая прямая и требуется начертить прямую , ей	параллельную	.
Проведите с помощью линейки и угольника через точку А прямую , перпендикулярную прямой к , и прямую ,	параллельную	прямой k .
Рёбра АВ и LM не	параллельны	, хотя прямые , которым они принадлежат , не пересекаются .
Все боковые рёбра прямой призмы равны ,	параллельны	и перпендикулярны основаниям .
Прямые а , Ъ и с	параллельны	.
Его противоположные стороны	параллельны	.
Прямые тип	параллельны	.
Прямые а и Ь , изображённые на ,	параллельны	, записывают это так .
Соответствующие стороны этих многоугольников	параллельны	.
Две прямые на плоскости либо пересекаются , либо	параллельны	.
Например , в результате выполненного поворота противоположные стороны параллелограмма « поменялись местами » , значит , противоположные стороны параллелограмма не только	параллельны	, но и равны .
Воспользуйтесь тем , что прямые , перпендикулярные одной и той же прямой ,	параллельны	.
Прямые а и Ъ	параллельны	.
Какие стороны многоугольника	параллельны	.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой , то они	параллельны	.
Определите на глаз ,	параллельны	ли прямые а и Ъ , и проверьте себя с помощью инструментов .
а ) Начертите в тетради	параллельные	прямые k и l. Постройте прямую , симметричную прямой к относительно прямой l . б )
Постройте касательные к окружности : а ) перпендикулярные проведённой прямой ; б )	параллельные	проведённой прямой .
Это очень важное свойство , характеризующее	параллельные	прямые .
К окружности , радиус которой равен 6 см , проведены две	параллельные	касательные .
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя прямые ,	параллельные	двум его сторонам .
На изображены	параллельные	прямые и проведена прямая , их пересекающая .
Начертите две	параллельные	прямые .
Название «	параллельные	» происходит от греческого слова parallelos , означающего « рядом идущие » .
Назовите рёбра : а )	параллельные	ребру АВ ; ребру DN ; б ) перпендикулярные рёбрам АВ и CD ; LM и ВС .
Начертите две	параллельные	прямые , расстояние между которыми равно 4 см .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре	параллельные	прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм .
Как можно начертить	параллельные	прямые .
На проведены две	параллельные	прямые а и b и прямая с — их общий перпендикуляр .
Строим	параллельные	прямые .
На изображены три	параллельные	прямые .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две	параллельные	прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм .
Разрежем параллелограмм вдоль отрезка , перпендикулярного двум	параллельным	сторонам , и переложим отрезанный треугольник , как показано .
Длину этого отрезка и называют расстоянием между	параллельными	прямыми .
Расстояние между	параллельными	прямыми т и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой т .
е . являются	параллельными	.
Рельсы на прямолинейном участке железнодорожного пути должны быть	параллельными	: они не могут сближаться или удаляться .
О том , какие прямые называют	параллельными	.
Какие отрезки вы бы назвали	параллельными	? .
Параллели — это и есть окружности , получаемые при « разрезании » земного шара	параллельными	плоскостями .
Расскажите , как найти расстояние между двумя	параллельными	прямыми .
Если прямые , лежащие в одной плоскости , не пересекаются , то их называют	параллельными	.
Расстояние между	параллельными	прямыми .
Слово « параллелограмм » - греческого происхождения , в переводе оно означает « изображающийся	параллельными	» .
между двумя	параллельными	прямыми .
В геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой фигуры ( прямой , окружности и др. ) , расстояние между двумя	параллельными	прямыми .
Деревянный куб с ребром 10 см распилили на части вдоль трёх плоскостей ,	параллельных	его граням , как показано на рисунке .
Сколько можно провести касательных к окружности ,	параллельных	некоторой прямой ? .
Приведите примеры	параллельных	и скрещивающихся прямых , которые встречаются в комнате , на улице .
С помощью линейки и угольника постройте несколько прямых ,	параллельных	прямой Ь . б )
На проведены две пары	параллельных	прямых .
Найдите на четыре пары	параллельных	прямых .
Какая из четырёх	параллельных	прямых является касательной к окружности ? .
Четырёхугольник ABCD — не параллелограмм , но у него есть одна пара	параллельных	сторон и одна пара равных сторон .
Эта прямая пересекает каждую из	параллельных	прямых под одним и тем же углом .
Основания цилиндра — это два равных круга , расположенные в	параллельных	плоскостях .
Б. Отрезки , которые лежат на	параллельных	прямых .
На каком свойстве	параллельных	прямых основан этот способ ? .
Основания представляют собой равные многоугольники , расположенные в	параллельных	плоскостях .
Фактически нам пришлось	перемножать	натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных дробей убрать запятые .
Сначала , пользуясь правилами знаков , определяют знак произведения , а затем	перемножают	модули множителей .
Чтобы понять , как	перемножают	целые числа , рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только знаками .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно	перемножить	числители дробей и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Остаётся сообразить , как	перемножить	отрицательные числа -5 и -3 .
Чтобы найти модуль произведения , нужно	перемножить	модули множителей .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и	перемножить	получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Чтобы найти площадь прямоугольника , нужно	перемножить	длины его смежных сторон .
Чтобы	перемножить	десятичную дробь и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Можно ли провести две большие окружности так , чтобы они не	пересекались	? .
Начертите в тетради две равные окружности так , чтобы они : а ) пересекались ; б ) не	пересекались	; в ) касались друг друга .
Начертите в тетради две равные окружности так , чтобы они : а )	пересекались	; б ) не пересекались ; в ) касались друг друга .
Если дальше сближать центры , то окружности сначала будут	пересекаться	, а затем снова коснутся друг друга .
Да и не	пересекаться	окружности могут по - разному , ведь одна окружность может оказаться внутри другой .
Дороги имеют обыкновение	пересекаться	.
а ) Прямые АВ , CD , КМ	пересекаются	в точке О , причём ZLАОМ = 47 ° и ААОС = 32 ° .
Эти плоскости	пересекаются	по прямой .
Рёбра АВ и LM не параллельны , хотя прямые , которым они принадлежат , не	пересекаются	.
В главе 2 мы рассмотрели взаимное расположение двух прямых , и вы узнали , что две прямые на плоскости или	пересекаются	, или не пересекаются , т .
Убедитесь , что окружности	пересекаются	в двух точках .
Если прямые , лежащие в одной плоскости , не	пересекаются	, то их называют параллельными .
А. Отрезки , которые не	пересекаются	.
Две прямые на плоскости либо	пересекаются	, либо параллельны .
Постройте параллелограмм , диагонали которого равны 4 см и 5 см и	пересекаются	под углом 30 .
Две окружности пересекаются , не	пересекаются	или касаются друг друга .
Две окружности	пересекаются	, не пересекаются или касаются друг друга .
Дополните предложение : « Две окружности	пересекаются	, если расстояние между их центрами суммы радиусов окружностей , но разности их радиусов » .
а ) Если две прямые	пересекаются	под прямым углом , то они ... б ) Если две прямые , лежащие в одной плоскости , перпендикулярны одной и той же прямой , то они ...
В главе 2 мы рассмотрели взаимное расположение двух прямых , и вы узнали , что две прямые на плоскости или пересекаются , или не	пересекаются	, т .
Начертите в тетради	пересекающиеся	прямые к и l ( не являющиеся перпендикулярными ) .
Возьмём отрезок MN и проведём две	пересекающиеся	окружности равных радиусов с центрами в точках М и N. ( Чтобы эти окружности пересеклись , радиус каждой из них должен быть больше половины отрезка MN . )
Начертите на глаз на нелинованной бумаге прямые ,	пересекающиеся	под углом : а ) 90 ° ; б ) 45 ° ; в ) 60 ° .
На изображены две	пересекающиеся	прямые а и b и задана величина одного из углов .
Постройте прямые ,	пересекающиеся	под углом 60 ° .
Изображены две	пересекающиеся	прямые .
Проведите две	пересекающиеся	прямые и обозначьте точку их пересечения буквой О .
Нарисуйте в тетради « линзу » , образованную двумя	пересекающимися	окружностями равных радиусов .
Найдите объединение и	пересечение	множеств .
Что такое	пересечение	и объединение множеств .
Найдём	пересечение	и объединение множества натуральных чисел и множества целых чисел .
С термином «	пересечение	» вы не раз встречались при изучении геометрии : например , когда находили общие точки двух прямых , прямой и окружности и т .
Найдите объединение и	пересечение	множества чисел , кратных 5 , и множества чисел , кратных 10 .
Найдите объединение и	пересечение множеств	.
Найдите объединение и	пересечение множества	чисел , кратных 5 , и множества чисел , кратных 10 .
Что называют	пересечением	множеств А и В ?
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б )	пересечением	множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Какое множество называют объединением множеств А и В ?	пересечением	множеств А и В ?
Множество , состоящее из элементов , входящих в каждое из данных множеств , называется их	пересечением	.
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в )	пересечением	множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а )	пересечением	множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Опишите словами множество , которое является	пересечением	.
Какое множество называют объединением множеств А и В ?	пересечением множеств	А и В ?
Что называют	пересечением множеств	А и В ?
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в )	пересечением множества	чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б )	пересечением множества	нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а )	пересечением множества	чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
б ) Один из углов , образовавшихся при	пересечении	двух прямых , равен 40 ° .
Один из углов , образовавшихся при	пересечении	двух прямых , равен : а ) 20 ° ; б ) 105 ° .
Может оказаться так , что все четыре угла , образовавшиеся при	пересечении	двух прямых , равны между собой .
Сумма трёх углов , образовавшихся при	пересечении	двух прямых , равна 240 ° .
При их	пересечении	образовался четырёхугольник .
Углы при	пересечении	прямых .
Таким образом , при	пересечении	двух прямых образуются две пары вертикальных углов .
Назовите углы , смежные с углом СОК ; АОМ ; KOD . а ) Сколько пар смежных углов образуется при	пересечении	двух прямых ? .
Центр симметрии имеет и прямоугольник : это точка	пересечения	его диагоналей .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой	пересечения	окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
Убедитесь , используя кальку , в том , что точка	пересечения	диагоналей прямоугольника - это его центр симметрии .
Какое название имеет точка	пересечения	осей координат ?
Центр куба — это точка	пересечения	его диагоналей .
Точки	пересечения	касательных обозначьте буквами К , М , L и N. Эти точки — вершины квадрата .
Это означает , что диагонали точкой	пересечения	делятся пополам .
Понятно , что если бы мы взяли другую точку	пересечения	окружностей , то получили бы треугольник , равный треугольнику АВС .
На рисунке точки	пересечения	окружностей обозначены буквами А и В. Точка А находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка ( оно равно радиусу окружности ) .
У этих углов общая вершина — точка	пересечения	прямых .
Центр симметрии параллелограмма — точка	пересечения	его диагоналей .
соедините последовательно точки	пересечения	окружности со сторонами углов .
Чему равно наибольшее число точек	пересечения	? .
Точка их	пересечения	О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой , её называют началом координат , а координатные прямые называют осями координат .
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства операций объединения и	пересечения	множеств ? .
Какое наибольшее число точек	пересечения	могло получиться ? .
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их	пересечения	буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
Проведите две пересекающиеся прямые и обозначьте точку их	пересечения	буквой О .
Чтобы убедиться в этом , наложите на параллелограмм кальку , проколите её в точке	пересечения	диагоналей булавкой , переведите параллелограмм на кальку и поверните кальку на 180 .
Точку	пересечения	лучей обозначьте буквой О .
Как надо провести прямую , пересекающую окружность , чтобы длина отрезка , соединяющего точки	пересечения	, была наибольшей ? .
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек	пересечения	окружностей буквой К .
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства операций объединения и	пересечения множеств	? .
Со временем стали применяться шифры , основанные на принципах комбинаторики , например на различных	перестановках	букв в словах .
Вспомните хорошо знакомое вам переместительное свойство сложения : при	перестановке	слагаемых сумма не меняется .
Поэт - модернист написал стихотворение , в котором первая строка — « Хочу пойти гулять куда - нибудь » , а остальные строки все разные и получены из первой	перестановкой	слов .
Запишите все возможные суммы , которые можно получить из данной	перестановкой	слагаемых .
Слово , полученное из данного слова	перестановкой	букв ( но необязательно имеющее смысл ) , называют его анаграммой : например , « нос » и « сно » — анаграммы слова « сон » .
Так как , то . Понятно , что произведение , которое получается из произведения	перестановкой	множителей , тоже должно быть равно -15 .
Вычислите	периметр	и площадь прямоугольника , если .
Чтобы найти	периметр	прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
а )	периметр	прямоугольника ABCD . б ) периметр прямоугольника КВМО .
а ) периметр прямоугольника ABCD . б )	периметр	прямоугольника КВМО .
Найдите периметр треугольника , если . Найдите третью сторону треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через	периметр	Р и стороны а и b .
Найдите	периметр	треугольника , если .
Вычислите	периметр	ромба со стороной 8,5 см. Составьте формулу для вычисления периметра ромба .
Найдите	периметр	треугольника , если . Найдите третью сторону треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
Для каждого шага построения определите число сторон снежинки и её	периметр	.
Обозначим	периметр	треугольника буквой Р , а длины его сторон , выраженные в одних и тех же единицах , буквами а , b и с. Тогда .
Вычислите	периметр	правильного пятиугольника со стороной 12 см , правильного шестиугольника со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного n - угольника .
Чему равен	периметр	треугольника ? .
Найдите	периметр	и площадь прямоугольника ABCD .
Найдите	периметр	четырёхугольника ABCD .
Вычислите	периметр	параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см. Обозначьте стороны параллелограмма буквами и составьте формулу для вычисления периметра параллелограмма .
б ) Выразите сторону а прямоугольника через его	периметр	Р и сторону .
Найдите	периметр	.
Вычислите	периметр	параллелограмма со сторонами 10 см и 15 см. Найдите площадь закрашенной фигуры .
Какими бы ни были конкретные значения длин сторон треугольника , чтобы найти его	периметр	, их надо сложить .
Пусть стороны треугольника равны 4 см , 6 см и 7 см. Найдём его	периметр	.
Составьте формулу для вычисления	периметра	многоугольника .
Запишите формулу	периметра	равностороннего треугольника , обозначив длину его стороны буквой с .
Вычислите периметр ромба со стороной 8,5 см. Составьте формулу для вычисления	периметра	ромба .
Записанное равенство — формула	периметра	треугольника .
Для него формула	периметра	примет другой вид .
Составим формулу	периметра	и формулу площади прямоугольника .
Обозначьте длину его стороны какой - нибудь буквой и составьте формулы	периметра	и площади квадрата .
Вычислите периметр правильного пятиугольника со стороной 12 см , правильного шестиугольника со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления	периметра	правильного n - угольника .
Воспользовавшись формулой	периметра	треугольника , выполните следующие задания .
Получим другую формулу	периметра	прямоугольника .
Запишите формулу	периметра	прямоугольника ( длины сторон обозначьте буквами а и Ь ) .
Формулы периметра треугольника ,	периметра	и площади прямоугольника , объёма параллелепипеда .
Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см. Обозначьте стороны параллелограмма буквами и составьте формулу для вычисления	периметра	параллелограмма .
Формулы	периметра	треугольника , периметра и площади прямоугольника , объёма параллелепипеда .
Составьте формулы для вычисления	периметров	многоугольников , изображённых на .
Прямоугольник и квадрат имеют одинаковые	периметры	.
На проведены две параллельные прямые а и b и прямая с — их общий	перпендикуляр	.
Длина отрезка ΜΝ будет одной и той же , в каком бы месте ни был проведён	перпендикуляр	с.
Этот	перпендикуляр	называют высотой конуса .
Расстояние от центра О до прямой равно длине	перпендикуляра	ОМ .
Отрезок , соединяющий центры оснований ,	перпендикулярен	каждому из них .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ	перпендикулярно	грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС	перпендикулярно	грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
Моделью прямой ,	перпендикулярной	поверхности земли , служит отвес - грузик , закреплённый на конце верёвки .
На прямой ,	перпендикулярной	отрезку MN и проходящей через его середину .
Так устроен наш мир , что если над гладью водоёма выронить из рук камень , то он упадёт по прямой ,	перпендикулярной	поверхности водоёма .
постройте прямую d ,	перпендикулярную	радиусу О А и проходящую через точку А. Прямая
Для этого проведите через точку М прямую ,	перпендикулярную	прямой l .
Проведите через его середину прямую ,	перпендикулярную	ему .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С , лежащую на прямой k , и точку D , не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую ,	перпендикулярную	прямой k . а ) проходящую через точку С . б ) проходящую через точку D .
Для этого проведите через точку А прямую ,	перпендикулярную	прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
Если на ровной горизонтальной поверхности провести прямую , то	перпендикулярную	ей вертикальную прямую задаст отвес .
Проведите с помощью линейки и угольника через точку А прямую ,	перпендикулярную	прямой к , и прямую , параллельную прямой k .
С помощью угольника через каждую из этих точек проведите прямую ,	перпендикулярную	прямой k .
а ) Если две прямые пересекаются под прямым углом , то они ... б ) Если две прямые , лежащие в одной плоскости ,	перпендикулярны	одной и той же прямой , то они ...
Диагонали ромба , кроме свойств , присущих всем параллелограммам , обладают ещё одним : они	перпендикулярны	друг другу .
Диагонали прямоугольника равны , а диагонали квадрата не только равны , но и	перпендикулярны	друг другу .
Если две прямые на плоскости	перпендикулярны	одной и той же прямой , то они параллельны .
Чтобы возведённые на равнине стены крепостей и храмов стояли устойчиво , все вертикальные конструкции должны быть	перпендикулярны	плоскости земли .
Все боковые рёбра прямой призмы равны , параллельны и	перпендикулярны	основаниям .
На построены прямые а и Ъ ,	перпендикулярные	одной и той же прямой т .
Как можно начертить	перпендикулярные	прямые .
Начертите на клетчатой бумаге	перпендикулярные	прямые k и т .
Постройте две	перпендикулярные	прямые .
Для этого на плоскости чертят две	перпендикулярные	координатные прямые ; обычно одну из них располагают горизонтально , а другую — вертикально .
Назовите рёбра : а ) параллельные ребру АВ ; ребру DN ; б )	перпендикулярные	рёбрам АВ и CD ; LM и ВС .
Воспользуйтесь тем , что прямые ,	перпендикулярные	одной и той же прямой , параллельны .
Найдите в окружающей вас обстановке : а ) перпендикулярные прямые ; б ) прямые ,	перпендикулярные	плоскости .
Постройте касательные к окружности : а )	перпендикулярные	проведённой прямой ; б ) параллельные проведённой прямой .
Найдите в окружающей вас обстановке : а )	перпендикулярные	прямые ; б ) прямые , перпендикулярные плоскости .
Слово «	перпендикулярный	» произошло от латинского слова perpendicularis , что означает « отвесный » .
Начертите в тетради пересекающиеся прямые к и l ( не являющиеся	перпендикулярными	) .
Это особый случай взаимного расположения прямых , в этом случае прямые называют	перпендикулярными	.
В каком случае две прямые называют	перпендикулярными	? .
Найдите на все пары	перпендикулярных	прямых .
Два взаимно	перпендикулярных	диаметра делят окружность на четыре равные части .
А вот две соседние стены комнаты — это модель двух	перпендикулярных	плоскостей .
Выполните задание : 1 ) Начертите окружность с центром в точке О и проведите два	перпендикулярных	диаметра АС и BD .
Если надо найти расстояние от точки до плоскости , его тоже измеряют по	перпендикуляру	.
Расстояние от точки до прямой измеряется по	перпендикуляру	, проведённому из этой точки к прямой .
На изображена	пирамида	, в основании которой квадрат .
С одним из семейств многогранников —	пирамидами	— вы уже знакомы .
Сколько ядер в этой	пирамиде	? .
Найдите длины рёбер этого многогранника , если диаметр каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены	пирамидой	в 3 яруса .
Известно , что многогранник является либо	пирамидой	, либо призмой .
Конус в определённом смысле напоминает	пирамиду	.
Какие рёбра	пирамиды	лежат на скрещивающихся прямых ? .
Возьмите модель	пирамиды	.
У него , как и у	пирамиды	, есть вершина и основание , только в основании лежит не многоугольник , а круг .
У многогранника все части поверхности	плоские	.
Так , столбчатые диаграммы могут быть	плоскими	( как диаграмма ) или объёмными , столбцы на них располагают вертикально или горизонтально .
Несмотря на всё многообразие орнаментов —	плоских	узоров , оказывается , что почти в каждом из них можно разглядеть симметрию .
Поверхности цилиндра и конуса состоят как из	плоских	частей , так и кривых , а шар — « абсолютно круглый » .
Но в пространстве есть и другие тела , имеющие бесконечно много	плоскостей	симметрии .
Сколько	плоскостей	симметрии у правильной : а ) треугольной призмы ; б ) четырёхугольной призмы ( не являющейся кубом ) ; в ) пятиугольной призмы ? .
Сколько	плоскостей	симметрии у куба ? .
Деревянный куб с ребром 10 см распилили на части вдоль трёх	плоскостей	, параллельных его граням , как показано на рисунке .
А вот две соседние стены комнаты — это модель двух перпендикулярных	плоскостей	.
Эти	плоскости	пересекаются по прямой .
В пространстве сходным свойством обладает шар — он симметричен относительно любой	плоскости	, рассекающей его по большой окружности .
Например , у параллелепипеда , имеющего различные длину , ширину и высоту , три	плоскости	симметрии .
Когда через трёхмерное существо проходят две или более	плоскости	симметрии , биологи говорят о радиальной симметрии .
осевой симметрии является симметрия относительно	плоскости	— зеркальная симметрия .
Окружность , а также ограниченный ею круг можно отнести к « самым симметричным » фигурам на	плоскости	.
На координатной	плоскости	постройте данную точку и точку , симметричную ей относительно оси у , запишите её координаты .
А как указать положение точки на	плоскости	? .
Как определять положение точки на	плоскости	.
Что такое координаты точки на	плоскости	.
Для этого на	плоскости	чертят две перпендикулярные координатные прямые ; обычно одну из них располагают горизонтально , а другую — вертикально .
Две прямые на	плоскости	либо пересекаются , либо параллельны .
Положение точки на координатной	плоскости	определяется парой чисел — её координатами .
Как называют пару чисел , определяющую положение точки на	плоскости	?
Посмотрите на рисунок и расскажите , как определяют координаты точки на координатной	плоскости	.
Если две прямые на	плоскости	перпендикулярны одной и той же прямой , то они параллельны .
Координаты точки на	плоскости	.
Две окружности на	плоскости	.
Отметьте на координатной	плоскости	точки .
На координатной	плоскости	постройте треугольник АВС по координатам его вершин .
На координатной	плоскости	постройте данную точку и точку , симметричную ей относительно оси х , запишите её координаты .
Представьте себе , что карандаш — это модель прямой , а стол — модель	плоскости	, в таких случаях в математике говорят , что прямая перпендикулярна плоскости .
Представьте себе , что карандаш — это модель прямой , а стол — модель плоскости , в таких случаях в математике говорят , что прямая перпендикулярна	плоскости	.
Если прямые , лежащие в одной	плоскости	, не пересекаются , то их называют параллельными .
Но оказывается , на	плоскости	существуют и такие прямые , которые никогда не пересекутся .
Найдите в окружающей вас обстановке : а ) перпендикулярные прямые ; б ) прямые , перпендикулярные	плоскости	.
А вот на	плоскости	есть .
18 Две окружности на	плоскости	.
На координатной	плоскости	отметьте точки .
Чтобы возведённые на равнине стены крепостей и храмов стояли устойчиво , все вертикальные конструкции должны быть перпендикулярны	плоскости	земли .
Перпендикуляр , проведённый из вершины конуса к	плоскости	основания , попадает в центр круга .
В главе 2 мы рассмотрели взаимное расположение двух прямых , и вы узнали , что две прямые на	плоскости	или пересекаются , или не пересекаются , т .
Изобразите все случаи взаимного расположения трёх прямых на	плоскости	( всего их 4 ) .
от точки до	плоскости	.
На	плоскости	проведены четыре прямые .
Возьмём две точки А и В. Существует бесконечно много линий на	плоскости	, двигаясь по которым можно из точки А попасть в точку В. Несколько таких линий изображено на .
а ) Если две прямые пересекаются под прямым углом , то они ... б ) Если две прямые , лежащие в одной	плоскости	, перпендикулярны одной и той же прямой , то они ...
Прямые на	плоскости	и в пространстве .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до	плоскости	AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
Если надо найти расстояние от точки до	плоскости	, его тоже измеряют по перпендикуляру .
а ) Что представляет собой множество всех точек	плоскости	, удалённых от точки О на 3 см ? .
Расстояние от точки до	плоскости	.
Если же	плоскость	пройдёт « наискосок » ( как показано на рисунке ) , то в сечении получится уже не окружность , а эллипс .
Например , нетрудно указать	плоскость	, относительно которой человеческое тело можно считать симметричным .
Они делят	плоскость	на четыре угла .
Координатная	плоскость	разбивается осями на четыре координатные четверти .
Поверхности цилиндра и конуса , как и поверхность многогранника , можно развернуть на	плоскость	.
Диаметр круга будет наибольшим , когда	плоскость	сечения пройдёт через центр шара .
Какая фигура может получиться в сечении , если	плоскостью	симметрии рассечь : а ) параллелепипед ; б ) цилиндр ; в ) конус ? .
В сечении какого многогранника	плоскостью	симметрии можно получить треугольник ? .
Плоскость , на которой задана система координат , называют координатной	плоскостью	.
На рисунке поверхность цилиндра рассекается	плоскостью	, которая параллельна его основаниям .
Представьте , что шар рассекается	плоскостью	, подобно тому как апельсин разрезается ножом .
Ещё в древности математики интересовались тем , какие фигуры получаются при сечении этих тел	плоскостью	.
При рассечении цилиндра и конуса	плоскостями	наряду с окружностью получаются и другие линии .
Параллели — это и есть окружности , получаемые при « разрезании » земного шара параллельными	плоскостями	.
Обратите внимание : скрещивающиеся прямые лежат в разных	плоскостях	.
Основания представляют собой равные многоугольники , расположенные в параллельных	плоскостях	.
Основания цилиндра — это два равных круга , расположенные в параллельных	плоскостях	.
Составьте формулы для вычисления	площадей	фигур , изображённых на .
Многие закономерности , которые были связаны с измерениями длин ,	площадей	и объёмов , необходимыми для строительства зданий , прокладывания каналов , деления земельных участков , торговли , путешествий , стали известны человеку уже очень давно .
Найдите отношение	площадей	квадратов ABCD и KMLN .
Это свойство равносоставленных фигур даёт нам полезный приём нахождения	площадей	.
Докажите , что сумма площадей тёмных треугольников равна сумме	площадей	белых треугольников .
Докажите , что сумма	площадей	тёмных треугольников равна сумме площадей белых треугольников .
Идею перекраивания для нахождения	площадей	самых разных фигур использовали ещё древние математики .
Если фигура разрезана на части , то её площадь равна сумме	площадей	её частей .
Во сколько раз площадь второго круга больше	площади	первого ? .
Существует и формула	площади	круга : где S — площадь круга , г — радиус круга В эту формулу тоже входит число к .
Формулы длины окружности ,	площади	круга и объёма шара .
Найдите : а ) сколько примерно процентов от площади Франции составляет площадь Италии ; б ) сколько примерно процентов от	площади	Италии составляет площадь Франции .
Формула	площади	круга .
Если это одноимённые величины — длины ,	площади	, массы и т .
а ) Площадь территории Норвегии составляет примерно 123 %	площади	Великобритании .
Запишите формулу	площади	прямоугольника .
Запишите формулу для вычисления	площади	фигуры , изображённой на рисунке .
Запишите формулы длины окружности и	площади	круга .
Округлим значение	площади	арены до единиц , получим .
Найдите : а ) сколько примерно процентов от	площади	Франции составляет площадь Италии ; б ) сколько примерно процентов от площади Италии составляет площадь Франции .
Когда выдают документы на жильё , в них указывают	площади	всех помещений в квартире .
Действительно , если из равных величин ( площади квадрата и	площади	прямоугольника ) вычесть поровну ( площадь белого многоугольника ) , то поровну и останется .
а ) Найдите	площади	закрашенных треугольников .
Составьте формулу для вычисления	площади	прямоугольного треугольника со сторонами а и b , образующими прямой угол .
Числовое значение	площади	округлите до единиц .
Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину	площади	построенного параллелограмма .
Параллелограмм удалось перекроить в прямоугольник , а способ вычисления	площади	прямоугольника известен .
Составим формулу периметра и формулу	площади	прямоугольника .
Составьте формулу для вычисления	площади	S параллелограмма .
Действительно , если из равных величин (	площади	квадрата и площади прямоугольника ) вычесть поровну ( площадь белого многоугольника ) , то поровну и останется .
Боковое ребро параллелепипеда равно а см , ребро основания равно b см. Запишите формулу для вычисления : а ) длины l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса ; б )	площади	S поверхности параллелепипеда .
29 Формулы длины окружности ,	площади	круга и объёма шара .
Найдём , например ,	площади	квадрата и прямоугольника .
Формулы периметра треугольника , периметра и	площади	прямоугольника , объёма параллелепипеда .
Из формулы	площади	прямоугольника выразите а через S и Ь. Найдите сторону а , если .
Как путём перекраивания можно найти	площади	параллелограмма и треугольника .
Но в документах при указании	площади	помещения принято ограничиваться десятыми долями квадратного метра .
Обозначьте длину его стороны какой - нибудь буквой и составьте формулы периметра и	площади	квадрата .
За час вымыли этой	площади	.
Определите	площадь	окон , вымытых за это время .
Достроив каждый треугольник , изображённый на рисунке , до прямоугольника , определите	площадь	треугольника .
Вычислите	площадь	треугольника , если .
Чему равна	площадь	треугольника ? .
Найдите	площадь	закрашенного треугольника .
Вычислите длину окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м . а ) Вычислите	площадь	круга , радиус которого равен 100 м ; 20 см . б )
Существует и формула площади круга : где S —	площадь	круга , г — радиус круга В эту формулу тоже входит число к .
Найдите	площадь	обрезков .
Кольцо ограничено двумя окружностями , радиусы которых равны 3 см и 5 см. Чему равна	площадь	этого кольца ? .
Найдите длину дорожки и	площадь	стадиона .
Найдите	площадь	закрашенной части круга .
Найдите	площадь	оставшейся части .
Найдём примерную	площадь	цирковой арены .
Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 10 см и 15 см. Найдите	площадь	закрашенной фигуры .
Во сколько раз	площадь	второго круга больше площади первого ? .
Найдите	площадь	игрового поля .
Какую	площадь	они выделили под картофель и какую — под морковь ? .
Чему равна	площадь	параллелограмма ? .
Вычислите периметр и	площадь	прямоугольника , если .
Какую	площадь	внесут в документ , если комната имеет прямоугольную форму и её размер .
Чему равна	площадь	квадрата , если длины сторон прямоугольника равны 1,8 см и 3,4 см ? .
Вы уже знакомы с очень многими геометрическими фигурами , а вот вычислить	площадь	можете только прямоугольника или квадрата .
Но оказывается , этого вполне достаточно , если вы сумеете перекроить фигуру ,	площадь	которой хотите найти , в ту , площадь которой находить умеете .
Но оказывается , этого вполне достаточно , если вы сумеете перекроить фигуру , площадь которой хотите найти , в ту ,	площадь	которой находить умеете .
Найдите периметр и	площадь	прямоугольника ABCD .
Две фигуры , имеющие одинаковую	площадь	, называются равновеликими .
Площадь квадрата равна ( кв. ед . ) ,	площадь	прямоугольника равна ( кв. ед . ) .
Проведя необходимые измерения , найдите	площадь	параллелограмма .
Действительно , если из равных величин ( площади квадрата и площади прямоугольника ) вычесть поровну (	площадь	белого многоугольника ) , то поровну и останется .
Значит , если фигуры составлены из одинаковых частей , или , как говорят , равносоставлены , то они имеют и равную	площадь	.
Верно и другое : если два многоугольника имеют одинаковую	площадь	, то их можно разрезать на попарно равные куски .
Он заключается в перекраивании данной фигуры в другую ,	площадь	которой мы вычислять умеем .
Используем этот приём , чтобы найти	площадь	параллелограмма .
Подобным образом можно найти и	площадь	треугольника .
Очевидно , что	площадь	нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма .
А как найти	площадь	параллелограмма , вы уже знаете .
Под картофель отвели	площадь	, в 3 раза большую , чем под морковь .
Чему равна	площадь	каждого треугольника ? .
Если фигура разрезана на части , то её	площадь	равна сумме площадей её частей .
Общая	площадь	окон , которые надо вымыть , составляет 24 м2 .
Вычислите	площадь	этого многоугольника двумя способами .
Обозначим	площадь	прямоугольника буквой S. Тогда .
Чтобы найти	площадь	изображённого на многоугольника , его можно разбить на прямоугольники или достроить до прямоугольника .
,	площадь	круга и объём шара .
Найдите : а ) сколько примерно процентов от площади Франции составляет	площадь	Италии ; б ) сколько примерно процентов от площади Италии составляет площадь Франции .
Чтобы найти	площадь	прямоугольника , нужно перемножить длины его смежных сторон .
Найдите : а ) сколько примерно процентов от площади Франции составляет площадь Италии ; б ) сколько примерно процентов от площади Италии составляет	площадь	Франции .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой	площадью	, длины сторон которых ( в см ) выражаются целыми числами ? .
Английский поэт У. Х. Оден с огорчением воскликнул : « Минус на минус — всегда только	плюс	.
Заметим , что распределительное свойство выполняется именно потому , что для умножения мы приняли указанные выше правила знаков , в частности правило « минус на минус даёт	плюс	» .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так :	плюс	на минус даёт минус , минус на минус даёт плюс .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на минус даёт минус , минус на минус даёт	плюс	.
Самым « таинственным » во всей теории отрицательных чисел было правило « минус на минус даёт	плюс	» .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков «	плюс	» и « минус » .
У многогранника все части	поверхности	плоские .
Моделью прямой , перпендикулярной	поверхности	земли , служит отвес - грузик , закреплённый на конце верёвки .
Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой	поверхности	, которую ещё называют цилиндрической .
Боковое ребро параллелепипеда равно а см , ребро основания равно b см. Запишите формулу для вычисления : а ) длины l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса ; б ) площади S	поверхности	параллелепипеда .
Так устроен наш мир , что если над гладью водоёма выронить из рук камень , то он упадёт по прямой , перпендикулярной	поверхности	водоёма .
В состав атмосферы Земли около её	поверхности	входят следующие газы : азот — 78 % ; кислород — 21 % ; 1 % приходится на другие газы , среди которых наибольшую долю составляет аргон , и в очень небольших долях углекислый газ , водород и др .
Шар помещён в цилиндр так , что он касается и его боковой	поверхности	, и оснований .
Возможно , вы слышали о Пизанской башне ( Италия ): она стоит наклонно к	поверхности	земли , и именно поэтому существует угроза её падения .
Любая географическая карта или план какого - либо участка земной	поверхности	содержат указание на использованный при их составлении масштаб .
Если на ровной горизонтальной	поверхности	провести прямую , то перпендикулярную ей вертикальную прямую задаст отвес .
Проведите на	поверхности	мяча несколько больших окружностей .
Поверхности цилиндра и конуса , как и	поверхность	многогранника , можно развернуть на плоскость .
Боковая	поверхность	цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность конуса — в круговой сектор .
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая	поверхность	конуса — в круговой сектор .
а ) Возьмите прямоугольный лист бумаги и сверните из него боковую	поверхность	цилиндра .
На рисунке	поверхность	цилиндра рассекается плоскостью , которая параллельна его основаниям .
В переводе на язык теории множеств эта задача звучит так : « Сколько всего	подмножеств	у множества из 4 элементов ? » Путём перебора мы выяснили , что у такого множества имеется 16 подмножеств .
Выделение	подмножеств	.
А в математике есть формула , позволяющая определять число	подмножеств	любого конечного множества по числу его элементов .
А можете ли вы без перебора сказать , сколько у этого множества	подмножеств	, содержащих 4 элемента ? .
Сколько всего одноэлементных	подмножеств	у множества А ? .
В переводе на язык теории множеств эта задача звучит так : « Сколько всего подмножеств у множества из 4 элементов ? » Путём перебора мы выяснили , что у такого множества имеется 16	подмножеств	.
Сколько всего таких	подмножеств	? .
Сколько у него	подмножеств	, содержащих один элемент ?
Из определения , в частности , следует , что в число	подмножеств	данного множества включается и само это множество .
Чтобы ответить на вопрос задачи , нужно выяснить , сколько у данного множества существует двухэлементных	подмножеств	.
Любое натуральное число принадлежит одному из этих	подмножеств	множества N , и общих элементов они не имеют .
Приведите примеры конечных и бесконечных	подмножеств	множества натуральных чисел N .
Укажите несколько конечных и бесконечных	подмножеств	множества натуральных чисел N.
Возьмём два	подмножества	.
При составлении алфавитного каталога все книги разбиваются на	подмножества	книг , фамилии авторов которых начинаются с буквы А , с буквы Б и т .
Разбиение множества на непересекающиеся	подмножества	составляет основу классификаций объектов , применяемых в самых различных областях человеческой деятельности .
На рисунке большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его	подмножества	: А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Укажите какое - нибудь	подмножество	множества А , содержащее один элемент .
Укажите какое - нибудь	подмножество	множества А , содержащее 3 элемента .
Запишите какое - нибудь	подмножество	множества В , содержащее один элемент ; два элемента ; три элемента .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть	подмножество	множества целых чисел , или так : всякое натуральное число является числом целым .
Пара приятелей , обменивающихся рукопожатием , — это его	подмножество	, содержащее 2 элемента .
Какое наибольшее число элементов может содержать	подмножество	множества В ? .
1 ) Какое из двух множеств является	подмножеством	другого .
Если множество А является	подмножеством	множества В , то это записывают так .
В каком случае множество А называют	подмножеством	множества В ?
Пустое множество считают	подмножеством	любого другого множества .
Множество А называют	подмножеством	множества В , если каждый элемент множества А является элементом множества В .
В таком случае говорят , что первое множество является	подмножеством	второго .
Какое из множеств является	подмножеством	другого : а ) N или Q ; б ) Q или Z ? .
А вот « нематематический » пример : множество кашалотов является	подмножеством	множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества животных .
А вот « нематематический » пример : множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих —	подмножеством	множества животных .
Так , множество натуральных чисел является	подмножеством	множества целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел —	подмножеством	множества рациональных чисел .
А вот « нематематический » пример : множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных —	подмножеством	множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества животных .
Что называют	подмножеством	данного множества .
Позднее	подобный	подход был принят и для дробей со знаменателями 10 , 102 , 103 .
Заметим , что в	подобных	случаях нуль можно приписывать не к делимому , а непосредственно к остатку .
б ) Первое	поле	на 3,2 га меньше второго , а третье поле на 4,8 га больше второго .
На сколько гектаров третье	поле	больше первого ? .
б ) Первое поле на 3,2 га меньше второго , а третье	поле	на 4,8 га больше второго .
Каждая клетка на игровом	поле	определяется двумя координатами — буквой и цифрой .
Сумма двух положительных чисел	положительна	, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
В противном случае , если одно число	положительно	, а другое отрицательно , говорят , что эти числа разных знаков .
Любое отрицательное число меньше любого	положительного	числа .
Модуль	положительного	числа равен самому числу .
Математики древности ( например , древнегреческий математик Диофант , живший в III в . , индийский математик Брахмагупта , живший в VII в . , арабский математик Абу - ль - Вефа , живший в X в . ) называли отрицательные числа словами , означавшими « долг » , « недостаток » , в отличие от « имущества » —	положительного	числа .
Понятно , что модуль	положительного	числа — это само это число .
Как найти модуль	положительного	числа ?
Чему равен модуль	положительного	числа ?
слова « натуральное число » и «	положительное	целое число » означают одно и то же .
Какое число больше :	положительное	или нуль ?
	Положительное	или 0 ?
Любое	положительное	число нуля .
Любое	положительное	число в ряду целых чисел расположено правее нуля , а любое отрицательное — левее нуля .
Любое	положительное	число больше нуля .
а ) 3 и – 8 ; в ) – 1 и – 10 ; д ) 4 и 0 . б ) – 8 и 8 ; г ) – 6 и 0 ; е ) – 9 и – 2 . а ) Какое из двух целых чисел больше :	положительное	или отрицательное ?
х —	положительное	число , у — отрицательное .
х — отрицательное число , у —	положительное	.
а ) Определите , какое из этих чисел	положительное	и какое отрицательное .
одно число отрицательное , а другое	положительное	? .
Точно так же одно и то же означают утверждения « а —	положительное	число » .
Знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » —	положительное	или отрицательное .
б ) 17 —	положительное	число .
Любое	положительное	число любого отрицательного числа .
Поэтому предложения « а —	положительное	число » и « а — отрицательное число » на математическом языке записывают в виде неравенств .
	Положительное	или отрицательное ? .
Таким же образом изображается на координатной прямой любое	положительное	или отрицательное число .
б ) Какое из двух целых чисел меньше :	положительное	или 0 ?
Верно ли утверждение : а ) а — число	положительное	; б ) – а — число отрицательное ? .
если b —	положительное	число , то – b .
Отрицательные дробные числа , так же как и отрицательные целые , получаются приписыванием к	положительному	числу знака « – » .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх чисел , если : а ) два числа отрицательны , одно положительно ; б ) одно число отрицательно и два	положительны	.
Поэтому о двух целых числах можно сказать , что это числа одного знака , если они оба	положительны	или оба отрицательны .
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче —	положительные	, на левом — отрицательные .
Вычислите , сложив отдельно	положительные	и отрицательные числа .
Вы уже умеете сравнивать любые	положительные	числа , можете сравнить два целых числа .
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности	положительные	и отрицательные слагаемые , а затем найти сумму двух получившихся чисел .
Знака « минус » тогда не было , а чтобы различать	положительные	и отрицательные числа , Джань Цань писал их чернилами разных цветов .
х и у —	положительные	числа .
	Положительные	числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Из чисел выпишите 1 )	положительные	числа ;
Найдите среди них :	положительные	, отрицательные , целые , натуральные , отрицательные дробные числа .
Отрицательные числа на координатной прямой отмечаются точками , расположенными левее нуля , а	положительные	— точками , расположенными правее нуля .
Положительные дробные числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и	положительные	целые числа , можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
если , то а и b — числа	положительные	;
Направление луча , на котором отмечают	положительные	числа , называют положительным направлением и указывают стрелкой .
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных чисел – 5,8 и – 4 меньше , мы сравнили	положительные	числа 5,8 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих точек координатной прямой .
Известно , что а и b —	положительные	целые числа , причём .
2 ) если , то а и b — числа	положительные	.
Среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 найдите : а ) целые	положительные	числа ; б ) целые отрицательные числа .
целые	положительные	числа ) , а на левом — отрицательные .
Сумма двух чисел разных знаков может быть как	положительным	числом , так и отрицательным .
Ясно , что если человек получил денег больше , чем потратил , то его доход окажется	положительным	.
Ясно , что модуль может быть только	положительным	числом или нулём .
Верно ли , что любое целое число является либо	положительным	, либо отрицательным ? .
Число 0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к	положительным	, ни к отрицательным числам , а как бы разделяет их .
Каким числом —	положительным	или отрицательным — является произведение трёх чисел , если : а ) два числа отрицательны , одно положительно ; б ) одно число отрицательно и два положительны .
Если перед некоторым числом ,	положительным	или отрицательным , поставить знак « + » , то получится то же самое число .
Направление луча , на котором отмечают положительные числа , называют	положительным	направлением и указывают стрелкой .
Определите модуль какого из чисел , а или b , больше ; 2 )	положительным	или отрицательным является значение выражения .
Как определить , каким числом -	положительным	или отрицательным — является сумма двух целых чисел разных знаков ?
Перед	положительными	числами , для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от отрицательных , иногда ставится знак « + » .
Какие из чисел – 7 , +4 , 12 , – 18 , 0 , 3 являются : а )	положительными	; б ) отрицательными ? .
Натуральные числа принято называть также	положительными	целыми числами , т .
Подсчитайте итоги денежных операций и запишите результат с помощью	положительных	и отрицательных чисел .
Используя понятие модуля числа , сформулируем правила умножения	положительных	и отрицательных чисел .
Запись суммы	положительных	и отрицательных чисел часто упрощают .
Приведите примеры целых чисел , целых отрицательных чисел , дробных	положительных	чисел , дробных отрицательных чисел .
Сначала мы нашли отдельно сумму отрицательных и сумму	положительных	слагаемых , а затем сумму двух получившихся чисел .
Сумма двух	положительных	чисел положительна , а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
Какой знак имеет сумма двух	положительных	целых чисел ?
Приведите примеры использования	положительных	и отрицательных чисел в жизни .
Например , на рисунке 10.6 вы видите координатную прямую , на которой отмечено несколько	положительных	и отрицательных чисел .
Современное обозначение	положительных	и отрицательных чисел знаками « + » и « – » было введено только в конце XV в .
Меридианы же — это большие	полуокружности	, проходящие через полюсы .
Когда параллели приближаются к	полюсам	, их диаметры уменьшаются .
Мы называем нашу планету земным шаром ( правда , шар этот чуть « сплюснут » у	полюсов	) .
Найдите площадь игрового	поля	.
Рассмотрите , как выполнено умножение этих дробей на	полях	.
Часто бывает удобно выражать проценты обыкновенной дробью , и некоторые из этих представлений полезно запомнить , например те , которые приведены в таблице на	полях	.
В таблице на	полях	приведены некоторые легко вычисляемые проценты и соответствующие им дроби .
Коды рукопожатий естественно выписывать в порядке возрастания , как это сделано на	полях	.
Оно , как и слово « гармония » , означает « соразмерность » , « наличие определённого	порядка	, закономерности в расположении частей » .
Обозначим города буквами В , Р и Ф. Тогда код каждого маршрута будет состоять из этих трёх букв , взятых в разном	порядке	.
Запишите в	порядке	убывания дроби .
Запишите данные числа в	порядке	убывания : а ) 10 , – 1 , 0 , 2 , – 4 , – 10 , – 20 ; б ) – 7 , 17 , – 48 , 50 , – 63 .
Коды рукопожатий естественно выписывать в	порядке	возрастания , как это сделано на полях .
Запишите данные числа в	порядке	возрастания : а ) 0 , 2 , – 2 , – 15 , 1 , – 40 , 5 ; б ) 32 , – 130 , 19 , – 154 , – 21 .
Запишите сначала в	порядке	возрастания , а потом в порядке убывания целые числа , заключённые между . а ) – 7 и 2 ; б ) – 15 и – 5 ; в ) – 3 и 3 ; г ) – 20 и – 10 .
Запишите сначала в порядке возрастания , а потом в	порядке	убывания целые числа , заключённые между . а ) – 7 и 2 ; б ) – 15 и – 5 ; в ) – 3 и 3 ; г ) – 20 и – 10 .
Запишите в	порядке	возрастания дроби .
Натуральные числа мы записываем в том	порядке	, в котором они появляются при счёте .
В каком	порядке	девочки пришли к 10 15 финишу ? .
Расположите в	порядке	возрастания числа .
Расположите в	порядке	убывания числа .
Расположите в	порядке	возрастания следующие суммы .
Расположите числа в	порядке	возрастания .
Расположите числа в	порядке	возрастания , ответ запишите в виде двойного неравенства .
Все они похожи тем , что для вычисления значения каждого из них нужно выполнить одни и те же действия в одном и том же	порядке	.
Чтобы вычислить эту сумму , можно последовательно складывать числа в том	порядке	, в котором они записаны .
Перечислите дроби в	порядке	убывания .
Расположите произведения в	порядке	возрастания их значений .
Элементы множества можно перечислять в любом	порядке	.
Выпишите в алфавитном	порядке	все анаграммы слов : а ) « нос » и « dog » ; б ) « мама » и « дама » .
Представьте данное число в виде произведения двух целых чисел ( произведения , отличающиеся	порядком	множителей , считаются одинаковыми ): 2 )
Назовите по	порядку	целые числа .
Если необходим именно такой	порядок	множителей в произведении чисел а и 7 , то точку обязательно ставят , т .
4 Определите	порядок	действий и найдите значение выражения .
Определите	порядок	действий и найдите значения выражений .
Если поменять	порядок	чисел в паре , то получится другая точка — точка В ( 3 ; 4 ) .
Найдите закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены	последовательности	— увеличиваются или уменьшаются .
Продолжите	последовательность	, записав ещё три числа .
Найдите закономерность , по которой строится	последовательность	чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
Мы отбросили цифры	правее	разряда десятых .
Отбросьте цифры , расположенные	правее	подчёркнутого разряда .
Из двух целых чисел больше то , которое в ряду целых чисел стоит	правее	, и меньше то , которое стоит левее .
Любое положительное число в ряду целых чисел расположено	правее	нуля , а любое отрицательное — левее нуля .
Значит , на координатной прямой число 256 расположено	правее	числа – 104 .
Естественно считать , как и раньше , что из двух чисел меньше то , которому на координатной прямой соответствует точка , расположенная левее , а больше то , которому соответствует точка , расположенная	правее	.
два целых числа , можно представить , как они расположены по отношению друг к другу на координатной прямой : какое из них находится	правее	, а какое — левее .
Число 1000 на координатной прямой расположено	правее	, т .
Отрицательные числа на координатной прямой отмечаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными	правее	нуля .
Отбросьте цифры , расположенные	правее	подчёркнутого разряда , а к цифре этого разряда прибавьте 1 .
Сделайте вывод о том , какая из дробей ближе к 1 —	правильная	или обратная ей неправильная .
исследование . 1 ) Дана	правильная	дробь .
исследование . 1 ) Дана	правильная дробь	.
Вычислите периметр правильного пятиугольника со стороной 12 см , правильного шестиугольника со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра	правильного	n - угольника .
Правильные многоугольники обладают удивительным свойством : все вершины	правильного	многоугольника лежат на одной окружности .
	Правильного	пятиугольника ?
Чему равны углы	правильного	шестиугольника ?
Чему равны величины углов	правильного	треугольника ?
	Правильного	четырёхугольника ? .
Внутренний двор здания имеет форму	правильного	пятиугольника .
Вычислите периметр	правильного	пятиугольника со стороной 12 см , правильного шестиугольника со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного n - угольника .
Этот шестиугольник правильный : каждая его сторона равна стороне	правильного	треугольника , а каждый угол — двум его углам , т .
Вычислите периметр правильного пятиугольника со стороной 12 см ,	правильного	шестиугольника со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного n - угольника .
Запишите выражение для вычисления числа осей симметрии	правильного	n - угольника .
Сколько осей симметрии у	правильного	стоугольника ?
Сколько осей симметрии у	правильного	треугольника ?
	Правильного	восьмиугольника ? .
Правильные многоугольники обладают удивительным свойством : все вершины	правильного многоугольника	лежат на одной окружности .
Чему равны величины углов	правильного треугольника	?
Сколько осей симметрии у	правильного треугольника	?
Этот шестиугольник правильный : каждая его сторона равна стороне	правильного треугольника	, а каждый угол — двум его углам , т .
Вычислите периметр правильного пятиугольника со стороной 12 см ,	правильного шестиугольника	со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного n - угольника .
Чему равны углы	правильного шестиугольника	?
Сколько плоскостей симметрии у	правильной	: а ) треугольной призмы ; б ) четырёхугольной призмы ( не являющейся кубом ) ; в ) пятиугольной призмы ? .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной призмы , все рёбра которой равны 10 см ; б )	правильной	пятиугольной призмы , боковое ребро которой равно 8 см , ребро основания — 5 см ? .
Запишите формулу для вычисления длины I проволоки , которая потребуется на изготовление каркаса	правильной	n - угольной призмы с боковым ребром , равным а см , и ребром основания , равным b см .
Если основанием прямой призмы служит правильный многоугольник , то и призму называют	правильной	призмой .
Треугольная антипризма получена из	правильной	треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
О	правильном	шестиугольнике .
О	правильном шестиугольнике	.
Сделайте развёртку и склейте из неё : а )	правильную	треугольную призму ; б ) правильную шестиугольную призму .
Сделайте развёртку и склейте из неё : а ) правильную треугольную призму ; б )	правильную	шестиугольную призму .
Запишите какую - нибудь	правильную	дробь и дробь , обратную ей .
Запишите какую - нибудь	правильную дробь	и дробь , обратную ей .
Правильным называют выпуклый многогранник , все грани которого — равные	правильные	многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней .
Если вы когда - нибудь видели пчелиные соты , то , возможно , заметили , что их основа —	правильные	шестиугольники .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани —	правильные	треугольники .
Внимание учёных и художников всегда привлекали	правильные	многогранники .
Правильным называют выпуклый многогранник , все грани которого — равные	правильные многоугольники	и в каждой вершине сходится одинаковое число граней .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани —	правильные треугольники	.
Если вы когда - нибудь видели пчелиные соты , то , возможно , заметили , что их основа —	правильные шестиугольники	.
Обратите внимание на такой интересный и важный факт :	правильный	шестиугольник можно составить из правильных треугольников .
Построить	правильный	многоугольник можно так : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления отрезками .
Легче всего построить	правильный	шестиугольник .
Окружность и	правильный	многоугольник .
Таким образом , равносторонний треугольник — это правильный треугольник , а квадрат — это	правильный	четырёхугольник .
Таким образом , равносторонний треугольник — это	правильный	треугольник , а квадрат — это правильный четырёхугольник .
А если каждую из шести дуг окружности разделить пополам , то мы сможем построить	правильный	двенадцатиугольник .
Как можно построить	правильный	многоугольник .
Соединив последовательно все полученные точки , вы получите	правильный	шестиугольник .
