Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Аналитический	центр провёл опрос , чтобы выяснить , насколько популярно среди жителей страны это увлечение .
	Аналитический	центр провёл опрос 1500 россиян .
Первый город , Второй город , Третий город ,	Вариант	путешествия .
	Величина	, от которой вычисляются проценты ( например , количество телевизоров , выпускаемых заводом за год , доход семьи , численность населения и так далее . ) , составляет 100 своих сотых долей , то есть 100 % .
	Величину	дохода в этом случае мы нашли вычитанием .
	Величину	расхода мы определили сложением .
	Величину	убытка мы также нашли вычитанием .
	Вес	ребёнка при рождении составляет 100 % , то есть 3 кг — это 100 % .
	Вес	ребёнка к концу года увеличился на 200 % .
64	Выражение	отношения в процентах .
	Выражение	, где n — натуральное число , большее 1 , означает произведение .
	Выражение	, содержащее буквы ( одну или несколько ) , называют буквенным выражением .
Глава 8	Выражения	, формулы , уравнения .
Основание , Высота , Основание ,	Высота	, Основание .
	Высота	Шуховской телебашни в Москве составляет высоты Останкинской телебашни .
Основание ,	Высота	, Основание , Высота , Основание .
94	Вычитание	целых чисел .
	Вычитание	рациональных чисел , как и целых , сводится к сложению .
	Вычитать	десятичные дроби можно также в столбик .
	Градус	разделили на 60 равных частей — минут : в градусе 60 минут , так что 1 минута это часть градуса .
а )	Группа	туристов идёт от лагеря к станции , расстояние между которыми 3,5 км , со скоростью 4,7 км / ч .
	Данные	равенства выражают некоторые свойства действий над числами .
44	Деление	десятичных дробей .
45	Деление	десятичных дробей ( продолжение ) .
	Деление	десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
	Деление	десятичной дроби на 10 , 100 и так далее , также сводится к переносу запятой , но только влево .
62	Деление	в данном отношении .
	Деление	в данном отношении .
	Деление	на десятичную дробь легко свести к делению на натуральное число .
	Дерево	возможных вариантов .
	Десятичная	дробь .
	Десятичная	дробь представлена в виде суммы разрядных слагаемых .
31	Десятичная	запись дробей .
	Десятичные	дроби появились в математике гораздо раньше , чем современные единицы измерения — метры и граммы .
	Десятичные	дроби , так же как и обыкновенные , изображают точками на координатной прямой .
	Десятичные	и обыкновенные дроби — это две различные формы представления чисел .
Глава 3	Десятичные	дроби .
	Десятичные	дроби , как и натуральные числа , сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными дробями .
	Десятичные	соотношения между различными метрическими единицами отражены в их названиях .
32	Десятичные	дроби и метрическая система мер .
Расстояние , м ;	Диагональ	телевизора , см .
	Диаметр	мяча 65 мм .
	Диаметр	круга будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через центр шара .
	Диаметр	теннисного мяча колеблется от 65 до 69 мм .
На плане это точка М.	Длина	отрезка ОМ и есть расстояние от дома лесника до водоёма .
	Длина	, ширина и высота одного из них м , а другого м .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К.	Длина	отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
	Длина	отрезка равна с метрам .
	Длину	этого отрезка и называют расстоянием между параллельными прямыми .
	Длины	отрезков АС и АВ относятся как 2:5 .
	Длины	сторон прямоугольного участка земли равны х м и у м .
	Дробные	числа , с которыми мы до сих пор имели дело , будем теперь называть положительными и наряду с ними рассматривать отрицательные дробные числа .
	Дробь	— в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 : Так как .
	Дробь	можно представить в виде десятичной .
	Дробь	нельзя обратить в десятичную , поэтому число 0,27 запишем в виде обыкновенной дроби .
	Единица	второго разряда справа от запятой должна быть в 10 раз меньше , чем .
	Знаменатель	( число , записанное под чертой ) показывает , на сколько равных долей делили целое ; числитель ( число , записанное над чертой ) показывает , сколько таких долей взято .
	Значение	дроби при этом не изменится , а в числителе и знаменателе окажутся целые числа .
	Значения	каких выражений равны значению произведения ab ?
	Касательная	к окружности .
	Касательная	перпендикулярна радиусу , проведённому в точку касания .
	Квадрат	разделён на 16 маленьких квадратов , один из которых окрашен .
	Квадрат	.
	Квадрат	разрезали по его диагонали и из получившихся частей сложили треугольник .
	Квадратная	сетка , играющая роль координат , была обнаружена на стене одной древнеегипетской гробницы .
Выдержка из этого списка : Дубна — 4А , Звенигород — 3Г ,	Клин	— 3Б , Красногорск — 4В , Поречье — 1Г , Руза — 2Г. Найдите эти города на карте , используя данную информацию .
Укажите квадраты , через которые проходит железная дорога : а ) Москва — Шаховская ; б ) Москва —	Клин	.
	Кольцо	ограничено двумя окружностями , радиусы которых равны 3 см и 5 см. Чему равна площадь этого кольца ? .
	Комбинаторика	.
104	Комбинаторные	задачи .
	Конус	.
	Конус	в определённом смысле похож на пирамиду .
	Конуса	основание .
	Концентрические	окружности .
	Координата	точки Е равна 4 ; это записывается так : E(4 ) .
	Координаты	точки записывают в скобках , при этом абсцисса пишется на первом месте , а ордината — на втором .
На координатной прямой отмечены точки А , В , С и D.	Координаты	точек В и D известны .
	Координаты	точки .
	Корень	уравнения — это число , при подстановке которого в уравнение получается верное равенство .
	Круг	изображает всех избирателей района , внесённых в списки для голосования , то есть 100 % избирателей .
	Круг	А изображает сотрудников института , знающих английский язык , круг Н — знающих немецкий и круг Ф — французский . 1 ) Сколько сотрудников института знают : а ) все три языка ; б ) английский и немецкий ; в ) французский ? .
	Круг	с горизонтальной штриховкой изображает множество А , а круг с вертикальной штриховкой — множество В. Вся закрашенная область — это множество A ⋃ B , а область , показанная двойной шриховкой , — это А ⋂ В .
	Круги	на воде .
	Круги	Эйлера .
а )	Куб	распилили .
	Куб	с ребром 10 см распилили на части тремя плоскостями , параллельными его граням .
	Куб	с ребром 15 см рассекли двумя разрезами .
	Многогранник	; Призма треугольная ;
	Многоугольник	, у которого равны все стороны и все углы , называют правильным .
	Многоугольник	называют снежинкой Коха .
Глава 10	Множества	.
	Множества	обычно обозначают большими буквами латинского алфавита : А , В , С , Μ , Р и так далее .
	Множество	рациональных чисел , как и множества натуральных и целых чисел , имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
	Множество	, состоящее из элементов , входящих в каждое из данных множеств , называется их пересечением .
	Множество	пустое .
	Множество	.
	Множество	рациональных чисел .
Пусть А — множество параллелограммов , В — множество прямоугольников , С — множество ромбов	Множество	каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
	Множество	бесконечное .
	Множество	А называют подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является элементом множества В .
	Множество	целых чисел .
	Множество	конечное .
	Множество	, состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из данных множеств , называется их объединением .
	Множество	кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества позвоночных .
	Модуль	отрицательного числа равен числу , ему противоположному .
	Модуль	положительного числа всегда больше модуля отрицательного числа .
	Модуль	нуля равен нулю .
	Модуль	отрицательного числа есть число , ему противоположное .
	Модуль	рационального числа всегда положителен .
	Модуль	суммы найдём вычитанием : Таким образом .
	Модуль	числа – 6,5 равен 6,5 ; модуль числа – 4 равен 4 .
	Модуль	положительного числа равен самому числу .
	Модуль	суммы нашли вычитанием .
	Модуль	числа .
	Найдите	площадь оставшейся части .
	Найдите	объём многогранника .
	Найдите	значение степени : Выполните действия .
	Найдите	1 % от : а ) 100 р . , 200 м , 300 км , 600 кг ; б ) 1000т , 10 000р . , Юм , 1ц .
	Найдите	: а ) 1 % от 1 м , 7 % от 1 м , 25 % от 1 м ; б ) 1 % от 1 т , 6 % от 1 т , 26 % от 1 т .
	Найдите	в научно - популярной литературе , как учёные - картографы решали проблему изображения шарообразной поверхности Земли на плоской карте .
	Найдите	среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 целые положительные и целые отрицательные числа .
	Найдите	значение выражения .
	Найдите	|а| , если а .
	Найдите	значение каждого из этих выражений .
	Найдите	множество .
	Найдите	, сколько процентов от 250 кг составляют 40 кг .
	Найдите	. б ) Даны множества .
	Найдите	расстояние между серединами отрезков АС и СВ .
	Найдите	: а ) 10 % от 200 р . ;
	Найдите	значение выражения ab при .
	Найдите	неверные утверждения и опровергните их с помощью контрпримера .
	Найдите	неизвестный множитель .
	Найдите	длину оставшейся части .
	Найдите	.
На отрезке АВ , длина которого равна 6 см , отмечена точка С так , что AС равно 2 см.	Найдите	расстояние между серединами отрезков АС и СВ .
	Найдите	сумму или разность .
	Найдите	ошибки и исправьте их .
	Найдите	значение выражения при .
	Найдите	примерный процент брака на каждом заводе и определите , какой из двух заводов выпустил продукцию лучшего качества .
	Найдите	расстояние от точки А до прямой а и до прямой .
	Найдите	эти отношения .
	Найдите	, не выполняя сложения , значение суммы .
7	Найдите	: а ) 3 % от 200 р . ;
	Найдите	площадь каждой фигуры .
	Найдите	объёмы наибольшей и наименьшей получившихся частей .
	Найдите	в справочной литературе эти значения .
	Найдите	расстояние от угла вашего письменного стола до пола .
	Найдите	расстояние между каждой парой прямых .
	Найдите	величины трёх других углов , если : a ) ∠1 равно 29 ° ; б ) ∠4 равно 137 ° .
	Найдите	отношение числа спортсменов к числу всех учащихся школы .
	Найдите	в каких - нибудь средствах массовой информации ( газеты , журналы , Интернет , телевидение и так далее . ) несколько предложений , в которых используется слово « процент » .
	Найдите	периметры четвёртой части и всего прямоугольника .
	Найдите	площадь закрашенного треугольника .
	Найдите	значение степени .
	Найдите	отношение числа правильных ответов к числу всех присланных ответов .
	Найдите	сумму .
	Найдите	значение выражения : а ) В обеденном меню школьной столовой имеются два первых блюда — борщ и картофельный суп — и три вторых — сосиски , котлеты и плов .
	Найдите	множества .
	Найдите	неизвестный компонент действия .
	Найдите	вечернюю температуру Ивана .
	Найдите	сторону квадрата , площадь которого составляет 0,25 площади данного квадрата .
	Найдите	периметр прямоугольника .
а )	Найдите	площадь комнаты , если её длина равна 6 м . б ) Найдите площадь комнаты , если её длина больше её ширины на 0,8 м .
	Найдите	число , куб которого равен .
	Найдите	предметы , имеющие форму призмы .
	Найдите	произведение чисел .
	Найдите	в художественной литературе , в Интернете и фотоальбомах изображения объектов природы или предметов , созданных руками человека , которые обладают осевой симметрией .
	Найдите	и запишите величины углов , обозначенных цифрами .
Получим .	Найдите	значение выражения двумя способами .
а )	Найдите	в литературе или в Интернете изображения башен Московского Кремля и опишите их форму , б ) Опишите форму башен , изображённых на фотографиях .
	Найдите	неизвестный член пропорции , обозначенный буквой ( используйте основное свойство пропорции ) .
	Найдите	число , квадрат которого равен .
Периметр прямоугольника равен 36 см.	Найдите	площадь прямоугольника , если его стороны относятся как .
	Найдите	сумму ( приведите разные способы вычисления ) .
	Найдите	значение суммы при указанных значениях а , b и с .
	Найдите	сумму всех целых чисел .
	Найдите	значение произведения .
	Найдите	значения выражений .
Сторона одного квадрата равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см.	Найдите	отношение : 1 ) стороны большого квадрата к стороне малого квадрата ;
	Найдите	расстояние от каждой из этих точек до прямой .
	Найдите	их с помощью перегибания .
5	Найдите	значение выражения .
	Найдите	сумму противоположных чисел .
а ) Найдите площадь комнаты , если её длина равна 6 м . б )	Найдите	площадь комнаты , если её длина больше её ширины на 0,8 м .
	Найдите	отношение .
	Найдите	объём каждой части .
	Найдите	значение каждого из выражений mn , mn — 10 , – 2mn при .
	Найдите	произведения .
	Найдите	часть от величины .
	Найдите	неверные утверждения среди перечисленных и исправьте их .
	Найдите	неизвестное число .
	Найдите	приближённо : а ) Сколько человек из числа опрошенных слушают спортивные каналы ? .
	Найдите	отношение числа непроверенных работ к числу проверенных и обратное отношение .
	Найдите	рост Серёжи , если средний рост мальчиков его возраста равен 130 см , а рост Серёжи составляет 110 % от среднего роста .
Известно , что .	Найдите	значение выражения .
	Найдите	разность .
	Найдите	отношение расстояния s(м ) , которое пробежал мальчик , ко времени t(мин ) , в течение которого он бежал , если s , t 5 .
Известно , что .	Найдите	.
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см.	Найдите	: а ) периметр прямоугольника КВМО ; б ) периметр прямоугольника AKLD ; в ) периметр прямоугольника ABCD ; г ) длину ломаной ANMCD .
	Найдите	значение выражения аb при .
	Найдите	значение дроби .
	Найдите	его .
	Найдите	5 % , 30 % , 50 % , 100 % этого числа .
	Найдите	произведение или частное .
И Ребро одного куба равно 10 см , а другого — 5 см	Найдите	отношение : 1 ) ребра малого куба к ребру большого куба .
	Найдите	корень уравнения .
	Найдите	длину всего пути .
	Найдите	значение буквенного выражения .
2	Найдите	сумму , выполнив вычисления столбиком .
	Найдите	длину третьей стороны треугольника , если .
6	Найдите	объединение и пересечение множеств .
Воспользовавшись формулой периметра треугольника , выполните следующие задания : 1 )	Найдите	периметр треугольника Р , если .
	Найдите	расстояние от точки А до прямой l .
	Найдите	площадь закрашенной части круга .
	Найдите	S , если . Начертите куб .
	Найдите	скорость первого поезда , если скорость второго 65 км / ч .
	Найдите	площадь обрезков .
Каждый кусок имеет размеры 3 см , 6 см и 9 см.	Найдите	объём коробки .
	Найдите	задуманное число .
	Найдите	примерную длину каждой части .
	Найдите	эти числа .
	Найдите	периметр треугольника ВСЕ и его углы , если ВС равно 3 см .
	Найдите	длину дуги окружности , выделенной зелёным цветом .
	Найдите	координаты точек A и С .
	Найдите	на окружности точку , ближайшую к прямой , и точку , наиболее удалённую от прямой .
	Найдите	расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими точками двух окружностей , если : а ) радиусы окружностей равны 3 см и 4 см , а расстояние между центрами — 10 см ; б ) радиусы окружностей равны 2 см и 5 см , а расстояние между центрами — 1 см .
	Найдите	в каком - либо источнике информации разъяснения значений приставок мега , гига , микро , нано .
	Найдите	расстояние от А до В .
	Найдите	какие - нибудь три числа , которые : а ) больше , но меньше ; б ) меньше , но больше .
	Найдите	частное ( в качестве образца воспользуйтесь примером 3 ) .
Выдержка из этого списка : Дубна — 4А , Звенигород — 3Г , Клин — 3Б , Красногорск — 4В , Поречье — 1Г , Руза — 2Г.	Найдите	эти города на карте , используя данную информацию .
	Найдите	расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
	Найдите	периметр четырёхугольника ABCD ( сторона одной клетки равна 5 мм ) .
	Найдите	расстояние от каждой вершины треугольника до прямой КМ .
	Найдите	частное , перейдя к обыкновенным дробям , и , если возможно , выразите ответ десятичной дробью .
	Найдите	неверное утверждение .
	Найдите	объём шара , диаметр которого равен 12 см .
	Найдите	среднее арифметическое двух величин .
	Найдите	города , расположенные на 18 ° в .
	Найдите	периметр : а ) четырёхугольника ABCD ; б ) треугольника АВС .
	Найдите	значение каждого из выражений .
	Найдите	закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
	Найдите	длины отрезков АВ , АС и СВ .
	Найдите	значение выражения при а равно 1,6 , b равно 2,4 , с равно 2,8 .
	Найдите	частное .
9	Найдите	площадь круга , диаметр которого равен 10 см .
	Найдите	цену моркови зимой .
	Найдите	значение выражения , записав десятичную дробь в виде обыкновенной .
	Найдите	его значение при .
8	Найдите	длину окружности , диаметр которой равен 20 см .
	Найдите	цену зонта зимой .
	Найдите	величину каждого угла .
	Найдите	численность населения России , если в Японии проживает 128 млн человек .
	Найдите	города , расположенные на 60 ° с. ш. , на 50 ° с. ш.
8	Найдите	значение выражения .
	Найдите	неизвестное число х , если .
	Найдите	массу конфет в каждом подарке .
	Найдите	длину каждого куска .
	Найдите	массу большего куска .
7	Найдите	частное .
	Найдите	площадь игрового поля .
	Найдите	длину дорожки и площадь стадиона .
	Найдите	вечернюю температуру , если .
	Найдите	четыре пары параллельных прямых .
	Найдите	отношение : а ) 40 см к 24 м ; б ) 800 г к 4 кг ; в ) 20 мин к 2 ч .
	Найдите	Р , если с равно 5000 , а равно 7500 ; с равно 3500 , а равно 4200 .
	Найдём	неизвестный множитель х ; получим х равно 18 .
	Найдём	разность чисел .
	Найдём	вычитанием неизвестное слагаемое 2х .
	Найдём	разность .
	Найдём	с помощью перебора все возможные варианты освещения .
	Найдём	, какой длины бордюр потребуется для ограждения клумбы , имеющей форму круга с диаметром , равным 4 м .
	Найдём	от 100 % .
	Найдём	частные .
	Найти	от 80 000 можно по - разному : опираясь на смысл понятия дроби и по правилу нахождения части от числа .
	Натуральное	число и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
	Натуральное число	и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
	Натуральные	числа , противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом — целые числа .
	Натуральные	числа принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
	Натуральные числа	принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
	Натуральные числа	, противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом — целые числа .
	Неравенство	треугольника .
	Нуль	в остатке означает , что деление закончено .
	Объединение	отрезка KL и луча LM есть луч КМ , а их пересечением является точка L .
	Объединение	множеств .
	Объединением	этих множеств является всё множество натуральных чисел .
	Обыкновенная дробь	.
46	Округление	десятичных дробей .
	Округлите	каждое из чисел до тысячных , до сотых , до десятых .
а ) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского веса — унциями : 1 унция равнялась 31,1035 г.	Округлите	это число до десятых ; до единиц .
13	Округлите	число 1,69457 до десятых , до сотых , до тысячных .
	Округлите	эти значения до тысяч .
	Округлите	число 1,6666 до тысячных , до сотых , до десятых .
	Округлите	это число до тысячных ; до сотых ; до десятых .
	Округлите	до десятых , до сотых , до тысячных .
	Округлите	. 1 ) десятичную дробь 282,0954 до десятых , до сотых , до тысячных .
	Округлите	до единиц .
	Окружности	пересекаются в двух точках .
51	Окружность	и прямая .
Глава 5	Окружность	.
102	Операции	над множествами .
	Опишите	аналогичным образом следующую ситуацию .
	Опишите	их словами и приведите примеры .
	Опишите	примерное местоположение каждого самолёта .
а ) Найдите в литературе или в Интернете изображения башен Московского Кремля и опишите их форму , б )	Опишите	форму башен , изображённых на фотографиях .
Обведите часть круга А , не принадлежащую кругу В.	Опишите	словами соответствующее ей множество чисел , приведите примеры таких чисел .
	Опишите	множество , которое является пересечением : а ) множества учащихся начальных классов некоторой школы и множества девочек , обучающихся в этой школе ; б ) множества предметов , изучаемых в начальной школе , и предметов , изучаемых в 5–6 классах .
	Опишите	словами способ построения каждого четырёхугольника и выполните построения .
	Опишите	словами каждый класс и приведите примеры относящихся к нему чисел .
Пусть А — множество однозначных натуральных чисел . 1 )	Опишите	словами каждое из подмножеств множества .
Основание , Высота , Основание , Высота ,	Основание	.
	Основание	, Боковая грань , Основание .
Основание , Высота ,	Основание	, Высота , Основание .
	Основание	пирамиды — квадрат .
Основание , Боковая грань ,	Основание	.
	Основание	, Высота , Основание , Высота , Основание .
	Основанием	параллелепипеда является квадрат .
	Основания	представляют собой два равных многоугольника , расположенные в параллельных плоскостях , боковые грани призмы — прямоугольники .
	Основания	цилиндра — это два равных круга , расположенные в параллельных плоскостях .
	Остаток	от деления раздробили в десятые и разделили 14 десятых .
	Откладывая	последовательно единичные отрезки вправо от .
	Отношение	числа чижей к числу ужей равно 5:4 , а числа ужей к числу ежей равно 2:1 .
	Отношение	числа мальчиков в школе к числу девочек равно 5:4 .
	Отношение	числа книг к числу журналов равно 4:1 .
	Отношение	числа пятиклассников к числу шестиклассников равно 1:3 .
	Отношение	длины окружности к её диаметру — величина постоянная , не зависящая от размеров окружности .
	Отношение	длины комнаты к её ширине равно 5:4 .
а )	Отношение	числа красных шариков к числу синих равно .
	Отношение	h к а определяет крутизну лестницы .
	Отношение	числа школьников , не умеющих плавать , к общему числу опрошенных школьников равно , то есть не умеющие плавать составляют пятую часть учащихся этой школы , а умеющие плавать .
	Отношение	стоимости товара к его количеству ( массе , длине , числу штук и так далее . ) — это цена товара .
	Отношение	разноимённых величин — это новая величина .
	Отношение	чисел и величин — это просто другое название частного .
	Отношение	большей стороны к меньшей равно , то есть одна сторона в 1,5 раза больше другой .
	Отношение	двух чисел показывает , во сколько раз одно число больше другого , или какую часть одно число составляет от другого .
	Отношение	.
	Отношение	меньшей стороны к большей , то есть обратное отношение , равно .
Глава 6	Отношения	и проценты .
	Отрезки	— стороны треугольника .
1	Отрезок	АВ разделён точкой С на две части так , что АС равно 1,2 дм , ВС равно 6 см. Что показывают отношения .
	Отрезок	длиной 36 см разделили на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
	Отрезок	MN сначала разделили точками А и В на 3 равные части , а затем точками С , D и Е на 4 равные части .
	Отрезок	, соединяющий центры оснований , перпендикулярен каждому из них , его называют высотой цилиндра .
	Отрицательные	числа математики открыли очень давно .
	Отрицательные	дроби можно записывать по - разному .
	Отрицательные	дробные числа , как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительным числам знака « минус » .
	Отрицательные	числа на координатной прямой изображаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее нуля .
	Параллелограмм	.
	Параллелограмм	удалось перекроить в прямоугольник , а способ вычисления площади прямоугольника уже известен .
	Параллелограмм	является центральносимметричной фигурой .
	Параллелограмм	, у которого все стороны равны , называют ромбом .
11	Параллелограмм	перекроили в прямоугольник со сторонами 5 см и 4,2 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
	Параллелограмм	снова « войдёт » в свой контур .
121	Параллелограмм	.
22	Параллельные	прямые .
	Перемножив	числа 5,6 и 3,8 , получим 21,28 .
	Перемножив	числа 215 и 33 , мы получили в произведении число 7095 .
	Перемножим	числа 3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными дробями .
	Пересечение	множеств .
	Пересечение	множеств А и В записывают с помощью символа ⋂ , а их объединение — с помощью символа ⋃ .
	Пересечение множеств	А и В записывают с помощью символа ⋂ , а их объединение — с помощью символа ⋃ .
	Пересечение множеств	.
	Периметр	прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длины его смежных сторон и результат умножить на 2 .
	Периметр	прямоугольника равен 36 см. Найдите площадь прямоугольника , если его стороны относятся как .
	Перпендикуляр	к плоскости играет важную роль в окружающей нас действительности .
	Перпендикуляр	, проведённый из вершины конуса к плоскости основания , попадает в центр круга .
	Перпендикулярные	прямые можно начертить и с помощью угольника , и с помощью транспортира .
	Пирамида	пятиугольная ;
	Пирамида	восьмиугольная ;
	Плоскость	, на которой задана система координат , называется координатной плоскостью .
122	Площади	.
	Площадь	какой страны больше и во сколько раз ? .
	Площадь	закрашенной части фигуры вычисляется по формуле .
а )	Площадь	территории Эстонии составляет примерно 130 % площади территории Молдавии .
	Площадь	квадрата равна , площадь прямоугольника равна .
	Поверхности	цилиндра и конуса состоят как из плоских частей , так и из кривых , а шар абсолютно круглый .
	Поверхности	цилиндра и конуса , как и поверхность многогранника , можно развернуть на плоскость .
	Поверхность	цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности , которую ещё называют цилиндрической .
	Поверхность	шара называется сферой .
	Подмножество	.
	Подобным	образом можно найти и площадь треугольника .
	Положительное	число 256 на координатной прямой расположено справа от 0 , а отрицательное число – 104 — слева от 0 .
	Положительные	целые числа мы складывать умеем .
	Положительные	дробные числа , как и положительные целые , можно записывать со знаком « плюс » .
	Правильной	или неправильной является эта дробь ?
	Правильные	и неправильные ответы распределились в отношении 7:3 .
Ищем способ построения	Правильные	многоугольники обладают важным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
Ищем способ построения	Правильные многоугольники	обладают важным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
	Правильный	многоугольник .
	Правильный многоугольник	.
	Прибавив	единицу к цифре 9 в разряде сотых , мы получили 10 сотых .
	Приведены	некоторые проценты , которые « легко считаются » , и соответствующие им дроби .
	Приведены	данные о средней урожайности картофеля в хозяйствах некоторого района .
8	Приведите	примеры классификаций ( из математики и из реальной жизни ) .
	Приведите	примеры сложных слов , составной частью которых являются эти приставки .
	Приведите	примеры .
рическую фигуру ( прямоугольник , круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 )	Приведите	дроби к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
	Приведите	свои примеры чисел , относящихся к каждому классу .
	Приведите	пример числа , не являющегося целым .
	Приведите	примеры конечных множеств и бесконечных множеств .
	Приведите	примеры параллельных и скрещивающихся прямых , встречающихся в окружающем мире .
	Приведите	примеры перпендикулярных прямых , которые встречаются в окружающем мире .
4	Приведите	примеры подмножеств множества натуральных чисел N .
	Приведите	пример .
	Приведите	примеры истинных и ложных высказываний ( математических и нематематических ) .
1	Приведите	примеры конечных множеств , бесконечных множеств .
	Приведите	примеры таких чисел .
	Приведите	пример , когда результат первого округления : 1 ) меньше второго ; 2 ) больше второго ; 3 ) равен второму .
	Приведите	пример классификации множества треугольников .
	Приведите	пример , когда в результате округления десятичной дроби получается целое число .
а )	Приведите	дробь к знаменателю 60 .
	Приведите	дроби к одному из знаменателей 10 или 100 и запишите соответствующие десятичные дроби .
	Приведите	к наименьшему общему знаменателю дроби .
	Призма	.
123	Призма	.
Многогранник ;	Призма	треугольная ;
	Призма	четырёхугольная ;
	Произведение	двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
	Произведением	естественно считать сумму трёх слагаемых , каждое из которых равно – 5 .
(	Произведения	, различающиеся порядком множителей , считаются одинаковыми ) .
	Пропорцию	можно записывать и в строчку .
	Противоположные числа	изображаются точками координатной прямой , находящимися на одинаковом расстоянии от точки О ( 0 ) .
	Противоположные числа	изображаются точками , симметричными относительно точки с координатой 0 .
	Процент	.
	Процентом	от некоторой величины называется одна сотая её часть .
Прямая к и окружность пересекаются в точках А и B.	Прямая	к перемещается к центру окружности параллельно самой себе .
	Прямая	d — касательная к окружности в точке А .
	Прямая	к и окружность пересекаются в точках А и B. Прямая к перемещается к центру окружности параллельно самой себе .
	Прямая	АВ — ось симметрии фигуры , состоящей из двух окружностей .
	Прямая	бесконечна ; в отличие , например , от окружности эта линия незамкнутая ; через две точки можно провести только одну прямую .
10	Прямоугольник	со сторонами 3 см и 6 см разрезали по диагонали .
5 ,	Прямоугольник	разбили на четыре части : квадрат и три прямоугольника .
	Прямоугольник	.
	Прямоугольники	равновелики .
	Прямоугольной	сеткой для разметки холста пользовались и художники Возрождения .
115	Прямоугольные	координаты на плоскости .
	Прямые	, перпендикулярные плоскости , можно найти и в окружающей обстановке , и на геометрических моделях .
	Прямые	перпендикулярные .
	Прямые	пересекающиеся .
	Прямые	m и n параллельны , ∠1 равно 38 ° .
	Прямые	KL и MN — оси симметрии прямоугольника ABCD .
	Прямые	параллельные .
	Прямые	скрещивающиеся .
	Прямые	АВ , CD и КМ пересекаются в точке О причём ∠AOM равно 47 ° и ∠AOC равно 32 ° .
	Равенство	двух отношений называют пропорцией .
	Радиус	апельсина равен 4 см , а толщина кожуры равна 1 см. Объём какой части больше : съедобной или несъедобной ? .
	Радиус	меньшей окружности равен 2 см , радиус средней — 3 см. Чему равен радиус большей окружности ?
	Радиус	земного шара примерно равен 6400 км .
	Радиусы	окружностей равны 5 см и 3 см. Чему равно расстояние между их центрами ? .
	Радиусы	окружностей соответствуют 50 , 100 , 150 и 200 км .
	Разделив	32 000 на – 7 , получим .
	Разделите	с помощью транспортира развёрнутый угол на два угла в отношении .
	Разделить	некоторое число на 2 — это всё равно что умножить его на .
	Разложив	на простые множители знаменатель этой дроби , получим произведение , содержащее число 3 .
	Разложите	на простые множители числа : 10 , 100 , 1000 , 10 000 .
	Распределение	городов по численности населения .
Глава 11	Рациональные	числа .
Глава 11	Рациональные числа	.
И	Ребро	одного куба равно 10 см , а другого — 5 см Найдите отношение : 1 ) ребра малого куба к ребру большого куба .
103	Решение	задач с помощью кругов Эйлера .
	Решение	.
	Ромб	.
	Секунду	делят не на 60 равных частей , а на десятые , сотые и тысячные .
	Симметрия	и асимметрия тесно соседствуют друг с другом .
Глава 7	Симметрия	.
	Система	координат , которую вы изучали , называется прямоугольной .
	Система координат	, которую вы изучали , называется прямоугольной .
	Системы	координат пронизывают всю практическую жизнь человека .
	Системы координат	пронизывают всю практическую жизнь человека .
	След	, который оставляет точка А при повороте , — это дуга окружности .
41	Сложение	и вычитание десятичных дробей .
93	Сложение	целых чисел .
	Сложите	из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет центра симметрии ; в ) есть и центр симметрии , и ось симметрии .
	Собственная	скорость лодки 32 км / ч , а скорость течения реки 2,4 км / ч .
	Собственная	скорость лодки 8,5 км / ч , скорость течения реки 1,5 км / ч .
	Собственная	скорость лодки 8,5 км / ч , а скорость течения реки 3,5 км / ч .
	Сократите	дробь .
	Сократите	дробь и запишите её в виде десятичной .
Малые города , до 50 тыс. чел.	Средние	города , от 50 до 100 тыс. чел.
	Средним	арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
	Средним арифметическим	нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
	Сторона	квадрата равна 0,4 дм .
	Сторона	одного квадрата равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите отношение : 1 ) стороны большого квадрата к стороне малого квадрата ;
	Стороны	треугольника измеряйте циркулем .
	Стороны	прямоугольника равны 9 см и 6 см. Найдём отношения длин его сторон .
	Сумма	числа вершин и рёбер призмы равна 25 .
	Сумма	трёх углов , образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 254 ° .
	Сумма	противоположных чисел равна 0 .
	Сумма	двух положительных чисел положительна , а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
	Сумма	двух отрицательных чисел может быть отрицательной , положительной или нулём .
	Сумма	двух чисел разных знаков может быть как положительным , так и отрицательным числом ; знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
	Сумма	двух положительных чисел всегда положительна .
	Сумма	отрицательного и положительного чисел всегда отрицательна .
	Сумма	двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемого , у которого модуль больше .
	Сумма	двух чисел одного знака имеет тот же знак , что и слагаемые .
	Сумма	двух дробных чисел также является числом дробным .
	Сумма	противоположных чисел равна нулю .
	Сфера	.
	Точка	О — центр большей окружности , точка Р — центр меньшей .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными прямыми m и n равно 5 см.	Точка	А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
	Точка	– 6,5 удалена от начала координат на 6,5 единицы , а точка – 4 — на 4 единицы .
	Точка	А расположена на расстоянии 3 см от одной из двух параллельных прямых и на расстоянии 5 см от другой прямой .
	Точка	О — центр симметрии прямоугольника ABCD .
	Точка	К ( – 200 ; – 70 ) находится во второй четверти .
	Точка	с координатой – 1000 оказалась левее точки – 989 .
	Точка	, изображающая на координатной прямой число 2,7 , расположена левее .
	Точка	является центром симметрии , если при повороте вокруг этой точки на 180е фигура переходит сама в себя .
	Точка	В симметрична точке А относительно точки О .
	Точка	М ( 100 ; 50 ) находится в первой четверти .
	Точка	К симметрична точке М относительно прямой l .
	Точка	Р(120 ; – 80 ) находится в четвёртой четверти .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает число 0 , а другая — число 1	Точка	с координатой 0 делит прямую на два луча .
7	Точка	О — центр симметрии шестиугольника ABCDEK .
	Точка	пересечения прямых О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой ; единичный отрезок , как правило , один и тот же .
	Точка	О является её центром симметрии .
	Точка	N(–150 ; 60 ) находится в третьей четверти .
При повороте на 180 ° точка А перешла в диаметрально противоположную ей точку В.	Точки	А и В называют симметричными относительно точки О .
	Точки	А , В и С — вершины параллелограмма , АВ — его сторона .
Четырёхугольник MANB — квадрат . 4 )	Точки	A и В симметричны относительно прямой MN .
	Точку	пересечения прямых обозначьте буквой О. Постройте с помощью транспортира луч ОК- биссектрису угла AOD .
	Точку	О называют началом координат .
	Трапеция	.
Первый город , Второй город ,	Третий	город , Вариант путешествия .
	Третьим	справа идёт разряд тысячных , четвёртым — разряд десятитысячных и так далее .
	Треугольник	легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его сторонам Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма .
	Треугольник	AMN — равносторонний . 3 )
	Угол	между двумя соседними лучами равен 30 ° .
43	Умножение	десятичных дробей .
	Умножение	десятичной дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 также можно выполнять с помощью переноса запятой .
	Умножение	целых чисел обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных чисел , — переместительным и сочетательным ; справедливо также распределительное свойство .
42	Умножение	и деление десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 .
	Умножение	и деление натурального числа на 10 , 100 , 1000 и так далее сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества нулей .
	Умножение	десятичных дробей , как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
95	Умножение	и деление целых чисел .
	Умножив	80 000 на , получим тот же результат .
	Умножив	число 235 на 120 , мы получили в произведении 28 200 .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби на 30 .
	Уравнение	.
	Уравнения	корень .
	Фигура	на кальке совместится с фигурой на бумаге .
	Фигура	, которую вы получили , симметрична .
	Фигуры	центрально - симметричные .
	Фигуры	равновеликие .
	Фигуры	равносоставленные .
	Целые	отрицательные числа , как и целые положительные ( то есть натуральные ) , можно изображать точками на координатной прямой .
Например .	Целые	и дробные числа вместе составляют множество рациональных чисел .
Сравним десятичные дроби	Целые	части этих дробей одинаковы , совпадают также первые три цифры после запятой .
	Целые	части этих дробей одинаковы , но различаются цифры в разряде десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
	Целые	числа также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
	Целые числа	также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
	Центр	окружностей — местоположение аэропорта , точки на экране — самолёты .
	Центр	симметрии параллелограмма — это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	куба — это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	города .
	Центр	симметрии имеет и прямоугольник : это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	симметрии фигуры .
	Цилиндр	.
	Четырёхугольник	MANB — квадрат . 4 ) Точки A и В симметричны относительно прямой MN .
Соединим последовательно точки А , В , С и D	Четырёхугольник	ABCD — параллелограмм .
	Четырёхугольник	при этом будет трансформироваться , а треугольник нет .
	Четырёхугольники	ABCD и A1B1C1D1 симметричны относительно прямой k.
	Числа	противоположные .
	Числа	, образующие пропорцию , имеют специальные названия .
	Числа	со знаком « минус » нужны в тех случаях , когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях .
	Числа	0 ; 3,5 ; – 3,5 ; – 5,2 являются координатами точек О , А , В и С .
	Числа	0 и 1 при умножении сохраняют свои свойства .
	Числа	, которые можно подставлять в буквенное выражение , называют допустимыми значениями букв .
	Число	поданных заявлений составило 250 % от числа мест .
	Число	1000 при счёте появляется позже .
	Число	проросших семян .
	Число	пятиклассников относилось к числу шестиклассников как 5:3 .
	Число	проданных запчастей .
	Число	посаженных семян .
	Число	0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к положительным , ни к отрицательным числам , а как бы разделяет их .
	Число	забитых мячей .
	Число	называют эйлеровой характеристикой по имени великого математика Леонарда Эйлера .
	Число	, выражающее отношение длины окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π ( читается « пи » ) — первой буквой слова « периферия » , означающего « окружность » .
	Число	21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 .
	Число	мест в кинозале можно вычислить по формуле .
Число вершин ; Число рёбер ;	Число	граней .
Число вершин ;	Число	рёбер ; Число граней .
Образец , а )	Число	2 принадлежит множеству натуральных чисел , или , иначе , число 2 — натуральное .
	Число	вершин ; Число рёбер ; Число граней .
Закончите предложение ( проверьте себя по учебнику ): 1 ) Замену буквы числом называют ; 2 )	Число	, которое подставляют вместо буквы , называют .
	Число	пропущенных мячей .
	Число	мальчиков относится к числу девочек как 3:2 .
	Число	карандашей в маленькой коробке относится к числу карандашей в большой как 5 : 9 .
	Число	12 называют корнем уравнения .
	Число	учащихся . - не понравилась .
	Число	х называют абсциссой или первой координатой точки А .
	Число	у называют ординатой или второй координатой точки А .
	Число	0 считается противоположным самому себе .
	Число	девочек относится к числу мальчиков как 2:7 .
	Число	2,4 — это среднее арифметическое чисел .
	Число	24 на 9 не делится , а 36 уже делится .
	Шар	.
	Шар	касается всех граней коробки .
	Ширина	железнодорожной колеи — расстояние между рельсами — в России и в Европе не одна и та же .
	Элемент множества	.
	Элементы множества	можно перечислять в любом порядке .
	Эллипс	.
Ось	абсцисс	.
Горизонтальную ось называют осью	абсцисс	( осью х ) , вертикальную ось называют осью ординат ( осью у ) .
Координаты точки записывают в скобках , при этом	абсцисса	пишется на первом месте , а ордината — на втором .
Число х называют	абсциссой	или первой координатой точки А .
Как вы думаете , где расположены все точки с	абсциссой	, равной 4 ?
1 ) а ) На координатной плоскости отметьте пять точек , имеющих	абсциссу	, равную .
Постройте прямую , все точки которой имеют	абсциссу	, равную 3 ; – 2 ; 0 . 2 ) а ) На координатной плоскости отметьте пять точек , имеющих ординату , равную 1 .
Не случайно для таких объединений людей , предметов , понятий придуманы специальные названия :	ансамбль	, сервиз , гарнитур , собрание и так далее .
И конечно , нельзя задать списком	бесконечное множество	.
Переведите запись на русский язык и скажите , верно ли соответствующее утверждение : Если множество состоит из конечного числа элементов , то его называют конечным множеством ; если же элементов бесконечно много , то говорят , что это	бесконечное множество	.
Конструкция из двух зеркал , расположенных под некоторым углом друг к другу , используется в детской игрушке « Калейдоскоп » — « волшебной » трубе , образующей из осколков цветных стёкол	бесконечное множество	узоров .
В натуральном ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до	бесконечности	.
Приведите примеры конечных множеств и	бесконечных множеств	.
1 Приведите примеры конечных множеств ,	бесконечных множеств	.
Углы ВОС и СОА составляют развёрнутый угол , луч ОМ —	биссектриса	угла СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
Проведите луч ОМ , дополняющий луч ОК до прямой Верно ли , что луч ОМ —	биссектриса	угла COS ?
Углы ВОС и СОА составляют развёрнутый угол , луч ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON —	биссектриса	угла АОС .
Чему равен угол между	биссектрисами	? .
1 вариант , 4 варианта , 6 вариантов , 4 варианта , 1	вариант	.
1	вариант	, 4 варианта , 6 вариантов , 4 варианта , 1 вариант .
Это первые два	варианта	путешествия .
1 вариант , 4 варианта , 6 вариантов , 4	варианта	, 1 вариант .
1 вариант , 4	варианта	, 6 вариантов , 4 варианта , 1 вариант .
Сколько	вариантов	кода в худшем случае ему придётся перебрать , чтобы открыть дверь ? .
Можно ли ответить на вопрос задачи , используя результат предыдущей задачи , без выписывания	вариантов	? .
Сколько всего таких	вариантов	существует ? .
Сколько существует	вариантов	выбора двух кандидатов ? .
Сколько существует	вариантов	, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде ? .
Сколько есть	вариантов	очереди , в которых Игорь на первом месте ?
Сколько есть	вариантов	отбора новеньких у руководителя студии ? .
Ответьте на вопрос , сколько существует различных	вариантов	флагов с белой , синей и красной полосами , а затем зарисуйте их все .
Сколько существует	вариантов	для выбора четвёрки участников соревнования и сколько для выбора пары запасных ?
Сколько в таком случае будет	вариантов	освещения сцены ? .
Подсчитаем общее число	вариантов	.
Сколько существует различных	вариантов	обивки этой мебели ? .
Перебор возможных	вариантов	.
1 вариант , 4 варианта , 6	вариантов	, 4 варианта , 1 вариант .
Сколько этих	вариантов	? .
Сколько этих	вариантов	?
Сколько	вариантов	выбора есть у Маши ? .
Сейчас , как и прежде , мы будем решать их путём перебора всех возможных	вариантов	.
Сколько существует	вариантов	такого маршрута ? .
Умею применять перебор возможных	вариантов	для решения комбинаторных задач .
Сколько имеется	вариантов	освещения сцены ?
А всего , как мы видим , существует 6	вариантов	маршрута .
Дерево возможных	вариантов	.
( Будем считать	вариантом	освещения и случай , когда все прожекторы выключены ) .
Найдём с помощью перебора все возможные	варианты	освещения .
Перечислите все	варианты	выбора участников соревнования в этом случае .
Перечислите все	варианты	выбора участников соревнования .
Может ли одно из этих множеств быть подмножеством другого , и если да , то какие могут быть	варианты	? .
Составьте все возможные	варианты	обеда , состоящего из первого и второго блюд .
Можно сначала найти все возможные	варианты	очереди ( например , построив дерево ) , а затем выбрать нужные .
Найдите среднее арифметическое двух	величин	.
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения	величин	— так называемую метрическую систему мер .
В задачах , а также в жизненной практике часто приходится находить отношение	величин	.
Примером практического применения отношения	величин	, который известен вам из уроков природоведения , географии , является масштаб .
Действительно , если от равных	величин	( площади квадрата и площади прямоугольника ) отнять поровну ( площадь зелёного многоугольника ) , то поровну и останется .
С самых древних времён , наряду с необходимостью считать предметы , у людей появилась потребность в измерении длин , площадей , углов и других	величин	.
при измерении	величин	применяли шестидесятые доли .
Отношение разноимённых	величин	— это новая величина .
В Древнем Риме при измерении	величин	применялись дроби со знаменателем 12 .
Умею выражать значения	величин	десятичными дробями .
Знаю , что показывает отношение чисел и	величин	; умею находить отношение чисел и величин .
Знаю , что показывает отношение чисел и величин ; умею находить отношение чисел и	величин	.
Для сравнения чисел и	величин	существует два способа : вычисление разности или вычисление частного .
Отношение чисел и	величин	— это просто другое название частного .
Отношение длины окружности к её диаметру —	величина	постоянная , не зависящая от размеров окружности .
Отношение разноимённых величин — это новая	величина	.
Числа со знаком « минус » нужны в тех случаях , когда	величина	может изменяться в двух противоположных направлениях .
Слово « модуль » происходит от латинского modus , означающего « мера » , «	величина	» .
Какая	величина	является отношением пути ко времени ?
Используемые единицы измерения часто не укладывались в измеряемой	величине	целое число раз .
Найдите	величину	каждого угла .
Поэтому , чтобы найти один процент от величины , нужно разделить эту	величину	на 100 .
В практической жизни человека — при использовании кулинарных рецептов , при приготовлении смесей и растворов , при распределении доходов — часто возникает необходимость разделить ту или иную	величину	на части , отношение которых равно заданному отношению .
В таких случаях говорят , что требуется разделить	величину	в данном отношении .
Текстовую задачу с помощью уравнения можно решать по следующему плану : обозначить неизвестную	величину	буквой ; составить по условию задачи уравнение ; решить составленное уравнение ; ответить на вопрос задачи .
Поэтому , чтобы найти 10 % от какой - либо величины , достаточно разделить эту	величину	на 10 .
Обозначьте буквой меньшую	величину	.
Сделайте рисунок , выбрав	величину	угла и длины отрезков на своё усмотрение .
Изготовьте развёртку цилиндра в натуральную	величину	и сверните её в цилиндр .
Определите , чему равны	величины	углов четырёхугольника , вершинами которого являются точки пересечения прямых .
Основа такого перевода — введение буквы для обозначения какой - либо неизвестной	величины	.
И если значение	величины	ниже нулевой отметки , то ставят знак « минус » .
Найдите	величины	трёх других углов , если : a ) ∠1 равно 29 ° ; б ) ∠4 равно 137 ° .
В тех случаях , когда	величины	сравнивают с помощью деления , вместо слова « частное » обычно используют термин « отношение » .
Для выражения	величины	отрицательным числом вводят некоторую начальную , нулевую , отметку .
Найдите часть от	величины	.
Можно было рассуждать иначе : 33 %	величины	— это 33 её сотых доли , то есть , чтобы найти от 1200 , нужно 1200 умножить на .
Найдите и запишите	величины	углов , обозначенных цифрами .
Доли	величины	, равные 0,75 ; 0,2 ; 0,05 , выразите в процентах .
Назовите	величины	углов , обозначенных цифрами 6 , 7 и 8 .
1 % — это	величины	.
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу , в которой участвуют три	величины	, обозначенные буквами s , v и t. Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по v и t умножением находим s ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по s и t делением находим t ) .
Запишите	величины	всех углов , обозначенных цифрами .
Процентом от некоторой	величины	называется одна сотая её часть .
Поэтому , чтобы найти один процент от	величины	, нужно разделить эту величину на 100 .
Поэтому , чтобы найти 10 % от какой - либо	величины	, достаточно разделить эту величину на 10 .
Иногда нужное число процентов от	величины	можно найти ещё проще .
Не забудьте выразить	величины	в одних единицах , а ) 10 мин к 10 ч ; б ) 4 ч 40мин ; в ) 1,5 ч 20 мин ; г ) 30 мин к 1 ч 15 мин .
При вычислении отношения в таких случаях важно следить за тем , чтобы	величины	были выражены в одних и тех же единицах .
Вам уже приходилось решать одну из главных задач на проценты : находить некоторое количество процентов от заданной	величины	.
Если это одноимённые	величины	— длины , площади , массы и так далее , то их отношение выражается числом .
Выразите в процентах части	величины	.
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до	верхней грани	параллелепипеда .
Постройте треугольник , если известны координаты его	вершин	.
Сколько	вершин	в каждом основании этой призмы ?
Сумма числа	вершин	и рёбер призмы равна 25 .
У призмы 2000	вершин	.
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его	вершин	.
Сколько у этой призмы	вершин	? .
Пусть в многограннике В — число	вершин	, Р — число рёбер и Г — число граней .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его	вершин	; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Сколько	вершин	, рёбер , граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Что это за многогранник , если у него : а ) 13	вершин	; б ) 15 рёбер ? .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его	вершин	; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Число	вершин	; Число рёбер ; Число граней .
а ) На координатной плоскости постройте прямоугольник ABCD по координатам его	вершин	.
На нелинованной бумаге начертите произвольный треугольник и постройте симметричный ему относительно одной из его	вершин	.
Конуса	вершина	.
У этих углов общая	вершина	— точка пересечения прямых .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья	вершина	треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Существует ли призма , у которой 2001	вершина	? .
У него , как и у пирамиды , есть	вершина	и основание , только в основании лежит не многоугольник , а круг .
понятно , как построить треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС относительно точки О : достаточно построить точки , симметричные его	вершинам	.
Назовите вершину , симметричную	вершине	А , вершине С ; сторону , симметричную стороне ВС , стороне DC , угол , симметричный углу АВС , углу CDA .
Назовите вершину , симметричную вершине А ,	вершине	С ; сторону , симметричную стороне ВС , стороне DC , угол , симметричный углу АВС , углу CDA .
Назовите центрально - симметричные элементы треугольников АВС и А1В1С1 : вершину , симметричную	вершине	A ; сторону , симметричную стороне ВС ; угол , симметричный углу АВС .
Назовите центрально - симметричные элементы треугольников АВС и А1В1С1 :	вершину	, симметричную вершине A ; сторону , симметричную стороне ВС ; угол , симметричный углу АВС .
Начертим прямую и отложим на ней отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью	вершину	— точку В ? .
Назовите	вершину	, симметричную вершине А , вершине С ; сторону , симметричную стороне ВС , стороне DC , угол , симметричный углу АВС , углу CDA .
Постройте точку D — четвёртую	вершину	параллелограмма .
Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием , равным 6 см. Где расположены	вершины	этих треугольников ? .
Укажите координаты точек , в которых стороны треугольника пересекают ось х . б ) Постройте четырёхугольник ABCD , если его	вершины	имеют координаты .
Найдите расстояние : а ) от	вершины	В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от	вершины	А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Начертим прямую и отложим на ней отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы —	вершины	будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью вершину — точку В ? .
Ищем способ построения Правильные многоугольники обладают важным свойством : все	вершины	правильного многоугольника лежат на одной окружности .
Постройте треугольник со сторонами , равными 3 см , 4 см и 6 см. Затем постройте треугольник , симметричный первому треугольнику относительно какой - либо его	вершины	.
Точно так же любая точка , удалённая от	вершины	С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Назовите	вершины	куба , симметричные относительно его центра .
Точки А , В и С —	вершины	параллелограмма , АВ — его сторона .
Изображён четырёхугольник ABCD , в котором через противоположные	вершины	проведены прямые АС и BD . 1 ) Поясните , что означают знаки , которые вы видите на чертеже , и запишите условия , выражаемые данными знаками , на математическом языке .
Перпендикуляр , проведённый из	вершины	конуса к плоскости основания , попадает в центр круга .
Перегните его так , чтобы совпали	вершины	при основании , линия сгиба и будет его осью симметрии .
Найдите расстояние от каждой	вершины	треугольника до прямой КМ .
Симметричные	вершины	обозначены одной и той же буквой , но с добавлением индекса — цифры , поставленной внизу .
За год его	вес	увеличился на 200 % .
Во сколько раз увеличился	вес	ребёнка к одному году ? .
Так , спортсмен весом 81 кг попадал в четвёртую категорию : его	вес	более 77 кг , но менее 85 кг .
а ) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского	веса	— унциями : 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это число до десятых ; до единиц .
Так , спортсмен	весом	81 кг попадал в четвёртую категорию : его вес более 77 кг , но менее 85 кг .
Нижняя часть башни — это куб , а средняя её часть —	восьмиугольная призма	, « вырезанная » из точно такого же куба .
Это и есть ответ задачи ; его можно	вписать	в свободное поле большого круга .
Будем последовательно	вписывать	в эти области соответствующие числа .
Значки и марки собирают 16 человек (	впишем	число 16 в пересечение кругов З и М ) .
Знаете ли вы , что такое параллельные брусья , параллельный слалом или параллельное	вращение	?
Для этого преобразуем	выражение	так , чтобы в числителе и знаменателе были натуральные числа .
Замените умножение сложением и запишите	выражение	, равное данному произведению .
А в	выражение	вы пока не можете подставлять числа , меньшие 10 .
Числа , которые можно подставлять в буквенное	выражение	, называют допустимыми значениями букв .
Вы знаете , что числовое	выражение	можно вычислить , то есть найти его значение .
Запишите без скобок	выражение	.
Умею составлять буквенное	выражение	по заданному условию .
Замените	выражение	равным , не содержащим скобок .
Говорят , что при это	выражение	не имеет смысла .
Прочитайте	выражение	, используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » .
Обозначьте его какой - нибудь буквой и запишите следующее	выражение	.
Это	выражение	задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения n.
Это	выражение	означает , что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона , которые и считаются в этом случае координатами .
Запишите это буквенное	выражение	, если в результате подстановок получились следующие числовые выражения .
Придумайте задачу , на вопрос которой можно ответить , составив	выражение	: а ) Автомобиль ехал 2 ч со скоростью а км / ч и 3 ч со скоростью b км / ч .
Что означает	выражение	« идти параллельным курсом » ? .
Подберите значение буквы , при котором	выражение	: а ) а + 1 принимает значение , равное 1 ; 100 ; б ) 10 — х принимает значение , равное 0 ; 1 ; в ) 2с принимает значение , равное 0 ; 1 ; 100 ; г ) принимает значение , равное 0 ; 1 ; 10 .
Какой стала температура вечером ( запишите соответствующее	выражение	) ?
Числовое	выражение	.
Например ,	выражение	означает произведение всех натуральных чисел от 1 до 50 .
Возьмём , например ,	выражение	.
Буквенное	выражение	можно превратить в числовое , если все содержащиеся в нём буквы заменить числами .
Если все содержащиеся в выражении буквы заменить числами , то получится числовое	выражение	.
Например , в	выражение	нельзя подставить число 0 .
В	выражение	, содержащее букву а , последовательно подставили три числа .
Возьмём	выражение	.
Представьте	выражение	в виде суммы и выполните вычисления .
5 , Составьте	выражение	для ответа на вопрос задачи : « Одноклассники подарили Маше на день рождения а гвоздик .
Запишите	выражение	в виде дроби и сократите эту дробь .
Запишите	выражение	, значение которого противоположно значению данного выражения .
Подставьте в	выражение	: с указанные числа и выполните вычисления .
Рассуждая таким же образом , представьте в виде произведения	выражение	.
Например ,	выражение	— числовое , а выражение — буквенное .
Например , выражение — числовое , а	выражение	— буквенное .
Запишите	выражение	в виде частного , используя черту дроби .
Подставим в	выражение	вместо а и b указанные числа , получим .
Составьте	выражение	для вычисления процента выигранных партий .
При вычислении значения такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие деления :	выражение	в числителе делится на выражение в знаменателе .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы	выражение	, которое имеет другой смысл : это сумма числа а и произведения чисел b и с .
Подставьте в	выражение	указанные числа и выполните вычисления .
При вычислении значения такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе делится на	выражение	в знаменателе .
Какой была температура у Ивана вечером ( запишите соответствующее	выражение	) ?
Замените сложение умножением и запишите равное этой сумме	выражение	.
Представим данное	выражение	в виде суммы , заменив каждое вычитание сложением .
Заметим , что хотя	выражение	записывают без скобок , они в нём подразумеваются .
Решите задачу , составив	выражение	, соответствующее условию .
Буквенное	выражение	.
Например ,	выражение	является иным способом записи частного .
Образец . 1 ) Не записывая	выражение	в виде суммы явно , перечислите входящие в эту сумму слагаемые .
Если в выражении нет букв , то его называют числовым	выражением	.
Выражение , содержащее буквы ( одну или несколько ) , называют буквенным	выражением	.
Какие из чисел 0 , 10 , 20 , 25 являются допустимыми значениями буквы х в	выражении	.
В данном	выражении	измените знак перед каждым числом на противоположный и найдите значение нового выражения .
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в	выражении	нет скобок , то умножение выполняется раньше сложения .
Если все содержащиеся в	выражении	буквы заменить числами , то получится числовое выражение .
Если в	выражении	нет букв , то его называют числовым выражением .
На значения букв в	выражении	могут накладывать ограничения не только указанные в нём действия , но и условия рассматриваемых ситуаций .
Какие из чисел 0 , 2 , 6 , 10 являются допустимыми значениями буквы b в	выражении	.
Допустимые значения букв в	выражении	.
Поставьте в	выражении	скобки всеми возможными способами и найдите значение каждого из получившихся выражений .
Поставьте в выражении скобки всеми возможными способами и найдите значение каждого из получившихся	выражений	.
Найдите значение каждого из	выражений	.
Умею выполнять вычисления с рациональными числами , находить значения буквенных	выражений	, подставляя вместо букв заданные числа .
Найдите значение каждого из	выражений	mn , mn — 10 , – 2mn при .
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов — чисел ,	выражений	, точек , фигур и так далее .
Умею вычислять значения	выражений	, содержащих дробные числа , в том числе в ходе решения задач .
Как меняется значение каждого из	выражений	с увеличением значения х ? .
Кроме числовых	выражений	, мы имеем дело и с буквенными .
В математике принято использовать черту дроби в качестве знака деления и при записи более сложных	выражений	.
Закончите вывод : значения	выражений	и являются .
3 ) Какие из данных	выражений	равны .
Не производя вычислений , найдите значения следующих	выражений	.
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных »	выражений	, составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Из математических	выражений	составляют математические предложения .
Какое из	выражений	можно вычислить только в обыкновенных дробях ?
При записи	выражений	, как числовых , так и буквенных , важно уметь правильно пользоваться скобками .
Значения каких	выражений	равны значению произведения ab ?
Вычислите значение степени : Сравните значения	выражений	.
Запишите в виде буквенных	выражений	произведение и сумму двух последовательных натуральных чисел .
Найдите значение каждого из этих	выражений	.
Обязательные умения . Знаю правила записи и чтения буквенных	выражений	.
Сделайте вывод о значениях этих	выражений	по результатам вычислений .
Найдите значения	выражений	.
1 Запишите каждое из выражений с соблюдением правил записи буквенных	выражений	.
1 Запишите каждое из	выражений	с соблюдением правил записи буквенных выражений .
Для записи длинных	выражений	в математике часто используют многоточие .
В дальнейшем нам будут встречаться дроби , числители и знаменатели которых — любые	выражения	, а не только натуральные числа .
Даны	выражения	.
5 Найдите значение	выражения	.
Как найти значение	выражения	.
Найдём значение	выражения	.
Числовое значение буквенного	выражения	.
Найдём значение	выражения	при а равно 10 , b равно – 12 , с равно – 5 .
Его значение называют значением буквенного	выражения	при данных значениях букв .
Замените вычитание сложением и вычислите значение	выражения	.
Выберите из них то , значение которого : а ) равно значению	выражения	0,5 - 0,9 ; б ) противоположно значению выражения 0,5–0,9 .
Из одного буквенного	выражения	можно получить сколько угодно числовых .
Буквы , входящие в состав буквенного	выражения	, не всегда можно заменять какими угодно числами .
Найдём значение	выражения	при .
Найдите значение	выражения	аb при .
Так , для	выражения	допустимыми являются все числа , кроме 0 .
Выберите из них то , значение которого : а ) равно значению выражения 0,5 - 0,9 ; б ) противоположно значению	выражения	0,5–0,9 .
Запишите ответ на вопрос задачи в виде буквенного	выражения	.
Подберите несколько пар чисел а и b , при которых : а ) значение	выражения	равно 0 ; б ) значение выражения равно 0 .
Подберите несколько пар чисел а и b , при которых : а ) значение выражения равно 0 ; б ) значение	выражения	равно 0 .
Запишите это буквенное выражение , если в результате подстановок получились следующие числовые	выражения	.
Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают : положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале	выражения	, записывают без скобок .
Прочитайте	выражения	, используя термин « противоположное число » .
Не выполняя вычислений , назовите значение	выражения	при этих же значениях а , b и с .
8 Найдите значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	при а равно 1,6 , b равно 2,4 , с равно 2,8 .
Не проводя вычислений , назовите значение	выражения	этих же значениях а , b и с . б )
Ответ на этот вопрос можно дать в виде буквенного	выражения	.
Найдите значение	выражения	.
Примите по очереди каждую дробную черту за « основную » и запишите соответствующие	выражения	.
Получим . Найдите значение	выражения	двумя способами .
Найдём значение	выражения	при а равно 18 , b равно – 25 .
Воспользовавшись приведённым образцом , найдите значение	выражения	.
Будем подставлять вместо буквы х какие - нибудь числа и каждый раз вычислять значение получившегося числового	выражения	.
Правило	выражения	десятичной дроби дробью .
Математические	выражения	— слова математического языка .
Записи а плюс 5 и это математические	выражения	.
Запишите в виде буквенного	выражения	произведение пяти последовательных натуральных чисел , начиная с числа .
Такие	выражения	, как — – 15 , смысла не имеют .
Найдите значение	выражения	: а ) В обеденном меню школьной столовой имеются два первых блюда — борщ и картофельный суп — и три вторых — сосиски , котлеты и плов .
Найдите значение	выражения	ab при .
Запишите выражение , значение которого противоположно значению данного	выражения	.
Запишите в виде математического	выражения	: а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
В данном выражении измените знак перед каждым числом на противоположный и найдите значение нового	выражения	.
Буквенные	выражения	записывают по определённым правилам .
4 Запишите без скобок	выражения	.
82 Буквенные	выражения	и числовые подстановки .
Для	выражения	величины отрицательным числом вводят некоторую начальную , нулевую , отметку .
Правило	выражения	десятичной дроби в процентах .
Известно , что . Найдите значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	при .
Объясните , как найти значение	выражения	.
Запишите в виде математического	выражения	.
Найдите значение	выражения	, записав десятичную дробь в виде обыкновенной .
Используя подмеченную закономерность , найдите значение	выражения	.
Найдите значение буквенного	выражения	.
Правило	выражения	десятичной дроби в процентах десятичной .
Известно , что . Вычислите значение	выражения	.
Умею находить значение	выражения	по заданному условию .
Так как 3,5 и 35 , то значение	выражения	равно 35 .
Обратите внимание на то , что в числовых	выражениях	, которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали точку — знак умножения .
Используя шкалу определите примерные значения отмеченных на ней	высот	гор и глубин морей ( данные на шкале выражены в метрах ) .
Длина , ширина и	высота	одного из них м , а другого м .
Цилиндра	высота	.
Конуса	высота	.
Чему равна	высота	цилиндра ?
Чему равна	высота	коробки ?
Чему равна	высота	стен дома на чертеже , если в действительности она равна 6 м ?
У какого конуса	высота	оказалась больше : полученного из большего сектора или из меньшего ?
Сверните из этого же листа цилиндр с другой	высотой	.
Отрезок , соединяющий центры оснований , перпендикулярен каждому из них , его называют	высотой	цилиндра .
Этот перпендикуляр называют	высотой	конуса .
Стены	высотой	2,5 м требуется обложить плитками , исключая окно и дверь , которые занимают 0,1 площади стен .
Придумайте , как измерить	высоту	конуса .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а его длину , ширину и	высоту	соответственно буквами а , b и с. Получим формулу .
Высота Шуховской телебашни в Москве составляет	высоты	Останкинской телебашни .
Какой	высоты	потребуется коробка , чтобы упаковать три таких мяча .
Закрасьте основания цилиндра и конуса , начертите их	высоты	.
Для этого составьте по условию задачи уравнение и решите его : а ) Федя задумал число ,	вычел	из него 10 и получил 15,6 .
Петя задумал число , прибавил к нему 1 , результат разделил на 25 и из результата	вычел	4 , после чего получил 0 .
Решите задачу , составив уравнение : а ) Ученик задумал число , прибавил к нему 7 , эту сумму умножил на 3 , из результата	вычел	15 и получил 30 .
Так , нельзя из числа 3	вычесть	5 .
Чтобы из одного числа	вычесть	другое , можно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
В множестве натуральных чисел сложить можно любые два числа , но	вычесть	одно число из другого можно не всегда .
Чтобы	вычесть	из одного числа другое , нужно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Чтобы найти модуль суммы , надо из большего модуля	вычесть	меньший .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа	вычитаем	меньшее .
Чтобы вычислить разность чисел 15,6 и 8,8 , преобразуем её так , чтобы	вычитаемое	стало круглым числом .
Выполните	вычитание	.
Запишите равенство , заменив	вычитание	сложением .
Правила	вычитание	.
Мы заменили	вычитание	сложением и затем привели дроби к общему знаменателю .
Представим данное выражение в виде суммы , заменив каждое	вычитание	сложением .
41 Сложение и	вычитание	десятичных дробей .
Затем заменили	вычитание	сложением и вычислили значение получившейся суммы .
Вычислите , заменив	вычитание	сложением .
Коля , выполняя	вычитание	, забыл поставить запятую .
Дело в том , что	вычитание	всегда сводится к сложению .
Замените каждое	вычитание	сложением .
Замените	вычитание	сложением и вычислите значение выражения .
Замените	вычитание	сложением и вычислите .
Величину убытка мы также нашли	вычитанием	.
Найдём	вычитанием	неизвестное слагаемое 2х .
1 ) Чтобы найти площадь многоугольника его можно разбить на прямоугольники и вычислить результат сложением площадей или достроить его до прямоугольника и вычислить результат	вычитанием	площадей .
Модуль суммы найдём	вычитанием	: Таким образом .
Величину дохода в этом случае мы нашли	вычитанием	.
Модуль суммы нашли	вычитанием	.
Рассмотренные правила сложения и	вычитания	позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Вы видели , что результат сложения ,	вычитания	и умножения десятичных дробей выражается десятичной дробью .
Правила	вычитания	с рациональными числами .
Сначала приведём дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом	вычитания	дробей с равными знаменателями .
И в множестве целых чисел действие	вычитания	выполнимо всегда .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и	вычитания	десятичных дробей ; умею складывать и вычитать десятичные дроби .
Знаю правила сложения ,	вычитания	, умножения и деления дробей ; умею выполнять вычисления с дробными числами .
Правила	вычитания	с обыкновенными дробями .
Сформулируйте правило	вычитания	одного числа из другого и проиллюстрируйте его на примере .
Умею складывать и	вычитать	целые числа .
В 5 классе вы научились складывать ,	вычитать	, умножать и делить дроби .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания десятичных дробей ; умею складывать и	вычитать	десятичные дроби .
Дело в том , что ваши знания о числах недостаточны , чтобы	вычитать	из меньшего числа большее .
Благодаря введению отрицательных чисел мы получаем возможность	вычитать	из меньшего числа большее .
1 На примерах вычисления суммы и разности чисел 24,9 и 8,23 расскажите , как складывают и	вычитают	десятичные дроби .
На примере вычисления суммы и разности чисел 7,85 и 0,534 объясните , как складывают и как	вычитают	десятичные дроби .
Объясните на примере дробей как складывают и	вычитают	дроби с разными знаменателями .
Вам известны различные	геометрические фигуры	, как плоские , так и пространственные , но далеко не все .
Вы узнаете , что перекраивают не только старую одежду , границы государств или плохо составленные бюджеты , но и	геометрические фигуры	.
При этом вы обнаружите , что с некоторыми из представителей этих классов	геометрических фигур	вы уже давно знакомы , однако вам откроются такие их свойства , о которых вы не знали .
Вспомните параллели и меридианы , нанесённые на	глобус	.
Минута — это первый шаг уменьшения (	градус	разделили на 60 равных частей ) , а секунда — второй ( минуту разделили на 60 равных частей ) .
Градус разделили на 60 равных частей — минут : в градусе 60 минут , так что 1 минута это часть	градуса	.
Это связано с его происхождением — минута появилась тогда , когда стала необходимой единица измерения углов , меньшая	градуса	.
	Градусам	, его удалённость составляет примерно км » .
Градус разделили на 60 равных частей — минут : в	градусе	60 минут , так что 1 минута это часть градуса .
Запишите с помощью знаков « + » и « – » сообщения службы погоды : 20	градусов	тепла ; 20 градусов мороза .
Запишите с помощью знаков « + » и « – » сообщения службы погоды : 20 градусов тепла ; 20	градусов	мороза .
Учёные в Древнем Вавилоне понимали , что при измерении углов в астрономии , архитектуре , мореплавании нельзя ограничиваться лишь целым числом	градусов	, так как при этом расчёты оказываются очень неточными .
Шар касается всех	граней	коробки .
всего	граней	?
Сколько вершин , рёбер ,	граней	: а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Число вершин ; Число рёбер ; Число	граней	.
Сколько у неё боковых	граней	?
Рассмотрите дополнительно плоскости , проходящие через диагонали противоположных	граней	.
Пусть в многограннике В — число вершин , Р — число рёбер и Г — число	граней	.
Среди	граней	призмы различают боковые грани и основания .
Призмы боковые	грани	.
Назовите рёбра куба , перпендикулярные : а ) ребру АВ ; б )	грани	CMND .
в ) У призмы 22	грани	.
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней	грани	, до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Основания представляют собой два равных многоугольника , расположенные в параллельных плоскостях , боковые	грани	призмы — прямоугольники .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней	грани	параллелепипеда .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой	грани	, до верхней грани параллелепипеда .
Какой из отрезков самый длинный : ребро куба АВ , диагональ	грани	АС или диагональ куба AD ?
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней	грани	, до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой	грани	параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Посмотрите на куб : ребро АВ перпендикулярно	грани	AKND .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней	грани	, до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Существует ли призма , у которой 23	грани	? .
площади	грани	малого куба к площади грани большого куба ; 3 ) объёма малого куба к объёму большого куба .
Среди граней призмы различают боковые	грани	и основания .
Точнее , его называют прямоугольным параллелепипедом : все его	грани	— прямоугольники .
Назовите	грани	, являющиеся видимыми .
площади грани малого куба к площади	грани	большого куба ; 3 ) объёма малого куба к объёму большого куба .
Закрасьте видимые боковые	грани	одним цветом , а видимое основание другим .
Перечертите его так , чтобы	грань	SFE была невидимой .
Основание , Боковая	грань	, Основание .
На диаграммах показано соотношение разных возрастных	групп	населения в России и Германии ( в процентах ) .
Если	группа	включает от 3 до 10 человек , то скидка составляет 5 % .
Если в	группе	от 11 до 20 человек , то скидка составляет 10 % .
Задайте сами число экскурсантов в вашей	группе	и определите , сколько нужно заплатить за экскурсию .
Это позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в	группы	.
в 3 раза короче , чем	данный	? .
в 2 раза длиннее , чем	данный	?
Сколько осей симметрии у правильного	девятиугольника	?
Правила	деление	.
Преобразуйте частное так , чтобы делитель был целым числом , и выполните	деление	.
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и	деление	натуральных чисел .
Значит ,	деление	никогда не закончится , сколько бы мы его ни продолжали .
Нуль в остатке означает , что	деление	закончено .
Умею выполнять	деление	десятичных дробей .
6 Вычислите частное , выполнив	деление	уголком .
Поэтому	деление	уголком дроби 0,5 на 3 и оказалось бесконечным .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить	деление	на натуральное число .
Будем делить уголком числитель дроби на её знаменатель и оборвём	деление	в тот момент , когда получим третий знак после запятой .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с целыми числами — умножение и	деление	.
Если частное выражается десятичной дробью , его можно вычислить , используя	деление	уголком , так же как при делении натуральных чисел .
Разберите , как выполнено	деление	.
Убедитесь с помощью умножения , что	деление	выполнено верно .
95 Умножение и	деление	целых чисел .
Умею решать задачи на	деление	в данном отношении .
42 Умножение и	деление	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 .
Выполните	деление	( используйте в качестве образца пример 1 ): Вычислите ( используйте в качестве образца пример 2 ) .
А умножение и	деление	десятичной дроби на « единицу с нулями » сводится к переносу запятой .
Выполните	деление	.
Сразу после того , как закончено	деление	целой части , в частном ставят запятую .
Поэтому в частном записали О целых , после чего поставили запятую и продолжили	деление	.
Посмотрите , как выполнено	деление	.
Поэтому , чтобы продолжить	деление	, мы последовательно приписывали к делимому нули и вычисляли следующие цифры частного .
Умножение и	деление	натурального числа на 10 , 100 , 1000 и так далее сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества нулей .
Объясните , как делят числа одинаковых знаков и разных знаков , и выполните	деление	.
Иначе обстоит дело с	делением	.
Найдём	делением	неизвестный множитель х .
Задания , которые вы выполняли при изучении предыдущего пункта , сводились к нахождению частного десятичных дробей	делением	уголком .
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу , в которой участвуют три величины , обозначенные буквами s , v и t. Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по v и t умножением находим s ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по s и t	делением	находим t ) .
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу , в которой участвуют три величины , обозначенные буквами s , v и t. Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по v и t умножением находим s ) ; ( по s и v	делением	находим t ) ; ( по s и t делением находим t ) .
В метрической системе мер одна единица получается из другой умножением или	делением	на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с единицами длины и массы .
При	делении	нуля на любое целое число , не равное нулю , в частном получается нуль .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при	делении	на 3 в остатке 2 .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при	делении	на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Если частное выражается десятичной дробью , его можно вычислить , используя деление уголком , так же как при	делении	натуральных чисел .
Вы видите , что при	делении	всё время повторяется один и тот же остаток — число 2 .
При умножении и	делении	двух рациональных чисел , как и целых , сначала по правилам знаков определяют знак результата , а затем находят его модуль .
При	делении	на дробь в частном получается число , меньшее делимого .
Сформулируйте правила знаков при умножении и	делении	.
При	делении	любого целого числа на – 1 получается противоположное число .
При	делении	любого целого числа на 1 получается это же число .
К	делению	прибегают в тех случаях , когда хотят получить качественную оценку той или иной ситуации .
Вы видите , что умножение свелось к	делению	на 2 и на 4 соответственно .
А для этого прибегают к	делению	уголком .
Деление на десятичную дробь легко свести к	делению	на натуральное число .
Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от	деления	суммы этих чисел на их количество .
Остаток от	деления	раздробили в десятые и разделили 14 десятых .
Правила	деления	с рациональными числами .
Правила	деления	с обыкновенными дробями .
Можно указать и другие разбиения множества Ν , например по остаткам от	деления	на 3 .
В тех случаях , когда величины сравнивают с помощью	деления	, вместо слова « частное » обычно используют термин « отношение » .
Знаю правила сложения , вычитания , умножения и	деления	дробей ; умею выполнять вычисления с дробными числами .
Поэтому черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия	деления	двух натуральных чисел .
Замените знак	деления	чертой дроби и найдите частное : а ) 8:5 ; б ) 6 : 15 .
Это свойство можно использовать для построения правильного многоугольника : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки	деления	.
При вычислении значения такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие	деления	: выражение в числителе делится на выражение в знаменателе .
Так как в метрической системе мер единицы различаются в 10 , 100 , 1000 раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и	деления	на степень 10 .
Замените знак	деления	чертой дроби и найдите частное .
Сформулируйте правила знаков для умножения и	деления	рациональных чисел .
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет в любом случае находить результат	деления	на 10 , 100 , 1000 и так далее с помощью переноса запятой , — к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные нули .
Замените знаком	деления	черту дроби .
Для ответа на вопрос о том , какую часть составляют 32 000 человек от 80 000 , мы записали дробь , которая выражает частное от	деления	32 000 на 80 000 .
Рассмотрим сначала случай	деления	десятичной дроби на натуральное число .
В математике принято использовать черту дроби в качестве знака	деления	и при записи более сложных выражений .
Правила	деления	двух целых чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Сколько классов содержит разбиение множества натуральных чисел по остаткам от	деления	на 4 ?
Попробуем вычислить его с помощью	деления	уголком .
Продолжите ломаную так , чтобы она	делила	квадрат на две равные части .
Придумайте какую - нибудь другую ломаную , которая	делила	бы квадрат 4×4 клетки на две равные части .
Знаменатель ( число , записанное под чертой ) показывает , на сколько равных долей	делили	целое ; числитель ( число , записанное над чертой ) показывает , сколько таких долей взято .
При делении на дробь в частном получается число , меньшее	делимого	.
Когда все цифры	делимого	93,2 были снесены , нуль в остатке не получился .
В этом случае целая часть	делимого	меньше делителя .
Его значение не изменится , если	делимое	и делитель умножить на 100 .
Вы знаете , что частное двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой —	делимое	, а знаменатель — делитель .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в	делимом	и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите внимание : чтобы из первого частного получить второе , достаточно в	делимом	и делителе перенести запятую на два знака вправо .
Заметим , что в подобных случаях нуль можно приписывать не к	делимому	, а непосредственно к остатку .
Поэтому , чтобы продолжить деление , мы последовательно приписывали к	делимому	нули и вычисляли следующие цифры частного .
Любая ломаная , центрально - симметричная относительно центра квадрата ,	делит	его на две равные части .
Сделав соответствующий рисунок , определите , верно ли следующее утверждение : а ) Любая прямая , проходящая через центр симметрии прямоугольника ,	делит	его на две равные части .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает число 0 , а другая — число 1 Точка с координатой 0	делит	прямую на два луча .
Значит , диагональ	делит	параллелограмм на два равных треугольника .
Она	делит	пополам угол , противолежащий основанию , проходит через середину основания и перпендикулярна ему .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в	делителе	.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в	делителе	; выполнить деление на натуральное число .
Обратите внимание : чтобы из первого частного получить второе , достаточно в делимом и	делителе	перенести запятую на два знака вправо .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и	делителе	перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В — множество натуральных	делителей	числа 24 .
Пусть А — множество натуральных	делителей	числа 18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Его значение не изменится , если делимое и	делитель	умножить на 100 .
Вы знаете , что частное двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой — делимое , а знаменатель —	делитель	.
Преобразуйте частное так , чтобы	делитель	был целым числом , и выполните деление .
В этом случае целая часть делимого меньше	делителя	.
Чтобы найти модуль частного , надо модуль делимого разделить на модуль	делителя	.
1 ) На сколько частей	делится	окружность одним диаметром ?
Число 24 на 9 не	делится	, а 36 уже делится .
Однако эту дробь нельзя привести , например , к знаменателю 10 , так как число 10 на 3 не	делится	.
В то же время в системе измерения времени и углов сохранились древние традиции : например , час	делится	на 60 минут , минута — на 60 секунд .
При вычислении значения такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе	делится	на выражение в знаменателе .
На сколько частей	делится	сфера одной большой окружностью ?
Число 24 на 9 не делится , а 36 уже	делится	.
Приведём примеры математических предложений : 2 ) 87	делится	на 9 ; 3 ) а — чётное число .
Как обычно , на нуль	делить	нельзя .
Умею умножать и	делить	дроби на 10 , 100 , 1000 .
Будем	делить	уголком числитель дроби на её знаменатель и оборвём деление в тот момент , когда получим третий знак после запятой .
В самом деле , при с равно 0 в знаменателе дроби окажется 0 , а на нуль , как вы знаете ,	делить	нельзя .
Для этого будем	делить	0,5 на 3 .
Для получения более точных результатов меры стали	делить	на части , что и привело к появлению дробей .
Умею умножать и	делить	целые числа .
Поэтому будем	делить	уголком 10 на 7 .
В 5 классе вы научились складывать , вычитать , умножать и	делить	дроби .
Обозначения приняты именно потому , что расстояние	делят	на время .
Объясните , как	делят	десятичную дробь на десятичную .
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то	делят	на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Секунду	делят	не на 60 равных частей , а на десятые , сотые и тысячные .
Они	делят	плоскость на четыре угла .
Для этого отрезок между точками 0 и 1	делят	на 10 равных частей и отсчитывают 3 такие части .
Объясните на примере дробей и , как умножают и	делят	дроби .
Например , ботаники	делят	деревья на лиственные и хвойные .
По какому правилу	делят	десятичную дробь на « единицу с нулями » ?
Объясните , как	делят	числа одинаковых знаков и разных знаков , и выполните деление .
Какие из них	делятся	.
Понятно , что можно было выполнить цепочку сокращений иначе : например , сразу заметить , что числитель и знаменатель	делятся	на 9 .
Но если мы хотим найти наименьший общий знаменатель , то будем действовать с помощью известного вам приёма : будем последовательно перебирать числа , кратные 12 — большему знаменателю , и проверять ,	делятся	ли они на 9 .
Пусть А — множество чисел , которые	делятся	на 4 , но не делятся на 2 .
Пусть А — множество чисел , которые делятся на 4 , но не	делятся	на 2 .
Это означает , что диагонали точкой пересечения	делятся	пополам .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел ,	делящихся	на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел ,	делящихся	на 10 и не делящихся на 5 ? .
большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел ,	делящихся	на 3 .
Пусть А — это множество чисел ,	делящихся	на 3 , а В — множество чисел , делящихся на 5 . 1 ) Какое множество чисел соответствует общей части кругов ?
большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел ,	делящихся	на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Пусть А — это множество чисел , делящихся на 3 , а В — множество чисел ,	делящихся	на 5 . 1 ) Какое множество чисел соответствует общей части кругов ?
Например , участок маршрута , идущий от сухого	дерева	к белому камню , можно записать так : ( сухое дерево , 50 ° , 80 м ) .
Можно сначала найти все возможные варианты очереди ( например , построив	дерево	) , а затем выбрать нужные .
Например , участок маршрута , идущий от сухого дерева к белому камню , можно записать так : ( сухое	дерево	, 50 ° , 80 м ) .
Среди	деревьев	парка берёзы составляли 55 % , осины — 15 % , остальные деревья были других пород .
Например , ботаники делят	деревья	на лиственные и хвойные .
Среди деревьев парка берёзы составляли 55 % , осины — 15 % , остальные	деревья	были других пород .
	Десятиугольника	?
Значит , 7,35 — это	десятичная	запись числа 7 .
Однако мы знаем , что	десятичная	дробь не изменится , если к ней приписать справа нули .
Читается	десятичная	дробь 7,35 так же , как и смешанная дробь 77 целых 35 сотых .
Какая	десятичная	дробь должна быть записана на десятом месте ? .
а ) натуральное число ; б )	десятичная	дробь ? .
Дана	десятичная	дробь 6,73401852 .
Сколько цифр после запятой должна содержать	десятичная	дробь , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 10 000 ?
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель , отличный от 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде	десятичной	.
В ходе решения задачи мы перешли от	десятичной	дроби 0,54 к процентам : 0,54 — это 54 % .
Это и понятно : ведь умножение	десятичной	дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	.
Для записи натуральных чисел мы применяем нумерацию , которую называют	десятичной	.
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет в любом случае находить результат деления на 10 , 100 , 1000 и так далее с помощью переноса запятой , — к	десятичной	дроби слева нужно приписать вспомогательные нули .
Чтобы записать обыкновенную дробь в виде	десятичной	, нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и так далее .
Удобство	десятичной	нумерации подсказало математикам идею распространить её на дроби со знаменателями 10 , 100 , 1000 и так далее .
Деление	десятичной	дроби на 10 , 100 и так далее , также сводится к переносу запятой , но только влево .
Как изменится положение запятой в	десятичной	дроби , если эту дробь : а ) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз ; б ) уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде	десятичной	дроби .
Умножение	десятичной	дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 также можно выполнять с помощью переноса запятой .
Чтобы перейти от	десятичной	дроби к процентам , нужно эту дробь умножить на 100 .
Если дробь нельзя представить в виде	десятичной	дроби , то запишите её приближённое значение с двумя знаками после запятой .
А как , пользуясь сформулированным правилом , продолжить умножение	десятичной	дроби 6,735 на следующие степени числа 10 , то есть на 10 000 , 100 000 и так далее ? .
Дробь — в виде	десятичной	дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 : Так как .
Из записи 7,35 понятно , что в этой	десятичной	дроби содержится 7 единиц , 3 десятых и 5 сотых .
Правило выражения десятичной дроби в процентах	десятичной	.
Выразим дробь — приближённо	десятичной	дробью с двумя знаками после запятой .
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей	десятичной	дробью с нужным числом знаков после запятой .
При чтении	десятичной	дроби сначала называют её часть , стоящую перед запятой , и добавляют слово « целых » , затем называют часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Вы знаете , что не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде	десятичной	.
Приведите пример , когда в результате округления	десятичной	дроби получается целое число .
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными дробями ; цифры , стоящие в	десятичной	дроби после запятой , называют десятичными знаками .
5 Выразите	десятичной	дробью : а ) 39 % ; б ) 50 % ; в ) 6 % ; г ) 230 % .
а ) Рассмотрите два случая : 1 ) обе последние цифры — нули ; 2 ) хотя бы одна из последних цифр не нуль , б ) Рассмотрите случаи , когда нуль стоял в конце	десятичной	дроби и не в конце .
Выразите приближённо обыкновенную дробь	десятичной	дробью с двумя знаками после запятой .
Правило выражения	десятичной	дроби в процентах десятичной .
Например , в	десятичной	дроби 6,8105 последний разряд — это десятитысячные .
Сформулируйте правило умножения	десятичной	дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и так далее .
Представьте полученную дробь	десятичной	дробью и выразите её в процентах .
Поэтому при округлении	десятичной	дроби 21,28 до десятых её и заменяют приближённым значением с избытком : 21,28 ≈ 21,3 .
42 Умножение и деление	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 .
Замените приближённо обыкновенную дробь	десятичной	дробью с тремя знаками после запятой и округлите результат до сотых .
Однако не всякое дробное число можно записать и в виде	десятичной	, и в виде обыкновенной дроби .
Если число выражено	десятичной	дробью , то его можно представить и в виде обыкновенной дроби ( или смешанной дроби ) .
А умножение и деление	десятичной	дроби на « единицу с нулями » сводится к переносу запятой .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде	десятичной	или десятичную в виде обыкновенной .
Вспомните : к	десятичной	дроби справа можно приписывать любое число нулей , при этом получается дробь , равная данной .
Если нужно построить точку , соответствующую , например ,	десятичной	дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Сколько элементов содержит множество : а ) цифр	десятичной	системы счисления ; б ) букв русского алфавита ; в ) простых чисел , меньших 30 ; г ) двузначных чисел , меньших 100 ? .
Объясните , почему дробь можно представить в виде	десятичной	, а дробь нет .
а ) Выразите	десятичной	дробью .
Умею переходить от	десятичной	дроби к обыкновенной и наоборот .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент	десятичной	дробью можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
Если к	десятичной	дроби приписать справа какое угодно количество нулей , то получится дробь , равная данной .
Таким образом , частное двух десятичных дробей не всегда можно выразить	десятичной	дробью .
Выразим эти доли	десятичной	дробью .
Что произошло с этой	десятичной	дробью ? .
Найдите частное , перейдя к обыкновенным дробям , и , если возможно , выразите ответ	десятичной	дробью .
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить проценты	десятичной	дробью .
Чтобы выразить проценты	десятичной	дробью , надо число , стоящее перед знаком % , разделить на 100 , или , что одно и то же , умножить на 0,01 .
Если частное выражается	десятичной	дробью , его можно вычислить , используя деление уголком , так же как при делении натуральных чисел .
Выразите время в часах сначала обыкновенной дробью , а затем , если возможно ,	десятичной	.
Дробь можно представить в виде	десятичной	.
Выразите время в часах и , если возможно , запишите ответ в виде	десятичной	дроби .
Выразите	десятичной	дробью 17 % , 40 % , 150 % .
Объясните , как можно вычислить произведение	десятичной	и обыкновенной дробей .
На примере числа объясните , как обыкновенную дробь записывают в виде	десятичной	.
Докажите , что дробь можно представить в виде	десятичной	, а дробь нет .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении	десятичной	дроби на десятичную дробь ; на натуральное число .
Представьте ответ , если возможно , в виде	десятичной	дроби .
Точно так же можно показать , что , например . Понятно , что верны равенства , то есть нули , записанные в конце	десятичной	дроби , можно отбрасывать .
	Десятичной	дроби и натурального числа ? .
В каждом предложении замените проценты	десятичной	дробью : а ) В новом году стоимость проезда в метро повысилась на 12 % от его прошлогодней стоимости .
Знаю , какую обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	, а какую нет .
Запишите сумму в виде	десятичной	дроби .
Правило выражения	десятичной	дроби дробью .
Правило выражения	десятичной	дроби в процентах .
В	десятичной	дроби после запятой столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Выразим 5 %	десятичной	дробью , получим 0,05 .
Деление	десятичной	дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
У каждой	десятичной	дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Поэтому любое натуральное число можно записать в виде	десятичной	дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
а ) В	десятичной	дроби с « длинным хвостом » зачеркнули две последние цифры .
Представьте в виде обыкновенной дроби ; 2 ) Запишите в виде	десятичной	дроби .
Вы видели , что результат сложения , вычитания и умножения десятичных дробей выражается	десятичной	дробью .
б ) В	десятичной	дроби среди цифр , стоящих после запятой , есть нуль , причём он только один .
Сократите дробь и запишите её в виде	десятичной	.
Представьте дробь в виде	десятичной	.
Если в	десятичной	дроби последние цифры — нули , то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Запишем обыкновенную дробь в виде	десятичной	дроби .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся	десятичной	дробью .
Выразите	десятичной	и обыкновенной дробью .
Выразите	десятичной	дробью .
В знаменателе дроби 4 нуля , значит , в соответствующей	десятичной	дроби должно быть 4 цифры после запятой .
Главное преимущество	десятичной	записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Рассмотрим сначала случай деления	десятичной	дроби на натуральное число .
Прочитайте каждую получившуюся	десятичную	дробь .
Найдите значение выражения , записав	десятичную	дробь в виде обыкновенной .
Замените данную	десятичную	дробь равной , содержащей наименьшее количество десятичных знаков .
Представьте	десятичную	дробь в виде суммы разрядных слагаемых .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или	десятичную	в виде обыкновенной .
Прочитайте	десятичную	дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби .
Запишем	десятичную	дробь 0,259 в виде обыкновенной дроби .
Всякую ли	десятичную	дробь можно записать в виде обыкновенной дроби ?
А как сравнить обыкновенную дробь и	десятичную	, например и 0,6 ?
Представьте	десятичную	дробь 0,49 в виде суммы разрядных слагаемых и , выполнив сложение , получите соответствующую обыкновенную дробь .
Умею сравнивать	десятичную	дробь и обыкновенную .
Например , дробь обращается в	десятичную	, а дробь нет .
Запишите частное в виде обыкновенной дроби и , если возможно , обратите её в	десятичную	.
Чтобы сложить обыкновенную дробь и	десятичную	, их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Нидерландский математик и инженер Симон Стевин ( XVI в . ) , с именем которого связывают открытие десятичных дробей в Европе ,	десятичную	дробь 35,912 записывал так .
33 Перевод обыкновенной дроби в	десятичную	.
Позднее такую	десятичную	дробь стали записывать проще : 35 ° 912 .
1 Запишите какую - нибудь	десятичную	дробь с четырьмя десятичными знаками и прочитайте её .
А вот сумму дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в	десятичную	не обращается .
Прочитайте каждую	десятичную	дробь .
Рассмотрите	десятичную	дробь 93,10897 и ответьте на вопросы .
Признак обратимости обыкновенной дроби в	десятичную	.
Чтобы умножить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
Вычислите , обратив	десятичную	дробь в обыкновенную .
Обратите обыкновенную дробь в	десятичную	двумя способами .
Объясните , как делят десятичную дробь на	десятичную	.
Объясните , как делят	десятичную	дробь на десятичную .
Как выразить	десятичную	дробь в процентах ?
Чтобы разделить десятичную дробь на	десятичную	дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
По какому правилу делят	десятичную	дробь на « единицу с нулями » ?
Обратите внимание : частное равно дроби , которая в	десятичную	не обращается .
Чтобы разделить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
Чтобы разделить	десятичную	дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите обыкновенную дробь в	десятичную	.
По какому правилу умножают	десятичную	дробь на « единицу с нулями » ?
Деление на	десятичную	дробь легко свести к делению на натуральное число .
На примере вычисления частного чисел 11,9 и 5 расскажите , как можно разделить уголком	десятичную	дробь на натуральное число .
Будем умножать	десятичную	дробь .
Некоторую	десятичную	дробь округлили до сотых , затем эту же дробь округлили до тысячных .
До какого разряда округляли	десятичную	дробь , если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Вычислите , обратив обыкновенную дробь в	десятичную	.
Возьмём какую - нибудь	десятичную	дробь , например 7,35 .
Дробь нельзя обратить в	десятичную	, поэтому число 0,27 запишем в виде обыкновенной дроби .
Обратите	десятичную	дробь в обыкновенную и выполните умножение .
Чтобы перемножить	десятичную	дробь и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Выразите	десятичную	дробь приближённо в процентах , предварительно округлив её до сотых .
В первом случае мы получили	десятичную	дробь 0,2 , а во втором — обыкновенную дробь , которая в десятичную не обращается .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на	десятичную	дробь ; на натуральное число .
В первом случае мы получили десятичную дробь 0,2 , а во втором — обыкновенную дробь , которая в	десятичную	не обращается .
Отделив запятой справа три цифры , получили	десятичную	дробь 28,200 , то есть 28,2 .
Округлите . 1 )	десятичную	дробь 282,0954 до десятых , до сотых , до тысячных .
Однако прошли века , прежде чем	десятичные	дроби стали широко использоваться при вычислениях и приобрели современный вид .
Вы умеете сравнивать две обыкновенные дроби и две	десятичные	.
Укажите какие - нибудь три	десятичные	дроби , заключённые между .
Сравним	десятичные	дроби Целые части этих дробей одинаковы , совпадают также первые три цифры после запятой .
Сравним	десятичные	дроби 1,8 и 1,42 .
Например ,	десятичные	дроби 0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число .
Сравним	десятичные	дроби 2,7 и 3,1 .
Умею сравнивать	десятичные	дроби , упорядочивать несколько десятичных дробей .
Прочитайте	десятичные	дроби .
6 Запишите в порядке возрастания	десятичные	дроби .
Умею изображать	десятичные	дроби точками на координатной прямой .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение —	десятичные	дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Умею читать	десятичные	дроби .
Знаю правило умножения десятичных дробей ; умею умножать	десятичные	дроби .
Запишите все	десятичные	дроби , которые можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , соблюдая следующее условие : цифра используется в записи числа не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
Рассмотренные примеры позволяют сформулировать правило , по которому можно округлять	десятичные	дроби .
,	десятичные	дроби можно округлять до единиц , десятых , сотых , тысячных и так далее .
Используя	десятичные	дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы длины .
Продолжите последовательность десятичных дробей , записав ещё два числа , и прочитайте все записанные	десятичные	дроби .
Вычислите , обратив обыкновенные дроби в	десятичные	.
На примере вычисления суммы и разности чисел 7,85 и 0,534 объясните , как складывают и как вычитают	десятичные	дроби .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания десятичных дробей ; умею складывать и вычитать	десятичные	дроби .
В настоящее время известны его	десятичные	приближения с очень большим числом десятичных знаков .
Выпишите все	десятичные	дроби с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
Вычитать	десятичные	дроби можно также в столбик .
Однако для практических расчётов	десятичные	дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после запятой .
Приведите дроби к одному из знаменателей 10 или 100 и запишите соответствующие	десятичные	дроби .
Точно так же и другие	десятичные	дроби выражаются в процентах .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать	десятичные	дроби при выполнении процентных вычислений .
Поэтому , чтобы сложить эти	десятичные	дроби , необязательно обращать их в обыкновенные .
1 На примерах вычисления суммы и разности чисел 24,9 и 8,23 расскажите , как складывают и вычитают	десятичные	дроби .
На примере числа 65,249 расскажите , как читают	десятичные	дроби .
С развитием науки потребовались новые единицы измерения и соответственно новые	десятичные	приставки .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним	десятичным	знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
Но в такой форме ответ неудобен , поэтому перейдём к	десятичным	дробям .
Перейдём от обыкновенных дробей к	десятичным	, а затем к процентам .
Число 21,28 заключено между	десятичными	дробями 21,2 и 21,3 .
Какой знак сравнения нужно поставить между данными	десятичными	дробями , чтобы получить верное неравенство .
Какие натуральные числа заключены между данными	десятичными	дробями ?
Правила действий с	десятичными	дробями .
Ответ выразите	десятичными	дробями .
Решите задачу и запишите ответ с тремя	десятичными	знаками после запятой .
Удобство обращения с	десятичными	дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
1 Запишите какую - нибудь десятичную дробь с четырьмя	десятичными	знаками и прочитайте её .
Выразите проценты , приведённые на диаграмме ,	десятичными	дробями .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять	десятичными	дробями и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Умею выражать значения величин	десятичными	дробями .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над	десятичными	дробями почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Глава 4 Действия с	десятичными	дробями .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя	десятичными	знаками ) .
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют	десятичными	дробями ; цифры , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют десятичными знаками .
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными дробями ; цифры , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют	десятичными	знаками .
Умею выражать проценты	десятичными	дробями и наоборот .
Пусть нужно найти сумму	десятичных	дробей 3,44 и 7,28 .
Знаю правило умножения	десятичных	дробей ; умею умножать десятичные дроби .
43 Умножение	десятичных	дробей .
Теперь для некоторых дробных чисел у вас есть два способа записи — в виде обыкновенных дробей и в виде	десятичных	, и нужно уметь переходить от одной формы записи к другой .
Умножение	десятичных	дробей , как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
Умею выполнять деление	десятичных	дробей .
Знаю правила округления	десятичных	дробей и умею применять их на практике .
41 Сложение и вычитание	десятичных	дробей .
34 Сравнение	десятичных	дробей .
Какие из дробей можно представить в виде	десятичных	? .
Так же обстоит дело и при записи чисел в виде	десятичных	дробей .
Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных	десятичных	дробей убрать запятые .
Представьте данное число в виде произведения двух	десятичных	дробей ( укажите два решения ) .
Таким образом ,	десятичных	знаков в произведении столько же , сколько их в множителях вместе .
Продолжите последовательность	десятичных	дробей , записав ещё два числа , и прочитайте все записанные десятичные дроби .
Запишите числа в виде	десятичных	дробей и прочитайте их .
Задания , которые вы выполняли при изучении предыдущего пункта , сводились к нахождению частного	десятичных	дробей делением уголком .
Правило сравнения	десятичных	дробей .
Проиллюстрируйте правило округления	десятичных	дробей на примере округления дроби 0,3725 до сотых , до тысячных .
В настоящее время известны его десятичные приближения с очень большим числом	десятичных	знаков .
Какие из рассмотренных в тексте	десятичных	приставок , с помощью которых образуются названия единиц измерения , означают увеличение исходной единицы и какие — уменьшение ?
С помощью	десятичных	дробей выразите : а ) в метрах : 53 см , 4 м 67 см , 277 см , 304 см ; б ) в килограммах : 2 кг 255 г , 350 г , 1470 г ; в ) в тоннах : 1 т 255 кг , 678 кг , 2034 кг .
Запишите в виде	десятичных	дробей следующие обыкновенные дроби .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление	десятичных	дробей ? .
Ученики выполняли задание на округление	десятичных	дробей , и при этом было допущено несколько ошибок .
Представьте дроби в виде	десятичных	дробей , если это возможно .
Какие из них можно представить в виде	десятичных	дробей ?
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3	десятичных	знака .
При использовании	десятичных	дробей в практических расчётах их обычно округляют .
46 Округление	десятичных	дробей .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания	десятичных	дробей ; умею складывать и вычитать десятичные дроби .
Какие из перечисленных дробей можно представить в виде	десятичных	, а какие нельзя .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество	десятичных	знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Чтобы найти сумму ( разность )	десятичных	дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число	десятичных	знаков , приписав к дроби 3,5 справа нуль .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из	десятичных	дробей 3,44 и 7,28 убрать запятые .
Запишите в виде	десятичных	дробей .
45 Деление	десятичных	дробей ( продолжение ) .
Чтобы найти произведение двух	десятичных	дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа .
Опровергните с помощью контрпримера утверждение : из двух	десятичных	дробей больше та , у которой цифр после запятой больше .
Тогда можно будет воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом умножения	десятичных	дробей .
Поэтому выполним умножение в	десятичных	дробях .
Всего можно записать 18	десятичных	дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
Изобретение	десятичных	дробей является одним из величайших достижений человеческой культуры .
Замените данную десятичную дробь равной , содержащей наименьшее количество	десятичных	знаков .
При умножении	десятичных	дробей в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
Нидерландский математик и инженер Симон Стевин ( XVI в . ) , с именем которого связывают открытие	десятичных	дробей в Европе , десятичную дробь 35,912 записывал так .
4 Представьте в виде	десятичных	дробей числа , для которых это возможно .
Таким образом , частное двух	десятичных	дробей не всегда можно выразить десятичной дробью .
Как определяют положение запятой в произведении	десятичных	дробей ?
Пусть В — множество обыкновенных дробей , которые можно представить в виде	десятичных	.
Вы видели , что результат сложения , вычитания и умножения	десятичных	дробей выражается десятичной дробью .
Правило округления	десятичных	дробей .
В каких дробях можно выполнить сравнение данных чисел — в обыкновенных , в	десятичных	или и в тех и в других .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют запятой столько	десятичных	знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
44 Деление	десятичных	дробей .
в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько	десятичных	знаков содержится в обоих множителях вместе .
Умею сравнивать десятичные дроби , упорядочивать несколько	десятичных	дробей .
Подобно тому как натуральные числа округляют до	десятков	, сотен , тысяч и так далее .
Полученные числовые значения округлите до	десятков	.
натуральное число 2 820 954 до	десятков	, до сотен , до тысяч .
Ответы округлите до	десятков	.
Какая цифра записана в разряде	десятков	и какая — в разряде десятых ? .
Диагонали прямоугольника равны , а	диагонали	квадрата не только равны , но и перпендикулярны друг другу .
Постройте параллелограмм по заданным сторонам и	диагонали	.
Постройте параллелограмм ,	диагонали	которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под углом 30 ° .
Скопируйте параллелограммы в тетрадь и проведите их	диагонали	.
10 Прямоугольник со сторонами 3 см и 6 см разрезали по	диагонали	.
Начертите : а ) какой - нибудь параллелограмм , диагонали которого равны 4 см и 6 см ; б ) ромб ,	диагонали	которого равны 4 см и 6 см .
В каждом четырёхугольнике проведите	диагонали	и постройте точку , симметричную точке пересечения диагоналей четырёхугольника .
а ) Постройте прямоугольник ,	диагонали	которого равны по 6 см. Постройте другой прямоугольник с такими же диагоналями .
Начертите : а ) какой - нибудь параллелограмм ,	диагонали	которого равны 4 см и 6 см ; б ) ромб , диагонали которого равны 4 см и 6 см .
Квадрат разрезали по его	диагонали	и из получившихся частей сложили треугольник .
Рассмотрите дополнительно плоскости , проходящие через	диагонали	противоположных граней .
Значит ,	диагональ	делит параллелограмм на два равных треугольника .
Какой из отрезков самый длинный : ребро куба АВ , диагональ грани АС или	диагональ	куба AD ?
Является ли	диагональ	осью симметрии прямоугольника ? .
Какой из отрезков самый длинный : ребро куба АВ ,	диагональ	грани АС или диагональ куба AD ?
а ) Вычислите длину окружности ,	диаметр	которой равен 10 см ; 2,5 м . б ) Вычислите длину окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м .
Обозначим длину окружности буквой С , а её	диаметр	буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то π .
Известно , что во всех цирках мира	диаметр	арены равен 13 м .
Найдите объём шара ,	диаметр	которого равен 12 см .
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и	диаметр	.
9 Найдите площадь круга ,	диаметр	которого равен 10 см .
Далее измерьте линейкой	диаметр	донышка и вычислите отношение длины окружности к длине диаметра .
