При поддержке Института филологии и
межкультурных коммуникаций
account_circle
Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, Л. А. Александрова
Математика. 6 класс
Математика: Математика. 6 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1 / [Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, Л. А. Александрова]. — М. : Просвещение, 2017. — 159 с. : ил. — ISBN 978-5-09-045293-9.
| Левый контекст | Термин | Правый контекст |
|---|---|---|
| 8 | Абсцисса | . |
| 6 | Величины | прямого угла составляют тридцать градусов ? . |
| Вес | товара . | |
| Выражение | π = 3,14 читают так . | |
| Выражение | x / y можно прочитать разными способами . | |
| Выражение | -(-а ) можно читать разными способами . | |
| Выражение | 35 : 27 можно читать . | |
| Выражение | а + ( b + с ) можно записать без скобок : а + ( b + с ) = а + b + с . | |
| 6 | Выражение | — х + 3 заключите в скобки , перед которыми стоит знак « минус » . |
| Выражение | , стоящее над чертой , называют числителем , а выражение , стоящее под чертой , — знаменателем дробного выражения . | |
| Выражения | вида 7х - 3х + 6х - 4х читают так . | |
| Выражения | , содержащие модули , читают так : -9 = 9 — модуль минус девяти целых одной третьей равен девяти целым одной третьей . | |
| Высота | , см . | |
| Высота | сосны , м . | |
| 6 108 | Высота | конуса 24 см , а площадь основания 15 см2 . |
| Высота | над уровнем Мирового океана , м . 150 . | |
| Высота | над уровнем Мирового океана , м . 1100 . 2240 . | |
| 9 105 | Высота | сосны изменялась в зависимости от её возраста следующим образом . |
| Вычитаемое | . | |
| Вычитание | смешанных чисел . | |
| 1 | Вычитание | . |
| 2 | Вычитание | . |
| Вычитание | отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и вычитание положительных чисел : по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое . | |
| 34 | Вычитание | . |
| График | движения рыболова изображён . | |
| 10 17 | График | изменения температуры воздуха в течение суток . |
| Графиками | пользуются для изображения движений . | |
| Графики | чертят и с помощью компьютеров , которые обеспечивают ещё большую точность . | |
| Группа | поисковиков - исследователей прошла 32,4 км . | |
| 17 | Деление | . |
| Деление | отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и деление положительных чисел : по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель . | |
| Деление | числителя и знаменателя на их общий делитель , отличный от единицы , называют сокращением дроби . | |
| Деление | никогда не кончится . | |
| Деление | . | |
| Проверочная работа 1 . | Деление | дробей . |
| Деление | дробей . | |
| 36 | Деление | . |
| Делимое | . | |
| Делителем | натурального числа а называю натуральное число , на которое а делится без остатка . | |
| 1 | Делители | и кратные . |
| Делители | и кратные . | |
| Делитель | . | |
| Делителями | числа 24 будут 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 , а делителями числа 35 будут 1 , 5 , 7 , 35 . | |
| Делить | на нуль нельзя ! . | |
| Десятичные | дроби . | |
| 4 129 | Диаметр | долгоиграющей виниловой пластинки равен 20 см. Найдите длину окружности этой пластинки . |
| 4 156 | Диаметр | земного шара приближённо равен 12,7 тыс. км . |
| 4 | Диаметр | круга равен 4 дм . |
| Диаметр | шара равен двум радиусам . | |
| 4 160 | Диаметр | планеты Меркурий приближённо равен 5 тыс. км . |
| 3 | Диаметр | окружности равен 10 м . |
| Диаметр | планеты Венера в 2,48 раз больше , а диаметр планеты Марс составляет — диаметра Венеры . | |
| 4 151 | Диаметр | колеса тепловоза равен 120 см. За 2,5 мин колесо сделало 750 оборотов . |
| 4 137 | Диаметр | циферблата Кремлёвских курантов 6,12 м , длина минутной стрелки 2,54 м . |
| 4 165 | Длина | внутренней окружности кольца равна 3,5 дм . |
| 4 169 | Длина | экватора Луны приближённо равна 10,9 тыс. км . |
| 4 170 | Длина | экваториального радиуса Земли равна 6378 км , а полярного — 6357 км . |
| Длина | первого участка составляла 45 % длины всей дистанции , длина второго участка — 0,8 от длины первого участка . | |
| Длина | его маршрута составила 120 км . | |
| Длина | отрезка AC составляет 0,65 длины отрезка CB . | |
| Длина | большей комнаты 5 м , а ширина 4 м . | |
| Длина | пружины может как увеличиваться , так и уменьшаться . | |
| Длина | окружности переднего колеса была равна 31 м , а заднего — 17 м . | |
| 3 199 | Длина | и ширина прямоугольника соответственно равны 5 м и 2 м . |
| Длина | одной стороны 3/4 м . | |
| 5 | Длина | пружины была равна двадцати сантиметрам , а затем изменилась на минус два сантиметра . |
| 1 123 | Длина | и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральными числами сантиметров , а высота равна 15 см. Можно ли утверждать , что объём ( в кубических сантиметрах ) этого параллелепипеда выражается числом . |
| 8 103 | Длина | отрезка АВ на 2 см больше , чем длина отрезка CD . |
| Длина | отрезка на координатной прямой равна шести единичным отрезкам . | |
| Длина | отрезка АВ показывает , на сколько единичных отрезков надо переместить вправо точку А , чтобы она перешла в точку В , т . | |
| Длина | меньшей комнаты 4 м , а ширина 33 м . | |
| 5 88 | Длина | первого участка пути составляет — длины второго участка . |
| 10 58 | Длина | дороги 25,5 км . |
| Длина | окружности и площадь круга . | |
| Длина | железной дороги 360 км . | |
| Длина | окружности прямо пропорциональна длине её диаметра . | |
| 24 | Длина | окружности и площадь круга . |
| 4 | Длина | детали пять сантиметров . |
| 4 126 | Длина | детали на чертеже , сделанном в масштабе 1 : 3 , равна 2,4 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже , сделанном в масштабе 2 : 1 ? . |
| 4 124 | Длина | дома на плане 25 см. Чему равна длина дома на местности , если план сделан в масштабе 1 : 300 ? . |
| 4 109 | Длина | детали на чертеже , сделанном в масштабе 1 : 5 , равна 7,2 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже , сделанном в масштабе 1:3 ? |
| 4 107 | Длина | Байкало - Амурской магистрали 4324 км . |
| 4 103 | Длина | железной дороги Москва — Санкт - Петербург приближённо равна 650 км . |
| Длина | отрезка на местности 4,5 км . | |
| Длина | отрезка на карте 3 см. Найдём длину соответствующего отрезка на местности , если масштаб карты 1 : 1 000 000 . | |
| 4 87 | Длина | отрезка AB равна 8 дм , а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение длин отрезков AB и CD . |
| Длина | . | |
| Длина | второго прямоугольника 4,8 м . | |
| Длина | первого прямоугольника 3,6 м , а ширина 2,4 м . | |
| Длина | окружности . | |
| Длина | одной его стороны составляет 3 периметра . | |
| 4 37 Длина прямоугольника а см , а ширина b см. | Длина | другого прямоугольника m см , а ширина n см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго . |
| 4 37 | Длина | прямоугольника а см , а ширина b см. Длина другого прямоугольника m см , а ширина n см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго . |
| Длина | этого прямоугольника 10,5 дм . | |
| 8 | Длина | окружности обратно пропорциональна длине её радиуса . |
| 3 79 | Длина | школьного спортивного зала равна 30 м , ширина составляет длины , а высота — 0,3 ширины . |
| 1 84 | Длина | прямоугольника 20 м , ширина — натуральное число метров . |
| Длина | 1/4 пути равна 20 : 4 = 5 , т . | |
| 3 19 | Длина | прямоугольного параллелепипеда равна 7/12 м , ширина 5/14 м , а высота 18/25 м . |
| Длина | прямоугольника 4 дм , а ширина 2 дм . | |
| Длина | параллелепипеда равна 3 м , высота на 7 м меньше длины , а ширина на 1 м меньше высоты . | |
| Длина | прыжка жабы равна 7 см , что в 3 раза меньше прыжка лягушки . | |
| Длины | сторон прямоугольника равны а см и b см. Найдите а , если b = 2 ; 4 ; 6 ; 12 . | |
| 19 | Дробные | выражения . |
| Дробные | числа . | |
| Дробные | числительные . | |
| Дробные | выражения . | |
| 8 | Дробь | несократима , если её числитель и знаменатель — взаимно простые числа . |
| Дробь | можно привести к любому знаменателю , кратному знаменателю данной дроби . | |
| Дробь | 2/3 равна частному 2 : 3 , поэтому частное от деления одного выражения на другое можно записать с помощью черты . | |
| 8 | Дробь | семнадцать восемнадцатых имеет простой знаменатель и чётный числитель . |
| Дробь | несократимая . | |
| Дробь | сократить нельзя , так как числа 3 и 4 взаимно простые . | |
| 5 | Единица | — простое число . |
| 4 | Единицы | и трёх одиннадцатых . |
| « | Звезда | » . |
| Знак | « — » здесь показывает , что поезд ещё не дошёл до г. Ромска , а идёт к нему . | |
| Знаком | о обозначают целую , ноту вдвое короче ( половинную ) , четвертную восьмую , шестнадцатую . | |
| Значение | числа π возьмите равным . | |
| Значение | одной из них выросло с 8 до 12 . | |
| Значение | правильной дроби от числа меньше этого числа . | |
| Значение | одной из них снизилось с 16 до 12 . | |
| Значение | выражения 3у -3 + 3 - 1 равно пятнадцати . | |
| Значение | t = -4 означает « 4 ч назад » . | |
| 2 151 | Значение | какого выражения будет вычислено на калькуляторе по алгоритму . |
| Игра | в футбол длилась — урока , а в волейбол урока . | |
| 4 | Квадрат | простого числа не может быть простым числом . |
| 7 | Квадрат | чётного числа — число чётное . |
| 3 67 | Квадрат | ABCD , разделённый на 16 равных частей . |
| 7 | Квадрат | трёх пятых равен трём двадцать пятым . |
| 4 | Квадрат | трёх восьмых . |
| Квадраты | натуральных чисел . | |
| Квадраты | и кубы натуральных чисел . | |
| Координата | правого конца отрезка равна минус двум . | |
| 2 | Координата | точки . |
| 6 | Координата | . |
| Координаты | на прямой . | |
| 9 | Координаты | на плоскости . |
| 26 | Координаты | на прямой . |
| Координаты | точки . | |
| Корень | уравнения 3 × x = 2 — число две третьих . | |
| 7 | Корень | уравнения число два . |
| 7 | Корень | уравнения число минус четыре . |
| Корень | уравнения y + 2 = 4 — число две целых три пятых . | |
| 7 | Корень | уравнения 2 : у = 4 — число одна вторая . |
| 7 | Корень | уравнения 3x + 2x = 5 — число семь . |
| Корень | уравнения 2 - у = 14 — число три пятых . | |
| Корень | этого уравнения — число минус двенадцать . | |
| Корни | уравнения не изменяются , если какое - нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак . | |
| Корни | уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю . | |
| 7 | Коэффициент | выражения an равен нулю . |
| Коэффициент | . | |
| 40 | Коэффициент | . |
| Коэффициент | обычно пишут перед буквенными множителями . | |
| Коэффициентом | такого выражения , как а или ab . считают 1 , так как . | |
| Кратно | ( какому числу ? ) . | |
| Кратно | ли число а трём ? | |
| Кратное | ( какого числа ? ) . | |
| 5 | Кратное | . |
| Кратным | натурального числа а называют натуральное число , которое делится без остатка . | |
| Кубы | натуральных чисел . . | |
| Кубы | натуральных чисел . | |
| Луч | OM разделил развёрнутый угол AOB на два угла : AOM и MOB . | |
| 2 ) | Луч | OK разделил развёрнутый угол COD на два угла : COK и KOD . |
