Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Аналитический	центр провёл опрос , чтобы выяснить , насколько популярно среди жителей страны это увлечение .
	Аналитический	центр провёл опрос 1500 россиян .
Первый город , Второй город , Третий город ,	Вариант	путешествия .
	Величина	, от которой вычисляются проценты ( например , количество телевизоров , выпускаемых заводом за год , доход семьи , численность населения и так далее . ) , составляет 100 своих сотых долей , то есть 100 % .
	Величину	дохода в этом случае мы нашли вычитанием .
	Величину	расхода мы определили сложением .
	Величину	убытка мы также нашли вычитанием .
	Вес	ребёнка при рождении составляет 100 % , то есть 3 кг — это 100 % .
	Вес	ребёнка к концу года увеличился на 200 % .
64	Выражение	отношения в процентах .
	Выражение	, где n — натуральное число , большее 1 , означает произведение .
	Выражение	, содержащее буквы ( одну или несколько ) , называют буквенным выражением .
Глава 8	Выражения	, формулы , уравнения .
Основание , Высота , Основание ,	Высота	, Основание .
	Высота	Шуховской телебашни в Москве составляет высоты Останкинской телебашни .
Основание ,	Высота	, Основание , Высота , Основание .
94	Вычитание	целых чисел .
	Вычитание	рациональных чисел , как и целых , сводится к сложению .
	Вычитать	десятичные дроби можно также в столбик .
	Градус	разделили на 60 равных частей — минут : в градусе 60 минут , так что 1 минута это часть градуса .
а )	Группа	туристов идёт от лагеря к станции , расстояние между которыми 3,5 км , со скоростью 4,7 км / ч .
	Данные	равенства выражают некоторые свойства действий над числами .
44	Деление	десятичных дробей .
45	Деление	десятичных дробей ( продолжение ) .
	Деление	десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
	Деление	десятичной дроби на 10 , 100 и так далее , также сводится к переносу запятой , но только влево .
62	Деление	в данном отношении .
	Деление	в данном отношении .
	Деление	на десятичную дробь легко свести к делению на натуральное число .
	Дерево	возможных вариантов .
	Десятичная	дробь .
	Десятичная	дробь представлена в виде суммы разрядных слагаемых .
31	Десятичная	запись дробей .
	Десятичные	дроби появились в математике гораздо раньше , чем современные единицы измерения — метры и граммы .
	Десятичные	дроби , так же как и обыкновенные , изображают точками на координатной прямой .
	Десятичные	и обыкновенные дроби — это две различные формы представления чисел .
Глава 3	Десятичные	дроби .
	Десятичные	дроби , как и натуральные числа , сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными дробями .
	Десятичные	соотношения между различными метрическими единицами отражены в их названиях .
32	Десятичные	дроби и метрическая система мер .
Расстояние , м ;	Диагональ	телевизора , см .
	Диаметр	мяча 65 мм .
	Диаметр	круга будет наибольшим , когда плоскость сечения пройдёт через центр шара .
	Диаметр	теннисного мяча колеблется от 65 до 69 мм .
На плане это точка М.	Длина	отрезка ОМ и есть расстояние от дома лесника до водоёма .
	Длина	, ширина и высота одного из них м , а другого м .
Отметим точку А и проведём прямую l. Чтобы найти расстояние от точки А до прямой l , проведём через точку А прямую , перпендикулярную l , и обозначим точку их пересечения буквой К.	Длина	отрезка АК и есть расстояние от точки А до прямой l.
	Длина	отрезка равна с метрам .
	Длину	этого отрезка и называют расстоянием между параллельными прямыми .
	Длины	отрезков АС и АВ относятся как 2:5 .
	Длины	сторон прямоугольного участка земли равны х м и у м .
	Дробные	числа , с которыми мы до сих пор имели дело , будем теперь называть положительными и наряду с ними рассматривать отрицательные дробные числа .
	Дробь	— в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 : Так как .
	Дробь	можно представить в виде десятичной .
	Дробь	нельзя обратить в десятичную , поэтому число 0,27 запишем в виде обыкновенной дроби .
	Единица	второго разряда справа от запятой должна быть в 10 раз меньше , чем .
	Знаменатель	( число , записанное под чертой ) показывает , на сколько равных долей делили целое ; числитель ( число , записанное над чертой ) показывает , сколько таких долей взято .
	Значение	дроби при этом не изменится , а в числителе и знаменателе окажутся целые числа .
	Значения	каких выражений равны значению произведения ab ?
	Касательная	к окружности .
	Касательная	перпендикулярна радиусу , проведённому в точку касания .
	Квадрат	разделён на 16 маленьких квадратов , один из которых окрашен .
	Квадрат	.
	Квадрат	разрезали по его диагонали и из получившихся частей сложили треугольник .
	Квадратная	сетка , играющая роль координат , была обнаружена на стене одной древнеегипетской гробницы .
Выдержка из этого списка : Дубна — 4А , Звенигород — 3Г ,	Клин	— 3Б , Красногорск — 4В , Поречье — 1Г , Руза — 2Г. Найдите эти города на карте , используя данную информацию .
Укажите квадраты , через которые проходит железная дорога : а ) Москва — Шаховская ; б ) Москва —	Клин	.
	Кольцо	ограничено двумя окружностями , радиусы которых равны 3 см и 5 см. Чему равна площадь этого кольца ? .
	Комбинаторика	.
104	Комбинаторные	задачи .
	Конус	.
	Конус	в определённом смысле похож на пирамиду .
	Конуса	основание .
	Концентрические	окружности .
	Координата	точки Е равна 4 ; это записывается так : E(4 ) .
	Координаты	точки записывают в скобках , при этом абсцисса пишется на первом месте , а ордината — на втором .
На координатной прямой отмечены точки А , В , С и D.	Координаты	точек В и D известны .
	Координаты	точки .
	Корень	уравнения — это число , при подстановке которого в уравнение получается верное равенство .
	Круг	изображает всех избирателей района , внесённых в списки для голосования , то есть 100 % избирателей .
	Круг	А изображает сотрудников института , знающих английский язык , круг Н — знающих немецкий и круг Ф — французский . 1 ) Сколько сотрудников института знают : а ) все три языка ; б ) английский и немецкий ; в ) французский ? .
	Круг	с горизонтальной штриховкой изображает множество А , а круг с вертикальной штриховкой — множество В. Вся закрашенная область — это множество A ⋃ B , а область , показанная двойной шриховкой , — это А ⋂ В .
	Круги	на воде .
	Круги	Эйлера .
а )	Куб	распилили .
	Куб	с ребром 10 см распилили на части тремя плоскостями , параллельными его граням .
	Куб	с ребром 15 см рассекли двумя разрезами .
	Многогранник	; Призма треугольная ;
	Многоугольник	, у которого равны все стороны и все углы , называют правильным .
	Многоугольник	называют снежинкой Коха .
Глава 10	Множества	.
	Множества	обычно обозначают большими буквами латинского алфавита : А , В , С , Μ , Р и так далее .
	Множество	рациональных чисел , как и множества натуральных и целых чисел , имеет « собственное имя » : его принято обозначать буквой Q .
	Множество	, состоящее из элементов , входящих в каждое из данных множеств , называется их пересечением .
	Множество	пустое .
	Множество	.
	Множество	рациональных чисел .
Пусть А — множество параллелограммов , В — множество прямоугольников , С — множество ромбов	Множество	каких четырёхугольников обозначено буквой D ? .
	Множество	бесконечное .
	Множество	А называют подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является элементом множества В .
	Множество	целых чисел .
	Множество	конечное .
	Множество	, состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из данных множеств , называется их объединением .
	Множество	кашалотов является подмножеством множества китообразных , множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих , множество млекопитающих — подмножеством множества позвоночных .
	Модуль	отрицательного числа равен числу , ему противоположному .
	Модуль	положительного числа всегда больше модуля отрицательного числа .
	Модуль	нуля равен нулю .
	Модуль	отрицательного числа есть число , ему противоположное .
	Модуль	рационального числа всегда положителен .
	Модуль	суммы найдём вычитанием : Таким образом .
	Модуль	числа – 6,5 равен 6,5 ; модуль числа – 4 равен 4 .
	Модуль	положительного числа равен самому числу .
	Модуль	суммы нашли вычитанием .
	Модуль	числа .
	Найдите	площадь оставшейся части .
	Найдите	объём многогранника .
	Найдите	значение степени : Выполните действия .
	Найдите	1 % от : а ) 100 р . , 200 м , 300 км , 600 кг ; б ) 1000т , 10 000р . , Юм , 1ц .
	Найдите	: а ) 1 % от 1 м , 7 % от 1 м , 25 % от 1 м ; б ) 1 % от 1 т , 6 % от 1 т , 26 % от 1 т .
	Найдите	в научно - популярной литературе , как учёные - картографы решали проблему изображения шарообразной поверхности Земли на плоской карте .
	Найдите	среди чисел 12 , – 15 , 1 , – 3 , 0 , 6 , – 9 целые положительные и целые отрицательные числа .
	Найдите	значение выражения .
	Найдите	|а| , если а .
	Найдите	значение каждого из этих выражений .
	Найдите	множество .
	Найдите	, сколько процентов от 250 кг составляют 40 кг .
	Найдите	. б ) Даны множества .
	Найдите	расстояние между серединами отрезков АС и СВ .
	Найдите	: а ) 10 % от 200 р . ;
	Найдите	значение выражения ab при .
	Найдите	неверные утверждения и опровергните их с помощью контрпримера .
	Найдите	неизвестный множитель .
	Найдите	длину оставшейся части .
	Найдите	.
На отрезке АВ , длина которого равна 6 см , отмечена точка С так , что AС равно 2 см.	Найдите	расстояние между серединами отрезков АС и СВ .
	Найдите	сумму или разность .
	Найдите	ошибки и исправьте их .
	Найдите	значение выражения при .
	Найдите	примерный процент брака на каждом заводе и определите , какой из двух заводов выпустил продукцию лучшего качества .
	Найдите	расстояние от точки А до прямой а и до прямой .
	Найдите	эти отношения .
	Найдите	, не выполняя сложения , значение суммы .
7	Найдите	: а ) 3 % от 200 р . ;
	Найдите	площадь каждой фигуры .
	Найдите	объёмы наибольшей и наименьшей получившихся частей .
	Найдите	в справочной литературе эти значения .
	Найдите	расстояние от угла вашего письменного стола до пола .
	Найдите	расстояние между каждой парой прямых .
	Найдите	величины трёх других углов , если : a ) ∠1 равно 29 ° ; б ) ∠4 равно 137 ° .
	Найдите	отношение числа спортсменов к числу всех учащихся школы .
	Найдите	в каких - нибудь средствах массовой информации ( газеты , журналы , Интернет , телевидение и так далее . ) несколько предложений , в которых используется слово « процент » .
	Найдите	периметры четвёртой части и всего прямоугольника .
	Найдите	площадь закрашенного треугольника .
	Найдите	значение степени .
	Найдите	отношение числа правильных ответов к числу всех присланных ответов .
	Найдите	сумму .
	Найдите	значение выражения : а ) В обеденном меню школьной столовой имеются два первых блюда — борщ и картофельный суп — и три вторых — сосиски , котлеты и плов .
	Найдите	множества .
	Найдите	неизвестный компонент действия .
	Найдите	вечернюю температуру Ивана .
	Найдите	сторону квадрата , площадь которого составляет 0,25 площади данного квадрата .
	Найдите	периметр прямоугольника .
а )	Найдите	площадь комнаты , если её длина равна 6 м . б ) Найдите площадь комнаты , если её длина больше её ширины на 0,8 м .
	Найдите	число , куб которого равен .
	Найдите	предметы , имеющие форму призмы .
	Найдите	произведение чисел .
	Найдите	в художественной литературе , в Интернете и фотоальбомах изображения объектов природы или предметов , созданных руками человека , которые обладают осевой симметрией .
	Найдите	и запишите величины углов , обозначенных цифрами .
Получим .	Найдите	значение выражения двумя способами .
а )	Найдите	в литературе или в Интернете изображения башен Московского Кремля и опишите их форму , б ) Опишите форму башен , изображённых на фотографиях .
	Найдите	неизвестный член пропорции , обозначенный буквой ( используйте основное свойство пропорции ) .
	Найдите	число , квадрат которого равен .
Периметр прямоугольника равен 36 см.	Найдите	площадь прямоугольника , если его стороны относятся как .
	Найдите	сумму ( приведите разные способы вычисления ) .
	Найдите	значение суммы при указанных значениях а , b и с .
	Найдите	сумму всех целых чисел .
	Найдите	значение произведения .
	Найдите	значения выражений .
Сторона одного квадрата равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см.	Найдите	отношение : 1 ) стороны большого квадрата к стороне малого квадрата ;
	Найдите	расстояние от каждой из этих точек до прямой .
	Найдите	их с помощью перегибания .
5	Найдите	значение выражения .
	Найдите	сумму противоположных чисел .
а ) Найдите площадь комнаты , если её длина равна 6 м . б )	Найдите	площадь комнаты , если её длина больше её ширины на 0,8 м .
	Найдите	отношение .
	Найдите	объём каждой части .
	Найдите	значение каждого из выражений mn , mn — 10 , – 2mn при .
	Найдите	произведения .
	Найдите	часть от величины .
	Найдите	неверные утверждения среди перечисленных и исправьте их .
	Найдите	неизвестное число .
	Найдите	приближённо : а ) Сколько человек из числа опрошенных слушают спортивные каналы ? .
	Найдите	отношение числа непроверенных работ к числу проверенных и обратное отношение .
	Найдите	рост Серёжи , если средний рост мальчиков его возраста равен 130 см , а рост Серёжи составляет 110 % от среднего роста .
Известно , что .	Найдите	значение выражения .
	Найдите	разность .
	Найдите	отношение расстояния s(м ) , которое пробежал мальчик , ко времени t(мин ) , в течение которого он бежал , если s , t 5 .
Известно , что .	Найдите	.
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см.	Найдите	: а ) периметр прямоугольника КВМО ; б ) периметр прямоугольника AKLD ; в ) периметр прямоугольника ABCD ; г ) длину ломаной ANMCD .
	Найдите	значение выражения аb при .
	Найдите	значение дроби .
	Найдите	его .
	Найдите	5 % , 30 % , 50 % , 100 % этого числа .
	Найдите	произведение или частное .
И Ребро одного куба равно 10 см , а другого — 5 см	Найдите	отношение : 1 ) ребра малого куба к ребру большого куба .
	Найдите	корень уравнения .
	Найдите	длину всего пути .
	Найдите	значение буквенного выражения .
2	Найдите	сумму , выполнив вычисления столбиком .
	Найдите	длину третьей стороны треугольника , если .
6	Найдите	объединение и пересечение множеств .
Воспользовавшись формулой периметра треугольника , выполните следующие задания : 1 )	Найдите	периметр треугольника Р , если .
	Найдите	расстояние от точки А до прямой l .
	Найдите	площадь закрашенной части круга .
	Найдите	S , если . Начертите куб .
	Найдите	скорость первого поезда , если скорость второго 65 км / ч .
	Найдите	площадь обрезков .
Каждый кусок имеет размеры 3 см , 6 см и 9 см.	Найдите	объём коробки .
	Найдите	задуманное число .
	Найдите	примерную длину каждой части .
	Найдите	эти числа .
	Найдите	периметр треугольника ВСЕ и его углы , если ВС равно 3 см .
	Найдите	длину дуги окружности , выделенной зелёным цветом .
	Найдите	координаты точек A и С .
	Найдите	на окружности точку , ближайшую к прямой , и точку , наиболее удалённую от прямой .
	Найдите	расстояния между самыми удалёнными и самыми близкими точками двух окружностей , если : а ) радиусы окружностей равны 3 см и 4 см , а расстояние между центрами — 10 см ; б ) радиусы окружностей равны 2 см и 5 см , а расстояние между центрами — 1 см .
	Найдите	в каком - либо источнике информации разъяснения значений приставок мега , гига , микро , нано .
	Найдите	расстояние от А до В .
	Найдите	какие - нибудь три числа , которые : а ) больше , но меньше ; б ) меньше , но больше .
	Найдите	частное ( в качестве образца воспользуйтесь примером 3 ) .
Выдержка из этого списка : Дубна — 4А , Звенигород — 3Г , Клин — 3Б , Красногорск — 4В , Поречье — 1Г , Руза — 2Г.	Найдите	эти города на карте , используя данную информацию .
	Найдите	расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
	Найдите	периметр четырёхугольника ABCD ( сторона одной клетки равна 5 мм ) .
	Найдите	расстояние от каждой вершины треугольника до прямой КМ .
	Найдите	частное , перейдя к обыкновенным дробям , и , если возможно , выразите ответ десятичной дробью .
	Найдите	неверное утверждение .
	Найдите	объём шара , диаметр которого равен 12 см .
	Найдите	среднее арифметическое двух величин .
	Найдите	города , расположенные на 18 ° в .
	Найдите	периметр : а ) четырёхугольника ABCD ; б ) треугольника АВС .
	Найдите	значение каждого из выражений .
	Найдите	закономерность , по которой строится последовательность чисел , и запишите следующие два числа ; определите , как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются .
	Найдите	длины отрезков АВ , АС и СВ .
	Найдите	значение выражения при а равно 1,6 , b равно 2,4 , с равно 2,8 .
	Найдите	частное .
9	Найдите	площадь круга , диаметр которого равен 10 см .
	Найдите	цену моркови зимой .
	Найдите	значение выражения , записав десятичную дробь в виде обыкновенной .
	Найдите	его значение при .
8	Найдите	длину окружности , диаметр которой равен 20 см .
	Найдите	цену зонта зимой .
	Найдите	величину каждого угла .
	Найдите	численность населения России , если в Японии проживает 128 млн человек .
	Найдите	города , расположенные на 60 ° с. ш. , на 50 ° с. ш.
8	Найдите	значение выражения .
	Найдите	неизвестное число х , если .
	Найдите	массу конфет в каждом подарке .
	Найдите	длину каждого куска .
	Найдите	массу большего куска .
7	Найдите	частное .
	Найдите	площадь игрового поля .
	Найдите	длину дорожки и площадь стадиона .
	Найдите	вечернюю температуру , если .
	Найдите	четыре пары параллельных прямых .
	Найдите	отношение : а ) 40 см к 24 м ; б ) 800 г к 4 кг ; в ) 20 мин к 2 ч .
	Найдите	Р , если с равно 5000 , а равно 7500 ; с равно 3500 , а равно 4200 .
	Найдём	неизвестный множитель х ; получим х равно 18 .
	Найдём	разность чисел .
	Найдём	вычитанием неизвестное слагаемое 2х .
	Найдём	разность .
	Найдём	с помощью перебора все возможные варианты освещения .
	Найдём	, какой длины бордюр потребуется для ограждения клумбы , имеющей форму круга с диаметром , равным 4 м .
	Найдём	от 100 % .
	Найдём	частные .
	Найти	от 80 000 можно по - разному : опираясь на смысл понятия дроби и по правилу нахождения части от числа .
	Натуральное	число и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
	Натуральное число	и отрицательное число , полученное из натурального приписыванием к нему знака « минус » , называют противоположными числами .
	Натуральные	числа , противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом — целые числа .
	Натуральные	числа принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
	Натуральные числа	принято называть также положительными целыми числами , то есть слова « натуральное число » и « положительное целое число » означают одно и то же .
	Натуральные числа	, противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом — целые числа .
	Неравенство	треугольника .
	Нуль	в остатке означает , что деление закончено .
	Объединение	отрезка KL и луча LM есть луч КМ , а их пересечением является точка L .
	Объединение	множеств .
	Объединением	этих множеств является всё множество натуральных чисел .
	Обыкновенная дробь	.
46	Округление	десятичных дробей .
	Округлите	каждое из чисел до тысячных , до сотых , до десятых .
а ) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского веса — унциями : 1 унция равнялась 31,1035 г.	Округлите	это число до десятых ; до единиц .
13	Округлите	число 1,69457 до десятых , до сотых , до тысячных .
	Округлите	эти значения до тысяч .
	Округлите	число 1,6666 до тысячных , до сотых , до десятых .
	Округлите	это число до тысячных ; до сотых ; до десятых .
	Округлите	до десятых , до сотых , до тысячных .
	Округлите	. 1 ) десятичную дробь 282,0954 до десятых , до сотых , до тысячных .
	Округлите	до единиц .
	Окружности	пересекаются в двух точках .
51	Окружность	и прямая .
Глава 5	Окружность	.
102	Операции	над множествами .
	Опишите	аналогичным образом следующую ситуацию .
	Опишите	их словами и приведите примеры .
	Опишите	примерное местоположение каждого самолёта .
а ) Найдите в литературе или в Интернете изображения башен Московского Кремля и опишите их форму , б )	Опишите	форму башен , изображённых на фотографиях .
Обведите часть круга А , не принадлежащую кругу В.	Опишите	словами соответствующее ей множество чисел , приведите примеры таких чисел .
	Опишите	множество , которое является пересечением : а ) множества учащихся начальных классов некоторой школы и множества девочек , обучающихся в этой школе ; б ) множества предметов , изучаемых в начальной школе , и предметов , изучаемых в 5–6 классах .
	Опишите	словами способ построения каждого четырёхугольника и выполните построения .
	Опишите	словами каждый класс и приведите примеры относящихся к нему чисел .
Пусть А — множество однозначных натуральных чисел . 1 )	Опишите	словами каждое из подмножеств множества .
Основание , Высота , Основание , Высота ,	Основание	.
	Основание	, Боковая грань , Основание .
Основание , Высота ,	Основание	, Высота , Основание .
	Основание	пирамиды — квадрат .
Основание , Боковая грань ,	Основание	.
	Основание	, Высота , Основание , Высота , Основание .
	Основанием	параллелепипеда является квадрат .
	Основания	представляют собой два равных многоугольника , расположенные в параллельных плоскостях , боковые грани призмы — прямоугольники .
	Основания	цилиндра — это два равных круга , расположенные в параллельных плоскостях .
	Остаток	от деления раздробили в десятые и разделили 14 десятых .
	Откладывая	последовательно единичные отрезки вправо от .
	Отношение	числа чижей к числу ужей равно 5:4 , а числа ужей к числу ежей равно 2:1 .
	Отношение	числа мальчиков в школе к числу девочек равно 5:4 .
	Отношение	числа книг к числу журналов равно 4:1 .
	Отношение	числа пятиклассников к числу шестиклассников равно 1:3 .
	Отношение	длины окружности к её диаметру — величина постоянная , не зависящая от размеров окружности .
	Отношение	длины комнаты к её ширине равно 5:4 .
а )	Отношение	числа красных шариков к числу синих равно .
	Отношение	h к а определяет крутизну лестницы .
	Отношение	числа школьников , не умеющих плавать , к общему числу опрошенных школьников равно , то есть не умеющие плавать составляют пятую часть учащихся этой школы , а умеющие плавать .
	Отношение	стоимости товара к его количеству ( массе , длине , числу штук и так далее . ) — это цена товара .
