Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Алгебраическая сумма	.
	Вариант	II . 520 Счет - тест ( 5 мин ) .
	Вариант	I . 520 а ) Разбей число 425 на два слагаемых пропорционально числам 2 и 3 . б ) Раздели число 520 на три части в отношении .
	Величина	р% от S составляет и через год на счете окажется сумма , то есть начальная сумма увеличится в 1 + раз .
518 Пусть радиус основания конуса равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в сектор круга радиуса R.	Величина	угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле .
	Величина	угла .
	Величина	может быть измерена , а результат измерения выражается числом .
690	Величина	угла правильного n - угольника вычисляется по формуле .
	Величины	, обладающие таким свойством , называются обратно пропорциональными .
	Величины	, зависимость между которыми описывается формулой а = bс , обратно пропорциональны , если значение произведения постоянно .
	Величины	, обладающие указанным свойством , называются прямо пропорциональными ( или просто пропорциональными ) .
	Возвести	в куб .
	Выражение	“ амортизация составляет р% в год ” означает , что каждый год первоначальная стоимость компьютера уменьшается на р% .
	Выражения	с переменными .
253 а )	Высота	прямоугольного параллелепипеда равна 5 см , ширина составляет 28 % длины , а сумма площадей его боковых граней 192 см2 .
	Высота	сосны h ( в метрах ) .
	Высотой	треугольника называется перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону .
	Высоты	треугольника ( или их продолжения ) пересекаются в ортоцентре .
	Вычесть	из числа а число b — это значит найти такое число с , которое при сложении с b дает а .
	Вычесть	из большего модуля меньший .
2	Вычитание	рациональных чисел .
	Гексаэдр	( куб ) .
1	Геометрические фигуры	на плоскости .
	Геометрические фигуры	могут « встретиться » в вершине паркета только тогда , когда сумма их углов составляет 360 ° , иначе они не сомкнутся вокруг вершины или « налезут » друг на друга .
2	Геометрические фигуры	в пространстве .
	График	движения пешехода для значений f , удовлетворяющих неравенству 0 < t < 4 , показан .
2	Графики	зависимостей величин .
158	Группа	туристов вышла в 9 ч из пансионата « Ока » на экскурсию в дом - музей Есенина в деревне Константиново .
4	Деление	рациональных чисел .
	Деление	рациональных чисел уже не представляет проблем , поскольку деление — это действие , обратное умножению .
	Деление	отрезка пополам .
	Делитель	числа всегда меньше самого числа .
	Диаметр	окружности является хордой этой окружности .
а )	Диаметром	окружности называется хорда , проходящая через ее центр .
	Диаметры	одной окружности равны .
	Длина	крыла насекомого , нарисованного в масштабе 20:1 , равна 4 см. Чему равна его длина в действительности ? .
36	Длина	Москвы - реки примерно 470 км .
	Длина	комнаты прямоугольной формы с метров , а ширина составляет 70 % длины .
770	Длина	прямоугольника в 4 раза больше ширины .
	Длина	, площадь , объем .
341 а )	Длина	окружности переднего колеса повозки равна 2,8 м , а заднего — 3,5 м .
	Длина	прямоугольника а дм , а площадь — n дм2 Чему равен периметр прямоугольника ? .
172	Длина	прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 дм , ширина составляет 0,5 длины и 0,9 высоты параллелепипеда .
56	Длина	комнаты 4,2 м , ширина — 3,6 м , а высота — 3,5 м . 1 ) Найди объем этой комнаты .
	Длина	прямоугольника b дм , а ширина — с дм .
187	Длина	первого прямоугольника на 20 % больше длины второго , а ширина — на 40 % меньше ширины второго .
	Длина	фасада реального дома равна 10 м .
	Длина	прямоугольника равна 7,2 дм , а его ширина составляет 25 % длины .
	Длина	прямоугольника а см , а ширина составляет 80 % длины .
б )	Длина	прямоугольника на 3,6 см больше ширины , а ширина составляет у его периметра .
	Длина	( а ) .
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D.	Длина	полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
452	Длина	прямоугольника на 3 см больше ширины .
	Длина	прямоугольника b дм , а ширина на 20 % меньше .
	Длина	самого большого по протяженности пролива , Мозамбикского , равна примерно 1760 км .
2 )	Длина	прямоугольника в 1,5 раза больше ширины .
	Длина	одной его стороны равна а см , а длина второй стороны — b см. Запиши формулу , выражающую зависимость b от а .
	Длина	прямоугольного параллелепипеда на 40 % больше ширины , а ширина в 5 раз меньше высоты .
	Длина	окружности заднего колеса кареты на 0,8 м больше длины окружности переднего колеса .
	Длина	дороги составляет 600 км .
228	Длина	прямоугольника 18,4 см , а площадь — 276 см. На сколько надо увеличить длину , чтобы при той же ширине площадь увеличилась до 300 см2 ? .
3 )	Длина	прямоугольника в 3 раза больше ширины .
	Длина	прямоугольника на 16 см больше ширины
589	Длина	прямоугольника на 1,2 см больше ширины .
	Длину	этого параллелепипеда уменьшили на 3 см. На сколько процентов уменьшился его объем ? .
	Длину	увеличили на 10 % , а ширину уменьшили на 20 % .
	Длину	уменьшили на 20 % , а ширину уменьшили на 40 % .
	Длину	увеличили на 60 % , а ширину уменьшили на 40 % .
	Длину	уменьшили на 40 % , а ширину увеличили на 40 % .
	Длину	прямоугольника уменьшили на 20 % , а ширину увеличили на 20 % .
	Длины	измерялись шагами , ступнями , локтями , ладонями и т .
245	Длины	сторон четырехугольника пропорциональны числам 2 , 5 , 3 и 7 , а его большая сторона на 30 см превышает меньшую .
	Длины	сторон треугольника пропорциональны числам 3 , 4 и 6 , а среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм .
	Додекаэдр	.
	Доказательство	этого равенства , называемого теоремой Пифагора , было известно уже в V веке до н .
	Дробь	несократима .
	Дробь	m / n правильная — предложение с двумя переменными тип .
	Дробь	7/16 — можно перевести в десятичную дробь .
	Дробь	правильная .
К	Дробь	является правильной ( р = 6 ; q = 11 ) ; .
Число 53535353 делится на 3 или на 5 . 6 ) Корнями уравнения х2 + 2 = 18 являются числа 0 и 4 . 7 )	Дробь	8,9 больше или равна 9 .
	Дробь	— сократимая .
	Дробь	.
	Дробь	— правильная .
8)	Дробь	, знаменатель которой представим в виде 2n ∙ 5 m , где n , m — натуральные числа , можно перевести в десятичную .
	Единичные	отрезки на осях обычно выбирают одинаковыми , ось абсцисс располагают горизонтально , а ось ординат — вертикально .
	Единичные отрезки	на осях обычно выбирают одинаковыми , ось абсцисс располагают горизонтально , а ось ординат — вертикально .
б )	Замкнутая	ломаная линия без самопересечений , все точки которой принадлежат одной плоскости , называется многоугольником .
	Знак	“ % ” получил распространение в конце XVII века .
А значит . (	Знак	“ : ” означает “ делится ” . )
	Знаменатель	дроби на 20 % больше ее числителя .
	Знаменатель	дроби на 1 меньше числителя .
	Знаменатель	дроби на 8 больше числителя .
	Знаменатель	неправильной дроби всегда является простым числом .
	Значение	переменной , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство , называется корнем уравнения .
270	Значение	выражения принадлежит множеству .
444	Игра	“ Отгадай слова ” .
	Икосаэдр	. б ) Проверь , выполняется ли для правильных многогранников формула Эйлера : Г + В - Р = 2 .
	Квадрат	числа может быть меньше самого числа .
	Квадрат	суммы чисел а и b равен 34 ( а = 5 , b = 3 ) .
	Квадрат	правильной дроби всегда меньше самой дроби .
487	Квадрат	натурального числа на 56 больше самого числа .
	Квадрат	натурального числа может быть меньше 1 .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “	Квадрат	любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
Так , из предложения с переменной “	Квадрат	натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их произведению . 2 )	Квадрат	числа не может быть равен 0,01 .
	Квадрат	число n не равен 16 . 5 )
	Квадрат	является прямоугольником .
94	Квадрат	и прямоугольник имеют одинаковый периметр .
	Квадрат	отрицательного числа положителен .
1	Квадрат	является прямоугольником .
Ф	Квадрат	числа b меньше числа с ( b = 7,5 ) .
	Квадрат	числа х равен 9 в том и только в том случае , когда х = 3 или х = -3 .
	Квадрат	утроенного числа k . 7 )
Е	Квадрат	числа а больше 16 .
	Квадрат	частного чисел с и d. .
	Квадрат	суммы чисел 2 . , 2 .
	Квадратные	числа : 1 , 4 , 9 , 16 , .
«	Квадратом	называется четырехугольник с равными сторонами » .
«	Квадратом	называется параллелограмм , все углы которого прямые .
Например , в определении «	Квадратом	называется прямоугольник с равными сторонами » понятие « квадрат » — новое , а уже известное — « прямоугольник с равными сторонами » .
	Координаты	— это набор данных , по которому определяется положение того или иного объекта .
	Корнем	уравнения ? .
Число 53535353 делится на 3 или на 5 . 6 )	Корнями	уравнения х2 + 2 = 18 являются числа 0 и 4 . 7 ) Дробь 8,9 больше или равна 9 .
	Косинусом	острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы .
2	Коэффициент	.
	Коэффициент	обычно записывают перед буквенными множителями .
	Коэффициентом	успеха ученика называется отношение среднего балла этого ученика к среднему результату всех участников тестирования .
8)	Кратное	числа больше самого числа .
	Круг	, проходящий через центр шара , называется большим кругом — его радиус равен радиусу шара .
	Куб	частного чисел m и n на 300 % больше частного квадратов этих чисел .
8)	Куб	натурального числа может быть равен самому числу .
	Куб	( гексаэдр ) .
а )	Куб	является прямоугольным параллелепипедом .
	Куб	является частным случаем прямоугольного параллелепипеда , у которого все три его измерения равны .
	Куб	числа всегда больше самого числа .
	Куб	суммы удвоенного числа x и числа y. .
Обозначим эти точки В и С. Проведем две окружности того же радиуса с центрами в В и С и найдем их точку пересечения , принадлежащую углу , — точку М.	Луч	AM — биссектриса .
	Лучи	называются сторонами угла , а их общее начало — вершиной угла .
“	Минус	на минус дает плюс ” .
490 а )	Многогранник	называется выпуклым , если любые две его точки можно соединить содержащимся в нем отрезком .
	Многоугольник	с большим числом сторон в качестве сечения получиться не может , так как граней у тетраэдра всего четыре .
	Многоугольник	, вписанный в окружность , является правильным .
	Многоугольник	, имеющий четыре вершины ( стороны ) , называется четырехугольником . г ) Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые .
	Множество	целых чисел обозначается буквой Z. С помощью фигурных скобок его записывают так .
	Множество	рациональных чисел Q можно записать так .
	Множество	натуральных чисел является подмножеством множества дробей .
	Множитель	.
	Модули	равны ? .
	Модуль	числа 0 считается равным 0 : это число находится на “ нулевом расстоянии ” от самого себя .
	Модуль	положительного числа больше ? .
	Модуль	числа а обозначается символом а .
	Модуль	заданного числа вычисляется не сразу : надо сначала узнать , как заданное число “ располагается ” относительно 0 — больше , равно или меньше , — и лишь затем воспользоваться соответствующим правилом .
в )	Модуль	произведения двух чисел равен произведению их модулей .
г )	Модуль	разности двух чисел может быть больше разности их модулей .
	Модуль	противоположного числа .
	Модуль	отрицательного числа равен числу , противоположному данному .
	Модуль	числа .
Если число а кратно числу b , то	НОД	( а , b ) = ..
48 Найди с помощью разложения на простые множители	НОД	и НОК чисел .
47 Найди	НОД	( а ; b ) и НОК ( а ; b ) , если .
54 Найди	НОД	и НОК чисел с помощью разложения на простые множители : а ) 105 и 225 ; б ) 84 и 420 ; в ) 273 и 110 ; г ) 45 , 120 и 525 .
Если число а является делителем числа b , то	НОД	( a , b ) .
Как найти	НОД	( 12 ; 15 ) , пользуясь разложением на простые множители ? .
	Нок	( а , b ) ..
54 Найди НОД и	НОК	чисел с помощью разложения на простые множители : а ) 105 и 225 ; б ) 84 и 420 ; в ) 273 и 110 ; г ) 45 , 120 и 525 .
47 Найди НОД ( а ; b ) и	НОК	( а ; b ) , если .
Как найти	НОК	( 6 ; 8) с помощью разложения на простые множители ? .
48 Найди с помощью разложения на простые множители НОД и	НОК	чисел .
	Найдем	по этому определению , например , модули чисел 2 и -3 .
382	Найди	множество целых решений неравенства и сделай рисунок .
	Найди	периметр и площадь получившейся фигуры .
	Найди	на чертеже отрезки , которые являются средними линиями треугольников .
413	Найди	последнюю цифру числа .
412	Найди	площадь фигуры , составленной из 9 квадратов , если ее периметр равен 32 см .
	Найди	коэффициент успеха каждого ученика из приведенного списка и расположи полученные числа в убывающем порядке .
	Найди	множество натуральных корней уравнения методом проб и ошибок .
	Найди	числа а , b , с и d , если а : b = 3/4:0,5 , b : с=1,2 : 1/3 , c : d = 5 : 2 , а их среднее арифметическое равно 1,3 .
410	Найди	множество корней уравнения .
	Найди	.
458	Найди	неизвестный член пропорции .
409	Найди	квадрат суммы чисел А и В .
	Найди	число .
	Найди	ложные высказывания .
390	Найди	равносильные утверждения и , располагая соответствующие им цифры в порядке возрастания , составь цифровой код .
	Найди	числа , являющиеся приближениями числа а с недостатком и избытком с точностью до сотен , десятков , единиц , десятых , сотых , тысячных .
	Найди	числа а , b , с и d , если а : b = 1:2 , b : с = 3:4 , с : d = 2 : 7 , а их сумма равна 90 .
141	Найди	значения выражений .
	Найди	дроби , которые можно перевести в конечные десятичные .
	Найди	три числа , если первое относится ко второму как 0,5 : 0,6 , второе к третьему — как , а разность третьего и первого равна о,5 .
579	Найди	значения выражений .
	Найди	лишние данные в условии этой задачи .
	Найди	три числа , если известно , что первое число относится ко второму как 3 : 8 , второе к третьему — как 2 : 5 , а сумма первого и третьего равна 4,6 .
	Найди	закономерность и запиши координаты следующей точки .
408	Найди	множество корней уравнения , пользуясь определением модуля в “ разветвленной ” форме .
	Найди	как можно больше свойств четырехугольника ABCD .
450	Найди	в окружающей обстановке предметы , имеющие форму куба , прямоугольного параллелепипеда , шара , пирамиды , цилиндра , конуса .
423	Найди	все такие двузначные числа , которые делятся на каждую из цифр в их записи .
388	Найди	значения выражений .
366	Найди	часть , которую одно число составляет от другого , и вырази ее в процентах .
229	Найди	значение выражения .
572	Найди	длину отрезка АВ координатной прямой , если координаты точек А и В равны значениям выражений .
161	Найди	45 % от числа .
474	Найди	процентное отношение чисел А и В .
160	Найди	число , 11 % которого составляет число .
	Найди	координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD .
	Найди	первое число .
72	Найди	значение выражения с переменной .
38	Найди	ложные высказывания и перепиши их в тетрадь , исправив ошибки .
	Найди	х .
568	Найди	площади закрашенных треугольников .
194	Найди	значение выражений А , В и С. Подбери четвертое число так , чтобы получилась пропорция .
364	Найди	координаты точек координатной прямой , удаленных : а ) на 3 единицы от точки А ( 1 ) ; б ) на 2 единицы от точки В ( -1 ) ; в ) на 4 единицы от начала координат .
103	Найди	верные равенства и расшифруй фамилию известного ученого .
105 ( Устно . )	Найди	неизвестные члены пропорций .
156	Найди	значение выражения .
374	Найди	процентное отношение чисел : 1 ) А и В ; 2 ) В и Л .
	Найди	периметр и площадь прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
394	Найди	корни уравнений ( устно ) .
404	Найди	множество чисел , удовлетворяющих условию , и запиши его , если возможно , с помощью двойного неравенства .
467	Найди	значения выражений и расположи их в порядке возрастания .
462	Найди	процентное отношение чисел А и В .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств Е , F и М . 361	Найди	множество всех целых чисел , удовлетворяющих неравенству , и сделай рисунки .
32	Найди	три решения неравенства 0,5 < x < 0,6 .
289	Найди	неизвестные члены пропорции .
425	Найди	дроби , которые можно перевести в десятичные , и выполни перевод .
118	Найди	два одинаковых рисунка .
	Найди	лишнее данное в условии этой задачи .
587	Найди	значения выражений .
	Найди	два числа , разность которых равна 6 , а одно из них составляет 2/7 другого .
111	Найди	значения выражений .
701	Найди	значения выражений .
443	Найди	значения выражений , сложив отдельно положительные и отрицательные числа .
113	Найди	значения выражений при а = 0,9 , b = 0,6 , c = 0,1 и сравни их .
68	Найди	значения выражений .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см.	Найди	периметр треугольника , б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
	Найди	производительность мастера и производительность ученика .
502	Найди	неизвестный член пропорции и расположи полученные числа в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Построй треугольник АВС и проведи его среднюю линию , соединяющую середины сторон АВ и ВС.	Найди	отношение длины стороны АС к длине средней линии .
	Найди	истинные высказывания и докажи их .
427	Найди	результат действия , ориентируясь на некоторую практическую ситуацию , и проверь полученный ответ с помощью координатной прямой .
	Найди	среднее арифметическое первого и третьего чисел .
	Найди	предложения , которые при этой подстановке превращаются в высказывания , и из соответствующих им букв составь название месяца .
708	Найди	значения выражений .
	Найди	меньшее число .
109	Найди	множество натуральных решений уравнения методом проб и ошибок .
	Найди	это число . 6 ) 5 — разделили на неизвестное число и получили .
298	Найди	два числа , сумма , произведение и частное которых равны между собой .
65	Найди	значения выражений .
354	Найди	модули чисел и запиши значение модулей .
	Найди	его объем и площадь поверхности .
101	Найди	все значения переменных , обращающие данные предложения в истинные равенства .
505	Найди	неизвестный член пропорции .
297	Найди	неизвестный член пропорции .
241	Найди	значения выражений .
	Найди	собственную скорость катера , если скорость течения реки равна 2,4 км / ч .
308	Найди	неизвестный член пропорции .
172	Найди	наименьшее число , которое начинается с цифр 2008 и делится на все числа от 1 до 9 .
	Найди	по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых углов ( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
	Найди	процентное отношение чисел : а ) 4,8 и 12 ; б ) 12 и 4,8 .
	Найди	квадрат разности чисел А и В .
755	Найди	значения выражений .
695	Найди	корни уравнений ( устно ) .
124	Найди	процентное отношение .
126	Найди	неизвестный член пропорции .
107	Найди	множество натуральных корней уравнения .
	Найди	длину каждой части .
400	Найди	множество корней уравнения .
721	Найди	неизвестный член пропорции .
238	Найди	истинные высказывания и составь из соответствующих им букв имя древнегреческого философа , которого считают основоположником науки логики .
27	Найди	ложные высказывания , построй их отрицания и докажи , что отрицания истинны .
103	Найди	значения выражений .
399	Найди	значения выражений .
573	Найди	ошибки в измерении углов .
131	Найди	значения выражений .
	Найди	значения всех данных выражений при .
105	Найди	неизвестный член пропорции .
	Найди	коэффициент пропорциональности и запиши формулу зависимости между этими величинами .
546	Найди	объем тела , изображенного , и построй три его проекции в масштабе 1:10 .
	Найди	значение этого выражения при n = 0 , 2 , 5 , 9 , 16 .
	Найди	значения выражений А , В , С и D и из полученных чисел составь пропорцию .
243	Найди	пересечение множеств натуральных решений неравенств .
61	Найди	значения выражений .
	Найди	процентное содержание в этом сплаве меди , олова и сурьмы .
258	Найди	среднее арифметическое чисел .
460	Найди	истинные высказывания и составь из соответствующих им букв название учебника по геометрии , который использовался более 2000 лет .
	Найди	среднюю скорость пешехода на этом участке .
260	Найди	среднее арифметическое чисел .
13	Найди	значение выражения . .
261	Найди	сумму .
	Найди	отрезки , являющиеся высотами треугольников .
	Найди	значение выражения .
	Найди	значения выражений .
	Найди	ложные высказывания , построй их отрицания и обоснуй истинность построенных отрицаний .
46	Найди	значения выражений .
43	Найди	подобные слагаемые и назови их коэффициенты .
	Найди	второе число .
	Найди	среднее арифметическое чисел 2 и 8 .
323	Найди	значения выражений .
	Найди	разность большей и меньшей сторон этого треугольника .
66	Найди	значение выражения .
41	Найди	число , которое в указанном ряду чисел нарушает закономерность .
520	Найди	значения выражений .
19	Найди	ложные высказывания и построй их отрицания ( если потребуется , воспользуйся для этого энциклопедией или справочником ) .
320	Найди	число , 20 % которого составляют .
218	Найди	число , если .
664	Найди	значения выражений .
241	Найди	на рисунке смежные и вертикальные углы .
	Найди	эти числа .
	Найди	на окружности точки .
192	Найди	значения выражений .
	Найди	собственную скорость лодки и расстояние между поселками .
334	Найди	ответ задачи , а затем составь и реши две обратные задачи .
21	Найди	процентное отношение чисел и величин .
258	Найди	в предложении условие и заключение и построй утверждение , обратное данному .
	Найди	собственную скорость лодки и скорость течения реки .
	Найди	отношение синуса угла А к косинусу угла А и сравни его с тангенсом угла А .
244	Найди	пересечение множества с множеством решений неравенства .
11	Найди	отношение величин и назови , значение какой новой величины при этом образуется .
376	Найди	значение выражения наиболее рациональным способом .
556	Найди	значения выражений .
48	Найди	с помощью разложения на простые множители НОД и НОК чисел .
	Найди	сумму четырех чисел , если их среднее арифметическое равно 29 .
	Найди	его периметр и площадь , если на плане с масштабом 3 : 500 стороны прямоугольника имеют длину 12 см и 45 см .
	Найди	значение этого выражения , не вычисляя сумму .
	Найди	сотые члены последовательностей этих чисел .
271	Найди	корни уравнения ( устно ) .
283	Найди	среднее арифметическое чисел .
374	Найди	расстояние между объектами через 0,3 ч после начала движения , считая , что в течение этого времени вид движения не менялся .
	Найди	значения выражений , сопоставь их соответствующим буквам и расположи полученные числа в порядке убывания .
	Найди	значения этих выражений .
	Найди	величины всех образовавшихся углов и построй их .
	Найди	процентное отношение дохода к себестоимости .
	Найди	пересечение этих множеств и укажи в нем наименьший элемент .
462	Найди	значения выражений .
	Найди	на чертеже и перечисли все пары : а ) пересекающихся прямых ; б ) непересекающихся прямых ; в ) параллельных прямых ; г ) перпендикулярных прямых .
	Найди	величину образовавшихся углов и сделай чертеж .
а )	Найди	N , если l = 8 , h = 3,5 . б ) Найди l , если N = 2440 , h = 2,5 .
222	Найди	значения выражений методом доходов и расходов и с помощью координатной прямой .
	Найди	слагаемые , которые являются буквенными выражениями , и назови их коэффициенты .
51	Найди	ложные общие утверждения и приведи для них контрпример .
	Найди	длины отрезков АВ , АС , AD , ВС , BD , CD . 2 ) На координатном луче отмечены точки А ( а ) и В ( b ) , где b > а .
541	Найди	значения выражений .
	Найди	длину отрезка АВ и координату середины этого отрезка — точки М . 273 1 )
6	Найди	процентное отношение чисел .
	Найди	это число .
263	Найди	взаимно обратные высказывания .
	Найди	их коэффициенты и буквенные части .
543	Найди	значения выражений .
280	Найди	значения выражений .
774	Найди	множество корней уравнения .
267	Найди	.
624	Найди	значения выражений .
620	Найди	закономерность и запиши n - й член последовательности чисел .
	Найди	значения этих выражений , если .
	Найди	результаты этих изменений , пользуясь координатной прямой .
	Найди	пять последовательных целых чисел , сумма которых равна 5 .
	Найди	диаметр колеса с точностью до сотых ( π приблизительно равно 3,142 ) .
671	Найди	значения выражений .
76	Найди	истинные и ложные высказывания .
	Найди	значения х и у такие , чтобы каждое из двух равенств было верным .
334	Найди	значения выражений .
185	Найди	40 % от числа .
180	Найди	значения дробей .
252	Найди	множество корней уравнения .
204	Найди	значение выражения .
	Найди	неизвестные длины сторон .
77	Найди	ложные высказывания и построй их отрицания .
	Найди	для каждой медианы отношение отрезков , на которые она делится точкой О , считая от вершины .
272	Найди	неизвестную операцию .
310	Найди	значения выражений .
93	Найди	наименьшее число , кратное 36 , в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу .
491	Найди	значение выражения а + b , если .
Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О.	Найди	величину угла АОС , считая сумму углов треугольника равной 180 ° .
	Найди	на чертеже отрезки , которые являются средними линиями трапеций .
	Найди	и отметь соответственно острые , прямые и тупые углы .
726	Найди	множество корней уравнения .
569	Найди	значения выражений .
	Найди	еще как можно больше свойств этого четырехугольника .
82	Найди	множество корней уравнения .
210	Найди	два способа решения задачи .
479	Найди	значения выражений , расположи их в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам .
88 Стороны прямоугольника относятся как 4 : 7 , а его бóльшая сторона равна 31,5 см.	Найди	меньшую сторону , периметр и площадь этого прямоугольника .
744	Найди	наименьшее натуральное число , кратное 36 , в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу .
483	Найди	значения двух данных выражений и сравни их .
	Найди	объем и площадь боковой поверхности этого параллелепипеда .
85	Найди	верные равенства и из соответствующих им букв составь название денежной единицы .
	Найди	длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков .
	Найди	множество корней уравнения .
309	Найди	величину , если ее 1 % составляет : а ) 1 см ; б ) 7 м2 .
308	Найди	1 % от : а ) 340 р . ;
267	Найди	среди данных формул прямую и обратную пропорциональности .
	Найди	что он означает , и выпиши его определение в тетрадь .
186	Найди	число , 25 % которого составляют .
187	Найди	правило , по которому расположены фигуры , и нарисуй недостающую фигуру .
45	Найди	ложные высказывания и построй их отрицания .
321	Найди	группы равносильных утверждений и составь для каждой группы буквенный код .
	Найди	скорость , с которой течет ручей , и вырази ее в километрах в час .
681	Найди	40 % от числа .
	Найди	на этой линии точку : а ) абсцисса которой равна : -3,4 ; -2,5 ; -1,8 ; -0,6 ; 0 ; 0,7 ; 1,5 ; 2,9 ; 3,6 ; б ) ордината которой равна : 2,3 ; 1,6 ; 0,8 ; 0 ; -0,4 ; -0,7 ; -1,9 ; -2,4 ; -2,8 .
682	Найди	число , 3,6 % которого равны .
193	Найди	неизвестный член пропорции .
341	Найди	равносильные утверждения .
	Найди	все натуральные числа , равные утроенной сумме своих цифр .
	Найди	отрезки , являющиеся медианами треугольников .
180 На миллиметровой бумаге отмечены точки А , В , С , D , Е и F.	Найди	их координаты .
380	Найди	значение выражения .
22	Найди	истинные высказывания .
56 Длина комнаты 4,2 м , ширина — 3,6 м , а высота — 3,5 м . 1 )	Найди	объем этой комнаты .
	Найди	объем параллелепипеда .
217	Найди	лишнее слово и объясни , почему оно лишнее .
208	Найди	число , 20 % которого составляют .
207	Найди	75 % от числа .
66	Найди	неизвестный член пропорции ( устно ) .
345	Найди	ответ задачи , а затем составь и реши две обратные задачи .
Разверни полоску и измерь отрезки , показывающие длины окружностей С1 , С2 и С3	Найди	отношение соответствующих значений С и d с точностью до сотых .
	Найди	ложные высказывания , построй отрицания и обоснуй их истинность .
347	Найди	число , 24 % которого составляют .
	Найди	в тексте учебника и запиши в тетрадь их определения .
543 Измерения прямоугольного параллелепипеда 36 см , 8 дм и 12 дм 5 см.	Найди	его объем и вырази : а ) в кубических дециметрах ; б ) в кубических метрах ; в ) в кубических сантиметрах .
317	Найди	истинные высказывания и запиши их на математическом языке с помощью знака .
	Найди	с точностью до сотых разность полученного тобой числа π и числа Архимеда .
	Найди	приближенное значение координат точек пересечения этих окружностей ( 1 ед .
	Найти	четырехзначное число , сумма цифр которого равна 2 , а произведение 0 .
	Найти	все двузначные числа , которые от перестановки их цифр увеличиваются в 4,5 раза .
	Найти	все двузначные числа , которые от перестановки их цифр увеличиваются на 36
	Найти	двузначное число , которое при перестановке его цифр уменьшается в 1,2 раза .
	Найти	значение выражения .
	Найти	третье число .
407	Найти	, от какой величины .
	Найти	трехзначное число , сумма цифр и произведение цифр которого равны 6 .
	Найти	все трехзначные числа , цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594 .
	Найти	эти числа .
	Найти	высоту параллелепипеда .
	Найти	скорость теплохода против течения , если , двигаясь по течению , он прошел 42 км за 1 ч 15 мин .
	Найти	объем параллелепипеда , ( n = 2 ) .
	Найти	длину отрезка , соединяющего эти города на карте , выполненной в масштабе 1 : 4000000 .
	Найти	собственную скорость лодки и скорость лодки по течению , если , двигаясь против течения , она прошла 10,8 км за 1,5 ч .
Задача 1 На карте с масштабом , расстояние между деревней и станцией равно 2,8 см.	Найти	расстояние между ними на местности .
	Найти	натуральное число , которое в 7 раз больше цифры его единиц .
	Найти	наименьшее натуральное число , дающее при делении на 2 , 3 , 4 , 5 и 6 остаток 1 и , кроме того , делящееся на 7 .
359	Найти	, от какой величины .
	Найти	среднее арифметическое чисел Решение .
	Найти	периметр прямоугольника , ( а = 8,6 ) .
	Найти	ширину прямоугольника .
	Найти	скорость течения и собственную скорость лодки .
	Найти	периметр прямоугольника .
	Найти	задуманное число .
	Найти	площадь прямоугольника , ( а = 2,5 ) .
	Найти	число , если .
	Натуральное	число , записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , не может делиться на 2 .
	Натуральное	число к делится на 3 — предложение с одной переменной к .
	Натуральное	число , записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , может не быть составным .
	Натуральное	число , записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , может делиться на 2 .
	Натуральное	число , записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , не может не быть составным .
	Натуральное	число а больше натурального числа b в 5 раз .
	Натуральное число	а больше натурального числа b в 5 раз .
	Натуральное число	к делится на 3 — предложение с одной переменной к .
	Натуральное число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , может не быть составным .
	Натуральное число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , может делиться на 2 .
	Натуральное число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , не может не быть составным .
	Натуральное число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , не может делиться на 2 .
	Натуральные	числа , противоположные к ним отрицательные числа и число 0 образуют множество целых чисел .
	Натуральные	решения неравенства 7 < x < 12 — составные числа .
	Натуральные числа	, противоположные к ним отрицательные числа и число 0 образуют множество целых чисел .
	Натуральный	ряд в этой системе записывается так .
	Натуральный	ряд в разных системах счисления выглядит по - разному .
	Необходимо	уточнить : 15 ° тепла или 15 ° мороза ? .
(	Необходимые	числовые данные узнай в энциклопедии . ) .
8)	Неправильная дробь	меньше единицы .
	Нечетное	число всегда является простым .
	Обратная	задача — нахождение расстояния на карте по расстоянию на местности — решается , естественно , обратным действием — делением .
	Обратное	высказывание .
3	Обратное	утверждение .
	Обратное	к логическому следованию предложение тоже является следованием и может быть истинным или ложным .
	Обратный	путь — от определения к рисунку — часто оказывается более простым .
	Окружность	, проходящая через все вершины треугольника , называется описанной около него .
	Окружностью	называется фигура , состоящая из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
в )	Окружностью	называется множество всех точек плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемой центром окружности .
	Октаэдр	.
	Оператор	набрал на компьютере рукопись за 4,2 ч , работая с производительностью 15 стр./ч .
	Оператор	должен набрать на компьютере 240 страниц рукописи .
	Ортоцентр	.
	Основание	.
	Основания	.
Например , невозможно судить об истинности высказывания	Острый	угол меньше тупого угла » , не зная определений этих углов .
Например , невозможно судить об истинности высказывания	Острый угол	меньше тупого угла » , не зная определений этих углов .
1 )	Отношение	каких величин характеризует концентрацию раствора ? .
10	Отношение	каких величин характеризует всхожесть семян ? .
Определение :	Отношение	длины отрезка на изображении к его реальной длине ( в одних и тех же единицах измерения ) называется масштабом изображения .
	Отношение	а : b — это частное от деления а на b . 2 ) Если а > b , то отношение а : b показывает , во сколько раз а больше b .
Читают : “	Отношение	а к b равно отношению с к d ” или “ а относится к b как с относится к d ” .
	Отношение	трех чисел равно 2,4 : 0,8 : 0,64 , а четвертое число составляет 25 % третьего .
	Отношение	двух чисел показывает , во сколько раз одно число больше или меньше другого .
	Отношение	двух чисел может быть равно обратному отношению этих чисел .
	Отношение	двух чисел показывает , во сколько раз первое число больше второго , или какую часть первое число составляет от второго .
	Отношение	числа детей в младшей , средней и старшей группах равно соответственно 7 : 5 : 4 .
	Отношение	первых трех чисел равно 1,2:4 : 0,8 , а четвертое число составляет 60 % второго .
	Отношение	двух чисел равно 0,5 : 0,3 , а их разность равна 1 .
Поэтому фразу “	Отношение	а к b равно 7 ” можно перевести как .
	Отношение	иногда бывает удобно выражать в процентах .
	Отношением	двух чисел называют их частное .
3	Отношения	.
	Отнят	он был у отца ранней могилой своей .
	Отрезком	называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
в )	Отрезок	, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны , называется медианой треугольника .
Например , легче нарисовать отрезок , чем дать его определение : «	Отрезок	— это часть прямой , ограниченная двумя точками » .
516	Отрезок	ОА равен 5 см. Что можно сказать о длинах отрезков ОВ и ОС ? .
	Отрезок	MN разделен точкой К в отношении , причем одна из частей отрезка на 8 м больше другой .
	Отрезок	АВ длиной 15 см разделен точкой С в отношении 3 : 7 .
121 а )	Отрезок	АВ в 2 раза короче отрезка CD .
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б )	Отрезок	АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
243	Отрезок	MN разделен точками К и Т в отношении 1:2:3 , причем самая маленькая из частей отрезка на 5 дм меньше самой большой .
	Отрезок	АВ разделен точкой С в отношении 2 : 5 , причем одна из частей отрезка на 6 см больше другой .
	Отрезок	, соединяющий точку окружности с ее центром , называется радиусом окружности .
	Отрицание	высказывания о существовании есть общее высказывание .
4	Отрицание	утверждений с кванторами .
2	Отрицание	следования .
3	Отрицание	высказываний о существовании .
1	Отрицание	высказываний .
	Отрицание	.
2	Отрицание	общих высказываний .
И вообще , наше наблюдение состоит в том , что .	Отрицание	общего высказывания есть высказывание о существовании .
	Отрицательные	числа используются для обозначения величин , таких , как : расход — то есть отрицательный доход , долг — отрицательное имущество , глубина — отрицательная высота и т .
	Параллелограмм	— это четырехугольник , у которого противолежащие стороны попарно параллельны . г ) Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все углы прямые .
а )	Параллелограммом	называется четырехугольник , противоположные стороны которого попарно параллельны .
а )	Параллельные	прямые не имеют общих точек .
в )	Параллельные	прямые не пересекаются .
690	Паркет	составлен из правильных восьмиугольников и квадратов .
	Паркетами	из правильных многоугольников покрывают полы в домах , украшают стены комнат и зданий .
	Паркеты	можно составлять не только из правильных многоугольников , но и , например , из прямоугольников , параллелограммов , трапеций .
3	Переменная	и кванторы .
	Переменная	.
	Периметр	треугольника равен 48,5 см. Одна его сторона равна 15,8 см , а вторая — на 1,9 см меньше , чем третья .
296	Периметр	треугольника равен 68 см , а длины сторон пропорциональны числам 4 , 5 и 8 .
760	Периметр	треугольника АВС равен 16,8 см. Найди длины его сторон , если АВ относится к ВС как 7 : 5 , а ВС относится к АС как 3 : 4 .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника , б )	Периметр	четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
244	Периметр	треугольника равен 150 м .
257	Периметр	треугольника АВС равен 32,5 см. Найди длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 : 4 , а ВС относится к АС как 2 : 3 .
	Периметр	квадрата равен 6 м , а периметр прямоугольника на 20 % больше .
402	Периметр	треугольника АВС равен 17 см. Первая его сторона на 40 % меньше второй стороны , а третья — на 3,8 см больше первой .
	Периметр	правильного пятиугольника равен 9 см. Чему равна длина его стороны ? .
502	Периметр	прямоугольника равен 12 см , одна из сторон — х см , а площадь равна S см2 Запиши формулу зависимости S от х. Заполни таблицу и построй график этой зависимости .
а )	Перпендикуляр	, проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
	Перпендикулярные	прямые пересекаются под прямым углом .
	Плоскость	а будто отсекает от куба один из углов , и в сечении получается треугольник MNK .
	Плоскость	, на которой задана система координат , называется координатной плоскостью .
617	Плоскость	а называют плоскостью симметрии , если пространственные фигуры « отражаются » в ней , как в зеркале .
б )	Плоскость	а проходит через точки М , N и К. Перенеси рисунок в тетрадь и построй сечение куба плоскостью а по следующему алгоритму .
Раздели число 360 в отношении 2 : 2,5 : 4,5 . б )	Площади	трех участков земли находятся в отношении , а сумма их площадей равна 90 га .
	Площадь	( в км2 ) .
	Площадь	первого составляет 30 % площади второго , а площадь второго относится к площади третьего как 2,5 : 3 .
	Площадь	Германии больше площади Франции .
90	Площадь	прямоугольника равна 12 см2 .
	Площадь	треугольника АВС равна В. Построй формулу зависимости S от а и h.
	Площадь	прямоугольника ( S ) .
Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых значений х x . 80 Из квадрата со стороной 5 см вырезали квадрат со стороной а см.	Площадь	оставшейся части квадрата — S см2 .
	Площадь	первого участка составляет 20 % общей площади , а площади второго и третьего относятся как 11 : 7 .
	Площадь	поля 80 га .
	Площадь	одного ноля 32 га , а площадь второго поля 48 га .
	Площадь	прямоугольника 24 см2 .
155	Площадь	прямоугольника равна 10 см2 .
	Площадь	первого поля 75 га , а площадь второго поля на 50 га меньше .
298	Площадь	трех участков земли 45 га .
	Площадь	прямоугольника равна произведению его длины и ширины .
“	Плюс	на минус дает минус ” .
	Поверхность	треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников , поэтому треугольную пирамиду называют еще тетраэдром ( от латинского tetra — четыре ) .
	Поверхность	шара имеет специальное название — сфера .
	Подобная	же зависимость существует между длиной стороны квадрата и его площадью .
	Подобным	образом смысл предложения « Казнить нельзя помиловать » невозможно понять , не зная , как в нем расставлены знаки препинания .
	Подобных	примеров можно привести очень много .
562	Поле	имеет форму прямоугольника .
	Положительное	направление на оси абсцисс выбирают слева направо , а на оси ординат — снизу вверх , и показывают его стрелкой .
1	Положительные	и отрицательные числа .
	Положительные	числа , то есть числа , обозначающие доходы , мы складывать умеем .
	Положительные	числа располагаются в положительном направлении от числа 0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а отрицательные числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля : число ( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
	Прав	ли он ? .
5 )	Правильная	дробь может быть равна 1 . 6 )
5 )	Правильная дробь	может быть равна 1 . 6 )
3	Правильные	многоугольники .
4	Правильные	многогранники .
3	Правильные многоугольники	.
	Правильный	многогранник .
	Правильных	многогранников всего пять .
	Приближенные	значения величины h м в первые 5 секунд падения приведены в таблице .
	Приведем	подобные слагаемые в каждой из выделенных групп .
	Приведем	несколько примеров .
	Приведем	примеры .
	Приведем	еще несколько примеров общих высказываний и высказываний , обратных к ним , независимо от того , истинны они или ложны .
	Приведем	пример .
	Приведем	пример решения задач с помощью уравнений .
	Приведем	подобные слагаемые .
	Приведем	еще примеры предложений , где в каждой паре одно является отрицанием другого .
	Приведем	несколько примеров решения задач с помощью пропорций .
	Приведем	еще один пример зависимости , связанной с изменением температуры .
198	Приведены	данные об изменении роста сосны в зависимости от ее возраста .
184	Приведены	данные об изменении температуры воды в чайнике в зависимости от времени .
	Приведены	графики трех зависимостей переменной у от переменной х. Первые две зависимости обладают тем свойством , что каждому значению х сопоставляется единственное значение у , а третья зависимость этим свойством не обладает ( контрпример показан ) .
	Приведены	лишь некоторые примеры таких величин .
	Приведи	контрпример .
	Привести	подобные слагаемые в выражении .
	Произведение	чисел , отличных от нуля , больше каждого множителя .
	Произведение	9 ∙ 36 ∙ 151 — число нечетное .
	Произведение	разности двух чисел и вычитаемого составляет 20 % от утроенного квадрата уменьшаемого .
а )	Произведение	двух отрицательных чисел положительно .
8) Сумма кубов удвоенного числа x и числа y . 9 )	Произведение	разности чисел m и n и квадрата числа k . 10 )
	Произведение	в ней постоянно — это число 240 .
а ) Число , противоположное отрицательному , положительно . б )	Произведение	правильных дробей является правильной дробью .
	Произведение	двух правильных дробей может быть неправильной дробью .
Масштаб изображения всегда выражается числом , меньшим 1 . 4 )	Произведение	крайних членов пропорции всегда равно произведению их средних членов .
	Произведение	двух однозначных натуральных чисел на 7 больше их суммы .
	Произведение	трех последовательных натуральных чисел кратно 6 : например , при перемножении чисел 8 , 9 и 10 получается число 720 , кратное 6 .
141	Произведение	возрастов Таниных братьев равно 1664 .
Н	Произведение	чисел тип делится на число k ( m = 5 ; л = 8) .
	Произведение	суммы и разности чисел с и d на 90 % меньше суммы их кубов .
	Произведение	двух отрицательных чисел оказывается положительным .
	Произведение	.
	Произведение	модулей вычисляем , уже не глядя на знаки .
	Произведение	11 ∙ 25 ∙ 508 кратно 10 .
Сумма противоположных чисел равна 0 . е )	Произведение	взаимно обратных чисел равно 1 .
	Пропорции	записывают так .
	Пропорции	, получаемые подобными преобразованиями , называют обычно производными пропорциями .
5	Пропорциональное	деление .
4	Пропорциональные	величины .
	Простое число	всегда меньше составного .
а )	Простое число	всегда нечетно .
	Противоположное число	.
2	Противоположные числа	и модуль .
(	Процент	увеличения — это отношение прироста в процентах к первоначальной доле в процентах . ) .
2	Проценты	.
	Проценты	.
	Проценты	— одно из понятий прикладной математики , которые часто встречаются в повседневной жизни .
	Проценты	. Недели . 436 С помощью диаграммы изменения остаточной стоимости медиапроектора , купленного в 2002 г. , определи : а ) срок его службы ; б ) стоимость при покупке ; в ) накопленный износ ( т.е. общую сумму уменьшения стоимости ) на начало 2009 года ; г ) остаточную стоимость в 2009 году ( остаточная стоимость равна разности первоначальной стоимости и накопленного износа ) .
360	Прямая	называется касательной к окружности , если она имеет с этой окружностью одну общую точку .
	Прямая	а — касательная к окружности в точке А .
	Прямая	b — искомая .
	Прямая	, пересекающая прямую р и не перпендикулярная ей , называется наклонной к прямой р . 398 ) Вычисли наиболее удобным способом .
2	Прямая	и обратная пропорциональные зависимости .
	Прямая	а .
Параллелограмм — это четырехугольник , у которого противолежащие стороны попарно параллельны . г )	Прямоугольник	— это параллелограмм , у которого все углы прямые .
2	Прямоугольник	является квадратом .
Многоугольник , имеющий четыре вершины ( стороны ) , называется четырехугольником . г )	Прямоугольником	называется параллелограмм , у которого все углы прямые .
1	Прямоугольные	координаты на плоскости .
415	Прямоугольный	кусок волшебной кожи ( « шагреневая кожа » ) исполняет любые желания своего владельца , но после каждого исполнения желания он уменьшается на половину своей длины и на одну треть ширины .
	Прямоугольный	параллелепипед — это многогранник , все шесть граней которого являются прямоугольниками .
	Прямоугольный	лист бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа , чтобы оклеить всю поверхность прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см , 4 см и 5 см ? .
491 а )	Прямоугольный	параллелепипед сложили из одинаковых кубиков .
	Прямоугольный параллелепипед	— это многогранник , все шесть граней которого являются прямоугольниками .
491 а )	Прямоугольный параллелепипед	сложили из одинаковых кубиков .
6 )	Прямые	при пересечении могут образовывать прямой угол .
в )	Прямым	углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
в )	Прямым углом	называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
	Путь	от дома до школы , равный 1,2 км , Сережа прошел за 15 мин , а обратный путь — за 20 мин .
	Путь	( s ) .
	Путь	от А до В велосипедист проехал за 5 ч , а мотоциклист — за 2 ч .
	Равенство	, где a , b , с , d ≠ 0 , является b d пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно произведению средних членов b и с .
Построй отрезок А1В1 , симметричный отрезку АВ относительно точки О.	Равенство	каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков АВ и А ? .
	Радиус	мяча равен 1,5 дм .
	Радиус	окружности равен 5 см. Чему равна длина этой окружности ?
«	Разделить	число а на число b — это значит найти такое число с , которое при умножении на b дает а » .
	Разложить	число 10 на 2 слагаемых , сумма квадратов которых равна 58 .
	Разность	двух чисел равна 75 .
A	Разность	кубов чисел с и d равна 26 ( с = 3 ; d = 1 ) .
	Разность	чисел a и b равна числу с .
	Разность	кубов чисел cud равна 7 ( с = 2 , d = 1 ) .
	Разность	3737 - 36 не делится на 37 .
	Разность	квадратов чисел х и у на 40 % меньше их среднего арифметического .
	Разность	удвоенного числа а и куба числа b на 4 больше половины числа с . 2 ) 40 % числа d на 5 меньше отношения квадратов чисел m и n . 3 )
в )	Разность	двух целых чисел является целым числом .
	Разность	произведения чисел m и n и квадрата числа k . 86 )
	Разность	разделить на 4 .
	Распределение	их мнений приведено на круговой диаграмме .
Глава 3	Рациональные	числа .
Глава 3	Рациональные числа	.
	Ребро	первого куба равно с м , а второго — d м .
5	Решение	уравнений .
6	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	уравнений ( этап 2 ) рассмотрено нами в предыдущем пункте , а здесь мы более подробно остановимся на двух других этапах .
	Решение	.
4	Решение	задач с помощью пропорций .
	Решение	можно записать следующим образом .
	Решение	. 1 ) 87,5 : 5 = 17,5 ( км / ч ) — скорость по течению .
	Решение	: Свежие грибы .
	Решение	. 1 ) ( пути ) — проплывает плот за 1 ч .
	Решение	уравнений , то есть отыскание множества всех его корней , может осуществляться разными способами .
	Решение	. 1 ) 10,8 : 1,5 = 7,2 ( км / ч ) — скорость против течения .
Найти среднее арифметическое чисел	Решение	.
	Решение	: Вклад вначале .
Фактически : В среднем :	Решение	. 1 ) 56,6 ∙ 2 + 48,1 ∙ 3 = 257,5 ( км ) — весь пройденный автобусом путь .
	Решение	. 1 )
	Решение	. 1 ) Пусть для приготовления строительного раствора требуется а кг цемента , b кг песка и с кг воды .
	Решение	. 1 ) 100 % + 60 % = 160 % — составляет масса огурцов , оставшихся во второй бочке от массы огурцов , оставшихся в первой бочке .
	Решением	неравенства ? .
329 а )	Ромб	— это параллелограмм , у которого все стороны равны .
	Сечения	поверхности Земли плоскостями , параллельными экватору , — это известные всем параллели .
4	Симметрия	фигур .
Например , мы можем сказать , что отрицанием предложения “	Синус	числа 0 равен нулю ” является предложение “ Синус числа 0 не равен нулю ” , хотя понятие синуса числа мы еще не изучали .
	Синус	, косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения длин сторон треугольника АВС , выражающие значения синусов , косинусов и тангенсов углов А и В .
Например , мы можем сказать , что отрицанием предложения “ Синус числа 0 равен нулю ” является предложение “	Синус	числа 0 не равен нулю ” , хотя понятие синуса числа мы еще не изучали .
	Синусом	острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы .
	Система	координат на плоскости может быть задана парой перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчета О. Одну из этих прямых называют осью абсцисс ( или осью х ) , а другую — осью ординат ( осью у ) .
	Система координат	на плоскости может быть задана парой перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчета О. Одну из этих прямых называют осью абсцисс ( или осью х ) , а другую — осью ординат ( осью у ) .
	Сложение	рациональных чисел можно проиллюстрировать на координатной прямой : прибавление положительного числа — перемещением на соответствующее число вправо , а прибавление отрицательного числа — перемещением влево .
1	Сложение	рациональных чисел .
	Сложить	модули .
	Собственная	скорость теплохода в 7 раз больше скорости течения реки .
	Собственная	скорость лодки в 4 раза больше скорости течения реки .
	Собственная	скорость теплохода равна 32,5 км / ч , а его скорость по течению реки — 35 км / ч .
	Собственная	скорость катера равна 14,7 км / ч , а его скорость против течения реки — 10,2 км / ч .
	Собственная	скорость лодки 8 км / ч , а скорость течения реки 2 км / ч .
	Собственная	скорость катера в 8 раз больше скорости течения реки .
	Собственная	скорость лодки 8,2 км / ч , а собственная скорость катера 15,8 км / ч .
1	Совместные	действия с обыкновенными и десятичными дробями .
	Сочетание	симметричности и асимметричности создает основу эстетического восприятия человеком природы и произведений искусства .
	Среднее	арифметическое двух нечетных чисел есть число нечетное .
	Среднее	арифметическое четырех чисел равно 2,5 .
	Среднее	арифметическое трех последовательных натуральных чисел равно второму числу .
	Среднее	арифметическое нескольких равных чисел равно каждому из них .
	Среднее	арифметическое трех чисел равно 10,4 .
254	Среднее	арифметическое трех чисел равно 8,4 .
	Среднее	арифметическое двух чисел равно 8,2 , а одно из них равно 4,5 .
	Среднее	арифметическое трех чисел равно 25,6 .
	Среднее	арифметическое двух четных чисел есть число четное .
	Среднее	арифметическое двух чисел равно 21,8 , причем одно из них на 6,8 больше другого .
	Среднее	арифметическое трех чисел равно 9,4 .
	Среднее	арифметическое четырех чисел равно 5,6 .
3	Среднее	арифметическое .
3	Среднее арифметическое	.
	Среднее арифметическое	четырех чисел равно 2,5 .
	Среднее арифметическое	трех чисел равно 25,6 .
	Среднее арифметическое	трех чисел равно 9,4 .
	Среднее арифметическое	двух нечетных чисел есть число нечетное .
	Среднее арифметическое	двух четных чисел есть число четное .
	Среднее арифметическое	трех последовательных натуральных чисел равно второму числу .
	Среднее арифметическое	нескольких равных чисел равно каждому из них .
	Среднее арифметическое	трех чисел равно 10,4 .
	Среднее арифметическое	двух чисел равно 21,8 , причем одно из них на 6,8 больше другого .
254	Среднее арифметическое	трех чисел равно 8,4 .
	Среднее арифметическое	двух чисел равно 8,2 , а одно из них равно 4,5 .
	Среднее арифметическое	четырех чисел равно 5,6 .
325 а )	Средней	линией треугольника называется отрезок , соединяющий середины двух его сторон .
	Средней	линией трапеции называется отрезок , соединяющий середины ее непараллельных сторон .
	Средней	линией треугольника называется отрезок , соединяющий середины двух его сторон .
	Средней линией трапеции	называется отрезок , соединяющий середины ее непараллельных сторон .
	Средний	балл .
	Средний	результат среди всех участников — 75 баллов .
	Средний	балл учащихся 6 “ А ” класса есть среднее арифметическое всех полученных ими баллов , то есть .
	Средним	арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на число слагаемых .
	Средним арифметическим	нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на число слагаемых .
96 Задача Ал - Хорезми (	Средняя	Азия , около 783 г. — 850 г. ) .
	Средняя	температура воздуха за неделю равна 18,6 ° , а за шесть дней без воскресенья — 18,4 ° .
	Сторона	квадрата равна 5,6 м , что составляет 0,7 длины прямоугольника .
102 Математическое исследование . 1 )	Стороны	угла А пересечены параллельными прямыми В1,С1 , В2,С2 и В3,С3 .
	Стороны	этих многоугольников называются ребрами многогранника , а вершины — вершинами многогранника .
88	Стороны	прямоугольника относятся как 4 : 7 , а его бóльшая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону , периметр и площадь этого прямоугольника .
	Сумма	38∙15 + 27 кратна 9 . 3 )
	Сумма	цифр числа n кратна 9 .
	Сумма	двух чисел , делящихся на 7 , не всегда делится на 7 .
	Сумма	18 ∙ 947 + 456 кратна 9 . 5 )
	Сумма	цифр двузначного числа равна 13 , а произведение — 36 .
	Сумма	квадратов чисел . .
Для ложных утверждений приведи контрпример , а верные — докажи правильно . 1 )	Сумма	двух простых чисел — простое число : например , 2 — простое , 3 — простое , и их сумма 2 + 3 = 5- тоже простое .
429	Сумма	в 1 тыс. р . уменьшается ежегодно на 5 % от первоначальной суммы .
	Сумма	двух чисел равна 130 .
	Сумма	числа 49 и любого числа , которое при делении на 6 дает остаток 5 , кратна шести .
Вот как в рукописях VII в . излагались правила сложения и вычитания : “	Сумма	двух имуществ есть имущество ” , “ Сумма двух долгов есть долг ” , “ Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества ” .
	Сумма	двух чисел , делящихся на 7 , всегда делится на 7 .
	Сумма	двух натуральных чисел является натуральным числом .
	Сумма	цифр трехзначного числа равна 9 , а произведение равно 15 .
188 а )	Сумма	трех последовательных целых чисел равна ( -9 ) .
	Сумма	80000000 + 3000000 + 4000 + 20 является разложением по разрядам числа : а ) 834020 ; б ) 83004020 ; в ) 8304020 .
8)	Сумма	3 ∙ 105 + 5 ∙ 105 + 8 ∙ 102 + 7 является разложением по разрядам числа : а ) 35087 ; б ) 350807 ; в ) 3508007 .
	Сумма	двух неправильных дробей может оказаться правильной дробью .
	Сумма	противоположных чисел равна нулю .
	Сумма	числа 219 и любого числа , которое при делении на 14 дает остаток 3 , является четным числом .
8)	Сумма	кубов удвоенного числа x и числа y . 9 ) Произведение разности чисел m и n и квадрата числа k . 10 )
Д	Сумма	числа x и y троенного числа у равна 1 ( x = 0,4 ; y = 0,02 ) .
	Сумма	противоположных чисел равна 0 . е ) Произведение взаимно обратных чисел равно 1 .
	Сумма	любого числа с нулем равна самому числу .
	Сумма	смежных углов равна 180 .
	Сумма	числа а и утроенного числа b . 2 )
Вот как в рукописях VII в . излагались правила сложения и вычитания : “ Сумма двух имуществ есть имущество ” , “	Сумма	двух долгов есть долг ” , “ Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества ” .
	Сумма	никаких двух натуральных чисел не может быть равна их произведению .
8)	Сумма	любых двух натуральных чисел больше каждого из них .
	Сумма	двух правильных дробей также должна быть правильной дробью .
	Сумма	мест Портоса и Арамиса тоже равна 6 .
Вот как в рукописях VII в . излагались правила сложения и вычитания : “ Сумма двух имуществ есть имущество ” , “ Сумма двух долгов есть долг ” , “	Сумма	имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества ” .
	Сумма	двух чисел равна 100 .
473	Сумма	четырех чисел равна 4,2 .
461	Сумма	четырех чисел равна 200 .
	Сумма	452 ∙ 49 + 702 делится на 7 .
	Сумма	двух правильных дробей может не быть правильной дробью .
	Сумма	1400 + 56 кратна 5 .
	Сумма	двух четных чисел может быть числом нечетным .
199	Сумма	трех последовательных целых чисел равна ( -6 ) .
	Сумма	мест , занятых Атосом , Портосом и д’Артаньяном , равна 6 .
	Сумма	трех чисел равна 18 .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 12 , а произведение 35 .
	Сумма	цифр двузначного числа равна 11 , а произведение 24 .
	Сумма	двух взаимно простых чисел — число простое : например , числа 9 и 14 взаимно просты , и их сумма 9 + 14 = 23 — число простое .
	Сумма	двух нечетных чисел является четным числом .
	Сумма	двух правильных дробей является правильной дробью .
	Сумму	, которую должен заплатить человек после n дней просрочки , обозначим Sn .
	Тела	Архимеда получаются из правильных многогранников с помощью операции « усечения » , то есть отсечения углов плоскостями .
3	Тела	вращения .
	Тетраэдр	.
	Точка	пересечения с осью х называется абсциссой точки М , а точка пересечения с осью у — ординатой .
	Точка	М — искомая .
	Точка	А , называется результатом поворота точки А вокруг центра О на угол а , если : 1 ) ОА = ОА1 ; 2 ) АОА1 = а .
	Точка	пересечения медиан .
	Точка	D — тоже необычная .
относительно вершины А . 646	Точка	О — центр симметрии шестиугольника ABCDKM .
	Точка	пересечения медиан является одновременно центром тяжести треугольника .
	Точка	пересечения прямой CD с данным отрезком и есть искомая середина отрезка АВ .
170	Точка	М имеет абсциссу х и ординату у.
	Точка	М делит сторону АВ в отношении 4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD ?
	Точка	А при параллельном переносе на вектор d переходит в точку А , .
	Точки	А и В принадлежат прямой l — предложение с тремя переменными А , В и l .
	Точки	любой прямой , перпендикулярной оси абсцисс , имеют одинаковые абсциссы , а любой прямой , перпендикулярной оси ординат , — одинаковые ординаты .
	Точки	М и N принадлежат одновременно плоскости а и передней грани куба , поэтому плоскость а пересекает переднюю грань по отрезку MN .
	Точки	А и А1 называются симметричными относительно точки О , если О является серединой отрезка АА1 .
154	Точки	A(а ; 0 ) и B(0 ; b ) принадлежат координатному углу xOy .
	Точки	А и А1 не принадлежащие прямой l , называются симметричными относительно l , если отрезок АА1 перпендикулярен этой прямой и делится ею пополам .
	Точки	называются вершинами треугольника , а отрезки — его сторонами .
	Треугольник	называется равносторонним , если у него все стороны равны .
	Треугольник	, две стороны которого равны , называется равнобедренным .
	Треугольник	является многоугольником .
	Треугольник	— одна из самых простых геометрических фигур .
	Треугольник	называется прямоугольным , если один его угол прямой .
	Треугольник	называется равнобедренным , если две его стороны равны .
	Треугольником	называется фигура , состоящая из трех точек , не лежащих на одной прямой , и трех отрезков , соединяющих эти точки .
а )	Треугольные	числа : 1 , 3 , 6 , 10 . б )
г )	Углом	называется геометрическая фигура , образованная двумя лучами с общим началом .
	Угол	А , в этом треугольнике равен углу А. Задача решена .
	Угол	, равный части прямого угла , назвали град , однако используется он редко .
	Угол	величиной в 1 ° равен части прямого угла .
3	Умножение	рациональных чисел .
	Умножим	обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех слагаемых — число 15 .
	Уравнение	х2 = 25 имеет два корня — числа 5 и -5 .
	Уравнение	, как и всякое предложение с переменной , при подстановке в него конкретных значений переменной может становиться истинным или ложным высказыванием .
	Уравнение	.
3	Уравнения	.
	Фигура	.
в )	Хорда	, проходящая через центр окружности , называется диаметром . г ) Хордой окружности называется отрезок , соединяющий две ее точки .
	Хорда	окружности может быть больше ее диаметра .
	Хордой	окружности называется отрезок , соединяющий две ее точки .
	Хордой	окружности называется отрезок , соединяющий две точки этой окружности .
в ) Хорда , проходящая через центр окружности , называется диаметром . г )	Хордой	окружности называется отрезок , соединяющий две ее точки .
	Центр	О окружности , описанной около правильного n - угольника , соединен с двумя его последовательными вершинами А и В. Чему равна величина угла АОВ ? .
	Центр	вписанной окружности .
	Центр	поворота называется центром симметрии , а сами фигуры — центрально - симметричными .
	Центр	описанной окружности .
	Цилиндр	получается в результате вращения прямоугольника вокруг своей стороны , а конус — в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг своего катета .
4	Четырехугольник	MNTK — искомый .
а )	Четырехугольник	является многоугольником .
	Числа	появились в практической деятельности для подсчета количества предметов и измерения величин — расстояний , масс , скоростей и т .
1	Числа	и действия с ними .
При этом говорят : “	Числа	а , b и с относятся как 2 к 2 к 0,8 ” .
	Числа	с одинаковыми знаками ? .
	Числитель	дроби на 5 меньше ее знаменателя .
231	Числитель	дроби на 8 меньше знаменателя .
	Число	учащихся первой школы на 10 % меньше , чем второй , а число учащихся второй школы составляет 80 % от числа учащихся третьей школы .
	Число	x больше своего квадрата . 6 )
	Число	, произведение цифр которого кратно 9 , делится на 9 .
	Число	6 является корнем данного уравнения .
	Число	6k — составное . 2 )
	Число	, противоположное числу -2,5 , равно .
	Число	х на 28 % больше числа у . 6 )
Число с на 3 больше числа d . 3 ) Число т составляет — числа n . 4 )	Число	k составляет 80 % числа t . 5 )
	Число	депутатов от первой партии на 20 % больше , чем от второй , а число депутатов от второй партии составляет 62,5 % числа депутатов третьей .
	Число	увеличили в 2 раза .
Число с на 3 больше числа d . 3 )	Число	т составляет — числа n . 4 ) Число k составляет 80 % числа t . 5 )
	Число	, противоположное числу +4 , равно .
	Число	вычли из 3 — и получили 1 .
	Число	m при делении на 7 дает в остатке 1 .
	Число	разделили на 1 — и получили 2 .
	Число	3 .
	Число	корней уравнения может быть различным .
	Число	забитых мячей .
	Число	56431 делится на 13 и на 17 .
	Число	π округли до целых .
	Число	у больше или равно трем целым четырем тысячным . 3 )
	Число	а в 7 раз меньше числа b . 2 )
	Число	не является рациональным .
	Число	р на 40 % меньше числа s .
а )	Число	, противоположное отрицательному , положительно . б ) Произведение правильных дробей является правильной дробью .
	Число	, делящееся на 24 , может не делиться на 9 .
	Число	563 нельзя представить в виде 7k , где k — натуральное число .
	Число	с меньше числа d на 8 .
	Число	а — положительное . 2 )
	Число	, кратное 9 , может быть представлено в виде 9n , где n N .
	Число	а кратно семи .
	Число	, кратное 9 , может не оканчиваться на 9 . 10 )
	Число	, делящееся на 24 , делится на 9 .
	Число	x на 50 % меньше , чем число у.
	Число	π округли до сотых , а полученные ответы — до десятых .
	Число	, которое можно представить в виде 2 n + 1 , где n N , является простым .
	Число	11111 простое .
	Число	а на 150 % больше , чем число b.
277	Число	девочек в классе относится к числу мальчиков как 2 : 3 . 1 )
	Число	пропущенных мячей .
	Число	.
	Число	однокомнатных квартир в 1,5 раза больше числа двухкомнатных , а число трехкомнатных составляет 75 % числа двухкомнатных .
	Число	11111 не является простым .
	Число	563 можно представить в виде 7k , где k — натуральное число .
	Число	8,5 . 8,5 больше 8 ( условие истинно ) , но меньше 9 ( заключение ложно ) .
а )	Число	х в 2 раза больше , чем число у , тогда и только тогда , когда х = 2у . б ) Для того чтобы число а было кратно 3 , необходимо и достаточно , чтобы сумма цифр числа а была кратна 3 .
	Число	x меньше своего квадрата на 1 .
	Число	π округли до десятых .
	Число	h не кратно 3 . 6 )
	Число	n(n + 1 ) — простое .
	Число	с на 3 больше числа d . 3 ) Число т составляет — числа n . 4 ) Число k составляет 80 % числа t . 5 )
	Число	, противоположное с , — положительное . 4 )
	Число	, которое отличается от данного только знаком , называется противоположным данному .
	Число	x меньше пяти девятых .
	Число	, оканчивающееся цифрой 4 , обязательно делится на 4 .
	Число	, полученное в результате всех преобразований , оказалось в 5 раз больше задуманного .
	Число	π округли до сотых .
	Число	-15 , полученное в результате умножения всех числовых множителей , называют коэффициентом .
	Число	учащихся 6 “ А ” относится к числу учащихся 6 “ Б ” как 4 : 5 , а число учащихся 6 “ В ” равно среднему арифметическому числа учащихся 6 “ А ” и 6 “ Б ” .
Например , символом Р(n ) может быть обозначено предложение “	Число	n четное ” , символом Q(x ) — предложение “ х2 = 2х + 3 ” и т .
Число 3т делится на 3	Число	7n + 2 кратно семи .
	Число	3т делится на 3 Число 7n + 2 кратно семи .
	Число	при делении на 8 дает остаток 5 .
	Число	, противоположное d , — отрицательное .
	Число	d — четное . 5 )
д.	Число	граней и число вершин л - угольной пирамиды всегда равно n + 1 , а число ребер равно 2 n .
Число а на 7 меньше , чем число b . г )	Число	n кратно 9 .
	Число	О является натуральным .
	Число	, оканчивающееся цифрой 4 , не обязательно делится на 4 .
422	Число	222122111121 получается , если в некотором слове заменить буквы на их номера в алфавите ( 33 буквы ) .
	Число	1 — простое . 2 )
	Число	1 — простое . 3 )
	Число	, которое больше задуманного на 3 , относится к утроенному задуманному числу как 11 : 15 .
	Число	53535353 делится на 3 или на 5 . 6 ) Корнями уравнения х2 + 2 = 18 являются числа 0 и 4 . 7 ) Дробь 8,9 больше или равна 9 .
248	Число	мужчин , женщин и детей , отдыхающих в пансионате , пропорционально числам 3 , 4 и 1 . 1 )
	Число	56431 не делится либо на 13 , либо на 17 .
В слове x пять букв . 3 )	Число	n — составное . 4 ) Прямые а и b параллельны .
	Число	9 — делитель числа b . 3 )
	Число	с кратно 2 и 5 . 4 )
247	Число	однокомнатных , двухкомнатных и трехкомнатных квартир в доме относится как 2:3:5 .
	Число	учащихся .
	Число	0 считается противоположным самому себе : -0 = 0 .
	Число	b — отрицательное . 3 )
	Число	, противоположное к а , обозначается символом ( -а ) .
	Число	, показывающее положение точки на координатной прямой , называют координатой этой точки .
	Число	а на 7 меньше , чем число b . г ) Число n кратно 9 .
	Шар	получается вращением круга вокруг своего диаметра .
	Ширина	( b ) .
	Ширина	составляет 0,2 его длины .
	Ширина	прямоугольника в 5 раз меньше длины .
	Элементы множества	А = 8 , 15 , 31 , 49 , взятые попарно , являются взаимно простыми числами .
Система координат на плоскости может быть задана парой перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчета О. Одну из этих прямых называют осью	абсцисс	( или осью х ) , а другую — осью ординат ( осью у ) .
Задай с помощью двойных неравенств : а ) множество	абсцисс	всех точек прямоугольника .
Положительное направление на оси	абсцисс	выбирают слева направо , а на оси ординат — снизу вверх , и показывают его стрелкой .
Поскольку обе они проходят через начало отсчета О ( 0 ; 0 ) , то координаты любой точки оси	абсцисс	имеют вид ( х ; 0 ) , а координаты любой точки оси ординат — вид ( 0 ; у ) .
Точки любой прямой , перпендикулярной оси	абсцисс	, имеют одинаковые абсциссы , а любой прямой , перпендикулярной оси ординат , — одинаковые ординаты .
Обычно на графике независимые переменные отмечают на горизонтальной оси координатного угла ( оси	абсцисс	) , а зависимые — на вертикальной оси ( оси ординат ) .
Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости , откладывая по оси	абсцисс	время в минутах , а по оси ординат — температуру воды в градусах Цельсия ( 1 см — 1 мин , 1 см — 10 ° С ) .
Единичные отрезки на осях обычно выбирают одинаковыми , ось	абсцисс	располагают горизонтально , а ось ординат — вертикально .
Найди на этой линии точку : а )	абсцисса	которой равна : -3,4 ; -2,5 ; -1,8 ; -0,6 ; 0 ; 0,7 ; 1,5 ; 2,9 ; 3,6 ; б ) ордината которой равна : 2,3 ; 1,6 ; 0,8 ; 0 ; -0,4 ; -0,7 ; -1,9 ; -2,4 ; -2,8 .
а )	абсцисса	которых равна : -2,8 ; -0,5 ; 1,9 . б ) ордината которых равна : -2,8 ; -0,5 ; 1,9 .
Отметь на координатной плоскости несколько точек ,	абсцисса	которых равна -2 .
Так ,	абсцисса	точки М равна ( -1 ) , а ордината — ( +4 ) .
Точка пересечения с осью х называется	абсциссой	точки М , а точка пересечения с осью у — ординатой .
Где на координатной плоскости расположены точки с	абсциссой	, равной 0 ?
170 Точка М имеет	абсциссу	х и ординату у.
Например , чтобы построить точку С ( -4 ; 2 ) , можно провести через ее	абсциссу	( -4 ) и ординату 2 прямые , перпендикулярные осям координат , и найти точку пересечения этих прямых .
Где расположено множество точек , сумма	абсциссы	и ординаты которых больше 5 , меньше 5 ?
593 Построй на координатной плоскости несколько точек М ( х ; у ) , у которых сумма	абсциссы	и ординаты равна 5 .
Сколько пачек в минуту упаковывает каждый	автомат	? .
в ) Первый	автомат	упаковывает в минуту на 3 пачки печенья больше , чем второй .
Дедуктивный метод базируется на получении системы обоснованных выводов из согласованных утверждений (	аксиом	) .
Гениальным открытием в истории математики был	аксиоматический	метод .
И , несмотря на то что геометрия и	алгебра	имеют разные предметы исследования — геометрия изучает пространственные формы тел , а алгебра — количественные отношения , общим фундаментом алгебры и геометрии являются законы логики .
Прием « аль - джебр » — « воссоединение » — оказался таким удобным для решения уравнений , что от этого слова произошло название раздела математики	алгебра	, изучающего и в настоящее время различные методы решения уравнений .
И , несмотря на то что геометрия и алгебра имеют разные предметы исследования — геометрия изучает пространственные формы тел , а	алгебра	— количественные отношения , общим фундаментом алгебры и геометрии являются законы логики .
Правила знаков сохраняются и для случая , когда в скобках не одно число , а	алгебраическая сумма	чисел , например .
Поэтому такие выражения часто называют	алгебраическими суммами	, или просто суммами , — несмотря на то что в них встречаются и знаки “ минус ” .
Значит , любое выражение , содержащее только знаки сложения и вычитания , можно записать в виде алгебраической суммы , например , а значения	алгебраических сумм	мы уже вычислять умеем .
Раскроем скобки и вычислим значение полученной	алгебраической суммы	.
Представление выражений в виде	алгебраической суммы	позволяет упрощать вычисления .
477 Выполни предыдущее задание , представляя выражения в виде	алгебраической суммы	.
Раскроем скобки в данном выражении и вычислим значение полученной	алгебраической суммы	.
Значит , любое выражение , содержащее только знаки сложения и вычитания , можно записать в виде	алгебраической суммы	, например , а значения алгебраических сумм мы уже вычислять умеем .
437 Раскрой скобки и запиши выражение в виде	алгебраической суммы	.
502 Раскрой скобки и найди значение полученной	алгебраической суммы	.
Поэтому он используется не только в геометрии , но и во всех разделах математики , в том числе и в	алгебре	, которая также изучается в старших классах .
И , несмотря на то что геометрия и алгебра имеют разные предметы исследования — геометрия изучает пространственные формы тел , а алгебра — количественные отношения , общим фундаментом	алгебры	и геометрии являются законы логики .
Их нам предстоит изучить в курсе	алгебры	старших классов .
Именно поэтому способ задания зависимостей с помощью формул называется	аналитическим	, в отличие от табличного и графического способов .
Существуют и другие системы координат на плоскости , например ,	аффинная	, полярная и др .
Так нами были « доказаны признаки делимости натуральных чисел , свойство	биссектрис	треугольника и др.
Обозначим эти точки В и С. Проведем две окружности того же радиуса с центрами в В и С и найдем их точку пересечения , принадлежащую углу , — точку М. Луч AM —	биссектриса	.
Построение .	биссектриса	.
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а )	биссектриса	делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого угла ; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
Значит , медиана , проведенная к основанию равнобедренного треугольника , является одновременно его	биссектрисой	и высотой ! .
Построить :	биссектрису	угла A .
Сделай рисунки биссектрисы угла и	биссектрисы	угла треугольника .
И вновь при точном построении мы увидим , что все три	биссектрисы	пересекутся в одной точке D .
385 Построй	биссектрисы	углов А , В и С треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
Пользуясь им , предложи свой вариант определения	биссектрисы	угла треугольника .
В произвольном треугольнике АВС проведем	биссектрисы	его углов .
331 Прочитай определение	биссектрисы	игла .
Предложи свой	вариант	определения дуги окружности и сделай рисунок .
Предложи свой	вариант	определения круга , пользуясь понятиями « окружность » , « плоскость » .
Предложи свой	вариант	и сравни его с вариантом , данным в тексте учебника .
Выяви существенные признаки вписанной и описанной окружностей и предложи свой	вариант	определений этих понятий .
Пользуясь им , предложи свой	вариант	определения биссектрисы угла треугольника .
Выяви существенные свойства сегмента и предложи свой	вариант	его определения .
Выяви существенные свойства сектора и предложи свой	вариант	его определения .
Почему нельзя согласиться с такими	вариантами	определения ?
26 Построй несколько	вариантов	отрицания общих высказываний .
Метод перебора заключается в проверке всех возможных	вариантов	решения уравнения .
Если возможно , укажи несколько	вариантов	решения .
Перебор	вариантов	может оказаться слишком громоздким .
Предложи свой вариант и сравни его с	вариантом	, данным в тексте учебника .
Рассмотри все возможные	варианты	.
Приведи все возможные	варианты	решения .
Предложи свои	варианты	определений касательной и секущей и сделай рисунки .
При этом одни	варианты	более близки к обычному языку , другие более удобны для математических рассуждений .
Укажи все возможные	варианты	.
Ниже мы приведем несколько примеров , давая различные “ допустимые ”	варианты	формулировки отрицаний .
Рассмотри различные	варианты	перевода .
Построй фигуру , которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма : а ) на	вектор	ВС ; б ) на вектор DB ; в ) на вектор АО , где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD .
Построй фигуру , которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма : а ) на вектор ВС ; б ) на	вектор	DB ; в ) на вектор АО , где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD .
Построй фигуру , которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма : а ) на вектор ВС ; б ) на вектор DB ; в ) на	вектор	АО , где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD .
Построй указанным способом несколько параллельных прямых . б ) Начерти на гладкой бумаге произвольный треугольник АВС и вектор d. Построй параллельный перенос треугольника АВС на	вектор	d .
618 Воспроизведи рисунок и укажи	вектор	d , задающий параллельный перенос фигуры F1 в фигуру F2 .
Итак , точка А1 называется результатом параллельного переноса точки А на	вектор	d , если вектор АА1 равен вектору d .
Точка А при параллельном переносе на	вектор	d переходит в точку А , .
Начерти	вектор	d , задающий этот параллельный перенос .
Построй указанным способом несколько параллельных прямых . б ) Начерти на гладкой бумаге произвольный треугольник АВС и	вектор	d. Построй параллельный перенос треугольника АВС на вектор d .
Итак , точка А1 называется результатом параллельного переноса точки А на вектор d , если	вектор	АА1 равен вектору d .
Это удобно показать направленным отрезком длины d , который называют	вектором	и обозначают d .
Итак , точка А1 называется результатом параллельного переноса точки А на вектор d , если вектор АА1 равен	вектору	d .
А это означает , что	векторы	АА1 и d равны .
Выразить через х значения других неизвестных	величин	.
Теперь мы познакомимся еще с одним распространенным примером отношения одноименных	величин	, имеющим специальное название — масштаб .
Примеры таких величин возникают из формул вида а = bс , когда одна из	величин	постоянна .
Придумай по три примера	величин	, которые могут быть связаны этой зависимостью .
Вырази из этих формул величины t и v1 . 137 Запиши известные тебе формулы зависимостей	величин	, описывающие . 1 ) движение по реке ; 2 ) процентное отношение чисел ; 3 )
Как изменяется результат измерения	величин	при увеличении мерки , при уменьшении мерки ? .
Примеры таких	величин	возникают из формул вида а = bс , когда одна из величин постоянна .
Замени проценты числами , выражающими части величин : 3 % ; 18 % ; 7,5 % ; 150 % ; 528 % . 2 ) Замени числа , выражающие части	величин	, процентами : 0,05 ; 0,28 ; 0,9 ; 0,045 ; 1,8 ; 4 .
Вырази из этих формул ( там , где это возможно ) значения всех входящих в них	величин	.
Замени проценты числами , выражающими части	величин	: 3 % ; 18 % ; 7,5 % ; 150 % ; 528 % . 2 ) Замени числа , выражающие части величин , процентами : 0,05 ; 0,28 ; 0,9 ; 0,045 ; 1,8 ; 4 .
Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби , и , при желании , можно ею пользоваться , чтобы найти любую из неизвестных	величин	а , b и р .
Это новое название	величин	связано с тем , что , как мы уже видели раньше , их соответственные значения образуют пропорцию .
Вырази из этой формулы каждую из входящих в нее	величин	.
Проверить соответствие единиц измерения	величин	( если необходимо , согласовать их ) .
21 Найди процентное отношение чисел и	величин	.
Аналогичные рассуждения проведем для обратно пропорциональных	величин	.
Есть еще один важный момент , на который нужно обращать внимание при составлении уравнения , — это соответствие единиц измерения	величин	, входящих в уравнение .
Числа появились в практической деятельности для подсчета количества предметов и измерения	величин	— расстояний , масс , скоростей и т .
11 Найди отношение	величин	и назови , значение какой новой величины при этом образуется .
134 Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу единиц измерения	величин	в формулах .
Одну из неизвестных	величин	обозначить буквой х ( или любой другой буквой ) .
2 Графики зависимостей	величин	.
1 ) Отношение каких	величин	характеризует концентрацию раствора ? .
10 Отношение каких	величин	характеризует всхожесть семян ? .
Действительно , из формулы прямой пропорциональности у = kx следует , что k = у / x , поэтому отношения соответствующих значений пропорциональных	величин	равны k и , следовательно , равны между собой .
8 Вырази данные отношения	величин	в процентах .
Если зависимости прямо или обратно пропорциональные , то соответствующие значения	величин	образуют пропорцию .
Эта формула дает возможность по любым двум из	величин	— путь ( s ) , скорость ( v ) , время ( t ) — найти третью величину с помощью вычислений по одной из формул .
Отвлекаясь от конкретных	величин	и обозначая их буквами х и у , получим общую формулу у = 2х , ее таблицу и график .
Например , в физике далеко не всякую величину можно измерить непосредственно каким - нибудь прибором , и , открывая связи между величинами , физики получают возможность вычисления значений таких	величин	с использованием формул .
Отрицательные числа используются для обозначения	величин	, таких , как : расход — то есть отрицательный доход , долг — отрицательное имущество , глубина — отрицательная высота и т .
Вообще зависимости , в которых одна из	величин	является произведением двух других , часто встречаются в жизни .
627 Приведи примеры	величин	, которые связаны зависимостью а = bс .
Каждая из этих новых	величин	представляет собой значение величины , стоящей в числителе дроби , приходящейся на единицу величины , стоящей в знаменателе .
А вот отношение	величин	разных наименований образует новую величину .
315 Вырази в процентах части	величин	.
Как мы видели , отношение одноименных	величин	есть число .
314 Замени проценты числами , выражающими части	величин	.
Запиши эти выражения без скобок , используя представления об изменении	величин	.
Чтобы найти отношение одноименных величин ( длин , масс и т . д. ) , необходимо выразить их в одной и той же единице измерения — в противном случае полученный результат для сравнения	величин	использовать нельзя .
Чтобы найти отношение одноименных	величин	( длин , масс и т . д. ) , необходимо выразить их в одной и той же единице измерения — в противном случае полученный результат для сравнения величин использовать нельзя .
А в реальной практике при сравнении	величин	употребляется обычное слово отношение , а вовсе не математический термин “ частное ” .
При измерении углов , как и при измерении любых	величин	, выбирают единицу измерения и устанавливают , сколько раз она содержится в данном угле .
Установленные правила сравнения рациональных чисел хорошо согласуются и с житейскими представлениями о сравнении реальных	величин	, которые могут изменяться в двух противоположных направлениях .
Мы знаем , что числа были придуманы на заре развития человечества для решения практических задач — счета предметов и измерения	величин	.
Для результата кратного сравнения двух чисел или двух	величин	в математике часто используют термин отношение .
д . Существуют два способа сравнения	величин	.
Не случайно поэтому единицами измерения этих новых	величин	являются дроби : для скорости — км / ч , м / с , см / с ; для цены — р./кг , р./билет ; для производительности — шт./мин , деталей / ч ; для плотности — кг / дм3 , г / см3 и т .
Приведи примеры прямо и обратно пропорциональных	величин	.
В таблицах фиксируется результат измерения	величин	, графики наглядно представляют зависимости между ними , а формулы позволяют исследовать их свойства .
в ) Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей	величин	.
99 Составь различные пропорции из соответствующих значений	величин	.
Запиши формулу , выражающую зависимость расстояния d от	величин	s , v1 , v2 и t .
Именно ради такого рода выводов и рассматриваются средние значения	величин	— идет ли речь о среднем урожае на различных полях , уровне доходов населения страны , уровне производства электроэнергии или о состоянии загрязненности города выхлопными газами автомобилей .
Из формулы обратной пропорциональности следует , что k = ху , а значит , произведения соответствующих значений	величин	х и у равны .
Пользуясь справочником или энциклопедией , приведи еще 4 примера обозначения	величин	с помощью знаков .
Отвлекаясь от конкретных значений величин , общее свойство зависимостей между ними — а именно то , что одна из	величин	является произведением двух других , — можно записать так : где а , b и с — это некоторые переменные величины .
Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей	величин	у = 2х и у = -2х .
Составление уравнения ( этап 1 ) начинается с выбора неизвестных	величин	.
Для этого прежде всего надо определить , о каких величинах идет речь в задаче , какая между ними взаимосвязь , какие из	величин	известны , а какие — нет .
В случае , если неизвестных	величин	несколько , то одну из них обозначают через х , а остальные — выражают через х. Лучше обозначать величины так , чтобы , получилось возможно более простое и удобное для решения уравнение .
Примерами	величин	являются время , скорость , масса , температура и т .
132 Приведи примеры	величин	, связанных зависимостью вида а = bс .
1 Измерение	величин	.
Приведены лишь некоторые примеры таких	величин	.
Отвлекаясь от конкретных значений	величин	, общее свойство зависимостей между ними — а именно то , что одна из величин является произведением двух других , — можно записать так : где а , b и с — это некоторые переменные величины .
Обратим внимание на существенную особенность формул , описывающих взаимосвязь между величинами : единицы измерения входящих в нее	величин	должны быть согласованы между собой .
Если , например , величину b считать постоянной , то при увеличении с в несколько раз величина а увеличится во столько же раз , значит ,	величина	а прямо пропорциональна величине с.
Если , например , величину b считать постоянной , то при увеличении с в несколько раз	величина	а увеличится во столько же раз , значит , величина а прямо пропорциональна величине с.
460 Чему равна	величина	угла между стрелками часов в 9 ч 20 мин ? .
Видно , что чем больше единичный угол , тем меньше	величина	угла , и наоборот .
В обоих случаях	величина	прибыли и убытка в итоге ищется вычитанием 5 - 2 = 3 , а знак зависит от того , какое слагаемое “ перевешивает ” : если доход больше расхода , то возникает прибыль , в противном случае — убыток .
Точно так же	величина	а прямо пропорциональна величине b — если считать постоянной величину с. В частности .
Расстояние от начала отсчета до точки , обозначающей данное число , называют модулем этого числа ( от латинского modus — мера ,	величина	) .
Еще одна геометрическая	величина	— мера угла .
Чему равна	величина	угла , наблюдаемого сквозь стекло ? .
Например ,	величина	угла MNK , выраженная в градусах , равна 42 ° .
Если неизвестная	величина	одна , то ее обычно обозначают буквой д : ( или какой - нибудь другой буквой ) .
В простейших задачах на проценты некоторая	величина	а принимается за 100 % ( “ целое ” ) , а ее часть b выражается числом р% .
Понятно , что вся рассматриваемая	величина	составляет 100 сотых , или 100 % от самой себя .
Поэтому , если клиент внес сумму S , то через n месяцев на его счете будет и мы вновь получаем , что . Мы получили в точности ту же самую формулу , что и в примере с квартплатой , хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл : в первом примере n — число дней , а во втором n — число месяцев , в первом примере S —	величина	квартплаты , а во втором S — сумма вклада , внесенная в банк .
в ) Прямым углом называется угол ,	величина	которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
В нем указано . 1 ) какая неизвестная	величина	принята за х . 2 ) как выражаются через д : другие неизвестные величины .
Эта	величина	и называется производительностью труда , или просто производительностью .
Аналогичная формула получится , если некоторая	величина	уменьшается за данный период времени на определенное число процентов .
Какал сумма была положена в банк , выплачивающий доход в размере 7 % годовых , если	величина	вклада по истечении года составила 13375 р . ? .
Полученная выше формула применима не только к задачам о росте вклада , но и к любой ситуации , когда рассматриваемая	величина	за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определенное число процентов , считая от последнего ее значения .
На сколько процентов изменилась	величина	, если она : а ) удвоилась .
320 На сколько процентов изменилась	величина	, если она .
Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях , когда некоторая	величина	увеличивается на постоянное число процентов за каждый одинаковый фиксированный период времени .
Эта формула также называется формулой простого процентного роста , хотя заданная	величина	в действительности убывает .
377 Как изменилась	величина	, если она .
Центр О окружности , описанной около правильного n - угольника , соединен с двумя его последовательными вершинами А и В. Чему равна	величина	угла АОВ ? .
Решая задачу с помощью уравнения , надо помнить о том , что не всегда корни уравнения являются искомыми	величинами	.
Сопоставляя шкалу измерения температур по Цельсию со шкалой по Фаренгейту , можно вывести общую формулу зависимости между	величинами	у — температурой по Цельсию и х — температурой по Фаренгейту .
Установить взаимосвязи между	величинами	( если необходимо , записать их в виде формул , схем , таблиц ) .
Эта формула описывает соотношение между тремя	величинами	— длиной , шириной и площадью прямоугольника .
Следующим важным шагом в развитии этих понятий является выявление и изучение общих свойств зависимостей между	величинами	.
Нам хорошо известны и многие другие зависимости между	величинами	.
Обратим внимание на существенную особенность формул , описывающих взаимосвязь между	величинами	: единицы измерения входящих в нее величин должны быть согласованы между собой .
Например , в физике далеко не всякую величину можно измерить непосредственно каким - нибудь прибором , и , открывая связи между	величинами	, физики получают возможность вычисления значений таких величин с использованием формул .
Установление взаимосвязей между	величинами	имеет большое практическое значение .
В заключение напомним , что зависимости между	величинами	можно задавать , кроме формул , с помощью таблиц и графиков .
1 Зависимости между	величинами	.
Одним из наиболее значимых для практики результатов пройденного пути являются верные равенства , описывающие зависимости между	величинами	— формулы .
Естественно , не все зависимости между	величинами	описываются формулой произведения .
Ситуации , описанные в них , часто создаются искусственно , явления и процессы окружающего мира не воспроизводятся буквально , а моделируются с сохранением существенных связей между	величинами	.
Прежде всего , знание формул зависимостей между	величинами	, умение выразить на математическом языке соотношения между ними ( « больше на .. » , « меньше в .. » и т . д. ) .
Зависимости между	величинами	можно задавать с помощью таблиц , формул и графиков .
189 Построй формулу , описывающую зависимости между	величинами	в данных задачах .
195 Определи вид зависимости между	величинами	и реши задачи .
В старших классах будет рассказано , как устанавливались эти и многие другие формулы зависимостей между геометрическими	величинами	.
216 Зависимость между переменными	величинами	у и х задана с помощью формулы .
Такие буквы называют переменными	величинами	, или переменными , в отличие от цифр и знаков математических действий — “ постоянных ” символов математического алфавита .
Если для зависимостей между	величинами	формулы еще не найдены , то их описывают табличным или графическим способом .
Запиши зависимость между	величинами	, которую задают эти формулы , в обобщенном виде .
Запиши зависимость между	величинами	, которую задают остальные формулы , в обобщенном виде .
Зависимости между	величинами	выражаются на математическом языке с помощью формул , таблиц и графиков .
162 Определи , является ли зависимость между	величинами	прямой или обратной пропорциональностью .
Найди коэффициент пропорциональности и запиши формулу зависимости между этими	величинами	.
199 Определи вид зависимости между	величинами	в задачах и реши их способом пропорций .
217 Запиши зависимости между	величинами	с помощью обобщенной формулы .
Придумай задачи с другими	величинами	, которые решаются так же .
Мы уже много раз наблюдали , как знание общих свойств зависимостей между	величинами	помогает решать практические задачи .
170 По таблице установи вид зависимости между	величинами	, если известно , что она является прямой или обратной пропорциональностью .
290 Определи , является ли зависимость между	величинами	прямой или обратной пропорциональностью или не является ни тем , ни другим .
145 Зависимости между	величинами	заданы с помощью формул .
49 Из текста учебника выпиши формулы , выражающие зависимости между	величинами	в круге и в шаре .
Установленные правила позволяют использовать пропорцию для решения задач , в которых говорится о прямо или обратно пропорциональных	величинах	.
Верно ли начислена пеня , если при квартплате 1500 р . ,	величине	пени 0,1 % за день просрочки и просрочке на 24 дня сумма к оплате составила 1544 р . ?
Чтобы измерить величину , нужно выбрать единицу измерения и узнать , сколько раз она содержится в измеряемой	величине	.
Если , например , величину b считать постоянной , то при увеличении с в несколько раз величина а увеличится во столько же раз , значит , величина а прямо пропорциональна	величине	с.
Точно так же величина а прямо пропорциональна	величине	b — если считать постоянной величину с. В частности .
При этом равенство с неизвестной	величиной	( или величинами ) стали называть уравнением .
Угол	величиной	в 1 ° равен части прямого угла .
Итак , переменной	величиной	, или переменной , называют буквенное обозначение для произвольного элемента некоторого множества .
112 Для рабочих некоторого предприятия в зависимости от разряда установлены различные тарифные ставки , причем для каждого следующего разряда тарифная ставка увеличивается на	величину	, равную 25 % от ставки работника 1-го разряда .
Чтобы измерить	величину	, нужно выбрать единицу измерения и узнать , сколько раз она содержится в измеряемой величине .
Найди	величину	угла правильного восьмиугольника .
Тогда сторона ОВ укажет на той же шкале	величину	угла в градусах : АОВ = 124 ° .
Если , как и раньше , постоянную	величину	в формуле а = bс обозначить буквой k , а переменные величины — буквами х и у , то получим k = ху , или , как принято записывать .
309 Найди	величину	, если ее 1 % составляет : а ) 1 см ; б ) 7 м2 .
Для решения задачи достаточно подставить в формулу	величину	процентной ставки р = 0,008 , числа дней n = 365 и первоначального вклада S = 5000 .
А вот отношение величин разных наименований образует новую	величину	.
Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найди	величину	угла АОС , считая сумму углов треугольника равной 180 ° .
Найди	величину	угла правильного двенадцатиугольника , б ) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников , треугольников и квадратов ? .
При построении математической модели задачи часто приходится по ее условию составлять равенство , обозначая неизвестную	величину	какой - либо буквой — обычно буквой х .
Вычисли	величину	ежегодного налога на изображенные участки земли под индивидуальными гаражами .
571 Вырази	величину	угла АОВ в единицах измерения e1 , е2 , е3 , е4 . а ) Как изменяется результат измерения углов при увеличении единицы измерения ?
Например , в физике далеко не всякую	величину	можно измерить непосредственно каким - нибудь прибором , и , открывая связи между величинами , физики получают возможность вычисления значений таких величин с использованием формул .
Пользуясь этой формулой , вычисли	величину	угла правильного n - угольника для n = 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 12 , 15 , 20 .
В каком случае доход составляет большую	величину	? .
Подставим в формулу простого процентного роста	величину	начального вклада S = 1000 , конечной суммы Sn = 1060 и числа месяцев n = 12 .
Эта формула дает возможность по любым двум из величин — путь ( s ) , скорость ( v ) , время ( t ) — найти третью	величину	с помощью вычислений по одной из формул .
Постоянную	величину	в формуле а = bс принято обозначать буквой k , а переменные величины — буквами х и у. Полученную формулу назовем формулой прямой пропорциональности , а число k в этой формуле — коэффициентом пропорциональности .
Подставим в формулу простого процентного роста	величину	годовой процентной ставки р = 4 , количество лет и конечной суммы Sn — 5356 .
Соотнести полученные значения х с вопросом задачи ( при необходимости найти искомую	величину	) и проверить соответствие полученного ответа реальности .
Необходимость разделить заданную	величину	или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека при приготовлении различных смесей , растворов , блюд по кулинарным рецептам , при распределении прибыли или мест в парламенте и т .
Точно так же величина а прямо пропорциональна величине b — если считать постоянной	величину	с. В частности .
Найди	величину	образовавшихся углов и сделай чертеж .
б ) Как , зная	величину	угла АОВ , построить правильный n - угольник с помощью транспортира ?
Если , например ,	величину	b считать постоянной , то при увеличении с в несколько раз величина а увеличится во столько же раз , значит , величина а прямо пропорциональна величине с.
4 Обозначить неизвестную	величину	х .
Подставим в формулу значение процентной ставки р = 10 , количество лет n = 4 и	величину	первоначального вклада S = 2000 , получим .
Найди по рисункам , не выполняя измерений ,	величину	угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых углов ( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
Отвлекаясь от конкретных значений величин , общее свойство зависимостей между ними — а именно то , что одна из величин является произведением двух других , — можно записать так : где а , b и с — это некоторые переменные	величины	.
Дело в том , что в окружающем нас мире многие	величины	связаны друг с другом .
1 Понятие переменной	величины	.
Изменение	величины	S .
Приближенные значения	величины	h м в первые 5 секунд падения приведены в таблице .
3 Геометрические	величины	и их измерение .
319 Расшифруй название европейского государства , подобрав указанные доли	величины	.
В нем указано . 1 ) какая неизвестная величина принята за х . 2 ) как выражаются через д : другие неизвестные	величины	.
Таким образом , если величины обратно пропорциональны , то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой	величины	.
575 Определи на глаз	величины	углов и проверь себя , измерив углы транспортиром .
1 % — это 0,01 , или часть	величины	.
197 Составь по схемам задачи и найди неизвестные	величины	( d — расстояние между объектами через t ч после выхода ) .
Каждая из этих новых величин представляет собой значение величины , стоящей в числителе дроби , приходящейся на единицу	величины	, стоящей в знаменателе .
Поэтому сравнивать	величины	и выполнять над ними арифметические действия можно только тогда , когда они измерены одной единицей измерения .
Найди	величины	этих углов и сделай чертеж .
Разностное сравнение указывает разность , то есть на сколько	величины	отличаются друг от друга , а кратное — дает качественную , или относительную оценку этого отличия .
Вырази в процентах указанную часть	величины	: а ) половина ; б ) четверть .
Определить , какие	величины	известны , а какие — нет .
407 Найти , от какой	величины	.
Вырази из этой формулы	величины	l и n .
Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби , выражающей часть	величины	.
489 Сколько процентов от заданной	величины	составляют : а ) половина от ее 30 % ; б ) четверть от ее 200 % ; в ) пятая часть от трех четвертей ; г ) 10 % от ее половины ; д ) половина от ее четверти ; е ) 25 % от ее половины ? .
198 Объясни , почему	величины	в задачах обратно пропорциональны , и реши их способом пропорций .
415 Пусть А — значение некоторой	величины	, а р% от А составляют В. Построй формулу , выражающую зависимость между величинами А , Вир .
Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения	величины	, сформулированные без процентов и с помощью процентов .
316 Округли десятичную дробь до сотых , а затем вырази в процентах соответствующую ей часть	величины	.
Определи по изображенной шкале прибора значение	величины	, которое показывает стрелка в положении А , В , С , D , Е , F. .
435 На диаграмме показано изменение	величины	S. На сколько процентов в месяц изменяется S ? ( Считать , что в месяце 4 недели . ) .
Других паркетов из правильных многоугольников одного вида быть не может — в этом можно убедиться , исследовав	величины	их углов .
Таким образом , ответ на поставленный вопрос зависит не от самой	величины	прибавки , а от того , во сколько раз новая зарплата стала выше старой .
Пусть известны	величины	двух углов , отмеченных на чертеже , 28 и 90 .
Можно ли найти	величины	остальных углов , не выполняя измерений ? .
Придумай свои примеры , когда одно и то же значение	величины	дает разную качественную оценку некоторой ситуации .
Другими словами , длинные отношения — это условные записи , которые показывают , сколько равных долей	величины	, принятой за единицу , приходится на каждую часть .
Объясни , почему	величины	в задачах прямо пропорциональны , и реши их способом пропорций .
От выбора единицы измерения зависит результат измерения величины : чем она больше , тем меньше значение измеряемой	величины	, и наоборот .
183 Являются ли	величины	прямо или обратно пропорциональными .
На координатной прямой точно так же , как и на координатном луче , можно показывать изменение	величины	числа : увеличение — с помощью перемещения на соответствующее число единиц вправо , а уменьшение — с помощью перемещения влево .
Разница законов простого и сложного роста состоит в том , что при простом росте процент каждый раз исчисляют , исходя из начального значения	величины	, а при сложном росте — исходя из суммы последнего начисления .
Таким образом , если	величины	обратно пропорциональны , то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины .
д. Нам известны также геометрические ,	величины	длина , площадь , объем , характеризующие свойства геометрических фигур .
Найди	величины	всех образовавшихся углов и построй их .
Таким образом , мы видим , что в практической жизни часто совершают одну и ту же операцию : по нескольким значениям	величины	определяют ее среднее значение .
И вообще , две	величины	называют обратно пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз .
Понятие	величины	связано с количественной характеристикой какого - либо объекта или явления .
11 Найди отношение величин и назови , значение какой новой	величины	при этом образуется .
В случае , если неизвестных величин несколько , то одну из них обозначают через х , а остальные — выражают через х. Лучше обозначать	величины	так , чтобы , получилось возможно более простое и удобное для решения уравнение .
Из формул этих зависимостей вырази значение каждой	величины	.
Другими словами , если	величины	прямо пропорциональны , то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины .
Другими словами , если величины прямо пропорциональны , то отношение двух значений одной	величины	равно отношению соответствующих значений другой величины .
Постоянную величину в формуле а = bс принято обозначать буквой k , а переменные	величины	— буквами х и у. Полученную формулу назовем формулой прямой пропорциональности , а число k в этой формуле — коэффициентом пропорциональности .
Вырази из этих формул	величины	t и v1 . 137 Запиши известные тебе формулы зависимостей величин , описывающие . 1 ) движение по реке ; 2 ) процентное отношение чисел ; 3 )
Например , чтобы найти отношение 50 см к 1 м , надо сначала выразить обе эти	величины	либо в метрах , либо в сантиметрах и только после этого находить частное .
Другими словами , если величины прямо пропорциональны , то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой	величины	.
Утверждать , что цена выросла на 50 % , нельзя , поскольку “ первые ” 30 % подсчитываются от цены в конце декабря , а “ вторые ” 20 % — от другой	величины	, цены на конец января .
И вообще , две	величины	называют прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз .
С помощью пропорций можно решать и задачи на проценты , так как число процентов пропорционально соответствующей части	величины	.
4 Пропорциональные	величины	.
Понятие переменной	величины	в современном виде появилось в математике сравнительно недавно — лишь в XVII веке — и оказало огромное влияние не только на развитие самой математики , но и на развитие других наук .
Таким образом , если величины обратно пропорциональны , то отношение двух значений одной	величины	равно обратному отношению соответствующих значений другой величины .
360 Сравнить	величины	, если .
Каждая из этих новых величин представляет собой значение	величины	, стоящей в числителе дроби , приходящейся на единицу величины , стоящей в знаменателе .
359 Найти , от какой	величины	.
От выбора единицы измерения зависит результат измерения	величины	: чем она больше , тем меньше значение измеряемой величины , и наоборот .
Для решения практических задач человеку часто приходится сравнивать разные значения одной и той же	величины	— массы , расстояния , времени , скорости , стоимости , объема , площади и т .
Несложно показать , что результат подсчета доходов и расходов зависит лишь от	величины	доходов и расходов и не зависит от порядка слагаемых и порядка действий .
При уменьшении	величины	на определенное число процентов , считая от последнего значения , в формуле , как и для простого роста , вместо знака “ плюс ” появляется знак “ минус ” .
Если , как и раньше , постоянную величину в формуле а = bс обозначить буквой k , а переменные	величины	— буквами х и у , то получим k = ху , или , как принято записывать .
Заметим , что далеко не всякие	величины	связаны друг с другом пропорциональной зависимостью .
Переведи выделенные	величины	в метрическую систему , если .
Еще с младших классов нам известно , что одним процентом от любой	величины	— денежной суммы , числа учащихся школы и т .
Аналогично пересечением плоскости а с	верхней гранью	является отрезок NK , а с боковой гранью — отрезок КМ .
144 Построй четырехугольник ABCD по координатам	вершин	: А ( 4 ; 2 ) , В ( 2 ; 8) , С ( 14 ; 12 ) , D ( 10 ; 0 ) .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от	вершин	А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
Сосчитай число ребер ( Р ) , граней ( Г ) и	вершин	( В ) каждого правильного многогранника и заполни таблицу .
Сколько	вершин	у основания этой пирамиды ? .
Сколько у нее ребер и сколько	вершин	?
г ) У пирамиды 725	вершин	.
178 Построй замкнутую ломаную линию по координатам ее	вершин	.
Если из	вершин	произвольного треугольника провести перпендикуляры на противоположные стороны ( их называют высотами ) , то все они пересекутся в одной точке Н. Эта точка называется ортоцентром .
153 Начерти координатный угол и построй в нем прямоугольник ABCD по координатам его	вершин	: А(2 ; 3 ) , В(2 ; 7 ) , С(8 ; 7 ) , D(8 ; 3 ) .
481 а ) Сколько	вершин	у k - угольной пирамиды ? .
д. Число граней и число	вершин	л - угольной пирамиды всегда равно n + 1 , а число ребер равно 2 n .
Значит , если провести окружность с центром в точке О , проходящую через одну из	вершин	данного треугольника , то она пройдет и через две другие его вершины .
б ) Сколько у прямоугольного параллелепипеда всего : ребер , граней ,	вершин	? .
С помощью измерений можно убедиться , что точка О равноудалена от всех	вершин	треугольника АВС .
197 а ) Построй ломаную линию по координатам ее	вершин	.
Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом	вершин	( В ) , числом ребер ( Р ) и числом граней ( Г ) выпуклого многогранника .
Сколько	вершин	у многоугольника в ее основании ? .
174 Построй треугольник АВС по координатам его	вершин	: а ) А ( 8 ; -6 ) , В ( 3 ; 4 ) , С ( -6 ; 1 ) ; б ) А ( -3 ; -2 ) , В ( 1 ; 6 ) , С ( 9 ; -6 ) .
Сколько у нее	вершин	, ребер , граней , боковых граней ?
У прямоугольного параллелепипеда 8	вершин	и 12 ребер , но при этом ребер различной длины может быть только три .
157 Построй многоугольник по координатам его	вершин	.
б ) Какое наименьшее число	вершин	, ребер и граней может быть у многогранника ? .
Построй четырехугольник ABCD по координатам его	вершин	: А ( -4 ; 0 ) , В ( 2 ; 3 ) , С ( 5 ; 0 ) , D ( 0 ; -8 ) .
Чтобы измерить угол , например , АОВ , надо приложить транспортир так , чтобы	вершина	угла О совпала с центром транспортира , а сторона ОА прошла через начало отсчета на шкале .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в	вершине	угла А и найдем ее точки пересечения со сторонами угла .
Именно поэтому в треугольном паркете в каждой	вершине	сходится шесть фигур , в квадратном — четыре , в шестиугольном — три .
Если возможно , то покажи , как многоугольники « сходятся » в общей	вершине	.
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в	вершине	данного угла и найдем точки ее пересечения со сторонами угла .
Геометрические фигуры могут « встретиться » в	вершине	паркета только тогда , когда сумма их углов составляет 360 ° , иначе они не сомкнутся вокруг вершины или « налезут » друг на друга .
Сколько граней сходится к одной	вершине	? .
711 Сколько ребер и сколько граней сходится в	вершине	тетраэдра , гексаэдра , октаэдра , додекаэдра , икосаэдра ?
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по - разному : у остроугольного треугольника он располагается внутри него , у прямоугольного — в	вершине	прямого угла , а у тупоугольного — снаружи .
Лучи называются сторонами угла , а их общее начало —	вершиной	угла .
У пирамиды основанием является многоугольник , а боковые грани — треугольники с общей	вершиной	.
Соедини середину основания с противоположной	вершиной	.
Медианой треугольника называется отрезок , соединяющий	вершину	треугольника с серединой противолежащей стороны .
в ) Отрезок , соединяющий	вершину	треугольника с серединой противоположной стороны , называется медианой треугольника .
Построим середины сторон треугольника и проведем отрезки , соединяющие каждую	вершину	с серединой противолежащей стороны .
Окружность , проходящая через все	вершины	треугольника , называется описанной около него .
Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан , то сможем проверить еще одно свойство : точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 , считая от	вершины	.
Биссектрисой угла называется луч , который исходит из	вершины	угла и делит часть плоскости , ограниченную углом , на две равные части .
Точка М делит сторону АВ в отношении 4 : 1 , считая от	вершины	А. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD ?
Где расположены их	вершины	?
478 а ) Может ли у многогранника быть три	вершины	?
Сформулируй определение	вершины	, ребра , грани многогранника и покажи их на предметной модели .
Построй треугольник A1B1C1 , который получается из треугольника АВС при повороте вокруг	вершины	А на угол а = 45 ° .
Какие	вершины	, ребра , грани являются невидимыми ?
б ) Построй сечение тетраэдра ABCD плоскостью , проходящей через его	вершины	— А , В и середину М ребра CD .
674 Начерти треугольник АВС со сторонами АВ = 4 см , ВС = 2 см , АС = 5 см. Построй треугольник центрально - симметричный треугольнику АВС относительно	вершины	В. Является ли точка В центром симметрии четырехугольника ?
601 Два луча , проведенные из	вершины	развернутого угла , разбивают его на 3 части пропорционально числам .
в ) Построй сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью , проходящей через	вершины	А1 , D , С1 .
Выпиши все треугольники ,	вершины	которых могут быть в этих точках .
Высотой треугольника называется перпендикуляр , проведенный из	вершины	треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону .
Многоугольник , имеющий четыре	вершины	( стороны ) , называется четырехугольником . г ) Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые .
Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по длине его стороны а и длине перпендикуляра h , опущенного из	вершины	параллелограмма на эту сторону .
406 Построй произвольный равнобедренный треугольник АВС ( АВ = ВС ) и опусти высоту из	вершины	В на сторону АС .
480 а ) Сколько ребер семиугольной пирамиды выходит из	вершины	, не принадлежащей основанию ?
Стороны этих многоугольников называются ребрами многогранника , а	вершины	— вершинами многогранника .
Значит , если провести окружность с центром в точке О , проходящую через одну из вершин данного треугольника , то она пройдет и через две другие его	вершины	.
относительно	вершины	А . 646 Точка О — центр симметрии шестиугольника ABCDKM .
Так , например ,	вершины	снежинки всегда образуют правильный шестиугольник , а хорошо знакомый нам куб природа реализовала в форме кристаллов поваренной соли .
Геометрические фигуры могут « встретиться » в вершине паркета только тогда , когда сумма их углов составляет 360 ° , иначе они не сомкнутся вокруг	вершины	или « налезут » друг на друга .
а ) Перпендикуляр , проведенный из	вершины	треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1 , считая от	вершины	.
736 Лучи , исходящие из	вершины	развернутого угла , делят его на 4 части .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от	вершины	А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
Найди для каждой медианы отношение отрезков , на которые она делится точкой О , считая от	вершины	.
484 а ) Сколько ребер прямоугольного параллелепипеда выходит из каждой	вершины	?
Оказывается ,	вершины	любого правильного многоугольника лежат на одной окружности .
Чему равен средний	вес	пойманных рыб ? .
482 Трава при высыхании становится сеном и теряет около 28 % своего	веса	.
Ихтиолог проводит измерение	веса	рыбы горбуша в реке Камчатка .
476 Кофе при обжарке теряет 12,5 % своего	веса	.
б ) увеличение в	весе	в 1 г для муравья и для слона ?
151 Реши уравнения , используя правило “	весов	” .
правило	весов	( обе части уравнения можно поменять местами , можно увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля ) .
107 Составь уравнения и реши их , используя правило “	весов	” .
Составь уравнения и реши их , используя правило	весов	.
19 Реши уравнения , используя правило “	весов	” .
24 Реши уравнения , используя правило “	весов	” .
Составь уравнение и реши его , используя правило	весов	.
129 Реши уравнения , используя правило “	весов	” .
349 Антоше подарили	весы	, и он начал взвешивать игрушки .
Вместо того чтобы данное однозначное число	возвести	в квадрат , он его удвоил .
581 Запиши число 10010 в двоичной , пятеричной ,	восьмеричной	, двенадцатеричной системах счисления .
Например , в пятеричной системе будет использоваться пять цифр ( от 0 до 4 ) , в	восьмеричной	— восемь цифр ( от 0 до 7 ) и т .
По числу граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр (	восьмигранник	) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
Для построения квадрата можно провести два взаимно перпендикулярных диаметра , а разделив образовавшиеся дуги пополам , построим правильный	восьмиугольник	.
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный	восьмиугольник	с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Найди величину угла правильного	восьмиугольника	.
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных треугольников и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из правильных треугольников и шестиугольников ; г ) из правильных	восьмиугольников	?
690 Паркет составлен из правильных	восьмиугольников	и квадратов .
Придумай определение угла ,	вписанного	в окружность .
Такая окружность называется	вписанной	в треугольник .
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре	вписанной	окружности .
Центр	вписанной	окружности .
Выяви существенные признаки	вписанной	и описанной окружностей и предложи свой вариант определений этих понятий .
417 Построй окружность ,	вписанную	в треугольник АВС , если треугольник АВС .
Многоугольник ,	вписанный	в окружность , является правильным .
361 Какие из окружностей являются	вписанными	в треугольник , а какие — описанными около него ?
724 Углы А и С являются	вписанными	в окружность , а углы В и D — нет .
439 Построй треугольник АВС по двум сторонам а и b и углу С , заключенному между ними , и	впиши	в него окружность .
Шар получается	вращением	круга вокруг своего диаметра .
517 Нарисуй в масштабе 2 : 1 геометрические тела , которые получаются при	вращении	вокруг прямой l данных фигур .
529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело , которое получается при	вращении	квадрата вокруг своей диагонали , если длина диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого тела .
Их можно получить в результате	вращения	в пространстве некоторой плоской фигуры вокруг прямой l , которая называется осью вращения .
При сечении цилиндра , конуса или любого тела	вращения	плоскостью , содержащей ось вращения , получается осевое сечение .
512 Нарисуй в масштабе 1 : 4 тело вращения и три его проекции , если оно получается в результате	вращения	.
Все осевые сечения одного тела	вращения	равны между собой .
512 Нарисуй в масштабе 1 : 4 тело	вращения	и три его проекции , если оно получается в результате вращения .
Еще одной фигурой	вращения	является шар .
3 Тела	вращения	.
Простейшими телами	вращения	являются цилиндр и конус .
Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг своей стороны , а конус — в результате	вращения	прямоугольного треугольника вокруг своего катета .
Цилиндр получается в результате	вращения	прямоугольника вокруг своей стороны , а конус — в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг своего катета .
При сечении цилиндра , конуса или любого тела вращения плоскостью , содержащей ось	вращения	, получается осевое сечение .
Их можно получить в результате вращения в пространстве некоторой плоской фигуры вокруг прямой l , которая называется осью	вращения	.
В геометрии такие фигуры называются телами	вращения	.
Перенесем слагаемое -54 в правую часть уравнения , а в левой части	вынесем за скобки	общий множитель х .
В каждой части этого равенства	вынесем за скобки	общий множитель .
На основании распределительного закона умножения общий множитель можно	вынести за скобки	.
Легко заметить также , что в знаменателе есть общий множитель — , или , что то же самое , 0,75 , который можно	вынести за скобку	, а затем сократить на него дробь .
Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ( В ) , числом ребер ( Р ) и числом граней ( Г )	выпуклого многогранника	.
Какие еще	выпуклые многогранники	ты знаешь ? .
Особый интерес представляют	выпуклые многоугольники	, у которых все стороны и все углы равны .
С первого взгляда может показаться , что понятия “ переменная ” и “	выражение	с переменной ” свойственны только математическому языку .
590 Запиши	выражение	и найди его значение при данных значениях букв .
Составь и , если возможно , упрости	выражение	. 1 ) После увеличения цены альбома на 25 % он стал стоить а р .
53 Составь и , если возможно , упрости	выражение	.
524 Заключи	выражение	в скобки двумя способами — ставя перед скобками знак “ + ” и знак .
Какое	выражение	может быть “ лишним ” ?
237 Преобразуй	выражение	в дробь и , если возможно , сократи ее ( значения всех переменных отличны от нуля ) .
46 Представь	выражение	в виде дроби , если a , b , с , d , k 0 : .
Составь	выражение	и найди его значение , если : 1 ) x = 42,6 км / ч , y = 34,2 км / ч ; 2 ) x — 35,6 км / ч , y = 28 км / ч . 229 1 )
437 Раскрой скобки и запиши	выражение	в виде алгебраической суммы .
И наоборот , полученное	выражение	можно прочитать как сумму чисел -4 , +5 , -3 , +1 и -2 .
424 Придумай ситуацию , математической моделью которой может служить данное	выражение	, и найди ответ .
Составь	выражение	и найди еш значение при а = 36,4 км / ч , 6 - 1,6 км / ч .
201 Составь	выражение	и найди его значение , если а = .
После замены букв числами	выражение	становится числовым , а его значение — числом .
729 Составь	выражение	и найди его значение при данных значениях букв .
Например , а2 + 3а — это выражение с переменной а . ( 5x - y ): 10 —	выражение	с переменными x и y .
438 Запиши	выражение	в виде суммы и назови противоположные слагаемые , если они есть .
248 Преобразуй	выражение	в дробь и , если возможно , сократи ее , если значения всех переменных отличны от нуля .
Например , а2 + 3а — это	выражение	с переменной а . ( 5x - y ): 10 — выражение с переменными x и y .
Как и буквенное	выражение	, предложение может содержать и несколько переменных .
Точно так же	выражение	с переменными — “ бланк с прочерками ” — после замены всех букв числами становится числом .
115 Придумай 3 задачи , решением которых является	выражение	( а — а : 4 ): 2 . 116 Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок .
Составь	выражение	и найди его значение при данных значениях переменных .
219 Запиши	выражение	в виде дроби и , если возможно , сократи .
Раскрой скобки и упрости	выражение	.
31 Упрости	выражение	и подчеркни его коэффициент .
Раскрыть скобки и упростить	выражение	.
191 Составь	выражение	и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
130 Составь	выражение	и , если можно , упрости его .
24 Составь	выражение	и найди его значение при данных значениях букв : Пароход плыл 5 ч по течению реки и 3 ч против течения .
239 Упрости	выражение	, найди его коэффициент и буквенную часть .
Вообще , если	выражение	является произведением числа и буквенной части , то числовой множитель в этом выражении называют коэффициентом .
Как , пользуясь этой аналогией , записать	выражение	короче , без скобок ? .
Раскроем скобки , а затем упростим полученное	выражение	.
Данное	выражение	представляет собой произведение множителей 12 ; х ; 0,25 ; -5 и у. На основании сочетательного закона умножения можно отдельно сгруппировать числовые и буквенные множители .
Упростить	выражение	.
Если	выражение	со скобками представляет собой произведение чисел , то для его преобразования можно воспользоваться законами умножения .
Реши эту же задачу для “ буквенных ” скоростей v1 , и v2 Полученное	выражение	называют средним гармоническим чисел v1 , и v2 .
38 Упрости	выражение	и подчеркни его коэффициент .
Значит , любое	выражение	, содержащее только знаки сложения и вычитания , можно записать в виде алгебраической суммы , например , а значения алгебраических сумм мы уже вычислять умеем .
235 Составь	выражение	и найди его значение .
75 Какое	выражение	может быть “ лишним ” ?
218 Составь	выражение	и найди его значение , если .
227 Запиши	выражение	в виде дроби и , если возможно , сократи .
93 Составь	выражение	к задаче и найди его значение при данном значении переменной .
Составь	выражение	и найди его значение .
771 Запиши	выражение	и найди его значение при данных значениях букв .
75 Составь	выражение	к задаче и найди его значение при данном значении переменной .
167 Какое	выражение	может быть “ лишним ” .
39 Раскрой скобки и при необходимости упрости	выражение	.
Поэтому данное	выражение	равно .
Если понимать это	выражение	буквально , то это утверждение , разумеется , неверно : ясно , что можно выбрать 100 человек , участвующих в лотерее и не получивших призы .
337 Составь	выражение	и найди его значение при s = 45,6 ; b = 1,6 .
421 Что общего у слагаемых в каждом	выражении	?
Раскроем скобки в	выражении	и приведем подобные слагаемые .
Вообще , если выражение является произведением числа и буквенной части , то числовой множитель в этом	выражении	называют коэффициентом .
В этом	выражении	есть три группы подобных слагаемых .
Привести подобные слагаемые в	выражении	.
В данном	выражении	все слагаемые подобны , так как они имеют одну и ту же буквенную часть .
Раскроем скобки в данном	выражении	и вычислим значение полученной алгебраической суммы .
Например , в	выражении	пять отрицательных множителей .
Раскрыть скобки в	выражении	.
484 Раскрой скобки в	выражении	а - ( b + с ) и переведи с математического языка на русский правило вычитания суммы из числа .
520 Найди значения	выражений	.
556 Найди значения	выражений	.
399 Найди значения	выражений	.
61 Найди значения	выражений	.
Найди значения	выражений	, сопоставь их соответствующим буквам и расположи полученные числа в порядке убывания .
103 Найди значения	выражений	.
459 Вычисли значения	выражений	А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
541 Найди значения	выражений	.
701 Найди значения	выражений	.
Назови коэффициенты	выражений	.
Найди значения этих	выражений	, если .
Какое из этих	выражений	может быть « лишним » ?
222 Найди значения	выражений	методом доходов и расходов и с помощью координатной прямой .
479 Найди значения	выражений	, расположи их в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам .
708 Найди значения	выражений	.
65 Найди значения	выражений	.
Найди значения	выражений	.
483 Найди значения двух данных	выражений	и сравни их .
131 Найди значения	выражений	.
572 Найди длину отрезка АВ координатной прямой , если координаты точек А и В равны значениям	выражений	.
772 Назови коэффициенты и буквенные части	выражений	.
462 Найди значения	выражений	.
755 Найди значения	выражений	.
Представление	выражений	в виде алгебраической суммы позволяет упрощать вычисления .
323 Найди значения	выражений	.
624 Найди значения	выражений	.
правила упрощения	выражений	( законы арифметических действий , правила раскрытия скобок , приведение подобных слагаемых и т.д ) .
194 Найди значение	выражений	А , В и С. Подбери четвертое число так , чтобы получилась пропорция .
388 Найди значения	выражений	.
579 Найди значения	выражений	.
569 Найди значения	выражений	.
113 Найди значения	выражений	при а = 0,9 , b = 0,6 , c = 0,1 и сравни их .
442 Сложив сначала противоположные числа , найди значения	выражений	.
При вычислении “ длинных ”	выражений	, в которых фигурируют только умножение и деление , пользоваться правилом знаков очень удобно .
310 Найди значения	выражений	.
Найди значения	выражений	А , В , С и D и из полученных чисел составь пропорцию .
543 Найди значения	выражений	.
Найди значения всех данных	выражений	при .
587 Найди значения	выражений	.
111 Найди значения	выражений	.
С помощью свойств арифметических действий можно выполнять различные преобразования	выражений	с рациональными числами : перестановку слагаемых , раскрытие скобок и т .
Устно найди значения	выражений	при х = -2 .
241 Найди значения	выражений	.
444 Выбрав удобный порядок вычислений , найди значения	выражений	.
671 Найди значения	выражений	.
280 Найди значения	выражений	.
334 Найди значения	выражений	.
664 Найди значения	выражений	.
Полученные числа 70 и 1,8 являются , соответственно , значениями данных	выражений	с переменными при указанных значениях букв .
Найди значения	выражений	, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй название геометрической фигуры .
Найди значения этих	выражений	.
443 Найди значения	выражений	, сложив отдельно положительные и отрицательные числа .
467 Найди значения	выражений	и расположи их в порядке возрастания .
141 Найди значения	выражений	.
Пользуясь ими , найди значения	выражений	.
485 Вычисли значения	выражений	А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
3 Раскрой скобки и найди значения	выражений	.
д. Понятие отрицательных чисел позволяет получить общее правило раскрытия скобок , упрощающее вычисления и преобразования	выражений	.
192 Найди значения	выражений	.
46 Найди значения	выражений	.
68 Найди значения	выражений	.
220 Придумай по данному	выражению	задачу о “ доходах ” ( прибавлении денег ) и “ расходах ” ( уменьшении денег ) и найди ответ .
221 Придумай задачу о доходах и расходах по данному	выражению	и схеме .
380 Найди значение	выражения	.
375 Представь	выражения	в виде дроби при ненулевых значениях переменных .
156 Найди значение	выражения	.
Прочитай	выражения	и найди их значения при х = 1,5 ; у = 1 .
составить	выражения	( +3 ) - ( -15 ) и (-8 ) - ( -24 ) .
Пусть , например , требуется найти значение	выражения	при д : = 2,56 .
Найди значение этого	выражения	, не вычисляя сумму .
Общие высказывания могут иметь и другие формы	выражения	в языке .
Как можно записать оставшиеся	выражения	с помощью одного буквенного равенства ( в общем виде ) ? .
Найти значение	выражения	.
при 1 < а < 10 . 156 Запиши данную программу действий в виде числового	выражения	и найди его значение .
229 Найди значение	выражения	.
2 ) Что означают	выражения	: а ) масштаб плана местности равен 1 : 400 . б ) масштаб карты равен 1 : 500000 ; в ) масштаб чертежа равен 3:1 ? .
594 Упрости	выражения	.
Эти равенства показывают , что коэффициентом выражения а является число 1 , а	выражения	( -а ) — число ( -1 ) .
Запиши	выражения	, используя десятичные дроби , и выполни действия в десятичных дробях .
Например , для вычисления значения	выражения	можно заметить , что в числителе четыре знака “ минус , которые при умножении дадут “ плюс ” .
485 Раскрой скобки и упрости	выражения	.
Эти равенства показывают , что коэффициентом	выражения	а является число 1 , а выражения ( -а ) — число ( -1 ) .
69 Составь	выражения	к задачам .
78 Прочитай	выражения	, используя понятия обратного и противоположного числа .
486 Раскрой скобки и упрости	выражения	.
305 Прочитай	выражения	и найди их значения при у = -0,5 .
384 Прочитай	выражения	и запиши их перевод с математического языка на русский .
Например , коэффициент	выражения	равен , а коэффициент выражения -3,8тп3 равен -3,8 .
Для вывода этого правила рассмотрим	выражения	.
Составь	выражения	для вычисления площади и периметра получившейся фигуры .
530 Упрости	выражения	и найди их значения .
730 Запиши значение	выражения	в виде бесконечной периодической дроби .
603 Прочитай	выражения	и сравни их значения , если а = -5,4 , b = 0,84 .
180 Вычисли значение	выражения	, запиши ответы в таблицу и расшифруй математический термин .
Естественно , что в русском языке имеются специальные способы	выражения	отрицания в более простой форме .
Например , коэффициент выражения равен , а коэффициент	выражения	-3,8тп3 равен -3,8 .
Если в записи буквенного	выражения	отсутствует числовой множитель , то на помощь приходят равенства .
376 Найди значение	выражения	наиболее рациональным способом .
Сравни эти же	выражения	еще для нескольких значений а и b , взятых по собственному выбору .
491 Найди значение	выражения	а + b , если .
При каких натуральных значениях a и b значение	выражения	5а + 3 b . а ) кратно 3 ; б ) кратно 5 ; в ) кратно 15 ; г ) не кратно 3 ; д ) не кратно 5 ? .
Полезно также понимать разные формы	выражения	одного и того же изменения величины , сформулированные без процентов и с помощью процентов .
Раскрой скобки и упрости	выражения	. I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
477 Выполни предыдущее задание , представляя	выражения	в виде алгебраической суммы .
Сравнивая полученные	выражения	, мы видим , что знак « + » перед скобками не меняет знаков слагаемых в скобках , а знак « - » меняет их на противоположные .
204 Найди значение	выражения	.
217 Сравни	выражения	.
3 Упрости	выражения	, используя распределительное свойство умножения .
Прочитай	выражения	и вычисли их значения при n = -0,5 .
72 Найди значение	выражения	с переменной .
29 Определи коэффициент	выражения	( устно ) .
А корнем уравнения 2(х + 4 ) = 2х + 8 является любое число , так как в обеих его частях стоят равные	выражения	.
Запиши остальные	выражения	в общем виде с помощью переменной х .
Соберем слагаемые , содержащие х , в левую часть , а свободные члены — в правую , затем упростим полученные	выражения	и найдем х .
396 Запиши	выражения	в виде дробей и , если возможно , сократи их .
При переводе из троичной системы в десятичную надо представить число в виде суммы разрядных слагаемых и найти значение полученного	выражения	.
Найди значение	выражения	.
Прочитай	выражения	.
Следовательно , значение данного	выражения	равно числу ( -30000 ) .
555 Чем похожи и чем отличаются	выражения	?
И вообще ,	выражения	, в которых содержатся одновременно плюсы и минусы , можно записать в виде суммы .
281 Прочитай	выражения	.
Прочитай	выражения	и найди их значения .
Запиши с помощью буквенного	выражения	, чему равны .
А сами буквенные	выражения	называют выражениями с переменными .
395 Упрости	выражения	и найди их значения .
Запиши эти	выражения	без скобок , используя представления об изменении величин .
Аналогично коэффициентом выражения , например , ( - ху2 г ) считают число -1 , а коэффициент	выражения	равен числу 1 .
В действительности точный смысл этого	выражения	состоит в том , что призы получили 7 % участников лотереи , и именно такое понимание соответствует происхождению слова “ процент ” : 7 % — это 7 из 100 , 7 человек из 100 человек .
Составь	выражения	и упрости их .
66 Найди значение	выражения	.
Составь и упрости	выражения	.
Запиши в виде	выражения	с переменной n общий вид числа , которое при делении на 4 дает остаток 3 .
Определи коэффициент и буквенную часть	выражения	( устно ) .
369 Прочитай и сравни	выражения	— в чем их сходство и в чем отличие ?
Найди значение этого	выражения	при n = 0 , 2 , 5 , 9 , 16 .
558 Упрости	выражения	и найди их значения .
527 Выполни действия и упрости , если возможно , полученные	выражения	( значения всех переменных отличны от нуля ) .
416 Упрости	выражения	и найди их значения .
Аналогично коэффициентом	выражения	, например , ( - ху2 г ) считают число -1 , а коэффициент выражения равен числу 1 .
142 Составь	выражения	для вычисления площади фигур .
13 Найди значение	выражения	. .
4 Упрости	выражения	.
270 Значение	выражения	принадлежит множеству .
Поэтому такие	выражения	часто называют алгебраическими суммами , или просто суммами , — несмотря на то что в них встречаются и знаки “ минус ” .
313 По данным	выражениям	придумай задачи о доходах и расходах и реши их .
При работе с выражениями вначале их обычно упрощают , переходя к	выражениям	, записанными в более компактной , удобной форме .
При работе с	выражениями	вначале их обычно упрощают , переходя к выражениям , записанными в более компактной , удобной форме .
Найди слагаемые , которые являются буквенными	выражениями	, и назови их коэффициенты .
А сами буквенные выражения называют	выражениями	с переменными .
263 Что общего и что различного в	выражениях	?
324 Что общего и что различного в	выражениях	?
Что общего и что различного в полученных	выражениях	?
Для раскрытия скобок в	выражениях	, содержащих умножение числа на сумму , используется распределительное свойство умножения .
Мы видим , что в	выражениях	логического языка роль скобок аналогична роли пунктуации в обычном языке .
В “ длинных ”	выражениях	, в которых фигурирует только умножение , при четном числе отрицательных множителей ответ будет положительным , а при нечетном числе — отрицательным .
Решая текстовые задачи , мы видели , что буквы в	выражениях	играют роль символов , вместо которых можно подставлять числа .
Объясни , что изменилось в	выражениях	: 1 ) x + у ; 2 ) x - у ; 3 ) 4 ) x : у. Запиши результаты этих изменений по образцу .
В предыдущем пункте мы видели , что переменные употребляют в математике не только в	выражениях	.
В заключение уточним правило знаков при раскрытии скобок в	выражениях	с рациональными числами .
368 Что общего и что различного в данных	выражениях	?
Определи свойство тех точек пересечения , которые не являются основаниями	высот	.
Сколько	высот	в треугольнике ? .
А вот еще одно открытие Эйлера : окружность , проходящая через середины сторон треугольника , пройдет и через основания его	высот	.
Ширина прямоугольного параллелепипеда n м , длина в 1,5 раза больше ширины , а	высота	составляет 24 % суммы длины и ширины .
256 Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет 60 % длины ,	высота	на 20 % больше ширины , а сумма трех его измерений равна 5,8 дм .
а ) Какова	высота	спуска , если на дорожном знаке , предупреждающем о спуске , указано 20 % , а его горизонтальная протяженность равна 400 м ? .
56 Длина комнаты 4,2 м , ширина — 3,6 м , а	высота	— 3,5 м . 1 ) Найди объем этой комнаты .
б ) возраст сосны , когда ее	высота	была 5 м , 10 м , 15 м , 17 м . в ) на сколько метров выросла сосна за первые 15 лет , с 55 до 70 лет ? .
б )	высота	горы Эльбрус 5642 м .
545 Объем прямоугольного параллелепипеда равен 240 см3 , ширина — 5 см , а	высота	— на 20 % больше ширины .
Для этого используется формула , где N — количество кирпичей , l м — длина стены и h м —	высота	стены .
б ) Чему равна крутизна участка дороги , если горизонтальная протяженность составляет 1,2 км , а	высота	спуска 30 м ? .
330 Запиши с помощью знаков “ + ” и “ - ” высоты гор и глубины морей : а )	высота	пика Победы 7439 м . в ) наибольшая глубина Каспийского моря 1025 м . г )
Отрицательные числа используются для обозначения величин , таких , как : расход — то есть отрицательный доход , долг — отрицательное имущество , глубина — отрицательная	высота	и т .
Найди отрезки , являющиеся	высотами	треугольников .
Если из вершин произвольного треугольника провести перпендикуляры на противоположные стороны ( их называют	высотами	) , то все они пересекутся в одной точке Н. Эта точка называется ортоцентром .
Если вычисления выполнены верно , то полученное слово — название второго по	высоте	действующего вулкана в мире .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его стороной а ; 2 ) площадью S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V прямоугольного параллелепипеда , площадью его основания S и	высотой	h .
Проведи эксперимент , позволяющий выявить зависимость между длиной окружности С и ее диаметром d. Для этого вырежи полоску бумаги 5 см х 27 см и сверни ее в трубочку	высотой	5 см. Начерти окружности с диаметрами d1 = 4 см , d2 = 6 см и d3 = 8 см. Совмещай с ними поочередно круглое отверстие трубочки , отмечая положение конца полоски .
Значит , медиана , проведенная к основанию равнобедренного треугольника , является одновременно его биссектрисой и	высотой	! .
Например , выбирая новогоднюю елку , человек обычно интересуется	высотой	конкретного дерева , его свежестью , раскидистостью ..
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется	высотой	треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
За какое время могла бы выложить стену такой же ширины и	высотой	8 м бригада из 2 человек , работающих с такой же производительностью ? .
211 Бригада из 4 человек выложила за б ч стену из кирпичей	высотой	4,8 м .
а )	высоту	сосны в 25 лет , 42 года , 76 лет , 84 года .
Так же определяют среднюю	высоту	и толщину деревьев на делянке , средний рост учащихся в классе и т .
Поэтому говорят , что прямоугольный параллелепипед имеет три измерения — длину , ширину и	высоту	.
Найти	высоту	параллелепипеда .
Выполни на чертеже необходимые измерения и определи : а )	высоту	стен реального дома ; б ) высоту дома с учетом крыши .
Выполни на чертеже необходимые измерения и определи : а ) высоту стен реального дома ; б )	высоту	дома с учетом крыши .
406 Построй произвольный равнобедренный треугольник АВС ( АВ = ВС ) и опусти	высоту	из вершины В на сторону АС .
г ) Начерти треугольник и проведи все его	высоты	.
44 Крутизна участка дороги выражается отношением	высоты	подъема дороги h к горизонтальной протяженности этого участка а .
172 Длина прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 дм , ширина составляет 0,5 длины и 0,9	высоты	параллелепипеда .
330 Запиши с помощью знаков “ + ” и “ - ”	высоты	гор и глубины морей : а ) высота пика Победы 7439 м . в ) наибольшая глубина Каспийского моря 1025 м . г )
448 а ) В произвольном треугольнике АВС проведи	высоты	.
Длина прямоугольного параллелепипеда на 40 % больше ширины , а ширина в 5 раз меньше	высоты	.
Построй	высоты	треугольника АВС , проведенные к сторонам а , b и с , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
И надо сказать , что , хотя это соотношение было известно еще в Древнем Египте и Месопотамии , пользоваться им могли лишь самые образованные люди того времени , так как действия умножения и деления были в те времена “	высшей математикой	” .
Чтобы найти неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого	вычесть	разность .
Если из числителя	вычесть	4 , а знаменатель умножить на 4 , то получится дробь , равная 0,125 .
Какое число надо	вычесть	из числителя и из знаменателя дроби .
4 ) 2 — разделить на 10 . 5 ) Результат 4-го действия умножить на . 6 ) Из результата 3-го действия	вычесть	результат 5-го действия .
Итак , чтобы	вычесть	из данного числа другое число , можно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
На множестве натуральных чисел любые два числа можно сложить и перемножить , но	вычесть	одно число из другого можно не всегда .
Например , нельзя из 3	вычесть	5 .
Из полученного числа	вычесть	1 . 3 )
557 а ) Какое число нужно	вычесть	из числителя и знаменателя дроби , чтобы получить число , равное 0,5 ? .
Вообще говоря , чтобы сложить два числа с разными знаками , можно	вычесть	их модули и поставить перед полученной разностью знак числа с большим модулем .
Если к числителю дроби прибавить 1 , а из знаменателя	вычесть	1 , то получится дробь , равная 0,4 .
Чтобы найти неизвестное слагаемое , из суммы надо	вычесть	известное слагаемое .
Из удвоенной суммы чисел х и у	вычесть	разность утроенного числа д : и числа у .
Сколько процентов от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета , если после	вычета	13%-го налога работником получено : а ) 10440 р . ; б ) 13050 р . ? .
сумма , если одно слагаемое увеличить на 5 , а другое увеличить на 4 . 2 ) разность , если уменьшаемое увеличить на 5 , а	вычитаемое	увеличить на 4 . 3 ) произведение , если один множитель уменьшить в 3 раза , а другой — уменьшить в 6 раз .
99 Как найти неизвестное слагаемое , уменьшаемое ,	вычитаемое	?
476 Назови уменьшаемое и	вычитаемое	в разности .
Замени	вычитание	сложением и вычисли .
Значит , с + b = а + ( -b ) , то есть	вычитание	рациональных чисел можно заменить сложением .
Таким образом ,	вычитание	числа ( -3 ) в данном примере свелось к прибавлению противоположного ему числа 3 .
В обоих случаях величина прибыли и убытка в итоге ищется	вычитанием	5 - 2 = 3 , а знак зависит от того , какое слагаемое “ перевешивает ” : если доход больше расхода , то возникает прибыль , в противном случае — убыток .
756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства рациональных чисел : а ) переместительное , сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения ; б ) свойства числа 0 при сложении и	вычитании	.
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в )	вычитания	.
На основании правил прибавления суммы к числу и	вычитания	суммы из числа имеем .
Значит , любое выражение , содержащее только знаки сложения и	вычитания	, можно записать в виде алгебраической суммы , например , а значения алгебраических сумм мы уже вычислять умеем .
Легко показать , что правило вычитания рациональных чисел сохраняет все известные нам ранее свойства	вычитания	.
Таким образом , установленное правило	вычитания	расширяет возможности решения задач и уравнений , распространяя уже известные нам способы действий на множество рациональных чисел .
Эти равенства показывают , что правила знаков при раскрытии скобок для	вычитания	остаются прежними : “ минус минус ” преобразуется в “ плюс ” , а “ минус плюс ” — в “ минус ” .
Получить правило	вычитания	можно примерно так же , как и правило сложения , — с помощью практических задач о доходах и расходах , изменении температуры и др.
б ) правило	вычитания	суммы из числа .
правило	вычитания	суммы из числа .
Расширением множества натуральных чисел до множества , в котором выполнима операция	вычитания	, является множество целых чисел Z .
Вот как в рукописях VII в . излагались правила сложения и	вычитания	: “ Сумма двух имуществ есть имущество ” , “ Сумма двух долгов есть долг ” , “ Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества ” .
правило	вычитания	числа из суммы .
484 Раскрой скобки в выражении а - ( b + с ) и переведи с математического языка на русский правило	вычитания	суммы из числа .
Легко показать , что правило	вычитания	рациональных чисел сохраняет все известные нам ранее свойства вычитания .
б ) Некоторое число	вычли	из числителя , прибавили к знаменателю дроби и после сокращения получили .
Задумали число , умножили его на 8 , произведение вычли из 100 , разность удвоили , результат	вычли	из 15 и получили 7 .
Число	вычли	из 3 — и получили 1 .
Задумали число , умножили его на 8 , произведение	вычли	из 100 , разность удвоили , результат вычли из 15 и получили 7 .
Из этих денег	вычли	расходы на содержание дома в размере 48 тыс. р .
а ) Задумали число ,	вычли	из него 16 , разность умножили на 7 , результат вычли из 40 и получили 12 .
505 Переведи условие задачи на математический язык и реши уравнение : Задуманное число уменьшили в 3 раза , результат	вычли	из 40 , то , что получилось , увеличили в 5 раз , потом уменьшили на 50 и получили 90 .
Задумали число , увеличили его на 7 , сумму умножили на 3 , к произведению прибавили 4 и из результата	вычли	утроенное задуманное число .
Задумали число , увеличили его в 4 раза , потом увеличили на 12 , результат уменьшили в 5 раз , затем	вычли	6 и получили 2 .
Какое число	вычли	? .
а ) Задумали число , вычли из него 16 , разность умножили на 7 , результат	вычли	из 40 и получили 12 .
2 ) Задуманное число утроили , затем результат	вычли	из 10 , полученную разность увеличили в 2 раза , а потом еще на 2 .
5 ) Из некоторого числа	вычли	— и получили 4 .
По числу граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб (	гексаэдр	, или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
Куб (	гексаэдр	) .
г ) Углом называется	геометрическая фигура	, образованная двумя лучами с общим началом .
517 Нарисуй в масштабе 2 : 1	геометрические тела	, которые получаются при вращении вокруг прямой l данных фигур .
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются правильные многогранники —	геометрические тела	, у которых все грани — равные правильные многоугольники , а углы между гранями равны .
451 Какие	геометрические тела	изображены ?
Один из таких классов образуют многогранники —	геометрические тела	, поверхность которых состоит из граней , то есть частей плоскости , ограниченных многоугольниками .
Стремясь к большей точности , древние математики предпочитали строить	геометрические фигуры	, избегая сложных измерений , а используя лишь проведение прямых по линейке и проведение окружностей циркулем .
Но это лишь ее « детство » , и впоследствии содержание геометрии значительно расширилось — до такой степени , что измерения отошли в ней на дальний план , а в центре внимания оказались	геометрические фигуры	и их свойства .
Осевой симметрией обладают многие	геометрические фигуры	, причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
Само название этих тел напоминает нам о том , что	геометрические фигуры	являются образами предметов окружающего мира .
Наблюдаемые нами пространственные фигуры называют также	геометрическими телами	.
Ранее мы уже познакомились со многими	геометрическими фигурами	.
Некоторые числа можно связать с	геометрическими фигурами	.
477 а ) Какие из	геометрических тел	— конус , прямоугольный параллелепипед , цилиндр , шар , пирамида , куб — являются многогранниками ? .
Среди множества разнообразных	геометрических тел	выделяют классы фигур , обладающих общим признаком .
Однако при исследовании свойств	геометрических тел	мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной фигуры не всегда совпадает с ее реальной формой : окружность превращается в эллипс — « сплющенную » окружность , изменяются углы между прямыми и отрезками и т .
Построй отрезок А1В1 , симметричный отрезку АВ относительно точки О. Равенство каких	геометрических фигур	следует из симметрии отрезков АВ и А ? .
Изобрази с помощью	геометрических фигур	числа .
Иногда в классах	геометрических фигур	выделяются подклассы , то есть подмножества .
Треугольник — одна из самых простых	геометрических фигур	.
Свойства	геометрических фигур	в силу их большого практического значения интересовали людей еще в глубокой древности .
2 Классификация	геометрических фигур	.
д. Нам известны также геометрические , величины длина , площадь , объем , характеризующие свойства	геометрических фигур	.
416 Расположи числа в порядке убывания , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй названия	геометрических фигур	.
Формулы зависимостей между линейными размерами	геометрических фигур	, их площадями и объемами позволили перейти от непосредственных измерений площадей и объемов к вычислениям по этим формулам .
А виды сечений определяются взаимным расположением	геометрического тела	и секущей его плоскости .
529 Нарисуй в масштабе 1 : 3	геометрическое тело	, которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали , если длина диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого тела .
Зачеркни две буквы так , чтобы получилось название	геометрической фигуры	.
373 Расположи ответы примеров в порядке убывания , сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй название	геометрической фигуры	.
Найди значения выражений , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй название	геометрической фигуры	.
Многие определения нам уже встречались , но вспомнить их гораздо труднее , чем изобразить нужную	геометрическую фигуру	на бумаге .
18 Пусть катеты прямоугольного треугольника равны а и b , а	гипотенуза	— с. На сторонах этого треугольника построены квадраты .
Используя рисунки , покажи , что сумма площадей квадратов , построенных на катетах , равна площади квадрата , построенного на	гипотенузе	.
Если построение выполнено точно , то все перпендикуляры пересекутся в одной точке — точке О. Обратим внимание , что расположение точки О зависит от вида треугольника : у остроугольного треугольника он находится внутри , у прямоугольного — на	гипотенузе	, а у тупоугольного — снаружи .
в ) Прямым углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая прямому углу , называется	гипотенузой	, а две другие стороны называются катетами .
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине	гипотенузы	.
565 Является ли рациональным числом : а ) длина диагонали квадрата со стороной , равной 2 ; б ) длина	гипотенузы	прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 ? .
Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к длине	гипотенузы	.
неправильной дроби . б )	гипотенузы	прямоугольного треугольника .
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине	гипотенузы	.
Согласно известной теореме Пифагора , квадрат	гипотенузы	прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов , поэтому .
Угол , равный части прямого угла , назвали	град	, однако используется он редко .
Самой распространенной единицей измерения углов является	градус	( обозначается 1 ° ) .
Но эти определения также должны опираться на ранее определенные понятия : например , понятие « прямоугольник » опирается на « прямой угол » , « прямой угол » , то есть угол в 90 ° , — на «	градус	» и т .
Например , величина угла MNK , выраженная в	градусах	, равна 42 ° .
518 Пусть радиус основания конуса равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в сектор круга радиуса R. Величина угла α этого сектора в	градусах	вычисляется по формуле .
"На шкале известного нам прибора — транспортира — отложены углы в 1 "" , поэтому с его помощью можно измерять или строить на плоскости любой угол , выраженный в"	градусах	.
Тогда сторона ОВ укажет на той же шкале величину угла в	градусах	: АОВ = 124 ° .
Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости , откладывая по оси абсцисс время в минутах , а по оси ординат — температуру воды в	градусах	Цельсия ( 1 см — 1 мин , 1 см — 10 ° С ) .
588 Сколько	градусов	содержит угол между часовой и минутной стрелками часов в 3 ч , 6 ч , 8 ч , 10 ч , 11 ч , 14 ч 30 мин ? .
Многоугольник с большим числом сторон в качестве сечения получиться не может , так как	граней	у тетраэдра всего четыре .
Сколько у нее вершин , ребер ,	граней	, боковых граней ?
А вот точки М и N не принадлежат одновременно ни одной из	граней	тетраэдра , поэтому отрезок MN находится внутри него .
253 а ) Высота прямоугольного параллелепипеда равна 5 см , ширина составляет 28 % длины , а сумма площадей его боковых	граней	192 см2 .
в ) Выпиши пары равных	граней	.
711 Сколько ребер и сколько	граней	сходится в вершине тетраэдра , гексаэдра , октаэдра , додекаэдра , икосаэдра ?
Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ( В ) , числом ребер ( Р ) и числом	граней	( Г ) выпуклого многогранника .
Сколько у нее вершин , ребер , граней , боковых	граней	?
б ) Какое наименьшее число вершин , ребер и	граней	может быть у многогранника ? .
Сосчитай число ребер ( Р ) ,	граней	( Г ) и вершин ( В ) каждого правильного многогранника и заполни таблицу .
Поскольку	граней	у прямоугольного параллелепипеда всего шесть , то многоугольник , который получается при пересечении его с плоскостью , не может иметь больше шести сторон .
Сколько	граней	сходится к одной вершине ? .
А продолжение их	граней	и ребер позволяет получить звездчатые многогранники , или тела Кеплера Пуансо .
Прямоугольный параллелепипед — это многогранник , все шесть	граней	которого являются прямоугольниками .
По числу	граней	их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
Сколько	граней	?
д. Число	граней	и число вершин л - угольной пирамиды всегда равно n + 1 , а число ребер равно 2 n .
б ) Сколько у прямоугольного параллелепипеда всего : ребер ,	граней	, вершин ? .
б ) У пирамиды а	граней	.
Один из таких классов образуют многогранники — геометрические тела , поверхность которых состоит из	граней	, то есть частей плоскости , ограниченных многоугольниками .
Точки М и N принадлежат одновременно плоскости а и передней	грани	куба , поэтому плоскость а пересекает переднюю грань по отрезку MN .
В плоскости	грани	построить точку пересечения прямых DC и PN .
Какие вершины , ребра ,	грани	являются невидимыми ?
В первом случае видны лишь ее передние	грани	, и по такому рисунку нельзя даже определить , какой многоугольник лежит в ее основании .
А сколько цветов понадобится , чтобы раскрасить равные	грани	? .
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются правильные многогранники — геометрические тела , у которых все	грани	— равные правильные многоугольники , а углы между гранями равны .
Сколько среди них имеют одну окрашенную грань , 2 окрашенные грани , 3 окрашенные	грани	?
Сформулируй определение вершины , ребра ,	грани	многогранника и покажи их на предметной модели .
722 Раскрась грани разверток всех правильных многогранников так , чтобы было минимальное число цветов , а соседние	грани	склеенной модели не были одного цвета .
Действительно , точки М к N принадлежат грани ADC , точки М и К — грани ADB , точки N и К —	грани	DBC .
Значит , наша задача сводится к нахождению двух общих точек плоскости а и каждой	грани	куба , которую она пересекает .
В плоскости	грани	провести прямую МК до ее пересечения с прямой DD в точке Р .
Действительно , точки М к N принадлежат грани ADC , точки М и К —	грани	ADB , точки N и К — грани DBC .
У пирамиды основанием является многоугольник , а боковые	грани	— треугольники с общей вершиной .
Сколько среди них имеют одну окрашенную грань , 2 окрашенные	грани	, 3 окрашенные грани ?
На втором рисунке пирамида стала прозрачной — мы видим все ее ребра ,	грани	, но по этому рисунку не ясно , как линии расположены в пространстве .
Действительно , точки М к N принадлежат	грани	ADC , точки М и К — грани ADB , точки N и К — грани DBC .
722 Раскрась	грани	разверток всех правильных многогранников так , чтобы было минимальное число цветов , а соседние грани склеенной модели не были одного цвета .
Сколько среди них имеют одну окрашенную	грань	, 2 окрашенные грани , 3 окрашенные грани ?
Начерти параллелепипед ABCDAlBlClDl и назови : а ) одно его видимое и одно невидимое ребро ; б ) одну видимую и одну невидимую	грань	.
489 Мысленно сверни куб и определи , какая грань является верхней , если нижняя	грань	закрашена ? .
Точки М и N принадлежат одновременно плоскости а и передней грани куба , поэтому плоскость а пересекает переднюю	грань	по отрезку MN .
489 Мысленно сверни куб и определи , какая	грань	является верхней , если нижняя грань закрашена ? .
Аналогично пересечением плоскости а с верхней гранью является отрезок NK , а с боковой	гранью	— отрезок КМ .
Построение сечения для этого случая показано : прямые МК и АВ продолжены до их пересечения в точке Р. Значит , прямая PN , а вместе с ней и ее точка Т лежат в плоскости а , и теперь можно построить пересечение ее с каждой	гранью	тетраэдра .
Аналогично пересечением плоскости а с верхней	гранью	является отрезок NK , а с боковой гранью — отрезок КМ .
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются правильные многогранники — геометрические тела , у которых все грани — равные правильные многоугольники , а углы между	гранями	равны .
719 Склей из бумаги модель правильного октаэдра ,	гранями	которого являются равносторонние треугольники со стороной 8 см .
500 Склей из бумаги модель тетраэдра ,	гранями	которого являются равносторонние треугольники со стороной 10 см .
Отвлекаясь от конкретных величин и обозначая их буквами х и у , получим общую формулу у = 2х , ее таблицу и	график	.
Построй формулу зависимости v от Р и ее	график	.
Построй таблицу и	график	этой зависимости и реши по графику все три задачи одновременно .
Построй формулу и	график	этой зависимости .
Построим теперь	график	обратной пропорциональности при k = 12 .
Заполни таблицу и построй	график	этой зависимости .
142 Показано , как изменялся рост брата и сестры в первые 22 года жизни ( черная линия —	график	роста брата , а цветная — график роста сестры ) .
Этот	график	позволяет анализировать все три рассмотренные выше ситуации одновременно .
Построй для каждой из них таблицу и	график	.
210 Установи формулу зависимости между переменными у и х и построй	график	этой зависимости на координатной плоскости .
Построй для нее таблицу и	график	.
Построй таблицу и	график	этой зависимости и реши по графику обе задачи одновременно .
Заполни таблицу и построй	график	этой зависимости для всех допустимых значений х x . 80 Из квадрата со стороной 5 см вырезали квадрат со стороной а см. Площадь оставшейся части квадрата — S см2 .
Таблица и	график	этой зависимости для значений а , удовлетворяющих неравенству 0 < а < 4 , приведены .
Заполни таблицу и построй	график	этой зависимости для значений о , удовлетворяющих неравенству .
Самый простой пример —	график	изменения температуры в зависимости от времени , когда температура может принимать отрицательные значения .
Запиши формулу зависимости V от t. Составь таблицу и построй	график	этой зависимости для .
Полученный	график	может служить моделью разнообразных практических ситуаций .
Построй на миллиметровой бумаге	график	этой зависимости , откладывая по оси абсцисс время в минутах , а по оси ординат — температуру воды в градусах Цельсия ( 1 см — 1 мин , 1 см — 10 ° С ) .
527 По таблице , задающей зависимость между хну , построй формулу и	график	зависимости и установи , является ли она прямой или обратной пропорциональностью .
Составь таблицу и построй	график	этой зависимости для значений п , удовлетворяющих неравенству .
Построй	график	движения туристов и определи по графику , успеют ли они к ужину , который начинается в пансионате в 19 ч ? .
Используя	график	, реши все четыре задачи одновременно .
Запиши формулу зависимости y от x. Составь таблицу и построй	график	этой зависимости для значений x , удовлетворяющих неравенству .
Построй формулу и	график	этой зависимости , подобрав на осях координат удобные единицы измерения .
Полученная формула позволяет по любому данному значению х найти соответствующее значение у и построить	график	этой зависимости .
Составь таблицу и построй	график	этой зависимости для значений 0 < t < 4 .
Заполни таблицу соответственных значений а и b и построй	график	зависимости b от а .
Составь таблицу и построй	график	этой зависимости
140 Ниже приведен	график	зависимости расхода бензина В л для автомобиля “ Лада ” от пройденного расстояния s км .
Построй ее таблицу и	график	и реши с помощью графика все четыре задачи одновременно .
154 Изображен	график	зависимости между массой m кг купленных яблок и их стоимостью С р .
142 Показано , как изменялся рост брата и сестры в первые 22 года жизни ( черная линия — график роста брата , а цветная —	график	роста сестры ) .
Построй	график	этой зависимости , если .
Построй на миллиметровой бумаге	график	этой зависимости и определи по графику .
Перерисуй	график	в тетрадь и задай зависимость С от m таблицей и формулой .
Построй	график	этой зависимости для всех допустимых значений а .
502 Периметр прямоугольника равен 12 см , одна из сторон — х см , а площадь равна S см2 Запиши формулу зависимости S от х. Заполни таблицу и построй	график	этой зависимости .
Построй	график	движения пешеходов и определи по графику . 1 ) В котором часу второй пешеход догнал первого ? .
Построй ее таблицу и график и реши с помощью	графика	все четыре задачи одновременно .
д. Понятие переменной позволяет наглядно представлять эти зависимости формулами , таблицами и	графиками	.
146 На	графике	показано движение пешехода и велосипедиста по дороге от деревни до станции .
Обычно на	графике	независимые переменные отмечают на горизонтальной оси координатного угла ( оси абсцисс ) , а зависимые — на вертикальной оси ( оси ординат ) .
212 Построй на одной координатной плоскости	графики	трех данных зависимостей у от х .
Придавая коэффициенту k различные значения , мы будем получать различные расположения графиков на плоскости , но все эти	графики	— прямые линии .
При различных значениях k	графики	обратной пропорциональности будут получаться различными .
В таблицах фиксируется результат измерения величин ,	графики	наглядно представляют зависимости между ними , а формулы позволяют исследовать их свойства .
Приведенный пример показывает , как разнообразные математические понятия — отрицательные числа , координатная плоскость , формулы ,	графики	, — возникшие из внутренней логики развития самой математики , оказываются практически значимыми .
Приведены	графики	трех зависимостей переменной у от переменной х. Первые две зависимости обладают тем свойством , что каждому значению х сопоставляется единственное значение у , а третья зависимость этим свойством не обладает ( контрпример показан ) .
Но все они , как и	графики	прямой пропорциональности , будут похожи друг на друга .
175 На чертежах представлены	графики	прямой пропорциональности .
Используя	графики	их бега , определи . 1 ) Кто пробежал дальше всех ? .
178 На чертежах представлены	графики	обратной пропорциональности .
Составим таблицы и построим	графики	этих зависимостей .
Мы видим , таким образом , что таблицы и	графики	получились совершенно одинаковыми , только обозначения на осях имеют разный смысл .
Придавая коэффициенту k различные значения , мы будем получать различные расположения	графиков	на плоскости , но все эти графики — прямые линии .
В заключение напомним , что зависимости между величинами можно задавать , кроме формул , с помощью таблиц и	графиков	.
Несмотря на кажущуюся абстрактность математических вычислений и	графиков	, в повседневной жизни очень часто возникают ситуации , в которых использование математики имеет практическое значение .
Зависимости между величинами можно задавать с помощью таблиц , формул и	графиков	.
Зависимости между величинами выражаются на математическом языке с помощью формул , таблиц и	графиков	.
Сформулируй гипотезу о расположении	графиков	зависимостей вида и проверь ее для k .
таблицей . 3 )	графиком	.
Он называется	графиком	прямо пропорциональной зависимости у = 2х .
Построй график движения пешеходов и определи по	графику	. 1 ) В котором часу второй пешеход догнал первого ? .
Построй таблицу и график этой зависимости и реши по	графику	обе задачи одновременно .
Построй график движения туристов и определи по	графику	, успеют ли они к ужину , который начинается в пансионате в 19 ч ? .
Например , если расстояние между двумя поселками равно 12 км , то по этому	графику	можно проследить , как зависит время у прохождения этого пути от скорости х : при скорости 2,4 км / ч весь путь будет пройден за 5 ч , при скорости 8 км / ч — за 1,5 ч , а при скорости 12 км / ч — всего лишь за 1 ч .
Определи по	графику	. 1 ) Сколько времени потребовалось , чтобы довести температуру воды в чайнике до 50 ° , 75 ° , до кипения ( 100 ° ) ? .
Определи по	графику	: а ) момент их выхода и направление движения ; б ) время и место встречи ; в ) скорости движения на всех участках ; г ) время и продолжительность остановок .
Так , определив по	графику	, что значению х = 3,5 соответствует у = 7 , мы тем самым определяем сразу , что за 3,5 мин автомобиль проедет 7 км , за 3,5 дм тесьмы надо заплатить 7 р . , а за 3,5 мин принтер распечатает 7 страниц .
Построй таблицу и график этой зависимости и реши по	графику	все три задачи одновременно .
Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости и определи по	графику	.
Приведем подобные слагаемые в каждой из выделенных	групп	.
Отношение числа детей в младшей , средней и старшей	группах	равно соответственно 7 : 5 : 4 .
В младшей	группе	хора в 2 раза больше детей , чем в средней , и на 32 человека больше , чем в старшей .
На сколько больше детей занимается в младшей	группе	, чем в старшей ? .
Сколько детей занимается в каждой	группе	хора ? .
18 Пусть М — множество всех планет , названия которых начинаются с буквы М , С — множество всех планет Солнечной системы , а Г — множество всех планет Солнечной системы , входящих в	группу	планет - гигантов .
В этом выражении есть три	группы	подобных слагаемых .
321 Найди	группы	равносильных утверждений и составь для каждой группы буквенный код .
Рассмотри теперь квадраты размером 3x3 клетки и найди в них	группы	из трех чисел , суммы которых будут одинаковы .
- Класс 6 “ Б ” выигрывает за счет более значительной	группы	“ сильных ” учащихся .
321 Найди группы равносильных утверждений и составь для каждой	группы	буквенный код .
423 Запиши	данные	изменения в виде суммы рациональных чисел и выполни действия .
Сформулируй	данные	высказывания с помощью глагола « следует » .
8 Вырази	данные	отношения величин в процентах .
59 Сформулируй	данные	высказывания с помощью слова “ существует ” .
Аналогичная формула получится , если некоторая величина уменьшается за	данный	период времени на определенное число процентов .
419 На сколько треугольников разбивают	данный	треугольник все его средние линии ?
По числу граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр (	двадцатигранник	) .
581 Запиши число 10010 в двоичной , пятеричной , восьмеричной ,	двенадцатеричной	системах счисления .
По числу граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр (	двенадцатигранник	) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
б ) Построй правильный	двенадцатиугольник	.
Найди величину угла правильного	двенадцатиугольника	, б ) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников , треугольников и квадратов ? .
Изображен паркет из правильных треугольников и	двенадцатиугольников	.
Найди величину угла правильного двенадцатиугольника , б ) Можно ли составить паркет из правильных	двенадцатиугольников	, треугольников и квадратов ? .
Только , к сожалению , запись чисел в	двоичной	системе гораздо длиннее : например .
Эти системы называют соответственно	двоичной	, троичной , четверичной и т .
581 Запиши число 10010 в	двоичной	, пятеричной , восьмеричной , двенадцатеричной системах счисления .
189 Выполни	деление	с остатком и сделай проверку , используя формулу .
И даже если можно определить , какое	деление	ближе , результат нельзя считать точным .
Поэтому , например . Уже из приведенных примеров видно , что	деление	рациональных чисел производится самым естественным образом : операцию деления выполняют , пользуясь тем же правилом знаков , что и при умножении .
Деление рациональных чисел уже не представляет проблем , поскольку	деление	— это действие , обратное умножению .
554 Выполни	деление	.
Решая задачи на пропорциональное	деление	, мы вновь наблюдаем , как абстрактные математические понятия — в данном случае прямая и обратная пропорциональность — помогают отвечать на серьезные практические вопросы .
540 Выполни	деление	.
414 Выполни	деление	и округли результат до сотых .
5 Пропорциональное	деление	.
Во втором примере , перейдя к десятичным дробям , нам придется выполнять	деление	углом на двузначное число , что требует довольно громоздких вычислений .
Для простоты вычислений вначале выразим это расстояние в сантиметрах , а затем выполним	деление	.
420 Выполни	деление	15,5151 : 0,36 и округли результат : 1 ) до десятков ; 2 ) до единиц ; 3 ) до десятых ; 4 ) до сотых ; 5 )
При вычислении “ длинных ” выражений , в которых фигурируют только умножение и	деление	, пользоваться правилом знаков очень удобно .
189 Выполни	деление с остатком	и сделай проверку , используя формулу .
Обратная задача — нахождение расстояния на карте по расстоянию на местности — решается , естественно , обратным действием —	делением	.
При	делении	большего из них на меньшее в частном получается 5 и в остатке 10 .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при	делении	на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
Запиши в виде выражения с переменной n общий вид числа , которое при	делении	на 4 дает остаток 3 .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при	делении	на 12 дает остаток , равный 6 .
Может ли при	делении	натурального числа на 8 получиться остаток 9 ?
Сумма числа 49 и любого числа , которое при	делении	на 6 дает остаток 5 , кратна шести .
Число m при	делении	на 7 дает в остатке 1 .
119 При	делении	натурального числа на 8 получился остаток 5 .
Найти наименьшее натуральное число , дающее при	делении	на 2 , 3 , 4 , 5 и 6 остаток 1 и , кроме того , делящееся на 7 .
Каким станет остаток при	делении	удвоенного числа на 8 ? .
Какие остатки могут получаться при	делении	натурального числа на 5 ?
Если при	делении	на 5 одно число дает в остатке 2 , а другое — 3 , то их сумма кратна 5 : например , числа 12 и 13 дают при делении на 5 остатки , соответственно , 2 и 3 , а их сумма 12 + 13 = 25 делится на 5 . 4 )
Какие остатки могут получаться при	делении	на 5 квадрата натурального числа ? .
в ) свойства чисел 0 и 1 при умножении и	делении	.
Число при	делении	на 8 дает остаток 5 .
Каким будет остаток при	делении	этого числа на 4 ? .
Сумма числа 219 и любого числа , которое при	делении	на 14 дает остаток 3 , является четным числом .
При	делении	числа на 15 в остатке получается 11 .
Каким будет остаток при	делении	этого числа на 3 ? .
Каким будет остаток при	делении	на 9 их суммы ? .
3 ) При	делении	на 7 одно из чисел даст остаток 4 , а другое — 3 .
Каким будет остаток при	делении	на 7 суммы этих двух чисел ? .
При	делении	большего из них на меньшее в частном получается 3 и в остатке 2 .
291 При	делении	некоторого числа на 12 в остатке получилось 11 .
4 ) При	делении	на 9 одно из трех чисел дает остаток 5 , второе — 6 , а третье — 2 .
При	делении	большего на меньшее в частном получается 7 и в остатке 3 .
При	делении	некоторого натурального числа на 7 получилось частное 4 и остаток 3 .
Каким будет остаток при	делении	этого числа : а ) на 6 ; б ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 2 ? .
При	делении	натуральных чисел остаток всегда меньше делителя .
Четыре различных числа могут давать различные остатки при	делении	на 3 .
Для краткого обозначения условия таких задач — задач о прямо пропорциональном	делении	— в математическом языке используют иногда “ длинные отношения ” .
Если при делении на 5 одно число дает в остатке 2 , а другое — 3 , то их сумма кратна 5 : например , числа 12 и 13 дают при	делении	на 5 остатки , соответственно , 2 и 3 , а их сумма 12 + 13 = 25 делится на 5 . 4 )
Четыре различных числа при	делении	на 3 не могут давать различные остатки .
8) При	делении	натуральных чисел остаток может быть больше или равен делителю .
Итак , у нас есть линейка без	делений	и циркуль .
Древние греки даже считали , что с помощью циркуля и линейки без	делений	можно выполнить любое построение на плоскости , пока не столкнулись с некоторыми задачами , которые никто не мог решить на протяжении почти 24 веков .
Построй точку А1 симметричную точке А относительно прямой l : а ) с помощью чертежного угольника ; б ) с помощью циркуля и линейки ( без	делений	) .
Поэтому , например . Уже из приведенных примеров видно , что деление рациональных чисел производится самым естественным образом : операцию	деления	выполняют , пользуясь тем же правилом знаков , что и при умножении .
8) правила	деления	суммы и разности на число .
правило	деления	числа на произведение .
548 Вычисли , используя свойства	деления	.
Ясно , что таким же образом преобразуются и дроби : ведь черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак	деления	.
250 Запиши в общем виде правила	деления	суммы , разности и произведения на число .
Чему теперь равны частное и остаток от	деления	большего числа на меньшее ? .
Перевод натурального числа из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут остатки от последовательного	деления	этого числа на 3 , записанные в обратном порядке .
правило	деления	произведения на число .
А его средней скоростью на маршруте считается частное от	деления	длины маршрута на затраченное время .
Отметим , что все известные ранее правила	деления	с 0 и 1 распространяются и на множество рациональных чисел .
В сокращенном виде последовательную запись	деления	можно провести так .
Значит , для построения правильного n - угольника достаточно разделить окружность на n равных частей и последовательно соединить точки	деления	.
Средним арифметическим нескольких чисел называется результат	деления	суммы этих чисел на число слагаемых .
Затем около	деления	выбранной шкалы с отметкой 35 ° надо поставить точку В и соединить ее с точкой О. Градусная мера полученного угла АОВ равна 35 ° : АОВ = 35 ° .
И надо сказать , что , хотя это соотношение было известно еще в Древнем Египте и Месопотамии , пользоваться им могли лишь самые образованные люди того времени , так как действия умножения и	деления	были в те времена “ высшей математикой ” .
547 Известны следующие свойства	деления	для положительных чисел .
Для любых четырех различных чисел верно , что среди их остатков от	деления	на 3 имеются равные .
Расширением множества целых чисел до множества , в котором выполнима операция	деления	на число , не равное 0 , является множество рациональных чисел Q .
538 Составь блок - схему алгоритма	деления	рациональных чисел .
Для отношения двух чисел , как и для любого частного двух чисел , справедливы все свойства	деления	.
Соединив последовательно все точки	деления	, получим правильный шестиугольник .
На множестве рациональных чисел самая “ богатая ” арифметика — в нем всегда выполнимы все четыре арифметические действия ( кроме	деления	на 0 ) .
Отношение а : b — это частное от	деления	а на b . 2 ) Если а > b , то отношение а : b показывает , во сколько раз а больше b .
Если же точки	деления	соединить не подряд , а через одну , то получится правильный треугольник .
585 Объясни способ	деления	окружности на 5 равных частей с помощью транспортира .
Их нельзя понимать как запись	деления	нескольких чисел .