| 3 210 | Луч | OM разделил угол COK , равный 90 ° , на два угла COM и MOK . |
| 4 | Минус | восьми и четырёх . |
| Минус | шести и минус девяти . | |
| 4 | Минус | девяти и девяти . |
| Минус | две целых три двадцать пятых . | |
| Минус | пятнадцати и минус семи . | |
| 1 | Минус | сорока и минус единицы . |
| 1 | Минус | тридцати и нуля . |
| 3 | Минус | ста и ста . |
| 3 | Минус | два « икс » равны минус шести . |
| 3 | Минус | десяти и десяти . |
| 2 | Минус | двенадцати и пятнадцати . |
| 4 | Минус | « икс » . |
| 2 | Минус | сорока двух и минус семи . |
| Минус | двадцати и нуля . | |
| 4 | Минус | одна восьмая . |
| Минус | шесть « эм » . | |
| 2 | Минус | шести и минус трёх . |
| 4 | Минус | восемнадцати и восемнадцати . |
| Минус | восемнадцати и нуля . | |
| Минус | шесть пятнадцатых . | |
| 1 | Минус | восьми и пяти . |
| Множитель | . | |
| Модулем | числа а называют расстояние ( в единичных отрезках ) от начала координат до точки А(а ) . | |
| 5 | Модуль | числа « цэ » равен семи . |
| 6 | Модуль | отрицательного числа — число положительное . |
| 8 | Модуль | числа « эм » равен расстоянию ( в единичных отрезках ) от начала отсчёта до точки с координатой « эм » . |
| Модуль | числа не может быть отрицательным . | |
| Модуль | числа 0 равен 0 . | |
| Модуль | числа 5 равен 5 , так как точка в(5 ) удалена от начала отсчёта на 5 единичных отрезков . | |
| Модуль | числа . | |
| 7 | Модуль | любого числа — число положительное . |
| 7 | Модуль | числа . |
| 28 | Модуль | числа . |
| Модуль | суммы одиннадцати и минус пяти равен шести . | |
| 7 | Модуль | суммы минус трёх и минус четырёх равен семи . |
| 5 Существует такое натуральное число « а » , что | НОД | ( a ; 60 ) = 25 . |
| 6 Не существует такого натурального числа « эм » , что | НОК | ( m ; 18 ) = 60 . |
| Наибольший общий делитель | можно найти , не выписывая всех делителей данных чисел . | |
| 6 | Наибольший общий делитель | . |
| Наибольший общий делитель | . | |
| Наибольший общий делитель | восьми и шестнадцати равен восьми . | |
| Найдем | в пропорции 0,5 : a = 2 : 13 неизвестный средний член а . | |
| 7 48 | Найдите | значение выражения . |
| 7 54 | Найдите | неизвестный член пропорции . |
| 1 160 | Найдите | значение выражения . |
| 1 145 | Найдите | по два простых делителя каждого из чисел : 54 ; 62 ; 143 ; 182 ; 3333 ; 5005 . |
| 7 61 | Найдите | значение выражения . |
| 5 25 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | площадь поверхности планеты Венера . | |
| 3 | Найдите | расстояние ( в единичных отрезках ) между точками с координатами « минус два » и « плюс один » . |
| Найдите | по формуле . | |
| Найдите | по полученной формуле . | |
| Найдите | расстояние между точками F и B в единичных отрезках . | |
| 5 10 | Найдите | по шкале высоты гор и глубины морей и океанов . |
| Найдите | формулу зависимости а от b. Является ли эта зависимость обратно пропорциональной ? . | |
| Длины сторон прямоугольника равны а см и b см. | Найдите | а , если b = 2 ; 4 ; 6 ; 12 . |
| 7 53 | Найдите | значение выражения . |
| 5 38 | Найдите | числа , противоположные числам . |
| Найдите | протяжённость каждого перегона . | |
| 7 72 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | расстояние до остановки и после неё , если протяжённость всего пути составила 142,4 км . | |
| 1 61 | Найдите | среди чисел 154 , 161 , 174 , 178 , 191 , 315 , 320 , 346 , 425 , 475 числа . |
| Найдите | значение у при х = 1 ; 3 ; 7 . | |
| 7 70 | Найдите | значение выражения . |
| 3 70 | Найдите | . |
| Найдите | частное ( 1 - 4 ) . | |
| Найдите | площадь круга , округлив число « пи » до целых ( 3—4 ) , если . | |
| 1 195 | Найдите | наибольший общий делитель чисел а и b , если . |
| 1 196 | Найдите | наибольший общий делитель чисел . |
| Найдите | объём куба . | |
| Найдите | разность ( 4—5 ) . | |
| 3 14 | Найдите | значение выражения двумя способами : по правилу умножения обыкновенных дробей и по правилу умножения десятичных дробей . |
| Найдите | длину окружности , приняв число « пи » приближённо равным трём ( 3—4 ) , если . | |
| Найдите | площадь прямоугольника . | |
| Найдите | сумму ( 2—3 ) . | |
| 4 155 | Найдите | неизвестный член пропорции . |
| Найдите | сумму ( 1—2 ) . | |
| Найдите | коэффициент выражения ( 1—6 ) . | |
| 4 150 | Найдите | длину окружности , если её радиус равен 36 см ; 0,44 см ; 125 км . |
| Найдите | отношение длины окружности к длине диаметра и сравните полученный результат с числом π . | |
| 4 139 | Найдите | площадь пятиугольника OABCD . |
| Найдите | площадь циферблата . | |
| 3 15 | Найдите | произведение 1 и 3 . |
| Найдите | диаметр и площадь арены ( π = 3 ) . | |
| 4 132 | Найдите | длину окружности , радиус которой равен 24 см ; 4,7 дм ; 18,5 м . |
| Найдите | диаметр колеса . | |
| 4 129 Диаметр долгоиграющей виниловой пластинки равен 20 см. | Найдите | длину окружности этой пластинки . |
| 4 128 | Найдите | длину окружности , если её диаметр равен 21 см ; 3,5 см ; 10,5 дм . |
| 1 204 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | длину этой цепи , если просвет каждого звена 16 мм , а толщина 4 мм . | |
| 3 4 | Найдите | периметр треугольника ABC , если AB = 2/15 м , BC больше AB в 4 раза , а AC меньше BC на 1/15 м . |
| 1 187 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | координаты точки пересечения стороны AK с осью ординат . | |
| 9 22 | Найдите | с помощью линейки и угольника все пары параллельных прямых , изображённых . |
| 9 97 | Найдите | массу 1 см3 вещества , если 2/3 см3 этого вещества имеют массу 4/9 г . |
| Найдите | высоту здания над землёй , если оно заглублено в землю на 15 м и длина здания больше его ширины в 1 5/7раза . | |
| 10 21 | Найдите | значение выражения . |
| 3 | Найдите | значение выражения 0,7 × 26 - 16 × 0,7 , применив распределительное свойство умножения . |
| 1 167 | Найдите | все общие делители чисел . |
| 1 170 | Найдите | наибольший общий делитель чисел . |
| 1 171 | Найдите | наибольший общий делитель чисел . |
| 4 173 | Найдите | значение выражения . |
| 1 172 | Найдите | наибольший общий делитель чисел . |
| 4 171 | Найдите | площадь круга , радиус которого равен 12 см . |
| 1 173 | Найдите | наибольший общий делитель чисел . |
| Найдите | объём этого вещества , если его масса равна 1 г . | |
| 1 174 | Найдите | наибольший общий делитель чисел . |
| 9 98 | Найдите | значение выражения . |
| 4 168 | Найдите | значение выражения . |
| 1 176 | Найдите | среди чисел 9 , 14 , 15 и 27 три пары взаимно простых чисел . |
| Найдите | площадь полукруга судейской зоны . | |
| Найдите | диаметры планет Венера и Марс . | |
| Найдите | периметр квадрата . | |
| Найдите | разность ( 3—4 ) . | |
| Найдите | площадь поверхности Земли . | |
| Найдите | площадь клумбы , если её периметр равен 11,2 м . | |
| 1 169 | Найдите | разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел а и b , если . |
| 5 68 | Найдите | . |
| 5 41 | Найдите | координаты точек A , Б и C . |
| 8 100 | Найдите | корень уравнения . |
| 2 208 | Найдите | пропущенные числа . |
| Найдите | длину отрезка АВ . | |
| Найдите | скорость автобуса , если известно , что она меньше скорости легковой автомашины на 50 км / ч . | |
| 7 6 | Найдите | значение выражения -42у , если у = 0 ; 1 ; – 1 ; 3 ; 5 ; – 30 . |
| Найдите | сумму ( 1—3 ) . | |
| 6 48 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | длину туристического маршрута . | |
| 10 94 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | координату середины С отрезка АВ , если . | |
| Найдите | координаты вершины D . | |
| 7 13 | Найдите | значение выражения . |
| 6 59 | Найдите | значение выражения . |
| 6 38 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | длину каждого куска верёвки . | |
| 10 95 | Найдите | значение дробного выражения . |
| 6 26 | Найдите | значение выражения . |
| 6 25 | Найдите | объём прямоугольного параллелепипеда , длина которого 21 см , а ширина составляет 3 длины и 30 % высоты . |
| 7 15 | Найдите | значение произведения . |
| 6 23 | Найдите | с помощью координатной прямой сумму чисел . |
| Найдите | объём шкафа . | |
| 6 15 | Найдите | сумму . |
| 7 16 | Найдите | значение произведения . |
| 8 120 | Найдите | значение выражения . |
| 6 3 | Найдите | значение выражения . |
| 6 1 | Найдите | с помощью координатной прямой сумму чисел . |
| 6 32 | Найдите | значение выражения х + у + ( -16 ) , если . |
| Найдите | координаты точки , в которой пересекаются эти отрезки . | |
| 6 67 | Найдите | значение выражения . |
| 6 69 | Найдите | значение выражения . |
| 6 116 | Найдите | расстояние в единичных отрезках между точками . |
| 6 117 | Найдите | значение выражения . |
| 6 114 | Найдите | значение выражения ( а + b ) — с , |
| 2 182 | Найдите | значение выражения . |
| 6 103 | Найдите | число , противоположное числу -7,2 . |
| 6 102 | Найдите | значение выражения . |
| 6 100 | Найдите | расстояние между точками А(а ) и В(b ) , если . |
| 2 183 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | разность ( 1—5 ) . | |
| 1 82 | Найдите | пропущенные числа . |
| 6 | Найдите | значение выражения -4 - 7 . |
| 6 99 | Найдите | значение выражения . |
| 6 68 | Найдите | значение суммы . |
| 6 98 | Найдите | значение выражения . |
| 2 186 | Найдите | по формуле A = m - 61 . а ) значение A , если m = 63 ; 87 ; 11 . б ) значение m , если A = 64 ; 38 ; 0 . |
| 2 195 | Найдите | периметр треугольника ABC , если AB = 3 м , BC = 2 м и AC = 2 м . 2 196 Ленту разрезали на две части так , что длина одной части равна 63 м , а другой — на 24 м меньше . |
| Найдите | скорость катера по течению реки и против течения . | |
| Найдите | разность ( 1 - 2 ) . | |
| 2 206 | Найдите | значение выражения . |
| 6 83 | Найдите | значение выражения . |
| 6 80 | Найдите | значение а + b , если . |
| Найдите | площадь каждого участка , если известно , что один из участков . | |
| 6 | Найдите | расстояние между точкой с координатой минус четыре и точкой с координатой шесть . |
| Найдите | координаты точки пересечения прямых АВ и CD . | |
| 1 104 | Найдите | значение выражения 4,7k + 5,3k — 0,83 , если k = 0,83 ; 8,3 ; 0,083 . |
| 1 106 | Найдите | значение выражения . |
| 6 97 | Найдите | значение выражения . |
| 5 40 | Найдите | значение выражения . |
| 1 117 | Найдите | произведение простых чисел . |
| 1 120 | Найдите | пропущенные числа , если a = 33 ; 42 ; 75 . |
| 5.90 | Найдите | значение выражения . |
| 5 | Найдите | квадрат минус восьми . |
| Найдите | массу баллона . | |
| 5 83 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | разность ( 4—6 ) . | |
| 5 80 | Найдите | значение к , если -к равно -3,5 ; 6,8 . |
| Найдите | координаты середины стороны MN . | |
| Найдите | координаты точки пересечения прямых MN и CD . | |
| 1 67 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | его значение при у . | |
| 5 66 | Найдите | значение выражения . |
| 5 65 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | произведение ( 1—4 ) . | |