	Отношение	разноимённых величин — это новая величина .
	Отношение	чисел и величин — это просто другое название частного .
	Отношение	большей стороны к меньшей равно , то есть одна сторона в 1,5 раза больше другой .
	Отношение	двух чисел показывает , во сколько раз одно число больше другого , или какую часть одно число составляет от другого .
	Отношение	.
	Отношение	меньшей стороны к большей , то есть обратное отношение , равно .
Глава 6	Отношения	и проценты .
	Отрезки	— стороны треугольника .
1	Отрезок	АВ разделён точкой С на две части так , что АС равно 1,2 дм , ВС равно 6 см. Что показывают отношения .
	Отрезок	длиной 36 см разделили на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
	Отрезок	MN сначала разделили точками А и В на 3 равные части , а затем точками С , D и Е на 4 равные части .
	Отрезок	, соединяющий центры оснований , перпендикулярен каждому из них , его называют высотой цилиндра .
	Отрицательные	числа математики открыли очень давно .
	Отрицательные	дроби можно записывать по - разному .
	Отрицательные	дробные числа , как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительным числам знака « минус » .
	Отрицательные	числа на координатной прямой изображаются точками , расположенными левее нуля , а положительные — точками , расположенными правее нуля .
	Параллелограмм	.
	Параллелограмм	удалось перекроить в прямоугольник , а способ вычисления площади прямоугольника уже известен .
	Параллелограмм	является центральносимметричной фигурой .
	Параллелограмм	, у которого все стороны равны , называют ромбом .
11	Параллелограмм	перекроили в прямоугольник со сторонами 5 см и 4,2 см. Чему равна площадь параллелограмма ? .
	Параллелограмм	снова « войдёт » в свой контур .
121	Параллелограмм	.
22	Параллельные	прямые .
	Перемножив	числа 5,6 и 3,8 , получим 21,28 .
	Перемножив	числа 215 и 33 , мы получили в произведении число 7095 .
	Перемножим	числа 3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными дробями .
	Пересечение	множеств .
	Пересечение	множеств А и В записывают с помощью символа ⋂ , а их объединение — с помощью символа ⋃ .
	Пересечение множеств	А и В записывают с помощью символа ⋂ , а их объединение — с помощью символа ⋃ .
	Пересечение множеств	.
	Периметр	прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длины его смежных сторон и результат умножить на 2 .
	Периметр	прямоугольника равен 36 см. Найдите площадь прямоугольника , если его стороны относятся как .
	Перпендикуляр	к плоскости играет важную роль в окружающей нас действительности .
	Перпендикуляр	, проведённый из вершины конуса к плоскости основания , попадает в центр круга .
	Перпендикулярные	прямые можно начертить и с помощью угольника , и с помощью транспортира .
	Пирамида	пятиугольная ;
	Пирамида	восьмиугольная ;
	Плоскость	, на которой задана система координат , называется координатной плоскостью .
122	Площади	.
	Площадь	какой страны больше и во сколько раз ? .
	Площадь	закрашенной части фигуры вычисляется по формуле .
а )	Площадь	территории Эстонии составляет примерно 130 % площади территории Молдавии .
	Площадь	квадрата равна , площадь прямоугольника равна .
	Поверхности	цилиндра и конуса состоят как из плоских частей , так и из кривых , а шар абсолютно круглый .
	Поверхности	цилиндра и конуса , как и поверхность многогранника , можно развернуть на плоскость .
	Поверхность	цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности , которую ещё называют цилиндрической .
	Поверхность	шара называется сферой .
	Подмножество	.
	Подобным	образом можно найти и площадь треугольника .
	Положительное	число 256 на координатной прямой расположено справа от 0 , а отрицательное число – 104 — слева от 0 .
	Положительные	целые числа мы складывать умеем .
	Положительные	дробные числа , как и положительные целые , можно записывать со знаком « плюс » .
	Правильной	или неправильной является эта дробь ?
	Правильные	и неправильные ответы распределились в отношении 7:3 .
Ищем способ построения	Правильные	многоугольники обладают важным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
Ищем способ построения	Правильные многоугольники	обладают важным свойством : все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности .
	Правильный	многоугольник .
	Правильный многоугольник	.
	Прибавив	единицу к цифре 9 в разряде сотых , мы получили 10 сотых .
	Приведены	некоторые проценты , которые « легко считаются » , и соответствующие им дроби .
	Приведены	данные о средней урожайности картофеля в хозяйствах некоторого района .
8	Приведите	примеры классификаций ( из математики и из реальной жизни ) .
	Приведите	примеры сложных слов , составной частью которых являются эти приставки .
	Приведите	примеры .
рическую фигуру ( прямоугольник , круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 )	Приведите	дроби к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
	Приведите	свои примеры чисел , относящихся к каждому классу .
	Приведите	пример числа , не являющегося целым .
	Приведите	примеры конечных множеств и бесконечных множеств .
	Приведите	примеры параллельных и скрещивающихся прямых , встречающихся в окружающем мире .
	Приведите	примеры перпендикулярных прямых , которые встречаются в окружающем мире .
4	Приведите	примеры подмножеств множества натуральных чисел N .
	Приведите	пример .
	Приведите	примеры истинных и ложных высказываний ( математических и нематематических ) .
1	Приведите	примеры конечных множеств , бесконечных множеств .
	Приведите	примеры таких чисел .
	Приведите	пример , когда результат первого округления : 1 ) меньше второго ; 2 ) больше второго ; 3 ) равен второму .
	Приведите	пример классификации множества треугольников .
	Приведите	пример , когда в результате округления десятичной дроби получается целое число .
а )	Приведите	дробь к знаменателю 60 .
	Приведите	дроби к одному из знаменателей 10 или 100 и запишите соответствующие десятичные дроби .
	Приведите	к наименьшему общему знаменателю дроби .
	Призма	.
123	Призма	.
Многогранник ;	Призма	треугольная ;
	Призма	четырёхугольная ;
	Произведение	двух чисел одного знака положительно , а произведение двух чисел разных знаков отрицательно .
	Произведением	естественно считать сумму трёх слагаемых , каждое из которых равно – 5 .
(	Произведения	, различающиеся порядком множителей , считаются одинаковыми ) .
	Пропорцию	можно записывать и в строчку .
	Противоположные числа	изображаются точками координатной прямой , находящимися на одинаковом расстоянии от точки О ( 0 ) .
	Противоположные числа	изображаются точками , симметричными относительно точки с координатой 0 .
	Процент	.
	Процентом	от некоторой величины называется одна сотая её часть .
Прямая к и окружность пересекаются в точках А и B.	Прямая	к перемещается к центру окружности параллельно самой себе .
	Прямая	d — касательная к окружности в точке А .
	Прямая	к и окружность пересекаются в точках А и B. Прямая к перемещается к центру окружности параллельно самой себе .
	Прямая	АВ — ось симметрии фигуры , состоящей из двух окружностей .
	Прямая	бесконечна ; в отличие , например , от окружности эта линия незамкнутая ; через две точки можно провести только одну прямую .
10	Прямоугольник	со сторонами 3 см и 6 см разрезали по диагонали .
5 ,	Прямоугольник	разбили на четыре части : квадрат и три прямоугольника .
	Прямоугольник	.
	Прямоугольники	равновелики .
	Прямоугольной	сеткой для разметки холста пользовались и художники Возрождения .
115	Прямоугольные	координаты на плоскости .
	Прямые	, перпендикулярные плоскости , можно найти и в окружающей обстановке , и на геометрических моделях .
	Прямые	перпендикулярные .
	Прямые	пересекающиеся .
	Прямые	m и n параллельны , ∠1 равно 38 ° .
	Прямые	KL и MN — оси симметрии прямоугольника ABCD .
	Прямые	параллельные .
	Прямые	скрещивающиеся .
	Прямые	АВ , CD и КМ пересекаются в точке О причём ∠AOM равно 47 ° и ∠AOC равно 32 ° .
	Равенство	двух отношений называют пропорцией .
	Радиус	апельсина равен 4 см , а толщина кожуры равна 1 см. Объём какой части больше : съедобной или несъедобной ? .
	Радиус	меньшей окружности равен 2 см , радиус средней — 3 см. Чему равен радиус большей окружности ?
	Радиус	земного шара примерно равен 6400 км .
	Радиусы	окружностей равны 5 см и 3 см. Чему равно расстояние между их центрами ? .
	Радиусы	окружностей соответствуют 50 , 100 , 150 и 200 км .
	Разделив	32 000 на – 7 , получим .
	Разделите	с помощью транспортира развёрнутый угол на два угла в отношении .
	Разделить	некоторое число на 2 — это всё равно что умножить его на .
	Разложив	на простые множители знаменатель этой дроби , получим произведение , содержащее число 3 .
	Разложите	на простые множители числа : 10 , 100 , 1000 , 10 000 .
	Распределение	городов по численности населения .
Глава 11	Рациональные	числа .
Глава 11	Рациональные числа	.
И	Ребро	одного куба равно 10 см , а другого — 5 см Найдите отношение : 1 ) ребра малого куба к ребру большого куба .
103	Решение	задач с помощью кругов Эйлера .
	Решение	.
	Ромб	.
	Секунду	делят не на 60 равных частей , а на десятые , сотые и тысячные .
	Симметрия	и асимметрия тесно соседствуют друг с другом .
Глава 7	Симметрия	.
	Система	координат , которую вы изучали , называется прямоугольной .
	Система координат	, которую вы изучали , называется прямоугольной .
	Системы	координат пронизывают всю практическую жизнь человека .
	Системы координат	пронизывают всю практическую жизнь человека .
	След	, который оставляет точка А при повороте , — это дуга окружности .
41	Сложение	и вычитание десятичных дробей .
93	Сложение	целых чисел .
	Сложите	из четырёх получившихся частей фигуру , у которой : а ) есть центр симметрии , но нет оси симметрии ; б ) есть ось симметрии , но нет центра симметрии ; в ) есть и центр симметрии , и ось симметрии .
	Собственная	скорость лодки 32 км / ч , а скорость течения реки 2,4 км / ч .
	Собственная	скорость лодки 8,5 км / ч , скорость течения реки 1,5 км / ч .
	Собственная	скорость лодки 8,5 км / ч , а скорость течения реки 3,5 км / ч .
	Сократите	дробь .
	Сократите	дробь и запишите её в виде десятичной .
Малые города , до 50 тыс. чел.	Средние	города , от 50 до 100 тыс. чел.
	Средним	арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
	Средним арифметическим	нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
	Сторона	квадрата равна 0,4 дм .
	Сторона	одного квадрата равна 12 см , а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите отношение : 1 ) стороны большого квадрата к стороне малого квадрата ;
	Стороны	треугольника измеряйте циркулем .
	Стороны	прямоугольника равны 9 см и 6 см. Найдём отношения длин его сторон .
	Сумма	числа вершин и рёбер призмы равна 25 .
	Сумма	трёх углов , образовавшихся при пересечении двух прямых , равна 254 ° .
	Сумма	противоположных чисел равна 0 .
	Сумма	двух положительных чисел положительна , а сумма двух отрицательных чисел отрицательна .
	Сумма	двух отрицательных чисел может быть отрицательной , положительной или нулём .
	Сумма	двух чисел разных знаков может быть как положительным , так и отрицательным числом ; знак суммы зависит от того , какое слагаемое « перевесило » — положительное или отрицательное .
	Сумма	двух положительных чисел всегда положительна .
	Сумма	отрицательного и положительного чисел всегда отрицательна .
	Сумма	двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемого , у которого модуль больше .
	Сумма	двух чисел одного знака имеет тот же знак , что и слагаемые .
	Сумма	двух дробных чисел также является числом дробным .
	Сумма	противоположных чисел равна нулю .
	Сфера	.
	Точка	О — центр большей окружности , точка Р — центр меньшей .
а ) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые , расстояние между которыми равно 4 см . б ) Начертите четыре параллельные прямые , увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм . а ) Расстояние между параллельными прямыми m и n равно 5 см.	Точка	А находится на расстоянии 3 см от прямой m.
	Точка	– 6,5 удалена от начала координат на 6,5 единицы , а точка – 4 — на 4 единицы .
	Точка	А расположена на расстоянии 3 см от одной из двух параллельных прямых и на расстоянии 5 см от другой прямой .
	Точка	О — центр симметрии прямоугольника ABCD .
	Точка	К ( – 200 ; – 70 ) находится во второй четверти .
	Точка	с координатой – 1000 оказалась левее точки – 989 .
	Точка	, изображающая на координатной прямой число 2,7 , расположена левее .
	Точка	является центром симметрии , если при повороте вокруг этой точки на 180е фигура переходит сама в себя .
	Точка	В симметрична точке А относительно точки О .
	Точка	М ( 100 ; 50 ) находится в первой четверти .
	Точка	К симметрична точке М относительно прямой l .
	Точка	Р(120 ; – 80 ) находится в четвёртой четверти .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает число 0 , а другая — число 1	Точка	с координатой 0 делит прямую на два луча .
7	Точка	О — центр симметрии шестиугольника ABCDEK .
	Точка	пересечения прямых О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой ; единичный отрезок , как правило , один и тот же .
	Точка	О является её центром симметрии .
	Точка	N(–150 ; 60 ) находится в третьей четверти .
При повороте на 180 ° точка А перешла в диаметрально противоположную ей точку В.	Точки	А и В называют симметричными относительно точки О .
	Точки	А , В и С — вершины параллелограмма , АВ — его сторона .
Четырёхугольник MANB — квадрат . 4 )	Точки	A и В симметричны относительно прямой MN .
	Точку	пересечения прямых обозначьте буквой О. Постройте с помощью транспортира луч ОК- биссектрису угла AOD .
	Точку	О называют началом координат .
	Трапеция	.
Первый город , Второй город ,	Третий	город , Вариант путешествия .
	Третьим	справа идёт разряд тысячных , четвёртым — разряд десятитысячных и так далее .
	Треугольник	легко достроить до параллелограмма , проведя прямые , параллельные двум его сторонам Очевидно , что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма .
	Треугольник	AMN — равносторонний . 3 )
	Угол	между двумя соседними лучами равен 30 ° .
43	Умножение	десятичных дробей .
	Умножение	десятичной дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 также можно выполнять с помощью переноса запятой .
	Умножение	целых чисел обладает теми же свойствами , что и умножение натуральных чисел , — переместительным и сочетательным ; справедливо также распределительное свойство .
42	Умножение	и деление десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 .
	Умножение	и деление натурального числа на 10 , 100 , 1000 и так далее сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества нулей .
	Умножение	десятичных дробей , как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
95	Умножение	и деление целых чисел .
	Умножив	80 000 на , получим тот же результат .
	Умножив	число 235 на 120 , мы получили в произведении 28 200 .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби на 30 .
	Уравнение	.
	Уравнения	корень .
	Фигура	на кальке совместится с фигурой на бумаге .
	Фигура	, которую вы получили , симметрична .
	Фигуры	центрально - симметричные .
	Фигуры	равновеликие .
	Фигуры	равносоставленные .
	Целые	отрицательные числа , как и целые положительные ( то есть натуральные ) , можно изображать точками на координатной прямой .
Например .	Целые	и дробные числа вместе составляют множество рациональных чисел .
Сравним десятичные дроби	Целые	части этих дробей одинаковы , совпадают также первые три цифры после запятой .
	Целые	части этих дробей одинаковы , но различаются цифры в разряде десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
	Целые	числа также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
	Целые числа	также можно расположить в ряд , но он не будет иметь ни начала , ни конца , продолжаясь бесконечно в обе стороны .
	Центр	окружностей — местоположение аэропорта , точки на экране — самолёты .
	Центр	симметрии параллелограмма — это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	куба — это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	города .
	Центр	симметрии имеет и прямоугольник : это точка пересечения его диагоналей .
	Центр	симметрии фигуры .
	Цилиндр	.
	Четырёхугольник	MANB — квадрат . 4 ) Точки A и В симметричны относительно прямой MN .
Соединим последовательно точки А , В , С и D	Четырёхугольник	ABCD — параллелограмм .
	Четырёхугольник	при этом будет трансформироваться , а треугольник нет .
	Четырёхугольники	ABCD и A1B1C1D1 симметричны относительно прямой k.
	Числа	противоположные .
	Числа	, образующие пропорцию , имеют специальные названия .
	Числа	со знаком « минус » нужны в тех случаях , когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях .
	Числа	0 ; 3,5 ; – 3,5 ; – 5,2 являются координатами точек О , А , В и С .
	Числа	0 и 1 при умножении сохраняют свои свойства .
	Числа	, которые можно подставлять в буквенное выражение , называют допустимыми значениями букв .
	Число	поданных заявлений составило 250 % от числа мест .
	Число	1000 при счёте появляется позже .
	Число	проросших семян .
	Число	пятиклассников относилось к числу шестиклассников как 5:3 .
	Число	проданных запчастей .
	Число	посаженных семян .
	Число	0 занимает , как всегда , особое положение : оно не относится ни к положительным , ни к отрицательным числам , а как бы разделяет их .
	Число	забитых мячей .
	Число	называют эйлеровой характеристикой по имени великого математика Леонарда Эйлера .
	Число	, выражающее отношение длины окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π ( читается « пи » ) — первой буквой слова « периферия » , означающего « окружность » .
	Число	21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 .
	Число	мест в кинозале можно вычислить по формуле .
Число вершин ; Число рёбер ;	Число	граней .
Число вершин ;	Число	рёбер ; Число граней .
Образец , а )	Число	2 принадлежит множеству натуральных чисел , или , иначе , число 2 — натуральное .
	Число	вершин ; Число рёбер ; Число граней .
Закончите предложение ( проверьте себя по учебнику ): 1 ) Замену буквы числом называют ; 2 )	Число	, которое подставляют вместо буквы , называют .
	Число	пропущенных мячей .
	Число	мальчиков относится к числу девочек как 3:2 .
	Число	карандашей в маленькой коробке относится к числу карандашей в большой как 5 : 9 .
	Число	12 называют корнем уравнения .
	Число	учащихся . - не понравилась .
	Число	х называют абсциссой или первой координатой точки А .
	Число	у называют ординатой или второй координатой точки А .
	Число	0 считается противоположным самому себе .
	Число	девочек относится к числу мальчиков как 2:7 .
	Число	2,4 — это среднее арифметическое чисел .
	Число	24 на 9 не делится , а 36 уже делится .
	Шар	.
	Шар	касается всех граней коробки .
	Ширина	железнодорожной колеи — расстояние между рельсами — в России и в Европе не одна и та же .
	Элемент множества	.
	Элементы множества	можно перечислять в любом порядке .
	Эллипс	.
Ось	абсцисс	.
Горизонтальную ось называют осью	абсцисс	( осью х ) , вертикальную ось называют осью ординат ( осью у ) .
Координаты точки записывают в скобках , при этом	абсцисса	пишется на первом месте , а ордината — на втором .
Число х называют	абсциссой	или первой координатой точки А .
Как вы думаете , где расположены все точки с	абсциссой	, равной 4 ?
1 ) а ) На координатной плоскости отметьте пять точек , имеющих	абсциссу	, равную .
Постройте прямую , все точки которой имеют	абсциссу	, равную 3 ; – 2 ; 0 . 2 ) а ) На координатной плоскости отметьте пять точек , имеющих ординату , равную 1 .
Не случайно для таких объединений людей , предметов , понятий придуманы специальные названия :	ансамбль	, сервиз , гарнитур , собрание и так далее .
И конечно , нельзя задать списком	бесконечное множество	.
Переведите запись на русский язык и скажите , верно ли соответствующее утверждение : Если множество состоит из конечного числа элементов , то его называют конечным множеством ; если же элементов бесконечно много , то говорят , что это	бесконечное множество	.
Конструкция из двух зеркал , расположенных под некоторым углом друг к другу , используется в детской игрушке « Калейдоскоп » — « волшебной » трубе , образующей из осколков цветных стёкол	бесконечное множество	узоров .
В натуральном ряду есть начало — число 1 , но нет конца : мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко , до	бесконечности	.
Приведите примеры конечных множеств и	бесконечных множеств	.
1 Приведите примеры конечных множеств ,	бесконечных множеств	.
Углы ВОС и СОА составляют развёрнутый угол , луч ОМ —	биссектриса	угла СОВ , луч ON — биссектриса угла АОС .
Проведите луч ОМ , дополняющий луч ОК до прямой Верно ли , что луч ОМ —	биссектриса	угла COS ?
Углы ВОС и СОА составляют развёрнутый угол , луч ОМ — биссектриса угла СОВ , луч ON —	биссектриса	угла АОС .
Чему равен угол между	биссектрисами	? .
1 вариант , 4 варианта , 6 вариантов , 4 варианта , 1	вариант	.
1	вариант	, 4 варианта , 6 вариантов , 4 варианта , 1 вариант .
Это первые два	варианта	путешествия .
1 вариант , 4 варианта , 6 вариантов , 4	варианта	, 1 вариант .
1 вариант , 4	варианта	, 6 вариантов , 4 варианта , 1 вариант .
Сколько	вариантов	кода в худшем случае ему придётся перебрать , чтобы открыть дверь ? .
Можно ли ответить на вопрос задачи , используя результат предыдущей задачи , без выписывания	вариантов	? .
Сколько всего таких	вариантов	существует ? .
Сколько существует	вариантов	выбора двух кандидатов ? .
Сколько существует	вариантов	, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде ? .
Сколько есть	вариантов	очереди , в которых Игорь на первом месте ?
Сколько есть	вариантов	отбора новеньких у руководителя студии ? .
Ответьте на вопрос , сколько существует различных	вариантов	флагов с белой , синей и красной полосами , а затем зарисуйте их все .
Сколько существует	вариантов	для выбора четвёрки участников соревнования и сколько для выбора пары запасных ?
Сколько в таком случае будет	вариантов	освещения сцены ? .
Подсчитаем общее число	вариантов	.
Сколько существует различных	вариантов	обивки этой мебели ? .
Перебор возможных	вариантов	.
1 вариант , 4 варианта , 6	вариантов	, 4 варианта , 1 вариант .
Сколько этих	вариантов	? .
Сколько этих	вариантов	?
Сколько	вариантов	выбора есть у Маши ? .
Сейчас , как и прежде , мы будем решать их путём перебора всех возможных	вариантов	.
Сколько существует	вариантов	такого маршрута ? .
Умею применять перебор возможных	вариантов	для решения комбинаторных задач .
Сколько имеется	вариантов	освещения сцены ?
А всего , как мы видим , существует 6	вариантов	маршрута .
Дерево возможных	вариантов	.
( Будем считать	вариантом	освещения и случай , когда все прожекторы выключены ) .
Найдём с помощью перебора все возможные	варианты	освещения .
Перечислите все	варианты	выбора участников соревнования в этом случае .
Перечислите все	варианты	выбора участников соревнования .
Может ли одно из этих множеств быть подмножеством другого , и если да , то какие могут быть	варианты	? .