прибыли , то справедливость требует , чтобы полученная прибыль	делилась	пропорционально их вложениям , выраженным соответственно числами 3 и 5 .
Для тех случаев , когда нужное количество не выражалось натуральным числом , люди придумали дроби —	делили	целое на несколько равных частей , и тогда ответ на вопрос “ Сколько ? ” мог быть дан в виде некоторого числа таких 37 частей — урожая , — пути , 8,5 лет .
Какое число	делили	? .
На какое число	делили	? .
В число подставь вместо звездочек цифры так , чтобы полученное число	делилось	на 15 .
Можно ли подобрать цифру так , чтобы это число	делилось	на 6 , на 15 , на 18 , на 90 ? .
Можно ли подобрать цифру так , чтобы это число	делилось	на 100 , на 25 , на 4 ? .
129 В число подставь вместо звездочек цифры так , чтобы полученное число	делилось	: а ) на 18 ; б ) на 30 ; в ) на 45 ; г ) на 36 .
42 Какую цифру надо поставить в числе 273∙ вместо звездочки , чтобы полученное число	делилось	: а ) на 2 ; б ) на 5 ; в ) на 10 ?
43 Какую цифру надо поставить в числе 5∙12 вместо звездочки , чтобы полученное число	делилось	: а ) на 3 ; б ) на 9 ?
правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий ( слагаемого , уменьшаемого , вычитаемого , множителя ,	делимого	, делителя ) .
4 ) Частное двух натуральных чисел всегда меньше	делимого	.
частное , если	делимое	уменьшить в 3 раза , а делитель уменьшить в 6 раз ? .
Чему равны	делимое	, делитель и частное ? .
100 Как найти неизвестный множитель ,	делимое	, делитель ?
Масштаб карты можно записать в виде дроби с числителем 1 или в виде частного с	делимым	1 .
Масштаб может задаваться также дробью с числителем , не равным 1 , например , дробью ( или , соответственно , частным с	делимым	, не равным 1 ) .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN	делит	прямоугольник ABCD ?
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса	делит	его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого угла ; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
Биссектрисой угла называется луч , который исходит из вершины угла и	делит	часть плоскости , ограниченную углом , на две равные части .
Точка М	делит	сторону АВ в отношении 4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD ?
456 В прямоугольнике ABCD точка М	делит	сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
Точка М делит сторону АВ в отношении 4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MD	делит	прямоугольник ABCD ?
Проведи необходимые измерения и определи , в каком отношении	делит	отрезок АВ точка С , точка D . 176 а ) Построй прямые АВ и CD , если А ( 0 ; 8) , В ( 5 ; -2 ) , С ( -6 ; 0 ) , D ( 4 ; 5 ) .
Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан , то сможем проверить еще одно свойство : точка пересечения медиан	делит	их в отношении 2:1 , считая от вершины .
Например , точка пересечения медиан М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой , причем точка М	делит	отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
Найди отношения отрезков , на которые построенная окружность	делит	отрезки АН , ВН и СН , где Н — ортоцентр треугольника АВС .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N	делит	сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
Например , в разные месяцы человек часто получает разный доход , и для того , чтобы оценить , много или мало он зарабатывает , он обычно берет всю сумму , заработанную им за год , и	делит	ее на 12 — получается так называемый среднемесячный доход .
45 Пусть D(12 ) и D(15 ) — множества	делителей	соответственно чисел 12 и 15 .
Всякое число , которое имеет не больше двух	делителей	, — простое .
Если число а является	делителем	числа b , то НОД ( a , b ) .
Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий	делитель	и наименьшее общее кратное .
6 —	делитель	числа 360106 .
в ) Если дробь сократима , то ее числитель и знаменатель имеют общий	делитель	, отличный от 1 . г ) Если дробь правильная , то числитель дроби меньше ее знаменателя .
Например , запись ( х : 11 ): ( у + 3 ) означает , что делимое уменьшено в 11 раз , а	делитель	увеличен на 3 .
277 Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий	делитель	и наименьшее общее кратное .
Некоторые числа имеют только один	делитель	.
Число 9 —	делитель	числа b . 3 )
А вот в последнем примере переход к десятичным дробям невозможен , так как знаменатель обыкновенной дроби содержит простой	делитель	7 , отличный от 2 и 5 .
частное , если делимое уменьшить в 3 раза , а	делитель	уменьшить в 6 раз ? .
Какое частное получится , если разделить на тот же	делитель	число 1,44 ? .
100 Как найти неизвестный множитель , делимое ,	делитель	?
Чему равны делимое ,	делитель	и частное ? .
Чему равен наибольший общий	делитель	чисел 12 и 15 ?
8) При делении натуральных чисел остаток может быть больше или равен	делителю	.
Любое натуральное число имеет хотя бы два	делителя	.
правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий ( слагаемого , уменьшаемого , вычитаемого , множителя , делимого ,	делителя	) .
При делении натуральных чисел остаток всегда меньше	делителя	.
Итак , частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль частного , нужно разделить модуль делимого на модуль	делителя	.
Поскольку остатки не могут быть больше	делителя	, то в троичной системе для записи любого числа достаточно трех цифр — 0 , 1 и 2 .
Например , глядя на уравнение х(х + 3 ) = 54 , можно заметить , что его натуральные корни должны быть	делителями	числа 54 .
н 12345678	делится	на 18 .
Точки А и А1 не принадлежащие прямой l , называются симметричными относительно l , если отрезок АА1 перпендикулярен этой прямой и	делится	ею пополам .
32	делится	на 3 .
Число , делящееся на 24 ,	делится	на 9 .
Если сумма чисел	делится	на некоторое число , то и каждое слагаемое делится на это число .
Когда мы говорим , например : « Если натуральное число оканчивается цифрой 5 , то оно	делится	на 5 » , мы имеем в виду общий факт — любое натуральное число , оканчивающееся цифрой 5 , делится на 5 .
Существуют числа , кратные трем , сумма которых не	делится	на 3 .
Если сумма чисел делится на некоторое число , то и каждое слагаемое	делится	на это число .
Разность 3737 - 36 не	делится	на 37 .
Число , произведение цифр которого кратно 9 ,	делится	на 9 .
Найди для каждой медианы отношение отрезков , на которые она	делится	точкой О , считая от вершины .
Сумма 452 ∙ 49 + 702	делится	на 7 .
Если натуральное число	делится	на 3 , то оно делится на 9 , или n делится на 3 n делится на 9 .
Число 56431 не	делится	либо на 13 , либо на 17 .
Если число делится на 3 , то и сумма его цифр делится на 3 . д ) Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то их сумма тоже	делится	на это число .
Если натуральное число делится на 3 , то оно	делится	на 9 , или n делится на 3 n делится на 9 .
n	делится	на 3 .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные числа делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не	делится	на 3 ” .
294 Может ли число а2 + b2 + с2 делиться на 5 , если ни одно из натуральных чисел а , b и с не	делится	на 5 ? .
Неверно , что число 56431	делится	на 13 и на 17 .
Из того , что натуральное число	делится	на 9 , следует , что оно делится на 3 .
Существуют два числа , делящихся на 7 , сумма которых не	делится	на 7 .
Н Произведение чисел тип	делится	на число k ( m = 5 ; л = 8) .
в ) На сколько частей	делится	сфера одной большой окружностью , 2 большими окружностями , 3 большими окружностями , имеющими общий диаметр ? .
Из того , что натуральное число делится на 3 , следует , что оно	делится	на 9 .
n делится на 3 n	делится	на 9 .
Сумма двух чисел , делящихся на 7 , не всегда	делится	на 7 .
Существует хотя бы одно число , которое оканчивается цифрой 4 , но не	делится	на 4 .
418 Докажи , что сумма трех последовательных четных чисел	делится	на 6 .
Число 53535353	делится	на 3 или на 5 . 6 ) Корнями уравнения х2 + 2 = 18 являются числа 0 и 4 . 7 ) Дробь 8,9 больше или равна 9 .
Если число делится на 3 , то и сумма его цифр делится на 3 . д ) Если каждое слагаемое	делится	на некоторое число , то их сумма тоже делится на это число .
Если натуральное число делится на 3 , то оно делится на 9 , или n делится на 3 n	делится	на 9 .
Если натуральное число делится на 3 , то оно делится на 9 , или n	делится	на 3 n делится на 9 .
1275	делится	на 3 и на 5 . .
172 Найди наименьшее число , которое начинается с цифр 2008 и	делится	на все числа от 1 до 9 .
n	делится	на 3 n делится на 9 .
Из того , что натуральное число	делится	на 3 , следует , что оно делится на 9 .
А значит . ( Знак “ : ” означает “	делится	” . )
в ) Если сумма цифр натурального числа	делится	на 3 , то и само число делится на 3 .
а ) Если каждое из двух чисел	делится	на некоторое число , то их сумма .
Если натуральное число	делится	на 3 , то оно делится на 9 .
Если одно из двух чисел	делится	на некоторое число , а другое — не делится на это число , то их сумма .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое — не	делится	на это число , то их сумма .
Этим мы подчеркиваем , что слово «	делится	» употребляется у нас только для натуральных чисел .
в ) Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то их произведение . г ) Если первое число делится на второе число , а второе число	делится	на третье , то .
3 делится на 3 ( условие истинно ) , но не	делится	на 9 ( заключение ложно ) .
Если натуральное число делится на 9 , то оно	делится	на 3 .
Если натуральное число делится на 3 , то оно	делится	на 9 .
в ) Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то их произведение . г ) Если первое число	делится	на второе число , а второе число делится на третье , то .
32 не	делится	на 3 .
а ) Если сумма цифр числа делится на 9 , то число	делится	на 9 .
Натуральное число к	делится	на 3 — предложение с одной переменной к .
в ) Если одно из двух чисел	делится	на некоторое число , то их произведение . г ) Если первое число делится на второе число , а второе число делится на третье , то .
Мы получили , таким образом , высказывание о существовании : “ Существует хотя бы одно натуральное число , которое не	делится	на 3 ” .
Каждое натуральное число	делится	на себя и на 1 .
а ) Если сумма цифр числа	делится	на 9 , то число делится на 9 .
3	делится	на 3 ( условие истинно ) , но не делится на 9 ( заключение ложно ) .
Существует натуральное число , записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , которое	делится	на 2 .
Число , оканчивающееся цифрой 4 , обязательно	делится	на 4 .
Из того , что натуральное число делится на 9 , следует , что оно	делится	на 3 .
Число , оканчивающееся цифрой 4 , не обязательно	делится	на 4 .
Если при делении на 5 одно число дает в остатке 2 , а другое — 3 , то их сумма кратна 5 : например , числа 12 и 13 дают при делении на 5 остатки , соответственно , 2 и 3 , а их сумма 12 + 13 = 25	делится	на 5 . 4 )
Неверно , что число , делящееся на 24 ,	делится	на 9 .
Когда мы говорим , например : « Если натуральное число оканчивается цифрой 5 , то оно делится на 5 » , мы имеем в виду общий факт — любое натуральное число , оканчивающееся цифрой 5 ,	делится	на 5 .
Число 3т	делится	на 3 Число 7n + 2 кратно семи .
Если число делится на 3 , то и сумма его цифр	делится	на 3 . д ) Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то их сумма тоже делится на это число .
Это же предложение можно переформулировать с использованием глагола « следовать » : из того , что натуральное число оканчивается цифрой 5 , следует , что оно	делится	на 5 .
Мы ввели переменную n , записали условие « n	делится	на 9 » , поставили знак , после которого поставили заключение « n делится на 3 » .
Если число	делится	на 3 , то и сумма его цифр делится на 3 . д ) Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то их сумма тоже делится на это число .
а ) n	делится	на 9 .
в ) Если сумма цифр натурального числа делится на 3 , то и само число	делится	на 3 .
Учитывая , что 1212 легко	делится	на 6 , здесь удобнее десятичную дробь заменить обыкновенной .
Если натуральное число	делится	на 9 , то оно делится на 3 .
а	делится	на b .
Мы ввели переменную n , записали условие « n делится на 9 » , поставили знак , после которого поставили заключение « n	делится	на 3 » .
Например , 7 не	делится	на 5 до тех пор , пока не появляются дроби .
Например , из того , что n	делится	на 5 , не следует , что n оканчивается цифрой 5 .
Ведь число 10	делится	на 5 , но не оканчивается на 5 .
Сумма двух чисел , делящихся на 7 , всегда	делится	на 7 .
Число 56431	делится	на 13 и на 17 .
Чтобы избежать подобных ошибок в применении формул , можно пользоваться любопытной арифметической связью между единицами измерения — их можно “ перемножать ” и “	делить	” по тем же правилам , что и числовые дроби .
было предложено	делить	прямой угол не на 90 , а на 100 частей .
На ноль , как и раньше ,	делить	нельзя ! .
Натуральное число , записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , не может	делиться	на 2 .
Натуральное число , записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , может	делиться	на 2 .
294 Может ли число а2 + b2 + с2	делиться	на 5 , если ни одно из натуральных чисел а , b и с не делится на 5 ? .
Число , делящееся на 24 , может не	делиться	на 9 .
Это касается и математических объектов : натуральное число может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно	делиться	на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
Это касается и математических объектов : натуральное число может быть четным или нечетным , простым или составным , может	делиться	на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
736 Лучи , исходящие из вершины развернутого угла ,	делят	его на 4 части .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N	делят	сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
А общий уровень знаний класса по математике оценивают средним баллом — складывают все годовые оценки , полученные учениками этого класса , и	делят	на число учеников .
Скажем , уровень жизни населения страны определяют средним доходом ее жителей , а для его вычисления складывают доходы всех жителей страны и	делят	на общее число жителей .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезки MD и NC	делят	прямоугольник ABCD ?
Это предложение означает , что не все натуральные числа	делятся	на 3 или , что то же самое , что некоторые натуральные числа не делятся на 3 .
Существуют числа , которые оканчиваются цифрой 4 , но не	делятся	на 4 .
Это предложение означает , что не все натуральные числа делятся на 3 или , что то же самое , что некоторые натуральные числа не	делятся	на 3 .
423 Найди все такие двузначные числа , которые	делятся	на каждую из цифр в их записи .
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и	делятся	этой точкой в отношении 2 : 1 , считая от вершины .
196 Сколько всего натуральных чисел , меньших 100 , которые : а ) делятся на 2 , но не делятся на 3 ; б )	делятся	на 2 или на 3 ; в ) не делятся ни на 2 , ни на 3 ? .
Все трехзначные числа	делятся	на 3 .
196 Сколько всего натуральных чисел , меньших 100 , которые : а ) делятся на 2 , но не делятся на 3 ; б ) делятся на 2 или на 3 ; в ) не	делятся	ни на 2 , ни на 3 ? .
196 Сколько всего натуральных чисел , меньших 100 , которые : а ) делятся на 2 , но не	делятся	на 3 ; б ) делятся на 2 или на 3 ; в ) не делятся ни на 2 , ни на 3 ? .
196 Сколько всего натуральных чисел , меньших 100 , которые : а )	делятся	на 2 , но не делятся на 3 ; б ) делятся на 2 или на 3 ; в ) не делятся ни на 2 , ни на 3 ? .
В результате использования общего приема — поставить впереди данного предложения слова “ Неверно , что ” — получается предложение “ Неверно , что все натуральные числа	делятся	на 3 ” .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные числа делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не	делятся	на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не делится на 3 ” .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные числа	делятся	на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не делится на 3 ” .
Сумма двух чисел ,	делящихся	на 7 , всегда делится на 7 .
Сумма двух чисел ,	делящихся	на 7 , не всегда делится на 7 .
Например , выбирая новогоднюю елку , человек обычно интересуется высотой конкретного	дерева	, его свежестью , раскидистостью ..
109 В парке 20 % всех деревьев составляют березы , третью часть — клены , дубов на 18 больше , чем кленов , а остальные 94	дерева	— липы .
Каждый объект из окружающего нас мира обладает определенными свойствами : животное во дворе может быть птицей или кошкой , иметь две или четыре ноги ,	дерево	может быть хвойным или лиственным , книга у тебя на столе может быть художественной или учебной , оркестр в театре — симфоническим или джазовым и т .
А биологи будут говорить о ели , что это	дерево	, хвойное , покрытосеменное и т .
Сколько деревьев каждого вида следует посадить на прямоугольном участке размером 180 м х 80 м , если под каждое	дерево	выделяют участок 45 м2 ? .
Человек — туловище ,	дерево	.
Так , утверждение , обратное первому предложению , ложно , поскольку сосна тоже является	деревом	хвойным и покрытосеменным .
250 При посадке фруктовых садов в центральных районах России рекомендуется , чтобы число яблонь , груш и косточковых	деревьев	относилось как 10 : 3 : 7 .
Так же определяют среднюю высоту и толщину	деревьев	на делянке , средний рост учащихся в классе и т .
( L — множество	деревьев	) .
3 ) Из 150	деревьев	, посаженных в парке , 84 тополя .
х — хвойное , покрытосеменное , где D — множество	деревьев	.
Сколько	деревьев	каждого вида следует посадить на прямоугольном участке размером 180 м х 80 м , если под каждое дерево выделяют участок 45 м2 ? .
Какой процент всех посаженных	деревьев	составляют тополя ? .
д. Другими словами , биолога интересуют те общие свойства , которые выделяют ель в классе всех	деревьев	.
109 В парке 20 % всех	деревьев	составляют березы , третью часть — клены , дубов на 18 больше , чем кленов , а остальные 94 дерева — липы .
Сколько всего	деревьев	в этом парке ? .
Лиственные	деревья	занимают 20 % площади лесного массива .
Пальмы — самые высокие	деревья	в мире . 3 )
Все	деревья	имеют корни .
251 Лиственные	деревья	занимают 40 % площади лесного участка .
Остальная часть занята кустарником и хвойными	деревьями	, причем их площади относятся как 3 : 5 .
В	десятичной	системе числа записывают с помощью степеней числа 10 .
В	десятичной	позиционной системе записи чисел 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу следующего разряда .
Перевод натурального числа из	десятичной	системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут остатки от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в обратном порядке .
428 Замени данную обыкновенную дробь	десятичной	с точностью до целых , десятых , сотых , тысячных .
Запись в виде	десятичной	дроби .
Замени ее	десятичной	дробью с точностью до сотых .
в виде : а ) обыкновенной дроби ; б ) смешанного числа ; в )	десятичной	дроби ? .
Любое число процентов можно записать в виде	десятичной	дроби , выражающей часть величины .
441 Замени данную обыкновенную дробь	десятичной	с точностью до целых , десятых , сотых , тысячных .
245 Запиши в	десятичной	системе счисления числа .
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать натуральные числа в	десятичной	позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
Любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной	десятичной	.
« Несократимую дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби в том и только том случае , когда ее знаменатель не имеет простых делителей , кроме .. » .
Чтобы понять происхождение этого правила , достаточно разделить по этой же схеме какое - нибудь натуральное число в	десятичной	системе на основание этой системы — число 10 .
576 Переведи числа 7 , 25 , 42 , 79 , 156 , 273 из	десятичной	системы счисления в пятеричную .
Любую обыкновенную дробь , знаменатель которой кратен 10 , можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
36 Всегда ли можно записать в виде конечной	десятичной	дроби сумму , разность , произведение и частное двух десятичных дробей ?
10 ) Частное десятичных дробей можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
При переводе из троичной системы в	десятичную	надо представить число в виде суммы разрядных слагаемых и найти значение полученного выражения .
577 Прочитай стихотворение и переведи числа в	десятичную	систему счисления .
575 Переведи в	десятичную	систему счисления числа .
544 Какие из дробей можно перевести в конечную	десятичную	дробь ?
Ни одну из дробей со знаменателем 6 нельзя перевести в	десятичную	.
При каком условии обыкновенную дробь можно перевести в конечную	десятичную	?
А конечную	десятичную	в обыкновенную ? .
316 Округли	десятичную	дробь до сотых , а затем вырази в процентах соответствующую ей часть величины .
35 Верно ли , что любую обыкновенную дробь можно перевести в конечную	десятичную	?
Учитывая , что 1212 легко делится на 6 , здесь удобнее	десятичную	дробь заменить обыкновенной .
Чтобы получить ответ , обе дроби надо записать в каком - либо одном виде : либо в виде обыкновенных дробей , либо в виде конечных десятичных дробей ( если , конечно , перевод в	десятичную	дробь возможен ) .
Любую	десятичную	дробь можно представить в виде обыкновенной . 6 )
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную	десятичную	, и запиши ее в виде бесконечной периодической дроби , указав период .
95 Докажи , что дробь , полученную в ответе примера , нельзя перевести в конечную	десятичную	дробь .
Дробь 7/16 — можно перевести в	десятичную	дробь .
8) Дробь , знаменатель которой представим в виде 2n ∙ 5 m , где n , m — натуральные числа , можно перевести в	десятичную	.
Переведи	десятичные	дроби в обыкновенные и выполни действия в обыкновенных дробях .
88 Докажи , что данные обыкновенные дроби можно перевести в конечные	десятичные	.
Запиши выражения , используя	десятичные	дроби , и выполни действия в десятичных дробях .
Выбери дроби , которые можно перевести в конечные	десятичные	, и расшифруй слово .
87 Докажи , что обыкновенные дроби в данных примерах нельзя перевести в конечные	десятичные	.
Найди дроби , которые можно перевести в конечные	десятичные	.
425 Найди дроби , которые можно перевести в	десятичные	, и выполни перевод .
Запиши ответ , используя обыкновенные и	десятичные	дроби ( с точностью до десятых ) .
А вот в последнем примере переход к	десятичным	дробям невозможен , так как знаменатель обыкновенной дроби содержит простой делитель 7 , отличный от 2 и 5 .
Во втором примере , перейдя к	десятичным	дробям , нам придется выполнять деление углом на двузначное число , что требует довольно громоздких вычислений .
177 Выполни действия , переходя к	десятичным	дробям .
Вырази эти части обыкновенными дробями ,	десятичными	дробями и в процентах .
С этой точки зрения “ многоступенчатые ” примеры на порядок действий с обыкновенными и	десятичными	дробями становятся своеобразными тестами на умение мыслить , на аккуратность , находчивость , трудолюбие , способность человека достигать поставленной цели .
1 Совместные действия с обыкновенными и	десятичными	дробями .
Мы уже научились выполнять действия с обыкновенными и	десятичными	дробями по отдельности .
Какие из полученных чисел можно представить в виде конечных	десятичных	дробей ?
Чтобы получить ответ , обе дроби надо записать в каком - либо одном виде : либо в виде обыкновенных дробей , либо в виде конечных	десятичных	дробей ( если , конечно , перевод в десятичную дробь возможен ) .
Запиши выражения , используя десятичные дроби , и выполни действия в	десятичных	дробях .
746 Среди обыкновенных дробей найди те , которые можно представить в виде конечных	десятичных	.
В первом примере вычисления проще в	десятичных	дробях , так как после перевода дроби 0,6 в обыкновенную получаются дроби с разными знаменателями .
10 ) Частное	десятичных	дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби .
36 Всегда ли можно записать в виде конечной десятичной дроби сумму , разность , произведение и частное двух	десятичных	дробей ?
Например , прежде чем искать значение дроби можно заметить , что в числителе и знаменателе по 5	десятичных	знаков после запятой , а в множителях знаменатели 3 и 9 .
Представь их в виде конечных	десятичных	дробей , расположи в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам .
Запиши в виде	десятичных	дробей данные обыкновенные дроби .
а ) до	десятков	.
Образец записи решения . 2 ) В записанных неравенствах подчеркни те числа , которые являются результатами округления числа а с точностью до сотен ,	десятков	, единиц , десятых , сотых , тысячных .
420 Выполни деление 15,5151 : 0,36 и округли результат : 1 ) до	десятков	; 2 ) до единиц ; 3 ) до десятых ; 4 ) до сотых ; 5 )
Предыдущим для числа 79399 является число : а ) 78399 ; б ) 79400 ; в ) 79398 . 2 ) В разряде	десятков	тысяч числа 12705320 записана цифра : а ) 2 ; б ) 0 ; в ) 5 .
Найди числа , являющиеся приближениями числа а с недостатком и избытком с точностью до сотен ,	десятков	, единиц , десятых , сотых , тысячных .
207 Когда трехзначное число , у которого цифры сотен и	десятков	одинаковые , а цифра единиц равна 5 , разделили на однозначное число , то в остатке получили 8 .
Найти все трехзначные числа , цифры	десятков	которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594 .
Так , чтобы записать в троичной системе некоторое число — например , 145 , — надо выяснить , сколько в нем содержится троичных “ единиц ” , “	десятков	” , “ сотен ” , “ тысяч ” и т .
Для этого вначале разделим 145 с остатком на 34 — наибольшую возможную в нашем случае степень числа 3 — и определим цифру разряда	десятков	тысяч , затем остаток разделим на 33 — определим цифру разряда тысяч и т .
Когда , пыля	десятком	ног .
Крестьянина на рынке спросили : « Сколько стоит	десяток	яиц ? »
По какой цене продавал крестьянин	десяток	яиц ?
529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело , которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали , если длина	диагонали	равна 12 см. Начерти три проекции этого тела .
565 Является ли рациональным числом : а ) длина	диагонали	квадрата со стороной , равной 2 ; б ) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 ? .
529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело , которое получается при вращении квадрата вокруг своей	диагонали	, если длина диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого тела .
Во всяком четырехугольнике	диагонали	равны .
Начерти произвольный четырехугольник и проведи его	диагональ	.
Таким образом , получается , что	диагональ	у квадрата есть , а выразить ее длину мы пока не можем .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с	диагональю	7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
1 ) Чему примерно равна длина окружности , если ее	диаметр	равен 10 см ?
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и	диаметр	.
Пользуясь формулами , найди	диаметр	и площадь арены .
Найди	диаметр	колеса с точностью до сотых ( π приблизительно равно 3,142 ) .
2 ) Сколько оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км , если	диаметр	колеса равен 0,8 м ?
Начерти окружность радиуса 3 см и проведи ее	диаметр	.
в ) На сколько частей делится сфера одной большой окружностью , 2 большими окружностями , 3 большими окружностями , имеющими общий	диаметр	? .
2 ) Чему примерно равен	диаметр	окружности , если ее длина равна 60 см ?
Хорда окружности может быть больше ее	диаметра	.
в ) круга радиуса 6 см вокруг	диаметра	.
Соедини концы	диаметра	с произвольной точкой окружности и измерь угол , образованный хордами .
509 а ) Продемонстрируй , как с помощью 4 - 5 карандашей цилиндрической формы одного	диаметра	осуществить перемещение какого - нибудь предмета .
Для построения квадрата можно провести два взаимно перпендикулярных	диаметра	, а разделив образовавшиеся дуги пополам , построим правильный восьмиугольник .
Шар получается вращением круга вокруг своего	диаметра	.
Проведи эксперимент , позволяющий выявить зависимость между длиной окружности С и ее диаметром d. Для этого вырежи полоску бумаги 5 см х 27 см и сверни ее в трубочку высотой 5 см. Начерти окружности с	диаметрами	d1 = 4 см , d2 = 6 см и d3 = 8 см. Совмещай с ними поочередно круглое отверстие трубочки , отмечая положение конца полоски .
Проведи эксперимент , позволяющий выявить зависимость между длиной окружности С и ее	диаметром	d. Для этого вырежи полоску бумаги 5 см х 27 см и сверни ее в трубочку высотой 5 см. Начерти окружности с диаметрами d1 = 4 см , d2 = 6 см и d3 = 8 см. Совмещай с ними поочередно круглое отверстие трубочки , отмечая положение конца полоски .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 )	диаметром	D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
в ) Хорда , проходящая через центр окружности , называется	диаметром	. г ) Хордой окружности называется отрезок , соединяющий две ее точки .
73 В любой окружности отношение длины окружности к ее	диаметру	постоянно и равно примерно 22 : 7 .
Греческая буква π ( « пи » ) в приведенных формулах обозначает число , равное отношению длины любой окружности к своему	диаметру	.
493 Сравни сумму	длин	всех ребер ( L ) , объем ( V ) и площадь ( S ) полной поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда .
506 Сравни суммы	длин	всех ребер , объемы и площади поверхности куба с ребром 7 м и прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 м , 5 м и 6 м .
Сравни сумму	длин	оснований с длиной средней линии .
Чтобы найти отношение одноименных величин (	длин	, масс и т . д. ) , необходимо выразить их в одной и той же единице измерения — в противном случае полученный результат для сравнения величин использовать нельзя .
379 Можно ли построить треугольник , у которого периметр равен 24 см , а сумма	длин	двух сторон — 9 см ? .
Начерти прямоугольник , отношение	длин	сторон которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти прямоугольный треугольник , длины катетов которого относятся как 3 к 4 .
401 Построй формулы , выражающие зависимость площади S фигуры от	длин	отрезков , указанных на чертеже .
Синус , косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения	длин	сторон треугольника АВС , выражающие значения синусов , косинусов и тангенсов углов А и В .
	Длина	и масса стандартного трамвайного рельса .
565 Является ли рациональным числом : а ) длина диагонали квадрата со стороной , равной 2 ; б )	длина	гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 ? .
Вторая в мире по длине река , Амазонка , на карте с масштабом 1:40000000 имеет длину 16 см. Чему примерно равна ее	длина	в действительности ? .
После исполнения 5 желаний он имел площадь 12 см2 , а после двух желаний его ширина была 9 см. Какой была его	длина	после исполнения первого желания ? . .
2 ) Существует ли квадрат , у которого	длина	стороны — натуральное число , а площадь равна 201201201201 ? .
	Длина	окружности колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии ? .
Чему равна	длина	отрезка , соединяющего эти города , на карте с масштабом 1 : 2000000 ? .
Например ,	длина	окружности С пропорциональна ее радиусу ( С = 2πr ) , площадь круга S — квадрату радиуса ( S = πr2 ) .
Радиус окружности равен 5 см. Чему равна	длина	этой окружности ?
Чему равны площадь и периметр прямоугольника , если : а ) длина больше ширины в 1,6 раза ; б ) ширина составляет — длины ; в )	длина	на 30 % больше ширины ; г ) ширина на 20 % меньше длины ? .
Например , если 8 % длины отрезка составляют 2,4 см , то	длина	всего отрезка равна 2,4:0,08 = 240:8 = 30 см .
Чему будет равна	длина	этого пролива на карте с масштабом 1 : 25000000 ? .
Чему равна	длина	пути ? .
Чему равна	длина	второй стороны ? .
Чему равны площадь и периметр прямоугольника , если : а )	длина	больше ширины в 1,6 раза ; б ) ширина составляет — длины ; в ) длина на 30 % больше ширины ; г ) ширина на 20 % меньше длины ? .
Объем прямоугольного параллелепипеда V см3 ,	длина	— d см , а ширина составляет 30 % длины .
Чему равна ширина прямоугольника той же площади ,	длина	которого равна 6 см ? .
565 Является ли рациональным числом : а )	длина	диагонали квадрата со стороной , равной 2 ; б ) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 ? .
На плане , масштаб которого 3:8 , отрезок имеет длину 12 см. Чему будет равна	длина	этого отрезка на плане с масштабом 5 : 4 ? .
Чему равна его	длина	, если ширина равна 1,5 см ?
Ширина прямоугольного параллелепипеда n м ,	длина	в 1,5 раза больше ширины , а высота составляет 24 % суммы длины и ширины .
Найди периметр и площадь прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 )	длина	больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
После этого	длина	оставшейся части бревна стала 2,1 м .
Длина одной его стороны равна а см , а	длина	второй стороны — b см. Запиши формулу , выражающую зависимость b от а .
442 Трамвай проехал мимо светофора за 2 с , а по мосту длиной 175 м за 16 с. Чему равна	длина	трамвая ? .
1 )	длина	больше ширины в 1,3 раза .
Указанным образом легче всего построить правильный шестиугольник : он состоит из шести правильных треугольников , и поэтому	длина	его стороны равна радиусу описанной окружности .
Какой размер на копии будет иметь отрезок ,	длина	которого в оригинале равна 8 см ? .
Чему равна	длина	отрезка в оригинале , если на копии она равна 7,5 см ? .
Мы уже узнали многое из того , что открыли математики древности , в частности , формулу площади прямоугольника : S = ab , где буквой S обозначена площадь прямоугольника , а буквами а и b — его	длина	и ширина .
Чему равна	длина	каждой стороны ? .
286 Пусть	длина	шага пешехода равна l , а число сделанных им шагов — n . 1 )
Чему равна	длина	маршрута автобуса ?
Для этого используется формула , где N — количество кирпичей , l м —	длина	стены и h м — высота стены .
	Длина	на 60 % больше ширины .
Поезд из 10 вагонов прошел мимо наблюдателя за 8 с. Чему равна скорость поезда , если	длина	вагона 16 м ? .
Заметим также , что для рациональных чисел останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных чисел :	длина	отрезка на координатной прямой равна разности координат его правого и левого концов .
Кондуктор пассажирского поезда заметил , что встречный товарный поезд прошел мимо него за 9 с. Чему равна	длина	товарного поезда , если он следует со скоростью 56 км / ч , а скорость пассажирского поезда равна 84 км / ч ? .
Чему равна	длина	всего пути от турбазы до озера ? .
производительность станка и время изготовления на нем 300 деталей . 5 ) стоимость отреза ткани и его	длина	при цене 120 р .
за метр . 6 ) цена тетрадей и их количество , которые можно купить на 24 р . 7 )	длина	и ширина прямоугольника , площадь которого равна 60 м2 . 8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация .
Вычисли угол α и построй развертку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что	длина	дуги сектора равна длине окружности основания .
Периметр правильного пятиугольника равен 9 см. Чему равна	длина	его стороны ? .
Чему равна	длина	стороны квадрата с тем же периметром ? .
657 Перенеси в тетрадь и построй на прямой l точку С так , чтобы	длина	ломаной АСВ была наименьшей .
Чему равна	длина	всей дороги , если осталось построить с км ? .
Чему равна	длина	всего маршрута ? .
Чему равна	длина	всего отрезка ? .
1 ) Чему примерно равна	длина	окружности , если ее диаметр равен 10 см ?
529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело , которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали , если	длина	диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого тела .
2 ) Чему примерно равен диаметр окружности , если ее	длина	равна 60 см ?
Чему равна ее	длина	на карте , масштаб которой 1 : 5000000 ? .
-	длина	и ширина прямоугольника при постоянной площади и т .
На плане комнаты ее	длина	изображена отрезком , равным 4 см. Чему равна длина отрезка , изображающего на этом плане ширину комнаты ? .
На плане комнаты ее длина изображена отрезком , равным 4 см. Чему равна	длина	отрезка , изображающего на этом плане ширину комнаты ? .
д. Нам известны также геометрические , величины	длина	, площадь , объем , характеризующие свойства геометрических фигур .
Чему равна	длина	третьей стороны этого треугольника , если вторая сторона на 0,4 дм короче первой ? .
Поезд проехал с одной и той же скоростью мимо столба за 7 с , а вдоль платформы длиной 378 м — за 25 с. Чему равна скорость и	длина	поезда ? .
453 БЛИЦтурнир . 1 ) Ширина прямоугольника а см , а	длина	на 30 % больше .
Чему равна	длина	отрезка CD1 . б ) Отрез ткани разрезали на два куска так , что 80 % длины первого куска были равны 90 % длины второго .
Если длину отрезка АВ увеличить на 3 см , а длину CD уменьшить на 40 мм , то	длина	АВ составит 75 % длины CD .
Длина крыла насекомого , нарисованного в масштабе 20:1 , равна 4 см. Чему равна его	длина	в действительности ? .
где l —	длина	проводника , S — площадь его поперечного сечения и ρ — удельное сопротивление .
Найди периметр и площадь прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 )	длина	на 80 % больше ширины .
Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по	длине	его стороны а и длине перпендикуляра h , опущенного из вершины параллелограмма на эту сторону .
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к	длине	гипотенузы .
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к	длине	гипотенузы .
Вычисли угол α и построй развертку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что длина дуги сектора равна	длине	окружности основания .
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к	длине	прилежащего .
а ) Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник , одна из сторон которого равна	длине	окружности основания .
Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к	длине	гипотенузы .
Вторая в мире по	длине	река , Амазонка , на карте с масштабом 1:40000000 имеет длину 16 см. Чему примерно равна ее длина в действительности ? .
длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной	длине	другой стороны .
Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по длине его стороны а и	длине	перпендикуляра h , опущенного из вершины параллелограмма на эту сторону .
Определение : Отношение длины отрезка на изображении к его реальной	длине	( в одних и тех же единицах измерения ) называется масштабом изображения .
Построй треугольник АВС и проведи его среднюю линию , соединяющую середины сторон АВ и ВС. Найди отношение длины стороны АС к	длине	средней линии .
442 Трамвай проехал мимо светофора за 2 с , а по мосту	длиной	175 м за 16 с. Чему равна длина трамвая ? .
Сравни сумму длин оснований с	длиной	средней линии .
На День города изготовили гигантскую сосиску	длиной	12 м .
Поезд проехал с одной и той же скоростью мимо столба за 7 с , а вдоль платформы	длиной	378 м — за 25 с. Чему равна скорость и длина поезда ? .
Каким должен быть масштаб карты , чтобы это расстояние изображалось на карте отрезком	длиной	17,6 см ? .
в ) От куска ткани	длиной	d м отрезали в первый раз 20 % всей длины , во второй раз — 30 % всей первоначальной длины , а в третий раз — на 5 м меньше , чем во второй раз .
607 Сколько пятиметровых прыжков надо сделать кенгуру , чтобы преодолеть дистанцию	длиной	5032 м + 5032 дм +5032 см +5032 мм ? .
в ) « Аппарат , напоминавший огромного кита , был	длиной	приблизительно в 250 футов и возвышался на 10 - 12 футов над уровнем моря .. » .
Эта формула описывает соотношение между тремя величинами —	длиной	, шириной и площадью прямоугольника .
Поезд	длиной	400 м прошел мимо неподвижного наблюдателя за 20 с. За сколько времени он проедет тоннель длиной 400 м ?
Сколько оборотов сделало при прохождении этого же расстояния большое колесо с	длиной	окружности 3 м ? .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 )	длиной	стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Сколько шерсти потребуется , чтобы связать шарф такой же ширины	длиной	180 см ? .
Лыжник прошел маршрут	длиной	103 км за 4 дня .
Подобная же зависимость существует между	длиной	стороны квадрата и его площадью .
Отрезок АВ	длиной	15 см разделен точкой С в отношении 3 : 7 .
В течение недели сменили покрытие на участке	длиной	100 км .
Поезд длиной 400 м прошел мимо неподвижного наблюдателя за 20 с. За сколько времени он проедет тоннель	длиной	400 м ?
225 Реши задачи способом пропорций : 1 ) Чтобы связать шарф	длиной	1,4 м , нужно 350 г шерсти .
Проведи эксперимент , позволяющий выявить зависимость между	длиной	окружности С и ее диаметром d. Для этого вырежи полоску бумаги 5 см х 27 см и сверни ее в трубочку высотой 5 см. Начерти окружности с диаметрами d1 = 4 см , d2 = 6 см и d3 = 8 см. Совмещай с ними поочередно круглое отверстие трубочки , отмечая положение конца полоски .
Можно ли ее восстановить , если известно , что расстояние от сельской почты до окраины села ( по прямой дороге ) равно 3,2 км , а на карте это расстояние изображено отрезком	длиной	4 см ?
Зависимости между временем движения и пройденным расстоянием , стоимостью покупки и	длиной	тесьмы , временем распечатки и числом напечатанных страниц являются прямо пропорциональными и задаются формулами : s = 2 t , С = 2n , А = 2 t.
За какое время турист пройдет расстояние , которое изображается на карте отрезком	длиной	3,6 см , если масштаб карты 1 : 10000 , а скорость туриста равна 5 км / ч ? .
492 а ) Хватит ли проволоки	длиной	1 м , чтобы сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 см , 9 см и 14 см ?
537 В каких единицах обычно измеряют : а )	длину	шага ; б ) вместимость банки .
Таким образом , получается , что диагональ у квадрата есть , а выразить ее	длину	мы пока не можем .
536 Вырази в единицах измерения e1 , е2 , е3 . а )	длину	отрезка АВ . б ) площадь прямоугольника ABCD . в ) объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA .
Найти	длину	отрезка , соединяющего эти города на карте , выполненной в масштабе 1 : 4000000 .
Найди	длину	каждой части .
Если	длину	отрезка АВ увеличить на 3 см , а длину CD уменьшить на 40 мм , то длина АВ составит 75 % длины CD .
737 Граница арены цирка имеет	длину	40,8 м .
Поэтому говорят , что прямоугольный параллелепипед имеет три измерения —	длину	, ширину и высоту .
Аналогично , если масштаб задан дробью с числителем 1 , то для вычисления реального расстояния на местности	длину	соответствующего отрезка на карте достаточно умножить на знаменатель дроби .
Если длину отрезка АВ увеличить на 3 см , а	длину	CD уменьшить на 40 мм , то длина АВ составит 75 % длины CD .
Найди его периметр и площадь , если на плане с масштабом 3 : 500 стороны прямоугольника имеют	длину	12 см и 45 см .
Предлагалось взять за основу размеры зерен , пчелиных сот ,	длину	маятника , делающего одно качание в секунду ..
Найди	длину	отрезка АВ и координату середины этого отрезка — точки М . 273 1 )
572 Найди	длину	отрезка АВ координатной прямой , если координаты точек А и В равны значениям выражений .
Достаточно лишь измерить и перемножить его	длину	и ширину .
Найди	длину	наибольшего и наименьшего из этих отрезков .
Вырази из этой формулы	длину	b . 402 Вычисли площади фигур .
Маленькое колесо повозки , имеющее	длину	окружности 2,4 м , при прохождении некоторого расстояния сделало 1250 оборотов .
228 Длина прямоугольника 18,4 см , а площадь — 276 см. На сколько надо увеличить	длину	, чтобы при той же ширине площадь увеличилась до 300 см2 ? .
На плане , масштаб которого 3:8 , отрезок имеет	длину	12 см. Чему будет равна длина этого отрезка на плане с масштабом 5 : 4 ? .
При проведении землеустройства	длину	поля увеличили на 5 % , а ширину — на треть .
Вторая в мире по длине река , Амазонка , на карте с масштабом 1:40000000 имеет	длину	16 см. Чему примерно равна ее длина в действительности ? .
55 Измерь	длину	и ширину своей комнаты в метрах с точностью до десятых .
469 Ширина прямоугольника на 8 м меньше	длины	.
Сторона квадрата равна 5,6 м , что составляет 0,7	длины	прямоугольника .
Если длину отрезка АВ увеличить на 3 см , а длину CD уменьшить на 40 мм , то длина АВ составит 75 %	длины	CD .
Найди периметр и площадь прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет —	длины	; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
253 а ) Высота прямоугольного параллелепипеда равна 5 см , ширина составляет 28 %	длины	, а сумма площадей его боковых граней 192 см2 .
129 а ) Ширина прямоугольника на 48 % меньше	длины	, а его периметр равен 7,6 см. Чему равна площадь этого прямоугольника ? .
2 ) ширина составляет —	длины	.
Найди	длины	отрезков АВ , АС , AD , ВС , BD , CD . 2 ) На координатном луче отмечены точки А ( а ) и В ( b ) , где b > а .
Чему равны	длины	его сторон , если их отношение равно 3:3:4 ? .
Разверни полоску и измерь отрезки , показывающие	длины	окружностей С1 , С2 и С3 Найди отношение соответствующих значений С и d с точностью до сотых .
Ширина составляет 0,2 его	длины	.
Рассмотрим самый важный для практики случай , когда	длины	всех отрезков уменьшаются или увеличиваются в одно и то же число раз , в одном и том же отношении .
Основной единицей	длины	в этой системе является метр — часть Парижского меридиана , а единицы площади и объема согласованы с нею : за единицу площади принят квадратный метр , за единицу объема — кубический метр .
Определение : Отношение	длины	отрезка на изображении к его реальной длине ( в одних и тех же единицах измерения ) называется масштабом изображения .
У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер , но при этом ребер различной	длины	может быть только три .
Найди неизвестные	длины	сторон .
257 Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найди	длины	сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 : 4 , а ВС относится к АС как 2 : 3 .
375 Дан прямоугольник ,	длины	сторон которого относятся как 2:1 .
73 В любой окружности отношение	длины	окружности к ее диаметру постоянно и равно примерно 22 : 7 .
в ) От куска ткани длиной d м отрезали в первый раз 20 % всей	длины	, во второй раз — 30 % всей первоначальной длины , а в третий раз — на 5 м меньше , чем во второй раз .
Измерь	длины	отрезков , образовавшихся на сторонах угла А , и сравни отношения 2 )
415 Прямоугольный кусок волшебной кожи ( « шагреневая кожа » ) исполняет любые желания своего владельца , но после каждого исполнения желания он уменьшается на половину своей	длины	и на одну треть ширины .
2 ) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше	длины	.
в ) От куска ткани длиной d м отрезали в первый раз 20 % всей длины , во второй раз — 30 % всей первоначальной	длины	, а в третий раз — на 5 м меньше , чем во второй раз .
760 Периметр треугольника АВС равен 16,8 см. Найди	длины	его сторон , если АВ относится к ВС как 7 : 5 , а ВС относится к АС как 3 : 4 .
Построй треугольник АВС и проведи его среднюю линию , соединяющую середины сторон АВ и ВС. Найди отношение	длины	стороны АС к длине средней линии .
Чему равна длина отрезка CD1 . б ) Отрез ткани разрезали на два куска так , что 80 %	длины	первого куска были равны 90 % длины второго .
Чему равна длина отрезка CD1 . б ) Отрез ткани разрезали на два куска так , что 80 % длины первого куска были равны 90 %	длины	второго .
Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности , пересекающиеся в точке О. Измерь	длины	отрезков хорд , на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
Это удобно показать направленным отрезком	длины	d , который называют вектором и обозначают d .
Найди периметр и площадь прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше	длины	; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
Например , если 8 %	длины	отрезка составляют 2,4 см , то длина всего отрезка равна 2,4:0,08 = 240:8 = 30 см .
Ширина прямоугольника с м , что составляет его	длины	.
Чему равны площадь и периметр прямоугольника , если : а ) длина больше ширины в 1,6 раза ; б ) ширина составляет — длины ; в ) длина на 30 % больше ширины ; г ) ширина на 20 % меньше	длины	? .
4 ) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше	длины	.
Это привело к тому , что в Германии , например , было 40 различных единиц длины — локтей , во Франции — 18 единиц	длины	, называвшихся лье , а в России — более 100 различных футов : ткацкий , рабочий , землемерный , инженерный и т .
Объем прямоугольного параллелепипеда V см3 , длина — d см , а ширина составляет 30 %	длины	.
д. Единицами измерения площадей служили либо участки земли , которые можно было вспахать за день , либо	длины	обхода этих участков — ошибочно предполагалось , что фигуры , равные по площади , имеют и равные периметры .
Точно так же зависимость площади квадрата S от	длины	его стороны а выражается формулой S = а2 .
Греческая буква π ( « пи » ) в приведенных формулах обозначает число , равное отношению	длины	любой окружности к своему диаметру .
Длина окружности заднего колеса кареты на 0,8 м больше	длины	окружности переднего колеса .
Чему равны площадь и периметр прямоугольника , если : а ) длина больше ширины в 1,6 раза ; б ) ширина составляет —	длины	; в ) длина на 30 % больше ширины ; г ) ширина на 20 % меньше длины ? .
Ширина прямоугольного параллелепипеда n м , длина в 1,5 раза больше ширины , а высота составляет 24 % суммы	длины	и ширины .
Наиболее распространенными единицами	длины	, площади и объема в повседневной жизни являются .
Ширина прямоугольника в 5 раз меньше	длины	.
Начерти два отрезка ,	длины	которых относятся как 2 к 3 . 2 )
Измерь гипотенузу и найди отношение	длины	каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы .
4 ) ширина на 10 % меньше	длины	? .
Начерти прямоугольник , отношение длин сторон которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти прямоугольный треугольник ,	длины	катетов которого относятся как 3 к 4 .
Длина прямоугольника равна 7,2 дм , а его ширина составляет 25 %	длины	.
Это привело к тому , что в Германии , например , было 40 различных единиц	длины	— локтей , во Франции — 18 единиц длины , называвшихся лье , а в России — более 100 различных футов : ткацкий , рабочий , землемерный , инженерный и т .
172 Длина прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 дм , ширина составляет 0,5	длины	и 0,9 высоты параллелепипеда .
Если мы измерим	длины	получившихся отрезков медиан , то сможем проверить еще одно свойство : точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 , считая от вершины .
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение	длины	противолежащего катета к длине гипотенузы .
296 Периметр треугольника равен 68 см , а	длины	сторон пропорциональны числам 4 , 5 и 8 .
Построй формулу зависимости длины стороны b см этого прямоугольника от	длины	а см его второй стороны .
А его средней скоростью на маршруте считается частное от деления	длины	маршрута на затраченное время .
Ширина прямоугольника равна ими составляет 0,4 его	длины	.
Построй формулу зависимости	длины	стороны b см этого прямоугольника от длины а см его второй стороны .
Измерь	длины	отрезков AM , MB , BN и NC и составь пропорцию из полученных чисел .
	Длины	стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны .
Длина прямоугольника а см , а ширина составляет 80 %	длины	.
Известны	длины	отрезков АВ = 7,5 см , DE = KF = 5,8 см , EF = 8,6 см .
Длина комнаты прямоугольной формы с метров , а ширина составляет 70 %	длины	.
Где F — сила упругости при растяжении ( сжатии ) упругого тела , k — коэффициент упругости этого тела , х — изменение его	длины	.
Какую часть	длины	прямоугольника составляет его ширина ?
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение	длины	прилежащего катета к длине гипотенузы .
256 Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет 60 %	длины	, высота на 20 % больше ширины , а сумма трех его измерений равна 5,8 дм .
187 Длина первого прямоугольника на 20 % больше	длины	второго , а ширина — на 40 % меньше ширины второго .
Площадь прямоугольника равна произведению его	длины	и ширины .
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение	длины	противолежащего катета к длине прилежащего .
большой	додекаэдр	.
большой звездчатый	додекаэдр	.
« плосконосый »	додекаэдр	.
малый звездчатый	додекаэдр	.
По числу граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) ,	додекаэдр	( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
	Додекаэдр	.
711 Сколько ребер и сколько граней сходится в вершине тетраэдра , гексаэдра , октаэдра ,	додекаэдра	, икосаэдра ?
Этот же путь прошла в своем развитии и сама наука математика : путь наблюдений , выявления различных закономерностей , выдвижения гипотез и поиска способов их	доказательства	.
Строгие	доказательства	правильности рассмотренных построений разбираются в курсе геометрии старших классов .
Для	доказательства	этого свойства достаточно к левой и правой части исходной пропорции прибавить по единице .
Точное	доказательство	этого свойства , как и других утверждений , приведенных ниже , будет дано в курсе геометрии 7 - 9 классов .
398 Объясни , почему	доказательство	проведено неверно .
Следующий этап —	доказательство	или опровержение этих гипотез — поможет вам освоить новый метод логического обоснования общих утверждений — дедукцию .
Почему проведенное исследование не является	доказательством	этой гипотезы ? .
Является ли проведенное исследование	доказательством	высказанных утверждений ? .
Почему проведенное исследование нельзя считать	доказательством	этой гипотезы ? .
Можно ли считать	доказательством	твоей гипотезы выполненные построения и измерения ? .
Какие из полученных чисел можно представить в виде конечных десятичных	дробей	?
16 Какие ты знаешь способы сравнений обыкновенных	дробей	?
Сейчас мы рассмотрим примеры , где оба вида	дробей	встречаются одновременно .
293 Вычисли сумму , представляя каждое слагаемое в виде разности	дробей	с числителями , равными 1 .
Однако за х удобнее принять исходную массу огурцов в первой бочке , так как она меньше и у нас не появится	дробей	.
Множество натуральных чисел является подмножеством множества	дробей	.
180 Найди значения	дробей	.
Запиши в виде десятичных	дробей	данные обыкновенные дроби .
Сумма двух неправильных	дробей	может оказаться правильной дробью .
а ) Число , противоположное отрицательному , положительно . б ) Произведение правильных	дробей	является правильной дробью .
( Р — множество правильных	дробей	) .
10 ) Частное десятичных	дробей	можно записать в виде конечной десятичной дроби .
6 ) Частное двух	дробей	может быть натуральным числом .
Эти названия связаны с тем , что при записи пропорции в строчку два члена располагаются “ по краям ” , а два — “ посередине ” , причем это как раз те члены , которые в записи пропорции с помощью	дробей	расположены “ перекрестно ” .
104 Какие способы сравнения	дробей	ты знаешь ?
Вычисли значения	дробей	А и В. 2 )
простое число . R — множество	дробей	.
( R — множество	дробей	) .
Чтобы получить ответ , обе дроби надо записать в каком - либо одном виде : либо в виде обыкновенных дробей , либо в виде конечных десятичных	дробей	( если , конечно , перевод в десятичную дробь возможен ) .
множество	дробей	.
R — множество	дробей	.
Так , если бы в нашей задаче мы сначала умножили все члены отношения на 10 , а затем разделили их на 4 , то избавились бы от	дробей	и тем самым получили более простое уравнение .
Какая из	дробей	ближе к единице : правильная или обратная ей неправильная ? .
36 Всегда ли можно записать в виде конечной десятичной дроби сумму , разность , произведение и частное двух десятичных	дробей	?
Представь их в виде конечных десятичных	дробей	, расположи в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам .
Какая часть продукции высшего качества выпущена за январь и февраль отдельно , если известно , что каждая из этих	дробей	несократима , не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и умножении знаменателя на 2 , и если за январь выпущено больше , чем за февраль ? . .
Как мы уже отмечали , основное свойство пропорций есть не что иное , как другая формулировка уже известного нам “ перекрестного ” правила равенства	дробей	.
Чтобы получить ответ , обе дроби надо записать в каком - либо одном виде : либо в виде обыкновенных	дробей	, либо в виде конечных десятичных дробей ( если , конечно , перевод в десятичную дробь возможен ) .
Иначе говоря , мы имеем одно утверждение — “ перекрестное ” правило для	дробей	, а называть его можно и основным свойством пропорций , и условием равенства дробей , и условием равенства отношений .
Сумма двух правильных	дробей	также должна быть правильной дробью .
Иначе говоря , мы имеем одно утверждение — “ перекрестное ” правило для дробей , а называть его можно и основным свойством пропорций , и условием равенства	дробей	, и условием равенства отношений .
421 Вычисли значения	дробей	А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
2 ) Какие из	дробей	записаны
Сумма двух правильных	дробей	может не быть правильной дробью .
В арифметике , имеющей дело с числами , удобно говорить на языке	дробей	, язык отношений — со времен Древней Греции — распространен в геометрии , а язык пропорций общепринят в повседневной практике и при проведении математических расчетов в физике , химии и т .
746 Среди обыкновенных	дробей	найди те , которые можно представить в виде конечных десятичных .
544 Какие из	дробей	можно перевести в конечную десятичную дробь ?
сумма двух неправильных	дробей	— неправильная дробь .
144 Опровергни утверждения и запиши их отрицания на математическом языке ( R — множество	дробей	) .
Произведение двух правильных	дробей	может быть неправильной дробью .
Вычисли частное данных	дробей	с точностью до десятитысячных .
396 Запиши выражения в виде	дробей	и , если возможно , сократи их .
Представь дроби в виде бесконечных периодических	дробей	и округли с точностью до тысячных .
Ни одну из	дробей	со знаменателем 6 нельзя перевести в десятичную .
Сумма двух правильных	дробей	является правильной дробью .
натуральное число ( D — множество правильных	дробей	) .
( Я — множество	дробей	) .
Заметим , что отношения 8 к 3 и 3 к 8 , как и	дроби	называют взаимно обратными .
в виде : а ) обыкновенной дроби ; б ) смешанного числа ; в ) десятичной	дроби	? .
Некоторые	дроби	нельзя привести к одинаковому знаменателю .
Поскольку проценты можно выразить дробями , то задачи на проценты являются , по существу , теми же задачами на	дроби	.
425 Найди	дроби	, которые можно перевести в десятичные , и выполни перевод .
Найди	дроби	, которые можно перевести в конечные десятичные .
Какое число надо вычесть из числителя и из знаменателя	дроби	.
227 Запиши выражение в виде	дроби	и , если возможно , сократи .
Знаменатель	дроби	на 8 больше числителя .
Запиши выражения , используя десятичные	дроби	, и выполни действия в десятичных дробях .
б ) Некоторое число вычли из числителя , прибавили к знаменателю	дроби	и после сокращения получили .
60 Сформулируй разными способами высказывание “ Некоторые	дроби	при сокращении уменьшаются ” .
Для тех случаев , когда нужное количество не выражалось натуральным числом , люди придумали	дроби	— делили целое на несколько равных частей , и тогда ответ на вопрос “ Сколько ? ” мог быть дан в виде некоторого числа таких 37 частей — урожая , — пути , 8,5 лет .
Эти задачи решаются так же , как и соответствующие задачи на	дроби	, но перед их решением число р% выражается дробью .
88 Докажи , что данные обыкновенные	дроби	можно перевести в конечные десятичные .
Переведи десятичные	дроби	в обыкновенные и выполни действия в обыкновенных дробях .
338 Сравни	дроби	, если значения всех переменных — натуральные числа .
87 Докажи , что обыкновенные	дроби	в данных примерах нельзя перевести в конечные десятичные .
560 Может ли дробь , в которой числитель меньше знаменателя , быть равной	дроби	, в которой числитель больше знаменателя ? .
« Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной	дроби	в том и только том случае , когда ее знаменатель не имеет простых делителей , кроме .. » .
Чему равен знаменатель	дроби	? .
219 Запиши выражение в виде	дроби	и , если возможно , сократи .
в виде : а ) обыкновенной	дроби	; б ) смешанного числа ; в ) десятичной дроби ? .
В первом примере вычисления проще в десятичных дробях , так как после перевода	дроби	0,6 в обыкновенную получаются дроби с разными знаменателями .
В первом примере вычисления проще в десятичных дробях , так как после перевода дроби 0,6 в обыкновенную получаются	дроби	с разными знаменателями .
Чтобы получить ответ , обе	дроби	надо записать в каком - либо одном виде : либо в виде обыкновенных дробей , либо в виде конечных десятичных дробей ( если , конечно , перевод в десятичную дробь возможен ) .
Остальные дроби переведи в бесконечные периодические	дроби	, указав период .
А вот в последнем примере переход к десятичным дробям невозможен , так как знаменатель обыкновенной	дроби	содержит простой делитель 7 , отличный от 2 и 5 .
Остальные	дроби	переведи в бесконечные периодические дроби , указав период .
Например , прежде чем искать значение	дроби	можно заметить , что в числителе и знаменателе по 5 десятичных знаков после запятой , а в множителях знаменатели 3 и 9 .
Каждая из этих новых величин представляет собой значение величины , стоящей в числителе	дроби	, приходящейся на единицу величины , стоящей в знаменателе .
336 Сократи	дроби	.
Какое число надо прибавить к числителю и к знаменателю	дроби	— , чтобы получить дробь , равную 0,5 ? .
Поэтому , умножив числитель и знаменатель	дроби	на произведение 9 ∙ 100000 , мы сможем заменить все числа в ее записи целыми .
Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на	дроби	.
Существуют две правильные	дроби	, сумма которых не является правильной дробью .
Если числитель этой	дроби	уменьшить на 2 , а знаменатель увеличить на 2 , то получится дробь , равная .
Процентное отношение широко используется для сравнения на практике , поскольку проценты соответствуют дробям с одним и тем же знаменателем 100 , а	дроби	с одним знаменателем сравнивать гораздо проще .
Знаменатель неправильной	дроби	всегда является простым числом .
Построй отрицания ложных высказываний . 1 ) Любая правильная дробь меньше любой неправильной	дроби	.
неправильной	дроби	. б ) гипотенузы прямоугольного треугольника .
Не случайно поэтому единицами измерения этих новых величин являются	дроби	: для скорости — км / ч , м / с , см / с ; для цены — р./кг , р./билет ; для производительности — шт./мин , деталей / ч ; для плотности — кг / дм3 , г / см3 и т .
Сравни	дроби	пятью различными способами .
Выбери	дроби	, которые можно перевести в конечные десятичные , и расшифруй слово .
231 Числитель	дроби	на 8 меньше знаменателя .
420 Сравни	дроби	.
5 ) Не из всякой неправильной	дроби	можно выделить целую часть .
Сократи	дроби	с натуральными числителями и знаменателями .
Запиши в виде десятичных дробей данные обыкновенные	дроби	.
Представь в виде обыкновенной несократимой	дроби	.
Числитель	дроби	на 5 меньше ее знаменателя .
Формула процентов объединяет все три типа задач на	дроби	, и , при желании , можно ею пользоваться , чтобы найти любую из неизвестных величин а , b и р .
Существуют две правильные	дроби	, сумма которых является неправильной дробью .
Если к числителю	дроби	прибавить 1 , а из знаменателя вычесть 1 , то получится дробь , равная 0,4 .
Чтобы избежать подобных ошибок в применении формул , можно пользоваться любопытной арифметической связью между единицами измерения — их можно “ перемножать ” и “ делить ” по тем же правилам , что и числовые	дроби	.
Зато длинные отношения можно преобразовывать , как обычные	дроби	: умножать все его члены на одно и то же число , сокращать .
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную , и запиши ее в виде бесконечной периодической	дроби	, указав период .
330 Сократи	дроби	с натуральными числителями и знаменателями .
463 Сократи	дроби	с натуральными числителями и знаменателями .
Квадрат правильной дроби всегда меньше самой	дроби	.
Аналогично , если масштаб задан дробью с числителем 1 , то для вычисления реального расстояния на местности длину соответствующего отрезка на карте достаточно умножить на знаменатель	дроби	.
Действительно , если бы число d можно было записать в виде несократимой	дроби	, то ее квадрат — несократимая дробь — был бы равен Q целому числу 2 .
Квадрат правильной	дроби	всегда меньше самой дроби .
730 Запиши значение выражения в виде бесконечной периодической	дроби	.
Любую обыкновенную дробь , знаменатель которой кратен 10 , можно записать в виде конечной десятичной	дроби	.
Любое число процентов можно записать в виде десятичной	дроби	, выражающей часть величины .
Сократи	дроби	со знаменателями , отличными от нуля .
в ) Если дробь сократима , то ее числитель и знаменатель имеют общий делитель , отличный от 1 . г ) Если дробь правильная , то числитель	дроби	меньше ее знаменателя .
Запиши на математическом языке основное свойство	дроби	.
Например , 7 не делится на 5 до тех пор , пока не появляются	дроби	.
Чему равен числитель данной	дроби	? .
а ) умножения рациональных чисел ; б ) правильной	дроби	; в ) прямоугольника ; г ) трапеции .
Запись в виде обыкновенной	дроби	.
Чему равен знаменатель данной	дроби	? .
Любое рациональное число можно представить в виде	дроби	, в которой числитель — целое число , а знаменатель — натуральное , поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
10 ) Частное десятичных дробей можно записать в виде конечной десятичной	дроби	.
Ясно , что таким же образом преобразуются и дроби : ведь черта в записи обыкновенной	дроби	— это тот же знак деления .
Ясно , что таким же образом преобразуются и	дроби	: ведь черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления .
36 Всегда ли можно записать в виде конечной десятичной	дроби	сумму , разность , произведение и частное двух десятичных дробей ?
46 Представь выражение в виде	дроби	, если a , b , с , d , k 0 : .
375 Представь выражения в виде	дроби	при ненулевых значениях переменных .
Сравни	дроби	.
Во втором предложении подразумевается , что m и n — натуральные числа , так как это следует из определения	дроби	.
328 Сократи	дроби	, если значения всех переменных отличны от нуля .
663 Сократи , если возможно ,	дроби	со знаменателями , не равными нулю .
557 а ) Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя	дроби	, чтобы получить число , равное 0,5 ? .
Масштаб карты можно записать в виде	дроби	с числителем 1 или в виде частного с делимым 1 .
При этом знак косой черты можно понимать именно как черту	дроби	.
Запиши ответ , используя обыкновенные и десятичные	дроби	( с точностью до десятых ) .
Представь данные	дроби	в виде несократимых и продолжи ряд на два числа , сохраняя закономерность .
Представь	дроби	в виде бесконечных периодических дробей и округли с точностью до тысячных .
343 Сократи	дроби	с натуральными числителями и знаменателями .
Расшифруй его схему , б ) Представь числа в виде неправильной	дроби	и продолжи ряд на три числа , сохраняя закономерность .
754 Какое свойство	дроби	используется при сокращении ?
Приведи	дроби	к наименьшему общему знаменателю и продолжи ряд на два числа , сохраняя закономерность .
Если числитель	дроби	увеличить на 4 , а знаменатель увеличить в 3 раза , то дробь обратится в 1/2 .
И вообще , для любых чисел a и b так что для преобразования	дроби	знак “ минус ” можно перенести из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель , а можно поставить его перед самой дробью .
Знаменатель	дроби	на 20 % больше ее числителя .
Знаменатель	дроби	на 1 меньше числителя .
471 Сократи	дроби	с натуральными числителями и знаменателями .
329 Запиши в виде несократимой	дроби	часть , которую : а ) 45 составляет от 72 ; б ) 56 составляет от 224 ; в ) 126 составляет от 198 ; г ) 330 состав .
153 Сократи	дроби	с натуральными числителями и знаменателями .
Запись в виде десятичной	дроби	.
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и	дробной	частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе	дробной	части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
Если же переменная x может принимать натуральные и	дробные	значения , то предложение становится истинным высказыванием после подстановки в него значения x = 7,5 .
Но d не является и	дробным	.
К — отрицательных	дробных	чисел .
Запиши множество его целых решений и 2	дробных	решения .
Например , где R — множество	дробных	чисел .
496 Замени отношение	дробных	чисел несократимой дробью .
Нетрудно будет убедиться , что они останутся верными и для	дробных	чисел .
Однако и	дробных	чисел не всегда хватает , чтобы измерить , например , температуру воздуха .
Если числитель увеличить в 2 раза , а знаменатель увеличить на 6 , то получится	дробь	, равная .
Если	дробь	неправильная , то обратная к ней дробь правильная , или .
Если числитель дроби увеличить на 4 , а знаменатель увеличить в 3 раза , то	дробь	обратится в 1/2 .
г ) Любая неправильная	дробь	больше единицы .
Это касается и математических объектов : натуральное число может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ;	дробь	может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
2 чтобы получить	дробь	, равную .
Эта дробь неправильная ( условие истинно ) , и обратная к ней	дробь	неправильная ( заключение ложно ) .
Если числитель этой дроби уменьшить на 2 , а знаменатель увеличить на 2 , то получится	дробь	, равная .
Если дробь неправильная , то обратная к ней	дробь	правильная , или .
441 Замени данную обыкновенную	дробь	десятичной с точностью до целых , десятых , сотых , тысячных .
Если из числителя вычесть 4 , а знаменатель умножить на 4 , то получится	дробь	, равная 0,125 .
Какое число надо прибавить к числителю и к знаменателю дроби — , чтобы получить	дробь	, равную 0,5 ? .
Эта	дробь	неправильная ( условие истинно ) , и обратная к ней дробь неправильная ( заключение ложно ) .
Миша придумал схему для правила перевода смешанного числа в неправильную	дробь	.
Любая правильная	дробь	меньше 1 .
Если к числителю дроби прибавить 1 , а из знаменателя вычесть 1 , то получится	дробь	, равная 0,4 .
Из того , что	дробь	правильная , следует , что обратная к ней дробь неправильная .
сумма двух неправильных дробей — неправильная	дробь	.
Дробь 7/16 — можно перевести в десятичную	дробь	.
Любую десятичную	дробь	можно представить в виде обыкновенной . 6 )
35 Верно ли , что любую обыкновенную	дробь	можно перевести в конечную десятичную ?
Любую обыкновенную	дробь	, знаменатель которой кратен 10 , можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Из того , что	дробь	неправильная , следует , что обратная к ней дробь правильная .
Следовательно ,	дробь	— сократима , что противоречит условию о ее несократимости .
70 Сократима ли	дробь	, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью дает 1 ?
Из того , что дробь неправильная , следует , что обратная к ней	дробь	правильная .
237 Преобразуй выражение в	дробь	и , если возможно , сократи ее ( значения всех переменных отличны от нуля ) .
Действительно , если бы число d можно было записать в виде несократимой дроби , то ее квадрат — несократимая	дробь	— был бы равен Q целому числу 2 .
Если	дробь	неправильная , то обратная к ней дробь правильная .
Если дробь правильная , то обратная к ней	дробь	неправильная .
248 Преобразуй выражение в	дробь	и , если возможно , сократи ее , если значения всех переменных отличны от нуля .
316 Округли десятичную	дробь	до сотых , а затем вырази в процентах соответствующую ей часть величины .
428 Замени данную обыкновенную	дробь	десятичной с точностью до целых , десятых , сотых , тысячных .
Докажи , что данную	дробь	нельзя перевести в конечную десятичную , и запиши ее в виде бесконечной периодической дроби , указав период .
461 1 ) Что значит — сократить	дробь	?
в ) Если	дробь	сократима , то ее числитель и знаменатель имеют общий делитель , отличный от 1 . г ) Если дробь правильная , то числитель дроби меньше ее знаменателя .
Чтобы получить ответ , обе дроби надо записать в каком - либо одном виде : либо в виде обыкновенных дробей , либо в виде конечных десятичных дробей ( если , конечно , перевод в десятичную	дробь	возможен ) .
95 Докажи , что дробь , полученную в ответе примера , нельзя перевести в конечную десятичную	дробь	.
95 Докажи , что	дробь	, полученную в ответе примера , нельзя перевести в конечную десятичную дробь .
в ) Если дробь сократима , то ее числитель и знаменатель имеют общий делитель , отличный от 1 . г ) Если	дробь	правильная , то числитель дроби меньше ее знаменателя .
Пользуясь им , определи , увеличивается или уменьшается	дробь	при сокращении ? .
"Однако наборщик принял это “ cto "" за"	дробь	и напечатал “ % ” .
Если	дробь	правильная , то обратная к ней дробь неправильная .
Существует	дробь	с числителем 2 , большая двух седьмых .
Любую обыкновенную	дробь	можно представить в виде конечной десятичной .
Из того , что дробь правильная , следует , что обратная к ней	дробь	неправильная .
544 Какие из дробей можно перевести в конечную десятичную	дробь	?
При каком условии обыкновенную	дробь	можно перевести в конечную десятичную ?
560 Может ли	дробь	, в которой числитель меньше знаменателя , быть равной дроби , в которой числитель больше знаменателя ? .
Итак , чтобы найти р% от числа , надо это число умножить на	дробь	.
« Несократимую	дробь	можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только том случае , когда ее знаменатель не имеет простых делителей , кроме .. » .
Существует	дробь	, удовлетворяющая неравенству .
Если дробь неправильная , то обратная к ней	дробь	правильная .
Легко заметить также , что в знаменателе есть общий множитель — , или , что то же самое , 0,75 , который можно вынести за скобку , а затем сократить на него	дробь	.
8) Неправильная	дробь	меньше единицы .
139 а ) Увеличивается или уменьшается	дробь	при сокращении ?
несократимая	дробь	.
Учитывая , что 1212 легко делится на 6 , здесь удобнее десятичную	дробь	заменить обыкновенной .
Для ложных высказываний построй отрицания . 1 ) Каждая неправильная	дробь	больше единицы .
Построй отрицания ложных высказываний . 1 ) Любая правильная	дробь	меньше любой неправильной дроби .
5 ) Правильная	дробь	может быть равна 1 . 6 )
Замени ее десятичной	дробью	с точностью до сотых .
Аналогично , если масштаб задан	дробью	с числителем 1 , то для вычисления реального расстояния на местности длину соответствующего отрезка на карте достаточно умножить на знаменатель дроби .
Сумма двух правильных дробей может не быть правильной	дробью	.
Масштаб может задаваться также дробью с числителем , не равным 1 , например ,	дробью	( или , соответственно , частным с делимым , не равным 1 ) .
Масштаб может задаваться также	дробью	с числителем , не равным 1 , например , дробью ( или , соответственно , частным с делимым , не равным 1 ) .
Как найти число по его части , выраженной	дробью	?
Произведение двух правильных дробей может быть неправильной	дробью	.
82 Как найти часть от числа , выраженную	дробью	?
83 Как найти число по его части , выраженной	дробью	?
И вообще , для любых чисел a и b так что для преобразования дроби знак “ минус ” можно перенести из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель , а можно поставить его перед самой	дробью	.
135 Как найти часть от числа , выраженную	дробью	?
Сумма двух правильных дробей также должна быть правильной	дробью	.
Эти задачи решаются так же , как и соответствующие задачи на дроби , но перед их решением число р% выражается	дробью	.
496 Замени отношение дробных чисел несократимой	дробью	.
Сумма двух правильных дробей является правильной	дробью	.
Существуют две правильные дроби , сумма которых является неправильной	дробью	.
Сумма двух неправильных дробей может оказаться правильной	дробью	.
70 Сократима ли дробь , которая в сумме с данной правильной несократимой	дробью	дает 1 ?
Чтобы найти число по его части b , выраженной	дробью	( Р ∙ 0 ) .
а ) Число , противоположное отрицательному , положительно . б ) Произведение правильных дробей является правильной	дробью	.
Существуют две правильные дроби , сумма которых не является правильной	дробью	.
Вырази эти части обыкновенными	дробями	, десятичными дробями и в процентах .
Мы уже научились выполнять действия с обыкновенными и десятичными	дробями	по отдельности .
Поскольку проценты можно выразить	дробями	, то задачи на проценты являются , по существу , теми же задачами на дроби .
1 Совместные действия с обыкновенными и десятичными	дробями	.
Какие из чисел , принадлежащих этому множеству , являются : а ) натуральными числами ; б )	дробями	? .
С этой точки зрения “ многоступенчатые ” примеры на порядок действий с обыкновенными и десятичными	дробями	становятся своеобразными тестами на умение мыслить , на аккуратность , находчивость , трудолюбие , способность человека достигать поставленной цели .
В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими	дробями	: половина — 50 % , четверть — 25 % , три четверти — 75 % , пятая часть — 20 % , три пятых — 60 % и т .
Вырази эти части обыкновенными дробями , десятичными	дробями	и в процентах .
350 Сколько возникает на окружности	дуг	, если на ней поставлены две точки ?
335 Исходя из значения слова «	дуга	» в обыденной речи , найди рисунок , на котором цветом изображена дуга окружности .
335 Исходя из значения слова « дуга » в обыденной речи , найди рисунок , на котором цветом изображена	дуга	окружности .
Для построения квадрата можно провести два взаимно перпендикулярных диаметра , а разделив образовавшиеся	дуги	пополам , построим правильный восьмиугольник .
Вычисли угол α и построй развертку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что длина	дуги	сектора равна длине окружности основания .
358 а ) Построй отрезок АВ , равный 5 см. Затем проведи две	дуги	радиусом 4 см и центрами в точках А и В до их пересечения в точке С. Соедини точки A , R и С отрезками и определи вид треугольника АВС .
Предложи свой вариант определения	дуги	окружности и сделай рисунок .
Это привело к тому , что в Германии , например , было 40 различных	единиц	длины — локтей , во Франции — 18 единиц длины , называвшихся лье , а в России — более 100 различных футов : ткацкий , рабочий , землемерный , инженерный и т .
Найти натуральное число , которое в 7 раз больше цифры его	единиц	.
207 Когда трехзначное число , у которого цифры сотен и десятков одинаковые , а цифра	единиц	равна 5 , разделили на однозначное число , то в остатке получили 8 .
Натуральное число , записанное с помощью трех	единиц	и 100 нулей , не может делиться на 2 .
420 Выполни деление 15,5151 : 0,36 и округли результат : 1 ) до десятков ; 2 ) до	единиц	; 3 ) до десятых ; 4 ) до сотых ; 5 )
Натуральное число , записанное с помощью трех	единиц	и 100 нулей , не может не быть составным .
Лишь в середине XIX века была создана метрическая система мер — международные эталоны	единиц	измерения , которыми многие страны пользуются до сих пор .
до	единиц	.
Натуральное число , записанное с помощью трех	единиц	и 100 нулей , может делиться на 2 .
Это привело к тому , что в Германии , например , было 40 различных единиц длины — локтей , во Франции — 18	единиц	длины , называвшихся лье , а в России — более 100 различных футов : ткацкий , рабочий , землемерный , инженерный и т .
При этом было решено , что отношение соседних	единиц	измерения должно равняться 10 или быть кратно 10 .
Найти все трехзначные числа , цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой	единиц	уменьшаются на 594 .
134 Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу	единиц	измерения величин в формулах .
Натуральное число , записанное с помощью трех	единиц	и 100 нулей , может не быть составным .
Если же в группы объединять не 10 , а другое число	единиц	— например , 2 , 3 , 4 и т .
В десятичной позиционной системе записи чисел 10	единиц	каждого разряда образуют 1 единицу следующего разряда .
209 Пользуясь формулой , где у — температура по Цельсию , а х — температура по Фаренгейту , определи с точностью до	единиц	.
Есть еще один важный момент , на который нужно обращать внимание при составлении уравнения , — это соответствие	единиц	измерения величин , входящих в уравнение .
Существует натуральное число , записанное с помощью трех	единиц	и 100 нулей , которое делится на 2 .
Проверить соответствие	единиц	измерения величин ( если необходимо , согласовать их ) .
Так , чтобы записать в троичной системе некоторое число — например , 145 , — надо выяснить , сколько в нем содержится троичных “	единиц	” , “ десятков ” , “ сотен ” , “ тысяч ” и т .
Так , числа 2 и ( -2 ) оба расположены на расстоянии 2	единиц	от 0 , а числа ( -4,5 ) и 4,5 — на расстоянии 4,5 от 0 .
3 Проверить соответствие	единиц	измерения .
Найди числа , являющиеся приближениями числа а с недостатком и избытком с точностью до сотен , десятков ,	единиц	, десятых , сотых , тысячных .
Существует натуральное число , записанное с помощью трех	единиц	и 100 нулей , которое не является составным .
На координатной прямой точно так же , как и на координатном луче , можно показывать изменение величины числа : увеличение — с помощью перемещения на соответствующее число	единиц	вправо , а уменьшение — с помощью перемещения влево .
537 На месте	единиц	в трехзначном числе стоит цифра 2 .
Образец записи решения . 2 ) В записанных неравенствах подчеркни те числа , которые являются результатами округления числа а с точностью до сотен , десятков ,	единиц	, десятых , сотых , тысячных .
Ответ округли до	единиц	тысяч .
в ) Какая	единица	измерения углов является общепринятой ?
Заметим , что	единица	объема , равная 1 дм3 , имеет и другое название — литр .
б ) Какими	единицами	измерения удобнее измерять углы — большими или маленькими ?
Чтобы избежать подобных ошибок в применении формул , можно пользоваться любопытной арифметической связью между	единицами	измерения — их можно “ перемножать ” и “ делить ” по тем же правилам , что и числовые дроби .
Не случайно поэтому	единицами	измерения этих новых величин являются дроби : для скорости — км / ч , м / с , см / с ; для цены — р./кг , р./билет ; для производительности — шт./мин , деталей / ч ; для плотности — кг / дм3 , г / см3 и т .
Наиболее распространенными	единицами	длины , площади и объема в повседневной жизни являются .
571 Вырази величину угла АОВ в	единицах	измерения e1 , е2 , е3 , е4 . а ) Как изменяется результат измерения углов при увеличении единицы измерения ?
Определение : Отношение длины отрезка на изображении к его реальной длине ( в одних и тех же	единицах	измерения ) называется масштабом изображения .
537 В каких	единицах	обычно измеряют : а ) длину шага ; б ) вместимость банки .
536 Вырази в	единицах	измерения e1 , е2 , е3 . а ) длину отрезка АВ . б ) площадь прямоугольника ABCD . в ) объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA .
159 Вырази в указанных	единицах	измерения .
Прежде всего , заметим , что масса огурцов выражена в разных	единицах	измерения .
147 Вырази в указанных	единицах	измерения .
Скорость — это путь , пройденный за единицу времени , цена — это стоимость единицы товара , производительность — работа , выполненная за единицу времени , плотность — масса вещества в	единице	объема .
Какая из дробей ближе к	единице	: правильная или обратная ей неправильная ? .
Рассмотрим квадрат со стороной , равной	единице	.
Для доказательства этого свойства достаточно к левой и правой части исходной пропорции прибавить по	единице	.
Чтобы найти отношение одноименных величин ( длин , масс и т . д. ) , необходимо выразить их в одной и той же	единице	измерения — в противном случае полученный результат для сравнения величин использовать нельзя .
б ) произведение взаимно обратных чисел равно	единице	.
Например , если ударный слог обозначить	единицей	, а безударный нулем , то запись ритма новогодней песенки о елочке выглядит так .
Самой распространенной	единицей	измерения углов является градус ( обозначается 1 ° ) .
Поэтому сравнивать величины и выполнять над ними арифметические действия можно только тогда , когда они измерены одной	единицей	измерения .
Основной	единицей	длины в этой системе является метр — часть Парижского меридиана , а единицы площади и объема согласованы с нею : за единицу площади принят квадратный метр , за единицу объема — кубический метр .
Каждая из этих новых величин представляет собой значение величины , стоящей в числителе дроби , приходящейся на	единицу	величины , стоящей в знаменателе .
Скорость — это путь , пройденный за	единицу	времени , цена — это стоимость единицы товара , производительность — работа , выполненная за единицу времени , плотность — масса вещества в единице объема .
Основной единицей длины в этой системе является метр — часть Парижского меридиана , а единицы площади и объема согласованы с нею : за	единицу	площади принят квадратный метр , за единицу объема — кубический метр .
Скорость — это путь , пройденный за единицу времени , цена — это стоимость единицы товара , производительность — работа , выполненная за	единицу	времени , плотность — масса вещества в единице объема .
В десятичной позиционной системе записи чисел 10 единиц каждого разряда образуют 1	единицу	следующего разряда .
Основной единицей длины в этой системе является метр — часть Парижского меридиана , а единицы площади и объема согласованы с нею : за единицу площади принят квадратный метр , за	единицу	объема — кубический метр .
В самом деле , если в каждую	единицу	времени совершалась работа объемом w , то за время t будет совершена работа wt , и поэтому объем выполненной работы А = wt .
В любом случае речь идет о том , какой объем работы совершается в некоторую	единицу	времени .
При измерении углов , как и при измерении любых величин , выбирают	единицу	измерения и устанавливают , сколько раз она содержится в данном угле .
Другими словами , длинные отношения — это условные записи , которые показывают , сколько равных долей величины , принятой за	единицу	, приходится на каждую часть .
Скорость течения реки определяется по тому , как далеко река относит любой предмет — щепку , плот , лодку — за	единицу	времени .
Чтобы измерить величину , нужно выбрать	единицу	измерения и узнать , сколько раз она содержится в измеряемой величине .
На сколько процентов нужно повысить производительность труда , чтобы при сохранении оплаты за	единицу	продукции заработная плата выросла на 5 % ? .
Названия мер , больших основной	единицы	, образуются с помощью приставок дека ( десять ) , гекто ( сто ) , кило ( тысяча ) и мириа ( десять тысяч ) ; а для мер , меньших основной , используются приставки деци ( десятая ) , санти ( сотая ) , милли ( тысячная ) и нано ( миллиардная ) .
364 Найди координаты точек координатной прямой , удаленных : а ) на 3 единицы от точки А ( 1 ) ; б ) на 2 единицы от точки В ( -1 ) ; в ) на 4	единицы	от начала координат .
364 Найди координаты точек координатной прямой , удаленных : а ) на 3 единицы от точки А ( 1 ) ; б ) на 2	единицы	от точки В ( -1 ) ; в ) на 4 единицы от начала координат .
364 Найди координаты точек координатной прямой , удаленных : а ) на 3	единицы	от точки А ( 1 ) ; б ) на 2 единицы от точки В ( -1 ) ; в ) на 4 единицы от начала координат .
Обратим внимание на существенную особенность формул , описывающих взаимосвязь между величинами :	единицы	измерения входящих в нее величин должны быть согласованы между собой .
Например , увеличение числа ( -2 ) на 3	единицы	можно показать стрелкой , идущей от точки ( -2 ) на 3 единицы вправо , и обозначить это увеличение через “ +3 ” .
На географической карте оно всегда меньше	единицы	— 1 : 2 , 1 : 10 , 1 : 100 и т .
85 Найди верные равенства и из соответствующих им букв составь название денежной	единицы	.
Первые	единицы	измерения были не слишком точны .
Например , увеличение числа ( -2 ) на 3 единицы можно показать стрелкой , идущей от точки ( -2 ) на 3	единицы	вправо , и обозначить это увеличение через “ +3 ” .
Скорость — это путь , пройденный за единицу времени , цена — это стоимость	единицы	товара , производительность — работа , выполненная за единицу времени , плотность — масса вещества в единице объема .
Основной единицей длины в этой системе является метр — часть Парижского меридиана , а	единицы	площади и объема согласованы с нею : за единицу площади принят квадратный метр , за единицу объема — кубический метр .
От выбора	единицы	измерения зависит результат измерения величины : чем она больше , тем меньше значение измеряемой величины , и наоборот .
Построй формулу и график этой зависимости , подобрав на осях координат удобные	единицы	измерения .
В данном случае , прежде чем воспользоваться формулой , необходимо привести в соответствие	единицы	измерения ( перевести минуты в часы : 30 мин = 0,5 ч ) , и только после этого выполнять умножение .
А уменьшение этого же числа на 3	единицы	обозначается знаком “ -3 ” .
А можно сначала сместиться по оси х влево на 4	единицы	, а потом — параллельно оси у вверх на 2 единицы .
А можно сначала сместиться по оси х влево на 4 единицы , а потом — параллельно оси у вверх на 2	единицы	.
Для ложных высказываний построй отрицания . 1 ) Каждая неправильная дробь больше	единицы	.
Известны ли тебе другие	единицы	измерения углов ? .
При уменьшении	единицы	измерения ? .
571 Вырази величину угла АОВ в единицах измерения e1 , е2 , е3 , е4 . а ) Как изменяется результат измерения углов при увеличении	единицы	измерения ?
г ) Любая неправильная дробь больше	единицы	.
8) Неправильная дробь меньше	единицы	.
Практический смысл формулы S = ab состоит в том , что для вычисления площади заданного прямоугольника нет необходимости измерять ее непосредственно , то есть укладывать прямоугольник квадратами	единичной	площади и подсчитывать их число .
1 ) А(-5 ) , В(7 ) , С(-2 ) , D(-7 ) , Е(1 ) , F(5 ) , G(2 ) , Н(-1 ) (	единичный	отрезок — 2 клетки ) .
Видно , что чем больше	единичный	угол , тем меньше величина угла , и наоборот .
Отметь на этой прямой начало отсчета и	единичный	отрезок .
F ( -1,6 ) (	единичный	отрезок — 10 клеток ) .
Координатной ( числовой ) прямой называют прямую , на которой выбраны начало отсчета ,	единичный	отрезок и направление отсчета .
F ( -3,5 ) (	единичный	отрезок — 4 клетки ) .
А , В , С , D , Е . F ( 2,5 ) (	единичный	отрезок — 6 клеток ) .
2 ) (	единичный	отрезок — 3 клетки ) .
на прямой выбран	единичный	отрезок .
G ( 3 ) , Н ( 4 ) (	единичный	отрезок — 2 клетки ) .
1 ) А(-5 ) , В(7 ) , С(-2 ) , D(-7 ) , Е(1 ) , F(5 ) , G(2 ) , Н(-1 ) (	единичный отрезок	— 2 клетки ) .
Координатной ( числовой ) прямой называют прямую , на которой выбраны начало отсчета ,	единичный отрезок	и направление отсчета .
на прямой выбран	единичный отрезок	.
F ( -3,5 ) (	единичный отрезок	— 4 клетки ) .
G ( 3 ) , Н ( 4 ) (	единичный отрезок	— 2 клетки ) .
F ( -1,6 ) (	единичный отрезок	— 10 клеток ) .
А , В , С , D , Е . F ( 2,5 ) (	единичный отрезок	— 6 клеток ) .
Отметь на этой прямой начало отсчета и	единичный отрезок	.
2 ) (	единичный отрезок	— 3 клетки ) .
Так , угол АОВ измерен различными	единичными	углами e1 , е2 и е3 .
б ) Построй окружность с центром в точке А ( -3 ; 1 ) и радиусом 4	единичных	отрезка .
Построй окружность с центром в точке А ( -3 ; 5 ) и радиусом 5	единичных	отрезков .
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3	единичных	отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4	единичных	отрезка .
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5	единичных	отрезков .
182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале координат и радиусом 3,5	единичных	отрезка .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3	единичных	отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3	единичных отрезка	, а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале координат и радиусом 3,5	единичных отрезка	.
б ) Построй окружность с центром в точке А ( -3 ; 1 ) и радиусом 4	единичных отрезка	.
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3	единичных отрезка	, а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4	единичных отрезка	.
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5	единичных отрезков	.
Построй окружность с центром в точке А ( -3 ; 5 ) и радиусом 5	единичных отрезков	.
178 Построй	замкнутую	ломаную линию по координатам ее вершин .
Например , прежде чем искать значение дроби можно заметить , что в числителе и знаменателе по 5 десятичных знаков после	запятой	, а в множителях знаменатели 3 и 9 .
В число подставь вместо	звездочек	цифры так , чтобы полученное число делилось на 15 .
276 Вставь вместо	звездочек	пропущенные числа и сделай проверку .
129 В число подставь вместо	звездочек	цифры так , чтобы полученное число делилось : а ) на 18 ; б ) на 30 ; в ) на 45 ; г ) на 36 .
104 Поставь вместо	звездочек	знаки действий так , чтобы получились верные высказывания .
565 Перепиши в тетрадь равенства , вставляя вместо	звездочек	пропущенные цифры .
554 Перепиши в тетрадь равенства , вставляя вместо	звездочек	пропущенные цифры .
42 Какую цифру надо поставить в числе 273∙ вместо	звездочки	, чтобы полученное число делилось : а ) на 2 ; б ) на 5 ; в ) на 10 ?
401 Поставь вместо	звездочки	знак > или знак < .
43 Какую цифру надо поставить в числе 5∙12 вместо	звездочки	, чтобы полученное число делилось : а ) на 3 ; б ) на 9 ?
417 Поставь вместо	звездочки	знак > или знак < .
Посмотрите на цветок и бабочку , котенка и морскую	звезду	, античный Парфенон и высотное здание Московского университета , картины Леонардо да Винчи , Дюрера и Микеланджело и узоры знаменитых павловопосадских платков ..
Предлагалось взять за основу размеры	зерен	, пчелиных сот , длину маятника , делающего одно качание в секунду ..
Сколько тонн	зерна	было на элеваторах первоначально ? .
Когда из первого элеватора вывезли 140 т зерна , а из второго — в 2,5 раз больше , во втором элеваторе	зерна	осталось в 2,4 раза меньше , чем в первом .
Когда из первого элеватора вывезли 140 т	зерна	, а из второго — в 2,5 раз больше , во втором элеваторе зерна осталось в 2,4 раза меньше , чем в первом .
150 На двух элеваторах	зерна	было поровну .
430 Определи	знак	суммы .
Заметим , что в последнем примере при умножении на отрицательное число модули перемножаются , а	знак	произведения противоположен знаку первого множителя .
524 Заключи выражение в скобки двумя способами — ставя перед скобками	знак	“ + ” и знак .
При умножении	знак	результата будет “ минус ” .
Иногда вместо слова « следует » говорят более образно — « вытекает » , и тогда	знак	показывает « направление течения » : из первого предложения « вытекает » второе .
Таким образом , мы видим , что	знак	следования соединяет два предложения с переменными и образует новое высказывание общего вида : из первого предложения следует второе .
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается	знак	: а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
Вообще говоря , чтобы сложить два числа с разными знаками , можно вычесть их модули и поставить перед полученной разностью	знак	числа с большим модулем .
Обычно вначале определяют	знак	, а потом уже находят модуль произведения , например .
524 Заключи выражение в скобки двумя способами — ставя перед скобками знак “ + ” и	знак	.
Ясно , что таким же образом преобразуются и дроби : ведь черта в записи обыкновенной дроби — это тот же	знак	деления .
Поэтому после совершения всех действий у результата получится	знак	“ минус ” .
5 ) ( Р — множество прямых на плоскости ;	знак	I обозначает параллельность прямых ) .
Так как	знак	“ плюс ” не изменяет знака числа , то знак “ минус ” , наоборот , меняет знак числа на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
306 Запиши , используя	знак	def , определение .
288 Запиши решение уравнений , используя	знак	.
Если перед скобками стоит	знак	« - » , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках заменяются на противоположные .
Мы видим , что умножить число ( -2 ) на число 3 можно по простому правилу : перемножить “ числа без знаков ” ( то есть модули ) и перед произведением поставить	знак	“ минус ” .
При уменьшении величины на определенное число процентов , считая от последнего значения , в формуле , как и для простого роста , вместо знака “ плюс ” появляется	знак	“ минус ” .
Сравнивая полученные выражения , мы видим , что	знак	« + » перед скобками не меняет знаков слагаемых в скобках , а знак « - » меняет их на противоположные .
И вообще , для любых чисел a и b так что для преобразования дроби	знак	“ минус ” можно перенести из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель , а можно поставить его перед самой дробью .
295 Запиши решение уравнений , используя	знак	.
При этом	знак	косой черты можно понимать именно как черту дроби .
Так как знак “ плюс ” не изменяет знака числа , то	знак	“ минус ” , наоборот , меняет знак числа на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
Так как знак “ плюс ” не изменяет знака числа , то знак “ минус ” , наоборот , меняет	знак	числа на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
Для краткой записи этих предложений в математике имеется специальный знак —	знак	следования .
401 Поставь вместо звездочки	знак	> или знак < .
401 Поставь вместо звездочки знак > или	знак	< .
Так , вместо отрицания равенства пишут	знак	Например , вместо ( 3 ∙ 4 = 16 ) пишут просто 3∙4 не равно 16 .
Так из - за опечатки этот	знак	вошел в обиход .
Запиши ответ , используя знак > или	знак	< .
Запиши ответ , используя	знак	> или знак < .
Для обозначения отрицания используется похожий на	знак	“ кочерги ” символ — ( читают : “ не ” или “ неверно , что ” ) .
417 Поставь вместо звездочки	знак	> или знак < .
417 Поставь вместо звездочки знак > или	знак	< .
Для краткой записи этих предложений в математике имеется специальный	знак	— знак следования .
Если перед скобками стоит	знак	« + » , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняются .
Мы ввели переменную n , записали условие « n делится на 9 » , поставили	знак	, после которого поставили заключение « n делится на 3 » .
Сравнивая полученные выражения , мы видим , что знак « + » перед скобками не меняет знаков слагаемых в скобках , а	знак	« - » меняет их на противоположные .
Запиши , используя	знак	def , определение .
Таким образом , можно сказать , что мы перенесли слагаемое из левой части уравнения в правую , изменив его	знак	.
Можно сказать , что	знак	отрицания меняет квантор общности на квантор существования и записывается перед исходным предложением с переменной .
Мы видим , что и здесь	знак	отрицания ведет себя так же : он меняет квантор существования на квантор общности .
Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую , изменяя его	знак	на противоположный .
Приведенные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками , можно сложить их модули и поставить общий	знак	.
В обоих случаях величина прибыли и убытка в итоге ищется вычитанием 5 - 2 = 3 , а	знак	зависит от того , какое слагаемое “ перевешивает ” : если доход больше расхода , то возникает прибыль , в противном случае — убыток .
Для обозначения противоположного понятия в обычном языке для удобства иногда используется	знак	“ минус ” .
Чтобы лучше запомнить этот вывод , составим таблицу определения	знака	числа .
518 Запиши на математическом языке : 1 ) Числа а и b одного	знака	.
318 Запиши данное высказывание и обратное к нему с помощью	знака	.
Например , для вычисления значения выражения можно заметить , что в числителе четыре	знака	“ минус , которые при умножении дадут “ плюс ” .
317 Найди истинные высказывания и запиши их на математическом языке с помощью	знака	.
Так как знак “ плюс ” не изменяет знака числа , то знак “ минус ” , наоборот , меняет знак числа на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных	знака	дают “ - ” .
Аналогично в знаменателе три	знака	“ минус ” , которые при умножении дадут “ минус ” .
Итак , произведение двух чисел одного	знака	положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить модули сомножителей .
Употребление	знака	равносильности здесь совершенно естественно : он , как и требуется при обозначении , показывает , что два предложения означают одно и то же , то есть равносильны .
Рассмотрим , как записываются с помощью этого	знака	предложения 1а и 1б .
Так как знак “ плюс ” не изменяет знака числа , то знак “ минус ” , наоборот , меняет знак числа на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых	знака	дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
Так как знак “ плюс ” не изменяет	знака	числа , то знак “ минус ” , наоборот , меняет знак числа на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
При уменьшении величины на определенное число процентов , считая от последнего значения , в формуле , как и для простого роста , вместо	знака	“ плюс ” появляется знак “ минус ” .
Запиши определение равностороннего треугольника с помощью	знака	.
Запиши определение равнобедренного треугольника с помощью	знака	.
Итак , частное двух чисел одного	знака	положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль частного , нужно разделить модуль делимого на модуль делителя .
242 Запиши высказывание на математическом языке с помощью	знака	, подчеркни условие одной чертой , а заключение — двумя .
Сформулируй и запиши с помощью	знака	определение углов каждого вида .
Таким образом , отрицание высказывания А обозначается как — А. Если высказывание не имеет буквенного обозначения , то после	знака	отрицания ставятся скобки : например , ( 3 ∙ 4 = 16 ) .
249 Запиши высказывания на математическом языке с помощью	знака	.
Вообще говоря , чтобы сложить два числа с разными	знаками	, можно вычесть их модули и поставить перед полученной разностью знак числа с большим модулем .
Они отличаются только	знаками	, стоящими перед скобками .
Числа с одинаковыми	знаками	? .
Рассмотрим теперь сложение чисел с разными	знаками	.
Приведенные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы сложить два числа с одинаковыми	знаками	, можно сложить их модули и поставить общий знак .
Таким образом , мы рассмотрели оба случая умножения двух чисел с разными	знаками	.
а ) Какова высота спуска , если на дорожном	знаке	, предупреждающем о спуске , указано 20 % , а его горизонтальная протяженность равна 400 м ? .
Используя	знаки	“ + ” и “ - ” запиши : а ) увеличение на 12 ; б ) уменьшение на 5 кг .
По правилам умножения рациональных чисел , если а > 0 , то	знаки	слагаемых b и с не изменятся , а если а < 0 , то изменятся на противоположные .
Если перед скобками стоит знак « - » , то при раскрытии скобок	знаки	слагаемых в скобках заменяются на противоположные .
Значит , любое выражение , содержащее только	знаки	сложения и вычитания , можно записать в виде алгебраической суммы , например , а значения алгебраических сумм мы уже вычислять умеем .
Поэтому такие выражения часто называют алгебраическими суммами , или просто суммами , — несмотря на то что в них встречаются и	знаки	“ минус ” .
Произведение модулей вычисляем , уже не глядя на	знаки	.
300 Используя	знаки	“ + ” “ - ” и запиши .
Если перед скобками стоит знак « + » , то при раскрытии скобок	знаки	слагаемых в скобках сохраняются .
Подобным образом смысл предложения « Казнить нельзя помиловать » невозможно понять , не зная , как в нем расставлены	знаки	препинания .
Запиши координаты точки М. Определи	знаки	х и у , если М принадлежит I , II , III , IV координатной четверти .
104 Поставь вместо звездочек	знаки	действий так , чтобы получились верные высказывания .
Правила	знаков	при раскрытии скобок позволяют упростить запись суммы .
Запомнить правила	знаков	для умножения очень просто — они совпадают с известными нам правилами знаков при раскрытии скобок .
Такие буквы называют переменными величинами , или переменными , в отличие от цифр и	знаков	математических действий — “ постоянных ” символов математического алфавита .
Запомнить правила знаков для умножения очень просто — они совпадают с известными нам правилами	знаков	при раскрытии скобок .
Итак , произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных	знаков	отрицательно ; чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить модули сомножителей .
Итак , частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух чисел разных	знаков	отрицательно ; чтобы найти модуль частного , нужно разделить модуль делимого на модуль делителя .
Например , прежде чем искать значение дроби можно заметить , что в числителе и знаменателе по 5 десятичных	знаков	после запятой , а в множителях знаменатели 3 и 9 .
Эти равенства показывают , что правила	знаков	при раскрытии скобок для вычитания остаются прежними : “ минус минус ” преобразуется в “ плюс ” , а “ минус плюс ” — в “ минус ” .
Правила	знаков	сохраняются и для случая , когда в скобках не одно число , а алгебраическая сумма чисел , например .
При этом используются известные нам правила	знаков	.
В заключение уточним правило	знаков	при раскрытии скобок в выражениях с рациональными числами .
Поэтому , например . Уже из приведенных примеров видно , что деление рациональных чисел производится самым естественным образом : операцию деления выполняют , пользуясь тем же правилом	знаков	, что и при умножении .
362 Раскрой скобки , пользуясь таблицей	знаков	.
383 Раскрой скобки , пользуясь таблицей	знаков	.
При вычислении “ длинных ” выражений , в которых фигурируют только умножение и деление , пользоваться правилом	знаков	очень удобно .
Сравнивая полученные выражения , мы видим , что знак « + » перед скобками не меняет	знаков	слагаемых в скобках , а знак « - » меняет их на противоположные .
330 Запиши с помощью	знаков	“ + ” и “ - ” высоты гор и глубины морей : а ) высота пика Победы 7439 м . в ) наибольшая глубина Каспийского моря 1025 м . г )
Пользуясь справочником или энциклопедией , приведи еще 4 примера обозначения величин с помощью	знаков	.
Числа х и у разных	знаков	.
Мы видим , что умножить число ( -2 ) на число 3 можно по простому правилу : перемножить “ числа без	знаков	” ( то есть модули ) и перед произведением поставить знак “ минус ” .
За сколько времени наберет ее машинистка , печатающая со скоростью 200	знаков	в минуту ? .
Машинистка печатает со скоростью 180	знаков	в минуту .
В определении понятий над	знаком	< = > иногда ставят латинские буквы def ( от латинского definitio — определение ) .
А уменьшение этого же числа на 3 единицы обозначается	знаком	“ -3 ” .
Иногда их записывают со	знаком	“ плюс ” .
Итак , отрицательные числа — это уже известные нам числа , только со	знаком	“ минус ” : -1 , -6,25 и т .
Увеличение обозначается	знаком	“ + ” , а уменьшение — знаком “ - ” .
В результате ( - ) исчезло из левой части , но появилось в правой части с противоположным	знаком	.
Между тем во многих странах , в частности в США и в Англии , используется другая шкала измерения температуры — шкала Фаренгейта , отмечаемая	знаком	° F .
Заметим , что в последнем примере при умножении на отрицательное число модули перемножаются , а знак произведения противоположен	знаку	первого множителя .
58 Шифр устроен следующим образом : каждой цифре сопоставлено 3 буквы , а	знаку	— 2 буквы и пробел , как указано в таблице .
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В	знаменателе	дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
Аналогично в	знаменателе	три знака “ минус ” , которые при умножении дадут “ минус ” .
Например , прежде чем искать значение дроби можно заметить , что в числителе и	знаменателе	по 5 десятичных знаков после запятой , а в множителях знаменатели 3 и 9 .
Легко заметить также , что в	знаменателе	есть общий множитель — , или , что то же самое , 0,75 , который можно вынести за скобку , а затем сократить на него дробь .
Каждая из этих новых величин представляет собой значение величины , стоящей в числителе дроби , приходящейся на единицу величины , стоящей в	знаменателе	.
Ни одну из дробей со	знаменателем	6 нельзя перевести в десятичную .
Процентное отношение широко используется для сравнения на практике , поскольку проценты соответствуют дробям с одним и тем же знаменателем 100 , а дроби с одним	знаменателем	сравнивать гораздо проще .
Процентное отношение широко используется для сравнения на практике , поскольку проценты соответствуют дробям с одним и тем же	знаменателем	100 , а дроби с одним знаменателем сравнивать гораздо проще .
Например , прежде чем искать значение дроби можно заметить , что в числителе и знаменателе по 5 десятичных знаков после запятой , а в множителях	знаменатели	3 и 9 .
Если числитель дроби увеличить на 4 , а	знаменатель	увеличить в 3 раза , то дробь обратится в 1/2 .
Если из числителя вычесть 4 , а	знаменатель	умножить на 4 , то получится дробь , равная 0,125 .
Умножим обе части уравнения на наименьший общий	знаменатель	всех слагаемых — число 15 .
Аналогично , если масштаб задан дробью с числителем 1 , то для вычисления реального расстояния на местности длину соответствующего отрезка на карте достаточно умножить на	знаменатель	дроби .
8) Дробь ,	знаменатель	которой представим в виде 2n ∙ 5 m , где n , m — натуральные числа , можно перевести в десятичную .
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое число , а	знаменатель	— натуральное , поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
Чему равен	знаменатель	данной дроби ? .
Если числитель увеличить в 2 раза , а	знаменатель	увеличить на 6 , то получится дробь , равная .
Чему равен	знаменатель	дроби ? .
Поэтому , умножив числитель и	знаменатель	дроби на произведение 9 ∙ 100000 , мы сможем заменить все числа в ее записи целыми .
А вот в последнем примере переход к десятичным дробям невозможен , так как	знаменатель	обыкновенной дроби содержит простой делитель 7 , отличный от 2 и 5 .
Если числитель этой дроби уменьшить на 2 , а	знаменатель	увеличить на 2 , то получится дробь , равная .
« Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только том случае , когда ее	знаменатель	не имеет простых делителей , кроме .. » .
Любую обыкновенную дробь ,	знаменатель	которой кратен 10 , можно записать в виде конечной десятичной дроби .
И вообще , для любых чисел a и b так что для преобразования дроби знак “ минус ” можно перенести из числителя в	знаменатель	или из знаменателя в числитель , а можно поставить его перед самой дробью .
в ) Если дробь сократима , то ее числитель и	знаменатель	имеют общий делитель , отличный от 1 . г ) Если дробь правильная , то числитель дроби меньше ее знаменателя .
Некоторые дроби нельзя привести к одинаковому	знаменателю	.
б ) Некоторое число вычли из числителя , прибавили к	знаменателю	дроби и после сокращения получили .
Приведи дроби к наименьшему общему	знаменателю	и продолжи ряд на два числа , сохраняя закономерность .
Какое число надо прибавить к числителю и к	знаменателю	дроби — , чтобы получить дробь , равную 0,5 ? .
231 Числитель дроби на 8 меньше	знаменателя	.
557 а ) Какое число нужно вычесть из числителя и	знаменателя	дроби , чтобы получить число , равное 0,5 ? .
Если к числителю дроби прибавить 1 , а из	знаменателя	вычесть 1 , то получится дробь , равная 0,4 .
И вообще , для любых чисел a и b так что для преобразования дроби знак “ минус ” можно перенести из числителя в знаменатель или из	знаменателя	в числитель , а можно поставить его перед самой дробью .
560 Может ли дробь , в которой числитель меньше	знаменателя	, быть равной дроби , в которой числитель больше знаменателя ? .
Какая часть продукции высшего качества выпущена за январь и февраль отдельно , если известно , что каждая из этих дробей несократима , не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и умножении	знаменателя	на 2 , и если за январь выпущено больше , чем за февраль ? . .
Какое число надо вычесть из числителя и из	знаменателя	дроби .
Числитель дроби на 5 меньше ее	знаменателя	.
в ) Если дробь сократима , то ее числитель и знаменатель имеют общий делитель , отличный от 1 . г ) Если дробь правильная , то числитель дроби меньше ее	знаменателя	.
560 Может ли дробь , в которой числитель меньше знаменателя , быть равной дроби , в которой числитель больше	знаменателя	? .
376 Найди	значение	выражения наиболее рациональным способом .
393 Какое	значение	температуры больше , а какое — меньше ?
73 Подбери	значение	переменной в предложении так , чтобы оно превратилось в истинное высказывание . 1 ) Сегодня по классу дежурит а .
730 Запиши	значение	выражения в виде бесконечной периодической дроби .
После замены букв числами выражение становится числовым , а его	значение	— числом .
729 Составь выражение и найди его	значение	при данных значениях букв .
229 Найди	значение	выражения .
72 Найди	значение	выражения с переменной .
380 Найди	значение	выражения .
Найти	значение	выражения .
156 Найди	значение	выражения .
Установление взаимосвязей между величинами имеет большое практическое	значение	.
235 Составь выражение и найди его	значение	.
Составь выражение и найди его	значение	.
502 Раскрой скобки и найди	значение	полученной алгебраической суммы .
66 Найди	значение	выражения .
От выбора единицы измерения зависит результат измерения величины : чем она больше , тем меньше	значение	измеряемой величины , и наоборот .
4 ) При перестановке слагаемых	значение	суммы не меняется .
Итак , уравнением будем называть равенство , содержащее переменную ,	значение	которой надо найти .
Таким образом , мы видим , что в практической жизни часто совершают одну и ту же операцию : по нескольким значениям величины определяют ее среднее	значение	.
При каких натуральных значениях a и b	значение	выражения 5а + 3 b . а ) кратно 3 ; б ) кратно 5 ; в ) кратно 15 ; г ) не кратно 3 ; д ) не кратно 5 ? .
Например , прежде чем искать	значение	дроби можно заметить , что в числителе и знаменателе по 5 десятичных знаков после запятой , а в множителях знаменатели 3 и 9 .
491 Найди	значение	выражения а + b , если .
Раскроем скобки и вычислим	значение	полученной алгебраической суммы .
при 1 < а < 10 . 156 Запиши данную программу действий в виде числового выражения и найди его	значение	.
в этом равенстве имеется буква ,	значение	которой надо найти .
194 Найди	значение	выражений А , В и С. Подбери четвертое число так , чтобы получилась пропорция .
Из формул этих зависимостей вырази	значение	каждой величины .
Составь выражение и найди его	значение	, если : 1 ) x = 42,6 км / ч , y = 34,2 км / ч ; 2 ) x — 35,6 км / ч , y = 28 км / ч . 229 1 )
75 Составь выражение к задаче и найди его	значение	при данном значении переменной .
180 Вычисли	значение	выражения , запиши ответы в таблицу и расшифруй математический термин .
24 Составь выражение и найди его	значение	при данных значениях букв : Пароход плыл 5 ч по течению реки и 3 ч против течения .
Найди	значение	этого выражения , не вычисляя сумму .
93 Составь выражение к задаче и найди его	значение	при данном значении переменной .
Величины , зависимость между которыми описывается формулой а = bс , обратно пропорциональны , если	значение	произведения постоянно .
Найди	значение	этого выражения при n = 0 , 2 , 5 , 9 , 16 .
Составь выражение и найди еш	значение	при а = 36,4 км / ч , 6 - 1,6 км / ч .
Если же придать	значение	только одной переменной , то опять получится предложение с переменной .
Каждая из этих новых величин представляет собой	значение	величины , стоящей в числителе дроби , приходящейся на единицу величины , стоящей в знаменателе .
Придумай свои примеры , когда одно и то же	значение	величины дает разную качественную оценку некоторой ситуации .
Пусть , например , требуется найти	значение	выражения при д : = 2,56 .
В чем	значение	этих свойств для практических вычислений ?
11 Найди отношение величин и назови ,	значение	какой новой величины при этом образуется .
Другими словами , данное предложение становится высказыванием — истинным или ложным , — если переменной x придать конкретное числовое	значение	.
7 Имеет ли	значение	порядок членов отношения ?
Следовательно ,	значение	данного выражения равно числу ( -30000 ) .
Полученная формула позволяет по любому данному значению х найти соответствующее	значение	у и построить график этой зависимости .
337 Составь выражение и найди его	значение	при s = 45,6 ; b = 1,6 .
Решим полученное уравнение и найдем неизвестное	значение	р .
218 Составь выражение и найди его	значение	, если .
191 Составь выражение и найди его	значение	, если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Его приближенное	значение	с точностью до десятитысячных равно 3,1416 .
201 Составь выражение и найди его	значение	, если а = .
Подставляя в формулу	значение	р = ОД и значения n = 5 , 30 , 120 , получим .
Определи по изображенной шкале прибора	значение	величины , которое показывает стрелка в положении А , В , С , D , Е , F. .
590 Запиши выражение и найди его	значение	при данных значениях букв .
Несмотря на кажущуюся абстрактность математических вычислений и графиков , в повседневной жизни очень часто возникают ситуации , в которых использование математики имеет практическое	значение	.
Найди	значение	выражения .
Так как сумма двух частей составляет 12 млн р . , то	значение	к должно удовлетворять равенству .
Округли	значение	площади с точностью до десятых .
771 Запиши выражение и найди его	значение	при данных значениях букв .
Подставим в формулу	значение	процентной ставки р = 10 , количество лет n = 4 и величину первоначального вклада S = 2000 , получим .
13 Найди	значение	выражения . .
При переводе из троичной системы в десятичную надо представить число в виде суммы разрядных слагаемых и найти	значение	полученного выражения .
Раскроем скобки в данном выражении и вычислим	значение	полученной алгебраической суммы .
Найди приближенное	значение	координат точек пересечения этих окружностей ( 1 ед .
204 Найди	значение	выражения .
354 Найди модули чисел и запиши	значение	модулей .
Составь выражение и найди его	значение	при данных значениях переменных .
Приведены графики трех зависимостей переменной у от переменной х. Первые две зависимости обладают тем свойством , что каждому значению х сопоставляется единственное	значение	у , а третья зависимость этим свойством не обладает ( контрпример показан ) .
415 Пусть А —	значение	некоторой величины , а р% от А составляют В. Построй формулу , выражающую зависимость между величинами А , Вир .
Зависимость переменной у от переменной х , при которой каждому значению х соответствует единственное	значение	у , стали называть функциональной зависимостью , или функцией .
Можно сказать поэтому , что слово “ Коля ” является здесь переменной , а	значением	переменной является любой мальчик с этим именем .
А каждый элемент этого множества называют	значением	переменной .
75 Составь выражение к задаче и найди его значение при данном	значении	переменной .
93 Составь выражение к задаче и найди его значение при данном	значении	переменной .
Предложение 2х=15 с переменной x , напротив , всегда ложно , если x N. В самом деле , при любом натуральном	значении	x в левой части равенства число получается четное , а в правой — нечетное .
Запиши на математическом языке переместительный , сочетательный и распределительный законы умножения и проверь их для произвольно выбранных тобой	значений	переменных .
Из формулы обратной пропорциональности следует , что k = ху , а значит , произведения соответствующих	значений	величин х и у равны .
Другими словами , если величины прямо пропорциональны , то отношение двух	значений	одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины .
99 Составь различные пропорции из соответствующих	значений	величин .
Вначале составим таблицу некоторых	значений	х и соответствующих им значений у , отметим точки с координатами на координатной плоскости и соединим точки линией .
Сравни эти же выражения еще для нескольких	значений	а и b , взятых по собственному выбору .
Таким образом , если величины обратно пропорциональны , то отношение двух	значений	одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины .
Таким образом , если величины обратно пропорциональны , то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих	значений	другой величины .
Другими словами , если величины прямо пропорциональны , то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих	значений	другой величины .
Вначале составим таблицу некоторых значений х и соответствующих им	значений	у , отметим точки с координатами на координатной плоскости и соединим точки линией .
В практических задачах множество	значений	переменной определяется жизненным смыслом ее условий .
График движения пешехода для	значений	f , удовлетворяющих неравенству 0 < t < 4 , показан .
Таблица и график этой зависимости для	значений	а , удовлетворяющих неравенству 0 < а < 4 , приведены .
Заполни таблицу соответственных	значений	а и b и построй график зависимости b от а .
В общем случае множеством значений переменной считают множество всех ее	значений	, при котором уравнение имеет смысл .
Для этого прежде всего надо точно указать , в каком числовом множестве ищутся корни , или , как говорят , указать множество	значений	переменной .
Установи их истинность или ложность для данных	значений	переменных .
Например , в физике далеко не всякую величину можно измерить непосредственно каким - нибудь прибором , и , открывая связи между величинами , физики получают возможность вычисления	значений	таких величин с использованием формул .
Построй график этой зависимости для всех допустимых	значений	а .
Запиши формулу зависимости y от x. Составь таблицу и построй график этой зависимости для	значений	x , удовлетворяющих неравенству .
Отвлекаясь от конкретных	значений	величин , общее свойство зависимостей между ними — а именно то , что одна из величин является произведением двух других , — можно записать так : где а , b и с — это некоторые переменные величины .
30 Нарисуй в тетради таблицу для записи соответствующих	значений	а и x и заполни ее для а = 0,08 ; 0,6 ; 2,9 ; 3 ; 7,2 ; 20,5 .
Составь таблицу и построй график этой зависимости для	значений	п , удовлетворяющих неравенству .
Заполни таблицу и построй график этой зависимости для	значений	о , удовлетворяющих неравенству .
Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых	значений	х x . 80 Из квадрата со стороной 5 см вырезали квадрат со стороной а см. Площадь оставшейся части квадрата — S см2 .
Действительно , из формулы прямой пропорциональности у = kx следует , что k = у / x , поэтому отношения соответствующих	значений	пропорциональных величин равны k и , следовательно , равны между собой .
В последних двух примерах мы не указали множество	значений	переменной .
В общем случае множеством	значений	переменной считают множество всех ее значений , при котором уравнение имеет смысл .
Составь таблицу и построй график этой зависимости для	значений	0 < t < 4 .
Определить множество	значений	переменной х . 8) Составить уравнение .
Таким образом , решить уравнение — значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет ( на множестве	значений	переменной ) .
Например , мы знаем , что при равномерном движении скорость не меняется , поэтому отношения соответствующих	значений	расстояния и времени образуют пропорцию .
Вычисли угол α и построй развертку конуса для	значений	r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что длина дуги сектора равна длине окружности основания .
Разверни полоску и измерь отрезки , показывающие длины окружностей С1 , С2 и С3 Найди отношение соответствующих	значений	С и d с точностью до сотых .
Проверь переместительное свойство для	значений	переменных : а ) -4,8 и 0,3 ; б ) -3 и -1,15 . 2 ) Сформулируй сочетательное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке .
Поэтому всегда важно указывать множество	значений	, которые принимает переменная .
Запиши множество натуральных	значений	переменных , при которых данные предложения становятся истинными высказываниями .
Уравнение , как и всякое предложение с переменной , при подстановке в него конкретных	значений	переменной может становиться истинным или ложным высказыванием .
Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных	значений	а и b.
Проверь сочетательное свойство для	значений	переменных . 3 )
Приведены графики трех зависимостей переменной у от переменной х. Первые две зависимости обладают тем свойством , что каждому	значению	х сопоставляется единственное значение у , а третья зависимость этим свойством не обладает ( контрпример показан ) .
Полученная формула позволяет по любому данному	значению	х найти соответствующее значение у и построить график этой зависимости .
Так , определив по графику , что	значению	х = 3,5 соответствует у = 7 , мы тем самым определяем сразу , что за 3,5 мин автомобиль проедет 7 км , за 3,5 дм тесьмы надо заплатить 7 р . , а за 3,5 мин принтер распечатает 7 страниц .
Зависимость переменной у от переменной х , при которой каждому	значению	х соответствует единственное значение у , стали называть функциональной зависимостью , или функцией .
Укажи вид зависимости между F и х при постоянном k. Вырази из этой формулы	значения	k и х .
Найди	значения	всех данных выражений при .
Выразить через х	значения	других неизвестных величин .
701 Найди	значения	выражений .
99 Подставь в предложения данные	значения	переменных .
Подставляя в формулу значение р = ОД и	значения	n = 5 , 30 , 120 , получим .
Соотнести полученные	значения	х с вопросом задачи ( при необходимости найти искомую величину ) и проверить соответствие полученного ответа реальности .
541 Найди	значения	выражений .
395 Упрости выражения и найди их	значения	.
708 Найди	значения	выражений .
399 Найди	значения	выражений .
Приближенные	значения	величины h м в первые 5 секунд падения приведены в таблице .
310 Найди	значения	выражений .
Подставь	значения	переменных так , чтобы получилось высказывание .
Найди	значения	выражений .
101 Найди все	значения	переменных , обращающие данные предложения в истинные равенства .
Самый простой пример — график изменения температуры в зависимости от времени , когда температура может принимать отрицательные	значения	.
239 Вырази из данного равенства переменную x , если	значения	всех переменных не равны нулю .
Например , если буквой х обозначено количество учеников в школе , то в полученном уравнении разумно считать , что переменная х принимает только натуральные	значения	.
Вычисли	значения	дробей А и В. 2 )
459 Вычисли	значения	выражений А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
46 Найди	значения	выражений .
443 Найди	значения	выражений , сложив отдельно положительные и отрицательные числа .
269 Найди х из пропорций , если	значения	всех переменных отличны от нуля . .
Найди	значения	этих выражений , если .
664 Найди	значения	выражений .
Прочитай выражения и найди их	значения	.
В таких случаях предполагается , что переменная принимает	значения	из множества всех уже известных нам чисел , то есть из множества рациональных чисел .
113 Найди	значения	выражений при а = 0,9 , b = 0,6 , c = 0,1 и сравни их .
530 Упрости выражения и найди их	значения	.
Чтобы предложение с несколькими переменными преобразовать в высказывание , нужно придать	значения	каждой из переменных .
158 Вычисли	значения	А , В , С и D и составь из полученных чисел какую - нибудь пропорцию .
281 В таблице представлены	значения	переменной у при указанных значениях переменной х. Запиши зависимость у от x с помощью формулы .
В последнем примере мы видим , что переменные могут принимать не только числовые	значения	— их значениями могут быть , например , и точки , и прямые .
Если же переменная x может принимать натуральные и дробные значения , то предложение становится истинным высказыванием после подстановки в него	значения	x = 7,5 .
Если же переменная x может принимать натуральные и дробные	значения	, то предложение становится истинным высказыванием после подстановки в него значения x = 7,5 .
Пользуясь ими , найди	значения	выражений .
569 Найди	значения	выражений .
111 Прочитай предложения и подставь в них данные	значения	переменных .
421 Вычисли	значения	дробей А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
Это новое название величин связано с тем , что , как мы уже видели раньше , их соответственные	значения	образуют пропорцию .
Найди их	значения	при а = 10 м , b = 6 м и c = 1,5 м .
Вырази из этой формулы	значения	r и Т .
624 Найди	значения	выражений .
Найди	значения	выражений А , В , С и D и из полученных чисел составь пропорцию .
543 Найди	значения	выражений .
111 Найди	значения	выражений .
Прочитай выражения и вычисли их	значения	при n = -0,5 .
334 Найди	значения	выражений .
556 Найди	значения	выражений .
Устно найди	значения	выражений при х = -2 .
442 Сложив сначала противоположные числа , найди	значения	выражений .
755 Найди	значения	выражений .
579 Найди	значения	выражений .
479 Найди	значения	выражений , расположи их в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам .
416 Упрости выражения и найди их	значения	.
248 Преобразуй выражение в дробь и , если возможно , сократи ее , если	значения	всех переменных отличны от нуля .
Обратим внимание и на то , что во всех этих предложениях четко определены множества , из которых “ берутся ”	значения	переменной .
Значит , любое выражение , содержащее только знаки сложения и вычитания , можно записать в виде алгебраической суммы , например , а	значения	алгебраических сумм мы уже вычислять умеем .
483 Найди	значения	двух данных выражений и сравни их .
Нетрудно заметить , что формулы взаимосвязаны , а именно , две последние формулы получаются из первой , если выразить из нее	значения	а и р .
Например , для вычисления	значения	выражения можно заметить , что в числителе четыре знака “ минус , которые при умножении дадут “ плюс ” .
671 Найди	значения	выражений .
Именно ради такого рода выводов и рассматриваются средние	значения	величин — идет ли речь о среднем урожае на различных полях , уровне доходов населения страны , уровне производства электроэнергии или о состоянии загрязненности города выхлопными газами автомобилей .
328 Сократи дроби , если	значения	всех переменных отличны от нуля .
Придай возможные	значения	переменным a , b , с , d , е , f и g .
Придай переменным	значения	, соответствующие условию твоей задачи , и найди ответ .
466 В 1993 году инфляция в России составляла 30 % в месяц ( то есть цены каждый месяц увеличивались на 30 % от последнего	значения	) .
Таким образом , задача формулировки отрицания — это в некотором смысле задача из грамматики языка , и для ее решения не имеет	значения	, истинно или ложно то предложение , которое мы отрицаем .
Прочитай выражения и найди их	значения	при х = 1,5 ; у = 1 .
455 Прочитай и упрости отношения , если	значения	всех переменных отличны от нуля .
61 Найди	значения	выражений .
323 Найди	значения	выражений .
Вырази из этой формулы	значения	с , m , t1 и t2 .
Найди	значения	выражений , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй название геометрической фигуры .
Если зависимости прямо или обратно пропорциональные , то соответствующие	значения	величин образуют пропорцию .
467 Найди	значения	выражений и расположи их в порядке возрастания .
485 Вычисли	значения	выражений А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
558 Упрости выражения и найди их	значения	.
найти их	значения	и сравнить полученные числа .
587 Найди	значения	выражений .
Найди	значения	х и у такие , чтобы каждое из двух равенств было верным .
Разница законов простого и сложного роста состоит в том , что при простом росте процент каждый раз исчисляют , исходя из начального	значения	величины , а при сложном росте — исходя из суммы последнего начисления .
444 Выбрав удобный порядок вычислений , найди	значения	выражений .
338 Сравни дроби , если	значения	всех переменных — натуральные числа .
520 Найди	значения	выражений .
280 Найди	значения	выражений .
180 Найди	значения	дробей .
Свойства геометрических фигур в силу их большого практического	значения	интересовали людей еще в глубокой древности .
Значит , х может принимать лишь	значения	: 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 , 27 , 54 .
68 Найди	значения	выражений .
335 Исходя из	значения	слова « дуга » в обыденной речи , найди рисунок , на котором цветом изображена дуга окружности .
103 Найди	значения	выражений .
339 В таблице приведены приближенные	значения	площади и численности населения некоторых европейских государств и города Москвы .
241 Найди	значения	выражений .
462 Найди	значения	выражений .
Придавая коэффициенту k различные	значения	, мы будем получать различные расположения графиков на плоскости , но все эти графики — прямые линии .
Таким образом , установленная формула позволяет быстро рассчитывать необходимые	значения	выплат за квартиру .
Вырази из этих формул ( там , где это возможно )	значения	всех входящих в них величин .
603 Прочитай выражения и сравни их	значения	, если а = -5,4 , b = 0,84 .
Полученная выше формула применима не только к задачам о росте вклада , но и к любой ситуации , когда рассматриваемая величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определенное число процентов , считая от последнего ее	значения	.
141 Найди	значения	выражений .
Какие	значения	может принимать у , когда х изменяется в границах : 1 ≤ х ≤ 4 ? .
237 Преобразуй выражение в дробь и , если возможно , сократи ее (	значения	всех переменных отличны от нуля ) .
388 Найди	значения	выражений .
Найди	значения	этих выражений .
Чтобы записать утверждения с помощью кванторов , сначала нужно ввести переменную и определить множество , в котором эта переменная принимает	значения	.
При каких значениях х	значения	у изменяются в границах : 2 ≤ у ≤ 5 ? .
Какие	значения	может принимать а ?
Вырази из этой формулы	значения	ρ , l и S .
При уменьшении величины на определенное число процентов , считая от последнего	значения	, в формуле , как и для простого роста , вместо знака “ плюс ” появляется знак “ минус ” .
Синус , косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения длин сторон треугольника АВС , выражающие	значения	синусов , косинусов и тангенсов углов А и В .
192 Найди	значения	выражений .
Придай	значения	переменным и найди ответ .
Запиши формулу , выражающую зависимость y от x. Какие	значения	может принимать x ?
Найди	значения	выражений , сопоставь их соответствующим буквам и расположи полученные числа в порядке убывания .
Для решения практических задач человеку часто приходится сравнивать разные	значения	одной и той же величины — массы , расстояния , времени , скорости , стоимости , объема , площади и т .
3 Раскрой скобки и найди	значения	выражений .
222 Найди	значения	выражений методом доходов и расходов и с помощью координатной прямой .
Именно , не указывать квантор для каждой переменной , а указать один квантор сразу для нескольких переменных ( если , конечно ,	значения	переменных принадлежат одному и тому же множеству ) .
131 Найди	значения	выражений .
Точно так же используются средние	значения	и во многих других областях деятельности .
Действительно , подставив в последнее равенство вместо букв соответствующие им	значения	а , b n с , получим верное высказывание тогда как при непосредственном подсчете левой и правой части получаются разные числа : в левой части 1/30 , а в правой — 1,25 .
305 Прочитай выражения и найди их	значения	при у = -0,5 .
527 Выполни действия и упрости , если возможно , полученные выражения (	значения	всех переменных отличны от нуля ) .
65 Найди	значения	выражений .
413 Выполни вычисления по алгоритму , заданному блок - схемой , сопоставь полученным	значениям	х соответствующие буквы и расшифруй имя и фамилию известного художника и ученого .
572 Найди длину отрезка АВ координатной прямой , если координаты точек А и В равны	значениям	выражений .
Таким образом , мы видим , что в практической жизни часто совершают одну и ту же операцию : по нескольким	значениям	величины определяют ее среднее значение .
Полученные числа 70 и 1,8 являются , соответственно ,	значениями	данных выражений с переменными при указанных значениях букв .
В предыдущем пункте мы говорили , что предложение с переменными высказыванием не является , но превращается в высказывание после замены всех переменных конкретными	значениями	.
В практической жизни полезно понимать связь между простейшими	значениями	процентов и соответствующими дробями : половина — 50 % , четверть — 25 % , три четверти — 75 % , пятая часть — 20 % , три пятых — 60 % и т .
В последнем примере мы видим , что переменные могут принимать не только числовые значения — их	значениями	могут быть , например , и точки , и прямые .
375 Представь выражения в виде дроби при ненулевых	значениях	переменных .
При каких натуральных	значениях	a и b значение выражения 5а + 3 b . а ) кратно 3 ; б ) кратно 5 ; в ) кратно 15 ; г ) не кратно 3 ; д ) не кратно 5 ? .
Какие предложения при всех натуральных	значениях	переменных истинны , а какие — ложны ? .
Составь выражение и найди его значение при данных	значениях	переменных .
729 Составь выражение и найди его значение при данных	значениях	букв .
Предложение с переменными не обязательно при одних	значениях	переменных истинно , а при других — ложно .
При каких	значениях	переменных они становятся высказываниями ?
Проверь его при произвольно выбранных тобой	значениях	переменных .
100 Докажи равносильность пропорций и определи , при каких	значениях	переменных данные утверждения истинны .
При каких еще	значениях	переменных а , b и с оно будет истинным ?
Используя полученный результат , составь предложение с переменными a , b и с , истинное при данных	значениях	переменных .
771 Запиши выражение и найди его значение при данных	значениях	букв .
590 Запиши выражение и найди его значение при данных	значениях	букв .
При каких	значениях	х значения у изменяются в границах : 2 ≤ у ≤ 5 ? .
Вместе с тем мы можем утверждать , что при x = 5 оно истинно , а при остальных	значениях	x — ложно .
281 В таблице представлены значения переменной у при указанных	значениях	переменной х. Запиши зависимость у от x с помощью формулы .
Может случиться , что при любых	значениях	переменных оно всегда истинно или , наоборот , всегда ложно .
24 Составь выражение и найди его значение при данных	значениях	букв : Пароход плыл 5 ч по течению реки и 3 ч против течения .
При различных	значениях	k графики обратной пропорциональности будут получаться различными .
Полученные числа 70 и 1,8 являются , соответственно , значениями данных выражений с переменными при указанных	значениях	букв .
284 В одной из	игр	КВН команда “ Верные друзья ” получила за домашнее задание оценки 5 ; 6 ; 4 ; 5 ; 6 , а их соперники , команда “ Гусары ” , за это же задание получила оценки 4 ; 5 ; 7 ; 5 ; 4 .
Какая команда победила в этой	игре	, если конкурс “ Домашнее задание ” был последним , а перед его проведением у команды “ Верные друзья ” было 26,7 балла , а у команды “ Гусары ” — 26,8 балла ? .
Для спортивной	игры	все отдыхающие разбились на две равные команды .
	Икосаэдр	.
усеченный	икосаэдр	.
По числу граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и	икосаэдр	( двадцатигранник ) .
усеченный	икосододекаэдр	.
Поэтому порой мы применяли так называемую неполную	индукцию	— переход от одного или нескольких примеров к общему выводу .
Мы познакомимся с	иррациональными	числами в старших классах .
Их назвали	иррациональными	, то есть “ недоступными для понимания ” ( “ ratio ” в переводе с латинского — “ разум ” ) .
Мы познакомимся с	иррациональными числами	в старших классах .
В практической жизни человек часто пользуется не столько самими предметами , сколько их изображениями — чертежами , фотографиями , географическими	картами	.
Примерами координат являются широта и долгота местности на географических	картах	, номер вагона и места в поезде , номер ряда и места в кинотеатре и т .
Например , 1:1000000 ( в современных	картах	обычно используют обозначение в виде частного ) .
764 На	карте	, выполненной в масштабе 1 : 1000000 , расстояние от Москвы до Орехово - Зуево равно 9 см. Чему оно равно в действительности ?
п. Например , отметка “ -1733,5 ” на географической	карте	означает глубину в 1733,5 м .
Расстояние между Москвой и Харьковом на	карте	равно 18,6 см , а в действительности — 744 км .
На	карте	, масштаб которой равен 1 : 8000000 , расстояние от Москвы до Ростова - на - Дону 13,7 см. Какое расстояние между этими городами в действительности ? .
Какое расстояние между этими городами на	карте	, масштаб которой 1 : 10000000 ? .
д. , — ведь ясно , что расстояние , например , от Москвы до Киева на	карте	значительно короче настоящего расстояния между этими городами .
Каким отрезком изобразится это расстояние на	карте	масштабом 1 : 300000 ? .
Знание масштаба географической карты позволяет , проводя измерения на	карте	, узнавать расстояния на местности с помощью вычислений .
40 На карте , масштаб которой 1 : 100000 , расстояние между двумя городами равно 12 см. Каким будет это расстояние на	карте	, масштаб которой 1:300000 ? .
Аналогично , если масштаб задан дробью с числителем 1 , то для вычисления реального расстояния на местности длину соответствующего отрезка на	карте	достаточно умножить на знаменатель дроби .
Задача 1 На	карте	с масштабом , расстояние между деревней и станцией равно 2,8 см. Найти расстояние между ними на местности .
Масштаб означает , что расстояние на местности в 150000 раз больше , чем на	карте	.
Обратная задача — нахождение расстояния на	карте	по расстоянию на местности — решается , естественно , обратным действием — делением .
Найти длину отрезка , соединяющего эти города на	карте	, выполненной в масштабе 1 : 4000000 .
Поскольку расстояние на	карте	в 4000000 раз меньше , чем на местности , то 560 км надо уменьшить в 4000000 раз .
Ответ : расстояние между городами на	карте	14 см .
29 Определи масштаб карты , если : 1 ) 1 см на	карте	соответствует 100 км на местности ; 2 ) 3 см на карте соответствует 1 км 200 м на местности
29 Определи масштаб карты , если : 1 ) 1 см на карте соответствует 100 км на местности ; 2 ) 3 см на	карте	соответствует 1 км 200 м на местности
; 3 ) 50 км на местности соответствует 2 дм на	карте	.
Известно , что расстояние между двумя точками на этой	карте	равно : 1 ) 1 см ; 2 ) 0,6 см ; 3 ) 1 , 8 дм ; 4 ) 35 мм .
По	карте	определи приближенные расстояния между Москвой и городами .
Чему равна ее длина на	карте	, масштаб которой 1 : 5000000 ? .
519 а ) Масштаб карты равен 1:100000 Каким отрезком на	карте	изображается расстояние на местности , равное 50 км ? .
Это означает , что расстоянию в 1 см на	карте	соответствует расстояние на местности в 1000000 см = 10 км .
Если , скажем , масштаб карты равен 1 : 1000000 , то расстоянию на	карте	, равному 7 , 2 см , соответствует расстояние на местности в 1000000 раз большее , то есть 7,2 см ∙1000000 = 7200000 см = 72 км .
40 На	карте	, масштаб которой 1 : 100000 , расстояние между двумя городами равно 12 см. Каким будет это расстояние на карте , масштаб которой 1:300000 ? .
Можно ли ее восстановить , если известно , что расстояние от сельской почты до окраины села ( по прямой дороге ) равно 3,2 км , а на	карте	это расстояние изображено отрезком длиной 4 см ?
На географической	карте	оно всегда меньше единицы — 1 : 2 , 1 : 10 , 1 : 100 и т .
Чему будет равна длина этого пролива на	карте	с масштабом 1 : 25000000 ? .
Вторая в мире по длине река , Амазонка , на	карте	с масштабом 1:40000000 имеет длину 16 см. Чему примерно равна ее длина в действительности ? .
Запиши масштаб карты , если отрезок в 3 км на местности изображается отрезком на	карте	в 2,4 см .
За какое время турист пройдет расстояние , которое изображается на	карте	отрезком длиной 3,6 см , если масштаб карты 1 : 10000 , а скорость туриста равна 5 км / ч ? .
Каким должен быть масштаб карты , чтобы это расстояние изображалось на	карте	отрезком длиной 17,6 см ? .
Чему равна длина отрезка , соединяющего эти города , на	карте	с масштабом 1 : 2000000 ? .
Чему равен масштаб	карты	? .
31 Масштаб	карты	равен 1 : 1000000 .
Если это возможно , определи масштаб данной	карты	.
29 Определи масштаб	карты	, если : 1 ) 1 см на карте соответствует 100 км на местности ; 2 ) 3 см на карте соответствует 1 км 200 м на местности
2 ) Что означают выражения : а ) масштаб плана местности равен 1 : 400 . б ) масштаб	карты	равен 1 : 500000 ; в ) масштаб чертежа равен 3:1 ? .
За какое время турист пройдет расстояние , которое изображается на карте отрезком длиной 3,6 см , если масштаб	карты	1 : 10000 , а скорость туриста равна 5 км / ч ? .
Запиши масштаб	карты	, если отрезок в 3 км на местности изображается отрезком на карте в 2,4 см .
Возьми три географические	карты	с разным масштабом .
519 а ) Масштаб	карты	равен 1:100000 Каким отрезком на карте изображается расстояние на местности , равное 50 км ? .
Если , скажем , масштаб	карты	равен 1 : 1000000 , то расстоянию на карте , равному 7 , 2 см , соответствует расстояние на местности в 1000000 раз большее , то есть 7,2 см ∙1000000 = 7200000 см = 72 км .
Масштаб	карты	можно записать в виде дроби с числителем 1 или в виде частного с делимым 1 .
Знание масштаба географической	карты	позволяет , проводя измерения на карте , узнавать расстояния на местности с помощью вычислений .
Каким должен быть масштаб	карты	, чтобы это расстояние изображалось на карте отрезком длиной 17,6 см ? .
Это	касается	и математических объектов : натуральное число может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
а ) прямая l не имеет с окружностью общих точек ; б ) прямая l	касается	окружности ; в ) прямая l пересекает окружность в двух точках .
Прямая а —	касательная	к окружности в точке А .
360 Прямая называется	касательной	к окружности , если она имеет с этой окружностью одну общую точку .
Предложи свои варианты определений	касательной	и секущей и сделай рисунки .
Сколько	касательных	к окружности можно провести из точки , лежащей вне окружности ?
Если провести окружность с центром в точке D и радиусом DAX , то она будет	касаться	всех трех сторон треугольника ( то есть будет иметь с каждой из них только одну общую точку ) .
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего	катета	к длине прилежащего .
Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг своей стороны , а конус — в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг своего	катета	.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего	катета	к длине гипотенузы .
а ) прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей стороны . б ) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего	катета	.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего	катета	к длине гипотенузы .
Используя рисунки , покажи , что сумма площадей квадратов , построенных на	катетах	, равна площади квадрата , построенного на гипотенузе .
Согласно известной теореме Пифагора , квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов	катетов	, поэтому .
Начерти прямоугольник , отношение длин сторон которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти прямоугольный треугольник , длины	катетов	которого относятся как 3 к 4 .
Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из	катетов	этого треугольника к длине гипотенузы .
Построй отрицания ложных высказываний . 1 ) Существуют числа ,	квадрат	которых больше их куба .
Заполни им такой же	квадрат	и раскрась .
Начерти	квадрат	со стороной 9 см и заполни его паркетом по образцу .
В результате он получил двузначное число , записанное теми же цифрами , что и искомый	квадрат	, но в обратном порядке .
Вместо того чтобы данное однозначное число возвести в	квадрат	, он его удвоил .
164 Выполни действия и проверь правильность вычислений , используя числовой	квадрат	( каждая из цифр квадрата принадлежит ответу только одного примера ) .
Любой	квадрат	является прямоугольником .
2 ) Существует ли	квадрат	, у которого длина стороны — натуральное число , а площадь равна 201201201201 ? .
Примерами правильных многоугольников являются уже знакомые нам равносторонний треугольник и	квадрат	.
Поэтому	квадрат	можно определить как « прямоугольник , все стороны которого равны » .
ABCD —	квадрат	.
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в )	квадрат	с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в )	квадрат	разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Например ,	квадрат	обладает следующими свойствами .
Докажи , что	квадрат	любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел .
	Квадрат	суммы удвоенного числа х и частного чисел у и z .
Выбери внутри него любой	квадрат	размером 2x2 клетки и сравни суммы , записанные по его диагоналям .
Согласно известной теореме Пифагора ,	квадрат	гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов , поэтому .
Утроенный	квадрат	числа k . 6 )
Так , из предложения с переменной “ Квадрат натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n ,	квадрат	которого равен 16 ” , то есть .
409 Найди	квадрат	суммы чисел А и В .
283 Сделай один ступенчатый разрез фигуры , изображенной , так , чтобы из двух получившихся частей молено было сложить	квадрат	.
Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых значений х x . 80 Из квадрата со стороной 5 см вырезали	квадрат	со стороной а см. Площадь оставшейся части квадрата — S см2 .
Найди	квадрат	разности чисел А и В .
486 Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр , а их разность образует точный	квадрат	? .
616 Вырежи из бумаги равносторонний и равнобедренный треугольники ,	квадрат	, параллелограмм , окружность .
Например , высказывание “ Существует натуральное число ,	квадрат	которого больше 8 , но меньше 12 ” записывается так .
309 Участок квадратной формы расширили так , что получили новый	квадрат	, сторона которого на 5 м больше стороны первоначального , а площадь при этом увеличилась на 225 м2 .
Например , в определении « Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами » понятие «	квадрат	» — новое , а уже известное — « прямоугольник с равными сторонами » .
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку , прямую , луч , отрезок , прямоугольник и	квадрат	, различные углы , окружность , параллельные и перпендикулярные прямые и т .
Действительно , если бы число d можно было записать в виде несократимой дроби , то ее	квадрат	— несократимая дробь — был бы равен Q целому числу 2 .
Рассмотрим	квадрат	со стороной , равной единице .
285 Разрежь	квадрат	на три части , из которых можно сложить тупоугольный треугольник .
На сколько квадратных дециметров площадь этого прямоугольника меньше площади	квадрата	с тем же периметром ? .
171 Из прямоугольника со сторонами а и b вырезали 4 равных	квадрата	со стороной с , как показано на рисунке .
Подобная же зависимость существует между длиной стороны	квадрата	и его площадью .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р	квадрата	и его стороной а ; 2 ) площадью S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V прямоугольного параллелепипеда , площадью его основания S и высотой h .
Например , рост человека зависит от его возраста , тормозной путь автомобиля — от его скорости , площадь	квадрата	— от его стороны .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его стороной а ; 2 ) площадью S	квадрата	и его стороной а ; 3 ) объемом V прямоугольного параллелепипеда , площадью его основания S и высотой h .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у	квадрата	— четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
На сколько площадь прямоугольника меньше площади	квадрата	? .
Любое число отлично от своего	квадрата	.
Какую часть площадь этого прямоугольника составляет от площади	квадрата	с тем же периметром ?
529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело , которое получается при вращении	квадрата	вокруг своей диагонали , если длина диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого тела .
164 Выполни действия и проверь правильность вычислений , используя числовой квадрат ( каждая из цифр	квадрата	принадлежит ответу только одного примера ) .
565 Является ли рациональным числом : а ) длина диагонали	квадрата	со стороной , равной 2 ; б ) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 ? .
Сторона	квадрата	равна 5,6 м , что составляет 0,7 длины прямоугольника .
На сколько процентов площадь этого прямоугольника меньше площади	квадрата	? .
Для построения	квадрата	можно провести два взаимно перпендикулярных диаметра , а разделив образовавшиеся дуги пополам , построим правильный восьмиугольник .
8) Сумма кубов удвоенного числа x и числа y . 9 ) Произведение разности чисел m и n и	квадрата	числа k . 10 )
произведение утроенного числа а и	квадрата	разности чисел .
Вместе с тем равенство всех сторон прямоугольника характерно только для	квадрата	, а значит , является его признаком .
Таким образом , определение	квадрата	на математическом языке можно записать так .
330 Сформулируй определение	квадрата	, основываясь на понятии : а ) прямоугольник ; б ) ромб ; в ) параллелограмм .
а ) произведение	квадрата	суммы чисел а и b и куба разности чисел а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и разности квадратов чисел бис .
Таким образом , получается , что диагональ у	квадрата	есть , а выразить ее длину мы пока не можем .
Утроенное произведение числа 4,8 и	квадрата	числа . 2 )
Точно так же зависимость площади	квадрата	S от длины его стороны а выражается формулой S = а2 .
Из	квадрата	со стороной 10,6 см вырезали два прямоугольника , как показано на чертеже .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное	квадрата	числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Запиши формулы периметра и площади прямоугольника , обозначив его стороны буквами а и b , периметр — буквой Р , a площадь — S . 2 ) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади	квадрата	.
Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых значений х x . 80 Из	квадрата	со стороной 5 см вырезали квадрат со стороной а см. Площадь оставшейся части квадрата — S см2 .
Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых значений х x . 80 Из квадрата со стороной 5 см вырезали квадрат со стороной а см. Площадь оставшейся части	квадрата	— S см2 .
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы периметра и площади прямоугольника и	квадрата	, формулы площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда и куба .
Какие остатки могут получаться при делении на 5	квадрата	натурального числа ? .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и	квадрата	числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
324 Татьяна и Петр дали следующие определения	квадрата	.
Разность произведения чисел m и n и	квадрата	числа k . 86 )
Произведение разности двух чисел и вычитаемого составляет 20 % от утроенного	квадрата	уменьшаемого .
Периметр	квадрата	равен 6 м , а периметр прямоугольника на 20 % больше .
Число x меньше своего	квадрата	на 1 .
Утроенное произведение числа а и	квадрата	числа b на 50 % больше куба числа с . 2 )
Используя рисунки , покажи , что сумма площадей квадратов , построенных на катетах , равна площади	квадрата	, построенного на гипотенузе .
а ) разность куба числа а и утроенного произведения	квадрата	числа b на число с ( а = -2 ; b = 0,5 ; с = -0,4 ) .
Число x больше своего	квадрата	. 6 )
Сторону	квадрата	, равную d см , уменьшили на 40 % .
Чему равна длина стороны	квадрата	с тем же периметром ? .
Например , мы не можем использовать в качестве определения	квадрата	первые два свойства — контрпримеры приведены .
Выполни действия и зачеркни числа в	квадрате	по образцу ( каждое число принадлежит только одному ответу ) .
В	квадрате	размером 10x10 клеток выписаны натуральные числа от 1 до 100 , как показано .
Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в любом другом	квадрате	размером 2x2 клетки ?
309 Участок	квадратной	формы расширили так , что получили новый квадрат , сторона которого на 5 м больше стороны первоначального , а площадь при этом увеличилась на 225 м2 .
Именно поэтому в треугольном паркете в каждой вершине сходится шесть фигур , в	квадратном	— четыре , в шестиугольном — три .
Велосипед может иметь	квадратные	колеса .
за	квадратный	метр .
Основной единицей длины в этой системе является метр — часть Парижского меридиана , а единицы площади и объема согласованы с нею : за единицу площади принят	квадратный	метр , за единицу объема — кубический метр .
Рассмотри рисунки и продолжи последовательности треугольных и	квадратных	чисел .
538 Вырази : а ) 1 дм в миллиметрах , в километрах , в метрах ; б ) 1 а в гектарах , в	квадратных	метрах , в квадратных километрах ; в ) 1 см3 в кубических миллиметрах , в кубических метрах , в кубических дециметрах , в литрах .
На сколько	квадратных	сантиметров уменьшилась его площадь ? .
На сколько	квадратных	дециметров площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же периметром ? .
538 Вырази : а ) 1 дм в миллиметрах , в километрах , в метрах ; б ) 1 а в гектарах , в квадратных метрах , в	квадратных	километрах ; в ) 1 см3 в кубических миллиметрах , в кубических метрах , в кубических дециметрах , в литрах .
535 Из 6 одинаковых	квадратов	легко составляется развертка куба .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность	квадратов	чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Разложить число 10 на 2 слагаемых , сумма	квадратов	которых равна 58 .
Частное суммы двух чисел и первого из них в 12 раз меньше разности	квадратов	первого и второго числа .
Вычисли сумму	квадратов	синуса и косинуса угла А .
Найди величину угла правильного двенадцатиугольника , б ) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников , треугольников и	квадратов	? .
412 Найди площадь фигуры , составленной из 9	квадратов	, если ее периметр равен 32 см .
а ) частное числа а и разности	квадратов	чисел .
Сумма	квадратов	чисел . .
690 Паркет составлен из правильных восьмиугольников и	квадратов	.
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных треугольников и	квадратов	; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из правильных треугольников и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
в ) разность удвоенного произведения	квадратов	чисел а и b и утроенного числа с . г ) число , противоположное квадрату суммы утроенного числа а и частного чисел b и с .
Разность удвоенного числа а и куба числа b на 4 больше половины числа с . 2 ) 40 % числа d на 5 меньше отношения	квадратов	чисел m и n . 3 )
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме	квадратов	чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Согласно известной теореме Пифагора , квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме	квадратов	катетов , поэтому .
293 Сколько изображено : а )	квадратов	; б ) треугольников ? .
а ) произведение квадрата суммы чисел а и b и куба разности чисел а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и разности	квадратов	чисел бис .
Куб частного чисел m и n на 300 % больше частного	квадратов	этих чисел .
Частное	квадратов	чисел с и d. .
Используя рисунки , покажи , что сумма площадей	квадратов	, построенных на катетах , равна площади квадрата , построенного на гипотенузе .
Разность	квадратов	чисел х и у на 40 % меньше их среднего арифметического .
2 Прямоугольник является	квадратом	.
Например , длина окружности С пропорциональна ее радиусу ( С = 2πr ) , площадь круга S —	квадрату	радиуса ( S = πr2 ) .
в ) разность удвоенного произведения квадратов чисел а и b и утроенного числа с . г ) число , противоположное	квадрату	суммы утроенного числа а и частного чисел b и с .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное	квадрату	суммы чисел а и b .
площадь сферы S также пропорциональна	квадрату	радиуса ( S = 4πr2 ) » а объем шара V — кубу радиуса ( V = πr3 ) .
Рассмотри теперь	квадраты	размером 3x3 клетки и найди в них группы из трех чисел , суммы которых будут одинаковы .
18 Пусть катеты прямоугольного треугольника равны а и b , а гипотенуза — с. На сторонах этого треугольника построены	квадраты	.
в ) Если числа равны , то равны и	квадраты	этих чисел .
Их номера — трехзначные числа , причем все они — точные	квадраты	.
7 ) Ни одна планета Солнечной системы не имеет	колец	.
Математический язык позволяет записывать высказывания в	компактной	, легко обозримой форме .
При работе с выражениями вначале их обычно упрощают , переходя к выражениям , записанными в более	компактной	, удобной форме .
Аналогичным образом сохраняются правила нахождения неизвестных	компонентов	действий при решении уравнений .
правила нахождения неизвестных	компонентов	арифметических действий ( слагаемого , уменьшаемого , вычитаемого , множителя , делимого , делителя ) .
392 Сравни и объясни , как изменяются результаты арифметических действий при изменении их	компонентов	, если все переменные — натуральные числа .
393 В сумме , разности , произведении и частном чисел x и y изменены	компоненты	действий .
201 Определи , какие	компоненты	арифметических действий связаны прямой , а какие — обратной пропорциональной зависимостью .
Согни полоску бумаги несколько раз пополам , вырежь по	контуру	элемент орнамента и разверни , как показано .
Вращая стержень между ладонями , понаблюдай , как образуются цилиндр ,	конус	, шар .
Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг своей стороны , а	конус	— в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг своего катета .
Вычисли угол α и построй развертку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в	конус	, убедись в том , что длина дуги сектора равна длине окружности основания .
477 а ) Какие из геометрических тел —	конус	, прямоугольный параллелепипед , цилиндр , шар , пирамида , куб — являются многогранниками ? .
По аналогии с усеченными пирамидами начерти « усеченный	конус	» .
Простейшими телами вращения являются цилиндр и	конус	.
635 Сколько плоскостей симметрии имеют : а ) прямоугольный параллелепипед ; б ) куб ; в )	конус	; г ) цилиндр ; в ) шар ? .
Мы уже встречались с такими пространственными фигурами , как прямоугольный параллелепипед , куб , пирамида , цилиндр , шар ,	конус	.
450 Найди в окружающей обстановке предметы , имеющие форму куба , прямоугольного параллелепипеда , шара , пирамиды , цилиндра ,	конуса	.
В основании	конуса	также лежит круг , а боковая поверхность представляет собой сектор круга .
518 Пусть радиус основания	конуса	равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в сектор круга радиуса R. Величина угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле .
Развертки цилиндра и	конуса	приведены .
Вычисли угол α и построй развертку	конуса	для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что длина дуги сектора равна длине окружности основания .
534 Сделай модель	конуса	, радиус основания которого равен 5 см , а радиус развертки боковой поверхности — 15 см .
Осевым сечением цилиндра является прямоугольник ABCD , а осевым сечением	конуса	— равнобедренный треугольник АВС .
При сечении цилиндра ,	конуса	или любого тела вращения плоскостью , содержащей ось вращения , получается осевое сечение .
Так , цилиндром в Древней Греции называли валик для перемещения тяжелых грузов ,	конусом	называли еловую шишку и предметы , похожие на нее по форме , — пробку для бочки , верхушку шлема .
619 Построй бордюр , который получается при последовательном параллельном переносе двух	концентрических	( имеющих один центр ) окружностей радиусами 1 см и 2 см на 2 см вправо .
675 Построй орнамент , который получается при последовательном параллельном переносе трех	концентрических	окружностей с радиусами 1 см , 2 см и 3 см на 3 см вправо .
Система	координат	на плоскости может быть задана парой перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчета О. Одну из этих прямых называют осью абсцисс ( или осью х ) , а другую — осью ординат ( осью у ) .
Примерами	координат	являются широта и долгота местности на географических картах , номер вагона и места в поезде , номер ряда и места в кинотеатре и т .
Заметим , что , как и в случае с координатным углом , изменение порядка	координат	меняет положение точки на плоскости .
Описанная система	координат	называется прямоугольной .
364 Найди координаты точек координатной прямой , удаленных : а ) на 3 единицы от точки А ( 1 ) ; б ) на 2 единицы от точки В ( -1 ) ; в ) на 4 единицы от начала	координат	.
Существуют и другие системы	координат	на плоскости , например , аффинная , полярная и др .
Плоскость , на которой задана система	координат	, называется координатной плоскостью .
Например , чтобы построить точку С ( -4 ; 2 ) , можно провести через ее абсциссу ( -4 ) и ординату 2 прямые , перпендикулярные осям	координат	, и найти точку пересечения этих прямых .
Чтобы определить положение любой точки М на координатной плоскости , надо провести через нее прямые , перпендикулярные осям	координат	.
Начерти на координатной плоскости фигуру , составленную из ломаных линий , и закодируй ее с помощью	координат	.
182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале	координат	и радиусом 3,5 единичных отрезка .
Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки М. Обозначение	координат	точки на плоскости остается прежним , а именно : М(-1 ; 4 ) .
Таким образом , мы приходим к понятию системы	координат	на плоскости .
Введение системы	координат	на плоскости позволяет сопоставить каждой точке ее координаты , которые могут быть как положительными , так и отрицательными числами .
Построй формулу и график этой зависимости , подобрав на осях	координат	удобные единицы измерения .
171 Построй систему	координат	на плоскости и отметь точки А ( -3 ; 4 ) , В ( 9 ; 4 ) , С ( 9 ; -2 ) и D ( -3 ; -2 ) .
Найди координаты ее точек пересечения с осями	координат	.
Найди приближенное значение	координат	точек пересечения этих окружностей ( 1 ед .
Найди координаты точек пересечения сторон треугольника с осями	координат	.
Это остается верным и для самих осей	координат	Ох и Оу .
Заметим также , что для рациональных чисел останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных чисел : длина отрезка на координатной прямой равна разности	координат	его правого и левого концов .
Обозначение	координат	остается прежним .
В прямоугольной системе	координат	построй четырехугольник ABCD , если А ( -6 ; 2 ) , В ( 6 ; 8) , С ( 8 ; -5 ) и D ( -4 ; -2 ) .
Отметь на шкале точки с указанными	координатами	.
С	координатами	мы уже не раз встречались и в математике : обозначали с помощью чисел положение точек координатной прямой и координатного угла .
Вначале составим таблицу некоторых значений х и соответствующих им значений у , отметим точки с	координатами	на координатной плоскости и соединим точки линией .
Абсциссу и ординату вместе называют	координатами	точки М. Обозначение координат точки на плоскости остается прежним , а именно : М(-1 ; 4 ) .
Число , показывающее положение точки на координатной прямой , называют	координатой	этой точки .
Таким образом ,	координатой	точки А является число ( -1 ) , координатой точки В — число ( -2,5 ) , а точки С – число .
Найди длину отрезка АВ и	координату	середины этого отрезка — точки М . 273 1 )
Найди	координаты	точек пересечения этой окружности с прямой ВС , если В ( -5 ; 7 ) , С ( 4 ; -2 ) .
Поскольку обе они проходят через начало отсчета О ( 0 ; 0 ) , то	координаты	любой точки оси абсцисс имеют вид ( х ; 0 ) , а координаты любой точки оси ординат — вид ( 0 ; у ) .
Найди	координаты	их общей точки .
Запиши	координаты	точек С , D и Е .
366 Определи	координаты	точек А , В , С и D .
Найди	координаты	точки пересечения этих прямых .
Поскольку обе они проходят через начало отсчета О ( 0 ; 0 ) , то координаты любой точки оси абсцисс имеют вид ( х ; 0 ) , а	координаты	любой точки оси ординат — вид ( 0 ; у ) .
572 Найди длину отрезка АВ координатной прямой , если	координаты	точек А и В равны значениям выражений .
Найди	координаты	ее точек пересечения с осями координат .
Найди	координаты	точки пересечения его диагоналей .
Например , точка А имеет координаты ( -3 ; 2 ) , а точка В —	координаты	( 2 ; -3 ) .
566 Приведи примеры точек координатной прямой ,	координаты	которых не принадлежат множеству рациональных чисел .
Например , точка А имеет	координаты	( -3 ; 2 ) , а точка В — координаты ( 2 ; -3 ) .
Построй на координатной прямой точки О ( 0 ) , А ( 1 ) , В ( -3 ) , С ( 5,8 ) , D . 310 На координатной прямой отмечены точки А , В , С , D , Е и F. Запиши их	координаты	.
309 Найди в тексте учебника определение	координаты	точки .
Найди	координаты	точек пересечения сторон треугольника с осями координат .
Запиши	координаты	точки М. Определи знаки х и у , если М принадлежит I , II , III , IV координатной четверти .
Проведи диагонали и определи	координаты	точки их пересечения .
Найди	координаты	точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD .
183 На миллиметровой бумаге проведи прямые АВ и CD и найди	координаты	точки их пересечения , если .
169 Определи	координаты	точек А , Б , С и О. Назови их абсциссы и ординаты .
Найди	координаты	середины отрезка , соединяющего отмеченные точки .
в ) Какая точка имеет	координаты	( 0 ; 0 ) ? .
364 Найди	координаты	точек координатной прямой , удаленных : а ) на 3 единицы от точки А ( 1 ) ; б ) на 2 единицы от точки В ( -1 ) ; в ) на 4 единицы от начала координат .
Найди закономерность и запиши	координаты	следующей точки .
1 Прямоугольные	координаты	на плоскости .
Введение системы координат на плоскости позволяет сопоставить каждой точке ее	координаты	, которые могут быть как положительными , так и отрицательными числами .
180 На миллиметровой бумаге отмечены точки А , В , С , D , Е и F. Найди их	координаты	.
В повседневной жизни можно услышать фразу : « Оставьте мне свои	координаты	.
Подставляя эти числа вместо переменной х в уравнение , находим единственный	корень	.
Подобно корню растения , который удерживает его в почве ,	корень	уравнения « удерживает » его в множестве истинных высказываний .
Например , уравнение 2х = 6 имеет всего один	корень	— число 3 .
Естественно , получился тот же самый ответ — ведь	корень	уравнения не зависит от того , каким способом мы его находим .
Заметим , что математический термин «	корень	является примером метафоры в математическом языке .
Значит , число 6 — единственный натуральный	корень	этого уравнения .
107 Найди множество натуральных	корней	уравнения .
Найди множество натуральных	корней	уравнения методом проб и ошибок .
774 Найди множество	корней	уравнения .
726 Найди множество	корней	уравнения .
400 Найди множество	корней	уравнения .
Докажи , что уравнение не имеет рациональных	корней	.
В случае отсутствия корней уравнения говорят , что множество его	корней	— пустое .
Вместо фразы « найти все корни уравнения или доказать , что	корней	нет » можно сказать короче .
В этом случае для получения ответа надо с помощью полученных	корней	дополнительно выполнить необходимые преобразования .
252 Найди множество	корней	уравнения .
« найти множество всех	корней	уравнения » .
82 Найди множество	корней	уравнения .
Решение уравнений , то есть отыскание множества всех его	корней	, может осуществляться разными способами .
Итак , решить уравнение — значит найти множество всех его	корней	.
410 Найди множество	корней	уравнения .
408 Найди множество	корней	уравнения , пользуясь определением модуля в “ разветвленной ” форме .
Найди множество	корней	уравнения .
И уже сегодня известны формулы	корней	уравнения общего вида , таких как ах + b = 0 , ах + bх + с = 0 , а также многих других уравнений .
Встречаются также уравнения , которые не имеют	корней	: например , х + 4 = 2 , где х N .
Число	корней	уравнения может быть различным .
После составления уравнения основной задачей становится нахождение всех его	корней	.
Это касается и математических объектов : натуральное число может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь	корней	, высказывание может быть или не быть истинным и т .
Значение переменной , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство , называется	корнем	уравнения .
Напротив , число 3 не является	корнем	этого уравнения , так как 33 - 36 .
а ) число -3 является	корнем	уравнения .
73 В Докажи , что	корнем	уравнения является любое число .
в ) число 0 является	корнем	уравнения .
число 5 не является	корнем	уравнения .
А	корнем	уравнения 2(х + 4 ) = 2х + 8 является любое число , так как в обеих его частях стоят равные выражения .
Число 6 является	корнем	данного уравнения .
72 Является ли	корнем	уравнения 2х2 + 5х 4- 2 = 0 число .
Например , число 2 является	корнем	уравнения х3 — х = 6 , так как 23 — 2 = 6 .
Поэтому , несмотря на то что х(х — 3 ) = 0 при х = 0 и х = 3 ,	корнем	исходного уравнения будет являться только х = 3 .
г ) число -2 не является	корнем	уравнения .
Поскольку в результате всех преобразований мы получали равносильные уравнения , то число 2,5 является	корнем	исходного уравнения .
Например , глядя на уравнение х(х + 3 ) = 54 , можно заметить , что его натуральные	корни	должны быть делителями числа 54 .
Решая задачу с помощью уравнения , надо помнить о том , что не всегда	корни	уравнения являются искомыми величинами .
Все деревья имеют	корни	.
При этом необходимо , чтобы новое уравнение было равносильно исходному , то есть имело с ним одни и те же	корни	.
x имеет	корни	.
Для этого прежде всего надо точно указать , в каком числовом множестве ищутся	корни	, или , как говорят , указать множество значений переменной .
695 Найди	корни	уравнений ( устно ) .
Найди целые	корни	уравнения методом проб и ошибок .
Вместо фразы « найти все	корни	уравнения или доказать , что корней нет » можно сказать короче .
378 Реши уравнения и расположи их	корни	на координатной прямой .
Реши уравнение и отметь его	корни	на координатной прямой .
Таким образом , решить уравнение — значит найти все его	корни	или доказать , что корней у него нет ( на множестве значений переменной ) .
Это касается и математических объектов : натуральное число может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь	корни	или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
271 Найди	корни	уравнения ( устно ) .
Имеет ли	корни	уравнение и сколько .
Действительно , не всегда удается подобрать	корни	уравнения и тем более доказать , что других решений нет .
Так ,	корни	уравнения х + 4 = 9 мы будем искать на множестве рациональных чисел Q , то есть на множестве всех чисел , которые нам известны .
экспериментально подбираются	корни	уравнения .
394 Найди	корни	уравнений ( устно ) .
Подобно	корню	растения , который удерживает его в почве , корень уравнения « удерживает » его в множестве истинных высказываний .
Уравнение х2 = 25 имеет два	корня	— числа 5 и -5 .
Синус ,	косинус	и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения длин сторон треугольника АВС , выражающие значения синусов , косинусов и тангенсов углов А и В .
Измерь стороны треугольника АВС и вычисли синус ,	косинус	и тангенс угла А . 2 )
Вычисли сумму квадратов синуса и	косинуса	угла А .
Синус , косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения длин сторон треугольника АВС , выражающие значения синусов ,	косинусов	и тангенсов углов А и В .
Найди отношение синуса угла А к	косинусу	угла А и сравни его с тангенсом угла А .
Поменяем в пропорции местами средние члены и обозначим	коэффициент	пропорциональности к.
Обозначим	коэффициент	пропорциональности k , тогда .
38 Упрости выражение и подчеркни его	коэффициент	.
Найди	коэффициент	пропорциональности и запиши формулу зависимости между этими величинами .
Например ,	коэффициент	выражения равен , а коэффициент выражения -3,8тп3 равен -3,8 .
Аналогично коэффициентом выражения , например , ( - ху2 г ) считают число -1 , а	коэффициент	выражения равен числу 1 .
31 Упрости выражение и подчеркни его	коэффициент	.
239 Упрости выражение , найди его	коэффициент	и буквенную часть .
Где F — сила упругости при растяжении ( сжатии ) упругого тела , k —	коэффициент	упругости этого тела , х — изменение его длины .
Например , коэффициент выражения равен , а	коэффициент	выражения -3,8тп3 равен -3,8 .
29 Определи	коэффициент	выражения ( устно ) .
Найди	коэффициент	успеха каждого ученика из приведенного списка и расположи полученные числа в убывающем порядке .
Определи	коэффициент	и буквенную часть выражения ( устно ) .
89 Реши уравнения , приводя обе его части к целым	коэффициентам	.
Если порядок	коэффициентов	определен верно , то из третьих букв соответствующих им фамилий учеников составится слово .
Тогда в скобках останется сумма	коэффициентов	слагаемых , равная ( -10 ) .
Эти равенства показывают , что	коэффициентом	выражения а является число 1 , а выражения ( -а ) — число ( -1 ) .
Число -15 , полученное в результате умножения всех числовых множителей , называют	коэффициентом	.
Вообще , если выражение является произведением числа и буквенной части , то числовой множитель в этом выражении называют	коэффициентом	.
Аналогично	коэффициентом	выражения , например , ( - ху2 г ) считают число -1 , а коэффициент выражения равен числу 1 .
Постоянную величину в формуле а = bс принято обозначать буквой k , а переменные величины — буквами х и у. Полученную формулу назовем формулой прямой пропорциональности , а число k в этой формуле —	коэффициентом	пропорциональности .
Придавая	коэффициенту	k различные значения , мы будем получать различные расположения графиков на плоскости , но все эти графики — прямые линии .
43 Найди подобные слагаемые и назови их	коэффициенты	.
Найди слагаемые , которые являются буквенными выражениями , и назови их	коэффициенты	.
Назови	коэффициенты	выражений .
Определи по ним	коэффициенты	пропорциональности и запиши формулы .
Найди их	коэффициенты	и буквенные части .
772 Назови	коэффициенты	и буквенные части выражений .
Любую обыкновенную дробь , знаменатель которой	кратен	10 , можно записать в виде конечной десятичной дроби .
а ) Число х в 2 раза больше , чем число у , тогда и только тогда , когда х = 2у . б ) Для того чтобы число а было кратно 3 , необходимо и достаточно , чтобы сумма цифр числа а была	кратна	3 .
Если число кратно 3 и 5 , то оно	кратно	15 .
При каких натуральных значениях a и b значение выражения 5а + 3 b . а )	кратно	3 ; б ) кратно 5 ; в ) кратно 15 ; г ) не кратно 3 ; д ) не кратно 5 ? .