| 5 64 | Найдите | расстояние ( в единичных отрезках ) от начала отсчёта до каждой из точек : А(3,7 ) , В(-7,8 ) , С(-200 ) , .0(315,6 ) , E(0 ) , F(-2 ) , K ( ) . |
| 5 62 | Найдите | модуль каждого из чисел : 81 ; 1,3 ; -5,2 . |
| 5 | Найдите | значение выражения -(-15 ) . |
| 9 86 | Найдите | значение выражения . |
| 9 7 | Найдите | корень уравнения . |
| 5 61 | Найдите | значение выражения . |
| 5 57 | Найдите | значение . |
| Найдите | недостающую ноту . | |
| 9 13 | Найдите | значение выражения . |
| 5 48 | Найдите | числа , которые на координатной прямой находятся на расстоянии . |
| 5 45 | Найдите | целые числа , расположенные на координатной прямой между числами . |
| 7 41 | Найдите | частное . |
| 7 42 | Найдите | частное . |
| 5 63 | Найдите | значение выражения х , если . |
| 7 21 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | каждое число . | |
| Найдите | сумму ( 4—5 ) . | |
| 2 209 | Найдите | натуральные значения т , при которых верно неравенство . |
| 10 97 | Найдите | значение выражения . |
| 7 22 | Найдите | значение . |
| 2 221 | Найдите | значение разности . |
| Найдите | сумму модуля минус девяти и модуля трёх . | |
| Найдите | условие , при котором данное равенство верно . | |
| 5 143 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | периметр и площадь футбольного поля . | |
| 5 130 | Найдите | значение неизвестного числа х . |
| 2 223 | Найдите | значение выражения . |
| 5 122 | Найдите | неизвестный член пропорции 9 : 3,1 = x : 9,3 . |
| Найдите | процентное содержание каждого вида трав в полученной смеси . | |
| Найдите | площадь каждого участка . | |
| 2 228 | Найдите | значение выражения . |
| 5 115 | Найдите | неизвестный член пропорции . |
| Найдите объём пирамиды , если ребро куба 1,2 см. | Найдите | ребро куба , если объём одной пирамиды 1/6 см3 . |
| Найдите | объём пирамиды , если ребро куба 1,2 см. Найдите ребро куба , если объём одной пирамиды 1/6 см3 . | |
| 5 112 | Найдите | значение . |
| Найдите | измерения параллелепипеда , если ни одно из них не равно 1 см . | |
| 1 137 | Найдите | значение выражения : ( 15,964 : 5,2 — 1,2 ) 0,1 . |
| 7 33 | Найдите | значение выражения . |
| 10 53 Периметр треугольника ABC равен 85 см. Сторона АВ меньше стороны ВС на 15 см , а сторона АС больше стороны АВ на 22 см. | Найдите | длину стороны ВС . |
| 7 34 | Найдите | значение произведения . |
| 7 36 | Найдите | значение выражения . |
| 2 231 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | среднее арифметическое этих чисел . | |
| Найдите | процентное содержание каждого вида фруктов , взятых для приготовления компота . | |
| Но 4 шага Пети короче 6 шагов Толи на 54 см. | Найдите | длину шага каждого мальчика . |
| Найдите | скорость машины и расстояние от города до сельского поселения . | |
| Найдите | объём прямоугольного параллелепипеда . | |
| Найдите | скорость каждого катера , если известно , что они встретятся через 5/12 ч . | |
| 3 233 | Найдите | значение выражения . |
| 3 225 | Найдите | число , обратное числу . |
| 9 55 На миллиметровой бумаге отмечены точки А , В , С , D , Е , F , K и М. | Найдите | их координаты . |
| 3 221 | Найдите | число , обратное дроби . |
| Найдите | скорости мотоциклиста и велосипедиста . | |
| Найдите | скорости каждого пешехода , если они встретились через полчаса . | |
| Найдите | градусные меры углов АОВ и ВОС . | |
| 3 205 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | на этой линии точку . | |
| Найдите | ширину другого прямоугольника , длина которого 3 м , а площадь равна площади первого прямоугольника . | |
| 9 102 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | периметр прямоугольника , если его ширина 3/8 м . | |
| Найдите | задуманное число . | |
| 3 193 | Найдите | по формуле площади прямоугольника S = ab значение . |
| 2 84 | Найдите | пропущенные числа , если х = 0,8 ; 0,16 ; 0,06 ; 1 . |
| Найдите | длину другой стороны . | |
| 2 88 | Найдите | наибольший общий делитель числителя и знаменателя и сократите дробь . |
| Найдите | координаты точек пересечения ломаных ABCDE и MNK . | |
| 2 150 | Найдите | значение выражения . |
| 3 188 | Найдите | значение выражения . |
| 1 24 | Найдите | остаток от деления . |
| Найдите | эти числа , если второе больше первого в 1,5 раза , третье больше первого в 1,2 раза и , наконец , четвёртое больше первого в 1,8 раза . | |
| 3 184 | Найдите | числа , обратные числам . |
| 1 23 | Найдите | неполное частное и остаток при делении . |
| Найдите | эти числа , если второе число больше первого на 0,9 , а третье число больше первого в 2 раза . | |
| 2 94 | Найдите | значение выражения . |
| 3 180 | Найдите | значение выражения . |
| 3 176 | Найдите | наименьшее и наибольшее значения выражения 3х , если х= 12 . |
| Найдите | частное ( 4—6 ) . | |
| Найдите | периметр и площадь этого четырёхугольника , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков . | |
| Найдите | произведение ( 1—5 ) . | |
| Найдите | частное ( 1—5 ) . | |
| Найдите | скорость теплохода против течения реки . | |
| Найдите | собственную скорость лодки и скорость течения реки . | |
| 2 60 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | расстояние от лесозаготовительного пункта до деревоперерабатывающего завода , если сплав по реке занял 3 ч 20 мин , а буксировка по озеру — 2,5 ч со скоростью 7,2 км / ч . | |
| Найдите | собственную скорость катера . | |
| Найдите | произведение ( 4—6 ) . | |
| 10 10 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | скорости велосипедиста и мотоциклиста , если известно , что мотоциклист догонит велосипедиста через 2 ч . | |
| Найдите | скорости автобуса и легковой автомашины , если известно , что легковая автомашина догонит автобус через 2 ч . | |
| 7 125 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | число ( 1—4 ) , если . | |
| Найдите | число ( 4—6 ) , если . | |
| Найдите | частное ( 1—3 ) . | |
| 3 | Найдите | число , если десять процентов этого числа равны трём . |
| 3 171 | Найдите | . |
| 7 128 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | скорость пешехода , если скорость велосипедиста 15 км / ч , а расстояние от села до моста 1 км 800 м . | |
| 1 | Найдите | сумму минус восемнадцати , минус тридцати девяти и восемнадцати . |
| Найдите | произведение минус пятидесяти , сорока семи и минус двух . | |
| 4 | Найдите | сумму всех целых чисел от минус четырёх до шести . |
| Найдите | всю длину столба . | |
| 8 64 | Найдите | значение выражения . |
| 3 276 | Найдите | значение выражения . |
| 9 49 | Найдите | координаты точек А , В , С и D . |
| 3 272 | Найдите | правило размещения чисел в полукругах и вставьте недостающие числа . |
| 3 259 | Найдите | число , если известно , что 45 % этого числа составляют 28 % от числа 180 . |
| 3 258 | Найдите | число , если известно , что 1 этого числа равна 0,6 от числа 18 . |
| 1 32 | Найдите | наименьшее число , которое кратно каждому из трёх чисел . |
| Найдите | площадь всего поля . | |
| Найдите | площадь всего катка . | |
| Найдите | длины отрезков CB и AB , если AC = 3,9 см . | |
| Найдите | координаты точки пересечения отрезков АС и BD . | |
| 2 149 | Найдите | пропущенные числа . |
| Найдите | собственную скорость моторной лодки . | |
| Найдите | ( 3—6 ) . | |
| Найдите | произведение ( 1—2 ) . | |
| 8 22 | Найдите | значение выражения . |
| 2 122 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | длину окружности , опоясывающей планету Марс , если средний радиус Земли равен 6371 км . | |
| 2 123 | Найдите | значение выражения . |
| 2 129 | Найдите | значение выражения . |
| 3 | Найдите | число , если две третьих этого числа равны двенадцати . |
| Найдите | численность населения Московской области в 2016 г. Результат округлите до десятых . | |
| 2 131 | Найдите | значение выражения . |
| 3 110 Угол А равен 40 ° , а угол В составляет 135 % от угла А. | Найдите | градусную меру суммы углов А и В . |
| 2 132 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | массу сплава , если олова в нём 27,2 кг . | |
| 8 24 | Найдите | неизвестный член пропорции . |
| Найдите | высоту параллелепипеда , если его объём 2,42 дм3 . | |
| Найдите | скорость полёта голубя . | |
| 3 101 | Найдите | какие - нибудь три решения неравенства . |
| 2 135 | Найдите | значение выражения a + a , если a = 1 ; 2 ; 5 ; 7 . |
| 2 136 | Найдите | значение выражения x если x = 4 ; 5 ; 6 . |
| 8 29 | Найдите | значение выражения . |
| 3 99 | Найдите | значение выражения . |
| 3 94 | Найдите | пропущенные числа . |
| 3 92 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | с помощью калькулятора . | |
| 9 74 | Найдите | объём и площадь поверхности куба , ребро которого равно . |
| Найдите | периметр прямоугольника . | |
| Найдите | объём и площадь спортивного зала . | |
| Найдите | длину стороны AC . | |
| 3 69 | Найдите | . |
| Найдите | ( 1—4 ) . | |
| 1 | Найдите | две третьих от двенадцати . |
| 1 8 | Найдите | все одинаковые ( общие ) делители пары чисел . |
| 9 71 | Найдите | радиус окружности , длина которой 6,28 мм ; 3,14 см ; 0,0628 м , приняв π = 3,14 . |
| 1 20 | Найдите | пропущенные числа ( знаком х обозначается умножение ) . |
| 3 166 | Найдите | число , обратное числу . |
| 3 164 | Найдите | произведение чисел . |
| Найдите | скорость течения реки . | |
| 9 65 | Найдите | все дроби со знаменателем 15 , которые больше и меньше 1 ; 9 . |
| 3 163 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | значение получившегося выражения при c = 90 ; 63 . | |
| 8 3 | Найдите | значение выражения . |
| 3 155 | Найдите | значение выражения . |
| 3 152 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | делитель . | |
| 3 138 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | значение получившегося выражения при m = 1200 ; 300 ; 50 . | |
| Найдите | значение получившегося выражения при а = 1,2 ; 44 . | |
| 3 167 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | значение получившегося выражения при c = 50 ; 75 . | |
| Найдите | значение получившегося выражения при а = 142 . | |
| 3 68 | Найдите | . |
| 5 | Найдите | частное одной шестой и двух пятых . |
| 8 14 | Найдите | значение выражения . |
| 6 | Найдите | разность одной третьей и одной девятой . |
| 8 15 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | координату точки C . | |
| 8 17 | Найдите | наибольшее значение выражения . |
| 3 124 | Найдите | значение выражения . |
| 3 123 | Найдите | значение выражения . |
| 3 121 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | координату точки D. Как можно найти координаты точек C и D , не выполняя построений ? . | |
| 9 70 | Найдите | длину окружности , радиус которой 7 см ; 0,7 см ; 0,14 см , приняв π = 22/7 . |
| 8 19 | Найдите | координаты середины отрезка , если координаты его концов равны . |
| 4 | Найдите | произведение одной шестой и двух пятых . |
| Найдите | массу стального куба , ребро которого 2 дм . | |