Составьте все возможные	варианты	обеда , состоящего из первого и второго блюд .
Можно сначала найти все возможные	варианты	очереди ( например , построив дерево ) , а затем выбрать нужные .
Найдите среднее арифметическое двух	величин	.
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения	величин	— так называемую метрическую систему мер .
В задачах , а также в жизненной практике часто приходится находить отношение	величин	.
Примером практического применения отношения	величин	, который известен вам из уроков природоведения , географии , является масштаб .
Действительно , если от равных	величин	( площади квадрата и площади прямоугольника ) отнять поровну ( площадь зелёного многоугольника ) , то поровну и останется .
С самых древних времён , наряду с необходимостью считать предметы , у людей появилась потребность в измерении длин , площадей , углов и других	величин	.
при измерении	величин	применяли шестидесятые доли .
Отношение разноимённых	величин	— это новая величина .
В Древнем Риме при измерении	величин	применялись дроби со знаменателем 12 .
Умею выражать значения	величин	десятичными дробями .
Знаю , что показывает отношение чисел и	величин	; умею находить отношение чисел и величин .
Знаю , что показывает отношение чисел и величин ; умею находить отношение чисел и	величин	.
Для сравнения чисел и	величин	существует два способа : вычисление разности или вычисление частного .
Отношение чисел и	величин	— это просто другое название частного .
Отношение длины окружности к её диаметру —	величина	постоянная , не зависящая от размеров окружности .
Отношение разноимённых величин — это новая	величина	.
Числа со знаком « минус » нужны в тех случаях , когда	величина	может изменяться в двух противоположных направлениях .
Слово « модуль » происходит от латинского modus , означающего « мера » , «	величина	» .
Какая	величина	является отношением пути ко времени ?
Используемые единицы измерения часто не укладывались в измеряемой	величине	целое число раз .
Найдите	величину	каждого угла .
Поэтому , чтобы найти один процент от величины , нужно разделить эту	величину	на 100 .
В практической жизни человека — при использовании кулинарных рецептов , при приготовлении смесей и растворов , при распределении доходов — часто возникает необходимость разделить ту или иную	величину	на части , отношение которых равно заданному отношению .
В таких случаях говорят , что требуется разделить	величину	в данном отношении .
Текстовую задачу с помощью уравнения можно решать по следующему плану : обозначить неизвестную	величину	буквой ; составить по условию задачи уравнение ; решить составленное уравнение ; ответить на вопрос задачи .
Поэтому , чтобы найти 10 % от какой - либо величины , достаточно разделить эту	величину	на 10 .
Обозначьте буквой меньшую	величину	.
Сделайте рисунок , выбрав	величину	угла и длины отрезков на своё усмотрение .
Изготовьте развёртку цилиндра в натуральную	величину	и сверните её в цилиндр .
Определите , чему равны	величины	углов четырёхугольника , вершинами которого являются точки пересечения прямых .
Основа такого перевода — введение буквы для обозначения какой - либо неизвестной	величины	.
И если значение	величины	ниже нулевой отметки , то ставят знак « минус » .
Найдите	величины	трёх других углов , если : a ) ∠1 равно 29 ° ; б ) ∠4 равно 137 ° .
В тех случаях , когда	величины	сравнивают с помощью деления , вместо слова « частное » обычно используют термин « отношение » .
Для выражения	величины	отрицательным числом вводят некоторую начальную , нулевую , отметку .
Найдите часть от	величины	.
Можно было рассуждать иначе : 33 %	величины	— это 33 её сотых доли , то есть , чтобы найти от 1200 , нужно 1200 умножить на .
Найдите и запишите	величины	углов , обозначенных цифрами .
Доли	величины	, равные 0,75 ; 0,2 ; 0,05 , выразите в процентах .
Назовите	величины	углов , обозначенных цифрами 6 , 7 и 8 .
1 % — это	величины	.
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу , в которой участвуют три	величины	, обозначенные буквами s , v и t. Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по v и t умножением находим s ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по s и t делением находим t ) .
Запишите	величины	всех углов , обозначенных цифрами .
Процентом от некоторой	величины	называется одна сотая её часть .
Поэтому , чтобы найти один процент от	величины	, нужно разделить эту величину на 100 .
Поэтому , чтобы найти 10 % от какой - либо	величины	, достаточно разделить эту величину на 10 .
Иногда нужное число процентов от	величины	можно найти ещё проще .
Не забудьте выразить	величины	в одних единицах , а ) 10 мин к 10 ч ; б ) 4 ч 40мин ; в ) 1,5 ч 20 мин ; г ) 30 мин к 1 ч 15 мин .
При вычислении отношения в таких случаях важно следить за тем , чтобы	величины	были выражены в одних и тех же единицах .
Вам уже приходилось решать одну из главных задач на проценты : находить некоторое количество процентов от заданной	величины	.
Если это одноимённые	величины	— длины , площади , массы и так далее , то их отношение выражается числом .
Выразите в процентах части	величины	.
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до	верхней грани	параллелепипеда .
Постройте треугольник , если известны координаты его	вершин	.
Сколько	вершин	в каждом основании этой призмы ?
Сумма числа	вершин	и рёбер призмы равна 25 .
У призмы 2000	вершин	.
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его	вершин	.
Сколько у этой призмы	вершин	? .
Пусть в многограннике В — число	вершин	, Р — число рёбер и Г — число граней .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его вершин ; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его	вершин	; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Сколько	вершин	, рёбер , граней : а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Что это за многогранник , если у него : а ) 13	вершин	; б ) 15 рёбер ? .
На координатной плоскости постройте : 1 ) треугольник АВС по координатам его	вершин	; 2 ) треугольник DEF , симметричный треугольнику АВС относительно оси х ; запишите координаты его вершин ; 3 ) треугольник KLM , симметричный треугольнику АВС относительно оси у ; запишите координаты его вершин .
Число	вершин	; Число рёбер ; Число граней .
а ) На координатной плоскости постройте прямоугольник ABCD по координатам его	вершин	.
На нелинованной бумаге начертите произвольный треугольник и постройте симметричный ему относительно одной из его	вершин	.
Конуса	вершина	.
У этих углов общая	вершина	— точка пересечения прямых .
Точно так же любая точка , удалённая от вершины С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья	вершина	треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Существует ли призма , у которой 2001	вершина	? .
У него , как и у пирамиды , есть	вершина	и основание , только в основании лежит не многоугольник , а круг .
понятно , как построить треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС относительно точки О : достаточно построить точки , симметричные его	вершинам	.
Назовите вершину , симметричную	вершине	А , вершине С ; сторону , симметричную стороне ВС , стороне DC , угол , симметричный углу АВС , углу CDA .
Назовите вершину , симметричную вершине А ,	вершине	С ; сторону , симметричную стороне ВС , стороне DC , угол , симметричный углу АВС , углу CDA .
Назовите центрально - симметричные элементы треугольников АВС и А1В1С1 : вершину , симметричную	вершине	A ; сторону , симметричную стороне ВС ; угол , симметричный углу АВС .
Назовите центрально - симметричные элементы треугольников АВС и А1В1С1 :	вершину	, симметричную вершине A ; сторону , симметричную стороне ВС ; угол , симметричный углу АВС .
Начертим прямую и отложим на ней отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью	вершину	— точку В ? .
Назовите	вершину	, симметричную вершине А , вершине С ; сторону , симметричную стороне ВС , стороне DC , угол , симметричный углу АВС , углу CDA .
Постройте точку D — четвёртую	вершину	параллелограмма .
Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием , равным 6 см. Где расположены	вершины	этих треугольников ? .
Укажите координаты точек , в которых стороны треугольника пересекают ось х . б ) Постройте четырёхугольник ABCD , если его	вершины	имеют координаты .
Найдите расстояние : а ) от	вершины	В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от	вершины	А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Начертим прямую и отложим на ней отрезок , равный одной из сторон треугольника , например 5 см. Обозначим его концы —	вершины	будущего треугольника — буквами А и С. Как же построить третью вершину — точку В ? .
Ищем способ построения Правильные многоугольники обладают важным свойством : все	вершины	правильного многоугольника лежат на одной окружности .
Постройте треугольник со сторонами , равными 3 см , 4 см и 6 см. Затем постройте треугольник , симметричный первому треугольнику относительно какой - либо его	вершины	.
Точно так же любая точка , удалённая от	вершины	С на 4 см , лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см. Следовательно , третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности , и второй , а значит , она должна быть точкой пересечения этих окружностей .
Назовите	вершины	куба , симметричные относительно его центра .
Точки А , В и С —	вершины	параллелограмма , АВ — его сторона .
Изображён четырёхугольник ABCD , в котором через противоположные	вершины	проведены прямые АС и BD . 1 ) Поясните , что означают знаки , которые вы видите на чертеже , и запишите условия , выражаемые данными знаками , на математическом языке .
Перпендикуляр , проведённый из	вершины	конуса к плоскости основания , попадает в центр круга .
Перегните его так , чтобы совпали	вершины	при основании , линия сгиба и будет его осью симметрии .
Найдите расстояние от каждой	вершины	треугольника до прямой КМ .
Симметричные	вершины	обозначены одной и той же буквой , но с добавлением индекса — цифры , поставленной внизу .
За год его	вес	увеличился на 200 % .
Во сколько раз увеличился	вес	ребёнка к одному году ? .
Так , спортсмен весом 81 кг попадал в четвёртую категорию : его	вес	более 77 кг , но менее 85 кг .
а ) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского	веса	— унциями : 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это число до десятых ; до единиц .
Так , спортсмен	весом	81 кг попадал в четвёртую категорию : его вес более 77 кг , но менее 85 кг .
Нижняя часть башни — это куб , а средняя её часть —	восьмиугольная призма	, « вырезанная » из точно такого же куба .
Это и есть ответ задачи ; его можно	вписать	в свободное поле большого круга .
Будем последовательно	вписывать	в эти области соответствующие числа .
Значки и марки собирают 16 человек (	впишем	число 16 в пересечение кругов З и М ) .
Знаете ли вы , что такое параллельные брусья , параллельный слалом или параллельное	вращение	?
Для этого преобразуем	выражение	так , чтобы в числителе и знаменателе были натуральные числа .
Замените умножение сложением и запишите	выражение	, равное данному произведению .
А в	выражение	вы пока не можете подставлять числа , меньшие 10 .
Числа , которые можно подставлять в буквенное	выражение	, называют допустимыми значениями букв .
Вы знаете , что числовое	выражение	можно вычислить , то есть найти его значение .
Запишите без скобок	выражение	.
Умею составлять буквенное	выражение	по заданному условию .
Замените	выражение	равным , не содержащим скобок .
Говорят , что при это	выражение	не имеет смысла .
Прочитайте	выражение	, используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » .
Обозначьте его какой - нибудь буквой и запишите следующее	выражение	.
Это	выражение	задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения n.
Это	выражение	означает , что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона , которые и считаются в этом случае координатами .
Запишите это буквенное	выражение	, если в результате подстановок получились следующие числовые выражения .
Придумайте задачу , на вопрос которой можно ответить , составив	выражение	: а ) Автомобиль ехал 2 ч со скоростью а км / ч и 3 ч со скоростью b км / ч .
Что означает	выражение	« идти параллельным курсом » ? .
Подберите значение буквы , при котором	выражение	: а ) а + 1 принимает значение , равное 1 ; 100 ; б ) 10 — х принимает значение , равное 0 ; 1 ; в ) 2с принимает значение , равное 0 ; 1 ; 100 ; г ) принимает значение , равное 0 ; 1 ; 10 .
Какой стала температура вечером ( запишите соответствующее	выражение	) ?
Числовое	выражение	.
Например ,	выражение	означает произведение всех натуральных чисел от 1 до 50 .
Возьмём , например ,	выражение	.
Буквенное	выражение	можно превратить в числовое , если все содержащиеся в нём буквы заменить числами .
Если все содержащиеся в выражении буквы заменить числами , то получится числовое	выражение	.
Например , в	выражение	нельзя подставить число 0 .
В	выражение	, содержащее букву а , последовательно подставили три числа .
Возьмём	выражение	.
Представьте	выражение	в виде суммы и выполните вычисления .
5 , Составьте	выражение	для ответа на вопрос задачи : « Одноклассники подарили Маше на день рождения а гвоздик .
Запишите	выражение	в виде дроби и сократите эту дробь .
Запишите	выражение	, значение которого противоположно значению данного выражения .
Подставьте в	выражение	: с указанные числа и выполните вычисления .
Рассуждая таким же образом , представьте в виде произведения	выражение	.
Например ,	выражение	— числовое , а выражение — буквенное .
Например , выражение — числовое , а	выражение	— буквенное .
Запишите	выражение	в виде частного , используя черту дроби .
Подставим в	выражение	вместо а и b указанные числа , получим .
Составьте	выражение	для вычисления процента выигранных партий .
При вычислении значения такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие деления :	выражение	в числителе делится на выражение в знаменателе .
Если бы мы скобки опустили , то получили бы	выражение	, которое имеет другой смысл : это сумма числа а и произведения чисел b и с .
Подставьте в	выражение	указанные числа и выполните вычисления .
При вычислении значения такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе делится на	выражение	в знаменателе .
Какой была температура у Ивана вечером ( запишите соответствующее	выражение	) ?
Замените сложение умножением и запишите равное этой сумме	выражение	.
Представим данное	выражение	в виде суммы , заменив каждое вычитание сложением .
Заметим , что хотя	выражение	записывают без скобок , они в нём подразумеваются .
Решите задачу , составив	выражение	, соответствующее условию .
Буквенное	выражение	.
Например ,	выражение	является иным способом записи частного .
Образец . 1 ) Не записывая	выражение	в виде суммы явно , перечислите входящие в эту сумму слагаемые .
Если в выражении нет букв , то его называют числовым	выражением	.
Выражение , содержащее буквы ( одну или несколько ) , называют буквенным	выражением	.
Какие из чисел 0 , 10 , 20 , 25 являются допустимыми значениями буквы х в	выражении	.
В данном	выражении	измените знак перед каждым числом на противоположный и найдите значение нового выражения .
Однако , как вы знаете , существует специальная договорённость , которая позволяет в данном случае скобки опустить : если в	выражении	нет скобок , то умножение выполняется раньше сложения .
Если все содержащиеся в	выражении	буквы заменить числами , то получится числовое выражение .
Если в	выражении	нет букв , то его называют числовым выражением .
На значения букв в	выражении	могут накладывать ограничения не только указанные в нём действия , но и условия рассматриваемых ситуаций .
Какие из чисел 0 , 2 , 6 , 10 являются допустимыми значениями буквы b в	выражении	.
Допустимые значения букв в	выражении	.
Поставьте в	выражении	скобки всеми возможными способами и найдите значение каждого из получившихся выражений .
Поставьте в выражении скобки всеми возможными способами и найдите значение каждого из получившихся	выражений	.
Найдите значение каждого из	выражений	.
Умею выполнять вычисления с рациональными числами , находить значения буквенных	выражений	, подставляя вместо букв заданные числа .
Найдите значение каждого из	выражений	mn , mn — 10 , – 2mn при .
Для математики особенно важны множества , составленные из математических объектов — чисел ,	выражений	, точек , фигур и так далее .
Умею вычислять значения	выражений	, содержащих дробные числа , в том числе в ходе решения задач .
Как меняется значение каждого из	выражений	с увеличением значения х ? .
Кроме числовых	выражений	, мы имеем дело и с буквенными .
В математике принято использовать черту дроби в качестве знака деления и при записи более сложных	выражений	.
Закончите вывод : значения	выражений	и являются .
3 ) Какие из данных	выражений	равны .
Не производя вычислений , найдите значения следующих	выражений	.
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения « длинных »	выражений	, составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Из математических	выражений	составляют математические предложения .
Какое из	выражений	можно вычислить только в обыкновенных дробях ?
При записи	выражений	, как числовых , так и буквенных , важно уметь правильно пользоваться скобками .
Значения каких	выражений	равны значению произведения ab ?
Вычислите значение степени : Сравните значения	выражений	.
Запишите в виде буквенных	выражений	произведение и сумму двух последовательных натуральных чисел .
Найдите значение каждого из этих	выражений	.
Обязательные умения . Знаю правила записи и чтения буквенных	выражений	.
Сделайте вывод о значениях этих	выражений	по результатам вычислений .
Найдите значения	выражений	.
1 Запишите каждое из выражений с соблюдением правил записи буквенных	выражений	.
1 Запишите каждое из	выражений	с соблюдением правил записи буквенных выражений .
Для записи длинных	выражений	в математике часто используют многоточие .
В дальнейшем нам будут встречаться дроби , числители и знаменатели которых — любые	выражения	, а не только натуральные числа .
Даны	выражения	.
5 Найдите значение	выражения	.
Как найти значение	выражения	.
Найдём значение	выражения	.
Числовое значение буквенного	выражения	.
Найдём значение	выражения	при а равно 10 , b равно – 12 , с равно – 5 .
Его значение называют значением буквенного	выражения	при данных значениях букв .
Замените вычитание сложением и вычислите значение	выражения	.
Выберите из них то , значение которого : а ) равно значению	выражения	0,5 - 0,9 ; б ) противоположно значению выражения 0,5–0,9 .
Из одного буквенного	выражения	можно получить сколько угодно числовых .
Буквы , входящие в состав буквенного	выражения	, не всегда можно заменять какими угодно числами .
Найдём значение	выражения	при .
Найдите значение	выражения	аb при .
Так , для	выражения	допустимыми являются все числа , кроме 0 .
Выберите из них то , значение которого : а ) равно значению выражения 0,5 - 0,9 ; б ) противоположно значению	выражения	0,5–0,9 .
Запишите ответ на вопрос задачи в виде буквенного	выражения	.
Подберите несколько пар чисел а и b , при которых : а ) значение	выражения	равно 0 ; б ) значение выражения равно 0 .
Подберите несколько пар чисел а и b , при которых : а ) значение выражения равно 0 ; б ) значение	выражения	равно 0 .
Запишите это буквенное выражение , если в результате подстановок получились следующие числовые	выражения	.
Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают : положительные числа записывают без знака « + » , а отрицательное число , которое стоит в начале	выражения	, записывают без скобок .
Прочитайте	выражения	, используя термин « противоположное число » .
Не выполняя вычислений , назовите значение	выражения	при этих же значениях а , b и с .
8 Найдите значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	при а равно 1,6 , b равно 2,4 , с равно 2,8 .
Не проводя вычислений , назовите значение	выражения	этих же значениях а , b и с . б )
Ответ на этот вопрос можно дать в виде буквенного	выражения	.
Найдите значение	выражения	.
Примите по очереди каждую дробную черту за « основную » и запишите соответствующие	выражения	.
Получим . Найдите значение	выражения	двумя способами .
Найдём значение	выражения	при а равно 18 , b равно – 25 .
Воспользовавшись приведённым образцом , найдите значение	выражения	.
Будем подставлять вместо буквы х какие - нибудь числа и каждый раз вычислять значение получившегося числового	выражения	.
Правило	выражения	десятичной дроби дробью .
Математические	выражения	— слова математического языка .
Записи а плюс 5 и это математические	выражения	.
Запишите в виде буквенного	выражения	произведение пяти последовательных натуральных чисел , начиная с числа .
Такие	выражения	, как — – 15 , смысла не имеют .
Найдите значение	выражения	: а ) В обеденном меню школьной столовой имеются два первых блюда — борщ и картофельный суп — и три вторых — сосиски , котлеты и плов .
Найдите значение	выражения	ab при .
Запишите выражение , значение которого противоположно значению данного	выражения	.
Запишите в виде математического	выражения	: а ) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 ; б ) произведение всех натуральных чисел от 1 до n ; в ) сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 ; г ) сумму всех натуральных чисел от 1 до n .
В данном выражении измените знак перед каждым числом на противоположный и найдите значение нового	выражения	.
Буквенные	выражения	записывают по определённым правилам .
4 Запишите без скобок	выражения	.
82 Буквенные	выражения	и числовые подстановки .
Для	выражения	величины отрицательным числом вводят некоторую начальную , нулевую , отметку .
Правило	выражения	десятичной дроби в процентах .
Известно , что . Найдите значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	при .
Объясните , как найти значение	выражения	.
Запишите в виде математического	выражения	.
Найдите значение	выражения	, записав десятичную дробь в виде обыкновенной .
Используя подмеченную закономерность , найдите значение	выражения	.
Найдите значение буквенного	выражения	.
Правило	выражения	десятичной дроби в процентах десятичной .
Известно , что . Вычислите значение	выражения	.
Умею находить значение	выражения	по заданному условию .
Так как 3,5 и 35 , то значение	выражения	равно 35 .
Обратите внимание на то , что в числовых	выражениях	, которые получались при замене буквы числом , мы восстанавливали точку — знак умножения .
Используя шкалу определите примерные значения отмеченных на ней	высот	гор и глубин морей ( данные на шкале выражены в метрах ) .
Длина , ширина и	высота	одного из них м , а другого м .
Цилиндра	высота	.
Конуса	высота	.
Чему равна	высота	цилиндра ?
Чему равна	высота	коробки ?
Чему равна	высота	стен дома на чертеже , если в действительности она равна 6 м ?
У какого конуса	высота	оказалась больше : полученного из большего сектора или из меньшего ?
Сверните из этого же листа цилиндр с другой	высотой	.
Отрезок , соединяющий центры оснований , перпендикулярен каждому из них , его называют	высотой	цилиндра .
Этот перпендикуляр называют	высотой	конуса .
Стены	высотой	2,5 м требуется обложить плитками , исключая окно и дверь , которые занимают 0,1 площади стен .
Придумайте , как измерить	высоту	конуса .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а его длину , ширину и	высоту	соответственно буквами а , b и с. Получим формулу .
Высота Шуховской телебашни в Москве составляет	высоты	Останкинской телебашни .
Какой	высоты	потребуется коробка , чтобы упаковать три таких мяча .
Закрасьте основания цилиндра и конуса , начертите их	высоты	.
Для этого составьте по условию задачи уравнение и решите его : а ) Федя задумал число ,	вычел	из него 10 и получил 15,6 .
Петя задумал число , прибавил к нему 1 , результат разделил на 25 и из результата	вычел	4 , после чего получил 0 .
Решите задачу , составив уравнение : а ) Ученик задумал число , прибавил к нему 7 , эту сумму умножил на 3 , из результата	вычел	15 и получил 30 .
Так , нельзя из числа 3	вычесть	5 .
Чтобы из одного числа	вычесть	другое , можно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
В множестве натуральных чисел сложить можно любые два числа , но	вычесть	одно число из другого можно не всегда .
Чтобы	вычесть	из одного числа другое , нужно к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому .
Чтобы найти модуль суммы , надо из большего модуля	вычесть	меньший .
Но в одних случаях ( когда слагаемые одного знака ) мы эти натуральные числа складываем , а в других случаях ( когда слагаемые разных знаков ) из большего натурального числа	вычитаем	меньшее .
Чтобы вычислить разность чисел 15,6 и 8,8 , преобразуем её так , чтобы	вычитаемое	стало круглым числом .