Самая большая параллель — это экватор , его	диаметр	равен диаметру Земли .
Шара	диаметр	.
Чему равна длина окружности ,	диаметр	которой равен 1 ?
Представьте , что вам необходимо измерить	диаметр	арбуза , имеющего форму шара .
Отметьте центр шара , начертите его радиус и	диаметр	.
8 Найдите длину окружности ,	диаметр	которой равен 20 см .
Что надо сделать , чтобы найти	диаметр	арбуза ? .
Определите её размеры , если	диаметр	шара равен 8 см .
Далее измерьте линейкой диаметр донышка и вычислите отношение длины окружности к длине	диаметра	.
Таким образом , путём эксперимента вы установили , что длина окружности примерно в 3 раза больше её	диаметра	.
двумя	диаметрами	?
тремя	диаметрами	?
1 ) На сколько частей делится окружность одним	диаметром	?
Найдём , какой длины бордюр потребуется для ограждения клумбы , имеющей форму круга с	диаметром	, равным 4 м .
Сколько шаров	диаметром	1 см войдёт в кубическую коробку с ребром 4 см ?
Маша раскатала тесто в квадрат со стороной 30 см и стаканом вырезала 16 кругов	диаметром	7 см. Чему равна площадь обрезков ? .
Число , выражающее отношение длины окружности к её	диаметру	, принято обозначать греческой буквой π ( читается « пи » ) — первой буквой слова « периферия » , означающего « окружность » .
Их диаметры равны	диаметру	шара .
Самая большая параллель — это экватор , его диаметр равен	диаметру	Земли .
Отношение длины окружности к её	диаметру	— величина постоянная , не зависящая от размеров окружности .
Обозначим длину окружности буквой С , а её диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к	диаметру	равно π , то π .
Когда параллели приближаются к полюсам , их	диаметры	уменьшаются .
Их	диаметры	равны диаметру шара .
Есть три мяча ,	диаметры	которых равны 6 см 7 мм , 6 см 4 мм , 7 см. Все ли они соответствуют этому требованию ? .
В таблице даны	диаметры	d ( в м ) различных круглых салфеток .
Вы наверняка слышали о золотом сечении , а это не что иное , как отношение	длин	отрезков , примерно равное 1,66 .
С самых древних времён , наряду с необходимостью считать предметы , у людей появилась потребность в измерении	длин	, площадей , углов и других величин .
Стороны прямоугольника равны 9 см и 6 см. Найдём отношения	длин	его сторон .
Какими бы ни были конкретные значения	длин	сторон треугольника , чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Начертите какой - нибудь прямоугольник , отношение	длин	сторон которого равно 4:3 .
Математики Древней Греции неожиданно обнаружили , что для решения такой практически важной задачи , как измерение	длин	отрезков , не хватает не только целых , но и дробных чисел , так что возникла необходимость в изобретении новых чисел .
Чему равна	длина	фасада этого дома , если на чертеже она изображается отрезком , равным 35 см ? .
Во сколько раз при этом уменьшается	длина	её стороны ?
В какой момент	длина	отрезка АВ будет наибольшей ?
Начертите отрезок АВ ,	длина	которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых равны 80 % , 150 % , 200 % и 220 % длины отрезка АВ .
Чему равна	длина	отрезка , который на 10 м длиннее данного ?
Огород имеет форму прямоугольника ,	длина	которого 8 м , ширина 2,5 м .
Чему равна	длина	каждой части ?
Чему равна	длина	окружности , диаметр которой равен 1 ?
а ) Найдите площадь комнаты , если её длина равна 6 м . б ) Найдите площадь комнаты , если её	длина	больше её ширины на 0,8 м .
Чему равна	длина	отремонтированного участка дороги ?
Начертите две окружности радиусами , равными 2 см и 4 см. Во сколько раз	длина	второй окружности больше длины первой ?
Пусть	длина	стороны равностороннего треугольника равна а .
Сколько рулонов обоев надо купить , если	длина	каждого рулона 10,5 м ? .
б ) Доску ,	длина	которой 6,2 м , надо распилить на куски длиной 0,8 м .
Составьте формулу периметра равнобедренного треугольника , у которого	длина	основания равна а , а длина боковой стороны равна b .
Два брата должны были покрасить половину забора ,	длина	которого 128 м .
Составьте формулу периметра равнобедренного треугольника , у которого длина основания равна а , а	длина	боковой стороны равна b .
а ) Найдите площадь комнаты , если её	длина	равна 6 м . б ) Найдите площадь комнаты , если её длина больше её ширины на 0,8 м .
Чему равна	длина	столба , если его надземная часть 1,6 м ? .
Таким образом , путём эксперимента вы установили , что	длина	окружности примерно в 3 раза больше её диаметра .
Чему равна	длина	оси римской колесницы и длина оси английской конки ?
Чему равна сторона участка , если её	длина	на плане равна 16 см ? .
Чему равна длина оси римской колесницы и	длина	оси английской конки ?
В каком бы месте ни провести перпендикуляр с ,	длина	отрезка MN будет одной и той же .
От верёвки ,	длина	которой 4 м , нужно отрезать 4 м .
б ) Какую часть длины данного отрезка составляет	длина	каждой получившейся части ? .
На отрезке АВ ,	длина	которого равна 6 см , отмечена точка С так , что AС равно 2 см. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и СВ .
Решите эту же задачу , если AB равно 10 см и AC равно 6 см . 2 ) На отрезке АВ ,	длина	которого равна 8 см , точка С отмечена произвольным образом .
При этом расстояние — это всегда	длина	кратчайшего пути .
Ванна школьного бассейна имеет форму параллелепипеда , его	длина	25 м , ширина 16 м , глубина 3 м .
Его	длина	и есть расстояние между точками А и В .
Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к	длине	соответствующего отрезка на местности .
Расстояние от центра О до прямой равно	длине	перпендикуляра ОМ .
Отношение стоимости товара к его количеству ( массе ,	длине	, числу штук и так далее . ) — это цена товара .
Далее измерьте линейкой диаметр донышка и вычислите отношение длины окружности к	длине	диаметра .
а ) Сколько кусков ленты по 2,5 м получится из мотка	длиной	23 м ? .
Определите площадь окон , вымытых за час . а ) От ленты	длиной	2 м 40 см отрезали 4 её длины .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок	длиной	3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
14 Ленту	длиной	5,7 м разрезали на 4 равные части .
Выполните следующие построения на альбомном листе бумаги : 1 ) Начертите отрезок АВ	длиной	6 см. 2 ) Проведите окружность с центром в точке А , радиус которой равен 4 см. 3 )
б ) Доску , длина которой 6,2 м , надо распилить на куски	длиной	0,8 м .
Чтобы сшить кухонные полотенца , хозяйка отрезала от куска полотна	длиной	5,5 м несколько кусков по 0,65 м .
У неё остался кусок	длиной	0,95 м .
Проволоку	длиной	24 см согнули в прямоугольник .
Даны четыре отрезка	длиной	2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Используя неравенство треугольника , определите , сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков .
2 ) Колонна автобусов	длиной	400 м движется по шоссе со скоростью 50 км / ч .
Отрезок	длиной	36 см разделили на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
а ) Рулон обоев	длиной	10,5 м разрезали на 8 равных кусков .
При ремонте участка шоссе	длиной	20 км в первый день отремонтировали 0,35 всего участка , во второй день — 0,4 всего участка , остальное — в третий день .
При этом оставляют проёмы	длиной	4 м и 1,5 м для ворот и калитки .
От провода	длиной	6 м отрезали 0,25 его длины .
Бригада должна отремонтировать участок дороги	длиной	900 м .
Участок шоссе на карте изображён линией	длиной	20 см. Масштаб карты 1 : 200 000 .
а ) От ленты	длиной	15 м отрезали 0,3 её длины .
Бригада строителей проложила асфальтовую дорогу	длиной	9 км за четыре месяца .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а его	длину	, ширину и высоту соответственно буквами а , b и с. Получим формулу .
а ) Вычислите	длину	окружности , диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б ) Вычислите длину окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м .
Сколько метров дороги построено , если вся дорога будет иметь	длину	850 м ? .
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2	длину	каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см. Найдите : а ) периметр прямоугольника КВМО ; б ) периметр прямоугольника AKLD ; в ) периметр прямоугольника ABCD ; г )	длину	ломаной ANMCD .
а ) Вычислите длину окружности , диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б ) Вычислите	длину	окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м .
Вычислите	длину	экватора .
Вы получите	длину	окружности , ограничивающей дно стакана .
Найдите	длину	оставшейся части .
Найдите примерную	длину	каждой части .
Могу , используя формулы С равно 2πr и 5 равно πr2 , вычислять	длину	окружности и площадь круга .
Найдите	длину	дорожки и площадь стадиона .
Оберните стакан ниткой и , развернув нитку , измерьте её	длину	линейкой .
Какой из отрезков имеет наибольшую	длину	? .
Обозначьте	длину	его стороны какой - нибудь буквой .
8 Найдите	длину	окружности , диаметр которой равен 20 см .
Представьте , что вы помогаете родителям делать ремонт в ванной комнате , которая имеет	длину	3,5 м и ширину 2,5 м .
Найдите	длину	всего пути .
Найдите	длину	дуги окружности , выделенной зелёным цветом .
Убедитесь , что нельзя построить треугольник , стороны которого равны : а ) 7 см , 3 см и 3 см ; б ) 6 см , 4 см и 2 см. Измените	длину	одной из сторон так , чтобы треугольник можно было построить .
Вычислите	длину	ломаной , если стороны сетки равны 0,5 см и 1,5 см .
Обозначьте	длину	его ребра какой - нибудь буквой и составьте формулу объёма куба .
Найдите	длину	третьей стороны треугольника , если .
Чтобы получить формулу , по которой можно вычислить	длину	окружности , проведите такой эксперимент .
Обозначим	длину	окружности буквой С , а её диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то π .
Какую	длину	будет иметь одна из сторон этого прямоугольника , если другая сторона равна 5 см ?
Вычислите неизвестную	длину	третьего ребра параллелепипеда , если .
Выразите	длину	какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и длины двух других рёбер .
Измерьте	длину	и ширину тетради и выразите результаты сначала в миллиметрах , затем в сантиметрах и , наконец , в дециметрах .
Найдите	длину	каждого куска .
Подставим в формулу	длины	окружности значение d и возьмём π — 3,14 , получим .
В метрической системе мер одна единица получается из другой умножением или делением на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с единицами	длины	и массы .
Масштабом называют отношение	длины	отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности .
Так , например , чтобы найти отношение 1 м к 45 см , надо выразить эти	длины	в одних единицах , например в сантиметрах .
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух чисел , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица	длины	на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Если это одноимённые величины —	длины	, площади , массы и так далее , то их отношение выражается числом .
Обозначим длину окружности буквой С , а её диаметр буквой d. Так как отношение	длины	окружности к диаметру равно π , то π .
Найдите	длины	отрезков АВ , АС и СВ .
Число , выражающее отношение	длины	окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π ( читается « пи » ) — первой буквой слова « периферия » , означающего « окружность » .
Используя десятичные дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы	длины	.
Запишите формулу для вычисления	длины	l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса .
Измерьте	длины	сторон четырёхугольника .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых равны 80 % , 150 % , 200 % и 220 %	длины	отрезка АВ .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки ,	длины	которых равны 80 % , 150 % , 200 % и 220 % длины отрезка АВ .
б ) Какую часть	длины	данного отрезка составляет длина каждой получившейся части ? .
Далее измерьте линейкой диаметр донышка и вычислите отношение	длины	окружности к длине диаметра .
84 Формулы	длины	окружности , площади круга и объёма шара .
Выполните необходимые измерения , выразите	длины	в сантиметрах и определите , какой путь короче .
Сравните в каждом случае	длины	отрезков АС и ВС .
Отношение	длины	окружности к её диаметру — величина постоянная , не зависящая от размеров окружности .
а ) От ленты длиной 15 м отрезали 0,3 её	длины	.
Определите площадь окон , вымытых за час . а ) От ленты длиной 2 м 40 см отрезали 4 её	длины	.
Сделайте рисунок и составьте формулу для вычисления	длины	троса L. Вычислите L при х равно 60 м , у равно 20 м .
От провода длиной 6 м отрезали 0,25 его	длины	.
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же	длины	, получим точку – 3,5 .
Выразите длину какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и	длины	двух других рёбер .
Отношение	длины	комнаты к её ширине равно 5:4 .
Знаю , что такое масштаб ; умею находить	длины	и расстояния , учитывая масштаб изображения .
Столб , врытый в землю , возвышается над землёй на 0,8 своей	длины	.
Обозначим периметр треугольника буквой Р , а	длины	его сторон буквами а , b и с. Тогда .
Найдём , какой	длины	бордюр потребуется для ограждения клумбы , имеющей форму круга с диаметром , равным 4 м .
Чтобы найти площадь прямоугольника , нужно перемножить	длины	его смежных сторон .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить	длины	его смежных сторон и результат умножить на 2 .
Обозначим	длины	сторон прямоугольника буквами а и b , тогда .
Формула	длины	окружности .
Если в формулу вместо d подставить 2r , то получим другую формулу	длины	окружности .
Пусть	длины	сторон треугольника равны 4 см , 6 см и 7 см. Тогда его периметр равен .
Начертите две окружности радиусами , равными 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше	длины	первой ?
Пусть а , b , с —	длины	сторон треугольника .
Это формула	длины	окружности .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от нуля отрезки ,	длины	которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Вам известны соотношения , с помощью которых одни единицы	длины	выражаются через другие , более мелкие .
Сделайте рисунок , выбрав величину угла и	длины	отрезков на своё усмотрение .
Если	домножить	его на три пятёрки , то получится один из знаменателей указанного ряда — число 1000 .
Какие из	дробей	можно представить в виде десятичных ? .
Умею выполнять деление десятичных	дробей	.
Ученики выполняли задание на округление десятичных	дробей	, и при этом было допущено несколько ошибок .
Запишите числа в виде десятичных	дробей	и прочитайте их .
Чтобы найти сумму или разность	дробей	с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю .
Сначала приведём дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания	дробей	с равными знаменателями .
Запишите в виде десятичных	дробей	.
Чтобы найти сумму или разность	дробей	с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму или разность их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Перейдём от обыкновенных	дробей	к десятичным , а затем к процентам .
Изобретение десятичных	дробей	является одним из величайших достижений человеческой культуры .
Знаю , в чём состоит основное свойство дроби ; умею применять его для приведения	дробей	к новому знаменателю и сокращения дробей .
Знаю , в чём состоит основное свойство дроби ; умею применять его для приведения дробей к новому знаменателю и сокращения	дробей	.
Задания , которые вы выполняли при изучении предыдущего пункта , сводились к нахождению частного десятичных	дробей	делением уголком .
Какие из перечисленных	дробей	можно представить в виде десятичных , а какие нельзя .
Запишите в виде десятичных	дробей	следующие обыкновенные дроби .
Объясните , как можно вычислить произведение десятичной и обыкновенной	дробей	.
Для этого в записи таких	дробей	стали использовать новые разряды , располагая их правее разряда единиц .
Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных	дробей	убрать запятые .
Вы видите , что при записи отрицательных	дробей	« минус » можно ставить перед дробью , вносить его в числитель или убирать в знаменатель .
Проиллюстрируйте правило округления десятичных	дробей	на примере округления дроби 0,3725 до сотых , до тысячных .
Наименьший общий знаменатель	дробей	равен 80 ( объясните , как он найден ) .
Главное преимущество десятичной записи	дробей	заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у	дробей	различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Всего можно записать 18 десятичных	дробей	: 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
В самом деле , запишем каждую из этих	дробей	в виде обыкновенной дроби .
Объясните на примере	дробей	и , как умножают и делят дроби .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6	дробей	, составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
Целые части этих	дробей	одинаковы , но различаются цифры в разряде десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
Так же обстоит дело и при записи чисел в виде десятичных	дробей	.
Таким образом , частное двух десятичных	дробей	не всегда можно выразить десятичной дробью .
Объясните на примере	дробей	как складывают и вычитают дроби с разными знаменателями .
При использовании десятичных	дробей	в практических расчётах их обычно округляют .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12	дробей	, составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
31 Десятичная запись	дробей	.
34 Сравнение десятичных	дробей	.
Пусть В — множество обыкновенных	дробей	, которые можно представить в виде десятичных .
Знаю правило умножения десятичных	дробей	; умею умножать десятичные дроби .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных	дробей	, можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Продолжите последовательность десятичных	дробей	, записав ещё два числа , и прочитайте все записанные десятичные дроби .
Вы видели , что результат сложения , вычитания и умножения десятичных	дробей	выражается десятичной дробью .
Представьте дроби в виде десятичных	дробей	, если это возможно .
44 Деление десятичных	дробей	.
Сравним десятичные дроби Целые части этих	дробей	одинаковы , совпадают также первые три цифры после запятой .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания десятичных	дробей	; умею складывать и вычитать десятичные дроби .
45 Деление десятичных	дробей	( продолжение ) .
41 Сложение и вычитание десятичных	дробей	.
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из десятичных	дробей	3,44 и 7,28 убрать запятые .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление десятичных	дробей	? .
Математики придумали для таких	дробей	удобный способ записи , похожий на способ записи натуральных чисел .
А как найти сумму	дробей	3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после запятой различно ? .
С помощью десятичных	дробей	выразите : а ) в метрах : 53 см , 4 м 67 см , 277 см , 304 см ; б ) в килограммах : 2 кг 255 г , 350 г , 1470 г ; в ) в тоннах : 1 т 255 кг , 678 кг , 2034 кг .
Правило округления десятичных	дробей	.
Опровергните с помощью контрпримера утверждение : из двух десятичных	дробей	больше та , у которой цифр после запятой больше .
Для получения более точных результатов меры стали делить на части , что и привело к появлению	дробей	.
А вот сумму	дробей	и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в десятичную не обращается .
Объясните на примере	дробей	и как привести дроби к наименьшему общему знаменателю .
Умножение десятичных	дробей	, как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
Представьте данное число в виде произведения двух десятичных	дробей	( укажите два решения ) .
4 Представьте в виде десятичных	дробей	числа , для которых это возможно .
Правило сравнения десятичных	дробей	.
Вы знаете , что в качестве общего знаменателя	дробей	можно взять произведение знаменателей 12 и 9 , то есть число 108 .
Умею сравнивать десятичные дроби , упорядочивать несколько десятичных	дробей	.
46 Округление десятичных	дробей	.
При умножении десятичных	дробей	в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
Пусть нужно найти сумму десятичных	дробей	3,44 и 7,28 .
43 Умножение десятичных	дробей	.
Запись	дробей	с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции , только греки знаменатель записывали сверху , а числитель — снизу .
Какие из них можно представить в виде десятичных	дробей	?
Тогда можно будет воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных	дробей	, либо правилом умножения десятичных дробей .
Для каждой дроби существует бесконечно много	дробей	, равных ей .
В этом случае нужно перейти к какой - нибудь одной форме представления	дробей	.
Как определяют положение запятой в произведении десятичных	дробей	?
Чтобы найти произведение двух десятичных	дробей	, можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа .
Знаю правила округления десятичных	дробей	и умею применять их на практике .
Какая из этих двух	дробей	ближе к 1 ? .
Теперь для некоторых дробных чисел у вас есть два способа записи — в виде обыкновенных	дробей	и в виде десятичных , и нужно уметь переходить от одной формы записи к другой .
Какая из	дробей	ближе к 1 — правильная или обратная ей неправильная ?
Знаю правила сложения , вычитания , умножения и деления	дробей	; умею выполнять вычисления с дробными числами .
Нидерландский математик и инженер Симон Стевин ( XVI в . ) , с именем которого связывают открытие десятичных	дробей	в Европе , десятичную дробь 35,912 записывал так .
Тогда можно будет воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом умножения десятичных	дробей	.
Уравняем число разрядов , приписав ко второй	дроби	цифру 0 .
Но у первой	дроби	после запятой есть ещё и четвёртая цифра , поэтому .
Дробь — в виде десятичной	дроби	записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 : Так как .
Приведены некоторые проценты , которые « легко считаются » , и соответствующие им	дроби	.
Представьте	дроби	в виде десятичных дробей , если это возможно .
Заметим , что вычислить частное можно иначе : записать его в виде	дроби	и преобразовать эту дробь так , чтобы в числителе и знаменателе оказались натуральные числа .
Обратите внимание : частное равно	дроби	, которая в десятичную не обращается .
2 ) разделив уголком числитель	дроби	на знаменатель .
В ходе решения задачи мы перешли от десятичной	дроби	0,54 к процентам : 0,54 — это 54 % .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать	дроби	в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Поэтому деление уголком	дроби	0,5 на 3 и оказалось бесконечным .
Цифры в разрядах единиц , десятых , сотых и тысячных одинаковы , а в следующем разряде цифры различны : в первой	дроби	стоит цифра 1 , а во второй — цифра 0 .
Однако прошли века , прежде чем десятичные	дроби	стали широко использоваться при вычислениях и приобрели современный вид .
В каких случаях все три	дроби	равны ? .
Точно так же и другие десятичные	дроби	выражаются в процентах .
Не складывая	дроби	, сравните с числом 10 сумму .
Чтобы перейти от десятичной	дроби	к процентам , нужно эту дробь умножить на 100 .
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными дробями ; цифры , стоящие в десятичной	дроби	после запятой , называют десятичными знаками .
Дробь — в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной	дроби	число 0,6 : Так как .
Вы умеете сравнивать две обыкновенные	дроби	и две десятичные .
На примере числа 65,249 расскажите , как читают десятичные	дроби	.
Для противопоставления	дроби	, записанные с помощью дробной черты , называют обыкновенными дробями .
Умею сравнивать десятичные	дроби	, упорядочивать несколько десятичных дробей .
Прочитайте в объяснительном тексте , как можно записывать отрицательные	дроби	.
Запишем обыкновенную дробь в виде десятичной	дроби	.
6 Запишите в порядке возрастания десятичные	дроби	.
Назовите какие - нибудь две	дроби	, заключённые между числами .
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни необходимы не только целые числа , но и дробные , в том числе отрицательные	дроби	.
На примере вычисления суммы и разности чисел 7,85 и 0,534 объясните , как складывают и как вычитают десятичные	дроби	.
Запишем десятичную дробь 0,259 в виде обыкновенной	дроби	.
Даны	дроби	.
В десятичной дроби после запятой столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной	дроби	.
Запишите частное в виде	дроби	и , если возможно , сократите её .
Это можно сделать , представив	дроби	в виде обыкновенных .
В знаменателе	дроби	4 нуля , значит , в соответствующей десятичной дроби должно быть 4 цифры после запятой .
У каждой десятичной	дроби	две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные	дроби	с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Найдите значение	дроби	.
Если дробь нельзя представить в виде десятичной	дроби	, то запишите её приближённое значение с двумя знаками после запятой .
Поэтому , чтобы сложить эти десятичные	дроби	, необязательно обращать их в обыкновенные .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении десятичной	дроби	на десятичную дробь ; на натуральное число .
Знаю правило умножения десятичных дробей ; умею умножать десятичные	дроби	.
Умею умножать и делить	дроби	на 10 , 100 , 1000 .
1 На примерах вычисления суммы и разности чисел 24,9 и 8,23 расскажите , как складывают и вычитают десятичные	дроби	.
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания десятичных дробей ; умею складывать и вычитать десятичные	дроби	.
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число десятичных знаков , приписав к	дроби	3,5 справа нуль .
Вычитать десятичные	дроби	можно также в столбик .
Расположите в порядке убывания	дроби	.
В десятичной	дроби	после запятой столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
записав частное в виде	дроби	.
В знаменателе дроби 4 нуля , значит , в соответствующей десятичной	дроби	должно быть 4 цифры после запятой .
Представьте в виде обыкновенной	дроби	; 2 ) Запишите в виде десятичной дроби .
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной	дроби	0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Поэтому при округлении десятичной	дроби	21,28 до десятых её и заменяют приближённым значением с избытком : 21,28 ≈ 21,3 .
Укажите какие - нибудь три десятичные	дроби	, заключённые между .
, десятичные	дроби	можно округлять до единиц , десятых , сотых , тысячных и так далее .
Рассмотренные примеры позволяют сформулировать правило , по которому можно округлять десятичные	дроби	.
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать десятичные	дроби	при выполнении процентных вычислений .
Из записи 7,35 понятно , что в этой десятичной	дроби	содержится 7 единиц , 3 десятых и 5 сотых .
Проиллюстрируйте правило округления десятичных дробей на примере округления	дроби	0,3725 до сотых , до тысячных .
а ) В десятичной	дроби	с « длинным хвостом » зачеркнули две последние цифры .
Десятичные	дроби	, так же как и обыкновенные , изображают точками на координатной прямой .
б ) В десятичной	дроби	среди цифр , стоящих после запятой , есть нуль , причём он только один .
Знаю , в чём состоит основное свойство	дроби	; умею применять его для приведения дробей к новому знаменателю и сокращения дробей .
Представьте в виде обыкновенной дроби ; 2 ) Запишите в виде десятичной	дроби	.
Приведите пример , когда в результате округления десятичной	дроби	получается целое число .
Выпишите все десятичные	дроби	с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
Умею сравнивать	дроби	.
Однако для практических расчётов десятичные	дроби	удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после запятой .
2 Сравните	дроби	.
При чтении десятичной	дроби	сначала называют её часть , стоящую перед запятой , и добавляют слово « целых » , затем называют часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Умею читать десятичные	дроби	.
Выпишите все	дроби	со знаменателем 7 , которые изображаются точками , расположенными на координатной прямой между точками .
Будем делить уголком числитель	дроби	на её знаменатель и оборвём деление в тот момент , когда получим третий знак после запятой .
Умею изображать десятичные	дроби	точками на координатной прямой .
Например , в десятичной	дроби	6,8105 последний разряд — это десятитысячные .
Но в числителе	дроби	, только две цифры .
Умею переходить от десятичной	дроби	к обыкновенной и наоборот .
Сколько цифр после запятой должна содержать десятичная дробь , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной	дроби	равен 10 000 ?
Если вы умеете выполнять устно такие действия , как , например , то сможете преобразовывать « многоэтажные »	дроби	быстрее .
Вычислите , обратив обыкновенные	дроби	в десятичные .
Пользуясь рассмотренным свойством , любое рациональное число мы можем записать в виде	дроби	, числитель которой — целое число , знаменатель — натуральное .
Если число выражено десятичной дробью , то его можно представить и в виде обыкновенной дроби ( или смешанной	дроби	) .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в	дроби	6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
Если число выражено десятичной дробью , то его можно представить и в виде обыкновенной	дроби	( или смешанной дроби ) .
Преобразовывать дробь в равную позволяет основное свойство	дроби	.
Дробь нельзя обратить в десятичную , поэтому число 0,27 запишем в виде обыкновенной	дроби	.
Однако после сокращения	дроби	он исчезнет .
Но есть	дроби	, действовать с которыми почти так же просто , как и с натуральными числами .
Правило выражения десятичной	дроби	в процентах десятичной .
Однако не всякое дробное число можно записать и в виде десятичной , и в виде обыкновенной	дроби	.
Всякую ли десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной	дроби	?
Для каждой	дроби	существует бесконечно много дробей , равных ей .
Представьте ответ , если возможно , в виде десятичной	дроби	.
Десятичные и обыкновенные	дроби	— это две различные формы представления чисел .
Если числитель и знаменатель	дроби	умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Запишите сумму в виде десятичной	дроби	.
Приведите	дроби	к одному из знаменателей 10 или 100 и запишите соответствующие десятичные дроби .
Запишите ответ с помощью	дроби	.
Правило выражения десятичной	дроби	в процентах .
Приведите дроби к одному из знаменателей 10 или 100 и запишите соответствующие десятичные	дроби	.
Частное двух чисел , обозначенных буквами , записывают обычно с помощью черты	дроби	, например .
Назовите числитель и знаменатель каждой	дроби	и расскажите , что они показывают .
Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти	дроби	к общему знаменателю .
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной	дроби	.
Сложим	дроби	.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой	дроби	запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной	дроби	или смешанной дроби .
33 Перевод обыкновенной	дроби	в десятичную .
А в первых русских учебниках математики	дроби	так и назывались — « ломаные числа » .
В 5 классе вы научились складывать , вычитать , умножать и делить	дроби	.
Если знаменатель несократимой обыкновенной	дроби	содержит хотя бы один простой множитель , отличный от 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной .
десятичной	дроби	и натурального числа ? .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой	дроби	запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
Глава 3 Десятичные	дроби	.
Сравним	дроби	.
Деление десятичной	дроби	на 10 , 100 и так далее , также сводится к переносу запятой , но только влево .
Приведём	дроби	к общему знаменателю .
Дополнительный множитель для первой	дроби	равен , для второй дроби он равен .
Теперь умножим числитель и знаменатель	дроби	на 12 .
Дополнительный множитель для первой дроби равен , для второй	дроби	он равен .
Сформулируйте основное свойство	дроби	и проиллюстрируйте его примером .
Мы заменили вычитание сложением и затем привели	дроби	к общему знаменателю .
Это обусловлено тем , что для записи каждой	дроби	используют два натуральных числа .
Объясните на примере дробей и как привести	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
Разложив на простые множители знаменатель этой	дроби	, получим произведение , содержащее число 3 .
рическую фигуру ( прямоугольник , круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует	дроби	. 1 ) Приведите дроби к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
рическую фигуру ( прямоугольник , круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 ) Приведите	дроби	к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
Приведите к наименьшему общему знаменателю	дроби	.
В Древнем Риме при измерении величин применялись	дроби	со знаменателем 12 .
Удобство десятичной нумерации подсказало математикам идею распространить её на	дроби	со знаменателями 10 , 100 , 1000 и так далее .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде десятичной	дроби	.
Сравните	дроби	и запишите результат сравнения с помощью знаков больше , меньше , равно .
Запишите	дроби	в порядке возрастания .
Применяя это свойство , можно приводить дроби к новому знаменателю , сокращать	дроби	.
Отрицательные	дроби	можно записывать по - разному .
Вспомните : к десятичной	дроби	справа можно приписывать любое число нулей , при этом получается дробь , равная данной .
Применяя это свойство , можно приводить	дроби	к новому знаменателю , сокращать дроби .
Правило выражения десятичной	дроби	дробью .
Не приводя	дроби	к общему знаменателю , установите , какая из них наибольшая .
Если знаменатель обыкновенной	дроби	не содержит никаких простых множителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной .
Сравним десятичные	дроби	Целые части этих дробей одинаковы , совпадают также первые три цифры после запятой .
А как , пользуясь сформулированным правилом , продолжить умножение десятичной	дроби	6,735 на следующие степени числа 10 , то есть на 10 000 , 100 000 и так далее ? .
Признак обратимости обыкновенной	дроби	в десятичную .
Это	дроби	, у которых знаменателем служит степень числа 10 .
Выразите время в часах и , если возможно , запишите ответ в виде десятичной	дроби	.
Общеупотребительной черта	дроби	стала только с XVI в .
Сформулируйте правило умножения десятичной	дроби	на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и так далее .
При вычислении значения такой « многоэтажной »	дроби	последним выполняется действие деления : выражение в числителе делится на выражение в знаменателе .
Прочитайте десятичные	дроби	.
Поэтому любое натуральное число можно записать в виде десятичной	дроби	с каким угодно количеством нулей после запятой .
Найдём значение	дроби	.
Расположите в порядке возрастания	дроби	.
Умножим числитель и знаменатель	дроби	на 30 .
Значение	дроби	при этом не изменится , а в числителе и знаменателе окажутся целые числа .
Замените знак деления чертой	дроби	и найдите частное .
Запишите выражение в виде	дроби	и сократите эту дробь .
Разберите , как выполнено умножение	дроби	32,5 на 0,1 .
Замените знаком деления черту	дроби	.
32 Десятичные	дроби	и метрическая система мер .
Запишите выражение в виде частного , используя черту	дроби	.
14 Основные задачи на	дроби	.
42 Умножение и деление десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 .
Умножение десятичной	дроби	на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 также можно выполнять с помощью переноса запятой .
Найти от 80 000 можно по - разному : опираясь на смысл понятия	дроби	и по правилу нахождения части от числа .
Десятичные	дроби	, как и натуральные числа , сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными дробями .
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет в любом случае находить результат деления на 10 , 100 , 1000 и так далее с помощью переноса запятой , — к десятичной	дроби	слева нужно приписать вспомогательные нули .
Это и понятно : ведь умножение десятичной	дроби	на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Как изменится положение запятой в десятичной	дроби	, если эту дробь : а ) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз ; б ) уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
В этой главе вы узнаете , как принято записывать такие	дроби	и какие преимущества это даёт .
а ) Рассмотрите два случая : 1 ) обе последние цифры — нули ; 2 ) хотя бы одна из последних цифр не нуль , б ) Рассмотрите случаи , когда нуль стоял в конце десятичной	дроби	и не в конце .
Используя десятичные	дроби	, можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы длины .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные	дроби	— повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Сравним десятичные	дроби	2,7 и 3,1 .
Десятичные	дроби	появились в математике гораздо раньше , чем современные единицы измерения — метры и граммы .
Сравним десятичные	дроби	1,8 и 1,42 .
В дальнейшем нам будут встречаться	дроби	, числители и знаменатели которых — любые выражения , а не только натуральные числа .
В математике принято использовать черту	дроби	в качестве знака деления и при записи более сложных выражений .
В самом деле , при с равно 0 в знаменателе	дроби	окажется 0 , а на нуль , как вы знаете , делить нельзя .
Замените знак деления чертой	дроби	и найдите частное : а ) 8:5 ; б ) 6 : 15 .
В привычном для нас виде	дроби	впервые стали записываться в Древней Индии около 1500 лет назад , но при этом индусы обходились без черты между числителем и знаменателем .
Запишите частное в виде обыкновенной	дроби	и , если возможно , обратите её в десятичную .
Продолжите последовательность десятичных дробей , записав ещё два числа , и прочитайте все записанные десятичные	дроби	.
Вы видите , что в результате умножения в исходной	дроби	меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Запишите все десятичные	дроби	, которые можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , соблюдая следующее условие : цифра используется в записи числа не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
Лишь значительно позже греки , а затем индусы стали использовать в вычислениях и другие	дроби	.
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака , но у нашей	дроби	перед запятой только 3 знака .
И вначале люди для вычислений употребляли только такие	дроби	.
Вы знаете , что одно и то же число может быть представлено в виде обыкновенной	дроби	разными способами .
Объясните на примере дробей как складывают и вычитают	дроби	с разными знаменателями .
Запишите в виде десятичных дробей следующие обыкновенные	дроби	.
Например , десятичные	дроби	0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число .
Объясните на примере дробей и , как умножают и делят	дроби	.
В самом деле , запишем каждую из этих дробей в виде обыкновенной	дроби	.
В современной записи , как вам известно ,	дроби	выглядят так .
По основному свойству	дроби	.
Точно так же можно показать , что , например . Понятно , что верны равенства , то есть нули , записанные в конце десятичной	дроби	, можно отбрасывать .
Если к десятичной	дроби	приписать справа какое угодно количество нулей , то получится дробь , равная данной .
Рассмотрим сначала случай деления десятичной	дроби	на натуральное число .
Вообще первыми в практике людей появились самые простые	дроби	, составляющие одну долю целого и так далее .
Сначала приведём	дроби	к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания дробей с равными знаменателями .
Если в десятичной	дроби	последние цифры — нули , то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Сравните	дроби	.
Сначала разделили на 3 целую часть	дроби	7,47 , после этого в частном поставили запятую .
13 « Многоэтажные »	дроби	.
Вы знаете , что частное двух натуральных чисел равно	дроби	, числитель которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Поэтому черту	дроби	можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел .
Деление десятичной	дроби	на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
Вы знаете также , что любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной	дроби	, причём с каким угодно знаменателем .
А умножение и деление десятичной	дроби	на « единицу с нулями » сводится к переносу запятой .
Однако не всякое	дробное	число можно записать и в виде десятичной , и в виде обыкновенной дроби .
Для этого , как вы знаете , нужно просто записать знаменатель	дробной	части « в явном виде » .
Каждое из этих частных можно записать с помощью	дробной	черты .
Теперь же вместо кружка , отделяющего целую часть от	дробной	, мы пишем внизу запятую .
Для противопоставления дроби , записанные с помощью	дробной	черты , называют обыкновенными дробями .
Примите по очереди каждую	дробную	черту за « основную » и запишите соответствующие выражения .
В этих обозначениях принято использовать наклонную	дробную	черту : км / ч , м / с , м / мин .
Выпишите : а ) целые числа ; б ) отрицательные	дробные	числа .
Например . Целые и	дробные	числа вместе составляют множество рациональных чисел .
Между целыми числами на координатной прямой расположены	дробные	числа , на правом луче положительные , на левом — отрицательные .
Такие	дробные	числа , как , естественно , называют противоположными числами .
Отрицательные	дробные	числа , как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительным числам знака « минус » .
Дробные числа , с которыми мы до сих пор имели дело , будем теперь называть положительными и наряду с ними рассматривать отрицательные	дробные	числа .
Умею вычислять значения выражений , содержащих	дробные	числа , в том числе в ходе решения задач .
Положительные	дробные	числа , как и положительные целые , можно записывать со знаком « плюс » .
Понятно , что вместо n нельзя подставлять	дробные	числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом .
В этой главе будут рассмотрены отрицательные	дробные	числа , и вы сможете оперировать как с целыми , так и с дробными положительными и отрицательными числами .
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни необходимы не только целые числа , но и	дробные	, в том числе отрицательные дроби .
Сумма двух дробных чисел также является числом	дробным	.
Знаю правила сложения , вычитания , умножения и деления дробей ; умею выполнять вычисления с	дробными	числами .
В этой главе будут рассмотрены отрицательные дробные числа , и вы сможете оперировать как с целыми , так и с	дробными	положительными и отрицательными числами .
Назовите те из них , которые являются : а ) натуральными ; б ) целыми ; в ) отрицательными	дробными	; г ) рациональными .
До сих пор на уроках математики вы имели дело с числами натуральными и	дробными	.
Используя описанное свойство , можно действовать , не выясняя , модуль какого из данных	дробных	чисел больше .
Замените отношение	дробных	чисел равным ему отношением целых чисел .
Сумма двух	дробных	чисел также является числом дробным .
Теперь для некоторых	дробных	чисел у вас есть два способа записи — в виде обыкновенных дробей и в виде десятичных , и нужно уметь переходить от одной формы записи к другой .
Необычность и удивительность этого числа состоит в том , что среди известных вам чисел — целых и	дробных	— его нет .
Математики Древней Греции неожиданно обнаружили , что для решения такой практически важной задачи , как измерение длин отрезков , не хватает не только целых , но и	дробных	чисел , так что возникла необходимость в изобретении новых чисел .
В первом случае мы получили десятичную дробь 0,2 , а во втором — обыкновенную	дробь	, которая в десятичную не обращается .
Заметим , что вычислить частное можно иначе : записать его в виде дроби и преобразовать эту	дробь	так , чтобы в числителе и знаменателе оказались натуральные числа .
В первом случае мы получили десятичную	дробь	0,2 , а во втором — обыкновенную дробь , которая в десятичную не обращается .
Однако мы знаем , что десятичная	дробь	не изменится , если к ней приписать справа нули .
Чтобы сложить обыкновенную	дробь	и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Деление на десятичную	дробь	легко свести к делению на натуральное число .
Будем умножать десятичную	дробь	.
Некоторую десятичную	дробь	округлили до сотых , затем эту же дробь округлили до тысячных .
Некоторую десятичную дробь округлили до сотых , затем эту же	дробь	округлили до тысячных .
Как изменится положение запятой в десятичной дроби , если эту	дробь	: а ) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз ; б ) уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
приведя	дробь	к знаменателю , равному степени 10 .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите обыкновенную	дробь	в десятичную двумя способами .
Объясните , как делят десятичную	дробь	на десятичную .
Какая десятичная	дробь	должна быть записана на десятом месте ? .
По какому правилу делят десятичную	дробь	на « единицу с нулями » ?
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную	дробь	, нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
На примере вычисления частного чисел 11,9 и 5 расскажите , как можно разделить уголком десятичную	дробь	на натуральное число .
Округлим	дробь	0,172504 до десятых .
Если	дробь	нельзя представить в виде десятичной дроби , то запишите её приближённое значение с двумя знаками после запятой .
Возьмём какую - нибудь десятичную	дробь	, например 7,35 .
Округлите . 1 ) десятичную	дробь	282,0954 до десятых , до сотых , до тысячных .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную	дробь	в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Рассмотрите десятичную	дробь	93,10897 и ответьте на вопросы .
Вспомните : к десятичной дроби справа можно приписывать любое число нулей , при этом получается	дробь	, равная данной .
Отделив запятой справа три цифры , получили десятичную	дробь	28,200 , то есть 28,2 .
А вот сумму дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как	дробь	в десятичную не обращается .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
Округлим	дробь	0,466 до сотых и получим , что .
Десятичная	дробь	представлена в виде суммы разрядных слагаемых .
Чтобы перемножить десятичную	дробь	и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Выразим	дробь	— приближённо десятичной дробью с двумя знаками после запятой .
Представьте десятичную	дробь	в виде суммы разрядных слагаемых .
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную	дробь	заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после запятой .
Читается десятичная дробь 7,35 так же , как и смешанная	дробь	77 целых 35 сотых .
Вы знаете , что не всякую обыкновенную	дробь	можно записать в виде десятичной .
Обратите десятичную	дробь	в обыкновенную и выполните умножение .
Читается десятичная	дробь	7,35 так же , как и смешанная дробь 77 целых 35 сотых .
До какого разряда округляли десятичную	дробь	, если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
По какому правилу умножают десятичную	дробь	на « единицу с нулями » ?
Вычислите , обратив десятичную	дробь	в обыкновенную .
Вычислите , обратив обыкновенную	дробь	в десятичную .
Попробуем теперь разделить	дробь	851,3 на 10 000 .
Чтобы умножить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
Округлим	дробь	0,39608 до сотых .
Выразите приближённо обыкновенную	дробь	десятичной дробью с двумя знаками после запятой .
Дана десятичная	дробь	6,73401852 .
Прочитайте предложение , выразив	дробь	в процентах : а ) бензином заполнили бака .
Запишите выражение в виде дроби и сократите эту	дробь	.
а ) натуральное число ; б ) десятичная	дробь	? .
Сократим	дробь	.
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это число умножить на данную	дробь	.
Десятичная	дробь	.
Чтобы найти число по его части , нужно эту часть разделить на	дробь	, ей соответствующую .
Для ответа на вопрос о том , какую часть составляют 32 000 человек от 80 000 , мы записали	дробь	, которая выражает частное от деления 32 000 на 80 000 .
Однако эту	дробь	нельзя привести , например , к знаменателю 10 , так как число 10 на 3 не делится .
Позднее такую десятичную	дробь	стали записывать проще : 35 ° 912 .
Нидерландский математик и инженер Симон Стевин ( XVI в . ) , с именем которого связывают открытие десятичных дробей в Европе , десятичную	дробь	35,912 записывал так .
Поэтому первая	дробь	больше .
Если в десятичной дроби последние цифры — нули , то , отбросив их , получим	дробь	, равную данной .
Заметим , что	дробь	— можно привести к любому знаменателю , и кратному 3 , то есть к 6 , 9 , 12 и любому другому числу , делящемуся на 3 .
Не выполняя вычислений , определите , больше или меньше 50 % получится , если выразить в процентах следующую	дробь	.
Замените приближённо обыкновенную	дробь	десятичной дробью с тремя знаками после запятой и округлите результат до сотых .
Выразите десятичную	дробь	приближённо в процентах , предварительно округлив её до сотых .
А как сравнить обыкновенную	дробь	и десятичную , например и 0,6 ?
Обратите обыкновенную	дробь	в десятичную .
, а затем выразим полученную	дробь	в процентах : 0,15 — это 15 % .
Как выразить десятичную	дробь	в процентах ?
Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам , нужно эту	дробь	умножить на 100 .
Замените данную десятичную	дробь	равной , содержащей наименьшее количество десятичных знаков .
Для этого надо эту часть разделить на	дробь	, ей соответствующую ; получим 10 800 р .
Чтобы записать обыкновенную	дробь	в виде десятичной , нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и так далее .
Представьте полученную	дробь	десятичной дробью и выразите её в процентах .
Обыкновенная	дробь	.
Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество нулей , то получится	дробь	, равная данной .
Потом воспользовались признаком делимости на 9 и сократили полученную	дробь	на 9 .
Сократите	дробь	.
Значит ,	дробь	— нельзя привести ни к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и так далее .
Рассуждаем . 1 ) Дана правильная	дробь	.
Запишите обратную ей	дробь	.
Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную	дробь	можно представить в виде десятичной .
Правильной или неправильной является эта	дробь	?
Возьмём	дробь	.
Запишите какую - нибудь правильную	дробь	и дробь , обратную ей .
Запишите какую - нибудь правильную дробь и	дробь	, обратную ей .
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель , отличный от 2 и 5 , то эту обыкновенную	дробь	нельзя представить в виде десятичной .
Возьмём , например ,	дробь	.
Всякую ли десятичную	дробь	можно записать в виде обыкновенной дроби ?
Объясните , почему	дробь	можно представить в виде десятичной , а дробь нет .
Объясните , почему дробь можно представить в виде десятичной , а	дробь	нет .
Сократите	дробь	и запишите её в виде десятичной .
Докажите , что	дробь	можно представить в виде десятичной , а дробь нет .
Прочитайте десятичную	дробь	и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби .
Докажите , что дробь можно представить в виде десятичной , а	дробь	нет .
Чтобы умножить	дробь	на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Чтобы умножить дробь на	дробь	, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Чтобы разделить одну	дробь	на другую , нужно первую дробь умножить на дробь , обратную второй .
Найдите значение выражения , записав десятичную	дробь	в виде обыкновенной .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую	дробь	умножить на дробь , обратную второй .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на	дробь	, обратную второй .
Прочитайте каждую получившуюся десятичную	дробь	.
Например , дробь обращается в десятичную , а	дробь	нет .
Приведём	дробь	— к знаменателю 36 .
Возьмём теперь	дробь	.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится	дробь	, равная данной .
Преобразовывать	дробь	в равную позволяет основное свойство дроби .
Знаю , какую обыкновенную	дробь	можно представить в виде десятичной , а какую нет .
Вычеркните одну цифру после запятой так , чтобы	дробь	: а ) увеличилась ; б ) уменьшилась .
Например ,	дробь	обращается в десятичную , а дробь нет .
Прочитайте каждую десятичную	дробь	.
Запишем обыкновенную	дробь	в виде десятичной дроби .
Интересно , что в языках разных народов слова для обозначения понятия «	дробь	» происходят от таких глаголов , как « раздроблять » , « разбивать » , « ломать » .
Умею сравнивать десятичную	дробь	и обыкновенную .
На примере числа объясните , как обыкновенную	дробь	записывают в виде десятичной .
Запишем десятичную	дробь	0,259 в виде обыкновенной дроби .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную	дробь	; на натуральное число .
Представьте десятичную дробь 0,49 в виде суммы разрядных слагаемых и , выполнив сложение , получите соответствующую обыкновенную	дробь	.
Представьте	дробь	в виде десятичной .
Сколько цифр после запятой должна содержать десятичная	дробь	, если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 10 000 ?
Представьте десятичную	дробь	0,49 в виде суммы разрядных слагаемых и , выполнив сложение , получите соответствующую обыкновенную дробь .
При делении на	дробь	в частном получается число , меньшее делимого .
а ) Приведите	дробь	к знаменателю 60 .
Можно просто прочитать данную	дробь	без слов « 0 целых » и записать её со знаменателем .
1 Запишите какую - нибудь десятичную	дробь	с четырьмя десятичными знаками и прочитайте её .
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной	дробью	с нужным числом знаков после запятой .
Выразите	дробью	5 % , 80 % . б ) Выразите в процентах населения города .
Если число выражено десятичной	дробью	, то его можно представить и в виде обыкновенной дроби ( или смешанной дроби ) .
Выразим эти доли десятичной	дробью	.
Выразим дробь — приближённо десятичной	дробью	с двумя знаками после запятой .
Таким образом , частное двух десятичных дробей не всегда можно выразить десятичной	дробью	.
Произнесите без слова « процент » ( заменив проценты	дробью	) следующие фразы : « В математическом кружке занимаются 7 % всех учащихся школы » ; « В голосовании приняли участие 73 % избирателей » .
Вы видели , что результат сложения , вычитания и умножения десятичных дробей выражается десятичной	дробью	.
Вы видите , что при записи отрицательных дробей « минус » можно ставить перед	дробью	, вносить его в числитель или убирать в знаменатель .
Выразите время в часах сначала обыкновенной	дробью	, а затем , если возможно , десятичной .
В каждом случае найдите разность между полученным приближённым значением и данной	дробью	.
Правило выражения десятичной дроби	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	17 % , 40 % , 150 % .
Если частное выражается десятичной	дробью	, его можно вычислить , используя деление уголком , так же как при делении натуральных чисел .
Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной	дробью	с двумя знаками после запятой .
5 Выразите десятичной	дробью	: а ) 39 % ; б ) 50 % ; в ) 6 % ; г ) 230 % .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной	дробью	, можно записать в виде десятичной дроби .
Выразим 5 % десятичной	дробью	, получим 0,05 .
Теперь решим задачу на нахождение числа по его части , выраженной	дробью	.
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить проценты десятичной	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	.
Часто бывает удобно выражать проценты обыкновенной	дробью	, особенно в тех случаях , когда , используя их , можно выполнить вычисления устно .
б ) Выразите обыкновенной	дробью	.
Найдите частное , перейдя к обыкновенным дробям , и , если возможно , выразите ответ десятичной	дробью	.
В каждом предложении замените проценты десятичной	дробью	: а ) В новом году стоимость проезда в метро повысилась на 12 % от его прошлогодней стоимости .
Выразите проценты	дробью	и сократите её : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 60 % , 75 % , 80 % .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной	дробью	.
При этом вы выражали процент	дробью	.
Выразите проценты	дробью	и , если можно , сократите её .
Выразите десятичной и обыкновенной	дробью	.
Замените приближённо обыкновенную дробь десятичной	дробью	с тремя знаками после запятой и округлите результат до сотых .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент десятичной	дробью	можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
Что произошло с этой десятичной	дробью	? .
а ) Выразите десятичной	дробью	.
Представьте полученную дробь десятичной	дробью	и выразите её в процентах .
Чтобы выразить проценты десятичной	дробью	, надо число , стоящее перед знаком % , разделить на 100 , или , что одно и то же , умножить на 0,01 .
Прочитайте предложение , заменив проценты соответствующей	дробью	.
Какой знак сравнения нужно поставить между данными десятичными	дробями	, чтобы получить верное неравенство .
Правила деления с обыкновенными	дробями	.
Умею выражать проценты десятичными	дробями	и наоборот .
Умею выражать значения величин десятичными	дробями	.
Число 21,28 заключено между десятичными	дробями	21,2 и 21,3 .
А знаете ли вы , что значение этих слов связано с	дробями	?
Покажем , как это можно использовать при выполнении действий с	дробями	, для того чтобы делать вычисления более простыми .
Ответ выразите десятичными	дробями	.
Правила умножения с обыкновенными	дробями	.
112 Вычисления с	дробями	.
Выразите проценты , приведённые на диаграмме , десятичными	дробями	.
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными	дробями	почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Вы уже неоднократно встречались с	дробями	и могли убедиться , что выполнять действия с ними труднее , чем с натуральными числами .
Правила вычитания с обыкновенными	дробями	.
Какие натуральные числа заключены между данными десятичными	дробями	?
Человек , знакомый с	дробями	, поймёт , что к движению Гринпис присоединилось чуть меньше половины жителей города .
Десятичные дроби , как и натуральные числа , сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными	дробями	.
Перемножим числа 3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными	дробями	.
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными	дробями	; цифры , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют десятичными знаками .
Для противопоставления дроби , записанные с помощью дробной черты , называют обыкновенными	дробями	.
Правила действий с десятичными	дробями	.
Правила сложения с обыкновенными	дробями	.
Удобство обращения с десятичными	дробями	привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными	дробями	и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Глава 4 Действия с десятичными	дробями	.
Это свойство можно использовать для построения правильного многоугольника : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных	дуг	) и соединить последовательно точки деления .
След , который оставляет точка А при повороте , — это	дуга	окружности .
Найдите длину	дуги	окружности , выделенной зелёным цветом .
( Полученное число округлите до	единиц	) .
Например : — округление до	единиц	3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в разряде сотых .
, десятичные дроби можно округлять до	единиц	, десятых , сотых , тысячных и так далее .
Для этого в записи таких дробей стали использовать новые разряды , располагая их правее разряда	единиц	.
Ответ округлите до	единиц	.
Округлите до	единиц	.
Какие из рассмотренных в тексте десятичных приставок , с помощью которых образуются названия	единиц	измерения , означают увеличение исходной единицы и какие — уменьшение ?
Так как в метрической системе мер единицы различаются в 10 , 100 , 1000 раз , то переход от одних	единиц	измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на степень 10 .
Человек , пришедший в гости , забыл код , открывающий дверь подъезда , но помнил , что он составлен из нулей и	единиц	и содержит четыре цифры .
Из записи 7,35 понятно , что в этой десятичной дроби содержится 7	единиц	, 3 десятых и 5 сотых .
Округлим числовое значение площади до	единиц	, тогда S ≈ 133 м2 .
Это правило действует по отношению ко всем разрядам , кроме самого младшего — разряда	единиц	.
г ) Сколько всего	единиц	продукции было выпущено за месяц , если жакетов было выпущено 3000 штук ? .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней красным карандашом точки , удалённые от точки 0 на 4 единицы , и синим карандашом точки , удалённые от точки – 3 на 6	единиц	.
4 ) В каких разрядах содержится одинаковое количество	единиц	? .
Цифры в разрядах	единиц	, десятых , сотых и тысячных одинаковы , а в следующем разряде цифры различны : в первой дроби стоит цифра 1 , а во второй — цифра 0 .
Поэтому первым справа от разряда	единиц	помещают разряд десятых .
а ) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского веса — унциями : 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это число до десятых ; до	единиц	.
Это связано с его происхождением — минута появилась тогда , когда стала необходимой	единица	измерения углов , меньшая градуса .
В метрической системе мер одна	единица	получается из другой умножением или делением на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с единицами длины и массы .
В её основе число 10 :	единица	каждого разряда в 10 раз больше единицы предыдущего разряда .
Поэтому в разряде сотых оказался 0 , а в разряде десятых добавилась одна разрядная	единица	.
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух чисел , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз	единица	длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Так как 1 м равно 100 см , то , для того чтобы перейти от сантиметров к метрам , то есть к более крупным	единицам	, нужно 175 разделить на 100 .
Такие же равенства можно записать с	единицами	массы — тоннами , килограммами , граммами .
В метрической системе мер одна единица получается из другой умножением или делением на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с	единицами	длины и массы .
Десятичные соотношения между различными метрическими	единицами	отражены в их названиях .
а ) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными	единицами	аптекарского веса — унциями : 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это число до десятых ; до единиц .
Так , например , чтобы найти отношение 1 м к 45 см , надо выразить эти длины в одних	единицах	, например в сантиметрах .
При вычислении отношения в таких случаях важно следить за тем , чтобы величины были выражены в одних и тех же	единицах	.
Не забудьте выразить величины в одних	единицах	, а ) 10 мин к 10 ч ; б ) 4 ч 40мин ; в ) 1,5 ч 20 мин ; г ) 30 мин к 1 ч 15 мин .
Она тоже выражается в аналогичных	единицах	: p./кг , р./м , p./шт .
В каких	единицах	она выражается ?
Так как , то этой	единицей	служит .
Интересно отметить , что в современном спорте , где секунда оказалась слишком большой	единицей	для измерения результатов , используется смешанная система измерения времени .
По какому правилу делят десятичную дробь на «	единицу	с нулями » ?
Выпишите сначала все коды , содержащие одну	единицу	, затем две единицы , далее три единицы .
А умножение и деление десятичной дроби на «	единицу	с нулями » сводится к переносу запятой .
По какому правилу умножают десятичную дробь на «	единицу	с нулями » ?
Прибавив	единицу	к цифре 9 в разряде сотых , мы получили 10 сотых .
Правее разряда десятых стоит цифра , большая 5 , поэтому цифру в разряде десятых следует увеличить на	единицу	.
Это и понятно : ведь умножение десятичной дроби на	единицу	с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
2 Запишите в буквенном виде свойство нуля при сложении и свойство	единицы	при умножении .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от нуля отрезок , равный 5,2	единицы	, получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
Запишите с помощью букв свойства нуля и	единицы	при умножении .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5	единицы	, получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Например , модуль числа 3 равен 3 , так как число 3 удалено от начала отсчёта на 3	единицы	.
Точка – 6,5 удалена от начала координат на 6,5 единицы , а точка – 4 — на 4	единицы	.
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4	единицы	влево от нуля .
Выпишите сначала все коды , содержащие одну единицу , затем две единицы , далее три	единицы	.
Точка – 6,5 удалена от начала координат на 6,5	единицы	, а точка – 4 — на 4 единицы .
Используемые	единицы	измерения часто не укладывались в измеряемой величине целое число раз .
Выпишите сначала все коды , содержащие одну единицу , затем две	единицы	, далее три единицы .
Поэтому они стали использовать более мелкие	единицы	.
Начертите координатную прямую и отметьте на ней красным карандашом точки , удалённые от точки 0 на 4	единицы	, и синим карандашом точки , удалённые от точки – 3 на 6 единиц .
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух чисел , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей	единицы	на местности .
Например , числам 3,5 и – 3,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 3,5	единицы	.
Десятичные дроби появились в математике гораздо раньше , чем современные	единицы	измерения — метры и граммы .
Сохраняются свойства нуля при сложении , нуля и	единицы	при умножении .
В них указывают количество долей	единицы	— десятых , сотых , тысячных и так далее .
Так как в метрической системе мер	единицы	различаются в 10 , 100 , 1000 раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на степень 10 .
Так как 2	единицы	меньше , чем 3 единицы , то .
Так как 2 единицы меньше , чем 3	единицы	, то .
Какие из рассмотренных в тексте десятичных приставок , с помощью которых образуются названия единиц измерения , означают увеличение исходной	единицы	и какие — уменьшение ?
Используя десятичные дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же	единицы	длины .
С развитием науки потребовались новые	единицы	измерения и соответственно новые десятичные приставки .
В её основе число 10 : единица каждого разряда в 10 раз больше	единицы	предыдущего разряда .
Вам известны соотношения , с помощью которых одни	единицы	длины выражаются через другие , более мелкие .
Разрядные	единицы	записываются так .
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю	единичного	отрезка , которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Получают сотые доли	единичного	отрезка .
Получают сотые доли	единичного отрезка	.
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю	единичного отрезка	, которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Откладывая последовательно	единичные	отрезки вправо от .
Откладывая последовательно	единичные отрезки	вправо от .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный	отрезок восемь клеток .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный	отрезок , равный 2 клеткам ) .
Начертите в тетради координатную прямую ( за	единичный	отрезок примите 10 клеток ) .
Точка пересечения прямых О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой ;	единичный	отрезок , как правило , один и тот же .
Для этого на прямой выбирают начало отсчёта , положительное направление и	единичный	отрезок .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный	отрезок , равный 12 клеткам ) .
а ) Начертите координатную прямую ( за	единичный	отрезок примите 2 клетки ) и отметьте на ней точками числа .
Начертите в тетради координатную прямую , взяв за	единичный	отрезок 5 клеток .
Точка пересечения прямых О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой ;	единичный отрезок	, как правило , один и тот же .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный отрезок	, равный 12 клеткам ) .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный отрезок	, равный 2 клеткам ) .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный отрезок	восемь клеток .
Начертите в тетради координатную прямую , взяв за	единичный отрезок	5 клеток .
а ) Начертите координатную прямую ( за	единичный отрезок	примите 2 клетки ) и отметьте на ней точками числа .
Начертите в тетради координатную прямую ( за	единичный отрезок	примите 10 клеток ) .
Для этого на прямой выбирают начало отсчёта , положительное направление и	единичный отрезок	.
Начертите координатную прямую с	единичным	отрезком , равным 6 клеткам .
Начертите координатную прямую с	единичным отрезком	, равным 6 клеткам .
а ) В числе 154038 сначала отделите	запятой	одну цифру справа , а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево , пока перед запятой не останется только одна цифра .
Сравним десятичные дроби Целые части этих дробей одинаковы , совпадают также первые три цифры после	запятой	.
Но у первой дроби после	запятой	есть ещё и четвёртая цифра , поэтому .
в полученном произведении отделить	запятой	справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
У каждой десятичной дроби две цифры после	запятой	, поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
а ) В числе 154038 сначала отделите запятой одну цифру справа , а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево , пока перед	запятой	не останется только одна цифра .
В числе 6,012345 последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо , пока после	запятой	не окажется только одна цифра .
Деление десятичной дроби на 10 , 100 и так далее , также сводится к переносу	запятой	, но только влево .
В знаменателе дроби 4 нуля , значит , в соответствующей десятичной дроби должно быть 4 цифры после	запятой	.
В первом множителе две цифры после запятой , во втором одна , а в произведении оказалось три цифры после	запятой	.
В первом множителе две цифры после	запятой	, во втором одна , а в произведении оказалось три цифры после запятой .
Замените приближённо обыкновенную дробь десятичной дробью с тремя знаками после	запятой	и округлите результат до сотых .
Поэтому любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после	запятой	.
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под	запятой	если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после	запятой	, которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
А умножение и деление десятичной дроби на « единицу с нулями » сводится к переносу	запятой	.
Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной дробью с двумя знаками после	запятой	.
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение	запятой	: при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Затем в этом произведении мы отделили	запятой	справа 5 цифр ( для этого нам пришлось слева приписать нули ) .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют	запятой	столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Сколько цифр после	запятой	должна содержать десятичная дробь , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 10 000 ?
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после	запятой	.
При чтении десятичной дроби сначала называют её часть , стоящую перед	запятой	, и добавляют слово « целых » , затем называют часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Отделив	запятой	справа три цифры , получили десятичную дробь 28,200 , то есть 28,2 .
Как определяют положение	запятой	в произведении десятичных дробей ?
Выразим дробь — приближённо десятичной дробью с двумя знаками после	запятой	.
При чтении десятичной дроби сначала называют её часть , стоящую перед запятой , и добавляют слово « целых » , затем называют часть , стоящую после	запятой	, и добавляют название последнего разряда .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без	запятой	, так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
Заметим , что в вычислительных машинах всегда используется точка вместо	запятой	.
Опровергните с помощью контрпримера утверждение : из двух десятичных дробей больше та , у которой цифр после	запятой	больше .
Вот как , например , выглядит приближённое значение к с десятью знаками после	запятой	: π ≈ 3,1415926535 .
Будем делить уголком числитель дроби на её знаменатель и оборвём деление в тот момент , когда получим третий знак после	запятой	.
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными дробями ; цифры , стоящие в десятичной дроби после	запятой	, называют десятичными знаками .
Как изменится положение	запятой	в десятичной дроби , если эту дробь : а ) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз ; б ) уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
А в сумме после	запятой	тоже оказалось две цифры — столько же , сколько их содержится в каждом из слагаемых .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после	запятой	в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Если дробь нельзя представить в виде десятичной дроби , то запишите её приближённое значение с двумя знаками после	запятой	.
Вычеркните одну цифру после	запятой	так , чтобы дробь : а ) увеличилась ; б ) уменьшилась .
Это и понятно : ведь умножение десятичной дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу	запятой	на столько же цифр вправо .
А как найти сумму дробей 3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после	запятой	различно ? .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под	запятой	в данных дробях .
5 Расскажите , как определяют положение	запятой	при умножении десятичной дроби на десятичную дробь ; на натуральное число .
Решите задачу и запишите ответ с тремя десятичными знаками после	запятой	.
Единица второго разряда справа от	запятой	должна быть в 10 раз меньше , чем .
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака , но у нашей дроби перед	запятой	только 3 знака .
Сделайте вывод : как можно было бы найти произведение с помощью переноса	запятой	? .
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет в любом случае находить результат деления на 10 , 100 , 1000 и так далее с помощью переноса	запятой	, — к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные нули .
Умножение десятичной дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 также можно выполнять с помощью переноса	запятой	.
После	запятой	мы должны оставить одну цифру .
б ) В десятичной дроби среди цифр , стоящих после	запятой	, есть нуль , причём он только один .
Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби	запятую	на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
В числе 6,012345 последовательно сдвигайте	запятую	на одну цифру вправо , пока после запятой не окажется только одна цифра .
Теперь же вместо кружка , отделяющего целую часть от дробной , мы пишем внизу	запятую	.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби	запятую	на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести	запятую	на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате	запятую	.
Сразу после того , как закончено деление целой части , в частном ставят	запятую	.
Поэтому в частном записали О целых , после чего поставили	запятую	и продолжили деление .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате	запятую	под запятой в данных дробях .
Поэтому мы имеем возможность переносить	запятую	на столько знаков , сколько требуется .
а ) В числе 154038 сначала отделите запятой одну цифру справа , а затем последовательно сдвигайте	запятую	на одну цифру влево , пока перед запятой не останется только одна цифра .
А чтобы показать , где целая часть числа заканчивается , после неё ставят	запятую	.
Обратите внимание : чтобы из первого частного получить второе , достаточно в делимом и делителе перенести	запятую	на два знака вправо .
Коля , выполняя вычитание , забыл поставить	запятую	.
Сначала разделили на 3 целую часть дроби 7,47 , после этого в частном поставили	запятую	.
Сравнив списки парусников , находившихся в указанное время в указанных местах , Шерлок Холмс установил , что только американское судно « Одинокая	звезда	» входило в каждый из них .
Сколько осей симметрии у морской	звезды	.
Какую цифру можно подставить вместо	звёздочки	, чтобы полученное неравенство было верным .
Какие цифры можно подставить вместо	звёздочки	, чтобы полученное неравенство было верным .
Попугай и канарейка вместе склевали 29,9 г , а канарейка и щегол — 25,1 г. Сколько	зерна	склевала каждая птица ? .
Ясно , что 2 , 4 , 23	зерна	— это ещё не куча , а миллион зёрен — это уже , конечно , куча .
Попугай , канарейка и щегол вместе склевали 45,6 г	зерна	.
Ещё в Древней Греции был известен парадокс кучи	зерна	.
Однако когда в XVIII в . этот знак стали использовать как	знак	равенства , параллельность стали обозначать с помощью знака || .
Для обозначения включения одного множества в другое наряду со знаком с используют и	знак	⊃ ( вспомните о знаках сравнения меньше и больше ) ; таким образом , если множество А — подмножество множества B , то можно записать : А с В или В ⊃ А .
Так как сумма двух отрицательных чисел отрицательна , то в результате запишем	знак	« минус » , а затем сложим и получим .
Какой	знак	сравнения нужно поставить между данными десятичными дробями , чтобы получить верное неравенство .
Выпишите их , используя	знак	|| .
У положительного слагаемого модуль больше , поэтому в результате поставим	знак	« плюс » .
Обратите внимание на то , что в числовых выражениях , которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали точку —	знак	умножения .
Для того чтобы на математическом языке записать предложение « х — элемент множества А » ( или , что то же самое , « х принадлежит множеству А » ) , используют	знак	∈ и пишут : х ∈ А. Легко догадаться , что запись « х ∉А » означает « х не принадлежит множеству А » .
Запишите ответ , используя	знак	.
Верно или неверно Запишите , вставив вместо многоточия	знак	.
Если перед некоторым числом , положительным или отрицательным , поставить	знак	« плюс » , то получится то же самое число ; если же поставить знак « минус » , то получится противоположное число .
Для обозначения перпендикулярности используют	знак	⊥ , напоминающий отвес .
Будем делить уголком числитель дроби на её знаменатель и оборвём деление в тот момент , когда получим третий	знак	после запятой .
И если значение величины ниже нулевой отметки , то ставят	знак	« минус » .
Поставьте вместо многоточия	знак	включения ( ⊂ или ⊃ ) так , чтобы получилось верное утверждение .
Используя	знак	модуля , запишите , на каком расстоянии от начала координат — точки О находится точка .
При этом главным будет вопрос , как по знакам компонентов действия определить	знак	результата .
Сумма двух чисел разных знаков имеет	знак	того слагаемого , у которого модуль больше .
Получить модуль отрицательного числа тоже легко — достаточно просто отбросить	знак	« минус » .
Для обозначения параллельности двух прямых древнегреческие математики использовали	знак	« равно » .
Для слова « процент » в математике есть специальный	знак	: % .
Умею находить число , противоположное данному , применять	знак	« минус » для обозначения противоположного числа .
Определите	знак	произведения и вычислите его значение .
Поставьте вместо многоточия	знак	⊂ или ⊃ так , чтобы получилось верное утверждение .
Сумма двух чисел одного знака имеет тот же	знак	, что и слагаемые .
Однако когда в XVIII в . этот	знак	стали использовать как знак равенства , параллельность стали обозначать с помощью знака || .
Правила деления двух целых чисел аналогичны правилам умножения —	знак	частного определяется по следующему правилу знаков .
В данном выражении измените	знак	перед каждым числом на противоположный и найдите значение нового выражения .
По какому правилу определяется	знак	частного ?
Запишите факт перпендикулярности прямых , используя	знак	1 .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1	знак	, при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Определите	знак	произведения и вычислите его .
Замените	знак	деления чертой дроби и найдите частное .
При умножении и делении двух рациональных чисел , как и целых , сначала по правилам знаков определяют	знак	результата , а затем находят его модуль .
Определите	знак	суммы и выполните сложение .
Замените	знак	деления чертой дроби и найдите частное : а ) 8:5 ; б ) 6 : 15 .
Сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным , так и отрицательным числом ;	знак	суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
Этот	знак	мы будем использовать и для обозначения числа , противоположного отрицательному .
Перед положительными числами , для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от отрицательных , иногда ставится	знак	« плюс » .
Поэтому , записывая целые числа в ряд , мы также можем заменить запятые на	знак	« меньше » .
Двигаясь по натуральному ряду вправо , мы переходим от меньшего числа к большему , а двигаясь влево — от большего числа к меньшему ; поэтому запятые можно заменить на	знак	« меньше » .
Наряду с натуральными числами мы будем рассматривать отрицательные числа , которые получаются , если к каждому натуральному числу приписать	знак	« минус » .
Какой	знак	имеет сумма двух положительных целых чисел ?
Если перед некоторым числом , положительным или отрицательным , поставить знак « плюс » , то получится то же самое число ; если же поставить	знак	« минус » , то получится противоположное число .
Опустите скобки и	знак	« + » там , где это возможно .
С помощью	знака	« минус » , как вы видели , записывается число , противоположное натуральному .
Поэтому о двух целых числах можно сказать , что это числа одного	знака	, если они оба положительны или оба отрицательны .
Отрицательные дробные числа , как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительным числам	знака	« минус » .
В каждом случае запишите ответ с помощью	знака	∈ или ∉ .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного	знака	) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Частное двух чисел одного	знака	положительно ; частное двух чисел разных знаков отрицательно .
Натуральное число и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему	знака	« минус » , называют противоположными числами .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3	знака	.
В математике принято использовать черту дроби в качестве	знака	деления и при записи более сложных выражений .
Обратите внимание : в каждом правиле выделяются два момента — определение	знака	суммы и способ нахождения её модуля .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных	знака	.
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4	знака	, но у нашей дроби перед запятой только 3 знака .
Подсчитайте итог денежной операции и запишите результат с помощью	знака	« + » или « – » .
Запишите ответ с помощью	знака	« – » .
Обратите внимание : чтобы из первого частного получить второе , достаточно в делимом и делителе перенести запятую на два	знака	вправо .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2	знака	, при умножении на 1000 — на 3 знака .
Сумма двух чисел одного	знака	имеет тот же знак , что и слагаемые .
Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают : положительные числа записывают без	знака	« + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Объясните на примерах , как складывают числа одного	знака	и разных знаков .
Однако когда в XVIII в . этот знак стали использовать как знак равенства , параллельность стали обозначать с помощью	знака	|| .
Сначала рассмотрим сложение чисел одного	знака	.
Произведение двух чисел одного	знака	положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака , но у нашей дроби перед запятой только 3	знака	.
Частное двух чисел одного	знака	положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно .
При этом главным будет вопрос , как по	знакам	компонентов действия определить знак результата .
Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной дробью с двумя	знаками	после запятой .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя десятичными	знаками	) .
Вот как , например , выглядит приближённое значение к с десятью	знаками	после запятой : π ≈ 3,1415926535 .
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными дробями ; цифры , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют десятичными	знаками	.
Изображён четырёхугольник ABCD , в котором через противоположные вершины проведены прямые АС и BD . 1 ) Поясните , что означают знаки , которые вы видите на чертеже , и запишите условия , выражаемые данными	знаками	, на математическом языке .
Чтобы понять , как перемножают целые числа , рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только	знаками	.
Выразим дробь — приближённо десятичной дробью с двумя	знаками	после запятой .
Замените приближённо обыкновенную дробь десятичной дробью с тремя	знаками	после запятой и округлите результат до сотых .
Математическими	знаками	являются также скобки .
Решите задачу и запишите ответ с тремя десятичными	знаками	после запятой .
Если дробь нельзя представить в виде десятичной дроби , то запишите её приближённое значение с двумя	знаками	после запятой .
Вы знакомы и с другими математическими	знаками	.
1 Запишите какую - нибудь десятичную дробь с четырьмя десятичными	знаками	и прочитайте её .
Это равенство показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков сложения , — надо выписать одно слагаемое за другим с их	знаками	.
О противоположных числах говорят , что они различаются только	знаками	.
Что можно сказать о	знаке	суммы двух чисел , если известно , что : а ) оба числа отрицательные ; б ) одно число отрицательное , а другое положительное ? .
Запишите , используя	знаки	« + » и « – » , общий итог в следующей ситуации .
Изображён четырёхугольник ABCD , в котором через противоположные вершины проведены прямые АС и BD . 1 ) Поясните , что означают	знаки	, которые вы видите на чертеже , и запишите условия , выражаемые данными знаками , на математическом языке .
Запишите ответ , используя	знаки	« + » ( доход ) и « – » ( убыток ) .
Проверьте себя , восстановив в каждом случае пропущенные	знаки	сложения .
Если числа а и b имеют разные	знаки	, то их произведение — число отрицательное .
В качестве букв в нём выступают различные математические	знаки	.
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число десятичных	знаков	, приписав к дроби 3,5 справа нуль .
Сравните дроби и запишите результат сравнения с помощью	знаков	больше , меньше , равно .
В противном случае , если одно число положительное , а другое отрицательное , говорят , что это числа разных	знаков	.
Объясните на примерах , как складывают числа одного знака и разных	знаков	.
А как складывают числа разных	знаков	?
Замените данную десятичную дробь равной , содержащей наименьшее количество десятичных	знаков	.
Запишите с помощью	знаков	« + » и « – » сообщения службы погоды : 20 градусов тепла ; 20 градусов мороза .
В настоящее время известны его десятичные приближения с очень большим числом десятичных	знаков	.
При умножении и делении двух рациональных чисел , как и целых , сначала по правилам	знаков	определяют знак результата , а затем находят его модуль .
Объясните , как делят числа одинаковых знаков и разных	знаков	, и выполните деление .
Как определить , каким числом — положительным или отрицательным — является сумма двух целых чисел разных	знаков	?
Сформулируйте правила	знаков	при умножении и делении .
Предложения математического языка , как правило , короче , чем предложения естественного языка , именно благодаря использованию специальных математических	знаков	.
Сумма двух чисел разных	знаков	может быть как положительным , так и отрицательным числом ; знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
Сформулируйте правила	знаков	для умножения и деления рациональных чисел .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных	знаков	у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных	знаков	содержится в обоих множителях вместе .
Таким образом , десятичных	знаков	в произведении столько же , сколько их в множителях вместе .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных	знаков	) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Объясните , как делят числа одинаковых	знаков	и разных знаков , и выполните деление .
Рассмотрите 3 случая , изобразив каждый из них на координатной прямой : 1 ) а и b — числа положительные ; 2 ) а и b — числа отрицательные ; 3 ) а и b — числа разных	знаков	.
Представьте в виде суммы двух слагаемых разных	знаков	число .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько	знаков	влево , сколько нулей содержится в делителе .
Коротко правила	знаков	при умножении формулируют так : плюс на минус даёт минус , минус на минус даёт плюс .
Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько	знаков	вправо , сколько нулей содержится в множителе .
Объясните , как умножают числа одинаковых	знаков	и разных знаков , и выполните умножение .
Сформулируйте правила	знаков	при умножении .
Произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных	знаков	отрицательно .
Сумма двух чисел разных	знаков	имеет знак того слагаемого , у которого модуль больше .
Объясните , как умножают числа одинаковых знаков и разных	знаков	, и выполните умножение .
Частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух чисел разных	знаков	отрицательно .
Запишите число , равное данному : 10 знаков 15	знаков	.
Запишите число , равное данному : 10	знаков	15 знаков .
Это равенство показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных	знаков	сложения , — надо выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
Поэтому мы имеем возможность переносить запятую на столько	знаков	, сколько требуется .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют запятой столько десятичных	знаков	, сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом	знаков	после запятой .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью	знаков	« плюс » и « минус » .
Правила деления двух целых чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу	знаков	.
Частное двух чисел одного знака положительно ; частное двух чисел разных	знаков	отрицательно .
Их составляют из чисел , букв ,	знаков	действий и скобок .
Объясните , как складывают числа разных	знаков	, и выполните сложение .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным	знаком	и 6 с двумя десятичными знаками ) .
Положительные дробные числа , как и положительные целые , можно записывать со	знаком	« плюс » .
Для обозначения включения одного множества в другое наряду со	знаком	с используют и знак ⊃ ( вспомните о знаках сравнения меньше и больше ) ; таким образом , если множество А — подмножество множества B , то можно записать : А с В или В ⊃ А .
Изобразите соотношение между указанными множествами с помощью кругов и запишите соответствующую цепочку включений ( сначала со знаком ⊂ , а потом со	знаком	⊃ ) .
Числа со	знаком	« минус » нужны в тех случаях , когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях .
Замените	знаком	деления черту дроби .
Общий итог – выигрыш или проигрыш – записывают со	знаком	« + » или « – » .
Изобразите соотношение между указанными множествами с помощью кругов и запишите соответствующую цепочку включений ( сначала со	знаком	⊂ , а потом со знаком ⊃ ) .
Чтобы выразить проценты десятичной дробью , надо число , стоящее перед	знаком	% , разделить на 100 , или , что одно и то же , умножить на 0,01 .
При вычислении значения такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе делится на выражение в	знаменателе	.
Поэтому уравняем число цифр в числителе и число нулей в	знаменателе	, приписав к числителю слева вспомогательные нули .
В десятичной дроби после запятой столько же цифр , сколько нулей в	знаменателе	соответствующей ей обыкновенной дроби .
Для этого преобразуем выражение так , чтобы в числителе и	знаменателе	были натуральные числа .
Заметим , что вычислить частное можно иначе : записать его в виде дроби и преобразовать эту дробь так , чтобы в числителе и	знаменателе	оказались натуральные числа .
В	знаменателе	дроби 4 нуля , значит , в соответствующей десятичной дроби должно быть 4 цифры после запятой .
В самом деле , при с равно 0 в	знаменателе	дроби окажется 0 , а на нуль , как вы знаете , делить нельзя .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в	знаменателе	.
Значение дроби при этом не изменится , а в числителе и	знаменателе	окажутся целые числа .
Если домножить его на три пятёрки , то получится один из	знаменателей	указанного ряда — число 1000 .
Значит , дробь — нельзя привести ни к одному из	знаменателей	10 , 100 , 1000 и так далее .
Вы знаете , что в качестве общего знаменателя дробей можно взять произведение	знаменателей	12 и 9 , то есть число 108 .
Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной , нужно привести её к одному из	знаменателей	10 , 100 , 1000 и так далее .
Приведите дроби к одному из	знаменателей	10 или 100 и запишите соответствующие десятичные дроби .
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же	знаменателем	, равным 100 .
Выпишите все дроби со	знаменателем	7 , которые изображаются точками , расположенными на координатной прямой между точками .
В Древнем Риме при измерении величин применялись дроби со	знаменателем	12 .
Это дроби , у которых	знаменателем	служит степень числа 10 .
В частности ,	знаменателем	может быть любая степень числа 10 .
В привычном для нас виде дроби впервые стали записываться в Древней Индии около 1500 лет назад , но при этом индусы обходились без черты между числителем и	знаменателем	.
Вы знаете также , что любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби , причём с каким угодно	знаменателем	.
Можно просто прочитать данную дробь без слов « 0 целых » и записать её со	знаменателем	.
В дальнейшем нам будут встречаться дроби , числители и	знаменатели	которых — любые выражения , а не только натуральные числа .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и их	знаменатели	и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Если	знаменатель	обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной .
Наименьший общий	знаменатель	дробей равен 80 ( объясните , как он найден ) .
Чтобы найти сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму или разность их числителей , а	знаменатель	оставить прежним .
Назовите числитель и	знаменатель	каждой дроби и расскажите , что они показывают .
Если числитель и	знаменатель	дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Вы знаете , что частное двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой — делимое , а	знаменатель	— делитель .
Будем делить уголком числитель дроби на её	знаменатель	и оборвём деление в тот момент , когда получим третий знак после запятой .
На какие бы целые числа ни домножали	знаменатель	, « мешающий » множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому произведения только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Если	знаменатель	несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель , отличный от 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной .
Для этого , как вы знаете , нужно просто записать	знаменатель	дробной части « в явном виде » .
Но если мы хотим найти наименьший общий	знаменатель	, то будем действовать с помощью известного вам приёма : будем последовательно перебирать числа , кратные 12 — большему знаменателю , и проверять , делятся ли они на 9 .
Понятно , что можно было выполнить цепочку сокращений иначе : например , сразу заметить , что числитель и	знаменатель	делятся на 9 .
Сколько цифр после запятой должна содержать десятичная дробь , если	знаменатель	соответствующей ей обыкновенной дроби равен 10 000 ?
Пользуясь рассмотренным свойством , любое рациональное число мы можем записать в виде дроби , числитель которой — целое число ,	знаменатель	— натуральное .
Теперь умножим числитель и	знаменатель	дроби на 12 .
Вы видите , что при записи отрицательных дробей « минус » можно ставить перед дробью , вносить его в числитель или убирать в	знаменатель	.
Разложив на простые множители	знаменатель	этой дроби , получим произведение , содержащее число 3 .
Сначала мы разделили числитель и	знаменатель	на 2 .
И наконец , разделили числитель и	знаменатель	на 3 .
2 ) разделив уголком числитель дроби на	знаменатель	.
Её	знаменатель	содержит простой множитель 3 .
Умножим числитель и	знаменатель	дроби на 30 .
Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции , только греки	знаменатель	записывали сверху , а числитель — снизу .
а ) Приведите дробь к	знаменателю	60 .
Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему	знаменателю	.
рическую фигуру ( прямоугольник , круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 ) Приведите дроби к	знаменателю	18 ; к знаменателю 80 .
Приведём дроби к общему	знаменателю	.
рическую фигуру ( прямоугольник , круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 ) Приведите дроби к знаменателю 18 ; к	знаменателю	80 .
Приведём дробь — к	знаменателю	36 .
Объясните на примере дробей и как привести дроби к наименьшему общему	знаменателю	.
Не приводя дроби к общему	знаменателю	, установите , какая из них наибольшая .
Сначала приведём дроби к общему	знаменателю	, а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания дробей с равными знаменателями .
Дроби со знаменателями 8 , 125 и 200 приводятся к	знаменателю	1000 .
Знаю , в чём состоит основное свойство дроби ; умею применять его для приведения дробей к новому	знаменателю	и сокращения дробей .
Заметим , что дробь — можно привести к любому	знаменателю	, и кратному 3 , то есть к 6 , 9 , 12 и любому другому числу , делящемуся на 3 .
приведя дробь к	знаменателю	, равному степени 10 .
Мы заменили вычитание сложением и затем привели дроби к общему	знаменателю	.
Однако эту дробь нельзя привести , например , к	знаменателю	10 , так как число 10 на 3 не делится .
Но если мы хотим найти наименьший общий знаменатель , то будем действовать с помощью известного вам приёма : будем последовательно перебирать числа , кратные 12 — большему	знаменателю	, и проверять , делятся ли они на 9 .
Применяя это свойство , можно приводить дроби к новому	знаменателю	, сокращать дроби .
Приведите к наименьшему общему	знаменателю	дроби .
При разложении её	знаменателя	на простые множители получается произведение .
Запись дробей с помощью числителя и	знаменателя	появилась в Древней Греции , только греки знаменатель записывали сверху , а числитель — снизу .
Вы знаете , что в качестве общего	знаменателя	дробей можно взять произведение знаменателей 12 и 9 , то есть число 108 .
Как меняется	значение	каждого из выражений с увеличением значения х ? .
Найдём	значение	выражения .
5 Найдите	значение	выражения .
Запишите выражение ,	значение	которого противоположно значению данного выражения .
Найдите	значение	выражения при а равно 1,6 , b равно 2,4 , с равно 2,8 .
Так как 3,5 и 35 , то	значение	выражения равно 35 .
Найдём	значение	выражения при .
Округлим числовое	значение	площади до единиц , тогда S ≈ 133 м2 .
Вы знаете , что числовое выражение можно вычислить , то есть найти его	значение	.
Найдите	значение	дроби .
Вот как , например , выглядит приближённое	значение	к с десятью знаками после запятой : π ≈ 3,1415926535 .
Найдём	значение	х из этого уравнения .
Найдите	значение	степени : Выполните действия .
В каждом случае определите , что больше — само число или его приближённое	значение	.
Не проводя вычислений , назовите	значение	выражения этих же значениях а , b и с . б )
Найдите	значение	произведения .
Найдите , не выполняя сложения ,	значение	суммы .
А знаете ли вы , что	значение	этих слов связано с дробями ?
Чему равно его	значение	? .
Его	значение	называют значением буквенного выражения при данных значениях букв .
Поставьте в выражении скобки всеми возможными способами и найдите	значение	каждого из получившихся выражений .
Если дробь нельзя представить в виде десятичной дроби , то запишите её приближённое	значение	с двумя знаками после запятой .
Найдите	значение	выражения .
Будем подставлять вместо буквы х какие - нибудь числа и каждый раз вычислять	значение	получившегося числового выражения .
С недостатком или с избытком указано приближённое	значение	? .
В данном выражении измените знак перед каждым числом на противоположный и найдите	значение	нового выражения .
Определите знак произведения и вычислите его	значение	.
Вычислите	значение	степени : Сравните значения выражений .
Его	значение	не изменится , если делимое и делитель умножить на 100 .
Получим . Найдите	значение	выражения двумя способами .
Подберите значение буквы , при котором выражение : а ) а + 1 принимает	значение	, равное 1 ; 100 ; б ) 10 — х принимает значение , равное 0 ; 1 ; в ) 2с принимает значение , равное 0 ; 1 ; 100 ; г ) принимает значение , равное 0 ; 1 ; 10 .
Найдите	значение	выражения аb при .
Подставим в формулу найденное	значение	r и возьмём π ≈ 3,14 .
Догадайтесь , чему равно её	значение	, и проверьте себя с помощью вычислений .
Объясните	значение	каждой из них .
Подберите значение буквы , при котором выражение : а ) а + 1 принимает значение , равное 1 ; 100 ; б ) 10 — х принимает	значение	, равное 0 ; 1 ; в ) 2с принимает значение , равное 0 ; 1 ; 100 ; г ) принимает значение , равное 0 ; 1 ; 10 .
Подберите	значение	буквы , при котором выражение : а ) а + 1 принимает значение , равное 1 ; 100 ; б ) 10 — х принимает значение , равное 0 ; 1 ; в ) 2с принимает значение , равное 0 ; 1 ; 100 ; г ) принимает значение , равное 0 ; 1 ; 10 .
Найдите	значение	выражения при .
Первая из них — приближённое	значение	числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Найдите	значение	выражения ab при .
Найдём	значение	выражения при а равно 18 , b равно – 25 .
Известно , что . Вычислите	значение	выражения .
Найдём	значение	дроби .
Найдите	значение	каждого из выражений mn , mn — 10 , – 2mn при .
Найдите	значение	выражения : а ) В обеденном меню школьной столовой имеются два первых блюда — борщ и картофельный суп — и три вторых — сосиски , котлеты и плов .
Известно , что . Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения , записав десятичную дробь в виде обыкновенной .
Числовое	значение	буквенного выражения .
Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое	значение	с избытком .
Подберите несколько пар чисел а и b , при которых : а )	значение	выражения равно 0 ; б ) значение выражения равно 0 .
Подберите несколько пар чисел а и b , при которых : а ) значение выражения равно 0 ; б )	значение	выражения равно 0 .
Найдём	значение	выражения при а равно 10 , b равно – 12 , с равно – 5 .
И если	значение	величины ниже нулевой отметки , то ставят знак « минус » .
Подберите значение буквы , при котором выражение : а ) а + 1 принимает значение , равное 1 ; 100 ; б ) 10 — х принимает значение , равное 0 ; 1 ; в ) 2с принимает значение , равное 0 ; 1 ; 100 ; г ) принимает	значение	, равное 0 ; 1 ; 10 .
Замените вычитание сложением и вычислите	значение	выражения .
Используя подмеченную закономерность , найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	степени .
Выберите из них то ,	значение	которого : а ) равно значению выражения 0,5 - 0,9 ; б ) противоположно значению выражения 0,5–0,9 .
Подберите значение буквы , при котором выражение : а ) а + 1 принимает значение , равное 1 ; 100 ; б ) 10 — х принимает значение , равное 0 ; 1 ; в ) 2с принимает	значение	, равное 0 ; 1 ; 100 ; г ) принимает значение , равное 0 ; 1 ; 10 .
Найдите	значение	суммы при указанных значениях а , b и с .
Затем заменили вычитание сложением и вычислили	значение	получившейся суммы .
Объясните , как найти	значение	выражения .
Найдите	значение	каждого из этих выражений .
Найдите	значение	каждого из выражений .
Не выполняя вычислений , назовите	значение	выражения при этих же значениях а , b и с .
Воспользовавшись приведённым образцом , найдите	значение	выражения .
Как найти	значение	выражения .
Умею находить	значение	выражения по заданному условию .
Найдите	значение	буквенного выражения .
8 Найдите	значение	выражения .
Найдите его	значение	при .
Подставим в формулу длины окружности	значение	d и возьмём π — 3,14 , получим .
Поэтому при округлении десятичной дроби 21,28 до десятых её и заменяют приближённым	значением	с избытком : 21,28 ≈ 21,3 .
Назовите целое число , являющееся его приближённым значением с недостатком ; приближённым	значением	с избытком .
В расчётах число π заменяют его приближённым	значением	.
Замену буквы числом называют числовой подстановкой , а число , которое подставляют вместо буквы , —	значением	буквы .
Его значение называют	значением	буквенного выражения при данных значениях букв .
Назовите целое число , являющееся его приближённым	значением	с недостатком ; приближённым значением с избытком .
В каждом случае найдите разность между полученным приближённым	значением	и данной дробью .
Найдите в каком - либо источнике информации разъяснения	значений	приставок мега , гига , микро , нано .
Выберите из них то , значение которого : а ) равно	значению	выражения 0,5 - 0,9 ; б ) противоположно значению выражения 0,5–0,9 .
Запишите выражение , значение которого противоположно	значению	данного выражения .
Значения каких выражений равны	значению	произведения ab ?
Выберите из них то , значение которого : а ) равно значению выражения 0,5 - 0,9 ; б ) противоположно	значению	выражения 0,5–0,9 .
Пришедшее к нам из латинского языка слово « минута » близко по	значению	словам « маленький » , « уменьшать » .
Умею выполнять вычисления с рациональными числами , находить	значения	буквенных выражений , подставляя вместо букв заданные числа .
Как меняется значение каждого из выражений с увеличением	значения	х ? .
Умею вычислять	значения	выражений , содержащих дробные числа , в том числе в ходе решения задач .
Полученные числовые	значения	округлите до десятков .
Это выражение задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от	значения	n.
Какими бы ни были конкретные	значения	длин сторон треугольника , чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Найдите	значения	выражений .
Все они похожи тем , что для вычисления	значения	каждого из них нужно выполнить одни и те же действия в одном и том же порядке .
Допустимые	значения	букв в выражении .
Приведём	значения	других приставок : гекто — от греческого hekaton ( сто ) — означает « увеличение в 100 раз » ; например , гектар — 100 ар ; дека — от греческого deka ( десять ) — означает « увеличение в 10 раз » ; например , декалитр — 10 литров ; деци — от латинского decem ( десять ) — означает « уменьшение в 10 раз » ; так , дециметр ( дециметр ) — десятая часть метра ; санти — от латинского cent ( сто ) — означает « уменьшение в 100 раз » ; так , сантиметр ( санти - метр ) — это сотая часть метра ; милли — от латинского mille ( тысяча ) — означает « уменьшение в 1000 раз » ; например , миллиметр ( милли - метр ) — это тысячная часть метра .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять	значения	« длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Закончите вывод :	значения	выражений и являются .
Найдите в справочной литературе эти	значения	.
В каждом случае подберите какие - нибудь допустимые	значения	букв и вычислите результат .
Вычислите	значения	степеней .
На	значения	букв в выражении могут накладывать ограничения не только указанные в нём действия , но и условия рассматриваемых ситуаций .
Подставим вместо букв их	значения	и выполним указанные действия .
Используя шкалу определите примерные	значения	отмеченных на ней высот гор и глубин морей ( данные на шкале выражены в метрах ) .
( Если	значения	этих слов вам неизвестны , найдите их в словаре . )
Существуют ли такие	значения	х , при которых выполняется данное равенство ?
При вычислении	значения	такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе делится на выражение в знаменателе .
Не производя вычислений , найдите	значения	следующих выражений .
Округлите эти	значения	до тысяч .
Вычислите значение степени : Сравните	значения	выражений .
Для трёх других рисунков самостоятельно подберите подходящие	значения	.
Умею выражать	значения	величин десятичными дробями .
Какие из чисел 0 , 10 , 20 , 25 являются допустимыми	значениями	буквы х в выражении .
Какие из чисел 0 , 2 , 6 , 10 являются допустимыми	значениями	буквы b в выражении .
Числа , которые можно подставлять в буквенное выражение , называют допустимыми	значениями	букв .
Найдите значение суммы при указанных	значениях	а , b и с .
Не выполняя вычислений , назовите значение выражения при этих же	значениях	а , b и с .
Его значение называют значением буквенного выражения при данных	значениях	букв .
Сделайте вывод о	значениях	этих выражений по результатам вычислений .
Не проводя вычислений , назовите значение выражения этих же	значениях	а , b и с . б )
Этот парадокс заключается в попытке ответить на вопрос : « Сколько	зёрен	составляет кучу ? »
Например , 37	зёрен	мы кучей ещё не назовём , а 38 уже могут быть кучей ?
Ясно , что 2 , 4 , 23 зерна — это ещё не куча , а миллион	зёрен	— это уже , конечно , куча .
Поэтому чаще всего множества задают описанием , например : множество стран , принявших участие в Олимпийских	играх	в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ; множество чисел , кратных 5 .
Например , на XIX Олимпийских	играх	в Пекине в соревнованиях мужчин по тяжёлой атлетике было выделено 8 весовых категорий .
а ) На XIX зимних Олимпийских	играх	российская спортсменка С. Журова пробежала на коньках дистанцию 500 м за 37,55 с. Какой результат показала другая спортсменка , которая улучшила это время на одну сотую секунды ?
Сравните . приведены результаты соревнований по двум видам спорта на Олимпийских	играх	в Пекине в 2008 г. В каждом случае прочитайте последовательно результаты , начиная с лучшего .
На XVII зимних Олимпийских	играх	первое место в беге на коньках на 500 м занял А. Голубев ( Россия ) .
б ) На распродаже цена диска с компьютерной	игрой	составила 80 % от его прежней цены .
Играя в компьютерную	игру	, Ваня сыграл а партий , из них 6 партий он выиграл .
Представьте , что вы с другом играете в	игру	.
Площадка для	игры	в бадминтон имеет размеры 13,4 м и 5,2 м .
Эти новые числа назвали	иррациональными	, то есть « неразумными » , непонятными ( вы узнаете об этих числах в старших классах ) .
Их изобретение было вызвано потребностью в создании небесных и географических	карт	.
Поэтому на всех географических	картах	изображение земной поверхности искажено .
Такого рода « клеточные » координаты обычно используются на военных , морских , геологических	картах	.
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух чисел , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на	карте	меньше соответствующей единицы на местности .
Каким будет на этой	карте	расстояние , равное 20 км на местности ? .
Легко понять , что если расстояние между пунктами М и N на этой	карте	равно 6 см , то на местности соответствующее расстояние равно 900 км .
Масштабом называют отношение длины отрезка на	карте	к длине соответствующего отрезка на местности .
Сколько километров на местности изображает отрезок в 1 см на этой	карте	?
Так , если масштаб карты 1:15 000 000 , то это означает , что 1 см на	карте	изображает 15 000 000 см в реальности , то есть 150 000 м , или 150 км .
Слово « масштаб » употребляется не только по отношению к	карте	, но и более широко — во всех случаях , когда речь идёт о копии какого - либо объекта , выполненной с уменьшением или увеличением размеров в одном и том же отношении .
В алфавитном указателе населённых пунктов , приведённом на	карте	, указаны квадраты , в которых эти пункты расположены .
Так , из сообщения о погоде вы могли , например , узнать , что температура воздуха была – 12 ° С , а на географической	карте	увидеть отметку — 1637 м для глубины озера Байкал .
а ) Расстояние между двумя посёлками на	карте	равно 4 см , а расстояние между этими посёлками на местности равно 40 км .
Участок шоссе на	карте	изображён линией длиной 20 см. Масштаб карты 1 : 200 000 .
Расстояние между двумя пунктами на этой	карте	равно 8,5 см. Чему равно расстояние между этими пунктами на местности ? .
По дисконтной	карте	предоставляется скидка 3 % .
Выдержка из этого списка : Дубна — 4А , Звенигород — 3Г , Клин — 3Б , Красногорск — 4В , Поречье — 1Г , Руза — 2Г. Найдите эти города на	карте	, используя данную информацию .
Найдите в научно - популярной литературе , как учёные - картографы решали проблему изображения шарообразной поверхности Земли на плоской	карте	.
Возьмите географическую	карту	( например , карту Европы , карту мира , карту региона России , в котором вы живёте ) .
Возьмите географическую карту ( например ,	карту	Европы , карту мира , карту региона России , в котором вы живёте ) .
Возьмите географическую карту ( например , карту Европы ,	карту	мира , карту региона России , в котором вы живёте ) .
Возьмите географическую карту ( например , карту Европы , карту мира ,	карту	региона России , в котором вы живёте ) .
Возьмите	карту	Западной Европы .
Так , если масштаб	карты	1:15 000 000 , то это означает , что 1 см на карте изображает 15 000 000 см в реальности , то есть 150 000 м , или 150 км .
3 Масштаб	карты	1:200 000 .
изображен фрагмент	карты	Московской области .
Масштаб	карты	1:200 000 .
Определите масштаб	карты	.
Участок шоссе на карте изображён линией длиной 20 см. Масштаб	карты	1 : 200 000 .
2 ) Теннисный мяч упакован в коробку , имеющую форму цилиндра , так , что он	касается	и его боковой поверхности , и оснований .
Шар	касается	всех граней коробки .
В дальнейшем вы узнаете , что	касательная	играет большую роль при описании многих физических явлений .
Каким свойством обладает	касательная	к окружности ? .
Прямая d —	касательная	к окружности в точке А .
Проведите прямую и постройте какую - нибудь окружность радиусом 3 см , для которой эта прямая является	касательной	.
В этом случае прямую k называют	касательной	к окружности , а точку М — точкой касания .
б ) пересекает окружность , но не проходит через её центр ; в ) проходит через центр окружности ; г ) является	касательной	к окружности .
Хорошо видно свойство	касательной	.
Умею строить	касательную	к окружности .
1 Начертите окружность , отметьте на ней какую - нибудь точку и постройте	касательную	к окружности в этой точке .
Изображена окружность с центром в точке О , на ней отмечена точка А. Построим	касательную	к окружности в этой точке : проведём радиус ОА ; построим прямую d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А .
Как только оно опять станет равным радиусу , мы получим ещё одну	касательную	.
Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку А. Постройте	касательную	к окружности в точке А .
Постройте	касательные	к окружности , перпендикулярные прямой к.
К окружности , радиус которой равен 6 см , проведены две параллельные	касательные	.
Чему равно расстояние между этими	касательными	? .
Постройте какую - нибудь окружность , для которой обе эти прямые являются	касательными	.
Сколько можно провести	касательных	к окружности , параллельных некоторой прямой ? .
Таким образом , прямая и окружность могут пересекаться , могут не пересекаться и , наконец , прямая может	касаться	окружности .
Проведите две окружности с центром в точке В , которые	касаются	первой окружности внешним и внутренним образом .
в ) окружности	касаются	внутренним образом .
окружности	касаются	внешним образом .
Две окружности радиусом 5 см	касаются	друг друга внешним образом .
Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей определите , сколько можно провести различных прямых ,	касающихся	обеих окружностей .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов ,	касающихся	данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте окружность ,	касающуюся	всех сторон квадрата .
Вырежите из бумаги	квадрат	со стороной 8 см и разрежьте его на фигуры танграма .
Разрежьте	квадрат	.
Укажите	квадрат	, в котором расположено : а ) Истринское водохранилище ; б ) Сенежское озеро ; в ) Рузское водохранилище ; г ) озеро Глубокое .
Перекроите каждую фигуру в	квадрат	.
треугольник из двух , трёх , пяти и семи частей танграма ; б )	квадрат	из двух и трёх частей танграма ; в ) прямоугольник из трёх , четырёх и семи частей танграма .
Верно ли что : а ) треугольник и	квадрат	равновелики ; б ) треугольник и прямоугольник равновелики ? .
	Квадрат	? .
К параллелограммам относятся и такие хорошо вам знакомые фигуры , как прямоугольник и	квадрат	.
Выберите несколько населённых пунктов , запишите их и для каждого из них укажите	квадрат	, в котором расположен этот пункт .
Начертите в тетради	квадрат	со стороной 8 см. Постройте окружность , касающуюся всех сторон квадрата .
Значит , данные	квадрат	и прямоугольник равновелики .
Начертите в тетради	квадрат	и проведите его оси симметрии .
5 , Прямоугольник разбили на четыре части :	квадрат	и три прямоугольника .
Постройте квадрат с диагоналями , равными по 8 см. Можно ли построить ещё один	квадрат	с такими же диагоналями ? .
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в )	квадрат	числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Постройте	квадрат	с диагоналями , равными по 8 см. Можно ли построить ещё один квадрат с такими же диагоналями ? .
Таким образом , равносторонний треугольник — это правильный треугольник , а	квадрат	— это правильный четырёхугольник .
Легко догадаться , что « самый симметричный треугольник » — это равносторонний треугольник , у него 3 оси симметрии , а « самый симметричный четырёхугольник » —	квадрат	, у него 4 оси симметрии .
Те же	квадрат	и прямоугольник наложены друг на друга .
Из проволоки согнули треугольник со сторонами 7,5 см , 8,3 см и 9,4 см. Затем из этой же проволоки согнули	квадрат	.
Изображён	квадрат	4×4 клетки и часть ломаной линии , проходящей по сторонам клеток . 1 ) Скопируйте рисунок на лист клетчатой бумаги .
Затем	квадрат	приводится в исходное положение .
Большой	квадрат	перегибается по какой - либо из проведённых линий , после чего окрашенная часть увеличивается .
Основанием параллелепипеда является	квадрат	.
Как надо было провести пару прямых , чтобы получился : а )	квадрат	; б ) прямоугольник произвольного вида ? .
Продолжите ломаную так , чтобы она делила	квадрат	на две равные части .
Вырежите	квадрат	, разрежьте его по начерченной линии и убедитесь , что полученные фигуры равны .