| Найдите | значение отношения величин ( 3—6 ) . | |
| 7 119 | Найдите | наибольшее значение выражения . |
| Найдите | среднюю скорость поезда за эти 5 ч . | |
| 1 237 | Найдите | значение выражения . |
| 8 41 | Найдите | произведение всех целых чисел . |
| Найдите | ширину второго прямоугольника . | |
| 3 32 | Найдите | значение выражения . |
| 8 36 | Найдите | коэффициент произведения . |
| 8 35 | Найдите | коэффициент произведения . |
| 7 94 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | неизвестное число . | |
| 4 49 | Найдите | отношение величин . |
| 3 34 | Найдите | пропущенные числа . |
| Найдите | расстояние между точками А и Б в единичных отрезках . | |
| Найдите | значение отношения ( 3—4 ) . | |
| 3 | Найдите | сумму нуля целых четырёх десятых и нуля целых четырёх сотых . |
| 4 38 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | значение получившегося выражения , если . | |
| 9 130 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | скорость движения каждого мотоциклиста , если известно , что через 16 мин они встретятся . | |
| 10 122 | Найдите | значение выражения . |
| 4 37 Длина прямоугольника а см , а ширина b см. Длина другого прямоугольника m см , а ширина n см. | Найдите | отношение площади первого прямоугольника к площади второго . |
| 7 99 | Найдите | значение выражения . |
| 4 | Найдите | разность единицы и нуля целых пяти сотых . |
| 8 34 | Найдите | коэффициент произведения . |
| Найдите | в таблице последовательно все числа от 1 до 25 . | |
| 3 54 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | процентное содержание соли в рассоле . | |
| Найдите | для каждого мальчика , какую часть составляли попадания от числа бросков . | |
| 1 | Найдите | шесть процентов от десяти . |
| Найдите | среднюю скорость катера на всём пути , если его собственная скорость 18 км / ч , а скорость течения 2 км / ч . | |
| Найдите | массу каждого из этих спутников , если масса второго была больше массы первого на 424,7 кг , а масса третьего больше массы второго на 818,7 кг . | |
| 4 29 | Найдите | объём прямоугольного параллелепипеда , если . |
| 1 230 | Найдите | наименьшее общее кратное чисел а и b , если . |
| 1 229 | Найдите | наименьшее общее кратное чисел . |
| 1 206 | Найдите | наименьшее общее кратное чисел а и b , если . |
| 1 207 | Найдите | наименьшее общее кратное чисел . |
| 1 208 | Найдите | наименьшее общее кратное чисел . |
| Найдите | наименьшее общее кратное данных чисел в каждой паре . | |
| 4 121 | Найдите | с помощью карты расстояние от Москвы до Екатеринбурга . |
| Найдите | скорость течения , если собственная скорость теплохода 70 км / ч . 10 127 Найдите 4 числа , каждое из которых , начиная со второго , на 7 больше предыдущего , если среднее арифметическое их равно 25,5 . | |
| 3 26 | Найдите | по формуле объёма прямоугольного параллелепипеда V = abc значение V , если a = 4/5 дм , b = 2 1/2 дм , c = 13/4 дм . |
| 3 27 | Найдите | массу металлической детали , объём которой равен 3 дм3 , если масса 1 дм этого металла равна 7 кг . |
| Найдите | расстояние между городами , если скорость одного поезда равна 75 км / ч , а скорость другого составляет 9 от скорости первого поезда . | |
| 4 102 Расстояние между городами A и Б на карте равно 8,5 см. | Найдите | расстояние между городами на местности , если масштаб карты 1/100 000 . |
| 1 215 | Найдите | наибольший общий делитель для числителя и знаменателя дроби . |
| 8 46 | Найдите | значение выражения . |
| 10 4 | Найдите | значение выражения . |
| 1 217 | Найдите | наибольший общий делитель чисел . |
| Найдите скорость течения , если собственная скорость теплохода 70 км / ч . 10 127 | Найдите | 4 числа , каждое из которых , начиная со второго , на 7 больше предыдущего , если среднее арифметическое их равно 25,5 . |
| 8 44 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | наибольший общий делитель всех этих чисел . | |
| 1 225 | Найдите | среднее арифметическое чисел : 3,8 ; 4,2 ; 3,5 ; 4,1 . |
| 4 100 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | процентное содержание крахмала в таком картофеле . | |
| 1 205 | Найдите | разложение на простые множители наименьшего общего кратного чисел а и b , если . |
| 4 91 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | эти числа . | |
| 3 25 | Найдите | по формуле пути s = vt значение s , если . |
| 4 89 | Найдите | значение выражения . |
| 4 87 Длина отрезка AB равна 8 дм , а длина отрезка CD равна 2 см. | Найдите | отношение длин отрезков AB и CD . |
| 8 43 | Найдите | наименьшее целое положительное и наибольшее целое отрицательное решения неравенства . |
| 4 81 | Найдите | отношение . |
| Найдите | в таблице все пары чисел - близнецов . | |
| 8 84 | Найдите | значение выражения , применив распределительное свойство умножения . |
| 4 26 | Найдите | значение выражения . |
| 8 49 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | это число . | |
| Найдите | значение величины ( 3—4 ) . | |
| 2 31 | Найдите | наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел . |
| Найдите | число ( 1—2 ) . | |
| Найдите | среднюю скорость поезда на всём пути , если стоянка длилась 36 мин . | |
| Найдите | площадь всей квартиры . | |
| 3 318 | Найдите | значение выражения . |
| 3 317 | Найдите | значение выражения . |
| 3 313 | Найдите | число , если . |
| 9 117 | Найдите | целые решения неравенства . |
| 3 40 | Найдите | значение выражения . |
| 3 306 | Найдите | наибольшее и наименьшее значения выражения , если x = 1 . |
| 3 305 | Найдите | произведение дробей и произведение дробей , обратных данным . |
| 8 74 | Найдите | коэффициент выражения . |
| Найдите | в таблице последовательно все числа от 26 до 50 . | |
| 3 300 | Найдите | значение выражения x , если . |
| если . 3 299 | Найдите | значение выражения . |
| 9 110 | Найдите | 2/3 . |
| 3 295 | Найдите | значение выражения . |
| 3 294 | Найдите | значение выражения . |
| 3 21 | Найдите | значение выражения . |
| 3 293 | Найдите | значение выражения . |
| 8 70 | Найдите | значение выражения 1 - 3 + 5- 7 + 9 -11 + .. + 97 - 99 . |
| 2 171 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | значение этого выражения . | |
| 7 116 | Найдите | сумму всех целых чисел . |
| 2 48 | Найдите | пропущенные числа . |
| 2 49 | Найдите | среди чисел 1 , 3 , 10 , 12 , 13 , 15 , 16 , 39 пары взаимно простых чисел . |
| 2 50 | Найдите | равные среди чисел . |
| 9 111 | Найдите | число , если . |
| 6 | Найдите | значение знаменателя дробного выражения при « ка » , равном единице . |
| 4 127 | Найдите | значение выражения . |
| 6 | Найдите | процентное отношение восьмидесяти килограммов и одной тонны . |
| 8 81 | Найдите | значение выражения . |
| 5 | Найдите | произведение нуля целых семи десятых и нуля целых одной десятой . |
| 4 21 | Найдите | пропущенные числа . |
| 4 19 | Найдите | , сколько процентов число 9,729 составляет от числа 84,6 . |
| Найдите | , сколько процентов семян всходит ( процент всхожести ) . | |
| 4 5 Отношение а к b равно | Найдите | обратное отношение . |
| Найдите | отношение длины прямоугольника к его ширине . | |
| 3 39 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | , какую часть всей проволоки составляет первый кусок ; второй кусок . | |
| 2 175 | Найдите | значение выражения . |
| 4 1 | Найдите | отношение . |
| Найдите | отношение массы электромотора к массе станка . | |
| 6 | Найдите | частное трёх и нуля целых пяти десятых . |
| Найдите | , какую площадь занимает этот стол на кухне в натуральную величину . | |
| 2 15 | Найдите | значение выражения . |
| 9 44 | Найдите | значение выражения . |
| Найдите | скорость товарного поезда . | |
| 9 123 | Найдите | значение выражения . |
| 2 17 | Найдите | , координаты точек A , B , Си D. Есть ли среди этих точек такие , координаты которых — общие кратные чисел m и п ? . |
| 2 22 | Найдите | наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел . |
| Найдите | массу каждого сазана . | |
| Найдите | среднюю скорость лодки на всём пути , если её собственная скорость 20 км / ч , а скорость течения 4 км / ч . | |
| Найдём | наименьший общий знаменатель . | |
| 3 90 | Найти | несколько процентов от числа можно с помощью калькулятора при наличии на нём клавиши % . |
| 3 301 | Найти | с помощью калькулятора значение выражения можно по алгоритму . |
| 4 | Натуральное | число « эм » делится на натуральное число « а » без остатка . |
| Натуральное | число называют составным , если оно имеет более двух делителей . | |
| Натуральное | число называют простым , если имеет только два делителя : единицу и само это число . | |
| 8 | Натуральное | число , записанное двенадцатью одинаковыми цифрами , кратно трём . |
| 6 | Натуральное | число « бэ » делится без остатка на пятнадцать . |
| Натуральное число | называют простым , если имеет только два делителя : единицу и само это число . | |
| Натуральное число | называют составным , если оно имеет более двух делителей . | |
| 4 | Натуральное число | « эм » делится на натуральное число « а » без остатка . |
| 6 | Натуральное число | « бэ » делится без остатка на пятнадцать . |
| 8 | Натуральное число | , записанное двенадцатью одинаковыми цифрами , кратно трём . |
| Натуральные | числа . | |
| Натуральные | числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 . | |
| Натуральные | числа , противоположные им числа и нуль называют целыми числами . | |
| Натуральные числа | . | |
| Натуральные числа | , противоположные им числа и нуль называют целыми числами . | |
| Натуральные числа | называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 . | |
| Неравенства | , составленные из положительных и отрицательных чисел , читают так . | |
| Неравенства | 3 < 4 и 5 < 5 верные , так как одно из условий выполнено : 3 меньше , чем 4 ; 5 равно 5 . | |
| 7 | Ноль | целых семь десятых больше пятидесяти шести процентов . |
| 1 | Ноль | целых две десятых от пяти . |
| 1 | Ноль | целых три десятых от тридцати . |
| 4 | Ноль | целых четыре десятых которой равны двенадцати минутам . |
| 4 | Ноль | целых четыре десятых некоторого числа равны восьми . |
| 7 | Ноль | целых сорок пять сотых равны девяти двадцатым . |
| 1 | Нуль | целых три десятых этого числа равны шести . |
| 2 | Нуля | целых двух десятых и одной второй . |
| 4 | Нуля | целых четырёх десятых к одной целой двум десятым . |
| Обыкновенные дроби | . | |
| Глава I | Обыкновенные дроби | . |
| 3 228 | Округлите | числа . |
| 7 123 | Округлите | 5,2853 до тысячных ; до сотых ; до десятых ; до единиц . |
| 4 136 | Окружность | арены во всех цирках мира имеет длину 40,8 м . |
| Операции | над числами любого знака выполняются на калькуляторе так же , как над положительными числами . | |
| Ордината | точки « дэ » равна минус пяти , а абсцисса — минус трём . | |
| Основание | конуса — круг , а развёртка боковой поверхности — сектор . | |
| 3 104 | Основанием | прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной 1,1 дм . |
| Остаток | в этом , случае равен последней цифре числа . | |