Выполните	вычитание	.
Запишите равенство , заменив	вычитание	сложением .
Правила	вычитание	.
Мы заменили	вычитание	сложением и затем привели дроби к общему знаменателю .
Представим данное выражение в виде суммы , заменив каждое	вычитание	сложением .
41 Сложение и	вычитание	десятичных дробей .
Затем заменили	вычитание	сложением и вычислили значение получившейся суммы .
Вычислите , заменив	вычитание	сложением .
Коля , выполняя	вычитание	, забыл поставить запятую .
Дело в том , что	вычитание	всегда сводится к сложению .
Замените каждое	вычитание	сложением .
Замените	вычитание	сложением и вычислите значение выражения .
Замените	вычитание	сложением и вычислите .
Величину убытка мы также нашли	вычитанием	.
Найдём	вычитанием	неизвестное слагаемое 2х .
1 ) Чтобы найти площадь многоугольника его можно разбить на прямоугольники и вычислить результат сложением площадей или достроить его до прямоугольника и вычислить результат	вычитанием	площадей .
Модуль суммы найдём	вычитанием	: Таким образом .
Величину дохода в этом случае мы нашли	вычитанием	.
Модуль суммы нашли	вычитанием	.
Рассмотренные правила сложения и	вычитания	позволяют вычислять значения « длинных » выражений , составленных из целых чисел с помощью знаков « плюс » и « минус » .
Вы видели , что результат сложения ,	вычитания	и умножения десятичных дробей выражается десятичной дробью .
Правила	вычитания	с рациональными числами .
Сначала приведём дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом	вычитания	дробей с равными знаменателями .
И в множестве целых чисел действие	вычитания	выполнимо всегда .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и	вычитания	десятичных дробей ; умею складывать и вычитать десятичные дроби .
Знаю правила сложения ,	вычитания	, умножения и деления дробей ; умею выполнять вычисления с дробными числами .
Правила	вычитания	с обыкновенными дробями .
Сформулируйте правило	вычитания	одного числа из другого и проиллюстрируйте его на примере .
Умею складывать и	вычитать	целые числа .
В 5 классе вы научились складывать ,	вычитать	, умножать и делить дроби .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания десятичных дробей ; умею складывать и	вычитать	десятичные дроби .
Дело в том , что ваши знания о числах недостаточны , чтобы	вычитать	из меньшего числа большее .
Благодаря введению отрицательных чисел мы получаем возможность	вычитать	из меньшего числа большее .
1 На примерах вычисления суммы и разности чисел 24,9 и 8,23 расскажите , как складывают и	вычитают	десятичные дроби .
На примере вычисления суммы и разности чисел 7,85 и 0,534 объясните , как складывают и как	вычитают	десятичные дроби .
Объясните на примере дробей как складывают и	вычитают	дроби с разными знаменателями .
Вам известны различные	геометрические фигуры	, как плоские , так и пространственные , но далеко не все .
Вы узнаете , что перекраивают не только старую одежду , границы государств или плохо составленные бюджеты , но и	геометрические фигуры	.
При этом вы обнаружите , что с некоторыми из представителей этих классов	геометрических фигур	вы уже давно знакомы , однако вам откроются такие их свойства , о которых вы не знали .
Вспомните параллели и меридианы , нанесённые на	глобус	.
Минута — это первый шаг уменьшения (	градус	разделили на 60 равных частей ) , а секунда — второй ( минуту разделили на 60 равных частей ) .
Градус разделили на 60 равных частей — минут : в градусе 60 минут , так что 1 минута это часть	градуса	.
Это связано с его происхождением — минута появилась тогда , когда стала необходимой единица измерения углов , меньшая	градуса	.
	Градусам	, его удалённость составляет примерно км » .
Градус разделили на 60 равных частей — минут : в	градусе	60 минут , так что 1 минута это часть градуса .
Запишите с помощью знаков « + » и « – » сообщения службы погоды : 20	градусов	тепла ; 20 градусов мороза .
Запишите с помощью знаков « + » и « – » сообщения службы погоды : 20 градусов тепла ; 20	градусов	мороза .
Учёные в Древнем Вавилоне понимали , что при измерении углов в астрономии , архитектуре , мореплавании нельзя ограничиваться лишь целым числом	градусов	, так как при этом расчёты оказываются очень неточными .
Шар касается всех	граней	коробки .
всего	граней	?
Сколько вершин , рёбер ,	граней	: а ) у семиугольной призмы ; б ) у десятиугольной призмы ; в ) у n - угольной призмы ? .
Число вершин ; Число рёбер ; Число	граней	.
Сколько у неё боковых	граней	?
Рассмотрите дополнительно плоскости , проходящие через диагонали противоположных	граней	.
Пусть в многограннике В — число вершин , Р — число рёбер и Г — число	граней	.
Среди	граней	призмы различают боковые грани и основания .
Призмы боковые	грани	.
Назовите рёбра куба , перпендикулярные : а ) ребру АВ ; б )	грани	CMND .
в ) У призмы 22	грани	.
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней	грани	, до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Основания представляют собой два равных многоугольника , расположенные в параллельных плоскостях , боковые	грани	призмы — прямоугольники .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней	грани	параллелепипеда .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой	грани	, до верхней грани параллелепипеда .
Какой из отрезков самый длинный : ребро куба АВ , диагональ	грани	АС или диагональ куба AD ?
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней	грани	, до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней грани , до левой боковой	грани	параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Посмотрите на куб : ребро АВ перпендикулярно	грани	AKND .
Найдите расстояние : а ) от вершины В до передней грани , до нижней	грани	, до левой боковой грани параллелепипеда ; б ) от вершины А до задней грани , до правой грани , до верхней грани параллелепипеда .
Существует ли призма , у которой 23	грани	? .
площади	грани	малого куба к площади грани большого куба ; 3 ) объёма малого куба к объёму большого куба .
Среди граней призмы различают боковые	грани	и основания .
Точнее , его называют прямоугольным параллелепипедом : все его	грани	— прямоугольники .
Назовите	грани	, являющиеся видимыми .
площади грани малого куба к площади	грани	большого куба ; 3 ) объёма малого куба к объёму большого куба .
Закрасьте видимые боковые	грани	одним цветом , а видимое основание другим .
Перечертите его так , чтобы	грань	SFE была невидимой .
Основание , Боковая	грань	, Основание .
На диаграммах показано соотношение разных возрастных	групп	населения в России и Германии ( в процентах ) .
Если	группа	включает от 3 до 10 человек , то скидка составляет 5 % .
Если в	группе	от 11 до 20 человек , то скидка составляет 10 % .
Задайте сами число экскурсантов в вашей	группе	и определите , сколько нужно заплатить за экскурсию .
Это позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в	группы	.
в 3 раза короче , чем	данный	? .
в 2 раза длиннее , чем	данный	?
Сколько осей симметрии у правильного	девятиугольника	?
Правила	деление	.
Преобразуйте частное так , чтобы делитель был целым числом , и выполните	деление	.
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же , как и	деление	натуральных чисел .
Значит ,	деление	никогда не закончится , сколько бы мы его ни продолжали .
Нуль в остатке означает , что	деление	закончено .
Умею выполнять	деление	десятичных дробей .
6 Вычислите частное , выполнив	деление	уголком .
Поэтому	деление	уголком дроби 0,5 на 3 и оказалось бесконечным .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить	деление	на натуральное число .
Будем делить уголком числитель дроби на её знаменатель и оборвём	деление	в тот момент , когда получим третий знак после запятой .
Рассмотрим , как выполняются ещё два арифметических действия с целыми числами — умножение и	деление	.
Если частное выражается десятичной дробью , его можно вычислить , используя	деление	уголком , так же как при делении натуральных чисел .
Разберите , как выполнено	деление	.
Убедитесь с помощью умножения , что	деление	выполнено верно .
95 Умножение и	деление	целых чисел .
Умею решать задачи на	деление	в данном отношении .
42 Умножение и	деление	десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 .
Выполните	деление	( используйте в качестве образца пример 1 ): Вычислите ( используйте в качестве образца пример 2 ) .
А умножение и	деление	десятичной дроби на « единицу с нулями » сводится к переносу запятой .
Выполните	деление	.
Сразу после того , как закончено	деление	целой части , в частном ставят запятую .
Поэтому в частном записали О целых , после чего поставили запятую и продолжили	деление	.
Посмотрите , как выполнено	деление	.
Поэтому , чтобы продолжить	деление	, мы последовательно приписывали к делимому нули и вычисляли следующие цифры частного .
Умножение и	деление	натурального числа на 10 , 100 , 1000 и так далее сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества нулей .
Объясните , как делят числа одинаковых знаков и разных знаков , и выполните	деление	.
Иначе обстоит дело с	делением	.
Найдём	делением	неизвестный множитель х .
Задания , которые вы выполняли при изучении предыдущего пункта , сводились к нахождению частного десятичных дробей	делением	уголком .
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу , в которой участвуют три величины , обозначенные буквами s , v и t. Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по v и t умножением находим s ) ; ( по s и v делением находим t ) ; ( по s и t	делением	находим t ) .
Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну - единственную формулу , в которой участвуют три величины , обозначенные буквами s , v и t. Если мы знаем две из них , то можем узнать и третью : ( по v и t умножением находим s ) ; ( по s и v	делением	находим t ) ; ( по s и t делением находим t ) .
В метрической системе мер одна единица получается из другой умножением или	делением	на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с единицами длины и массы .
При	делении	нуля на любое целое число , не равное нулю , в частном получается нуль .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при	делении	на 3 в остатке 2 .
Это разбиение составляют три множества : множество чисел , кратных 3 ; множество чисел , дающих при	делении	на 3 в остатке 1 ; множество чисел , дающих при делении на 3 в остатке 2 .
Если частное выражается десятичной дробью , его можно вычислить , используя деление уголком , так же как при	делении	натуральных чисел .
Вы видите , что при	делении	всё время повторяется один и тот же остаток — число 2 .
При умножении и	делении	двух рациональных чисел , как и целых , сначала по правилам знаков определяют знак результата , а затем находят его модуль .
При	делении	на дробь в частном получается число , меньшее делимого .
Сформулируйте правила знаков при умножении и	делении	.
При	делении	любого целого числа на – 1 получается противоположное число .
При	делении	любого целого числа на 1 получается это же число .
К	делению	прибегают в тех случаях , когда хотят получить качественную оценку той или иной ситуации .
Вы видите , что умножение свелось к	делению	на 2 и на 4 соответственно .
А для этого прибегают к	делению	уголком .
Деление на десятичную дробь легко свести к	делению	на натуральное число .
Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от	деления	суммы этих чисел на их количество .
Остаток от	деления	раздробили в десятые и разделили 14 десятых .
Правила	деления	с рациональными числами .
Правила	деления	с обыкновенными дробями .
Можно указать и другие разбиения множества Ν , например по остаткам от	деления	на 3 .
В тех случаях , когда величины сравнивают с помощью	деления	, вместо слова « частное » обычно используют термин « отношение » .
Знаю правила сложения , вычитания , умножения и	деления	дробей ; умею выполнять вычисления с дробными числами .
Поэтому черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия	деления	двух натуральных чисел .
Замените знак	деления	чертой дроби и найдите частное : а ) 8:5 ; б ) 6 : 15 .
Это свойство можно использовать для построения правильного многоугольника : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных дуг ) и соединить последовательно точки	деления	.
При вычислении значения такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие	деления	: выражение в числителе делится на выражение в знаменателе .
Так как в метрической системе мер единицы различаются в 10 , 100 , 1000 раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и	деления	на степень 10 .
Замените знак	деления	чертой дроби и найдите частное .
Сформулируйте правила знаков для умножения и	деления	рациональных чисел .
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет в любом случае находить результат	деления	на 10 , 100 , 1000 и так далее с помощью переноса запятой , — к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные нули .
Замените знаком	деления	черту дроби .
Для ответа на вопрос о том , какую часть составляют 32 000 человек от 80 000 , мы записали дробь , которая выражает частное от	деления	32 000 на 80 000 .
Рассмотрим сначала случай	деления	десятичной дроби на натуральное число .
В математике принято использовать черту дроби в качестве знака	деления	и при записи более сложных выражений .
Правила	деления	двух целых чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков .
Сколько классов содержит разбиение множества натуральных чисел по остаткам от	деления	на 4 ?
Попробуем вычислить его с помощью	деления	уголком .
Продолжите ломаную так , чтобы она	делила	квадрат на две равные части .
Придумайте какую - нибудь другую ломаную , которая	делила	бы квадрат 4×4 клетки на две равные части .
Знаменатель ( число , записанное под чертой ) показывает , на сколько равных долей	делили	целое ; числитель ( число , записанное над чертой ) показывает , сколько таких долей взято .
При делении на дробь в частном получается число , меньшее	делимого	.
Когда все цифры	делимого	93,2 были снесены , нуль в остатке не получился .
В этом случае целая часть	делимого	меньше делителя .
Его значение не изменится , если	делимое	и делитель умножить на 100 .
Вы знаете , что частное двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой —	делимое	, а знаменатель — делитель .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в	делимом	и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите внимание : чтобы из первого частного получить второе , достаточно в	делимом	и делителе перенести запятую на два знака вправо .
Заметим , что в подобных случаях нуль можно приписывать не к	делимому	, а непосредственно к остатку .
Поэтому , чтобы продолжить деление , мы последовательно приписывали к	делимому	нули и вычисляли следующие цифры частного .
Любая ломаная , центрально - симметричная относительно центра квадрата ,	делит	его на две равные части .
Сделав соответствующий рисунок , определите , верно ли следующее утверждение : а ) Любая прямая , проходящая через центр симметрии прямоугольника ,	делит	его на две равные части .
Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки ; пусть одна из них изображает число 0 , а другая — число 1 Точка с координатой 0	делит	прямую на два луча .
Значит , диагональ	делит	параллелограмм на два равных треугольника .
Она	делит	пополам угол , противолежащий основанию , проходит через середину основания и перпендикулярна ему .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в	делителе	.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в	делителе	; выполнить деление на натуральное число .
Обратите внимание : чтобы из первого частного получить второе , достаточно в делимом и	делителе	перенести запятую на два знака вправо .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и	делителе	перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Пусть А — множество натуральных делителей числа 18 , В — множество натуральных	делителей	числа 24 .
Пусть А — множество натуральных	делителей	числа 18 , В — множество натуральных делителей числа 24 .
Его значение не изменится , если делимое и	делитель	умножить на 100 .
Вы знаете , что частное двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой — делимое , а знаменатель —	делитель	.
Преобразуйте частное так , чтобы	делитель	был целым числом , и выполните деление .
В этом случае целая часть делимого меньше	делителя	.
Чтобы найти модуль частного , надо модуль делимого разделить на модуль	делителя	.
1 ) На сколько частей	делится	окружность одним диаметром ?
Число 24 на 9 не	делится	, а 36 уже делится .
Однако эту дробь нельзя привести , например , к знаменателю 10 , так как число 10 на 3 не	делится	.
В то же время в системе измерения времени и углов сохранились древние традиции : например , час	делится	на 60 минут , минута — на 60 секунд .
При вычислении значения такой « многоэтажной » дроби последним выполняется действие деления : выражение в числителе	делится	на выражение в знаменателе .
На сколько частей	делится	сфера одной большой окружностью ?
Число 24 на 9 не делится , а 36 уже	делится	.
Приведём примеры математических предложений : 2 ) 87	делится	на 9 ; 3 ) а — чётное число .
Как обычно , на нуль	делить	нельзя .
Умею умножать и	делить	дроби на 10 , 100 , 1000 .
Будем	делить	уголком числитель дроби на её знаменатель и оборвём деление в тот момент , когда получим третий знак после запятой .
В самом деле , при с равно 0 в знаменателе дроби окажется 0 , а на нуль , как вы знаете ,	делить	нельзя .
Для этого будем	делить	0,5 на 3 .
Для получения более точных результатов меры стали	делить	на части , что и привело к появлению дробей .
Умею умножать и	делить	целые числа .
Поэтому будем	делить	уголком 10 на 7 .
В 5 классе вы научились складывать , вычитать , умножать и	делить	дроби .
Обозначения приняты именно потому , что расстояние	делят	на время .
Объясните , как	делят	десятичную дробь на десятичную .
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то	делят	на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Секунду	делят	не на 60 равных частей , а на десятые , сотые и тысячные .
Они	делят	плоскость на четыре угла .
Для этого отрезок между точками 0 и 1	делят	на 10 равных частей и отсчитывают 3 такие части .
Объясните на примере дробей и , как умножают и	делят	дроби .
Например , ботаники	делят	деревья на лиственные и хвойные .
По какому правилу	делят	десятичную дробь на « единицу с нулями » ?
Объясните , как	делят	числа одинаковых знаков и разных знаков , и выполните деление .
Какие из них	делятся	.
Понятно , что можно было выполнить цепочку сокращений иначе : например , сразу заметить , что числитель и знаменатель	делятся	на 9 .
Но если мы хотим найти наименьший общий знаменатель , то будем действовать с помощью известного вам приёма : будем последовательно перебирать числа , кратные 12 — большему знаменателю , и проверять ,	делятся	ли они на 9 .
Пусть А — множество чисел , которые	делятся	на 4 , но не делятся на 2 .
Пусть А — множество чисел , которые делятся на 4 , но не	делятся	на 2 .
Это означает , что диагонали точкой пересечения	делятся	пополам .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел ,	делящихся	на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел , делящихся на 10 и не делящихся на 5 ? .
Какое из множеств — С или D — является пустым , если : а ) С — множество летающих рыб , a D — множество летающих крокодилов ; б ) С — множество треугольников , имеющих два прямых угла , a D — множество четырёхугольников , имеющих два прямых угла ; в ) С — множество чисел , делящихся на 5 и не делящихся на 10 , a D — множество чисел ,	делящихся	на 10 и не делящихся на 5 ? .
большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел , делящихся на 2 , В — множество чисел ,	делящихся	на 3 .
Пусть А — это множество чисел ,	делящихся	на 3 , а В — множество чисел , делящихся на 5 . 1 ) Какое множество чисел соответствует общей части кругов ?
большой круг изображает множество натуральных чисел N , а два малых — его подмножества : А — множество чисел ,	делящихся	на 2 , В — множество чисел , делящихся на 3 .
Пусть А — это множество чисел , делящихся на 3 , а В — множество чисел ,	делящихся	на 5 . 1 ) Какое множество чисел соответствует общей части кругов ?
Например , участок маршрута , идущий от сухого	дерева	к белому камню , можно записать так : ( сухое дерево , 50 ° , 80 м ) .
Можно сначала найти все возможные варианты очереди ( например , построив	дерево	) , а затем выбрать нужные .
Например , участок маршрута , идущий от сухого дерева к белому камню , можно записать так : ( сухое	дерево	, 50 ° , 80 м ) .
Среди	деревьев	парка берёзы составляли 55 % , осины — 15 % , остальные деревья были других пород .
Например , ботаники делят	деревья	на лиственные и хвойные .
Среди деревьев парка берёзы составляли 55 % , осины — 15 % , остальные	деревья	были других пород .
	Десятиугольника	?
Значит , 7,35 — это	десятичная	запись числа 7 .
Однако мы знаем , что	десятичная	дробь не изменится , если к ней приписать справа нули .
Читается	десятичная	дробь 7,35 так же , как и смешанная дробь 77 целых 35 сотых .
Какая	десятичная	дробь должна быть записана на десятом месте ? .
а ) натуральное число ; б )	десятичная	дробь ? .
Дана	десятичная	дробь 6,73401852 .
Сколько цифр после запятой должна содержать	десятичная	дробь , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 10 000 ?
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель , отличный от 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде	десятичной	.
В ходе решения задачи мы перешли от	десятичной	дроби 0,54 к процентам : 0,54 — это 54 % .
Это и понятно : ведь умножение	десятичной	дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	.
Для записи натуральных чисел мы применяем нумерацию , которую называют	десятичной	.
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет в любом случае находить результат деления на 10 , 100 , 1000 и так далее с помощью переноса запятой , — к	десятичной	дроби слева нужно приписать вспомогательные нули .
Чтобы записать обыкновенную дробь в виде	десятичной	, нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и так далее .
Удобство	десятичной	нумерации подсказало математикам идею распространить её на дроби со знаменателями 10 , 100 , 1000 и так далее .
Деление	десятичной	дроби на 10 , 100 и так далее , также сводится к переносу запятой , но только влево .
Как изменится положение запятой в	десятичной	дроби , если эту дробь : а ) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз ; б ) уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде	десятичной	дроби .
Умножение	десятичной	дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 также можно выполнять с помощью переноса запятой .
Чтобы перейти от	десятичной	дроби к процентам , нужно эту дробь умножить на 100 .
Если дробь нельзя представить в виде	десятичной	дроби , то запишите её приближённое значение с двумя знаками после запятой .
А как , пользуясь сформулированным правилом , продолжить умножение	десятичной	дроби 6,735 на следующие степени числа 10 , то есть на 10 000 , 100 000 и так далее ? .
Дробь — в виде	десятичной	дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 : Так как .
Из записи 7,35 понятно , что в этой	десятичной	дроби содержится 7 единиц , 3 десятых и 5 сотых .
Правило выражения десятичной дроби в процентах	десятичной	.
Выразим дробь — приближённо	десятичной	дробью с двумя знаками после запятой .
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей	десятичной	дробью с нужным числом знаков после запятой .
При чтении	десятичной	дроби сначала называют её часть , стоящую перед запятой , и добавляют слово « целых » , затем называют часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Вы знаете , что не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде	десятичной	.
Приведите пример , когда в результате округления	десятичной	дроби получается целое число .
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными дробями ; цифры , стоящие в	десятичной	дроби после запятой , называют десятичными знаками .
5 Выразите	десятичной	дробью : а ) 39 % ; б ) 50 % ; в ) 6 % ; г ) 230 % .
а ) Рассмотрите два случая : 1 ) обе последние цифры — нули ; 2 ) хотя бы одна из последних цифр не нуль , б ) Рассмотрите случаи , когда нуль стоял в конце	десятичной	дроби и не в конце .
Выразите приближённо обыкновенную дробь	десятичной	дробью с двумя знаками после запятой .
Правило выражения	десятичной	дроби в процентах десятичной .
Например , в	десятичной	дроби 6,8105 последний разряд — это десятитысячные .
Сформулируйте правило умножения	десятичной	дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и так далее .
Представьте полученную дробь	десятичной	дробью и выразите её в процентах .
Поэтому при округлении	десятичной	дроби 21,28 до десятых её и заменяют приближённым значением с избытком : 21,28 ≈ 21,3 .
42 Умножение и деление	десятичной	дроби на 10 , 100 , 1000 .
Замените приближённо обыкновенную дробь	десятичной	дробью с тремя знаками после запятой и округлите результат до сотых .
Однако не всякое дробное число можно записать и в виде	десятичной	, и в виде обыкновенной дроби .