Этот шестиугольник	правильный	: каждая его сторона равна стороне правильного треугольника , а каждый угол — двум его углам , т .
Постройте	правильный	шестиугольник со стороной 4 см. На этом же чертеже , но карандашом другого цвета постройте правильный треугольник .
Если мы соединим эти точки через одну , то получим	правильный	треугольник .
Если основанием прямой призмы служит	правильный	многоугольник , то и призму называют правильной призмой .
Действительно , чтобы получить	правильный	результат , надо выразить эти длины в одних единицах , например в сантиметрах .
Постройте	правильный	пятиугольник по следующему плану .
Постройте	правильный	восьмиугольник .
а ) На рисунке показано , как можно построить	правильный	двенадцатиугольник .
Постройте правильный шестиугольник со стороной 4 см. На этом же чертеже , но карандашом другого цвета постройте	правильный	треугольник .
Опишите словами , как построить с помощью циркуля	правильный	шестиугольник , правильный треугольник .
Опишите словами , как построить с помощью циркуля правильный шестиугольник ,	правильный	треугольник .
Построить	правильный многоугольник	можно так : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления отрезками .
Окружность и	правильный многоугольник	.
Если основанием прямой призмы служит	правильный многоугольник	, то и призму называют правильной призмой .
Как можно построить	правильный многоугольник	.
Таким образом , равносторонний треугольник — это	правильный треугольник	, а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Если мы соединим эти точки через одну , то получим	правильный треугольник	.
Опишите словами , как построить с помощью циркуля правильный шестиугольник ,	правильный треугольник	.
Постройте правильный шестиугольник со стороной 4 см. На этом же чертеже , но карандашом другого цвета постройте	правильный треугольник	.
Обратите внимание на такой интересный и важный факт :	правильный шестиугольник	можно составить из правильных треугольников .
Соединив последовательно все полученные точки , вы получите	правильный шестиугольник	.
Легче всего построить	правильный шестиугольник	.
Постройте	правильный шестиугольник	со стороной 4 см. На этом же чертеже , но карандашом другого цвета постройте правильный треугольник .
Опишите словами , как построить с помощью циркуля	правильный шестиугольник	, правильный треугольник .
Какой многоугольник называют	правильным	.
Многоугольник , у которого равны все стороны и все углы , называют	правильным	.
Какие призмы называют	правильными	? .
Какие многоугольники называют	правильными	.
а ) Из 500 ответов , присланных на вопрос телевикторины ,	правильными	оказались 150 .
Какие многоугольники называют	правильными	?
Обратите внимание на такой интересный и важный факт : правильный шестиугольник можно составить из	правильных	треугольников .
Используя изображения	правильных	многогранников или их модели , заполните таблицу .
Сложим три одинаковых	правильных	треугольника ( синие треугольники на рисунке ) .
Свойства	правильных	многоугольников .
Сколько существует	правильных	многогранников .
У каких	правильных	многоугольников есть центр симметрии ? .
На изображены развёртки	правильных	многогранников .
Найдите отношение числа	правильных	ответов к числу всех присланных ответов .
Построение	правильных	многоугольников .
Форму	правильных	многогранников имеют некоторые кристаллы .
Конечным или бесконечным является : а ) множество	правильных	дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
Как бы вы перевели с греческого языка названия других	правильных	многогранников ? .
Пересечение множества всех треугольников и множества	правильных	многоугольников есть множество равносторонних треугольников .
Вы удивитесь , но существует всего лишь пять	правильных	многогранников .
Конечным или бесконечным является : а ) множество	правильных дробей	со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с числителем , равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
У каких	правильных многоугольников	есть центр симметрии ? .
Построение	правильных многоугольников	.
Пересечение множества всех треугольников и множества	правильных многоугольников	есть множество равносторонних треугольников .
Свойства	правильных многоугольников	.
Сложим три одинаковых	правильных треугольника	( синие треугольники на рисунке ) .
Обратите внимание на такой интересный и важный факт : правильный шестиугольник можно составить из	правильных треугольников	.
Их нумеруют против часовой стрелки , начиная с	правой	верхней четверти .
Обратите внимание ещё на одну особенность : всё то , что вы делаете	правой	рукой , ваше отражение делает левой и наоборот .
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные числа , на	правом	луче — положительные , на левом — отрицательные .
На	правом	луче будем , как обычно , отмечать натуральные числа ( т . е .
Ниже в левом столбце записаны некоторые применявшиеся дроби ( в их современной форме ) , а в	правом	- их словесные обозначения .
Поменяем местами его левую и	правую	части .
Зеркальную симметрию организмов , которая выражается в том , что тело делится на	правую	и левую половины , биологи называют билатеральной .
На рисунке левый круг изображает множество А ,	правый	круг — множество В. Вся заштрихованная область — это множество A U В , а область , заштрихованная дважды , — это множество А n В .
Архимед установил , что число π заключено в	пределах	от .
Составьте уравнение по условию задачи : « Коля задумал число ,	прибавил	к нему 7 , результат умножил на 2 и из полученного произведения вычел 10 .
Саша задумал число ,	прибавил	к нему 15 и результат умножил на 10 .
Ученик задумал число ,	прибавил	к нему 7 , эту сумму умножил на 3 , из результата вычел 15 и получил 30 .
Ученик задумал число , вычел из него 1 , результат умножил на 5 , к произведению	прибавил	10 и получил 15 .
а ) Андрей задумал число , вычел из него 10 и получил 15,6 . б ) Таня задумала число ,	прибавила	к нему 1,7 и получила 20,7 .
Так как справа от этого разряда стоит цифра 7 , то	прибавили	единицу к цифре разряда десятых .
и	прибавим	полученную сумму к первоначальному вкладу .
Древнекитайский математик Джань Цань правило сложения отрицательных чисел формулировал так : « Если к одному долгу	прибавить	другой долг , то в результате получится долг , а не имущество » .
Чтобы получить ответ на вопрос задачи , нужно к числу прошлогодних участников	прибавить	число впервые участвовавших в этом году .
Чтобы вычесть из одного числа другое , нужно к уменьшаемому	прибавить	число , противоположное вычитаемому .
Чтобы из одного числа вычесть другое , нужно к уменьшаемому	прибавить	число , противоположное вычитаемому .
Таким образом , чтобы найти разность чисел 2 и 7 , нужно к числу 2	прибавить	число – 7 .
е .	прибавьте	к – 10 число , противоположное 20 .
Нахождение	приближённого	частного .
Число 21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 Первая из них —	приближённое	значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
В настоящее время с помощью компьютера найдено	приближённое	значение π , выраженное десятичной дробью , содержащей более триллиона знаков после запятой .
При этом выбирают такое	приближённое	значение , при котором ошибка получается меньше .
Найдите	приближённое	значение частного , выраженное десятичной дробью с двумя знаками после запятой .
Число 21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая —	приближённое	значение с избытком .
Вот как , например , выглядит	приближённое	значение с десятью знаками после запятой : π 3,1415926535 .
Обратите внимание на последнее	приближённое	равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , сохраняют цифру нуль в разряде сотых .
В расчётах число π заменяют его	приближённым	значением .
В каждом случае определите , какую погрешность вы допустили , заменив точное значение	приближённым	.
В каждом случае найдите разность между полученным	приближённым	значением и данной дробью .
Они	приведены	в следующей таблице .
В таблице на полях	приведены	некоторые легко вычисляемые проценты и соответствующие им дроби .
Результаты	приведены	в таблице .
Часто бывает удобно выражать проценты обыкновенной дробью , и некоторые из этих представлений полезно запомнить , например те , которые	приведены	в таблице на полях .
Опираясь на это свойство ,	приведите	дробь к знаменателю 24 ; сократите дробь .
Дайте словесное описание каждого класса и	приведите	примеры относящихся к нему чисел .
Найдите сумму (	приведите	разные способы вычисления ) .
Для каждого случая	приведите	числовой пример .
Для каждого случая	приведите	примеры .
Сначала	приведём	дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания дробей с равными знаменателями .
Для каждого вида одежды	приведён	процент от общего числа выпускаемых изделий .
Пример объёмной столбчатой диаграммы	приведён	на .
Результат	приведён	в таблице .
Представьте самостоятельно каждую обыкновенную дробь ,	приведённую	в таблице , в виде десятичной и запомните результаты .
Приведите примеры комбинаторных задач , которые имеют ту же математическую модель , что и задачи ,	приведённые	выше .
Выразите проценты ,	приведённые	на диаграмме , в десятичных дробях .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент десятичной дробью можно коротким путём , не проводя	приведённые	выше рассуждения .
Постройте две окружности по данным ,	приведённым	в таблице .
Какие из	приведённых	равенств неверны ?
Удобство обращения с десятичными дробями	привело	к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Например , её нельзя	привести	к знаменателю 10 , так как 10 не делится на 3 .
Чтобы перемножить десятичную дробь и обыкновенную , нужно прежде всего	привести	их к одному виду .
Объясните на примере дробей , как	привести	дроби к общему знаменателю .
Чтобы записать . обыкновенную дробь в виде десятичной , нужно	привести	её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и т .
Значит , дробь — нельзя	привести	ни к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и т .
Понятно , что дробь 1/3 можно	привести	не к любому знаменателю .
2 ) Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала	привести	эти дроби к общему знаменателю , а затем воспользоваться первым правилом .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно	привести	к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Английский просветитель Джон Керси ( XVIII в . ) объяснял это тем , что « доступ к крутым путям дробей »	приводит	некоторых учащихся в такое уныние , что они останавливаются и восклицают : « Non plus ultra ! »
Применяя это свойство , можно	приводить	дроби к новому знаменателю , а также сокращать их .
Если же знаменатели дробей различны , то нужно либо	приводить	их к общему знаменателю , либо пользоваться специальными приёмами .
Не	приводя	дроби к общему знаменателю , установите , какая из них наибольшая .
Как	приводят	дроби к новому знаменателю .
вам представитель семейства	призм	— параллелепипед .
Параллелепипед — это четырёхугольная	призма	.
Существует ли	призма	, у которой 2001 вершина ? .
Что это за	призма	?
Существует ли	призма	, у которой 100 рёбер ? .
Какая это	призма	?
Например ,	призма	, изображённая на рисунке 11.39 , четырёхугольная .
Нижняя часть башни — это куб , а средняя её часть — восьмиугольная	призма	, « вырезанная » из такого же куба .
Существует ли	призма	, у которой 23 грани ? .
Если основанием прямой призмы служит правильный многоугольник , то и призму называют правильной	призмой	.
Известно , что многогранник является либо пирамидой , либо	призмой	.
Такую	призму	можно получить , например , если разрезать параллелепипед , основанием которого является квадрат .
Называют	призму	по числу сторон основания .
Если основанием прямой призмы служит правильный многоугольник , то и	призму	называют правильной призмой .
Назовите каждую	призму	.
Склейте	призму	.
Начертите в тетради такую же	призму	, как на рисунке .
б ) Правильную шестиугольную	призму	распилили на 3 части , как показано на рисунке .
Сделайте развёртку и склейте из неё : а ) правильную треугольную	призму	; б ) правильную шестиугольную призму .
Сделайте развёртку и склейте из неё : а ) правильную треугольную призму ; б ) правильную шестиугольную	призму	.
а ) Нарисуйте пятиугольную	призму	, например такую , как на рисунке .
Назовите эту	призму	.
на те же вопросы для шестиугольной	призмы	.
Развертка	призмы	.
На рисунке изображена развёртка треугольной	призмы	, основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник .
« пятиугольник » ) — здание Министерства обороны США — имеет форму пятиугольной	призмы	( фото справа ) .
б ) У	призмы	33 ребра .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной призмы , все рёбра которой равны 10 см ; б ) правильной пятиугольной	призмы	, боковое ребро которой равно 8 см , ребро основания — 5 см ? .
( Не забудьте сделать клапаны для склеивания	призмы	. ) .
Сколько вершин , рёбер , граней : а ) у семиугольной	призмы	; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Какую форму имеют грани	призмы	? .
Какие	призмы	называют правильными ? .
Если основанием прямой	призмы	служит правильный многоугольник , то и призму называют правильной призмой .
Запишите формулу для вычисления длины I проволоки , которая потребуется на изготовление каркаса правильной n - угольной	призмы	с боковым ребром , равным а см , и ребром основания , равным b см .
в ) У	призмы	22 грани .
Все боковые рёбра прямой	призмы	равны , параллельны и перпендикулярны основаниям .
Покажите , как можно рассечь её на треугольные	призмы	.
Сколько вершин в каждом основании этой	призмы	?
Сколько вершин , рёбер , граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной	призмы	; в ) у n - угольной призмы ? .
Сколько у этой	призмы	вершин ? .
Призмы ( бывают ещё и наклонные	призмы	, но мы их сейчас рассматривать не будем ) .
Среди граней	призмы	различают основания ( их два ) и боковые грани .
а ) Сколько у пятиугольной	призмы	боковых рёбер ?
Рёбра , соединяющие вершины оснований , называют боковыми рёбрами	призмы	.
Сколько плоскостей симметрии у правильной : а ) треугольной призмы ; б ) четырёхугольной	призмы	( не являющейся кубом ) ; в ) пятиугольной призмы ? .
Сколько плоскостей симметрии у правильной : а ) треугольной призмы ; б ) четырёхугольной призмы ( не являющейся кубом ) ; в ) пятиугольной	призмы	? .
Сколько вершин , рёбер , граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной	призмы	? .
а ) У	призмы	2000 вершин .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной	призмы	, все рёбра которой равны 10 см ; б ) правильной пятиугольной призмы , боковое ребро которой равно 8 см , ребро основания — 5 см ? .
Боковые грани прямой	призмы	— прямоугольники .
Сколько плоскостей симметрии у правильной : а ) треугольной	призмы	; б ) четырёхугольной призмы ( не являющейся кубом ) ; в ) пятиугольной призмы ? .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной	призмы	поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
Найдите	произведение	.
Какой знак имеет	произведение	чисел одного знака ?
Вычислим	произведение	умножив число 235 на 120 , мы получили в произведении 28 200 .
Найдите	произведение	чисел .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить числители дробей и их знаменатели и первое	произведение	записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Вычислите	произведение	.
Запишите в виде буквенного выражения	произведение	и сумму двух последовательных натуральных чисел .
На примере вычисления произведения расскажите , как находится	произведение	двух десятичных дробей .
Чтобы найти	произведение	двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Попробуем ответить на вопрос : чему должно быть равно	произведение	, чтобы выполнялось распределительное свойство ? .
Поэтому	произведение	не может быть равно -15 .
Найдём	произведение	.
Запишите в виде буквенного выражения	произведение	пяти последовательных натуральных чисел , начиная с числа .
половина числа Ъ равна 1,5 . д ) разность чисел Ъ и с больше 3 . е )	произведение	чисел 5 и х меньше числа у .
Найдём	произведение	десятичных дробей 3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными дробями .
Как можно найти	произведение	и частное двух целых чисел .
а ) сумма числа х и числа 15 равна 31 . б )	произведение	чисел а и b равно 8 .
Произведение двух чисел одного знака положительно , а	произведение	двух чисел разных знаков отрицательно .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б )	произведение	всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Вычислим	произведение	.
Для натуральных чисел умножение сводится к сложению , поэтому	произведение	— это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
	Произведение	двух чисел ; г ) квадрат суммы двух чисел .
Найдите	произведение	или частное .
Наименьшим числом , которое делится на каждое из них , является их	произведение	— 33 .
в ) В качестве общего знаменателя данных дробей можно взять	произведение	чисел 25 и 15 — число 375 , но такой знаменатель не будет наименьшим .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) разность числа т и суммы чисел 2 и п . д ) удвоенное	произведение	чисел а и Ь .
3 Вычислите	произведение	и частное .
При разложении её знаменателя на простые множители получается	произведение	2 - 2 - 2 .
Разложив на простые множители знаменатель этой дроби , получим	произведение	3 - 5 , содержащее число 3 .
Так как , то . Понятно , что	произведение	, которое получается из произведения перестановкой множителей , тоже должно быть равно -15 .
Например , выражение означает	произведение	всех натуральных чисел от 1 до 50 .
Запишите в виде математического выражения : а )	произведение	всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Теперь мы получили уравнение , в левой части которого	произведение	чисел 2 и х.
а )	произведение	числа 7 на сумму чисел а и Ь . б ) сумму числа 10 и произведения чисел х и у .
Найдём	произведение	чисел 0,215 и 0,33 .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , «	произведение	» , « частное » .
Запишите в виде буквенного выражения	произведение	суммы двух чисел на их разность .
На какие бы целые числа ни домножали знаменатель , множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому	произведение	только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Каким числом — положительным или отрицательным — является	произведение	трёх чисел , если : а ) два числа отрицательны , одно положительно ; б ) одно число отрицательно и два положительны .
Вычисления будут проще , если в	произведении	переставить множители .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа ; в полученном	произведении	отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Если необходим именно такой порядок множителей в	произведении	чисел а и 7 , то точку обязательно ставят , т .
Таким образом , десятичных знаков в	произведении	столько же , сколько их в множителях вместе .
Затем в этом	произведении	мы отделили запятой справа пять цифр ( для этого нам пришлось слева приписать нули ) .
Перемножив числа 215 и 33 , которые получаются , если не обращать внимания на запятые , мы получили в	произведении	число 7095 .
Умножение рациональных чисел , так же как и целых , обладает переместительным и сочетательным свойствами , что позволяет в любом	произведении	произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы .
Как определяют положение запятой в	произведении	десятичной дроби и натурального числа ?
При этом в	произведении	нужно отделять запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Вычислим произведение умножив число 235 на 120 , мы получили в	произведении	28 200 .
Объём параллелепипеда , как известно , равен	произведению	трёх его измерений .
Известно , что пройденный путь равен	произведению	скорости и времени движения ( при условии , что за равные промежутки времени будут пройдены одинаковые отрезки пути ) .
Ученик задумал число , вычел из него 1 , результат умножил на 5 , к	произведению	прибавил 10 и получил 15 .
На примере вычисления	произведения	расскажите , как находится произведение двух десятичных дробей .
Обозначим количество пачек чая по 250 r через х. Так как оба раза речь идёт о расфасовке одного и того же количества чая , то	произведения	равны .
Расположите	произведения	в порядке возрастания их значений .
В каждом случае укажите , сколькими способами можно представить число в виде такого	произведения	.
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные	произведения	сложить .
Представьте число 120 в виде	произведения	нескольких множителей , среди которых есть отрицательные .
а ) произведение числа 7 на сумму чисел а и Ь . б ) сумму числа 10 и	произведения	чисел х и у .
Так как , то . Понятно , что произведение , которое получается из	произведения	перестановкой множителей , тоже должно быть равно -15 .
Представьте число -60 в виде	произведения	: а ) трёх множителей ; б ) четырёх множителей .
Чтобы понять , как перемножают целые числа , рассмотрим четыре	произведения	, множители в которых различаются только знаками .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы выражение которое имеет другой смысл : это сумма числа а и	произведения	чисел b и с .
в ) разность числа с и	произведения	чисел 4 и d . г ) разность числа т и суммы чисел 2 и п . д ) удвоенное произведение чисел а и Ь .
Значение каких выражений равно значению	произведения	ab ?
Сначала , пользуясь правилами знаков , определяют знак	произведения	, а затем перемножают модули множителей .
Например , — сумма числа а и	произведения	чисел Ъ и с .
Чтобы найти модуль	произведения	, нужно перемножить модули множителей .
Представьте данное число в виде произведения двух целых чисел (	произведения	, отличающиеся порядком множителей , считаются одинаковыми ): 2 )
Представьте данное число в виде	произведения	двух целых чисел ( произведения , отличающиеся порядком множителей , считаются одинаковыми ): 2 )
Составьте уравнение по условию задачи : « Коля задумал число , прибавил к нему 7 , результат умножил на 2 и из полученного	произведения	вычел 10 .
Принято считать , что объекты , в которых « присутствует » золотое сечение , воспринимаются людьми как наиболее гармоничные , поэтому соответствующие	пропорции	широко применяются в искусстве , архитектуре .
Этот рисунок он сделал для книги своего друга Луки Пачоли « Божественная	пропорция	» .
Пусть А — множество натуральных чётных чисел , не превосходящих 10 , Б — множество натуральных нечётных чисел , не превосходящих 10 , С — множество	простых чисел	, не превосходящих 10 .
а ) Пусть Р — множество	простых чисел	.
Пусть Р — множество	простых чисел	.
Она проходит через середину основания , перпендикулярна ему и делит	противолежащий	основанию угол пополам .
Можно сказать также , что число – 15 противоположно числу 15 , а число 15	противоположно числу	– 15 .
Можно сказать также , что число – 15	противоположно числу	15 , а число 15 противоположно числу – 15 .
Знак « – » употребляется не только для записи отрицательных чисел , но и для обозначения	противоположного числа	.
прибавлением	противоположного числа	и воспользуемся правилом сложения чисел разных знаков .
При делении любого целого числа на – 1 получается	противоположное число	.
Если поставить знак « – » , то получится	противоположное число	.
Заменим число 0,9 на	противоположное число	( – 0,9 ) и выполним сложение , воспользовавшись правилом сложения отрицательных чисел .
Назовите число ,	противоположное числу	.
Как записать с помощью знака « – » число ,	противоположное числу	а ? .
Назовите число ,	противоположное числу	: а ) 12,8 ; б ) – 10 .
Число ,	противоположное числу	а , обозначают – а .
Выпишите пары точек , координатами которых являются	противоположные числа	.
Найдите сумму	противоположных чисел	.
Сумма	противоположных чисел	равна 0 .
А у	противоположных чисел	, которые изображаются точками , симметричными относительно нуля , модули равны .
Величину расхода мы определили сложением соответствующих	противоположных чисел	.
Сумма	противоположных чисел	равна нулю .
Чему равна сумма	противоположных чисел	? .
О	противоположных числах	говорят , что они отличаются только знаками .
4 Что такое	процент	.
Что такое	процент	.
Вам наверняка приходилось слышать слово «	процент	» и видеть значок , его обозначающий .
Многие из вас даже знают , что такое	процент	.
Произнесите без слова «	процент	» следующие фразы : « мальчики составляют 60 учащихся школы » ; « 12 проданных в этом году книг - это научная фантастика » .
Как находить	процент	от величины .
Объясните , используя слово «	процент	» , что означают следующие утверждения .
И сейчас в речи вы часто можете услышать это словосочетание , которое используется вместо слова «	процент	» .
Слово «	процент	» произошло от латинского термина pro centum , который означает « сотая доля » , а в дословном переводе звучит « на сто » .
Чтобы найти один	процент	от величины , нужно эту величину разделить на 100 .
Что понимают под словом «	процент	» .
Для обозначения слова «	процент	» применяется знак .
Какой	процент	всего населения составляют взрослые ? .
Для каждого вида одежды приведён	процент	от общего числа выпускаемых изделий .
Какой	процент	всего населения составляют дети ?
Значит , у боксёра А	процент	побед выше .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить	процент	десятичной дробью можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
У кого из них	процент	побед выше ? .
Решая задачи на проценты , вы выражали	процент	дробью .
Каков	процент	взрослых в этом конкурсе ?
Как вы знаете ,	процент	— это сотая доля величины : 1 % — это одна сотая , 8 % — это восемь сотых , 17 % — это семнадцать сотых .
Найдите примерный	процент	брака на каждом заводе , округлив результат до единиц .
8 Что такое	процент	?
Представление	процента	десятичной дробью .
Чтобы выразить проценты десятичной дробью , надо число , стоящее перед знаком	процента	, умножить на 0,01 , или , что одно и то же , разделить на 100 .
Будем рассуждать , опираясь на смысл понятия	процента	.
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия	процента	, переходить от процентов к дроби или от дроби к процентам , вычислять с десятичными дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Понятие	процента	.
Иногда при нахождении	процента	от некоторой величины удобно пользоваться обыкновенными дробями — в тех случаях , когда , используя их , вычисления можно выполнить устно .
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к дроби или от дроби к	процентам	, вычислять с десятичными дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Чтобы перейти от десятичной дроби к	процентам	, надо выполнить обратную операцию .
Перейдём от обыкновенных дробей к десятичным , а затем к	процентам	.
Здесь вы познакомитесь с этим понятием подробно и научитесь выполнять вычисления с	процентами	.
Выражение отношения в	процентах	.
Выразив десятичную дробь 1,6 в	процентах	, получим 160 % .
Определите , какую часть от числа бросков составляет число попаданий , и выразите эту часть в	процентах	, если он попал : а ) 2 раза ; б ) 7 раз ; в ) 15 раз ; г ) 16 раз .
Часто данные на круговых диаграммах выражают в	процентах	.
Выразите в	процентах	— стоимости товара ; стоимости товара .
Как десятичную дробь выразить в	процентах	?
Выразите в	процентах	0,09 учащихся школы .
, а затем выразим полученную дробь в	процентах	.
Выражение дроби в	процентах	.
Как обыкновенную дробь выразить в	процентах	? .
Рассмотрим несколько задач , в которых требуется выразить в	процентах	отношение двух величин .
Выразим эту дробь в	процентах	.
Таким образом , чтобы выразить десятичную дробь в	процентах	, надо эту дробь умножить на 100 .
Чтобы выразить в	процентах	обыкновенную дробь , надо сначала превратить её в десятичную .
Выразите в	процентах	избирателей округа .
Как выразить десятичную дробь в	процентах	?
Как выразить в	процентах	обыкновенную дробь ?
Выразите в	процентах	— денежного вклада .
Определите , какая часть семян проросла , и выразите её в	процентах	.
Выразите в	процентах	: а ) 0,24 учащихся школы ; б ) 0,08 учащихся школы ; в ) 0,75 учащихся школы ; г ) 0,09 учащихся школы .
25 Выражение отношения в	процентах	.
Выразите десятичную дробь приближённо в	процентах	, предварительно округлив её до сотых : а ) 0,843 ; б ) 0,1391 ; в ) 0,5016 ; г ) 0,0449 .
Выразите в	процентах	, округлив ответ до единиц : а ) учащихся школы ; в ) населения Хабаровска ; б ) всех книг библиотеки ; г ) семейного бюджета .
Выразите эти доли в	процентах	.
Чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо разделить первое число на второе и выразить полученное отношение в	процентах	.
Выразите эту часть в	процентах	.
Выразите в	процентах	.
В таких случаях иногда удобно выражать полученное отношение в	процентах	.
Как выразить десятичную дробь в	процентах	.
Решим задачу следующим образом : сначала выясним , какую часть составляют свободные места , а затем выразим эту дробь в	процентах	: Ответ : 20 % всех мест не занято .
Для наглядности дробь в таких случаях часто выражают в	процентах	: 0,54 — это 54 % .
Выразите в	процентах	: а ) 0,67 бюджета страны ; б ) 0,4 жителей страны .
Не выполняя вычислений , определите , больше или меньше 50 % получится , если выразить в	процентах	дробь .
Как узнать , сколько	процентов	одно число составляет от другого ?
Сколько	процентов	участников викторины ответило правильно ? .
Сколько	процентов	одно число составляет от другого .
Фраза « а	процентов	от » является сигналом к умножению .
Как найти , сколько	процентов	160 р .
На сколько	процентов	была снижена цена рубашки ? .
Сколько	процентов	от надводной части ледника составляет его подводная часть ?
После того как найдено , сколько	процентов	одна величина составляет от другой , полезно проверить себя , выполнив обратное действие .
Как найти , сколько	процентов	одна величина составляет от другой .
Найдите , сколько	процентов	одна величина составляет от другой .
Проиллюстрируйте это правило на следующем примере : найдите , сколько	процентов	18 кг составляют от 200 кг .
Сколько	процентов	всех мест в самолёте не занято ? .
Чтобы узнать , сколько	процентов	одно число составляет от другого , надо разделить первое число на второе и выразить полученное отношение в процентах .
Фраза « Сколько	процентов	составляет ? »
Вопрос задачи нужно понимать так : сколько	процентов	от первоначальной цены составляет сумма скидки ?
Сколько	процентов	голосов получил победитель ? .
Сколько	процентов	всех боёв боксёр проиграл ? .
На сколько	процентов	понизилась цена кресла ? .
Иногда нужное число	процентов	от величины можно найти совсем просто .
На сколько	процентов	снизилась цена акций ? .
Объясните , как узнать , сколько	процентов	избирателей не пришло на выборы , если в голосовании участвовало 75всех избирателей .
Сколько	процентов	этой суммы осталось на покупку других школьных принадлежностей ? .
На сколько	процентов	добыча угля на « Северной » ниже , чем на « Восточной » ? .
2 ) сколько	процентов	избирателей не проголосовало ни за одного кандидата .
На сколько	процентов	повысилась цена акций ? .
Почти все избиратели , которые пришли на выборы , проголосовали за одного из двух претендентов , и только по поводу пяти	процентов	голосовавших можно предположительно сказать , что они не определились с выбором или же были против обоих кандидатов .
б ) Сколько	процентов	учащихся предпочитает активный отдых ? .
б ) Сколько	процентов	продукции приходится на верхнюю одежду ? .
в ) Сколько	процентов	всех изделий может предназначаться мужчинам ?
Сколько	процентов	от числа осенних ДТП составило число ДТП в зимние месяцы ? .
Найдите : а ) сколько примерно	процентов	от площади Франции составляет площадь Италии ; б ) сколько примерно процентов от площади Италии составляет площадь Франции .
Найдите : а ) сколько примерно процентов от площади Франции составляет площадь Италии ; б ) сколько примерно	процентов	от площади Италии составляет площадь Франции .
Как найти , сколько	процентов	одно число составляет от другого ?
б ) Сколько	процентов	всей дороги было построено за два первых месяца ?
Увеличение и уменьшение на несколько	процентов	.
Итак , чтобы перейти от	процентов	к десятичной дроби , надо число процентов разделить на 100 .
Сколько	процентов	коллекции составляют марки по каждой теме ? .
Сколько	процентов	всей смеси составляет какао ?
Сколько	процентов	всей смеси составляет сахар ? .
Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от	процентов	к дроби или от дроби к процентам , вычислять с десятичными дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Увеличение и уменьшение величины на несколько	процентов	.
Сколько	процентов	всего сплава составляет каждое вещество ? .
Вычисление	процентов	от заданной величины .
Для решения разнообразных задач на проценты важно научиться решать одну из главных задач : находить некоторое число	процентов	от заданной величины .
Итак , чтобы перейти от процентов к десятичной дроби , надо число	процентов	разделить на 100 .
На сколько	процентов	повысилась стоимость коммунальных услуг в 2010 г. по сравнению с 2000 г. ? .
На сколько	процентов	повысился доход в сентябре по сравнению с августом ?
Сколько	процентов	всех учащихся школы составляют девочки ? .
Сколько	процентов	от прошлогодней цены составила новая цена акций ? .
Сколько	процентов	от первоначального выпуска составил выпуск автомобилей через полгода ? .
Сколько	процентов	всех мест автобуса было свободно ? .
Сколько	процентов	всех книг библиотеки на иностранных языках ? .
Стоимость коммунальных услуг в городе Северогорске в 2010 г. выросла в 2,1 раза по сравнению с их стоимостью в 2000 г. Сколько	процентов	составила стоимость коммунальных услуг в 2010 г. от их стоимости в 2000 г. ?
Сколько	процентов	учащихся класса занимается в музыкальной школе ? .
Что называется	процентом	?
Нахождение величины по её	проценту	.
Глава I Дроби и	проценты	.
Для решения разнообразных задач на	проценты	важно научиться решать одну из главных задач : находить некоторое число процентов от заданной величины .
В таблице на полях приведены некоторые легко вычисляемые	проценты	и соответствующие им дроби .
Замените	проценты	дробью и сократите её , если возможно .
Выразите	проценты	дробью и сократите её .
Соотнесите	проценты	( верхняя строка ) и соответствующие им дроби ( нижняя строка ) .
Выразите	проценты	, приведённые на диаграмме , в десятичных дробях .
Глава 6 Отношения и	проценты	.
« главная » задача на	проценты	.
Как	проценты	выразить десятичной дробью ?
Как выразить	проценты	десятичной дробью .
Решая задачи на	проценты	, вы выражали процент дробью .
Теперь при решении задач на	проценты	вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к дроби или от дроби к процентам , вычислять с десятичными дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Выразим	проценты	десятичной дробью .
А так как	проценты	означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить	проценты	десятичной дробью .
Чтобы выразить	проценты	десятичной дробью , надо число , стоящее перед знаком процента , умножить на 0,01 , или , что одно и то же , разделить на 100 .
Выразим десятичной дробью	проценты	в следующих предложениях .
Часто бывает удобно выражать	проценты	обыкновенной дробью , и некоторые из этих представлений полезно запомнить , например те , которые приведены в таблице на полях .
Как решать задачи на	проценты	с использованием десятичных дробей .
24 « Главная » задача на	проценты	.
Величина , от которой вычисляют	проценты	( например , сумма денег на банковском вкладе , длина участка ремонтируемой дороги , количество компьютеров , выпускаемых фирмой , число учащихся в классе ) , составляет 100 своих сотых долей , т .
Как решать задачи на	проценты	.
Как выразить	проценты	десятичной дробью ?
С помощью инструментов вы можете убедиться , что эта	прямая	перпендикулярна линии сгиба , а точки находятся от неё на одинаковом расстоянии .
А	прямая	и окружность ?
Любая	прямая	, проходящая через центр окружности , является её осью симметрии .
А затем	прямая	и окружность вновь не будут иметь общих точек .
Вы уже знаете , что в геометрии самые важные линии — это	прямая	и окружность .
На изображена координатная	прямая	, отмеченные на ней числа являются целыми .
Например , вам известно , что	прямая	бесконечна , что через две точки можно провести только одну прямую .
Эта	прямая	пересекает каждую из параллельных прямых под одним и тем же углом .
Координатная	прямая	.
Через точку А проведена	прямая	, параллельная I. Какие из отрезков ВС , CD и DB эта прямая пересекает , а какие нет ? .
Но	прямая	может пройти и через саму фигуру .
Для обозначения перпендикулярности используют знак , а фразу «	прямая	а перпендикулярна прямой b » записывают так : a Lb .
Представьте себе , что карандаш — это модель прямой , а стол — модель плоскости , в таких случаях в математике говорят , что	прямая	перпендикулярна плоскости .
Является ли проведённая	прямая	осью симметрии фигуры ? .
На рёбрах куба взяты точки О и Р. Пересекает ли	прямая	ОР следующие прямые : AD , DN , KN , ВМ , МК , LN , АВ ? .
Проведите прямую и постройте какую - нибудь окружность радиусом 3 см , для которой эта	прямая	является касательной .
Сколько общих точек могут иметь	прямая	и окружность ? .
Построенная	прямая	параллельна данной прямой .
Пусть дана некоторая	прямая	и требуется начертить прямую , ей параллельную .
На проведены две параллельные прямые а и b и	прямая	с — их общий перпендикуляр .
Через точку А проведена прямая , параллельная I. Какие из отрезков ВС , CD и DB эта	прямая	пересекает , а какие нет ? .
На изображены параллельные прямые и проведена	прямая	, их пересекающая .
Всё время , пока это расстояние будет меньше радиуса ,	прямая	будет пересекать окружность .
Прямая и окружность могут иметь одну общую точку (	прямая	является касательной к окружности ) , две общие точки ( в этом случае прямую называют секущей ) , а могут и не иметь общих точек .
Пусть даны	прямая	l и точка М. Постройте точку , симметричную точке М относительно прямой l .
Расстояние от центра до прямой сначала будет уменьшаться , а после того как	прямая	пройдёт через центр , будет снова увеличиваться .
На , а изображены окружность с центром в точке О и	прямая	, её не пересекающая .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной	прямой	в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Отметьте на	прямой	число : а ) 0,1 ; б ) 0,5 ; в ) 1,8 ; г ) 2,2 .
Отметьте на координатной	прямой	целые числа , заключённые между числами .
между двумя точками . от точки до	прямой	.
В геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой фигуры (	прямой	, окружности и др. ) , расстояние между двумя параллельными прямыми .
а ) Начертите в тетради параллельные прямые k и l. Постройте прямую , симметричную	прямой	к относительно прямой l . б )
а ) Начертите в тетради параллельные прямые k и l. Постройте прямую , симметричную прямой к относительно	прямой	l . б )
Постройте прямую , симметричную	прямой	l относительно прямой к .
( Шоссе проходит здесь строго по	прямой	. ) .
Изобразите дом лесника и шоссе схематически точкой А и	прямой	I.
Чтобы определить расстояние от точки А до	прямой	Ζ , нужно найти ближайшую к А точку этой прямой .
Чтобы определить расстояние от точки А до прямой Ζ , нужно найти ближайшую к А точку этой	прямой	.
Постройте прямую , симметричную прямой l относительно	прямой	к .
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную	прямой	I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой	прямой	I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
Постройте треугольник А3В3С3 , симметричный треугольнику А2В2С2 относительно	прямой	k .
На показан способ построения	прямой	, параллельной данной , с помощью одного угольника .
Воспользуйтесь тем , что прямые , перпендикулярные одной и той же	прямой	, параллельны .
Если основанием	прямой	призмы служит правильный многоугольник , то и призму называют правильной призмой .
Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на прямой т , и постройте симметричный ему четырёхугольник относительно	прямой	т .
Для этого . расположите вдоль	прямой	т одну сторону угольника .
Верно ли , что треугольник А3В3С3 симметричен треугольнику АВС относительно	прямой	т ? .
На построены прямые а и Ъ , перпендикулярные одной и той же	прямой	т .
Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же	прямой	, то они параллельны .
Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника со сторонами а и b , образующими	прямой	угол .
Постройте треугольник , симметричный треугольнику АВС относительно	прямой	т .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую т . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно	прямой	т . б ) Начертите отрезок , пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую т . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т . б ) Начертите отрезок , пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно	прямой	т .
в ) Начертите ломаную из двух звеньев , одна из вершин которой лежит на	прямой	т .
Постройте ломаную , симметричную ей относительно	прямой	т . г )
Назовите все случаи взаимного расположения : а )	прямой	и окружности ; б ) двух окружностей .
С помощью линейки и угольника постройте несколько прямых , параллельных	прямой	Ь . б )
Боковые грани	прямой	призмы — прямоугольники .
Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на	прямой	т , и постройте симметричный ему четырёхугольник относительно прямой т .
Через точку К проведите прямую , параллельную	прямой	а .
Все боковые рёбра	прямой	призмы равны , параллельны и перпендикулярны основаниям .
На координатной	прямой	отмечены точки .
Начертите окружность и постройте симметричную ей окружность относительно	прямой	, которая .
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой	прямой	.
Расстояние от точки до	прямой	измеряется по перпендикуляру , проведённому из этой точки к прямой .
Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру , проведённому из этой точки к	прямой	.
Найдите расстояние от центра окружности до	прямой	.
Отметьте на этой	прямой	число : а ) 0,5 ; б ) 0,75 ; в ) 1,5 ; г ) 1,25 ; д ) 0,125 .
Постройте касательные к окружности : а ) перпендикулярные проведённой	прямой	; б ) параллельные проведённой прямой .
Постройте треугольник , симметричный треугольнику АВС относительно	прямой	k .
Постройте несколько точек , находящихся от	прямой	АВ на расстоянии 2 см. Где расположены все такие точки ? .
Изобразите схематически на координатной	прямой	данное число и ближайшие к нему слева и справа целые числа , затем запишите двойное неравенство , например .
Какое из чисел расположено на координатной	прямой	левее , какое из них меньше .
Покажите , как расположены на координатной	прямой	относительно друг друга данные числа , и сравните их .
Что можно сказать о взаимном расположении	прямой	и окружности в каждом случае ?
На рисунке 10.8 схематически показано , как расположены на координатной	прямой	относительно друг друга числа – 12,5 и – 5 .
По одну сторону от	прямой	I расположены точки А , Б , С и D. Расстояния от этих точек до прямой соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
По одну сторону от прямой I расположены точки А , Б , С и D. Расстояния от этих точек до	прямой	соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
Эти плоскости пересекаются по	прямой	.
Как с помощью циркуля отметить на	прямой	числа ?
Расстояние между параллельными прямыми т и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от	прямой	т .
Определите расстояние от точки А до	прямой	п. Сколько случаев надо рассмотреть ? .
Расскажите , как изобразить на координатной	прямой	число 4 ; число – 7 ; число 3,5 ; число – 3,5 .
а ) Если две прямые пересекаются под прямым углом , то они ... б ) Если две прямые , лежащие в одной плоскости , перпендикулярны одной и той же	прямой	, то они ...
Постройте точку , симметричную точке А относительно	прямой	k .
Найдите расстояние от точки А до прямой а и до	прямой	Ъ .
Найдите расстояние от точки А до	прямой	а и до прямой Ъ .
Откладывая последовательно единичные отрезки вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на	прямой	целых чисел .
Точка , изображающая на координатной	прямой	число 2,7 , расположена левее .
Мы рассмотрели случай , когда две фигуры симметричны относительно некоторой	прямой	.
Постройте треугольник А2В2С2 , симметричный треугольнику А1В1С1 относительно	прямой	т .
Постройте треугольник А1В1С1 , симметричный треугольнику АВС относительно	прямой	k .
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой	прямой	, если при перегибании фигуры по этой прямой её части совпадают .
Как измеряется расстояние от точки до	прямой	? .
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании фигуры по этой	прямой	её части совпадают .
Перечислите все случаи взаимного расположения	прямой	и окружности .
Найдите расстояние от точки А до	прямой	I .
Проведите с помощью линейки и угольника через точку А прямую , перпендикулярную	прямой	к , и прямую , параллельную прямой k .
А чтобы отметить на	прямой	числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от нуля .
Между целыми числами на координатной	прямой	расположены дробные числа , на правом луче — положительные , на левом — отрицательные .
Постройте четыре точки А , В , С и D по следующему условию : АВ = 8 см , АС = 4 см , СВ = 8 см , AD = 6 см , DB = 4 см , точки С и D лежат по разные стороны от	прямой	АВ .
Расстояние от точки до	прямой	.
Отметьте две точки , взяв их по разные стороны от	прямой	.
Найдите расстояние от каждой из этих точек до	прямой	.
На координатной	прямой	точками отмечены числа а , b и с. Какое из следующих утверждений об этих числах верно ? .
Проведите с помощью линейки и угольника через точку А прямую , перпендикулярную прямой к , и прямую , параллельную	прямой	k .
Вы знаете , как отмечают на координатной	прямой	целые числа .
Перенесите в тетрадь и постройте точки , симметричные точкам А , В и С относительно	прямой	к .
С термином « пересечение » вы не раз встречались при изучении геометрии : например , когда находили общие точки двух прямых ,	прямой	и окружности и т .
Моделью	прямой	, перпендикулярной поверхности земли , служит отвес - грузик , закреплённый на конце верёвки .
Отметьте на этой прямой точки С и D так , чтобы четырёхугольник ABCD был симметричен относительно	прямой	АВ .
На изображены два четырёхугольника , симметричные относительно	прямой	k. Какая точка симметрична точке А ?
Так устроен наш мир , что если над гладью водоёма выронить из рук камень , то он упадёт по	прямой	, перпендикулярной поверхности водоёма .
Отметьте одну точку , лежащую на этой	прямой	, и одну точку , не лежащую на этой прямой .
Отметьте на этой	прямой	точки С и D так , чтобы четырёхугольник ABCD был симметричен относительно прямой АВ .
Рассмотрите рисунок четырёхугольники ABCD и симметричны относительно	прямой	k. Симметричные вершины четырёхугольников обозначены одной и той же буквой , но с добавлением индекса — цифры , поставленной внизу .
В какой - то момент расстояние от центра до	прямой	станет равным радиусу и точка М окажется на окружности .
С помощью угольника через каждую из этих точек проведите прямую , перпендикулярную	прямой	k .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С , лежащую на	прямой	k , и точку D , не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую , перпендикулярную прямой k . а ) проходящую через точку С . б ) проходящую через точку D .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С , лежащую на прямой k , и точку D , не лежащую на	прямой	k. С помощью перегибаний постройте прямую , перпендикулярную прямой k . а ) проходящую через точку С . б ) проходящую через точку D .
Развернув лист , вы увидите две точки , расположенные по разные стороны от этой	прямой	.
Если перегнуть по	прямой	, то четырёхугольники AlB1C1D1 и ABCD совпадут .
Точка К симметрична точке М относительно	прямой	l .
отметьте на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от	прямой	l , что и точка М .
Постройте прямоугольный треугольник , у которого стороны , образующие	прямой	угол , равны 4 см и 3 см .
Как построить фигуру , симметричную относительно	прямой	.
Расстояние от центра О до	прямой	равно длине перпендикуляра ОМ .
Построим на координатной	прямой	точки , симметричные точкам с координатами 989 и 1000 относительно точки 0 .
Отметьте на координатной	прямой	числа .
Значит , на координатной	прямой	число 256 расположено правее числа – 104 .
Так , абсциссу 4 , кроме точки А , имеют ещё точки B , С и все точки прямой ВС , а ординату 3 имеют точки М , N и все точки	прямой	MN . Вопросы и задания .
Так , абсциссу 4 , кроме точки А , имеют ещё точки B , С и все точки	прямой	ВС , а ординату 3 имеют точки М , N и все точки прямой MN . Вопросы и задания .
Говорят , что эти точки симметричны относительно	прямой	— линии сгиба .
Мы рассмотрели взаимное расположение двух прямых ,	прямой	и окружности .
Для обозначения перпендикулярности используют знак , а фразу « прямая а перпендикулярна	прямой	b » записывают так : a Lb .
Вы знаете , что если точка А изображает на координатной прямой некоторое число , например 3,5 , то число 3,5 называют координатой точки А и оно определяет положение точки А на	прямой	.
Представьте себе , что карандаш — это модель	прямой	, а стол — модель плоскости , в таких случаях в математике говорят , что прямая перпендикулярна плоскости .
Взаимное расположение	прямой	и окружности .
Пользуясь рисунком расскажите , как построить многоугольник , симметричный данному многоугольнику относительно	прямой	.
Как построить окружность , симметричную данной относительно	прямой	? .
Радиус окружности равен 2 см. На каком рисунке изображён случай , когда расстояние от центра окружности до	прямой	равно 1 см ?
Сколько можно провести касательных к окружности , параллельных некоторой	прямой	? .
Вы знаете , что если точка А изображает на координатной	прямой	некоторое число , например 3,5 , то число 3,5 называют координатой точки А и оно определяет положение точки А на прямой .
Пусть даны прямая l и точка М. Постройте точку , симметричную точке М относительно	прямой	l .
На	прямой	, перпендикулярной отрезку MN и проходящей через его середину .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С , лежащую на прямой k , и точку D , не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую , перпендикулярную	прямой	k . а ) проходящую через точку С . б ) проходящую через точку D .
Вы уже много знаете о	прямой	.
Расстояние от центра до	прямой	сначала будет уменьшаться , а после того как прямая пройдёт через центр , будет снова увеличиваться .
Для этого проведите через точку М прямую , перпендикулярную	прямой	l .
С его помощью можно строить точки , симметричные относительно некоторой	прямой	, и без перегибания листа бумаги .
В таблице даны радиус окружности и расстояние от центра этой окружности до некоторой	прямой	.
Расстояние от центра окружности до	прямой	, см .
Продолжим движение	прямой	к центру .
Точка , симметричная относительно	прямой	.
На координатной	прямой	точками отмечены числа а и b .
Построение фигур , симметричных относительно	прямой	.
Постройте прямоугольный треугольник , у которого стороны , образующие	прямой угол	, равны 4 см и 3 см .
Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника со сторонами а и b , образующими	прямой угол	.
Что такое	прямоугольная	система координат .
б ) Вырежьте из бумаги параллелограмм и перекроите его в	прямоугольник	.
Например , если вы начертите	прямоугольник	со сторонами 5 см и 3 см , то соотношение его размеров даст вам представление о золотом сечении .
а ) Проволоку длиной 24 см согнули в	прямоугольник	.
Нарисуйте какой - нибудь	прямоугольник	, равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью , длины сторон которых ( в см ) выражаются целыми числами ? .
Начертите в тетради этот	прямоугольник	в масштабе .
а ) Перенесите рисунок в тетрадь и покажите , как параллелограмм можно перекроить в	прямоугольник	.
Начертите в тетради	прямоугольник	и проведите все его оси симметрии .
Постройте четвёртую точку D так , чтобы получился	прямоугольник	ABCD .
Начертите какой - нибудь	прямоугольник	, отношение сторон которого равно .
К параллелограммам относятся и такие хорошо вам знакомые фигуры , как	прямоугольник	и квадрат .
Представьте , что параллелограмм разрезали вдоль красного отрезка и из получившихся частей сложили	прямоугольник	.
От других параллелограммов	прямоугольник	отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все углы прямые , и все стороны равны .
а ) Постройте прямоугольник , диагонали которого равны 6 см. Постройте другой	прямоугольник	с такими же диагоналями , не равный первому .
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в	прямоугольник	, а боковая поверхность конуса — в круговой сектор .
Центр симметрии имеет и	прямоугольник	: это точка пересечения его диагоналей .
Так , фасад древнегреческого храма Парфенона вписывается в	прямоугольник	, отношение сторон которого равно золотому сечению .
а ) Постройте	прямоугольник	, диагонали которого равны 6 см. Постройте другой прямоугольник с такими же диагоналями , не равный первому .
Те же квадрат и	прямоугольник	наложены друг на друга .
Параллелограмм удалось перекроить в	прямоугольник	, а способ вычисления площади прямоугольника известен .
Начертите в тетради	прямоугольник	и постройте его центр симметрии .
Закончите предложение : а ) всякий	прямоугольник	является ; б ) всякий ромб является ; в ) всякий квадрат является ...
В сечении каких круглых тел может получиться	прямоугольник	?
Сторона квадрата равна 4 см. Постройте какой - нибудь	прямоугольник	, равновеликий этому квадрату .
Как надо разрезать цилиндр , чтобы в сечении получился	прямоугольник	? .
Запишите формулу периметра	прямоугольника	( длины сторон обозначьте буквами а и Ь ) .
а ) Что больше : диагональ	прямоугольника	или его сторона ? .
Стороны	прямоугольника	60 см и 80 см .
Обозначим длины смежных сторон	прямоугольника	буквами а и b. Тогда .
Какая часть	прямоугольника	закрашена ?
Расскажите о симметрии круга , квадрата ,	прямоугольника	.
На рисунке показаны способы построения : 1 )	прямоугольника	; 2 ) квадрата ; 3 ) ромба ; 4 ) параллелограмма .
Чтобы найти площадь	прямоугольника	, нужно перемножить длины его смежных сторон .
Измерьте длину диагонали прямоугольника на своём чертеже и найдите длину диагонали данного	прямоугольника	.
Чтобы найти периметр	прямоугольника	, можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Периметр	прямоугольника	можно найти и другим способом — сложить длины смежных сторон и результат умножить на 2 .
Измерьте длину диагонали	прямоугольника	на своём чертеже и найдите длину диагонали данного прямоугольника .
б ) Выразите сторону а	прямоугольника	через его периметр Р и сторону .
Получим другую формулу периметра	прямоугольника	.
Прямые МР и KN — оси симметрии	прямоугольника	ABCD .
а ) периметр	прямоугольника	ABCD . б ) периметр прямоугольника КВМО .
Чему равны длины сторон	прямоугольника	, который является частью развёртки ?
Какую длину будет иметь другая сторона этого	прямоугольника	, если одна из сторон равна 8 см ?
Убедитесь , используя кальку , в том , что точка пересечения диагоналей	прямоугольника	- это его центр симметрии .
Диагонали	прямоугольника	равны , а диагонали квадрата не только равны , но и перпендикулярны друг другу .
Является ли диагональ осью симметрии	прямоугольника	? .
Каковы измерения этого	прямоугольника	?
Вычислите периметр и площадь	прямоугольника	, если .
Параллелограмм удалось перекроить в прямоугольник , а способ вычисления площади	прямоугольника	известен .
Достроив каждый треугольник , изображённый на рисунке , до	прямоугольника	, определите площадь треугольника .
Запишите формулу площади	прямоугольника	.
а ) периметр прямоугольника ABCD . б ) периметр	прямоугольника	КВМО .
Действительно , если из равных величин ( площади квадрата и площади	прямоугольника	) вычесть поровну ( площадь белого многоугольника ) , то поровну и останется .
Найдите периметр и площадь	прямоугольника	ABCD .
На сторонах	прямоугольника	возьмите какие - нибудь три точки и постройте симметричные им относительно центра симметрии .
Площадь квадрата равна ( кв. ед . ) , площадь	прямоугольника	равна ( кв. ед . ) .
Обозначим площадь	прямоугольника	буквой S. Тогда .
Чтобы найти площадь изображённого на многоугольника , его можно разбить на прямоугольники или достроить до	прямоугольника	.
Составим формулу периметра и формулу площади	прямоугольника	.
Вы уже знакомы с очень многими геометрическими фигурами , а вот вычислить площадь можете только	прямоугольника	или квадрата .
Например , у	прямоугольника	две оси симметрии .
а ) Возьмите прямоугольный лист бумаги и найдите все оси симметрии этого	прямоугольника	путём перегибания .
Найдём , например , площади квадрата и	прямоугольника	.
Из формулы площади	прямоугольника	выразите а через S и Ь. Найдите сторону а , если .
Формулы периметра треугольника , периметра и площади	прямоугольника	, объёма параллелепипеда .
Сколько осей симметрии у	прямоугольника	и окружности .
Чему равна площадь квадрата , если длины сторон	прямоугольника	равны 1,8 см и 3,4 см ? .
Его называют прямоугольным параллелепипедом : все его грани являются	прямоугольниками	.
Найдите на рисунке все : а ) параллелограммы ; б ) ромбы ; в )	прямоугольники	; г ) квадраты .
Боковые грани прямой призмы —	прямоугольники	.