Придумайте какую - нибудь другую ломаную , которая делила бы	квадрат	4×4 клетки на две равные части .
Начертите	квадрат	10×10 клеток и закрасьте 18 % квадрата .
Какое число перегибаний нужно сделать , чтобы окрасить весь	квадрат	? .
Начертите	квадрат	.
Найдите число ,	квадрат	которого равен .
Всякий	квадрат	является .
Основание пирамиды —	квадрат	.
Начертите	квадрат	10×10 клеток .
Маша раскатала тесто в	квадрат	со стороной 30 см и стаканом вырезала 16 кругов диаметром 7 см. Чему равна площадь обрезков ? .
Четырёхугольник MANB —	квадрат	. 4 ) Точки A и В симметричны относительно прямой MN .
В каком случае получился	квадрат	? .
Площадь	квадрата	равна , площадь прямоугольника равна .
Сторона одного квадрата равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите отношение : 1 ) стороны большого	квадрата	к стороне малого квадрата ;
Сторона одного квадрата равна 12 см , а сторона другого	квадрата	равна 2 см. Найдите отношение : 1 ) стороны большого квадрата к стороне малого квадрата ;
Составьте формулы периметра и площади	квадрата	.
Сторона одного	квадрата	равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите отношение : 1 ) стороны большого квадрата к стороне малого квадрата ;
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у	квадрата	и все углы прямые , и все стороны равны .
Достройте ломаную так , чтобы центр симметрии	квадрата	был центром симметрии данной линии .
Найдите сторону квадрата , площадь которого составляет 0,25 площади данного	квадрата	.
Диагонали прямоугольника равны , а диагонали	квадрата	не только равны , но и перпендикулярны друг другу .
Начертите ещё два таких же	квадрата	и закрасьте 50 % одного из них и 100 % другого .
Сколько процентов	квадрата	не закрашено ?
Что больше : а ) площадь круга с радиусом , равным 2 см , или площадь	квадрата	со стороной , равной 3 см ; б ) площадь круга с радиусом , равным 5 см , или площадь квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Начертите квадрат 10×10 клеток и закрасьте 18 %	квадрата	.
Любая ломаная , центрально - симметричная относительно центра	квадрата	, делит его на две равные части .
Найдите сторону	квадрата	, площадь которого составляет 0,25 площади данного квадрата .
Сторона одного квадрата равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите отношение : 1 ) стороны большого квадрата к стороне малого	квадрата	;
Сторона	квадрата	равна 0,4 дм .
5 Изобразите от руки все оси симметрии : а )	квадрата	; б ) прямоугольника ; в ) равностороннего треугольника .
Два одинаковых	квадрата	расположены так .
б ) У	квадрата	4 оси симметрии .
у	квадрата	? .
б ) От	квадрата	отрезали четыре равных треугольника .
а ) От	квадрата	отрезали четыре равных треугольника .
Действительно , если от равных величин ( площади	квадрата	и площади прямоугольника ) отнять поровну ( площадь зелёного многоугольника ) , то поровну и останется .
периметра большого квадрата к периметру малого квадрата ; 3 ) площади большого квадрата к площади малого	квадрата	.
Найдём площади	квадрата	и прямоугольника .
Что больше : а ) площадь круга с радиусом , равным 2 см , или площадь квадрата со стороной , равной 3 см ; б ) площадь круга с радиусом , равным 5 см , или площадь	квадрата	со стороной , равной 10 см ? .
периметра большого квадрата к периметру малого квадрата ; 3 ) площади большого	квадрата	к площади малого квадрата .
Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте окружность , касающуюся всех сторон	квадрата	.
периметра большого квадрата к периметру малого	квадрата	; 3 ) площади большого квадрата к площади малого квадрата .
Показаны способы построения следующих четырёхугольников : прямоугольника ,	квадрата	, ромба и параллелограмма .
периметра большого	квадрата	к периметру малого квадрата ; 3 ) площади большого квадрата к площади малого квадрата .
Сколько процентов площади	квадрата	закрашено .
а ) В	квадрате	10×10 клеток изображена цифра 4 .
Ответ округлите до десятых долей	квадратного	сантиметра .
Но в документах при указании площади помещения часто ограничиваются десятыми долями	квадратного	метра .
Из	квадратного	листа картона вырезали круг .
Сколько требуется плиток	квадратной	формы со стороной 25 см ? .
Сколько килограммов краски было израсходовано на каждую стену , если площадь одной из них на 6 м2 больше , чем площадь другой , а на каждый	квадратный	метр требуется 0,22 кг краски ? .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество	квадратов	, Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Используя таблицу	квадратов	двузначных чисел , вычислите .
Равны ли отношения площадей и сторон	квадратов	? .
Квадрат разделён на 16 маленьких	квадратов	, один из которых окрашен .
Какой из них равновелик	квадрату	со стороной 8 см ? .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий	квадрату	со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой же площадью , стороны которых выражаются целыми числами ? .
Укажите	квадраты	, через которые проходит железная дорога : а ) Москва — Шаховская ; б ) Москва — Клин .
В алфавитном указателе населённых пунктов , приведённом на карте , указаны	квадраты	, в которых эти пункты расположены .
Кольцо ограничено двумя окружностями , радиусы которых равны 3 см и 5 см. Чему равна площадь этого	кольца	? .
Тимур бросил мяч в баскетбольное	кольцо	50 раз .
Определите , какую часть составляет число попаданий от числа бросков , и выразите эту часть в процентах , если он попал в	кольцо	: а ) 10 раз ; б ) 25 раз ; в ) 32 раза ; г ) 40 раз .
В 5 классе вы уже встречались с	комбинаторными	задачами .
Умею применять перебор возможных вариантов для решения	комбинаторных	задач .
Найдите неизвестный	компонент	действия .
Для этого достаточно знать свойства арифметических действий и правила , по которым находят неизвестный	компонент	действия .
При этом главным будет вопрос , как по знакам	компонентов	действия определить знак результата .
А вообще в математике есть формула , позволяющая определять число подмножеств любого	конечного множества	по числу его элементов .
Иногда , чтобы задать	конечное множество	, можно просто перечислить все его элементы .
Переведите запись на русский язык и скажите , верно ли соответствующее утверждение : Если множество состоит из конечного числа элементов , то его называют	конечным множеством	; если же элементов бесконечно много , то говорят , что это бесконечное множество .
1 Приведите примеры	конечных множеств	, бесконечных множеств .
Приведите примеры	конечных множеств	и бесконечных множеств .
Параллелограмм снова « войдёт » в свой	контур	.
3 Какая фигура получится в сечении , если плоскостью симметрии рассечь : а ) шар ; б ) параллелепипед ; в ) цилиндр ; г )	конус	? .
7 а ) Скопируйте	конус	и нанесите на его изображение какое - нибудь сечение , имеющее форму окружности .
Из уже известных вам тел это цилиндр и	конус	.
Вырежите и склейте из них цилиндр и	конус	.
Как надо разрезать	конус	, чтобы в сечении получить треугольник ?
б ) Вылепите из пластилина	конус	.
Различаю цилиндр ,	конус	, шар ; знаю , как в сечении поверхностей этих фигур плоскостью можно получить окружность , эллипс .
Прежде всего это цилиндр ,	конус	, шар .
Сверните каждый сектор в	конус	.
Слово «	конус	» переводится с древнегреческого как « шишка » или « верхушка шлема » .
Назовите несколько предметов , имеющих форму шара , цилиндра ,	конуса	.
Этот перпендикуляр называют высотой	конуса	.
Перпендикуляр , проведённый из вершины	конуса	к плоскости основания , попадает в центр круга .
Форму	конуса	имеет , например , воронка , горка песка .
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность	конуса	— в круговой сектор ( часть круга , ограниченная двумя радиусами ) .
Поверхности цилиндра и	конуса	состоят как из плоских частей , так и из кривых , а шар абсолютно круглый .
Нанесите на изображение цилиндра какое - нибудь сечение , имеющее форму окружности , а на изображение	конуса	— сечение , имеющее форму эллипса .
Скопируйте в тетрадь изображения цилиндра ,	конуса	, шара .
Придумайте , как измерить высоту	конуса	.
У какого	конуса	высота оказалась больше : полученного из большего сектора или из меньшего ?
При рассечении цилиндра и	конуса	, наряду с окружностью , получаются и другие линии .
Закрасьте основания цилиндра и	конуса	, начертите их высоты .
Поверхности цилиндра и	конуса	, как и поверхность многогранника , можно развернуть на плоскость .
Сверните из листа бумаги поверхность	конуса	.
Предметы -	конусы	встречаются гораздо реже , чем предметы - цилиндры .
Бросив камешек в спокойную гладь водоёма , вы видите , как от точки падения камня разбегаются	концентрические	окружности .
4 Начертите три	концентрические	окружности с радиусами 2,5 см , 3 см , 3,5 см .
Начертите три	концентрические	окружности с радиусами 2 см , 3 см , 4 см .
В случае когда центры совпадают , окружности называют	концентрическими	.
Какие названия имеют оси	координат	? .
Как называют точку пересечения осей	координат	и какие у неё координаты ?
Объясните , почему рассмотренную в данном пункте систему	координат	называют прямоугольной .
Описанная система	координат	называется прямоугольной .
Какая из данных точек расположена на координатной прямой дальше от начала	координат	.
Часто также её называют декартовой системой	координат	по имени французского философа и математика Рене Декарта ( 1596–1650 ) .
С помощью этих	координат	можно записать ход любой шахматной партии .
Кроме почтовых адресов и номеров телефонов , вы знакомы с системой	координат	в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических координат ( долгота и широта ) и так далее .
Сами координатные прямые называют осями	координат	.
Зашифруйте эту цифру с помощью	координат	.
Точка – 6,5 удалена от начала	координат	на 6,5 единицы , а точка – 4 — на 4 единицы .
Кроме почтовых адресов и номеров телефонов , вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических	координат	( долгота и широта ) и так далее .
А сам термин « координаты » произошёл от латинского слова ordinatus — упорядоченный ; приставка co- указывает на совместность :	координат	обычно бывает две или более .
Отметьте на координатной прямой точки и точку С , координата которой есть среднее арифметическое	координат	точек .
Аналогичная система	координат	используется в шахматах , но вертикали на шахматной доске всегда обозначаются латинскими буквами .
Именно в этом и состоит суть системы	координат	: это правило , по которому определяется положение того или иного объекта .
Плоскость , на которой задана система	координат	, называется координатной плоскостью .
Система	координат	, которую вы изучали , называется прямоугольной .
Начертите оси	координат	, которые пересекаются не под прямым углом , например так .
Декартова система	координат	.
Те из вас , кто играл в морской бой , пользовались при этом соответствующей системой	координат	.
Подумайте , как определить координаты точки в такой системе	координат	.
Каждый участок маршрута можно описать с помощью трёх	координат	: заметный ориентир , угол между направлением на север и направлением на объект ( азимут ) , расстояние .
Укажите координаты точек , в которых стороны четырёхугольника пересекают оси	координат	.
Придумайте систему	координат	для определения места ученика в классе .
Идея	координат	зародилась в глубокой древности .
Используя знак модуля , запишите , на каком расстоянии от начала	координат	— точки О находится точка .
Точку О называют началом	координат	.
Оси	координат	.
Системы	координат	пронизывают всю практическую жизнь человека .
Начало	координат	.
Постройте прямоугольную систему	координат	и отметьте точки , имеющие следующие координаты .
Долготой и широтой в качестве географических	координат	пользовался древнегреческий астроном Клавдий Птолемей ( II в . ) .
Квадратная сетка , играющая роль	координат	, была обнаружена на стене одной древнеегипетской гробницы .
Таким образом ,	координата	точки указывает её место на координатной прямой .
Отметьте на координатной прямой точки и точку С ,	координата	которой есть среднее арифметическое координат точек .
На какой координатной оси находится точка с	координатами	( 5 ; 0 ) ? .
Числа 0 ; 3,5 ; – 3,5 ; – 5,2 являются	координатами	точек О , А , В и С .
Это выражение означает , что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона , которые и считаются в этом случае	координатами	.
Умею определять координаты точки на координатной плоскости , строить точки с заданными	координатами	.
Их называют	координатами	точки на плоскости .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает число 0 , а другая — число 1 Точка с	координатой	0 делит прямую на два луча .
Попадёте ли вы в точку с	координатой	, равной 10 ? .
Проведём теперь из точки А перпендикуляр к оси у. Он пересечёт ось у в точке с	координатой	, равной 2 .
Точка с	координатой	– 1000 оказалась левее точки – 989 .
Отсчитав от точки 0,3 шесть сотых долей , отмечают точку с	координатой	0,36 .
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая следует за точкой с	координатой	0,3 .
Пусть на координатной плоскости отмечена некоторая точка А Опустим из неё перпендикуляр на ось х. Он пересечёт ось х в точке с	координатой	, равной 3 .
Число у называют ординатой или второй	координатой	точки А .
Через сколько шагов вы окажетесь в точке с	координатой	7,4 ? .
Противоположные числа изображаются точками , симметричными относительно точки с	координатой	0 .
После этого любая точка прямой получает свою собственную	координату	.
Назовите х - координату и у -	координату	точки ( – 3 ; 2 ) .
Запишите	координату	каждой точки , отмеченной на координатной прямой .
Назовите х -	координату	и у - координату точки ( – 3 ; 2 ) .
Определите	координату	каждой точки .
Заметим , что указать только одну	координату	точки было бы недостаточно .
Подумайте , как определить	координаты	точки в такой системе координат .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите	координаты	его вершин .
Запишите	координаты	точек , отмеченных на координатной прямой .
Покажите , где на координатной прямой расположены точки ,	координаты	которых удовлетворяют условию .
На координатной плоскости постройте данную точку ; точку , симметричную ей относительно оси х , и запишите её	координаты	.
Подметьте закономерность и ответьте на вопрос : как связаны между собой	координаты	у и координаты х точек , симметричных относительно оси х ? .
Укажите	координаты	точек , в которых стороны четырёхугольника пересекают оси координат .
А сам термин «	координаты	» произошёл от латинского слова ordinatus — упорядоченный ; приставка co- указывает на совместность : координат обычно бывает две или более .
Например ,	координаты	точки С записывают так : С ( 4 ; 1 ) .
Подметьте закономерность и ответьте на вопрос : как связаны между собой координаты у и	координаты	х точек , симметричных относительно оси х ? .
Такого рода « клеточные »	координаты	обычно используются на военных , морских , геологических картах .
2 ) На координатной плоскости постройте данную точку ; точку , симметричную ей относительно оси у , и запишите её	координаты	.
Подметьте закономерность и ответьте на вопрос : как связаны между собой	координаты	х и координаты у точек , симметричных относительно оси у ? .
Подметьте закономерность и ответьте на вопрос : как связаны между собой координаты х и	координаты	у точек , симметричных относительно оси у ? .
Например , точки А , В , С имеют соответственно	координаты	.
Попробуйте , не выполняя построения , определить	координаты	точки , симметричной точке : а ) относительно оси х ; б ) относительно оси у .
Посмотрите на номера пунктов в учебнике — они тоже имеют свои	координаты	.
4 Запишите	координаты	всех этих точек .
Запишите	координаты	всех этих точек .
( Отметьте эти точки и подпишите их	координаты	) .
115 Прямоугольные	координаты	на плоскости .
Отметьте несколько точек и запишите их	координаты	.
Определите , какие города имеют	координаты	.
Вы могли слышать такую фразу : « Оставьте мне ваши	координаты	» .
Запишите	координаты	всех клеток , находящихся под угрозой нападения этих коней .
Запишите их	координаты	( например , король — d5 ) .
Запишите	координаты	всех отмеченных точек .
Определите	координаты	клеток , занятых двумя конями .
Умею отмечать на координатной прямой точки , соответствующие заданным числам , определять	координаты	отмеченных точек .
Запишите их	координаты	.
Обозначьте все отмеченные точки и запишите их	координаты	.
Вспомните , как задают	координаты	на прямой .
а ) Запишите	координаты	( широту и долготу ) городов : Киев , Минск , Париж , Гамбург , Лондон . б )
Расскажите , как определить	координаты	точки на координатной плоскости .
Постройте прямоугольную систему координат и отметьте точки , имеющие следующие	координаты	.
Найдите	координаты	точек A и С .
Запишите	координаты	отмеченных точек .
Прочитайте в тексте пункта , как определяют	координаты	точки на координатной плоскости .
Для этого на плоскости чертят две перпендикулярные прямые ( обычно одну из них располагают горизонтально , а другую — вертикально ) и вводят на каждой из них обычные	координаты	.
Назовите	координаты	всех отмеченных точек .
Как называют точку пересечения осей координат и какие у неё	координаты	?
Укажите	координаты	нескольких учеников .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите	координаты	его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
114 Что такое	координаты	.
Постройте треугольник , если известны	координаты	его вершин .
6 Запишите	координаты	точек , отмеченных на координатной прямой .
Постройте отрезок АВ по координатам его концов и найдите	координаты	точки , в которой он пересекает ось х . а )
Укажите координаты точек , в которых стороны треугольника пересекают ось х . б ) Постройте четырёхугольник ABCD , если его вершины имеют	координаты	.
Умею определять	координаты	точки на координатной плоскости , строить точки с заданными координатами .
15 Запишите	координаты	точек 16 .
Укажите	координаты	точек , в которых стороны треугольника пересекают ось х . б ) Постройте четырёхугольник ABCD , если его вершины имеют координаты .
Уравнения	корень	.
Найдите	корень	уравнения .
Назовите	корень	каждого из рассмотренных выше уравнений .
Решите уравнение и с помощью подстановки проверьте , правильно ли найден	корень	.
Есть ли среди чисел 3 , 4 и 5	корень	уравнения .
Решите уравнение и проверьте с помощью подстановки , правильно ли найден	корень	.
10 Проверьте , является ли	корнем	уравнения число 0,4 .
Число 12 называют	корнем	уравнения .
Знаю , что называют	корнем	уравнения и что значит решить уравнение .
Что называют	корнем	уравнения ?
Заметим , что дробь — можно привести к любому знаменателю , и	кратному	3 , то есть к 6 , 9 , 12 и любому другому числу , делящемуся на 3 .
Постройте разбиение множества натуральных чисел на классы , используя два признака : чётность и	кратность	5 .
Вам поможет следующая таблица : Числа : чётные ,	кратные	5 .
Но если мы хотим найти наименьший общий знаменатель , то будем действовать с помощью известного вам приёма : будем последовательно перебирать числа ,	кратные	12 — большему знаменателю , и проверять , делятся ли они на 9 .
7 Пусть С — множество чисел ,	кратных	5 , и D — множество чисел , кратных 10 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и	кратных	9 .
А — это множество чётных чисел ,	кратных	5 .
б ) Пусть А — множество натуральных чисел ,	кратных	4 , В — множество натуральных чисел , кратных 6 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и	кратных	4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел ,	кратных	2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел ,	кратных	5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел ,	кратных	2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , В — множество натуральных чисел ,	кратных	6 .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел ,	кратных	3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Поэтому чаще всего множества задают описанием , например : множество стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ; множество чисел ,	кратных	5 .
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных чисел ,	кратных	10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел ,	кратных	3 и кратных 9 .
7 Пусть С — множество чисел , кратных 5 , и D — множество чисел ,	кратных	10 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и	кратных	5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Поверхности цилиндра и конуса состоят как из плоских частей , так и из	кривых	, а шар абсолютно круглый .
рическую фигуру ( прямоугольник ,	круг	или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 ) Приведите дроби к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
Большой круг изображает всех опрошенных шестиклассников , круг 3 — шестиклассников , собирающих значки ,	круг	М — шестиклассников , собирающих марки .
Большой	круг	разбивается кругами 3 и М на непересекающиеся области , каждой из которых соответствует некоторая категория шестиклассников .
Из квадратного листа картона вырезали	круг	.
большой	круг	изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
	Круг	? .
Но если на плоскости только	круг	обладает таким интересным свойством , то в пространстве есть и другие тела , имеющие бесконечно много плоскостей симметрии .
Круг А изображает сотрудников института , знающих английский язык ,	круг	Н — знающих немецкий и круг Ф — французский . 1 ) Сколько сотрудников института знают : а ) все три языка ; б ) английский и немецкий ; в ) французский ? .
В доме 120 жильцов , у некоторых из них есть собаки и кошки , круг С изображает жильцов с собаками ,	круг	К — жильцов с кошками . 1 ) Сколько жильцов имеют и собак , и кошек ? .
У него , как и у пирамиды , есть вершина и основание , только в основании лежит не многоугольник , а	круг	.
а ) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так , чтобы в сечении получился	круг	; эллипс .
В доме 120 жильцов , у некоторых из них есть собаки и кошки ,	круг	С изображает жильцов с собаками , круг К — жильцов с кошками . 1 ) Сколько жильцов имеют и собак , и кошек ? .
При рассечении шара может получиться только	круг	.
Начертите	круг	и закрасьте : а ) 50 % круга ; б ) 25 % круга ; в ) 75 % круга .
Но « самые симметричные » фигуры на плоскости — это окружность , а также ограниченный ею	круг	.
Большой	круг	разбивается малыми на четыре области . ( Они закрашены разными цветами . )
Круг с горизонтальной штриховкой изображает множество А , а	круг	с вертикальной штриховкой — множество В. Вся закрашенная область — это множество A ⋃ B , а область , показанная двойной шриховкой , — это А ⋂ В .
Круг А изображает сотрудников института , знающих английский язык , круг Н — знающих немецкий и	круг	Ф — французский . 1 ) Сколько сотрудников института знают : а ) все три языка ; б ) английский и немецкий ; в ) французский ? .
Большой круг изображает всех опрошенных шестиклассников ,	круг	3 — шестиклассников , собирающих значки , круг М — шестиклассников , собирающих марки .
Большой	круг	изображает всех опрошенных шестиклассников , круг 3 — шестиклассников , собирающих значки , круг М — шестиклассников , собирающих марки .
Существует и формула площади круга : где S — площадь круга , r — радиус	круга	В эту формулу также входит число π .
84 Формулы длины окружности , площади	круга	и объёма шара .
Это и есть ответ задачи ; его можно вписать в свободное поле большого	круга	.
Перпендикуляр , проведённый из вершины конуса к плоскости основания , попадает в центр	круга	.
Могу , используя формулы С равно 2πr и 5 равно πr2 , вычислять длину окружности и площадь	круга	.
9 Найдите площадь	круга	, диаметр которого равен 10 см .
Существует и формула площади круга : где S — площадь	круга	, r — радиус круга В эту формулу также входит число π .
У шара и сферы , так же как у	круга	и окружности , есть центр , радиус и диаметр .
Найдём , какой длины бордюр потребуется для ограждения клумбы , имеющей форму	круга	с диаметром , равным 4 м .
Формула объёма площади	круга	.
Обведите часть	круга	А , не принадлежащую кругу В. Опишите словами соответствующее ей множество чисел , приведите примеры таких чисел .
б ) Вырежите из одного и того же	круга	два неравных сектора .
Найдите площадь закрашенной части	круга	.
Диаметр	круга	будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через центр шара .
Какое множество чисел соответствует части	круга	В , не принадлежащей кругу А ?
Существует и формула площади	круга	: где S — площадь круга , r — радиус круга В эту формулу также входит число π .
Верно ли , что площадь	круга	с радиусом 10 см больше 300 см2 ? .
Начертите круг и закрасьте : а ) 50 %	круга	; б ) 25 % круга ; в ) 75 % круга .
Что больше : а ) площадь	круга	с радиусом , равным 2 см , или площадь квадрата со стороной , равной 3 см ; б ) площадь круга с радиусом , равным 5 см , или площадь квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Начертите круг и закрасьте : а ) 50 % круга ; б ) 25 %	круга	; в ) 75 % круга .
Границей	круга	, как вам известно , является окружность , а границей шара — сфера .
Начертите круг и закрасьте : а ) 50 % круга ; б ) 25 % круга ; в ) 75 %	круга	.
Возьмите стакан цилиндрической формы или какой - нибудь другой предмет , дно которого имеет форму	круга	.
а ) Вычислите площадь	круга	, радиус которого равен 100 м ; 20 см . б )
Ученик закрасил	круга	, причём — этой части он закрасил синим цветом , а остальное — красным .
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность конуса — в круговой сектор ( часть	круга	, ограниченная двумя радиусами ) .
Какая часть	круга	закрашена красным ? .
Не участвовал в выборах 31 % избирателей , на диаграмме им отведено около трети	круга	.
За кандидата Б проголосовало 12 % избирателей , соответствующая часть диаграммы составляет примерно восьмую часть	круга	.
За кандидата А проголосовало 52 % избирателей , поэтому на диаграмме эта часть составляет чуть больше половины	круга	.
Основания цилиндра — это два равных	круга	, расположенные в параллельных плоскостях .
Впишем число 7 в свободную часть	круга	3 .
Что больше : а ) площадь круга с радиусом , равным 2 см , или площадь квадрата со стороной , равной 3 см ; б ) площадь	круга	с радиусом , равным 5 см , или площадь квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Во сколько раз площадь второго	круга	больше площади первого ? .
Например , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки	круга	N принадлежат также и кругу Ζ .
Какая часть	круга	закрашена синим цветом ?
Соответствующие таким	кругам	окружности называются большими окружностями .
Обычно их называют	кругами	Эйлера — по имени великого учёного Леонарда Эйлера ( 1707–1783 ) .
Большой круг разбивается	кругами	3 и М на непересекающиеся области , каждой из которых соответствует некоторая категория шестиклассников .
Изобразите на	кругах	Эйлера следующую ситуацию , придумайте вопрос и ответьте на него : а ) В понедельник в магазине 12 человек купили только телефон , 4 человека — только автоответчик , а 5 человек — телефон с автоответчиком .
Начертите	круги	Эйлера .
В одной из них и появились	круги	, которые , по его словам , « очень подходят для того , чтобы облегчить наши размышления » .
103 Решение задач с помощью	кругов	Эйлера .
Например , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде	кругов	, при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
Прочитайте разными способами соотношения между множествами натуральных , целых и рациональных чисел и изобразите каждое из них с помощью	кругов	Эйлера .
Дайте иллюстрации с помощью	кругов	Эйлера .
Изобразите соотношение между указанными множествами с помощью	кругов	и запишите соответствующую цепочку включений ( сначала со знаком ⊂ , а потом со знаком ⊃ ) .
Вы знаете , что соотношения между множествами принято иллюстрировать с помощью	кругов	.
Пусть А — это множество чисел , делящихся на 3 , а В — множество чисел , делящихся на 5 . 1 ) Какое множество чисел соответствует общей части	кругов	?
Проиллюстрируйте это понятие с помощью	кругов	Эйлера .
Решим с помощью	кругов	Эйлера следующую задачу : « По результатам опроса 52 шестиклассников было установлено , что 23 из них собирают значки , 35 собирают марки , а 16 — и значки , и марки .
Маша раскатала тесто в квадрат со стороной 30 см и стаканом вырезала 16	кругов	диаметром 7 см. Чему равна площадь обрезков ? .
Значки и марки собирают 16 человек ( впишем число 16 в пересечение	кругов	З и М ) .
Обведите часть круга А , не принадлежащую	кругу	В. Опишите словами соответствующее ей множество чисел , приведите примеры таких чисел .
Например , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и	кругу	Ζ .
Какое множество чисел соответствует части круга В , не принадлежащей	кругу	А ?
На нём хорошо видно , что искры — раскалённые частички точильного камня , оторвавшиеся от него , — летят по касательной к	кругу	в точке отрыва .
На сколько частей разрезали	куб	?
Найдите S , если . Начертите	куб	.
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г )	куб	числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Посмотрите на	куб	.
Найдите число ,	куб	которого равен .
Посмотрите на	куб	: ребро АВ перпендикулярно грани AKND .
Нижняя часть башни — это	куб	, а средняя её часть — восьмиугольная призма , « вырезанная » из точно такого же куба .
Какой из отрезков самый длинный : ребро куба АВ , диагональ грани АС или диагональ	куба	AD ?
площади грани малого куба к площади грани большого куба ; 3 ) объёма малого куба к объёму большого	куба	.
Назовите рёбра	куба	, перпендикулярные : а ) ребру АВ ; б ) грани CMND .
площади грани малого куба к площади грани большого куба ; 3 ) объёма малого	куба	к объёму большого куба .
И Ребро одного куба равно 10 см , а другого — 5 см Найдите отношение : 1 ) ребра малого куба к ребру большого	куба	.
И Ребро одного куба равно 10 см , а другого — 5 см Найдите отношение : 1 ) ребра малого	куба	к ребру большого куба .
площади грани малого куба к площади грани большого	куба	; 3 ) объёма малого куба к объёму большого куба .
площади грани малого	куба	к площади грани большого куба ; 3 ) объёма малого куба к объёму большого куба .
Нижняя часть башни — это куб , а средняя её часть — восьмиугольная призма , « вырезанная » из точно такого же	куба	.
Обозначьте длину его ребра какой - нибудь буквой и составьте формулу объёма	куба	.
И Ребро одного	куба	равно 10 см , а другого — 5 см Найдите отношение : 1 ) ребра малого куба к ребру большого куба .
У параллелепипеда три плоскости симметрии А сколько плоскостей симметрии у	куба	? .
Сколько прямых , параллельных прямой т , можно провести назовите рёбра	куба	: а ) параллельные ребру АВ , б ) перпендикулярные ребру ВС ; в ) скрещивающиеся с ребром AD .
Какой из отрезков самый длинный : ребро	куба	АВ , диагональ грани АС или диагональ куба AD ?
На рёбрах	куба	взяты точки О и Р Пересекает ли прямая ОР прямые AD , ML , АВ , DN , ВМ ? .
Начертите какую - нибудь развёртку	куба	, у которой есть центр симметрии .
Центр	куба	— это точка пересечения его диагоналей .
Назовите вершины	куба	, симметричные относительно его центра .
Воспользуйтесь моделью	куба	; в качестве прямых можно использовать , например , карандаши , вязальные спицы и так далее .
Любая	ломаная	, центрально - симметричная относительно центра квадрата , делит его на две равные части .
Орнамент образован	ломаной	, обладающей центральной симметрией .
Вычислите длину	ломаной	, если стороны сетки равны 0,5 см и 1,5 см .
Изображён квадрат 4×4 клетки и часть	ломаной	линии , проходящей по сторонам клеток . 1 ) Скопируйте рисунок на лист клетчатой бумаги .
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см. Найдите : а ) периметр прямоугольника КВМО ; б ) периметр прямоугольника AKLD ; в ) периметр прямоугольника ABCD ; г ) длину	ломаной	ANMCD .
Достройте	ломаную	так , чтобы центр симметрии квадрата был центром симметрии данной линии .
Придумайте какую - нибудь другую	ломаную	, которая делила бы квадрат 4×4 клетки на две равные части .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите	ломаную	из двух звеньев , не пересекающую прямую m , и постройте ломаную , симметричную ей относительно прямой m .
Продолжите	ломаную	так , чтобы она делила квадрат на две равные части .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите ломаную из двух звеньев , не пересекающую прямую m , и постройте	ломаную	, симметричную ей относительно прямой m .
А в первых русских учебниках математики дроби так и назывались — «	ломаные	числа » .
Проведите луч ОМ , дополняющий луч ОК до прямой Верно ли , что	луч	ОМ — биссектриса угла COS ?
Углы ВОС и СОА составляют развёрнутый угол , луч ОМ — биссектриса угла СОВ ,	луч	ON — биссектриса угла АОС .
Точку пересечения прямых обозначьте буквой О. Постройте с помощью транспортира	луч	ОК- биссектрису угла AOD .
Углы ВОС и СОА составляют развёрнутый угол ,	луч	ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
Проведите луч ОМ , дополняющий	луч	ОК до прямой Верно ли , что луч ОМ — биссектриса угла COS ?
Объединение отрезка KL и луча LM есть	луч	КМ , а их пересечением является точка L .
Проведите	луч	ОМ , дополняющий луч ОК до прямой Верно ли , что луч ОМ — биссектриса угла COS ?
Объединение отрезка KL и	луча	LM есть луч КМ , а их пересечением является точка L .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает число 0 , а другая — число 1 Точка с координатой 0 делит прямую на два	луча	.
Направление	луча	, на котором отмечают положительные числа , называют положительным направлением и указывают стрелкой .
Угол между двумя соседними	лучами	равен 30 ° .
На « правом »	луче	будем , как обычно , отмечать целые положительные числа , а на « левом » — целые отрицательные .
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные числа , на правом	луче	положительные , на левом — отрицательные .
Для математики особенно важны множества , составленные из	математических объектов	— чисел , выражений , точек , фигур и так далее .
Так как сумма двух отрицательных чисел отрицательна , то в результате запишем знак «	минус	» , а затем сложим и получим .
Умею находить число , противоположное данному , применять знак «	минус	» для обозначения противоположного числа .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на минус даёт	минус	, минус на минус даёт плюс .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на	минус	даёт минус , минус на минус даёт плюс .
Натуральное число и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака «	минус	» , называют противоположными числами .
Получить модуль отрицательного числа тоже легко — достаточно просто отбросить знак «	минус	» .
И если значение величины ниже нулевой отметки , то ставят знак «	минус	» .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на минус даёт минус ,	минус	на минус даёт плюс .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на минус даёт минус , минус на	минус	даёт плюс .
Знака «	минус	» тогда не было , а чтобы различать положительные и отрицательные числа , Джань Цань писал их чернилами разных цветов .
Вы видите , что при записи отрицательных дробей «	минус	» можно ставить перед дробью , вносить его в числитель или убирать в знаменатель .
Числа со знаком «	минус	» нужны в тех случаях , когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях .
Если перед некоторым числом , положительным или отрицательным , поставить знак « плюс » , то получится то же самое число ; если же поставить знак «	минус	» , то получится противоположное число .
Отрицательные дробные числа , как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительным числам знака «	минус	» .
Наряду с натуральными числами мы будем рассматривать отрицательные числа , которые получаются , если к каждому натуральному числу приписать знак «	минус	» .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и «	минус	» .
С помощью знака «	минус	» , как вы видели , записывается число , противоположное натуральному .
Что это за	многогранник	, если у него : а ) 13 вершин ; б ) 15 рёбер ? .
Назовите	многогранник	.
Известно , что	многогранник	является либо пирамидой , либо призмой .
У	многогранника	все части поверхности плоские .
Запишите формулу для вычисления объёма V	многогранника	.
Поверхности цилиндра и конуса , как и поверхность	многогранника	, можно развернуть на плоскость .
Найдите объём	многогранника	.
Пусть в	многограннике	В — число вершин , Р — число рёбер и Г — число граней .
Какие при этом получились	многогранники	? .
Симметричными могут быть и	многогранники	.
Глава 12 Многоугольники и	многогранники	.
Среди них встречаются не только	многогранники	, но и так называемые круглые тела .
Убедитесь , что для всех	многогранников	в таблице это число равно 2 .
В этом пункте вы познакомитесь ещё с одним семейством	многогранников	— призмами .
У него , как и у пирамиды , есть вершина и основание , только в основании лежит не	многоугольник	, а круг .
Правильный	многоугольник	.
Назовите	многоугольник	, у которого одна ось симметрии , две оси симметрии .
Начертите	многоугольник	, у которого нет осей симметрии .
Какой фигурой является закрашенный	многоугольник	? .
Как построить	многоугольник	, симметричный данному относительно некоторой прямой ? .
Как построить	многоугольник	, симметричный данному относительно некоторой точки ? .
Ищем способ построения Правильные многоугольники обладают важным свойством : все вершины правильного	многоугольника	лежат на одной окружности .
Составьте формулу для вычисления периметра	многоугольника	.
Основания представляют собой два равных	многоугольника	, расположенные в параллельных плоскостях , боковые грани призмы — прямоугольники .
Это свойство можно использовать для построения правильного	многоугольника	: разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося	многоугольника	; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Действительно , если от равных величин ( площади квадрата и площади прямоугольника ) отнять поровну ( площадь зелёного	многоугольника	) , то поровну и останется .
1 ) Чтобы найти площадь	многоугольника	его можно разбить на прямоугольники и вычислить результат сложением площадей или достроить его до прямоугольника и вычислить результат вычитанием площадей .
Верно ли , что проведённая прямая — ось симметрии	многоугольника	? .
Жёлтый и синий	многоугольники	также равновелики .
Ищем способ построения Правильные	многоугольники	обладают важным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
Какие	многоугольники	называют правильными ? .
Вы , наверное , заметили , что обе эти фигуры —	многоугольники	с равными сторонами и равными углами .
Выберите один из двух других изображённых на рисунке правильных	многоугольников	и постройте его .
Начнём искать ответ на этот вопрос с	многоугольников	.
Составьте формулы для вычисления периметров	многоугольников	.
Определите площадь каждого из	многоугольников	.
Если отвлечься от сюжета этой задачи и сформулировать её в терминах теории	множеств	, то она будет звучать так : дано множество , содержащее три элемента .
В переводе на язык теории	множеств	эта задача звучит так : сколько всего подмножеств у множества , содержащего 4 элемента ?
Каким из числовых	множеств	— N , Z , Q — принадлежит число ? .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением	множеств	чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Эту задачу тоже можно рассмотреть с позиции теории	множеств	.
1 Приведите примеры конечных множеств , бесконечных	множеств	.
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением	множеств	чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Объединением этих	множеств	является всё множество натуральных чисел .
Какое множество называют пересечением	множеств	А и B и какое — их объединением ?
5 Какое множество называют объединением	множеств	А и В ?
Знаю термины : объединение множеств , пересечение	множеств	.
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением	множеств	нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
В этой главе вы познакомитесь с некоторыми простейшими понятиями теории	множеств	и узнаете об их применении , научитесь употреблять соответствующую терминологию и использовать символику .
Понятие множества оказалось столь важным и полезным , что вскоре в математике появилась целая область — теория	множеств	, а в XX в .
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства операций объединения и пересечения	множеств	? .
Какое из двух	множеств	является подмножеством другого : а ) А или A ⋃ В ; 6 ) А или А ⋂ В ? .
1 Приведите примеры конечных	множеств	, бесконечных множеств .
пересечением	множеств	А и B ?
Запишите каждое из этих	множеств	.
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением	множеств	чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Знаю термины : объединение	множеств	, пересечение множеств .
Именно из геометрии этот термин пришёл в теорию	множеств	, но здесь он используется не только для геометрических объектов .
Приведите примеры конечных	множеств	и бесконечных множеств .
Если для	множеств	А и В одновременно выполняются соотношения А ⊂ В и В ⊂ А , то эти множества состоят из одних и тех же элементов .
Объединение	множеств	.
Вообще в математике и её приложениях часто приходится из данных	множеств	с помощью специальных операций получать новые множества .
Запишите цепочку включений для	множеств	L , К и М , начиная со множества М .
Множество , состоящее из элементов , входящих в каждое из данных	множеств	, называется их пересечением .
Приведём примеры пересечения и объединения	множеств	.
Приведите примеры конечных множеств и бесконечных	множеств	.
Тогда для этих	множеств	можно записать такую цепочку включений : L ⊂ К ⊂ М. Она проиллюстрирована .
Пересечение	множеств	.
2 ) Может ли ни одно из этих	множеств	не являться подмножеством другого ? .
Может ли одно из этих	множеств	быть подмножеством другого , и если да , то какие могут быть варианты ? .
Пересечение	множеств	А и В записывают с помощью символа ⋂ , а их объединение — с помощью символа ⋃ .
6 Найдите объединение и пересечение	множеств	.
Множество , состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из данных	множеств	, называется их объединением .
Какое из	множеств	— С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Множество А называют подмножеством	множества	В , если каждый элемент множества А является элементом множества В .
Множество А называют подмножеством множества В , если каждый элемент	множества	А является элементом множества В .
Каждый элемент первого	множества	принадлежит также и второму .
Множество А называют подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является элементом	множества	В .
А вообще в математике есть формула , позволяющая определять число подмножеств любого конечного	множества	по числу его элементов .
Возьмём	множества	{ 1 , 3 , 5 } и { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } .
Сколько всего подмножеств у	множества	, сожержащего три элемента ? .
Придумайте пример пустого	множества	.
Если говорить математическим языком , то сыщик , имея три	множества	, построил новое множество , содержащее их общие элементы .
Назовите несколько элементов	множества	А ⋂ В. Укажите наименьший элемент этого множества .
Запишите множество А ⋂ В. Укажите наибольший элемент этого	множества	.
В каждом случае дайте словесное описание рассматриваемого	множества	.
Найдите	множества	.
Вообще в математике и её приложениях часто приходится из данных множеств с помощью специальных операций получать новые	множества	.
Пусть К , L и М —	множества	букв , с помощью которых записываются соответственно слова « зима » , « озимый » , « зимовье » .
Опишите множество , которое является пересечением : а ) множества учащихся начальных классов некоторой школы и множества девочек , обучающихся в этой школе ; б )	множества	предметов , изучаемых в начальной школе , и предметов , изучаемых в 5–6 классах .
Опишите множество , которое является пересечением : а ) множества учащихся начальных классов некоторой школы и	множества	девочек , обучающихся в этой школе ; б ) множества предметов , изучаемых в начальной школе , и предметов , изучаемых в 5–6 классах .
Опишите множество , которое является пересечением : а )	множества	учащихся начальных классов некоторой школы и множества девочек , обучающихся в этой школе ; б ) множества предметов , изучаемых в начальной школе , и предметов , изучаемых в 5–6 классах .
Найдите . б ) Даны	множества	.
а ) Даны	множества	.
Приведите пример классификации	множества	треугольников .
Поэтому чаще всего	множества	задают описанием , например : множество стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ; множество чисел , кратных 5 .
Назовите несколько элементов множества А ⋂ В. Укажите наименьший элемент этого	множества	.
О множествах А , В и С известно , что А ⊂ В и В ⊂ С. Какое соотношение связывает	множества	А и С ?
Заметим , что пустое множество считается подмножеством любого другого	множества	: Ø ⊂ В. Из определения также следует , что в число подмножеств данного множества входит и само это множество : В ⊂ В .
В переводе на язык теории множеств эта задача звучит так : сколько всего подмножеств у	множества	, содержащего 4 элемента ?
Укажите несколько конечных и несколько бесконечных подмножеств	множества	натуральных чисел Ν.
Укажите ещё три подмножества	множества	А .
Например , множество натуральных чисел является подмножеством	множества	целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
Пусть А — множество однозначных натуральных чисел . 1 ) Опишите словами каждое из подмножеств	множества	.
Сколько классов содержит разбиение	множества	натуральных чисел по остаткам от деления на 4 ?
Например , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует :	множества	изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
С подмножествами мы встречаемся всякий раз , когда некоторое множество рассматривается не самостоятельно , а как часть другого , более широкого	множества	.
Множество кашалотов является подмножеством	множества	китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества позвоночных .
Вы знаете , как читается соотношение : множество натуральных чисел является подмножеством	множества	целых чисел .
Какие из чисел являются элементами этого	множества	, а какие не являются ? .
Множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством	множества	позвоночных .
Постройте разбиение	множества	натуральных чисел на классы , используя два признака : чётность и кратность 5 .
Какие из чисел 0 , – 125 , 135 , – 99 , 100 , – 100 являются элементами этого	множества	, а какие не являются ?
Обозначьте перечисленные	множества	какими - нибудь буквами , запишите для них соответствующую цепочку включений и проиллюстрируйте её рисунком .
Множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством	множества	млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества позвоночных .
С помощью перебора мы выяснили , что у такого	множества	имеется 16 подмножеств ( в том числе пустое множество и само рассматриваемое множество ) .
Выполните это же задание для	множества	целых чисел Ζ .
Говорят , что	множества	А и В равны и пишут : А равно В .
Предложение « множество А является подмножеством	множества	В » на математическом языке записывают так : А ⊂ В .
Множество рациональных чисел , как и	множества	натуральных и целых чисел , имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
Придумайте несколько различных классификаций	множества	учащихся вашего класса .
И чтобы ответить на вопрос задачи , нужно выяснить , сколько у данного	множества	существует таких подмножеств .
Даны	множества	.
Заметим , что пустое множество считается подмножеством любого другого множества : Ø ⊂ В. Из определения также следует , что в число подмножеств данного	множества	входит и само это множество : В ⊂ В .
Для обозначения включения одного	множества	в другое наряду со знаком с используют и знак ⊃ ( вспомните о знаках сравнения меньше и больше ) ; таким образом , если множество А — подмножество множества B , то можно записать : А с В или В ⊃ А .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством	множества	целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
Разбиение	множества	на классы .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством	множества	рациональных чисел .
Обратите внимание на важное отличие	множества	целых чисел от множества натуральных чисел .
Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от	множества	натуральных чисел .
Если для множеств А и В одновременно выполняются соотношения А ⊂ В и В ⊂ А , то эти	множества	состоят из одних и тех же элементов .
Для обозначения включения одного множества в другое наряду со знаком с используют и знак ⊃ ( вспомните о знаках сравнения меньше и больше ) ; таким образом , если множество А — подмножество	множества	B , то можно записать : А с В или В ⊃ А .
Запишите цепочку включений для множеств L , К и М , начиная со	множества	М .
Элемент	множества	.
Вообще если	множества	А и В таковы , что А ⊂ В , то А ⋂ B равно А и A ⋃ B равно B. Это наглядно видно .
Назовите несколько элементов	множества	, которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Для математики особенно важны	множества	, составленные из математических объектов — чисел , выражений , точек , фигур и так далее .
Можно указать и другие разбиения	множества	Ν , например по остаткам от деления на 3 .
3 В каком случае множество А называют подмножеством	множества	6 ?
Для того чтобы на математическом языке записать предложение « х — элемент	множества	А » ( или , что то же самое , « х принадлежит множеству А » ) , используют знак ∈ и пишут : х ∈ А. Легко догадаться , что запись « х ∉А » означает « х не принадлежит множеству А » .
Обязательные умения . Знаю термины : множество , элемент	множества	; понимаю и умею использовать запись типа х ∈ А , х ∉ А .
Таким образом , мы имеем разбиение	множества	натуральных чисел на два класса — чётных и нечётных чисел .
Это разбиение составляют три	множества	: множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Говорят , что множества чётных и нечётных чисел составляют разбиение	множества	Ν. Непересекающиеся подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
Говорят , что	множества	чётных и нечётных чисел составляют разбиение множества Ν. Непересекающиеся подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
101 Понятие	множества	.
Понятие	множества	оказалось столь важным и полезным , что вскоре в математике появилась целая область — теория множеств , а в XX в .
Возьмём два подмножества	множества	натуральных чисел : множество нечётных чисел и множество чётных чисел .
4 Приведите примеры подмножеств	множества	натуральных чисел N .
Эти	множества	общих элементов не имеют ; в самом деле , любое натуральное число либо чётное , либо нечётное .
Элементы	множества	можно перечислять в любом порядке .
Найдём пересечение и объединение	множества	натуральных чисел и множества целых чисел .
Например , Санкт - Петербург — элемент	множества	городов европейской части России .
Любое натуральное число принадлежит одному из этих подмножеств	множества	Ν , и общих элементов они не имеют .
Знаю соотношения между подмножествами	множества	рациональных чисел .
Всё это разные представления одного и того же	множества	.
Найдём пересечение и объединение множества натуральных чисел и	множества	целых чисел .
А основные числовые	множества	— натуральных и целых чисел — всегда обозначают буквами N и Ζ. Можно сказать , что эти буквы — их « имена собственные » .
Разбиение	множества	на непересекающиеся подмножества составляет основу классификаций объектов , применяемых в различных областях человеческой деятельности .
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной системы ,	множестве	клеток человеческого тела .
Можно , например , говорить о	множестве	дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной системы , множестве клеток человеческого тела .
И в	множестве	целых чисел действие вычитания выполнимо всегда .
Можно , например , говорить о множестве дней в году ,	множестве	букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной системы , множестве клеток человеческого тела .
В	множестве	натуральных чисел сложить можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре ,	множестве	планет Солнечной системы , множестве клеток человеческого тела .
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита ,	множестве	всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной системы , множестве клеток человеческого тела .
большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А —	множество	чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Пусть А — множество параллелограммов , В — множество прямоугольников , С —	множество	ромбов Множество каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
немецкий математик Георг Кантор ( 1845–1918 ) для решения стоявших перед ним задач предложил новое математическое понятие —	множество	, суть которого можно передать словами : объединение , набор , совокупность .
Круг с горизонтальной штриховкой изображает множество А , а круг с вертикальной штриховкой — множество В. Вся закрашенная область — это	множество	A ⋃ B , а область , показанная двойной шриховкой , — это А ⋂ В .
Пусть А — некоторое	множество	.
Для обозначения включения одного множества в другое наряду со знаком с используют и знак ⊃ ( вспомните о знаках сравнения меньше и больше ) ; таким образом , если	множество	А — подмножество множества B , то можно записать : А с В или В ⊃ А .
Пусть А —	множество	целых чисел , больших – 100 и меньших 150 .
большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В —	множество	чисел , делящихся на 3 .
большой круг изображает	множество	натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Если отвлечься от сюжета этой задачи и сформулировать её в терминах теории множеств , то она будет звучать так : дано	множество	, содержащее три элемента .
Круг с горизонтальной штриховкой изображает множество А , а круг с вертикальной штриховкой —	множество	В. Вся закрашенная область — это множество A ⋃ B , а область , показанная двойной шриховкой , — это А ⋂ В .
Сколькими способами можно упорядочить это	множество	, то есть сколькими способами можно расположить один за другим его элементы ? .
В дальнейшем вы узнаете формулу , с помощью которой можно путём простых вычислений получать ответ на вопрос о том , сколькими способами можно упорядочить	множество	, содержащее любое конечное число элементов .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а	множество	целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
Пусть , например , Р —	множество	простых чисел .
Возьмём два подмножества множества натуральных чисел :	множество	нечётных чисел и множество чётных чисел .
В самом деле , 8 приятелей — это	множество	из восьми элементов .
Возьмём два подмножества множества натуральных чисел : множество нечётных чисел и	множество	чётных чисел .
Какое	множество	чисел соответствует части круга В , не принадлежащей кругу А ?
Переведите запись на русский язык и скажите , верно ли соответствующее утверждение : Если	множество	состоит из конечного числа элементов , то его называют конечным множеством ; если же элементов бесконечно много , то говорят , что это бесконечное множество .
Как вы знаете ,	множество	натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
а ) А —	множество	всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Обведите часть круга А , не принадлежащую кругу В. Опишите словами соответствующее ей	множество	чисел , приведите примеры таких чисел .
Заметим , что пустое множество считается подмножеством любого другого множества : Ø ⊂ В. Из определения также следует , что в число подмножеств данного множества входит и само это	множество	: В ⊂ В .
Пусть А —	множество	параллелограммов , В — множество прямоугольников , С — множество ромбов Множество каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
А — это	множество	чётных чисел , кратных 5 .
С подмножествами мы встречаемся всякий раз , когда некоторое	множество	рассматривается не самостоятельно , а как часть другого , более широкого множества .
Вы знаете , как читается соотношение :	множество	натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел .
Конечным или бесконечным является	множество	: а ) натуральных чисел , кратных 10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
Множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих ,	множество	млекопитающих — подмножеством множества позвоночных .
Всякий объект , входящий в	множество	, называют его элементом .
Множество кашалотов является подмножеством множества китообразных ,	множество	китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества позвоночных .
Тогда А ⋂ В равно 0 , a A ⋃ В — это	множество	первых десяти натуральных чисел .
Задайте описанием	множество	.
Какое	множество	называют пересечением множеств А и B и какое — их объединением ?
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С —	множество	летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D —	множество	летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Пусть А — множество параллелограммов , В —	множество	прямоугольников , С — множество ромбов Множество каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С —	множество	треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Словом «	множество	» в математическом языке обозначают любую совокупность объектов ( или предметов ) , объединённых каким - либо общим признаком .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D —	множество	четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Сколько элементов содержит	множество	: а ) цифр десятичной системы счисления ; б ) букв русского алфавита ; в ) простых чисел , меньших 30 ; г ) двузначных чисел , меньших 100 ? .
Обозначим множество леопардов буквой L , множество кошачьих буквой К и	множество	млекопитающих буквой М .
Обозначим множество леопардов буквой L ,	множество	кошачьих буквой К и множество млекопитающих буквой М .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D —	множество	чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Пусть А —	множество	однозначных натуральных чисел . 1 ) Опишите словами каждое из подмножеств множества .
Обозначим	множество	леопардов буквой L , множество кошачьих буквой К и множество млекопитающих буквой М .
В слове «	множество	» каждый , конечно , слышит « много » .
Пусть В —	множество	обыкновенных дробей , которые можно представить в виде десятичных .
7 Пусть С — множество чисел , кратных 5 , и D —	множество	чисел , кратных 10 .
7 Пусть С —	множество	чисел , кратных 5 , и D — множество чисел , кратных 10 .
5 Какое	множество	называют объединением множеств А и В ?
Например ,	множество	натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С —	множество	чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Заметим , что пустое	множество	считается подмножеством любого другого множества : Ø ⊂ В. Из определения также следует , что в число подмножеств данного множества входит и само это множество : В ⊂ В .
И конечно , нельзя задать списком бесконечное	множество	.
а ) А — множество всех треугольников , B —	множество	равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Если	множество	нечётных чисел обозначить буквой А , а множество чётных чисел — буквой В , то можно записать .
Если множество нечётных чисел обозначить буквой А , а	множество	чётных чисел — буквой В , то можно записать .
Задайте перечислением	множество	цифр , с помощью которых записывается число .
Математики решают этот вопрос тем , что попросту его не ставят : термин «	множество	» употребляется независимо от того , сколько объектов в него входит .
Конструкция из двух зеркал , расположенных под некоторым углом друг к другу , используется в детской игрушке « Калейдоскоп » — « волшебной » трубе , образующей из осколков цветных стёкол бесконечное	множество	узоров .
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , В —	множество	натуральных чисел , кратных 6 .
б ) Пусть А —	множество	натуральных чисел , кратных 4 , В — множество натуральных чисел , кратных 6 .
Такое	множество	называют пустым множеством и обозначают символом Ø .
Запишите	множество	А ⋂ В. Укажите наибольший элемент этого множества .
Значит , мы описали	множество	, которое не содержит ни одного элемента .
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В —	множество	натуральных делителей числа 24 .
Обязательные умения . Знаю термины :	множество	, элемент множества ; понимаю и умею использовать запись типа х ∈ А , х ∉ А .
Пусть А —	множество	натуральных делителей числа 18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Если говорить математическим языком , то сыщик , имея три множества , построил новое	множество	, содержащее их общие элементы .
В таком случае говорят , что первое	множество	является подмножеством второго .
К примеру ,	множество	С можно записать так : { 9 ; 7 ; 5 ; 3 ; 1 } или так : { 1 ; 9 ; 3 ; 7 ; 5 } .
В то же время , описав словами некоторое	множество	, нельзя гарантировать , что найдётся хотя бы один объект , отвечающий этому описанию .
Оказалось , что это	множество	состоит всего из одного элемента .
Пусть С — множество целых чисел , которое задаётся первым неравенством , a D —	множество	целых чисел , которое задаётся вторым неравенством .
Это разбиение составляют три множества :	множество	чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Поэтому чаще всего множества задают описанием , например : множество стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ;	множество	чисел , кратных 5 .
Пусть С —	множество	целых чисел , которое задаётся первым неравенством , a D — множество целых чисел , которое задаётся вторым неравенством .
Найдите	множество	.
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ;	множество	чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Поэтому чаще всего множества задают описанием , например : множество стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ;	множество	растений , занесённых в Красную книгу ; множество чисел , кратных 5 .
Поэтому чаще всего множества задают описанием , например :	множество	стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ; множество чисел , кратных 5 .
Однако задавать	множество	перечислением его элементов удобно только в том случае , когда их число невелико .
Опишите	множество	, которое является пересечением : а ) множества учащихся начальных классов некоторой школы и множества девочек , обучающихся в этой школе ; б ) множества предметов , изучаемых в начальной школе , и предметов , изучаемых в 5–6 классах .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ;	множество	чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Ведь гораздо проще сказать , к примеру , что В —	множество	двузначных чисел , чем перечислять все двузначные числа от 10 до 99 .
Пусть А —	множество	чисел , которые делятся на 4 , но не делятся на 2 .
Например , запись С равно { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } означает , что С —	множество	первых пяти нечётных чисел .
Например . Целые и дробные числа вместе составляют	множество	рациональных чисел .
С помощью перебора мы выяснили , что у такого множества имеется 16 подмножеств ( в том числе пустое	множество	и само рассматриваемое множество ) .
Переведите запись на русский язык и скажите , верно ли соответствующее утверждение : Если множество состоит из конечного числа элементов , то его называют конечным множеством ; если же элементов бесконечно много , то говорят , что это бесконечное	множество	.
Пусть А — это	множество	чисел , делящихся на 3 , а В — множество чисел , делящихся на 5 . 1 ) Какое множество чисел соответствует общей части кругов ?
3 В каком случае	множество	А называют подмножеством множества 6 ?
Круг с горизонтальной штриховкой изображает	множество	А , а круг с вертикальной штриховкой — множество В. Вся закрашенная область — это множество A ⋃ B , а область , показанная двойной шриховкой , — это А ⋂ В .
Объединением этих множеств является всё	множество	натуральных чисел .
Так , множество жителей планеты Земля конечно ( хотя их число очень велико — порядка 6 млрд ) , а	множество	точек окружности ( даже небольшого радиуса ) бесконечно .
Дано	множество	Х равно { а , b ; с } .
Пусть А — это множество чисел , делящихся на 3 , а В —	множество	чисел , делящихся на 5 . 1 ) Какое множество чисел соответствует общей части кругов ?
Так ,	множество	жителей планеты Земля конечно ( хотя их число очень велико — порядка 6 млрд ) , а множество точек окружности ( даже небольшого радиуса ) бесконечно .
С помощью перебора мы выяснили , что у такого множества имеется 16 подмножеств ( в том числе пустое множество и само рассматриваемое	множество	) .
Предложение «	множество	А является подмножеством множества В » на математическом языке записывают так : А ⊂ В .
Иногда , чтобы задать конечное	множество	, можно просто перечислить все его элементы .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B —	множество	четырёхугольников .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р —	множество	прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К —	множество	квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С —	множество	равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Пусть А — это множество чисел , делящихся на 3 , а В — множество чисел , делящихся на 5 . 1 ) Какое	множество	чисел соответствует общей части кругов ?
Такое множество называют пустым	множеством	и обозначают символом Ø .
Переведите запись на русский язык и скажите , верно ли соответствующее утверждение : Если множество состоит из конечного числа элементов , то его называют конечным	множеством	; если же элементов бесконечно много , то говорят , что это бесконечное множество .
Принадлежит ли этому	множеству	число 9 ?
Назовите ещё несколько чисел , принадлежащих	множеству	А ⋂ В .
Образец , а ) Число 2 принадлежит	множеству	натуральных чисел , или , иначе , число 2 — натуральное .
Для того чтобы на математическом языке записать предложение « х — элемент множества А » ( или , что то же самое , « х принадлежит	множеству	А » ) , используют знак ∈ и пишут : х ∈ А. Легко догадаться , что запись « х ∉А » означает « х не принадлежит множеству А » .
Для того чтобы на математическом языке записать предложение « х — элемент множества А » ( или , что то же самое , « х принадлежит множеству А » ) , используют знак ∈ и пишут : х ∈ А. Легко догадаться , что запись « х ∉А » означает « х не принадлежит	множеству	А » .
Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в	множителе	.
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в	множителе	, являющемся десятичной дробью .
В первом	множителе	две цифры после запятой , во втором одна , а в произведении оказалось три цифры после запятой .
Если необходим именно такой порядок	множителей	в произведении чисел а и 7 , то точку обязательно ставят , то есть пишут .
Представьте число – 60 в виде произведения : а ) трёх	множителей	; б ) четырёх множителей .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из	множителей	запятые и перемножить получившиеся натуральные числа .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из	множителей	— натуральное число : в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых	множителей	, кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной .
Представьте число 120 в виде произведения нескольких	множителей	, среди которых есть отрицательные .
( Произведения , различающиеся порядком	множителей	, считаются одинаковыми ) .
Представьте число – 60 в виде произведения : а ) трёх множителей ; б ) четырёх	множителей	.
Чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить модули	множителей	.
Понятно , что произведение , которое получается из произведения перестановкой	множителей	, тоже должно быть равно – 15 .
Разложив на простые	множители	знаменатель этой дроби , получим произведение , содержащее число 3 .
При разложении её знаменателя на простые	множители	получается произведение .
Найдём дополнительные	множители	.
Чтобы понять , как перемножают целые числа , рассмотрим четыре произведения ,	множители	в которых различаются только знаками .
При разложении каждого из этих чисел на простые	множители	получается одинаковое число двоек и пятёрок .
4 ) Если произведение чисел а и b положительно , то и сами	множители	— числа положительные .
Разложите на простые	множители	числа : 10 , 100 , 1000 , 10 000 .
Найдите неизвестный	множитель	.
Найдём неизвестный	множитель	х ; получим х равно 18 .
Дополнительный	множитель	для первой дроби равен , для второй дроби он равен .
Отсюда можно найти неизвестный	множитель	.
Найдём делением неизвестный	множитель	х .
Сначала найдём дополнительный	множитель	.
На какие бы целые числа ни домножали знаменатель , « мешающий »	множитель	3 всегда будет присутствовать , поэтому произведения только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой	множитель	, отличный от 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной .
Её знаменатель содержит простой	множитель	3 .
Так , вместо обычно пишут 6а , то есть числовой	множитель	записывают перед буквенным и точку между ними не ставят .
Таким образом , десятичных знаков в произведении столько же , сколько их в	множителях	вместе .
в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих	множителях	вместе .
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое число , до нуля иначе называют	модулем	этого числа .
Чтобы найти модуль произведения , нужно перемножить	модули	множителей .
Чтобы найти модуль суммы , надо сложить	модули	слагаемых .
А у противоположных чисел , которые изображаются точками , симметричными относительно нуля ,	модули	равны .
А	модуль	числа 0 равен 0 , так как число 0 находится на « нулевом » расстоянии от самого себя .
Чтобы найти	модуль	произведения , нужно перемножить модули множителей .
У положительного слагаемого	модуль	больше , поэтому в результате поставим знак « плюс » .
Так как	модуль	положительного слагаемого больше , то сумма положительна .
Получить	модуль	отрицательного числа тоже легко — достаточно просто отбросить знак « минус » .
Например ,	модуль	числа 3 равен 3 , так как число 3 удалено от начала отсчёта на 3 единицы .
Слово «	модуль	» происходит от латинского modus , означающего « мера » , « величина » .
Из двух отрицательных чисел меньше то , у которого	модуль	больше .
Чтобы найти	модуль	суммы , надо сложить модули слагаемых .
Назовите числа ,	модуль	которых равен 3 , и изобразите эти числа на координатной прямой .
Модуль числа – 6,5 равен 6,5 ;	модуль	числа – 4 равен 4 .
При умножении и делении двух рациональных чисел , как и целых , сначала по правилам знаков определяют знак результата , а затем находят его	модуль	.
Знаю , что означает термин «	модуль	числа » ; умею определять модуль числа .
Как найти	модуль	положительного числа ?
Знаю , что означает термин « модуль числа » ; умею определять	модуль	числа .
7 Чему равен	модуль	числа .
Чему равен	модуль	числа 0 ? .
Чему равен	модуль	числа .
Сумма двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемого , у которого	модуль	больше .
8 Отметьте на координатной прямой числа ,	модуль	которых равен 4 .
Чтобы найти	модуль	суммы , надо из большего модуля вычесть меньший .
Чем дальше от нуля точка , изображающая на координатной прямой некоторое число , тем больше	модуль	этого числа .
Используя термин «	модуль	» , можно рассмотренный выше способ сравнения отрицательных чисел сформулировать в виде правила .
Понятно , что	модуль	положительного числа — это само это число .
Чтобы найти	модуль	частного , надо модуль делимого разделить на модуль делителя .
Используя описанное свойство , можно действовать , не выясняя ,	модуль	какого из данных дробных чисел больше .
Чтобы найти модуль частного , надо модуль делимого разделить на	модуль	делителя .
Ясно , что	модуль	может быть только положительным числом или нулём .
Если а — некоторое число , то его	модуль	обозначают символом .
Чтобы найти модуль частного , надо	модуль	делимого разделить на модуль делителя .
Используя знак	модуля	, запишите , на каком расстоянии от начала координат — точки О находится точка .
Обратите внимание : в каждом правиле выделяются два момента — определение знака суммы и способ нахождения её	модуля	.
Теперь эти правила можно сформулировать более точно , используя понятие	модуля	числа .
Для	модуля	есть специальное обозначение .
Модуль положительного числа всегда больше	модуля	отрицательного числа .
Чтобы найти модуль суммы , надо из большего	модуля	вычесть меньший .
Для метания снаряда праща вращается над головой , а в	момент	наиболее сильного маха её свободный конец выпускается , и снаряд летит по прямой , перпендикулярной радиусу окружности в момент отрыва .
В какой - то	момент	меньшая окружность коснётся большей , и расстояние между их центрами будет равно сумме радиусов .
Для метания снаряда праща вращается над головой , а в момент наиболее сильного маха её свободный конец выпускается , и снаряд летит по прямой , перпендикулярной радиусу окружности в	момент	отрыва .
В какой	момент	длина отрезка АВ будет наибольшей ?
В какой - то	момент	расстояние от центра до прямой станет равным радиусу и точка М окажется на окружности .
В начальный	момент	времени расстояние между ними было равно 3 км .
Будем делить уголком числитель дроби на её знаменатель и оборвём деление в тот	момент	, когда получим третий знак после запятой .
Обратите внимание : в каждом правиле выделяются два	момента	— определение знака суммы и способ нахождения её модуля .
Решите уравнение и проверьте с помощью подстановки , правильно ли	найден	корень .
Решите уравнение и с помощью подстановки проверьте , правильно ли	найден	корень .
Наименьший общий знаменатель дробей равен 80 ( объясните , как он	найден	) .
Подставим в формулу	найденное	значение r и возьмём π ≈ 3,14 .
Для наглядности	найденное	отношение часто выражают в процентах .
Верно ли	найдено	отношение ?
Сначала	найдите	скорость сближения поездов .
Объясните , как найти отношение 3 км к 750 м , и	найдите	его .
Расскажите , как найти , и	найдите	24 % от 5 тонн ; 12 % от 2 кг .
В каждом случае	найдите	разность между полученным приближённым значением и данной дробью .
определите , о какой скорости — сближения или удаления — следует говорить в данном случае , и	найдите	эту скорость .
Запишите три следующих числа и	найдите	сумму всех шести записанных чисел .
Если нет , то объясните , в чём ошибка , и	найдите	отношение правильно : а ) 30 кг относятся к 1 т как 30:1 ; б ) 1,2 ч относятся к 24 мин как 3:1 ; в ) 20 см относятся к 2 м как 10:1 ; г ) 36 с относятся к 3 мин как 1:5 .
В данном выражении измените знак перед каждым числом на противоположный и	найдите	значение нового выражения .
Замените знак деления чертой дроби и	найдите	частное .
Используя этот результат ,	найдите	произведение .
Замените знак деления чертой дроби и	найдите	частное : а ) 8:5 ; б ) 6 : 15 .
Проведя необходимые измерения ,	найдите	площадь этого параллелограмма .
Выразите их в сантиметрах и	найдите	периметр этого четырёхугольника .
а ) Возьмите прямоугольный лист бумаги и	найдите	оси симметрии этого прямоугольника путём перегибания .
Постройте отрезок АВ по координатам его концов и	найдите	координаты точки , в которой он пересекает ось х . а )
Перенесите фигуру в тетрадь и	найдите	её центр симметрии .
( Если значения этих слов вам неизвестны ,	найдите	их в словаре . )
Используя данные задачи ,	найдите	другие отношения и объясните , что они показывают .
Воспользовавшись приведённым образцом ,	найдите	значение выражения .
Используя этот результат ,	найдите	частное .
В каждом случае	найдите	расстояние между самыми удалёнными и самыми близкими точками окружностей .
Используя подмеченную закономерность ,	найдите	значение выражения .
Поставьте в выражении скобки всеми возможными способами и	найдите	значение каждого из получившихся выражений .
Не производя вычислений ,	найдите	значения следующих выражений .
Поэтому	найдём	частное , перейдя к обыкновенным дробям .
В результате	найдём	точку водоёма , ближайшую к дому лесника .
Сначала	найдём	радиус арены .
Сначала	найдём	1 % стоимости куртки .
Сначала	найдём	дополнительный множитель .
Теперь	найдём	33 % её стоимости .
Поэтому сначала	найдём	, какую часть составляют 240 р .
Теперь	найдём	новую цену : 943 ( р . ) — новая цена билета .
Так как 15 % — это 0,15 , то	найдём	0,15 от 820 р : 123 ( р . ) — на столько увеличилась цена билета .
Модуль суммы	найдём	вычитанием : Таким образом .
от первоначальной стоимости куртки , то есть	найдём	отношение 240 р .
Чтобы ответить на вопрос задачи ,	найдём	отношение 189 к 350 .
Ответ на вопрос , зачем это делают , вы	найдёте	в этой главе .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы	найти	расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
Что надо сделать , чтобы	найти	диаметр арбуза ? .
в ) Чтобы найти десятую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на . г ) Чтобы	найти	сотую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
Расскажите , как	найти	, и найдите 24 % от 5 тонн ; 12 % от 2 кг .
Иногда нужное число процентов от величины можно	найти	ещё проще .
Как	найти	значение выражения .
Так бывает , если требуется	найти	, к примеру , 10 % , 25 % , 50 % .
1 ) Чтобы	найти	площадь многоугольника его можно разбить на прямоугольники и вычислить результат сложением площадей или достроить его до прямоугольника и вычислить результат вычитанием площадей .
Прямые , перпендикулярные плоскости , можно	найти	и в окружающей обстановке , и на геометрических моделях .
Расскажите , как	найти	, какую часть одно число составляет от другого , и решите задачу а ) Какую часть часа составляют ?
в ) Чтобы	найти	десятую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на . г ) Чтобы найти сотую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
Используем этот приём , чтобы	найти	площадь параллелограмма .
Пусть теперь нужно	найти	расстояние от дома до шоссе , которое проходит здесь строго по прямой .
Объясните , как	найти	значение выражения .
Можно сначала	найти	все возможные варианты очереди ( например , построив дерево ) , а затем выбрать нужные .
Так , например , чтобы	найти	отношение 1 м к 45 см , надо выразить эти длины в одних единицах , например в сантиметрах .
Пусть требуется	найти	х , если -х равно 2,4 .
Поэтому , чтобы	найти	один процент от величины , нужно разделить эту величину на 100 .
Можно было рассуждать иначе : 33 % величины — это 33 её сотых доли , то есть , чтобы	найти	от 1200 , нужно 1200 умножить на .
Чтобы	найти	модуль суммы , надо сложить модули слагаемых .
Чтобы	найти	сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму или разность их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Чтобы	найти	произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа .
Чтобы	найти	периметр прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Объясните , как	найти	отношение 3 км к 750 м , и найдите его .
Периметр прямоугольника можно	найти	и другим способом — сложить длины его смежных сторон и результат умножить на 2 .
Главное , чтобы по этим данным можно было	найти	человека .
Чтобы найти сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями , нужно	найти	сумму или разность их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Чтобы	найти	сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю .
б ) Чтобы	найти	четверть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
Умею находить площадь прямоугольного треугольника ; знаю , как	найти	площадь параллелограмма , перекраивая его в прямоугольник .
Чтобы	найти	модуль суммы , надо из большего модуля вычесть меньший .
Чтобы	найти	часть от числа , выраженную дробью , нужно это число умножить на данную дробь .
Пусть нужно	найти	сумму десятичных дробей 3,44 и 7,28 .
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности положительные и отрицательные слагаемые , а затем	найти	сумму двух получившихся чисел .
Пусть нужно	найти	частное .
Чтобы ответить на вопрос задачи , нужно	найти	это неизвестное число , или , как говорят , нужно решить уравнение .
Можно сначала	найти	, на сколько увеличилась цена билета , а затем прибавить полученную сумму к его первоначальной цене .
Расскажите , как	найти	: а ) от числа 600 ; б ) число , – 4 которого составляют 18 ; в ) какую часть число 36 составляет от числа 80 .
Объясните , как	найти	среднее арифметическое чисел 1,8 и 3,7 .
Из рассмотренных примеров становится понятно следующее : чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо	найти	отношение первого числа ко второму ( иными словами , выяснить , какую часть первое число составляет от второго или во сколько раз оно больше ) и выразить это отношение в процентах .
Сделайте вывод : как можно было бы	найти	произведение с помощью переноса запятой ? .
Запишите формулу , по которой можно	найти	: 1 ) массу одной банки , зная количество банок и их общую массу ; 2 ) количество банок , зная массу одной банки и их общую массу ; 3 ) заполните таблицу , пользуясь в каждом случае нужной формулой , сформулируйте каждую задачу словами .
Так как 13 % — это 0,13 , то надо	найти	0,13 от 12 500р .
Чтобы	найти	модуль произведения , нужно перемножить модули множителей .
Поэтому , чтобы	найти	10 % от какой - либо величины , достаточно разделить эту величину на 10 .
Вы знаете , что числовое выражение можно вычислить , то есть	найти	его значение .
Чтобы	найти	сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Чтобы	найти	число по его части , нужно эту часть разделить на дробь , ей соответствующую .
Чтобы	найти	модуль частного , надо модуль делимого разделить на модуль делителя .
Поэтому , чтобы	найти	ответ .
Но если мы хотим	найти	наименьший общий знаменатель , то будем действовать с помощью известного вам приёма : будем последовательно перебирать числа , кратные 12 — большему знаменателю , и проверять , делятся ли они на 9 .
Как	найти	модуль положительного числа ?
А как	найти	площадь параллелограмма , вы уже знаете .
Чтобы	найти	площадь прямоугольника , нужно перемножить длины его смежных сторон .
Чтобы	найти	неизвестный член пропорции , можно воспользоваться её основным свойством .
Отсюда можно	найти	неизвестный множитель .
Чтобы подсчитать их число , необходимо знать , сколько жителей в Синегорске , и уметь	найти	от этого количества .
А как	найти	сумму дробей 3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после запятой различно ? .
Подобным образом можно	найти	и площадь треугольника .
Чтобы	найти	20 % от 200 , нужно 200 разделить на 100 и результат умножить на 20 .
Расскажите , как	найти	18 % от 3000 р .
а ) Чтобы	найти	половину некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
Расскажите , какими способами можно	найти	её новую цену .
Понятно , что 20 % от 200 можно было	найти	проще : так как 20 % — это , то достаточно было разделить 200 на 5 , а именно .
Знаю , как	найти	часть от числа , выраженную дробью ; число по его части ; какую часть одно число составляет от другого .
Таким образом , чтобы	найти	разность чисел 2 и 7 , нужно к числу 2 прибавить число – 7 .
Какими бы ни были конкретные значения длин сторон треугольника , чтобы	найти	его периметр , их надо сложить .
Но частное чисел 0,05 и 0,3 существует ,	найти	его , конечно же , можно .
Представьте в виде	натурального	числа .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего	натурального	числа вычитаем меньшее .
десятичной дроби и	натурального	числа ? .
Умножение и деление	натурального	числа на 10 , 100 , 1000 и так далее сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества нулей .
Натуральное число и отрицательное число , полученное из	натурального	приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего	натурального числа	вычитаем меньшее .
десятичной дроби и	натурального числа	? .
Умножение и деление	натурального числа	на 10 , 100 , 1000 и так далее сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества нулей .
Представьте в виде	натурального числа	.
Пользуясь рассмотренным свойством , любое рациональное число мы можем записать в виде дроби , числитель которой — целое число , знаменатель —	натуральное	.
Любое	натуральное	число принадлежит одному из этих подмножеств множества Ν , и общих элементов они не имеют .
	Натуральное	число 2 820 954 до десятков , до сотен , до тысяч .
1 Верно ли утверждение : а ) всякое	натуральное	число является рациональным ; б ) всякое рациональное число является целым .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на	натуральное	число .
Выражение , где n —	натуральное	число , большее 1 , означает произведение .
Вообще любое рациональное число можно представить в виде , где m — целое число , n —	натуральное	.
Рассмотрим сначала случай деления десятичной дроби на	натуральное	число .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную дробь ; на	натуральное	число .
Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами , то есть слова «	натуральное	число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
наименьшее	натуральное	число ?
На примере вычисления частного чисел 11,9 и 5 расскажите , как можно разделить уголком десятичную дробь на	натуральное	число .
а )	натуральное	число ; б ) десятичная дробь ? .
Существует ли : 1 ) наибольшее	натуральное	число ?
Запишите на символическом языке следующие утверждения : а ) число 18 —	натуральное	; б ) число – 26 — рациональное ; в ) число 2,7 не является целым ; г ) число – 1,5 не является натуральным .
Деление на десятичную дробь легко свести к делению на	натуральное	число .
Вы знаете также , что любое	натуральное	число можно представить в виде обыкновенной дроби , причём с каким угодно знаменателем .
Деление десятичной дроби на	натуральное	число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
Но его можно прочитать и по - другому : всякое	натуральное	число является целым .
Запишите на символическом языке утверждение : а ) число 25 —	натуральное	; в ) число 10 — целое ; б ) число 0 не является натуральным ; г ) число — не целое .
Поэтому любое	натуральное	число можно записать в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
в ) всякое целое число является натуральным ; г ) всякое	натуральное	число является целым ? .
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое	натуральное	число либо чётное , либо нечётное .
Образец , а ) Число 2 принадлежит множеству натуральных чисел , или , иначе , число 2 —	натуральное	.
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей —	натуральное	число : в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Деление десятичной дроби на	натуральное число	выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
На примере вычисления частного чисел 11,9 и 5 расскажите , как можно разделить уголком десятичную дробь на	натуральное число	.
Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами , то есть слова «	натуральное число	» и « положительное целое число » означают одно и то же .
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое	натуральное число	либо чётное , либо нечётное .
наименьшее	натуральное число	?
Выражение , где n —	натуральное число	, большее 1 , означает произведение .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную дробь ; на	натуральное число	.
Существует ли : 1 ) наибольшее	натуральное число	?
Любое	натуральное число	принадлежит одному из этих подмножеств множества Ν , и общих элементов они не имеют .
Деление на десятичную дробь легко свести к делению на	натуральное число	.
1 Верно ли утверждение : а ) всякое	натуральное число	является рациональным ; б ) всякое рациональное число является целым .
в ) всякое целое число является натуральным ; г ) всякое	натуральное число	является целым ? .
Рассмотрим сначала случай деления десятичной дроби на	натуральное число	.
Поэтому любое	натуральное число	можно записать в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
Вы знаете также , что любое	натуральное число	можно представить в виде обыкновенной дроби , причём с каким угодно знаменателем .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на	натуральное число	.
	Натуральное число	2 820 954 до десятков , до сотен , до тысяч .
Но его можно прочитать и по - другому : всякое	натуральное число	является целым .
а )	натуральное число	; б ) десятичная дробь ? .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей —	натуральное число	: в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
В	натуральном	ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до бесконечности .
В	натуральном	ряду числа идут в том порядке , в котором они появляются при счёте .
Двигаясь по	натуральному	ряду вправо , мы переходим от меньшего числа к большему , а двигаясь влево — от большего числа к меньшему ; поэтому запятые можно заменить на знак « меньше » .
С помощью знака « минус » , как вы видели , записывается число , противоположное	натуральному	.
Наряду с натуральными числами мы будем рассматривать отрицательные числа , которые получаются , если к каждому	натуральному	числу приписать знак « минус » .
В натуральном ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по	натуральному	ряду вправо как угодно далеко , до бесконечности .
Наряду с натуральными числами мы будем рассматривать отрицательные числа , которые получаются , если к каждому	натуральному числу	приписать знак « минус » .
Изготовьте развёртку цилиндра в	натуральную	величину и сверните её в цилиндр .
Десятичные дроби , как и	натуральные	числа , сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными дробями .
При умножении десятичных дробей в столбик их записывают одну под другой как	натуральные	числа , не обращая внимания на запятые .
Как и	натуральные	числа , их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом .
Заметим , что вычислить частное можно иначе : записать его в виде дроби и преобразовать эту дробь так , чтобы в числителе и знаменателе оказались	натуральные	числа .
В дальнейшем нам будут встречаться дроби , числители и знаменатели которых — любые выражения , а не только	натуральные	числа .
Сначала сравним противоположные им	натуральные	числа 1000 и 989 .
Подобно тому как	натуральные	числа округляют до десятков , сотен , тысяч и так далее .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся	натуральные	числа .
Какие	натуральные	числа заключены между данными десятичными дробями ?
Фактически нам пришлось перемножать	натуральные	числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных дробей убрать запятые .
Как иначе называют	натуральные	числа ? .
Для этого преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе были	натуральные	числа .
Целые отрицательные числа , как и целые положительные ( то есть	натуральные	) , можно изображать точками на координатной прямой .
Выписывают подряд все	натуральные	числа от 1 до 100 .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти	натуральные	числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Подобно тому как	натуральные числа	округляют до десятков , сотен , тысяч и так далее .
Заметим , что вычислить частное можно иначе : записать его в виде дроби и преобразовать эту дробь так , чтобы в числителе и знаменателе оказались	натуральные числа	.
Как иначе называют	натуральные числа	? .
При умножении десятичных дробей в столбик их записывают одну под другой как	натуральные числа	, не обращая внимания на запятые .
Сначала сравним противоположные им	натуральные числа	1000 и 989 .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти	натуральные числа	складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Выписывают подряд все	натуральные числа	от 1 до 100 .
Фактически нам пришлось перемножать	натуральные числа	376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных дробей убрать запятые .
Как и	натуральные числа	, их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом .
Какие	натуральные числа	заключены между данными десятичными дробями ?
Для этого преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе были	натуральные числа	.
Десятичные дроби , как и	натуральные числа	, сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными дробями .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся	натуральные числа	.
В дальнейшем нам будут встречаться дроби , числители и знаменатели которых — любые выражения , а не только	натуральные числа	.
Разные музыкальные инструменты составляют оркестр , буквы — алфавит , а числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 —	натуральный	ряд .
Запишите на символическом языке утверждение : а ) число 25 — натуральное ; в ) число 10 — целое ; б ) число 0 не является	натуральным	; г ) число — не целое .
Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться	натуральным	числом .
в ) всякое целое число является	натуральным	; г ) всякое натуральное число является целым ? .
Запишите на символическом языке следующие утверждения : а ) число 18 — натуральное ; б ) число – 26 — рациональное ; в ) число 2,7 не является целым ; г ) число – 1,5 не является	натуральным	.
Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться	натуральным числом	.
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с	натуральными	числами , — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Но есть дроби , действовать с которыми почти так же просто , как и с	натуральными	числами .
До сих пор на уроках математики вы имели дело с числами	натуральными	и дробными .
Умножение десятичных дробей , как и сложение , сводится к действию над	натуральными	числами .
Наряду с	натуральными	числами мы будем рассматривать отрицательные числа , которые получаются , если к каждому натуральному числу приписать знак « минус » .
Назовите те из них , которые являются : а )	натуральными	; б ) целыми ; в ) отрицательными дробными ; г ) рациональными .
Итак , при сложении целых чисел мы в действительности работаем только с соответствующими	натуральными	числами .
Вы уже неоднократно встречались с дробями и могли убедиться , что выполнять действия с ними труднее , чем с	натуральными	числами .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с	натуральными числами	, — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Но есть дроби , действовать с которыми почти так же просто , как и с	натуральными числами	.
Итак , при сложении целых чисел мы в действительности работаем только с соответствующими	натуральными числами	.
Вы уже неоднократно встречались с дробями и могли убедиться , что выполнять действия с ними труднее , чем с	натуральными числами	.
Наряду с	натуральными числами	мы будем рассматривать отрицательные числа , которые получаются , если к каждому натуральному числу приписать знак « минус » .
Пусть А — множество однозначных	натуральных	чисел . 1 ) Опишите словами каждое из подмножеств множества .
Конечным или бесконечным является множество : а )	натуральных	чисел , кратных 10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
Правило сравнения	натуральных	чисел естественно распространить на целые числа .
Математики придумали для таких дробей удобный способ записи , похожий на способ записи	натуральных	чисел .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению	натуральных	чисел 344 и 728 , которые получаются , если из десятичных дробей 3,44 и 7,28 убрать запятые .
Наконец , правило сложения отрицательного целого числа с нулём такое же , как и для	натуральных	чисел .
Образец , а ) Число 2 принадлежит множеству	натуральных	чисел , или , иначе , число 2 — натуральное .
Для	натуральных	чисел умножение сводится к сложению , поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Вы знаете , что частное двух	натуральных	чисел равно дроби , числитель которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Если частное выражается десятичной дробью , его можно вычислить , используя деление уголком , так же как при делении	натуральных	чисел .
Вспомним , что из двух	натуральных	чисел большим считается то , которое при счёте появляется позже , и меньшим — то , которое появляется раньше .
Вы знаете , как читается соотношение : множество	натуральных	чисел является подмножеством множества целых чисел .
Сколько классов содержит разбиение множества	натуральных	чисел по остаткам от деления на 4 ?
Объединением этих множеств является всё множество	натуральных	чисел .
Чем похожи и чем различаются округление	натуральных	чисел и округление десятичных дробей ? .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех	натуральных	чисел от 1 до n .
Возьмём два подмножества множества	натуральных	чисел : множество нечётных чисел и множество чётных чисел .
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики	натуральных	чисел .
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных чисел , кратных 10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных	натуральных	чисел ? .
А основные числовые множества —	натуральных	и целых чисел — всегда обозначают буквами N и Ζ. Можно сказать , что эти буквы — их « имена собственные » .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех	натуральных	чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
В множестве	натуральных	чисел сложить можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Множество рациональных чисел , как и множества	натуральных	и целых чисел , имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
Как вы знаете , множество	натуральных	чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
б ) Пусть А — множество	натуральных	чисел , кратных 4 , В — множество натуральных чисел , кратных 6 .
Умножение целых чисел обладает теми же свойствами , что и умножение	натуральных	чисел , — переместительным и сочетательным ; справедливо также распределительное свойство .
Поэтому черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух	натуральных	чисел .
Пусть А — множество	натуральных	делителей числа 18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Прочитайте разными способами соотношения между множествами	натуральных	, целых и рациональных чисел и изобразите каждое из них с помощью кругов Эйлера .
Действие сложения целых чисел , как и действие сложения	натуральных	чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В — множество	натуральных	делителей числа 24 .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех	натуральных	чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных	натуральных	чисел , начиная с числа .
Для записи	натуральных	чисел мы применяем нумерацию , которую называют десятичной .
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление	натуральных	чисел .
Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от множества	натуральных	чисел .
Таким образом , мы имеем разбиение множества	натуральных	чисел на два класса — чётных и нечётных чисел .
Например , множество	натуральных	чисел является подмножеством множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
4 Приведите примеры подмножеств множества	натуральных	чисел N .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех	натуральных	чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Постройте разбиение множества	натуральных	чисел на классы , используя два признака : чётность и кратность 5 .
Это обусловлено тем , что для записи каждой дроби используют два	натуральных	числа .
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , В — множество	натуральных	чисел , кратных 6 .
Тогда А ⋂ В равно 0 , a A ⋃ В — это множество первых десяти	натуральных	чисел .
Найдём пересечение и объединение множества	натуральных	чисел и множества целых чисел .
большой круг изображает множество	натуральных	чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Например , выражение означает произведение всех	натуральных	чисел от 1 до 50 .
Запишите в виде буквенных выражений произведение и сумму двух последовательных	натуральных	чисел .
Укажите несколько конечных и несколько бесконечных подмножеств множества	натуральных	чисел Ν.
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных чисел , кратных 10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных	натуральных чисел	? .
Поэтому черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух	натуральных чисел	.
Вы знаете , что частное двух	натуральных чисел	равно дроби , числитель которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Вы знаете , как читается соотношение : множество	натуральных чисел	является подмножеством множества целых чисел .
Возьмём два подмножества множества	натуральных чисел	: множество нечётных чисел и множество чётных чисел .
4 Приведите примеры подмножеств множества	натуральных чисел	N .
Объединением этих множеств является всё множество	натуральных чисел	.
Конечным или бесконечным является множество : а )	натуральных чисел	, кратных 10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
Запишите в виде буквенных выражений произведение и сумму двух последовательных	натуральных чисел	.
Вспомним , что из двух	натуральных чисел	большим считается то , которое при счёте появляется позже , и меньшим — то , которое появляется раньше .
Тогда А ⋂ В равно 0 , a A ⋃ В — это множество первых десяти	натуральных чисел	.
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению	натуральных чисел	344 и 728 , которые получаются , если из десятичных дробей 3,44 и 7,28 убрать запятые .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех	натуральных чисел	от 1 до n .
Найдём пересечение и объединение множества	натуральных чисел	и множества целых чисел .
Умножение целых чисел обладает теми же свойствами , что и умножение	натуральных чисел	, — переместительным и сочетательным ; справедливо также распределительное свойство .
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление	натуральных чисел	.
Для	натуральных чисел	умножение сводится к сложению , поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Сколько классов содержит разбиение множества	натуральных чисел	по остаткам от деления на 4 ?
Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от множества	натуральных чисел	.
Укажите несколько конечных и несколько бесконечных подмножеств множества	натуральных чисел	Ν.
Например , выражение означает произведение всех	натуральных чисел	от 1 до 50 .
Постройте разбиение множества	натуральных чисел	на классы , используя два признака : чётность и кратность 5 .
Таким образом , мы имеем разбиение множества	натуральных чисел	на два класса — чётных и нечётных чисел .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех	натуральных чисел	от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
б ) Пусть А — множество	натуральных чисел	, кратных 4 , В — множество натуральных чисел , кратных 6 .
большой круг изображает множество	натуральных чисел	N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех	натуральных чисел	от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Наконец , правило сложения отрицательного целого числа с нулём такое же , как и для	натуральных чисел	.
Например , множество	натуральных чисел	является подмножеством множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех	натуральных чисел	от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , В — множество	натуральных чисел	, кратных 6 .
Как вы знаете , множество	натуральных чисел	является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
Чем похожи и чем различаются округление	натуральных чисел	и округление десятичных дробей ? .
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики	натуральных чисел	.
Правило сравнения	натуральных чисел	естественно распространить на целые числа .
Действие сложения целых чисел , как и действие сложения	натуральных чисел	, обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Математики придумали для таких дробей удобный способ записи , похожий на способ записи	натуральных чисел	.
Для записи	натуральных чисел	мы применяем нумерацию , которую называют десятичной .
Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных	натуральных чисел	, начиная с числа .
Пусть А — множество однозначных	натуральных чисел	. 1 ) Опишите словами каждое из подмножеств множества .
Если частное выражается десятичной дробью , его можно вычислить , используя деление уголком , так же как при делении	натуральных чисел	.
Образец , а ) Число 2 принадлежит множеству	натуральных чисел	, или , иначе , число 2 — натуральное .
В множестве	натуральных чисел	сложить можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Это обусловлено тем , что для записи каждой дроби используют два	натуральных числа	.
Одна из девочек , Таня ,	нашла	себе трёх помощниц , с которыми разделила свою часть работы поровну .
Модуль суммы	нашли	вычитанием .
Величину дохода в этом случае мы	нашли	вычитанием .
Величину убытка мы также	нашли	вычитанием .
Витя задумал число ,	нашёл	этого числа и получил 6 .
Прямая бесконечна ; в отличие , например , от окружности эта линия	незамкнутая	; через две точки можно провести только одну прямую .
Язык	необходим	для передачи и хранения информации .
Если	необходим	именно такой порядок множителей в произведении чисел а и 7 , то точку обязательно ставят , то есть пишут .
Сколько словарей	необходимо	переводчику , чтобы он мог непосредственно переводить с любого из четырёх языков — русского , английского , немецкого , французского — на любой другой из этих языков ? .
Для этого , как вы знаете ,	необходимо	прежде всего выбрать логику перебора .
2 ) Сколько существует способов выбора пассажиров , если одного из них	необходимо	срочно отправить на другой берег в больницу ? .
Представьте , что вам	необходимо	измерить диаметр арбуза , имеющего форму шара .
Вам	необходимо	восстановить мозаичное панно , из которого выпали отдельные кусочки Известно , что узор , изображённый на панно , имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии .
Чтобы подсчитать их число ,	необходимо	знать , сколько жителей в Синегорске , и уметь найти от этого количества .
Представьте , что вам	необходимо	вырезать из листа бумаги ромб , а у вас нет никаких чертёжных инструментов .
Это связано с его происхождением — минута появилась тогда , когда стала	необходимой	единица измерения углов , меньшая градуса .
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни	необходимы	не только целые числа , но и дробные , в том числе отрицательные дроби .
Сделайте	необходимые	обозначения и , используя их , запишите свойства симметричных точек .
Введите	необходимые	обозначения и запишите ответ .
Выполните	необходимые	измерения , выразите длины в сантиметрах и определите , какой путь короче .
Проведя	необходимые	измерения , найдите площадь этого параллелограмма .
Выполните	необходимые	измерения и определите расстояния между каждыми двумя из этих городов .
Будьте внимательны : в последнем случае ответ	неоднозначен	.
Запишите ответ в виде цепочки	неравенств	.
Запишите ответ в виде двойного	неравенства	.
Отметьте на координатной прямой данные числа , а потом сравните их ( ответ запишите в виде	неравенства	): а ) – 3 и 1 ; б ) – 5 и 0 ; в ) – 2 и – 6 .
Запишите в виде двойного	неравенства	оценку числа π , которую дал Архимед .
Сравните числа и запишите ответ в виде	неравенства	.
Ответ запишите в виде двойного	неравенства	.
Используйте	неравенство	треугольника .
Какой знак сравнения нужно поставить между данными десятичными дробями , чтобы получить верное	неравенство	.
Изобразите схематически на координатной прямой данное число и ближайшие к нему слева и справа целые числа , а затем запишите двойное	неравенство	, например .
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Используя	неравенство	треугольника , определите , сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков .
Какие целые числа можно подставить вместо буквы а , чтобы получилось верное двойное	неравенство	.
Какую цифру можно подставить вместо звёздочки , чтобы полученное	неравенство	было верным .
Какие цифры можно подставить вместо звёздочки , чтобы полученное	неравенство	было верным .
Пусть С — множество целых чисел , которое задаётся первым	неравенством	, a D — множество целых чисел , которое задаётся вторым неравенством .
Мы пришли к выводу , который математики называют	неравенством	треугольника .
Пусть С — множество целых чисел , которое задаётся первым неравенством , a D — множество целых чисел , которое задаётся вторым	неравенством	.
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое натуральное число либо чётное , либо	нечётное	.
Если множество	нечётных	чисел обозначить буквой А , а множество чётных чисел — буквой В , то можно записать .
Например , запись С равно { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } означает , что С — множество первых пяти	нечётных	чисел .
Возьмём два подмножества множества натуральных чисел : множество	нечётных	чисел и множество чётных чисел .
Говорят , что множества чётных и	нечётных	чисел составляют разбиение множества Ν. Непересекающиеся подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств	нечётных	чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Таким образом , мы имеем разбиение множества натуральных чисел на два класса — чётных и	нечётных	чисел .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до	нижней грани	, до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Один пешеход идёт со скоростью 4 км / ч , а другой идёт вслед за	ним	со скоростью 6 км / ч .
Через 2 мин вслед за	ним	вышел его брат со скоростью 60 м / мин и догнал Сашу у стадиона .
Через 1,5 ч вслед за	ним	выехал второй автомобиль со скоростью 80 км / ч .
Одновременно с	ним	из посёлка В в том же направлении выехал велосипедист .
Когда , например , говорят : « Возьмём число а » , то это означает , что некоторому числу — неважно , какому именно , — дали имя а и дальше с	ним	можно обращаться так , как будто оно вполне определённое .
немецкий математик Георг Кантор ( 1845–1918 ) для решения стоявших перед	ним	задач предложил новое математическое понятие — множество , суть которого можно передать словами : объединение , набор , совокупность .
Через 0,5 ч вслед за	ним	выехал велосипедист со скоростью 12 км / ч .
Прежде всего к	ним	относятся цифры : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
При измерении температуры за начало отсчёта принимается температура замерзания воды ( при	нормальном	атмосферном давлении ) , а при измерении глубины морей — уровень Мирового океана .
Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо , сколько	нулей	содержится в множителе .
Поэтому любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби с каким угодно количеством	нулей	после запятой .
Умножение и деление натурального числа на 10 , 100 , 1000 и так далее сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества	нулей	.
Вспомните : к десятичной дроби справа можно приписывать любое число	нулей	, при этом получается дробь , равная данной .
В десятичной дроби после запятой столько же цифр , сколько	нулей	в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько	нулей	содержится в делителе .
Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество	нулей	, то получится дробь , равная данной .
Человек , пришедший в гости , забыл код , открывающий дверь подъезда , но помнил , что он составлен из	нулей	и единиц и содержит четыре цифры .
Поэтому уравняем число цифр в числителе и число	нулей	в знаменателе , приписав к числителю слева вспомогательные нули .
Однако мы знаем , что десятичная дробь не изменится , если к ней приписать справа	нули	.
а ) Рассмотрите два случая : 1 ) обе последние цифры —	нули	; 2 ) хотя бы одна из последних цифр не нуль , б ) Рассмотрите случаи , когда нуль стоял в конце десятичной дроби и не в конце .
Поэтому уравняем число цифр в числителе и число нулей в знаменателе , приписав к числителю слева вспомогательные	нули	.
Заметим , что дополнительные	нули	можно и не приписывать , однако нужно помнить , что они стоят на « пустых » местах .
Если в десятичной дроби последние цифры —	нули	, то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет в любом случае находить результат деления на 10 , 100 , 1000 и так далее с помощью переноса запятой , — к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные	нули	.
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа	нули	; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Поэтому , чтобы продолжить деление , мы последовательно приписывали к делимому	нули	и вычисляли следующие цифры частного .
Затем в этом произведении мы отделили запятой справа 5 цифр ( для этого нам пришлось слева приписать	нули	) .
Точно так же можно показать , что , например . Понятно , что верны равенства , то есть	нули	, записанные в конце десятичной дроби , можно отбрасывать .
отрицательное или	нуль	?
Заметим , что в подобных случаях	нуль	можно приписывать не к делимому , а непосредственно к остатку .
К числу приписывают справа один	нуль	, два нуля , три нуля и так далее .
Какое число больше : положительное или	нуль	?
а ) Рассмотрите два случая : 1 ) обе последние цифры — нули ; 2 ) хотя бы одна из последних цифр не нуль , б ) Рассмотрите случаи , когда	нуль	стоял в конце десятичной дроби и не в конце .
При делении нуля на любое целое число , не равное нулю , в частном получается	нуль	.
а ) Рассмотрите два случая : 1 ) обе последние цифры — нули ; 2 ) хотя бы одна из последних цифр не	нуль	, б ) Рассмотрите случаи , когда нуль стоял в конце десятичной дроби и не в конце .
Как обычно , на	нуль	делить нельзя .
б ) В десятичной дроби среди цифр , стоящих после запятой , есть	нуль	, причём он только один .
Когда все цифры делимого 93,2 были снесены ,	нуль	в остатке не получился .
В самом деле , при с равно 0 в знаменателе дроби окажется 0 , а на	нуль	, как вы знаете , делить нельзя .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число десятичных знаков , приписав к дроби 3,5 справа	нуль	.
Например : — округление до единиц 3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру «	нуль	» в разряде сотых .
Сумма противоположных чисел равна	нулю	.
Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же число , не равное	нулю	, то получится отношение , равное данному .
Очевидно , что в этом случае прибыль равна	нулю	.
Модуль нуля равен	нулю	.
При делении нуля на любое целое число , не равное	нулю	, в частном получается нуль .
Чем дальше от	нуля	точка , изображающая на координатной прямой некоторое число , тем больше модуль этого числа .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение четырёх отличных от	нуля	чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 ) отрицательны два числа ; 3 ) три числа отрицательны , а одно положительно
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое число , до	нуля	иначе называют модулем этого числа .
В знаменателе дроби 4	нуля	, значит , в соответствующей десятичной дроби должно быть 4 цифры после запятой .
Отрицательные числа на координатной прямой изображаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее	нуля	.
Любое положительное число больше	нуля	.
Любое отрицательное число меньше	нуля	.
При делении	нуля	на любое целое число , не равное нулю , в частном получается нуль .
К числу приписывают справа один нуль , два нуля , три	нуля	и так далее .
нуля и влево от	нуля	, будем получать изображения на прямой целых чисел .
К числу приписывают справа один нуль , два	нуля	, три нуля и так далее .
2 Запишите в буквенном виде свойство	нуля	при сложении и свойство единицы при умножении .
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от	нуля	число , то получится дробь , равная данной .
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных чисел – 6,5 и – 4 меньше , мы сравнили положительные числа 6,5 и 4 — расстояния от	нуля	до соответствующих точек координатной прямой .
Запишите с помощью букв свойства	нуля	и единицы при умножении .
А у противоположных чисел , которые изображаются точками , симметричными относительно	нуля	, модули равны .
Запишите десять положительных и десять отрицательных целых чисел , двигаясь влево и вправо от	нуля	.
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от	нуля	отрезок , равный 5,2 единицы , получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от	нуля	.
Сохраняются свойства	нуля	при сложении , нуля и единицы при умножении .
Отрицательные числа на координатной прямой изображаются точками , расположенными левее	нуля	, а положительные — точками , расположенными правее нуля .
	Нуля	и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых чисел .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от	нуля	отрезки , длины которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Сохраняются свойства нуля при сложении ,	нуля	и единицы при умножении .
Например , числам 3 и – 3 соответствуют точки , расположенные справа и слева от	нуля	на одном и том же расстоянии , равном трём единицам .
Модуль	нуля	равен нулю .
Орнамент	образован	ломаной , обладающей центральной симметрией .
Умею чертить две пересекающиеся прямые , находить	образуемые	ими углы , строить перпендикулярные прямые .
Конструкция из двух зеркал , расположенных под некоторым углом друг к другу , используется в детской игрушке « Калейдоскоп » — « волшебной » трубе ,	образующей	из осколков цветных стёкол бесконечное множество узоров .
Числа ,	образующие	пропорцию , имеют специальные названия .
Составьте формулу для вычисления площади S прямоугольного треугольника со сторонами ,	образующими	прямой угол , равными а и b.
Может возникнуть	обратная	задача .
Какая из дробей ближе к 1 — правильная или	обратная	ей неправильная ?
Найдите отношение числа непроверенных работ к числу проверенных и	обратное	отношение .
Отношение меньшей стороны к большей , то есть	обратное	отношение , равно .
Запишите	обратное	отношение .
Запишите	обратную	ей дробь .
Запишите какую - нибудь правильную дробь и дробь ,	обратную	ей .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на дробь ,	обратную	второй .
На сколько больше времени понадобится ему на	обратный	путь , если собственная скорость теплохода 32 км / ч , а скорость течения реки 4 км / ч ? .
Удобство	обращения	с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Знаю термины :	объединение	множеств , пересечение множеств .
немецкий математик Георг Кантор ( 1845–1918 ) для решения стоявших перед ним задач предложил новое математическое понятие — множество , суть которого можно передать словами :	объединение	, набор , совокупность .
Найдём пересечение и	объединение	множества натуральных чисел и множества целых чисел .
6 Найдите	объединение	и пересечение множеств .
Пересечение множеств А и В записывают с помощью символа ⋂ , а их	объединение	— с помощью символа ⋃ .
Какое множество называют пересечением множеств А и B и какое — их	объединением	?
5 Какое множество называют	объединением	множеств А и В ?
Множество , состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из данных множеств , называется их	объединением	.
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г )	объединением	множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Не случайно для таких	объединений	людей , предметов , понятий придуманы специальные названия : ансамбль , сервиз , гарнитур , собрание и так далее .
Приведём примеры пересечения и	объединения	множеств .
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства операций	объединения	и пересечения множеств ? .
Объясните , как можно вычислить произведение десятичной и	обыкновенной дробей	.
Однако не всякое дробное число можно записать и в виде десятичной , и в виде	обыкновенной дроби	.