Если число выражено	десятичной	дробью , то его можно представить и в виде обыкновенной дроби ( или смешанной дроби ) .
А умножение и деление	десятичной	дроби на « единицу с нулями » сводится к переносу запятой .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде	десятичной	или десятичную в виде обыкновенной .
Вспомните : к	десятичной	дроби справа можно приписывать любое число нулей , при этом получается дробь , равная данной .
Если нужно построить точку , соответствующую , например ,	десятичной	дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Сколько элементов содержит множество : а ) цифр	десятичной	системы счисления ; б ) букв русского алфавита ; в ) простых чисел , меньших 30 ; г ) двузначных чисел , меньших 100 ? .
Объясните , почему дробь можно представить в виде	десятичной	, а дробь нет .
а ) Выразите	десятичной	дробью .
Умею переходить от	десятичной	дроби к обыкновенной и наоборот .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент	десятичной	дробью можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
Если к	десятичной	дроби приписать справа какое угодно количество нулей , то получится дробь , равная данной .
Таким образом , частное двух десятичных дробей не всегда можно выразить	десятичной	дробью .
Выразим эти доли	десятичной	дробью .
Что произошло с этой	десятичной	дробью ? .
Найдите частное , перейдя к обыкновенным дробям , и , если возможно , выразите ответ	десятичной	дробью .
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить проценты	десятичной	дробью .
Чтобы выразить проценты	десятичной	дробью , надо число , стоящее перед знаком % , разделить на 100 , или , что одно и то же , умножить на 0,01 .
Если частное выражается	десятичной	дробью , его можно вычислить , используя деление уголком , так же как при делении натуральных чисел .
Выразите время в часах сначала обыкновенной дробью , а затем , если возможно ,	десятичной	.
Дробь можно представить в виде	десятичной	.
Выразите время в часах и , если возможно , запишите ответ в виде	десятичной	дроби .
Выразите	десятичной	дробью 17 % , 40 % , 150 % .
Объясните , как можно вычислить произведение	десятичной	и обыкновенной дробей .
На примере числа объясните , как обыкновенную дробь записывают в виде	десятичной	.
Докажите , что дробь можно представить в виде	десятичной	, а дробь нет .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении	десятичной	дроби на десятичную дробь ; на натуральное число .
Представьте ответ , если возможно , в виде	десятичной	дроби .
Точно так же можно показать , что , например . Понятно , что верны равенства , то есть нули , записанные в конце	десятичной	дроби , можно отбрасывать .
	Десятичной	дроби и натурального числа ? .
В каждом предложении замените проценты	десятичной	дробью : а ) В новом году стоимость проезда в метро повысилась на 12 % от его прошлогодней стоимости .
Знаю , какую обыкновенную дробь можно представить в виде	десятичной	, а какую нет .
Запишите сумму в виде	десятичной	дроби .
Правило выражения	десятичной	дроби дробью .
Правило выражения	десятичной	дроби в процентах .
В	десятичной	дроби после запятой столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
Выразим 5 %	десятичной	дробью , получим 0,05 .
Деление	десятичной	дроби на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
У каждой	десятичной	дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Поэтому любое натуральное число можно записать в виде	десятичной	дроби с каким угодно количеством нулей после запятой .
а ) В	десятичной	дроби с « длинным хвостом » зачеркнули две последние цифры .
Представьте в виде обыкновенной дроби ; 2 ) Запишите в виде	десятичной	дроби .
Вы видели , что результат сложения , вычитания и умножения десятичных дробей выражается	десятичной	дробью .
б ) В	десятичной	дроби среди цифр , стоящих после запятой , есть нуль , причём он только один .
Сократите дробь и запишите её в виде	десятичной	.
Представьте дробь в виде	десятичной	.
Если в	десятичной	дроби последние цифры — нули , то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Запишем обыкновенную дробь в виде	десятичной	дроби .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся	десятичной	дробью .
Выразите	десятичной	и обыкновенной дробью .
Выразите	десятичной	дробью .
В знаменателе дроби 4 нуля , значит , в соответствующей	десятичной	дроби должно быть 4 цифры после запятой .
Главное преимущество	десятичной	записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Рассмотрим сначала случай деления	десятичной	дроби на натуральное число .
Прочитайте каждую получившуюся	десятичную	дробь .
Найдите значение выражения , записав	десятичную	дробь в виде обыкновенной .
Замените данную	десятичную	дробь равной , содержащей наименьшее количество десятичных знаков .
Представьте	десятичную	дробь в виде суммы разрядных слагаемых .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или	десятичную	в виде обыкновенной .
Прочитайте	десятичную	дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби .
Запишем	десятичную	дробь 0,259 в виде обыкновенной дроби .
Всякую ли	десятичную	дробь можно записать в виде обыкновенной дроби ?
А как сравнить обыкновенную дробь и	десятичную	, например и 0,6 ?
Представьте	десятичную	дробь 0,49 в виде суммы разрядных слагаемых и , выполнив сложение , получите соответствующую обыкновенную дробь .
Умею сравнивать	десятичную	дробь и обыкновенную .
Например , дробь обращается в	десятичную	, а дробь нет .
Запишите частное в виде обыкновенной дроби и , если возможно , обратите её в	десятичную	.
Чтобы сложить обыкновенную дробь и	десятичную	, их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Нидерландский математик и инженер Симон Стевин ( XVI в . ) , с именем которого связывают открытие десятичных дробей в Европе ,	десятичную	дробь 35,912 записывал так .
33 Перевод обыкновенной дроби в	десятичную	.
Позднее такую	десятичную	дробь стали записывать проще : 35 ° 912 .
1 Запишите какую - нибудь	десятичную	дробь с четырьмя десятичными знаками и прочитайте её .
А вот сумму дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в	десятичную	не обращается .
Прочитайте каждую	десятичную	дробь .
Рассмотрите	десятичную	дробь 93,10897 и ответьте на вопросы .
Признак обратимости обыкновенной дроби в	десятичную	.
Чтобы умножить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
Вычислите , обратив	десятичную	дробь в обыкновенную .
Обратите обыкновенную дробь в	десятичную	двумя способами .
Объясните , как делят десятичную дробь на	десятичную	.
Объясните , как делят	десятичную	дробь на десятичную .
Как выразить	десятичную	дробь в процентах ?
Чтобы разделить десятичную дробь на	десятичную	дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
По какому правилу делят	десятичную	дробь на « единицу с нулями » ?
Обратите внимание : частное равно дроби , которая в	десятичную	не обращается .
Чтобы разделить	десятичную	дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
Чтобы разделить	десятичную	дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите обыкновенную дробь в	десятичную	.
По какому правилу умножают	десятичную	дробь на « единицу с нулями » ?
Деление на	десятичную	дробь легко свести к делению на натуральное число .
На примере вычисления частного чисел 11,9 и 5 расскажите , как можно разделить уголком	десятичную	дробь на натуральное число .
Будем умножать	десятичную	дробь .
Некоторую	десятичную	дробь округлили до сотых , затем эту же дробь округлили до тысячных .
До какого разряда округляли	десятичную	дробь , если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
Вычислите , обратив обыкновенную дробь в	десятичную	.
Возьмём какую - нибудь	десятичную	дробь , например 7,35 .
Дробь нельзя обратить в	десятичную	, поэтому число 0,27 запишем в виде обыкновенной дроби .
Обратите	десятичную	дробь в обыкновенную и выполните умножение .
Чтобы перемножить	десятичную	дробь и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Выразите	десятичную	дробь приближённо в процентах , предварительно округлив её до сотых .
В первом случае мы получили	десятичную	дробь 0,2 , а во втором — обыкновенную дробь , которая в десятичную не обращается .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на	десятичную	дробь ; на натуральное число .
В первом случае мы получили десятичную дробь 0,2 , а во втором — обыкновенную дробь , которая в	десятичную	не обращается .
Отделив запятой справа три цифры , получили	десятичную	дробь 28,200 , то есть 28,2 .
Округлите . 1 )	десятичную	дробь 282,0954 до десятых , до сотых , до тысячных .
Однако прошли века , прежде чем	десятичные	дроби стали широко использоваться при вычислениях и приобрели современный вид .
Вы умеете сравнивать две обыкновенные дроби и две	десятичные	.
Укажите какие - нибудь три	десятичные	дроби , заключённые между .
Сравним	десятичные	дроби Целые части этих дробей одинаковы , совпадают также первые три цифры после запятой .
Сравним	десятичные	дроби 1,8 и 1,42 .
Например ,	десятичные	дроби 0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число .
Сравним	десятичные	дроби 2,7 и 3,1 .
Умею сравнивать	десятичные	дроби , упорядочивать несколько десятичных дробей .
Прочитайте	десятичные	дроби .
6 Запишите в порядке возрастания	десятичные	дроби .
Умею изображать	десятичные	дроби точками на координатной прямой .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение —	десятичные	дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Умею читать	десятичные	дроби .
Знаю правило умножения десятичных дробей ; умею умножать	десятичные	дроби .
Запишите все	десятичные	дроби , которые можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , соблюдая следующее условие : цифра используется в записи числа не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
Рассмотренные примеры позволяют сформулировать правило , по которому можно округлять	десятичные	дроби .
,	десятичные	дроби можно округлять до единиц , десятых , сотых , тысячных и так далее .
Используя	десятичные	дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы длины .
Продолжите последовательность десятичных дробей , записав ещё два числа , и прочитайте все записанные	десятичные	дроби .
Вычислите , обратив обыкновенные дроби в	десятичные	.
На примере вычисления суммы и разности чисел 7,85 и 0,534 объясните , как складывают и как вычитают	десятичные	дроби .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания десятичных дробей ; умею складывать и вычитать	десятичные	дроби .
В настоящее время известны его	десятичные	приближения с очень большим числом десятичных знаков .
Выпишите все	десятичные	дроби с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
Вычитать	десятичные	дроби можно также в столбик .
Однако для практических расчётов	десятичные	дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после запятой .
Приведите дроби к одному из знаменателей 10 или 100 и запишите соответствующие	десятичные	дроби .
Точно так же и другие	десятичные	дроби выражаются в процентах .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать	десятичные	дроби при выполнении процентных вычислений .
Поэтому , чтобы сложить эти	десятичные	дроби , необязательно обращать их в обыкновенные .
1 На примерах вычисления суммы и разности чисел 24,9 и 8,23 расскажите , как складывают и вычитают	десятичные	дроби .
На примере числа 65,249 расскажите , как читают	десятичные	дроби .
С развитием науки потребовались новые единицы измерения и соответственно новые	десятичные	приставки .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним	десятичным	знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
Но в такой форме ответ неудобен , поэтому перейдём к	десятичным	дробям .
Перейдём от обыкновенных дробей к	десятичным	, а затем к процентам .
Число 21,28 заключено между	десятичными	дробями 21,2 и 21,3 .
Какой знак сравнения нужно поставить между данными	десятичными	дробями , чтобы получить верное неравенство .
Какие натуральные числа заключены между данными	десятичными	дробями ?
Правила действий с	десятичными	дробями .
Ответ выразите	десятичными	дробями .
Решите задачу и запишите ответ с тремя	десятичными	знаками после запятой .
Удобство обращения с	десятичными	дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
1 Запишите какую - нибудь десятичную дробь с четырьмя	десятичными	знаками и прочитайте её .
Выразите проценты , приведённые на диаграмме ,	десятичными	дробями .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять	десятичными	дробями и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Умею выражать значения величин	десятичными	дробями .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над	десятичными	дробями почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Глава 4 Действия с	десятичными	дробями .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя	десятичными	знаками ) .
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют	десятичными	дробями ; цифры , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют десятичными знаками .
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными дробями ; цифры , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют	десятичными	знаками .
Умею выражать проценты	десятичными	дробями и наоборот .
Пусть нужно найти сумму	десятичных	дробей 3,44 и 7,28 .
Знаю правило умножения	десятичных	дробей ; умею умножать десятичные дроби .
43 Умножение	десятичных	дробей .
Теперь для некоторых дробных чисел у вас есть два способа записи — в виде обыкновенных дробей и в виде	десятичных	, и нужно уметь переходить от одной формы записи к другой .
Умножение	десятичных	дробей , как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
Умею выполнять деление	десятичных	дробей .
Знаю правила округления	десятичных	дробей и умею применять их на практике .
41 Сложение и вычитание	десятичных	дробей .
34 Сравнение	десятичных	дробей .
Какие из дробей можно представить в виде	десятичных	? .
Так же обстоит дело и при записи чисел в виде	десятичных	дробей .
Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных	десятичных	дробей убрать запятые .
Представьте данное число в виде произведения двух	десятичных	дробей ( укажите два решения ) .
Таким образом ,	десятичных	знаков в произведении столько же , сколько их в множителях вместе .
Продолжите последовательность	десятичных	дробей , записав ещё два числа , и прочитайте все записанные десятичные дроби .
Запишите числа в виде	десятичных	дробей и прочитайте их .
Задания , которые вы выполняли при изучении предыдущего пункта , сводились к нахождению частного	десятичных	дробей делением уголком .
Правило сравнения	десятичных	дробей .
Проиллюстрируйте правило округления	десятичных	дробей на примере округления дроби 0,3725 до сотых , до тысячных .
В настоящее время известны его десятичные приближения с очень большим числом	десятичных	знаков .
Какие из рассмотренных в тексте	десятичных	приставок , с помощью которых образуются названия единиц измерения , означают увеличение исходной единицы и какие — уменьшение ?
С помощью	десятичных	дробей выразите : а ) в метрах : 53 см , 4 м 67 см , 277 см , 304 см ; б ) в килограммах : 2 кг 255 г , 350 г , 1470 г ; в ) в тоннах : 1 т 255 кг , 678 кг , 2034 кг .
Запишите в виде	десятичных	дробей следующие обыкновенные дроби .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление	десятичных	дробей ? .
Ученики выполняли задание на округление	десятичных	дробей , и при этом было допущено несколько ошибок .
Представьте дроби в виде	десятичных	дробей , если это возможно .
Какие из них можно представить в виде	десятичных	дробей ?
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в дроби 6,735 содержится ровно 3	десятичных	знака .
При использовании	десятичных	дробей в практических расчётах их обычно округляют .
46 Округление	десятичных	дробей .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания	десятичных	дробей ; умею складывать и вычитать десятичные дроби .
Какие из перечисленных дробей можно представить в виде	десятичных	, а какие нельзя .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество	десятичных	знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Чтобы найти сумму ( разность )	десятичных	дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число	десятичных	знаков , приписав к дроби 3,5 справа нуль .
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из	десятичных	дробей 3,44 и 7,28 убрать запятые .
Запишите в виде	десятичных	дробей .
45 Деление	десятичных	дробей ( продолжение ) .
Чтобы найти произведение двух	десятичных	дробей , можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа .
Опровергните с помощью контрпримера утверждение : из двух	десятичных	дробей больше та , у которой цифр после запятой больше .
Тогда можно будет воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом умножения	десятичных	дробей .
Поэтому выполним умножение в	десятичных	дробях .
Всего можно записать 18	десятичных	дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
Изобретение	десятичных	дробей является одним из величайших достижений человеческой культуры .
Замените данную десятичную дробь равной , содержащей наименьшее количество	десятичных	знаков .
При умножении	десятичных	дробей в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
Нидерландский математик и инженер Симон Стевин ( XVI в . ) , с именем которого связывают открытие	десятичных	дробей в Европе , десятичную дробь 35,912 записывал так .
4 Представьте в виде	десятичных	дробей числа , для которых это возможно .
Таким образом , частное двух	десятичных	дробей не всегда можно выразить десятичной дробью .
Как определяют положение запятой в произведении	десятичных	дробей ?
Пусть В — множество обыкновенных дробей , которые можно представить в виде	десятичных	.
Вы видели , что результат сложения , вычитания и умножения	десятичных	дробей выражается десятичной дробью .
Правило округления	десятичных	дробей .
В каких дробях можно выполнить сравнение данных чисел — в обыкновенных , в	десятичных	или и в тех и в других .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют запятой столько	десятичных	знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
44 Деление	десятичных	дробей .
в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр , сколько	десятичных	знаков содержится в обоих множителях вместе .
Умею сравнивать десятичные дроби , упорядочивать несколько	десятичных	дробей .
Подобно тому как натуральные числа округляют до	десятков	, сотен , тысяч и так далее .
Полученные числовые значения округлите до	десятков	.
натуральное число 2 820 954 до	десятков	, до сотен , до тысяч .
Ответы округлите до	десятков	.
Какая цифра записана в разряде	десятков	и какая — в разряде десятых ? .
Диагонали прямоугольника равны , а	диагонали	квадрата не только равны , но и перпендикулярны друг другу .
Постройте параллелограмм по заданным сторонам и	диагонали	.
Постройте параллелограмм ,	диагонали	которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под углом 30 ° .
Скопируйте параллелограммы в тетрадь и проведите их	диагонали	.
10 Прямоугольник со сторонами 3 см и 6 см разрезали по	диагонали	.
Начертите : а ) какой - нибудь параллелограмм , диагонали которого равны 4 см и 6 см ; б ) ромб ,	диагонали	которого равны 4 см и 6 см .
В каждом четырёхугольнике проведите	диагонали	и постройте точку , симметричную точке пересечения диагоналей четырёхугольника .
а ) Постройте прямоугольник ,	диагонали	которого равны по 6 см. Постройте другой прямоугольник с такими же диагоналями .
Начертите : а ) какой - нибудь параллелограмм ,	диагонали	которого равны 4 см и 6 см ; б ) ромб , диагонали которого равны 4 см и 6 см .
Квадрат разрезали по его	диагонали	и из получившихся частей сложили треугольник .
Рассмотрите дополнительно плоскости , проходящие через	диагонали	противоположных граней .
Значит ,	диагональ	делит параллелограмм на два равных треугольника .
Какой из отрезков самый длинный : ребро куба АВ , диагональ грани АС или	диагональ	куба AD ?
Является ли	диагональ	осью симметрии прямоугольника ? .
Какой из отрезков самый длинный : ребро куба АВ ,	диагональ	грани АС или диагональ куба AD ?
а ) Вычислите длину окружности ,	диаметр	которой равен 10 см ; 2,5 м . б ) Вычислите длину окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м .
Обозначим длину окружности буквой С , а её	диаметр	буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то π .
Известно , что во всех цирках мира	диаметр	арены равен 13 м .
Найдите объём шара ,	диаметр	которого равен 12 см .
У шара и сферы , так же как у круга и окружности , есть центр , радиус и	диаметр	.
9 Найдите площадь круга ,	диаметр	которого равен 10 см .
Далее измерьте линейкой	диаметр	донышка и вычислите отношение длины окружности к длине диаметра .
Самая большая параллель — это экватор , его	диаметр	равен диаметру Земли .
Шара	диаметр	.
Чему равна длина окружности ,	диаметр	которой равен 1 ?
Представьте , что вам необходимо измерить	диаметр	арбуза , имеющего форму шара .
Отметьте центр шара , начертите его радиус и	диаметр	.
8 Найдите длину окружности ,	диаметр	которой равен 20 см .
Что надо сделать , чтобы найти	диаметр	арбуза ? .
Определите её размеры , если	диаметр	шара равен 8 см .
Далее измерьте линейкой диаметр донышка и вычислите отношение длины окружности к длине	диаметра	.
Таким образом , путём эксперимента вы установили , что длина окружности примерно в 3 раза больше её	диаметра	.
двумя	диаметрами	?
тремя	диаметрами	?
1 ) На сколько частей делится окружность одним	диаметром	?
Найдём , какой длины бордюр потребуется для ограждения клумбы , имеющей форму круга с	диаметром	, равным 4 м .
Сколько шаров	диаметром	1 см войдёт в кубическую коробку с ребром 4 см ?
Маша раскатала тесто в квадрат со стороной 30 см и стаканом вырезала 16 кругов	диаметром	7 см. Чему равна площадь обрезков ? .
Число , выражающее отношение длины окружности к её	диаметру	, принято обозначать греческой буквой π ( читается « пи » ) — первой буквой слова « периферия » , означающего « окружность » .
Их диаметры равны	диаметру	шара .
Самая большая параллель — это экватор , его диаметр равен	диаметру	Земли .
Отношение длины окружности к её	диаметру	— величина постоянная , не зависящая от размеров окружности .
Обозначим длину окружности буквой С , а её диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к	диаметру	равно π , то π .
Когда параллели приближаются к полюсам , их	диаметры	уменьшаются .
Их	диаметры	равны диаметру шара .
Есть три мяча ,	диаметры	которых равны 6 см 7 мм , 6 см 4 мм , 7 см. Все ли они соответствуют этому требованию ? .
В таблице даны	диаметры	d ( в м ) различных круглых салфеток .
Вы наверняка слышали о золотом сечении , а это не что иное , как отношение	длин	отрезков , примерно равное 1,66 .
С самых древних времён , наряду с необходимостью считать предметы , у людей появилась потребность в измерении	длин	, площадей , углов и других величин .
Стороны прямоугольника равны 9 см и 6 см. Найдём отношения	длин	его сторон .
Какими бы ни были конкретные значения	длин	сторон треугольника , чтобы найти его периметр , их надо сложить .
Начертите какой - нибудь прямоугольник , отношение	длин	сторон которого равно 4:3 .
Математики Древней Греции неожиданно обнаружили , что для решения такой практически важной задачи , как измерение	длин	отрезков , не хватает не только целых , но и дробных чисел , так что возникла необходимость в изобретении новых чисел .
Чему равна	длина	фасада этого дома , если на чертеже она изображается отрезком , равным 35 см ? .
Во сколько раз при этом уменьшается	длина	её стороны ?
В какой момент	длина	отрезка АВ будет наибольшей ?
Начертите отрезок АВ ,	длина	которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых равны 80 % , 150 % , 200 % и 220 % длины отрезка АВ .
Чему равна	длина	отрезка , который на 10 м длиннее данного ?
Огород имеет форму прямоугольника ,	длина	которого 8 м , ширина 2,5 м .
Чему равна	длина	каждой части ?
Чему равна	длина	окружности , диаметр которой равен 1 ?
а ) Найдите площадь комнаты , если её длина равна 6 м . б ) Найдите площадь комнаты , если её	длина	больше её ширины на 0,8 м .
Чему равна	длина	отремонтированного участка дороги ?
Начертите две окружности радиусами , равными 2 см и 4 см. Во сколько раз	длина	второй окружности больше длины первой ?
Пусть	длина	стороны равностороннего треугольника равна а .
Сколько рулонов обоев надо купить , если	длина	каждого рулона 10,5 м ? .
б ) Доску ,	длина	которой 6,2 м , надо распилить на куски длиной 0,8 м .
Составьте формулу периметра равнобедренного треугольника , у которого	длина	основания равна а , а длина боковой стороны равна b .
Два брата должны были покрасить половину забора ,	длина	которого 128 м .
Составьте формулу периметра равнобедренного треугольника , у которого длина основания равна а , а	длина	боковой стороны равна b .