Чтобы найти площадь изображённого на многоугольника , его можно разбить на	прямоугольники	или достроить до прямоугольника .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует	прямоугольников	с такой площадью , длины сторон которых ( в см ) выражаются целыми числами ? .
Пусть А — множество параллелограммов , В — множество	прямоугольников	, С — множество ромбов .
в ) Пусть К — множество квадратов , Р — множество	прямоугольников	, R — множество параллелограммов .
Составим формулу объёма	прямоугольного	параллелепипеда .
Составьте формулу для вычисления площади	прямоугольного	треугольника со сторонами а и b , образующими прямой угол .
Составим формулу объёма	прямоугольного параллелепипеда	.
Составьте формулу для вычисления площади	прямоугольного треугольника	со сторонами а и b , образующими прямой угол .
Размеры участка земли	прямоугольной	формы 30 м и 50 м .
Эта система координат называется	прямоугольной	или декартовой по имени французского философа и математика Рене Декарта , который первым ввел её в 1637 г .
Почему рассмотренную в пункте систему координат называют	прямоугольной	? .
Постройте	прямоугольную	систему координат и отметьте в ней точки .
Какую площадь внесут в документ , если комната имеет	прямоугольную	форму и её размер .
а ) Возьмите	прямоугольный	лист бумаги и сверните из него боковую поверхность цилиндра .
На рисунке изображена развёртка треугольной призмы , основанием которой является	прямоугольный	равнобедренный треугольник .
Постройте	прямоугольный	треугольник , у которого стороны , образующие прямой угол , равны 4 см и 3 см .
а ) Возьмите	прямоугольный	лист бумаги и найдите все оси симметрии этого прямоугольника путём перегибания .
Постройте	прямоугольный треугольник	, у которого стороны , образующие прямой угол , равны 4 см и 3 см .
Его называют	прямоугольным	параллелепипедом : все его грани являются прямоугольниками .
Его называют	прямоугольным параллелепипедом	: все его грани являются прямоугольниками .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую т . а ) Начертите отрезок , не пересекающий	прямую	т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т . б ) Начертите отрезок , пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т .
а ) Начертите координатную	прямую	с единичным отрезком , равным 6 клеткам .
Используя координатную	прямую	, выясните , какой знак имеет целое число b , если .
Проведите на нём	прямую	и перегните лист по этой прямой .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую т . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т . б ) Начертите отрезок , пересекающий	прямую	т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т .
В этом случае	прямую	k называют касательной к окружности , а точку М — точкой касания .
Точка с координатой 0 делит	прямую	на два луча .
Проведём горизонтальную	прямую	и отметим на ней две точки , изображающие числа 0 и 1 .
На нелинованной бумаге проведите произвольную	прямую	т . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т . б ) Начертите отрезок , пересекающий прямую т , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой т .
Для этого проведите через точку М	прямую	, перпендикулярную прямой l .
Будем теперь перемещать	прямую	параллельно самой себе , приближая её к центру окружности .
Например , на рисунке 10.6 вы видите координатную	прямую	, на которой отмечено несколько положительных и отрицательных чисел .
Начертите координатную	прямую	( единичный отрезок — 2 клетки ) и отметьте на ней числа .
Прямая и окружность могут иметь одну общую точку ( прямая является касательной к окружности ) , две общие точки ( в этом случае	прямую	называют секущей ) , а могут и не иметь общих точек .
Начертим координатную	прямую	и выберем такой единичный отрезок , который удобно делить на 10 равных частей .
Постройте	прямую	, симметричную прямой l относительно прямой к .
Проведите через полученные точки	прямую	.
Начертите координатную	прямую	и отметьте на ней точками числа , модули которых равны 4 ; 2 ; 1,5 ; 0 .
О том , какую	прямую	называют касательной к окружности .
Постройте	прямую	l , относительно которой точки А и В симметричны .
а ) Начертите в тетради параллельные прямые k и l. Постройте	прямую	, симметричную прямой к относительно прямой l . б )
постройте	прямую	d , перпендикулярную радиусу О А и проходящую через точку А. Прямая
Назовите пары прямых , которые пересекают	прямую	а под одним и тем же углом .
Перегибая лист , постройте	прямую	, ей параллельную .
Возьмите лист нелинованной бумаги и проведите на нём	прямую	.
Через точку К проведите	прямую	, параллельную прямой а .
Проведите	прямую	а и отметьте точку К , не лежащую на этой прямой .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С , лежащую на прямой k , и точку D , не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте	прямую	, перпендикулярную прямой k . а ) проходящую через точку С . б ) проходящую через точку D .
Проведите	прямую	и постройте какую - нибудь окружность радиусом 3 см , для которой эта прямая является касательной .
Одна сторона углов 1 и 2 общая , а две другие стороны составляют	прямую	линию .
Если на ровной горизонтальной поверхности провести	прямую	, то перпендикулярную ей вертикальную прямую задаст отвес .
а ) Проведите какую - нибудь	прямую	и обозначьте её буквой b.
Если на ровной горизонтальной поверхности провести прямую , то перпендикулярную ей вертикальную	прямую	задаст отвес .
Через точку О требуется провести	прямую	, которая разбила бы данную фигуру на две равные части .
Проведите в тетради	прямую	, не совпадающую с линиями сетки .
Например , вам известно , что прямая бесконечна , что через две точки можно провести только одну	прямую	.
Начертите какую - нибудь	прямую	АВ .
Начертите какую - нибудь окружность и	прямую	, её не пересекающую .
На листе нелинованной бумаги проведите	прямую	k и отметьте точку С , лежащую на прямой k , и точку D , не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую , перпендикулярную прямой k . а ) проходящую через точку С . б ) проходящую через точку D .
Начертите какую - нибудь	прямую	и постройте с помощью угольника прямую , ей параллельную .
Проведите через его середину	прямую	, перпендикулярную ему .
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите	прямую	ОА по другую сторону от точки О отложите отрезок , равный отрезку ОА Точка В симметрична точке А относительно точки О .
Начертите какую - нибудь прямую и постройте с помощью угольника	прямую	, ей параллельную .
Начертите окружность радиусом 3 см. Проведите какую - нибудь	прямую	через центр окружности .
передвиньте угольник вдоль линейки и проведите	прямую	.
Пусть дана некоторая прямая и требуется начертить	прямую	, ей параллельную .
На нелинованной бумаге проведите	прямую	.
Проведите	прямую	и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Начертите	прямую	k и отметьте точку А , не лежащую на этой прямой .
Как надо провести	прямую	, пересекающую окружность , чтобы длина отрезка , соединяющего точки пересечения , была наибольшей ? .
Проведите с помощью линейки и угольника через точку А	прямую	, перпендикулярную прямой к , и прямую , параллельную прямой k .
С помощью угольника через каждую из этих точек проведите	прямую	, перпендикулярную прямой k .
Проведите с помощью линейки и угольника через точку А прямую , перпендикулярную прямой к , и	прямую	, параллельную прямой k .
Для этого проведите через точку А	прямую	, перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
Начертите	прямую	I и отметьте точку А , не лежащую на этой прямой .
Одна сторона углов 1 и 2 общая , а две другие стороны составляют	прямую линию	.
Используя транспортир , постройте	прямые	, угол между которыми равен : а ) 25 ° ; б ) 70 ° ; в ) 90 ° .
Строим параллельные	прямые	.
На рёбрах куба взяты точки О и Р. Пересекает ли прямая ОР следующие	прямые	: AD , DN , KN , ВМ , МК , LN , АВ ? .
Воспользуйтесь тем , что	прямые	, перпендикулярные одной и той же прямой , параллельны .
Начертите на глаз на нелинованной бумаге	прямые	, пересекающиеся под углом : а ) 90 ° ; б ) 45 ° ; в ) 60 ° .
а ) Начертите в тетради параллельные	прямые	k и l. Постройте прямую , симметричную прямой к относительно прямой l . б )
Постройте	прямые	, пересекающиеся под углом 60 ° .
На плоскости проведены четыре	прямые	.
Понятно , что эти	прямые	где - то пересекутся , правда , это будет уже за страницей учебника .
Но оказывается , на плоскости существуют и такие	прямые	, которые никогда не пересекутся .
Если	прямые	, лежащие в одной плоскости , не пересекаются , то их называют параллельными .
На изображены параллельные	прямые	и проведена прямая , их пересекающая .
О том , что в пространстве есть ещё один случай взаимного расположения прямых -	прямые	могут быть скрещивающимися .
Это очень важное свойство , характеризующее параллельные	прямые	.
На построены	прямые	а и Ъ , перпендикулярные одной и той же прямой т .
Если две	прямые	на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой , то они параллельны .
Две	прямые	на плоскости либо пересекаются , либо параллельны .
Рёбра АВ и LM не параллельны , хотя	прямые	, которым они принадлежат , не пересекаются .
Такие	прямые	называют скрещивающимися .
Обратите внимание : скрещивающиеся	прямые	лежат в разных плоскостях .
Являются ли скрещивающимися	прямые	AD и MN1 прямые BL и DN .
Являются ли скрещивающимися прямые AD и MN1	прямые	BL и DN .
Постройте какую - нибудь окружность , для которой обе эти	прямые	являются касательными .
Как можно начертить параллельные	прямые	.
Параллельные	прямые	.
О том , какие	прямые	называют параллельными .
7 Параллельные	прямые	.
Начертите в тетради пересекающиеся	прямые	к и l ( не являющиеся перпендикулярными ) .
Определите на глаз , параллельны ли	прямые	а и Ъ , и проверьте себя с помощью инструментов .
Начертите две параллельные	прямые	.
Чертим	прямые	.
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя	прямые	, параллельные двум его сторонам .
Постройте две перпендикулярные	прямые	.
6 Пересекающиеся	прямые	.
Найдите АСОК , АКОВ , ABOD , ADOM . б ) Через точку О проведены три	прямые	, ААОС = 130 ° , АЛОВ = 91 ° .
На изображены три параллельные	прямые	.
а ) Если две прямые пересекаются под прямым углом , то они ... б ) Если две	прямые	, лежащие в одной плоскости , перпендикулярны одной и той же прямой , то они ...
Изображены две пересекающиеся	прямые	.
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные	прямые	, увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм .
Начертите на клетчатой бумаге перпендикулярные	прямые	k и т .
В главе 2 мы рассмотрели взаимное расположение двух прямых , и вы узнали , что две	прямые	на плоскости или пересекаются , или не пересекаются , т .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все углы	прямые	, и все стороны равны .
Проведите две пересекающиеся	прямые	и обозначьте точку их пересечения буквой О .
Точка их пересечения О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой , её называют началом координат , а координатные	прямые	называют осями координат .
Для этого на плоскости чертят две перпендикулярные координатные	прямые	; обычно одну из них располагают горизонтально , а другую — вертикально .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные	прямые	, расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм .
Как можно начертить перпендикулярные	прямые	.
На проведены две параллельные	прямые	а и b и прямая с — их общий перпендикуляр .
На изображены две пересекающиеся	прямые	а и b и задана величина одного из углов .
На изображены две	прямые	.
Найдите в окружающей вас обстановке : а ) перпендикулярные прямые ; б )	прямые	, перпендикулярные плоскости .
а ) Если две	прямые	пересекаются под прямым углом , то они ... б ) Если две прямые , лежащие в одной плоскости , перпендикулярны одной и той же прямой , то они ...
В хитросплетении линий развязки , которая носит название « бабочка » , легко различить	прямые	и фрагменты окружности .
В каком случае две	прямые	называют перпендикулярными ? .
Найдите в окружающей вас обстановке : а ) перпендикулярные	прямые	; б ) прямые , перпендикулярные плоскости .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы	прямые	, а у квадрата и все углы прямые , и все стороны равны .
Начертите две параллельные	прямые	, расстояние между которыми равно 4 см .
Перпендикулярные	прямые	можно построить и с помощью угольника , и с помощью транспортира .
Это особый случай взаимного расположения прямых , в этом случае	прямые	называют перпендикулярными .
Пересекающиеся	прямые	.
а ) Если две прямые пересекаются под	прямым	углом , то они ... б ) Если две прямые , лежащие в одной плоскости , перпендикулярны одной и той же прямой , то они ...
Назовите рёбра многогранника , принадлежащие скрещивающимся	прямым	.
а ) Если две прямые пересекаются под	прямым углом	, то они ... б ) Если две прямые , лежащие в одной плоскости , перпендикулярны одной и той же прямой , то они ...
Расстояние между параллельными	прямыми	т и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой т .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними	прямыми	на 5 мм .
Начертите произвольный треугольник АВС , не имеющий с проведёнными	прямыми	ни одной общей точки .
Длину этого отрезка и называют расстоянием между параллельными	прямыми	.
Расскажите , как найти расстояние между двумя параллельными	прямыми	.
Расстояние между параллельными	прямыми	.
между двумя параллельными	прямыми	.
В геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой фигуры ( прямой , окружности и др. ) , расстояние между двумя параллельными	прямыми	.
На проведены две пары параллельных	прямых	.
С параллельностью	прямых	связаны многие важные факты , некоторые из них вам уже известны .
Найдите на все пары перпендикулярных	прямых	.
Назовите углы , смежные с углом СОК ; АОМ ; KOD . а ) Сколько пар смежных углов образуется при пересечении двух	прямых	? .
В главе 2 мы рассмотрели взаимное расположение двух	прямых	, и вы узнали , что две прямые на плоскости или пересекаются , или не пересекаются , т .
Мы рассмотрели взаимное расположение двух	прямых	, прямой и окружности .
Сумма трёх углов , образовавшихся при пересечении двух	прямых	, равна 240 ° .
Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей определите , сколько можно провести различных	прямых	, касающихся обеих окружностей .
Теперь мы рассмотрим взаимное расположение двух	прямых	.
У этих углов общая вершина — точка пересечения	прямых	.
Таким образом , при пересечении двух	прямых	образуются две пары вертикальных углов .
Может оказаться так , что все четыре угла , образовавшиеся при пересечении двух	прямых	, равны между собой .
Это особый случай взаимного расположения	прямых	, в этом случае прямые называют перпендикулярными .
На одной из	прямых	отложите циркулем равные отрезки ОА и ОС , а на другой — равные отрезки ОВ и OD .
Один из углов , образовавшихся при пересечении двух	прямых	, равен : а ) 20 ° ; б ) 105 ° .
О том , что в пространстве есть ещё один случай взаимного расположения	прямых	- прямые могут быть скрещивающимися .
Углы при пересечении	прямых	.
Эта прямая пересекает каждую из параллельных	прямых	под одним и тем же углом .
С помощью линейки и угольника постройте несколько	прямых	, параллельных прямой Ь . б )
Найдите расстояние между каждой парой этих	прямых	.
Б. Отрезки , которые лежат на параллельных	прямых	.
Изобразите все случаи взаимного расположения трёх	прямых	на плоскости ( всего их 4 ) .
Назовите пары	прямых	, которые пересекают прямую а под одним и тем же углом .
Найдите на четыре пары параллельных	прямых	.
На каком свойстве параллельных	прямых	основан этот способ ? .
Приведите примеры параллельных и скрещивающихся	прямых	, которые встречаются в комнате , на улице .
Какие рёбра пирамиды лежат на скрещивающихся	прямых	? .
В пространстве возможен ещё один случай взаимного расположения двух	прямых	.
С термином « пересечение » вы не раз встречались при изучении геометрии : например , когда находили общие точки двух	прямых	, прямой и окружности и т .
б ) Один из углов , образовавшихся при пересечении двух	прямых	, равен 40 ° .
Какая из четырёх параллельных	прямых	является касательной к окружности ? .
Такое множество называют	пустым множеством	и обозначают символом .
Рельсы на прямолинейном участке железнодорожного	пути	должны быть параллельными : они не могут сближаться или удаляться .
Какую часть	пути	проехал автомобиль за 1 ч , если он , двигаясь с одной и той же скоростью , весь путь проехал за 2 ч ?
Известно , что пройденный путь равен произведению скорости и времени движения ( при условии , что за равные промежутки времени будут пройдены одинаковые отрезки	пути	) .
Расстояние — это всегда длина кратчайшего	пути	.
В первый час он прошёл 40 всего	пути	, во второй час — 50 остатка .
При решении задач на движение приходится не только вычислять пройденный путь , но и по известным пути и времени движения находить скорость , а также по известным	пути	и скорости определять время движения .
Формула	пути	.
б ) За неделю туристы проехали 30запланированного	пути	на велосипедах и 50пути на автобусе .
Так , отношение	пути	ко времени — это скорость .
Какая величина является отношением	пути	ко времени ?
При решении задач на движение приходится не только вычислять пройденный путь , но и по известным	пути	и времени движения находить скорость , а также по известным пути и скорости определять время движения .
Тогда он прошёл	путь	, равный ( км ) .
Если	путь	измерен в километрах , а время — в часах , то скорость будет выражена в километрах в час .
Нетрудно записать и формулу , по которой находят	путь	при равномерном движении .
Какую часть пути проехал автомобиль за 1 ч , если он , двигаясь с одной и той же скоростью , весь	путь	проехал за 2 ч ?
Какой	путь	он проезжает за 1 мин ? .
Обозначим скорость движения буквой и , время движения буквой t , а пройденный	путь	буквой а .
Весь ли	путь	проехали туристы за неделю ? .
Известно , что пройденный	путь	равен произведению скорости и времени движения ( при условии , что за равные промежутки времени будут пройдены одинаковые отрезки пути ) .
При решении задач на движение приходится не только вычислять пройденный	путь	, но и по известным пути и времени движения находить скорость , а также по известным пути и скорости определять время движения .
Какой	путь	он проедет , двигаясь с той же скоростью , за 2 ч ?
Говорят , что в первом равенстве	путь	а выражен через v и t , во втором время t выражено через а и v , в третьем скорость v выражена через s и t. Упражнения .
Как проложить кратчайший	путь	от дома лесника до озера ?
Самый короткий	путь	из точки А в точку В — отрезок АВ .
Земля , вращаясь вокруг Солнца , движется со скоростью 29,8 км / с. Какой	путь	проделает Земля за 10 с ? .
Английский просветитель Джон Керси ( XVIII в . ) объяснял это тем , что « доступ к крутым	путям	дробей » приводит некоторых учащихся в такое уныние , что они останавливаются и восклицают : « Non plus ultra ! »
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент десятичной дробью можно коротким	путём	, не проводя приведённые выше рассуждения .
Вы сами экспериментальным	путём	могли убедиться , что π 3 , но это приближение достаточно грубое .
Существует и	пятиугольник	с такими же свойствами , и шестиугольник , и вообще многоугольник с любым числом сторон .
В таком случае говорят , что окружность вписана в	пятиугольник	или что пятиугольник описан вокруг окружности .
«	пятиугольник	» ) — здание Министерства обороны США — имеет форму пятиугольной призмы ( фото справа ) .
Постройте правильный	пятиугольник	по следующему плану .
В таком случае говорят , что окружность вписана в пятиугольник или что	пятиугольник	описан вокруг окружности .
Пересекаясь , касательные образуют	пятиугольник	.
	Пятиугольника	?
Внутренний двор здания имеет форму правильного	пятиугольника	.
Вычислите периметр правильного	пятиугольника	со стороной 12 см , правильного шестиугольника со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного n - угольника .
правильного	пятиугольника	?
Обратите внимание : окружность касается каждой стороны	пятиугольника	.
Какое из приближённых	равенств	точнее .
В математике правила часто записывают с помощью	равенств	, содержащих буквы .
Какие из приведённых	равенств	неверны ?
Такие же	равенства	можно записать и с единицами измерения массы — тоннами , килограммами , граммами .
Обычно при решении уравнений рассуждения проводят устно , а получившиеся	равенства	записывают одно под другим .
Воспользуйтесь результатами эксперимента с калькой и допишите	равенства	.
Объясните , почему верны	равенства	.
Покажите , что верны	равенства	.
Запишите соответствующие	равенства	с помощью знака модуля и прочитайте их .
Не выполняя вычислений , для каждого выражения из первой строки подберите равное ему выражение из второй и запишите соответствующие	равенства	.
Покажем , что верны	равенства	.
Такие	равенства	называют уравнениями .
Говорят , что в первом	равенстве	путь а выражен через v и t , во втором время t выражено через а и v , в третьем скорость v выражена через s и t. Упражнения .
Закончите	равенство	.
Последнее	равенство	показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков сложения — просто выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
Возьмём	равенство	.
Какое число надо записать в скобках , чтобы получилось верное	равенство	.
Закончите	равенство	, в котором большими буквами обозначены некоторые множества .
Корень уравнения — это число , при подстановке которого в уравнение получается верное	равенство	.
Закончите	равенство	. и дайте словесную формулировку этого свойства .
Симметрия и	равенство	.
Так как , то можно записать	равенство	.
Подберите число и подставьте его вместо многоточия так , чтобы получилось верное	равенство	.
Запишите	равенство	, заменив вычитание сложением .
Именно это мы показываем , записывая	равенство	.
Подберите и подставьте вместо многоточия такое число , чтобы получилось верное	равенство	.
Существуют ли такие значения х , при которых выполняется данное	равенство	?
Мы записали	равенство	, которое содержит неизвестное число , обозначенное буквой .
Какое число надо подставить вместо х , чтобы получилось верное	равенство	.
Запишите соответствующее	равенство	и выполните вычисление .
Записанное	равенство	— формула периметра треугольника .
Обратите внимание на последнее приближённое	равенство	: чтобы показать , что округление проведено до сотых , сохраняют цифру нуль в разряде сотых .
Симметрия	равнобедренного	треугольника .
Есть ось симметрии и у	равнобедренного	треугольника .
Симметрия	равнобедренного треугольника	.
Есть ось симметрии и у	равнобедренного треугольника	.
В	равнобедренном	треугольнике одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является основанием ? .
В	равнобедренном треугольнике	одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является основанием ? .
Перегибая лист бумаги , постройте	равнобедренный	треугольник .
Ось симметрии разбивает	равнобедренный	треугольник на две равные части .
	Равнобедренный	треугольник , основание которого равно 4 см , а боковая сторона равна 5 см .
Начертите	равнобедренный	треугольник со сторонами 3 см , 5 см и 5 см. Проведите ось симметрии .
На рисунке изображена развёртка треугольной призмы , основанием которой является прямоугольный	равнобедренный	треугольник .
Постройте : а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б )	равнобедренный	треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в ) равносторонний треугольник со стороной 5 см .
Прямоугольник ,	равнобедренный	треугольник , окружность .
Постройте	равнобедренный	треугольник , боковые стороны которого равны 5 см , а угол между ними равен : а ) 40 ° ; б ) 110 ° .
Начертите	равнобедренный треугольник	со сторонами 3 см , 5 см и 5 см. Проведите ось симметрии .
Постройте	равнобедренный треугольник	, боковые стороны которого равны 5 см , а угол между ними равен : а ) 40 ° ; б ) 110 ° .
Ось симметрии разбивает	равнобедренный треугольник	на две равные части .
На рисунке изображена развёртка треугольной призмы , основанием которой является прямоугольный	равнобедренный треугольник	.
Перегибая лист бумаги , постройте	равнобедренный треугольник	.
Постройте : а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б )	равнобедренный треугольник	, основание которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в ) равносторонний треугольник со стороной 5 см .
Прямоугольник ,	равнобедренный треугольник	, окружность .
	Равнобедренный треугольник	, основание которого равно 4 см , а боковая сторона равна 5 см .
А если взять два равных	равнобедренных	треугольника ?
Пусть А — множество всех треугольников , В — множество	равнобедренных	треугольников , С — множество равносторонних треугольников .
А если взять два равных	равнобедренных треугольника	?
Пусть А — множество всех треугольников , В — множество	равнобедренных треугольников	, С — множество равносторонних треугольников .
Например ,	равновеликие	тетраэдр и куб не равносоставлены — их нельзя разбить на попарно равные части .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник ,	равновеликий	квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью , длины сторон которых ( в см ) выражаются целыми числами ? .
Сторона квадрата равна 4 см. Постройте какой - нибудь прямоугольник ,	равновеликий	этому квадрату .
Так , в одной из трёх знаменитых задач древности - задаче о квадратуре круга - требуется построить циркулем и линейкой квадрат ,	равновеликий	данному кругу .
Какие фигуры называют	равновеликими	? .
Две фигуры , имеющие одинаковую площадь , называются	равновеликими	.
Какие фигуры называют равносоставленными , а какие -	равновеликими	.
Нарисуйте несколько фигур ,	равновеликих	фигуре , изображённой на .
В	равностороннем	треугольнике , как вы знаете , равны и все стороны , и все углы .
В	равностороннем треугольнике	, как вы знаете , равны и все стороны , и все углы .
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; 2 ) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте	равносторонний	треугольник ;
Начертите в тетради	равносторонний	треугольник и проведите все его оси симметрии .
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги	равносторонний	треугольник со стороной 9 см ; 2 ) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ;
Постройте	равносторонний	треугольник АВС со стороной 4 см .
а ) треугольник со сторонами 4 см , 6 см и 7 см . б )	равносторонний	треугольник со стороной 5 см .
Таким образом ,	равносторонний	треугольник — это правильный треугольник , а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Таким образом , если треугольник	равносторонний	, то .
Постройте : а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в )	равносторонний	треугольник со стороной 5 см .
Из проволоки согнули квадрат со стороной 8,4 см. Из этой же проволоки согнули	равносторонний	треугольник .
Постройте : а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в )	равносторонний треугольник	со стороной 5 см .
Постройте	равносторонний треугольник	АВС со стороной 4 см .
Начертите в тетради	равносторонний треугольник	и проведите все его оси симметрии .
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; 2 ) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте	равносторонний треугольник	;
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги	равносторонний треугольник	со стороной 9 см ; 2 ) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ;
Из проволоки согнули квадрат со стороной 8,4 см. Из этой же проволоки согнули	равносторонний треугольник	.
а ) треугольник со сторонами 4 см , 6 см и 7 см . б )	равносторонний треугольник	со стороной 5 см .
Таким образом ,	равносторонний треугольник	— это правильный треугольник , а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Треугольник , у которого все стороны равны , называется	равносторонним	.
два равных	равносторонних	треугольника ? .
Пусть А — множество всех треугольников , В — множество равнобедренных треугольников , С — множество	равносторонних	треугольников .
Пересечение множества всех треугольников и множества правильных многоугольников есть множество	равносторонних	треугольников .
два равных	равносторонних треугольника	? .
Пересечение множества всех треугольников и множества правильных многоугольников есть множество	равносторонних треугольников	.
Пусть А — множество всех треугольников , В — множество равнобедренных треугольников , С — множество	равносторонних треугольников	.
Когда через трёхмерное существо проходят две или более плоскости симметрии , биологи говорят о	радиальной	симметрии .
Вычислите длину окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м . а ) Вычислите площадь круга ,	радиус	которого равен 100 м ; 20 см . б )
Вычислите длину окружности ,	радиус	которой равен 7,5 см ; 5 м . а ) Вычислите площадь круга , радиус которого равен 100 м ; 20 см . б )
Существует и формула площади круга : где S — площадь круга , г —	радиус	круга В эту формулу тоже входит число к .
Вычислите объём шара ,	радиус	которого равен 3 см ; 1 м .
Возьмём отрезок MN и проведём две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в точках М и N. ( Чтобы эти окружности пересеклись ,	радиус	каждой из них должен быть больше половины отрезка MN . )
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр ,	радиус	и диаметр .
Известен	радиус	третьей окружности и расстояние между центрами .
а ) Радиус меньшей окружности равен 3 см ,	радиус	большей — 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей ? .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности ,	радиус	которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
Пусть	радиус	одной окружности равен 4 см , а другой - 3 см. В каком случае касание окружностей будет внешним , а в каком внутренним ? .
Найдите длину окружности ,	радиус	которой равен 10 см .
Радиус одной из них равен 4 см , а расстояние между центрами окружностей — 7 см. Найдите	радиус	другой окружности .
Чему равен	радиус	основания цилиндра ? .
Сначала найдём	радиус	арены .
Объём шара равен где r —	радиус	шара .
В таблице даны	радиус	окружности и расстояние от центра этой окружности до некоторой прямой .
К окружности ,	радиус	которой равен 6 см , проведены две параллельные касательные .
Пусть дана окружность с центром в точке О и на ней отмечена точка А. Проведите касательную к окружности в точке А. Для этого : 1 ) проведите	радиус	ОА ; 2 )
Сколько осей симметрии имеет фигура , состоящая из трёх окружностей одинакового	радиуса	?
Всё время , пока это расстояние будет меньше	радиуса	, прямая будет пересекать окружность .
Оно больше	радиуса	окружности .
проведите окружность произвольного	радиуса	с центром в вершине углов .
Начертите три концентрические окружности с	радиусами	2 см , 3 см , 4 см .
Начертите окружности	радиусами	2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше длины первой ?
В какой - то момент меньшая окружность коснётся большей , а расстояние ОР между центрами станет равным сумме	радиусов	.
Меньшая окружность целиком находится вне большей , и , как вы видите из рисунка , в этом случае расстояние ОР между их центрами больше суммы	радиусов	.
Дополните предложение : « Две окружности пересекаются , если расстояние между их центрами суммы радиусов окружностей , но разности их	радиусов	» .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей	радиусов	3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
Возьмём отрезок MN и проведём две пересекающиеся окружности равных	радиусов	с центрами в точках М и N. ( Чтобы эти окружности пересеклись , радиус каждой из них должен быть больше половины отрезка MN . )
Нарисуйте в тетради « линзу » , образованную двумя пересекающимися окружностями равных	радиусов	.
Проведём ещё пару окружностей равных	радиусов	— одну с центром в точке М , а другую с центром в точке N. И ещё .
Обратите внимание на то , что в первом построении окружности не пересеклись , потому что расстояние между их центрами больше суммы их	радиусов	.
В этом случае расстояние ОР между центрами станет равным разности	радиусов	.
Дополните предложение : « Две окружности пересекаются , если расстояние между их центрами суммы	радиусов	окружностей , но разности их радиусов » .
Во втором построении окружности не пересеклись , так как расстояние между центрами равно сумме	радиусов	.
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных	радиусов	, касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
В другой такой же куб поместили 8 шаров	радиусом	1 ед .
б ) Можно ли поместить в куб с ребром 7 см шар	радиусом	4 см ? .
А шаров	радиусом	1 см ? .
Проведите прямую и постройте какую - нибудь окружность	радиусом	3 см , для которой эта прямая является касательной .
Проведите окружности с центрами в вершинах треугольника и	радиусом	, равным 2 см .
Проведите эти окружности : с меньшим	радиусом	— от руки , с большим с помощью циркуля .
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А	радиусом	3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В	радиусом	4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С	радиусом	4 см .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А	радиусом	3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
Начертите окружность	радиусом	3 см. Проведите какую - нибудь прямую через центр окружности .
В какой - то момент расстояние от центра до прямой станет равным	радиусу	и точка М окажется на окружности .
Чтобы разделить окружность на шесть равных частей , достаточно « пройтись » по окружности циркулем с шагом , равным её	радиусу	.
постройте прямую d , перпендикулярную	радиусу	О А и проходящую через точку А. Прямая
На рисунке точки пересечения окружностей обозначены буквами А и В. Точка А находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка ( оно равно	радиусу	окружности ) .
Касательная перпендикулярна	радиусу	окружности , проведённому в точку касания .
Как только оно опять станет равным	радиусу	, мы получим ещё одну касательную .
Будем проводить окружности с центром в точке А , увеличивая их	радиусы	, пока одна из них « не достигнет » озера .
Пересекаются ли окружности , если их	радиусы	равны 4 см и 3 см , а расстояние между центрами : а ) 7 см ; б ) 6 см ; в ) 8 см ? .
Кольцо ограничено двумя окружностями ,	радиусы	которых равны 3 см и 5 см. Чему равна площадь этого кольца ? .
Найдите	радиусы	первых двух окружностей .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их	радиусы	? .
Расстояние между центрами окружностей равно 2,5 см. Чему равны	радиусы	окружностей ? .
Обратите обыкновенную дробь в десятичную ,	разделив	уголком числитель на знаменатель .
Он	разделил	между ними пакет с кормом в отношении , равном отношению их масс .
а ) Ученик задумал число , умножил его на 2 , из результата вычел 15 , полученный ответ	разделил	на 10 и получил 0 .
Однако Таня нашла себе трёх помощниц , с которыми	разделила	свою часть работы поровну .
Продолжите линию так , чтобы она	разделила	квадрат на две равные части .
Минуту	разделили	на 60 равных частей , получили секунду .
Сначала	разделили	на 3 целую часть дроби 7,47 и поставили в частном запятую .
Они	разделили	всю работу поровну .
Одну из них	разделили	ещё на 3 равные части .
Отрезок длиной 36 см	разделили	на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
б ) К имеющимся конфетам добавили 19 конфет и все конфеты	разделили	поровну между 8 детьми .
Сначала мы	разделили	числитель и знаменатель на 2 , потом ещё раз на 2 , затем на 3 и , наконец , на 9 .
Градус	разделили	на 60 равных частей , получили минуту , которая равна — 1/60 градуса .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,364 ,	разделим	на 10 равных частей сотую часть единичного отрезка , которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,36 ,	разделим	на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
а ) Чтобы построить точку , соответствующую числу 0,3 ,	разделим	отрезок между точками 0 и 1 на 10 равных частей и отсчитаем от точки 0 три такие части .
Сначала избавимся от дробей , умножив оба члена отношения на 10 , а затем	разделим	оба члена нового отношения на их общий делитель .
Теперь	разделим	56 на 80 , чтобы узнать , какую часть число 56 составляет от числа 80 .
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; 2 ) каждую сторону треугольника	разделите	на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ;
Поэтому , чтобы найти 10 какой - либо величины , достаточно	разделить	эту величину на 10 .
Чтобы	разделить	число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
	Разделить	их на равные части так , чтобы три из этих частей отдать пятиклассникам , а четыре — шестиклассникам .
Таким образом , надо	разделить	35 билетов в отношении , т .
Решили , что будет справедливо	разделить	билеты между пятыми и шестыми классами в том же отношении , в котором находится число пятиклассников к числу шестиклассников , т .
В таких случаях говорят :	разделить	величину в данном отношении .
а ) Чтобы найти половину некоторого числа , нужно это число	разделить	на или умножить на .
Построить правильный многоугольник можно так :	разделить	окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления отрезками .
Если умножить или	разделить	оба члена отношения на одно и то же число , не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
Можно было сделать это и иначе : например , сразу	разделить	числитель и знаменатель на 4 и т .
б ) Чтобы найти четверть некоторого числа , нужно это число	разделить	на или умножить на .
к более крупным единицам , нужно 175	разделить	на 100 .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно	разделить	на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Попробуем теперь	разделить	ту же дробь 851,3 на 10 000 .
Чтобы	разделить	десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и т .
Чтобы	разделить	одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на дробь , обратную второй .
Чтобы найти модуль частного , надо модуль делимого	разделить	на модуль делителя .
Если числитель и знаменатель дроби умножить или	разделить	на одно и то же число , отличное от нуля , то получится дробь , равная данной .
Как	разделить	величину в заданном отношении .
Чтобы узнать , какую часть одно число составляет от другого , надо первое число	разделить	на второе .
Имея дроби , мы всегда можем	разделить	одно натуральное число на другое ( чего нельзя сделать , если ограничиться только натуральными числами ) .
Чтобы найти один процент от величины , нужно эту величину	разделить	на 100 .
На примере вычисления частного расскажите , как можно	разделить	уголком десятичную дробь на десятичную .
Чтобы	разделить	окружность на шесть равных частей , достаточно « пройтись » по окружности циркулем с шагом , равным её радиусу .
На какое число нужно умножить или	разделить	число 25,6 , чтобы в результате получилось .
Чтобы найти число по его части , нужно эту часть	разделить	на дробь , ей соответствующую .
Чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо	разделить	первое число на второе и выразить полученное отношение в процентах .
А если каждую из шести дуг окружности	разделить	пополам , то мы сможем построить правильный двенадцатиугольник .
Итак , чтобы перейти от процентов к десятичной дроби , надо число процентов	разделить	на 100 .
Чтобы выразить проценты десятичной дробью , надо число , стоящее перед знаком процента , умножить на 0,01 , или , что одно и то же ,	разделить	на 100 .
Чтобы найти одну пятую часть всех жителей , надо 32 000	разделить	на 2 .
Отрезок АВ	разделён	точкой С на две части так , что АС = 18 см , ВС = 9 см .
Квадрат	разделён	на 16 маленьких квадратов , один из которых окрашен .
д. При	разложении	каждого из этих чисел на простые множители получается одинаковое число двоек и пятёрок .
При	разложении	её знаменателя на простые множители получается произведение 2 - 2 - 2 .
Никаких других множителей эти	разложения	не содержат .
Учитель	разложил	весь имеющийся мел в две коробки в отношении .
а ) Все конфеты	разложили	поровну в 8 коробок .
Сколькими способами можно	разложить	три разные по достоинству монеты в два кармана ? .
На примерах вычисления суммы и	разности	чисел 28,4 и 16,65 расскажите , как складывают и вычитают десятичные дроби .
В этом случае расстояние ОР между центрами станет равным	разности	радиусов .
Это определение	разности	мы распространим и на целые числа .
2,13 ; 4,85 все возможные	разности	и вычислите их значения .
Дополните предложение : « Две окружности пересекаются , если расстояние между их центрами суммы радиусов окружностей , но	разности	их радиусов » .
Вычисление	разности	целых чисел .
Сформулируйте правило вычисления	разности	двух целых чисел и запишите его с помощью букв .
поставить в	разности	запятую под запятой в данных дробях .
Представьте число – 10 в виде	разности	двух целых чисел разными способами .
На примере вычисления суммы и	разности	чисел 5,63 и 4,972 объясните , как складывают и как вычитают десятичные дроби .
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Сколько различных	разносторонних	треугольников можно построить из этих отрезков ? .
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Сколько различных	разносторонних треугольников	можно построить из этих отрезков ? .
Найдём	разность	. .
В каждом случае найдите	разность	между полученным приближённым значением и данной дробью .
Найдите	разность	.
Найдём	разность	.
Чтобы найти	разность	десятичных дробей , нужно .
в )	разность	числа с и произведения чисел 4 и d . г ) разность числа т и суммы чисел 2 и п . д ) удвоенное произведение чисел а и Ь .
Итак ,	разность	равна – 5 .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , «	разность	» , « произведение » , « частное » .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г )	разность	числа т и суммы чисел 2 и п . д ) удвоенное произведение чисел а и Ь .
Как можно вычислить	разность	двух целых чисел .
Запишите в виде буквенного выражения произведение суммы двух чисел на их	разность	.
Найдите сумму или	разность	.
Это означает , что	разность	между числом участников этого и прошлого года равна 50 .
2 ) Чтобы найти сумму или	разность	дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю , а затем воспользоваться первым правилом .
Подсказка , а ) это	разность	чисел – 10 и 20 ; представьте её в виде суммы , т .
Чтобы найти сумму ( или	разность	) дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму ( или разность ) их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Чтобы найти сумму ( или разность ) дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму ( или	разность	) их числителей , а знаменатель оставить прежним .
половина числа Ъ равна 1,5 . д )	разность	чисел Ъ и с больше 3 . е ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Если надо выяснить , на сколько одно число больше ( меньше ) другого , вычисляют	разность	этих чисел .
Если вы хорошо научились складывать целые числа , то сумеете вычислить и их	разность	.
Таким образом , чтобы найти	разность	чисел 2 и 7 , нужно к числу 2 прибавить число – 7 .
Вспомним , что	разностью	чисел а и b называется такое число с , которое при сложении с числом b даёт число а .
Третьим идёт	разряд	тысячных и т .
Как и натуральные числа , их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим —	разряд	под разрядом , как это показано рядом .
В первом разряде после запятой указывают число десятых долей ; его так и называют —	разряд	десятых .
Например , в десятичной дроби 0,0105 последний	разряд	— это десятитысячные .
Подчеркните	разряд	, до которого число округляют , и посмотрите на цифру , расположенную справа от него .
Во втором указывают число сотых долей — это	разряд	сотых .
записать дроби в столбик —	разряд	под разрядом , запятую под запятой .
Но у дроби 2,5081 есть ещё и четвёртая цифра , а у дроби 2,508 соответствующий	разряд	отсутствует , поэтому .
Цифра 0 говорит об отсутствии единиц соответствующего	разряда	.
Десятичную дробь читают следующим образом : сначала читают её часть , стоящую до запятой , и добавляют слово « целых » , затем читают часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего	разряда	.
Отбросьте цифры , расположенные правее подчёркнутого	разряда	, а к цифре этого разряда прибавьте 1 .
Так как справа от этого разряда стоит цифра 7 , то прибавили единицу к цифре	разряда	десятых .
Так как справа от этого	разряда	стоит цифра 7 , то прибавили единицу к цифре разряда десятых .
Отбросьте цифры , расположенные правее подчёркнутого разряда , а к цифре этого	разряда	прибавьте 1 .
До какого	разряда	округляли десятичную дробь , если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Мы отбросили цифры правее	разряда	десятых .
Отбросьте цифры , расположенные правее подчёркнутого	разряда	.
А десятичные дроби , как и натуральные числа , сравнивают по	разрядам	.
В каких	разрядах	содержится одинаковое число единиц ? .
Поэтому будем делить уголком 10 на 6 до тех пор , пока не узнаем цифру в	разряде	тысячных .
Целые части этих дробей одинаковы , но различаются цифры в	разряде	десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
Поэтому в разряде сотых оказался 0 , а в	разряде	десятых добавилась одна разрядная единица .
Десятичные дроби 2,5081 и 2,5080 различаются только цифрами в	разряде	десятитысячных : у первой дроби в этом разряде стоит цифра 1 , а у второй — цифра 0 .
Десятичные дроби 2,5081 и 2,5080 различаются только цифрами в разряде десятитысячных : у первой дроби в этом	разряде	стоит цифра 1 , а у второй — цифра 0 .
Поэтому в	разряде	сотых оказался 0 , а в разряде десятых добавилась одна разрядная единица .
В записи натурального числа значение цифры определяется тем , в каком	разряде	она находится .
Обратите внимание на последнее приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , сохраняют цифру нуль в	разряде	сотых .
В первом	разряде	после запятой указывают число десятых долей ; его так и называют — разряд десятых .
В каком	разряде	записана цифра 8 ?
в	разряде	тысячных ? .
в	разряде	десятков ?
Какая цифра записана в	разряде	десятых ?
Прибавив единицу к цифре 9 в	разряде	сотых , мы получили 10 сотых .
Единицы двух соседних	разрядов	различаются в 10 раз .
Чтобы сравнить дроби 2,5081 и 2,508 , у которых число десятичных знаков различно , можно рассуждать так : уравняем число	разрядов	, приписав ко второй дроби справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
Как и натуральные числа , их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под	разрядом	, как это показано рядом .
записать дроби в столбик — разряд под	разрядом	, запятую под запятой .
Какие	разряды	содержатся в десятичной дроби 12,0345 ?
Для записи десятичных дробей используют новые	разряды	, в которых указывают доли единицы .
Назовите старший и младший	разряды	.
Какие	разряды	содержатся в этой записи ?
Какие	разряды	используются для десятичной записи дробных чисел .
На изображена диаграмма , показывающая	распределение	полученных ответов .
Правило сложения	рационального	числа с нулём такое же , как и для целых чисел .
Как найти модуль	рационального	числа .
Правило сложения	рационального числа	с нулём такое же , как и для целых чисел .
Как найти модуль	рационального числа	.
Термин «	рациональное	число » происходит от латинского слова ratio .
Термин «	рациональное число	» происходит от латинского слова ratio .
А теперь вы научитесь сравнивать любые	рациональные	числа .
Как изображают	рациональные	числа точками на координатной прямой .
А теперь вы научитесь сравнивать любые	рациональные числа	.
Как изображают	рациональные числа	точками на координатной прямой .
Какие числа называют	рациональными	? .
Какие числа называют	рациональными	.
А привычные числа в противопоставление новым назвали « разумными » ,	рациональными	.
39 Какие числа называют	рациональными	.
Как сравнить любые два	рациональных	числа .
Сложение и вычитание	рациональных	чисел .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества	рациональных	чисел .
40 Сравнение	рациональных	чисел .
Целые и дробные числа вместе образуют множество	рациональных	чисел .
Так , — это всё при меры	рациональных	чисел .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество	рациональных	чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Сравнение	рациональных	чисел .
Пусть С — множество	рациональных	чисел , больших 0,3 и меньших 0,6 .
Умножение и деление	рациональных	чисел .
Так же поступают и при вычитании любых	рациональных	чисел .
42 Умножение и деление	рациональных	чисел .
41 Сложение и вычитание	рациональных	чисел .
Как вы уже поняли , действие умножения	рациональных	чисел обладает всеми теми же свойствами , что и умножение целых чисел .
Точно так же поступают и в случае любых	рациональных	чисел .
Сформулируем правило деления	рациональных	чисел .
Возьмём несколько	рациональных	чисел и представим каждое из них в виде дроби , у которой числитель — целое число , знаменатель — натуральное .
Умножение	рациональных	чисел , так же как и целых , обладает переместительным и сочетательным свойствами , что позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы .
Действие сложения	рациональных	чисел обладает теми же свойствами , что и действие сложения целых чисел .
Эти правила справедливы для любых	рациональных	чисел .
Правила умножения и деления	рациональных	чисел одного знака и разных знаков .
Правила умножения и деления	рациональных чисел	одного знака и разных знаков .
41 Сложение и вычитание	рациональных чисел	.
Умножение и деление	рациональных чисел	.
Умножение	рациональных чисел	, так же как и целых , обладает переместительным и сочетательным свойствами , что позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы .
42 Умножение и деление	рациональных чисел	.
Как вы уже поняли , действие умножения	рациональных чисел	обладает всеми теми же свойствами , что и умножение целых чисел .
Точно так же поступают и в случае любых	рациональных чисел	.
Пусть С — множество	рациональных чисел	, больших 0,3 и меньших 0,6 .
Сформулируем правило деления	рациональных чисел	.
Так же поступают и при вычитании любых	рациональных чисел	.
Сравнение	рациональных чисел	.
Действие сложения	рациональных чисел	обладает теми же свойствами , что и действие сложения целых чисел .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество	рациональных чисел	— буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Так , — это всё при меры	рациональных чисел	.
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества	рациональных чисел	.
Эти правила справедливы для любых	рациональных чисел	.
Сложение и вычитание	рациональных чисел	.
Целые и дробные числа вместе образуют множество	рациональных чисел	.
40 Сравнение	рациональных чисел	.
Возьмём несколько	рациональных чисел	и представим каждое из них в виде дроби , у которой числитель — целое число , знаменатель — натуральное .
Как сравнить любые два	рациональных числа	.
Обозначьте длину его	ребра	какой - нибудь буквой и составьте формулу объёма куба .
Вычислите длину третьего	ребра	параллелепипеда , если .
б ) У призмы 33	ребра	.
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине	ребра	АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине	ребра	ВС .
Выразите длину какого - либо	ребра	параллелепипеда через его объём и длины двух других рёбер .
Посмотрите на куб , изображённый на :	ребро	АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
б ) Какой из отрезков самый длинный :	ребро	куба ВС , диагональ грани АВ или диагональ куба АС ?
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ;	ребро	ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
Боковое	ребро	параллелепипеда равно а см , ребро основания равно b см. Запишите формулу для вычисления : а ) длины l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса ; б ) площади S поверхности параллелепипеда .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной призмы , все рёбра которой равны 10 см ; б ) правильной пятиугольной призмы , боковое ребро которой равно 8 см ,	ребро	основания — 5 см ? .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной призмы , все рёбра которой равны 10 см ; б ) правильной пятиугольной призмы , боковое	ребро	которой равно 8 см , ребро основания — 5 см ? .
Боковое ребро параллелепипеда равно а см ,	ребро	основания равно b см. Запишите формулу для вычисления : а ) длины l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса ; б ) площади S поверхности параллелепипеда .
Опишите по шагам	решение	уравнения .
Чтобы осуществить перебор при	решении	комбинаторных задач , часто удобно вводить условные обозначения .
Теперь при	решении	задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее , так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом : опираться на смысл понятия процента , переходить от процентов к дроби или от дроби к процентам , вычислять с десятичными дробями или , если удобно , с обыкновенными .
Но нам такая точность не нужна , и при	решении	задач мы будем считать , что π 3,14 .
При	решении	задач на движение приходится не только вычислять пройденный путь , но и по известным пути и времени движения находить скорость , а также по известным пути и скорости определять время движения .
Теперь вы сможете использовать при	решении	таких задач десятичные дроби .
Обычно при	решении	уравнений рассуждения проводят устно , а получившиеся равенства записывают одно под другим .
Объясните каждый шаг в	решении	следующих уравнений .
Дайте несколько	решений	.
Вспомним , как решаются основные задачи на дроби , и рассмотрим разные способы их	решения	.
Применим это правило для	решения	задачи .
Для каждого случая укажите все	решения	.
Приём	решения	комбинаторных задач с помощью перебора всех возможных вариантов .
С развитием математики дроби стали использоваться не только для	решения	простейших практических задач , но и для более сложных расчётов .
только простейшие уравнения , для	решения	которых достаточно знать свойства арифметических действий и правила , по которым находят неизвестный компонент действия .
Запись	решения	можно вести цепочкой .
Другой способ	решения	задачи 4 .
Запись	решения	может быть такой .
Для	решения	разнообразных задач на проценты важно научиться решать одну из главных задач : находить некоторое число процентов от заданной величины .
Способы	решения	всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу a = vt , в которой участвуют три величины .
Решите уравнение , объясняя каждый шаг	решения	.
Начертите	ромб	, диагонали которого равны 4 см и 6 см .
Прямоугольник ,	ромб	, квадрат .
Закончите предложение : а ) всякий прямоугольник является ; б ) всякий	ромб	является ; в ) всякий квадрат является ...
Перегибая лист бумаги , постройте	ромб	.
Слово «	ромб	» пришло из Древней Греции : ρομβοζ — веретено , волчок ; силуэты этих вращающихся тел имеют форму ромба .
Вычислите периметр	ромба	со стороной 8,5 см. Составьте формулу для вычисления периметра ромба .
Слово « ромб » пришло из Древней Греции : ρομβοζ — веретено , волчок ; силуэты этих вращающихся тел имеют форму	ромба	.
Диагонали	ромба	, кроме свойств , присущих всем параллелограммам , обладают ещё одним : они перпендикулярны друг другу .
Этим же словом называли и бубен , который в те времена делали в форме квадрата или	ромба	.
Вычислите периметр ромба со стороной 8,5 см. Составьте формулу для вычисления периметра	ромба	.
На рисунке показаны способы построения : 1 ) прямоугольника ; 2 ) квадрата ; 3 )	ромба	; 4 ) параллелограмма .
а ) У	ромба	две оси симметрии .
Пусть А — множество параллелограммов , В — множество прямоугольников , С — множество	ромбов	.
Сколько	ромбов	на рисунке .
Параллелограмм , у которого все стороны равны , называют	ромбом	.
Найдите на рисунке все : а ) параллелограммы ; б )	ромбы	; в ) прямоугольники ; г ) квадраты .
На рисунке изображены	ромбы	АВСЕ и BCDE .
Целые числа также можно расположить в	ряд	, но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
Записывая целые числа в	ряд	, мы также можем заменить запятые на знак « меньше » .
Продолжите	ряд	целых чисел влево и вправо , записав ещё по три числа .
Чем похожи и чем различаются	ряд	натуральных чисел и ряд целых чисел ? .
Чем похожи и чем различаются ряд натуральных чисел и	ряд	целых чисел ? .
Вы встречаетесь с системой координат в зрительном зале кинотеатра ( номер	ряда	и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических координат ( долгота и широта ) и т .
Если домножить его на три пятёрки , то получится один из знаменателей указанного	ряда	— число 1000 , т .
Сколько в кинозале	рядов	, если в каждом ряду 15 кресел , а всего в кинозале 300 мест ?
Сколько кресел в каждом ряду , если всего в кинозале 176 мест и 11	рядов	?
В кинозале n	рядов	по k кресел в каждом ряду .
Сколько в кинозале рядов , если в каждом	ряду	15 кресел , а всего в кинозале 300 мест ?
Сколько кресел в каждом	ряду	, если всего в кинозале 176 мест и 11 рядов ?
В кинозале n рядов по k кресел в каждом	ряду	.
Любое положительное число в	ряду	целых чисел расположено правее нуля , а любое отрицательное — левее нуля .
Поэтому в натуральном	ряду	запятые можно заменить на знак « меньше » .
Из двух целых чисел больше то , которое в	ряду	целых чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
В натуральном ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному	ряду	вправо как угодно далеко , до бесконечности .
В натуральном	ряду	есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до бесконечности .
Двигаясь по	ряду	натуральных чисел вправо , мы переходим от меньшего числа к большему , а двигаясь влево — от большего числа к меньшему .
Что это за многогранник , если у него : а ) 13 вершин ; б ) 15	рёбер	? .
Выразите длину какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и длины двух других	рёбер	.
Найдите длины	рёбер	этого многогранника , если диаметр каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса .
Существует ли призма , у которой 100	рёбер	? .
Сколько вершин ,	рёбер	, граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
всего	рёбер	?
а ) Сколько у пятиугольной призмы боковых	рёбер	?
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность конуса — в круговой	сектор	.
Сверните каждый	сектор	в конус .
Вырежете из одного и того же круга два неравных	сектора	.
Какой конус оказался выше : полученный из большего	сектора	или из меньшего ? .
В системе измерения времени и углов сохранились древние традиции : например , час делится на 60 минут , минута - на 60	секунд	.
Интересно отметить , что в современном спорте , где	секунда	оказалась слишком большой единицей для измерения результатов , используется смешанная система измерения времени .