Дробь нельзя обратить в десятичную , поэтому число 0,27 запишем в виде	обыкновенной дроби	.
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде	обыкновенной дроби	или смешанной дроби .
Запишем десятичную дробь 0,259 в виде	обыкновенной дроби	.
В самом деле , запишем каждую из этих дробей в виде	обыкновенной дроби	.
Дробь — в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде	обыкновенной дроби	число 0,6 : Так как .
Запишите частное в виде	обыкновенной дроби	и , если возможно , обратите её в десятичную .
Если число выражено десятичной дробью , то его можно представить и в виде	обыкновенной дроби	( или смешанной дроби ) .
Если знаменатель несократимой	обыкновенной дроби	содержит хотя бы один простой множитель , отличный от 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной .
Сколько цифр после запятой должна содержать десятичная дробь , если знаменатель соответствующей ей	обыкновенной дроби	равен 10 000 ?
Если знаменатель	обыкновенной дроби	не содержит никаких простых множителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной .
В десятичной дроби после запятой столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей	обыкновенной дроби	.
Признак обратимости	обыкновенной дроби	в десятичную .
Представьте в виде	обыкновенной дроби	; 2 ) Запишите в виде десятичной дроби .
Всякую ли десятичную дробь можно записать в виде	обыкновенной дроби	?
Вы знаете также , что любое натуральное число можно представить в виде	обыкновенной дроби	, причём с каким угодно знаменателем .
33 Перевод	обыкновенной дроби	в десятичную .
Вы знаете , что одно и то же число может быть представлено в виде	обыкновенной дроби	разными способами .
Часто бывает удобно выражать проценты	обыкновенной дробью	, особенно в тех случаях , когда , используя их , можно выполнить вычисления устно .
б ) Выразите	обыкновенной дробью	.
Но не всегда число , выраженное	обыкновенной дробью	, можно записать в виде десятичной дроби .
Выразите время в часах сначала	обыкновенной дробью	, а затем , если возможно , десятичной .
Выразите десятичной и	обыкновенной дробью	.
Вы знаете , что не всякую	обыкновенную дробь	можно записать в виде десятичной .
Чтобы записать	обыкновенную дробь	в виде десятичной , нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и так далее .
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто	обыкновенную дробь	заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после запятой .
В первом случае мы получили десятичную дробь 0,2 , а во втором —	обыкновенную дробь	, которая в десятичную не обращается .
Выразите приближённо	обыкновенную дробь	десятичной дробью с двумя знаками после запятой .
На примере числа объясните , как	обыкновенную дробь	записывают в виде десятичной .
Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей , кроме 2 и 5 , то эту	обыкновенную дробь	можно представить в виде десятичной .
Обратите	обыкновенную дробь	в десятичную .
Чтобы сложить	обыкновенную дробь	и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить	обыкновенную дробь	в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Замените приближённо	обыкновенную дробь	десятичной дробью с тремя знаками после запятой и округлите результат до сотых .
Знаю , какую	обыкновенную дробь	можно представить в виде десятичной , а какую нет .
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель , отличный от 2 и 5 , то эту	обыкновенную дробь	нельзя представить в виде десятичной .
А как сравнить	обыкновенную дробь	и десятичную , например и 0,6 ?
Вычислите , обратив	обыкновенную дробь	в десятичную .
Представьте десятичную дробь 0,49 в виде суммы разрядных слагаемых и , выполнив сложение , получите соответствующую	обыкновенную дробь	.
Запишем	обыкновенную дробь	в виде десятичной дроби .
Обратите	обыкновенную дробь	в десятичную двумя способами .
Вы умеете сравнивать две	обыкновенные дроби	и две десятичные .
Вычислите , обратив	обыкновенные дроби	в десятичные .
Десятичные и	обыкновенные дроби	— это две различные формы представления чисел .
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся	обыкновенные дроби	с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Запишите в виде десятичных дробей следующие	обыкновенные дроби	.
Правила сложения с	обыкновенными дробями	.
Правила умножения с	обыкновенными дробями	.
Перемножим числа 3,76 и 2,4 , заменив их	обыкновенными дробями	.
Правила деления с	обыкновенными дробями	.
Десятичные дроби , как и натуральные числа , сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед	обыкновенными дробями	.
Правила вычитания с	обыкновенными дробями	.
Для противопоставления дроби , записанные с помощью дробной черты , называют	обыкновенными дробями	.
Теперь для некоторых дробных чисел у вас есть два способа записи — в виде	обыкновенных дробей	и в виде десятичных , и нужно уметь переходить от одной формы записи к другой .
Тогда можно будет воспользоваться либо правилом умножения	обыкновенных дробей	, либо правилом умножения десятичных дробей .
Пусть В — множество	обыкновенных дробей	, которые можно представить в виде десятичных .
Перейдём от	обыкновенных дробей	к десятичным , а затем к процентам .
Пусть А — множество	однозначных	натуральных чисел . 1 ) Опишите словами каждое из подмножеств множества .
Чему равна ширина	окна	в доме , если на макете окно имеет ширину 60 мм ? .
Стены высотой 2,5 м требуется обложить плитками , исключая	окно	и дверь , которые занимают 0,1 площади стен .
Чему равна ширина окна в доме , если на макете	окно	имеет ширину 60 мм ? .
Общая площадь	окон	, которые надо вымыть , составляет 24 м2 .
Определите площадь	окон	, вымытых за час . а ) От ленты длиной 2 м 40 см отрезали 4 её длины .
Например : —	округление	до единиц 3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в разряде сотых .
Чем похожи и чем различаются	округление	натуральных чисел и округление десятичных дробей ? .
Например : — округление до единиц 3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; —	округление	до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в разряде сотых .
Ученики выполняли задание на	округление	десятичных дробей , и при этом было допущено несколько ошибок .
В каждом случае объясните , в чём заключается ошибка , и выполните	округление	правильно .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и	округление	десятичных дробей ? .
Например : — округление до единиц 3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; —	округление	до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в разряде сотых .
Например : — округление до единиц 3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье приближённое равенство : чтобы показать , что	округление	проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в разряде сотых .
При округлении числа 0,597 до сотых получилось 0,597 ≈ 0,6 . 3 ) При	округлении	числа 123,756 до десятых получилось 123,756 ≈ 120 .
При	округлении	числа 8,01253 до тысячных получилось 8,01253 ≈ 8,012 .
Поэтому при	округлении	десятичной дроби 21,28 до десятых её и заменяют приближённым значением с избытком : 21,28 ≈ 21,3 .
При	округлении	числа 0,597 до сотых получилось 0,597 ≈ 0,6 . 3 ) При округлении числа 123,756 до десятых получилось 123,756 ≈ 120 .
Проиллюстрируйте правило	округления	десятичных дробей на примере округления дроби 0,3725 до сотых , до тысячных .
Знаю правила	округления	десятичных дробей и умею применять их на практике .
Правило	округления	десятичных дробей .
Проиллюстрируйте правило округления десятичных дробей на примере	округления	дроби 0,3725 до сотых , до тысячных .
Приведите пример , когда результат первого	округления	: 1 ) меньше второго ; 2 ) больше второго ; 3 ) равен второму .
Приведите пример , когда в результате	округления	десятичной дроби получается целое число .
Выразите десятичную дробь приближённо в процентах , предварительно	округлив	её до сотых .
Некоторую десятичную дробь округлили до сотых , затем эту же дробь	округлили	до тысячных .
Некоторую десятичную дробь	округлили	до сотых , затем эту же дробь округлили до тысячных .
Замените приближённо обыкновенную дробь десятичной дробью с тремя знаками после запятой и	округлите	результат до сотых .
Ответ	округлите	до тысяч километров .
Ответ	округлите	до десятых долей квадратного сантиметра .
Ответ	округлите	до единиц .
Ответ	округлите	до миллионов .
Ответ	округлите	до десятых долей сантиметра .
Ответы	округляйте	так , чтобы кружева наверняка хватило .
До какого разряда	округляли	десятичную дробь , если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Рассмотренные примеры позволяют сформулировать правило , по которому можно	округлять	десятичные дроби .
, десятичные дроби можно	округлять	до единиц , десятых , сотых , тысячных и так далее .
Если справа от разряда , до которого	округляют	число , стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого разряда прибавляют 1 , в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
При использовании десятичных дробей в практических расчётах их обычно	округляют	.
все цифры , расположенные правее разряда , до которого	округляют	число , отбрасывают .
Подобно тому как натуральные числа	округляют	до десятков , сотен , тысяч и так далее .
Bзображена следующая ситуация : радиус большей окружности равен 6 см , радиус меньшей — 4 см , расстояние между центрами	окружностей	равно 1 см ?
Найдите расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими точками двух окружностей , если : а ) радиусы	окружностей	равны 3 см и 4 см , а расстояние между центрами — 10 см ; б ) радиусы окружностей равны 2 см и 5 см , а расстояние между центрами — 1 см .
Если дальше сближать центры	окружностей	, то окружности сначала будут пересекаться , а затем снова коснутся друг друга .
Сколько таких	окружностей	можно построить ?
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких	окружностей	? .
Радиусы	окружностей	соответствуют 50 , 100 , 150 и 200 км .
Центр	окружностей	— местоположение аэропорта , точки на экране — самолёты .
При этом центры	окружностей	будут сближаться .
Сделайте схематический рисунок : начните с изображения точек , являющихся центрами	окружностей	.
Понятно , что если бы мы взяли другую точку пересечения	окружностей	, то получили бы треугольник , равный треугольнику АВС .
Найдите расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими точками двух	окружностей	, если : а ) радиусы окружностей равны 3 см и 4 см , а расстояние между центрами — 10 см ; б ) радиусы окружностей равны 2 см и 5 см , а расстояние между центрами — 1 см .
Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей определите , сколько можно провести различных прямых , касающихся обеих	окружностей	.
Найдите расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими точками двух окружностей , если : а ) радиусы окружностей равны 3 см и 4 см , а расстояние между центрами — 10 см ; б ) радиусы	окружностей	равны 2 см и 5 см , а расстояние между центрами — 1 см .
В каждом случае измерьте расстояние между центрами	окружностей	.
Для каждого случая взаимного расположения двух	окружностей	определите , сколько можно провести различных прямых , касающихся обеих окружностей .
В таблице приведены расстояние ОА между центрами двух	окружностей	и их радиусы R и r. Постройте эти окружности .
В каждом случае найдите расстояние между самыми удалёнными и самыми близкими точками	окружностей	.
Проведите на мяче несколько больших	окружностей	.
Ясно , что треугольник не получится и в том случае , если расстояние между центрами	окружностей	равно сумме их радиусов .
5 Воспроизведите рисунок , взяв радиус	окружностей	равным 2 см .
А основная часть решётки , как бы сплетённая из	окружностей	, создаёт образ летящей колесницы .
Прямая АВ — ось симметрии фигуры , состоящей из двух	окружностей	.
Умею воспроизводить заданные изображения , составленные из	окружностей	, прямых и окружностей .
2 Изобразите следующие случаи взаимного расположения двух	окружностей	.
Умею воспроизводить заданные изображения , составленные из окружностей , прямых и	окружностей	.
Знаю все случаи взаимного расположения двух	окружностей	на плоскости ; умею определять взаимное расположение двух окружностей по заданным радиусам и расстоянию между их центрами .
Где лежат центры	окружностей	?
Знаю все случаи взаимного расположения двух окружностей на плоскости ; умею определять взаимное расположение двух	окружностей	по заданным радиусам и расстоянию между их центрами .
Сближая и дальше центры	окружностей	, мы снова получим непересекающиеся окружности , но теперь меньшая будет целиком лежать внутри большей .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих	окружностей	.
Или двух	окружностей	?
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько	окружностей	разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Радиусы	окружностей	равны 5 см и 3 см. Чему равно расстояние между их центрами ? .
3 Радиусы двух	окружностей	равны 7 см и 11 см , а расстояние между их центрами — 19 см. Как расположены по отношению друг к другу эти окружности ? .
Начертите две окружности радиусами , равными 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй	окружности	больше длины первой ?
Сделав соответствующий рисунок , определите , верно ли следующее утверждение : 1 ) Если две	окружности	симметричны относительно некоторой точки , то они симметричны также относительно некоторой прямой .
Отношение длины окружности к её диаметру — величина постоянная , не зависящая от размеров	окружности	.
Любая прямая , проходящая через центр	окружности	, является её осью симметрии .
Bзображена следующая ситуация : радиус большей	окружности	равен 6 см , радиус меньшей — 4 см , расстояние между центрами окружностей равно 1 см ?
Проведите две окружности с центром в точке В , которые касаются первой	окружности	внешним и внутренним образом .
Далее измерьте линейкой диаметр донышка и вычислите отношение длины	окружности	к длине диаметра .
А каким может быть взаимное расположение прямой и	окружности	?
Для метания снаряда праща вращается над головой , а в момент наиболее сильного маха её свободный конец выпускается , и снаряд летит по прямой , перпендикулярной радиусу	окружности	в момент отрыва .
Радиус меньшей	окружности	равен 2 см , радиус средней — 3 см. Чему равен радиус большей окружности ?
Постройте касательные к	окружности	, перпендикулярные прямой к.
В пространстве « самая симметричная » фигура — шар : он симметричен относительно любой плоскости , рассекающей его по большой	окружности	.
2 ) Если две	окружности	симметричны относительно некоторой прямой , то они симметричны также относительно некоторой точки .
Радиус меньшей окружности равен 2 см , радиус средней — 3 см. Чему равен радиус большей	окружности	?
Начертите окружность радиусом 3 см. Через центр	окружности	проведите прямую к.
Вы получите длину	окружности	, ограничивающей дно стакана .
Любая точка , удалённая от точки А на 3 см , лежит на	окружности	с центром в точке А и радиусом 3 см .
Оно больше радиуса	окружности	.
8 Найдите длину	окружности	, диаметр которой равен 20 см .
Число , выражающее отношение длины	окружности	к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π ( читается « пи » ) — первой буквой слова « периферия » , означающего « окружность » .
а ) Вычислите длину	окружности	, диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б ) Вычислите длину окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м .
Пусть радиус одной	окружности	равен 3 см , другой – 1 см. Сравните расстояние между их центрами : а ) с суммой радиусов б ) с разностью радиусов .
Бросив камешек в спокойную гладь водоёма , вы видите , как от точки падения камня разбегаются концентрические	окружности	.
Таким образом , путём эксперимента вы установили , что длина	окружности	примерно в 3 раза больше её диаметра .
Могу , используя формулы С равно 2πr и 5 равно πr2 , вычислять длину	окружности	и площадь круга .
В случае когда центры совпадают ,	окружности	называют концентрическими .
Сближая и дальше центры окружностей , мы снова получим непересекающиеся	окружности	, но теперь меньшая будет целиком лежать внутри большей .
Если дальше сближать центры окружностей , то	окружности	сначала будут пересекаться , а затем снова коснутся друг друга .
Начертите две равные	окружности	так , чтобы они пересекались ; не пересекались .
Касательная к	окружности	.
Точка О — центр большей	окружности	, точка Р — центр меньшей .
Изображены две	окружности	.
Отношение длины	окружности	к её диаметру — величина постоянная , не зависящая от размеров окружности .
52 Две	окружности	на плоскости .
Прямая бесконечна ; в отличие , например , от	окружности	эта линия незамкнутая ; через две точки можно провести только одну прямую .
Концентрические	окружности	.
Измерьте расстояние от центра	окружности	до прямой .
Сделать это нам не удастся —	окружности	не пересекутся .
След , который оставляет точка А при повороте , — это дуга	окружности	.
В первом случае	окружности	пересеклись , потому что расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов .
Можно ли провести на шаре две большие	окружности	так , чтобы они не пересекались ? .
Обозначим длину окружности буквой С , а её диаметр буквой d. Так как отношение длины	окружности	к диаметру равно π , то π .
Это связано с важным свойством	окружности	.
Формула длины	окружности	.
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с центром в точке пересечения прямых ; обозначьте точки пересечения прямых и	окружности	; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
б ) пересекает окружность , но не проходит через её центр ; в ) проходит через центр окружности ; г ) является касательной к	окружности	.
б ) пересекает окружность , но не проходит через её центр ; в ) проходит через центр	окружности	; г ) является касательной к окружности .
Нанесите на изображение цилиндра какое - нибудь сечение , имеющее форму	окружности	, а на изображение конуса — сечение , имеющее форму эллипса .
а ) Вычислите длину окружности , диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б ) Вычислите длину	окружности	, радиус которой равен 7,5 см ; 5 м .
Ищем способ построения Правильные многоугольники обладают важным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной	окружности	.
Умею строить касательную к	окружности	.
1 Начертите окружность , отметьте на ней какую - нибудь точку и постройте касательную к	окружности	в этой точке .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на	окружности	с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
а )	окружности	пересекаются .
Продолжим проводить	окружности	с центром в точке О , пока очередная окружность не достигнет шоссе .
	Окружности	касаются внешним образом .
3 Радиусы двух окружностей равны 7 см и 11 см , а расстояние между их центрами — 19 см. Как расположены по отношению друг к другу эти	окружности	? .
4 Начертите три концентрические	окружности	с радиусами 2,5 см , 3 см , 3,5 см .
Подставим в формулу длины	окружности	значение d и возьмём π — 3,14 , получим .
7 а ) Скопируйте конус и нанесите на его изображение какое - нибудь сечение , имеющее форму	окружности	.
Если в формулу вместо d подставить 2r , то получим другую формулу длины	окружности	.
Начертите три концентрические	окружности	с радиусами 2 см , 3 см , 4 см .
84 Формулы длины	окружности	, площади круга и объёма шара .
Две	окружности	радиусом 5 см касаются друг друга внешним образом .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой	окружности	, и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
В таблице приведены расстояние ОА между центрами двух окружностей и их радиусы R и r. Постройте эти	окружности	.
в )	окружности	касаются внутренним образом .
Чему равна длина	окружности	, диаметр которой равен 1 ?
Это формула длины	окружности	.
Прямая к и окружность пересекаются в точках А и B. Прямая к перемещается к центру	окружности	параллельно самой себе .
Что можно сказать о взаимном расположении прямой и	окружности	, если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см , а радиус окружности равен : а ) 3 см ; б ) 4 см ; в ) 6 см ? .
Измерьте расстояние от центра	окружности	до каждой из этих прямых .
Сколько можно провести касательных к	окружности	, параллельных некоторой прямой ? .
Каким свойством обладает касательная к	окружности	? .
Но в геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой фигуры ( прямой ,	окружности	) , расстояние между двумя параллельными прямыми и так далее .
Прямая d — касательная к	окружности	в точке А .
Найдите на	окружности	точку , ближайшую к прямой , и точку , наиболее удалённую от прямой .
Изображена окружность с центром в точке О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к	окружности	в этой точке : проведём радиус ОА ; построим прямую d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А .
Начертите две	окружности	радиусами , равными 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше длины первой ?
На этом свойстве основан способ построения касательной к	окружности	.
Для каждого случая сравните радиус окружности и расстояние от центра	окружности	до прямой .
У шара и сферы , так же как у круга и	окружности	, есть центр , радиус и диаметр .
Для каждого случая сравните радиус	окружности	и расстояние от центра окружности до прямой .
Таким образом , прямая и окружность могут пересекаться , могут не пересекаться и , наконец , прямая может касаться	окружности	.
Обозначим длину	окружности	буквой С , а её диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то π .
Найдите длину дуги	окружности	, выделенной зелёным цветом .
Когда прямая k пройдёт через центр	окружности	.
В этом случае прямую k называют касательной к	окружности	, а точку М — точкой касания .
В какой - то момент расстояние от центра до прямой станет равным радиусу и точка М окажется на	окружности	.
Проведите две	окружности	с центром в точке В , которые касаются первой окружности внешним и внутренним образом .
Будем теперь перемещать прямую параллельно самой себе , приближая её к центру	окружности	.
Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности , если расстояние от центра	окружности	до прямой равно 4 см , а радиус окружности равен : а ) 3 см ; б ) 4 см ; в ) 6 см ? .
Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности , если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см , а радиус	окружности	равен : а ) 3 см ; б ) 4 см ; в ) 6 см ? .
Будем проводить	окружности	с центром в точке О , увеличивая их радиусы , пока одна из них не достигнет водоёма .
С термином « пересечение » вы не раз встречались при изучении геометрии , когда , например , находили общие точки двух прямых , прямой и	окружности	и так далее .
Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку А. Постройте касательную к	окружности	в точке А .
Соответствующие таким кругам	окружности	называются большими окружностями .
Чтобы получить формулу , по которой можно вычислить длину	окружности	, проведите такой эксперимент .
Так , множество жителей планеты Земля конечно ( хотя их число очень велико — порядка 6 млрд ) , а множество точек	окружности	( даже небольшого радиуса ) бесконечно .
К	окружности	, радиус которой равен 6 см , проведены две параллельные касательные .
Параллели — это	окружности	, получаемые при « разрезании » земного шара параллельными плоскостями .
При втором построении	окружности	не пересеклись , так как расстояние между их центрами больше суммы их радиусов .
На рисунке 5.1 , а изображена	окружность	с центром в точке О и прямая k , её не пересекающая .
Начертите	окружность	и постройте окружность , симметричную ей относительно прямой , которая : а ) не пересекает окружность .
Если же плоскость пройдёт наискосок , то в сечении получится уже не	окружность	, а эллипс .
Это свойство можно использовать для построения правильного многоугольника : разделить	окружность	на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления .
1 Начертите	окружность	, отметьте на ней какую - нибудь точку и постройте касательную к окружности в этой точке .
Всё время , пока это расстояние будет меньше радиуса , прямая будет пересекать	окружность	.
Но « самые симметричные » фигуры на плоскости — это	окружность	, а также ограниченный ею круг .
б ) пересекает	окружность	, но не проходит через её центр ; в ) проходит через центр окружности ; г ) является касательной к окружности .
Начертите окружность и постройте окружность , симметричную ей относительно прямой , которая : а ) не пересекает	окружность	.
А затем прямая и	окружность	вновь не будут иметь общих точек .
Проведите прямую и постройте какую - нибудь	окружность	радиусом 3 см , для которой эта прямая является касательной .
1 ) На сколько частей делится	окружность	одним диаметром ?
Начертите	окружность	радиусом 3 см. Через центр окружности проведите прямую к.
Так , если поверхность цилиндра рассекается плоскостью , которая параллельна его основаниям , то в сечении получается	окружность	.
Нарисуйте на изображении шара ещё одну большую	окружность	.
Продолжим проводить окружности с центром в точке О , пока очередная	окружность	не достигнет шоссе .
Начертите окружность и постройте	окружность	, симметричную ей относительно прямой , которая : а ) не пересекает окружность .
Это прежде всего	окружность	, а также эллипс .
В какой - то момент меньшая	окружность	коснётся большей , и расстояние между их центрами будет равно сумме радиусов .
Начертите произвольную	окружность	и отметьте на ней точку А. Постройте касательную к окружности в точке А .
Начертите окружность и две прямые , одна из которых пересекает	окружность	, а другая нет .
Начнём перемещать меньшую	окружность	по направлению к большей .
Меньшая	окружность	целиком находится вне большей , и расстояние между их центрами больше суммы радиусов .
Чтобы построить правильный шестиугольник , можно разделить	окружность	на шесть равных частей ( пройти по ней циркулем с шагом , равным её радиусу ) и соединить последовательно все полученные точки .
Начертите	окружность	радиусом 3 см. Проведите прямую , её не пересекающую .
Число , выражающее отношение длины окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π ( читается « пи » ) — первой буквой слова « периферия » , означающего «	окружность	» .
Начертите	окружность	и две прямые , одна из которых пересекает окружность , а другая нет .
Таким образом , прямая и	окружность	могут пересекаться , могут не пересекаться и , наконец , прямая может касаться окружности .
Сколько общих точек могут иметь прямая и	окружность	? .
Изображена	окружность	с центром в точке О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке : проведём радиус ОА ; построим прямую d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А .
Постройте какую - нибудь	окружность	, для которой обе эти прямые являются касательными .
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите	окружность	с центром в точке пересечения прямых ; обозначьте точки пересечения прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
Выполните следующие построения на альбомном листе бумаги : 1 ) Начертите отрезок АВ длиной 6 см. 2 ) Проведите	окружность	с центром в точке А , радиус которой равен 4 см. 3 )
Прямая к и	окружность	пересекаются в точках А и B. Прямая к перемещается к центру окружности параллельно самой себе .
Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте	окружность	, касающуюся всех сторон квадрата .
Различаю цилиндр , конус , шар ; знаю , как в сечении поверхностей этих фигур плоскостью можно получить	окружность	, эллипс .
Шара большая	окружность	.
Границей круга , как вам известно , является	окружность	, а границей шара — сфера .
При рассечении цилиндра и конуса , наряду с	окружностью	, получаются и другие линии .
На сколько частей делится сфера одной большой	окружностью	?
За набор рукописи на компьютере	оператор	и его ученик получили 2400 р .
Два	оператора	набирали на компьютере текст рукописи .
Подсчитайте итог денежной	операции	и запишите результат с помощью знака « + » или « – » .
Кстати , именно так обычно поступают , подводя итоги денежных	операций	: подсчитывают отдельно доходы и расходы , а затем находят общий результат .
Вообще в математике и её приложениях часто приходится из данных множеств с помощью специальных	операций	получать новые множества .
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства	операций	объединения и пересечения множеств ? .
В то же время ,	описав	словами некоторое множество , нельзя гарантировать , что найдётся хотя бы один объект , отвечающий этому описанию .
Значит , мы	описали	множество , которое не содержит ни одного элемента .
Используя	описанное	свойство , можно действовать , не выясняя , модуль какого из данных дробных чисел больше .
Проведите	описанный	эксперимент .
Каждый участок маршрута можно	описать	с помощью трёх координат : заметный ориентир , угол между направлением на север и направлением на объект ( азимут ) , расстояние .
Рассмотрите фото парусного судна и	опишите	взаимное расположение его мачт и рей .
	Опишите	ситуацию , которая может иллюстрировать .
а ) Найдите в литературе или в Интернете изображения башен Московского Кремля и	опишите	их форму , б ) Опишите форму башен , изображённых на фотографиях .
Горизонтальную ось называют осью абсцисс ( осью х ) , вертикальную ось называют осью	ординат	( осью у ) .
Ось	ординат	.
Координаты точки записывают в скобках , при этом абсцисса пишется на первом месте , а	ордината	— на втором .
Как вы думаете , где расположены все точки с	ординатой	, равной 1 ?
Так , абсциссу xимеют ещё точки В , С и все точки прямой ВС , а	ординату	у имеют точки Μ , N и все точки прямой ΜΝ .
Постройте прямую , все точки которой имеют	ординату	, равную .
Постройте прямую , все точки которой имеют абсциссу , равную 3 ; – 2 ; 0 . 2 ) а ) На координатной плоскости отметьте пять точек , имеющих	ординату	, равную 1 .
Цилиндра	основание	.
Призмы	основание	.
Закрасьте видимые боковые грани одним цветом , а видимое	основание	другим .
У него , как и у пирамиды , есть вершина и	основание	, только в основании лежит не многоугольник , а круг .
Конуса	основание	.
Постройте равнобедренный треугольник ,	основание	которого равно 4 см , а боковые стороны — по 5 см .
а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см . б ) равнобедренный треугольник ,	основание	которого равно 7 см , а боковые стороны — по 4 см .
изображена развёртка треугольной призмы ,	основанием	которой является прямоугольный равнобедренный треугольник .
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является	основанием	? .
Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим	основанием	, равным 6 см. Где расположены вершины этих треугольников ? .
Если вы когда - нибудь видели пчелиные соты , то , возможно , заметили , что каждая ячейка — это шестиугольная призма , в	основании	которой — правильный шестиугольник .
У него , как и у пирамиды , есть вершина и основание , только в	основании	лежит не многоугольник , а круг .
Перегните его так , чтобы совпали вершины при	основании	, линия сгиба и будет его осью симметрии .
Сколько вершин в каждом	основании	этой призмы ?
2 ) Теннисный мяч упакован в коробку , имеющую форму цилиндра , так , что он касается и его боковой поверхности , и	оснований	.
Поверхность цилиндра состоит из двух	оснований	и боковой поверхности , которую ещё называют цилиндрической .
Отрезок , соединяющий центры	оснований	, перпендикулярен каждому из них , его называют высотой цилиндра .
Она делит пополам угол , противолежащий	основанию	, проходит через середину основания и перпендикулярна ему .
Она делит пополам угол , противолежащий основанию , проходит через середину	основания	и перпендикулярна ему .
Среди граней призмы различают боковые грани и	основания	.
Закрасьте	основания	цилиндра и конуса , начертите их высоты .
Перпендикуляр , проведённый из вершины конуса к плоскости	основания	, попадает в центр круга .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной призмы , все рёбра которой равны по 10 см ; б ) пятиугольной призмы , боковые рёбра которой равны по 8 см , а все рёбра	основания	равны по 5 см ? .
Например , призма , четырёхугольная , её	основания	— четырёхугольники .
Боковое ребро параллелепипеда равно а см , ребро	основания	равно b см .
Составьте формулу периметра равнобедренного треугольника , у которого длина	основания	равна а , а длина боковой стороны равна b .
Называют призму по её	основаниям	.
Так , если поверхность цилиндра рассекается плоскостью , которая параллельна его	основаниям	, то в сечении получается окружность .
В первый час он прошёл 40 % всего пути , во второй час — 50 %	остатка	.
В первый день ученик прочитал всей книги , во второй —	остатка	.
В первый день продали 0,2 всего картофеля , во второй — 0,25	остатка	.
Можно указать и другие разбиения множества Ν , например по	остаткам	от деления на 3 .
Сколько классов содержит разбиение множества натуральных чисел по	остаткам	от деления на 4 ?
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в	остатке	2 .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в	остатке	1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Когда все цифры делимого 93,2 были снесены , нуль в	остатке	не получился .
Нуль в	остатке	означает , что деление закончено .
Заметим , что в подобных случаях нуль можно приписывать не к делимому , а непосредственно к	остатку	.
Вы видите , что при делении всё время повторяется один и тот же	остаток	— число 2 .
Новый	остаток	раздробили в сотые и разделили 27 сотых на 3 .
Если одну пару вертикальных углов составляют	острые	углы , то другую — тупые .
Если одну пару вертикальных углов составляют	острые углы	, то другую — тупые .
Пусть , например , каждый из	острых	углов равен 30 ° , тогда каждый из тупых углов равен .
Пусть , например , каждый из	острых углов	равен 30 ° , тогда каждый из тупых углов равен .
Начертим прямую и	отложим	на ней отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью вершину — точку В ? .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 :	отложим	от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
На одной из прямых	отложим	циркулем равные отрезки ОА и ОС , а на другой — равные отрезки ОВ и OD .
Построим точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого : проведём прямую АО ; по другую сторону от точки О	отложим	отрезок ОВ , равный отрезку ОА .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ;	отложим	от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне угла	отложите	отрезок , равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо	отложить	отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от нуля .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо	отложить	вправо от нуля отрезки , длины которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо	отложить	влево от нуля отрезок , равный 5,2 единицы , получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
Число пятиклассников	относилось	к числу шестиклассников как 5:3 .
Оно	относится	к числам новой природы , с которыми вы познакомитесь в старших классах .
Папа на 5 лет старше мамы , а возраст мамы	относится	к возрасту дочери как 3:1 .
Число мальчиков	относится	к числу девочек как 3:2 .
Число карандашей в маленькой коробке	относится	к числу карандашей в большой как 5 : 9 .
Число девочек	относится	к числу мальчиков как 2:7 .
Число 0 занимает , как всегда , особое положение : оно не	относится	ни к положительным , ни к отрицательным числам , а как бы разделяет их .
Он	относится	к искусственным языкам , которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой .
Прежде всего к ним	относятся	цифры : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Если нет , то объясните , в чём ошибка , и найдите отношение правильно : а ) 30 кг относятся к 1 т как 30:1 ; б ) 1,2 ч	относятся	к 24 мин как 3:1 ; в ) 20 см относятся к 2 м как 10:1 ; г ) 36 с относятся к 3 мин как 1:5 .
Если нет , то объясните , в чём ошибка , и найдите отношение правильно : а ) 30 кг	относятся	к 1 т как 30:1 ; б ) 1,2 ч относятся к 24 мин как 3:1 ; в ) 20 см относятся к 2 м как 10:1 ; г ) 36 с относятся к 3 мин как 1:5 .
К параллелограммам	относятся	и такие хорошо вам знакомые фигуры , как прямоугольник и квадрат .
Так , стороны прямоугольника	относятся	как 9:6 .
Если нет , то объясните , в чём ошибка , и найдите отношение правильно : а ) 30 кг относятся к 1 т как 30:1 ; б ) 1,2 ч относятся к 24 мин как 3:1 ; в ) 20 см относятся к 2 м как 10:1 ; г ) 36 с	относятся	к 3 мин как 1:5 .
Длины отрезков АС и АВ	относятся	как 2:5 .
Периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите площадь прямоугольника , если его стороны	относятся	как .
Сплав состоит из олова и меди , массы которых	относятся	как 11:7 .
Если нет , то объясните , в чём ошибка , и найдите отношение правильно : а ) 30 кг относятся к 1 т как 30:1 ; б ) 1,2 ч относятся к 24 мин как 3:1 ; в ) 20 см	относятся	к 2 м как 10:1 ; г ) 36 с относятся к 3 мин как 1:5 .
Опишите словами каждый класс и приведите примеры	относящихся	к нему чисел .
Приведите свои примеры чисел ,	относящихся	к каждому классу .
Что показывает	отношение	30:18 ?
Знаю , что показывает	отношение	чисел и величин ; умею находить отношение чисел и величин .
Ответьте на вопрос , составив и вычислив соответствующее	отношение	: а ) Велосипедист проехал 36 км за 2,4 ч .
а )	отношение	числа взошедших лилий к числу посаженных равно .
Знаю , что показывает отношение чисел и величин ; умею находить	отношение	чисел и величин .
Если нет , то объясните , в чём ошибка , и найдите	отношение	правильно : а ) 30 кг относятся к 1 т как 30:1 ; б ) 1,2 ч относятся к 24 мин как 3:1 ; в ) 20 см относятся к 2 м как 10:1 ; г ) 36 с относятся к 3 мин как 1:5 .
	Отношение	18:30 ?
Для проверки семян на всхожесть сажают определённое количество семян и в назначенный срок находят	отношение	числа проросших семян к числу посаженных .
Найдите	отношение	.
Чему равно	отношение	стоимости карандаша к стоимости ручки ? .
Чему равно	отношение	стоимости ручки к стоимости карандаша ?
Какое	отношение	лишнее ? .
Найдите	отношение	числа правильных ответов к числу всех присланных ответов .
Верно ли найдено	отношение	?
Прочитайте	отношение	и вычислите его .
Замените	отношение	дробных чисел равным ему отношением целых чисел .
Число , выражающее	отношение	длины окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π ( читается « пи » ) — первой буквой слова « периферия » , означающего « окружность » .
Объясните , что показывает это	отношение	.
Найдите	отношение	числа спортсменов к числу всех учащихся школы .
И Ребро одного куба равно 10 см , а другого — 5 см Найдите	отношение	: 1 ) ребра малого куба к ребру большого куба .
Масштабом называют	отношение	длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности .
Запишите обратное	отношение	.
В практической жизни человека — при использовании кулинарных рецептов , при приготовлении смесей и растворов , при распределении доходов — часто возникает необходимость разделить ту или иную величину на части ,	отношение	которых равно заданному отношению .
от первоначальной стоимости куртки , то есть найдём	отношение	240 р .
	Отношение	числа финалистов к числу участников конкурса равно .
Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же число , не равное нулю , то получится	отношение	, равное данному .
Иногда	отношение	оставляют « невычисленным » .
Отношение меньшей стороны к большей , то есть обратное	отношение	, равно .
Упростим это	отношение	.
Частные а : b и читают ещё и так : «	отношение	числа а к числу b » .
Найдите	отношение	: а ) 40 см к 24 м ; б ) 800 г к 4 кг ; в ) 20 мин к 2 ч .
Какое из отношений означает	отношение	количества вылитой воды к оставшейся ? .
Иными словами ,	отношение	двух чисел — это другое название их частного .
Для наглядности найденное	отношение	часто выражают в процентах .
61 Что такое	отношение	.
Чтобы ответить на вопрос задачи , найдём	отношение	189 к 350 .
Вы наверняка слышали о золотом сечении , а это не что иное , как	отношение	длин отрезков , примерно равное 1,66 .
Чему равно	отношение	? .
Начертите какой - нибудь прямоугольник ,	отношение	длин сторон которого равно 4:3 .
Замените	отношение	2:1 равным ему отношением 4:2 .
В тех случаях , когда величины сравнивают с помощью деления , вместо слова « частное » обычно используют термин «	отношение	» .
Далее измерьте линейкой диаметр донышка и вычислите	отношение	длины окружности к длине диаметра .
Их	отношение	равно 5:2 .
Найдите отношение числа непроверенных работ к числу проверенных и обратное	отношение	.
Сформулируйте утверждение , используя слово «	отношение	» : а ) каждый восьмой из пропускавших уроки — прогульщик ; б ) каждая тысячная ворона — белая .
Что выражает это	отношение	? .
Найдите	отношение	расстояния s(м ) , которое пробежал мальчик , ко времени t(мин ) , в течение которого он бежал , если s , t 5 .
Это	отношение	примерно равно 3 .
Сторона одного квадрата равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите	отношение	: 1 ) стороны большого квадрата к стороне малого квадрата ;
Найдите	отношение	числа непроверенных работ к числу проверенных и обратное отношение .
Так ,	отношение	пути ко времени — это скорость .
Объясните , как найти	отношение	3 км к 750 м , и найдите его .
Из рассмотренных примеров становится понятно следующее : чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо найти отношение первого числа ко второму ( иными словами , выяснить , какую часть первое число составляет от второго или во сколько раз оно больше ) и выразить это	отношение	в процентах .
Если это одноимённые величины — длины , площади , массы и так далее , то их	отношение	выражается числом .
В задачах , а также в жизненной практике часто приходится находить	отношение	величин .
Из рассмотренных примеров становится понятно следующее : чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо найти	отношение	первого числа ко второму ( иными словами , выяснить , какую часть первое число составляет от второго или во сколько раз оно больше ) и выразить это отношение в процентах .
Обозначим длину окружности буквой С , а её диаметр буквой d. Так как	отношение	длины окружности к диаметру равно π , то π .
3 Замените	отношение	более простым .
Так , например , чтобы найти	отношение	1 м к 45 см , надо выразить эти длины в одних единицах , например в сантиметрах .
Замените отношение дробных чисел равным ему	отношением	целых чисел .
Какая величина является	отношением	пути ко времени ?
Замените отношение 2:1 равным ему	отношением	4:2 .
Начертите три прямоугольника со следующим	отношением	сторон .
Деление в данном	отношении	.
2 В коробке находятся простые и цветные карандаши в	отношении	5:8 .
Умею решать задачи на деление в данном	отношении	.
Время на уроки и перемены распределяется в	отношении	9:1 .
В его коллекции марки по этим темам распределены в	отношении	3:7 .
Слово « масштаб » употребляется не только по отношению к карте , но и более широко — во всех случаях , когда речь идёт о копии какого - либо объекта , выполненной с уменьшением или увеличением размеров в одном и том же	отношении	.
В школе решили , что будет справедливо разделить билеты в том же	отношении	, в котором находится число пятиклассников и число шестиклассников , то есть в отношении 72 к 48 .
Учитель разложил весь имеющийся мел в две коробки в	отношении	7:4 .
Правильные и неправильные ответы распределились в	отношении	7:3 .
62 Деление в данном	отношении	.
Хозяин разделил между ними пакет с кормом в	отношении	, равном отношению их масс .
В таких случаях говорят , что требуется разделить величину в данном	отношении	.
Разделите с помощью транспортира развёрнутый угол на два угла в	отношении	.
Он распределил время между этими предметами в	отношении	4:5 .
и разделили их в	отношении	2:1 .
В школе решили , что будет справедливо разделить билеты в том же отношении , в котором находится число пятиклассников и число шестиклассников , то есть в	отношении	72 к 48 .
В состав пряжи входят шерсть и лён в	отношении	3:5 .
Расскажите , как разделить 550 г конфет в	отношении	2:3 .
Таким образом , 50 билетов надо разделить в	отношении	3:2 .
Есть ли среди этих	отношений	равные ? .
Какие из этих	отношений	равны ?
Какое из	отношений	означает отношение количества вылитой воды к оставшейся ? .
Напишите несколько	отношений	, равных .
Замените каждое из	отношений	равным , записанным меньшими числами .
Равенство двух	отношений	называют пропорцией .
Чтобы сравнить два целых числа , можно представить , как они расположены по	отношению	друг к другу на координатной прямой : какое из них находится правее , а какое — левее .
В практической жизни человека — при использовании кулинарных рецептов , при приготовлении смесей и растворов , при распределении доходов — часто возникает необходимость разделить ту или иную величину на части , отношение которых равно заданному	отношению	.
Хозяин разделил между ними пакет с кормом в отношении , равном	отношению	их масс .
Слово « масштаб » употребляется не только по	отношению	к карте , но и более широко — во всех случаях , когда речь идёт о копии какого - либо объекта , выполненной с уменьшением или увеличением размеров в одном и том же отношении .
3 Радиусы двух окружностей равны 7 см и 11 см , а расстояние между их центрами — 19 см. Как расположены по	отношению	друг к другу эти окружности ? .
Это правило действует по	отношению	ко всем разрядам , кроме самого младшего — разряда единиц .
Масштаб обычно записывают в виде	отношения	двух чисел , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Примером практического применения	отношения	величин , который известен вам из уроков природоведения , географии , является масштаб .
1 Отрезок АВ разделён точкой С на две части так , что АС равно 1,2 дм , ВС равно 6 см. Что показывают	отношения	.
Если умножить или разделить оба члена	отношения	на одно и то же число , не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
64 Выражение	отношения	в процентах .
Стороны прямоугольника равны 9 см и 6 см. Найдём	отношения	длин его сторон .
При вычислении	отношения	в таких случаях важно следить за тем , чтобы величины были выражены в одних и тех же единицах .
Рассмотрим два	отношения	.
Используя данные задачи , найдите другие	отношения	и объясните , что они показывают .
Найдите эти	отношения	.
Равны ли	отношения	площадей и сторон квадратов ? .
Для записи	отношения	в таких случаях используют двоеточие .
Проверьте двумя способами , то есть сравнив	отношения	и применив основное свойство пропорции .
Какие ещё	отношения	можно составить , используя условие задачи ?
Составьте всевозможные	отношения	сторон треугольника АВС и вычислите их .
Составьте эти	отношения	и упростите их .
Так как в первом случае потребовали ремонта 49 телевизоров из 2150 , а во втором — 31 из 725 , то доли некачественных телевизоров выражаются	отношениями	.
Действительно , если от равных величин ( площади квадрата и площади прямоугольника )	отнять	поровну ( площадь зелёного многоугольника ) , то поровну и останется .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых равны 80 % , 150 % , 200 % и 220 % длины	отрезка	АВ .
Масштабом называют отношение длины	отрезка	на карте к длине соответствующего отрезка на местности .
Легко видеть , что этот отрезок короче любого другого	отрезка	, соединяющего точку А с этой прямой .
Длину этого	отрезка	и называют расстоянием между параллельными прямыми .
Получают сотые доли единичного	отрезка	.
б ) Какую часть длины данного	отрезка	составляет длина каждой получившейся части ? .
Даны три	отрезка	.
Чему равна длина	отрезка	, который на 10 м длиннее данного ?
Даны четыре	отрезка	длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Используя неравенство треугольника , определите , сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков .
В какой момент длина	отрезка	АВ будет наибольшей ?
Обратите внимание : если точки А и В симметричны относительно точки О , то точка О — середина	отрезка	АВ .
Длина	отрезка	равна с метрам .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина	отрезка	АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
Проведём отрезок ОА , он короче любого другого	отрезка	, соединяющего точку О с шоссе .
В каком бы месте ни провести перпендикуляр с , длина	отрезка	MN будет одной и той же .
Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего	отрезка	на местности .
Объединение	отрезка	KL и луча LM есть луч КМ , а их пересечением является точка L .
Этот пример показывает , что не всякие три	отрезка	могут быть сторонами треугольника .
На плане это точка М. Длина	отрезка	ОМ и есть расстояние от дома лесника до водоёма .
Возникает вопрос : в каком случае три	отрезка	могут служить сторонами треугольника , а в каком нет ?
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю единичного	отрезка	, которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Назовите отрезки , равные	отрезкам	ОА , ОВ и ОС .
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с центром в точке пересечения прямых ; обозначьте точки пересечения прямых и окружности ; соедините	отрезками	каждую пару соседних точек .
На	отрезке	АВ , длина которого равна 6 см , отмечена точка С так , что AС равно 2 см. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и СВ .
Решите эту же задачу , если AB равно 10 см и AC равно 6 см . 2 ) На	отрезке	АВ , длина которого равна 8 см , точка С отмечена произвольным образом .
Изменится ли ответ , если в условии будет сказано , что точка С отмечена на прямой АВ , но не на	отрезке	АВ ? .
отметьте равные	отрезки	сначала на одной стороне угла , затем на другой .
Кроме того , при повороте	отрезки	ОА и ОС , а также ОВ и OD поменялись местами .
На одной из прямых отложим циркулем равные отрезки ОА и ОС , а на другой — равные	отрезки	ОВ и OD .
Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных треугольника со сторонами 3 см , 5 см , 5 см и со сторонами 7 см , 4 см , 4 см. В каждом треугольнике проведите ось симметрии , отметьте равные	отрезки	и равные углы .
На одной из прямых отложим циркулем равные	отрезки	ОА и ОС , а на другой — равные отрезки ОВ и OD .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от нуля	отрезки	, длины которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Назовите	отрезки	, равные отрезкам ОА , ОВ и ОС .
Обозначим одну из них буквой В и проведём	отрезки	АВ и ВС. Получим треугольник АВС , имеющий заданные стороны .
Пересекает	отрезки	.
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить	отрезки	с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от нуля .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите	отрезки	, длины которых равны 80 % , 150 % , 200 % и 220 % длины отрезка АВ .
( Все маленькие	отрезки	равны между собой ) .
Откладывая последовательно единичные	отрезки	вправо от .
Если каждые две точки соединить отрезком , то сколько всего получится	отрезков	?
Через точку А проведена прямая , параллельная l. Какие из	отрезков	ВС , CD и DB эта прямая пересекает , а какие нет ? .
Таким образом , из трёх	отрезков	можно построить треугольник , если каждый из этих трёх отрезков меньше суммы двух других .
На отрезке АВ , длина которого равна 6 см , отмечена точка С так , что AС равно 2 см. Найдите расстояние между серединами	отрезков	АС и СВ .
Математики Древней Греции неожиданно обнаружили , что для решения такой практически важной задачи , как измерение длин	отрезков	, не хватает не только целых , но и дробных чисел , так что возникла необходимость в изобретении новых чисел .
Какой из	отрезков	имеет наибольшую длину ? .
Какой из	отрезков	самый длинный : ребро куба АВ , диагональ грани АС или диагональ куба AD ?
Таким образом , из трёх отрезков можно построить треугольник , если каждый из этих трёх	отрезков	меньше суммы двух других .
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Используя неравенство треугольника , определите , сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих	отрезков	.
Найдите длины	отрезков	АВ , АС и СВ .
Сравните в каждом случае длины	отрезков	АС и ВС .
Длины	отрезков	АС и АВ относятся как 2:5 .
Какой из этих	отрезков	самый короткий ? .
Вы наверняка слышали о золотом сечении , а это не что иное , как отношение длин	отрезков	, примерно равное 1,66 .
Найдите расстояние между серединами	отрезков	АС и СВ .
Сделайте рисунок , выбрав величину угла и длины	отрезков	на своё усмотрение .
Если каждые две точки соединить	отрезком	, то сколько всего получится отрезков ?
Начертите координатную прямую с единичным	отрезком	, равным 6 клеткам .
Чему равна длина фасада этого дома , если на чертеже она изображается	отрезком	, равным 35 см ? .
Построим точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого : проведём прямую АО ; по другую сторону от точки О отложим отрезок ОВ , равный	отрезку	ОА .
Обратите внимание :	отрезок	ОА перпендикулярен прямой линии шоссе .
а ) На сколько частей разделён	отрезок	?
Для этого на прямой выбирают начало отсчёта , положительное направление и единичный	отрезок	.
Начертите в тетради координатную прямую ( за единичный	отрезок	примите 10 клеток ) .
Построим точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого : проведём прямую АО ; по другую сторону от точки О отложим	отрезок	ОВ , равный отрезку ОА .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите	отрезок	, не пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на прямой m , и постройте четырёхугольник , симметричный ему относительно прямой m .
Точка пересечения прямых О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой ; единичный	отрезок	, как правило , один и тот же .
Начертите в тетради координатную прямую , взяв за единичный	отрезок	5 клеток .
Начертите	отрезок	АВ .
На самом деле достаточно проверить , что наибольший	отрезок	меньше суммы двух других .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево	отрезок	такой же длины , получим точку – 3,5 .
Постройте	отрезок	АВ по координатам его концов и найдите координаты точки , в которой он пересекает ось х . а )
	Отрезок	в 5 см ?
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо	отрезок	длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Сколько километров на местности изображает	отрезок	в 1 см на этой карте ?
Начертите	отрезок	АВ и проведите через его середину прямую , ему перпендикулярную .
Начертите	отрезок	АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых равны 80 % , 150 % , 200 % и 220 % длины отрезка АВ .
Начертите координатную прямую , приняв за единичный	отрезок	восемь клеток .
Выполните следующие построения на альбомном листе бумаги : 1 ) Начертите	отрезок	АВ длиной 6 см. 2 ) Проведите окружность с центром в точке А , радиус которой равен 4 см. 3 )
Для этого	отрезок	между точками 0 и 1 делят на 10 равных частей и отсчитывают 3 такие части .
Легко видеть , что этот	отрезок	короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с этой прямой .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую m , и постройте	отрезок	, симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на прямой m , и постройте четырёхугольник , симметричный ему относительно прямой m .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от нуля	отрезок	, равный 5,2 единицы , получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
Начертите координатную прямую ( возьмите единичный	отрезок	, равный 2 клеткам ) .
Проведём	отрезок	ОА , он короче любого другого отрезка , соединяющего точку О с шоссе .
Начертите координатную прямую ( возьмите единичный	отрезок	, равный 12 клеткам ) .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой стороне —	отрезок	, равный 5 см ; соедините полученные точки .
рическую фигуру ( прямоугольник , круг или	отрезок	) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 ) Приведите дроби к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , пересекающий прямую m , и постройте	отрезок	, симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите ломаную из двух звеньев , не пересекающую прямую m , и постройте ломаную , симметричную ей относительно прямой m .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите	отрезок	, пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите ломаную из двух звеньев , не пересекающую прямую m , и постройте ломаную , симметричную ей относительно прямой m .
Перенесите развёртку на лист плотной бумаги , увеличив каждый	отрезок	в 5 раз .
Самый короткий путь из точки А в точку В —	отрезок	АВ .
Начертим прямую и отложим на ней	отрезок	, равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью вершину — точку В ? .
а ) Начертите координатную прямую ( за единичный	отрезок	примите 2 клетки ) и отметьте на ней точками числа .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне угла отложите	отрезок	, равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
Если а и b — числа отрицательные , то их сумма также	отрицательна	.
Сумма отрицательного и положительного чисел всегда	отрицательна	.
Так как сумма двух отрицательных чисел	отрицательна	, то в результате запишем знак « минус » , а затем сложим и получим .
Сумма двух положительных чисел положительна , а сумма двух отрицательных чисел	отрицательна	.
Модуль	отрицательного	числа есть число , ему противоположное .
Получить модуль	отрицательного	числа тоже легко — достаточно просто отбросить знак « минус » .
	Отрицательного	числа ?
Наконец , правило сложения	отрицательного	целого числа с нулём такое же , как и для натуральных чисел .
Модуль положительного числа всегда больше модуля	отрицательного	числа .
Сумма	отрицательного	и положительного чисел всегда отрицательна .
Модуль	отрицательного	числа равен числу , ему противоположному .
Таким же образом изображается на координатной прямой любое положительное или	отрицательное	число .
Если числа а и b имеют разные знаки , то их произведение — число	отрицательное	.
Покажите , как они могут быть расположены на координатной прямой ( сделайте рисунок для каждого случая ) , если известно , что . 1 ) а —	отрицательное	число и b меньше а .
2 ) а —	отрицательное	число и b больше а .
Сначала мы подставили вместо букв указанные числа , заключив при этом	отрицательное	число в скобки .
Любое	отрицательное	число меньше нуля .
Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое	отрицательное	? .
Вставьте в каждое предложение нужное слово : если а – положительное число , то – а число ; если а –	отрицательное	число , то – а .
Натуральное число и	отрицательное	число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
Сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным , так и отрицательным числом ; знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или	отрицательное	.
в ) число а — отрицательное , число b — положительное . г ) число а —	отрицательное	, число b — положительное .
Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают : положительные числа записывают без знака « + » , а	отрицательное	число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Обратите внимание : для того чтобы записать число , противоположное отрицательному , мы заключаем это	отрицательное	число в скобки .
наибольшее целое	отрицательное	число ?
наименьшее целое	отрицательное	число ? .
Положительное число 256 на координатной прямой расположено справа от 0 , а	отрицательное	число – 104 — слева от 0 .
в ) число а —	отрицательное	, число b — положительное . г ) число а — отрицательное , число b — положительное .
Что можно сказать о знаке суммы двух чисел , если известно , что : а ) оба числа отрицательные ; б ) одно число	отрицательное	, а другое положительное ? .
	Отрицательное	или 0 ? .
положительное или	отрицательное	?
Любое	отрицательное	число меньше любого положительного числа .
В противном случае , если одно число положительное , а другое	отрицательное	, говорят , что это числа разных знаков .
	Отрицательное	или нуль ?
Ответьте на вопрос с помощью координатной прямой и проиллюстрируйте свой ответ числовым примером : какое из двух целых чисел больше – положительное или	отрицательное	?
Не выполняя вычислений , определите , положительной или	отрицательной	будет сумма .
Сумма двух отрицательных чисел может быть	отрицательной	, положительной или нулём .
Этот знак мы будем использовать и для обозначения числа , противоположного	отрицательному	.
Обратите внимание : для того чтобы записать число , противоположное	отрицательному	, мы заключаем это отрицательное число в скобки .
Каждое из них равно	отрицательному	числу .
Например , если убыток предприятия составил 1,5 млн р . , то его удобно показать как	отрицательную	прибыль : – 1,5 млн р .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх целых чисел , если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа	отрицательны	и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх целых чисел , если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа	отрицательны	? .
Поэтому о двух целых числах можно сказать , что это числа одного знака , если они оба положительны или оба	отрицательны	.
; 4 ) все четыре числа	отрицательны	? .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение четырёх отличных от нуля чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 )	отрицательны	два числа ; 3 ) три числа отрицательны , а одно положительно
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение четырёх отличных от нуля чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 ) отрицательны два числа ; 3 ) три числа	отрицательны	, а одно положительно
Дробные числа , с которыми мы до сих пор имели дело , будем теперь называть положительными и наряду с ними рассматривать	отрицательные	дробные числа .
Рассмотрите 3 случая , изобразив каждый из них на координатной прямой : 1 ) а и b — числа положительные ; 2 ) а и b — числа	отрицательные	; 3 ) а и b — числа разных знаков .
Если а и b — числа	отрицательные	, то их сумма также отрицательна .
Представьте число 120 в виде произведения нескольких множителей , среди которых есть	отрицательные	.
Найдите среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 целые положительные и целые	отрицательные	числа .
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности положительные и	отрицательные	слагаемые , а затем найти сумму двух получившихся чисел .
Что можно сказать о знаке суммы двух чисел , если известно , что : а ) оба числа	отрицательные	; б ) одно число отрицательное , а другое положительное ? .
Целые	отрицательные	числа , как и целые положительные ( то есть натуральные ) , можно изображать точками на координатной прямой .
Вычислите , сложив отдельно положительные и	отрицательные	числа .
Объясните , как складывают	отрицательные	числа , и выполните сложение .
На « правом » луче будем , как обычно , отмечать целые положительные числа , а на « левом » — целые	отрицательные	.
Математики древности называли	отрицательные	числа словами , означавшими « долг » , « недостаток » , в отличие от « имущества » — положительного числа .
Числа	отрицательные	.
Выпишите : а ) целые числа ; б )	отрицательные	дробные числа .
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче положительные , на левом —	отрицательные	.
Наряду с натуральными числами мы будем рассматривать	отрицательные	числа , которые получаются , если к каждому натуральному числу приписать знак « минус » .
Отрицательные дробные числа , как и	отрицательные	целые , получаются приписыванием к положительным числам знака « минус » .
а ) числа а и b —	отрицательные	. б ) числа а и b -отрицательные .
Знака « минус » тогда не было , а чтобы различать положительные и	отрицательные	числа , Джань Цань писал их чернилами разных цветов .
Из примера с подсчётом денег легко понять , как складываются	отрицательные	числа .
Однако в жизни вам уже наверняка встречались и другие числа —	отрицательные	.
Прочитайте в объяснительном тексте , как можно записывать	отрицательные	дроби .
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни необходимы не только целые числа , но и дробные , в том числе	отрицательные	дроби .
Запишите все	отрицательные	целые числа , которые : а ) больше – 8 ; б ) больше – 12 , но меньше – 9 .
Остаётся сообразить , как перемножить	отрицательные	числа .
В этой главе будут рассмотрены	отрицательные	дробные числа , и вы сможете оперировать как с целыми , так и с дробными положительными и отрицательными числами .
Натуральные числа , противоположные им	отрицательные	числа и число О объединяют одним словом — целые числа .
Среди данных чисел найдите положительные и	отрицательные	, затем для каждого числа назовите число , ему противоположное .
А можно сначала сгруппировать	отрицательные	слагаемые и сложить их .
Или если популярность политического деятеля упала на 8,3 % , то в соответствующей таблице в графе « Рост популярности » поставят число – 8,3 % , означающее	отрицательный	рост .
Сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным , так и	отрицательным	числом ; знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
Число 0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к положительным , ни к	отрицательным	числам , а как бы разделяет их .
Если же человек получил денег меньше , чем потратил , то его доход выражается	отрицательным	числом .
3 ) В каких случаях произведение четырёх целых чисел будет числом	отрицательным	? .
Каким числом — положительным или	отрицательным	— является произведение четырёх отличных от нуля чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 ) отрицательны два числа ; 3 ) три числа отрицательны , а одно положительно
Определите , положительным или	отрицательным	является число .
Верно ли утверждение : « Всякое целое число является либо положительным , либо	отрицательным	» ? .
Для выражения величины	отрицательным	числом вводят некоторую начальную , нулевую , отметку .
Обратите внимание : заменяя букву	отрицательным	числом , мы заключили его в скобки .
Если перед некоторым числом , положительным или	отрицательным	, поставить знак « плюс » , то получится то же самое число ; если же поставить знак « минус » , то получится противоположное число .
Определите , положительным или	отрицательным	является число если .
Перерасход обозначьте	отрицательным	числом , экономию — положительным .
Не выполняя вычислений , определите , положительным или	отрицательным	будет следующее произведение или частное .
Назовите такие два целых числа , чтобы их произведение было положительным ;	отрицательным	.
Как определить , каким числом — положительным или	отрицательным	— является сумма двух целых чисел разных знаков ?
Каким числом — положительным или	отрицательным	— является произведение трёх целых чисел , если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
В этой главе вы познакомитесь с так называемыми целыми	отрицательными	числами и научитесь оперировать ими .
При этом израсходованные суммы денег будем обозначать	отрицательными	числами .
В этой главе будут рассмотрены отрицательные дробные числа , и вы сможете оперировать как с целыми , так и с дробными положительными и	отрицательными	числами .
Назовите те из них , которые являются : а ) натуральными ; б ) целыми ; в )	отрицательными	дробными ; г ) рациональными .
великий русский учёный , математик и механик Леонард Эйлер в своём учебном пособии « Универсальная арифметика » , адресованном тем , кто начинал изучать математику , объяснял правило умножения	отрицательных	чисел примерно следующим образом .
Так как сумма двух	отрицательных	чисел отрицательна , то в результате запишем знак « минус » , а затем сложим и получим .
Сформулируйте правило сравнения двух	отрицательных	чисел .
двух	отрицательных	целых чисел ?
Вы видите , что при записи	отрицательных	дробей « минус » можно ставить перед дробью , вносить его в числитель или убирать в знаменатель .
Запись суммы положительных и	отрицательных	чисел часто упрощают : положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Представьте в виде суммы двух	отрицательных	слагаемых число .
Чтобы разработать современное толкование	отрицательных	чисел , понадобились усилия многих учёных на протяжении 18 веков — от Джань Цаня до Декарта .
Запишите десять положительных и десять	отрицательных	целых чисел , двигаясь влево и вправо от нуля .
Из двух	отрицательных	чисел меньше то , у которого модуль больше .
Сумма двух	отрицательных	чисел может быть отрицательной , положительной или нулём .
Используя термин « модуль » , можно рассмотренный выше способ сравнения	отрицательных	чисел сформулировать в виде правила .
Чтобы выяснить , какое из двух	отрицательных	чисел – 6,5 и – 4 меньше , мы сравнили положительные числа 6,5 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих точек координатной прямой .
Сумма двух положительных чисел положительна , а сумма двух	отрицательных	чисел отрицательна .
Перед положительными числами , для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от	отрицательных	, иногда ставится знак « плюс » .
Рассмотрим теперь , как сравнивают два	отрицательных	числа .
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных чисел , кратных 10 ; б ) целых	отрицательных	чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
Благодаря введению	отрицательных	чисел мы получаем возможность вычитать из меньшего числа большее .
Сетку из	параллелей	и меридианов , покрывающую поверхность земного шара , изобрели древнегреческие учёные Гиппарх и Эратосфен .
3 Какая фигура получится в сечении , если плоскостью симметрии рассечь : а ) шар ; б )	параллелепипед	; в ) цилиндр ; г ) конус ? .
Изображён	параллелепипед	и указаны его измерения .
С одной из четырёхугольных призм вы уже достаточно хорошо знакомы — это	параллелепипед	.
Вычислите неизвестную длину третьего ребра	параллелепипеда	, если .
Воспользовавшись формулой объёма	параллелепипеда	, выполните следующие задания .
7 Вычислите объём аквариума в форме прямоугольного	параллелепипеда	, измерения которого а , b и с .
У	параллелепипеда	три плоскости симметрии А сколько плоскостей симметрии у куба ? .
Выразите длину какого - либо ребра	параллелепипеда	через его объём и длины двух других рёбер .
Основанием	параллелепипеда	является квадрат .
Составим формулу объёма	параллелепипеда	.
Например , у	параллелепипеда	три плоскости симметрии .
б ) Сколько потребуется проволоки для изготовления каркасной модели	параллелепипеда	с измерениями дм , дм ? .
Знаю формулы периметра треугольника , периметра и площади прямоугольника , объёма прямоугольного	параллелепипеда	и умею их применять .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани	параллелепипеда	.
Ванна школьного бассейна имеет форму	параллелепипеда	, его длина 25 м , ширина 16 м , глубина 3 м .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани	параллелепипеда	; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Объём	параллелепипеда	, как известно , равен произведению трёх его измерений .
Обозначим объём	параллелепипеда	буквой V , а его длину , ширину и высоту соответственно буквами а , b и с. Получим формулу .
Формула объёма	параллелепипеда	.
Боковое ребро	параллелепипеда	равно а см , ребро основания равно b см .
Пусть а , b , с — измерения	параллелепипеда	.
Точнее , его называют прямоугольным	параллелепипедом	: все его грани — прямоугольники .
Когда	параллели	приближаются к полюсам , их диаметры уменьшаются .
Вспомните	параллели	и меридианы , нанесённые на глобус .
Чтобы убедиться в этом , наложите на параллелограмм кальку , прикрепите её в точке пересечения диагоналей булавкой , переведите	параллелограмм	на кальку и поверните её на 180 ° .
Разрежем	параллелограмм	вдоль линии , перпендикулярной стороне , и переложим отрезанный треугольник , как показано .
Чему равны измерения прямоугольника , в который можно перекроить	параллелограмм	?
Постройте	параллелограмм	, диагонали которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под углом 30 ° .
Чтобы убедиться в этом , наложите на	параллелограмм	кальку , прикрепите её в точке пересечения диагоналей булавкой , переведите параллелограмм на кальку и поверните её на 180 ° .
Значит , диагональ делит	параллелограмм	на два равных треугольника .
б ) Вырежите из бумаги какой - нибудь	параллелограмм	и перекроите его в прямоугольник .
Соединим последовательно точки А , В , С и D Четырёхугольник ABCD —	параллелограмм	.
Проведите в тетради две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 3 см. Начертите какой - нибудь	параллелограмм	, одна пара сторон которого лежит на этих прямых и равна по 4 см. Начертите прямоугольник , удовлетворяющий этим условиям .
Такой четырёхугольник имеет специальное название —	параллелограмм	.
а ) Покажите , как	параллелограмм	можно перекроить в прямоугольник .
Пусть стороны прямоугольника , в который перекроили	параллелограмм	, равны 2 см и 3 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
Слово «	параллелограмм	» происходит от греческого слова , которое в переводе означает « изображённый параллельными » .
Таким свойством диагоналей обладает только	параллелограмм	.
Начертите : а ) какой - нибудь	параллелограмм	, диагонали которого равны 4 см и 6 см ; б ) ромб , диагонали которого равны 4 см и 6 см .
Постройте	параллелограмм	по заданным сторонам и диагонали .
а ) Начертите в тетради , используя свойства клетчатой бумаги , какой - нибудь	параллелограмм	.
6 ABCD —	параллелограмм	.
Например , в результате выполненного поворота противоположные стороны	параллелограмма	« поменялись местами » , значит , они равны .
Вычислите периметр : а )	параллелограмма	со сторонами 9,4 см и 5,7 см ; б ) ромба со стороной 8,5 см .
Точки А , В и С — вершины	параллелограмма	, АВ — его сторона .
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его сторонам Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного	параллелограмма	.
Назовите свойства	параллелограмма	.
Умею находить площадь прямоугольного треугольника ; знаю , как найти площадь	параллелограмма	, перекраивая его в прямоугольник .
Составьте формулу для вычисления периметра : а )	параллелограмма	; б ) ромба .
Пусть стороны прямоугольника , в который перекроили параллелограмм , равны 2 см и 3 см. Чему равна площадь	параллелограмма	? .
А как найти площадь	параллелограмма	, вы уже знаете .
Чему равна площадь	параллелограмма	? .
Постройте точку D — четвёртую вершину	параллелограмма	.
Выполните построение	параллелограмма	, если .
Итак , противоположные стороны	параллелограмма	не только параллельны , но и равны .
Треугольник легко достроить до	параллелограмма	, проведя прямые , параллельные двум его сторонам Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма .
AС - ось симметрии	параллелограмма	. Знаю , какие фигуры называют равновеликими .
Проведя необходимые измерения , найдите площадь этого	параллелограмма	.
Центр симметрии	параллелограмма	— это точка пересечения его диагоналей .
Показаны способы построения следующих четырёхугольников : прямоугольника , квадрата , ромба и	параллелограмма	.
3 ) Каким свойством обладают углы	параллелограмма	, прилежащие к одной стороне ? .
5 Что больше : периметр	параллелограмма	со сторонами 3 см и 5 см или периметр ромба со стороной 4 см ? .
Составьте формулу для вычисления площади S	параллелограмма	.
Чему равна площадь	параллелограмма	?
Используем этот приём , чтобы найти площадь	параллелограмма	.
11 Параллелограмм перекроили в прямоугольник со сторонами 5 см и 4,2 см. Чему равна площадь	параллелограмма	? .
Эксперимент с калькой позволяет нам обнаружить и другие свойства	параллелограмма	.
Свойства	параллелограмма	.
К	параллелограммам	относятся и такие хорошо вам знакомые фигуры , как прямоугольник и квадрат .
Диагонали ромба , кроме свойств , присущих всем	параллелограммам	, обладают ещё одним : они перпендикулярны друг другу .
4 Какие из данных четырёхугольников не являются	параллелограммами	?
Сколько различных	параллелограммов	вам удалось сложить ?
Постройте на нелинованной бумаге несколько различных	параллелограммов	с помощью : а ) угольника и линейки ; б ) одной линейки .
Сколько	параллелограммов	? .
Пусть А — множество	параллелограммов	, В — множество прямоугольников , С — множество ромбов Множество каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
От других	параллелограммов	прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все углы прямые , и все стороны равны .
Знаю виды	параллелограммов	, свойства параллелограммов .
Пусть площади	параллелограммов	равны соответственно .
Какие виды	параллелограммов	вы знаете ? .
Знаю виды параллелограммов , свойства	параллелограммов	.
Какой четырёхугольник называют	параллелограммом	? .
3 Какой из четырёхугольников является	параллелограммом	.
Здесь вы познакомитесь ещё с двумя фигурами : с четырёхугольником —	параллелограммом	и многогранником — призмой .
Самая большая	параллель	— это экватор , его диаметр равен диаметру Земли .
Есть ли в вашей школе	параллель	шестых классов ?
Построенная прямая	параллельна	данной .
Так , если поверхность цилиндра рассекается плоскостью , которая	параллельна	его основаниям , то в сечении получается окружность .
Через точку А проведена прямая ,	параллельная	l. Какие из отрезков ВС , CD и DB эта прямая пересекает , а какие нет ? .
Прямая к и окружность пересекаются в точках А и B. Прямая к перемещается к центру окружности	параллельно	самой себе .
Будем теперь перемещать прямую	параллельно	самой себе , приближая её к центру окружности .
Знаете ли вы , что такое параллельные брусья , параллельный слалом или	параллельное	вращение ?
Показан способ построения прямой ,	параллельной	данной , с помощью одного угольника .
Через точку К проведите прямую ,	параллельную	прямой b .
Пусть дана некоторая прямая m и требуется начертить прямую , ей	параллельную	.
Перегибая лист , постройте прямую , ей	параллельную	.
Начертите какую - нибудь прямую и постройте с помощью угольника прямую , ей	параллельную	.
Проведите какую - нибудь прямую ,	параллельную	прямой а , и прямую , параллельную прямой b.
Проведите какую - нибудь прямую , параллельную прямой а , и прямую ,	параллельную	прямой b.
С помощью линейки и угольника проведите через точку К прямую b ,	параллельную	прямой а .
На плоскости две прямые либо пересекаются , либо	параллельны	.
Прямые к и l : а )	параллельны	; б ) пересекаются .
Его противоположные стороны	параллельны	.
Если прямые а и b	параллельны	, то мы будем записывать это так : а || b .
Итак , противоположные стороны параллелограмма не только	параллельны	, но и равны .
Если прямые перпендикулярны одной и той же прямой , то они	параллельны	.
Постройте какой - нибудь четырёхугольник ABCD , у которого : а ) АВ ∥ CD и BC ∥ AD ; б ) AB ∥ CD и BC ∦ AD ; в ) AB ∥ CD , AB ∥ CD и BC ∦ D. ( Символ означает , что прямые не	параллельны	) .
Прямые m и n	параллельны	, ∠1 равно 38 ° .
Верно или неверно Прямые а и b	параллельны	, ∠1 равно 45 ° .
Две прямые на плоскости или пересекаются , или	параллельны	.
Рёбра АВ и LM не	параллельны	, хотя прямые , которым они принадлежат , не пересекаются .
Прямые а и b	параллельны	.
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя прямые ,	параллельные	двум его сторонам Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма .
Это очень важное свойство , характеризующее	параллельные	прямые .
Прямые	параллельные	.
Проведены	параллельные	прямые а и b и прямая с — их общий перпендикуляр .
Начертите в тетради по линиям сетки : а ) две	параллельные	прямые а и b и прямую с , перпендикулярную прямой а ; б ) прямую а и прямые b и с , ей перпендикулярные .
Изображены три	параллельные	прямые .
У каких четырёхугольников есть	параллельные	стороны ?
Начертите треугольник АВС и проведите две	параллельные	прямые k и m , не пересекающие этот треугольник .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две	параллельные	прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными прямыми m и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
К окружности , радиус которой равен 6 см , проведены две	параллельные	касательные .
Начертите две	параллельные	прямые .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре	параллельные	прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными прямыми m и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
Сколько прямых , параллельных прямой т , можно провести назовите рёбра куба : а )	параллельные	ребру АВ , б ) перпендикулярные ребру ВС ; в ) скрещивающиеся с ребром AD .
Умею проводить	параллельные	прямые .
Знаете ли вы , что такое	параллельные	брусья , параллельный слалом или параллельное вращение ?
Проведите в тетради две	параллельные	прямые , расстояние между которыми равно 3 см. Начертите какой - нибудь параллелограмм , одна пара сторон которого лежит на этих прямых и равна по 4 см. Начертите прямоугольник , удовлетворяющий этим условиям .
Знаете ли вы , что такое параллельные брусья ,	параллельный	слалом или параллельное вращение ?
Что означает выражение « идти	параллельным	курсом » ? .
Рельсы на прямолинейном участке железнодорожного пути должны оставаться	параллельными	: расстояние между ними не может уменьшаться или увеличиваться .
Если прямые не пересекаются , то их называют	параллельными	.
Умею находить расстояние между двумя точками ; от точки до прямой ; между двумя	параллельными	прямыми .
Расскажите , как измерить расстояние между двумя	параллельными	прямыми .
Слово « параллелограмм » происходит от греческого слова , которое в переводе означает « изображённый	параллельными	» .
Параллели — это окружности , получаемые при « разрезании » земного шара	параллельными	плоскостями .
Вы сможете разобраться во всём этом сами , познакомившись с	параллельными	прямыми .
Но в геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой фигуры ( прямой , окружности ) , расстояние между двумя	параллельными	прямыми и так далее .
Чему равно расстояние между	параллельными	прямыми ? .
А что имеют в виду , когда говорят о расстоянии между	параллельными	прямыми ? .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между	параллельными	прямыми m и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
Расстояние между	параллельными	прямыми .
Длину этого отрезка и называют расстоянием между	параллельными	прямыми .
Приведите примеры	параллельных	и скрещивающихся прямых , встречающихся в окружающем мире .
Точка А расположена на расстоянии 3 см от одной из двух	параллельных	прямых и на расстоянии 5 см от другой прямой .
Назовите пары	параллельных	сторон .
На каком свойстве	параллельных	прямых основан этот способ ?
Один из углов , образовавшихся при пересечении двух пар	параллельных	прямых , равен 80 ° .
Найдите четыре пары	параллельных	прямых .
Эта прямая пересечёт каждую из	параллельных	прямых под одним и тем же углом : ∠l равно ∠2 равно ∠3 .
Сколько можно провести касательных к окружности ,	параллельных	некоторой прямой ? .
С помощью линейки и угольника постройте несколько прямых ,	параллельных	прямой b . б )
Построим несколько	параллельных	прямых и проведём прямую , их пересекающую .
Сколько прямых ,	параллельных	прямой т , можно провести назовите рёбра куба : а ) параллельные ребру АВ , б ) перпендикулярные ребру ВС ; в ) скрещивающиеся с ребром AD .
Что вы думаете о существовании	параллельных	миров ?
Проведены две пары	параллельных	прямых .
Основания представляют собой два равных многоугольника , расположенные в	параллельных	плоскостях , боковые грани призмы — прямоугольники .
Основания цилиндра — это два равных круга , расположенные в	параллельных	плоскостях .
Бесконечно много ; на двух прямых ,	параллельных	данной прямой и расположенных от неё на расстоянии 3 см. На прямой , проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой .
Фактически нам пришлось	перемножать	натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных дробей убрать запятые .
Чтобы понять , как	перемножают	целые числа , рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только знаками .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно	перемножить	их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Если	перемножить	крайние члены рассмотренной пропорции и её средние члены , то получим .
Остаётся сообразить , как	перемножить	отрицательные числа .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и	перемножить	получившиеся натуральные числа .
Чтобы найти площадь прямоугольника , нужно	перемножить	длины его смежных сторон .
Чтобы найти модуль произведения , нужно	перемножить	модули множителей .
Чтобы	перемножить	десятичную дробь и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Начертите две равные окружности так , чтобы они	пересекались	; не пересекались .
Начертите две равные окружности так , чтобы они пересекались ; не	пересекались	.
Можно ли провести на шаре две большие окружности так , чтобы они не	пересекались	? .
Если дальше сближать центры окружностей , то окружности сначала будут	пересекаться	, а затем снова коснутся друг друга .
Таким образом , прямая и окружность могут	пересекаться	, могут не пересекаться и , наконец , прямая может касаться окружности .
Таким образом , прямая и окружность могут пересекаться , могут не	пересекаться	и , наконец , прямая может касаться окружности .
Если прямые не	пересекаются	, то их называют параллельными .
А что , если прямые не	пересекаются	? .
а ) окружности	пересекаются	.
Начертите оси координат , которые	пересекаются	не под прямым углом , например так .
На плоскости две прямые либо	пересекаются	, либо параллельны .
Постройте параллелограмм , диагонали которого равны 4 см и 5 см и	пересекаются	под углом 30 ° .
Окружности	пересекаются	в двух точках .
Любые две прямые на плоскости или	пересекаются	, или не пересекаются .
Прямые АВ , CD и КМ	пересекаются	в точке О причём ∠AOM равно 47 ° и ∠AOC равно 32 ° .
На плоскости проведены четыре прямые и отмечены точки , в которых эти прямые попарно	пересекаются	.
Две прямые на плоскости или	пересекаются	, или параллельны .
Случай , когда прямые	пересекаются	, мы уже рассмотрели в предыдущем пункте .
Прямая к и окружность	пересекаются	в точках А и B. Прямая к перемещается к центру окружности параллельно самой себе .
Рёбра АВ и LM не параллельны , хотя прямые , которым они принадлежат , не	пересекаются	.
Прямые к и l : а ) параллельны ; б )	пересекаются	.
Любые две прямые на плоскости или пересекаются , или не	пересекаются	.
Проведём две	пересекающиеся	прямые и обозначим точку их пересечения буквой О .
Начертите на листе нелинованной бумаги две	пересекающиеся	прямые АВ и CD .
Умею чертить две	пересекающиеся	прямые , находить образуемые ими углы , строить перпендикулярные прямые .
Прямые	пересекающиеся	.
Постройте прямые а и b ,	пересекающиеся	под углом 50 ° .
проведите две	пересекающиеся	прямые ; начертите окружность с центром в точке пересечения прямых ; обозначьте точки пересечения прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
Начертите на нелинованной бумаге без помощи транспортира две прямые ,	пересекающиеся	под углом : а ) 45 ° ; б ) 60 ° .
изображены две	пересекающиеся	прямые а и b.
изображены две	пересекающиеся	прямые .
6 Найдите объединение и	пересечение	множеств .
С термином «	пересечение	» вы не раз встречались при изучении геометрии , когда , например , находили общие точки двух прямых , прямой и окружности и так далее .
Значки и марки собирают 16 человек ( впишем число 16 в	пересечение	кругов З и М ) .
Знаю термины : объединение множеств ,	пересечение	множеств .
Найдём	пересечение	и объединение множества натуральных чисел и множества целых чисел .
6 Найдите объединение и	пересечение множеств	.
Знаю термины : объединение множеств ,	пересечение множеств	.
	Пересечением	множеств А и B ?
Множество , состоящее из элементов , входящих в каждое из данных множеств , называется их	пересечением	.
Назовите несколько элементов множества , которое является : а )	пересечением	множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Объединение отрезка KL и луча LM есть луч КМ , а их	пересечением	является точка L .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в )	пересечением	множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б )	пересечением	множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Какое множество называют	пересечением	множеств А и B и какое — их объединением ?
Опишите множество , которое является	пересечением	: а ) множества учащихся начальных классов некоторой школы и множества девочек , обучающихся в этой школе ; б ) множества предметов , изучаемых в начальной школе , и предметов , изучаемых в 5–6 классах .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б )	пересечением множеств	нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в )	пересечением множеств	чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
	Пересечением множеств	А и B ?
Назовите несколько элементов множества , которое является : а )	пересечением множеств	чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Какое множество называют	пересечением множеств	А и B и какое — их объединением ?
При их	пересечении	образовался четырёхугольник .
1 Начертите прямые а и b , если один из углов , образовавшихся при их	пересечении	, равен 60 ° .
2 Один из углов , образовавшихся при	пересечении	прямых а и b , равен 55 ° .
Сумма трёх углов , образовавшихся при	пересечении	двух прямых , равна 254 ° .
Один из углов , образовавшихся при	пересечении	двух пар параллельных прямых , равен 80 ° .
Может оказаться , что все четыре угла , образовавшиеся при	пересечении	двух прямых , равны между собой , тогда каждый из них равен 90 ° .
Один из углов , образовавшихся при	пересечении	двух прямых , равен : а ) 40 ° ; б ) 110 ° ; в ) 90 ° .
Таким образом , при	пересечении	двух прямых образуются две пары вертикальных углов .
Центр куба — это точка	пересечения	его диагоналей .
Центр симметрии параллелограмма — это точка	пересечения	его диагоналей .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их	пересечения	буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
Чтобы убедиться в этом , наложите на параллелограмм кальку , прикрепите её в точке	пересечения	диагоналей булавкой , переведите параллелограмм на кальку и поверните её на 180 ° .
Как называют точку	пересечения	осей координат и какие у неё координаты ?
Точку	пересечения	прямых обозначьте буквой О. Постройте с помощью транспортира луч ОК- биссектрису угла AOD .
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с центром в точке пересечения прямых ; обозначьте точки	пересечения	прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
Это означает , что диагонали точкой	пересечения	делятся пополам .
Какое наибольшее число точек	пересечения	могут иметь три прямые ? .
Центр симметрии имеет и прямоугольник : это точка	пересечения	его диагоналей .
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства операций объединения и	пересечения	множеств ? .
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с центром в точке	пересечения	прямых ; обозначьте точки пересечения прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
Проведём две пересекающиеся прямые и обозначим точку их	пересечения	буквой О .
Точка	пересечения	прямых О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой ; единичный отрезок , как правило , один и тот же .
Приведём примеры	пересечения	и объединения множеств .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой	пересечения	этих окружностей .
У этих углов общая вершина — точка	пересечения	прямых .
Определите , чему равны величины углов четырёхугольника , вершинами которого являются точки	пересечения	прямых .
Понятно , что если бы мы взяли другую точку	пересечения	окружностей , то получили бы треугольник , равный треугольнику АВС .
В каждом четырёхугольнике проведите диагонали и постройте точку , симметричную точке	пересечения	диагоналей четырёхугольника .
Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства операций объединения и	пересечения множеств	? .
Вспомните хорошо знакомое вам переместительное свойство сложения : при	перестановке	слагаемых сумма не меняется .
Понятно , что произведение , которое получается из произведения	перестановкой	множителей , тоже должно быть равно – 15 .
6 Вычислите	периметр	и площадь прямоугольника со сторонами а и b , если а равно 15 см , 6 равно 100 см .
Воспользовавшись формулой периметра треугольника , выполните следующие задания : 1 ) Найдите	периметр	треугольника Р , если .
Чтобы найти	периметр	прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Вычислите	периметр	и площадь прямоугольника ABCD . б ) На координатной плоскости отметьте точки .
Чему равен её	периметр	? .
Выразите их в сантиметрах и найдите	периметр	этого четырёхугольника .
Найдите	периметр	прямоугольника .
Вычислите его	периметр	и площадь .
Чему равен	периметр	треугольника ? .
Пусть длины сторон треугольника равны 4 см , 6 см и 7 см. Тогда его	периметр	равен .
Найдите	периметр	треугольника ВСЕ и его углы , если ВС равно 3 см .
Вычислите	периметр	: а ) параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см ; б ) ромба со стороной 8,5 см .
3 ) Выразите сторону с треугольника через	периметр	Р и две другие стороны а и b .
Выразите сторону а прямоугольника через его	периметр	Р и сторону b .
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см. Найдите : а ) периметр прямоугольника КВМО ; б ) периметр прямоугольника AKLD ; в )	периметр	прямоугольника ABCD ; г ) длину ломаной ANMCD .
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см. Найдите : а )	периметр	прямоугольника КВМО ; б ) периметр прямоугольника AKLD ; в ) периметр прямоугольника ABCD ; г ) длину ломаной ANMCD .
5 Что больше :	периметр	параллелограмма со сторонами 3 см и 5 см или периметр ромба со стороной 4 см ? .
Найдите	периметр	четырёхугольника ABCD ( сторона одной клетки равна 5 мм ) .
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см. Найдите : а ) периметр прямоугольника КВМО ; б )	периметр	прямоугольника AKLD ; в ) периметр прямоугольника ABCD ; г ) длину ломаной ANMCD .
Найдите	периметр	: а ) четырёхугольника ABCD ; б ) треугольника АВС .
Обозначим	периметр	треугольника буквой Р , а длины его сторон буквами а , b и с. Тогда .
Какими бы ни были конкретные значения длин сторон треугольника , чтобы найти его	периметр	, их надо сложить .
5 Что больше : периметр параллелограмма со сторонами 3 см и 5 см или	периметр	ромба со стороной 4 см ? .
Если треугольник равносторонний , то формула	периметра	примет другой вид .
Составим формулы	периметра	и площади прямоугольника .
Воспользовавшись формулой	периметра	треугольника , выполните следующие задания : 1 ) Найдите периметр треугольника Р , если .
Составьте формулу для вычисления	периметра	: а ) параллелограмма ; б ) ромба .
Таким образом , формула	периметра	равностороннего треугольника .
Знаю формулы периметра треугольника ,	периметра	и площади прямоугольника , объёма прямоугольного параллелепипеда и умею их применять .
Составьте формулу для вычисления	периметра	многоугольника .
Формула объёма	периметра	прямоугольника .
Знаю формулы	периметра	треугольника , периметра и площади прямоугольника , объёма прямоугольного параллелепипеда и умею их применять .
Составьте формулу	периметра	равнобедренного треугольника , у которого длина основания равна а , а длина боковой стороны равна b .
Это равенство — формула	периметра	треугольника .
Составьте формулы	периметра	и площади квадрата .
	Периметра	большого квадрата к периметру малого квадрата ; 3 ) площади большого квадрата к площади малого квадрата .
Из формулы	периметра	равностороннего треугольника выразите сторону а .
Составьте формулы для вычисления	периметров	многоугольников .
периметра большого квадрата к	периметру	малого квадрата ; 3 ) площади большого квадрата к площади малого квадрата .
Найдите	периметры	четвёртой части и всего прямоугольника .
Известны	периметры	трёх из четырёх получившихся частей .
За сколько рублей можно купить вещь в этот	период	, если её цена 300 р . ?
Пусть на координатной плоскости отмечена некоторая точка А Опустим из неё	перпендикуляр	на ось х. Он пересечёт ось х в точке с координатой , равной 3 .
В каком бы месте ни провести	перпендикуляр	с , длина отрезка MN будет одной и той же .
Проведём теперь из точки А	перпендикуляр	к оси у. Он пересечёт ось у в точке с координатой , равной 2 .
Этот	перпендикуляр	называют высотой конуса .
Проведены параллельные прямые а и b и прямая с — их общий	перпендикуляр	.
Расстояние от центра О до прямой равно длине	перпендикуляра	ОМ .
Отрезок , соединяющий центры оснований ,	перпендикулярен	каждому из них , его называют высотой цилиндра .
Обратите внимание : отрезок ОА	перпендикулярен	прямой линии шоссе .
Бесконечно много ; на двух прямых , параллельных данной прямой и расположенных от неё на расстоянии 3 см. На прямой , проходящей через точку М	перпендикулярно	данной прямой .
Посмотрите на куб : ребро АВ	перпендикулярно	грани AKND .
Разрежем параллелограмм вдоль линии ,	перпендикулярной	стороне , и переложим отрезанный треугольник , как показано .
Для метания снаряда праща вращается над головой , а в момент наиболее сильного маха её свободный конец выпускается , и снаряд летит по прямой ,	перпендикулярной	радиусу окружности в момент отрыва .
А какую прямую называют	перпендикулярной	плоскости ?
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С так , чтобы она : а ) лежала на прямой k ; б ) не лежала на прямой k. Перегибая лист бумаги , постройте прямую ,	перпендикулярную	прямой к и проходящую через точку С .
С помощью угольника через каждую из этих точек проведите прямую ,	перпендикулярную	прямой k .
С помощью линейки и угольника проведите через точку К прямую b ,	перпендикулярную	прямой а .
Пусть дана прямая l и точка М. Построим точку , симметричную точке М относительно прямой l. Для этого : проведём через точку М прямую ,	перпендикулярную	l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую ,	перпендикулярную	l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
Начертите отрезок АВ и проведите через его середину прямую , ему	перпендикулярную	.
Начертите в тетради по линиям сетки : а ) две параллельные прямые а и b и прямую с ,	перпендикулярную	прямой а ; б ) прямую а и прямые b и с , ей перпендикулярные .
Изображена окружность с центром в точке О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке : проведём радиус ОА ; построим прямую d ,	перпендикулярную	радиусу ОА и проходящую через точку А .
Прямые МР и KN	перпендикулярны	сторонам прямоугольника .
Диагонали ромба , кроме свойств , присущих всем параллелограммам , обладают ещё одним : они	перпендикулярны	друг другу .
Диагонали прямоугольника равны , а диагонали квадрата не только равны , но и	перпендикулярны	друг другу .
Если прямые	перпендикулярны	одной и той же прямой , то они параллельны .
Возьмите лист тонкой бумаги и перегните его дважды так , чтобы линии сгиба были	перпендикулярны	друг другу .
Сколько прямых , параллельных прямой т , можно провести назовите рёбра куба : а ) параллельные ребру АВ , б )	перпендикулярные	ребру ВС ; в ) скрещивающиеся с ребром AD .
Построены две прямые а и b ,	перпендикулярные	одной и той же прямой m.
Умею чертить две пересекающиеся прямые , находить образуемые ими углы , строить	перпендикулярные	прямые .
Назовите рёбра куба ,	перпендикулярные	: а ) ребру АВ ; б ) грани CMND .
Для этого на плоскости чертят две	перпендикулярные	прямые ( обычно одну из них располагают горизонтально , а другую — вертикально ) и вводят на каждой из них обычные координаты .
Прямые ,	перпендикулярные	плоскости , можно найти и в окружающей обстановке , и на геометрических моделях .
На каком из рисунков изображены	перпендикулярные	прямые ?
3 Постройте две	перпендикулярные	прямые , обозначьте их и запишите факт перпендикулярности , используя соответствующие символы .
Постройте касательные к окружности ,	перпендикулярные	прямой к.
Прямые	перпендикулярные	.
Вам необходимо восстановить мозаичное панно , из которого выпали отдельные кусочки Известно , что узор , изображённый на панно , имеет две взаимно	перпендикулярные	оси симметрии .
Начертите в тетради по линиям сетки : а ) две параллельные прямые а и b и прямую с , перпендикулярную прямой а ; б ) прямую а и прямые b и с , ей	перпендикулярные	.
Укажите прямые ,	перпендикулярные	плоскости пола .
В этом случае прямые называют	перпендикулярными	.
Приведите примеры	перпендикулярных	прямых , которые встречаются в окружающем мире .
Расстояние от точки до плоскости тоже измеряется по	перпендикуляру	.
Таким образом , расстояние от точки до прямой измеряется по	перпендикуляру	, проведённому из точки к этой прямой .
Число , выражающее отношение длины окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π ( читается «	пи	» ) — первой буквой слова « периферия » , означающего « окружность » .
Сколько ядер в	пирамиде	? .
Пушечные ядра складывали	пирамидой	.
Известно , что многогранник является либо	пирамидой	, либо призмой .
Конус в определённом смысле похож на	пирамиду	.
Склеить такую	пирамиду	можно , например , из шариков для настольного тенниса .
У него , как и у	пирамиды	, есть вершина и основание , только в основании лежит не многоугольник , а круг .
Какие рёбра	пирамиды	, принадлежат скрещивающимся прямым ?
Основание	пирамиды	— квадрат .
Сколько плоскостей симметрии у этой	пирамиды	?
Вам известны различные геометрические фигуры , как	плоские	, так и пространственные , но далеко не все .
У многогранника все части поверхности	плоские	.
Умею распознавать на чертежах , рисунках , находить в окружающем мире	плоские	и пространственные симметричные фигуры .
Поверхности цилиндра и конуса состоят как из	плоских	частей , так и из кривых , а шар абсолютно круглый .
Найдите в научно - популярной литературе , как учёные - картографы решали проблему изображения шарообразной поверхности Земли на	плоской	карте .
Сколько	плоскостей	симметрии у этой пирамиды ?
Но если на плоскости только круг обладает таким интересным свойством , то в пространстве есть и другие тела , имеющие бесконечно много	плоскостей	симметрии .
У параллелепипеда три плоскости симметрии А сколько	плоскостей	симметрии у куба ? .
Их называют координатами точки на	плоскости	.
115 Прямоугольные координаты на	плоскости	.
Изобразите все случаи взаимного расположения трёх прямых на	плоскости	( случаев всего 4 ) .
Постройте прямую , все точки которой имеют абсциссу , равную 3 ; – 2 ; 0 . 2 ) а ) На координатной	плоскости	отметьте пять точек , имеющих ординату , равную 1 .
2 ) На координатной	плоскости	постройте данную точку ; точку , симметричную ей относительно оси у , и запишите её координаты .
Расскажите , как определить координаты точки на координатной	плоскости	.
На	плоскости	две прямые либо пересекаются , либо параллельны .
52 Две окружности на	плоскости	.
На	плоскости	проведены четыре прямые и отмечены точки , в которых эти прямые попарно пересекаются .
Рассмотрите дополнительно	плоскости	, проходящие через диагонали противоположных граней .
А как указать положение точки на	плоскости	?
Прямые , перпендикулярные	плоскости	, можно найти и в окружающей обстановке , и на геометрических моделях .
У параллелепипеда три	плоскости	симметрии А сколько плоскостей симметрии у куба ? .
Перпендикуляр к	плоскости	играет важную роль в окружающей нас действительности .
В пространстве аналогом осевой симметрии является симметрия относительно	плоскости	— зеркальная симметрия .
Отметьте на координатной	плоскости	точки .
1 ) а ) На координатной	плоскости	отметьте пять точек , имеющих абсциссу , равную .
Для этого на	плоскости	чертят две перпендикулярные прямые ( обычно одну из них располагают горизонтально , а другую — вертикально ) и вводят на каждой из них обычные координаты .
Именно в таком особом случае математики говорят , что прямая перпендикулярна	плоскости	.
Пусть на координатной	плоскости	отмечена некоторая точка А Опустим из неё перпендикуляр на ось х. Он пересечёт ось х в точке с координатой , равной 3 .
Отметим две точки А и В. Существует бесконечно много линий на	плоскости	, двигаясь по которым можно из точки А попасть в точку В. Некоторые из них изображены .
Например , у параллелепипеда три	плоскости	симметрии .
1 Какие из приведённых на рисунках предметов симметричны относительно некоторой	плоскости	симметрии ? .
Постройте на координатной	плоскости	точки .
а ) На координатной	плоскости	постройте прямоугольник ABCD по координатам его вершин .
На координатной	плоскости	постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Знаю все случаи взаимного расположения двух окружностей на	плоскости	; умею определять взаимное расположение двух окружностей по заданным радиусам и расстоянию между их центрами .
Но « самые симметричные » фигуры на	плоскости	— это окружность , а также ограниченный ею круг .
Перпендикуляр , проведённый из вершины конуса к	плоскости	основания , попадает в центр круга .
Вычислите периметр и площадь прямоугольника ABCD . б ) На координатной	плоскости	отметьте точки .
Укажите прямые , перпендикулярные	плоскости	пола .
Покажем , как определяется положение точки на координатной	плоскости	.
Любые две прямые на	плоскости	или пересекаются , или не пересекаются .
Умею определять координаты точки на координатной	плоскости	, строить точки с заданными координатами .
А какую прямую называют перпендикулярной	плоскости	?
На координатной	плоскости	постройте данную точку ; точку , симметричную ей относительно оси х , и запишите её координаты .
В пространстве « самая симметричная » фигура — шар : он симметричен относительно любой	плоскости	, рассекающей его по большой окружности .
Но если на	плоскости	только круг обладает таким интересным свойством , то в пространстве есть и другие тела , имеющие бесконечно много плоскостей симметрии .
Прочитайте в тексте пункта , как определяют координаты точки на координатной	плоскости	.
Расстояние от точки до	плоскости	тоже измеряется по перпендикуляру .
Глава 2 Прямые на	плоскости	и в пространстве .
Будем считать карандаш моделью прямой , а стол моделью	плоскости	.
Числа х и у определяют положение точки А на координатной	плоскости	.
Две прямые на	плоскости	или пересекаются , или параллельны .
Расстояние между от точки до	плоскости	.
Оси разбивают координатную	плоскость	на четыре области , которые называются координатными четвертями .
Поверхности цилиндра и конуса , как и поверхность многогранника , можно развернуть на	плоскость	.
Координатная	плоскость	.
Диаметр круга будет наибольшим , когда	плоскость	сечения пройдёт через центр шара .
Они делят	плоскость	на четыре угла .
Если же	плоскость	пройдёт наискосок , то в сечении получится уже не окружность , а эллипс .
Например , нетрудно указать	плоскость	, относительно которой тело человека можно считать симметричным .
В отличие от поверхностей этих тел , поверхность шара нельзя развернуть на	плоскость	.
Плоскость , на которой задана система координат , называется координатной	плоскостью	.
Ещё в древности математики интересовались тем , какие фигуры получаются при сечении пространственных тел	плоскостью	.
Представьте , что шар рассекается	плоскостью	подобно тому , как апельсин разрезается ножом .
Какую форму имеют её сечения	плоскостью	симметрии ?
3 Какая фигура получится в сечении , если	плоскостью	симметрии рассечь : а ) шар ; б ) параллелепипед ; в ) цилиндр ; г ) конус ? .
Так , если поверхность цилиндра рассекается	плоскостью	, которая параллельна его основаниям , то в сечении получается окружность .
Различаю цилиндр , конус , шар ; знаю , как в сечении поверхностей этих фигур	плоскостью	можно получить окружность , эллипс .
Параллели — это окружности , получаемые при « разрезании » земного шара параллельными	плоскостями	.
Обратите внимание : эти прямые лежат в разных	плоскостях	.
Основания цилиндра — это два равных круга , расположенные в параллельных	плоскостях	.
Основания представляют собой два равных многоугольника , расположенные в параллельных	плоскостях	, боковые грани призмы — прямоугольники .
Докажите , что сумма площадей синих треугольников равна сумме	площадей	белых треугольников .
Докажите , что сумма	площадей	синих треугольников равна сумме площадей белых треугольников .
1 ) Чтобы найти площадь многоугольника его можно разбить на прямоугольники и вычислить результат сложением	площадей	или достроить его до прямоугольника и вычислить результат вычитанием площадей .
1 ) Чтобы найти площадь многоугольника его можно разбить на прямоугольники и вычислить результат сложением площадей или достроить его до прямоугольника и вычислить результат вычитанием	площадей	.
Если фигура разрезана на части , то её площадь равна сумме	площадей	её частей .
С самых древних времён , наряду с необходимостью считать предметы , у людей появилась потребность в измерении длин ,	площадей	, углов и других величин .
Это свойство равносоставленных фигур даёт нам полезный приём нахождения	площадей	.
На диаграмме представлено соотношение	площадей	четырёх океанов .
Равны ли отношения	площадей	и сторон квадратов ? .
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его сторонам Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину	площади	построенного параллелограмма .
Действительно , если от равных величин ( площади квадрата и	площади	прямоугольника ) отнять поровну ( площадь зелёного многоугольника ) , то поровну и останется .
Составим формулы периметра и	площади	прямоугольника .
Если фигуры составлены из одинаковых частей , или , как говорят , равносоставлены , то они имеют и равные	площади	.
Чему равны	площади	частей , закрашенных синим и жёлтым цветами , если площадь общей части равна 1 кв. ед . ? .
Параллелограмм удалось перекроить в прямоугольник , а способ вычисления	площади	прямоугольника уже известен .
Действительно , если от равных величин (	площади	квадрата и площади прямоугольника ) отнять поровну ( площадь зелёного многоугольника ) , то поровну и останется .
периметра большого квадрата к периметру малого квадрата ; 3 ) площади большого квадрата к	площади	малого квадрата .
Составьте формулу для вычисления	площади	S прямоугольного треугольника со сторонами , образующими прямой угол , равными а и b.
Пусть	площади	параллелограммов равны соответственно .
Сколько процентов	площади	квадрата закрашено .
периметра большого квадрата к периметру малого квадрата ; 3 )	площади	большого квадрата к площади малого квадрата .
Сколько процентов	площади	прямоугольника закрашено .
Если это одноимённые величины — длины ,	площади	, массы и так далее , то их отношение выражается числом .
Определите , какой примерно процент	площади	фигуры закрашен .
84 Формулы длины окружности ,	площади	круга и объёма шара .
Во сколько раз площадь второго круга больше	площади	первого ? .
	Площади	грани малого куба к площади грани большого куба ; 3 ) объёма малого куба к объёму большого куба .
Знаю формулы периметра треугольника , периметра и	площади	прямоугольника , объёма прямоугольного параллелепипеда и умею их применять .
Верно ли , что закрашенные треугольники также имеют одинаковые	площади	? .
Составьте формулу для вычисления	площади	S рамки .
За час вымыли 4 этой	площади	.
Определите , сколько процентов	площади	Мирового океана приходится на Атлантический океан .
Составьте формулу для вычисления	площади	S параллелограмма .
площади грани малого куба к	площади	грани большого куба ; 3 ) объёма малого куба к объёму большого куба .
Две фигуры , имеющие одинаковые	площади	, называют равновеликими .
а ) Площадь территории Эстонии составляет примерно 130 %	площади	территории Молдавии .
Составьте формулы периметра и	площади	квадрата .
Округлим числовое значение	площади	до единиц , тогда S ≈ 133 м2 .
Найдём	площади	квадрата и прямоугольника .
На 0,4 всей	площади	огорода посажена морковь , на остальной — лук и чеснок , причём луком засажена площадь , в 4 раза большая , чем чесноком .
Когда выдают документы на жильё , в них указывают	площади	всех помещений в квартире .
Стены высотой 2,5 м требуется обложить плитками , исключая окно и дверь , которые занимают 0,1	площади	стен .
Но в документах при указании	площади	помещения часто ограничиваются десятыми долями квадратного метра .
Существует и формула	площади	круга : где S — площадь круга , r — радиус круга В эту формулу также входит число π .
Формула объёма	площади	круга .
Из формулы	площади	прямоугольника выразите сторону b .
Найдите сторону квадрата , площадь которого составляет 0,25	площади	данного квадрата .
Мы получили , что эти фигуры имеют одинаковые	площади	.
Составьте какую - нибудь формулу для вычисления	площади	фигуры .
Общая	площадь	окон , которые надо вымыть , составляет 24 м2 .
Какую площадь занимают яблони , если	площадь	всего участка 10 соток ?
Какую	площадь	занимают яблони , если площадь всего участка 10 соток ?
Определите	площадь	всего участка земли .
Чему равна	площадь	каждого треугольника Указание .
Умею находить	площадь	прямоугольного треугольника ; знаю , как найти площадь параллелограмма , перекраивая его в прямоугольник .
9 Найдите	площадь	круга , диаметр которого равен 10 см .
Чему равна	площадь	каждого из получившихся треугольников ? .
9 Чему равна	площадь	треугольника , если а равно 12 см , b равно 8 см ? .
Умею находить площадь прямоугольного треугольника ; знаю , как найти	площадь	параллелограмма , перекраивая его в прямоугольник .
Определите	площадь	окон , вымытых за час . а ) От ленты длиной 2 м 40 см отрезали 4 её длины .
Какую	площадь	внесут в документ , если комната имеет прямоугольную форму и её размер ? .
Вычислите	площадь	двумя способами .
Вычислите	площадь	треугольника при .
В документе будет указано , что	площадь	комнаты 21,3 м2 .
Чему равна его	площадь	? .
Найдите	площадь	каждой фигуры .