| Отложите | от точки C влево отрезок CD , равный — единичного отрезка . | |
| Отметьте на этом луче точку A. | Отложите | вправо от точки A отрезок AC , равный — единичного отрезка . |
| Отношение | трёх к пяти равно отношению двух к семи . | |
| 7 | Отношение | двух взаимно обратных чисел равно единице . |
| Отношение | высоты фасада здания к его длине равно 0,618 . | |
| Отношение | двух чисел увеличится , если каждое из них удвоить . | |
| 4 5 | Отношение | а к b равно Найдите обратное отношение . |
| 8 | Отношение | . |
| Отношение | показывающее во сколько число второго , или какую часть первое число составляет от второго . | |
| 5 | Отношение | длины отрезка на местности к длине соответствующего отрезка на карте называется масштабом карты . |
| 6 | Отношение | длины окружности к её диаметру одинаково для любых окружностей . |
| Отношение | длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты . | |
| Эти записи читают так : « | Отношение | а к b равно отношению c к d » или « а так относится к b , как с относится к d » . |
| Отношения | . | |
| Отношения | 3,6 : 1,2 и 6,3 : 2,1 равны , так как значения частных равны 3 . | |
| 20 | Отношения | . |
| 4 | Отношения | и пропорции . |
| 8 76 | Отрезком | какой длины изображается на карте расстояние 35 км , если масштаб карты 1 : 100 000 ? . |
| 8 93 | Отрезком | какой длины изображается на карте расстояние 6,5 км , если масштаб карты 1 : 25 000 ? . |
| Отрезок | , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара , называют диаметром шара . | |
| Отрезок | , соединяющий точку поверхности шара с центром , называют радиусом шара . | |
| Отрицательные | числа . | |
| Отрицательные | числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей . | |
| Отрицательные | числа появились позднее , чем дроби . | |
| Параллелограмм | , у которого все стороны равны , называют ромбом . | |
| 44 | Параллельные | прямые . |
| 4 | Параллельные | прямые . |
| 1 201 | Периметр | прямоугольника равен 66 дм . |
| 10 53 | Периметр | треугольника ABC равен 85 см. Сторона АВ меньше стороны ВС на 15 см , а сторона АС больше стороны АВ на 22 см. Найдите длину стороны ВС . |
| 2 140 | Периметр | треугольника ABC равен — м . |
| Перпендикулярные | и параллельные прямые . | |
| 43 | Перпендикулярные | прямые . |
| « | Пи | приближённо равно трём целым четырнадцати сотым » . |
| Плоскость | , на которой выбрана система координат , называют координатной плоскостью . | |
| Площадей | и объёмов . | |
| Площадь | второго поля на 4,8 га меньше площади первого , а площадь третьего поля в 1,6 раза больше площади второго . | |
| 3 80 | Площадь | огорода 0,04 га . |
| 7 | Площадь | прямоугольника со сторонами одна пятая метра и одна четвёртая метра равна одной десятой квадратного метра . |
| Площадь | ворот . | |
| Площадь | прямоугольника равна пяти седьмым квадратного метра , если его стороны равны одной пятой метра и одной седьмой метра . | |
| 4 4 | Площадь | прямоугольника 22,05 дм2 . |
| Площадь | нежилых помещений составляет — площади всей квартиры . | |
| 10 33 | Площадь | прямоугольника равна 12 см2 . |
| 3 131 | Площадь | поля а га . |
| 1 34 | Площадь | первого поля 27,3 га . |
| 8 | Площадь | прямоугольника со сторонами четыре метра и одна целая три четвёртых метра равна шести квадратным метрам . |
| Площадь | треугольника EOF вдвое меньше площади квадрата AEOF , поэтому площадь EFKM вдвое меньше площади квадрата ABCD , т . | |
| 10 51 | Площадь | двух участков , засеянных кукурузой , равна 60 га . |
| 8 | Площадь | теплицы — сорок квадратных метров , что составляет одну восьмую площади огорода . |
| Площадь | прямоугольника 5/7 м . | |
| 5 | Площадь | круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса . |
| Площадь | круга S больше площади квадрата EFKM , но меньше площади квадрата ABCD . | |
| 4 159 | Площадь | поверхности Луны приближённо равна 38 млн км2 , что составляет 0,075 площади поверхности Земли . |
| Площадь | катка равна 2000 м2 . | |
| 5 23 | Площадь | поверхности планеты Меркурий равна 75 млн км2 и составляет площади поверхности планеты Венера . |
| 3 198 | Площадь | прямоугольника 15 м2 . |
| 8 | Площадь | круга « эс » равна произведению числа « пи » и квадрата радиуса круга « эр квадрат » . |
| Поверхность | шара называют сферой . | |
| Подобные | слагаемые . | |
| 7 | Подобные | слагаемые — это слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть . |
| Подобные | слагаемые могут отличаться только коэффициентами . | |
| 41 | Подобные | слагаемые . |
| Подобным | образом можно обозначить и положение точки на плоскости . | |
| 6 74 Составьте уравнение для решения задачи : « | Поле | площадью 2,4 га разделили на два участка . |
| Положительное | направление отмечают стрелкой . | |
| 4 | Положительное | число . |
| 7 109 | Положительное | или отрицательное число получится , если перемножить . |
| 7 | Положительные | и отрицательные числа называют целыми числами . |
| Положительные | числа тогда толковались как имущество , а отрицательные — как долг , недостача . | |
| Положительные | числа . | |
| 5 | Положительные | и отрицательные числа . |
| Прибавить | к числу -5 число 0 — значит изменить число -5 на 0 . | |
| Прибавить | к числу , а число b — значит изменить a на b единиц . | |
| 6 62 | Прибавьте | . |
| Приведите | примеры использования основного свойства дроби . | |
| 1 | Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби две пятых и три четвёртых . |
| Приведите | примеры . | |
| Приведите | два варианта . | |
| Приведите | примеры прямо пропорциональных величин . | |
| 1 7 | Приведите | примеры пары чисел , имеющих делитель , равный . |
| 8 86 | Приведите | подобные слагаемые . |
| 8 85 | Приведите | подобные слагаемые . |
| Приведите | примеры обратно пропорциональных величин . | |
| 2 153 | Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби . |
| 2 69 | Приведите | дробь . |
| Приведите | примеры величин , у которых зависимость не является ни прямо , ни обратно пропорциональной . | |
| 2 100 | Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби . |
| 2 99 | Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби . |
| 9 32 | Приведите | подобные слагаемые . |
| Приведите | пример . | |
| Приведите | дробь ( 1—3 ) . | |
| 2 96 | Приведите | дробь . |
| Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби ( 4—6 ) . | |
| 10 28 | Приведите | примеры . |
| 2 77 | Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби . |
| Приведите | смешанные дроби 3 и 1 к наименьшему общему знаменателю . | |
| 1 | Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби две девятых и семь восемнадцатых . |
| Приведите | дроби 5 и 3 к наименьшему общему знаменателю . | |
| 2 78 | Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби . |
| 2 79 | Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби . |
| 5 | Приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби три четвёртых и девять десятых . |
| 8 114 | Приведите | подобные слагаемые . |
| 10 1 | Приведите | примеры . |
| Приведите | подобные слагаемые в выражении ( 4—6 ) . | |
| Приведите | дроби 3 и — к наименьшему общему знаменателю . | |
| 8 | Привести | подобные слагаемые — значит сложить их коэффициенты . |
| Призма | . | |
| 8 | Произведение | одной третьей и пятидесяти процентов равно одной шестой . |
| 8 | Произведение | двух простых чисел — простое число . |
| Произведение | , в которое входят отрицательные числа , читают так . | |
| 1 | Произведение | двух чисел не изменяется при перестановке множителей . |
| 6 | Произведение | . |
| 8 | Произведение | семи пятнадцатых и единицы равно единице . |
| 8 | Произведение | любых двух рациональных чисел также рациональное число . |
| Произведение | пяти « ка » и девяти . | |
| 1 | Произведение | . |
| 6 | Произведение | двух простых чисел всегда число составное . |
| Произведение | разности « ка » и семи и трёх . | |
| 6 | Произведение | шести целых одной девятнадцатой и семи больше сорока двух . |
| Произведение | может быть равно нулю лишь в том случае , когда хотя бы один из множителей равен нулю : если a × b = 0 , то либо a = 0 , либо b = 0 ( может случиться , что и a = 0 , и b = 0 ) . | |
| Произведение | двух отрицательных чисел — положительное число . | |
| 8 | Произведение | пяти и трёх целых четырёх пятых равно девятнадцати . |
| , а позже индийский математик Бхаскара ( XII в . ) выразил те же правила в понятиях « имущество » , « долг » ( « | Произведение | двух имуществ или двух долгов есть имущество ; произведение имущества и долга есть долг » . |
| 8 | Произведение | двух целых чисел не может быть меньше каждого из множителей . |
| 7 | Произведение | десяти чисел , среди которых три отрицательных , — отрицательное число . |
| 6 | Произведение | двух взаимно обратных чисел равно единице . |
| Произведение | дробей , квадраты и кубы дробей можно прочитать так . | |
| 6 | Произведение | минус « эм » и « эн » . |
| 5 | Произведение | одной второй « игрек » и минус шести . |
| 2 | Произведение | минус пяти и суммы « цэ » и минус девяти . |
| Произведение | . | |
| Произведение | « цэ » и « дэ » . | |
| Пропорции | . | |
| 21 | Пропорции | . |
| Пропорциональна | ли площадь круга длине его радиуса ? . | |
| Пропорциональна | ли длина окружности длине её радиуса ? | |
| Пропорция | 20 : 16 = 5 : 4 верна , так как 20 × 4 = 16 × 5 = 80 . | |
| Простое число | так разложить на множители нельзя . | |
| 1 | Простое число | . |
| 5 | Простое число | не имеет делителей . |
| 5 | Простое число | не может быть чётным . |
| 27 | Противоположные числа | . |
| 8 | Противоположные числа | . |
| Противоположные числа | . | |
| Противоположные числа | имеют равные модули:-а = а . | |
| 1 | Прямая | « эм эн » перпендикулярна прямой « цэ дэ » . |
| Прямая | и обратная пропорциональные зависимости . | |
| Прямая | « эм » перпендикулярна прямой « ка » . | |
| Прямая | пропорциональная зависимость . | |
| Эту запись читают : « | Прямая | АВ параллельна прямой MN » . |
| 22 | Прямая | и обратная пропорциональные зависимости . |
| Эту запись читают : « | Прямая | АВ перпендикулярна прямой MN » . |
| 3 | Путь | от одной станции до другой поезд проходит за шесть часов . |
| Равенство | , содержащее отрицательные числа , читают так . | |
| Как доказать , что утверждение « | Равенство | а : b = b : а верно при любых значениях а и b » несправедливо ? . |
| Равенство | двух отношений называют пропорцией . | |
| Равенство | двух дробей можно читать разными способами . | |
| 8 | Равенство | \-m\ = m верно при любых значениях « эм » . |
| 3 | Радиус | круга равен 3 м . |
| Радиус | круга равен r , поэтому длина стороны квадрата ABCD равна 2r , а его площадь 4r2 . | |
| 4 | Радиус | окружности равен 3 дм . |
| Разделив | 5 на 11 , получим , что , а разделив 1 на 15 , получим , что = 0,0666 .. | |
| Разделим | круг на 4 равные части и 3 из них закрасим , а потом каждую четверть круга разделим ещё на 5 равных частей . | |