Одна 1	секунда	равна — 1/60 минуты или 1/3600 градуса .
Минуту разделили на 60 равных частей , получили	секунду	.
Так , результат саночника 1.02,343 означает , что он прошёл трассу за 1 минуту 2 и 343 тысячных	секунды	.
Прямая и окружность могут иметь одну общую точку ( прямая является касательной к окружности ) , две общие точки ( в этом случае прямую называют	секущей	) , а могут и не иметь общих точек .
С одним из	семейств	многогранников — пирамидами — вы уже знакомы .
вам представитель	семейства	призм — параллелепипед .
Но есть ещё одно очень важное	семейство	, отдельные представители которого вам также хорошо и давно известны .
Золотое	сечение	- это отношение длин отрезков , примерно равное 5:3 .
Принято считать , что объекты , в которых « присутствует » золотое	сечение	, воспринимаются людьми как наиболее гармоничные , поэтому соответствующие пропорции широко применяются в искусстве , архитектуре .
Нанесите на изображение каждого тела какое - нибудь	сечение	, имеющее форму круга .
В	сечении	какого многогранника плоскостью симметрии можно получить треугольник ? .
Например , если вы начертите прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см , то соотношение его размеров даст вам представление о золотом	сечении	.
Как надо разрезать конус , чтобы в	сечении	получить треугольник ?
а ) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так , чтобы в	сечении	получился круг ; эллипс .
Разрежьте его так , чтобы в	сечении	получился эллипс .
Какая фигура может получиться в	сечении	, если плоскостью симметрии рассечь : а ) параллелепипед ; б ) цилиндр ; в ) конус ? .
Как надо разрезать цилиндр , чтобы в	сечении	получился прямоугольник ? .
В	сечении	каких круглых тел может получиться прямоугольник ?
Если же плоскость пройдёт « наискосок » ( как показано на рисунке ) , то в	сечении	получится уже не окружность , а эллипс .
Ещё в древности математики интересовались тем , какие фигуры получаются при	сечении	этих тел плоскостью .
В	сечении	получается окружность .
Так , фасад древнегреческого храма Парфенона вписывается в прямоугольник , отношение сторон которого равно золотому	сечению	.
Диаметр круга будет наибольшим , когда плоскость	сечения	пройдёт через центр шара .
Какие	сечения	они могут иметь .
Приведите примеры объектов , обладающих зеркальной	симметрией	.
С этой же	симметрией	мы постоянно встречаемся , глядя на себя в зеркало .
Познакомимся сначала с осевой	симметрией	.
Найдите на рисунке фигуры с осевой	симметрией	, перерисуйте их в тетрадь и проведите оси симметрии .
Сколько осей	симметрии	у правильного стоугольника ?
Центр	симметрии	параллелограмма — точка пересечения его диагоналей .
Запишите выражение для вычисления числа осей	симметрии	правильного n - угольника .
а ) У ромба две оси	симметрии	.
Сколько плоскостей	симметрии	у правильной : а ) треугольной призмы ; б ) четырёхугольной призмы ( не являющейся кубом ) ; в ) пятиугольной призмы ? .
У каких правильных многоугольников есть центр	симметрии	? .
Нарисуйте эти фигуры от руки и проведите их оси	симметрии	.
Сколько осей	симметрии	у правильного треугольника ?
Постройте эту фигуру и проведите все её оси	симметрии	.
Обратите внимание на то , что фигура эта имеет центр	симметрии	.
Вы уже знаете , что существуют фигуры , которые имеют ось	симметрии	, а некоторые — и не одну .
Центр	симметрии	фигуры .
Сколько осей	симметрии	? .
Является ли проведённая прямая осью	симметрии	фигуры ? .
Какие из букв латинского алфавита , изображённых на рисунке , имеют и центр симметрии , и ось	симметрии	? .
Какие из букв русского алфавита на рисунке имеют одну ось	симметрии	?
Но в пространстве есть и другие тела , имеющие бесконечно много плоскостей	симметрии	.
две оси	симметрии	? .
Из двух получившихся треугольников сложите различные фигуры , имеющие : а ) ось	симметрии	; б ) центр симметрии .
Какие виды	симметрии	можно заметить на этих позициях ? .
Разные виды	симметрии	могут встретиться на шахматной доске даже в расположении фигур в партии .
Из двух получившихся треугольников сложите различные фигуры , имеющие : а ) ось симметрии ; б ) центр	симметрии	.
Начертите фигуру , которая имеет : а ) и центр	симметрии	, и ось симметрии ; б ) центр симметрии , но не имеет оси симметрии ; в ) ось симметрии , но не имеет центра симметрии .
Начертите фигуру , которая имеет : а ) и центр симметрии , и ось	симметрии	; б ) центр симметрии , но не имеет оси симметрии ; в ) ось симметрии , но не имеет центра симметрии .
Начертите фигуру , которая имеет : а ) и центр симметрии , и ось симметрии ; б ) центр	симметрии	, но не имеет оси симметрии ; в ) ось симметрии , но не имеет центра симметрии .
Начертите фигуру , которая имеет : а ) и центр симметрии , и ось симметрии ; б ) центр симметрии , но не имеет оси	симметрии	; в ) ось симметрии , но не имеет центра симметрии .
Начертите фигуру , которая имеет : а ) и центр симметрии , и ось симметрии ; б ) центр симметрии , но не имеет оси симметрии ; в ) ось	симметрии	, но не имеет центра симметрии .
Начертите фигуру , которая имеет : а ) и центр симметрии , и ось симметрии ; б ) центр симметрии , но не имеет оси симметрии ; в ) ось симметрии , но не имеет центра	симметрии	.
Есть ли у « линзы » оси	симметрии	и центр симметрии ? .
Прямая ОР — ось	симметрии	треугольника КРМ .
Есть ли у « линзы » оси симметрии и центр	симметрии	? .
Но фигура может иметь и центр	симметрии	.
Какие из букв латинского алфавита , изображённых на рисунке , имеют и центр	симметрии	, и ось симметрии ? .
Точка является центром	симметрии	, если при повороте вокруг этой точки на 180 ° фигура переходит сама в себя .
Точка О — её центр	симметрии	.
На сторонах прямоугольника возьмите какие - нибудь три точки и постройте симметричные им относительно центра	симметрии	.
Скопируйте фигуру , изображённую на рисунке , и найдите её центр	симметрии	.
Начертите в тетради прямоугольник и постройте его центр	симметрии	.
Начертите многоугольник , у которого : а ) нет осей симметрии ; б ) одна ось	симметрии	; в ) две оси симметрии .
Начертите многоугольник , у которого : а ) нет осей симметрии ; б ) одна ось симметрии ; в ) две оси	симметрии	.
Является ли диагональ осью	симметрии	прямоугольника ? .
Точка О — центр	симметрии	шестиугольника ABCDEK .
Но столь же легко указать и отклонения от полной	симметрии	.
Несмотря на всеобщий характер симметрии окружающего мира , в природе мы не встречаем примеров безукоризненной	симметрии	.
Несмотря на всеобщий характер	симметрии	окружающего мира , в природе мы не встречаем примеров безукоризненной симметрии .
Начертите многоугольник , у которого : а ) нет осей	симметрии	; б ) одна ось симметрии ; в ) две оси симметрии .
Может ли фигура иметь и центр симметрии , и ось	симметрии	? .
Убедитесь , используя кальку , в том , что точка пересечения диагоналей прямоугольника - это его центр	симметрии	.
Сколько плоскостей	симметрии	у куба ? .
Например , у параллелепипеда , имеющего различные длину , ширину и высоту , три плоскости	симметрии	.
Какая фигура может получиться в сечении , если плоскостью	симметрии	рассечь : а ) параллелепипед ; б ) цилиндр ; в ) конус ? .
Центр	симметрии	имеет и прямоугольник : это точка пересечения его диагоналей .
Центр	симметрии	, и ось симметрии .
Центр симметрии , и ось	симметрии	.
Какая из фигур , изображённых на рисунке , имеет центр	симметрии	?
оси	симметрии	? .
В сечении какого многогранника плоскостью	симметрии	можно получить треугольник ? .
Может ли фигура иметь и центр	симметрии	, и ось симметрии ? .
Любая прямая , проходящая через центр окружности , является её осью	симметрии	.
Расскажите о	симметрии	круга , квадрата , прямоугольника .
Какие фигуры имеют центр	симметрии	.
32 Ось	симметрии	фигуры .
Ось	симметрии	фигуры .
Прямая k — ось	симметрии	многоугольника ABDKNC .
Сколько осей	симметрии	у равностороннего треугольника ?
Единственным нарушением этой	симметрии	является гробница Шах - Джахана , которую там соорудили после его смерти .
Прямые МР и KN — оси	симметрии	прямоугольника ABCD .
Начертите в тетради квадрат и проведите все его оси	симметрии	.
Творцом	симметрии	является сама природа .
Одни из самых первых проявлений	симметрии	, отмеченных человеком , — это отражение в глади водоёма и симметрия человеческого тела .
В математике рассматриваются различные виды	симметрии	.
Начертите в тетради равносторонний треугольник и проведите все его оси	симметрии	.
У квадрата четыре оси	симметрии	.
Сколько осей	симметрии	имеет фигура , состоящая из трёх окружностей одинакового радиуса ?
Начертите в тетради прямоугольник и проведите все его оси	симметрии	.
а ) Возьмите прямоугольный лист бумаги и найдите все оси	симметрии	этого прямоугольника путём перегибания .
осевой	симметрии	является симметрия относительно плоскости — зеркальная симметрия .
Отражение в воде — пример зеркальной	симметрии	в природе .
Начертите равнобедренный треугольник со сторонами 3 см , 5 см и 5 см. Проведите ось	симметрии	.
Сколько осей	симметрии	у прямоугольника и окружности .
На рисунке изображена часть фигуры , центром	симметрии	которой является точка М. Начертите эту фигуру в тетради .
Линия сгиба — это ось	симметрии	фигуры .
На рисунке изображена часть узора чувашской национальной вышивки и проведены две его оси	симметрии	.
Найдите фигуру , имеющую центр симметрии , перерисуйте её в тетрадь и отметьте её центр	симметрии	.
О	симметрии	круглых тел и многогранников .
При каком расположении точек С и D у четырёхугольника будет четыре оси	симметрии	? .
Точка О — центр	симметрии	шестиугольника ABCDKM .
Ещё одним видом	симметрии	является центральная симметрия .
Найдите фигуру , имеющую центр	симметрии	, перерисуйте её в тетрадь и отметьте её центр симметрии .
Сколько всего осей	симметрии	у этого четырёхугольника ?
Есть ось	симметрии	и у равнобедренного треугольника .
Например , у прямоугольника две оси	симметрии	.
Когда через трёхмерное существо проходят две или более плоскости симметрии , биологи говорят о радиальной	симметрии	.
Когда через трёхмерное существо проходят две или более плоскости	симметрии	, биологи говорят о радиальной симметрии .
Если вы перегнёте его так , чтобы совпали вершины при основании , то линия сгиба и будет его осью	симметрии	.
С другой стороны , далеко не у каждой фигуры есть ось	симметрии	.
Ось	симметрии	разбивает равнобедренный треугольник на две равные части .
Фигура может иметь и не одну ось	симметрии	.
Найдите на рисунке фигуры с осевой симметрией , перерисуйте их в тетрадь и проведите оси	симметрии	.
Именно эти небольшие отклонения от неё — родинка , волосы , расчёсанные на косой пробор , или какая - нибудь деталь в одежде , нарушающая	симметрию	, — делают облик человека асимметричным .
Зеркальную	симметрию	организмов , которая выражается в том , что тело делится на правую и левую половины , биологи называют билатеральной .
Ищем	симметрию	.
Позднее люди стали использовать	симметрию	в архитектуре , предметах быта , орнаментах .
Несмотря на всё многообразие орнаментов — плоских узоров , оказывается , что почти в каждом из них можно разглядеть	симметрию	.
Какую	симметрию	называют зеркальной .
Весь комплекс имеет осевую	симметрию	.
Усыпальница имеет центральную	симметрию	относительно гробницы Мумтаз - Махал .
Одни из самых первых проявлений симметрии , отмеченных человеком , — это отражение в глади водоёма и	симметрия	человеческого тела .
31 Осевая	симметрия	.
Зеркальная	симметрия	.
осевой симметрии является	симметрия	относительно плоскости — зеркальная симметрия .
Зеркальная	симметрия	, как и осевая , меняет ориентацию предмета .
Осевая	симметрия	.
Таким образом , осевая	симметрия	меняет направление обхода на противоположное .
осевой симметрии является симметрия относительно плоскости — зеркальная	симметрия	.
Ещё одним видом симметрии является центральная	симметрия	.
33 Центральная	симметрия	.
Изменяет ли центральная	симметрия	ориентацию фигуры .
Что десятичная	система	записи натуральных чисел распространяется и на запись дробей .
в Древнем Вавилоне для нужд астрономии и мореплавания была создана	система	измерения углов , которой мы пользуемся и сегодня .
Плоскость , на которой задана	система	координат , называют координатной плоскостью .
В Вавилоне действовала не десятичная , а шестидесятеричная	система	счисления , поэтому единицы измерения делили не на 10 , 100 и т .
Интересно отметить , что в современном спорте , где секунда оказалась слишком большой единицей для измерения результатов , используется смешанная	система	измерения времени .
Тормозная	система	.
Прямоугольная	система	координат .
Десятичные дроби и метрическая	система	мер .
Именно так строилась	система	дробей в Древней Руси .
Что такое прямоугольная	система	координат .
Эта	система	координат называется прямоугольной или декартовой по имени французского философа и математика Рене Декарта , который первым ввел её в 1637 г .
Аналогичная	система	координат используется в шахматах , горизонтали на шахматной доске всегда обозначаются цифрами , а вертикали — латинскими буквами .
Прямоугольная	система координат	.
Эта	система координат	называется прямоугольной или декартовой по имени французского философа и математика Рене Декарта , который первым ввел её в 1637 г .
Аналогичная	система координат	используется в шахматах , горизонтали на шахматной доске всегда обозначаются цифрами , а вертикали — латинскими буквами .
Что такое прямоугольная	система координат	.
Плоскость , на которой задана	система координат	, называют координатной плоскостью .
В древних	системах	мер единицей измерения расстояний был стадий ( греч .
В старинных	системах	мер , которые не сохранились до нашего времени , чаще всего деление единиц измерения шло по двоичной системе , т .
Так как в метрической	системе	мер единицы различаются в 10 , 100 , 1000 и т .
В старинных системах мер , которые не сохранились до нашего времени , чаще всего деление единиц измерения шло по двоичной	системе	, т .
В	системе	измерения времени и углов сохранились древние традиции : например , час делится на 60 минут , минута - на 60 секунд .
В метрической	системе	мер одна единица отличается от другой в 10 , 100 , 1000 и т .
Вы встречаетесь с	системой	координат в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических координат ( долгота и широта ) и т .
Вы встречаетесь с системой координат в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с	системой	географических координат ( долгота и широта ) и т .
Те из вас , кто играл в морской бой , пользовались при этом соответствующей	системой	координат .
Вы встречаетесь с	системой координат	в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических координат ( долгота и широта ) и т .
Те из вас , кто играл в морской бой , пользовались при этом соответствующей	системой координат	.
Постройте прямоугольную	систему	координат и отметьте в ней точки .
Почему рассмотренную в пункте	систему	координат называют прямоугольной ? .
Это столь привычное сегодня удивительное число позволило им создать десятичную	систему	записи чисел и разработать правила операций над записанными так числами .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую	систему	измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Учёные Древнего Вавилона , использовавшие шестидесятеричную	систему	счисления , распространили её и на дроби .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую	систему	мер .
Постройте прямоугольную	систему координат	и отметьте в ней точки .
Почему рассмотренную в пункте	систему координат	называют прямоугольной ? .
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной	системы	.
Способ записи десятичных дробей является естественным обобщением десятичной	системы	счисления , принятой для записи натуральных чисел .
Суть координат , или , как говорят обычно ,	системы	координат , состоит в том , что это правило , по которому определяется положение того или иного объекта в пространстве .
б ) До введения метрической	системы	мер расстояния на Руси мерили вёрстами : 1 верста 1,0668 км .
Суть координат , или , как говорят обычно ,	системы координат	, состоит в том , что это правило , по которому определяется положение того или иного объекта в пространстве .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа	складываем	, а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Чтобы вычислить эту сумму , можно последовательно	складывать	числа в том порядке , в котором они записаны .
Вы уже умеете	складывать	, вычитать , умножать и делить целые числа .
В 5 классе вы многое узнали о дробях , научились	складывать	, вычитать , умножать и делить дроби , сравнивать их , отмечать точками на координатной прямой .
Если вы хорошо научились	складывать	целые числа , то сумеете вычислить и их разность .
А как	складывать	числа разных знаков ?
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому	складывать	придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
натуральные числа , мы	складывать	умеем .
На примере вычисления суммы и разности чисел 5,63 и 4,972 объясните , как	складывают	и как вычитают десятичные дроби .
По каким правилам	складывают	и вычитают десятичные дроби .
Чтобы понять , как	складывают	десятичные дроби , обратимся к примеру .
Объясните на примере нахождения суммы как	складывают	дроби с разными знаменателями .
На примерах вычисления суммы и разности чисел 28,4 и 16,65 расскажите , как	складывают	и вычитают десятичные дроби .
Чтобы понять , по каким правилам	складывают	целые числа , рассмотрим « денежные » примеры — с доходами и расходами .
Эту сумму можно вычислить ,	складывая	числа последовательно .
При записи выражений , как числовых , так и буквенных , важно уметь правильно пользоваться	скобками	.
Так , если нужно умножить сумму чисел а и Ъ на число с , то эту сумму заключают в	скобки	.
Для того чтобы записать число , противоположное отрицательному , мы заключаем это отрицательное число в	скобки	.
Обратите внимание : подставляя отрицательное число , мы заключаем его в	скобки	.
Сначала мы подставили вместо букв указанные числа , заключив при этом отрицательное число в	скобки	.
Если бы мы	скобки	опустили , то получили бы выражение которое имеет другой смысл : это сумма числа а и произведения чисел b и с .
Их составляют из чисел , букв , знаков действий и	скобок	.
положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без	скобок	.
Используя рассмотренный приём , замените выражение равным , не содержащим	скобок	, действуя по следующему образцу .
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в выражении нет	скобок	, то умножение выполняется раньше сложения .
Заметим , что , хотя выражение записывают без	скобок	, они в нём подразумеваются .
Последнее равенство показывает , что сумму можно записать проще , без	скобок	и промежуточных знаков сложения — просто выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
Запишите без	скобок	.
Найдём вычитанием неизвестное	слагаемое	2х .
Последнее равенство показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков сложения — просто выписать одно	слагаемое	за другим с их знаками .
Но в одних случаях ( когда	слагаемые	одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Измените знак перед каждым	слагаемым	на противоположный и найдите значение нового выражения .
Произведением естественно считать сумму трёх	слагаемых	, каждое из которых равно -5 .
Представьте в виде суммы двух отрицательных	слагаемых	число .
Десятичная дробь представлена в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Представив это число в виде суммы разрядных	слагаемых	, получим .
Выполните	сложение	.
В этом пункте вы повторите	сложение	, вычитание , умножение и деление дробей , а также научитесь выполнять более сложные вычисления .
Сначала рассмотрим	сложение	чисел одного знака .
Определите знак суммы и выполните	сложение	.
Умножение десятичных дробей , как и	сложение	, сводится к действию над натуральными числами .
Заменим число 0,9 на противоположное число ( – 0,9 ) и выполним	сложение	, воспользовавшись правилом сложения отрицательных чисел .
выполнить	сложение	, не обращая внимания на запятые .
Величину расхода мы определили	сложением	соответствующих противоположных чисел .
Затем заменили вычитание	сложением	и вычислили значение получившейся суммы .
Запишите равенство , заменив вычитание	сложением	.
Замените вычитание	сложением	и вычислите .
Объясните , как заменить	сложением	вычитание числа – 3,5 из числа – 10 .
Вычислите , заменив вычитание	сложением	.
При	сложении	десятичных дробей руководствуются следующим правилом .
Запишите в буквенном виде свойство нуля при	сложении	и свойство единицы при умножении .
Итак , при	сложении	целых чисел мы работаем в действительности только с соответствующими натуральными числами .
Вспомним , что разностью чисел а и b называется такое число с , которое при	сложении	с числом b даёт число а .
Но место запятой при умножении определяется иначе , чем при	сложении	.
Вспомните , как мы поступали при	сложении	целых чисел .
Для натуральных чисел умножение сводится к	сложению	, поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Дело в том , что вычитание всегда сводится к	сложению	.
Вообще вычитание всегда можно свести к	сложению	.
Вы видите , что вычисление фактически свелось к	сложению	натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из десятичных дробей убрать запятые .
Как вы знаете , вычитание целых чисел сводится к их	сложению	.
Свойства	сложения	позволяют упрощать вычисления .
Для	сложения	десятичных дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства .
Заменим число 0,9 на противоположное число ( – 0,9 ) и выполним сложение , воспользовавшись правилом	сложения	отрицательных чисел .
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в выражении нет скобок , то умножение выполняется раньше	сложения	.
прибавлением противоположного числа и воспользуемся правилом	сложения	чисел разных знаков .
Заметим , что действие сложения целых чисел , как и действие	сложения	натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Таким образом , можно сформулировать следующие правила	сложения	.
Правило	сложения	рационального числа с нулём такое же , как и для целых чисел .
Вспомните хорошо знакомое вам переместительное свойство	сложения	: при перестановке слагаемых сумма не меняется .
Заметим , что действие	сложения	целых чисел , как и действие сложения натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Древнекитайский математик Джань Цань правило	сложения	отрицательных чисел формулировал так : « Если к одному долгу прибавить другой долг , то в результате получится долг , а не имущество » .
2 Сформулируйте правила	сложения	и вычитания дробей ; умножения дробей ; деления дробей .
Проиллюстрируйте его на примере	сложения	чисел – 4,3 и – 6,5 .
а ) Сформулируйте правила	сложения	чисел одного знака ; разных знаков ; найдите сумму чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5 вычесть число – 10 .
Последнее равенство показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков	сложения	— просто выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
Правила	сложения	отрицательных чисел .
Правила	сложения	чисел разных знаков .
Кроме переместительного и сочетательного свойств , справедливо распределительное свойство умножения относительно	сложения	.
Таким образом , для умножения десятичных дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства , а также распределительное свойство умножения относительно	сложения	.
Сформулируйте правило	сложения	отрицательных чисел .
Действие сложения рациональных чисел обладает теми же свойствами , что и действие	сложения	целых чисел .
Результатом	сложения	, вычитания и умножения двух десятичных дробей всегда является десятичная дробь .
Проиллюстрируйте его на примере	сложения	чисел .
Рассмотренные правила	сложения	и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Только действия	сложения	и вычитания .
Сначала сформулируем правила	сложения	и вычитания .
Сформулируйте правило	сложения	чисел разных знаков .
Наконец , правило	сложения	целого числа с нулём такое же , как и для натуральных чисел .
Действие	сложения	рациональных чисел обладает теми же свойствами , что и действие сложения целых чисел .
Найдите длины рёбер этого многогранника , если диаметр каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные ядра	сложены	пирамидой в 3 яруса .
Вычислите ,	сложив	отдельно положительные и отрицательные числа .
Представьте , что параллелограмм разрезали вдоль красного отрезка и из получившихся частей	сложили	прямоугольник .
Возьмём лист бумаги и	сложим	его пополам .
Сумма двух отрицательных чисел отрицательна , поэтому сначала запишем знак « минус » , а затем	сложим	.
Вырежьте из бумаги два равных неравнобедренных треугольника и	сложите	из них различные параллелограммы .
Из двух получившихся треугольников	сложите	различные фигуры , имеющие : а ) ось симметрии ; б ) центр симметрии .
Сколько различных параллелограммов вам удалось	сложить	?
Как и натуральные числа , их можно	сложить	столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом , как это показано рядом .
Но можно воспользоваться и другим приёмом —	сложить	по отдельности положительные и отрицательные слагаемые , а затем найти сумму двух получившихся чисел .
Пусть требуется	сложить	два отрицательных числа , например – 5 и – 9 .
Поэтому , чтобы	сложить	эти десятичные дроби , необязательно обращать их в обыкновенные .
Какими бы ни были конкретные значения длин сторон треугольника , чтобы найти его периметр , их надо	сложить	.
Как можно	сложить	десятичную дробь и обыкновенную .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом —	сложить	длины смежных сторон и результат умножить на 2 .
Чтобы найти модуль суммы , надо	сложить	модули слагаемых .
В множестве натуральных чисел	сложить	можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения	сложить	.
Сначала надо определить знак суммы — она будет отрицательна , а затем	сложить	5 и 9 , т .
Чтобы	сложить	обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
а ) скорость лодки по течению и скорость лодки против течения , если её	собственная	скорость равна 12,5 км / ч . б ) собственную скорость лодки и скорость лодки по течению , если её скорость против течения равна 7,2 км / ч .
а ) скорость лодки по течению и скорость лодки против течения , если её собственная скорость равна 12,5 км / ч . б )	собственную	скорость лодки и скорость лодки по течению , если её скорость против течения равна 7,2 км / ч .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена	собственные	» указанных множеств .
В случае когда центры	совпадают	, окружности называют концентрическими .
Целые части этих дробей одинаковы ;	совпадают	также первые три цифры после запятой .
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании фигуры по этой прямой её части	совпадают	.
Проведите в тетради прямую , не	совпадающую	с линиями сетки .
Если перегнуть по прямой , то четырёхугольники AlB1C1D1 и ABCD	совпадут	.
Если вы перегнёте его так , чтобы	совпали	вершины при основании , то линия сгиба и будет его осью симметрии .
Можно поступить иначе :	сократим	дробь на 11 , а дробь на 111 , в каждом случае получим .
Замените проценты дробью и	сократите	её , если возможно .
Выразите проценты дробью и	сократите	её .
Опираясь на это свойство , приведите дробь к знаменателю 24 ;	сократите	дробь .
Запишите выражение в виде дроби и	сократите	её .
Будем последовательно находить общие делители числителя и знаменателя и	сокращать	на них дробь .
Применяя это свойство , можно приводить дроби к новому знаменателю , а также	сокращать	их .
Как	сокращают	дроби .
а ) Средний рост девочек того же возраста , что и Маша , равен 140 см. Рост Маши составляет 105 %	среднего	роста .
К какому из двух крайних чисел ближе	среднее	число .
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; 2 ) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на	средней	части постройте равносторонний треугольник ;
Нижняя часть башни — это куб , а	средняя	её часть — восьмиугольная призма , « вырезанная » из такого же куба .
Найдите значение	степени	: 2 ) Сколько цифр после запятой содержит десятичная дробь , равная .
Найдите значение	степени	: а ) Найдите число , квадрат которого равен 0,64 ; 0,01 ; 0,0009 .
А как , пользуясь сформулированным правилом , умножить эту дробь на следующие	степени	числа 10 , т .
Найдите значение	степени	.
Деление десятичной дроби на	степень	10 .
В частности , знаменателем может быть любая	степень	числа 10 .
д. раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на	степень	10 .
Существует и пятиугольник с такими же свойствами , и шестиугольник , и вообще многоугольник с любым числом	сторон	.
Начертите какой - нибудь прямоугольник , отношение	сторон	которого равно .
Немало замечательных свойств , связанных с параллельностью	сторон	, есть и у многоугольников .
Как построить треугольник , если известны длины его	сторон	.
Так , фасад древнегреческого храма Парфенона вписывается в прямоугольник , отношение	сторон	которого равно золотому сечению .
Центр окружности лежит на биссектрисе угла А. Объясните , как начертить окружность , касающуюся	сторон	угла .
Начертите произвольный угол и постройте окружность , касающуюся	сторон	угла .
Определите длины	сторон	зелёного треугольника .
Начертите отрезок , равный одной из	сторон	треугольника , например 5 см. Обозначьте его концы — две вершины будущего треугольника — буквами А и С .
Постройте окружность , касающуюся	сторон	угла , центр которой удалён от вершины угла на 5 см .
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его	сторон	.
3 ) повторите это построение на каждой из 12	сторон	получившегося многоугольника ;
Четырёхугольник ABCD — не параллелограмм , но у него есть одна пара параллельных	сторон	и одна пара равных сторон .
Во сколько раз увеличивается число	сторон	снежинки Коха на каждом шаге построения ?
Четырёхугольник ABCD — не параллелограмм , но у него есть одна пара параллельных сторон и одна пара равных	сторон	.
Для каждого шага построения определите число	сторон	снежинки и её периметр .
Измените длину одной из	сторон	так , чтобы треугольник можно было построить .
Постройте такую окружность , касающуюся	сторон	угла , чтобы точка касания была удалена от вершины угла на 3 см .
Вы видите угол А и окружность , которая касается	сторон	этого угла .
Запишите формулу периметра прямоугольника ( длины	сторон	обозначьте буквами а и Ь ) .
Чему равна площадь квадрата , если длины	сторон	прямоугольника равны 1,8 см и 3,4 см ? .
Называют призму по числу	сторон	основания .
Какую длину будет иметь другая сторона этого прямоугольника , если одна из	сторон	равна 8 см ?
Какими бы ни были конкретные значения длин	сторон	треугольника , чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Запишите , чему равны длины его	сторон	.
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью , длины	сторон	которых ( в см ) выражаются целыми числами ? .
Чему равны длины	сторон	прямоугольника , который является частью развёртки ?
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных	сторон	и полученные произведения сложить .
Обозначим периметр треугольника буквой Р , а длины его	сторон	, выраженные в одних и тех же единицах , буквами а , b и с. Тогда .
Длина каждой из пяти	сторон	здания равна 281 м .
Начертите четырёхугольник , одна из	сторон	которого лежит на прямой т , и постройте симметричный ему четырёхугольник относительно прямой т .
Обозначим длины смежных	сторон	прямоугольника буквами а и b. Тогда .
Пусть а , 6 , с — длины	сторон	треугольника .
Чтобы найти площадь прямоугольника , нужно перемножить длины его смежных	сторон	.
Чему равна одна из	сторон	участка , если на плане она равна 9 см ? .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длины смежных	сторон	и результат умножить на 2 .
а ) Что больше : диагональ прямоугольника или его	сторона	? .
В равнобедренном треугольнике одна	сторона	равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является основанием ? .
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая	сторона	является основанием ? .
Одна	сторона	углов 1 и 2 общая , а две другие стороны составляют прямую линию .
Какую длину будет иметь другая	сторона	этого прямоугольника , если одна из сторон равна 8 см ?
равнобедренный треугольник , основание которого равно 4 см , а боковая	сторона	равна 5 см .
( Считайте , что	сторона	одной клетки равна 5 мм . ) .
Этот шестиугольник правильный : каждая его	сторона	равна стороне правильного треугольника , а каждый угол — двум его углам , т .
Любая	сторона	треугольника меньше суммы двух других его сторон .
Чему равна его	сторона	? .
Построение треугольника по трем	сторонам	.
На изображены квадрат 4X4 и часть ломаной линии , проходящей по	сторонам	клеток .
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его	сторонам	.
Разрежем параллелограмм вдоль отрезка , перпендикулярного двум параллельным	сторонам	, и переложим отрезанный треугольник , как показано .
Постройте параллелограмм по заданным	сторонам	и диагонали .
Попытаемся построить треугольник со	сторонами	1 см , 2 см и 4 см. Сделать это нам не удастся : окружности не пересекутся .
Можно ли построить треугольник со	сторонами	: а ) 11 см , 13 см , 25 см ; б ) 15 см , 6 см , 12 см ; в ) 20 см , 18 см , 38 см ? .
Эти примеры показывают , что не любые три отрезка могут быть	сторонами	треугольника .
а ) треугольник со	сторонами	4 см , 6 см и 7 см . б ) равносторонний треугольник со стороной 5 см .
Вычислите периметр параллелограмма со	сторонами	10 см и 15 см. Найдите площадь закрашенной фигуры .
Постройте какой - нибудь параллелограмм : а ) со	сторонами	, равными 3 см и 4 см ; б ) с диагоналями , равными 5 см и 4 см .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и с углом между этими	сторонами	, равным 80 ° , по следующему алгоритму .
Постройте треугольник со	сторонами	3 см и 5 см и с углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму .
Построим треугольник со	сторонами	, равными 3 см , 4 см и 5 см. Для этого нам придётся воспользоваться циркулем и линейкой .
Как проверить , существует ли треугольник с такими	сторонами	? .
Теперь понятно , с чем связана жёсткость треугольника : как говорят математики , треугольник однозначно определяется тремя своими	сторонами	.
Возникает вопрос : в каком случае три отрезка могут быть	сторонами	треугольника , а в каком нет ?
Вычислите периметр параллелограмма со	сторонами	9,4 см и 5,7 см. Обозначьте стороны параллелограмма буквами и составьте формулу для вычисления периметра параллелограмма .
Можно ли построить треугольник со	сторонами	, равными : а ) 2 см , 4 см , 5 см ; б ) 7 см , 1 см , 8 см ; в ) 5 см , 5 см , 11 см ; г ) 10 см , 2 см , 6 см ? .
Начертите равнобедренный треугольник со	сторонами	3 см , 5 см и 5 см. Проведите ось симметрии .
а ) Из проволоки согнули треугольник со	сторонами	7,5 см , 8,3 см и 9,4 см. Затем из этой же проволоки согнули квадрат .
соедините последовательно точки пересечения окружности со	сторонами	углов .
Например , если вы начертите прямоугольник со	сторонами	5 см и 3 см , то соотношение его размеров даст вам представление о золотом сечении .
Четырёхугольник с равными	сторонами	и равными углами — это хорошо вам известный квадрат .
Постройте : а ) треугольник со	сторонами	, равными 3 см , 5 см и 7 см ; б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в ) равносторонний треугольник со стороной 5 см .
Неудача постигнет нас и в том случае , если мы попытаемся построить треугольник со	сторонами	2 см , 2 см и 4 см : окружности лишь коснутся друг друга .
Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника со	сторонами	а и b , образующими прямой угол .
На	сторонах	прямоугольника возьмите какие - нибудь три точки и постройте симметричные им относительно центра симметрии .
Точки касания окружностей обозначьте следующим образом : точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на	стороне	.
Точки касания окружностей обозначьте следующим образом : точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на	стороне	; точку , лежащую на стороне .
Этот шестиугольник правильный : каждая его сторона равна	стороне	правильного треугольника , а каждый угол — двум его углам , т .
на одной	стороне	угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой — равный 5 см .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной	стороне	участка на расстоянии 10 м от одного из углов и их ширина будет равна 3 м .
Назовите : а ) вершину многоугольника , симметричную вершине В . б ) сторону , симметричную	стороне	KN ; в ) отрезок , симметричный отрезку ВС ; г ) равные стороны многоугольника .
Точки касания окружностей обозначьте следующим образом : точку , лежащую на	стороне	; точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне .
а ) треугольник со сторонами 4 см , 6 см и 7 см . б ) равносторонний треугольник со	стороной	5 см .
На кальке отметьте точки А и В. Перегибая её , постройте квадрат со	стороной	АВ .
Начертите в тетради квадрат со	стороной	8 см .
Вычислите периметр правильного пятиугольника со стороной 12 см , правильного шестиугольника со	стороной	8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного n - угольника .
Постройте : а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в ) равносторонний треугольник со	стороной	5 см .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со	стороной	6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью , длины сторон которых ( в см ) выражаются целыми числами ? .
Вычислите периметр ромба со	стороной	8,5 см. Составьте формулу для вычисления периметра ромба .
Постройте правильный шестиугольник со	стороной	4 см. На этом же чертеже , но карандашом другого цвета постройте правильный треугольник .
Из проволоки согнули квадрат со	стороной	8,4 см. Из этой же проволоки согнули равносторонний треугольник .
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со	стороной	9 см ; 2 ) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ;
Постройте равносторонний треугольник АВС со	стороной	4 см .
Вычислите периметр правильного пятиугольника со	стороной	12 см , правильного шестиугольника со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного n - угольника .
б ) Выразите	сторону	а прямоугольника через его периметр Р и сторону .
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; 2 ) каждую	сторону	треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ;
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую	сторону	от точки О отложите отрезок , равный отрезку ОА Точка В симметрична точке А относительно точки О .
б ) Выразите сторону а прямоугольника через его периметр Р и	сторону	.
Найдите периметр треугольника , если . Найдите третью	сторону	треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
По одну	сторону	от прямой I расположены точки А , Б , С и D. Расстояния от этих точек до прямой соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
Для этого . расположите вдоль прямой т одну	сторону	угольника .
Назовите : а ) вершину многоугольника , симметричную вершине В . б )	сторону	, симметричную стороне KN ; в ) отрезок , симметричный отрезку ВС ; г ) равные стороны многоугольника .
Найдите периметр треугольника , если . Найдите третью сторону треугольника , если . Выразите	сторону	с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
Из формулы площади прямоугольника выразите а через S и Ь. Найдите	сторону	а , если .
Назовите : а ) вершину многоугольника , симметричную вершине В . б ) сторону , симметричную стороне KN ; в ) отрезок , симметричный отрезку ВС ; г ) равные	стороны	многоугольника .
Постройте равнобедренный треугольник , боковые	стороны	которого равны 5 см , а угол между ними равен : а ) 40 ° ; б ) 110 ° .
Например , в результате выполненного поворота противоположные	стороны	параллелограмма « поменялись местами » , значит , противоположные стороны параллелограмма не только параллельны , но и равны .
Постройте прямоугольный треугольник , у которого	стороны	, образующие прямой угол , равны 4 см и 3 см .
Например , в результате выполненного поворота противоположные стороны параллелограмма « поменялись местами » , значит , противоположные	стороны	параллелограмма не только параллельны , но и равны .
Во сколько раз при этом уменьшается длина её	стороны	?
Пусть длина	стороны	равностороннего треугольника равна а .
Убедитесь , что нельзя построить треугольник ,	стороны	которого равны : а ) 7 см , 3 см и 3 см ; б ) 6 см , 4 см и 2 см .
Параллелограмм , у которого все	стороны	равны , называют ромбом .
С левой	стороны	от усыпальницы находится мечеть из красного песчаника , справа - точная её копия .
Треугольник , у которого все	стороны	равны , называется равносторонним .
С другой	стороны	, каждое из этих частных можно записать с помощью дробной черты .
Отметьте две точки , взяв их по разные	стороны	от прямой .
Обозначьте длину его	стороны	какой - нибудь буквой и составьте формулы периметра и площади квадрата .
Постройте четыре точки А , В , С и D по следующему условию : АВ = 8 см , АС = 4 см , СВ = 8 см , AD = 6 см , DB = 4 см , точки С и D лежат по разные	стороны	от прямой АВ .
Запишите формулу периметра равностороннего треугольника , обозначив длину его	стороны	буквой с .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все углы прямые , и все	стороны	равны .
С другой	стороны	.
Сейчас практически ни одна газета , ни одна информационная телепрограмма не обходятся без диаграмм , описывающих самые разные	стороны	нашей жизни .
Найдите периметр треугольника , если . Найдите третью сторону треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и	стороны	а и b .
Многоугольник , у которого равны все	стороны	и все углы , называют правильным .
Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см. Обозначьте	стороны	параллелограмма буквами и составьте формулу для вычисления периметра параллелограмма .
Какие	стороны	многоугольника параллельны .
В равностороннем треугольнике , как вы знаете , равны и все	стороны	, и все углы .
Пусть	стороны	треугольника равны 4 см , 6 см и 7 см. Найдём его периметр .
Сторона треугольника , равная 11,5 см , на 0,6 см меньше второй его	стороны	и на 0,9 см больше третьей .
зафиксируйте линейку вдоль другой	стороны	угольника .
Одна сторона углов 1 и 2 общая , а две другие	стороны	составляют прямую линию .
Развернув лист , вы увидите две точки , расположенные по разные	стороны	от этой прямой .
Обратите внимание : окружность касается каждой	стороны	пятиугольника .
Постройте : а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые	стороны	— 4 см ; в ) равносторонний треугольник со стороной 5 см .
Постройте параллелограмм , измерьте его	стороны	и углы .
С другой	стороны	, далеко не у каждой фигуры есть ось симметрии .
Целые числа также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе	стороны	.
Запишите координаты точек , в которых	стороны	четырёхугольника пересекают оси координат .
Постройте треугольник , если даны две его	стороны	и угол между ними : а ) 6 см , 7 см и 30 ° ; б ) 3 см , 4 см и 120 ° .
Вы получите треугольник АВС , имеющий заданные	стороны	.
Соответствующие	стороны	этих многоугольников параллельны .
Отрезки , изображённые на , —	стороны	треугольника .
Построить треугольник можно не только тогда , когда заданы три его	стороны	.
Можно построить треугольник и в том случае , если известны две его	стороны	и угол между ними .
Его противоположные	стороны	параллельны .
Проведите такой эксперимент : соберите из элементов металлического конструктора четырёхугольник и треугольник и попробуйте подвигать их	стороны	.
С его помощью можно	строить	точки , симметричные относительно некоторой прямой , и без перегибания листа бумаги .
Чтобы машины , движущиеся в разных направлениях , не мешали друг другу , на больших магистралях	строят	развязки .
Чтобы выяснить , тяжёлой ли будет	сумка	, он прикинул , сколько примерно килограммов ему придётся нести .
Примеры вычисления	сумм	целых чисел .
Вы видите , что	сумма	, которую вы нашли прикидкой , только на 2 р . отличается от точной суммы , которую можно сэкономить .
Какой знак имеет	сумма	двух положительных целых чисел ?
Чему равна	сумма	противоположных чисел ? .
В левой части уравнения	сумма	чисел 2х и 26 .
Какая	сумма	будет на счёте через год ? .
Докажите , что	сумма	площадей тёмных треугольников равна сумме площадей белых треугольников .
У отрицательного слагаемого модуль больше , поэтому	сумма	отрицательна ; чтобы найти её модуль , вычтем 0,3 из 0,7 .
Вопрос задачи нужно понимать так : сколько процентов от первоначальной цены составляет	сумма	скидки ?
Какова вся	сумма	?
Величина , от которой вычисляют проценты ( например ,	сумма	денег на банковском вкладе , длина участка ремонтируемой дороги , количество компьютеров , выпускаемых фирмой , число учащихся в классе ) , составляет 100 своих сотых долей , т .
Вспомните хорошо знакомое вам переместительное свойство сложения : при перестановке слагаемых	сумма	не меняется .
Например , —	сумма	числа а и произведения чисел Ъ и с .
Через год	сумма	на счёте увеличится на 12 % и составит 112 % от первоначального вклада .
Прочитайте выражение , используя слова «	сумма	» , « разность » , « произведение » , « частное » .
	Сумма	на счёте увеличилась в 1,2 раза .
Это	сумма	четырёх слагаемых .
Дана	сумма	.
Сумма двух положительных чисел положительна , а	сумма	двух отрицательных чисел отрицательна .
Через год	сумма	денег на банковском счёте составила 120 % от вложенной суммы .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы выражение которое имеет другой смысл : это	сумма	числа а и произведения чисел b и с .
а )	сумма	числа х и числа 15 равна 31 . б ) произведение чисел а и b равно 8 .
Как определить , каким числом - положительным или отрицательным — является	сумма	двух целых чисел разных знаков ?
их	сумма	равна 180 ° .
Для натуральных чисел умножение сводится к сложению , поэтому произведение — это	сумма	трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Два числа в	сумме	составляют 59 .
а ) Два числа в	сумме	составляют 106 .
с помощью транспортира , постройте пять равных углов с общей вершиной , составляющих в	сумме	360 ° .
Докажите , что сумма площадей тёмных треугольников равна	сумме	площадей белых треугольников .
А в	сумме	после запятой тоже оказалось две цифры — столько же , сколько их содержится в каждом из слагаемых .
Во втором построении окружности не пересеклись , так как расстояние между центрами равно	сумме	радиусов .
Рассматривая выражение как сумму , переставьте слагаемые в этой	сумме	всеми возможными способами .
поставить в	сумме	запятую под запятой в данных дробях .
В какой - то момент меньшая окружность коснётся большей , а расстояние ОР между центрами станет равным	сумме	радиусов .
Если фигура разрезана на части , то её площадь равна	сумме	площадей её частей .
Для него справедливы переместительное и сочетательное свойства , и это позволяет в любой	сумме	произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы .
Замените сумму равной ей	суммой	, поменяв местами слагаемые .
Чтобы найти	сумму	( или разность ) дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму ( или разность ) их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Замените	сумму	равной ей суммой , поменяв местами слагаемые .
Так , если нужно умножить	сумму	чисел а и Ъ на число с , то эту сумму заключают в скобки .
Чтобы найти сумму ( или разность ) дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти	сумму	( или разность ) их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Так , если нужно умножить сумму чисел а и Ъ на число с , то эту	сумму	заключают в скобки .
Запишите	сумму	данных чисел и вычислите её .
Найдите	сумму	, выполнив вычисления столбиком .
Найдите	сумму	всех целых чисел : а ) от – 100 до 100 ; в ) от – 70 до 50 ; б ) от – 100 до 150 ; г ) от – 150 до 70 .
2 ) Чтобы найти	сумму	или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю , а затем воспользоваться первым правилом .
Вычислите	сумму	.
и прибавим полученную	сумму	к первоначальному вкладу .
Найдите	сумму	или разность .
Как можно вычислить	сумму	двух целых чисел одного знака и двух целых чисел разных знаков .
Запишите и вычислите	сумму	чисел .
Найдите	сумму	противоположных чисел .
Найдите	сумму	( приведите разные способы вычисления ) .
Найдём	сумму	десятичных дробей 3,44 и 7,28 .
Например , записать его	сумму	с числом 5 , получится .
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности положительные и отрицательные слагаемые , а затем найти	сумму	двух получившихся чисел .
Найдите	сумму	.
а )	сумму	двух чисел ; в ) частное двух чисел .
а ) произведение числа 7 на	сумму	чисел а и Ь . б ) сумму числа 10 и произведения чисел х и у .
а ) произведение числа 7 на сумму чисел а и Ь . б )	сумму	числа 10 и произведения чисел х и у .
А вот	сумму	дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в десятичную не обращается .
А как найти	сумму	дробей 3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после запятой различно ?
Например ,	сумму	+ 1,37 можно вычислить так .
Произведением естественно считать	сумму	трёх слагаемых , каждое из которых равно -5 .
Ученик задумал число , прибавил к нему 7 , эту	сумму	умножил на 3 , из результата вычел 15 и получил 30 .
Последнее равенство показывает , что	сумму	можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков сложения — просто выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
а ) Сформулируйте правила сложения чисел одного знака ; разных знаков ; найдите	сумму	чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5 вычесть число – 10 .
Не записывая выражение в виде суммы явно , перечислите входящие в эту	сумму	слагаемые .
Найдём	сумму	.
Найдите	сумму	( представьте , что вы подсчитываете доходы и расходы ) .
Эту	сумму	можно вычислить , складывая числа последовательно .
"Например , запись 10 ° 8,24""16 ' "" означает"	сумму	.
Запишите в виде буквенного выражения произведение и	сумму	двух последовательных натуральных чисел .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г )	сумму	всех натуральных чисел от 1 до n .
Вычислим	сумму	.
Не выполняя вычислений , сравните с единицей	сумму	: Образец .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в )	сумму	всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Чтобы вычислить эту	сумму	, можно последовательно складывать числа в том порядке , в котором они записаны .
Сначала мы нашли отдельно	сумму	отрицательных и сумму положительных слагаемых , а затем сумму двух получившихся чисел .
Рассматривая выражение как	сумму	, переставьте слагаемые в этой сумме всеми возможными способами .
Сначала мы нашли отдельно сумму отрицательных и	сумму	положительных слагаемых , а затем сумму двух получившихся чисел .
Сначала мы нашли отдельно сумму отрицательных и сумму положительных слагаемых , а затем	сумму	двух получившихся чисел .
Ответьте на эти же вопросы , если известно , что 5 % некоторой	суммы	составляют 300 р .
На самом деле достаточно проверить , что наибольший отрезок меньше	суммы	двух других .
Из проведённых построений понятно , что из трёх отрезков можно построить треугольник , если каждый из этих отрезков меньше	суммы	двух других .
Известно , что 15 % некоторой	суммы	денег составляют 60 р .
Согласно российским законам человек с каждого заработка обязан платить подоходный налог , который составляет 13 % от заработанной	суммы	.
Обратите внимание на то , что в первом построении окружности не пересеклись , потому что расстояние между их центрами больше	суммы	их радиусов .
Запишите в виде	суммы	разрядных слагаемых : а ) натуральное число 3205 ; б ) десятичную дробь 0,3205 .
Знак	суммы	зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
Любая сторона треугольника меньше	суммы	двух других его сторон .
Дополните предложение : « Две окружности пересекаются , если расстояние между их центрами	суммы	радиусов окружностей , но разности их радиусов » .
Вы видите , что сумма , которую вы нашли прикидкой , только на 2 р . отличается от точной	суммы	, которую можно сэкономить .
Чтобы найти модуль	суммы	, надо сложить модули слагаемых .
Банк ежегодно начисляет на вклад « Семейный » 8 % от имеющейся на счёте	суммы	.
Чтобы найти модуль	суммы	, нужно из большего модуля вычесть меньший .
Обратите внимание : в каждом правиле выделяются два момента — сначала определяют знак	суммы	, а затем находят её модуль .
а ) Составьте из чисел 4,84 ; 5,055 ; 10,5 все возможные	суммы	и найдите их значения .
Для нахождения	суммы	надо из 8 вычесть 3 и поставить перед результатом знак числа – 8 , т .
Представьте десятичную дробь в виде	суммы	разрядных слагаемых : а ) 0,149 ; б ) 2,36 ; в ) 15,03 .
Сначала надо определить знак	суммы	— она будет отрицательна , а затем сложить 5 и 9 , т .
За год банк начисляет на вклад « Срочный » 12 от вложенной	суммы	( т . е .
Сколько процентов этой	суммы	осталось на покупку других школьных принадлежностей ? .
Десятичная дробь представлена в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Найдите значение	суммы	.
На примерах вычисления	суммы	и разности чисел 28,4 и 16,65 расскажите , как складывают и вычитают десятичные дроби .
Расположите в порядке возрастания следующие	суммы	.
На примере вычисления	суммы	и разности чисел 5,63 и 4,972 объясните , как складывают и как вычитают десятичные дроби .
Объясните на примере нахождения	суммы	как складывают дроби с разными знаменателями .
Представив это число в виде	суммы	разрядных слагаемых , получим .
Меньшая окружность целиком находится вне большей , и , как вы видите из рисунка , в этом случае расстояние ОР между их центрами больше	суммы	радиусов .
Через год сумма денег на банковском счёте составила 120 % от вложенной	суммы	.
Какую часть общей	суммы	вклада это составляет ? .
При этом израсходованные	суммы	денег будем обозначать отрицательными числами .
Представьте в виде	суммы	двух слагаемых разных знаков число .
Не записывая выражение в виде	суммы	явно , перечислите входящие в эту сумму слагаемые .
Вычисление	суммы	нескольких целых чисел .
Найдите значение	суммы	при указанных значениях а , b и с .
произведение двух чисел ; г ) квадрат	суммы	двух чисел .
Что можно сказать о знаке	суммы	чисел а и b , если известно , что .
Запись	суммы	положительных и отрицательных чисел часто упрощают .
Представим данное выражение в виде	суммы	.
Подсказка , а ) это разность чисел – 10 и 20 ; представьте её в виде	суммы	, т .
Представьте в виде	суммы	двух отрицательных слагаемых число .
Представьте выражение в виде	суммы	и выполните вычисления .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) разность числа т и	суммы	чисел 2 и п . д ) удвоенное произведение чисел а и Ь .
Затем заменили вычитание сложением и вычислили значение получившейся	суммы	.
Запишите все возможные	суммы	, которые можно получить из данной перестановкой слагаемых .
Определите знак	суммы	и выполните сложение .
Запишите в виде буквенного выражения произведение	суммы	двух чисел на их разность .
Само слово «	сфера	» происходит от греческого слова , означающего « мяч » , « шар » .
Границей круга , как вам известно , является окружность , а границей шара —	сфера	.
На сколько частей делится	сфера	одной большой окружностью ?
Поверхность шара называется	сферой	.
Древние греки считали	сферу	« наиболее прекрасной из твёрдых фигур » .
А пример	сферы	- это оболочка мяча , плёнка мыльного пузыря .
У шара и	сферы	, так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и диаметр .
Правильным называют выпуклый многогранник , все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине	сходится	одинаковое число граней .
Ещё в древности математики интересовались тем , какие фигуры получаются при сечении этих	тел	плоскостью .
Слово « ромб » пришло из Древней Греции : ρομβοζ — веретено , волчок ; силуэты этих вращающихся	тел	имеют форму ромба .
Комбинации	тел	.
Развёртки этих	тел	изображены на рисунке .
Особое место среди круглых	тел	занимает шар .
О симметрии круглых	тел	и многогранников .
Из уже известных вам	тел	это цилиндр и конус .
В сечении каких круглых	тел	может получиться прямоугольник ?
Нанесите на изображение каждого	тела	какое - нибудь сечение , имеющее форму круга .
20 Круглые	тела	.
Круглые	тела	.
Но в пространстве есть и другие	тела	, имеющие бесконечно много плоскостей симметрии .
Одни из самых первых проявлений симметрии , отмеченных человеком , — это отражение в глади водоёма и симметрия человеческого	тела	.
Среди них встречаются не только многогранники , но и так называемые круглые	тела	.
Правильные многогранники называют ещё Платоновыми	телами	, так как в картине мира , построенной древнегреческим мыслителем Платоном , им отводилась ведущая роль .
Например , нетрудно указать плоскость , относительно которой человеческое	тело	можно считать симметричным .