Чтобы найти	площадь	прямоугольника , нужно перемножить длины его смежных сторон .
11 Параллелограмм перекроили в прямоугольник со сторонами 5 см и 4,2 см. Чему равна	площадь	параллелограмма ? .
Пользуясь данными рисунка , вычислите	площадь	каждого помещения , расположенного на первом этаже .
а ) Найдите площадь комнаты , если её длина равна 6 м . б ) Найдите	площадь	комнаты , если её длина больше её ширины на 0,8 м .
а ) Найдите	площадь	комнаты , если её длина равна 6 м . б ) Найдите площадь комнаты , если её длина больше её ширины на 0,8 м .
У какого прямоугольника	площадь	наибольшая ? .
Как меняется	площадь	прямоугольника от первого к последнему случаю ?
Периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите	площадь	прямоугольника , если его стороны относятся как .
Под картофель отвели	площадь	, в 3 раза большую , чем под морковь .
Какую	площадь	они выделили под картофель и какую — под морковь ? .
Найдите сторону квадрата ,	площадь	которого составляет 0,25 площади данного квадрата .
Маша раскатала тесто в квадрат со стороной 30 см и стаканом вырезала 16 кругов диаметром 7 см. Чему равна	площадь	обрезков ? .
Могу , используя формулы С равно 2πr и 5 равно πr2 , вычислять длину окружности и	площадь	круга .
Найдите	площадь	обрезков .
Кольцо ограничено двумя окружностями , радиусы которых равны 3 см и 5 см. Чему равна	площадь	этого кольца ? .
Сколько килограммов краски было израсходовано на каждую стену , если	площадь	одной из них на 6 м2 больше , чем площадь другой , а на каждый квадратный метр требуется 0,22 кг краски ? .
Сколько килограммов краски было израсходовано на каждую стену , если площадь одной из них на 6 м2 больше , чем	площадь	другой , а на каждый квадратный метр требуется 0,22 кг краски ? .
Найдите длину дорожки и	площадь	стадиона .
На 0,4 всей площади огорода посажена морковь , на остальной — лук и чеснок , причём луком засажена	площадь	, в 4 раза большая , чем чесноком .
Какая	площадь	засажена морковью , луком и чесноком в отдельности ? .
Чему равна	площадь	каждого из треугольников ? .
Найдите	площадь	оставшейся части .
6 Вычислите периметр и	площадь	прямоугольника со сторонами а и b , если а равно 15 см , 6 равно 100 см .
Найдите	площадь	закрашенного треугольника .
Вычислите периметр и	площадь	прямоугольника ABCD . б ) На координатной плоскости отметьте точки .
Найдите	площадь	закрашенной части круга .
Определите	площадь	каждого из многоугольников .
Чему равны площади частей , закрашенных синим и жёлтым цветами , если	площадь	общей части равна 1 кв. ед . ? .
Существует и формула площади круга : где S —	площадь	круга , r — радиус круга В эту формулу также входит число π .
Подобным образом можно найти и	площадь	треугольника .
Используем этот приём , чтобы найти	площадь	параллелограмма .
А как найти	площадь	параллелограмма , вы уже знаете .
Он заключается в перекраивании данной фигуры в другую ,	площадь	которой известна .
Площадь квадрата равна ,	площадь	прямоугольника равна .
а ) Вычислите	площадь	круга , радиус которого равен 100 м ; 20 см . б )
Пусть стороны прямоугольника , в который перекроили параллелограмм , равны 2 см и 3 см. Чему равна	площадь	параллелограмма ? .
Если фигура разрезана на части , то её	площадь	равна сумме площадей её частей .
Верно ли , что	площадь	круга с радиусом 10 см больше 300 см2 ? .
Найдём примерную	площадь	цирковой арены .
Во сколько раз	площадь	второго круга больше площади первого ? .
Действительно , если от равных величин ( площади квадрата и площади прямоугольника ) отнять поровну (	площадь	зелёного многоугольника ) , то поровну и останется .
1 ) Чтобы найти	площадь	многоугольника его можно разбить на прямоугольники и вычислить результат сложением площадей или достроить его до прямоугольника и вычислить результат вычитанием площадей .
Что больше : а ) площадь круга с радиусом , равным 2 см , или	площадь	квадрата со стороной , равной 3 см ; б ) площадь круга с радиусом , равным 5 см , или площадь квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Что больше : а ) площадь круга с радиусом , равным 2 см , или площадь квадрата со стороной , равной 3 см ; б )	площадь	круга с радиусом , равным 5 см , или площадь квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Что больше : а )	площадь	круга с радиусом , равным 2 см , или площадь квадрата со стороной , равной 3 см ; б ) площадь круга с радиусом , равным 5 см , или площадь квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Что больше : а ) площадь круга с радиусом , равным 2 см , или площадь квадрата со стороной , равной 3 см ; б ) площадь круга с радиусом , равным 5 см , или	площадь	квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Чему равна	площадь	параллелограмма ?
Найдите	площадь	игрового поля .
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его сторонам Очевидно , что	площадь	нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма .
Проведя необходимые измерения , найдите	площадь	этого параллелограмма .
Чему равна	площадь	параллелограмма ? .
Вычислите его периметр и	площадь	.
Обозначим	площадь	прямоугольника буквой S. Тогда .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой же	площадью	, стороны которых выражаются целыми числами ? .
Перед положительными числами , для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от отрицательных , иногда ставится знак «	плюс	» .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков «	плюс	» и « минус » .
У положительного слагаемого модуль больше , поэтому в результате поставим знак «	плюс	» .
Если перед некоторым числом , положительным или отрицательным , поставить знак «	плюс	» , то получится то же самое число ; если же поставить знак « минус » , то получится противоположное число .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так :	плюс	на минус даёт минус , минус на минус даёт плюс .
Записи а	плюс	5 и это математические выражения .
Коротко правила знаков при умножении формулируют так : плюс на минус даёт минус , минус на минус даёт	плюс	.
Например , записать его сумму с числом 5 ; получится а	плюс	5 .
Положительные дробные числа , как и положительные целые , можно записывать со знаком «	плюс	» .
В отличие от	поверхностей	этих тел , поверхность шара нельзя развернуть на плоскость .
Различаю цилиндр , конус , шар ; знаю , как в сечении	поверхностей	этих фигур плоскостью можно получить окружность , эллипс .
У многогранника все части	поверхности	плоские .
Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой	поверхности	, которую ещё называют цилиндрической .
Сколько примерно процентов	поверхности	Земли занимает Мировой океан ?
На диаграмме показано соотношение суши и Мирового океана на	поверхности	Земли .
Найдите в научно - популярной литературе , как учёные - картографы решали проблему изображения шарообразной	поверхности	Земли на плоской карте .
Пизанской башне : она стоит наклонно к	поверхности	земли , поэтому существует угроза её падения .
2 ) Теннисный мяч упакован в коробку , имеющую форму цилиндра , так , что он касается и его боковой	поверхности	, и оснований .
Примерно 71 %	поверхности	Земли занимает Мировой океан и 29 % — суша .
Поэтому на всех географических картах изображение земной	поверхности	искажено .
Сетку из параллелей и меридианов , покрывающую	поверхность	земного шара , изобрели древнегреческие учёные Гиппарх и Эратосфен .
Сверните лист бумаги трубочкой — у вас получится	поверхность	цилиндра .
а ) Возьмите лист бумаги прямоугольной формы и сверните из него боковую	поверхность	цилиндра .
В отличие от поверхностей этих тел ,	поверхность	шара нельзя развернуть на плоскость .
Сверните из листа бумаги	поверхность	конуса .
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая	поверхность	конуса — в круговой сектор ( часть круга , ограниченная двумя радиусами ) .
Боковая	поверхность	цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность конуса — в круговой сектор ( часть круга , ограниченная двумя радиусами ) .
Поверхности цилиндра и конуса , как и	поверхность	многогранника , можно развернуть на плоскость .
Так , если	поверхность	цилиндра рассекается плоскостью , которая параллельна его основаниям , то в сечении получается окружность .
Заметим , что пустое множество считается подмножеством любого другого множества : Ø ⊂ В. Из определения также следует , что в число	подмножеств	данного множества входит и само это множество : В ⊂ В .
Сколько всего	подмножеств	у множества , сожержащего три элемента ? .
Любое натуральное число принадлежит одному из этих	подмножеств	множества Ν , и общих элементов они не имеют .
В переводе на язык теории множеств эта задача звучит так : сколько всего	подмножеств	у множества , содержащего 4 элемента ?
Укажите несколько конечных и несколько бесконечных	подмножеств	множества натуральных чисел Ν.
Пусть А — множество однозначных натуральных чисел . 1 ) Опишите словами каждое из	подмножеств	множества .
И чтобы ответить на вопрос задачи , нужно выяснить , сколько у данного множества существует таких	подмножеств	.
А вообще в математике есть формула , позволяющая определять число	подмножеств	любого конечного множества по числу его элементов .
С помощью перебора мы выяснили , что у такого множества имеется 16	подмножеств	( в том числе пустое множество и само рассматриваемое множество ) .
4 Приведите примеры	подмножеств	множества натуральных чисел N .
Запишите все его	подмножества	.
Укажите ещё три	подмножества	множества А .
большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его	подмножества	: А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Для алфавитного каталога все книги разбиваются на	подмножества	книг , фамилии авторов которых начинаются с буквы А , с буквы Б и так далее .
Разбиение множества на непересекающиеся	подмножества	составляет основу классификаций объектов , применяемых в различных областях человеческой деятельности .
Возьмём два	подмножества	множества натуральных чисел : множество нечётных чисел и множество чётных чисел .
Говорят , что множества чётных и нечётных чисел составляют разбиение множества Ν. Непересекающиеся	подмножества	, составляющие разбиение , обычно называют классами .
Для обозначения включения одного множества в другое наряду со знаком с используют и знак ⊃ ( вспомните о знаках сравнения меньше и больше ) ; таким образом , если множество А —	подмножество	множества B , то можно записать : А с В или В ⊃ А .
Пара приятелей , обменивающихся рукопожатием , — это его	подмножество	, содержащее два элемента .
Знаю термин «	подмножество	» , понимаю и умею использовать запись типа А ⊂ В .
2 ) Может ли ни одно из этих множеств не являться	подмножеством	другого ? .
Множество кашалотов является	подмножеством	множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества позвоночных .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является	подмножеством	множества рациональных чисел .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является	подмножеством	множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
Какое из двух множеств является	подмножеством	другого : а ) А или A ⋃ В ; 6 ) А или А ⋂ В ? .
3 В каком случае множество А называют	подмножеством	множества 6 ?
Может ли одно из этих множеств быть	подмножеством	другого , и если да , то какие могут быть варианты ? .
Множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных —	подмножеством	множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества позвоночных .
Например , множество натуральных чисел является	подмножеством	множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
Множество кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих —	подмножеством	множества позвоночных .
Заметим , что пустое множество считается	подмножеством	любого другого множества : Ø ⊂ В. Из определения также следует , что в число подмножеств данного множества входит и само это множество : В ⊂ В .
Предложение « множество А является	подмножеством	множества В » на математическом языке записывают так : А ⊂ В .
Вы знаете , как читается соотношение : множество натуральных чисел является	подмножеством	множества целых чисел .
Множество А называют	подмножеством	множества В , если каждый элемент множества А является элементом множества В .
В таком случае говорят , что первое множество является	подмножеством	второго .
Заметим , что в	подобных	случаях нуль можно приписывать не к делимому , а непосредственно к остатку .
Например : в выборах приняло участие 67 процентов жителей города ; стоимость проезда в городском транспорте повысилась на 50 процентов ; рейтинг (	показатель	популярности ) телепередачи составляет 19 процентов .
Каждая клетка на игровом	поле	определяется буквой и цифрой .
б ) каждая команда сыграет с каждой два раза — на своём	поле	и на чужом ? .
Первое поле на 3,2 га меньше второго , а третье	поле	на 4,8 га больше второго .
На сколько гектаров третье	поле	больше первого ? .
Это и есть ответ задачи ; его можно вписать в свободное	поле	большого круга .
Первое	поле	на 3,2 га меньше второго , а третье поле на 4,8 га больше второго .
Модуль рационального числа всегда	положителен	.
Так как модуль положительного слагаемого больше , то сумма	положительна	.
Сумма двух положительных чисел всегда	положительна	.
Сумма двух положительных чисел	положительна	, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
2 ) Если сумма чисел а и b	положительна	, то и сами слагаемые — числа положительные .
Модуль	положительного	числа равен самому числу .
Как найти модуль	положительного	числа ?
Понятно , что модуль	положительного	числа — это само это число .
Любое отрицательное число меньше любого	положительного	числа .
Сумма отрицательного и	положительного	чисел всегда отрицательна .
Так как модуль	положительного	слагаемого больше , то сумма положительна .
У	положительного	слагаемого модуль больше , поэтому в результате поставим знак « плюс » .
Математики древности называли отрицательные числа словами , означавшими « долг » , « недостаток » , в отличие от « имущества » —	положительного	числа .
Модуль	положительного	числа всегда больше модуля отрицательного числа .
Таким же образом изображается на координатной прямой любое	положительное	или отрицательное число .
Любое	положительное	число больше нуля .
Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них	положительное	, какое отрицательное ? .
В противном случае , если одно число	положительное	, а другое отрицательное , говорят , что это числа разных знаков .
Какое число больше :	положительное	или нуль ?
Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное число » и «	положительное	целое число » означают одно и то же .
	Положительное	или отрицательное ?
Для этого на прямой выбирают начало отсчёта ,	положительное	направление и единичный отрезок .
Сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным , так и отрицательным числом ; знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » —	положительное	или отрицательное .
	Положительное	или 0 ?
Ответьте на вопрос с помощью координатной прямой и проиллюстрируйте свой ответ числовым примером : какое из двух целых чисел больше –	положительное	или отрицательное ?
3 ) а —	положительное	число и b больше а .
На горизонтальной прямой	положительное	направление выбирается слева направо , на вертикальной — снизу вверх .
Вставьте в каждое предложение нужное слово : если а –	положительное	число , то – а число ; если а – отрицательное число , то – а .
в ) число а — отрицательное , число b — положительное . г ) число а — отрицательное , число b —	положительное	.
в ) число а — отрицательное , число b —	положительное	. г ) число а — отрицательное , число b — положительное .
4 ) а —	положительное	число и b меньше а .
Что можно сказать о знаке суммы двух чисел , если известно , что : а ) оба числа отрицательные ; б ) одно число отрицательное , а другое	положительное	? .
Не выполняя вычислений , определите ,	положительной	или отрицательной будет сумма .
Сумма двух отрицательных чисел может быть отрицательной ,	положительной	или нулём .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх целых чисел , если : а ) одно число отрицательно и два	положительны	; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
Поэтому о двух целых числах можно сказать , что это числа одного знака , если они оба	положительны	или оба отрицательны .
Числа	положительные	.
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче	положительные	, на левом — отрицательные .
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности	положительные	и отрицательные слагаемые , а затем найти сумму двух получившихся чисел .
4 ) Если произведение чисел а и b положительно , то и сами множители — числа	положительные	.
Положительные дробные числа , как и	положительные	целые , можно записывать со знаком « плюс » .
2 ) Если сумма чисел а и b положительна , то и сами слагаемые — числа	положительные	.
Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают :	положительные	числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Вычислите , сложив отдельно	положительные	и отрицательные числа .
Найдите среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 целые	положительные	и целые отрицательные числа .
Вы уже умеете сравнивать	положительные	числа , можете сравнить два целых числа .
Среди данных чисел найдите	положительные	и отрицательные , затем для каждого числа назовите число , ему противоположное .
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных чисел – 6,5 и – 4 меньше , мы сравнили	положительные	числа 6,5 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих точек координатной прямой .
Отрицательные числа на координатной прямой изображаются точками , расположенными левее нуля , а	положительные	— точками , расположенными правее нуля .
Целые отрицательные числа , как и целые	положительные	( то есть натуральные ) , можно изображать точками на координатной прямой .
На « правом » луче будем , как обычно , отмечать целые	положительные	числа , а на « левом » — целые отрицательные .
Направление луча , на котором отмечают	положительные	числа , называют положительным направлением и указывают стрелкой .
Рассмотрите 3 случая , изобразив каждый из них на координатной прямой : 1 ) а и b — числа	положительные	; 2 ) а и b — числа отрицательные ; 3 ) а и b — числа разных знаков .
Знака « минус » тогда не было , а чтобы различать	положительные	и отрицательные числа , Джань Цань писал их чернилами разных цветов .
Каким числом —	положительным	или отрицательным — является произведение четырёх отличных от нуля чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 ) отрицательны два числа ; 3 ) три числа отрицательны , а одно положительно
Определите ,	положительным	или отрицательным является число если .
Верно ли утверждение : « Всякое целое число является либо	положительным	, либо отрицательным » ? .
Направление луча , на котором отмечают положительные числа , называют	положительным	направлением и указывают стрелкой .
Не выполняя вычислений , определите ,	положительным	или отрицательным будет следующее произведение или частное .
Назовите такие два целых числа , чтобы их произведение было	положительным	; отрицательным .
Каким числом —	положительным	или отрицательным — является произведение трёх целых чисел , если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
Ясно , что модуль может быть только	положительным	числом или нулём .
Определите ,	положительным	или отрицательным является число .
Как определить , каким числом —	положительным	или отрицательным — является сумма двух целых чисел разных знаков ?
Сумма двух чисел разных знаков может быть как	положительным	, так и отрицательным числом ; знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
Ясно , что если человек получил денег больше , чем потратил , то его доход окажется	положительным	.
Перерасход обозначьте отрицательным числом , экономию —	положительным	.
Отрицательные дробные числа , как и отрицательные целые , получаются приписыванием к	положительным	числам знака « минус » .
Если перед некоторым числом ,	положительным	или отрицательным , поставить знак « плюс » , то получится то же самое число ; если же поставить знак « минус » , то получится противоположное число .
Число 0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к	положительным	, ни к отрицательным числам , а как бы разделяет их .
Натуральные числа принято называть также	положительными	целыми числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
Дробные числа , с которыми мы до сих пор имели дело , будем теперь называть	положительными	и наряду с ними рассматривать отрицательные дробные числа .
В этой главе будут рассмотрены отрицательные дробные числа , и вы сможете оперировать как с целыми , так и с дробными	положительными	и отрицательными числами .
Перед	положительными	числами , для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от отрицательных , иногда ставится знак « плюс » .
Сумма двух	положительных	чисел всегда положительна .
Приведён процент	положительных	ответов на каждый из вопросов .
Запишите десять	положительных	и десять отрицательных целых чисел , двигаясь влево и вправо от нуля .
Сумма двух	положительных	чисел положительна , а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
Запись суммы	положительных	и отрицательных чисел часто упрощают : положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Какой знак имеет сумма двух	положительных	целых чисел ?
Меридианы же — это большие	полуокружности	, проходящие через полюсы .
Когда параллели приближаются к	полюсам	, их диаметры уменьшаются .
Буквами помечены вертикали игрового	поля	, а цифрами — горизонтали .
Найдите площадь игрового	поля	.
Оно , как и слово « гармония » , означает « соразмерность » , « наличие определённого	порядка	, закономерности в расположении частей » .
Так , множество жителей планеты Земля конечно ( хотя их число очень велико —	порядка	6 млрд ) , а множество точек окружности ( даже небольшого радиуса ) бесконечно .
Расположите в	порядке	убывания дроби .
Расположите в	порядке	возрастания дроби .
6 Запишите в	порядке	возрастания десятичные дроби .
а ) Запишите в	порядке	возрастания числа .
Запишите данные числа в	порядке	возрастания ( от меньшего к большему ) .
Коды рукопожатий естественно выписывать в	порядке	возрастания .
Расположите в	порядке	возрастания следующие суммы .
Запишите данные числа в	порядке	убывания ( от большего к меньшему ) .
Чтобы вычислить эту сумму , можно последовательно складывать числа в том	порядке	, в котором они записаны .
В натуральном ряду числа идут в том	порядке	, в котором они появляются при счёте .
Расположите числа в	порядке	возрастания .
Элементы множества можно перечислять в любом	порядке	.
Запишите в	порядке	убывания числа .
Все они похожи тем , что для вычисления значения каждого из них нужно выполнить одни и те же действия в одном и том же	порядке	.
В каком	порядке	они придут на стадион ? .
Запишите дроби в	порядке	возрастания .
Расположите в	порядке	убывания числа .
В каком	порядке	девочки пришли к финишу , если они стартовали одновременно ? .
Расположите в	порядке	возрастания числа .
( Произведения , различающиеся	порядком	множителей , считаются одинаковыми ) .
Назовите по	порядку	целые числа .
Если необходим именно такой	порядок	множителей в произведении чисел а и 7 , то точку обязательно ставят , то есть пишут .
Найдите закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены	последовательности	— увеличиваются или уменьшаются .
Продолжите	последовательность	десятичных дробей , записав ещё два числа , и прочитайте все записанные десятичные дроби .
По какому правилу составлена	последовательность	чисел ?
Обозначим число пассажиров в автобусе до первой остановки буквой х . 2 ) Запишем равенство , отражающее	последовательность	входа и выхода пассажиров во время пути .
Найдите закономерность , по которой строится	последовательность	чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
Продолжите	последовательность	чисел 1100 , 110 , 11 записав ещё три числа .
Для этого в записи таких дробей стали использовать новые разряды , располагая их	правее	разряда единиц .
все цифры , расположенные	правее	разряда , до которого округляют число , отбрасывают .
Как и раньше , будем считать , что из двух чисел меньше то , которому соответствует точка координатной прямой , расположенная левее , и больше то , которому соответствует точка , расположенная	правее	.
Отрицательные числа на координатной прямой изображаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными	правее	нуля .
На координатной прямой большему числу соответствует точка , расположенная	правее	, а меньшему — точка , расположенная левее .
Чтобы сравнить два целых числа , можно представить , как они расположены по отношению друг к другу на координатной прямой : какое из них находится	правее	, а какое — левее .
Значит , число 256 расположено	правее	числа – 104 .
Из двух целых чисел больше то , которое в ряду целых чисел стоит	правее	, и меньше то , которое стоит левее .
Какому из чисел на координатной прямой соответствует точка , расположенная	правее	: 12,65 или 12,56 ? .
Рассуждаем . 1 ) Дана	правильная	дробь .
Какая из дробей ближе к 1 —	правильная	или обратная ей неправильная ?
Рассуждаем . 1 ) Дана	правильная дробь	.
Это свойство можно использовать для построения	правильного	многоугольника : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления .
Чему равны углы	правильного	шестиугольника ? .
Проведите оси симметрии построенного	правильного	шестиугольника .
Сколько осей симметрии у	правильного	n - угольника ? .
Сколько осей симметрии у	правильного	треугольника ?
Сформулируйте алгоритм построения : а ) правильного треугольника ; б )	правильного	четырёхугольника .
Сколько осей симметрии у	правильного	девятиугольника ?
Ищем способ построения Правильные многоугольники обладают важным свойством : все вершины	правильного	многоугольника лежат на одной окружности .
Сформулируйте алгоритм построения : а )	правильного	треугольника ; б ) правильного четырёхугольника .
Это свойство можно использовать для построения	правильного многоугольника	: разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления .
Ищем способ построения Правильные многоугольники обладают важным свойством : все вершины	правильного многоугольника	лежат на одной окружности .
Сформулируйте алгоритм построения : а )	правильного треугольника	; б ) правильного четырёхугольника .
Сколько осей симметрии у	правильного треугольника	?
Чему равны углы	правильного шестиугольника	? .
Проведите оси симметрии построенного	правильного шестиугольника	.
Запишите какую - нибудь	правильную	дробь и дробь , обратную ей .
Запишите какую - нибудь	правильную дробь	и дробь , обратную ей .
Выберите	правильный	ответ .
Если вы когда - нибудь видели пчелиные соты , то , возможно , заметили , что каждая ячейка — это шестиугольная призма , в основании которой —	правильный	шестиугольник .
Таким образом , равносторонний треугольник — это	правильный	треугольник , а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Таким образом , равносторонний треугольник — это правильный треугольник , а квадрат — это	правильный	четырёхугольник .
Понятно , что « самым симметричным » среди всех пятиугольников является	правильный	пятиугольник , среди всех шестиугольников — правильный шестиугольник и так далее .
Понятно , что « самым симметричным » среди всех пятиугольников является правильный пятиугольник , среди всех шестиугольников —	правильный	шестиугольник и так далее .
Чтобы построить	правильный	шестиугольник , можно разделить окружность на шесть равных частей ( пройти по ней циркулем с шагом , равным её радиусу ) и соединить последовательно все полученные точки .
Таким образом , равносторонний треугольник — это	правильный треугольник	, а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Понятно , что « самым симметричным » среди всех пятиугольников является правильный пятиугольник , среди всех шестиугольников —	правильный шестиугольник	и так далее .
Чтобы построить	правильный шестиугольник	, можно разделить окружность на шесть равных частей ( пройти по ней циркулем с шагом , равным её радиусу ) и соединить последовательно все полученные точки .
Если вы когда - нибудь видели пчелиные соты , то , возможно , заметили , что каждая ячейка — это шестиугольная призма , в основании которой —	правильный шестиугольник	.
Многоугольник , у которого равны все стороны и все углы , называют	правильным	.
а ) Из 500 ответов , присланных на вопрос телевикторины ,	правильными	оказались 120 .
Какие многоугольники называют	правильными	? .
Найдите отношение числа	правильных	ответов к числу всех присланных ответов .
Выберите один из двух других изображённых на рисунке	правильных	многоугольников и постройте его .
Сколько было получено	правильных	ответов ? .
Выберите один из двух других изображённых на рисунке	правильных многоугольников	и постройте его .
Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу из	правого	столбца .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до	правой	грани , до верхней грани параллелепипеда .
Заметьте ещё один интересный факт : всё то , что вы делаете	правой	рукой , ваше отражение делает левой , и наоборот .
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные числа , на	правом	луче положительные , на левом — отрицательные .
Поменяем местами его левую и	правую	части .
Архимед установил , что число π заключено в	пределах	.
Петя задумал число ,	прибавил	к нему 1 , результат разделил на 25 и из результата вычел 4 , после чего получил 0 .
Решите задачу , составив уравнение : а ) Ученик задумал число ,	прибавил	к нему 7 , эту сумму умножил на 3 , из результата вычел 15 и получил 30 .
Ученик задумал число , умножил его на 4 , к результату	прибавил	16 , эту сумму разделил на 2 и получил 23 .
Саша задумал число ,	прибавил	к нему 15 и результат умножил на 10 .
Для этого прибавим к вычитаемому 1,2 , а чтобы разность не уменьшилась ,	прибавим	1,2 к уменьшаемому .
Для этого	прибавим	к вычитаемому 1,2 , а чтобы разность не уменьшилась , прибавим 1,2 к уменьшаемому .
Чтобы вычесть из одного числа другое , нужно к уменьшаемому	прибавить	число , противоположное вычитаемому .
Чтобы из одного числа вычесть другое , можно к уменьшаемому	прибавить	число , противоположное вычитаемому .
Таким образом , чтобы найти разность чисел 2 и 7 , нужно к числу 2	прибавить	число – 7 .
Можно сначала найти , на сколько увеличилась цена билета , а затем	прибавить	полученную сумму к его первоначальной цене .
Если справа от разряда , до которого округляют число , стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого разряда	прибавляют	1 , в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
Первая из них —	приближённое	значение числа 21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком , а вторая —	приближённое	значение с избытком .
Например : — округление до единиц 3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье	приближённое	равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в разряде сотых .
В каждом случае определите , что больше — само число или его	приближённое	значение .
Вот как , например , выглядит	приближённое	значение к с десятью знаками после запятой : π ≈ 3,1415926535 .
С недостатком или с избытком указано	приближённое	значение ? .
Если дробь нельзя представить в виде десятичной дроби , то запишите её	приближённое	значение с двумя знаками после запятой .
В расчётах число π заменяют его	приближённым	значением .
В каждом случае найдите разность между полученным	приближённым	значением и данной дробью .
Поэтому при округлении десятичной дроби 21,28 до десятых её и заменяют	приближённым	значением с избытком : 21,28 ≈ 21,3 .
Назовите целое число , являющееся его	приближённым	значением с недостатком ; приближённым значением с избытком .
Назовите целое число , являющееся его приближённым значением с недостатком ;	приближённым	значением с избытком .
В таблице	приведены	расстояние ОА между центрами двух окружностей и их радиусы R и r. Постройте эти окружности .
Сравните .	приведены	результаты соревнований по двум видам спорта на Олимпийских играх в Пекине в 2008 г. В каждом случае прочитайте последовательно результаты , начиная с лучшего .
Для всех возможных случаев	приведите	примеры .
Для каждого случая	приведите	примеры .
Проиллюстрируйте свой ответ рисунком и	приведите	примеры .
Найдите сумму (	приведите	разные способы вычисления ) .
Для неверного утверждения	приведите	контрпример .
Обведите часть круга А , не принадлежащую кругу В. Опишите словами соответствующее ей множество чисел ,	приведите	примеры таких чисел .
Для каждого случая	приведите	числовой пример .
Опишите их словами и	приведите	примеры .
Опишите словами каждый класс и	приведите	примеры относящихся к нему чисел .
Для неверных утверждений	приведите	контрпример .
	Приведя	дробь к знаменателю , равному степени 10 .
Сначала	приведём	дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания дробей с равными знаменателями .
Для каждого вида одежды	приведён	процент от общего числа выпускаемых изделий .
В алфавитном указателе населённых пунктов ,	приведённом	на карте , указаны квадраты , в которых эти пункты расположены .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент десятичной дробью можно коротким путём , не проводя	приведённые	выше рассуждения .
Объясните , что означают данные ,	приведённые	в следующей таблице : .
Выразите проценты ,	приведённые	на диаграмме , десятичными дробями .
Воспользовавшись	приведённым	образцом , найдите значение выражения .
Среди	приведённых	равенств найдите неверные и исправьте их .
1 Какие из	приведённых	на рисунках предметов симметричны относительно некоторой плоскости симметрии ? .
Мы заменили вычитание сложением и затем	привели	дроби к общему знаменателю .
Для получения более точных результатов меры стали делить на части , что и	привело	к появлению дробей .
Удобство обращения с десятичными дробями	привело	к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Значит , дробь — нельзя	привести	ни к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и так далее .
Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала	привести	эти дроби к общему знаменателю .
Чтобы перемножить десятичную дробь и обыкновенную , нужно прежде всего	привести	их к одному виду .
Однако эту дробь нельзя	привести	, например , к знаменателю 10 , так как число 10 на 3 не делится .
Заметим , что дробь — можно	привести	к любому знаменателю , и кратному 3 , то есть к 6 , 9 , 12 и любому другому числу , делящемуся на 3 .
Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной , нужно	привести	её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и так далее .
Объясните на примере дробей и как	привести	дроби к наименьшему общему знаменателю .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно	привести	к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Применяя это свойство , можно	приводить	дроби к новому знаменателю , сокращать дроби .
Не	приводя	дроби к общему знаменателю , установите , какая из них наибольшая .
С одной из четырёхугольных	призм	вы уже достаточно хорошо знакомы — это параллелепипед .
Назовите каждую из	призм	.
Существует ли	призма	, у которой 23 грани ? .
Например ,	призма	, четырёхугольная , её основания — четырёхугольники .
Название «	призма	» произошло от греческого слова πρισμα , которое можно перевести как « обрезок » .
Если вы когда - нибудь видели пчелиные соты , то , возможно , заметили , что каждая ячейка — это шестиугольная	призма	, в основании которой — правильный шестиугольник .
Какая это	призма	?
Существует ли	призма	, у которой 100 рёбер ? .
Существует ли	призма	, у которой 2001 вершина ? .
Какая это	призма	? .
Нижняя часть башни — это куб , а средняя её часть — восьмиугольная	призма	, « вырезанная » из точно такого же куба .
Здесь вы познакомитесь ещё с двумя фигурами : с четырёхугольником — параллелограммом и многогранником —	призмой	.
Известно , что многогранник является либо пирамидой , либо	призмой	.
Скопируйте	призму	в тетрадь .
Назовите эту	призму	.
б ) Нарисуйте пятиугольную	призму	.
Называют	призму	по её основаниям .
Склейте	призму	из получившейся развёртки .
2 Назовите	призму	.
Основания представляют собой два равных многоугольника , расположенные в параллельных плоскостях , боковые грани	призмы	— прямоугольники .
Среди граней	призмы	различают боковые грани и основания .
Сколько вершин в каждом основании этой	призмы	?
Изображены различные	призмы	.
Умею распознавать на чертежах , рисунках , находить в окружающем мире : а )	призмы	; б ) параллелограммы .
1 Башня имеет форму	призмы	.
У	призмы	2000 вершин .
б ) У	призмы	33 ребра .
Сколько вершин , рёбер , граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной	призмы	? .
Сколько вершин , рёбер , граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной	призмы	; в ) у n - угольной призмы ? .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной	призмы	, все рёбра которой равны по 10 см ; б ) пятиугольной призмы , боковые рёбра которой равны по 8 см , а все рёбра основания равны по 5 см ? .
на те же вопросы для шестиугольной	призмы	.
Сумма числа вершин и рёбер	призмы	равна 25 .
Найдите предметы , имеющие форму	призмы	.
в ) У	призмы	22 грани .
а ) Сколько у пятиугольной	призмы	боковых рёбер ?
Покажите , как можно распилить её на треугольные	призмы	.
изображена развёртка треугольной	призмы	, основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной призмы , все рёбра которой равны по 10 см ; б ) пятиугольной	призмы	, боковые рёбра которой равны по 8 см , а все рёбра основания равны по 5 см ? .
Сколько вершин , рёбер , граней : а ) у семиугольной	призмы	; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Сколько у этой	призмы	вершин ? .
3 ) Каким свойством обладают углы параллелограмма ,	прилежащие	к одной стороне ? .
Найдите	произведение	или частное .
Найдите	произведение	чисел .
Теперь мы получили уравнение , в левой части которого записано	произведение	чисел 2 и х.
Запишите в виде математического выражения : а )	произведение	всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з )	произведение	чисел 5 и х меньше числа у .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б )	произведение	всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Найдём	произведение	и частное .
Используя этот результат , найдите	произведение	.
Запишите в виде буквенных выражений	произведение	и сумму двух последовательных натуральных чисел .
Запишите в виде буквенного выражения	произведение	пяти последовательных натуральных чисел , начиная с числа .
Чтобы найти	произведение	двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое	произведение	записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Разложив на простые множители знаменатель этой дроби , получим	произведение	, содержащее число 3 .
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е )	произведение	чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Найдём	произведение	чисел 0,215 и 0,33 .
Назовите такие два целых числа , чтобы их	произведение	было положительным ; отрицательным .
Произведение двух чисел одного знака положительно , а	произведение	двух чисел разных знаков отрицательно .
Поэтому	произведение	не может быть равно – 15 .
Понятно , что	произведение	, которое получается из произведения перестановкой множителей , тоже должно быть равно – 15 .
Выражение , где n — натуральное число , большее 1 , означает	произведение	.
Для натуральных чисел умножение сводится к сложению , поэтому	произведение	— это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Если числа а и b имеют разные знаки , то их	произведение	— число отрицательное .
Например , выражение означает	произведение	всех натуральных чисел от 1 до 50 .
4 ) Если	произведение	чисел а и b положительно , то и сами множители — числа положительные .
Вы знаете , что в качестве общего знаменателя дробей можно взять	произведение	знаменателей 12 и 9 , то есть число 108 .
Сделайте вывод : как можно было бы найти	произведение	с помощью переноса запятой ? .
3 ) В каких случаях	произведение	четырёх целых чисел будет числом отрицательным ? .
Вообще в любой пропорции	произведение	крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Каким числом — положительным или отрицательным — является	произведение	трёх целых чисел , если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
Каким числом — положительным или отрицательным — является	произведение	четырёх отличных от нуля чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 ) отрицательны два числа ; 3 ) три числа отрицательны , а одно положительно
Разберите , как с помощью сочетательного свойства умножения вычислено	произведение	.
Вычислите	произведение	.
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е )	произведение	разности чисел х и у и их суммы .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д )	произведение	числа а и разности чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
Объясните , как можно вычислить	произведение	десятичной и обыкновенной дробей .
Найдём	произведение	.
Найдём	произведение	чисел .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное	произведение	чисел а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
При разложении её знаменателя на простые множители получается	произведение	.
а )	произведение	числа 7 и суммы чисел а и b . б ) сумму числа 10 и произведения чисел х и у .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , «	произведение	» , « частное » .
Найдём	произведение	чисел 0,235 и 120 .
Не выполняя вычислений , определите , положительным или отрицательным будет следующее	произведение	или частное .
4 Запишите	произведение	суммы двух чисел а и b и их разности .
В первом множителе две цифры после запятой , во втором одна , а в	произведении	оказалось три цифры после запятой .
Затем в этом	произведении	мы отделили запятой справа 5 цифр ( для этого нам пришлось слева приписать нули ) .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в	произведении	отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Перемножив числа 215 и 33 , мы получили в	произведении	число 7095 .
Это позволяет в любом	произведении	произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы .
Если необходим именно такой порядок множителей в	произведении	чисел а и 7 , то точку обязательно ставят , то есть пишут .
Как определяют положение запятой в	произведении	десятичных дробей ?
Таким образом , десятичных знаков в	произведении	столько же , сколько их в множителях вместе .
Умножив число 235 на 120 , мы получили в	произведении	28 200 .
в полученном	произведении	отделить запятой справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
Известно , что если движение происходит с постоянной скоростью , то пройденный путь равен	произведению	скорости и времени движения .
Объём параллелепипеда , как известно , равен	произведению	трёх его измерений .
Замените умножение сложением и запишите выражение , равное данному	произведению	.
Вообще в любой пропорции произведение крайних членов пропорции равно	произведению	её средних членов .
Найдите значение	произведения	.
в ) разность числа с и	произведения	чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
Представьте данное число в виде	произведения	двух десятичных дробей ( укажите два решения ) .
а ) произведение числа 7 и суммы чисел а и b . б ) сумму числа 10 и	произведения	чисел х и у .
Чтобы найти модуль	произведения	, нужно перемножить модули множителей .
Выполнив такие же действия с любой другой пропорцией , мы снова получим равные	произведения	.
Определите знак	произведения	и вычислите его значение .
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные	произведения	сложить .
Определите знак	произведения	и вычислите его .
Значения каких выражений равны значению	произведения	ab ?
На какие бы целые числа ни домножали знаменатель , « мешающий » множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому	произведения	только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Сколькими способами можно представить данное число в виде	произведения	двух целых чисел .
Рассуждая таким же образом , представьте в виде	произведения	выражение .
Представьте число – 60 в виде	произведения	: а ) трёх множителей ; б ) четырёх множителей .
Чтобы понять , как перемножают целые числа , рассмотрим четыре	произведения	, множители в которых различаются только знаками .
Обозначим количество пачек чая в 250 г через х. Так как оба раза идёт речь о расфасовке одного и того же количества чая , то	произведения	равны .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы выражение , которое имеет другой смысл : это сумма числа а и	произведения	чисел b и с .
сумму частного чисел b и с и их	произведения	.
Понятно , что произведение , которое получается из	произведения	перестановкой множителей , тоже должно быть равно – 15 .
Найдите	произведения	.
Представьте число 120 в виде	произведения	нескольких множителей , среди которых есть отрицательные .
Выполнив такие же действия с любой другой	пропорцией	, мы снова получим равные произведения .
Равенство двух отношений называют	пропорцией	.
Рассмотрим пример применения основного свойства	пропорции	.
Составьте самостоятельно три	пропорции	.
Найдите неизвестный член пропорции , обозначенный буквой ( используйте основное свойство	пропорции	) .
Найдите неизвестный член	пропорции	, обозначенный буквой ( используйте основное свойство пропорции ) .
Проверьте двумя способами , то есть сравнив отношения и применив основное свойство	пропорции	.
Чтобы найти неизвестный член	пропорции	, можно воспользоваться её основным свойством .
Шестиклассники составляли	пропорции	и записывали их на доске .
Это свойство носит название основное свойство	пропорции	.
Вообще в любой	пропорции	произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Если перемножить крайние члены рассмотренной	пропорции	и её средние члены , то получим .
В рассматриваемой пропорции 4 и 4,5 — крайние члены пропорции , 3 и 6 — средние члены	пропорции	.
Вообще в любой пропорции произведение крайних членов	пропорции	равно произведению её средних членов .
В рассматриваемой	пропорции	4 и 4,5 — крайние члены пропорции , 3 и 6 — средние члены пропорции .
В рассматриваемой пропорции 4 и 4,5 — крайние члены	пропорции	, 3 и 6 — средние члены пропорции .
Числа , образующие	пропорцию	, имеют специальные названия .
Иван составил	пропорцию	и один из её членов случайно стёр .
Какие из следующих равенств являются	пропорциями	?
Сколько элементов содержит множество : а ) цифр десятичной системы счисления ; б ) букв русского алфавита ; в )	простых чисел	, меньших 30 ; г ) двузначных чисел , меньших 100 ? .
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных чисел , кратных 10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в )	простых чисел	, больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
Пусть , например , Р — множество	простых чисел	.
Она делит пополам угол ,	противолежащий	основанию , проходит через середину основания и перпендикулярна ему .
Можно сказать также , что число – 15 противоположно числу 15 , а число 15	противоположно числу	– 15 .
Можно сказать также , что число – 15	противоположно числу	15 , а число 15 противоположно числу – 15 .
Умею находить число , противоположное данному , применять знак « минус » для обозначения	противоположного числа	.
Если перед некоторым числом , положительным или отрицательным , поставить знак « плюс » , то получится то же самое число ; если же поставить знак « минус » , то получится	противоположное число	.
Прочитайте выражения , используя термин «	противоположное число	» .
При делении любого целого числа на – 1 получается	противоположное число	.
Вообще число ,	противоположное числу	а , обозначают -а .
Будем рассуждать так : число ,	противоположное числу	х , равно 2,4 , значит , х равно – 2,4 .
Назовите число ,	противоположное числу	.
2 Назовите число ,	противоположное числу	.
Среди чисел укажите : а ) равные числа ; б )	противоположные числа	.
Как расположены на координатной прямой точки , соответствующие	противоположным числам	? .
А у	противоположных чисел	, которые изображаются точками , симметричными относительно нуля , модули равны .
Сумма	противоположных чисел	равна нулю .
Используя свойство суммы	противоположных чисел	, вычислите .
Найдите сумму	противоположных чисел	.
Чему равна сумма	противоположных чисел	?
Сумма	противоположных чисел	равна 0 .
Умею называть число , противоположное данному целому числу ; знаю свойство суммы	противоположных чисел	.
О	противоположных числах	говорят , что они различаются только знаками .
Определите	процент	выигранных Ваней партий , если .
Глава 1 Дроби и	процент	.
Вам , наверное , не раз приходилось слышать по радио и телевидению или встречать в газетах слово	процент	.
На каком заводе	процент	некачественных телевизоров выше ? .
Найдите в каких - нибудь средствах массовой информации ( газеты , журналы , Интернет , телевидение и так далее . ) несколько предложений , в которых используется слово «	процент	» .
При этом вы выражали	процент	дробью .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить	процент	десятичной дробью можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
Придумайте сами фразу аналогичной конструкции и объясните её , используя слово «	процент	» .
Объясните , используя слово «	процент	» , фразу « Из каждых 100 школьников 65 занимаются в спортивных секциях » .
Заметим , что в речи часто вместо слова «	процент	» используют именно это словосочетание .
Слово «	процент	» имеет латинское происхождение : в переводе с латыни pro centum означает « на сто » .
Найдите примерный	процент	брака на каждом заводе и определите , какой из двух заводов выпустил продукцию лучшего качества .
Произнесите без слова «	процент	» ( заменив проценты дробью ) следующие фразы : « В математическом кружке занимаются 7 % всех учащихся школы » ; « В голосовании приняли участие 73 % избирателей » .
Для слова «	процент	» в математике есть специальный знак : % .
Например : 1 процент от 500 т равен 5 т , так как 5 ; 1	процент	от 1 км равен 10 м , так как .
Например : 1	процент	от 500 т равен 5 т , так как 5 ; 1 процент от 1 км равен 10 м , так как .
Поэтому , чтобы найти один	процент	от величины , нужно разделить эту величину на 100 .
Что же понимают под словом «	процент	» ? .
Что такое	процент	.
Какой у этого спортсмена	процент	попадания по мишени ?
Таким образом , на заводе В	процент	некачественных телевизоров выше .
Объясните , используя слово «	процент	» , что означают следующие утверждения .
Определите , какой примерно	процент	площади фигуры закрашен .
Для каждого вида одежды приведён	процент	от общего числа выпускаемых изделий .
Какой	процент	всего населения составляют взрослые ? .
Приведён	процент	положительных ответов на каждый из вопросов .
Какой	процент	всего населения составляют дети ?
Знаю , что такое	процент	.
Составьте выражение для вычисления	процента	выигранных партий .
В ходе решения задачи мы перешли от десятичной дроби 0,54 к	процентам	: 0,54 — это 54 % .
Чтобы перейти от десятичной дроби к	процентам	, нужно эту дробь умножить на 100 .
Перейдём от обыкновенных дробей к десятичным , а затем к	процентам	.
Правило выражения десятичной дроби в	процентах	десятичной .
Выразите ответ в	процентах	.
Выразите в	процентах	всех книг библиотеки .
Правило выражения десятичной дроби в	процентах	.
На диаграммах показано соотношение разных возрастных групп населения в России и Германии ( в	процентах	) .
Точно так же и другие десятичные дроби выражаются в	процентах	.
Как выразить десятичную дробь в	процентах	?
Выразите в	процентах	0,07 состава лекарственной смеси .
Выразите в	процентах	части величины .
Представьте полученную дробь десятичной дробью и выразите её в	процентах	.
Не выполняя вычислений , определите , больше или меньше 50 % получится , если выразить в	процентах	следующую дробь .
Определите , какую часть составляет число попаданий от числа бросков , и выразите эту часть в	процентах	, если он попал в кольцо : а ) 10 раз ; б ) 25 раз ; в ) 32 раза ; г ) 40 раз .
Из рассмотренных примеров становится понятно следующее : чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо найти отношение первого числа ко второму ( иными словами , выяснить , какую часть первое число составляет от второго или во сколько раз оно больше ) и выразить это отношение в	процентах	.
6 Выразите в	процентах	: 0,4 жителей страны ; избирателей округа .
Прочитайте предложение , выразив дробь в	процентах	: а ) бензином заполнили бака .
Доли величины , равные 0,75 ; 0,2 ; 0,05 , выразите в	процентах	.
Рассуждая так же , выразите в	процентах	всех книг библиотеки .
Для наглядности найденное отношение часто выражают в	процентах	.
Выразите эти доли в	процентах	.
Выразите в	процентах	: а ) всего урожая яблок ; б ) всего урожая яблок .
Чтобы выразить в	процентах	всех книг библиотеки , можно рассуждать следующим образом .
Выразите в	процентах	следующие доли учащихся школы .
Определите , какая часть семян проросла , и выразите её в	процентах	.
Выразите десятичную дробь приближённо в	процентах	, предварительно округлив её до сотых .
Выразите эту часть в	процентах	.
64 Выражение отношения в	процентах	.
Выразите дробью 5 % , 80 % . б ) Выразите в	процентах	населения города .
, а затем выразим полученную дробь в	процентах	: 0,15 — это 15 % .
1 ) Сколько	процентов	учащихся получило отметку « 5 » ? .
На сколько	процентов	? .
Сколько	процентов	бензина осталось в канистре ? .
1 ) Сколько	процентов	населения в каждой из стран составляют дети до 15 лет ? .
На сколько	процентов	была снижена цена куртки ? .
Вопрос задачи нужно понимать так : сколько	процентов	от первоначальной цены составляет сумма скидки ?
Сколько	процентов	избирателей приняли участие в выборах и сколько не приняли ? .
Сколько	процентов	площади прямоугольника закрашено .
Сколько	процентов	коллекции составляют марки по каждой теме ? .
Сколько	процентов	всех мест кинозала было занято и сколько свободно ? .
Сколько это составляет	процентов	? .
На сколько	процентов	была снижена цена стола ? .
Найдите , сколько	процентов	от 250 кг составляют 40 кг .
На сколько	процентов	понизилась цена акций ? .
Как узнать , сколько	процентов	одно число составляет от другого ?
На сколько	процентов	повысилась цена акций ? .
Сколько примерно	процентов	составляет : учащихся школы ; семейного бюджета ; библиотечного фонда ; денежного вклада ; населения Москвы ; городского бюджета ? .
Сколько	процентов	всех книг библиотеки на иностранных языках ? .
Сколько	процентов	от числа осенних ДТП составило число ДТП в зимние месяцы ? .
Сколько	процентов	всей смеси составляет какао ?
Сколько	процентов	всей смеси составляет сахар ? .
Сколько	процентов	от вложенной суммы составляет новая сумма на счёте ? .
Сколько	процентов	всего сплава составляет каждое вещество ? .
Сколько	процентов	семян проросло ? .
На сколько	процентов	она повысилась , если до повышения была 25 р . ? .
На сколько	процентов	число первоклассников больше числа десятиклассников ? .
Сколько	процентов	всех боёв боксёр проиграл ? .
На сколько	процентов	выросла цена дома ? .
Сколько	процентов	библиотечного фонда составляют книги ? .
Из рассмотренных примеров становится понятно следующее : чтобы узнать , сколько	процентов	одно число составляет от другого , надо найти отношение первого числа ко второму ( иными словами , выяснить , какую часть первое число составляет от второго или во сколько раз оно больше ) и выразить это отношение в процентах .
Сколько	процентов	от общего количества городов составляют города каждого типа ?
На сколько	процентов	снизилась цена акций ? .
Сколько	процентов	учащихся занимаются спортом ? .
Например : в выборах приняло участие 67 процентов жителей города ; стоимость проезда в городском транспорте повысилась на 50 процентов ; рейтинг ( показатель популярности ) телепередачи составляет 19	процентов	.
Сколько	процентов	всех членов драмкружка составляют мальчики ? .
Сколько	процентов	составил картофель , оставшийся в магазине ?
Иногда нужное число	процентов	от величины можно найти ещё проще .
Сколько	процентов	площади квадрата закрашено .
Определите , сколько	процентов	площади Мирового океана приходится на Атлантический океан .
Сколько	процентов	от первоначальной цены товара составляет новая цена , если : а ) товар подорожал на 40 % , на 15 % , на 5 % ; б ) товар подешевел на 20 % , на 8 % , на 1 % ? .
Например : в выборах приняло участие 67 процентов жителей города ; стоимость проезда в городском транспорте повысилась на 50	процентов	; рейтинг ( показатель популярности ) телепередачи составляет 19 процентов .
Например : в выборах приняло участие 67	процентов	жителей города ; стоимость проезда в городском транспорте повысилась на 50 процентов ; рейтинг ( показатель популярности ) телепередачи составляет 19 процентов .
На сколько	процентов	квартплата в отдалённых районах меньше , чем в центральных ? .
Кого в классе больше — мальчиков или девочек — и на сколько	процентов	? .
Сколько	процентов	участников викторины ответили правильно ? .
Используя диаграмму , определите : а ) за кого из кандидатов было подано больше голосов и на сколько процентов ; б ) сколько	процентов	избирателей не проголосовало ни за одного из кандидатов .
Сколько примерно	процентов	поверхности Земли занимает Мировой океан ?
б ) Сколько	процентов	учащихся предпочитают активный отдых ? .
б ) Сколько	процентов	продукции приходится на верхнюю одежду ? .
в ) Сколько	процентов	всех изделий может предназначаться мужчинам ?
Рассмотрите диаграмму и ответьте на следующие вопросы : а ) Сколько	процентов	людей имеют дома более 10 комнатных растений ? .
б ) Сколько	процентов	людей имеют дома комнатные растения в количестве менее 16 ? .
в ) Сколько	процентов	людей не имеют дома комнатных растений ? .
Вам уже приходилось решать одну из главных задач на проценты : находить некоторое количество	процентов	от заданной величины .
Используя диаграмму , определите : а ) за кого из кандидатов было подано больше голосов и на сколько	процентов	; б ) сколько процентов избирателей не проголосовало ни за одного из кандидатов .
Сколько	процентов	квадрата не закрашено ?
9 а ) Что называют	процентом	?
Что называется	процентом	?
63 « Главная » задача на	проценты	.
Вам уже приходилось решать одну из главных задач на	проценты	: находить некоторое количество процентов от заданной величины .
Умею решать задачи на	проценты	.
Выразите	проценты	дробью и , если можно , сократите её .
А так как	проценты	означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Выразите	проценты	дробью и сократите её : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 60 % , 75 % , 80 % .
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить	проценты	десятичной дробью .
Прочитайте предложение , заменив	проценты	соответствующей дробью .
Умею решать основные задачи на	проценты	.
Выразите	проценты	, приведённые на диаграмме , десятичными дробями .
Чтобы выразить	проценты	десятичной дробью , надо число , стоящее перед знаком % , разделить на 100 , или , что одно и то же , умножить на 0,01 .
Приведены некоторые	проценты	, которые « легко считаются » , и соответствующие им дроби .
В каждом предложении замените	проценты	десятичной дробью : а ) В новом году стоимость проезда в метро повысилась на 12 % от его прошлогодней стоимости .
Величина , от которой вычисляются	проценты	( например , количество телевизоров , выпускаемых заводом за год , доход семьи , численность населения и так далее . ) , составляет 100 своих сотых долей , то есть 100 % .
Произнесите без слова « процент » ( заменив	проценты	дробью ) следующие фразы : « В математическом кружке занимаются 7 % всех учащихся школы » ; « В голосовании приняли участие 73 % избирателей » .
Умею выражать	проценты	десятичными дробями и наоборот .
Глава 6 Отношения и	проценты	.
Часто бывает удобно выражать	проценты	обыкновенной дробью , особенно в тех случаях , когда , используя их , можно выполнить вычисления устно .
Расстояние от центра до прямой сначала будет уменьшаться , а после того как	прямая	пройдёт через центр — снова увеличиваться .
С помощью инструментов вы можете убедиться , что	прямая	l перпендикулярна линии сгиба , а точки находятся от неё на одинаковом расстоянии .
Пусть дана	прямая	l и точка М. Построим точку , симметричную точке М относительно прямой l. Для этого : проведём через точку М прямую , перпендикулярную l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Через точку А проведена прямая , параллельная l. Какие из отрезков ВС , CD и DB эта	прямая	пересекает , а какие нет ? .
На рисунке 5.1 , а изображена окружность с центром в точке О и	прямая	k , её не пересекающая .
Эта	прямая	пересечёт каждую из параллельных прямых под одним и тем же углом : ∠l равно ∠2 равно ∠3 .
Верно ли утверждение : « Для любых двух прямых а и b существует	прямая	с , относительно которой прямые а и b симметричны » ?
Изображена координатная	прямая	с отмеченными на ней целыми числами от – 7 до 7 .
Постройте прямую , относительно которой	прямая	т симметрична прямой n.
Пусть дана некоторая	прямая	m и требуется начертить прямую , ей параллельную .
51 Окружность и	прямая	.
Таким образом ,	прямая	и окружность могут пересекаться , могут не пересекаться и , наконец , прямая может касаться окружности .
Всё время , пока это расстояние будет меньше радиуса ,	прямая	будет пересекать окружность .
Верно ли , что проведённая	прямая	— ось симметрии многоугольника ? .
Таким образом , прямая и окружность могут пересекаться , могут не пересекаться и , наконец ,	прямая	может касаться окружности .
Сколько общих точек могут иметь	прямая	и окружность ? .
Правила сравнения нам « подскажет » координатная	прямая	.
Проведите прямую и постройте какую - нибудь окружность радиусом 3 см , для которой эта	прямая	является касательной .
А фразу «	прямая	a перпендикулярна прямой b » записывают так : a ⊥ b .
2 На каком из рисунков	прямая	к не является осью симметрии фигуры ? .
Именно в таком особом случае математики говорят , что	прямая	перпендикулярна плоскости .
Построенная	прямая	параллельна данной .
Сделав соответствующий рисунок , определите , верно ли следующее утверждение : а ) Любая	прямая	, проходящая через центр симметрии прямоугольника , делит его на две равные части .
Любая	прямая	, проходящая через центр окружности , является её осью симметрии .
Через точку А проведена	прямая	, параллельная l. Какие из отрезков ВС , CD и DB эта прямая пересекает , а какие нет ? .
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании фигуры по этой прямой две части , на которые	прямая	разбивает фигуру , совпадают .
Когда	прямая	k пройдёт через центр окружности .
А затем	прямая	и окружность вновь не будут иметь общих точек .
Проведены параллельные прямые а и b и	прямая	с — их общий перпендикуляр .
На рёбрах куба взяты точки О и Р Пересекает ли	прямая	ОР прямые AD , ML , АВ , DN , ВМ ? .
Возьмите другой лист бумаги , сложите его таким же образом , а затем перегните так , чтобы совместились стороны	прямого	угла .
Возьмите другой лист бумаги , сложите его таким же образом , а затем перегните так , чтобы совместились стороны	прямого угла	.
Обратите внимание : отрезок ОА перпендикулярен	прямой	линии шоссе .
Найдите расстояние от каждой из этих точек до	прямой	.
Найдите расстояние от точки А до	прямой	а и до прямой .
Найдите расстояние от точки А до прямой а и до	прямой	.
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании фигуры по этой	прямой	две части , на которые прямая разбивает фигуру , совпадают .
Вспомните , как задают координаты на	прямой	.
Для этого на	прямой	выбирают начало отсчёта , положительное направление и единичный отрезок .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С так , чтобы она : а ) лежала на	прямой	k ; б ) не лежала на прямой k. Перегибая лист бумаги , постройте прямую , перпендикулярную прямой к и проходящую через точку С .
Постройте несколько точек , находящихся от	прямой	АВ на расстоянии 2 см. Где расположены все такие точки ? .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными прямыми m и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от	прямой	m.
Проведите какую - нибудь прямую , параллельную прямой а , и прямую , параллельную	прямой	b.
Определите расстояние от точки А до	прямой	n.
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С так , чтобы она : а ) лежала на прямой k ; б ) не лежала на	прямой	k. Перегибая лист бумаги , постройте прямую , перпендикулярную прямой к и проходящую через точку С .
4 Начертите с помощью чертёжных инструментов фигуру , симметричную данной фигуре относительно	прямой	к .
После этого любая точка	прямой	получает свою собственную координату .
С помощью угольника через каждую из этих точек проведите прямую , перпендикулярную	прямой	k .
Умею распознавать фигуры , симметричные относительно некоторой	прямой	.
На координатной	прямой	отмечены точки А , В , С и D. Координаты точек В и D известны .
Покажите , где на координатной	прямой	расположены точки , координаты которых удовлетворяют условию .
Показан способ построения	прямой	, параллельной данной , с помощью одного угольника .
На координатной	прямой	точками отмечены числа а , b и с. Какое из следующих утверждений об этих числах верно ? .
Точка А расположена на расстоянии 3 см от одной из двух параллельных прямых и на расстоянии 5 см от другой	прямой	.
Отметьте на этой	прямой	числа : 0,5 ; 0,75 ; 1,5 ; 1,25 ; 0,125 .
Точка пересечения прямых О — это начало отсчёта на каждой координатной	прямой	; единичный отрезок , как правило , один и тот же .
5 Отметьте на координатной	прямой	числа .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k. Отметьте точку С так , чтобы она лежала на	прямой	k , и точку А так , чтобы она не лежала на этой прямой .
На горизонтальной	прямой	положительное направление выбирается слева направо , на вертикальной — снизу вверх .
Умею изображать фигуру , симметричную данной фигуре относительно	прямой	.
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой	прямой	, если при перегибании фигуры по этой прямой две части , на которые прямая разбивает фигуру , совпадают .
Измерьте расстояние от центра окружности до	прямой	.
Изобразите схематически на координатной	прямой	данное число и ближайшие к нему слева и справа целые числа , а затем запишите двойное неравенство , например .
На листе бумаги проведите прямую l , отметьте три точки и обозначьте их буквами А , В и С. Постройте точки , симметричные этим точкам относительно	прямой	l.
Перегнув лист по	прямой	l , проверьте , верно ли выполнено построение .
Мысленно перегните рисунок по проведённой прямой и выясните , симметричны ли относительно этой	прямой	изображённые на нём фигуры .
Таким образом , расстояние от точки до	прямой	измеряется по перпендикуляру , проведённому из точки к этой прямой .
Постройте точки A1 , B1 и C1 симметричные точкам A , B и C относительно	прямой	k .
Постройте фигуры , симметричные данным относительно	прямой	k.
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до	прямой	l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
Постройте треугольник , симметричный треугольнику АВС относительно	прямой	m .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно	прямой	m . б ) Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на прямой m , и постройте четырёхугольник , симметричный ему относительно прямой m .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до	прямой	l.
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на	прямой	m , и постройте четырёхугольник , симметричный ему относительно прямой m .
Легко видеть , что этот отрезок короче любого другого отрезка , соединяющего точку А с этой	прямой	.
Как построить многоугольник , симметричный данному относительно некоторой	прямой	? .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на прямой m , и постройте четырёхугольник , симметричный ему относительно	прямой	m .
Проведите луч ОМ , дополняющий луч ОК до	прямой	Верно ли , что луч ОМ — биссектриса угла COS ?
Бесконечно много ; на двух прямых , параллельных данной прямой и расположенных от неё на расстоянии 3 см. На	прямой	, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой .
Начертите окружность и постройте окружность , симметричную ей относительно	прямой	, которая : а ) не пересекает окружность .
Бесконечно много ; на двух прямых , параллельных данной	прямой	и расположенных от неё на расстоянии 3 см. На прямой , проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой .
Постройте прямую m , симметричную	прямой	к относительно прямой l .
Постройте прямую m , симметричную прямой к относительно	прямой	l .
С термином « пересечение » вы не раз встречались при изучении геометрии , когда , например , находили общие точки двух прямых ,	прямой	и окружности и так далее .
Постройте прямую , относительно которой прямая т симметрична	прямой	n.
Найдите на окружности точку , ближайшую к прямой , и точку , наиболее удалённую от	прямой	.
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С так , чтобы она : а ) лежала на прямой k ; б ) не лежала на прямой k. Перегибая лист бумаги , постройте прямую , перпендикулярную	прямой	к и проходящую через точку С .
Отметьте две точки , взяв их по разные стороны от	прямой	.
Найдите на окружности точку , ближайшую к	прямой	, и точку , наиболее удалённую от прямой .
Найдите расстояние от точки А до	прямой	l .
Проведите какую - нибудь прямую , параллельную	прямой	а , и прямую , параллельную прямой b.
Какое из чисел расположено на координатной	прямой	левее , какое из них меньше .
Составьте формулу для вычисления площади S прямоугольного треугольника со сторонами , образующими	прямой	угол , равными а и b.
С помощью линейки и угольника проведите через точку К прямую b , перпендикулярную	прямой	а .
2 Отметьте точками на координатной	прямой	числа .
б ) Как с помощью циркуля отметить на	прямой	противоположные им числа – а и – b ? .
Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной	прямой	отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
В какой - то момент расстояние от центра до	прямой	станет равным радиусу и точка М окажется на окружности .
Изобразим схематически на координатной	прямой	точки 989 и 1000 , а также симметричные им точки относительно точки 0 .
На координатной	прямой	точками отмечены некоторые числа .
Расстояние от центра О до	прямой	равно длине перпендикуляра ОМ .
С помощью линейки и угольника проведите через точку К прямую b , параллельную	прямой	а .
Отметьте на координатной	прямой	данные числа , а потом сравните их ( ответ запишите в виде неравенства ): а ) – 3 и 1 ; б ) – 5 и 0 ; в ) – 2 и – 6 .
На координатной	прямой	отмечены точки .
Отметьте на координатной	прямой	данные числа и все целые числа , заключённые между ними .
Расстояние от центра до	прямой	сначала будет уменьшаться , а после того как прямая пройдёт через центр — снова увеличиваться .
Вы знаете , как отмечают на координатной	прямой	целые числа .
Для метания снаряда праща вращается над головой , а в момент наиболее сильного маха её свободный конец выпускается , и снаряд летит по	прямой	, перпендикулярной радиусу окружности в момент отрыва .
А каким может быть взаимное расположение	прямой	и окружности ?
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно	прямой	m . б ) Начертите ломаную из двух звеньев , не пересекающую прямую m , и постройте ломаную , симметричную ей относительно прямой m .
А чтобы отметить на	прямой	числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от нуля .
Между целыми числами на координатной	прямой	расположены дробные числа , на правом луче положительные , на левом — отрицательные .
6 Чему равно расстояние : а ) от точки А до точки В ; б ) от точки А до	прямой	b ; в ) между прямыми а и b ? .
Вы уже много знаете о	прямой	.
Как расположены на координатной	прямой	точки , соответствующие противоположным числам ? .
Изобразите на координатной	прямой	числа : 5 ; – 5 ; 2,5 ; – 2,5 .
Найдите расстояние от каждой вершины треугольника до	прямой	КМ .
Противоположные числа изображаются точками координатной	прямой	, находящимися на одинаковом расстоянии от точки О ( 0 ) .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите ломаную из двух звеньев , не пересекающую прямую m , и постройте ломаную , симметричную ей относительно	прямой	m .
Умею находить расстояние между двумя точками ; от точки до	прямой	; между двумя параллельными прямыми .
Постройте треугольник , симметричный треугольнику АВС : 1 ) относительно	прямой	k ; 2 ) относительно прямой m.
Постройте треугольник , симметричный треугольнику АВС : 1 ) относительно прямой k ; 2 ) относительно	прямой	m.
Через точку К проведите прямую , параллельную	прямой	b .
Умею отмечать на координатной	прямой	точки , соответствующие заданным числам , определять координаты отмеченных точек .
По одну сторону от	прямой	l расположены точки А , В , С и D. Расстояния от этих точек до прямой соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
По одну сторону от прямой l расположены точки А , В , С и D. Расстояния от этих точек до	прямой	соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
Постройте четырёхугольник , симметричный данному относительно	прямой	АС .
Отметьте на координатной	прямой	точки и точку С , координата которой есть среднее арифметическое координат точек .
Так , абсциссу xимеют ещё точки В , С и все точки	прямой	ВС , а ординату у имеют точки Μ , N и все точки прямой ΜΝ .
Постройте касательные к окружности , перпендикулярные	прямой	к.
Постройте четыре точки А , В , С и D по следующему условию : точки С и D лежат по разные стороны от	прямой	, проходящей через точки А и В , АB равно 8 см , АС равно 4 см , СВ равно 8 см , AD равно 6 см , 08 равно 4 см. Чему равно расстояние между точками С и D ? .
2 ) Если две окружности симметричны относительно некоторой	прямой	, то они симметричны также относительно некоторой точки .
Сделав соответствующий рисунок , определите , верно ли следующее утверждение : 1 ) Если две окружности симметричны относительно некоторой точки , то они симметричны также относительно некоторой	прямой	.
Объясните , почему точки А и С симметричны относительно	прямой	BD .
Так , абсциссу xимеют ещё точки В , С и все точки прямой ВС , а ординату у имеют точки Μ , N и все точки	прямой	ΜΝ .
Отметьте на	прямой	точки С и О так , чтобы четырёхугольник ABCD был симметричен относительно прямой АВ .
Отметьте на прямой точки С и О так , чтобы четырёхугольник ABCD был симметричен относительно	прямой	АВ .
Будем считать карандаш моделью	прямой	, а стол моделью плоскости .
А фразу « прямая a перпендикулярна	прямой	b » записывают так : a ⊥ b .
Изменится ли ответ , если в условии будет сказано , что точка С отмечена на	прямой	АВ , но не на отрезке АВ ? .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной	прямой	в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
С помощью линейки и угольника постройте несколько прямых , параллельных	прямой	b . б )
Четырёхугольник MANB — квадрат . 4 ) Точки A и В симметричны относительно	прямой	MN .
Расскажите , как с помощью координатной	прямой	можно сравнить два числа .
нуля и влево от нуля , будем получать изображения на	прямой	целых чисел .
Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности , если расстояние от центра окружности до	прямой	равно 4 см , а радиус окружности равен : а ) 3 см ; б ) 4 см ; в ) 6 см ? .
Что можно сказать о взаимном расположении	прямой	и окружности , если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см , а радиус окружности равен : а ) 3 см ; б ) 4 см ; в ) 6 см ? .
Сколько можно провести касательных к окружности , параллельных некоторой	прямой	? .
Как и раньше , будем считать , что из двух чисел меньше то , которому соответствует точка координатной	прямой	, расположенная левее , и больше то , которому соответствует точка , расположенная правее .
Для каждого случая сравните радиус окружности и расстояние от центра окружности до	прямой	.
Пусть теперь нужно найти расстояние от дома до шоссе , которое проходит здесь строго по	прямой	.
Если перегнуть рисунок по	прямой	k , то четырёхугольники A1B1C1D1 и ABCD совпадут .
8 Отметьте на координатной	прямой	числа , модуль которых равен 4 .
Сколько прямых , параллельных	прямой	т , можно провести назовите рёбра куба : а ) параллельные ребру АВ , б ) перпендикулярные ребру ВС ; в ) скрещивающиеся с ребром AD .
Говорят , что эти точки . симметричны относительно	прямой	— линии сгиба .
Развернув лист , вы увидите две точки , расположенные по разные стороны от этой	прямой	.
Точка , изображающая на координатной	прямой	число 2,7 , расположена левее .
Если прямые перпендикулярны одной и той же	прямой	, то они параллельны .
Начертите в тетради по линиям сетки : а ) две параллельные прямые а и b и прямую с , перпендикулярную	прямой	а ; б ) прямую а и прямые b и с , ей перпендикулярные .
С его помощью можно строить точки , симметричные относительно некоторой	прямой	, и без перегибания листа бумаги .
Точка К симметрична точке М относительно	прямой	l .
Четырёхугольники ABCD и A1B1C1D1 симметричны относительно	прямой	k.
Но в геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой фигуры (	прямой	, окружности ) , расстояние между двумя параллельными прямыми и так далее .
Пусть дана прямая l и точка М. Построим точку , симметричную точке М относительно прямой l. Для этого : проведём через точку М прямую , перпендикулярную l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от	прямой	l , что и точка М .
Отметьте на координатной	прямой	числа .
На координатной	прямой	отмечены точки , соответствующие числам .
Для этого : одну сторону угольника расположим вдоль	прямой	m ; положение угольника зафиксируем линейкой ; передвинем угольник вдоль линейки и проведём новую прямую .
Построены две прямые а и b , перпендикулярные одной и той же	прямой	m.
Расстояние между от точки до	прямой	.
Пусть дана прямая l и точка М. Построим точку , симметричную точке М относительно	прямой	l. Для этого : проведём через точку М прямую , перпендикулярную l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Обратите внимание : отрезок ОА перпендикулярен	прямой линии	шоссе .
Составьте формулу для вычисления площади S прямоугольного треугольника со сторонами , образующими	прямой угол	, равными а и b.
Параллелограмм удалось перекроить в	прямоугольник	, а способ вычисления площади прямоугольника уже известен .
К параллелограммам относятся и такие хорошо вам знакомые фигуры , как	прямоугольник	и квадрат .
Центр симметрии имеет и	прямоугольник	: это точка пересечения его диагоналей .
Всякий	прямоугольник	является .
Проволоку длиной 24 см согнули в	прямоугольник	.
Как надо было провести пару прямых , чтобы получился : а ) квадрат ; б )	прямоугольник	произвольного вида ? .
Те же квадрат и	прямоугольник	наложены друг на друга .
Умею находить площадь прямоугольного треугольника ; знаю , как найти площадь параллелограмма , перекраивая его в	прямоугольник	.
Если вы начертите	прямоугольник	со сторонами 5 см и 3 см , то соотношение его сторон и даст вам представление о золотом сечении .
а ) Постройте прямоугольник , диагонали которого равны по 6 см. Постройте другой	прямоугольник	с такими же диагоналями .
а ) Постройте	прямоугольник	, диагонали которого равны по 6 см. Постройте другой прямоугольник с такими же диагоналями .
Проведите в тетради две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 3 см. Начертите какой - нибудь параллелограмм , одна пара сторон которого лежит на этих прямых и равна по 4 см. Начертите	прямоугольник	, удовлетворяющий этим условиям .
рическую фигуру (	прямоугольник	, круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 ) Приведите дроби к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
б ) Вырежите из бумаги какой - нибудь параллелограмм и перекроите его в	прямоугольник	.
треугольник из двух , трёх , пяти и семи частей танграма ; б ) квадрат из двух и трёх частей танграма ; в )	прямоугольник	из трёх , четырёх и семи частей танграма .
3 ) Из каких частей танграма можно составить : а ) две равные фигуры ; б ) две равновеликие фигуры ; в )	прямоугольник	, равновеликий треугольнику 7 ? .
Верно ли что : а ) треугольник и квадрат равновелики ; б ) треугольник и	прямоугольник	равновелики ? .
а ) Покажите , как параллелограмм можно перекроить в	прямоугольник	.
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в	прямоугольник	, а боковая поверхность конуса — в круговой сектор ( часть круга , ограниченная двумя радиусами ) .
11 Параллелограмм перекроили в	прямоугольник	со сторонами 5 см и 4,2 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
Начертите в тетради	прямоугольник	и проведите его оси симметрии .
Значит , данные квадрат и	прямоугольник	равновелики .
Начертите какой - нибудь	прямоугольник	, отношение длин сторон которого равно 4:3 .
От других параллелограммов	прямоугольник	отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все углы прямые , и все стороны равны .
Нарисуйте какой - нибудь	прямоугольник	, равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой же площадью , стороны которых выражаются целыми числами ? .
Как надо разрезать цилиндр , чтобы в сечении получился	прямоугольник	? .
а ) На координатной плоскости постройте	прямоугольник	ABCD по координатам его вершин .
Начертите в тетради	прямоугольник	и постройте его центр симметрии .
Постройте четвёртую точку D так , чтобы получился	прямоугольник	ABCD .
5 , Прямоугольник разбили на четыре части : квадрат и три	прямоугольника	.
Диагонали	прямоугольника	равны , а диагонали квадрата не только равны , но и перпендикулярны друг другу .
Показаны способы построения следующих четырёхугольников :	прямоугольника	, квадрата , ромба и параллелограмма .
Какую длину будет иметь одна из сторон этого	прямоугольника	, если другая сторона равна 5 см ?
У какого	прямоугольника	площадь наибольшая ? .
Формула объёма периметра	прямоугольника	.
Как меняется площадь	прямоугольника	от первого к последнему случаю ?
Выразите сторону а	прямоугольника	через его периметр Р и сторону b .
Площадь квадрата равна , площадь	прямоугольника	равна .
Найдите периметры четвёртой части и всего	прямоугольника	.
Чему равны измерения	прямоугольника	, в который можно перекроить параллелограмм ?
На сторонах	прямоугольника	возьмите какие - нибудь три точки и постройте симметричные им точки относительно центра симметрии .
1 ) Чтобы найти площадь многоугольника его можно разбить на прямоугольники и вычислить результат сложением площадей или достроить его до	прямоугольника	и вычислить результат вычитанием площадей .
Чему равны стороны	прямоугольника	, который является частью развёртки ?
а ) Возьмите прямоугольный лист бумаги и найдите оси симметрии этого	прямоугольника	путём перегибания .
Является ли диагональ осью симметрии	прямоугольника	? .
Сделав соответствующий рисунок , определите , верно ли следующее утверждение : а ) Любая прямая , проходящая через центр симметрии	прямоугольника	, делит его на две равные части .
Прямые KL и MN — оси симметрии	прямоугольника	ABCD .
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см. Найдите : а ) периметр	прямоугольника	КВМО ; б ) периметр прямоугольника AKLD ; в ) периметр прямоугольника ABCD ; г ) длину ломаной ANMCD .
Достройте треугольник до	прямоугольника	.
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см. Найдите : а ) периметр прямоугольника КВМО ; б ) периметр	прямоугольника	AKLD ; в ) периметр прямоугольника ABCD ; г ) длину ломаной ANMCD .
Составим формулы периметра и площади	прямоугольника	.
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см. Найдите : а ) периметр прямоугольника КВМО ; б ) периметр прямоугольника AKLD ; в ) периметр	прямоугольника	ABCD ; г ) длину ломаной ANMCD .
Так , стороны	прямоугольника	относятся как 9:6 .
Огород имеет форму	прямоугольника	, длина которого 8 м , ширина 2,5 м .
Формула объёма	прямоугольника	.
Чтобы найти периметр	прямоугольника	, можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Какая часть	прямоугольника	закрашена ?
Найдём площади квадрата и	прямоугольника	.
Начертите три	прямоугольника	со следующим отношением сторон .
Точка О — центр симметрии	прямоугольника	ABCD .
Стороны	прямоугольника	равны 9 см и 6 см. Найдём отношения длин его сторон .
Многие известные вам фигуры симметричны : например , у	прямоугольника	две оси симметрии .
Прямые МР и KN перпендикулярны сторонам	прямоугольника	.
5 Изобразите от руки все оси симметрии : а ) квадрата ; б )	прямоугольника	; в ) равностороннего треугольника .
Найдите периметр	прямоугольника	.
Сколько процентов площади	прямоугольника	закрашено .
Из формулы площади	прямоугольника	выразите сторону b .
Периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите площадь	прямоугольника	, если его стороны относятся как .
Вычислите периметр и площадь	прямоугольника	ABCD . б ) На координатной плоскости отметьте точки .
6 Вычислите периметр и площадь	прямоугольника	со сторонами а и b , если а равно 15 см , 6 равно 100 см .
Периметр	прямоугольника	можно найти и другим способом — сложить длины его смежных сторон и результат умножить на 2 .
Обозначим площадь	прямоугольника	буквой S. Тогда .
Знаю формулы периметра треугольника , периметра и площади	прямоугольника	, объёма прямоугольного параллелепипеда и умею их применять .
Действительно , если от равных величин ( площади квадрата и площади	прямоугольника	) отнять поровну ( площадь зелёного многоугольника ) , то поровну и останется .
Обозначим длины сторон	прямоугольника	буквами а и b , тогда .
Пусть стороны	прямоугольника	, в который перекроили параллелограмм , равны 2 см и 3 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
Чтобы найти площадь	прямоугольника	, нужно перемножить длины его смежных сторон .
Параллелограмм удалось перекроить в прямоугольник , а способ вычисления площади	прямоугольника	уже известен .
Периметр	прямоугольника	равен 36 см. Найдите площадь прямоугольника , если его стороны относятся как .
Основания представляют собой два равных многоугольника , расположенные в параллельных плоскостях , боковые грани призмы —	прямоугольники	.
Точнее , его называют прямоугольным параллелепипедом : все его грани —	прямоугольники	.
1 ) Чтобы найти площадь многоугольника его можно разбить на	прямоугольники	и вычислить результат сложением площадей или достроить его до прямоугольника и вычислить результат вычитанием площадей .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует	прямоугольников	с такой же площадью , стороны которых выражаются целыми числами ? .
8 Заданы стороны	прямоугольников	.
Пусть А — множество параллелограммов , В — множество	прямоугольников	, С — множество ромбов Множество каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество	прямоугольников	, B — множество четырёхугольников .
Умею находить площадь	прямоугольного	треугольника ; знаю , как найти площадь параллелограмма , перекраивая его в прямоугольник .
7 Вычислите объём аквариума в форме	прямоугольного	параллелепипеда , измерения которого а , b и с .
Знаю формулы периметра треугольника , периметра и площади прямоугольника , объёма	прямоугольного	параллелепипеда и умею их применять .
Составьте формулу для вычисления площади S	прямоугольного	треугольника со сторонами , образующими прямой угол , равными а и b.
Длины сторон	прямоугольного	участка земли равны х м и у м .
Знаю формулы периметра треугольника , периметра и площади прямоугольника , объёма	прямоугольного параллелепипеда	и умею их применять .
7 Вычислите объём аквариума в форме	прямоугольного параллелепипеда	, измерения которого а , b и с .
Умею находить площадь	прямоугольного треугольника	; знаю , как найти площадь параллелограмма , перекраивая его в прямоугольник .
Составьте формулу для вычисления площади S	прямоугольного треугольника	со сторонами , образующими прямой угол , равными а и b.
Описанная система координат называется	прямоугольной	.
а ) Возьмите лист бумаги	прямоугольной	формы и сверните из него боковую поверхность цилиндра .
Объясните , почему рассмотренную в данном пункте систему координат называют	прямоугольной	.
Размеры участка земли	прямоугольной	формы 30 м и 50 м .
Система координат , которую вы изучали , называется	прямоугольной	.
Какую площадь внесут в документ , если комната имеет	прямоугольную	форму и её размер ? .
Постройте	прямоугольную	систему координат и отметьте точки , имеющие следующие координаты .
изображена развёртка треугольной призмы , основанием которой является	прямоугольный	равнобедренный треугольник .
а ) Возьмите	прямоугольный	лист бумаги и найдите оси симметрии этого прямоугольника путём перегибания .
Вы должны по очереди выкладывать одинаковые кубики на	прямоугольный	стол .
Точнее , его называют	прямоугольным	параллелепипедом : все его грани — прямоугольники .
Точнее , его называют	прямоугольным параллелепипедом	: все его грани — прямоугольники .
Возьмите два	прямоугольных	зеркальца и какой - нибудь предмет , например карандаш .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А	прямую	, перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
На нелинованной бумаге проведите произвольную	прямую	и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на прямой m , и постройте четырёхугольник , симметричный ему относительно прямой m .
С помощью линейки и угольника проведите через точку К	прямую	b , перпендикулярную прямой а .
На листе нелинованной бумаги проведите	прямую	k и отметьте точку С так , чтобы она : а ) лежала на прямой k ; б ) не лежала на прямой k. Перегибая лист бумаги , постройте прямую , перпендикулярную прямой к и проходящую через точку С .
Начертите в тетради координатную	прямую	, взяв за единичный отрезок 5 клеток .
Начертите отрезок АВ и проведите через его середину	прямую	, ему перпендикулярную .
Начертите окружность радиусом 3 см. Через центр окружности проведите	прямую	к.
А какую	прямую	называют перпендикулярной плоскости ?
В этом случае	прямую	k называют касательной к окружности , а точку М — точкой касания .
Проведите произвольную	прямую	b.
Построим несколько параллельных прямых и проведём	прямую	, их пересекающую .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , не пересекающий	прямую	m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на прямой m , и постройте четырёхугольник , симметричный ему относительно прямой m .
Построим точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого : проведём	прямую	АО ; по другую сторону от точки О отложим отрезок ОВ , равный отрезку ОА .
Постройте	прямую	, все точки которой имеют ординату , равную .
Начертите в тетради координатную	прямую	( за единичный отрезок примите 10 клеток ) .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С так , чтобы она : а ) лежала на прямой k ; б ) не лежала на прямой k. Перегибая лист бумаги , постройте	прямую	, перпендикулярную прямой к и проходящую через точку С .
Начертим	прямую	и отложим на ней отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью вершину — точку В ? .
На листе нелинованной бумаги проведите	прямую	k. Отметьте точку С так , чтобы она лежала на прямой k , и точку А так , чтобы она не лежала на этой прямой .
Начертите в тетради по линиям сетки : а ) две параллельные прямые а и b и прямую с , перпендикулярную прямой а ; б )	прямую	а и прямые b и с , ей перпендикулярные .
Скопируйте рисунок в тетрадь и проведите	прямую	АС .
Прямая бесконечна ; в отличие , например , от окружности эта линия незамкнутая ; через две точки можно провести только одну	прямую	.
Через точку О требуется провести	прямую	, которая разбила бы данную фигуру на две равные части .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите ломаную из двух звеньев , не пересекающую	прямую	m , и постройте ломаную , симметричную ей относительно прямой m .
Начертите координатную	прямую	и отметьте на ней числа .
Начертите координатную	прямую	и отметьте на ней красным карандашом точки , удалённые от точки 0 на 4 единицы , и синим карандашом точки , удалённые от точки – 3 на 6 единиц .
Проведите в тетради	прямую	не по линиям сетки .
Пусть дана прямая l и точка М. Построим точку , симметричную точке М относительно прямой l. Для этого : проведём через точку М	прямую	, перпендикулярную l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Для этого : одну сторону угольника расположим вдоль прямой m ; положение угольника зафиксируем линейкой ; передвинем угольник вдоль линейки и проведём новую	прямую	.
Начертите какую - нибудь	прямую	и постройте с помощью угольника прямую , ей параллельную .
Отметим точку А и проведём	прямую	l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
На листе бумаги проведите	прямую	l , отметьте три точки и обозначьте их буквами А , В и С. Постройте точки , симметричные этим точкам относительно прямой l.
Проведите какую - нибудь	прямую	, параллельную прямой а , и прямую , параллельную прямой b.
5 Проведите	прямую	а и отметьте точку К , не лежащую на этой прямой .
С помощью угольника через каждую из этих точек проведите	прямую	, перпендикулярную прямой k .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает число 0 , а другая — число 1 Точка с координатой 0 делит	прямую	на два луча .
Изображена окружность с центром в точке О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке : проведём радиус ОА ; построим	прямую	d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А .
Будем теперь перемещать	прямую	параллельно самой себе , приближая её к центру окружности .
Постройте	прямую	m , симметричную прямой к относительно прямой l .
Проведите какую - нибудь прямую , параллельную прямой а , и	прямую	, параллельную прямой b.
Начертите окружность радиусом 3 см. Проведите	прямую	, её не пересекающую .
Постройте	прямую	, все точки которой имеют абсциссу , равную 3 ; – 2 ; 0 . 2 ) а ) На координатной плоскости отметьте пять точек , имеющих ординату , равную 1 .
Назовите пары прямых , которые пересекают	прямую	а под одним и тем же углом .
Начертите в тетради по линиям сетки : а ) две параллельные прямые а и b и	прямую	с , перпендикулярную прямой а ; б ) прямую а и прямые b и с , ей перпендикулярные .
Скопируйте рисунок и постройте	прямую	l , относительно которой точки А и В симметричны .
С помощью линейки и угольника проведите через точку К	прямую	b , параллельную прямой а .
Постройте	прямую	, относительно которой прямая т симметрична прямой n.
Перегибая лист , постройте	прямую	, ей параллельную .
Начертите координатную	прямую	с единичным отрезком , равным 6 клеткам .
4 Проведите	прямую	а и отметьте точку К , не лежащую на этой прямой .
Проведите	прямую	и постройте какую - нибудь окружность радиусом 3 см , для которой эта прямая является касательной .
Проведите произвольную	прямую	b и отметьте точку К , не лежащую на этой прямой .
Проведите через полученные точки	прямую	и обозначьте её буквой l.
Проведём горизонтальную	прямую	и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает число 0 , а другая — число 1 Точка с координатой 0 делит прямую на два луча .
Начертите какую - нибудь прямую и постройте с помощью угольника	прямую	, ей параллельную .
Через точку К проведите	прямую	, параллельную прямой b .
Проведите на нём какую - нибудь	прямую	и перегните лист по этой прямой .
Проведите	прямую	и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
На листе нелинованной бумаги проведите	прямую	.
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , пересекающий	прямую	m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите ломаную из двух звеньев , не пересекающую прямую m , и постройте ломаную , симметричную ей относительно прямой m .
Пусть дана некоторая прямая m и требуется начертить	прямую	, ей параллельную .
Начертите какую - нибудь	прямую	АВ .
На нелинованной бумаге проведите произвольную	прямую	и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите ломаную из двух звеньев , не пересекающую прямую m , и постройте ломаную , симметричную ей относительно прямой m .
Изображён четырёхугольник ABCD , в котором через противоположные вершины проведены	прямые	АС и BD . 1 ) Поясните , что означают знаки , которые вы видите на чертеже , и запишите условия , выражаемые данными знаками , на математическом языке .
Какое наибольшее число точек пересечения могут иметь три	прямые	? .
В этом случае	прямые	называют перпендикулярными .
Обратите внимание : эти	прямые	лежат в разных плоскостях .
На плоскости проведены четыре	прямые	и отмечены точки , в которых эти прямые попарно пересекаются .
Постройте	прямые	а и b , пересекающиеся под углом 50 ° .
3 Постройте две перпендикулярные	прямые	, обозначьте их и запишите факт перпендикулярности , используя соответствующие символы .
21 Пересекающиеся	прямые	.
Перпендикулярные	прямые	можно начертить и с помощью угольника , и с помощью транспортира .
С помощью транспортира постройте две	прямые	, угол между которыми равен : а ) 25 ° ; б ) 70 ° ; в ) 90 ° .
Начертите окружность и две	прямые	, одна из которых пересекает окружность , а другая нет .
Умею чертить две пересекающиеся	прямые	, находить образуемые ими углы , строить перпендикулярные прямые .
Две	прямые	на плоскости или пересекаются , или параллельны .
Если	прямые	а и b параллельны , то мы будем записывать это так : а || b .
Умею чертить две пересекающиеся прямые , находить образуемые ими углы , строить перпендикулярные	прямые	.
Построены две	прямые	а и b , перпендикулярные одной и той же прямой m.
изображены две пересекающиеся	прямые	.
Укажите	прямые	, перпендикулярные плоскости пола .
На каком из рисунков изображены перпендикулярные	прямые	?
Постройте какую - нибудь окружность , для которой обе эти	прямые	являются касательными .
Если	прямые	перпендикулярны одной и той же прямой , то они параллельны .
Умею проводить параллельные	прямые	.
Постройте какой - нибудь четырёхугольник ABCD , у которого : а ) АВ ∥ CD и BC ∥ AD ; б ) AB ∥ CD и BC ∦ AD ; в ) AB ∥ CD , AB ∥ CD и BC ∦ D. ( Символ означает , что	прямые	не параллельны ) .
На плоскости две	прямые	либо пересекаются , либо параллельны .
изображены две пересекающиеся	прямые	а и b.
1 Начертите	прямые	а и b , если один из углов , образовавшихся при их пересечении , равен 60 ° .
Начертите две параллельные	прямые	.
Начертите треугольник АВС и проведите две параллельные	прямые	k и m , не пересекающие этот треугольник .
А что , если	прямые	не пересекаются ? .
Рёбра АВ и LM не параллельны , хотя	прямые	, которым они принадлежат , не пересекаются .
Случай , когда	прямые	пересекаются , мы уже рассмотрели в предыдущем пункте .
На плоскости проведены четыре прямые и отмечены точки , в которых эти	прямые	попарно пересекаются .
проведите две пересекающиеся	прямые	; начертите окружность с центром в точке пересечения прямых ; обозначьте точки пересечения прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы	прямые	, а у квадрата и все углы прямые , и все стороны равны .
Проведите в тетради две параллельные	прямые	, расстояние между которыми равно 3 см. Начертите какой - нибудь параллелограмм , одна пара сторон которого лежит на этих прямых и равна по 4 см. Начертите прямоугольник , удовлетворяющий этим условиям .
Такие	прямые	называют скрещивающимися .
Проведены параллельные	прямые	а и b и прямая с — их общий перпендикуляр .
Это очень важное свойство , характеризующее параллельные	прямые	.
Любые две	прямые	на плоскости или пересекаются , или не пересекаются .
Начертите в тетради по линиям сетки : а ) две параллельные	прямые	а и b и прямую с , перпендикулярную прямой а ; б ) прямую а и прямые b и с , ей перпендикулярные .
Изображены три параллельные	прямые	.
На рёбрах куба взяты точки О и Р Пересекает ли прямая ОР	прямые	AD , ML , АВ , DN , ВМ ? .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные	прямые	, расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными прямыми m и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
22 Параллельные	прямые	.
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные	прямые	, увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными прямыми m и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя	прямые	, параллельные двум его сторонам Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма .
Для этого на плоскости чертят две перпендикулярные	прямые	( обычно одну из них располагают горизонтально , а другую — вертикально ) и вводят на каждой из них обычные координаты .
3 ) через каждую пару точек проведите	прямые	.
Если	прямые	не пересекаются , то их называют параллельными .
7 Начертите две	прямые	, расстояние между которыми равно 25 мм .
Начертите на листе нелинованной бумаги две пересекающиеся	прямые	АВ и CD .
Начертите в тетради по линиям сетки : а ) две параллельные прямые а и b и прямую с , перпендикулярную прямой а ; б ) прямую а и	прямые	b и с , ей перпендикулярные .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все углы	прямые	, и все стороны равны .
Начертите на нелинованной бумаге без помощи транспортира две	прямые	, пересекающиеся под углом : а ) 45 ° ; б ) 60 ° .
Верно ли утверждение : « Для любых двух прямых а и b существует прямая с , относительно которой	прямые	а и b симметричны » ?
Проведём две пересекающиеся	прямые	и обозначим точку их пересечения буквой О .
Сами координатные	прямые	называют осями координат .
Какие рёбра пирамиды , принадлежат скрещивающимся	прямым	?
Начертите оси координат , которые пересекаются не под	прямым	углом , например так .
Начертите оси координат , которые пересекаются не под	прямым углом	, например так .
Вы сможете разобраться во всём этом сами , познакомившись с параллельными	прямыми	.
Длину этого отрезка и называют расстоянием между параллельными	прямыми	.
Чему равно расстояние между	прямыми	а и b ? .
А что имеют в виду , когда говорят о расстоянии между параллельными	прямыми	? .
Чему равно расстояние между параллельными	прямыми	? .
6 Чему равно расстояние : а ) от точки А до точки В ; б ) от точки А до прямой b ; в ) между	прямыми	а и b ? .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными	прямыми	m и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
Умею находить расстояние между двумя точками ; от точки до прямой ; между двумя параллельными	прямыми	.
Расскажите , как измерить расстояние между двумя параллельными	прямыми	.
Расстояние между параллельными	прямыми	.
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними	прямыми	на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными прямыми m и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
Но в геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой фигуры ( прямой , окружности ) , расстояние между двумя параллельными	прямыми	и так далее .
На каком свойстве параллельных	прямых	основан этот способ ?
2 Один из углов , образовавшихся при пересечении	прямых	а и b , равен 55 ° .
а ) Что вы можете сказать о взаимном расположении двух	прямых	?
На одной из	прямых	отложим циркулем равные отрезки ОА и ОС , а на другой — равные отрезки ОВ и OD .
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с центром в точке пересечения прямых ; обозначьте точки пересечения	прямых	и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
Может оказаться , что все четыре угла , образовавшиеся при пересечении двух	прямых	, равны между собой , тогда каждый из них равен 90 ° .
Эта прямая пересечёт каждую из параллельных	прямых	под одним и тем же углом : ∠l равно ∠2 равно ∠3 .
Построим несколько параллельных	прямых	и проведём прямую , их пересекающую .
В каждом случае охарактеризуйте взаимное расположение	прямых	с и b .
Назовите пары	прямых	, которые пересекают прямую а под одним и тем же углом .
Один из углов , образовавшихся при пересечении двух	прямых	, равен : а ) 40 ° ; б ) 110 ° ; в ) 90 ° .
Верно ли утверждение : « Для любых двух	прямых	а и b существует прямая с , относительно которой прямые а и b симметричны » ?
Сколько таких	прямых	можно построить ? .
С термином « пересечение » вы не раз встречались при изучении геометрии , когда , например , находили общие точки двух	прямых	, прямой и окружности и так далее .
Таким образом , при пересечении двух	прямых	образуются две пары вертикальных углов .
Изобразите все случаи взаимного расположения трёх	прямых	на плоскости ( случаев всего 4 ) .
Для обозначения параллельности двух	прямых	древнегреческие математики использовали знак « равно » .
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с центром в точке пересечения	прямых	; обозначьте точки пересечения прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
Найдите четыре пары параллельных	прямых	.
У этих углов общая вершина — точка пересечения	прямых	.
Точку пересечения	прямых	обозначьте буквой О. Постройте с помощью транспортира луч ОК- биссектрису угла AOD .
Бесконечно много ; на двух	прямых	, параллельных данной прямой и расположенных от неё на расстоянии 3 см. На прямой , проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой .
Проведите в тетради две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 3 см. Начертите какой - нибудь параллелограмм , одна пара сторон которого лежит на этих	прямых	и равна по 4 см. Начертите прямоугольник , удовлетворяющий этим условиям .
Найдите расстояние между каждой парой	прямых	.
Сумма трёх углов , образовавшихся при пересечении двух	прямых	, равна 254 ° .
Проведены две пары параллельных	прямых	.
Дело в том , что с давних времён строители для получения	прямых	углов пользовались отвесами — грузиками на длинной верёвке .
Как надо было провести пару	прямых	, чтобы получился : а ) квадрат ; б ) прямоугольник произвольного вида ? .
Запишите факт перпендикулярности	прямых	, используя знак 1 .
А в пространстве возможен ещё один случай взаимного расположения	прямых	.
Умею воспроизводить заданные изображения , составленные из окружностей ,	прямых	и окружностей .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два	прямых	угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Измерьте расстояние от центра окружности до каждой из этих	прямых	.
Воспользуйтесь моделью куба ; в качестве	прямых	можно использовать , например , карандаши , вязальные спицы и так далее .
Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей определите , сколько можно провести различных	прямых	, касающихся обеих окружностей .
Сколько	прямых	, параллельных прямой т , можно провести назовите рёбра куба : а ) параллельные ребру АВ , б ) перпендикулярные ребру ВС ; в ) скрещивающиеся с ребром AD .
Точка пересечения	прямых	О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой ; единичный отрезок , как правило , один и тот же .
Определите , чему равны величины углов четырёхугольника , вершинами которого являются точки пересечения	прямых	.
Точка А расположена на расстоянии 3 см от одной из двух параллельных	прямых	и на расстоянии 5 см от другой прямой .
С помощью линейки и угольника постройте несколько	прямых	, параллельных прямой b . б )
Приведите примеры перпендикулярных	прямых	, которые встречаются в окружающем мире .
Поговорим теперь подробнее о взаимном расположении двух	прямых	.
Один из углов , образовавшихся при пересечении двух пар параллельных	прямых	, равен 80 ° .
Приведите примеры параллельных и скрещивающихся	прямых	, встречающихся в окружающем мире .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два	прямых	угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Что вы можете сказать о построенных	прямых	? .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два	прямых угла	, a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два	прямых угла	; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Дело в том , что с давних времён строители для получения	прямых углов	пользовались отвесами — грузиками на длинной верёвке .
Придумайте пример	пустого множества	.
С помощью перебора мы выяснили , что у такого множества имеется 16 подмножеств ( в том числе	пустое множество	и само рассматриваемое множество ) .
Заметим , что	пустое множество	считается подмножеством любого другого множества : Ø ⊂ В. Из определения также следует , что в число подмножеств данного множества входит и само это множество : В ⊂ В .
Такое множество называют	пустым множеством	и обозначают символом Ø .
б ) За неделю туристы проехали 50 % пути на поезде и 40 %	пути	на автобусе .
Рельсы на прямолинейном участке железнодорожного	пути	должны оставаться параллельными : расстояние между ними не может уменьшаться или увеличиваться .
При этом расстояние — это всегда длина кратчайшего	пути	.
Какая часть всего	пути	проходит по лесу ?
При решении задач на движение приходится не только вычислять пройденный путь , но и по известным	пути	и времени движения находить скорость , а также по известным пути и скорости определять время движения .
Дорога по шоссе составляет 0,4 всего пути , а по просёлку — 0,5 всего	пути	.
В первый час он прошёл 40 % всего	пути	, во второй час — 50 % остатка .
Формула	пути	при движении с постоянной скоростью .
На каком участке	пути	скорость туриста была самой маленькой ? .
Сколько километров осталось пройти туристам , если они находятся в	пути	0,5 ч ? .
Когда турист прошёл 0,35 всего пути , то до середины	пути	ему осталось пройти 6 км .
Обозначим число пассажиров в автобусе до первой остановки буквой х . 2 ) Запишем равенство , отражающее последовательность входа и выхода пассажиров во время	пути	.
Формула	пути	при движении .
Дорога по шоссе составляет 0,4 всего	пути	, а по просёлку — 0,5 всего пути .
При решении задач на движение приходится не только вычислять пройденный путь , но и по известным пути и времени движения находить скорость , а также по известным	пути	и скорости определять время движения .
Какая величина является отношением	пути	ко времени ?
Так , отношение	пути	ко времени — это скорость .
Когда турист прошёл 0,35 всего	пути	, то до середины пути ему осталось пройти 6 км .
Найдите длину всего	пути	.
б ) За неделю туристы проехали 50 %	пути	на поезде и 40 % пути на автобусе .
Сколько времени затратит лодка на	путь	между пристанями туда и обратно ? .
Какой	путь	он проехал за 2 ч ?
Выполните необходимые измерения , выразите длины в сантиметрах и определите , какой	путь	короче .
Сколько километров надо идти лесом , если весь	путь	от станции до посёлка равен 3,5 км ? .
На сколько больше времени понадобится ему на обратный	путь	, если собственная скорость теплохода 32 км / ч , а скорость течения реки 4 км / ч ? .
Через сколько минут они встретились , если	путь	от одного пункта до другого занял у велосипедиста 16 мин , а у пешехода 48 мин ? .
Весь ли	путь	проехали туристы за неделю ? .
Тогда он пройдёт	путь	, равный 270 ( км ) .
Известно , что если движение происходит с постоянной скоростью , то пройденный	путь	равен произведению скорости и времени движения .
Какой	путь	он пройдёт за 1,2 ч ? .
Как проложить кратчайший	путь	от дома лесника до водоёма ? .
Если обозначить скорость движения буквой v , время движения буквой t , а пройденный	путь	буквой s ,
Если	путь	измерен в метрах , а время — в секундах , то скорость выражается в метрах в секунду и так далее .
Туристы преодолели путь в гору за 0,6 ч , а остальной	путь	до лагеря за 1,5 ч .
Самый короткий	путь	из точки А в точку В — отрезок АВ .
Если	путь	измерен в километрах , а время — в часах , то скорость будет выражена в километрах в час .
При решении задач на движение приходится не только вычислять пройденный	путь	, но и по известным пути и времени движения находить скорость , а также по известным пути и скорости определять время движения .
Остальной	путь	он прошёл за 1,2 ч .
Туристы преодолели	путь	в гору за 0,6 ч , а остальной путь до лагеря за 1,5 ч .
Расстояние в гору в 4 раза короче , чем с горы , а весь	путь	составляет 7,5 км .
б ) На	путь	от школы до стадиона Толя и три его друга затрачивают разное время : Толя ч , Саша ч , Коля ч , Петя ч .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент десятичной дробью можно коротким	путём	, не проводя приведённые выше рассуждения .
Вы сами экспериментальным	путём	убедились , что π ≈ 3 , но это приближение достаточно грубое .
Существует и	пятиугольник	с равными сторонами и равными углами , и шестиугольник .
Понятно , что « самым симметричным » среди всех пятиугольников является правильный	пятиугольник	, среди всех шестиугольников — правильный шестиугольник и так далее .
6 Достройте	пятиугольник	по заданной части и оси симметрии .
	Пятиугольника	?
Понятно , что « самым симметричным » среди всех	пятиугольников	является правильный пятиугольник , среди всех шестиугольников — правильный шестиугольник и так далее .
В математике правила часто записывают в виде	равенств	, содержащих буквы .
Какое из приближённых	равенств	точнее .
Одно из трёх	равенств	неверно .
Какие из следующих	равенств	являются пропорциями ?
Среди приведённых	равенств	найдите неверные и исправьте их .
Выберите	равенства	, являющиеся переводом на математический язык предложения « число с на 7 меньше числа 15 » .
Однако когда в XVIII в . этот знак стали использовать как знак	равенства	, параллельность стали обозначать с помощью знака || .
Точно так же можно показать , что , например . Понятно , что верны	равенства	, то есть нули , записанные в конце десятичной дроби , можно отбрасывать .
Даны	равенства	.
Такие же	равенства	можно записать с единицами массы — тоннами , килограммами , граммами .
Воспользуйтесь результатами эксперимента с калькой и допишите	равенства	.
Закончите	равенства	.
Данные	равенства	выражают некоторые свойства действий над числами .
Покажите , что верны	равенства	.
Говорят , что в первом	равенстве	s выражено через v и t , во втором t выражено через s и v , в третьем v выражено через s и t .
Если есть , то укажите их и запишите соответствующее	равенство	.
Именно это мы показываем , записывая	равенство	.