Число а на 7 меньше , чем число b . г ) Число n	кратно	9 .
При каких натуральных значениях a и b значение выражения 5а + 3 b . а ) кратно 3 ; б )	кратно	5 ; в ) кратно 15 ; г ) не кратно 3 ; д ) не кратно 5 ? .
Число , произведение цифр которого	кратно	9 , делится на 9 .
Число h не	кратно	3 . 6 )
Если число	кратно	5 , то оно оканчивается на 0 .
а ) Число х в 2 раза больше , чем число у , тогда и только тогда , когда х = 2у . б ) Для того чтобы число а было	кратно	3 , необходимо и достаточно , чтобы сумма цифр числа а была кратна 3 .
а ) Если натуральное число оканчивается на 0 , то оно	кратно	5 .
При каких натуральных значениях a и b значение выражения 5а + 3 b . а ) кратно 3 ; б ) кратно 5 ; в )	кратно	15 ; г ) не кратно 3 ; д ) не кратно 5 ? .
а ) Если число меньше или равно 5 , то оно меньше 6 . б ) Если число кратно 40 , то оно	кратно	4 и 10 .
n	кратно	9 .
Любое число , кратное 9 , кратно и 3 . 4 ) Любое число , кратное 3 ,	кратно	и 9 . 5 ) Каждое простое число имеет не больше двух делителей .
а ) Если число меньше или равно 5 , то оно меньше 6 . б ) Если число	кратно	40 , то оно кратно 4 и 10 .
Произведение трех последовательных натуральных чисел	кратно	6 : например , при перемножении чисел 8 , 9 и 10 получается число 720 , кратное 6 .
При каких натуральных значениях a и b значение выражения 5а + 3 b . а ) кратно 3 ; б ) кратно 5 ; в ) кратно 15 ; г ) не кратно 3 ; д ) не	кратно	5 ? .
Если число кратно 2 и 5 , то оно	кратно	25 .
в ) « n	кратно	9 » .
При каких натуральных значениях a и b значение выражения 5а + 3 b . а ) кратно 3 ; б ) кратно 5 ; в ) кратно 15 ; г ) не	кратно	3 ; д ) не кратно 5 ? .
в ) если число	кратно	4 и 25 , то оно кратно 100 . г ) если число неотрицательно , то модуль числа равен самому числу .
Любое число , кратное 9 ,	кратно	и 3 . 4 ) Любое число , кратное 3 , кратно и 9 . 5 ) Каждое простое число имеет не больше двух делителей .
Если первое число	кратно	второму , а второе — кратно третьему , то первое число кратно третьему .
Произведение 11 ∙ 25 ∙ 508	кратно	10 .
Если число	кратно	2 и 5 , то оно кратно 25 .
При этом было решено , что отношение соседних единиц измерения должно равняться 10 или быть	кратно	10 .
Если число а	кратно	числу b , то НОД ( а , b ) = ..
Если число	кратно	2 и 3 , то оно кратно 6 .
Если число	кратно	3 и 5 , то оно кратно 15 .
Если первое число кратно второму , а второе —	кратно	третьему , то первое число кратно третьему .
Если число кратно 2 и 3 , то оно	кратно	6 .
206 Докажи , что если к трехзначному числу приписать справа ( или слева ) то же самое число , то полученное шестизначное число будет	кратно	11 .
1275	кратно	15 .
Число а	кратно	семи .
399 Переведи высказывания с математического языка на русский и докажи их	кратно	4 .
а ) если число кратно 10 , то оно	кратно	2 . б ) если число больше 4 , то оно больше или равно 3 .
Число 3т делится на 3 Число 7n + 2	кратно	семи .
Число с	кратно	2 и 5 . 4 )
Если первое число кратно второму , а второе — кратно третьему , то первое число	кратно	третьему .
а ) если число	кратно	10 , то оно кратно 2 . б ) если число больше 4 , то оно больше или равно 3 .
119999	кратно	9 .
	Кратно	шести .
в ) если число кратно 4 и 25 , то оно	кратно	100 . г ) если число неотрицательно , то модуль числа равен самому числу .
Всякое натуральное число , кратное 6 ,	кратно	2 .
Для результата	кратного	сравнения двух чисел или двух величин в математике часто используют термин отношение .
277 Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее	кратное	.
Произведение трех последовательных натуральных чисел кратно 6 : например , при перемножении чисел 8 , 9 и 10 получается число 720 ,	кратное	6 .
Любое число ,	кратное	9 , кратно и 3 . 4 ) Любое число , кратное 3 , кратно и 9 . 5 ) Каждое простое число имеет не больше двух делителей .
Число ,	кратное	9 , может не оканчиваться на 9 . 10 )
Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее	кратное	.
Любое число , кратное 9 , кратно и 3 . 4 ) Любое число ,	кратное	3 , кратно и 9 . 5 ) Каждое простое число имеет не больше двух делителей .
Всякое натуральное число ,	кратное	6 , кратно 2 .
Наименьшее общее	кратное	любых двух натуральных чисел равно их произведению . 2 ) Квадрат числа не может быть равен 0,01 .
744 Найди наименьшее натуральное число ,	кратное	36 , в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу .
Эти два вида сравнения имеют специальные названия — разностное сравнение и	кратное	сравнение .
Разностное сравнение указывает разность , то есть на сколько величины отличаются друг от друга , а	кратное	— дает качественную , или относительную оценку этого отличия .
93 Найди наименьшее число ,	кратное	36 , в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу .
Число ,	кратное	9 , может быть представлено в виде 9n , где n N .
9 ) Все числа , кратные 3 ,	кратны	и 9 . 10 )
В множестве В — 345 , 505050 , 222555 , 15150 есть числа , не	кратные	15 . 5 )
а ) Любое натуральное число больше или равно 1 . б ) Все числа ,	кратные	10 , оканчиваются на 0 .
9 ) Все числа ,	кратные	3 , кратны и 9 . 10 )
Существуют натуральные числа ,	кратные	6 , но не кратные 2 .
Существуют натуральные числа , кратные 6 , но не	кратные	2 .
Существуют числа ,	кратные	трем , сумма которых не делится на 3 .
Тогда при повороте плоскости вокруг центра этой окружности на угол ,	кратный	, многоугольник перейдет сам в себя .
46 Запиши множества К ( 6 ) и К ( 8) чисел ,	кратных	соответственно 6 и 8 .
237 Пусть А — множество чисел ,	кратных	5 , В — множество чисел , кратных 10 , С — множество чисел , кратных 3 , и D — множество чисел , кратных 9 .
237 Пусть А — множество чисел , кратных 5 , В — множество чисел ,	кратных	10 , С — множество чисел , кратных 3 , и D — множество чисел , кратных 9 .
237 Пусть А — множество чисел , кратных 5 , В — множество чисел , кратных 10 , С — множество чисел ,	кратных	3 , и D — множество чисел , кратных 9 .
53 Пусть А ( n ) — множество натуральных решений неравенства	кратных	числу п. Запиши множества А ( 2 ) , А ( 3 ) , А ( 5 ) , А ( 9 ) , А ( 10 ) .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел ,	кратных	3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
Обозначим А ( п ) подмножество множества А , состоящее из чисел ,	кратных	п. Запиши , из каких элементов состоят А ( 2 ) , А ( 5 ) , А ( 10 ) , Л ( 3 ) , А ( 9 ) , А ( 6 ) , А ( 15 ) .
327 Из цифр 2 , 5 , 7 , 8 составь множество чисел ,	кратных	: 1 ) девяти ; 2 ) трем ; 3 ) пяти ; 4 ) четырем .
237 Пусть А — множество чисел , кратных 5 , В — множество чисел , кратных 10 , С — множество чисел , кратных 3 , и D — множество чисел ,	кратных	9 .
304 На тренировке лыжник пробежал первый круг на 5 % быстрее , чем второй , а третий	круг	— на 14 % медленнее , чем второй .
304 На тренировке лыжник пробежал первый	круг	на 5 % быстрее , чем второй , а третий круг — на 14 % медленнее , чем второй .
Изобрази	круг	и окружность с помощью циркуля и цветных карандашей .
Если какая - нибудь плоскость пересекает шар , то пересечением является либо точка , либо	круг	.
Вырежи из картона прямоугольник , прямоугольный треугольник ,	круг	и закрепи их на стержне .
В основании конуса также лежит	круг	, а боковая поверхность представляет собой сектор круга .
Сколько времени в среднем он тратил на один круг , если третий	круг	он пробежал на 4 мин 45 с медленнее , чем первый ?
Сколько времени в среднем он тратил на один	круг	, если третий круг он пробежал на 4 мин 45 с медленнее , чем первый ?
В основании конуса также лежит круг , а боковая поверхность представляет собой сектор	круга	.
334 Что общего у окружности и	круга	и чем они отличаются друг от друга ?
У шара и сферы , так же как у	круга	и окружности , есть центр , радиус и диаметр .
550 Во сколько раз площадь поверхности шара радиуса г больше площади	круга	того же радиуса ? .
653 Построй фигуры , симметричные сектору круга , а ) и сегменту	круга	относительно точки О .
Шар получается вращением	круга	вокруг своего диаметра .
336 Изображены секторы	круга	.
По мере удаления от центра размер	круга	сечения уменьшается .
Предложи свой вариант определения	круга	, пользуясь понятиями « окружность » , « плоскость » .
Например , длина окружности С пропорциональна ее радиусу ( С = 2πr ) , площадь	круга	S — квадрату радиуса ( S = πr2 ) .
Со времен изобретения гончарного	круга	люди научились создавать круглые амфоры , вазы , горшки .
518 Пусть радиус основания конуса равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в сектор	круга	радиуса R. Величина угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле .
в )	круга	радиуса 6 см вокруг диаметра .
653 Построй фигуры , симметричные сектору	круга	, а ) и сегменту круга относительно точки О .
На сколько процентов больше времени он затратил на прохождение третьего	круга	, чем первого ? . .
344 Изображены сегменты	круга	.
49 Из текста учебника выпиши формулы , выражающие зависимости между величинами в	круге	и в шаре .
Сколько километров он преодолеет , пробежав 14	кругов	? .
Развертка цилиндра на плоскости состоит из двух	кругов	— оснований цилиндра , и прямоугольника — его боковой поверхности .
Круг , проходящий через центр шара , называется большим	кругом	— его радиус равен радиусу шара .
Сколько километров она преодолеет , пробежав по	кругу	16 раз , 20 раз ? .
763 ) а ) На ипподроме лошадь , пробежав по	кругу	8 раз , преодолевает 12,8 км .
Спортсмен , пробежав по	кругу	стадиона 20 раз , преодолевает 9 км .
510 Нарисуй от руки окружность и постарайся с помощью штриховки придать « объемность » получившемуся	кругу	.
477 а ) Какие из геометрических тел — конус , прямоугольный параллелепипед , цилиндр , шар , пирамида ,	куб	— являются многогранниками ? .
Мы уже встречались с такими пространственными фигурами , как прямоугольный параллелепипед ,	куб	, пирамида , цилиндр , шар , конус .
475 Белый	куб	с ребром 3 см покрасили краской и распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько всего получилось кубиков ?
По числу граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) ,	куб	( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
усеченный	куб	.
489 Мысленно сверни	куб	и определи , какая грань является верхней , если нижняя грань закрашена ? .
Возвести в	куб	.
Так , например , вершины снежинки всегда образуют правильный шестиугольник , а хорошо знакомый нам	куб	природа реализовала в форме кристаллов поваренной соли .
Гексаэдр (	куб	) .
635 Сколько плоскостей симметрии имеют : а ) прямоугольный параллелепипед ; б )	куб	; в ) конус ; г ) цилиндр ; в ) шар ? .
Какую часть объем этого параллелепипеда составляет от объема	куба	с ребром 3 дм ? .
535 Из 6 одинаковых квадратов легко составляется развертка	куба	.
На показано , как можно получить развертку	куба	.
Проиллюстрируй построение сечения на каркасной модели	куба	.
Построй отрицания ложных высказываний . 1 ) Существуют числа , квадрат которых больше их	куба	.
506 Сравни суммы длин всех ребер , объемы и площади поверхности	куба	с ребром 7 м и прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 м , 5 м и 6 м .
Утроенное произведение числа а и квадрата числа b на 50 % больше	куба	числа с . 2 )
Пусть требуется изобразить сечение куба плоскостью а , проходящей через точки на ребрах	куба	.
Точки М и N принадлежат одновременно плоскости а и передней грани	куба	, поэтому плоскость а пересекает переднюю грань по отрезку MN .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S	куба	и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Именно так мы всегда и поступаем , изображая параллельные ребра	куба	и параллелепипеда .
Пусть требуется изобразить сечение	куба	плоскостью а , проходящей через точки на ребрах куба .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V	куба	и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
а ) разность	куба	числа а и утроенного произведения квадрата числа b на число с ( а = -2 ; b = 0,5 ; с = -0,4 ) .
Значит , наша задача сводится к нахождению двух общих точек плоскости а и каждой грани	куба	, которую она пересекает .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро	куба	равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Меньшее ребро параллелепипеда составляет 75 % ребра некоторого	куба	.
544 Сравни объемы и площади поверхностей	куба	и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Запиши формулы объема и площади полной поверхности	куба	с ребром а .
Разность удвоенного числа а и	куба	числа b на 4 больше половины числа с . 2 ) 40 % числа d на 5 меньше отношения квадратов чисел m и n . 3 )
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро	куба	равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
а ) произведение квадрата суммы чисел а и b и	куба	разности чисел а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и разности квадратов чисел бис .
Какие из них являются точками пересечения прямой с ребрами	куба	или их продолжениями ? .
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата , формулы площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда и	куба	.
а ) произведение квадрата суммы чисел а и b и куба разности чисел а и с . б ) частное удвоенного	куба	числа а и разности квадратов чисел бис .
Частное	куба	числа 0,2 и разности чисел 0,64 и — . 3 )
Плоскость а будто отсекает от	куба	один из углов , и в сечении получается треугольник MNK .
в ) Построй сечение	куба	ABCDA1B1C1D1 плоскостью , проходящей через вершины А1 , D , С1 .
494 На ребрах	куба	отметили две точки А и В. Через эти точки провели прямую , на которой отметили еще 6 точек .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и	куба	числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
493 Сравни сумму длин всех ребер ( L ) , объем ( V ) и площадь ( S ) полной поверхности	куба	и прямоугольного параллелепипеда .
453 Перенеси рисунок куба в тетрадь и построй его сечение плоскостью , проходящей через точки М , N и К. Проверь правильность построения с помощью модели	куба	.
Какую часть объем	куба	составляет от объема параллелепипеда ?
Показаны различные случаи сечения	куба	плоскостью а , проходящей через точки М , N и К. Построение этих сечений требует знания свойств взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве , которые будут изучаться в старших классах .
495 а ) На ребрах куба отмечены точки М , N и К. Принадлежат ли граням	куба	отрезки MN , МК и KN ? .
б ) Плоскость а проходит через точки М , N и К. Перенеси рисунок в тетрадь и построй сечение	куба	плоскостью а по следующему алгоритму .
453 Перенеси рисунок	куба	в тетрадь и построй его сечение плоскостью , проходящей через точки М , N и К. Проверь правильность построения с помощью модели куба .
Какую часть площадь поверхности первого	куба	составляет от площади поверхности второго куба ?
Ребро первого	куба	равно с м , а второго — d м .
Какую часть площадь поверхности первого куба составляет от площади поверхности второго	куба	?
450 Найди в окружающей обстановке предметы , имеющие форму	куба	, прямоугольного параллелепипеда , шара , пирамиды , цилиндра , конуса .
б ) Какие из заготовок не могут быть развертками	куба	? .
495 а ) На ребрах	куба	отмечены точки М , N и К. Принадлежат ли граням куба отрезки MN , МК и KN ? .
Взаимосвязь между множеством многогранников М , множеством прямоугольных параллелепипедов и множеством	кубов	К показана на диаграмме Эйлера - Венна .
Произведение суммы и разности чисел с и d на 90 % меньше суммы их	кубов	.
8) Сумма	кубов	удвоенного числа x и числа y . 9 ) Произведение разности чисел m и n и квадрата числа k . 10 )
Разность	кубов	чисел cud равна 7 ( с = 2 , d = 1 ) .
A Разность	кубов	чисел с и d равна 26 ( с = 3 ; d = 1 ) .
710 Можно ли составить развертку параллелепипеда , не являющегося	кубом	, из шести одинаковых прямоугольников ? .
Формулы зависимостей между	линейными	размерами геометрических фигур , их площадями и объемами позволили перейти от непосредственных измерений площадей и объемов к вычислениям по этим формулам .
б ) Замкнутая	ломаная	линия без самопересечений , все точки которой принадлежат одной плоскости , называется многоугольником .
Построй фигуру , симметричную	ломаной	ABCD относительно прямой l .
Назови точки , симметричные точкам С , К , D , М относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку ВО , треугольнику АОМ , четырехугольнику АОКМ ,	ломаной	BODK , семиугольнику ABOCDKM ? .
657 Перенеси в тетрадь и построй на прямой l точку С так , чтобы длина	ломаной	АСВ была наименьшей .
654 Проведи на бумаге без клеток прямую l и	ломаную	AJBCD , которая пересекает прямую l : а ) в одной точке ; б )
197 а ) Построй	ломаную	линию по координатам ее вершин .
178 Построй замкнутую	ломаную	линию по координатам ее вершин .
Начерти на координатной плоскости фигуру , составленную из	ломаных	линий , и закодируй ее с помощью координат .
599 Внутри прямого угла АО В провели	луч	ОМ так , что угол АОМ : а ) в 4 раза больше угла МОВ ; б ) на 24 ° меньше угла МО В ; в ) составляет 50 % угла МОВ .
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку , прямую ,	луч	, отрезок , прямоугольник и квадрат , различные углы , окружность , параллельные и перпендикулярные прямые и т .
Биссектрисой угла называется	луч	, который исходит из вершины угла и делит часть плоскости , ограниченную углом , на две равные части .
Дополнительно введем новые обозначения , которые помогут различать в записи прямую ,	луч	, отрезок и окружность .
Построй без транспортира , используя клеточки , угол в 90 ° , одной из сторон которого является : а ) луч АВ ; б )	луч	CD .
576 Начерти	луч	О А. С помощью транспортира отложи от него углы 35 ° и 120 ° .
651 Имеют ли отрезок , прямая ,	луч	оси симметрии и сколько ?
Построй координатный	луч	( в = 3 см ) и отметь на нем точки .
Чтобы построить угол , равный , например , 35 ° , надо совместить центр транспортира с началом некоторого луча ОА — точкой О — так , чтобы	луч	ОА прошел через начало отсчета на шкале .
	Луч	АВ .
Построй без транспортира , используя клеточки , угол в 90 ° , одной из сторон которого является : а )	луч	АВ ; б ) луч CD .
Отметим , что такой же угол можно построить и по другую сторону от	луча	ОА : АОВ .
601 Два	луча	, проведенные из вершины развернутого угла , разбивают его на 3 части пропорционально числам .
Все положительные числа и 0 можно изобразить точками координатного	луча	.
326 а ) Два	луча	с общим началом , составляющие прямую , называются дополнительными лучами .
Чтобы построить угол , равный , например , 35 ° , надо совместить центр транспортира с началом некоторого	луча	ОА — точкой О — так , чтобы луч ОА прошел через начало отсчета на шкале .
Заметим , что определение смежных углов можно дать и по - другому : смежными называются два угла , одна сторона у которых общая , а две другие являются дополнительными	лучами	.
г ) Углом называется геометрическая фигура , образованная двумя	лучами	с общим началом .
в ) Два угла называются вертикальными , если стороны одного из них являются дополнительными	лучами	для сторон другого .
326 а ) Два луча с общим началом , составляющие прямую , называются дополнительными	лучами	.
259 Отметь на координатном	луче	произвольные числа x и y .
290 На координатном	луче	отмечены числа 1 и г. Перерисуй чертеж в тетрадь и отметь с помощью циркуля на этом луче число .
На координатной прямой точно так же , как и на координатном	луче	, можно показывать изменение величины числа : увеличение — с помощью перемещения на соответствующее число единиц вправо , а уменьшение — с помощью перемещения влево .
Найди длины отрезков АВ , АС , AD , ВС , BD , CD . 2 ) На координатном	луче	отмечены точки А ( а ) и В ( b ) , где b > а .
290 На координатном луче отмечены числа 1 и г. Перерисуй чертеж в тетрадь и отметь с помощью циркуля на этом	луче	число .
Так , ложность высказывания : x < x — 1 следует из общего свойства чисел на множестве R , а именно : x > x — 1 , так как число x расположено на числовом	луче	правее , чем число x — 1 .
Однако второе определение опирается уже на несколько другие геометрические понятия — « угол » , « сторона угла » , « общая сторона » и « дополнительные	лучи	» .
Эта точка принадлежит	лучу	и называется его началом .
Это касается и	математических объектов	: натуральное число может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
Например , точка пересечения	медиан	М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой , причем точка М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
Это свойство	медиан	треугольника можно сформулировать так .
Пусть О — точка пересечения	медиан	.
Точка пересечения	медиан	.
Если мы измерим длины получившихся отрезков	медиан	, то сможем проверить еще одно свойство : точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 , считая от вершины .
Чтобы познакомиться с этим свойством , начерти на плотном листе картона произвольный треугольник АВС и найди точку О пересечения его	медиан	.
Например , из того , что в равнобедренном треугольнике АВС	медиана	BD , проведенная к основанию , является осью симметрии , следует , что треугольники ABD и CBD равны , и поэтому равны их стороны и углы : AD = DC , 1 = 2 , 3 = 4 = 90 ° .
Значит ,	медиана	, проведенная к основанию равнобедренного треугольника , является одновременно его биссектрисой и высотой ! .
На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой l , содержащей : а ) большую сторону ; б ) меньшую сторону ; в )	медиану	, проведенную к его меньшей стороне .
499 Построй треугольник АВС , проведи три его	медианы	и найди их точку пересечения О.
А запись -(-5 ) означает “ число , противоположное числу	минус	5 ” , то есть само число 5 .
“ Минус на	минус	дает плюс ” .
“ Плюс на	минус	дает минус ” .
“ Плюс на минус дает	минус	” .
При умножении знак результата будет “	минус	” .
д. Читают : “ минус 1 ” , “	минус	6,25 ” и т .
И вообще , для любых чисел a и b так что для преобразования дроби знак “	минус	” можно перенести из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель , а можно поставить его перед самой дробью .
Аналогично в знаменателе три знака “ минус ” , которые при умножении дадут “	минус	” .
Поэтому после совершения всех действий у результата получится знак “	минус	” .
При уменьшении величины на определенное число процентов , считая от последнего значения , в формуле , как и для простого роста , вместо знака “ плюс ” появляется знак “	минус	” .
Так как знак “ плюс ” не изменяет знака числа , то знак “	минус	” , наоборот , меняет знак числа на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
Эти равенства показывают , что правила знаков при раскрытии скобок для вычитания остаются прежними : “	минус	минус ” преобразуется в “ плюс ” , а “ минус плюс ” — в “ минус ” .
д. Читают : “	минус	1 ” , “ минус 6,25 ” и т .
Поэтому такие выражения часто называют алгебраическими суммами , или просто суммами , — несмотря на то что в них встречаются и знаки “	минус	” .
Аналогично в знаменателе три знака “	минус	” , которые при умножении дадут “ минус ” .
Итак , отрицательные числа — это уже известные нам числа , только со знаком “	минус	” : -1 , -6,25 и т .
Например , для вычисления значения выражения можно заметить , что в числителе четыре знака “	минус	, которые при умножении дадут “ плюс ” .
Эти равенства показывают , что правила знаков при раскрытии скобок для вычитания остаются прежними : “ минус	минус	” преобразуется в “ плюс ” , а “ минус плюс ” — в “ минус ” .
Мы видим , что умножить число ( -2 ) на число 3 можно по простому правилу : перемножить “ числа без знаков ” ( то есть модули ) и перед произведением поставить знак “	минус	” .
Эти равенства показывают , что правила знаков при раскрытии скобок для вычитания остаются прежними : “ минус минус ” преобразуется в “ плюс ” , а “	минус	плюс ” — в “ минус ” .
Поставить	минус	.
Эти равенства показывают , что правила знаков при раскрытии скобок для вычитания остаются прежними : “ минус минус ” преобразуется в “ плюс ” , а “ минус плюс ” — в “	минус	” .
Поэтому запись ( -5 ) можно прочитать двумя способами : “	минус	5 ” и “ число , противоположное числу 5 ” .
Для обозначения противоположного понятия в обычном языке для удобства иногда используется знак “	минус	” .
И вообще , выражения , в которых содержатся одновременно плюсы и	минусы	, можно записать в виде суммы .
Перенеси ее на лист бумаги , увеличив размеры в 4 раза , затем вырежи и сверни	многогранник	.
Прямоугольный параллелепипед — это	многогранник	, все шесть граней которого являются прямоугольниками .
Правильный	многогранник	.
С другой стороны , чтобы из бумаги сделать	многогранник	, обычно чертят его развертку , вырезают ее , сгибают по ребрам и склеивают .
Перечерти ее на лист бумаги , увеличив размеры в 2 раза , вырежи и сверни	многогранник	.
Обоснуй свой ответ , пользуясь определением	многогранника	.
Если поверхность многогранника удается разрезать по некоторым ребрам так , чтобы ее можно было развернуть на плоскости , то получится фигура , которую называют разверткой	многогранника	.
б ) Какое наименьшее число вершин , ребер и граней может быть у	многогранника	? .
Если поверхность	многогранника	удается разрезать по некоторым ребрам так , чтобы ее можно было развернуть на плоскости , то получится фигура , которую называют разверткой многогранника .
Стороны этих многоугольников называются ребрами многогранника , а вершины — вершинами	многогранника	.
Сформулируй определение вершины , ребра , грани	многогранника	и покажи их на предметной модели .
Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ( В ) , числом ребер ( Р ) и числом граней ( Г ) выпуклого	многогранника	.
Стороны этих многоугольников называются ребрами	многогранника	, а вершины — вершинами многогранника .
478 а ) Может ли у	многогранника	быть три вершины ?
Сосчитай число ребер ( Р ) , граней ( Г ) и вершин ( В ) каждого правильного	многогранника	и заполни таблицу .
Реши примеры , сопоставь полученным ответам соответствующие буквы и расшифруй латинское название	многогранника	, открытого в XVI веке Леонардо да Винчи .
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются правильные	многогранники	— геометрические тела , у которых все грани — равные правильные многоугольники , а углы между гранями равны .
Какие еще выпуклые	многогранники	ты знаешь ? .
А продолжение их граней и ребер позволяет получить звездчатые	многогранники	, или тела Кеплера Пуансо .
Из правильных многогранников — платоновых тел — можно получить так называемые полу правильные	многогранники	, или архимедовы тела .
4 Правильные	многогранники	.
Один из таких классов образуют	многогранники	— геометрические тела , поверхность которых состоит из граней , то есть частей плоскости , ограниченных многоугольниками .
Теория правильных многоугольников и	многогранников	— один из самых увлекательных и ярких разделов математики .
Среди всех	многогранников	особую роль играет хорошо знакомый нам прямоугольный параллелепипед — форму прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы , с которыми мы постоянно встречаемся в нашей жизни : коробки , комнаты , шкафы и т .
Взаимосвязь между множеством	многогранников	М , множеством прямоугольных параллелепипедов и множеством кубов К показана на диаграмме Эйлера - Венна .
Найди примеры	многогранников	в предметах окружающего мира .
Из правильных	многогранников	— платоновых тел — можно получить так называемые полу правильные многогранники , или архимедовы тела .
Правильных	многогранников	всего пять .
Тела Архимеда получаются из правильных	многогранников	с помощью операции « усечения » , то есть отсечения углов плоскостями .
В множестве	многогранников	можно выделить различные классы и подклассы : пирамиды , параллелепипеды и т .
д. Некоторые из этих	многогранников	нам уже встречались .
Икосаэдр . б ) Проверь , выполняется ли для правильных	многогранников	формула Эйлера : Г + В - Р = 2 .
713 Изображены развертки правильных	многогранников	.
Какие из	многогранников	являются выпуклыми , а какие — нет ?
722 Раскрась грани разверток всех правильных	многогранников	так , чтобы было минимальное число цветов , а соседние грани склеенной модели не были одного цвета .
Самым простым	многогранником	является треугольная пирамида .
Определи , какая развертка какому	многограннику	соответствует .
Следовательно , все его стороны и углы равны , то есть	многоугольник	является правильным .
В первом случае видны лишь ее передние грани , и по такому рисунку нельзя даже определить , какой	многоугольник	лежит в ее основании .
Поскольку граней у прямоугольного параллелепипеда всего шесть , то	многоугольник	, который получается при пересечении его с плоскостью , не может иметь больше шести сторон .
У пирамиды основанием является	многоугольник	, а боковые грани — треугольники с общей вершиной .
Тогда при повороте плоскости вокруг центра этой окружности на угол , кратный ,	многоугольник	перейдет сам в себя .
157 Построй	многоугольник	по координатам его вершин .
Оказывается , вершины любого правильного	многоугольника	лежат на одной окружности .
Около правильного	многоугольника	можно описать окружность .
Если около	многоугольника	можно описать окружность , то он является правильным .
В зависимости от числа сторон	многоугольника	, лежащего в основании пирамиды , она называется треугольной , четырехугольной , пятиугольной и т .
740 Составь формулы для вычисления периметра	многоугольника	.
Сколько вершин у	многоугольника	в ее основании ? .
Один из таких классов образуют многогранники — геометрические тела , поверхность которых состоит из граней , то есть частей плоскости , ограниченных	многоугольниками	.
Если возможно , то покажи , как	многоугольники	« сходятся » в общей вершине .
714 а ) Какие	многоугольники	могут получаться при пересечении плоскостью правильного тетраэдра , гексаэдра ( куба ) ?
Гранями их являются также правильные , но разноименные	многоугольники	.
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются правильные многогранники — геометрические тела , у которых все грани — равные правильные	многоугольники	, а углы между гранями равны .
3 Правильные	многоугольники	.
Но несколько тысячелетий прошло прежде , чем удалось доказать , что некоторые правильные	многоугольники	— например , с числом сторон 7 , 9 , 11 , 13 — в принципе нельзя построить с помощью циркуля и линейки .
Такие	многоугольники	называются правильными .
Особый интерес представляют выпуклые	многоугольники	, у которых все стороны и все углы равны .
Среди различных фигур на плоскости внимание художников и ученых всегда привлекали	многоугольники	, обладающие разными видами симметрии .
Примерами правильных	многоугольников	являются уже знакомые нам равносторонний треугольник и квадрат .
Свойства правильных	многоугольников	позволяют использовать их при составлении паркетов , то есть при покрытии плоскости фигурами без зазоров и пересечений .
Стороны этих	многоугольников	называются ребрами многогранника , а вершины — вершинами многогранника .
Паркетами из правильных	многоугольников	покрывают полы в домах , украшают стены комнат и зданий .
А вот паркетов , состоящих из правильных	многоугольников	разного вида , довольно много , и все они очень красивы .
Других паркетов из правильных	многоугольников	одного вида быть не может — в этом можно убедиться , исследовав величины их углов .
Своеобразным пространственным аналогом правильных	многоугольников	являются правильные многогранники — геометрические тела , у которых все грани — равные правильные многоугольники , а углы между гранями равны .
Теория правильных	многоугольников	и многогранников — один из самых увлекательных и ярких разделов математики .
Паркеты можно составлять не только из правильных	многоугольников	, но и , например , из прямоугольников , параллелограммов , трапеций .
Эти и другие способы построения правильных	многоугольников	знали еще древние греки .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих	многоугольников	оси симметрии , центр симметрии ?
а ) Четырехугольник является	многоугольником	.
Треугольник является	многоугольником	.
б ) Замкнутая ломаная линия без самопересечений , все точки которой принадлежат одной плоскости , называется	многоугольником	.
Описание их решения приведено как на обычном языке , так и на языке	множеств	— пусть каждый использует тот язык , который ему удобен .
409 Перерисуй в тетрадь диаграмму Эйлера - Венна	множеств	и отметь на ней элементы множества .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	А , В , С и D. Обведи на ней красным карандашом множество Е , зеленым — множество F , а желтым — множество К .
563 Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	N , Z , Q и отметь на ней элементы множества А .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	А , В , С , D и Е .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	А , В и С . 2 ) Е — множество целых чисел , модуль которых больше 2 ; F — множество целых чисел , модуль которых больше или равен 2 ;
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна	множеств	: N — натуральных чисел ; Z — целых чисел ; Q — рациональных чисел ; М — отрицательных чисел .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	Е , F и М . 361 Найди множество всех целых чисел , удовлетворяющих неравенству , и сделай рисунки .
Найди пересечение этих	множеств	и укажи в нем наименьший элемент .
243 Найди пересечение	множеств	натуральных решений неравенств .
Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	М , С и Г. Обозначь на этой диаграмме планету Земля .
Построй диаграмму	множеств	А , В , С и D и отметь на ней элементы множества А .
И конечно , в каждом из	множеств	N , Z и Q выполняются основные свойства арифметических действий .
На диаграмме Эйлера - Венна точками обозначены элементы	множеств	А , В , С и D , являющиеся трехзначными числами .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	N , Z и Q , где N — множество натуральных чисел , Z — множество целых чисел , a Q — множество рациональных чисел .
Построй диаграмму Эйлера - Венна	множеств	А , В , С и D и отметь по ней элементы множества А .
Расширением	множества	натуральных чисел до множества , в котором выполнима операция вычитания , является множество целых чисел Z .
447 Выбери из	множества	подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
244 Найди пересечение	множества	с множеством решений неравенства .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В , С и D и отметь по ней элементы	множества	А .
Среди	множества	разнообразных геометрических тел выделяют классы фигур , обладающих общим признаком .
Расширением	множества	целых чисел до множества , в котором выполнима операция деления на число , не равное 0 , является множество рациональных чисел Q .
Например , все элементы	множества	N натуральных чисел являются целыми числами , и ни одно из них не является отрицательным числом .
563 Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z , Q и отметь на ней элементы	множества	А .
Как мы уже знаем , отрицание общего высказывания означает , что “ Не все обладают свойством P(x ) ” , то есть существует хотя бы один элемент	множества	М , который указанным свойством не обладает .
Обратим внимание и на то , что во всех этих предложениях четко определены	множества	, из которых “ берутся ” значения переменной .
Построй диаграмму множеств А , В , С и D и отметь на ней элементы	множества	А .
570 Выбери из	множества	подмножество . 1 ) В — натуральных чисел ; 2 ) С — целых чисел ; 3 ) D — рациональных чисел .
Итак , переменной величиной , или переменной , называют буквенное обозначение для произвольного элемента некоторого	множества	.
Обозначим А ( п ) подмножество	множества	А , состоящее из чисел , кратных п. Запиши , из каких элементов состоят А ( 2 ) , А ( 5 ) , А ( 10 ) , Л ( 3 ) , А ( 9 ) , А ( 6 ) , А ( 15 ) .
Выше мы аккуратно сказали « как правило » , поскольку может оказаться , что ни один из элементов некоторого	множества	заданным свойством не обладает или , напротив , все его элементы обладают этим свойством .
45 Пусть D(12 ) и D(15 ) —	множества	делителей соответственно чисел 12 и 15 .
А каждый элемент этого	множества	называют значением переменной .
Запиши эти	множества	с помощью фигурных скобок и найди их пересечение .
Расширением множества натуральных чисел до	множества	, в котором выполнима операция вычитания , является множество целых чисел Z .
409 Перерисуй в тетрадь диаграмму Эйлера - Венна множеств и отметь на ней элементы	множества	.
53 Пусть А ( n ) — множество натуральных решений неравенства кратных числу п. Запиши	множества	А ( 2 ) , А ( 3 ) , А ( 5 ) , А ( 9 ) , А ( 10 ) .
Множество натуральных чисел является подмножеством	множества	дробей .
46 Запиши	множества	К ( 6 ) и К ( 8) чисел , кратных соответственно 6 и 8 .
Запиши	множества	Е , F и М с помощью фигурных скобок и сделай рисунки .
365 Составь из элементов этого	множества	подмножества : 1 ) В — отрицательных рациональных чисел ;
Решение уравнений , то есть отыскание	множества	всех его корней , может осуществляться разными способами .
Расширением множества целых чисел до	множества	, в котором выполнима операция деления на число , не равное 0 , является множество рациональных чисел Q .
8 Назови элементы	множества	.
316 Назови элементы	множества	А которые являются натуральными числами , целыми числами , рациональными числами .
е ) где Р — множество прямых и b — фиксированная прямая из этого	множества	.
Показана диаграмма Эйлера - Венна	множества	Т , гдеТо , Тп и Тт обозначают соответственно множества остроугольных , прямоугольных и тупоугольных треугольников .
564 Выбери из	множества	подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
В таких случаях предполагается , что переменная принимает значения из	множества	всех уже известных нам чисел , то есть из множества рациональных чисел .
Показана диаграмма Эйлера - Венна множества Т , гдеТо , Тп и Тт обозначают соответственно	множества	остроугольных , прямоугольных и тупоугольных треугольников .
В таких случаях предполагается , что переменная принимает значения из множества всех уже известных нам чисел , то есть из	множества	рациональных чисел .
Разбиение	множества	на классы , при котором каждый элемент попадает ровно в один класс , называется классификацией .
Запиши	множества	А , В и С с помощью фигурных скобок и отметь их элементы на координатной прямой .
Элементы	множества	А = 8 , 15 , 31 , 49 , взятые попарно , являются взаимно простыми числами .
Если для конкретного человека обычно существенны свойства конкретного предмета , то науки интересуются прежде всего общими свойствами предметов , то есть свойствами , относящимися к целым	множествам	, классам предметов .
Таким образом , решить уравнение — значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет ( на	множестве	значений переменной ) .
Вместе с тем на	множестве	целых чисел не всегда можно разделить одно число на другое .
Так , корни уравнения х + 4 = 9 мы будем искать на	множестве	рациональных чисел Q , то есть на множестве всех чисел , которые нам известны .
747 Можно ли сравнить на	множестве	рациональных чисел .
Так , корни уравнения х + 4 = 9 мы будем искать на множестве рациональных чисел Q , то есть на	множестве	всех чисел , которые нам известны .
На	множестве	натуральных чисел любые два числа можно сложить и перемножить , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
На	множестве	рациональных чисел самая “ богатая ” арифметика — в нем всегда выполнимы все четыре арифметические действия ( кроме деления на 0 ) .
В	множестве	В — 345 , 505050 , 222555 , 15150 есть числа , не кратные 15 . 5 )
Подобно корню растения , который удерживает его в почве , корень уравнения « удерживает » его в	множестве	истинных высказываний .
Например , в	множестве	треугольников Т можно выделить треугольники , которые имеют две равные стороны , — их называют равнобедренными ; в множестве равнобедренных треугольников , в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три стороны .
Для этого прежде всего надо точно указать , в каком числовом	множестве	ищутся корни , или , как говорят , указать множество значений переменной .
91 Реши уравнения на	множестве	натуральных чисел методом перебора .
В	множестве	многогранников можно выделить различные классы и подклассы : пирамиды , параллелепипеды и т .
Так , ложность высказывания : x < x — 1 следует из общего свойства чисел на	множестве	R , а именно : x > x — 1 , так как число x расположено на числовом луче правее , чем число x — 1 .
Легко догадаться , что таким числом с в	множестве	рациональных чисел является число с = а + ( -b ) .
76 Реши уравнение на	множестве	: a ) Q ; б ) Z ; в ) N . г ) положительных чисел ; д ) неотрицательных чисел .
Например , в множестве треугольников Т можно выделить треугольники , которые имеют две равные стороны , — их называют равнобедренными ; в	множестве	равнобедренных треугольников , в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три стороны .
Для этого прежде всего надо точно указать , в каком числовом множестве ищутся корни , или , как говорят , указать	множество	значений переменной .
360 1 ) А —	множество	целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
Расширением множества натуральных чисел до множества , в котором выполнима операция вычитания , является	множество	целых чисел Z .
( R —	множество	дробей ) .
Свойство , в соответствии с которым	множество	разбивается на классы , называют основанием классификации ( в нашем примере — « вид углов » ) .
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В —	множество	целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
5 ) ( Р —	множество	прямых на плоскости ; знак I обозначает параллельность прямых ) .
327 Из цифр 2 , 5 , 7 , 8 составь	множество	чисел , кратных : 1 ) девяти ; 2 ) трем ; 3 ) пяти ; 4 ) четырем .
53 Пусть А ( n ) —	множество	натуральных решений неравенства кратных числу п. Запиши множества А ( 2 ) , А ( 3 ) , А ( 5 ) , А ( 9 ) , А ( 10 ) .
натуральное число ( D —	множество	правильных дробей ) .
82 Найди	множество	корней уравнения .
( Я —	множество	дробей ) .
простое число . R —	множество	дробей .
221 Отметь на координатной прямой	множество	решений неравенства .
Где расположено	множество	точек , сумма абсциссы и ординаты которых больше 5 , меньше 5 ?
где Р —	множество	прямых зон .
имеет дневник ( А —	множество	учеников ) .
2 ) пишет стихи ( А —	множество	учеников ) .
3 ) имеет синоним ( В —	множество	слов русского языка ) .
4 ) является глаголом ( В —	множество	слов русского языка ) .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В , С и D. Обведи на ней красным карандашом множество Е , зеленым — множество F , а желтым —	множество	К .
31 Прочитай неравенство и запиши	множество	всех его натуральных решений .
( Р —	множество	правильных дробей ) .
х — имеет ось симметрии ( Я —	множество	параллелограммов ) .
( С —	множество	садовых цветов ) .
Чтобы записать утверждения с помощью кванторов , сначала нужно ввести переменную и определить	множество	, в котором эта переменная принимает значения .
18 Пусть М —	множество	всех планет , названия которых начинаются с буквы М , С — множество всех планет Солнечной системы , а Г — множество всех планет Солнечной системы , входящих в группу планет - гигантов .
в ) Окружностью называется	множество	всех точек плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемой центром окружности .
Расширением множества целых чисел до множества , в котором выполнима операция деления на число , не равное 0 , является	множество	рациональных чисел Q .
18 Пусть М — множество всех планет , названия которых начинаются с буквы М , С —	множество	всех планет Солнечной системы , а Г — множество всех планет Солнечной системы , входящих в группу планет - гигантов .
Поэтому окружность можно определить как	множество	всех точек плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от одной заданной точки .
в ) На какие классы можно разбить	множество	треугольников по виду углов ?
237 Пусть А —	множество	чисел , кратных 5 , В — множество чисел , кратных 10 , С — множество чисел , кратных 3 , и D — множество чисел , кратных 9 .
237 Пусть А — множество чисел , кратных 5 , В — множество чисел , кратных 10 , С — множество чисел , кратных 3 , и D —	множество	чисел , кратных 9 .
Найди	множество	корней уравнения .
237 Пусть А — множество чисел , кратных 5 , В —	множество	чисел , кратных 10 , С — множество чисел , кратных 3 , и D — множество чисел , кратных 9 .
Введенные таким образом положительные и отрицательные числа вместе с нулем составляют	множество	рациональных чисел ( обычно его обозначают буквой Q ) .
В последних двух примерах мы не указали	множество	значений переменной .
237 Пусть А — множество чисел , кратных 5 , В — множество чисел , кратных 10 , С —	множество	чисел , кратных 3 , и D — множество чисел , кратных 9 .
18 Пусть М — множество всех планет , названия которых начинаются с буквы М , С — множество всех планет Солнечной системы , а Г —	множество	всех планет Солнечной системы , входящих в группу планет - гигантов .
109 Найди	множество	натуральных решений уравнения методом проб и ошибок .
Отметим , что все известные ранее правила деления с 0 и 1 распространяются и на	множество	рациональных чисел .
а ) « z не тонет в воде » , где С —	множество	металлов .
где D —	множество	государств .
( L —	множество	деревьев ) .
449 Сколько элементов содержит	множество	целых решений неравенства .
В практических задачах	множество	значений переменной определяется жизненным смыслом ее условий .
	Множество	рациональных чисел .
402 Прочитай неравенство и запиши	множество	его целых решений .
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое число , а знаменатель — натуральное , поэтому	множество	рациональных чисел обычно записывают так .
Каждое свойство разбивает	множество	предметов , о которых идет речь , как правило , на два класса : обладающие данным свойством и не обладающие им. В первом из приведенных примеров это множество четных чисел и множество нечетных чисел , во втором примере один класс состоит из людей , птиц и других живых существ , имеющих две ноги , другой — из остальных живых существ .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N —	множество	натуральных чисел , Z — множество целых чисел , a Q — множество рациональных чисел .
726 Найди	множество	корней уравнения .
107 Найди	множество	натуральных корней уравнения .
Полученные таким образом классы являются непересекающимися , и их объединение составляет все	множество	.
382 Найди	множество	целых решений неравенства и сделай рисунок .
углы при основании у равны ( Т —	множество	трапеций ) .
299 На какие классы разбивают данное	множество	объектов следующие свойства .
Это определение окружности опирается на понятия «	множество	» , « точка » , « расстояние » , « одинаковый » , « плоскость » .
В общем случае множеством значений переменной считают	множество	всех ее значений , при котором уравнение имеет смысл .
Натуральные числа , противоположные к ним отрицательные числа и число 0 образуют	множество	целых чисел .
290 Отметь на координатной прямой цветным карандашом	множество	точек , удовлетворяющее данному неравенству .
Таким образом , установленное правило вычитания расширяет возможности решения задач и уравнений , распространяя уже известные нам способы действий на	множество	рациональных чисел .
Запиши	множество	его целых решений и 2 дробных решения .
367 Прочитай неравенство и найди	множество	его целых решений .
Например , предложение соответствует свойству натуральных чисел « быть четным » , предложение « х имеет две ноги ( где А —	множество	живых существ ) » соответствует свойству некоторых живых существ иметь две ноги и т.п .
774 Найди	множество	корней уравнения .
« найти	множество	всех корней уравнения » .
410 Найди	множество	корней уравнения .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е —	множество	целых чисел , модуль которых больше 2 ; F — множество целых чисел , модуль которых больше или равен 2 ;
	Множество	дробей .
252 Найди	множество	корней уравнения .
е ) где Р —	множество	прямых и b — фиксированная прямая из этого множества .
В случае отсутствия корней уравнения говорят , что	множество	его корней — пустое .
321 Прочитай неравенство и найди	множество	его натуральных решений .
Каждое свойство разбивает множество предметов , о которых идет речь , как правило , на два класса : обладающие данным свойством и не обладающие им. В первом из приведенных примеров это множество четных чисел и	множество	нечетных чисел , во втором примере один класс состоит из людей , птиц и других живых существ , имеющих две ноги , другой — из остальных живых существ .
Итак , решить уравнение — значит найти	множество	всех его корней .
Запиши	множество	D ( а ) всех делителей числа а .
144 Опровергни утверждения и запиши их отрицания на математическом языке ( R —	множество	дробей ) .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е — множество целых чисел , модуль которых больше 2 ; F —	множество	целых чисел , модуль которых больше или равен 2 ;
9 Запиши в порядке возрастания элементов	множество	натуральных чисел , составленных из двух пятерок и пяти нулей .
400 Найди	множество	корней уравнения .
238 Найди методом перебора	множество	всех пар натуральных чисел x и y , удовлетворяющих уравнению .
Итак , мы знаем , что	множество	натуральных чисел бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
R —	множество	дробей .
Поэтому всегда важно указывать	множество	значений , которые принимает переменная .
Найди	множество	натуральных корней уравнения методом проб и ошибок .
Каждое свойство разбивает множество предметов , о которых идет речь , как правило , на два класса : обладающие данным свойством и не обладающие им. В первом из приведенных примеров это	множество	четных чисел и множество нечетных чисел , во втором примере один класс состоит из людей , птиц и других живых существ , имеющих две ноги , другой — из остальных живых существ .
	Множество	ординат всех точек прямоугольника .
Например , где R —	множество	дробных чисел .
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С —	множество	натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств Е , F и М . 361 Найди	множество	всех целых чисел , удовлетворяющих неравенству , и сделай рисунки .
Запиши	множество	натуральных значений переменных , при которых данные предложения становятся истинными высказываниями .
408 Найди	множество	корней уравнения , пользуясь определением модуля в “ разветвленной ” форме .
Эти классы интересны тем , что любой треугольник попадает ровно в один класс , и тем самым	множество	Т треугольников определенным образом упорядочивается .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В , С и D. Обведи на ней красным карандашом	множество	Е , зеленым — множество F , а желтым — множество К .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество натуральных чисел , Z — множество целых чисел , a Q —	множество	рациональных чисел .
353 Запиши	множество	чисел , модуль которых равен .
х — хвойное , покрытосеменное , где D —	множество	деревьев .
М —	множество	отрицательных целых чисел , модуль которых больше или равен 2 .
Определить	множество	значений переменной х . 8) Составить уравнение .
187 Отметь на координатной прямой	множество	решений неравенства .
249 Найди методом перебора	множество	всех упорядоченных пар натуральных чисел а и b , удовлетворяющих уравнению .
404 Найди	множество	чисел , удовлетворяющих условию , и запиши его , если возможно , с помощью двойного неравенства .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В , С и D. Обведи на ней красным карандашом множество Е , зеленым —	множество	F , а желтым — множество К .
Задай с помощью двойных неравенств : а )	множество	абсцисс всех точек прямоугольника .
6 ) ( С —	множество	точек окружности с центром О ) .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество натуральных чисел , Z —	множество	целых чисел , a Q — множество рациональных чисел .
Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна , иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех треугольников , множеством равнобедренных и	множеством	равносторонних треугольников .
Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна , иллюстрирующую взаимосвязь между	множеством	всех треугольников , множеством равнобедренных и множеством равносторонних треугольников .
244 Найди пересечение множества с	множеством	решений неравенства .
Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна , иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех треугольников ,	множеством	равнобедренных и множеством равносторонних треугольников .
В общем случае	множеством	значений переменной считают множество всех ее значений , при котором уравнение имеет смысл .
Взаимосвязь между множеством многогранников М ,	множеством	прямоугольных параллелепипедов и множеством кубов К показана на диаграмме Эйлера - Венна .
Каждое понятие обладает	множеством	свойств .
Взаимосвязь между множеством многогранников М , множеством прямоугольных параллелепипедов и	множеством	кубов К показана на диаграмме Эйлера - Венна .
Взаимосвязь между	множеством	многогранников М , множеством прямоугольных параллелепипедов и множеством кубов К показана на диаграмме Эйлера - Венна .
Именно , не указывать квантор для каждой переменной , а указать один квантор сразу для нескольких переменных ( если , конечно , значения переменных принадлежат одному и тому же	множеству	) .
Например , утверждение “ Для того чтобы найти пройденный путь , можно скорость движения умножить на время движения ” на математическом языке записывается просто , а высказывание “ Элемент а не принадлежит	множеству	записывается .
270 Значение выражения принадлежит	множеству	.
Какие из чисел , принадлежащих этому	множеству	, являются : а ) натуральными числами ; б ) дробями ? .
566 Приведи примеры точек координатной прямой , координаты которых не принадлежат	множеству	рациональных чисел .
Обе эти зависимости являются частными случаями формулы произведения : прямая пропорциональность — при постоянном	множителе	, а обратная — при постоянном произведении .
Например , в выражении пять отрицательных	множителей	.
Число -15 , полученное в результате умножения всех числовых	множителей	, называют коэффициентом .
Данное выражение представляет собой произведение	множителей	12 ; х ; 0,25 ; -5 и у. На основании сочетательного закона умножения можно отдельно сгруппировать числовые и буквенные множители .
Других натуральных корней у этого уравнения нет , так как при увеличении	множителей	произведение также будет увеличиваться , а при уменьшении — уменьшаться .
В “ длинных ” выражениях , в которых фигурирует только умножение , при четном числе отрицательных	множителей	ответ будет положительным , а при нечетном числе — отрицательным .
Теперь рассмотрим пример умножения положительного числа на отрицательное , Так как при перестановке	множителей	произведение не должно меняться ( переместительное свойство умножения ) , то сохранится и правило , по которому мы ищем результат .
Остается случай , когда и первый , и второй	множители	отрицательны , например ( -2 ) ∙ ( -3 ) .
Как найти НОК ( 6 ; 8) с помощью разложения на простые	множители	? .
Ясно , что равенство не нарушится , если , например , в нем поменять местами	множители	a и d. Следовательно , в пропорции можно поменять местами ее крайние члены , то есть .
277 Разложи числа на простые	множители	и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное .
Разложи числа на простые	множители	и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное .
54 Найди НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые	множители	: а ) 105 и 225 ; б ) 84 и 420 ; в ) 273 и 110 ; г ) 45 , 120 и 525 .
Как найти НОД ( 12 ; 15 ) , пользуясь разложением на простые	множители	? .
Данное выражение представляет собой произведение множителей 12 ; х ; 0,25 ; -5 и у. На основании сочетательного закона умножения можно отдельно сгруппировать числовые и буквенные	множители	.
48 Найди с помощью разложения на простые	множители	НОД и НОК чисел .
сумма , если одно слагаемое увеличить на 5 , а другое увеличить на 4 . 2 ) разность , если уменьшаемое увеличить на 5 , а вычитаемое увеличить на 4 . 3 ) произведение , если один	множитель	уменьшить в 3 раза , а другой — уменьшить в 6 раз .
Теперь , разделив обе части равенства на общий	множитель	( 7 + 2 - 9 ) , получим , что 4 = 5 , то есть 2 ∙ 2= 5 .
В каждой части этого равенства вынесем за скобки общий	множитель	.
Поэтому во сколько раз увеличивается один	множитель	, во столько же раз уменьшается и второй .
100 Как найти неизвестный	множитель	, делимое , делитель ?
Вообще , если выражение является произведением числа и буквенной части , то числовой	множитель	в этом выражении называют коэффициентом .
Вычисления значительно упростятся , если заметить , что все слагаемые имеют один и тот же буквенный	множитель	х .
Легко заметить также , что в знаменателе есть общий	множитель	— , или , что то же самое , 0,75 , который можно вынести за скобку , а затем сократить на него дробь .
На основании распределительного закона умножения общий	множитель	можно вынести за скобки .
Распространяя данное свойство на случай , когда первый	множитель	отрицателен , приходим к равенству .
Так как второй	множитель	натуральное число , то мы можем воспользоваться “ старым ” определением , известным еще из начальной школы : ( -2 ) ∙ 3 есть сумма 3 слагаемых , каждое из которых равно ( -2 ) .
Если в записи буквенного выражения отсутствует числовой	множитель	, то на помощь приходят равенства .
Упростим правую часть , поменяем ее местами с левой частью и найдем неизвестный	множитель	.
Перенесем слагаемое -54 в правую часть уравнения , а в левой части вынесем за скобки общий	множитель	х .
525 Вынеси за скобки общий	множитель	.
правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий ( слагаемого , уменьшаемого , вычитаемого ,	множителя	, делимого , делителя ) .
Заметим , что в последнем примере при умножении на отрицательное число модули перемножаются , а знак произведения противоположен знаку первого	множителя	.
На основании перекрестного правила можно записать и тогда любой член пропорции легко вычисляется , исходя из перекрестного правила и правила нахождения неизвестного	множителя	.
Произведение чисел , отличных от нуля , больше каждого	множителя	.
Из нее видно , что при увеличении	множителя	t в несколько раз во столько же раз увеличивается и произведение s.
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных	множителям	; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных	множителям	. г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных	множителям	.
Например , прежде чем искать значение дроби можно заметить , что в числителе и знаменателе по 5 десятичных знаков после запятой , а в	множителях	знаменатели 3 и 9 .
а ) модуль числа , противоположного удвоенному произведению чисел а и b . б ) сумма	модулей	чисел с и d ( с = -0,8 ; d = 0,7 ) .
г ) Модуль разности двух чисел может быть больше разности их	модулей	.
в ) Модуль произведения двух чисел равен произведению их	модулей	.
Произведение	модулей	вычисляем , уже не глядя на знаки .
Расположи данные числа в порядке убывания	модулей	, сопоставь им соответствующие буквы , и ты узнаешь название самой северной точки одного из материков .
Проанализируй полученный результат и сформулируй гипотезу о сравнении	модулей	рациональных чисел .
354 Найди модули чисел и запиши значение	модулей	.
Расстояние от начала отсчета до точки , обозначающей данное число , называют	модулем	этого числа ( от латинского modus — мера , величина ) .
Из двух отрицательных чисел левее расположено число с большим	модулем	, поэтому оно меньше .
Вообще говоря , чтобы сложить два числа с разными знаками , можно вычесть их модули и поставить перед полученной разностью знак числа с большим	модулем	.
Сложить	модули	.
Так как противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета , то их	модули	равны .
354 Найди	модули	чисел и запиши значение модулей .
Приведенные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками , можно сложить их	модули	и поставить общий знак .
568 Сравни числа А и В и их	модули	.
450 Пользуясь рисунками , сравни числа а и b с нулем , между собой и сравни их	модули	.
г ) Если числа равны , то равны и	модули	этих чисел .
Существуют взаимно обратные числа ,	модули	которых равны .
Вообще говоря , чтобы сложить два числа с разными знаками , можно вычесть их	модули	и поставить перед полученной разностью знак числа с большим модулем .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а )	модули	противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
Заметим , что в последнем примере при умножении на отрицательное число	модули	перемножаются , а знак произведения противоположен знаку первого множителя .
Мы видим , что умножить число ( -2 ) на число 3 можно по простому правилу : перемножить “ числа без знаков ” ( то есть	модули	) и перед произведением поставить знак “ минус ” .
Пользуясь им , найди	модули	чисел .
355 Сравни	модули	чисел .
Итак , произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить	модули	сомножителей .
Найдем по этому определению , например ,	модули	чисел 2 и -3 .
2 Противоположные числа и	модуль	.
Итак , произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти	модуль	произведения , нужно перемножить модули сомножителей .
Итак , частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль частного , нужно разделить модуль делимого на	модуль	делителя .
351 Прочитай равенство , используя слова “	модуль	” и “ расстояние ” .
Как и любое расстояние между двумя точками ,	модуль	не может быть отрицательным .
в )	модуль	разности частного чисел m и n утроенного числа к ( m = 1,6 ; n = -3 , к = -0,4 ) .
а )	модуль	числа , противоположного удвоенному произведению чисел а и b . б ) сумма модулей чисел с и d ( с = -0,8 ; d = 0,7 ) .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е — множество целых чисел , модуль которых больше 2 ; F — множество целых чисел ,	модуль	которых больше или равен 2 ;
Итак , частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль частного , нужно разделить	модуль	делимого на модуль делителя .
2 )	модуль	отрицательного числа а — противоположное ему число ( -а ) .
в ) если число кратно 4 и 25 , то оно кратно 100 . г ) если число неотрицательно , то	модуль	числа равен самому числу .
	Модуль	числа 0 — само число 0 .
Заметив схожесть первой и третьей строк , можно сказать и так : если число а больше или равно 0 , то его	модуль	равен самому числу а ; если же число а меньше 0 , то его модуль равен ( -а ) .
352 Отметь на координатной прямой точки ,	модуль	которых равен 2 , 6 , 0 .
360 1 ) А — множество целых чисел ,	модуль	которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
	Модуль	положительного числа а — само число а .
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел ,	модуль	которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
Заметив схожесть первой и третьей строк , можно сказать и так : если число а больше или равно 0 , то его модуль равен самому числу а ; если же число а меньше 0 , то его	модуль	равен ( -а ) .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е — множество целых чисел ,	модуль	которых больше 2 ; F — множество целых чисел , модуль которых больше или равен 2 ;
Обычно вначале определяют знак , а потом уже находят	модуль	произведения , например .
М — множество отрицательных целых чисел ,	модуль	которых больше или равен 2 .
353 Запиши множество чисел ,	модуль	которых равен .
Итак , частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти	модуль	частного , нужно разделить модуль делимого на модуль делителя .
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел ,	модуль	которых меньше или равен 4 .
из двух отрицательных чисел больше то ,	модуль	которого меньше .
750 Сформулируй определение	модуля	числа .
Вычесть из большего	модуля	меньший .
408 Найди множество корней уравнения , пользуясь определением	модуля	в “ разветвленной ” форме .
407 Запиши определение	модуля	в “ разветвленной ” форме .
В предыдущем пункте мы ввели понятие	модуля	числа .
702 Реши уравнения , пользуясь разветвленным определением	модуля	.
Определение	модуля	было дано нами на геометрическом языке — с помощью координатной прямой .
707 Реши уравнения , пользуясь разветвленным определением	модуля	.
Дальнейшие действия с	модулями	чисел выполняются так же , как и раньше .
Поэтому в настоящий	момент	мы можем лишь с некоторой степенью точности проверить правильность каждого конкретного построения с помощью , например , кальки или измерительных приборов .
Есть еще один важный	момент	, на который нужно обращать внимание при составлении уравнения , — это соответствие единиц измерения величин , входящих в уравнение .
В	момент	встречи первому оставалось идти еще 16 ч , а второму 9 ч .
213 Велосипедист отъехал от станции в тот	момент	, когда пешеход отошел от нее в том же направлении на 1,6 км , и через 15 мин велосипедист догнал пешехода .
Определи по графику : а )	момент	их выхода и направление движения ; б ) время и место встречи ; в ) скорости движения на всех участках ; г ) время и продолжительность остановок .
Какое расстояние было между пешеходами в	момент	выхода второго пешехода ?
dt — расстояние между автомобилями в указанный	момент	времени t .
Запиши формулу зависимости расстояния d км между ними от времени движения t ч ( до	момента	встречи ) .
Запиши формулу зависимости расстояния d от времени движения t до	момента	их встречи .
В какие	моменты	времени расстояние между ними было равно 3 км ? .
3 ) В какие	моменты	времени температура воды в чайнике была равна 90 ° ? .
С этой точки зрения “ многоступенчатые ” примеры	на порядок	действий с обыкновенными и десятичными дробями становятся своеобразными тестами на умение мыслить , на аккуратность , находчивость , трудолюбие , способность человека достигать поставленной цели .
Разложи числа на простые множители и найди их	наибольший общий делитель	и наименьшее общее кратное .
Чему равен	наибольший общий делитель	чисел 12 и 15 ?
277 Разложи числа на простые множители и найди их	наибольший общий делитель	и наименьшее общее кратное .
Упростим правую часть , поменяем ее местами с левой частью и	найдем	неизвестный множитель .
Соберем слагаемые , содержащие х , в левую часть , а свободные члены — в правую , затем упростим полученные выражения и	найдем	х .
Обозначим эти точки В и С. Проведем две окружности того же радиуса с центрами в В и С и	найдем	их точку пересечения , принадлежащую углу , — точку М. Луч AM — биссектриса .
Решим полученное уравнение и	найдем	неизвестное значение р .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла А и	найдем	ее точки пересечения со сторонами угла .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла и	найдем	точки ее пересечения со сторонами угла .
В математике выход был	найден	в III веке до нашей эры : древнегреческий математик Евклид осознал , что всем геометрическим понятиям определения дать невозможно и поэтому некоторые из них должны быть введены без определения .
Поэтому	найденное	свойство треугольника можно сформулировать как гипотезу .
Расположи имена мальчиков в порядке уменьшения числа	найденных	грибов .
Выдели из	найденных	чисел целую часть .
Однако многие свойства даже таких простейших фигур на плоскости , как треугольник , были	найдены	не сразу , а в результате длительной и кропотливой работы с конкретными треугольниками , а затем обобщения полученных выводов .
Если для зависимостей между величинами формулы еще не	найдены	, то их описывают табличным или графическим способом .
530 Упрости выражения и	найди	их значения .
Измерь углы четырехугольника ABCD и	найди	их сумму .
при 1 < а < 10 . 156 Запиши данную программу действий в виде числового выражения и	найди	его значение .
Составь выражение и	найди	его значение , если : 1 ) x = 42,6 км / ч , y = 34,2 км / ч ; 2 ) x — 35,6 км / ч , y = 28 км / ч . 229 1 )
191 Составь выражение и	найди	его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника , приведенным ,	найди	тангенс угла А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
Построй окружность , описанную около треугольника АХВХСХ , и	найди	точки ее пересечения со сторонами треугольника АВС .
502 Раскрой скобки и	найди	значение полученной алгебраической суммы .
156 Упрости пропорции , используя равносильные преобразования , и	найди	х . 157 С одной автобусной станции отошли в противоположных направлениях два автобуса .
395 Упрости выражения и	найди	их значения .
93 Составь выражение к задаче и	найди	его значение при данном значении переменной .
442 Сложив сначала противоположные числа ,	найди	значения выражений .
201 Составь выражение и	найди	его значение , если а = .
Разложи числа на простые множители и	найди	их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное .
Составь задачи и	найди	скорости движения автомобилей по схемам .
444 Выбрав удобный порядок вычислений ,	найди	значения выражений .
3 Раскрой скобки и	найди	значения выражений .
337 Составь выражение и	найди	его значение при s = 45,6 ; b = 1,6 .
416 Упрости выражения и	найди	их значения .
590 Запиши выражение и	найди	его значение при данных значениях букв .
Используя этот прием ,	найди	произведения .
Составь выражение и	найди	его значение .
197 Составь по схемам задачи и	найди	неизвестные величины ( d — расстояние между объектами через t ч после выхода ) .
771 Запиши выражение и	найди	его значение при данных значениях букв .
424 Придумай ситуацию , математической моделью которой может служить данное выражение , и	найди	ответ .
Рассмотри теперь квадраты размером 3x3 клетки и	найди	в них группы из трех чисел , суммы которых будут одинаковы .
148 Упрости пропорции , используя равносильные преобразования , и	найди	х . 149 Из поселка А в поселок В выехал велосипедист со скоростью 16 км / ч .
218 Составь выражение и	найди	его значение , если .
558 Упрости выражения и	найди	их значения .
499 Построй треугольник АВС , проведи три его медианы и	найди	их точку пересечения О.
729 Составь выражение и	найди	его значение при данных значениях букв .
Составь выражение и	найди	его значение при данных значениях переменных .
Запиши эти множества с помощью фигурных скобок и	найди	их пересечение .
314 Запиши сумму чисел и	найди	ее с помощью координатной прямой .
343 Прочитай определения ,	найди	определяемые понятия и укажи понятия , на которые они опираются .
235 Составь выражение и	найди	его значение .
75 Составь выражение к задаче и	найди	его значение при данном значении переменной .
Выполни измерения и	найди	площади заштрихованных фигур .
Составь выражение и	найди	еш значение при а = 36,4 км / ч , 6 - 1,6 км / ч .
24 Составь выражение и	найди	его значение при данных значениях букв : Пароход плыл 5 ч по течению реки и 3 ч против течения .
320 Вычисли устно и	найди	произведение полученных чисел наиболее удобным способом .
277 Разложи числа на простые множители и	найди	их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное .
220 Придумай по данному выражению задачу о “ доходах ” ( прибавлении денег ) и “ расходах ” ( уменьшении денег ) и	найди	ответ .
Придай переменным значения , соответствующие условию твоей задачи , и	найди	ответ .
239 Упрости выражение ,	найди	его коэффициент и буквенную часть .
Как удобнее и проще	найти	в полученных моделях неизвестные числа х и у ?
Итак , чтобы	найти	р% от числа , надо это число умножить на дробь .
Например , чтобы	найти	отношение 50 см к 1 м , надо сначала выразить обе эти величины либо в метрах , либо в сантиметрах и только после этого находить частное .
Как	найти	НОД ( 12 ; 15 ) , пользуясь разложением на простые множители ? .
Это означает , что человек должен оставить свой адрес или номер телефона , то есть данные , по которым его можно	найти	.
Чтобы	найти	, сколько процентов число b составляет от а ( а не равно 0 ) , надо сначала узнать , какую часть b составляет от а , а затем эту часть выразить в процентах .
Как	найти	НОК ( 6 ; 8) с помощью разложения на простые множители ? .
Таким образом , зная скорость течения и собственную скорость объекта , мы можем	найти	скорости этого объекта по течению и против течения .
Вычесть из числа а число b — это значит	найти	такое число с , которое при сложении с b дает а .
Таким образом , решить уравнение — значит	найти	все его корни или доказать , что корней у него нет ( на множестве значений переменной ) .
	Найти	их значения и сравнить полученные числа .
Чтобы	найти	число по его части b , выраженной дробью ( Р ∙ 0 ) .
Чтобы решить обратную задачу —	найти	собственную скорость объекта , если известны его скорости по течению и против течения , — достаточно их сложить .
При переводе из троичной системы в десятичную надо представить число в виде суммы разрядных слагаемых и	найти	значение полученного выражения .
Можно	найти	такие два натуральных числа , сумма которых равна их произведению .
« Разделить число а на число b — это значит	найти	такое число с , которое при умножении на b дает а » .
Таким образом , чтобы	найти	число по его части , составляющей р % этого числа , надо эту часть разделить на .
84 Как	найти	часть , которую одно число составляет от другого ?
Например , чтобы построить точку С ( -4 ; 2 ) , можно провести через ее абсциссу ( -4 ) и ординату 2 прямые , перпендикулярные осям координат , и	найти	точку пересечения этих прямых .
Как	найти	число по его части , выраженной дробью ?
Вместо фразы «	найти	все корни уравнения или доказать , что корней нет » можно сказать короче .
Полученная формула позволяет по любому данному значению х	найти	соответствующее значение у и построить график этой зависимости .
Чтобы	найти	крайний член пропорции , надо произведение ее средних членов разделить на второй крайний член .
Итак , решить уравнение — значит	найти	множество всех его корней .
83 Как	найти	число по его части , выраженной дробью ?
82 Как	найти	часть от числа , выраженную дробью ?
Исследование этих зависимостей помогает прогнозировать события , или , иначе говоря , помогает	найти	ответ на вопрос : « Что будет происходить при тех или иных обстоятельствах ? » .
135 Как	найти	часть от числа , выраженную дробью ?
Чтобы	найти	от а , надо а умножить на .
А можно ли	найти	10000 решений этого неравенства ? .
Укажи алгоритм , по которому можно	найти	его 1000 решений .
Итак , произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы	найти	модуль произведения , нужно перемножить модули сомножителей .
Чтобы	найти	отношение одноименных величин ( длин , масс и т . д. ) , необходимо выразить их в одной и той же единице измерения — в противном случае полученный результат для сравнения величин использовать нельзя .
«	найти	множество всех корней уравнения » .
Чтобы	найти	средний член пропорции , надо произведение ее крайних членов разделить на второй средний член .
На какую сумму агенту надо	найти	заказ , чтобы заработать 2000 р . ? .
Например , утверждение “ Для того чтобы	найти	пройденный путь , можно скорость движения умножить на время движения ” на математическом языке записывается просто , а высказывание “ Элемент а не принадлежит множеству записывается .
99 Как	найти	неизвестное слагаемое , уменьшаемое , вычитаемое ?
Итак , уравнением будем называть равенство , содержащее переменную , значение которой надо	найти	.
Сколько отличий от них ты сможешь	найти	у каждого из оставшихся рисунков ? .
в этом равенстве имеется буква , значение которой надо	найти	.
В задаче требуется	найти	исходную массу огурцов во второй бочке .
Чтобы	найти	неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого вычесть разность .
Именно поэтому математики всегда стремились	найти	общие способы решения различных классов уравнений .
Чтобы	найти	неизвестное слагаемое , из суммы надо вычесть известное слагаемое .
Итак , частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы	найти	модуль частного , нужно разделить модуль делимого на модуль делителя .
766 Как	найти	: а ) процент от числа ; б ) число по его проценту ; в ) процентное отношение двух чисел ?
Можно ли	найти	величины остальных углов , не выполняя измерений ? .
Эта формула дает возможность по любым двум из величин — путь ( s ) , скорость ( v ) , время ( t ) —	найти	третью величину с помощью вычислений по одной из формул .
100 Как	найти	неизвестный множитель , делимое , делитель ?
Как	найти	число по его части ?
Пусть , например , требуется	найти	значение выражения при д : = 2,56 .
365 Как	найти	часть от числа ?
Как известно , разделить число а на число b — это значит	найти	такое число с , которое при умножении на b дает а .
Соотнести полученные значения х с вопросом задачи ( при необходимости	найти	искомую величину ) и проверить соответствие полученного ответа реальности .
Задачу можно было бы решить и иначе :	найти	сначала , сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной — 100 % + 10 % = 110 % , а затем вычислить 110 % от 4500 рублей .
Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби , и , при желании , можно ею пользоваться , чтобы	найти	любую из неизвестных величин а , b и р .
Это удобно показать	направленным отрезком	длины d , который называют вектором и обозначают d .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого	натурального	числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
Квадрат	натурального	числа может быть меньше 1 .
Перевод	натурального	числа из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут остатки от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в обратном порядке .
в ) Если сумма цифр	натурального	числа делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Поэтому после подстановки вместо x любого	натурального	числа всегда будет получаться ложное высказывание .
119 При делении	натурального	числа на 8 получился остаток 5 .
Докажи , что квадрат любого	натурального	числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого	натурального	числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
Натуральное число а больше	натурального	числа b в 5 раз .
574 Запиши первые 15 чисел	натурального	ряда в троичной системе счисления .
487 Квадрат	натурального	числа на 56 больше самого числа .
Может ли при делении	натурального	числа на 8 получиться остаток 9 ?
22 Докажи , что для любого	натурального	числа n среднее арифметическое его предыдущего и последующего чисел равно этому числу .
При делении некоторого	натурального	числа на 7 получилось частное 4 и остаток 3 .
8) Куб	натурального	числа может быть равен самому числу .
Какие остатки могут получаться при делении	натурального	числа на 5 ?
Какие остатки могут получаться при делении на 5 квадрата	натурального	числа ? .
Не существует наибольшего	натурального	числа .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат	натурального	числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
в ) Если сумма цифр	натурального числа	делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Какие остатки могут получаться при делении	натурального числа	на 5 ?
При делении некоторого	натурального числа	на 7 получилось частное 4 и остаток 3 .
Квадрат	натурального числа	может быть меньше 1 .
Может ли при делении	натурального числа	на 8 получиться остаток 9 ?
Натуральное число а больше	натурального числа	b в 5 раз .
487 Квадрат	натурального числа	на 56 больше самого числа .
22 Докажи , что для любого	натурального числа	n среднее арифметическое его предыдущего и последующего чисел равно этому числу .
Какие остатки могут получаться при делении на 5 квадрата	натурального числа	? .
119 При делении	натурального числа	на 8 получился остаток 5 .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат	натурального числа	n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого	натурального числа	n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
8) Куб	натурального числа	может быть равен самому числу .
Поэтому после подстановки вместо x любого	натурального числа	всегда будет получаться ложное высказывание .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого	натурального числа	n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
Докажи , что квадрат любого	натурального числа	больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел .
Не существует наибольшего	натурального числа	.
Перевод	натурального числа	из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут остатки от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в обратном порядке .
Из того , что	натуральное	число делится на 9 , следует , что оно делится на 3 .
Это касается и математических объектов :	натуральное	число может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
а ) Любое	натуральное	число больше или равно 1 . б ) Все числа , кратные 10 , оканчиваются на 0 .
Так , в первом предложении прямо указано , что число k —	натуральное	.
Найти	натуральное	число , которое в 7 раз больше цифры его единиц .
Когда мы говорим , например : « Если натуральное число оканчивается цифрой 5 , то оно делится на 5 » , мы имеем в виду общий факт — любое	натуральное	число , оканчивающееся цифрой 5 , делится на 5 .
В конце мы записали , то есть что n —	натуральное	число .
Это же предложение можно переформулировать с использованием глагола « следовать » : из того , что	натуральное	число оканчивается цифрой 5 , следует , что оно делится на 5 .
Найти наименьшее	натуральное	число , дающее при делении на 2 , 3 , 4 , 5 и 6 остаток 1 и , кроме того , делящееся на 7 .
из того , что	натуральное	число больше 9 , следует , что оно больше или равно 10 .
Мы получили , таким образом , высказывание о существовании : “ Существует хотя бы одно	натуральное	число , которое не делится на 3 ” .
2 ) Существует ли квадрат , у которого длина стороны —	натуральное	число , а площадь равна 201201201201 ? .
181 К данной тройке чисел подбери четвертое	натуральное	число так , чтобы из них можно было составить пропорцию .
Если	натуральное	число делится на 3 , то оно делится на 9 .
Каждое	натуральное	число делится на себя и на 1 .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные числа делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно	натуральное	число не делится на 3 ” .
744 Найди наименьшее	натуральное	число , кратное 36 , в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу .
Любое	натуральное	число имеет хотя бы два делителя .
Если	натуральное	число делится на 3 , то оно делится на 9 , или n делится на 3 n делится на 9 .
Существует наибольшее	натуральное	число .
Если	натуральное	число делится на 9 , то оно делится на 3 .
Из того , что	натуральное	число делится на 3 , следует , что оно делится на 9 .
	Натуральное	число ( D — множество правильных дробей ) .
Существует	натуральное	число , записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , которое не является составным .
Всякое	натуральное	число , кратное 6 , кратно 2 .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что рациональное число — это число вида р / q , где р — целое число , a q —	натуральное	число .
Всякое	натуральное	число больше 2 .
Число 563 нельзя представить в виде 7k , где k —	натуральное	число .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует	натуральное	число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое число , а знаменатель —	натуральное	, поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
Например , высказывание “ Существует	натуральное	число , квадрат которого больше 8 , но меньше 12 ” записывается так .
Чтобы понять происхождение этого правила , достаточно разделить по этой же схеме какое - нибудь	натуральное	число в десятичной системе на основание этой системы — число 10 .
Число 563 можно представить в виде 7k , где k —	натуральное	число .
Так как второй множитель	натуральное	число , то мы можем воспользоваться “ старым ” определением , известным еще из начальной школы : ( -2 ) ∙ 3 есть сумма 3 слагаемых , каждое из которых равно ( -2 ) .
Когда мы говорим , например : « Если	натуральное	число оканчивается цифрой 5 , то оно делится на 5 » , мы имеем в виду общий факт — любое натуральное число , оканчивающееся цифрой 5 , делится на 5 .
Существует	натуральное	число , записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , которое делится на 2 .
а ) Если	натуральное	число оканчивается на 0 , то оно кратно 5 .
Когда мы говорим , например : « Если натуральное число оканчивается цифрой 5 , то оно делится на 5 » , мы имеем в виду общий факт — любое	натуральное число	, оканчивающееся цифрой 5 , делится на 5 .
Так как второй множитель	натуральное число	, то мы можем воспользоваться “ старым ” определением , известным еще из начальной школы : ( -2 ) ∙ 3 есть сумма 3 слагаемых , каждое из которых равно ( -2 ) .
Существует	натуральное число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , которое не является составным .
Всякое	натуральное число	больше 2 .
181 К данной тройке чисел подбери четвертое	натуральное число	так , чтобы из них можно было составить пропорцию .
Это касается и математических объектов :	натуральное число	может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
Каждое	натуральное число	делится на себя и на 1 .
Всякое	натуральное число	, кратное 6 , кратно 2 .
Любое	натуральное число	имеет хотя бы два делителя .
	Натуральное число	( D — множество правильных дробей ) .
Если	натуральное число	делится на 3 , то оно делится на 9 , или n делится на 3 n делится на 9 .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует	натуральное число	n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
из того , что	натуральное число	больше 9 , следует , что оно больше или равно 10 .
2 ) Существует ли квадрат , у которого длина стороны —	натуральное число	, а площадь равна 201201201201 ? .
Если	натуральное число	делится на 3 , то оно делится на 9 .
Существует наибольшее	натуральное число	.
744 Найди наименьшее	натуральное число	, кратное 36 , в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу .
Из того , что	натуральное число	делится на 9 , следует , что оно делится на 3 .
Когда мы говорим , например : « Если	натуральное число	оканчивается цифрой 5 , то оно делится на 5 » , мы имеем в виду общий факт — любое натуральное число , оканчивающееся цифрой 5 , делится на 5 .
Например , высказывание “ Существует	натуральное число	, квадрат которого больше 8 , но меньше 12 ” записывается так .
Если	натуральное число	делится на 9 , то оно делится на 3 .
Найти наименьшее	натуральное число	, дающее при делении на 2 , 3 , 4 , 5 и 6 остаток 1 и , кроме того , делящееся на 7 .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что рациональное число — это число вида р / q , где р — целое число , a q —	натуральное число	.
а ) Любое	натуральное число	больше или равно 1 . б ) Все числа , кратные 10 , оканчиваются на 0 .
Существует	натуральное число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , которое делится на 2 .
Это же предложение можно переформулировать с использованием глагола « следовать » : из того , что	натуральное число	оканчивается цифрой 5 , следует , что оно делится на 5 .
Число 563 можно представить в виде 7k , где k —	натуральное число	.
Число 563 нельзя представить в виде 7k , где k —	натуральное число	.
Найти	натуральное число	, которое в 7 раз больше цифры его единиц .
В конце мы записали , то есть что n —	натуральное число	.
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные числа делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно	натуральное число	не делится на 3 ” .
Из того , что	натуральное число	делится на 3 , следует , что оно делится на 9 .
а ) Если	натуральное число	оканчивается на 0 , то оно кратно 5 .
Чтобы понять происхождение этого правила , достаточно разделить по этой же схеме какое - нибудь	натуральное число	в десятичной системе на основание этой системы — число 10 .
Мы получили , таким образом , высказывание о существовании : “ Существует хотя бы одно	натуральное число	, которое не делится на 3 ” .
Предложение 2х=15 с переменной x , напротив , всегда ложно , если x N. В самом деле , при любом	натуральном	значении x в левой части равенства число получается четное , а в правой — нечетное .
При этом мы использовали ту же букву n , так как в заключении местоимение « оно » означает , что речь идет о том же	натуральном	числе , что и в условии .
При этом мы использовали ту же букву n , так как в заключении местоимение « оно » означает , что речь идет о том же	натуральном числе	, что и в условии .
Например , если буквой х обозначено количество учеников в школе , то в полученном уравнении разумно считать , что переменная х принимает только	натуральные	значения .
338 Сравни дроби , если значения всех переменных —	натуральные	числа .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все	натуральные	числа делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не делится на 3 ” .
В результате использования общего приема — поставить впереди данного предложения слова “ Неверно , что ” — получается предложение “ Неверно , что все	натуральные	числа делятся на 3 ” .
Существуют ли такие	натуральные	числа тип , что А если 0,01 заменить на 0,005 ? .
8) Дробь , знаменатель которой представим в виде 2n ∙ 5 m , где n , m —	натуральные	числа , можно перевести в десятичную .
Это предложение означает , что не все	натуральные	числа делятся на 3 или , что то же самое , что некоторые натуральные числа не делятся на 3 .
392 Сравни и объясни , как изменяются результаты арифметических действий при изменении их компонентов , если все переменные —	натуральные	числа .
Существуют	натуральные	числа , кратные 6 , но не кратные 2 .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные числа делятся на 3 ” , то получим “ Все	натуральные	числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не делится на 3 ” .
Во втором предложении подразумевается , что m и n —	натуральные	числа , так как это следует из определения дроби .
В квадрате размером 10x10 клеток выписаны	натуральные	числа от 1 до 100 , как показано .
Это предложение означает , что не все натуральные числа делятся на 3 или , что то же самое , что некоторые	натуральные	числа не делятся на 3 .
Если сумма двух чисел является натуральным числом , то эти числа —	натуральные	.
Например , глядя на уравнение х(х + 3 ) = 54 , можно заметить , что его	натуральные	корни должны быть делителями числа 54 .
Существуют	натуральные	числа , сумма которых не превышает их разности .
Вместе с тем и	натуральные	, и целые числа являются рациональными .
Найди все	натуральные	числа , равные утроенной сумме своих цифр .
Если же переменная x может принимать	натуральные	и дробные значения , то предложение становится истинным высказыванием после подстановки в него значения x = 7,5 .
На диаграмме , показывающей соотношение между множествами N , Z и Q , хорошо видно , что	натуральные	числа являются в то же время целыми .
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать	натуральные	числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
Во втором предложении подразумевается , что m и n —	натуральные числа	, так как это следует из определения дроби .
8) Дробь , знаменатель которой представим в виде 2n ∙ 5 m , где n , m —	натуральные числа	, можно перевести в десятичную .
В результате использования общего приема — поставить впереди данного предложения слова “ Неверно , что ” — получается предложение “ Неверно , что все	натуральные числа	делятся на 3 ” .
Это предложение означает , что не все натуральные числа делятся на 3 или , что то же самое , что некоторые	натуральные числа	не делятся на 3 .
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать	натуральные числа	в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
На диаграмме , показывающей соотношение между множествами N , Z и Q , хорошо видно , что	натуральные числа	являются в то же время целыми .
Это предложение означает , что не все	натуральные числа	делятся на 3 или , что то же самое , что некоторые натуральные числа не делятся на 3 .
338 Сравни дроби , если значения всех переменных —	натуральные числа	.
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные числа делятся на 3 ” , то получим “ Все	натуральные числа	не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не делится на 3 ” .
Существуют ли такие	натуральные числа	тип , что А если 0,01 заменить на 0,005 ? .
392 Сравни и объясни , как изменяются результаты арифметических действий при изменении их компонентов , если все переменные —	натуральные числа	.
Найди все	натуральные числа	, равные утроенной сумме своих цифр .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все	натуральные числа	делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не делится на 3 ” .
Существуют	натуральные числа	, кратные 6 , но не кратные 2 .
В квадрате размером 10x10 клеток выписаны	натуральные числа	от 1 до 100 , как показано .
Существуют	натуральные числа	, сумма которых не превышает их разности .
Значит , число 6 — единственный	натуральный	корень этого уравнения .
6 ) Частное двух дробей может быть	натуральным	числом .
Для тех случаев , когда нужное количество не выражалось	натуральным	числом , люди придумали дроби — делили целое на несколько равных частей , и тогда ответ на вопрос “ Сколько ? ” мог быть дан в виде некоторого числа таких 37 частей — урожая , — пути , 8,5 лет .
Число О является	натуральным	.
Если сумма двух чисел является	натуральным	числом , то эти числа — натуральные .
Сумма двух натуральных чисел является	натуральным	числом .
Никакое решение неравенства 2 < x < 3 не является	натуральным	числом .
Сформулируй определение степени с	натуральным	показателем .
Никакое решение неравенства 2 < x < 3 не является	натуральным числом	.
Для тех случаев , когда нужное количество не выражалось	натуральным числом	, люди придумали дроби — делили целое на несколько равных частей , и тогда ответ на вопрос “ Сколько ? ” мог быть дан в виде некоторого числа таких 37 частей — урожая , — пути , 8,5 лет .
Если сумма двух чисел является	натуральным числом	, то эти числа — натуральные .
6 ) Частное двух дробей может быть	натуральным числом	.
Сумма двух натуральных чисел является	натуральным числом	.
Сократи дроби с	натуральными	числителями и знаменателями .
330 Сократи дроби с	натуральными	числителями и знаменателями .
Все решения неравенства 1 < x < 8 являются	натуральными	числами .
463 Сократи дроби с	натуральными	числителями и знаменателями .
343 Сократи дроби с	натуральными	числителями и знаменателями .
471 Сократи дроби с	натуральными	числителями и знаменателями .
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над	натуральными	числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
316 Назови элементы множества А которые являются	натуральными	числами , целыми числами , рациональными числами .
Какие из чисел , принадлежащих этому множеству , являются : а )	натуральными	числами ; б ) дробями ? .
153 Сократи дроби с	натуральными	числителями и знаменателями .
Все решения неравенства 1 < x < 8 являются	натуральными числами	.
316 Назови элементы множества А которые являются	натуральными числами	, целыми числами , рациональными числами .
При каких	натуральных	значениях a и b значение выражения 5а + 3 b . а ) кратно 3 ; б ) кратно 5 ; в ) кратно 15 ; г ) не кратно 3 ; д ) не кратно 5 ? .
Произведение двух однозначных	натуральных	чисел на 7 больше их суммы .
31 Прочитай неравенство и запиши множество всех его	натуральных	решений .
109 Найди множество	натуральных	решений уравнения методом проб и ошибок .
2 ) С —	натуральных	чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — целых отрицательных чисел .
91 Реши уравнения на множестве	натуральных	чисел методом перебора .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных	натуральных	чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
Запиши множество	натуральных	значений переменных , при которых данные предложения становятся истинными высказываниями .
Какие предложения при всех	натуральных	значениях переменных истинны , а какие — ложны ? .
294 Может ли число а2 + b2 + с2 делиться на 5 , если ни одно из	натуральных	чисел а , b и с не делится на 5 ? .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е —	натуральных	чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
8) При делении	натуральных	чисел остаток может быть больше или равен делителю .
Этим мы подчеркиваем , что слово « делится » употребляется у нас только для	натуральных	чисел .
При этом ( а , b ) = ( с , d ) , если а = с , a b = d . 2 ) Найди методом перебора все пары ( x ; y )	натуральных	чисел , удовлетворяющих уравнению или неравенству .
Наименьшее общее кратное любых двух	натуральных	чисел равно их произведению . 2 ) Квадрат числа не может быть равен 0,01 .
Сумма никаких двух	натуральных	чисел не может быть равна их произведению .
321 Прочитай неравенство и найди множество его	натуральных	решений .
Среднее арифметическое трех последовательных	натуральных	чисел равно второму числу .
Например , предложение соответствует свойству	натуральных	чисел « быть четным » , предложение « х имеет две ноги ( где А — множество живых существ ) » соответствует свойству некоторых живых существ иметь две ноги и т.п .
Произведение трех последовательных	натуральных	чисел кратно 6 : например , при перемножении чисел 8 , 9 и 10 получается число 720 , кратное 6 .
Найди множество	натуральных	корней уравнения методом проб и ошибок .
8) Сумма любых двух	натуральных	чисел больше каждого из них .
При делении	натуральных	чисел остаток всегда меньше делителя .
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е —	натуральных	чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N —	натуральных	чисел ; Z — целых чисел ; Q — рациональных чисел ; М — отрицательных чисел .
196 Сколько всего	натуральных	чисел , меньших 100 , которые : а ) делятся на 2 , но не делятся на 3 ; б ) делятся на 2 или на 3 ; в ) не делятся ни на 2 , ни на 3 ? .
570 Выбери из множества подмножество . 1 ) В —	натуральных	чисел ; 2 ) С — целых чисел ; 3 ) D — рациональных чисел .
Других	натуральных	корней у этого уравнения нет , так как при увеличении множителей произведение также будет увеличиваться , а при уменьшении — уменьшаться .
Сумма двух	натуральных	чисел является натуральным числом .
238 Найди методом перебора множество всех пар	натуральных	чисел x и y , удовлетворяющих уравнению .
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество	натуральных	чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
Таким образом , арифметика целых чисел , образно говоря , “ богаче ” арифметики	натуральных	чисел .
Итак , мы знаем , что множество	натуральных	чисел бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
Действительно , сумма	натуральных	чисел х и 4 всегда больше 4 , поэтому она не может быть равна 2 .
53 Пусть А ( n ) — множество	натуральных	решений неравенства кратных числу п. Запиши множества А ( 2 ) , А ( 3 ) , А ( 5 ) , А ( 9 ) , А ( 10 ) .
4 ) Частное двух	натуральных	чисел всегда меньше делимого .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество	натуральных	чисел , Z — множество целых чисел , a Q — множество рациональных чисел .
249 Найди методом перебора множество всех упорядоченных пар	натуральных	чисел а и b , удовлетворяющих уравнению .
Так нами были « доказаны признаки делимости	натуральных	чисел , свойство биссектрис треугольника и др.
9 Запиши в порядке возрастания элементов множество	натуральных	чисел , составленных из двух пятерок и пяти нулей .
Таким образом , мы доказали , что данное уравнение не имеет	натуральных	корней .
166 При сложении двух	натуральных	чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411 .
Можно найти такие два	натуральных	числа , сумма которых равна их произведению .
243 Найди пересечение множеств	натуральных	решений неравенств .
107 Найди множество	натуральных	корней уравнения .
Множество	натуральных	чисел является подмножеством множества дробей .
Например , все элементы множества N	натуральных	чисел являются целыми числами , и ни одно из них не является отрицательным числом .
Расширением множества	натуральных	чисел до множества , в котором выполнима операция вычитания , является множество целых чисел Z .
На множестве	натуральных	чисел любые два числа можно сложить и перемножить , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Действительно , сумма	натуральных чисел	х и 4 всегда больше 4 , поэтому она не может быть равна 2 .
На множестве	натуральных чисел	любые два числа можно сложить и перемножить , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
4 ) Частное двух	натуральных чисел	всегда меньше делимого .
91 Реши уравнения на множестве	натуральных чисел	методом перебора .
Произведение двух однозначных	натуральных чисел	на 7 больше их суммы .
Этим мы подчеркиваем , что слово « делится » употребляется у нас только для	натуральных чисел	.
Множество	натуральных чисел	является подмножеством множества дробей .
2 ) С —	натуральных чисел	; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — целых отрицательных чисел .
Сумма никаких двух	натуральных чисел	не может быть равна их произведению .
Среднее арифметическое трех последовательных	натуральных чисел	равно второму числу .
Расширением множества	натуральных чисел	до множества , в котором выполнима операция вычитания , является множество целых чисел Z .
Произведение трех последовательных	натуральных чисел	кратно 6 : например , при перемножении чисел 8 , 9 и 10 получается число 720 , кратное 6 .
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество	натуральных чисел	, модуль которых меньше или равен 4 .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество	натуральных чисел	, Z — множество целых чисел , a Q — множество рациональных чисел .
570 Выбери из множества подмножество . 1 ) В —	натуральных чисел	; 2 ) С — целых чисел ; 3 ) D — рациональных чисел .
196 Сколько всего	натуральных чисел	, меньших 100 , которые : а ) делятся на 2 , но не делятся на 3 ; б ) делятся на 2 или на 3 ; в ) не делятся ни на 2 , ни на 3 ? .
Например , предложение соответствует свойству	натуральных чисел	« быть четным » , предложение « х имеет две ноги ( где А — множество живых существ ) » соответствует свойству некоторых живых существ иметь две ноги и т.п .
Итак , мы знаем , что множество	натуральных чисел	бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
166 При сложении двух	натуральных чисел	ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411 .
9 Запиши в порядке возрастания элементов множество	натуральных чисел	, составленных из двух пятерок и пяти нулей .
238 Найди методом перебора множество всех пар	натуральных чисел	x и y , удовлетворяющих уравнению .
Так нами были « доказаны признаки делимости	натуральных чисел	, свойство биссектрис треугольника и др.
Например , все элементы множества N	натуральных чисел	являются целыми числами , и ни одно из них не является отрицательным числом .
Таким образом , арифметика целых чисел , образно говоря , “ богаче ” арифметики	натуральных чисел	.
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е —	натуральных чисел	; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е —	натуральных чисел	; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Наименьшее общее кратное любых двух	натуральных чисел	равно их произведению . 2 ) Квадрат числа не может быть равен 0,01 .
Сумма двух	натуральных чисел	является натуральным числом .
294 Может ли число а2 + b2 + с2 делиться на 5 , если ни одно из	натуральных чисел	а , b и с не делится на 5 ? .
8) Сумма любых двух	натуральных чисел	больше каждого из них .
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N —	натуральных чисел	; Z — целых чисел ; Q — рациональных чисел ; М — отрицательных чисел .
8) При делении	натуральных чисел	остаток может быть больше или равен делителю .
249 Найди методом перебора множество всех упорядоченных пар	натуральных чисел	а и b , удовлетворяющих уравнению .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных	натуральных чисел	, кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
При этом ( а , b ) = ( с , d ) , если а = с , a b = d . 2 ) Найди методом перебора все пары ( x ; y )	натуральных чисел	, удовлетворяющих уравнению или неравенству .
При делении	натуральных чисел	остаток всегда меньше делителя .
Можно найти такие два	натуральных числа	, сумма которых равна их произведению .
Гена	нашел	грибов больше , чем Витя .
На какое вознаграждение может рассчитывать дилер , если он	нашел	подходящий заказ на сумму 20000 р . ? .
280 Три кладоискателя	нашли	клад , в котором оказалось 5600 одинаковых старинных монет .
И вот здесь будет	необходим	наш опыт работы с симметричными фигурами .
Однако даже таким уже хорошо знакомым понятиям в математике	необходимо	дать определения , так как в определениях описываются характеристические свойства фигур , и , значит , только на их основе можно проводить математические рассуждения .
Для более сложных случаев	необходимо	использование общих свойств фигур , которые мы еще не изучали .
Чтобы найти отношение одноименных величин ( длин , масс и т . д. ) ,	необходимо	выразить их в одной и той же единице измерения — в противном случае полученный результат для сравнения величин использовать нельзя .
При этом	необходимо	, чтобы новое уравнение было равносильно исходному , то есть имело с ним одни и те же корни .
« Чтобы установить мировой рекорд ,	необходимо	и достаточно показать результат лучше действующего мирового рекорда » и т .
Установить взаимосвязи между величинами ( если	необходимо	, записать их в виде формул , схем , таблиц ) .
Чтобы ответить на этот вопрос ,	необходимо	провести математическое исследование истинных равенств вида , где а , b , с , d≠0 .
В данном случае , прежде чем воспользоваться формулой ,	необходимо	привести в соответствие единицы измерения ( перевести минуты в часы : 30 мин = 0,5 ч ) , и только после этого выполнять умножение .
Если , например , скорость движения выражена в километрах в час , а время — в минутах , то	необходимо	или время выразить в часах , или скорость — в километрах в минуту .
а ) Число х в 2 раза больше , чем число у , тогда и только тогда , когда х = 2у . б ) Для того чтобы число а было кратно 3 ,	необходимо	и достаточно , чтобы сумма цифр числа а была кратна 3 .
Различать взаимно обратные предложения	необходимо	и в языке , и в математике — хотя бы потому , что из истинности данного утверждения не следует , что истинно обратное утверждение , — оно может быть как истинным , так и ложным .
Для того чтобы дать определение некоторого понятия ,	необходимо	использовать только его характеристические свойства .
Проверить соответствие единиц измерения величин ( если	необходимо	, согласовать их ) .
В речи равносильность выражается с помощью таких оборотов , как : « тогда и только тогда » , « если и только если » , « в том и только в том случае » , « это значит » , «	необходимо	и достаточно » и др.
д. Ясно , что понимание такой информации	необходимо	в современном обществе .
459 Сформулируй признаки делимости на 10 , 2 , 5 , 3 , 9 , используя обороты : « если и только если » , тогда и только тогда » , «	необходимо	и достаточно » .
« Чтобы установить мировой рекорд ,	необходимо и достаточно	показать результат лучше действующего мирового рекорда » и т .
В речи равносильность выражается с помощью таких оборотов , как : « тогда и только тогда » , « если и только если » , « в том и только в том случае » , « это значит » , «	необходимо и достаточно	» и др.
а ) Число х в 2 раза больше , чем число у , тогда и только тогда , когда х = 2у . б ) Для того чтобы число а было кратно 3 ,	необходимо и достаточно	, чтобы сумма цифр числа а была кратна 3 .
459 Сформулируй признаки делимости на 10 , 2 , 5 , 3 , 9 , используя обороты : « если и только если » , тогда и только тогда » , «	необходимо и достаточно	» .
Затем второй рабочий проработал половину времени ,	необходимого	двум другим , чтобы вырыть всю канаву .
Сначала первый рабочий проработал половину времени ,	необходимого	двум другим , чтобы вырыть всю канаву .
И наконец , третий рабочий проработал половину времени ,	необходимого	двум другим , чтобы вырыть всю канаву .
526 Количество теплоты Q ,	необходимое	для нагревания физического тела , можно вычислить по формуле : где с — удельная теплоемкость вещества , m — масса тела , t1 — начальная и t2 — конечная температуры тела .
Но	необходимой	точности добиться не удавалось .
людям становились	необходимы	более точные ответы .
177 Построй четырехугольник ABCD , проведи	необходимые	измерения и определи его вид .
23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника , приведенным , найди тангенс угла А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив	необходимые	измерения .
Изобрази в тетради копию чертежа , приведенного , произведя	необходимые	измерения и вычисления .
Затем выполни	необходимые	измерения и изобрази на этой прямой среднее арифметическое чисел x и y .
Найди отношение отрезков АО : ОМ и ВО : ON , выполнив	необходимые	измерения .
Выполни на чертеже	необходимые	измерения и определи : а ) высоту стен реального дома ; б ) высоту дома с учетом крыши .
Сделай	необходимые	измерения и вычисли его периметр и площадь .
В этом случае для получения ответа надо с помощью полученных корней дополнительно выполнить	необходимые	преобразования .
Таким образом , установленная формула позволяет быстро рассчитывать	необходимые	значения выплат за квартиру .
Проведи	необходимые	измерения и определи , в каком отношении делит отрезок АВ точка С , точка D . 176 а ) Построй прямые АВ и CD , если А ( 0 ; 8) , В ( 5 ; -2 ) , С ( -6 ; 0 ) , D ( 4 ; 5 ) .
Если число	неотрицательно	, то противоположное к нему число .
в ) если число кратно 4 и 25 , то оно кратно 100 . г ) если число	неотрицательно	, то модуль числа равен самому числу .
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F —	неотрицательных	целых чисел ; 6 )
76 Реши уравнение на множестве : a ) Q ; б ) Z ; в ) N . г ) положительных чисел ; д )	неотрицательных	чисел .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F —	неотрицательных	целых чисел ; 6 )
Для ложных высказываний построй отрицания . 1 ) Каждая	неправильная дробь	больше единицы .
г ) Любая	неправильная дробь	больше единицы .
сумма двух неправильных дробей —	неправильная дробь	.
Знаменатель	неправильной дроби	всегда является простым числом .
	Неправильной дроби	. б ) гипотенузы прямоугольного треугольника .
Построй отрицания ложных высказываний . 1 ) Любая правильная дробь меньше любой	неправильной дроби	.
Расшифруй его схему , б ) Представь числа в виде	неправильной дроби	и продолжи ряд на три числа , сохраняя закономерность .
5 ) Не из всякой	неправильной дроби	можно выделить целую часть .
Существуют две правильные дроби , сумма которых является	неправильной дробью	.
Произведение двух правильных дробей может быть	неправильной дробью	.
Миша придумал схему для правила перевода смешанного числа в	неправильную дробь	.
Сумма двух	неправильных дробей	может оказаться правильной дробью .
сумма двух	неправильных дробей	— неправильная дробь .
Задай с помощью двойных	неравенств	: а ) множество абсцисс всех точек прямоугольника .
243 Найди пересечение множеств натуральных решений	неравенств	.
Ответы запиши в виде двойных	неравенств	.
244 Найди пересечение множества с множеством решений	неравенства	.
53 Пусть А ( n ) — множество натуральных решений	неравенства	кратных числу п. Запиши множества А ( 2 ) , А ( 3 ) , А ( 5 ) , А ( 9 ) , А ( 10 ) .
Все решения	неравенства	1 < x < 8 являются натуральными числами .
Решением	неравенства	? .
32 Найди три решения	неравенства	0,5 < x < 0,6 .
А можно ли найти 10000 решений этого	неравенства	? .
221 Отметь на координатной прямой множество решений	неравенства	.
530 Реши неравенства ( ответ запиши в виде двойного	неравенства	) .
187 Отметь на координатной прямой множество решений	неравенства	.
Пользуясь ими , реши уравнения и	неравенства	.
8) Среди решений	неравенства	20 — 3 x > 4 есть числа , большие 5 .
392 Реши	неравенства	.
404 Найди множество чисел , удовлетворяющих условию , и запиши его , если возможно , с помощью двойного	неравенства	.
382 Найди множество целых решений	неравенства	и сделай рисунок .
Другими словами , отрицание	неравенства	а < b означает то же самое , что и неравенство а > b , то есть .
530 Реши	неравенства	( ответ запиши в виде двойного неравенства ) .
Натуральные решения	неравенства	7 < x < 12 — составные числа .
468 Реши уравнения и	неравенства	.
449 Сколько элементов содержит множество целых решений	неравенства	.
Ответ запиши в виде двойного	неравенства	.
Запиши ответ с помощью двойного	неравенства	.
Никакое решение	неравенства	2 < x < 3 не является натуральным числом .
291 Начерти на координатной плоскости произвольный отрезок , абсциссы и ординаты точек которого удовлетворяют данным	неравенствам	.
Образец записи решения . 2 ) В записанных	неравенствах	подчеркни те числа , которые являются результатами округления числа а с точностью до сотен , десятков , единиц , десятых , сотых , тысячных .
Точно так же если	неравенство	а < b неверно , то есть а не меньше , чем b , то а или больше b , или равно b , а это можно записать короче : а > b.
402 Прочитай	неравенство	и запиши множество его целых решений .
Другими словами , отрицание неравенства а < b означает то же самое , что и	неравенство	а > b , то есть .
Таким образом , для любого числа а выполняется	неравенство	.
367 Прочитай	неравенство	и найди множество его целых решений .
31 Прочитай	неравенство	и запиши множество всех его натуральных решений .
321 Прочитай	неравенство	и найди множество его натуральных решений .
Будет ли такое	неравенство	верно и для других чисел ?
Что называется	неравенством	?
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств Е , F и М . 361 Найди множество всех целых чисел , удовлетворяющих	неравенству	, и сделай рисунки .
Запиши формулу зависимости y от x. Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений x , удовлетворяющих	неравенству	.
При этом ( а , b ) = ( с , d ) , если а = с , a b = d . 2 ) Найди методом перебора все пары ( x ; y ) натуральных чисел , удовлетворяющих уравнению или	неравенству	.
График движения пешехода для значений f , удовлетворяющих	неравенству	0 < t < 4 , показан .
Существует дробь , удовлетворяющая	неравенству	.
Заполни таблицу и построй график этой зависимости для значений о , удовлетворяющих	неравенству	.
290 Отметь на координатной прямой цветным карандашом множество точек , удовлетворяющее данному	неравенству	.
Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений п , удовлетворяющих	неравенству	.
Таблица и график этой зависимости для значений а , удовлетворяющих	неравенству	0 < а < 4 , приведены .
а ) Простое число всегда	нечетно	.
число	нечетное	.
Среднее арифметическое двух нечетных чисел есть число	нечетное	.
Произведение 9 ∙ 36 ∙ 151 — число	нечетное	.
Предложение 2х=15 с переменной x , напротив , всегда ложно , если x N. В самом деле , при любом натуральном значении x в левой части равенства число получается четное , а в правой —	нечетное	.
В “ длинных ” выражениях , в которых фигурирует только умножение , при четном числе отрицательных множителей ответ будет положительным , а при	нечетном	числе — отрицательным .
Все простые числа	нечетны	.
Все	нечетные	числа простые .
Все простые числа —	нечетные	. 5 )
Есть такие	нечетные	числа , произведение которых — число четное .
Сумма двух четных чисел может быть числом	нечетным	.
Это касается и математических объектов : натуральное число может быть четным или	нечетным	, простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
Среднее арифметическое двух	нечетных	чисел есть число нечетное .
Сумма двух	нечетных	чисел является четным числом .
Каждое свойство разбивает множество предметов , о которых идет речь , как правило , на два класса : обладающие данным свойством и не обладающие им. В первом из приведенных примеров это множество четных чисел и множество	нечетных	чисел , во втором примере один класс состоит из людей , птиц и других живых существ , имеющих две ноги , другой — из остальных живых существ .
489 Мысленно сверни куб и определи , какая грань является верхней , если	нижняя грань	закрашена ? .
275 Запиши высказывания на математическом языке и построй обратные к	ним	.
Особенностью центрально - симметричных точек является то , что они не только равноудалены от центра О , но и лежат на одной прямой с	ним	.
Из А в В выехал грузовик , а через 20 мин вслед за	ним	— автобус , скорость которого на 20 км / ч больше скорости грузовика .
Через 1,5 ч после выхода пешехода расстояние между	ним	и велосипедистом стало равно 10,8 км .
Докажи , что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за	ним	чисел .
Через 0,25 ч вслед за	ним	их того же поселка и к той же остановке выехал на велосипеде со скоростью 14 км / ч Иван Петрович и через 6 мин догнал Ивана Ивановича .
Натуральные числа , противоположные к	ним	отрицательные числа и число 0 образуют множество целых чисел .
При этом необходимо , чтобы новое уравнение было равносильно исходному , то есть имело с	ним	одни и те же корни .
Приведем еще несколько примеров общих высказываний и высказываний , обратных к	ним	, независимо от того , истинны они или ложны .
Находясь в пункте А на дороге , Таня увидела своего младшего брата , который появился на дороге в пункте В. Вместо того , чтобы пойти навстречу сестре , он направился в противоположную сторону , а Таня побежала за	ним	.
Докажи , что обратные к	ним	высказывания ложны , и построй их отрицания .
Определи по	ним	коэффициенты пропорциональности и запиши формулы .
Одновременно с	ним	из пункта В в пункт А вышел катер .
Первый автобус вышел на 0,8 ч раньше второго и через 2 ч прибыл в город А. Одновременно с	ним	второй автобус прибыл в город В , удаленный от А на 210 км .
728 в 11 ч 35 мин из Москвы по Рижскому шоссе выехал автобус со скоростью 75 км / ч , а в 12 ч 15 мин вслед за	ним	выехал автомобиль , скорость которого на 28 % больше скорости автобуса .
776 Из города к озеру вышел турист со скоростью 5 км / ч , а через 15 мин вслед за	ним	выехал велосипедист со скоростью 20 км / ч .
От автобусной станции отъехал междугородный автобус , а через 15 мин вслед за	ним	в том же направлении — рейсовый .
Кроме того , она заметила , что если между цифрами ее возраста поставить	ноль	, то как раз получится возраст прадедушки .
На	ноль	, как и раньше , делить нельзя ! .
Площадь одного	ноля	32 га , а площадь второго поля 48 га .
Сколько лампочек надо купить , чтобы обеспечить	нормальное	освещение в пансионате в течение года ? .
433 Для	нормальной	работы пансионата требуется 600 электролампочек .
Существует натуральное число , записанное с помощью трех единиц и 100	нулей	, которое не является составным .
Натуральное число , записанное с помощью трех единиц и 100	нулей	, может делиться на 2 .
Существует натуральное число , записанное с помощью трех единиц и 100	нулей	, которое делится на 2 .
Натуральное число , записанное с помощью трех единиц и 100	нулей	, не может не быть составным .
Натуральное число , записанное с помощью трех единиц и 100	нулей	, не может делиться на 2 .
9 Запиши в порядке возрастания элементов множество натуральных чисел , составленных из двух пятерок и пяти	нулей	.
Натуральное число , записанное с помощью трех единиц и 100	нулей	, может не быть составным .
450 Пользуясь рисунками , сравни числа а и b с	нулем	, между собой и сравни их модули .
Например , если ударный слог обозначить единицей , а безударный	нулем	, то запись ритма новогодней песенки о елочке выглядит так .
Сравни их с	нулем	.
665 Сравни с	нулем	.
519 Каким числом — положительным , отрицательным или	нулем	— является произведение .
Сумма любого числа с	нулем	равна самому числу .
Введенные таким образом положительные и отрицательные числа вместе с	нулем	составляют множество рациональных чисел ( обычно его обозначают буквой Q ) .
Сравни с	нулем	числа .
517 Сравни с	нулем	.
166 При сложении двух натуральных чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний	нуль	на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411 .
В этом случае прибыль равна	нулю	.
663 Сократи , если возможно , дроби со знаменателями , не равными	нулю	.
б ) если вода превратилась в лед , то ее температура меньше или равна	нулю	.
Например , мы можем сказать , что отрицанием предложения “ Синус числа 0 равен нулю ” является предложение “ Синус числа 0 не равен	нулю	” , хотя понятие синуса числа мы еще не изучали .
Например , мы можем сказать , что отрицанием предложения “ Синус числа 0 равен	нулю	” является предложение “ Синус числа 0 не равен нулю ” , хотя понятие синуса числа мы еще не изучали .
И вообще , сумма двух противоположных чисел равна	нулю	.
Сумма противоположных чисел равна	нулю	.
239 Вырази из данного равенства переменную x , если значения всех переменных не равны	нулю	.
455 Прочитай и упрости отношения , если значения всех переменных отличны от	нуля	.
А вот уравнение имеет смысл только для рациональных чисел х , отличных от	нуля	.
328 Сократи дроби , если значения всех переменных отличны от	нуля	.
правило весов ( обе части уравнения можно поменять местами , можно увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от	нуля	) .
248 Преобразуй выражение в дробь и , если возможно , сократи ее , если значения всех переменных отличны от	нуля	.
269 Найди х из пропорций , если значения всех переменных отличны от	нуля	. .
527 Выполни действия и упрости , если возможно , полученные выражения ( значения всех переменных отличны от	нуля	) .
В частности , отношение не изменится , если его члены умножить или разделить на одно и то же число , отличное от	нуля	.
237 Преобразуй выражение в дробь и , если возможно , сократи ее ( значения всех переменных отличны от	нуля	) .
Сократи дроби со знаменателями , отличными от	нуля	.
Положительные числа располагаются в положительном направлении от числа 0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а отрицательные числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от	нуля	: число ( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
Произведение чисел , отличных от	нуля	, больше каждого множителя .
г ) Углом называется геометрическая фигура ,	образованная	двумя лучами с общим началом .
Измерь углы треугольника АВС и углы треугольника ,	образованного	средними линиями .
Составь ряд ,	образованный	ответами примеров , и продолжи его на два числа , сохраняя закономерность .
Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь угол ,	образованный	хордами .
445 Вычисли , найди закономерность в ряду чисел ,	образованных	ответами примеров , и продолжи ряд на два числа .
А вот отношение величин разных наименований	образует	новую величину .
Таким образом , мы видим , что знак следования соединяет два предложения с переменными и	образует	новое высказывание общего вида : из первого предложения следует второе .
486 Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр , а их разность	образует	точный квадрат ? .
Если зависимости прямо или обратно пропорциональные , то соответствующие значения величин	образуют	пропорцию .
Значит , смежные углы — это два угла , одна сторона у которых общая , а две другие	образуют	прямую .
Поэтому надо отметить еще одну существенную особенность смежных углов — две другие их стороны	образуют	прямую .
Если задание выполнено верно , то буквы	образуют	математический термин .
Если задание выполнено верно , то соответствующие им буквы	образуют	имя древнегреческой богини судьбы и случая .
Например , мы знаем , что при равномерном движении скорость не меняется , поэтому отношения соответствующих значений расстояния и времени	образуют	пропорцию .
Натуральные числа , противоположные к ним отрицательные числа и число 0	образуют	множество целых чисел .
Это новое название величин связано с тем , что , как мы уже видели раньше , их соответственные значения	образуют	пропорцию .
Один из таких классов	образуют	многогранники — геометрические тела , поверхность которых состоит из граней , то есть частей плоскости , ограниченных многоугольниками .
Так , например , вершины снежинки всегда	образуют	правильный шестиугольник , а хорошо знакомый нам куб природа реализовала в форме кристаллов поваренной соли .
В десятичной позиционной системе записи чисел 10 единиц каждого разряда	образуют	1 единицу следующего разряда .
2 Прямая и	обратная	пропорциональные зависимости .
Обе эти зависимости являются частными случаями формулы произведения : прямая пропорциональность — при постоянном множителе , а	обратная	— при постоянном произведении .
Эта дробь неправильная ( условие истинно ) , и	обратная	к ней дробь неправильная ( заключение ложно ) .
Решая задачи на пропорциональное деление , мы вновь наблюдаем , как абстрактные математические понятия — в данном случае прямая и	обратная	пропорциональность — помогают отвечать на серьезные практические вопросы .
Если дробь неправильная , то	обратная	к ней дробь правильная , или .
Какая из дробей ближе к единице : правильная или	обратная	ей неправильная ? .
Из того , что дробь неправильная , следует , что	обратная	к ней дробь правильная .
Из того , что дробь правильная , следует , что	обратная	к ней дробь неправильная .
2 Установить вид зависимости ( прямая или	обратная	пропорциональность ) .
Если дробь неправильная , то	обратная	к ней дробь правильная .
Если дробь правильная , то	обратная	к ней дробь неправильная .
Однако формулировка	обратного	утверждения от этого сложнее не стала .
748 Сформулируй определение числа , противоположного данному , и числа ,	обратного	данному .
На практике для формулировки	обратного	предложения к общему высказыванию обычно не делают тех шагов , которые мы прошли в рассмотренном выше примере .
Это означает , что способ построения	обратного	утверждения применим к любому общему высказыванию .
В этом случае для построения предложения ,	обратного	к данному , можно данное высказывание переформулировать с союзом « если .. ,
Для	обратного	перехода выполняется обратное действие .
78 Прочитай выражения , используя понятия	обратного	и противоположного числа .
А вот предложение ,	обратное	второму , истинно по определению делимости .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число ,	обратное	сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Обратите внимание на то , что во втором примере	обратное	высказывание записано двумя способами : из всех различных формулировок всегда выбирается наиболее естественная и понятная .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число ,	обратное	сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
Но для второго предложения легче сформулировать	обратное	: « Если животное является четвероногим , то оно принадлежит семейству кошачьих .
Как объединить прямое и	обратное	высказывания в одно предложение ? .
Различать взаимно обратные предложения необходимо и в языке , и в математике — хотя бы потому , что из истинности данного утверждения не следует , что истинно	обратное	утверждение , — оно может быть как истинным , так и ложным .
Для обратного перехода выполняется	обратное	действие .
А вот верно ли	обратное	?
Так , утверждение ,	обратное	первому предложению , ложно , поскольку сосна тоже является деревом хвойным и покрытосеменным .
264 Придумай высказывание с союзом « если .. , то .. » и построй для него	обратное	.
Деление рациональных чисел уже не представляет проблем , поскольку деление — это действие ,	обратное	умножению .
258 Найди в предложении условие и заключение и построй утверждение ,	обратное	данному .
Запиши числа , противоположное и	обратное	: а ) числу х ; б ) кубу числа у ; в ) сумме чисел а и b ; г ) разности чисел m и n .
Так , из построенных нами диаграмм следует , что равносторонние треугольники обладают всеми свойствами равнобедренных , а вот	обратное	неверно .
262 Придумай общее высказывание и построй для него	обратное	.
318 Запиши данное высказывание и	обратное	к нему с помощью знака .
в ) число ,	обратное	произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
Таким образом , чтобы получить предложение ,	обратное	к предложению с союзом « если .. ,
Отсюда и употребление слова «	обратное	» : в обратном предложении условие и заключение идут в обратном порядке .
Вырази в процентах данное и	обратное	отношение чисел .
165 Каждая из зависимостей , приведенных в таблице , является прямой или	обратной	пропорциональностью .
194 а ) Какие зависимости между величинами называются прямой и	обратной	пропорциональностью ?
164 Какие из приведенных ниже формул являются прямой пропорциональностью ,	обратной	пропорциональностью или не являются ни тем , ни другим ? .
290 Определи , является ли зависимость между величинами прямой или	обратной	пропорциональностью или не является ни тем , ни другим .
178 На чертежах представлены графики	обратной	пропорциональности .
201 Определи , какие компоненты арифметических действий связаны прямой , а какие —	обратной	пропорциональной зависимостью .
При различных значениях k графики	обратной	пропорциональности будут получаться различными .
Например , выявление общих свойств зависимостей между такими величинами , как « расстояние — скорость — время » , « стоимость — цена — количество товара » , « объем выполненной работы — производительность — время » , привело к построению зависимостей общего вида — прямой пропорциональности ( у = kx ) и	обратной	пропорциональности .
Таким образом , понятия прямой и	обратной	пропорциональности тесно связаны между собой .
3 Графики прямой и	обратной	пропорциональности .
б ) Какие из приведенных ниже зависимостей между величинами являются прямой пропорциональностью ,	обратной	пропорциональностью или не являются ни тем , ни другим ? .
Полученную формулу назовем формулой	обратной	пропорциональности .
Сформулируй их определение и запиши формулы прямой и	обратной	пропорциональностей .
527 По таблице , задающей зависимость между хну , построй формулу и график зависимости и установи , является ли она прямой или	обратной	пропорциональностью .
162 Определи , является ли зависимость между величинами прямой или	обратной	пропорциональностью .
Построим теперь график	обратной	пропорциональности при k = 12 .
Какие из них являются прямой пропорциональностью ,	обратной	пропорциональностью ? .
Из формулы	обратной	пропорциональности следует , что k = ху , а значит , произведения соответствующих значений величин х и у равны .
170 По таблице установи вид зависимости между величинами , если известно , что она является прямой или	обратной	пропорциональностью .
289 Какие из приведенных ниже формул являются прямой пропорциональностью ,	обратной	пропорциональностью или не являются ни тем , ни другим ? .
На	обратном	пути его средняя скорость составила только 40 км / ч .
Перевод натурального числа из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут остатки от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в	обратном	порядке .
Отсюда и употребление слова « обратное » : в	обратном	предложении условие и заключение идут в обратном порядке .
Во сколько раз скорость велосипедиста на	обратном	пути была больше первоначальной ? .
На	обратном	пути он увеличил скорость и поэтому весь путь проехал за 1 ч 15 мин .
В результате он получил двузначное число , записанное теми же цифрами , что и искомый квадрат , но в	обратном	порядке .
на процентов . 2 ) Скорость Сережи на	обратном	пути уменьшилась .
Как и на сколько километров в час изменилась скорость лодки на	обратном	пути ? .
Отсюда и употребление слова « обратное » : в обратном предложении условие и заключение идут в	обратном	порядке .
Во сколько раз скорость мотоциклиста на	обратном	пути была меньше , чем по пути из М в N ? .
Здесь мы поступим в	обратном	порядке .
Скорость Сережи по дороге в школу была больше , чем на	обратном	пути на км / ч .
Поэтому если высказывание общего вида , то для перехода к	обратному	предложению можно в данном высказывании поменять местами тему и рему .
Отношение двух чисел может быть равно	обратному	отношению этих чисел .
При этом исходное предложение Р Q является обратным к своему	обратному	Q Р. Поэтому утверждения Р Q и Q Р называются взаимно обратными .
Если предложение явно сформулировано как условное с союзом « если .. , то .. » , то переход к	обратному	предложению не сложен .
Таким образом , если величины обратно пропорциональны , то отношение двух значений одной величины равно	обратному	отношению соответствующих значений другой величины .
267 Найди среди данных формул прямую и	обратную	пропорциональности .
Чтобы решить	обратную	задачу — найти собственную скорость объекта , если известны его скорости по течению и против течения , — достаточно их сложить .
Построй	обратные	высказывания .
Но	обратные	предложения существуют для любых высказываний общего вида , а не только для условных предложений .
334 Найди ответ задачи , а затем составь и реши две	обратные	задачи .
Построй	обратные	утверждения разными способами : меняя местами тему и рему и меняя местами условие и заключение .
Докажи , что	обратные	утверждения являются ложными , и построй их отрицания .
Докажи , что	обратные	высказывания являются ложными , и построй их отрицания .
Запиши на математическом языке и прочитай	обратные	высказывания .
Различать взаимно	обратные	предложения необходимо и в языке , и в математике — хотя бы потому , что из истинности данного утверждения не следует , что истинно обратное утверждение , — оно может быть как истинным , так и ложным .
396 Построй	обратные	высказывания к данным общим высказываниям .
275 Запиши высказывания на математическом языке и построй	обратные	к ним .
Докажи , что	обратные	к ним высказывания ложны , и построй их отрицания .
345 Найди ответ задачи , а затем составь и реши две	обратные	задачи .
	Обратные	высказывания .
Существуют взаимно	обратные	числа , модули которых равны .
263 Найди взаимно	обратные	высказывания .
Верны ли	обратные	утверждения ?
Существуют взаимно	обратные числа	, модули которых равны .
429 Автомобиль проехал расстояние от А до Б со скоростью км / ч за t , часов , а	обратный	путь от В до А — за t2 часов .
678 Спортивная лодка , двигаясь против течения реки , проплыла расстояние от турбазы до города за 2 ч 15 мин , а	обратный	путь — за 1,5 ч .
Путь от дома до школы , равный 1,2 км , Сережа прошел за 15 мин , а	обратный	путь — за 20 мин .
С какой скоростью ему надо ехать , чтобы пройти	обратный	путь за 4 ч ? .
80 Мотоциклист проехал путь между городами М и N со скоростью на 20 % больше намеченной , а	обратный	путь — со скоростью на 20 % меньше намеченной .
Обед и экскурсия длились 2 ч , и	обратный	путь туристы проделали в лодке по той же реке со скоростью 8 км / ч .
333 Моторная лодка , двигаясь по течению реки , прошла путь , равный 15 км , за 2 ч , а	обратный	путь — за 3 ч 20 мин .
При этом исходное предложение Р Q является	обратным	к своему обратному Q Р. Поэтому утверждения Р Q и Q Р называются взаимно обратными .
Обратная задача — нахождение расстояния на карте по расстоянию на местности — решается , естественно ,	обратным	действием — делением .
Предложение « Если Q , то Р » ( Q Р ) называется	обратным	к предложению .
Заметим , что отношения 8 к 3 и 3 к 8 , как и дроби называют взаимно	обратными	.
При этом исходное предложение Р Q является обратным к своему обратному Q Р. Поэтому утверждения Р Q и Q Р называются взаимно	обратными	.
Другими словами , предложения « Все кошачьи — четвероногие » и « Все четвероногие принадлежат семейству кошачьих » являются взаимно	обратными	.
Таким образом , одновременная истинность этих двух взаимно	обратных	предложений означает равносильность .
Из трех утверждений ,	обратных	данным утверждениям , истинным является только последнее .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел ,	обратных	множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
Другими словами , равносильность этих предложений означает , что верны два взаимно	обратных	утверждения .
А значит , пропорция не нарушится , если в ней поменять местами одновременно и крайние , и средние члены : в этом случае получится пропорция , составленная из	обратных	отношений .
Сумма противоположных чисел равна 0 . е ) Произведение взаимно	обратных	чисел равно 1 .
Вообще , из данной пропорции можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние члены ; 2 ) поменять местами средние члены ; 3 ) составить пропорцию из отношений ,	обратных	данным ; 4 ) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами правую и левую части .
Какие два взаимно	обратных	следования объединены в каждом предложении ? .
б ) произведение взаимно	обратных	чисел равно единице .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел ,	обратных	множителям .
Далее , применим полученное свойство к пропорции , составленной из	обратных	отношений , и получим новое свойство .
Приведем еще несколько примеров общих высказываний и высказываний ,	обратных	к ним , независимо от того , истинны они или ложны .
б ) произведение взаимно	обратных чисел	равно единице .
Сумма противоположных чисел равна 0 . е ) Произведение взаимно	обратных чисел	равно 1 .
где r — радиус окружности , Т — время , за которое оно совершает один полный оборот ( период	обращения	) , π — число , равное примерно 3,14 .
Полученные таким образом классы являются непересекающимися , и их	объединение	составляет все множество .
Если	объединение	слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала сложить положительные числа , затем сложить отрицательные числа и к первой сумме прибавить вторую .
Запись в виде	обыкновенной дроби	.
Ясно , что таким же образом преобразуются и дроби : ведь черта в записи	обыкновенной дроби	— это тот же знак деления .
А вот в последнем примере переход к десятичным дробям невозможен , так как знаменатель	обыкновенной дроби	содержит простой делитель 7 , отличный от 2 и 5 .
в виде : а )	обыкновенной дроби	; б ) смешанного числа ; в ) десятичной дроби ? .
Любую	обыкновенную дробь	, знаменатель которой кратен 10 , можно записать в виде конечной десятичной дроби .
441 Замени данную	обыкновенную дробь	десятичной с точностью до целых , десятых , сотых , тысячных .
428 Замени данную	обыкновенную дробь	десятичной с точностью до целых , десятых , сотых , тысячных .
Любую	обыкновенную дробь	можно представить в виде конечной десятичной .
При каком условии	обыкновенную дробь	можно перевести в конечную десятичную ?
35 Верно ли , что любую	обыкновенную дробь	можно перевести в конечную десятичную ?
87 Докажи , что	обыкновенные дроби	в данных примерах нельзя перевести в конечные десятичные .
88 Докажи , что данные	обыкновенные дроби	можно перевести в конечные десятичные .
Запиши в виде десятичных дробей данные	обыкновенные дроби	.
Вырази эти части	обыкновенными дробями	, десятичными дробями и в процентах .
Чтобы получить ответ , обе дроби надо записать в каком - либо одном виде : либо в виде	обыкновенных дробей	, либо в виде конечных десятичных дробей ( если , конечно , перевод в десятичную дробь возможен ) .
746 Среди	обыкновенных дробей	найди те , которые можно представить в виде конечных десятичных .
16 Какие ты знаешь способы сравнений	обыкновенных дробей	?
207 Когда трехзначное число , у которого цифры сотен и десятков одинаковые , а цифра единиц равна 5 , разделили на	однозначное	число , то в остатке получили 8 .
Вместо того чтобы данное	однозначное	число возвести в квадрат , он его удвоил .
Таким образом , в первых двух случаях можно говорить об	однозначном	характере зависимостей , что позволяет на практике прогнозировать развитие событий .
382 Построй треугольник АВС по двум сторонам а и b и углу А , прилежащему к стороне b. Является ли решение	однозначным	? .
380 Построй треугольник АВС по стороне b и прилежащему к ней углу А. Является ли решение	однозначным	?
Какая разница между цифрами и	однозначными	числами ? .
Произведение двух	однозначных	натуральных чисел на 7 больше их суммы .
Сколько рулонов обоев для этого надо купить , если в каждом рулоне 15 м при ширине 0,8 м , размеры	окна	2 м на 1,5 м , размеры двери 1,2 на 2,5 м , а на отходы надо предусмотреть 10 % расхода обоев ? .
Какую часть всего пути пассажир смотрел в	окно	? .
509 Когда пассажир проехал половину пути , он стал смотреть в	окно	и смотрел до тех пор , пока не осталось проехать половину от того пути , что он проехал , смотря в окно .
509 Когда пассажир проехал половину пути , он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор , пока не осталось проехать половину от того пути , что он проехал , смотря в	окно	.
Укажи на нем расположение	окон	, дверей , мебели .
Числа при	округлении	уменьшаются .
Образец записи решения . 2 ) В записанных неравенствах подчеркни те числа , которые являются результатами	округления	числа а с точностью до сотен , десятков , единиц , десятых , сотых , тысячных .
675 Построй орнамент , который получается при последовательном параллельном переносе трех концентрических	окружностей	с радиусами 1 см , 2 см и 3 см на 3 см вправо .
Выяви существенные признаки вписанной и описанной	окружностей	и предложи свой вариант определений этих понятий .
514 а ) Сколько больших	окружностей	можно провести на сфере через одну точку ?
Он доказал , что центр описанной окружности треугольника АВС совпадает с точкой пересечения	окружностей	, описанных около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
619 Построй бордюр , который получается при последовательном параллельном переносе двух концентрических ( имеющих один центр )	окружностей	радиусами 1 см и 2 см на 2 см вправо .
Через точки С и D пересечения	окружностей	проведем прямую CD .
Разверни полоску и измерь отрезки , показывающие длины	окружностей	С1 , С2 и С3 Найди отношение соответствующих значений С и d с точностью до сотых .
Найди приближенное значение координат точек пересечения этих	окружностей	( 1 ед .
361 Какие из	окружностей	являются вписанными в треугольник , а какие — описанными около него ?
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения	окружностей	обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Стремясь к большей точности , древние математики предпочитали строить геометрические фигуры , избегая сложных измерений , а используя лишь проведение прямых по линейке и проведение	окружностей	циркулем .
Можем ли мы считать ее верной для всех	окружностей	на основании выполненных построений и измерений ? .
Их всего пять : построение прямой ( 1 ) , окружности ( 2 ) , построение точки пересечения двух прямых ( 3 ) , прямой и окружности ( 4 ) и двух	окружностей	( 5 ) .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии	окружности	является любая прямая , проходящая через ее центр .
6 ) ( С — множество точек	окружности	с центром О ) .
Отрезок , соединяющий точку	окружности	с ее центром , называется радиусом окружности .
Отрезок , соединяющий точку окружности с ее центром , называется радиусом	окружности	.
Эта точка называется центром	окружности	.
а ) прямая l не имеет с окружностью общих точек ; б ) прямая l касается	окружности	; в ) прямая l пересекает окружность в двух точках .
В данной задаче мы использовали для этого определение	окружности	.
Найди на	окружности	точки .
Повтори эксперимент для	окружности	произвольного радиуса и сформулируй гипотезу .
Например , точка пересечения медиан М , ортоцентр Н и центр описанной	окружности	О лежат на одной прямой , причем точка М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
Все	окружности	имеют равные радиусы .
Диаметры одной	окружности	равны .
Проведи те же самые построения и измерения еще для двух точек	окружности	.
Соедини концы диаметра с произвольной точкой	окружности	и измерь угол , образованный хордами .
в ) Хорда , проходящая через центр	окружности	, называется диаметром . г ) Хордой окружности называется отрезок , соединяющий две ее точки .
Из этих примеров видно , что число центров симметрии также может быть различным : так , у прямой их бесконечно много , а у параллелограмма и	окружности	— по одному .
в ) Хорда , проходящая через центр окружности , называется диаметром . г ) Хордой	окружности	называется отрезок , соединяющий две ее точки .
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой	окружности	с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
Он доказал , что центр описанной	окружности	треугольника АВС совпадает с точкой пересечения окружностей , описанных около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
Хорда	окружности	может быть больше ее диаметра .
Сколько касательных к окружности можно провести из точки , лежащей вне	окружности	?
У шара и сферы , так же как у круга и	окружности	, есть центр , радиус и диаметр .
532 Скорость v , с которой тело движется по	окружности	, можно вычислить по формуле .
Сколько касательных к	окружности	можно провести из точки , лежащей вне окружности ?
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой	окружности	; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Обозначим эти точки В и С. Проведем две	окружности	того же радиуса с центрами в В и С и найдем их точку пересечения , принадлежащую углу , — точку М. Луч AM — биссектриса .
А из точки , лежащей на	окружности	?
Построим две пересекающиеся	окружности	одного радиуса с центрами в концах данного отрезка AS .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него	окружности	4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Прямая а — касательная к	окружности	в точке А .
370 Переведи с математического языка на русский определение касательной к	окружности	.
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него	окружности	2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Центр О	окружности	, описанной около правильного n - угольника , соединен с двумя его последовательными вершинами А и В. Чему равна величина угла АОВ ? .
а ) Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник , одна из сторон которого равна длине	окружности	основания .
Можно ли распространить ее на секущие к	окружности	?
Радиус окружности равен 5 см. Чему равна длина этой	окружности	?
Радиус	окружности	равен 5 см. Чему равна длина этой окружности ?
Начерти прямую , касательную к	окружности	, и проведи радиус в точку касания .
Их всего пять : построение прямой ( 1 ) ,	окружности	( 2 ) , построение точки пересечения двух прямых ( 3 ) , прямой и окружности ( 4 ) и двух окружностей ( 5 ) .
360 Прямая называется касательной к	окружности	, если она имеет с этой окружностью одну общую точку .
Их всего пять : построение прямой ( 1 ) , окружности ( 2 ) , построение точки пересечения двух прямых ( 3 ) , прямой и	окружности	( 4 ) и двух окружностей ( 5 ) .
где r — радиус	окружности	, Т — время , за которое оно совершает один полный оборот ( период обращения ) , π — число , равное примерно 3,14 .
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной	окружности	, то есть АВ .
Значит , чтобы разделить окружность на 6 равных частей , можно « пройтись » по	окружности	циркулем с шагом , равным ее радиусу .
Диаметр окружности является хордой этой	окружности	.
Тогда при повороте плоскости вокруг центра этой	окружности	на угол , кратный , многоугольник перейдет сам в себя .
Длина окружности заднего колеса кареты на 0,8 м больше длины	окружности	переднего колеса .
Длина	окружности	заднего колеса кареты на 0,8 м больше длины окружности переднего колеса .
Диаметр	окружности	является хордой этой окружности .
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной	окружности	.
Например , чтобы дать определение	окружности	, можно вспомнить , что при построении ее с помощью циркуля расстояние между концами ножек циркуля не меняется .
Центр вписанной	окружности	.
Можно ли провести на шаре две большие	окружности	так , чтобы они не пересекались ?
А две произвольные	окружности	? .
515 На сфере проведены две большие	окружности	.
Предложи свой вариант определения дуги	окружности	и сделай рисунок .
Оказывается , вершины любого правильного многоугольника лежат на одной	окружности	.
Например , длина	окружности	С пропорциональна ее радиусу ( С = 2πr ) , площадь круга S — квадрату радиуса ( S = πr2 ) .
Найди координаты точек пересечения этой	окружности	с прямой ВС , если В ( -5 ; 7 ) , С ( 4 ; -2 ) .
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной	окружности	.
335 Исходя из значения слова « дуга » в обыденной речи , найди рисунок , на котором цветом изображена дуга	окружности	.
Хордой	окружности	называется отрезок , соединяющий две ее точки .
Вычисли угол α и построй развертку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что длина дуги сектора равна длине	окружности	основания .
Маленькое колесо повозки , имеющее длину	окружности	2,4 м , при прохождении некоторого расстояния сделало 1250 оборотов .
Сколько оборотов сделало при прохождении этого же расстояния большое колесо с длиной	окружности	3 м ? .
334 Что общего у	окружности	и круга и чем они отличаются друг от друга ?
Нарисуй несколько центральных углов	окружности	и сформулируй определение этого понятия .
в ) Окружностью называется множество всех точек плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемой центром	окружности	.
Построй	окружности	, описанные около треугольников .
333 Какую из прямых можно назвать касательной к	окружности	, а какую — секущей ?
585 Объясни способ деления	окружности	на 5 равных частей с помощью транспортира .
а ) Диаметром	окружности	называется хорда , проходящая через ее центр .
350 Сколько возникает на	окружности	дуг , если на ней поставлены две точки ?
341 а ) Длина	окружности	переднего колеса повозки равна 2,8 м , а заднего — 3,5 м .
Проведи эксперимент , позволяющий выявить зависимость между длиной окружности С и ее диаметром d. Для этого вырежи полоску бумаги 5 см х 27 см и сверни ее в трубочку высотой 5 см. Начерти	окружности	с диаметрами d1 = 4 см , d2 = 6 см и d3 = 8 см. Совмещай с ними поочередно круглое отверстие трубочки , отмечая положение конца полоски .
Хордой окружности называется отрезок , соединяющий две точки этой	окружности	.
Хордой	окружности	называется отрезок , соединяющий две точки этой окружности .
179 Построй на координатной плоскости две	окружности	: одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
Например , по определению легко сделать рисунок хорды : достаточно отметить на	окружности	любые две точки и соединить их отрезком .
длина	окружности	колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии ? .
Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой	окружности	, пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд , на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
Это определение	окружности	опирается на понятия « множество » , « точка » , « расстояние » , « одинаковый » , « плоскость » .
2 ) Чему примерно равен диаметр	окружности	, если ее длина равна 60 см ?
Центр описанной	окружности	.
Сколько точек пересечения могут иметь две	окружности	? .
Указанным образом легче всего построить правильный шестиугольник : он состоит из шести правильных треугольников , и поэтому длина его стороны равна радиусу описанной	окружности	.
Греческая буква π ( « пи » ) в приведенных формулах обозначает число , равное отношению длины любой	окружности	к своему диаметру .
1 ) Чему примерно равна длина	окружности	, если ее диаметр равен 10 см ?
73 В любой окружности отношение длины	окружности	к ее диаметру постоянно и равно примерно 22 : 7 .
73 В любой	окружности	отношение длины окружности к ее диаметру постоянно и равно примерно 22 : 7 .
Проведи эксперимент , позволяющий выявить зависимость между длиной	окружности	С и ее диаметром d. Для этого вырежи полоску бумаги 5 см х 27 см и сверни ее в трубочку высотой 5 см. Начерти окружности с диаметрами d1 = 4 см , d2 = 6 см и d3 = 8 см. Совмещай с ними поочередно круглое отверстие трубочки , отмечая положение конца полоски .
449 В произвольном треугольнике АВС построй центр описанной	окружности	— точку О , центр тяжести — точку М , и ортоцентр — точку Н .
Значит , для построения правильного n - угольника достаточно разделить	окружность	на n равных частей и последовательно соединить точки деления .
416 Построй	окружность	, описанную около треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
359 Сколько общих точек могут иметь прямая и	окружность	?
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем	окружность	с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
639 Построй	окружность	, симметричную данной относительно прямой l , если .
Многоугольник , вписанный в	окружность	, является правильным .
	Окружность	с центром О и радиусом r .
439 Построй треугольник АВС по двум сторонам а и b и углу С , заключенному между ними , и впиши в него	окружность	.
а ) прямая l не имеет с окружностью общих точек ; б ) прямая l касается окружности ; в ) прямая l пересекает	окружность	в двух точках .
Дополнительно введем новые обозначения , которые помогут различать в записи прямую , луч , отрезок и	окружность	.
417 Построй	окружность	, вписанную в треугольник АВС , если треугольник АВС .
А вот еще одно открытие Эйлера :	окружность	, проходящая через середины сторон треугольника , пройдет и через основания его высот .
510 Нарисуй от руки	окружность	и постарайся с помощью штриховки придать « объемность » получившемуся кругу .
Около правильного многоугольника можно описать	окружность	.
Начерти	окружность	радиуса 3 см и проведи ее диаметр .
Мы знаем , что около них можно описать	окружность	.
Предложи свой вариант определения круга , пользуясь понятиями «	окружность	» , « плоскость » .
Значит , чтобы разделить	окружность	на 6 равных частей , можно « пройтись » по окружности циркулем с шагом , равным ее радиусу .
Проведи	окружность	произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности , пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд , на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
438 Построй треугольник АВС по трем сторонам а , b и с и опиши около него	окружность	.
Если около многоугольника можно описать	окружность	, то он является правильным .
Изобрази круг и	окружность	с помощью циркуля и цветных карандашей .
Придумай определение угла , вписанного в	окружность	.
Однако при исследовании свойств геометрических тел мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной фигуры не всегда совпадает с ее реальной формой :	окружность	превращается в эллипс — « сплющенную » окружность , изменяются углы между прямыми и отрезками и т .
Проведем	окружность	произвольного радиуса с центром в вершине данного угла и найдем точки ее пересечения со сторонами угла .
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и	окружность	с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
В обоих случаях проведем сначала	окружность	с центром в точке В , пересекающую прямую а в двух точках .
Построй	окружность	с центром в точке А ( -3 ; 5 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
Точно так же изобразить	окружность	, угол , прямоугольник гораздо легче , чем увидеть и выразить в речи их существенные свойства .
Построй	окружность	, описанную около треугольника АХВХСХ , и найди точки ее пересечения со сторонами треугольника АВС .
182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи	окружность	с центром в начале координат и радиусом 3,5 единичных отрезка .
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку , прямую , луч , отрезок , прямоугольник и квадрат , различные углы ,	окружность	, параллельные и перпендикулярные прямые и т .
Раздели тем же способом	окружность	: а ) на 6 равных частей ; б ) на 9 равных частей .
В геометрии примерами центрально - симметричных фигур могут служить прямая , параллелограмм ,	окружность	.
Если провести	окружность	с центром в точке D и радиусом DAX , то она будет касаться всех трех сторон треугольника ( то есть будет иметь с каждой из них только одну общую точку ) .
616 Вырежи из бумаги равносторонний и равнобедренный треугольники , квадрат , параллелограмм ,	окружность	.
Найди отношения отрезков , на которые построенная	окружность	делит отрезки АН , ВН и СН , где Н — ортоцентр треугольника АВС .
Затем построим	окружность	с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
724 Углы А и С являются вписанными в	окружность	, а углы В и D — нет .
Однако при исследовании свойств геометрических тел мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной фигуры не всегда совпадает с ее реальной формой : окружность превращается в эллипс — « сплющенную »	окружность	, изменяются углы между прямыми и отрезками и т .
Сколько точек пересечения могут иметь прямая и	окружность	? .
Такая	окружность	называется вписанной в треугольник .
Значит , если провести	окружность	с центром в точке О , проходящую через одну из вершин данного треугольника , то она пройдет и через две другие его вершины .
Проведем	окружность	произвольного радиуса с центром в вершине угла А и найдем ее точки пересечения со сторонами угла .
в ) Построй одну	окружность	с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
б ) Построй	окружность	с центром в точке А ( -3 ; 1 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
Поэтому	окружность	можно определить как множество всех точек плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от одной заданной точки .
в ) На сколько частей делится сфера одной большой	окружностью	, 2 большими окружностями , 3 большими окружностями , имеющими общий диаметр ? .
а ) прямая l не имеет с	окружностью	общих точек ; б ) прямая l касается окружности ; в ) прямая l пересекает окружность в двух точках .
360 Прямая называется касательной к окружности , если она имеет с этой	окружностью	одну общую точку .
При повороте вокруг точки О все точки плоскости движутся по	окружностям	с центром О , а значит , их расстояние до точки О не меняется .
	Октаэдр	.
По числу граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) ,	октаэдр	( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
На русском языке он называется « звездчатый	октаэдр	» .
719 Склей из бумаги модель правильного	октаэдра	, гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 8 см .
711 Сколько ребер и сколько граней сходится в вершине тетраэдра , гексаэдра ,	октаэдра	, додекаэдра , икосаэдра ?
За сколько времени был выполнен заказ , если	оператор	, ушедший раньше , работая один , может выполнить его полностью за 4 ч ? .
капитан , феномен , огород , работа ,	оператор	.
За сколько времени набрал бы эту рукопись другой	оператор	, производительность которого составляет 21 стр./ч ? .
За сколько времени	оператор	сделал свою работу , если он работал равномерно ? .
241 За компьютерный набор рукописи два	оператора	получили 3500 р .
2 ) Двум	операторам	было поручено набрать на компьютере рукопись .
Какая сумма денег была выплачена за эту работу каждому	оператору	, если стоимость страницы набора была постоянна ? .
Однако вместе	операторы	проработали лишь 2 ч , после чего работу заканчивал один из них .
Какие же базовые	операции	можно выполнять с помощью этих инструментов ?
Тела Архимеда получаются из правильных многогранников с помощью	операции	« усечения » , то есть отсечения углов плоскостями .
Этих базовых	операций	оказывается достаточно для выполнения самых разнообразных построений .
Так обычно и поступают , подводя итоги проведенных за день денежных	операций	: сначала подсчитывают отдельно доходы и отдельно расходы , а затем находят итоговый результат .
Построение отрезка , равного данному , выстроилось из основных	операций	1 , 2 и 4 .
Поэтому , например . Уже из приведенных примеров видно , что деление рациональных чисел производится самым естественным образом :	операцию	деления выполняют , пользуясь тем же правилом знаков , что и при умножении .
Таким образом , мы видим , что в практической жизни часто совершают одну и ту же	операцию	: по нескольким значениям величины определяют ее среднее значение .
272 Найди неизвестную	операцию	.
Расширением множества натуральных чисел до множества , в котором выполнима	операция	вычитания , является множество целых чисел Z .
Расширением множества целых чисел до множества , в котором выполнима	операция	деления на число , не равное 0 , является множество рациональных чисел Q .
Общие правила логических рассуждений впервые	описал	один из величайших ученых в истории человечества — древнегреческий философ Аристотель .
449 В произвольном треугольнике АВС построй центр	описанной	окружности — точку О , центр тяжести — точку М , и ортоцентр — точку Н .
Указанным образом легче всего построить правильный шестиугольник : он состоит из шести правильных треугольников , и поэтому длина его стороны равна радиусу	описанной	окружности .
Выяви существенные признаки вписанной и	описанной	окружностей и предложи свой вариант определений этих понятий .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом	описанной	около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Центр О окружности ,	описанной	около правильного n - угольника , соединен с двумя его последовательными вершинами А и В. Чему равна величина угла АОВ ? .
Например , точка пересечения медиан М , ортоцентр Н и центр	описанной	окружности О лежат на одной прямой , причем точка М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
Он доказал , что центр	описанной	окружности треугольника АВС совпадает с точкой пересечения окружностей , описанных около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре	описанной	окружности .
Центр	описанной	окружности .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом	описанной	около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Окружность , проходящая через все вершины треугольника , называется	описанной	около него .
Выяви существенные признаки вписанной и	описанной окружностей	и предложи свой вариант определений этих понятий .
Указанным образом легче всего построить правильный шестиугольник : он состоит из шести правильных треугольников , и поэтому длина его стороны равна радиусу	описанной окружности	.
449 В произвольном треугольнике АВС построй центр	описанной окружности	— точку О , центр тяжести — точку М , и ортоцентр — точку Н .
Центр	описанной окружности	.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре	описанной окружности	.
Он доказал , что центр	описанной окружности	треугольника АВС совпадает с точкой пересечения окружностей , описанных около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
Например , точка пересечения медиан М , ортоцентр Н и центр	описанной окружности	О лежат на одной прямой , причем точка М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
Так , появление отрицательных чисел привело к созданию приема переноса слагаемых , впервые	описанному	в IX веке среднеазиатским ученым Мухаммедом аль - Хорезми в сочинении « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » .
Построй окружность ,	описанную	около треугольника АХВХСХ , и найди точки ее пересечения со сторонами треугольника АВС .
416 Построй окружность ,	описанную	около треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
Все	описанные	преобразования плоскости обладают важным общим свойством : в результате их выполнения получаются фигуры , которые можно совместить наложением , то есть равные фигуры .
Построй окружности ,	описанные	около треугольников .
Ситуации ,	описанные	в них , часто создаются искусственно , явления и процессы окружающего мира не воспроизводятся буквально , а моделируются с сохранением существенных связей между величинами .
361 Какие из окружностей являются вписанными в треугольник , а какие —	описанными	около него ?
Он доказал , что центр описанной окружности треугольника АВС совпадает с точкой пересечения окружностей ,	описанных	около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
Некоторые из непропорциональных зависимостей также могут быть	описаны	общими формулами , помогающими выявлять аналогию между различными физическими процессами .
Если около многоугольника можно	описать	окружность , то он является правильным .
Понятие переменной помогло	описать	в удобной для исследования форме многие процессы и явления , изучаемые физикой , химией и другими науками , и этим способствовало научно - техническому прогрессу .
Около правильного многоугольника можно	описать	окружность .
Например , равномерное движение со скоростью 4 км / ч можно	описать	. 1 ) формулой .
Мы знаем , что около них можно	описать	окружность .
Если около многоугольника можно	описать окружность	, то он является правильным .
Около правильного многоугольника можно	описать окружность	.
Мы знаем , что около них можно	описать окружность	.
438 Построй треугольник АВС по трем сторонам а , b и с и	опиши	около него окружность .
Обычно на графике независимые переменные отмечают на горизонтальной оси координатного угла ( оси абсцисс ) , а зависимые — на вертикальной оси ( оси	ординат	) .
множество	ординат	всех точек прямоугольника .
Единичные отрезки на осях обычно выбирают одинаковыми , ось абсцисс располагают горизонтально , а ось	ординат	— вертикально .
Точки любой прямой , перпендикулярной оси абсцисс , имеют одинаковые абсциссы , а любой прямой , перпендикулярной оси	ординат	, — одинаковые ординаты .
Поскольку обе они проходят через начало отсчета О ( 0 ; 0 ) , то координаты любой точки оси абсцисс имеют вид ( х ; 0 ) , а координаты любой точки оси	ординат	— вид ( 0 ; у ) .
Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости , откладывая по оси абсцисс время в минутах , а по оси	ординат	— температуру воды в градусах Цельсия ( 1 см — 1 мин , 1 см — 10 ° С ) .
Система координат на плоскости может быть задана парой перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчета О. Одну из этих прямых называют осью абсцисс ( или осью х ) , а другую — осью	ординат	( осью у ) .
Положительное направление на оси абсцисс выбирают слева направо , а на оси	ординат	— снизу вверх , и показывают его стрелкой .
Так , абсцисса точки М равна ( -1 ) , а	ордината	— ( +4 ) .
Найди на этой линии точку : а ) абсцисса которой равна : -3,4 ; -2,5 ; -1,8 ; -0,6 ; 0 ; 0,7 ; 1,5 ; 2,9 ; 3,6 ; б )	ордината	которой равна : 2,3 ; 1,6 ; 0,8 ; 0 ; -0,4 ; -0,7 ; -1,9 ; -2,4 ; -2,8 .
Где расположены все точки координатной плоскости ,	ордината	которых равна 3 ?
а ) абсцисса которых равна : -2,8 ; -0,5 ; 1,9 . б )	ордината	которых равна : -2,8 ; -0,5 ; 1,9 .
Точка пересечения с осью х называется абсциссой точки М , а точка пересечения с осью у —	ординатой	.
Абсциссу и	ординату	вместе называют координатами точки М. Обозначение координат точки на плоскости остается прежним , а именно : М(-1 ; 4 ) .
449 В произвольном треугольнике АВС построй центр описанной окружности — точку О , центр тяжести — точку М , и	ортоцентр	— точку Н .
418 Построй	ортоцентр	треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в )
Например , точка пересечения медиан М ,	ортоцентр	Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой , причем точка М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
Найди отношения отрезков , на которые построенная окружность делит отрезки АН , ВН и СН , где Н —	ортоцентр	треугольника АВС .
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида треугольника	ортоцентр	располагается по - разному : у остроугольного треугольника он располагается внутри него , у прямоугольного — в вершине прямого угла , а у тупоугольного — снаружи .
Высоты треугольника ( или их продолжения ) пересекаются в	ортоцентре	.
Если из вершин произвольного треугольника провести перпендикуляры на противоположные стороны ( их называют высотами ) , то все они пересекутся в одной точке Н. Эта точка называется	ортоцентром	.
Чтобы понять происхождение этого правила , достаточно разделить по этой же схеме какое - нибудь натуральное число в десятичной системе на	основание	этой системы — число 10 .
Самая простая система счисления , получившая широкое распространение в современной компьютерной технике , имеет	основание	2 .
У пирамиды	основанием	является многоугольник , а боковые грани — треугольники с общей вершиной .
д. , — то получим систему записи чисел ( или систему счисления ) с	основанием	соответственно 2 , 3 , 4 и т .
Свойство , в соответствии с которым множество разбивается на классы , называют	основанием	классификации ( в нашем примере — « вид углов » ) .
281 Запиши числа 9 , 25 , 32 , 75 , 100 в системе счисления с	основанием	: a ) d = 3 ; б ) d = 5 ; в ) d — 9 ; г ) d = 12 .
Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами , а третья сторона —	основанием	.
б ) Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми , а третья сторона называется	основанием	.
Какие стороны этого треугольника являются боковыми сторонами , а какая сторона —	основанием	? .
257 Запиши числа 9 , 25 , 32 , 75 , 100 в системе счисления с	основанием	d = 2 .
Нарисуй в тетради несколько равнобедренных треугольников с одним и тем же	основанием	.
На	основании	перекрестного правила можно записать и тогда любой член пропорции легко вычисляется , исходя из перекрестного правила и правила нахождения неизвестного множителя .
Можем ли мы на этом	основании	сделать вывод , что углы всех треугольников острые ? .
на	основании	полученного результата ответить на вопрос задачи .
Из равенства на	основании	перекрестного правила получаем .
Можно ли считать твою гипотезу доказанной на	основании	выполненных построений ? .
В первом случае видны лишь ее передние грани , и по такому рисунку нельзя даже определить , какой многоугольник лежит в ее	основании	.
Отметь на прямой l точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а ) треугольник АВС — равнобедренный ; б ) углы при	основании	треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам треугольника АВС , равны .
Можем ли мы считать ее верной для всех окружностей на	основании	выполненных построений и измерений ? .
Начерти равнобедренный треугольник АВС ( АВ = ВС ) и измерь транспортиром углы при	основании	АС .
условие , на	основании	которого составлено уравнение .
Можно ли на	основании	проведенных построений и измерений считать данное утверждение доказанным ? .
углы при	основании	у равны ( Т — множество трапеций ) .
На	основании	распределительного закона умножения общий множитель можно вынести за скобки .
Можно ли считать ее доказанной на	основании	проведенных тобой измерений ?
Можно ли на	основании	проведенных построений и измерений считать гипотезу и ее следствия верными для общего случая ?
В	основании	конуса также лежит круг , а боковая поверхность представляет собой сектор круга .
В зависимости от числа сторон многоугольника , лежащего в	основании	пирамиды , она называется треугольной , четырехугольной , пятиугольной и т .
Данное выражение представляет собой произведение множителей 12 ; х ; 0,25 ; -5 и у. На	основании	сочетательного закона умножения можно отдельно сгруппировать числовые и буквенные множители .
На	основании	переместительного и сочетательного свойств сложения во внутренних скобках числителя сумму 2,375 + 0,625 можно заменить числом 3 .
Можно ли на их	основании	сделать общий вывод ?
Можно ли считать построенную гипотезу доказанной на	основании	выполненных построений ? .
Сколько вершин у многоугольника в ее	основании	? .
Можно ли на	основании	проведенного исследования считать твою гипотезу доказанной ? .
На	основании	правил прибавления суммы к числу и вычитания суммы из числа имеем .
Можно ли на	основании	этих данных утверждать , что .
На	основании	этого свойства отношения чисел можно упрощать .
Сравни сумму длин	оснований	с длиной средней линии .
Развертка цилиндра на плоскости состоит из двух кругов —	оснований	цилиндра , и прямоугольника — его боковой поверхности .
Рассмотри расположение средней линии и	оснований	трапеции .
480 а ) Сколько ребер семиугольной пирамиды выходит из вершины , не принадлежащей	основанию	?
145 В треугольнике ABC отрезок BD перпендикулярен к	основанию	АС , АС = a , BD = h.
Например , из того , что в равнобедренном треугольнике АВС медиана BD , проведенная к	основанию	, является осью симметрии , следует , что треугольники ABD и CBD равны , и поэтому равны их стороны и углы : AD = DC , 1 = 2 , 3 = 4 = 90 ° .
Начерти равнобедренный треугольник АВС ( АВ = ВС ) и проведи медиану к его	основанию	АС .
Значит , медиана , проведенная к	основанию	равнобедренного треугольника , является одновременно его биссектрисой и высотой ! .
А вот еще одно открытие Эйлера : окружность , проходящая через середины сторон треугольника , пройдет и через	основания	его высот .
Вычисли угол α и построй развертку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что длина дуги сектора равна длине окружности	основания	.
Например , из приведенной выше формулы следует , что если у = 37 , то значит , при температуре около 100 ° F или больше у человека есть все	основания	побеспокоиться о своем здоровье .
534 Сделай модель конуса , радиус	основания	которого равен 5 см , а радиус развертки боковой поверхности — 15 см .
Подобно этому и в остальных системах счисления числа записывают с помощью степеней	основания	.
528 Склей из бумаги модель цилиндра , радиус	основания	которого равен 3,5 см , а развертка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 7π см и 10 см , где π — число , равное примерно 3,14 .
Сколько вершин у	основания	этой пирамиды ? .
518 Пусть радиус	основания	конуса равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в сектор круга радиуса R. Величина угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его стороной а ; 2 ) площадью S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V прямоугольного параллелепипеда , площадью его	основания	S и высотой h .
а ) Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник , одна из сторон которого равна длине окружности	основания	.
Соедини середину	основания	с противоположной вершиной .
Назови их	основания	и боковые стороны .
Определи свойство тех точек пересечения , которые не являются	основаниями	высот .
И в третий день он прошел треть нового	остатка	.
149 а ) Олег разместил в первый альбом 20 % своих марок , во второй —	остатка	, а в третий — остальные 56 марок .
В первый день Саша прочитал 20 % книги , а во второй — половину	остатка	.
Но во второй день , устав , он прошел не треть пути , а треть	остатка	.
Из нее взяли сначала 30 % бензина , а потом еще 20 %	остатка	.
б ) От бревна отпилили сначала 30 % , а потом 40 %	остатка	.
Сначала из него отлили 25 % всего молока , а потом 20 %	остатка	.
243 На мороженое Аня истратила имевшихся у нее денег , а на блокнот	остатка	.
В первый день продали 30 % всех фруктов , во второй день —	остатка	, а в третий день — остальные 168 кг .
278 Семья израсходовала 35 % своего месячного дохода на питание , седьмую часть суммы на питание — на коммунальные услуги , 80 %	остатка	— на покупки , а остальные 3000 р .
в первый раз выплачено 75 % всей суммы , а во второй — 25 %	остатка	?
При делении большего на меньшее в частном получается 7 и в	остатке	3 .
207 Когда трехзначное число , у которого цифры сотен и десятков одинаковые , а цифра единиц равна 5 , разделили на однозначное число , то в	остатке	получили 8 .
При делении большего из них на меньшее в частном получается 3 и в	остатке	2 .
При делении большего из них на меньшее в частном получается 5 и в	остатке	10 .
291 При делении некоторого числа на 12 в	остатке	получилось 11 .
Число m при делении на 7 дает в	остатке	1 .
Если при делении на 5 одно число дает в	остатке	2 , а другое — 3 , то их сумма кратна 5 : например , числа 12 и 13 дают при делении на 5 остатки , соответственно , 2 и 3 , а их сумма 12 + 13 = 25 делится на 5 . 4 )
При делении числа на 15 в	остатке	получается 11 .
Если при делении на 5 одно число дает в остатке 2 , а другое — 3 , то их сумма кратна 5 : например , числа 12 и 13 дают при делении на 5	остатки	, соответственно , 2 и 3 , а их сумма 12 + 13 = 25 делится на 5 . 4 )
Четыре различных числа могут давать различные	остатки	при делении на 3 .
Поскольку	остатки	не могут быть больше делителя , то в троичной системе для записи любого числа достаточно трех цифр — 0 , 1 и 2 .
Перевод натурального числа из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут	остатки	от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в обратном порядке .
Четыре различных числа при делении на 3 не могут давать различные	остатки	.
Какие	остатки	могут получаться при делении на 5 квадрата натурального числа ? .
Какие	остатки	могут получаться при делении натурального числа на 5 ?
Для любых четырех различных чисел верно , что среди их	остатков	от деления на 3 имеются равные .
Для этого вначале разделим 145 с	остатком	на 34 — наибольшую возможную в нашем случае степень числа 3 — и определим цифру разряда десятков тысяч , затем остаток разделим на 33 — определим цифру разряда тысяч и т .
189 Выполни деление с	остатком	и сделай проверку , используя формулу .
После того как он добавил к	остатку	третью его часть , капитал его стал вдвое больше первоначального .
Сумма числа 219 и любого числа , которое при делении на 14 дает	остаток	3 , является четным числом .
Чему теперь равны частное и	остаток	от деления большего числа на меньшее ? .
Для этого вначале разделим 145 с остатком на 34 — наибольшую возможную в нашем случае степень числа 3 — и определим цифру разряда десятков тысяч , затем	остаток	разделим на 33 — определим цифру разряда тысяч и т .
При делении натуральных чисел	остаток	всегда меньше делителя .
Число при делении на 8 дает	остаток	5 .
Запиши в виде выражения с переменной n общий вид числа , которое при делении на 4 дает	остаток	3 .
Каким будет	остаток	при делении этого числа на 3 ? .
Найти наименьшее натуральное число , дающее при делении на 2 , 3 , 4 , 5 и 6	остаток	1 и , кроме того , делящееся на 7 .
3 ) При делении на 7 одно из чисел даст	остаток	4 , а другое — 3 .
8) При делении натуральных чисел	остаток	может быть больше или равен делителю .
Каким будет	остаток	при делении на 7 суммы этих двух чисел ? .
Может ли при делении натурального числа на 8 получиться	остаток	9 ?
Каким будет	остаток	при делении этого числа : а ) на 6 ; б ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 2 ? .
При делении некоторого натурального числа на 7 получилось частное 4 и	остаток	3 .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает	остаток	, равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
4 ) При делении на 9 одно из трех чисел дает	остаток	5 , второе — 6 , а третье — 2 .
119 При делении натурального числа на 8 получился	остаток	5 .
Каким будет	остаток	при делении на 9 их суммы ? .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает	остаток	, равный 6 .
Сумма числа 49 и любого числа , которое при делении на 6 дает	остаток	5 , кратна шести .
Каким станет	остаток	при делении удвоенного числа на 8 ? .
Каким будет	остаток	при делении этого числа на 4 ? .
Синусом	острого	угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы .
23 Пользуясь определением тангенса	острого	угла прямоугольного треугольника , приведенным , найди тангенс угла А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
Тангенсом	острого	угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего .
572 Чему равна градусная мера : а ) прямого угла ; б )	острого	угла ; в ) тупого угла .
Повтори исследование для	острого	угла произвольного прямоугольного треугольника .
Косинусом	острого	угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы .
Синусом	острого угла	прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы .
23 Пользуясь определением тангенса	острого угла	прямоугольного треугольника , приведенным , найди тангенс угла А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
Тангенсом	острого угла	прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего .
Повтори исследование для	острого угла	произвольного прямоугольного треугольника .
572 Чему равна градусная мера : а ) прямого угла ; б )	острого угла	; в ) тупого угла .
Косинусом	острого угла	прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы .
Если построение выполнено точно , то все перпендикуляры пересекутся в одной точке — точке О. Обратим внимание , что расположение точки О зависит от вида треугольника : у	остроугольного треугольника	он находится внутри , у прямоугольного — на гипотенузе , а у тупоугольного — снаружи .
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по - разному : у	остроугольного треугольника	он располагается внутри него , у прямоугольного — в вершине прямого угла , а у тупоугольного — снаружи .
равнобедренный	остроугольный треугольник	.
Заметим , что все углы треугольника АВС	острые	.
Найди и отметь соответственно	острые	, прямые и тупые углы .
Можем ли мы на этом основании сделать вывод , что углы всех треугольников	острые	? .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых	острые	, прямоугольные — имеющие один прямой угол , и тупоугольные — имеющие один тупой угол .
12 ) Любой угол является	острым	или тупым .
597 Потренируй свой глазомер : начерти на листе бумаги без клеток 3	острых	и 3 тупых угла , определи на глаз их градусную меру , а затем проверь себя , измерив углы транспортиром .
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков	острых	углов ( х ) , прямых углов ( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
б ) Сколько	острых	, сколько прямых и сколько тупых углов может иметь треугольник ?
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков	острых углов	( х ) , прямых углов ( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости ,	откладывая	по оси абсцисс время в минутах , а по оси ординат — температуру воды в градусах Цельсия ( 1 см — 1 мин , 1 см — 10 ° С ) .
На шкале известного нам прибора — транспортира —	отложены	"углы в 1 "" , поэтому с его помощью можно измерять или строить на плоскости любой угол , выраженный в градусах ."
Слова типа «	отложим	» , « проведем » и т .
На произвольной прямой а	отложим	отрезок , равный отрезку АС .
Таким образом , построение упрощается : для нахождения точки А1 симметричной точке А относительно центра О , уже нет необходимости строить угол АОА1 , а можно просто провести прямую ОА и	отложить	на ней отрезок ОА1 , равный отрезку ОА .
После уплаты налогов кладоискатели разделили между собой монеты так , что доли первого и второго	относились	как 2 : 3 , а доли второго и третьего — как 5 : 8 .
250 При посадке фруктовых садов в центральных районах России рекомендуется , чтобы число яблонь , груш и косточковых деревьев	относилось	как 10 : 3 : 7 .
Подбери для данных трех слов четвертое так , чтобы оно “	относилось	” к третьему , как второе к первому . 1 ) Труд — награда , лень .
а ) 7 так	относится	к 14 , как 3 относится к 6 .
277 Число девочек в классе	относится	к числу мальчиков как 2 : 3 . 1 )
256 Для изготовления фарфора берут глину , гипс и песок в следующих отношениях : масса гипса относится к массе глины как 1 : 25 , а масса песка	относится	к массе гипса как 2:1 .
257 Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найди длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 : 4 , а ВС	относится	к АС как 2 : 3 .
Обозначив искомое расстояние х , получаем , что число 3,6 так	относится	к х , как 3 к 40000 .
Скорость грузовика	относится	к скорости автомобиля как 4 : 5 .
72 В сплаве золота и серебра масса золота так	относится	к массе серебра , как 2 : 5 .
В словесной форме : а	относится	к b как с относится к d в том и только в том случае , когда ad = bс . Итак , мы видим , что с точки зрения математики в понятии отношения нет ничего нового : отношение чисел — это их частное .
Скорость лодки	относится	к скорости теплохода как 1,5 : 4 .
247 Число однокомнатных , двухкомнатных и трехкомнатных квартир в доме	относится	как 2:3:5 .
257 Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найди длины сторон этого треугольника , если АВ	относится	к ВС как 3 : 4 , а ВС относится к АС как 2 : 3 .
Число , которое больше задуманного на 3 ,	относится	к утроенному задуманному числу как 11 : 15 .
Площадь первого составляет 30 % площади второго , а площадь второго	относится	к площади третьего как 2,5 : 3 .
а ) 7 так относится к 14 , как 3	относится	к 6 .
В результате оказалось , что полученное число так	относится	к 9 , как 4 относится к 4,5 .
Читают : “ Отношение а к b равно отношению с к d ” или “ а	относится	к b как с относится к d ” .
Найди три числа , если известно , что первое число	относится	ко второму как 3 : 8 , второе к третьему — как 2 : 5 , а сумма первого и третьего равна 4,6 .
При этом вторая премия составила 60 % первой и	относится	к третьей как .
760 Периметр треугольника АВС равен 16,8 см. Найди длины его сторон , если АВ	относится	к ВС как 7 : 5 , а ВС относится к АС как 3 : 4 .