а ) Найдите площадь комнаты , если её	длина	равна 6 м . б ) Найдите площадь комнаты , если её длина больше её ширины на 0,8 м .
Чему равна	длина	столба , если его надземная часть 1,6 м ? .
Таким образом , путём эксперимента вы установили , что	длина	окружности примерно в 3 раза больше её диаметра .
Чему равна	длина	оси римской колесницы и длина оси английской конки ?
Чему равна сторона участка , если её	длина	на плане равна 16 см ? .
Чему равна длина оси римской колесницы и	длина	оси английской конки ?
В каком бы месте ни провести перпендикуляр с ,	длина	отрезка MN будет одной и той же .
От верёвки ,	длина	которой 4 м , нужно отрезать 4 м .
б ) Какую часть длины данного отрезка составляет	длина	каждой получившейся части ? .
На отрезке АВ ,	длина	которого равна 6 см , отмечена точка С так , что AС равно 2 см. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и СВ .
Решите эту же задачу , если AB равно 10 см и AC равно 6 см . 2 ) На отрезке АВ ,	длина	которого равна 8 см , точка С отмечена произвольным образом .
При этом расстояние — это всегда	длина	кратчайшего пути .
Ванна школьного бассейна имеет форму параллелепипеда , его	длина	25 м , ширина 16 м , глубина 3 м .
Его	длина	и есть расстояние между точками А и В .
Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к	длине	соответствующего отрезка на местности .
Расстояние от центра О до прямой равно	длине	перпендикуляра ОМ .
Отношение стоимости товара к его количеству ( массе ,	длине	, числу штук и так далее . ) — это цена товара .
Далее измерьте линейкой диаметр донышка и вычислите отношение длины окружности к	длине	диаметра .
а ) Сколько кусков ленты по 2,5 м получится из мотка	длиной	23 м ? .
Определите площадь окон , вымытых за час . а ) От ленты	длиной	2 м 40 см отрезали 4 её длины .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок	длиной	3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
14 Ленту	длиной	5,7 м разрезали на 4 равные части .
Выполните следующие построения на альбомном листе бумаги : 1 ) Начертите отрезок АВ	длиной	6 см. 2 ) Проведите окружность с центром в точке А , радиус которой равен 4 см. 3 )
б ) Доску , длина которой 6,2 м , надо распилить на куски	длиной	0,8 м .
Чтобы сшить кухонные полотенца , хозяйка отрезала от куска полотна	длиной	5,5 м несколько кусков по 0,65 м .
У неё остался кусок	длиной	0,95 м .
Проволоку	длиной	24 см согнули в прямоугольник .
Даны четыре отрезка	длиной	2 см , 3 см , 5 см и 6 см. Используя неравенство треугольника , определите , сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков .
2 ) Колонна автобусов	длиной	400 м движется по шоссе со скоростью 50 км / ч .
Отрезок	длиной	36 см разделили на две части так , что одна часть оказалась в 2 раза больше другой .
а ) Рулон обоев	длиной	10,5 м разрезали на 8 равных кусков .
При ремонте участка шоссе	длиной	20 км в первый день отремонтировали 0,35 всего участка , во второй день — 0,4 всего участка , остальное — в третий день .
При этом оставляют проёмы	длиной	4 м и 1,5 м для ворот и калитки .
От провода	длиной	6 м отрезали 0,25 его длины .
Бригада должна отремонтировать участок дороги	длиной	900 м .
Участок шоссе на карте изображён линией	длиной	20 см. Масштаб карты 1 : 200 000 .
а ) От ленты	длиной	15 м отрезали 0,3 её длины .
Бригада строителей проложила асфальтовую дорогу	длиной	9 км за четыре месяца .
Обозначим объём параллелепипеда буквой V , а его	длину	, ширину и высоту соответственно буквами а , b и с. Получим формулу .
а ) Вычислите	длину	окружности , диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б ) Вычислите длину окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м .
Сколько метров дороги построено , если вся дорога будет иметь	длину	850 м ? .
Чтобы найти периметр прямоугольника , можно умножить на 2	длину	каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить .
Известно , что ΑΝ равно 4,5 см и CL равно 2,5 см. Найдите : а ) периметр прямоугольника КВМО ; б ) периметр прямоугольника AKLD ; в ) периметр прямоугольника ABCD ; г )	длину	ломаной ANMCD .
а ) Вычислите длину окружности , диаметр которой равен 10 см ; 2,5 м . б ) Вычислите	длину	окружности , радиус которой равен 7,5 см ; 5 м .
Вычислите	длину	экватора .
Вы получите	длину	окружности , ограничивающей дно стакана .
Найдите	длину	оставшейся части .
Найдите примерную	длину	каждой части .
Могу , используя формулы С равно 2πr и 5 равно πr2 , вычислять	длину	окружности и площадь круга .
Найдите	длину	дорожки и площадь стадиона .
Оберните стакан ниткой и , развернув нитку , измерьте её	длину	линейкой .
Какой из отрезков имеет наибольшую	длину	? .
Обозначьте	длину	его стороны какой - нибудь буквой .
8 Найдите	длину	окружности , диаметр которой равен 20 см .
Представьте , что вы помогаете родителям делать ремонт в ванной комнате , которая имеет	длину	3,5 м и ширину 2,5 м .
Найдите	длину	всего пути .
Найдите	длину	дуги окружности , выделенной зелёным цветом .
Убедитесь , что нельзя построить треугольник , стороны которого равны : а ) 7 см , 3 см и 3 см ; б ) 6 см , 4 см и 2 см. Измените	длину	одной из сторон так , чтобы треугольник можно было построить .
Вычислите	длину	ломаной , если стороны сетки равны 0,5 см и 1,5 см .
Обозначьте	длину	его ребра какой - нибудь буквой и составьте формулу объёма куба .
Найдите	длину	третьей стороны треугольника , если .
Чтобы получить формулу , по которой можно вычислить	длину	окружности , проведите такой эксперимент .
Обозначим	длину	окружности буквой С , а её диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно π , то π .
Какую	длину	будет иметь одна из сторон этого прямоугольника , если другая сторона равна 5 см ?
Вычислите неизвестную	длину	третьего ребра параллелепипеда , если .
Выразите	длину	какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и длины двух других рёбер .
Измерьте	длину	и ширину тетради и выразите результаты сначала в миллиметрах , затем в сантиметрах и , наконец , в дециметрах .
Найдите	длину	каждого куска .
Подставим в формулу	длины	окружности значение d и возьмём π — 3,14 , получим .
В метрической системе мер одна единица получается из другой умножением или делением на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с единицами	длины	и массы .
Масштабом называют отношение	длины	отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности .
Так , например , чтобы найти отношение 1 м к 45 см , надо выразить эти	длины	в одних единицах , например в сантиметрах .
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух чисел , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица	длины	на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Если это одноимённые величины —	длины	, площади , массы и так далее , то их отношение выражается числом .
Обозначим длину окружности буквой С , а её диаметр буквой d. Так как отношение	длины	окружности к диаметру равно π , то π .
Найдите	длины	отрезков АВ , АС и СВ .
Число , выражающее отношение	длины	окружности к её диаметру , принято обозначать греческой буквой π ( читается « пи » ) — первой буквой слова « периферия » , означающего « окружность » .
Используя десятичные дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы	длины	.
Запишите формулу для вычисления	длины	l проволоки , которая потребуется на изготовление его каркаса .
Измерьте	длины	сторон четырёхугольника .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки , длины которых равны 80 % , 150 % , 200 % и 220 %	длины	отрезка АВ .
Начертите отрезок АВ , длина которого равна 5 см. Начертите отрезки ,	длины	которых равны 80 % , 150 % , 200 % и 220 % длины отрезка АВ .
б ) Какую часть	длины	данного отрезка составляет длина каждой получившейся части ? .
Далее измерьте линейкой диаметр донышка и вычислите отношение	длины	окружности к длине диаметра .
84 Формулы	длины	окружности , площади круга и объёма шара .
Выполните необходимые измерения , выразите	длины	в сантиметрах и определите , какой путь короче .
Сравните в каждом случае	длины	отрезков АС и ВС .
Отношение	длины	окружности к её диаметру — величина постоянная , не зависящая от размеров окружности .
а ) От ленты длиной 15 м отрезали 0,3 её	длины	.
Определите площадь окон , вымытых за час . а ) От ленты длиной 2 м 40 см отрезали 4 её	длины	.
Сделайте рисунок и составьте формулу для вычисления	длины	троса L. Вычислите L при х равно 60 м , у равно 20 м .
От провода длиной 6 м отрезали 0,25 его	длины	.
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5 единицы , получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же	длины	, получим точку – 3,5 .
Выразите длину какого - либо ребра параллелепипеда через его объём и	длины	двух других рёбер .
Отношение	длины	комнаты к её ширине равно 5:4 .
Знаю , что такое масштаб ; умею находить	длины	и расстояния , учитывая масштаб изображения .
Столб , врытый в землю , возвышается над землёй на 0,8 своей	длины	.
Обозначим периметр треугольника буквой Р , а	длины	его сторон буквами а , b и с. Тогда .
Найдём , какой	длины	бордюр потребуется для ограждения клумбы , имеющей форму круга с диаметром , равным 4 м .
Чтобы найти площадь прямоугольника , нужно перемножить	длины	его смежных сторон .
Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить	длины	его смежных сторон и результат умножить на 2 .
Обозначим	длины	сторон прямоугольника буквами а и b , тогда .
Формула	длины	окружности .
Если в формулу вместо d подставить 2r , то получим другую формулу	длины	окружности .
Пусть	длины	сторон треугольника равны 4 см , 6 см и 7 см. Тогда его периметр равен .
Начертите две окружности радиусами , равными 2 см и 4 см. Во сколько раз длина второй окружности больше	длины	первой ?
Пусть а , b , с —	длины	сторон треугольника .
Это формула	длины	окружности .
Чтобы отметить , например , числа 1 , 2 , 3 , 4 , надо отложить вправо от нуля отрезки ,	длины	которых равны 1 , 2 , 3 , 4 единицам .
Вам известны соотношения , с помощью которых одни единицы	длины	выражаются через другие , более мелкие .
Сделайте рисунок , выбрав величину угла и	длины	отрезков на своё усмотрение .
Если	домножить	его на три пятёрки , то получится один из знаменателей указанного ряда — число 1000 .
Какие из	дробей	можно представить в виде десятичных ? .
Умею выполнять деление десятичных	дробей	.
Ученики выполняли задание на округление десятичных	дробей	, и при этом было допущено несколько ошибок .
Запишите числа в виде десятичных	дробей	и прочитайте их .
Чтобы найти сумму или разность	дробей	с разными знаменателями , нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю .
Сначала приведём дроби к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания	дробей	с равными знаменателями .
Запишите в виде десятичных	дробей	.
Чтобы найти сумму или разность	дробей	с одинаковыми знаменателями , нужно найти сумму или разность их числителей , а знаменатель оставить прежним .
Перейдём от обыкновенных	дробей	к десятичным , а затем к процентам .
Изобретение десятичных	дробей	является одним из величайших достижений человеческой культуры .
Знаю , в чём состоит основное свойство дроби ; умею применять его для приведения	дробей	к новому знаменателю и сокращения дробей .
Знаю , в чём состоит основное свойство дроби ; умею применять его для приведения дробей к новому знаменателю и сокращения	дробей	.
Задания , которые вы выполняли при изучении предыдущего пункта , сводились к нахождению частного десятичных	дробей	делением уголком .
Какие из перечисленных	дробей	можно представить в виде десятичных , а какие нельзя .
Запишите в виде десятичных	дробей	следующие обыкновенные дроби .
Объясните , как можно вычислить произведение десятичной и обыкновенной	дробей	.
Для этого в записи таких	дробей	стали использовать новые разряды , располагая их правее разряда единиц .
Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа 376 и 24 , которые получаются , если из данных десятичных	дробей	убрать запятые .
Вы видите , что при записи отрицательных	дробей	« минус » можно ставить перед дробью , вносить его в числитель или убирать в знаменатель .
Проиллюстрируйте правило округления десятичных	дробей	на примере округления дроби 0,3725 до сотых , до тысячных .
Наименьший общий знаменатель	дробей	равен 80 ( объясните , как он найден ) .
Главное преимущество десятичной записи	дробей	заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у	дробей	различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Всего можно записать 18 десятичных	дробей	: 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
В самом деле , запишем каждую из этих	дробей	в виде обыкновенной дроби .
Объясните на примере	дробей	и , как умножают и делят дроби .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6	дробей	, составленных из двух каких - либо цифр , и 12 дробей , составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
Целые части этих	дробей	одинаковы , но различаются цифры в разряде десятых : 8 десятых больше , чем 4 десятых .
Так же обстоит дело и при записи чисел в виде десятичных	дробей	.
Таким образом , частное двух десятичных	дробей	не всегда можно выразить десятичной дробью .
Объясните на примере	дробей	как складывают и вычитают дроби с разными знаменателями .
При использовании десятичных	дробей	в практических расчётах их обычно округляют .
Всего можно записать 18 десятичных дробей : 6 дробей , составленных из двух каких - либо цифр , и 12	дробей	, составленных из трёх цифр ( из них 6 с одним десятичным знаком и 6 с двумя десятичными знаками ) .
31 Десятичная запись	дробей	.
34 Сравнение десятичных	дробей	.
Пусть В — множество обыкновенных	дробей	, которые можно представить в виде десятичных .
Знаю правило умножения десятичных	дробей	; умею умножать десятичные дроби .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных	дробей	, можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Продолжите последовательность десятичных	дробей	, записав ещё два числа , и прочитайте все записанные десятичные дроби .
Вы видели , что результат сложения , вычитания и умножения десятичных	дробей	выражается десятичной дробью .
Представьте дроби в виде десятичных	дробей	, если это возможно .
44 Деление десятичных	дробей	.
Сравним десятичные дроби Целые части этих	дробей	одинаковы , совпадают также первые три цифры после запятой .
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания десятичных	дробей	; умею складывать и вычитать десятичные дроби .
45 Деление десятичных	дробей	( продолжение ) .
41 Сложение и вычитание десятичных	дробей	.
Вы видите , что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел 344 и 728 , которые получаются , если из десятичных	дробей	3,44 и 7,28 убрать запятые .
Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление десятичных	дробей	? .
Математики придумали для таких	дробей	удобный способ записи , похожий на способ записи натуральных чисел .
А как найти сумму	дробей	3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после запятой различно ? .
С помощью десятичных	дробей	выразите : а ) в метрах : 53 см , 4 м 67 см , 277 см , 304 см ; б ) в килограммах : 2 кг 255 г , 350 г , 1470 г ; в ) в тоннах : 1 т 255 кг , 678 кг , 2034 кг .
Правило округления десятичных	дробей	.
Опровергните с помощью контрпримера утверждение : из двух десятичных	дробей	больше та , у которой цифр после запятой больше .
Для получения более точных результатов меры стали делить на части , что и привело к появлению	дробей	.
А вот сумму	дробей	и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как дробь в десятичную не обращается .
Объясните на примере	дробей	и как привести дроби к наименьшему общему знаменателю .
Умножение десятичных	дробей	, как и сложение , сводится к действию над натуральными числами .
Представьте данное число в виде произведения двух десятичных	дробей	( укажите два решения ) .
4 Представьте в виде десятичных	дробей	числа , для которых это возможно .
Правило сравнения десятичных	дробей	.
Вы знаете , что в качестве общего знаменателя	дробей	можно взять произведение знаменателей 12 и 9 , то есть число 108 .
Умею сравнивать десятичные дроби , упорядочивать несколько десятичных	дробей	.
46 Округление десятичных	дробей	.
При умножении десятичных	дробей	в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа , не обращая внимания на запятые .
Пусть нужно найти сумму десятичных	дробей	3,44 и 7,28 .
43 Умножение десятичных	дробей	.
Запись	дробей	с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции , только греки знаменатель записывали сверху , а числитель — снизу .
Какие из них можно представить в виде десятичных	дробей	?
Тогда можно будет воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных	дробей	, либо правилом умножения десятичных дробей .
Для каждой дроби существует бесконечно много	дробей	, равных ей .
В этом случае нужно перейти к какой - нибудь одной форме представления	дробей	.
Как определяют положение запятой в произведении десятичных	дробей	?
Чтобы найти произведение двух десятичных	дробей	, можно : мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа .
Знаю правила округления десятичных	дробей	и умею применять их на практике .
Какая из этих двух	дробей	ближе к 1 ? .
Теперь для некоторых дробных чисел у вас есть два способа записи — в виде обыкновенных	дробей	и в виде десятичных , и нужно уметь переходить от одной формы записи к другой .
Какая из	дробей	ближе к 1 — правильная или обратная ей неправильная ?
Знаю правила сложения , вычитания , умножения и деления	дробей	; умею выполнять вычисления с дробными числами .
Нидерландский математик и инженер Симон Стевин ( XVI в . ) , с именем которого связывают открытие десятичных	дробей	в Европе , десятичную дробь 35,912 записывал так .
Тогда можно будет воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей , либо правилом умножения десятичных	дробей	.
Уравняем число разрядов , приписав ко второй	дроби	цифру 0 .
Но у первой	дроби	после запятой есть ещё и четвёртая цифра , поэтому .
Дробь — в виде десятичной	дроби	записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6 : Так как .
Приведены некоторые проценты , которые « легко считаются » , и соответствующие им	дроби	.
Представьте	дроби	в виде десятичных дробей , если это возможно .
Заметим , что вычислить частное можно иначе : записать его в виде	дроби	и преобразовать эту дробь так , чтобы в числителе и знаменателе оказались натуральные числа .
Обратите внимание : частное равно	дроби	, которая в десятичную не обращается .
2 ) разделив уголком числитель	дроби	на знаменатель .
В ходе решения задачи мы перешли от десятичной	дроби	0,54 к процентам : 0,54 — это 54 % .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать	дроби	в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Поэтому деление уголком	дроби	0,5 на 3 и оказалось бесконечным .
Цифры в разрядах единиц , десятых , сотых и тысячных одинаковы , а в следующем разряде цифры различны : в первой	дроби	стоит цифра 1 , а во второй — цифра 0 .
Однако прошли века , прежде чем десятичные	дроби	стали широко использоваться при вычислениях и приобрели современный вид .
В каких случаях все три	дроби	равны ? .
Точно так же и другие десятичные	дроби	выражаются в процентах .
Не складывая	дроби	, сравните с числом 10 сумму .
Чтобы перейти от десятичной	дроби	к процентам , нужно эту дробь умножить на 100 .
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными дробями ; цифры , стоящие в десятичной	дроби	после запятой , называют десятичными знаками .
Дробь — в виде десятичной дроби записать нельзя , поэтому выразим в виде обыкновенной	дроби	число 0,6 : Так как .
Вы умеете сравнивать две обыкновенные	дроби	и две десятичные .
На примере числа 65,249 расскажите , как читают десятичные	дроби	.
Для противопоставления	дроби	, записанные с помощью дробной черты , называют обыкновенными дробями .
Умею сравнивать десятичные	дроби	, упорядочивать несколько десятичных дробей .
Прочитайте в объяснительном тексте , как можно записывать отрицательные	дроби	.
Запишем обыкновенную дробь в виде десятичной	дроби	.
6 Запишите в порядке возрастания десятичные	дроби	.
Назовите какие - нибудь две	дроби	, заключённые между числами .
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни необходимы не только целые числа , но и дробные , в том числе отрицательные	дроби	.
На примере вычисления суммы и разности чисел 7,85 и 0,534 объясните , как складывают и как вычитают десятичные	дроби	.
Запишем десятичную дробь 0,259 в виде обыкновенной	дроби	.
Даны	дроби	.
В десятичной дроби после запятой столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной	дроби	.
Запишите частное в виде	дроби	и , если возможно , сократите её .
Это можно сделать , представив	дроби	в виде обыкновенных .
В знаменателе	дроби	4 нуля , значит , в соответствующей десятичной дроби должно быть 4 цифры после запятой .
У каждой десятичной	дроби	две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
У каждой десятичной дроби две цифры после запятой , поэтому складывать придётся обыкновенные	дроби	с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
Найдите значение	дроби	.
Если дробь нельзя представить в виде десятичной	дроби	, то запишите её приближённое значение с двумя знаками после запятой .
Поэтому , чтобы сложить эти десятичные	дроби	, необязательно обращать их в обыкновенные .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении десятичной	дроби	на десятичную дробь ; на натуральное число .
Знаю правило умножения десятичных дробей ; умею умножать десятичные	дроби	.
Умею умножать и делить	дроби	на 10 , 100 , 1000 .
1 На примерах вычисления суммы и разности чисел 24,9 и 8,23 расскажите , как складывают и вычитают десятичные	дроби	.
Обязательные умения . Знаю правила сложения и вычитания десятичных дробей ; умею складывать и вычитать десятичные	дроби	.
Легко догадаться , что этот случай можно свести к предыдущему : для этого нужно уравнять число десятичных знаков , приписав к	дроби	3,5 справа нуль .
Вычитать десятичные	дроби	можно также в столбик .
Расположите в порядке убывания	дроби	.
В десятичной	дроби	после запятой столько же цифр , сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби .
записав частное в виде	дроби	.
В знаменателе дроби 4 нуля , значит , в соответствующей десятичной	дроби	должно быть 4 цифры после запятой .
Представьте в виде обыкновенной	дроби	; 2 ) Запишите в виде десятичной дроби .
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной	дроби	0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка , которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Поэтому при округлении десятичной	дроби	21,28 до десятых её и заменяют приближённым значением с избытком : 21,28 ≈ 21,3 .
Укажите какие - нибудь три десятичные	дроби	, заключённые между .
, десятичные	дроби	можно округлять до единиц , десятых , сотых , тысячных и так далее .
Рассмотренные примеры позволяют сформулировать правило , по которому можно округлять десятичные	дроби	.
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать десятичные	дроби	при выполнении процентных вычислений .
Из записи 7,35 понятно , что в этой десятичной	дроби	содержится 7 единиц , 3 десятых и 5 сотых .
Проиллюстрируйте правило округления десятичных дробей на примере округления	дроби	0,3725 до сотых , до тысячных .
а ) В десятичной	дроби	с « длинным хвостом » зачеркнули две последние цифры .
Десятичные	дроби	, так же как и обыкновенные , изображают точками на координатной прямой .
б ) В десятичной	дроби	среди цифр , стоящих после запятой , есть нуль , причём он только один .
Знаю , в чём состоит основное свойство	дроби	; умею применять его для приведения дробей к новому знаменателю и сокращения дробей .
Представьте в виде обыкновенной дроби ; 2 ) Запишите в виде десятичной	дроби	.
Приведите пример , когда в результате округления десятичной	дроби	получается целое число .
Выпишите все десятичные	дроби	с одной цифрой после запятой , которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
Умею сравнивать	дроби	.
Однако для практических расчётов десятичные	дроби	удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после запятой .