Зеркальную симметрию организмов , которая выражается в том , что	тело	делится на правую и левую половины , биологи называют билатеральной .
Сформулируйте на	теоретико-множественном	языке задачи .
Замечательным вкладом индийских математиков в развитие	теории чисел	было введение понятия нуля и знака для него .
Выберите одну из развёрток , перенесите её , увеличив , на лист бумаги и склейте из неё многогранник :	тетраэдр	, октаэдр , куб , икосаэдр , додекаэдр .
Например , равновеликие	тетраэдр	и куб не равносоставлены — их нельзя разбить на попарно равные части .
Четыре из них олицетворяли стихии :	тетраэдр	— огонь , куб — землю , икосаэдр — воду , октаэдр — воздух , а пятый , додекаэдр , — всё мироздание ;
	Тетраэдр	куб гексаэдр октаэдр икосаэдр додекаэдр .
Слово «	тетраэдр	» переводится с греческого как « четырёхгранник » ( « тетра » — четыре и « хедрон » — грань ) , « гексаэдр » — шестигранник .
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных чисел – 5,8 и – 4 меньше , мы сравнили положительные числа 5,8 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих	точек	координатной прямой .
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из	точек	пересечения окружностей буквой К .
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов — чисел , выражений ,	точек	, фигур и т .
Прямая и окружность могут иметь одну общую точку ( прямая является касательной к окружности ) , две общие точки ( в этом случае прямую называют секущей ) , а могут и не иметь общих	точек	.
Чему равно наибольшее число	точек	пересечения ? .
Какое наибольшее число	точек	пересечения могло получиться ? .
Числа 0 ; 3,5 ; – 3,5 и – 5,2 являются координатами	точек	О , А , В и С. Записывается это так .
С помощью угольника через каждую из этих	точек	проведите прямую , перпендикулярную прямой k .
На этом свойстве основан способ построения центрально - симметричных	точек	.
Это — важное свойство симметричных	точек	.
Для каждой четверти укажите , какие знаки имеют координаты	точек	, находящихся в этой четверти : А. I четверть ;
Сколько общих	точек	могут иметь прямая и окружность ? .
Запишите координаты отмеченных	точек	.
На нём вы видите окружность , на которой отмечены 5	точек	.
Отметьте точку О и постройте пять	точек	, находящихся от неё на расстоянии 3 см .
Определите , какая из данных	точек	расположена на координатной прямой дальше от начала координат .
а ) Что представляет собой множество всех	точек	плоскости , удалённых от точки О на 3 см ? .
Выпишите пары	точек	, координатами которых являются противоположные числа .
Сколько всего	точек	касания ?
б ) Покажите штриховкой множество всех	точек	, расположенных от точки О на расстоянии , большем 2 см и меньшем 3 см .
Запишите координаты	точек	, отмеченных на координатной прямой .
Запишите координаты	точек	, в которых стороны четырёхугольника пересекают оси координат .
Сопоставьте координаты	точек	, симметричных относительно оси у , и сделайте вывод .
А затем прямая и окружность вновь не будут иметь общих	точек	.
И таких	точек	бесконечно много .
Сопоставьте координаты	точек	, симметричных относительно оси х , и сделайте вывод .
Постройте точку С , удалённую от	точек	А и В на 4 см .
Постройте несколько	точек	, находящихся от прямой АВ на расстоянии 2 см. Где расположены все такие точки ? .
При каком расположении	точек	С и D у четырёхугольника будет четыре оси симметрии ? .
Изображены пять	точек	.
По одну сторону от прямой I расположены точки А , Б , С и D. Расстояния от этих	точек	до прямой соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
Найдите расстояние от каждой из этих	точек	до прямой .
Через каждую из	точек	А , В , С и D проведите касательную к этой окружности .
Пусть даны прямая l и	точка	М. Постройте точку , симметричную точке М относительно прямой l .
На изображены два четырёхугольника , симметричные относительно прямой k. Какая	точка	симметрична точке А ?
В какой - то момент расстояние от центра до прямой станет равным радиусу и	точка	М окажется на окружности .
Если поменять порядок чисел в паре , то получится другая	точка	— точка В ( 3 ; 4 ) .
У этих углов общая вершина —	точка	пересечения прямых .
Убедитесь , используя кальку , в том , что	точка	пересечения диагоналей прямоугольника - это его центр симметрии .
Какое название имеет	точка	пересечения осей координат ?
Естественно считать , как и раньше , что из двух чисел меньше то , которому на координатной прямой соответствует	точка	, расположенная левее , а больше то , которому соответствует точка , расположенная правее .
При повороте на 180 °	точка	А переходит в диаметрально противоположную ей точку В. Точки А и В называют симметричными относительно точки О .
Какая	точка	симметрична вершине М относительно точки О ?
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А	точка	этой прямой .
Чем дальше от нуля	точка	, изображающая некоторое число , тем больше модуль этого числа .
Центр куба — это	точка	пересечения его диагоналей .
отметьте на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и	точка	М .
Центр симметрии имеет и прямоугольник : это	точка	пересечения его диагоналей .
След , который оставляет	точка	А при повороте , — это дуга окружности .
Естественно считать , как и раньше , что из двух чисел меньше то , которому на координатной прямой соответствует точка , расположенная левее , а больше то , которому соответствует	точка	, расположенная правее .
На плане это	точка	М. Длина отрезка AM и есть расстояние от дома лесника до озера .
Постройте такую окружность , касающуюся сторон угла , чтобы	точка	касания была удалена от вершины угла на 3 см .
Центр симметрии параллелограмма —	точка	пересечения его диагоналей .
На рисунке изображена часть фигуры , центром симметрии которой является	точка	М. Начертите эту фигуру в тетради .
Если поменять порядок чисел в паре , то получится другая точка —	точка	В ( 3 ; 4 ) .
Пусть дана окружность с центром в точке О и на ней отмечена	точка	А. Проведите касательную к окружности в точке А. Для этого : 1 ) проведите радиус ОА ; 2 )
Действительно ,	точка	– 5,8 удалена от начала координат на 5,8 единицы , а точка – 4 — на 4 единицы .
Точка О — центр большей окружности ,	точка	Р — центр меньшей .
Это значит , что	точка	– 5,8 расположена левее .
Заметьте : если точки А и Б симметричны относительно некоторой точки О , то	точка	О является серединой отрезка АВ .
Действительно , точка – 5,8 удалена от начала координат на 5,8 единицы , а	точка	– 4 — на 4 единицы .
Вы знаете , что если	точка	А изображает на координатной прямой некоторое число , например 3,5 , то число 3,5 называют координатой точки А и оно определяет положение точки А на прямой .
Назовите точки , симметричные	точкам	А , В , С и К относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку АК ?
Запишите числа , соответствующие	точкам	, отмеченным на координатной прямой .
Построим на координатной прямой точки , симметричные	точкам	с координатами 989 и 1000 относительно точки 0 .
Перенесите в тетрадь и постройте точки , симметричные	точкам	А , В и С относительно прямой к .
Отметьте на нелинованной бумаге точки О , Л и В. Постройте точки , симметричные	точкам	А и В относительно точки О .
Расстояние между двумя	точками	.
На координатной прямой	точками	отмечены числа а и b .
в ) Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть единичного отрезка , которая заключена между	точками	0,36 и 0,37 .
Установите соответствие между	точками	, заданными своими координатами , и координатными четвертями , в которых они расположены .
А у противоположных чисел , которые изображаются	точками	, симметричными относительно нуля , модули равны .
Десятичные дроби , так же как и обыкновенные дроби , изображают	точками	на координатной прямой .
Его длина и есть расстояние между	точками	А и В .
Изображение десятичных дробей	точками	на координатной прямой .
Противоположные числа изображаются	точками	координатной прямой , симметричными относительно точки О ( 0 ) .
Отрицательные числа на координатной прямой отмечаются	точками	, расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее нуля .
На координатной прямой отмечены	точками	некоторые числа .
Какие числа отмечены	точками	на координатной прямой .
Изображение десятичных дробей	точками	координатной прямой .
Расстояние между	точками	А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
В каждом случае найдите расстояние между самыми близкими	точками	двух окружностей .
Измерьте расстояние между	точками	С и D .
Отметьте на ней	точками	числа .
Перенесите рисунок в тетрадь и отметьте	точками	противоположные им числа .
Противоположные числа изображаются	точками	, симметричными относительно точки с координатой 0 .
Чтобы построить точку , соответствующую десятичной дроби 0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая заключена между	точками	0,3 и 0,4 .
Укажите , во сколько раз расстояние между двумя	точками	на плане меньше расстояния между этими точками на местности .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней	точками	числа , модули которых равны 4 ; 2 ; 1,5 ; 0 .
Определите , каким должно быть расстояние между двумя	точками	на плане , если в действительности оно равно 0,5 км . а ) На карте , масштаб которой , расстояние между Москвой и Курском составляет 9 см. Чему равно расстояние между этими городами в действительности ? .
Отметьте на ней	точками	данное число и число , ему противоположное .
Радиусы двух окружностей равны 3 см и 5 см , а расстояние между наиболее удалёнными	точками	: а ) 18 см ; б ) 16 см ; в ) 13 см ; г ) 8 см .
Как изображают рациональные числа	точками	на координатной прямой .
Определите расстояние между двумя	точками	на местности , если на плане оно равно 1,5 см ; 12 см .
На примере числа -5 расскажите , как целые отрицательные числа изображают	точками	на координатной прямой .
На координатной прямой	точками	отмечены числа а , b и с. Какое из следующих утверждений об этих числах верно ? .
Изображение целых чисел	точками	координатной прямой .
Самый простой случай — это расстояние между двумя	точками	.
Отрицательные числа на координатной прямой отмечаются точками , расположенными левее нуля , а положительные —	точками	, расположенными правее нуля .
Изображение чисел	точками	на координатной прямой .
Укажите , во сколько раз расстояние между двумя точками на плане меньше расстояния между этими	точками	на местности .
Выпишите все десятичные дроби с одним знаком после запятой , которые на координатной прямой изображаются	точками	, лежащими между .
В 5 классе вы многое узнали о дробях , научились складывать , вычитать , умножать и делить дроби , сравнивать их , отмечать	точками	на координатной прямой .
между двумя	точками	. от точки до прямой .
а ) Чтобы построить точку , соответствующую числу 0,3 , разделим отрезок между	точками	0 и 1 на 10 равных частей и отсчитаем от точки 0 три такие части .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в	точках	А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
Убедитесь , что окружности пересекаются в двух	точках	.
Постройте все параллелограммы , вершины которых находятся в этих	точках	.
Возьмём отрезок MN и проведём две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в	точках	М и N. ( Чтобы эти окружности пересеклись , радиус каждой из них должен быть больше половины отрезка MN . )
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О отложите отрезок , равный отрезку ОА Точка В симметрична	точке	А относительно точки О .
а ) Прямые АВ , CD , КМ пересекаются в	точке	О , причём ZLАОМ = 47 ° и ААОС = 32 ° .
Начертите окружность , отметьте на ней какую - нибудь точку и постройте касательную к окружности в этой	точке	.
Постройте точку В , симметричную	точке	А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О отложите отрезок , равный отрезку ОА Точка В симметрична точке А относительно точки О .
Чтобы убедиться в этом , наложите на рисунок кальку и прикрепите её в	точке	О булавкой .
Проведены две окружности с центром в	точке	Р и окружность с центром в точке О , которая касается первых двух .
Пусть дана окружность с центром в	точке	О и на ней отмечена точка А. Проведите касательную к окружности в точке А. Для этого : 1 ) проведите радиус ОА ; 2 )
Взгляните на фото : частички песка , земли , вырывающиеся из - под колеса автомобиля , летят по касательной к кругу в	точке	касания .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в	точке	А. Чему равны их радиусы ? .
Выполните задание : 1 ) Начертите окружность с центром в	точке	О и проведите два перпендикулярных диаметра АС и BD .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в	точке	В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
d — касательная к окружности в	точке	А .
Проведены две окружности с центром в точке Р и окружность с центром в	точке	О , которая касается первых двух .
Пусть дана окружность с центром в точке О и на ней отмечена точка А. Проведите касательную к окружности в	точке	А. Для этого : 1 ) проведите радиус ОА ; 2 )
	Точке	С ?
Точка К симметрична	точке	М относительно прямой l .
Пусть даны прямая l и точка М. Постройте точку , симметричную	точке	М относительно прямой l .
Проведём ещё пару окружностей равных радиусов — одну с центром в точке М , а другую с центром в	точке	N. И ещё .
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в	точке	А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
Проведём ещё пару окружностей равных радиусов — одну с центром в	точке	М , а другую с центром в точке N. И ещё .
Постройте точку , симметричную	точке	А относительно прямой k .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в	точке	М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в	точке	В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
Это же можно сказать и о	точке	В .
На изображены два четырёхугольника , симметричные относительно прямой k. Какая точка симметрична	точке	А ?
Чтобы убедиться в этом , наложите на параллелограмм кальку , проколите её в	точке	пересечения диагоналей булавкой , переведите параллелограмм на кальку и поверните кальку на 180 .
Будем проводить окружности с центром в	точке	А , увеличивая их радиусы , пока одна из них « не достигнет » озера .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в	точке	С радиусом 4 см .
Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку А. Постройте касательную к окружности в	точке	А .
	Точке	N ?
На , а изображены окружность с центром в	точке	О и прямая , её не пересекающая .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в	точке	А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
а ) Чтобы построить точку , соответствующую числу 0,3 , разделим отрезок между точками 0 и 1 на 10 равных частей и отсчитаем от	точки	0 три такие части .
Прямая и окружность могут иметь одну общую точку ( прямая является касательной к окружности ) , две общие	точки	( в этом случае прямую называют секущей ) , а могут и не иметь общих точек .
Назовите точки , симметричные точкам А , В , С и К относительно	точки	О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку АК ?
Соедините последовательно	точки	А , В , С и D отрезками .
Так , абсциссу 4 , кроме	точки	А , имеют ещё точки B , С и все точки прямой ВС , а ординату 3 имеют точки М , N и все точки прямой MN . Вопросы и задания .
В геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от	точки	до некоторой фигуры ( прямой , окружности и др. ) , расстояние между двумя параллельными прямыми .
Расстояние от	точки	координатной прямой , изображающей некоторое число , до нуля иначе называют модулем этого числа ( ещё говорят « абсолютная величина » ) .
Так , абсциссу 4 , кроме точки А , имеют ещё	точки	B , С и все точки прямой ВС , а ординату 3 имеют точки М , N и все точки прямой MN . Вопросы и задания .
Так , абсциссу 4 , кроме точки А , имеют ещё точки B , С и все	точки	прямой ВС , а ординату 3 имеют точки М , N и все точки прямой MN . Вопросы и задания .
Назовите	точки	, симметричные точкам А , В , С и К относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку АК ?
Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру , проведённому из этой	точки	к прямой .
На координатной плоскости отметьте	точки	.
Отсчитав от	точки	0,3 шесть сотых долей , отметим точку с координатой 0,36 .
Назовите точки , симметричные точкам А , В , С и К относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно	точки	О отрезку АК ?
Затем отсчитаем от	точки	0,36 четыре тысячные доли единичного отрезка .
Покажите на координатной прямой , где могут располагаться	точки	, изображающие это число , если известно , что .
Точка является центром симметрии , если при повороте вокруг этой	точки	на 180 ° фигура переходит сама в себя .
Точки пересечения касательных обозначьте буквами К , М , L и N. Эти	точки	— вершины квадрата .
И другой такой	точки	на отрезке нет .
На рисунке	точки	пересечения окружностей обозначены буквами А и В. Точка А находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка ( оно равно радиусу окружности ) .
На сторонах прямоугольника возьмите какие - нибудь три	точки	и постройте симметричные им относительно центра симметрии .
Возьмём две точки А и В. Существует бесконечно много линий на плоскости , двигаясь по которым можно из	точки	А попасть в точку В. Несколько таких линий изображено на .
Указать только одну координату	точки	было бы недостаточно .
Самый короткий путь из	точки	А в точку В — отрезок АВ .
Точка – 5,8 расположена левее	точки	– 4 , поэтому .
Построение	точки	, равноудаленной от концов отрезка .
Бросив камешек в спокойную гладь водоёма , вы увидите , как от	точки	падения камня разбегается сразу несколько концентрических окружностей .
Скопируйте рисунок в тетрадь и постройте фигуру , симметричную данной относительно	точки	О .
По одну сторону от прямой I расположены	точки	А , Б , С и D. Расстояния от этих точек до прямой соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
от	точки	до плоскости .
Координаты	точки	на плоскости .
Посмотрите на рисунок и расскажите , как определяют координаты	точки	на координатной плоскости .
Чтобы определить расстояние от	точки	А до прямой Ζ , нужно найти ближайшую к А точку этой прямой .
Противоположные числа изображаются точками , симметричными относительно	точки	с координатой 0 .
Как называют пару чисел , определяющую положение	точки	на плоскости ?
В каком случае	точки	А и В можно назвать симметричными относительно точки О ? .
В каком случае точки А и В можно назвать симметричными относительно	точки	О ? .
Отметьте на нелинованной бумаге	точки	О , Л и В. Постройте точки , симметричные точкам А и В относительно точки О .
Отметьте на нелинованной бумаге точки О , Л и В. Постройте	точки	, симметричные точкам А и В относительно точки О .
Отметьте на координатной плоскости	точки	.
Отметьте на нелинованной бумаге точки О , Л и В. Постройте точки , симметричные точкам А и В относительно	точки	О .
Построим	точки	, соответствующие числам : а ) 0,3 ; б ) 0,36 ; в ) 0,364 .
Найдите расстояние от	точки	А до прямой I .
На рёбрах куба взяты	точки	О и Р. Пересекает ли прямая ОР следующие прямые : AD , DN , KN , ВМ , МК , LN , АВ ? .
Каждый раз при этом мы будем получать две	точки	, равноудалённые от концов отрезка .
Например , числам 5 и -5 соответствуют	точки	, расположенные справа и слева от нуля на одном и том же расстоянии , равном 5 единицам .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две	точки	, изображающие числа 0 и 1 .
Так , абсциссу 4 , кроме точки А , имеют ещё точки B , С и все точки прямой ВС , а ординату 3 имеют точки М , N и все	точки	прямой MN . Вопросы и задания .
Расстояние от	точки	до прямой измеряется по перпендикуляру , проведённому из этой точки к прямой .
Развернув лист , вы увидите две	точки	, расположенные по разные стороны от этой прямой .
между двумя точками . от	точки	до прямой .
Так , абсциссу 4 , кроме точки А , имеют ещё точки B , С и все точки прямой ВС , а ординату 3 имеют	точки	М , N и все точки прямой MN . Вопросы и задания .
Постройте прямоугольную систему координат и отметьте в ней	точки	.
Расстояние от	точки	до фигуры .
Где лежат все такие	точки	?
Говорят , что эти	точки	симметричны относительно прямой — линии сгиба .
Возьмём две	точки	А и В. Существует бесконечно много линий на плоскости , двигаясь по которым можно из точки А попасть в точку В. Несколько таких линий изображено на .
Проведите через полученные	точки	прямую .
Как надо провести прямую , пересекающую окружность , чтобы длина отрезка , соединяющего	точки	пересечения , была наибольшей ? .
С помощью инструментов вы можете убедиться , что эта прямая перпендикулярна линии сгиба , а	точки	находятся от неё на одинаковом расстоянии .
С термином « пересечение » вы не раз встречались при изучении геометрии : например , когда находили общие	точки	двух прямых , прямой и окружности и т .
Найти	точки	, равноудалённые от концов отрезка , нам помогут две окружности .
Построить правильный многоугольник можно так : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно	точки	деления отрезками .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от	точки	0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Верно ли утверждение : « Точка К находится на расстоянии 3 см от	точки	А и на расстоянии 4 см от точки В » ?
Верно ли утверждение : « Точка К находится на расстоянии 3 см от точки А и на расстоянии 4 см от	точки	В » ?
Постройте четыре	точки	А , В , С и D по следующему условию : АВ = 8 см , АС = 4 см , СВ = 8 см , AD = 6 см , DB = 4 см , точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ .
А как указать положение	точки	на плоскости ? .
Например , вам известно , что прямая бесконечна , что через две	точки	можно провести только одну прямую .
Какая фигура симметрична относительно	точки	О отрезку АВ ?
На кальке отметьте	точки	А и В. Перегибая её , постройте квадрат со стороной АВ .
а ) Что представляет собой множество всех точек плоскости , удалённых от	точки	О на 3 см ? .
Постройте точку В , симметричную точке А относительно	точки	О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О отложите отрезок , равный отрезку ОА Точка В симметрична точке А относительно точки О .
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от	точки	О отложите отрезок , равный отрезку ОА Точка В симметрична точке А относительно точки О .
Постройте четыре точки А , В , С и D по следующему условию : АВ = 8 см , АС = 4 см , СВ = 8 см , AD = 6 см , DB = 4 см ,	точки	С и D лежат по разные стороны от прямой АВ .
соедините последовательно	точки	пересечения окружности со сторонами углов .
Положение	точки	на координатной плоскости определяется парой чисел — её координатами .
Факт включения множества А в множество В проиллюстрирован с помощью так называемых кругов Эйлера Вы видите , что все	точки	круга А принадлежат также и кругу В .
Вы знаете , что если точка А изображает на координатной прямой некоторое число , например 3,5 , то число 3,5 называют координатой точки А и оно определяет положение	точки	А на прямой .
Покажем , как находят координаты	точки	, например точки А. Опустим из точки А перпендикуляры на оси х и у. Первый « попадёт » в точку оси х , координата которой равна 4 , а второй — в точку оси у с координатой 3 .
Покажем , как находят координаты точки , например	точки	А. Опустим из точки А перпендикуляры на оси х и у. Первый « попадёт » в точку оси х , координата которой равна 4 , а второй — в точку оси у с координатой 3 .
На координатной прямой отмечены	точки	.
Покажем , как находят координаты точки , например точки А. Опустим из	точки	А перпендикуляры на оси х и у. Первый « попадёт » в точку оси х , координата которой равна 4 , а второй — в точку оси у с координатой 3 .
Заметьте : если точки А и Б симметричны относительно некоторой	точки	О , то точка О является серединой отрезка АВ .
б ) Покажите штриховкой множество всех точек , расположенных от	точки	О на расстоянии , большем 2 см и меньшем 3 см .
бумаги точки О и А. Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг	точки	О ( для этого поставим ножку циркуля в точку О ) .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от	точки	В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС .
бумаги	точки	О и А. Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг точки О ( для этого поставим ножку циркуля в точку О ) .
Симметрия относительно	точки	.
Например , числам 2,5 и – 2,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 2,5 единицы ; числам 5 и – 5 — точки , расположенные справа и слева от	точки	О на расстоянии , равном 5 единицам .
Например , числам 2,5 и – 2,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 2,5 единицы ; числам 5 и – 5 —	точки	, расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 5 единицам .
Какая точка симметрична вершине М относительно	точки	О ?
Если мы соединим эти	точки	через одну , то получим правильный треугольник .
Соединив последовательно все полученные	точки	, вы получите правильный шестиугольник .
Если надо найти расстояние от	точки	до плоскости , его тоже измеряют по перпендикуляру .
При повороте на 180 ° точка А переходит в диаметрально противоположную ей точку В. Точки А и В называют симметричными относительно	точки	О .
Например , числам 2,5 и – 2,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от	точки	О на расстоянии , равном 2,5 единицы ; числам 5 и – 5 — точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 5 единицам .
Например , числам 2,5 и – 2,5 соответствуют	точки	, расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 2,5 единицы ; числам 5 и – 5 — точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 5 единицам .
Противоположные числа изображаются точками координатной прямой , симметричными относительно	точки	О ( 0 ) .
Перенесите в тетрадь и постройте	точки	, симметричные точкам А , В и С относительно прямой к .
Как измеряется расстояние от	точки	до прямой ? .
Как построить фигуру , симметричную относительно	точки	.
Заметьте : если	точки	А и Б симметричны относительно некоторой точки О , то точка О является серединой отрезка АВ .
Вы знаете , что если точка А изображает на координатной прямой некоторое число , например 3,5 , то число 3,5 называют координатой	точки	А и оно определяет положение точки А на прямой .
Посмотрите на куб , изображённый на : ребро АВ перпендикулярно грани AKND , расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND , расстояние от	точки	В до грани CMND равно длине ребра ВС .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от	точки	0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Что такое координаты	точки	на плоскости .
Начертите произвольный треугольник АВС , не имеющий с проведёнными прямыми ни одной общей	точки	.
Постройте точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О отложите отрезок , равный отрезку ОА Точка В симметрична точке А относительно	точки	О .
Из понятно , как построить треугольник AlB1Clt симметричный треугольнику АВС относительно	точки	О : достаточно построить точки , симметричные его вершинам .
Из понятно , как построить треугольник AlB1Clt симметричный треугольнику АВС относительно точки О : достаточно построить	точки	, симметричные его вершинам .
Постройте прямую l , относительно которой	точки	А и В симметричны .
Определите расстояние от	точки	А до прямой п. Сколько случаев надо рассмотреть ? .
Эта пара чисел х и у и есть координаты точки А. Координату х называют абсциссой или первой координатой точки А , а координату у — ординатой или второй координатой	точки	А .
от	точки	С до передней грани ; до нижней грани .
Эта пара чисел х и у и есть координаты точки А. Координату х называют абсциссой или первой координатой	точки	А , а координату у — ординатой или второй координатой точки А .
Каждые две	точки	соедините отрезком .
Записывают координаты	точки	так : А ( 4 ; 3 ) .
С его помощью можно строить	точки	, симметричные относительно некоторой прямой , и без перегибания листа бумаги .
Опровергните утверждение , сделав рисунок : « Расстояние от	точки	до треугольника равно расстоянию от этой точки до ближайшей вершины треугольника » .
Найдите расстояние от	точки	А до прямой а и до прямой Ъ .
Построим на координатной прямой точки , симметричные точкам с координатами 989 и 1000 относительно	точки	0 .
Постройте несколько точек , находящихся от прямой АВ на расстоянии 2 см. Где расположены все такие	точки	? .
Расстояние от	точки	до прямой .
Отметьте две	точки	, взяв их по разные стороны от прямой .
Как определять положение	точки	на плоскости .
Точка с координатой – 1000 оказалась левее	точки	– 989 , значит , .
Опровергните утверждение , сделав рисунок : « Расстояние от точки до треугольника равно расстоянию от этой	точки	до ближайшей вершины треугольника » .
Расстояние от	точки	до плоскости .
Эта пара чисел х и у и есть координаты	точки	А. Координату х называют абсциссой или первой координатой точки А , а координату у — ординатой или второй координатой точки А .
Координата	точки	Е равна 4 ; это записывается так : Е ( 4 ) .
В этом случае прямую k называют касательной к окружности , а точку М —	точкой	касания .
Отрезок АВ разделён	точкой	С на две части так , что АС = 18 см , ВС = 9 см .
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с	точкой	прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
Это означает , что диагонали	точкой	пересечения делятся пополам .
Изобразите дом лесника и шоссе схематически	точкой	А и прямой I.
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является	точкой	пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
На координатной плоскости постройте данную точку и	точку	, симметричную ей относительно оси х , запишите её координаты .
бумаги точки О и А. Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг точки О ( для этого поставим ножку циркуля в	точку	О ) .
бумаги точки О и А. Будем поворачивать с помощью циркуля	точку	А вокруг точки О ( для этого поставим ножку циркуля в точку О ) .
Через	точку	О требуется провести прямую , которая разбила бы данную фигуру на две равные части .
Вы могли увидеть	точку	в записи десятичной дроби , пользуясь калькулятором или компьютером .
А в некоторых странах , например в Англии и США , вместо запятой ставят	точку	.
В результате найдём	точку	озера , ближайшую к дому лесника .
Через	точку	А проведена прямая , параллельная I. Какие из отрезков ВС , CD и DB эта прямая пересекает , а какие нет ? .
Начертите окружность , отметьте на ней какую - нибудь	точку	и постройте касательную к окружности в этой точке .
На координатной плоскости постройте данную точку и	точку	, симметричную ей относительно оси у , запишите её координаты .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от нуля отрезок , равный 5,2 единицы , получим	точку	, расположенную между числами – 6 и – 5 .
Постройте четвёртую	точку	D так , чтобы получился прямоугольник ABCD .
Через	точку	К проведите прямую , параллельную прямой а .
Чтобы построить	точку	, соответствующую десятичной дроби 0,36 , разделим на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая заключена между точками 0,3 и 0,4 .
Проведите прямую а и отметьте	точку	К , не лежащую на этой прямой .
Возьмём две точки А и В. Существует бесконечно много линий на плоскости , двигаясь по которым можно из точки А попасть в	точку	В. Несколько таких линий изображено на .
Точки касания окружностей обозначьте следующим образом : точку , лежащую на стороне ;	точку	, лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим	точку	, изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Точки касания окружностей обозначьте следующим образом : точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне ;	точку	, лежащую на стороне .
Постройте	точку	С , удалённую от точек А и В на 4 см .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим	точку	– 3,5 .
Отметьте на окружности	точку	, ближайшую к данной прямой .
Отсчитав от точки 0,3 шесть сотых долей , отметим	точку	с координатой 0,36 .
Самый короткий путь из точки А в	точку	В — отрезок АВ .
в ) Чтобы построить	точку	, соответствующую десятичной дроби 0,364 , разделим на 10 равных частей сотую часть единичного отрезка , которая заключена между точками 0,36 и 0,37 .
На координатной плоскости постройте данную	точку	и точку , симметричную ей относительно оси у , запишите её координаты .
числовой множитель записывают перед буквенным и	точку	( знак умножения ) между ними не ставят .
Точки касания окружностей обозначьте следующим образом :	точку	, лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне ; точку , лежащую на стороне .
Как найти	точку	, равноудалённую от концов отрезка .
а ) Чтобы построить	точку	, соответствующую числу 0,3 , разделим отрезок между точками 0 и 1 на 10 равных частей и отсчитаем от точки 0 три такие части .
Если необходим именно такой порядок множителей в произведении чисел а и 7 , то	точку	обязательно ставят , т .
Проведите две пересекающиеся прямые и обозначьте	точку	их пересечения буквой О .
Постройте	точку	, симметричную точке А относительно прямой k .
На координатной плоскости постройте данную	точку	и точку , симметричную ей относительно оси х , запишите её координаты .
Начертите прямую I и отметьте	точку	А , не лежащую на этой прямой .
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте	точку	их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
Для этого проведите через	точку	А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
отметьте на ней	точку	К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Отметьте одну	точку	, лежащую на этой прямой , и одну точку , не лежащую на этой прямой .
Чтобы определить расстояние от точки А до прямой Ζ , нужно найти ближайшую к А	точку	этой прямой .
Для этого проведите через	точку	М прямую , перпендикулярную прямой l .
Отметьте на нём	точку	С таким образом , чтобы выполнялось условие .
Отметьте	точку	, соответствующую числу .
Отметьте одну точку , лежащую на этой прямой , и одну	точку	, не лежащую на этой прямой .
Найдите АСОК , АКОВ , ABOD , ADOM . б ) Через	точку	О проведены три прямые , ААОС = 130 ° , АЛОВ = 91 ° .
Касательная перпендикулярна радиусу окружности , проведённому в	точку	касания .
Понятно , что если бы мы взяли другую	точку	пересечения окружностей , то получили бы треугольник , равный треугольнику АВС .
Постройте	точку	В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого проведите прямую ОА по другую сторону от точки О отложите отрезок , равный отрезку ОА Точка В симметрична точке А относительно точки О .
Покажем , как находят координаты точки , например точки А. Опустим из точки А перпендикуляры на оси х и у. Первый « попадёт » в точку оси х , координата которой равна 4 , а второй — в	точку	оси у с координатой 3 .
Для этого проведите через точку А прямую , перпендикулярную прямой I , и обозначьте точку их пересечения буквой К. Хорошо видно , что отрезок АК короче любого другого отрезка , соединяющего	точку	А с точкой прямой I. Значит , К и есть ближайшая к А точка этой прямой .
В этом случае прямую k называют касательной к окружности , а	точку	М — точкой касания .
Начертите произвольную окружность и отметьте на ней	точку	А. Постройте касательную к окружности в точке А .
Прямая и окружность могут иметь одну общую	точку	( прямая является касательной к окружности ) , две общие точки ( в этом случае прямую называют секущей ) , а могут и не иметь общих точек .
Обратите внимание на то , что в числовых выражениях , которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали	точку	— знак умножения .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С , лежащую на прямой k , и	точку	D , не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую , перпендикулярную прямой k . а ) проходящую через точку С . б ) проходящую через точку D .
Покажем , как находят координаты точки , например точки А. Опустим из точки А перпендикуляры на оси х и у. Первый « попадёт » в	точку	оси х , координата которой равна 4 , а второй — в точку оси у с координатой 3 .
Отметьте	точку	О и постройте пять точек , находящихся от неё на расстоянии 3 см .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С , лежащую на прямой k , и точку D , не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую , перпендикулярную прямой k . а ) проходящую через	точку	С . б ) проходящую через точку D .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С , лежащую на прямой k , и точку D , не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую , перпендикулярную прямой k . а ) проходящую через точку С . б ) проходящую через	точку	D .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную	точку	М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Пусть даны прямая l и точка М. Постройте	точку	, симметричную точке М относительно прямой l .
Проведите с помощью линейки и угольника через	точку	А прямую , перпендикулярную прямой к , и прямую , параллельную прямой k .
При повороте на 180 ° точка А переходит в диаметрально противоположную ей	точку	В. Точки А и В называют симметричными относительно точки О .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте	точку	С , лежащую на прямой k , и точку D , не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую , перпендикулярную прямой k . а ) проходящую через точку С . б ) проходящую через точку D .
постройте прямую d , перпендикулярную радиусу О А и проходящую через	точку	А. Прямая
Начертите прямую k и отметьте	точку	А , не лежащую на этой прямой .
Сколько километров прошёл поезд за	третий	час ? .
В первый час они прошли 5,2 км , во второй час — на 0,5 км меньше , а в	третий	час — на 0,9 меньше , чем во второй .
Сколько килограммов яблок было продано в	третий	день ? .
б ) Первое поле на 3,2 га меньше второго , а	третье	поле на 4,8 га больше второго .
На сколько гектаров	третье	поле больше первого ? .
Первые два из них — верные утверждения , а	третье	— неверное .
Вычислите длину	третьего	ребра параллелепипеда , если .
Длина первой грядки на 0,9 м больше длины третьей грядки , а длина второй грядки на 0,55 м больше длины	третьей	грядки .
Длина первой грядки на 0,9 м больше длины	третьей	грядки , а длина второй грядки на 0,55 м больше длины третьей грядки .
Если вторым посетить Рим , то	третьей	будет Флоренция ; получаем маршрут ВРФ .
Сторона треугольника , равная 11,5 см , на 0,6 см меньше второй его стороны и на 0,9 см больше	третьей	.
Известен радиус	третьей	окружности и расстояние между центрами .
б ) В первом бидоне в 3 раза больше молока , чем во втором , а во втором в 2 раза больше , чем в	третьем	.
Говорят , что в первом равенстве путь а выражен через v и t , во втором время t выражено через а и v , в	третьем	скорость v выражена через s и t. Упражнения .
Сколько молока во втором и	третьем	бидонах , если в первом 4,5 л молока ? .
Так , числа 3 , 6 , 9 принадлежат первому из указанных классов ; числа 4 , 7 , 10 — второму классу ; числа 5 , 8 , 11 —	третьему	.
Если второй будет Флоренция , то	третьим	будет Рим ; получаем маршрут ВФР .
Если мы знаем две из них , то можем узнать и	третью	: ( по и и t умножением находим а ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по делением находим и ) .
Найдите периметр треугольника , если . Найдите	третью	сторону треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
Постройте прямоугольный	треугольник	, у которого стороны , образующие прямой угол , равны 4 см и 3 см .
Ось симметрии разбивает равнобедренный	треугольник	на две равные части .
Можно ли построить	треугольник	со сторонами , равными : а ) 2 см , 4 см , 5 см ; б ) 7 см , 1 см , 8 см ; в ) 5 см , 5 см , 11 см ; г ) 10 см , 2 см , 6 см ? .
Постройте	треугольник	по элементам , заданным на .
В сечении какого многогранника плоскостью симметрии можно получить	треугольник	? .
Разрежем параллелограмм вдоль отрезка , перпендикулярного двум параллельным сторонам , и переложим отрезанный	треугольник	, как показано .
Таким образом , равносторонний	треугольник	— это правильный треугольник , а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Прямоугольник , равнобедренный	треугольник	, окружность .
Перегибая лист бумаги , постройте равнобедренный	треугольник	.
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; 2 ) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний	треугольник	;
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний	треугольник	со стороной 9 см ; 2 ) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ;
Постройте равносторонний	треугольник	АВС со стороной 4 см .
Постройте : а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в ) равносторонний	треугольник	со стороной 5 см .
Постройте	треугольник	, если даны две его стороны и угол между ними : а ) 6 см , 7 см и 30 ° ; б ) 3 см , 4 см и 120 ° .
Убедитесь , что нельзя построить	треугольник	, стороны которого равны : а ) 7 см , 3 см и 3 см ; б ) 6 см , 4 см и 2 см .
Постройте : а )	треугольник	со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в ) равносторонний треугольник со стороной 5 см .
Из понятно , как построить	треугольник	AlB1Clt симметричный треугольнику АВС относительно точки О : достаточно построить точки , симметричные его вершинам .
Таким образом , равносторонний треугольник — это правильный	треугольник	, а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Неудача постигнет нас и в том случае , если мы попытаемся построить	треугольник	со сторонами 2 см , 2 см и 4 см : окружности лишь коснутся друг друга .
Начертите произвольный	треугольник	АВС , не имеющий с проведёнными прямыми ни одной общей точки .
Из проведённых построений понятно , что из трёх отрезков можно построить	треугольник	, если каждый из этих отрезков меньше суммы двух других .
Начертите равнобедренный	треугольник	со сторонами 3 см , 5 см и 5 см. Проведите ось симметрии .
Постройте	треугольник	А1В1С1 , симметричный треугольнику АВС относительно прямой k .
Постройте равнобедренный	треугольник	, боковые стороны которого равны 5 см , а угол между ними равен : а ) 40 ° ; б ) 110 ° .
	Треугольник	?
Начертите в тетради равносторонний	треугольник	и проведите все его оси симметрии .
Постройте : а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см ; б ) равнобедренный	треугольник	, основание которого равно 7 см , а боковые стороны — 4 см ; в ) равносторонний треугольник со стороной 5 см .
Сложите из получившихся частей	треугольник	.
Можно ли построить	треугольник	со сторонами : а ) 11 см , 13 см , 25 см ; б ) 15 см , 6 см , 12 см ; в ) 20 см , 18 см , 38 см ? .
Измените длину одной из сторон так , чтобы	треугольник	можно было построить .
Расскажите , как построить	треугольник	по этим элементам , и выполните построение .
На рисунке изображена развёртка треугольной призмы , основанием которой является прямоугольный равнобедренный	треугольник	.
Постройте	треугольник	, симметричный треугольнику АВС относительно прямой k .
Перечертите	треугольник	в тетрадь .
Затем постройте треугольник , симметричный треугольнику АВС относительно оси х , и	треугольник	, симметричный треугольнику АВС относительно оси у.
На координатной плоскости постройте	треугольник	АВС по координатам его вершин .
Вы получите	треугольник	АВС , имеющий заданные стороны .
Построить	треугольник	можно не только тогда , когда заданы три его стороны .
На нелинованной бумаге начертите произвольный	треугольник	и постройте симметричный ему относительно одной из вершин .
равнобедренный	треугольник	, основание которого равно 4 см , а боковая сторона равна 5 см .
Постройте правильный шестиугольник со стороной 4 см. На этом же чертеже , но карандашом другого цвета постройте правильный	треугольник	.
Как построить	треугольник	, если известны длины его сторон .
Проведите : а ) три касательные к окружности так , чтобы они образовали	треугольник	; б ) четыре касательные к окружности так , чтобы образовался четырёхугольник .
а ) треугольник со сторонами 4 см , 6 см и 7 см . б ) равносторонний	треугольник	со стороной 5 см .
Постройте	треугольник	со сторонами 3 см и 5 см и с углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму .
Достроив каждый	треугольник	, изображённый на рисунке , до прямоугольника , определите площадь треугольника .
Построим	треугольник	со сторонами , равными 3 см , 4 см и 5 см. Для этого нам придётся воспользоваться циркулем и линейкой .
Если мы соединим эти точки через одну , то получим правильный	треугольник	.
Таким образом , если	треугольник	равносторонний , то .
Опишите словами , как построить с помощью циркуля правильный шестиугольник , правильный	треугольник	.
Проведите такой эксперимент : соберите из элементов металлического конструктора четырёхугольник и	треугольник	и попробуйте подвигать их стороны .
Четырёхугольник при этом будет трансформироваться , а	треугольник	нет .
Говорят , что	треугольник	— жёсткая фигура .
Постройте	треугольник	, симметричный треугольнику АВС относительно прямой т .
Из проволоки согнули квадрат со стороной 8,4 см. Из этой же проволоки согнули равносторонний	треугольник	.
Можно построить	треугольник	и в том случае , если известны две его стороны и угол между ними .
а )	треугольник	со сторонами 4 см , 6 см и 7 см . б ) равносторонний треугольник со стороной 5 см .
Как проверить , существует ли	треугольник	с такими сторонами ? .
Постройте	треугольник	А2В2С2 , симметричный треугольнику А1В1С1 относительно прямой т .
Постройте	треугольник	А3В3С3 , симметричный треугольнику А2В2С2 относительно прямой k .
а ) Из проволоки согнули	треугольник	со сторонами 7,5 см , 8,3 см и 9,4 см. Затем из этой же проволоки согнули квадрат .
Постройте этот	треугольник	.
Затем постройте	треугольник	, симметричный треугольнику АВС относительно оси х , и треугольник , симметричный треугольнику АВС относительно оси у.
Попытаемся построить	треугольник	со сторонами 1 см , 2 см и 4 см. Сделать это нам не удастся : окружности не пересекутся .
Из любых ли трёх отрезков можно построить	треугольник	?
Верно ли , что	треугольник	А3В3С3 симметричен треугольнику АВС относительно прямой т ? .
Точно так же можно начертить , например ,	треугольник	, описанный вокруг окружности , окружность , вписанную в четырёхугольник .
Как надо разрезать конус , чтобы в сечении получить	треугольник	?
Теперь понятно , с чем связана жёсткость треугольника : как говорят математики ,	треугольник	однозначно определяется тремя своими сторонами .
При этом же повороте цветной	треугольник	совместился с белым .
Понятно , что если бы мы взяли другую точку пересечения окружностей , то получили бы	треугольник	, равный треугольнику АВС .
Пусть а , 6 , с — длины сторон	треугольника	.
Начертите отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначьте его концы — две вершины будущего	треугольника	— буквами А и С .
Воспользовавшись формулой периметра	треугольника	, выполните следующие задания .
Найдите периметр треугольника , если . Найдите третью сторону треугольника , если . Выразите сторону с	треугольника	через периметр Р и стороны а и b .
Начертите отрезок , равный одной из сторон	треугольника	, например 5 см. Обозначьте его концы — две вершины будущего треугольника — буквами А и С .
Отрезки , изображённые на , — стороны	треугольника	.
Сформулируйте неравенство	треугольника	.
Любая сторона	треугольника	меньше суммы двух других его сторон .
Найдите периметр треугольника , если . Найдите третью сторону	треугольника	, если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
Что называют неравенством	треугольника	.
Третья вершина	треугольника	удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
Эти примеры показывают , что не любые три отрезка могут быть сторонами	треугольника	.
Мы пришли к выводу , который математики называют неравенством	треугольника	.
Есть ось симметрии и у равнобедренного	треугольника	.
Возникает вопрос : в каком случае три отрезка могут быть сторонами	треугольника	, а в каком нет ?
19 Построение	треугольника	.
Теперь понятно , с чем связана жёсткость	треугольника	: как говорят математики , треугольник однозначно определяется тремя своими сторонами .
Неравенство	треугольника	.
Обозначьте эти два	треугольника	и запишите координаты их вершин .
Опровергните утверждение , сделав рисунок : « Расстояние от точки до	треугольника	равно расстоянию от этой точки до ближайшей вершины треугольника » .
Найдите периметр	треугольника	, если . Найдите третью сторону треугольника , если . Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и b .
Опровергните утверждение , сделав рисунок : « Расстояние от точки до треугольника равно расстоянию от этой точки до ближайшей вершины	треугольника	» .
Какие элементы	треугольника	известны ?
Построение	треугольника	по трем сторонам .
Для этого : 1 ) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; 2 ) каждую сторону	треугольника	разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ;
Поскольку величина каждого угла равностороннего	треугольника	равна 60 ° , то три их угла , приложенные друг к другу , образуют развёрнутый угол .
Симметрия равнобедренного	треугольника	.
От квадрата отрезали четыре равных	треугольника	.
Построение	треугольника	.
Пусть длина стороны равностороннего	треугольника	равна а .
Записанное равенство — формула периметра	треугольника	.
Чему равна площадь каждого	треугольника	? .
Чему равен периметр	треугольника	? .
Сторона	треугольника	, равная 11,5 см , на 0,6 см меньше второй его стороны и на 0,9 см больше третьей .
Пусть стороны	треугольника	равны 4 см , 6 см и 7 см. Найдём его периметр .
Какими бы ни были конкретные значения длин сторон	треугольника	, чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Площадь	треугольника	.
Запишите формулу периметра равностороннего	треугольника	, обозначив длину его стороны буквой с .
Определите длины сторон зелёного	треугольника	.
Вырежьте из бумаги два равных неравнобедренных	треугольника	и сложите из них различные параллелограммы .
Чему равны величины углов правильного	треугольника	?
Найдите площадь закрашенного	треугольника	.
Достроив каждый треугольник , изображённый на рисунке , до прямоугольника , определите площадь	треугольника	.
А если взять два равных равнобедренных	треугольника	?
два равных равносторонних	треугольника	? .
Обозначим периметр	треугольника	буквой Р , а длины его сторон , выраженные в одних и тех же единицах , буквами а , b и с. Тогда .
Чему равна площадь	треугольника	? .
Вычислите площадь	треугольника	, если .
Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного	треугольника	со сторонами а и b , образующими прямой угол .
Формулы периметра	треугольника	, периметра и площади прямоугольника , объёма параллелепипеда .
Найдите периметр	треугольника	, если .
Прямая ОР — ось симметрии	треугольника	КРМ .
Сколько осей симметрии у равностороннего	треугольника	?
Проведите окружности с центрами в вершинах	треугольника	и радиусом , равным 2 см .
Как путём перекраивания можно найти площади параллелограмма и	треугольника	.
Сложим три одинаковых правильных	треугольника	( синие треугольники на рисунке ) .
Значит , диагональ делит параллелограмм на два равных	треугольника	.
а ) четырёхугольника ABCD ; б )	треугольника	АВС .
Сколько осей симметрии у правильного	треугольника	?
Приложив сверху ещё три таких	треугольника	, мы получим шестиугольник .
Чему равны углы этого	треугольника	? .
Очевидно , что площадь нашего	треугольника	составляет половину площади построенного параллелограмма .
Подобным образом можно найти и площадь	треугольника	.
Площади параллелограмма и	треугольника	.
Этот шестиугольник правильный : каждая его сторона равна стороне правильного	треугольника	, а каждый угол — двум его углам , т .
В равнобедренном	треугольнике	одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является основанием ? .
В равностороннем	треугольнике	, как вы знаете , равны и все стороны , и все углы .
Верно ли , что и закрашенные	треугольники	равновелики ? .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные	треугольники	.
Сложим три одинаковых правильных треугольника ( синие	треугольники	на рисунке ) .
Из двух получившихся	треугольников	сложите различные фигуры , имеющие : а ) ось симметрии ; б ) центр симметрии .
Обратите внимание на такой интересный и важный факт : правильный шестиугольник можно составить из правильных	треугольников	.
Пересечение множества всех треугольников и множества правильных многоугольников есть множество равносторонних	треугольников	.
Пусть А — множество всех	треугольников	, В — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников .
Пусть А — множество всех треугольников , В — множество равнобедренных	треугольников	, С — множество равносторонних треугольников .
Докажите , что сумма площадей тёмных треугольников равна сумме площадей белых	треугольников	.
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Сколько различных разносторонних	треугольников	можно построить из этих отрезков ? .
Выпишите все пары центрально - симметричных	треугольников	.
Каков вид	треугольников	КРМ , КОР и РОМ ? .
а ) Найдите площади закрашенных	треугольников	.
Докажите , что сумма площадей тёмных	треугольников	равна сумме площадей белых треугольников .
Приведите пример классификации множества	треугольников	.
Пересечение множества всех	треугольников	и множества правильных многоугольников есть множество равносторонних треугольников .
Пусть А — множество всех треугольников , В — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних	треугольников	.
Назовите все равные элементы	треугольников	КОР и РОМ .
Постройте треугольник А2В2С2 , симметричный	треугольнику	А1В1С1 относительно прямой т .
Постройте треугольник А1В1С1 , симметричный	треугольнику	АВС относительно прямой k .
	Треугольнику	KOD ?
Понятно , что если бы мы взяли другую точку пересечения окружностей , то получили бы треугольник , равный	треугольнику	АВС .
Постройте треугольник А3В3С3 , симметричный	треугольнику	А2В2С2 относительно прямой k .
Из понятно , как построить треугольник AlB1Clt симметричный	треугольнику	АВС относительно точки О : достаточно построить точки , симметричные его вершинам .
Постройте треугольник , симметричный	треугольнику	АВС относительно прямой т .
Постройте треугольник , симметричный	треугольнику	АВС относительно прямой k .
Верно ли , что треугольник А3В3С3 симметричен	треугольнику	АВС относительно прямой т ? .
	Треугольнику	EOD ?
Затем постройте треугольник , симметричный треугольнику АВС относительно оси х , и треугольник , симметричный	треугольнику	АВС относительно оси у.
Затем постройте треугольник , симметричный	треугольнику	АВС относительно оси х , и треугольник , симметричный треугольнику АВС относительно оси у.
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а )	треугольной	призмы , все рёбра которой равны 10 см ; б ) правильной пятиугольной призмы , боковое ребро которой равно 8 см , ребро основания — 5 см ? .
На рисунке изображена развёртка	треугольной	призмы , основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник .
Сколько плоскостей симметрии у правильной : а )	треугольной	призмы ; б ) четырёхугольной призмы ( не являющейся кубом ) ; в ) пятиугольной призмы ? .
Треугольная антипризма получена из правильной	треугольной	призмы поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
На рисунке изображена развёртка	треугольной призмы	, основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник .
Сколько плоскостей симметрии у правильной : а )	треугольной призмы	; б ) четырёхугольной призмы ( не являющейся кубом ) ; в ) пятиугольной призмы ? .
Треугольная антипризма получена из правильной	треугольной призмы	поворотом верхнего основания на угол , равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а )	треугольной призмы	, все рёбра которой равны 10 см ; б ) правильной пятиугольной призмы , боковое ребро которой равно 8 см , ребро основания — 5 см ? .
Сделайте развёртку и склейте из неё : а ) правильную	треугольную	призму ; б ) правильную шестиугольную призму .
Сделайте развёртку и склейте из неё : а ) правильную	треугольную призму	; б ) правильную шестиугольную призму .
Покажите , как можно рассечь её на	треугольные	призмы .
Покажите , как можно рассечь её на	треугольные призмы	.
Если одну пару вертикальных углов составляют острые углы , то другую —	тупые	.
Пусть , например , каждый из острых углов равен 30 ° , тогда каждый из	тупых	углов равен 180 ° - 30 ° = 150 ° .
Пусть , например , каждый из острых углов равен 30 ° , тогда каждый из	тупых углов	равен 180 ° - 30 ° = 150 ° .
Поскольку величина каждого	угла	равностороннего треугольника равна 60 ° , то три их угла , приложенные друг к другу , образуют развёрнутый угол .
Поскольку величина каждого угла равностороннего треугольника равна 60 ° , то три их	угла	, приложенные друг к другу , образуют развёрнутый угол .
Может оказаться так , что все четыре	угла	, образовавшиеся при пересечении двух прямых , равны между собой .
Постройте такую окружность , касающуюся сторон угла , чтобы точка касания была удалена от вершины	угла	на 3 см .
Постройте окружность , касающуюся сторон	угла	, центр которой удалён от вершины угла на 5 см .
на одной стороне	угла	отложите отрезок , равный 3 см , а на другой — равный 5 см .
Постройте окружность , касающуюся сторон угла , центр которой удалён от вершины	угла	на 5 см .
Они делят плоскость на четыре	угла	.
Начертите произвольный угол и постройте окружность , касающуюся сторон	угла	.
Центр окружности лежит на биссектрисе угла А. Объясните , как начертить окружность , касающуюся сторон	угла	.
Центр окружности лежит на биссектрисе	угла	А. Объясните , как начертить окружность , касающуюся сторон угла .
Вы видите угол А и окружность , которая касается сторон этого	угла	.
Рассмотрите рисунок : углы ВОС и СОА — смежные , луч ОМ — биссектриса	угла	СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
Найдите величину каждого	угла	.
Постройте такую окружность , касающуюся сторон	угла	, чтобы точка касания была удалена от вершины угла на 3 см .
Рассмотрите рисунок : углы ВОС и СОА — смежные , луч ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON — биссектриса	угла	АОС .
Этот шестиугольник правильный : каждая его сторона равна стороне правильного треугольника , а каждый угол — двум его	углам	, т .
По	углам	мавзолея поднимаются четыре изящных минарета .
Четырёхугольник с равными сторонами и равными	углами	— это хорошо вам известный квадрат .
Один из	углов	, образовавшихся при пересечении двух прямых , равен : а ) 20 ° ; б ) 105 ° .