Первое из них на 20 % меньше второго , а второе	относится	к третьему как 5 : 9 .
В результате оказалось , что полученное число так относится к 9 , как 4	относится	к 4,5 .
256 Для изготовления фарфора берут глину , гипс и песок в следующих отношениях : масса гипса	относится	к массе глины как 1 : 25 , а масса песка относится к массе гипса как 2:1 .
760 Периметр треугольника АВС равен 16,8 см. Найди длины его сторон , если АВ относится к ВС как 7 : 5 , а ВС	относится	к АС как 3 : 4 .
385 В классе число мальчиков	относится	к числу девочек как 8 : 5 .
Число учащихся 6 “ А ”	относится	к числу учащихся 6 “ Б ” как 4 : 5 , а число учащихся 6 “ В ” равно среднему арифметическому числа учащихся 6 “ А ” и 6 “ Б ” .
В словесной форме : а относится к b как с	относится	к d в том и только в том случае , когда ad = bс . Итак , мы видим , что с точки зрения математики в понятии отношения нет ничего нового : отношение чисел — это их частное .
Первый угол	относится	ко второму как 2,4:1 у , третий — на 15 ° меньше первого а четвертый — в 3 раза больше третьего .
Найди три числа , если первое	относится	ко второму как 0,5 : 0,6 , второе к третьему — как , а разность третьего и первого равна о,5 .
Читают : “ Отношение а к b равно отношению с к d ” или “ а относится к b как с	относится	к d ” .
Через сколько лет их возрасты будут	относиться	как 9 : 4 ? .
Начерти прямоугольник , отношение длин сторон которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти прямоугольный треугольник , длины катетов которого	относятся	как 3 к 4 .
Остальная часть занята кустарником и хвойными деревьями , причем их площади	относятся	как 3 : 5 .
Начерти два отрезка , длины которых	относятся	как 2 к 3 . 2 )
При этом говорят : “ Числа а , b и с	относятся	как 2 к 2 к 0,8 ” .
375 Дан прямоугольник , длины сторон которого	относятся	как 2:1 .
Первое число составляет 24 % всей суммы и — второго числа , а третье и четвертое	относятся	как .
Скорости велосипедистов	относятся	как 5 : 4 .
Скорости двух пешеходов	относятся	как 5 : 4 .
88 Стороны прямоугольника	относятся	как 4 : 7 , а его бóльшая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону , периметр и площадь этого прямоугольника .
Скорости двух лыжников	относятся	как 9 : 10 .
К основным понятиям в геометрии	относятся	, прежде всего , точка , прямая и плоскость .
На сколько километров в час скорость первого автомобиля меньше скорости второго , если их скорости	относятся	как 5 : 7 ? .
122 Взяв у сестренки по одной карточке с цифрами 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел , что полученные двузначные числа	относятся	как 1 : 2 : 3 : 4 : 5 .
386 Все 16 тысяч жителей на острове положительно	относятся	к спорту .
Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом , причем их площади	относятся	как 2 : 3 .
Площадь первого участка составляет 20 % общей площади , а площади второго и третьего	относятся	как 11 : 7 .
Если для конкретного человека обычно существенны свойства конкретного предмета , то науки интересуются прежде всего общими свойствами предметов , то есть свойствами ,	относящимися	к целым множествам , классам предметов .
	Отношение	8 к 3 равно отношению 40 к 15 .
374 Найди процентное	отношение	чисел : 1 ) А и В ; 2 ) В и Л .
63 Напиши пропорцию , в которой каждое	отношение	равно : а ) 2 ; б ) .
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется	отношение	длины прилежащего катета к длине гипотенузы .
Построй треугольник АВС и проведи его среднюю линию , соединяющую середины сторон АВ и ВС. Найди	отношение	длины стороны АС к длине средней линии .
Рассмотри взаимное расположение точек О , М и Н и найди	отношение	отрезков ОМ : МН .
Найди процентное	отношение	чисел : а ) 4,8 и 12 ; б ) 12 и 4,8 .
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется	отношение	длины противолежащего катета к длине прилежащего .
д ) процент износа на начало 2009 года ( т.е.	отношение	накопленного износа к первоначальной стоимости ) .
474 Найди процентное	отношение	чисел А и В .
Найди	отношение	отрезков АО : ОМ и ВО : ON , выполнив необходимые измерения .
21 Найди процентное	отношение	чисел и величин .
Таким образом , если величины обратно пропорциональны , то	отношение	двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины .
( Процент увеличения — это	отношение	прироста в процентах к первоначальной доле в процентах . ) .
Найди	отношение	синуса угла А к косинусу угла А и сравни его с тангенсом угла А .
Точка М делит сторону АВ в отношении 4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно	отношение	площадей фигур , на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD ?
Другими словами , если величины прямо пропорциональны , то	отношение	двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины .
Разверни полоску и измерь отрезки , показывающие длины окружностей С1 , С2 и С3 Найди	отношение	соответствующих значений С и d с точностью до сотых .
26 Вычисли процентное	отношение	чисел А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
Вычисли площадь каждого прямоугольника и	отношение	его большей стороны к меньшей .
Найди процентное	отношение	дохода к себестоимости .
124 Найди процентное	отношение	.
Как мы видели ,	отношение	одноименных величин есть число .
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется	отношение	длины противолежащего катета к длине гипотенузы .
3 ) Если а < b , то отношение а : b показывает , какую часть а составляет от b . 4 ) Процентное отношение а к b — это	отношение	а : b , выраженное в процентах , оно равно — 100 % .
3 ) Если а < b , то отношение а : b показывает , какую часть а составляет от b . 4 ) Процентное	отношение	а к b — это отношение а : b , выраженное в процентах , оно равно — 100 % .
3 ) Если а < b , то	отношение	а : b показывает , какую часть а составляет от b . 4 ) Процентное отношение а к b — это отношение а : b , выраженное в процентах , оно равно — 100 % .
Отношение а : b — это частное от деления а на b . 2 ) Если а > b , то	отношение	а : b показывает , во сколько раз а больше b .
Например ,	отношение	числа 8 к числу 3 равно — и показывает , что 8 больше , чем в 2 раза .
Найди для каждой медианы	отношение	отрезков , на которые она делится точкой О , считая от вершины .
Процентное	отношение	широко используется для сравнения на практике , поскольку проценты соответствуют дробям с одним и тем же знаменателем 100 , а дроби с одним знаменателем сравнивать гораздо проще .
Чему равны длины его сторон , если их	отношение	равно 3:3:4 ? .
А вот	отношение	величин разных наименований образует новую величину .
Например , чтобы найти	отношение	50 см к 1 м , надо сначала выразить обе эти величины либо в метрах , либо в сантиметрах и только после этого находить частное .
Вырази из этих формул величины t и v1 . 137 Запиши известные тебе формулы зависимостей величин , описывающие . 1 ) движение по реке ; 2 ) процентное	отношение	чисел ; 3 )
А в реальной практике при сравнении величин употребляется обычное слово	отношение	, а вовсе не математический термин “ частное ” .
73 В любой окружности	отношение	длины окружности к ее диаметру постоянно и равно примерно 22 : 7 .
В словесной форме : а относится к b как с относится к d в том и только в том случае , когда ad = bс . Итак , мы видим , что с точки зрения математики в понятии отношения нет ничего нового :	отношение	чисел — это их частное .
496 Замени	отношение	дробных чисел несократимой дробью .
Вырази это	отношение	в процентах .
При этом было решено , что	отношение	соседних единиц измерения должно равняться 10 или быть кратно 10 .
Например , отношение чисел 25 и 20 можно заменить отношением 5 к 4 , а	отношение	чисел 1,4 и 277 — отношением 3 к 5 .
А	отношение	числа 3 к числу 8 равно и выражает часть , которую составляет от 8 .
Например ,	отношение	чисел 25 и 20 можно заменить отношением 5 к 4 , а отношение чисел 1,4 и 277 — отношением 3 к 5 .
В частности ,	отношение	не изменится , если его члены умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Чтобы найти	отношение	одноименных величин ( длин , масс и т . д. ) , необходимо выразить их в одной и той же единице измерения — в противном случае полученный результат для сравнения величин использовать нельзя .
766 Как найти : а ) процент от числа ; б ) число по его проценту ; в ) процентное	отношение	двух чисел ?
Процентное	отношение	показывает , сколько процентов число а составляет от числа b .
Чему равно	отношение	числа красных шаров к числу всех шаров ? .
Начерти угол , равный 60 ° , и раздели его на 2 части ,	отношение	которых равно 1:2 .
Измерь гипотенузу и найди	отношение	длины каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы .
Еще одно правило , помогающее сделать рисунок фигуры более понятным : на пространственном чертеже сохраняется параллельность прямых и	отношение	параллельных отрезков .
Начерти прямоугольник ,	отношение	длин сторон которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти прямоугольный треугольник , длины катетов которого относятся как 3 к 4 .
462 Найди процентное	отношение	чисел А и В .
11 Найди	отношение	величин и назови , значение какой новой величины при этом образуется .
Подбери такие пары шестеренок , чтобы	отношение	чисел их зубцов было равно .
Вырази в процентах данное и обратное	отношение	чисел .
Однако , подумав , он из оставшихся карточек сложил пять чисел ,	отношение	которых вновь было равно 1 : 2 : 3 : 4 : 5 .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно	отношение	площадей фигур , на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
6 Найди процентное	отношение	чисел .
Чему равно	отношение	числа двухкомнатных квартир к числу всех квартир ? .
Коэффициентом успеха ученика называется	отношение	среднего балла этого ученика к среднему результату всех участников тестирования .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно	отношение	площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
Так , скорость v — это	отношение	пройденного расстояния s ко времени движения t ; цена а — отношение стоимости товара С к количеству товара n ; производительность w — отношение объема выполненной работы А ко времени работы t ; плотность вещества р — отношение массы этого вещества m к его объему V .
Так , скорость v — это отношение пройденного расстояния s ко времени движения t ; цена а —	отношение	стоимости товара С к количеству товара n ; производительность w — отношение объема выполненной работы А ко времени работы t ; плотность вещества р — отношение массы этого вещества m к его объему V .
Чему равно	отношение	числа белых шаров к числу всех шаров ? .
Так , скорость v — это отношение пройденного расстояния s ко времени движения t ; цена а — отношение стоимости товара С к количеству товара n ; производительность w —	отношение	объема выполненной работы А ко времени работы t ; плотность вещества р — отношение массы этого вещества m к его объему V .
368 в каком случае процентное	отношение	больше .
Так , скорость v — это отношение пройденного расстояния s ко времени движения t ; цена а — отношение стоимости товара С к количеству товара n ; производительность w — отношение объема выполненной работы А ко времени работы t ; плотность вещества р —	отношение	массы этого вещества m к его объему V .
78 Запиши процентное	отношение	чисел 28 к 35 и 35 к 28 .
Для результата кратного сравнения двух чисел или двух величин в математике часто используют термин	отношение	.
44 Крутизна участка дороги выражается	отношением	высоты подъема дороги h к горизонтальной протяженности этого участка а .
Например , отношение чисел 25 и 20 можно заменить	отношением	5 к 4 , а отношение чисел 1,4 и 277 — отношением 3 к 5 .
Частное двух чисел , выраженное в процентах , называется процентным	отношением	этих чисел .
Ее крутизна выражается	отношением	расстояния h от пола до верхнего края лестницы к расстоянию а от нижнего края до стены .
Например , отношение чисел 25 и 20 можно заменить отношением 5 к 4 , а отношение чисел 1,4 и 277 —	отношением	3 к 5 .
758 Что называется	отношением	двух чисел ?
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в	отношении	2 : 1 , считая от вершины .
87 Размеры фигур , приведенных , были увеличены в	отношении	3 : 2 . 1 )
370 На сколько процентов изменилась цена , если она . 371 Какое изменение больше в процентном	отношении	.
70 Копировальная машина уменьшает размеры изображения в	отношении	3:5 .
Вариант I . 520 а ) Разбей число 425 на два слагаемых пропорционально числам 2 и 3 . б ) Раздели число 520 на три части в	отношении	.
В каком	отношении	увеличено изображение ?
Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан , то сможем проверить еще одно свойство : точка пересечения медиан делит их в	отношении	2:1 , считая от вершины .
Какие тарифы возросли больше в процентном	отношении	? .
в ) 216 в	отношении	0,3 . г ) 330 в отношении 0,6 : 0,9 : 1,8 . д ) 5 — в отношении . е ) 250 в отношении .
522 Акциями предприятия владеют фирмы А , В и С. Количество их акций находится в	отношении	3 : 5 : 7 и составляет 60 % от числа всех акций предприятия .
Например , точка пересечения медиан М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой , причем точка М делит отрезок ОН в	отношении	1 : 2 .
На каком заводе увеличение выпуска продукции в процентном	отношении	больше ? .
а ) 85 в	отношении	3 : 14 ; б ) 9,6 в отношении 0,2 : 0,4 : 0,6 . 295 В квартире проживают две семьи .
а ) 85 в отношении 3 : 14 ; б ) 9,6 в	отношении	0,2 : 0,4 : 0,6 . 295 В квартире проживают две семьи .
297 Сплав состоит из меди , олова и сурьмы , которые входят в него в	отношении	соответственно 3 : 11 : 6 .
Рассмотрим самый важный для практики случай , когда длины всех отрезков уменьшаются или увеличиваются в одно и то же число раз , в одном и том же	отношении	.
в ) 210 в	отношении	1 : 2 : 3 ; г ) 0,32 в отношении 2:5:9 .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону АВ в	отношении	2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
605 Вычисли и раздели полученное число в	отношении	5:4 .
237 Раздели число : а ) 60 в отношении 5 : 7 ; б ) 15,4 в	отношении	3 : 8 .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в	отношении	3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в	отношении	1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
243 Отрезок MN разделен точками К и Т в	отношении	1:2:3 , причем самая маленькая из частей отрезка на 5 дм меньше самой большой .
246 Для праздника купили красные и белые шары в	отношении	5 : 3 . 1 )
Раздели число 700 в отношении . б ) Выполни действия и раздели полученное число в	отношении	0,1 : 0,7 .
237 Раздели число : а ) 60 в	отношении	5 : 7 ; б ) 15,4 в отношении 3 : 8 .
Проведи необходимые измерения и определи , в каком	отношении	делит отрезок АВ точка С , точка D . 176 а ) Построй прямые АВ и CD , если А ( 0 ; 8) , В ( 5 ; -2 ) , С ( -6 ; 0 ) , D ( 4 ; 5 ) .
Раздели число 360 в отношении 2 : 2,5 : 4,5 . б ) Площади трех участков земли находятся в	отношении	, а сумма их площадей равна 90 га .
Раздели число 360 в	отношении	2 : 2,5 : 4,5 . б ) Площади трех участков земли находятся в отношении , а сумма их площадей равна 90 га .
Точка М делит сторону АВ в	отношении	4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD ?
а ) 39 в	отношении	. б ) 8,4 в отношении .
в ) 56 в отношении 2 : 3 : 9 . г ) 12,5 в	отношении	. а ) 240 в отношении 4 : 11 . б ) 7,2 в отношении 0,8 : 1 . 275 Раздели число .
в ) 216 в отношении 0,3 . г ) 330 в отношении 0,6 : 0,9 : 1,8 . д ) 5 — в отношении . е ) 250 в	отношении	.
30 % всех акций были распределены между работниками предприятия , а остальные проданы трем фирмам — “ Альфа ” , “ Бета ” и “ Гамма ” — в	отношении	1 : 2 : 4 .
в ) 56 в отношении 2 : 3 : 9 . г ) 12,5 в отношении . а ) 240 в	отношении	4 : 11 . б ) 7,2 в отношении 0,8 : 1 . 275 Раздели число .
а ) 39 в отношении . б ) 8,4 в	отношении	.
в ) 56 в отношении 2 : 3 : 9 . г ) 12,5 в отношении . а ) 240 в отношении 4 : 11 . б ) 7,2 в	отношении	0,8 : 1 . 275 Раздели число .
Раздели число 700 в	отношении	. б ) Выполни действия и раздели полученное число в отношении 0,1 : 0,7 .
в ) 56 в	отношении	2 : 3 : 9 . г ) 12,5 в отношении . а ) 240 в отношении 4 : 11 . б ) 7,2 в отношении 0,8 : 1 . 275 Раздели число .
Отрезок АВ длиной 15 см разделен точкой С в	отношении	3 : 7 .
Необходимость разделить заданную величину или число в данном	отношении	часто возникает в практической жизни человека при приготовлении различных смесей , растворов , блюд по кулинарным рецептам , при распределении прибыли или мест в парламенте и т .
Это время он распределил между математикой , русским языком , английским языком и биологией в	отношении	2:2:3:1 .
Отрезок MN разделен точкой К в	отношении	, причем одна из частей отрезка на 8 м больше другой .
Отрезок АВ разделен точкой С в	отношении	2 : 5 , причем одна из частей отрезка на 6 см больше другой .
в ) 216 в отношении 0,3 . г ) 330 в	отношении	0,6 : 0,9 : 1,8 . д ) 5 — в отношении . е ) 250 в отношении .
533 Раздели число 64 в	отношении	а : b , если .
Владельцами 40 % акций стали его работники , а остальные акции приобрели фирмы М и N в	отношении	7 : 9 .
в ) 210 в отношении 1 : 2 : 3 ; г ) 0,32 в	отношении	2:5:9 .
в ) 216 в отношении 0,3 . г ) 330 в отношении 0,6 : 0,9 : 1,8 . д ) 5 — в	отношении	. е ) 250 в отношении .
Кроме того , для	отношений	справедливо “ перекрестное ” правило .
Вместе с тем средством для нахождения	отношений	является именно вычисление частного .
А значит , пропорция не нарушится , если в ней поменять местами одновременно и крайние , и средние члены : в этом случае получится пропорция , составленная из обратных	отношений	.
Итак , пропорцией называется истинное равенство двух	отношений	.
Какое свойство	отношений	при этом используется ? .
Какое свойство	отношений	при этом используется ?
Математической моделью многих практических задач является равенство двух	отношений	.
58 Выбери из данных	отношений	те , из которых можно составить пропорцию .
Далее , применим полученное свойство к пропорции , составленной из обратных	отношений	, и получим новое свойство .
Вычисли с точностью до сотых среднее арифметическое полученных	отношений	и обозначь его .
Иначе говоря , мы имеем одно утверждение — “ перекрестное ” правило для дробей , а называть его можно и основным свойством пропорций , и условием равенства дробей , и условием равенства	отношений	.
В арифметике , имеющей дело с числами , удобно говорить на языке дробей , язык	отношений	— со времен Древней Греции — распространен в геометрии , а язык пропорций общепринят в повседневной практике и при проведении математических расчетов в физике , химии и т .
Вообще , из данной пропорции можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние члены ; 2 ) поменять местами средние члены ; 3 ) составить пропорцию из	отношений	, обратных данным ; 4 ) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами правую и левую части .
57 Запиши равенство двух	отношений	двумя способами .
Скорость равна	отношению	пути ко времени .
отношение 8 к 3 равно	отношению	40 к 15 .
Читают : “ Отношение а к b равно	отношению	с к d ” или “ а относится к b как с относится к d ” .
Таким образом , если величины обратно пропорциональны , то отношение двух значений одной величины равно обратному	отношению	соответствующих значений другой величины .
Отношение двух чисел может быть равно обратному	отношению	этих чисел .
Другими словами , если величины прямо пропорциональны , то отношение двух значений одной величины равно	отношению	соответствующих значений другой величины .
Греческая буква π ( « пи » ) в приведенных формулах обозначает число , равное	отношению	длины любой окружности к своему диаметру .
5 По данному условию составь какие - нибудь	отношения	и объясни их смысл .
Другими словами , длинные	отношения	— это условные записи , которые показывают , сколько равных долей величины , принятой за единицу , приходится на каждую часть .
7 Имеет ли значение порядок членов	отношения	?
Упрости , если возможно , полученные	отношения	.
Какие еще	отношения	можно составить к данному условию задачи ? .
Что показывают	отношения	.
Зато длинные	отношения	можно преобразовывать , как обычные дроби : умножать все его члены на одно и то же число , сокращать .
Какими еще свойствами обладают	отношения	? .
Все расстояния на плане уменьшаются в одно и то же число раз , поэтому	отношения	соответствующих расстояний равны между собой и равны 3 .
Так , если бы в нашей задаче мы сначала умножили все члены	отношения	на 10 , а затем разделили их на 4 , то избавились бы от дробей и тем самым получили более простое уравнение .
8 Вырази данные	отношения	величин в процентах .
455 Прочитай и упрости	отношения	, если значения всех переменных отличны от нуля .
123 Прочитай и упрости	отношения	.
Прочитай и упрости	отношения	.
Для	отношения	двух чисел , как и для любого частного двух чисел , справедливы все свойства деления .
В словесной форме : а относится к b как с относится к d в том и только в том случае , когда ad = bс . Итак , мы видим , что с точки зрения математики в понятии	отношения	нет ничего нового : отношение чисел — это их частное .
И , несмотря на то что геометрия и алгебра имеют разные предметы исследования — геометрия изучает пространственные формы тел , а алгебра — количественные	отношения	, общим фундаментом алгебры и геометрии являются законы логики .
238 Упрости	отношения	.
На основании этого свойства	отношения	чисел можно упрощать .
3 Прочитай и упрости	отношения	.
Для краткого обозначения условия таких задач — задач о прямо пропорциональном делении — в математическом языке используют иногда “ длинные	отношения	” .
Заметим , что	отношения	8 к 3 и 3 к 8 , как и дроби называют взаимно обратными .
Теперь мы познакомимся еще с одним распространенным примером	отношения	одноименных величин , имеющим специальное название — масштаб .
В предыдущем пункте мы рассмотрели задачи , приводящие к понятию	отношения	.
Синус , косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши	отношения	длин сторон треугольника АВС , выражающие значения синусов , косинусов и тангенсов углов А и В .
Измерь длины отрезков , образовавшихся на сторонах угла А , и сравни	отношения	2 )
Действительно , из формулы прямой пропорциональности у = kx следует , что k = у / x , поэтому	отношения	соответствующих значений пропорциональных величин равны k и , следовательно , равны между собой .
1 Понятие	отношения	.
Разность удвоенного числа а и куба числа b на 4 больше половины числа с . 2 ) 40 % числа d на 5 меньше	отношения	квадратов чисел m и n . 3 )
Например , мы знаем , что при равномерном движении скорость не меняется , поэтому	отношения	соответствующих значений расстояния и времени образуют пропорцию .
Найди	отношения	отрезков , на которые построенная окружность делит отрезки АН , ВН и СН , где Н — ортоцентр треугольника АВС .
Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного	отношения	двух чисел .
Нахождение процентного	отношения	двух чисел .
256 Для изготовления фарфора берут глину , гипс и песок в следующих	отношениях	: масса гипса относится к массе глины как 1 : 25 , а масса песка относится к массе гипса как 2:1 .
Построим две пересекающиеся окружности одного радиуса с центрами в концах данного	отрезка	AS .
Точка пересечения прямой CD с данным отрезком и есть искомая середина	отрезка	АВ .
Найди координаты середины	отрезка	, соединяющего отмеченные точки .
Заметим , что прямая CD не только проходит через середину	отрезка	АВ , но и перпендикулярна к нему .
Деление	отрезка	пополам .
Найди длину	отрезка	АВ и координату середины этого отрезка — точки М . 273 1 )
д ) середину данного	отрезка	( задача 5 ) .
182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале координат и радиусом 3,5 единичных	отрезка	.
б ) Построй окружность с центром в точке А ( -3 ; 1 ) и радиусом 4 единичных	отрезка	.
Заметим также , что для рациональных чисел останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных чисел : длина	отрезка	на координатной прямой равна разности координат его правого и левого концов .
Найди длину отрезка АВ и координату середины этого	отрезка	— точки М . 273 1 )
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного	отрезка	CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных	отрезка	, а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
Построение	отрезка	, равного данному , выстроилось из основных операций 1 , 2 и 4 .
Построение	отрезка	, равного данному .
Например , если 8 % длины отрезка составляют 2,4 см , то длина всего	отрезка	равна 2,4:0,08 = 240:8 = 30 см .
Повтори исследование для произвольного треугольника АВС и	отрезка	MN , параллельного его стороне АС .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных	отрезка	.
Например , если 8 % длины	отрезка	составляют 2,4 см , то длина всего отрезка равна 2,4:0,08 = 240:8 = 30 см .
Чему равна длина	отрезка	CD1 . б ) Отрез ткани разрезали на два куска так , что 80 % длины первого куска были равны 90 % длины второго .
Если длину	отрезка	АВ увеличить на 3 см , а длину CD уменьшить на 40 мм , то длина АВ составит 75 % длины CD .
121 а ) Отрезок АВ в 2 раза короче	отрезка	CD .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных	отрезка	, а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
На собственном опыте вы убедились , что при проведении измерений второй конец	отрезка	или вторая сторона угла чаще всего проходит между делениями шкалы .
Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О , если О является серединой	отрезка	АА1 .
Чему равна длина	отрезка	в оригинале , если на копии она равна 7,5 см ? .
572 Найди длину	отрезка	АВ координатной прямой , если координаты точек А и В равны значениям выражений .
На плане , масштаб которого 3:8 , отрезок имеет длину 12 см. Чему будет равна длина этого	отрезка	на плане с масштабом 5 : 4 ? .
536 Вырази в единицах измерения e1 , е2 , е3 . а ) длину	отрезка	АВ . б ) площадь прямоугольника ABCD . в ) объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA .
Начерти два	отрезка	, длины которых относятся как 2 к 3 . 2 )
Отрезок MN разделен точкой К в отношении , причем одна из частей	отрезка	на 8 м больше другой .
Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2 : 5 , причем одна из частей	отрезка	на 6 см больше другой .
243 Отрезок MN разделен точками К и Т в отношении 1:2:3 , причем самая маленькая из частей	отрезка	на 5 дм меньше самой большой .
Аналогично , если масштаб задан дробью с числителем 1 , то для вычисления реального расстояния на местности длину соответствующего	отрезка	на карте достаточно умножить на знаменатель дроби .
На плане комнаты ее длина изображена отрезком , равным 4 см. Чему равна длина	отрезка	, изображающего на этом плане ширину комнаты ? .
Чему равна длина всего	отрезка	? .
Найти длину	отрезка	, соединяющего эти города на карте , выполненной в масштабе 1 : 4000000 .
Изобрази шоссе от Москвы до Бреста на тетрадном листе в виде	отрезка	, подобрав удобный масштаб .
Определение : Отношение длины	отрезка	на изображении к его реальной длине ( в одних и тех же единицах измерения ) называется масштабом изображения .
Чему равна длина	отрезка	, соединяющего эти города , на карте с масштабом 1 : 2000000 ? .
358 а ) Построй отрезок АВ , равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и центрами в точках А и В до их пересечения в точке С. Соедини точки A , R и С	отрезками	и определи вид треугольника АВС .
405 Начерти произвольный треугольник АВС , построй середины его сторон — точки М , N и К и соедини их	отрезками	.
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив	отрезками	точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Однако при исследовании свойств геометрических тел мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной фигуры не всегда совпадает с ее реальной формой : окружность превращается в эллипс — « сплющенную » окружность , изменяются углы между прямыми и	отрезками	и т .
Перегибая лист бумаги по оси симметрии l , мы наблюдаем , что отрезок АА , перпендикулярен прямой l и	отрезки	AM и А1М равны .
Разверни полоску и измерь	отрезки	, показывающие длины окружностей С1 , С2 и С3 Найди отношение соответствующих значений С и d с точностью до сотых .
Найди	отрезки	, являющиеся медианами треугольников .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые	отрезки	MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
Точки называются вершинами треугольника , а	отрезки	— его сторонами .
Найди отношения отрезков , на которые построенная окружность делит	отрезки	АН , ВН и СН , где Н — ортоцентр треугольника АВС .
Найди	отрезки	, являющиеся высотами треугольников .
При решении этих задач нужно было измерять площади , а значит , в первую очередь , измерять	отрезки	.
Отметь на прямой l точку В и проведи	отрезки	АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а ) треугольник АВС — равнобедренный ; б ) углы при основании треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам треугольника АВС , равны .
495 а ) На ребрах куба отмечены точки М , N и К. Принадлежат ли граням куба	отрезки	MN , МК и KN ? .
И вновь мы наблюдаем , что и эти	отрезки	пересекаются в одной точке .
Найди на чертеже	отрезки	, которые являются средними линиями трапеций .
Отметь на линиях сгиба равные	отрезки	О А и ОВ , сделай разрез по отрезку АВ и разверни лист .
Построим середины сторон треугольника и проведем	отрезки	, соединяющие каждую вершину с серединой противолежащей стороны .
Единичные	отрезки	на осях обычно выбирают одинаковыми , ось абсцисс располагают горизонтально , а ось ординат — вертикально .
Такие	отрезки	называются медианами .
Найди на чертеже	отрезки	, которые являются средними линиями треугольников .
Измерь длины	отрезков	AM , MB , BN и NC и составь пропорцию из полученных чисел .
Найди отношения	отрезков	, на которые построенная окружность делит отрезки АН , ВН и СН , где Н — ортоцентр треугольника АВС .
Рассмотри взаимное расположение точек О , М и Н и найди отношение	отрезков	ОМ : МН .
Треугольником называется фигура , состоящая из трех точек , не лежащих на одной прямой , и трех	отрезков	, соединяющих эти точки .
Эта проблема была известна еще математикам Древней Греции , но они не смогли ее решить , осознав , что их числового запаса ( как и нашего сейчас ) для измерения	отрезков	недостаточно .
Сколько получилось	отрезков	?
Найди длину наибольшего и наименьшего из этих	отрезков	.
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных	отрезков	.
Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности , пересекающиеся в точке О. Измерь длины	отрезков	хорд , на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
Рассмотрим самый важный для практики случай , когда длины всех	отрезков	уменьшаются или увеличиваются в одно и то же число раз , в одном и том же отношении .
Сколько таких	отрезков	можно провести ? .
Найди отношение	отрезков	АО : ОМ и ВО : ON , выполнив необходимые измерения .
Найди для каждой медианы отношение	отрезков	, на которые она делится точкой О , считая от вершины .
Построй отрезок А1В1 , симметричный отрезку АВ относительно точки О. Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии	отрезков	АВ и А ? .
401 Построй формулы , выражающие зависимость площади S фигуры от длин	отрезков	, указанных на чертеже .
Если мы измерим длины получившихся	отрезков	медиан , то сможем проверить еще одно свойство : точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 , считая от вершины .
Известны длины	отрезков	АВ = 7,5 см , DE = KF = 5,8 см , EF = 8,6 см .
Построй окружность с центром в точке А ( -3 ; 5 ) и радиусом 5 единичных	отрезков	.
Еще одно правило , помогающее сделать рисунок фигуры более понятным : на пространственном чертеже сохраняется параллельность прямых и отношение параллельных	отрезков	.
516 Отрезок ОА равен 5 см. Что можно сказать о длинах	отрезков	ОВ и ОС ? .
Найди длины	отрезков	АВ , АС , AD , ВС , BD , CD . 2 ) На координатном луче отмечены точки А ( а ) и В ( b ) , где b > а .
Измерь длины	отрезков	, образовавшихся на сторонах угла А , и сравни отношения 2 )
Это удобно показать направленным	отрезком	длины d , который называют вектором и обозначают d .
312 Построй графическую модель высказываний , изобразив в обоих случаях продажную цену товара	отрезком	в 20 клеток . 1 ) “ Доход составляет 25 % продажной цены товара ” .
Например , по определению легко сделать рисунок хорды : достаточно отметить на окружности любые две точки и соединить их	отрезком	.
490 а ) Многогранник называется выпуклым , если любые две его точки можно соединить содержащимся в нем	отрезком	.
Каким должен быть масштаб карты , чтобы это расстояние изображалось на карте	отрезком	длиной 17,6 см ? .
519 а ) Масштаб карты равен 1:100000 Каким	отрезком	на карте изображается расстояние на местности , равное 50 км ? .
Можно ли ее восстановить , если известно , что расстояние от сельской почты до окраины села ( по прямой дороге ) равно 3,2 км , а на карте это расстояние изображено	отрезком	длиной 4 см ?
Точка пересечения прямой CD с данным	отрезком	и есть искомая середина отрезка АВ .
На плане комнаты ее длина изображена	отрезком	, равным 4 см. Чему равна длина отрезка , изображающего на этом плане ширину комнаты ? .
Каким	отрезком	изобразится это расстояние на карте масштабом 1 : 300000 ? .
За какое время турист пройдет расстояние , которое изображается на карте	отрезком	длиной 3,6 см , если масштаб карты 1 : 10000 , а скорость туриста равна 5 км / ч ? .
Запиши масштаб карты , если отрезок в 3 км на местности изображается	отрезком	на карте в 2,4 см .
Построй отрезок А1В1 , симметричный	отрезку	АВ относительно точки О. Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков АВ и А ? .
Отметь на линиях сгиба равные отрезки О А и ОВ , сделай разрез по	отрезку	АВ и разверни лист .
Пусть это точки С и D Затем построим серединный перпендикуляр b к	отрезку	CD .
Точки М и N принадлежат одновременно плоскости а и передней грани куба , поэтому плоскость а пересекает переднюю грань по	отрезку	MN .
Такую прямую называют серединным перпендикуляром к	отрезку	.
На произвольной прямой а отложим отрезок , равный	отрезку	АС .
Эти точки принадлежат	отрезку	и называются его концами .
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному	отрезку	, и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
644 Скопируй рисунок в тетрадь и построй отрезок , симметричный	отрезку	АВ относительно точки О .
638 Перенеси рисунок в тетрадь и построй отрезок А1В симметричный	отрезку	АВ относительно прямой l .
Таким образом , построение упрощается : для нахождения точки А1 симметричной точке А относительно центра О , уже нет необходимости строить угол АОА1 , а можно просто провести прямую ОА и отложить на ней отрезок ОА1 , равный	отрезку	ОА .
Средней линией треугольника называется	отрезок	, соединяющий середины двух его сторон .
358 а ) Построй	отрезок	АВ , равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и центрами в точках А и В до их пересечения в точке С. Соедини точки A , R и С отрезками и определи вид треугольника АВС .
643 Воспроизведи чертеж и поверни : а ) точку А на угол а = -80 ° ; б )	отрезок	АВ на угол а = 100 ° ; в ) треугольник АВС сначала на угол а = 90 ° , а потом на угол а = -90 ° .
F ( -3,5 ) ( единичный	отрезок	— 4 клетки ) .
638 Перенеси рисунок в тетрадь и построй	отрезок	А1В симметричный отрезку АВ относительно прямой l .
в ) Хорда , проходящая через центр окружности , называется диаметром . г ) Хордой окружности называется	отрезок	, соединяющий две ее точки .
Отметь на этой прямой начало отсчета и единичный	отрезок	.
На плане , масштаб которого 3:8 ,	отрезок	имеет длину 12 см. Чему будет равна длина этого отрезка на плане с масштабом 5 : 4 ? .
Хордой окружности называется	отрезок	, соединяющий две ее точки .
651 Имеют ли	отрезок	, прямая , луч оси симметрии и сколько ?
644 Скопируй рисунок в тетрадь и построй	отрезок	, симметричный отрезку АВ относительно точки О .
F ( -1,6 ) ( единичный	отрезок	— 10 клеток ) .
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку , прямую , луч ,	отрезок	, прямоугольник и квадрат , различные углы , окружность , параллельные и перпендикулярные прямые и т .
На произвольной прямой а отложим	отрезок	, равный отрезку АС .
Точки А и А1 не принадлежащие прямой l , называются симметричными относительно l , если	отрезок	АА1 перпендикулярен этой прямой и делится ею пополам .
Координатной ( числовой ) прямой называют прямую , на которой выбраны начало отсчета , единичный	отрезок	и направление отсчета .
325 а ) Средней линией треугольника называется	отрезок	, соединяющий середины двух его сторон .
1 ) А(-5 ) , В(7 ) , С(-2 ) , D(-7 ) , Е(1 ) , F(5 ) , G(2 ) , Н(-1 ) ( единичный	отрезок	— 2 клетки ) .
В треугольнике АВС проведен	отрезок	MN , параллельный стороне АС .
Проведи необходимые измерения и определи , в каком отношении делит	отрезок	АВ точка С , точка D . 176 а ) Построй прямые АВ и CD , если А ( 0 ; 8) , В ( 5 ; -2 ) , С ( -6 ; 0 ) , D ( 4 ; 5 ) .
Построй	отрезок	А1В1 , симметричный отрезку АВ относительно точки О. Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков АВ и А ? .
Запиши масштаб карты , если	отрезок	в 3 км на местности изображается отрезком на карте в 2,4 см .
Например , точка пересечения медиан М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой , причем точка М делит	отрезок	ОН в отношении 1 : 2 .
145 В треугольнике ABC	отрезок	BD перпендикулярен к основанию АС , АС = a , BD = h.
Аналогично пересечением плоскости а с верхней гранью является	отрезок	NK , а с боковой гранью — отрезок КМ .
Аналогично пересечением плоскости а с верхней гранью является отрезок NK , а с боковой гранью —	отрезок	КМ .
Точка М делит сторону АВ в отношении 4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур , на которые	отрезок	MD делит прямоугольник ABCD ?
656 Начерти	отрезок	АВ и отметь точку .
А вот точки М и N не принадлежат одновременно ни одной из граней тетраэдра , поэтому	отрезок	MN находится внутри него .
12 Начерти	отрезок	АВ и отметь на нем точку С так , чтобы выполнялось условие .
655 Начерти	отрезок	АС и построй его серединный перпендикуляр l.
При пересечении тетраэдра с плоскостью могут образоваться точка ,	отрезок	, треугольник или четырехугольник .
а )	отрезок	, равный данному ( задача 1 ) .
Средней линией трапеции называется	отрезок	, соединяющий середины ее непараллельных сторон .
Перегибая лист бумаги по оси симметрии l , мы наблюдаем , что	отрезок	АА , перпендикулярен прямой l и отрезки AM и А1М равны .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые	отрезок	MN делит прямоугольник ABCD ?
2 ) ( единичный	отрезок	— 3 клетки ) .
на прямой выбран единичный	отрезок	.
Например , легче нарисовать	отрезок	, чем дать его определение : « Отрезок — это часть прямой , ограниченная двумя точками » .
прямая АВ ;	отрезок	АВ .
G ( 3 ) , Н ( 4 ) ( единичный	отрезок	— 2 клетки ) .
Какой размер на копии будет иметь	отрезок	, длина которого в оригинале равна 8 см ? .
Хордой окружности называется	отрезок	, соединяющий две точки этой окружности .
Медианой треугольника называется	отрезок	, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны .
А , В , С , D , Е . F ( 2,5 ) ( единичный	отрезок	— 6 клеток ) .
291 Начерти на координатной плоскости произвольный	отрезок	, абсциссы и ординаты точек которого удовлетворяют данным неравенствам .
Таким образом , построение упрощается : для нахождения точки А1 симметричной точке А относительно центра О , уже нет необходимости строить угол АОА1 , а можно просто провести прямую ОА и отложить на ней	отрезок	ОА1 , равный отрезку ОА .
Дополнительно введем новые обозначения , которые помогут различать в записи прямую , луч ,	отрезок	и окружность .
Смысл масштаба при этом , конечно , не меняется : он означает , что	отрезок	в 3 см изображает расстояние в 50000 см , то есть в 500 м .
Это и есть	отрицание	данного высказывания .
В математике часто приходится строить	отрицание	общих высказываний и высказываний о существовании .
Этот факт представляет собой закон логики , и он имеет специальное название — закон исключенного третьего : истинно либо само утверждение , либо его	отрицание	( имеются две возможности ) .
Другими словами , одно из двух высказываний — либо данное утверждение , либо его	отрицание	— обязательно истинно .
Разумеется , утверждение и его	отрицание	не могут быть истинными оба одновременно — отрицание как раз и говорит о том , что данное утверждение неверно , то есть утверждение и его отрицание противоречат друг другу .
Построй их	отрицание	.
Сформулируй их	отрицание	с использованием оборота “ Существует хотя бы один ” .
Главное состоит в том , что если данное высказывание истинно , то его	отрицание	ложно , и наоборот — если данное высказывание ложно , то его отрицание истинно .
Более того , часто можно вполне грамотно сформулировать	отрицание	даже тех предложений , смысл которых не ясен .
Вспомним , что и в логике	отрицание	— это « противоположное » высказывание .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием ,	отрицание	высказывания “ Все натуральные числа делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не делится на 3 ” .
Найди ложное высказывание и построй его	отрицание	.
50 Сформулируй разными способами	отрицание	высказывания “ Все тигры живут в Африке ” .
Однако это не помешало нам сформулировать	отрицание	этих предложений .
Итак , для формулировки отрицания действуют как бы в два приема : сначала мысленно присоединяют к предложению слова “ Неверно , что ” , а затем “ обрабатывают ” полученное	отрицание	"так , чтобы оно хорошо звучало на русском языке , — можно сказать , переводят его с русского “ математического "" языка на русский литературный ."
Главное состоит в том , что если данное высказывание истинно , то его отрицание ложно , и наоборот — если данное высказывание ложно , то его	отрицание	истинно .
Построй	отрицание	получившихся высказываний , используя вместо символа .
Разумеется , утверждение и его отрицание не могут быть истинными оба одновременно — отрицание как раз и говорит о том , что данное утверждение неверно , то есть утверждение и его	отрицание	противоречат друг другу .
Другими словами ,	отрицание	неравенства а < b означает то же самое , что и неравенство а > b , то есть .
Поэтому , если в результате рассуждения мы получили , что истинны и утверждение , и его	отрицание	, то мы получили противоречие , и , значит , в рассуждении допущена ошибка .
Использование кванторов позволяет короче записывать	отрицание	общих высказываний и высказываний о существовании .
В некоторых случаях отрицание можно записывать , не используя символов , обозначающих	отрицание	.
Таким образом ,	отрицание	высказывания А обозначается как — А. Если высказывание не имеет буквенного обозначения , то после знака отрицания ставятся скобки : например , ( 3 ∙ 4 = 16 ) .
Например ,	отрицание	предложения “ У Кати есть брат ” можно сформулировать как “ Неверно , что у Кати есть брат ” , но , конечно , в обычной речи говорят “ У Кати нет брата ” .
А его	отрицание	“ Неверно , что все медведи не умеют плавать ” означает , что некоторые медведи все же плавать умеют .
Таким образом ,	отрицание	общего высказывания имеет вид .
Для ложных общих высказываний приведи контрпример и построй	отрицание	.
4 Придумай высказывание , выражающее свойство прямоугольника , и построй его	отрицание	.
Поэтому его	отрицание	означает , что не все предметы обладают этим свойством , то есть существуют предметы , которые этим свойством не обладают .
И в жизни , и в математике с отрицаниями приходится сталкиваться на каждом шагу , поэтому очень важно научиться правильно формулировать	отрицание	для любого заданного предложения .
277 Построй	отрицание	высказываний . 1 )
Например ,	отрицание	высказывания А есть А .
Аналогичным образом можно записать	отрицание	высказывания о существовании .
Разумеется , утверждение и его отрицание не могут быть истинными оба одновременно —	отрицание	как раз и говорит о том , что данное утверждение неверно , то есть утверждение и его отрицание противоречат друг другу .
21 Построй	отрицание	высказывания “ Все реки впадают в Каспийское море ” .
Построй	отрицание	каждого из этих высказываний .
2 Докажи , что высказывание является ложным , и построй его	отрицание	.
В некоторых случаях	отрицание	можно записывать , не используя символов , обозначающих отрицание .
Его	отрицание	означает , наоборот , что не существует предмета с этим свойством , то есть ни один из рассматриваемых предметов этим свойством не обладает .
Как мы уже знаем ,	отрицание	общего высказывания означает , что “ Не все обладают свойством P(x ) ” , то есть существует хотя бы один элемент множества М , который указанным свойством не обладает .
Построй его	отрицание	и приведи различные формулировки .
3 Запиши	отрицание	высказываний на математическом языке .
Приведем еще примеры предложений , где в каждой паре одно является	отрицанием	другого .
Можно сказать , что утверждения 2∙3=5 и 2∙3∙5отрицают друг друга , а каждое из них называют	отрицанием	другого .
Например , мы можем сказать , что	отрицанием	предложения “ Синус числа 0 равен нулю ” является предложение “ Синус числа 0 не равен нулю ” , хотя понятие синуса числа мы еще не изучали .
Точно так же	отрицанием	высказывания “ Все мужчины носят бороду ” является высказывание “ Есть мужчины , которые не носят бороды ” .
Итак ,	отрицанием	следования РQ является предложение которое читается « Неверно , что из Р следует Q » или « Из Р не следует Q » .
Предыдущий пункт мы начали с примеров , а закончили общим рассуждением о том , почему	отрицанием	общего высказывания является высказывание о существовании .
Точно так же в	отрицании	второго высказывания появились слова “ не равно ” .
Так , в первом примерю в исходном высказывании сказуемое “ является ” опущено , поэтому в его	отрицании	появились слова “ не является ” .
иностранного языка : запись данного предложения “ в отрицательной форме ” — это и есть формулировка	отрицаний	.
Найди ложные высказывания , построй их отрицания и обоснуй истинность построенных	отрицаний	.
Надо сказать , что каждый из вас уже много тренировался в формулировке	отрицаний	различных предложений при изучении ..
Ниже мы приведем несколько примеров , давая различные “ допустимые ” варианты формулировки	отрицаний	.
1 Построй	отрицания	высказываний с помощью слов “ Неверно , что ” , а затем перефразируй их в более простой форме .
Можно сказать , что знак	отрицания	меняет квантор общности на квантор существования и записывается перед исходным предложением с переменной .
26 Построй несколько вариантов	отрицания	общих высказываний .
27 Найди ложные высказывания , построй их	отрицания	и докажи , что отрицания истинны .
Понимание	отрицания	.
Докажи , что обратные к ним высказывания ложны , и построй их	отрицания	.
Построй	отрицания	ложных высказываний . 1 ) Любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби .
Построй	отрицания	ложных высказываний .
Найди ложные высказывания и построй их	отрицания	.
Итак , для формулировки	отрицания	"действуют как бы в два приема : сначала мысленно присоединяют к предложению слова “ Неверно , что ” , а затем “ обрабатывают ” полученное отрицание так , чтобы оно хорошо звучало на русском языке , — можно сказать , переводят его с русского “ математического "" языка на русский литературный ."
5 Используя закон исключенного третьего , докажи , что	отрицания	построены неверно .
Построй	отрицания	ложных утверждений .
Построй	отрицания	.
Для ложных высказываний построй	отрицания	и запиши их на математическом языке .
Формулировка	отрицания	.
1 Понятие	отрицания	.
Построй	отрицания	ложных высказываний и обоснуй их .
167 Построй	отрицания	высказываний . 1 )
Конкретная формулировка	отрицания	— это вопрос культурной , грамотной речи , что , конечно , очень важно и для математики : чем точнее сказано , тем яснее смысл сказанного .
Найди ложные высказывания , построй их	отрицания	и обоснуй истинность построенных отрицаний .
143 Прочитай высказывания и построй их	отрицания	.
Естественно , что в русском языке имеются специальные способы выражения	отрицания	в более простой форме .
20 Запиши предложения на математическом языке и построй их	отрицания	.
Построй их	отрицания	и убедись в выполнении закона исключенного третьего .
Определи истинность данного высказывания и его	отрицания	.
157 Прочитай высказывания и построй их	отрицания	.
Для ложных высказываний построй	отрицания	. 1 ) Каждая неправильная дробь больше единицы .
Построй	отрицания	ложных высказываний . 1 ) Существуют числа , квадрат которых больше их куба .
Докажи , что обратные утверждения являются ложными , и построй их	отрицания	.
19 Найди ложные высказывания и построй их	отрицания	( если потребуется , воспользуйся для этого энциклопедией или справочником ) .
67 Определи вид высказываний и построй их	отрицания	.
Для ложных высказываний построй	отрицания	.
45 Найди ложные высказывания и построй их	отрицания	.
Мы видим , что и здесь знак	отрицания	ведет себя так же : он меняет квантор существования на квантор общности .
Для обозначения	отрицания	используется похожий на знак “ кочерги ” символ — ( читают : “ не ” или “ неверно , что ” ) .
При этом формулировка	отрицания	должна быть не только грамотной с точки зрения русского языка , но и удобной для дальнейшего использования в рассуждении .
27 Найди ложные высказывания , построй их отрицания и докажи , что	отрицания	истинны .
Таким образом , задача формулировки	отрицания	— это в некотором смысле задача из грамматики языка , и для ее решения не имеет значения , истинно или ложно то предложение , которое мы отрицаем .
Так , вместо	отрицания	равенства пишут знак Например , вместо ( 3 ∙ 4 = 16 ) пишут просто 3∙4 не равно 16 .
144 Опровергни утверждения и запиши их	отрицания	на математическом языке ( R — множество дробей ) .
158 Переведи высказывания на математический язык и построй их	отрицания	.
Найди ложные высказывания , построй	отрицания	и обоснуй их истинность .
470 Переведи высказывания с математического языка на русский и построй их	отрицания	.
Опровергни утверждения и построй их	отрицания	.
Построй их	отрицания	.
Иногда для высказываний , обозначенных буквой , используется иная запись	отрицания	— черта над этой буквой .
Таким образом , отрицание высказывания А обозначается как — А. Если высказывание не имеет буквенного обозначения , то после знака	отрицания	ставятся скобки : например , ( 3 ∙ 4 = 16 ) .
Докажи , что обратные высказывания являются ложными , и построй их	отрицания	.
Для ложных общих высказываний построй	отрицания	. 1 ) Все птицы умеют плавать .
77 Найди ложные высказывания и построй их	отрицания	.
Распространяя данное свойство на случай , когда первый множитель	отрицателен	, приходим к равенству .
Отрицательные числа используются для обозначения величин , таких , как : расход — то есть отрицательный доход , долг — отрицательное имущество , глубина —	отрицательная	высота и т .
Сложение рациональных чисел можно проиллюстрировать на координатной прямой : прибавление положительного числа — перемещением на соответствующее число вправо , а прибавление	отрицательного	числа — перемещением влево .
2 ) модуль	отрицательного	числа а — противоположное ему число ( -а ) .
Модуль	отрицательного	числа равен числу , противоположному данному .
любое положительное число больше 0 и больше любого	отрицательного	числа .
Квадрат	отрицательного	числа положителен .
Это означает , что любое положительное число больше 0 и больше любого	отрицательного	числа , а любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа .
2 ) любое	отрицательное	число меньше 0 и меньше любого положительного числа .
Отрицательные числа используются для обозначения величин , таких , как : расход — то есть отрицательный доход , долг —	отрицательное	имущество , глубина — отрицательная высота и т .
Как только у нас появился термин “	отрицательное	число ” , то , по законам развития языка , мы должны дать новое название и для “ старых ” , уже известных там чисел : неудобно говорить , что ( -3 ) — это отрицательное число , а 3 – это “ просто ” число .
Как только у нас появился термин “ отрицательное число ” , то , по законам развития языка , мы должны дать новое название и для “ старых ” , уже известных там чисел : неудобно говорить , что ( -3 ) — это	отрицательное	число , а 3 – это “ просто ” число .
Заметим , что в последнем примере при умножении на	отрицательное	число модули перемножаются , а знак произведения противоположен знаку первого множителя .
Это означает , что любое положительное число больше 0 и больше любого отрицательного числа , а любое	отрицательное	число меньше 0 и меньше любого положительного числа .
Число b —	отрицательное	. 3 )
347 Можно ли считать , что символ ( -а ) обозначает	отрицательное	число ?
Число , противоположное d , —	отрицательное	.
Теперь рассмотрим пример умножения положительного числа на	отрицательное	, Так как при перестановке множителей произведение не должно меняться ( переместительное свойство умножения ) , то сохранится и правило , по которому мы ищем результат .
иностранного языка : запись данного предложения “ в	отрицательной	форме ” — это и есть формулировка отрицаний .
Кстати , делая упражнения по иностранному языку , разве мы задумываемся о том , истинно или ложно предложение , которое предлагается записать в	отрицательной	форме ? .
а ) Число , противоположное	отрицательному	, положительно . б ) Произведение правильных дробей является правильной дробью .
Остается случай , когда и первый , и второй множители	отрицательны	, например ( -2 ) ∙ ( -3 ) .
Введенные таким образом положительные и	отрицательные	числа вместе с нулем составляют множество рациональных чисел ( обычно его обозначают буквой Q ) .
Как мы уже говорили , положительные числа изображаются на координатной прямой точками , расположенными правее 0 ,	отрицательные	— левее 0 .
Для того чтобы использовать	отрицательные	числа при решении практических задач , мы должны научиться сравнивать их и совершать над ними арифметические действия .
Натуральные числа , противоположные к ним	отрицательные	числа и число 0 образуют множество целых чисел .
443 Найди значения выражений , сложив отдельно положительные и	отрицательные	числа .
490 Индийские математики в древности трактовали положительные числа как “ имущества ” , а	отрицательные	числа — как “ долги ” .
Итак ,	отрицательные	числа — это уже известные нам числа , только со знаком “ минус ” : -1 , -6,25 и т .
Положительные числа располагаются в положительном направлении от числа 0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а	отрицательные	числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля : число ( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
Таким образом , появляются новые , так называемые	отрицательные	, числа , противоположные к уже известным нам .
1 Положительные и	отрицательные	числа .
Приведенный пример показывает , как разнообразные математические понятия —	отрицательные	числа , координатная плоскость , формулы , графики , — возникшие из внутренней логики развития самой математики , оказываются практически значимыми .
Самый простой пример — график изменения температуры в зависимости от времени , когда температура может принимать	отрицательные	значения .
403 Известно , что а и b — положительные числа , а m и n —	отрицательные	.
Если объединение слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала сложить положительные числа , затем сложить	отрицательные	числа и к первой сумме прибавить вторую .
Рост в этом случае “	отрицательный	” .
Отрицательные числа используются для обозначения величин , таких , как : расход — то есть	отрицательный	доход , долг — отрицательное имущество , глубина — отрицательная высота и т .
В “ длинных ” выражениях , в которых фигурирует только умножение , при четном числе отрицательных множителей ответ будет положительным , а при нечетном числе —	отрицательным	.
Например , все элементы множества N натуральных чисел являются целыми числами , и ни одно из них не является	отрицательным	числом .
519 Каким числом — положительным ,	отрицательным	или нулем — является произведение .
Как и любое расстояние между двумя точками , модуль не может быть	отрицательным	.
А число 0 не является ни положительным , ни	отрицательным	.
Итак , числа , противоположные	отрицательным	, положительны .
Чтобы учесть направление поворота , углы поворота условились выражать рациональными числами : положительными — против часовой стрелки , а	отрицательными	— по часовой стрелке . .
Поэтому “ старые ” числа , кроме 0 , для противопоставления с	отрицательными	числами принято называть положительными .
Введение системы координат на плоскости позволяет сопоставить каждой точке ее координаты , которые могут быть как положительными , так и	отрицательными	числами .
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N — натуральных чисел ; Z — целых чисел ; Q — рациональных чисел ; М —	отрицательных	чисел .
К —	отрицательных	дробных чисел .
426 Что больше : 1 ) сумма двух положительных чисел или одно из них ; 2 ) сумма двух	отрицательных	чисел или одно из них ? .
В “ длинных ” выражениях , в которых фигурирует только умножение , при четном числе	отрицательных	множителей ответ будет положительным , а при нечетном числе — отрицательным .
Например , в выражении пять	отрицательных	множителей .
из двух	отрицательных	чисел больше то , модуль которого меньше .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С —	отрицательных	чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Введение	отрицательных	чисел позволяет сделать следующий шаг : определить положение теперь уже любой точки на плоскости .
Как понимать , например , произведение двух	отрицательных	чисел ( -2 ) ∙ ( -3 ) ?
д. Понятие	отрицательных	чисел позволяет получить общее правило раскрытия скобок , упрощающее вычисления и преобразования выражений .
2 ) С — натуральных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — целых	отрицательных	чисел .
М — множество	отрицательных	целых чисел , модуль которых больше или равен 2 .
а ) Произведение двух	отрицательных	чисел положительно .
Так , появление	отрицательных	чисел привело к созданию приема переноса слагаемых , впервые описанному в IX веке среднеазиатским ученым Мухаммедом аль - Хорезми в сочинении « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » .
302 Приведи примеры использования положительных и	отрицательных	чисел в практических задачах .
Произведение двух	отрицательных	чисел оказывается положительным .
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С —	отрицательных	чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Из двух	отрицательных	чисел левее расположено число с большим модулем , поэтому оно меньше .
365 Составь из элементов этого множества подмножества : 1 ) В —	отрицательных	рациональных чисел ;
Плоскость а будто	отсекает	от куба один из углов , и в сечении получается треугольник MNK .
491 а ) Прямоугольный	параллелепипед	сложили из одинаковых кубиков .
635 Сколько плоскостей симметрии имеют : а ) прямоугольный	параллелепипед	; б ) куб ; в ) конус ; г ) цилиндр ; в ) шар ? .
477 а ) Какие из геометрических тел — конус , прямоугольный	параллелепипед	, цилиндр , шар , пирамида , куб — являются многогранниками ? .
Прямоугольный	параллелепипед	— это многогранник , все шесть граней которого являются прямоугольниками .
501 Склей из бумаги прямоугольный	параллелепипед	с измерениями 9 см , 5 см и 3 см. Начерти три его проекции в масштабе 1:2 .
Начерти прямоугольный	параллелепипед	.
Поэтому говорят , что прямоугольный	параллелепипед	имеет три измерения — длину , ширину и высоту .
б ) Сколько измерений имеет прямоугольный	параллелепипед	?
Среди всех многогранников особую роль играет хорошо знакомый нам прямоугольный	параллелепипед	— форму прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы , с которыми мы постоянно встречаемся в нашей жизни : коробки , комнаты , шкафы и т .
Мы уже встречались с такими пространственными фигурами , как прямоугольный	параллелепипед	, куб , пирамида , цилиндр , шар , конус .
Начерти	параллелепипед	ABCDAlBlClDl и назови : а ) одно его видимое и одно невидимое ребро ; б ) одну видимую и одну невидимую грань .
484 а ) Сколько ребер прямоугольного	параллелепипеда	выходит из каждой вершины ?
Какую часть объем этого	параллелепипеда	составляет от объема куба с ребром 3 дм ? .
Поскольку граней у прямоугольного	параллелепипеда	всего шесть , то многоугольник , который получается при пересечении его с плоскостью , не может иметь больше шести сторон .
172 Длина прямоугольного	параллелепипеда	равна 3,6 дм , ширина составляет 0,5 длины и 0,9 высоты параллелепипеда .
172 Длина прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 дм , ширина составляет 0,5 длины и 0,9 высоты	параллелепипеда	.
Измерения прямоугольного	параллелепипеда	равны 0,45 м , 1,2 м и 0,8 м .
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата , формулы площади поверхности и объема прямоугольного	параллелепипеда	и куба .
536 Вырази в единицах измерения e1 , е2 , е3 . а ) длину отрезка АВ . б ) площадь прямоугольника ABCD . в ) объем прямоугольного	параллелепипеда	ABCDA .
450 Найди в окружающей обстановке предметы , имеющие форму куба , прямоугольного	параллелепипеда	, шара , пирамиды , цилиндра , конуса .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного	параллелепипеда	, если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Чему равна площадь полной поверхности	параллелепипеда	, если его объем равен 56 дм3 ? .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного	параллелепипеда	15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его стороной а ; 2 ) площадью S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V прямоугольного	параллелепипеда	, площадью его основания S и высотой h .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного	параллелепипеда	0,2 дм , 3 см и 25 мм .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного	параллелепипеда	и его измерениями а , b и с .
545 Объем прямоугольного	параллелепипеда	равен 240 см3 , ширина — 5 см , а высота — на 20 % больше ширины .
Длина прямоугольного	параллелепипеда	на 40 % больше ширины , а ширина в 5 раз меньше высоты .
Найди объем	параллелепипеда	.
Длину этого	параллелепипеда	уменьшили на 3 см. На сколько процентов уменьшился его объем ? .
Какую часть объем куба составляет от объема	параллелепипеда	?
Меньшее ребро	параллелепипеда	составляет 75 % ребра некоторого куба .
Найди объем и площадь боковой поверхности этого	параллелепипеда	.
256 Ширина прямоугольного	параллелепипеда	составляет 60 % длины , высота на 20 % больше ширины , а сумма трех его измерений равна 5,8 дм .
б ) Сколько у прямоугольного	параллелепипеда	всего : ребер , граней , вершин ? .
543 Измерения прямоугольного	параллелепипеда	36 см , 8 дм и 12 дм 5 см. Найди его объем и вырази : а ) в кубических дециметрах ; б ) в кубических метрах ; в ) в кубических сантиметрах .
Построй формулу зависимости площади полной поверхности прямоугольного	параллелепипеда	от его измерений .
Введи обозначения и построй формулу , выражающую зависимость объема прямоугольного	параллелепипеда	от его измерений .
506 Сравни суммы длин всех ребер , объемы и площади поверхности куба с ребром 7 м и прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями 10 м , 5 м и 6 м .
Среди всех многогранников особую роль играет хорошо знакомый нам прямоугольный параллелепипед — форму прямоугольного	параллелепипеда	имеют многие предметы , с которыми мы постоянно встречаемся в нашей жизни : коробки , комнаты , шкафы и т .
710 Можно ли составить развертку	параллелепипеда	, не являющегося кубом , из шести одинаковых прямоугольников ? .
Запиши формулы объема и площади полной поверхности прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями а , b и с .
563 Измерения одного прямоугольного параллелепипеда равны 0,4 м , 25 см и 1,5 дм , а измерения другого	параллелепипеда	— 0,3 м , 2 дм и 26 см. Какой из этих параллелепипедов имеет больший объем ?
563 Измерения одного прямоугольного	параллелепипеда	равны 0,4 м , 25 см и 1,5 дм , а измерения другого параллелепипеда — 0,3 м , 2 дм и 26 см. Какой из этих параллелепипедов имеет больший объем ?
У прямоугольного	параллелепипеда	8 вершин и 12 ребер , но при этом ребер различной длины может быть только три .
493 Сравни сумму длин всех ребер ( L ) , объем ( V ) и площадь ( S ) полной поверхности куба и прямоугольного	параллелепипеда	.
Прямоугольный лист бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа , чтобы оклеить всю поверхность прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями 3 см , 4 см и 5 см ? .
Объем прямоугольного	параллелепипеда	V см3 , длина — d см , а ширина составляет 30 % длины .
492 а ) Хватит ли проволоки длиной 1 м , чтобы сделать каркасную модель прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями 7 см , 9 см и 14 см ?
253 а ) Высота прямоугольного	параллелепипеда	равна 5 см , ширина составляет 28 % длины , а сумма площадей его боковых граней 192 см2 .
Куб является частным случаем прямоугольного	параллелепипеда	, у которого все три его измерения равны .
Можно ли из 5 одинаковых прямоугольников составить развертку	параллелепипеда	? .
486 Изображена развертка прямоугольного	параллелепипеда	.
Найти высоту	параллелепипеда	.
Вычисли объем и площадь полной поверхности прямоугольного	параллелепипеда	с измерениями 4,3 см , 6,1 см и 8,5 см. Ответы округли с точностью до десятых .
487 Какие точки совместятся с точками A , D , N при склеивании развертки прямоугольного	параллелепипеда	? .
Найти объем	параллелепипеда	, ( n = 2 ) .
488 а ) Почему заготовка не может быть разверткой прямоугольного	параллелепипеда	? .
Ширина прямоугольного	параллелепипеда	n м , длина в 1,5 раза больше ширины , а высота составляет 24 % суммы длины и ширины .
Именно так мы всегда и поступаем , изображая параллельные ребра куба и	параллелепипеда	.
563 Измерения одного прямоугольного параллелепипеда равны 0,4 м , 25 см и 1,5 дм , а измерения другого параллелепипеда — 0,3 м , 2 дм и 26 см. Какой из этих	параллелепипедов	имеет больший объем ?
Взаимосвязь между множеством многогранников М , множеством прямоугольных	параллелепипедов	и множеством кубов К показана на диаграмме Эйлера - Венна .
а ) Куб является прямоугольным	параллелепипедом	.
В множестве многогранников можно выделить различные классы и подклассы : пирамиды ,	параллелепипеды	и т .
Сечения поверхности Земли плоскостями , параллельными экватору , — это известные всем	параллели	.
Когда	параллели	приближаются к полюсам , их радиусы уменьшаются , а самый большой радиус — у экватора Земли , он равен примерно 6378 км .
« Квадратом называется	параллелограмм	, все углы которого прямые .
4 ) Каждый	параллелограмм	является прямоугольником .
Параллелограмм — это четырехугольник , у которого противолежащие стороны попарно параллельны . г ) Прямоугольник — это	параллелограмм	, у которого все углы прямые .
В геометрии примерами центрально - симметричных фигур могут служить прямая ,	параллелограмм	, окружность .
552 а ) Перечерти и вырежи из бумаги	параллелограмм	.
330 Сформулируй определение квадрата , основываясь на понятии : а ) прямоугольник ; б ) ромб ; в )	параллелограмм	.
Начерти в тетради	параллелограмм	ABCD .
329 а ) Ромб — это	параллелограмм	, у которого все стороны равны .
Многоугольник , имеющий четыре вершины ( стороны ) , называется четырехугольником . г ) Прямоугольником называется	параллелограмм	, у которого все углы прямые .
616 Вырежи из бумаги равносторонний и равнобедренный треугольники , квадрат ,	параллелограмм	, окружность .
Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по длине его стороны а и длине перпендикуляра h , опущенного из вершины	параллелограмма	на эту сторону .
500 Начерти три произвольных	параллелограмма	и измерь их углы .
Запиши формулу для вычисления площади	параллелограмма	по длине его стороны а и длине перпендикуляра h , опущенного из вершины параллелограмма на эту сторону .
Из этих примеров видно , что число центров симметрии также может быть различным : так , у прямой их бесконечно много , а у	параллелограмма	и окружности — по одному .
Построй фигуру , которая получится в результате параллельного переноса этого	параллелограмма	: а ) на вектор ВС ; б ) на вектор DB ; в ) на вектор АО , где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD .
Построй фигуру , которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма : а ) на вектор ВС ; б ) на вектор DB ; в ) на вектор АО , где О — точка пересечения диагоналей	параллелограмма	ABCD .
Нарисуй в тетради паркет , составленный : а ) из одинаковых ромбов ; б ) из одинаковых	параллелограммов	.
х — имеет ось симметрии ( Я — множество	параллелограммов	) .
Паркеты можно составлять не только из правильных многоугольников , но и , например , из прямоугольников ,	параллелограммов	, трапеций .
А можно сначала сместиться по оси х влево на 4 единицы , а потом —	параллельно	оси у вверх на 2 единицы .
Повтори исследование для произвольного треугольника АВС и отрезка MN ,	параллельного	его стороне АС .
Итак , точка А1 называется результатом	параллельного	переноса точки А на вектор d , если вектор АА1 равен вектору d .
Построй фигуру , которая получится в результате	параллельного	переноса этого параллелограмма : а ) на вектор ВС ; б ) на вектор DB ; в ) на вектор АО , где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD .
619 Построй бордюр , который получается при последовательном	параллельном	переносе двух концентрических ( имеющих один центр ) окружностей радиусами 1 см и 2 см на 2 см вправо .
675 Построй орнамент , который получается при последовательном	параллельном	переносе трех концентрических окружностей с радиусами 1 см , 2 см и 3 см на 3 см вправо .
Точка А при	параллельном	переносе на вектор d переходит в точку А , .
При	параллельном	переносе все точки движутся по параллельным прямым .
д. Показано , как построить треугольник А1В1С1 , в который переходит треугольник АВС при осевой симметрии ( а ) , центральной симметрии ( б ) , повороте на угол 120 ( в ) и	параллельном	переносе ( г ) . .
а ) Параллелограммом называется четырехугольник , противоположные стороны которого попарно	параллельны	.
В слове x пять букв . 3 ) Число n — составное . 4 ) Прямые а и b	параллельны	.
Параллелограмм — это четырехугольник , у которого противолежащие стороны попарно	параллельны	. г ) Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все углы прямые .
650 а ) Если перемещать одну из сторон чертежного угольника вдоль линейки , то , проводя прямые вдоль другой его стороны , можно получить	параллельные	прямые .
д ) Две	параллельные	прямые лежат в одной плоскости .
Некоторые	параллельные	плоскости перпендикулярны .
Именно так мы всегда и поступаем , изображая	параллельные	ребра куба и параллелепипеда .
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку , прямую , луч , отрезок , прямоугольник и квадрат , различные углы , окружность ,	параллельные	и перпендикулярные прямые и т .
Мы рассмотрели основные виды симметрии — осевую симметрию , поворот и	параллельный	перенос .
Построй указанным способом несколько параллельных прямых . б ) Начерти на гладкой бумаге произвольный треугольник АВС и вектор d. Построй	параллельный	перенос треугольника АВС на вектор d .
618 Воспроизведи рисунок и укажи вектор d , задающий	параллельный	перенос фигуры F1 в фигуру F2 .
Еще одним видом симметрии является	параллельный	перенос .
Начерти вектор d , задающий этот	параллельный	перенос .
В треугольнике АВС проведен отрезок MN ,	параллельный	стороне АС .
При параллельном переносе все точки движутся по	параллельным	прямым .
102 Математическое исследование . 1 ) Стороны угла А пересечены	параллельными	прямыми В1,С1 , В2,С2 и В3,С3 .
Сечения поверхности Земли плоскостями ,	параллельными	экватору , — это известные всем параллели .
б ) Две прямые называются	параллельными	, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются .
Проведи исследование для произвольного угла А и произвольных	параллельных	прямых В1,С1 , В2,С2 и В3,С3 , пересекающих его сторону .
В нем просверлили б сквозных дырок ,	параллельных	ребрам .
Еще одно правило , помогающее сделать рисунок фигуры более понятным : на пространственном чертеже сохраняется параллельность прямых и отношение	параллельных	отрезков .
Найди на чертеже и перечисли все пары : а ) пересекающихся прямых ; б ) непересекающихся прямых ; в )	параллельных	прямых ; г ) перпендикулярных прямых .
Построй указанным способом несколько	параллельных	прямых . б ) Начерти на гладкой бумаге произвольный треугольник АВС и вектор d. Построй параллельный перенос треугольника АВС на вектор d .
Изображен паркет из правильных треугольников , переходящий в	паркет	из правильных шестиугольников .
694 Вырежи из бумаги 20 одинаковых произвольных треугольников и составь из них	паркет	.
Простейшими паркетами являются обычная тетрадь « в клеточку » и	паркет	, составленный из правильных треугольников .
Изображен	паркет	из правильных треугольников и двенадцатиугольников .
Нарисуй в тетради	паркет	, составленный : а ) из одинаковых ромбов ; б ) из одинаковых параллелограммов .
709 Составь	паркет	из правильных треугольников и шестиугольников .
Найди величину угла правильного двенадцатиугольника , б ) Можно ли составить	паркет	из правильных двенадцатиугольников , треугольников и квадратов ? .
Изображен	паркет	из правильных треугольников , переходящий в паркет из правильных шестиугольников .
692 Можно ли составить	паркет	: а ) из правильных треугольников и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из правильных треугольников и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
Примером	паркета	, созданного природой , является плоский срез пчелиных сот .
Геометрические фигуры могут « встретиться » в вершине	паркета	только тогда , когда сумма их углов составляет 360 ° , иначе они не сомкнутся вокруг вершины или « налезут » друг на друга .
Придумай свой рисунок	паркета	.
Простейшими	паркетами	являются обычная тетрадь « в клеточку » и паркет , составленный из правильных треугольников .
С	паркетами	мы часто встречаемся в повседневной жизни .
Именно поэтому в треугольном	паркете	в каждой вершине сходится шесть фигур , в квадратном — четыре , в шестиугольном — три .
Других	паркетов	из правильных многоугольников одного вида быть не может — в этом можно убедиться , исследовав величины их углов .
А вот	паркетов	, состоящих из правильных многоугольников разного вида , довольно много , и все они очень красивы .
Свойства правильных многоугольников позволяют использовать их при составлении	паркетов	, то есть при покрытии плоскости фигурами без зазоров и пересечений .
Яркими примерами	паркетов	являются паркеты голландского художника - математика Эшера .
Начерти квадрат со стороной 9 см и заполни его	паркетом	по образцу .
Яркими примерами паркетов являются	паркеты	голландского художника - математика Эшера .
Поэтому всегда важно указывать множество значений , которые принимает	переменная	.
Если же	переменная	x может принимать натуральные и дробные значения , то предложение становится истинным высказыванием после подстановки в него значения x = 7,5 .
Например , если буквой х обозначено количество учеников в школе , то в полученном уравнении разумно считать , что	переменная	х принимает только натуральные значения .
Запиши остальные выражения в общем виде с помощью	переменной	х .
Натуральное число к делится на 3 — предложение с одной	переменной	к .
Значение	переменной	, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство , называется корнем уравнения .
Зависимость	переменной	у от переменной х , при которой каждому значению х соответствует единственное значение у , стали называть функциональной зависимостью , или функцией .
д. Понятие	переменной	позволяет наглядно представлять эти зависимости формулами , таблицами и графиками .
Понятие	переменной	величины в современном виде появилось в математике сравнительно недавно — лишь в XVII веке — и оказало огромное влияние не только на развитие самой математики , но и на развитие других наук .
Предложение 2х=15 с	переменной	x , напротив , всегда ложно , если x N. В самом деле , при любом натуральном значении x в левой части равенства число получается четное , а в правой — нечетное .
281 В таблице представлены значения	переменной	у при указанных значениях переменной х. Запиши зависимость у от x с помощью формулы .
Если же придать значение только одной	переменной	, то опять получится предложение с переменной .
В практических задачах множество значений	переменной	определяется жизненным смыслом ее условий .
А каждый элемент этого множества называют значением	переменной	.
В общем случае множеством значений	переменной	считают множество всех ее значений , при котором уравнение имеет смысл .
Итак , переменной величиной , или	переменной	, называют буквенное обозначение для произвольного элемента некоторого множества .
Приведены графики трех зависимостей переменной у от	переменной	х. Первые две зависимости обладают тем свойством , что каждому значению х сопоставляется единственное значение у , а третья зависимость этим свойством не обладает ( контрпример показан ) .
Приведены графики трех зависимостей	переменной	у от переменной х. Первые две зависимости обладают тем свойством , что каждому значению х сопоставляется единственное значение у , а третья зависимость этим свойством не обладает ( контрпример показан ) .
Для этого прежде всего надо точно указать , в каком числовом множестве ищутся корни , или , как говорят , указать множество значений	переменной	.
Уравнение , как и всякое предложение с переменной , при подстановке в него конкретных значений	переменной	может становиться истинным или ложным высказыванием .
281 В таблице представлены значения переменной у при указанных значениях	переменной	х. Запиши зависимость у от x с помощью формулы .
Уравнение , как и всякое предложение с	переменной	, при подстановке в него конкретных значений переменной может становиться истинным или ложным высказыванием .
Можно сказать поэтому , что слово “ Коля ” является здесь переменной , а значением	переменной	является любой мальчик с этим именем .
Можно сказать поэтому , что слово “ Коля ” является здесь	переменной	, а значением переменной является любой мальчик с этим именем .
75 Составь выражение к задаче и найди его значение при данном значении	переменной	.
Подставляя эти числа вместо	переменной	х в уравнение , находим единственный корень .
Фактически мы рассматривали букву х как переменную , а само уравнение — как равенство с	переменной	.
Пусть дано предложение P(x ) с	переменной	x , где .
73 Подбери значение	переменной	в предложении так , чтобы оно превратилось в истинное высказывание . 1 ) Сегодня по классу дежурит а .
72 Найди значение выражения с	переменной	.
Напротив , записи уравнениями не являются : первые две записи не являются равенствами , а в равенстве 12 + 3 = 15 нет	переменной	.
93 Составь выражение к задаче и найди его значение при данном значении	переменной	.
Обратим внимание и на то , что во всех этих предложениях четко определены множества , из которых “ берутся ” значения	переменной	.
Зависимость переменной у от	переменной	х , при которой каждому значению х соответствует единственное значение у , стали называть функциональной зависимостью , или функцией .
Определить множество значений	переменной	х . 8) Составить уравнение .
Понятие	переменной	помогло описать в удобной для исследования форме многие процессы и явления , изучаемые физикой , химией и другими науками , и этим способствовало научно - техническому прогрессу .
100 Придумай предложение : а ) с одной	переменной	; б ) с двумя переменными ; в ) с тремя переменными .
Итак ,	переменной	величиной , или переменной , называют буквенное обозначение для произвольного элемента некоторого множества .
Именно , не указывать квантор для каждой	переменной	, а указать один квантор сразу для нескольких переменных ( если , конечно , значения переменных принадлежат одному и тому же множеству ) .
Если же придать значение только одной переменной , то опять получится предложение с	переменной	.
Можно сказать , что данное предложение является высказыванием с	переменной	x , или , как говорят , высказывательной формой .
1 Понятие	переменной	величины .
Так , из предложения с	переменной	“ Квадрат натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
Например , а2 + 3а — это выражение с	переменной	а . ( 5x - y ): 10 — выражение с переменными x и y .
Другими словами , данное предложение становится высказыванием — истинным или ложным , — если	переменной	x придать конкретное числовое значение .
Таким образом , решить уравнение — значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет ( на множестве значений	переменной	) .
В последних двух примерах мы не указали множество значений	переменной	.
Чтобы записать утверждения с помощью кванторов , сначала нужно ввести	переменную	и определить множество , в котором эта переменная принимает значения .
239 Вырази из данного равенства	переменную	x , если значения всех переменных не равны нулю .
Мы ввели	переменную	n , записали условие « n делится на 9 » , поставили знак , после которого поставили заключение « n делится на 3 » .
Итак , уравнением будем называть равенство , содержащее	переменную	, значение которой надо найти .
74 Вырази из данной формулы каждую	переменную	.
Фактически мы рассматривали букву х как	переменную	, а само уравнение — как равенство с переменной .
В предыдущем пункте мы видели , что	переменные	употребляют в математике не только в выражениях .
В последнем примере мы видим , что	переменные	могут принимать не только числовые значения — их значениями могут быть , например , и точки , и прямые .
Постоянную величину в формуле а = bс принято обозначать буквой k , а	переменные	величины — буквами х и у. Полученную формулу назовем формулой прямой пропорциональности , а число k в этой формуле — коэффициентом пропорциональности .
392 Сравни и объясни , как изменяются результаты арифметических действий при изменении их компонентов , если все	переменные	— натуральные числа .
Отвлекаясь от конкретных значений величин , общее свойство зависимостей между ними — а именно то , что одна из величин является произведением двух других , — можно записать так : где а , b и с — это некоторые	переменные	величины .
В обычном языке , как это ни удивительно , также есть	переменные	, хотя они не обозначаются , как в математике , буквами .
Запиши их в обобщенном виде , используя	переменные	x и y . 1 ) Одна хозяйка купила на рынке 2 кг моркови по цене a р .
Если , как и раньше , постоянную величину в формуле а = bс обозначить буквой k , а	переменные	величины — буквами х и у , то получим k = ху , или , как принято записывать .
Обычно на графике независимые	переменные	отмечают на горизонтальной оси координатного угла ( оси абсцисс ) , а зависимые — на вертикальной оси ( оси ординат ) .
Придай	переменным	значения , соответствующие условию твоей задачи , и найди ответ .
Придай значения	переменным	и найди ответ .
Придай возможные значения	переменным	a , b , с , d , е , f и g .
123 Преобразуй данные предложения с	переменными	в истинные высказывания , используя кванторы .
100 Придумай предложение : а ) с одной переменной ; б ) с двумя	переменными	; в ) с тремя переменными .
216 Зависимость между	переменными	величинами у и х задана с помощью формулы .
2 Предложения с	переменными	.
Точно так же выражение с	переменными	— “ бланк с прочерками ” — после замены всех букв числами становится числом .
Другие свойства арифметических действий также являются примерами всегда истинных предложений с	переменными	.
Как еще можно превратить предложения с	переменными	в высказывания ? .
100 Придумай предложение : а ) с одной переменной ; б ) с двумя переменными ; в ) с тремя	переменными	.
169 Запиши предложения с	переменными	на математическом языке .
Используя полученный результат , составь предложение с	переменными	a , b и с , истинное при данных значениях переменных .
Точки А и В принадлежат прямой l — предложение с тремя	переменными	А , В и l .
Предложения с	переменными	в математическом языке не обязательно являются равенствами или неравенствами .
Использование кванторов представляет собой еще один способ превращения предложения с	переменными	в высказывание .
Полученные числа 70 и 1,8 являются , соответственно , значениями данных выражений с	переменными	при указанных значениях букв .
210 Установи формулу зависимости между	переменными	у и х и построй график этой зависимости на координатной плоскости .
Введенные ранее математические предложения с одной или несколькими	переменными	описывают свойства объектов .
Например , а2 + 3а — это выражение с переменной а . ( 5x - y ): 10 — выражение с	переменными	x и y .
Для обозначения предложений с	переменными	также будем употреблять такие буквы , но дополнительно в скобках ставить имена входящих в них переменных .
Как иначе называют данные предложения с	переменными	? .
Символическая запись высказываний позволяет подметить очень важную их особенность : и общие высказывания , и высказывания о существовании содержат в себе предложения с	переменными	.
103 Прочитай предложения с	переменными	.
д. Процедуру присвоения имени предложениям с	переменными	будем проводить по образцу .
98 Среди различных записей найди предложения с	переменными	, прочитай их и присвой им имена .
А сами буквенные выражения называют выражениями с	переменными	.
В предыдущем пункте мы говорили , что предложение с	переменными	высказыванием не является , но превращается в высказывание после замены всех переменных конкретными значениями .
Выражения с	переменными	.
Например , предложения с двумя	переменными	x и y ; с двумя переменными а и b ; с тремя переменными s , v и t ; с четырьмя переменными V , а , b и с .
Такие буквы называют переменными величинами , или	переменными	, в отличие от цифр и знаков математических действий — “ постоянных ” символов математического алфавита .
Таким образом , мы видим , что знак следования соединяет два предложения с	переменными	и образует новое высказывание общего вида : из первого предложения следует второе .
Предложение с	переменными	не обязательно при одних значениях переменных истинно , а при других — ложно .
Дробь m / n правильная — предложение с двумя	переменными	тип .
Например , предложения с двумя переменными x и y ; с двумя	переменными	а и b ; с тремя переменными s , v и t ; с четырьмя переменными V , а , b и с .
Например , предложения с двумя переменными x и y ; с двумя переменными а и b ; с тремя переменными s , v и t ; с четырьмя	переменными	V , а , b и с .
Чтобы предложение с несколькими	переменными	преобразовать в высказывание , нужно придать значения каждой из переменных .
Например , предложения с двумя переменными x и y ; с двумя переменными а и b ; с тремя	переменными	s , v и t ; с четырьмя переменными V , а , b и с .
Такие буквы называют	переменными	величинами , или переменными , в отличие от цифр и знаков математических действий — “ постоянных ” символов математического алфавита .
455 Прочитай и упрости отношения , если значения всех	переменных	отличны от нуля .
375 Представь выражения в виде дроби при ненулевых значениях	переменных	.
99 Подставь в предложения данные значения	переменных	.
При каких значениях	переменных	они становятся высказываниями ?
338 Сравни дроби , если значения всех	переменных	— натуральные числа .
111 Прочитай предложения и подставь в них данные значения	переменных	.
Для обозначения предложений с переменными также будем употреблять такие буквы , но дополнительно в скобках ставить имена входящих в них	переменных	.
Какие предложения при всех натуральных значениях	переменных	истинны , а какие — ложны ? .
Примеры “	переменных	” можно встретить и в практической жизни : людям часто приходится заполнять разные анкеты , паспорта , избирательные бюллетени , справки и вообще тексты , заполненные лишь частично .
Высказывания — предложения без	переменных	— мы будем обозначать большими латинскими буквами .
Отметим , что уравнение может содержать две и более	переменных	, но подробнее такие уравнения мы будем изучать в старших классах .
При наличии нескольких	переменных	высказывания можно записывать короче .
Как и буквенное выражение , предложение может содержать и несколько	переменных	.
Именно , не указывать квантор для каждой переменной , а указать один квантор сразу для нескольких	переменных	( если , конечно , значения переменных принадлежат одному и тому же множеству ) .
527 Выполни действия и упрости , если возможно , полученные выражения ( значения всех	переменных	отличны от нуля ) .
Именно , не указывать квантор для каждой переменной , а указать один квантор сразу для нескольких переменных ( если , конечно , значения	переменных	принадлежат одному и тому же множеству ) .
237 Преобразуй выражение в дробь и , если возможно , сократи ее ( значения всех	переменных	отличны от нуля ) .
Проверь сочетательное свойство для значений	переменных	. 3 )
Запиши множество натуральных значений	переменных	, при которых данные предложения становятся истинными высказываниями .
При каких еще значениях	переменных	а , b и с оно будет истинным ?
239 Вырази из данного равенства переменную x , если значения всех	переменных	не равны нулю .
269 Найди х из пропорций , если значения всех	переменных	отличны от нуля . .
Используя полученный результат , составь предложение с переменными a , b и с , истинное при данных значениях	переменных	.
328 Сократи дроби , если значения всех	переменных	отличны от нуля .
Предложение с переменными не обязательно при одних значениях	переменных	истинно , а при других — ложно .
Чтобы предложение с несколькими переменными преобразовать в высказывание , нужно придать значения каждой из	переменных	.
101 Найди все значения	переменных	, обращающие данные предложения в истинные равенства .
Проверь его при произвольно выбранных тобой значениях	переменных	.
Установи их истинность или ложность для данных значений	переменных	.
Подставь значения	переменных	так , чтобы получилось высказывание .
Запиши на математическом языке переместительный , сочетательный и распределительный законы умножения и проверь их для произвольно выбранных тобой значений	переменных	.
100 Докажи равносильность пропорций и определи , при каких значениях	переменных	данные утверждения истинны .
248 Преобразуй выражение в дробь и , если возможно , сократи ее , если значения всех	переменных	отличны от нуля .
Составь выражение и найди его значение при данных значениях	переменных	.
Проверь переместительное свойство для значений	переменных	: а ) -4,8 и 0,3 ; б ) -3 и -1,15 . 2 ) Сформулируй сочетательное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке .
В предыдущем пункте мы говорили , что предложение с переменными высказыванием не является , но превращается в высказывание после замены всех	переменных	конкретными значениями .
Может случиться , что при любых значениях	переменных	оно всегда истинно или , наоборот , всегда ложно .
Чтобы избежать подобных ошибок в применении формул , можно пользоваться любопытной арифметической связью между единицами измерения — их можно “	перемножать	” и “ делить ” по тем же правилам , что и числовые дроби .
Задуманное положительное число сначала увеличили на 0,3 , потом его же уменьшили на 0,2 , полученные результаты	перемножили	и получили 0,36 .
На множестве натуральных чисел любые два числа можно сложить и	перемножить	, но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Итак , произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль произведения , нужно	перемножить	модули сомножителей .
Достаточно лишь измерить и	перемножить	его длину и ширину .
Мы видим , что умножить число ( -2 ) на число 3 можно по простому правилу :	перемножить	“ числа без знаков ” ( то есть модули ) и перед произведением поставить знак “ минус ” .
Но он хочет , чтобы было только 3 перекрестка и на каждом из них	пересекались	ровно две дороги .
Царь Дадон затеял построить 8 городов и соединить их прямыми дорогами так , чтобы из каждого города выходило ровно 4 дороги и никакие две дороги не	пересекались	.
Можно ли провести на шаре две большие окружности так , чтобы они не	пересекались	?
Биссектрисы углов А и С	пересекаются	в точке О. Найди величину угла АОС , считая сумму углов треугольника равной 180 ° .
Биссектрисы углов треугольника	пересекаются	в центре вписанной окружности .
Медианы треугольника	пересекаются	в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1 , считая от вершины .
Решить эту задачу помогает свойство плоскостей , которое мы наблюдаем ежедневно , листая книгу или тетрадь : две различные непараллельные плоскости	пересекаются	по прямой .
И вновь мы наблюдаем , что и эти отрезки	пересекаются	в одной точке .
в ) Две прямые называются перпендикулярными , если они	пересекаются	под прямым углом .
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника	пересекаются	в центре описанной окружности .
б ) Две прямые называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не	пересекаются	.
в ) Параллельные прямые не	пересекаются	.
Высоты треугольника ( или их продолжения )	пересекаются	в ортоцентре .
Перпендикулярные прямые	пересекаются	под прямым углом .
Построим две	пересекающиеся	окружности одного радиуса с центрами в концах данного отрезка AS .
Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности ,	пересекающиеся	в точке О. Измерь длины отрезков хорд , на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
Найди на чертеже и перечисли все пары : а )	пересекающихся	прямых ; б ) непересекающихся прямых ; в ) параллельных прямых ; г ) перпендикулярных прямых .
244 Найди	пересечение	множества с множеством решений неравенства .
Запиши эти множества с помощью фигурных скобок и найди их	пересечение	.
Построение сечения для этого случая показано : прямые МК и АВ продолжены до их пересечения в точке Р. Значит , прямая PN , а вместе с ней и ее точка Т лежат в плоскости а , и теперь можно построить	пересечение	ее с каждой гранью тетраэдра .
Найди	пересечение	этих множеств и укажи в нем наименьший элемент .
243 Найди	пересечение	множеств натуральных решений неравенств .
243 Найди	пересечение множеств	натуральных решений неравенств .
244 Найди	пересечение множества	с множеством решений неравенства .
Если какая - нибудь плоскость пересекает шар , то	пересечением	является либо точка , либо круг .
Аналогично	пересечением	плоскости а с верхней гранью является отрезок NK , а с боковой гранью — отрезок КМ .
При	пересечении	тетраэдра с плоскостью могут образоваться точка , отрезок , треугольник или четырехугольник .
307 При	пересечении	двух прямых один из образовавшихся углов в 2 раза больше другого .
714 а ) Какие многоугольники могут получаться при	пересечении	плоскостью правильного тетраэдра , гексаэдра ( куба ) ?
6 ) Прямые при	пересечении	могут образовывать прямой угол .
Поскольку граней у прямоугольного параллелепипеда всего шесть , то многоугольник , который получается при	пересечении	его с плоскостью , не может иметь больше шести сторон .
Свойства правильных многоугольников позволяют использовать их при составлении паркетов , то есть при покрытии плоскости фигурами без зазоров и	пересечений	.
Точка	пересечения	медиан является одновременно центром тяжести треугольника .
Чтобы познакомиться с этим свойством , начерти на плотном листе картона произвольный треугольник АВС и найди точку О	пересечения	его медиан .
Точка пересечения с осью х называется абсциссой точки М , а точка	пересечения	с осью у — ординатой .
А сколько на самом деле точек	пересечения	? .
Сколько точек	пересечения	могут иметь две различные прямые ? .
Найди координаты точки	пересечения	его диагоналей .
Построй окружность , описанную около треугольника АХВХСХ , и найди точки ее	пересечения	со сторонами треугольника АВС .
Определи свойство тех точек	пересечения	, которые не являются основаниями высот .
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек	пересечения	этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
Их всего пять : построение прямой ( 1 ) , окружности ( 2 ) , построение точки	пересечения	двух прямых ( 3 ) , прямой и окружности ( 4 ) и двух окружностей ( 5 ) .
В плоскости грани построить точку	пересечения	прямых DC и PN .
Найди координаты ее точек	пересечения	с осями координат .
Найди координаты точек	пересечения	этой окружности с прямой ВС , если В ( -5 ; 7 ) , С ( 4 ; -2 ) .
Например , точка	пересечения	медиан М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой , причем точка М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
Обозначим эти точки В и С. Проведем две окружности того же радиуса с центрами в В и С и найдем их точку	пересечения	, принадлежащую углу , — точку М. Луч AM — биссектриса .
Точка	пересечения	с осью х называется абсциссой точки М , а точка пересечения с осью у — ординатой .
Найди приближенное значение координат точек	пересечения	этих окружностей ( 1 ед .
Точка	пересечения	медиан .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла А и найдем ее точки	пересечения	со сторонами угла .
Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан , то сможем проверить еще одно свойство : точка	пересечения	медиан делит их в отношении 2:1 , считая от вершины .
Найди координаты точек	пересечения	сторон треугольника с осями координат .
358 а ) Построй отрезок АВ , равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и центрами в точках А и В до их	пересечения	в точке С. Соедини точки A , R и С отрезками и определи вид треугольника АВС .
Например , чтобы построить точку С ( -4 ; 2 ) , можно провести через ее абсциссу ( -4 ) и ординату 2 прямые , перпендикулярные осям координат , и найти точку	пересечения	этих прямых .
Через точки С и D	пересечения	окружностей проведем прямую CD .
Сколько точек	пересечения	могут иметь прямая и окружность ? .
499 Построй треугольник АВС , проведи три его медианы и найди их точку	пересечения	О.
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек	пересечения	окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Точка	пересечения	прямой CD с данным отрезком и есть искомая середина отрезка АВ .
В плоскости грани провести прямую МК до ее	пересечения	с прямой DD в точке Р .
Он доказал , что центр описанной окружности треугольника АВС совпадает с точкой	пересечения	окружностей , описанных около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
183 На миллиметровой бумаге проведи прямые АВ и CD и найди координаты точки их	пересечения	, если .
Пусть О — точка	пересечения	медиан .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла и найдем точки ее	пересечения	со сторонами угла .
Какие из них являются точками	пересечения	прямой с ребрами куба или их продолжениями ? .
Найди координаты точки	пересечения	этих прямых .
Построение сечения для этого случая показано : прямые МК и АВ продолжены до их	пересечения	в точке Р. Значит , прямая PN , а вместе с ней и ее точка Т лежат в плоскости а , и теперь можно построить пересечение ее с каждой гранью тетраэдра .
Построй фигуру , которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма : а ) на вектор ВС ; б ) на вектор DB ; в ) на вектор АО , где О — точка	пересечения	диагоналей параллелограмма ABCD .
Проведи диагонали и определи координаты точки их	пересечения	.
Сколько точек	пересечения	могут иметь две окружности ? .
Найди координаты точки	пересечения	диагоналей четырехугольника ABCD .
Теперь рассмотрим пример умножения положительного числа на отрицательное , Так как при	перестановке	множителей произведение не должно меняться ( переместительное свойство умножения ) , то сохранится и правило , по которому мы ищем результат .
4 ) При	перестановке	слагаемых значение суммы не меняется .
Найти все трехзначные числа , цифры десятков которых равны 5 и которые при	перестановке	цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594 .
Найти двузначное число , которое при	перестановке	его цифр уменьшается в 1,2 раза .
2 ) Двузначное число при	перестановке	его цифр увеличилось на 18 .
114 Сделай все возможные	перестановки	членов пропорции , не нарушающие ее .
97 Составь из равенства пропорцию и сделай все	перестановки	ее членов , не нарушающие эту пропорцию .
128 Сделай все возможные	перестановки	членов пропорции , не нарушающие пропорцию . .
98 Составь пропорцию из данных чисел и сделай все	перестановки	ее членов , не нарушающие эту пропорцию .
Найти все двузначные числа , которые от	перестановки	их цифр увеличиваются на 36
Найти все двузначные числа , которые от	перестановки	их цифр увеличиваются в 4,5 раза .
96 Сделай все возможные	перестановки	членов пропорции , не нарушающие ее .
Простейшие преобразования пропорций связаны с	перестановкой	ее членов .
486 Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга	перестановкой	цифр , а их разность образует точный квадрат ? .
С помощью свойств арифметических действий можно выполнять различные преобразования выражений с рациональными числами :	перестановку	слагаемых , раскрытие скобок и т .
Как изменился	периметр	прямоугольника и на сколько процентов ? .
Чему равны ее	периметр	и площадь ? .
Периметр квадрата равен 6 м , а	периметр	прямоугольника на 20 % больше .
На сколько процентов изменились	периметр	и площадь прямоугольника ? .
Найди	периметр	и площадь получившейся фигуры .
, а	периметр	равен 22,4 дм .
Как изменился	периметр	треугольника и на сколько процентов ?
Чему равен	периметр	четырехугольника ? .
687 а ) Вычисли	периметр	правильного шестиугольника со стороной 4,5 см . б )
Найди	периметр	и площадь прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
Чему равны	периметр	и площадь прямоугольника , если .
129 а ) Ширина прямоугольника на 48 % меньше длины , а его	периметр	равен 7,6 см. Чему равна площадь этого прямоугольника ? .
Уменьшился или увеличился его	периметр	и на сколько процентов ? .
Чему равен	периметр	треугольника ? .
412 Найди площадь фигуры , составленной из 9 квадратов , если ее	периметр	равен 32 см .
Найти	периметр	прямоугольника .
Как и на сколько процентов изменился	периметр	прямоугольника ? .
Найди его	периметр	и площадь , если на плане с масштабом 3 : 500 стороны прямоугольника имеют длину 12 см и 45 см .
Найди ее	периметр	и площадь .
На сколько процентов уменьшился	периметр	прямоугольника ? .
88 Стороны прямоугольника относятся как 4 : 7 , а его бóльшая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону ,	периметр	и площадь этого прямоугольника .
Чему равен	периметр	прямоугольника ? .
Длина прямоугольника а дм , а площадь — n дм2 Чему равен	периметр	прямоугольника ? .
Запиши формулы периметра и площади прямоугольника , обозначив его стороны буквами а и b ,	периметр	— буквой Р , a площадь — S . 2 ) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади квадрата .
На сколько процентов третья сторона треугольника меньше второй , если его	периметр	равен 5,7 см ? .
379 Можно ли построить треугольник , у которого	периметр	равен 24 см , а сумма длин двух сторон — 9 см ? .
Сделай необходимые измерения и вычисли его	периметр	и площадь .
Ширина прямоугольника b м , а	периметр	— р м .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди	периметр	треугольника , б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
Найти	периметр	прямоугольника , ( а = 8,6 ) .
Например ,	периметр	прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон Р = 2(а + b ) , а вовсе не их произведению .
Чему равны площадь и	периметр	прямоугольника , если : а ) длина больше ширины в 1,6 раза ; б ) ширина составляет — длины ; в ) длина на 30 % больше ширины ; г ) ширина на 20 % меньше длины ? .
94 Квадрат и прямоугольник имеют одинаковый	периметр	.
740 Составь формулы для вычисления	периметра	многоугольника .
Составь выражения для вычисления площади и	периметра	получившейся фигуры .
390 а ) Первая сторона треугольника составляет 30 % его периметра , а вторая — 25 %	периметра	.
390 а ) Первая сторона треугольника составляет 30 % его	периметра	, а вторая — 25 % периметра .
Запиши формулы периметра и площади прямоугольника , обозначив его стороны буквами а и b , периметр — буквой Р , a площадь — S . 2 ) Введи обозначения и запиши формулы	периметра	и площади квадрата .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его	периметра	, вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника , б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
Запиши формулы	периметра	и площади прямоугольника , обозначив его стороны буквами а и b , периметр — буквой Р , a площадь — S . 2 ) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади квадрата .
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы	периметра	и площади прямоугольника и квадрата , формулы площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда и куба .
б ) Длина прямоугольника на 3,6 см больше ширины , а ширина составляет у его	периметра	.
Чему равна длина стороны квадрата с тем же	периметром	? .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 )	периметром	Р квадрата и его стороной а ; 2 ) площадью S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V прямоугольного параллелепипеда , площадью его основания S и высотой h .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его	периметром	Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Какую часть площадь этого прямоугольника составляет от площади квадрата с тем же	периметром	?
На сколько квадратных дециметров площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же	периметром	? .
д. Единицами измерения площадей служили либо участки земли , которые можно было вспахать за день , либо длины обхода этих участков — ошибочно предполагалось , что фигуры , равные по площади , имеют и равные	периметры	.
Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях , когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый одинаковый фиксированный	период	времени .
5 ) На сколько вырос каждый из них в первые 5 лет жизни , в	период	с 16 до 20 лет ? .
Сколько килограммов меда с одного улья в среднем собрал пасечник за этот	период	? .
Пасечник собрал со своих 24 ульев в период цветения липы а кг меда , в период цветения гречихи — b кг меда , а в	период	цветения клевера — с кг меда .
Пасечник собрал со своих 24 ульев в период цветения липы а кг меда , в	период	цветения гречихи — b кг меда , а в период цветения клевера — с кг меда .
Аналогичная формула получится , если некоторая величина уменьшается за данный	период	времени на определенное число процентов .
Остальные дроби переведи в бесконечные периодические дроби , указав	период	.
где r — радиус окружности , Т — время , за которое оно совершает один полный оборот (	период	обращения ) , π — число , равное примерно 3,14 .
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную , и запиши ее в виде бесконечной периодической дроби , указав	период	.
Пасечник собрал со своих 24 ульев в	период	цветения липы а кг меда , в период цветения гречихи — b кг меда , а в период цветения клевера — с кг меда .
Он узнал , что на соседнем предприятии средний заработок слесаря за этот же	период	составил 18460 р .
Остальные дроби переведи в бесконечные	периодические дроби	, указав период .
Представь дроби в виде бесконечных	периодических дробей	и округли с точностью до тысячных .
730 Запиши значение выражения в виде бесконечной	периодической дроби	.
Докажи , что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную , и запиши ее в виде бесконечной	периодической дроби	, указав период .
Пусть это точки С и D Затем построим серединный	перпендикуляр	b к отрезку CD .
655 Начерти отрезок АС и построй его серединный	перпендикуляр	l.
Высотой треугольника называется	перпендикуляр	, проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону .
Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по длине его стороны а и длине	перпендикуляра	h , опущенного из вершины параллелограмма на эту сторону .
Поэтому проведенное построение одновременно является и построением серединного	перпендикуляра	.
637 Для проведения	перпендикуляра	к прямой часто используют чертежный угольник , как показано .
145 В треугольнике ABC отрезок BD	перпендикулярен	к основанию АС , АС = a , BD = h.
Точки А и А1 не принадлежащие прямой l , называются симметричными относительно l , если отрезок АА1	перпендикулярен	этой прямой и делится ею пополам .
Перегибая лист бумаги по оси симметрии l , мы наблюдаем , что отрезок АА ,	перпендикулярен	прямой l и отрезки AM и А1М равны .
Точки любой прямой ,	перпендикулярной	оси абсцисс , имеют одинаковые абсциссы , а любой прямой , перпендикулярной оси ординат , — одинаковые ординаты .
Построение прямой ,	перпендикулярной	данной и проходящей через данную точку .
Точки любой прямой , перпендикулярной оси абсцисс , имеют одинаковые абсциссы , а любой прямой ,	перпендикулярной	оси ординат , — одинаковые ординаты .
прямую ,	перпендикулярную	данной и проходящую через данную точку ( задача 6 ) .
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а	перпендикулярны	.
Некоторые параллельные плоскости	перпендикулярны	.
Чтобы определить положение любой точки М на координатной плоскости , надо провести через нее прямые ,	перпендикулярные	осям координат .
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку , прямую , луч , отрезок , прямоугольник и квадрат , различные углы , окружность , параллельные и	перпендикулярные	прямые и т .
Например , чтобы построить точку С ( -4 ; 2 ) , можно провести через ее абсциссу ( -4 ) и ординату 2 прямые ,	перпендикулярные	осям координат , и найти точку пересечения этих прямых .
е ) Две	перпендикулярные	прямые имеют общую точку .
Найди на чертеже и перечисли все пары : а ) пересекающихся прямых ; б ) непересекающихся прямых ; в ) параллельных прямых ; г )	перпендикулярных	прямых .
Система координат на плоскости может быть задана парой	перпендикулярных	координатных прямых с общим началом отсчета О. Одну из этих прямых называют осью абсцисс ( или осью х ) , а другую — осью ординат ( осью у ) .
Для построения квадрата можно провести два взаимно	перпендикулярных	диаметра , а разделив образовавшиеся дуги пополам , построим правильный восьмиугольник .
Такую прямую называют серединным	перпендикуляром	к отрезку .
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется	перпендикуляром	, проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
Если построение выполнено точно , то все	перпендикуляры	пересекутся в одной точке — точке О. Обратим внимание , что расположение точки О зависит от вида треугольника : у остроугольного треугольника он находится внутри , у прямоугольного — на гипотенузе , а у тупоугольного — снаружи .
Начертим произвольный треугольник АВС и проведем серединные	перпендикуляры	к его сторонам .
Серединные	перпендикуляры	к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности .
Если из вершин произвольного треугольника провести	перпендикуляры	на противоположные стороны ( их называют высотами ) , то все они пересекутся в одной точке Н. Эта точка называется ортоцентром .
Греческая буква π ( «	пи	» ) в приведенных формулах обозначает число , равное отношению длины любой окружности к своему диаметру .
Мы уже встречались с такими пространственными фигурами , как прямоугольный параллелепипед , куб ,	пирамида	, цилиндр , шар , конус .
Какая это	пирамида	? .
На втором рисунке	пирамида	стала прозрачной — мы видим все ее ребра , грани , но по этому рисунку не ясно , как линии расположены в пространстве .
б ) Существует ли	пирамида	, у которой 999 ребер ? .
Изображена одна и та же	пирамида	.
Самым простым многогранником является треугольная	пирамида	.
477 а ) Какие из геометрических тел — конус , прямоугольный параллелепипед , цилиндр , шар ,	пирамида	, куб — являются многогранниками ? .
Изображены фигуры , которые называются « усеченными	пирамидами	» .
По аналогии с усеченными	пирамидами	начерти « усеченный конус » .
Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников , поэтому треугольную	пирамиду	называют еще тетраэдром ( от латинского tetra — четыре ) .
454 Перерисуй	пирамиду	в тетрадь и построй ее сечение плоскостью , проходящей через точки М , N и К. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина .
450 Найди в окружающей обстановке предметы , имеющие форму куба , прямоугольного параллелепипеда , шара ,	пирамиды	, цилиндра , конуса .
483 Какие из заготовок могут быть развертками	пирамиды	и почему ? .
У	пирамиды	основанием является многоугольник , а боковые грани — треугольники с общей вершиной .
Сколько вершин у основания этой	пирамиды	? .
481 а ) Сколько вершин у k - угольной	пирамиды	? .
Изображены	пирамиды	.
Поверхность треугольной	пирамиды	состоит из четырех треугольников , поэтому треугольную пирамиду называют еще тетраэдром ( от латинского tetra — четыре ) .
У	пирамиды	100 ребер .
Какие плоские фигуры ограничивают усеченные	пирамиды	?
В множестве многогранников можно выделить различные классы и подклассы :	пирамиды	, параллелепипеды и т .
г ) У	пирамиды	725 вершин .
В зависимости от числа сторон многоугольника , лежащего в основании	пирамиды	, она называется треугольной , четырехугольной , пятиугольной и т .
б ) У	пирамиды	а граней .
480 а ) Сколько ребер семиугольной	пирамиды	выходит из вершины , не принадлежащей основанию ?
д. Число граней и число вершин л - угольной	пирамиды	всегда равно n + 1 , а число ребер равно 2 n .
479 Воспроизведи в тетради рисунок	пирамиды	.
Какие	плоские	фигуры ограничивают усеченные пирамиды ?
Но предметы окружающего нас мира имеют пространственную форму , поэтому в геометрии рассматриваются как	плоские	, так и пространственные фигуры .
Примером паркета , созданного природой , является	плоский	срез пчелиных сот .
До сих пор мы рассматривали только фигуры на плоскости — и это понятно , ведь геометрия произошла от землемерия , а значит , от исследования свойств именно	плоских	фигур .
Из названий ясно , что все точки	плоской	фигуры располагаются в одной плоскости , а пространственной — нет .
Их можно получить в результате вращения в пространстве некоторой	плоской	фигуры вокруг прямой l , которая называется осью вращения .
Какие из	плоскостей	, приведенных , являются плоскостями симметрии данных фигур ?
Показаны различные случаи сечения куба плоскостью а , проходящей через точки М , N и К. Построение этих сечений требует знания свойств взаимного расположения прямых и	плоскостей	в пространстве , которые будут изучаться в старших классах .
Решить эту задачу помогает свойство	плоскостей	, которое мы наблюдаем ежедневно , листая книгу или тетрадь : две различные непараллельные плоскости пересекаются по прямой .
635 Сколько	плоскостей	симметрии имеют : а ) прямоугольный параллелепипед ; б ) куб ; в ) конус ; г ) цилиндр ; в ) шар ? .
В	плоскости	грани построить точку пересечения прямых DC и PN .
2 Преобразования	плоскости	.
Окружностью называется фигура , состоящая из всех точек	плоскости	, расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Система координат на	плоскости	может быть задана парой перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчета О. Одну из этих прямых называют осью абсцисс ( или осью х ) , а другую — осью ординат ( осью у ) .
Построение сечения для этого случая показано : прямые МК и АВ продолжены до их пересечения в точке Р. Значит , прямая PN , а вместе с ней и ее точка Т лежат в	плоскости	а , и теперь можно построить пересечение ее с каждой гранью тетраэдра .
Координатная прямая может располагаться на	плоскости	по - разному .
Поэтому окружность можно определить как множество всех точек	плоскости	, находящихся на одинаковом расстоянии от одной заданной точки .
Чтобы определить положение любой точки М на координатной	плоскости	, надо провести через нее прямые , перпендикулярные осям координат .
Точки М и N принадлежат одновременно	плоскости	а и передней грани куба , поэтому плоскость а пересекает переднюю грань по отрезку MN .
Один из таких классов образуют многогранники — геометрические тела , поверхность которых состоит из граней , то есть частей	плоскости	, ограниченных многоугольниками .
Значит , наша задача сводится к нахождению двух общих точек	плоскости	а и каждой грани куба , которую она пересекает .
Среди различных фигур на	плоскости	внимание художников и ученых всегда привлекали многоугольники , обладающие разными видами симметрии .
Из названий ясно , что все точки плоской фигуры располагаются в одной	плоскости	, а пространственной — нет .
Если поверхность многогранника удается разрезать по некоторым ребрам так , чтобы ее можно было развернуть на	плоскости	, то получится фигура , которую называют разверткой многогранника .
Свойства правильных многоугольников позволяют использовать их при составлении паркетов , то есть при покрытии	плоскости	фигурами без зазоров и пересечений .
При повороте вокруг точки О все точки	плоскости	движутся по окружностям с центром О , а значит , их расстояние до точки О не меняется .
До сих пор мы рассматривали только фигуры на	плоскости	— и это понятно , ведь геометрия произошла от землемерия , а значит , от исследования свойств именно плоских фигур .
Наглядное представление о точке дает след , который оставляет на бумаге неподвижный остро заточенный карандаш , представление о прямой — туго натянутая тонкая нить , представление о	плоскости	— спокойная гладь воды .
Однако многие свойства даже таких простейших фигур на	плоскости	, как треугольник , были найдены не сразу , а в результате длительной и кропотливой работы с конкретными треугольниками , а затем обобщения полученных выводов .
В настоящее время известны и многие другие взаимосвязи между длинами , площадями и объемами фигур на	плоскости	и в пространстве .
1 Геометрические фигуры на	плоскости	.
1 Прямоугольные координаты на	плоскости	.
Решить эту задачу помогает свойство плоскостей , которое мы наблюдаем ежедневно , листая книгу или тетрадь : две различные непараллельные	плоскости	пересекаются по прямой .
Тогда при повороте	плоскости	вокруг центра этой окружности на угол , кратный , многоугольник перейдет сам в себя .
Каждый без труда может изобразить на	плоскости	точку , прямую , луч , отрезок , прямоугольник и квадрат , различные углы , окружность , параллельные и перпендикулярные прямые и т .
В	плоскости	грани провести прямую МК до ее пересечения с прямой DD в точке Р .
б ) Две прямые называются параллельными , если они лежат в одной	плоскости	и не пересекаются .
5 ) ( Р — множество прямых на	плоскости	; знак I обозначает параллельность прямых ) .
Начерти на координатной	плоскости	фигуру , составленную из ломаных линий , и закодируй ее с помощью координат .
б ) Замкнутая ломаная линия без самопересечений , все точки которой принадлежат одной	плоскости	, называется многоугольником .
Введение отрицательных чисел позволяет сделать следующий шаг : определить положение теперь уже любой точки на	плоскости	.
226 Построй на одной координатной	плоскости	графики зависимости у = kx , если k = .
225 Построй на одной координатной	плоскости	графики зависимостей .
в ) Окружностью называется множество всех точек	плоскости	, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемой центром окружности .
Таким образом , мы приходим к понятию системы координат на	плоскости	.
181 На координатной	плоскости	проведена линия .
Введение системы координат на	плоскости	позволяет сопоставить каждой точке ее координаты , которые могут быть как положительными , так и отрицательными числами .
Биссектрисой угла называется луч , который исходит из вершины угла и делит часть	плоскости	, ограниченную углом , на две равные части .
316 Построй в одной координатной	плоскости	графики зависимостей .
А виды сечений определяются взаимным расположением геометрического тела и секущей его	плоскости	.
Аналогично пересечением	плоскости	а с верхней гранью является отрезок NK , а с боковой гранью — отрезок КМ .
Где расположены все точки координатной	плоскости	, ордината которых равна 3 ?
Заметим , что , как и в случае с координатным углом , изменение порядка координат меняет положение точки на	плоскости	.
214 Построй на одной координатной	плоскости	графики зависимостей вида если .
Некоторые параллельные	плоскости	перпендикулярны .
733 Построй на координатной	плоскости	треугольник АВС , если А ( -2 ; -5 ) , В ( 0 ; 3 ) , С ( 8 ; 5 ) .
Придавая коэффициенту k различные значения , мы будем получать различные расположения графиков на	плоскости	, но все эти графики — прямые линии .
Развертка цилиндра на	плоскости	состоит из двух кругов — оснований цилиндра , и прямоугольника — его боковой поверхности .
179 Построй на координатной	плоскости	две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
Особенностью сферической поверхности является то , что ее невозможно « развернуть » на	плоскости	.
"На шкале известного нам прибора — транспортира — отложены углы в 1 "" , поэтому с его помощью можно измерять или строить на"	плоскости	любой угол , выраженный в градусах .
Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки М. Обозначение координат точки на	плоскости	остается прежним , а именно : М(-1 ; 4 ) .
Представление о ней можно получить при перегибании	плоскости	по некоторой прямой l : когда совмещаются либо две половинки одной фигуры F , либо две различные фигуры F1 и F2 .
212 Построй на одной координатной	плоскости	графики трех данных зависимостей у от х .
210 Установи формулу зависимости между переменными у и х и построй график этой зависимости на координатной	плоскости	.
592 Где расположена на координатной	плоскости	точка М ( х ; у ) , если .
593 Построй на координатной	плоскости	несколько точек М ( х ; у ) , у которых сумма абсциссы и ординаты равна 5 .
171 Построй систему координат на	плоскости	и отметь точки А ( -3 ; 4 ) , В ( 9 ; 4 ) , С ( 9 ; -2 ) и D ( -3 ; -2 ) .
Существуют и другие системы координат на	плоскости	, например , аффинная , полярная и др .
Все описанные преобразования	плоскости	обладают важным общим свойством : в результате их выполнения получаются фигуры , которые можно совместить наложением , то есть равные фигуры .
Построй на одной координатной	плоскости	графики зависимостей величин у = 2х и у = -2х .
в ) Построй на одной координатной	плоскости	графики зависимостей величин .
Отметь на координатной	плоскости	несколько точек , абсцисса которых равна -2 .
213 Построй на одной координатной	плоскости	графики зависимостей вида если .
291 Начерти на координатной	плоскости	произвольный отрезок , абсциссы и ординаты точек которого удовлетворяют данным неравенствам .
Где на координатной	плоскости	расположены точки с абсциссой , равной 0 ?
Вначале составим таблицу некоторых значений х и соответствующих им значений у , отметим точки с координатами на координатной	плоскости	и соединим точки линией .
д ) Две параллельные прямые лежат в одной	плоскости	.
Древние греки даже считали , что с помощью циркуля и линейки без делений можно выполнить любое построение на	плоскости	, пока не столкнулись с некоторыми задачами , которые никто не мог решить на протяжении почти 24 веков .
4 Координатная	плоскость	.
К основным понятиям в геометрии относятся , прежде всего , точка , прямая и	плоскость	.
Приведенный пример показывает , как разнообразные математические понятия — отрицательные числа , координатная	плоскость	, формулы , графики , — возникшие из внутренней логики развития самой математики , оказываются практически значимыми .
Оси разбивают координатную	плоскость	на четыре области , которые называют координатными четвертями .
Если какая - нибудь	плоскость	пересекает шар , то пересечением является либо точка , либо круг .
182 Построй на миллиметровой бумаге координатную	плоскость	и проведи окружность с центром в начале координат и радиусом 3,5 единичных отрезка .
Точки М и N принадлежат одновременно плоскости а и передней грани куба , поэтому	плоскость	а пересекает переднюю грань по отрезку MN .
Это определение окружности опирается на понятия « множество » , « точка » , « расстояние » , « одинаковый » , «	плоскость	» .
Предложи свой вариант определения круга , пользуясь понятиями « окружность » , «	плоскость	» .
Пусть требуется изобразить сечение куба	плоскостью	а , проходящей через точки на ребрах куба .
454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй ее сечение	плоскостью	, проходящей через точки М , N и К. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина .
Поскольку граней у прямоугольного параллелепипеда всего шесть , то многоугольник , который получается при пересечении его с	плоскостью	, не может иметь больше шести сторон .
453 Перенеси рисунок куба в тетрадь и построй его сечение	плоскостью	, проходящей через точки М , N и К. Проверь правильность построения с помощью модели куба .
508 На ребре AD тетраэдра ABCD отметили точку М , на ребре АС — точку N , а на ребре ВС — точку К. Построй сечение тетраэдра ABCD	плоскостью	а , проходящей через точки М , N я К .
Показаны различные случаи сечения куба	плоскостью	а , проходящей через точки М , N и К. Построение этих сечений требует знания свойств взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве , которые будут изучаться в старших классах .
При пересечении тетраэдра с	плоскостью	могут образоваться точка , отрезок , треугольник или четырехугольник .
б ) Плоскость а проходит через точки М , N и К. Перенеси рисунок в тетрадь и построй сечение куба	плоскостью	а по следующему алгоритму .
При сечении цилиндра , конуса или любого тела вращения	плоскостью	, содержащей ось вращения , получается осевое сечение .
617 Плоскость а называют	плоскостью	симметрии , если пространственные фигуры « отражаются » в ней , как в зеркале .
Исследование свойств пространственной фигуры можно проводить , строя ее сечения	плоскостью	.
б ) Построй сечение тетраэдра ABCD	плоскостью	, проходящей через его вершины — А , В и середину М ребра CD .
Плоскость , на которой задана система координат , называется координатной	плоскостью	.
в ) Построй сечение куба ABCDA1B1C1D1	плоскостью	, проходящей через вершины А1 , D , С1 .
Например , сечением тетраэдра	плоскостью	а , проходящей через точки М , N и К , является треугольник MNK .
714 а ) Какие многоугольники могут получаться при пересечении	плоскостью	правильного тетраэдра , гексаэдра ( куба ) ?
470 Перенеси рисунок фигуры в тетрадь и построй ее сечение	плоскостью	, проходящей через точки А , В и С. Проверь правильность построения с помощью предметных моделей .
Какие из плоскостей , приведенных , являются	плоскостями	симметрии данных фигур ?
Тела Архимеда получаются из правильных многогранников с помощью операции « усечения » , то есть отсечения углов	плоскостями	.
Формулы зависимостей между линейными размерами геометрических фигур , их площадями и объемами позволили перейти от непосредственных измерений	площадей	и объемов к вычислениям по этим формулам .
253 а ) Высота прямоугольного параллелепипеда равна 5 см , ширина составляет 28 % длины , а сумма	площадей	его боковых граней 192 см2 .
Точка М делит сторону АВ в отношении 4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно отношение	площадей	фигур , на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD ?
д. Единицами измерения	площадей	служили либо участки земли , которые можно было вспахать за день , либо длины обхода этих участков — ошибочно предполагалось , что фигуры , равные по площади , имеют и равные периметры .
570 Запиши формулы для вычисления	площадей	треугольников .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение	площадей	фигур , на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
Используя рисунки , покажи , что сумма	площадей	квадратов , построенных на катетах , равна площади квадрата , построенного на гипотенузе .
Раздели число 360 в отношении 2 : 2,5 : 4,5 . б ) Площади трех участков земли находятся в отношении , а сумма их	площадей	равна 90 га .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение	площадей	фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
д. Единицами измерения площадей служили либо участки земли , которые можно было вспахать за день , либо длины обхода этих участков — ошибочно предполагалось , что фигуры , равные по	площади	, имеют и равные периметры .
506 Сравни суммы длин всех ребер , объемы и	площади	поверхности куба с ребром 7 м и прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 м , 5 м и 6 м .
Площадь первого составляет 30 % площади второго , а площадь второго относится к	площади	третьего как 2,5 : 3 .
Вырази в процентах , какую примерно часть	площади	Москвы оно составляет и какую часть населения Москвы составляет его население .
144 Показана зависимость скорости v м / с течения реки на отдельных участках от	площади	поперечного сечения Р м2 на этих участках .
Площадь первого участка составляет 20 % общей площади , а	площади	второго и третьего относятся как 11 : 7 .
741 Составь формулы для вычисления	площади	фигуры .
Площадь первого участка составляет 20 % общей	площади	, а площади второго и третьего относятся как 11 : 7 .
При решении этих задач нужно было измерять	площади	, а значит , в первую очередь , измерять отрезки .
Наиболее распространенными единицами длины ,	площади	и объема в повседневной жизни являются .
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата , формулы	площади	поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда и куба .
Пользуясь данными таблицы , найди процент , который составляют площадь и население этих государств соответственно от	площади	и населения Москвы .
Площадь первого составляет 30 %	площади	второго , а площадь второго относится к площади третьего как 2,5 : 3 .
Основной единицей длины в этой системе является метр — часть Парижского меридиана , а единицы площади и объема согласованы с нею : за единицу	площади	принят квадратный метр , за единицу объема — кубический метр .
544 Сравни объемы и	площади	поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Чему равна ширина прямоугольника той же	площади	, длина которого равна 6 см ? .
На сколько гектаров площадь первого участка меньше	площади	третьего ? .
Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом , причем их	площади	относятся как 2 : 3 .
550 Во сколько раз площадь поверхности шара радиуса г больше	площади	круга того же радиуса ? .
540 Вычисли разными способами	площади	закрашенных фигур .
55 Ц Докажи , что фигуры А , В и С равновелики ( имеют равные	площади	) .
Составь выражения для вычисления	площади	и периметра получившейся фигуры .
Практический смысл формулы S = ab состоит в том , что для вычисления	площади	заданного прямоугольника нет необходимости измерять ее непосредственно , то есть укладывать прямоугольник квадратами единичной площади и подсчитывать их число .
На сколько квадратных дециметров площадь этого прямоугольника меньше	площади	квадрата с тем же периметром ? .
Какой процент	площади	, принадлежащей этому кооперативу , отведено под гаражи ? .
Какую часть площадь поверхности первого куба составляет от	площади	поверхности второго куба ?
Округли значение	площади	с точностью до десятых .
Для решения практических задач человеку часто приходится сравнивать разные значения одной и той же величины — массы , расстояния , времени , скорости , стоимости , объема ,	площади	и т .
в ) равные фигуры имеют равные	площади	.
длины стороны прямоугольника и его	площади	при постоянной длине другой стороны .
На сколько процентов площадь этого прямоугольника меньше	площади	квадрата ? .
Точно так же зависимость	площади	квадрата S от длины его стороны а выражается формулой S = а2 .
Запиши формулы объема и	площади	полной поверхности куба с ребром а .
Практический смысл формулы S = ab состоит в том , что для вычисления площади заданного прямоугольника нет необходимости измерять ее непосредственно , то есть укладывать прямоугольник квадратами единичной	площади	и подсчитывать их число .
142 Составь выражения для вычисления	площади	фигур .
339 В таблице приведены приближенные значения	площади	и численности населения некоторых европейских государств и города Москвы .
Выполни измерения и найди	площади	заштрихованных фигур .
Запиши формулу для вычисления	площади	параллелограмма по длине его стороны а и длине перпендикуляра h , опущенного из вершины параллелограмма на эту сторону .
251 Лиственные деревья занимают 40 %	площади	лесного участка .
Налог на часть площади сверх нормы , но не более двойной нормы , составляет 20 % от ставки земельного налога , а налог на часть	площади	свыше двойной нормы — по полной ставке земельного налога .
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы периметра и	площади	прямоугольника и квадрата , формулы площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда и куба .
Запиши формулы объема и	площади	полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями а , b и с .
Остальная часть занята кустарником и хвойными деревьями , причем их	площади	относятся как 3 : 5 .
- длина и ширина прямоугольника при постоянной	площади	и т .
На сколько процентов площадь первого прямоугольника меньше	площади	второго прямоугольника ? .
На сколько процентов надо увеличить урожайность картофеля , чтобы сократить посевные	площади	на 0,5 га ?
Затем , переходя к интенсивным способам земледелия , он в течение трех лет сокращал посевные	площади	на 10 % по сравнению с предыдущим годом .
Какую часть площадь этого прямоугольника составляет от	площади	квадрата с тем же периметром ?
Вырази из этой формулы длину b . 402 Вычисли	площади	фигур .
568 Найди	площади	закрашенных треугольников .
Мы уже узнали многое из того , что открыли математики древности , в частности , формулу	площади	прямоугольника : S = ab , где буквой S обозначена площадь прямоугольника , а буквами а и b — его длина и ширина .
401 Построй формулы , выражающие зависимость	площади	S фигуры от длин отрезков , указанных на чертеже .
Сколько гектаров составили посевные	площади	через 3 года ? .
Кукурузой засеяли 45 % всей	площади	.
Вычисли их	площади	, достраивая до прямоугольников .
Основной единицей длины в этой системе является метр — часть Парижского меридиана , а единицы	площади	и объема согласованы с нею : за единицу площади принят квадратный метр , за единицу объема — кубический метр .
Лиственные деревья занимают 20 %	площади	лесного массива .
Запиши формулы периметра и	площади	прямоугольника , обозначив его стороны буквами а и b , периметр — буквой Р , a площадь — S . 2 ) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади квадрата .
На сколько площадь прямоугольника меньше	площади	квадрата ? .
Разрежь фигуру В по линиям сетки на 8 одинаковых по	площади	частей так , чтобы в каждой части был один кружок .
Площадь Германии больше	площади	Франции .
Запиши формулы периметра и площади прямоугольника , обозначив его стороны буквами а и b , периметр — буквой Р , a площадь — S . 2 ) Введи обозначения и запиши формулы периметра и	площади	квадрата .
Выскажи гипотезу о форме прямоугольника наибольшей	площади	.
Налог на часть	площади	сверх нормы , но не более двойной нормы , составляет 20 % от ставки земельного налога , а налог на часть площади свыше двойной нормы — по полной ставке земельного налога .
Используя рисунки , покажи , что сумма площадей квадратов , построенных на катетах , равна	площади	квадрата , построенного на гипотенузе .
Чему равна общая площадь всех трех участков , если известно , что площадь третьего больше	площади	первого на 4,5 га ? .
Построй формулу зависимости	площади	полной поверхности прямоугольного параллелепипеда от его измерений .
е ) Если	площади	фигур равны , то равны и сами фигуры .
Найди периметр и	площадь	прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
Чему равна	площадь	всего лесного массива , если кустарником занято на 14 га меньше , чем хвойным лесом ? .
д. Нам известны также геометрические , величины длина ,	площадь	, объем , характеризующие свойства геометрических фигур .
Чему равна	площадь	поля , если тракторист работал равномерно ? .
Найди его объем и	площадь	поверхности .
88 Стороны прямоугольника относятся как 4 : 7 , а его бóльшая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону , периметр и	площадь	этого прямоугольника .
Площадь первого поля 75 га , а	площадь	второго поля на 50 га меньше .
Чему равна	площадь	полной поверхности параллелепипеда , если его объем равен 56 дм3 ? .
Пользуясь формулами , найди диаметр и	площадь	арены .
Как изменилась	площадь	прямоугольника и на сколько процентов ? .
550 Во сколько раз	площадь	поверхности шара радиуса г больше площади круга того же радиуса ? .
412 Найди	площадь	фигуры , составленной из 9 квадратов , если ее периметр равен 32 см .
	Площадь	сферы S также пропорциональна квадрату радиуса ( S = 4πr2 ) » а объем шара V — кубу радиуса ( V = πr3 ) .
309 Участок квадратной формы расширили так , что получили новый квадрат , сторона которого на 5 м больше стороны первоначального , а	площадь	при этом увеличилась на 225 м2 .
Длина ,	площадь	, объем .
Найди периметр и	площадь	получившейся фигуры .
Найди ее периметр и	площадь	.
за метр . 6 ) цена тетрадей и их количество , которые можно купить на 24 р . 7 ) длина и ширина прямоугольника ,	площадь	которого равна 60 м2 . 8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация .
Например , длина окружности С пропорциональна ее радиусу ( С = 2πr ) ,	площадь	круга S — квадрату радиуса ( S = πr2 ) .
Чему равны периметр и	площадь	прямоугольника , если .
На сколько процентов	площадь	первого прямоугольника меньше площади второго прямоугольника ? .
Найди объем и	площадь	боковой поверхности этого параллелепипеда .
Найди его периметр и	площадь	, если на плане с масштабом 3 : 500 стороны прямоугольника имеют длину 12 см и 45 см .
На сколько процентов	площадь	этого прямоугольника меньше площади квадрата ? .
На сколько процентов изменились периметр и	площадь	прямоугольника ? .
2 ) Существует ли квадрат , у которого длина стороны — натуральное число , а	площадь	равна 201201201201 ? .
Чему равна	площадь	первоначального участка ? .
502 Периметр прямоугольника равен 12 см , одна из сторон — х см , а	площадь	равна S см2 Запиши формулу зависимости S от х. Заполни таблицу и построй график этой зависимости .
На сколько квадратных дециметров	площадь	этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же периметром ? .
Какую часть	площадь	поверхности первого куба составляет от площади поверхности второго куба ?
Например , рост человека зависит от его возраста , тормозной путь автомобиля — от его скорости ,	площадь	квадрата — от его стороны .
Остальная	площадь	занята сосновым и еловым лесом , причем их площади относятся как 2 : 3 .
Длина прямоугольника а дм , а	площадь	— n дм2 Чему равен периметр прямоугольника ? .
493 Сравни сумму длин всех ребер ( L ) , объем ( V ) и	площадь	( S ) полной поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда .
Пользуясь данными таблицы , найди процент , который составляют	площадь	и население этих государств соответственно от площади и населения Москвы .
Чему равна	площадь	прямоугольника ? .
Мы уже узнали многое из того , что открыли математики древности , в частности , формулу площади прямоугольника : S = ab , где буквой S обозначена	площадь	прямоугольника , а буквами а и b — его длина и ширина .
Сделай необходимые измерения и вычисли его периметр и	площадь	.
Вычисли	площадь	этих помещений и общую площадь квартиры .
Вычисли площадь этих помещений и общую	площадь	квартиры .
На сколько процентов увеличилась	площадь	поля ? .
536 Вырази в единицах измерения e1 , е2 , е3 . а ) длину отрезка АВ . б )	площадь	прямоугольника ABCD . в ) объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA .
Уменьшилась или увеличилась его	площадь	и на сколько процентов ? .
Площадь первого составляет 30 % площади второго , а	площадь	второго относится к площади третьего как 2,5 : 3 .
На сколько	площадь	прямоугольника меньше площади квадрата ? .
Площадь одного ноля 32 га , а	площадь	второго поля 48 га .
Чему равна общая площадь всех трех участков , если известно , что	площадь	третьего больше площади первого на 4,5 га ? .
Чему равна общая	площадь	всех трех участков , если известно , что площадь третьего больше площади первого на 4,5 га ? .
Вычисли объем и	площадь	полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4,3 см , 6,1 см и 8,5 см. Ответы округли с точностью до десятых .
На сколько гектаров	площадь	первого участка меньше площади третьего ? .
После исполнения 5 желаний он имел	площадь	12 см2 , а после двух желаний его ширина была 9 см. Какой была его длина после исполнения первого желания ? . .
Чему равна	площадь	поля ? .
Запиши формулы периметра и площади прямоугольника , обозначив его стороны буквами а и b , периметр — буквой Р , a	площадь	— S . 2 ) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади квадрата .
Найти	площадь	прямоугольника , ( а = 2,5 ) .
Чему равны ее периметр и	площадь	? .
где l — длина проводника , S —	площадь	его поперечного сечения и ρ — удельное сопротивление .
Чему равны	площадь	и периметр прямоугольника , если : а ) длина больше ширины в 1,6 раза ; б ) ширина составляет — длины ; в ) длина на 30 % больше ширины ; г ) ширина на 20 % меньше длины ? .
129 а ) Ширина прямоугольника на 48 % меньше длины , а его периметр равен 7,6 см. Чему равна	площадь	этого прямоугольника ? .
Вычисли	площадь	каждого прямоугольника и отношение его большей стороны к меньшей .
566 а ) Чему равна	площадь	циферблата часов , если его радиус составляет 4,5 см ?
объем бассейна ; д )	площадь	квартиры ; е ) расстояние между городами ; ж ) рост человека ? .
На сколько процентов увеличилась	площадь	прямоугольника ? .
228 Длина прямоугольника 18,4 см , а площадь — 276 см. На сколько надо увеличить длину , чтобы при той же ширине	площадь	увеличилась до 300 см2 ? .
На сколько квадратных сантиметров уменьшилась его	площадь	? .
228 Длина прямоугольника 18,4 см , а	площадь	— 276 см. На сколько надо увеличить длину , чтобы при той же ширине площадь увеличилась до 300 см2 ? .
Вычисли его объем и	площадь	поверхности , если АВ = 5 м , AD = 6 м , АА , = 4 м .
Определи	площадь	всего участка , если сосновый лес занимает на 54 га меньше , чем еловый .
Какой имеет большую	площадь	поверхности ? .
в )	площадь	поля ; г )
Какую часть	площадь	этого прямоугольника составляет от площади квадрата с тем же периметром ?
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 )	площадью	полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и	площадью	S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 )	площадью	полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Подобная же зависимость существует между длиной стороны квадрата и его	площадью	.
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его стороной а ; 2 )	площадью	S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V прямоугольного параллелепипеда , площадью его основания S и высотой h .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его стороной а ; 2 ) площадью S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V прямоугольного параллелепипеда ,	площадью	его основания S и высотой h .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 )	площадью	S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Эта формула описывает соотношение между тремя величинами — длиной , шириной и	площадью	прямоугольника .
Фермер имеет 3 делянки с картофелем	площадью	соответственно 10 а , 20 а и 30 а .
273 Пшеницей засеяно 2 участка земли общей	площадью	75 га .
510 В бассейне с горизонтальным дном	площадью	0,5 га содержится 1000000 л воды .
Формулы зависимостей между линейными размерами геометрических фигур , их	площадями	и объемами позволили перейти от непосредственных измерений площадей и объемов к вычислениям по этим формулам .
В настоящее время известны и многие другие взаимосвязи между длинами ,	площадями	и объемами фигур на плоскости и в пространстве .
Например , вместо 3 пишут +3 ( читают : “	плюс	3 ” ) .
Например , для вычисления значения выражения можно заметить , что в числителе четыре знака “ минус , которые при умножении дадут “	плюс	” .
“ Минус на минус дает	плюс	” .
Эти равенства показывают , что правила знаков при раскрытии скобок для вычитания остаются прежними : “ минус минус ” преобразуется в “	плюс	” , а “ минус плюс ” — в “ минус ” .
Иногда их записывают со знаком “	плюс	” .
При уменьшении величины на определенное число процентов , считая от последнего значения , в формуле , как и для простого роста , вместо знака “	плюс	” появляется знак “ минус ” .
Эти равенства показывают , что правила знаков при раскрытии скобок для вычитания остаются прежними : “ минус минус ” преобразуется в “ плюс ” , а “ минус	плюс	” — в “ минус ” .
Так как знак “	плюс	” не изменяет знака числа , то знак “ минус ” , наоборот , меняет знак числа на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
И вообще , выражения , в которых содержатся одновременно	плюсы	и минусы , можно записать в виде суммы .
544 Сравни объемы и площади	поверхностей	куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Какую часть площадь поверхности первого куба составляет от площади	поверхности	второго куба ?
Чему равна площадь полной	поверхности	параллелепипеда , если его объем равен 56 дм3 ? .
а ) Развертка боковой	поверхности	цилиндра — прямоугольник , одна из сторон которого равна длине окружности основания .
Запиши формулы объема и площади полной	поверхности	куба с ребром а .
Найди его объем и площадь	поверхности	.
Развертка цилиндра на плоскости состоит из двух кругов — оснований цилиндра , и прямоугольника — его боковой	поверхности	.
Вычисли объем и площадь полной	поверхности	прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4,3 см , 6,1 см и 8,5 см. Ответы округли с точностью до десятых .
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата , формулы площади	поверхности	и объема прямоугольного параллелепипеда и куба .
528 Склей из бумаги модель цилиндра , радиус основания которого равен 3,5 см , а развертка боковой	поверхности	— прямоугольник со сторонами 7π см и 10 см , где π — число , равное примерно 3,14 .
Вычисли его объем и площадь	поверхности	, если АВ = 5 м , AD = 6 м , АА , = 4 м .
Запиши формулы объема и площади полной	поверхности	прямоугольного параллелепипеда с измерениями а , b и с .
550 Во сколько раз площадь	поверхности	шара радиуса г больше площади круга того же радиуса ? .
493 Сравни сумму длин всех ребер ( L ) , объем ( V ) и площадь ( S ) полной	поверхности	куба и прямоугольного параллелепипеда .
Особенностью сферической	поверхности	является то , что ее невозможно « развернуть » на плоскости .
Какую часть площадь	поверхности	первого куба составляет от площади поверхности второго куба ?
Сечения	поверхности	Земли плоскостями , параллельными экватору , — это известные всем параллели .
Построй формулу зависимости площади полной	поверхности	прямоугольного параллелепипеда от его измерений .
534 Сделай модель конуса , радиус основания которого равен 5 см , а радиус развертки боковой	поверхности	— 15 см .
Найди объем и площадь боковой	поверхности	этого параллелепипеда .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной	поверхности	S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
506 Сравни суммы длин всех ребер , объемы и площади	поверхности	куба с ребром 7 м и прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 м , 5 м и 6 м .
А сечения	поверхности	Земли плоскостями , проходящими через Северный и Южный полюсы , — это меридианы .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной	поверхности	S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Какой имеет большую площадь	поверхности	? .
Один из таких классов образуют многогранники — геометрические тела ,	поверхность	которых состоит из граней , то есть частей плоскости , ограниченных многоугольниками .
В основании конуса также лежит круг , а боковая	поверхность	представляет собой сектор круга .
Сверни из бумаги коническую	поверхность	и продемонстрируй , как можно использовать ее в виде пробки .
Вычисли угол α и построй развертку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую	поверхность	из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что длина дуги сектора равна длине окружности основания .
Боковая	поверхность	.
518 Пусть радиус основания конуса равен r , а его боковую	поверхность	можно развернуть в сектор круга радиуса R. Величина угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле .
Прямоугольный лист бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа , чтобы оклеить всю	поверхность	прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см , 4 см и 5 см ? .
Если	поверхность	многогранника удается разрезать по некоторым ребрам так , чтобы ее можно было развернуть на плоскости , то получится фигура , которую называют разверткой многогранника .
Иногда в классах геометрических фигур выделяются подклассы , то есть	подмножества	.
Покажи , как располагаются на ней	подмножества	равнобедренных и равносторонних треугольников .
365 Составь из элементов этого множества	подмножества	: 1 ) В — отрицательных рациональных чисел ;
570 Выбери из множества	подмножество	. 1 ) В — натуральных чисел ; 2 ) С — целых чисел ; 3 ) D — рациональных чисел .
Обозначим А ( п )	подмножество	множества А , состоящее из чисел , кратных п. Запиши , из каких элементов состоят А ( 2 ) , А ( 5 ) , А ( 10 ) , Л ( 3 ) , А ( 9 ) , А ( 6 ) , А ( 15 ) .
564 Выбери из множества	подмножество	: 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
447 Выбери из множества	подмножество	: 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Множество натуральных чисел является	подмножеством	множества дробей .
В данном выражении все слагаемые	подобны	, так как они имеют одну и ту же буквенную часть .
Приведем	подобные	слагаемые .
Раскроем скобки в выражении и приведем	подобные	слагаемые .
45 Приведи	подобные	слагаемые .
Вначале раскроем скобки и приведем	подобные	слагаемые в левой части уравнения .
62 Раскрой скобки и приведи	подобные	слагаемые .
44 Приведи	подобные	слагаемые ( устно ) .
773 Раскрой скобки и приведи	подобные	слагаемые .
43 Найди	подобные	слагаемые и назови их коэффициенты .
Привести	подобные	слагаемые в выражении .
47 Раскрой скобки и приведи	подобные	слагаемые .
Приведем	подобные	слагаемые в каждой из выделенных групп .
Такие слагаемые называются	подобными	, а сами преобразования называются приведением подобных слагаемых .
Пропорции , получаемые	подобными	преобразованиями , называют обычно производными пропорциями .
Такие слагаемые называются подобными , а сами преобразования называются приведением	подобных	слагаемых .
В этом выражении есть три группы	подобных	слагаемых .
Идея « воссоединения » или « переноса слагаемых возникает при сопоставлении уравнений ,	подобных	которые встретились нам выше .
3 Приведение	подобных	слагаемых .
правила упрощения выражений ( законы арифметических действий , правила раскрытия скобок , приведение	подобных	слагаемых и т.д ) .
Чтобы избежать	подобных	ошибок в применении формул , можно пользоваться любопытной арифметической связью между единицами измерения — их можно “ перемножать ” и “ делить ” по тем же правилам , что и числовые дроби .
Сформулируй определение степени с натуральным	показателем	.
В течение недели сменили	покрытие	на участке длиной 100 км .
Свойства правильных многоугольников позволяют использовать их при составлении паркетов , то есть при	покрытии	плоскости фигурами без зазоров и пересечений .
491 Требуется заменить 40 %	покрытия	дороги .
Сколько километров	покрытия	еще осталось заменить ? .
Два одинаковых трактора , работая равномерно , вспахали	поле	за б дней .
а ) Тракторист должен был вспахать	поле	за 5 дней .
За сколько дней вспашут это	поле	4 таких трактора , если будут работать с той же производительностью ? .
Вместе они вспахали все	поле	.
Чему равна урожайность каждого из	полей	?
Сколько тонн хлопка собрали с трех	полей	вместе , если с третьего поля собрали хлопка на 48 ц больше , чем со второго ? .
Квадрат отрицательного числа	положителен	.
Теперь рассмотрим пример умножения	положительного	числа на отрицательное , Так как при перестановке множителей произведение не должно меняться ( переместительное свойство умножения ) , то сохранится и правило , по которому мы ищем результат .
Модуль	положительного	числа больше ? .
модуль	положительного	числа а — само число а .
Это означает , что любое положительное число больше 0 и больше любого отрицательного числа , а любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого	положительного	числа .
Сложение рациональных чисел можно проиллюстрировать на координатной прямой : прибавление	положительного	числа — перемещением на соответствующее число вправо , а прибавление отрицательного числа — перемещением влево .
2 ) любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого	положительного	числа .
Задуманное	положительное	число сначала увеличили на 0,3 , потом его же уменьшили на 0,2 , полученные результаты перемножили и получили 0,36 .
Число , противоположное с , —	положительное	. 4 )
Учитель показал ребятам арифметический фокус : он предложил задумать	положительное	число , умножить его само на себя , к полученному результату прибавить удвоенное задуманное число и еще 1 .
Это означает , что любое	положительное	число больше 0 и больше любого отрицательного числа , а любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа .
Но обычно ее располагают горизонтально , а	положительное	направление выбирают “ слева направо ” .
любое	положительное	число больше 0 и больше любого отрицательного числа .
Положительные числа располагаются в положительном направлении от числа 0 (	положительное	направление указывается стрелкой ) , а отрицательные числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля : число ( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
Число а —	положительное	. 2 )
Положительные числа располагаются в	положительном	направлении от числа 0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а отрицательные числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля : число ( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
Итак , числа , противоположные отрицательным ,	положительны	.
Введенные таким образом	положительные	и отрицательные числа вместе с нулем составляют множество рациональных чисел ( обычно его обозначают буквой Q ) .
403 Известно , что а и b —	положительные	числа , а m и n — отрицательные .
490 Индийские математики в древности трактовали	положительные	числа как “ имущества ” , а отрицательные числа — как “ долги ” .
Как мы уже говорили ,	положительные	числа изображаются на координатной прямой точками , расположенными правее 0 , отрицательные — левее 0 .
Все	положительные	числа и 0 можно изобразить точками координатного луча .
Числа	положительные	? .
Если объединение слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала сложить	положительные	числа , затем сложить отрицательные числа и к первой сумме прибавить вторую .
443 Найди значения выражений , сложив отдельно	положительные	и отрицательные числа .
519 Каким числом —	положительным	, отрицательным или нулем — является произведение .
Произведение двух отрицательных чисел оказывается	положительным	.
В “ длинных ” выражениях , в которых фигурирует только умножение , при четном числе отрицательных множителей ответ будет	положительным	, а при нечетном числе — отрицательным .
Заметим , что число ( -а ) может быть и	положительным	.
А число 0 не является ни	положительным	, ни отрицательным .
Введение системы координат на плоскости позволяет сопоставить каждой точке ее координаты , которые могут быть как	положительными	, так и отрицательными числами .
При этом правила сравнения и правила действий с рациональными числами должны стать естественным продолжением соответствующих правил действий с уже известными нам	положительными	числами , иначе мы придем к противоречию .
Поэтому “ старые ” числа , кроме 0 , для противопоставления с отрицательными числами принято называть	положительными	.
Чтобы учесть направление поворота , углы поворота условились выражать рациональными числами :	положительными	— против часовой стрелки , а отрицательными — по часовой стрелке . .
Правила сравнения рациональных чисел можно вывести из известного нам правила сравнения	положительных	чисел , которое подсказывает нам координатная прямая .
426 Что больше : 1 ) сумма двух	положительных	чисел или одно из них ; 2 ) сумма двух отрицательных чисел или одно из них ? .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В —	положительных	чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Заметим также , что для рациональных чисел останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая	положительных	чисел : длина отрезка на координатной прямой равна разности координат его правого и левого концов .
Одно из двух	положительных	чисел на 0,5 больше другого , а их произведение равно 0,14 .
Поэтому в данном случае мы будем исходить не из житейской практики , а из того , что при умножении рациональных чисел должны выполняться установленные ранее свойства умножения	положительных	чисел , в частности .
76 Реши уравнение на множестве : a ) Q ; б ) Z ; в ) N . г )	положительных	чисел ; д ) неотрицательных чисел .
302 Приведи примеры использования	положительных	и отрицательных чисел в практических задачах .
Аналогично рассуждая , нетрудно получить и правила сложения рациональных чисел с числом 0 , обобщающие соответствующие правила сложения для	положительных	чисел .
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В —	положительных	чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
547 Известны следующие свойства деления для	положительных	чисел .
Значит , собственная скорость объекта равна	полусумме	его скоростей но течению и против течения .
Когда параллели приближаются к	полюсам	, их радиусы уменьшаются , а самый большой радиус — у экватора Земли , он равен примерно 6378 км .
Колхоз засеял овсом два	поля	.
е ) Фермер с каждого гектара из 4 га своего	поля	собрал по b т картофеля .
Площадь одного ноля 32 га , а площадь второго	поля	48 га .
Определи урожайность картофеля на каждой из делянок и среднюю урожайность всего картофельного	поля	.
Сколько тонн хлопка собрали с трех полей вместе , если с третьего	поля	собрали хлопка на 48 ц больше , чем со второго ? .
При проведении землеустройства длину	поля	увеличили на 5 % , а ширину — на треть .
в ) площадь	поля	; г )
Площадь первого	поля	75 га , а площадь второго поля на 50 га меньше .
Площадь первого поля 75 га , а площадь второго	поля	на 50 га меньше .
На сколько процентов увеличилась площадь	поля	? .
Сколько гектаров	поля	засеяно кукурузой ? .
С первого	поля	собрали урожай 2580 ц , а со второго 720 ц .
Колхоз засеял пшеницей два	поля	.
На сколько урожайность первого	поля	была выше , чем второго ?
С первого	поля	собрали д : ц овса , а со второго — у ц .
Один трактор вспахал 15 % всего	поля	и еще 1,2 га , а второй — — всего поля и остальные 0,3 га .
Чему равна площадь	поля	? .
Площадь	поля	80 га .
274 С первого	поля	собрали на 25 % меньше хлопка , чем со второго , а с третьего — на 20 % меньше , чем с первых двух .
Один трактор вспахал 15 % всего поля и еще 1,2 га , а второй — — всего	поля	и остальные 0,3 га .
Чему равна площадь	поля	, если тракторист работал равномерно ? .
Именно ради такого рода выводов и рассматриваются средние значения величин — идет ли речь о среднем урожае на различных	полях	, уровне доходов населения страны , уровне производства электроэнергии или о состоянии загрязненности города выхлопными газами автомобилей .
Несложно показать , что результат подсчета доходов и расходов зависит лишь от величины доходов и расходов и не зависит от	порядка	слагаемых и порядка действий .
Заметим , что , как и в случае с координатным углом , изменение	порядка	координат меняет положение точки на плоскости .
Несложно показать , что результат подсчета доходов и расходов зависит лишь от величины доходов и расходов и не зависит от порядка слагаемых и	порядка	действий .
Всюду здесь сочетание повторяющихся элементов создает ощущение соразмерности ,	порядка	, гармонии , а изменчивость узора , окраски , положений тела , разнообразные башенки и завитки придают некую « изюминку » , индивидуальность и неповторимость .
Красота и разнообразие реальных объектов непосредственно связаны с такими их свойствами , как симметричность , то есть правильность , упорядоченность , повторяемость , гармония , и , наоборот , асимметричность — несимметричность , неправильность , нарушение	порядка	.
Расположи их в	порядке	убывания , сопоставь соответствующим буквам и расшифруй название озера .
Ответы остальных примеров расположи в	порядке	убывания , сопоставив соответствующим буквам , и расшифруй математический термин .
Расположи соответствующие им ответы в	порядке	возрастания , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй астрономический термин .
Запиши эти числа : а ) в порядке возрастания ; б ) в	порядке	убывания .
Запиши эти числа : а ) в	порядке	возрастания ; б ) в порядке убывания .
448 Расположи числа в	порядке	возрастания .
464 Вычисли и расположи ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
В результате он получил двузначное число , записанное теми же цифрами , что и искомый квадрат , но в обратном	порядке	.
362 Расположи ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй общенаучное понятие .
9 Запиши в	порядке	возрастания элементов множество натуральных чисел , составленных из двух пятерок и пяти нулей .
Отсюда и употребление слова « обратное » : в обратном предложении условие и заключение идут в обратном	порядке	.
416 Расположи числа в	порядке	убывания , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй названия геометрических фигур .
Расположи данные числа в	порядке	убывания модулей , сопоставь им соответствующие буквы , и ты узнаешь название самой северной точки одного из материков .
390 Найди равносильные утверждения и , располагая соответствующие им цифры в	порядке	возрастания , составь цифровой код .
373 Расположи ответы примеров в	порядке	убывания , сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй название геометрической фигуры .
Вычисли устно , расположи ответы в	порядке	возрастания и сопоставь их соответствующим буквам .
422 Расположи числа в	порядке	возрастания , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй имя великого ученого - геометра античности .
467 Найди значения выражений и расположи их в	порядке	возрастания .
240 Измерь углы с помощью транспортира и расположи их меры в возрастающем	порядке	.
400 Расположи числа в	порядке	возрастания , сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй слова .
433 Вычисли и расположи ответы примеров в	порядке	убывания , сопоставив их соответствующим буквам .
479 Найди значения выражений , расположи их в	порядке	возрастания и сопоставь соответствующим буквам .
Представь их в виде конечных десятичных дробей , расположи в	порядке	возрастания и сопоставь соответствующим буквам .
Здесь мы поступим в обратном	порядке	.
Найди значения выражений , сопоставь их соответствующим буквам и расположи полученные числа в	порядке	убывания .
Найди коэффициент успеха каждого ученика из приведенного списка и расположи полученные числа в убывающем	порядке	.
Расположи полученные числа в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам , и расшифруй слово .
Расположи их в	порядке	возрастания и сопоставь соответствующим буквам .
Перевод натурального числа из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут остатки от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в обратном	порядке	.
Расположи имена мальчиков в	порядке	уменьшения числа найденных грибов .
502 Найди неизвестный член пропорции и расположи полученные числа в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
С этой точки зрения “ многоступенчатые ” примеры на	порядок	действий с обыкновенными и десятичными дробями становятся своеобразными тестами на умение мыслить , на аккуратность , находчивость , трудолюбие , способность человека достигать поставленной цели .
7 Имеет ли значение	порядок	членов отношения ?
444 Выбрав удобный	порядок	вычислений , найди значения выражений .
Если	порядок	коэффициентов определен верно , то из третьих букв соответствующих им фамилий учеников составится слово .
Найди сотые члены	последовательностей	этих чисел .
620 Найди закономерность и запиши n - й член	последовательности	чисел .
В какой	последовательности	могут вводиться эти определения ? .
14 Вычисли , найди закономерность в	последовательности	ответов и запиши следующие 2 числа .
106 Вычисли , найди закономерность в	последовательности	ответов и запиши следующие 2 числа .
Рассмотри рисунки и продолжи	последовательности	треугольных и квадратных чисел .
55 Вычисли и запиши в	последовательности	ответов следующее число , сохраняя закономерность .
Сделай рисунки и установи логическую	последовательность	введения этих определений .
В своей книге « Начала » он построил геометрию , в которой любое рассуждение строится как строгая	последовательность	логически обоснованных выводов .
Построй логическую	последовательность	введения этих определений и установи , в каких случаях ее можно изменить , а в каких — нет .
Сделай рисунки , соблюдая логическую	последовательность	введения определений .
Если она изображена , как обычно , горизонтально , то из двух чисел па координатной прямой больше то , которое расположено	правее	, а меньше то , которое расположено левее .
Так , ложность высказывания : x < x — 1 следует из общего свойства чисел на множестве R , а именно : x > x — 1 , так как число x расположено на числовом луче	правее	, чем число x — 1 .
Как мы уже говорили , положительные числа изображаются на координатной прямой точками , расположенными	правее	0 , отрицательные — левее 0 .
Построй отрицания ложных высказываний . 1 ) Любая	правильная	дробь меньше любой неправильной дроби .
Дробь m / n	правильная	— предложение с двумя переменными тип .
Из того , что дробь	правильная	, следует , что обратная к ней дробь неправильная .
Какая из дробей ближе к единице :	правильная	или обратная ей неправильная ? .
Если дробь неправильная , то обратная к ней дробь	правильная	.
Дробь —	правильная	.
в ) Если дробь сократима , то ее числитель и знаменатель имеют общий делитель , отличный от 1 . г ) Если дробь	правильная	, то числитель дроби меньше ее знаменателя .
Если дробь неправильная , то обратная к ней дробь	правильная	, или .
Любая	правильная	дробь меньше 1 .
Из того , что дробь неправильная , следует , что обратная к ней дробь	правильная	.
Если дробь	правильная	, то обратная к ней дробь неправильная .
Дробь	правильная	.
Любая	правильная дробь	меньше 1 .
Построй отрицания ложных высказываний . 1 ) Любая	правильная дробь	меньше любой неправильной дроби .
Центр О окружности , описанной около	правильного	n - угольника , соединен с двумя его последовательными вершинами А и В. Чему равна величина угла АОВ ? .
714 а ) Какие многоугольники могут получаться при пересечении плоскостью	правильного	тетраэдра , гексаэдра ( куба ) ?
Около	правильного	многоугольника можно описать окружность .
Оказывается , вершины любого	правильного	многоугольника лежат на одной окружности .
Найди величину угла	правильного	восьмиугольника .
Пользуясь этой формулой , вычисли величину угла	правильного	n - угольника для n = 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 12 , 15 , 20 .
690 Величина угла	правильного	n - угольника вычисляется по формуле .
Периметр	правильного	пятиугольника равен 9 см. Чему равна длина его стороны ? .
Найди величину угла	правильного	двенадцатиугольника , б ) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников , треугольников и квадратов ? .
687 а ) Вычисли периметр	правильного	шестиугольника со стороной 4,5 см . б )
719 Склей из бумаги модель	правильного	октаэдра , гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 8 см .
Сосчитай число ребер ( Р ) , граней ( Г ) и вершин ( В ) каждого	правильного	многогранника и заполни таблицу .
Значит , для построения	правильного	n - угольника достаточно разделить окружность на n равных частей и последовательно соединить точки деления .
Оказывается , вершины любого	правильного многоугольника	лежат на одной окружности .
Около	правильного многоугольника	можно описать окружность .
687 а ) Вычисли периметр	правильного шестиугольника	со стороной 4,5 см . б )
Софизм ( от греческого sophisma — хитрая уловка , измышление ) — логически неправильное рассуждение , выдаваемое за	правильное	.
Сумма двух правильных дробей может не быть	правильной	дробью .
Существуют две правильные дроби , сумма которых не является	правильной	дробью .
а ) умножения рациональных чисел ; б )	правильной	дроби ; в ) прямоугольника ; г ) трапеции .
Сумма двух неправильных дробей может оказаться	правильной	дробью .
Квадрат	правильной	дроби всегда меньше самой дроби .
Сумма двух правильных дробей также должна быть	правильной	дробью .
а ) Число , противоположное отрицательному , положительно . б ) Произведение правильных дробей является	правильной	дробью .
К Дробь является	правильной	( р = 6 ; q = 11 ) ; .
Сумма двух правильных дробей является	правильной	дробью .
Это касается и математических объектов : натуральное число может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть	правильной	, уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
70 Сократима ли дробь , которая в сумме с данной	правильной	несократимой дробью дает 1 ?
Квадрат	правильной дроби	всегда меньше самой дроби .
а ) умножения рациональных чисел ; б )	правильной дроби	; в ) прямоугольника ; г ) трапеции .
Существуют две правильные дроби , сумма которых не является	правильной дробью	.
а ) Число , противоположное отрицательному , положительно . б ) Произведение правильных дробей является	правильной дробью	.
Сумма двух неправильных дробей может оказаться	правильной дробью	.
Сумма двух правильных дробей является	правильной дробью	.
Сумма двух правильных дробей может не быть	правильной дробью	.
Сумма двух правильных дробей также должна быть	правильной дробью	.
Но несколько тысячелетий прошло прежде , чем удалось доказать , что некоторые	правильные	многоугольники — например , с числом сторон 7 , 9 , 11 , 13 — в принципе нельзя построить с помощью циркуля и линейки .
Существуют две	правильные	дроби , сумма которых является неправильной дробью .
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются правильные многогранники — геометрические тела , у которых все грани — равные	правильные	многоугольники , а углы между гранями равны .
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются	правильные	многогранники — геометрические тела , у которых все грани — равные правильные многоугольники , а углы между гранями равны .
Гранями их являются также	правильные	, но разноименные многоугольники .
Существуют две	правильные	дроби , сумма которых не является правильной дробью .
Из правильных многогранников — платоновых тел — можно получить так называемые полу	правильные	многогранники , или архимедовы тела .
Существуют две	правильные дроби	, сумма которых не является правильной дробью .
Существуют две	правильные дроби	, сумма которых является неправильной дробью .
Но несколько тысячелетий прошло прежде , чем удалось доказать , что некоторые	правильные многоугольники	— например , с числом сторон 7 , 9 , 11 , 13 — в принципе нельзя построить с помощью циркуля и линейки .
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются правильные многогранники — геометрические тела , у которых все грани — равные	правильные многоугольники	, а углы между гранями равны .
б ) Построй	правильный	двенадцатиугольник .
688 Построй : а )	правильный	шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Если же точки деления соединить не подряд , а через одну , то получится	правильный	треугольник .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б )	правильный	треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Для построения квадрата можно провести два взаимно перпендикулярных диаметра , а разделив образовавшиеся дуги пополам , построим	правильный	восьмиугольник .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г )	правильный	восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Так , например , вершины снежинки всегда образуют	правильный	шестиугольник , а хорошо знакомый нам куб природа реализовала в форме кристаллов поваренной соли .
Соединив последовательно все точки деления , получим	правильный	шестиугольник .
Указанным образом легче всего построить	правильный	шестиугольник : он состоит из шести правильных треугольников , и поэтому длина его стороны равна радиусу описанной окружности .
Построй	правильный	пятиугольник и определи , есть ли у него оси симметрии , центр симметрии .
б ) Как , зная величину угла АОВ , построить	правильный	n - угольник с помощью транспортира ?
Какой	правильный	ответ должен был получить Петя ? .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б )	правильный треугольник	с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Если же точки деления соединить не подряд , а через одну , то получится	правильный треугольник	.
Указанным образом легче всего построить	правильный шестиугольник	: он состоит из шести правильных треугольников , и поэтому длина его стороны равна радиусу описанной окружности .
688 Построй : а )	правильный шестиугольник	со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Соединив последовательно все точки деления , получим	правильный шестиугольник	.
Так , например , вершины снежинки всегда образуют	правильный шестиугольник	, а хорошо знакомый нам куб природа реализовала в форме кристаллов поваренной соли .
Многоугольник , вписанный в окружность , является	правильным	.
Если около многоугольника можно описать окружность , то он является	правильным	.
Следовательно , все его стороны и углы равны , то есть многоугольник является	правильным	.
Такие многоугольники называются	правильными	.
( Р — множество	правильных	дробей ) .
Указанным образом легче всего построить правильный шестиугольник : он состоит из шести	правильных	треугольников , и поэтому длина его стороны равна радиусу описанной окружности .
Свойства	правильных	многоугольников позволяют использовать их при составлении паркетов , то есть при покрытии плоскости фигурами без зазоров и пересечений .
Паркеты можно составлять не только из	правильных	многоугольников , но и , например , из прямоугольников , параллелограммов , трапеций .
Эти и другие способы построения	правильных	многоугольников знали еще древние греки .
А вот паркетов , состоящих из	правильных	многоугольников разного вида , довольно много , и все они очень красивы .
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных треугольников и квадратов ; б ) из	правильных	пятиугольников ; в ) из правильных треугольников и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
Изображен паркет из	правильных	треугольников , переходящий в паркет из правильных шестиугольников .
Примерами	правильных	многоугольников являются уже знакомые нам равносторонний треугольник и квадрат .
Икосаэдр . б ) Проверь , выполняется ли для	правильных	многогранников формула Эйлера : Г + В - Р = 2 .
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных треугольников и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из	правильных	треугольников и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
натуральное число ( D — множество	правильных	дробей ) .
Изображен паркет из	правильных	треугольников и двенадцатиугольников .
Из	правильных	многогранников — платоновых тел — можно получить так называемые полу правильные многогранники , или архимедовы тела .
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных треугольников и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из правильных треугольников и шестиугольников ; г ) из	правильных	восьмиугольников ?
Других паркетов из	правильных	многоугольников одного вида быть не может — в этом можно убедиться , исследовав величины их углов .
722 Раскрась грани разверток всех	правильных	многогранников так , чтобы было минимальное число цветов , а соседние грани склеенной модели не были одного цвета .
Сумма двух	правильных	дробей является правильной дробью .
а ) Число , противоположное отрицательному , положительно . б ) Произведение	правильных	дробей является правильной дробью .
Паркетами из	правильных	многоугольников покрывают полы в домах , украшают стены комнат и зданий .
Сумма двух	правильных	дробей также должна быть правильной дробью .
713 Изображены развертки	правильных	многогранников .
Своеобразным пространственным аналогом	правильных	многоугольников являются правильные многогранники — геометрические тела , у которых все грани — равные правильные многоугольники , а углы между гранями равны .
Тела Архимеда получаются из	правильных	многогранников с помощью операции « усечения » , то есть отсечения углов плоскостями .
Простейшими паркетами являются обычная тетрадь « в клеточку » и паркет , составленный из	правильных	треугольников .
709 Составь паркет из	правильных	треугольников и шестиугольников .
Сумма двух	правильных	дробей может не быть правильной дробью .
Изображен паркет из правильных треугольников , переходящий в паркет из	правильных	шестиугольников .
Произведение двух	правильных	дробей может быть неправильной дробью .
690 Паркет составлен из	правильных	восьмиугольников и квадратов .
Теория	правильных	многоугольников и многогранников — один из самых увлекательных и ярких разделов математики .
692 Можно ли составить паркет : а ) из	правильных	треугольников и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из правильных треугольников и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
Найди величину угла правильного двенадцатиугольника , б ) Можно ли составить паркет из	правильных	двенадцатиугольников , треугольников и квадратов ? .
Сумма двух	правильных дробей	является правильной дробью .
а ) Число , противоположное отрицательному , положительно . б ) Произведение	правильных дробей	является правильной дробью .
( Р — множество	правильных дробей	) .
натуральное число ( D — множество	правильных дробей	) .
Сумма двух	правильных дробей	может не быть правильной дробью .
Произведение двух	правильных дробей	может быть неправильной дробью .
Сумма двух	правильных дробей	также должна быть правильной дробью .
Свойства	правильных многоугольников	позволяют использовать их при составлении паркетов , то есть при покрытии плоскости фигурами без зазоров и пересечений .
Других паркетов из	правильных многоугольников	одного вида быть не может — в этом можно убедиться , исследовав величины их углов .
Теория	правильных многоугольников	и многогранников — один из самых увлекательных и ярких разделов математики .
Примерами	правильных многоугольников	являются уже знакомые нам равносторонний треугольник и квадрат .
Своеобразным пространственным аналогом	правильных многоугольников	являются правильные многогранники — геометрические тела , у которых все грани — равные правильные многоугольники , а углы между гранями равны .
А вот паркетов , состоящих из	правильных многоугольников	разного вида , довольно много , и все они очень красивы .
Паркетами из	правильных многоугольников	покрывают полы в домах , украшают стены комнат и зданий .
Паркеты можно составлять не только из	правильных многоугольников	, но и , например , из прямоугольников , параллелограммов , трапеций .
Эти и другие способы построения	правильных многоугольников	знали еще древние греки .
692 Можно ли составить паркет : а ) из	правильных треугольников	и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из правильных треугольников и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
Изображен паркет из	правильных треугольников	, переходящий в паркет из правильных шестиугольников .
Указанным образом легче всего построить правильный шестиугольник : он состоит из шести	правильных треугольников	, и поэтому длина его стороны равна радиусу описанной окружности .
Простейшими паркетами являются обычная тетрадь « в клеточку » и паркет , составленный из	правильных треугольников	.
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных треугольников и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из	правильных треугольников	и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
Изображен паркет из	правильных треугольников	и двенадцатиугольников .
709 Составь паркет из	правильных треугольников	и шестиугольников .
Изображен паркет из правильных треугольников , переходящий в паркет из	правильных шестиугольников	.
Заметим также , что для рациональных чисел останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных чисел : длина отрезка на координатной прямой равна разности координат его	правого	и левого концов .
Действительно , подставив в последнее равенство вместо букв соответствующие им значения а , b n с , получим верное высказывание тогда как при непосредственном подсчете левой и правой части получаются разные числа : в левой части 1/30 , а в	правой	— 1,25 .
Предложение 2х=15 с переменной x , напротив , всегда ложно , если x N. В самом деле , при любом натуральном значении x в левой части равенства число получается четное , а в	правой	— нечетное .
Для доказательства этого свойства достаточно к левой и	правой	части исходной пропорции прибавить по единице .
В левой части уравнения числа ( -1,2 ) и ( -х ) — это слагаемые , а в	правой	части число ( -0,9 ) — это сумма .
Действительно , подставив в последнее равенство вместо букв соответствующие им значения а , b n с , получим верное высказывание тогда как при непосредственном подсчете левой и	правой	части получаются разные числа : в левой части 1/30 , а в правой — 1,25 .
В результате ( - ) исчезло из левой части , но появилось в	правой	части с противоположным знаком .
Аналогично можно переносить слагаемые и из	правой	части уравнения в левую .
С точки зрения русского языка предложения в	правой	колонке являются довольно искусственными , однако они часто бывают удобными для их перевода на математический язык .
Поменяв в полученной пропорции местами крайние члены , а затем левую и	правую	части равенства , получим новую пропорцию .
Соберем слагаемые , содержащие х , в левую часть , а свободные члены — в	правую	, затем упростим полученные выражения и найдем х .
Перенесем слагаемое -54 в	правую	часть уравнения , а в левой части вынесем за скобки общий множитель х .
Упростим	правую	часть , поменяем ее местами с левой частью и найдем неизвестный множитель .
Таким образом , можно сказать , что мы перенесли слагаемое из левой части уравнения в	правую	, изменив его знак .
Вообще , из данной пропорции можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние члены ; 2 ) поменять местами средние члены ; 3 ) составить пропорцию из отношений , обратных данным ; 4 ) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами	правую	и левую части .
Тут и увидел	предел	жизни печальной своей .