2 Сравните	дроби	.
При чтении десятичной	дроби	сначала называют её часть , стоящую перед запятой , и добавляют слово « целых » , затем называют часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Умею читать десятичные	дроби	.
Выпишите все	дроби	со знаменателем 7 , которые изображаются точками , расположенными на координатной прямой между точками .
Будем делить уголком числитель	дроби	на её знаменатель и оборвём деление в тот момент , когда получим третий знак после запятой .
Умею изображать десятичные	дроби	точками на координатной прямой .
Например , в десятичной	дроби	6,8105 последний разряд — это десятитысячные .
Но в числителе	дроби	, только две цифры .
Умею переходить от десятичной	дроби	к обыкновенной и наоборот .
Сколько цифр после запятой должна содержать десятичная дробь , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной	дроби	равен 10 000 ?
Если вы умеете выполнять устно такие действия , как , например , то сможете преобразовывать « многоэтажные »	дроби	быстрее .
Вычислите , обратив обыкновенные	дроби	в десятичные .
Пользуясь рассмотренным свойством , любое рациональное число мы можем записать в виде	дроби	, числитель которой — целое число , знаменатель — натуральное .
Если число выражено десятичной дробью , то его можно представить и в виде обыкновенной дроби ( или смешанной	дроби	) .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой , так как в	дроби	6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
Если число выражено десятичной дробью , то его можно представить и в виде обыкновенной	дроби	( или смешанной дроби ) .
Преобразовывать дробь в равную позволяет основное свойство	дроби	.
Дробь нельзя обратить в десятичную , поэтому число 0,27 запишем в виде обыкновенной	дроби	.
Однако после сокращения	дроби	он исчезнет .
Но есть	дроби	, действовать с которыми почти так же просто , как и с натуральными числами .
Правило выражения десятичной	дроби	в процентах десятичной .
Однако не всякое дробное число можно записать и в виде десятичной , и в виде обыкновенной	дроби	.
Всякую ли десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной	дроби	?
Для каждой	дроби	существует бесконечно много дробей , равных ей .
Представьте ответ , если возможно , в виде десятичной	дроби	.
Десятичные и обыкновенные	дроби	— это две различные формы представления чисел .
Если числитель и знаменатель	дроби	умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится дробь , равная данной .
Запишите сумму в виде десятичной	дроби	.
Приведите	дроби	к одному из знаменателей 10 или 100 и запишите соответствующие десятичные дроби .
Запишите ответ с помощью	дроби	.
Правило выражения десятичной	дроби	в процентах .
Приведите дроби к одному из знаменателей 10 или 100 и запишите соответствующие десятичные	дроби	.
Частное двух чисел , обозначенных буквами , записывают обычно с помощью черты	дроби	, например .
Назовите числитель и знаменатель каждой	дроби	и расскажите , что они показывают .
Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями , нужно сначала привести эти	дроби	к общему знаменателю .
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной	дроби	.
Сложим	дроби	.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой	дроби	запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной	дроби	или смешанной дроби .
33 Перевод обыкновенной	дроби	в десятичную .
А в первых русских учебниках математики	дроби	так и назывались — « ломаные числа » .
В 5 классе вы научились складывать , вычитать , умножать и делить	дроби	.
Если знаменатель несократимой обыкновенной	дроби	содержит хотя бы один простой множитель , отличный от 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной .
десятичной	дроби	и натурального числа ? .
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой	дроби	запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
Глава 3 Десятичные	дроби	.
Сравним	дроби	.
Деление десятичной	дроби	на 10 , 100 и так далее , также сводится к переносу запятой , но только влево .
Приведём	дроби	к общему знаменателю .
Дополнительный множитель для первой	дроби	равен , для второй дроби он равен .
Теперь умножим числитель и знаменатель	дроби	на 12 .
Дополнительный множитель для первой дроби равен , для второй	дроби	он равен .
Сформулируйте основное свойство	дроби	и проиллюстрируйте его примером .
Мы заменили вычитание сложением и затем привели	дроби	к общему знаменателю .
Это обусловлено тем , что для записи каждой	дроби	используют два натуральных числа .
Объясните на примере дробей и как привести	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
Разложив на простые множители знаменатель этой	дроби	, получим произведение , содержащее число 3 .
рическую фигуру ( прямоугольник , круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует	дроби	. 1 ) Приведите дроби к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
рическую фигуру ( прямоугольник , круг или отрезок ) и закрасьте её часть , которая соответствует дроби . 1 ) Приведите	дроби	к знаменателю 18 ; к знаменателю 80 .
Приведите к наименьшему общему знаменателю	дроби	.
В Древнем Риме при измерении величин применялись	дроби	со знаменателем 12 .
Удобство десятичной нумерации подсказало математикам идею распространить её на	дроби	со знаменателями 10 , 100 , 1000 и так далее .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной дробью , можно записать в виде десятичной	дроби	.
Сравните	дроби	и запишите результат сравнения с помощью знаков больше , меньше , равно .
Запишите	дроби	в порядке возрастания .
Применяя это свойство , можно приводить дроби к новому знаменателю , сокращать	дроби	.
Отрицательные	дроби	можно записывать по - разному .
Вспомните : к десятичной	дроби	справа можно приписывать любое число нулей , при этом получается дробь , равная данной .
Применяя это свойство , можно приводить	дроби	к новому знаменателю , сокращать дроби .
Правило выражения десятичной	дроби	дробью .
Не приводя	дроби	к общему знаменателю , установите , какая из них наибольшая .
Если знаменатель обыкновенной	дроби	не содержит никаких простых множителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной .
Сравним десятичные	дроби	Целые части этих дробей одинаковы , совпадают также первые три цифры после запятой .
А как , пользуясь сформулированным правилом , продолжить умножение десятичной	дроби	6,735 на следующие степени числа 10 , то есть на 10 000 , 100 000 и так далее ? .
Признак обратимости обыкновенной	дроби	в десятичную .
Это	дроби	, у которых знаменателем служит степень числа 10 .
Выразите время в часах и , если возможно , запишите ответ в виде десятичной	дроби	.
Общеупотребительной черта	дроби	стала только с XVI в .
Сформулируйте правило умножения десятичной	дроби	на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и так далее .
При вычислении значения такой « многоэтажной »	дроби	последним выполняется действие деления : выражение в числителе делится на выражение в знаменателе .
Прочитайте десятичные	дроби	.
Поэтому любое натуральное число можно записать в виде десятичной	дроби	с каким угодно количеством нулей после запятой .
Найдём значение	дроби	.
Расположите в порядке возрастания	дроби	.
Умножим числитель и знаменатель	дроби	на 30 .
Значение	дроби	при этом не изменится , а в числителе и знаменателе окажутся целые числа .
Замените знак деления чертой	дроби	и найдите частное .
Запишите выражение в виде	дроби	и сократите эту дробь .
Разберите , как выполнено умножение	дроби	32,5 на 0,1 .
Замените знаком деления черту	дроби	.
32 Десятичные	дроби	и метрическая система мер .
Запишите выражение в виде частного , используя черту	дроби	.
14 Основные задачи на	дроби	.
42 Умножение и деление десятичной	дроби	на 10 , 100 , 1000 .
Умножение десятичной	дроби	на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 также можно выполнять с помощью переноса запятой .
Найти от 80 000 можно по - разному : опираясь на смысл понятия	дроби	и по правилу нахождения части от числа .
Десятичные	дроби	, как и натуральные числа , сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными дробями .
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет в любом случае находить результат деления на 10 , 100 , 1000 и так далее с помощью переноса запятой , — к десятичной	дроби	слева нужно приписать вспомогательные нули .
Это и понятно : ведь умножение десятичной	дроби	на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
Как изменится положение запятой в десятичной	дроби	, если эту дробь : а ) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз ; б ) уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
В этой главе вы узнаете , как принято записывать такие	дроби	и какие преимущества это даёт .
а ) Рассмотрите два случая : 1 ) обе последние цифры — нули ; 2 ) хотя бы одна из последних цифр не нуль , б ) Рассмотрите случаи , когда нуль стоял в конце десятичной	дроби	и не в конце .
Используя десятичные	дроби	, можно записать другие соотношения , связывающие эти же единицы длины .
Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому , что математическое изобретение — десятичные	дроби	— повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
Сравним десятичные	дроби	2,7 и 3,1 .
Десятичные	дроби	появились в математике гораздо раньше , чем современные единицы измерения — метры и граммы .
Сравним десятичные	дроби	1,8 и 1,42 .
В дальнейшем нам будут встречаться	дроби	, числители и знаменатели которых — любые выражения , а не только натуральные числа .
В математике принято использовать черту	дроби	в качестве знака деления и при записи более сложных выражений .
В самом деле , при с равно 0 в знаменателе	дроби	окажется 0 , а на нуль , как вы знаете , делить нельзя .
Замените знак деления чертой	дроби	и найдите частное : а ) 8:5 ; б ) 6 : 15 .
В привычном для нас виде	дроби	впервые стали записываться в Древней Индии около 1500 лет назад , но при этом индусы обходились без черты между числителем и знаменателем .
Запишите частное в виде обыкновенной	дроби	и , если возможно , обратите её в десятичную .
Продолжите последовательность десятичных дробей , записав ещё два числа , и прочитайте все записанные десятичные	дроби	.
Вы видите , что в результате умножения в исходной	дроби	меняется положение запятой : при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Запишите все десятичные	дроби	, которые можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , соблюдая следующее условие : цифра используется в записи числа не более одного раза ( это означает , что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз ) .
Лишь значительно позже греки , а затем индусы стали использовать в вычислениях и другие	дроби	.
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака , но у нашей	дроби	перед запятой только 3 знака .
И вначале люди для вычислений употребляли только такие	дроби	.
Вы знаете , что одно и то же число может быть представлено в виде обыкновенной	дроби	разными способами .
Объясните на примере дробей как складывают и вычитают	дроби	с разными знаменателями .
Запишите в виде десятичных дробей следующие обыкновенные	дроби	.
Например , десятичные	дроби	0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число .
Объясните на примере дробей и , как умножают и делят	дроби	.
В самом деле , запишем каждую из этих дробей в виде обыкновенной	дроби	.
В современной записи , как вам известно ,	дроби	выглядят так .
По основному свойству	дроби	.
Точно так же можно показать , что , например . Понятно , что верны равенства , то есть нули , записанные в конце десятичной	дроби	, можно отбрасывать .
Если к десятичной	дроби	приписать справа какое угодно количество нулей , то получится дробь , равная данной .
Рассмотрим сначала случай деления десятичной	дроби	на натуральное число .
Вообще первыми в практике людей появились самые простые	дроби	, составляющие одну долю целого и так далее .
Сначала приведём	дроби	к общему знаменателю , а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания дробей с равными знаменателями .
Если в десятичной	дроби	последние цифры — нули , то , отбросив их , получим дробь , равную данной .
Сравните	дроби	.
Сначала разделили на 3 целую часть	дроби	7,47 , после этого в частном поставили запятую .
13 « Многоэтажные »	дроби	.
Вы знаете , что частное двух натуральных чисел равно	дроби	, числитель которой — делимое , а знаменатель — делитель .
Поэтому черту	дроби	можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел .
Деление десятичной	дроби	на натуральное число выполняется так же , как и деление натуральных чисел .
Вы знаете также , что любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной	дроби	, причём с каким угодно знаменателем .
А умножение и деление десятичной	дроби	на « единицу с нулями » сводится к переносу запятой .
Однако не всякое	дробное	число можно записать и в виде десятичной , и в виде обыкновенной дроби .
Для этого , как вы знаете , нужно просто записать знаменатель	дробной	части « в явном виде » .
Каждое из этих частных можно записать с помощью	дробной	черты .
Теперь же вместо кружка , отделяющего целую часть от	дробной	, мы пишем внизу запятую .
Для противопоставления дроби , записанные с помощью	дробной	черты , называют обыкновенными дробями .
Примите по очереди каждую	дробную	черту за « основную » и запишите соответствующие выражения .
В этих обозначениях принято использовать наклонную	дробную	черту : км / ч , м / с , м / мин .
Выпишите : а ) целые числа ; б ) отрицательные	дробные	числа .
Например . Целые и	дробные	числа вместе составляют множество рациональных чисел .
Между целыми числами на координатной прямой расположены	дробные	числа , на правом луче положительные , на левом — отрицательные .
Такие	дробные	числа , как , естественно , называют противоположными числами .
Отрицательные	дробные	числа , как и отрицательные целые , получаются приписыванием к положительным числам знака « минус » .
Дробные числа , с которыми мы до сих пор имели дело , будем теперь называть положительными и наряду с ними рассматривать отрицательные	дробные	числа .
Умею вычислять значения выражений , содержащих	дробные	числа , в том числе в ходе решения задач .
Положительные	дробные	числа , как и положительные целые , можно записывать со знаком « плюс » .
Понятно , что вместо n нельзя подставлять	дробные	числа : ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом .
В этой главе будут рассмотрены отрицательные	дробные	числа , и вы сможете оперировать как с целыми , так и с дробными положительными и отрицательными числами .
Вы знаете , что и для математических расчётов , и в реальной жизни необходимы не только целые числа , но и	дробные	, в том числе отрицательные дроби .
Сумма двух дробных чисел также является числом	дробным	.
Знаю правила сложения , вычитания , умножения и деления дробей ; умею выполнять вычисления с	дробными	числами .
В этой главе будут рассмотрены отрицательные дробные числа , и вы сможете оперировать как с целыми , так и с	дробными	положительными и отрицательными числами .
Назовите те из них , которые являются : а ) натуральными ; б ) целыми ; в ) отрицательными	дробными	; г ) рациональными .
До сих пор на уроках математики вы имели дело с числами натуральными и	дробными	.
Используя описанное свойство , можно действовать , не выясняя , модуль какого из данных	дробных	чисел больше .
Замените отношение	дробных	чисел равным ему отношением целых чисел .
Сумма двух	дробных	чисел также является числом дробным .
Теперь для некоторых	дробных	чисел у вас есть два способа записи — в виде обыкновенных дробей и в виде десятичных , и нужно уметь переходить от одной формы записи к другой .
Необычность и удивительность этого числа состоит в том , что среди известных вам чисел — целых и	дробных	— его нет .
Математики Древней Греции неожиданно обнаружили , что для решения такой практически важной задачи , как измерение длин отрезков , не хватает не только целых , но и	дробных	чисел , так что возникла необходимость в изобретении новых чисел .
В первом случае мы получили десятичную дробь 0,2 , а во втором — обыкновенную	дробь	, которая в десятичную не обращается .
Заметим , что вычислить частное можно иначе : записать его в виде дроби и преобразовать эту	дробь	так , чтобы в числителе и знаменателе оказались натуральные числа .
В первом случае мы получили десятичную	дробь	0,2 , а во втором — обыкновенную дробь , которая в десятичную не обращается .
Однако мы знаем , что десятичная	дробь	не изменится , если к ней приписать справа нули .
Чтобы сложить обыкновенную	дробь	и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Деление на десятичную	дробь	легко свести к делению на натуральное число .
Будем умножать десятичную	дробь	.
Некоторую десятичную	дробь	округлили до сотых , затем эту же дробь округлили до тысячных .
Некоторую десятичную дробь округлили до сотых , затем эту же	дробь	округлили до тысячных .
Как изменится положение запятой в десятичной дроби , если эту	дробь	: а ) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз ; б ) уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
приведя	дробь	к знаменателю , равному степени 10 .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Обратите обыкновенную	дробь	в десятичную двумя способами .
Объясните , как делят десятичную	дробь	на десятичную .
Какая десятичная	дробь	должна быть записана на десятом месте ? .
По какому правилу делят десятичную	дробь	на « единицу с нулями » ?
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную	дробь	, нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
На примере вычисления частного чисел 11,9 и 5 расскажите , как можно разделить уголком десятичную	дробь	на натуральное число .
Округлим	дробь	0,172504 до десятых .
Если	дробь	нельзя представить в виде десятичной дроби , то запишите её приближённое значение с двумя знаками после запятой .
Возьмём какую - нибудь десятичную	дробь	, например 7,35 .
Округлите . 1 ) десятичную	дробь	282,0954 до десятых , до сотых , до тысячных .
Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную , их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную	дробь	в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной .
Рассмотрите десятичную	дробь	93,10897 и ответьте на вопросы .
Вспомните : к десятичной дроби справа можно приписывать любое число нулей , при этом получается	дробь	, равная данной .
Отделив запятой справа три цифры , получили десятичную	дробь	28,200 , то есть 28,2 .
А вот сумму дробей и 0,6 можно вычислить только одним способом , так как	дробь	в десятичную не обращается .
Чтобы разделить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
Округлим	дробь	0,466 до сотых и получим , что .
Десятичная	дробь	представлена в виде суммы разрядных слагаемых .
Чтобы перемножить десятичную	дробь	и обыкновенную , нужно прежде всего привести их к одному виду .
Выразим	дробь	— приближённо десятичной дробью с двумя знаками после запятой .
Представьте десятичную	дробь	в виде суммы разрядных слагаемых .
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную	дробь	заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после запятой .
Читается десятичная дробь 7,35 так же , как и смешанная	дробь	77 целых 35 сотых .
Вы знаете , что не всякую обыкновенную	дробь	можно записать в виде десятичной .
Обратите десятичную	дробь	в обыкновенную и выполните умножение .
Читается десятичная	дробь	7,35 так же , как и смешанная дробь 77 целых 35 сотых .
До какого разряда округляли десятичную	дробь	, если в результате получилось число : а ) 72,4 ; б ) 1,50 ? .
По какому правилу умножают десятичную	дробь	на « единицу с нулями » ?
Вычислите , обратив десятичную	дробь	в обыкновенную .
Вычислите , обратив обыкновенную	дробь	в десятичную .
Попробуем теперь разделить	дробь	851,3 на 10 000 .
Чтобы умножить десятичную	дробь	на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
Округлим	дробь	0,39608 до сотых .
Выразите приближённо обыкновенную	дробь	десятичной дробью с двумя знаками после запятой .
Дана десятичная	дробь	6,73401852 .
Прочитайте предложение , выразив	дробь	в процентах : а ) бензином заполнили бака .
Запишите выражение в виде дроби и сократите эту	дробь	.
а ) натуральное число ; б ) десятичная	дробь	? .
Сократим	дробь	.
Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью , нужно это число умножить на данную	дробь	.
Десятичная	дробь	.
Чтобы найти число по его части , нужно эту часть разделить на	дробь	, ей соответствующую .
Для ответа на вопрос о том , какую часть составляют 32 000 человек от 80 000 , мы записали	дробь	, которая выражает частное от деления 32 000 на 80 000 .
Однако эту	дробь	нельзя привести , например , к знаменателю 10 , так как число 10 на 3 не делится .
Позднее такую десятичную	дробь	стали записывать проще : 35 ° 912 .
Нидерландский математик и инженер Симон Стевин ( XVI в . ) , с именем которого связывают открытие десятичных дробей в Европе , десятичную	дробь	35,912 записывал так .
Поэтому первая	дробь	больше .
Если в десятичной дроби последние цифры — нули , то , отбросив их , получим	дробь	, равную данной .
Заметим , что	дробь	— можно привести к любому знаменателю , и кратному 3 , то есть к 6 , 9 , 12 и любому другому числу , делящемуся на 3 .
Не выполняя вычислений , определите , больше или меньше 50 % получится , если выразить в процентах следующую	дробь	.
Замените приближённо обыкновенную	дробь	десятичной дробью с тремя знаками после запятой и округлите результат до сотых .
Выразите десятичную	дробь	приближённо в процентах , предварительно округлив её до сотых .
А как сравнить обыкновенную	дробь	и десятичную , например и 0,6 ?
Обратите обыкновенную	дробь	в десятичную .
, а затем выразим полученную	дробь	в процентах : 0,15 — это 15 % .
Как выразить десятичную	дробь	в процентах ?
Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам , нужно эту	дробь	умножить на 100 .
Замените данную десятичную	дробь	равной , содержащей наименьшее количество десятичных знаков .
Для этого надо эту часть разделить на	дробь	, ей соответствующую ; получим 10 800 р .
Чтобы записать обыкновенную	дробь	в виде десятичной , нужно привести её к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и так далее .
Представьте полученную	дробь	десятичной дробью и выразите её в процентах .
Обыкновенная	дробь	.
Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество нулей , то получится	дробь	, равная данной .
Потом воспользовались признаком делимости на 9 и сократили полученную	дробь	на 9 .
Сократите	дробь	.
Значит ,	дробь	— нельзя привести ни к одному из знаменателей 10 , 100 , 1000 и так далее .
Рассуждаем . 1 ) Дана правильная	дробь	.
Запишите обратную ей	дробь	.
Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей , кроме 2 и 5 , то эту обыкновенную	дробь	можно представить в виде десятичной .
Правильной или неправильной является эта	дробь	?
Возьмём	дробь	.
Запишите какую - нибудь правильную	дробь	и дробь , обратную ей .
Запишите какую - нибудь правильную дробь и	дробь	, обратную ей .
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель , отличный от 2 и 5 , то эту обыкновенную	дробь	нельзя представить в виде десятичной .
Возьмём , например ,	дробь	.
Всякую ли десятичную	дробь	можно записать в виде обыкновенной дроби ?
Объясните , почему	дробь	можно представить в виде десятичной , а дробь нет .
Объясните , почему дробь можно представить в виде десятичной , а	дробь	нет .
Сократите	дробь	и запишите её в виде десятичной .
Докажите , что	дробь	можно представить в виде десятичной , а дробь нет .
Прочитайте десятичную	дробь	и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби .
Докажите , что дробь можно представить в виде десятичной , а	дробь	нет .
Чтобы умножить	дробь	на дробь , нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Чтобы умножить дробь на	дробь	, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе , а второе — в знаменателе .
Чтобы разделить одну	дробь	на другую , нужно первую дробь умножить на дробь , обратную второй .
Найдите значение выражения , записав десятичную	дробь	в виде обыкновенной .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую	дробь	умножить на дробь , обратную второй .
Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на	дробь	, обратную второй .
Прочитайте каждую получившуюся десятичную	дробь	.
Например , дробь обращается в десятичную , а	дробь	нет .
Приведём	дробь	— к знаменателю 36 .
Возьмём теперь	дробь	.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число , то получится	дробь	, равная данной .
Преобразовывать	дробь	в равную позволяет основное свойство дроби .
Знаю , какую обыкновенную	дробь	можно представить в виде десятичной , а какую нет .
Вычеркните одну цифру после запятой так , чтобы	дробь	: а ) увеличилась ; б ) уменьшилась .
Например ,	дробь	обращается в десятичную , а дробь нет .
Прочитайте каждую десятичную	дробь	.
Запишем обыкновенную	дробь	в виде десятичной дроби .
Интересно , что в языках разных народов слова для обозначения понятия «	дробь	» происходят от таких глаголов , как « раздроблять » , « разбивать » , « ломать » .