Обозначим число пассажиров в автобусе до первой остановки буквой х . 2 ) Запишем	равенство	, отражающее последовательность входа и выхода пассажиров во время пути .
Запишите	равенство	, заменив вычитание сложением .
Заполните пропуски так , чтобы получилось верное	равенство	.
Какое число надо записать в скобках , чтобы получилось верное	равенство	.
Подберите число так , чтобы получилось верное	равенство	.
Возьмём	равенство	.
Это	равенство	показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков сложения , — надо выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
Это	равенство	— формула периметра треугольника .
Так как , то можно записать и такое	равенство	.
Корень уравнения — это число , при подстановке которого в уравнение получается верное	равенство	.
Существуют ли такие значения х , при которых выполняется данное	равенство	?
а ) Для любого числа а выполняется	равенство	.
Мы записали	равенство	, которое содержит неизвестное число , обозначенное буквой .
Какое	равенство	неверно .
Запишите соответствующее буквенное	равенство	.
Например : — округление до единиц 3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье приближённое	равенство	: чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в разряде сотых .
В соответствии с этим свойством верно	равенство	.
Такое	равенство	называют уравнением .
Закончите	равенство	и дайте словесную формулировку этого свойства .
Верно ли	равенство	.
Поэтому можно записать	равенство	.
Составьте формулу периметра	равнобедренного	треугольника , у которого длина основания равна а , а длина боковой стороны равна b .
Есть ось симметрии и у	равнобедренного	треугольника .
Составьте формулу периметра	равнобедренного треугольника	, у которого длина основания равна а , а длина боковой стороны равна b .
Есть ось симметрии и у	равнобедренного треугольника	.
В	равнобедренном	треугольнике одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является основанием ? .
В	равнобедренном треугольнике	одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является основанием ? .
а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см . б )	равнобедренный	треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — по 4 см .
изображена развёртка треугольной призмы , основанием которой является прямоугольный	равнобедренный	треугольник .
Постройте	равнобедренный	треугольник , основание которого равно 4 см , а боковые стороны — по 5 см .
Ось симметрии разбивает	равнобедренный	треугольник на две равные части .
Перегибая лист бумаги , постройте	равнобедренный	треугольник .
Постройте	равнобедренный	треугольник , боковые стороны которого равны по 5 см , а угол между ними равен 110 ° .
изображена развёртка треугольной призмы , основанием которой является прямоугольный	равнобедренный треугольник	.
Постройте	равнобедренный треугольник	, основание которого равно 4 см , а боковые стороны — по 5 см .
Постройте	равнобедренный треугольник	, боковые стороны которого равны по 5 см , а угол между ними равен 110 ° .
Ось симметрии разбивает	равнобедренный треугольник	на две равные части .
а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см . б )	равнобедренный треугольник	, основание которого равно 7 см , а боковые стороны — по 4 см .
Перегибая лист бумаги , постройте	равнобедренный треугольник	.
Начертите в тетради несколько	равнобедренных	треугольников с общим основанием , равным 6 см. Где расположены вершины этих треугольников ? .
А если взять два равных	равнобедренных	треугольника ?
а ) А — множество всех треугольников , B — множество	равнобедренных	треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Постройте на нелинованной бумаге два	равнобедренных	треугольника со сторонами 3 см , 5 см , 5 см и со сторонами 7 см , 4 см , 4 см. В каждом треугольнике проведите ось симметрии , отметьте равные отрезки и равные углы .
А если взять два равных	равнобедренных треугольника	?
Постройте на нелинованной бумаге два	равнобедренных треугольника	со сторонами 3 см , 5 см , 5 см и со сторонами 7 см , 4 см , 4 см. В каждом треугольнике проведите ось симметрии , отметьте равные отрезки и равные углы .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество	равнобедренных треугольников	, С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Начертите в тетради несколько	равнобедренных треугольников	с общим основанием , равным 6 см. Где расположены вершины этих треугольников ? .
3 ) Из каких частей танграма можно составить : а ) две равные фигуры ; б ) две	равновеликие	фигуры ; в ) прямоугольник , равновеликий треугольнику 7 ? .
Фигуры	равновеликие	.
Назовите	равновеликие	фигуры .
3 ) Из каких частей танграма можно составить : а ) две равные фигуры ; б ) две равновеликие фигуры ; в ) прямоугольник ,	равновеликий	треугольнику 7 ? .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник ,	равновеликий	квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой же площадью , стороны которых выражаются целыми числами ? .
Две фигуры , имеющие одинаковые площади , называют	равновеликими	.
AС - ось симметрии параллелограмма . Знаю , какие фигуры называют	равновеликими	.
Треугольник AMN —	равносторонний	. 3 )
Начертите в тетради	равносторонний	треугольник и проведите все его оси симметрии .
Таким образом ,	равносторонний	треугольник — это правильный треугольник , а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Если треугольник	равносторонний	, то формула периметра примет другой вид .
Постройте	равносторонний	треугольник со стороной 6 см . б )
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги	равносторонний	треугольник со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Легко догадаться , что « самый симметричный треугольник » — это	равносторонний	треугольник , у него 3 оси симметрии , а « самый симметричный четырёхугольник » — квадрат , у него 4 оси симметрии .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте	равносторонний	треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Таким образом ,	равносторонний треугольник	— это правильный треугольник , а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Постройте	равносторонний треугольник	со стороной 6 см . б )
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги	равносторонний треугольник	со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Начертите в тетради	равносторонний треугольник	и проведите все его оси симметрии .
Легко догадаться , что « самый симметричный треугольник » — это	равносторонний треугольник	, у него 3 оси симметрии , а « самый симметричный четырёхугольник » — квадрат , у него 4 оси симметрии .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте	равносторонний треугольник	; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
два равных	равносторонних	треугольника ? .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество	равносторонних	треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
два равных	равносторонних треугольника	? .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество	равносторонних треугольников	. б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Шара	радиус	.
5 Воспроизведите рисунок , взяв	радиус	окружностей равным 2 см .
Сначала найдём	радиус	арены .
Объём шара равен : где r —	радиус	шара .
Существует и формула площади круга : где S — площадь круга , r —	радиус	круга В эту формулу также входит число π .
Воспроизведите рисунок (	радиус	задайте самостоятельно ) .
Изображена окружность с центром в точке О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке : проведём	радиус	ОА ; построим прямую d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А .
Пусть	радиус	одной окружности равен 3 см , другой – 1 см. Сравните расстояние между их центрами : а ) с суммой радиусов б ) с разностью радиусов .
Выполните следующие построения на альбомном листе бумаги : 1 ) Начертите отрезок АВ длиной 6 см. 2 ) Проведите окружность с центром в точке А ,	радиус	которой равен 4 см. 3 )
А шаров ,	радиус	которых равен 1 см ? .
Вычислите объём шара ,	радиус	которого равен 3 см ; 1 м .
Радиус меньшей окружности равен 2 см ,	радиус	средней — 3 см. Чему равен радиус большей окружности ?
Радиус меньшей окружности равен 2 см , радиус средней — 3 см. Чему равен	радиус	большей окружности ?
Bзображена следующая ситуация :	радиус	большей окружности равен 6 см , радиус меньшей — 4 см , расстояние между центрами окружностей равно 1 см ?
Bзображена следующая ситуация : радиус большей окружности равен 6 см ,	радиус	меньшей — 4 см , расстояние между центрами окружностей равно 1 см ?
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр ,	радиус	и диаметр .
Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности , если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см , а	радиус	окружности равен : а ) 3 см ; б ) 4 см ; в ) 6 см ? .
а ) Вычислите длину окружности , диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б ) Вычислите длину окружности ,	радиус	которой равен 7,5 см ; 5 м .
Отметьте центр шара , начертите его	радиус	и диаметр .
Для каждого случая сравните	радиус	окружности и расстояние от центра окружности до прямой .
К окружности ,	радиус	которой равен 6 см , проведены две параллельные касательные .
а ) Вычислите площадь круга ,	радиус	которого равен 100 м ; 20 см . б )
Всё время , пока это расстояние будет меньше	радиуса	, прямая будет пересекать окружность .
Так , множество жителей планеты Земля конечно ( хотя их число очень велико — порядка 6 млрд ) , а множество точек окружности ( даже небольшого	радиуса	) бесконечно .
Оно больше	радиуса	окружности .
Знаю все случаи взаимного расположения двух окружностей на плоскости ; умею определять взаимное расположение двух окружностей по заданным	радиусам	и расстоянию между их центрами .
Начертите две окружности	радиусами	, равными 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше длины первой ?
4 Начертите три концентрические окружности с	радиусами	2,5 см , 3 см , 3,5 см .
Начертите три концентрические окружности с	радиусами	2 см , 3 см , 4 см .
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность конуса — в круговой сектор ( часть круга , ограниченная двумя	радиусами	) .
Пусть радиус одной окружности равен 3 см , другой – 1 см. Сравните расстояние между их центрами : а ) с суммой радиусов б ) с разностью	радиусов	.
Пусть радиус одной окружности равен 3 см , другой – 1 см. Сравните расстояние между их центрами : а ) с суммой	радиусов	б ) с разностью радиусов .
На этот раз касание будет внутренним , и расстояние между центрами станет равным разности	радиусов	.
В какой - то момент меньшая окружность коснётся большей , и расстояние между их центрами будет равно сумме	радиусов	.
Меньшая окружность целиком находится вне большей , и расстояние между их центрами больше суммы	радиусов	.
В первом случае окружности пересеклись , потому что расстояние между их центрами меньше суммы их	радиусов	.
При втором построении окружности не пересеклись , так как расстояние между их центрами больше суммы их	радиусов	.
Ясно , что треугольник не получится и в том случае , если расстояние между центрами окружностей равно сумме их	радиусов	.
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных	радиусов	, касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Верно ли , что площадь круга с	радиусом	10 см больше 300 см2 ? .
Начертите окружность	радиусом	3 см. Через центр окружности проведите прямую к.
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и	радиусом	4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Любая точка , удалённая от точки А на 3 см , лежит на окружности с центром в точке А и	радиусом	3 см .
Начертите окружность	радиусом	3 см. Проведите прямую , её не пересекающую .
Проведите прямую и постройте какую - нибудь окружность	радиусом	3 см , для которой эта прямая является касательной .
Что больше : а ) площадь круга с радиусом , равным 2 см , или площадь квадрата со стороной , равной 3 см ; б ) площадь круга с	радиусом	, равным 5 см , или площадь квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Две окружности	радиусом	5 см касаются друг друга внешним образом .
Что больше : а ) площадь круга с	радиусом	, равным 2 см , или площадь квадрата со стороной , равной 3 см ; б ) площадь круга с радиусом , равным 5 см , или площадь квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Касательная перпендикулярна	радиусу	, проведённому в точку касания .
Чтобы построить правильный шестиугольник , можно разделить окружность на шесть равных частей ( пройти по ней циркулем с шагом , равным её	радиусу	) и соединить последовательно все полученные точки .
Как только оно опять станет равным	радиусу	, мы получим ещё одну касательную .
В какой - то момент расстояние от центра до прямой станет равным	радиусу	и точка М окажется на окружности .
Изображена окружность с центром в точке О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке : проведём радиус ОА ; построим прямую d , перпендикулярную	радиусу	ОА и проходящую через точку А .
Для метания снаряда праща вращается над головой , а в момент наиболее сильного маха её свободный конец выпускается , и снаряд летит по прямой , перпендикулярной	радиусу	окружности в момент отрыва .
Кольцо ограничено двумя окружностями ,	радиусы	которых равны 3 см и 5 см. Чему равна площадь этого кольца ? .
Будем проводить окружности с центром в точке О , увеличивая их	радиусы	, пока одна из них не достигнет водоёма .
В таблице приведены расстояние ОА между центрами двух окружностей и их	радиусы	R и r. Постройте эти окружности .
Найдите расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими точками двух окружностей , если : а )	радиусы	окружностей равны 3 см и 4 см , а расстояние между центрами — 10 см ; б ) радиусы окружностей равны 2 см и 5 см , а расстояние между центрами — 1 см .
Найдите расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими точками двух окружностей , если : а ) радиусы окружностей равны 3 см и 4 см , а расстояние между центрами — 10 см ; б )	радиусы	окружностей равны 2 см и 5 см , а расстояние между центрами — 1 см .
Чему равны их	радиусы	? .
2 )	разделив	уголком числитель дроби на знаменатель .
Ученик задумал число , умножил его на 4 , к результату прибавил 16 , эту сумму	разделил	на 2 и получил 23 .
Петя задумал число , прибавил к нему 1 , результат	разделил	на 25 и из результата вычел 4 , после чего получил 0 .
Хозяин	разделил	между ними пакет с кормом в отношении , равном отношению их масс .
Одна из девочек , Таня , нашла себе трёх помощниц , с которыми	разделила	свою часть работы поровну .
Чтобы определить среднюю урожайность с грядки , она вычислила массу моркови и результат	разделила	на три .
Отрезок длиной 36 см	разделили	на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
и	разделили	их в отношении 2:1 .
Новый остаток раздробили в сотые и	разделили	27 сотых на 3 .
Остаток от деления раздробили в десятые и	разделили	14 десятых .
Сначала	разделили	на 3 целую часть дроби 7,47 , после этого в частном поставили запятую .
Для большей точности минуту 60	разделили	ещё на 60 частей и получили секунды : в минуте 60 секунд , так что 1 секунда это часть минуты .
Отрезок MN сначала	разделили	точками А и В на 3 равные части , а затем точками С , D и Е на 4 равные части .
Градус	разделили	на 60 равных частей — минут : в градусе 60 минут , так что 1 минута это часть градуса .
Они	разделили	всю работу поровну .
Сначала мы	разделили	числитель и знаменатель на 2 .
И наконец ,	разделили	числитель и знаменатель на 3 .
Минута — это первый шаг уменьшения ( градус	разделили	на 60 равных частей ) , а секунда — второй ( минуту разделили на 60 равных частей ) .
Пирог	разделили	на 6 равных частей .
Одну из них	разделили	ещё на 3 равные части .
Минута — это первый шаг уменьшения ( градус разделили на 60 равных частей ) , а секунда — второй ( минуту	разделили	на 60 равных частей ) .
Вместе с Толей они	разделили	непокрашенную часть забора поровну и докрасили забор .
б ) В коробку с конфетами добавили 19 конфет и	разделили	их поровну между 8 детьми .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника	разделите	на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Чтобы	разделить	десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
Попробуем теперь	разделить	дробь 851,3 на 10 000 .
Чтобы	разделить	десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
в ) Чтобы найти десятую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на . г ) Чтобы найти сотую часть некоторого числа , нужно это число	разделить	на или умножить на .
Поэтому , чтобы найти 10 % от какой - либо величины , достаточно	разделить	эту величину на 10 .
Чтобы построить правильный шестиугольник , можно	разделить	окружность на шесть равных частей ( пройти по ней циркулем с шагом , равным её радиусу ) и соединить последовательно все полученные точки .
в ) Чтобы найти десятую часть некоторого числа , нужно это число	разделить	на или умножить на . г ) Чтобы найти сотую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
Чтобы узнать , какую часть меньшее число составляет от большего , надо первое число	разделить	на второе .
а ) Чтобы найти половину некоторого числа , нужно это число	разделить	на или умножить на .
Если числитель и знаменатель дроби умножить или	разделить	на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Чтобы найти 20 % от 200 , нужно 200	разделить	на 100 и результат умножить на 20 .
Понятно , что 20 % от 200 можно было найти проще : так как 20 % — это , то достаточно было	разделить	200 на 5 , а именно .
Чтобы найти число по его части , нужно эту часть	разделить	на дробь , ей соответствующую .
Так как всё население составляет , то 32 000 надо	разделить	на 2 и результат умножить на 5 .
Так как 1 м равно 100 см , то , для того чтобы перейти от сантиметров к метрам , то есть к более крупным единицам , нужно 175	разделить	на 100 .
Чтобы найти модуль частного , надо модуль делимого	разделить	на модуль делителя .
На примере вычисления частного чисел 11,9 и 5 расскажите , как можно	разделить	уголком десятичную дробь на натуральное число .
На какое число нужно умножить или	разделить	число 25,6 , чтобы в результате получилось .
Если умножить или	разделить	оба члена отношения на одно и то же число , не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
б ) Чтобы найти четверть некоторого числа , нужно это число	разделить	на или умножить на .
Чтобы	разделить	одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на дробь , обратную второй .
Поэтому , чтобы найти один процент от величины , нужно	разделить	эту величину на 100 .
Расскажите , как	разделить	550 г конфет в отношении 2:3 .
Чтобы выразить проценты десятичной дробью , надо число , стоящее перед знаком % ,	разделить	на 100 , или , что одно и то же , умножить на 0,01 .
Это свойство можно использовать для построения правильного многоугольника :	разделить	окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления .
Таким образом , 50 билетов надо	разделить	в отношении 3:2 .
В практической жизни человека — при использовании кулинарных рецептов , при приготовлении смесей и растворов , при распределении доходов — часто возникает необходимость	разделить	ту или иную величину на части , отношение которых равно заданному отношению .
В школе решили , что будет справедливо	разделить	билеты в том же отношении , в котором находится число пятиклассников и число шестиклассников , то есть в отношении 72 к 48 .
Как	разделить	билеты между пятиклассниками и шестиклассниками ? .
Для этого надо эту часть	разделить	на дробь , ей соответствующую ; получим 10 800 р .
В таких случаях говорят , что требуется	разделить	величину в данном отношении .
1 Отрезок АВ	разделён	точкой С на две части так , что АС равно 1,2 дм , ВС равно 6 см. Что показывают отношения .
Квадрат	разделён	на 16 маленьких квадратов , один из которых окрашен .
а ) На сколько частей	разделён	отрезок ?
При	разложении	каждого из этих чисел на простые множители получается одинаковое число двоек и пятёрок .
При	разложении	её знаменателя на простые множители получается произведение .
Никаких других множителей эти	разложения	не содержат .
В три коробки продавец	разложил	имеющиеся для продажи пряники .
Учитель	разложил	весь имеющийся мел в две коробки в отношении 7:4 .
в ) Для консервирования фруктов 5 кг слив	разложили	в семи банках поровну .
Сколькими способами можно	разложить	три разные по достоинству монеты в два кармана ? .
На примере вычисления суммы и	разности	чисел 7,85 и 0,534 объясните , как складывают и как вычитают десятичные дроби .
Если вы хорошо научились складывать целые числа , то сумеете вычислять и их	разности	.
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и	разности	чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
Это определение	разности	мы распространим и на целые числа .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е ) произведение	разности	чисел х и у и их суммы .
Для сравнения чисел и величин существует два способа : вычисление	разности	или вычисление частного .
Сформулируйте правило нахождения	разности	двух целых чисел .
4 Запишите произведение суммы двух чисел а и b и их	разности	.
1 На примерах вычисления суммы и	разности	чисел 24,9 и 8,23 расскажите , как складывают и вычитают десятичные дроби .
На этот раз касание будет внутренним , и расстояние между центрами станет равным	разности	радиусов .
Сформулируйте правило вычисления	разности	двух целых чисел и запишите его с помощью букв .
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Используя неравенство треугольника , определите , сколько различных	разносторонних	треугольников можно построить из этих отрезков .
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Используя неравенство треугольника , определите , сколько различных	разносторонних треугольников	можно построить из этих отрезков .
в )	разность	числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , «	разность	» , « произведение » , « частное » .
Чтобы вычислить	разность	чисел 15,6 и 8,8 , преобразуем её так , чтобы вычитаемое стало круглым числом .
Для этого прибавим к вычитаемому 1,2 , а чтобы	разность	не уменьшилась , прибавим 1,2 к уменьшаемому .
Чтобы найти сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму или	разность	их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Чтобы найти сумму (	разность	) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
а ) – 10 — 20 — это	разность	чисел – 10 и 20 ; представьте её в виде суммы .
Найдём	разность	чисел .
Разберите , как вычислена	разность	24,7 — 6,835 .
Чтобы найти сумму или	разность	дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю .
Найдите сумму или	разность	.
Итак ,	разность	равна – 5 .
Чему равна	разность	? .
Таким образом , чтобы найти	разность	чисел 2 и 7 , нужно к числу 2 прибавить число – 7 .
Чтобы найти сумму или	разность	дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму или разность их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Найдите	разность	.
В каждом случае найдите	разность	между полученным приближённым значением и данной дробью .
Найдём	разность	.
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж )	разность	чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Пусть радиус одной окружности равен 3 см , другой – 1 см. Сравните расстояние между их центрами : а ) с суммой радиусов б ) с	разностью	радиусов .
Вспомним , что	разностью	чисел а и b называется такое число с , которое при сложении с числом b даёт число а .
Третьим справа идёт	разряд	тысячных , четвёртым — разряд десятитысячных и так далее .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик —	разряд	под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Третьим справа идёт разряд тысячных , четвёртым —	разряд	десятитысячных и так далее .
Второй разряд так и называется —	разряд	сотых .
Как и натуральные числа , их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим —	разряд	под разрядом .
Поэтому первым справа от разряда единиц помещают	разряд	десятых .
Например , в десятичной дроби 6,8105 последний	разряд	— это десятитысячные .
Второй	разряд	так и называется — разряд сотых .
Для этого в записи таких дробей стали использовать новые разряды , располагая их правее	разряда	единиц .
Единица второго	разряда	справа от запятой должна быть в 10 раз меньше , чем .
В её основе число 10 : единица каждого	разряда	в 10 раз больше единицы предыдущего разряда .
Поэтому первым справа от	разряда	единиц помещают разряд десятых .
До какого	разряда	округляли десятичную дробь , если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Рабочий высшего	разряда	может выполнить заказ за 12 дней , менее опытный рабочий — за 20 дней .
При чтении десятичной дроби сначала называют её часть , стоящую перед запятой , и добавляют слово « целых » , затем называют часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего	разряда	.
Правее	разряда	десятых стоит цифра , большая 5 , поэтому цифру в разряде десятых следует увеличить на единицу .
Если справа от	разряда	, до которого округляют число , стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого разряда прибавляют 1 , в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
В её основе число 10 : единица каждого разряда в 10 раз больше единицы предыдущего	разряда	.
Если справа от разряда , до которого округляют число , стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого	разряда	прибавляют 1 , в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
Это правило действует по отношению ко всем разрядам , кроме самого младшего —	разряда	единиц .
все цифры , расположенные правее	разряда	, до которого округляют число , отбрасывают .
Это правило действует по отношению ко всем	разрядам	, кроме самого младшего — разряда единиц .
Десятичные дроби , как и натуральные числа , сравнивают по	разрядам	, и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными дробями .
4 ) В каких	разрядах	содержится одинаковое количество единиц ? .
Цифры в	разрядах	единиц , десятых , сотых и тысячных одинаковы , а в следующем разряде цифры различны : в первой дроби стоит цифра 1 , а во второй — цифра 0 .
В каком	разряде	стоит цифра 0 ?
Цифры в разрядах единиц , десятых , сотых и тысячных одинаковы , а в следующем	разряде	цифры различны : в первой дроби стоит цифра 1 , а во второй — цифра 0 .
Прибавив единицу к цифре 9 в	разряде	сотых , мы получили 10 сотых .
Какая цифра записана в разряде десятков и какая — в	разряде	десятых ? .
Поэтому в разряде сотых оказался 0 , а в	разряде	десятых добавилась одна разрядная единица .
Поэтому в	разряде	сотых оказался 0 , а в разряде десятых добавилась одна разрядная единица .
Какая цифра записана в	разряде	десятков и какая — в разряде десятых ? .
Правее разряда десятых стоит цифра , большая 5 , поэтому цифру в	разряде	десятых следует увеличить на единицу .
Например : — округление до единиц 3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в	разряде	сотых .
Целые части этих дробей одинаковы , но различаются цифры в	разряде	десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
Уравняем число	разрядов	, приписав ко второй дроби цифру 0 .
Как и натуральные числа , их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под	разрядом	.
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под	разрядом	, запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Для этого в записи таких дробей стали использовать новые	разряды	, располагая их правее разряда единиц .
Какие	разряды	она содержит ? .
В практической жизни человека — при использовании кулинарных рецептов , при приготовлении смесей и растворов , при	распределении	доходов — часто возникает необходимость разделить ту или иную величину на части , отношение которых равно заданному отношению .
Модуль	рационального	числа всегда положителен .
Модуль	рационального числа	всегда положителен .
1 Верно ли утверждение : а ) всякое натуральное число является рациональным ; б ) всякое	рациональное	число является целым .
Существуют разные версии происхождения термина «	рациональное	число » .
Пользуясь рассмотренным свойством , любое	рациональное	число мы можем записать в виде дроби , числитель которой — целое число , знаменатель — натуральное .
Запишите на символическом языке следующие утверждения : а ) число 18 — натуральное ; б ) число – 26 —	рациональное	; в ) число 2,7 не является целым ; г ) число – 1,5 не является натуральным .
Вообще любое	рациональное	число можно представить в виде , где m — целое число , n — натуральное .
Согласно одной из них , слово «	рациональное	» произошло от латинского слова ratio , означающего « разум » .
Существуют разные версии происхождения термина «	рациональное число	» .
1 Верно ли утверждение : а ) всякое натуральное число является рациональным ; б ) всякое	рациональное число	является целым .
Вообще любое	рациональное число	можно представить в виде , где m — целое число , n — натуральное .
Пользуясь рассмотренным свойством , любое	рациональное число	мы можем записать в виде дроби , числитель которой — целое число , знаменатель — натуральное .
А теперь надо научиться сравнивать любые	рациональные	числа .
Умею сравнивать	рациональные	числа .
Умею сравнивать	рациональные числа	.
А теперь надо научиться сравнивать любые	рациональные числа	.
Вычислите	рациональным	способом .
1 Верно ли утверждение : а ) всякое натуральное число является	рациональным	; б ) всякое рациональное число является целым .
Правила деления с	рациональными	числами .
Правила умножения с	рациональными	числами .
Правила вычитания с	рациональными	числами .
Назовите те из них , которые являются : а ) натуральными ; б ) целыми ; в ) отрицательными дробными ; г )	рациональными	.
Умею выполнять вычисления с	рациональными	числами , находить значения буквенных выражений , подставляя вместо букв заданные числа .
111 Какие числа называют	рациональными	.
А для противопоставления привычные , « хорошие » числа назвали « разумными » ,	рациональными	.
113 Действия с	рациональными	числами .
Правила сложения с	рациональными	числами .
Умею выполнять вычисления с	рациональными числами	, находить значения буквенных выражений , подставляя вместо букв заданные числа .
Множество	рациональных	чисел , как и множества натуральных и целых чисел , имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
112 Сравнение	рациональных	чисел .
Этими правилами пользуются при сложении не только целых чисел , но и любых	рациональных	чисел .
Вычитание	рациональных	чисел , как и целых , сводится к сложению .
В заключение подчеркнём , что действия сложения и умножения	рациональных	чисел , так же как и целых чисел , обладают переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
Сформулируйте правила знаков для умножения и деления	рациональных	чисел .
Так , — примеры	рациональных	чисел .
При умножении и делении двух	рациональных	чисел , как и целых , сначала по правилам знаков определяют знак результата , а затем находят его модуль .
Множество	рациональных	чисел .
Прочитайте разными способами соотношения между множествами натуральных , целых и	рациональных	чисел и изобразите каждое из них с помощью кругов Эйлера .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества	рациональных	чисел .
Например . Целые и дробные числа вместе составляют множество	рациональных	чисел .
Знаю соотношения между подмножествами множества	рациональных	чисел .
Сформулируйте правила знаков для умножения и деления	рациональных чисел	.
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества	рациональных чисел	.
Этими правилами пользуются при сложении не только целых чисел , но и любых	рациональных чисел	.
112 Сравнение	рациональных чисел	.
Так , — примеры	рациональных чисел	.
Знаю соотношения между подмножествами множества	рациональных чисел	.
Множество	рациональных чисел	, как и множества натуральных и целых чисел , имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
При умножении и делении двух	рациональных чисел	, как и целых , сначала по правилам знаков определяют знак результата , а затем находят его модуль .
В заключение подчеркнём , что действия сложения и умножения	рациональных чисел	, так же как и целых чисел , обладают переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
Прочитайте разными способами соотношения между множествами натуральных , целых и	рациональных чисел	и изобразите каждое из них с помощью кругов Эйлера .
Например . Целые и дробные числа вместе составляют множество	рациональных чисел	.
Множество	рациональных чисел	.
Вычитание	рациональных чисел	, как и целых , сводится к сложению .
б ) У призмы 33	ребра	.
Выразите длину какого - либо	ребра	параллелепипеда через его объём и длины двух других рёбер .
И Ребро одного куба равно 10 см , а другого — 5 см Найдите отношение : 1 )	ребра	малого куба к ребру большого куба .
Вычислите неизвестную длину третьего	ребра	параллелепипеда , если .
Обозначьте длину его	ребра	какой - нибудь буквой и составьте формулу объёма куба .
Какой из отрезков самый длинный :	ребро	куба АВ , диагональ грани АС или диагональ куба AD ?
Боковое	ребро	параллелепипеда равно а см , ребро основания равно b см .
Посмотрите на куб :	ребро	АВ перпендикулярно грани AKND .
Боковое ребро параллелепипеда равно а см ,	ребро	основания равно b см .
Решите задачу и прокомментируйте	решение	.
Оба способа сравнения чисел постоянно используются при	решении	практических задач , но служат они для разных целей .
Но нам такая точность не нужна , и при	решении	задач мы будем считать , что π ≈ 3,14 .
Объясните каждый шаг в	решении	следующих уравнений .
При	решении	задач на движение приходится не только вычислять пройденный путь , но и по известным пути и времени движения находить скорость , а также по известным пути и скорости определять время движения .
Дайте несколько	решений	.
Сколько	решений	имеет задача ? .
Какое можно выдвинуть предположение на основе	решения	этих задач ?
11 Решите уравнение , объясняя каждый шаг	решения	.
Ищем способ	решения	.
Составьте задачу , для	решения	которой нужно выполнить следующее действие .
Умею вычислять значения выражений , содержащих дробные числа , в том числе в ходе	решения	задач .
Запись	решения	можно вести цепочкой .
Математики Древней Греции неожиданно обнаружили , что для	решения	такой практически важной задачи , как измерение длин отрезков , не хватает не только целых , но и дробных чисел , так что возникла необходимость в изобретении новых чисел .
Почему задача имеет два	решения	? .
Составьте задачу , для	решения	которой надо выполнить следующее действие .
Для каждого случая укажите все	решения	.
Представьте данное число в виде произведения двух десятичных дробей ( укажите два	решения	) .
Способы	решения	всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу , в которой участвуют три величины , обозначенные буквами s , v и t. Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по v и t умножением находим s ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по s и t делением находим t ) .
Разбираем способ	решения	.
Умею применять перебор возможных вариантов для	решения	комбинаторных задач .
Для составления плана	решения	посмотрите план .
В ходе	решения	задачи мы перешли от десятичной дроби 0,54 к процентам : 0,54 — это 54 % .
немецкий математик Георг Кантор ( 1845–1918 ) для	решения	стоявших перед ним задач предложил новое математическое понятие — множество , суть которого можно передать словами : объединение , набор , совокупность .
Ищем способ	решения	а ) Андрей и Борис занимаются боксом .
Составьте план	решения	задачи : « Оля вышла из дома , а через 6 мин её сестра отправилась вдогонку за ней .
Рассмотрим два способа	решения	задачи .
Из Древней Греции пришло к нам и слово «	ромб	» , означающее « волчок » , чей силуэт действительно имеет форму ромба .
Представьте , что вам необходимо вырезать из листа бумаги	ромб	, а у вас нет никаких чертёжных инструментов .
Всякий	ромб	является .
Начертите : а ) какой - нибудь параллелограмм , диагонали которого равны 4 см и 6 см ; б )	ромб	, диагонали которого равны 4 см и 6 см .
Какими свойствами обладает	ромб	?
Вычислите периметр : а ) параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см ; б )	ромба	со стороной 8,5 см .
Из Древней Греции пришло к нам и слово « ромб » , означающее « волчок » , чей силуэт действительно имеет форму	ромба	.
Составьте формулу для вычисления периметра : а ) параллелограмма ; б )	ромба	.
5 Что больше : периметр параллелограмма со сторонами 3 см и 5 см или периметр	ромба	со стороной 4 см ? .
Показаны способы построения следующих четырёхугольников : прямоугольника , квадрата ,	ромба	и параллелограмма .
Воспользуйтесь тем , что у	ромба	две оси симметрии .
Диагонали	ромба	, кроме свойств , присущих всем параллелограммам , обладают ещё одним : они перпендикулярны друг другу .
Пусть А — множество параллелограммов , В — множество прямоугольников , С — множество	ромбов	Множество каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
Сколько	ромбов	?
Параллелограмм , у которого все стороны равны , называют	ромбом	.
Изображены	ромбы	АВСЕ и BCDE .
Разные музыкальные инструменты составляют оркестр , буквы — алфавит , а числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 — натуральный	ряд	.
Сколькими способами можно расположить в	ряд	буквы о , р , т ?
Поэтому , записывая целые числа в	ряд	, мы также можем заменить запятые на знак « меньше » .
Целые числа также можно расположить в	ряд	, но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
Кроме почтовых адресов и номеров телефонов , вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра ( номер	ряда	и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических координат ( долгота и широта ) и так далее .
Продолжите фрагмент	ряда	целых чисел влево и вправо , записав ещё по три числа .
Если домножить его на три пятёрки , то получится один из знаменателей указанного	ряда	— число 1000 .
В кинозале n	рядов	, в каждом ряду k кресел .
Выразите n через N и k . 3 ) Сколько кресел в каждом ряду , если всего в кинозале 176 мест и 11	рядов	?
Сколько в кинозале	рядов	, если в каждом ряду 15 кресел , а всего в кинозале 300 мест ?
Сколько в кинозале рядов , если в каждом	ряду	15 кресел , а всего в кинозале 300 мест ?
В натуральном	ряду	есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до бесконечности .
В натуральном	ряду	числа идут в том порядке , в котором они появляются при счёте .
В кинозале n рядов , в каждом	ряду	k кресел .
Двигаясь по натуральному	ряду	вправо , мы переходим от меньшего числа к большему , а двигаясь влево — от большего числа к меньшему ; поэтому запятые можно заменить на знак « меньше » .
Из двух целых чисел больше то , которое в	ряду	целых чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
В натуральном ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному	ряду	вправо как угодно далеко , до бесконечности .
Выразите n через N и k . 3 ) Сколько кресел в каждом	ряду	, если всего в кинозале 176 мест и 11 рядов ?
всего	рёбер	?
Выразите длину какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и длины двух других	рёбер	.
Существует ли призма , у которой 100	рёбер	? .
Число вершин ; Число	рёбер	; Число граней .
Что это за многогранник , если у него : а ) 13 вершин ; б ) 15	рёбер	? .
Сколько вершин ,	рёбер	, граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
а ) Сколько у пятиугольной призмы боковых	рёбер	?
Назовите все пары	рёбер	.
Пусть в многограннике В — число вершин , Р — число	рёбер	и Г — число граней .
Сумма числа вершин и	рёбер	призмы равна 25 .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а ) треугольной призмы , все рёбра которой равны по 10 см ; б ) пятиугольной призмы , боковые	рёбра	которой равны по 8 см , а все рёбра основания равны по 5 см ? .
Сверните каждый	сектор	в конус .
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность конуса — в круговой	сектор	( часть круга , ограниченная двумя радиусами ) .
б ) Вырежите из одного и того же круга два неравных	сектора	.
У какого конуса высота оказалась больше : полученного из большего	сектора	или из меньшего ?
В то же время в системе измерения времени и углов сохранились древние традиции : например , час делится на 60 минут , минута — на 60	секунд	.
Для большей точности минуту 60 разделили ещё на 60 частей и получили секунды : в минуте 60	секунд	, так что 1 секунда это часть минуты .
Для большей точности минуту 60 разделили ещё на 60 частей и получили секунды : в минуте 60 секунд , так что 1	секунда	это часть минуты .
А название «	секунда	» понятно каждому , кто изучает английский или французский язык .
Каждый день вы произносите слова « минута » и «	секунда	» .
Минута — это первый шаг уменьшения ( градус разделили на 60 равных частей ) , а	секунда	— второй ( минуту разделили на 60 равных частей ) .
Интересно отметить , что в современном спорте , где	секунда	оказалась слишком большой единицей для измерения результатов , используется смешанная система измерения времени .
Если путь измерен в метрах , а время — в	секундах	, то скорость выражается в метрах в секунду и так далее .
Если путь измерен в метрах , а время — в секундах , то скорость выражается в метрах в	секунду	и так далее .
Для большей точности минуту 60 разделили ещё на 60 частей и получили	секунды	: в минуте 60 секунд , так что 1 секунда это часть минуты .
Он пробежал дистанцию за 36,33 с. Спортсмен из Японии , занявший третье место , имел результат на две десятых	секунды	хуже .
Так , результат саночника 1.02,343 означает , что он прошёл трассу за 1 минуту 2 и 343 тысячных	секунды	.
а ) На XIX зимних Олимпийских играх российская спортсменка С. Журова пробежала на коньках дистанцию 500 м за 37,55 с. Какой результат показала другая спортсменка , которая улучшила это время на одну сотую	секунды	?
на две десятых	секунды	? .
А вот « нематематический » пример : леопарды входят в семейство кошачьих , а	семейство	кошачьих — в класс млекопитающих .
А вот « нематематический » пример : леопарды входят в	семейство	кошачьих , а семейство кошачьих — в класс млекопитающих .
В этом пункте вы познакомитесь ещё с одним	семейством	многогранников — призмами .
7 а ) Скопируйте конус и нанесите на его изображение какое - нибудь	сечение	, имеющее форму окружности .
Скопируйте цилиндр и нанесите на его изображение какое - нибудь	сечение	, имеющее форму эллипса .
Нанесите на изображение цилиндра какое - нибудь сечение , имеющее форму окружности , а на изображение конуса —	сечение	, имеющее форму эллипса .
Нанесите на изображение цилиндра какое - нибудь	сечение	, имеющее форму окружности , а на изображение конуса — сечение , имеющее форму эллипса .
Принято считать , что объекты , содержащие в себе золотое	сечение	, воспринимаются людьми как наиболее гармоничные , поэтому оно широко применяется в искусстве .
Вы наверняка слышали о золотом	сечении	, а это не что иное , как отношение длин отрезков , примерно равное 1,66 .
Ещё в древности математики интересовались тем , какие фигуры получаются при	сечении	пространственных тел плоскостью .
Как надо разрезать конус , чтобы в	сечении	получить треугольник ?
Если вы начертите прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см , то соотношение его сторон и даст вам представление о золотом	сечении	.
Разрежьте его так , чтобы в	сечении	получился эллипс .
Как надо разрезать цилиндр , чтобы в	сечении	получился прямоугольник ? .
а ) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так , чтобы в	сечении	получился круг ; эллипс .
Если же плоскость пройдёт наискосок , то в	сечении	получится уже не окружность , а эллипс .
Так , если поверхность цилиндра рассекается плоскостью , которая параллельна его основаниям , то в	сечении	получается окружность .
Различаю цилиндр , конус , шар ; знаю , как в	сечении	поверхностей этих фигур плоскостью можно получить окружность , эллипс .
3 Какая фигура получится в	сечении	, если плоскостью симметрии рассечь : а ) шар ; б ) параллелепипед ; в ) цилиндр ; г ) конус ? .
Какую форму имеют её	сечения	плоскостью симметрии ?
Предполагается , что ещё египетские мастера пользовались соотношением золотого	сечения	при создании своих бессмертных шедевров .
Скопируйте рисунок в тетрадь и покажите на нём два разных	сечения	( закрасьте их разными цветами ) .
Диаметр круга будет наибольшим , когда плоскость	сечения	пройдёт через центр шара .
Для метания снаряда праща вращается над головой , а в момент наиболее	сильного	маха её свободный конец выпускается , и снаряд летит по прямой , перпендикулярной радиусу окружности в момент отрыва .
Составьте слово , обладающее горизонтальной	симметрией	, и слово , обладающее вертикальной симметрией .
В математике рассматриваются различные виды симметрии , вы же познакомитесь с осевой , центральной , а также с зеркальной	симметрией	.
Найдите в художественной литературе , в Интернете и фотоальбомах изображения объектов природы или предметов , созданных руками человека , которые обладают осевой	симметрией	.
Орнамент образован ломаной , обладающей центральной	симметрией	.
С этой	симметрией	мы постоянно встречаемся , глядя на себя в зеркало .
Составьте слово , обладающее горизонтальной симметрией , и слово , обладающее вертикальной	симметрией	.
Сколько осей	симметрии	у морской звезды .
Воспользуйтесь тем , что у ромба две оси	симметрии	.
Многие известные вам фигуры симметричны : например , у прямоугольника две оси	симметрии	.
Умею проводить ось	симметрии	фигуры .
Центр	симметрии	фигуры .
Сколько плоскостей	симметрии	у этой пирамиды ?
Сделайте в тетради схематический рисунок и покажите на нём оси	симметрии	.
Есть ось	симметрии	и у равнобедренного треугольника .
В пространстве аналогом осевой	симметрии	является симметрия относительно плоскости — зеркальная симметрия .
Нарисуйте в тетради какой - нибудь центрально - симметричный фрагмент этого орнамента и отметьте его центр	симметрии	.
Ось	симметрии	фигуры .
Точка О — центр	симметрии	прямоугольника ABCD .
5 Изобразите от руки все оси	симметрии	: а ) квадрата ; б ) прямоугольника ; в ) равностороннего треугольника .
Взгляните на снежинку , бабочку , птицу , отражающуюся в глади водоёма , — это лишь некоторые примеры проявления	симметрии	в природе .
6 Достройте пятиугольник по заданной части и оси	симметрии	.
В математике рассматриваются различные виды	симметрии	, вы же познакомитесь с осевой , центральной , а также с зеркальной симметрией .
Центр	симметрии	параллелограмма — это точка пересечения его диагоналей .
AС - ось	симметрии	параллелограмма . Знаю , какие фигуры называют равновеликими .
Отражение в воде — пример зеркальной	симметрии	в природе .
7 Точка О — центр	симметрии	шестиугольника ABCDEK .
Линия сгиба — это ось	симметрии	фигуры .
Какую форму имеют её сечения плоскостью	симметрии	?
72 Ось	симметрии	фигуры .
Убедитесь , используя кальку , что указанная точка является центром	симметрии	фигуры .
Ещё одним видом	симметрии	является центральная симметрия .
Сделайте в тетради схематический рисунок и покажите оси	симметрии	снежинки .
Начертите какую - нибудь развёртку куба , у которой есть центр	симметрии	.
Сколько у получившейся фигуры осей	симметрии	? .
Проведите оси	симметрии	построенного правильного шестиугольника .
Например , у параллелепипеда три плоскости	симметрии	.
Сделав соответствующий рисунок , определите , верно ли следующее утверждение : а ) Любая прямая , проходящая через центр	симметрии	прямоугольника , делит его на две равные части .
Достройте ломаную так , чтобы центр	симметрии	квадрата был центром симметрии данной линии .
Прямые KL и MN — оси	симметрии	прямоугольника ABCD .
Какие из букв латинского алфавита имеют и центр	симметрии	, и ось симметрии ? .
3 Какая фигура получится в сечении , если плоскостью	симметрии	рассечь : а ) шар ; б ) параллелепипед ; в ) цилиндр ; г ) конус ? .
На сторонах прямоугольника возьмите какие - нибудь три точки и постройте симметричные им точки относительно центра	симметрии	.
Скопируйте фигуру в тетрадь и отметьте её центр	симметрии	.
Начертите в тетради равносторонний треугольник и проведите все его оси	симметрии	.
Сколько осей	симметрии	у правильного треугольника ?
Является ли диагональ осью	симметрии	прямоугольника ? .
Несмотря на всеобщий характер	симметрии	окружающего нас мира , мы редко можем встретить примеры математически безукоризненной симметрии .
Несмотря на всеобщий характер симметрии окружающего нас мира , мы редко можем встретить примеры математически безукоризненной	симметрии	.
Начертите в тетради прямоугольник и проведите его оси	симметрии	.
У параллелепипеда три плоскости симметрии А сколько плоскостей	симметрии	у куба ? .
две оси	симметрии	? .
Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных треугольника со сторонами 3 см , 5 см , 5 см и со сторонами 7 см , 4 см , 4 см. В каждом треугольнике проведите ось	симметрии	, отметьте равные отрезки и равные углы .
б ) Одно слово имеет горизонтальную ось	симметрии	, а другое — вертикальную .
Проведите его ось	симметрии	.
Любая прямая , проходящая через центр окружности , является её осью	симметрии	.
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет центра симметрии ; в ) есть и центр	симметрии	, и ось симметрии .
Сколько осей	симметрии	у снежинки ?
Назовите многоугольник , у которого одна ось симметрии , две оси	симметрии	.
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет центра	симметрии	; в ) есть и центр симметрии , и ось симметрии .
Сколько осей	симметрии	у третьей фигуры ?
Сколько осей	симметрии	у равностороннего треугольника ?
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет центра симметрии ; в ) есть и центр симметрии , и ось	симметрии	.
Сколько у неё осей	симметрии	? .
Точка О является её центром	симметрии	.
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось	симметрии	, но нет центра симметрии ; в ) есть и центр симметрии , и ось симметрии .
б ) У квадрата 4 оси	симметрии	.
Центр	симметрии	имеет и прямоугольник : это точка пересечения его диагоналей .
Начертите в тетради квадрат и проведите его оси	симметрии	.
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси	симметрии	; б ) есть ось симметрии , но нет центра симметрии ; в ) есть и центр симметрии , и ось симметрии .
Сколько осей	симметрии	будет у фигуры , если перегнуть лист 5 раз ? .
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр	симметрии	, но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет центра симметрии ; в ) есть и центр симметрии , и ось симметрии .
У параллелепипеда три плоскости	симметрии	А сколько плоскостей симметрии у куба ? .
Но если на плоскости только круг обладает таким интересным свойством , то в пространстве есть и другие тела , имеющие бесконечно много плоскостей	симметрии	.
Точка является центром	симметрии	, если при повороте вокруг этой точки на 180е фигура переходит сама в себя .
Назовите многоугольник , у которого одна ось	симметрии	, две оси симметрии .
Обратите внимание , что фигура имеет центр	симметрии	.
Нарисуйте эти фигуры от руки и проведите их оси	симметрии	.
Но столь же легко указать и отклонения от полной	симметрии	: родинка , волосы , расчёсанные на косой пробор , или какая - нибудь деталь в одежде , нарушающая симметрию .
При каком расположении точек С и О этот четырёхугольник будет иметь 2 оси	симметрии	?
Сколько осей	симметрии	может быть у фигуры ? .
Перенесите фигуру в тетрадь и найдите её центр	симметрии	.
а ) Какие из букв русского алфавита имеют одну ось	симметрии	?
Достройте ломаную так , чтобы центр симметрии квадрата был центром	симметрии	данной линии .
Изображена часть фигуры , центром	симметрии	которой является точка М. Начертите эту фигуру в тетради .
а ) Возьмите прямоугольный лист бумаги и найдите оси	симметрии	этого прямоугольника путём перегибания .
а ) фигура имеет и центр , и ось	симметрии	.
Сколько осей	симметрии	у правильного девятиугольника ?
Прямая АВ — ось	симметрии	фигуры , состоящей из двух окружностей .
Верно ли , что проведённая прямая — ось	симметрии	многоугольника ? .
фигура имеет центр , но не имеет оси	симметрии	.
Вам необходимо восстановить мозаичное панно , из которого выпали отдельные кусочки Известно , что узор , изображённый на панно , имеет две взаимно перпендикулярные оси	симметрии	.
1 Какие из приведённых на рисунках предметов симметричны относительно некоторой плоскости	симметрии	? .
2 На каком из рисунков прямая к не является осью	симметрии	фигуры ? .
Ось	симметрии	разбивает равнобедренный треугольник на две равные части .
Перегните его так , чтобы совпали вершины при основании , линия сгиба и будет его осью	симметрии	.
Перерисуйте их в тетрадь и проведите оси	симметрии	.
Начертите многоугольник , у которого нет осей	симметрии	.
Вы знаете , что существуют фигуры , которые имеют ось	симметрии	, а некоторые — и не одну .
4 оси	симметрии	? .
Легко догадаться , что « самый симметричный треугольник » — это равносторонний треугольник , у него 3 оси	симметрии	, а « самый симметричный четырёхугольник » — квадрат , у него 4 оси симметрии .
Сколько осей	симметрии	у правильного n - угольника ? .
Если вы догадаетесь , как использовать знания о центральной	симметрии	, то наверняка сможете выиграть при условии , что будете ходить первым .
Эти небольшие отклонения от	симметрии	делают облик человека асимметричным , то есть несимметричным .
Начертите в тетради прямоугольник и постройте его центр	симметрии	.
Но фигура может иметь и центр	симметрии	( правда , только один ) .
в ) фигура имеет ось , но не имеет центра	симметрии	.
Может ли треугольник иметь одну ось	симметрии	?
оси	симметрии	? .
Какая из фигур имеет центр	симметрии	?
Какие из букв латинского алфавита имеют и центр симметрии , и ось	симметрии	? .
Легко догадаться , что « самый симметричный треугольник » — это равносторонний треугольник , у него 3 оси симметрии , а « самый симметричный четырёхугольник » — квадрат , у него 4 оси	симметрии	.
Начертите в тетради какой - нибудь четырёхугольник , который имеет : а ) одну ось симметрии ; б ) две оси	симметрии	.
Начертите в тетради какой - нибудь четырёхугольник , который имеет : а ) одну ось	симметрии	; б ) две оси симметрии .
Но столь же легко указать и отклонения от полной симметрии : родинка , волосы , расчёсанные на косой пробор , или какая - нибудь деталь в одежде , нарушающая	симметрию	.
С давних времён люди использовали	симметрию	в архитектуре , предметах быта , орнаментах .
Это означает , что осевая	симметрия	меняет направление обхода на противоположное .
Зеркальная	симметрия	.
73 Центральная	симметрия	.
Ещё одним видом симметрии является центральная	симметрия	.
В пространстве аналогом осевой симметрии является	симметрия	относительно плоскости — зеркальная симметрия .
71 Осевая	симметрия	.
Слово «	симметрия	» греческого происхождения .
Зеркальная	симметрия	, как и осевая , меняет ориентацию предмета .
В пространстве аналогом осевой симметрии является симметрия относительно плоскости — зеркальная	симметрия	.
Тормозная	система	.
Плоскость , на которой задана	система	координат , называется координатной плоскостью .
Декартова	система	координат .
Описанная	система	координат называется прямоугольной .
Метрическая	система	мер .
Интересно отметить , что в современном спорте , где секунда оказалась слишком большой единицей для измерения результатов , используется смешанная	система	измерения времени .
32 Десятичные дроби и метрическая	система	мер .
Аналогичная	система	координат используется в шахматах , но вертикали на шахматной доске всегда обозначаются латинскими буквами .
Плоскость , на которой задана	система координат	, называется координатной плоскостью .
Декартова	система координат	.
Аналогичная	система координат	используется в шахматах , но вертикали на шахматной доске всегда обозначаются латинскими буквами .
Описанная	система координат	называется прямоугольной .
Так как в метрической	системе	мер единицы различаются в 10 , 100 , 1000 раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на степень 10 .
В то же время в	системе	измерения времени и углов сохранились древние традиции : например , час делится на 60 минут , минута — на 60 секунд .
Подумайте , как определить координаты точки в такой	системе	координат .
В метрической	системе	мер одна единица получается из другой умножением или делением на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с единицами длины и массы .
б ) В английской	системе	мер для измерения массы используют фунты : 1 фунт ≈≈0,45359237 кг .
Подумайте , как определить координаты точки в такой	системе координат	.
Часто также её называют декартовой	системой	координат по имени французского философа и математика Рене Декарта ( 1596–1650 ) .
Кроме почтовых адресов и номеров телефонов , вы знакомы с	системой	координат в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических координат ( долгота и широта ) и так далее .
Те из вас , кто играл в морской бой , пользовались при этом соответствующей	системой	координат .
Кроме почтовых адресов и номеров телефонов , вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с	системой	географических координат ( долгота и широта ) и так далее .
Часто также её называют декартовой	системой координат	по имени французского философа и математика Рене Декарта ( 1596–1650 ) .
Кроме почтовых адресов и номеров телефонов , вы знакомы с	системой координат	в зрительном зале кинотеатра ( номер ряда и номер места ) , в поезде ( номер вагона и номер места ) , с системой географических координат ( долгота и широта ) и так далее .
Те из вас , кто играл в морской бой , пользовались при этом соответствующей	системой координат	.
Вавилоняне изобрели	систему	измерения углов , которая используется и поныне .
Постройте прямоугольную	систему	координат и отметьте точки , имеющие следующие координаты .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую	систему	измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Объясните , почему рассмотренную в данном пункте	систему	координат называют прямоугольной .
Придумайте	систему	координат для определения места ученика в классе .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую	систему	мер .
Придумайте	систему координат	для определения места ученика в классе .
Объясните , почему рассмотренную в данном пункте	систему координат	называют прямоугольной .
Постройте прямоугольную	систему координат	и отметьте точки , имеющие следующие координаты .
Именно в этом и состоит суть	системы	координат : это правило , по которому определяется положение того или иного объекта .
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной	системы	, множестве клеток человеческого тела .
До введения метрической	системы	мер расстояние на Руси мерили вёрстами : 1 верста ≈ 1,0688 км .
Сколько элементов содержит множество : а ) цифр десятичной	системы	счисления ; б ) букв русского алфавита ; в ) простых чисел , меньших 30 ; г ) двузначных чисел , меньших 100 ? .
Именно в этом и состоит суть	системы координат	: это правило , по которому определяется положение того или иного объекта .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа	складываем	, а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Пушечные ядра	складывали	пирамидой .
Если вы хорошо научились	складывать	целые числа , то сумеете вычислять и их разности .
Чтобы вычислить эту сумму , можно последовательно	складывать	числа в том порядке , в котором они записаны .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания десятичных дробей ; умею	складывать	и вычитать десятичные дроби .
Умею	складывать	и вычитать целые числа .
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому	складывать	придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Положительные целые числа мы	складывать	умеем .
В 5 классе вы научились	складывать	, вычитать , умножать и делить дроби .
Объясните , как	складывают	числа разных знаков , и выполните сложение .
На примере вычисления суммы и разности чисел 7,85 и 0,534 объясните , как	складывают	и как вычитают десятичные дроби .
Объясните на примерах , как	складывают	числа одного знака и разных знаков .
1 На примерах вычисления суммы и разности чисел 24,9 и 8,23 расскажите , как	складывают	и вычитают десятичные дроби .
Объясните , как	складывают	отрицательные числа , и выполните сложение .
Объясните на примере дробей как	складывают	и вычитают дроби с разными знаменателями .
А как	складывают	числа разных знаков ?
И чтобы понять , по каким правилам	складывают	целые числа , мы тоже рассмотрим « денежные » примеры — с доходами и расходами .
Эту сумму можно вычислить ,	складывая	числа последовательно .
Не	складывая	дроби , сравните с числом 10 сумму .
При записи выражений , как числовых , так и буквенных , важно уметь правильно пользоваться	скобками	.
Обратите внимание : для того чтобы записать число , противоположное отрицательному , мы заключаем это отрицательное число в	скобки	.
Если бы мы	скобки	опустили , то получили бы выражение , которое имеет другой смысл : это сумма числа а и произведения чисел b и с .
Обратите внимание : заменяя букву отрицательным числом , мы заключили его в	скобки	.
При этом в записи используют фигурные	скобки	.
Так , если нужно умножить сумму чисел а и b на число с , то эту сумму заключают в	скобки	.
Поставьте в выражении	скобки	всеми возможными способами и найдите значение каждого из получившихся выражений .
Сначала мы подставили вместо букв указанные числа , заключив при этом отрицательное число в	скобки	.
Их составляют из чисел , букв , знаков действий и	скобок	.
Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают : положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без	скобок	.
Запишите без	скобок	.
Это равенство показывает , что сумму можно записать проще , без	скобок	и промежуточных знаков сложения , — надо выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
Замените выражение равным , не содержащим	скобок	.
Запишите без	скобок	выражение .
4 Запишите без	скобок	выражения .
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в выражении нет	скобок	, то умножение выполняется раньше сложения .
Заметим , что хотя выражение записывают без	скобок	, они в нём подразумеваются .
Найдём вычитанием неизвестное	слагаемое	2х .
Это равенство показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков сложения , — надо выписать одно	слагаемое	за другим с их знаками .
Восстановите пропущенное	слагаемое	.
Но в одних случаях ( когда	слагаемые	одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Представьте в виде суммы двух отрицательных	слагаемых	число .
Произведением естественно считать сумму трёх	слагаемых	, каждое из которых равно – 5 .
Десятичная дробь представлена в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Представим её в виде суммы разрядных	слагаемых	и выполним сложение .
Представьте десятичную дробь 0,49 в виде суммы разрядных	слагаемых	и , выполнив сложение , получите соответствующую обыкновенную дробь .
Выполните	сложение	.
Представьте десятичную дробь 0,49 в виде суммы разрядных слагаемых и , выполнив	сложение	, получите соответствующую обыкновенную дробь .
Правила	сложение	.
Определите знак суммы и выполните	сложение	.
Представим её в виде суммы разрядных слагаемых и выполним	сложение	.
Замените	сложение	умножением и запишите равное этой сумме выражение .
Умножение десятичных дробей , как и	сложение	, сводится к действию над натуральными числами .
Объясните , как складывают числа разных знаков , и выполните	сложение	.
Объясните , как складывают отрицательные числа , и выполните	сложение	.
Сначала рассмотрим	сложение	чисел одного знака .
Запишите равенство , заменив вычитание	сложением	.
1 ) Чтобы найти площадь многоугольника его можно разбить на прямоугольники и вычислить результат	сложением	площадей или достроить его до прямоугольника и вычислить результат вычитанием площадей .
Вычислите , заменив вычитание	сложением	.
Величину расхода мы определили	сложением	.
Мы заменили вычитание	сложением	и затем привели дроби к общему знаменателю .
Замените вычитание	сложением	и вычислите .
Замените каждое вычитание	сложением	.
Представим данное выражение в виде суммы , заменив каждое вычитание	сложением	.
Затем заменили вычитание	сложением	и вычислили значение получившейся суммы .
Замените вычитание	сложением	и вычислите значение выражения .
Замените умножение	сложением	и запишите выражение , равное данному произведению .
Итак , при	сложении	целых чисел мы в действительности работаем только с соответствующими натуральными числами .
Объясните , почему при	сложении	тех , кто собирает значки , и тех , кто собирает марки , получается больше шестиклассников , чем их общее количество .
2 Запишите в буквенном виде свойство нуля при	сложении	и свойство единицы при умножении .
Но место запятой при умножении определяется иначе , чем при	сложении	.
Этими правилами пользуются при	сложении	не только целых чисел , но и любых рациональных чисел .
Сохраняются свойства нуля при	сложении	, нуля и единицы при умножении .
Вспомним , что разностью чисел а и b называется такое число с , которое при	сложении	с числом b даёт число а .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к	сложению	натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из десятичных дробей 3,44 и 7,28 убрать запятые .
Вычитание рациональных чисел , как и целых , сводится к	сложению	.
Для натуральных чисел умножение сводится к	сложению	, поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Дело в том , что вычитание всегда сводится к	сложению	.
Правила	сложения	с обыкновенными дробями .
Правила	сложения	с рациональными числами .
Вы видели , что результат	сложения	, вычитания и умножения десятичных дробей выражается десятичной дробью .
Обязательные умения . Знаю правила	сложения	и вычитания десятичных дробей ; умею складывать и вычитать десятичные дроби .
Это равенство показывает , что сумму можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков	сложения	, — надо выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в выражении нет скобок , то умножение выполняется раньше	сложения	.
Наконец , правило	сложения	отрицательного целого числа с нулём такое же , как и для натуральных чисел .
Проверьте себя , восстановив в каждом случае пропущенные знаки	сложения	.
Действие	сложения	целых чисел , как и действие сложения натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Знаю правила	сложения	, вычитания , умножения и деления дробей ; умею выполнять вычисления с дробными числами .
Действие сложения целых чисел , как и действие	сложения	натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
В заключение подчеркнём , что действия	сложения	и умножения рациональных чисел , так же как и целых чисел , обладают переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
Вычислите сумму , используя свойства	сложения	.
Рассмотренные правила	сложения	и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Найдите , не выполняя	сложения	, значение суммы .
Вычислите , используя распределительное свойство умножения относительно	сложения	.
Вспомните хорошо знакомое вам переместительное свойство	сложения	: при перестановке слагаемых сумма не меняется .
Вырежите из	сложенного	листа какую - нибудь фигуру и разверните её .
Вычислите ,	сложив	отдельно положительные и отрицательные числа .
Сначала упростим его левую часть ,	сложив	все числовые слагаемые .
Квадрат разрезали по его диагонали и из получившихся частей	сложили	треугольник .
Так как сумма двух отрицательных чисел отрицательна , то в результате запишем знак « минус » , а затем	сложим	и получим .
Возьмите другой лист бумаги ,	сложите	его таким же образом , а затем перегните так , чтобы совместились стороны прямого угла .
Возьмите лист бумаги и	сложите	его пополам .
Вырежите из бумаги два равных неравнобедренных треугольника и	сложите	из них различные параллелограммы .
Какими бы ни были конкретные значения длин сторон треугольника , чтобы найти его периметр , их надо	сложить	.
Чтобы найти модуль суммы , надо	сложить	модули слагаемых .
Ведь если	сложить	23 и 35 , то уже получится больше , чем 52 .
Как и натуральные числа , их можно	сложить	столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом .
Сколько различных параллелограммов вам удалось	сложить	?
Чтобы	сложить	обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Поэтому , чтобы	сложить	эти десятичные дроби , необязательно обращать их в обыкновенные .
А можно сначала сгруппировать отрицательные слагаемые и	сложить	их .
Но можно воспользоваться и другим приёмом —	сложить	по отдельности положительные и отрицательные слагаемые , а затем найти сумму двух получившихся чисел .
В множестве натуральных чисел	сложить	можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом —	сложить	длины его смежных сторон и результат умножить на 2 .
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения	сложить	.
На сколько больше времени понадобится ему на обратный путь , если	собственная	скорость теплохода 32 км / ч , а скорость течения реки 4 км / ч ? .
а ) скорость лодки по течению и скорость лодки против течения , если её	собственная	скорость равна 12,5 км / ч . б ) собственную скорость лодки и скорость лодки по течению , если её скорость против течения равна 7,2 км / ч . в ) собственную скорость лодки и скорость лодки против течения , если её скорость по течению равна 14,2 км / ч .
Чему равна скорость течения реки и	собственная	скорость лодки ? .
Множество рациональных чисел , как и множества натуральных и целых чисел , имеет «	собственное	имя » : его принято обозначать буквой Q .
После этого любая точка прямой получает свою	собственную	координату .
а ) скорость лодки по течению и скорость лодки против течения , если её собственная скорость равна 12,5 км / ч . б )	собственную	скорость лодки и скорость лодки по течению , если её скорость против течения равна 7,2 км / ч . в ) собственную скорость лодки и скорость лодки против течения , если её скорость по течению равна 14,2 км / ч .
а ) скорость лодки по течению и скорость лодки против течения , если её собственная скорость равна 12,5 км / ч . б ) собственную скорость лодки и скорость лодки по течению , если её скорость против течения равна 7,2 км / ч . в )	собственную	скорость лодки и скорость лодки против течения , если её скорость по течению равна 14,2 км / ч .
А основные числовые множества — натуральных и целых чисел — всегда обозначают буквами N и Ζ. Можно сказать , что эти буквы — их « имена	собственные	» .
Сравним десятичные дроби Целые части этих дробей одинаковы ,	совпадают	также первые три цифры после запятой .
В случае когда центры	совпадают	, окружности называют концентрическими .
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании фигуры по этой прямой две части , на которые прямая разбивает фигуру ,	совпадают	.
Если перегнуть рисунок по прямой k , то четырёхугольники A1B1C1D1 и ABCD	совпадут	.
Перегните его так , чтобы	совпали	вершины при основании , линия сгиба и будет его осью симметрии .
Потом воспользовались признаком делимости на 9 и	сократили	полученную дробь на 9 .
Запишите частное в виде дроби и , если возможно ,	сократите	её .
Выразите проценты дробью и , если можно ,	сократите	её .
Выразите проценты дробью и	сократите	её : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 60 % , 75 % , 80 % .
Запишите выражение в виде дроби и	сократите	эту дробь .
Применяя это свойство , можно приводить дроби к новому знаменателю ,	сокращать	дроби .
Найдите рост Серёжи , если средний рост мальчиков его возраста равен 130 см , а рост Серёжи составляет 110 % от	среднего	роста .
Отметьте на координатной прямой точки и точку С , координата которой есть	среднее	арифметическое координат точек .
Найдите	среднее	арифметическое двух величин .
Определите среднюю урожайность (	среднее	арифметическое ) картофеля по району .
Число 2,4 — это	среднее	арифметическое чисел .
Объясните , как найти	среднее	арифметическое чисел 1,8 и 3,7 .
Объясните , как найти	среднее арифметическое	чисел 1,8 и 3,7 .
Число 2,4 — это	среднее арифметическое	чисел .
Определите среднюю урожайность (	среднее арифметическое	) картофеля по району .
Отметьте на координатной прямой точки и точку С , координата которой есть	среднее арифметическое	координат точек .
Найдите	среднее арифметическое	двух величин .
В каких хозяйствах урожайность выше	средней	? .
Радиус меньшей окружности равен 2 см , радиус	средней	— 3 см. Чему равен радиус большей окружности ?
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на	средней	части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Приведены данные о	средней	урожайности картофеля в хозяйствах некоторого района .
Если перемножить крайние члены рассмотренной пропорции и её	средние	члены , то получим .
В рассматриваемой пропорции 4 и 4,5 — крайние члены пропорции , 3 и 6 —	средние	члены пропорции .
Все города по численности населения подразделяются на пять типов : малые ,	средние	, крупные , крупнейшие и города - миллионеры .
Найдите рост Серёжи , если	средний	рост мальчиков его возраста равен 130 см , а рост Серёжи составляет 110 % от среднего роста .
Вообще в любой пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению её	средних	членов .
Чтобы определить	среднюю	урожайность с грядки , она вычислила массу моркови и результат разделила на три .
Определите	среднюю	урожайность ( среднее арифметическое ) картофеля по району .
Нижняя часть башни — это куб , а	средняя	её часть — восьмиугольная призма , « вырезанная » из точно такого же куба .
Вычислите значения	степеней	.
Найдите значение	степени	: Выполните действия .
А как , пользуясь сформулированным правилом , продолжить умножение десятичной дроби 6,735 на следующие	степени	числа 10 , то есть на 10 000 , 100 000 и так далее ? .
Вычислите значение	степени	: Сравните значения выражений .
Найдите значение	степени	.
приведя дробь к знаменателю , равному	степени	10 .
Так как в метрической системе мер единицы различаются в 10 , 100 , 1000 раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на	степень	10 .
В частности , знаменателем может быть любая	степень	числа 10 .
Это дроби , у которых знаменателем служит	степень	числа 10 .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12	сторон	получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Длины	сторон	прямоугольного участка земли равны х м и у м .
Сколько	сторон	у снежинки , получаемой на каждом шаге ?
Начертите какой - нибудь прямоугольник , отношение длин	сторон	которого равно 4:3 .
Какую длину будет иметь одна из	сторон	этого прямоугольника , если другая сторона равна 5 см ?
Во сколько раз увеличивается число	сторон	снежинки Коха на каждом шаге построения ?
Начертите три прямоугольника со следующим отношением	сторон	.
Убедитесь , что нельзя построить треугольник , стороны которого равны : а ) 7 см , 3 см и 3 см ; б ) 6 см , 4 см и 2 см. Измените длину одной из	сторон	так , чтобы треугольник можно было построить .
Стороны прямоугольника равны 9 см и 6 см. Найдём отношения длин его	сторон	.
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2 длину каждой из его смежных	сторон	и полученные произведения сложить .
Какими бы ни были конкретные значения длин	сторон	треугольника , чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Пусть длины	сторон	треугольника равны 4 см , 6 см и 7 см. Тогда его периметр равен .
Проведите в тетради две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 3 см. Начертите какой - нибудь параллелограмм , одна пара	сторон	которого лежит на этих прямых и равна по 4 см. Начертите прямоугольник , удовлетворяющий этим условиям .
Начертим прямую и отложим на ней отрезок , равный одной из	сторон	треугольника , например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью вершину — точку В ? .
Назовите пары параллельных	сторон	.
Если вы начертите прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см , то соотношение его	сторон	и даст вам представление о золотом сечении .
Обозначим длины	сторон	прямоугольника буквами а и b , тогда .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длины его смежных	сторон	и результат умножить на 2 .
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его	сторон	.
Измерьте длины	сторон	четырёхугольника .
Чтобы найти площадь прямоугольника , нужно перемножить длины его смежных	сторон	.
Каково взаимное расположение соответствующих	сторон	двух новых треугольников ? .
Составьте всевозможные отношения	сторон	треугольника АВС и вычислите их .
Обозначим периметр треугольника буквой Р , а длины его	сторон	буквами а , b и с. Тогда .
Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте окружность , касающуюся всех	сторон	квадрата .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите четырёхугольник , одна из	сторон	которого лежит на прямой m , и постройте четырёхугольник , симметричный ему относительно прямой m .
Пусть а , b , с — длины	сторон	треугольника .
Равны ли отношения площадей и	сторон	квадратов ? .
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая	сторона	является основанием ? .
В равнобедренном треугольнике одна	сторона	равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является основанием ? .
Какую длину будет иметь одна из сторон этого прямоугольника , если другая	сторона	равна 5 см ?
Сторона одного квадрата равна 12 см , а	сторона	другого квадрата равна 2 см. Найдите отношение : 1 ) стороны большого квадрата к стороне малого квадрата ;
Одна	сторона	треугольника равна 11,5 см. Она на 0,6 см меньше другой стороны и на 0,9 см больше третьей .
Найдите периметр четырёхугольника ABCD (	сторона	одной клетки равна 5 мм ) .
Чему равна его	сторона	? .
Отношение большей стороны к меньшей равно , то есть одна	сторона	в 1,5 раза больше другой .
Иными словами , меньшая	сторона	составляет большей стороны .
Любая	сторона	треугольника меньше суммы двух других его сторон .
Чему равна	сторона	участка , если её длина на плане равна 16 см ? .
Точки А , В и С — вершины параллелограмма , АВ — его	сторона	.
	Сторона	BC ?
	Сторона	CD ?
Умею строить треугольник по трём заданным	сторонам	.
Изображён квадрат 4×4 клетки и часть ломаной линии , проходящей по	сторонам	клеток . 1 ) Скопируйте рисунок на лист клетчатой бумаги .
Постройте параллелограмм по заданным	сторонам	и диагонали .
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его	сторонам	Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма .
Прямые МР и KN перпендикулярны	сторонам	прямоугольника .
Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных треугольника со	сторонами	3 см , 5 см , 5 см и со сторонами 7 см , 4 см , 4 см. В каждом треугольнике проведите ось симметрии , отметьте равные отрезки и равные углы .
А математики говорят , что треугольник однозначно определяется тремя своими	сторонами	.
Построим треугольник со	сторонами	3 см , 4 см и 5 см. Для этого нам придётся воспользоваться не только линейкой , но и циркулем .
Постройте треугольник со	сторонами	2 см , 3 см и 4 см .
Если вы начертите прямоугольник со	сторонами	5 см и 3 см , то соотношение его сторон и даст вам представление о золотом сечении .
Теперь попытаемся построить треугольник со	сторонами	1 см , 2 см и 4 см .
Этот пример показывает , что не всякие три отрезка могут быть	сторонами	треугольника .
Возникает вопрос : в каком случае три отрезка могут служить	сторонами	треугольника , а в каком нет ?
Постройте треугольник со	сторонами	3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
Составьте формулу для вычисления площади S прямоугольного треугольника со	сторонами	, образующими прямой угол , равными а и b.
Вы , наверное , заметили , что обе эти фигуры — многоугольники с равными	сторонами	и равными углами .
Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных треугольника со сторонами 3 см , 5 см , 5 см и со	сторонами	7 см , 4 см , 4 см. В каждом треугольнике проведите ось симметрии , отметьте равные отрезки и равные углы .
Можно ли построить треугольник со	сторонами	? .
Как проверить , можно ли построить треугольник с такими	сторонами	? .
Существует и пятиугольник с равными	сторонами	и равными углами , и шестиугольник .
11 Параллелограмм перекроили в прямоугольник со	сторонами	5 см и 4,2 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
6 Вычислите периметр и площадь прямоугольника со	сторонами	а и b , если а равно 15 см , 6 равно 100 см .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими	сторонами	, равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
10 Прямоугольник со	сторонами	3 см и 6 см разрезали по диагонали .
Постройте треугольник со	сторонами	, равными 3 см , 4 см и 6 см. Затем постройте треугольник , симметричный первому треугольнику относительно какой - либо его вершины .
а ) треугольник со	сторонами	, равными 3 см , 5 см и 7 см . б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — по 4 см .
Из проволоки согнули треугольник со	сторонами	7,5 см , 8,3 см и 9,4 см. Затем из этой же проволоки согнули квадрат .
Вычислите периметр : а ) параллелограмма со	сторонами	9,4 см и 5,7 см ; б ) ромба со стороной 8,5 см .
5 Что больше : периметр параллелограмма со	сторонами	3 см и 5 см или периметр ромба со стороной 4 см ? .
На	сторонах	прямоугольника возьмите какие - нибудь три точки и постройте симметричные им точки относительно центра симметрии .
Назовите центрально - симметричные элементы треугольников АВС и А1В1С1 : вершину , симметричную вершине A ; сторону , симметричную	стороне	ВС ; угол , симметричный углу АВС .
Назовите сторону , симметричную	стороне	АК относительно точки О .
3 ) Каким свойством обладают углы параллелограмма , прилежащие к одной	стороне	? .
Разрежем параллелограмм вдоль линии , перпендикулярной	стороне	, и переложим отрезанный треугольник , как показано .
Назовите вершину , симметричную вершине А , вершине С ; сторону , симметричную	стороне	ВС , стороне DC , угол , симметричный углу АВС , углу CDA .
отметьте равные отрезки сначала на одной	стороне	угла , затем на другой .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой	стороне	— отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной	стороне	участка на расстоянии 10 м от одного из углов и их ширина будет равна 3 м .
Назовите вершину , симметричную вершине А , вершине С ; сторону , симметричную стороне ВС ,	стороне	DC , угол , симметричный углу АВС , углу CDA .
Сторона одного квадрата равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите отношение : 1 ) стороны большого квадрата к	стороне	малого квадрата ;
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной	стороне	угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
Что больше : а ) площадь круга с радиусом , равным 2 см , или площадь квадрата со	стороной	, равной 3 см ; б ) площадь круга с радиусом , равным 5 см , или площадь квадрата со стороной , равной 10 см ? .
Вычислите периметр : а ) параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см ; б ) ромба со	стороной	8,5 см .
Сколько требуется плиток квадратной формы со	стороной	25 см ? .
Какой из них равновелик квадрату со	стороной	8 см ? .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со	стороной	9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Вырежите из бумаги квадрат со	стороной	8 см и разрежьте его на фигуры танграма .
5 Что больше : периметр параллелограмма со сторонами 3 см и 5 см или периметр ромба со	стороной	4 см ? .
Маша раскатала тесто в квадрат со	стороной	30 см и стаканом вырезала 16 кругов диаметром 7 см. Чему равна площадь обрезков ? .
Начертите в тетради квадрат со	стороной	8 см. Постройте окружность , касающуюся всех сторон квадрата .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со	стороной	6 см. Сколько существует прямоугольников с такой же площадью , стороны которых выражаются целыми числами ? .
Постройте равносторонний треугольник со	стороной	6 см . б )
Что больше : а ) площадь круга с радиусом , равным 2 см , или площадь квадрата со стороной , равной 3 см ; б ) площадь круга с радиусом , равным 5 см , или площадь квадрата со	стороной	, равной 10 см ? .
Назовите центрально - симметричные элементы треугольников АВС и А1В1С1 : вершину , симметричную вершине A ;	сторону	, симметричную стороне ВС ; угол , симметричный углу АВС .
Из формулы периметра равностороннего треугольника выразите	сторону	а .
Назовите вершину , симметричную вершине А , вершине С ;	сторону	, симметричную стороне ВС , стороне DC , угол , симметричный углу АВС , углу CDA .
Построим точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого : проведём прямую АО ; по другую	сторону	от точки О отложим отрезок ОВ , равный отрезку ОА .
3 ) Выразите	сторону	с треугольника через периметр Р и две другие стороны а и b .
Назовите	сторону	, симметричную стороне АК относительно точки О .
Выразите	сторону	а прямоугольника через его периметр Р и сторону b .
Выразите сторону а прямоугольника через его периметр Р и	сторону	b .
По одну	сторону	от прямой l расположены точки А , В , С и D. Расстояния от этих точек до прямой соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
Из формулы площади прямоугольника выразите	сторону	b .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; каждую	сторону	треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Найдите	сторону	квадрата , площадь которого составляет 0,25 площади данного квадрата .
Для этого : одну	сторону	угольника расположим вдоль прямой m ; положение угольника зафиксируем линейкой ; передвинем угольник вдоль линейки и проведём новую прямую .
Проведите такой эксперимент : соберите из элементов металлического конструктора четырёхугольник и треугольник и попробуйте подвигать их	стороны	.
Отношение большей	стороны	к меньшей равно , то есть одна сторона в 1,5 раза больше другой .
Многоугольник , у которого равны все	стороны	и все углы , называют правильным .
Развернув лист , вы увидите две точки , расположенные по разные	стороны	от этой прямой .
Постройте четыре точки А , В , С и D по следующему условию : точки С и D лежат по разные	стороны	от прямой , проходящей через точки А и В , АB равно 8 см , АС равно 4 см , СВ равно 8 см , AD равно 6 см , 08 равно 4 см. Чему равно расстояние между точками С и D ? .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой же площадью ,	стороны	которых выражаются целыми числами ? .
Постройте равнобедренный треугольник , основание которого равно 4 см , а боковые	стороны	— по 5 см .
Его противоположные	стороны	параллельны .
Пусть длина	стороны	равностороннего треугольника равна а .
Постройте равнобедренный треугольник , боковые	стороны	которого равны по 5 см , а угол между ними равен 110 ° .
Отметьте равные	стороны	и равные углы этих треугольников .
Итак , противоположные	стороны	параллелограмма не только параллельны , но и равны .
Отношение меньшей	стороны	к большей , то есть обратное отношение , равно .
Например , в результате выполненного поворота противоположные	стороны	параллелограмма « поменялись местами » , значит , они равны .
У каких четырёхугольников есть параллельные	стороны	?
3 ) Выразите сторону с треугольника через периметр Р и две другие	стороны	а и b .
Убедитесь , что нельзя построить треугольник ,	стороны	которого равны : а ) 7 см , 3 см и 3 см ; б ) 6 см , 4 см и 2 см. Измените длину одной из сторон так , чтобы треугольник можно было построить .
Сторона одного квадрата равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите отношение : 1 )	стороны	большого квадрата к стороне малого квадрата ;
Чему равны	стороны	прямоугольника , который является частью развёртки ?
Одна сторона треугольника равна 11,5 см. Она на 0,6 см меньше другой	стороны	и на 0,9 см больше третьей .
Укажите координаты точек , в которых	стороны	треугольника пересекают ось х . б ) Постройте четырёхугольник ABCD , если его вершины имеют координаты .
Найдите длину третьей	стороны	треугольника , если .
8 Заданы	стороны	прямоугольников .
Вычислите длину ломаной , если	стороны	сетки равны 0,5 см и 1,5 см .
Составьте формулу периметра равнобедренного треугольника , у которого длина основания равна а , а длина боковой	стороны	равна b .
Периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите площадь прямоугольника , если его	стороны	относятся как .
Укажите координаты точек , в которых	стороны	четырёхугольника пересекают оси координат .
Отметьте две точки , взяв их по разные	стороны	от прямой .
а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см . б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые	стороны	— по 4 см .
Постройте треугольник , если известны его	стороны	и угол между ними .
Целые числа также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе	стороны	.
Во сколько раз при этом уменьшается длина её	стороны	?
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все углы прямые , и все	стороны	равны .
Так ,	стороны	прямоугольника относятся как 9:6 .
Обозначьте длину его	стороны	какой - нибудь буквой .
Отрезки —	стороны	треугольника .
Параллелограмм , у которого все	стороны	равны , называют ромбом .
Возьмите другой лист бумаги , сложите его таким же образом , а затем перегните так , чтобы совместились	стороны	прямого угла .
Иными словами , меньшая сторона составляет большей	стороны	.
Пусть	стороны	прямоугольника , в который перекроили параллелограмм , равны 2 см и 3 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
Обозначим одну из них буквой В и проведём отрезки АВ и ВС. Получим треугольник АВС , имеющий заданные	стороны	.
Умею чертить две пересекающиеся прямые , находить образуемые ими углы ,	строить	перпендикулярные прямые .
С его помощью можно	строить	точки , симметричные относительно некоторой прямой , и без перегибания листа бумаги .
Умею	строить	касательную к окружности .
Умею	строить	треугольник по трём заданным сторонам .
Умею определять координаты точки на координатной плоскости ,	строить	точки с заданными координатами .
Чтобы выяснить , тяжелой ли будет	сумка	, он прикинул , сколько примерно килограммов ему придётся нести .
Чему равны масса	сумки	и масса чемодана ? .
Масса чемодана больше массы	сумки	в 1,5 раза , а вместе они весят 20 кг .
Объясните это на примерах	сумм	.
Оставшаяся	сумма	денег была передана краеведческому музею для его реконструкции .
Так как	сумма	двух отрицательных чисел отрицательна , то в результате запишем знак « минус » , а затем сложим и получим .
Сумма двух положительных чисел положительна , а	сумма	двух отрицательных чисел отрицательна .
Для натуральных чисел умножение сводится к сложению , поэтому произведение — это	сумма	трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
умножить на 1625 ( р . ) , то есть	сумма	подоходного налога с заработка в 12 500 р .
Докажите , что	сумма	площадей синих треугольников равна сумме площадей белых треугольников .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы выражение , которое имеет другой смысл : это	сумма	числа а и произведения чисел b и с .
Чему равна	сумма	противоположных чисел ?
Как определить , каким числом — положительным или отрицательным — является	сумма	двух целых чисел разных знаков ?
За каждый просроченный день	сумма	увеличивается на 2 % от суммы штрафа .
Какой знак имеет	сумма	двух положительных целых чисел ?
Но и	сумма	равна – 5 , то есть .
в ) Через год	сумма	на банковском счёте составила 120 % от вложенной суммы .
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д )	сумма	чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Не выполняя вычислений , определите , положительной или отрицательной будет	сумма	.
В левой части уравнения	сумма	чисел 2х и 26 .
Если а и b — числа отрицательные , то их	сумма	также отрицательна .
Сколько процентов от вложенной суммы составляет новая	сумма	на счёте ? .
Так как модуль положительного слагаемого больше , то	сумма	положительна .
Прочитайте выражение , используя слова «	сумма	» , « разность » , « произведение » , « частное » .
Через год	сумма	на счёте стала равна 8640 р .
Дана	сумма	.
Вспомните хорошо знакомое вам переместительное свойство сложения : при перестановке слагаемых	сумма	не меняется .
2 ) Если	сумма	чисел а и b положительна , то и сами слагаемые — числа положительные .
Вопрос задачи нужно понимать так : сколько процентов от первоначальной цены составляет	сумма	скидки ?
Если фигура разрезана на части , то её площадь равна	сумме	площадей её частей .
В какой - то момент меньшая окружность коснётся большей , и расстояние между их центрами будет равно	сумме	радиусов .
Замените сложение умножением и запишите равное этой	сумме	выражение .
Ясно , что треугольник не получится и в том случае , если расстояние между центрами окружностей равно	сумме	их радиусов .
А в	сумме	после запятой тоже оказалось две цифры — столько же , сколько их содержится в каждом из слагаемых .
Докажите , что сумма площадей синих треугольников равна	сумме	площадей белых треугольников .
а ) Два числа в	сумме	составляют 110 .
Два числа в	сумме	составляют 59 .
Пусть радиус одной окружности равен 3 см , другой – 1 см. Сравните расстояние между их центрами : а ) с	суммой	радиусов б ) с разностью радиусов .
Замените сумму равной ей	суммой	, поменяв местами слагаемые .
А как найти	сумму	дробей 3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после запятой различно ? .
Запишите	сумму	в виде десятичной дроби .
Чтобы найти	сумму	( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Запишите следующую	сумму	.
Найдите	сумму	.
А вот	сумму	дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в десятичную не обращается .
Не складывая дроби , сравните с числом 10	сумму	.
Запишите три следующих числа и найдите	сумму	всех шести записанных чисел .
Например ,	сумму	можно вычислить так .
2 Найдите	сумму	, выполнив вычисления столбиком .
Вычислим	сумму	.
Вычислите	сумму	, используя свойства сложения .
Пусть нужно найти	сумму	десятичных дробей 3,44 и 7,28 .
Замените	сумму	равной ей суммой , поменяв местами слагаемые .
Какую	сумму	в качестве подоходного налога должен заплатить человек , заработавший 12 500 р . ? .
Это равенство показывает , что	сумму	можно записать проще , без скобок и промежуточных знаков сложения , — надо выписать одно слагаемое за другим с их знаками .
Найдите	сумму	( приведите разные способы вычисления ) .
Можно сначала найти , на сколько увеличилась цена билета , а затем прибавить полученную	сумму	к его первоначальной цене .
Образец . 1 ) Не записывая выражение в виде суммы явно , перечислите входящие в эту	сумму	слагаемые .
Запишите	сумму	данных чисел и вычислите её .
	Сумму	частного чисел b и с и их произведения .
Например , записать его	сумму	с числом 5 ; получится а плюс 5 .
Чтобы найти	сумму	или разность дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму или разность их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Чтобы найти сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти	сумму	или разность их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Найдём	сумму	.
Так , если нужно умножить	сумму	чисел а и b на число с , то эту сумму заключают в скобки .
Запишите и вычислите	сумму	чисел .
Запишите в виде буквенных выражений произведение и	сумму	двух последовательных натуральных чисел .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г )	сумму	всех натуральных чисел от 1 до n .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в )	сумму	всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Так , если нужно умножить сумму чисел а и b на число с , то эту	сумму	заключают в скобки .
Чтобы найти	сумму	или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю .
Найдите	сумму	или разность .
Чтобы вычислить эту	сумму	, можно последовательно складывать числа в том порядке , в котором они записаны .
Решите задачу , составив уравнение : а ) Ученик задумал число , прибавил к нему 7 , эту	сумму	умножил на 3 , из результата вычел 15 и получил 30 .
Ученик задумал число , умножил его на 4 , к результату прибавил 16 , эту	сумму	разделил на 2 и получил 23 .
Найдите	сумму	противоположных чисел .
а ) произведение числа 7 и суммы чисел а и b . б )	сумму	числа 10 и произведения чисел х и у .
Объясните , как можно вычислить	сумму	.
Произведением естественно считать	сумму	трёх слагаемых , каждое из которых равно – 5 .
Какую	сумму	он должен был вернуть банку ? .
Найдите	сумму	всех целых чисел .
Представьте , что вы подсчитываете доходы и расходы , и вычислите	сумму	.
Эту	сумму	можно вычислить , складывая числа последовательно .
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности положительные и отрицательные слагаемые , а затем найти	сумму	двух получившихся чисел .
б ) Банк начисляет на вклад ежегодно 8 % от вложенной	суммы	.
Умею называть число , противоположное данному целому числу ; знаю свойство	суммы	противоположных чисел .
На закупку лекарств для больниц было потрачено 0,2 этой	суммы	.
Ищем закономерность Вычислите	суммы	.
Музыканты , давшие благотворительный концерт , передали городу 4,5 млн р . 1 ) На строительство спортивных комплексов было выделено 0,7 этой	суммы	.
Найдите , не выполняя сложения , значение	суммы	.
При втором построении окружности не пересеклись , так как расстояние между их центрами больше	суммы	их радиусов .
Меньшая окружность целиком находится вне большей , и расстояние между их центрами больше	суммы	радиусов .
Представьте в виде	суммы	двух слагаемых разных знаков число .
Представьте в виде	суммы	двух отрицательных слагаемых число .
Сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным , так и отрицательным числом ; знак	суммы	зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
Расположите в порядке возрастания следующие	суммы	.
Любая сторона треугольника меньше	суммы	двух других его сторон .
Используя свойство	суммы	противоположных чисел , вычислите .
Модуль	суммы	найдём вычитанием : Таким образом .
1 На примерах вычисления	суммы	и разности чисел 24,9 и 8,23 расскажите , как складывают и вычитают десятичные дроби .
Что можно сказать о знаке	суммы	двух чисел , если известно , что : а ) оба числа отрицательные ; б ) одно число отрицательное , а другое положительное ? .
При этом израсходованные	суммы	денег будем обозначать отрицательными числами .
Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления	суммы	этих чисел на их количество .
а ) произведение числа 7 и	суммы	чисел а и b . б ) сумму числа 10 и произведения чисел х и у .
Определите знак	суммы	и выполните сложение .
Представим данное выражение в виде	суммы	, заменив каждое вычитание сложением .
4 Запишите произведение	суммы	двух чисел а и b и их разности .
Модуль	суммы	нашли вычитанием .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их	суммы	.
На самом деле достаточно проверить , что наибольший отрезок меньше	суммы	двух других .
Обратите внимание : в каждом правиле выделяются два момента — определение знака	суммы	и способ нахождения её модуля .
Но им удалось собрать 130 % этой	суммы	.
Сколько процентов от вложенной	суммы	составляет новая сумма на счёте ? .
Представьте выражение в виде	суммы	и выполните вычисления .
Десятичная дробь представлена в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Представьте десятичную дробь в виде	суммы	разрядных слагаемых .
На примере вычисления	суммы	и разности чисел 7,85 и 0,534 объясните , как складывают и как вычитают десятичные дроби .
Чтобы найти модуль	суммы	, надо сложить модули слагаемых .
а ) – 10 — 20 — это разность чисел – 10 и 20 ; представьте её в виде	суммы	.
в ) Через год сумма на банковском счёте составила 120 % от вложенной	суммы	.
Запись	суммы	положительных и отрицательных чисел часто упрощают : положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Затем заменили вычитание сложением и вычислили значение получившейся	суммы	.
В первом случае окружности пересеклись , потому что расстояние между их центрами меньше	суммы	их радиусов .
Найдите значение	суммы	при указанных значениях а , b и с .
Таким образом , из трёх отрезков можно построить треугольник , если каждый из этих трёх отрезков меньше	суммы	двух других .
За каждый просроченный день сумма увеличивается на 2 % от	суммы	штрафа .
Образец . 1 ) Не записывая выражение в виде	суммы	явно , перечислите входящие в эту сумму слагаемые .
Представьте десятичную дробь 0,49 в виде	суммы	разрядных слагаемых и , выполнив сложение , получите соответствующую обыкновенную дробь .
Представим её в виде	суммы	разрядных слагаемых и выполним сложение .
Чтобы найти модуль	суммы	, надо из большего модуля вычесть меньший .
Границей круга , как вам известно , является окружность , а границей шара —	сфера	.
Собственно , само слово «	сфера	» происходит от греческого слова , обозначающего « мяч » .
На сколько частей делится	сфера	одной большой окружностью ?
Поверхность шара называется	сферой	.
Древние греки считали	сферу	« наиболее прекрасной из твёрдых фигур » .
А пример	сферы	— это оболочка мяча , плёнка мыльного пузыря .
У шара и	сферы	, так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и диаметр .
В отличие от поверхностей этих	тел	, поверхность шара нельзя развернуть на плоскость .
Из уже известных вам	тел	это цилиндр и конус .
Особое место среди круглых	тел	занимает шар .
Ещё в древности математики интересовались тем , какие фигуры получаются при сечении пространственных	тел	плоскостью .
Круглые	тела	.
Среди них встречаются не только многогранники , но и так называемые круглые	тела	.
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном шаре , множестве планет Солнечной системы , множестве клеток человеческого	тела	.
Но если на плоскости только круг обладает таким интересным свойством , то в пространстве есть и другие	тела	, имеющие бесконечно много плоскостей симметрии .
54 Круглые	тела	.
Например , нетрудно указать плоскость , относительно которой	тело	человека можно считать симметричным .
практически вся математика была перестроена на	теоретико-множественной	основе .
Это важное свойство симметричных	точек	.
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с центром в точке пересечения прямых ; обозначьте точки пересечения прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних	точек	.
Сделайте вывод о расположении	точек	А , B и С . а ) Собака весит 20,2 кг .
Подметьте закономерность и ответьте на вопрос : как связаны между собой координаты х и координаты у	точек	, симметричных относительно оси у ? .
Числа 0 ; 3,5 ; – 3,5 ; – 5,2 являются координатами	точек	О , А , В и С .
При каком расположении	точек	С и О этот четырёхугольник будет иметь 2 оси симметрии ?
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных чисел – 6,5 и – 4 меньше , мы сравнили положительные числа 6,5 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих	точек	координатной прямой .
4 Запишите координаты всех этих	точек	.
Найдите координаты	точек	A и С .
Постройте несколько	точек	, находящихся от прямой АВ на расстоянии 2 см. Где расположены все такие точки ? .
На координатной прямой отмечены точки А , В , С и D. Координаты	точек	В и D известны .
1 ) а ) На координатной плоскости отметьте пять	точек	, имеющих абсциссу , равную .
15 Запишите координаты	точек	16 .
Найдите расстояние от каждой из этих	точек	до прямой .
Отметьте на координатной прямой точки и точку С , координата которой есть среднее арифметическое координат	точек	.
Сделайте необходимые обозначения и , используя их , запишите свойства симметричных	точек	.
Подметьте закономерность и ответьте на вопрос : как связаны между собой координаты у и координаты х	точек	, симметричных относительно оси х ? .
Запишите координаты всех этих	точек	.
3 ) через каждую пару	точек	проведите прямые .
Умею отмечать на координатной прямой точки , соответствующие заданным числам , определять координаты отмеченных	точек	.
По одну сторону от прямой l расположены точки А , В , С и D. Расстояния от этих	точек	до прямой соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
Какое наибольшее число	точек	пересечения могут иметь три прямые ? .
Сколько общих	точек	могут иметь прямая и окружность ? .
Какая из данных	точек	расположена на координатной прямой дальше от начала координат .
Так , множество жителей планеты Земля конечно ( хотя их число очень велико — порядка 6 млрд ) , а множество	точек	окружности ( даже небольшого радиуса ) бесконечно .
С помощью угольника через каждую из этих	точек	проведите прямую , перпендикулярную прямой k .
Какое наибольшее число таких	точек	могло получиться ? .
А затем прямая и окружность вновь не будут иметь общих	точек	.
Укажите координаты	точек	, в которых стороны треугольника пересекают ось х . б ) Постройте четырёхугольник ABCD , если его вершины имеют координаты .
6 Запишите координаты	точек	, отмеченных на координатной прямой .
Запишите координаты всех отмеченных	точек	.
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов — чисел , выражений ,	точек	, фигур и так далее .
Запишите координаты отмеченных	точек	.
Запишите координаты	точек	, отмеченных на координатной прямой .
Отметьте несколько	точек	и запишите их координаты .
Назовите координаты всех отмеченных	точек	.
Укажите координаты	точек	, в которых стороны четырёхугольника пересекают оси координат .
Укажите , какая из	точек	расположена на координатной прямой ближе к 0 .
Постройте прямую , все точки которой имеют абсциссу , равную 3 ; – 2 ; 0 . 2 ) а ) На координатной плоскости отметьте пять	точек	, имеющих ординату , равную 1 .
Сделайте схематический рисунок : начните с изображения	точек	, являющихся центрами окружностей .
На координатной прямой некоторые точки обозначены буквами Какая из	точек	соответствует числу : 34,8 ; 34,2 ; 34,6 ; 35,4 ; 35,8 ; 35,6 ? .
Изображены пять	точек	.
На этом основан способ построения центрально - симметричных	точек	.
В какую точку перейдёт при повороте	точка	A ?
Центр симметрии имеет и прямоугольник : это	точка	пересечения его диагоналей .
Чем дальше от нуля	точка	, изображающая на координатной прямой некоторое число , тем больше модуль этого числа .
Точка – 6,5 удалена от начала координат на 6,5 единицы , а	точка	– 4 — на 4 единицы .
В какой - то момент расстояние от центра до прямой станет равным радиусу и	точка	М окажется на окружности .
1 ) Не выполняя построения , определите , в какой координатной четверти находится	точка	.
Определите , между какими координатными четвертями находится	точка	.
Так как	точка	– 6,5 расположена левее , то .
Центр симметрии параллелограмма — это	точка	пересечения его диагоналей .
После этого любая	точка	прямой получает свою собственную координату .
При повороте на 180 °	точка	А перешла в диаметрально противоположную ей точку В. Точки А и В называют симметричными относительно точки О .
Изображена окружность с центром в точке О , на ней отмечена	точка	А. Построим касательную к окружности в этой точке : проведём радиус ОА ; построим прямую d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А .
Точка О — центр большей окружности ,	точка	Р — центр меньшей .
Изображена часть фигуры , центром симметрии которой является	точка	М. Начертите эту фигуру в тетради .
	Точка	B ?
Какому из чисел на координатной прямой соответствует	точка	, расположенная правее : 12,65 или 12,56 ? .
Убедитесь , используя кальку , что указанная	точка	является центром симметрии фигуры .
Как и раньше , будем считать , что из двух чисел меньше то , которому соответствует точка координатной прямой , расположенная левее , и больше то , которому соответствует	точка	, расположенная правее .
Центр куба — это	точка	пересечения его диагоналей .
Используя знак модуля , запишите , на каком расстоянии от начала координат — точки О находится	точка	.
Как и раньше , будем считать , что из двух чисел меньше то , которому соответствует	точка	координатной прямой , расположенная левее , и больше то , которому соответствует точка , расположенная правее .
Определите , в какой четверти находится	точка	, если о её координатах известно , что .
Любая	точка	, удалённая от точки А на 3 см , лежит на окружности с центром в точке А и радиусом 3 см .
Заметим , что в вычислительных машинах всегда используется	точка	вместо запятой .
На координатной прямой большему числу соответствует	точка	, расположенная правее , а меньшему — точка , расположенная левее .
Пусть дана прямая l и	точка	М. Построим точку , симметричную точке М относительно прямой l. Для этого : проведём через точку М прямую , перпендикулярную l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Точно так же любая	точка	, удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Пусть на координатной плоскости отмечена некоторая	точка	А Опустим из неё перпендикуляр на ось х. Он пересечёт ось х в точке с координатой , равной 3 .
На координатной прямой большему числу соответствует точка , расположенная правее , а меньшему —	точка	, расположенная левее .
У этих углов общая вершина —	точка	пересечения прямых .
След , который оставляет	точка	А при повороте , — это дуга окружности .
На отрезке АВ , длина которого равна 6 см , отмечена	точка	С так , что AС равно 2 см. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и СВ .
Объединение отрезка KL и луча LM есть луч КМ , а их пересечением является	точка	L .
Обратите внимание : если точки А и В симметричны относительно точки О , то	точка	О — середина отрезка АВ .
Пусть дана прямая l и точка М. Построим точку , симметричную точке М относительно прямой l. Для этого : проведём через точку М прямую , перпендикулярную l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и	точка	М .
На какой координатной оси находится	точка	с координатами ( 5 ; 0 ) ? .
Решите эту же задачу , если AB равно 10 см и AC равно 6 см . 2 ) На отрезке АВ , длина которого равна 8 см ,	точка	С отмечена произвольным образом .
Изменится ли ответ , если в условии будет сказано , что	точка	С отмечена на прямой АВ , но не на отрезке АВ ? .
На плане это	точка	М. Длина отрезка ОМ и есть расстояние от дома лесника до водоёма .
Отметьте на листе нелинованной бумаги точки О , А , 8 и С. Постройте точки , симметричные	точкам	А , В , С относительно точки О .
Постройте точки A1 , B1 и C1 симметричные	точкам	A , B и C относительно прямой k .
На листе бумаги проведите прямую l , отметьте три точки и обозначьте их буквами А , В и С. Постройте точки , симметричные этим	точкам	относительно прямой l.
Противоположные числа изображаются	точками	, симметричными относительно точки с координатой 0 .
В каждом случае найдите расстояние между самыми удалёнными и самыми близкими	точками	окружностей .
Для этого отрезок между	точками	0 и 1 делят на 10 равных частей и отсчитывают 3 такие части .
Изобразите схематически числа	точками	на координатной прямой .
А у противоположных чисел , которые изображаются	точками	, симметричными относительно нуля , модули равны .
Умею изображать десятичные дроби	точками	на координатной прямой .
2 Отметьте	точками	на координатной прямой числа .
На координатной прямой	точками	отмечены числа а , b и с. Какое из следующих утверждений об этих числах верно ? .
Какие числа отмечены	точками	на координатной прямой .
Десятичные дроби , так же как и обыкновенные , изображают	точками	на координатной прямой .
Выпишите все дроби со знаменателем 7 , которые изображаются	точками	, расположенными на координатной прямой между точками .
Отметьте на ней	точками	числа .
Противоположные числа изображаются	точками	координатной прямой , находящимися на одинаковом расстоянии от точки О ( 0 ) .
Отрицательные числа на координатной прямой изображаются точками , расположенными левее нуля , а положительные —	точками	, расположенными правее нуля .
Его длина и есть расстояние между	точками	А и В .
Найдите расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими	точками	двух окружностей , если : а ) радиусы окружностей равны 3 см и 4 см , а расстояние между центрами — 10 см ; б ) радиусы окружностей равны 2 см и 5 см , а расстояние между центрами — 1 см .
Самый простой случай — расстояние между двумя	точками	.
Отрезок MN сначала разделили точками А и В на 3 равные части , а затем	точками	С , D и Е на 4 равные части .
Отрезок MN сначала разделили	точками	А и В на 3 равные части , а затем точками С , D и Е на 4 равные части .
Постройте четыре точки А , В , С и D по следующему условию : точки С и D лежат по разные стороны от прямой , проходящей через точки А и В , АB равно 8 см , АС равно 4 см , СВ равно 8 см , AD равно 6 см , 08 равно 4 см. Чему равно расстояние между	точками	С и D ? .
Чему равно расстояние между этими двумя	точками	? .
Расстояние между двумя	точками	.
Выпишите все дроби со знаменателем 7 , которые изображаются точками , расположенными на координатной прямой между	точками	.
а ) Начертите координатную прямую ( за единичный отрезок примите 2 клетки ) и отметьте на ней	точками	числа .
Отрицательные числа на координатной прямой изображаются	точками	, расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее нуля .
Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются	точками	, лежащими между точками : На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между	точками	: На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
Умею находить расстояние между двумя	точками	; от точки до прямой ; между двумя параллельными прямыми .
Отметьте	точками	противоположные им числа .
На координатной прямой	точками	отмечены некоторые числа .
Чему равно расстояние между двумя	точками	на плане , если на самом деле оно равно 20 м ?
Во сколько раз расстояние между двумя	точками	на плане меньше расстояния между этими же точками на местности ?
Целые отрицательные числа , как и целые положительные ( то есть натуральные ) , можно изображать	точками	на координатной прямой .
Во сколько раз расстояние между двумя точками на плане меньше расстояния между этими же	точками	на местности ?
Чему равно расстояние между двумя	точками	на местности , если на плане оно равно 1,5 см ?
Прямая к и окружность пересекаются в	точках	А и B. Прямая к перемещается к центру окружности параллельно самой себе .
Окружности пересекаются в двух	точках	.
Проведём теперь из точки А перпендикуляр к оси у. Он пересечёт ось у в	точке	с координатой , равной 2 .
Любая точка , удалённая от точки А на 3 см , лежит на окружности с центром в	точке	А и радиусом 3 см .