388 В городе N ежегодный налог на землю под индивидуальными гаражами в	пределах	нормы ( 15 м2 ) установлен в размере 10 % от ставки земельного налога , равного 20 р .
Задумали число , увеличили его на 7 , сумму умножили на 3 , к произведению	прибавили	4 и из результата вычли утроенное задуманное число .
б ) Некоторое число вычли из числителя ,	прибавили	к знаменателю дроби и после сокращения получили .
Чтобы избавиться от слагаемого ( -х ) в левой части первого уравнения , мы	прибавили	к его обеим частям слагаемое ( + х ) .
К одной части сахара	прибавили	4 части воды .
1 ) К числу	прибавили	2 — и получили 5 .
а ) К утроенной разности чисел тип	прибавить	их удвоенную сумму .
Например , пропорция не нарушится , если к каждому крайнему ее члену	прибавить	“ соседний ” средний член .
Для доказательства этого свойства достаточно к левой и правой части исходной пропорции	прибавить	по единице .
Итак , чтобы вычесть из данного числа другое число , можно к уменьшаемому	прибавить	число , противоположное вычитаемому .
5 ) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу	прибавить	сумму второго и третьего .
5 ) Чтобы к сумме двух чисел	прибавить	третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Если к числителю дроби	прибавить	1 , а из знаменателя вычесть 1 , то получится дробь , равная 0,4 .
Какое число надо	прибавить	к числителю и к знаменателю дроби — , чтобы получить дробь , равную 0,5 ? .
Если объединение слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала сложить положительные числа , затем сложить отрицательные числа и к первой сумме	прибавить	вторую .
Учитель показал ребятам арифметический фокус : он предложил задумать положительное число , умножить его само на себя , к полученному результату	прибавить	удвоенное задуманное число и еще 1 .
Отец ответил : “ Если к половине моих лет	прибавить	4 , то узнаешь мой возраст 14 лет назад ” .
Если число дней уменьшить на 1 , затем разделить на 6 и	прибавить	3 , то получится первоначального числа дней .
Его	приближенное	значение с точностью до десятитысячных равно 3,1416 .
Найди	приближенное	значение координат точек пересечения этих окружностей ( 1 ед .
Исследование свойств фигур с помощью измерений имеет существенный недостаток — эта процедура приводит всегда к	приближенному	результату .
По карте определи	приближенные	расстояния между Москвой и городами .
339 В таблице приведены	приближенные	значения площади и численности населения некоторых европейских государств и города Москвы .
Для ложных высказываний	приведем	контрпримеры .
Ниже мы	приведем	несколько примеров , давая различные “ допустимые ” варианты формулировки отрицаний .
Вначале раскроем скобки и	приведем	подобные слагаемые в левой части уравнения .
Раскроем скобки в выражении и	приведем	подобные слагаемые .
140 Ниже	приведен	график зависимости расхода бензина В л для автомобиля “ Лада ” от пройденного расстояния s км .
В качестве формы записи	приведен	образец .
Найди коэффициент успеха каждого ученика из	приведенного	списка и расположи полученные числа в убывающем порядке .
Изобрази в тетради копию чертежа ,	приведенного	, произведя необходимые измерения и вычисления .
По копии чертежа ,	приведенного	, восстанови его размеры в оригинале и нарисуй чертеж в тетради .
Например , из	приведенной	выше формулы следует , что если у = 37 , то значит , при температуре около 100 ° F или больше у человека есть все основания побеспокоиться о своем здоровье .
Это хорошо видно из	приведенной	ниже схемы .
Какие еще выводы позволяют сделать	приведенные	данные ? .
Во время наблюдений за изменениями уровня воды в реке в течение недели были сделаны записи ,	приведенные	в таблице .
Несмотря на то что	приведенные	рассуждения имеют достаточно общий характер , производные пропорции часто оказываются полезными для решения практических задач .
227 Используя обозначения ,	приведенные	в тексте учебника , определи , какая скорость получится , если выполнить следующие действия .
Сравни построенное тобой определение с определением ,	приведенным	в тексте учебника на стр. 70 .
23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника ,	приведенным	, найди тангенс угла А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
164 Какие из	приведенных	ниже формул являются прямой пропорциональностью , обратной пропорциональностью или не являются ни тем , ни другим ? .
289 Какие из	приведенных	ниже формул являются прямой пропорциональностью , обратной пропорциональностью или не являются ни тем , ни другим ? .
Какие из плоскостей ,	приведенных	, являются плоскостями симметрии данных фигур ?
Каждое свойство разбивает множество предметов , о которых идет речь , как правило , на два класса : обладающие данным свойством и не обладающие им. В первом из	приведенных	примеров это множество четных чисел и множество нечетных чисел , во втором примере один класс состоит из людей , птиц и других живых существ , имеющих две ноги , другой — из остальных живых существ .
87 Размеры фигур ,	приведенных	, были увеличены в отношении 3 : 2 . 1 )
Точное доказательство этого свойства , как и других утверждений ,	приведенных	ниже , будет дано в курсе геометрии 7 - 9 классов .
165 Каждая из зависимостей ,	приведенных	в таблице , является прямой или обратной пропорциональностью .
Например , положив в первом из	приведенных	предложений x = 2 , y = 3 , мы получим ложное высказывание 2 > 3 .
211 Какие из зависимостей у от х ,	приведенных	, являются функциями .
б ) Какие из	приведенных	ниже зависимостей между величинами являются прямой пропорциональностью , обратной пропорциональностью или не являются ни тем , ни другим ? .
Какие из	приведенных	задач имеют единственное решение ? .
Греческая буква π ( « пи » ) в	приведенных	формулах обозначает число , равное отношению длины любой окружности к своему диаметру .
Поэтому , например . Уже из	приведенных	примеров видно , что деление рациональных чисел производится самым естественным образом : операцию деления выполняют , пользуясь тем же правилом знаков , что и при умножении .
Несколько примеров архимедовых тел	приведено	.
Обратим внимание , что в записи решения задачи , во втором действии ,	приведено	обоснование уравнения .
Описание их решения	приведено	как на обычном языке , так и на языке множеств — пусть каждый использует тот язык , который ему удобен .
Распределение их мнений	приведено	на круговой диаграмме .
Приближенные значения величины h м в первые 5 секунд падения	приведены	в таблице .
Например , мы не можем использовать в качестве определения квадрата первые два свойства — контрпримеры	приведены	.
71 На рисунке	приведены	три товарных чека .
Таблица и график этой зависимости для значений а , удовлетворяющих неравенству 0 < а < 4 ,	приведены	.
339 В таблице	приведены	приближенные значения площади и численности населения некоторых европейских государств и города Москвы .
Развертки цилиндра и конуса	приведены	.
Для ложных утверждений	приведи	контрпример , а верные — докажи правильно . 1 ) Сумма двух простых чисел — простое число : например , 2 — простое , 3 — простое , и их сумма 2 + 3 = 5- тоже простое .
Построй его отрицание и	приведи	различные формулировки .
Пользуясь справочником или энциклопедией ,	приведи	еще 4 примера обозначения величин с помощью знаков .
51 Найди ложные общие утверждения и	приведи	для них контрпример .
773 Раскрой скобки и	приведи	подобные слагаемые .
47 Раскрой скобки и	приведи	подобные слагаемые .
62 Раскрой скобки и	приведи	подобные слагаемые .
Так , появление отрицательных чисел	привело	к созданию приема переноса слагаемых , впервые описанному в IX веке среднеазиатским ученым Мухаммедом аль - Хорезми в сочинении « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » .
Например , выявление общих свойств зависимостей между такими величинами , как « расстояние — скорость — время » , « стоимость — цена — количество товара » , « объем выполненной работы — производительность — время » ,	привело	к построению зависимостей общего вида — прямой пропорциональности ( у = kx ) и обратной пропорциональности .
Это	привело	к тому , что в Германии , например , было 40 различных единиц длины — локтей , во Франции — 18 единиц длины , называвшихся лье , а в России — более 100 различных футов : ткацкий , рабочий , землемерный , инженерный и т .
Это и понятно : мы уже говорили , что предложение со словом « следует » является общим высказыванием , а чтобы доказать , что общее высказывание ложно , достаточно	привести	хотя бы один контрпример .
Подобных примеров можно	привести	очень много .
А для этого достаточно	привести	хотя бы один пример , для которого P(x ) не выполняется .
Заметим сразу же , что самый простой прием — поставить “ не ” перед сказуемым — в этом случае не действует , он может	привести	к грубой ошибке .
Некоторые дроби нельзя	привести	к одинаковому знаменателю .
Для его обоснования достаточно	привести	пример , когда Р истинно , a Q ложно .
Мы видим , что для обоснования предложения со словами « не следует » достаточно	привести	пример , когда условие истинно , а заключение ложно .
Путаница в этом вопросе может	привести	в повседневной жизни к недоразумениям , а в математике — к ошибкам .
В данном случае , прежде чем воспользоваться формулой , необходимо	привести	в соответствие единицы измерения ( перевести минуты в часы : 30 мин = 0,5 ч ) , и только после этого выполнять умножение .
Другими словами , для обоснования высказывания « Из того , что земля мокрая , не следует , что идет дождь » мы	приводим	пример ситуации , когда условие « земля мокрая » истинно , а заключение « идет дождь » ложно .
Само понимание производительности	приводит	к соотношению между основными понятиями , связанными с работой , — объемом работы , производительностью и временем работы .
Исследование свойств фигур с помощью измерений имеет существенный недостаток — эта процедура	приводит	всегда к приближенному результату .
89 Реши уравнения ,	приводя	обе его части к целым коэффициентам .
Самый простой способ решения состоит в том , что данное уравнение	приводят	, если это возможно , к более простому или более удобному виду .
391 Вычисли и объясни , почему разные цепочки вычислений	приводят	к одному и тому же результату .
В предыдущем пункте мы рассмотрели задачи ,	приводящие	к понятию отношения .
403 Построй треугольник АВС : 1 ) по стороне а и прилежащему к ней углу В ; 2 ) по стороне а и двум	прилежащим	к ней углам В и С. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач ? .
381 Построй треугольник АВС по стороне b и двум	прилежащим	к ней углам А и С. Сколько различных треугольников можно построить по этим данным ?
440 Построй треугольник АБС по стороне с и двум	прилежащим	к ней углам А и В. Построй центр тяжести треугольника АВС .
725 Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС : а ) по двум сторонам а и b ; б ) по трем сторонам а , b и с ; в ) по двум сторонам а и b и углу между ними С ; г ) по стороне а и двум	прилежащим	к ней углам В и С ( стороны и углы задай произвольно ) .
501 Склей из бумаги прямоугольный параллелепипед с измерениями 9 см , 5 см и 3 см. Начерти три его	проекции	в масштабе 1:2 .
546 Найди объем тела , изображенного , и построй три его	проекции	в масштабе 1:10 .
Поэтому полезно научиться по пространственному изображению фигуры строить ее	проекции	, и наоборот .
Перенеси рисунки в тетрадь и дорисуй их	проекции	.
456 По рисункам фигур изобрази их	проекции	.
529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело , которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали , если длина диагонали равна 12 см. Начерти три	проекции	этого тела .
732 Начерти в масштабе 1 : 4 три	проекции	тела , изображенного и вычисли его объем , если АВ = ААl = AF = 20 см , ВС = 12 см , CD = 8 см .
512 Нарисуй в масштабе 1 : 4 тело вращения и три его	проекции	, если оно получается в результате вращения .
Найти четырехзначное число , сумма цифр которого равна 2 , а	произведение	0 .
Из нее видно , что при увеличении множителя t в несколько раз во столько же раз увеличивается и	произведение	s.
Рассмотрим вначале	произведение	( -2 ) ∙ 3 .
Как понимать , например ,	произведение	двух отрицательных чисел ( -2 ) ∙ ( -3 ) ?
Других натуральных корней у этого уравнения нет , так как при увеличении множителей	произведение	также будет увеличиваться , а при уменьшении — уменьшаться .
сумма , если одно слагаемое увеличить на 5 , а другое увеличить на 4 . 2 ) разность , если уменьшаемое увеличить на 5 , а вычитаемое увеличить на 4 . 3 )	произведение	, если один множитель уменьшить в 3 раза , а другой — уменьшить в 6 раз .
б )	произведение	взаимно обратных чисел равно единице .
Найти трехзначное число , сумма цифр и	произведение	цифр которого равны 6 .
Сумма цифр двузначного числа равна 11 , а	произведение	24 .
в ) Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то их	произведение	. г ) Если первое число делится на второе число , а второе число делится на третье , то .
Утроенное	произведение	числа 4,8 и квадрата числа . 2 )
Сумма цифр двузначного числа равна 12 , а	произведение	35 .
В одной коробке на 5 шаров больше , чем в другой , а	произведение	числа шаров в обеих коробках равно 24 .
	Произведение	утроенного числа а и квадрата разности чисел .
298 Найди два числа , сумма ,	произведение	и частное которых равны между собой .
а )	произведение	квадрата суммы чисел а и b и куба разности чисел а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и разности квадратов чисел бис .
В предыдущем пункте мы назвали основным свойством пропорций следующее утверждение : равенство , где a , b , c , d≠0 , является пропорцией тогда и только тогда , когда	произведение	крайних членов а и d равно произведению средних членов b и с .
Утроенное	произведение	числа а и квадрата числа b на 50 % больше куба числа с . 2 )
320 Вычисли устно и найди	произведение	полученных чисел наиболее удобным способом .
Одно из двух положительных чисел на 0,5 больше другого , а их	произведение	равно 0,14 .
Чему равно их	произведение	? .
Задумали число , умножили его на 8 ,	произведение	вычли из 100 , разность удвоили , результат вычли из 15 и получили 7 .
Чтобы найти средний член пропорции , надо	произведение	ее крайних членов разделить на второй средний член .
Сумма цифр двузначного числа равна 13 , а	произведение	— 36 .
36 Всегда ли можно записать в виде конечной десятичной дроби сумму , разность ,	произведение	и частное двух десятичных дробей ?
Сумма цифр трехзначного числа равна 9 , а	произведение	равно 15 .
Равенство , где a , b , с , d ≠ 0 , является b d пропорцией тогда и только тогда , когда	произведение	крайних членов а и d равно произведению средних членов b и с .
Чтобы найти крайний член пропорции , надо	произведение	ее средних членов разделить на второй крайний член .
519 Каким числом — положительным , отрицательным или нулем — является	произведение	.
правило деления числа на	произведение	.
Есть такие нечетные числа ,	произведение	которых — число четное .
Итак , произведение двух чисел одного знака положительно , а	произведение	двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить модули сомножителей .
Число ,	произведение	цифр которого кратно 9 , делится на 9 .
Если выражение со скобками представляет собой	произведение	чисел , то для его преобразования можно воспользоваться законами умножения .
Итак ,	произведение	двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить модули сомножителей .
Данное выражение представляет собой	произведение	множителей 12 ; х ; 0,25 ; -5 и у. На основании сочетательного закона умножения можно отдельно сгруппировать числовые и буквенные множители .
Теперь рассмотрим пример умножения положительного числа на отрицательное , Так как при перестановке множителей	произведение	не должно меняться ( переместительное свойство умножения ) , то сохранится и правило , по которому мы ищем результат .
Поэтому , умножив числитель и знаменатель дроби на	произведение	9 ∙ 100000 , мы сможем заменить все числа в ее записи целыми .
Мы видим , что умножить число ( -2 ) на число 3 можно по простому правилу : перемножить “ числа без знаков ” ( то есть модули ) и перед	произведением	поставить знак “ минус ” .
Вообще зависимости , в которых одна из величин является	произведением	двух других , часто встречаются в жизни .
Вообще , если выражение является	произведением	числа и буквенной части , то числовой множитель в этом выражении называют коэффициентом .
Отвлекаясь от конкретных значений величин , общее свойство зависимостей между ними — а именно то , что одна из величин является	произведением	двух других , — можно записать так : где а , b и с — это некоторые переменные величины .
Обе эти зависимости являются частными случаями формулы произведения : прямая пропорциональность — при постоянном множителе , а обратная — при постоянном	произведении	.
393 В сумме , разности ,	произведении	и частном чисел x и y изменены компоненты действий .
Для этого составим сумму	произведений	и применим к ней сначала распределительное свойство умножения , а затем свойство суммы противоположных чисел .
Сочетание симметричности и асимметричности создает основу эстетического восприятия человеком природы и	произведений	искусства .
Например , периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон Р = 2(а + b ) , а вовсе не их	произведению	.
Сумма никаких двух натуральных чисел не может быть равна их	произведению	.
Можно найти такие два натуральных числа , сумма которых равна их	произведению	.
Задумали число , увеличили его на 7 , сумму умножили на 3 , к	произведению	прибавили 4 и из результата вычли утроенное задуманное число .
Масштаб изображения всегда выражается числом , меньшим 1 . 4 ) Произведение крайних членов пропорции всегда равно	произведению	их средних членов .
Равенство , где a , b , с , d ≠ 0 , является b d пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно	произведению	средних членов b и с .
Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их	произведению	. 2 ) Квадрат числа не может быть равен 0,01 .
Площадь прямоугольника равна	произведению	его длины и ширины .
В предыдущем пункте мы назвали основным свойством пропорций следующее утверждение : равенство , где a , b , c , d≠0 , является пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно	произведению	средних членов b и с .
а ) модуль числа , противоположного удвоенному	произведению	чисел а и b . б ) сумма модулей чисел с и d ( с = -0,8 ; d = 0,7 ) .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное	произведению	двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
в ) число , обратное	произведению	двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно	произведению	чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
в ) Модуль произведения двух чисел равен	произведению	их модулей .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно	произведению	чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
в ) Модуль	произведения	двух чисел равен произведению их модулей .
Полученную обобщенную формулу назовем формулой	произведения	.
Из формулы обратной пропорциональности следует , что k = ху , а значит ,	произведения	соответствующих значений величин х и у равны .
Итак , произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль	произведения	, нужно перемножить модули сомножителей .
Докажи , что квадрат любого натурального числа больше	произведения	предыдущего и следующего за ним чисел .
Построением и исследованием различных зависимостей мы будем заниматься и дальше , а формула	произведения	дает лишь один из наиболее простых и распространенных типов зависимостей .
Величины , зависимость между которыми описывается формулой а = bс , обратно пропорциональны , если значение	произведения	постоянно .
Обычно вначале определяют знак , а потом уже находят модуль	произведения	, например .
в ) разность удвоенного	произведения	квадратов чисел а и b и утроенного числа с . г ) число , противоположное квадрату суммы утроенного числа а и частного чисел b и с .
Разность	произведения	чисел m и n и квадрата числа k . 86 )
Заметим , что в последнем примере при умножении на отрицательное число модули перемножаются , а знак	произведения	противоположен знаку первого множителя .
а ) разность куба числа а и утроенного	произведения	квадрата числа b на число с ( а = -2 ; b = 0,5 ; с = -0,4 ) .
правило деления	произведения	на число .
Каким же воображением нужно обладать , чтобы создать столь своеобразные и неповторимые	произведения	! . .
Например , если в контрольной работе ученик написал , что 2 ∙ 3 = 5 , а учитель перечеркнул это равенство , то он и ученик имеют по поводу	произведения	2 ∙ 3 противоположные мнения .
Их объединяет формула	произведения	а = bс .
250 Запиши в общем виде правила деления суммы , разности и	произведения	на число .
Используя этот прием , найди	произведения	.
Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности , пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд , на которые они разбиваются точкой О. Сравни	произведения	АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
Обе эти зависимости являются частными случаями формулы	произведения	: прямая пропорциональность — при постоянном множителе , а обратная — при постоянном произведении .
512 Запиши в виде	произведения	сумму .
Естественно , не все зависимости между величинами описываются формулой	произведения	.
Им было предложено три темы : по	произведениям	Пушкина , но произведениям Маяковского и свободная тема .
Им было предложено три темы : по произведениям Пушкина , но	произведениям	Маяковского и свободная тема .
559 В	произведениях	Ж. Верна встречаются такие строки .
В	произведениях	великих композиторов , художников , архитекторов удивительным образом обнаруживаются одни и те же пропорции , совпадающие и с пропорциями человеческого тела , и с закономерностями расположения листьев на растениях .
2 ) В первом квартале доля продажи товаров отечественных	производителей	увеличилась с 20 % до 25 % , а во втором — с 25 % до 30 % .
101 Пользуясь свойствами , установленными в предыдущем задании , составь из данной пропорции три	производные	пропорции .
Несмотря на то что приведенные рассуждения имеют достаточно общий характер ,	производные	пропорции часто оказываются полезными для решения практических задач .
Пропорции , получаемые подобными преобразованиями , называют обычно	производными	пропорциями .
115 Для данной пропорции составь несколько	производных	пропорций .
В предыдущем пункте мы назвали основным свойством пропорций следующее утверждение : равенство , где a , b , c , d≠0 , является	пропорцией	тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно произведению средних членов b и с .
Итак ,	пропорцией	называется истинное равенство двух отношений .
Равенство , где a , b , с , d ≠ 0 , является b d	пропорцией	тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно произведению средних членов b и с .
61 Проверь двумя способами , является ли равенство	пропорцией	.
Проверь , является ли оно	пропорцией	.
126 Найди неизвестный член	пропорции	.
289 Найди неизвестные члены	пропорции	.
90 Реши уравнения , используя основное свойство	пропорции	.
168 Найди х из	пропорции	.
Для доказательства этого свойства достаточно к левой и правой части исходной	пропорции	прибавить по единице .
505 Найди неизвестный член	пропорции	.
Далее , применим полученное свойство к	пропорции	, составленной из обратных отношений , и получим новое свойство .
При переводе решения задач с математического языка на русский часто используются ставшие традиционными термины “ крайние ” и “ средние ” члены	пропорции	.
148 Упрости	пропорции	, используя равносильные преобразования , и найди х . 149 Из поселка А в поселок В выехал велосипедист со скоростью 16 км / ч .
502 Найди неизвестный член	пропорции	и расположи полученные числа в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Таким образом , перекрестное правило является основой решения задач на пропорции , и поэтому его также называют основным свойством	пропорции	.
99 Составь различные	пропорции	из соответствующих значений величин .
Таким образом , перекрестное правило является основой решения задач на	пропорции	, и поэтому его также называют основным свойством пропорции .
96 Сделай все возможные перестановки членов	пропорции	, не нарушающие ее .
528 Реши задачи , составляя	пропорции	.
101 Пользуясь свойствами , установленными в предыдущем задании , составь из данной пропорции три производные	пропорции	.
101 Пользуясь свойствами , установленными в предыдущем задании , составь из данной	пропорции	три производные пропорции .
Основное свойство	пропорции	.
На основании перекрестного правила можно записать и тогда любой член	пропорции	легко вычисляется , исходя из перекрестного правила и правила нахождения неизвестного множителя .
Переставив в этой	пропорции	крайние члены , получим пропорцию .
Точно так же в	пропорции	можно поменять местами ее средние члены .
761 Сформулируй определение и основное свойство	пропорции	.
3 Понятие	пропорции	.
297 Найди неизвестный член	пропорции	.
Несмотря на то что приведенные рассуждения имеют достаточно общий характер , производные	пропорции	часто оказываются полезными для решения практических задач .
Вообще , из данной	пропорции	можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние члены ; 2 ) поменять местами средние члены ; 3 ) составить пропорцию из отношений , обратных данным ; 4 ) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами правую и левую части .
основное свойство	пропорции	( « перекрестное » правило ) .
Поменяв в полученной	пропорции	местами крайние члены , а затем левую и правую части равенства , получим новую пропорцию .
Ясно , что равенство не нарушится , если , например , в нем поменять местами множители a и d. Следовательно , в	пропорции	можно поменять местами ее крайние члены , то есть .
Если да , то назови крайние и средние члены	пропорции	.
156 Упрости	пропорции	, используя равносильные преобразования , и найди х . 157 С одной автобусной станции отошли в противоположных направлениях два автобуса .
66 Найди неизвестный член	пропорции	( устно ) .
Чтобы найти крайний член	пропорции	, надо произведение ее средних членов разделить на второй крайний член .
114 Сделай все возможные перестановки членов	пропорции	, не нарушающие ее .
В произведениях великих композиторов , художников , архитекторов удивительным образом обнаруживаются одни и те же	пропорции	, совпадающие и с пропорциями человеческого тела , и с закономерностями расположения листьев на растениях .
64 Составь различные	пропорции	из равенства 3∙6=2∙9 Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3 , 6 , 2 и 9 ?
535 Реши задачи , составляя	пропорции	.
Можно ли составить из этих чисел другие	пропорции	? .
128 Сделай все возможные перестановки членов	пропорции	, не нарушающие пропорцию . .
В этих терминах основное свойство	пропорции	читается так .
3 ) Какие	пропорции	можно составить из полученного равенства ? .
Эти названия связаны с тем , что при записи пропорции в строчку два члена располагаются “ по краям ” , а два — “ посередине ” , причем это как раз те члены , которые в записи	пропорции	с помощью дробей расположены “ перекрестно ” .
Масштаб изображения всегда выражается числом , меньшим 1 . 4 ) Произведение крайних членов	пропорции	всегда равно произведению их средних членов .
Поменяем в	пропорции	местами средние члены и обозначим коэффициент пропорциональности к.
721 Найди неизвестный член	пропорции	.
Отметим , что новая терминология по сути ничего не добавляет к хорошо известному нам перекрестному правилу , а является лишь сложившимся языком , описывающим решение задач на	пропорции	.
458 Найди неизвестный член	пропорции	.
193 Найди неизвестный член	пропорции	.
Докажи истинность утверждений , используя основное свойство	пропорции	.
Запиши другие	пропорции	, членами которых являются те же числа а , b , с и d .
59 В чем заключается основное свойство	пропорции	?
105 Найди неизвестный член	пропорции	.
Эти названия связаны с тем , что при записи	пропорции	в строчку два члена располагаются “ по краям ” , а два — “ посередине ” , причем это как раз те члены , которые в записи пропорции с помощью дробей расположены “ перекрестно ” .
115 Для данной	пропорции	составь несколько производных пропорций .
А правила нахождения неизвестных членов	пропорции	формулируются следующим образом .
308 Найди неизвестный член	пропорции	.
Чтобы найти средний член	пропорции	, надо произведение ее крайних членов разделить на второй средний член .
209 Реши задачи двумя способами — способом	пропорций	и по правилам решения задач на проценты .
Сформулируй гипотезу . 2 ) Используй преобразования	пропорций	, чтобы , исходя из гипотезы , получить новые свойства данной фигуры .
Какие преобразования	пропорций	возможны ? .
Используя способ	пропорций	, реши задачи .
4 Свойства и преобразование	пропорций	.
226 Реши задачи на проценты способом	пропорций	. 1 ) За перевозку мебели заплатили 1200 р . , что составило 4 % ее стоимости .
225 Реши задачи способом	пропорций	: 1 ) Чтобы связать шарф длиной 1,4 м , нужно 350 г шерсти .
64 Составь различные пропорции из равенства 3∙6=2∙9 Сколько различных	пропорций	можно составить из чисел 3 , 6 , 2 и 9 ?
Затем эти же задачи реши методом	пропорций	.
115 Для данной пропорции составь несколько производных	пропорций	.
А это помогло построить способ решения задач с помощью	пропорций	.
281 Реши задачи способом	пропорций	. 1 )
4 Решение задач с помощью	пропорций	.
Вообще , из данной пропорции можно составить несколько новых	пропорций	следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние члены ; 2 ) поменять местами средние члены ; 3 ) составить пропорцию из отношений , обратных данным ; 4 ) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами правую и левую части .
Рядом запиши в буквенном виде , какие равносильные преобразования	пропорций	для этого использовались .
Существуют и другие , менее очевидные преобразования	пропорций	.
146 Объясни , какие преобразования	пропорций	произведены .
Запиши его для	пропорций	: 1 ) m : n = k : р ; 2 ) — = — .
271 Реши задачи способом	пропорций	. 1 )
269 Найди х из	пропорций	, если значения всех переменных отличны от нуля . .
497 Реши задачи методом	пропорций	.
202 Реши задачи способом	пропорций	.
Простейшие преобразования	пропорций	связаны с перестановкой ее членов .
200 Реши задачи на проценты способом	пропорций	. 1 ) Сколько серной кислоты в растворе массой 75 г , если концентрация раствора составляет 12 % ? .
Как мы уже отмечали , основное свойство	пропорций	есть не что иное , как другая формулировка уже известного нам “ перекрестного ” правила равенства дробей .
105 ( Устно . ) Найди неизвестные члены	пропорций	.
Приведем несколько примеров решения задач с помощью	пропорций	.
С помощью	пропорций	можно решать и задачи на проценты , так как число процентов пропорционально соответствующей части величины .
198 Объясни , почему величины в задачах обратно пропорциональны , и реши их способом	пропорций	.
2 ) Сколько различных	пропорций	можно составить из этих чисел ?
Алгоритм решения задач с помощью	пропорций	сформулируем следующим образом .
100 Докажи равносильность	пропорций	и определи , при каких значениях переменных данные утверждения истинны .
Но зато способ	пропорций	“ унифицирует ” задачи на проценты , то есть делает их одинаковыми .
197 В чем состоит способ	пропорций	?
199 Определи вид зависимости между величинами в задачах и реши их способом	пропорций	.
Иначе говоря , мы имеем одно утверждение — “ перекрестное ” правило для дробей , а называть его можно и основным свойством	пропорций	, и условием равенства дробей , и условием равенства отношений .
Преимущество данного способа состоит в том , что с помощью	пропорций	все три типа задач на проценты решаются одинаково .
Объясни , почему величины в задачах прямо пропорциональны , и реши их способом	пропорций	.
Эти свойства вытекают , естественно , из основного свойства	пропорций	, то есть все из того же “ перекрестного ” правила .
Применение	пропорций	для решения различных практических задач требует определенной техники вычислений — использования некоторых дополнительных свойств пропорций .
В предыдущем пункте мы назвали основным свойством	пропорций	следующее утверждение : равенство , где a , b , c , d≠0 , является пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно произведению средних членов b и с .
Применение пропорций для решения различных практических задач требует определенной техники вычислений — использования некоторых дополнительных свойств	пропорций	.
В арифметике , имеющей дело с числами , удобно говорить на языке дробей , язык отношений — со времен Древней Греции — распространен в геометрии , а язык	пропорций	общепринят в повседневной практике и при проведении математических расчетов в физике , химии и т .
293 Реши задачи способом	пропорций	. 1 )
- количество товара пропорционально его стоимости при постоянной цене . - объем , выполненной работы	пропорционален	времени работы при постоянной производительности .
В нашем примере путь при постоянной скорости прямо	пропорционален	времени движения .
Если , например , величину b считать постоянной , то при увеличении с в несколько раз величина а увеличится во столько же раз , значит , величина а прямо	пропорциональна	величине с.
Скорость движения ( при постоянном пути ) обратно	пропорциональна	времени .
площадь сферы S также	пропорциональна	квадрату радиуса ( S = 4πr2 ) » а объем шара V — кубу радиуса ( V = πr3 ) .
- стоимость товара	пропорциональна	его количеству при постоянной цене .
Например , длина окружности С	пропорциональна	ее радиусу ( С = 2πr ) , площадь круга S — квадрату радиуса ( S = πr2 ) .
Точно так же величина а прямо	пропорциональна	величине b — если считать постоянной величину с. В частности .
Как распределить между ними выплаченную сумму	пропорционально	их производительности ? .
С помощью пропорций можно решать и задачи на проценты , так как число процентов	пропорционально	соответствующей части величины .
Само слово “	пропорционально	” происходит от латинского proportio — “ соразмерность ” .
прибыли , то справедливость требует , чтобы полученная прибыль делилась	пропорционально	их вложениям , выраженным соответственно числами 3 и 5 .
- количество товара	пропорционально	его стоимости при постоянной цене . - объем , выполненной работы пропорционален времени работы при постоянной производительности .
601 Два луча , проведенные из вершины развернутого угла , разбивают его на 3 части	пропорционально	числам .
248 Число мужчин , женщин и детей , отдыхающих в пансионате ,	пропорционально	числам 3 , 4 и 1 . 1 )
- время работы	пропорционально	объему выполненной работы при постоянной производительности и т .
Вариант I . 520 а ) Разбей число 425 на два слагаемых	пропорционально	числам 2 и 3 . б ) Раздели число 520 на три части в отношении .
В рассмотренном примере время обратно	пропорционально	скорости движения при постоянном пути .
Как ее распределить	пропорционально	вкладу каждого ? .
282 Раздели число 21 на части	пропорционально	числам А и В .
На 80 % полученной прибыли они закупили оборудование , а остальные деньги распределили	пропорционально	вложенным суммам .
Количество израсходованного бензина при данных условиях задачи	пропорционально	пройденному пути .
Решая задачи на	пропорциональное	деление , мы вновь наблюдаем , как абстрактные математические понятия — в данном случае прямая и обратная пропорциональность — помогают отвечать на серьезные практические вопросы .
Он называется графиком прямо	пропорциональной	зависимости у = 2х .
201 Определи , какие компоненты арифметических действий связаны прямой , а какие — обратной	пропорциональной	зависимостью .
Заметим , что далеко не всякие величины связаны друг с другом	пропорциональной	зависимостью .
Для краткого обозначения условия таких задач — задач о прямо	пропорциональном	делении — в математическом языке используют иногда “ длинные отношения ” .
Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада при	пропорциональном	распределении заказа между работниками ? .
Запиши формулу , выражающую зависимость расстояния s , пройденного пешеходом , от l и n . 2 ) Какие из двух величии в этой формуле при постоянной третьей прямо	пропорциональны	, а какие — обратно пропорциональны ? .
Запиши формулу , выражающую зависимость расстояния s , пройденного пешеходом , от l и n . 2 ) Какие из двух величии в этой формуле при постоянной третьей прямо пропорциональны , а какие — обратно	пропорциональны	? .
Объясни , почему величины в задачах прямо	пропорциональны	, и реши их способом пропорций .
245 Длины сторон четырехугольника	пропорциональны	числам 2 , 5 , 3 и 7 , а его большая сторона на 30 см превышает меньшую .
Величины , зависимость между которыми описывается формулой а = bс , обратно	пропорциональны	, если значение произведения постоянно .
296 Периметр треугольника равен 68 см , а длины сторон	пропорциональны	числам 4 , 5 и 8 .
Длины сторон треугольника	пропорциональны	числам 3 , 4 и 6 , а среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм .
Таким образом , если величины обратно	пропорциональны	, то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины .
198 Объясни , почему величины в задачах обратно	пропорциональны	, и реши их способом пропорций .
Другими словами , если величины прямо	пропорциональны	, то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины .
Если зависимости прямо или обратно	пропорциональные	, то соответствующие значения величин образуют пропорцию .
2 Прямая и обратная	пропорциональные	зависимости .
И вообще , две величины называют прямо	пропорциональными	, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз .
Величины , обладающие указанным свойством , называются прямо	пропорциональными	( или просто пропорциональными ) .
И вообще , две величины называют обратно	пропорциональными	, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз .
Однако все эти и многие другие зависимости не являются прямо или обратно	пропорциональными	.
Величины , обладающие таким свойством , называются обратно	пропорциональными	.
Так , обратно	пропорциональными	являются . - время работы и производительность при постоянном объеме работы .
Величины , обладающие указанным свойством , называются прямо пропорциональными ( или просто	пропорциональными	) .
183 Являются ли величины прямо или обратно	пропорциональными	.
Зависимости между временем движения и пройденным расстоянием , стоимостью покупки и длиной тесьмы , временем распечатки и числом напечатанных страниц являются прямо	пропорциональными	и задаются формулами : s = 2 t , С = 2n , А = 2 t.
Аналогичные рассуждения проведем для обратно	пропорциональных	величин .
Приведи примеры прямо и обратно	пропорциональных	величин .
Установленные правила позволяют использовать пропорцию для решения задач , в которых говорится о прямо или обратно	пропорциональных	величинах .
Действительно , из формулы прямой пропорциональности у = kx следует , что k = у / x , поэтому отношения соответствующих значений	пропорциональных	величин равны k и , следовательно , равны между собой .
Поменяв в полученной пропорции местами крайние члены , а затем левую и правую части равенства , получим новую	пропорцию	.
97 Составь из равенства	пропорцию	и сделай все перестановки ее членов , не нарушающие эту пропорцию .
Если зависимости прямо или обратно пропорциональные , то соответствующие значения величин образуют	пропорцию	.
97 Составь из равенства пропорцию и сделай все перестановки ее членов , не нарушающие эту	пропорцию	.
98 Составь	пропорцию	из данных чисел и сделай все перестановки ее членов , не нарушающие эту пропорцию .
98 Составь пропорцию из данных чисел и сделай все перестановки ее членов , не нарушающие эту	пропорцию	.
Переставив в этой пропорции крайние члены , получим	пропорцию	.
128 Сделай все возможные перестановки членов пропорции , не нарушающие	пропорцию	. .
62 Составь , если возможно ,	пропорцию	из 4 данных чисел .
6 Записать	пропорцию	.
Измерь длины отрезков AM , MB , BN и NC и составь	пропорцию	из полученных чисел .
Можно ли из этих же чисел составить другую	пропорцию	? .
Найди значения выражений А , В , С и D и из полученных чисел составь	пропорцию	.
Это новое название величин связано с тем , что , как мы уже видели раньше , их соответственные значения образуют	пропорцию	.
58 Выбери из данных отношений те , из которых можно составить	пропорцию	.
60 Прочитай	пропорцию	разными способами , назови ее крайние и средние члены .
158 Вычисли значения А , В , С и D и составь из полученных чисел какую - нибудь	пропорцию	.
63 Напиши	пропорцию	, в которой каждое отношение равно : а ) 2 ; б ) .
181 К данной тройке чисел подбери четвертое натуральное число так , чтобы из них можно было составить	пропорцию	.
Например , мы знаем , что при равномерном движении скорость не меняется , поэтому отношения соответствующих значений расстояния и времени образуют	пропорцию	.
Установленные правила позволяют использовать	пропорцию	для решения задач , в которых говорится о прямо или обратно пропорциональных величинах .
Однако при всех преобразованиях полезно проверять себя “ перекрестным ” правилом , поскольку числа , составляющие	пропорцию	, нельзя переставлять произвольным образом .
Вообще , из данной пропорции можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние члены ; 2 ) поменять местами средние члены ; 3 ) составить	пропорцию	из отношений , обратных данным ; 4 ) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами правую и левую части .
А значит ,	пропорция	не нарушится , если в ней поменять местами одновременно и крайние , и средние члены : в этом случае получится пропорция , составленная из обратных отношений .
Например ,	пропорция	не нарушится , если к каждому крайнему ее члену прибавить “ соседний ” средний член .
69 Дана	пропорция	.
Эта	пропорция	означает , что при равномерном движении пройденный путь увеличивается ( уменьшается ) во столько раз , во сколько раз увеличивается ( уменьшается ) время движения .
Для них уже много веков существует специальное название —	пропорция	.
194 Найди значение выражений А , В и С. Подбери четвертое число так , чтобы получилась	пропорция	.
А значит , пропорция не нарушится , если в ней поменять местами одновременно и крайние , и средние члены : в этом случае получится	пропорция	, составленная из обратных отношений .
Из букв , соответствующих	пропорциям	, составь математический термин .
Пропорции , получаемые подобными преобразованиями , называют обычно производными	пропорциями	.
В произведениях великих композиторов , художников , архитекторов удивительным образом обнаруживаются одни и те же пропорции , совпадающие и с	пропорциями	человеческого тела , и с закономерностями расположения листьев на растениях .
Вообще , из данной пропорции можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние члены ; 2 ) поменять местами средние члены ; 3 ) составить пропорцию из отношений , обратных данным ; 4 ) в четырех имеющихся	пропорциях	поменять местами правую и левую части .
Любое	простое число	можно представить в виде 2 n + 1 , где n N . 12 )
Любое число , кратное 9 , кратно и 3 . 4 ) Любое число , кратное 3 , кратно и 9 . 5 ) Каждое	простое число	имеет не больше двух делителей .
Для ложных утверждений приведи контрпример , а верные — докажи правильно . 1 ) Сумма двух простых чисел —	простое число	: например , 2 — простое , 3 — простое , и их сумма 2 + 3 = 5- тоже простое .
	Простое число	. R — множество дробей .
	Простое число	.
5 ) Взаимно	простые числа	сами являются простыми . 6 ) Числа 12 и 15 — взаимно простые .
Среди составных чисел есть взаимно	простые числа	.
Все	простые числа	— нечетные . 5 )
6 ) Все	простые числа	взаимно просты .
Все	простые числа	нечетны .
Знаменатель неправильной дроби всегда является	простым числом	.
Элементы множества А = 8 , 15 , 31 , 49 , взятые попарно , являются взаимно	простыми числами	.
Сумма двух взаимно	простых чисел	— число простое : например , числа 9 и 14 взаимно просты , и их сумма 9 + 14 = 23 — число простое .
Для ложных утверждений приведи контрпример , а верные — докажи правильно . 1 ) Сумма двух	простых чисел	— простое число : например , 2 — простое , 3 — простое , и их сумма 2 + 3 = 5- тоже простое .
486 Какие два двузначных	простых числа	получаются друг из друга перестановкой цифр , а их разность образует точный квадрат ? .
Так , число ( -3 )	противоположно числу	3 , а само число 3 противоположно числу ( -3 ) .
Так , число ( -3 ) противоположно числу 3 , а само число 3	противоположно числу	( -3 ) .
78 Прочитай выражения , используя понятия обратного и	противоположного числа	.
Модуль	противоположного числа	.
Число ,	противоположное числу	+4 , равно .
Число ,	противоположное числу	-2,5 , равно .
А запись -(-5 ) означает “ число ,	противоположное числу	минус 5 ” , то есть само число 5 .
Поэтому запись ( -5 ) можно прочитать двумя способами : “ минус 5 ” и “ число ,	противоположное числу	5 ” .
Взаимно	противоположные числа	расположены на координатной прямой по разные стороны от 0 на одинаковом расстоянии от него .
442 Сложив сначала	противоположные числа	, найди значения выражений .
Так как	противоположные числа	находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета , то их модули равны .
Сумма	противоположных чисел	равна нулю .
а ) сумма	противоположных чисел	равна 0 .
а ) Модули	противоположных чисел	равны .
Сумма	противоположных чисел	равна 0 . е ) Произведение взаимно обратных чисел равно 1 .
Для этого составим сумму произведений и применим к ней сначала распределительное свойство умножения , а затем свойство суммы	противоположных чисел	.
Модули	противоположных чисел	равны .
И вообще , сумма двух	противоположных чисел	равна нулю .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули	противоположных чисел	равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
Найди пары взаимно	противоположных чисел	.
Какой	процент	площади , принадлежащей этому кооперативу , отведено под гаражи ? .
Какой	процент	учеников класса написал контрольную работу на « 4 » и « 5 » ?
Для решения задачи подставим в формулу простого процентного роста годовой	процент	амортизации компьютера р = 20 % , количество лет его использования л — 2 и первоначальную стоимость S = 12000 .
Пользуясь данными таблицы , найди	процент	, который составляют площадь и население этих государств соответственно от площади и населения Москвы .
Чему равен	процент	всхожести семян ? .
Какой	процент	своей массы теряет виноград при сушке ? .
Обозначается	процент	знаком % .
Слово “	процент	” происходит от латинского pro centum , означающего “ от сотни ” или “ на 100 ” .
В действительности точный смысл этого выражения состоит в том , что призы получили 7 % участников лотереи , и именно такое понимание соответствует происхождению слова “	процент	” : 7 % — это 7 из 100 , 7 человек из 100 человек .
Какой	процент	солнечных дней был в июне ? .
338 Определи по каждому рисунку , какой примерно	процент	фигуры закрашен , и выбери наиболее подходящий ответ из трех данных .
Как изменился	процент	выпуска продукции за два года ? .
Какой	процент	всех посаженных деревьев составляют тополя ? .
766 Как найти : а )	процент	от числа ; б ) число по его проценту ; в ) процентное отношение двух чисел ?
Концентрация раствора — это	процент	, который составляет масса растворенного вещества от массы раствора .
д )	процент	износа на начало 2009 года ( т.е. отношение накопленного износа к первоначальной стоимости ) .
Разница законов простого и сложного роста состоит в том , что при простом росте	процент	каждый раз исчисляют , исходя из начального значения величины , а при сложном росте — исходя из суммы последнего начисления .
Какой	процент	составляет число участков с кирпичными домами от числа всех выделенных участков ? .
Какой	процент	железа в обогащенной руде ? .
439 Под какой	процент	годовых , считая от первоначальной суммы , надо положить в банк сумму 1 тыс. р . , чтобы по истечении восьми лет получить .
В каком квартале	процент	увеличения был больше ?
Чему равен	процент	чистого дохода от стоимости дома ? .
43 Комиссионные магазины , продав вещь , берут с ее владельца комиссионный сбор , который составляет определенный	процент	от стоимости вещи .
Поэтому требуется вычислить	процент	, который составляет 50 г соли от всей массы раствора .
Чему равна в этом случае годовая процентная ставка ( то есть	процент	роста вклада за год ) ? .
9 Для определения	процента	всхожести семян посадили 300 семян .
Нахождение	процента	от числа .
Замени проценты числами , выражающими части величин : 3 % ; 18 % ; 7,5 % ; 150 % ; 528 % . 2 ) Замени числа , выражающие части величин ,	процентами	: 0,05 ; 0,28 ; 0,9 ; 0,045 ; 1,8 ; 4 .
464 Какой капитал надо вложить в паевой инвестиционный фонд под 20 % годовых ( срочный вклад ) , чтобы через 3 года получить вместе с	процентами	100000 р . ?
( Процент увеличения — это отношение прироста в	процентах	к первоначальной доле в процентах . ) .
Вырази в	процентах	, какую примерно часть площади Москвы оно составляет и какую часть населения Москвы составляет его население .
315 Вырази в	процентах	части величин .
Ответ вырази в	процентах	. 2 ) В спортивных соревнованиях призы получили 36 человек , что составило 12 % всех участников .
366 Найди часть , которую одно число составляет от другого , и вырази ее в	процентах	.
Вырази эти части обыкновенными дробями , десятичными дробями и в	процентах	.
( Процент увеличения — это отношение прироста в процентах к первоначальной доле в	процентах	. ) .
8 Вырази данные отношения величин в	процентах	.
316 Округли десятичную дробь до сотых , а затем вырази в	процентах	соответствующую ей часть величины .
Таким образом , чтобы выразить число в	процентах	, надо его умножить на 100 .
3 ) Если а < b , то отношение а : b показывает , какую часть а составляет от b . 4 ) Процентное отношение а к b — это отношение а : b , выраженное в	процентах	, оно равно — 100 % .
Отношение иногда бывает удобно выражать в	процентах	.
Частное двух чисел , выраженное в	процентах	, называется процентным отношением этих чисел .
Вырази в	процентах	указанную часть величины : а ) половина ; б ) четверть .
Вырази увеличение изображения в	процентах	.
Чтобы найти , сколько процентов число b составляет от а ( а не равно 0 ) , надо сначала узнать , какую часть b составляет от а , а затем эту часть выразить в	процентах	.
Вырази это отношение в	процентах	.
Зрители телесериала ( в	процентах	к общему числу зрителей ) .
В одном месте речь шла о	процентах	", которые тогда обозначали “ cto "" ( сокращенно от cento ) ."
Вырази в	процентах	данное и обратное отношение чисел .
Вырази эту часть в	процентах	.
1 Понятие о	проценте	.
Ответ : при простом	проценте	будет сумма 7000 р . , а при сложном — 7346,64 р .
На сколько	процентов	картофель дешевле моркови ? .
На сколько	процентов	среднее арифметическое числа учеников в первых трех классах больше числа учеников в четвертом классе ? .
На сколько	процентов	число книг на четвертой полке меньше среднего арифметического числа книг на первых трех полках ? .
На сколько	процентов	ему нужно было увеличить скорость , чтобы не опоздать в школу ? .
На сколько	процентов	повысилась цена ? .
На сколько	процентов	снизилась цена ? .
На сколько	процентов	изменилась величина , если она : а ) удвоилась .
На сколько	процентов	увеличилась цена пылесоса ? .
На сколько	процентов	была снижена цена ? .
На сколько	процентов	площадь первого прямоугольника меньше площади второго прямоугольника ? .
Сколько	процентов	всего пути ему еще осталось пройти ? .
203 На сколько	процентов	число А больше числа Б .
На сколько	процентов	скорость второго лыжника больше скорости первого ? .
На сколько	процентов	мальчиков в классе больше , чем девочек ?
На сколько	процентов	скорость первого лыжника меньше скорости второго ?
На сколько	процентов	скорость второго пешехода меньше скорости первого ? .
На сколько	процентов	скорость первого пешехода больше скорости второго ?
На сколько	процентов	дешевле ? .
На сколько	процентов	третья сторона треугольника меньше второй , если его периметр равен 5,7 см ? .
На сколько	процентов	изменились периметр и площадь прямоугольника ? .
На сколько	процентов	нужно повысить производительность труда , чтобы при сохранении оплаты за единицу продукции заработная плата выросла на 5 % ? .
На сколько	процентов	увеличилась цена товара по сравнению с первоначальной ? .
На сколько	процентов	и как изменилась температура воздуха за сутки ? .
На сколько	процентов	и как изменилось число вкладчиков за эти два месяца ? .
Как изменился периметр треугольника и на сколько	процентов	?
3 ) Сколько	процентов	всех шаров составляют красные , а сколько — белые шары ? .
2 ) Сколько	процентов	всех квартир составляют однокомнатные квартиры ? .
Как изменился периметр прямоугольника и на сколько	процентов	? .
4 ) Сколько	процентов	всех отдыхающих составляют дети ? .
С помощью пропорций можно решать и задачи на проценты , так как число	процентов	пропорционально соответствующей части величины .
На сколько всего	процентов	уменьшилось число заболевших гриппом в школе за эти два года ? .
На сколько	процентов	девочек меньше , чем мальчиков ? .
На сколько	процентов	отличаются их зарплаты ? .
320 На сколько	процентов	изменилась величина , если она .
На сколько	процентов	увеличились цены ? .
Определи , на сколько	процентов	А меньше , чем В ?
На сколько	процентов	В больше , чем А ? .
Сколько	процентов	составили закрытые акционерные общества .
На сколько	процентов	государственных предприятий меньше , чем предприятий других форм собственности ? .
Сколько	процентов	составил доход от продажи непродовольственных товаров ?
На сколько	процентов	первое число меньше второго ?
409 Сколько	процентов	составляют .
Чтобы найти , сколько	процентов	число b составляет от а ( а не равно 0 ) , надо сначала узнать , какую часть b составляет от а , а затем эту часть выразить в процентах .
Значит , чтобы узнать , сколько	процентов	первое число составляет от второго , надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100 .
На сколько	процентов	увеличилась площадь поля ? .
На сколько	процентов	второе число больше первого ? .
79 Как и на сколько	процентов	изменилось число , если .
На сколько	процентов	надо увеличить урожайность картофеля , чтобы сократить посевные площади на 0,5 га ?
На сколько	процентов	первый кусок длиннее второго ? .
Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой	процентов	.
На сколько	процентов	девочек в этом классе меньше , чем мальчиков ? .
Как изменилась площадь прямоугольника и на сколько	процентов	? .
Полученная выше формула применима не только к задачам о росте вклада , но и к любой ситуации , когда рассматриваемая величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определенное число	процентов	, считая от последнего ее значения .
Любое число	процентов	можно записать в виде десятичной дроби , выражающей часть величины .
При уменьшении величины на определенное число	процентов	, считая от последнего значения , в формуле , как и для простого роста , вместо знака “ плюс ” появляется знак “ минус ” .
Чтобы выразить проценты числом , нужно количество	процентов	разделить на 100 .
Сколько	процентов	составляет число b от числа а ?
В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями	процентов	и соответствующими дробями : половина — 50 % , четверть — 25 % , три четверти — 75 % , пятая часть — 20 % , три пятых — 60 % и т .
Сколько	процентов	от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия ?
Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины , сформулированные без	процентов	и с помощью процентов .
Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины , сформулированные без процентов и с помощью	процентов	.
485 Вычисли значения выражений А и В и определи : 1 ) на сколько	процентов	А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
421 Вычисли значения дробей А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько	процентов	В больше , чем А ? .
421 Вычисли значения дробей А и В и определи : 1 ) на сколько	процентов	А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
317 Укажи примерно с точностью до десятых , сколько	процентов	составляет : а ) треть всех жителей города ; б ) шестая часть учеников класса ; в ) девятая часть денежного вклада ; г ) двенадцатая часть семейного бюджета ? .
в ) сколько	процентов	составляет 72 л от 2400 л .
485 Вычисли значения выражений А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько	процентов	В больше , чем А ? .
Когда заболеваемость была ниже — до эпидемии или после проведения профилактических мероприятий — и на сколько	процентов	? .
Формула	процентов	объединяет все три типа задач на дроби , и , при желании , можно ею пользоваться , чтобы найти любую из неизвестных величин а , b и р .
Сколько	процентов	всего пути составляет оставшийся путь ?
На сколько	процентов	они , соответственно , меньше или больше , чем а ? .
На сколько	процентов	снизилась температура за два дня ? .
На сколько	процентов	второе число меньше первого ? .
2 ) Сколько	процентов	от 25 составляют : 0,045 ; 0,25 ; 0,565 ; 1,85 ; 2,55 ; 35 ?
На сколько	процентов	они меньше или больше , чем 25 ? .
Сколько	процентов	от всех участников соревнований стали призерами лыжного марафона ? .
Как и на сколько	процентов	изменилась цена за два месяца ? .
Сколько	процентов	составляет число а от числа .
В каком выше и на сколько	процентов	? .
На сколько	процентов	увеличилась площадь прямоугольника ? .
2 ) Сколько	процентов	годового дохода можно получить , если в течение года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его действия каждый роз все полученные деньги вкладывать опять же на 3 месяца ?
Как и на сколько	процентов	изменился периметр прямоугольника ? .
На сколько	процентов	12 больше 4,8 ? .
На сколько	процентов	уменьшился периметр прямоугольника ? .
В каком из них цены стали ниже и на сколько	процентов	?
На сколько	процентов	возросли цены за 4 месяца ?
На сколько	процентов	4,8 меньше 12 ?
376 1 ) Сколько	процентов	от числа а составляют : 0,04а ; 0,2а ; 0,56а ; 1,8а ; 2,5а ; За ?
На сколько	процентов	первое число больше второго ?
Задачу можно было бы решить и иначе : найти сначала , сколько	процентов	составит сумма на счете в конце года от первоначальной — 100 % + 10 % = 110 % , а затем вычислить 110 % от 4500 рублей .
На сколько	процентов	поднялась цена за 2 месяца ? .
364 1 ) Какой должна быть заработная плата , чтобы после уплаты налогов и	процентов	по кредитам , составляющим в сумме 25 % от начисленной зарплаты , работник получил 12000 р . ? .
367 Сколько	процентов	составляют .
Сколько	процентов	составили коробочки с сюрпризами ?
На сколько всего	процентов	снизился ее товарооборот за эти 3 года ? .
Сколько	процентов	от числа проехавших машин составили грузовые машины ? .
459 Вычисли значения выражений А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько	процентов	В больше , чем А ? .
26 Вычисли процентное отношение чисел А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько	процентов	В больше , чем А ? .
Сколько	процентов	от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета , если после вычета 13%-го налога работником получено : а ) 10440 р . ; б ) 13050 р . ? .
Сколько	процентов	составит успеваемость в случае , если : а ) придут еще 10 двоечников ; б ) придут 10 отличников ?
На сколько	процентов	цена пластинки в упаковке меньше , чем цена отдельной пластинки ?
На сколько	процентов	цена отдельной пластинки больше , чем цена пластинки в упаковке ? .
370 На сколько	процентов	изменилась цена , если она . 371 Какое изменение больше в процентном отношении .
162 На сколько	процентов	число 27 больше числа .
26 Вычисли процентное отношение чисел А и В и определи : 1 ) на сколько	процентов	А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях , когда некоторая величина увеличивается на постоянное число	процентов	за каждый одинаковый фиксированный период времени .
431 На сколько	процентов	в год увеличивается банковский вклад ( простой процентный рост ) , если за 10 лег он возрос : а ) вдвое ; б ) в 1,5 раза ; в ) в 10 раз ? .
435 На диаграмме показано изменение величины S. На сколько	процентов	в месяц изменяется S ? ( Считать , что в месяце 4 недели . ) .
Длину этого параллелепипеда уменьшили на 3 см. На сколько	процентов	уменьшился его объем ? .
440 Сколько	процентов	составляет пеня за несвоевременную квартирную плату , если за 20 дней просрочки сумма квартплаты увеличилась : а ) с 1500 до 1530 р . ;
Сколько	процентов	всех пассажиров составляют мужчины в возрасте до 35 лет , читающие фантастику ?
451 В общественном транспорте города N четырнадцать	процентов	пассажиров читают фантастику .
На сколько	процентов	у больше , чем х ? .
Ка кая сумма будет на счете клиента банка черев 5 лет : а ) при начислении банком простых процентов ; б ) при начислении банком сложных	процентов	? .
Как и на сколько	процентов	изменился выпуск продукции за два года ? .
446 а ) Сколько	процентов	от числа а составляют : 0,14а ; 0,06а ; 0,45а ; 0,003а ; 1,05а ; 2,8а ? .
Ка кая сумма будет на счете клиента банка черев 5 лет : а ) при начислении банком простых	процентов	; б ) при начислении банком сложных процентов ? .
б ) На сколько	процентов	каждое из чисел : 0,026 ; 0,126 ; 0,346 ; 0,256 ; 0,566 ; 0,896 меньше , чем 6 ? .
На сколько	процентов	b меньше , чем а ? .
На сколько	процентов	каждое из этих чисел больше или меньше другого ? .
Как и на сколько	процентов	увеличились доходы населения за два квартала ? .
в ) На сколько	процентов	каждое из чисел : 1,2с ; 1,48с ; 1,5с ; 2с ; 3,85с ; 4,6с больше , чем с ? .
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста , или просто формулой сложных	процентов	.
На сколько	процентов	снизилась цена телевизора ? .
Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько	процентов	? .
Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько	процентов	? .
Из последней задачи ясно видно , что при начислении	процентов	разными способами получается значительная разница .
459 Вычисли значения выражений А и В и определи : 1 ) на сколько	процентов	А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
На сколько	процентов	больше времени он затратил на прохождение третьего круга , чем первого ? . .
Процентное отношение показывает , сколько	процентов	число а составляет от числа b .
На сколько	процентов	площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата ? .
Сколько	процентов	посаженных семян проросло ? .
3 ) На сколько	процентов	18 меньше , чем 72 ?
Аналогичная формула получится , если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число	процентов	.
На сколько	процентов	72 больше , чем 18 ? .
489 Сколько	процентов	от заданной величины составляют : а ) половина от ее 30 % ; б ) четверть от ее 200 % ; в ) пятая часть от трех четвертей ; г ) 10 % от ее половины ; д ) половина от ее четверти ; е ) 25 % от ее половины ? .
Еще с младших классов нам известно , что одним	процентом	от любой величины — денежной суммы , числа учащихся школы и т .
766 Как найти : а ) процент от числа ; б ) число по его	проценту	; в ) процентное отношение двух чисел ?
Нахождение числа по его	проценту	.
Составные задачи на	проценты	решаются аналогично задачам на дроби .
Какая сумма будет на его счете через 4 года , если банк начисляет доход в размере 5 % в год ( простые	проценты	) ? .
Каким станет вклад через 3 года , если банк начисляет : а ) простые	проценты	; б ) сложные проценты ? .
Процентное отношение широко используется для сравнения на практике , поскольку	проценты	соответствуют дробям с одним и тем же знаменателем 100 , а дроби с одним знаменателем сравнивать гораздо проще .
Преимущество данного способа состоит в том , что с помощью пропорций все три типа задач на	проценты	решаются одинаково .
Если же вкладчик этого не сделал , то	проценты	присоединяются к начальному вкладу , и поэтому в конце следующего года 10 % начисляются банком уже на новую , увеличенную сумму .
226 Реши задачи на	проценты	способом пропорций . 1 ) За перевозку мебели заплатили 1200 р . , что составило 4 % ее стоимости .
Иначе говоря , при такой системе начисляются “	проценты	на проценты ” , или , как их обычно называют , сложные проценты .
Но зато способ пропорций “ унифицирует ” задачи на	проценты	, то есть делает их одинаковыми .
Поэтому , желая внести деньги в какой - нибудь банк , человек всегда должен внимательно ознакомиться с условиями : какие проценты выплачивает банк — простые или сложные , платит л и он “	проценты	на проценты ” .
Иначе говоря , при такой системе начисляются “ проценты на	проценты	” , или , как их обычно называют , сложные проценты .
С помощью пропорций можно решать и задачи на	проценты	, так как число процентов пропорционально соответствующей части величины .
Каким станет вклад через 2 года , если : а ) банк начисляет простые	проценты	; б ) банк начисляет сложные проценты ? .
Каким станет вклад через 2 года , если : а ) банк начисляет простые проценты ; б ) банк начисляет сложные	проценты	? .
Иначе говоря , при такой системе начисляются “ проценты на проценты ” , или , как их обычно называют , сложные	проценты	.
Каким станет вклад через 3 года , если банк начисляет : а ) простые проценты ; б ) сложные	проценты	? .
В зависимости от того , что неизвестно — а , b или р , выделяются три типа задач на	проценты	.
В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход — “	проценты	” , как его обычно называют .
314 Замени	проценты	числами , выражающими части величин .
209 Реши задачи двумя способами — способом пропорций и по правилам решения задач на	проценты	.
В простейших задачах на	проценты	некоторая величина а принимается за 100 % ( “ целое ” ) , а ее часть b выражается числом р% .
Чтобы выразить	проценты	числом , нужно количество процентов разделить на 100 .
На сколько рублей будут отличаться вклады через 4 года в случаях , когда банк начисляет простые проценты и сложные	проценты	? .
Поэтому , желая внести деньги в какой - нибудь банк , человек всегда должен внимательно ознакомиться с условиями : какие проценты выплачивает банк — простые или сложные , платит л и он “ проценты на	проценты	” .
На сколько рублей будут отличаться вклады через 4 года в случаях , когда банк начисляет простые	проценты	и сложные проценты ? .
Замени	проценты	числами , выражающими части величин : 3 % ; 18 % ; 7,5 % ; 150 % ; 528 % . 2 ) Замени числа , выражающие части величин , процентами : 0,05 ; 0,28 ; 0,9 ; 0,045 ; 1,8 ; 4 .
2 Задачи на	проценты	.
Поэтому , желая внести деньги в какой - нибудь банк , человек всегда должен внимательно ознакомиться с условиями : какие	проценты	выплачивает банк — простые или сложные , платит л и он “ проценты на проценты ” .
Поскольку	проценты	можно выразить дробями , то задачи на проценты являются , по существу , теми же задачами на дроби .
Поскольку проценты можно выразить дробями , то задачи на	проценты	являются , по существу , теми же задачами на дроби .
200 Реши задачи на	проценты	способом пропорций . 1 ) Сколько серной кислоты в растворе массой 75 г , если концентрация раствора составляет 12 % ? .
Правила сравнения рациональных чисел можно вывести из известного нам правила сравнения положительных чисел , которое подсказывает нам координатная	прямая	.
К основным понятиям в геометрии относятся , прежде всего , точка ,	прямая	и плоскость .
При этом	прямая	l называется осью симметрии , а сами фигуры ( фигура F , либо пара фигур F1 , и F2 ) называются симметричными относительно оси l .
Решая задачи на пропорциональное деление , мы вновь наблюдаем , как абстрактные математические понятия — в данном случае	прямая	и обратная пропорциональность — помогают отвечать на серьезные практические вопросы .
651 Имеют ли отрезок ,	прямая	, луч оси симметрии и сколько ?
	Прямая	расположена горизонтально ? .
307 Какие из перечисленных ниже признаков являются существенными для понятия “ координатная	прямая	” .
359 Сколько общих точек могут иметь	прямая	и окружность ?
а ) если прямая а перпендикулярна прямой b , то	прямая	b перпендикулярна прямой а .
а ) прямая l не имеет с окружностью общих точек ; б ) прямая l касается окружности ; в )	прямая	l пересекает окружность в двух точках .
а ) прямая l не имеет с окружностью общих точек ; б )	прямая	l касается окружности ; в ) прямая l пересекает окружность в двух точках .
612 Является ли	прямая	l осью симметрии данных фигур ?
	Прямая	АВ ; отрезок АВ .
Это определение смежных углов опирается на понятия «	прямая	» , « угол » , « сторона угла » , « общая сторона » .
Кальку с фигурой F , теперь просто сдвинем на расстояние d вдоль некоторой прямой l (	прямая	l при этом должна перейти сама в себя ) .
е ) где Р — множество прямых и b — фиксированная	прямая	из этого множества .
Сколько точек пересечения могут иметь	прямая	и окружность ? .
Построение сечения для этого случая показано : прямые МК и АВ продолжены до их пересечения в точке Р. Значит ,	прямая	PN , а вместе с ней и ее точка Т лежат в плоскости а , и теперь можно построить пересечение ее с каждой гранью тетраэдра .
Обе эти зависимости являются частными случаями формулы произведения :	прямая	пропорциональность — при постоянном множителе , а обратная — при постоянном произведении .
а ) если	прямая	а перпендикулярна прямой b , то прямая b перпендикулярна прямой а .
Заметим , что	прямая	CD не только проходит через середину отрезка АВ , но и перпендикулярна к нему .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая	прямая	, проходящая через ее центр .
а )	прямая	l не имеет с окружностью общих точек ; б ) прямая l касается окружности ; в ) прямая l пересекает окружность в двух точках .
Координатная	прямая	может располагаться на плоскости по - разному .
А в третьем предложении сказано , что А и В — точки , а l —	прямая	.
2 Установить вид зависимости (	прямая	или обратная пропорциональность ) .
В геометрии примерами центрально - симметричных фигур могут служить	прямая	, параллелограмм , окружность .
599 Внутри	прямого	угла АО В провели луч ОМ так , что угол АОМ : а ) в 4 раза больше угла МОВ ; б ) на 24 ° меньше угла МО В ; в ) составляет 50 % угла МОВ .
Угол , равный части	прямого	угла , назвали град , однако используется он редко .
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по - разному : у остроугольного треугольника он располагается внутри него , у прямоугольного — в вершине	прямого	угла , а у тупоугольного — снаружи .
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до	прямого	угла ; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
Угол величиной в 1 ° равен части	прямого	угла .
572 Чему равна градусная мера : а )	прямого	угла ; б ) острого угла ; в ) тупого угла .
Угол , равный части	прямого угла	, назвали град , однако используется он редко .
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по - разному : у остроугольного треугольника он располагается внутри него , у прямоугольного — в вершине	прямого угла	, а у тупоугольного — снаружи .
572 Чему равна градусная мера : а )	прямого угла	; б ) острого угла ; в ) тупого угла .
Угол величиной в 1 ° равен части	прямого угла	.
599 Внутри	прямого угла	АО В провели луч ОМ так , что угол АОМ : а ) в 4 раза больше угла МОВ ; б ) на 24 ° меньше угла МО В ; в ) составляет 50 % угла МОВ .
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до	прямого угла	; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
Как объединить	прямое	и обратное высказывания в одно предложение ? .
Например , легче нарисовать отрезок , чем дать его определение : « Отрезок — это часть	прямой	, ограниченная двумя точками » .
187 Отметь на координатной	прямой	множество решений неравенства .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые , прямоугольные — имеющие один	прямой	угол , и тупоугольные — имеющие один тупой угол .
657 Перенеси в тетрадь и построй на	прямой	l точку С так , чтобы длина ломаной АСВ была наименьшей .
364 Найди координаты точек координатной	прямой	, удаленных : а ) на 3 единицы от точки А ( 1 ) ; б ) на 2 единицы от точки В ( -1 ) ; в ) на 4 единицы от начала координат .
6 ) Прямые при пересечении могут образовывать	прямой	угол .
Например , выявление общих свойств зависимостей между такими величинами , как « расстояние — скорость — время » , « стоимость — цена — количество товара » , « объем выполненной работы — производительность — время » , привело к построению зависимостей общего вида —	прямой	пропорциональности ( у = kx ) и обратной пропорциональности .
Можно ли ее восстановить , если известно , что расстояние от сельской почты до окраины села ( по	прямой	дороге ) равно 3,2 км , а на карте это расстояние изображено отрезком длиной 4 см ?
517 Нарисуй в масштабе 2 : 1 геометрические тела , которые получаются при вращении вокруг	прямой	l данных фигур .
Как мы уже говорили , положительные числа изображаются на координатной	прямой	точками , расположенными правее 0 , отрицательные — левее 0 .
352 Отметь на координатной	прямой	точки , модуль которых равен 2 , 6 , 0 .
201 Определи , какие компоненты арифметических действий связаны	прямой	, а какие — обратной пропорциональной зависимостью .
Еще мы знаем , что любое рациональное число может быть изображено точкой числовой	прямой	.
Кальку с фигурой F , теперь просто сдвинем на расстояние d вдоль некоторой	прямой	l ( прямая l при этом должна перейти сама в себя ) .
Любая ли точка числовой	прямой	является рациональным числом ? .
С координатами мы уже не раз встречались и в математике : обозначали с помощью чисел положение точек координатной	прямой	и координатного угла .
672 Скопируй рисунок и построй треугольник , симметричный треугольнику АВС относительно	прямой	l.
Заметим также , что для рациональных чисел останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных чисел : длина отрезка на координатной	прямой	равна разности координат его правого и левого концов .
угол A —	прямой	.
А сейчас придется смириться с тем фактом , что если на координатной	прямой	поставить все рациональные числа , то на ней останутся “ свободные места ” — например , точка А . 561 1 )
было предложено делить	прямой	угол не на 90 , а на 100 частей .
221 Отметь на координатной	прямой	множество решений неравенства .
222 Найди значения выражений методом доходов и расходов и с помощью координатной	прямой	.
Например , точка пересечения медиан М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной	прямой	, причем точка М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
527 По таблице , задающей зависимость между хну , построй формулу и график зависимости и установи , является ли она	прямой	или обратной пропорциональностью .
488 На координатной	прямой	отмечены точки А ( -2,4 ) , В ( 0,8 ) , С ( -4 ) и D ( -0,9 ) .
Но все они , как и графики	прямой	пропорциональности , будут похожи друг на друга .
Отметь схематически на координатной	прямой	числа : 2,4 : -5 ; -1 — ; -3,8 ; -10,5 .
а ) если прямая а перпендикулярна прямой b , то прямая b перпендикулярна	прямой	а .
Точки А и А1 не принадлежащие	прямой	l , называются симметричными относительно l , если отрезок АА1 перпендикулярен этой прямой и делится ею пополам .
Их всего пять : построение	прямой	( 1 ) , окружности ( 2 ) , построение точки пересечения двух прямых ( 3 ) , прямой и окружности ( 4 ) и двух окружностей ( 5 ) .
Точки А и А1 не принадлежащие прямой l , называются симметричными относительно l , если отрезок АА1 перпендикулярен этой	прямой	и делится ею пополам .
Из этих примеров видно , что число центров симметрии также может быть различным : так , у	прямой	их бесконечно много , а у параллелограмма и окружности — по одному .
Точки А и В принадлежат	прямой	l — предложение с тремя переменными А , В и l .
289 Какие из приведенных ниже формул являются	прямой	пропорциональностью , обратной пропорциональностью или не являются ни тем , ни другим ? .
Треугольник называется прямоугольным , если один его угол	прямой	.
Найди координаты точек пересечения этой окружности с	прямой	ВС , если В ( -5 ; 7 ) , С ( 4 ; -2 ) .
290 Определи , является ли зависимость между величинами	прямой	или обратной пропорциональностью или не является ни тем , ни другим .
Наглядное представление о точке дает след , который оставляет на бумаге неподвижный остро заточенный карандаш , представление о	прямой	— туго натянутая тонкая нить , представление о плоскости — спокойная гладь воды .
Особенностью центрально - симметричных точек является то , что они не только равноудалены от центра О , но и лежат на одной	прямой	с ним .
на	прямой	выбран единичный отрезок .
Таким образом , понятия	прямой	и обратной пропорциональности тесно связаны между собой .
Например , все точки	прямой	а имеют абсциссы , равные 2 , а все точки прямой b имеют ординаты , равные ( -3 ) .
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к	прямой	, содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к	прямой	а , если прямые АН и а перпендикулярны .
162 Определи , является ли зависимость между величинами	прямой	или обратной пропорциональностью .
Прямая , пересекающая прямую р и не перпендикулярная ей , называется наклонной к	прямой	р . 398 ) Вычисли наиболее удобным способом .
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с	прямой	а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
Постоянную величину в формуле а = bс принято обозначать буквой k , а переменные величины — буквами х и у. Полученную формулу назовем формулой	прямой	пропорциональности , а число k в этой формуле — коэффициентом пропорциональности .
Перегибая лист бумаги по оси симметрии l , мы наблюдаем , что отрезок АА , перпендикулярен	прямой	l и отрезки AM и А1М равны .
а ) если прямая а перпендикулярна	прямой	b , то прямая b перпендикулярна прямой а .
В плоскости грани провести прямую МК до ее пересечения с	прямой	DD в точке Р .
Лучом называется часть	прямой	, ограниченная только одной точкой .
Построй на координатной	прямой	точки О ( 0 ) , А ( 1 ) , В ( -3 ) , С ( 5,8 ) , D . 310 На координатной прямой отмечены точки А , В , С , D , Е и F. Запиши их координаты .
Их можно получить в результате вращения в пространстве некоторой плоской фигуры вокруг	прямой	l , которая называется осью вращения .
Построй на координатной прямой точки О ( 0 ) , А ( 1 ) , В ( -3 ) , С ( 5,8 ) , D . 310 На координатной	прямой	отмечены точки А , В , С , D , Е и F. Запиши их координаты .
Представление о ней можно получить при перегибании плоскости по некоторой	прямой	l : когда совмещаются либо две половинки одной фигуры F , либо две различные фигуры F1 и F2 .
На произвольной	прямой	а отложим отрезок , равный отрезку АС .
Координатной ( числовой )	прямой	называют прямую , на которой выбраны начало отсчета , единичный отрезок и направление отсчета .
Отметь на этой	прямой	начало отсчета и единичный отрезок .
Проверь ответы с помощью координатной	прямой	.
Вместе с тем мы знаем , что для проведения	прямой	достаточно иметь любые две ее точки .
Решить эту задачу помогает свойство плоскостей , которое мы наблюдаем ежедневно , листая книгу или тетрадь : две различные непараллельные плоскости пересекаются по	прямой	.
319 Изобрази точкой на координатной	прямой	число х , если .
Точка пересечения	прямой	CD с данным отрезком и есть искомая середина отрезка АВ .
Их всего пять : построение прямой ( 1 ) , окружности ( 2 ) , построение точки пересечения двух прямых ( 3 ) ,	прямой	и окружности ( 4 ) и двух окружностей ( 5 ) .
Построение	прямой	, перпендикулярной данной и проходящей через данную точку .
Рассмотрим два случая — когда данная точка принадлежит	прямой	и когда она прямой не принадлежит .
425 Выполни сложение чисел с помощью координатной	прямой	.
Отрезком называется часть	прямой	, ограниченная двумя точками .
Рассмотрим два случая — когда данная точка принадлежит прямой и когда она	прямой	не принадлежит .
Перенеси рисунок в тетрадь и построй фигуры , симметричные данным относительно	прямой	l . б )
Какие из них являются	прямой	пропорциональностью , обратной пропорциональностью ? .
Высотой треугольника называется перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к	прямой	, содержащей противоположную сторону .
б ) Какие из приведенных ниже зависимостей между величинами являются	прямой	пропорциональностью , обратной пропорциональностью или не являются ни тем , ни другим ? .
Например , все точки прямой а имеют абсциссы , равные 2 , а все точки	прямой	b имеют ординаты , равные ( -3 ) .
290 Отметь на координатной	прямой	цветным карандашом множество точек , удовлетворяющее данному неравенству .
170 По таблице установи вид зависимости между величинами , если известно , что она является	прямой	или обратной пропорциональностью .
638 Перенеси рисунок в тетрадь и построй отрезок А1В симметричный отрезку АВ относительно	прямой	l .
164 Какие из приведенных ниже формул являются	прямой	пропорциональностью , обратной пропорциональностью или не являются ни тем , ни другим ? .
Какие из них являются точками пересечения	прямой	с ребрами куба или их продолжениями ? .
Треугольником называется фигура , состоящая из трех точек , не лежащих на одной	прямой	, и трех отрезков , соединяющих эти точки .
3 Графики	прямой	и обратной пропорциональности .
На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно	прямой	l , содержащей : а ) большую сторону ; б ) меньшую сторону ; в ) медиану , проведенную к его меньшей стороне .
Но эти определения также должны опираться на ранее определенные понятия : например , понятие « прямоугольник » опирается на « прямой угол » , «	прямой	угол » , то есть угол в 90 ° , — на « градус » и т .
175 На чертежах представлены графики	прямой	пропорциональности .
а ) он равен развернутого угла ; б ) 0,75 его составляет	прямой	угол .
Точки любой	прямой	, перпендикулярной оси абсцисс , имеют одинаковые абсциссы , а любой прямой , перпендикулярной оси ординат , — одинаковые ординаты .
Сформулируй их определение и запиши формулы	прямой	и обратной пропорциональностей .
611 Перенеси рисунок в тетрадь и построй на глаз фигуру , симметричную данной относительно	прямой	l.
194 а ) Какие зависимости между величинами называются	прямой	и обратной пропорциональностью ?
399 Какие числа соответствуют точкам А , В , С , D и Е координатной	прямой	?
Построй фигуру , симметричную ломаной ABCD относительно	прямой	l .
Действительно , из формулы	прямой	пропорциональности у = kx следует , что k = у / x , поэтому отношения соответствующих значений пропорциональных величин равны k и , следовательно , равны между собой .
610 Как ты думаешь , симметричны ли данные фигуры относительно	прямой	l ?
274 Реши примеры : а ) с помощью понятий доходов и расходов ; б ) пользуясь числовой	прямой	.
Отметь на	прямой	l точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а ) треугольник АВС — равнобедренный ; б ) углы при основании треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам треугольника АВС , равны .
Но эти определения также должны опираться на ранее определенные понятия : например , понятие « прямоугольник » опирается на «	прямой	угол » , « прямой угол » , то есть угол в 90 ° , — на « градус » и т .
165 Каждая из зависимостей , приведенных в таблице , является	прямой	или обратной пропорциональностью .
639 Построй окружность , симметричную данной относительно	прямой	l , если .
а ) на	прямой	выбрано начало отсчета .
Найди их характеристическое свойство и сформулируй определение точек , симметричных относительно	прямой	l.
Изобрази на числовой	прямой	два произвольных числа и их среднее арифметическое .
Точки любой прямой , перпендикулярной оси абсцисс , имеют одинаковые абсциссы , а любой	прямой	, перпендикулярной оси ординат , — одинаковые ординаты .
Построй точку А1 симметричную точке А относительно	прямой	l : а ) с помощью чертежного угольника ; б ) с помощью циркуля и линейки ( без делений ) .
637 Для проведения перпендикуляра к	прямой	часто используют чертежный угольник , как показано .
Затем выполни необходимые измерения и изобрази на этой	прямой	среднее арифметическое чисел x и y .
636 Перегни лист бумаги по	прямой	l и проткни его ножкой циркуля .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые , прямоугольные — имеющие один	прямой угол	, и тупоугольные — имеющие один тупой угол .
6 ) Прямые при пересечении могут образовывать	прямой угол	.
а ) он равен развернутого угла ; б ) 0,75 его составляет	прямой угол	.
было предложено делить	прямой угол	не на 90 , а на 100 частей .
Но эти определения также должны опираться на ранее определенные понятия : например , понятие « прямоугольник » опирается на «	прямой угол	» , « прямой угол » , то есть угол в 90 ° , — на « градус » и т .
Но эти определения также должны опираться на ранее определенные понятия : например , понятие « прямоугольник » опирается на « прямой угол » , «	прямой угол	» , то есть угол в 90 ° , — на « градус » и т .
в ) Прямым углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая	прямому	углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
в ) Прямым углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая	прямому углу	, называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
Но если вдуматься глубже , осознать новое можно , только понимая « старое » , — в данном случае понятия	прямоугольник	, сторона прямоугольника и равные стороны .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезки MD и NC делят	прямоугольник	ABCD ?
Например , в определении « Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами » понятие « квадрат » — новое , а уже известное — «	прямоугольник	с равными сторонами » .
ABCD —	прямоугольник	, АВ = ВС = CD = DA .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит	прямоугольник	ABCD ?
330 Сформулируй определение квадрата , основываясь на понятии : а )	прямоугольник	; б ) ромб ; в ) параллелограмм .
Например , в определении « Квадратом называется	прямоугольник	с равными сторонами » понятие « квадрат » — новое , а уже известное — « прямоугольник с равными сторонами » .
Точно так же изобразить окружность , угол ,	прямоугольник	гораздо легче , чем увидеть и выразить в речи их существенные свойства .
Начерти	прямоугольник	, отношение длин сторон которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти прямоугольный треугольник , длины катетов которого относятся как 3 к 4 .
94 Квадрат и	прямоугольник	имеют одинаковый периметр .
Практический смысл формулы S = ab состоит в том , что для вычисления площади заданного прямоугольника нет необходимости измерять ее непосредственно , то есть укладывать	прямоугольник	квадратами единичной площади и подсчитывать их число .
375 Дан	прямоугольник	, длины сторон которого относятся как 2:1 .
ABCD —	прямоугольник	.
Покажи , как его можно « перекроить » в	прямоугольник	.
Вырежи из картона	прямоугольник	, прямоугольный треугольник , круг и закрепи их на стержне .
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку , прямую , луч , отрезок ,	прямоугольник	и квадрат , различные углы , окружность , параллельные и перпендикулярные прямые и т .
528 Склей из бумаги модель цилиндра , радиус основания которого равен 3,5 см , а развертка боковой поверхности —	прямоугольник	со сторонами 7π см и 10 см , где π — число , равное примерно 3,14 .
153 Начерти координатный угол и построй в нем	прямоугольник	ABCD по координатам его вершин : А(2 ; 3 ) , В(2 ; 7 ) , С(8 ; 7 ) , D(8 ; 3 ) .
Поэтому квадрат можно определить как «	прямоугольник	, все стороны которого равны » .
Но эти определения также должны опираться на ранее определенные понятия : например , понятие «	прямоугольник	» опирается на « прямой угол » , « прямой угол » , то есть угол в 90 ° , — на « градус » и т .
а ) Развертка боковой поверхности цилиндра —	прямоугольник	, одна из сторон которого равна длине окружности основания .
Осевым сечением цилиндра является	прямоугольник	ABCD , а осевым сечением конуса — равнобедренный треугольник АВС .
Точка М делит сторону АВ в отношении 4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MD делит	прямоугольник	ABCD ?
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы периметра и площади	прямоугольника	и квадрата , формулы площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда и куба .
Вычисли площадь каждого	прямоугольника	и отношение его большей стороны к меньшей .
Длина	прямоугольника	на 16 см больше ширины
2 ) Земельный участок имеет форму	прямоугольника	.
Длина	прямоугольника	b дм , а ширина — с дм .
536 Вырази в единицах измерения e1 , е2 , е3 . а ) длину отрезка АВ . б ) площадь	прямоугольника	ABCD . в ) объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA .
Ширина	прямоугольника	равна ими составляет 0,4 его длины .
Площадь	прямоугольника	равна произведению его длины и ширины .
На одной из больших сторон	прямоугольника	посередине отметь ворота шириной 4 м .
Найти периметр	прямоугольника	, ( а = 8,6 ) .
Какую часть площадь этого	прямоугольника	составляет от площади квадрата с тем же периметром ?
Какую часть длины	прямоугольника	составляет его ширина ?
155 Площадь	прямоугольника	равна 10 см2 .
Длина	прямоугольника	равна 7,2 дм , а его ширина составляет 25 % длины .
Но если вдуматься глубже , осознать новое можно , только понимая « старое » , — в данном случае понятия прямоугольник , сторона	прямоугольника	и равные стороны .
множество ординат всех точек	прямоугольника	.
Задай с помощью двойных неравенств : а ) множество абсцисс всех точек	прямоугольника	.
4 Придумай высказывание , выражающее свойство	прямоугольника	, и построй его отрицание .
Чему равны периметр и площадь	прямоугольника	, если .
Вместе с тем равенство всех сторон	прямоугольника	характерно только для квадрата , а значит , является его признаком .
На сколько квадратных дециметров площадь этого	прямоугольника	меньше площади квадрата с тем же периметром ? .
2 ) Ширина	прямоугольника	в 4 раза меньше длины .
Одна сторона	прямоугольника	на 200 % больше второй .
Как изменился периметр	прямоугольника	и на сколько процентов ? .
Развертка цилиндра на плоскости состоит из двух кругов — оснований цилиндра , и	прямоугольника	— его боковой поверхности .
длины стороны	прямоугольника	и его площади при постоянной длине другой стороны .
- длина и ширина	прямоугольника	при постоянной площади и т .
за метр . 6 ) цена тетрадей и их количество , которые можно купить на 24 р . 7 ) длина и ширина	прямоугольника	, площадь которого равна 60 м2 . 8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация .
Площадь	прямоугольника	24 см2 .
Чему равна ширина	прямоугольника	той же площади , длина которого равна 6 см ? .
187 Длина первого	прямоугольника	на 20 % больше длины второго , а ширина — на 40 % меньше ширины второго .
Одну сторону	прямоугольника	увеличили на 50 % , а вторую уменьшили на 30 % .
На сколько процентов площадь первого	прямоугольника	меньше площади второго прямоугольника ? .
На сколько процентов изменились периметр и площадь	прямоугольника	? .
Длину	прямоугольника	увеличили на 20 % , а ширину — на 25 % .
Чему равны площадь и периметр	прямоугольника	, если : а ) длина больше ширины в 1,6 раза ; б ) ширина составляет — длины ; в ) длина на 30 % больше ширины ; г ) ширина на 20 % меньше длины ? .
589 Длина	прямоугольника	на 1,2 см больше ширины .
На сколько процентов увеличилась площадь	прямоугольника	? .
Длину	прямоугольника	увеличили на 60 % , а ширину уменьшили на 60 % .
Как изменилась площадь	прямоугольника	и на сколько процентов ? .
3 ) Длина	прямоугольника	в 3 раза больше ширины .
На сколько процентов уменьшился периметр	прямоугольника	? .
4 ) Ширина	прямоугольника	в 4 раза меньше длины .
На сколько процентов площадь первого прямоугольника меньше площади второго	прямоугольника	? .
Найди периметр и площадь	прямоугольника	, если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
469 Ширина	прямоугольника	на 8 м меньше длины .
Из квадрата со стороной 10,6 см вырезали два	прямоугольника	, как показано на чертеже .
452 Длина	прямоугольника	на 3 см больше ширины .
453 БЛИЦтурнир . 1 ) Ширина	прямоугольника	а см , а длина на 30 % больше .
Чему равен периметр	прямоугольника	? .
Мы уже узнали многое из того , что открыли математики древности , в частности , формулу площади	прямоугольника	: S = ab , где буквой S обозначена площадь прямоугольника , а буквами а и b — его длина и ширина .
Мы уже узнали многое из того , что открыли математики древности , в частности , формулу площади прямоугольника : S = ab , где буквой S обозначена площадь	прямоугольника	, а буквами а и b — его длина и ширина .
Эта формула описывает соотношение между тремя величинами — длиной , шириной и площадью	прямоугольника	.
Практический смысл формулы S = ab состоит в том , что для вычисления площади заданного	прямоугольника	нет необходимости измерять ее непосредственно , то есть укладывать прямоугольник квадратами единичной площади и подсчитывать их число .
Длина	прямоугольника	b дм , а ширина на 20 % меньше .
Чему равна площадь	прямоугольника	? .
Площадь	прямоугольника	( S ) .
Ширина	прямоугольника	с м , что составляет его длины .
Длина	прямоугольника	а дм , а площадь — n дм2 Чему равен периметр прямоугольника ? .
Длина прямоугольника а дм , а площадь — n дм2 Чему равен периметр	прямоугольника	? .
Ширина	прямоугольника	b м , а периметр — р м .
Одну сторону	прямоугольника	уменьшили на 25 % , а вторую — увеличили на 60 % .
2 ) Длина	прямоугольника	в 1,5 раза больше ширины .
Цилиндр получается в результате вращения	прямоугольника	вокруг своей стороны , а конус — в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг своего катета .
Например , периметр	прямоугольника	равен удвоенной сумме его сторон Р = 2(а + b ) , а вовсе не их произведению .
Выскажи гипотезу о форме	прямоугольника	наибольшей площади .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а	прямоугольника	, его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
502 Периметр	прямоугольника	равен 12 см , одна из сторон — х см , а площадь равна S см2 Запиши формулу зависимости S от х. Заполни таблицу и построй график этой зависимости .
Покажи на чертеже оси симметрии и центр симметрии	прямоугольника	.
Запиши формулы периметра и площади	прямоугольника	, обозначив его стороны буквами а и b , периметр — буквой Р , a площадь — S . 2 ) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади квадрата .
Как и на сколько процентов изменился периметр	прямоугольника	? .
Построй формулу зависимости длины стороны b см этого	прямоугольника	от длины а см его второй стороны .
Найди его периметр и площадь , если на плане с масштабом 3 : 500 стороны	прямоугольника	имеют длину 12 см и 45 см .
129 а ) Ширина прямоугольника на 48 % меньше длины , а его периметр равен 7,6 см. Чему равна площадь этого	прямоугольника	? .
Найти площадь	прямоугольника	, ( а = 2,5 ) .
Найти периметр	прямоугольника	.
90 Площадь	прямоугольника	равна 12 см2 .
129 а ) Ширина	прямоугольника	на 48 % меньше длины , а его периметр равен 7,6 см. Чему равна площадь этого прямоугольника ? .
171 Из	прямоугольника	со сторонами а и b вырезали 4 равных квадрата со стороной с , как показано на рисунке .
Сторона квадрата равна 5,6 м , что составляет 0,7 длины	прямоугольника	.
228 Длина	прямоугольника	18,4 см , а площадь — 276 см. На сколько надо увеличить длину , чтобы при той же ширине площадь увеличилась до 300 см2 ? .
Найти ширину	прямоугольника	.
а )	прямоугольника	со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей стороны . б ) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета .
Длину	прямоугольника	уменьшили на 20 % , а ширину увеличили на 20 % .
На сколько площадь	прямоугольника	меньше площади квадрата ? .
562 Поле имеет форму	прямоугольника	.
Длина	прямоугольника	а см , а ширина составляет 80 % длины .
Ширина	прямоугольника	равна b дм .
88 Стороны	прямоугольника	относятся как 4 : 7 , а его бóльшая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону , периметр и площадь этого прямоугольника .
88 Стороны прямоугольника относятся как 4 : 7 , а его бóльшая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону , периметр и площадь этого	прямоугольника	.
На сколько процентов площадь этого	прямоугольника	меньше площади квадрата ? .
Ширина	прямоугольника	в 5 раз меньше длины .
Периметр квадрата равен 6 м , а периметр	прямоугольника	на 20 % больше .
а ) умножения рациональных чисел ; б ) правильной дроби ; в )	прямоугольника	; г ) трапеции .
б ) Длина	прямоугольника	на 3,6 см больше ширины , а ширина составляет у его периметра .
770 Длина	прямоугольника	в 4 раза больше ширины .
Прямоугольный параллелепипед — это многогранник , все шесть граней которого являются	прямоугольниками	.
471 в	прямоугольнике	ABCD сторона AD равна 20 см , а сторона АВ на 60 % больше стороны AD .
457 В	прямоугольнике	ABCD точки М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
456 В	прямоугольнике	ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
Некоторые	прямоугольники	являются квадратами .
710 Можно ли составить развертку параллелепипеда , не являющегося кубом , из шести одинаковых	прямоугольников	? .
Паркеты можно составлять не только из правильных многоугольников , но и , например , из	прямоугольников	, параллелограммов , трапеций .
155 Измерь стороны	прямоугольников	.
Можно ли из 5 одинаковых	прямоугольников	составить развертку параллелепипеда ? .
Вычисли их площади , достраивая до	прямоугольников	.
Квадрат является	прямоугольником	.
1 Квадрат является	прямоугольником	.
4 ) Каждый параллелограмм является	прямоугольником	.
Любой квадрат является	прямоугольником	.
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S	прямоугольного	треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Длина	прямоугольного	параллелепипеда на 40 % больше ширины , а ширина в 5 раз меньше высоты .
Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг своей стороны , а конус — в результате вращения	прямоугольного	треугольника вокруг своего катета .
Среди всех многогранников особую роль играет хорошо знакомый нам прямоугольный параллелепипед — форму	прямоугольного	параллелепипеда имеют многие предметы , с которыми мы постоянно встречаемся в нашей жизни : коробки , комнаты , шкафы и т .
б ) Сколько у	прямоугольного	параллелепипеда всего : ребер , граней , вершин ? .
172 Длина	прямоугольного	параллелепипеда равна 3,6 дм , ширина составляет 0,5 длины и 0,9 высоты параллелепипеда .
Тангенсом острого угла	прямоугольного	треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего .
Косинусом острого угла	прямоугольного	треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы .
536 Вырази в единицах измерения e1 , е2 , е3 . а ) длину отрезка АВ . б ) площадь прямоугольника ABCD . в ) объем	прямоугольного	параллелепипеда ABCDA .
Синусом острого угла	прямоугольного	треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы .
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата , формулы площади поверхности и объема	прямоугольного	параллелепипеда и куба .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S	прямоугольного	параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
565 Является ли рациональным числом : а ) длина диагонали квадрата со стороной , равной 2 ; б ) длина гипотенузы	прямоугольного	треугольника с катетами 1 и 2 ? .
484 а ) Сколько ребер	прямоугольного	параллелепипеда выходит из каждой вершины ?
506 Сравни суммы длин всех ребер , объемы и площади поверхности куба с ребром 7 м и	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями 10 м , 5 м и 6 м .
543 Измерения	прямоугольного	параллелепипеда 36 см , 8 дм и 12 дм 5 см. Найди его объем и вырази : а ) в кубических дециметрах ; б ) в кубических метрах ; в ) в кубических сантиметрах .
256 Ширина	прямоугольного	параллелепипеда составляет 60 % длины , высота на 20 % больше ширины , а сумма трех его измерений равна 5,8 дм .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и	прямоугольного	параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Повтори исследование для острого угла произвольного	прямоугольного	треугольника .
492 а ) Хватит ли проволоки длиной 1 м , чтобы сделать каркасную модель	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями 7 см , 9 см и 14 см ?
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его стороной а ; 2 ) площадью S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V	прямоугольного	параллелепипеда , площадью его основания S и высотой h .
Запиши формулы объема и площади полной поверхности	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями а , b и с .
Построй формулу зависимости площади полной поверхности	прямоугольного	параллелепипеда от его измерений .
Введи обозначения и построй формулу , выражающую зависимость объема	прямоугольного	параллелепипеда от его измерений .
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по - разному : у остроугольного треугольника он располагается внутри него , у	прямоугольного	— в вершине прямого угла , а у тупоугольного — снаружи .
563 Измерения одного	прямоугольного	параллелепипеда равны 0,4 м , 25 см и 1,5 дм , а измерения другого параллелепипеда — 0,3 м , 2 дм и 26 см. Какой из этих параллелепипедов имеет больший объем ?
253 а ) Высота	прямоугольного	параллелепипеда равна 5 см , ширина составляет 28 % длины , а сумма площадей его боковых граней 192 см2 .
Объем	прямоугольного	параллелепипеда V см3 , длина — d см , а ширина составляет 30 % длины .
У	прямоугольного	параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер , но при этом ребер различной длины может быть только три .
Если построение выполнено точно , то все перпендикуляры пересекутся в одной точке — точке О. Обратим внимание , что расположение точки О зависит от вида треугольника : у остроугольного треугольника он находится внутри , у	прямоугольного	— на гипотенузе , а у тупоугольного — снаружи .
а ) прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей стороны . б )	прямоугольного	треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета .
Прямоугольный лист бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа , чтобы оклеить всю поверхность	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями 3 см , 4 см и 5 см ? .
Вычисли объем и площадь полной поверхности	прямоугольного	параллелепипеда с измерениями 4,3 см , 6,1 см и 8,5 см. Ответы округли с точностью до десятых .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения	прямоугольного	параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Согласно известной теореме Пифагора , квадрат гипотенузы	прямоугольного	треугольника равен сумме квадратов катетов , поэтому .
488 а ) Почему заготовка не может быть разверткой	прямоугольного	параллелепипеда ? .
487 Какие точки совместятся с точками A , D , N при склеивании развертки	прямоугольного	параллелепипеда ? .
Измерения	прямоугольного	параллелепипеда равны 0,45 м , 1,2 м и 0,8 м .
Куб является частным случаем	прямоугольного	параллелепипеда , у которого все три его измерения равны .
486 Изображена развертка	прямоугольного	параллелепипеда .
23 Пользуясь определением тангенса острого угла	прямоугольного	треугольника , приведенным , найди тангенс угла А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
Поскольку граней у	прямоугольного	параллелепипеда всего шесть , то многоугольник , который получается при пересечении его с плоскостью , не может иметь больше шести сторон .
450 Найди в окружающей обстановке предметы , имеющие форму куба ,	прямоугольного	параллелепипеда , шара , пирамиды , цилиндра , конуса .
Ширина	прямоугольного	параллелепипеда n м , длина в 1,5 раза больше ширины , а высота составляет 24 % суммы длины и ширины .
493 Сравни сумму длин всех ребер ( L ) , объем ( V ) и площадь ( S ) полной поверхности куба и	прямоугольного	параллелепипеда .
неправильной дроби . б ) гипотенузы	прямоугольного	треугольника .
545 Объем	прямоугольного	параллелепипеда равен 240 см3 , ширина — 5 см , а высота — на 20 % больше ширины .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения	прямоугольного	параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
18 Пусть катеты	прямоугольного	треугольника равны а и b , а гипотенуза — с. На сторонах этого треугольника построены квадраты .
Построй формулу зависимости площади полной поверхности	прямоугольного параллелепипеда	от его измерений .
Вычисли объем и площадь полной поверхности	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями 4,3 см , 6,1 см и 8,5 см. Ответы округли с точностью до десятых .
Объем	прямоугольного параллелепипеда	V см3 , длина — d см , а ширина составляет 30 % длины .
Измерения	прямоугольного параллелепипеда	равны 0,45 м , 1,2 м и 0,8 м .
Введи обозначения и построй формулу , выражающую зависимость объема	прямоугольного параллелепипеда	от его измерений .
Ширина	прямоугольного параллелепипеда	n м , длина в 1,5 раза больше ширины , а высота составляет 24 % суммы длины и ширины .
450 Найди в окружающей обстановке предметы , имеющие форму куба ,	прямоугольного параллелепипеда	, шара , пирамиды , цилиндра , конуса .
Куб является частным случаем	прямоугольного параллелепипеда	, у которого все три его измерения равны .
488 а ) Почему заготовка не может быть разверткой	прямоугольного параллелепипеда	? .
У	прямоугольного параллелепипеда	8 вершин и 12 ребер , но при этом ребер различной длины может быть только три .
492 а ) Хватит ли проволоки длиной 1 м , чтобы сделать каркасную модель	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями 7 см , 9 см и 14 см ?
Прямоугольный лист бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа , чтобы оклеить всю поверхность	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями 3 см , 4 см и 5 см ? .
487 Какие точки совместятся с точками A , D , N при склеивании развертки	прямоугольного параллелепипеда	? .
506 Сравни суммы длин всех ребер , объемы и площади поверхности куба с ребром 7 м и	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями 10 м , 5 м и 6 м .
493 Сравни сумму длин всех ребер ( L ) , объем ( V ) и площадь ( S ) полной поверхности куба и	прямоугольного параллелепипеда	.
486 Изображена развертка	прямоугольного параллелепипеда	.
536 Вырази в единицах измерения e1 , е2 , е3 . а ) длину отрезка АВ . б ) площадь прямоугольника ABCD . в ) объем	прямоугольного параллелепипеда	ABCDA .
б ) Сколько у	прямоугольного параллелепипеда	всего : ребер , граней , вершин ? .
172 Длина	прямоугольного параллелепипеда	равна 3,6 дм , ширина составляет 0,5 длины и 0,9 высоты параллелепипеда .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S	прямоугольного параллелепипеда	и его измерениями а , b и с .
256 Ширина	прямоугольного параллелепипеда	составляет 60 % длины , высота на 20 % больше ширины , а сумма трех его измерений равна 5,8 дм .
543 Измерения	прямоугольного параллелепипеда	36 см , 8 дм и 12 дм 5 см. Найди его объем и вырази : а ) в кубических дециметрах ; б ) в кубических метрах ; в ) в кубических сантиметрах .
Запиши формулы объема и площади полной поверхности	прямоугольного параллелепипеда	с измерениями а , b и с .
Некоторые из них нам уже известны — например , формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата , формулы площади поверхности и объема	прямоугольного параллелепипеда	и куба .
253 а ) Высота	прямоугольного параллелепипеда	равна 5 см , ширина составляет 28 % длины , а сумма площадей его боковых граней 192 см2 .
Среди всех многогранников особую роль играет хорошо знакомый нам прямоугольный параллелепипед — форму	прямоугольного параллелепипеда	имеют многие предметы , с которыми мы постоянно встречаемся в нашей жизни : коробки , комнаты , шкафы и т .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его стороной а ; 2 ) площадью S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V	прямоугольного параллелепипеда	, площадью его основания S и высотой h .
Поскольку граней у	прямоугольного параллелепипеда	всего шесть , то многоугольник , который получается при пересечении его с плоскостью , не может иметь больше шести сторон .
Длина	прямоугольного параллелепипеда	на 40 % больше ширины , а ширина в 5 раз меньше высоты .
545 Объем	прямоугольного параллелепипеда	равен 240 см3 , ширина — 5 см , а высота — на 20 % больше ширины .
563 Измерения одного	прямоугольного параллелепипеда	равны 0,4 м , 25 см и 1,5 дм , а измерения другого параллелепипеда — 0,3 м , 2 дм и 26 см. Какой из этих параллелепипедов имеет больший объем ?
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения	прямоугольного параллелепипеда	15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
484 а ) Сколько ребер	прямоугольного параллелепипеда	выходит из каждой вершины ?
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и	прямоугольного параллелепипеда	, если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения	прямоугольного параллелепипеда	0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Тангенсом острого угла	прямоугольного треугольника	называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего .
Повтори исследование для острого угла произвольного	прямоугольного треугольника	.
18 Пусть катеты	прямоугольного треугольника	равны а и b , а гипотенуза — с. На сторонах этого треугольника построены квадраты .
Синусом острого угла	прямоугольного треугольника	называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы .
23 Пользуясь определением тангенса острого угла	прямоугольного треугольника	, приведенным , найди тангенс угла А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
Косинусом острого угла	прямоугольного треугольника	называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы .
а ) прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей стороны . б )	прямоугольного треугольника	с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета .
Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг своей стороны , а конус — в результате вращения	прямоугольного треугольника	вокруг своего катета .
565 Является ли рациональным числом : а ) длина диагонали квадрата со стороной , равной 2 ; б ) длина гипотенузы	прямоугольного треугольника	с катетами 1 и 2 ? .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S	прямоугольного треугольника	и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
неправильной дроби . б ) гипотенузы	прямоугольного треугольника	.
Согласно известной теореме Пифагора , квадрат гипотенузы	прямоугольного треугольника	равен сумме квадратов катетов , поэтому .
Длина комнаты	прямоугольной	формы с метров , а ширина составляет 70 % длины .
В	прямоугольной	системе координат построй четырехугольник ABCD , если А ( -6 ; 2 ) , В ( 6 ; 8) , С ( 8 ; -5 ) и D ( -4 ; -2 ) .
Описанная система координат называется	прямоугольной	.
37 Размеры дачного участка	прямоугольной	формы 40 м х 30 м .
в ) Прямым углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В	прямоугольном	треугольнике сторона , противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
Сколько деревьев каждого вида следует посадить на	прямоугольном	участке размером 180 м х 80 м , если под каждое дерево выделяют участок 45 м2 ? .
в ) Прямым углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В	прямоугольном треугольнике	сторона , противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые ,	прямоугольные	— имеющие один прямой угол , и тупоугольные — имеющие один тупой угол .
385 Построй биссектрисы углов А , В и С треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б )	прямоугольный	; в ) тупоугольный .
386 Построй серединные перпендикуляры к сторонам а , b и с треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б )	прямоугольный	; в ) тупоугольный .
а ) остроугольный ; б )	прямоугольный	; в ) тупоугольный .
б ) Сколько измерений имеет	прямоугольный	параллелепипед ?
Начерти прямоугольник , отношение длин сторон которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти	прямоугольный	треугольник , длины катетов которого относятся как 3 к 4 .
477 а ) Какие из геометрических тел — конус ,	прямоугольный	параллелепипед , цилиндр , шар , пирамида , куб — являются многогранниками ? .
418 Построй ортоцентр треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б )	прямоугольный	; в )
416 Построй окружность , описанную около треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б )	прямоугольный	; в ) тупоугольный .
635 Сколько плоскостей симметрии имеют : а )	прямоугольный	параллелепипед ; б ) куб ; в ) конус ; г ) цилиндр ; в ) шар ? .
501 Склей из бумаги	прямоугольный	параллелепипед с измерениями 9 см , 5 см и 3 см. Начерти три его проекции в масштабе 1:2 .
Построй высоты треугольника АВС , проведенные к сторонам а , b и с , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б )	прямоугольный	; в ) тупоугольный .
а ) равнобедренный	прямоугольный	треугольник .
Начерти	прямоугольный	параллелепипед .
Поэтому говорят , что	прямоугольный	параллелепипед имеет три измерения — длину , ширину и высоту .
Мы уже встречались с такими пространственными фигурами , как	прямоугольный	параллелепипед , куб , пирамида , цилиндр , шар , конус .
Вырежи из картона прямоугольник ,	прямоугольный	треугольник , круг и закрепи их на стержне .
Среди всех многогранников особую роль играет хорошо знакомый нам	прямоугольный	параллелепипед — форму прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы , с которыми мы постоянно встречаемся в нашей жизни : коробки , комнаты , шкафы и т .
501 Склей из бумаги	прямоугольный параллелепипед	с измерениями 9 см , 5 см и 3 см. Начерти три его проекции в масштабе 1:2 .
Поэтому говорят , что	прямоугольный параллелепипед	имеет три измерения — длину , ширину и высоту .
635 Сколько плоскостей симметрии имеют : а )	прямоугольный параллелепипед	; б ) куб ; в ) конус ; г ) цилиндр ; в ) шар ? .
б ) Сколько измерений имеет	прямоугольный параллелепипед	?
Начерти	прямоугольный параллелепипед	.
477 а ) Какие из геометрических тел — конус ,	прямоугольный параллелепипед	, цилиндр , шар , пирамида , куб — являются многогранниками ? .
Среди всех многогранников особую роль играет хорошо знакомый нам	прямоугольный параллелепипед	— форму прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы , с которыми мы постоянно встречаемся в нашей жизни : коробки , комнаты , шкафы и т .
Мы уже встречались с такими пространственными фигурами , как	прямоугольный параллелепипед	, куб , пирамида , цилиндр , шар , конус .
а ) равнобедренный	прямоугольный треугольник	.
Вырежи из картона прямоугольник ,	прямоугольный треугольник	, круг и закрепи их на стержне .
Начерти прямоугольник , отношение длин сторон которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти	прямоугольный треугольник	, длины катетов которого относятся как 3 к 4 .
а ) Куб является	прямоугольным	параллелепипедом .
Докажи , что треугольник АОВ является	прямоугольным	.
Треугольник называется	прямоугольным	, если один его угол прямой .
А равнобедренным и	прямоугольным	?
а ) Куб является	прямоугольным параллелепипедом	.
Подчеркни разными цветами треугольники , которые являются : а ) остроугольными ; б )	прямоугольными	; в ) тупоугольными ; г ) равнобедренными .
355 Определи на глаз , какие из треугольников , изображенных , являются : а ) остроугольными ; б )	прямоугольными	; в ) тупоугольными .
Точно так же свойства	прямоугольных	треугольников могут быть неверны для остроугольных и тупоугольных .
Показана диаграмма Эйлера - Венна множества Т , гдеТо , Тп и Тт обозначают соответственно множества остроугольных ,	прямоугольных	и тупоугольных треугольников .
Взаимосвязь между множеством многогранников М , множеством	прямоугольных	параллелепипедов и множеством кубов К показана на диаграмме Эйлера - Венна .
Взаимосвязь между множеством многогранников М , множеством	прямоугольных параллелепипедов	и множеством кубов К показана на диаграмме Эйлера - Венна .
Точно так же свойства	прямоугольных треугольников	могут быть неверны для остроугольных и тупоугольных .
331 Начерти координатную	прямую	и отметь на ней данные точки .
Проведем произвольную	прямую	а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
326 а ) Два луча с общим началом , составляющие	прямую	, называются дополнительными лучами .
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку ,	прямую	, луч , отрезок , прямоугольник и квадрат , различные углы , окружность , параллельные и перпендикулярные прямые и т .
Начерти	прямую	, касательную к окружности , и проведи радиус в точку касания .
494 На ребрах куба отметили две точки А и В. Через эти точки провели	прямую	, на которой отметили еще 6 точек .
Через точки С и D пересечения окружностей проведем	прямую	CD .
332 Построй координатную	прямую	и отметь на ней точки М(-5 ) , Л(2 ) , У(0 ) , О(-3 ) , Ь(4 ) , Д(-1 ) .
Таким образом , построение упрощается : для нахождения точки А1 симметричной точке А относительно центра О , уже нет необходимости строить угол АОА1 , а можно просто провести	прямую	ОА и отложить на ней отрезок ОА1 , равный отрезку ОА .
Значит , смежные углы — это два угла , одна сторона у которых общая , а две другие образуют	прямую	.
На бумаге без клеток начерти	прямую	l и отметь точку .
Дополнительно введем новые обозначения , которые помогут различать в записи	прямую	, луч , отрезок и окружность .
Координатной ( числовой ) прямой называют	прямую	, на которой выбраны начало отсчета , единичный отрезок и направление отсчета .
Поэтому надо отметить еще одну существенную особенность смежных углов — две другие их стороны образуют	прямую	.
Построить :	прямую	b такую , что .
267 Найди среди данных формул	прямую	и обратную пропорциональности .
В плоскости грани провести	прямую	МК до ее пересечения с прямой DD в точке Р .
В обоих случаях проведем сначала окружность с центром в точке В , пересекающую	прямую	а в двух точках .
311 Начерти координатную	прямую	и отметь на ней точки .
654 Проведи на бумаге без клеток	прямую	l и ломаную AJBCD , которая пересекает прямую l : а ) в одной точке ; б )
654 Проведи на бумаге без клеток прямую l и ломаную AJBCD , которая пересекает	прямую	l : а ) в одной точке ; б )
	Прямую	, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку ( задача 6 ) .
Прямая , пересекающая	прямую	р и не перпендикулярная ей , называется наклонной к прямой р . 398 ) Вычисли наиболее удобным способом .
Начерти	прямую	l , относительно которой треугольники АВС и АС , симметричны .
Многоугольник , имеющий четыре вершины ( стороны ) , называется четырехугольником . г ) Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы	прямые	.
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку , прямую , луч , отрезок , прямоугольник и квадрат , различные углы , окружность , параллельные и перпендикулярные	прямые	и т .
Построение сечения для этого случая показано :	прямые	МК и АВ продолжены до их пересечения в точке Р. Значит , прямая PN , а вместе с ней и ее точка Т лежат в плоскости а , и теперь можно построить пересечение ее с каждой гранью тетраэдра .
Придавая коэффициенту k различные значения , мы будем получать различные расположения графиков на плоскости , но все эти графики —	прямые	линии .
в ) Две	прямые	называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом .
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если	прямые	АН и а перпендикулярны .
Перпендикулярные	прямые	пересекаются под прямым углом .
а ) Параллельные	прямые	не имеют общих точек .
Все углы четырехугольника	прямые	.
В последнем примере мы видим , что переменные могут принимать не только числовые значения — их значениями могут быть , например , и точки , и	прямые	.
Проведи необходимые измерения и определи , в каком отношении делит отрезок АВ точка С , точка D . 176 а ) Построй	прямые	АВ и CD , если А ( 0 ; 8) , В ( 5 ; -2 ) , С ( -6 ; 0 ) , D ( 4 ; 5 ) .
Сколько точек пересечения могут иметь две различные	прямые	? .
650 а ) Если перемещать одну из сторон чертежного угольника вдоль линейки , то , проводя прямые вдоль другой его стороны , можно получить параллельные	прямые	.
б ) Две	прямые	называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются .
183 На миллиметровой бумаге проведи	прямые	АВ и CD и найди координаты точки их пересечения , если .
Например , чтобы построить точку С ( -4 ; 2 ) , можно провести через ее абсциссу ( -4 ) и ординату 2	прямые	, перпендикулярные осям координат , и найти точку пересечения этих прямых .
д ) Две параллельные	прямые	лежат в одной плоскости .
Найди и отметь соответственно острые ,	прямые	и тупые углы .
е ) Две перпендикулярные	прямые	имеют общую точку .
Параллелограмм — это четырехугольник , у которого противолежащие стороны попарно параллельны . г ) Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все углы	прямые	.
« Квадратом называется параллелограмм , все углы которого	прямые	.
Чтобы определить положение любой точки М на координатной плоскости , надо провести через нее	прямые	, перпендикулярные осям координат .
в ) Параллельные	прямые	не пересекаются .
650 а ) Если перемещать одну из сторон чертежного угольника вдоль линейки , то , проводя	прямые	вдоль другой его стороны , можно получить параллельные прямые .
Придавая коэффициенту k различные значения , мы будем получать различные расположения графиков на плоскости , но все эти графики —	прямые линии	.
Перпендикулярные прямые пересекаются под	прямым	углом .
При параллельном переносе все точки движутся по параллельным	прямым	.
в ) Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под	прямым	углом .
в ) Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под	прямым углом	.
Перпендикулярные прямые пересекаются под	прямым углом	.
308 Какие из прямых являются координатными	прямыми	, а какие — нет ? .
102 Математическое исследование . 1 ) Стороны угла А пересечены параллельными	прямыми	В1,С1 , В2,С2 и В3,С3 .
Царь Дадон затеял построить 8 городов и соединить их	прямыми	дорогами так , чтобы из каждого города выходило ровно 4 дороги и никакие две дороги не пересекались .
Уже имеющийся опыт работы с треугольниками убеждает нас в том , что это не так : углы треугольников могут быть и	прямыми	, и тупыми , при этом сумма всех углов треугольника всегда равна 180 ° .
Однако при исследовании свойств геометрических тел мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной фигуры не всегда совпадает с ее реальной формой : окружность превращается в эллипс — « сплющенную » окружность , изменяются углы между	прямыми	и отрезками и т .
Еще одно правило , помогающее сделать рисунок фигуры более понятным : на пространственном чертеже сохраняется параллельность	прямых	и отношение параллельных отрезков .
Стремясь к большей точности , древние математики предпочитали строить геометрические фигуры , избегая сложных измерений , а используя лишь проведение	прямых	по линейке и проведение окружностей циркулем .
5 ) ( Р — множество прямых на плоскости ; знак I обозначает параллельность	прямых	) .
В плоскости грани построить точку пересечения	прямых	DC и PN .
333 Какую из	прямых	можно назвать касательной к окружности , а какую — секущей ?
Найди координаты точки пересечения этих	прямых	.
е ) где Р — множество	прямых	и b — фиксированная прямая из этого множества .
Построй указанным способом несколько параллельных	прямых	. б ) Начерти на гладкой бумаге произвольный треугольник АВС и вектор d. Построй параллельный перенос треугольника АВС на вектор d .
308 Какие из	прямых	являются координатными прямыми , а какие — нет ? .
Показаны различные случаи сечения куба плоскостью а , проходящей через точки М , N и К. Построение этих сечений требует знания свойств взаимного расположения	прямых	и плоскостей в пространстве , которые будут изучаться в старших классах .
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) ,	прямых	углов ( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
5 ) ( Р — множество	прямых	на плоскости ; знак I обозначает параллельность прямых ) .
где Р — множество	прямых	зон .
Найди на чертеже и перечисли все пары : а ) пересекающихся прямых ; б ) непересекающихся	прямых	; в ) параллельных прямых ; г ) перпендикулярных прямых .
В каких из заданий ( а ) — ( г ) оказались одни и те же пары	прямых	?
Найди на чертеже и перечисли все пары : а ) пересекающихся	прямых	; б ) непересекающихся прямых ; в ) параллельных прямых ; г ) перпендикулярных прямых .
б ) Сколько острых , сколько	прямых	и сколько тупых углов может иметь треугольник ?
307 При пересечении двух	прямых	один из образовавшихся углов в 2 раза больше другого .
Например , чтобы построить точку С ( -4 ; 2 ) , можно провести через ее абсциссу ( -4 ) и ординату 2 прямые , перпендикулярные осям координат , и найти точку пересечения этих	прямых	.
Система координат на плоскости может быть задана парой перпендикулярных координатных	прямых	с общим началом отсчета О. Одну из этих прямых называют осью абсцисс ( или осью х ) , а другую — осью ординат ( осью у ) .
Найди на чертеже и перечисли все пары : а ) пересекающихся прямых ; б ) непересекающихся прямых ; в ) параллельных	прямых	; г ) перпендикулярных прямых .
Найди на чертеже и перечисли все пары : а ) пересекающихся прямых ; б ) непересекающихся прямых ; в ) параллельных прямых ; г ) перпендикулярных	прямых	.
Система координат на плоскости может быть задана парой перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчета О. Одну из этих	прямых	называют осью абсцисс ( или осью х ) , а другую — осью ординат ( осью у ) .
Для этого достаточно стороны координатного угла продолжить до координатных	прямых	.
Проведи исследование для произвольного угла А и произвольных параллельных	прямых	В1,С1 , В2,С2 и В3,С3 , пересекающих его сторону .
Их всего пять : построение прямой ( 1 ) , окружности ( 2 ) , построение точки пересечения двух	прямых	( 3 ) , прямой и окружности ( 4 ) и двух окружностей ( 5 ) .
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) ,	прямых углов	( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
Может быть , это имел в виду великий Евклид , когда говорил древнеегипетскому царю Птолемею I , что царских	путей	в геометрии нет .
509 Когда пассажир проехал половину	пути	, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор , пока не осталось проехать половину от того пути , что он проехал , смотря в окно .
Аэросани прошли а км , что составляет 20 % всего	пути	.
Одним из наиболее значимых для практики результатов пройденного	пути	являются верные равенства , описывающие зависимости между величинами — формулы .
Во сколько раз скорость мотоциклиста на обратном пути была меньше , чем по	пути	из М в N ? .
Например , если пешеход движется с постоянной скоростью 3 км / ч , то зависимость пройденного	пути	s от времени движения t выражается формулой s = 3 t.
Во сколько раз скорость мотоциклиста на обратном	пути	была меньше , чем по пути из М в N ? .
Сколько литров бензина потребуется на 350 км	пути	? .
С какой скоростью летели самолеты на всех участках	пути	? .
Примером физической формулы является хорошо известная нам формула	пути	s = vt , описывающая равномерное прямолинейное движение .
В первый день он прошел 40 % всего	пути	, а во второй день — 75 % пути , пройденного в первый день .
Сколько литров бензина в среднем расходовал автомобиль на каждые 10 км	пути	? .
В первый день он прошел 40 % всего пути , а во второй день — 75 %	пути	, пройденного в первый день .
Так , если в формуле	пути	скорость измерена в километрах в час , а время — в минутах , то формула даст неверный ответ .
На каждые 100 км	пути	расходуется 20 % объема бака .
Мы желаем вам успехов на	пути	познания математических закономерностей окружающего мира и будем рады , если наша совместная работа поможет вам в этом .
509 Когда пассажир проехал половину пути , он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор , пока не осталось проехать половину от того	пути	, что он проехал , смотря в окно .
Какую часть всего	пути	пассажир смотрел в окно ? .
Сколько процентов всего	пути	составляет оставшийся путь ?
Скорость равна отношению	пути	ко времени .
2 ) Сколько промежуточных посадок сделал в	пути	каждый из них ?
2 ) Сколько оборотов сделает колесо на участке	пути	в 1,2 км , если диаметр колеса равен 0,8 м ?
Пусть v км / ч — скорость , a t ч — время	пути	в школу .
Чему равна длина	пути	? .
на процентов . 2 ) Скорость Сережи на обратном	пути	уменьшилась .
Например , если расстояние между двумя поселками равно 12 км , то по этому графику можно проследить , как зависит время у прохождения этого	пути	от скорости х : при скорости 2,4 км / ч весь путь будет пройден за 5 ч , при скорости 8 км / ч — за 1,5 ч , а при скорости 12 км / ч — всего лишь за 1 ч .
775 В первый час мотоциклист проехал 20 % всего	пути	, во второй час на 8 км больше , чем в первый , в третий — на 25 % меньше , чем во второй , а в четвертый — остальные 49 км .
На обратном	пути	его средняя скорость составила только 40 км / ч .
И тот , кто научится решать такие примеры , сделает важный шаг по	пути	к своему жизненному успеху .
средняя скорость движения за все время	пути	.
В первый день они прошли — всего	пути	, во второй оставшегося пути , а в третий и четвертый дни проходили по 12 км .
В первый день они прошли — всего пути , во второй оставшегося	пути	, а в третий и четвертый дни проходили по 12 км .
Во сколько раз скорость велосипедиста на обратном	пути	была больше первоначальной ? .
Чему равна длина всего	пути	от турбазы до озера ? .
За первый час он прошел треть всего пути , за второй — на 12 км больше , чем за первый , а за третий — 80 %	пути	, пройденного за второй час .
Задача 1 Автомобиль на 56,8 км	пути	затратил 4,26 л бензина .
Во второй день он прошел 120 %	пути	, пройденного в первый день , в третий день пути , который он прошел во второй день , а в четвертый день — оставшиеся 28 км .
Во второй день он прошел 120 % пути , пройденного в первый день , в третий день	пути	, который он прошел во второй день , а в четвертый день — оставшиеся 28 км .
Скорость движения ( при постоянном	пути	) обратно пропорциональна времени .
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. При встрече оказалось , что первый пешеход прошел всего	пути	и еще 3,2 км , а второй — в 2 раза больше первого .
2 ) 2 + 3 = 5 ( ч ) — все время	пути	.
205 Мотоциклист за 1,5 ч проехал 40 % всего	пути	.
Через сколько времени ему останется проехать треть всего	пути	, если скорость его не изменится ? .
Сколько процентов всего	пути	ему еще осталось пройти ? .
По	пути	от дома до дачи отец с сыном ехали на автомобиле сначала по шоссе в течение 0,8 ч , затем по грунтовой дороге 0,4 ч и , наконец , по проселочной дороге 0,2 ч .
Количество израсходованного бензина при данных условиях задачи пропорционально пройденному	пути	.
На обратном	пути	он увеличил скорость и поэтому весь путь проехал за 1 ч 15 мин .
За первый час он прошел треть всего	пути	, за второй — на 12 км больше , чем за первый , а за третий — 80 % пути , пройденного за второй час .
Какую часть	пути	проходили аэросани в каждый час ?
Во сколько раз увеличилась скорость , во столько же раз уменьшилось и время	пути	.
В рассмотренном примере время обратно пропорционально скорости движения при постоянном	пути	.
С какой скоростью ехал лыжник вторую половину	пути	? .
В середине	пути	он задержался на 10 мин .
Для тех случаев , когда нужное количество не выражалось натуральным числом , люди придумали дроби — делили целое на несколько равных частей , и тогда ответ на вопрос “ Сколько ? ” мог быть дан в виде некоторого числа таких 37 частей — урожая , —	пути	, 8,5 лет .
Во время	пути	автомобиль делает получасовую остановку , но , несмотря на это , прибывает в пункт В на час раньше автобуса .
Но во второй день , устав , он прошел не треть	пути	, а треть остатка .
В первый день он прошел треть	пути	.
348 Веселый турист отправился на слет , предполагая каждый день проходить треть всего	пути	, чтобы через 3 дня прибыть на место .
Пешеход за 40 мин прошел 30 % всего	пути	, а еще через час ему осталось пройти всего 3 км .
скорость и время движения на участке	пути	50 км . 2 ) скорость движения и путь , пройденный за 3 ч .
2 ) ( пути ) — проплывает катер по течению за 1 ч . (	пути	) — проплывает катер за 1 ч против течения . .
2 ) (	пути	) — проплывает катер по течению за 1 ч . ( пути ) — проплывает катер за 1 ч против течения . .
Поезд проехал 420 км , что составило 35 % его	пути	.
Скорость Сережи по дороге в школу была больше , чем на обратном	пути	на км / ч .
Решение . 1 ) (	пути	) — проплывает плот за 1 ч .
17 а ) Грузовик проехал в первый день треть всего пути , во второй день — 90 %	пути	, пройденного в первый день , а за третий день — остальные 440 км .
17 а ) Грузовик проехал в первый день треть всего	пути	, во второй день — 90 % пути , пройденного в первый день , а за третий день — остальные 440 км .
Как и на сколько километров в час изменилась скорость лодки на обратном	пути	? .
768 Поезд прошел 25 % всего	пути	, а потом 40 % оставшегося расстояния .
За сколько часов проплывет катер	путь	от В до А ? .
Если пешеход будет идти со скоростью 3,6 км / ч , то он пройдет	путь	от деревни до станции за 0,5 ч .
Плот проплывает	путь	от А до В за 40 ч , а катер — за 4 ч .
Турист за три дня прошел	путь	, равный d км .
Ответ : катер проплывет	путь	от В до А за 5 ч .
Их	путь	проходил вдоль реки .
Сколько процентов всего пути составляет оставшийся	путь	?
Если он увеличит скорость на 4 км / ч , то проедет весь путь за 4,5 ч , а если уменьшит скорость на 6 км / ч , то проедет весь	путь	за 6 ч .
Если он увеличит скорость на 4 км / ч , то проедет весь	путь	за 4,5 ч , а если уменьшит скорость на 6 км / ч , то проедет весь путь за 6 ч .
465 На	путь	между городами А и В один поезд тратит 2 ч , а второй — 1 ч 45 мин .
80 Мотоциклист проехал	путь	между городами М и N со скоростью на 20 % больше намеченной , а обратный путь — со скоростью на 20 % меньше намеченной .
	Путь	, пройденный за данное время , и скорость движения .
Чему равен	путь	поезда ? .
80 Мотоциклист проехал путь между городами М и N со скоростью на 20 % больше намеченной , а обратный	путь	— со скоростью на 20 % меньше намеченной .
На обратном пути он увеличил скорость и поэтому весь	путь	проехал за 1 ч 15 мин .
За сколько времени катер проплывет этот	путь	и вернется обратно , если собственная скорость катера 18 км / ч , а скорость течения реки на 80 % меньше скорости катера ? .
Этот же путь прошла в своем развитии и сама наука математика :	путь	наблюдений , выявления различных закономерностей , выдвижения гипотез и поиска способов их доказательства .
Туристы прошли	путь	от турбазы до озера за 4 дня .
Обед и экскурсия длились 2 ч , и обратный	путь	туристы проделали в лодке по той же реке со скоростью 8 км / ч .
Этот же	путь	прошла в своем развитии и сама наука математика : путь наблюдений , выявления различных закономерностей , выдвижения гипотез и поиска способов их доказательства .
Но , увеличив эту скорость на 1 км / ч , он прошел этот	путь	за 3 ч .
222 Пешеход рассчитал , что , двигаясь с определенной скоростью , пройдет намеченный	путь	за 3 ч 50 мин .
210 Велосипедист проехал	путь	от поселка до районного центра за 1 ч 30 мин .
б ) Автомобиль прошел весь	путь	за три часа .
678 Спортивная лодка , двигаясь против течения реки , проплыла расстояние от турбазы до города за 2 ч 15 мин , а обратный	путь	— за 1,5 ч .
429 Автомобиль проехал расстояние от А до Б со скоростью км / ч за t , часов , а обратный	путь	от В до А — за t2 часов .
Сколько времени затратит лодка на тот же	путь	: а ) по течению реки ; б ) против течения реки ? .
С какой средней скоростью он пролетел этот	путь	? .
Чему равен весь	путь	? .
а ) время движения и пройденный	путь	при постоянной скорости .
Из Иванова в Москву за учебниками математики отправился микроавтобус , который прошел весь	путь	со средней скоростью 50 км / ч .
Например , если расстояние между двумя поселками равно 12 км , то по этому графику можно проследить , как зависит время у прохождения этого пути от скорости х : при скорости 2,4 км / ч весь	путь	будет пройден за 5 ч , при скорости 8 км / ч — за 1,5 ч , а при скорости 12 км / ч — всего лишь за 1 ч .
Сколько километров ему еще осталось проехать , если весь его	путь	составляет 625 км ?
Эта формула дает возможность по любым двум из величин —	путь	( s ) , скорость ( v ) , время ( t ) — найти третью величину с помощью вычислений по одной из формул .
За сколько времени моторная лодка проплывет	путь	от одного причала до другого и обратно , если собственная скорость лодки 11,2 км / ч , а скорость течения реки составляет 25 % скорости лодки ? .
331 Аэросани прошли	путь	от полярной станции до поселка , равный 360 км , за 3 ч .
Во сколько раз оставшийся	путь	больше пройденного ? .
333 Моторная лодка , двигаясь по течению реки , прошла	путь	, равный 15 км , за 2 ч , а обратный путь — за 3 ч 20 мин .
333 Моторная лодка , двигаясь по течению реки , прошла путь , равный 15 км , за 2 ч , а обратный	путь	— за 3 ч 20 мин .
Сколько времени ему понадобится , чтобы пройти с той же скоростью	путь	.
скорость и время движения на участке пути 50 км . 2 ) скорость движения и	путь	, пройденный за 3 ч .
д. раз , то пройденный им	путь	увеличивается соответственно в 4 , 9 , 16 и т .
Например , рост человека зависит от его возраста , тормозной	путь	автомобиля — от его скорости , площадь квадрата — от его стороны .
Путь от дома до школы , равный 1,2 км , Сережа прошел за 15 мин , а обратный	путь	— за 20 мин .
в ) скорость и время , затраченное на один и тот же	путь	в школу .
б ) пройденный	путь	и скорость движения при постоянном времени .
Задача 2 На	путь	от одного поселка до другого велосипедист , двигаясь со скоростью 12,5 км / ч , затратил 0,7 ч .
Например , утверждение “ Для того чтобы найти пройденный	путь	, можно скорость движения умножить на время движения ” на математическом языке записывается просто , а высказывание “ Элемент а не принадлежит множеству записывается .
Воспроизведи рисунок и построй кратчайший	путь	пожарной машины .
Проехав 1,5 ч со скоростью 16 км / ч , он сделал остановку на 0,5 ч , а затем продолжил	путь	с первоначальной скоростью .
Почтальон А проезжает за 2 часа 7 миль , а почтальон В — за 3 часа 8 миль , при этом В отправляется в	путь	часом позже А. Сколько миль проедет почтальон В до встречи с почтальоном А ? .
Эта пропорция означает , что при равномерном движении пройденный	путь	увеличивается ( уменьшается ) во столько раз , во сколько раз увеличивается ( уменьшается ) время движения .
Чему равен весь	путь	мотоциклиста ? .
Автомобиль на	путь	250 км затратил 18 л бензина .
Фактически : В среднем : Решение . 1 ) 56,6 ∙ 2 + 48,1 ∙ 3 = 257,5 ( км ) — весь пройденный автобусом	путь	.
В нашем примере	путь	при постоянной скорости прямо пропорционален времени движения .
Скорость — это	путь	, пройденный за единицу времени , цена — это стоимость единицы товара , производительность — работа , выполненная за единицу времени , плотность — масса вещества в единице объема .
Поэтому , не выполняя вычислений , можно , например , сказать , что если скорость движения не изменяется , то при увеличении времени движения в 4 раза пройденный	путь	также увеличится в 4 раза .
Обратный	путь	— от определения к рисунку — часто оказывается более простым .
Весь	путь	составил 78 км .
203 Поп со своим работником Балдой возвращались с базара домой со скоростью 4,5 версты в час и прошли весь	путь	.
С какой скоростью ему надо ехать , чтобы пройти обратный	путь	за 4 ч ? .
Через 1 ч после своего выхода второй пешеход сделал получасовую остановку , а затем продолжил	путь	с прежней скоростью .
С какой скоростью он должен был ехать , чтобы преодолеть этот	путь	за 0,5 ч ? .
С какой скоростью она должна была идти , чтобы пройти весь	путь	на 30 мин быстрее ? .
581 Запиши число 10010 в двоичной ,	пятеричной	, восьмеричной , двенадцатеричной системах счисления .
Например , в	пятеричной	системе он имеет вид .
Например , в	пятеричной	системе будет использоваться пять цифр ( от 0 до 4 ) , в восьмеричной — восемь цифр ( от 0 до 7 ) и т .
576 Переведи числа 7 , 25 , 42 , 79 , 156 , 273 из десятичной системы счисления в	пятеричную	.
Построй правильный	пятиугольник	и определи , есть ли у него оси симметрии , центр симметрии .
Периметр правильного	пятиугольника	равен 9 см. Чему равна длина его стороны ? .
А в треугольнике ,	пятиугольнике	, шестиугольнике , n - угольнике ? .
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных треугольников и квадратов ; б ) из правильных	пятиугольников	; в ) из правильных треугольников и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
Найди значения х и у такие , чтобы каждое из двух	равенств	было верным .
Чтобы ответить на этот вопрос , необходимо провести математическое исследование истинных	равенств	вида , где а , b , с , d≠0 .
Так как знак “ плюс ” не изменяет знака числа , то знак “ минус ” , наоборот , меняет знак числа на противоположный , то есть из этих	равенств	видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
65 Проверь истинность	равенств	.
Таким образом , кроме	равенств	ничего и помнить не нужно .
Так , вместо отрицания	равенства	пишут знак Например , вместо ( 3 ∙ 4 = 16 ) пишут просто 3∙4 не равно 16 .
347 Допиши	равенства	так , чтобы получились верные высказывания .
239 Вырази из данного	равенства	переменную x , если значения всех переменных не равны нулю .
Эти	равенства	показывают , что правила знаков при раскрытии скобок для вычитания остаются прежними : “ минус минус ” преобразуется в “ плюс ” , а “ минус плюс ” — в “ минус ” .
560 Заполни пропуски и прочитай полученные	равенства	.
Иначе говоря , мы имеем одно утверждение — “ перекрестное ” правило для дробей , а называть его можно и основным свойством пропорций , и условием равенства дробей , и условием	равенства	отношений .
Поменяв в полученной пропорции местами крайние члены , а затем левую и правую части	равенства	, получим новую пропорцию .
В каждой части этого	равенства	вынесем за скобки общий множитель .
Иначе говоря , мы имеем одно утверждение — “ перекрестное ” правило для дробей , а называть его можно и основным свойством пропорций , и условием	равенства	дробей , и условием равенства отношений .
Доказательство этого	равенства	, называемого теоремой Пифагора , было известно уже в V веке до н .
97 Составь из	равенства	пропорцию и сделай все перестановки ее членов , не нарушающие эту пропорцию .
Как мы уже отмечали , основное свойство пропорций есть не что иное , как другая формулировка уже известного нам “ перекрестного ” правила	равенства	дробей .
Теперь , разделив обе части	равенства	на общий множитель ( 7 + 2 - 9 ) , получим , что 4 = 5 , то есть 2 ∙ 2= 5 .
Как можно записать оставшиеся выражения с помощью одного буквенного	равенства	( в общем виде ) ? .
103 Найди верные	равенства	и расшифруй фамилию известного ученого .
Как можно назвать эти свойства	равенства	треугольников ?
565 Перепиши в тетрадь	равенства	, вставляя вместо звездочек пропущенные цифры .
384 Проанализируй решение задач и сформулируй гипотезу : из	равенства	каких элементов двух треугольников следует равенство самих треугольников ?
3 ) Какие пропорции можно составить из полученного	равенства	? .
Переведи полученные	равенства	на русский язык и проиллюстрируй с помощью графических моделей .
Предложение 2х=15 с переменной x , напротив , всегда ложно , если x N. В самом деле , при любом натуральном значении x в левой части	равенства	число получается четное , а в правой — нечетное .
Например , уравнениями являются	равенства	.
Если в записи буквенного выражения отсутствует числовой множитель , то на помощь приходят	равенства	.
Из	равенства	на основании перекрестного правила получаем .
Одним из наиболее значимых для практики результатов пройденного пути являются верные	равенства	, описывающие зависимости между величинами — формулы .
101 Найди все значения переменных , обращающие данные предложения в истинные	равенства	.
138 Рассмотри	равенства	.
626 Составь	равенства	, используя взаимосвязь условий .
А значит , для обоснования	равенства	фигур достаточно показать , что эти фигуры могут быть получены друг из друга в результате данных преобразований .
Эти	равенства	показывают , что коэффициентом выражения а является число 1 , а выражения ( -а ) — число ( -1 ) .
Поставь вместо букв цифры так , чтобы указанные	равенства	выполнялись .
554 Перепиши в тетрадь	равенства	, вставляя вместо звездочек пропущенные цифры .
85 Найди верные	равенства	и из соответствующих им букв составь название денежной единицы .
64 Составь различные пропорции из	равенства	3∙6=2∙9 Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3 , 6 , 2 и 9 ?
в этом	равенстве	имеется буква , значение которой надо найти .
Напротив , записи уравнениями не являются : первые две записи не являются равенствами , а в	равенстве	12 + 3 = 15 нет переменной .
Получим	равенство	из которого следует , что a = 3k , b=5k .
Действительно , подставив в последнее	равенство	вместо букв соответствующие им значения а , b n с , получим верное высказывание тогда как при непосредственном подсчете левой и правой части получаются разные числа : в левой части 1/30 , а в правой — 1,25 .
Полученное	равенство	молено проиллюстрировать также , используя известные свойства чисел .
При этом	равенство	с неизвестной величиной ( или величинами ) стали называть уравнением .
3 ) Считая	равенство	истинным , докажи , что .
Что означает	равенство	АА = d ?
Ясно , что	равенство	не нарушится , если , например , в нем поменять местами множители a и d. Следовательно , в пропорции можно поменять местами ее крайние члены , то есть .
Итак , уравнением будем называть	равенство	, содержащее переменную , значение которой надо найти .
1 ) уравнение — это	равенство	. 2 )
343 Прочитай	равенство	и объясни , почему оно верно .
351 Прочитай	равенство	, используя слова “ модуль ” и “ расстояние ” .
Значение переменной , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое	равенство	, называется корнем уравнения .
61 Проверь двумя способами , является ли	равенство	пропорцией .
Запиши это	равенство	на математическом языке .
Возьмем верное	равенство	: 28 + 8 - 36 = 35 + 10 - 45 .
Фактически мы рассматривали букву х как переменную , а само уравнение — как	равенство	с переменной .
Например , если в контрольной работе ученик написал , что 2 ∙ 3 = 5 , а учитель перечеркнул это	равенство	, то он и ученик имеют по поводу произведения 2 ∙ 3 противоположные мнения .
При построении математической модели задачи часто приходится по ее условию составлять	равенство	, обозначая неизвестную величину какой - либо буквой — обычно буквой х .
В предыдущем пункте мы назвали основным свойством пропорций следующее утверждение :	равенство	, где a , b , c , d≠0 , является пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно произведению средних членов b и с .
Вместе с тем	равенство	всех сторон прямоугольника характерно только для квадрата , а значит , является его признаком .
384 Проанализируй решение задач и сформулируй гипотезу : из равенства каких элементов двух треугольников следует	равенство	самих треугольников ?
Расставь скобки так , чтобы получилось верное	равенство	.
Итак , пропорцией называется истинное	равенство	двух отношений .
Расставь скобки в Костином примере так , чтобы получилось верное	равенство	.
Математической моделью многих практических задач является	равенство	двух отношений .
И вообще , для любого числа а выполняется	равенство	.
Другими словами , справедливо	равенство	.
57 Запиши	равенство	двух отношений двумя способами .
Распространяя данное свойство на случай , когда первый множитель отрицателен , приходим к	равенству	.
Так как сумма двух частей составляет 12 млн р . , то значение к должно удовлетворять	равенству	.
б ) Равные стороны	равнобедренного	треугольника называются боковыми , а третья сторона называется основанием .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у	равнобедренного	треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
Значит , медиана , проведенная к основанию	равнобедренного	треугольника , является одновременно его биссектрисой и высотой ! .
Две равные стороны	равнобедренного	треугольника называются боковыми сторонами , а третья сторона — основанием .
Запиши определение	равнобедренного	треугольника с помощью знака .
Запиши определение	равнобедренного треугольника	с помощью знака .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у	равнобедренного треугольника	одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
Две равные стороны	равнобедренного треугольника	называются боковыми сторонами , а третья сторона — основанием .
б ) Равные стороны	равнобедренного треугольника	называются боковыми , а третья сторона называется основанием .
Значит , медиана , проведенная к основанию	равнобедренного треугольника	, является одновременно его биссектрисой и высотой ! .
Например , из того , что в	равнобедренном	треугольнике АВС медиана BD , проведенная к основанию , является осью симметрии , следует , что треугольники ABD и CBD равны , и поэтому равны их стороны и углы : AD = DC , 1 = 2 , 3 = 4 = 90 ° .
Например , из того , что в	равнобедренном треугольнике	АВС медиана BD , проведенная к основанию , является осью симметрии , следует , что треугольники ABD и CBD равны , и поэтому равны их стороны и углы : AD = DC , 1 = 2 , 3 = 4 = 90 ° .
Отметь на прямой l точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а ) треугольник АВС —	равнобедренный	; б ) углы при основании треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам треугольника АВС , равны .
406 Построй произвольный	равнобедренный	треугольник АВС ( АВ = ВС ) и опусти высоту из вершины В на сторону АС .
	Равнобедренный	остроугольный треугольник .
Начерти	равнобедренный	треугольник АВС ( АВ = ВС ) и измерь транспортиром углы при основании АС .
б ) Является ли	равнобедренный	треугольник равносторонним ?
616 Вырежи из бумаги равносторонний и	равнобедренный	треугольники , квадрат , параллелограмм , окружность .
Построй произвольный	равнобедренный	треугольник .
Начерти	равнобедренный	треугольник АВС ( АВ = ВС ) и проведи медиану к его основанию АС .
а )	равнобедренный	прямоугольный треугольник .
Докажи , что треугольник АВС —	равнобедренный	.
Осевым сечением цилиндра является прямоугольник ABCD , а осевым сечением конуса —	равнобедренный	треугольник АВС .
б )	равнобедренный	тупоугольный треугольник .
406 Построй произвольный	равнобедренный треугольник	АВС ( АВ = ВС ) и опусти высоту из вершины В на сторону АС .
Построй произвольный	равнобедренный треугольник	.
Осевым сечением цилиндра является прямоугольник ABCD , а осевым сечением конуса —	равнобедренный треугольник	АВС .
б ) Является ли	равнобедренный треугольник	равносторонним ?
Начерти	равнобедренный треугольник	АВС ( АВ = ВС ) и проведи медиану к его основанию АС .
Начерти	равнобедренный треугольник	АВС ( АВ = ВС ) и измерь транспортиром углы при основании АС .
616 Вырежи из бумаги равносторонний и	равнобедренный треугольники	, квадрат , параллелограмм , окружность .
Треугольник , две стороны которого равны , называется	равнобедренным	.
Треугольник называется	равнобедренным	, если две его стороны равны .
А	равнобедренным	и прямоугольным ?
356 а ) Может ли быть треугольник	равнобедренным	и тупоугольным ?
	Равнобедренными	; д ) равносторонними ?
Например , в множестве треугольников Т можно выделить треугольники , которые имеют две равные стороны , — их называют	равнобедренными	; в множестве равнобедренных треугольников , в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три стороны .
Подчеркни разными цветами треугольники , которые являются : а ) остроугольными ; б ) прямоугольными ; в ) тупоугольными ; г )	равнобедренными	.
Какие из треугольников на рисунке являются	равнобедренными	?
Все равносторонние треугольники являются	равнобедренными	— ведь они удовлетворяют определению равнобедренных треугольников .
Покажи , как располагаются на ней подмножества	равнобедренных	и равносторонних треугольников .
Так , из построенных нами диаграмм следует , что равносторонние треугольники обладают всеми свойствами	равнобедренных	, а вот обратное неверно .
Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна , иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех треугольников , множеством	равнобедренных	и множеством равносторонних треугольников .
Все равносторонние треугольники являются равнобедренными — ведь они удовлетворяют определению	равнобедренных	треугольников .
Нарисуй в тетради несколько	равнобедренных	треугольников с одним и тем же основанием .
Например , в множестве треугольников Т можно выделить треугольники , которые имеют две равные стороны , — их называют равнобедренными ; в множестве	равнобедренных	треугольников , в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три стороны .
Нарисуй в тетради несколько	равнобедренных треугольников	с одним и тем же основанием .
Все равносторонние треугольники являются равнобедренными — ведь они удовлетворяют определению	равнобедренных треугольников	.
Например , в множестве треугольников Т можно выделить треугольники , которые имеют две равные стороны , — их называют равнобедренными ; в множестве	равнобедренных треугольников	, в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три стороны .
Так , из построенных нами диаграмм следует , что	равносторонние	треугольники обладают всеми свойствами равнобедренных , а вот обратное неверно .
719 Склей из бумаги модель правильного октаэдра , гранями которого являются	равносторонние	треугольники со стороной 8 см .
500 Склей из бумаги модель тетраэдра , гранями которого являются	равносторонние	треугольники со стороной 10 см .
Все	равносторонние	треугольники являются равнобедренными — ведь они удовлетворяют определению равнобедренных треугольников .
Все	равносторонние треугольники	являются равнобедренными — ведь они удовлетворяют определению равнобедренных треугольников .
500 Склей из бумаги модель тетраэдра , гранями которого являются	равносторонние треугольники	со стороной 10 см .
719 Склей из бумаги модель правильного октаэдра , гранями которого являются	равносторонние треугольники	со стороной 8 см .
Так , из построенных нами диаграмм следует , что	равносторонние треугольники	обладают всеми свойствами равнобедренных , а вот обратное неверно .
676 На гладкой бумаге начерти	равносторонний	треугольник и построй его оси симметрии .
При каких поворотах	равносторонний	треугольник переходит сам в себя ? .
Примерами правильных многоугольников являются уже знакомые нам	равносторонний	треугольник и квадрат .
616 Вырежи из бумаги	равносторонний	и равнобедренный треугольники , квадрат , параллелограмм , окружность .
Примерами правильных многоугольников являются уже знакомые нам	равносторонний треугольник	и квадрат .
676 На гладкой бумаге начерти	равносторонний треугольник	и построй его оси симметрии .
При каких поворотах	равносторонний треугольник	переходит сам в себя ? .
б ) Является ли равнобедренный треугольник	равносторонним	?
Треугольник называется	равносторонним	, если у него все стороны равны .
равнобедренными ; д )	равносторонними	?
Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна , иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех треугольников , множеством равнобедренных и множеством	равносторонних	треугольников .
Покажи , как располагаются на ней подмножества равнобедренных и	равносторонних	треугольников .
376 Сколько	равносторонних	треугольников ты видишь ? .
376 Сколько	равносторонних треугольников	ты видишь ? .
Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна , иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех треугольников , множеством равнобедренных и множеством	равносторонних треугольников	.
Покажи , как располагаются на ней подмножества равнобедренных и	равносторонних треугольников	.
534 Сделай модель конуса , радиус основания которого равен 5 см , а	радиус	развертки боковой поверхности — 15 см .
Начерти прямую , касательную к окружности , и проведи	радиус	в точку касания .
Круг , проходящий через центр шара , называется большим кругом — его	радиус	равен радиусу шара .
518 Пусть	радиус	основания конуса равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в сектор круга радиуса R. Величина угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле .
528 Склей из бумаги модель цилиндра ,	радиус	основания которого равен 3,5 см , а развертка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 7π см и 10 см , где π — число , равное примерно 3,14 .
534 Сделай модель конуса ,	радиус	основания которого равен 5 см , а радиус развертки боковой поверхности — 15 см .
где r —	радиус	окружности , Т — время , за которое оно совершает один полный оборот ( период обращения ) , π — число , равное примерно 3,14 .
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр ,	радиус	и диаметр .
Когда параллели приближаются к полюсам , их радиусы уменьшаются , а самый большой	радиус	— у экватора Земли , он равен примерно 6378 км .
566 а ) Чему равна площадь циферблата часов , если его	радиус	составляет 4,5 см ?
518 Пусть радиус основания конуса равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в сектор круга	радиуса	R. Величина угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле .
Построим две пересекающиеся окружности одного	радиуса	с центрами в концах данного отрезка AS .
Начерти окружность	радиуса	3 см и проведи ее диаметр .
Обозначим эти точки В и С. Проведем две окружности того же	радиуса	с центрами в В и С и найдем их точку пересечения , принадлежащую углу , — точку М. Луч AM — биссектриса .
550 Во сколько раз площадь поверхности шара радиуса г больше площади круга того же	радиуса	? .
Повтори эксперимент для окружности произвольного	радиуса	и сформулируй гипотезу .
550 Во сколько раз площадь поверхности шара	радиуса	г больше площади круга того же радиуса ? .
Проведем окружность произвольного	радиуса	с центром в вершине данного угла и найдем точки ее пересечения со сторонами угла .
Проведи окружность произвольного	радиуса	и две хорды АВ и CD этой окружности , пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд , на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
Например , длина окружности С пропорциональна ее радиусу ( С = 2πr ) , площадь круга S — квадрату	радиуса	( S = πr2 ) .
площадь сферы S также пропорциональна квадрату	радиуса	( S = 4πr2 ) » а объем шара V — кубу радиуса ( V = πr3 ) .
в ) круга	радиуса	6 см вокруг диаметра .
площадь сферы S также пропорциональна квадрату радиуса ( S = 4πr2 ) » а объем шара V — кубу	радиуса	( V = πr3 ) .
Проведем окружность произвольного	радиуса	с центром в вершине угла А и найдем ее точки пересечения со сторонами угла .
675 Построй орнамент , который получается при последовательном параллельном переносе трех концентрических окружностей с	радиусами	1 см , 2 см и 3 см на 3 см вправо .
619 Построй бордюр , который получается при последовательном параллельном переносе двух концентрических ( имеющих один центр ) окружностей	радиусами	1 см и 2 см на 2 см вправо .
358 а ) Построй отрезок АВ , равный 5 см. Затем проведи две дуги	радиусом	4 см и центрами в точках А и В до их пересечения в точке С. Соедини точки A , R и С отрезками и определи вид треугольника АВС .
б ) Построй окружность с центром в точке А ( -3 ; 1 ) и	радиусом	4 единичных отрезка .
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и	радиусом	3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
Если провести окружность с центром в точке D и	радиусом	DAX , то она будет касаться всех трех сторон треугольника ( то есть будет иметь с каждой из них только одну общую точку ) .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и	радиусом	R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Построй окружность с центром в точке А ( -3 ; 5 ) и	радиусом	5 единичных отрезков .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с	радиусом	описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и	радиусом	3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C	радиусом	ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Затем построим окружность с центром в точке А ,	радиусом	АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Отрезок , соединяющий точку окружности с ее центром , называется	радиусом	окружности .
182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале координат и	радиусом	3,5 единичных отрезка .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и	радиусом	4 единичных отрезка .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с	радиусом	описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
окружность с центром О и	радиусом	r .
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и	радиусом	5 единичных отрезков .
Указанным образом легче всего построить правильный шестиугольник : он состоит из шести правильных треугольников , и поэтому длина его стороны равна	радиусу	описанной окружности .
Значит , чтобы разделить окружность на 6 равных частей , можно « пройтись » по окружности циркулем с шагом , равным ее	радиусу	.
Например , длина окружности С пропорциональна ее	радиусу	( С = 2πr ) , площадь круга S — квадрату радиуса ( S = πr2 ) .
Круг , проходящий через центр шара , называется большим кругом — его радиус равен	радиусу	шара .
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна	радиусу	проведенной окружности , то есть АВ .
Когда параллели приближаются к полюсам , их	радиусы	уменьшаются , а самый большой радиус — у экватора Земли , он равен примерно 6378 км .
Все окружности имеют равные	радиусы	.
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых углов ( у ) , тупых углов ( z ) ,	развернутых углов	( t ) ?
Отрезок АВ длиной 15 см	разделен	точкой С в отношении 3 : 7 .
Отрезок MN	разделен	точкой К в отношении , причем одна из частей отрезка на 8 м больше другой .
Отрезок АВ	разделен	точкой С в отношении 2 : 5 , причем одна из частей отрезка на 6 см больше другой .
243 Отрезок MN	разделен	точками К и Т в отношении 1:2:3 , причем самая маленькая из частей отрезка на 5 дм меньше самой большой .
Для построения квадрата можно провести два взаимно перпендикулярных диаметра , а	разделив	образовавшиеся дуги пополам , построим правильный восьмиугольник .
Теперь ,	разделив	обе части равенства на общий множитель ( 7 + 2 - 9 ) , получим , что 4 = 5 , то есть 2 ∙ 2= 5 .
После уплаты налогов кладоискатели	разделили	между собой монеты так , что доли первого и второго относились как 2 : 3 , а доли второго и третьего — как 5 : 8 .
Число	разделили	на 1 — и получили 2 .
461 На королевских соревнованиях Франции по фехтованию первые 4 места	разделили	Атос , Портос , Арамис и д’Артаньян .
Так , если бы в нашей задаче мы сначала умножили все члены отношения на 10 , а затем	разделили	их на 4 , то избавились бы от дробей и тем самым получили более простое уравнение .
207 Когда трехзначное число , у которого цифры сотен и десятков одинаковые , а цифра единиц равна 5 ,	разделили	на однозначное число , то в остатке получили 8 .
7 )	разделили	его пополам .
Найди это число . 6 ) 5 —	разделили	на неизвестное число и получили .
Для этого вначале разделим 145 с остатком на 34 — наибольшую возможную в нашем случае степень числа 3 — и определим цифру разряда десятков тысяч , затем остаток	разделим	на 33 — определим цифру разряда тысяч и т .
Для этого вначале	разделим	145 с остатком на 34 — наибольшую возможную в нашем случае степень числа 3 — и определим цифру разряда десятков тысяч , затем остаток разделим на 33 — определим цифру разряда тысяч и т .
Чтобы найти средний член пропорции , надо произведение ее крайних членов	разделить	на второй средний член .
Чтобы найти крайний член пропорции , надо произведение ее средних членов	разделить	на второй крайний член .
Если число дней уменьшить на 1 , затем	разделить	на 6 и прибавить 3 , то получится первоначального числа дней .
Как известно ,	разделить	число а на число b — это значит найти такое число с , которое при умножении на b дает а .
Чтобы понять происхождение этого правила , достаточно	разделить	по этой же схеме какое - нибудь натуральное число в десятичной системе на основание этой системы — число 10 .
Значит , чтобы	разделить	окружность на 6 равных частей , можно « пройтись » по окружности циркулем с шагом , равным ее радиусу .
2 ) Если некоторое число	разделить	на 2 у , то получится 28 .
На сколько надо	разделить	это же число , чтобы получить в частном 0,6 ? .
Итак , частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль частного , нужно	разделить	модуль делимого на модуль делителя .
В частности , отношение не изменится , если его члены умножить или	разделить	на одно и то же число , отличное от нуля .
Таким образом , чтобы найти число по его части , составляющей р % этого числа , надо эту часть	разделить	на .
правило весов ( обе части уравнения можно поменять местами , можно увеличить , уменьшить , умножить или	разделить	на одно и то же число , отличное от нуля ) .
Чтобы выразить проценты числом , нужно количество процентов	разделить	на 100 .
3 ) Если 7,68	разделить	на некоторое число , то получится 240 .
4 ) 2 —	разделить	на 10 . 5 ) Результат 4-го действия умножить на . 6 ) Из результата 3-го действия вычесть результат 5-го действия .
Какое частное получится , если	разделить	на тот же делитель число 1,44 ? .
Например , если разность , которую мы находили в первом примере , надо	разделить	затем на 0,1 , то выбранный нами способ вычисления наиболее удобный .
Необходимость	разделить	заданную величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека при приготовлении различных смесей , растворов , блюд по кулинарным рецептам , при распределении прибыли или мест в парламенте и т .
Значит , чтобы узнать , сколько процентов первое число составляет от второго , надо первое число	разделить	на второе и результат умножить на 100 .
Разность	разделить	на 4 .
Значит , для построения правильного n - угольника достаточно	разделить	окружность на n равных частей и последовательно соединить точки деления .
Поэтому для того , чтобы умножить число , например , на 0,125 , можно	разделить	его на 8 .
надо b	разделить	на .
Вместе с тем на множестве целых чисел не всегда можно	разделить	одно число на другое .
Как найти НОД ( 12 ; 15 ) , пользуясь	разложением	на простые множители ? .
Сумма 80000000 + 3000000 + 4000 + 20 является	разложением	по разрядам числа : а ) 834020 ; б ) 83004020 ; в ) 8304020 .
8) Сумма 3 ∙ 105 + 5 ∙ 105 + 8 ∙ 102 + 7 является	разложением	по разрядам числа : а ) 35087 ; б ) 350807 ; в ) 3508007 .
48 Найди с помощью	разложения	на простые множители НОД и НОК чисел .
54 Найди НОД и НОК чисел с помощью	разложения	на простые множители : а ) 105 и 225 ; б ) 84 и 420 ; в ) 273 и 110 ; г ) 45 , 120 и 525 .
Как найти НОК ( 6 ; 8) с помощью	разложения	на простые множители ? .
Яблоки	разложены	в 25 ящиков по 18 кг в каждом , а груши — в 30 ящиков поровну .
Весь мед он	разложил	поровну в 18 банок .
122 Взяв у сестренки по одной карточке с цифрами 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , Гена	разложил	их по две на столе и вдруг увидел , что полученные двузначные числа относятся как 1 : 2 : 3 : 4 : 5 .
Их	разложили	в пакеты и коробки , причем пакетов было на 16 меньше , чем коробок .
а ) частное числа а и	разности	квадратов чисел .
а ) произведение квадрата суммы чисел а и b и куба разности чисел а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и	разности	квадратов чисел бис .
Заметим также , что для рациональных чисел останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных чисел : длина отрезка на координатной прямой равна	разности	координат его правого и левого концов .
Первый состоит в нахождении их	разности	и отвечает на вопрос “ На сколько больше ( меньше ) ? ” .
Произведение	разности	двух чисел и вычитаемого составляет 20 % от утроенного квадрата уменьшаемого .
Частное суммы двух чисел и первого из них в 12 раз меньше	разности	квадратов первого и второго числа .
а ) произведение квадрата суммы чисел а и b и куба	разности	чисел а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и разности квадратов чисел бис .
120 % от числа в 4 раза больше	разности	этого числа и 3,5 .
8) Сумма кубов удвоенного числа x и числа y . 9 ) Произведение	разности	чисел m и n и квадрата числа k . 10 )
250 Запиши в общем виде правила деления суммы ,	разности	и произведения на число .
в ) модуль	разности	частного чисел m и n утроенного числа к ( m = 1,6 ; n = -3 , к = -0,4 ) .
Проценты . Недели . 436 С помощью диаграммы изменения остаточной стоимости медиапроектора , купленного в 2002 г. , определи : а ) срок его службы ; б ) стоимость при покупке ; в ) накопленный износ ( т.е. общую сумму уменьшения стоимости ) на начало 2009 года ; г ) остаточную стоимость в 2009 году ( остаточная стоимость равна	разности	первоначальной стоимости и накопленного износа ) .
Найди квадрат	разности	чисел А и В .
а ) К утроенной	разности	чисел тип прибавить их удвоенную сумму .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат	разности	чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Произведение суммы и	разности	чисел с и d на 90 % меньше суммы их кубов .
303 а ) В чемпионатах по футболу места команд при равном числе набранных очков определяют по	разности	забитых и пропущенных мячей .
293 Вычисли сумму , представляя каждое слагаемое в виде	разности	дробей с числителями , равными 1 .
8) правила деления суммы и	разности	на число .
Частное куба числа 0,2 и	разности	чисел 0,64 и — . 3 )
г ) Модуль разности двух чисел может быть больше	разности	их модулей .
г ) Модуль	разности	двух чисел может быть больше разности их модулей .
Существуют натуральные числа , сумма которых не превышает их	разности	.
Запиши числа , противоположное и обратное : а ) числу х ; б ) кубу числа у ; в ) сумме чисел а и b ; г )	разности	чисел m и n .
Например , если температура повысилась с -3 ° С до 5 ° С , то всего она изменилась на 5 + 3 = 8 ° С. С другой стороны , изменение температуры равно	разности	5 - ( -3 ) , и поэтому .
476 Назови уменьшаемое и вычитаемое в	разности	.
Вот как в рукописях VII в . излагались правила сложения и вычитания : “ Сумма двух имуществ есть имущество ” , “ Сумма двух долгов есть долг ” , “ Сумма имущества и долга равна	разности	имущества и противоположного долгу имущества ” .
393 В сумме ,	разности	, произведении и частном чисел x и y изменены компоненты действий .
произведение утроенного числа а и квадрата	разности	чисел .
Чему равна	разность	этих чисел ?
Разностное сравнение указывает	разность	, то есть на сколько величины отличаются друг от друга , а кратное — дает качественную , или относительную оценку этого отличия .
Отношение двух чисел равно 0,5 : 0,3 , а их	разность	равна 1 .
Найди два числа ,	разность	которых равна 6 , а одно из них составляет 2/7 другого .
в )	разность	удвоенного произведения квадратов чисел а и b и утроенного числа с . г ) число , противоположное квадрату суммы утроенного числа а и частного чисел b и с .
191 Составь выражение и найди его значение , если а )	разность	числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Вспомним сначала , что	разность	двух чисел аи b — это такое число с , которое при сложении с b дает а .
Найди три числа , если первое относится ко второму как 0,5 : 0,6 , второе к третьему — как , а	разность	третьего и первого равна о,5 .
486 Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр , а их	разность	образует точный квадрат ? .
Найди с точностью до сотых	разность	полученного тобой числа π и числа Архимеда .
Найди	разность	большей и меньшей сторон этого треугольника .
Из удвоенной суммы чисел х и у вычесть	разность	утроенного числа д : и числа у .
« Задумали число , увеличили его в 5 раз , затем уменьшили на 8 и	разность	утроили .
а ) Задумали число , уменьшили его на 4 ,	разность	удвоили , результат увеличили на 9 и получили число , которое меньше задуманного на 2 .
Например , если	разность	, которую мы находили в первом примере , надо разделить затем на 0,1 , то выбранный нами способ вычисления наиболее удобный .
36 Всегда ли можно записать в виде конечной десятичной дроби сумму ,	разность	, произведение и частное двух десятичных дробей ?
сумма , если одно слагаемое увеличить на 5 , а другое увеличить на 4 . 2 )	разность	, если уменьшаемое увеличить на 5 , а вычитаемое увеличить на 4 . 3 ) произведение , если один множитель уменьшить в 3 раза , а другой — уменьшить в 6 раз .
Тогда в левой части уравнения ( -1,2 ) можно рассматривать как уменьшаемое , х — как вычитаемое , а ( -0,9 ) — как	разность	.
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б )	разность	квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Задумали число , умножили его на 8 , произведение вычли из 100 ,	разность	удвоили , результат вычли из 15 и получили 7 .
Задуманное число увеличили в 5 раз , затем уменьшили на 3 и полученную	разность	уменьшили вдвое .
а ) Задумали число , вычли из него 16 ,	разность	умножили на 7 , результат вычли из 40 и получили 12 .
а )	разность	куба числа а и утроенного произведения квадрата числа b на число с ( а = -2 ; b = 0,5 ; с = -0,4 ) .
2 ) Задуманное число утроили , затем результат вычли из 10 , полученную	разность	увеличили в 2 раза , а потом еще на 2 .
Чтобы найти неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого вычесть	разность	.
Вообще говоря , чтобы сложить два числа с разными знаками , можно вычесть их модули и поставить перед полученной	разностью	знак числа с большим модулем .
Для этого вначале разделим 145 с остатком на 34 — наибольшую возможную в нашем случае степень числа 3 — и определим цифру	разряда	десятков тысяч , затем остаток разделим на 33 — определим цифру разряда тысяч и т .
В десятичной позиционной системе записи чисел 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу следующего	разряда	.
В десятичной позиционной системе записи чисел 10 единиц каждого	разряда	образуют 1 единицу следующего разряда .
Чему равна зарплата у работника 9-го разряда , если у работника 1 -го	разряда	она равна 8000 р . ?
112 Для рабочих некоторого предприятия в зависимости от	разряда	установлены различные тарифные ставки , причем для каждого следующего разряда тарифная ставка увеличивается на величину , равную 25 % от ставки работника 1-го разряда .
112 Для рабочих некоторого предприятия в зависимости от разряда установлены различные тарифные ставки , причем для каждого следующего	разряда	тарифная ставка увеличивается на величину , равную 25 % от ставки работника 1-го разряда .
112 Для рабочих некоторого предприятия в зависимости от разряда установлены различные тарифные ставки , причем для каждого следующего разряда тарифная ставка увеличивается на величину , равную 25 % от ставки работника 1-го	разряда	.
Чему равна зарплата у работника 9-го	разряда	, если у работника 1 -го разряда она равна 8000 р . ?
Для этого вначале разделим 145 с остатком на 34 — наибольшую возможную в нашем случае степень числа 3 — и определим цифру разряда десятков тысяч , затем остаток разделим на 33 — определим цифру	разряда	тысяч и т .
Сумма 80000000 + 3000000 + 4000 + 20 является разложением по	разрядам	числа : а ) 834020 ; б ) 83004020 ; в ) 8304020 .
8) Сумма 3 ∙ 105 + 5 ∙ 105 + 8 ∙ 102 + 7 является разложением по	разрядам	числа : а ) 35087 ; б ) 350807 ; в ) 3508007 .
Предыдущим для числа 79399 является число : а ) 78399 ; б ) 79400 ; в ) 79398 . 2 ) В	разряде	десятков тысяч числа 12705320 записана цифра : а ) 2 ; б ) 0 ; в ) 5 .
В	разряде	сотен миллионов числа 9876543210 записана цифра : а ) 8 ; 6)9 ; в ) 5 .
В	разряде	миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
Во сколько раз отличаются зарплаты работников 9-го и 1 -го	разрядов	?
Назови классы и	разряды	в записи чисел : 518 , 1045 , 27019 , 780780 , 1230456 .
Вначале	раскроем скобки	и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения .
Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада при пропорциональном	распределении	заказа между работниками ? .
Значит , при справедливом	распределении	прибыли первый предприниматель должен получить 1,5 ∙ 3 = 4,5 млн р . , а второй — 1,5 ∙ 5 = 7,5 млн р .
Необходимость разделить заданную величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека при приготовлении различных смесей , растворов , блюд по кулинарным рецептам , при	распределении	прибыли или мест в парламенте и т .
1 Понятие	рационального	числа .
1 Понятие	рационального числа	.
Термином “	рациональное	число ” мы будем далее часто пользоваться , иногда говоря для краткости просто “ число ” .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что	рациональное	число — это число вида р / q , где р — целое число , a q — натуральное число .
Любое	рациональное	число можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое число , а знаменатель — натуральное , поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
Частное двух рациональных чисел — число	рациональное	.
Еще мы знаем , что любое	рациональное	число может быть изображено точкой числовой прямой .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что	рациональное число	— это число вида р / q , где р — целое число , a q — натуральное число .
Термином “	рациональное число	” мы будем далее часто пользоваться , иногда говоря для краткости просто “ число ” .
Еще мы знаем , что любое	рациональное число	может быть изображено точкой числовой прямой .
Любое	рациональное число	можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое число , а знаменатель — натуральное , поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
В предыдущем пункте мы научились складывать любые	рациональные	числа .
При решении практических задач часто возникает необходимость сравнивать	рациональные	числа , выполнять с ними арифметические действия .
Мы знаем , например , что предложения х < у и у > х , где х и у —	рациональные	числа , означают одно и то же , то есть равносильны .
А сейчас придется смириться с тем фактом , что если на координатной прямой поставить все	рациональные	числа , то на ней останутся “ свободные места ” — например , точка А . 561 1 )
Поэтому теперь нам надо научиться сравнивать	рациональные	числа и выполнять с ними арифметические действия .
Мы знаем , например , что предложения х < у и у > х , где х и у —	рациональные числа	, означают одно и то же , то есть равносильны .
При решении практических задач часто возникает необходимость сравнивать	рациональные числа	, выполнять с ними арифметические действия .
Поэтому теперь нам надо научиться сравнивать	рациональные числа	и выполнять с ними арифметические действия .
В предыдущем пункте мы научились складывать любые	рациональные числа	.
А сейчас придется смириться с тем фактом , что если на координатной прямой поставить все	рациональные числа	, то на ней останутся “ свободные места ” — например , точка А . 561 1 )
565 Является ли	рациональным	числом : а ) длина диагонали квадрата со стороной , равной 2 ; б ) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 ? .