в Древнем Вавилоне для нужд астрономии и мореплавания была создана система измерения	углов	, которой мы пользуемся и сегодня .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 10 м от одного из	углов	и их ширина будет равна 3 м .
Таким образом , при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных	углов	.
Для таких	углов	есть специальное название — их называют вертикальными .
Сколько таких	углов	?
В системе измерения времени и	углов	сохранились древние традиции : например , час делится на 60 минут , минута - на 60 секунд .
с помощью транспортира , постройте пять равных	углов	с общей вершиной , составляющих в сумме 360 ° .
Одна сторона	углов	1 и 2 общая , а две другие стороны составляют прямую линию .
а ) Один из двух смежных	углов	равен 40 ° .
Чему равны величины	углов	правильного треугольника ?
Сумма трёх	углов	, образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 240 ° .
Назовите углы , смежные с углом СОК ; АОМ ; KOD . а ) Сколько пар смежных	углов	образуется при пересечении двух прямых ? .
Назовите все пары смежных	углов	, изображённых на .
У этих	углов	общая вершина — точка пересечения прямых .
Мы видим , что каждый из	углов	1 и 3 дополняет один и тот же угол 2 ( или угол 4 ) до развёрнутого .
Найдите величины	углов	1 , 2 и 3 .
соедините последовательно точки пересечения окружности со сторонами	углов	.
Если одну пару вертикальных	углов	составляют острые углы , то другую — тупые .
б ) Один из	углов	, образовавшихся при пересечении двух прямых , равен 40 ° .
Найдите величины остальных	углов	, обозначенных цифрами .
Известны величины двух	углов	.
Пусть , например , каждый из острых углов равен 30 ° , тогда каждый из тупых	углов	равен 180 ° - 30 ° = 150 ° .
Пусть , например , каждый из острых	углов	равен 30 ° , тогда каждый из тупых углов равен 180 ° - 30 ° = 150 ° .
Найдите величины остальных	углов	.
На изображены две пересекающиеся прямые а и b и задана величина одного из	углов	.
проведите окружность произвольного радиуса с центром в вершине	углов	.
Назовите пары прямых , которые пересекают прямую а под одним и тем же	углом	.
Назовите углы , смежные с	углом	СОК ; АОМ ; KOD . а ) Сколько пар смежных углов образуется при пересечении двух прямых ? .
а ) Если две прямые пересекаются под прямым	углом	, то они ... б ) Если две прямые , лежащие в одной плоскости , перпендикулярны одной и той же прямой , то они ...
Постройте параллелограмм , диагонали которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под	углом	30 .
По назовите угол , смежный с	углом	АОС .
Эта прямая пересекает каждую из параллельных прямых под одним и тем же	углом	.
Постройте прямые , пересекающиеся под	углом	60 ° .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и с	углом	между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму .
Начертите на глаз на нелинованной бумаге прямые , пересекающиеся под	углом	: а ) 90 ° ; б ) 45 ° ; в ) 60 ° .
	Углу	BAD ?
	Углу	BCD ? .
Какой угол симметричен	углу	CNM ?
Постройте параллелограмм , измерьте его стороны и	углы	.
Отметьте равные отрезки и равные	углы	.
Найдите	углы	2 и 3 .
Рассмотрите рисунок :	углы	ВОС и СОА — смежные , луч ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
а ) Каким свойством обладают вертикальные	углы	? .
Чему равны	углы	правильного шестиугольника ?
Назовите	углы	, смежные с углом СОК ; АОМ ; KOD . а ) Сколько пар смежных углов образуется при пересечении двух прямых ? .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все	углы	прямые , а у квадрата и все углы прямые , и все стороны равны .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все	углы	прямые , и все стороны равны .
б ) Могут ли смежные	углы	быть равными ?
Смежные	углы	.
В равностороннем треугольнике , как вы знаете , равны и все стороны , и все	углы	.
Вертикальные	углы	равны .
Найдите остальные	углы	.
Посмотрите на	углы	1 и 3 .
Многоугольник , у которого равны все стороны и все	углы	, называют правильным .
Какие	углы	называют вертикальными .
Найдите	углы	, обозначенные цифрами 1 , 2 , 3 , 4 .
Если одну пару вертикальных углов составляют острые	углы	, то другую — тупые .
Чему равны	углы	этого треугольника ? .
Такие	углы	называют смежными .
Смежные	углы	образуют развёрнутый угол , т .
Постройте треугольник , если даны две его стороны и	угол	между ними : а ) 6 см , 7 см и 30 ° ; б ) 3 см , 4 см и 120 ° .
Постройте равнобедренный треугольник , боковые стороны которого равны 5 см , а	угол	между ними равен : а ) 40 ° ; б ) 110 ° .
Начертите произвольный	угол	и постройте окружность , касающуюся сторон угла .
Поскольку величина каждого угла равностороннего треугольника равна 60 ° , то три их угла , приложенные друг к другу , образуют развёрнутый	угол	.
Используя транспортир , постройте прямые ,	угол	между которыми равен : а ) 25 ° ; б ) 70 ° ; в ) 90 ° .
начертите	угол	, равный 80 ° .
Начертите	угол	, равный 40 ° .
Мы видим , что каждый из углов 1 и 3 дополняет один и тот же	угол	2 ( или угол 4 ) до развёрнутого .
Мы видим , что каждый из углов 1 и 3 дополняет один и тот же угол 2 ( или	угол	4 ) до развёрнутого .
Начертите	угол	, равный 50 ° .
Чему равен	угол	между биссектрисами ? .
Она проходит через середину основания , перпендикулярна ему и делит противолежащий основанию	угол	пополам .
Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника со сторонами а и b , образующими прямой	угол	.
Вы видите	угол	А и окружность , которая касается сторон этого угла .
Этот шестиугольник правильный : каждая его сторона равна стороне правильного треугольника , а каждый	угол	— двум его углам , т .
Можно построить треугольник и в том случае , если известны две его стороны и	угол	между ними .
Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на	угол	, равный ; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную , а все боковые грани — правильные треугольники .
Решите эту же задачу при условии , что	угол	АОС равен 60 ° ; 82 ° .
По назовите	угол	, смежный с углом АОС .
Смежные углы образуют развёрнутый	угол	, т .
Каждый участок маршрута , изображённого на рисунке , можно описать с помощью трёх координат : заметный ориентир ,	угол	между северным направлением и направлением движения ( азимут ) , расстояние .
Чему равен другой	угол	? .
Какой	угол	симметричен углу CNM ?
Постройте прямоугольный треугольник , у которого стороны , образующие прямой	угол	, равны 4 см и 3 см .
передвиньте	угольник	вдоль линейки и проведите прямую .
а ) Начертите с помощью линейки и	угольника	две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм .
С помощью линейки и	угольника	постройте несколько прямых , параллельных прямой Ь . б )
Запишите выражение для вычисления числа осей симметрии правильного n -	угольника	.
На показан способ построения прямой , параллельной данной , с помощью одного	угольника	.
Вычислите периметр правильного пятиугольника со стороной 12 см , правильного шестиугольника со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного n -	угольника	.
На этом свойстве , в частности , основан способ их построения с помощью	угольника	и линейки .
Начертите какую - нибудь прямую и постройте с помощью	угольника	прямую , ей параллельную .
Проверить , насколько качественно строители выполнили свою работу , можно с помощью	угольника	.
С помощью	угольника	через каждую из этих точек проведите прямую , перпендикулярную прямой k .
Проведите с помощью линейки и	угольника	через точку А прямую , перпендикулярную прямой к , и прямую , параллельную прямой k .
зафиксируйте линейку вдоль другой стороны	угольника	.
Для этого . расположите вдоль прямой т одну сторону	угольника	.
Перпендикулярные прямые можно построить и с помощью	угольника	, и с помощью транспортира .
Воспользуйтесь	угольником	и линейкой .
Будем	умножать	десятичную дробь 6,735 на 10 , 100 , 1000 и т .
В 5 классе вы многое узнали о дробях , научились складывать , вычитать ,	умножать	и делить дроби , сравнивать их , отмечать точками на координатной прямой .
Вы уже умеете складывать , вычитать ,	умножать	и делить целые числа .
Как	умножают	десятичную дробь на десятичную , на натуральное число , на обыкновенную дробь .
По какому правилу	умножают	десятичную дробь на единицу с нулями ?
По каким правилам десятичную дробь	умножают	и делят на 10 , 100 , 1000 и т . д. ? .
На примере объясните , как	умножают	числа разных знаков .
На примере объясните , как	умножают	числа одного знака .
Выполните	умножение	и , если возможно , представьте ответ в виде десятичной дроби .
Рассмотрите , как выполнено	умножение	этих дробей на полях .
Как вы уже поняли , действие умножения рациональных чисел обладает всеми теми же свойствами , что и	умножение	целых чисел .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с целыми числами —	умножение	и деление .
Выполните	умножение	.
Поэтому выполним	умножение	в десятичных дробях .
Разберите , как выполнено	умножение	.
Для натуральных чисел	умножение	сводится к сложению , поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в выражении нет скобок , то	умножение	выполняется раньше сложения .
Это и понятно : ведь	умножение	десятичной дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Что	умножение	и деление десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 сводится к переносу запятой .
А	умножение	и деление десятичной дроби на единицу с нулями сводится к переносу запятой .
Выполните	умножение	, следуя приведённому образцу : образец .
Коля и Петя выполняли задания на	умножение	десятичных дробей .
В этом пункте вы повторите сложение , вычитание ,	умножение	и деление дробей , а также научитесь выполнять более сложные вычисления .
Умножение целых чисел обладает теми же свойствами , что и	умножение	натуральных , — переместительным и сочетательным .
Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по и и t	умножением	находим а ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по делением находим и ) .
Найдём значение выражения Заменим деление	умножением	на обратное число .
Найдите частное и результат проверьте	умножением	.
Вычислите частное устно и результат проверьте	умножением	.
При	умножении	десятичных дробей в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
Запишите в буквенном виде свойство нуля при сложении и свойство единицы при	умножении	.
Особую роль при	умножении	целых чисел играет также число -1 : при умножении на – 1 число заменяется на противоположное .
Обратите внимание : при	умножении	6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
Числа 0 и 1 при	умножении	целых чисел сохраняют свои свойства .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при	умножении	на 1000 — на 3 знака .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при	умножении	на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Запишите с помощью букв свойства нуля и единицы при	умножении	.
Коротко правила знаков при	умножении	формулируют так : плюс на минус даёт минус , минус на минус даёт плюс .
Сформулируйте правила знаков при	умножении	и делении .
Особую роль при умножении целых чисел играет также число -1 : при	умножении	на – 1 число заменяется на противоположное .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при	умножении	десятичной дроби на десятичную дробь ; на натуральное число .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при	умножении	на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Но место запятой при	умножении	определяется иначе , чем при сложении .
Сформулируйте правила знаков при	умножении	и при делении .
Сохраняются свойства нуля и единицы при	умножении	.
При	умножении	на -1 число заменяется на противоположное .
Фраза « а процентов от » является сигналом к	умножению	.
Проверьте с помощью	умножения	, верно ли выполнено деление .
Как вы уже поняли , действие	умножения	рациональных чисел обладает всеми теми же свойствами , что и умножение целых чисел .
Тогда можно воспользоваться либо правилом	умножения	обыкновенных дробей , либо правилом умножения десятичных дробей .
Кроме переместительного и сочетательного свойств , справедливо распределительное свойство	умножения	относительно сложения .
Тогда можно воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом	умножения	десятичных дробей .
Не выполняя	умножения	, сравните .
числовой множитель записывают перед буквенным и точку ( знак	умножения	) между ними не ставят .
д. раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью	умножения	и деления на степень 10 .
Сформулируйте правило	умножения	дроби на дробь .
Результатом сложения , вычитания и	умножения	двух десятичных дробей всегда является десятичная дробь .
Вы видите , что в результате	умножения	в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Правило	умножения	десятичных дробей применимо и в том случае , когда один из множителей — натуральное число .
Обратите внимание на то , что в числовых выражениях , которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали точку — знак	умножения	.
Заметим , что распределительное свойство выполняется именно потому , что для	умножения	мы приняли указанные выше правила знаков , в частности правило « минус на минус даёт плюс » .
Таким образом , для умножения десятичных дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства , а также распределительное свойство	умножения	относительно сложения .
Рассмотрим несколько знакомых примеров	умножения	целых чисел .
Правила деления двух целых чисел аналогичны правилам	умножения	— знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Правила	умножения	и деления рациональных чисел одного знака и разных знаков .
2 Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей ;	умножения	дробей ; деления дробей .
Рассмотренный пример подсказывает нам правило	умножения	десятичных дробей .
Поэтому , « открывая » правило	умножения	отрицательных чисел , можно было бы рассуждать так .
Сформулируем теперь правило	умножения	дробей .
великий учёный , математик и механик Леонард Эйлер , работавший в России , объяснял правило	умножения	отрицательных чисел примерно следующим образом .
Используя понятие модуля числа , сформулируем правила	умножения	положительных и отрицательных чисел .
Таким образом , для	умножения	десятичных дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства , а также распределительное свойство умножения относительно сложения .
Сначала избавимся от дробей ,	умножив	оба члена отношения на 10 , а затем разделим оба члена нового отношения на их общий делитель .
Вычислим произведение	умножив	число 235 на 120 , мы получили в произведении 28 200 .
Ученик задумал число , вычел из него 1 , результат	умножил	на 5 , к произведению прибавил 10 и получил 15 .
Саша задумал число , прибавил к нему 15 и результат	умножил	на 10 .
Составьте уравнение по условию задачи : « Коля задумал число , прибавил к нему 7 , результат	умножил	на 2 и из полученного произведения вычел 10 .
Николай задумал число ,	умножил	его на 2,5 и получил 10 . г ) Олег задумал число , нашёл этого числа и получил 5 .
а ) Ученик задумал число ,	умножил	его на 2 , из результата вычел 15 , полученный ответ разделил на 10 и получил 0 .
Ученик задумал число , прибавил к нему 7 , эту сумму	умножил	на 3 , из результата вычел 15 и получил 30 .
Она должна начинаться так : « Я задумал число ,	умножил	его на » .
а ) Таня задумала число ,	умножила	его на 15 и результат вычла из 80 .
Найдём пятую часть от числа 80 000 и	умножим	результат на 2 .
а ) Чтобы найти половину некоторого числа , нужно это число разделить на или	умножить	на .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь	умножить	на дробь , обратную второй .
Если	умножить	или разделить оба члена отношения на одно и то же число , не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
Таким образом , чтобы выразить десятичную дробь в процентах , надо эту дробь	умножить	на 100 .
б ) Чтобы найти четверть некоторого числа , нужно это число разделить на или	умножить	на .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это число	умножить	на данную дробь .
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно	умножить	на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Чтобы	умножить	дробь на дробь , нужно перемножить числители дробей и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
А так как всё население составляет пять таких частей , то результат надо	умножить	на 5 .
Чтобы найти от 3200 р . , можно 3200	умножить	на .
Так , если нужно	умножить	сумму чисел а и Ъ на число с , то эту сумму заключают в скобки .
Так как 740 % — это 7,4 , то надо 1,2 млн	умножить	на 7,4 : млн .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длины смежных сторон и результат	умножить	на 2 .
Его значение не изменится , если делимое и делитель	умножить	на 100 .
На какое число нужно	умножить	или разделить число 25,6 , чтобы в результате получилось .
к более мелким единицам , нужно 2,7	умножить	на 1000 .
Если числитель и знаменатель дроби	умножить	или разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то получится дробь , равная данной .
Или	умножить	это число на 10 , получится .
А как , пользуясь сформулированным правилом ,	умножить	эту дробь на следующие степени числа 10 , т .
Чтобы выразить проценты десятичной дробью , надо число , стоящее перед знаком процента ,	умножить	на 0,01 , или , что одно и то же , разделить на 100 .
Чтобы	умножить	десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и т .
Для этого задумайте какое - нибудь число ,	умножьте	его на 5 , к результату прибавьте 100 .
решить составленное	уравнение	.
составить по условию задачи	уравнение	.
Получаем	уравнение	.
Решите задачу , составив	уравнение	.
Что такое	уравнение	.
Корень уравнения — это число , при подстановке которого в	уравнение	получается верное равенство .
Объясните , почему данное	уравнение	не имеет корней .
Что значит решить	уравнение	? .
30 Что такое	уравнение	.
Решите	уравнение	.
Теперь мы получили	уравнение	, в левой части которого произведение чисел 2 и х.
Чтобы ответить на вопрос задачи , это неизвестное число нужно найти , или , как говорят , нужно решить	уравнение	.
Составьте	уравнение	по условию задачи : « Коля задумал число , прибавил к нему 7 , результат умножил на 2 и из полученного произведения вычел 10 .
Таким образом , решив	уравнение	, мы узнали , что тетрадь стоит 12 р .
Составьте	уравнение	по условию задачи .
Решите	уравнение	, объясняя каждый шаг решения .
Решим	уравнение	.
Решите	уравнение	и с помощью подстановки проверьте , правильно ли найден корень .
Решите	уравнение	и сделайте проверку .
Решение задач с помощью	уравнений	.
Объясните каждый шаг в решении следующих	уравнений	.
Обычно при решении	уравнений	рассуждения проводят устно , а получившиеся равенства записывают одно под другим .
Решение	уравнений	.
В левой части	уравнения	сумма чисел 2х и 26 .
Для этого запишите условие задачи с помощью	уравнения	и решите его .
Корень	уравнения	— это число , при подстановке которого в уравнение получается верное равенство .
Проверьте , является ли корнем	уравнения	число 0,5 .
Запишите условие каждой задачи с помощью	уравнения	.
Если подставить его вместо х в левую часть исходного	уравнения	и выполнить указанные действия , то получится 50 .
только простейшие	уравнения	, для решения которых достаточно знать свойства арифметических действий и правила , по которым находят неизвестный компонент действия .
Что называется корнем	уравнения	? .
Число 12 называют корнем	уравнения	.
Чтобы ре . шить задачу с помощью	уравнения	, нужно .
Есть ли среди чисел 3 , 4 и 5 корень	уравнения	.
Найдите корень	уравнения	подбором .
Опишите по шагам решение	уравнения	.
Что такое корень	уравнения	.
Такие равенства называют	уравнениями	.
Какие математические предложения называют	уравнениями	.
Разные виды симметрии могут встретиться на шахматной доске даже в расположении	фигур	в партии .
На шахматной доске расставлены пять	фигур	— король , ферзь , слон , конь и ладья .
Построение центрально - симметричных	фигур	.
Какая из	фигур	, изображённых на рисунке , имеет центр симметрии ?
Это свойство равносоставленных	фигур	даёт нам полезный приём нахождения площадей .
Построение	фигур	, симметричных относительно прямой .
Идею перекраивания для нахождения площадей самых разных	фигур	использовали ещё древние математики .
Запишите формулы для вычисления объёмов	фигур	, изображённых на .
Например , в начале шахматной партии расстановка чёрных фигур является зеркальным отражением расстановки белых	фигур	.
Древние греки считали сферу « наиболее прекрасной из твёрдых	фигур	» .
Например , в начале шахматной партии расстановка чёрных	фигур	является зеркальным отражением расстановки белых фигур .
Составьте формулы для вычисления площадей	фигур	, изображённых на .
Нарисуйте несколько	фигур	, равновеликих фигуре , изображённой на .
Однако расположение	фигур	одного цвета асимметрично из - за позиций короля и ферзя .
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов — чисел , выражений , точек ,	фигур	и т .
Какая	фигура	может получиться в сечении , если плоскостью симметрии рассечь : а ) параллелепипед ; б ) цилиндр ; в ) конус ? .
Но	фигура	может иметь и центр симметрии .
Говорят , что	фигура	симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании фигуры по этой прямой её части совпадают .
Точка является центром симметрии , если при повороте вокруг этой точки на 180 °	фигура	переходит сама в себя .
Симметричная	фигура	.
Какая	фигура	симметрична относительно точки О отрезку АВ ?
Говорят , что треугольник — жёсткая	фигура	.
Обратите внимание на то , что	фигура	эта имеет центр симметрии .
Назовите точки , симметричные точкам А , В , С и К относительно точки О. Какая	фигура	симметрична относительно точки О отрезку АК ?
Сколько осей симметрии имеет	фигура	, состоящая из трёх окружностей одинакового радиуса ?
Может ли	фигура	иметь и центр симметрии , и ось симметрии ? .
Если	фигура	разрезана на части , то её площадь равна сумме площадей её частей .
Вы уже встречались с центрально - симметричными	фигурами	.
Вы уже знакомы с очень многими геометрическими	фигурами	, а вот вычислить площадь можете только прямоугольника или квадрата .
Нарисуйте несколько фигур , равновеликих	фигуре	, изображённой на .
Как вы думаете , какой	фигурой	является этот многоугольник ? .
Параллелограмм является центрально - симметричной	фигурой	.
Фигура на кальке совместится с	фигурой	на бумаге .
Но прямая может пройти и через саму	фигуру	.
Но оказывается , этого вполне достаточно , если вы сумеете перекроить	фигуру	, площадь которой хотите найти , в ту , площадь которой находить умеете .
Постройте эту	фигуру	и проведите все её оси симметрии .
Получить симметричную	фигуру	очень просто .
Рассмотрим	фигуру	на рисунке .
Найдите	фигуру	, имеющую центр симметрии , перерисуйте её в тетрадь и отметьте её центр симметрии .
Скопируйте	фигуру	, изображённую на рисунке , и найдите её центр симметрии .
На рисунке изображена часть фигуры , центром симметрии которой является точка М. Начертите эту	фигуру	в тетради .
Перенесите	фигуру	на кальку и поверните её на 180 ° .
Нарисуем на нём какую - нибудь линию с концами на сгибе листа , как показано на рисунке , разрежем лист по этой линии и развернём вырезанную	фигуру	.
Как построить	фигуру	, симметричную относительно прямой .
Через точку О требуется провести прямую , которая разбила бы данную	фигуру	на две равные части .
Какую	фигуру	называют симметричной .
Начертите	фигуру	, которая имеет : а ) и центр симметрии , и ось симметрии ; б ) центр симметрии , но не имеет оси симметрии ; в ) ось симметрии , но не имеет центра симметрии .
Скопируйте рисунок в тетрадь и постройте	фигуру	, симметричную данной относительно точки О .
Перекроите каждую	фигуру	в квадрат .
Как построить	фигуру	, симметричную относительно точки .
С другой стороны , далеко не у каждой	фигуры	есть ось симметрии .
Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 10 см и 15 см. Найдите площадь закрашенной	фигуры	.
Изменяет ли центральная симметрия ориентацию	фигуры	.
Многие известные вам	фигуры	симметричны .
Линия сгиба — это ось симметрии	фигуры	.
Расстояние от точки до	фигуры	.
Запишите формулу для вычисления площади	фигуры	, изображённой на рисунке .
Ось симметрии	фигуры	.
На рисунке изображена часть	фигуры	, центром симметрии которой является точка М. Начертите эту фигуру в тетради .
К параллелограммам относятся и такие хорошо вам знакомые	фигуры	, как прямоугольник и квадрат .
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании	фигуры	по этой прямой её части совпадают .
В геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой	фигуры	( прямой , окружности и др. ) , расстояние между двумя параллельными прямыми .
Ещё в древности математики интересовались тем , какие	фигуры	получаются при сечении этих тел плоскостью .
Нарисуйте эти	фигуры	от руки и проведите их оси симметрии .
Какие	фигуры	называют равносоставленными , а какие - равновеликими .
Покажите , что	фигуры	, изображённые , равновелики .
Каким свойством обладают равносоставленные	фигуры	? .
Равновеликие и равносоставленные	фигуры	.
Выясните , симметричны ли изображённые на	фигуры	.
Перекраиваем	фигуры	.
Какие	фигуры	имеют центр симметрии .
Две	фигуры	, имеющие одинаковую площадь , называются равновеликими .
Вообще если	фигуры	симметричны , то они равны .
Что значит	фигуры	равносоставлены ? .
Какие	фигуры	называют равновеликими ? .
Найдите на рисунке	фигуры	с осевой симметрией , перерисуйте их в тетрадь и проведите оси симметрии .
Какая часть	фигуры	закрашена ?
Следовательно , эти	фигуры	равновелики .
Что значит «	фигуры	равновелики » ?
Равносоставленные	фигуры	равновелики .
Рассмотрим две	фигуры	, изображённые на рисунке .
Является ли проведённая прямая осью симметрии	фигуры	? .
Центр симметрии	фигуры	.
Вы уже знаете , что существуют	фигуры	, которые имеют ось симметрии , а некоторые — и не одну .
Оказывается , эти столь непохожие друг на друга	фигуры	можно разрезать на одинаковые части .
32 Ось симметрии	фигуры	.
Из двух получившихся треугольников сложите различные	фигуры	, имеющие : а ) ось симметрии ; б ) центр симметрии .
Он заключается в перекраивании данной	фигуры	в другую , площадь которой мы вычислять умеем .
Мы рассмотрели случай , когда две	фигуры	симметричны относительно некоторой прямой .
Значит , если	фигуры	составлены из одинаковых частей , или , как говорят , равносоставлены , то они имеют и равную площадь .
Равновеликие	фигуры	.
Прочитайте текст рубрики « В	фокусе	» .
Несмотря на всеобщий	характер	симметрии окружающего мира , в природе мы не встречаем примеров безукоризненной симметрии .
Этот пример отличается от предыдущего тем , что	целая	часть делимого меньше делителя .
При делении любого	целого	числа на 1 получается это же число .
При делении любого	целого	числа на – 1 получается противоположное число .
Как из одного	целого	числа вычесть другое ? .
Наконец , правило сложения	целого	числа с нулём такое же , как и для натуральных чисел .
Круговые диаграммы удобно использовать в тех случаях , когда нужно представить соотношение между частями	целого	.
Как из одного	целого числа	вычесть другое ? .
При делении любого	целого числа	на – 1 получается противоположное число .
При делении любого	целого числа	на 1 получается это же число .
Наконец , правило сложения	целого числа	с нулём такое же , как и для натуральных чисел .
Верно ли , что любое	целое	число является либо положительным , либо отрицательным ? .
При делении нуля на любое	целое	число , не равное нулю , в частном получается нуль .
Используя координатную прямую , выясните , какой знак имеет	целое	число b , если .
слова « натуральное число » и « положительное	целое	число » означают одно и то же .
Приведите пример , когда в результате округления десятичной дроби получается	целое	число .
Возьмём несколько рациональных чисел и представим каждое из них в виде дроби , у которой числитель —	целое	число , знаменатель — натуральное .
Вообще любое рациональные число может быть представлено в виде , где т —	целое	число , n — натуральное .
Запишите на символическом языке следующее утверждение : а ) число 10 — натуральное ; б ) число – 7 не является натуральным ; в ) число – 100 является целым ; г ) число 2,5 — не	целое	.
Приведите пример , когда в результате округления десятичной дроби получается	целое число	.
При делении нуля на любое	целое число	, не равное нулю , в частном получается нуль .
слова « натуральное число » и « положительное	целое число	» означают одно и то же .
Верно ли , что любое	целое число	является либо положительным , либо отрицательным ? .
Используя координатную прямую , выясните , какой знак имеет	целое число	b , если .
Вообще любое рациональные число может быть представлено в виде , где т —	целое число	, n — натуральное .
Возьмём несколько рациональных чисел и представим каждое из них в виде дроби , у которой числитель —	целое число	, знаменатель — натуральное .
Теперь для отделения	целой	части от дробной мы ставим запятую .
Сразу после того как закончено деление	целой	части , в частном ставят запятую .
Сначала разделили на 3	целую	часть дроби 7,47 и поставили в частном запятую .
Среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 найдите : а ) целые положительные числа ; б )	целые	отрицательные числа .
Положительные и отрицательные	целые	числа .
Чтобы понять , по каким правилам складывают	целые	числа , рассмотрим « денежные » примеры — с доходами и расходами .
Вы уже умеете складывать , вычитать , умножать и делить	целые	числа .
Естественно правило сравнения натуральных чисел распространить на	целые	числа .
Сравните	целые	числа .
Среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 найдите : а )	целые	положительные числа ; б ) целые отрицательные числа .
3 )	целые	числа ; 2 ) отрицательные числа ; 4 ) дробные отрицательные числа .
Запишем это частное в виде дроби и затем , воспользовавшись основным свойством дроби , преобразуем её так , чтобы в числителе и знаменателе оказались	целые	числа .
Это определение разности мы распространим и на	целые	числа .
Какие	целые	числа можно подставить вместо буквы а , чтобы получилось верное неравенство .
На координатной прямой отмечены	целые	числа a , b , с , d , е и f .
Отметьте на координатной прямой	целые	числа , заключённые между числами .
На какие бы	целые	числа ни домножали знаменатель , множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому произведение только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Назовите по порядку	целые	числа .
Натуральные числа 1 , 2 , 3 , , отрицательные числа – 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином —	целые	числа .
Положительные	целые	числа расположены справа от нуля , отрицательные — слева .
Чтобы понять , как перемножают	целые	числа , рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только знаками .
Запишите сначала в порядке возрастания , а потом в порядке убывания	целые	числа , заключённые между . а ) – 7 и 2 ; б ) – 15 и – 5 ; в ) – 3 и 3 ; г ) – 20 и – 10 .
	Целые	положительные числа ) , а на левом — отрицательные .
Запишите все отрицательные	целые	числа , которые .
Положительные дробные числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные	целые	числа , можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
Вспомним , как мы делили	целые	числа .
Подберите такие	целые	числа а и b , чтобы выполнялось неравенство .
На примере числа -5 расскажите , как	целые	отрицательные числа изображают точками на координатной прямой .
Найдите среди них : положительные , отрицательные ,	целые	, натуральные , отрицательные дробные числа .
Положительные	целые	числа , т .
Известно , что а и b — положительные	целые	числа , причём .
Сравните – а и – b . в ) Известно , что а и b —	целые	числа разных знаков , причём .
Записывая	целые	числа в ряд , мы также можем заменить запятые на знак « меньше » .
Вы знаете , как отмечают на координатной прямой	целые	числа .
Отрицательные дробные числа , так же как и отрицательные	целые	, получаются приписыванием к положительному числу знака « – » .
Изобразите схематически на координатной прямой данное число и ближайшие к нему слева и справа	целые	числа , затем запишите двойное неравенство , например .
Если вы хорошо научились складывать	целые	числа , то сумеете вычислить и их разность .
Известно , что а и b — отрицательные	целые	числа , причём .
По какому правилу сравнивают	целые	числа ? .
Запишите все отрицательные	целые числа	, которые .
Известно , что а и b — положительные	целые числа	, причём .
Вы знаете , как отмечают на координатной прямой	целые числа	.
Запишите сначала в порядке возрастания , а потом в порядке убывания	целые числа	, заключённые между . а ) – 7 и 2 ; б ) – 15 и – 5 ; в ) – 3 и 3 ; г ) – 20 и – 10 .
Отметьте на координатной прямой	целые числа	, заключённые между числами .
Положительные	целые числа	расположены справа от нуля , отрицательные — слева .
Подберите такие	целые числа	а и b , чтобы выполнялось неравенство .
Сравните – а и – b . в ) Известно , что а и b —	целые числа	разных знаков , причём .
На координатной прямой отмечены	целые числа	a , b , с , d , е и f .
Вы уже умеете складывать , вычитать , умножать и делить	целые числа	.
Изобразите схематически на координатной прямой данное число и ближайшие к нему слева и справа	целые числа	, затем запишите двойное неравенство , например .
Положительные и отрицательные	целые числа	.
На какие бы	целые числа	ни домножали знаменатель , множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому произведение только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Известно , что а и b — отрицательные	целые числа	, причём .
Чтобы понять , как перемножают	целые числа	, рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только знаками .
Запишем это частное в виде дроби и затем , воспользовавшись основным свойством дроби , преобразуем её так , чтобы в числителе и знаменателе оказались	целые числа	.
Вспомним , как мы делили	целые числа	.
Записывая	целые числа	в ряд , мы также можем заменить запятые на знак « меньше » .
Положительные	целые числа	, т .
Назовите по порядку	целые числа	.
Какие	целые числа	можно подставить вместо буквы а , чтобы получилось верное неравенство .
Если вы хорошо научились складывать	целые числа	, то сумеете вычислить и их разность .
Натуральные числа 1 , 2 , 3 , , отрицательные числа – 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином —	целые числа	.
По какому правилу сравнивают	целые числа	? .
Чтобы понять , по каким правилам складывают	целые числа	, рассмотрим « денежные » примеры — с доходами и расходами .
3 )	целые числа	; 2 ) отрицательные числа ; 4 ) дробные отрицательные числа .
Положительные дробные числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные	целые числа	, можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
Это определение разности мы распространим и на	целые числа	.
Естественно правило сравнения натуральных чисел распространить на	целые числа	.
Сравните	целые числа	.
При округлении десятичной дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом десятичных знаков или даже	целым	числом .
Скольким	целым	километрам примерно равна 1 верста ? .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел , или так : всякое натуральное число является числом	целым	.
Преобразуйте частное так , чтобы делитель был	целым	числом .
Запишите на символическом языке следующее утверждение : а ) число 10 — натуральное ; б ) число – 7 не является натуральным ; в ) число – 100 является	целым	; г ) число 2,5 — не целое .
Скольким	целым	километрам примерно равна 1 морская миля ? .
При округлении десятичной дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом десятичных знаков или даже	целым числом	.
Преобразуйте частное так , чтобы делитель был	целым числом	.
Между какими двумя ближайшими	целыми	числами находится данное число ( ответ запишите в виде двойного неравенства ) .
На изображена координатная прямая , отмеченные на ней числа являются	целыми	.
Между какими соседними	целыми	числами заключено число .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с	целыми	числами — умножение и деление .
Какие числа называют	целыми	.
Разные действия с	целыми	числами .
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : с	целыми	числами мы можем обращаться более свободно , чем с натуральными .
В предыдущей главе вы познакомились с	целыми	числами .
Между	целыми	числами на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче — положительные , на левом — отрицательные .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью , длины сторон которых ( в см ) выражаются	целыми	числами ? .
34 Какие числа называют	целыми	.
Натуральные числа принято называть также положительными	целыми	числами , т .
Какие числа называют	целыми	? .
Между какими ближайшими	целыми	числами находится число : а ) – 99 ; б ) – 1 ? .
Чтобы оперировать	целыми	числами , надо прежде всего научиться их сравнивать .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с	целыми числами	— умножение и деление .
Между	целыми числами	на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче — положительные , на левом — отрицательные .
Чтобы оперировать	целыми числами	, надо прежде всего научиться их сравнивать .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью , длины сторон которых ( в см ) выражаются	целыми числами	? .
Натуральные числа принято называть также положительными	целыми числами	, т .
В предыдущей главе вы познакомились с	целыми числами	.
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : с	целыми числами	мы можем обращаться более свободно , чем с натуральными .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество	целых	чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
В 3 м 8 дм 1 см содержится 3	целых	8 десятых и 1 сотая метра , т .
Например : вместо — пишут 0,3 и читают « 0 целых 3 десятых » ; вместо 4 пишут 4,27 и читают « 4 целых 27 сотых » ; 125 вместо пишут 10,125 и читают « 10	целых	125 тысячных » .
Запишите десятичную дробь : а ) нуль целых одна десятая ; б ) нуль	целых	сорок семь сотых .
Как вы уже поняли , действие умножения рациональных чисел обладает всеми теми же свойствами , что и умножение	целых	чисел .
Запишите десятичную дробь : а ) нуль	целых	одна десятая ; б ) нуль целых сорок семь сотых .
Например : вместо — пишут 0,3 и читают « 0 целых 3 десятых » ; вместо 4 пишут 4,27 и читают « 4	целых	27 сотых » ; 125 вместо пишут 10,125 и читают « 10 целых 125 тысячных » .
Необычность и удивительность этого числа состоит в том , что среди известных вам чисел —	целых	и дробных — его нет .
Приведите примеры	целых	чисел , целых отрицательных чисел , дробных положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
Сложение двух	целых	чисел .
Из двух	целых	чисел больше то , которое в ряду целых чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество	целых	чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных	целых	чисел , существуют и отрицательные дробные числа .
Как можно вычислить сумму двух целых чисел одного знака и двух	целых	чисел разных знаков .
Обратите внимание на важное отличие множества	целых	чисел от множества натуральных чисел .
Чем похожи и чем различаются ряд натуральных чисел и ряд	целых	чисел ? .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из	целых	чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Представьте данное число в виде произведения двух	целых	чисел ( произведения , отличающиеся порядком множителей , считаются одинаковыми ): 2 )
Вычисление разности	целых	чисел .
Заменим отношение равным ему отношением	целых	чисел .
Умножение	целых	чисел обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных , — переместительным и сочетательным .
Например : вместо — пишут 0,3 и читают « 0	целых	3 десятых » ; вместо 4 пишут 4,27 и читают « 4 целых 27 сотых » ; 125 вместо пишут 10,125 и читают « 10 целых 125 тысячных » .
Умножение рациональных чисел , так же как и	целых	, обладает переместительным и сочетательным свойствами , что позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы .
Заметим , что действие сложения	целых	чисел , как и действие сложения натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Изображение	целых	чисел точками координатной прямой .
Найдём пересечение и объединение множества натуральных чисел и множества	целых	чисел .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество	целых	чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Любое положительное число в ряду	целых	чисел расположено правее нуля , а любое отрицательное — левее нуля .
Как можно вычислить сумму двух	целых	чисел одного знака и двух целых чисел разных знаков .
Какой знак имеет сумма двух положительных	целых	чисел ?
37 Вычитание	целых	чисел .
Замените данное отношение равным ему отношением	целых	чисел .
Поэтому о двух	целых	числах можно сказать , что это числа одного знака , если они оба положительны или оба отрицательны .
Приведите примеры целых чисел ,	целых	отрицательных чисел , дробных положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
Пусть А — множество	целых	чисел и В — множество дробных чисел .
Как можно вычислить разность двух	целых	чисел .
Правила деления двух	целых	чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество	целых	чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
35 Сравнение	целых	чисел .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть подмножество множества	целых	чисел , или так : всякое натуральное число является числом целым .
Сравните – а и – b . 36 Сложение	целых	чисел .
Вычитание	целых	чисел .
Числа 0 и 1 при умножении	целых	чисел сохраняют свои свойства .
Выполните это же задание для множества	целых	чисел Z .
Правило сложения рационального числа с нулём такое же , как и для	целых	чисел .
Вычисление суммы нескольких	целых	чисел .
Деление	целых	чисел .
Вы уже умеете сравнивать любые положительные числа , можете сравнить два	целых	числа .
Сложение	целых	чисел одного знака и разных знаков .
Например , десятичная дробь 3,047 читается « 3	целых	47 тысячных » .
Представьте число – 10 в виде разности двух	целых	чисел разными способами .
Рассмотрим несколько знакомых примеров умножения	целых	чисел .
Натуральные числа , противоположные им отрицательные числа и число 0 составляют множество	целых	чисел .
Итак , при сложении	целых	чисел мы работаем в действительности только с соответствующими натуральными числами .
а ) 3 и – 8 ; в ) – 1 и – 10 ; д ) 4 и 0 . б ) – 8 и 8 ; г ) – 6 и 0 ; е ) – 9 и – 2 . а ) Какое из двух	целых	чисел больше : положительное или отрицательное ?
Примеры сравнения	целых	чисел .
Как определить , каким числом - положительным или отрицательным — является сумма двух	целых	чисел разных знаков ?
Пусть А — множество	целых	чисел , больших – 100 и меньших 150 .
Десятичную дробь читают следующим образом : сначала читают её часть , стоящую до запятой , и добавляют слово «	целых	» , затем читают часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Сложение	целых	чисел .
Читается десятичная дробь 7,35 так же , как и число 7 : « 7	целых	35 сотых » .
Сформулируйте правило вычисления разности двух	целых	чисел и запишите его с помощью букв .
Действие сложения рациональных чисел обладает теми же свойствами , что и действие сложения	целых	чисел .
Продолжите ряд	целых	чисел влево и вправо , записав ещё по три числа .
два	целых	числа , можно представить , как они расположены по отношению друг к другу на координатной прямой : какое из них находится правее , а какое — левее .
Ряд	целых	чисел .
Поэтому читается она так : « 0	целых	105 десятитысячных » .
Откладывая последовательно единичные отрезки вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой	целых	чисел .
Можно сказать , что арифметика	целых	чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : с целыми числами мы можем обращаться более свободно , чем с натуральными .
Как вы знаете , вычитание	целых	чисел сводится к их сложению .
б ) Какое из двух	целых	чисел меньше : положительное или 0 ?
двух отрицательных	целых	чисел ?
Примеры вычисления сумм	целых	чисел .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество	целых	чисел , модуль которых больше 10 ? .
Какое из двух	целых	чисел больше и какое меньше .
Особую роль при умножении	целых	чисел играет также число -1 : при умножении на – 1 число заменяется на противоположное .
Сравнение	целых	чисел .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества	целых	чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
38 Умножение и деление	целых	чисел .
Вспомните , как мы поступали при сложении	целых	чисел .
Как можно найти произведение и частное двух	целых	чисел .
Умножение	целых	чисел .
Из двух целых чисел больше то , которое в ряду	целых	чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
Правило сравнения	целых	чисел .
Найдите сумму всех	целых	чисел : а ) от – 100 до 100 ; в ) от – 70 до 50 ; б ) от – 100 до 150 ; г ) от – 150 до 70 .
Умножение и деление	целых	чисел .
Назовите какие - нибудь пять	целых	чисел .
И в множестве	целых	чисел действие вычитания выполнимо всегда .
35 Сравнение	целых чисел	.
Из двух	целых чисел	больше то , которое в ряду целых чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
б ) Какое из двух	целых чисел	меньше : положительное или 0 ?
Деление	целых чисел	.
Заметим , что действие сложения	целых чисел	, как и действие сложения натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Представьте данное число в виде произведения двух	целых чисел	( произведения , отличающиеся порядком множителей , считаются одинаковыми ): 2 )
Какое из двух	целых чисел	больше и какое меньше .
Рассмотрим несколько знакомых примеров умножения	целых чисел	.
Пусть А — множество	целых чисел	, больших – 100 и меньших 150 .
Правило сравнения	целых чисел	.
Примеры вычисления сумм	целых чисел	.
Заменим отношение равным ему отношением	целых чисел	.
Умножение	целых чисел	.
Итак , при сложении	целых чисел	мы работаем в действительности только с соответствующими натуральными числами .
38 Умножение и деление	целых чисел	.
а ) 3 и – 8 ; в ) – 1 и – 10 ; д ) 4 и 0 . б ) – 8 и 8 ; г ) – 6 и 0 ; е ) – 9 и – 2 . а ) Какое из двух	целых чисел	больше : положительное или отрицательное ?
Как можно найти произведение и частное двух	целых чисел	.
Сложение	целых чисел	одного знака и разных знаков .
Замените данное отношение равным ему отношением	целых чисел	.
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество	целых чисел	— подмножеством множества рациональных чисел .
Правила деления двух	целых чисел	аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества	целых чисел	, а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
Сложение двух	целых чисел	.
Как можно вычислить сумму двух целых чисел одного знака и двух	целых чисел	разных знаков .
Натуральные числа , противоположные им отрицательные числа и число 0 составляют множество	целых чисел	.
Назовите какие - нибудь пять	целых чисел	.
Сравните – а и – b . 36 Сложение	целых чисел	.
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество	целых чисел	, модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Представьте число – 10 в виде разности двух	целых чисел	разными способами .
Как вы знаете , вычитание	целых чисел	сводится к их сложению .
Особую роль при умножении	целых чисел	играет также число -1 : при умножении на – 1 число заменяется на противоположное .
Найдите сумму всех	целых чисел	: а ) от – 100 до 100 ; в ) от – 70 до 50 ; б ) от – 100 до 150 ; г ) от – 150 до 70 .
Выполните это же задание для множества	целых чисел	Z .
двух отрицательных	целых чисел	?
Вспомните , как мы поступали при сложении	целых чисел	.
Правило сложения рационального числа с нулём такое же , как и для	целых чисел	.
Откладывая последовательно единичные отрезки вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой	целых чисел	.
Умножение и деление	целых чисел	.
Вычитание	целых чисел	.
Можно сказать , что арифметика	целых чисел	« богаче » арифметики натуральных чисел : с целыми числами мы можем обращаться более свободно , чем с натуральными .
Числа 0 и 1 при умножении	целых чисел	сохраняют свои свойства .
Из двух целых чисел больше то , которое в ряду	целых чисел	стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть подмножество множества	целых чисел	, или так : всякое натуральное число является числом целым .
Сравнение	целых чисел	.
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество	целых чисел	, модуль которых больше 10 ? .
Вычисление суммы нескольких	целых чисел	.
Продолжите ряд	целых чисел	влево и вправо , записав ещё по три числа .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из	целых чисел	с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Какой знак имеет сумма двух положительных	целых чисел	?
Сформулируйте правило вычисления разности двух	целых чисел	и запишите его с помощью букв .
Действие сложения рациональных чисел обладает теми же свойствами , что и действие сложения	целых чисел	.
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных	целых чисел	, существуют и отрицательные дробные числа .
Как определить , каким числом - положительным или отрицательным — является сумма двух	целых чисел	разных знаков ?
Как можно вычислить сумму двух	целых чисел	одного знака и двух целых чисел разных знаков .
Как вы уже поняли , действие умножения рациональных чисел обладает всеми теми же свойствами , что и умножение	целых чисел	.
Любое положительное число в ряду	целых чисел	расположено правее нуля , а любое отрицательное — левее нуля .
Сложение	целых чисел	.
Найдём пересечение и объединение множества натуральных чисел и множества	целых чисел	.
Приведите примеры	целых чисел	, целых отрицательных чисел , дробных положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
Обратите внимание на важное отличие множества	целых чисел	от множества натуральных чисел .
37 Вычитание	целых чисел	.
Примеры сравнения	целых чисел	.
Как можно вычислить разность двух	целых чисел	.
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество	целых чисел	— буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Ряд	целых чисел	.
Пусть А — множество	целых чисел	и В — множество дробных чисел .
Умножение	целых чисел	обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных , — переместительным и сочетательным .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество	целых чисел	, больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Вычисление разности	целых чисел	.
Изображение	целых чисел	точками координатной прямой .
Чем похожи и чем различаются ряд натуральных чисел и ряд	целых чисел	? .
И в множестве	целых чисел	действие вычитания выполнимо всегда .
два	целых числа	, можно представить , как они расположены по отношению друг к другу на координатной прямой : какое из них находится правее , а какое — левее .
Вы уже умеете сравнивать любые положительные числа , можете сравнить два	целых числа	.
Поэтому о двух	целых числах	можно сказать , что это числа одного знака , если они оба положительны или оба отрицательны .
Из двух получившихся треугольников сложите различные фигуры , имеющие : а ) ось симметрии ; б )	центр	симметрии .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А —	центр	окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
Расстояние от центра до прямой сначала будет уменьшаться , а после того как прямая пройдёт через	центр	, будет снова увеличиваться .
Любая прямая , проходящая через	центр	окружности , является её осью симметрии .
Начертите фигуру , которая имеет : а ) и	центр	симметрии , и ось симметрии ; б ) центр симметрии , но не имеет оси симметрии ; в ) ось симметрии , но не имеет центра симметрии .
Найдите фигуру , имеющую	центр	симметрии , перерисуйте её в тетрадь и отметьте её центр симметрии .
Обратите внимание на то , что фигура эта имеет	центр	симметрии .
У каких правильных многоугольников есть	центр	симметрии ? .
Точка О —	центр	симметрии шестиугольника ABCDKM .
Скопируйте фигуру , изображённую на рисунке , и найдите её	центр	симметрии .
Какие из букв латинского алфавита , изображённых на рисунке , имеют и	центр	симметрии , и ось симметрии ? .
Какие фигуры имеют	центр	симметрии .
Начертите окружность радиусом 3 см. Проведите какую - нибудь прямую через	центр	окружности .
Убедитесь , используя кальку , в том , что точка пересечения диагоналей прямоугольника - это его	центр	симметрии .
Может ли фигура иметь и	центр	симметрии , и ось симметрии ? .
Диаметр круга будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через	центр	шара .
Точка О —	центр	симметрии шестиугольника ABCDEK .
Точка О — её	центр	симметрии .
б ) пересекает окружность , но не проходит через её	центр	.
Постройте окружность , касающуюся сторон угла ,	центр	которой удалён от вершины угла на 5 см .
Начертите в тетради прямоугольник и постройте его	центр	симметрии .
Точка О —	центр	большей окружности , точка Р — центр меньшей .
в ) проходит через	центр	окружности .
Точка О — центр большей окружности , точка Р —	центр	меньшей .
Какая из фигур , изображённых на рисунке , имеет	центр	симметрии ?
Найдите фигуру , имеющую центр симметрии , перерисуйте её в тетрадь и отметьте её	центр	симметрии .
Перпендикуляр , проведённый из вершины конуса к плоскости основания , попадает в	центр	круга .
Но фигура может иметь и	центр	симметрии .
Начертите фигуру , которая имеет : а ) и центр симметрии , и ось симметрии ; б )	центр	симметрии , но не имеет оси симметрии ; в ) ось симметрии , но не имеет центра симметрии .
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть	центр	, радиус и диаметр .
Есть ли у « линзы » оси симметрии и	центр	симметрии ? .
Точка О —	центр	двух окружностей , касающихся каждой из трёх построенных окружностей внешним и внутренним образом .
Радиус окружности равен 2 см. На каком рисунке изображён случай , когда расстояние от	центра	окружности до прямой равно 1 см ?
Найдите расстояние от	центра	окружности до прямой .
В какой - то момент расстояние от	центра	до прямой станет равным радиусу и точка М окажется на окружности .
На сторонах прямоугольника возьмите какие - нибудь три точки и постройте симметричные им относительно	центра	симметрии .
Расстояние от	центра	О до прямой равно длине перпендикуляра ОМ .
Начертите фигуру , которая имеет : а ) и центр симметрии , и ось симметрии ; б ) центр симметрии , но не имеет оси симметрии ; в ) ось симметрии , но не имеет	центра	симметрии .
Расстояние от	центра	окружности до прямой , см .
В таблице даны радиус окружности и расстояние от	центра	этой окружности до некоторой прямой .
Назовите вершины куба , симметричные относительно его	центра	.
Расстояние от	центра	до прямой сначала будет уменьшаться , а после того как прямая пройдёт через центр , будет снова увеличиваться .
Обратите внимание на то , что в первом построении окружности не пересеклись , потому что расстояние между их	центрами	больше суммы их радиусов .
Во втором построении окружности не пересеклись , так как расстояние между	центрами	равно сумме радиусов .
Известен радиус третьей окружности и расстояние между	центрами	.
Меньшая окружность целиком находится вне большей , и , как вы видите из рисунка , в этом случае расстояние ОР между их	центрами	больше суммы радиусов .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с	центрами	в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
В каждом случае измерьте расстояние между	центрами	окружностей .
Расстояние между	центрами	окружностей равно 2,5 см. Чему равны радиусы окружностей ? .
Радиус одной из них равен 4 см , а расстояние между	центрами	окружностей — 7 см. Найдите радиус другой окружности .
а ) Радиус меньшей окружности равен 3 см , радиус большей — 5 см. Чему равно расстояние между	центрами	окружностей ? .
Расстояние между	центрами	, см .
Дополните предложение : « Две окружности пересекаются , если расстояние между их	центрами	суммы радиусов окружностей , но разности их радиусов » .
Радиусы двух окружностей равны 7 см и 11 см , а расстояние между их	центрами	— 19 см. Как расположены окружности по отношению друг к другу ? .
В какой - то момент меньшая окружность коснётся большей , а расстояние ОР между	центрами	станет равным сумме радиусов .
Пересекаются ли окружности , если их радиусы равны 4 см и 3 см , а расстояние между	центрами	: а ) 7 см ; б ) 6 см ; в ) 8 см ? .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с	центрами	в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы ? .
В этом случае расстояние ОР между	центрами	станет равным разности радиусов .
Проведите окружности с	центрами	в вершинах треугольника и радиусом , равным 2 см .
Возьмём отрезок MN и проведём две пересекающиеся окружности равных радиусов с	центрами	в точках М и N. ( Чтобы эти окружности пересеклись , радиус каждой из них должен быть больше половины отрезка MN . )
Найдите расстояние между	центрами	окружностей .
Начните с построения	центров	окружностей .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с	центром	в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см .
проведите окружность произвольного радиуса с	центром	в вершине углов .
На рисунке изображена часть фигуры ,	центром	симметрии которой является точка М. Начертите эту фигуру в тетради .
Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см , а от другой на 4 см , значит , она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с	центром	в точке С радиусом 4 см .
Точка является	центром	симметрии , если при повороте вокруг этой точки на 180 ° фигура переходит сама в себя .
Пусть дана окружность с	центром	в точке О и на ней отмечена точка А. Проведите касательную к окружности в точке А. Для этого : 1 ) проведите радиус ОА ; 2 )
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с	центром	в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
Выполните задание : 1 ) Начертите окружность с	центром	в точке О и проведите два перпендикулярных диаметра АС и BD .
Будем проводить окружности с	центром	в точке А , увеличивая их радиусы , пока одна из них « не достигнет » озера .
Проведены две окружности с центром в точке Р и окружность с	центром	в точке О , которая касается первых двух .
Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с	центром	в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К .
Проведём ещё пару окружностей равных радиусов — одну с	центром	в точке М , а другую с центром в точке N. И ещё .
Проведены две окружности с	центром	в точке Р и окружность с центром в точке О , которая касается первых двух .
Расстояние между точками А и В равно 4 см. Точка А — центр окружности , радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с	центром	в точке А. Чему равны их радиусы ? .