Прямые АВ , CD и КМ пересекаются в	точке	О причём ∠AOM равно 47 ° и ∠AOC равно 32 ° .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в	точке	С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Чтобы убедиться в этом , наложите на параллелограмм кальку , прикрепите её в	точке	пересечения диагоналей булавкой , переведите параллелограмм на кальку и поверните её на 180 ° .
Пусть на координатной плоскости отмечена некоторая точка А Опустим из неё перпендикуляр на ось х. Он пересечёт ось х в	точке	с координатой , равной 3 .
В перигее —	точке	её орбиты , ближайшей к Земле , — расстояние до Земли равно 363 104 км , в апогее — точке орбиты , наиболее удалённой от Земли , — расстояние до Земли равно 405 696 км .
В перигее — точке её орбиты , ближайшей к Земле , — расстояние до Земли равно 363 104 км , в апогее —	точке	орбиты , наиболее удалённой от Земли , — расстояние до Земли равно 405 696 км .
Точка К симметрична	точке	М относительно прямой l .
8 Отметьте две точки и обозначьте их буквами A и О. Постройте точку , симметричную	точке	А относительно точки О .
Чтобы убедиться в этом , наложите на рисунок кальку и прикрепите её в	точке	О булавкой .
Представьте , что вы шагаете по координатной прямой из точки 0,2 в направлении , указанном стрелкой , с шагом , равным 0,6 . 1 ) В какой	точке	вы окажетесь через 5 шагов ?
Проведите две окружности с центром в	точке	В , которые касаются первой окружности внешним и внутренним образом .
Выполните следующие построения на альбомном листе бумаги : 1 ) Начертите отрезок АВ длиной 6 см. 2 ) Проведите окружность с центром в	точке	А , радиус которой равен 4 см. 3 )
Прямая d — касательная к окружности в	точке	А .
Изображена окружность с центром в точке О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой	точке	: проведём радиус ОА ; построим прямую d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А .
1 Начертите окружность , отметьте на ней какую - нибудь точку и постройте касательную к окружности в этой	точке	.
На нём хорошо видно , что искры — раскалённые частички точильного камня , оторвавшиеся от него , — летят по касательной к кругу в	точке	отрыва .
Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку А. Постройте касательную к окружности в	точке	А .
На рисунке 5.1 , а изображена окружность с центром в	точке	О и прямая k , её не пересекающая .
Продолжим проводить окружности с центром в	точке	О , пока очередная окружность не достигнет шоссе .
Точка В симметрична	точке	А относительно точки О .
Будем проводить окружности с центром в	точке	О , увеличивая их радиусы , пока одна из них не достигнет водоёма .
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с центром в	точке	пересечения прямых ; обозначьте точки пересечения прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
Изображена окружность с центром в	точке	О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке : проведём радиус ОА ; построим прямую d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А .
Через сколько шагов вы окажетесь в	точке	с координатой 7,4 ? .
Попробуйте , не выполняя построения , определить координаты точки , симметричной	точке	: а ) относительно оси х ; б ) относительно оси у .
Пусть дана прямая l и точка М. Построим точку , симметричную	точке	М относительно прямой l. Для этого : проведём через точку М прямую , перпендикулярную l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Построим точку В , симметричную	точке	А относительно точки О. Для этого : проведём прямую АО ; по другую сторону от точки О отложим отрезок ОВ , равный отрезку ОА .
Возьмите карандаш и поставьте его в некоторой	точке	сначала наклонно , а потом вертикально .
В каждом четырёхугольнике проведите диагонали и постройте точку , симметричную	точке	пересечения диагоналей четырёхугольника .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в	точке	М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Точка является центром симметрии , если при повороте вокруг этой	точки	на 180е фигура переходит сама в себя .
Например , числам 3,5 и – 3,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от	точки	О на расстоянии , равном 3,5 единицы .
Назовите х - координату и у - координату	точки	( – 3 ; 2 ) .
Отметьте на листе нелинованной бумаги точки О , А , 8 и С. Постройте точки , симметричные точкам А , В , С относительно	точки	О .
На координатной прямой отмечены	точки	, соответствующие числам .
Вычислите периметр и площадь прямоугольника ABCD . б ) На координатной плоскости отметьте	точки	.
Любая точка , удалённая от	точки	А на 3 см , лежит на окружности с центром в точке А и радиусом 3 см .
На координатной прямой отмечены	точки	А , В , С и D. Координаты точек В и D известны .
Определите координату каждой	точки	.
Построим точку В , симметричную точке А относительно	точки	О. Для этого : проведём прямую АО ; по другую сторону от точки О отложим отрезок ОВ , равный отрезку ОА .
Отметим две	точки	А и В. Существует бесконечно много линий на плоскости , двигаясь по которым можно из точки А попасть в точку В. Некоторые из них изображены .
Развернув лист , вы увидите две	точки	, расположенные по разные стороны от этой прямой .
Самый короткий путь из	точки	А в точку В — отрезок АВ .
Координаты	точки	.
Постройте четыре точки А , В , С и D по следующему условию : точки С и D лежат по разные стороны от прямой , проходящей через	точки	А и В , АB равно 8 см , АС равно 4 см , СВ равно 8 см , AD равно 6 см , 08 равно 4 см. Чему равно расстояние между точками С и D ? .
Постройте четыре точки А , В , С и D по следующему условию :	точки	С и D лежат по разные стороны от прямой , проходящей через точки А и В , АB равно 8 см , АС равно 4 см , СВ равно 8 см , AD равно 6 см , 08 равно 4 см. Чему равно расстояние между точками С и D ? .
Например , числам 3 и – 3 соответствуют	точки	, расположенные справа и слева от нуля на одном и том же расстоянии , равном трём единицам .
Говорят , что эти	точки	. симметричны относительно прямой — линии сгиба .
Проведите через полученные	точки	прямую и обозначьте её буквой l.
Постройте четыре	точки	А , В , С и D по следующему условию : точки С и D лежат по разные стороны от прямой , проходящей через точки А и В , АB равно 8 см , АС равно 4 см , СВ равно 8 см , AD равно 6 см , 08 равно 4 см. Чему равно расстояние между точками С и D ? .
Отметьте на листе нелинованной бумаги точки О , А , 8 и С. Постройте	точки	, симметричные точкам А , В , С относительно точки О .
Прочитайте в тексте пункта , как определяют координаты	точки	на координатной плоскости .
Но в геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от	точки	до некоторой фигуры ( прямой , окружности ) , расстояние между двумя параллельными прямыми и так далее .
С помощью инструментов вы можете убедиться , что прямая l перпендикулярна линии сгиба , а	точки	находятся от неё на одинаковом расстоянии .
С его помощью можно строить	точки	, симметричные относительно некоторой прямой , и без перегибания листа бумаги .
Противоположные числа изображаются точками , симметричными относительно	точки	с координатой 0 .
Координата	точки	Е равна 4 ; это записывается так : E(4 ) .
Отметим две точки А и В. Существует бесконечно много линий на плоскости , двигаясь по которым можно из	точки	А попасть в точку В. Некоторые из них изображены .
6 Чему равно расстояние : а ) от	точки	А до точки В ; б ) от точки А до прямой b ; в ) между прямыми а и b ? .
Обратите внимание : если точки А и В симметричны относительно	точки	О , то точка О — середина отрезка АВ .
Можно ли на этом плане указать	точки	, расстояние между которыми на местности равно 0,5 м ? .
Подумайте , как определить координаты	точки	в такой системе координат .
На рёбрах куба взяты	точки	О и Р Пересекает ли прямая ОР прямые AD , ML , АВ , DN , ВМ ? .
Обозначьте все отмеченные	точки	и запишите их координаты .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней красным карандашом точки , удалённые от точки 0 на 4 единицы , и синим карандашом точки , удалённые от	точки	– 3 на 6 единиц .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней красным карандашом точки , удалённые от точки 0 на 4 единицы , и синим карандашом	точки	, удалённые от точки – 3 на 6 единиц .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней красным карандашом точки , удалённые от	точки	0 на 4 единицы , и синим карандашом точки , удалённые от точки – 3 на 6 единиц .
Изобразим схематически на координатной прямой точки 989 и 1000 , а также симметричные им	точки	относительно точки 0 .
Постройте отрезок АВ по координатам его концов и найдите координаты	точки	, в которой он пересекает ось х . а )
Отметим на листе бумаги точки О и А. Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг	точки	О ( для этого поставим ножку циркуля в точку О ) .
Определите , чему равны величины углов четырёхугольника , вершинами которого являются	точки	пересечения прямых .
Отметим на листе бумаги	точки	О и А. Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг точки О ( для этого поставим ножку циркуля в точку О ) .
По одну сторону от прямой l расположены	точки	А , В , С и D. Расстояния от этих точек до прямой соответственно равны 4 см 3 мм , 4 см 1 мм , 3 см 9 мм и 4 см 6 мм .
Как вы думаете , где расположены все	точки	с ординатой , равной 1 ?
Постройте прямую , все	точки	которой имеют ординату , равную .
Это свойство можно использовать для построения правильного многоугольника : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно	точки	деления .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней красным карандашом	точки	, удалённые от точки 0 на 4 единицы , и синим карандашом точки , удалённые от точки – 3 на 6 единиц .
На плоскости проведены четыре прямые и отмечены	точки	, в которых эти прямые попарно пересекаются .
Постройте прямую , все	точки	которой имеют абсциссу , равную 3 ; – 2 ; 0 . 2 ) а ) На координатной плоскости отметьте пять точек , имеющих ординату , равную 1 .
Изобразим схематически на координатной прямой точки 989 и 1000 , а также симметричные им точки относительно	точки	0 .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные	точки	.
Отметьте на листе нелинованной бумаги	точки	О , А , 8 и С. Постройте точки , симметричные точкам А , В , С относительно точки О .
Постройте прямоугольную систему координат и отметьте	точки	, имеющие следующие координаты .
Скопируйте в тетрадь и постройте фигуру , симметричную данной относительно	точки	О .
Как вы думаете , где расположены все	точки	с абсциссой , равной 4 ?
Например , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все	точки	круга N принадлежат также и кругу Ζ .
На координатной прямой отмечены	точки	.
При повороте на 180 ° точка А перешла в диаметрально противоположную ей точку В. Точки А и В называют симметричными относительно	точки	О .
Расстояние между от	точки	до плоскости .
Умею находить расстояние между двумя точками ; от	точки	до прямой ; между двумя параллельными прямыми .
Расстояние между от	точки	до прямой .
С термином « пересечение » вы не раз встречались при изучении геометрии , когда , например , находили общие	точки	двух прямых , прямой и окружности и так далее .
Точка с координатой – 1000 оказалась левее	точки	– 989 .
Отметьте на координатной плоскости	точки	.
Как построить многоугольник , симметричный данному относительно некоторой	точки	? .
Обратите внимание : если	точки	А и В симметричны относительно точки О , то точка О — середина отрезка АВ .
Если каждые две	точки	соединить отрезком , то сколько всего получится отрезков ?
Запишите координату каждой	точки	, отмеченной на координатной прямой .
Прямая бесконечна ; в отличие , например , от окружности эта линия незамкнутая ; через две	точки	можно провести только одну прямую .
Построим точку В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого : проведём прямую АО ; по другую сторону от	точки	О отложим отрезок ОВ , равный отрезку ОА .
Таким образом , расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру , проведённому из	точки	к этой прямой .
Число у называют ординатой или второй координатой	точки	А .
Числа х и у определяют положение	точки	А на координатной плоскости .
Отметьте две	точки	, взяв их по разные стороны от прямой .
Соединим последовательно	точки	А , В , С и D Четырёхугольник ABCD — параллелограмм .
Их называют координатами	точки	на плоскости .
Скопируйте рисунок в тетрадь и постройте фигуру , симметричную данной фигуре относительно	точки	О .
Заметим , что указать только одну координату	точки	было бы недостаточно .
Таким образом , расстояние от	точки	до прямой измеряется по перпендикуляру , проведённому из точки к этой прямой .
На листе бумаги проведите прямую l , отметьте три точки и обозначьте их буквами А , В и С. Постройте	точки	, симметричные этим точкам относительно прямой l.
На листе бумаги проведите прямую l , отметьте три	точки	и обозначьте их буквами А , В и С. Постройте точки , симметричные этим точкам относительно прямой l.
Так , абсциссу xимеют ещё	точки	В , С и все точки прямой ВС , а ординату у имеют точки Μ , N и все точки прямой ΜΝ .
Найдите расстояние от	точки	А до прямой а и до прямой .
Так , абсциссу xимеют ещё точки В , С и все	точки	прямой ВС , а ординату у имеют точки Μ , N и все точки прямой ΜΝ .
Так , абсциссу xимеют ещё точки В , С и все точки прямой ВС , а ординату у имеют	точки	Μ , N и все точки прямой ΜΝ .
А как указать положение	точки	на плоскости ?
Постройте	точки	A1 , B1 и C1 симметричные точкам A , B и C относительно прямой k .
Расстояние от	точки	до плоскости тоже измеряется по перпендикуляру .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от	точки	А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
Найдите расстояние от	точки	А до прямой l .
На координатной прямой некоторые	точки	обозначены буквами Какая из точек соответствует числу : 34,8 ; 34,2 ; 34,6 ; 35,4 ; 35,8 ; 35,6 ? .
Используя знак модуля , запишите , на каком расстоянии от начала координат —	точки	О находится точка .
Покажем , как определяется положение	точки	на координатной плоскости .
Бросив камешек в спокойную гладь водоёма , вы видите , как от	точки	падения камня разбегаются концентрические окружности .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от	точки	А до прямой l.
Чтобы построить правильный шестиугольник , можно разделить окружность на шесть равных частей ( пройти по ней циркулем с шагом , равным её радиусу ) и соединить последовательно все полученные	точки	.
( Отметьте эти	точки	и подпишите их координаты ) .
Скопируйте рисунок и постройте прямую l , относительно которой	точки	А и В симметричны .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от	точки	0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Число х называют абсциссой или первой координатой	точки	А .
Представьте , что вы шагаете по координатной прямой из	точки	0,2 в направлении , указанном стрелкой , с шагом , равным 0,6 . 1 ) В какой точке вы окажетесь через 5 шагов ?
Проведём теперь из	точки	А перпендикуляр к оси у. Он пересечёт ось у в точке с координатой , равной 2 .
Точка В симметрична точке А относительно	точки	О .
Отсчитав от	точки	0,3 шесть сотых долей , отмечают точку с координатой 0,36 .
Покажите , где на координатной прямой расположены	точки	, координаты которых удовлетворяют условию .
Постройте треугольник , симметричный данному относительно	точки	0 .
Так , абсциссу xимеют ещё точки В , С и все точки прямой ВС , а ординату у имеют точки Μ , N и все	точки	прямой ΜΝ .
Таким образом , координата	точки	указывает её место на координатной прямой .
Сделав соответствующий рисунок , определите , верно ли следующее утверждение : 1 ) Если две окружности симметричны относительно некоторой	точки	, то они симметричны также относительно некоторой прямой .
Умею изображать фигуру , симметричную данной фигуре относительно	точки	.
8 Отметьте две	точки	и обозначьте их буквами A и О. Постройте точку , симметричную точке А относительно точки О .
Постройте на координатной плоскости	точки	.
Расскажите , как определить координаты	точки	на координатной плоскости .
6 Чему равно расстояние : а ) от точки А до	точки	В ; б ) от точки А до прямой b ; в ) между прямыми а и b ? .
2 ) Если две окружности симметричны относительно некоторой прямой , то они симметричны также относительно некоторой	точки	.
Объясните , почему	точки	А и С симметричны относительно прямой BD .
Центр окружностей — местоположение аэропорта ,	точки	на экране — самолёты .
8 Отметьте две точки и обозначьте их буквами A и О. Постройте точку , симметричную точке А относительно	точки	О .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две	точки	; пусть одна из них изображает число 0 , а другая — число 1 Точка с координатой 0 делит прямую на два луча .
На сторонах прямоугольника возьмите какие - нибудь три	точки	и постройте симметричные им точки относительно центра симметрии .
Умею определять координаты	точки	на координатной плоскости , строить точки с заданными координатами .
На сторонах прямоугольника возьмите какие - нибудь три точки и постройте симметричные им	точки	относительно центра симметрии .
Попробуйте , не выполняя построения , определить координаты	точки	, симметричной точке : а ) относительно оси х ; б ) относительно оси у .
понятно , как построить треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС относительно точки О : достаточно построить	точки	, симметричные его вершинам .
Определите расстояние от	точки	А до прямой n.
Умею определять координаты точки на координатной плоскости , строить	точки	с заданными координатами .
Постройте несколько точек , находящихся от прямой АВ на расстоянии 2 см. Где расположены все такие	точки	? .
Например , числам 3,5 и – 3,5 соответствуют	точки	, расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 3,5 единицы .
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с центром в точке пересечения прямых ; обозначьте	точки	пересечения прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
Назовите сторону , симметричную стороне АК относительно	точки	О .
Расстояние от	точки	координатной прямой , изображающей некоторое число , до нуля иначе называют модулем этого числа .
Координаты	точки	записывают в скобках , при этом абсцисса пишется на первом месте , а ордината — на втором .
Умею распознавать фигуры , симметричные относительно некоторой	точки	.
Например ,	точки	А , В , С имеют соответственно координаты .
Например , координаты	точки	С записывают так : С ( 4 ; 1 ) .
Противоположные числа изображаются точками координатной прямой , находящимися на одинаковом расстоянии от	точки	О ( 0 ) .
6 Чему равно расстояние : а ) от точки А до точки В ; б ) от	точки	А до прямой b ; в ) между прямыми а и b ? .
понятно , как построить треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС относительно	точки	О : достаточно построить точки , симметричные его вершинам .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от	точки	0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
1 Отрезок АВ разделён	точкой	С на две части так , что АС равно 1,2 дм , ВС равно 6 см. Что показывают отношения .
В этом случае прямую k называют касательной к окружности , а точку М —	точкой	касания .
Это означает , что диагонали	точкой	пересечения делятся пополам .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть	точкой	пересечения этих окружностей .
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая следует за	точкой	с координатой 0,3 .
2 ) На координатной плоскости постройте данную точку ;	точку	, симметричную ей относительно оси у , и запишите её координаты .
Отметим на листе бумаги точки О и А. Будем поворачивать с помощью циркуля	точку	А вокруг точки О ( для этого поставим ножку циркуля в точку О ) .
На координатной плоскости постройте данную точку ;	точку	, симметричную ей относительно оси х , и запишите её координаты .
5 Проведите прямую а и отметьте	точку	К , не лежащую на этой прямой .
С помощью линейки и угольника проведите через	точку	К прямую b , параллельную прямой а .
С помощью линейки и угольника проведите через	точку	К прямую b , перпендикулярную прямой а .
В этом случае прямую k называют касательной к окружности , а	точку	М — точкой касания .
При повороте на 180 ° точка А перешла в диаметрально противоположную ей	точку	В. Точки А и В называют симметричными относительно точки О .
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную	точку	М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей ? .
Касательная перпендикулярна радиусу , проведённому в	точку	касания .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от нуля отрезок , равный 5,2 единицы , получим	точку	, расположенную между числами – 6 и – 5 .
Через	точку	А проведена прямая , параллельная l. Какие из отрезков ВС , CD и DB эта прямая пересекает , а какие нет ? .
Построим	точку	В , симметричную точке А относительно точки О. Для этого : проведём прямую АО ; по другую сторону от точки О отложим отрезок ОВ , равный отрезку ОА .
Изображена окружность с центром в точке О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке : проведём радиус ОА ; построим прямую d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через	точку	А .
4 Проведите прямую а и отметьте	точку	К , не лежащую на этой прямой .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим	точку	, изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Понятно , что если бы мы взяли другую	точку	пересечения окружностей , то получили бы треугольник , равный треугольнику АВС .
На координатной плоскости постройте данную	точку	; точку , симметричную ей относительно оси х , и запишите её координаты .
Постройте четвёртую	точку	D так , чтобы получился прямоугольник ABCD .
Начертим прямую и отложим на ней отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью вершину —	точку	В ? .
Начертите произвольную окружность и отметьте на ней	точку	А. Постройте касательную к окружности в точке А .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим	точку	– 3,5 .
2 ) На координатной плоскости постройте данную	точку	; точку , симметричную ей относительно оси у , и запишите её координаты .
Отметим на листе бумаги точки О и А. Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг точки О ( для этого поставим ножку циркуля в	точку	О ) .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте	точку	С так , чтобы она : а ) лежала на прямой k ; б ) не лежала на прямой k. Перегибая лист бумаги , постройте прямую , перпендикулярную прямой к и проходящую через точку С .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k. Отметьте	точку	С так , чтобы она лежала на прямой k , и точку А так , чтобы она не лежала на этой прямой .
Проведём две пересекающиеся прямые и обозначим	точку	их пересечения буквой О .
В каждом четырёхугольнике проведите диагонали и постройте	точку	, симметричную точке пересечения диагоналей четырёхугольника .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через	точку	А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим	точку	их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
Отметьте цветным карандашом	точку	0,2 .
Через	точку	О требуется провести прямую , которая разбила бы данную фигуру на две равные части .
Легко видеть , что этот отрезок короче любого другого отрезка , соединяющего	точку	А с этой прямой .
Но в некоторых странах , например в Англии , США , вместо запятой ставят	точку	.
Проведём отрезок ОА , он короче любого другого отрезка , соединяющего	точку	О с шоссе .
Отсчитав от точки 0,3 шесть сотых долей , отмечают	точку	с координатой 0,36 .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С так , чтобы она : а ) лежала на прямой k ; б ) не лежала на прямой k. Перегибая лист бумаги , постройте прямую , перпендикулярную прямой к и проходящую через	точку	С .
Через	точку	К проведите прямую , параллельную прямой b .
Если нужно построить	точку	, соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Проведите произвольную прямую b и отметьте	точку	К , не лежащую на этой прямой .
Отметьте на координатной прямой точки и	точку	С , координата которой есть среднее арифметическое координат точек .
Пусть нужно построить	точку	, соответствующую числу 0,3 .
Если мы переставим числа в скобках , то получим другую	точку	— точку D .
Если мы переставим числа в скобках , то получим другую точку —	точку	D .
Как называют	точку	пересечения осей координат и какие у неё координаты ?
В какую	точку	перейдёт при повороте точка A ?
Отметьте на нём	точку	С таким образом , чтобы выполнялось условие .
Отметим	точку	А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К. Длина отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
1 Начертите окружность , отметьте на ней какую - нибудь	точку	и постройте касательную к окружности в этой точке .
Для каждого из чисел укажите соответствующую ему	точку	.
Постройте	точку	D — четвёртую вершину параллелограмма .
Отметим две точки А и В. Существует бесконечно много линий на плоскости , двигаясь по которым можно из точки А попасть в	точку	В. Некоторые из них изображены .
Самый короткий путь из точки А в	точку	В — отрезок АВ .
Обратите внимание на то , что в числовых выражениях , которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали	точку	— знак умножения .
Пусть дана прямая l и точка М. Построим	точку	, симметричную точке М относительно прямой l. Для этого : проведём через точку М прямую , перпендикулярную l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Попадёте ли вы в	точку	с координатой , равной 10 ? .
Бесконечно много ; на двух прямых , параллельных данной прямой и расположенных от неё на расстоянии 3 см. На прямой , проходящей через	точку	М перпендикулярно данной прямой .
Пусть дана прямая l и точка М. Построим точку , симметричную точке М относительно прямой l. Для этого : проведём через точку М прямую , перпендикулярную l ; отметим на ней	точку	К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Пусть дана прямая l и точка М. Построим точку , симметричную точке М относительно прямой l. Для этого : проведём через	точку	М прямую , перпендикулярную l ; отметим на ней точку К , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка М .
Если необходим именно такой порядок множителей в произведении чисел а и 7 , то	точку	обязательно ставят , то есть пишут .
Так , вместо обычно пишут 6а , то есть числовой множитель записывают перед буквенным и	точку	между ними не ставят .
В результате найдём	точку	водоёма , ближайшую к дому лесника .
Найдите на окружности	точку	, ближайшую к прямой , и точку , наиболее удалённую от прямой .
8 Отметьте две точки и обозначьте их буквами A и О. Постройте	точку	, симметричную точке А относительно точки О .
Найдите на окружности точку , ближайшую к прямой , и	точку	, наиболее удалённую от прямой .
На листе нелинованной бумаги проведите прямую k. Отметьте точку С так , чтобы она лежала на прямой k , и	точку	А так , чтобы она не лежала на этой прямой .
Сколько килограммов яблок было продано в	третий	день ? .
При ремонте участка шоссе длиной 20 км в первый день отремонтировали 0,35 всего участка , во второй день — 0,4 всего участка , остальное — в	третий	день .
Туристы прошли в первый час 5,2 км , во второй час на 0,5 км меньше , а в	третий	на 0,9 км меньше , чем во второй .
Сколько километров прошёл поезд за	третий	час ? .
Будем делить уголком числитель дроби на её знаменатель и оборвём деление в тот момент , когда получим	третий	знак после запятой .
Он пробежал дистанцию за 36,33 с. Спортсмен из Японии , занявший	третье	место , имел результат на две десятых секунды хуже .
Первое предложение — это верное утверждение , второе — неверное , а	третье	предложение при некоторых а верно , а при других нет .
Например : — округление до единиц 3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на	третье	приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в разряде сотых .
На сколько гектаров	третье	поле больше первого ? .
Первое поле на 3,2 га меньше второго , а	третье	поле на 4,8 га больше второго .
У первого стрелка попадание в цель составило 80 % , у второго – 55 % , у	третьего	— 95 % , у четвёртого – 75 % .
Вычислите неизвестную длину	третьего	ребра параллелепипеда , если .
В первой школе 500 учащихся , во второй — этого числа , а в	третьей	— в 1 раза больше , чем во второй .
Оксана собрала морковь с трёх одинаковых грядок : с одной 2,5 кг , с другой 2,8 кг , с	третьей	1,9 кг .
Найдите длину	третьей	стороны треугольника , если .
Сколько осей симметрии у	третьей	фигуры ?
Сколько учащихся в	третьей	школе ? .
Точка N(–150 ; 60 ) находится в	третьей	четверти .
Одна сторона треугольника равна 11,5 см. Она на 0,6 см меньше другой стороны и на 0,9 см больше	третьей	.
Если вторым посетить Рим , то	третьей	будет Флоренция ; если второй будет Флоренция , то третьим будет Рим .
б ) В первом бидоне в 3 раза больше молока , чем во втором , а во втором в 2 раза больше , чем в	третьем	.
Говорят , что в первом равенстве s выражено через v и t , во втором t выражено через s и v , в	третьем	v выражено через s и t .
Так , числа 3 , 6 , 9 принадлежат первому из указанных классов ; числа 4 , 7 , 10 — второму классу ; числа 5 , 8 , 11 —	третьему	.
Если вторым посетить Рим , то третьей будет Флоренция ; если второй будет Флоренция , то	третьим	будет Рим .
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу , в которой участвуют три величины , обозначенные буквами s , v и t. Если мы знаем две из них , то можем узнать и	третью	: ( по v и t умножением находим s ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по s и t делением находим t ) .
Вырежите	третью	фигуру , перегнув лист ещё один раз .
Начертим прямую и отложим на ней отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить	третью	вершину — точку В ? .
В одну коробку он положил половину имевшихся пряников , в другую — треть оставшихся , а в	третью	— остальные 30 пряников .
Рассмотрим теперь	третью	ситуацию .
Вот её записи в течение четырёх недель : Первая неделя — перерасход 6,5 р . , вторая неделя — экономия 3,7 р . ,	третья	неделя — перерасход 1,6 р . , четвёртая неделя — экономия 2,5 р .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно ,	третья	вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Многогранник ; Призма	треугольная	;
Можно ли построить	треугольник	со сторонами ? .
Квадрат разрезали по его диагонали и из получившихся частей сложили	треугольник	.
Постройте	треугольник	, симметричный треугольнику АВС относительно прямой m .
Убедитесь , что нельзя построить треугольник , стороны которого равны : а ) 7 см , 3 см и 3 см ; б ) 6 см , 4 см и 2 см. Измените длину одной из сторон так , чтобы	треугольник	можно было построить .
Постройте равнобедренный	треугольник	, боковые стороны которого равны по 5 см , а угол между ними равен 110 ° .
Как надо разрезать конус , чтобы в сечении получить	треугольник	?
Обозначим одну из них буквой В и проведём отрезки АВ и ВС. Получим	треугольник	АВС , имеющий заданные стороны .
Убедитесь , что нельзя построить	треугольник	, стороны которого равны : а ) 7 см , 3 см и 3 см ; б ) 6 см , 4 см и 2 см. Измените длину одной из сторон так , чтобы треугольник можно было построить .
Может ли	треугольник	иметь одну ось симметрии ?
Понятно , что если бы мы взяли другую точку пересечения окружностей , то получили бы	треугольник	, равный треугольнику АВС .
Из проволоки согнули	треугольник	со сторонами 7,5 см , 8,3 см и 9,4 см. Затем из этой же проволоки согнули квадрат .
понятно , как построить	треугольник	А1В1С1 симметричный треугольнику АВС относительно точки О : достаточно построить точки , симметричные его вершинам .
Верно ли что : а )	треугольник	и квадрат равновелики ; б ) треугольник и прямоугольник равновелики ? .
Постройте этот	треугольник	.
Верно ли что : а ) треугольник и квадрат равновелики ; б )	треугольник	и прямоугольник равновелики ? .
Разрежем параллелограмм вдоль линии , перпендикулярной стороне , и переложим отрезанный	треугольник	, как показано .
Постройте	треугольник	, равный треугольнику АВС Указание .
Постройте	треугольник	, если известны координаты его вершин .
Как проверить , можно ли построить	треугольник	с такими сторонами ? .
Постройте равносторонний	треугольник	со стороной 6 см . б )
а ) треугольник со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см . б ) равнобедренный	треугольник	, основание которого равно 7 см , а боковые стороны — по 4 см .
Постройте треугольник со сторонами , равными 3 см , 4 см и 6 см. Затем постройте	треугольник	, симметричный первому треугольнику относительно какой - либо его вершины .
изображена развёртка треугольной призмы , основанием которой является прямоугольный равнобедренный	треугольник	.
Начертите	треугольник	АВС и проведите две параллельные прямые k и m , не пересекающие этот треугольник .
а )	треугольник	со сторонами , равными 3 см , 5 см и 7 см . б ) равнобедренный треугольник , основание которого равно 7 см , а боковые стороны — по 4 см .
Умею строить	треугольник	по трём заданным сторонам .
Теперь попытаемся построить	треугольник	со сторонами 1 см , 2 см и 4 см .
Постройте равнобедренный	треугольник	, основание которого равно 4 см , а боковые стороны — по 5 см .
Постройте	треугольник	со сторонами 2 см , 3 см и 4 см .
Ясно , что	треугольник	не получится и в том случае , если расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов .
Постройте	треугольник	со сторонами , равными 3 см , 4 см и 6 см. Затем постройте треугольник , симметричный первому треугольнику относительно какой - либо его вершины .
Легко догадаться , что « самый симметричный треугольник » — это равносторонний	треугольник	, у него 3 оси симметрии , а « самый симметричный четырёхугольник » — квадрат , у него 4 оси симметрии .
Постройте	треугольник	со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
Ось симметрии разбивает равнобедренный	треугольник	на две равные части .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 )	треугольник	KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Перечертите	треугольник	в тетрадь .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 )	треугольник	DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Постройте	треугольник	по элементам .
Проведите такой эксперимент : соберите из элементов металлического конструктора четырёхугольник и	треугольник	и попробуйте подвигать их стороны .
Если	треугольник	равносторонний , то формула периметра примет другой вид .
Четырёхугольник при этом будет трансформироваться , а	треугольник	нет .
На координатной плоскости постройте : 1 )	треугольник	АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Говорят , что	треугольник	— жёсткая фигура .
А математики говорят , что	треугольник	однозначно определяется тремя своими сторонами .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний	треугольник	; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
	Треугольник	из двух , трёх , пяти и семи частей танграма ; б ) квадрат из двух и трёх частей танграма ; в ) прямоугольник из трёх , четырёх и семи частей танграма .
Построим	треугольник	со сторонами 3 см , 4 см и 5 см. Для этого нам придётся воспользоваться не только линейкой , но и циркулем .
Легко догадаться , что « самый симметричный	треугольник	» — это равносторонний треугольник , у него 3 оси симметрии , а « самый симметричный четырёхугольник » — квадрат , у него 4 оси симметрии .
Перегибая лист бумаги , постройте равнобедренный	треугольник	.
На нелинованной бумаге начертите произвольный	треугольник	и постройте симметричный ему относительно одной из его вершин .
Обведите « старый »	треугольник	карандашом синего цвета , а « новый » — красного цвета .
Таким образом , из трёх отрезков можно построить	треугольник	, если каждый из этих трёх отрезков меньше суммы двух других .
Начертите в тетради равносторонний	треугольник	и проведите все его оси симметрии .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний	треугольник	со стороной 9 см ; каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Постройте	треугольник	, если известны его стороны и угол между ними .
При этом же повороте закрашенный	треугольник	совместится с белым .
Таким образом , равносторонний треугольник — это правильный	треугольник	, а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Постройте	треугольник	, симметричный данному относительно точки 0 .
Начертите треугольник АВС и проведите две параллельные прямые k и m , не пересекающие этот	треугольник	.
Достройте	треугольник	до прямоугольника .
Таким образом , равносторонний	треугольник	— это правильный треугольник , а квадрат — это правильный четырёхугольник .
Постройте	треугольник	, симметричный треугольнику АВС : 1 ) относительно прямой k ; 2 ) относительно прямой m.
Из формулы периметра равностороннего	треугольника	выразите сторону а .
Формула объёма	треугольника	.
Используйте неравенство	треугольника	.
два равных равносторонних	треугольника	? .
Чему равен периметр	треугольника	? .
Вырежите из бумаги два равных неравнобедренных	треугольника	и сложите из них различные параллелограммы .
Пусть длины сторон	треугольника	равны 4 см , 6 см и 7 см. Тогда его периметр равен .
Это равенство — формула периметра	треугольника	.
Найдите длину третьей стороны	треугольника	, если .
Составьте формулу периметра равнобедренного	треугольника	, у которого длина основания равна а , а длина боковой стороны равна b .
Составьте всевозможные отношения сторон	треугольника	АВС и вычислите их .
Пусть а , b , с — длины сторон	треугольника	.
Таким образом , формула периметра равностороннего	треугольника	.
Одна сторона	треугольника	равна 11,5 см. Она на 0,6 см меньше другой стороны и на 0,9 см больше третьей .
Какими бы ни были конкретные значения длин сторон	треугольника	, чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Пусть длина стороны равностороннего	треугольника	равна а .
Воспользовавшись формулой периметра	треугольника	, выполните следующие задания : 1 ) Найдите периметр треугольника Р , если .
А если взять два равных равнобедренных	треугольника	?
Обозначим периметр	треугольника	буквой Р , а длины его сторон буквами а , b и с. Тогда .
Воспользовавшись формулой периметра треугольника , выполните следующие задания : 1 ) Найдите периметр	треугольника	Р , если .
3 ) Выразите сторону с	треугольника	через периметр Р и две другие стороны а и b .
Найдите периметр	треугольника	ВСЕ и его углы , если ВС равно 3 см .
Мы пришли к выводу , который математики называют неравенством	треугольника	.
Знаю формулы периметра	треугольника	, периметра и площади прямоугольника , объёма прямоугольного параллелепипеда и умею их применять .
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Используя неравенство	треугольника	, определите , сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков .
Начертим прямую и отложим на ней отрезок , равный одной из сторон	треугольника	, например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью вершину — точку В ? .
Начертим прямую и отложим на ней отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего	треугольника	— буквами А и С. Как же построить третью вершину — точку В ? .
Постройте её по следующему алгоритму : начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см ; каждую сторону	треугольника	разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник ; повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника ; чтобы получить снежинку надо сделать ещё один шаг построения .
Чему равна площадь каждого	треугольника	Указание .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина	треугольника	должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Составьте формулу для вычисления площади S прямоугольного	треугольника	со сторонами , образующими прямой угол , равными а и b.
Укажите координаты точек , в которых стороны	треугольника	пересекают ось х . б ) Постройте четырёхугольник ABCD , если его вершины имеют координаты .
Сколько осей симметрии у равностороннего	треугольника	?
Этот пример показывает , что не всякие три отрезка могут быть сторонами	треугольника	.
Возникает вопрос : в каком случае три отрезка могут служить сторонами	треугольника	, а в каком нет ?
Отрезки — стороны	треугольника	.
Стороны	треугольника	измеряйте циркулем .
Вычислите площадь	треугольника	при .
Любая сторона	треугольника	меньше суммы двух других его сторон .
Неравенство	треугольника	.
53 Построение	треугольника	.
Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных	треугольника	со сторонами 3 см , 5 см , 5 см и со сторонами 7 см , 4 см , 4 см. В каждом треугольнике проведите ось симметрии , отметьте равные отрезки и равные углы .
Есть ось симметрии и у равнобедренного	треугольника	.
Два	треугольника	.
9 Чему равна площадь	треугольника	, если а равно 12 см , b равно 8 см ? .
Сколько осей симметрии у правильного	треугольника	?
Умею находить площадь прямоугольного	треугольника	; знаю , как найти площадь параллелограмма , перекраивая его в прямоугольник .
Подобным образом можно найти и площадь	треугольника	.
5 Изобразите от руки все оси симметрии : а ) квадрата ; б ) прямоугольника ; в ) равностороннего	треугольника	.
б ) От квадрата отрезали четыре равных	треугольника	.
Треугольник легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его сторонам Очевидно , что площадь нашего	треугольника	составляет половину площади построенного параллелограмма .
Значит , диагональ делит параллелограмм на два равных	треугольника	.
а ) От квадрата отрезали четыре равных	треугольника	.
Найдите площадь закрашенного	треугольника	.
Найдите периметр : а ) четырёхугольника ABCD ; б )	треугольника	АВС .
Сформулируйте алгоритм построения : а ) правильного	треугольника	; б ) правильного четырёхугольника .
Найдите расстояние от каждой вершины	треугольника	до прямой КМ .
Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных треугольника со сторонами 3 см , 5 см , 5 см и со сторонами 7 см , 4 см , 4 см. В каждом	треугольнике	проведите ось симметрии , отметьте равные отрезки и равные углы .
В равнобедренном	треугольнике	одна сторона равна 7 см , а другая — 15 см. Какая сторона является основанием ? .
3 На каком из рисунков	треугольники	АВС и А1В1С1 , симметричны относительно данной прямой ? .
Верно ли , что закрашенные	треугольники	также имеют одинаковые площади ? .
Каково взаимное расположение соответствующих сторон двух новых	треугольников	? .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних	треугольников	. б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Чему равна площадь каждого из получившихся	треугольников	? .
Назовите центрально - симметричные элементы	треугольников	АВС и А1В1С1 : вершину , симметричную вершине A ; сторону , симметричную стороне ВС ; угол , симметричный углу АВС .
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных	треугольников	, С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Приведите пример классификации множества	треугольников	.
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество	треугольников	, имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Чему равна площадь каждого из	треугольников	? .
Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием , равным 6 см. Где расположены вершины этих	треугольников	? .
Начертите в тетради несколько равнобедренных	треугольников	с общим основанием , равным 6 см. Где расположены вершины этих треугольников ? .
Даны четыре отрезка длиной 2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Используя неравенство треугольника , определите , сколько различных разносторонних	треугольников	можно построить из этих отрезков .
Докажите , что сумма площадей синих треугольников равна сумме площадей белых	треугольников	.
Докажите , что сумма площадей синих	треугольников	равна сумме площадей белых треугольников .
Отметьте равные стороны и равные углы этих	треугольников	.
Назовите равные элементы	треугольников	АВО и ВОС , определите их вид .
а ) А — множество всех	треугольников	, B — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество четырёхугольников .
Для подсчёта их удобно расположить	треугольником	.
3 ) Из каких частей танграма можно составить : а ) две равные фигуры ; б ) две равновеликие фигуры ; в ) прямоугольник , равновеликий	треугольнику	7 ? .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный	треугольнику	АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Постройте треугольник со сторонами , равными 3 см , 4 см и 6 см. Затем постройте треугольник , симметричный первому	треугольнику	относительно какой - либо его вершины .
Постройте треугольник , равный	треугольнику	АВС Указание .
Постройте треугольник , симметричный	треугольнику	АВС относительно прямой m .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный	треугольнику	АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Понятно , что если бы мы взяли другую точку пересечения окружностей , то получили бы треугольник , равный	треугольнику	АВС .
Постройте треугольник , симметричный	треугольнику	АВС : 1 ) относительно прямой k ; 2 ) относительно прямой m.
понятно , как построить треугольник А1В1С1 симметричный	треугольнику	АВС относительно точки О : достаточно построить точки , симметричные его вершинам .
изображена развёртка	треугольной	призмы , основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а )	треугольной	призмы , все рёбра которой равны по 10 см ; б ) пятиугольной призмы , боковые рёбра которой равны по 8 см , а все рёбра основания равны по 5 см ? .
Сколько потребуется проволоки , чтобы изготовить каркасную модель : а )	треугольной призмы	, все рёбра которой равны по 10 см ; б ) пятиугольной призмы , боковые рёбра которой равны по 8 см , а все рёбра основания равны по 5 см ? .
изображена развёртка	треугольной призмы	, основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник .
Покажите , как можно распилить её на	треугольные	призмы .
Покажите , как можно распилить её на	треугольные призмы	.
Если одну пару вертикальных углов составляют острые углы , то другую —	тупые	.
Пусть , например , каждый из острых углов равен 30 ° , тогда каждый из	тупых	углов равен .
Пусть , например , каждый из острых углов равен 30 ° , тогда каждый из	тупых углов	равен .
Они делят плоскость на четыре	угла	.
Если вам трудно мысленно совместить два вертикальных	угла	, проделайте это практически , воспользовавшись калькой .
отметьте равные отрезки сначала на одной стороне	угла	, затем на другой .
Найдите расстояние от	угла	вашего письменного стола до пола .
Может оказаться , что все четыре	угла	, образовавшиеся при пересечении двух прямых , равны между собой , тогда каждый из них равен 90 ° .
Углы ВОС и СОА составляют развёрнутый угол , луч ОМ — биссектриса	угла	СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
Сделайте рисунок , выбрав величину	угла	и длины отрезков на своё усмотрение .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне	угла	отложите отрезок , равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
Возьмите другой лист бумаги , сложите его таким же образом , а затем перегните так , чтобы совместились стороны прямого	угла	.
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых	угла	, a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Углы ВОС и СОА составляют развёрнутый угол , луч ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON — биссектриса	угла	АОС .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых	угла	; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Какую долю развёрнутого	угла	составляет 1 ° ?
Проведите луч ОМ , дополняющий луч ОК до прямой Верно ли , что луч ОМ — биссектриса	угла	COS ?
Найдите величину каждого	угла	.
Точку пересечения прямых обозначьте буквой О. Постройте с помощью транспортира луч ОК- биссектрису	угла	AOD .
Разделите с помощью транспортира развёрнутый угол на два	угла	в отношении .
Вы , наверное , заметили , что обе эти фигуры — многоугольники с равными сторонами и равными	углами	.
Существует и пятиугольник с равными сторонами и равными	углами	, и шестиугольник .
В то же время в системе измерения времени и	углов	сохранились древние традиции : например , час делится на 60 минут , минута — на 60 секунд .
У этих	углов	общая вершина — точка пересечения прямых .
Сумма трёх	углов	, образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 254 ° .
1 Начертите прямые а и b , если один из	углов	, образовавшихся при их пересечении , равен 60 ° .
Найдите величины трёх других	углов	, если : a ) ∠1 равно 29 ° ; б ) ∠4 равно 137 ° .
Учёные в Древнем Вавилоне понимали , что при измерении	углов	в астрономии , архитектуре , мореплавании нельзя ограничиваться лишь целым числом градусов , так как при этом расчёты оказываются очень неточными .
Чему равны остальные углы , если один из	углов	равен 60 ° ? .
2 Один из	углов	, образовавшихся при пересечении прямых а и b , равен 55 ° .
Дело в том , что с давних времён строители для получения прямых	углов	пользовались отвесами — грузиками на длинной верёвке .
Один из	углов	, образовавшихся при пересечении двух прямых , равен : а ) 40 ° ; б ) 110 ° ; в ) 90 ° .
Запишите величины всех	углов	, обозначенных цифрами .
Найдите и запишите величины	углов	, обозначенных цифрами .
Один из	углов	, образовавшихся при пересечении двух пар параллельных прямых , равен 80 ° .
Определите , чему равны величины	углов	четырёхугольника , вершинами которого являются точки пересечения прямых .
Назовите величины	углов	, обозначенных цифрами 6 , 7 и 8 .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 10 м от одного из	углов	и их ширина будет равна 3 м .
С самых древних времён , наряду с необходимостью считать предметы , у людей появилась потребность в измерении длин , площадей ,	углов	и других величин .
Пусть , например , каждый из острых	углов	равен 30 ° , тогда каждый из тупых углов равен .
Это связано с его происхождением — минута появилась тогда , когда стала необходимой единица измерения	углов	, меньшая градуса .
Вавилоняне изобрели систему измерения	углов	, которая используется и поныне .
Если одну пару вертикальных	углов	составляют острые углы , то другую — тупые .
Таким образом , при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных	углов	.
В самом деле , каждый из этих	углов	дополняет один и тот же угол ( ∠2 и ∠4 ) до развёрнутого .
Пусть , например , каждый из острых углов равен 30 ° , тогда каждый из тупых	углов	равен .
Для таких	углов	есть специальное название — их называют вертикальными .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и	углом	между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите угол , равный 80 ° ; на одной стороне угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
Начертите на нелинованной бумаге без помощи транспортира две прямые , пересекающиеся под	углом	: а ) 45 ° ; б ) 60 ° .
Назовите пары прямых , которые пересекают прямую а под одним и тем же	углом	.
Постройте прямые а и b , пересекающиеся под	углом	50 ° .
Эта прямая пересечёт каждую из параллельных прямых под одним и тем же	углом	: ∠l равно ∠2 равно ∠3 .
Поставьте зеркала под	углом	120 ° друг к другу и положите перед ними карандаш .
Постройте параллелограмм , диагонали которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под	углом	30 ° .
Начертите оси координат , которые пересекаются не под прямым	углом	, например так .
Конструкция из двух зеркал , расположенных под некоторым	углом	друг к другу , используется в детской игрушке « Калейдоскоп » — « волшебной » трубе , образующей из осколков цветных стёкол бесконечное множество узоров .
Назовите вершину , симметричную вершине А , вершине С ; сторону , симметричную стороне ВС , стороне DC , угол , симметричный	углу	АВС , углу CDA .
Назовите вершину , симметричную вершине А , вершине С ; сторону , симметричную стороне ВС , стороне DC , угол , симметричный углу АВС ,	углу	CDA .
Назовите центрально - симметричные элементы треугольников АВС и А1В1С1 : вершину , симметричную вершине A ; сторону , симметричную стороне ВС ; угол , симметричный	углу	АВС .
Многоугольник , у которого равны все стороны и все	углы	, называют правильным .
Назовите остальные	углы	.
Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных треугольника со сторонами 3 см , 5 см , 5 см и со сторонами 7 см , 4 см , 4 см. В каждом треугольнике проведите ось симметрии , отметьте равные отрезки и равные	углы	.
Вертикальные	углы	равны .
Отметьте равные стороны и равные	углы	этих треугольников .
Перенесите рисунок в тетрадь и подпишите на нём все	углы	, равные по 80 ° .
Если одну пару вертикальных углов составляют острые	углы	, то другую — тупые .
Точно так же называют	углы	2 и 4 .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все	углы	прямые , а у квадрата и все углы прямые , и все стороны равны .
Умею чертить две пересекающиеся прямые , находить образуемые ими	углы	, строить перпендикулярные прямые .
3 ) Каким свойством обладают	углы	параллелограмма , прилежащие к одной стороне ? .
От других параллелограммов прямоугольник отличается тем , что у него все углы прямые , а у квадрата и все	углы	прямые , и все стороны равны .
Чему равны	углы	правильного шестиугольника ? .
Найдите периметр треугольника ВСЕ и его	углы	, если ВС равно 3 см .
Посмотрите на	углы	1 и 3 .
Чему равны остальные	углы	, если один из углов равен 60 ° ? .
Постройте равнобедренный треугольник , боковые стороны которого равны по 5 см , а	угол	между ними равен 110 ° .
Дополните предложение : « Направление на красный самолёт составляет с нулевым направлением	угол	, примерно равный .
Составьте формулу для вычисления площади S прямоугольного треугольника со сторонами , образующими прямой	угол	, равными а и b.
С помощью транспортира постройте две прямые ,	угол	между которыми равен : а ) 25 ° ; б ) 70 ° ; в ) 90 ° .
Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами , равным 80 ° , по следующему алгоритму : начертите	угол	, равный 80 ° ; на одной стороне угла отложите отрезок , равный 3 см , а на другой стороне — отрезок , равный 5 см ; соедините полученные точки .
Назовите центрально - симметричные элементы треугольников АВС и А1В1С1 : вершину , симметричную вершине A ; сторону , симметричную стороне ВС ;	угол	, симметричный углу АВС .
	Угол	ДA ?
1 ) начертите	угол	.
В самом деле , каждый из этих углов дополняет один и тот же	угол	( ∠2 и ∠4 ) до развёрнутого .
Углы ВОС и СОА составляют развёрнутый	угол	, луч ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
Разделите с помощью транспортира развёрнутый	угол	на два угла в отношении .
Чему равен	угол	между биссектрисами ? .
Она делит пополам	угол	, противолежащий основанию , проходит через середину основания и перпендикулярна ему .
Назовите вершину , симметричную вершине А , вершине С ; сторону , симметричную стороне ВС , стороне DC ,	угол	, симметричный углу АВС , углу CDA .
	Угол	D ? .
Повторите опыт , сделав	угол	между зеркалами равным 90 ° , 60 ° , 45 ° .
Каждый участок маршрута можно описать с помощью трёх координат : заметный ориентир ,	угол	между направлением на север и направлением на объект ( азимут ) , расстояние .
Постройте треугольник , если известны его стороны и	угол	между ними .
Для этого : одну сторону угольника расположим вдоль прямой m ; положение угольника зафиксируем линейкой ; передвинем	угольник	вдоль линейки и проведём новую прямую .
Для этого : одну сторону	угольника	расположим вдоль прямой m ; положение угольника зафиксируем линейкой ; передвинем угольник вдоль линейки и проведём новую прямую .
С помощью	угольника	через каждую из этих точек проведите прямую , перпендикулярную прямой k .
Для этого : одну сторону угольника расположим вдоль прямой m ; положение	угольника	зафиксируем линейкой ; передвинем угольник вдоль линейки и проведём новую прямую .
Перпендикулярные прямые можно начертить и с помощью	угольника	, и с помощью транспортира .
С помощью линейки и	угольника	проведите через точку К прямую b , параллельную прямой а .
Постройте на нелинованной бумаге несколько различных параллелограммов с помощью : а )	угольника	и линейки ; б ) одной линейки .
а ) Начертите с помощью линейки и	угольника	две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными прямыми m и n равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
С помощью линейки и	угольника	постройте несколько прямых , параллельных прямой b . б )
С помощью линейки и	угольника	проведите через точку К прямую b , перпендикулярную прямой а .
Сколько осей симметрии у правильного n -	угольника	? .
На нём , в частности , основан способ их построения с помощью	угольника	и линейки .
Начертите какую - нибудь прямую и постройте с помощью	угольника	прямую , ей параллельную .
Показан способ построения прямой , параллельной данной , с помощью одного	угольника	.
Пришедшее к нам из латинского языка слово « минута » близко по значению словам « маленький » , «	уменьшать	» .
Умею	умножать	и делить дроби на 10 , 100 , 1000 .
Будем	умножать	десятичную дробь .
Умею	умножать	и делить целые числа .
Знаю правило умножения десятичных дробей ; умею	умножать	десятичные дроби .
В 5 классе вы научились складывать , вычитать ,	умножать	и делить дроби .
Объясните на примере дробей и , как	умножают	и делят дроби .
По какому правилу	умножают	десятичную дробь на « единицу с нулями » ?
Объясните , как	умножают	числа одинаковых знаков и разных знаков , и выполните умножение .
Это и понятно : ведь	умножение	десятичной дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Выполните	умножение	.
Вы видите , что	умножение	свелось к делению на 2 и на 4 соответственно .
Правила	умножение	.
Поэтому выполним	умножение	в десятичных дробях .
Умножение целых чисел обладает теми же свойствами , что и	умножение	натуральных чисел , — переместительным и сочетательным ; справедливо также распределительное свойство .
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в выражении нет скобок , то	умножение	выполняется раньше сложения .
Замените	умножение	сложением и запишите выражение , равное данному произведению .
Объясните , как умножают числа одинаковых знаков и разных знаков , и выполните	умножение	.
Разберите , как выполнено	умножение	числа 48 на 0,5 и на 0,25 .
Разберите , как выполнено	умножение	дроби 32,5 на 0,1 .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с целыми числами —	умножение	и деление .
А как , пользуясь сформулированным правилом , продолжить	умножение	десятичной дроби 6,735 на следующие степени числа 10 , то есть на 10 000 , 100 000 и так далее ? .
А	умножение	и деление десятичной дроби на « единицу с нулями » сводится к переносу запятой .
Для натуральных чисел	умножение	сводится к сложению , поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Обратите десятичную дробь в обыкновенную и выполните	умножение	.
В метрической системе мер одна единица получается из другой	умножением	или делением на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с единицами длины и массы .
Замените сложение	умножением	и запишите равное этой сумме выражение .
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу , в которой участвуют три величины , обозначенные буквами s , v и t. Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по v и t	умножением	находим s ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по s и t делением находим t ) .
Сформулируйте правила знаков при	умножении	.
5 Расскажите , как определяют положение запятой при	умножении	десятичной дроби на десятичную дробь ; на натуральное число .
Обратите внимание : при	умножении	6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
Запишите с помощью букв свойства нуля и единицы при	умножении	.
Сохраняются свойства нуля при сложении , нуля и единицы при	умножении	.
При	умножении	на – 1 число заменяется на противоположное .
Особую роль при умножении целых чисел играет также число – 1 : при	умножении	на – 1 число заменяется на число , ему противоположное .
Особую роль при	умножении	целых чисел играет также число – 1 : при умножении на – 1 число заменяется на число , ему противоположное .
Числа 0 и 1 при	умножении	сохраняют свои свойства .
При	умножении	десятичных дробей в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
При	умножении	и делении двух рациональных чисел , как и целых , сначала по правилам знаков определяют знак результата , а затем находят его модуль .
Коротко правила знаков при	умножении	формулируют так : плюс на минус даёт минус , минус на минус даёт плюс .
2 Запишите в буквенном виде свойство нуля при сложении и свойство единицы при	умножении	.
Сформулируйте правила знаков при	умножении	и делении .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при	умножении	на 1000 — на 3 знака .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при	умножении	на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Но место запятой при	умножении	определяется иначе , чем при сложении .
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой : при	умножении	на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Вы видите , что в результате	умножения	в исходной дроби меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Тогда можно будет воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом	умножения	десятичных дробей .
Знаю правило	умножения	десятичных дробей ; умею умножать десятичные дроби .
Сформулируйте правила знаков для	умножения	и деления рациональных чисел .
Тогда можно будет воспользоваться либо правилом	умножения	обыкновенных дробей , либо правилом умножения десятичных дробей .
Так как в метрической системе мер единицы различаются в 10 , 100 , 1000 раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью	умножения	и деления на степень 10 .
Правила деления двух целых чисел аналогичны правилам	умножения	— знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Вычислите , используя распределительное свойство	умножения	относительно сложения .
Разберите , как с помощью сочетательного свойства	умножения	вычислено произведение .
Правила	умножения	с обыкновенными дробями .
Сформулируйте правило	умножения	десятичной дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и так далее .
Обратите внимание на то , что в числовых выражениях , которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали точку — знак	умножения	.
Вы видели , что результат сложения , вычитания и	умножения	десятичных дробей выражается десятичной дробью .
Правила	умножения	с рациональными числами .
В заключение подчеркнём , что действия сложения и	умножения	рациональных чисел , так же как и целых чисел , обладают переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
великий русский учёный , математик и механик Леонард Эйлер в своём учебном пособии « Универсальная арифметика » , адресованном тем , кто начинал изучать математику , объяснял правило	умножения	отрицательных чисел примерно следующим образом .
Убедитесь с помощью	умножения	, что деление выполнено верно .
Не выполняя	умножения	, сравните числа .
Знаю правила сложения , вычитания ,	умножения	и деления дробей ; умею выполнять вычисления с дробными числами .
Она должна начинаться так : « Я задумал число ,	умножил	его на » .
Ученик задумал число ,	умножил	его на 4 , к результату прибавил 16 , эту сумму разделил на 2 и получил 23 .
Решите задачу , составив уравнение : а ) Ученик задумал число , прибавил к нему 7 , эту сумму	умножил	на 3 , из результата вычел 15 и получил 30 .
Саша задумал число , прибавил к нему 15 и результат	умножил	на 10 .
Коля задумал число ,	умножил	его на 2,5 и получил 10 .
а ) Маша задумала число ,	умножила	его на 15 и результат вычла из 80 .
Для этого	умножим	100 на .
Теперь	умножим	числитель и знаменатель дроби на 12 .
Найдём пятую часть от 80 000 и результат	умножим	на 2 .
Если числитель и знаменатель дроби	умножить	или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
На какое число нужно	умножить	или разделить число 25,6 , чтобы в результате получилось .
Так , если нужно	умножить	сумму чисел а и b на число с , то эту сумму заключают в скобки .
Чтобы найти 20 % от 200 , нужно 200 разделить на 100 и результат	умножить	на 20 .
б ) Чтобы найти четверть некоторого числа , нужно это число разделить на или	умножить	на .
Если	умножить	или разделить оба члена отношения на одно и то же число , не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это число	умножить	на данную дробь .
Разделить некоторое число на 2 — это всё равно что	умножить	его на .
	Умножить	на 1625 ( р . ) , то есть сумма подоходного налога с заработка в 12 500 р .
Чтобы	умножить	десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь	умножить	на дробь , обратную второй .
Или	умножить	это число на 10 ; получится .
в ) Чтобы найти десятую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или	умножить	на . г ) Чтобы найти сотую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам , нужно эту дробь	умножить	на 100 .
Так как вся стоимость машины — это 100 % , то для её нахождения надо 108	умножить	на 100 ; получим 10 800 р .
Можно было рассуждать иначе : 33 % величины — это 33 её сотых доли , то есть , чтобы найти от 1200 , нужно 1200	умножить	на .
Так как всё население составляет , то 32 000 надо разделить на 2 и результат	умножить	на 5 .
Чтобы	умножить	дробь на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно	умножить	на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длины его смежных сторон и результат	умножить	на 2 .
Чтобы выразить проценты десятичной дробью , надо число , стоящее перед знаком % , разделить на 100 , или , что одно и то же ,	умножить	на 0,01 .
в ) Чтобы найти десятую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на . г ) Чтобы найти сотую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или	умножить	на .
Его значение не изменится , если делимое и делитель	умножить	на 100 .
а ) Чтобы найти половину некоторого числа , нужно это число разделить на или	умножить	на .
Так как 1 кг равно 1000 г , то , для того чтобы перейти от килограммов к граммам , то есть к более мелким единицам , нужно 2,7	умножить	на 1000 .
Так как 115 % — это 1,15 , то первоначальную цену надо	умножить	на 1,15 .
Для этого задумайте какое - нибудь число ,	умножьте	его на 5 , к результату прибавьте 100 .
Текстовую задачу с помощью уравнения можно решать по следующему плану : обозначить неизвестную величину буквой ; составить по условию задачи уравнение ; решить составленное	уравнение	; ответить на вопрос задачи .
Решите	уравнение	и сделайте проверку .
Чтобы решить	уравнение	, будем рассуждать так .
Знаю , что называют корнем уравнения и что значит решить	уравнение	.
Для этого составьте по условию задачи	уравнение	и решите его : а ) Федя задумал число , вычел из него 10 и получил 15,6 .
Решите задачу , составив	уравнение	.
Решите	уравнение	и с помощью подстановки проверьте , правильно ли найден корень .
Составьте	уравнение	по условию задачи и решите её , следуя плану , предложенному в пункте « а » .
Составьте	уравнение	по условию задачи .
Решите задачу , составив	уравнение	: а ) К концу года цена журнала увеличилась в 2 раза , а через полгода она поднялась ещё на 6 р . , и после этого журнал стал стоить 30 р .
Решите задачу , составив	уравнение	: а ) Ученик задумал число , прибавил к нему 7 , эту сумму умножил на 3 , из результата вычел 15 и получил 30 .
Корень уравнения — это число , при подстановке которого в	уравнение	получается верное равенство .
85 Что такое	уравнение	.
Таким образом , решив	уравнение	, мы узнали , что тетрадь стоит 12 р .
11 Решите	уравнение	, объясняя каждый шаг решения .
Чтобы ответить на вопрос задачи , нужно найти это неизвестное число , или , как говорят , нужно решить	уравнение	.
Теперь мы получили	уравнение	, в левой части которого записано произведение чисел 2 и х.
Решите	уравнение	и проверьте с помощью подстановки , правильно ли найден корень .
Решим эту задачу , составив	уравнение	.
Текстовую задачу с помощью уравнения можно решать по следующему плану : обозначить неизвестную величину буквой ; составить по условию задачи	уравнение	; решить составленное уравнение ; ответить на вопрос задачи .
Решите	уравнение	.
Получаем	уравнение	.
Такое равенство называют	уравнением	.
Объясните каждый шаг в решении следующих	уравнений	.
Назовите корень каждого из рассмотренных выше	уравнений	.
Если подставить его вместо х в левую часть исходного	уравнения	и выполнить указанные действия , то получится .
Глава 8 Выражения , формулы ,	уравнения	.
Корень	уравнения	— это число , при подстановке которого в уравнение получается верное равенство .
В левой части	уравнения	сумма чисел 2х и 26 .
Найдите корень	уравнения	.
Сейчас вы будете решать только простейшие	уравнения	.
Число 12 называют корнем	уравнения	.
10 Проверьте , является ли корнем	уравнения	число 0,4 .
Найдём значение х из этого	уравнения	.
Текстовую задачу с помощью	уравнения	можно решать по следующему плану : обозначить неизвестную величину буквой ; составить по условию задачи уравнение ; решить составленное уравнение ; ответить на вопрос задачи .
Есть ли среди чисел 3 , 4 и 5 корень	уравнения	.
Что называют корнем	уравнения	?
Знаю , что называют корнем	уравнения	и что значит решить уравнение .
Например , в начале шахматной партии расположение фигур одного цвета асимметрично из - за короля и королевы , в то же время расстановка чёрных	фигур	является зеркальным отражением расстановки белых фигур .
Древние греки считали сферу « наиболее прекрасной из твёрдых	фигур	» .
Какая из	фигур	имеет центр симметрии ?
Например , в начале шахматной партии расположение	фигур	одного цвета асимметрично из - за короля и королевы , в то же время расстановка чёрных фигур является зеркальным отражением расстановки белых фигур .
Различаю цилиндр , конус , шар ; знаю , как в сечении поверхностей этих	фигур	плоскостью можно получить окружность , эллипс .
Назовите все семь	фигур	.
При этом вы обнаружите , что с некоторыми из представителей этих классов геометрических	фигур	вы уже давно знакомы , однако вам откроются такие их свойства , о которых вы не знали .
Свойство симметричных	фигур	.
Например , в начале шахматной партии расположение фигур одного цвета асимметрично из - за короля и королевы , в то же время расстановка чёрных фигур является зеркальным отражением расстановки белых	фигур	.
Расстановка шахматных	фигур	.
Среди	фигур	найдите симметричные .
На шахматной доске расставлены пять	фигур	— король , ферзь , слон , конь и ладья .
7 Какие из данных	фигур	равновелики ? .
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов — чисел , выражений , точек ,	фигур	и так далее .
Это свойство равносоставленных	фигур	даёт нам полезный приём нахождения площадей .
Обратите внимание , что	фигура	имеет центр симметрии .
Точка является центром симметрии , если при повороте вокруг этой точки на 180е	фигура	переходит сама в себя .
В пространстве « самая симметричная »	фигура	— шар : он симметричен относительно любой плоскости , рассекающей его по большой окружности .
а )	фигура	имеет и центр , и ось симметрии .
Если	фигура	разрезана на части , то её площадь равна сумме площадей её частей .
3 Какая	фигура	получится в сечении , если плоскостью симметрии рассечь : а ) шар ; б ) параллелепипед ; в ) цилиндр ; г ) конус ? .
	Фигура	имеет центр , но не имеет оси симметрии .
Говорят , что	фигура	симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании фигуры по этой прямой две части , на которые прямая разбивает фигуру , совпадают .
Но	фигура	может иметь и центр симметрии ( правда , только один ) .
в )	фигура	имеет ось , но не имеет центра симметрии .
Говорят , что треугольник — жёсткая	фигура	.
Вы уже встречались с центрально - симметричными	фигурами	.
Здесь вы познакомитесь ещё с двумя	фигурами	: с четырёхугольником — параллелограммом и многогранником — призмой .
Умею изображать фигуру , симметричную данной	фигуре	относительно точки .
Умею изображать фигуру , симметричную данной	фигуре	относительно прямой .
4 Начертите с помощью чертёжных инструментов фигуру , симметричную данной	фигуре	относительно прямой к .
Скопируйте рисунок в тетрадь и постройте фигуру , симметричную данной	фигуре	относительно точки О .
Параллелограмм является центральносимметричной	фигурой	.
Какой	фигурой	является закрашенный многоугольник ? .
Фигура на кальке совместится с	фигурой	на бумаге .
Рассмотрим	фигуру	.
Скопируйте рисунок в тетрадь и постройте	фигуру	, симметричную данной фигуре относительно точки О .
Умею изображать	фигуру	, симметричную данной фигуре относительно прямой .
Сложите из четырёх получившихся частей	фигуру	, у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет центра симметрии ; в ) есть и центр симметрии , и ось симметрии .
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании фигуры по этой прямой две части , на которые прямая разбивает	фигуру	, совпадают .
4 Начертите с помощью чертёжных инструментов	фигуру	, симметричную данной фигуре относительно прямой к .
Перенесите	фигуру	в тетрадь и найдите её центр симметрии .
Скопируйте в тетрадь и постройте	фигуру	, симметричную данной относительно точки О .
Скопируйте	фигуру	в тетрадь и отметьте её центр симметрии .
Перекроите каждую	фигуру	в квадрат .
Вырежите третью	фигуру	, перегнув лист ещё один раз .
рическую	фигуру	( прямоугольник , круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 ) Приведите дроби к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
Нарисуйте на нём какую - нибудь линию с концами на сгибе листа , разрежьте лист по этой линии и разверните вырезанную	фигуру	.
Начертите	фигуру	со следующими свойствами .
Снова вырежите какую - нибудь	фигуру	.
Перенесите	фигуру	на кальку и поверните её на 180 ° .
Изображена часть фигуры , центром симметрии которой является точка М. Начертите эту	фигуру	в тетради .
Вырежите из сложенного листа какую - нибудь	фигуру	и разверните её .
Получить симметричную	фигуру	очень просто .
Через точку О требуется провести прямую , которая разбила бы данную	фигуру	на две равные части .
Умею изображать	фигуру	, симметричную данной фигуре относительно точки .
Умею проводить ось симметрии	фигуры	.
Рассмотрим две	фигуры	.
Умею распознавать	фигуры	, симметричные относительно некоторой точки .
Сколько осей симметрии у третьей	фигуры	?
Равносоставленные	фигуры	равновелики .
Если	фигуры	симметричны , то они равны .
Умею изображать симметричные	фигуры	.
Составьте какую - нибудь формулу для вычисления площади	фигуры	.
Линия сгиба — это ось симметрии	фигуры	.
Площадь закрашенной части	фигуры	вычисляется по формуле .
Начертите эти	фигуры	в тетради .
Назовите равновеликие	фигуры	.
Запишите формулы для вычисления объёма	фигуры	.
Мысленно перегните рисунок по проведённой прямой и выясните , симметричны ли относительно этой прямой изображённые на нём	фигуры	.
Умею распознавать	фигуры	, симметричные относительно некоторой прямой .
Сколько осей симметрии может быть у	фигуры	? .
2 На каком из рисунков прямая к не является осью симметрии	фигуры	? .
Постройте	фигуры	, симметричные данным относительно прямой k.
Умею распознавать на чертежах , рисунках , находить в окружающем мире плоские и пространственные симметричные	фигуры	.
Сколько у получившейся	фигуры	осей симметрии ? .
Запишите закрашенную часть	фигуры	разными способами .
Покажите , что	фигуры	равновелики .
Сколько осей симметрии будет у	фигуры	, если перегнуть лист 5 раз ? .
Многие известные вам	фигуры	симметричны : например , у прямоугольника две оси симметрии .
Вы , наверное , заметили , что обе эти	фигуры	— многоугольники с равными сторонами и равными углами .
Говорят , что фигура симметрична относительно некоторой прямой , если при перегибании	фигуры	по этой прямой две части , на которые прямая разбивает фигуру , совпадают .
Вам известны различные геометрические	фигуры	, как плоские , так и пространственные , но далеко не все .
Вы знаете , что существуют	фигуры	, которые имеют ось симметрии , а некоторые — и не одну .
Вы узнаете , что перекраивают не только старую одежду , границы государств или плохо составленные бюджеты , но и геометрические	фигуры	.
Но « самые симметричные »	фигуры	на плоскости — это окружность , а также ограниченный ею круг .
Что значит , что	фигуры	равносоставлены ? .
Нарисуйте эти	фигуры	от руки и проведите их оси симметрии .
Ещё в древности математики интересовались тем , какие	фигуры	получаются при сечении пространственных тел плоскостью .
Каким свойством обладают равносоставленные	фигуры	? .
72 Ось симметрии	фигуры	.
Определите , какой примерно процент площади	фигуры	закрашен .
Две	фигуры	, имеющие одинаковые площади , называют равновеликими .
AС - ось симметрии параллелограмма . Знаю , какие	фигуры	называют равновеликими .
Он заключается в перекраивании данной	фигуры	в другую , площадь которой известна .
Но в геометрии говорят о расстоянии и в других , более сложных случаях , например : расстояние от точки до некоторой	фигуры	( прямой , окружности ) , расстояние между двумя параллельными прямыми и так далее .
Мы получили , что эти	фигуры	имеют одинаковые площади .
Если	фигуры	составлены из одинаковых частей , или , как говорят , равносоставлены , то они имеют и равные площади .
Прямая АВ — ось симметрии	фигуры	, состоящей из двух окружностей .
Какая часть	фигуры	закрашена .
Убедитесь , используя кальку , что указанная точка является центром симметрии	фигуры	.
Вырежите квадрат , разрежьте его по начерченной линии и убедитесь , что полученные	фигуры	равны .
3 ) Из каких частей танграма можно составить : а ) две равные фигуры ; б ) две равновеликие	фигуры	; в ) прямоугольник , равновеликий треугольнику 7 ? .
Вырежите из бумаги квадрат со стороной 8 см и разрежьте его на	фигуры	танграма .
Ось симметрии	фигуры	.
Изображена часть	фигуры	, центром симметрии которой является точка М. Начертите эту фигуру в тетради .
К параллелограммам относятся и такие хорошо вам знакомые	фигуры	, как прямоугольник и квадрат .
Оказывается , эти столь непохожие друг на друга	фигуры	можно разрезать на одинаковые части .
Найдите площадь каждой	фигуры	.
3 ) Из каких частей танграма можно составить : а ) две равные	фигуры	; б ) две равновеликие фигуры ; в ) прямоугольник , равновеликий треугольнику 7 ? .
Центр симметрии	фигуры	.
Несмотря на всеобщий	характер	симметрии окружающего нас мира , мы редко можем встретить примеры математически безукоризненной симметрии .
Число называют эйлеровой	характеристикой	по имени великого математика Леонарда Эйлера .
А чтобы показать , где	целая	часть числа заканчивается , после неё ставят запятую .
Понятие множества оказалось столь важным и полезным , что вскоре в математике появилась	целая	область — теория множеств , а в XX в .
В этом случае	целая	часть делимого меньше делителя .
Вообще первыми в практике людей появились самые простые дроби , составляющие одну долю	целого	и так далее .
Наконец , правило сложения отрицательного	целого	числа с нулём такое же , как и для натуральных чисел .
Круговые диаграммы удобно использовать в тех случаях , когда нужно представить соотношение между частями	целого	.
При делении любого	целого	числа на – 1 получается противоположное число .
При делении любого	целого	числа на 1 получается это же число .
Наконец , правило сложения отрицательного	целого числа	с нулём такое же , как и для натуральных чисел .
При делении любого	целого числа	на – 1 получается противоположное число .
При делении любого	целого числа	на 1 получается это же число .
наименьшее	целое	отрицательное число ? .
Запишите на символическом языке утверждение : а ) число 25 — натуральное ; в ) число 10 —	целое	; б ) число 0 не является натуральным ; г ) число — не целое .
Вообще любое рациональное число можно представить в виде , где m —	целое	число , n — натуральное .
Верно ли , что любое	целое	число либо положительно , либо отрицательно ? .
Пользуясь рассмотренным свойством , любое рациональное число мы можем записать в виде дроби , числитель которой —	целое	число , знаменатель — натуральное .
в ) всякое	целое	число является натуральным ; г ) всякое натуральное число является целым ? .
Назовите	целое	число , являющееся его приближённым значением с недостатком ; приближённым значением с избытком .
Приведите пример , когда в результате округления десятичной дроби получается	целое	число .
наибольшее	целое	отрицательное число ?
наименьшее	целое	число ?
наибольшее	целое	число ?
Запишите на символическом языке утверждение : а ) число 25 — натуральное ; в ) число 10 — целое ; б ) число 0 не является натуральным ; г ) число — не	целое	.
Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное	целое	число » означают одно и то же .
При делении нуля на любое	целое	число , не равное нулю , в частном получается нуль .
Верно ли утверждение : « Всякое	целое	число является либо положительным , либо отрицательным » ? .
Используемые единицы измерения часто не укладывались в измеряемой величине	целое	число раз .
Пользуясь рассмотренным свойством , любое рациональное число мы можем записать в виде дроби , числитель которой —	целое число	, знаменатель — натуральное .
Вообще любое рациональное число можно представить в виде , где m —	целое число	, n — натуральное .
Верно ли утверждение : « Всякое	целое число	является либо положительным , либо отрицательным » ? .
Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное	целое число	» означают одно и то же .
Верно ли , что любое	целое число	либо положительно , либо отрицательно ? .
в ) всякое	целое число	является натуральным ; г ) всякое натуральное число является целым ? .
Назовите	целое число	, являющееся его приближённым значением с недостатком ; приближённым значением с избытком .
При делении нуля на любое	целое число	, не равное нулю , в частном получается нуль .
Используемые единицы измерения часто не укладывались в измеряемой величине	целое число	раз .
наименьшее	целое число	?
Приведите пример , когда в результате округления десятичной дроби получается	целое число	.
наибольшее	целое число	?
Сразу после того , как закончено деление	целой	части , в частном ставят запятую .
Умею называть число , противоположное данному	целому	числу ; знаю свойство суммы противоположных чисел .
Умею называть число , противоположное данному	целому числу	; знаю свойство суммы противоположных чисел .
Теперь же вместо кружка , отделяющего	целую	часть от дробной , мы пишем внизу запятую .
Сначала разделили на 3	целую	часть дроби 7,47 , после этого в частном поставили запятую .
На « правом » луче будем , как обычно , отмечать целые положительные числа , а на « левом » —	целые	отрицательные .
Значение дроби при этом не изменится , а в числителе и знаменателе окажутся	целые	числа .
Найдите среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9	целые	положительные и целые отрицательные числа .
Найдите среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 целые положительные и	целые	отрицательные числа .
Умею умножать и делить	целые	числа .
Отметьте на координатной прямой данные числа и все	целые	числа , заключённые между ними .
Умею складывать и вычитать	целые	числа .
Положительные дробные числа , как и положительные	целые	, можно записывать со знаком « плюс » .
Чтобы понять , как перемножают	целые	числа , рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только знаками .
На какие бы	целые	числа ни домножали знаменатель , « мешающий » множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому произведения только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Умею сравнивать	целые	числа .
Правило сравнения натуральных чисел естественно распространить на	целые	числа .
Отрицательные дробные числа , как и отрицательные	целые	, получаются приписыванием к положительным числам знака « минус » .
Поэтому , записывая	целые	числа в ряд , мы также можем заменить запятые на знак « меньше » .
Целые отрицательные числа , как и	целые	положительные ( то есть натуральные ) , можно изображать точками на координатной прямой .
На « правом » луче будем , как обычно , отмечать	целые	положительные числа , а на « левом » — целые отрицательные .
Это определение разности мы распространим и на	целые	числа .
Пусть а и b —	целые	числа .
Назовите по порядку	целые	числа .
Запишите все отрицательные	целые	числа , которые : а ) больше – 8 ; б ) больше – 12 , но меньше – 9 .
И чтобы понять , по каким правилам складывают	целые	числа , мы тоже рассмотрим « денежные » примеры — с доходами и расходами .
Какие	целые	числа можно подставить вместо буквы а , чтобы получилось верное двойное неравенство .
Натуральные числа , противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом —	целые	числа .
Если вы хорошо научились складывать	целые	числа , то сумеете вычислять и их разности .
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни необходимы не только	целые	числа , но и дробные , в том числе отрицательные дроби .
Положительные	целые	числа мы складывать умеем .
Вы знаете , как отмечают на координатной прямой	целые	числа .
Изобразите схематически на координатной прямой данное число и ближайшие к нему слева и справа	целые	числа , а затем запишите двойное неравенство , например .
Выпишите : а )	целые	числа ; б ) отрицательные дробные числа .
Пусть а и b —	целые числа	.
Натуральные числа , противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом —	целые числа	.
Умею сравнивать	целые числа	.
Выпишите : а )	целые числа	; б ) отрицательные дробные числа .
Изобразите схематически на координатной прямой данное число и ближайшие к нему слева и справа	целые числа	, а затем запишите двойное неравенство , например .
Умею складывать и вычитать	целые числа	.
Чтобы понять , как перемножают	целые числа	, рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только знаками .
Поэтому , записывая	целые числа	в ряд , мы также можем заменить запятые на знак « меньше » .
И чтобы понять , по каким правилам складывают	целые числа	, мы тоже рассмотрим « денежные » примеры — с доходами и расходами .
Умею умножать и делить	целые числа	.
Значение дроби при этом не изменится , а в числителе и знаменателе окажутся	целые числа	.
Правило сравнения натуральных чисел естественно распространить на	целые числа	.
На какие бы	целые числа	ни домножали знаменатель , « мешающий » множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому произведения только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Если вы хорошо научились складывать	целые числа	, то сумеете вычислять и их разности .
Назовите по порядку	целые числа	.
Это определение разности мы распространим и на	целые числа	.
Вы знаете , как отмечают на координатной прямой	целые числа	.
Какие	целые числа	можно подставить вместо буквы а , чтобы получилось верное двойное неравенство .
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни необходимы не только	целые числа	, но и дробные , в том числе отрицательные дроби .
Отметьте на координатной прямой данные числа и все	целые числа	, заключённые между ними .
Запишите все отрицательные	целые числа	, которые : а ) больше – 8 ; б ) больше – 12 , но меньше – 9 .
Положительные	целые числа	мы складывать умеем .
Но его можно прочитать и по - другому : всякое натуральное число является	целым	.
1 Верно ли утверждение : а ) всякое натуральное число является рациональным ; б ) всякое рациональное число является	целым	.
Запишите на символическом языке следующие утверждения : а ) число 18 — натуральное ; б ) число – 26 — рациональное ; в ) число 2,7 не является	целым	; г ) число – 1,5 не является натуральным .
Скольким	целым	километрам примерно равна 1 морская миля ?
Скольким	целым	километрам примерно равна 1 верста ?
Учёные в Древнем Вавилоне понимали , что при измерении углов в астрономии , архитектуре , мореплавании нельзя ограничиваться лишь	целым	числом градусов , так как при этом расчёты оказываются очень неточными .
Скольким	целым	граммам примерно равна 1 аптекарская унция ? .
в ) всякое целое число является натуральным ; г ) всякое натуральное число является	целым	? .
Приведите пример числа , не являющегося	целым	.
Преобразуйте частное так , чтобы делитель был	целым	числом , и выполните деление .
Учёные в Древнем Вавилоне понимали , что при измерении углов в астрономии , архитектуре , мореплавании нельзя ограничиваться лишь	целым числом	градусов , так как при этом расчёты оказываются очень неточными .
Преобразуйте частное так , чтобы делитель был	целым числом	, и выполните деление .
Изображена координатная прямая с отмеченными на ней	целыми	числами от – 7 до 7 .
В этой главе будут рассмотрены отрицательные дробные числа , и вы сможете оперировать как с	целыми	, так и с дробными положительными и отрицательными числами .
Назовите те из них , которые являются : а ) натуральными ; б )	целыми	; в ) отрицательными дробными ; г ) рациональными .
Между	целыми	числами на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче положительные , на левом — отрицательные .
Между какими последовательными	целыми	числами оно заключено ?
Между какими двумя последовательными	целыми	числами находится данное число ?
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с	целыми	числами — умножение и деление .
Какие числа называют	целыми	?
Рассматривая правила действий с	целыми	числами , мы опирались на жизненный опыт — примеры ситуаций с доходами и расходами , с выигрышными и проигрышными очками .
Нарисуйте какой - нибудь прямоугольник , равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой же площадью , стороны которых выражаются	целыми	числами ? .
91 Какие числа называют	целыми	.
Между какими ближайшими	целыми	числами находится число : а ) – 99 ; б ) – 1 ?
Натуральные числа принято называть также положительными	целыми	числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
Знаю , какие числа называют	целыми	.
В этой главе вы познакомитесь с так называемыми	целыми	отрицательными числами и научитесь оперировать ими .
Между какими соседними	целыми	числами заключено число ?
Чтобы оперировать	целыми	числами , надо прежде всего научиться их сравнивать .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с	целыми числами	— умножение и деление .
Между	целыми числами	на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче положительные , на левом — отрицательные .
Рассматривая правила действий с	целыми числами	, мы опирались на жизненный опыт — примеры ситуаций с доходами и расходами , с выигрышными и проигрышными очками .
Натуральные числа принято называть также положительными	целыми числами	, то есть слова « натуральное число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
Между какими последовательными	целыми числами	оно заключено ?
Чтобы оперировать	целыми числами	, надо прежде всего научиться их сравнивать .
Например , вместо 4 пишут 4,07 ( читается : четыре	целых	семь сотых ) .
Правила деления двух	целых	чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Замените отношение дробных чисел равным ему отношением	целых	чисел .
Вы знаете , как читается соотношение : множество натуральных чисел является подмножеством множества	целых	чисел .
Их читают с употреблением слов « 0	целых	» : 0 целых 1 десятая , 0 целых 1 сотая , 0 целых 1 тысячная , 0 целых 1 десятитысячная и так далее .
Сколькими способами можно представить данное число в виде произведения двух	целых	чисел .
Прочитайте разными способами соотношения между множествами натуральных ,	целых	и рациональных чисел и изобразите каждое из них с помощью кругов Эйлера .
Их читают с употреблением слов « 0 целых » : 0 целых 1 десятая , 0	целых	1 сотая , 0 целых 1 тысячная , 0 целых 1 десятитысячная и так далее .
Их читают с употреблением слов « 0 целых » : 0 целых 1 десятая , 0 целых 1 сотая , 0	целых	1 тысячная , 0 целых 1 десятитысячная и так далее .
Пусть С — множество целых чисел , которое задаётся первым неравенством , a D — множество	целых	чисел , которое задаётся вторым неравенством .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из	целых	чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Особую роль при умножении	целых	чисел играет также число – 1 : при умножении на – 1 число заменяется на число , ему противоположное .
Читается запись 5,3 так же , как и 5 пять	целых	три десятых .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх	целых	чисел , если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
Обратите внимание на важное отличие множества	целых	чисел от множества натуральных чисел .
Пусть С — множество	целых	чисел , которое задаётся первым неравенством , a D — множество целых чисел , которое задаётся вторым неравенством .
В заключение подчеркнём , что действия сложения и умножения рациональных чисел , так же как и	целых	чисел , обладают переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
94 Вычитание	целых	чисел .
И в множестве	целых	чисел действие вычитания выполнимо всегда .
Сколько	целых	чисел содержится между числами .
О	целых	числах а и b известно , что a меньше b.
Например , множество натуральных чисел является подмножеством множества	целых	чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
92 Сравнение	целых	чисел .
Можно сказать , что арифметика	целых	чисел « богаче » арифметики натуральных чисел .
Продолжите фрагмент ряда	целых	чисел влево и вправо , записав ещё по три числа .
Найдите сумму всех	целых	чисел .
Этими правилами пользуются при сложении не только	целых	чисел , но и любых рациональных чисел .
93 Сложение	целых	чисел .
Пусть А — множество	целых	чисел , больших – 100 и меньших 150 .
Ответьте на вопрос с помощью координатной прямой и проиллюстрируйте свой ответ числовым примером : какое из двух	целых	чисел больше – положительное или отрицательное ?
Сформулируйте правило вычисления разности двух	целых	чисел и запишите его с помощью букв .
Назовите такие два	целых	числа , чтобы их произведение было положительным ; отрицательным .
Их читают с употреблением слов « 0 целых » : 0	целых	1 десятая , 0 целых 1 сотая , 0 целых 1 тысячная , 0 целых 1 десятитысячная и так далее .
3 ) В каких случаях произведение четырёх	целых	чисел будет числом отрицательным ? .
Из двух целых чисел больше то , которое в ряду	целых	чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
Читается десятичная дробь 7,35 так же , как и смешанная дробь 77	целых	35 сотых .
Их читают с употреблением слов « 0 целых » : 0 целых 1 десятая , 0 целых 1 сотая , 0 целых 1 тысячная , 0	целых	1 десятитысячная и так далее .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество	целых	чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
При умножении и делении двух рациональных чисел , как и	целых	, сначала по правилам знаков определяют знак результата , а затем находят его модуль .
При чтении десятичной дроби сначала называют её часть , стоящую перед запятой , и добавляют слово «	целых	» , затем называют часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества	целых	чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
Множество	целых	чисел .
двух отрицательных	целых	чисел ?
Итак , при сложении	целых	чисел мы в действительности работаем только с соответствующими натуральными числами .
Сформулируйте правило нахождения разности двух	целых	чисел .
нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой	целых	чисел .
Выполните это же задание для множества	целых	чисел Ζ .
Умножение	целых	чисел обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных чисел , — переместительным и сочетательным ; справедливо также распределительное свойство .
Поэтому читают её так : 6	целых	8105 десятитысячных .
Какой знак имеет сумма двух положительных	целых	чисел ?
Необычность и удивительность этого числа состоит в том , что среди известных вам чисел —	целых	и дробных — его нет .
Множество рациональных чисел , как и множества натуральных и	целых	чисел , имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
В 3 м 8 дм 1 см содержится 3	целых	8 десятых и 1 сотая метра , то есть 3 м 8 дм 1 см равно 3,81 м .
Вы уже умеете сравнивать положительные числа , можете сравнить два	целых	числа .
Найдём пересечение и объединение множества натуральных чисел и множества	целых	чисел .
А основные числовые множества — натуральных и	целых	чисел — всегда обозначают буквами N и Ζ. Можно сказать , что эти буквы — их « имена собственные » .
95 Умножение и деление	целых	чисел .
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных чисел , кратных 10 ; б )	целых	отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
Поэтому в частном записали О	целых	, после чего поставили запятую и продолжили деление .
Запишите десять положительных и десять отрицательных	целых	чисел , двигаясь влево и вправо от нуля .
Вычитание рациональных чисел , как и	целых	, сводится к сложению .
Как определить , каким числом — положительным или отрицательным — является сумма двух	целых	чисел разных знаков ?
Чтобы сравнить два	целых	числа , можно представить , как они расположены по отношению друг к другу на координатной прямой : какое из них находится правее , а какое — левее .
Поэтому о двух	целых	числах можно сказать , что это числа одного знака , если они оба положительны или оба отрицательны .
Действие сложения	целых	чисел , как и действие сложения натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Из двух	целых	чисел больше то , которое в ряду целых чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
Можно просто прочитать данную дробь без слов « 0	целых	» и записать её со знаменателем .
Математики Древней Греции неожиданно обнаружили , что для решения такой практически важной задачи , как измерение длин отрезков , не хватает не только	целых	, но и дробных чисел , так что возникла необходимость в изобретении новых чисел .
Выполните это же задание для множества	целых чисел	Ζ .
93 Сложение	целых чисел	.
Пусть С — множество	целых чисел	, которое задаётся первым неравенством , a D — множество целых чисел , которое задаётся вторым неравенством .
Сколькими способами можно представить данное число в виде произведения двух	целых чисел	.
Множество рациональных чисел , как и множества натуральных и	целых чисел	, имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
Действие сложения	целых чисел	, как и действие сложения натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
94 Вычитание	целых чисел	.
Сколько	целых чисел	содержится между числами .
Итак , при сложении	целых чисел	мы в действительности работаем только с соответствующими натуральными числами .
Какой знак имеет сумма двух положительных	целых чисел	?
Замените отношение дробных чисел равным ему отношением	целых чисел	.
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх	целых чисел	, если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
двух отрицательных	целых чисел	?
Найдите сумму всех	целых чисел	.
Пусть С — множество целых чисел , которое задаётся первым неравенством , a D — множество	целых чисел	, которое задаётся вторым неравенством .
Например , множество натуральных чисел является подмножеством множества	целых чисел	: Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества	целых чисел	, а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
Как определить , каким числом — положительным или отрицательным — является сумма двух	целых чисел	разных знаков ?
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество	целых чисел	, в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
3 ) В каких случаях произведение четырёх	целых чисел	будет числом отрицательным ? .
Пусть А — множество	целых чисел	, больших – 100 и меньших 150 .
Обратите внимание на важное отличие множества	целых чисел	от множества натуральных чисел .
Запишите десять положительных и десять отрицательных	целых чисел	, двигаясь влево и вправо от нуля .
Этими правилами пользуются при сложении не только	целых чисел	, но и любых рациональных чисел .
Ответьте на вопрос с помощью координатной прямой и проиллюстрируйте свой ответ числовым примером : какое из двух	целых чисел	больше – положительное или отрицательное ?
92 Сравнение	целых чисел	.
Продолжите фрагмент ряда	целых чисел	влево и вправо , записав ещё по три числа .
Из двух	целых чисел	больше то , которое в ряду целых чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
95 Умножение и деление	целых чисел	.
Умножение	целых чисел	обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных чисел , — переместительным и сочетательным ; справедливо также распределительное свойство .
А основные числовые множества — натуральных и	целых чисел	— всегда обозначают буквами N и Ζ. Можно сказать , что эти буквы — их « имена собственные » .
Множество	целых чисел	.
Можно сказать , что арифметика	целых чисел	« богаче » арифметики натуральных чисел .
нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой	целых чисел	.
Из двух целых чисел больше то , которое в ряду	целых чисел	стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
И в множестве	целых чисел	действие вычитания выполнимо всегда .
Сформулируйте правило вычисления разности двух	целых чисел	и запишите его с помощью букв .
В заключение подчеркнём , что действия сложения и умножения рациональных чисел , так же как и	целых чисел	, обладают переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
Найдём пересечение и объединение множества натуральных чисел и множества	целых чисел	.
Правила деления двух	целых чисел	аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Особую роль при умножении	целых чисел	играет также число – 1 : при умножении на – 1 число заменяется на число , ему противоположное .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из	целых чисел	с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Сформулируйте правило нахождения разности двух	целых чисел	.
Вы знаете , как читается соотношение : множество натуральных чисел является подмножеством множества	целых чисел	.
Назовите такие два	целых числа	, чтобы их произведение было положительным ; отрицательным .
Чтобы сравнить два	целых числа	, можно представить , как они расположены по отношению друг к другу на координатной прямой : какое из них находится правее , а какое — левее .
Вы уже умеете сравнивать положительные числа , можете сравнить два	целых числа	.
О	целых числах	а и b известно , что a меньше b.
Поэтому о двух	целых числах	можно сказать , что это числа одного знака , если они оба положительны или оба отрицательны .
Любая прямая , проходящая через	центр	окружности , является её осью симметрии .
Какие из букв латинского алфавита имеют и	центр	симметрии , и ось симметрии ? .
а ) фигура имеет и	центр	, и ось симметрии .
Обратите внимание , что фигура имеет	центр	симметрии .
Скопируйте фигуру в тетрадь и отметьте её	центр	симметрии .
Когда прямая k пройдёт через	центр	окружности .
Отметьте	центр	шара , начертите его радиус и диаметр .
б ) пересекает окружность , но не проходит через её центр ; в ) проходит через	центр	окружности ; г ) является касательной к окружности .
Начертите окружность радиусом 3 см. Через	центр	окружности проведите прямую к.
Какая из фигур имеет	центр	симметрии ?
Начертите в тетради прямоугольник и постройте его	центр	симметрии .
Перпендикуляр , проведённый из вершины конуса к плоскости основания , попадает в	центр	круга .
Перенесите фигуру в тетрадь и найдите её	центр	симметрии .
Расстояние от центра до прямой сначала будет уменьшаться , а после того как прямая пройдёт через	центр	— снова увеличиваться .
Шара	центр	.
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть	центр	, радиус и диаметр .
Сделав соответствующий рисунок , определите , верно ли следующее утверждение : а ) Любая прямая , проходящая через	центр	симметрии прямоугольника , делит его на две равные части .
Но фигура может иметь и	центр	симметрии ( правда , только один ) .
Начертите какую - нибудь развёртку куба , у которой есть	центр	симметрии .
Аналитический	центр	провёл опрос , чтобы выяснить , насколько популярно среди жителей страны это увлечение .
Точка О —	центр	симметрии прямоугольника ABCD .
Аналитический	центр	провёл опрос 1500 россиян .
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть	центр	симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет центра симметрии ; в ) есть и центр симметрии , и ось симметрии .
Точка О — центр большей окружности , точка Р —	центр	меньшей .
Диаметр круга будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через	центр	шара .
Нарисуйте в тетради какой - нибудь центрально - симметричный фрагмент этого орнамента и отметьте его	центр	симметрии .
Достройте ломаную так , чтобы	центр	симметрии квадрата был центром симметрии данной линии .
фигура имеет	центр	, но не имеет оси симметрии .
7 Точка О —	центр	симметрии шестиугольника ABCDEK .
Точка О —	центр	большей окружности , точка Р — центр меньшей .
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет центра симметрии ; в ) есть и	центр	симметрии , и ось симметрии .
б ) пересекает окружность , но не проходит через её	центр	; в ) проходит через центр окружности ; г ) является касательной к окружности .
На сторонах прямоугольника возьмите какие - нибудь три точки и постройте симметричные им точки относительно	центра	симметрии .
Измерьте расстояние от	центра	окружности до каждой из этих прямых .
Расстояние от	центра	до прямой сначала будет уменьшаться , а после того как прямая пройдёт через центр — снова увеличиваться .
Для каждого случая сравните радиус окружности и расстояние от	центра	окружности до прямой .
в ) фигура имеет ось , но не имеет	центра	симметрии .
В какой - то момент расстояние от	центра	до прямой станет равным радиусу и точка М окажется на окружности .
Измерьте расстояние от	центра	окружности до прямой .
Расстояние от	центра	О до прямой равно длине перпендикуляра ОМ .
Любая ломаная , центрально - симметричная относительно	центра	квадрата , делит его на две равные части .
Сложите из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет	центра	симметрии ; в ) есть и центр симметрии , и ось симметрии .
Назовите вершины куба , симметричные относительно его	центра	.
Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности , если расстояние от	центра	окружности до прямой равно 4 см , а радиус окружности равен : а ) 3 см ; б ) 4 см ; в ) 6 см ? .
В первом случае окружности пересеклись , потому что расстояние между их	центрами	меньше суммы их радиусов .
При втором построении окружности не пересеклись , так как расстояние между их	центрами	больше суммы их радиусов .
Чему равно расстояние между их	центрами	? .
Ясно , что треугольник не получится и в том случае , если расстояние между	центрами	окружностей равно сумме их радиусов .
Радиусы окружностей равны 5 см и 3 см. Чему равно расстояние между их	центрами	? .
Знаю все случаи взаимного расположения двух окружностей на плоскости ; умею определять взаимное расположение двух окружностей по заданным радиусам и расстоянию между их	центрами	.
В таблице приведены расстояние ОА между	центрами	двух окружностей и их радиусы R и r. Постройте эти окружности .
Bзображена следующая ситуация : радиус большей окружности равен 6 см , радиус меньшей — 4 см , расстояние между	центрами	окружностей равно 1 см ?
Найдите расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими точками двух окружностей , если : а ) радиусы окружностей равны 3 см и 4 см , а расстояние между	центрами	— 10 см ; б ) радиусы окружностей равны 2 см и 5 см , а расстояние между центрами — 1 см .
Найдите расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими точками двух окружностей , если : а ) радиусы окружностей равны 3 см и 4 см , а расстояние между центрами — 10 см ; б ) радиусы окружностей равны 2 см и 5 см , а расстояние между	центрами	— 1 см .
В каждом случае измерьте расстояние между	центрами	окружностей .
Сделайте схематический рисунок : начните с изображения точек , являющихся	центрами	окружностей .
3 Радиусы двух окружностей равны 7 см и 11 см , а расстояние между их	центрами	— 19 см. Как расположены по отношению друг к другу эти окружности ? .
Пусть радиус одной окружности равен 3 см , другой – 1 см. Сравните расстояние между их	центрами	: а ) с суммой радиусов б ) с разностью радиусов .
Меньшая окружность целиком находится вне большей , и расстояние между их	центрами	больше суммы радиусов .
В какой - то момент меньшая окружность коснётся большей , и расстояние между их	центрами	будет равно сумме радиусов .
На этот раз касание будет внутренним , и расстояние между	центрами	станет равным разности радиусов .
Достройте ломаную так , чтобы центр симметрии квадрата был	центром	симметрии данной линии .
Будем проводить окружности с	центром	в точке О , увеличивая их радиусы , пока одна из них не достигнет водоёма .
Продолжим проводить окружности с	центром	в точке О , пока очередная окружность не достигнет шоссе .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с	центром	в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Убедитесь , используя кальку , что указанная точка является	центром	симметрии фигуры .
Изображена часть фигуры ,	центром	симметрии которой является точка М. Начертите эту фигуру в тетради .
Проведите две окружности с	центром	в точке В , которые касаются первой окружности внешним и внутренним образом .
На рисунке 5.1 , а изображена окружность с	центром	в точке О и прямая k , её не пересекающая .
Точка О является её	центром	симметрии .
Выполните следующие построения на альбомном листе бумаги : 1 ) Начертите отрезок АВ длиной 6 см. 2 ) Проведите окружность с	центром	в точке А , радиус которой равен 4 см. 3 )
проведите две пересекающиеся прямые ; начертите окружность с	центром	в точке пересечения прямых ; обозначьте точки пересечения прямых и окружности ; соедините отрезками каждую пару соседних точек .
Изображена окружность с	центром	в точке О , на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке : проведём радиус ОА ; построим прямую d , перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А .
Любая точка , удалённая от точки А на 3 см , лежит на окружности с	центром	в точке А и радиусом 3 см .
Точка является	центром	симметрии , если при повороте вокруг этой точки на 180е фигура переходит сама в себя .
Будем теперь перемещать прямую параллельно самой себе , приближая её к	центру	окружности .
Продолжим движение к	центру	.
Прямая к и окружность пересекаются в точках А и B. Прямая к перемещается к	центру	окружности параллельно самой себе .
Отрезок , соединяющий	центры	оснований , перпендикулярен каждому из них , его называют высотой цилиндра .
Сближая и дальше	центры	окружностей , мы снова получим непересекающиеся окружности , но теперь меньшая будет целиком лежать внутри большей .
Если дальше сближать	центры	окружностей , то окружности сначала будут пересекаться , а затем снова коснутся друг друга .
В случае когда	центры	совпадают , окружности называют концентрическими .
При этом	центры	окружностей будут сближаться .
Где лежат	центры	окружностей ?
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов , касающихся данной прямой в точке М. Где лежат	центры	всех таких окружностей ? .
Где лежат их	центры	? .
Где расположены их	центры	? .
Сверните из этого же листа	цилиндр	с другой высотой .
Вырежите и склейте из них	цилиндр	и конус .
Интересно , что старинный головной убор , который носили в эпоху А. С. Пушкина , тоже носит название «	цилиндр	» .
Слово «	цилиндр	» пришло к нам из Древней Греции и происходит от слова , означающего « валик » .
Из уже известных вам тел это	цилиндр	и конус .
Скопируйте	цилиндр	и нанесите на его изображение какое - нибудь сечение , имеющее форму эллипса .
Различаю	цилиндр	, конус , шар ; знаю , как в сечении поверхностей этих фигур плоскостью можно получить окружность , эллипс .
Изображены	цилиндр	и его развёртка .
Как надо разрезать	цилиндр	, чтобы в сечении получился прямоугольник ? .
3 Какая фигура получится в сечении , если плоскостью симметрии рассечь : а ) шар ; б ) параллелепипед ; в )	цилиндр	; г ) конус ? .
а ) Вылепите из пластилина	цилиндр	и разрежьте его так , чтобы в сечении получился круг ; эллипс .
Прежде всего это	цилиндр	, конус , шар .
Изготовьте развёртку цилиндра в натуральную величину и сверните её в	цилиндр	.
Поверхности	цилиндра	и конуса состоят как из плоских частей , так и из кривых , а шар абсолютно круглый .
2 ) Теннисный мяч упакован в коробку , имеющую форму	цилиндра	, так , что он касается и его боковой поверхности , и оснований .
Форму	цилиндра	имеют многие предметы , созданные руками человека : колонны зданий , трубы , стаканы , брёвна сруба избы и др.
Поверхность	цилиндра	состоит из двух оснований и боковой поверхности , которую ещё называют цилиндрической .
Основания	цилиндра	— это два равных круга , расположенные в параллельных плоскостях .
Закрасьте основания	цилиндра	и конуса , начертите их высоты .
Отрезок , соединяющий центры оснований , перпендикулярен каждому из них , его называют высотой	цилиндра	.
а ) Возьмите лист бумаги прямоугольной формы и сверните из него боковую поверхность	цилиндра	.
Поверхности	цилиндра	и конуса , как и поверхность многогранника , можно развернуть на плоскость .
Боковая поверхность	цилиндра	разворачивается в прямоугольник , а боковая поверхность конуса — в круговой сектор ( часть круга , ограниченная двумя радиусами ) .
Так , если поверхность	цилиндра	рассекается плоскостью , которая параллельна его основаниям , то в сечении получается окружность .
Нанесите на изображение	цилиндра	какое - нибудь сечение , имеющее форму окружности , а на изображение конуса — сечение , имеющее форму эллипса .
Чему равна высота	цилиндра	?
Скопируйте в тетрадь изображения	цилиндра	, конуса , шара .
При рассечении	цилиндра	и конуса , наряду с окружностью , получаются и другие линии .
Назовите несколько предметов , имеющих форму шара ,	цилиндра	, конуса .
Изготовьте развёртку	цилиндра	в натуральную величину и сверните её в цилиндр .
Сверните лист бумаги трубочкой — у вас получится поверхность	цилиндра	.
Предметы - конусы встречаются гораздо реже , чем предметы -	цилиндры	.
Обратите внимание : называя четырёхугольник ABCD , вы « обходите » его по часовой стрелке , а симметричный ему	четырёхугольник	A1B1C1D1 — против часовой стрелки .
Начертите в тетради какой - нибудь	четырёхугольник	, который имеет : а ) одну ось симметрии ; б ) две оси симметрии .
Проведите такой эксперимент : соберите из элементов металлического конструктора	четырёхугольник	и треугольник и попробуйте подвигать их стороны .
Изображён	четырёхугольник	ABCD , в котором через противоположные вершины проведены прямые АС и BD . 1 ) Поясните , что означают знаки , которые вы видите на чертеже , и запишите условия , выражаемые данными знаками , на математическом языке .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите	четырёхугольник	, одна из сторон которого лежит на прямой m , и постройте четырёхугольник , симметричный ему относительно прямой m .