Число не является	рациональным	.
Любая ли точка числовой прямой является	рациональным	числом ? .
376 Найди значение выражения наиболее	рациональным	способом .
757 Вычисли наиболее	рациональным	способом .
565 Является ли	рациональным числом	: а ) длина диагонали квадрата со стороной , равной 2 ; б ) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 ? .
Любая ли точка числовой прямой является	рациональным числом	? .
С помощью свойств арифметических действий можно выполнять различные преобразования выражений с	рациональными	числами : перестановку слагаемых , раскрытие скобок и т .
751 Реши примеры и расскажи , какие алгоритмы действий с	рациональными	числами использовались для их решения .
В заключение уточним правило знаков при раскрытии скобок в выражениях с	рациональными	числами .
Тогда привычные , “ хорошие ” , “ понятные ” числа для противопоставления и стали называть “ разумными ” ,	рациональными	.
Вместе с тем и натуральные , и целые числа являются	рациональными	.
При этом правила сравнения и правила действий с	рациональными	числами должны стать естественным продолжением соответствующих правил действий с уже известными нам положительными числами , иначе мы придем к противоречию .
Чтобы учесть направление поворота , углы поворота условились выражать	рациональными	числами : положительными — против часовой стрелки , а отрицательными — по часовой стрелке . .
316 Назови элементы множества А которые являются натуральными числами , целыми числами ,	рациональными	числами .
751 Реши примеры и расскажи , какие алгоритмы действий с	рациональными числами	использовались для их решения .
Чтобы учесть направление поворота , углы поворота условились выражать	рациональными числами	: положительными — против часовой стрелки , а отрицательными — по часовой стрелке . .
Частное двух	рациональных	чисел — число рациональное .
В таких случаях предполагается , что переменная принимает значения из множества всех уже известных нам чисел , то есть из множества	рациональных	чисел .
747 Можно ли сравнить на множестве	рациональных	чисел .
745 Сформулируй алгоритм сравнения	рациональных	чисел .
а ) умножения	рациональных	чисел ; б ) правильной дроби ; в ) прямоугольника ; г ) трапеции .
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N — натуральных чисел ; Z — целых чисел ; Q —	рациональных	чисел ; М — отрицательных чисел .
756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства	рациональных	чисел : а ) переместительное , сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения ; б ) свойства числа 0 при сложении и вычитании .
4 Деление	рациональных	чисел .
Расширением множества целых чисел до множества , в котором выполнима операция деления на число , не равное 0 , является множество	рациональных	чисел Q .
Полученные правила умножения можно распространить на умножение любых	рациональных	чисел .
Поэтому в данном случае мы будем исходить не из житейской практики , а из того , что при умножении	рациональных	чисел должны выполняться установленные ранее свойства умножения положительных чисел , в частности .
Сформулируем теперь правила умножения	рациональных	чисел .
3 Умножение	рациональных	чисел .
566 Приведи примеры точек координатной прямой , координаты которых не принадлежат множеству	рациональных	чисел .
570 Выбери из множества подмножество . 1 ) В — натуральных чисел ; 2 ) С — целых чисел ; 3 ) D —	рациональных	чисел .
Таким образом , установленное правило вычитания расширяет возможности решения задач и уравнений , распространяя уже известные нам способы действий на множество	рациональных	чисел .
Заметим также , что для	рациональных	чисел останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных чисел : длина отрезка на координатной прямой равна разности координат его правого и левого концов .
Легко показать , что правило вычитания	рациональных	чисел сохраняет все известные нам ранее свойства вычитания .
Введенные таким образом положительные и отрицательные числа вместе с нулем составляют множество	рациональных	чисел ( обычно его обозначают буквой Q ) .
Аналогично для всех	рациональных	чисел есть место на координатной прямой .
Значит , с + b = а + ( -b ) , то есть вычитание	рациональных	чисел можно заменить сложением .
Легко догадаться , что таким числом с в множестве	рациональных	чисел является число с = а + ( -b ) .
2 Вычитание	рациональных	чисел .
Множество	рациональных	чисел Q можно записать так .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество натуральных чисел , Z — множество целых чисел , a Q — множество	рациональных	чисел .
463 Пользуясь алгоритмом сложения	рациональных	чисел , найди сумму .
множество	рациональных	чисел .
Проанализируй полученный результат и сформулируй гипотезу о сравнении модулей	рациональных	чисел .
365 Составь из элементов этого множества подмножества : 1 ) В — отрицательных	рациональных	чисел ;
3 Сравнение	рациональных	чисел .
Установленные правила сравнения	рациональных	чисел хорошо согласуются и с житейскими представлениями о сравнении реальных величин , которые могут изменяться в двух противоположных направлениях .
Проверь переместительное и сочетательное свойство сложения для произвольно выбранных тобой	рациональных	чисел .
423 Запиши данные изменения в виде суммы	рациональных	чисел и выполни действия .
Проверь переместительное свойство для значений переменных : а ) -4,8 и 0,3 ; б ) -3 и -1,15 . 2 ) Сформулируй сочетательное свойство сложения	рациональных	чисел и запиши его на математическом языке .
Тем самым мы приходим к следующим правилам сравнения	рациональных	чисел .
428 Рассмотри блок - схему алгоритма сложения	рациональных	чисел .
Сформулируй переместительное свойство сложения	рациональных	чисел и запиши его на математическом языке .
Правила сравнения	рациональных	чисел можно вывести из известного нам правила сравнения положительных чисел , которое подсказывает нам координатная прямая .
Значит , для	рациональных	чисел выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения .
Так , корни уравнения х + 4 = 9 мы будем искать на множестве	рациональных	чисел Q , то есть на множестве всех чисел , которые нам известны .
429 Пользуясь алгоритмом сложения	рациональных	чисел , найди сумму .
Чтобы установить правила сложения	рациональных	чисел , рассмотрим практические задачи с “ доходами ” и “ расходами ” .
Отметим , что все известные ранее правила деления с 0 и 1 распространяются и на множество	рациональных	чисел .
А вот уравнение имеет смысл только для	рациональных	чисел х , отличных от нуля .
514 Переведи с математического языка на русский частные случаи умножения	рациональных	чисел .
Докажи , что уравнение не имеет	рациональных	корней .
Деление	рациональных	чисел уже не представляет проблем , поскольку деление — это действие , обратное умножению .
538 Составь блок - схему алгоритма деления	рациональных	чисел .
Поэтому , например . Уже из приведенных примеров видно , что деление	рациональных	чисел производится самым естественным образом : операцию деления выполняют , пользуясь тем же правилом знаков , что и при умножении .
По правилам умножения	рациональных	чисел , если а > 0 , то знаки слагаемых b и с не изменятся , а если а < 0 , то изменятся на противоположные .
Сложение	рациональных	чисел можно проиллюстрировать на координатной прямой : прибавление положительного числа — перемещением на соответствующее число вправо , а прибавление отрицательного числа — перемещением влево .
513 Составь блок - схему алгоритма умножения	рациональных	чисел .
Переведи высказывания с математического языка на русский и проверь их справедливость для произвольно выбранных тобой	рациональных	чисел .
1 Сложение	рациональных	чисел .
Особую роль при умножении	рациональных	чисел играет число ( -1 ) .
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое число , а знаменатель — натуральное , поэтому множество	рациональных	чисел обычно записывают так .
2 Арифметика	рациональных	чисел .
Аналогично рассуждая , нетрудно получить и правила сложения	рациональных	чисел с числом 0 , обобщающие соответствующие правила сложения для положительных чисел .
На множестве	рациональных	чисел самая “ богатая ” арифметика — в нем всегда выполнимы все четыре арифметические действия ( кроме деления на 0 ) .
463 Пользуясь алгоритмом сложения	рациональных чисел	, найди сумму .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество натуральных чисел , Z — множество целых чисел , a Q — множество	рациональных чисел	.
множество	рациональных чисел	.
Деление	рациональных чисел	уже не представляет проблем , поскольку деление — это действие , обратное умножению .
Поэтому , например . Уже из приведенных примеров видно , что деление	рациональных чисел	производится самым естественным образом : операцию деления выполняют , пользуясь тем же правилом знаков , что и при умножении .
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое число , а знаменатель — натуральное , поэтому множество	рациональных чисел	обычно записывают так .
На множестве	рациональных чисел	самая “ богатая ” арифметика — в нем всегда выполнимы все четыре арифметические действия ( кроме деления на 0 ) .
365 Составь из элементов этого множества подмножества : 1 ) В — отрицательных	рациональных чисел	;
Отметим , что все известные ранее правила деления с 0 и 1 распространяются и на множество	рациональных чисел	.
Проверь переместительное и сочетательное свойство сложения для произвольно выбранных тобой	рациональных чисел	.
538 Составь блок - схему алгоритма деления	рациональных чисел	.
Проверь переместительное свойство для значений переменных : а ) -4,8 и 0,3 ; б ) -3 и -1,15 . 2 ) Сформулируй сочетательное свойство сложения	рациональных чисел	и запиши его на математическом языке .
Сформулируй переместительное свойство сложения	рациональных чисел	и запиши его на математическом языке .
Переведи высказывания с математического языка на русский и проверь их справедливость для произвольно выбранных тобой	рациональных чисел	.
Проанализируй полученный результат и сформулируй гипотезу о сравнении модулей	рациональных чисел	.
3 Сравнение	рациональных чисел	.
Легко догадаться , что таким числом с в множестве	рациональных чисел	является число с = а + ( -b ) .
2 Вычитание	рациональных чисел	.
Полученные правила умножения можно распространить на умножение любых	рациональных чисел	.
Поэтому в данном случае мы будем исходить не из житейской практики , а из того , что при умножении	рациональных чисел	должны выполняться установленные ранее свойства умножения положительных чисел , в частности .
Сформулируем теперь правила умножения	рациональных чисел	.
3 Умножение	рациональных чисел	.
Особую роль при умножении	рациональных чисел	играет число ( -1 ) .
566 Приведи примеры точек координатной прямой , координаты которых не принадлежат множеству	рациональных чисел	.
570 Выбери из множества подмножество . 1 ) В — натуральных чисел ; 2 ) С — целых чисел ; 3 ) D —	рациональных чисел	.
429 Пользуясь алгоритмом сложения	рациональных чисел	, найди сумму .
а ) умножения	рациональных чисел	; б ) правильной дроби ; в ) прямоугольника ; г ) трапеции .
Таким образом , установленное правило вычитания расширяет возможности решения задач и уравнений , распространяя уже известные нам способы действий на множество	рациональных чисел	.
Множество	рациональных чисел	Q можно записать так .
Расширением множества целых чисел до множества , в котором выполнима операция деления на число , не равное 0 , является множество	рациональных чисел	Q .
Заметим также , что для	рациональных чисел	останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных чисел : длина отрезка на координатной прямой равна разности координат его правого и левого концов .
В таких случаях предполагается , что переменная принимает значения из множества всех уже известных нам чисел , то есть из множества	рациональных чисел	.
Легко показать , что правило вычитания	рациональных чисел	сохраняет все известные нам ранее свойства вычитания .
514 Переведи с математического языка на русский частные случаи умножения	рациональных чисел	.
Введенные таким образом положительные и отрицательные числа вместе с нулем составляют множество	рациональных чисел	( обычно его обозначают буквой Q ) .
Аналогично для всех	рациональных чисел	есть место на координатной прямой .
Значит , с + b = а + ( -b ) , то есть вычитание	рациональных чисел	можно заменить сложением .
А вот уравнение имеет смысл только для	рациональных чисел	х , отличных от нуля .
Так , корни уравнения х + 4 = 9 мы будем искать на множестве	рациональных чисел	Q , то есть на множестве всех чисел , которые нам известны .
4 Деление	рациональных чисел	.
513 Составь блок - схему алгоритма умножения	рациональных чисел	.
Частное двух	рациональных чисел	— число рациональное .
Аналогично рассуждая , нетрудно получить и правила сложения	рациональных чисел	с числом 0 , обобщающие соответствующие правила сложения для положительных чисел .
Сложение	рациональных чисел	можно проиллюстрировать на координатной прямой : прибавление положительного числа — перемещением на соответствующее число вправо , а прибавление отрицательного числа — перемещением влево .
756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства	рациональных чисел	: а ) переместительное , сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения ; б ) свойства числа 0 при сложении и вычитании .
Правила сравнения	рациональных чисел	можно вывести из известного нам правила сравнения положительных чисел , которое подсказывает нам координатная прямая .
Значит , для	рациональных чисел	выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения .
428 Рассмотри блок - схему алгоритма сложения	рациональных чисел	.
745 Сформулируй алгоритм сравнения	рациональных чисел	.
1 Сложение	рациональных чисел	.
Установленные правила сравнения	рациональных чисел	хорошо согласуются и с житейскими представлениями о сравнении реальных величин , которые могут изменяться в двух противоположных направлениях .
2 Арифметика	рациональных чисел	.
Чтобы установить правила сложения	рациональных чисел	, рассмотрим практические задачи с “ доходами ” и “ расходами ” .
423 Запиши данные изменения в виде суммы	рациональных чисел	и выполни действия .
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N — натуральных чисел ; Z — целых чисел ; Q —	рациональных чисел	; М — отрицательных чисел .
747 Можно ли сравнить на множестве	рациональных чисел	.
По правилам умножения	рациональных чисел	, если а > 0 , то знаки слагаемых b и с не изменятся , а если а < 0 , то изменятся на противоположные .
Тем самым мы приходим к следующим правилам сравнения	рациональных чисел	.
480 а ) Сколько	ребер	семиугольной пирамиды выходит из вершины , не принадлежащей основанию ?
У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер , но при этом	ребер	различной длины может быть только три .
б ) Какое наименьшее число вершин ,	ребер	и граней может быть у многогранника ? .
Сколько у нее всего	ребер	? .
У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12	ребер	, но при этом ребер различной длины может быть только три .
Сосчитай число	ребер	( Р ) , граней ( Г ) и вершин ( В ) каждого правильного многогранника и заполни таблицу .
д. Число граней и число вершин л - угольной пирамиды всегда равно n + 1 , а число	ребер	равно 2 n .
711 Сколько	ребер	и сколько граней сходится в вершине тетраэдра , гексаэдра , октаэдра , додекаэдра , икосаэдра ?
Сколько у нее вершин ,	ребер	, граней , боковых граней ?
б ) Существует ли пирамида , у которой 999	ребер	? .
Сколько у нее	ребер	?
А продолжение их граней и	ребер	позволяет получить звездчатые многогранники , или тела Кеплера Пуансо .
493 Сравни сумму длин всех	ребер	( L ) , объем ( V ) и площадь ( S ) полной поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда .
506 Сравни суммы длин всех	ребер	, объемы и площади поверхности куба с ребром 7 м и прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 м , 5 м и 6 м .
Сколько у нее	ребер	и сколько вершин ?
484 а ) Сколько	ребер	прямоугольного параллелепипеда выходит из каждой вершины ?
б ) Сколько у прямоугольного параллелепипеда всего :	ребер	, граней , вершин ? .
Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ( В ) , числом	ребер	( Р ) и числом граней ( Г ) выпуклого многогранника .
У пирамиды 100	ребер	.
б ) Построй сечение тетраэдра ABCD плоскостью , проходящей через его вершины — А , В и середину М	ребра	CD .
Именно так мы всегда и поступаем , изображая параллельные	ребра	куба и параллелепипеда .
Меньшее ребро параллелепипеда составляет 75 %	ребра	некоторого куба .
Какие вершины ,	ребра	, грани являются невидимыми ?
в ) На спичечном коробке закрась одним цветом равные	ребра	.
На втором рисунке пирамида стала прозрачной — мы видим все ее	ребра	, грани , но по этому рисунку не ясно , как линии расположены в пространстве .
Раскрась равные	ребра	одним цветом .
Сформулируй определение вершины ,	ребра	, грани многогранника и покажи их на предметной модели .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а )	ребро	куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б ) ребро куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Меньшее	ребро	параллелепипеда составляет 75 % ребра некоторого куба .
544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда , если : а ) ребро куба равно 5 дм , а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см , 1 м и 8 дм ; б )	ребро	куба равно 4 см , а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм , 3 см и 25 мм .
Начерти параллелепипед ABCDAlBlClDl и назови : а ) одно его видимое и одно невидимое	ребро	; б ) одну видимую и одну невидимую грань .
Тактика вычислений выбирается в зависимости от конкретных обстоятельств , но так , чтобы	решение	было по возможности более простым и удобным .
Отметим , что новая терминология по сути ничего не добавляет к хорошо известному нам перекрестному правилу , а является лишь сложившимся языком , описывающим	решение	задач на пропорции .
380 Построй треугольник АВС по стороне b и прилежащему к ней углу А. Является ли	решение	однозначным ?
	Решение	уравнения . 3 )
382 Построй треугольник АВС по двум сторонам а и b и углу А , прилежащему к стороне b. Является ли	решение	однозначным ? .
115 Придумай 3 задачи , решением которых является выражение ( а — а : 4 ): 2 . 116 Переведи условие задачи на математический язык и найди	решение	методом проб и ошибок .
117 Переведи условие задачи на математический язык и найди	решение	методом перебора .
Поставь вопросы так , чтобы	решение	задач было одинаковым .
384 Проанализируй	решение	задач и сформулируй гипотезу : из равенства каких элементов двух треугольников следует равенство самих треугольников ?
Проанализируем	решение	уравнения .
Как изменится	решение	, если пары можно составлять только из двух разных цветков ? .
В соответствии с этим и	решение	задач с помощью уравнений состоит из трех этапов .
Эти преобразования позволяют упрощать запись , а значит , и	решение	задач .
В древнеегипетском папирусе ( 1700 лет до н.э. ) содержится	решение	уравнения , которое на языке современной математики можно записать так .
Никакое	решение	неравенства 2 < x < 3 не является натуральным числом .
Как надо дополнить условие , чтобы	решение	стало единственным ? .
Записать	решение	можно следующим образом .
Всегда ли эта задача имеет	решение	? .
Однако	решение	уравнения не всегда можно свести к известным способам преобразований .
Какие из приведенных задач имеют единственное	решение	? .
295 Запиши	решение	уравнений , используя знак .
При таком способе рассуждений получаем	решение	нашей задачи значительно более простое .
Запишем это	решение	“ по шагам ” .
Если объединение слагаемых не позволяет свести	решение	примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала сложить положительные числа , затем сложить отрицательные числа и к первой сумме прибавить вторую .
Всегда ли	решение	возможно ? .
288 Запиши	решение	уравнений , используя знак .
Перед	решением	примера полезно бывает проанализировать его , чтобы поискать возможности упрощения вычислений .
Эти задачи решаются так же , как и соответствующие задачи на дроби , но перед их	решением	число р% выражается дробью .
Заметим , что перед	решением	уравнения его левую часть можно было упростить , раскрыв скобки .
115 Придумай 3 задачи ,	решением	которых является выражение ( а — а : 4 ): 2 . 116 Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок .
Итак , при	решении	задач с помощью уравнений можно руководствоваться следующим алгоритмом .
Этот язык удобен при	решении	практических задач , поэтому каждому полезно его знать .
Для того чтобы использовать отрицательные числа при	решении	практических задач , мы должны научиться сравнивать их и совершать над ними арифметические действия .
Очень полезны рисунки и при	решении	математических задач , где успех решения часто напрямую зависит от точности рисунка , иллюстрирующего задачу .
В этом	решении	речь в действительности также идет о среднем арифметическом .
Например , если получилось , что в классе 25,8 учащихся , то либо математическая модель задачи составлена некорректно , либо в	решении	допущена ошибка .
Заметим , что при	решении	более сложных задач на движение по реке приходится вспоминать весь арсенал приемов решения задач , изученный ранее .
Аналогичным образом сохраняются правила нахождения неизвестных компонентов действий при	решении	уравнений .
Необходимость записи ответа в “ разветвленной ” форме возникает и при	решении	задач .
При	решении	этих задач нужно было измерять площади , а значит , в первую очередь , измерять отрезки .
При	решении	практических задач часто возникает необходимость сравнивать рациональные числа , выполнять с ними арифметические действия .
187 Отметь на координатной прямой множество	решений	неравенства .
401 Построй треугольник АВС по двум сторонам а и b. Сколько	решений	имеет эта задача ? .
243 Найди пересечение множеств натуральных	решений	неравенств .
109 Найди множество натуральных	решений	уравнения методом проб и ошибок .
402 Прочитай неравенство и запиши множество его целых	решений	.
367 Прочитай неравенство и найди множество его целых	решений	.
53 Пусть А ( n ) — множество натуральных	решений	неравенства кратных числу п. Запиши множества А ( 2 ) , А ( 3 ) , А ( 5 ) , А ( 9 ) , А ( 10 ) .
382 Найди множество целых	решений	неравенства и сделай рисунок .
Сколько	решений	имеет каждая задача ? .
449 Сколько элементов содержит множество целых	решений	неравенства .
403 Построй треугольник АВС : 1 ) по стороне а и прилежащему к ней углу В ; 2 ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С. Сколько различных	решений	возможно в каждой из этих задач ? .
Сколько	решений	имеет задача ?
8) Среди	решений	неравенства 20 — 3 x > 4 есть числа , большие 5 .
221 Отметь на координатной прямой множество	решений	неравенства .
Укажи алгоритм , по которому можно найти его 1000	решений	.
А можно ли найти 10000	решений	этого неравенства ? .
Запиши множество его целых	решений	и 2 дробных решения .
244 Найди пересечение множества с множеством	решений	неравенства .
31 Прочитай неравенство и запиши множество всех его натуральных	решений	.
Действительно , не всегда удается подобрать корни уравнения и тем более доказать , что других	решений	нет .
321 Прочитай неравенство и найди множество его натуральных	решений	.
Таким образом , установленное правило вычитания расширяет возможности	решения	задач и уравнений , распространяя уже известные нам способы действий на множество рациональных чисел .
Укажи все возможные	решения	.
Применение пропорций для	решения	различных практических задач требует определенной техники вычислений — использования некоторых дополнительных свойств пропорций .
Составление уравнения — ключевой этап	решения	задач методом моделирования .
Для	решения	задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки р = 0,008 , числа дней n = 365 и первоначального вклада S = 5000 .
Все	решения	неравенства 1 < x < 8 являются натуральными числами .
Несмотря на то что приведенные рассуждения имеют достаточно общий характер , производные пропорции часто оказываются полезными для	решения	практических задач .
Приведи все возможные варианты	решения	.
Обратим внимание , что в записи	решения	задачи , во втором действии , приведено обоснование уравнения .
Приведем пример	решения	задач с помощью уравнений .
А это является новым мощным инструментом как для познания природы явлений , так и для	решения	практических задач .
Для	решения	задачи подставим в формулу простого процентного роста годовой процент амортизации компьютера р = 20 % , количество лет его использования л — 2 и первоначальную стоимость S = 12000 .
Прием « аль - джебр » — « воссоединение » — оказался таким удобным для	решения	уравнений , что от этого слова произошло название раздела математики алгебра , изучающего и в настоящее время различные методы решения уравнений .
В случае , если неизвестных величин несколько , то одну из них обозначают через х , а остальные — выражают через х. Лучше обозначать величины так , чтобы , получилось возможно более простое и удобное для	решения	уравнение .
Заметим , что при решении более сложных задач на движение по реке приходится вспоминать весь арсенал приемов	решения	задач , изученный ранее .
Именно поэтому математики всегда стремились найти общие способы	решения	различных классов уравнений .
Алгоритмы	решения	уравнений формировались длительное время , и новые знания о свойствах чисел позволяли упрощать преобразования .
Как нам уже известно , математика зародилась тысячи лет назад и создавалась для	решения	многочисленных практических задач , возникавших как в жизни каждого человека , так и в жизни общества .
Для	решения	практических задач человеку часто приходится сравнивать разные значения одной и той же величины — массы , расстояния , времени , скорости , стоимости , объема , площади и т .
Установленные правила позволяют использовать пропорцию для	решения	задач , в которых говорится о прямо или обратно пропорциональных величинах .
Алгоритм	решения	задач с помощью пропорций сформулируем следующим образом .
Приведем несколько примеров	решения	задач с помощью пропорций .
Если возможно , укажи несколько вариантов	решения	.
Все дело в том , что математика как наука возникла прежде всего для	решения	практических задач .
209 Реши задачи двумя способами — способом пропорций и по правилам	решения	задач на проценты .
Реши их и сопоставь	решения	.
Самый простой способ	решения	состоит в том , что данное уравнение приводят , если это возможно , к более простому или более удобному виду .
Образец записи	решения	. 2 ) В записанных неравенствах подчеркни те числа , которые являются результатами округления числа а с точностью до сотен , десятков , единиц , десятых , сотых , тысячных .
Для	решения	задач на построение далее нам потребуются следующие обозначения : угол и противолежащую сторону в треугольнике будем обозначать одной и той же буквой , причем угол обозначают прописной буквой , а сторону — строчной .
Таким образом , задача формулировки отрицания — это в некотором смысле задача из грамматики языка , и для ее	решения	не имеет значения , истинно или ложно то предложение , которое мы отрицаем .
Прием « аль - джебр » — « воссоединение » — оказался таким удобным для решения уравнений , что от этого слова произошло название раздела математики алгебра , изучающего и в настоящее время различные методы	решения	уравнений .
Запиши множество его целых решений и 2 дробных	решения	.
А это помогло построить способ	решения	задач с помощью пропорций .
Метод перебора заключается в проверке всех возможных вариантов	решения	уравнения .
210 Найди два способа	решения	задачи .
Натуральные	решения	неравенства 7 < x < 12 — составные числа .
При переводе	решения	задач с математического языка на русский часто используются ставшие традиционными термины “ крайние ” и “ средние ” члены пропорции .
В 5 классе мы уже использовали эту символику , например , для записи	решения	уравнений , а именно .
Какой способ	решения	ты считаешь более удобным ?
Очень полезны рисунки и при решении математических задач , где успех	решения	часто напрямую зависит от точности рисунка , иллюстрирующего задачу .
Однако при воспроизведении чертежей на бумаге вспомогательные линии лучше не убирать — так легче будет проследить ход	решения	.
751 Реши примеры и расскажи , какие алгоритмы действий с рациональными числами использовались для их	решения	.
Составь формулу для	решения	задачи .
Мы знаем , что числа были придуманы на заре развития человечества для	решения	практических задач — счета предметов и измерения величин .
Таким образом , перекрестное правило является основой	решения	задач на пропорции , и поэтому его также называют основным свойством пропорции .
Описание их	решения	приведено как на обычном языке , так и на языке множеств — пусть каждый использует тот язык , который ему удобен .
Может ли какая - либо партийная фракция заблокировать принятие	решения	, для которого требуется квалифицированное большинство голосов ( не менее ) всех депутатов думы ? .
32 Найди три	решения	неравенства 0,5 < x < 0,6 .
4 На клумбе 6 белых и 12 красных	роз	.
2 ) Сколько процентов годового дохода можно получить , если в течение года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его действия каждый	роз	все полученные деньги вкладывать опять же на 3 месяца ?
330 Сформулируй определение квадрата , основываясь на понятии : а ) прямоугольник ; б )	ромб	; в ) параллелограмм .
Нарисуй в тетради паркет , составленный : а ) из одинаковых	ромбов	; б ) из одинаковых параллелограммов .
Расшифруй его схему , б ) Представь числа в виде неправильной дроби и продолжи	ряд	на три числа , сохраняя закономерность .
Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю и продолжи	ряд	на два числа , сохраняя закономерность .
363 Вычисли устно и продолжи	ряд	ответов на два числа , сохраняя закономерность .
Составь	ряд	, образованный ответами примеров , и продолжи его на два числа , сохраняя закономерность .
236 Вычисли устно и продолжи	ряд	ответов на одно число , сохраняя закономерность .
Представь данные дроби в виде несократимых и продолжи	ряд	на два числа , сохраняя закономерность .
Натуральный	ряд	в разных системах счисления выглядит по - разному .
445 Вычисли , найди закономерность в ряду чисел , образованных ответами примеров , и продолжи	ряд	на два числа .
Натуральный	ряд	в этой системе записывается так .
716 Вычисли среднее арифметическое	ряда	чисел : 8 ; 14 ; 52 ; 67 ; 93 ; 126 .
7 Запиши следующие два члена	ряда	так , чтобы сохранялась закономерность .
574 Запиши первые 15 чисел натурального	ряда	в троичной системе счисления .
билета в театр зависит от номера	ряда	n , в котором расположено место , в соответствии со следующими расценками .
Используя полученный результат , определи среднее арифметическое	ряда	чисел .
Примерами координат являются широта и долгота местности на географических картах , номер вагона и места в поезде , номер	ряда	и места в кинотеатре и т .
В первых четырех	рядах	было по х стульев , а в каждом из двух остальных рядов — на 3 стула больше .
Установи закономерность в полученном	ряде	чисел .
В зале расставили 288 стульев в 12 одинаковых	рядов	.
Сколько таких	рядов	получится из 360 стульев ? .
В первых четырех рядах было по х стульев , а в каждом из двух остальных	рядов	— на 3 стула больше .
Сколько стоит билет в этот театр на места , расположенные в 8-м	ряду	, 10-м ряду , 15-м ряду , 18-м ряду , 20-м ряду ? .
589 Вычисли устно и найди следующее число в	ряду	ответов при условии сохранения закономерности . .
Сколько стоит билет в этот театр на места , расположенные в 8-м ряду , 10-м	ряду	, 15-м ряду , 18-м ряду , 20-м ряду ? .
215 Вычисли и запиши следующее число в	ряду	ответов при сохранении закономерности .
Сколько стоит билет в этот театр на места , расположенные в 8-м ряду , 10-м ряду , 15-м ряду , 18-м ряду , 20-м	ряду	? .
41 Найди число , которое в указанном	ряду	чисел нарушает закономерность .
415 Вычисли и запиши следующие три числа в	ряду	ответов так , чтобы сохранялась закономерность .
426 Реши примеры по столбцам и предложи правило , по которому можно было бы записать следующее число в	ряду	ответов .
Сколько стоит билет в этот театр на места , расположенные в 8-м ряду , 10-м ряду , 15-м ряду , 18-м	ряду	, 20-м ряду ? .
Сколько стоит билет в этот театр на места , расположенные в 8-м ряду , 10-м ряду , 15-м	ряду	, 18-м ряду , 20-м ряду ? .
265 Вычисли и запиши следующее число в	ряду	ответов , сохраняя закономерность .
445 Вычисли , найди закономерность в	ряду	чисел , образованных ответами примеров , и продолжи ряд на два числа .
143 Выполни действия и найди следующее число в	ряду	ответов при сохранении закономерности .
Выяви существенные свойства	сегмента	и предложи свой вариант его определения .
653 Построй фигуры , симметричные сектору круга , а ) и	сегменту	круга относительно точки О .
344 Изображены	сегменты	круга .
518 Пусть радиус основания конуса равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в	сектор	круга радиуса R. Величина угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле .
В основании конуса также лежит круг , а боковая поверхность представляет собой	сектор	круга .
Вычисли угол α и построй развертку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что длина дуги	сектора	равна длине окружности основания .
518 Пусть радиус основания конуса равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в сектор круга радиуса R. Величина угла α этого	сектора	в градусах вычисляется по формуле .
Выяви существенные свойства	сектора	и предложи свой вариант его определения .
Сделай свой рисунок	сектора	.
Измерь транспортиром углы	секторов	диаграммы и определи , сколько человек выбрали каждый ответ , если в 6 « А » всего 24 учащихся .
653 Построй фигуры , симметричные	сектору	круга , а ) и сегменту круга относительно точки О .
336 Изображены	секторы	круга .
Приближенные значения величины h м в первые 5	секунд	падения приведены в таблице .
Пусть через t	секунд	расстояние между волком и зайцем станет d м .
За сколько	секунд	он пробежит расстояние , равное 15 м ? .
в метрах в	секунду	: 27 км / ч ; 150 м / мин .
Первая такса съедает 9 см сосиски в	секунду	, а вторая — 6 см в секунду .
Первая такса съедает 9 см сосиски в секунду , а вторая — 6 см в	секунду	.
Для каменщика важно , сколько кирпичей он укладывает за час или за день , для наборщика — сколько страниц он набирает также за час или за день , при наполнении бассейна водой важно , сколько воды поступает в него через трубу за	секунду	, минуту , час .
Предлагалось взять за основу размеры зерен , пчелиных сот , длину маятника , делающего одно качание в	секунду	..
в метрах в	секунду	: 9 км / ч ; 54 км / ч ; 126 км / ч ; 90 м / мин ; 120 м / мин ; 144 м / мин .
А виды сечений определяются взаимным расположением геометрического тела и	секущей	его плоскости .
Предложи свои варианты определений касательной и	секущей	и сделай рисунки .
333 Какую из прямых можно назвать касательной к окружности , а какую —	секущей	?
Можно ли распространить ее на	секущие	к окружности ?
Исследование всех этих видов было бы невозможно , если бы близкие по строению виды не объединялись в роды , роды — в семейства ,	семейства	— в классы .
Исследование всех этих видов было бы невозможно , если бы близкие по строению виды не объединялись в роды , роды — в	семейства	, семейства — в классы .
Другими словами , предложения « Все кошачьи — четвероногие » и « Все четвероногие принадлежат	семейству	кошачьих » являются взаимно обратными .
А это предложение означает , что « все четвероногие принадлежат	семейству	кошачьих » .
Например , мы говорим : « Все кошачьи — четвероногие » , но в точности ту же мысль выражает условное предложение : « Если животное принадлежит	семейству	кошачьих , то оно является четвероногим » .
В предложении « Все четвероногие принадлежат	семейству	кошачьих » мы говорим о четвероногих ( тема ) и утверждаем , что они — кошачьи ( рема ) .
Но для второго предложения легче сформулировать обратное : « Если животное является четвероногим , то оно принадлежит	семейству	кошачьих .
в ) Построй	сечение	куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью , проходящей через вершины А1 , D , С1 .
б ) Плоскость а проходит через точки М , N и К. Перенеси рисунок в тетрадь и построй	сечение	куба плоскостью а по следующему алгоритму .
508 На ребре AD тетраэдра ABCD отметили точку М , на ребре АС — точку N , а на ребре ВС — точку К. Построй	сечение	тетраэдра ABCD плоскостью а , проходящей через точки М , N я К .
При сечении цилиндра , конуса или любого тела вращения плоскостью , содержащей ось вращения , получается осевое	сечение	.
454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй ее	сечение	плоскостью , проходящей через точки М , N и К. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина .
б ) Построй	сечение	тетраэдра ABCD плоскостью , проходящей через его вершины — А , В и середину М ребра CD .
Пусть требуется изобразить	сечение	куба плоскостью а , проходящей через точки на ребрах куба .
470 Перенеси рисунок фигуры в тетрадь и построй ее	сечение	плоскостью , проходящей через точки А , В и С. Проверь правильность построения с помощью предметных моделей .
453 Перенеси рисунок куба в тетрадь и построй его	сечение	плоскостью , проходящей через точки М , N и К. Проверь правильность построения с помощью модели куба .
Например ,	сечением	тетраэдра плоскостью а , проходящей через точки М , N и К , является треугольник MNK .
Осевым	сечением	цилиндра является прямоугольник ABCD , а осевым сечением конуса — равнобедренный треугольник АВС .
Осевым сечением цилиндра является прямоугольник ABCD , а осевым	сечением	конуса — равнобедренный треугольник АВС .
Плоскость а будто отсекает от куба один из углов , и в	сечении	получается треугольник MNK .
При	сечении	цилиндра , конуса или любого тела вращения плоскостью , содержащей ось вращения , получается осевое сечение .
А виды	сечений	определяются взаимным расположением геометрического тела и секущей его плоскости .
Показаны различные случаи сечения куба плоскостью а , проходящей через точки М , N и К. Построение этих	сечений	требует знания свойств взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве , которые будут изучаться в старших классах .
Исследование свойств пространственной фигуры можно проводить , строя ее	сечения	плоскостью .
Проиллюстрируй построение	сечения	на каркасной модели куба .
По мере удаления от центра размер круга	сечения	уменьшается .
где l — длина проводника , S — площадь его поперечного	сечения	и ρ — удельное сопротивление .
Построение	сечения	для этого случая показано : прямые МК и АВ продолжены до их пересечения в точке Р. Значит , прямая PN , а вместе с ней и ее точка Т лежат в плоскости а , и теперь можно построить пересечение ее с каждой гранью тетраэдра .
454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй ее сечение плоскостью , проходящей через точки М , N и К. Построй модель этого	сечения	из палочек и пластилина .
144 Показана зависимость скорости v м / с течения реки на отдельных участках от площади поперечного	сечения	Р м2 на этих участках .
Многоугольник с большим числом сторон в качестве	сечения	получиться не может , так как граней у тетраэдра всего четыре .
Показаны различные случаи	сечения	куба плоскостью а , проходящей через точки М , N и К. Построение этих сечений требует знания свойств взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве , которые будут изучаться в старших классах .
Все осевые	сечения	одного тела вращения равны между собой .
А	сечения	поверхности Земли плоскостями , проходящими через Северный и Южный полюсы , — это меридианы .
На городских соревнованиях по фигурному катанию одной из участниц , чтобы попасть в десятку	сильнейших	, требовалось набрать в произвольных упражнениях не менее 5,4 балла .
Напротив ,	сильное	эстетическое впечатление производит удивительное сочетание симметрии и асимметрии в ритмической структуре стихотворения А.С. Пушкина « На холмах Грузии » .
7 ) В пятницу шел	сильный	снег .
- Класс 6 “ Б ” выигрывает за счет более значительной группы “	сильных	” учащихся .
Обладают ли они поворотной	симметрией	? .
Закономерности , открытые математиками , удивительным образом связаны с	симметрией	живой и неживой природы — с формами различных кристаллов , точной формой вирусов , с современными теориями в физике , биологии и других областях знания .
Осевой	симметрией	обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
Они обладают « наибольшей »	симметрией	, поэтому в древности их называли « идеальными » , « космическими » телами , а древнегреческий философ Платон считал , что они олицетворяют сущность природы .
Для описания этих закономерностей в геометрии введены специальные понятия , и прежде всего — строгое геометрическое понятие	симметрии	.
д. Показано , как построить треугольник А1В1С1 , в который переходит треугольник АВС при осевой симметрии ( а ) , центральной	симметрии	( б ) , повороте на угол 120 ( в ) и параллельном переносе ( г ) . .
647 Изображена часть фигуры , центром	симметрии	которой является точка О. Начерти эту фигуру в тетради .
Имеют ли они центры	симметрии	?
Напротив , сильное эстетическое впечатление производит удивительное сочетание	симметрии	и асимметрии в ритмической структуре стихотворения А.С. Пушкина « На холмах Грузии » .
640 Перечерти фигуры в тетрадь в масштабе 2 : 1 и проведи их оси	симметрии	.
652 Начерти фигуру , которая : а ) имеет и центр , и ось	симметрии	; б ) не имеет оси , но имеет центр симметрии ; в ) не имеет центра , но имеет ось симметрии .
652 Начерти фигуру , которая : а ) имеет и центр , и ось симметрии ; б ) не имеет оси , но имеет центр	симметрии	; в ) не имеет центра , но имеет ось симметрии .
652 Начерти фигуру , которая : а ) имеет и центр , и ось симметрии ; б ) не имеет оси , но имеет центр симметрии ; в ) не имеет центра , но имеет ось	симметрии	.
д. Показано , как построить треугольник А1В1С1 , в который переходит треугольник АВС при осевой	симметрии	( а ) , центральной симметрии ( б ) , повороте на угол 120 ( в ) и параллельном переносе ( г ) . .
относительно вершины А . 646 Точка О — центр	симметрии	шестиугольника ABCDKM .
Построй отрезок А1В1 , симметричный отрезку АВ относительно точки О. Равенство каких геометрических фигур следует из	симметрии	отрезков АВ и А ? .
х — имеет ось	симметрии	( Я — множество параллелограммов ) .
Отметь на прямой l точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами	симметрии	, докажи , что : а ) треугольник АВС — равнобедренный ; б ) углы при основании треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам треугольника АВС , равны .
651 Имеют ли отрезок , прямая , луч оси	симметрии	и сколько ?
Например , из того , что в равнобедренном треугольнике АВС медиана BD , проведенная к основанию , является осью	симметрии	, следует , что треугольники ABD и CBD равны , и поэтому равны их стороны и углы : AD = DC , 1 = 2 , 3 = 4 = 90 ° .
Построй правильный пятиугольник и определи , есть ли у него оси симметрии , центр	симметрии	.
Как можно было бы назвать этот вид	симметрии	? .
В предыдущем пункте мы разобрали вопрос о том , как выяснить наличие или отсутствие разных видов	симметрии	фигур по рисунку .
635 Сколько плоскостей	симметрии	имеют : а ) прямоугольный параллелепипед ; б ) куб ; в ) конус ; г ) цилиндр ; в ) шар ? .
634 Слово сено имеет горизонтальную ось	симметрии	, а слово шалаш — вертикальную .
Какие виды	симметрии	можно наблюдать в этом орнаменте ? .
Покажи на чертеже оси симметрии и центр	симметрии	прямоугольника .
Какими видами	симметрии	она обладает ? .
Покажи на чертеже оси	симметрии	и центр симметрии прямоугольника .
Какими видами	симметрии	обладает получившаяся фигура ? .
Какие виды	симметрии	можно наблюдать в получившемся орнаменте ? .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси	симметрии	, центр симметрии ?
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр	симметрии	?
Построй правильный пятиугольник и определи , есть ли у него оси	симметрии	, центр симметрии .
При центральной	симметрии	фигура может переходить сама в себя , тогда она также называется центрально - симметричной .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей	симметрии	может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
Какие из плоскостей , приведенных , являются плоскостями	симметрии	данных фигур ?
617 Плоскость а называют плоскостью	симметрии	, если пространственные фигуры « отражаются » в ней , как в зеркале .
С помощью перегибаний и поворотов найди их оси симметрии и центры	симметрии	.
С помощью перегибаний и поворотов найди их оси	симметрии	и центры симметрии .
А сочетание	симметрии	и асимметрии в салфетке делает ее неповторимой .
Из этих примеров видно , что число центров	симметрии	также может быть различным : так , у прямой их бесконечно много , а у параллелограмма и окружности — по одному .
Для каких фигур точка О является центром	симметрии	? .
Еще одним видом	симметрии	является параллельный перенос .
612 Является ли прямая l осью	симметрии	данных фигур ?
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось	симметрии	, у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью	симметрии	окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
608 Приведи примеры сочетания	симметрии	и асимметрии из разных областей действительности .
Но красота рождается из симметрии лишь тогда , когда использование	симметрии	одухотворено фантазией , творчеством и мастерством .
Но красота рождается из	симметрии	лишь тогда , когда использование симметрии одухотворено фантазией , творчеством и мастерством .
Мы рассмотрели основные виды	симметрии	— осевую симметрию , поворот и параллельный перенос .
Чтобы перейти от рисунка к определению , как мы уже знаем , нужно выявить характеристические свойства точек во всех видах	симметрии	.
Перегибая лист бумаги по оси	симметрии	l , мы наблюдаем , что отрезок АА , перпендикулярен прямой l и отрезки AM и А1М равны .
Приведи несколько примеров	симметрии	из разных областей жизни .
При этом прямая l называется осью	симметрии	, а сами фигуры ( фигура F , либо пара фигур F1 , и F2 ) называются симметричными относительно оси l .
Центр поворота называется центром	симметрии	, а сами фигуры — центрально - симметричными .
Следующим видом	симметрии	является поворот .
Среди различных фигур на плоскости внимание художников и ученых всегда привлекали многоугольники , обладающие разными видами	симметрии	.
Есть ли у равностороннего треугольника центр	симметрии	?
676 На гладкой бумаге начерти равносторонний треугольник и построй его оси	симметрии	.
674 Начерти треугольник АВС со сторонами АВ = 4 см , ВС = 2 см , АС = 5 см. Построй треугольник центрально - симметричный треугольнику АВС относительно вершины В. Является ли точка В центром	симметрии	четырехугольника ?
Но для математиков рисунок — это только иллюстрация , и поэтому нужно сначала дать точное определение видов	симметрий	на математическом языке , а в нем нет слов « перегнуть » , « передвинуть » , « вырезать » .
Самая простая из геометрических	симметрий	— осевая симметрия .
Таким образом ,	симметрию	можно наблюдать и в музыке , и в живописи , и в архитектуре .
Мы рассмотрели основные виды симметрии — осевую	симметрию	, поворот и параллельный перенос .
Поворот на 180 ° имеет специальное название — центральная	симметрия	.
1 Красота и	симметрия	.
Таким образом ,	симметрия	фигур помогает устанавливать разнообразные геометрические факты без непосредственных построений и измерений .
Наблюдается ли в них	симметрия	?
Самая простая из геометрических симметрий — осевая	симметрия	.
Центральная	симметрия	является частным случаем поворота , когда угол поворота равен 180 ° .
Измерь стороны треугольника АВС и вычисли	синус	, косинус и тангенс угла А . 2 )
Например , мы можем сказать , что отрицанием предложения “ Синус числа 0 равен нулю ” является предложение “ Синус числа 0 не равен нулю ” , хотя понятие	синуса	числа мы еще не изучали .
Вычисли сумму квадратов	синуса	и косинуса угла А .
Найди отношение	синуса	угла А к косинусу угла А и сравни его с тангенсом угла А .
Синус , косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения длин сторон треугольника АВС , выражающие значения	синусов	, косинусов и тангенсов углов А и В .
Самая простая	система	счисления , получившая широкое распространение в современной компьютерной технике , имеет основание 2 .
Лишь в середине XIX века была создана метрическая	система	мер — международные эталоны единиц измерения , которыми многие страны пользуются до сих пор .
Плоскость , на которой задана	система	координат , называется координатной плоскостью .
В какой системе счисления записаны все эти сведения , если	система	счисления одна и та же ? .
В банках России для некоторых видов вкладов ( так называемых срочных вкладов , которые нельзя взять раньше , чем через определенный договором срок , например , через год ) принята следующая	система	выплаты доходов : за первый год нахождения внесенной суммы на счете доход составляет , например , 10 % от нее .
Описанная	система	координат называется прямоугольной .
Описанная	система координат	называется прямоугольной .
Плоскость , на которой задана	система координат	, называется координатной плоскостью .
д.	системами	счисления .
Натуральный ряд в разных	системах	счисления выглядит по - разному .
Аналогично записываются числа и в других позиционных	системах	счисления .
О	системах	счисления .
Подобно этому и в остальных	системах	счисления числа записывают с помощью степеней основания .
581 Запиши число 10010 в двоичной , пятеричной , восьмеричной , двенадцатеричной	системах	счисления .
281 Запиши числа 9 , 25 , 32 , 75 , 100 в	системе	счисления с основанием : a ) d = 3 ; б ) d = 5 ; в ) d — 9 ; г ) d = 12 .
257 Запиши числа 9 , 25 , 32 , 75 , 100 в	системе	счисления с основанием d = 2 .
В прямоугольной	системе	координат построй четырехугольник ABCD , если А ( -6 ; 2 ) , В ( 6 ; 8) , С ( 8 ; -5 ) и D ( -4 ; -2 ) .
Построй в этой	системе	таблицы сложения и умножения .
При использовании воды в	системе	охлаждения автомобиля образуется накипь и расход топлива возрастает на 10 % .
В какой	системе	счисления записаны все эти сведения , если система счисления одна и та же ? .
Например , в пятеричной	системе	будет использоваться пять цифр ( от 0 до 4 ) , в восьмеричной — восемь цифр ( от 0 до 7 ) и т .
В десятичной позиционной	системе	записи чисел 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу следующего разряда .
Поскольку остатки не могут быть больше делителя , то в троичной	системе	для записи любого числа достаточно трех цифр — 0 , 1 и 2 .
Основной единицей длины в этой	системе	является метр — часть Парижского меридиана , а единицы площади и объема согласованы с нею : за единицу площади принят квадратный метр , за единицу объема — кубический метр .
Чтобы понять происхождение этого правила , достаточно разделить по этой же схеме какое - нибудь натуральное число в десятичной	системе	на основание этой системы — число 10 .
Перевод натурального числа из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной	системе	, будут остатки от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в обратном порядке .
Например , в пятеричной	системе	он имеет вид .
Так , чтобы записать в троичной	системе	некоторое число — например , 145 , — надо выяснить , сколько в нем содержится троичных “ единиц ” , “ десятков ” , “ сотен ” , “ тысяч ” и т .
В десятичной	системе	числа записывают с помощью степеней числа 10 .
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной	системе	записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
574 Запиши первые 15 чисел натурального ряда в троичной	системе	счисления .
Натуральный ряд в этой	системе	записывается так .
245 Запиши в десятичной	системе	счисления числа .
Иначе говоря , при такой	системе	начисляются “ проценты на проценты ” , или , как их обычно называют , сложные проценты .
Только , к сожалению , запись чисел в двоичной	системе	гораздо длиннее : например .
В прямоугольной	системе координат	построй четырехугольник ABCD , если А ( -6 ; 2 ) , В ( 6 ; 8) , С ( 8 ; -5 ) и D ( -4 ; -2 ) .
Градусная мера угла появилась в древнем Вавилоне более 3000 лет назад и связана с шестидесятиричной	системой	счисления , которая тогда там использовалась .
577 Прочитай стихотворение и переведи числа в десятичную	систему	счисления .
д. , — то получим	систему	записи чисел ( или систему счисления ) с основанием соответственно 2 , 3 , 4 и т .
171 Построй	систему	координат на плоскости и отметь точки А ( -3 ; 4 ) , В ( 9 ; 4 ) , С ( 9 ; -2 ) и D ( -3 ; -2 ) .
575 Переведи в десятичную	систему	счисления числа .
Переведи выделенные величины в метрическую	систему	, если .
д. , — то получим систему записи чисел ( или	систему	счисления ) с основанием соответственно 2 , 3 , 4 и т .
171 Построй	систему координат	на плоскости и отметь точки А ( -3 ; 4 ) , В ( 9 ; 4 ) , С ( 9 ; -2 ) и D ( -3 ; -2 ) .
582 Составь таблицы сложения и умножения для троичной	системы	счисления и выполни действия .
д. Разумеется , такой разнобой мешал развитию торговли и промышленности ; потребности практики диктовали поиски единой	системы	мер .
Существуют и другие	системы	координат на плоскости , например , аффинная , полярная и др .
У каждой планеты Солнечной	системы	есть естественный спутник .
18 Пусть М — множество всех планет , названия которых начинаются с буквы М , С — множество всех планет Солнечной системы , а Г — множество всех планет Солнечной	системы	, входящих в группу планет - гигантов .
Таким образом , мы приходим к понятию	системы	координат на плоскости .
7 ) Ни одна планета Солнечной	системы	не имеет колец .
576 Переведи числа 7 , 25 , 42 , 79 , 156 , 273 из десятичной	системы	счисления в пятеричную .
Эти	системы	называют соответственно двоичной , троичной , четверичной и т .
Перевод натурального числа из десятичной	системы	в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут остатки от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в обратном порядке .
Чтобы понять происхождение этого правила , достаточно разделить по этой же схеме какое - нибудь натуральное число в десятичной системе на основание этой	системы	— число 10 .
При разработке метрической	системы	мер в конце XVIII — начале XIX в .
При переводе из троичной	системы	в десятичную надо представить число в виде суммы разрядных слагаемых и найти значение полученного выражения .
18 Пусть М — множество всех планет , названия которых начинаются с буквы М , С — множество всех планет Солнечной	системы	, а Г — множество всех планет Солнечной системы , входящих в группу планет - гигантов .
Можно себе представить , как считали бы люди , если бы в разных странах использовались разные	системы	счисления .
Дедуктивный метод базируется на получении	системы	обоснованных выводов из согласованных утверждений ( аксиом ) .
Введение	системы	координат на плоскости позволяет сопоставить каждой точке ее координаты , которые могут быть как положительными , так и отрицательными числами .
Существуют и другие	системы координат	на плоскости , например , аффинная , полярная и др .
Таким образом , мы приходим к понятию	системы координат	на плоскости .
Введение	системы координат	на плоскости позволяет сопоставить каждой точке ее координаты , которые могут быть как положительными , так и отрицательными числами .
Какие числа он	складывал	? .
В предыдущем пункте мы научились	складывать	любые рациональные числа .
Положительные числа , то есть числа , обозначающие доходы , мы	складывать	умеем .
Скажем , уровень жизни населения страны определяют средним доходом ее жителей , а для его вычисления	складывают	доходы всех жителей страны и делят на общее число жителей .
А общий уровень знаний класса по математике оценивают средним баллом —	складывают	все годовые оценки , полученные учениками этого класса , и делят на число учеников .
Если перед	скобками	стоит знак « - » , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках заменяются на противоположные .
Если перед	скобками	стоит знак « + » , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняются .
Сравнивая полученные выражения , мы видим , что знак « + » перед	скобками	не меняет знаков слагаемых в скобках , а знак « - » меняет их на противоположные .
Если выражение со	скобками	представляет собой произведение чисел , то для его преобразования можно воспользоваться законами умножения .
Они отличаются только знаками , стоящими перед	скобками	.
Но в действительности эта запись расшифровывается без особого труда : достаточно заменить символ о , стоящий перед	скобками	, на словосочетание « означает , что » .
Раскроем	скобки	в выражении и приведем подобные слагаемые .
411 Костя решал пример на черновике , затем переписал его в тетрадь , но забыл расставить	скобки	.
Перенесем слагаемое -54 в правую часть уравнения , а в левой части вынесем за	скобки	общий множитель х .
Раскроем	скобки	, а затем упростим полученное выражение .
362 Раскрой	скобки	, пользуясь таблицей знаков .
Расставь	скобки	в Костином примере так , чтобы получилось верное равенство .
Таким образом , отрицание высказывания А обозначается как — А. Если высказывание не имеет буквенного обозначения , то после знака отрицания ставятся	скобки	: например , ( 3 ∙ 4 = 16 ) .
Раскроем	скобки	и упростим каждое слагаемое .
Раскрыть	скобки	и упростить выражение .
Раскроем	скобки	в данном выражении и вычислим значение полученной алгебраической суммы .
Раскрыть	скобки	в выражении .
508 Раскрой	скобки	и вычисли наиболее удобным способом .
В каждой части этого равенства вынесем за	скобки	общий множитель .
Раскрой	скобки	и упрости выражение .
А	скобки	здесь поставлены для того , чтобы ясно показать , о равносильности каких предложений идет речь .
На основании распределительного закона умножения общий множитель можно вынести за	скобки	.
773 Раскрой	скобки	и приведи подобные слагаемые .
Раскрой	скобки	и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
2 Раскрой	скобки	.
502 Раскрой	скобки	и найди значение полученной алгебраической суммы .
484 Раскрой	скобки	в выражении а - ( b + с ) и переведи с математического языка на русский правило вычитания суммы из числа .
Такие ситуации в математике часто записываются с помощью фигурной	скобки	.
485 Раскрой	скобки	и упрости выражения .
525 Вынеси за	скобки	общий множитель .
524 Заключи выражение в	скобки	двумя способами — ставя перед скобками знак “ + ” и знак .
523 Раскрой	скобки	, пользуясь распределительным законом умножения .
Заметим , что перед решением уравнения его левую часть можно было упростить , раскрыв	скобки	.
47 Раскрой	скобки	и приведи подобные слагаемые .
486 Раскрой	скобки	и упрости выражения .
437 Раскрой	скобки	и запиши выражение в виде алгебраической суммы .
487 Раскрой	скобки	и вычисли наиболее удобным способом .
Раскроем	скобки	и вычислим значение полученной алгебраической суммы .
383 Раскрой	скобки	, пользуясь таблицей знаков .
Расставь	скобки	так , чтобы получилось верное равенство .
3 Раскрой	скобки	и найди значения выражений .
39 Раскрой	скобки	и при необходимости упрости выражение .
62 Раскрой	скобки	и приведи подобные слагаемые .
Легко заметить также , что в знаменателе есть общий множитель — , или , что то же самое , 0,75 , который можно вынести за	скобку	, а затем сократить на него дробь .
Если перед скобками стоит знак « - » , то при раскрытии	скобок	знаки слагаемых в скобках заменяются на противоположные .
Как , пользуясь этой аналогией , записать выражение короче , без	скобок	? .
Множество целых чисел обозначается буквой Z. С помощью фигурных	скобок	его записывают так .
Если перед скобками стоит знак « + » , то при раскрытии	скобок	знаки слагаемых в скобках сохраняются .
Эти равенства показывают , что правила знаков при раскрытии	скобок	для вычитания остаются прежними : “ минус минус ” преобразуется в “ плюс ” , а “ минус плюс ” — в “ минус ” .
Запиши эти выражения без	скобок	, используя представления об изменении величин .
Таким образом , приходим к следующим правилам раскрытия	скобок	.
346 Запиши без	скобок	.
С помощью свойств арифметических действий можно выполнять различные преобразования выражений с рациональными числами : перестановку слагаемых , раскрытие	скобок	и т .
1 Раскрытие	скобок	.
Если хотя бы одну из этих пар	скобок	не поставить , мы получим записи , которые можно толковать по - разному .
Мы видим , что в выражениях логического языка роль	скобок	аналогична роли пунктуации в обычном языке .
88 Повтори правила раскрытия	скобок	и реши уравнения .
Запиши эти множества с помощью фигурных	скобок	и найди их пересечение .
Запомнить правила знаков для умножения очень просто — они совпадают с известными нам правилами знаков при раскрытии	скобок	.
правила упрощения выражений ( законы арифметических действий , правила раскрытия	скобок	, приведение подобных слагаемых и т.д ) .
Таким образом , при умножении суммы на число можно применять те же самые правила раскрытия	скобок	.
Запиши множества А , В и С с помощью фигурных	скобок	и отметь их элементы на координатной прямой .
д. Понятие отрицательных чисел позволяет получить общее правило раскрытия	скобок	, упрощающее вычисления и преобразования выражений .
В заключение уточним правило знаков при раскрытии	скобок	в выражениях с рациональными числами .
Правила знаков при раскрытии	скобок	позволяют упростить запись суммы .
Для раскрытия	скобок	в выражениях , содержащих умножение числа на сумму , используется распределительное свойство умножения .
Запиши множества Е , F и М с помощью фигурных	скобок	и сделай рисунки .
Перенесем	слагаемое	-54 в правую часть уравнения , а в левой части вынесем за скобки общий множитель х .
Таким образом , можно сказать , что мы перенесли	слагаемое	из левой части уравнения в правую , изменив его знак .
Чтобы избавиться от слагаемого ( -х ) в левой части первого уравнения , мы прибавили к его обеим частям	слагаемое	( + х ) .
Прибавим к обеим частям уравнения	слагаемое	+ х .
293 Вычисли сумму , представляя каждое	слагаемое	в виде разности дробей с числителями , равными 1 .
166 При сложении двух натуральных чисел ученик по ошибке поставил во втором	слагаемом	лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411 .
439 Переставь	слагаемые	в сумме всеми возможными способами .
45 Приведи подобные	слагаемые	.
4 ) При перестановке	слагаемых	значение суммы не меняется .
3 Приведение подобных	слагаемых	.
Сравнивая полученные выражения , мы видим , что знак « + » перед скобками не меняет знаков	слагаемых	в скобках , а знак « - » меняет их на противоположные .
Если перед скобками стоит знак « + » , то при раскрытии скобок знаки	слагаемых	в скобках сохраняются .
Разложить число 10 на 2	слагаемых	, сумма квадратов которых равна 58 .
Если перед скобками стоит знак « - » , то при раскрытии скобок знаки	слагаемых	в скобках заменяются на противоположные .
При переводе из троичной системы в десятичную надо представить число в виде суммы разрядных	слагаемых	и найти значение полученного выражения .
421 Что общего у	слагаемых	в каждом выражении ?
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных	слагаемых	, например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
По правилам умножения рациональных чисел , если а > 0 , то знаки	слагаемых	b и с не изменятся , а если а < 0 , то изменятся на противоположные .
Вариант I . 520 а ) Разбей число 425 на два	слагаемых	пропорционально числам 2 и 3 . б ) Раздели число 520 на три части в отношении .
Представь эти числа в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на число	слагаемых	.
правила упрощения выражений ( законы арифметических действий , правила раскрытия скобок , приведение подобных	слагаемых	и т.д ) .
Наглядное представление о точке дает	след	, который оставляет на бумаге неподвижный остро заточенный карандаш , представление о прямой — туго натянутая тонкая нить , представление о плоскости — спокойная гладь воды .
425 Выполни	сложение	чисел с помощью координатной прямой .
Еще раз обратим внимание на то , что сумма противоположных слагаемых равна 0 , а	сложение	с 0 не изменяет результата .
Рассмотрим теперь	сложение	чисел с разными знаками .
Значит , с + b = а + ( -b ) , то есть вычитание рациональных чисел можно заменить	сложением	.
Замени вычитание	сложением	и вычисли .
166 При	сложении	двух натуральных чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411 .
756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства рациональных чисел : а ) переместительное , сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения ; б ) свойства числа 0 при	сложении	и вычитании .
Действительно , при	сложении	его с числом b последние два слагаемых взаимно уничтожатся и останется как раз а .
Вспомним сначала , что разность двух чисел аи b — это такое число с , которое при	сложении	с b дает а .
Вычесть из числа а число b — это значит найти такое число с , которое при	сложении	с b дает а .
Свойства	сложения	позволяют переставлять слагаемые и объединять их в группы произвольным образом , что помогает упрощать вычисления .
429 Пользуясь алгоритмом	сложения	рациональных чисел , найди сумму .
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы	сложения	и умножения .
582 Составь таблицы	сложения	и умножения для троичной системы счисления и выполни действия .
Сформулируй переместительное свойство	сложения	рациональных чисел и запиши его на математическом языке .
Ясно , что для	сложения	всех этих чисел одинаковые слагаемые надо сгруппировать .
Проверь переместительное свойство для значений переменных : а ) -4,8 и 0,3 ; б ) -3 и -1,15 . 2 ) Сформулируй сочетательное свойство	сложения	рациональных чисел и запиши его на математическом языке .
Проверь переместительное и сочетательное свойство	сложения	для произвольно выбранных тобой рациональных чисел .
Аналогично рассуждая , нетрудно получить и правила	сложения	рациональных чисел с числом 0 , обобщающие соответствующие правила сложения для положительных чисел .
Аналогично рассуждая , нетрудно получить и правила сложения рациональных чисел с числом 0 , обобщающие соответствующие правила	сложения	для положительных чисел .
Чтобы установить правила	сложения	рациональных чисел , рассмотрим практические задачи с “ доходами ” и “ расходами ” .
а + b = b + а — переместительное свойство сложения . ( а + b ) + с = а + ( b + с ) — сочетательное свойство	сложения	.
А вот как необычно выглядят в ней таблицы	сложения	и умножения .
463 Пользуясь алгоритмом	сложения	рациональных чисел , найди сумму .
124 Запиши , используя квантор общности . 1 ) переместительное и сочетательное свойства	сложения	.
428 Рассмотри блок - схему алгоритма	сложения	рациональных чисел .
Обратим внимание на то , что изученные нами свойства арифметических действий являются , по сути , истинными высказываниями общего вида , как это было показано выше для переместительного свойства	сложения	.
756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства рациональных чисел : а ) переместительное , сочетательное и распределительное свойства	сложения	и умножения ; б ) свойства числа 0 при сложении и вычитании .
Вот как в рукописях VII в . излагались правила	сложения	и вычитания : “ Сумма двух имуществ есть имущество ” , “ Сумма двух долгов есть долг ” , “ Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества ” .
492 Вычисли устно , используя переместительный и сочетательный законы	сложения	, и сопоставь ответы соответствующим буквам .
И особенно просто выглядят в ней таблицы	сложения	и умножения .
Значит , любое выражение , содержащее только знаки	сложения	и вычитания , можно записать в виде алгебраической суммы , например , а значения алгебраических сумм мы уже вычислять умеем .
Расшифруй имя древнеиндийского математика ( VII в . ) , сформулировавшего правила	сложения	“ долгов ” и “ имуществ ” .
Значит , для рациональных чисел выполняются переместительное и сочетательное свойства	сложения	.
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б )	сложения	; в ) вычитания .
А вот в примере подсчет существенно упростится , если использовать свойства	сложения	и умножения .
Например , предложение а + b = b + а , как известно , для изученных нами чисел всегда истинно — это переместительное свойство	сложения	.
Получить правило вычитания можно примерно так же , как и правило	сложения	, — с помощью практических задач о доходах и расходах , изменении температуры и др.
На основании переместительного и сочетательного свойств	сложения	во внутренних скобках числителя сумму 2,375 + 0,625 можно заменить числом 3 .
Построй в этой системе таблицы	сложения	и умножения .
а + b = b + а — переместительное свойство	сложения	. ( а + b ) + с = а + ( b + с ) — сочетательное свойство сложения .
457 По данным проекциям фигуры	сложи	ее из кубиков и нарисуй .
284 Разрежь три одинаковых треугольника по разным медианам , показанным , и	сложи	из полученных кусков один треугольник .
609 На лист бумаги капни чернилами ,	сложи	его пополам , а потом разверни .
443 Найди значения выражений ,	сложив	отдельно положительные и отрицательные числа .
Проверь свои изображения ,	сложив	фигуры из кубиков .
Однако , подумав , он из оставшихся карточек	сложил	пять чисел , отношение которых вновь было равно 1 : 2 : 3 : 4 : 5 .
491 а ) Прямоугольный параллелепипед	сложили	из одинаковых кубиков .
Если объединение слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала	сложить	положительные числа , затем сложить отрицательные числа и к первой сумме прибавить вторую .
Приведенные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками , можно	сложить	их модули и поставить общий знак .
Приведенные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы	сложить	два числа с одинаковыми знаками , можно сложить их модули и поставить общий знак .
Вообще говоря , чтобы	сложить	два числа с разными знаками , можно вычесть их модули и поставить перед полученной разностью знак числа с большим модулем .
На множестве натуральных чисел любые два числа можно	сложить	и перемножить , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
285 Разрежь квадрат на три части , из которых можно	сложить	тупоугольный треугольник .
Если объединение слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала сложить положительные числа , затем	сложить	отрицательные числа и к первой сумме прибавить вторую .
283 Сделай один ступенчатый разрез фигуры , изображенной , так , чтобы из двух получившихся частей молено было	сложить	квадрат .
Чтобы решить обратную задачу — найти собственную скорость объекта , если известны его скорости по течению и против течения , — достаточно их	сложить	.
342 а ) Печник должен был	сложить	печь за 12 дней .
в виде : а ) обыкновенной дроби ; б )	смешанного числа	; в ) десятичной дроби ? .
Миша придумал схему для правила перевода	смешанного числа	в неправильную дробь .
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи	смешанного числа	между целой и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
За сколько времени он проплывет по озеру 55,6 км , если	собственная	скорость катера не изменится ? .
Значит ,	собственная	скорость объекта равна полусумме его скоростей но течению и против течения .
Чему равна	собственная	скорость катера и скорость течения реки ? .
3 ) ( 17,5 + 12,5 ) : 2 = 15 ( км / ч ) —	собственная	скорость .
Чему равна	собственная	скорость катера ? .
Ответ :	собственная	скорость катера 15 км / ч , а скорость течения 2,5 км / ч .
Пусть x км / ч — скорость течения , Ах км / ч —	собственная	скорость лодки .
На какое наибольшее расстояние они могут отплыть , если скорость течения реки равна 2,5 км / ч , а	собственная	скорость лодки — 7,5 км / ч ? .
Чему равна	собственная	скорость лодки ? .
С какой скоростью он плывет , если его	собственная	скорость 14,8 км / ч , а скорость течения реки 40 м / мин ?
Чему равна	собственная	скорость катера и его скорость по течению ?
За сколько времени моторная лодка проплывет путь от одного причала до другого и обратно , если	собственная	скорость лодки 11,2 км / ч , а скорость течения реки составляет 25 % скорости лодки ? .
Какова	собственная	скорость парохода и скорость течения реки ?
Собственная скорость лодки 8,2 км / ч , а	собственная	скорость катера 15,8 км / ч .
С какой средней скоростью он плыл , если его	собственная	скорость равна v км / ч , а скорость течения реки — 2 км / ч ? ( о = 28 ; 29,7 ; 35,5 ) .
Ответ :	собственная	скорость лодки 9 км / ч , а ее скорость по течению — 12 км / ч . 1 ) Мальчик сделал игрушечный парусник и пустил его по ручью .
130 а ) Пароход ,	собственная	скорость которого 22 км / ч , прошел за 1 ч 15 мин по течению реки такое же расстояние , как и за 1 ч 30 мин против течения .
Чему равна	собственная	скорость теплохода ? .
Чему равны	собственная	скорость лодки и скорость течения реки ? .
Чему равна	собственная	скорость лодки , если скорость течения равна 2,5 км / ч ?
Какое расстояние проплывет катер за 4 ч против течения реки , если его	собственная	скорость не изменится ? .
Чему равна	собственная	скорость яхты ? .
За сколько времени катер проплывет этот путь и вернется обратно , если	собственная	скорость катера 18 км / ч , а скорость течения реки на 80 % меньше скорости катера ? .
Например , если	собственная	скорость лодки равна 5 км / ч , то ее скорость но течению реки равна 5 + 2 = 7 км / ч , а скорость против течения равна 5 - 2 = 3 км / ч .
Чему равна	собственная	скорость катера , если скорость течения реки равна 2 км / ч ? .
Чему равна	собственная	скорость лодки ?
За сколько времени катер проплывет по течению этой реки 123,2 км и вернется обратно , если известно , что скорость плота составляет 12 % от	собственной	скорости катера ? .
Тогда замечаем , что сумма скоростей по течению и против течения равна удвоенной	собственной	скорости .
Скорость течения реки , равная с км / ч , составляет 20 %	собственной	скорости лодки .
На	собственном	опыте вы убедились , что при проведении измерений второй конец отрезка или вторая сторона угла чаще всего проходит между делениями шкалы .
Сравни эти же выражения еще для нескольких значений а и b , взятых по	собственному	выбору .
Первый теплоход имеет собственную скорость 25,6 км / ч и плывет по течению реки , а второй —	собственную	скорость 32 км / ч и плывет против течения реки .
Найди	собственную	скорость лодки и расстояние между поселками .
Первый теплоход имеет	собственную	скорость 25,6 км / ч и плывет по течению реки , а второй — собственную скорость 32 км / ч и плывет против течения реки .
Чтобы решить обратную задачу — найти	собственную	скорость объекта , если известны его скорости по течению и против течения , — достаточно их сложить .
Найди	собственную	скорость катера , если скорость течения реки равна 2,4 км / ч .
Найти	собственную	скорость лодки и скорость лодки по течению , если , двигаясь против течения , она прошла 10,8 км за 1,5 ч .
—	собственную	скорость объекта ( то есть его скорость в стоячей воде ) , vтеч .
Таким образом , зная скорость течения и	собственную	скорость объекта , мы можем найти скорости этого объекта по течению и против течения .
Найти скорость течения и	собственную	скорость лодки .
Найди	собственную	скорость лодки и скорость течения реки .
Еще важны	собственный	опыт составления уравнений , фантазия , смекалка , воображение .
Мы желаем вам успехов на пути познания математических закономерностей окружающего мира и будем рады , если наша	совместная	работа поможет вам в этом .
- Класс 6 “ А ” более ровный — результат большинства учащихся практически	совпадает	со средним баллом .
Он доказал , что центр описанной окружности треугольника АВС	совпадает	с точкой пересечения окружностей , описанных около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
Однако при исследовании свойств геометрических тел мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной фигуры не всегда	совпадает	с ее реальной формой : окружность превращается в эллипс — « сплющенную » окружность , изменяются углы между прямыми и отрезками и т .
У Бима цвета рубашки и туфель	совпадали	.
Запомнить правила знаков для умножения очень просто — они	совпадают	с известными нам правилами знаков при раскрытии скобок .
В произведениях великих композиторов , художников , архитекторов удивительным образом обнаруживаются одни и те же пропорции ,	совпадающие	и с пропорциями человеческого тела , и с закономерностями расположения листьев на растениях .
Если же вторые стороны не	совпадут	, то меньше тот угол , сторона которого оказалась внутри другого угла .
Если при этом и две другие стороны	совпадут	, то углы равны .
Чтобы измерить угол , например , АОВ , надо приложить транспортир так , чтобы вершина угла О	совпала	с центром транспортира , а сторона ОА прошла через начало отсчета на шкале .
Для этого один угол надо наложить на другой так , чтобы одна сторона у них	совпала	.
237 Преобразуй выражение в дробь и , если возможно ,	сократи	ее ( значения всех переменных отличны от нуля ) .
248 Преобразуй выражение в дробь и , если возможно ,	сократи	ее , если значения всех переменных отличны от нуля .
227 Запиши выражение в виде дроби и , если возможно ,	сократи	.
396 Запиши выражения в виде дробей и , если возможно ,	сократи	их .
219 Запиши выражение в виде дроби и , если возможно ,	сократи	.
454 Какой была начальная сумма , если при ежемесячном уменьшении на 20 % она за 3 месяца	сократилась	до : а ) 1600 р . ; б ) 480 р . ;
В 15 ч 30 мин расстояние между ними было 90 км , а в 16 ч 10 мин оно	сократилось	до 70 км .
Через сколько лет эта сумма	сократится	до : а ) 750 р . ;
На сколько процентов надо увеличить урожайность картофеля , чтобы	сократить	посевные площади на 0,5 га ?
461 1 ) Что значит —	сократить	дробь ?
Легко заметить также , что в знаменателе есть общий множитель — , или , что то же самое , 0,75 , который можно вынести за скобку , а затем	сократить	на него дробь .
На сколько ему надо увеличить скорость , чтобы	сократить	время перелета на 15 мин ? .
Затем , переходя к интенсивным способам земледелия , он в течение трех лет	сокращал	посевные площади на 10 % по сравнению с предыдущим годом .
Зато длинные отношения можно преобразовывать , как обычные дроби : умножать все его члены на одно и то же число ,	сокращать	.
В	сокращенном	виде последовательную запись деления можно провести так .
Итак , произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить модули	сомножителей	.
Ясно , что нельзя взять число ( -2 )	сомножителем	( -3 ) раза .
А	сочетание	симметрии и асимметрии в салфетке делает ее неповторимой .
Напротив , сильное эстетическое впечатление производит удивительное	сочетание	симметрии и асимметрии в ритмической структуре стихотворения А.С. Пушкина « На холмах Грузии » .
Всюду здесь	сочетание	повторяющихся элементов создает ощущение соразмерности , порядка , гармонии , а изменчивость узора , окраски , положений тела , разнообразные башенки и завитки придают некую « изюминку » , индивидуальность и неповторимость .
608 Приведи примеры	сочетания	симметрии и асимметрии из разных областей действительности .
Какие	сочетания	видов треугольников возможны ? .
Таким образом , каждая решенная задача будет расширять	спектр	наших возможностей .
Коэффициентом успеха ученика называется отношение	среднего	балла этого ученика к среднему результату всех участников тестирования .
Во сколько раз стоимость юбки больше	среднего	арифметического стоимости пиджака и блузки ? .
Возраст младшего брата на 60 % меньше возраста среднего брата , а возраст старшего брата — на 60 % больше возраста	среднего	.
Возраст младшего брата на 60 % меньше возраста	среднего	брата , а возраст старшего брата — на 60 % больше возраста среднего .
Разность квадратов чисел х и у на 40 % меньше их	среднего	арифметического .
Какую часть четвертое число составляет от	среднего	арифметического первых трех чисел ?
Какую часть оно составляет от	среднего	арифметического остальных трех чисел ?
На сколько процентов число книг на четвертой полке меньше	среднего	арифметического числа книг на первых трех полках ? .
Понятие	среднего	возникает самым естественным образом .
Придумай определение	среднего	гармонического трех , четырех и вообще любого количества чисел .
В этой задаче среднее гармоническое чисел 50 и 40 оказалось меньше их	среднего	арифметического .
Разность квадратов чисел х и у на 40 % меньше их	среднего арифметического	.
Во сколько раз стоимость юбки больше	среднего арифметического	стоимости пиджака и блузки ? .
Какую часть оно составляет от	среднего арифметического	остальных трех чисел ?
Какую часть четвертое число составляет от	среднего арифметического	первых трех чисел ?
На сколько процентов число книг на четвертой полке меньше	среднего арифметического	числа книг на первых трех полках ? .
В этой задаче среднее гармоническое чисел 50 и 40 оказалось меньше их	среднего арифметического	.
Затем выполни необходимые измерения и изобрази на этой прямой	среднее	арифметическое чисел x и y .
Изобрази эти числа и их	среднее	арифметическое на числовой прямой .
В этой задаче	среднее	гармоническое чисел 50 и 40 оказалось меньше их среднего арифметического .
Длины сторон треугольника пропорциональны числам 3 , 4 и 6 , а	среднее	арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм .
260 Найди	среднее	арифметическое чисел .
в ) пяти чисел , если их	среднее	арифметическое равно 0,28 . г ) восьми чисел , если их среднее арифметическое равно .
Вычисли с точностью до сотых	среднее	арифметическое полученных отношений и обозначь его .
На сколько процентов	среднее	арифметическое числа учеников в первых трех классах больше числа учеников в четвертом классе ? .
283 Найди	среднее	арифметическое чисел .
258 Найди	среднее	арифметическое чисел .
Чему равно их	среднее	арифметическое ? .
Чему равно	среднее	арифметическое этих чисел , если сумма первых двух равна 8 ? .
716 Вычисли	среднее	арифметическое ряда чисел : 8 ; 14 ; 52 ; 67 ; 93 ; 126 .
Найди	среднее	арифметическое первого и третьего чисел .
22 Докажи , что для любого натурального числа n	среднее	арифметическое его предыдущего и последующего чисел равно этому числу .
в ) пяти чисел , если их среднее арифметическое равно 0,28 . г ) восьми чисел , если их	среднее	арифметическое равно .
Изобрази на числовой прямой два произвольных числа и их	среднее	арифметическое .
Другими словами ,	среднее	арифметическое чисел а1 , а2 , .. , аn равно .
Найди числа а , b , с и d , если а : b = 3/4:0,5 , b : с=1,2 : 1/3 , c : d = 5 : 2 , а их	среднее	арифметическое равно 1,3 .
Найти	среднее	арифметическое чисел Решение .
Средний балл учащихся 6 “ А ” класса есть	среднее	арифметическое всех полученных ими баллов , то есть .
Таким образом , мы видим , что в практической жизни часто совершают одну и ту же операцию : по нескольким значениям величины определяют ее	среднее	значение .
Найди	среднее	арифметическое чисел 2 и 8 .
3 ) Первое число в 5 раз меньше второго , а их	среднее	арифметическое равно 12,6 .
а ) двух чисел , если их среднее арифметическое равно 4,5 . б ) трех чисел , если их	среднее	арифметическое равно .
Найди сумму четырех чисел , если их	среднее	арифметическое равно 29 .
а ) двух чисел , если их	среднее	арифметическое равно 4,5 . б ) трех чисел , если их среднее арифметическое равно .
Используя полученный результат , определи	среднее	арифметическое ряда чисел .
Другими словами ,	среднее арифметическое	чисел а1 , а2 , .. , аn равно .
Чему равно их	среднее арифметическое	? .
На сколько процентов	среднее арифметическое	числа учеников в первых трех классах больше числа учеников в четвертом классе ? .
716 Вычисли	среднее арифметическое	ряда чисел : 8 ; 14 ; 52 ; 67 ; 93 ; 126 .
Вычисли с точностью до сотых	среднее арифметическое	полученных отношений и обозначь его .
Затем выполни необходимые измерения и изобрази на этой прямой	среднее арифметическое	чисел x и y .
3 ) Первое число в 5 раз меньше второго , а их	среднее арифметическое	равно 12,6 .
258 Найди	среднее арифметическое	чисел .
в ) пяти чисел , если их среднее арифметическое равно 0,28 . г ) восьми чисел , если их	среднее арифметическое	равно .
Длины сторон треугольника пропорциональны числам 3 , 4 и 6 , а	среднее арифметическое	его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм .
в ) пяти чисел , если их	среднее арифметическое	равно 0,28 . г ) восьми чисел , если их среднее арифметическое равно .
Средний балл учащихся 6 “ А ” класса есть	среднее арифметическое	всех полученных ими баллов , то есть .
Найти	среднее арифметическое	чисел Решение .
а ) двух чисел , если их среднее арифметическое равно 4,5 . б ) трех чисел , если их	среднее арифметическое	равно .
Используя полученный результат , определи	среднее арифметическое	ряда чисел .
Чему равно	среднее арифметическое	этих чисел , если сумма первых двух равна 8 ? .
Найди	среднее арифметическое	чисел 2 и 8 .
а ) двух чисел , если их	среднее арифметическое	равно 4,5 . б ) трех чисел , если их среднее арифметическое равно .
Найди числа а , b , с и d , если а : b = 3/4:0,5 , b : с=1,2 : 1/3 , c : d = 5 : 2 , а их	среднее арифметическое	равно 1,3 .
260 Найди	среднее арифметическое	чисел .
22 Докажи , что для любого натурального числа n	среднее арифметическое	его предыдущего и последующего чисел равно этому числу .
Найди сумму четырех чисел , если их	среднее арифметическое	равно 29 .
283 Найди	среднее арифметическое	чисел .
Изобрази эти числа и их	среднее арифметическое	на числовой прямой .
Изобрази на числовой прямой два произвольных числа и их	среднее арифметическое	.
Со средним арифметическим связано важнейшее понятие	средней	скорости движения .
А его	средней	скоростью на маршруте считается частное от деления длины маршрута на затраченное время .
С какой	средней	скоростью он плыл , если его собственная скорость равна v км / ч , а скорость течения реки — 2 км / ч ? ( о = 28 ; 29,7 ; 35,5 ) .
С какой	средней	скоростью он пролетел этот путь ? .
С какой	средней	скоростью он шел ? .
Рассмотри расположение	средней	линии и оснований трапеции .
Сформулируй гипотезу . 5 ) Рассмотри расположение	средней	линии треугольника и стороны АС на чертежах к предыдущему заданию .
Кто бежал быстрее всех ( с наибольшей	средней	скоростью ) ? .
В младшей группе хора в 2 раза больше детей , чем в	средней	, и на 32 человека больше , чем в старшей .
Построй треугольник АВС и проведи его среднюю линию , соединяющую середины сторон АВ и ВС. Найди отношение длины стороны АС к длине	средней	линии .
Отношение числа детей в младшей ,	средней	и старшей группах равно соответственно 7 : 5 : 4 .
Сравни сумму длин оснований с длиной	средней	линии .
С какой	средней	скоростью он плыл ? .
Возраст младшей сестры на 5 лет меньше возраста	средней	и в 5 раз меньше возраста старшей .
Из Иванова в Москву за учебниками математики отправился микроавтобус , который прошел весь путь со	средней	скоростью 50 км / ч .
С какой	средней	скоростью они ехали ? .
С какой	средней	скоростью он ехал ? .
С какой	средней	скоростью прошли геологи весь маршрут ? .
Другими словами , если бы автобус двигался равномерно со	средней	скоростью , то на свой маршрут он затратил бы как раз столько времени , сколько он затрачивает фактически .
Число учащихся 6 “ А ” относится к числу учащихся 6 “ Б ” как 4 : 5 , а число учащихся 6 “ В ” равно	среднему	арифметическому числа учащихся 6 “ А ” и 6 “ Б ” .
Коэффициентом успеха ученика называется отношение среднего балла этого ученика к	среднему	результату всех участников тестирования .
Число учащихся 6 “ А ” относится к числу учащихся 6 “ Б ” как 4 : 5 , а число учащихся 6 “ В ” равно	среднему арифметическому	числа учащихся 6 “ А ” и 6 “ Б ” .
Сформулируй гипотезу . 6 ) Построй треугольник АВС и проведи все его	средние	линии .
Именно ради такого рода выводов и рассматриваются	средние	значения величин — идет ли речь о среднем урожае на различных полях , уровне доходов населения страны , уровне производства электроэнергии или о состоянии загрязненности города выхлопными газами автомобилей .
Вообще , из данной пропорции можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние члены ; 2 ) поменять местами	средние	члены ; 3 ) составить пропорцию из отношений , обратных данным ; 4 ) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами правую и левую части .
Если да , то назови крайние и	средние	члены пропорции .
Поменяем в пропорции местами	средние	члены и обозначим коэффициент пропорциональности к.
Точно так же в пропорции можно поменять местами ее	средние	члены .
60 Прочитай пропорцию разными способами , назови ее крайние и	средние	члены .
При переводе решения задач с математического языка на русский часто используются ставшие традиционными термины “ крайние ” и “	средние	” члены пропорции .
419 На сколько треугольников разбивают данный треугольник все его	средние	линии ?
А значит , пропорция не нарушится , если в ней поменять местами одновременно и крайние , и	средние	члены : в этом случае получится пропорция , составленная из обратных отношений .
Точно так же используются	средние	значения и во многих других областях деятельности .
	Средние	члены .
Чему равен	средний	вес пойманных рыб ? .
Чтобы найти средний член пропорции , надо произведение ее крайних членов разделить на второй	средний	член .
После того как в секцию записался новый игрок ,	средний	возраст ее участников стал 15,4 лет .
Их средний возраст 10 лет , а вместе с учителем математики их	средний	возраст 11 лет .
Так же определяют среднюю высоту и толщину деревьев на делянке ,	средний	рост учащихся в классе и т .
Их	средний	возраст 15,5 лет .
Например , пропорция не нарушится , если к каждому крайнему ее члену прибавить “ соседний ”	средний	член .
Он узнал , что на соседнем предприятии	средний	заработок слесаря за этот же период составил 18460 р .
4,04 ( балла ) —	средний	балл 6 “ А ” .
Их	средний	возраст 10 лет , а вместе с учителем математики их средний возраст 11 лет .
4,125 ( балла ) —	средний	балл 6 “ Б ” .
Вычисли	средний	балл класса за эту самостоятельную работу .
Аналогично подсчитывается	средний	балл учащихся 6 “ Б ” класса .
В жизни можно часто услышать слово “	средний	” .
Чтобы найти	средний	член пропорции , надо произведение ее крайних членов разделить на второй средний член .
Сравни ее со	средним	арифметическим скоростей по дороге “ туда ” и “ обратно ” .
Со	средним	арифметическим связано важнейшее понятие средней скорости движения .
Реши эту же задачу для “ буквенных ” скоростей v1 , и v2 Полученное выражение называют	средним	гармоническим чисел v1 , и v2 .
- Класс 6 “ А ” более ровный — результат большинства учащихся практически совпадает со	средним	баллом .
Скажем , уровень жизни населения страны определяют	средним	доходом ее жителей , а для его вычисления складывают доходы всех жителей страны и делят на общее число жителей .
Сформулируй гипотезу и проверь ее , разрезав модель треугольника по	средним	линиям .
А общий уровень знаний класса по математике оценивают	средним	баллом — складывают все годовые оценки , полученные учениками этого класса , и делят на число учеников .
Со	средним арифметическим	связано важнейшее понятие средней скорости движения .
Сравни ее со	средним арифметическим	скоростей по дороге “ туда ” и “ обратно ” .
Найди на чертеже отрезки , которые являются	средними	линиями трапеций .
Найди на чертеже отрезки , которые являются	средними	линиями треугольников .
Измерь углы треугольника АВС и углы треугольника , образованного	средними	линиями .
Найди на чертеже отрезки , которые являются	средними линиями трапеций	.
Сколько	средних	линий можно провести в трапеции ? .
Равенство , где a , b , с , d ≠ 0 , является b d пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно произведению	средних	членов b и с .
Чтобы найти крайний член пропорции , надо произведение ее	средних	членов разделить на второй крайний член .
Масштаб изображения всегда выражается числом , меньшим 1 . 4 ) Произведение крайних членов пропорции всегда равно произведению их	средних	членов .
Сколько	средних	линий можно провести в треугольнике ? .
В предыдущем пункте мы назвали основным свойством пропорций следующее утверждение : равенство , где a , b , c , d≠0 , является пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно произведению	средних	членов b и с .
Построй треугольник АВС и проведи его	среднюю	линию , соединяющую середины сторон АВ и ВС. Найди отношение длины стороны АС к длине средней линии .
Построй трапецию ABCD и проведи ее	среднюю	линию .
Определи урожайность картофеля на каждой из делянок и	среднюю	урожайность всего картофельного поля .
Так же определяют	среднюю	высоту и толщину деревьев на делянке , средний рост учащихся в классе и т .
Мотоциклист , средняя скорость которого равна 40 км / ч , проедет это расстояние за 7 ч , а автомобиль , имеющий	среднюю	скорость 80 км / ч , — за 3,5 ч .
Найди	среднюю	скорость пешехода на этом участке .
Определи	среднюю	скорость велосипедиста .
На обратном пути его	средняя	скорость составила только 40 км / ч .
Мотоциклист ,	средняя	скорость которого равна 40 км / ч , проедет это расстояние за 7 ч , а автомобиль , имеющий среднюю скорость 80 км / ч , — за 3,5 ч .
Ответ :	средняя	скорость автобуса 51,5 км / ч .
Чему равна	средняя	скорость микроавтобуса на полном маршруте Иваново — Москва — Иваново ?
Чему равна	средняя	урожайность пшеницы в этом колхозе ? .
Чему равна его	средняя	скорость ? .
Чему равна	средняя	урожайность овса в этом колхозе ? .
Чему равна	средняя	цена купленных хозяйкой яблок ? .
Чему равна	средняя	температура воздуха в полдень в первую неделю мая , если термометр показывал в эти дни 4 ° , 6 ° , 10 ° , 12 ° , 16 ° , 18 ° , 10 ° ?
Чему равна	средняя	скорость парохода ? .
	Средняя	скорость движения за все время пути .
д. , то есть соответствующих	степеней	числа 3 .
В десятичной системе числа записывают с помощью	степеней	числа 10 .
Подобно этому и в остальных системах счисления числа записывают с помощью	степеней	основания .
в месяц , если все они в одинаковой	степени	пользуются телефоном ? .
Но это лишь ее « детство » , и впоследствии содержание геометрии значительно расширилось — до такой	степени	, что измерения отошли в ней на дальний план , а в центре внимания оказались геометрические фигуры и их свойства .
Сформулируй определение	степени	с натуральным показателем .
Для этого вначале разделим 145 с остатком на 34 — наибольшую возможную в нашем случае	степень	числа 3 — и определим цифру разряда десятков тысяч , затем остаток разделим на 33 — определим цифру разряда тысяч и т .
Поэтому в настоящий момент мы можем лишь с некоторой	степенью	точности проверить правильность каждого конкретного построения с помощью , например , кальки или измерительных приборов .
Найди неизвестные длины	сторон	.
в ) Два угла называются вертикальными , если стороны одного из них являются дополнительными лучами для	сторон	другого .
502 Периметр прямоугольника равен 12 см , одна из	сторон	— х см , а площадь равна S см2 Запиши формулу зависимости S от х. Заполни таблицу и построй график этой зависимости .
Построй медианы	сторон	а , b и с треугольника АВС , если треугольник АВС .
В зависимости от числа	сторон	многоугольника , лежащего в основании пирамиды , она называется треугольной , четырехугольной , пятиугольной и т .
Длины	сторон	треугольника пропорциональны числам 3 , 4 и 6 , а среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм .
Вместе с тем равенство всех	сторон	прямоугольника характерно только для квадрата , а значит , является его признаком .
Он доказал , что центр описанной окружности треугольника АВС совпадает с точкой пересечения окружностей , описанных около треугольников — середины	сторон	АС , СВ и АВ .
296 Периметр треугольника равен 68 см , а длины	сторон	пропорциональны числам 4 , 5 и 8 .
На одной из больших	сторон	прямоугольника посередине отметь ворота шириной 4 м .
Почему транспортир удобно прикладывать так , чтобы одна из	сторон	угла проходила через нулевую отметку на его шкале ? .
Средней линией трапеции называется отрезок , соединяющий середины ее непараллельных	сторон	.
Но несколько тысячелетий прошло прежде , чем удалось доказать , что некоторые правильные многоугольники — например , с числом	сторон	7 , 9 , 11 , 13 — в принципе нельзя построить с помощью циркуля и линейки .
Построим середины	сторон	треугольника и проведем отрезки , соединяющие каждую вершину с серединой противолежащей стороны .
Многоугольник с большим числом	сторон	в качестве сечения получиться не может , так как граней у тетраэдра всего четыре .
Найди разность большей и меньшей	сторон	этого треугольника .
325 а ) Средней линией треугольника называется отрезок , соединяющий середины двух его	сторон	.
А вот еще одно открытие Эйлера : окружность , проходящая через середины	сторон	треугольника , пройдет и через основания его высот .
375 Дан прямоугольник , длины	сторон	которого относятся как 2:1 .
Длины сторон треугольника пропорциональны числам 3 , 4 и 6 , а среднее арифметическое его большей и меньшей	сторон	равно 1 м 8 дм .
245 Длины	сторон	четырехугольника пропорциональны числам 2 , 5 , 3 и 7 , а его большая сторона на 30 см превышает меньшую .
Построй без транспортира , используя клеточки , угол в 90 ° , одной из	сторон	которого является : а ) луч АВ ; б ) луч CD .
Чему равны длины его	сторон	, если их отношение равно 3:3:4 ? .
Начерти прямоугольник , отношение длин	сторон	которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти прямоугольный треугольник , длины катетов которого относятся как 3 к 4 .
650 а ) Если перемещать одну из	сторон	чертежного угольника вдоль линейки , то , проводя прямые вдоль другой его стороны , можно получить параллельные прямые .
257 Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найди длины	сторон	этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 : 4 , а ВС относится к АС как 2 : 3 .
а ) Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник , одна из	сторон	которого равна длине окружности основания .
Например , периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его	сторон	Р = 2(а + b ) , а вовсе не их произведению .
760 Периметр треугольника АВС равен 16,8 см. Найди длины его	сторон	, если АВ относится к ВС как 7 : 5 , а ВС относится к АС как 3 : 4 .
Если провести окружность с центром в точке D и радиусом DAX , то она будет касаться всех трех	сторон	треугольника ( то есть будет иметь с каждой из них только одну общую точку ) .
Построй треугольник АВС и проведи его среднюю линию , соединяющую середины	сторон	АВ и ВС. Найди отношение длины стороны АС к длине средней линии .
Поскольку граней у прямоугольного параллелепипеда всего шесть , то многоугольник , который получается при пересечении его с плоскостью , не может иметь больше шести	сторон	.
Средней линией треугольника называется отрезок , соединяющий середины двух его	сторон	.
379 Можно ли построить треугольник , у которого периметр равен 24 см , а сумма длин двух	сторон	— 9 см ? .
Найди координаты точек пересечения	сторон	треугольника с осями координат .
405 Начерти произвольный треугольник АВС , построй середины его	сторон	— точки М , N и К и соедини их отрезками .
В завершение заметим , что иногда для более ясного представления о фигуре ( например ) изображают ее вид спереди , слева и сверху , как бы « фотографируют » ее с разных	сторон	.
Синус , косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения длин	сторон	треугольника АВС , выражающие значения синусов , косинусов и тангенсов углов А и В .
Это определение смежных углов опирается на понятия « прямая » , « угол » , « сторона угла » , « общая	сторона	» .
Тогда	сторона	ОВ укажет на той же шкале величину угла в градусах : АОВ = 124 ° .
Чтобы измерить угол , например , АОВ , надо приложить транспортир так , чтобы вершина угла О совпала с центром транспортира , а	сторона	ОА прошла через начало отсчета на шкале .
Однако второе определение опирается уже на несколько другие геометрические понятия — « угол » , «	сторона	угла » , « общая сторона » и « дополнительные лучи » .
Заметим , что определение смежных углов можно дать и по - другому : смежными называются два угла , одна	сторона	у которых общая , а две другие являются дополнительными лучами .
а — сторона , противолежащая ; b — сторона , противолежащая ; с —	сторона	, противолежащая АС .
Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами , а третья	сторона	— основанием .
Однако второе определение опирается уже на несколько другие геометрические понятия — « угол » , « сторона угла » , « общая	сторона	» и « дополнительные лучи » .
245 Длины сторон четырехугольника пропорциональны числам 2 , 5 , 3 и 7 , а его большая	сторона	на 30 см превышает меньшую .
Какие стороны этого треугольника являются боковыми сторонами , а какая	сторона	— основанием ? .
Периметр треугольника равен 48,5 см. Одна его	сторона	равна 15,8 см , а вторая — на 1,9 см меньше , чем третья .
в ) Прямым углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике	сторона	, противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
402 Периметр треугольника АВС равен 17 см. Первая его	сторона	на 40 % меньше второй стороны , а третья — на 3,8 см больше первой .
390 а ) Первая	сторона	треугольника составляет 30 % его периметра , а вторая — 25 % периметра .
Первая сторона треугольника составляет 48 % второй стороны , а третья	сторона	— на 0,8 см больше первой .
Чему равна длина третьей стороны этого треугольника , если вторая	сторона	на 0,4 дм короче первой ? .
б ) Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми , а третья	сторона	называется основанием .
На сколько процентов третья	сторона	треугольника меньше второй , если его периметр равен 5,7 см ? .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника , б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его	сторона	составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
а — сторона , противолежащая ; b —	сторона	, противолежащая ; с — сторона , противолежащая АС .
На собственном опыте вы убедились , что при проведении измерений второй конец отрезка или вторая	сторона	угла чаще всего проходит между делениями шкалы .
309 Участок квадратной формы расширили так , что получили новый квадрат ,	сторона	которого на 5 м больше стороны первоначального , а площадь при этом увеличилась на 225 м2 .
Для определения смежных углов надо заметить , что одна	сторона	у них общая .
а —	сторона	, противолежащая ; b — сторона , противолежащая ; с — сторона , противолежащая АС .
Но этого недостаточно , так как у углов тоже есть общая	сторона	, но они не являются смежными .
128 а ) Первая	сторона	треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника , б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
Для этого один угол надо наложить на другой так , чтобы одна	сторона	у них совпала .
Одна	сторона	прямоугольника на 200 % больше второй .
Если же вторые стороны не совпадут , то меньше тот угол ,	сторона	которого оказалась внутри другого угла .
Значит , смежные углы — это два угла , одна	сторона	у которых общая , а две другие образуют прямую .
394 а ) В треугольнике первая	сторона	на 50 % больше второй , но на 25 % меньше третьей .
471 в прямоугольнике ABCD	сторона	AD равна 20 см , а сторона АВ на 60 % больше стороны AD .
471 в прямоугольнике ABCD сторона AD равна 20 см , а	сторона	АВ на 60 % больше стороны AD .
Но если вдуматься глубже , осознать новое можно , только понимая « старое » , — в данном случае понятия прямоугольник ,	сторона	прямоугольника и равные стороны .
88 Стороны прямоугольника относятся как 4 : 7 , а его бóльшая	сторона	равна 31,5 см. Найди меньшую сторону , периметр и площадь этого прямоугольника .
Это определение смежных углов опирается на понятия « прямая » , « угол » , «	сторона	угла » , « общая сторона » .
Первая	сторона	треугольника составляет 48 % второй стороны , а третья сторона — на 0,8 см больше первой .
382 Построй треугольник АВС по двум	сторонам	а и b и углу А , прилежащему к стороне b. Является ли решение однозначным ? .
Отметь на прямой l точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а ) треугольник АВС — равнобедренный ; б ) углы при основании треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым	сторонам	треугольника АВС , равны .
401 Построй треугольник АВС по двум	сторонам	а и b. Сколько решений имеет эта задача ? .
386 Построй серединные перпендикуляры к	сторонам	а , b и с треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
Серединные перпендикуляры к	сторонам	треугольника пересекаются в центре описанной окружности .
378 Построй треугольник АВС по трем	сторонам	а , b и с и определи вид этого треугольника .
Построй высоты треугольника АВС , проведенные к	сторонам	а , b и с , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
383 Построй треугольник АВС по двум	сторонам	а и с и углу В , заключенному между ними .
439 Построй треугольник АВС по двум	сторонам	а и b и углу С , заключенному между ними , и впиши в него окружность .
438 Построй треугольник АВС по трем	сторонам	а , b и с и опиши около него окружность .
725 Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС : а ) по двум	сторонам	а и b ; б ) по трем сторонам а , b и с ; в ) по двум сторонам а и b и углу между ними С ; г ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С ( стороны и углы задай произвольно ) .
725 Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС : а ) по двум сторонам а и b ; б ) по трем	сторонам	а , b и с ; в ) по двум сторонам а и b и углу между ними С ; г ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С ( стороны и углы задай произвольно ) .
Начертим произвольный треугольник АВС и проведем серединные перпендикуляры к его	сторонам	.
404 Построй треугольник АВС по двум	сторонам	b и с и углу А , заключенному между ними .
725 Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС : а ) по двум сторонам а и b ; б ) по трем сторонам а , b и с ; в ) по двум	сторонам	а и b и углу между ними С ; г ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С ( стороны и углы задай произвольно ) .
528 Склей из бумаги модель цилиндра , радиус основания которого равен 3,5 см , а развертка боковой поверхности — прямоугольник со	сторонами	7π см и 10 см , где π — число , равное примерно 3,14 .
Сколько можно построить различных ( не равных между собой ) треугольников с тремя данными	сторонами	?
Точки называются вершинами треугольника , а отрезки — его	сторонами	.
« Квадратом называется четырехугольник с равными	сторонами	» .
674 Начерти треугольник АВС со	сторонами	АВ = 4 см , ВС = 2 см , АС = 5 см. Построй треугольник центрально - симметричный треугольнику АВС относительно вершины В. Является ли точка В центром симметрии четырехугольника ?
Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми	сторонами	, а третья сторона — основанием .
а ) прямоугольника со	сторонами	10 см и 4 см вокруг большей стороны . б ) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета .
Построй окружность , описанную около треугольника АХВХСХ , и найди точки ее пересечения со	сторонами	треугольника АВС .
Например , в определении « Квадратом называется прямоугольник с равными	сторонами	» понятие « квадрат » — новое , а уже известное — « прямоугольник с равными сторонами » .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла и найдем точки ее пересечения со	сторонами	угла .
Какие стороны этого треугольника являются боковыми	сторонами	, а какая сторона — основанием ? .
Например , в определении « Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами » понятие « квадрат » — новое , а уже известное — « прямоугольник с равными	сторонами	» .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла А и найдем ее точки пересечения со	сторонами	угла .
171 Из прямоугольника со	сторонами	а и b вырезали 4 равных квадрата со стороной с , как показано на рисунке .
Лучи называются	сторонами	угла , а их общее начало — вершиной угла .
18 Пусть катеты прямоугольного треугольника равны а и b , а гипотенуза — с. На	сторонах	этого треугольника построены квадраты .
Измерь длины отрезков , образовавшихся на	сторонах	угла А , и сравни отношения 2 )
381 Построй треугольник АВС по	стороне	b и двум прилежащим к ней углам А и С. Сколько различных треугольников можно построить по этим данным ?
В треугольнике АВС проведен отрезок MN , параллельный	стороне	АС .
725 Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС : а ) по двум сторонам а и b ; б ) по трем сторонам а , b и с ; в ) по двум сторонам а и b и углу между ними С ; г ) по	стороне	а и двум прилежащим к ней углам В и С ( стороны и углы задай произвольно ) .
На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой l , содержащей : а ) большую сторону ; б ) меньшую сторону ; в ) медиану , проведенную к его меньшей	стороне	.
Повтори исследование для произвольного треугольника АВС и отрезка MN , параллельного его	стороне	АС .
382 Построй треугольник АВС по двум сторонам а и b и углу А , прилежащему к	стороне	b. Является ли решение однозначным ? .
440 Построй треугольник АБС по	стороне	с и двум прилежащим к ней углам А и В. Построй центр тяжести треугольника АВС .
403 Построй треугольник АВС : 1 ) по	стороне	а и прилежащему к ней углу В ; 2 ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач ? .
403 Построй треугольник АВС : 1 ) по стороне а и прилежащему к ней углу В ; 2 ) по	стороне	а и двум прилежащим к ней углам В и С. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач ? .
380 Построй треугольник АВС по	стороне	b и прилежащему к ней углу А. Является ли решение однозначным ?
719 Склей из бумаги модель правильного октаэдра , гранями которого являются равносторонние треугольники со	стороной	8 см .
500 Склей из бумаги модель тетраэдра , гранями которого являются равносторонние треугольники со	стороной	10 см .
565 Является ли рациональным числом : а ) длина диагонали квадрата со	стороной	, равной 2 ; б ) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 ? .
Из квадрата со	стороной	10,6 см вырезали два прямоугольника , как показано на чертеже .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его	стороной	а ; 2 ) площадью S квадрата и его стороной а ; 3 ) объемом V прямоугольного параллелепипеда , площадью его основания S и высотой h .
Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых значений х x . 80 Из квадрата со	стороной	5 см вырезали квадрат со стороной а см. Площадь оставшейся части квадрата — S см2 .
Начерти квадрат со	стороной	9 см и заполни его паркетом по образцу .
153 Построй формулу , устанавливающую зависимость между . 1 ) периметром Р квадрата и его стороной а ; 2 ) площадью S квадрата и его	стороной	а ; 3 ) объемом V прямоугольного параллелепипеда , площадью его основания S и высотой h .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со	стороной	3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
687 а ) Вычисли периметр правильного шестиугольника со	стороной	4,5 см . б )
171 Из прямоугольника со сторонами а и b вырезали 4 равных квадрата со	стороной	с , как показано на рисунке .
Рассмотрим квадрат со	стороной	, равной единице .
Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых значений х x . 80 Из квадрата со стороной 5 см вырезали квадрат со	стороной	а см. Площадь оставшейся части квадрата — S см2 .
Меньшую	сторону	увеличили на 30 % , а большую — уменьшили на 30 % .
Меньшую	сторону	увеличили на 40 % , а большую — увеличили на 25 % .
На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой l , содержащей : а ) большую сторону ; б ) меньшую	сторону	; в ) медиану , проведенную к его меньшей стороне .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N делят	сторону	АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит	сторону	CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
406 Построй произвольный равнобедренный треугольник АВС ( АВ = ВС ) и опусти высоту из вершины В на	сторону	АС .
Отметим , что такой же угол можно построить и по другую	сторону	от луча ОА : АОВ .
Будет ли перемещаться лодка относительно берега , в какую	сторону	и с какой скоростью , если она поплывет .
Одну	сторону	прямоугольника уменьшили на 25 % , а вторую — увеличили на 60 % .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит	сторону	АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную	сторону	, называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой l , содержащей : а ) большую	сторону	; б ) меньшую сторону ; в ) медиану , проведенную к его меньшей стороне .
Высотой треугольника называется перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную	сторону	.
Точка М делит	сторону	АВ в отношении 4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD ?
Проведи исследование для произвольного угла А и произвольных параллельных прямых В1,С1 , В2,С2 и В3,С3 , пересекающих его	сторону	.
88 Стороны прямоугольника относятся как 4 : 7 , а его бóльшая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую	сторону	, периметр и площадь этого прямоугольника .
Для решения задач на построение далее нам потребуются следующие обозначения : угол и противолежащую сторону в треугольнике будем обозначать одной и той же буквой , причем угол обозначают прописной буквой , а	сторону	— строчной .
Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по длине его стороны а и длине перпендикуляра h , опущенного из вершины параллелограмма на эту	сторону	.
Для решения задач на построение далее нам потребуются следующие обозначения : угол и противолежащую	сторону	в треугольнике будем обозначать одной и той же буквой , причем угол обозначают прописной буквой , а сторону — строчной .
Находясь в пункте А на дороге , Таня увидела своего младшего брата , который появился на дороге в пункте В. Вместо того , чтобы пойти навстречу сестре , он направился в противоположную	сторону	, а Таня побежала за ним .
Одну	сторону	прямоугольника увеличили на 50 % , а вторую уменьшили на 30 % .
650 а ) Если перемещать одну из сторон чертежного угольника вдоль линейки , то , проводя прямые вдоль другой его	стороны	, можно получить параллельные прямые .
329 а ) Ромб — это параллелограмм , у которого все	стороны	равны .
Чему равна длина каждой	стороны	? .
С другой	стороны	, каждому понятно , что если земля мокрая , то отсюда вовсе не следует , что в это время и в этом месте идет дождь : вполне может оказаться , что землю здесь специально полили .
Особый интерес представляют выпуклые многоугольники , у которых все	стороны	и все углы равны .
Длина одной его	стороны	равна а см , а длина второй стороны — b см. Запиши формулу , выражающую зависимость b от а .
Длина одной его стороны равна а см , а длина второй	стороны	— b см. Запиши формулу , выражающую зависимость b от а .
Указанным образом легче всего построить правильный шестиугольник : он состоит из шести правильных треугольников , и поэтому длина его	стороны	равна радиусу описанной окружности .
Медианой треугольника называется отрезок , соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей	стороны	.
а ) прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей	стороны	. б ) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета .
Например , если температура повысилась с -3 ° С до 5 ° С , то всего она изменилась на 5 + 3 = 8 ° С. С другой	стороны	, изменение температуры равно разности 5 - ( -3 ) , и поэтому .
Измерь	стороны	и углы четырехугольника ABCD .
Например , в множестве треугольников Т можно выделить треугольники , которые имеют две равные стороны , — их называют равнобедренными ; в множестве равнобедренных треугольников , в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три	стороны	.
155 Измерь	стороны	прямоугольников .
Вычисли площадь каждого прямоугольника и отношение его большей	стороны	к меньшей .
в ) Прямым углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие	стороны	называются катетами .
Следовательно , все его	стороны	и углы равны , то есть многоугольник является правильным .
Подобная же зависимость существует между длиной	стороны	квадрата и его площадью .
С другой	стороны	, чтобы из бумаги сделать многогранник , обычно чертят его развертку , вырезают ее , сгибают по ребрам и склеивают .
Периметр правильного пятиугольника равен 9 см. Чему равна длина его	стороны	? .
Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг своей	стороны	, а конус — в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг своего катета .
в ) Отрезок , соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной	стороны	, называется медианой треугольника .
Построй треугольник , симметричный треугольнику АВС : а ) относительно точки О , лежащей вне треугольника АВС ; б ) относительно середины М	стороны	ВС .
длины	стороны	прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны .
Треугольник называется равносторонним , если у него все	стороны	равны .
а ) Параллелограммом называется четырехугольник , противоположные	стороны	которого попарно параллельны .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной	стороны	а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Например , рост человека зависит от его возраста , тормозной путь автомобиля — от его скорости , площадь квадрата — от его	стороны	.
в ) Два угла называются вертикальными , если	стороны	одного из них являются дополнительными лучами для сторон другого .
Многоугольник , имеющий четыре вершины (	стороны	) , называется четырехугольником . г ) Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые .
б ) Равные	стороны	равнобедренного треугольника называются боковыми , а третья сторона называется основанием .
Треугольник называется равнобедренным , если две его	стороны	равны .
Построй формулу зависимости длины	стороны	b см этого прямоугольника от длины а см его второй стороны .
Параллелограмм — это четырехугольник , у которого противолежащие	стороны	попарно параллельны . г ) Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все углы прямые .
Точно так же зависимость площади квадрата S от длины его	стороны	а выражается формулой S = а2 .
471 в прямоугольнике ABCD сторона AD равна 20 см , а сторона АВ на 60 % больше	стороны	AD .
Построй формулу зависимости длины стороны b см этого прямоугольника от длины а см его второй	стороны	.
длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой	стороны	.
С другой	стороны	, ясно , что каждое из двух предложений х < у и у > х следует из другого .
Если опустить из нее перпендикуляры DAV DB1 и DCX на	стороны	треугольника АВС , то можно обнаружить , что все они равны между собой : DA = DBl = DCX .
Поэтому квадрат можно определить как « прямоугольник , все	стороны	которого равны » .
Две равные	стороны	равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами , а третья сторона — основанием .
Треугольник , две	стороны	которого равны , называется равнобедренным .
Запиши формулы периметра и площади прямоугольника , обозначив его	стороны	буквами а и b , периметр — буквой Р , a площадь — S . 2 ) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади квадрата .
Первая сторона треугольника составляет 48 % второй	стороны	, а третья сторона — на 0,8 см больше первой .
Сформулируй гипотезу . 5 ) Рассмотри расположение средней линии треугольника и	стороны	АС на чертежах к предыдущему заданию .
402 Периметр треугольника АВС равен 17 см. Первая его сторона на 40 % меньше второй	стороны	, а третья — на 3,8 см больше первой .
Чему равна длина третьей	стороны	этого треугольника , если вторая сторона на 0,4 дм короче первой ? .
309 Участок квадратной формы расширили так , что получили новый квадрат , сторона которого на 5 м больше	стороны	первоначального , а площадь при этом увеличилась на 225 м2 .
Например , в множестве треугольников Т можно выделить треугольники , которые имеют две равные	стороны	, — их называют равнобедренными ; в множестве равнобедренных треугольников , в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три стороны .
Если при этом и две другие	стороны	совпадут , то углы равны .
Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по длине его	стороны	а и длине перпендикуляра h , опущенного из вершины параллелограмма на эту сторону .
Любая медаль имеет две	стороны	.
Например , из того , что в равнобедренном треугольнике АВС медиана BD , проведенная к основанию , является осью симметрии , следует , что треугольники ABD и CBD равны , и поэтому равны их	стороны	и углы : AD = DC , 1 = 2 , 3 = 4 = 90 ° .
Но если вдуматься глубже , осознать новое можно , только понимая « старое » , — в данном случае понятия прямоугольник , сторона прямоугольника и равные	стороны	.
Если из вершин произвольного треугольника провести перпендикуляры на противоположные	стороны	( их называют высотами ) , то все они пересекутся в одной точке Н. Эта точка называется ортоцентром .
Если же вторые	стороны	не совпадут , то меньше тот угол , сторона которого оказалась внутри другого угла .
Поэтому надо отметить еще одну существенную особенность смежных углов — две другие их	стороны	образуют прямую .
Построим середины сторон треугольника и проведем отрезки , соединяющие каждую вершину с серединой противолежащей	стороны	.
2 ) Существует ли квадрат , у которого длина	стороны	— натуральное число , а площадь равна 201201201201 ? .
Чему равна длина	стороны	квадрата с тем же периметром ? .
Построй треугольник АВС и проведи его среднюю линию , соединяющую середины сторон АВ и ВС. Найди отношение длины	стороны	АС к длине средней линии .
Взаимно противоположные числа расположены на координатной прямой по разные	стороны	от 0 на одинаковом расстоянии от него .
725 Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС : а ) по двум сторонам а и b ; б ) по трем сторонам а , b и с ; в ) по двум сторонам а и b и углу между ними С ; г ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С (	стороны	и углы задай произвольно ) .
Чему равна длина второй	стороны	? .
447 В произвольном треугольнике АВС построй точку Ах — середину стороны ВС , точку B1 — середину стороны АС , и точку C1 — середину	стороны	АВ .
Найди его периметр и площадь , если на плане с масштабом 3 : 500	стороны	прямоугольника имеют длину 12 см и 45 см .
447 В произвольном треугольнике АВС построй точку Ах — середину стороны ВС , точку B1 — середину	стороны	АС , и точку C1 — середину стороны АВ .
Назови их основания и боковые	стороны	.
447 В произвольном треугольнике АВС построй точку Ах — середину	стороны	ВС , точку B1 — середину стороны АС , и точку C1 — середину стороны АВ .
Измерь	стороны	треугольника АВС и вычисли синус , косинус и тангенс угла А . 2 )
Для этого достаточно	стороны	координатного угла продолжить до координатных прямых .
Измерь	стороны	и углы треугольника АВС и определи его вид .
Какие	стороны	этого треугольника являются боковыми сторонами , а какая сторона — основанием ? .
Стремясь к большей точности , древние математики предпочитали	строить	геометрические фигуры , избегая сложных измерений , а используя лишь проведение прямых по линейке и проведение окружностей циркулем .
Таким образом , решая задачи , мы учимся	строить	математические модели реальных ситуаций .
Таким образом , построение упрощается : для нахождения точки А1 симметричной точке А относительно центра О , уже нет необходимости	строить	угол АОА1 , а можно просто провести прямую ОА и отложить на ней отрезок ОА1 , равный отрезку ОА .
"На шкале известного нам прибора — транспортира — отложены углы в 1 "" , поэтому с его помощью можно измерять или"	строить	на плоскости любой угол , выраженный в градусах .
Поэтому полезно научиться по пространственному изображению фигуры	строить	ее проекции , и наоборот .
Полученные определения позволяют	строить	с помощью чертежных инструментов точки - образы во всех рассмотренных преобразованиях .
В математике часто приходится	строить	отрицание общих высказываний и высказываний о существовании .
А значит , мы можем	строить	теперь преобразования фигур более точно , не прибегая к перегибаниям листа , вырезанию фигур из бумаги и т .
455 В городе N в случае неуплаты земельного налога в установленный срок ( не позднее 15 сентября ) начисляется пеня в размере 0,2 % неперечисленных	сумм	за каждый день просрочки .
Значит , любое выражение , содержащее только знаки сложения и вычитания , можно записать в виде алгебраической суммы , например , а значения алгебраических	сумм	мы уже вычислять умеем .
418 Докажи , что	сумма	трех последовательных четных чисел делится на 6 .
Если	сумма	чисел делится на некоторое число , то и каждое слагаемое делится на это число .
За следующий год сумма увеличится во столько же раз , и поэтому через два года на счете будет	сумма	.
а ) Если	сумма	цифр числа делится на 9 , то число делится на 9 .
Чему равна их	сумма	? .
Одно число на 40 % меньше другого , а их	сумма	равна 16,8 .
Тогда замечаем , что	сумма	скоростей по течению и против течения равна удвоенной собственной скорости .
253 а ) Высота прямоугольного параллелепипеда равна 5 см , ширина составляет 28 % длины , а	сумма	площадей его боковых граней 192 см2 .
Поэтому , если клиент внес сумму S , то через n месяцев на его счете будет и мы вновь получаем , что . Мы получили в точности ту же самую формулу , что и в примере с квартплатой , хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл : в первом примере n — число дней , а во втором n — число месяцев , в первом примере S — величина квартплаты , а во втором S —	сумма	вклада , внесенная в банк .
Какая	сумма	будет на его счете через год ( 365 дней ) ? .
—	сумма	, на которую произошло повышение цены .
Уже имеющийся опыт работы с треугольниками убеждает нас в том , что это не так : углы треугольников могут быть и прямыми , и тупыми , при этом	сумма	всех углов треугольника всегда равна 180 ° .
426 Что больше : 1 ) сумма двух положительных чисел или одно из них ; 2 )	сумма	двух отрицательных чисел или одно из них ? .
Правила знаков сохраняются и для случая , когда в скобках не одно число , а алгебраическая	сумма	чисел , например .
427 Начальная	сумма	составляет 800 р .
Какая	сумма	была положена в банк ? .
Так , если пеня составляет 0,1 % от суммы квартплаты за каждый день просрочки , то , например , за 19 дней просрочки	сумма	составит 1,9 % от суммы квартплаты .
426 Что больше : 1 )	сумма	двух положительных чисел или одно из них ; 2 ) сумма двух отрицательных чисел или одно из них ? .
	Сумма	двух неправильных дробей — неправильная дробь .
379 Можно ли построить треугольник , у которого периметр равен 24 см , а	сумма	длин двух сторон — 9 см ? .
Сели	сумма	углов треугольника равна 780 ° , то сумма углов четырехугольника равна .
Какал	сумма	была положена в банк , выплачивающий доход в размере 7 % годовых , если величина вклада по истечении года составила 13375 р . ? .
Сели сумма углов треугольника равна 780 ° , то	сумма	углов четырехугольника равна .
от первоначального вклада . 12500 ( р . ) —	сумма	вклада .
Ответ :	сумма	первоначального вклада 12500 р .
в ) Если	сумма	цифр натурального числа делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Если число делится на 3 , то и	сумма	его цифр делится на 3 . д ) Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то их сумма тоже делится на это число .
298 Найди два числа ,	сумма	, произведение и частное которых равны между собой .
Так как второй множитель натуральное число , то мы можем воспользоваться “ старым ” определением , известным еще из начальной школы : ( -2 ) ∙ 3 есть	сумма	3 слагаемых , каждое из которых равно ( -2 ) .
Существуют два числа , делящихся на 7 ,	сумма	которых не делится на 7 .
Существуют две правильные дроби ,	сумма	которых не является правильной дробью .
Найди пять последовательных целых чисел ,	сумма	которых равна 5 .
Найди числа а , b , с и d , если а : b = 1:2 , b : с = 3:4 , с : d = 2 : 7 , а их	сумма	равна 90 .
а ) модуль числа , противоположного удвоенному произведению чисел а и b . б )	сумма	модулей чисел с и d ( с = -0,8 ; d = 0,7 ) .
Существуют две правильные дроби ,	сумма	которых является неправильной дробью .
В левой части уравнения числа ( -1,2 ) и ( -х ) — это слагаемые , а в правой части число ( -0,9 ) — это	сумма	.
Для ложных утверждений приведи контрпример , а верные — докажи правильно . 1 ) Сумма двух простых чисел — простое число : например , 2 — простое , 3 — простое , и их	сумма	2 + 3 = 5- тоже простое .
Тогда в скобках останется	сумма	коэффициентов слагаемых , равная ( -10 ) .
Найди три числа , если известно , что первое число относится ко второму как 3 : 8 , второе к третьему — как 2 : 5 , а	сумма	первого и третьего равна 4,6 .
Если число делится на 3 , то и сумма его цифр делится на 3 . д ) Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то их	сумма	тоже делится на это число .
а )	сумма	противоположных чисел равна 0 .
Если при делении на 5 одно число дает в остатке 2 , а другое — 3 , то их	сумма	кратна 5 : например , числа 12 и 13 дают при делении на 5 остатки , соответственно , 2 и 3 , а их сумма 12 + 13 = 25 делится на 5 . 4 )
Если при делении на 5 одно число дает в остатке 2 , а другое — 3 , то их сумма кратна 5 : например , числа 12 и 13 дают при делении на 5 остатки , соответственно , 2 и 3 , а их	сумма	12 + 13 = 25 делится на 5 . 4 )
От перемены мест слагаемых	сумма	не меняется .
Еще раз обратим внимание на то , что	сумма	противоположных слагаемых равна 0 , а сложение с 0 не изменяет результата .
Какой будет эта	сумма	через : а ) 4 года . б ) 9 лет ; в ) 12 лет ; г ) 25 лет ? .
	Сумма	цифр числа n кратна 9 .
Сумма двух взаимно простых чисел — число простое : например , числа 9 и 14 взаимно просты , и их	сумма	9 + 14 = 23 — число простое .
Если меньшее число увеличить на 50 % , а большее уменьшить на 40 % , то их	сумма	не изменится .
428 Начальная	сумма	составляет 500 р .
Какой будет эта	сумма	через : а ) 2 месяца ; б ) 5 месяцев .
Какая	сумма	денег была выплачена за эту работу каждому оператору , если стоимость страницы набора была постоянна ? .
Ответ : при простом проценте будет	сумма	7000 р . , а при сложном — 7346,64 р .
454 Какой была начальная	сумма	, если при ежемесячном уменьшении на 20 % она за 3 месяца сократилась до : а ) 1600 р . ; б ) 480 р . ;
Так как	сумма	двух частей составляет 12 млн р . , то значение к должно удовлетворять равенству .
а ) Число х в 2 раза больше , чем число у , тогда и только тогда , когда х = 2у . б ) Для того чтобы число а было кратно 3 , необходимо и достаточно , чтобы	сумма	цифр числа а была кратна 3 .
Где расположено множество точек ,	сумма	абсциссы и ординаты которых больше 5 , меньше 5 ?
При простом процентном росте через 5 лет	сумма	составит а при сложном .
И вообще ,	сумма	двух противоположных чисел равна нулю .
Существуют натуральные числа ,	сумма	которых не превышает их разности .
Чему равна скорость обоих поездов , если	сумма	их скоростей равна 140 км / ч ? .
А именно , через год начальная	сумма	увеличится на 10 % , то есть составит 110 % от начальной , или , другими словами , увеличится в 1,1 раза .
В следующем году новая , уже увеличенная	сумма	тоже увеличится на те же 10 % .
Следовательно , через 2 года начальная	сумма	увеличится в 1,1 ∙ 1,1 = 1,12 раз .
Задачу можно было бы решить и иначе : найти сначала , сколько процентов составит	сумма	на счете в конце года от первоначальной — 100 % + 10 % = 110 % , а затем вычислить 110 % от 4500 рублей .
Еще через один год и эта	сумма	увеличится в 1,1 раза , так что начальная сумма увеличится в 1,1 ∙ 1,12 = 1,13 раз .
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза , так что начальная	сумма	увеличится в 1,1 ∙ 1,12 = 1,13 раз .
256 Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет 60 % длины , высота на 20 % больше ширины , а	сумма	трех его измерений равна 5,8 дм .
Ка кая	сумма	будет на счете клиента банка черев 5 лет : а ) при начислении банком простых процентов ; б ) при начислении банком сложных процентов ? .
Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых , внесенная	сумма	равна S р . , а сумма , которая будет на счете через n лет , равна Sn р .
Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых , внесенная сумма равна S р . , а	сумма	, которая будет на счете через n лет , равна Sn р .
Величина р% от S составляет и через год на счете окажется	сумма	, то есть начальная сумма увеличится в 1 + раз .
Величина р% от S составляет и через год на счете окажется сумма , то есть начальная	сумма	увеличится в 1 + раз .
За следующий год	сумма	увеличится во столько же раз , и поэтому через два года на счете будет сумма .
Какая	сумма	будет на его счете через 4 года , если банк начисляет доход в размере 5 % в год ( простые проценты ) ? .
Какая	сумма	будет на срочном счете вкладчика через 4 года , если банк начисляет доход в размере 10 % годовых и внесенная сумма равна 2000 р . ? .
Раздели число 360 в отношении 2 : 2,5 : 4,5 . б ) Площади трех участков земли находятся в отношении , а	сумма	их площадей равна 90 га .
Какая сумма будет на срочном счете вкладчика через 4 года , если банк начисляет доход в размере 10 % годовых и внесенная	сумма	равна 2000 р . ? .
Банк начисляет 8 % годовых , а внесенная	сумма	равна 5000 р .
Ответ : через 4 года на срочном счете будет	сумма	2928,2 р .
Существуют числа , кратные трем ,	сумма	которых не делится на 3 .
Через сколько месяцев г > та	сумма	возрастет до : а ) 115 р . ;
Верно ли начислена пеня , если при квартплате 1500 р . , величине пени 0,1 % за день просрочки и просрочке на 24 дня	сумма	к оплате составила 1544 р . ?
453 Начальная	сумма	составляет 100 р .
Если	сумма	двух чисел является натуральным числом , то эти числа — натуральные .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что	сумма	четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n	сумма	удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
Через сколько лет эта	сумма	сократится до : а ) 750 р . ;
На каком из вкладов через 3 года	сумма	будет больше и на сколько ? .
430 Какой была начальная	сумма	, если при ежемесячном увеличении на 20 % от первоначальной суммы она за 3 месяца возросла до : а ) 1600 р .
4321 “ Начальная	сумма	составляет 50 тыс. р .
Найти трехзначное число ,	сумма	цифр и произведение цифр которого равны 6 .
Найти четырехзначное число ,	сумма	цифр которого равна 2 , а произведение 0 .
440 Сколько процентов составляет пеня за несвоевременную квартирную плату , если за 20 дней просрочки	сумма	квартплаты увеличилась : а ) с 1500 до 1530 р . ;
Разложить число 10 на 2 слагаемых ,	сумма	квадратов которых равна 58 .
	Сумма	, если одно слагаемое увеличить на 5 , а другое увеличить на 4 . 2 ) разность , если уменьшаемое увеличить на 5 , а вычитаемое увеличить на 4 . 3 ) произведение , если один множитель уменьшить в 3 раза , а другой — уменьшить в 6 раз .
Можно найти такие два натуральных числа ,	сумма	которых равна их произведению .
593 Построй на координатной плоскости несколько точек М ( х ; у ) , у которых	сумма	абсциссы и ординаты равна 5 .
Действительно ,	сумма	натуральных чисел х и 4 всегда больше 4 , поэтому она не может быть равна 2 .
Выплачена ли вся	сумма	, если .
Алгебраическая	сумма	.
Геометрические фигуры могут « встретиться » в вершине паркета только тогда , когда	сумма	их углов составляет 360 ° , иначе они не сомкнутся вокруг вершины или « налезут » друг на друга .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое — не делится на это число , то их	сумма	.
Чему равно среднее арифметическое этих чисел , если	сумма	первых двух равна 8 ? .
а ) Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их	сумма	.
Используя рисунки , покажи , что	сумма	площадей квадратов , построенных на катетах , равна площади квадрата , построенного на гипотенузе .
Утроенная	сумма	чисел а и b . 3 )
По условию ,	сумма	всех частей равна 180 кг , значит .
462 Какая	сумма	будет на срочном вкладе через 3 года , если на него положены 2000 р .
На 80 % полученной прибыли они закупили оборудование , а остальные деньги распределили пропорционально вложенным	суммам	.
Поэтому такие выражения часто называют алгебраическими суммами , или просто	суммами	, — несмотря на то что в них встречаются и знаки “ минус ” .
Поэтому такие выражения часто называют алгебраическими	суммами	, или просто суммами , — несмотря на то что в них встречаются и знаки “ минус ” .
364 1 ) Какой должна быть заработная плата , чтобы после уплаты налогов и процентов по кредитам , составляющим в	сумме	25 % от начисленной зарплаты , работник получил 12000 р . ? .
393 В	сумме	, разности , произведении и частном чисел x и y изменены компоненты действий .
465 Подбери неизвестные слагаемые в	сумме	.
70 Сократима ли дробь , которая в	сумме	с данной правильной несократимой дробью дает 1 ?
Например , периметр прямоугольника равен удвоенной	сумме	его сторон Р = 2(а + b ) , а вовсе не их произведению .
Найди все натуральные числа , равные утроенной	сумме	своих цифр .
Запиши числа , противоположное и обратное : а ) числу х ; б ) кубу числа у ; в )	сумме	чисел а и b ; г ) разности чисел m и n .
166 При сложении двух натуральных чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в	сумме	6641 вместо 2411 .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное	сумме	двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
Поэтому , если в	сумме	есть противоположные слагаемые , их обычно вычеркивают , или , как принято говорить , “ взаимно уничтожают ” .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно	сумме	чисел , обратных множителям .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное	сумме	квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
5 ) Чтобы к	сумме	двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Если объединение слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала сложить положительные числа , затем сложить отрицательные числа и к первой	сумме	прибавить вторую .
Согласно известной теореме Пифагора , квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен	сумме	квадратов катетов , поэтому .
439 Переставь слагаемые в	сумме	всеми возможными способами .
Есть ли в этой	сумме	противоположные слагаемые ?
434 Подбери неизвестные слагаемые в	сумме	.
В первый год он истратил 100 фунтов , а к оставшейся	сумме	добавил третью ее часть .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное	сумме	двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно	сумме	чисел , противоположных слагаемым .
259 Трем победителям соревнований по большому теннису присуждены денежные премии общей	суммой	15 млн р .
И наоборот , полученное выражение можно прочитать как	сумму	чисел -4 , +5 , -3 , +1 и -2 .
Найди	сумму	четырех чисел , если их среднее арифметическое равно 29 .
3 ) На некоторую	сумму	денег можно купить 12 порций мороженого .
293 Вычисли	сумму	, представляя каждое слагаемое в виде разности дробей с числителями , равными 1 .
У Миши были двухрублевые и пятирублевые монеты на общую	сумму	77 руб. Всего монет было 25 .
а ) К утроенной разности чисел тип прибавить их удвоенную	сумму	.
На основании переместительного и сочетательного свойств сложения во внутренних скобках числителя	сумму	2,375 + 0,625 можно заменить числом 3 .
Так ,	сумму	чисел можно записать короче : ( -4 ) + ( +5 ) + ( -3 ) + ( +1 ) + ( -2 ) .
493 Сравни	сумму	длин всех ребер ( L ) , объем ( V ) и площадь ( S ) полной поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда .
Для раскрытия скобок в выражениях , содержащих умножение числа на	сумму	, используется распределительное свойство умножения .
Найди значение этого выражения , не вычисляя	сумму	.
Измерь углы четырехугольника ABCD и найди их	сумму	.
Вычисли	сумму	квадратов синуса и косинуса угла А .
Какую	сумму	денег может получить через год человек , вложивший в этот банк 4500 р . ‘ ? .
36 Всегда ли можно записать в виде конечной десятичной дроби	сумму	, разность , произведение и частное двух десятичных дробей ?
Поэтому , если клиент внес	сумму	S , то через n месяцев на его счете будет и мы вновь получаем , что . Мы получили в точности ту же самую формулу , что и в примере с квартплатой , хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл : в первом примере n — число дней , а во втором n — число месяцев , в первом примере S — величина квартплаты , а во втором S — сумма вклада , внесенная в банк .
512 Запиши в виде произведения	сумму	.
При какой месячной процентной ставке вклад на	сумму	1000 р . увеличится за год до 1060 р . ? .
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся	сумму	на третью ее часть .
Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найди величину угла АОС , считая	сумму	углов треугольника равной 180 ° .
Купец имел некоторую	сумму	денег .
Проценты . Недели . 436 С помощью диаграммы изменения остаточной стоимости медиапроектора , купленного в 2002 г. , определи : а ) срок его службы ; б ) стоимость при покупке ; в ) накопленный износ ( т.е. общую	сумму	уменьшения стоимости ) на начало 2009 года ; г ) остаточную стоимость в 2009 году ( остаточная стоимость равна разности первоначальной стоимости и накопленного износа ) .
439 Под какой процент годовых , считая от первоначальной суммы , надо положить в банк	сумму	1 тыс. р . , чтобы по истечении восьми лет получить .
420 По условию задачи 388 вычисли	сумму	ежегодного налога на участки земли под индивидуальными гаражами , изображенные на рисунках .
На сколько дней была задержана квартирная плата , если на	сумму	2000 р .
Сравни	сумму	длин оснований с длиной средней линии .
Какую	сумму	нужно будет заплатить за земельный налог , равный 80 р . , в случае уплаты его : а ) 25 сентября текущего года ; б ) 15 ноября текущего года ; в ) 20 февраля следующего года ? .
Вычисли	сумму	, в которую обойдется покупка в этой фирме комплекта мебели из 6 стульев , 6 столов , 1 шкафа и 3 стеллажей .
Если же вкладчик этого не сделал , то проценты присоединяются к начальному вкладу , и поэтому в конце следующего года 10 % начисляются банком уже на новую , увеличенную	сумму	.
261 Найди	сумму	.
314 Запиши	сумму	чисел и найди ее с помощью координатной прямой .
Как распределить между ними выплаченную	сумму	пропорционально их производительности ? .
468 Коммерческий банк выплачивает доход вкладчикам , исходя из следующих годовых процентных ставок : 3 месяца — 4 % ; б месяцев — 8,5 % ; 12 месяцев — 18 % . 1 ) Какую	сумму	должен выплатить банк по вкладу , равному 2000 р . , если договор заключен : а ) на 3 месяца ; б ) на 6 месяцев ; в ) на 12 месяцев ? .
463 Пользуясь алгоритмом сложения рациональных чисел , найди	сумму	.
5 ) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить	сумму	второго и третьего .
Какую	сумму	надо будет внести в кассу , если квартплата составляет 1600 р . , а платеж просрочен на : а ) 20 дней .
429 Пользуясь алгоритмом сложения рациональных чисел , найди	сумму	.
покупатель должен заплатить по первой строчке , то есть всю	сумму	8000 р . , за товар стоимостью 40000 р .
Во вторник в одном из таких магазинов был куплен набор кухонной мебели на	сумму	24000 р .
Какую	сумму	он получил в банке ? .
На какую	сумму	увеличился их товарооборот ?
На какую	сумму	агенту надо найти заказ , чтобы заработать 2000 р . ? .
Какую	сумму	получит клиент в рублях , если он предъявит чеки на 400 долларов и курс обмена составит 33,5 р .
На какое вознаграждение может рассчитывать дилер , если он нашел подходящий заказ на	сумму	20000 р . ? .
В какую	сумму	вклад превратится через год , если банк начисляет доход в размере 4 % годовых ? .
Для этого составим	сумму	произведений и применим к ней сначала распределительное свойство умножения , а затем свойство суммы противоположных чисел .
119 При какой месячной процентной ставке ( простой процентный рост ) вклад на	сумму	5000 р .
Например , в разные месяцы человек часто получает разный доход , и для того , чтобы оценить , много или мало он зарабатывает , он обычно берет всю	сумму	, заработанную им за год , и делит ее на 12 — получается так называемый среднемесячный доход .
Задумали число , увеличили его на 7 ,	сумму	умножили на 3 , к произведению прибавили 4 и из результата вычли утроенное задуманное число .
477 Выполни предыдущее задание , представляя выражения в виде алгебраической	суммы	.
484 Раскрой скобки в выражении а - ( b + с ) и переведи с математического языка на русский правило вычитания	суммы	из числа .
И вообще , выражения , в которых содержатся одновременно плюсы и минусы , можно записать в виде	суммы	.
Произведение	суммы	и разности чисел с и d на 90 % меньше суммы их кубов .
а ) произведение квадрата	суммы	чисел а и b и куба разности чисел а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и разности квадратов чисел бис .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату	суммы	чисел а и b .
Первое число составляет 24 % всей	суммы	и — второго числа , а третье и четвертое относятся как .
Ширина прямоугольного параллелепипеда n м , длина в 1,5 раза больше ширины , а высота составляет 24 %	суммы	длины и ширины .
в ) разность удвоенного произведения квадратов чисел а и b и утроенного числа с . г ) число , противоположное квадрату	суммы	утроенного числа а и частного чисел b и с .
Произведение суммы и разности чисел с и d на 90 % меньше	суммы	их кубов .
Частное	суммы	двух чисел и первого из них в 12 раз меньше разности квадратов первого и второго числа .
квадрат	суммы	удвоенного числа х и частного чисел у и z .
Правила знаков при раскрытии скобок позволяют упростить запись	суммы	.
423 Запиши данные изменения в виде	суммы	рациональных чисел и выполни действия .
Произведение двух однозначных натуральных чисел на 7 больше их	суммы	.
Представление выражений в виде алгебраической	суммы	позволяет упрощать вычисления .
Чтобы найти неизвестное слагаемое , из	суммы	надо вычесть известное слагаемое .
правило вычитания числа из	суммы	.
430 Определи знак	суммы	.
Куб	суммы	удвоенного числа x и числа y. .
правило вычитания	суммы	из числа .
8) правила деления	суммы	и разности на число .
Значит , любое выражение , содержащее только знаки сложения и вычитания , можно записать в виде алгебраической	суммы	, например , а значения алгебраических сумм мы уже вычислять умеем .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника , б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше	суммы	первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
409 Найди квадрат	суммы	чисел А и В .
438 Запиши выражение в виде	суммы	и назови противоположные слагаемые , если они есть .
4 ) При перестановке слагаемых значение	суммы	не меняется .
437 Раскрой скобки и запиши выражение в виде алгебраической	суммы	.
Раскроем скобки и вычислим значение полученной алгебраической	суммы	.
429 Сумма в 1 тыс. р . уменьшается ежегодно на 5 % от первоначальной	суммы	.
439 Под какой процент годовых , считая от первоначальной	суммы	, надо положить в банк сумму 1 тыс. р . , чтобы по истечении восьми лет получить .
Для этого составим сумму произведений и применим к ней сначала распределительное свойство умножения , а затем свойство	суммы	противоположных чисел .
а ) в первый раз выплачено 75 % всей суммы , а во второй — 20 % всей	суммы	.
Представь эти числа в виде	суммы	разрядных слагаемых .
в первый раз выплачено 75 % всей	суммы	, а во второй — 25 % остатка ?
450 Пеня за несвоевременную квартирную плату в городе N начисляется в размере 0,1 % от неуплаченной	суммы	за каждый день просрочки .
г ) Зарплату рабочего , равную n р . , повысили сначала на 10 % , а потом еще на 40 % от новой	суммы	.
Так , если пеня составляет 0,1 % от	суммы	квартплаты за каждый день просрочки , то , например , за 19 дней просрочки сумма составит 1,9 % от суммы квартплаты .
и написал поручение ежемесячно перечислять 5 % от этой	суммы	за квартплату .
Квадрат	суммы	чисел а и b равен 34 ( а = 5 , b = 3 ) .
250 Запиши в общем виде правила деления	суммы	, разности и произведения на число .
353 1 ) За поиск покупателей фирма предлагает своему агенту - дилеру вознаграждение в размере 6 % от	суммы	заказа .
Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления	суммы	этих чисел на число слагаемых .
Так , если пеня составляет 0,1 % от суммы квартплаты за каждый день просрочки , то , например , за 19 дней просрочки сумма составит 1,9 % от	суммы	квартплаты .
и ежегодно увеличивается на 20 % , считая от начальной	суммы	” .
Квадрат	суммы	чисел 2 . , 2 .
Сколько надо заплатить за квартиру , если квартплата составляет 1400 р . , пеня — 0,1 % от	суммы	квартплаты за день просрочки и квартплата просрочена : а ) на 5 дней ; б ) на 30 дней ; в ) на 120 дней ? .
При переводе из троичной системы в десятичную надо представить число в виде	суммы	разрядных слагаемых и найти значение полученного выражения .
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде	суммы	разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц доход в размере p% от внесенной	суммы	.
Рассмотри теперь квадраты размером 3x3 клетки и найди в них группы из трех чисел ,	суммы	которых будут одинаковы .
На основании правил прибавления суммы к числу и вычитания	суммы	из числа имеем .
Каким будет остаток при делении на 9 их	суммы	? .
430 Какой была начальная сумма , если при ежемесячном увеличении на 20 % от первоначальной	суммы	она за 3 месяца возросла до : а ) 1600 р .
278 Семья израсходовала 35 % своего месячного дохода на питание , седьмую часть	суммы	на питание — на коммунальные услуги , 80 % остатка — на покупки , а остальные 3000 р .
Разница законов простого и сложного роста состоит в том , что при простом росте процент каждый раз исчисляют , исходя из начального значения величины , а при сложном росте — исходя из	суммы	последнего начисления .
б ) правило вычитания	суммы	из числа .
502 Раскрой скобки и найди значение полученной алгебраической	суммы	.
Подставим в формулу простого процентного роста величину годовой процентной ставки р = 4 , количество лет и конечной	суммы	Sn — 5356 .
а ) правило прибавления	суммы	к числу .
Еще с младших классов нам известно , что одним процентом от любой величины — денежной	суммы	, числа учащихся школы и т .
Подставим в формулу простого процентного роста величину начального вклада S = 1000 , конечной	суммы	Sn = 1060 и числа месяцев n = 12 .
Раскроем скобки в данном выражении и вычислим значение полученной алгебраической	суммы	.
и увеличивается ежегодно на 10 % от начальной	суммы	.
и уменьшается ежемесячно на 4 % от первоначальной	суммы	.
В банках России для некоторых видов вкладов ( так называемых срочных вкладов , которые нельзя взять раньше , чем через определенный договором срок , например , через год ) принята следующая система выплаты доходов : за первый год нахождения внесенной	суммы	на счете доход составляет , например , 10 % от нее .
а ) в первый раз выплачено 75 % всей	суммы	, а во второй — 20 % всей суммы .
10 % от новой	суммы	1100 р . составляют 0,1 ∙ 1100 = 110 р . , следовательно , через 2 года на его счете будет .
Из удвоенной	суммы	чисел х и у вычесть разность утроенного числа д : и числа у .
Банк выплачивает вкладчикам каждый день 0,008 % от внесен ной	суммы	.
10 % от новой	суммы	1210 р . составляют 0,1 ∙ 1210 = 121 р . , следовательно , через 3 года на его счете будет .
Выбери внутри него любой квадрат размером 2x2 клетки и сравни	суммы	, записанные по его диагоналям .
Будут ли обладать этим же свойством аналогичные	суммы	в любом другом квадрате размером 2x2 клетки ?
Каким будет остаток при делении на 7	суммы	этих двух чисел ? .
Нетрудно представить себе , сколько при таком непосредственном , “ лобовом ” подсчете понадобилось бы времени для нахождения	суммы	вклада через 20 лет .
В городе N при внесении квартирной платы за каждый день просрочки платежа начисляется пеня в размере 0,1 % от	суммы	платежа .
Таким образом , при умножении	суммы	на число можно применять те же самые правила раскрытия скобок .
506 Сравни	суммы	длин всех ребер , объемы и площади поверхности куба с ребром 7 м и прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 м , 5 м и 6 м .
На основании правил прибавления	суммы	к числу и вычитания суммы из числа имеем .
Поверхность шара имеет специальное название —	сфера	.
в ) На сколько частей делится	сфера	одной большой окружностью , 2 большими окружностями , 3 большими окружностями , имеющими общий диаметр ? .
514 а ) Сколько больших окружностей можно провести на	сфере	через одну точку ?
515 На	сфере	проведены две большие окружности .
Особенностью	сферической	поверхности является то , что ее невозможно « развернуть » на плоскости .
На совете акционеров говорилось : “ Две трети планируемых инвестиций направлены в производство , значит , на социальную	сферу	остается 30 % ” .
Значит , правила логического вывода зависят не от конкретных понятий , а от логических связей между ними , и именно поэтому их можно распространить на любую науку и любую	сферу	человеческой деятельности .
У шара и	сферы	, так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и диаметр .
площадь	сферы	S также пропорциональна квадрату радиуса ( S = 4πr2 ) » а объем шара V — кубу радиуса ( V = πr3 ) .
Сколько граней	сходится	к одной вершине ? .
Именно поэтому в треугольном паркете в каждой вершине	сходится	шесть фигур , в квадратном — четыре , в шестиугольном — три .
711 Сколько ребер и сколько граней	сходится	в вершине тетраэдра , гексаэдра , октаэдра , додекаэдра , икосаэдра ?
Если возможно , то покажи , как многоугольники «	сходятся	» в общей вершине .
Однако при исследовании свойств геометрических	тел	мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной фигуры не всегда совпадает с ее реальной формой : окружность превращается в эллипс — « сплющенную » окружность , изменяются углы между прямыми и отрезками и т .
477 а ) Какие из геометрических	тел	— конус , прямоугольный параллелепипед , цилиндр , шар , пирамида , куб — являются многогранниками ? .
Из правильных многогранников — платоновых	тел	— можно получить так называемые полу правильные многогранники , или архимедовы тела .
Несколько примеров архимедовых	тел	приведено .
И , несмотря на то что геометрия и алгебра имеют разные предметы исследования — геометрия изучает пространственные формы	тел	, а алгебра — количественные отношения , общим фундаментом алгебры и геометрии являются законы логики .
Само название этих	тел	напоминает нам о том , что геометрические фигуры являются образами предметов окружающего мира .
Среди множества разнообразных геометрических	тел	выделяют классы фигур , обладающих общим признаком .
При сечении цилиндра , конуса или любого	тела	вращения плоскостью , содержащей ось вращения , получается осевое сечение .
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются правильные многогранники — геометрические	тела	, у которых все грани — равные правильные многоугольники , а углы между гранями равны .
451 Какие геометрические	тела	изображены ?
Один из таких классов образуют многогранники — геометрические	тела	, поверхность которых состоит из граней , то есть частей плоскости , ограниченных многоугольниками .
А виды сечений определяются взаимным расположением геометрического	тела	и секущей его плоскости .
Все осевые сечения одного	тела	вращения равны между собой .
517 Нарисуй в масштабе 2 : 1 геометрические	тела	, которые получаются при вращении вокруг прямой l данных фигур .
А продолжение их граней и ребер позволяет получить звездчатые многогранники , или	тела	Кеплера Пуансо .
526 Количество теплоты Q , необходимое для нагревания физического	тела	, можно вычислить по формуле : где с — удельная теплоемкость вещества , m — масса тела , t1 — начальная и t2 — конечная температуры тела .
Из правильных многогранников — платоновых тел — можно получить так называемые полу правильные многогранники , или архимедовы	тела	.
732 Начерти в масштабе 1 : 4 три проекции	тела	, изображенного и вычисли его объем , если АВ = ААl = AF = 20 см , ВС = 12 см , CD = 8 см .
546 Найди объем	тела	, изображенного , и построй три его проекции в масштабе 1:10 .
526 Количество теплоты Q , необходимое для нагревания физического тела , можно вычислить по формуле : где с — удельная теплоемкость вещества , m — масса	тела	, t1 — начальная и t2 — конечная температуры тела .
526 Количество теплоты Q , необходимое для нагревания физического тела , можно вычислить по формуле : где с — удельная теплоемкость вещества , m — масса тела , t1 — начальная и t2 — конечная температуры	тела	.
В произведениях великих композиторов , художников , архитекторов удивительным образом обнаруживаются одни и те же пропорции , совпадающие и с пропорциями человеческого	тела	, и с закономерностями расположения листьев на растениях .
Всюду здесь сочетание повторяющихся элементов создает ощущение соразмерности , порядка , гармонии , а изменчивость узора , окраски , положений	тела	, разнообразные башенки и завитки придают некую « изюминку » , индивидуальность и неповторимость .
Где F — сила упругости при растяжении ( сжатии ) упругого тела , k — коэффициент упругости этого	тела	, х — изменение его длины .
529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело , которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали , если длина диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого	тела	.
Где F — сила упругости при растяжении ( сжатии ) упругого	тела	, k — коэффициент упругости этого тела , х — изменение его длины .
Простейшими	телами	вращения являются цилиндр и конус .
Наблюдаемые нами пространственные фигуры называют также геометрическими	телами	.
В геометрии такие фигуры называются	телами	вращения .
Они обладают « наибольшей » симметрией , поэтому в древности их называли « идеальными » , « космическими »	телами	, а древнегреческий философ Платон считал , что они олицетворяют сущность природы .
Поэтому их называют еще	телами	Платона .
532 Скорость v , с которой	тело	движется по окружности , можно вычислить по формуле .
529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое	тело	, которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали , если длина диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого тела .
512 Нарисуй в масштабе 1 : 4	тело	вращения и три его проекции , если оно получается в результате вращения .
84 Расстояние h , которое проходит в вакууме падающее вниз	тело	, не зависит от его массы , а зависит лишь от времени падения t.
Согласно известной	теореме	Пифагора , квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов , поэтому .
Доказательство этого равенства , называемого	теоремой	Пифагора , было известно уже в V веке до н .
Попробуй доказать ее в общем виде , используя	теорему	Пифагора .
По числу граней их называют	тетраэдр	( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
	Тетраэдр	.
усеченный	тетраэдр	.
А вот точки М и N не принадлежат одновременно ни одной из граней	тетраэдра	, поэтому отрезок MN находится внутри него .
711 Сколько ребер и сколько граней сходится в вершине	тетраэдра	, гексаэдра , октаэдра , додекаэдра , икосаэдра ?
б ) Построй сечение	тетраэдра	ABCD плоскостью , проходящей через его вершины — А , В и середину М ребра CD .
714 а ) Какие многоугольники могут получаться при пересечении плоскостью правильного	тетраэдра	, гексаэдра ( куба ) ?
508 На ребре AD	тетраэдра	ABCD отметили точку М , на ребре АС — точку N , а на ребре ВС — точку К. Построй сечение тетраэдра ABCD плоскостью а , проходящей через точки М , N я К .
Построение сечения для этого случая показано : прямые МК и АВ продолжены до их пересечения в точке Р. Значит , прямая PN , а вместе с ней и ее точка Т лежат в плоскости а , и теперь можно построить пересечение ее с каждой гранью	тетраэдра	.
При пересечении	тетраэдра	с плоскостью могут образоваться точка , отрезок , треугольник или четырехугольник .
Например , сечением	тетраэдра	плоскостью а , проходящей через точки М , N и К , является треугольник MNK .
Многоугольник с большим числом сторон в качестве сечения получиться не может , так как граней у	тетраэдра	всего четыре .
500 Склей из бумаги модель	тетраэдра	, гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 10 см .
508 На ребре AD тетраэдра ABCD отметили точку М , на ребре АС — точку N , а на ребре ВС — точку К. Построй сечение	тетраэдра	ABCD плоскостью а , проходящей через точки М , N я К .
Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников , поэтому треугольную пирамиду называют еще	тетраэдром	( от латинского tetra — четыре ) .
Составь 5 двусложных слов из слогов , используя все эти слоги : ма , тон , дус , ко ,	тор	, сум , нус , на , гра , кван .
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из	точек	пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Значит , наша задача сводится к нахождению двух общих	точек	плоскости а и каждой грани куба , которую она пересекает .
Найди координаты ее	точек	пересечения с осями координат .
572 Найди длину отрезка АВ координатной прямой , если координаты	точек	А и В равны значениям выражений .
Удивительным является и то , что некоторые из четырех замечательных	точек	связаны определенными соотношениями .
Сколько	точек	отмечено в каждом случае ?
Сколько	точек	пересечения могут иметь две различные прямые ? .
Поэтому окружность можно определить как множество всех	точек	плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от одной заданной точки .
С координатами мы уже не раз встречались и в математике : обозначали с помощью чисел положение	точек	координатной прямой и координатного угла .
Окружностью называется фигура , состоящая из всех	точек	плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Отметь несколько таких	точек	.
366 Определи координаты	точек	А , В , С и D .
Треугольником называется фигура , состоящая из трех	точек	, не лежащих на одной прямой , и трех отрезков , соединяющих эти точки .
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из	точек	пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
Но свойства этих	точек	далеко не исчерпывают всех свойств треугольника .
в ) Окружностью называется множество всех	точек	плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемой центром окружности .
На бумаге в клетку отмечены шесть	точек	.
Определи свойство тех	точек	пересечения , которые не являются основаниями высот .
А сколько на самом деле	точек	пересечения ? .
а ) прямая l не имеет с окружностью общих	точек	; б ) прямая l касается окружности ; в ) прямая l пересекает окружность в двух точках .
Рассмотри взаимное расположение	точек	О , М и Н и найди отношение отрезков ОМ : МН .
566 Приведи примеры	точек	координатной прямой , координаты которых не принадлежат множеству рациональных чисел .
Запиши координаты	точек	С , D и Е .
Отметь на координатной плоскости несколько	точек	, абсцисса которых равна -2 .
169 Определи координаты	точек	А , Б , С и О. Назови их абсциссы и ординаты .
Что можно сказать о координатах этих	точек	? .
Найди координаты	точек	пересечения сторон треугольника с осями координат .
Найди их характеристическое свойство и сформулируй определение	точек	, симметричных относительно прямой l.
Особенностью центрально - симметричных	точек	является то , что они не только равноудалены от центра О , но и лежат на одной прямой с ним .
Сколько	точек	пересечения могут иметь две окружности ? .
6 ) ( С — множество	точек	окружности с центром О ) .
Чтобы перейти от рисунка к определению , как мы уже знаем , нужно выявить характеристические свойства	точек	во всех видах симметрии .
Найди приближенное значение координат	точек	пересечения этих окружностей ( 1 ед .
А если	точек	3 , 4 , 10 , n ? .
291 Начерти на координатной плоскости произвольный отрезок , абсциссы и ординаты	точек	которого удовлетворяют данным неравенствам .
Проведи те же самые построения и измерения еще для двух	точек	окружности .
494 На ребрах куба отметили две точки А и В. Через эти точки провели прямую , на которой отметили еще 6	точек	.
337 Расположи 5	точек	в множествах А и В , изображенных на рисунке , так , чтобы : а ) в одном из них было 2 точки , а в другом 4 ; б ) в каждом из них было по 3 точки ; в ) в одном из них было 3 точки , а в другом 5 ; г ) в каждом из них было по 4 точки ; д ) в одном из них было 2 точки , а в другом 5 .
593 Построй на координатной плоскости несколько	точек	М ( х ; у ) , у которых сумма абсциссы и ординаты равна 5 .
Задай с помощью двойных неравенств : а ) множество абсцисс всех	точек	прямоугольника .
множество ординат всех	точек	прямоугольника .
Где расположено множество	точек	, сумма абсциссы и ординаты которых больше 5 , меньше 5 ?
а ) Параллельные прямые не имеют общих	точек	.
290 Отметь на координатной прямой цветным карандашом множество	точек	, удовлетворяющее данному неравенству .
359 Сколько общих	точек	могут иметь прямая и окружность ?
364 Найди координаты	точек	координатной прямой , удаленных : а ) на 3 единицы от точки А ( 1 ) ; б ) на 2 единицы от точки В ( -1 ) ; в ) на 4 единицы от начала координат .
Найди координаты	точек	пересечения этой окружности с прямой ВС , если В ( -5 ; 7 ) , С ( 4 ; -2 ) .
Сколько	точек	пересечения могут иметь прямая и окружность ? .
Проведи необходимые измерения и определи , в каком отношении делит отрезок АВ	точка	С , точка D . 176 а ) Построй прямые АВ и CD , если А ( 0 ; 8) , В ( 5 ; -2 ) , С ( -6 ; 0 ) , D ( 4 ; 5 ) .
Если какая - нибудь плоскость пересекает шар , то пересечением является либо	точка	, либо круг .
Это определение окружности опирается на понятия « множество » , «	точка	» , « расстояние » , « одинаковый » , « плоскость » .
Построй фигуру , которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма : а ) на вектор ВС ; б ) на вектор DB ; в ) на вектор АО , где О —	точка	пересечения диагоналей параллелограмма ABCD .
При пересечении тетраэдра с плоскостью могут образоваться	точка	, отрезок , треугольник или четырехугольник .
Для каких фигур	точка	О является центром симметрии ? .
Если из вершин произвольного треугольника провести перпендикуляры на противоположные стороны ( их называют высотами ) , то все они пересекутся в одной точке Н. Эта	точка	называется ортоцентром .
Проведи необходимые измерения и определи , в каком отношении делит отрезок АВ точка С ,	точка	D . 176 а ) Построй прямые АВ и CD , если А ( 0 ; 8) , В ( 5 ; -2 ) , С ( -6 ; 0 ) , D ( 4 ; 5 ) .
Рассмотрим два случая — когда данная	точка	принадлежит прямой и когда она прямой не принадлежит .
Например ,	точка	пересечения медиан М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой , причем точка М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
А сейчас придется смириться с тем фактом , что если на координатной прямой поставить все рациональные числа , то на ней останутся “ свободные места ” — например ,	точка	А . 561 1 )
Пусть О —	точка	пересечения медиан .
в ) Какая	точка	имеет координаты ( 0 ; 0 ) ? .
К основным понятиям в геометрии относятся , прежде всего ,	точка	, прямая и плоскость .
На каком материке находится эта	точка	? .
Например ,	точка	А имеет координаты ( -3 ; 2 ) , а точка В — координаты ( 2 ; -3 ) .
Точка пересечения с осью х называется абсциссой точки М , а	точка	пересечения с осью у — ординатой .
Построение сечения для этого случая показано : прямые МК и АВ продолжены до их пересечения в точке Р. Значит , прямая PN , а вместе с ней и ее	точка	Т лежат в плоскости а , и теперь можно построить пересечение ее с каждой гранью тетраэдра .
Итак ,	точка	А1 называется результатом параллельного переноса точки А на вектор d , если вектор АА1 равен вектору d .
Эта	точка	принадлежит лучу и называется его началом .
592 Где расположена на координатной плоскости	точка	М ( х ; у ) , если .
Эта	точка	называется центром окружности .
Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан , то сможем проверить еще одно свойство :	точка	пересечения медиан делит их в отношении 2:1 , считая от вершины .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а	точка	N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
456 В прямоугольнике ABCD	точка	М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
Например , точка А имеет координаты ( -3 ; 2 ) , а	точка	В — координаты ( 2 ; -3 ) .
647 Изображена часть фигуры , центром симметрии которой является	точка	О. Начерти эту фигуру в тетради .
С помощью измерений можно убедиться , что	точка	О равноудалена от всех вершин треугольника АВС .
Например , точка пересечения медиан М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой , причем	точка	М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
674 Начерти треугольник АВС со сторонами АВ = 4 см , ВС = 2 см , АС = 5 см. Построй треугольник центрально - симметричный треугольнику АВС относительно вершины В. Является ли	точка	В центром симметрии четырехугольника ?
Любая ли	точка	числовой прямой является рациональным числом ? .
399 Какие числа соответствуют	точкам	А , В , С , D и Е координатной прямой ?
Назови точки , симметричные	точкам	С , К , D , М относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку ВО , треугольнику АОМ , четырехугольнику АОКМ , ломаной BODK , семиугольнику ABOCDKM ? .
487 Какие точки совместятся с	точками	A , D , N при склеивании развертки прямоугольного параллелепипеда ? .
На диаграмме Эйлера - Венна	точками	обозначены элементы множеств А , В , С и D , являющиеся трехзначными числами .
Все положительные числа и 0 можно изобразить	точками	координатного луча .
Как и любое расстояние между двумя	точками	, модуль не может быть отрицательным .
Например , легче нарисовать отрезок , чем дать его определение : « Отрезок — это часть прямой , ограниченная двумя	точками	» .
Известно , что расстояние между двумя	точками	на этой карте равно : 1 ) 1 см ; 2 ) 0,6 см ; 3 ) 1 , 8 дм ; 4 ) 35 мм .
Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя	точками	.
243 Отрезок MN разделен	точками	К и Т в отношении 1:2:3 , причем самая маленькая из частей отрезка на 5 дм меньше самой большой .
Как мы уже говорили , положительные числа изображаются на координатной прямой	точками	, расположенными правее 0 , отрицательные — левее 0 .
Какие из них являются	точками	пересечения прямой с ребрами куба или их продолжениями ? .
Мы познакомились с четырьмя замечательными	точками	треугольника .
а ) прямая l не имеет с окружностью общих точек ; б ) прямая l касается окружности ; в ) прямая l пересекает окружность в двух	точках	.
В обоих случаях проведем сначала окружность с центром в точке В , пересекающую прямую а в двух	точках	.
Затем вырежь треугольник АВС , расположи его горизонтально и помести на вертикальный стержень ( например , на острие карандаша или ручки ) сначала в точке О , а потом в других	точках	.
Выпиши все треугольники , вершины которых могут быть в этих	точках	.
в двух	точках	.
358 а ) Построй отрезок АВ , равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и центрами в	точках	А и В до их пересечения в точке С. Соедини точки A , R и С отрезками и определи вид треугольника АВС .
По рисунку можно предположить , что они пересеклись в четырех	точках	.
Медианы треугольника пересекаются в одной	точке	и делятся этой точкой в отношении 2 : 1 , считая от вершины .
Значит , если провести окружность с центром в	точке	О , проходящую через одну из вершин данного треугольника , то она пройдет и через две другие его вершины .
В плоскости грани провести прямую МК до ее пересечения с прямой DD в	точке	Р .
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в	точке	С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
Построй точку А1 симметричную	точке	А относительно прямой l : а ) с помощью чертежного угольника ; б ) с помощью циркуля и линейки ( без делений ) .
И вновь при точном построении мы увидим , что все три биссектрисы пересекутся в одной	точке	D .
Биссектрисы углов А и С пересекаются в	точке	О. Найди величину угла АОС , считая сумму углов треугольника равной 180 ° .
Наглядное представление о	точке	дает след , который оставляет на бумаге неподвижный остро заточенный карандаш , представление о прямой — туго натянутая тонкая нить , представление о плоскости — спокойная гладь воды .
И вновь мы наблюдаем , что и эти отрезки пересекаются в одной	точке	.
Затем закрепим кальку в	точке	О и повернем ее на некоторый угол .
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в	точке	В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
Если построение выполнено точно , то все перпендикуляры пересекутся в одной точке —	точке	О. Обратим внимание , что расположение точки О зависит от вида треугольника : у остроугольного треугольника он находится внутри , у прямоугольного — на гипотенузе , а у тупоугольного — снаружи .
Прямая а — касательная к окружности в	точке	А .
б ) Построй окружность с центром в	точке	А ( -3 ; 1 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
В обоих случаях проведем сначала окружность с центром в	точке	В , пересекающую прямую а в двух точках .
Затем вырежь треугольник АВС , расположи его горизонтально и помести на вертикальный стержень ( например , на острие карандаша или ручки ) сначала в	точке	О , а потом в других точках .
Если из вершин произвольного треугольника провести перпендикуляры на противоположные стороны ( их называют высотами ) , то все они пересекутся в одной	точке	Н. Эта точка называется ортоцентром .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в	точке	А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
Затем построим окружность с центром в	точке	А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Если построение выполнено точно , то все перпендикуляры пересекутся в одной	точке	— точке О. Обратим внимание , что расположение точки О зависит от вида треугольника : у остроугольного треугольника он находится внутри , у прямоугольного — на гипотенузе , а у тупоугольного — снаружи .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в	точке	В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
654 Проведи на бумаге без клеток прямую l и ломаную AJBCD , которая пересекает прямую l : а ) в одной	точке	; б )
Таким образом , построение упрощается : для нахождения точки А1 симметричной	точке	А относительно центра О , уже нет необходимости строить угол АОА1 , а можно просто провести прямую ОА и отложить на ней отрезок ОА1 , равный отрезку ОА .
358 а ) Построй отрезок АВ , равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и центрами в точках А и В до их пересечения в	точке	С. Соедини точки A , R и С отрезками и определи вид треугольника АВС .
в ) Построй одну окружность с центром в	точке	А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в	точке	C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Введение системы координат на плоскости позволяет сопоставить каждой	точке	ее координаты , которые могут быть как положительными , так и отрицательными числами .
Если провести окружность с центром в	точке	D и радиусом DAX , то она будет касаться всех трех сторон треугольника ( то есть будет иметь с каждой из них только одну общую точку ) .
Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности , пересекающиеся в	точке	О. Измерь длины отрезков хорд , на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
Построение сечения для этого случая показано : прямые МК и АВ продолжены до их пересечения в	точке	Р. Значит , прямая PN , а вместе с ней и ее точка Т лежат в плоскости а , и теперь можно построить пересечение ее с каждой гранью тетраэдра .
Началу отсчета —	точке	О — соответствует , как и раньше , число 0 .
Построй окружность с центром в	точке	А ( -3 ; 5 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из	точки	А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
364 Найди координаты точек координатной прямой , удаленных : а ) на 3 единицы от	точки	А ( 1 ) ; б ) на 2 единицы от точки В ( -1 ) ; в ) на 4 единицы от начала координат .
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками	точки	, получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Заметим , что , как и в случае с координатным углом , изменение порядка координат меняет положение	точки	на плоскости .
337 Расположи 5 точек в множествах А и В , изображенных на рисунке , так , чтобы : а ) в одном из них было 2	точки	, а в другом 4 ; б ) в каждом из них было по 3 точки ; в ) в одном из них было 3 точки , а в другом 5 ; г ) в каждом из них было по 4 точки ; д ) в одном из них было 2 точки , а в другом 5 .
Тот же смысл имеет предложение “ Все рассматриваемые предметы данным свойством не обладают ” — более “ корявое ” с	точки	зрения языка , но зато явно показывающее , что оно есть общее высказывание .
Выскажи гипотезу о том , где расположены все такие	точки	.
Обозначим эти	точки	В и С. Построим треугольник АХВХСХ , равный треугольнику АВС .
Таким образом , построение упрощается : для нахождения	точки	А1 симметричной точке А относительно центра О , уже нет необходимости строить угол АОА1 , а можно просто провести прямую ОА и отложить на ней отрезок ОА1 , равный отрезку ОА .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла и найдем	точки	ее пересечения со сторонами угла .
Найди координаты	точки	пересечения этих прямых .
Полученные определения позволяют строить с помощью чертежных инструментов	точки	- образы во всех рассмотренных преобразованиях .
364 Найди координаты точек координатной прямой , удаленных : а ) на 3 единицы от точки А ( 1 ) ; б ) на 2 единицы от	точки	В ( -1 ) ; в ) на 4 единицы от начала координат .
Точка А , называется результатом поворота	точки	А вокруг центра О на угол а , если : 1 ) ОА = ОА1 ; 2 ) АОА1 = а .
При повороте вокруг точки О все точки плоскости движутся по окружностям с центром О , а значит , их расстояние до	точки	О не меняется .
337 Расположи 5 точек в множествах А и В , изображенных на рисунке , так , чтобы : а ) в одном из них было 2 точки , а в другом 4 ; б ) в каждом из них было по 3	точки	; в ) в одном из них было 3 точки , а в другом 5 ; г ) в каждом из них было по 4 точки ; д ) в одном из них было 2 точки , а в другом 5 .
183 На миллиметровой бумаге проведи прямые АВ и CD и найди координаты	точки	их пересечения , если .
Найди на окружности	точки	.
Найди закономерность и запиши координаты следующей	точки	.
Построй	точки	А ( 5 ; 0 ) , В ( 1 ; 0 ) , С ( -2 ; 0 ) , D ( -4 ; 0 ) .
180 На миллиметровой бумаге отмечены	точки	А , В , С , D , Е и F. Найди их координаты .
4 Замечательные	точки	в треугольнике .
Найди длины отрезков АВ , АС , AD , ВС , BD , CD . 2 ) На координатном луче отмечены	точки	А ( а ) и В ( b ) , где b > а .
Построй координатный луч ( в = 3 см ) и отметь на нем	точки	.
Найди длину отрезка АВ и координату середины этого отрезка —	точки	М . 273 1 )
Где расположены все такие	точки	? .