| 3 270 | Разделите | устно центральное число на числа в кружочках . |
| 2 53 | Разделите | числитель и знаменатель дроби . |
| 2 7 | Разделите | числитель и знаменатель каждой дроби на 3 . |
| 2 28 | Разделите | числитель и знаменатель каждой из дробей на 9 . |
| Разделить | -24 на 4 — это значит найти такое число х , что 4 × х = -24 . | |
| Разложение | на множители закончено . | |
| 5 | Разложение | на простые множители . |
| Разложение | числа на простые множители . | |
| 8 | Разложение | . |
| Разложение | на простые множители . | |
| 2 21 | Разложите | на простые множители числа . |
| 1 183 | Разложите | на простые множители числа : а ) 875 ; 2376 ; 5625 . б ) |
| из точки А в точку С через точку В . б ) из точки A в точку C , который пересекал бы все рёбра куба , кроме ребра AC . 1 162 | Разложите | на простые множители числа . |
| 1 138 | Разложите | на простые множители числа . |
| 1 168 | Разложите | каждое число на простые множители и выпишите общие множители . |
| 1 134 | Разложите | на два множителя всеми возможными способами числа 30 , 33 , 42 , 99 . |
| 1 113 | Разложите | на два множителя числа : 38 ; 77 ; 145 ; 159 . |
| Разность | , в которую входят отрицательные числа , читают так : ( -7 ) - ( -12 ) . | |
| 3 | Разность | пяти « икс » и двадцати одного равна двум « икс » . |
| 3 | Разность | выражения « а » плюс « бэ » и выражения « бэ » минус два » . |
| Разность | одной второй и одной четвертой больше двадцати процентов . | |
| 8 | Разность | коэффициентов выражений 3х и 5х равна минус двум . |
| Разность | . | |
| Разность | минус пяти и минус двух равна сумме минус пяти и двух . | |
| 4 | Разность | одной третьей « эм » и одной шестой « эм » . |
| Разность | двух чисел 1,5 , причём 1 большего числа равна меньшему числу . | |
| 8 | Разность | отрицательна , если уменьшаемое больше вычитаемого . |
| 2 | Разность | семи и суммы « икс » и семи . |
| Разность | двух чисел положительна , если уменьшаемое больше вычитаемого , и отрицательна , если уменьшаемое меньше вычитаемого . | |
| 8 | Разность | двух отрицательных чисел может быть положительной . |
| 8 | Разность | пяти целых трёх восьмых и четырёх целых трёх седьмых больше единицы . |
| Разность | двух нечётных чисел — число нечётное . | |
| 5 | Разность | « цэ » и семи девятых « цэ » . |
| 1 | Разность | « икс » и восьми равна девяти . |
| Рациональные | числа . | |
| 37 | Рациональные | числа . |
| Глава II | Рациональные | числа . |
| Рациональные числа | . | |
| 37 | Рациональные числа | . |
| Глава II | Рациональные числа | . |
| Рациональным | числом будет и любая отрицательная дробь , так как , например , можно записать так . | |
| Рациональным числом | будет и любая отрицательная дробь , так как , например , можно записать так . | |
| 3 11 | Ребро | куба равно 5 дм . |
| ( | Ребро | графа означает « мы знакомы » . ) . |
| 42 | Решение | уравнений . |
| 2 | Решение | уравнений . |
| 1 | Решение | уравнений . |
| Решение | . | |
| 8 | Решение | уравнений . |
| Складывать | и вычитать отрицательные числа научились китайские учёные ещё до нашей эры . | |
| Сложение | рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами . | |
| Сложение | смешанных чисел . | |
| Сложение | отрицательных чисел . | |
| Сложение | чисел выполняйте с помощью координатной прямой . | |
| 12 | Сложение | и вычитание смешанных чисел . |
| Сложение | чисел с разными знаками . | |
| Сложение | и вычитание дробей с разными знаменателями . | |
| 6 | Сложение | и вычитание положительных и отрицательных чисел . |
| 33 | Сложение | чисел с разными знаками . |
| 32 | Сложение | отрицательных чисел . |
| 31 | Сложение | чисел с помощью координатной прямой . |
| 2 | Сложение | и вычитание дробей с разными знаменателями . |
| Сложив | числа 9 и -12 с помощью координатной прямой , получим 9 + ( -12 ) | |
| Сложим | коэффициенты : 5 + 1 - 2 = 4 . | |
| Сложите | полученные дроби с одинаковыми знаменателями . | |
| 8 60 | Сложите | подобные слагаемые . |
| 2 87 | Сократите | : 75 , 150 , 140 , 330 . |
| 2 93 | Сократите | . |
| 1 | Сократите | дробь девятнадцать пятьдесят седьмых . |
| Сократите | дробную часть полученного результата . | |
| 3 275 | Сократите | дробь . |
| 2 98 | Сократите | дроби 42 -25 , а потом приведите их к знаменателю 60 . |
| 2 72 | Сократите | дроби 5 , 13 , 15 , 24 , а потом приведите их к знаменателю 24 . |
| Сократите | дробь ( 1—3 ) . | |
| 1 | Сократите | дробь тридцать девять пятьдесят вторых . |
| 2 62 | Сократите | дроби . |
| 2 63 | Сократите | . |
| 2 37 | Сократите | дробь . |
| 2 36 | Сократите | . |
| 1 | Сократите | дробь семнадцать пятьдесят первых . |
| 2 35 | Сократите | дроби . |
| 1 | Сократите | дробь восемнадцать двадцать седьмых . |
| 2 154 | Сократите | , а затем приведите к наименьшему общему знаменателю дроби . |
| 7 39 | Среднее | арифметическое двух чисел равно 12,32 . |
| 3 187 | Среднее | арифметическое четырёх чисел равно 2,75 . |
| 3 182 | Среднее | арифметическое трёх чисел равно 3,1 . |
| 1 226 | Среднее | арифметическое двух чисел равно 54 . |
| 7 39 | Среднее арифметическое | двух чисел равно 12,32 . |
| 1 226 | Среднее арифметическое | двух чисел равно 54 . |
| 3 187 | Среднее арифметическое | четырёх чисел равно 2,75 . |
| 3 182 | Среднее арифметическое | трёх чисел равно 3,1 . |
| Культуру древних индийцев усвоили их соседи — арабы , узбеки , персы , таджики и другие народы | Средней | Азии . |
| 4 79 | Средние | члены пропорции 6 и 10 . |
| Действия над дробями ещё в | Средние | века считались самой сложной областью математики . |
| 9 72 | Средний | радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли . |
| Средний | балл . | |
| мировым центром наук становится | Средняя | Азия , подарившая миру много учёных - математиков . |
| Средняя | линия . | |
| 3 2 | Сторона | квадрата 7 м . |
| Сторона | AB равна — м , сторона BC на — м короче AB . | |
| 3 10 | Сторона | квадрата 7 м . |
| 10 53 Периметр треугольника ABC равен 85 см. | Сторона | АВ меньше стороны ВС на 15 см , а сторона АС больше стороны АВ на 22 см. Найдите длину стороны ВС . |
| ( | Сторона | клетки 1 дм . ) . |
| 1 153 | Стороны | треугольника 12 см , 17 см и x см . а ) Составьте выражение для вычисления периметра этого треугольника . |
| 9 119 | Сумма | двух чисел равна 75 , причём одного числа равны — другого . |
| 6 | Сумма | минус « икс » и минус « икс » . |
| Сумма | , разность и произведение рациональных чисел тоже отрицательные числа . | |
| 10 72 | Сумма | двух чисел равна 177 . |
| 10 54 | Сумма | четырёх последовательных целых чисел равна 2 . |
| 10 55 | Сумма | пяти последовательных целых чисел равна -10 . |
| 2 | Сумма | « игрек » и трёх равна минус семи . |
| Сумма | . | |
| 8 | Сумма | двух отрицательных чисел меньше каждого из слагаемых . |
| 8 | Сумма | четырёх целых трёх пятых и трёх целых пяти шестых больше восьми . |
| Сумма | пяти восьмых « игрек » и трёх восьмых « игрек » . | |
| 8 | Сумма | равна трём целым шести восьмым . |
| 2 | Сумма | одной третьей « игрек » и единицы равна минус двум . |
| 3 | Сумма | п слагаемых , каждое из которых равно 1 , равна n. |
| 4 | Сумма | n слагаемых , каждое из которых равно нулю , равна нулю . |
| 1 | Сумма | чисел не изменяется при перестановке слагаемых . |
| 5 | Сумма | двух рациональных чисел не может быть меньше разности этих чисел . |
| 4 | Сумма | выражения « икс » минус « игрек » и выражения « игрек » минус « икс » . |
| 4 | Сумма | двух « дэ » и восьми « дэ » . |
| 8 | Сумма | двух чисел с разными знаками на координатной прямой находится между слагаемыми . |
| Вот как индийский математик Брахмагупта ( VII в . ) излагал правила сложения и вычитания : « | Сумма | двух имуществ есть имущество » , « Сумма двух долгов есть долг » , « сумма имущества и долга равна их разности » и т . |
| 5 | Сумма | минус четырёх « эн » и семи « эн » . |
| Сумма | двух чисел 7,2 , причём 1 большего числа равна меньшему числу . | |
| Сумма | одной второй и одной четвертой меньше единицы . | |
| 6 | Сумма | двух чисел с разными знаками всегда отрицательна . |
| 3 196 | Сумма | двух чисел равна 1 . |
| Вот как индийский математик Брахмагупта ( VII в . ) излагал правила сложения и вычитания : « Сумма двух имуществ есть имущество » , « | Сумма | двух долгов есть долг » , « сумма имущества и долга равна их разности » и т . |
| 9 8 | Сумма | трёх последовательных целых чисел равна нулю . |
| Сумма | двух противоположных чисел равна нулю . | |
| 1 | Сумма | минус четырёх и разности четырёх и « эм » . |
| Сумму | , в которую входят отрицательные числа , читают так : ( -4 ) + ( -6 ) — сумма минус четырёх и минус шести , — к минус четырём прибавить минус шесть . | |
| Сумму | одной третьей и одной шестой умножьте на шесть . | |
| 5 | Сумму | одной третьей и одной седьмой умножьте на двадцать один . |
| 3 35 | Сумму | данных дробей сложите с их разностью . |
| Суммы | и разности дробей можно читать разными способами . | |
| Сфера | . | |
| 5 | Точка | с координатой « минус десять » на горизонтальной координатной прямой находится правее начала координат . |
| 8 | Точка | с координатой « минус три » на вертикальной координатной прямой находится ниже начала координат . |
| Точка | « цэ » с координатами минус четыре и единица . | |
| Точка | « эм » с координатами минус два и три расположена правее оси ординат . | |
| 2 | Точка | с отрицательной координатой расположена на расстоянии восемь единичных отрезков от начала отсчёта . |
| 3 283 | Точка | C делит отрезок AB на два отрезка AC и CB . |
| Точка | конечного вбрасывания . | |
| Точка | A имеет координату , точка B — координату -3,6 , а точка C — координату 3,6 . | |
| Точка | вбрасывания в нейтральной зоне . | |
| 5 67 | Точка | А лежит от начала отсчёта влево на 5,8 единицы , а точка В — вправо на 9,8 единицы . |
| Точка | O на прямой AB разбивает эту прямую на два дополнительных луча — OA и OB . | |
| 8 | Точка | М(-2 ) при перемещении на минус два перейдёт в точку с координатой минус четыре . |
| 8 | Точка | « дэ » с координатами два и минус четыре расположена ниже оси абсцисс . |
| Точка | на координатной прямой может перемещаться влево или вправо по этой прямой . | |
| Точки | с координатами ( 0 ; -180 ) , ( 1 ; -120 ) ; ( 2 ; -60 ) лежат на одной прямой с ранее найденными точками . | |
| Точки | с координатами 5 и -5 одинаково удалены от точки O и находятся по разные стороны от неё . | |
| Точку | О называют началом координат . | |
| 5 13 | Треугольный | флажок находится в точке с координатой -2 , а прямоугольный — в точке с координатой +2 . |
| 3 110 | Угол | А равен 40 ° , а угол В составляет 135 % от угла А. Найдите градусную меру суммы углов А и В . |
| Угол | COK в 4 раза меньше угла KOD . | |
| 4 54 | Угол | A равен 30 ° , а угол B равен 50 ° . |
| Угол | AOM в 3 раза больше угла MOB . | |
| Угол | COM больше угла MOK в 2 раза . | |
| Уменьшаемое | . | |
| Умножение | дробей обладает переместительным сочетательными свойствами . | |