На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте её буквой m . а ) Начертите отрезок , не пересекающий прямую m , и постройте отрезок , симметричный ему относительно прямой m . б ) Начертите четырёхугольник , одна из сторон которого лежит на прямой m , и постройте	четырёхугольник	, симметричный ему относительно прямой m .
Обведите « старый »	четырёхугольник	карандашом синего цвета , а « новый » — красного цвета .
Укажите координаты точек , в которых стороны треугольника пересекают ось х . б ) Постройте	четырёхугольник	ABCD , если его вершины имеют координаты .
Постройте	четырёхугольник	, симметричный данному относительно прямой АС .
Таким образом , равносторонний треугольник — это правильный треугольник , а квадрат — это правильный	четырёхугольник	.
Постройте какой - нибудь	четырёхугольник	ABCD , у которого : а ) АВ ∥ CD и BC ∥ AD ; б ) AB ∥ CD и BC ∦ AD ; в ) AB ∥ CD , AB ∥ CD и BC ∦ D. ( Символ означает , что прямые не параллельны ) .
Легко догадаться , что « самый симметричный треугольник » — это равносторонний треугольник , у него 3 оси симметрии , а « самый симметричный	четырёхугольник	» — квадрат , у него 4 оси симметрии .
При каком расположении точек С и О этот	четырёхугольник	будет иметь 2 оси симметрии ?
Обратите внимание : называя	четырёхугольник	ABCD , вы « обходите » его по часовой стрелке , а симметричный ему четырёхугольник A1B1C1D1 — против часовой стрелки .
Отметьте на прямой точки С и О так , чтобы	четырёхугольник	ABCD был симметричен относительно прямой АВ .
Какой	четырёхугольник	получился ? .
При их пересечении образовался	четырёхугольник	.
Какой	четырёхугольник	называют параллелограммом ? .
Такой	четырёхугольник	имеет специальное название — параллелограмм .
Выразите их в сантиметрах и найдите периметр этого	четырёхугольника	.
Найдите периметр	четырёхугольника	ABCD ( сторона одной клетки равна 5 мм ) .
В каждом четырёхугольнике проведите диагонали и постройте точку , симметричную точке пересечения диагоналей	четырёхугольника	.
Измерьте длины сторон	четырёхугольника	.
Определите , чему равны величины углов	четырёхугольника	, вершинами которого являются точки пересечения прямых .
Опишите словами способ построения каждого	четырёхугольника	и выполните построения .
Укажите координаты точек , в которых стороны	четырёхугольника	пересекают оси координат .
Сформулируйте алгоритм построения : а ) правильного треугольника ; б ) правильного	четырёхугольника	.
В каждом	четырёхугольнике	проведите диагонали и постройте точку , симметричную точке пересечения диагоналей четырёхугольника .
Если перегнуть рисунок по прямой k , то	четырёхугольники	A1B1C1D1 и ABCD совпадут .
Иными словами , эти	четырёхугольники	равны .
Например , призма , четырёхугольная , её основания —	четырёхугольники	.
Показаны способы построения следующих	четырёхугольников	: прямоугольника , квадрата , ромба и параллелограмма .
У каких	четырёхугольников	есть параллельные стороны ?
3 Какой из	четырёхугольников	является параллелограммом .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество	четырёхугольников	, имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
4 Какие из данных	четырёхугольников	не являются параллелограммами ?
а ) А — множество всех треугольников , B — множество равнобедренных треугольников , С — множество равносторонних треугольников . б ) К — множество квадратов , Р — множество прямоугольников , B — множество	четырёхугольников	.
Пусть А — множество параллелограммов , В — множество прямоугольников , С — множество ромбов Множество каких	четырёхугольников	обозначено буквой D ? .
Здесь вы познакомитесь ещё с двумя фигурами : с	четырёхугольником	— параллелограммом и многогранником — призмой .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств	чисел	, кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых	чисел	, в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
Сумма двух дробных	чисел	также является числом дробным .
Множество целых	чисел	.
Есть ли среди	чисел	3 , 4 и 5 корень уравнения .
А основные числовые множества — натуральных и целых	чисел	— всегда обозначают буквами N и Ζ. Можно сказать , что эти буквы — их « имена собственные » .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых	чисел	, а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
Как и раньше , будем считать , что из двух	чисел	меньше то , которому соответствует точка координатной прямой , расположенная левее , и больше то , которому соответствует точка , расположенная правее .
Математики Древней Греции неожиданно обнаружили , что для решения такой практически важной задачи , как измерение длин отрезков , не хватает не только целых , но и дробных чисел , так что возникла необходимость в изобретении новых	чисел	.
нуля и влево от нуля , будем получать изображения на прямой целых	чисел	.
1 На примерах вычисления суммы и разности	чисел	24,9 и 8,23 расскажите , как складывают и вычитают десятичные дроби .
Пусть , например , Р — множество простых	чисел	.
Вы знаете , что частное двух натуральных	чисел	равно дроби , числитель которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Пусть А — множество однозначных натуральных	чисел	. 1 ) Опишите словами каждое из подмножеств множества .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств	чисел	, кратных 3 и кратных 9 .
Как вы знаете , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных	чисел	.
Укажите несколько конечных и несколько бесконечных подмножеств множества натуральных	чисел	Ν.
Выполните это же задание для множества целых	чисел	Ζ .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и	чисел	, кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Математики Древней Греции неожиданно обнаружили , что для решения такой практически важной задачи , как измерение длин отрезков , не хватает не только целых , но и дробных	чисел	, так что возникла необходимость в изобретении новых чисел .
Запишите десять положительных и десять отрицательных целых	чисел	, двигаясь влево и вправо от нуля .
Одно из этих	чисел	на 20 больше другого .
Множество рациональных	чисел	.
Прочитайте разными способами соотношения между множествами натуральных , целых и рациональных	чисел	и изобразите каждое из них с помощью кругов Эйлера .
Например , запись С равно { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } означает , что С — множество первых пяти нечётных	чисел	.
Из двух целых чисел больше то , которое в ряду целых	чисел	стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
Вы знаете , как читается соотношение : множество натуральных чисел является подмножеством множества целых	чисел	.
Вы знаете , как читается соотношение : множество натуральных	чисел	является подмножеством множества целых чисел .
Из двух целых	чисел	больше то , которое в ряду целых чисел стоит правее , и меньше то , которое стоит левее .
Правило сравнения натуральных	чисел	естественно распространить на целые числа .
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение	чисел	а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма	чисел	х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Поэтому чаще всего множества задают описанием , например : множество стран , принявших участие в Олимпийских играх в Пекине ; множество растений , занесённых в Красную книгу ; множество	чисел	, кратных 5 .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных	чисел	и округление десятичных дробей ? .
Ведь гораздо проще сказать , к примеру , что В — множество двузначных	чисел	, чем перечислять все двузначные числа от 10 до 99 .
Например , множество натуральных	чисел	является подмножеством множества целых чисел : Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
Например , множество натуральных чисел является подмножеством множества целых	чисел	: Ν ⊂ Ζ. Этот факт иллюстрирует : множества изображены в виде кругов , при этом все точки круга N принадлежат также и кругу Ζ .
Вспомним , что из двух натуральных	чисел	большим считается то , которое при счёте появляется позже , и меньшим — то , которое появляется раньше .
Среди	чисел	укажите : а ) равные числа ; б ) противоположные числа .
Пусть А — множество целых	чисел	, больших – 100 и меньших 150 .
Какие из	чисел	0 , – 125 , 135 , – 99 , 100 , – 100 являются элементами этого множества , а какие не являются ?
Какие из	чисел	являются элементами этого множества , а какие не являются ? .
92 Сравнение целых	чисел	.
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество	чисел	, делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Пусть А — множество	чисел	, которые делятся на 4 , но не делятся на 2 .
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных чисел , кратных 10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных	чисел	? .
Математики придумали для таких дробей удобный способ записи , похожий на способ записи натуральных	чисел	.
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение	чисел	5 и х меньше числа у .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество	чисел	, делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных чисел , кратных 10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых	чисел	, больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
Для записи натуральных	чисел	мы применяем нумерацию , которую называют десятичной .
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность	чисел	b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Как вы знаете , множество натуральных	чисел	является подмножеством множества целых чисел , а множество целых чисел , в свою очередь , является подмножеством множества рациональных чисел .
Образец , а ) Число 2 принадлежит множеству натуральных	чисел	, или , иначе , число 2 — натуральное .
Сколько элементов содержит множество : а ) цифр десятичной системы счисления ; б ) букв русского алфавита ; в ) простых чисел , меньших 30 ; г ) двузначных	чисел	, меньших 100 ? .
Сколько элементов содержит множество : а ) цифр десятичной системы счисления ; б ) букв русского алфавита ; в ) простых	чисел	, меньших 30 ; г ) двузначных чисел , меньших 100 ? .
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных чисел , кратных 10 ; б ) целых отрицательных	чисел	, больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
Конечным или бесконечным является множество : а ) натуральных	чисел	, кратных 10 ; б ) целых отрицательных чисел , больших – 25 ; в ) простых чисел , больших 50 ; г ) четырёхзначных натуральных чисел ? .
б ) Пусть А — множество натуральных	чисел	, кратных 4 , В — множество натуральных чисел , кратных 6 .
Множество рациональных	чисел	, как и множества натуральных и целых чисел , имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество	чисел	, дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Это разбиение составляют три множества : множество	чисел	, кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Для сравнения	чисел	и величин существует два способа : вычисление разности или вычисление частного .
а ) произведение числа 7 и суммы	чисел	а и b . б ) сумму числа 10 и произведения чисел х и у .
Таким образом , мы имеем разбиение множества натуральных чисел на два класса — чётных и нечётных	чисел	.
Таким образом , мы имеем разбиение множества натуральных	чисел	на два класса — чётных и нечётных чисел .
б ) Сколько можно составить трёхзначных	чисел	из цифр 2 , 4 , 8 , используя каждую цифру только один раз ? .
Отношение	чисел	и величин — это просто другое название частного .
Оба способа сравнения	чисел	постоянно используются при решении практических задач , но служат они для разных целей .
а ) произведение числа 7 и суммы чисел а и b . б ) сумму числа 10 и произведения	чисел	х и у .
Говорят , что множества чётных и нечётных	чисел	составляют разбиение множества Ν. Непересекающиеся подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
Договоримся , что из	чисел	, кодирующих одно и то же рукопожатие , мы всегда будем учитывать меньшее .
Иными словами , отношение двух	чисел	— это другое название их частного .
Поэтому , например , из	чисел	68 и 86 надо выбрать 68 .
Если множество нечётных чисел обозначить буквой А , а множество чётных	чисел	— буквой В , то можно записать .
в ) разность числа с и произведения	чисел	4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
4 Запишите произведение суммы двух	чисел	а и b и их разности .
Если множество нечётных	чисел	обозначить буквой А , а множество чётных чисел — буквой В , то можно записать .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество	чисел	, дающих при делении на 3 в остатке 2 .
А — это множество чётных	чисел	, кратных 5 .
В арифметике их применяют для обозначения	чисел	.
большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество	чисел	, делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
большой круг изображает множество натуральных	чисел	N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Сколько классов содержит разбиение множества натуральных	чисел	по остаткам от деления на 4 ?
Приведите свои примеры	чисел	, относящихся к каждому классу .
Приведите примеры таких	чисел	.
б ) Пусть А — множество натуральных чисел , кратных 4 , В — множество натуральных	чисел	, кратных 6 .
Это свойство справедливо для любой пары	чисел	.
Постройте разбиение множества натуральных	чисел	на классы , используя два признака : чётность и кратность 5 .
Округлите каждое из	чисел	до тысячных , до сотых , до десятых .
Пусть С — множество целых	чисел	, которое задаётся первым неравенством , a D — множество целых чисел , которое задаётся вторым неравенством .
Какое множество	чисел	соответствует части круга В , не принадлежащей кругу А ?
Обведите часть круга А , не принадлежащую кругу В. Опишите словами соответствующее ей множество чисел , приведите примеры таких	чисел	.
Обведите часть круга А , не принадлежащую кругу В. Опишите словами соответствующее ей множество	чисел	, приведите примеры таких чисел .
Опишите словами каждый класс и приведите примеры относящихся к нему	чисел	.
Если предложение выражает некоторое свойство или правило , выполняющееся для любых	чисел	, то при переводе его на математический язык удобно использовать буквы .
Пусть С — множество целых чисел , которое задаётся первым неравенством , a D — множество целых	чисел	, которое задаётся вторым неравенством .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение	чисел	а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
Отношение двух	чисел	показывает , во сколько раз одно число больше другого , или какую часть одно число составляет от другого .
Объединением этих множеств является всё множество натуральных	чисел	.
7 Пусть С — множество чисел , кратных 5 , и D — множество	чисел	, кратных 10 .
Найдём пересечение и объединение множества натуральных чисел и множества целых	чисел	.
а ) Сколько трёхзначных	чисел	можно составить из цифр 3 , 4 и 5 , если каждую из них разрешается использовать один раз ? .
Пусть А — это множество чисел , делящихся на 3 , а В — множество чисел , делящихся на 5 . 1 ) Какое множество	чисел	соответствует общей части кругов ?
Найдём пересечение и объединение множества натуральных	чисел	и множества целых чисел .
Тогда А ⋂ В равно 0 , a A ⋃ В — это множество первых десяти натуральных	чисел	.
большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество	чисел	, делящихся на 3 .
7 Пусть С — множество	чисел	, кратных 5 , и D — множество чисел , кратных 10 .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных	чисел	и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Замените отношение дробных	чисел	равным ему отношением целых чисел .
Замените отношение дробных чисел равным ему отношением целых	чисел	.
Поэтому черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух натуральных	чисел	.
Среди данных	чисел	найдите положительные и отрицательные , затем для каждого числа назовите число , ему противоположное .
Например . Целые и дробные числа вместе составляют множество рациональных	чисел	.
Пусть А — это множество	чисел	, делящихся на 3 , а В — множество чисел , делящихся на 5 . 1 ) Какое множество чисел соответствует общей части кругов ?
Так , — примеры рациональных	чисел	.
Чтобы разработать современное толкование отрицательных	чисел	, понадобились усилия многих учёных на протяжении 18 веков — от Джань Цаня до Декарта .
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух	чисел	, первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Обозначьте буквой меньшее из	чисел	.
4 Приведите примеры подмножеств множества натуральных	чисел	N .
Сколько существует трёхзначных	чисел	, которые можно составить из цифр 3 , 4 , 5 , используя каждую из них только один раз ?
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и разности	чисел	b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е ) произведение разности	чисел	х и у и их суммы .
ж ) частное	чисел	т и n . з )
Возьмём два подмножества множества натуральных чисел : множество нечётных чисел и множество чётных	чисел	.
сумму частного	чисел	b и с и их произведения .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение четырёх отличных от нуля	чисел	, если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 ) отрицательны два числа ; 3 ) три числа отрицательны , а одно положительно
Знаю соотношения между подмножествами множества рациональных	чисел	.
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение четырёх отличных от нуля чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из	чисел	; 2 ) отрицательны два числа ; 3 ) три числа отрицательны , а одно положительно
Возьмём два подмножества множества натуральных чисел : множество нечётных	чисел	и множество чётных чисел .
Возьмём два подмножества множества натуральных	чисел	: множество нечётных чисел и множество чётных чисел .
Так , если нужно умножить сумму	чисел	а и b на число с , то эту сумму заключают в скобки .
Частное двух	чисел	, обозначенных буквами , записывают обычно с помощью черты дроби , например .
Назовите ещё несколько	чисел	, принадлежащих множеству А ⋂ В .
Назовите несколько элементов множества , которое является : а ) пересечением множеств	чисел	, кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Если необходим именно такой порядок множителей в произведении	чисел	а и 7 , то точку обязательно ставят , то есть пишут .
Их составляют из	чисел	, букв , знаков действий и скобок .
Множество рациональных чисел , как и множества натуральных и целых	чисел	, имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
Пусть А — это множество чисел , делящихся на 3 , а В — множество	чисел	, делящихся на 5 . 1 ) Какое множество чисел соответствует общей части кругов ?
Если бы мы скобки опустили , то получили бы выражение , которое имеет другой смысл : это сумма числа а и произведения	чисел	b и с .
Знаю , что показывает отношение	чисел	и величин ; умею находить отношение чисел и величин .
Найдём произведение	чисел	0,215 и 0,33 .
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых	чисел	с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Сформулируйте правило вычисления разности двух целых	чисел	и запишите его с помощью букв .
Можно сказать , что арифметика целых чисел « богаче » арифметики натуральных	чисел	.
Можно сказать , что арифметика целых	чисел	« богаче » арифметики натуральных чисел .
И в множестве целых	чисел	действие вычитания выполнимо всегда .
Десятичные и обыкновенные дроби — это две различные формы представления	чисел	.
Благодаря введению отрицательных	чисел	мы получаем возможность вычитать из меньшего числа большее .
При умножении и делении двух рациональных	чисел	, как и целых , сначала по правилам знаков определяют знак результата , а затем находят его модуль .
Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности положительные и отрицательные слагаемые , а затем найти сумму двух получившихся	чисел	.
При разложении каждого из этих	чисел	на простые множители получается одинаковое число двоек и пятёрок .
Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от множества натуральных	чисел	.
Продолжите последовательность	чисел	1100 , 110 , 11 записав ещё три числа .
Обратите внимание на важное отличие множества целых	чисел	от множества натуральных чисел .
Найдём произведение	чисел	.
Частное двух	чисел	одного знака положительно , а частное двух чисел разных знаков отрицательно .
Таким образом , чтобы найти разность	чисел	2 и 7 , нужно к числу 2 прибавить число – 7 .
Уменьшите каждое из	чисел	2500 ; 1555,01 ; 4,45 ; 0,6 в 10 раз , в 100 раз , в 1000 раз .
Частное двух чисел одного знака положительно , а частное двух	чисел	разных знаков отрицательно .
Для каждого из	чисел	укажите соответствующую ему точку .
В множестве натуральных	чисел	сложить можно любые два числа , но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Увеличьте каждое из	чисел	0,2 ; 1,112 ; 13,0247 ; 34,05 в 10 раз , в 100 раз , в 1000 раз .
Найдём произведение	чисел	0,235 и 120 .
а ) – 10 — 20 — это разность	чисел	– 10 и 20 ; представьте её в виде суммы .
Правила деления двух целых	чисел	аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
На координатной прямой изображены числа а , b и с В каждом случае сравните с нулём каждое из	чисел	а , b и с , сравните числа а и с , а и b , b и с .
Умножение целых чисел обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных	чисел	, — переместительным и сочетательным ; справедливо также распределительное свойство .
Умножение целых	чисел	обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных чисел , — переместительным и сочетательным ; справедливо также распределительное свойство .
Особую роль при умножении целых	чисел	играет также число – 1 : при умножении на – 1 число заменяется на число , ему противоположное .
Произведение двух чисел одного знака положительно , а произведение двух	чисел	разных знаков отрицательно .
Произведение двух	чисел	одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
Ответьте на вопрос с помощью координатной прямой и проиллюстрируйте свой ответ числовым примером : какое из двух целых	чисел	больше – положительное или отрицательное ?
великий русский учёный , математик и механик Леонард Эйлер в своём учебном пособии « Универсальная арифметика » , адресованном тем , кто начинал изучать математику , объяснял правило умножения отрицательных	чисел	примерно следующим образом .
Найдём разность	чисел	.
Если частное выражается десятичной дробью , его можно вычислить , используя деление уголком , так же как при делении натуральных	чисел	.
95 Умножение и деление целых	чисел	.
Продолжите фрагмент ряда целых	чисел	влево и вправо , записав ещё по три числа .
Сумма двух	чисел	одного знака имеет тот же знак , что и слагаемые .
Сумма двух	чисел	разных знаков имеет знак того слагаемого , у которого модуль больше .
Этими правилами пользуются при сложении не только целых	чисел	, но и любых рациональных чисел .
Этими правилами пользуются при сложении не только целых чисел , но и любых рациональных	чисел	.
Так как сумма двух отрицательных	чисел	отрицательна , то в результате запишем знак « минус » , а затем сложим и получим .
Найдите произведение	чисел	.
Вычитание рациональных	чисел	, как и целых , сводится к сложению .
Для натуральных	чисел	умножение сводится к сложению , поэтому произведение — это сумма трёх слагаемых , каждое из которых равно 5 .
Так же обстоит дело и при записи	чисел	в виде десятичных дробей .
Сколько таких	чисел	имеется ? .
Сформулируйте правила знаков для умножения и деления рациональных	чисел	.
Действие сложения целых	чисел	, как и действие сложения натуральных чисел , обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Чему равна сумма противоположных	чисел	?
Как определить , каким числом — положительным или отрицательным — является сумма двух целых	чисел	разных знаков ?
Найдите закономерность , по которой строится последовательность	чисел	, и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
двух отрицательных целых	чисел	?
Модули	чисел	– 36 и 36 равны .
Какой знак имеет сумма двух положительных целых	чисел	?
Запишите три следующих числа и найдите сумму всех шести записанных	чисел	.
Наконец , правило сложения отрицательного целого числа с нулём такое же , как и для натуральных	чисел	.
Какое из трёх данных	чисел	наибольшее и какое наименьшее .
По какому правилу составлена последовательность	чисел	?
На примере вычисления суммы и разности	чисел	7,85 и 0,534 объясните , как складывают и как вычитают десятичные дроби .
Итак , при сложении целых	чисел	мы в действительности работаем только с соответствующими натуральными числами .
93 Сложение целых	чисел	.
Сумма двух	чисел	разных знаков может быть как положительным , так и отрицательным числом ; знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
Необычность и удивительность этого числа состоит в том , что среди известных вам	чисел	— целых и дробных — его нет .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных	чисел	344 и 728 , которые получаются , если из десятичных дробей 3,44 и 7,28 убрать запятые .
Сумма двух положительных чисел положительна , а сумма двух отрицательных	чисел	отрицательна .
Сумма двух положительных	чисел	положительна , а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
Сначала рассмотрим сложение	чисел	одного знака .
Сумма противоположных	чисел	равна 0 .
Действие сложения целых чисел , как и действие сложения натуральных	чисел	, обладает переместительным и сочетательным свойствами .
Сумма противоположных	чисел	равна нулю .
Сумма отрицательного и положительного	чисел	всегда отрицательна .
Вспомним , что разностью	чисел	а и b называется такое число с , которое при сложении с числом b даёт число а .
94 Вычитание целых	чисел	.
Найдите сумму всех целых	чисел	.
Запишите сумму данных	чисел	и вычислите её .
Используя описанное свойство , можно действовать , не выясняя , модуль какого из данных дробных	чисел	больше .
Сколько целых	чисел	содержится между числами .
Запись суммы положительных и отрицательных	чисел	часто упрощают : положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Какие из	чисел	0 , 2 , 6 , 10 являются допустимыми значениями буквы b в выражении .
Запишите и вычислите сумму	чисел	.
Какие из	чисел	0 , 10 , 20 , 25 являются допустимыми значениями буквы х в выражении .
В заключение подчеркнём , что действия сложения и умножения рациональных	чисел	, так же как и целых чисел , обладают переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
В заключение подчеркнём , что действия сложения и умножения рациональных чисел , так же как и целых	чисел	, обладают переместительным , сочетательным и распределительным свойствами .
Используя свойство суммы противоположных	чисел	, вычислите .
Подберите несколько пар	чисел	а и b , при которых : а ) значение выражения равно 0 ; б ) значение выражения равно 0 .
Какому из	чисел	на координатной прямой соответствует точка , расположенная правее : 12,65 или 12,56 ? .
Найдите сумму противоположных	чисел	.
В каких дробях можно выполнить сравнение данных	чисел	— в обыкновенных , в десятичных или и в тех и в других .
Есть ли среди данных	чисел	равные ?
Чтобы вычислить разность	чисел	15,6 и 8,8 , преобразуем её так , чтобы вычитаемое стало круглым числом .
Сумма двух положительных	чисел	всегда положительна .
Сумма двух отрицательных	чисел	может быть отрицательной , положительной или нулём .
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных	чисел	.
Частное двух	чисел	одного знака положительно ; частное двух чисел разных знаков отрицательно .
Используя таблицу квадратов двузначных	чисел	, вычислите .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных	чисел	от 1 до n .
Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих	чисел	на их количество .
На примере вычисления частного	чисел	11,9 и 5 расскажите , как можно разделить уголком десятичную дробь на натуральное число .
Сформулируйте правило сравнения двух отрицательных	чисел	.
А у противоположных	чисел	, которые изображаются точками , симметричными относительно нуля , модули равны .
В левой части уравнения сумма	чисел	2х и 26 .
2 ) Если сумма	чисел	а и b положительна , то и сами слагаемые — числа положительные .
Теперь мы получили уравнение , в левой части которого записано произведение	чисел	2 и х.
4 ) Если произведение	чисел	а и b положительно , то и сами множители — числа положительные .
Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных натуральных	чисел	, начиная с числа .
Запишите в виде буквенных выражений произведение и сумму двух последовательных натуральных	чисел	.
Сколькими способами можно представить данное число в виде произведения двух целых	чисел	.
Частное двух чисел одного знака положительно ; частное двух	чисел	разных знаков отрицательно .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных	чисел	от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Какое из	чисел	больше .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных	чисел	от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Запишите в виде математического выражения : а ) произведение всех натуральных	чисел	от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
Например , выражение означает произведение всех натуральных	чисел	от 1 до 50 .
Умею называть число , противоположное данному целому числу ; знаю свойство суммы противоположных	чисел	.
Из двух отрицательных	чисел	меньше то , у которого модуль больше .
Используя термин « модуль » , можно рассмотренный выше способ сравнения отрицательных	чисел	сформулировать в виде правила .
Сколько имеется таких	чисел	? .
Что можно сказать о знаке суммы двух	чисел	, если известно , что : а ) оба числа отрицательные ; б ) одно число отрицательное , а другое положительное ? .
Теперь для некоторых дробных	чисел	у вас есть два способа записи — в виде обыкновенных дробей и в виде десятичных , и нужно уметь переходить от одной формы записи к другой .
Но частное	чисел	0,05 и 0,3 существует , найти его , конечно же , можно .
Сформулируйте правило нахождения разности двух целых	чисел	.
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных	чисел	– 6,5 и – 4 меньше , мы сравнили положительные числа 6,5 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих точек координатной прямой .
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов —	чисел	, выражений , точек , фигур и так далее .
Знаю , что показывает отношение чисел и величин ; умею находить отношение	чисел	и величин .
Найдите среди	чисел	12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 целые положительные и целые отрицательные числа .
3 ) В каких случаях произведение четырёх целых	чисел	будет числом отрицательным ? .
112 Сравнение рациональных	чисел	.
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх целых	чисел	, если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
Какое из	чисел	расположено на координатной прямой левее , какое из них меньше .
Средним арифметическим нескольких	чисел	называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
Число 2,4 — это среднее арифметическое	чисел	.
Запишите в порядке убывания	числа	.
Сначала сравним противоположные им натуральные	числа	1000 и 989 .
Рассмотрите 3 случая , изобразив каждый из них на координатной прямой : 1 ) а и b — числа положительные ; 2 ) а и b —	числа	отрицательные ; 3 ) а и b — числа разных знаков .
Запишите все двузначные	числа	, которые можно составить , используя только цифры 8 , 6 и 0 .
Например ,	числа	15 и – 15 являются противоположными .
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В — множество натуральных делителей	числа	24 .
Найдите отношение	числа	правильных ответов к числу всех присланных ответов .
Решите задачу на нахождение	числа	по его части .
Умею сравнивать целые	числа	.
К концу учебного года в связи с увеличением	числа	жителей района число учащихся увеличилось на 40 % .
Найдите отношение	числа	спортсменов к числу всех учащихся школы .
Поэтому , записывая целые	числа	в ряд , мы также можем заменить запятые на знак « меньше » .
Это и неудивительно : ведь такие	числа	не существуют !
Отметьте на координатной прямой данные	числа	, а потом сравните их ( ответ запишите в виде неравенства ): а ) – 3 и 1 ; б ) – 5 и 0 ; в ) – 2 и – 6 .
Пусть А — множество натуральных делителей	числа	18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Определите , какую часть составляет число попаданий от	числа	бросков , и выразите эту часть в процентах , если он попал в кольцо : а ) 10 раз ; б ) 25 раз ; в ) 32 раза ; г ) 40 раз .
Запишите данные	числа	в порядке убывания ( от большего к меньшему ) .
Не выполняя умножения , сравните	числа	.
Изобразите схематически	числа	точками на координатной прямой .
Найдите среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 целые положительные и целые отрицательные	числа	.
Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают : положительные	числа	записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Этот знак мы будем использовать и для обозначения	числа	, противоположного отрицательному .
Отношение	числа	мальчиков в школе к числу девочек равно 5:4 .
Из рассмотренных примеров становится понятно следующее : чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо найти отношение первого	числа	ко второму ( иными словами , выяснить , какую часть первое число составляет от второго или во сколько раз оно больше ) и выразить это отношение в процентах .
Рассмотрите 3 случая , изобразив каждый из них на координатной прямой : 1 ) а и b —	числа	положительные ; 2 ) а и b — числа отрицательные ; 3 ) а и b — числа разных знаков .
Целые	числа	также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
При делении любого целого	числа	на – 1 получается противоположное число .
Правило сравнения натуральных чисел естественно распространить на целые	числа	.
Отношение	числа	пятиклассников к числу шестиклассников равно 1:3 .
Какую часть от	числа	всех учащихся школы составляют мальчики ?
Сравните	числа	-а и -b .
Наряду с натуральными числами мы будем рассматривать отрицательные	числа	, которые получаются , если к каждому натуральному числу приписать знак « минус » .
Чтобы вычислить эту сумму , можно последовательно складывать	числа	в том порядке , в котором они записаны .
Запишите данные	числа	в порядке возрастания ( от меньшего к большему ) .
отношение	числа	финалистов к числу участников конкурса равно .
Положительные целые	числа	мы складывать умеем .
Из примера с подсчётом денег легко понять , как складываются отрицательные	числа	.
Среди данных чисел найдите положительные и отрицательные , затем для каждого	числа	назовите число , ему противоположное .
Сравните 61 % от числа 83 и 83 % от	числа	61 .
А как складывают	числа	разных знаков ?
Противоположные	числа	изображаются точками , симметричными относительно точки с координатой 0 .
Математики древности называли отрицательные	числа	словами , означавшими « долг » , « недостаток » , в отличие от « имущества » — положительного числа .
Отношение	числа	книг к числу журналов равно 4:1 .
Разные музыкальные инструменты составляют оркестр , буквы — алфавит , а	числа	1 , 2 , 3 , 4 , 5 — натуральный ряд .
Значит , число 256 расположено правее	числа	– 104 .
Умею умножать и делить целые	числа	.
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные	числа	складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа вычитаем меньшее .
Направление луча , на котором отмечают положительные	числа	, называют положительным направлением и указывают стрелкой .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального	числа	вычитаем меньшее .
На « правом » луче будем , как обычно , отмечать целые положительные	числа	, а на « левом » — целые отрицательные .
При делении любого целого	числа	на 1 получается это же число .
Ведь гораздо проще сказать , к примеру , что В — множество двузначных чисел , чем перечислять все двузначные	числа	от 10 до 99 .
Умею складывать и вычитать целые	числа	.
Назовите такие два целых	числа	, чтобы их произведение было положительным ; отрицательным .
Что можно сказать о знаке суммы двух чисел , если известно , что : а ) оба	числа	отрицательные ; б ) одно число отрицательное , а другое положительное ? .
Рассмотрите 3 случая , изобразив каждый из них на координатной прямой : 1 ) а и b — числа положительные ; 2 ) а и b — числа отрицательные ; 3 ) а и b —	числа	разных знаков .
Решите задачу на нахождение части от	числа	а )
Подставим в выражение вместо а и b указанные	числа	, получим .
Сумма	числа	вершин и рёбер призмы равна 25 .
а ) отношение	числа	взошедших лилий к числу посаженных равно .
Целые отрицательные	числа	, как и целые положительные ( то есть натуральные ) , можно изображать точками на координатной прямой .
91 Какие	числа	называют целыми .
Переведите запись на русский язык и скажите , верно ли соответствующее утверждение : Если множество состоит из конечного	числа	элементов , то его называют конечным множеством ; если же элементов бесконечно много , то говорят , что это бесконечное множество .
а ) Запишите все двузначные	числа	, которые можно составить , используя только цифры 5 , 7 и 9 .
Наконец , правило сложения отрицательного целого	числа	с нулём такое же , как и для натуральных чисел .
Сколько процентов от	числа	осенних ДТП составило число ДТП в зимние месяцы ? .
Двигаясь по натуральному ряду вправо , мы переходим от меньшего числа к большему , а двигаясь влево — от большего	числа	к меньшему ; поэтому запятые можно заменить на знак « меньше » .
Так , числа 3 , 6 , 9 принадлежат первому из указанных классов ; числа 4 , 7 , 10 — второму классу ;	числа	5 , 8 , 11 — третьему .
Пусть а и b — целые	числа	.
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх целых чисел , если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два	числа	отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
В множестве натуральных чисел сложить можно любые два	числа	, но вычесть одно число из другого можно не всегда .
Начертите координатную прямую , отметьте на ней данные	числа	и числа , им противоположные ; затем запишите все отмеченные числа , двигаясь слева направо .
Так , нельзя из	числа	3 вычесть 5 .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней	числа	.
Если	числа	а и b имеют разные знаки , то их произведение — число отрицательное .
Благодаря введению отрицательных чисел мы получаем возможность вычитать из меньшего	числа	большее .
2 ) Если сумма чисел а и b положительна , то и сами слагаемые —	числа	положительные .
Если а и b —	числа	отрицательные , то их сумма также отрицательна .
Поэтому о двух целых числах можно сказать , что это	числа	одного знака , если они оба положительны или оба отрицательны .
Подставьте в выражение : с указанные	числа	и выполните вычисления .
Эту сумму можно вычислить , складывая	числа	последовательно .
Для проверки семян на всхожесть сажают определённое количество семян и в назначенный срок находят отношение	числа	проросших семян к числу посаженных .
Знака « минус » тогда не было , а чтобы различать положительные и отрицательные	числа	, Джань Цань писал их чернилами разных цветов .
Найдите отношение	числа	непроверенных работ к числу проверенных и обратное отношение .
Сначала мы подставили вместо букв указанные	числа	, заключив при этом отрицательное число в скобки .
В первой школе 500 учащихся , во второй — этого	числа	, а в третьей — в 1 раза больше , чем во второй .
Отношение числа чижей к числу ужей равно 5:4 , а	числа	ужей к числу ежей равно 2:1 .
Какие	числа	называют целыми ?
Чтобы сравнить два целых	числа	, можно представить , как они расположены по отношению друг к другу на координатной прямой : какое из них находится правее , а какое — левее .
Для каждого вида одежды приведён процент от общего	числа	выпускаемых изделий .
Сравните 61 % от	числа	83 и 83 % от числа 61 .
а ) Запишите в порядке возрастания	числа	.
Число поданных заявлений составило 250 % от	числа	мест .
Вычислите , сложив отдельно положительные и отрицательные	числа	.
Продолжите фрагмент ряда целых чисел влево и вправо , записав ещё по три	числа	.
В противном случае , если одно число положительное , а другое отрицательное , говорят , что это	числа	разных знаков .
Назовите по порядку целые	числа	.
Как иначе называют натуральные	числа	? .
Отрицательные	числа	математики открыли очень давно .
а ) Отношение	числа	красных шариков к числу синих равно .
Приведите пример	числа	, не являющегося целым .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх целых чисел , если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три	числа	отрицательны ? .
Найдите приближённо : а ) Сколько человек из	числа	опрошенных слушают спортивные каналы ? .
Теперь решим задачу на нахождение	числа	по его части , выраженной дробью .
Так , числа 3 , 6 , 9 принадлежат первому из указанных классов ;	числа	4 , 7 , 10 — второму классу ; числа 5 , 8 , 11 — третьему .
Знаю , как найти часть от	числа	, выраженную дробью ; число по его части ; какую часть одно число составляет от другого .
Так ,	числа	3 , 6 , 9 принадлежат первому из указанных классов ; числа 4 , 7 , 10 — второму классу ; числа 5 , 8 , 11 — третьему .
Какие целые	числа	можно подставить вместо буквы а , чтобы получилось верное двойное неравенство .
Запишите все отрицательные целые	числа	, которые : а ) больше – 8 ; б ) больше – 12 , но меньше – 9 .
Сравните	числа	и запишите ответ в виде неравенства .
Знаю , какие	числа	называют целыми .
Если вы хорошо научились складывать целые	числа	, то сумеете вычислять и их разности .
Остаётся сообразить , как перемножить отрицательные	числа	.
Двигаясь по натуральному ряду вправо , мы переходим от меньшего	числа	к большему , а двигаясь влево — от большего числа к меньшему ; поэтому запятые можно заменить на знак « меньше » .
Начертите координатную прямую , отметьте на ней данные числа и числа , им противоположные ; затем запишите все отмеченные	числа	, двигаясь слева направо .
Запишите все двузначные	числа	, которые можно составить , используя только цифры 8 , 6 , 4 и 0 , так , чтобы цифры в числе не повторялись .
Натуральные	числа	, противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом — целые числа .
В натуральном ряду	числа	идут в том порядке , в котором они появляются при счёте .
Сравним	числа	256 и – 104 .
Это определение разности мы распространим и на целые	числа	.
Натуральные числа , противоположные им отрицательные	числа	и число О объединяют одним словом — целые числа .
Чтобы понять , как перемножают целые	числа	, рассмотрим четыре произведения , множители в которых различаются только знаками .
а ) Запишите все двузначные	числа	, которые можно составить , используя только цифры 3 , 5 , 7 и 9 , так , чтобы цифры в числе не повторялись .
Чтобы из одного	числа	вычесть другое , можно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Натуральные	числа	принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
Начертите координатную прямую , отметьте на ней данные числа и	числа	, им противоположные ; затем запишите все отмеченные числа , двигаясь слева направо .
Разбитые лампочки составили 2 % от	числа	всех лампочек .
Выпишите : а ) целые	числа	; б ) отрицательные дробные числа .
Выпишите : а ) целые числа ; б ) отрицательные дробные	числа	.
15 % некоторого	числа	равны 12 .
Натуральные числа , противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом — целые	числа	.
Найдите 5 % , 30 % , 50 % , 100 % этого	числа	.
Отношение	числа	чижей к числу ужей равно 5:4 , а числа ужей к числу ежей равно 2:1 .
4 ) Если произведение чисел а и b положительно , то и сами множители —	числа	положительные .
Отношение	числа	школьников , не умеющих плавать , к общему числу опрошенных школьников равно , то есть не умеющие плавать составляют пятую часть учащихся этой школы , а умеющие плавать .
Частные а : b и читают ещё и так : « отношение	числа	а к числу b » .
Сравним	числа	.
7 Сравните	числа	.
А теперь надо научиться сравнивать любые рациональные	числа	.
Рассмотрим теперь , как сравнивают два отрицательных	числа	.
Сравним , например ,	числа	– 6,5 и – 4 .
Чтобы выяснить , какое из двух отрицательных чисел – 6,5 и – 4 меньше , мы сравнили положительные	числа	6,5 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих точек координатной прямой .
Заметим , что вычислить частное можно иначе : записать его в виде дроби и преобразовать эту дробь так , чтобы в числителе и знаменателе оказались натуральные	числа	.
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое число , до нуля иначе называют модулем этого	числа	.
Какие натуральные	числа	заключены между данными десятичными дробями ?
Модуль	числа	– 6,5 равен 6,5 ; модуль числа – 4 равен 4 .
Модуль числа – 6,5 равен 6,5 ; модуль	числа	– 4 равен 4 .
Если мы переставим	числа	в скобках , то получим другую точку — точку D .
Понятно , что модуль положительного	числа	— это само это число .
Например , модуль	числа	3 равен 3 , так как число 3 удалено от начала отсчёта на 3 единицы .
Получить модуль отрицательного	числа	тоже легко — достаточно просто отбросить знак « минус » .
А модуль	числа	0 равен 0 , так как число 0 находится на « нулевом » расстоянии от самого себя .
На примере	числа	объясните , как обыкновенную дробь записывают в виде десятичной .
Модуль положительного	числа	равен самому числу .
Модуль отрицательного	числа	равен числу , ему противоположному .
Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных натуральных чисел , начиная с	числа	.
Переведите разными способами на математический язык предложение : а ) число а больше	числа	b на 3 ; б ) число х меньше числа у в 6 раз .
Отметьте на ней	числа	.
Сравните с нулём	числа	.
Назовите числа , модуль которых равен 3 , и изобразите эти	числа	на координатной прямой .
Назовите	числа	, модуль которых равен 3 , и изобразите эти числа на координатной прямой .
Чему равен модуль	числа	0 ? .
Для этого преобразуем выражение так , чтобы в числителе и знаменателе были натуральные	числа	.
Какие	числа	отмечены точками на координатной прямой .
Продолжите последовательность десятичных дробей , записав ещё два	числа	, и прочитайте все записанные десятичные дроби .
отрицательного	числа	?
Как найти модуль положительного	числа	?
Покажите с помощью координатной прямой , как сравнить	числа	– 3,5 и – 8 .
Чем дальше от нуля точка , изображающая на координатной прямой некоторое число , тем больше модуль этого	числа	.
Выберите равенства , являющиеся переводом на математический язык предложения « число с на 7 меньше	числа	15 » .
Запишите	числа	в виде десятичных дробей и прочитайте их .
Изобразите схематически на координатной прямой данное число и ближайшие к нему слева и справа целые	числа	, а затем запишите двойное неравенство , например .
На примере	числа	65,249 расскажите , как читают десятичные дроби .
Расскажите , как с помощью координатной прямой можно сравнить два	числа	.
а ) удвоенное данное число ; б ) половину этого числа ; в ) две трети этого	числа	; г ) 10 % этого числа ; д ) число , на 2 большее данного ; е ) число , на 3 меньшее данного .
а ) удвоенное данное число ; б ) половину этого числа ; в ) две трети этого числа ; г ) 10 % этого	числа	; д ) число , на 2 большее данного ; е ) число , на 3 меньшее данного .
Отметьте на координатной прямой	числа	.
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат	числа	b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Среди чисел укажите : а ) равные	числа	; б ) противоположные числа .
Среди чисел укажите : а ) равные числа ; б ) противоположные	числа	.
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб	числа	m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Отметьте на координатной прямой данные	числа	и все целые числа , заключённые между ними .
Отметьте на координатной прямой данные числа и все целые	числа	, заключённые между ними .
При округлении числа 0,597 до сотых получилось 0,597 ≈ 0,6 . 3 ) При округлении	числа	123,756 до десятых получилось 123,756 ≈ 120 .
При округлении	числа	0,597 до сотых получилось 0,597 ≈ 0,6 . 3 ) При округлении числа 123,756 до десятых получилось 123,756 ≈ 120 .
При округлении	числа	8,01253 до тысячных получилось 8,01253 ≈ 8,012 .
А чтобы показать , где целая часть	числа	заканчивается , после неё ставят запятую .
а ) Начертите координатную прямую ( за единичный отрезок примите 2 клетки ) и отметьте на ней точками	числа	.
Отметьте на ней точками	числа	.
На координатной прямой точками отмечены некоторые	числа	.
Отметьте точками противоположные им	числа	.
Любое отрицательное число меньше любого положительного	числа	.
Перемножив	числа	5,6 и 3,8 , получим 21,28 .
Первая из них — приближённое значение	числа	21,28 с недостатком , а вторая — приближённое значение с избытком .
Витя задумал число , нашёл этого	числа	и получил 6 .
Подобно тому как натуральные	числа	округляют до десятков , сотен , тысяч и так далее .
Отрицательные	числа	на координатной прямой изображаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее нуля .
Покажите схематически , как расположены относительно друг друга	числа	4,7 и – 2,5 , и сравните их .
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше	числа	у .
Вы уже умеете сравнивать положительные	числа	, можете сравнить два целых числа .
Модуль	числа	.
Значит , 7,35 — это десятичная запись	числа	7 .
б ) Как с помощью циркуля отметить на прямой противоположные им	числа	– а и – b ? .
Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной прямой отмечены	числа	а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
Покажите примерное расположение каждого	числа	на координатной прямой .
Вы уже умеете сравнивать положительные числа , можете сравнить два целых	числа	.
а ) удвоенное данное число ; б ) половину этого	числа	; в ) две трети этого числа ; г ) 10 % этого числа ; д ) число , на 2 большее данного ; е ) число , на 3 меньшее данного .
Чему равен модуль	числа	.
На координатной прямой изображены	числа	а , b и с В каждом случае сравните с нулём каждое из чисел а , b и с , сравните числа а и с , а и b , b и с .
Дело в том , что ваши знания о числах недостаточны , чтобы вычитать из меньшего	числа	большее .
А как , пользуясь сформулированным правилом , продолжить умножение десятичной дроби 6,735 на следующие степени	числа	10 , то есть на 10 000 , 100 000 и так далее ? .
Десятичные дроби , как и натуральные	числа	, сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными дробями .
Умножение и деление натурального	числа	на 10 , 100 , 1000 и так далее сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества нулей .
Так , для выражения допустимыми являются все	числа	, кроме 0 .
Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные	числа	: ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом .
Вы видите , что такие разные на первый взгляд	числа	можно записать в одном и том же виде .
В выражение , содержащее букву а , последовательно подставили три	числа	.
Это позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять	числа	и объединять их в группы .
Объясните , как складывают отрицательные	числа	, и выполните сложение .
Объясните , как складывают	числа	разных знаков , и выполните сложение .
На координатной прямой отметили	числа	0 , а , b. Сравните .
Модуль положительного числа всегда больше модуля отрицательного	числа	.
Сравните	числа	.
Модуль положительного	числа	всегда больше модуля отрицательного числа .
Расположите в порядке возрастания	числа	.
Расположите в порядке убывания	числа	.
5 Сравните	числа	.
4 Представьте в виде десятичных дробей	числа	, для которых это возможно .
2 Отметьте точками на координатной прямой	числа	.
Необычность и удивительность этого	числа	состоит в том , что среди известных вам чисел — целых и дробных — его нет .
Подставьте в выражение указанные	числа	и выполните вычисления .
Как и натуральные	числа	, их можно сложить столбиком , подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом .
А в выражение вы пока не можете подставлять	числа	, меньшие 10 .
Запишите в виде двойного неравенства оценку	числа	π , которую дал Архимед .
Объясните , как умножают	числа	одинаковых знаков и разных знаков , и выполните умножение .
Запишите три следующих	числа	и найдите сумму всех шести записанных чисел .
Расположите	числа	в порядке возрастания .
Модуль рационального	числа	всегда положителен .
Найдите закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два	числа	; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
Модуль отрицательного	числа	есть число , ему противоположное .
Объясните , как делят	числа	одинаковых знаков и разных знаков , и выполните деление .
В частности , знаменателем может быть любая степень	числа	10 .
Представьте в виде натурального	числа	.
Отметьте на этой прямой	числа	: 0,5 ; 0,75 ; 1,5 ; 1,25 ; 0,125 .
На координатной прямой изображены числа а , b и с В каждом случае сравните с нулём каждое из чисел а , b и с , сравните	числа	а и с , а и b , b и с .
На координатной прямой точками отмечены	числа	а , b и с. Какое из следующих утверждений об этих числах верно ? .
Найдите какие - нибудь три	числа	, которые : а ) больше , но меньше ; б ) меньше , но больше .
Изображены	числа	а и b , о которых известно , что .
а )	числа	а и b — отрицательные . б ) числа а и b -отрицательные .
а ) числа а и b — отрицательные . б )	числа	а и b -отрицательные .
Переведите разными способами на математический язык предложение : а ) число а больше числа b на 3 ; б ) число х меньше	числа	у в 6 раз .
На сколько процентов число первоклассников больше	числа	десятиклассников ? .
а ) Для любого	числа	а выполняется равенство .
Запишите все десятичные дроби , которые можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , соблюдая следующее условие : цифра используется в записи	числа	не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
для любого	числа	а выполняется условие .
Теперь эти правила можно сформулировать более точно , используя понятие модуля	числа	.
Разберите , как выполнено умножение	числа	48 на 0,5 и на 0,25 .
Но если мы хотим найти наименьший общий знаменатель , то будем действовать с помощью известного вам приёма : будем последовательно перебирать	числа	, кратные 12 — большему знаменателю , и проверять , делятся ли они на 9 .
Чтобы вычесть из одного	числа	другое , нужно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
десятичной дроби и натурального	числа	? .
На какие бы целые	числа	ни домножали знаменатель , « мешающий » множитель 3 всегда будет присутствовать , поэтому произведения только из двоек и пятёрок никогда не получится .
Продолжите последовательность чисел 1100 , 110 , 11 записав ещё три	числа	.
Будем подставлять вместо буквы х какие - нибудь	числа	и каждый раз вычислять значение получившегося числового выражения .
Например , и 0,3 — два разных способа записи одного и того же	числа	.
Разложите на простые множители	числа	: 10 , 100 , 1000 , 10 000 .
Сформулируйте правило вычитания одного	числа	из другого и проиллюстрируйте его на примере .
А в первых русских учебниках математики дроби так и назывались — « ломаные	числа	» .
Перемножим	числа	3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными дробями .
Фактически нам пришлось перемножать натуральные	числа	376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных дробей убрать запятые .
Чтобы найти произведение двух десятичных дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные	числа	.
При умножении десятичных дробей в столбик их записывают одну под другой как натуральные	числа	, не обращая внимания на запятые .
Перемножив	числа	215 и 33 , мы получили в произведении число 7095 .
На координатной прямой отмечены	числа	0 , а , b , с. Сравните .
Во сколько раз число первоклассников больше	числа	десятиклассников ?
Объясните на примерах , как складывают	числа	одного знака и разных знаков .
Изобразите на координатной прямой	числа	: 5 ; – 5 ; 2,5 ; – 2,5 .
Математики древности называли отрицательные числа словами , означавшими « долг » , « недостаток » , в отличие от « имущества » — положительного	числа	.
Если бы мы скобки опустили , то получили бы выражение , которое имеет другой смысл : это сумма	числа	а и произведения чисел b и с .
; 4 ) все четыре	числа	отрицательны ? .
Однако в жизни вам уже наверняка встречались и другие	числа	— отрицательные .
Умею сравнивать рациональные	числа	.
В дальнейшем нам будут встречаться дроби , числители и знаменатели которых — любые выражения , а не только натуральные	числа	.
Выписывают подряд все натуральные	числа	от 1 до 100 .
а ) Чтобы найти половину некоторого	числа	, нужно это число разделить на или умножить на .
Расскажите , как найти : а ) от числа 600 ; б ) число , – 4 которого составляют 18 ; в ) какую часть число 36 составляет от	числа	80 .
Глава 11 Рациональные	числа	.
Какие	числа	соответствуют каждой из этих областей ?
Вы знаете , как отмечают на координатной прямой целые	числа	.
И чтобы понять , по каким правилам складывают целые	числа	, мы тоже рассмотрим « денежные » примеры — с доходами и расходами .
Даны	числа	.
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни необходимы не только целые	числа	, но и дробные , в том числе отрицательные дроби .
Расскажите , как найти : а ) от	числа	600 ; б ) число , – 4 которого составляют 18 ; в ) какую часть число 36 составляет от числа 80 .
Знаю , что означает термин « модуль	числа	» ; умею определять модуль числа .
А для противопоставления привычные , « хорошие »	числа	назвали « разумными » , рациональными .
В этой главе будут рассмотрены отрицательные дробные	числа	, и вы сможете оперировать как с целыми , так и с дробными положительными и отрицательными числами .
111 Какие	числа	называют рациональными .
Эти новые	числа	назвали иррациональными , то есть « неразумными » , непонятными ( вы узнаете об этих числах в старших классах ) .
Глава 9 Целые	числа	.
Найдите эти	числа	.
Умею выполнять вычисления с рациональными числами , находить значения буквенных выражений , подставляя вместо букв заданные	числа	.
Дробные	числа	, с которыми мы до сих пор имели дело , будем теперь называть положительными и наряду с ними рассматривать отрицательные дробные числа .
Например . Целые и дробные	числа	вместе составляют множество рациональных чисел .
Два	числа	в сумме составляют 59 .
Дробные числа , с которыми мы до сих пор имели дело , будем теперь называть положительными и наряду с ними рассматривать отрицательные дробные	числа	.
Такие дробные	числа	, как , естественно , называют противоположными числами .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение четырёх отличных от нуля чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 ) отрицательны два числа ; 3 ) три	числа	отрицательны , а одно положительно
Положительные дробные	числа	, как и положительные целые , можно записывать со знаком « плюс » .
Чтобы отметить , например ,	числа	1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от нуля отрезки , длины которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение четырёх отличных от нуля чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 ) отрицательны два	числа	; 3 ) три числа отрицательны , а одно положительно
Будем последовательно вписывать в эти области соответствующие	числа	.
Поэтому мы обозначаем	числа	буквами а и b и пишем .
Противоположные	числа	изображаются точками координатной прямой , находящимися на одинаковом расстоянии от точки О ( 0 ) .
а ) произведение	числа	7 и суммы чисел а и b . б ) сумму числа 10 и произведения чисел х и у .
5 Отметьте на координатной прямой	числа	.
в ) Чтобы найти десятую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на . г ) Чтобы найти сотую часть некоторого	числа	, нужно это число разделить на или умножить на .
Знаю , что означает термин « модуль числа » ; умею определять модуль	числа	.
7 Чему равен модуль	числа	.
Эту же задачу можно решить вторым способом — по правилу нахождения	числа	по его части .
Это обусловлено тем , что для записи каждой дроби используют два натуральных	числа	.
в ) Чтобы найти десятую часть некоторого	числа	, нужно это число разделить на или умножить на . г ) Чтобы найти сотую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
а ) Два	числа	в сумме составляют 110 .
а ) произведение числа 7 и суммы чисел а и b . б ) сумму	числа	10 и произведения чисел х и у .
Это дроби , у которых знаменателем служит степень	числа	10 .
Отметим на координатной прямой , например ,	числа	3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные	числа	, на правом луче положительные , на левом — отрицательные .
б ) Чтобы найти четверть некоторого	числа	, нужно это число разделить на или умножить на .
8 Отметьте на координатной прямой	числа	, модуль которых равен 4 .
Пусть известно , что 32 000 человек из города Синегорска присоединились к движению Гринпис и что это составляет от	числа	его жителей .
в ) разность	числа	с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение числа а и разности чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
Умею вычислять значения выражений , содержащих дробные	числа	, в том числе в ходе решения задач .
Умею находить число , противоположное данному , применять знак « минус » для обозначения противоположного	числа	.
Чтобы найти часть от	числа	, выраженную дробью , нужно это число умножить на данную дробь .
Почему среди кодов рукопожатий нет , например , такого	числа	, как 33 ?
Найти от 80 000 можно по - разному : опираясь на смысл понятия дроби и по правилу нахождения части от	числа	.
А чтобы отметить на прямой	числа	– 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4 единицы влево от нуля .
в ) разность числа с и произведения чисел 4 и d . г ) удвоенное произведение чисел а и b . д ) произведение	числа	а и разности чисел b и с . е ) произведение разности чисел х и у и их суммы .
Значение дроби при этом не изменится , а в числителе и знаменателе окажутся целые	числа	.
Отрицательные дробные	числа	, как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительным числам знака « минус » .
Умею отмечать на координатной прямой точки , соответствующие заданным	числам	, определять координаты отмеченных точек .
Число 0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к положительным , ни к отрицательным	числам	, а как бы разделяет их .
Как расположены на координатной прямой точки , соответствующие противоположным	числам	? .
Отрицательные дробные числа , как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительным	числам	знака « минус » .
Например ,	числам	3,5 и – 3,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 3,5 единицы .
Оно относится к	числам	новой природы , с которыми вы познакомитесь в старших классах .
Например ,	числам	3 и – 3 соответствуют точки , расположенные справа и слева от нуля на одном и том же расстоянии , равном трём единицам .
На координатной прямой отмечены точки , соответствующие	числам	.
Итак , при сложении целых чисел мы в действительности работаем только с соответствующими натуральными	числами	.
Умею выполнять вычисления с рациональными	числами	, находить значения буквенных выражений , подставляя вместо букв заданные числа .
Вы уже неоднократно встречались с дробями и могли убедиться , что выполнять действия с ними труднее , чем с натуральными	числами	.
Буквенное выражение можно превратить в числовое , если все содержащиеся в нём буквы заменить	числами	.
В этой главе вы познакомитесь с так называемыми целыми отрицательными	числами	и научитесь оперировать ими .
Рассматривая правила действий с целыми	числами	, мы опирались на жизненный опыт — примеры ситуаций с доходами и расходами , с выигрышными и проигрышными очками .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с целыми	числами	— умножение и деление .
Буквы , входящие в состав буквенного выражения , не всегда можно заменять какими угодно	числами	.
Между какими последовательными целыми	числами	оно заключено ?
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с натуральными	числами	, — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Между целыми	числами	на координатной прямой расположены дробные числа , на правом луче положительные , на левом — отрицательные .
Перед положительными	числами	, для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от отрицательных , иногда ставится знак « плюс » .
Натуральные числа принято называть также положительными целыми	числами	, то есть слова « натуральное число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
Данные равенства выражают некоторые свойства действий над	числами	.
До сих пор на уроках математики вы имели дело с	числами	натуральными и дробными .
Чтобы оперировать целыми	числами	, надо прежде всего научиться их сравнивать .
Наряду с натуральными	числами	мы будем рассматривать отрицательные числа , которые получаются , если к каждому натуральному числу приписать знак « минус » .
Замените каждое из отношений равным , записанным меньшими	числами	.
Но есть дроби , действовать с которыми почти так же просто , как и с натуральными	числами	.
Если все содержащиеся в выражении буквы заменить	числами	, то получится числовое выражение .
На координатной прямой точками отмечены числа а , b и с. Какое из следующих утверждений об этих	числах	верно ? .
О целых	числах	а и b известно , что a меньше b.
О противоположных	числах	говорят , что они различаются только знаками .
Поэтому о двух целых	числах	можно сказать , что это числа одного знака , если они оба положительны или оба отрицательны .
Дело в том , что ваши знания о	числах	недостаточны , чтобы вычитать из меньшего числа большее .
Эти новые числа назвали иррациональными , то есть « неразумными » , непонятными ( вы узнаете об этих	числах	в старших классах ) .
Какой вывод можно сделать о	числе	b в каждом из этих случаев ? .
Данные о	числе	автомобилей каждой марки , проданных за три месяца .
С помощью перебора мы выяснили , что у такого множества имеется 16 подмножеств ( в том	числе	пустое множество и само рассматриваемое множество ) .
а ) Запишите все двузначные числа , которые можно составить , используя только цифры 3 , 5 , 7 и 9 , так , чтобы цифры в	числе	не повторялись .
В	числе	6,012345 последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо , пока после запятой не окажется только одна цифра .
а ) В	числе	154038 сначала отделите запятой одну цифру справа , а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево , пока перед запятой не останется только одна цифра .
Умею вычислять значения выражений , содержащих дробные числа , в том	числе	в ходе решения задач .
Запишите все двузначные числа , которые можно составить , используя только цифры 8 , 6 , 4 и 0 , так , чтобы цифры в	числе	не повторялись .
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни необходимы не только целые числа , но и дробные , в том	числе	отрицательные дроби .
Чтобы найти сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму или разность их	числителей	, а знаменатель оставить прежним .
В привычном для нас виде дроби впервые стали записываться в Древней Индии около 1500 лет назад , но при этом индусы обходились без черты между	числителем	и знаменателем .
Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их	числители	и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
В дальнейшем нам будут встречаться дроби ,	числители	и знаменатели которых — любые выражения , а не только натуральные числа .
Вы знаете , что частное двух натуральных чисел равно дроби ,	числитель	которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Пользуясь рассмотренным свойством , любое рациональное число мы можем записать в виде дроби ,	числитель	которой — целое число , знаменатель — натуральное .
Сначала мы разделили	числитель	и знаменатель на 2 .
Если	числитель	и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Назовите	числитель	и знаменатель каждой дроби и расскажите , что они показывают .
Вы видите , что при записи отрицательных дробей « минус » можно ставить перед дробью , вносить его в	числитель	или убирать в знаменатель .
Умножим	числитель	и знаменатель дроби на 30 .
Понятно , что можно было выполнить цепочку сокращений иначе : например , сразу заметить , что	числитель	и знаменатель делятся на 9 .
Знаменатель ( число , записанное под чертой ) показывает , на сколько равных долей делили целое ;	числитель	( число , записанное над чертой ) показывает , сколько таких долей взято .
Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции , только греки знаменатель записывали сверху , а	числитель	— снизу .
Теперь умножим	числитель	и знаменатель дроби на 12 .
2 ) разделив уголком	числитель	дроби на знаменатель .
И наконец , разделили	числитель	и знаменатель на 3 .
Будем делить уголком	числитель	дроби на её знаменатель и оборвём деление в тот момент , когда получим третий знак после запятой .
Поэтому уравняем число цифр в числителе и число нулей в знаменателе , приписав к	числителю	слева вспомогательные нули .
Запись дробей с помощью	числителя	и знаменателя появилась в Древней Греции , только греки знаменатель записывали сверху , а числитель — снизу .
Или умножить это	число	на 10 ; получится .
Приведём примеры математических предложений : 2 ) 87 делится на 9 ; 3 ) а — чётное	число	.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля	число	, то получится дробь , равная данной .
В расчётах	число	π заменяют его приближённым значением .
в ) Чтобы найти десятую часть некоторого числа , нужно это	число	разделить на или умножить на . г ) Чтобы найти сотую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на .
Повторяя эксперимент с другими круглыми предметами , вы всё время будете получать	число	, близкое к числу 3 .
б ) Чтобы найти четверть некоторого числа , нужно это	число	разделить на или умножить на .
Архимед установил , что	число	π заключено в пределах .
Но	число	, противоположное – 15 , — это 15 , то есть — ( -15 ) равно 15 .
Когда , например , говорят : « Возьмём	число	а » , то это означает , что некоторому числу — неважно , какому именно , — дали имя а и дальше с ним можно обращаться так , как будто оно вполне определённое .
Можно сказать также , что число – 15 противоположно числу 15 , а	число	15 противоположно числу – 15 .
10 Проверьте , является ли корнем уравнения	число	0,4 .
Чтобы узнать , какую часть меньшее число составляет от большего , надо первое	число	разделить на второе .
Можно сказать также , что	число	– 15 противоположно числу 15 , а число 15 противоположно числу – 15 .
С помощью знака « минус » , как вы видели , записывается	число	, противоположное натуральному .
Натуральное число и отрицательное	число	, полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
Знаю , как найти часть от числа , выраженную дробью ; число по его части ; какую часть одно	число	составляет от другого .
Чтобы узнать , какую часть меньшее	число	составляет от большего , надо первое число разделить на второе .
Натуральное	число	и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
Знаю , как найти часть от числа , выраженную дробью ;	число	по его части ; какую часть одно число составляет от другого .
Знаменатель (	число	, записанное под чертой ) показывает , на сколько равных долей делили целое ; числитель ( число , записанное над чертой ) показывает , сколько таких долей взято .
Расскажите , как найти : а ) от числа 600 ; б )	число	, – 4 которого составляют 18 ; в ) какую часть число 36 составляет от числа 80 .
Расскажите , как найти : а ) от числа 600 ; б ) число , – 4 которого составляют 18 ; в ) какую часть	число	36 составляет от числа 80 .
Знаменатель ( число , записанное под чертой ) показывает , на сколько равных долей делили целое ; числитель (	число	, записанное над чертой ) показывает , сколько таких долей взято .
Используемые единицы измерения часто не укладывались в измеряемой величине целое	число	раз .
Например ,	число	, противоположное – 15 , записывается так : — ( -15 ) .
а ) Чтобы найти половину некоторого числа , нужно это	число	разделить на или умножить на .
Она тоже содержит	число	π .
Расскажите , как найти , какую часть одно	число	составляет от другого , и решите задачу а ) Какую часть часа составляют ?
Например , в выражение нельзя подставить	число	0 .
Существует и формула площади круга : где S — площадь круга , r — радиус круга В эту формулу также входит	число	π .
Вообще	число	, противоположное числу а , обозначают -а .
Так , если нужно умножить сумму чисел а и b на	число	с , то эту сумму заключают в скобки .
Замену буквы числом называют числовой подстановкой , а	число	, которое подставляют вместо буквы , — значением буквы .
Обратите внимание : для того чтобы записать	число	, противоположное отрицательному , мы заключаем это отрицательное число в скобки .
Например , +5 — это то же самое	число	, что и 5 , то есть +5 равно 5 .
Чтобы найти	число	по его части , нужно эту часть разделить на дробь , ей соответствующую .
Какое	число	задумала Маша ? .
а ) Маша задумала	число	, умножила его на 15 и результат вычла из 80 .
К концу учебного года в связи с увеличением числа жителей района	число	учащихся увеличилось на 40 % .
Какое	число	надо записать в скобках , чтобы получилось верное равенство .
Запишите	число	, противоположное данному .
б ) Чтобы увеличить	число	покупателей , магазин первые 10 дней после поступления товара продаёт его на 20 % дешевле .
Саша задумал	число	, прибавил к нему 15 и результат умножил на 10 .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает	число	0 , а другая — число 1 Точка с координатой 0 делит прямую на два луча .
Среди данных чисел найдите положительные и отрицательные , затем для каждого числа назовите	число	, ему противоположное .
Подставьте вместо буквы в каждое из предложений « а » – « д » такое	число	, чтобы получилось истинное высказывание ; ложное высказывание .
Витя задумал	число	, нашёл этого числа и получил 6 .
Коля задумал	число	, умножил его на 2,5 и получил 10 .
Значит , в этом году	число	участников марафона увеличилось на 40 человек , и всего их стало .
Для этого составьте по условию задачи уравнение и решите его : а ) Федя задумал	число	, вычел из него 10 и получил 15,6 .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает число 0 , а другая —	число	1 Точка с координатой 0 делит прямую на два луча .
Вставьте в каждое предложение нужное слово : если а – положительное	число	, то – а число ; если а – отрицательное число , то – а .
Какое	число	задумал Саша ? .
Для этого задумайте какое - нибудь	число	, умножьте его на 5 , к результату прибавьте 100 .
а ) удвоенное данное число ; б ) половину этого числа ; в ) две трети этого числа ; г ) 10 % этого числа ; д )	число	, на 2 большее данного ; е ) число , на 3 меньшее данного .
а ) удвоенное данное число ; б ) половину этого числа ; в ) две трети этого числа ; г ) 10 % этого числа ; д ) число , на 2 большее данного ; е )	число	, на 3 меньшее данного .
Запишите на математическом языке предложение : а )	число	к больше 5 ; б ) число а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Запишите на математическом языке предложение : а ) число к больше 5 ; б )	число	а больше 0 и меньше 1 ; в ) квадрат числа b больше 100 ; г ) куб числа m меньше 1 ; д ) сумма чисел х и 15 равна 31 ; е ) произведение чисел а и b равно 8 ; ж ) разность чисел b и с больше 3 ; з ) произведение чисел 5 и х меньше числа у .
Найдите задуманное	число	.
а ) удвоенное данное	число	; б ) половину этого числа ; в ) две трети этого числа ; г ) 10 % этого числа ; д ) число , на 2 большее данного ; е ) число , на 3 меньшее данного .
Ученик задумал	число	, умножил его на 4 , к результату прибавил 16 , эту сумму разделил на 2 и получил 23 .
Запишите	число	, равное данному : 10 знаков 15 знаков .
	Число	.
Вставьте в каждое предложение нужное слово : если а – положительное число , то – а число ; если а – отрицательное	число	, то – а .
В натуральном ряду есть начало —	число	1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до бесконечности .
Вставьте в каждое предложение нужное слово : если а – положительное число , то – а	число	; если а – отрицательное число , то – а .
Решите задачу , составив уравнение : а ) Ученик задумал	число	, прибавил к нему 7 , эту сумму умножил на 3 , из результата вычел 15 и получил 30 .
Она должна начинаться так : « Я задумал	число	, умножил его на » .
Какое	число	вы получили ?
Верно ли утверждение : « Всякое целое	число	является либо положительным , либо отрицательным » ? .
В этом году	число	участников марафона увеличилось на 20 % .
Существует ли : 1 ) наибольшее натуральное	число	?
Положительное число 256 на координатной прямой расположено справа от 0 , а отрицательное	число	– 104 — слева от 0 .
Значит ,	число	256 расположено правее числа – 104 .
Мы записали равенство , которое содержит неизвестное	число	, обозначенное буквой .
Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное целое	число	» означают одно и то же .
Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное	число	» и « положительное целое число » означают одно и то же .
Разделить некоторое	число	на 2 — это всё равно что умножить его на .
Чтобы подсчитать их	число	, необходимо знать , сколько жителей в Синегорске , и уметь найти от этого количества .
Переведите разными способами на математический язык предложение : а ) число а больше числа b на 3 ; б )	число	х меньше числа у в 6 раз .
На сколько процентов	число	первоклассников больше числа десятиклассников ? .
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это	число	умножить на данную дробь .
Натуральные числа , противоположные им отрицательные числа и	число	О объединяют одним словом — целые числа .
Вы знаете , что в качестве общего знаменателя дробей можно взять произведение знаменателей 12 и 9 , то есть	число	108 .
Между какими двумя последовательными целыми числами находится данное	число	?
Во сколько раз	число	первоклассников больше числа десятиклассников ?
Обратите внимание : для того чтобы записать число , противоположное отрицательному , мы заключаем это отрицательное	число	в скобки .
Положительное	число	256 на координатной прямой расположено справа от 0 , а отрицательное число – 104 — слева от 0 .
Однако эту дробь нельзя привести , например , к знаменателю 10 , так как	число	10 на 3 не делится .
Пусть дано некоторое	число	.
Во сколько раз число мальчиков больше , чем	число	девочек ?
наименьшее натуральное	число	?
наибольшее целое	число	?
наименьшее целое	число	?
Пусть в многограннике В —	число	вершин , Р — число рёбер и Г — число граней .
Пусть в многограннике В — число вершин , Р —	число	рёбер и Г — число граней .
Корень уравнения — это	число	, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство .
наибольшее целое отрицательное	число	?
Пусть в многограннике В — число вершин , Р — число рёбер и Г —	число	граней .
наименьшее целое отрицательное	число	? .
Иногда нужное	число	процентов от величины можно найти ещё проще .
Выберите равенства , являющиеся переводом на математический язык предложения «	число	с на 7 меньше числа 15 » .
Переведите разными способами на математический язык предложение : а )	число	а больше числа b на 3 ; б ) число х меньше числа у в 6 раз .
Чтобы ответить на вопрос задачи , нужно найти это неизвестное	число	, или , как говорят , нужно решить уравнение .
Во сколько раз	число	мальчиков больше , чем число девочек ?
Убедитесь , что для всех многогранников в таблице это	число	равно 2 .
В противном случае , если одно	число	положительное , а другое отрицательное , говорят , что это числа разных знаков .
в ) Чтобы найти десятую часть некоторого числа , нужно это число разделить на или умножить на . г ) Чтобы найти сотую часть некоторого числа , нужно это	число	разделить на или умножить на .
В школе решили , что будет справедливо разделить билеты в том же отношении , в котором находится число пятиклассников и	число	шестиклассников , то есть в отношении 72 к 48 .
Уравняем	число	разрядов , приписав ко второй дроби цифру 0 .
Но не всегда	число	, выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде десятичной дроби .
Если	число	выражено десятичной дробью , то его можно представить и в виде обыкновенной дроби ( или смешанной дроби ) .
Какому классу принадлежит	число	100 , 50 , 43 , 17 ?
Во сколько раз увеличивается	число	сторон снежинки Коха на каждом шаге построения ?
Значки и марки собирают 16 человек ( впишем	число	16 в пересечение кругов З и М ) .
Впишем	число	7 в свободную часть круга 3 .
Занесём	число	19 в схему .
Представьте	число	– 60 в виде произведения : а ) трёх множителей ; б ) четырёх множителей .
В дальнейшем вы узнаете формулу , с помощью которой можно путём простых вычислений получать ответ на вопрос о том , сколькими способами можно упорядочить множество , содержащее любое конечное	число	элементов .
Например , двузначное	число	47 — это рукопожатие между приятелями с номерами 4 и 7 .
Как обозначить противоположное ему	число	?
3 Пусть дано некоторое	число	а .
2 Назовите	число	, противоположное числу .
Подсчитаем	число	кодов .
Умею находить	число	, противоположное данному , применять знак « минус » для обозначения противоположного числа .
Подсчитаем общее	число	вариантов .
в ) всякое целое число является натуральным ; г ) всякое натуральное	число	является целым ? .
А вообще в математике есть формула , позволяющая определять	число	подмножеств любого конечного множества по числу его элементов .
в ) всякое целое	число	является натуральным ; г ) всякое натуральное число является целым ? .
Если вы аккуратно выполните эту работу , то получите	число	, близкое k .
1 Верно ли утверждение : а ) всякое натуральное число является рациональным ; б ) всякое рациональное	число	является целым .
Достаточно подсчитать	число	способов , которыми один курьер может выбрать два филиала из четырёх .
Представьте	число	120 в виде произведения нескольких множителей , среди которых есть отрицательные .
1 Верно ли утверждение : а ) всякое натуральное	число	является рациональным ; б ) всякое рациональное число является целым .
Однако не всякое дробное	число	можно записать и в виде десятичной , и в виде обыкновенной дроби .
Представьте данное	число	в виде произведения двух десятичных дробей ( укажите два решения ) .
а ) Подсчитайте общее	число	автомобилей каждой марки , проданных за три месяца , и заполните таблицу .
При разложении каждого из этих чисел на простые множители получается одинаковое	число	двоек и пятёрок .
Или если популярность политического деятеля упала на 8,3 % , то в соответствующей таблице в графе « Рост популярности » поставят	число	– 8,3 % , означающее отрицательный рост .
На какое число нужно умножить или разделить	число	25,6 , чтобы в результате получилось .
Разложив на простые множители знаменатель этой дроби , получим произведение , содержащее	число	3 .
Отношение двух чисел показывает , во сколько раз одно число больше другого , или какую часть одно	число	составляет от другого .
Отношение двух чисел показывает , во сколько раз одно	число	больше другого , или какую часть одно число составляет от другого .
Если же раньше в конкурсе участвовало 1000 человек , то	число	участников увеличилось всего в раза .
В этом году	число	участников конкурса по сравнению с предыдущим годом увеличилось на 50 человек .
В первом случае получают ответ на вопрос , на сколько одно	число	больше ( или меньше ) другого , во втором — во сколько раз одно из них больше ( или меньше ) другого , или какую часть одно из них составляет от другого .
Любое натуральное	число	принадлежит одному из этих подмножеств множества Ν , и общих элементов они не имеют .
Дробь — в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби	число	0,6 : Так как .
В каждом случае определите , что больше — само	число	или его приближённое значение .
При умножении на – 1	число	заменяется на противоположное .
Вообще любое рациональное число можно представить в виде , где m — целое	число	, n — натуральное .
Умножив	число	235 на 120 , мы получили в произведении 28 200 .
Вообще любое рациональное	число	можно представить в виде , где m — целое число , n — натуральное .
Пользуясь рассмотренным свойством , любое рациональное число мы можем записать в виде дроби , числитель которой — целое	число	, знаменатель — натуральное .
Точка , изображающая на координатной прямой	число	2,7 , расположена левее .
Пользуясь рассмотренным свойством , любое рациональное	число	мы можем записать в виде дроби , числитель которой — целое число , знаменатель — натуральное .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили	число	без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
а ) натуральное	число	; б ) десятичная дробь ? .
Вспомните : к десятичной дроби справа можно приписывать любое	число	нулей , при этом получается дробь , равная данной .
Возьмём , например ,	число	851,3 .
Поэтому любое натуральное	число	можно записать в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
Вы знаете также , что любое натуральное	число	можно представить в виде обыкновенной дроби , причём с каким угодно знаменателем .
Например , десятичные дроби 0,3 и 0,30 обозначают одно и то же	число	.
Принадлежит ли этому множеству	число	9 ?
	Число	10 ?
	Число	15 ?
Вы знаете , что одно и то же	число	может быть представлено в виде обыкновенной дроби разными способами .
На какое	число	нужно умножить или разделить число 25,6 , чтобы в результате получилось .
Если домножить его на три пятёрки , то получится один из знаменателей указанного ряда —	число	1000 .
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое натуральное	число	либо чётное , либо нечётное .
Если перед некоторым числом , положительным или отрицательным , поставить знак « плюс » , то получится то же самое	число	; если же поставить знак « минус » , то получится противоположное число .
Существуют разные версии происхождения термина « рациональное	число	» .
Какое	число	больше : положительное или нуль ?
Запишите цифрами	число	: 2,5 тыс. ; 1,3 млн ; 0,7 млрд .
Расстояние от точки координатной прямой , изображающей некоторое	число	, до нуля иначе называют модулем этого числа .
Вы видите , что при делении всё время повторяется один и тот же остаток —	число	2 .
Поэтому уравняем	число	цифр в числителе и число нулей в знаменателе , приписав к числителю слева вспомогательные нули .
Поэтому уравняем число цифр в числителе и	число	нулей в знаменателе , приписав к числителю слева вспомогательные нули .
Перемножив числа 215 и 33 , мы получили в произведении	число	7095 .
Понятно , что модуль положительного числа — это само это	число	.
Например , модуль числа 3 равен 3 , так как	число	3 удалено от начала отсчёта на 3 единицы .
А модуль числа 0 равен 0 , так как	число	0 находится на « нулевом » расстоянии от самого себя .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное	число	.
Если а — некоторое	число	, то его модуль обозначают символом .
Чем дальше от нуля точка , изображающая на координатной прямой некоторое	число	, тем больше модуль этого числа .
Деление на десятичную дробь легко свести к делению на натуральное	число	.
На примере вычисления частного чисел 11,9 и 5 расскажите , как можно разделить уголком десятичную дробь на натуральное	число	.
Между какими соседними целыми числами заключено	число	?
Изобразите схематически на координатной прямой данное	число	и ближайшие к нему слева и справа целые числа , а затем запишите двойное неравенство , например .
Деление десятичной дроби на натуральное	число	выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
в )	число	а — отрицательное , число b — положительное . г ) число а — отрицательное , число b — положительное .
в ) число а — отрицательное ,	число	b — положительное . г ) число а — отрицательное , число b — положительное .
в ) число а — отрицательное , число b — положительное . г )	число	а — отрицательное , число b — положительное .
Рассмотрим сначала случай деления десятичной дроби на натуральное	число	.
в ) число а — отрицательное , число b — положительное . г ) число а — отрицательное ,	число	b — положительное .
Найдите	число	, куб которого равен .
Найдите	число	, квадрат которого равен .
Дробь нельзя обратить в десятичную , поэтому	число	0,27 запишем в виде обыкновенной дроби .
Чтобы вычесть из одного числа другое , нужно к уменьшаемому прибавить	число	, противоположное вычитаемому .
Любое отрицательное	число	меньше любого положительного числа .
Если перед некоторым числом , положительным или отрицательным , поставить знак « плюс » , то получится то же самое число ; если же поставить знак « минус » , то получится противоположное	число	.
Любое положительное	число	больше нуля .
Если справа от разряда , до которого округляют	число	, стоит цифра 5 или цифра , большая 5 , то к цифре этого разряда прибавляют 1 , в противном случае эту цифру оставляют без изменения .
13 Округлите	число	1,69457 до десятых , до сотых , до тысячных .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную дробь ; на натуральное	число	.
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую	число	3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Таким же образом изображается на координатной прямой любое положительное или отрицательное	число	.
Чтобы , например , отметить	число	– 5,2 , надо отложить влево от нуля отрезок , равный 5,2 единицы , получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
При делении на дробь в частном получается	число	, меньшее делимого .
В её основе	число	10 : единица каждого разряда в 10 раз больше единицы предыдущего разряда .
Образец , а ) Число 2 принадлежит множеству натуральных чисел , или , иначе ,	число	2 — натуральное .
Запишите на символическом языке следующие утверждения : а )	число	18 — натуральное ; б ) число – 26 — рациональное ; в ) число 2,7 не является целым ; г ) число – 1,5 не является натуральным .
Запишите на символическом языке следующие утверждения : а ) число 18 — натуральное ; б )	число	– 26 — рациональное ; в ) число 2,7 не является целым ; г ) число – 1,5 не является натуральным .
Запишите на символическом языке следующие утверждения : а ) число 18 — натуральное ; б ) число – 26 — рациональное ; в )	число	2,7 не является целым ; г ) число – 1,5 не является натуральным .
Запишите на символическом языке следующие утверждения : а ) число 18 — натуральное ; б ) число – 26 — рациональное ; в ) число 2,7 не является целым ; г )	число	– 1,5 не является натуральным .
Округлите	число	1,6666 до тысячных , до сотых , до десятых .
Каким из числовых множеств — N , Z , Q — принадлежит	число	? .
Назовите	число	, противоположное данному .
Какое	число	в 10 раз меньше , чем 1 ?
( Полученное	число	округлите до единиц ) .
натуральное	число	2 820 954 до десятков , до сотен , до тысяч .
Округлите это	число	до тысячных ; до сотых ; до десятых .
а ) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского веса — унциями : 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это	число	до десятых ; до единиц .
Назовите целое	число	, являющееся его приближённым значением с недостатком ; приближённым значением с избытком .
Но его можно прочитать и по - другому : всякое натуральное	число	является целым .
Приведите пример , когда в результате округления десятичной дроби получается целое	число	.
До какого разряда округляли десятичную дробь , если в результате получилось	число	: а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Найдите неизвестное	число	х , если .
Будем рассуждать так :	число	, противоположное числу х , равно 2,4 , значит , х равно – 2,4 .
все цифры , расположенные правее разряда , до которого округляют	число	, отбрасывают .
Любое отрицательное	число	меньше нуля .
Какое наибольшее	число	таких точек могло получиться ? .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное	число	: в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же	число	, не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
Выражение , где n — натуральное	число	, большее 1 , означает произведение .
Если числа а и b имеют разные знаки , то их произведение —	число	отрицательное .
Сколькими способами можно представить данное	число	в виде произведения двух целых чисел .
Верно ли , что любое целое	число	либо положительно , либо отрицательно ? .
Умею называть	число	, противоположное данному целому числу ; знаю свойство суммы противоположных чисел .
Назовите	число	, противоположное числу .
Между какими ближайшими целыми числами находится	число	: а ) – 99 ; б ) – 1 ?
Что можно сказать о знаке суммы двух чисел , если известно , что : а ) оба числа отрицательные ; б ) одно	число	отрицательное , а другое положительное ? .
Сравните получившееся	число	с исходным .
Найдите неизвестное	число	.
Тогда предложения «	число	13 — простое » и « число 15 не является простым » на символическом языке можно записать так .
Тогда предложения « число 13 — простое » и «	число	15 не является простым » на символическом языке можно записать так .
Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх целых чисел , если : а ) одно	число	отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
Запишите на символическом языке утверждение : а )	число	25 — натуральное ; в ) число 10 — целое ; б ) число 0 не является натуральным ; г ) число — не целое .
Запишите на символическом языке утверждение : а ) число 25 — натуральное ; в ) число 10 — целое ; б )	число	0 не является натуральным ; г ) число — не целое .
Запишите на символическом языке утверждение : а ) число 25 — натуральное ; в ) число 10 — целое ; б ) число 0 не является натуральным ; г )	число	— не целое .
Так , множество жителей планеты Земля конечно ( хотя их	число	очень велико — порядка 6 млрд ) , а множество точек окружности ( даже небольшого радиуса ) бесконечно .
Сколько процентов от числа осенних ДТП составило	число	ДТП в зимние месяцы ? .
В зимние месяцы в связи с ухудшением погодных условий	число	ДТП выросло до 54 .
Попробуйте назвать хотя бы одно такое	число	.
Определите , какую часть составляет	число	попаданий от числа бросков , и выразите эту часть в процентах , если он попал в кольцо : а ) 10 раз ; б ) 25 раз ; в ) 32 раза ; г ) 40 раз .
Задайте перечислением множество цифр , с помощью которых записывается	число	.
Как узнать , сколько процентов одно	число	составляет от другого ?
Из рассмотренных примеров становится понятно следующее : чтобы узнать , сколько процентов одно число составляет от другого , надо найти отношение первого числа ко второму ( иными словами , выяснить , какую часть первое	число	составляет от второго или во сколько раз оно больше ) и выразить это отношение в процентах .
Из рассмотренных примеров становится понятно следующее : чтобы узнать , сколько процентов одно	число	составляет от другого , надо найти отношение первого числа ко второму ( иными словами , выяснить , какую часть первое число составляет от второго или во сколько раз оно больше ) и выразить это отношение в процентах .
Заметим , что пустое множество считается подмножеством любого другого множества : Ø ⊂ В. Из определения также следует , что в	число	подмножеств данного множества входит и само это множество : В ⊂ В .
Запишите на символическом языке утверждение : а ) число 25 — натуральное ; в )	число	10 — целое ; б ) число 0 не является натуральным ; г ) число — не целое .
При делении любого целого числа на – 1 получается противоположное	число	.
При делении любого целого числа на 1 получается это же	число	.
При делении нуля на любое целое	число	, не равное нулю , в частном получается нуль .
Это свойство можно использовать для построения правильного многоугольника : разделить окружность на соответствующее	число	равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки деления .
Определите , положительным или отрицательным является	число	.
Представьте в виде суммы двух отрицательных слагаемых	число	.
Представьте в виде суммы двух слагаемых разных знаков	число	.
Определите , положительным или отрицательным является	число	если .
Какое	число	задумал Петя ? .
Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают : положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное	число	, которое стоит в начале выражения , записывают без скобок .
Подберите	число	так , чтобы получилось верное равенство .
Петя задумал	число	, прибавил к нему 1 , результат разделил на 25 и из результата вычел 4 , после чего получил 0 .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять	число	десятичных знаков , приписав к дроби 3,5 справа нуль .
Прочитайте выражения , используя термин « противоположное	число	» .
Покажите , как они могут быть расположены на координатной прямой ( сделайте рисунок для каждого случая ) , если известно , что . 1 ) а — отрицательное	число	и b меньше а .
2 ) а — отрицательное	число	и b больше а .
3 ) а — положительное	число	и b больше а .
4 ) а — положительное	число	и b меньше а .
Вспомним , что разностью чисел а и b называется такое	число	с , которое при сложении с числом b даёт число а .
Вспомним , что разностью чисел а и b называется такое число с , которое при сложении с числом b даёт	число	а .
Таким образом , чтобы найти разность чисел 2 и 7 , нужно к числу 2 прибавить	число	– 7 .
Чтобы из одного числа вычесть другое , можно к уменьшаемому прибавить	число	, противоположное вычитаемому .
В множестве натуральных чисел сложить можно любые два числа , но вычесть одно	число	из другого можно не всегда .
Сначала мы подставили вместо букв указанные числа , заключив при этом отрицательное	число	в скобки .
Обозначим	число	пассажиров в автобусе до первой остановки буквой х . 2 ) Запишем равенство , отражающее последовательность входа и выхода пассажиров во время пути .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их	число	, приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Особую роль при умножении целых чисел играет также	число	– 1 : при умножении на – 1 число заменяется на число , ему противоположное .
Особую роль при умножении целых чисел играет также число – 1 : при умножении на – 1	число	заменяется на число , ему противоположное .
Особую роль при умножении целых чисел играет также число – 1 : при умножении на – 1 число заменяется на	число	, ему противоположное .
Какое	число	перегибаний нужно сделать , чтобы окрасить весь квадрат ? .
Задайте сами	число	экскурсантов в вашей группе и определите , сколько нужно заплатить за экскурсию .
Чтобы выразить проценты десятичной дробью , надо	число	, стоящее перед знаком % , разделить на 100 , или , что одно и то же , умножить на 0,01 .
Однако задавать множество перечислением его элементов удобно только в том случае , когда их	число	невелико .
Какое	число	стёрто ? .
Таким образом , было стёрто	число	8 .
Получилась такая запись , стёртое	число	обозначено буквой x.
Модуль отрицательного числа есть	число	, ему противоположное .
Какое наибольшее	число	точек пересечения могут иметь три прямые ? .
В школе решили , что будет справедливо разделить билеты в том же отношении , в котором находится	число	пятиклассников и число шестиклассников , то есть в отношении 72 к 48 .
А основные	числовые множества	— натуральных и целых чисел — всегда обозначают буквами N и Ζ. Можно сказать , что эти буквы — их « имена собственные » .
Каким из	числовых множеств	— N , Z , Q — принадлежит число ? .
Преобразуйте частное так , чтобы делитель был целым	числом	, и выполните деление .
Каким	числом	— положительным или отрицательным — является произведение четырёх отличных от нуля чисел , если : 1 ) отрицательно только одно из чисел ; 2 ) отрицательны два числа ; 3 ) три числа отрицательны , а одно положительно
Например , записать его сумму с	числом	5 ; получится а плюс 5 .
Если перед некоторым	числом	, положительным или отрицательным , поставить знак « плюс » , то получится то же самое число ; если же поставить знак « минус » , то получится противоположное число .
Что происходит с этим	числом	, если это .
Сумма двух дробных чисел также является	числом	дробным .
Как определить , каким	числом	— положительным или отрицательным — является сумма двух целых чисел разных знаков ?
Обратите внимание : заменяя букву отрицательным	числом	, мы заключили его в скобки .
3 ) В каких случаях произведение четырёх целых чисел будет	числом	отрицательным ? .
Перерасход обозначьте отрицательным	числом	, экономию — положительным .
Если это одноимённые величины — длины , площади , массы и так далее , то их отношение выражается	числом	.
Каким	числом	— положительным или отрицательным — является произведение трёх целых чисел , если : а ) одно число отрицательно и два положительны ; б ) два числа отрицательны и одно положительно ; в ) все три числа отрицательны ? .
Для выражения величины отрицательным	числом	вводят некоторую начальную , нулевую , отметку .
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным	числом	знаков после запятой .
Однако оно должно быть как - то связано с	числом	15 .
Не складывая дроби , сравните с	числом	10 сумму .
В настоящее время известны его десятичные приближения с очень большим	числом	десятичных знаков .
Учёные в Древнем Вавилоне понимали , что при измерении углов в астрономии , архитектуре , мореплавании нельзя ограничиваться лишь целым	числом	градусов , так как при этом расчёты оказываются очень неточными .
Вспомним , что разностью чисел а и b называется такое число с , которое при сложении с	числом	b даёт число а .
В данном выражении измените знак перед каждым	числом	на противоположный и найдите значение нового выражения .
Ясно , что модуль может быть только положительным	числом	или нулём .
Понятно , что вместо n нельзя подставлять дробные числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным	числом	.
Сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным , так и отрицательным	числом	; знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
Обратите внимание на то , что в числовых выражениях , которые получались при замене буквы	числом	, мы восстанавливали точку — знак умножения .
Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным	числом	.
Если же человек получил денег меньше , чем потратил , то его доход выражается отрицательным	числом	.
Закончите предложение ( проверьте себя по учебнику ): 1 ) Замену буквы	числом	называют ; 2 ) Число , которое подставляют вместо буквы , называют .
Замену буквы	числом	называют числовой подстановкой , а число , которое подставляют вместо буквы , — значением буквы .
Чтобы вычислить разность чисел 15,6 и 8,8 , преобразуем её так , чтобы вычитаемое стало круглым	числом	.
Повторяя эксперимент с другими круглыми предметами , вы всё время будете получать число , близкое к	числу	3 .
Отношение стоимости товара к его количеству ( массе , длине ,	числу	штук и так далее . ) — это цена товара .
Частные а : b и читают ещё и так : « отношение числа а к	числу	b » .
Наряду с натуральными числами мы будем рассматривать отрицательные числа , которые получаются , если к каждому натуральному	числу	приписать знак « минус » .
На координатной прямой некоторые точки обозначены буквами Какая из точек соответствует	числу	: 34,8 ; 34,2 ; 34,6 ; 35,4 ; 35,8 ; 35,6 ? .
Заметим , что дробь — можно привести к любому знаменателю , и кратному 3 , то есть к 6 , 9 , 12 и любому другому	числу	, делящемуся на 3 .
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух чисел , первый член которого равен 1 , а второй —	числу	, показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Число карандашей в маленькой коробке относится к	числу	карандашей в большой как 5 : 9 .
Модуль отрицательного числа равен	числу	, ему противоположному .
Пусть нужно построить точку , соответствующую	числу	0,3 .
Можно сказать также , что число – 15 противоположно	числу	15 , а число 15 противоположно числу – 15 .
Число пятиклассников относилось к	числу	шестиклассников как 5:3 .
Будем рассуждать так : число , противоположное	числу	х , равно 2,4 , значит , х равно – 2,4 .
Можно сказать также , что число – 15 противоположно числу 15 , а число 15 противоположно	числу	– 15 .
Модуль положительного числа равен самому	числу	.
Вообще число , противоположное	числу	а , обозначают -а .
Какое из них ближе к	числу	21,28 ?
Число девочек относится к	числу	мальчиков как 2:7 .
Число мальчиков относится к	числу	девочек как 3:2 .
Отношение числа чижей к числу ужей равно 5:4 , а числа ужей к	числу	ежей равно 2:1 .
Каждое из них равно отрицательному	числу	.
отношение числа финалистов к	числу	участников конкурса равно .
А вообще в математике есть формула , позволяющая определять число подмножеств любого конечного множества по	числу	его элементов .
а ) отношение числа взошедших лилий к	числу	посаженных равно .
Отношение числа школьников , не умеющих плавать , к общему	числу	опрошенных школьников равно , то есть не умеющие плавать составляют пятую часть учащихся этой школы , а умеющие плавать .
Найдите отношение числа спортсменов к	числу	всех учащихся школы .
Отношение числа книг к	числу	журналов равно 4:1 .
Найдите отношение числа правильных ответов к	числу	всех присланных ответов .
Найдите отношение числа непроверенных работ к	числу	проверенных и обратное отношение .
Отношение числа чижей к	числу	ужей равно 5:4 , а числа ужей к числу ежей равно 2:1 .
На координатной прямой большему	числу	соответствует точка , расположенная правее , а меньшему — точка , расположенная левее .
Для проверки семян на всхожесть сажают определённое количество семян и в назначенный срок находят отношение числа проросших семян к	числу	посаженных .
К	числу	приписывают справа один нуль , два нуля , три нуля и так далее .
Когда , например , говорят : « Возьмём число а » , то это означает , что некоторому	числу	— неважно , какому именно , — дали имя а и дальше с ним можно обращаться так , как будто оно вполне определённое .
Отношение числа пятиклассников к	числу	шестиклассников равно 1:3 .
Назовите число , противоположное	числу	.
а ) Отношение числа красных шариков к	числу	синих равно .
Умею называть число , противоположное данному целому	числу	; знаю свойство суммы противоположных чисел .
2 Назовите число , противоположное	числу	.
Отношение числа мальчиков в школе к	числу	девочек равно 5:4 .
Таким образом , чтобы найти разность чисел 2 и 7 , нужно к	числу	2 прибавить число – 7 .
Чтобы найти неизвестный	член	пропорции , можно воспользоваться её основным свойством .
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух чисел , первый	член	которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Найдите неизвестный	член	пропорции , обозначенный буквой ( используйте основное свойство пропорции ) .
Если умножить или разделить оба	члена	отношения на одно и то же число , не равное нулю , то получится отношение , равное данному .
Девочки составляют 65 % всех	членов	драмкружка .
Вообще в любой пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних	членов	.
Иван составил пропорцию и один из её	членов	случайно стёр .
Сколько процентов всех	членов	драмкружка составляют мальчики ? .
Вообще в любой пропорции произведение крайних	членов	пропорции равно произведению её средних членов .
Найдите закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются	члены	последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
Если перемножить крайние члены рассмотренной пропорции и её средние	члены	, то получим .
Если перемножить крайние	члены	рассмотренной пропорции и её средние члены , то получим .
В рассматриваемой пропорции 4 и 4,5 — крайние члены пропорции , 3 и 6 — средние	члены	пропорции .
В рассматриваемой пропорции 4 и 4,5 — крайние	члены	пропорции , 3 и 6 — средние члены пропорции .
Эти множества общих элементов не имеют ; в самом деле , любое натуральное число либо	чётное	, либо нечётное .
Приведём примеры математических предложений : 2 ) 87 делится на 9 ; 3 ) а —	чётное	число .
Постройте разбиение множества натуральных чисел на классы , используя два признака :	чётность	и кратность 5 .
Вам поможет следующая таблица : Числа :	чётные	, кратные 5 .
А — это множество	чётных	чисел , кратных 5 .
Возьмём два подмножества множества натуральных чисел : множество нечётных чисел и множество	чётных	чисел .
Таким образом , мы имеем разбиение множества натуральных чисел на два класса —	чётных	и нечётных чисел .
Говорят , что множества	чётных	и нечётных чисел составляют разбиение множества Ν. Непересекающиеся подмножества , составляющие разбиение , обычно называют классами .
Если множество нечётных чисел обозначить буквой А , а множество	чётных	чисел — буквой В , то можно записать .
Прежде всего это цилиндр , конус ,	шар	.
Ёлочный	шар	упакован в коробку .
Различаю цилиндр , конус ,	шар	; знаю , как в сечении поверхностей этих фигур плоскостью можно получить окружность , эллипс .
3 Какая фигура получится в сечении , если плоскостью симметрии рассечь : а )	шар	; б ) параллелепипед ; в ) цилиндр ; г ) конус ? .
В пространстве « самая симметричная » фигура —	шар	: он симметричен относительно любой плоскости , рассекающей его по большой окружности .
Представьте , что	шар	рассекается плоскостью подобно тому , как апельсин разрезается ножом .
Мы называем нашу планету земным шаром , строго говоря , Земля — это почти	шар	.
Поверхности цилиндра и конуса состоят как из плоских частей , так и из кривых , а	шар	абсолютно круглый .
Особое место среди круглых тел занимает	шар	.
Объём шара равен : где r — радиус	шара	.
Объём	шара	равен : где r — радиус шара .
Вычислите объём	шара	, радиус которого равен 3 см ; 1 м .
Формула объёма	шара	.
Найдите объём	шара	, диаметр которого равен 12 см .
Существует также формула объёма	шара	.
Радиус земного	шара	примерно равен 6400 км .
84 Формулы длины окружности , площади круга и объёма	шара	.
Определите её размеры , если диаметр	шара	равен 8 см .
В отличие от поверхностей этих тел , поверхность	шара	нельзя развернуть на плоскость .
Сетку из параллелей и меридианов , покрывающую поверхность земного	шара	, изобрели древнегреческие учёные Гиппарх и Эратосфен .
Нарисуйте на изображении	шара	ещё одну большую окружность .
Представьте , что вам необходимо измерить диаметр арбуза , имеющего форму	шара	.
Параллели — это окружности , получаемые при « разрезании » земного	шара	параллельными плоскостями .
Их диаметры равны диаметру	шара	.
Диаметр круга будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через центр	шара	.
Скопируйте в тетрадь изображения цилиндра , конуса ,	шара	.
При рассечении	шара	может получиться только круг .
Границей круга , как вам известно , является окружность , а границей	шара	— сфера .
У	шара	и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и диаметр .
Поверхность	шара	называется сферой .
Отметьте центр	шара	, начертите его радиус и диаметр .
Назовите несколько предметов , имеющих форму	шара	, цилиндра , конуса .
Можно , например , говорить о множестве дней в году , множестве букв латинского алфавита , множестве всех стран на земном	шаре	, множестве планет Солнечной системы , множестве клеток человеческого тела .
Можно ли провести на	шаре	две большие окружности так , чтобы они не пересекались ? .
Сколько	шаров	диаметром 1 см войдёт в кубическую коробку с ребром 4 см ?
А	шаров	, радиус которых равен 1 см ? .
Мы называем нашу планету земным	шаром	, строго говоря , Земля — это почти шар .
Если вы когда - нибудь видели пчелиные соты , то , возможно , заметили , что каждая ячейка — это	шестиугольная призма	, в основании которой — правильный шестиугольник .
Существует и пятиугольник с равными сторонами и равными углами , и	шестиугольник	.
Чтобы построить правильный	шестиугольник	, можно разделить окружность на шесть равных частей ( пройти по ней циркулем с шагом , равным её радиусу ) и соединить последовательно все полученные точки .
Понятно , что « самым симметричным » среди всех пятиугольников является правильный пятиугольник , среди всех шестиугольников — правильный	шестиугольник	и так далее .
Если вы когда - нибудь видели пчелиные соты , то , возможно , заметили , что каждая ячейка — это шестиугольная призма , в основании которой — правильный	шестиугольник	.
Проведите оси симметрии построенного правильного	шестиугольника	.
Чему равны углы правильного	шестиугольника	? .
	Шестиугольника	?
7 Точка О — центр симметрии	шестиугольника	ABCDEK .
Понятно , что « самым симметричным » среди всех пятиугольников является правильный пятиугольник , среди всех	шестиугольников	— правильный шестиугольник и так далее .
Ванна школьного бассейна имеет форму параллелепипеда , его длина 25 м ,	ширина	16 м , глубина 3 м .
Чему равна	ширина	окна в доме , если на макете окно имеет ширину 60 мм ? .
Огород имеет форму прямоугольника , длина которого 8 м ,	ширина	2,5 м .
Длина ,	ширина	и высота одного из них м , а другого м .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 10 м от одного из углов и их	ширина	будет равна 3 м .
Отношение длины комнаты к её	ширине	равно 5:4 .
Как они связаны с	шириной	европейской колеи ? .
Это расстояние называют	шириной	колеи .
Представьте , что вы помогаете родителям делать ремонт в ванной комнате , которая имеет длину 3,5 м и	ширину	2,5 м .
Измерьте длину и	ширину	тетради и выразите результаты сначала в миллиметрах , затем в сантиметрах и , наконец , в дециметрах .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а его длину ,	ширину	и высоту соответственно буквами а , b и с. Получим формулу .
Чему равна ширина окна в доме , если на макете окно имеет	ширину	60 мм ? .
а ) Найдите площадь комнаты , если её длина равна 6 м . б ) Найдите площадь комнаты , если её длина больше её	ширины	на 0,8 м .
Самая большая параллель — это	экватор	, его диаметр равен диаметру Земли .
Вычислите длину	экватора	.
Обязательные умения . Знаю термины : множество ,	элемент множества	; понимаю и умею использовать запись типа х ∈ А , х ∉ А .
Множество А называют подмножеством множества В , если каждый	элемент множества	А является элементом множества В .
Для того чтобы на математическом языке записать предложение « х —	элемент множества	А » ( или , что то же самое , « х принадлежит множеству А » ) , используют знак ∈ и пишут : х ∈ А. Легко догадаться , что запись « х ∉А » означает « х не принадлежит множеству А » .
Например , Санкт - Петербург —	элемент множества	городов европейской части России .
Назовите несколько	элементов множества	, которое является : а ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 5 ; б ) пересечением множеств нечётных чисел и чисел , кратных 5 ; в ) пересечением множеств чисел , кратных 2 и кратных 4 ; г ) объединением множеств чисел , кратных 3 и кратных 9 .
Назовите несколько	элементов множества	А ⋂ В. Укажите наименьший элемент этого множества .
Множество А называют подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является	элементом множества	В .
Разрежьте его так , чтобы в сечении получился	эллипс	.
Различаю цилиндр , конус , шар ; знаю , как в сечении поверхностей этих фигур плоскостью можно получить окружность ,	эллипс	.
а ) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так , чтобы в сечении получился круг ;	эллипс	.
Если же плоскость пройдёт наискосок , то в сечении получится уже не окружность , а	эллипс	.
Это прежде всего окружность , а также	эллипс	.
Нанесите на изображение цилиндра какое - нибудь сечение , имеющее форму окружности , а на изображение конуса — сечение , имеющее форму	эллипса	.
Скопируйте цилиндр и нанесите на его изображение какое - нибудь сечение , имеющее форму	эллипса	.
На рисунке их изображают двумя	эллипсами	— « сплюснутыми » окружностями .
Сколько	ядер	в пирамиде ? .
Пушечные	ядра	складывали пирамидой .