При параллельном переносе все	точки	движутся по параллельным прямым .
Пусть это	точки	С и D Затем построим серединный перпендикуляр b к отрезку CD .
Найди координаты их общей	точки	.
При повороте вокруг	точки	О все точки плоскости движутся по окружностям с центром О , а значит , их расстояние до точки О не меняется .
175 Построй	точки	А ( -6 ; -3 ) , В ( 6 : 1 ) , С ( 0 ; -1 ) и D ( 3 ; 0 ) .
При повороте вокруг точки О все	точки	плоскости движутся по окружностям с центром О , а значит , их расстояние до точки О не меняется .
Точки А и А1 называются симметричными относительно	точки	О , если О является серединой отрезка АА1 .
Если построение выполнено точно , то все перпендикуляры пересекутся в одной точке — точке О. Обратим внимание , что расположение	точки	О зависит от вида треугольника : у остроугольного треугольника он находится внутри , у прямоугольного — на гипотенузе , а у тупоугольного — снаружи .
Где расположены все	точки	координатной плоскости , ордината которых равна 3 ?
615 Являются ли фигуры центрально - симметричными относительно	точки	О ?
614 Укажи угол и направление поворота вокруг	точки	О , при котором фигура переходит сама в себя .
Построй	точки	А ( 0 ; -5 ) , Б ( 0 ; -4 ) , С(0 ; -2 ) , D(0 ; 1 ) и Е(0 ; 5 ) .
При этом формулировка отрицания должна быть не только грамотной с	точки	зрения русского языка , но и удобной для дальнейшего использования в рассуждении .
Например , все точки прямой а имеют абсциссы , равные 2 , а все	точки	прямой b имеют ординаты , равные ( -3 ) .
Итак , точка А1 называется результатом параллельного переноса	точки	А на вектор d , если вектор АА1 равен вектору d .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла А и найдем ее	точки	пересечения со сторонами угла .
Обозначим эти	точки	В и С. Проведем две окружности того же радиуса с центрами в В и С и найдем их точку пересечения , принадлежащую углу , — точку М. Луч AM — биссектриса .
Поскольку обе они проходят через начало отсчета О ( 0 ; 0 ) , то координаты любой	точки	оси абсцисс имеют вид ( х ; 0 ) , а координаты любой точки оси ординат — вид ( 0 ; у ) .
Поскольку обе они проходят через начало отсчета О ( 0 ; 0 ) , то координаты любой точки оси абсцисс имеют вид ( х ; 0 ) , а координаты любой	точки	оси ординат — вид ( 0 ; у ) .
Найди координаты середины отрезка , соединяющего отмеченные	точки	.
168 Определи сколько клеток надо пройти налево или направо , вверх или вниз , чтобы попасть из	точки	О в точки А , Б , С , D .
337 Расположи 5 точек в множествах А и В , изображенных на рисунке , так , чтобы : а ) в одном из них было 2 точки , а в другом 4 ; б ) в каждом из них было по 3 точки ; в ) в одном из них было 3	точки	, а в другом 5 ; г ) в каждом из них было по 4 точки ; д ) в одном из них было 2 точки , а в другом 5 .
Запиши координаты	точки	М. Определи знаки х и у , если М принадлежит I , II , III , IV координатной четверти .
337 Расположи 5 точек в множествах А и В , изображенных на рисунке , так , чтобы : а ) в одном из них было 2 точки , а в другом 4 ; б ) в каждом из них было по 3 точки ; в ) в одном из них было 3 точки , а в другом 5 ; г ) в каждом из них было по 4	точки	; д ) в одном из них было 2 точки , а в другом 5 .
337 Расположи 5 точек в множествах А и В , изображенных на рисунке , так , чтобы : а ) в одном из них было 2 точки , а в другом 4 ; б ) в каждом из них было по 3 точки ; в ) в одном из них было 3 точки , а в другом 5 ; г ) в каждом из них было по 4 точки ; д ) в одном из них было 2	точки	, а в другом 5 .
171 Построй систему координат на плоскости и отметь	точки	А ( -3 ; 4 ) , В ( 9 ; 4 ) , С ( 9 ; -2 ) и D ( -3 ; -2 ) .
Найди координаты	точки	пересечения диагоналей четырехугольника ABCD .
Где на координатной плоскости расположены	точки	с абсциссой , равной 0 ?
Показан поворот фигуры F1 вокруг	точки	О на угол 110 ° против часовой стрелки , а элементы веера могут быть получены в результате поворотов на 20 ° как по часовой , так и против часовой стрелки .
405 Начерти произвольный треугольник АВС , построй середины его сторон —	точки	М , N и К и соедини их отрезками .
613 Определи с помощью кальки , получена ли фигура F2 из фигуры F1 с помощью поворота относительно	точки	О .
Например , все	точки	прямой а имеют абсциссы , равные 2 , а все точки прямой b имеют ординаты , равные ( -3 ) .
Через	точки	С и D пересечения окружностей проведем прямую CD .
1 Соединить	точки	М и N .
Треугольником называется фигура , состоящая из трех точек , не лежащих на одной прямой , и трех отрезков , соединяющих эти	точки	.
Чем определяется положение точки А1 , полученной в результате поворота	точки	А ?
311 Начерти координатную прямую и отметь на ней	точки	.
312 На координатной прямой даны	точки	А ( 3 ) и В ( -2 ) .
Сколько касательных к окружности можно провести из	точки	, лежащей вне окружности ?
А из	точки	, лежащей на окружности ?
Чем определяется положение	точки	А1 , полученной в результате поворота точки А ?
Действительно , точки М к N принадлежат грани ADC ,	точки	М и К — грани ADB , точки N и К — грани DBC .
508 На ребре AD тетраэдра ABCD отметили точку М , на ребре АС — точку N , а на ребре ВС — точку К. Построй сечение тетраэдра ABCD плоскостью а , проходящей через	точки	М , N я К .
642 Отметь на кальке точки О и А и поверни кальку вокруг	точки	О на угол а .
Действительно , точки М к N принадлежат грани ADC , точки М и К — грани ADB ,	точки	N и К — грани DBC .
Вместе с тем мы знаем , что для проведения прямой достаточно иметь любые две ее	точки	.
А вот	точки	М и N не принадлежат одновременно ни одной из граней тетраэдра , поэтому отрезок MN находится внутри него .
642 Отметь на кальке	точки	О и А и поверни кальку вокруг точки О на угол а .
Пусть требуется изобразить сечение куба плоскостью а , проходящей через	точки	на ребрах куба .
Эти	точки	принадлежат отрезку и называются его концами .
Правда , такое предложение с	точки	зрения литературного языка является несколько искусственным и в обычной речи почти не встречается .
Хордой окружности называется отрезок , соединяющий две ее	точки	.
Например , положение	точки	А определяется числом ( -4 ) , а положение точки В — упорядоченной парой чисел ( 5 ; 2 ) .
А в третьем предложении сказано , что А и В —	точки	, а l — прямая .
Например , положение точки А определяется числом ( -4 ) , а положение	точки	В — упорядоченной парой чисел ( 5 ; 2 ) .
б ) Замкнутая ломаная линия без самопересечений , все	точки	которой принадлежат одной плоскости , называется многоугольником .
Построй на координатной прямой точки О ( 0 ) , А ( 1 ) , В ( -3 ) , С ( 5,8 ) , D . 310 На координатной прямой отмечены	точки	А , В , С , D , Е и F. Запиши их координаты .
331 Начерти координатную прямую и отметь на ней данные	точки	.
309 Найди в тексте учебника определение координаты	точки	.
Действительно ,	точки	М к N принадлежат грани ADC , точки М и К — грани ADB , точки N и К — грани DBC .
470 Перенеси рисунок фигуры в тетрадь и построй ее сечение плоскостью , проходящей через	точки	А , В и С. Проверь правильность построения с помощью предметных моделей .
С	точки	зрения русского языка предложения в правой колонке являются довольно искусственными , однако они часто бывают удобными для их перевода на математический язык .
358 а ) Построй отрезок АВ , равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и центрами в точках А и В до их пересечения в точке С. Соедини	точки	A , R и С отрезками и определи вид треугольника АВС .
Назови точки , симметричные точкам С , К , D , М относительно	точки	О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку ВО , треугольнику АОМ , четырехугольнику АОКМ , ломаной BODK , семиугольнику ABOCDKM ? .
Число , показывающее положение	точки	на координатной прямой , называют координатой этой точки .
Число , показывающее положение точки на координатной прямой , называют координатой этой	точки	.
Таким образом , координатой	точки	А является число ( -1 ) , координатой точки В — число ( -2,5 ) , а точки С – число .
Таким образом , координатой точки А является число ( -1 ) , координатой	точки	В — число ( -2,5 ) , а точки С – число .
в ) Хорда , проходящая через центр окружности , называется диаметром . г ) Хордой окружности называется отрезок , соединяющий две ее	точки	.
Таким образом , координатой точки А является число ( -1 ) , координатой точки В — число ( -2,5 ) , а	точки	С – число .
Окружностью называется фигура , состоящая из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной	точки	.
Назови точки , симметричные точкам С , К , D , М относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно	точки	О отрезку ВО , треугольнику АОМ , четырехугольнику АОКМ , ломаной BODK , семиугольнику ABOCDKM ? .
454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй ее сечение плоскостью , проходящей через	точки	М , N и К. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина .
Назови	точки	, симметричные точкам С , К , D , М относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку ВО , треугольнику АОМ , четырехугольнику АОКМ , ломаной BODK , семиугольнику ABOCDKM ? .
453 Перенеси рисунок куба в тетрадь и построй его сечение плоскостью , проходящей через	точки	М , N и К. Проверь правильность построения с помощью модели куба .
Проведи диагонали и определи координаты	точки	их пересечения .
653 Построй фигуры , симметричные сектору круга , а ) и сегменту круга относительно	точки	О .
Например , сечением тетраэдра плоскостью а , проходящей через	точки	М , N и К , является треугольник MNK .
Например , увеличение числа ( -2 ) на 3 единицы можно показать стрелкой , идущей от	точки	( -2 ) на 3 единицы вправо , и обозначить это увеличение через “ +3 ” .
Построй треугольник , симметричный треугольнику АВС : а ) относительно	точки	О , лежащей вне треугольника АВС ; б ) относительно середины М стороны ВС .
644 Скопируй рисунок в тетрадь и построй отрезок , симметричный отрезку АВ относительно	точки	О .
Отметь на шкале	точки	с указанными координатами .
Выпиши	точки	, которые находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета .
В последнем примере мы видим , что переменные могут принимать не только числовые значения — их значениями могут быть , например , и	точки	, и прямые .
Хордой окружности называется отрезок , соединяющий две	точки	этой окружности .
Вначале составим таблицу некоторых значений х и соответствующих им значений у , отметим	точки	с координатами на координатной плоскости и соединим точки линией .
В словесной форме : а относится к b как с относится к d в том и только в том случае , когда ad = bс . Итак , мы видим , что с	точки	зрения математики в понятии отношения нет ничего нового : отношение чисел — это их частное .
Расстояние от начала отсчета до	точки	, обозначающей данное число , называют модулем этого числа ( от латинского modus — мера , величина ) .
Построй окружность , описанную около треугольника АХВХСХ , и найди	точки	ее пересечения со сторонами треугольника АВС .
494 На ребрах куба отметили две точки А и В. Через эти	точки	провели прямую , на которой отметили еще 6 точек .
494 На ребрах куба отметили две	точки	А и В. Через эти точки провели прямую , на которой отметили еще 6 точек .
Вначале составим таблицу некоторых значений х и соответствующих им значений у , отметим точки с координатами на координатной плоскости и соединим	точки	линией .
488 На координатной прямой отмечены	точки	А ( -2,4 ) , В ( 0,8 ) , С ( -4 ) и D ( -0,9 ) .
Значит , для построения правильного n - угольника достаточно разделить окружность на n равных частей и последовательно соединить	точки	деления .
Показаны различные случаи сечения куба плоскостью а , проходящей через	точки	М , N и К. Построение этих сечений требует знания свойств взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве , которые будут изучаться в старших классах .
490 а ) Многогранник называется выпуклым , если любые две его	точки	можно соединить содержащимся в нем отрезком .
495 а ) На ребрах куба отмечены	точки	М , N и К. Принадлежат ли граням куба отрезки MN , МК и KN ? .
Поэтому окружность можно определить как множество всех точек плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от одной заданной	точки	.
487 Какие	точки	совместятся с точками A , D , N при склеивании развертки прямоугольного параллелепипеда ? .
С этой	точки	зрения “ многоступенчатые ” примеры на порядок действий с обыкновенными и десятичными дробями становятся своеобразными тестами на умение мыслить , на аккуратность , находчивость , трудолюбие , способность человека достигать поставленной цели .
Точка пересечения с осью х называется абсциссой	точки	М , а точка пересечения с осью у — ординатой .
Расположи данные числа в порядке убывания модулей , сопоставь им соответствующие буквы , и ты узнаешь название самой северной	точки	одного из материков .
Так , абсцисса	точки	М равна ( -1 ) , а ордината — ( +4 ) .
Абсциссу и ординату вместе называют координатами	точки	М. Обозначение координат точки на плоскости остается прежним , а именно : М(-1 ; 4 ) .
Найди координаты	точки	пересечения его диагоналей .
Соединив последовательно все	точки	деления , получим правильный шестиугольник .
Если же	точки	деления соединить не подряд , а через одну , то получится правильный треугольник .
503 На координатной прямой отмечены четыре	точки	М(-0,7 ) , N(-5,2 ) , Р(1,5 ) и Q(-3,4 ) .
Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки М. Обозначение координат	точки	на плоскости остается прежним , а именно : М(-1 ; 4 ) .
Чтобы определить положение любой	точки	М на координатной плоскости , надо провести через нее прямые , перпендикулярные осям координат .
Полученные	точки	попарно симметричны относительно начала отсчета на координатной прямой .
Разверни лист и обозначь полученные	точки	буквами А и А1 .
Введение отрицательных чисел позволяет сделать следующий шаг : определить положение теперь уже любой	точки	на плоскости .
б ) Плоскость а проходит через	точки	М , N и К. Перенеси рисунок в тетрадь и построй сечение куба плоскостью а по следующему алгоритму .
350 Сколько возникает на окружности дуг , если на ней поставлены две	точки	?
332 Построй координатную прямую и отметь на ней	точки	М(-5 ) , Л(2 ) , У(0 ) , О(-3 ) , Ь(4 ) , Д(-1 ) .
Обозначить ее Т. Соединить	точки	К и Т .
Например , по определению легко сделать рисунок хорды : достаточно отметить на окружности любые две	точки	и соединить их отрезком .
в ) Окружностью называется множество всех точек плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от заданной	точки	, называемой центром окружности .
Их всего пять : построение прямой ( 1 ) , окружности ( 2 ) , построение	точки	пересечения двух прямых ( 3 ) , прямой и окружности ( 4 ) и двух окружностей ( 5 ) .
Построй отрезок А1В1 , симметричный отрезку АВ относительно	точки	О. Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков АВ и А ? .
Из названий ясно , что все	точки	плоской фигуры располагаются в одной плоскости , а пространственной — нет .
457 В прямоугольнике ABCD	точки	М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур , на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
Найди для каждой медианы отношение отрезков , на которые она делится	точкой	О , считая от вершины .
Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности , пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд , на которые они разбиваются	точкой	О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
Отрезок MN разделен	точкой	К в отношении , причем одна из частей отрезка на 8 м больше другой .
Отрезок АВ разделен	точкой	С в отношении 2 : 5 , причем одна из частей отрезка на 6 см больше другой .
Еще мы знаем , что любое рациональное число может быть изображено	точкой	числовой прямой .
Чтобы построить угол , равный , например , 35 ° , надо совместить центр транспортира с началом некоторого луча ОА —	точкой	О — так , чтобы луч ОА прошел через начало отсчета на шкале .
Лучом называется часть прямой , ограниченная только одной	точкой	.
Соедини концы диаметра с произвольной	точкой	окружности и измерь угол , образованный хордами .
Отрезок АВ длиной 15 см разделен	точкой	С в отношении 3 : 7 .
Он доказал , что центр описанной окружности треугольника АВС совпадает с	точкой	пересечения окружностей , описанных около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
319 Изобрази	точкой	на координатной прямой число х , если .
Затем около деления выбранной шкалы с отметкой 35 ° надо поставить точку В и соединить ее с	точкой	О. Градусная мера полученного угла АОВ равна 35 ° : АОВ = 35 ° .
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой	точкой	в отношении 2 : 1 , считая от вершины .
Итак , мы познакомились еще с одной замечательной	точкой	треугольника .
В плоскости грани построить	точку	пересечения прямых DC и PN .
656 Начерти отрезок АВ и отметь	точку	.
657 Перенеси в тетрадь и построй на прямой l	точку	С так , чтобы длина ломаной АСВ была наименьшей .
508 На ребре AD тетраэдра ABCD отметили точку М , на ребре АС — точку N , а на ребре ВС —	точку	К. Построй сечение тетраэдра ABCD плоскостью а , проходящей через точки М , N я К .
Точка А при параллельном переносе на вектор d переходит в	точку	А , .
Отметь на прямой l	точку	В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а ) треугольник АВС — равнобедренный ; б ) углы при основании треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам треугольника АВС , равны .
Затем около деления выбранной шкалы с отметкой 35 ° надо поставить	точку	В и соединить ее с точкой О. Градусная мера полученного угла АОВ равна 35 ° : АОВ = 35 ° .
508 На ребре AD тетраэдра ABCD отметили	точку	М , на ребре АС — точку N , а на ребре ВС — точку К. Построй сечение тетраэдра ABCD плоскостью а , проходящей через точки М , N я К .
Найди на этой линии	точку	: а ) абсцисса которой равна : -3,4 ; -2,5 ; -1,8 ; -0,6 ; 0 ; 0,7 ; 1,5 ; 2,9 ; 3,6 ; б ) ордината которой равна : 2,3 ; 1,6 ; 0,8 ; 0 ; -0,4 ; -0,7 ; -1,9 ; -2,4 ; -2,8 .
508 На ребре AD тетраэдра ABCD отметили точку М , на ребре АС —	точку	N , а на ребре ВС — точку К. Построй сечение тетраэдра ABCD плоскостью а , проходящей через точки М , N я К .
е ) Две перпендикулярные прямые имеют общую	точку	.
прямую , перпендикулярную данной и проходящую через данную	точку	( задача 6 ) .
499 Построй треугольник АВС , проведи три его медианы и найди их	точку	пересечения О.
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней	точку	С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с центром в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
447 В произвольном треугольнике АВС построй	точку	Ах — середину стороны ВС , точку B1 — середину стороны АС , и точку C1 — середину стороны АВ .
449 В произвольном треугольнике АВС построй центр описанной окружности —	точку	О , центр тяжести — точку М , и ортоцентр — точку Н .
447 В произвольном треугольнике АВС построй точку Ах — середину стороны ВС ,	точку	B1 — середину стороны АС , и точку C1 — середину стороны АВ .
12 Начерти отрезок АВ и отметь на нем	точку	С так , чтобы выполнялось условие .
Построить :	точку	М такую , что .
Обозначим эти точки В и С. Проведем две окружности того же радиуса с центрами в В и С и найдем их точку пересечения , принадлежащую углу , —	точку	М. Луч AM — биссектриса .
Построение прямой , перпендикулярной данной и проходящей через данную	точку	.
Например , чтобы построить точку С ( -4 ; 2 ) , можно провести через ее абсциссу ( -4 ) и ординату 2 прямые , перпендикулярные осям координат , и найти	точку	пересечения этих прямых .
Например , чтобы построить	точку	С ( -4 ; 2 ) , можно провести через ее абсциссу ( -4 ) и ординату 2 прямые , перпендикулярные осям координат , и найти точку пересечения этих прямых .
447 В произвольном треугольнике АВС построй точку Ах — середину стороны ВС , точку B1 — середину стороны АС , и	точку	C1 — середину стороны АВ .
Построить	точку	по ее координатам можно несколькими способами .
449 В произвольном треугольнике АВС построй центр описанной окружности — точку О , центр тяжести — точку М , и ортоцентр —	точку	Н .
449 В произвольном треугольнике АВС построй центр описанной окружности — точку О , центр тяжести —	точку	М , и ортоцентр — точку Н .
На бумаге без клеток начерти прямую l и отметь	точку	.
Обозначим эти точки В и С. Проведем две окружности того же радиуса с центрами в В и С и найдем их	точку	пересечения , принадлежащую углу , — точку М. Луч AM — биссектриса .
Он пройдет через	точку	В.
Построй	точку	А1 симметричную точке А относительно прямой l : а ) с помощью чертежного угольника ; б ) с помощью циркуля и линейки ( без делений ) .
Если провести окружность с центром в точке D и радиусом DAX , то она будет касаться всех трех сторон треугольника ( то есть будет иметь с каждой из них только одну общую	точку	) .
Каждый без труда может изобразить на плоскости	точку	, прямую , луч , отрезок , прямоугольник и квадрат , различные углы , окружность , параллельные и перпендикулярные прямые и т .
Чтобы познакомиться с этим свойством , начерти на плотном листе картона произвольный треугольник АВС и найди	точку	О пересечения его медиан .
514 а ) Сколько больших окружностей можно провести на сфере через одну	точку	?
643 Воспроизведи чертеж и поверни : а )	точку	А на угол а = -80 ° ; б ) отрезок АВ на угол а = 100 ° ; в ) треугольник АВС сначала на угол а = 90 ° , а потом на угол а = -90 ° .
Начерти прямую , касательную к окружности , и проведи радиус в	точку	касания .
Отрезок , соединяющий	точку	окружности с ее центром , называется радиусом окружности .
360 Прямая называется касательной к окружности , если она имеет с этой окружностью одну общую	точку	.
Сколько средних линий можно провести в	трапеции	? .
Рассмотри расположение средней линии и оснований	трапеции	.
а ) умножения рациональных чисел ; б ) правильной дроби ; в ) прямоугольника ; г )	трапеции	.
Средней линией	трапеции	называется отрезок , соединяющий середины ее непараллельных сторон .
Можно ли доказать твои гипотезы , построив еще 10	трапеций	?
углы при основании у равны ( Т — множество	трапеций	) .
Паркеты можно составлять не только из правильных многоугольников , но и , например , из прямоугольников , параллелограммов ,	трапеций	.
Найди на чертеже отрезки , которые являются средними линиями	трапеций	.
А если построить миллион	трапеций	? .
Построй	трапецию	ABCD и проведи ее среднюю линию .
484 Ученик прочитал в первый день 30 % всей книги , во второй — 40 % оставшейся части , а в	третий	— остальные 105 страниц .
На покупку первый дал втрое больше денег , чем второй , а второй дал вчетверо больше , чем	третий	.
а ) Автобус проехал за первый час а км , за второй — b км , а за	третий	— с км .
И наконец ,	третий	рабочий проработал половину времени , необходимого двум другим , чтобы вырыть всю канаву .
За сколько времени покрасит этот забор	третий	маляр , если будет работать один ? .
В первый час они прошли на 36 км меньше , чем во второй , а в	третий	час — в 1,6 раза больше , чем в первый .
Сколько деталей изготовил каждый токарь в	третий	день ? .
За первый , второй и	третий	день первый токарь выполнил соответственно своего задания , а второй за эти же дни своего задания .
За первый час он прошел треть всего пути , за второй — на 12 км больше , чем за первый , а за	третий	— 80 % пути , пройденного за второй час .
Преподаватель проехал всего маршрута и еще 5 км , два ученика - по — маршрута , а	третий	ученик — остальные 105 км .
Во второй день он прошел 120 % пути , пройденного в первый день , в	третий	день пути , который он прошел во второй день , а в четвертый день — оставшиеся 28 км .
775 В первый час мотоциклист проехал 20 % всего пути , во второй час на 8 км больше , чем в первый , в	третий	— на 25 % меньше , чем во второй , а в четвертый — остальные 49 км .
В первый день они прошли — всего пути , во второй оставшегося пути , а в	третий	и четвертый дни проходили по 12 км .
На сколько гектаров	третий	участок больше первого ? .
Туристы в первый день своего путешествия прошли 15,6 км , во второй день — 18,2 км , в	третий	день — 14,8 км , я в четвертый — 21,4 км .
Первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше автомобилей , чем второй , а	третий	— на 6 автомобилей больше , чем первый .
Сколько рублей заработал	третий	школьник ? .
2 ) 40 % участников первого тура олимпиады прошли во второй тур , а 50 % участников второго тура в количестве с человек прошли в	третий	тур .
17 а ) Грузовик проехал в первый день треть всего пути , во второй день — 90 % пути , пройденного в первый день , а за	третий	день — остальные 440 км .
Сколько километров прошел турист в	третий	день ? .
В первый день продали 30 % всех фруктов , во второй день — остатка , а в	третий	день — остальные 168 кг .
Первый угол относится ко второму как 2,4:1 у ,	третий	— на 15 ° меньше первого а четвертый — в 3 раза больше третьего .
в ) От куска ткани длиной d м отрезали в первый раз 20 % всей длины , во второй раз — 30 % всей первоначальной длины , а в	третий	раз — на 5 м меньше , чем во второй раз .
149 а ) Олег разместил в первый альбом 20 % своих марок , во второй — остатка , а в	третий	— остальные 56 марок .
За сколько времени может выполнить эту работу один	третий	каменщик ? .
Сколько времени в среднем он тратил на один круг , если	третий	круг он пробежал на 4 мин 45 с медленнее , чем первый ?
За сколько дней сможет отремонтировать ее	третий	рабочий ? .
304 На тренировке лыжник пробежал первый круг на 5 % быстрее , чем второй , а	третий	круг — на 14 % медленнее , чем второй .
И в	третий	день он прошел треть нового остатка .
Первый каменщик может выполнить все задание за 3 дня , второй — за 4 , а	третий	— за 5 .
— Я недавно ходил с ними в поход и знаю их возможности . — 6 “ А ” займет второе место , а 6 “ Г ” — только	третье	. — А я думаю , что на втором месте будет 6 “ В ” , а 6 “ Г ” будет на последнем месте .
Второе из этих чисел в 2 раза больше первого ,	третье	— в 3 раза больше первого , а четвертое — в 4 раза больше первого .
в ) Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то их произведение . г ) Если первое число делится на второе число , а второе число делится на	третье	, то .
5 ) Чтобы к сумме двух чисел прибавить	третье	число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Первое число составляет 24 % всей суммы и — второго числа , а	третье	и четвертое относятся как .
4 ) При делении на 9 одно из трех чисел дает остаток 5 , второе — 6 , а	третье	— 2 .
Первое число в 3,5 раза больше второго , а	третье	— на 4,8 больше второго .
Первое число на 3,5 больше второго , а	третье	составляет 60 % второго .
Второе число в 2,5 раза больше первого ,	третье	составляет 120 % второго , а четвертое на 1,6 меньше первого .
Найти	третье	число .
Убедись в выполнении для него закона исключенного	третьего	.
Найди среднее арифметическое первого и	третьего	чисел .
Найди три числа , если первое относится ко второму как 0,5 : 0,6 , второе к третьему — как , а разность	третьего	и первого равна о,5 .
Найди три числа , если известно , что первое число относится ко второму как 3 : 8 , второе к третьему — как 2 : 5 , а сумма первого и	третьего	равна 4,6 .
Этот факт представляет собой закон логики , и он имеет специальное название — закон исключенного	третьего	: истинно либо само утверждение , либо его отрицание ( имеются две возможности ) .
И поэтому закон исключенного	третьего	часто произносится по - латыни : tertium non datur ( тэрциум нон датур — “ третьего не дано ” ) .
И поэтому закон исключенного третьего часто произносится по - латыни : tertium non datur ( тэрциум нон датур — “	третьего	не дано ” ) .
На сколько гектаров площадь первого участка меньше площади	третьего	? .
Первое число равно 9,6 , а второе в 2 раза больше	третьего	.
Первый угол относится ко второму как 2,4:1 у , третий — на 15 ° меньше первого а четвертый — в 3 раза больше	третьего	.
Убедись в выполнении для них закона исключенного	третьего	.
После уплаты налогов кладоискатели разделили между собой монеты так , что доли первого и второго относились как 2 : 3 , а доли второго и	третьего	— как 5 : 8 .
Масса первого раствора равна 180 г , масса второго раствора в 2 раза больше массы первого , а масса	третьего	раствора на 100 г больше массы второго .
С первого улья он получил 24,8 кг меда , со второго — на 6,4 кг меньше , чем с первого , а с	третьего	— половину того , что собрал с первых двух ульев вместе .
Убедись на этом примере в выполнении закона исключенного	третьего	.
Площадь первого составляет 30 % площади второго , а площадь второго относится к площади	третьего	как 2,5 : 3 .
5 Используя закон исключенного	третьего	, докажи , что отрицания построены неверно .
Построй их отрицания и убедись в выполнении закона исключенного	третьего	.
Чему равна концентрация	третьего	раствора , если концентрация полученной смеси составляет 10 % ? .
Чему равна общая площадь всех трех участков , если известно , что площадь	третьего	больше площади первого на 4,5 га ? .
Площадь первого участка составляет 20 % общей площади , а площади второго и	третьего	относятся как 11 : 7 .
г ) Если первое число в 2 раза больше второго , а второе — в 2 раза больше третьего , то первое число в 2 раза больше	третьего	.
б ) Если первое число на 5 меньше второго , а второе — на 5 меньше третьего , то первое число на 5 меньше	третьего	.
г ) Если первое число в 2 раза больше второго , а второе — в 2 раза больше	третьего	, то первое число в 2 раза больше третьего .
Сколько тонн хлопка собрали с трех полей вместе , если с	третьего	поля собрали хлопка на 48 ц больше , чем со второго ? .
а ) Если первое число меньше второго , а второе — меньше	третьего	, то первое число меньше третьего .
На сколько процентов больше времени он затратил на прохождение	третьего	круга , чем первого ? . .
274 С первого поля собрали на 25 % меньше хлопка , чем со второго , а с	третьего	— на 20 % меньше , чем с первых двух .
а ) Если первое число меньше второго , а второе — меньше третьего , то первое число меньше	третьего	.
5 ) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и	третьего	.
а ) Если первое число больше второго , а второе — больше третьего , то первое число больше	третьего	.
Отношение трех чисел равно 2,4 : 0,8 : 0,64 , а четвертое число составляет 25 %	третьего	.
а ) Если первое число больше второго , а второе — больше	третьего	, то первое число больше третьего .
б ) Первый букет цветов стоит b р . , второй — на 40 % дороже первого , а стоимость	третьего	составляет треть общей стоимости первого и второго букетов вместе .
б ) Если первое число на 5 меньше второго , а второе — на 5 меньше	третьего	, то первое число на 5 меньше третьего .
Заметив схожесть первой и	третьей	строк , можно сказать и так : если число а больше или равно 0 , то его модуль равен самому числу а ; если же число а меньше 0 , то его модуль равен ( -а ) .
При этом вторая премия составила 60 % первой и относится к	третьей	как .
С первой делянки он собрал урожай 17,4 ц , со второй — 30 ц , а с	третьей	— 46,8 ц .
— по	третьей	строчке , то есть 0,9 ∙ 50000 = 45000 р .
Число депутатов от первой партии на 20 % больше , чем от второй , а число депутатов от второй партии составляет 62,5 % числа депутатов	третьей	.
394 а ) В треугольнике первая сторона на 50 % больше второй , но на 25 % меньше	третьей	.
Чему равна длина	третьей	стороны этого треугольника , если вторая сторона на 0,4 дм короче первой ? .
Из первой сотни взошло 95 семян , из второй — 84 , из	третьей	— 72 , из четвертой — 78 , а из пятой — 86 .
Чему равна производительность	третьей	трубы , если она работала равномерно ? .
Число учащихся первой школы на 10 % меньше , чем второй , а число учащихся второй школы составляет 80 % от числа учащихся	третьей	школы .
Запиши формулу , выражающую зависимость расстояния s , пройденного пешеходом , от l и n . 2 ) Какие из двух величии в этой формуле при постоянной	третьей	прямо пропорциональны , а какие — обратно пропорциональны ? .
На первой полке в 2 раза больше книг , чем на второй , а число книг на	третьей	полке составляет 60 % от числа книг на второй и 2/3 от числа книг на четвертой полке .
А в	третьем	случае этой возможности нет .
В первом районе живет на 20 % жителей больше , чем во втором , а в	третьем	— 50 % от числа жителей первого .
В первом отряде отдыхают 25 человек , во втором — в 1,2 раза больше , чем в первом , а в	третьем	— на 7 человек меньше , чем во втором .
Во втором классе на 3 ученика больше , чем в первом , а число учеников в	третьем	классе составляет — от числа учеников в первом и 96 % от числа учеников в четвертом классе .
В	третьем	году он опять истратил 100 фунтов .
А в	третьем	предложении сказано , что А и В — точки , а l — прямая .
В первом мешке а кг сахара , во втором — на 4 кг меньше , чем в нервом , а в	третьем	— в 1,2 раза больше , чем во втором .
В первом находилось 462 солдата , во втором — 546 и в	третьем	— 630 .
Поэтому в геометрии договорились линии , которые скрыты от глаз наблюдателя , изображать не сплошными , а пунктирными , как на	третьем	рисунке .
Сколько человек участвовало в	третьем	конкурсе ? .
В первом конкурсе участвовало 28 человек , а во втором — на 6 человек меньше , чем в	третьем	.
Найди три числа , если известно , что первое число относится ко второму как 3 : 8 , второе к	третьему	— как 2 : 5 , а сумма первого и третьего равна 4,6 .
Первое из них на 20 % меньше второго , а второе относится к	третьему	как 5 : 9 .
Если первое число кратно второму , а второе — кратно	третьему	, то первое число кратно третьему .
Подбери для данных трех слов четвертое так , чтобы оно “ относилось ” к	третьему	, как второе к первому . 1 ) Труд — награда , лень .
Если первое число кратно второму , а второе — кратно третьему , то первое число кратно	третьему	.
Найди три числа , если первое относится ко второму как 0,5 : 0,6 , второе к	третьему	— как , а разность третьего и первого равна о,5 .
Если порядок коэффициентов определен верно , то из	третьих	букв соответствующих им фамилий учеников составится слово .
После того как он добавил к остатку	третью	его часть , капитал его стал вдвое больше первоначального .
109 В парке 20 % всех деревьев составляют березы ,	третью	часть — клены , дубов на 18 больше , чем кленов , а остальные 94 дерева — липы .
Всю налитую воду спустили через	третью	трубу за 4 ч .
В первую неделю выпало 20 % всего снега , во вторую — на 25 % больше , чем в первую , в	третью	— того , что выпало за первые две недели вместе , а в четвертую — остальные 45 мм .
В первый год он истратил 100 фунтов , а к оставшейся сумме добавил	третью	ее часть .
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на	третью	ее часть .
323 Три человека организовали предприятие и договорились , что первый из них будет получать	третью	часть прибыли , двое других — по 20 % прибыли , а оставшиеся деньги они будут вкладывать в развитие своего предприятия .
Первую тему выбрали на 40 % учеников больше , чем вторую , а	третью	— на 50 % больше , чем первую .
За сколько времени может наполниться пустой бассейн через одну	третью	трубу ? .
Эта формула дает возможность по любым двум из величин — путь ( s ) , скорость ( v ) , время ( t ) — найти	третью	величину с помощью вычислений по одной из формул .
б ) Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми , а	третья	сторона называется основанием .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника , б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй ,	третья	— на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами , а	третья	сторона — основанием .
Первая съедает копну сена за 1 день , вторая — за 2 ,	третья	— за 3 , восьмая — за 8 дней .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а	третья	равна 14 см. Найди периметр треугольника , б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
Первая труба одна может наполнить весь бассейн за 2 ч , вторая труба — за 4 ч , а	третья	— за 12 ч .
402 Периметр треугольника АВС равен 17 см. Первая его сторона на 40 % меньше второй стороны , а	третья	— на 3,8 см больше первой .
Приведены графики трех зависимостей переменной у от переменной х. Первые две зависимости обладают тем свойством , что каждому значению х сопоставляется единственное значение у , а	третья	зависимость этим свойством не обладает ( контрпример показан ) .
Периметр треугольника равен 48,5 см. Одна его сторона равна 15,8 см , а вторая — на 1,9 см меньше , чем	третья	.
На сколько процентов	третья	сторона треугольника меньше второй , если его периметр равен 5,7 см ? .
Первая сторона треугольника составляет 48 % второй стороны , а	третья	сторона — на 0,8 см больше первой .
Самым простым многогранником является	треугольная	пирамида .
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим	треугольник	АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Начертим произвольный	треугольник	АВС и проведем серединные перпендикуляры к его сторонам .
383 Построй	треугольник	АВС по двум сторонам а и с и углу В , заключенному между ними .
Определяется ли	треугольник	этими элементами единственным образом ? .
382 Построй	треугольник	АВС по двум сторонам а и b и углу А , прилежащему к стороне b. Является ли решение однозначным ? .
725 Построй с помощью циркуля и линейки	треугольник	АВС : а ) по двум сторонам а и b ; б ) по трем сторонам а , b и с ; в ) по двум сторонам а и b и углу между ними С ; г ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С ( стороны и углы задай произвольно ) .
На данном этапе мы будем изучать	треугольник	с помощью построений .
Если же точки деления соединить не подряд , а через одну , то получится правильный	треугольник	.
381 Построй	треугольник	АВС по стороне b и двум прилежащим к ней углам А и С. Сколько различных треугольников можно построить по этим данным ?
174 Построй	треугольник	АВС по координатам его вершин : а ) А ( 8 ; -6 ) , В ( 3 ; 4 ) , С ( -6 ; 1 ) ; б ) А ( -3 ; -2 ) , В ( 1 ; 6 ) , С ( 9 ; -6 ) .
Чтобы познакомиться с этим свойством , начерти на плотном листе картона произвольный	треугольник	АВС и найди точку О пересечения его медиан .
Затем вырежь	треугольник	АВС , расположи его горизонтально и помести на вертикальный стержень ( например , на острие карандаша или ручки ) сначала в точке О , а потом в других точках .
Существует	треугольник	с двумя тупыми углами .
б )	треугольник	, равный данному ( задача 2 ) .
Такая окружность называется вписанной в	треугольник	.
417 Построй окружность , вписанную в треугольник АВС , если	треугольник	АВС .
417 Построй окружность , вписанную в	треугольник	АВС , если треугольник АВС .
Вырежи из картона прямоугольник , прямоугольный	треугольник	, круг и закрепи их на стержне .
г ) Начерти	треугольник	и проведи все его высоты .
Построй в координатном углу	треугольник	АВС , если А ( 9 ; 0 ) , В ( 0 ; 6 ) , С ( 15 ; 9 ) .
Осевым сечением цилиндра является прямоугольник ABCD , а осевым сечением конуса — равнобедренный	треугольник	АВС .
д. Показано , как построить	треугольник	А1В1С1 , в который переходит треугольник АВС при осевой симметрии ( а ) , центральной симметрии ( б ) , повороте на угол 120 ( в ) и параллельном переносе ( г ) . .
д. Показано , как построить треугольник А1В1С1 , в который переходит	треугольник	АВС при осевой симметрии ( а ) , центральной симметрии ( б ) , повороте на угол 120 ( в ) и параллельном переносе ( г ) . .
416 Построй окружность , описанную около треугольника АВС , если	треугольник	АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
438 Построй	треугольник	АВС по трем сторонам а , b и с и опиши около него окружность .
378 Построй	треугольник	АВС по трем сторонам а , b и с и определи вид этого треугольника .
584 Построй	треугольник	ABC , используя линейку с делениями и транспортир , если : а ) АВ = 5 см , ВС = 3,5 см , B = 76 ° ; б ) АС = 4 см , A = 32 ° , B = 58 ° .
439 Построй	треугольник	АВС по двум сторонам а и b и углу С , заключенному между ними , и впиши в него окружность .
Докажи , что	треугольник	АВС — равнобедренный .
440 Построй	треугольник	АБС по стороне с и двум прилежащим к ней углам А и В. Построй центр тяжести треугольника АВС .
На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему	треугольник	относительно прямой l , содержащей : а ) большую сторону ; б ) меньшую сторону ; в ) медиану , проведенную к его меньшей стороне .
643 Воспроизведи чертеж и поверни : а ) точку А на угол а = -80 ° ; б ) отрезок АВ на угол а = 100 ° ; в )	треугольник	АВС сначала на угол а = 90 ° , а потом на угол а = -90 ° .
379 Можно ли построить	треугольник	, у которого периметр равен 24 см , а сумма длин двух сторон — 9 см ? .
Однако многие свойства даже таких простейших фигур на плоскости , как	треугольник	, были найдены не сразу , а в результате длительной и кропотливой работы с конкретными треугольниками , а затем обобщения полученных выводов .
380 Построй	треугольник	АВС по стороне b и прилежащему к ней углу А. Является ли решение однозначным ?
Рассмотрим , например ,	треугольник	АВС .
Построй произвольный равнобедренный	треугольник	.
645 Начерти на бумаге без клеток произвольный	треугольник	АВС .
Построй	треугольник	, симметричный треугольнику АВС : а ) относительно точки О , лежащей вне треугольника АВС ; б ) относительно середины М стороны ВС .
На бумаге без клеток начерти тупоугольный	треугольник	и построй симметричный ему треугольник относительно прямой l , содержащей : а ) большую сторону ; б ) меньшую сторону ; в ) медиану , проведенную к его меньшей стороне .
232 Построй	треугольник	АВС и проведи в нем медианы AM и BN .
672 Скопируй рисунок и построй	треугольник	, симметричный треугольнику АВС относительно прямой l.
б ) Сколько острых , сколько прямых и сколько тупых углов может иметь	треугольник	?
Построй	треугольник	АВС и проведи его среднюю линию , соединяющую середины сторон АВ и ВС. Найди отношение длины стороны АС к длине средней линии .
401 Построй	треугольник	АВС по двум сторонам а и b. Сколько решений имеет эта задача ? .
Однозначно ли определяется	треугольник	этими элементами ? .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный	треугольник	с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
673 а ) Построй	треугольник	АВС , у которого угол А = 90 ° , АВ = ВС = 4 см. Определи вид этого треугольника .
Начерти прямоугольник , отношение длин сторон которого равно 5 : 3 . 3 ) Начерти прямоугольный	треугольник	, длины катетов которого относятся как 3 к 4 .
Построй	треугольник	A1B1C1 , который получается из треугольника АВС при повороте вокруг вершины А на угол а = 45 ° .
734 Построй	треугольник	АВС , используя линейку с делениями и транспортир , если : а ) АВ = 6 см , ВС = 4 см , B = 56 ° ; б ) ВС = 5 см , B = 105 ° , C = 32 ° ; в ) АС = 4,5 см , A = 74 ° .
б ) Является ли равнобедренный	треугольник	равносторонним ?
Например , сечением тетраэдра плоскостью а , проходящей через точки М , N и К , является	треугольник	MNK .
674 Начерти	треугольник	АВС со сторонами АВ = 4 см , ВС = 2 см , АС = 5 см. Построй треугольник центрально - симметричный треугольнику АВС относительно вершины В. Является ли точка В центром симметрии четырехугольника ?
Нарисуй для этого разбиения диаграмму Эйлера - Венна и отметь на ней углы А , В , С , D , E , F , К . 352 а ) Начерти в тетради произвольный	треугольник	и определи вид его углов .
При пересечении тетраэдра с плоскостью могут образоваться точка , отрезок ,	треугольник	или четырехугольник .
356 а ) Может ли быть	треугольник	равнобедренным и тупоугольным ?
Плоскость а будто отсекает от куба один из углов , и в сечении получается	треугольник	MNK .
284 Разрежь три одинаковых треугольника по разным медианам , показанным , и сложи из полученных кусков один	треугольник	.
285 Разрежь квадрат на три части , из которых можно сложить тупоугольный	треугольник	.
674 Начерти треугольник АВС со сторонами АВ = 4 см , ВС = 2 см , АС = 5 см. Построй	треугольник	центрально - симметричный треугольнику АВС относительно вершины В. Является ли точка В центром симметрии четырехугольника ?
Начерти равнобедренный	треугольник	АВС ( АВ = ВС ) и измерь транспортиром углы при основании АС .
Начерти равнобедренный	треугольник	АВС ( АВ = ВС ) и проведи медиану к его основанию АС .
676 На гладкой бумаге начерти равносторонний	треугольник	и построй его оси симметрии .
При каких поворотах равносторонний	треугольник	переходит сам в себя ? .
733 Построй на координатной плоскости	треугольник	АВС , если А ( -2 ; -5 ) , В ( 0 ; 3 ) , С ( 8 ; 5 ) .
Примерами правильных многоугольников являются уже знакомые нам равносторонний	треугольник	и квадрат .
361 Какие из окружностей являются вписанными в	треугольник	, а какие — описанными около него ?
Докажи , что	треугольник	АОВ является прямоугольным .
а ) равнобедренный прямоугольный	треугольник	.
418 Построй ортоцентр треугольника АВС , если	треугольник	АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в )
403 Построй	треугольник	АВС : 1 ) по стороне а и прилежащему к ней углу В ; 2 ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач ? .
Построй указанным способом несколько параллельных прямых . б ) Начерти на гладкой бумаге произвольный	треугольник	АВС и вектор d. Построй параллельный перенос треугольника АВС на вектор d .
419 На сколько треугольников разбивают данный	треугольник	все его средние линии ?
Эти классы интересны тем , что любой	треугольник	попадает ровно в один класс , и тем самым множество Т треугольников определенным образом упорядочивается .
Начерти произвольный	треугольник	и проведи все его медианы .
499 Построй	треугольник	АВС , проведи три его медианы и найди их точку пересечения О.
385 Построй биссектрисы углов А , В и С треугольника АВС , если	треугольник	АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
Отметь на прямой l точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а )	треугольник	АВС — равнобедренный ; б ) углы при основании треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам треугольника АВС , равны .
252 Построй	треугольник	АВС так , чтобы угол А = 56 ° и АВ = 4 см. Сколько еще можно построить треугольников , удовлетворяющих этому условию ?
406 Построй произвольный равнобедренный	треугольник	АВС ( АВ = ВС ) и опусти высоту из вершины В на сторону АС .
Построй	треугольник	АВС .
Обозначим эти точки В и С. Построим	треугольник	АХВХСХ , равный треугольнику АВС .
Сформулируй гипотезу . 6 ) Построй	треугольник	АВС и проведи все его средние линии .
Построй	треугольник	АВС так , чтобы угол А = 34 ° , a угол В = 42 ° .
386 Построй серединные перпендикуляры к сторонам а , b и с треугольника АВС , если	треугольник	АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
равнобедренный остроугольный	треугольник	.
Построй высоты треугольника АВС , проведенные к сторонам а , b и с , если	треугольник	АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
б ) равнобедренный тупоугольный	треугольник	.
405 Начерти произвольный	треугольник	АВС , построй середины его сторон — точки М , N и К и соедини их отрезками .
404 Построй	треугольник	АВС по двум сторонам b и с и углу А , заключенному между ними .
Построй медианы сторон а , b и с треугольника АВС , если	треугольник	АВС .
Это свойство медиан	треугольника	можно сформулировать так .
в ) Отрезок , соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны , называется медианой	треугольника	.
18 Пусть катеты прямоугольного треугольника равны а и b , а гипотенуза — с. На сторонах этого	треугольника	построены квадраты .
Медианы	треугольника	пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1 , считая от вершины .
Точки называются вершинами	треугольника	, а отрезки — его сторонами .
Выполни три предыдущих задания для угла В	треугольника	АВС .
Повтори исследование для острого угла произвольного прямоугольного	треугольника	.
418 Построй ортоцентр	треугольника	АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в )
325 а ) Средней линией	треугольника	называется отрезок , соединяющий середины двух его сторон .
18 Пусть катеты прямоугольного	треугольника	равны а и b , а гипотенуза — с. На сторонах этого треугольника построены квадраты .
416 Построй окружность , описанную около	треугольника	АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
Мы познакомились с четырьмя замечательными точками	треугольника	.
А вот еще одно открытие Эйлера : окружность , проходящая через середины сторон	треугольника	, пройдет и через основания его высот .
Он доказал , что центр описанной окружности	треугольника	АВС совпадает с точкой пересечения окружностей , описанных около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего	треугольника	— три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного	треугольника	, приведенным , найди тангенс угла А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного	треугольника	одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
Но свойства этих точек далеко не исчерпывают всех свойств	треугольника	.
в ) Отрезок , соединяющий вершину	треугольника	с серединой противоположной стороны , называется медианой треугольника .
Построй окружность , описанную около	треугольника	АХВХСХ , и найди точки ее пересечения со сторонами треугольника АВС .
Точка пересечения медиан является одновременно центром тяжести	треугольника	.
244 Периметр	треугольника	равен 150 м .
Отметь на прямой l точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а ) треугольник АВС — равнобедренный ; б ) углы при основании	треугольника	АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам треугольника АВС , равны .
Отметь на прямой l точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а ) треугольник АВС — равнобедренный ; б ) углы при основании треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам	треугольника	АВС , равны .
257 Периметр	треугольника	АВС равен 32,5 см. Найди длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 : 4 , а ВС относится к АС как 2 : 3 .
257 Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найди длины сторон этого	треугольника	, если АВ относится к ВС как 3 : 4 , а ВС относится к АС как 2 : 3 .
Запиши определение равнобедренного	треугольника	с помощью знака .
б ) Равные стороны равнобедренного	треугольника	называются боковыми , а третья сторона называется основанием .
Длины сторон	треугольника	пропорциональны числам 3 , 4 и 6 , а среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм .
128 а ) Первая сторона	треугольника	составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника , б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
673 а ) Построй треугольник АВС , у которого угол А = 90 ° , АВ = ВС = 4 см. Определи вид этого	треугольника	.
Запиши определение равностороннего	треугольника	с помощью знака .
Чему равен периметр	треугольника	? .
284 Разрежь три одинаковых	треугольника	по разным медианам , показанным , и сложи из полученных кусков один треугольник .
296 Периметр	треугольника	равен 68 см , а длины сторон пропорциональны числам 4 , 5 и 8 .
Найди разность большей и меньшей сторон этого	треугольника	.
Есть ли у равностороннего	треугольника	центр симметрии ?
358 а ) Построй отрезок АВ , равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и центрами в точках А и В до их пересечения в точке С. Соедини точки A , R и С отрезками и определи вид	треугольника	АВС .
Измерь с помощью транспортира углы получившегося	треугольника	.
Построй треугольник A1B1C1 , который получается из	треугольника	АВС при повороте вокруг вершины А на угол а = 45 ° .
Медианой треугольника называется отрезок , соединяющий вершину	треугольника	с серединой противолежащей стороны .
Медианой	треугольника	называется отрезок , соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны .
Найди отношения отрезков , на которые построенная окружность делит отрезки АН , ВН и СН , где Н — ортоцентр	треугольника	АВС .
Высотой	треугольника	называется перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону .
Высотой треугольника называется перпендикуляр , проведенный из вершины	треугольника	к прямой , содержащей противоположную сторону .
а ) прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей стороны . б ) прямоугольного	треугольника	с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета .
Пользуясь им , предложи свой вариант определения биссектрисы угла	треугольника	.
Построение	треугольника	, равного данному .
Сделай рисунки биссектрисы угла и биссектрисы угла	треугольника	.
Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг своей стороны , а конус — в результате вращения прямоугольного	треугольника	вокруг своего катета .
Повтори исследование для произвольного	треугольника	АВС и отрезка MN , параллельного его стороне АС .
Значит , медиана , проведенная к основанию равнобедренного	треугольника	, является одновременно его биссектрисой и высотой ! .
139 Построй формулу , устанавливающую зависимость между : 1 ) объемом V куба и его ребром а ; 2 ) площадью S прямоугольного	треугольника	и его катетами а и b ; 3 ) диаметром D и радиусом R некоторой окружности ; 4 ) длиной стороны а прямоугольника , его периметром Р и площадью S ; 5 ) площадью полной поверхности S куба и его ребром а ; 6 ) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а , b и с .
Площадь	треугольника	АВС равна В. Построй формулу зависимости S от а и h.
440 Построй треугольник АБС по стороне с и двум прилежащим к ней углам А и В. Построй центр тяжести	треугольника	АВС .
Заметим , что все углы	треугольника	АВС острые .
Построй треугольник , симметричный треугольнику АВС : а ) относительно точки О , лежащей вне	треугольника	АВС ; б ) относительно середины М стороны ВС .
Уже имеющийся опыт работы с треугольниками убеждает нас в том , что это не так : углы треугольников могут быть и прямыми , и тупыми , при этом сумма всех углов	треугольника	всегда равна 180 ° .
Измерь стороны	треугольника	АВС и вычисли синус , косинус и тангенс угла А . 2 )
Построй окружность , описанную около треугольника АХВХСХ , и найди точки ее пересечения со сторонами	треугольника	АВС .
Построй указанным способом несколько параллельных прямых . б ) Начерти на гладкой бумаге произвольный треугольник АВС и вектор d. Построй параллельный перенос	треугольника	АВС на вектор d .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди периметр	треугольника	, б ) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
Две равные стороны равнобедренного	треугольника	называются боковыми сторонами , а третья сторона — основанием .
Синус , косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения длин сторон	треугольника	АВС , выражающие значения синусов , косинусов и тангенсов углов А и В .
Какие стороны этого	треугольника	являются боковыми сторонами , а какая сторона — основанием ? .
Тангенсом острого угла прямоугольного	треугольника	называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего .
С помощью измерений можно убедиться , что точка О равноудалена от всех вершин	треугольника	АВС .
Значит , если провести окружность с центром в точке О , проходящую через одну из вершин данного	треугольника	, то она пройдет и через две другие его вершины .
Окружность , проходящая через все вершины	треугольника	, называется описанной около него .
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины	треугольника	к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой треугольника . б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
Периметр	треугольника	равен 48,5 см. Одна его сторона равна 15,8 см , а вторая — на 1,9 см меньше , чем третья .
378 Построй треугольник АВС по трем сторонам а , b и с и определи вид этого	треугольника	.
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по - разному : у остроугольного	треугольника	он располагается внутри него , у прямоугольного — в вершине прямого угла , а у тупоугольного — снаружи .
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида	треугольника	ортоцентр располагается по - разному : у остроугольного треугольника он располагается внутри него , у прямоугольного — в вершине прямого угла , а у тупоугольного — снаружи .
Поэтому найденное свойство	треугольника	можно сформулировать как гипотезу .
Согласно известной теореме Пифагора , квадрат гипотенузы прямоугольного	треугольника	равен сумме квадратов катетов , поэтому .
Серединные перпендикуляры к сторонам	треугольника	пересекаются в центре описанной окружности .
402 Периметр	треугольника	АВС равен 17 см. Первая его сторона на 40 % меньше второй стороны , а третья — на 3,8 см больше первой .
390 а ) Первая сторона	треугольника	составляет 30 % его периметра , а вторая — 25 % периметра .
Чему равна длина третьей стороны этого	треугольника	, если вторая сторона на 0,4 дм короче первой ? .
Первая сторона	треугольника	составляет 48 % второй стороны , а третья сторона — на 0,8 см больше первой .
Если из вершин произвольного	треугольника	провести перпендикуляры на противоположные стороны ( их называют высотами ) , то все они пересекутся в одной точке Н. Эта точка называется ортоцентром .
Средней линией	треугольника	называется отрезок , соединяющий середины двух его сторон .
На сколько процентов третья сторона	треугольника	меньше второй , если его периметр равен 5,7 см ? .
неправильной дроби . б ) гипотенузы прямоугольного	треугольника	.
а ) Перпендикуляр , проведенный из вершины треугольника к прямой , содержащей противоположную сторону , называется высотой	треугольника	. б ) Отрезок АН называется перпендикуляром , проведенным из точки А к прямой а , если прямые АН и а перпендикулярны .
Если опустить из нее перпендикуляры DAV DB1 и DCX на стороны	треугольника	АВС , то можно обнаружить , что все они равны между собой : DA = DBl = DCX .
Биссектрисы углов	треугольника	пересекаются в центре вписанной окружности .
760 Периметр	треугольника	АВС равен 16,8 см. Найди длины его сторон , если АВ относится к ВС как 7 : 5 , а ВС относится к АС как 3 : 4 .
Найди координаты точек пересечения сторон	треугольника	с осями координат .
385 Построй биссектрисы углов А , В и С	треугольника	АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
Если построение выполнено точно , то все перпендикуляры пересекутся в одной точке — точке О. Обратим внимание , что расположение точки О зависит от вида треугольника : у остроугольного	треугольника	он находится внутри , у прямоугольного — на гипотенузе , а у тупоугольного — снаружи .
Если построение выполнено точно , то все перпендикуляры пересекутся в одной точке — точке О. Обратим внимание , что расположение точки О зависит от вида	треугольника	: у остроугольного треугольника он находится внутри , у прямоугольного — на гипотенузе , а у тупоугольного — снаружи .
Сели сумма углов	треугольника	равна 780 ° , то сумма углов четырехугольника равна .
Измерь углы треугольника АВС и углы	треугольника	, образованного средними линиями .
Как изменился периметр	треугольника	и на сколько процентов ?
Сформулируй гипотезу и проверь ее , разрезав модель	треугольника	по средним линиям .
565 Является ли рациональным числом : а ) длина диагонали квадрата со стороной , равной 2 ; б ) длина гипотенузы прямоугольного	треугольника	с катетами 1 и 2 ? .
Построй медианы сторон а , b и с	треугольника	АВС , если треугольник АВС .
386 Построй серединные перпендикуляры к сторонам а , b и с	треугольника	АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
Косинусом острого угла прямоугольного	треугольника	называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы .
Так нами были « доказаны признаки делимости натуральных чисел , свойство биссектрис	треугольника	и др.
Измерь углы	треугольника	АВС и углы треугольника , образованного средними линиями .
Многие свойства	треугольника	были открыты еще в глубокой древности .
Синусом острого угла прямоугольного	треугольника	называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы .
Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найди величину угла АОС , считая сумму углов	треугольника	равной 180 ° .
Построим середины сторон	треугольника	и проведем отрезки , соединяющие каждую вершину с серединой противолежащей стороны .
Если провести окружность с центром в точке D и радиусом DAX , то она будет касаться всех трех сторон	треугольника	( то есть будет иметь с каждой из них только одну общую точку ) .
Итак , мы познакомились еще с одной замечательной точкой	треугольника	.
Измерь стороны и углы	треугольника	АВС и определи его вид .
Мы познакомимся лишь с некоторыми известными свойствами	треугольника	.
Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого	треугольника	к длине гипотенузы .
Сформулируй гипотезу . 5 ) Рассмотри расположение средней линии	треугольника	и стороны АС на чертежах к предыдущему заданию .
Высоты	треугольника	( или их продолжения ) пересекаются в ортоцентре .
Построй высоты	треугольника	АВС , проведенные к сторонам а , b и с , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
Уже имеющийся опыт работы с	треугольниками	убеждает нас в том , что это не так : углы треугольников могут быть и прямыми , и тупыми , при этом сумма всех углов треугольника всегда равна 180 ° .
Однако многие свойства даже таких простейших фигур на плоскости , как треугольник , были найдены не сразу , а в результате длительной и кропотливой работы с конкретными	треугольниками	, а затем обобщения полученных выводов .
23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника , приведенным , найди тангенс угла А в	треугольниках	АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
Сколько средних линий можно провести в	треугольнике	? .
В	треугольнике	АВС проведен отрезок MN , параллельный стороне АС .
В произвольном	треугольнике	АВС проведем биссектрисы его углов .
Сколько медиан в	треугольнике	?
145 В	треугольнике	ABC отрезок BD перпендикулярен к основанию АС , АС = a , BD = h.
4 Замечательные точки в	треугольнике	.
Например , в	треугольнике	АВС .
447 В произвольном	треугольнике	АВС построй точку Ах — середину стороны ВС , точку B1 — середину стороны АС , и точку C1 — середину стороны АВ .
в ) Прямым углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном	треугольнике	сторона , противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
А в	треугольнике	, пятиугольнике , шестиугольнике , n - угольнике ? .
Например , из того , что в равнобедренном	треугольнике	АВС медиана BD , проведенная к основанию , является осью симметрии , следует , что треугольники ABD и CBD равны , и поэтому равны их стороны и углы : AD = DC , 1 = 2 , 3 = 4 = 90 ° .
449 В произвольном	треугольнике	АВС построй центр описанной окружности — точку О , центр тяжести — точку М , и ортоцентр — точку Н .
582 В	треугольнике	АВС угол А равен 36 ° , а угол В равен 84 ° .
448 а ) В произвольном	треугольнике	АВС проведи высоты .
Сколько высот в	треугольнике	? .
394 а ) В	треугольнике	первая сторона на 50 % больше второй , но на 25 % меньше третьей .
Для решения задач на построение далее нам потребуются следующие обозначения : угол и противолежащую сторону в	треугольнике	будем обозначать одной и той же буквой , причем угол обозначают прописной буквой , а сторону — строчной .
Угол А , в этом	треугольнике	равен углу А. Задача решена .
Так , из построенных нами диаграмм следует , что равносторонние	треугольники	обладают всеми свойствами равнобедренных , а вот обратное неверно .
500 Склей из бумаги модель тетраэдра , гранями которого являются равносторонние	треугольники	со стороной 10 см .
Выпиши все	треугольники	, вершины которых могут быть в этих точках .
719 Склей из бумаги модель правильного октаэдра , гранями которого являются равносторонние	треугольники	со стороной 8 см .
Например , из того , что в равнобедренном треугольнике АВС медиана BD , проведенная к основанию , является осью симметрии , следует , что	треугольники	ABD и CBD равны , и поэтому равны их стороны и углы : AD = DC , 1 = 2 , 3 = 4 = 90 ° .
Начерти прямую l , относительно которой	треугольники	АВС и АС , симметричны .
Есть ли	треугольники	, которые обладают сразу несколькими из перечисленных свойств ? .
Например , в множестве треугольников Т можно выделить	треугольники	, которые имеют две равные стороны , — их называют равнобедренными ; в множестве равнобедренных треугольников , в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три стороны .
569 Перерисуй	треугольники	в тетрадь .
Все равносторонние	треугольники	являются равнобедренными — ведь они удовлетворяют определению равнобедренных треугольников .
616 Вырежи из бумаги равносторонний и равнобедренный	треугольники	, квадрат , параллелограмм , окружность .
У пирамиды основанием является многоугольник , а боковые грани —	треугольники	с общей вершиной .
Поэтому	треугольники	по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые , прямоугольные — имеющие один прямой угол , и тупоугольные — имеющие один тупой угол .
Подчеркни разными цветами	треугольники	, которые являются : а ) остроугольными ; б ) прямоугольными ; в ) тупоугольными ; г ) равнобедренными .
Нарисуй в тетради диаграмму Эйлера - Венна , показывающую классификацию	треугольников	по виду углов .
Как можно назвать эти свойства равенства	треугольников	?
Например , в множестве треугольников Т можно выделить треугольники , которые имеют две равные стороны , — их называют равнобедренными ; в множестве равнобедренных	треугольников	, в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три стороны .
381 Построй треугольник АВС по стороне b и двум прилежащим к ней углам А и С. Сколько различных	треугольников	можно построить по этим данным ?
709 Составь паркет из правильных	треугольников	и шестиугольников .
Измерь углы получившихся	треугольников	.
Найди величину угла правильного двенадцатиугольника , б ) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников ,	треугольников	и квадратов ? .
Все равносторонние треугольники являются равнобедренными — ведь они удовлетворяют определению равнобедренных	треугольников	.
Изображен паркет из правильных	треугольников	, переходящий в паркет из правильных шестиугольников .
Сколько можно построить различных ( не равных между собой )	треугольников	с тремя данными сторонами ?
Изображен паркет из правильных	треугольников	и двенадцатиугольников .
На какие виды	треугольников	ее можно распространить ? .
Эти классы интересны тем , что любой треугольник попадает ровно в один класс , и тем самым множество Т	треугольников	определенным образом упорядочивается .
Как связаны между собой углы этих	треугольников	и углы данного четырехугольника ?
Он доказал , что центр описанной окружности треугольника АВС совпадает с точкой пересечения окружностей , описанных около	треугольников	— середины сторон АС , СВ и АВ .
Сколько получилось	треугольников	?
Можем ли мы на этом основании сделать вывод , что углы всех	треугольников	острые ? .
Простейшими паркетами являются обычная тетрадь « в клеточку » и паркет , составленный из правильных	треугольников	.
Какие виды	треугольников	могут получиться ? .
Как ты считаешь , на какие виды	треугольников	можно распространить построенные гипотезы ?
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных	треугольников	и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из правильных треугольников и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех	треугольников	, поэтому треугольную пирамиду называют еще тетраэдром ( от латинского tetra — четыре ) .
в ) На какие классы можно разбить множество	треугольников	по виду углов ?
Указанным образом легче всего построить правильный шестиугольник : он состоит из шести правильных	треугольников	, и поэтому длина его стороны равна радиусу описанной окружности .
Например , в множестве	треугольников	Т можно выделить треугольники , которые имеют две равные стороны , — их называют равнобедренными ; в множестве равнобедренных треугольников , в свою очередь , можно выделить равносторонние — те , у которых равны все три стороны .
Измерь и сравни углы	треугольников	АВС и MNK .
355 Определи на глаз , какие из	треугольников	, изображенных , являются : а ) остроугольными ; б ) прямоугольными ; в ) тупоугольными .
Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна , иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех треугольников , множеством равнобедренных и множеством равносторонних	треугольников	.
Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна , иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех	треугольников	, множеством равнобедренных и множеством равносторонних треугольников .
376 Сколько равносторонних	треугольников	ты видишь ? .
Точно так же свойства прямоугольных	треугольников	могут быть неверны для остроугольных и тупоугольных .
Построй окружности , описанные около	треугольников	.
Какие из	треугольников	на рисунке являются равнобедренными ?
570 Запиши формулы для вычисления площадей	треугольников	.
384 Проанализируй решение задач и сформулируй гипотезу : из равенства каких элементов двух треугольников следует равенство самих	треугольников	?
252 Построй треугольник АВС так , чтобы угол А = 56 ° и АВ = 4 см. Сколько еще можно построить	треугольников	, удовлетворяющих этому условию ?
694 Вырежи из бумаги 20 одинаковых произвольных	треугольников	и составь из них паркет .
Сколько еще можно построить	треугольников	, удовлетворяющих этому условию ?
Покажи , как располагаются на ней подмножества равнобедренных и равносторонних	треугольников	.
Найди на чертеже отрезки , которые являются средними линиями	треугольников	.
384 Проанализируй решение задач и сформулируй гипотезу : из равенства каких элементов двух	треугольников	следует равенство самих треугольников ?
Показана диаграмма Эйлера - Венна множества Т , гдеТо , Тп и Тт обозначают соответственно множества остроугольных , прямоугольных и тупоугольных	треугольников	.
Найди отрезки , являющиеся высотами	треугольников	.
Можно ли считать твою гипотезу верной для любых	треугольников	?
Уже имеющийся опыт работы с треугольниками убеждает нас в том , что это не так : углы	треугольников	могут быть и прямыми , и тупыми , при этом сумма всех углов треугольника всегда равна 180 ° .
293 Сколько изображено : а ) квадратов ; б )	треугольников	? .
Нарисуй в тетради несколько равнобедренных	треугольников	с одним и тем же основанием .
568 Найди площади закрашенных	треугольников	.
Найди отрезки , являющиеся медианами	треугольников	.
419 На сколько	треугольников	разбивают данный треугольник все его средние линии ?
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных треугольников и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из правильных	треугольников	и шестиугольников ; г ) из правильных восьмиугольников ?
Какие сочетания видов	треугольников	возможны ? .
Построй треугольник , симметричный	треугольнику	АВС : а ) относительно точки О , лежащей вне треугольника АВС ; б ) относительно середины М стороны ВС .
Назови точки , симметричные точкам С , К , D , М относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку ВО ,	треугольнику	АОМ , четырехугольнику АОКМ , ломаной BODK , семиугольнику ABOCDKM ? .
674 Начерти треугольник АВС со сторонами АВ = 4 см , ВС = 2 см , АС = 5 см. Построй треугольник центрально - симметричный	треугольнику	АВС относительно вершины В. Является ли точка В центром симметрии четырехугольника ?
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный	треугольнику	АВС .
Обозначим эти точки В и С. Построим треугольник АХВХСХ , равный	треугольнику	АВС .
672 Скопируй рисунок и построй треугольник , симметричный	треугольнику	АВС относительно прямой l.
В зависимости от числа сторон многоугольника , лежащего в основании пирамиды , она называется	треугольной	, четырехугольной , пятиугольной и т .
Поверхность	треугольной	пирамиды состоит из четырех треугольников , поэтому треугольную пирамиду называют еще тетраэдром ( от латинского tetra — четыре ) .
Именно поэтому в	треугольном	паркете в каждой вершине сходится шесть фигур , в квадратном — четыре , в шестиугольном — три .
Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников , поэтому	треугольную	пирамиду называют еще тетраэдром ( от латинского tetra — четыре ) .
Рассмотри рисунки и продолжи последовательности	треугольных	и квадратных чисел .
Например , невозможно судить об истинности высказывания Острый угол меньше	тупого	угла » , не зная определений этих углов .
572 Чему равна градусная мера : а ) прямого угла ; б ) острого угла ; в )	тупого	угла .
572 Чему равна градусная мера : а ) прямого угла ; б ) острого угла ; в )	тупого угла	.
Например , невозможно судить об истинности высказывания Острый угол меньше	тупого угла	» , не зная определений этих углов .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые , прямоугольные — имеющие один прямой угол , и тупоугольные — имеющие один	тупой	угол .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые , прямоугольные — имеющие один прямой угол , и тупоугольные — имеющие один	тупой угол	.
Если построение выполнено точно , то все перпендикуляры пересекутся в одной точке — точке О. Обратим внимание , что расположение точки О зависит от вида треугольника : у остроугольного треугольника он находится внутри , у прямоугольного — на гипотенузе , а у	тупоугольного	— снаружи .
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по - разному : у остроугольного треугольника он располагается внутри него , у прямоугольного — в вершине прямого угла , а у	тупоугольного	— снаружи .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые , прямоугольные — имеющие один прямой угол , и	тупоугольные	— имеющие один тупой угол .
	Тупоугольный	.
285 Разрежь квадрат на три части , из которых можно сложить	тупоугольный	треугольник .
385 Построй биссектрисы углов А , В и С треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в )	тупоугольный	.
386 Построй серединные перпендикуляры к сторонам а , b и с треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в )	тупоугольный	.
б ) равнобедренный	тупоугольный	треугольник .
На бумаге без клеток начерти	тупоугольный	треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой l , содержащей : а ) большую сторону ; б ) меньшую сторону ; в ) медиану , проведенную к его меньшей стороне .
Построй высоты треугольника АВС , проведенные к сторонам а , b и с , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в )	тупоугольный	.
а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в )	тупоугольный	.
416 Построй окружность , описанную около треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в )	тупоугольный	.
б ) равнобедренный	тупоугольный треугольник	.
На бумаге без клеток начерти	тупоугольный треугольник	и построй симметричный ему треугольник относительно прямой l , содержащей : а ) большую сторону ; б ) меньшую сторону ; в ) медиану , проведенную к его меньшей стороне .
285 Разрежь квадрат на три части , из которых можно сложить	тупоугольный треугольник	.
356 а ) Может ли быть треугольник равнобедренным и	тупоугольным	?
355 Определи на глаз , какие из треугольников , изображенных , являются : а ) остроугольными ; б ) прямоугольными ; в )	тупоугольными	.
Подчеркни разными цветами треугольники , которые являются : а ) остроугольными ; б ) прямоугольными ; в )	тупоугольными	; г ) равнобедренными .
Точно так же свойства прямоугольных треугольников могут быть неверны для остроугольных и	тупоугольных	.
Показана диаграмма Эйлера - Венна множества Т , гдеТо , Тп и Тт обозначают соответственно множества остроугольных , прямоугольных и	тупоугольных	треугольников .
Показана диаграмма Эйлера - Венна множества Т , гдеТо , Тп и Тт обозначают соответственно множества остроугольных , прямоугольных и	тупоугольных треугольников	.
Найди и отметь соответственно острые , прямые и	тупые	углы .
Найди и отметь соответственно острые , прямые и	тупые углы	.
12 ) Любой угол является острым или	тупым	.
Существует треугольник с двумя	тупыми	углами .
Уже имеющийся опыт работы с треугольниками убеждает нас в том , что это не так : углы треугольников могут быть и прямыми , и	тупыми	, при этом сумма всех углов треугольника всегда равна 180 ° .
Существует треугольник с двумя	тупыми углами	.
б ) Сколько острых , сколько прямых и сколько	тупых	углов может иметь треугольник ?
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых углов ( у ) ,	тупых	углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
597 Потренируй свой глазомер : начерти на листе бумаги без клеток 3 острых и 3	тупых	угла , определи на глаз их градусную меру , а затем проверь себя , измерив углы транспортиром .
597 Потренируй свой глазомер : начерти на листе бумаги без клеток 3 острых и 3	тупых угла	, определи на глаз их градусную меру , а затем проверь себя , измерив углы транспортиром .
б ) Сколько острых , сколько прямых и сколько	тупых углов	может иметь треугольник ?
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых углов ( у ) ,	тупых углов	( z ) , развернутых углов ( t ) ?
Угол , равный части прямого	угла	, назвали град , однако используется он редко .
Тогда сторона ОВ укажет на той же шкале величину	угла	в градусах : АОВ = 124 ° .
Градусная мера	угла	появилась в древнем Вавилоне более 3000 лет назад и связана с шестидесятиричной системой счисления , которая тогда там использовалась .
Например , величина	угла	MNK , выраженная в градусах , равна 42 ° .
690 Величина	угла	правильного n - угольника вычисляется по формуле .
Угол величиной в 1 ° равен части прямого	угла	.
Чтобы измерить угол , например , АОВ , надо приложить транспортир так , чтобы вершина	угла	О совпала с центром транспортира , а сторона ОА прошла через начало отсчета на шкале .
Затем около деления выбранной шкалы с отметкой 35 ° надо поставить точку В и соединить ее с точкой О. Градусная мера полученного	угла	АОВ равна 35 ° : АОВ = 35 ° .
571 Вырази величину	угла	АОВ в единицах измерения e1 , е2 , е3 , е4 . а ) Как изменяется результат измерения углов при увеличении единицы измерения ?
Видно , что чем больше единичный угол , тем меньше величина	угла	, и наоборот .
Если же вторые стороны не совпадут , то меньше тот угол , сторона которого оказалась внутри другого	угла	.
На собственном опыте вы убедились , что при проведении измерений второй конец отрезка или вторая сторона	угла	чаще всего проходит между делениями шкалы .
572 Чему равна градусная мера : а ) прямого	угла	; б ) острого угла ; в ) тупого угла .
Два	угла	можно сравнить непосредственно с помощью наложения .
Построй два смежных	угла	так , чтобы один из них : а ) был на 70 больше второго ; б ) был в 4 раза меньше второго ; в ) был равен второму .
Еще одна геометрическая величина — мера	угла	.
572 Чему равна градусная мера : а ) прямого угла ; б ) острого угла ; в ) тупого	угла	.
развернутого	угла	; д ) угла , вертикального углу 75 ° ; д ) угла , смежного с углом 30 ° ? .
развернутого угла ; д )	угла	, вертикального углу 75 ° ; д ) угла , смежного с углом 30 ° ? .
развернутого угла ; д ) угла , вертикального углу 75 ° ; д )	угла	, смежного с углом 30 ° ? .
Построй угол , равный половине	угла	, продолжающего эту закономерность .
Центр О окружности , описанной около правильного n - угольника , соединен с двумя его последовательными вершинами А и В. Чему равна величина	угла	АОВ ? .
б ) Как , зная величину	угла	АОВ , построить правильный n - угольник с помощью транспортира ?
Почему транспортир удобно прикладывать так , чтобы одна из сторон	угла	проходила через нулевую отметку на его шкале ? .
Проведи биссектрису	угла	В .
Найди величину	угла	правильного восьмиугольника .
572 Чему равна градусная мера : а ) прямого угла ; б ) острого	угла	; в ) тупого угла .
Название	угла	.
Найди величину	угла	правильного двенадцатиугольника , б ) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников , треугольников и квадратов ? .
251 Построй два смежных	угла	так , чтобы один из них : 1 ) был на 20 ° меньше второго ; 2 ) был в 3 раза больше второго .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла и найдем точки ее пересечения со сторонами	угла	.
23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника , приведенным , найди тангенс	угла	А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
Чему равна величина	угла	, наблюдаемого сквозь стекло ? .
Сделай рисунки биссектрисы угла и биссектрисы	угла	треугольника .
460 Чему равна величина	угла	между стрелками часов в 9 ч 20 мин ? .
Сделай рисунки биссектрисы	угла	и биссектрисы угла треугольника .
Пользуясь им , предложи свой вариант определения биссектрисы	угла	треугольника .
597 Потренируй свой глазомер : начерти на листе бумаги без клеток 3 острых и 3 тупых	угла	, определи на глаз их градусную меру , а затем проверь себя , измерив углы транспортиром .
Биссектрисой угла называется луч , который исходит из вершины	угла	и делит часть плоскости , ограниченную углом , на две равные части .
Биссектрисой	угла	называется луч , который исходит из вершины угла и делит часть плоскости , ограниченную углом , на две равные части .
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного	угла	и найдем точки ее пересечения со сторонами угла .
Обычно на графике независимые переменные отмечают на горизонтальной оси координатного	угла	( оси абсцисс ) , а зависимые — на вертикальной оси ( оси ординат ) .
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два	угла	, равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого угла ; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
Для этого достаточно стороны координатного	угла	продолжить до координатных прямых .
102 Математическое исследование . 1 ) Стороны	угла	А пересечены параллельными прямыми В1,С1 , В2,С2 и В3,С3 .
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого	угла	; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
Придумай определение	угла	, вписанного в окружность .
Построение	угла	, равного данному .
Пользуясь этой формулой , вычисли величину	угла	правильного n - угольника для n = 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 12 , 15 , 20 .
518 Пусть радиус основания конуса равен r , а его боковую поверхность можно развернуть в сектор круга радиуса R. Величина	угла	α этого сектора в градусах вычисляется по формуле .
599 Внутри прямого	угла	АО В провели луч ОМ так , что угол АОМ : а ) в 4 раза больше угла МОВ ; б ) на 24 ° меньше угла МО В ; в ) составляет 50 % угла МОВ .
Лучи называются сторонами угла , а их общее начало — вершиной	угла	.
С координатами мы уже не раз встречались и в математике : обозначали с помощью чисел положение точек координатной прямой и координатного	угла	.
Значит , смежные углы — это два	угла	, одна сторона у которых общая , а две другие образуют прямую .
Лучи называются сторонами	угла	, а их общее начало — вершиной угла .
599 Внутри прямого угла АО В провели луч ОМ так , что угол АОМ : а ) в 4 раза больше	угла	МОВ ; б ) на 24 ° меньше угла МО В ; в ) составляет 50 % угла МОВ .
Заметим , что определение смежных углов можно дать и по - другому : смежными называются два	угла	, одна сторона у которых общая , а две другие являются дополнительными лучами .
599 Внутри прямого угла АО В провели луч ОМ так , что угол АОМ : а ) в 4 раза больше угла МОВ ; б ) на 24 ° меньше	угла	МО В ; в ) составляет 50 % угла МОВ .
599 Внутри прямого угла АО В провели луч ОМ так , что угол АОМ : а ) в 4 раза больше угла МОВ ; б ) на 24 ° меньше угла МО В ; в ) составляет 50 %	угла	МОВ .
г ) на 50 % больше	угла	МОВ .
601 Два луча , проведенные из вершины развернутого	угла	, разбивают его на 3 части пропорционально числам .
в ) Два	угла	называются вертикальными , если стороны одного из них являются дополнительными лучами для сторон другого .
С помощью построений можно проверить , что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по - разному : у остроугольного треугольника он располагается внутри него , у прямоугольного — в вершине прямого	угла	, а у тупоугольного — снаружи .
Найди отношение синуса угла А к косинусу	угла	А и сравни его с тангенсом угла А .
Синус , косинус и тангенс	угла	X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения длин сторон треугольника АВС , выражающие значения синусов , косинусов и тангенсов углов А и В .
Построить : биссектрису	угла	A .
Найди отношение синуса	угла	А к косинусу угла А и сравни его с тангенсом угла А .
Вычисли сумму квадратов синуса и косинуса	угла	А .
Измерь стороны треугольника АВС и вычисли синус , косинус и тангенс	угла	А . 2 )
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине	угла	А и найдем ее точки пересечения со сторонами угла .
Косинусом острого	угла	прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы .
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину	угла	АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых углов ( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла А и найдем ее точки пересечения со сторонами	угла	.
580 Построй с помощью транспортира два смежных	угла	, если один из этих углов : а ) на 28 ° больше второго ; б ) в 5 раз меньше второго ; в ) составляет 25 % второго ; г ) на 40 % больше второго ; д ) на 20 % меньше второго угла .
а ) он равен развернутого	угла	; б ) 0,75 его составляет прямой угол .
Проведи биссектрису	угла	АВС .
Тангенсом острого	угла	прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего .
Величина	угла	.
580 Построй с помощью транспортира два смежных угла , если один из этих углов : а ) на 28 ° больше второго ; б ) в 5 раз меньше второго ; в ) составляет 25 % второго ; г ) на 40 % больше второго ; д ) на 20 % меньше второго	угла	.
Измерь длины отрезков , образовавшихся на сторонах	угла	А , и сравни отношения 2 )
Это определение смежных углов опирается на понятия « прямая » , « угол » , « сторона	угла	» , « общая сторона » .
Найди отношение синуса угла А к косинусу угла А и сравни его с тангенсом	угла	А .
Проведи исследование для произвольного	угла	А и произвольных параллельных прямых В1,С1 , В2,С2 и В3,С3 , пересекающих его сторону .
23 Пользуясь определением тангенса острого	угла	прямоугольного треугольника , приведенным , найди тангенс угла А в треугольниках АВС , AB1C1 , АВ2С2 , АВ3С3 , выполнив необходимые измерения .
Например , невозможно судить об истинности высказывания Острый угол меньше тупого	угла	» , не зная определений этих углов .
г ) биссектрису данного	угла	( задача 4 ) .
Однако второе определение опирается уже на несколько другие геометрические понятия — « угол » , « сторона	угла	» , « общая сторона » и « дополнительные лучи » .
736 Лучи , исходящие из вершины развернутого	угла	, делят его на 4 части .
Построение биссектрисы	угла	.
Повтори исследование для острого	угла	произвольного прямоугольного треугольника .
Выполни три предыдущих задания для	угла	В треугольника АВС .
Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найди величину	угла	АОС , считая сумму углов треугольника равной 180 ° .
Синусом острого	угла	прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы .
440 Построй треугольник АБС по стороне с и двум прилежащим к ней	углам	А и В. Построй центр тяжести треугольника АВС .
403 Построй треугольник АВС : 1 ) по стороне а и прилежащему к ней углу В ; 2 ) по стороне а и двум прилежащим к ней	углам	В и С. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач ? .
381 Построй треугольник АВС по стороне b и двум прилежащим к ней	углам	А и С. Сколько различных треугольников можно построить по этим данным ?
725 Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС : а ) по двум сторонам а и b ; б ) по трем сторонам а , b и с ; в ) по двум сторонам а и b и углу между ними С ; г ) по стороне а и двум прилежащим к ней	углам	В и С ( стороны и углы задай произвольно ) .
Так , угол АОВ измерен различными единичными	углами	e1 , е2 и е3 .
Существует треугольник с двумя тупыми	углами	.
При измерении углов , как и при измерении любых величин , выбирают единицу измерения и устанавливают , сколько раз она содержится в данном	угле	.
Известны ли тебе другие единицы измерения	углов	? .
571 Вырази величину угла АОВ в единицах измерения e1 , е2 , е3 , е4 . а ) Как изменяется результат измерения	углов	при увеличении единицы измерения ?
Сели сумма	углов	треугольника равна 780 ° , то сумма углов четырехугольника равна .
574 Определи градусные меры	углов	.
Сформулируй и запиши с помощью знака определение	углов	каждого вида .
Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найди величину угла АОС , считая сумму	углов	треугольника равной 180 ° .
Уже имеющийся опыт работы с треугольниками убеждает нас в том , что это не так : углы треугольников могут быть и прямыми , и тупыми , при этом сумма всех	углов	треугольника всегда равна 180 ° .
Биссектрисы	углов	А и С пересекаются в точке О. Найди величину угла АОС , считая сумму углов треугольника равной 180 ° .
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых углов ( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых	углов	( t ) ?
Можно ли найти величины остальных	углов	, не выполняя измерений ? .
Поэтому треугольники по виду	углов	можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые , прямоугольные — имеющие один прямой угол , и тупоугольные — имеющие один тупой угол .
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых углов ( у ) , тупых	углов	( z ) , развернутых углов ( t ) ?
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых	углов	( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых	углов	( х ) , прямых углов ( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
580 Построй с помощью транспортира два смежных угла , если один из этих	углов	: а ) на 28 ° больше второго ; б ) в 5 раз меньше второго ; в ) составляет 25 % второго ; г ) на 40 % больше второго ; д ) на 20 % меньше второго угла .
575 Определи на глаз величины	углов	и проверь себя , измерив углы транспортиром .
Синус , косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X , cos X и tg X. Запиши отношения длин сторон треугольника АВС , выражающие значения синусов , косинусов и тангенсов	углов	А и В .
Самой распространенной единицей измерения	углов	является градус ( обозначается 1 ° ) .
Сели сумма углов треугольника равна 780 ° , то сумма	углов	четырехугольника равна .
Пусть известны величины двух	углов	, отмеченных на чертеже , 28 и 90 .
Нарисуй для этого разбиения диаграмму Эйлера - Венна и отметь на ней углы А , В , С , D , E , F , К . 352 а ) Начерти в тетради произвольный треугольник и определи вид его	углов	.
Найди величину образовавшихся	углов	и сделай чертеж .
Это определение смежных	углов	опирается на понятия « прямая » , « угол » , « сторона угла » , « общая сторона » .
Поэтому надо отметить еще одну существенную особенность смежных	углов	— две другие их стороны образуют прямую .
Но этого недостаточно , так как у	углов	тоже есть общая сторона , но они не являются смежными .
Для определения смежных	углов	надо заметить , что одна сторона у них общая .
Найди величины этих	углов	и сделай чертеж .
307 При пересечении двух прямых один из образовавшихся	углов	в 2 раза больше другого .
Найди величины всех образовавшихся	углов	и построй их .
При измерении	углов	, как и при измерении любых величин , выбирают единицу измерения и устанавливают , сколько раз она содержится в данном угле .
Например , невозможно судить об истинности высказывания Острый угол меньше тупого угла » , не зная определений этих	углов	.
Нарисуй в тетради диаграмму Эйлера - Венна , показывающую классификацию треугольников по виду	углов	.
в ) Какая единица измерения	углов	является общепринятой ?
332 Как ты считаешь , какой из нарисованных	углов	называют центральным ?
в ) На какие классы можно разбить множество треугольников по виду	углов	?
Нарисуй несколько центральных	углов	окружности и сформулируй определение этого понятия .
б ) Сколько острых , сколько прямых и сколько тупых	углов	может иметь треугольник ?
573 Найди ошибки в измерении	углов	.
Заметим , что определение смежных	углов	можно дать и по - другому : смежными называются два угла , одна сторона у которых общая , а две другие являются дополнительными лучами .
2 Измерение	углов	.
Свойство , в соответствии с которым множество разбивается на классы , называют основанием классификации ( в нашем примере — « вид	углов	» ) .
Плоскость а будто отсекает от куба один из	углов	, и в сечении получается треугольник MNK .
Других паркетов из правильных многоугольников одного вида быть не может — в этом можно убедиться , исследовав величины их	углов	.
385 Построй биссектрисы	углов	А , В и С треугольника АВС , если треугольник АВС : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный .
Сумма смежных	углов	равна 180 .
Биссектрисы	углов	треугольника пересекаются в центре вписанной окружности .
В произвольном треугольнике АВС проведем биссектрисы его	углов	.
Тела Архимеда получаются из правильных многогранников с помощью операции « усечения » , то есть отсечения	углов	плоскостями .
Геометрические фигуры могут « встретиться » в вершине паркета только тогда , когда сумма их	углов	составляет 360 ° , иначе они не сомкнутся вокруг вершины или « налезут » друг на друга .
Заметим , что , как и в случае с координатным	углом	, изменение порядка координат меняет положение точки на плоскости .
Во втором примере , перейдя к десятичным дробям , нам придется выполнять деление	углом	на двузначное число , что требует довольно громоздких вычислений .
Биссектрисой угла называется луч , который исходит из вершины угла и делит часть плоскости , ограниченную	углом	, на две равные части .
в ) Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым	углом	.
в ) Прямым	углом	называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
развернутого угла ; д ) угла , вертикального углу 75 ° ; д ) угла , смежного с	углом	30 ° ? .
Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым	углом	.
в ) Прямым углом называется угол , величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая прямому	углу	, называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
383 Построй треугольник АВС по двум сторонам а и с и	углу	В , заключенному между ними .
Угол А , в этом треугольнике равен	углу	А. Задача решена .
725 Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС : а ) по двум сторонам а и b ; б ) по трем сторонам а , b и с ; в ) по двум сторонам а и b и	углу	между ними С ; г ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С ( стороны и углы задай произвольно ) .
развернутого угла ; д ) угла , вертикального	углу	75 ° ; д ) угла , смежного с углом 30 ° ? .
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого угла ; в ) угол , смежный	углу	АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
404 Построй треугольник АВС по двум сторонам b и с и	углу	А , заключенному между ними .
154 Точки A(а ; 0 ) и B(0 ; b ) принадлежат координатному	углу	xOy .
403 Построй треугольник АВС : 1 ) по стороне а и прилежащему к ней	углу	В ; 2 ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач ? .
439 Построй треугольник АВС по двум сторонам а и b и	углу	С , заключенному между ними , и впиши в него окружность .
Обозначим эти точки В и С. Проведем две окружности того же радиуса с центрами в В и С и найдем их точку пересечения , принадлежащую	углу	, — точку М. Луч AM — биссектриса .
380 Построй треугольник АВС по стороне b и прилежащему к ней	углу	А. Является ли решение однозначным ?
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого угла ; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный	углу	АВС , равен 127 ° .
Построй в координатном	углу	треугольник АВС , если А ( 9 ; 0 ) , В ( 0 ; 6 ) , С ( 15 ; 9 ) .
382 Построй треугольник АВС по двум сторонам а и b и	углу	А , прилежащему к стороне b. Является ли решение однозначным ? .
Начерти два произвольных четырехугольника и измерь их	углы	.
Параллелограмм — это четырехугольник , у которого противолежащие стороны попарно параллельны . г ) Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все	углы	прямые .
Многоугольник , имеющий четыре вершины ( стороны ) , называется четырехугольником . г ) Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все	углы	прямые .
Как связаны между собой	углы	этих треугольников и углы данного четырехугольника ?
Измерь	углы	четырехугольника ABCD и найди их сумму .
Однако при исследовании свойств геометрических тел мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной фигуры не всегда совпадает с ее реальной формой : окружность превращается в эллипс — « сплющенную » окружность , изменяются	углы	между прямыми и отрезками и т .
Например , из того , что в равнобедренном треугольнике АВС медиана BD , проведенная к основанию , является осью симметрии , следует , что треугольники ABD и CBD равны , и поэтому равны их стороны и	углы	: AD = DC , 1 = 2 , 3 = 4 = 90 ° .
500 Начерти три произвольных параллелограмма и измерь их	углы	.
Отметь на прямой l точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии , докажи , что : а ) треугольник АВС — равнобедренный ; б )	углы	при основании треугольника АВС равны ; в ) медианы , проведенные к боковым сторонам треугольника АВС , равны .
Измерь транспортиром	углы	секторов диаграммы и определи , сколько человек выбрали каждый ответ , если в 6 « А » всего 24 учащихся .
724 Углы А и С являются вписанными в окружность , а	углы	В и D — нет .
	Углы	при основании у равны ( Т — множество трапеций ) .
Каждый без труда может изобразить на плоскости точку , прямую , луч , отрезок , прямоугольник и квадрат , различные	углы	, окружность , параллельные и перпендикулярные прямые и т .
Начерти равнобедренный треугольник АВС ( АВ = ВС ) и измерь транспортиром	углы	при основании АС .
Чтобы учесть направление поворота ,	углы	поворота условились выражать рациональными числами : положительными — против часовой стрелки , а отрицательными — по часовой стрелке . .
Измерь стороны и	углы	четырехугольника ABCD .
597 Потренируй свой глазомер : начерти на листе бумаги без клеток 3 острых и 3 тупых угла , определи на глаз их градусную меру , а затем проверь себя , измерив	углы	транспортиром .
Значит , смежные	углы	— это два угла , одна сторона у которых общая , а две другие образуют прямую .
Все	углы	четырехугольника прямые .
Как связаны между собой углы этих треугольников и	углы	данного четырехугольника ?
Особый интерес представляют выпуклые многоугольники , у которых все стороны и все	углы	равны .
Измерь	углы	получившихся треугольников .
Следовательно , все его стороны и	углы	равны , то есть многоугольник является правильным .
На шкале известного нам прибора — транспортира — отложены	углы	"в 1 "" , поэтому с его помощью можно измерять или строить на плоскости любой угол , выраженный в градусах ."
240 Измерь	углы	с помощью транспортира и расположи их меры в возрастающем порядке .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все	углы	которых острые , прямоугольные — имеющие один прямой угол , и тупоугольные — имеющие один тупой угол .
а ) Вертикальные	углы	равны .
Уже имеющийся опыт работы с треугольниками убеждает нас в том , что это не так :	углы	треугольников могут быть и прямыми , и тупыми , при этом сумма всех углов треугольника всегда равна 180 ° .
б ) Какими единицами измерения удобнее измерять	углы	— большими или маленькими ?
Своеобразным пространственным аналогом правильных многоугольников являются правильные многогранники — геометрические тела , у которых все грани — равные правильные многоугольники , а	углы	между гранями равны .
Можем ли мы на этом основании сделать вывод , что	углы	всех треугольников острые ? .
241 Найди на рисунке смежные и вертикальные	углы	.
Если при этом и две другие стороны совпадут , то	углы	равны .
Найди и отметь соответственно острые , прямые и тупые	углы	.
725 Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС : а ) по двум сторонам а и b ; б ) по трем сторонам а , b и с ; в ) по двум сторонам а и b и углу между ними С ; г ) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С ( стороны и	углы	задай произвольно ) .
Заметим , что все	углы	треугольника АВС острые .
Измерь и сравни	углы	треугольников АВС и MNK .
Измерь	углы	треугольника АВС и углы треугольника , образованного средними линиями .
Найди по рисункам , не выполняя измерений , величину угла АОВ ( на каждом рисунке равные	углы	обозначены одинаковыми дугами ): 2 ) Сколько на каждом из рисунков острых углов ( х ) , прямых углов ( у ) , тупых углов ( z ) , развернутых углов ( t ) ?
Измерь с помощью транспортира	углы	получившегося треугольника .
Измерь углы треугольника АВС и	углы	треугольника , образованного средними линиями .
б ) На какие классы можно разбить все	углы	а , где 0 < а < 180 ° , по их виду ?
Вертикальные	углы	равны .
Измерь стороны и	углы	треугольника АВС и определи его вид .
576 Начерти луч О А. С помощью транспортира отложи от него	углы	35 ° и 120 ° .
Нарисуй для этого разбиения диаграмму Эйлера - Венна и отметь на ней	углы	А , В , С , D , E , F , К . 352 а ) Начерти в тетради произвольный треугольник и определи вид его углов .
« Квадратом называется параллелограмм , все	углы	которого прямые .
575 Определи на глаз величины углов и проверь себя , измерив	углы	транспортиром .
Треугольник называется прямоугольным , если один его	угол	прямой .
Построй треугольник АВС так , чтобы угол А = 34 ° , a	угол	В = 42 ° .
606 На	угол	в 20 ° смотрят через увеличительное стекло с десятикратным увеличением .
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого угла ; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г )	угол	, вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
Однако второе определение опирается уже на несколько другие геометрические понятия — «	угол	» , « сторона угла » , « общая сторона » и « дополнительные лучи » .
Вычисли	угол	α и построй развертку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и , свернув ее в конус , убедись в том , что длина дуги сектора равна длине окружности основания .
Начерти	угол	, равный 60 ° , и раздели его на 2 части , отношение которых равно 1:2 .
Для решения задач на построение далее нам потребуются следующие обозначения : угол и противолежащую сторону в треугольнике будем обозначать одной и той же буквой , причем	угол	обозначают прописной буквой , а сторону — строчной .
614 Укажи	угол	и направление поворота вокруг точки О , при котором фигура переходит сама в себя .
Построй	угол	, равный половине угла , продолжающего эту закономерность .
153 Начерти координатный	угол	и построй в нем прямоугольник ABCD по координатам его вершин : А(2 ; 3 ) , В(2 ; 7 ) , С(8 ; 7 ) , D(8 ; 3 ) .
599 Внутри прямого угла АО В провели луч ОМ так , что	угол	АОМ : а ) в 4 раза больше угла МОВ ; б ) на 24 ° меньше угла МО В ; в ) составляет 50 % угла МОВ .
Построй треугольник АВС так , чтобы	угол	А = 34 ° , a угол В = 42 ° .
Для решения задач на построение далее нам потребуются следующие обозначения :	угол	и противолежащую сторону в треугольнике будем обозначать одной и той же буквой , причем угол обозначают прописной буквой , а сторону — строчной .
Кроме того , постоянными остаются	угол	поворота и направление поворота .
в ) Прямым углом называется	угол	, величина которого равна 90 ° . г ) В прямоугольном треугольнике сторона , противолежащая прямому углу , называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами .
Показан поворот фигуры F1 вокруг точки О на	угол	110 ° против часовой стрелки , а элементы веера могут быть получены в результате поворотов на 20 ° как по часовой , так и против часовой стрелки .
Затем закрепим кальку в точке О и повернем ее на некоторый	угол	.
673 а ) Построй треугольник АВС , у которого	угол	А = 90 ° , АВ = ВС = 4 см. Определи вид этого треугольника .
Это определение смежных углов опирается на понятия « прямая » , «	угол	» , « сторона угла » , « общая сторона » .
Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь	угол	, образованный хордами .
Построй треугольник A1B1C1 , который получается из треугольника АВС при повороте вокруг вершины А на	угол	а = 45 ° .
Первый	угол	относится ко второму как 2,4:1 у , третий — на 15 ° меньше первого а четвертый — в 3 раза больше третьего .
Чтобы измерить	угол	, например , АОВ , надо приложить транспортир так , чтобы вершина угла О совпала с центром транспортира , а сторона ОА прошла через начало отсчета на шкале .
в )	угол	, равный данному ( задача 3 ) .
643 Воспроизведи чертеж и поверни : а ) точку А на угол а = -80 ° ; б ) отрезок АВ на	угол	а = 100 ° ; в ) треугольник АВС сначала на угол а = 90 ° , а потом на угол а = -90 ° .
а ) он равен развернутого угла ; б ) 0,75 его составляет прямой	угол	.
579 Построй с помощью транспортира	угол	MNK , если известно , что .
578 Построй с помощью транспортира	угол	CDE , равный : а ) 72 ° ; б ) 150 ° .
577 Построй с помощью транспортира	угол	АВС , равный : а ) 58 ° ; б ) 116 ° .
643 Воспроизведи чертеж и поверни : а ) точку А на угол а = -80 ° ; б ) отрезок АВ на угол а = 100 ° ; в ) треугольник АВС сначала на	угол	а = 90 ° , а потом на угол а = -90 ° .
Минутная стрелка поворачивается за 1 мин на	угол	6 ° .
На какой	угол	повернется она за 2,5 мин ? .
Для этого один	угол	надо наложить на другой так , чтобы одна сторона у них совпала .
	Угол	A — прямой .
За сколько времени повернется минутная стрелка на	угол	27 ° ? .
Тогда при повороте плоскости вокруг центра этой окружности на	угол	, кратный , многоугольник перейдет сам в себя .
643 Воспроизведи чертеж и поверни : а ) точку А на угол а = -80 ° ; б ) отрезок АВ на угол а = 100 ° ; в ) треугольник АВС сначала на угол а = 90 ° , а потом на	угол	а = -90 ° .
Если же вторые стороны не совпадут , то меньше тот	угол	, сторона которого оказалась внутри другого угла .
Так ,	угол	АОВ измерен различными единичными углами e1 , е2 и е3 .
Видно , что чем больше единичный	угол	, тем меньше величина угла , и наоборот .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые , прямоугольные — имеющие один прямой угол , и тупоугольные — имеющие один тупой	угол	.
Отметим , что такой же	угол	можно построить и по другую сторону от луча ОА : АОВ .
было предложено делить прямой	угол	не на 90 , а на 100 частей .
Чтобы построить	угол	, равный , например , 35 ° , надо совместить центр транспортира с началом некоторого луча ОА — точкой О — так , чтобы луч ОА прошел через начало отсчета на шкале .
Поэтому треугольники по виду углов можно разбить на три класса : остроугольные — все углы которых острые , прямоугольные — имеющие один прямой	угол	, и тупоугольные — имеющие один тупой угол .
643 Воспроизведи чертеж и поверни : а ) точку А на	угол	а = -80 ° ; б ) отрезок АВ на угол а = 100 ° ; в ) треугольник АВС сначала на угол а = 90 ° , а потом на угол а = -90 ° .
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого угла ; в )	угол	, смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
642 Отметь на кальке точки О и А и поверни кальку вокруг точки О на	угол	а .
588 Сколько градусов содержит	угол	между часовой и минутной стрелками часов в 3 ч , 6 ч , 8 ч , 10 ч , 11 ч , 14 ч 30 мин ? .
598 Начерти с помощью транспортира	угол	АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого угла ; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
Точка А , называется результатом поворота точки А вокруг центра О на	угол	а , если : 1 ) ОА = ОА1 ; 2 ) АОА1 = а .
Точно так же изобразить окружность ,	угол	, прямоугольник гораздо легче , чем увидеть и выразить в речи их существенные свойства .
Например , невозможно судить об истинности высказывания Острый	угол	меньше тупого угла » , не зная определений этих углов .
Центральная симметрия является частным случаем поворота , когда	угол	поворота равен 180 ° .
Таким образом , построение упрощается : для нахождения точки А1 симметричной точке А относительно центра О , уже нет необходимости строить	угол	АОА1 , а можно просто провести прямую ОА и отложить на ней отрезок ОА1 , равный отрезку ОА .
582 В треугольнике АВС	угол	А равен 36 ° , а угол В равен 84 ° .
д. Показано , как построить треугольник А1В1С1 , в который переходит треугольник АВС при осевой симметрии ( а ) , центральной симметрии ( б ) , повороте на	угол	120 ( в ) и параллельном переносе ( г ) . .
Построй без транспортира , используя клеточки ,	угол	в 90 ° , одной из сторон которого является : а ) луч АВ ; б ) луч CD .
Но эти определения также должны опираться на ранее определенные понятия : например , понятие « прямоугольник » опирается на « прямой	угол	» , « прямой угол » , то есть угол в 90 ° , — на « градус » и т .
Но эти определения также должны опираться на ранее определенные понятия : например , понятие « прямоугольник » опирается на « прямой угол » , « прямой	угол	» , то есть угол в 90 ° , — на « градус » и т .
252 Построй треугольник АВС так , чтобы	угол	А = 56 ° и АВ = 4 см. Сколько еще можно построить треугольников , удовлетворяющих этому условию ?
6 ) Прямые при пересечении могут образовывать прямой	угол	.
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б )	угол	АВС дополняет угол , равный 32 ° , до прямого угла ; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
"На шкале известного нам прибора — транспортира — отложены углы в 1 "" , поэтому с его помощью можно измерять или строить на плоскости любой"	угол	, выраженный в градусах .
598 Начерти с помощью транспортира угол АВС , если известно , что : а ) биссектриса делит его на два угла , равных 54 ° ; б ) угол АВС дополняет	угол	, равный 32 ° , до прямого угла ; в ) угол , смежный углу АВС , равен 160 ° ; г ) угол , вертикальный углу АВС , равен 127 ° .
12 ) Любой	угол	является острым или тупым .
582 В треугольнике АВС угол А равен 36 ° , а	угол	В равен 84 ° .
Но эти определения также должны опираться на ранее определенные понятия : например , понятие « прямоугольник » опирается на « прямой угол » , « прямой угол » , то есть	угол	в 90 ° , — на « градус » и т .
637 Для проведения перпендикуляра к прямой часто используют чертежный	угольник	, как показано .
б ) Как , зная величину угла АОВ , построить правильный n -	угольник	с помощью транспортира ?
650 а ) Если перемещать одну из сторон чертежного	угольника	вдоль линейки , то , проводя прямые вдоль другой его стороны , можно получить параллельные прямые .
690 Величина угла правильного n -	угольника	вычисляется по формуле .
Значит , для построения правильного n -	угольника	достаточно разделить окружность на n равных частей и последовательно соединить точки деления .
Построй точку А1 симметричную точке А относительно прямой l : а ) с помощью чертежного	угольника	; б ) с помощью циркуля и линейки ( без делений ) .
Центр О окружности , описанной около правильного n -	угольника	, соединен с двумя его последовательными вершинами А и В. Чему равна величина угла АОВ ? .
Пользуясь этой формулой , вычисли величину угла правильного n -	угольника	для n = 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 12 , 15 , 20 .
А в треугольнике , пятиугольнике , шестиугольнике , n -	угольнике	? .
сумма , если одно слагаемое увеличить на 5 , а другое увеличить на 4 . 2 ) разность , если	уменьшаемое	увеличить на 5 , а вычитаемое увеличить на 4 . 3 ) произведение , если один множитель уменьшить в 3 раза , а другой — уменьшить в 6 раз .
Тогда в левой части уравнения ( -1,2 ) можно рассматривать как	уменьшаемое	, х — как вычитаемое , а ( -0,9 ) — как разность .
99 Как найти неизвестное слагаемое ,	уменьшаемое	, вычитаемое ?
476 Назови	уменьшаемое	и вычитаемое в разности .
70 Копировальная машина	уменьшает	размеры изображения в отношении 3:5 .
Это и понятно , ведь течение реки или помогает плыть , добавляя скорости , или , наоборот , мешает —	уменьшает	ее .
Зато длинные отношения можно преобразовывать , как обычные дроби :	умножать	все его члены на одно и то же число , сокращать .
При вычислении “ длинных ” выражений , в которых фигурируют только	умножение	и деление , пользоваться правилом знаков очень удобно .
Полученные правила умножения можно распространить на	умножение	любых рациональных чисел .
В данном случае , прежде чем воспользоваться формулой , необходимо привести в соответствие единицы измерения ( перевести минуты в часы : 30 мин = 0,5 ч ) , и только после этого выполнять	умножение	.
В “ длинных ” выражениях , в которых фигурирует только	умножение	, при четном числе отрицательных множителей ответ будет положительным , а при нечетном числе — отрицательным .
Для раскрытия скобок в выражениях , содержащих	умножение	числа на сумму , используется распределительное свойство умножения .
515 Выполни	умножение	.
быстрее	умножением	0,15 ∙ 280 .
Аналогично в знаменателе три знака “ минус ” , которые при	умножении	дадут “ минус ” .
Поэтому , например . Уже из приведенных примеров видно , что деление рациональных чисел производится самым естественным образом : операцию деления выполняют , пользуясь тем же правилом знаков , что и при	умножении	.
Таким образом , при	умножении	суммы на число можно применять те же самые правила раскрытия скобок .
в ) свойства чисел 0 и 1 при	умножении	и делении .
« Разделить число а на число b — это значит найти такое число с , которое при	умножении	на b дает а » .
Заметим , что в последнем примере при	умножении	на отрицательное число модули перемножаются , а знак произведения противоположен знаку первого множителя .
При	умножении	числа на 1 всегда получается то же самое число .
Какая часть продукции высшего качества выпущена за январь и февраль отдельно , если известно , что каждая из этих дробей несократима , не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и	умножении	знаменателя на 2 , и если за январь выпущено больше , чем за февраль ? . .
Как известно , разделить число а на число b — это значит найти такое число с , которое при	умножении	на b дает а .
При	умножении	на ( -1 ) любое число меняется на противоположное .
Особую роль при	умножении	рациональных чисел играет число ( -1 ) .
При	умножении	знак результата будет “ минус ” .
Например , для вычисления значения выражения можно заметить , что в числителе четыре знака “ минус , которые при	умножении	дадут “ плюс ” .
Поэтому в данном случае мы будем исходить не из житейской практики , а из того , что при	умножении	рациональных чисел должны выполняться установленные ранее свойства умножения положительных чисел , в частности .
Деление рациональных чисел уже не представляет проблем , поскольку деление — это действие , обратное	умножению	.
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак : а )	умножения	; б ) сложения ; в ) вычитания .
582 Составь таблицы сложения и	умножения	для троичной системы счисления и выполни действия .
А вот в примере подсчет существенно упростится , если использовать свойства сложения и	умножения	.
Запиши на математическом языке переместительный , сочетательный и распределительный законы	умножения	и проверь их для произвольно выбранных тобой значений переменных .
756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства рациональных чисел : а ) переместительное , сочетательное и распределительное свойства сложения и	умножения	; б ) свойства числа 0 при сложении и вычитании .
По правилам	умножения	рациональных чисел , если а > 0 , то знаки слагаемых b и с не изменятся , а если а < 0 , то изменятся на противоположные .
Сформулируем теперь правила	умножения	рациональных чисел .
Начнем с	умножения	целых чисел .
Запомнить правила знаков для	умножения	очень просто — они совпадают с известными нам правилами знаков при раскрытии скобок .
Для раскрытия скобок в выражениях , содержащих умножение числа на сумму , используется распределительное свойство	умножения	.
Полученные правила	умножения	можно распространить на умножение любых рациональных чисел .
а )	умножения	рациональных чисел ; б ) правильной дроби ; в ) прямоугольника ; г ) трапеции .
Поэтому в данном случае мы будем исходить не из житейской практики , а из того , что при умножении рациональных чисел должны выполняться установленные ранее свойства	умножения	положительных чисел , в частности .
Для этого составим сумму произведений и применим к ней сначала распределительное свойство	умножения	, а затем свойство суммы противоположных чисел .
514 Переведи с математического языка на русский частные случаи	умножения	рациональных чисел .
Число -15 , полученное в результате	умножения	всех числовых множителей , называют коэффициентом .
Данное выражение представляет собой произведение множителей 12 ; х ; 0,25 ; -5 и у. На основании сочетательного закона	умножения	можно отдельно сгруппировать числовые и буквенные множители .
Запиши на математическом языке переместительное и сочетательное свойства	умножения	.
Построй в этой системе таблицы сложения и	умножения	.
И надо сказать , что , хотя это соотношение было известно еще в Древнем Египте и Месопотамии , пользоваться им могли лишь самые образованные люди того времени , так как действия	умножения	и деления были в те времена “ высшей математикой ” .
Если выражение со скобками представляет собой произведение чисел , то для его преобразования можно воспользоваться законами	умножения	.
Теперь рассмотрим пример	умножения	положительного числа на отрицательное , Так как при перестановке множителей произведение не должно меняться ( переместительное свойство умножения ) , то сохранится и правило , по которому мы ищем результат .
И особенно просто выглядят в ней таблицы сложения и	умножения	.
Теперь рассмотрим пример умножения положительного числа на отрицательное , Так как при перестановке множителей произведение не должно меняться ( переместительное свойство	умножения	) , то сохранится и правило , по которому мы ищем результат .
А вот как необычно выглядят в ней таблицы сложения и	умножения	.
546 Вычисли и проверь с помощью	умножения	.
513 Составь блок - схему алгоритма	умножения	рациональных чисел .
переместительное и сочетательное свойства	умножения	.
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и	умножения	.
распределительное свойство	умножения	.
533 Вычисли , используя законы	умножения	.
На основании распределительного закона	умножения	общий множитель можно вынести за скобки .
Упрости их , используя распределительное свойство	умножения	.
3 Упрости выражения , используя распределительное свойство	умножения	.
523 Раскрой скобки , пользуясь распределительным законом	умножения	.
Вычисли , применив распределительный закон	умножения	.
Вычисли , используя законы	умножения	.
Кроме того , должны выполняться частные случаи	умножения	на 0 и 1 .
в ) распределительное свойство	умножения	.
Таким образом , мы рассмотрели оба случая	умножения	двух чисел с разными знаками .
Поэтому ,	умножив	числитель и знаменатель дроби на произведение 9 ∙ 100000 , мы сможем заменить все числа в ее записи целыми .
Так , если бы в нашей задаче мы сначала	умножили	все члены отношения на 10 , а затем разделили их на 4 , то избавились бы от дробей и тем самым получили более простое уравнение .
4 ) 2 —	умножили	на число и получили .
8)	умножили	его на 5 ? .
На какое число	умножили	? .
а ) Задумали число , вычли из него 16 , разность	умножили	на 7 , результат вычли из 40 и получили 12 .
Задумали число ,	умножили	его на 8 , произведение вычли из 100 , разность удвоили , результат вычли из 15 и получили 7 .
Задумали число , увеличили его на 7 , сумму	умножили	на 3 , к произведению прибавили 4 и из результата вычли утроенное задуманное число .
Например , утверждение “ Для того чтобы найти пройденный путь , можно скорость движения	умножить	на время движения ” на математическом языке записывается просто , а высказывание “ Элемент а не принадлежит множеству записывается .
Если из числителя вычесть 4 , а знаменатель	умножить	на 4 , то получится дробь , равная 0,125 .
Мы видим , что	умножить	число ( -2 ) на число 3 можно по простому правилу : перемножить “ числа без знаков ” ( то есть модули ) и перед произведением поставить знак “ минус ” .
1 ) Если некоторое число	умножить	на 9 то получится 3,5 .
Что получится , если	умножить	это же число на 0,8 ? .
Если цифры двузначного числа поменять местами и полученное двузначное число	умножить	на 2 , то результат окажется на 34 меньше исходного числа .
правило весов ( обе части уравнения можно поменять местами , можно увеличить , уменьшить ,	умножить	или разделить на одно и то же число , отличное от нуля ) .
Итак , чтобы найти р% от числа , надо это число	умножить	на дробь .
Значит , чтобы узнать , сколько процентов первое число составляет от второго , надо первое число разделить на второе и результат	умножить	на 100 .
Поэтому для того , чтобы	умножить	число , например , на 0,125 , можно разделить его на 8 .
Чтобы найти от а , надо а	умножить	на .
Таким образом , чтобы выразить число в процентах , надо его	умножить	на 100 .
4 ) 2 — разделить на 10 . 5 ) Результат 4-го действия	умножить	на . 6 ) Из результата 3-го действия вычесть результат 5-го действия .
Аналогично , если масштаб задан дробью с числителем 1 , то для вычисления реального расстояния на местности длину соответствующего отрезка на карте достаточно	умножить	на знаменатель дроби .
Учитель показал ребятам арифметический фокус : он предложил задумать положительное число ,	умножить	его само на себя , к полученному результату прибавить удвоенное задуманное число и еще 1 .
В частности , отношение не изменится , если его члены	умножить	или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Как мы уже знаем , для этого достаточно	умножить	полученное частное на сто .
Фактически мы рассматривали букву х как переменную , а само	уравнение	— как равенство с переменной .
В случае , если неизвестных величин несколько , то одну из них обозначают через х , а остальные — выражают через х. Лучше обозначать величины так , чтобы , получилось возможно более простое и удобное для решения	уравнение	.
Реши	уравнение	методом проб и ошибок : б ) Реши уравнение методом перебора .
Решить	уравнение	-1,2 + ( -х ) = -0,9 .
Есть еще один важный момент , на который нужно обращать внимание при составлении уравнения , — это соответствие единиц измерения величин , входящих в	уравнение	.
В противном случае	уравнение	будет составлено неверно .
Таким образом , мы доказали , что данное	уравнение	не имеет натуральных корней .
доказывается , что других корней	уравнение	не имеет .
7 Решить полученное	уравнение	.
Составь	уравнение	и реши его , используя правило весов .
условие , на основании которого составлено	уравнение	.
Реши	уравнение	и отметь его корни на координатной прямой .
272 Реши	уравнение	ах + b = 0 , если .
Самый простой способ решения состоит в том , что данное	уравнение	приводят , если это возможно , к более простому или более удобному виду .
При этом необходимо , чтобы новое	уравнение	было равносильно исходному , то есть имело с ним одни и те же корни .
Для того чтобы составить	уравнение	, заполним .
Решить	уравнение	.
Реши уравнение методом проб и ошибок : б ) Реши	уравнение	методом перебора .
Определить множество значений переменной х . 8) Составить	уравнение	.
Реши это	уравнение	.
Таким образом , решить	уравнение	— значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет ( на множестве значений переменной ) .
Так , если бы в нашей задаче мы сначала умножили все члены отношения на 10 , а затем разделили их на 4 , то избавились бы от дробей и тем самым получили более простое	уравнение	.
322 Реши	уравнение	методом проб и ошибок .
Подставляя эти числа вместо переменной х в	уравнение	, находим единственный корень .
Например ,	уравнение	2х = 6 имеет всего один корень — число 3 .
Итак , решить	уравнение	— значит найти множество всех его корней .
323 Реши	уравнение	методом перебора .
Мы получили уравнение с неизвестным S. Решим это	уравнение	.
Мы получили	уравнение	с неизвестным S. Решим это уравнение .
Решим полученное	уравнение	и найдем неизвестное значение р .
495 Переведи условие задачи на математический язык и реши	уравнение	.
Если доказано , что корней у уравнения нет , то в математике также считают , что	уравнение	решено .
Имеет ли корни	уравнение	и сколько .
Например , глядя на	уравнение	х(х + 3 ) = 54 , можно заметить , что его натуральные корни должны быть делителями числа 54 .
Докажи , что	уравнение	не имеет рациональных корней .
А вот	уравнение	имеет смысл только для рациональных чисел х , отличных от нуля .
76 Реши	уравнение	на множестве : a ) Q ; б ) Z ; в ) N . г ) положительных чисел ; д ) неотрицательных чисел .
В общем случае множеством значений переменной считают множество всех ее значений , при котором	уравнение	имеет смысл .
Значение переменной , при подстановке которого в	уравнение	получается верное числовое равенство , называется корнем уравнения .
Отметим , что	уравнение	может содержать две и более переменных , но подробнее такие уравнения мы будем изучать в старших классах .
1 )	уравнение	— это равенство . 2 )
505 Переведи условие задачи на математический язык и реши	уравнение	: Задуманное число уменьшили в 3 раза , результат вычли из 40 , то , что получилось , увеличили в 5 раз , потом уменьшили на 50 и получили 90 .
Таким образом ,	уравнение	характеризуется двумя свойствами .
Это касается и математических объектов : натуральное число может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной ,	уравнение	может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
Итак ,	уравнением	будем называть равенство , содержащее переменную , значение которой надо найти .
Что называется	уравнением	?
При этом равенство с неизвестной величиной ( или величинами ) стали называть	уравнением	.
Например , если буквой х обозначено количество учеников в школе , то в полученном	уравнении	разумно считать , что переменная х принимает только натуральные значения .
695 Найди корни	уравнений	( устно ) .
Идея « воссоединения » или « переноса слагаемых возникает при сопоставлении	уравнений	, подобных которые встретились нам выше .
Таким образом , установленное правило вычитания расширяет возможности решения задач и	уравнений	, распространяя уже известные нам способы действий на множество рациональных чисел .
Аналогичным образом сохраняются правила нахождения неизвестных компонентов действий при решении	уравнений	.
6 Решение задач с помощью	уравнений	.
Решение	уравнений	( этап 2 ) рассмотрено нами в предыдущем пункте , а здесь мы более подробно остановимся на двух других этапах .
Приведем пример решения задач с помощью	уравнений	.
Реши задачи с помощью	уравнений	.
288 Запиши решение	уравнений	, используя знак .
Прием « аль - джебр » — « воссоединение » — оказался таким удобным для решения	уравнений	, что от этого слова произошло название раздела математики алгебра , изучающего и в настоящее время различные методы решения уравнений .
В 5 классе мы уже использовали эту символику , например , для записи решения	уравнений	, а именно .
Алгоритмы решения	уравнений	формировались длительное время , и новые знания о свойствах чисел позволяли упрощать преобразования .
Прием « аль - джебр » — « воссоединение » — оказался таким удобным для решения уравнений , что от этого слова произошло название раздела математики алгебра , изучающего и в настоящее время различные методы решения	уравнений	.
И уже сегодня известны формулы корней уравнения общего вида , таких как ах + b = 0 , ах + bх + с = 0 , а также многих других	уравнений	.
295 Запиши решение	уравнений	, используя знак .
Еще важны собственный опыт составления	уравнений	, фантазия , смекалка , воображение .
Именно поэтому математики всегда стремились найти общие способы решения различных классов	уравнений	.
В соответствии с этим и решение задач с помощью	уравнений	состоит из трех этапов .
Решение	уравнений	, то есть отыскание множества всех его корней , может осуществляться разными способами .
Итак , при решении задач с помощью	уравнений	можно руководствоваться следующим алгоритмом .
394 Найди корни	уравнений	( устно ) .
5 Решение	уравнений	.
При этом ( а , b ) = ( с , d ) , если а = с , a b = d . 2 ) Найди методом перебора все пары ( x ; y ) натуральных чисел , удовлетворяющих	уравнению	или неравенству .
238 Найди методом перебора множество всех пар натуральных чисел x и y , удовлетворяющих	уравнению	.
249 Найди методом перебора множество всех упорядоченных пар натуральных чисел а и b , удовлетворяющих	уравнению	.
Упрости запись	уравнения	, используя свойства арифметических действий , а затем реши его .
567 Реши	уравнения	.
529 Реши	уравнения	.
630 Реши	уравнения	.
правило весов ( обе части	уравнения	можно поменять местами , можно увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля ) .
Слагаемое можно переносить из одной части	уравнения	в другую , изменяя его знак на противоположный .
Аналогично можно переносить слагаемые и из правой части	уравнения	в левую .
Реши	уравнения	.
67 Реши	уравнения	.
516 Реши	уравнения	.
В древнеегипетском папирусе ( 1700 лет до н.э. ) содержится решение	уравнения	, которое на языке современной математики можно записать так .
418 Реши	уравнения	.
625 Реши	уравнения	.
400 Найди множество корней	уравнения	.
303 Реши	уравнения	.
137 Реши	уравнения	.
279 Реши	уравнения	.
Обратим внимание , что в записи решения задачи , во втором действии , приведено обоснование	уравнения	.
468 Реши	уравнения	и неравенства .
532 Реши	уравнения	.
Составление	уравнения	— ключевой этап решения задач методом моделирования .
Таким образом , можно сказать , что мы перенесли слагаемое из левой части	уравнения	в правую , изменив его знак .
489 Реши	уравнения	и сделай проверку .
494 Реши	уравнения	( устно ) .
Число корней	уравнения	может быть различным .
Поэтому , несмотря на то что х(х — 3 ) = 0 при х = 0 и х = 3 , корнем исходного	уравнения	будет являться только х = 3 .
116 Реши	уравнения	.
107 Найди множество натуральных корней	уравнения	.
578 Реши	уравнения	.
Так , корни	уравнения	х + 4 = 9 мы будем искать на множестве рациональных чисел Q , то есть на множестве всех чисел , которые нам известны .
Число 53535353 делится на 3 или на 5 . 6 ) Корнями	уравнения	х2 + 2 = 18 являются числа 0 и 4 . 7 ) Дробь 8,9 больше или равна 9 .
107 Составь	уравнения	и реши их , используя правило “ весов ” .
774 Найди множество корней	уравнения	.
86 Реши	уравнения	.
106 Реши	уравнения	.
Подобно корню растения , который удерживает его в почве , корень	уравнения	« удерживает » его в множестве истинных высказываний .
Напротив , число 3 не является корнем этого	уравнения	, так как 33 - 36 .
Например , число 2 является корнем	уравнения	х3 — х = 6 , так как 23 — 2 = 6 .
Значение переменной , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство , называется корнем	уравнения	.
Отметим , что уравнение может содержать две и более переменных , но подробнее такие	уравнения	мы будем изучать в старших классах .
359 Реши	уравнения	с объяснением , пользуясь понятием “ расстояние ” .
Чтобы избавиться от слагаемого ( -х ) в левой части первого	уравнения	, мы прибавили к его обеим частям слагаемое ( + х ) .
4 Понятие	уравнения	.
Найди целые корни	уравнения	методом проб и ошибок .
59 Реши	уравнения	методом проб и ошибок .
После составления	уравнения	основной задачей становится нахождение всех его корней .
Распространенным видом математических моделей являются	уравнения	.
481 Реши	уравнения	двумя способами .
Найди множество натуральных корней	уравнения	методом проб и ошибок .
экспериментально подбираются корни	уравнения	.
Заметим , что перед решением	уравнения	его левую часть можно было упростить , раскрыв скобки .
604 Реши	уравнения	.
151 Реши	уравнения	, используя правило “ весов ” .
5 Реши	уравнения	.
311 Реши	уравнения	.
408 Найди множество корней	уравнения	, пользуясь определением модуля в “ разветвленной ” форме .
Решая задачу с помощью	уравнения	, надо помнить о том , что не всегда корни уравнения являются искомыми величинами .
В левой части	уравнения	числа ( -1,2 ) и ( -х ) — это слагаемые , а в правой части число ( -0,9 ) — это сумма .
Есть еще один важный момент , на который нужно обращать внимание при составлении	уравнения	, — это соответствие единиц измерения величин , входящих в уравнение .
Составление	уравнения	( этап 1 ) начинается с выбора неизвестных величин .
159 Реши	уравнения	.
Перенесем слагаемое -54 в правую часть	уравнения	, а в левой части вынесем за скобки общий множитель х .
решение	уравнения	. 3 )
Число 6 является корнем данного	уравнения	.
595 Реши	уравнения	.
Других натуральных корней у этого	уравнения	нет , так как при увеличении множителей произведение также будет увеличиваться , а при уменьшении — уменьшаться .
Значит , число 6 — единственный натуральный корень этого	уравнения	.
87 Реши	уравнения	, используя прием переноса слагаемых .
Метод перебора заключается в проверке всех возможных вариантов решения	уравнения	.
Решая	уравнения	, мы уже убедились в том , что использование свойств чисел и правил преобразования часто бывает удобнее , чем метод проб и ошибок и метод перебора .
Реши	уравнения	различными способами .
составление	уравнения	. 2 )
677 Реши	уравнения	.
Действительно , не всегда удается подобрать корни	уравнения	и тем более доказать , что других решений нет .
Решая задачу с помощью уравнения , надо помнить о том , что не всегда корни	уравнения	являются искомыми величинами .
765 Реши	уравнения	.
410 Реши	уравнения	.
735 Реши	уравнения	.
54 Реши	уравнения	, пользуясь “ перекрестным правилом ” .
48 Реши	уравнения	, пользуясь “ перекрестным правилом ” .
666 Реши	уравнения	.
482 Реши	уравнения	и сделай проверку .
Однако решение	уравнения	не всегда можно свести к известным способам преобразований .
340 Реши	уравнения	.
270 Реши	уравнения	.
91 Реши	уравнения	на множестве натуральных чисел методом перебора .
271 Найди корни	уравнения	( устно ) .
24 Реши	уравнения	, используя правило “ весов ” .
586 Реши	уравнения	.
542 Реши	уравнения	.
19 Реши	уравнения	, используя правило “ весов ” .
90 Реши	уравнения	, используя основное свойство пропорции .
378 Реши	уравнения	и расположи их корни на координатной прямой .
89 Реши	уравнения	, приводя обе его части к целым коэффициентам .
Реши	уравнения	и сделай проверку .
726 Найди множество корней	уравнения	.
381 Реши	уравнения	.
410 Найди множество корней	уравнения	.
555 Реши	уравнения	.
88 Повтори правила раскрытия скобок и реши	уравнения	.
391 Реши	уравнения	.
417 Реши	уравнения	.
Естественно , получился тот же самый ответ — ведь корень	уравнения	не зависит от того , каким способом мы его находим .
Тогда в левой части	уравнения	( -1,2 ) можно рассматривать как уменьшаемое , х — как вычитаемое , а ( -0,9 ) — как разность .
127 Реши	уравнения	.
И уже сегодня известны формулы корней	уравнения	общего вида , таких как ах + b = 0 , ах + bх + с = 0 , а также многих других уравнений .
Корнем	уравнения	? .
Составь	уравнения	и реши их , используя правило весов .
129 Реши	уравнения	, используя правило “ весов ” .
112 Реши	уравнения	.
72 Является ли корнем	уравнения	2х2 + 5х 4- 2 = 0 число .
« найти множество всех корней	уравнения	» .
73 В Докажи , что корнем	уравнения	является любое число .
Вместо фразы « найти все корни	уравнения	или доказать , что корней нет » можно сказать короче .
702 Реши	уравнения	, пользуясь разветвленным определением модуля .
г ) число -2 не является корнем	уравнения	.
346 Реши	уравнения	.
348 Реши	уравнения	.
82 Найди множество корней	уравнения	.
А корнем	уравнения	2(х + 4 ) = 2х + 8 является любое число , так как в обеих его частях стоят равные выражения .
504 Реши	уравнения	.
Найди множество корней	уравнения	.
Если доказано , что корней у	уравнения	нет , то в математике также считают , что уравнение решено .
Вначале раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части	уравнения	.
109 Найди множество натуральных решений	уравнения	методом проб и ошибок .
503 Реши	уравнения	.
Встречаются также	уравнения	, которые не имеют корней : например , х + 4 = 2 , где х N .
Поскольку в результате всех преобразований мы получали равносильные	уравнения	, то число 2,5 является корнем исходного уравнения .
498 Реши	уравнения	.
Пользуясь ими , реши	уравнения	и неравенства .
Поскольку в результате всех преобразований мы получали равносильные уравнения , то число 2,5 является корнем исходного	уравнения	.
В случае отсутствия корней	уравнения	говорят , что множество его корней — пустое .
185 Реши	уравнения	.
173 Реши	уравнения	.
459 Реши	уравнения	.
Прибавим к обеим частям	уравнения	слагаемое + х .
501 Реши	уравнения	и сделай проверку .
а ) число -3 является корнем	уравнения	.
Умножим обе части	уравнения	на наименьший общий знаменатель всех слагаемых — число 15 .
397 Реши	уравнения	.
Проанализируем решение	уравнения	.
147 Реши	уравнения	.
255 Реши	уравнения	.
192 Реши	уравнения	.
707 Реши	уравнения	, пользуясь разветвленным определением модуля .
число 5 не является корнем	уравнения	.
в ) число 0 является корнем	уравнения	.
252 Найди множество корней	уравнения	.
С	уравнениями	мы встречались , например , когда решали задачи методом проб и ошибок и методом перебора — мы находили неизвестное число х испытанием различных « кандидатов » на его роль .
Напротив , записи	уравнениями	не являются : первые две записи не являются равенствами , а в равенстве 12 + 3 = 15 нет переменной .
Например ,	уравнениями	являются равенства .
69 Какие из следующих записей являются	уравнениями	.
131 Что общего в	уравнениях	каждой строки , каждого столбца ?
Тела Архимеда получаются из правильных многогранников с помощью операции «	усечения	» , то есть отсечения углов плоскостями .
Какие плоские фигуры ограничивают	усеченные пирамиды	?
	Усеченный	икосаэдр .
	Усеченный	икосододекаэдр .
	Усеченный	тетраэдр .
	Усеченный	куб .
По аналогии с	усеченными пирамидами	начерти « усеченный конус » .
Изображены фигуры , которые называются «	усеченными пирамидами	» .
Изобрази с помощью геометрических	фигур	числа .
До сих пор мы рассматривали только фигуры на плоскости — и это понятно , ведь геометрия произошла от землемерия , а значит , от исследования свойств именно плоских	фигур	.
А значит , для обоснования равенства	фигур	достаточно показать , что эти фигуры могут быть получены друг из друга в результате данных преобразований .
Однако даже таким уже хорошо знакомым понятиям в математике необходимо дать определения , так как в определениях описываются характеристические свойства	фигур	, и , значит , только на их основе можно проводить математические рассуждения .
Однако многие свойства даже таких простейших	фигур	на плоскости , как треугольник , были найдены не сразу , а в результате длительной и кропотливой работы с конкретными треугольниками , а затем обобщения полученных выводов .
Точка М делит сторону АВ в отношении 4 : 1 , считая от вершины А. Чему равно отношение площадей	фигур	, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD ?
Свойства геометрических	фигур	в силу их большого практического значения интересовали людей еще в глубокой древности .
457 В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3 , считая от вершины А. Известно , что АВ = 24 см , AD = 15 см. Чему равно отношение площадей	фигур	, на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD ?
Выполни измерения и найди площади заштрихованных	фигур	.
А значит , мы можем строить теперь преобразования	фигур	более точно , не прибегая к перегибаниям листа , вырезанию фигур из бумаги и т .
Таким образом , симметрия	фигур	помогает устанавливать разнообразные геометрические факты без непосредственных построений и измерений .
При этом прямая l называется осью симметрии , а сами фигуры ( фигура F , либо пара	фигур	F1 , и F2 ) называются симметричными относительно оси l .
Иногда в классах геометрических	фигур	выделяются подклассы , то есть подмножества .
Вырази из этой формулы длину b . 402 Вычисли площади	фигур	.
Треугольник — одна из самых простых геометрических	фигур	.
540 Вычисли разными способами площади закрашенных	фигур	.
456 По рисункам	фигур	изобрази их проекции .
Многие свойства	фигур	, которые вы будете рассматривать в курсе геометрии 7 - 9 классов , вам уже встречались , но лишь на уровне исследования и выдвижения гипотез .
В предыдущем пункте мы разобрали вопрос о том , как выяснить наличие или отсутствие разных видов симметрии	фигур	по рисунку .
д. Нам известны также геометрические , величины длина , площадь , объем , характеризующие свойства геометрических	фигур	.
Исследование свойств	фигур	с помощью измерений имеет существенный недостаток — эта процедура приводит всегда к приближенному результату .
4 Симметрия	фигур	.
416 Расположи числа в порядке убывания , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй названия геометрических	фигур	.
142 Составь выражения для вычисления площади	фигур	.
Умение проводить классификацию очень важно , так как это помогает определить , на какие классы	фигур	распространяются те или иные свойства фигур .
Для более сложных случаев необходимо использование общих свойств	фигур	, которые мы еще не изучали .
Умение проводить классификацию очень важно , так как это помогает определить , на какие классы фигур распространяются те или иные свойства	фигур	.
Именно поэтому в треугольном паркете в каждой вершине сходится шесть	фигур	, в квадратном — четыре , в шестиугольном — три .
В геометрии примерами центрально - симметричных	фигур	могут служить прямая , параллелограмм , окружность .
Среди различных	фигур	на плоскости внимание художников и ученых всегда привлекали многоугольники , обладающие разными видами симметрии .
456 В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 1 : 6 , а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4 , считая соответственно от вершин А и D. Известно , что АВ = 14 см , AD = 5 см. Чему равно отношение площадей	фигур	, на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD ?
Для каких	фигур	точка О является центром симметрии ? .
377 По описанию построения	фигур	, данному в тексте учебника , построй .
87 Размеры	фигур	, приведенных , были увеличены в отношении 3 : 2 . 1 )
517 Нарисуй в масштабе 2 : 1 геометрические тела , которые получаются при вращении вокруг прямой l данных	фигур	.
612 Является ли прямая l осью симметрии данных	фигур	?
Формулы зависимостей между линейными размерами геометрических	фигур	, их площадями и объемами позволили перейти от непосредственных измерений площадей и объемов к вычислениям по этим формулам .
Какая из этих	фигур	является « самой симметричной » ? .
А значит , мы можем строить теперь преобразования фигур более точно , не прибегая к перегибаниям листа , вырезанию	фигур	из бумаги и т .
2 Классификация геометрических	фигур	.
В настоящее время известны и многие другие взаимосвязи между длинами , площадями и объемами	фигур	на плоскости и в пространстве .
Среди множества разнообразных геометрических тел выделяют классы	фигур	, обладающих общим признаком .
е ) Если площади	фигур	равны , то равны и сами фигуры .
Построй отрезок А1В1 , симметричный отрезку АВ относительно точки О. Равенство каких геометрических	фигур	следует из симметрии отрезков АВ и А ? .
Какие из плоскостей , приведенных , являются плоскостями симметрии данных	фигур	?
г ) Углом называется геометрическая	фигура	, образованная двумя лучами с общим началом .
г ) Запиши масштаб рисунка , если	фигура	увеличена в 5 раз .
При этом прямая l называется осью симметрии , а сами фигуры (	фигура	F , либо пара фигур F1 , и F2 ) называются симметричными относительно оси l .
В результате	фигура	Fl перейдет в фигуру F2 , изображенную на кальке .
Назови точки , симметричные точкам С , К , D , М относительно точки О. Какая	фигура	симметрична относительно точки О отрезку ВО , треугольнику АОМ , четырехугольнику АОКМ , ломаной BODK , семиугольнику ABOCDKM ? .
При центральной симметрии	фигура	может переходить сама в себя , тогда она также называется центрально - симметричной .
Окружностью называется	фигура	, состоящая из всех точек плоскости , расположенных на заданном расстоянии от данной точки .
Если поверхность многогранника удается разрезать по некоторым ребрам так , чтобы ее можно было развернуть на плоскости , то получится	фигура	, которую называют разверткой многогранника .
614 Укажи угол и направление поворота вокруг точки О , при котором	фигура	переходит сама в себя .
Треугольником называется	фигура	, состоящая из трех точек , не лежащих на одной прямой , и трех отрезков , соединяющих эти точки .
Какими видами симметрии обладает получившаяся	фигура	? .
Как называется полученная	фигура	?
613 Определи с помощью кальки , получена ли	фигура	F2 из фигуры F1 с помощью поворота относительно точки О .
Свойства правильных многоугольников позволяют использовать их при составлении паркетов , то есть при покрытии плоскости	фигурами	без зазоров и пересечений .
« Равными »	фигурами	мы , как и прежде , будем считать фигуры , которые можно совместить наложением ( при этом фигуры разрешается переворачивать в пространстве ) .
Некоторые числа можно связать с геометрическими	фигурами	.
Мы уже встречались с такими пространственными	фигурами	, как прямоугольный параллелепипед , куб , пирамида , цилиндр , шар , конус .
И вот здесь будет необходим наш опыт работы с симметричными	фигурами	.
Ранее мы уже познакомились со многими геометрическими	фигурами	.
В завершение заметим , что иногда для более ясного представления о	фигуре	( например ) изображают ее вид спереди , слева и сверху , как бы « фотографируют » ее с разных сторон .
Центрально - симметричной	фигурой	является , например , снежинка , изображенная .
Чтобы представить его себе , наложим на лист бумаги с	фигурой	F кальку и обведем фигуру .
Еще одной	фигурой	вращения является шар .
Кальку с	фигурой	F , теперь просто сдвинем на расстояние d вдоль некоторой прямой l ( прямая l при этом должна перейти сама в себя ) .
618 Воспроизведи рисунок и укажи вектор d , задающий параллельный перенос фигуры F1 в	фигуру	F2 .
В результате фигура Fl перейдет в	фигуру	F2 , изображенную на кальке .
Разрежь	фигуру	А по линиям сетки на три одинаковые части .
Построй	фигуру	, симметричную ломаной ABCD относительно прямой l .
187 Найди правило , по которому расположены фигуры , и нарисуй недостающую	фигуру	.
340 Разрежь каждую	фигуру	по линиям сетки на четыре одинаковые части .
Начерти на координатной плоскости	фигуру	, составленную из ломаных линий , и закодируй ее с помощью координат .
647 Изображена часть фигуры , центром симметрии которой является точка О. Начерти эту	фигуру	в тетради .
Многие определения нам уже встречались , но вспомнить их гораздо труднее , чем изобразить нужную геометрическую	фигуру	на бумаге .
Начерти эту	фигуру	и придумай ее определение .
Разрежь	фигуру	В по линиям сетки на 8 одинаковых по площади частей так , чтобы в каждой части был один кружок .
Чтобы представить его себе , наложим на лист бумаги с фигурой F кальку и обведем	фигуру	.
611 Перенеси рисунок в тетрадь и построй на глаз	фигуру	, симметричную данной относительно прямой l.
652 Начерти	фигуру	, которая : а ) имеет и центр , и ось симметрии ; б ) не имеет оси , но имеет центр симметрии ; в ) не имеет центра , но имеет ось симметрии .
Построй	фигуру	, которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма : а ) на вектор ВС ; б ) на вектор DB ; в ) на вектор АО , где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD .
Геометрические	фигуры	могут « встретиться » в вершине паркета только тогда , когда сумма их углов составляет 360 ° , иначе они не сомкнутся вокруг вершины или « налезут » друг на друга .
1 Пространственные	фигуры	и их изображение .
618 Воспроизведи рисунок и укажи вектор d , задающий параллельный перенос	фигуры	F1 в фигуру F2 .
Их можно получить в результате вращения в пространстве некоторой плоской	фигуры	вокруг прямой l , которая называется осью вращения .
653 Построй	фигуры	, симметричные сектору круга , а ) и сегменту круга относительно точки О .
При этом прямая l называется осью симметрии , а сами	фигуры	( фигура F , либо пара фигур F1 , и F2 ) называются симметричными относительно оси l .
е ) Если площади фигур равны , то равны и сами	фигуры	.
Найди периметр и площадь получившейся	фигуры	.
Показан поворот	фигуры	F1 вокруг точки О на угол 110 ° против часовой стрелки , а элементы веера могут быть получены в результате поворотов на 20 ° как по часовой , так и против часовой стрелки .
А значит , для обоснования равенства фигур достаточно показать , что эти	фигуры	могут быть получены друг из друга в результате данных преобразований .
В геометрии такие	фигуры	называются телами вращения .
По справочнику найди определение этой	фигуры	и начерти ее в тетради .
283 Сделай один ступенчатый разрез	фигуры	, изображенной , так , чтобы из двух получившихся частей молено было сложить квадрат .
Найди значения выражений , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй название геометрической	фигуры	.
Стремясь к большей точности , древние математики предпочитали строить геометрические	фигуры	, избегая сложных измерений , а используя лишь проведение прямых по линейке и проведение окружностей циркулем .
187 Найди правило , по которому расположены	фигуры	, и нарисуй недостающую фигуру .
613 Определи с помощью кальки , получена ли фигура F2 из	фигуры	F1 с помощью поворота относительно точки О .
338 Определи по каждому рисунку , какой примерно процент	фигуры	закрашен , и выбери наиболее подходящий ответ из трех данных .
617 Плоскость а называют плоскостью симметрии , если пространственные	фигуры	« отражаются » в ней , как в зеркале .
Проверь свои изображения , сложив	фигуры	из кубиков .
Но предметы окружающего нас мира имеют пространственную форму , поэтому в геометрии рассматриваются как плоские , так и пространственные	фигуры	.
457 По данным проекциям	фигуры	сложи ее из кубиков и нарисуй .
615 Являются ли	фигуры	центрально - симметричными относительно точки О ?
Исследование свойств пространственной	фигуры	можно проводить , строя ее сечения плоскостью .
« Равными » фигурами мы , как и прежде , будем считать фигуры , которые можно совместить наложением ( при этом	фигуры	разрешается переворачивать в пространстве ) .
Поэтому полезно научиться по пространственному изображению	фигуры	строить ее проекции , и наоборот .
Осевой симметрией обладают многие геометрические	фигуры	, причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
Сформулируй гипотезу . 2 ) Используй преобразования пропорций , чтобы , исходя из гипотезы , получить новые свойства данной	фигуры	.
610 Как ты думаешь , симметричны ли данные	фигуры	относительно прямой l ?
1 Геометрические	фигуры	на плоскости .
482 Развертка какой	фигуры	изображена ? .
Все описанные преобразования плоскости обладают важным общим свойством : в результате их выполнения получаются фигуры , которые можно совместить наложением , то есть равные	фигуры	.
Само название этих тел напоминает нам о том , что геометрические	фигуры	являются образами предметов окружающего мира .
Какие плоские	фигуры	ограничивают усеченные пирамиды ?
640 Перечерти	фигуры	в тетрадь в масштабе 2 : 1 и проведи их оси симметрии .
в ) равные	фигуры	имеют равные площади .
55 Ц Докажи , что	фигуры	А , В и С равновелики ( имеют равные площади ) .
Представление о ней можно получить при перегибании плоскости по некоторой прямой l : когда совмещаются либо две половинки одной	фигуры	F , либо две различные фигуры F1 и F2 .
401 Построй формулы , выражающие зависимость площади S	фигуры	от длин отрезков , указанных на чертеже .
742 Составь формулы для вычисления объема	фигуры	.
741 Составь формулы для вычисления площади	фигуры	.
д. Поэтому вначале рассмотрим некоторые правила , позволяющие приблизить изображение пространственной	фигуры	к ее естественно воспринимаемому образу .
455 Сложи	фигуры	из кубиков .
Центр поворота называется центром симметрии , а сами	фигуры	— центрально - симметричными .
Равные	фигуры	.
647 Изображена часть	фигуры	, центром симметрии которой является точка О. Начерти эту фигуру в тетради .
Все описанные преобразования плоскости обладают важным общим свойством : в результате их выполнения получаются	фигуры	, которые можно совместить наложением , то есть равные фигуры .
До сих пор мы рассматривали только	фигуры	на плоскости — и это понятно , ведь геометрия произошла от землемерия , а значит , от исследования свойств именно плоских фигур .
Однако при исследовании свойств геометрических тел мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной	фигуры	не всегда совпадает с ее реальной формой : окружность превращается в эллипс — « сплющенную » окружность , изменяются углы между прямыми и отрезками и т .
« Равными » фигурами мы , как и прежде , будем считать	фигуры	, которые можно совместить наложением ( при этом фигуры разрешается переворачивать в пространстве ) .
Наблюдаемые нами пространственные	фигуры	называют также геометрическими телами .
д. Единицами измерения площадей служили либо участки земли , которые можно было вспахать за день , либо длины обхода этих участков — ошибочно предполагалось , что	фигуры	, равные по площади , имеют и равные периметры .
Но это лишь ее « детство » , и впоследствии содержание геометрии значительно расширилось — до такой степени , что измерения отошли в ней на дальний план , а в центре внимания оказались геометрические	фигуры	и их свойства .
373 Расположи ответы примеров в порядке убывания , сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй название геометрической	фигуры	.
71 Показаны размеры	фигуры	и ее копии , увеличенной с помощью копировальной машины .
Из названий ясно , что все точки плоской	фигуры	располагаются в одной плоскости , а пространственной — нет .
412 Найди площадь	фигуры	, составленной из 9 квадратов , если ее периметр равен 32 см .
Изображены	фигуры	, которые называются « усеченными пирамидами » .
Еще одно правило , помогающее сделать рисунок	фигуры	более понятным : на пространственном чертеже сохраняется параллельность прямых и отношение параллельных отрезков .
Зачеркни две буквы так , чтобы получилось название геометрической	фигуры	.
Составь выражения для вычисления площади и периметра получившейся	фигуры	.
Перенеси рисунок в тетрадь и построй	фигуры	, симметричные данным относительно прямой l . б )
Представление о ней можно получить при перегибании плоскости по некоторой прямой l : когда совмещаются либо две половинки одной фигуры F , либо две различные	фигуры	F1 и F2 .
2 Геометрические	фигуры	в пространстве .
470 Перенеси рисунок	фигуры	в тетрадь и построй ее сечение плоскостью , проходящей через точки А , В и С. Проверь правильность построения с помощью предметных моделей .
Объясни арифметический	фокус	, используя математический язык .
Учитель показал ребятам арифметический	фокус	: он предложил задумать положительное число , умножить его само на себя , к полученному результату прибавить удвоенное задуманное число и еще 1 .
Арифметический	фокус	.
Зависимость переменной у от переменной х , при которой каждому значению х соответствует единственное значение у , стали называть функциональной зависимостью , или	функцией	.
Формирование понятия	функции	, начавшееся еще в XVI — XVII веках , придало мощный импульс развитию всех наук , которое мы наблюдаем до настоящего времени .
Зависимость переменной у от переменной х , при которой каждому значению х соответствует единственное значение у , стали называть	функциональной	зависимостью , или функцией .
Какие из этих зависимостей являются	функциональными	?
211 Какие из зависимостей у от х , приведенных , являются	функциями	.
Несмотря на то что приведенные рассуждения имеют достаточно общий	характер	, производные пропорции часто оказываются полезными для решения практических задач .
Этот вывод имеет общий	характер	.
Можно ли утверждать , что полученный вывод имеет общий	характер	?
Таким образом , в первых двух случаях можно говорить об однозначном	характере	зависимостей , что позволяет на практике прогнозировать развитие событий .
Количественной	характеристикой	выполненной работы является соответственно число уложенных кирпичей , число набранных страниц , объем перекачанной воды .
Понятие величины связано с количественной	характеристикой	какого - либо объекта или явления .
Еще одной важной	характеристикой	работы является то , насколько быстро она совершается .
Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности , пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков	хорд	, на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
а ) Диаметром окружности называется	хорда	, проходящая через ее центр .
Диаметр окружности является	хордой	этой окружности .
Например , по определению легко сделать рисунок	хорды	: достаточно отметить на окружности любые две точки и соединить их отрезком .
Проведи окружность произвольного радиуса и две	хорды	АВ и CD этой окружности , пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд , на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО ∙ ОВ и СО ∙ OD . 2 ) Повтори эксперимент еще 2 раза .
Ответ округли с точностью до	целого	числа миллионов .
Ответ округли с точностью до	целого числа	миллионов .
В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100 % ( “	целое	” ) , а ее часть b выражается числом р% .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что рациональное число — это число вида р / q , где р —	целое	число , a q — натуральное число .
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой числитель —	целое	число , а знаменатель — натуральное , поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что рациональное число — это число вида р / q , где р —	целое число	, a q — натуральное число .
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой числитель —	целое число	, а знаменатель — натуральное , поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между	целой	и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
Действительно , если бы число d можно было записать в виде несократимой дроби , то ее квадрат — несократимая дробь — был бы равен Q	целому	числу 2 .
Действительно , если бы число d можно было записать в виде несократимой дроби , то ее квадрат — несократимая дробь — был бы равен Q	целому числу	2 .
Выдели из найденных чисел	целую	часть .
5 ) Не из всякой неправильной дроби можно выделить	целую	часть .
Для простоты мы будем проводить рассуждения , используя	целые	числа .
Вместе с тем и натуральные , и	целые	числа являются рациональными .
Найди	целые	корни уравнения методом проб и ошибок .
Вместе с тем и натуральные , и	целые числа	являются рациональными .
Для простоты мы будем проводить рассуждения , используя	целые числа	.
в ) Разность двух целых чисел является	целым	числом .
Ясно , что число d не является	целым	, так как 1 < d < 2 .
Если для конкретного человека обычно существенны свойства конкретного предмета , то науки интересуются прежде всего общими свойствами предметов , то есть свойствами , относящимися к	целым	множествам , классам предметов .
Число у больше или равно трем	целым	четырем тысячным . 3 )
89 Реши уравнения , приводя обе его части к	целым	коэффициентам .
в ) Разность двух целых чисел является	целым числом	.
Поэтому , умножив числитель и знаменатель дроби на произведение 9 ∙ 100000 , мы сможем заменить все числа в ее записи	целыми	.
Например , все элементы множества N натуральных чисел являются	целыми	числами , и ни одно из них не является отрицательным числом .
На диаграмме , показывающей соотношение между множествами N , Z и Q , хорошо видно , что натуральные числа являются в то же время	целыми	.
316 Назови элементы множества А которые являются натуральными числами ,	целыми	числами , рациональными числами .
Например , все элементы множества N натуральных чисел являются	целыми числами	, и ни одно из них не является отрицательным числом .
316 Назови элементы множества А которые являются натуральными числами ,	целыми числами	, рациональными числами .
в ) Разность двух	целых	чисел является целым числом .
188 а ) Сумма трех последовательных	целых	чисел равна ( -9 ) .
Число π округли до	целых	.
Ответ округли с точностью до	целых	.
367 Прочитай неравенство и найди множество его	целых	решений .
441 Замени данную обыкновенную дробь десятичной с точностью до	целых	, десятых , сотых , тысячных .
Множество	целых	чисел обозначается буквой Z. С помощью фигурных скобок его записывают так .
2 ) С — натуральных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е —	целых	отрицательных чисел .
382 Найди множество	целых	решений неравенства и сделай рисунок .
10 Запиши на математическом языке числа : а ) шесть миллионов семьсот две тысячи пятьдесят восемь ; б ) семь	целых	четыре пятых ; в ) три целых двенадцать стотысячных .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество натуральных чисел , Z — множество	целых	чисел , a Q — множество рациональных чисел .
449 Сколько элементов содержит множество	целых	решений неравенства .
М — множество отрицательных	целых	чисел , модуль которых больше или равен 2 .
Ответ округли до	целых	.
Запиши множество его	целых	решений и 2 дробных решения .
199 Сумма трех последовательных	целых	чисел равна ( -6 ) .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е — множество целых чисел , модуль которых больше 2 ; F — множество	целых	чисел , модуль которых больше или равен 2 ;
428 Замени данную обыкновенную дробь десятичной с точностью до	целых	, десятых , сотых , тысячных .
Таким образом , арифметика	целых	чисел , образно говоря , “ богаче ” арифметики натуральных чисел .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств Е , F и М . 361 Найди множество всех	целых	чисел , удовлетворяющих неравенству , и сделай рисунки .
402 Прочитай неравенство и запиши множество его	целых	решений .
Ответ округли до	целых	( π = 3,14 ) .
Расширением множества	целых	чисел до множества , в котором выполнима операция деления на число , не равное 0 , является множество рациональных чисел Q .
360 1 ) А — множество	целых	чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
( Ответ округли с точностью до	целых	) .
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных	целых	чисел ; 6 )
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е — множество	целых	чисел , модуль которых больше 2 ; F — множество целых чисел , модуль которых больше или равен 2 ;
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D —	целых	чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
10 Запиши на математическом языке числа : а ) шесть миллионов семьсот две тысячи пятьдесят восемь ; б ) семь целых четыре пятых ; в ) три	целых	двенадцать стотысячных .
Вместе с тем на множестве	целых	чисел не всегда можно разделить одно число на другое .
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество	целых	чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
Расширением множества натуральных чисел до множества , в котором выполнима операция вычитания , является множество	целых	чисел Z .
Найди пять последовательных	целых	чисел , сумма которых равна 5 .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных	целых	чисел ; 6 )
2 ) С — натуральных чисел ; 3 ) D —	целых	чисел ; 4 ) Е — целых отрицательных чисел .
570 Выбери из множества подмножество . 1 ) В — натуральных чисел ; 2 ) С —	целых	чисел ; 3 ) D — рациональных чисел .
Натуральные числа , противоположные к ним отрицательные числа и число 0 образуют множество	целых	чисел .
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D —	целых	чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Начнем с умножения	целых	чисел .
Определи с точностью до	целых	срок службы этого автомобиля .
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N — натуральных чисел ; Z —	целых	чисел ; Q — рациональных чисел ; М — отрицательных чисел .
Вместе с тем на множестве	целых чисел	не всегда можно разделить одно число на другое .
Найди пять последовательных	целых чисел	, сумма которых равна 5 .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D —	целых чисел	; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
570 Выбери из множества подмножество . 1 ) В — натуральных чисел ; 2 ) С —	целых чисел	; 3 ) D — рациональных чисел .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е — множество	целых чисел	, модуль которых больше 2 ; F — множество целых чисел , модуль которых больше или равен 2 ;
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных	целых чисел	; 6 )
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество	целых чисел	, модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество натуральных чисел , Z — множество	целых чисел	, a Q — множество рациональных чисел .
360 1 ) А — множество	целых чисел	, модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
199 Сумма трех последовательных	целых чисел	равна ( -6 ) .
Таким образом , арифметика	целых чисел	, образно говоря , “ богаче ” арифметики натуральных чисел .
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N — натуральных чисел ; Z —	целых чисел	; Q — рациональных чисел ; М — отрицательных чисел .
Множество	целых чисел	обозначается буквой Z. С помощью фигурных скобок его записывают так .
Начнем с умножения	целых чисел	.
М — множество отрицательных	целых чисел	, модуль которых больше или равен 2 .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств Е , F и М . 361 Найди множество всех	целых чисел	, удовлетворяющих неравенству , и сделай рисунки .
в ) Разность двух	целых чисел	является целым числом .
2 ) С — натуральных чисел ; 3 ) D —	целых чисел	; 4 ) Е — целых отрицательных чисел .
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D —	целых чисел	; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Расширением множества натуральных чисел до множества , в котором выполнима операция вычитания , является множество	целых чисел	Z .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных	целых чисел	; 6 )
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е — множество целых чисел , модуль которых больше 2 ; F — множество	целых чисел	, модуль которых больше или равен 2 ;
Натуральные числа , противоположные к ним отрицательные числа и число 0 образуют множество	целых чисел	.
188 а ) Сумма трех последовательных	целых чисел	равна ( -9 ) .
Расширением множества	целых чисел	до множества , в котором выполнима операция деления на число , не равное 0 , является множество рациональных чисел Q .
относительно вершины А . 646 Точка О —	центр	симметрии шестиугольника ABCDKM .
Есть ли у равностороннего треугольника	центр	симметрии ?
449 В произвольном треугольнике АВС построй	центр	описанной окружности — точку О , центр тяжести — точку М , и ортоцентр — точку Н .
619 Построй бордюр , который получается при последовательном параллельном переносе двух концентрических ( имеющих один	центр	) окружностей радиусами 1 см и 2 см на 2 см вправо .
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть	центр	, радиус и диаметр .
440 Построй треугольник АБС по стороне с и двум прилежащим к ней углам А и В. Построй	центр	тяжести треугольника АВС .
688 Построй : а ) правильный шестиугольник со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии ,	центр	симметрии ?
а ) Диаметром окружности называется хорда , проходящая через ее	центр	.
Например , точка пересечения медиан М , ортоцентр Н и	центр	описанной окружности О лежат на одной прямой , причем точка М делит отрезок ОН в отношении 1 : 2 .
Круг , проходящий через	центр	шара , называется большим кругом — его радиус равен радиусу шара .
в ) Хорда , проходящая через	центр	окружности , называется диаметром . г ) Хордой окружности называется отрезок , соединяющий две ее точки .
Покажи на чертеже оси симметрии и	центр	симметрии прямоугольника .
Чтобы построить угол , равный , например , 35 ° , надо совместить	центр	транспортира с началом некоторого луча ОА — точкой О — так , чтобы луч ОА прошел через начало отсчета на шкале .
449 В произвольном треугольнике АВС построй центр описанной окружности — точку О ,	центр	тяжести — точку М , и ортоцентр — точку Н .
Построй правильный пятиугольник и определи , есть ли у него оси симметрии ,	центр	симметрии .
652 Начерти фигуру , которая : а ) имеет и центр , и ось симметрии ; б ) не имеет оси , но имеет	центр	симметрии ; в ) не имеет центра , но имеет ось симметрии .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем число осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее	центр	.
652 Начерти фигуру , которая : а ) имеет и	центр	, и ось симметрии ; б ) не имеет оси , но имеет центр симметрии ; в ) не имеет центра , но имеет ось симметрии .
Он доказал , что	центр	описанной окружности треугольника АВС совпадает с точкой пересечения окружностей , описанных около треугольников — середины сторон АС , СВ и АВ .
210 Велосипедист проехал путь от поселка до районного	центра	за 1 ч 30 мин .
652 Начерти фигуру , которая : а ) имеет и центр , и ось симметрии ; б ) не имеет оси , но имеет центр симметрии ; в ) не имеет	центра	, но имеет ось симметрии .
Особенностью центрально - симметричных точек является то , что они не только равноудалены от	центра	О , но и лежат на одной прямой с ним .
Тогда при повороте плоскости вокруг	центра	этой окружности на угол , кратный , многоугольник перейдет сам в себя .
Таким образом , построение упрощается : для нахождения точки А1 симметричной точке А относительно	центра	О , уже нет необходимости строить угол АОА1 , а можно просто провести прямую ОА и отложить на ней отрезок ОА1 , равный отрезку ОА .
По мере удаления от	центра	размер круга сечения уменьшается .
Точка А , называется результатом поворота точки А вокруг	центра	О на угол а , если : 1 ) ОА = ОА1 ; 2 ) АОА1 = а .
358 а ) Построй отрезок АВ , равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и	центрами	в точках А и В до их пересечения в точке С. Соедини точки A , R и С отрезками и определи вид треугольника АВС .
Построим две пересекающиеся окружности одного радиуса с	центрами	в концах данного отрезка AS .
Обозначим эти точки В и С. Проведем две окружности того же радиуса с	центрами	в В и С и найдем их точку пересечения , принадлежащую углу , — точку М. Луч AM — биссектриса .
Но это лишь ее « детство » , и впоследствии содержание геометрии значительно расширилось — до такой степени , что измерения отошли в ней на дальний план , а в	центре	внимания оказались геометрические фигуры и их свойства .
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в	центре	вписанной окружности .
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в	центре	описанной окружности .
Изобрази на этом плане дом , размеры которого 10 м х 10 м , расположенный в	центре	участка .
Из этих примеров видно , что число	центров	симметрии также может быть различным : так , у прямой их бесконечно много , а у параллелограмма и окружности — по одному .
647 Изображена часть фигуры ,	центром	симметрии которой является точка О. Начерти эту фигуру в тетради .
Построй окружность с	центром	в точке А ( -3 ; 5 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
Точка пересечения медиан является одновременно	центром	тяжести треугольника .
Чтобы измерить угол , например , АОВ , надо приложить транспортир так , чтобы вершина угла О совпала с	центром	транспортира , а сторона ОА прошла через начало отсчета на шкале .
Затем построим окружность с	центром	в точке А , радиусом АВ и окружность с центром в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Отрезок , соединяющий точку окружности с ее	центром	, называется радиусом окружности .
б ) Построй окружность с	центром	в точке А ( -3 ; 1 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
6 ) ( С — множество точек окружности с	центром	О ) .
Эта точка называется	центром	окружности .
в ) Построй одну окружность с	центром	в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
в ) Построй одну окружность с центром в точке А ( -2 ; -1 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с	центром	в точке В ( 6 ; -1 ) и радиусом 5 единичных отрезков .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с	центром	в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с центром в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
При повороте вокруг точки О все точки плоскости движутся по окружностям с	центром	О , а значит , их расстояние до точки О не меняется .
Если провести окружность с	центром	в точке D и радиусом DAX , то она будет касаться всех трех сторон треугольника ( то есть будет иметь с каждой из них только одну общую точку ) .
674 Начерти треугольник АВС со сторонами АВ = 4 см , ВС = 2 см , АС = 5 см. Построй треугольник центрально - симметричный треугольнику АВС относительно вершины В. Является ли точка В	центром	симметрии четырехугольника ?
Проведем произвольную прямую а и отметим на ней точку С. Возьмем раствор циркуля , равный данному отрезку , и проведем окружность с	центром	в точке С. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой а обозначим D. Длина полученного отрезка CD равна радиусу проведенной окружности , то есть АВ .
Для каких фигур точка О является	центром	симметрии ? .
Центр поворота называется	центром	симметрии , а сами фигуры — центрально - симметричными .
179 Построй на координатной плоскости две окружности : одну — с центром в точке А ( -1 ; 0 ) и радиусом 3 единичных отрезка , а вторую — с	центром	в точке В ( 1 ; 5 ) и радиусом 4 единичных отрезка .
Проведем окружность произвольного радиуса с	центром	в вершине данного угла и найдем точки ее пересечения со сторонами угла .
окружность с	центром	О и радиусом r .
182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с	центром	в начале координат и радиусом 3,5 единичных отрезка .
Значит , если провести окружность с	центром	в точке О , проходящую через одну из вершин данного треугольника , то она пройдет и через две другие его вершины .
Затем построим окружность с центром в точке А , радиусом АВ и окружность с	центром	в точке C радиусом ВС. Одну из точек пересечения окружностей обозначим В. Соединив отрезками точки , получим треугольник АхВхСу , равный треугольнику АВС .
Проведем окружность произвольного радиуса с	центром	в вершине угла А и найдем ее точки пересечения со сторонами угла .
в ) Окружностью называется множество всех точек плоскости , находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемой	центром	окружности .
В обоих случаях проведем сначала окружность с	центром	в точке В , пересекающую прямую а в двух точках .
С помощью перегибаний и поворотов найди их оси симметрии и	центры	симметрии .
Имеют ли они	центры	симметрии ?
635 Сколько плоскостей симметрии имеют : а ) прямоугольный параллелепипед ; б ) куб ; в ) конус ; г )	цилиндр	; в ) шар ? .
Вращая стержень между ладонями , понаблюдай , как образуются	цилиндр	, конус , шар .
Мы уже встречались с такими пространственными фигурами , как прямоугольный параллелепипед , куб , пирамида ,	цилиндр	, шар , конус .
Простейшими телами вращения являются	цилиндр	и конус .
477 а ) Какие из геометрических тел — конус , прямоугольный параллелепипед ,	цилиндр	, шар , пирамида , куб — являются многогранниками ? .
При сечении	цилиндра	, конуса или любого тела вращения плоскостью , содержащей ось вращения , получается осевое сечение .
Развертка	цилиндра	на плоскости состоит из двух кругов — оснований цилиндра , и прямоугольника — его боковой поверхности .
Осевым сечением	цилиндра	является прямоугольник ABCD , а осевым сечением конуса — равнобедренный треугольник АВС .
а ) Развертка боковой поверхности	цилиндра	— прямоугольник , одна из сторон которого равна длине окружности основания .
Развертка цилиндра на плоскости состоит из двух кругов — оснований	цилиндра	, и прямоугольника — его боковой поверхности .
450 Найди в окружающей обстановке предметы , имеющие форму куба , прямоугольного параллелепипеда , шара , пирамиды ,	цилиндра	, конуса .
528 Склей из бумаги модель	цилиндра	, радиус основания которого равен 3,5 см , а развертка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 7π см и 10 см , где π — число , равное примерно 3,14 .
Развертки	цилиндра	и конуса приведены .
Так ,	цилиндром	в Древней Греции называли валик для перемещения тяжелых грузов , конусом называли еловую шишку и предметы , похожие на нее по форме , — пробку для бочки , верхушку шлема .
Например , символом Р(n ) может быть обозначено предложение “ Число n	четное	” , символом Q(x ) — предложение “ х2 = 2х + 3 ” и т .
число	четное	.
Среднее арифметическое двух четных чисел есть число	четное	.
Есть такие нечетные числа , произведение которых — число	четное	.
Число d —	четное	. 5 )
Предложение 2х=15 с переменной x , напротив , всегда ложно , если x N. В самом деле , при любом натуральном значении x в левой части равенства число получается	четное	, а в правой — нечетное .
В “ длинных ” выражениях , в которых фигурирует только умножение , при	четном	числе отрицательных множителей ответ будет положительным , а при нечетном числе — отрицательным .
Например , предложение соответствует свойству натуральных чисел « быть	четным	» , предложение « х имеет две ноги ( где А — множество живых существ ) » соответствует свойству некоторых живых существ иметь две ноги и т.п .
Сумма двух нечетных чисел является	четным	числом .
Сумма числа 219 и любого числа , которое при делении на 14 дает остаток 3 , является	четным	числом .
Это касается и математических объектов : натуральное число может быть	четным	или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
Сумма двух	четных	чисел может быть числом нечетным .
Среднее арифметическое двух	четных	чисел есть число четное .
418 Докажи , что сумма трех последовательных	четных	чисел делится на 6 .
Каждое свойство разбивает множество предметов , о которых идет речь , как правило , на два класса : обладающие данным свойством и не обладающие им. В первом из приведенных примеров это множество	четных	чисел и множество нечетных чисел , во втором примере один класс состоит из людей , птиц и других живых существ , имеющих две ноги , другой — из остальных живых существ .
По числу граней их называют тетраэдр (	четырехгранник	) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
В результате получается	четырехугольник	MKNT .
Можно ли распространить этот вывод на любой	четырехугольник	?
Построй	четырехугольник	ABCD по координатам его вершин : А ( -4 ; 0 ) , В ( 2 ; 3 ) , С ( 5 ; 0 ) , D ( 0 ; -8 ) .
а ) Параллелограммом называется	четырехугольник	, противоположные стороны которого попарно параллельны .
177 Построй	четырехугольник	ABCD , проведи необходимые измерения и определи его вид .
При пересечении тетраэдра с плоскостью могут образоваться точка , отрезок , треугольник или	четырехугольник	.
144 Построй	четырехугольник	ABCD по координатам вершин : А ( 4 ; 2 ) , В ( 2 ; 8) , С ( 14 ; 12 ) , D ( 10 ; 0 ) .
В прямоугольной системе координат построй	четырехугольник	ABCD , если А ( -6 ; 2 ) , В ( 6 ; 8) , С ( 8 ; -5 ) и D ( -4 ; -2 ) .
Параллелограмм — это	четырехугольник	, у которого противолежащие стороны попарно параллельны . г ) Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все углы прямые .
Начерти произвольный	четырехугольник	и проведи его диагональ .