| 13 | Умножение | дробей . |
| Другими словами , если а , b и с — любые рациональные числа , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . | Умножение | на 1 не изменяет рационального числа , а произведение числа на обратное ему число равно 1 . |
| Умножение | числа на нуль даёт в нуль , т . | |
| 35 | Умножение | . |
| Умножение | рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения . | |
| 7 | Умножение | и деление положительных и отрицательных чисел . |
| Умножение | рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами . | |
| 3 | Умножение | и деление обыкновенных дробей . |
| Умножение | дробей . | |
| Умножение | . | |
| Умножив | числитель и знаменатель этого дробного выражения на 6 , получим . | |
| Умножим | обе части равенства на число 4 , обратное числу 4 . | |
| Умножим | левую и правую части уравнения на 3 для того , чтобы освободиться от дробного коэффициента . | |
| Умножим | числитель и знаменатель данной дроби на 5 , получим 2 2×5 10 . | |
| Умножим | числитель и знаменатель дроби на одно и то же число 2 . | |
| Умножить | число на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 — то же самое , что разделить его на 10 , 100 , 1000 . | |
| 2 6 | Умножьте | числитель и знаменатель каждой дроби на 5 . |
| 2 54 | Умножьте | числитель и знаменатель дроби . |
| Уравнение | -7у + 9 = -8у - 3 читают так . | |
| 6 | Уравнение | \x\ = 0 имеет два корня . |
| Уравнение | , которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых , называют линейным уравнением с одним неизвестным . | |
| Уравнение | 2х = 17 - 5 можно записать так : 2х = 17 + ( -5 ) . | |
| Уравнения | 2х + 5 = = 17 и 2х=17 - 5 имеют один и тот же корень 6 , так как 2 × 6 + 5= 17 и 2 × 6 = 17- 5 . | |
| 2 212 | Четырёхугольник | с равными сторонами называют ромбом . |
| Числа | 2/3 и 3/2 взаимно обратны , поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 также называют взаимно обратными . | |
| Числа | 5 и -5 называются противоположными числами : 5 противоположно -5 , а -5 противоположно 5 . | |
| 6 | Числа | две девятых и три вторых взаимно обратные . |
| Числа | 21 и 10 составные . | |
| Числа | 8 , 16 , 24 делятся на 8 , а 18 на 8 не делится . | |
| Числа | со знаком « - » называют отрицательными . | |
| Числа | со знаком « + » называют положительными . | |
| Числа | , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . | |
| 9 66 | Числа | 90 и 100 разделили на одно и то же число . |
| Числа | 0,23 ; 2 ; -3,513 ; -4- тоже рациональные числа , так как . | |
| 6 | Числа | « ка » и « пэ » отрицательные . |
| Числителем | и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа , а также числовые или буквенные выражения . | |
| Число | 78 составное , потому что , кроме 1 и 78 , оно делится , например , ещё на 2 . | |
| Число | -0,21 называют коэффициентом в полученном выражении . | |
| Число | , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — целое число , а n — натуральное число , называют рациональным числом . | |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. | Число | 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| 6 27 | Число | -2 изменили на -5 . |
| 3 Запишите в виде неравенства предложение « | Число | « эм » положительное » . |
| Число | восемнадцать так относится к четырём , как двадцать семь относится к шести . | |
| Число | книг с художественными произведениями составляет 3/4 всех книг библиотеки , число научно - популярных книг составляет от числа художественных , а остальные 160 книг — справочники . | |
| Число | 51 634 не делится на 9 , так как сумма его цифр : 5 + 1 + 6 + 3 + 4=19 — не делится на 9 . | |
| Число | 1 является делителем натурального числа . | |
| Число | , показывающее положение точки на прямой , называют координатой этой точки . | |
| 7 | Число | « одна целая две пятых » обратно числу « пять седьмых » . ! ! ! ! ! |
| 1 54 | Число | b является делителем числа а . |
| Число | , на которое надо умножить знаменатель дроби , чтобы получить новый знаменатель , называют дополнительным множителем . | |
| Число | 76 455 делится на 9 , так как сумма его цифр : 7 + 6 + 4 + 5 + 5 = 27 — делится на 9 . | |
| Число | 35 кратно 7 , так как 35 : 7 = 5 . | |
| 8 | Число | семьдесят семь простое . |
| Число | 12 имеет шесть делителей : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 и 12 . | |
| Число | 10 = 2 - 5 . | |
| 7 | Число | нуль не является положительным числом . |
| Число | 0 противоположно самому , себе . | |
| Число | , противоположное числу а , обозначают -а . | |
| 3 81 | Число | жителей города 750 тыс. человек . |
| Число | минус восемь не является рациональным . | |
| 6 | Число | 0,(35 ) округлите до тысячных . |
| Число | b противоположно числу а . | |
| Число | 1 имеет только один делитель ; само это число , этому его не относят ни к составным , ни к простым , числам . | |
| Число | 63 также делится на 3 . | |
| Число | a кратно числу b. | |
| Число | р округлите до сотых . | |
| Число | , равное сумме всех его делителей ( без самого числа ) , они называли совершенным числом . | |
| Число | сантиметров пути должно делиться без остатка и на 75 , и на 60 , т . | |
| Число | -2 является корнем уравнения + 5 = 3 и уравнения 4 × ( х + 5 ) = 12 , так как -2 + 5 = 3 и 4 × ( -2 + 5 ) = 12 . | |
| ( | Число | π = округлите до сотых . ) . |
| ( | Число | тысяч округлите до десятых . ) . |
| Число | 210 можно разложить на простые множители иным способом : 210 = 30 × 7 = 10 × 3 × 7 = 5 × 2 × 3 × 7 . | |
| Для дроби 1- = 0,333 .. число 0,3 является приближённым значением до десятых с недостатком : 0,3 < 1 | Число | 0,4 является приближённым значением этой дроби до десятых с избытком : 1<0,4 . |
| Число | пропущенных мячей . | |
| Число | 6 называют модулем числа -6 . | |
| Число | 2 есть корень уравнения 5х - 2х = 6 и уравнения 5х = 2х + 6 , так как 5 × 2 - 2 × 2 = 6 и 5 × 2 = 2 × 2 + 6 . | |
| Число | декабря . | |
| Число | 210 является произведением чисел 21 и 10 . | |
| Число | -10 меньше числа 5 . | |
| Число | забитых мячей . | |
| 4 | Число | минус шесть изменили на четыре . |
| Число | 18 меньше числа 21 . | |
| Число | « пи » округлите до целых . | |
| 6 | Число | « а » — положительное , а число « бэ » — отрицательное . |
| 6 | Число | пятьдесят семь составное . |
| 7 | Число | « пи » приближённо равно двадцати двум седьмым . |
| Число | p округлите до десятых . | |
| Число | билетов на балкон составило 0,4 от числа билетов в бельэтаж . | |
| Число | 189 не делится на 2 , так как оканчивается нечётной цифрой . | |
| Число | 21 также делим на 3 , причём получаем в частном простое число 7 . | |
| Число | 18 является корнем данного уравнения x + 12 = x , так как верно равенство . | |
| 4 | Число | минус восемь изменили на минус шесть . |
| Число | 18 имеет шесть делителей : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 и 18 . | |
| Число | 3 имеет тот же знак , что и слагаемое 9 , а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и -6 . | |
| 1 219 | Число | m кратно 12 . |
| Число | π считайте равным 3 1/7 . | |
| Число | 7 делится только на 1 и само на себя . | |
| Число | 378 тоже делится на 2 . | |
| Число | 18 является суммой цифр числа 846 . | |
| 6 52 | Число | 6 изменили на -10 . |
| 6 55 | Число | -10 изменили на 15 . |
| 6 54 | Число | -10 изменили на 3 . |
| 6 53 | Число | 10 изменили на -6 . |
| Число | -3 имеет тот же знак , что и слагаемое -12 , а его модуль равен разности модулей слагаемых -12 и 9 . | |
| 7 | Число | « сто пятьдесят » составляет двести процентов числа « семьдесят пять » . |
| Числом | , обратным делителю , является 4 , так как 6× 6 = 1 . | |
| Шар | . | |
| 25 | Шар | . |
| Ширина | и длина одного из них 19 см и 23 см , а ширина второго — 10 см. Чему равна длина второго прямоугольника ? . | |
| Будем на оси | абсцисс | изображать 1 ч отрезком в 2 клетки , а на оси ординат — 60 км отрезком в 2 клетки . |
| Такие точки координатной плоскости называют симметричными относительно оси | абсцисс | . |
| б ) ниже оси | абсцисс | . |
| оси | абсцисс | . |
| 5 Чему равна ордината любой точки оси | абсцисс | ? . |
| в ) оси | абсцисс | . |
| а ) выше оси | абсцисс | . |
| Проверьте , верно ли , что ТЕ Ох и АТ = АЕ , где О — начало координат , А — точка пересечения ТЕ с осью | абсцисс | . |
| абсцисса точки ордината точки ось | абсцисс | ось ординат . |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью | абсцисс | , а координатную прямую у — осью ординат . |
| 8 Точка « дэ » с координатами два и минус четыре расположена ниже оси | абсцисс | . |
| д ) на оси | абсцисс | . |
| Абсцисса | точки ордината точки ось абсцисс ось ординат . | |
| Слова « | абсцисса | » , « ордината » , « координаты » первым начал использовать в конце XVII в . |
| Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел : её | абсцисса | и каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости , для которой эти числа являющаяся координатами . |
| 9 50 У каких точек на координатной плоскости | абсцисса | равна нулю ? |
| Ордината точки « дэ » равна минус пяти , а | абсцисса | — минус трём . |
| а ) | абсцисса | которой равна 2 ; 1,7 ; -1,2 . |
| 9 51 Где расположены на координатной плоскости точки , | абсцисса | которых равна 4 ? |
| — точка эм с | абсциссой | минус два и ординатой семь . |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют | абсциссой | точки М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| Точку М с | абсциссой | 6 и ординатой -5 обозначают так : М(6 ; -5 ) . |
| При этом всегда на первом месте пишут | абсциссу | точки , а на втором — её ординату . |
| Расскажите , как найти | абсциссу | и ординату точки на координатной плоскости . |
| Назовите | абсциссу | и ординату каждой точки . |
| 3 6 Станок - | автомат | изготовляет одну деталь за 5/12 мин . |
| 2 44 Один станок - | автомат | за 12 ч изготавливает 40 высокоточных деталей , а другой за 9 ч — 30 таких же деталей . |
| числа деталей , изготовленных станком - | автоматом | , ко времени его работы . |
| Так возникла | алгебра | — один из разделов математики , в котором вначале в основном рассматривалось решение различных уравнений . |
| С этого времени | алгебра | становится самостоятельной наукой . |
| Алгебра | . | |
| Само слово « | алгебра | » произошло от слова « аль - джебр » — восполнение : так аль - Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака . |
| С 7 класса вы начинаете изучать два раздела — два предмета : | алгебру | и геометрию . |
| В дальнейшем большой вклад в развитие алгебры внесли европейские учёные Франсуа Виет ( 1540—1603 ) и Рене Декарт , которые ввели в | алгебру | буквы и разработали правила действий с буквенными выражениями . |
| Её по праву считают первым в мире учебником | алгебры | . |
| Большой вклад в создание алгебры внёс выдающийся древнегреческий математик Диофант ( III в . ) , которого по праву считают « отцом | алгебры | » . |