На , а изображены окружность с	центром	в точке О и прямая , её не пересекающая .
Проведём ещё пару окружностей равных радиусов — одну с центром в точке М , а другую с	центром	в точке N. И ещё .
Продолжим движение прямой к	центру	.
Будем теперь перемещать прямую параллельно самой себе , приближая её к	центру	окружности .
Сближая и дальше	центры	окружностей , мы снова получим непересекающиеся окружности , но теперь меньшая будет лежать внутри большей .
Отрезок , соединяющий	центры	оснований , перпендикулярен каждому из них .
Где расположены их	центры	? .
Где лежат их	центры	? .
В случае когда	центры	совпадают , окружности называют концентрическими .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат	центры	всех таких окружностей ? .
Если дальше сближать	центры	, то окружности сначала будут пересекаться , а затем снова коснутся друг друга .
Где лежат	центры	окружностей .
При этом	центры	окружностей будут сближаться .
Вершинами какого многогранника являются	центры	этих шаров ?
На рисунке изображены	цилиндр	и его развёртка .
Из уже известных вам тел это	цилиндр	и конус .
Слово «	цилиндр	» пришло к нам из Древней Греции и происходит от слова , означающего « валик » .
а ) Вылепите из пластилина	цилиндр	и разрежьте его так , чтобы в сечении получился круг ; эллипс .
Прежде всего это	цилиндр	, конус , шар .
Как надо разрезать	цилиндр	, чтобы в сечении получился прямоугольник ? .
Изготовьте развёртку этого цилиндра в натуральную величину и сверните её в	цилиндр	.
Вырежете и склейте из них	цилиндр	и конус .
Что представляют собой шар ,	цилиндр	и конус .
Какая фигура может получиться в сечении , если плоскостью симметрии рассечь : а ) параллелепипед ; б )	цилиндр	; в ) конус ? .
Сверните из этого же листа	цилиндр	с другой высотой .
Шар помещён в	цилиндр	так , что он касается и его боковой поверхности , и оснований .
Радиус основания	цилиндра	равен 5 см. Чему равен диаметр шара ?
Его называют высотой	цилиндра	.
При рассечении	цилиндра	и конуса плоскостями наряду с окружностью получаются и другие линии .
Скопируйте в тетрадь изображение	цилиндра	, конуса , шара .
Изготовьте развёртку этого	цилиндра	в натуральную величину и сверните её в цилиндр .
Чему равна высота	цилиндра	?
Поверхности	цилиндра	и конуса состоят как из плоских частей , так и кривых , а шар — « абсолютно круглый » .
Основания	цилиндра	— это два равных круга , расположенные в параллельных плоскостях .
На рисунке поверхность	цилиндра	рассекается плоскостью , которая параллельна его основаниям .
Назовите несколько предметов , имеющих форму шара ,	цилиндра	, конуса .
Поверхность	цилиндра	состоит из двух оснований и боковой поверхности , которую ещё называют цилиндрической .
Чему равна высота	цилиндра	? .
Поверхности	цилиндра	и конуса , как и поверхность многогранника , можно развернуть на плоскость .
Форму	цилиндра	имеют многие предметы , созданные руками человека : колонны зданий , трубы , стаканы и др .
Чему равен радиус основания	цилиндра	? .
Боковая поверхность	цилиндра	разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность конуса — в круговой сектор .
а ) Возьмите прямоугольный лист бумаги и сверните из него боковую поверхность	цилиндра	.
Формулы , связанные с	цилиндром	и шаром .
Слово « тетраэдр » переводится с греческого как «	четырёхгранник	» ( « тетра » — четыре и « хедрон » — грань ) , « гексаэдр » — шестигранник .
Проведите : а ) три касательные к окружности так , чтобы они образовали треугольник ; б ) четыре касательные к окружности так , чтобы образовался	четырёхугольник	.
Какой	четырёхугольник	называют параллелограммом .
Нарисуйте такой	четырёхугольник	.
Такой	четырёхугольник	имеет специальное название — параллелограмм .
Постройте	четырёхугольник	ABCD , если его вершины имеют координаты .
Точно так же можно начертить , например , треугольник , описанный вокруг окружности , окружность , вписанную в	четырёхугольник	.
Таким образом , равносторонний треугольник — это правильный треугольник , а квадрат — это правильный	четырёхугольник	.
При их пересечении образовался	четырёхугольник	.
Начертите	четырёхугольник	, одна из сторон которого лежит на прямой т , и постройте симметричный ему четырёхугольник относительно прямой т .
Обратите внимание : называя четырёхугольник ABCD , вы « обходите » его по часовой стрелке , а симметричный ему	четырёхугольник	против часовой стрелки .
Обратите внимание : называя	четырёхугольник	ABCD , вы « обходите » его по часовой стрелке , а симметричный ему четырёхугольник против часовой стрелки .
Какой	четырёхугольник	называют параллелограммом ? .
Постройте	четырёхугольник	ABCD , у которого .
Какой	четырёхугольник	называют параллелограммом ?
Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на прямой т , и постройте симметричный ему	четырёхугольник	относительно прямой т .
Отметьте на этой прямой точки С и D так , чтобы	четырёхугольник	ABCD был симметричен относительно прямой АВ .
Проведите такой эксперимент : соберите из элементов металлического конструктора	четырёхугольник	и треугольник и попробуйте подвигать их стороны .
При каком расположении точек С и D у	четырёхугольника	будет четыре оси симметрии ? .
Для каждого	четырёхугольника	опишите словами способ построения и выполните построения .
На изображены два	четырёхугольника	, симметричные относительно прямой k. Какая точка симметрична точке А ?
Запишите координаты точек , в которых стороны	четырёхугольника	пересекают оси координат .
Найдите периметр	четырёхугольника	ABCD .
правильного	четырёхугольника	? .
Сколько всего осей симметрии у этого	четырёхугольника	?
Иными словами , эти	четырёхугольники	равны .
Если перегнуть по прямой , то	четырёхугольники	AlB1C1D1 и ABCD совпадут .
Симметрия	четырёхугольников	.
Множество каких	четырёхугольников	обозначено буквой D ? .
Рассмотрите рисунок четырёхугольники ABCD и симметричны относительно прямой k. Симметричные вершины	четырёхугольников	обозначены одной и той же буквой , но с добавлением индекса — цифры , поставленной внизу .
	Четырёхугольнику	АВКМЧ . Выполните задание .
	Четырёхугольнику	АВСО ? .
	Четырёхугольнику	ABCD ?
Подберите несколько пар	чисел	а и 6 , при которых .
В математике черту дроби используют как знак деления не только для натуральных	чисел	, но и для более сложных выражений .
Произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух	чисел	разных знаков отрицательно .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых	чисел	с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых	чисел	, модуль которых больше 10 ? .
Найдите закономерность , по которой строится последовательность	чисел	, и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
а ) Пусть Р — множество простых	чисел	.
Например , запись С = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 } означает , что С — множество первых пяти нечётных	чисел	.
Приведите примеры конечных и бесконечных подмножеств множества натуральных	чисел	N .
Вот примеры такого задания : множество стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ; множество	чисел	, кратных 5 .
Черту дроби рассматривают как другое обозначение действия деления двух натуральных	чисел	.
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности положительные и отрицательные слагаемые , а затем найти сумму двух получившихся	чисел	.
Запись суммы положительных и отрицательных	чисел	часто упрощают .
Сложение целых	чисел	.
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики натуральных	чисел	: с целыми числами мы можем обращаться более свободно , чем с натуральными .
Найдите объединение и пересечение множества	чисел	, кратных 5 , и множества чисел , кратных 10 .
Увеличьте в 10 раз , в 100 раз , в 1000 раз каждое из	чисел	: 0,2 ; 1,112 ; 13,0247 ; 34,5 .
Уменьшите в 10 раз , в 100 раз , в 1000 раз каждое из	чисел	: 2500 ; 1555,01 ; 4,45 ; 0,6 . а ) На ферму завезли 85 кг сахара .
Найдите объединение и пересечение множества чисел , кратных 5 , и множества	чисел	, кратных 10 .
Вычисление разности целых	чисел	.
Ведь гораздо проще сказать , к примеру , что В — множество двузначных	чисел	, чем перечислять все двузначные числа от 10 до 99 .
Сформулируйте правило вычисления разности двух целых	чисел	и запишите его с помощью букв .
а ) Сколько трёхзначных	чисел	можно составить из цифр 3 , 6 и 9 , если каждую из них разрешается использовать только один раз ? .
двух отрицательных целых	чисел	?
Какие из	чисел	0 , 10 , 20 , 25 , 30 являются допустимыми значениями буквы х в выражении .
Какие из	чисел	0 , 2 , 6 , 10 являются допустимыми значениями буквы а в выражении .
Пусть А — множество	чисел	, которые делятся на 4 , но не делятся на 2 .
Пусть Р — множество простых	чисел	.
Запишите и вычислите сумму	чисел	.
Найдите несколько	чисел	, которые .
Запишите сумму данных	чисел	и вычислите её .
Вычисление суммы нескольких целых	чисел	.
Вычитание целых	чисел	.
И в множестве целых	чисел	действие вычитания выполнимо всегда .
Подсказка , а ) это разность	чисел	– 10 и 20 ; представьте её в виде суммы , т .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть подмножество множества целых	чисел	, или так : всякое натуральное число является числом целым .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных	чисел	есть подмножество множества целых чисел , или так : всякое натуральное число является числом целым .
Выполните это же задание для множества целых	чисел	Z .
Представьте число – 10 в виде разности двух целых	чисел	разными способами .
в ) В качестве общего знаменателя данных дробей можно взять произведение	чисел	25 и 15 — число 375 , но такой знаменатель не будет наименьшим .
Укажите несколько конечных и бесконечных подмножеств множества натуральных	чисел	N.
Это и неудивительно : ведь таких	чисел	не существует !
Сравнение целых	чисел	.
Как определить , каким числом - положительным или отрицательным — является сумма двух целых	чисел	разных знаков ?
Можно сказать , что арифметика целых	чисел	« богаче » арифметики натуральных чисел : с целыми числами мы можем обращаться более свободно , чем с натуральными .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых	чисел	, больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Умножение и деление целых	чисел	.
Умножение целых	чисел	.
Заметим , что действие сложения целых	чисел	, как и действие сложения натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества	чисел	, кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Таким образом , мы имеем разбиение множества натуральных	чисел	на два класса — чётных и нечётных чисел .
Чему равна сумма противоположных	чисел	? .
Говорят , что множества чётных и нечётных	чисел	составляют разбиение множества N. Подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
Для натуральных	чисел	умножение сводится к сложению , поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных	чисел	.
Так же обстоит дело и при записи	чисел	в виде десятичных дробей .
Если множество нечётных чисел обозначить буквой А , а множество чётных	чисел	— буквой В , то можно записать .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества	чисел	, кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Если множество нечётных	чисел	обозначить буквой А , а множество чётных чисел — буквой В , то можно записать .
Вспомним , что разностью	чисел	а и b называется такое число с , которое при сложении с числом b даёт число а .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества	чисел	, кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Найдите сумму противоположных	чисел	.
Объединением этих множеств является всё множество натуральных	чисел	.
На примере вычисления суммы и разности	чисел	5,63 и 4,972 объясните , как складывают и как вычитают десятичные дроби .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества	чисел	, кратных 9 .
Наконец , правило сложения целого числа с нулём такое же , как и для натуральных	чисел	.
Что десятичная система записи натуральных	чисел	распространяется и на запись дробей .
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых	чисел	— подмножеством множества рациональных чисел .
Таким образом , мы имеем разбиение множества натуральных чисел на два класса — чётных и нечётных	чисел	.
Пусть А — множество натуральных чётных	чисел	, не превосходящих 10 , Б — множество натуральных нечётных чисел , не превосходящих 10 , С — множество простых чисел , не превосходящих 10 .
Заметим , что действие сложения целых чисел , как и действие сложения натуральных	чисел	, обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных	чисел	344 и 728 , которые получаются , если из десятичных дробей убрать запятые .
Какое из трёх данных	чисел	наибольшее и какое наименьшее .
Чтобы разработать современное толкование отрицательных	чисел	, понадобились усилия многих учёных на протяжении 18 веков от Джань Цаня до Декарта .
б ) Пусть А — множество натуральных	чисел	, кратных 4 , Б — множество натуральных чисел , кратных 6 .
Таким образом , чтобы найти разность	чисел	2 и 7 , нужно к числу 2 прибавить число – 7 .
Есть ли среди данных	чисел	равные ?
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , Б — множество натуральных	чисел	, кратных 6 .
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов —	чисел	, выражений , точек , фигур и т .
38 Умножение и деление целых	чисел	.
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество	чисел	, дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества	чисел	, кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Какие из	чисел	0 , – 125 , 135 , – 99 , 100 , – 100 являются элементами этого множества ?
В настоящее время обозначение отрицательных	чисел	с помощью знака « минус » принято везде .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных	чисел	действие деления выполнимо не всегда .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество	чисел	, дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
д. , которые имели большое практическое значение , они стали применять так называемую десятичную запись , похожую на запись натуральных	чисел	.
Это разбиение составляют три множества : множество	чисел	, кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества	чисел	, кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Как можно найти произведение и частное двух целых	чисел	.
Пусть С — множество рациональных	чисел	, больших 0,3 и меньших 0,6 .
Какие из	чисел	не принадлежат этому множеству ?
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных	чисел	и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества	чисел	, кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных	чисел	, кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
множества натуральных чисел N : множество чётных чисел и множество нечётных	чисел	.
Так , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых	чисел	, а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
37 Вычитание целых	чисел	.
Пусть А — множество целых	чисел	и В — множество дробных чисел .
Сложение двух целых	чисел	.
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество целых	чисел	— буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Способ записи десятичных дробей является естественным обобщением десятичной системы счисления , принятой для записи натуральных	чисел	.
Сколько классов содержит разбиение множества натуральных	чисел	по остаткам от деления на 4 ?
Необычность и удивительность этого числа состоит в том , что среди известных вам	чисел	— целых и дробных — его нет .
Приведите свои примеры	чисел	, относящихся к каждому классу .
Постройте разбиение множества натуральных	чисел	, используя два признака : чётность и кратность числу 5 .
Какой знак имеет сумма двух положительных целых	чисел	?
Дайте словесное описание каждого класса и приведите примеры относящихся к нему	чисел	.
А — множество чётных	чисел	, кратных 5 .
Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от множества натуральных	чисел	.
Например : сколько можно составить трёхзначных	чисел	из цифр 2 , 4 , 8 , используя каждую цифру только один раз ? .
В множестве натуральных	чисел	сложить можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Договоримся также , что из	чисел	, кодирующих одно и то же рукопожатие ( например , 68 и 86 ) , мы будем выбирать меньшее .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество рациональных	чисел	— буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Произведение двух	чисел	одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
Найдите сумму всех целых	чисел	: а ) от – 100 до 100 ; в ) от – 70 до 50 ; б ) от – 100 до 150 ; г ) от – 150 до 70 .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых	чисел	, модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
В том же смысле арифметика дробных	чисел	« богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных чисел , больших 10 ; в ) множество натуральных	чисел	, меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Примеры использования отрицательных	чисел	в жизни .
д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных	чисел	— буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
На рисунке большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество	чисел	, делящихся на 3 .
множества натуральных чисел N : множество чётных	чисел	и множество нечётных чисел .
великий учёный , математик и механик Леонард Эйлер , работавший в России , объяснял правило умножения отрицательных	чисел	примерно следующим образом .
множества натуральных	чисел	N : множество чётных чисел и множество нечётных чисел .
Пусть А — множество натуральных чётных чисел , не превосходящих 10 , Б — множество натуральных нечётных	чисел	, не превосходящих 10 , С — множество простых чисел , не превосходящих 10 .
д. При разложении каждого из этих	чисел	на простые множители получается одинаковое число двоек и пятёрок .
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных	чисел	: одно дробное число всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Пусть А — множество натуральных чётных чисел , не превосходящих 10 , Б — множество натуральных нечётных чисел , не превосходящих 10 , С — множество простых	чисел	, не превосходящих 10 .
Десятичные и обыкновенные дроби — это две различные формы представления	чисел	.
Конечным или бесконечным является : а ) множество натуральных чисел , кратных 10 ; б ) множество натуральных	чисел	, больших 10 ; в ) множество натуральных чисел , меньших 10 ; г ) множество целых чисел , больших – 10 ; д ) множество целых чисел , модуль которых меньше 10 ; е ) множество целых чисел , модуль которых больше 10 ? .
Как можно вычислить разность двух целых	чисел	.
Благодаря введению отрицательных	чисел	мы получили возможность вычитать из меньшего числа большее .
Примеры вычисления сумм целых	чисел	.
Найдём пересечение и объединение множества натуральных чисел и множества целых	чисел	.
Найдём пересечение и объединение множества натуральных	чисел	и множества целых чисел .
Какие разряды используются для десятичной записи дробных	чисел	.
Самым « таинственным » во всей теории отрицательных	чисел	было правило « минус на минус даёт плюс » .
Составьте из	чисел	6,37 ;
Обратите внимание на важное отличие множества целых	чисел	от множества натуральных чисел .
Пусть А — множество целых чисел и В — множество дробных	чисел	.
На рисунке большой круг изображает множество натуральных	чисел	N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
На рисунке большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество	чисел	, делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Так , множество натуральных	чисел	является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел .
а ) Составьте из	чисел	4,84 ; 5,055 ; 10,5 все возможные суммы и найдите их значения .
Пусть А — множество целых	чисел	, больших – 100 и меньших 150 .
Вычитание	чисел	.
Иными словами , отношение двух	чисел	— это другое название их частного .
Если надо выяснить , на сколько одно число больше ( меньше ) другого , вычисляют разность этих	чисел	.
Частное двух чисел одного знака положительно ; частное двух	чисел	разных знаков отрицательно .
Из двух целых	чисел	больше то , которое в ряду целых чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
Из двух целых чисел больше то , которое в ряду целых	чисел	стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
41 Сложение и вычитание рациональных	чисел	.
Правила сложения отрицательных	чисел	.
Правила сложения	чисел	разных знаков .
А вот математика изучает отношения	чисел	, отношения величин .
Правила вычитания	чисел	.
Вспомните , как мы поступали при сложении целых	чисел	.
Любое положительное число в ряду целых	чисел	расположено правее нуля , а любое отрицательное — левее нуля .
Это столь привычное сегодня удивительное число позволило им создать десятичную систему записи	чисел	и разработать правила операций над записанными так числами .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы выражение которое имеет другой смысл : это сумма числа а и произведения	чисел	b и с .
е . , как вы теперь знаете , модули	чисел	.
Замечательным вкладом индийских математиков в развитие теории	чисел	было введение понятия нуля и знака для него .
Сумма двух	чисел	одного знака имеет тот же знак , что и слагаемые .
Сумма двух	чисел	разных знаков имеет знак того слагаемого , у которого модуль больше .
а ) сумма числа х и числа 15 равна 31 . б ) произведение	чисел	а и b равно 8 .
Сравнение рациональных	чисел	.
Как вы знаете , вычитание целых	чисел	сводится к их сложению .
Правило сложения рационального числа с нулём такое же , как и для целых	чисел	.
Сумма противоположных	чисел	равна нулю .
Действие сложения рациональных чисел обладает теми же свойствами , что и действие сложения целых	чисел	.
Естественно правило сравнения натуральных	чисел	распространить на целые числа .
половина числа Ъ равна 1,5 . д ) разность	чисел	Ъ и с больше 3 . е ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Сложение и вычитание рациональных	чисел	.
Сумма двух отрицательных	чисел	отрицательна , поэтому сначала запишем знак « минус » , а затем сложим .
Изображение целых	чисел	точками координатной прямой .
половина числа Ъ равна 1,5 . д ) разность чисел Ъ и с больше 3 . е ) произведение	чисел	5 и х меньше числа у .
Эти правила справедливы для любых рациональных	чисел	.
Умножение и деление рациональных	чисел	.
Действие сложения рациональных	чисел	обладает теми же свойствами , что и действие сложения целых чисел .
Если существуют , то назовите их : 1 ) Приведите примеры	чисел	, модуль которых равен 12 ; больше 12 ; меньше 12 .
Частное двух	чисел	одного знака положительно ; частное двух чисел разных знаков отрицательно .
На координатной прямой изображены числа а , b и с. Сравните с нулём каждое из	чисел	а , b и с ; сравните числа а и с , а и b , b и с .
Замените данное отношение равным ему отношением целых	чисел	.
Из двух отрицательных	чисел	меньше то , у которого модуль больше .
Используя термин « модуль » , можно рассмотренный выше способ сравнения отрицательных	чисел	сформулировать в виде правила .
Заменим отношение равным ему отношением целых	чисел	.
Как можно вычислить сумму двух целых чисел одного знака и двух целых	чисел	разных знаков .
Математики Древней Греции обнаружили , что для измерения длин отрезков не хватает даже дробных	чисел	.
Что показывает отношение двух	чисел	? .
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных	чисел	– 5,8 и – 4 меньше , мы сравнили положительные числа 5,8 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих точек координатной прямой .
Какие из	чисел	– 7 , +4 , 12 , – 18 , 0 , 3 являются : а ) положительными ; б ) отрицательными ? .
Для сравнения двух отрицательных	чисел	также обратимся к координатной прямой .
Использование знаков « + » и « – » в записи	чисел	.
Например , на рисунке 10.6 вы видите координатную прямую , на которой отмечено несколько положительных и отрицательных	чисел	.
Чем отличается округление десятичных дробей от округления натуральных	чисел	? .
Естественно считать , как и раньше , что из двух	чисел	меньше то , которому на координатной прямой соответствует точка , расположенная левее , а больше то , которому соответствует точка , расположенная правее .
Подсчитайте итоги денежных операций и запишите результат с помощью положительных и отрицательных	чисел	.
Назовите какие - нибудь пять целых	чисел	.
Что называют отношением двух	чисел	?
Как можно вычислить сумму двух целых	чисел	одного знака и двух целых чисел разных знаков .
Двигаясь по ряду натуральных	чисел	вправо , мы переходим от меньшего числа к большему , а двигаясь влево — от большего числа к меньшему .
Сравните – а и – b . 36 Сложение целых	чисел	.
Итак , при сложении целых	чисел	мы работаем в действительности только с соответствующими натуральными числами .
Какое из	чисел	расположено на координатной прямой левее , какое из них меньше .
Что называют отношением двух	чисел	.
Вспомним , что из двух натуральных	чисел	большим считается то , которое при счёте появляется позже , и меньшим то , которое появляется раньше .
Сформулируйте правило сравнения двух отрицательных	чисел	.
Древнекитайский математик Джань Цань правило сложения отрицательных	чисел	формулировал так : « Если к одному долгу прибавить другой долг , то в результате получится долг , а не имущество » .
Какое из двух целых	чисел	больше и какое меньше .
Правило сравнения целых	чисел	.
А у противоположных	чисел	, которые изображаются точками , симметричными относительно нуля , модули равны .
Отношение двух	чисел	показывает , во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого .
Деление целых	чисел	.
35 Сравнение целых	чисел	.
Правила деления двух целых	чисел	аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Так же поступают и при вычитании любых рациональных	чисел	.
Заменим число 0,9 на противоположное число ( – 0,9 ) и выполним сложение , воспользовавшись правилом сложения отрицательных	чисел	.
Одно из этих	чисел	на 20 больше другого .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных	чисел	от 1 до n .
Ряд целых	чисел	.
Если поменять порядок	чисел	в паре , то получится другая точка — точка В ( 3 ; 4 ) .
а ) произведение числа 7 на сумму	чисел	а и Ь . б ) сумму числа 10 и произведения чисел х и у .
Запишите в виде буквенного выражения произведение и сумму двух последовательных натуральных	чисел	.
Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных натуральных	чисел	, начиная с числа .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных	чисел	от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Продолжите ряд целых	чисел	влево и вправо , записав ещё по три числа .
Представьте данное число в виде произведения двух целых	чисел	( произведения , отличающиеся порядком множителей , считаются одинаковыми ): 2 )
Возьмём несколько рациональных	чисел	и представим каждое из них в виде дроби , у которой числитель — целое число , знаменатель — натуральное .
На примерах объясните , как выполняют деление	чисел	одного знака и разных знаков .
Какой знак имеет частное	чисел	одного знака ?
Укажите , какое из	чисел	ближе к 0 .
Какой знак имеет произведение	чисел	одного знака ?
Как называют пару	чисел	, определяющую положение точки на плоскости ?
Используя описанное свойство , можно действовать , не выясняя , модуль какого из данных дробных	чисел	больше .
Чем похожи и чем различаются ряд натуральных	чисел	и ряд целых чисел ? .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных	чисел	от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) разность числа т и суммы	чисел	2 и п . д ) удвоенное произведение чисел а и Ь .
Сумма противоположных	чисел	равна 0 .
в ) разность числа с и произведения	чисел	4 и d . г ) разность числа т и суммы чисел 2 и п . д ) удвоенное произведение чисел а и Ь .
Среди	чисел	12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 найдите : а ) целые положительные числа ; б ) целые отрицательные числа .
а ) произведение числа 7 на сумму чисел а и Ь . б ) сумму числа 10 и произведения	чисел	х и у .
а ) сумму двух	чисел	; в ) частное двух чисел .
Определите модуль какого из	чисел	, а или b , больше ; 2 ) положительным или отрицательным является значение выражения .
Чем похожи и чем различаются ряд натуральных чисел и ряд целых	чисел	? .
произведение двух	чисел	; г ) квадрат суммы двух чисел .
произведение двух чисел ; г ) квадрат суммы двух	чисел	.
Например , выражение означает произведение всех натуральных	чисел	от 1 до 50 .
Положение точки на координатной плоскости определяется парой	чисел	— её координатами .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных	чисел	от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до и ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Эта пара	чисел	х и у и есть координаты точки А. Координату х называют абсциссой или первой координатой точки А , а координату у — ординатой или второй координатой точки А .
а ) сумму двух чисел ; в ) частное двух	чисел	.
Сравнение	чисел	с помощью координатной прямой .
Частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух	чисел	разных знаков отрицательно .
Сформулируем правило деления рациональных	чисел	.
Проиллюстрируйте его на примере сложения	чисел	.
Из двух отрицательных	чисел	больше то , у которого модуль ...
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх	чисел	, если : а ) два числа отрицательны , одно положительно ; б ) одно число отрицательно и два положительны .
а ) Сформулируйте правила сложения	чисел	одного знака ; разных знаков ; найдите сумму чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5 вычесть число – 10 .
Сформулируйте правило сложения	чисел	разных знаков .
Проиллюстрируйте его на примере сложения	чисел	– 4,3 и – 6,5 .
б ) Какое из двух целых	чисел	меньше : положительное или 0 ?
Запишите в виде буквенного выражения произведение суммы двух	чисел	на их разность .
Сформулируйте правило сложения отрицательных	чисел	.
Сначала мы нашли отдельно сумму отрицательных и сумму положительных слагаемых , а затем сумму двух получившихся	чисел	.
Это свойство справедливо для любой пары	чисел	, поэтому мы обозначаем числа буквами а и Ь и пишем .
Если предложение выражает некоторое свойство или правило , выполняющееся для любых	чисел	, то при переводе его на математический язык без букв не обойтись .
прибавлением противоположного числа и воспользуемся правилом сложения	чисел	разных знаков .
Откладывая последовательно единичные отрезки вправо от нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых	чисел	.
а ) Сформулируйте правила сложения чисел одного знака ; разных знаков ; найдите сумму	чисел	– 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5 вычесть число – 10 .
Частное двух	чисел	одного знака положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно .
Сложение	чисел	.
Обозначьте буквой меньшее из	чисел	.
Точно так же поступают и в случае любых рациональных	чисел	.
Что можно сказать о знаке суммы	чисел	а и b , если известно , что .
Как вы уже поняли , действие умножения рациональных чисел обладает всеми теми же свойствами , что и умножение целых	чисел	.
Как вы уже поняли , действие умножения рациональных	чисел	обладает всеми теми же свойствами , что и умножение целых чисел .
Изображение	чисел	точками на координатной прямой .
Умножение рациональных	чисел	, так же как и целых , обладает переместительным и сочетательным свойствами , что позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы .
Например , — сумма числа а и произведения	чисел	Ъ и с .
Правила умножения и деления рациональных	чисел	одного знака и разных знаков .
Используя понятие модуля числа , сформулируем правила умножения положительных и отрицательных	чисел	.
Сравнение	чисел	.
Примеры сравнения целых	чисел	.
42 Умножение и деление рациональных	чисел	.
а ) 3 и – 8 ; в ) – 1 и – 10 ; д ) 4 и 0 . б ) – 8 и 8 ; г ) – 6 и 0 ; е ) – 9 и – 2 . а ) Какое из двух целых	чисел	больше : положительное или отрицательное ?
Рассмотрим несколько знакомых примеров умножения целых	чисел	.
Есть ли среди	чисел	3 , 4 и 5 корень уравнения .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) разность числа т и суммы чисел 2 и п . д ) удвоенное произведение	чисел	а и Ь .
Если необходим именно такой порядок множителей в произведении	чисел	а и 7 , то точку обязательно ставят , т .
Теперь мы получили уравнение , в левой части которого произведение	чисел	2 и х.
Найдём произведение	чисел	0,215 и 0,33 .
Величину расхода мы определили сложением соответствующих противоположных	чисел	.
Приведите примеры использования положительных и отрицательных	чисел	в жизни .
Приведите примеры целых чисел , целых отрицательных чисел , дробных положительных	чисел	, дробных отрицательных чисел .
Их составляют из	чисел	, букв , знаков действий и скобок .
Друзья — шестиклассники Петя и Коля выполняли задания на округление	чисел	.
Приведите примеры целых чисел , целых отрицательных чисел , дробных положительных чисел , дробных отрицательных	чисел	.
Так , — это всё при меры рациональных	чисел	.
Частное двух	чисел	, обозначенных буквами , записывают обычно с помощью черты дроби , например .
В левой части уравнения сумма	чисел	2х и 26 .
Натуральные числа , противоположные им отрицательные числа и число 0 составляют множество целых	чисел	.
Современное обозначение положительных и отрицательных	чисел	знаками « + » и « – » было введено только в конце XV в .
Так , если нужно умножить сумму	чисел	а и Ъ на число с , то эту сумму заключают в скобки .
Если частное десятичных дробей выражается десятичной дробью , то деление можно выполнить уголком , практически по тем же правилам , что и деление натуральных	чисел	.
Как вам известно , один из способов сравнения	чисел	или величин заключается в нахождении их отношения .
Числа 0 и 1 при умножении целых	чисел	сохраняют свои свойства .
Найдём частное	чисел	0,05 и 0,3 по - другому , перейдя к обыкновенным дробям .
Найдите произведение	чисел	.
Из	чисел	выпишите 1 ) положительные числа ;
Поэтому , « открывая » правило умножения отрицательных	чисел	, можно было бы рассуждать так .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных	чисел	и округление десятичных дробей ? .
Найдите частное натуральных	чисел	, выполнив деление уголком .
Приведите примеры целых чисел , целых отрицательных	чисел	, дробных положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
а ) Определите , какое из этих	чисел	положительное и какое отрицательное .
К какому из двух крайних	чисел	ближе среднее число .
Рассмотрим частное натуральных	чисел	17 и 8 .
Знак « – » употребляется не только для записи отрицательных	чисел	, но и для обозначения противоположного числа .
Сложение целых	чисел	одного знака и разных знаков .
В арифметике их применяют для обозначения	чисел	.
Сумма двух положительных	чисел	положительна , а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных	чисел	.
Сумма двух	чисел	разных знаков может быть как положительным числом , так и отрицательным .
40 Сравнение рациональных	чисел	.
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных целых	чисел	, существуют и отрицательные дробные числа .
Сначала рассмотрим сложение	чисел	одного знака .
Умножение целых	чисел	обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных , — переместительным и сочетательным .
Сумма двух положительных чисел положительна , а сумма двух отрицательных	чисел	отрицательна .
На примерах вычисления суммы и разности	чисел	28,4 и 16,65 расскажите , как складывают и вычитают десятичные дроби .
Запишите : а ) пять отрицательных дробей со знаменателем 3 ; б ) пять отрицательных десятичных дробей с одним знаком после запятой ; в ) пять	чисел	, расположенных между числами – 1 и 0 .
Целые и дробные числа вместе образуют множество рациональных	чисел	.
Приведите примеры целых	чисел	, целых отрицательных чисел , дробных положительных чисел , дробных отрицательных чисел .
Но так же как , кроме натуральных	чисел	, существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и отрицательные дробные числа .
Особую роль при умножении целых	чисел	играет также число -1 : при умножении на – 1 число заменяется на противоположное .
Запишите число , противоположное каждому из следующих	чисел	.
Находя отношение двух	чисел	, мы узнаём , во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого .
Сравните целые	числа	.
Найдём пятую часть от	числа	80 000 и умножим результат на 2 .
Объясните , как заменить сложением вычитание	числа	– 3,5 из числа – 10 .
Чтобы найти часть от	числа	, выраженную дробью , нужно это число умножить на данную дробь .
а ) оба	числа	отрицательные .
Дело в том , что ваши знания о числах ещё не позволяют вычитать из меньшего	числа	большее .
Например , — сумма	числа	а и произведения чисел Ъ и с .
Воспользуемся правилом нахождения части от	числа	.
Объясните , как заменить сложением вычитание числа – 3,5 из	числа	– 10 .
Два	числа	в сумме составляют 59 .
Воспользуемся правилом нахождения	числа	по его части .
Как из одного целого	числа	вычесть другое ? .
Число поданных заявлений составило 220 % от	числа	мест .
а ) Два	числа	в сумме составляют 106 .
Объясните , как найти , какую часть число 24 составляет от	числа	54 .
если - этого	числа	составляют 28 .
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют дробные числа , так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и отрицательные дробные	числа	.
Объясните , как найти	числа	600 .
Итак , в самолёте занято от	числа	всех мест .
Чтобы вычесть из одного	числа	другое , нужно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального	числа	вычитаем меньшее .
Какие	числа	. Называют .
Заменим вычитание	числа	.
Теперь разделим 56 на 80 , чтобы узнать , какую часть число 56 составляет от	числа	80 .
Разбитые лампочки составили 2 % от	числа	всех лампочек .
прибавлением противоположного	числа	и воспользуемся правилом сложения чисел разных знаков .
Глава 10 Рациональные	числа	.
Известно , что 15 % некоторого	числа	равны 12 .
а ) 5 % этого	числа	; г ) 50 % этого числа .
Это свойство справедливо для любой пары чисел , поэтому мы обозначаем	числа	буквами а и Ь и пишем .
а ) 5 % этого числа ; г ) 50 % этого	числа	.
Нахождение части от	числа	.
3 % этого	числа	; д ) 45 % этого числа .
3 % этого числа ; д ) 45 % этого	числа	.
в ) 30 % этого	числа	; е ) 100 % этого числа .
в ) 30 % этого числа ; е ) 100 % этого	числа	.
Найдите эти	числа	.
По условию 32000 — это две пятых от	числа	всех жителей города .
Нахождение	числа	по его части .
а ) сколько человек из	числа	опрошенных слушает спортивные каналы .
Используя понятие модуля	числа	, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел .
Как найти модуль рационального	числа	.
Как найти часть от	числа	.
На координатной прямой точками отмечены	числа	а и b .
1/8	числа	« полчети » или « полчетверти » .
1/4	числа	« четь » или « четверть » .
1/2	числа	« пол » .
Отрицательные дробные	числа	используются и в математике , и в реальной жизни .
Значение до сих пор считается вполне хорошим приближением	числа	π для прикладных задач .
Среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 найдите : а ) целые положительные числа ; б ) целые отрицательные	числа	.
Будем последовательно перебирать	числа	, кратные 25 ( большему знаменателю ) , и проверять , делятся ли они на 15 : число 50 не делится на 15 , а число 75 уже делится .
Отношение	числа	красных шариков к числу зелёных равно .
положительные	числа	записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Целые и дробные	числа	вместе образуют множество рациональных чисел .
Какую часть	числа	зелёных шариков составляют красные ?
Ведь гораздо проще сказать , к примеру , что В — множество двузначных чисел , чем перечислять все двузначные	числа	от 10 до 99 .
а ) произведение числа 7 на сумму чисел а и Ь . б ) сумму	числа	10 и произведения чисел х и у .
Среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 найдите : а ) целые положительные	числа	; б ) целые отрицательные числа .
Запись вида а / b где а и b — натуральные	числа	, — это дробь .
Отрицательные дробные	числа	, так же как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительному числу знака « – » .
в ) разность	числа	с и произведения чисел 4 и d . г ) разность числа т и суммы чисел 2 и п . д ) удвоенное произведение чисел а и Ь .
2 ) если , то а и b —	числа	положительные .
С помощью цифр по специальным правилам записывают	числа	.
если , то а и b —	числа	положительные ;
Сравним сначала противоположные им натуральные	числа	1000 и 989 .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) разность	числа	т и суммы чисел 2 и п . д ) удвоенное произведение чисел а и Ь .
Подставьте в выражение указанные	числа	и выполните вычисления .
Положительные дробные числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные целые	числа	, можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
Сравним	числа	– 1000 и – 989 .
Действительно , вы знаете , что частное от деления натурального	числа	а на натуральное число b равно дроби .
По какому правилу сравнивают целые	числа	? .
1/16	числа	« пол - полчети » числа « пол - пол - пол - чети » .
1/16 числа « пол - полчети »	числа	« пол - пол - пол - чети » .
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные	числа	, на правом луче — положительные , на левом — отрицательные .
Известны десятичные приближения	числа	π с очень большим числом десятичных знаков .
Умножение рациональных чисел , так же как и целых , обладает переместительным и сочетательным свойствами , что позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять	числа	и объединять их в группы .
Рациональные	числа	.
Определите , какую часть от	числа	бросков составляет число попаданий , и выразите эту часть в процентах , если он попал : а ) 2 раза ; б ) 7 раз ; в ) 15 раз ; г ) 16 раз .
Правило сложения рационального	числа	с нулём такое же , как и для целых чисел .
Найдите отношение	числа	правильных ответов к числу всех присланных ответов .
Запишите сначала в порядке возрастания , а потом в порядке убывания целые	числа	, заключённые между . а ) – 7 и 2 ; б ) – 15 и – 5 ; в ) – 3 и 3 ; г ) – 20 и – 10 .
Вспомним , как мы делили целые	числа	.
На изображена координатная прямая , отмеченные на ней	числа	являются целыми .
Запишите в виде двойного неравенства оценку	числа	π , которую дал Архимед .
Найдите отношение	числа	учащихся , занимающихся в музыкальной школе , к числу всех учащихся класса .
На протяжении тысячелетий математики искали приближения	числа	π , выраженные дробями .
А чтобы отметить на прямой	числа	– 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от нуля .
На примере объясните , как умножают	числа	одного знака .
На примере объясните , как умножают	числа	разных знаков .
Эту сумму можно вычислить , складывая	числа	последовательно .
Сколько процентов от	числа	осенних ДТП составило число ДТП в зимние месяцы ? .
Назовите по порядку целые	числа	.
а ) произведение	числа	7 на сумму чисел а и Ь . б ) сумму числа 10 и произведения чисел х и у .
Сравните	числа	а и b , если известно , что .
Вы видите , что такие разные на первый взгляд	числа	можно записать в одном и том же виде .
Запишите все возможные трёхзначные	числа	, которые можно составить из цифр 3 , 4 , 5 , используя каждую из них только один раз .
Чтобы отметить , например ,	числа	1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от нуля отрезки , длины которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Продолжите ряд целых чисел влево и вправо , записав ещё по три	числа	.
Вы знаете , как отмечают на координатной прямой целые	числа	.
Сравните	числа	: а ) 8 и – 100 ; б ) – 8 и – 10 ; в ) – 7 и 0 .
Отметим на координатной прямой , например ,	числа	3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Положительные целые	числа	расположены справа от нуля , отрицательные — слева .
Противоположные	числа	изображаются точками координатной прямой , симметричными относительно точки О ( 0 ) .
Модуль	числа	.
Положительные целые	числа	, т .
Выпишите пары точек , координатами которых являются противоположные	числа	.
натуральные	числа	, мы складывать умеем .
Понятно , что модуль положительного	числа	— это само это число .
Например , модуль	числа	2,5 равен 2,5 , так как число 2,5 удалено от начала отсчёта на 2,5 единицы .
а ) Отношение	числа	красных шариков к числу синих равно .
Получить модуль отрицательного	числа	тоже легко — достаточно просто отбросить знак « минус » .
а ) Вычислите отношение	числа	солнечных дней к числу дождливых дней и обратное отношение .
Перенесите рисунок в тетрадь и отметьте точками противоположные им	числа	.
А модуль	числа	0 равен 0 , так как число 0 находится на « нулевом » расстоянии от самого себя .
На координатной прямой отмечены точками некоторые	числа	.
Модуль положительного	числа	равен самому числу .
О существовании	числа	π .
Покажите с помощью координатной прямой , как сравнить	числа	– 6,5 и – 8 .
Назовите	числа	, модуль которых равен 3 , и изобразите эти числа на координатной прямой .
Назовите числа , модуль которых равен 3 , и изобразите эти	числа	на координатной прямой .
В результате опроса , проведённого в школе , выяснилось , что отношение	числа	школьников , не умеющих плавать , к общему числу учащихся школы равно .
Как найти модуль положительного	числа	?
отрицательного	числа	?
Чему равен модуль	числа	0 ? .
Модуль отрицательного	числа	равен числу , ему противоположному .
Используя термин « отношение » , в первом случае можно было сказать : отношение	числа	участников лыжного забега этого года к числу участников прошлого года равно 3 .
Из примера с подсчётом денег легко понять , как складываются отрицательные	числа	.
Отметьте на ней точками	числа	.
Сначала мы подставили вместо букв указанные	числа	, заключив при этом отрицательное число в скобки .
Вообще если надо получить качественную оценку ситуации , то	числа	или величины сравнивают с помощью деления .
Начертите координатную прямую ( единичный отрезок — 2 клетки ) и отметьте на ней	числа	.
Модуль числа – 5,8 равен 5,8 ; модуль	числа	– 4 равен 4 .
Модуль	числа	– 5,8 равен 5,8 ; модуль числа – 4 равен 4 .
Это определение разности мы распространим и на целые	числа	.
Вы уже умеете сравнивать любые положительные	числа	, можете сравнить два целых числа .
Вы уже умеете сравнивать любые положительные числа , можете сравнить два целых	числа	.
А привычные	числа	в противопоставление новым назвали « разумными » , рациональными .
А теперь вы научитесь сравнивать любые рациональные	числа	.
Что такое модуль	числа	.
Чтобы понять , по каким правилам складывают целые	числа	, рассмотрим « денежные » примеры — с доходами и расходами .
Отрицательные	числа	на координатной прямой отмечаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее нуля .
Были « изобретены » новые	числа	( вы узнаете о них в старших классах ) , и их назвали иррациональными , т .
Как сравнить любые два рациональных	числа	.
Математики древности ( например , древнегреческий математик Диофант , живший в III в . , индийский математик Брахмагупта , живший в VII в . , арабский математик Абу - ль - Вефа , живший в X в . ) называли отрицательные числа словами , означавшими « долг » , « недостаток » , в отличие от « имущества » — положительного	числа	.
Так , числа 3 , 6 , 9 принадлежат первому из указанных классов ; числа 4 , 7 , 10 — второму классу ;	числа	5 , 8 , 11 — третьему .
Так , числа 3 , 6 , 9 принадлежат первому из указанных классов ;	числа	4 , 7 , 10 — второму классу ; числа 5 , 8 , 11 — третьему .
Так ,	числа	3 , 6 , 9 принадлежат первому из указанных классов ; числа 4 , 7 , 10 — второму классу ; числа 5 , 8 , 11 — третьему .
Математики древности ( например , древнегреческий математик Диофант , живший в III в . , индийский математик Брахмагупта , живший в VII в . , арабский математик Абу - ль - Вефа , живший в X в . ) называли отрицательные	числа	словами , означавшими « долг » , « недостаток » , в отличие от « имущества » — положительного числа .
Любое отрицательное число меньше любого положительного	числа	.
Какую часть от	числа	всех учащихся школы составляют мальчики и какую девочки ? .
Отношение	числа	мальчиков в школе к числу девочек равно .
Пусть А — множество натуральных делителей	числа	18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Сравним , например ,	числа	– 5,8 и – 4 .
Чтобы из одного	числа	вычесть другое , нужно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Как с помощью циркуля отметить на прямой	числа	?
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В — множество натуральных делителей	числа	24 .
отношение	числа	забитых шайб к числу бросков по воротам равно .
а ) отношение	числа	финалистов к числу участников конкурса равно .
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных чисел – 5,8 и – 4 меньше , мы сравнили положительные	числа	5,8 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих точек координатной прямой .
На координатной прямой отмечены	числа	а и .
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое число , до нуля иначе называют модулем этого	числа	( ещё говорят « абсолютная величина » ) .
Чем дальше от нуля точка , изображающая некоторое число , тем больше модуль этого	числа	.
Для него справедливы переместительное и сочетательное свойства , и это позволяет в любой сумме произвольным образом переставлять	числа	и объединять их в группы .
Это натуральные	числа	1 , 2 , 3 , противоположные им числа – 1 , – 2 , – 3 и число 0 .
Отметьте на координатной прямой целые	числа	, заключённые между числами .
На координатной прямой отмечены целые	числа	a , b , с , d , е и f .
Вы уже умеете складывать , вычитать , умножать и делить целые	числа	.
Теперь эти правила можно сформулировать более точно , используя понятие модуля	числа	.
Благодаря введению отрицательных чисел мы получили возможность вычитать из меньшего	числа	большее .
Если вы хорошо научились складывать целые	числа	, то сумеете вычислить и их разность .
39 Какие	числа	называют рациональными .
Пусть требуется сложить два отрицательных	числа	, например – 5 и – 9 .
Так как 25 — это 7	числа	участников , то найдём четверть от 300 .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы выражение которое имеет другой смысл : это сумма	числа	а и произведения чисел b и с .
Сложим теперь	числа	разных знаков , например – 8 и +3 .
Для нахождения суммы надо из 8 вычесть 3 и поставить перед результатом знак	числа	– 8 , т .
Число жителей 1 в ) 1900 г. — это 100 % , а в 2002 г. от	числа	жителей в 1900 г .
Как изображают рациональные	числа	точками на координатной прямой .
широко использовал отрицательные	числа	- за много столетий до того , как они пришли в Европу .
Запишите данные	числа	в порядке убывания : а ) 10 , – 1 , 0 , 2 , – 4 , – 10 , – 20 ; б ) – 7 , 17 , – 48 , 50 , – 63 .
Запишите данные	числа	в порядке возрастания : а ) 0 , 2 , – 2 , – 15 , 1 , – 40 , 5 ; б ) 32 , – 130 , 19 , – 154 , – 21 .
Николай задумал число , умножил его на 2,5 и получил 10 . г ) Олег задумал число , нашёл этого	числа	и получил 5 .
Какие целые	числа	можно подставить вместо буквы а , чтобы получилось верное неравенство .
Какие	числа	соответствуют каждой из этих областей ?
б ) Чтобы найти четверть некоторого	числа	, нужно это число разделить на или умножить на .
Чтобы вычислить эту сумму , можно последовательно складывать	числа	в том порядке , в котором они записаны .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные	числа	складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Запишите все отрицательные целые	числа	, которые .
Знак « – » употребляется не только для записи отрицательных чисел , но и для обозначения противоположного	числа	.
а ) Чтобы найти половину некоторого	числа	, нужно это число разделить на или умножить на .
Большой вклад внесли в развитие понятия	числа	учёные Индии .
Положительные и отрицательные	числа	.
Необычность и удивительность этого	числа	состоит в том , что среди известных вам чисел — целых и дробных — его нет .
Из чисел выпишите 1 ) положительные	числа	;
Покажите , как расположены на координатной прямой относительно друг друга данные	числа	, и сравните их .
Сравните	числа	с нулём , результат запишите с помощью знака .
Сравните	числа	и запишите результат с помощью знака .
6 Расскажите , как найти дробь от	числа	; число по его дроби .
Это натуральные числа 1 , 2 , 3 , противоположные им	числа	– 1 , – 2 , – 3 и число 0 .
Изобразите схематически на координатной прямой данное число и ближайшие к нему слева и справа целые	числа	, затем запишите двойное неравенство , например .
На координатной прямой изображены	числа	а , b и с. Сравните с нулём каждое из чисел а , b и с ; сравните числа а и с , а и b , b и с .
Для каждого вида одежды приведён процент от общего	числа	выпускаемых изделий .
На координатной прямой изображены числа а , b и с. Сравните с нулём каждое из чисел а , b и с ; сравните	числа	а и с , а и b , b и с .
На координатной прямой точками отмечены	числа	а , b и с. Какое из следующих утверждений об этих числах верно ? .
Назовите модуль	числа	.
В множестве натуральных чисел сложить можно любые два	числа	, но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Сравните – а и – b . в ) Известно , что а и b — целые	числа	разных знаков , причём .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней точками	числа	, модули которых равны 4 ; 2 ; 1,5 ; 0 .
Расположите	числа	в порядке возрастания , ответ запишите в виде двойного неравенства .
Известно , что а и b — отрицательные целые	числа	, причём .
Чтобы запомнить первые цифры десятичного приближения	числа	π , существуют забавные поговорки , например : « Это я знаю и помню прекрасно » .
А как складывать	числа	разных знаков ?
3 ) целые числа ; 2 ) отрицательные числа ; 4 ) дробные отрицательные	числа	.
Так , нельзя из	числа	3 вычесть 5 .
Известно , что а и b — положительные целые	числа	, причём .
3 ) целые числа ; 2 ) отрицательные	числа	; 4 ) дробные отрицательные числа .
Подставив в выражение вместо а и b указанные	числа	, получим .
Но так же как , кроме натуральных чисел , существуют дробные	числа	, так и , кроме отрицательных целых чисел , существуют и отрицательные дробные числа .
3 ) целые	числа	; 2 ) отрицательные числа ; 4 ) дробные отрицательные числа .
Какие	числа	называют рациональными .
Сравнить между собой два	числа	или две величины можно двумя способами .
На рисунке 10.8 схематически показано , как расположены на координатной прямой относительно друг друга	числа	– 12,5 и – 5 .
Продолжите последовательность , записав ещё три	числа	.
Положительные дробные	числа	, с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные целые числа , можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же число .
На примере числа -5 расскажите , как целые отрицательные	числа	изображают точками на координатной прямой .
Зачем нужны отрицательные	числа	.
Натуральные	числа	, противоположные им отрицательные числа и число 0 составляют множество целых чисел .
Какие	числа	называют противоположными .
половина числа Ъ равна 1,5 . д ) разность чисел Ъ и с больше 3 . е ) произведение чисел 5 и х меньше	числа	у .
Запишите все десятичные дроби , которые можно составить из цифр 1 , 2 и 3 , соблюдая следующее условие : каждая цифра используется в записи	числа	не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
а ) число а больше	числа	Ъ на 3 . б ) число а меньше числа b на 1 .
Какие	числа	отмечены точками на координатной прямой .
Даны	числа	.
а ) число k больше 5 ; г ) квадрат числа а равен 4 . б ) число х меньше 18 ; д ) куб	числа	т меньше 1 .
два целых	числа	, можно представить , как они расположены по отношению друг к другу на координатной прямой : какое из них находится правее , а какое — левее .
Натуральные	числа	принято называть также положительными целыми числами , т .
а ) число а больше числа Ъ на 3 . б ) число а меньше	числа	b на 1 .
До сих пор на уроках математики мы рассматривали натуральные	числа	и дробные .
Представьте в виде натурального	числа	: Образец .
При делении любого целого	числа	на 1 получается это же число .
Записывая целые	числа	в ряд , мы также можем заменить запятые на знак « меньше » .
Сравним	числа	256 и – 104 .
Вычислите , сложив отдельно положительные и отрицательные	числа	.
в ) число 10 больше	числа	5 в 2 раза .
Такие	числа	, « похожие » на натуральные , но со знаком « минус » , нужны в тех случаях , когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях .
Естественно правило сравнения натуральных чисел распространить на целые	числа	.
Какие	числа	называют целыми .
число n больше	числа	k в 3 раза .
Глава 9 Целые	числа	.
Целые	числа	также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
Двигаясь по ряду натуральных чисел вправо , мы переходим от меньшего числа к большему , а двигаясь влево — от большего	числа	к меньшему .
На какие бы целые	числа	ни домножали знаменатель , множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому произведение только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Двигаясь по ряду натуральных чисел вправо , мы переходим от меньшего	числа	к большему , а двигаясь влево — от большего числа к меньшему .
а ) Сформулируйте правила сложения чисел одного знака ; разных знаков ; найдите сумму чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из	числа	– 4,5 вычесть число – 10 .
А десятичные дроби , как и натуральные	числа	, сравнивают по разрядам .
Например,0,03 — два разных способа записи одного и того же	числа	.
34 Какие	числа	называют целыми .
, разгневавшись на учёных , описавших в своих трудах отрицательные	числа	, велел все их рукописи сжечь , а самих авторов , а заодно и их читателей казнить .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки , изображающие	числа	0 и 1 .
в ) число а больше 0 и меньше 1 ; е ) квадрат	числа	b больше 100 .
А в выражение пока нельзя подставлять	числа	, меньшие 10 .
Перемножив	числа	215 и 33 , которые получаются , если не обращать внимания на запятые , мы получили в произведении число 7095 .
Противоположные	числа	изображаются точками , симметричными относительно точки с координатой 0 .