Умею сравнивать десятичную	дробь	и обыкновенную .
На примере числа объясните , как обыкновенную	дробь	записывают в виде десятичной .
Запишем десятичную	дробь	0,259 в виде обыкновенной дроби .
5 Расскажите , как определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную	дробь	; на натуральное число .
Представьте десятичную дробь 0,49 в виде суммы разрядных слагаемых и , выполнив сложение , получите соответствующую обыкновенную	дробь	.
Представьте	дробь	в виде десятичной .
Сколько цифр после запятой должна содержать десятичная	дробь	, если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 10 000 ?
Представьте десятичную	дробь	0,49 в виде суммы разрядных слагаемых и , выполнив сложение , получите соответствующую обыкновенную дробь .
При делении на	дробь	в частном получается число , меньшее делимого .
а ) Приведите	дробь	к знаменателю 60 .
Можно просто прочитать данную	дробь	без слов « 0 целых » и записать её со знаменателем .
1 Запишите какую - нибудь десятичную	дробь	с четырьмя десятичными знаками и прочитайте её .
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной	дробью	с нужным числом знаков после запятой .
Выразите	дробью	5 % , 80 % . б ) Выразите в процентах населения города .
Если число выражено десятичной	дробью	, то его можно представить и в виде обыкновенной дроби ( или смешанной дроби ) .
Выразим эти доли десятичной	дробью	.
Выразим дробь — приближённо десятичной	дробью	с двумя знаками после запятой .
Таким образом , частное двух десятичных дробей не всегда можно выразить десятичной	дробью	.
Произнесите без слова « процент » ( заменив проценты	дробью	) следующие фразы : « В математическом кружке занимаются 7 % всех учащихся школы » ; « В голосовании приняли участие 73 % избирателей » .
Вы видели , что результат сложения , вычитания и умножения десятичных дробей выражается десятичной	дробью	.
Вы видите , что при записи отрицательных дробей « минус » можно ставить перед	дробью	, вносить его в числитель или убирать в знаменатель .
Выразите время в часах сначала обыкновенной	дробью	, а затем , если возможно , десятичной .
В каждом случае найдите разность между полученным приближённым значением и данной	дробью	.
Правило выражения десятичной дроби	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	17 % , 40 % , 150 % .
Если частное выражается десятичной	дробью	, его можно вычислить , используя деление уголком , так же как при делении натуральных чисел .
Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной	дробью	с двумя знаками после запятой .
5 Выразите десятичной	дробью	: а ) 39 % ; б ) 50 % ; в ) 6 % ; г ) 230 % .
Но не всегда число , выраженное обыкновенной	дробью	, можно записать в виде десятичной дроби .
Выразим 5 % десятичной	дробью	, получим 0,05 .
Теперь решим задачу на нахождение числа по его части , выраженной	дробью	.
Рассмотрим пример , который поможет понять , как выразить проценты десятичной	дробью	.
Выразите десятичной	дробью	.
Часто бывает удобно выражать проценты обыкновенной	дробью	, особенно в тех случаях , когда , используя их , можно выполнить вычисления устно .
б ) Выразите обыкновенной	дробью	.
Найдите частное , перейдя к обыкновенным дробям , и , если возможно , выразите ответ десятичной	дробью	.
В каждом предложении замените проценты десятичной	дробью	: а ) В новом году стоимость проезда в метро повысилась на 12 % от его прошлогодней стоимости .
Выразите проценты	дробью	и сократите её : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 60 % , 75 % , 80 % .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют запятой столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной	дробью	.
При этом вы выражали процент	дробью	.
Выразите проценты	дробью	и , если можно , сократите её .
Выразите десятичной и обыкновенной	дробью	.
Замените приближённо обыкновенную дробь десятичной	дробью	с тремя знаками после запятой и округлите результат до сотых .
Из рассмотренного примера легко подметить , что выразить процент десятичной	дробью	можно коротким путём , не проводя приведённые выше рассуждения .
Что произошло с этой десятичной	дробью	? .
а ) Выразите десятичной	дробью	.
Представьте полученную дробь десятичной	дробью	и выразите её в процентах .
Чтобы выразить проценты десятичной	дробью	, надо число , стоящее перед знаком % , разделить на 100 , или , что одно и то же , умножить на 0,01 .
Прочитайте предложение , заменив проценты соответствующей	дробью	.
Какой знак сравнения нужно поставить между данными десятичными	дробями	, чтобы получить верное неравенство .
Правила деления с обыкновенными	дробями	.
Умею выражать проценты десятичными	дробями	и наоборот .
Умею выражать значения величин десятичными	дробями	.
Число 21,28 заключено между десятичными	дробями	21,2 и 21,3 .
А знаете ли вы , что значение этих слов связано с	дробями	?
Покажем , как это можно использовать при выполнении действий с	дробями	, для того чтобы делать вычисления более простыми .
Ответ выразите десятичными	дробями	.
Правила умножения с обыкновенными	дробями	.
112 Вычисления с	дробями	.
Выразите проценты , приведённые на диаграмме , десятичными	дробями	.
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными	дробями	почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате запятую .
Вы уже неоднократно встречались с	дробями	и могли убедиться , что выполнять действия с ними труднее , чем с натуральными числами .
Правила вычитания с обыкновенными	дробями	.
Какие натуральные числа заключены между данными десятичными	дробями	?
Человек , знакомый с	дробями	, поймёт , что к движению Гринпис присоединилось чуть меньше половины жителей города .
Десятичные дроби , как и натуральные числа , сравнивают по разрядам , и в этом состоит одно из их преимуществ перед обыкновенными	дробями	.
Перемножим числа 3,76 и 2,4 , заменив их обыкновенными	дробями	.
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными	дробями	; цифры , стоящие в десятичной дроби после запятой , называют десятичными знаками .
Для противопоставления дроби , записанные с помощью дробной черты , называют обыкновенными	дробями	.
Правила действий с десятичными	дробями	.
Правила сложения с обыкновенными	дробями	.
Удобство обращения с десятичными	дробями	привело к тому , что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей , связанную с измерениями : люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер .
А так как проценты означают сотые доли , то их очень легко представлять десятичными	дробями	и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений .
Глава 4 Действия с десятичными	дробями	.
Это свойство можно использовать для построения правильного многоугольника : разделить окружность на соответствующее число равных частей ( равных	дуг	) и соединить последовательно точки деления .
След , который оставляет точка А при повороте , — это	дуга	окружности .
Найдите длину	дуги	окружности , выделенной зелёным цветом .
( Полученное число округлите до	единиц	) .
Например : — округление до	единиц	3,8026 ближе к 4 , чем к 3 ; — округление до десятых ( 3,8026 ближе к 3,8 , чем ; — округление до сотых 3,8026 ближе к 3,80 , чем . Обратите внимание на третье приближённое равенство : чтобы показать , что округление проведено до сотых , мы оставили цифру « нуль » в разряде сотых .
, десятичные дроби можно округлять до	единиц	, десятых , сотых , тысячных и так далее .
Для этого в записи таких дробей стали использовать новые разряды , располагая их правее разряда	единиц	.
Ответ округлите до	единиц	.
Округлите до	единиц	.
Какие из рассмотренных в тексте десятичных приставок , с помощью которых образуются названия	единиц	измерения , означают увеличение исходной единицы и какие — уменьшение ?
Так как в метрической системе мер единицы различаются в 10 , 100 , 1000 раз , то переход от одних	единиц	измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на степень 10 .
Человек , пришедший в гости , забыл код , открывающий дверь подъезда , но помнил , что он составлен из нулей и	единиц	и содержит четыре цифры .
Из записи 7,35 понятно , что в этой десятичной дроби содержится 7	единиц	, 3 десятых и 5 сотых .
Округлим числовое значение площади до	единиц	, тогда S ≈ 133 м2 .
Это правило действует по отношению ко всем разрядам , кроме самого младшего — разряда	единиц	.
г ) Сколько всего	единиц	продукции было выпущено за месяц , если жакетов было выпущено 3000 штук ? .
Начертите координатную прямую и отметьте на ней красным карандашом точки , удалённые от точки 0 на 4 единицы , и синим карандашом точки , удалённые от точки – 3 на 6	единиц	.
4 ) В каких разрядах содержится одинаковое количество	единиц	? .
Цифры в разрядах	единиц	, десятых , сотых и тысячных одинаковы , а в следующем разряде цифры различны : в первой дроби стоит цифра 1 , а во второй — цифра 0 .
Поэтому первым справа от разряда	единиц	помещают разряд десятых .
а ) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского веса — унциями : 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это число до десятых ; до	единиц	.
Это связано с его происхождением — минута появилась тогда , когда стала необходимой	единица	измерения углов , меньшая градуса .
В метрической системе мер одна	единица	получается из другой умножением или делением на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с единицами длины и массы .
В её основе число 10 :	единица	каждого разряда в 10 раз больше единицы предыдущего разряда .
Поэтому в разряде сотых оказался 0 , а в разряде десятых добавилась одна разрядная	единица	.
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух чисел , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз	единица	длины на карте меньше соответствующей единицы на местности .
Так как 1 м равно 100 см , то , для того чтобы перейти от сантиметров к метрам , то есть к более крупным	единицам	, нужно 175 разделить на 100 .
Такие же равенства можно записать с	единицами	массы — тоннами , килограммами , граммами .
В метрической системе мер одна единица получается из другой умножением или делением на 10 , 100 , 1000 и m. д. Именно так обстоит дело с	единицами	длины и массы .
Десятичные соотношения между различными метрическими	единицами	отражены в их названиях .
а ) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными	единицами	аптекарского веса — унциями : 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это число до десятых ; до единиц .
Так , например , чтобы найти отношение 1 м к 45 см , надо выразить эти длины в одних	единицах	, например в сантиметрах .
При вычислении отношения в таких случаях важно следить за тем , чтобы величины были выражены в одних и тех же	единицах	.
Не забудьте выразить величины в одних	единицах	, а ) 10 мин к 10 ч ; б ) 4 ч 40мин ; в ) 1,5 ч 20 мин ; г ) 30 мин к 1 ч 15 мин .
Она тоже выражается в аналогичных	единицах	: p./кг , р./м , p./шт .
В каких	единицах	она выражается ?
Так как , то этой	единицей	служит .
Интересно отметить , что в современном спорте , где секунда оказалась слишком большой	единицей	для измерения результатов , используется смешанная система измерения времени .
По какому правилу делят десятичную дробь на «	единицу	с нулями » ?
Выпишите сначала все коды , содержащие одну	единицу	, затем две единицы , далее три единицы .
А умножение и деление десятичной дроби на «	единицу	с нулями » сводится к переносу запятой .
По какому правилу умножают десятичную дробь на «	единицу	с нулями » ?
Прибавив	единицу	к цифре 9 в разряде сотых , мы получили 10 сотых .
Правее разряда десятых стоит цифра , большая 5 , поэтому цифру в разряде десятых следует увеличить на	единицу	.
Это и понятно : ведь умножение десятичной дроби на	единицу	с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо .
2 Запишите в буквенном виде свойство нуля при сложении и свойство	единицы	при умножении .
Чтобы , например , отметить число – 5,2 , надо отложить влево от нуля отрезок , равный 5,2	единицы	, получим точку , расположенную между числами – 6 и – 5 .
Запишите с помощью букв свойства нуля и	единицы	при умножении .
Отметим на координатной прямой , например , числа 3,5 и – 3,5 : отложим от точки 0 вправо отрезок длиной 3,5	единицы	, получим точку , изображающую число 3,5 ; отложим от точки 0 влево отрезок такой же длины , получим точку – 3,5 .
Например , модуль числа 3 равен 3 , так как число 3 удалено от начала отсчёта на 3	единицы	.
Точка – 6,5 удалена от начала координат на 6,5 единицы , а точка – 4 — на 4	единицы	.
А чтобы отметить на прямой числа – 1 , – 2 , – 3 , – 4 , надо отложить отрезки с длинами 1 , 2 , 3 , 4	единицы	влево от нуля .
Выпишите сначала все коды , содержащие одну единицу , затем две единицы , далее три	единицы	.
Точка – 6,5 удалена от начала координат на 6,5	единицы	, а точка – 4 — на 4 единицы .
Используемые	единицы	измерения часто не укладывались в измеряемой величине целое число раз .
Выпишите сначала все коды , содержащие одну единицу , затем две	единицы	, далее три единицы .
Поэтому они стали использовать более мелкие	единицы	.
Начертите координатную прямую и отметьте на ней красным карандашом точки , удалённые от точки 0 на 4	единицы	, и синим карандашом точки , удалённые от точки – 3 на 6 единиц .
Масштаб обычно записывают в виде отношения двух чисел , первый член которого равен 1 , а второй — числу , показывающему , во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей	единицы	на местности .
Например , числам 3,5 и – 3,5 соответствуют точки , расположенные справа и слева от точки О на расстоянии , равном 3,5	единицы	.
Десятичные дроби появились в математике гораздо раньше , чем современные	единицы	измерения — метры и граммы .
Сохраняются свойства нуля при сложении , нуля и	единицы	при умножении .
В них указывают количество долей	единицы	— десятых , сотых , тысячных и так далее .
Так как в метрической системе мер	единицы	различаются в 10 , 100 , 1000 раз , то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на степень 10 .
Так как 2	единицы	меньше , чем 3 единицы , то .
Так как 2 единицы меньше , чем 3	единицы	, то .
Какие из рассмотренных в тексте десятичных приставок , с помощью которых образуются названия единиц измерения , означают увеличение исходной	единицы	и какие — уменьшение ?
Используя десятичные дроби , можно записать другие соотношения , связывающие эти же	единицы	длины .
С развитием науки потребовались новые	единицы	измерения и соответственно новые десятичные приставки .
В её основе число 10 : единица каждого разряда в 10 раз больше	единицы	предыдущего разряда .
Вам известны соотношения , с помощью которых одни	единицы	длины выражаются через другие , более мелкие .
Разрядные	единицы	записываются так .
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю	единичного	отрезка , которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Получают сотые доли	единичного	отрезка .
Получают сотые доли	единичного отрезка	.
Если нужно построить точку , соответствующую , например , десятичной дроби 0,36 , то делят на 10 равных частей десятую долю	единичного отрезка	, которая следует за точкой с координатой 0,3 .
Откладывая последовательно	единичные	отрезки вправо от .
Откладывая последовательно	единичные отрезки	вправо от .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный	отрезок восемь клеток .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный	отрезок , равный 2 клеткам ) .
Начертите в тетради координатную прямую ( за	единичный	отрезок примите 10 клеток ) .
Точка пересечения прямых О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой ;	единичный	отрезок , как правило , один и тот же .
Для этого на прямой выбирают начало отсчёта , положительное направление и	единичный	отрезок .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный	отрезок , равный 12 клеткам ) .
а ) Начертите координатную прямую ( за	единичный	отрезок примите 2 клетки ) и отметьте на ней точками числа .
Начертите в тетради координатную прямую , взяв за	единичный	отрезок 5 клеток .
Точка пересечения прямых О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой ;	единичный отрезок	, как правило , один и тот же .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный отрезок	, равный 12 клеткам ) .
Начертите координатную прямую ( возьмите	единичный отрезок	, равный 2 клеткам ) .
Начертите координатную прямую , приняв за	единичный отрезок	восемь клеток .
Начертите в тетради координатную прямую , взяв за	единичный отрезок	5 клеток .
а ) Начертите координатную прямую ( за	единичный отрезок	примите 2 клетки ) и отметьте на ней точками числа .
Начертите в тетради координатную прямую ( за	единичный отрезок	примите 10 клеток ) .
Для этого на прямой выбирают начало отсчёта , положительное направление и	единичный отрезок	.
Начертите координатную прямую с	единичным	отрезком , равным 6 клеткам .
Начертите координатную прямую с	единичным отрезком	, равным 6 клеткам .
а ) В числе 154038 сначала отделите	запятой	одну цифру справа , а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево , пока перед запятой не останется только одна цифра .
Сравним десятичные дроби Целые части этих дробей одинаковы , совпадают также первые три цифры после	запятой	.
Но у первой дроби после	запятой	есть ещё и четвёртая цифра , поэтому .
в полученном произведении отделить	запятой	справа столько цифр , сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе .
У каждой десятичной дроби две цифры после	запятой	, поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем , равным 100 .
а ) В числе 154038 сначала отделите запятой одну цифру справа , а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево , пока перед	запятой	не останется только одна цифра .
В числе 6,012345 последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо , пока после	запятой	не окажется только одна цифра .
Деление десятичной дроби на 10 , 100 и так далее , также сводится к переносу	запятой	, но только влево .
В знаменателе дроби 4 нуля , значит , в соответствующей десятичной дроби должно быть 4 цифры после	запятой	.
В первом множителе две цифры после запятой , во втором одна , а в произведении оказалось три цифры после	запятой	.
В первом множителе две цифры после	запятой	, во втором одна , а в произведении оказалось три цифры после запятой .
Замените приближённо обыкновенную дробь десятичной дробью с тремя знаками после	запятой	и округлите результат до сотых .
Поэтому любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после	запятой	.
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под	запятой	если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под запятой в данных дробях .
Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после	запятой	, которые на координатной прямой изображаются точками , лежащими между точками : На координатной прямой отмечены числа а и b . а ) Какое из них положительное , какое отрицательное ? .
А умножение и деление десятичной дроби на « единицу с нулями » сводится к переносу	запятой	.
Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной дробью с двумя знаками после	запятой	.
Вы видите , что в результате умножения в исходной дроби меняется положение	запятой	: при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак , при умножении на 100 — на 2 знака , при умножении на 1000 — на 3 знака .
Затем в этом произведении мы отделили	запятой	справа 5 цифр ( для этого нам пришлось слева приписать нули ) .
Аналогичное правило применяют и в том случае , когда один из множителей — натуральное число : в произведении отделяют	запятой	столько десятичных знаков , сколько их содержится в множителе , являющемся десятичной дробью .
Сколько цифр после	запятой	должна содержать десятичная дробь , если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 10 000 ?
Однако для практических расчётов десятичные дроби удобнее , поэтому часто обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после	запятой	.
При чтении десятичной дроби сначала называют её часть , стоящую перед	запятой	, и добавляют слово « целых » , затем называют часть , стоящую после запятой , и добавляют название последнего разряда .
Отделив	запятой	справа три цифры , получили десятичную дробь 28,200 , то есть 28,2 .
Как определяют положение	запятой	в произведении десятичных дробей ?
Выразим дробь — приближённо десятичной дробью с двумя знаками после	запятой	.
При чтении десятичной дроби сначала называют её часть , стоящую перед запятой , и добавляют слово « целых » , затем называют часть , стоящую после	запятой	, и добавляют название последнего разряда .
Обратите внимание : при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без	запятой	, так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных знака .
Заметим , что в вычислительных машинах всегда используется точка вместо	запятой	.
Опровергните с помощью контрпримера утверждение : из двух десятичных дробей больше та , у которой цифр после	запятой	больше .
Вот как , например , выглядит приближённое значение к с десятью знаками после	запятой	: π ≈ 3,1415926535 .
Будем делить уголком числитель дроби на её знаменатель и оборвём деление в тот момент , когда получим третий знак после	запятой	.
Такие записи , как 5,3 , 4,07 , 0,001 , называют десятичными дробями ; цифры , стоящие в десятичной дроби после	запятой	, называют десятичными знаками .
Как изменится положение	запятой	в десятичной дроби , если эту дробь : а ) уменьшить в 1000 раз и ещё в 10 раз ; б ) уменьшить в 10 раз , а затем увеличить в 1000 раз ? .
А в сумме после	запятой	тоже оказалось две цифры — столько же , сколько их содержится в каждом из слагаемых .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо , сколько их содержится после	запятой	в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Если дробь нельзя представить в виде десятичной дроби , то запишите её приближённое значение с двумя знаками после	запятой	.
Вычеркните одну цифру после	запятой	так , чтобы дробь : а ) увеличилась ; б ) уменьшилась .
Это и понятно : ведь умножение десятичной дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу	запятой	на столько же цифр вправо .
А как найти сумму дробей 3,5 и 12,74 , у которых количество цифр после	запятой	различно ? .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате запятую под	запятой	в данных дробях .
5 Расскажите , как определяют положение	запятой	при умножении десятичной дроби на десятичную дробь ; на натуральное число .
Решите задачу и запишите ответ с тремя десятичными знаками после	запятой	.
Единица второго разряда справа от	запятой	должна быть в 10 раз меньше , чем .
По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака , но у нашей дроби перед	запятой	только 3 знака .
Сделайте вывод : как можно было бы найти произведение с помощью переноса	запятой	? .
Получившийся ответ подсказывает нам приём , который позволяет в любом случае находить результат деления на 10 , 100 , 1000 и так далее с помощью переноса	запятой	, — к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные нули .
Умножение десятичной дроби на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 также можно выполнять с помощью переноса	запятой	.
После	запятой	мы должны оставить одну цифру .
б ) В десятичной дроби среди цифр , стоящих после	запятой	, есть нуль , причём он только один .
Чтобы умножить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби	запятую	на столько знаков вправо , сколько нулей содержится в множителе .
В числе 6,012345 последовательно сдвигайте	запятую	на одну цифру вправо , пока после запятой не окажется только одна цифра .
Теперь же вместо кружка , отделяющего целую часть от дробной , мы пишем внизу	запятую	.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и так далее , нужно перенести в этой дроби	запятую	на столько знаков влево , сколько нулей содержится в делителе .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь , нужно : в делимом и делителе перенести	запятую	на столько цифр вправо , сколько их содержится после запятой в делителе ; выполнить деление на натуральное число .
Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том , что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с натуральными числами , — надо только научиться правильно ставить в результате	запятую	.
Сразу после того , как закончено деление целой части , в частном ставят	запятую	.
Поэтому в частном записали О целых , после чего поставили	запятую	и продолжили деление .
Чтобы найти сумму ( разность ) десятичных дробей , можно : записать дроби в столбик — разряд под разрядом , запятую под запятой если количество десятичных знаков у дробей различно , уравнять их число , приписав справа нули ; выполнить действие , не обращая внимания на запятые ; поставить в результате	запятую	под запятой в данных дробях .
Поэтому мы имеем возможность переносить	запятую	на столько знаков , сколько требуется .
а ) В числе 154038 сначала отделите запятой одну цифру справа , а затем последовательно сдвигайте	запятую	на одну цифру влево , пока перед запятой не останется только одна цифра .
А чтобы показать , где целая часть числа заканчивается , после неё ставят	запятую	.
Обратите внимание : чтобы из первого частного получить второе , достаточно в делимом и делителе перенести	запятую	на два знака вправо .
Коля , выполняя вычитание , забыл поставить	запятую	.
Сначала разделили на 3 целую часть дроби 7,47 , после этого в частном поставили	запятую	.
Сравнив списки парусников , находившихся в указанное время в указанных местах , Шерлок Холмс установил , что только американское судно « Одинокая	звезда	» входило в каждый из н