Построй	четырехугольник	ABCD , если A ( 0 ; 2 ) , В(2 ; 6 ) , С(8 ; 8) , D(6 ; 4 ) .
« Квадратом называется	четырехугольник	с равными сторонами » .
Будет ли это предложение истинным для любого	четырехугольника	?
245 Длины сторон	четырехугольника	пропорциональны числам 2 , 5 , 3 и 7 , а его большая сторона на 30 см превышает меньшую .
Измерь углы	четырехугольника	ABCD и найди их сумму .
Все углы	четырехугольника	прямые .
Измерь стороны и углы	четырехугольника	ABCD .
Начерти два произвольных	четырехугольника	и измерь их углы .
Какие свойства этого	четырехугольника	тебе известны ? .
Как связаны между собой углы этих треугольников и углы данного	четырехугольника	?
Найди как можно больше свойств	четырехугольника	ABCD .
128 а ) Первая сторона треугольника составляет его периметра , вторая — на 10 % меньше первой , а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника , б ) Периметр	четырехугольника	равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй , третья — на 25 % меньше суммы первых двух , а четвертая — на 7 см больше первой .
674 Начерти треугольник АВС со сторонами АВ = 4 см , ВС = 2 см , АС = 5 см. Построй треугольник центрально - симметричный треугольнику АВС относительно вершины В. Является ли точка В центром симметрии	четырехугольника	?
Чему равен периметр	четырехугольника	? .
Найди еще как можно больше свойств этого	четырехугольника	.
Сели сумма углов треугольника равна 780 ° , то сумма углов	четырехугольника	равна .
Найди координаты точки пересечения диагоналей	четырехугольника	ABCD .
Во всяком	четырехугольнике	диагонали равны .
349 Сколько диагоналей можно провести в	четырехугольнике	?
Многоугольник , имеющий четыре вершины ( стороны ) , называется	четырехугольником	. г ) Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые .
Какие из	чисел	, принадлежащих этому множеству , являются : а ) натуральными числами ; б ) дробями ? .
Выдели из найденных	чисел	целую часть .
756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства рациональных	чисел	: а ) переместительное , сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения ; б ) свойства числа 0 при сложении и вычитании .
91 Реши уравнения на множестве натуральных	чисел	методом перебора .
Сумма двух	чисел	, делящихся на 7 , всегда делится на 7 .
Так нами были « доказаны признаки делимости натуральных	чисел	, свойство биссектрис треугольника и др.
Сумма двух	чисел	, делящихся на 7 , не всегда делится на 7 .
Сумма двух	чисел	равна 130 .
166 При сложении двух натуральных	чисел	ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411 .
а ) произведение квадрата суммы	чисел	а и b и куба разности чисел а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и разности квадратов чисел бис .
237 Пусть А — множество	чисел	, кратных 5 , В — множество чисел , кратных 10 , С — множество чисел , кратных 3 , и D — множество чисел , кратных 9 .
Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух	чисел	.
199 Сумма трех последовательных целых	чисел	равна ( -6 ) .
Найди пять последовательных целых	чисел	, сумма которых равна 5 .
а ) произведение квадрата суммы чисел а и b и куба разности	чисел	а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и разности квадратов чисел бис .
Частное двух	чисел	, выраженное в процентах , называется процентным отношением этих чисел .
237 Пусть А — множество чисел , кратных 5 , В — множество чисел , кратных 10 , С — множество чисел , кратных 3 , и D — множество	чисел	, кратных 9 .
в ) свойства	чисел	0 и 1 при умножении и делении .
Частное двух чисел , выраженное в процентах , называется процентным отношением этих	чисел	.
758 Что называется отношением двух	чисел	?
Например , предложение соответствует свойству натуральных	чисел	« быть четным » , предложение « х имеет две ноги ( где А — множество живых существ ) » соответствует свойству некоторых живых существ иметь две ноги и т.п .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов	чисел	а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Каждое свойство разбивает множество предметов , о которых идет речь , как правило , на два класса : обладающие данным свойством и не обладающие им. В первом из приведенных примеров это множество четных чисел и множество нечетных	чисел	, во втором примере один класс состоит из людей , птиц и других живых существ , имеющих две ноги , другой — из остальных живых существ .
квадрат суммы удвоенного числа х и частного	чисел	у и z .
Частное двух рациональных	чисел	— число рациональное .
9 Запиши в порядке возрастания элементов множество натуральных	чисел	, составленных из двух пятерок и пяти нулей .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности	чисел	а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
237 Пусть А — множество чисел , кратных 5 , В — множество	чисел	, кратных 10 , С — множество чисел , кратных 3 , и D — множество чисел , кратных 9 .
237 Пусть А — множество чисел , кратных 5 , В — множество чисел , кратных 10 , С — множество	чисел	, кратных 3 , и D — множество чисел , кратных 9 .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов	чисел	а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
а ) Произведение двух отрицательных	чисел	положительно .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы	чисел	а и b .
Каждое свойство разбивает множество предметов , о которых идет речь , как правило , на два класса : обладающие данным свойством и не обладающие им. В первом из приведенных примеров это множество четных	чисел	и множество нечетных чисел , во втором примере один класс состоит из людей , птиц и других живых существ , имеющих две ноги , другой — из остальных живых существ .
766 Как найти : а ) процент от числа ; б ) число по его проценту ; в ) процентное отношение двух	чисел	?
Разность	чисел	a и b равна числу с .
Нахождение процентного отношения двух	чисел	.
в ) Разность двух целых	чисел	является целым числом .
Например , все элементы множества N натуральных	чисел	являются целыми числами , и ни одно из них не является отрицательным числом .
Между числами 2 и 3 нет других	чисел	.
Разность двух	чисел	равна 75 .
Докажи , что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним	чисел	.
188 а ) Сумма трех последовательных целых	чисел	равна ( -9 ) .
а ) произведение квадрата суммы чисел а и b и куба разности чисел а и с . б ) частное удвоенного куба числа а и разности квадратов	чисел	бис .
Чему равна разность этих	чисел	?
Так , ложность высказывания : x < x — 1 следует из общего свойства	чисел	на множестве R , а именно : x > x — 1 , так как число x расположено на числовом луче правее , чем число x — 1 .
При делении натуральных	чисел	остаток всегда меньше делителя .
Частное квадратов	чисел	с и d. .
Алгоритмы решения уравнений формировались длительное время , и новые знания о свойствах	чисел	позволяли упрощать преобразования .
Так , появление отрицательных	чисел	привело к созданию приема переноса слагаемых , впервые описанному в IX веке среднеазиатским ученым Мухаммедом аль - Хорезми в сочинении « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » .
Утроенная сумма	чисел	а и b . 3 )
Если сумма двух	чисел	является натуральным числом , то эти числа — натуральные .
На сколько процентов каждое из этих	чисел	больше или меньше другого ? .
в ) пяти	чисел	, если их среднее арифметическое равно 0,28 . г ) восьми чисел , если их среднее арифметическое равно .
249 Найди методом перебора множество всех упорядоченных пар натуральных	чисел	а и b , удовлетворяющих уравнению .
в ) пяти чисел , если их среднее арифметическое равно 0,28 . г ) восьми	чисел	, если их среднее арифметическое равно .
8) При делении натуральных	чисел	остаток может быть больше или равен делителю .
Квадрат суммы	чисел	а и b равен 34 ( а = 5 , b = 3 ) .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных	чисел	равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
Среднее арифметическое двух	чисел	равно 8,2 , а одно из них равно 4,5 .
Среднее арифметическое двух	чисел	равно 21,8 , причем одно из них на 6,8 больше другого .
Среднее арифметическое трех	чисел	равно 10,4 .
в ) Если числа равны , то равны и квадраты этих	чисел	.
716 Вычисли среднее арифметическое ряда	чисел	: 8 ; 14 ; 52 ; 67 ; 93 ; 126 .
Среди составных	чисел	есть взаимно простые числа .
Какие из полученных	чисел	можно представить в виде конечных десятичных дробей ?
Сумма противоположных	чисел	равна 0 . е ) Произведение взаимно обратных чисел равно 1 .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух	чисел	, равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
Среднее арифметическое двух нечетных	чисел	есть число нечетное .
165 Сколько различных трехзначных	чисел	можно составить из цифр 2 , 4 , 6 , 8 и 0 , если цифры в записи числа а ) не повторяются ; б ) могут повторяться ? .
Так , корни уравнения х + 4 = 9 мы будем искать на множестве рациональных	чисел	Q , то есть на множестве всех чисел , которые нам известны .
165 Сколько различных трехзначных	чисел	можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , 4 и 5 , если цифры в записи числа : а ) не повторяются ; б ) могут повторяться ? .
Среднее арифметическое двух четных	чисел	есть число четное .
Среднее арифметическое трех последовательных натуральных	чисел	равно второму числу .
Среднее арифметическое нескольких равных	чисел	равно каждому из них .
Используя полученный результат , определи среднее арифметическое ряда	чисел	.
г ) Если числа равны , то равны и модули этих	чисел	.
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух	чисел	, равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению	чисел	, противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
Так , корни уравнения х + 4 = 9 мы будем искать на множестве рациональных чисел Q , то есть на множестве всех	чисел	, которые нам известны .
а ) двух чисел , если их среднее арифметическое равно 4,5 . б ) трех	чисел	, если их среднее арифметическое равно .
Квадрат частного	чисел	с и d. .
б ) произведение взаимно обратных	чисел	равно единице .
в ) число , обратное произведению двух	чисел	, равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению	чисел	, обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух	чисел	, равно сумме чисел , обратных множителям .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме	чисел	, обратных множителям .
Произведение двух однозначных натуральных	чисел	на 7 больше их суммы .
Этим мы подчеркиваем , что слово « делится » употребляется у нас только для натуральных	чисел	.
Пара	чисел	а и b , где а — первое число , a b — второе число , называется упорядоченной парой чисел и обозначается ( a ; b ) .
Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих	чисел	на число слагаемых .
Пара чисел а и b , где а — первое число , a b — второе число , называется упорядоченной парой	чисел	и обозначается ( a ; b ) .
При этом ( а , b ) = ( с , d ) , если а = с , a b = d . 2 ) Найди методом перебора все пары ( x ; y ) натуральных	чисел	, удовлетворяющих уравнению или неравенству .
Ясно , что для сложения всех этих	чисел	одинаковые слагаемые надо сгруппировать .
Н Произведение	чисел	тип делится на число k ( m = 5 ; л = 8) .
A Разность кубов	чисел	с и d равна 26 ( с = 3 ; d = 1 ) .
Средним арифметическим нескольких	чисел	называется результат деления суммы этих чисел на число слагаемых .
3 ) При делении на 7 одно из	чисел	даст остаток 4 , а другое — 3 .
а ) сумма противоположных	чисел	равна 0 .
76 Реши уравнение на множестве : a ) Q ; б ) Z ; в ) N . г ) положительных	чисел	; д ) неотрицательных чисел .
8) Сумма кубов удвоенного числа x и числа y . 9 ) Произведение разности	чисел	m и n и квадрата числа k . 10 )
Разность произведения	чисел	m и n и квадрата числа k . 86 )
а ) двух	чисел	, если их среднее арифметическое равно 4,5 . б ) трех чисел , если их среднее арифметическое равно .
А вот уравнение имеет смысл только для рациональных	чисел	х , отличных от нуля .
260 Найди среднее арифметическое	чисел	.
Сумма двух натуральных	чисел	является натуральным числом .
76 Реши уравнение на множестве : a ) Q ; б ) Z ; в ) N . г ) положительных чисел ; д ) неотрицательных	чисел	.
Затем выполни необходимые измерения и изобрази на этой прямой среднее арифметическое	чисел	x и y .
258 Найди среднее арифметическое	чисел	.
Действительно , сумма натуральных	чисел	х и 4 всегда больше 4 , поэтому она не может быть равна 2 .
В таких случаях предполагается , что переменная принимает значения из множества всех уже известных нам чисел , то есть из множества рациональных	чисел	.
В таких случаях предполагается , что переменная принимает значения из множества всех уже известных нам	чисел	, то есть из множества рациональных чисел .
Найди среднее арифметическое	чисел	2 и 8 .
Например , предложение а + b = b + а , как известно , для изученных нами	чисел	всегда истинно — это переместительное свойство сложения .
Найди процентное отношение	чисел	: а ) 4,8 и 12 ; б ) 12 и 4,8 .
620 Найди закономерность и запиши n - й член последовательности	чисел	.
Сумма противоположных чисел равна 0 . е ) Произведение взаимно обратных	чисел	равно 1 .
Каким будет остаток при делении на 7 суммы этих двух	чисел	? .
В этой задаче среднее гармоническое	чисел	50 и 40 оказалось меньше их среднего арифметического .
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N — натуральных чисел ; Z — целых чисел ; Q — рациональных	чисел	; М — отрицательных чисел .
Придумай определение среднего гармонического трех , четырех и вообще любого количества	чисел	.
Реши эту же задачу для “ буквенных ” скоростей v1 , и v2 Полученное выражение называют средним гармоническим	чисел	v1 , и v2 .
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N — натуральных чисел ; Z — целых	чисел	; Q — рациональных чисел ; М — отрицательных чисел .
Частное куба числа 0,2 и разности	чисел	0,64 и — . 3 )
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N — натуральных чисел ; Z — целых чисел ; Q — рациональных чисел ; М — отрицательных	чисел	.
743 Начерти диаграмму Эйлера - Венна множеств : N — натуральных	чисел	; Z — целых чисел ; Q — рациональных чисел ; М — отрицательных чисел .
Рассмотри рисунки и продолжи последовательности треугольных и квадратных	чисел	.
294 Может ли число а2 + b2 + с2 делиться на 5 , если ни одно из натуральных	чисел	а , b и с не делится на 5 ? .
Если сумма	чисел	делится на некоторое число , то и каждое слагаемое делится на это число .
Обозначим А ( п ) подмножество множества А , состоящее из	чисел	, кратных п. Запиши , из каких элементов состоят А ( 2 ) , А ( 5 ) , А ( 10 ) , Л ( 3 ) , А ( 9 ) , А ( 6 ) , А ( 15 ) .
а ) К утроенной разности	чисел	тип прибавить их удвоенную сумму .
Из удвоенной суммы	чисел	х и у вычесть разность утроенного числа д : и числа у .
Найди сотые члены последовательностей этих	чисел	.
Второе из этих	чисел	в 2 раза больше первого , третье — в 3 раза больше первого , а четвертое — в 4 раза больше первого .
Будет ли такое неравенство верно и для других	чисел	?
745 Сформулируй алгоритм сравнения рациональных	чисел	.
г ) Модуль разности двух	чисел	может быть больше разности их модулей .
8) Сумма любых двух натуральных	чисел	больше каждого из них .
д. Понятие отрицательных	чисел	позволяет получить общее правило раскрытия скобок , упрощающее вычисления и преобразования выражений .
а ) модуль числа , противоположного удвоенному произведению	чисел	а и b . б ) сумма модулей чисел с и d ( с = -0,8 ; d = 0,7 ) .
а ) модуль числа , противоположного удвоенному произведению чисел а и b . б ) сумма модулей	чисел	с и d ( с = -0,8 ; d = 0,7 ) .
в ) модуль разности частного	чисел	m и n утроенного числа к ( m = 1,6 ; n = -3 , к = -0,4 ) .
Наименьшее общее кратное любых двух натуральных	чисел	равно их произведению . 2 ) Квадрат числа не может быть равен 0,01 .
Произведение	чисел	, отличных от нуля , больше каждого множителя .
в ) Модуль произведения двух	чисел	равен произведению их модулей .
а ) Модули противоположных	чисел	равны .
Запиши числа , противоположное и обратное : а ) числу х ; б ) кубу числа у ; в ) сумме чисел а и b ; г ) разности	чисел	m и n .
Запиши числа , противоположное и обратное : а ) числу х ; б ) кубу числа у ; в ) сумме	чисел	а и b ; г ) разности чисел m и n .
747 Можно ли сравнить на множестве рациональных	чисел	.
4 ) Частное двух натуральных	чисел	всегда меньше делимого .
По правилам умножения рациональных	чисел	, если а > 0 , то знаки слагаемых b и с не изменятся , а если а < 0 , то изменятся на противоположные .
Решая уравнения , мы уже убедились в том , что использование свойств	чисел	и правил преобразования часто бывает удобнее , чем метод проб и ошибок и метод перебора .
Среднее арифметическое четырех	чисел	равно 2,5 .
Одно из этих	чисел	равно 32,8 , а второе — 21,4 .
Сумма квадратов	чисел	. .
Для любых четырех различных	чисел	верно , что среди их остатков от деления на 3 имеются равные .
238 Найди методом перебора множество всех пар натуральных	чисел	x и y , удовлетворяющих уравнению .
Сумма никаких двух натуральных	чисел	не может быть равна их произведению .
Введение отрицательных	чисел	позволяет сделать следующий шаг : определить положение теперь уже любой точки на плоскости .
множество рациональных	чисел	.
Другими словами , среднее арифметическое	чисел	а1 , а2 , .. , аn равно .
Установи закономерность в полученном ряде	чисел	.
Значит , чтобы опровергнуть высказывание о существовании , достаточно доказать общее высказывание о том , что ни одно из	чисел	свойством P(x ) не обладает .
Например , где R — множество дробных	чисел	.
Сумма трех	чисел	равна 18 .
С координатами мы уже не раз встречались и в математике : обозначали с помощью	чисел	положение точек координатной прямой и координатного угла .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме	чисел	, противоположных слагаемым .
4 ) При делении на 9 одно из трех	чисел	дает остаток 5 , второе — 6 , а третье — 2 .
Например , положение точки А определяется числом ( -4 ) , а положение точки В — упорядоченной парой	чисел	( 5 ; 2 ) .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных	чисел	, кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
Квадрат суммы	чисел	2 . , 2 .
Сумма двух нечетных	чисел	является четным числом .
Среднее арифметическое трех	чисел	равно 25,6 .
45 Пусть D(12 ) и D(15 ) — множества делителей соответственно	чисел	12 и 15 .
Чему равен наибольший общий делитель	чисел	12 и 15 ?
Сумма двух четных	чисел	может быть числом нечетным .
46 Запиши множества К ( 6 ) и К ( 8)	чисел	, кратных соответственно 6 и 8 .
48 Найди с помощью разложения на простые множители НОД и НОК	чисел	.
Если выражение со скобками представляет собой произведение	чисел	, то для его преобразования можно воспользоваться законами умножения .
а ) частное числа а и разности квадратов	чисел	.
произведение утроенного числа а и квадрата разности	чисел	.
Найди сумму четырех	чисел	, если их среднее арифметическое равно 29 .
22 Докажи , что для любого натурального числа n среднее арифметическое его предыдущего и последующего	чисел	равно этому числу .
283 Найди среднее арифметическое	чисел	.
в ) разность удвоенного произведения квадратов	чисел	а и b и утроенного числа с . г ) число , противоположное квадрату суммы утроенного числа а и частного чисел b и с .
в ) разность удвоенного произведения квадратов чисел а и b и утроенного числа с . г ) число , противоположное квадрату суммы утроенного числа а и частного	чисел	b и с .
54 Найди НОД и НОК	чисел	с помощью разложения на простые множители : а ) 105 и 225 ; б ) 84 и 420 ; в ) 273 и 110 ; г ) 45 , 120 и 525 .
Разность кубов	чисел	cud равна 7 ( с = 2 , d = 1 ) .
Сумма двух	чисел	равна 100 .
в ) Если одно из двух	чисел	делится на некоторое число , то их произведение . г ) Если первое число делится на второе число , а второе число делится на третье , то .
Например , отношение чисел 25 и 20 можно заменить отношением 5 к 4 , а отношение	чисел	1,4 и 277 — отношением 3 к 5 .
Например , отношение	чисел	25 и 20 можно заменить отношением 5 к 4 , а отношение чисел 1,4 и 277 — отношением 3 к 5 .
Какую часть четвертое число составляет от среднего арифметического первых трех	чисел	?
На основании этого свойства отношения	чисел	можно упрощать .
462 Найди процентное отношение	чисел	А и В .
Для отношения двух чисел , как и для любого частного двух	чисел	, справедливы все свойства деления .
В словесной форме : а относится к b как с относится к d в том и только в том случае , когда ad = bс . Итак , мы видим , что с точки зрения математики в понятии отношения нет ничего нового : отношение	чисел	— это их частное .
Для отношения двух	чисел	, как и для любого частного двух чисел , справедливы все свойства деления .
Однако , подумав , он из оставшихся карточек сложил пять	чисел	, отношение которых вновь было равно 1 : 2 : 3 : 4 : 5 .
Проанализируй полученный результат и сформулируй гипотезу о сравнении модулей рациональных	чисел	.
Таким образом , мы рассмотрели оба случая умножения двух	чисел	с разными знаками .
355 Сравни модули	чисел	.
Отношение двух	чисел	показывает , во сколько раз первое число больше второго , или какую часть первое число составляет от второго .
Отношением двух	чисел	называют их частное .
360 1 ) А — множество целых	чисел	, модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
Полученное равенство молено проиллюстрировать также , используя известные свойства	чисел	.
Измерь длины отрезков AM , MB , BN и NC и составь пропорцию из полученных	чисел	.
Для этого составим сумму произведений и применим к ней сначала распределительное свойство умножения , а затем свойство суммы противоположных	чисел	.
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных	чисел	; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество целых чисел , модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных	чисел	, модуль которых меньше или равен 4 .
Появлялись и исчезали различные способы записи	чисел	и действий над ними , шло осмысление свойств этих действий .
Куб частного	чисел	m и n на 300 % больше частного квадратов этих чисел .
Итак , мы знаем , что множество натуральных	чисел	бесконечно : умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
360 1 ) А — множество целых чисел , модуль которых меньше 4 ; В — множество целых	чисел	, модуль которых меньше или равен 4 ; С — множество натуральных чисел , модуль которых меньше или равен 4 .
Как только у нас появился термин “ отрицательное число ” , то , по законам развития языка , мы должны дать новое название и для “ старых ” , уже известных там	чисел	: неудобно говорить , что ( -3 ) — это отрицательное число , а 3 – это “ просто ” число .
Найдем по этому определению , например , модули	чисел	2 и -3 .
Вырази в процентах данное и обратное отношение	чисел	.
6 Найди процентное отношение	чисел	.
Итак , произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух	чисел	разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить модули сомножителей .
Итак , произведение двух	чисел	одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить модули сомножителей .
На множестве натуральных	чисел	любые два числа можно сложить и перемножить , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Полученные правила умножения можно распространить на умножение любых рациональных	чисел	.
Произведение двух отрицательных	чисел	оказывается положительным .
Для результата кратного сравнения двух	чисел	или двух величин в математике часто используют термин отношение .
Множество целых	чисел	обозначается буквой Z. С помощью фигурных скобок его записывают так .
404 Найди множество	чисел	, удовлетворяющих условию , и запиши его , если возможно , с помощью двойного неравенства .
Пользуясь им , найди модули	чисел	.
Поэтому в данном случае мы будем исходить не из житейской практики , а из того , что при умножении рациональных	чисел	должны выполняться установленные ранее свойства умножения положительных чисел , в частности .
Множество рациональных	чисел	Q можно записать так .
Среднее арифметическое трех	чисел	равно 9,4 .
496 Замени отношение дробных	чисел	несократимой дробью .
Среднее арифметическое четырех	чисел	равно 5,6 .
320 Вычисли устно и найди произведение полученных	чисел	наиболее удобным способом .
409 Найди квадрат суммы	чисел	А и В .
Как понимать , например , произведение двух отрицательных	чисел	( -2 ) ∙ ( -3 ) ?
Начнем с умножения целых	чисел	.
158 Вычисли значения А , В , С и D и составь из полученных	чисел	какую - нибудь пропорцию .
463 Пользуясь алгоритмом сложения рациональных	чисел	, найди сумму .
Сформулируем теперь правила умножения рациональных	чисел	.
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных	чисел	; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
354 Найди модули	чисел	и запиши значение модулей .
Найди среднее арифметическое первого и третьего	чисел	.
Какую часть оно составляет от среднего арифметического остальных трех	чисел	?
Поэтому в данном случае мы будем исходить не из житейской практики , а из того , что при умножении рациональных чисел должны выполняться установленные ранее свойства умножения положительных	чисел	, в частности .
На множестве рациональных	чисел	самая “ богатая ” арифметика — в нем всегда выполнимы все четыре арифметические действия ( кроме деления на 0 ) .
Расширением множества натуральных	чисел	до множества , в котором выполнима операция вычитания , является множество целых чисел Z .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых	чисел	; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
2 Вычитание рациональных	чисел	.
Расширением множества натуральных чисел до множества , в котором выполнима операция вычитания , является множество целых	чисел	Z .
Проверь переместительное и сочетательное свойство сложения для произвольно выбранных тобой рациональных	чисел	.
Таким образом , арифметика целых	чисел	, образно говоря , “ богаче ” арифметики натуральных чисел .
Таким образом , арифметика целых чисел , образно говоря , “ богаче ” арифметики натуральных	чисел	.
Вместе с тем на множестве целых	чисел	не всегда можно разделить одно число на другое .
Однако и дробных	чисел	не всегда хватает , чтобы измерить , например , температуру воздуха .
Значит , для рациональных	чисел	выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения .
Расширением множества целых	чисел	до множества , в котором выполнима операция деления на число , не равное 0 , является множество рациональных чисел Q .
474 Найди процентное отношение	чисел	А и В .
Расширением множества целых чисел до множества , в котором выполнима операция деления на число , не равное 0 , является множество рациональных	чисел	Q .
Вырази из этих формул величины t и v1 . 137 Запиши известные тебе формулы зависимостей величин , описывающие . 1 ) движение по реке ; 2 ) процентное отношение	чисел	; 3 )
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое число , а знаменатель — натуральное , поэтому множество рациональных	чисел	обычно записывают так .
Разность квадратов	чисел	х и у на 40 % меньше их среднего арифметического .
353 Запиши множество	чисел	, модуль которых равен .
Куб частного чисел m и n на 300 % больше частного квадратов этих	чисел	.
Произведение суммы и разности	чисел	с и d на 90 % меньше суммы их кубов .
4 Деление рациональных	чисел	.
Множество натуральных	чисел	является подмножеством множества дробей .
78 Запиши процентное отношение	чисел	28 к 35 и 35 к 28 .
Чему равно среднее арифметическое этих	чисел	, если сумма первых двух равна 8 ? .
Деление рациональных	чисел	уже не представляет проблем , поскольку деление — это действие , обратное умножению .
Из двух отрицательных	чисел	левее расположено число с большим модулем , поэтому оно меньше .
Модули противоположных	чисел	равны .
514 Переведи с математического языка на русский частные случаи умножения рациональных	чисел	.
426 Что больше : 1 ) сумма двух положительных	чисел	или одно из них ; 2 ) сумма двух отрицательных чисел или одно из них ? .
425 Выполни сложение	чисел	с помощью координатной прямой .
423 Запиши данные изменения в виде суммы рациональных	чисел	и выполни действия .
Тем самым мы приходим к следующим правилам сравнения рациональных	чисел	.
461 Сумма четырех	чисел	равна 200 .
Найди значения выражений А , В , С и D и из полученных	чисел	составь пропорцию .
513 Составь блок - схему алгоритма умножения рациональных	чисел	.
Сумма противоположных	чисел	равна нулю .
Отношение двух чисел может быть равно обратному отношению этих	чисел	.
426 Что больше : 1 ) сумма двух положительных чисел или одно из них ; 2 ) сумма двух отрицательных	чисел	или одно из них ? .
62 Составь , если возможно , пропорцию из 4 данных	чисел	.
Проверь переместительное свойство для значений переменных : а ) -4,8 и 0,3 ; б ) -3 и -1,15 . 2 ) Сформулируй сочетательное свойство сложения рациональных	чисел	и запиши его на математическом языке .
Вспомним сначала , что разность двух	чисел	аи b — это такое число с , которое при сложении с b дает а .
Сформулируй переместительное свойство сложения рациональных	чисел	и запиши его на математическом языке .
Можно ли составить из этих	чисел	другие пропорции ? .
64 Составь различные пропорции из равенства 3∙6=2∙9 Сколько различных пропорций можно составить из	чисел	3 , 6 , 2 и 9 ?
Какие свойства	чисел	при этом используются ? .
429 Пользуясь алгоритмом сложения рациональных	чисел	, найди сумму .
Правила сравнения рациональных	чисел	можно вывести из известного нам правила сравнения положительных чисел , которое подсказывает нам координатная прямая .
Правила сравнения рациональных чисел можно вывести из известного нам правила сравнения положительных	чисел	, которое подсказывает нам координатная прямая .
Если она изображена , как обычно , горизонтально , то из двух	чисел	па координатной прямой больше то , которое расположено правее , а меньше то , которое расположено левее .
Отношение двух	чисел	показывает , во сколько раз одно число больше или меньше другого .
428 Рассмотри блок - схему алгоритма сложения рациональных	чисел	.
Отношение трех	чисел	равно 2,4 : 0,8 : 0,64 , а четвертое число составляет 25 % третьего .
Отношение двух	чисел	может быть равно обратному отношению этих чисел .
из двух отрицательных	чисел	больше то , модуль которого меньше .
98 Составь пропорцию из данных	чисел	и сделай все перестановки ее членов , не нарушающие эту пропорцию .
Можно ли из этих же	чисел	составить другую пропорцию ? .
Рассмотри теперь квадраты размером 3x3 клетки и найди в них группы из трех	чисел	, суммы которых будут одинаковы .
Дальнейшие действия с модулями	чисел	выполняются так же , как и раньше .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных	чисел	; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Отметим , что все известные ранее правила деления с 0 и 1 распространяются и на множество рациональных	чисел	.
Особую роль при умножении рациональных	чисел	играет число ( -1 ) .
а ) Если каждое из двух	чисел	делится на некоторое число , то их сумма .
538 Составь блок - схему алгоритма деления рациональных	чисел	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е — множество целых чисел , модуль которых больше 2 ; F — множество целых	чисел	, модуль которых больше или равен 2 ;
Введенные таким образом положительные и отрицательные числа вместе с нулем составляют множество рациональных	чисел	( обычно его обозначают буквой Q ) .
21 Найди процентное отношение	чисел	и величин .
547 Известны следующие свойства деления для положительных	чисел	.
327 Из цифр 2 , 5 , 7 , 8 составь множество	чисел	, кратных : 1 ) девяти ; 2 ) трем ; 3 ) пяти ; 4 ) четырем .
Натуральные числа , противоположные к ним отрицательные числа и число 0 образуют множество целых	чисел	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В и С . 2 ) Е — множество целых	чисел	, модуль которых больше 2 ; F — множество целых чисел , модуль которых больше или равен 2 ;
Переведи высказывания с математического языка на русский и проверь их справедливость для произвольно выбранных тобой рациональных	чисел	.
26 Вычисли процентное отношение	чисел	А и В и определи : 1 ) на сколько процентов А меньше , чем В ; 2 ) на сколько процентов В больше , чем А ? .
Если одно из двух	чисел	делится на некоторое число , а другое — не делится на это число , то их сумма .
Аналогично для всех рациональных	чисел	есть место на координатной прямой .
41 Найди число , которое в указанном ряду	чисел	нарушает закономерность .
Поэтому , например . Уже из приведенных примеров видно , что деление рациональных	чисел	производится самым естественным образом : операцию деления выполняют , пользуясь тем же правилом знаков , что и при умножении .
2 ) С — натуральных чисел ; 3 ) D — целых	чисел	; 4 ) Е — целых отрицательных чисел .
Установленные правила сравнения рациональных	чисел	хорошо согласуются и с житейскими представлениями о сравнении реальных величин , которые могут изменяться в двух противоположных направлениях .
2 ) С — натуральных	чисел	; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — целых отрицательных чисел .
Итак , частное двух	чисел	одного знака положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль частного , нужно разделить модуль делимого на модуль делителя .
2 ) Сколько различных пропорций можно составить из этих	чисел	?
Итак , частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух	чисел	разных знаков отрицательно ; чтобы найти модуль частного , нужно разделить модуль делимого на модуль делителя .
365 Составь из элементов этого множества подмножества : 1 ) В — отрицательных рациональных	чисел	;
5 ) Чтобы к сумме двух	чисел	прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств Е , F и М . 361 Найди множество всех целых	чисел	, удовлетворяющих неравенству , и сделай рисунки .
И вообще , для любых	чисел	a и b так что для преобразования дроби знак “ минус ” можно перенести из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель , а можно поставить его перед самой дробью .
Легко догадаться , что таким числом с в множестве рациональных	чисел	является число с = а + ( -b ) .
М — множество отрицательных целых	чисел	, модуль которых больше или равен 2 .
Значит , с + b = а + ( -b ) , то есть вычитание рациональных	чисел	можно заменить сложением .
Подбери такие пары шестеренок , чтобы отношение	чисел	их зубцов было равно .
2 ) С — натуральных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — целых отрицательных	чисел	.
Правила знаков сохраняются и для случая , когда в скобках не одно число , а алгебраическая сумма	чисел	, например .
3 Сравнение рациональных	чисел	.
Разность удвоенного числа а и куба числа b на 4 больше половины числа с . 2 ) 40 % числа d на 5 меньше отношения квадратов	чисел	m и n . 3 )
570 Выбери из множества подмножество . 1 ) В — натуральных	чисел	; 2 ) С — целых чисел ; 3 ) D — рациональных чисел .
Частное суммы двух	чисел	и первого из них в 12 раз меньше разности квадратов первого и второго числа .
1 Сложение рациональных	чисел	.
И вообще , сумма двух противоположных	чисел	равна нулю .
Назови классы и разряды в записи	чисел	: 518 , 1045 , 27019 , 780780 , 1230456 .
Отношение первых трех	чисел	равно 1,2:4 : 0,8 , а четвертое число составляет 60 % второго .
473 Сумма четырех	чисел	равна 4,2 .
Легко показать , что правило вычитания рациональных	чисел	сохраняет все известные нам ранее свойства вычитания .
К — отрицательных дробных	чисел	.
2 Арифметика рациональных	чисел	.
Какие свойства	чисел	помогают упростить вычисления ?
Сложение рациональных	чисел	можно проиллюстрировать на координатной прямой : прибавление положительного числа — перемещением на соответствующее число вправо , а прибавление отрицательного числа — перемещением влево .
374 Найди процентное отношение	чисел	: 1 ) А и В ; 2 ) В и Л .
Найди квадрат разности	чисел	А и В .
Отношение двух	чисел	равно 0,5 : 0,3 , а их разность равна 1 .
д. , — то получим систему записи	чисел	( или систему счисления ) с основанием соответственно 2 , 3 , 4 и т .
570 Выбери из множества подмножество . 1 ) В — натуральных чисел ; 2 ) С — целых	чисел	; 3 ) D — рациональных чисел .
566 Приведи примеры точек координатной прямой , координаты которых не принадлежат множеству рациональных	чисел	.
254 Среднее арифметическое трех	чисел	равно 8,4 .
Произведение разности двух	чисел	и вычитаемого составляет 20 % от утроенного квадрата уменьшаемого .
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных	чисел	; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых	чисел	; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Таким образом , установленное правило вычитания расширяет возможности решения задач и уравнений , распространяя уже известные нам способы действий на множество рациональных	чисел	.
Рассмотрим теперь сложение	чисел	с разными знаками .
Аналогично рассуждая , нетрудно получить и правила сложения рациональных	чисел	с числом 0 , обобщающие соответствующие правила сложения для положительных чисел .
а ) умножения рациональных	чисел	; б ) правильной дроби ; в ) прямоугольника ; г ) трапеции .
Заметим также , что для рациональных чисел останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных	чисел	: длина отрезка на координатной прямой равна разности координат его правого и левого концов .
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых	чисел	; 6 )
Заметим также , что для рациональных	чисел	останется верным следующее утверждение , рассмотренное нами ранее для случая положительных чисел : длина отрезка на координатной прямой равна разности координат его правого и левого концов .
302 Приведи примеры использования положительных и отрицательных	чисел	в практических задачах .
Найди пары взаимно противоположных	чисел	.
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество натуральных чисел , Z — множество целых чисел , a Q — множество рациональных	чисел	.
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных	чисел	; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
564 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных	чисел	; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых чисел ; 6 )
Сумма двух взаимно простых	чисел	— число простое : например , числа 9 и 14 взаимно просты , и их сумма 9 + 14 = 23 — число простое .
В десятичной позиционной системе записи	чисел	10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу следующего разряда .
447 Выбери из множества подмножество : 1 ) В — положительных чисел ; 2 ) С — отрицательных чисел ; 3 ) D — целых чисел ; 4 ) Е — натуральных чисел ; 5 ) F — неотрицательных целых	чисел	; 6 )
Их нельзя понимать как запись деления нескольких	чисел	.
181 К данной тройке	чисел	подбери четвертое натуральное число так , чтобы из них можно было составить пропорцию .
314 Запиши сумму	чисел	и найди ее с помощью координатной прямой .
Нетрудно будет убедиться , что они останутся верными и для дробных	чисел	.
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество натуральных	чисел	, Z — множество целых чисел , a Q — множество рациональных чисел .
Одно из двух положительных	чисел	на 0,5 больше другого , а их произведение равно 0,14 .
418 Докажи , что сумма трех последовательных четных	чисел	делится на 6 .
393 В сумме , разности , произведении и частном	чисел	x и y изменены компоненты действий .
б ) На сколько процентов каждое из	чисел	: 0,026 ; 0,126 ; 0,346 ; 0,256 ; 0,566 ; 0,896 меньше , чем 6 ? .
574 Запиши первые 15	чисел	натурального ряда в троичной системе счисления .
в ) На сколько процентов каждое из	чисел	: 1,2с ; 1,48с ; 1,5с ; 2с ; 3,85с ; 4,6с больше , чем с ? .
Чтобы установить правила сложения рациональных	чисел	, рассмотрим практические задачи с “ доходами ” и “ расходами ” .
Только , к сожалению , запись	чисел	в двоичной системе гораздо длиннее : например .
И наоборот , полученное выражение можно прочитать как сумму	чисел	-4 , +5 , -3 , +1 и -2 .
Аналогично рассуждая , нетрудно получить и правила сложения рациональных чисел с числом 0 , обобщающие соответствующие правила сложения для положительных	чисел	.
Для ложных утверждений приведи контрпример , а верные — докажи правильно . 1 ) Сумма двух простых	чисел	— простое число : например , 2 — простое , 3 — простое , и их сумма 2 + 3 = 5- тоже простое .
196 Сколько всего натуральных	чисел	, меньших 100 , которые : а ) делятся на 2 , но не делятся на 3 ; б ) делятся на 2 или на 3 ; в ) не делятся ни на 2 , ни на 3 ? .
3 Умножение рациональных	чисел	.
Так , сумму	чисел	можно записать короче : ( -4 ) + ( +5 ) + ( -3 ) + ( +1 ) + ( -2 ) .
Произведение трех последовательных натуральных	чисел	кратно 6 : например , при перемножении чисел 8 , 9 и 10 получается число 720 , кратное 6 .
Возникла необходимость в изобретении новых	чисел	.
445 Вычисли , найди закономерность в ряду	чисел	, образованных ответами примеров , и продолжи ряд на два числа .
Произведение трех последовательных натуральных чисел кратно 6 : например , при перемножении	чисел	8 , 9 и 10 получается число 720 , кратное 6 .
317 Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z и Q , где N — множество натуральных чисел , Z — множество целых	чисел	, a Q — множество рациональных чисел .
570 Выбери из множества подмножество . 1 ) В — натуральных чисел ; 2 ) С — целых чисел ; 3 ) D — рациональных	чисел	.
Сколько различных	чисел	можно подобрать ? .
8) Дробь , знаменатель которой представим в виде 2n ∙ 5 m , где n , m — натуральные	числа	, можно перевести в десятичную .
Найди	числа	а , b , с и d , если а : b = 3/4:0,5 , b : с=1,2 : 1/3 , c : d = 5 : 2 , а их среднее арифметическое равно 1,3 .
Итак , чтобы вычесть из данного	числа	другое число , можно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
В библиотеке книги на французском языке составляют 48 % от	числа	книг на английском языке , а вместе они составляют 5 % числа всех книг в библиотеке .
Все положительные	числа	и 0 можно изобразить точками координатного луча .
Поэтому после подстановки вместо x любого натурального	числа	всегда будет получаться ложное высказывание .
Найди все натуральные	числа	, равные утроенной сумме своих цифр .
Представь данные дроби в виде несократимых и продолжи ряд на два	числа	, сохраняя закономерность .
Если цифры двузначного	числа	поменять местами и полученное двузначное число умножить на 2 , то результат окажется на 34 меньше исходного числа .
Положительные	числа	располагаются в положительном направлении от числа 0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а отрицательные числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля : число ( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
Существуют натуральные	числа	, кратные 6 , но не кратные 2 .
Найди три	числа	, если первое относится ко второму как 0,5 : 0,6 , второе к третьему — как , а разность третьего и первого равна о,5 .
Д Сумма	числа	x и y троенного числа у равна 1 ( x = 0,4 ; y = 0,02 ) .
Найди три	числа	, если известно , что первое число относится ко второму как 3 : 8 , второе к третьему — как 2 : 5 , а сумма первого и третьего равна 4,6 .
а ) от	числа	4,5 .
Найди	числа	а , b , с и d , если а : b = 1:2 , b : с = 3:4 , с : d = 2 : 7 , а их сумма равна 90 .
443 Найди значения выражений , сложив отдельно положительные и отрицательные	числа	.
18 % от	числа	60 .
Существуют ли такие натуральные	числа	тип , что А если 0,01 заменить на 0,005 ? .
На математическом языке это свойство	числа	( -1 ) можно записать так .
Так , например , взаимно противоположными являются	числа	7 и -7 , 4,25 и -4,25 .
Можно найти такие два натуральных	числа	, сумма которых равна их произведению .
442 Сложив сначала противоположные	числа	, найди значения выражений .
Расстояние от начала отсчета до точки , обозначающей данное число , называют модулем этого	числа	( от латинского modus — мера , величина ) .
Ф Квадрат числа b меньше	числа	с ( b = 7,5 ) .
363 Вычисли устно и продолжи ряд ответов на два	числа	, сохраняя закономерность .
Четыре различных	числа	могут давать различные остатки при делении на 3 .
Во втором предложении подразумевается , что m и n — натуральные	числа	, так как это следует из определения дроби .
Число учащихся первой школы на 10 % меньше , чем второй , а число учащихся второй школы составляет 80 % от	числа	учащихся третьей школы .
Может ли при делении натурального	числа	на 8 получиться остаток 9 ?
Найди эти	числа	.
490 Индийские математики в древности трактовали положительные	числа	как “ имущества ” , а отрицательные числа — как “ долги ” .
Модуль	числа	.
Е Квадрат	числа	а больше 16 .
Расположи имена мальчиков в порядке уменьшения	числа	найденных грибов .
Модуль противоположного	числа	.
Выполни действия и зачеркни	числа	в квадрате по образцу ( каждое число принадлежит только одному ответу ) .
произведение утроенного	числа	а и квадрата разности чисел .
490 Индийские математики в древности трактовали положительные числа как “ имущества ” , а отрицательные	числа	— как “ долги ” .
Так как противоположные	числа	находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета , то их модули равны .
Запиши другие пропорции , членами которых являются те же	числа	а , b , с и d .
Ф Квадрат	числа	b меньше числа с ( b = 7,5 ) .
8) Куб натурального	числа	может быть равен самому числу .
Чему равно отношение	числа	красных шаров к числу всех шаров ? .
Отношение	числа	детей в младшей , средней и старшей группах равно соответственно 7 : 5 : 4 .
207 Найди 75 % от	числа	.
Все нечетные	числа	простые .
а ) Любое натуральное число больше или равно 1 . б ) Все	числа	, кратные 10 , оканчиваются на 0 .
Все простые	числа	нечетны .
5 ) Из некоторого	числа	вычли — и получили 4 .
493 Отметь	числа	тип на координатной прямой , если известно , что .
Чему равно отношение	числа	белых шаров к числу всех шаров ? .
Модуль	числа	0 считается равным 0 : это число находится на “ нулевом расстоянии ” от самого себя .
Вставь пропущенные	числа	.
Можно сказать поэтому , что	числа	3 и ( -3 ) являются взаимно противоположными .
Положительные числа располагаются в положительном направлении от числа 0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а отрицательные	числа	— в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля : число ( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
Положительные числа располагаются в положительном направлении от	числа	0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а отрицательные числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля : число ( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
Действительно , подставив в последнее равенство вместо букв соответствующие им значения а , b n с , получим верное высказывание тогда как при непосредственном подсчете левой и правой части получаются разные	числа	: в левой части 1/30 , а в правой — 1,25 .
450 Пользуясь рисунками , сравни	числа	а и b с нулем , между собой и сравни их модули .
342 Какие	числа	называют противоположными ?
Чтобы лучше запомнить этот вывод , составим таблицу определения знака	числа	.
в ) разность удвоенного произведения квадратов чисел а и b и утроенного числа с . г ) число , противоположное квадрату суммы утроенного	числа	а и частного чисел b и с .
Число учащихся 6 “ А ” относится к числу учащихся 6 “ Б ” как 4 : 5 , а число учащихся 6 “ В ” равно среднему арифметическому	числа	учащихся 6 “ А ” и 6 “ Б ” .
Докажи , что квадрат любого натурального	числа	больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел .
Так как знак “ плюс ” не изменяет знака числа , то знак “ минус ” , наоборот , меняет знак	числа	на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
в ) Если	числа	равны , то равны и квадраты этих чисел .
484 Раскрой скобки в выражении а - ( b + с ) и переведи с математического языка на русский правило вычитания суммы из	числа	.
Четыре различных	числа	при делении на 3 не могут давать различные остатки .
При делении некоторого натурального	числа	на 7 получилось частное 4 и остаток 3 .
Модуль	числа	а обозначается символом а .
г ) Если	числа	равны , то равны и модули этих чисел .
Их номера — трехзначные	числа	, причем все они — точные квадраты .
Запиши в виде выражения с переменной n общий вид	числа	, которое при делении на 4 дает остаток 3 .
Если цифры двузначного	числа	поменять местами , то оно уменьшится на 45 .
106 Вычисли , найди закономерность в последовательности ответов и запиши следующие 2	числа	.
370 Сравни	числа	.
в ) разность удвоенного произведения квадратов чисел а и b и утроенного	числа	с . г ) число , противоположное квадрату суммы утроенного числа а и частного чисел b и с .
Так как знак “ плюс ” не изменяет знака	числа	, то знак “ минус ” , наоборот , меняет знак числа на противоположный , то есть из этих равенств видно , что два одинаковых знака дают в итоге “ + ” , а два разных знака дают “ - ” .
Сумма любого	числа	с нулем равна самому числу .
135 Как найти часть от	числа	, выраженную дробью ?
Однако при всех преобразованиях полезно проверять себя “ перекрестным ” правилом , поскольку	числа	, составляющие пропорцию , нельзя переставлять произвольным образом .
172 Найди наименьшее число , которое начинается с цифр 2008 и делится на все	числа	от 1 до 9 .
Составь ряд , образованный ответами примеров , и продолжи его на два	числа	, сохраняя закономерность .
8) Сумма кубов удвоенного числа x и числа y . 9 ) Произведение разности чисел m и n и квадрата	числа	k . 10 )
Построй формулу зависимости стоимости С телеграммы от	числа	n слов в ней .
Сколько процентов составляет число а от	числа	.
133 Построй формулу , устанавливающую зависимость : 1 )	числа	n купленных тетрадей от их цены а , если стоимость всей покупки равна 600 р . ;
Найти эти	числа	.
Для тех случаев , когда нужное количество не выражалось натуральным числом , люди придумали дроби — делили целое на несколько равных частей , и тогда ответ на вопрос “ Сколько ? ” мог быть дан в виде некоторого	числа	таких 37 частей — урожая , — пути , 8,5 лет .
И вообще , для любого	числа	а выполняется равенство .
Разность произведения чисел m и n и квадрата	числа	k . 86 )
82 Как найти часть от	числа	, выраженную дробью ?
Изобрази на числовой прямой два произвольных	числа	и их среднее арифметическое .
Частное куба	числа	0,2 и разности чисел 0,64 и — . 3 )
9 ) Все	числа	, кратные 3 , кратны и 9 . 10 )
Итак ,	числа	, противоположные отрицательным , положительны .
Натуральное число а больше натурального	числа	b в 5 раз .
Есть	числа	, 125 % которых меньше их самих .
Найди два	числа	, разность которых равна 6 , а одно из них составляет 2/7 другого .
6 ) 1 % числа составляет долю этого	числа	.
6 ) 1 %	числа	составляет долю этого числа .
Куб числа всегда больше самого	числа	.
Куб	числа	всегда больше самого числа .
Квадрат числа может быть меньше самого	числа	.
Квадрат	числа	может быть меньше самого числа .
Число с меньше	числа	d на 8 .
Изобрази эти	числа	и их среднее арифметическое на числовой прямой .
В левой части уравнения	числа	( -1,2 ) и ( -х ) — это слагаемые , а в правой части число ( -0,9 ) — это сумма .
В зависимости от	числа	сторон многоугольника , лежащего в основании пирамиды , она называется треугольной , четырехугольной , пятиугольной и т .
Какую часть . 1 ) число 24 составляет от	числа	60 ; 3 ) число 1,5 составляет от числа 3 .
Утроенный квадрат	числа	k . 6 )
Сколько процентов составляет число b от	числа	а ?
Расположи данные	числа	в порядке убывания модулей , сопоставь им соответствующие буквы , и ты узнаешь название самой северной точки одного из материков .
78 Прочитай выражения , используя понятия обратного и противоположного	числа	.
Сумма числа а и утроенного	числа	b . 2 )
В библиотеке книги на французском языке составляют 48 % от числа книг на английском языке , а вместе они составляют 5 %	числа	всех книг в библиотеке .
257 Запиши	числа	9 , 25 , 32 , 75 , 100 в системе счисления с основанием d = 2 .
Сумма	числа	а и утроенного числа b . 2 )
Квадрат утроенного	числа	k . 7 )
Утроенное произведение	числа	4,8 и квадрата числа . 2 )
2 ) число 2 — составляет от числа 8 ; 4 ) число 0,4 составляет от	числа	? .
Куб суммы удвоенного	числа	x и числа y. .
Куб суммы удвоенного числа x и	числа	y. .
Среди любителей призерами стали 20 % от	числа	участников - любителей , а среди профессионалов — 90 % от числа участников - профессионалов .
Глава 3 Рациональные	числа	.
8) Сумма кубов удвоенного	числа	x и числа y . 9 ) Произведение разности чисел m и n и квадрата числа k . 10 )
Например , глядя на уравнение х(х + 3 ) = 54 , можно заметить , что его натуральные корни должны быть делителями	числа	54 .
8) Сумма кубов удвоенного числа x и	числа	y . 9 ) Произведение разности чисел m и n и квадрата числа k . 10 )
2 ) число 2 — составляет от	числа	8 ; 4 ) число 0,4 составляет от числа ? .
1 Понятие рационального	числа	.
Какую часть . 1 ) число 24 составляет от числа 60 ; 3 ) число 1,5 составляет от	числа	3 .
1 Положительные и отрицательные	числа	.
Утроенное произведение числа 4,8 и квадрата	числа	. 2 )
Подставляя эти	числа	вместо переменной х в уравнение , находим единственный корень .
Мы видим , что умножить число ( -2 ) на число 3 можно по простому правилу : перемножить “	числа	без знаков ” ( то есть модули ) и перед произведением поставить знак “ минус ” .
259 Отметь на координатном луче произвольные	числа	x и y .
Взаимно противоположные	числа	расположены на координатной прямой по разные стороны от 0 на одинаковом расстоянии от него .
164 Составь все возможные двузначные	числа	из цифр 1 , 3 , 5 и 7 , если .
а ) цифры в записи	числа	могут повторяться .
Частное суммы двух чисел и первого из них в 12 раз меньше разности квадратов первого и второго	числа	.
Каким станет остаток при делении удвоенного	числа	на 8 ? .
Поэтому “ старые ”	числа	, кроме 0 , для противопоставления с отрицательными числами принято называть положительными .
448 Расположи	числа	в порядке возрастания .
цифры в записи	числа	не повторяются .
Если сумма двух чисел является натуральным числом , то эти	числа	— натуральные .
в ) от	числа	а . г ) 140 % от числа b . д ) число , которого равны 2,4 . е ) число , 3 % которого равны 5,25 . ж ) число , которого равна с . з ) число , 250 % которого равны d .
Полученные	числа	70 и 1,8 являются , соответственно , значениями данных выражений с переменными при указанных значениях букв .
Разность удвоенного числа а и куба числа b на 4 больше половины числа с . 2 ) 40 %	числа	d на 5 меньше отношения квадратов чисел m и n . 3 )
Решая текстовые задачи , мы видели , что буквы в выражениях играют роль символов , вместо которых можно подставлять	числа	.
Разность удвоенного числа а и куба числа b на 4 больше половины	числа	с . 2 ) 40 % числа d на 5 меньше отношения квадратов чисел m и n . 3 )
165 Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , 4 и 5 , если цифры в записи	числа	: а ) не повторяются ; б ) могут повторяться ? .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат натурального	числа	n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
а ) Если сумма цифр	числа	делится на 9 , то число делится на 9 .
422 Расположи	числа	в порядке возрастания , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй имя великого ученого - геометра античности .
Введенные таким образом положительные и отрицательные	числа	вместе с нулем составляют множество рациональных чисел ( обычно его обозначают буквой Q ) .
Д Сумма числа x и y троенного	числа	у равна 1 ( x = 0,4 ; y = 0,02 ) .
Разность удвоенного числа а и куба	числа	b на 4 больше половины числа с . 2 ) 40 % числа d на 5 меньше отношения квадратов чисел m и n . 3 )
165 Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2 , 4 , 6 , 8 и 0 , если цифры в записи	числа	а ) не повторяются ; б ) могут повторяться ? .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального	числа	n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное число n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
Разность удвоенного	числа	а и куба числа b на 4 больше половины числа с . 2 ) 40 % числа d на 5 меньше отношения квадратов чисел m и n . 3 )
681 Найди 40 % от	числа	.
120 % от числа в 4 раза больше разности этого	числа	и 3,5 .
в ) от числа а . г ) 140 % от	числа	b . д ) число , которого равны 2,4 . е ) число , 3 % которого равны 5,25 . ж ) число , которого равна с . з ) число , 250 % которого равны d .
245 Запиши в десятичной системе счисления	числа	.
Таким образом , появляются новые , так называемые отрицательные ,	числа	, противоположные к уже известным нам .
Уравнение х2 = 25 имеет два корня —	числа	5 и -5 .
Какие это	числа	? .
Теперь рассмотрим пример умножения положительного	числа	на отрицательное , Так как при перестановке множителей произведение не должно меняться ( переместительное свойство умножения ) , то сохранится и правило , по которому мы ищем результат .
Так ,	числа	2 и ( -2 ) оба расположены на расстоянии 2 единиц от 0 , а числа ( -4,5 ) и 4,5 — на расстоянии 4,5 от 0 .
338 Сравни дроби , если значения всех переменных — натуральные	числа	.
122 Взяв у сестренки по одной карточке с цифрами 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел , что полученные двузначные	числа	относятся как 1 : 2 : 3 : 4 : 5 .
Если число дней уменьшить на 1 , затем разделить на 6 и прибавить 3 , то получится первоначального	числа	дней .
Если цифры двузначного числа поменять местами и полученное двузначное число умножить на 2 , то результат окажется на 34 меньше исходного	числа	.
Отрицательные	числа	используются для обозначения величин , таких , как : расход — то есть отрицательный доход , долг — отрицательное имущество , глубина — отрицательная высота и т .
В одной коробке на 5 шаров больше , чем в другой , а произведение	числа	шаров в обеих коробках равно 24 .
Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю и продолжи ряд на два	числа	, сохраняя закономерность .
Итак , отрицательные	числа	— это уже известные нам числа , только со знаком “ минус ” : -1 , -6,25 и т .
14 Вычисли , найди закономерность в последовательности ответов и запиши следующие 2	числа	.
Изобрази с помощью геометрических фигур	числа	.
3 )	числа	на 0,5 меньше — этого числа .
119 При делении натурального	числа	на 8 получился остаток 5 .
161 Найди 45 % от	числа	.
Следовательно ,	числа	и должны быть противоположны .
Найди коэффициент успеха каждого ученика из приведенного списка и расположи полученные	числа	в убывающем порядке .
3 ) числа на 0,5 меньше — этого	числа	.
Итак , отрицательные числа — это уже известные нам	числа	, только со знаком “ минус ” : -1 , -6,25 и т .
162 На сколько процентов число 27 больше	числа	.
120 % от	числа	в 4 раза больше разности этого числа и 3,5 .
Так , числа 2 и ( -2 ) оба расположены на расстоянии 2 единиц от 0 , а	числа	( -4,5 ) и 4,5 — на расстоянии 4,5 от 0 .
502 Найди неизвестный член пропорции и расположи полученные	числа	в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
Среди любителей призерами стали 20 % от числа участников - любителей , а среди профессионалов — 90 % от	числа	участников - профессионалов .
Для того чтобы использовать отрицательные	числа	при решении практических задач , мы должны научиться сравнивать их и совершать над ними арифметические действия .
А уменьшение этого же	числа	на 3 единицы обозначается знаком “ -3 ” .
а ) модуль	числа	, противоположного удвоенному произведению чисел а и b . б ) сумма модулей чисел с и d ( с = -0,8 ; d = 0,7 ) .
На сколько процентов среднее арифметическое числа учеников в первых трех классах больше	числа	учеников в четвертом классе ? .
На основании правил прибавления суммы к числу и вычитания суммы из	числа	имеем .
Замени проценты числами , выражающими части величин : 3 % ; 18 % ; 7,5 % ; 150 % ; 528 % . 2 ) Замени	числа	, выражающие части величин , процентами : 0,05 ; 0,28 ; 0,9 ; 0,045 ; 1,8 ; 4 .
766 Как найти : а ) процент от	числа	; б ) число по его проценту ; в ) процентное отношение двух чисел ?
При решении практических задач часто возникает необходимость сравнивать рациональные	числа	, выполнять с ними арифметические действия .
415 Вычисли и запиши следующие три	числа	в ряду ответов так , чтобы сохранялась закономерность .
298 Найди два	числа	, сумма , произведение и частное которых равны между собой .
найти их значения и сравнить полученные	числа	.
446 а ) Сколько процентов от	числа	а составляют : 0,14а ; 0,06а ; 0,45а ; 0,003а ; 1,05а ; 2,8а ? .
445 Вычисли , найди закономерность в ряду чисел , образованных ответами примеров , и продолжи ряд на два	числа	.
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата	числа	b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Нахождение процента от	числа	.
Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их произведению . 2 ) Квадрат	числа	не может быть равен 0,01 .
Тогда привычные , “ хорошие ” , “ понятные ”	числа	для противопоставления и стали называть “ разумными ” , рациональными .
Итак , чтобы найти р% от	числа	, надо это число умножить на дробь .
15 Сравни	числа	.
8) Сумма 3 ∙ 105 + 5 ∙ 105 + 8 ∙ 102 + 7 является разложением по разрядам	числа	: а ) 35087 ; б ) 350807 ; в ) 3508007 .
Сумма 80000000 + 3000000 + 4000 + 20 является разложением по разрядам	числа	: а ) 834020 ; б ) 83004020 ; в ) 8304020 .
А сейчас придется смириться с тем фактом , что если на координатной прямой поставить все рациональные	числа	, то на ней останутся “ свободные места ” — например , точка А . 561 1 )
Поэтому теперь нам надо научиться сравнивать рациональные	числа	и выполнять с ними арифметические действия .
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного	числа	между целой и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
Представь эти	числа	в виде суммы разрядных слагаемых .
В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части	числа	3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
В разряде миллионных	числа	0,123456789 записана цифра : а ) 5 ; б ) 6 ; в ) 7 . 5 ) В знаменателе дробной части числа 3 2/9 — записана цифра : а ) 3 ; б ) 2 ; в ) 9 . 6 ) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак : а ) умножения ; б ) сложения ; в ) вычитания .
Модуль отрицательного	числа	равен числу , противоположному данному .
В разряде сотен миллионов	числа	9876543210 записана цифра : а ) 8 ; 6)9 ; в ) 5 .
Предыдущим для числа 79399 является число : а ) 78399 ; б ) 79400 ; в ) 79398 . 2 ) В разряде десятков тысяч	числа	12705320 записана цифра : а ) 2 ; б ) 0 ; в ) 5 .
Из полученного	числа	вычесть 1 . 3 )
416 Расположи	числа	в порядке убывания , сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй названия геометрических фигур .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность	числа	а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Для раскрытия скобок в выражениях , содержащих умножение	числа	на сумму , используется распределительное свойство умножения .
Например , увеличение	числа	( -2 ) на 3 единицы можно показать стрелкой , идущей от точки ( -2 ) на 3 единицы вправо , и обозначить это увеличение через “ +3 ” .
Среди составных чисел есть взаимно простые	числа	.
а ) частное	числа	а и разности квадратов чисел .
539 Заполни пропуски и прочитай полученные	числа	.
6 ) Все простые	числа	взаимно просты .
Еще с младших классов нам известно , что одним процентом от любой величины — денежной суммы ,	числа	учащихся школы и т .
Сумма цифр	числа	n кратна 9 .
Число депутатов от первой партии на 20 % больше , чем от второй , а число депутатов от второй партии составляет 62,5 %	числа	депутатов третьей .
Существуют два	числа	, делящихся на 7 , сумма которых не делится на 7 .
На сколько процентов число книг на четвертой полке меньше среднего арифметического	числа	книг на первых трех полках ? .
На диаграмме , показывающей соотношение между множествами N , Z и Q , хорошо видно , что натуральные	числа	являются в то же время целыми .
313 Какую часть	числа	составляют 5 % , 10 % , 20 % , 25 % , 40 % , 50 % , 60 % , 75 % , 80 % ?
Во втором классе на 3 ученика больше , чем в первом , а число учеников в третьем классе составляет — от	числа	учеников в первом и 96 % от числа учеников в четвертом классе .
Вместе с тем и натуральные , и целые	числа	являются рациональными .
На координатной прямой точно так же , как и на координатном луче , можно показывать изменение величины	числа	: увеличение — с помощью перемещения на соответствующее число единиц вправо , а уменьшение — с помощью перемещения влево .
а ) Число х в 2 раза больше , чем число у , тогда и только тогда , когда х = 2у . б ) Для того чтобы число а было кратно 3 , необходимо и достаточно , чтобы сумма цифр	числа	а была кратна 3 .
Существуют	числа	, которые оканчиваются цифрой 4 , но не делятся на 4 .
Вычесть из	числа	а число b — это значит найти такое число с , которое при сложении с b дает а .
На сколько процентов среднее арифметическое	числа	учеников в первых трех классах больше числа учеников в четвертом классе ? .
Расположи полученные	числа	в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам , и расшифруй слово .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные	числа	делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не делится на 3 ” .
в ) модуль разности частного чисел m и n утроенного	числа	к ( m = 1,6 ; n = -3 , к = -0,4 ) .
Вставь в предложения пропущенные	числа	.
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные числа делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные	числа	не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное число не делится на 3 ” .
Предыдущим для	числа	79399 является число : а ) 78399 ; б ) 79400 ; в ) 79398 . 2 ) В разряде десятков тысяч числа 12705320 записана цифра : а ) 2 ; б ) 0 ; в ) 5 .
в ) Если сумма цифр натурального	числа	делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Сумма цифр двузначного	числа	равна 13 , а произведение — 36 .
В результате использования общего приема — поставить впереди данного предложения слова “ Неверно , что ” — получается предложение “ Неверно , что все натуральные	числа	делятся на 3 ” .
Это предложение означает , что не все натуральные	числа	делятся на 3 или , что то же самое , что некоторые натуральные числа не делятся на 3 .
Квадрат	числа	х равен 9 в том и только в том случае , когда х = 3 или х = -3 .
Это предложение означает , что не все натуральные числа делятся на 3 или , что то же самое , что некоторые натуральные	числа	не делятся на 3 .
Во втором классе на 3 ученика больше , чем в первом , а число учеников в третьем классе составляет — от числа учеников в первом и 96 % от	числа	учеников в четвертом классе .
Квадрат отрицательного	числа	положителен .
Вчера число учеников , присутствующих в классе , было в 8 раз больше	числа	отсутствующих .
Нахождение	числа	по его проценту .
Подставим в формулу простого процентного роста величину начального вклада S = 1000 , конечной суммы Sn = 1060 и	числа	месяцев n = 12 .
Подобно этому и в остальных системах счисления	числа	записывают с помощью степеней основания .
Приведенные примеры иллюстрируют общее правило : чтобы сложить два	числа	с одинаковыми знаками , можно сложить их модули и поставить общий знак .
д. , то есть соответствующих степеней	числа	3 .
Для этого вначале разделим 145 с остатком на 34 — наибольшую возможную в нашем случае степень	числа	3 — и определим цифру разряда десятков тысяч , затем остаток разделим на 33 — определим цифру разряда тысяч и т .
Перевод натурального	числа	из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут остатки от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в обратном порядке .
сумма цифр	числа	n кратна 9 .
В множестве В — 345 , 505050 , 222555 , 15150 есть	числа	, не кратные 15 . 5 )
Перевод натурального числа из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими число в троичной системе , будут остатки от последовательного деления этого	числа	на 3 , записанные в обратном порядке .
Например , мы можем сказать , что отрицанием предложения “ Синус числа 0 равен нулю ” является предложение “ Синус числа 0 не равен нулю ” , хотя понятие синуса	числа	мы еще не изучали .
Вообще говоря , чтобы сложить два	числа	с разными знаками , можно вычесть их модули и поставить перед полученной разностью знак числа с большим модулем .
Например , мы можем сказать , что отрицанием предложения “ Синус числа 0 равен нулю ” является предложение “ Синус	числа	0 не равен нулю ” , хотя понятие синуса числа мы еще не изучали .
Например , мы можем сказать , что отрицанием предложения “ Синус	числа	0 равен нулю ” является предложение “ Синус числа 0 не равен нулю ” , хотя понятие синуса числа мы еще не изучали .
Сумма двух взаимно простых чисел — число простое : например ,	числа	9 и 14 взаимно просты , и их сумма 9 + 14 = 23 — число простое .
Вообще говоря , чтобы сложить два числа с разными знаками , можно вычесть их модули и поставить перед полученной разностью знак	числа	с большим модулем .
В десятичной системе числа записывают с помощью степеней	числа	10 .
Поскольку остатки не могут быть больше делителя , то в троичной системе для записи любого	числа	достаточно трех цифр — 0 , 1 и 2 .
Если при делении на 5 одно число дает в остатке 2 , а другое — 3 , то их сумма кратна 5 : например ,	числа	12 и 13 дают при делении на 5 остатки , соответственно , 2 и 3 , а их сумма 12 + 13 = 25 делится на 5 . 4 )
Аналогично записываются	числа	и в других позиционных системах счисления .
Ответ округли с точностью до целого	числа	миллионов .
Чему теперь равны частное и остаток от деления большего	числа	на меньшее ? .
Сколько процентов от	числа	проехавших машин составили грузовые машины ? .
376 1 ) Сколько процентов от	числа	а составляют : 0,04а ; 0,2а ; 0,56а ; 1,8а ; 2,5а ; За ?
577 Прочитай стихотворение и переведи	числа	в десятичную систему счисления .
8) Среди решений неравенства 20 — 3 x > 4 есть	числа	, большие 5 .
Натуральные решения неравенства 7 < x < 12 — составные	числа	.
392 Сравни и объясни , как изменяются результаты арифметических действий при изменении их компонентов , если все переменные — натуральные	числа	.
Не существует наибольшего натурального	числа	.
576 Переведи	числа	7 , 25 , 42 , 79 , 156 , 273 из десятичной системы счисления в пятеричную .
Из пассивных любителей спорта 20 % от их	числа	являются заядлыми болельщиками , но только 10 % этих болельщиков не пропускают ни одного выступления любимого спортсмена или команды .
575 Переведи в десятичную систему счисления	числа	.
Сумма цифр двузначного	числа	равна 12 , а произведение 35 .
В десятичной системе	числа	записывают с помощью степеней числа 10 .
Сумма цифр двузначного	числа	равна 11 , а произведение 24 .
Сложение рациональных чисел можно проиллюстрировать на координатной прямой : прибавление положительного	числа	— перемещением на соответствующее число вправо , а прибавление отрицательного числа — перемещением влево .
10 Запиши на математическом языке	числа	: а ) шесть миллионов семьсот две тысячи пятьдесят восемь ; б ) семь целых четыре пятых ; в ) три целых двенадцать стотысячных .
Прочитай эти	числа	.
а ) разность куба	числа	а и утроенного произведения квадрата числа b на число с ( а = -2 ; b = 0,5 ; с = -0,4 ) .
Отметь на диаграмме	числа	.
Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки р = 0,008 ,	числа	дней n = 365 и первоначального вклада S = 5000 .
Таким образом , чтобы найти число по его части , составляющей р % этого	числа	, надо эту часть разделить на .
а ) разность куба числа а и утроенного произведения квадрата	числа	b на число с ( а = -2 ; b = 0,5 ; с = -0,4 ) .
Ответ дай в виде четырехзначного	числа	xyzt .
в виде : а ) обыкновенной дроби ; б ) смешанного	числа	; в ) десятичной дроби ? .
203 На сколько процентов число А больше	числа	Б .
квадрат суммы удвоенного	числа	х и частного чисел у и z .
568 Сравни	числа	А и В и их модули .
Сложение рациональных чисел можно проиллюстрировать на координатной прямой : прибавление положительного числа — перемещением на соответствующее число вправо , а прибавление отрицательного	числа	— перемещением влево .
423 Найди все такие двузначные	числа	, которые делятся на каждую из цифр в их записи .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата	числа	а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Найти все трехзначные	числа	, цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594 .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба	числа	b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Все трехзначные	числа	делятся на 3 .
Положительные числа , то есть	числа	, обозначающие доходы , мы складывать умеем .
Положительные	числа	, то есть числа , обозначающие доходы , мы складывать умеем .
В городе N легковых машин повышенной проходимости около 2,8 тыс. , что соответствует 7 % от	числа	всех легковых машин .
Число однокомнатных квартир в 1,5 раза больше	числа	двухкомнатных , а число трехкомнатных составляет 75 % числа двухкомнатных .
Для простоты мы будем проводить рассуждения , используя целые	числа	.
а ) произведение квадрата суммы чисел а и b и куба разности чисел а и с . б ) частное удвоенного куба	числа	а и разности квадратов чисел бис .
Сколько построено кирпичных домов , если их число составляет 20 % от	числа	деревянных домов ?
Построй отрицания ложных высказываний . 1 ) Существуют	числа	, квадрат которых больше их куба .
Найти все двузначные	числа	, которые от перестановки их цифр увеличиваются на 36
Число однокомнатных квартир в 1,5 раза больше числа двухкомнатных , а число трехкомнатных составляет 75 %	числа	двухкомнатных .
Какой процент составляет число участков с кирпичными домами от	числа	всех выделенных участков ? .
Найти все двузначные	числа	, которые от перестановки их цифр увеличиваются в 4,5 раза .
Число 53535353 делится на 3 или на 5 . 6 ) Корнями уравнения х2 + 2 = 18 являются	числа	0 и 4 . 7 ) Дробь 8,9 больше или равна 9 .
Сегодня не пришли еще 2 ученика , и оказалось , что отсутствуют 20 % от	числа	учеников , присутствующих в классе .
Утроенное произведение	числа	а и квадрата числа b на 50 % больше куба числа с . 2 )
На первой полке в 2 раза больше книг , чем на второй , а число книг на третьей полке составляет 60 % от	числа	книг на второй и 2/3 от числа книг на четвертой полке .
2 ) любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного	числа	.
Как удобнее и проще найти в полученных моделях неизвестные	числа	х и у ?
Образец записи решения . 2 ) В записанных неравенствах подчеркни те числа , которые являются результатами округления	числа	а с точностью до сотен , десятков , единиц , десятых , сотых , тысячных .
Таким образом , для любого	числа	а выполняется неравенство .
Образец записи решения . 2 ) В записанных неравенствах подчеркни те	числа	, которые являются результатами округления числа а с точностью до сотен , десятков , единиц , десятых , сотых , тысячных .
В квадрате размером 10x10 клеток выписаны натуральные	числа	от 1 до 100 , как показано .
Разложи	числа	на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное .
В предыдущем пункте мы ввели понятие модуля	числа	.
модуль положительного	числа	а — само число а .
Найди числа , являющиеся приближениями	числа	а с недостатком и избытком с точностью до сотен , десятков , единиц , десятых , сотых , тысячных .
Если число а является делителем	числа	b , то НОД ( a , b ) .
Найди	числа	, являющиеся приближениями числа а с недостатком и избытком с точностью до сотен , десятков , единиц , десятых , сотых , тысячных .
Приведенный пример показывает , как разнообразные математические понятия — отрицательные	числа	, координатная плоскость , формулы , графики , — возникшие из внутренней логики развития самой математики , оказываются практически значимыми .
365 Как найти часть от	числа	?
Отметь на этой диаграмме	числа	.
Поэтому , умножив числитель и знаменатель дроби на произведение 9 ∙ 100000 , мы сможем заменить все	числа	в ее записи целыми .
2 ) модуль отрицательного	числа	а — противоположное ему число ( -а ) .
Первое число составляет 24 % всей суммы и — второго	числа	, а третье и четвертое относятся как .
6 — делитель	числа	360106 .
модуль	числа	0 — само число 0 .
Есть такие нечетные	числа	, произведение которых — число четное .
748 Сформулируй определение	числа	, противоположного данному , и числа , обратного данному .
Существуют	числа	, кратные трем , сумма которых не делится на 3 .
748 Сформулируй определение числа , противоположного данному , и	числа	, обратного данному .
Вообще , если выражение является произведением	числа	и буквенной части , то числовой множитель в этом выражении называют коэффициентом .
8) Кратное числа больше самого	числа	.
Запиши	числа	, противоположное и обратное : а ) числу х ; б ) кубу числа у ; в ) сумме чисел а и b ; г ) разности чисел m и n .
8) Кратное	числа	больше самого числа .
В предыдущем пункте мы научились складывать любые рациональные	числа	.
На первой полке в 2 раза больше книг , чем на второй , а число книг на третьей полке составляет 60 % от числа книг на второй и 2/3 от	числа	книг на четвертой полке .
522 Акциями предприятия владеют фирмы А , В и С. Количество их акций находится в отношении 3 : 5 : 7 и составляет 60 % от	числа	всех акций предприятия .
Натуральные числа , противоположные к ним отрицательные	числа	и число 0 образуют множество целых чисел .
любое положительное число больше 0 и больше любого отрицательного	числа	.
Если объединение слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала сложить положительные числа , затем сложить отрицательные	числа	и к первой сумме прибавить вторую .
Какие остатки могут получаться при делении натурального	числа	на 5 ?
Какие остатки могут получаться при делении на 5 квадрата натурального	числа	? .
Найди с точностью до сотых разность полученного тобой	числа	π и числа Архимеда .
Каким будет остаток при делении этого	числа	на 4 ? .
При делении	числа	на 15 в остатке получается 11 .
Каким будет остаток при делении этого	числа	на 3 ? .
Найди с точностью до сотых разность полученного тобой числа π и	числа	Архимеда .
2 Противоположные	числа	и модуль .
Модуль положительного	числа	больше ? .
Таким образом , вычитание числа ( -3 ) в данном примере свелось к прибавлению противоположного ему	числа	3 .
Как мы уже говорили , положительные	числа	изображаются на координатной прямой точками , расположенными правее 0 , отрицательные — левее 0 .
Сумма	числа	219 и любого числа , которое при делении на 14 дает остаток 3 , является четным числом .
правило вычитания	числа	из суммы .
Сумма числа 219 и любого	числа	, которое при делении на 14 дает остаток 3 , является четным числом .
Если эту цифру поставить впереди двух остальных , то получится число , большее заданного на одну треть ( от заданного	числа	) .
Миша придумал схему для правила перевода смешанного	числа	в неправильную дробь .
Таким образом , вычитание	числа	( -3 ) в данном примере свелось к прибавлению противоположного ему числа 3 .
Натуральные	числа	, противоположные к ним отрицательные числа и число 0 образуют множество целых чисел .
Расшифруй его схему , б ) Представь числа в виде неправильной дроби и продолжи ряд на три	числа	, сохраняя закономерность .
правило деления	числа	на произведение .
Число 9 — делитель	числа	b . 3 )
Это означает , что любое положительное число больше 0 и больше любого отрицательного числа , а любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного	числа	.
Расшифруй его схему , б ) Представь	числа	в виде неправильной дроби и продолжи ряд на три числа , сохраняя закономерность .
Сумма цифр трехзначного	числа	равна 9 , а произведение равно 15 .
Запиши множество D ( а ) всех делителей	числа	а .
185 Найди 40 % от	числа	.
276 Вставь вместо звездочек пропущенные	числа	и сделай проверку .
правило вычитания суммы из	числа	.
Сумма числа 49 и любого	числа	, которое при делении на 6 дает остаток 5 , кратна шести .
Сумма	числа	49 и любого числа , которое при делении на 6 дает остаток 5 , кратна шести .
Это означает , что любое положительное число больше 0 и больше любого отрицательного	числа	, а любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа .
179 Выполни действия , представляя	числа	в наиболее удобном для вычисления виде .
Запиши числа , противоположное и обратное : а ) числу х ; б ) кубу	числа	у ; в ) сумме чисел а и b ; г ) разности чисел m и n .
После того как цифры двузначного	числа	поменяли местами , оно увеличилось на 54 .
Делитель числа всегда меньше самого	числа	.
290 На координатном луче отмечены	числа	1 и г. Перерисуй чертеж в тетрадь и отметь с помощью циркуля на этом луче число .
Каждая цифра может входить в запись	числа	не более одного раза .
291 При делении некоторого	числа	на 12 в остатке получилось 11 .
Каким будет остаток при делении этого	числа	: а ) на 6 ; б ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 2 ? .
281 Запиши	числа	9 , 25 , 32 , 75 , 100 в системе счисления с основанием : a ) d = 3 ; б ) d = 5 ; в ) d — 9 ; г ) d = 12 .
Отметь	числа	a , b , с и d на координатной прямой , если .
Итак , если а и b — два	числа	, причем b ≠0 ,
397 Отметь схематически	числа	на координатной прямой и сравни их .
Некоторые	числа	можно связать с геометрическими фигурами .
398 Сравни	числа	.
399 Какие	числа	соответствуют точкам А , В , С , D и Е координатной прямой ?
Какие	числа	он складывал ? .
а ) Треугольные	числа	: 1 , 3 , 6 , 10 . б )
Квадратные	числа	: 1 , 4 , 9 , 16 , .
А отношение	числа	3 к числу 8 равно и выражает часть , которую составляет от 8 .
Мы знаем , например , что предложения х < у и у > х , где х и у — рациональные	числа	, означают одно и то же , то есть равносильны .
Запиши эти	числа	: а ) в порядке возрастания ; б ) в порядке убывания .
Утроенное произведение числа а и квадрата	числа	b на 50 % больше куба числа с . 2 )
756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства рациональных чисел : а ) переместительное , сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения ; б ) свойства	числа	0 при сложении и вычитании .
413 Найди последнюю цифру	числа	.
18 % от	числа	а составляют 1,8а . 2 ) 0,6/ ) составляет 30 % от 2b .
486 Какие два двузначных простых	числа	получаются друг из друга перестановкой цифр , а их разность образует точный квадрат ? .
б ) правило вычитания суммы из	числа	.
На множестве натуральных чисел любые два	числа	можно сложить и перемножить , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
487 Квадрат натурального	числа	на 56 больше самого числа .
Какие это	числа	?
Утроенное произведение числа а и квадрата числа b на 50 % больше куба	числа	с . 2 )
В первом районе живет на 20 % жителей больше , чем во втором , а в третьем — 50 % от	числа	жителей первого .
403 Известно , что а и b — положительные	числа	, а m и n — отрицательные .
400 Расположи	числа	в порядке возрастания , сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй слова .
Например , отношение	числа	8 к числу 3 равно — и показывает , что 8 больше , чем в 2 раза .
487 Квадрат натурального числа на 56 больше самого	числа	.
Процентное отношение показывает , сколько процентов число а составляет от	числа	b .
При умножении	числа	на 1 всегда получается то же самое число .
Сравни с нулем	числа	.
Из удвоенной суммы чисел х и у вычесть разность утроенного	числа	д : и числа у .
Существуют взаимно обратные	числа	, модули которых равны .
Число а в 7 раз меньше	числа	b . 2 )
Число с на 3 больше	числа	d . 3 ) Число т составляет — числа n . 4 ) Число k составляет 80 % числа t . 5 )
Число с на 3 больше числа d . 3 ) Число т составляет —	числа	n . 4 ) Число k составляет 80 % числа t . 5 )
22 Докажи , что для любого натурального	числа	n среднее арифметическое его предыдущего и последующего чисел равно этому числу .
Некоторые	числа	имеют только один делитель .
Число с на 3 больше числа d . 3 ) Число т составляет — числа n . 4 ) Число k составляет 80 %	числа	t . 5 )
Число р на 40 % меньше	числа	s .
5 ) Взаимно простые	числа	сами являются простыми . 6 ) Числа 12 и 15 — взаимно простые .
Найди значения выражений , сопоставь их соответствующим буквам и расположи полученные	числа	в порядке убывания .
750 Сформулируй определение модуля	числа	.
После того как число книг на первой полке удвоили , оно составило 80 % от	числа	книг на второй полке .
Делитель	числа	всегда меньше самого числа .
Число х на 28 % больше	числа	у . 6 )
Существуют натуральные	числа	, сумма которых не превышает их разности .
Чему равно отношение	числа	двухкомнатных квартир к числу всех квартир ? .
Мы знаем , что	числа	были придуманы на заре развития человечества для решения практических задач — счета предметов и измерения величин .
Модуль заданного	числа	вычисляется не сразу : надо сначала узнать , как заданное число “ располагается ” относительно 0 — больше , равно или меньше , — и лишь затем воспользоваться соответствующим правилом .
в ) если число кратно 4 и 25 , то оно кратно 100 . г ) если число неотрицательно , то модуль	числа	равен самому числу .
Из удвоенной суммы чисел х и у вычесть разность утроенного числа д : и	числа	у .
Все простые	числа	— нечетные . 5 )
Если объединение слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям , то для выполнения вычислений можно сначала сложить положительные	числа	, затем сложить отрицательные числа и к первой сумме прибавить вторую .
Итак , мы знаем , что множество натуральных чисел бесконечно : умеем записывать натуральные	числа	в десятичной позиционной системе записи , представлять их в виде суммы разрядных слагаемых , например : умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия , знаем свойства этих действий , среди которых основными являются переместительный , сочетательный и распределительный законы сложения и умножения .
Отметь схематически на координатной прямой	числа	: 2,4 : -5 ; -1 — ; -3,8 ; -10,5 .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального	числа	n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
5 Какие	числа	мы знаем , и что мы о них знаем или не знаем .
277 Разложи	числа	на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное .
Квадрат натурального	числа	может быть меньше 1 .
Раскрой скобки и упрости выражения . I2 а ) Докажи , что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего	числа	при делении на 5 дает остаток , равный 1 . б ) Докажи , что сумма четырех последовательных натуральных чисел , кратных 3 , при делении на 12 дает остаток , равный 6 .
248 Число мужчин , женщин и детей , отдыхающих в пансионате , пропорционально	числам	3 , 4 и 1 . 1 )
Длины сторон треугольника пропорциональны	числам	3 , 4 и 6 , а среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм .
245 Длины сторон четырехугольника пропорциональны	числам	2 , 5 , 3 и 7 , а его большая сторона на 30 см превышает меньшую .
601 Два луча , проведенные из вершины развернутого угла , разбивают его на 3 части пропорционально	числам	.
296 Периметр треугольника равен 68 см , а длины сторон пропорциональны	числам	4 , 5 и 8 .
Вариант I . 520 а ) Разбей число 425 на два слагаемых пропорционально	числам	2 и 3 . б ) Раздели число 520 на три части в отношении .
Этот вывод можно было сделать и не обращаясь к конкретным	числам	, а проанализировав формулу 240 = vt , которая описывает данное движение .
Элементы множества А = 8 , 15 , 31 , 49 , взятые попарно , являются взаимно простыми	числами	.
316 Назови элементы множества А которые являются натуральными числами , целыми	числами	, рациональными числами .
При выборе способа вычисления надо учитывать и то , какое следующее действие и с какими	числами	надо будет выполнять .
Чтобы учесть направление поворота , углы поворота условились выражать рациональными	числами	: положительными — против часовой стрелки , а отрицательными — по часовой стрелке . .
316 Назови элементы множества А которые являются натуральными	числами	, целыми числами , рациональными числами .
751 Реши примеры и расскажи , какие алгоритмы действий с рациональными	числами	использовались для их решения .
Например , все элементы множества N натуральных чисел являются целыми	числами	, и ни одно из них не является отрицательным числом .
Введение системы координат на плоскости позволяет сопоставить каждой точке ее координаты , которые могут быть как положительными , так и отрицательными	числами	.
Все решения неравенства 1 < x < 8 являются натуральными	числами	.
В арифметике , имеющей дело с	числами	, удобно говорить на языке дробей , язык отношений — со времен Древней Греции — распространен в геометрии , а язык пропорций общепринят в повседневной практике и при проведении математических расчетов в физике , химии и т .
Мы познакомимся с иррациональными	числами	в старших классах .
прибыли , то справедливость требует , чтобы полученная прибыль делилась пропорционально их вложениям , выраженным соответственно	числами	3 и 5 .
При этом правила сравнения и правила действий с рациональными числами должны стать естественным продолжением соответствующих правил действий с уже известными нам положительными	числами	, иначе мы придем к противоречию .
За последний год мы узнали , как развивалась математика , по сути , в течение нескольких веков , и наши представления о	числах	отражают сегодня примерно те представления , которые сложились к XVI - XVII вв . , то есть около 300 - 400 лет назад .
Поэтому он используется не только в геометрии , но и во всех разделах математики , в том	числе	и в алгебре , которая также изучается в старших классах .
303 а ) В чемпионатах по футболу места команд при равном	числе	набранных очков определяют по разности забитых и пропущенных мячей .
537 На месте единиц в трехзначном	числе	стоит цифра 2 .
В “ длинных ” выражениях , в которых фигурирует только умножение , при четном числе отрицательных множителей ответ будет положительным , а при нечетном	числе	— отрицательным .
43 Какую цифру надо поставить в	числе	5∙12 вместо звездочки , чтобы полученное число делилось : а ) на 3 ; б ) на 9 ?
При этом мы использовали ту же букву n , так как в заключении местоимение « оно » означает , что речь идет о том же натуральном	числе	, что и в условии .
42 Какую цифру надо поставить в	числе	273∙ вместо звездочки , чтобы полученное число делилось : а ) на 2 ; б ) на 5 ; в ) на 10 ?
В “ длинных ” выражениях , в которых фигурирует только умножение , при четном	числе	отрицательных множителей ответ будет положительным , а при нечетном числе — отрицательным .
Масштаб карты можно записать в виде дроби с	числителем	1 или в виде частного с делимым 1 .
Масштаб может задаваться также дробью с	числителем	, не равным 1 , например , дробью ( или , соответственно , частным с делимым , не равным 1 ) .
Существует дробь с	числителем	2 , большая двух седьмых .
Аналогично , если масштаб задан дробью с	числителем	1 , то для вычисления реального расстояния на местности длину соответствующего отрезка на карте достаточно умножить на знаменатель дроби .
Если	числитель	увеличить в 2 раза , а знаменатель увеличить на 6 , то получится дробь , равная .
560 Может ли дробь , в которой	числитель	меньше знаменателя , быть равной дроби , в которой числитель больше знаменателя ? .
Поэтому , умножив	числитель	и знаменатель дроби на произведение 9 ∙ 100000 , мы сможем заменить все числа в ее записи целыми .
И вообще , для любых чисел a и b так что для преобразования дроби знак “ минус ” можно перенести из числителя в знаменатель или из знаменателя в	числитель	, а можно поставить его перед самой дробью .
в ) Если дробь сократима , то ее числитель и знаменатель имеют общий делитель , отличный от 1 . г ) Если дробь правильная , то	числитель	дроби меньше ее знаменателя .
Чему равен	числитель	данной дроби ? .
560 Может ли дробь , в которой числитель меньше знаменателя , быть равной дроби , в которой	числитель	больше знаменателя ? .
Если	числитель	этой дроби уменьшить на 2 , а знаменатель увеличить на 2 , то получится дробь , равная .
Если	числитель	дроби увеличить на 4 , а знаменатель увеличить в 3 раза , то дробь обратится в 1/2 .
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой	числитель	— целое число , а знаменатель — натуральное , поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
в ) Если дробь сократима , то ее	числитель	и знаменатель имеют общий делитель , отличный от 1 . г ) Если дробь правильная , то числитель дроби меньше ее знаменателя .
Какое число надо прибавить к	числителю	и к знаменателю дроби — , чтобы получить дробь , равную 0,5 ? .
Какая часть продукции высшего качества выпущена за январь и февраль отдельно , если известно , что каждая из этих дробей несократима , не изменяется при одновременном прибавлении к	числителю	2 и умножении знаменателя на 2 , и если за январь выпущено больше , чем за февраль ? . .
Если к	числителю	дроби прибавить 1 , а из знаменателя вычесть 1 , то получится дробь , равная 0,4 .
Знаменатель дроби на 20 % больше ее	числителя	.
И вообще , для любых чисел a и b так что для преобразования дроби знак “ минус ” можно перенести из	числителя	в знаменатель или из знаменателя в числитель , а можно поставить его перед самой дробью .
Знаменатель дроби на 1 меньше	числителя	.
557 а ) Какое число нужно вычесть из	числителя	и знаменателя дроби , чтобы получить число , равное 0,5 ? .
На основании переместительного и сочетательного свойств сложения во внутренних скобках	числителя	сумму 2,375 + 0,625 можно заменить числом 3 .
Если из	числителя	вычесть 4 , а знаменатель умножить на 4 , то получится дробь , равная 0,125 .
Знаменатель дроби на 8 больше	числителя	.
Какое число надо вычесть из	числителя	и из знаменателя дроби .
б ) Некоторое число вычли из	числителя	, прибавили к знаменателю дроби и после сокращения получили .
Каждое натуральное	число	делится на себя и на 1 .
Любое натуральное	число	имеет хотя бы два делителя .
Известно , что b = 4k + 2 , где k N. Какими свойствами обладает	число	b ? .
а ) Если натуральное	число	оканчивается на 0 , то оно кратно 5 .
Это означает , что любое положительное число больше 0 и больше любого отрицательного числа , а любое отрицательное	число	меньше 0 и меньше любого положительного числа .
любое положительное	число	больше 0 и больше любого отрицательного числа .
правило деления произведения на	число	.
Когда в нервом классе	число	учеников увеличилось на 8 % , а во втором — уменьшилось на 10 % , в обоих классах учеников стало поровну .
8) правила деления суммы и разности на	число	.
Простое	число	всегда меньше составного .
Заметив схожесть первой и третьей строк , можно сказать и так : если число а больше или равно 0 , то его модуль равен самому числу а ; если же	число	а меньше 0 , то его модуль равен ( -а ) .
	Число	нечетное .
Если	число	кратно 5 , то оно оканчивается на 0 .
Первое	число	составляет 24 % всей суммы и — второго числа , а третье и четвертое относятся как .
Заметив схожесть первой и третьей строк , можно сказать и так : если	число	а больше или равно 0 , то его модуль равен самому числу а ; если же число а меньше 0 , то его модуль равен ( -а ) .
	Число	четное .
модуль числа 0 — само	число	0 .
129 В число подставь вместо звездочек цифры так , чтобы полученное	число	делилось : а ) на 18 ; б ) на 30 ; в ) на 45 ; г ) на 36 .
129 В	число	подставь вместо звездочек цифры так , чтобы полученное число делилось : а ) на 18 ; б ) на 30 ; в ) на 45 ; г ) на 36 .
Произведение 9 ∙ 36 ∙ 151 —	число	нечетное .
744 Найди наименьшее натуральное	число	, кратное 36 , в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу .
39 1 ) Известно , что а = 6 n , где n N. Какими свойствами обладает	число	а ? .
Это	число	полезно помнить каждому туристу , заболевшему в англоязычной стране .
2 ) модуль отрицательного числа а — противоположное ему	число	( -а ) .
модуль положительного числа а — само	число	а .
простое	число	.
Любое простое	число	можно представить в виде 2 n + 1 , где n N . 12 )
Какую часть четвертое	число	составляет от среднего арифметического первых трех чисел ?
2 ) любое отрицательное	число	меньше 0 и меньше любого положительного числа .
Из двух отрицательных чисел левее расположено	число	с большим модулем , поэтому оно меньше .
207 Когда трехзначное число , у которого цифры сотен и десятков одинаковые , а цифра единиц равна 5 , разделили на однозначное	число	, то в остатке получили 8 .
При умножении числа на 1 всегда получается то же самое	число	.
Уменьши	число	60 : на треть , на четверть , на 20 % , на 50 % , на 75 % , на 90 % .
Первое	число	в 3,5 раза больше второго , а третье — на 4,8 больше второго .
в ) Если сумма цифр натурального числа делится на 3 , то и само	число	делится на 3 .
Увеличь	число	а : на 4 , на четверть , в 4 раза , на 30 % , на 50 % , на 250 % .
	Число	b : на 5 , на пятую часть , в 5 раз , на 10 % , на 25 % , на 70 % .
а ) разность куба числа а и утроенного произведения квадрата числа b на	число	с ( а = -2 ; b = 0,5 ; с = -0,4 ) .
203 На сколько процентов	число	А больше числа Б .
б ) В школе за счет профилактических мероприятий	число	заболевших гриппом уменьшилось за первый год на 20 % , а за второй — еще на 15 % по сравнению с первым годом .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д )	число	, обратное сумме квадратов чисел а и b . е ) число , противоположное квадрату суммы чисел а и b .
Так , ложность высказывания : x < x — 1 следует из общего свойства чисел на множестве R , а именно : x > x — 1 , так как	число	x расположено на числовом луче правее , чем число x — 1 .
Предыдущим для числа 79399 является	число	: а ) 78399 ; б ) 79400 ; в ) 79398 . 2 ) В разряде десятков тысяч числа 12705320 записана цифра : а ) 2 ; б ) 0 ; в ) 5 .
Так , ложность высказывания : x < x — 1 следует из общего свойства чисел на множестве R , а именно : x > x — 1 , так как число x расположено на числовом луче правее , чем	число	x — 1 .
На сколько всего процентов уменьшилось	число	заболевших гриппом в школе за эти два года ? .
Если	число	делится на 3 , то и сумма его цифр делится на 3 . д ) Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то их сумма тоже делится на это число .
191 Составь выражение и найди его значение , если а ) разность числа а и квадрата числа b . б ) разность квадратов чисел а и b . в ) квадрат разности чисел а и b . г ) частное квадрата числа а и куба числа b . д ) число , обратное сумме квадратов чисел а и b . е )	число	, противоположное квадрату суммы чисел а и b .
г ) За первый месяц	число	вкладчиков банка увеличилась на 10 % , а за второй — уменьшилось на 10 % .
На сколько процентов и как изменилось	число	вкладчиков за эти два месяца ? .
Например , мы не проверяли , является ли	число	11111 простым , и уж точно не можем сказать , есть ли у Кати брат , поскольку неизвестно , о какой Кате идет речь .
Неверно , что	число	56431 делится на 13 и на 17 .
Неверно , что	число	, делящееся на 24 , делится на 9 .
Неверно , что	число	11111 простое .
Существует наибольшее натуральное	число	.
Сложение рациональных чисел можно проиллюстрировать на координатной прямой : прибавление положительного числа — перемещением на соответствующее	число	вправо , а прибавление отрицательного числа — перемещением влево .
Модуль заданного числа вычисляется не сразу : надо сначала узнать , как заданное	число	“ располагается ” относительно 0 — больше , равно или меньше , — и лишь затем воспользоваться соответствующим правилом .
391 а ) Увеличь	число	12 : наполовину , на треть , на 10 % , на 25 % , на 100 % , на 200 % .
766 Как найти : а ) процент от числа ; б )	число	по его проценту ; в ) процентное отношение двух чисел ?
Существует натуральное	число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , которое не является составным .
Натуральное	число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , может не быть составным .
На первой полке в 2 раза больше книг , чем на второй , а	число	книг на третьей полке составляет 60 % от числа книг на второй и 2/3 от числа книг на четвертой полке .
Существует натуральное	число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , которое делится на 2 .
Натуральное	число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , может делиться на 2 .
На сколько процентов	число	книг на четвертой полке меньше среднего арифметического числа книг на первых трех полках ? .
Натуральное	число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , не может не быть составным .
Раздели	число	700 в отношении . б ) Выполни действия и раздели полученное число в отношении 0,1 : 0,7 .
Натуральное	число	, записанное с помощью трех единиц и 100 нулей , не может делиться на 2 .
В	число	подставь вместо звездочек цифры так , чтобы полученное число делилось на 15 .
206 Докажи , что если к трехзначному числу приписать справа ( или слева ) то же самое	число	, то полученное шестизначное число будет кратно 11 .
Раздели число 700 в отношении . б ) Выполни действия и раздели полученное	число	в отношении 0,1 : 0,7 .
В число подставь вместо звездочек цифры так , чтобы полученное	число	делилось на 15 .
Существует хотя бы одно	число	, которое оканчивается цифрой 4 , но не делится на 4 .
Мы получили , таким образом , высказывание о существовании : “ Существует хотя бы одно натуральное	число	, которое не делится на 3 ” .
Но исходное высказывание ложно ( контрпример — число 1 ) , и второе также ложно ( контрпример —	число	3 ) , а этого по закону исключенного третьего быть не может .
Но исходное высказывание ложно ( контрпример —	число	1 ) , и второе также ложно ( контрпример — число 3 ) , а этого по закону исключенного третьего быть не может .
Так , если мы сформулируем , используя этот прием , отрицание высказывания “ Все натуральные числа делятся на 3 ” , то получим “ Все натуральные числа не делятся на 3 ” , или , другими словами , “ Ни одно натуральное	число	не делится на 3 ” .
319 Изобрази точкой на координатной прямой	число	х , если .
207 Когда трехзначное	число	, у которого цифры сотен и десятков одинаковые , а цифра единиц равна 5 , разделили на однозначное число , то в остатке получили 8 .
206 Докажи , что если к трехзначному числу приписать справа ( или слева ) то же самое число , то полученное шестизначное	число	будет кратно 11 .
Квадрат	число	n не равен 16 . 5 )
Во втором классе на 3 ученика больше , чем в первом , а	число	учеников в третьем классе составляет — от числа учеников в первом и 96 % от числа учеников в четвертом классе .
42 Какую цифру надо поставить в числе 273∙ вместо звездочки , чтобы полученное	число	делилось : а ) на 2 ; б ) на 5 ; в ) на 10 ?
Модуль числа 0 считается равным 0 : это	число	находится на “ нулевом расстоянии ” от самого себя .
На просмотр фильма « Сибирский цирюльник » из двух классов пошло одинаковое	число	учеников .
Сколь велико	число	дней ? .
Если число отрицательно , то противоположное к нему	число	.
Если	число	дней уменьшить на 1 , затем разделить на 6 и прибавить 3 , то получится первоначального числа дней .
в ) от числа а . г ) 140 % от числа b . д ) число , которого равны 2,4 . е )	число	, 3 % которого равны 5,25 . ж ) число , которого равна с . з ) число , 250 % которого равны d .
в ) от числа а . г ) 140 % от числа b . д ) число , которого равны 2,4 . е ) число , 3 % которого равны 5,25 . ж )	число	, которого равна с . з ) число , 250 % которого равны d .
в ) от числа а . г ) 140 % от числа b . д ) число , которого равны 2,4 . е ) число , 3 % которого равны 5,25 . ж ) число , которого равна с . з )	число	, 250 % которого равны d .
Разложить	число	10 на 2 слагаемых , сумма квадратов которых равна 58 .
Одно	число	на 40 % меньше другого , а их сумма равна 16,8 .
Увеличь	число	х : а ) в 5 раз ; б ) на четверть ; в ) на 70 % ; г ) на 320 % .
Уменьши	число	у : а ) на 2 ; б ) на треть ; в ) на 20 % ; г ) на 5 % .
Понятно , что здесь x — какое - то	число	, но мы его не знаем .
Натуральное	число	а больше натурального числа b в 5 раз .
Если	число	неотрицательно , то противоположное к нему число .
Сколько процентов составляет	число	а от числа .
Если число неотрицательно , то противоположное к нему	число	.
В конце мы записали , то есть что n — натуральное	число	.
Из того , что натуральное	число	делится на 3 , следует , что оно делится на 9 .
Если	число	неположительно , то противоположное к нему число .
Сколько процентов составляет	число	b от числа а ?
А запись -(-5 ) означает “ число , противоположное числу минус 5 ” , то есть само	число	5 .
Если число неположительно , то противоположное к нему	число	.
Из того , что натуральное	число	делится на 9 , следует , что оно делится на 3 .
Заметим , что	число	( -а ) может быть и положительным .
Если	число	отрицательно , то противоположное к нему число .
в ) от числа а . г ) 140 % от числа b . д )	число	, которого равны 2,4 . е ) число , 3 % которого равны 5,25 . ж ) число , которого равна с . з ) число , 250 % которого равны d .
1 ) Если число положительно , то противоположное к нему	число	.
Пара чисел а и b , где а — первое	число	, a b — второе число , называется упорядоченной парой чисел и обозначается ( a ; b ) .
На какое	число	делили ? .
Найди это число . 6 ) 5 — разделили на неизвестное	число	и получили .
Найди это	число	. 6 ) 5 — разделили на неизвестное число и получили .
Выполни действия и зачеркни числа в квадрате по образцу ( каждое	число	принадлежит только одному ответу ) .
На какое	число	умножили ? .
4 ) 2 — умножили на	число	и получили .
Какое	число	вычли ? .
Какое это	число	? .
Какое это	число	? . .
Какое	число	делили ? .
простое	число	. R — множество дробей .
Как найти	число	по его части , выраженной дробью ?
344 Назови и запиши	число	, противоположное данному .
Н Произведение чисел тип делится на	число	k ( m = 5 ; л = 8) .
347 Можно ли считать , что символ ( -а ) обозначает отрицательное	число	?
Так , в первом предложении прямо указано , что	число	k — натуральное .
Натуральное	число	к делится на 3 — предложение с одной переменной к .
1 ) Если	число	положительно , то противоположное к нему число .
Предложение 2х=15 с переменной x , напротив , всегда ложно , если x N. В самом деле , при любом натуральном значении x в левой части равенства	число	получается четное , а в правой — нечетное .
Из того , что	число	больше или равно 9 , следует , что оно больше 8 .
Расстояние от начала отсчета до точки , обозначающей данное	число	, называют модулем этого числа ( от латинского modus — мера , величина ) .
Из того , что	число	больше 8 , следует , что оно больше или равно 9 .
143 Выполни действия и найди следующее	число	в ряду ответов при сохранении закономерности .
в ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г )	число	, обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
2 ) число 2 — составляет от числа 8 ; 4 )	число	0,4 составляет от числа ? .
Сосчитай	число	ребер ( Р ) , граней ( Г ) и вершин ( В ) каждого правильного многогранника и заполни таблицу .
При этом первое высказывание является ложным ( контрпример —	число	1 ) , а второе — истинным , так как при n = 4 имеем : 42 = 16 — истинно .
На сколько процентов второе	число	меньше первого ? .
Число 563 можно представить в виде 7k , где k — натуральное	число	.
5 ) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье	число	, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Число 563 нельзя представить в виде 7k , где k — натуральное	число	.
в ) разность удвоенного произведения квадратов чисел а и b и утроенного числа с . г )	число	, противоположное квадрату суммы утроенного числа а и частного чисел b и с .
377 Вставь	число	так , чтобы получилось истинное высказывание .
Противоположное	число	.
На сколько процентов первое	число	больше второго ?
Всякое натуральное	число	, кратное 6 , кратно 2 .
Так , число ( -3 ) противоположно числу 3 , а само	число	3 противоположно числу ( -3 ) .
Всякое	число	, которое имеет не больше двух делителей , — простое .
Любое число , кратное 9 , кратно и 3 . 4 ) Любое число , кратное 3 , кратно и 9 . 5 ) Каждое простое	число	имеет не больше двух делителей .
Если меньшее	число	увеличить на 50 % , а большее уменьшить на 40 % , то их сумма не изменится .
Любое число , кратное 9 , кратно и 3 . 4 ) Любое	число	, кратное 3 , кратно и 9 . 5 ) Каждое простое число имеет не больше двух делителей .
Любое	число	, кратное 9 , кратно и 3 . 4 ) Любое число , кратное 3 , кратно и 9 . 5 ) Каждое простое число имеет не больше двух делителей .
385 В классе	число	мальчиков относится к числу девочек как 8 : 5 .
Пара чисел а и b , где а — первое число , a b — второе	число	, называется упорядоченной парой чисел и обозначается ( a ; b ) .
Отношение трех чисел равно 2,4 : 0,8 : 0,64 , а четвертое	число	составляет 25 % третьего .
Можно ли подобрать цифру так , чтобы это	число	делилось на 6 , на 15 , на 18 , на 90 ? .
43 Какую цифру надо поставить в числе 5∙12 вместо звездочки , чтобы полученное	число	делилось : а ) на 3 ; б ) на 9 ?
Это означает , что любое положительное	число	больше 0 и больше любого отрицательного числа , а любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа .
б ) Первое	число	больше второго на 3 .
421 Прочитай	число	: 0,2803951476 .
Можно ли подобрать цифру так , чтобы это	число	делилось на 100 , на 25 , на 4 ? .
722 Раскрась грани разверток всех правильных многогранников так , чтобы было минимальное	число	цветов , а соседние грани склеенной модели не были одного цвета .
Когда мы говорим , например : « Если натуральное	число	оканчивается цифрой 5 , то оно делится на 5 » , мы имеем в виду общий факт — любое натуральное число , оканчивающееся цифрой 5 , делится на 5 .
Если	число	больше или равно 9 , то оно больше 8 .
2 )	число	2 — составляет от числа 8 ; 4 ) число 0,4 составляет от числа ? .
Какую часть . 1 ) число 24 составляет от числа 60 ; 3 )	число	1,5 составляет от числа 3 .
Какую часть . 1 )	число	24 составляет от числа 60 ; 3 ) число 1,5 составляет от числа 3 .
84 Как найти часть , которую одно	число	составляет от другого ?
Найди	число	.
83 Как найти	число	по его части , выраженной дробью ?
Если	число	больше 8 , то оно больше или равно 9 .
160 Найди	число	, 11 % которого составляет число .
Если натуральное	число	делится на 3 , то оно делится на 9 .
160 Найди число , 11 % которого составляет	число	.
162 На сколько процентов	число	27 больше числа .
Если натуральное	число	делится на 9 , то оно делится на 3 .
426 Реши примеры по столбцам и предложи правило , по которому можно было бы записать следующее	число	в ряду ответов .
Это же предложение можно переформулировать с использованием глагола « следовать » : из того , что натуральное	число	оканчивается цифрой 5 , следует , что оно делится на 5 .
А запись -(-5 ) означает “	число	, противоположное числу минус 5 ” , то есть само число 5 .
Например , высказывание “ Существует натуральное	число	, квадрат которого больше 8 , но меньше 12 ” записывается так .
в )	число	, обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . г ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных множителям .
Всякое натуральное	число	больше 2 .
Когда мы говорим , например : « Если натуральное число оканчивается цифрой 5 , то оно делится на 5 » , мы имеем в виду общий факт — любое натуральное	число	, оканчивающееся цифрой 5 , делится на 5 .
Зачеркни пять цифр так , чтобы получилось : а ) возможно большее число ; б ) возможно меньшее	число	.
Зачеркни пять цифр так , чтобы получилось : а ) возможно большее	число	; б ) возможно меньшее число .
Поэтому запись ( -5 ) можно прочитать двумя способами : “ минус 5 ” и “	число	, противоположное числу 5 ” .
Так , из предложения с переменной “ Квадрат натурального числа n равен 16 ” можно получить общее высказывание : “ Квадрат любого натурального числа n равен 16 ” и высказывание о существовании : “ Существует натуральное	число	n , квадрат которого равен 16 ” , то есть .
Так ,	число	( -3 ) противоположно числу 3 , а само число 3 противоположно числу ( -3 ) .
Меньшее	число	увеличили на треть , а большее — уменьшили на 20 % .
Если первое	число	кратно второму , а второе — кратно третьему , то первое число кратно третьему .
172 Найди наименьшее	число	, которое начинается с цифр 2008 и делится на все числа от 1 до 9 .
а ) Задумали	число	, уменьшили его на 4 , разность удвоили , результат увеличили на 9 и получили число , которое меньше задуманного на 2 .
290 На координатном луче отмечены числа 1 и г. Перерисуй чертеж в тетрадь и отметь с помощью циркуля на этом луче	число	.
Процентное отношение показывает , сколько процентов	число	а составляет от числа b .
а ) Задумали число , уменьшили его на 4 , разность удвоили , результат увеличили на 9 и получили	число	, которое меньше задуманного на 2 .
294 Может ли	число	а2 + b2 + с2 делиться на 5 , если ни одно из натуральных чисел а , b и с не делится на 5 ? .
181 К данной тройке чисел подбери четвертое натуральное	число	так , чтобы из них можно было составить пропорцию .
605 Вычисли и раздели полученное	число	в отношении 5:4 .
В частности , отношение не изменится , если его члены умножить или разделить на одно и то же	число	, отличное от нуля .
194 Найди значение выражений А , В и С. Подбери четвертое	число	так , чтобы получилась пропорция .
Нечетное	число	всегда является простым .
24 ( чел. ) —	число	учащихся 6 “ Б ” .
Отношение двух чисел показывает , во сколько раз первое число больше второго , или какую часть первое	число	составляет от второго .
Отношение двух чисел показывает , во сколько раз первое	число	больше второго , или какую часть первое число составляет от второго .
а ) Простое	число	всегда нечетно .
511 Два токаря получили задание изготовить детали , общее	число	которых меньше 1000 .
« Задумали	число	, увеличили его в 5 раз , затем уменьшили на 8 и разность утроили .
Как мы видели , отношение одноименных величин есть	число	.
С помощью пропорций можно решать и задачи на проценты , так как	число	процентов пропорционально соответствующей части величины .
Найти третье	число	.
а ) если	число	кратно 10 , то оно кратно 2 . б ) если число больше 4 , то оно больше или равно 3 .
Количественной характеристикой выполненной работы является соответственно	число	уложенных кирпичей , число набранных страниц , объем перекачанной воды .
Количественной характеристикой выполненной работы является соответственно число уложенных кирпичей ,	число	набранных страниц , объем перекачанной воды .
в ) если число кратно 4 и 25 , то оно кратно 100 . г ) если	число	неотрицательно , то модуль числа равен самому числу .
Так как второй множитель натуральное	число	, то мы можем воспользоваться “ старым ” определением , известным еще из начальной школы : ( -2 ) ∙ 3 есть сумма 3 слагаемых , каждое из которых равно ( -2 ) .
а )	число	-3 является корнем уравнения .
	Число	5 не является корнем уравнения .
в )	число	0 является корнем уравнения .
Первое	число	на 3,5 больше второго , а третье составляет 60 % второго .
г )	число	-2 не является корнем уравнения .
Найди меньшее	число	.
72 Является ли корнем уравнения 2х2 + 5х 4- 2 = 0	число	.
Второе	число	в 2,5 раза больше первого , третье составляет 120 % второго , а четвертое на 1,6 меньше первого .
Ясно , что нельзя взять	число	( -2 ) сомножителем ( -3 ) раза .
347 Найди	число	, 24 % которого составляют .
73 В Докажи , что корнем уравнения является любое	число	.
Постоянную величину в формуле а = bс принято обозначать буквой k , а переменные величины — буквами х и у. Полученную формулу назовем формулой прямой пропорциональности , а	число	k в этой формуле — коэффициентом пропорциональности .
Произведение в ней постоянно — это	число	240 .
а ) если число кратно 10 , то оно кратно 2 . б ) если	число	больше 4 , то оно больше или равно 3 .
в ) если	число	кратно 4 и 25 , то оно кратно 100 . г ) если число неотрицательно , то модуль числа равен самому числу .
« Разделить	число	а на число b — это значит найти такое число с , которое при умножении на b дает а » .
1 ) Если некоторое	число	умножить на 9 то получится 3,5 .
Какое	число	надо прибавить к числителю и к знаменателю дроби — , чтобы получить дробь , равную 0,5 ? .
250 Запиши в общем виде правила деления суммы , разности и произведения на	число	.
Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на	число	слагаемых .
Какое	число	надо вычесть из числителя и из знаменателя дроби .
А общий уровень знаний класса по математике оценивают средним баллом — складывают все годовые оценки , полученные учениками этого класса , и делят на	число	учеников .
г ) Если первое число в 2 раза больше второго , а второе — в 2 раза больше третьего , то первое	число	в 2 раза больше третьего .
г ) Если первое	число	в 2 раза больше второго , а второе — в 2 раза больше третьего , то первое число в 2 раза больше третьего .
Расширением множества целых чисел до множества , в котором выполнима операция деления на	число	, не равное 0 , является множество рациональных чисел Q .
Любое рациональное	число	можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое число , а знаменатель — натуральное , поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
Число а на 7 меньше , чем	число	b . г ) Число n кратно 9 .
505 Переведи условие задачи на математический язык и реши уравнение : Задуманное	число	уменьшили в 3 раза , результат вычли из 40 , то , что получилось , увеличили в 5 раз , потом уменьшили на 50 и получили 90 .
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех слагаемых —	число	15 .
Если первое число кратно второму , а второе — кратно третьему , то первое	число	кратно третьему .
Найти наименьшее натуральное	число	, дающее при делении на 2 , 3 , 4 , 5 и 6 остаток 1 и , кроме того , делящееся на 7 .
Любое рациональное число можно представить в виде дроби , в которой числитель — целое	число	, а знаменатель — натуральное , поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так .
Необходимость разделить заданную величину или	число	в данном отношении часто возникает в практической жизни человека при приготовлении различных смесей , растворов , блюд по кулинарным рецептам , при распределении прибыли или мест в парламенте и т .
Любое	число	процентов можно записать в виде десятичной дроби , выражающей часть величины .
правило весов ( обе части уравнения можно поменять местами , можно увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же	число	, отличное от нуля ) .
В результате получили утроенное задуманное	число	.
218 Найди	число	, если .
Если цифры двузначного числа поменять местами и полученное двузначное	число	умножить на 2 , то результат окажется на 34 меньше исходного числа .
Какое	число	задумали ? » .
Что получится , если умножить это же	число	на 0,8 ? .
2 ) Если некоторое	число	разделить на 2 у , то получится 28 .
Найти	число	, если .
Найди это	число	.
« Разделить число а на	число	b — это значит найти такое число с , которое при умножении на b дает а » .
На множестве натуральных чисел любые два числа можно сложить и перемножить , но вычесть одно	число	из другого можно не всегда .
На сколько надо разделить это же	число	, чтобы получить в частном 0,6 ? .
25 ( чел. ) —	число	учащихся 6 “ А ” .
натуральное	число	( D — множество правильных дробей ) .
« Разделить число а на число b — это значит найти такое	число	с , которое при умножении на b дает а » .
3 ) Если 7,68 разделить на некоторое	число	, то получится 240 .
Греческая буква π ( « пи » ) в приведенных формулах обозначает	число	, равное отношению длины любой окружности к своему диаметру .
Какое частное получится , если разделить на тот же делитель	число	1,44 ? .
При уменьшении величины на определенное	число	процентов , считая от последнего значения , в формуле , как и для простого роста , вместо знака “ плюс ” появляется знак “ минус ” .
Полученная выше формула применима не только к задачам о росте вклада , но и к любой ситуации , когда рассматриваемая величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определенное	число	процентов , считая от последнего ее значения .
215 Вычисли и запиши следующее	число	в ряду ответов при сохранении закономерности .
Вместе с тем на множестве целых чисел не всегда можно разделить одно	число	на другое .
Мы видим , что умножить	число	( -2 ) на число 3 можно по простому правилу : перемножить “ числа без знаков ” ( то есть модули ) и перед произведением поставить знак “ минус ” .
из того , что натуральное	число	больше 9 , следует , что оно больше или равно 10 .
Мы видим , что умножить число ( -2 ) на	число	3 можно по простому правилу : перемножить “ числа без знаков ” ( то есть модули ) и перед произведением поставить знак “ минус ” .
Сколько вагонов было в каждом составе , если известно , что в каждом вагоне находилось одинаковое число солдат и что это	число	солдат было максимальное из всех возможных ? .
б ) Придумай и реши свою задачу про задуманное	число	.
В результате он получил двузначное	число	, записанное теми же цифрами , что и искомый квадрат , но в обратном порядке .
Если эту цифру поставить впереди двух остальных , то получится	число	, большее заданного на одну треть ( от заданного числа ) .
При умножении на ( -1 ) любое	число	меняется на противоположное .
Какое	число	задано ? . .
а ) Задумали	число	, вычли из него 16 , разность умножили на 7 , результат вычли из 40 и получили 12 .
265 Вычисли и запиши следующее	число	в ряду ответов , сохраняя закономерность .
С уравнениями мы встречались , например , когда решали задачи методом проб и ошибок и методом перебора — мы находили неизвестное	число	х испытанием различных « кандидатов » на его роль .
Особую роль при умножении рациональных чисел играет	число	( -1 ) .
Увеличь	число	х : а)наЗ ; б ) в 4 раза ; в ) на треть ; г ) на 160 % .
Уменьши	число	у : а ) на 2 ; б )
70 % от а . д )	число	, — которого равны 1,8 . е ) число , 0,9 которого равны 72 . ж ) число , 2 % которого равны 0,64 .
70 % от а . д ) число , — которого равны 1,8 . е )	число	, 0,9 которого равны 72 . ж ) число , 2 % которого равны 0,64 .
70 % от а . д ) число , — которого равны 1,8 . е ) число , 0,9 которого равны 72 . ж )	число	, 2 % которого равны 0,64 .
з )	число	, 40 % которого равны b .
Как известно , разделить	число	а на число b — это значит найти такое число с , которое при умножении на b дает а .
Вместо того чтобы данное однозначное	число	возвести в квадрат , он его удвоил .
Как известно , разделить число а на	число	b — это значит найти такое число с , которое при умножении на b дает а .
93 Найди наименьшее	число	, кратное 36 , в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу .
Найди второе	число	.
Отношение двух чисел показывает , во сколько раз одно	число	больше или меньше другого .
а ) Любое натуральное	число	больше или равно 1 . б ) Все числа , кратные 10 , оканчиваются на 0 .
Среднее арифметическое двух нечетных чисел есть	число	нечетное .
271 Реши круговые примеры , начиная с первого ( ответ каждого примера — первое	число	в следующем примере ) , и прочитай девиз , которым руководствуются многие люди .
На сколько процентов первое	число	меньше второго ?
Однако в первом доме на каждом этаже на одну квартиру больше , и поэтому	число	этажей в нем на 2 меньше , чем во втором .
Какую часть меньшее	число	составляет от 9,6 ?
На сколько процентов второе	число	больше первого ? .
По объявленному результату он назвал задуманное	число	.
79 Как и на сколько процентов изменилось	число	, если .
Учитель показал ребятам арифметический фокус : он предложил задумать положительное число , умножить его само на себя , к полученному результату прибавить удвоенное задуманное	число	и еще 1 .
Первое	число	равно 9,6 , а второе в 2 раза больше третьего .
Учитель показал ребятам арифметический фокус : он предложил задумать положительное	число	, умножить его само на себя , к полученному результату прибавить удвоенное задуманное число и еще 1 .
На сколько второе	число	больше первого ? .
Сколько вагонов было в каждом составе , если известно , что в каждом вагоне находилось одинаковое	число	солдат и что это число солдат было максимальное из всех возможных ? .
а ) Если число меньше или равно 5 , то оно меньше 6 . б ) Если	число	кратно 40 , то оно кратно 4 и 10 .
3 ) Первое	число	в 5 раз меньше второго , а их среднее арифметическое равно 12,6 .
а ) Если	число	меньше или равно 5 , то оно меньше 6 . б ) Если число кратно 40 , то оно кратно 4 и 10 .
Как известно , разделить число а на число b — это значит найти такое	число	с , которое при умножении на b дает а .
Задумали	число	, умножили его на 8 , произведение вычли из 100 , разность удвоили , результат вычли из 15 и получили 7 .
Обозначив искомое расстояние х , получаем , что	число	3,6 так относится к х , как 3 к 40000 .
Из этих примеров видно , что	число	центров симметрии также может быть различным : так , у прямой их бесконечно много , а у параллелограмма и окружности — по одному .
41 Найди	число	, которое в указанном ряду чисел нарушает закономерность .
В этом случае все размеры на чертеже , наоборот , увеличиваются в одно и то же	число	раз , так что масштаб получается с увеличением — 2 : 1 , 10 : 1 , 100 : 1 и т .
528 Склей из бумаги модель цилиндра , радиус основания которого равен 3,5 см , а развертка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 7π см и 10 см , где π —	число	, равное примерно 3,14 .
Согласно этому определению , масштаб изображения — это	число	.
Это	число	и называется масштабом изображения .
120 Задуманное	число	удвоили , а затем уменьшили на 6 .
Рассмотрим самый важный для практики случай , когда длины всех отрезков уменьшаются или увеличиваются в одно и то же	число	раз , в одном и том же отношении .
Заметим , что в последнем примере при умножении на отрицательное	число	модули перемножаются , а знак произведения противоположен знаку первого множителя .
В результате оказалось , что полученное	число	так относится к 9 , как 4 относится к 4,5 .
После того как	число	книг на первой полке удвоили , оно составило 80 % от числа книг на второй полке .
Например , уравнение 2х = 6 имеет всего один корень —	число	3 .
где r — радиус окружности , Т — время , за которое оно совершает один полный оборот ( период обращения ) , π —	число	, равное примерно 3,14 .
533 Раздели	число	64 в отношении а : b , если .
Осевой симметрией обладают многие геометрические фигуры , причем	число	осей симметрии может быть различным : у равнобедренного треугольника одна ось симметрии , у равностороннего треугольника — три , у квадрата — четыре , а осью симметрии окружности является любая прямая , проходящая через ее центр .
А корнем уравнения 2(х + 4 ) = 2х + 8 является любое	число	, так как в обеих его частях стоят равные выражения .
Практический смысл формулы S = ab состоит в том , что для вычисления площади заданного прямоугольника нет необходимости измерять ее непосредственно , то есть укладывать прямоугольник квадратами единичной площади и подсчитывать их	число	.
В результате лечебно - профилактических мероприятий	число	заболеваний снизилось по 75 % .
111 Во время эпидемии резко — в 3,6 раза по сравнению с обычным уровнем — возросло	число	заболеваний дифтерией .
2 ) Задуманное	число	утроили , затем результат вычли из 10 , полученную разность увеличили в 2 раза , а потом еще на 2 .
Какое	число	задумали ? .
Если	число	кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
Задумали число , увеличили его на 7 , сумму умножили на 3 , к произведению прибавили 4 и из результата вычли утроенное задуманное	число	.
Все расстояния на плане уменьшаются в одно и то же	число	раз , поэтому отношения соответствующих расстояний равны между собой и равны 3 .
а ) Если сумма цифр числа делится на 9 , то	число	делится на 9 .
55 Вычисли и запиши в последовательности ответов следующее	число	, сохраняя закономерность .
Задумали	число	, увеличили его на 7 , сумму умножили на 3 , к произведению прибавили 4 и из результата вычли утроенное задуманное число .
Например ,	число	2 является корнем уравнения х3 — х = 6 , так как 23 — 2 = 6 .
Вариант I . 520 а ) Разбей	число	425 на два слагаемых пропорционально числам 2 и 3 . б ) Раздели число 520 на три части в отношении .
б ) Если первое число на 5 меньше второго , а второе — на 5 меньше третьего , то первое	число	на 5 меньше третьего .
Напротив ,	число	3 не является корнем этого уравнения , так как 33 - 36 .
Если	число	а кратно числу b , то НОД ( а , b ) = ..
Вариант I . 520 а ) Разбей число 425 на два слагаемых пропорционально числам 2 и 3 . б ) Раздели	число	520 на три части в отношении .
Есть такие нечетные числа , произведение которых —	число	четное .
Аналогично коэффициентом выражения , например , ( - ху2 г ) считают	число	-1 , а коэффициент выражения равен числу 1 .
Эти равенства показывают , что коэффициентом выражения а является число 1 , а выражения ( -а ) —	число	( -1 ) .
Эти равенства показывают , что коэффициентом выражения а является	число	1 , а выражения ( -а ) — число ( -1 ) .
Задуманное	число	увеличили в 5 раз , затем уменьшили на 3 и полученную разность уменьшили вдвое .
В результате получили	число	на 0,3 меньше задуманного .
Если	число	а является делителем числа b , то НОД ( a , b ) .
б ) Если первое	число	на 5 меньше второго , а второе — на 5 меньше третьего , то первое число на 5 меньше третьего .
Среднее арифметическое двух четных чисел есть	число	четное .
а ) Число х в 2 раза больше , чем	число	у , тогда и только тогда , когда х = 2у . б ) Для того чтобы число а было кратно 3 , необходимо и достаточно , чтобы сумма цифр числа а была кратна 3 .
в ) Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то их произведение . г ) Если первое число делится на второе число , а второе	число	делится на третье , то .
в ) Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то их произведение . г ) Если первое число делится на второе	число	, а второе число делится на третье , то .
186 Найди	число	, 25 % которого составляют .
Вычисли по этой формуле : а ) 28 % от 45 кг ; б )	число	, 16 % которого составляют 80 .
Таким образом , координатой точки А является число ( -1 ) , координатой точки В — число ( -2,5 ) , а точки С –	число	.
в ) Если одно из двух чисел делится на некоторое число , то их произведение . г ) Если первое	число	делится на второе число , а второе число делится на третье , то .
557 а ) Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби , чтобы получить	число	, равное 0,5 ? .
Если	число	девочек увеличить на 100 % , а число мальчиков увеличить на 150 % , то девочек и мальчиков станет поровну .
б ) Некоторое	число	вычли из числителя , прибавили к знаменателю дроби и после сокращения получили .
Сколько построено кирпичных домов , если их	число	составляет 20 % от числа деревянных домов ?
в ) Если одно из двух чисел делится на некоторое	число	, то их произведение . г ) Если первое число делится на второе число , а второе число делится на третье , то .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое — не делится на это	число	, то их сумма .
Число однокомнатных квартир в 1,5 раза больше числа двухкомнатных , а	число	трехкомнатных составляет 75 % числа двухкомнатных .
Натуральные числа , противоположные к ним отрицательные числа и	число	0 образуют множество целых чисел .
112 Увеличь на 300 %	число	.
Во втором примере , перейдя к десятичным дробям , нам придется выполнять деление углом на двузначное	число	, что требует довольно громоздких вычислений .
Какой процент составляет	число	участков с кирпичными домами от числа всех выделенных участков ? .
Если число девочек увеличить на 100 % , а	число	мальчиков увеличить на 150 % , то девочек и мальчиков станет поровну .
Таким образом , координатой точки А является число ( -1 ) , координатой точки В —	число	( -2,5 ) , а точки С – число .
557 а ) Какое	число	нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби , чтобы получить число , равное 0,5 ? .
Итак , чтобы вычесть из данного числа другое	число	, можно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Термином “ рациональное	число	” мы будем далее часто пользоваться , иногда говоря для краткости просто “ число ” .
Термином “ рациональное число ” мы будем далее часто пользоваться , иногда говоря для краткости просто “	число	” .
Скажем , уровень жизни населения страны определяют средним доходом ее жителей , а для его вычисления складывают доходы всех жителей страны и делят на общее	число	жителей .
Началу отсчета — точке О — соответствует , как и раньше ,	число	0 .
Легко догадаться , что таким числом с в множестве рациональных чисел является	число	с = а + ( -b ) .
Положительные числа располагаются в положительном направлении от числа 0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а отрицательные числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля :	число	( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
Чему равно	число	? .
Положительные числа располагаются в положительном направлении от числа 0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а отрицательные числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля : число ( -1 ) на расстоянии 1 ,	число	( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а число .
Пусть S — ежемесячная квартплата , пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки , а n —	число	просроченных дней .
Положительные числа располагаются в положительном направлении от числа 0 ( положительное направление указывается стрелкой ) , а отрицательные числа — в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля : число ( -1 ) на расстоянии 1 , число ( -2,5 ) на расстоянии 2,5 , а	число	.
Чтобы найти , сколько процентов	число	b составляет от а ( а не равно 0 ) , надо сначала узнать , какую часть b составляет от а , а затем эту часть выразить в процентах .
Вспомним сначала , что разность двух чисел аи b — это такое	число	с , которое при сложении с b дает а .
208 Найди	число	, 20 % которого составляют .
Значит , чтобы узнать , сколько процентов первое	число	составляет от второго , надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100 .
Значит , чтобы узнать , сколько процентов первое число составляет от второго , надо первое	число	разделить на второе и результат умножить на 100 .
Таким образом , координатой точки А является	число	( -1 ) , координатой точки В — число ( -2,5 ) , а точки С – число .
Если одно из двух чисел делится на некоторое	число	, а другое — не делится на это число , то их сумма .
В результате общее	число	жителей в двух селах увеличилось на 10 человек .
Чему равно это	число	? .
а ) Если каждое из двух чисел делится на некоторое	число	, то их сумма .
Так , чтобы записать в троичной системе некоторое	число	— например , 145 , — надо выяснить , сколько в нем содержится троичных “ единиц ” , “ десятков ” , “ сотен ” , “ тысяч ” и т .
2 ) Существует ли квадрат , у которого длина стороны — натуральное	число	, а площадь равна 201201201201 ? .
Найди первое	число	.
Сумма двух взаимно простых чисел — число простое : например , числа 9 и 14 взаимно просты , и их сумма 9 + 14 = 23 —	число	простое .
Перевод натурального числа из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу , а именно : цифрами , представляющими	число	в троичной системе , будут остатки от последовательного деления этого числа на 3 , записанные в обратном порядке .
в ) Какой стала разница забитых и пропущенных мячей у этих команд , если каждая из них сыграла еще по одному матчу со счетом ( первое	число	равно числу мячей , забитых данной командой , а второе — число мячей , забитых ее соперниками ) .
Чтобы понять происхождение этого правила , достаточно разделить по этой же схеме какое - нибудь натуральное	число	в десятичной системе на основание этой системы — число 10 .
Чтобы понять происхождение этого правила , достаточно разделить по этой же схеме какое - нибудь натуральное число в десятичной системе на основание этой системы —	число	10 .
581 Запиши	число	10010 в двоичной , пятеричной , восьмеричной , двенадцатеричной системах счисления .
в ) Какой стала разница забитых и пропущенных мячей у этих команд , если каждая из них сыграла еще по одному матчу со счетом ( первое число равно числу мячей , забитых данной командой , а второе —	число	мячей , забитых ее соперниками ) .
Отношение первых трех чисел равно 1,2:4 : 0,8 , а четвертое	число	составляет 60 % второго .
При переводе из троичной системы в десятичную надо представить	число	в виде суммы разрядных слагаемых и найти значение полученного выражения .
Найти натуральное	число	, которое в 7 раз больше цифры его единиц .
Если сумма чисел делится на некоторое число , то и каждое слагаемое делится на это	число	.
Сумма двух взаимно простых чисел —	число	простое : например , числа 9 и 14 взаимно просты , и их сумма 9 + 14 = 23 — число простое .
Найти четырехзначное	число	, сумма цифр которого равна 2 , а произведение 0 .
Если при делении на 5 одно	число	дает в остатке 2 , а другое — 3 , то их сумма кратна 5 : например , числа 12 и 13 дают при делении на 5 остатки , соответственно , 2 и 3 , а их сумма 12 + 13 = 25 делится на 5 . 4 )
На координатной прямой точно так же , как и на координатном луче , можно показывать изменение величины числа : увеличение — с помощью перемещения на соответствующее	число	единиц вправо , а уменьшение — с помощью перемещения влево .
Итак , чтобы вычесть из данного числа другое число , можно к уменьшаемому прибавить	число	, противоположное вычитаемому .
2 ) Двузначное	число	при перестановке его цифр увеличилось на 18 .
Найти двузначное	число	, которое при перестановке его цифр уменьшается в 1,2 раза .
Через год в одном селе	число	жителей уменьшилось на 10 % , а в другом — увеличилось на 10 % .
113 Запиши возможно большее	число	с помощью трех двоек .
Как найти	число	по его части ?
от а . г ) 58 % от b . д )	число	, — которого равны 1,5
. е )	число	, 6 % которого составляют 4,2 .
Если же в группы объединять не 10 , а другое	число	единиц — например , 2 , 3 , 4 и т .
	Число	, — которого составляют х . з ) число , 140 % которого равны у .
Любое	число	отлично от своего квадрата .
236 Вычисли устно и продолжи ряд ответов на одно	число	, сохраняя закономерность .
число , — которого составляют х . з )	число	, 140 % которого равны у .
366 Найди часть , которую одно	число	составляет от другого , и вырази ее в процентах .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что рациональное	число	— это число вида р / q , где р — целое число , a q — натуральное число .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что рациональное число — это	число	вида р / q , где р — целое число , a q — натуральное число .
Вчера	число	учеников , присутствующих в классе , было в 8 раз больше числа отсутствующих .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что рациональное число — это число вида р / q , где р — целое	число	, a q — натуральное число .
Таким образом , теперь мы можем сказать , что рациональное число — это число вида р / q , где р — целое число , a q — натуральное	число	.
Число депутатов от первой партии на 20 % больше , чем от второй , а	число	депутатов от второй партии составляет 62,5 % числа депутатов третьей .
Если сумма чисел делится на некоторое	число	, то и каждое слагаемое делится на это число .
Найти трехзначное	число	, сумма цифр и произведение цифр которого равны 6 .
Поэтому , если клиент внес сумму S , то через n месяцев на его счете будет и мы вновь получаем , что . Мы получили в точности ту же самую формулу , что и в примере с квартплатой , хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл : в первом примере n —	число	дней , а во втором n — число месяцев , в первом примере S — величина квартплаты , а во втором S — сумма вклада , внесенная в банк .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в )	число	, противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
Вычесть из числа а число b — это значит найти такое	число	с , которое при сложении с b дает а .
телесериал “ Возвращение Мухтара ” смотрит меньшее	число	жителей города N . 5 ) телесериал “ Петербургские тайны ” смотрит большее число жителей города N ? .
телесериал “ Возвращение Мухтара ” смотрит меньшее число жителей города N . 5 ) телесериал “ Петербургские тайны ” смотрит большее	число	жителей города N ? .
Если число делится на 3 , то и сумма его цифр делится на 3 . д ) Если каждое слагаемое делится на некоторое	число	, то их сумма тоже делится на это число .
Ясно , что	число	d не является целым , так как 1 < d < 2 .
Действительно , если бы	число	d можно было записать в виде несократимой дроби , то ее квадрат — несократимая дробь — был бы равен Q целому числу 2 .
Число x на 50 % меньше , чем	число	у.
Вычесть из числа а	число	b — это значит найти такое число с , которое при сложении с b дает а .
Число а на 150 % больше , чем	число	b.
447 Какое число получится , если	число	п : а ) уменьшить на 18 % ; б ) уменьшить на 45 % ; в ) увеличить на 36 % ; г ) увеличить на 100 % ; д ) уменьшить на 75 % ; с ) увеличить на 150 % ; ж ) увеличить на 400 % ; з ) уменьшить на 40 % ? .
447 Какое	число	получится , если число п : а ) уменьшить на 18 % ; б ) уменьшить на 45 % ; в ) увеличить на 36 % ; г ) увеличить на 100 % ; д ) уменьшить на 75 % ; с ) увеличить на 150 % ; ж ) увеличить на 400 % ; з ) уменьшить на 40 % ? .
589 Вычисли устно и найди следующее	число	в ряду ответов при условии сохранения закономерности . .
250 При посадке фруктовых садов в центральных районах России рекомендуется , чтобы	число	яблонь , груш и косточковых деревьев относилось как 10 : 3 : 7 .
662 Запиши высказывания на математическом языке и определи , истинны они или ложны : а ) модули противоположных чисел равны ; б )	число	, противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям ; в ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым .
Если число делится на 3 , то и сумма его цифр делится на 3 . д ) Если каждое слагаемое делится на некоторое число , то их сумма тоже делится на это	число	.
Число учащихся 6 “ А ” относится к числу учащихся 6 “ Б ” как 4 : 5 , а	число	учащихся 6 “ В ” равно среднему арифметическому числа учащихся 6 “ А ” и 6 “ Б ” .
448 Как изменится	число	, если его : а ) сначала уменьшить на 50 % , а потом увеличить на 80 % ; б ) сначала увеличить на 10 % , а потом увеличить на 40 % ; в ) сначала уменьшить на 25 % , а потом уменьшить на 60 % ? .
Поэтому , если клиент внес сумму S , то через n месяцев на его счете будет и мы вновь получаем , что . Мы получили в точности ту же самую формулу , что и в примере с квартплатой , хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл : в первом примере n — число дней , а во втором n —	число	месяцев , в первом примере S — величина квартплаты , а во втором S — сумма вклада , внесенная в банк .
Еще мы знаем , что любое рациональное	число	может быть изображено точкой числовой прямой .
Таким образом , при умножении суммы на	число	можно применять те же самые правила раскрытия скобок .
Для ложных утверждений приведи контрпример , а верные — докажи правильно . 1 ) Сумма двух простых чисел — простое	число	: например , 2 — простое , 3 — простое , и их сумма 2 + 3 = 5- тоже простое .
а ) Если первое число меньше второго , а второе — меньше третьего , то первое	число	меньше третьего .
Зато длинные отношения можно преобразовывать , как обычные дроби : умножать все его члены на одно и то же	число	, сокращать .
Таким образом , чтобы выразить	число	в процентах , надо его умножить на 100 .
а ) Если первое	число	меньше второго , а второе — меньше третьего , то первое число меньше третьего .
237 Раздели	число	: а ) 60 в отношении 5 : 7 ; б ) 15,4 в отношении 3 : 8 .
253 Вычисли и определи , какую часть полученное	число	составляет от 4 .
б ) Какое наименьшее	число	вершин , ребер и граней может быть у многогранника ? .
Раздели	число	360 в отношении 2 : 2,5 : 4,5 . б ) Площади трех участков земли находятся в отношении , а сумма их площадей равна 90 га .
239 Раздели	число	.
Найти задуманное	число	.
а ) Число х в 2 раза больше , чем число у , тогда и только тогда , когда х = 2у . б ) Для того чтобы	число	а было кратно 3 , необходимо и достаточно , чтобы сумма цифр числа а была кратна 3 .
Задуманное положительное	число	сначала увеличили на 0,3 , потом его же уменьшили на 0,2 , полученные результаты перемножили и получили 0,36 .
В результате получилось	число	в 1,5 раза больше задуманного .
2 ) Задумали	число	, увеличили его в 3 раза , а затем уменьшили на 18 .
Задумали	число	, увеличили его в 4 раза , потом увеличили на 12 , результат уменьшили в 5 раз , затем вычли 6 и получили 2 .
Поскольку в результате всех преобразований мы получали равносильные уравнения , то	число	2,5 является корнем исходного уравнения .
Это касается и математических объектов : натуральное	число	может быть четным или нечетным , простым или составным , может делиться на 3 и одновременно делиться на 5 ; дробь может быть или не быть правильной , уравнение может иметь корни или не иметь корней , высказывание может быть или не быть истинным и т .
Произведение трех последовательных натуральных чисел кратно 6 : например , при перемножении чисел 8 , 9 и 10 получается	число	720 , кратное 6 .
Найди три числа , если известно , что первое	число	относится ко второму как 3 : 8 , второе к третьему — как 2 : 5 , а сумма первого и третьего равна 4,6 .
д. Число граней и	число	вершин л - угольной пирамиды всегда равно n + 1 , а число ребер равно 2 n .
	Число	мальчиков и девочек в классе при постоянном общем количестве учеников .
Если натуральное	число	делится на 3 , то оно делится на 9 , или n делится на 3 n делится на 9 .
294 Раздели	число	.
Чтобы найти	число	по его части b , выраженной дробью ( Р ∙ 0 ) .
Значит ,	число	6 — единственный натуральный корень этого уравнения .
Правила знаков сохраняются и для случая , когда в скобках не одно	число	, а алгебраическая сумма чисел , например .
Таким образом , чтобы найти	число	по его части , составляющей р % этого числа , надо эту часть разделить на .
Ведь	число	10 делится на 5 , но не оканчивается на 5 .
Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях , когда некоторая величина увеличивается на постоянное	число	процентов за каждый одинаковый фиксированный период времени .
Как только у нас появился термин “ отрицательное	число	” , то , по законам развития языка , мы должны дать новое название и для “ старых ” , уже известных там чисел : неудобно говорить , что ( -3 ) — это отрицательное число , а 3 – это “ просто ” число .
682 Найди	число	, 3,6 % которого равны .
244 Увеличь	число	на 40 % .
Как только у нас появился термин “ отрицательное число ” , то , по законам развития языка , мы должны дать новое название и для “ старых ” , уже известных там чисел : неудобно говорить , что ( -3 ) — это отрицательное	число	, а 3 – это “ просто ” число .
Частное двух рациональных чисел —	число	рациональное .
Как только у нас появился термин “ отрицательное число ” , то , по законам развития языка , мы должны дать новое название и для “ старых ” , уже известных там чисел : неудобно говорить , что ( -3 ) — это отрицательное число , а 3 – это “ просто ”	число	.
А	число	0 не является ни положительным , ни отрицательным .
286 Пусть длина шага пешехода равна l , а	число	сделанных им шагов — n . 1 )
255 Раздели	число	а на три части а1 , а и а3 , если .
Аналогичная формула получится , если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное	число	процентов .
а ) Если первое	число	больше второго , а второе — больше третьего , то первое число больше третьего .
Эти задачи решаются так же , как и соответствующие задачи на дроби , но перед их решением	число	р% выражается дробью .
321 Уменьши на 20 %	число	.
320 Найди	число	, 20 % которого составляют .
Поэтому для того , чтобы умножить	число	, например , на 0,125 , можно разделить его на 8 .
480 Вставь пропущенное	число	.
Если	число	кратно 2 и 3 , то оно кратно 6 .
д. Число граней и число вершин л - угольной пирамиды всегда равно n + 1 , а	число	ребер равно 2 n .
Итак , чтобы найти р% от числа , надо это	число	умножить на дробь .
в ) 56 в отношении 2 : 3 : 9 . г ) 12,5 в отношении . а ) 240 в отношении 4 : 11 . б ) 7,2 в отношении 0,8 : 1 . 275 Раздели	число	.
а ) Если первое число больше второго , а второе — больше третьего , то первое	число	больше третьего .
279 Раздели	число	а на три части а1 , а2 и а3 , если .
Число учащихся первой школы на 10 % меньше , чем второй , а	число	учащихся второй школы составляет 80 % от числа учащихся третьей школы .
В левой части уравнения числа ( -1,2 ) и ( -х ) — это слагаемые , а в правой части	число	( -0,9 ) — это сумма .
282 Раздели	число	21 на части пропорционально числам А и В .
Если	число	кратно 2 и 5 , то оно кратно 25 .
274 Реши примеры : а ) с помощью понятий доходов и расходов ; б ) пользуясь	числовой прямой	.
Любая ли точка	числовой прямой	является рациональным числом ? .
Еще мы знаем , что любое рациональное число может быть изображено точкой	числовой прямой	.
Изобрази на	числовой прямой	два произвольных числа и их среднее арифметическое .
Для этого прежде всего надо точно указать , в каком	числовом множестве	ищутся корни , или , как говорят , указать множество значений переменной .
Например , все элементы множества N натуральных чисел являются целыми числами , и ни одно из них не является отрицательным	числом	.
565 Является ли рациональным	числом	: а ) длина диагонали квадрата со стороной , равной 2 ; б ) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 ? .
Величина может быть измерена , а результат измерения выражается	числом	.
Никакое решение неравенства 2 < x < 3 не является натуральным	числом	.
В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100 % ( “ целое ” ) , а ее часть b выражается	числом	р% .
Любая ли точка числовой прямой является рациональным	числом	? .
Масштаб изображения всегда выражается	числом	, меньшим 1 . 4 ) Произведение крайних членов пропорции всегда равно произведению их средних членов .
Чтобы выразить проценты	числом	, нужно количество процентов разделить на 100 .
Сумма числа 219 и любого числа , которое при делении на 14 дает остаток 3 , является четным	числом	.
После замены букв числами выражение становится числовым , а его значение —	числом	.
Аналогично рассуждая , нетрудно получить и правила сложения рациональных чисел с	числом	0 , обобщающие соответствующие правила сложения для положительных чисел .
Сумма двух нечетных чисел является четным	числом	.
Многоугольник с большим	числом	сторон в качестве сечения получиться не может , так как граней у тетраэдра всего четыре .
Для тех случаев , когда нужное количество не выражалось натуральным	числом	, люди придумали дроби — делили целое на несколько равных частей , и тогда ответ на вопрос “ Сколько ? ” мог быть дан в виде некоторого числа таких 37 частей — урожая , — пути , 8,5 лет .
Например , положение точки А определяется	числом	( -4 ) , а положение точки В — упорядоченной парой чисел ( 5 ; 2 ) .
в ) Разность двух целых чисел является целым	числом	.
Действительно , при сложении его с	числом	b последние два слагаемых взаимно уничтожатся и останется как раз а .
Легко догадаться , что таким	числом	с в множестве рациональных чисел является число с = а + ( -b ) .
Сумма двух четных чисел может быть	числом	нечетным .
Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между	числом	вершин ( В ) , числом ребер ( Р ) и числом граней ( Г ) выпуклого многогранника .
Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ( В ) ,	числом	ребер ( Р ) и числом граней ( Г ) выпуклого многогранника .
6 ) Частное двух дробей может быть натуральным	числом	.
Точно так же выражение с переменными — “ бланк с прочерками ” — после замены всех букв числами становится	числом	.
На основании переместительного и сочетательного свойств сложения во внутренних скобках числителя сумму 2,375 + 0,625 можно заменить	числом	3 .
Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ( В ) , числом ребер ( Р ) и	числом	граней ( Г ) выпуклого многогранника .
Но несколько тысячелетий прошло прежде , чем удалось доказать , что некоторые правильные многоугольники — например , с	числом	сторон 7 , 9 , 11 , 13 — в принципе нельзя построить с помощью циркуля и линейки .
Зависимости между временем движения и пройденным расстоянием , стоимостью покупки и длиной тесьмы , временем распечатки и	числом	напечатанных страниц являются прямо пропорциональными и задаются формулами : s = 2 t , С = 2n , А = 2 t.
Сумма двух натуральных чисел является натуральным	числом	.
519 Каким	числом	— положительным , отрицательным или нулем — является произведение .
Разница забитых и пропущенных мячей . б ) Вырази	числом	разницу забитых и пропущенных мячей у команд .
Если сумма двух чисел является натуральным	числом	, то эти числа — натуральные .
Знаменатель неправильной дроби всегда является простым	числом	.
Аналогично коэффициентом выражения , например , ( - ху2 г ) считают число -1 , а коэффициент выражения равен	числу	1 .
Чему равно отношение числа двухкомнатных квартир к	числу	всех квартир ? .
Заметив схожесть первой и третьей строк , можно сказать и так : если число а больше или равно 0 , то его модуль равен самому	числу	а ; если же число а меньше 0 , то его модуль равен ( -а ) .
На основании правил прибавления суммы к	числу	и вычитания суммы из числа имеем .
Разность чисел a и b равна	числу	с .
Чему равно отношение числа белых шаров к	числу	всех шаров ? .
Зрители телесериала ( в процентах к общему	числу	зрителей ) .
Чему равно отношение числа красных шаров к	числу	всех шаров ? .
22 Докажи , что для любого натурального числа n среднее арифметическое его предыдущего и последующего чисел равно этому	числу	.
По	числу	граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или шестигранник ) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
а ) правило прибавления суммы к	числу	.
Запиши числа , противоположное и обратное : а )	числу	х ; б ) кубу числа у ; в ) сумме чисел а и b ; г ) разности чисел m и n .
в ) если число кратно 4 и 25 , то оно кратно 100 . г ) если число неотрицательно , то модуль числа равен самому	числу	.
Число , которое больше задуманного на 3 , относится к утроенному задуманному	числу	как 11 : 15 .
Например , отношение числа 8 к	числу	3 равно — и показывает , что 8 больше , чем в 2 раза .
Следовательно , значение данного выражения равно	числу	( -30000 ) .
А отношение числа 3 к	числу	8 равно и выражает часть , которую составляет от 8 .
Если число а кратно	числу	b , то НОД ( а , b ) = ..
1 ) К	числу	прибавили 2 — и получили 5 .
Действительно , если бы число d можно было записать в виде несократимой дроби , то ее квадрат — несократимая дробь — был бы равен Q целому	числу	2 .
Число учащихся 6 “ А ” относится к	числу	учащихся 6 “ Б ” как 4 : 5 , а число учащихся 6 “ В ” равно среднему арифметическому числа учащихся 6 “ А ” и 6 “ Б ” .
206 Докажи , что если к трехзначному	числу	приписать справа ( или слева ) то же самое число , то полученное шестизначное число будет кратно 11 .
Так , число ( -3 ) противоположно	числу	3 , а само число 3 противоположно числу ( -3 ) .
5 ) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому	числу	прибавить сумму второго и третьего .
Число , противоположное	числу	-2,5 , равно .
8) Куб натурального числа может быть равен самому	числу	.
Число , противоположное	числу	+4 , равно .
385 В классе число мальчиков относится к	числу	девочек как 8 : 5 .
Так , число ( -3 ) противоположно числу 3 , а само число 3 противоположно	числу	( -3 ) .
Среднее арифметическое трех последовательных натуральных чисел равно второму	числу	.
Сумма любого числа с нулем равна самому	числу	.
А запись -(-5 ) означает “ число , противоположное	числу	минус 5 ” , то есть само число 5 .
в ) Какой стала разница забитых и пропущенных мячей у этих команд , если каждая из них сыграла еще по одному матчу со счетом ( первое число равно	числу	мячей , забитых данной командой , а второе — число мячей , забитых ее соперниками ) .
53 Пусть А ( n ) — множество натуральных решений неравенства кратных	числу	п. Запиши множества А ( 2 ) , А ( 3 ) , А ( 5 ) , А ( 9 ) , А ( 10 ) .
277 Число девочек в классе относится к	числу	мальчиков как 2 : 3 . 1 )
Модуль отрицательного числа равен	числу	, противоположному данному .
Поэтому запись ( -5 ) можно прочитать двумя способами : “ минус 5 ” и “ число , противоположное	числу	5 ” .
105 Найди неизвестный	член	пропорции .
193 Найди неизвестный	член	пропорции .
505 Найди неизвестный	член	пропорции .
66 Найди неизвестный	член	пропорции ( устно ) .
308 Найди неизвестный	член	пропорции .
502 Найди неизвестный	член	пропорции и расположи полученные числа в порядке возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
620 Найди закономерность и запиши n - й	член	последовательности чисел .
Чтобы найти средний член пропорции , надо произведение ее крайних членов разделить на второй средний	член	.
Например , пропорция не нарушится , если к каждому крайнему ее члену прибавить “ соседний ” средний	член	.
721 Найди неизвестный	член	пропорции .
Чтобы найти средний	член	пропорции , надо произведение ее крайних членов разделить на второй средний член .
На основании перекрестного правила можно записать и тогда любой	член	пропорции легко вычисляется , исходя из перекрестного правила и правила нахождения неизвестного множителя .
Чтобы найти крайний член пропорции , надо произведение ее средних членов разделить на второй крайний	член	.
458 Найди неизвестный	член	пропорции .
Чтобы найти крайний	член	пропорции , надо произведение ее средних членов разделить на второй крайний член .
297 Найди неизвестный	член	пропорции .
126 Найди неизвестный	член	пропорции .
Эти названия связаны с тем , что при записи пропорции в строчку два	члена	располагаются “ по краям ” , а два — “ посередине ” , причем это как раз те члены , которые в записи пропорции с помощью дробей расположены “ перекрестно ” .
7 Запиши следующие два	члена	ряда так , чтобы сохранялась закономерность .
слагаемые 4 и -6 не имеют буквенной части ( их называют свободными	членами	) .
Запиши другие пропорции ,	членами	которых являются те же числа а , b , с и d .
128 Сделай все возможные перестановки	членов	пропорции , не нарушающие пропорцию . .
7 Имеет ли значение порядок	членов	отношения ?
Масштаб изображения всегда выражается числом , меньшим 1 . 4 ) Произведение крайних	членов	пропорции всегда равно произведению их средних членов .
114 Сделай все возможные перестановки	членов	пропорции , не нарушающие ее .
97 Составь из равенства пропорцию и сделай все перестановки ее	членов	, не нарушающие эту пропорцию .
98 Составь пропорцию из данных чисел и сделай все перестановки ее	членов	, не нарушающие эту пропорцию .
Равенство , где a , b , с , d ≠ 0 , является b d пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних	членов	а и d равно произведению средних членов b и с .
Равенство , где a , b , с , d ≠ 0 , является b d пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно произведению средних	членов	b и с .
А правила нахождения неизвестных	членов	пропорции формулируются следующим образом .
Простейшие преобразования пропорций связаны с перестановкой ее	членов	.
96 Сделай все возможные перестановки	членов	пропорции , не нарушающие ее .
В предыдущем пункте мы назвали основным свойством пропорций следующее утверждение : равенство , где a , b , c , d≠0 , является пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних членов а и d равно произведению средних	членов	b и с .
В предыдущем пункте мы назвали основным свойством пропорций следующее утверждение : равенство , где a , b , c , d≠0 , является пропорцией тогда и только тогда , когда произведение крайних	членов	а и d равно произведению средних членов b и с .
Чтобы найти средний член пропорции , надо произведение ее крайних	членов	разделить на второй средний член .
Масштаб изображения всегда выражается числом , меньшим 1 . 4 ) Произведение крайних членов пропорции всегда равно произведению их средних	членов	.
Чтобы найти крайний член пропорции , надо произведение ее средних	членов	разделить на второй крайний член .
Например , пропорция не нарушится , если к каждому крайнему ее	члену	прибавить “ соседний ” средний член .
Поменяем в пропорции местами средние	члены	и обозначим коэффициент пропорциональности к.
Зато длинные отношения можно преобразовывать , как обычные дроби : умножать все его	члены	на одно и то же число , сокращать .
Так , если бы в нашей задаче мы сначала умножили все	члены	отношения на 10 , а затем разделили их на 4 , то избавились бы от дробей и тем самым получили более простое уравнение .
Вообще , из данной пропорции можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние члены ; 2 ) поменять местами средние	члены	; 3 ) составить пропорцию из отношений , обратных данным ; 4 ) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами правую и левую части .
60 Прочитай пропорцию разными способами , назови ее крайние и средние	члены	.
289 Найди неизвестные	члены	пропорции .
Эти названия связаны с тем , что при записи пропорции в строчку два члена располагаются “ по краям ” , а два — “ посередине ” , причем это как раз те	члены	, которые в записи пропорции с помощью дробей расположены “ перекрестно ” .
А значит , пропорция не нарушится , если в ней поменять местами одновременно и крайние , и средние	члены	: в этом случае получится пропорция , составленная из обратных отношений .
крайние	члены	.
Точно так же в пропорции можно поменять местами ее средние	члены	.
Поменяв в полученной пропорции местами крайние	члены	, а затем левую и правую части равенства , получим новую пропорцию .
средние	члены	.
Соберем слагаемые , содержащие х , в левую часть , а свободные	члены	— в правую , затем упростим полученные выражения и найдем х .
Если да , то назови крайние и средние	члены	пропорции .
При переводе решения задач с математического языка на русский часто используются ставшие традиционными термины “ крайние ” и “ средние ”	члены	пропорции .
Ясно , что равенство не нарушится , если , например , в нем поменять местами множители a и d. Следовательно , в пропорции можно поменять местами ее крайние	члены	, то есть .
Вообще , из данной пропорции можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями : 1 ) поменять местами крайние	члены	; 2 ) поменять местами средние члены ; 3 ) составить пропорцию из отношений , обратных данным ; 4 ) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами правую и левую части .
105 ( Устно . ) Найди неизвестные	члены	пропорций .
В частности , отношение не изменится , если его	члены	умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Найди сотые	члены	последовательностей этих чисел .
Переставив в этой пропорции крайние	члены	, получим пропорцию .
Если какая - нибудь плоскость пересекает	шар	, то пересечением является либо точка , либо круг .
Вращая стержень между ладонями , понаблюдай , как образуются цилиндр , конус ,	шар	.
635 Сколько плоскостей симметрии имеют : а ) прямоугольный параллелепипед ; б ) куб ; в ) конус ; г ) цилиндр ; в )	шар	? .
477 а ) Какие из геометрических тел — конус , прямоугольный параллелепипед , цилиндр ,	шар	, пирамида , куб — являются многогранниками ? .
Еще одной фигурой вращения является	шар	.
Мы уже встречались с такими пространственными фигурами , как прямоугольный параллелепипед , куб , пирамида , цилиндр ,	шар	, конус .
Поверхность	шара	имеет специальное название — сфера .
Проиллюстрируй с помощью предметной модели	шара	.
У	шара	и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и диаметр .
Планеты имеют форму	шара	.
площадь сферы S также пропорциональна квадрату радиуса ( S = 4πr2 ) » а объем	шара	V — кубу радиуса ( V = πr3 ) .
Форму , близкую к форме	шара	, имеют арбуз , мяч , планеты , и в частности , Земля .
Круг , проходящий через центр шара , называется большим кругом — его радиус равен радиусу	шара	.
450 Найди в окружающей обстановке предметы , имеющие форму куба , прямоугольного параллелепипеда ,	шара	, пирамиды , цилиндра , конуса .
550 Во сколько раз площадь поверхности	шара	радиуса г больше площади круга того же радиуса ? .
Круг , проходящий через центр	шара	, называется большим кругом — его радиус равен радиусу шара .
Можно ли провести на	шаре	две большие окружности так , чтобы они не пересекались ?
49 Из текста учебника выпиши формулы , выражающие зависимости между величинами в круге и в	шаре	.
Чему равно отношение числа белых	шаров	к числу всех шаров ? .
Чему равно отношение числа белых шаров к числу всех	шаров	? .
3 ) Сколько процентов всех	шаров	составляют красные , а сколько — белые шары ? .
В одной коробке на 5 шаров больше , чем в другой , а произведение числа	шаров	в обеих коробках равно 24 .
Сколько	шаров	в каждой коробке ? .
В одной коробке на 5	шаров	больше , чем в другой , а произведение числа шаров в обеих коробках равно 24 .
Чему равно отношение числа красных	шаров	к числу всех шаров ? .
Чему равно отношение числа красных шаров к числу всех	шаров	? .
246 Для праздника купили красные и белые	шары	в отношении 5 : 3 . 1 )
3 ) Сколько процентов всех шаров составляют красные , а сколько — белые	шары	? .
По числу граней их называют тетраэдр ( четырехгранник ) , куб ( гексаэдр , или	шестигранник	) , октаэдр ( восьмигранник ) , додекаэдр ( двенадцатигранник ) и икосаэдр ( двадцатигранник ) .
Соединив последовательно все точки деления , получим правильный	шестиугольник	.
688 Построй : а ) правильный	шестиугольник	со стороной 3 см ; б ) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см ; в ) квадрат с диагональю 7 см ; г ) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии , центр симметрии ?
Так , например , вершины снежинки всегда образуют правильный	шестиугольник	, а хорошо знакомый нам куб природа реализовала в форме кристаллов поваренной соли .
Указанным образом легче всего построить правильный	шестиугольник	: он состоит из шести правильных треугольников , и поэтому длина его стороны равна радиусу описанной окружности .
687 а ) Вычисли периметр правильного	шестиугольника	со стороной 4,5 см . б )
относительно вершины А . 646 Точка О — центр симметрии	шестиугольника	ABCDKM .
Изображен паркет из правильных треугольников , переходящий в паркет из правильных	шестиугольников	.
709 Составь паркет из правильных треугольников и	шестиугольников	.
692 Можно ли составить паркет : а ) из правильных треугольников и квадратов ; б ) из правильных пятиугольников ; в ) из правильных треугольников и	шестиугольников	; г ) из правильных восьмиугольников ?
Длина комнаты прямоугольной формы с метров , а	ширина	составляет 70 % длины .
Мы уже узнали многое из того , что открыли математики древности , в частности , формулу площади прямоугольника : S = ab , где буквой S обозначена площадь прямоугольника , а буквами а и b — его длина и	ширина	.
за метр . 6 ) цена тетрадей и их количество , которые можно купить на 24 р . 7 ) длина и	ширина	прямоугольника , площадь которого равна 60 м2 . 8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация .
- длина и	ширина	прямоугольника при постоянной площади и т .
172 Длина прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 дм ,	ширина	составляет 0,5 длины и 0,9 высоты параллелепипеда .
Объем прямоугольного параллелепипеда V см3 , длина — d см , а	ширина	составляет 30 % длины .
Чему равны площадь и периметр прямоугольника , если : а ) длина больше ширины в 1,6 раза ; б )	ширина	составляет — длины ; в ) длина на 30 % больше ширины ; г ) ширина на 20 % меньше длины ? .
Какую часть длины прямоугольника составляет его	ширина	?
253 а ) Высота прямоугольного параллелепипеда равна 5 см ,	ширина	составляет 28 % длины , а сумма площадей его боковых граней 192 см2 .
Чему равны площадь и периметр прямоугольника , если : а ) длина больше ширины в 1,6 раза ; б ) ширина составляет — длины ; в ) длина на 30 % больше ширины ; г )	ширина	на 20 % меньше длины ? .
56 Длина комнаты 4,2 м ,	ширина	— 3,6 м , а высота — 3,5 м . 1 ) Найди объем этой комнаты .
После исполнения 5 желаний он имел площадь 12 см2 , а после двух желаний его	ширина	была 9 см. Какой была его длина после исполнения первого желания ? . .
Длина прямоугольника равна 7,2 дм , а его	ширина	составляет 25 % длины .
б ) Длина прямоугольника на 3,6 см больше ширины , а	ширина	составляет у его периметра .
Найди периметр и площадь прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 )	ширина	на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
545 Объем прямоугольного параллелепипеда равен 240 см3 ,	ширина	— 5 см , а высота — на 20 % больше ширины .
Длина прямоугольного параллелепипеда на 40 % больше ширины , а	ширина	в 5 раз меньше высоты .
2 )	ширина	составляет — длины .
Найди периметр и площадь прямоугольника , если : 1 )	ширина	составляет — длины ; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
4 )	ширина	на 10 % меньше длины ? .
Длина прямоугольника а см , а	ширина	составляет 80 % длины .
187 Длина первого прямоугольника на 20 % больше длины второго , а	ширина	— на 40 % меньше ширины второго .
Чему равна	ширина	прямоугольника той же площади , длина которого равна 6 см ? .
Чему равна его длина , если	ширина	равна 1,5 см ?
Длина прямоугольника b дм , а	ширина	— с дм .
Длина прямоугольника b дм , а	ширина	на 20 % меньше .
Сколько рулонов обоев для этого надо купить , если в каждом рулоне 15 м при	ширине	0,8 м , размеры окна 2 м на 1,5 м , размеры двери 1,2 на 2,5 м , а на отходы надо предусмотреть 10 % расхода обоев ? .
228 Длина прямоугольника 18,4 см , а площадь — 276 см. На сколько надо увеличить длину , чтобы при той же	ширине	площадь увеличилась до 300 см2 ? .
Эта формула описывает соотношение между тремя величинами — длиной ,	шириной	и площадью прямоугольника .
На одной из больших сторон прямоугольника посередине отметь ворота	шириной	4 м .
Поэтому говорят , что прямоугольный параллелепипед имеет три измерения — длину ,	ширину	и высоту .
Длину уменьшили на 20 % , а	ширину	уменьшили на 40 % .
Длину прямоугольника увеличили на 60 % , а	ширину	уменьшили на 60 % .
55 Измерь длину и	ширину	своей комнаты в метрах с точностью до десятых .
При проведении землеустройства длину поля увеличили на 5 % , а	ширину	— на треть .
На плане комнаты ее длина изображена отрезком , равным 4 см. Чему равна длина отрезка , изображающего на этом плане	ширину	комнаты ? .
Длину увеличили на 10 % , а	ширину	уменьшили на 20 % .
Длину увеличили на 60 % , а	ширину	уменьшили на 40 % .
Найти	ширину	прямоугольника .
Длину уменьшили на 40 % , а	ширину	увеличили на 40 % .
Длину прямоугольника уменьшили на 20 % , а	ширину	увеличили на 20 % .
Достаточно лишь измерить и перемножить его длину и	ширину	.
Длину прямоугольника увеличили на 20 % , а	ширину	— на 25 % .
Ширина прямоугольного параллелепипеда n м , длина в 1,5 раза больше	ширины	, а высота составляет 24 % суммы длины и ширины .
Площадь прямоугольника равна произведению его длины и	ширины	.
Найди периметр и площадь прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 ) длина больше ширины в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше	ширины	.
Найди периметр и площадь прямоугольника , если : 1 ) ширина составляет — длины ; 2 ) длина больше	ширины	в 1,4 раза ; 3 ) ширина на 20 % меньше длины ; 4 ) длина на 80 % больше ширины .
Длина прямоугольного параллелепипеда на 40 % больше	ширины	, а ширина в 5 раз меньше высоты .
Ширина прямоугольного параллелепипеда n м , длина в 1,5 раза больше ширины , а высота составляет 24 % суммы длины и	ширины	.
За какое время могла бы выложить стену такой же	ширины	и высотой 8 м бригада из 2 человек , работающих с такой же производительностью ? .
Сколько шерсти потребуется , чтобы связать шарф такой же	ширины	длиной 180 см ? .
415 Прямоугольный кусок волшебной кожи ( « шагреневая кожа » ) исполняет любые желания своего владельца , но после каждого исполнения желания он уменьшается на половину своей длины и на одну треть	ширины	.
Длина прямоугольника на 16 см больше	ширины
б ) Длина прямоугольника на 3,6 см больше	ширины	, а ширина составляет у его периметра .
452 Длина прямоугольника на 3 см больше	ширины	.
1 ) длина больше	ширины	в 1,3 раза .
длина на 60 % больше	ширины	.
3 ) Длина прямоугольника в 3 раза больше	ширины	.
770 Длина прямоугольника в 4 раза больше	ширины	.
545 Объем прямоугольного параллелепипеда равен 240 см3 , ширина — 5 см , а высота — на 20 % больше	ширины	.
Чему равны площадь и периметр прямоугольника , если : а ) длина больше ширины в 1,6 раза ; б ) ширина составляет — длины ; в ) длина на 30 % больше	ширины	; г ) ширина на 20 % меньше длины ? .
2 ) Длина прямоугольника в 1,5 раза больше	ширины	.
Чему равны площадь и периметр прямоугольника , если : а ) длина больше	ширины	в 1,6 раза ; б ) ширина составляет — длины ; в ) длина на 30 % больше ширины ; г ) ширина на 20 % меньше длины ? .
256 Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет 60 % длины , высота на 20 % больше	ширины	, а сумма трех его измерений равна 5,8 дм .
589 Длина прямоугольника на 1,2 см больше	ширины	.
187 Длина первого прямоугольника на 20 % больше длины второго , а ширина — на 40 % меньше	ширины	второго .
Когда параллели приближаются к полюсам , их радиусы уменьшаются , а самый большой радиус — у	экватора	Земли , он равен примерно 6378 км .
Сечения поверхности Земли плоскостями , параллельными	экватору	, — это известные всем параллели .
Как мы уже знаем , отрицание общего высказывания означает , что “ Не все обладают свойством P(x ) ” , то есть существует хотя бы один	элемент множества	М , который указанным свойством не обладает .
9 Запиши в порядке возрастания	элементов множество	натуральных чисел , составленных из двух пятерок и пяти нулей .
На диаграмме Эйлера - Венна точками обозначены	элементы множеств	А , В , С и D , являющиеся трехзначными числами .
409 Перерисуй в тетрадь диаграмму Эйлера - Венна множеств и отметь на ней	элементы множества	.
Построй диаграмму Эйлера - Венна множеств А , В , С и D и отметь по ней	элементы множества	А .
8 Назови	элементы множества	.
563 Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна множеств N , Z , Q и отметь на ней	элементы множества	А .
Построй диаграмму множеств А , В , С и D и отметь на ней	элементы множества	А .
Например , все	элементы множества	N натуральных чисел являются целыми числами , и ни одно из них не является отрицательным числом .
316 Назови	элементы множества	А которые являются натуральными числами , целыми числами , рациональными числами .
Однако при исследовании свойств геометрических тел мы сразу же сталкиваемся с проблемой их изображения , поскольку зрительный образ пространственной фигуры не всегда совпадает с ее реальной формой : окружность превращается в	эллипс	— « сплющенную » окружность , изменяются углы между прямыми и отрезками и т .