Натуральные числа 1 , 2 , 3 , , отрицательные числа – 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином — целые	числа	.
а ) сумма	числа	х и числа 15 равна 31 . б ) произведение чисел а и b равно 8 .
Направление луча , на котором отмечают положительные	числа	, называют положительным направлением и указывают стрелкой .
а ) сумма числа х и	числа	15 равна 31 . б ) произведение чисел а и b равно 8 .
целые положительные	числа	) , а на левом — отрицательные .
При умножении десятичных дробей в столбик их записывают одну под другой как натуральные	числа	, не обращая внимания на запятые .
На правом луче будем , как обычно , отмечать натуральные	числа	( т . е .
Чему равен модуль положительного	числа	?
Запишите на математическом языке разными способами предложение : « Число а на 10 больше	числа	Ь » .
Подберите такие целые	числа	а и b , чтобы выполнялось неравенство .
половина	числа	Ъ равна 1,5 . д ) разность чисел Ъ и с больше 3 . е ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Найдите модуль	числа	.
Отметьте на координатной прямой	числа	.
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх чисел , если : а ) два	числа	отрицательны , одно положительно ; б ) одно число отрицательно и два положительны .
Дело в том , что с их введением нарушалось древнее правило , гласившее , что нельзя из меньшего	числа	вычитать большее .
Найдите среди них : положительные , отрицательные , целые , натуральные , отрицательные дробные	числа	.
Отрицательные	числа	были известны математикам ещё 2 тысячи лет тому назад .
Какие	числа	называют рациональными ? .
Это выражение задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения п. Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные	числа	: ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом .
Натуральные	числа	мы записываем в том порядке , в котором они появляются при счёте .
При делении любого целого	числа	на – 1 получается противоположное число .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные	числа	; в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Составьте формулу для примерного подсчёта	числа	букв на одной странице книги .
	Числа	, меньшие нуля .
Для выражения величин , которые могут изменяться в двух противоположных направлениях , людям потребовались отрицательные	числа	, т .
Так , для выражения — допустимыми являются все	числа	, кроме 0 .
Наконец , правило сложения целого	числа	с нулём такое же , как и для натуральных чисел .
Как определяют положение запятой в произведении десятичной дроби и натурального	числа	?
Поставьте в выражение указанные	числа	и выполните вычисления .
В частности , знаменателем может быть любая степень	числа	10 .
д ) число с меньше	числа	20 в 4 раза .
Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных натуральных чисел , начиная с	числа	.
Как и натуральные	числа	, их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом , как это показано рядом .
Например ,	числа	15 и – 15 являются противоположными .
Будем подставлять вместо буквы х различные	числа	, например и каждый раз вычислять значение получившегося числового выражения .
Чтобы понять , как перемножают целые	числа	, рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только знаками .
Положительные и отрицательные целые	числа	.
Запишите выражение для вычисления	числа	осей симметрии правильного n - угольника .
При делении	числа	на десятичную дробь можно действовать в соответствии со следующим правилом .
На примере	числа	-5 расскажите , как целые отрицательные числа изображают точками на координатной прямой .
Остаётся сообразить , как перемножить отрицательные	числа	-5 и -3 .
в ) две трети этого	числа	; е ) число , на 3 меньшее данного .
Этот знак мы будем использовать и для обозначения	числа	, противоположного отрицательному .
Как иначе называют натуральные	числа	? .
Натуральные числа , противоположные им отрицательные	числа	и число 0 составляют множество целых чисел .
б ) половину этого	числа	; д ) число , на 2 большее данного .
Какие	числа	называют целыми ? .
а ) удвоенное данное число ; г ) 10 % этого	числа	.
Натуральные	числа	округляют до десятков , сотен , тысяч и т .
Запишем это частное в виде дроби и затем , воспользовавшись основным свойством дроби , преобразуем её так , чтобы в числителе и знаменателе оказались целые	числа	.
Число 21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 Первая из них — приближённое значение	числа	21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Перемножив	числа	5,6 и 3,8 , получим 21,28 .
Воспользуемся основным свойством дроби и преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе дроби оказались натуральные	числа	.
В противном случае , если одно число положительно , а другое отрицательно , говорят , что эти	числа	разных знаков .
Поэтому о двух целых числах можно сказать , что это	числа	одного знака , если они оба положительны или оба отрицательны .
Умножение и деление натурального	числа	на 10 , 100 , 1000 и т .
Значит , на координатной прямой число 256 расположено правее	числа	– 104 .
число х меньше	числа	у в 6 раз .
Любое положительное число любого отрицательного	числа	.
Отвечая на вопрос , запишите соответствующее двойное неравенство и покажите примерное положение	числа	на координатной прямой .
Расположите в порядке возрастания	числа	.
Знаменателями таких дробей служат	числа	60 , 602 , 603 .
х и у — положительные	числа	.
Сравните	числа	.
В выражение , содержащее букву а , последовательно подставили три	числа	.
х и у — отрицательные	числа	.
А как , пользуясь сформулированным правилом , умножить эту дробь на следующие степени	числа	10 , т .
а ) число k больше 5 ; г ) квадрат	числа	а равен 4 . б ) число х меньше 18 ; д ) куб числа т меньше 1 .
Знака « минус » тогда не было , а чтобы различать положительные и отрицательные	числа	, Джань Цань писал их чернилами разных цветов .
В записи натурального	числа	значение цифры определяется тем , в каком разряде она находится .
Отрицательные	числа	математики открыли очень давно .
в ) все три	числа	отрицательны ? .
Противоположные	числа	.
Фактически нам пришлось перемножать натуральные	числа	376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных дробей убрать запятые .
Натуральные числа 1 , 2 , 3 , , отрицательные	числа	– 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином — целые числа .
Расположите в порядке убывания	числа	.
Найдите закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два	числа	; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
мы будем рассматривать отрицательные	числа	, каждое из которых получается приписыванием к соответствующему натуральному числу знака « минус » .
Сравните	числа	: а ) 1,001 и 0,9999 ; б ) 8,455 и 8,54 ; в ) 0,305 и 0,3050 .
Запишите	числа	, соответствующие точкам , отмеченным на координатной прямой .
Натуральные	числа	1 , 2 , 3 , , отрицательные числа – 1 , – 2 , – 3 , и число 0 объединяют одним термином — целые числа .
Расположите	числа	в порядке возрастания .
Число 0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к положительным , ни к отрицательным	числам	, а как бы разделяет их .
Построим точки , соответствующие	числам	: а ) 0,3 ; б ) 0,36 ; в ) 0,364 .
Например ,	числам	5 и -5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от нуля на одном и том же расстоянии , равном 5 единицам .
Оно относится к	числам	новой природы , с которыми вы познакомитесь в старших классах .
Например ,	числам	2,5 и – 2,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 2,5 единицы ; числам 5 и – 5 — точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 5 единицам .
Например , числам 2,5 и – 2,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 2,5 единицы ;	числам	5 и – 5 — точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 5 единицам .
С помощью букв записаны некоторые свойства действий над	числами	.
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий над натуральным	числами	— надо только научиться правильно ставить результате запятую .
Буквы , входящие в состав буквенного выражения , не всегда можно заменять какими угодно	числами	.
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с целыми	числами	— умножение и деление .
Для этого над содержащимися в нём	числами	надо выполнить указанные действия .
Замените каждое из данных отношений равным , записанным меньшими	числами	.
При этом израсходованные суммы денег будем обозначать отрицательными	числами	.
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : с целыми	числами	мы можем обращаться более свободно , чем с натуральными .
Если все содержащиеся в выражении буквы заменить	числами	, то получится числовое выражение .
Это столь привычное сегодня удивительное число позволило им создать десятичную систему записи чисел и разработать правила операций над записанными так	числами	.
Буквенное выражение можно превратить в числовое , если все содержащиеся в нём буквы заменить	числами	.
Итак , при сложении целых чисел мы работаем в действительности только с соответствующими натуральными	числами	.
Между целыми	числами	на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче — положительные , на левом — отрицательные .
В предыдущей главе вы познакомились с целыми	числами	.
Натуральные числа принято называть также положительными целыми	числами	, т .
Однако в жизни вы уже наверняка встречались и с другими	числами	— отрицательными .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью , длины сторон которых ( в см ) выражаются целыми	числами	? .
Чтобы оперировать целыми	числами	, надо прежде всего научиться их сравнивать .
Перед положительными	числами	, для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от отрицательных , иногда ставится знак « + » .
Выполнять действия с дробями , записанными в таком виде , почти так же легко , как и с натуральными	числами	.
На координатной прямой точками отмечены числа а , b и с. Какое из следующих утверждений об этих	числах	верно ? .
Поэтому о двух целых	числах	можно сказать , что это числа одного знака , если они оба положительны или оба отрицательны .
О противоположных	числах	говорят , что они отличаются только знаками .
Дело в том , что ваши знания о	числах	ещё не позволяют вычитать из меньшего числа большее .
На чемпионатах по футболу результаты команд при равном	числе	набранных очков сравнивают по разнице забитых и пропущенных мячей .
Расскажите , что вы узнали о	числе	π .
Например , в	числе	2408 содержится 2 тысячи , 4 сотни , 0 десятков и 8 единиц .
В	числе	7,35 содержится 7 единиц , 3 десятых и 5 сотых .
В	числе	6,012345 последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо .
а ) В	числе	54038 отделите запятой одну цифру справа и прочитайте получившуюся десятичную дробь .
Расширение представлений о	числе	сопровождало человечество на протяжении всей его истории .
Что вы знаете о	числе	π ? .
Чтобы найти сумму ( или разность ) дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму ( или разность ) их	числителей	, а знаменатель оставить прежним .
Конечным или бесконечным является : а ) множество правильных дробей со знаменателем 10 ; б ) множество неправильных дробей со знаменателем 10 ; в ) множество дробей с	числителем	, равным 1 , заключённых в промежутке от 0 до 1 ; г ) множество десятичных дробей , заключённых между числами 0,1 и 0,2 ? .
В дальнейшем вы будете часто встречать такие « многоэтажные » дроби , в которых	числители	и знаменатели — различные выражения .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить	числители	дробей и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Умножим	числитель	и знаменатель дроби на 4 .
Возьмём несколько рациональных чисел и представим каждое из них в виде дроби , у которой	числитель	— целое число , знаменатель — натуральное .
Число , записанное над чертой , —	числитель	дроби , под чертой — её знаменатель .
Сначала мы разделили	числитель	и знаменатель на 2 , потом ещё раз на 2 , затем на 3 и , наконец , на 9 .
Вы видите , что при записи отрицательных дробей « – » можно ставить перед дробью , вносить его в	числитель	или в знаменатель .
Можно было сделать это и иначе : например , сразу разделить	числитель	и знаменатель на 4 и т .
Умножим	числитель	и знаменатель дроби на 12 .
Если	числитель	и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля , то получится дробь , равная данной .
Обратите обыкновенную дробь в десятичную , разделив уголком	числитель	на знаменатель .
Уравняем число цифр в числителе и число нулей в знаменателе , приписав к	числителю	слева вспомогательные нули , получим = 0,00187 .
Древние греки , а позднее индусы ( около 1500 лет назад ) записывали дроби с помощью	числителя	и знаменателя , но без дробной черты .
Будем последовательно находить общие делители	числителя	и знаменателя и сокращать на них дробь .
Округлите : а )	число	572 до сотен ; б ) число 1,654 до сотых .
Когда , например , говорят « возьмём	число	а » , то это означает , что некоторому числу — неважно , какому именно , — дали имя а , и дальше с ним можно обращаться так , как будто оно вполне определённое .
Положительные дробные числа , с которыми вы до сих пор имели дело , как и положительные целые числа , можно записывать со знаком « + » ; например , +1,5 и 1,5 — это одно и то же	число	.
Чтобы узнать , сколько процентов одно	число	составляет от другого , надо разделить первое число на второе и выразить полученное отношение в процентах .
Сколько процентов одно	число	составляет от другого .
Для каждого шага построения определите	число	сторон снежинки и её периметр .
Ученик задумал	число	, вычел из него 1 , результат умножил на 5 , к произведению прибавил 10 и получил 15 .
Между какими ближайшими целыми числами находится	число	: а ) – 99 ; б ) – 1 ? .
Натуральное число и отрицательное	число	, полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
В дальнейшем вы узнаете формулу , с помощью которой можно путём простых вычислений получать ответ на вопрос о том , сколькими способами можно упорядочить множество , содержащее любое конечное	число	элементов .
Во сколько раз увеличивается	число	сторон снежинки Коха на каждом шаге построения ?
Верно ли , что любое целое	число	является либо положительным , либо отрицательным ? .
Любое отрицательное	число	меньше нуля .
Округлите : а ) число 572 до сотен ; б )	число	1,654 до сотых .
Сформулируйте правило , по которому определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную дробь ; на натуральное	число	.
Составьте уравнение по условию задачи : « Коля задумал	число	, прибавил к нему 7 , результат умножил на 2 и из полученного произведения вычел 10 .
В каждом случае укажите , сколькими способами можно представить	число	в виде такого произведения .
Округлите	число	до десятых ; до сотых ; до тысячных : а ) 28,37267 ; б ) 43,52859 ; в ) 106,09311 ; г ) 4,03954 .
натуральное	число	2 820 954 до десятков ; до сотен ; до тысяч .
Округлите	число	1,666666 до тысячных ; до сотых ; до десятых .
а ) Найдите все десятичные дроби с тремя знаками после запятой , при округлении которых до сотых получается	число	3,27 .
Чтобы выразить проценты десятичной дробью , надо	число	, стоящее перед знаком процента , умножить на 0,01 , или , что одно и то же , разделить на 100 .
Таким образом , вместо деления на десятичную дробь 0,45 можно выполнить деление на	число	45 .
б ) Найдите наибольшую из десятичных дробей с четырьмя знаками после запятой , при округлении которой до сотых получается	число	8,65 .
Можно сказать также , что число – 15 противоположно числу 15 , а	число	15 противоположно числу – 15 .
Петя , округляя	число	31526 до десятков , записал .
Коля , округляя	число	123,756 до десятых , записал : Исправьте их ошибки .
если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их	число	, приписав справа нули .
Находя отношение двух чисел , мы узнаём , во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно	число	составляет от другого .
Повторяя эксперимент с другими предметами , вы всё время будете получать	число	, близкое к числу 3 .
Как узнать , какую часть одно	число	составляет от другого .
Можно сказать также , что	число	– 15 противоположно числу 15 , а число 15 противоположно числу – 15 .
Однако задавать множество перечислением его элементов удобно только в том случае , когда их	число	невелико .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять	число	десятичных знаков , приписав к дроби 3,5 справа цифру 0 .
Как найти	число	по его части .
Представьте	число	-60 в виде произведения : а ) трёх множителей ; б ) четырёх множителей .
Этот случай легко свести к делению на натуральное	число	, выполнять которое мы уже умеем .
Например , двузначное	число	47 — это рукопожатие между приятелями с номерами 4 и 7 .
Любое натуральное	число	принадлежит одному из этих подмножеств множества N , и общих элементов они не имеют .
Находя отношение двух чисел , мы узнаём , во сколько раз одно	число	больше другого или какую часть одно число составляет от другого .
Подсчитаем	число	кодов .
Представьте в виде обыкновенной дроби	число	: а ) 0,7 ; б ) 0,091 ; в ) 1,203 .
Назовите	число	, противоположное данному .
Запишите	число	, противоположное данному .
Запишите в виде десятичной дроби	число	.
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое	число	, до нуля иначе называют модулем этого числа ( ещё говорят « абсолютная величина » ) .
Чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо разделить первое	число	на второе и выразить полученное отношение в процентах .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых : а ) натуральное	число	3205 ; б ) десятичную дробь 0,3205 .
Положительное число 256 расположено справа от 0 , а	число	– 104 — слева от 0 .
Деление десятичной дроби на натуральное	число	выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
	Число	х меньше числа у в 6 раз .
Сравните получившееся	число	с исходным , если этот нуль стоял : а ) в конце десятичной дроби ; б ) не в конце десятичной дроби .
Возьмём несколько рациональных чисел и представим каждое из них в виде дроби , у которой числитель — целое	число	, знаменатель — натуральное .
Какое	число	надо записать в скобках , чтобы получилось верное равенство .
Если перед некоторым числом , положительным или отрицательным , поставить знак « + » , то получится то же самое	число	.
Любое положительное	число	любого отрицательного числа .
Этот случай можно считать главным , так как деление на десятичную дробь , как вы потом увидите , всегда можно свести к делению на натуральное	число	.
Запишите на символическом языке следующее утверждение : а ) число 10 — натуральное ; б )	число	– 7 не является натуральным ; в ) число – 100 является целым ; г ) число 2,5 — не целое .
Попробуйте назвать хотя бы одно такое	число	.
Отметьте на прямой	число	: а ) 0,1 ; б ) 0,5 ; в ) 1,8 ; г ) 2,2 .
Значит , на координатной прямой	число	256 расположено правее числа – 104 .
В расчётах	число	π заменяют его приближённым значением .
Построить правильный многоугольник можно так : разделить окружность на соответствующее	число	равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления отрезками .
Любое положительное	число	больше нуля .
Слово « множество » в математическом языке употребляется , быть может , даже чаще , чем слово «	число	» .
Подберите	число	и подставьте его вместо многоточия так , чтобы получилось верное равенство .
Натуральное	число	и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
Любое отрицательное	число	меньше любого положительного числа .
Таким образом , чтобы найти разность чисел 2 и 7 , нужно к числу 2 прибавить	число	– 7 .
Вообще любое рациональные число может быть представлено в виде , где т — целое	число	, n — натуральное .
в )	число	а больше 0 и меньше 1 ; е ) квадрат числа b больше 100 .
Ясно , что среди кодов рукопожатий у нас не появится , например ,	число	33 — это означало бы , что один из друзей пожал руку самому себе .
Если а — отрицательное	число	, то .
В школьном хоре	число	пятиклассников относится к числу шестиклассников как .
Вообще любое рациональные	число	может быть представлено в виде , где т — целое число , n — натуральное .
Поэтому утверждения « а — отрицательное	число	» и означают одно и то же .
Какое	число	перегибаний нужно сделать , чтобы окрасить весь квадрат ? .
Точно так же одно и то же означают утверждения « а — положительное	число	» .
Длина окружности и	число	π .
Между какими последовательными натуральными числами заключено	число	: а ) 9,8 ; б ) 15,03 ?
В том же смысле арифметика дробных чисел « богаче » арифметики натуральных чисел : одно дробное	число	всегда можно разделить на другое ( не равное 0 ) , а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда .
Если вы аккуратно выполните эту работу , то получите	число	, близкое к 3 .
Представьте	число	120 в виде произведения нескольких множителей , среди которых есть отрицательные .
Округлите это	число	до десятых ; до единиц .
Представьте	число	– 10 в виде разности двух целых чисел разными способами .
Если обозначить некоторое число буквой а , то противоположное ему	число	будет иметь обозначение – а .
Деление уголком десятичной дроби на натуральное	число	.
Ученик задумал	число	, прибавил к нему 7 , эту сумму умножил на 3 , из результата вычел 15 и получил 30 .
Пусть дано некоторое	число	.
б ) Чтобы найти четверть некоторого числа , нужно это	число	разделить на или умножить на .
Именно поэтому полученное в первом действии	число	8,88 млн мы округлили до десятых .
Понятно , что данные в задаче 4 не являются точными : ведь когда речь идёт о численности населения города , страны , абсолютная точность не требуется , да она и невозможна , так как это	число	ежедневно меняется .
Z - первая буква немецкого слова Zahl (	число	) .
Если обозначить некоторое	число	буквой а , то противоположное ему число будет иметь обозначение – а .
а ) удвоенное данное	число	; г ) 10 % этого числа .
Теперь найдём	число	москвичей в 2002 г. млн .
Если множество содержит конечное	число	элементов , то говорят , что это конечное множество .
Вы видите , что в процессе деления всё время повторяется один и тот же остаток —	число	2 .
Найдите	число	жителей Москвы в 2002 г .
Для того чтобы записать	число	, противоположное отрицательному , мы заключаем это отрицательное число в скобки .
Величина , от которой вычисляют проценты ( например , сумма денег на банковском вкладе , длина участка ремонтируемой дороги , количество компьютеров , выпускаемых фирмой ,	число	учащихся в классе ) , составляет 100 своих сотых долей , т .
Чтобы разделить число на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное	число	.
Иногда нужное	число	процентов от величины можно найти совсем просто .
слова « натуральное число » и « положительное целое	число	» означают одно и то же .
Найдите задуманное	число	.
а ) Чтобы найти половину некоторого числа , нужно это	число	разделить на или умножить на .
В противном случае , если одно	число	положительно , а другое отрицательно , говорят , что эти числа разных знаков .
Какую часть одно	число	составляет от другого .
Чтобы узнать , какую часть одно	число	составляет от другого , надо первое число разделить на второе .
Чтобы узнать , какую часть одно число составляет от другого , надо первое	число	разделить на второе .
Какое	число	надо подставить вместо х , чтобы получилось верное равенство .
Таким же образом изображается на координатной прямой любое положительное или отрицательное	число	.
Какому классу принадлежит	число	100 ?
Чтобы , например , отметить	число	– 5,2 , надо отложить влево от нуля отрезок , равный 5,2 единицы , получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
Теперь разделим 56 на 80 , чтобы узнать , какую часть	число	56 составляет от числа 80 .
Вы знаете , что если точка А изображает на координатной прямой некоторое	число	, например 3,5 , то число 3,5 называют координатой точки А и оно определяет положение точки А на прямой .
Например , +5 — это то же самое	число	, что и 5 , т .
Чтобы найти	число	по его части , нужно эту часть разделить на дробь , ей соответствующую .
Особую роль при умножении целых чисел играет также число -1 : при умножении на – 1	число	заменяется на противоположное .
Объясните , как найти	число	, 4 .
в выражение — нельзя вместо с подставлять	число	0 .
Объясните , как найти , какую часть	число	24 составляет от числа 54 .
Уравняем число цифр в числителе и	число	нулей в знаменателе , приписав к числителю слева вспомогательные нули , получим = 0,00187 .
Вы знаете , что если точка А изображает на координатной прямой некоторое число , например 3,5 , то	число	3,5 называют координатой точки А и оно определяет положение точки А на прямой .
Для того чтобы записать число , противоположное отрицательному , мы заключаем это отрицательное	число	в скобки .
Особую роль при умножении целых чисел играет также	число	-1 : при умножении на – 1 число заменяется на противоположное .
Так , если нужно умножить сумму чисел а и Ъ на	число	с , то эту сумму заключают в скобки .
Назовите	число	, противоположное числу : а ) 12,8 ; б ) – 10 .
Сначала узнаем , на сколько человек увеличилось	число	участников марафона , т .
Вспомним , что разностью чисел а и b называется такое	число	с , которое при сложении с числом b даёт число а .
Вспомним , что разностью чисел а и b называется такое число с , которое при сложении с числом b даёт	число	а .
Это натуральные числа 1 , 2 , 3 , противоположные им числа – 1 , – 2 , – 3 и	число	0 .
С помощью знака « – » , как мы видели , записывается	число	, противоположное натуральному .
Правильным называют выпуклый многогранник , все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое	число	граней .
в ) две трети этого числа ; е )	число	, на 3 меньшее данного .
6 Расскажите , как найти дробь от числа ;	число	по его дроби .
7 Как узнать , какую часть одно	число	составляет от другого ?
а ) Ученик задумал	число	, умножил его на 2 , из результата вычел 15 , полученный ответ разделил на 10 и получил 0 .
Запишите	число	, противоположное каждому из следующих чисел .
Приведите пример , когда в результате округления десятичной дроби получается целое	число	.
Как записать с помощью знака « – »	число	, противоположное числу а ? .
Какое	число	вы получили ?
Если . Найдите неизвестное	число	х .
Итак , чтобы перейти от процентов к десятичной дроби , надо	число	процентов разделить на 100 .
К какому из двух крайних чисел ближе среднее	число	.
Как узнать , сколько процентов одно	число	составляет от другого ?
Округлите это	число	до сотых ; до десятых .
Она должна начинаться так : « Я задумал	число	, умножил его на » .
В этом году	число	участников марафона увеличилось на 25 .
До какого разряда округляли десятичную дробь , если в результате получилось	число	: а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Сначала мы подставили вместо букв указанные числа , заключив при этом отрицательное	число	в скобки .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую	число	3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Чтобы получить ответ на вопрос задачи , нужно к числу прошлогодних участников прибавить	число	впервые участвовавших в этом году .
Чтобы разделить	число	на десятичную дробь , нужно перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Расскажите , как изобразить на координатной прямой	число	4 ; число – 7 ; число 3,5 ; число – 3,5 .
Расскажите , как изобразить на координатной прямой число 4 ;	число	– 7 ; число 3,5 ; число – 3,5 .
Расскажите , как изобразить на координатной прямой число 4 ; число – 7 ;	число	3,5 ; число – 3,5 .
Расскажите , как изобразить на координатной прямой число 4 ; число – 7 ; число 3,5 ;	число	– 3,5 .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это	число	умножить на данную дробь .
б ) половину этого числа ; д )	число	, на 2 большее данного .
Найдите неизвестное	число	, обозначенное буквой .
Так , множество жителей нашей планеты конечно ( хотя	число	людей на Земле очень велико — около 6 млрд 800 млн ) .
Корень уравнения — это	число	, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство .
Подчеркните разряд , до которого	число	округляют , и посмотрите на цифру , расположенную справа от него .
Но	число	, противоположное – 15 , — это 15 , т . е .
слова « натуральное	число	» и « положительное целое число » означают одно и то же .
Замену буквы числом называют числовой подстановкой , а	число	, которое подставляют вместо буквы , — значением буквы .
Для решения разнообразных задач на проценты важно научиться решать одну из главных задач : находить некоторое	число	процентов от заданной величины .
Например ,	число	, противоположное – 15 , записывается так : – ( – 15 ) .
Представьте в виде суммы двух слагаемых разных знаков	число	.
Понятно , что модуль положительного числа — это само это	число	.
Найдём значение выражения Заменим деление умножением на обратное	число	.
а )	число	k больше 5 ; г ) квадрат числа а равен 4 . б ) число х меньше 18 ; д ) куб числа т меньше 1 .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх чисел , если : а ) два числа отрицательны , одно положительно ; б ) одно	число	отрицательно и два положительны .
При делении нуля на любое целое	число	, не равное нулю , в частном получается нуль .
а ) число а больше числа Ъ на 3 . б )	число	а меньше числа b на 1 .
Во втором указывают	число	сотых долей — это разряд сотых .
Сколько процентов от числа осенних ДТП составило	число	ДТП в зимние месяцы ? .
Подставьте вместо буквы в каждое предложение такое	число	, чтобы получилось верное утверждение ; неверное утверждение .
Саша задумал	число	, прибавил к нему 15 и результат умножил на 10 .
Существует и формула площади круга : где S — площадь круга , г — радиус круга В эту формулу тоже входит	число	к .
Запишите на символическом языке следующее утверждение : а ) число 10 — натуральное ; б ) число – 7 не является натуральным ; в )	число	– 100 является целым ; г ) число 2,5 — не целое .
Представьте в виде суммы двух отрицательных слагаемых	число	.
Это столь привычное сегодня удивительное	число	позволило им создать десятичную систему записи чисел и разработать правила операций над записанными так числами .
а )	число	а больше числа Ъ на 3 . б ) число а меньше числа b на 1 .
положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное	число	, которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
В каких разрядах содержится одинаковое	число	единиц ? .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел , или так : всякое натуральное	число	является числом целым .
Поэтому предложения « а — положительное	число	» и « а — отрицательное число » на математическом языке записывают в виде неравенств .
Какое	число	задумала Таня ? .
Любое положительное	число	в ряду целых чисел расположено правее нуля , а любое отрицательное — левее нуля .
Отметьте на этой прямой	число	: а ) 0,5 ; б ) 0,75 ; в ) 1,5 ; г ) 1,25 ; д ) 0,125 .
При умножении на -1	число	заменяется на противоположное .
Николай задумал	число	, умножил его на 2,5 и получил 10 . г ) Олег задумал число , нашёл этого числа и получил 5 .
В множестве натуральных чисел сложить можно любые два числа , но вычесть одно	число	из другого можно не всегда .
Если же надо узнать , во сколько раз одно	число	больше ( меньше ) другого или какую часть одно число составляет от другого , вычисляют частное .
	Число	n больше числа k в 3 раза .
Какое	число	задумал Саша ? .
2 ) Пусть а — это некоторое	число	.
а ) Андрей задумал число , вычел из него 10 и получил 15,6 . б ) Таня задумала	число	, прибавила к нему 1,7 и получила 20,7 .
д. При разложении каждого из этих чисел на простые множители получается одинаковое	число	двоек и пятёрок .
Если надо выяснить , на сколько одно	число	больше ( меньше ) другого , вычисляют разность этих чисел .
Представив это	число	в виде суммы разрядных слагаемых , получим .
В первом множителе две цифры после запятой , во втором — одна , поэтому в знаменателе дроби — получилось	число	с тремя нулями , а в соответствующей десятичной дроби оказалось три цифры после запятой .
Положительное	число	256 расположено справа от 0 , а число – 104 — слева от 0 .
Если	число	выражено десятичной дробью , то его всегда можно представить и в виде обыкновенной дроби .
Однако не всякое	число	можно записать и в виде десятичной , и в виде обыкновенной дроби .
Чему равно наибольшее	число	точек пересечения ? .
в )	число	10 больше числа 5 в 2 раза .
Какое наибольшее	число	точек пересечения могло получиться ? .
В первом разряде после запятой указывают	число	десятых долей ; его так и называют — разряд десятых .
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же	число	, отличное от нуля , то получится дробь , равная данной .
Но не всегда	число	, выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде десятичной дроби .
Николай задумал число , умножил его на 2,5 и получил 10 . г ) Олег задумал	число	, нашёл этого числа и получил 5 .
Отметьте на ней точками данное	число	и число , ему противоположное .
Чтобы ответить на вопрос задачи , это неизвестное	число	нужно найти , или , как говорят , нужно решить уравнение .
Предложение « а — чётное	число	» при некоторых а верно , а при других нет .
одно	число	отрицательное , а другое положительное ? .
е . прибавьте к – 10	число	, противоположное 20 .
Будем последовательно перебирать числа , кратные 25 ( большему знаменателю ) , и проверять , делятся ли они на 15 :	число	50 не делится на 15 , а число 75 уже делится .
в ) удвоенное	число	т равно 11 . г )
Будем последовательно перебирать числа , кратные 25 ( большему знаменателю ) , и проверять , делятся ли они на 15 : число 50 не делится на 15 , а	число	75 уже делится .
Проверьте , является ли корнем уравнения	число	0,5 .
Правило умножения десятичных дробей применимо и в том случае , когда один из множителей — натуральное	число	.
Любое отрицательное	число	нуля .
Умножение десятичной дроби на натуральное	число	.
Запишите на символическом языке следующее утверждение : а )	число	10 — натуральное ; б ) число – 7 не является натуральным ; в ) число – 100 является целым ; г ) число 2,5 — не целое .
Какое	число	задумал Коля ? » .
Перемножив числа 215 и 33 , которые получаются , если не обращать внимания на запятые , мы получили в произведении	число	7095 .
Чтобы вычесть из одного числа другое , нужно к уменьшаемому прибавить	число	, противоположное вычитаемому .
Мы записали равенство , которое содержит неизвестное	число	, обозначенное буквой .
Заменим	число	0,9 на противоположное число ( – 0,9 ) и выполним сложение , воспользовавшись правилом сложения отрицательных чисел .
Заменим число 0,9 на противоположное	число	( – 0,9 ) и выполним сложение , воспользовавшись правилом сложения отрицательных чисел .
Подберите и подставьте вместо многоточия такое	число	, чтобы получилось верное равенство .
Задайте перечислением элементов множество цифр , с помощью которых записывается	число	.
Любое положительное	число	нуля .
Достаточно подсчитать	число	способов , которыми один курьер может выбрать два филиала из четырёх .
Как обозначить противоположное ему	число	?
При делении любого целого числа на 1 получается это же	число	.
Поэтому предложения « а — положительное число » и « а — отрицательное	число	» на математическом языке записывают в виде неравенств .
Вот примеры математических предложений : 3 ) 87 делится на 9 ; 4 ) а — чётное	число	.
Отметьте на ней точками данное число и	число	, ему противоположное .
б ) 17 — положительное	число	.
Или умножить это	число	на 10 , получится .
Используя координатную прямую , выясните , какой знак имеет целое	число	b , если .
Читается десятичная дробь 7,35 так же , как и	число	7 : « 7 целых 35 сотых » .
Вычислим произведение умножив	число	235 на 120 , мы получили в произведении 28 200 .
Найдите	число	, куб которого равен 0,064 ; 0,008 ; 0,125 . 1 )
а ) – 5 — отрицательное	число	.
Какое наибольшее	число	элементов может содержать подмножество множества В ? .
Назовите	число	, противоположное числу .
в ) В качестве общего знаменателя данных дробей можно взять произведение чисел 25 и 15 —	число	375 , но такой знаменатель не будет наименьшим .
Некоторое	число	обозначено буквой а .
Дробь нельзя обратить в десятичную , поэтому запишем в виде обыкновенной дроби	число	0,27 .
При делении любого целого числа на – 1 получается противоположное	число	.
а ) Таня задумала	число	, умножила его на 15 и результат вычла из 80 .
Найдите значение степени : а ) Найдите	число	, квадрат которого равен 0,64 ; 0,01 ; 0,0009 .
Если же надо узнать , во сколько раз одно число больше ( меньше ) другого или какую часть одно	число	составляет от другого , вычисляют частное .
Покажите на координатной прямой , где могут располагаться точки , изображающие это	число	, если известно , что .
Разложив на простые множители знаменатель этой дроби , получим произведение 3 - 5 , содержащее	число	3 .
Записав дробную часть со знаменателем , получим	число	, таким образом .
Решили , что будет справедливо разделить билеты между пятыми и шестыми классами в том же отношении , в котором находится	число	пятиклассников к числу шестиклассников , т .
А в математике есть формула , позволяющая определять	число	подмножеств любого конечного множества по числу его элементов .
если b — положительное	число	, то – b .
Запишите на символическом языке следующее утверждение : а ) число 10 — натуральное ; б ) число – 7 не является натуральным ; в ) число – 100 является целым ; г )	число	2,5 — не целое .
Вспомните : к десятичной дроби можно приписывать справа любое	число	нулей , при этом получается дробь , равная данной .
если b — отрицательное	число	, то – b .
Как умножают десятичную дробь на десятичную , на натуральное	число	, на обыкновенную дробь .
Она также содержит	число	π .
Как найти , сколько процентов одно	число	составляет от другого ?
Запишите	число	, равное данному .
а ) число k больше 5 ; г ) квадрат числа а равен 4 . б )	число	х меньше 18 ; д ) куб числа т меньше 1 .
Дробь - в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби	число	0,6 .
Если домножить его на три пятёрки , то получится один из знаменателей указанного ряда —	число	1000 , т .
Отношение двух чисел показывает , во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно	число	составляет от другого .
Если а — некоторое	число	, то его модуль обозначают символом .
Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же	число	, не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
Какое	число	больше : положительное или нуль ?
х — отрицательное	число	, у — положительное .
Можно найти	число	девочек иначе .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили	число	без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
Например , модуль числа 2,5 равен 2,5 , так как	число	2,5 удалено от начала отсчёта на 2,5 единицы .
Как , например , записать в виде десятичной дроби	число	.
Чтобы из одного числа вычесть другое , нужно к уменьшаемому прибавить	число	, противоположное вычитаемому .
х — положительное	число	, у — отрицательное .
Определите , какую часть от числа бросков составляет	число	попаданий , и выразите эту часть в процентах , если он попал : а ) 2 раза ; б ) 7 раз ; в ) 15 раз ; г ) 16 раз .
Сначала рассмотрим деление десятичной дроби на натуральное	число	.
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое натуральное	число	либо чётное , либо нечётное .
Общее	число	вариантов .
Представьте данное	число	в виде произведения двух целых чисел ( произведения , отличающиеся порядком множителей , считаются одинаковыми ): 2 )
Верно ли утверждение : а ) а —	число	положительное ; б ) – а — число отрицательное ? .
Дополнительным множителем для первой дроби является число 2 , а для второй —	число	3 .
Верно ли утверждение : а ) а — число положительное ; б ) – а —	число	отрицательное ? .
На какое число нужно умножить или разделить	число	25,6 , чтобы в результате получилось .
А модуль числа 0 равен 0 , так как	число	0 находится на « нулевом » расстоянии от самого себя .
Дополнительным множителем для первой дроби является	число	2 , а для второй — число 3 .
а ) Сформулируйте правила сложения чисел одного знака ; разных знаков ; найдите сумму чисел – 3,8 и 2,3 . б ) Объясните , как из числа – 4,5 вычесть	число	– 10 .
Отношение двух чисел показывает , во сколько раз одно	число	больше другого или какую часть одно число составляет от другого .
В зимние месяцы в связи с ухудшением погодных условий	число	ДТП выросло до 60 .
Уравняем	число	цифр в числителе и число нулей в знаменателе , приписав к числителю слева вспомогательные нули , получим = 0,00187 .
Если же их было 1000 человек , то	число	участников увеличилось только в 1,05 раза , т .
Имея дроби , мы всегда можем разделить одно натуральное	число	на другое ( чего нельзя сделать , если ограничиться только натуральными числами ) .
Чем дальше от нуля точка , изображающая некоторое	число	, тем больше модуль этого числа .
К концу года	число	учащихся возросло на 6 % .
На какое	число	нужно умножить или разделить число 25,6 , чтобы в результате получилось .
Между какими соседними целыми числами заключено	число	.
Возьмём , например ,	число	851,3 .
Архимед установил , что	число	π заключено в пределах от .
Точка , изображающая на координатной прямой	число	2,7 , расположена левее .
Изобразите схематически на координатной прямой данное	число	и ближайшие к нему слева и справа целые числа , затем запишите двойное неравенство , например .
Из определения , в частности , следует , что в	число	подмножеств данного множества включается и само это множество .
Всякое натуральное	число	можно представить в виде обыкновенной дроби , причём с каким угодно знаменателем .
В этом году	число	участников увеличилось на 50 человек по сравнению с прошлым годом .
Например , две десятичные дроби 0,3 и 0,30 обозначают одно и то же	число	.
Поэтому любое натуральное	число	можно представить в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
Обратите внимание : подставляя отрицательное	число	, мы заключаем его в скобки .
Действительно , вы знаете , что частное от деления натурального числа а на натуральное	число	b равно дроби .
д )	число	с меньше числа 20 в 4 раза .
Для этого задумайте какое - нибудь	число	, умножьте его на 5 , к результату прибавьте 100 .
Натуральные числа 1 , 2 , 3 , , отрицательные числа – 1 , – 2 , – 3 , и	число	0 объединяют одним термином — целые числа .
Чтобы сравнить дроби 2,5081 и 2,508 , у которых число десятичных знаков различно , можно рассуждать так : уравняем	число	разрядов , приписав ко второй дроби справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
В натуральном ряду есть начало —	число	1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до бесконечности .
Вы знаете , что представить	число	в виде обыкновенной дроби можно разными способами .
а ) Андрей задумал	число	, вычел из него 10 и получил 15,6 . б ) Таня задумала число , прибавила к нему 1,7 и получила 20,7 .
Натуральные числа , противоположные им отрицательные числа и	число	0 составляют множество целых чисел .
Чтобы сравнить дроби 2,5081 и 2,508 , у которых	число	десятичных знаков различно , можно рассуждать так : уравняем число разрядов , приписав ко второй дроби справа цифру 0 ; получим 2,5080 .
Термин « рациональное	число	» происходит от латинского слова ratio .
Если поставить знак « – » , то получится противоположное	число	.
Между какими двумя ближайшими целыми числами находится данное	число	( ответ запишите в виде двойного неравенства ) .
д. А основные	числовые множества	всегда обозначают буквами , Z , Q : множество натуральных чисел — буквой N , множество целых чисел — буквой Z , множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать , что эти буквы — « имена собственные » указанных множеств .
Преобразуйте частное так , чтобы делитель был целым	числом	.
д. Что происходит с этим числом , если оно является : а ) натуральным	числом	; б ) десятичной дробью ? .
Обратите внимание на то , что в числовых выражениях , которые получались при замене буквы	числом	, мы восстанавливали точку — знак умножения .
Если перед некоторым	числом	, положительным или отрицательным , поставить знак « + » , то получится то же самое число .
Известны десятичные приближения числа π с очень большим	числом	десятичных знаков .
д. , то их отношение выражается	числом	.
д. Что происходит с этим	числом	, если оно является : а ) натуральным числом ; б ) десятичной дробью ? .
Например , записать его сумму с	числом	5 , получится .
При округлении десятичной дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим числом десятичных знаков или даже целым	числом	.
При округлении десятичной дроби её заменяют близкой дробью , но с меньшим	числом	десятичных знаков или даже целым числом .
Однако оно должно быть как - то связано с	числом	15 .
Вспомним , что разностью чисел а и b называется такое число с , которое при сложении с	числом	b даёт число а .
Наименьшим	числом	, которое делится на каждое из них , является их произведение — 33 .
Это выражение задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения п. Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным	числом	.
Сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным	числом	, так и отрицательным .
Если же человек получил денег меньше , чем ему надо потратить , то его доход выражается отрицательным	числом	.
Поэтому при округлении десятичной дроби 21,28 до десятых её и заменяют	числом	21,3 .
Существует и пятиугольник с такими же свойствами , и шестиугольник , и вообще многоугольник с любым	числом	сторон .
Образец , а ) Запись можно прочитать по - разному : множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел , или так : всякое натуральное число является	числом	целым .
Ясно , что модуль может быть только положительным	числом	или нулём .
Как определить , каким	числом	- положительным или отрицательным — является сумма двух целых чисел разных знаков ?
Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным	числом	.
Замену буквы	числом	называют числовой подстановкой , а число , которое подставляют вместо буквы , — значением буквы .
Для выражения величины отрицательным	числом	вводят некоторую начальную , нулевую отметку ; например , при измерении температуры за начало отсчёта принимается температура замерзания воды ( при нормальном атмосферном давлении ) , а при измерении глубины морей — уровень Мирового океана .
Это означает , что разность между	числом	участников этого и прошлого года равна 50 .
Каким	числом	— положительным или отрицательным — является произведение трёх чисел , если : а ) два числа отрицательны , одно положительно ; б ) одно число отрицательно и два положительны .
Найдите отношение числа учащихся , занимающихся в музыкальной школе , к	числу	всех учащихся класса .
А в математике есть формула , позволяющая определять число подмножеств любого конечного множества по	числу	его элементов .
Отношение числа красных шариков к	числу	зелёных равно .
Отрицательные дробные числа , так же как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительному	числу	знака « – » .
Когда , например , говорят « возьмём число а » , то это означает , что некоторому	числу	— неважно , какому именно , — дали имя а , и дальше с ним можно обращаться так , как будто оно вполне определённое .
Постройте разбиение множества натуральных чисел , используя два признака : чётность и кратность	числу	5 .
Найдите отношение числа правильных ответов к	числу	всех присланных ответов .
а ) Вычислите отношение числа солнечных дней к	числу	дождливых дней и обратное отношение .
Иногда отношение оставляют « невычисленным » и говорят : « Число лыжников прошлого года относится к	числу	лыжников этого года как 75 к 25 » , при этом для записи отношения используют двоеточие .
Таким образом , чтобы найти разность чисел 2 и 7 , нужно к	числу	2 прибавить число – 7 .
Отношение стоимости товара к его количеству ( массе , длине ,	числу	штук и пр. ) — это цена товара .
В школьном хоре число пятиклассников относится к	числу	шестиклассников как .
Отношение числа мальчиков в школе к	числу	девочек равно .
Запишите три десятичные дроби , равные	числу	5,070 .
отношение числа забитых шайб к	числу	бросков по воротам равно .
а ) отношение числа финалистов к	числу	участников конкурса равно .
мы будем рассматривать отрицательные числа , каждое из которых получается приписыванием к соответствующему натуральному	числу	знака « минус » .
Число красных карандашей относится к	числу	синих как .
Модуль положительного числа равен самому	числу	.
Число мальчиков относилось к	числу	девочек как , причём мальчиков было на 10 больше , чем девочек .
Решили , что будет справедливо разделить билеты между пятыми и шестыми классами в том же отношении , в котором находится число пятиклассников к	числу	шестиклассников , т .
К	числу	приписывают справа один нуль , два нуля , три нуля и т .
В результате опроса , проведённого в школе , выяснилось , что отношение числа школьников , не умеющих плавать , к общему	числу	учащихся школы равно .
Модуль отрицательного числа равен	числу	, ему противоположному .
Используя термин « отношение » , в первом случае можно было сказать : отношение числа участников лыжного забега этого года к	числу	участников прошлого года равно 3 .
Каждое из них равно отрицательному	числу	.
Отметьте точку , соответствующую	числу	.
Запишите подряд цифры , соответствующие	числу	букв в каждом слове .
а ) Чтобы построить точку , соответствующую	числу	0,3 , разделим отрезок между точками 0 и 1 на 10 равных частей и отсчитаем от точки 0 три такие части .
Назовите число , противоположное	числу	.
Называют призму по	числу	сторон основания .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый член которого равен 1 , а второй —	числу	, показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
а ) Отношение числа красных шариков к	числу	синих равно .
Какое из них ближе к	числу	21,28 ?
Чтобы получить ответ на вопрос задачи , нужно к	числу	прошлогодних участников прибавить число впервые участвовавших в этом году .
Число , противоположное	числу	а , обозначают – а .
Повторяя эксперимент с другими предметами , вы всё время будете получать число , близкое к	числу	3 .
Как записать с помощью знака « – » число , противоположное	числу	а ? .
Назовите число , противоположное	числу	: а ) 12,8 ; б ) – 10 .
Можно сказать также , что число – 15 противоположно числу 15 , а число 15 противоположно	числу	– 15 .
Можно сказать также , что число – 15 противоположно	числу	15 , а число 15 противоположно числу – 15 .
Масштаб обычно записывают в виде отношения ( с помощью дробной черты или двоеточия ) , первый	член	которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Если умножить или разделить оба	члена	отношения на одно и то же число , не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
Сначала избавимся от дробей , умножив оба	члена	отношения на 10 , а затем разделим оба члена нового отношения на их общий делитель .
Сначала избавимся от дробей , умножив оба члена отношения на 10 , а затем разделим оба	члена	нового отношения на их общий делитель .
Найдите закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются	члены	последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
Вот примеры математических предложений : 3 ) 87 делится на 9 ; 4 ) а —	чётное	число .
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое натуральное число либо	чётное	, либо нечётное .
Предложение « а —	чётное	число » при некоторых а верно , а при других нет .
Постройте разбиение множества натуральных чисел , используя два признака :	чётность	и кратность числу 5 .
	Чётные	.
А — множество	чётных	чисел , кратных 5 .
Если множество нечётных чисел обозначить буквой А , а множество	чётных	чисел — буквой В , то можно записать .
множества натуральных чисел N : множество	чётных	чисел и множество нечётных чисел .
Таким образом , мы имеем разбиение множества натуральных чисел на два класса —	чётных	и нечётных чисел .
Пусть А — множество натуральных	чётных	чисел , не превосходящих 10 , Б — множество натуральных нечётных чисел , не превосходящих 10 , С — множество простых чисел , не превосходящих 10 .
Говорят , что множества	чётных	и нечётных чисел составляют разбиение множества N. Подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
В куб с ребром 4 ед . поместили	шар	, который касается всех граней куба .
В пространстве сходным свойством обладает	шар	— он симметричен относительно любой плоскости , рассекающей его по большой окружности .
Представьте , что	шар	рассекается плоскостью , подобно тому как апельсин разрезается ножом .
Что представляют собой	шар	, цилиндр и конус .
Особое место среди круглых тел занимает	шар	.
Поверхности цилиндра и конуса состоят как из плоских частей , так и кривых , а	шар	— « абсолютно круглый » .
Мы называем нашу планету земным шаром ( правда ,	шар	этот чуть « сплюснут » у полюсов ) .
б ) Можно ли поместить в куб с ребром 7 см	шар	радиусом 4 см ? .
Само слово « сфера » происходит от греческого слова , означающего « мяч » , «	шар	» .
Цилиндр , конус ,	шар	.
Прежде всего это цилиндр , конус ,	шар	.
Их диаметры равны диаметру	шара	.
Назовите несколько предметов , имеющих форму	шара	, цилиндра , конуса .
Диаметр круга будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через центр	шара	.
Формула объема	шара	.
При рассечении	шара	может получиться только круг .
Найдите длины рёбер этого многогранника , если диаметр каждого	шара	равен 4 см . б ) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса .
Формулы длины окружности , площади круга и объёма	шара	.
Скопируйте в тетрадь изображение цилиндра , конуса ,	шара	.
Диаметр	шара	равен 10 см. Какие из изображённых на отрезков равны 5 см ? .
Границей круга , как вам известно , является окружность , а границей	шара	— сфера .
Ребро куба равно 6 см. Чему равен диаметр	шара	? .
Радиус основания цилиндра равен 5 см. Чему равен диаметр	шара	?
У	шара	и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и диаметр .
Объём шара равен где r — радиус	шара	.
Поверхность	шара	называется сферой .
Радиус земного	шара	равен примерно 6400 км .
Параллели — это и есть окружности , получаемые при « разрезании » земного	шара	параллельными плоскостями .
и формула объёма	шара	.
29 Формулы длины окружности , площади круга и объёма	шара	.
Объём	шара	равен где r — радиус шара .
Вычислите объём	шара	, радиус которого равен 3 см ; 1 м .
, площадь круга и объём	шара	.
Например , если в задаче речь идёт о красных и зелёных	шарах	, то можно ограничиться только первыми буквами К и 3 .
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном	шаре	, множестве планет Солнечной системы .
В другой такой же куб поместили 8	шаров	радиусом 1 ед .
Сколько	шаров	диаметром 1 см войдёт в коробку с ребром 4 см ?
А	шаров	радиусом 1 см ? .
Вершинами какого многогранника являются центры этих	шаров	?
Мы называем нашу планету земным	шаром	( правда , шар этот чуть « сплюснут » у полюсов ) .
Формулы , связанные с цилиндром и	шаром	.
Одинаковые	шары	укладывают в коробку в форме куба , располагая их строго один под другим .
Слово « тетраэдр » переводится с греческого как « четырёхгранник » ( « тетра » — четыре и « хедрон » — грань ) , « гексаэдр » —	шестигранник	.
Приложив сверху ещё три таких треугольника , мы получим	шестиугольник	.
Легче всего построить правильный	шестиугольник	.
Существует и пятиугольник с такими же свойствами , и	шестиугольник	, и вообще многоугольник с любым числом сторон .
Обратите внимание на такой интересный и важный факт : правильный	шестиугольник	можно составить из правильных треугольников .
Опишите словами , как построить с помощью циркуля правильный	шестиугольник	, правильный треугольник .
Соединив последовательно все полученные точки , вы получите правильный	шестиугольник	.
Постройте правильный	шестиугольник	со стороной 4 см. На этом же чертеже , но карандашом другого цвета постройте правильный треугольник .
Этот	шестиугольник	правильный : каждая его сторона равна стороне правильного треугольника , а каждый угол — двум его углам , т .
Точка О — центр симметрии	шестиугольника	ABCDKM .
Чему равны углы правильного	шестиугольника	?
	Шестиугольника	?
Вычислите периметр правильного пятиугольника со стороной 12 см , правильного	шестиугольника	со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного n - угольника .
Точка О — центр симметрии	шестиугольника	ABCDEK .
О правильном	шестиугольнике	.
Если вы когда - нибудь видели пчелиные соты , то , возможно , заметили , что их основа — правильные	шестиугольники	.
Длина ,	ширина	и высота одного из них — м , а другого .
Какова	ширина	окна в действительности ? .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 10 м от одного из углов и их	ширина	будет равна 3 м .
Это расстояние называют	шириной	колеи .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а длину ,	ширину	и высоту буквами а , b и с. Получим формулу .
На макете окно имеет	ширину	60 мм .
Например , у параллелепипеда , имеющего различные длину ,	ширину	и высоту , три плоскости симметрии .
Самая большая параллель — это	экватор	, его диаметр равен диаметру Земли .
Вычислите длину	экватора	( ответ округлите до тысяч километров ) .
В каждом случае укажите наибольший	элемент множества	( если он есть ) .
Например , Санкт - Петербург —	элемент множества	городов европейской части России .
Множество А называют подмножеством множества В , если каждый	элемент множества	А является элементом множества В .
Для того чтобы на математическом языке записать предложение « х —	элемент множества	А » , используют знак .
Назовите несколько	элементов множества	, которое является : а ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 5 ; б ) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множества чисел , кратных 2 , и множества чисел , кратных 4 ; г ) объединением множества чисел , кратных 3 , и множества чисел , кратных 9 .
Назовите несколько	элементов множества	.
Задайте перечислением	элементов множество	цифр , с помощью которых записывается число .
Множество А называют подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является	элементом множества	В .
Легко догадаться , что запись означает : « х не является	элементом множества	А » .
Это прежде всего окружность , а также	эллипс	.
Разрежьте его так , чтобы в сечении получился	эллипс	.
а ) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так , чтобы в сечении получился круг ;	эллипс	.
	Эллипс	? .
Если же плоскость пройдёт « наискосок » ( как показано на рисунке ) , то в сечении получится уже не окружность , а	эллипс	.
На рисунке их изображают в виде двух	эллипсов	— « сплюснутых » окружностей .
Сколько	ядер	в этой пирамиде ? .
Найдите длины рёбер этого многогранника , если диаметр каждого шара равен 4 см . б ) Пушечные	ядра	сложены пирамидой в 3 яруса .