| В дальнейшем большой вклад в развитие | алгебры | внесли европейские учёные Франсуа Виет ( 1540—1603 ) и Рене Декарт , которые ввели в алгебру буквы и разработали правила действий с буквенными выражениями . |
| Большой вклад в создание | алгебры | внёс выдающийся древнегреческий математик Диофант ( III в . ) , которого по праву считают « отцом алгебры » . |
| ими было сделано много открытий , значительно обогатились начала | алгебры | . |
| д. Математики учат вычислительные машины сочинять стихи и музыку , измерять размеры | атомов | и проектировать плотины электростанций . |
| Приведите два | варианта | . |
| Это ещё два | варианта | флага . |
| Получили ещё два | варианта | флага . |
| е . имеем ещё два | варианта | . |
| Получили две комбинации — два | варианта | флага . |
| На первом месте в записи числа может стоять любая цифра , кроме нуля , — 4 | варианта | . |
| Сколько | вариантов | расписания на среду можно составить для этого класса ? . |
| Всего получили 3 - 2 = 6 комбинаций — шесть | вариантов | флага . |
| Для решения этой задачи мы рассмотрели все возможные | варианты | расположения цветных полос на флаге или все возможные комбинации . |
| измерения , то их отношение называют также отношением этих | величин | ( отношением масс , отношением площадей и т . д. ) . |
| а ) отношения двух | величин | . б ) верной пропорции и назовите её крайние и средние члены . |
| 30 Изменение | величин | . |
| в ) двух | величин | , зависимость между которыми прямо пропорциональная . |
| Приведите примеры прямо пропорциональных | величин | . |
| При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях | величин | , да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести « ломаные числа » — обыкновенные дроби . |
| г ) двух | величин | , зависимость между которыми обратно пропорциональная . |
| Если значения двух величин выражены , разными единицами измерения , то для нахождения отношения этих | величин | надо предварительно перейти к одной единице измерения . |
| Если значения двух | величин | выражены , разными единицами измерения , то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения . |
| Что можно сказать об отношениях соответствующих значений таких | величин | ? . |
| Приведите примеры обратно пропорциональных | величин | . |
| Приведите примеры | величин | , у которых зависимость не является ни прямо , ни обратно пропорциональной . |
| 8 Если одна из обратно пропорциональных | величин | увеличивается в несколько раз , то другая уменьшается во столько же раз . |
| Найдите значение отношения | величин | ( 3—6 ) . |
| отношение | величин | . |
| Если значения двух | величин | выражены одной и той же единицей . |
| 4 49 Найдите отношение | величин | . |
| Что можно сказать об отношениях соответствующих значений таких | величин | ? |
| Изменение | величин | . |
| Такие величины , как скорость и время , называют обратно пропорциональными | величинами | . |
| 4 63 Определите , является ли прямо пропорциональной , обратно пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между | величинами | . |
| Такие величины , как время работы станка и число изготовленных деталей , называют прямо пропорциональными | величинами | . |
| Дроби были нужны , чтобы выразить результат измерения длины , массы , площади в случаях , когда единица измерения не укладывалась в измеряемой | величине | целое число раз . |
| Найдите , какую площадь занимает этот стол на кухне в натуральную | величину | . |
| 1 18 Изображён в натуральную | величину | один кадр старой фотоплёнки . |
| В этих правилах раскрывалось , как найти неизвестную | величину | через данные числа для группы похожих задач . |
| Например , дробь 1/2 до сих пор называют « половина » ; у римлян слово « унция » сначала было названием двенадцатой доли единицы массы , но потом унция стала обозначать одну двенадцатую долю любой | величины | ( говорили : « Семь унций пути » , т . е . |
| 6 Если при уменьшении одной | величины | в несколько раз другая увеличивается во столько же раз , то эти величины прямо пропорциональны . |
| Задачи на пропорциональные | величины | можно решить с помощью пропорции . |
| 4 Две | величины | обратно пропорциональны . |
| 6 Если при уменьшении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз , то эти | величины | прямо пропорциональны . |
| Как называются такие две | величины | ? . |
| Две | величины | называют обратно пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая уменьшается ( увеличивается ) во столько же раз . |
| Если две | величины | прямо пропорциональны , то отношения соответствующих значений равны . |
| Если | величины | обратно пропорциональны , то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины . |
| Если величины обратно пропорциональны , то отношение значений одной | величины | равно обратному отношению соответствующих значений другой величины . |
| Такие | величины | , как скорость и время , называют обратно пропорциональными величинами . |
| Найдите значение | величины | ( 3—4 ) . |
| Какие | величины | называют прямо пропорциональными ? |
| Какие | величины | называют обратно пропорциональными ? |
| Обратно пропорциональные | величины | . |
| Прямо пропорциональные | величины | . |
| Такие | величины | , как время работы станка и число изготовленных деталей , называют прямо пропорциональными величинами . |
| 4 Две | величины | прямо пропорциональны . |
| Чему равно отношение соответствующих значений второй | величины | ? . |
| Например , рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста , но эти | величины | не являются пропорциональными , так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается . |
| При увеличении одной | величины | в несколько раз другая увеличивается во столько же раз . |
| Не всякие две | величины | являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными . |
| Две | величины | называют прямо пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз . |
| 6 Если при увеличении одной | величины | в несколько раз другая увеличивается во столько же раз , то эти величины прямо пропорциональны . |
| Если величины обратно пропорциональны , то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой | величины | . |
| 6 Если при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз , то эти | величины | прямо пропорциональны . |
| 9 79 Постройте четырёхугольник ABCD по координатам его | вершин | А(-8 ; 6 ) , В(6 ; 5 ) , С(1 ; — 3 ) , D(—7 ; 1 ) . |
| Попробуйте догадаться , сколько граней , | вершин | , рёбер у шестиугольной пирамиды . |
| 10 68 Постройте квадрат ABCD по координатам его | вершин | А(0 ; 3 ) , В(3 ; 6 ) , С(6 ; 3 ) и D(3 ; 0 ) . |
| 9 81 Постройте треугольник ABK по координатам его | вершин | А(-2 ; -2 ) , В(1 ; 5 ) , K(6 ; -2 ) . |
| 3 145 Подсчитайте по модели , сколько граней , | вершин | , рёбер у треугольной пирамиды ; у четырёхугольной пирамиды . |
| 5 114 Видно , что куб можно составить из шести одинаковых четырёхугольных пирамид , у которых | вершина | О , а основаниями служат грани куба . |
| 9 21 Начертите треугольник и проведите через каждую | вершину | прямую , параллельную противоположной стороне . |
| Через | вершину | С проведите прямую Z , параллельную стороне АВ , и прямую т , перпендикулярную стороне АВ . |
| Найдите координаты | вершины | D . |
| 10 70 Отметьте на координатной плоскости | вершины | А(-4 ; 2 ) , В(1 ; 7 ) и С(6 ; 2 ) квадрата ABCD . |
| Вычтем из обеих частей уравнения по 2х ( снимем с обеих чашек | весов | по два батона хлеба ) . |
| Зависимость между | весом | товара и стоимостью покупки прямо пропорциональна , так как если купить в несколько раз больше товара , то и стоимость покупки увеличится во столько же раз . |
| Весло , лом , | весы | , ножницы , качели , тачка и т . |
| В 825 г. арабский учёный аль - Хорезми написал книгу « Китаб аль - джебр валь - мукабала » , что означает « Книга о | восстановлении | и противопоставлении » . |
| 1 48 Какие различные натуральные числа надо | вписать | в кружки , чтобы произведение каждых двух чисел , помещённых в кружках , соединённых отрезком , равнялось 70 ? |
| 10 44 Упростите | выражение | . |
| 5 Запишите дробное | выражение | , знаменатель которого — число пять , а числитель равен сумме « эм » и пятнадцати . |
| 8 115 Упростите | выражение | . |
| 5 Запишите | выражение | , противоположное сумме « ка » и минус десяти . |
| Выражение , стоящее над чертой , называют числителем , а | выражение | , стоящее под чертой , — знаменателем дробного выражения . |
| Если | выражение | является произведением числа и одной или нескольких букв , то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом ) . |
| Любое | выражение | , содержащее лишь знаки сложения и вычитания , можно рассматривать как сумму . |
| 3 291 Напишите дробное | выражение | , числитель которого 3a — 2b , а знаменатель — 6,7x + у . |
| Запишите | выражение | и упростите его ( 3—5 ) . |
| 3 125 Упростите | выражение | . |
| 7 104 Упростите | выражение | . |
| 3 126 Упростите | выражение | . |
| 1 153 Стороны треугольника 12 см , 17 см и x см . а ) Составьте | выражение | для вычисления периметра этого треугольника . |
| Запишите | выражение | и упростите его ( 1—4 ) . |
| Запишите | выражение | и раскройте в нём скобки ( 1—2 ) . |
| 8 8 Упростите | выражение | . |
| Какое | выражение | называют дробным ? . |
| дробное | выражение | . |
| Составьте | выражение | для решения задачи , упростите его и найдите значение при n = 27 ; 36 ; 333 . |
| 8 27 Упростите | выражение | . |
| 8 51 Упростите | выражение | и подчеркните его числовой коэффициент . |
| 8 38 Упростите | выражение | и подчеркните коэффициент . |
| Пример 1 Упростим | выражение | 0,3а × ( -0,7b ) . |
| Это | выражение | является произведением четырёх множителей : 0,3 × а × ( -0,7 ) × b. Сгруппировав отдельно числовые и отдельно буквенные множители , получим . |
| 7 127 Упростите | выражение | . |
| 3 50 Упростите | выражение | . |
| 8 50 Упростите | выражение | и подчеркните его числовой коэффициент . |
| 8 9 Упростите | выражение | . |
| Например , | выражение | можно записать так . |
| Пример 2 Упростим | выражение | 2 m - 7 m + 3 m . |
| 8 33 Упростите | выражение | . |
| Как называют | выражение | , находящееся над чертой ? |
| Представим 3 в виде десятичной дроби 3,75 и сократим | выражение | на 0,75 , имеемх = 1,75 . |
| Замену выражения ( а + b ) × с выражением ас + bc или выражения с × ( а + b ) | выражением | са + cb также называют раскрытием скобок . |
| Частное двух чисел или выражений , в котором знак деления обозначен чертой , называют дробным | выражением | . |
| Замену выражения ( а + b ) × с | выражением | ас + bc или выражения с × ( а + b ) выражением са + cb также называют раскрытием скобок . |
| В данном | выражении | все слагаемые имеют общий множитель m. |
| Пример 1 Раскроем скобки в | выражении | -3 × ( а - 2b ) . |
| Пример 1 Раскроем скобки в | выражении | . |
| Приведите подобные слагаемые в | выражении | ( 4—6 ) . |
| Число -0,21 называют коэффициентом в полученном | выражении | . |
| 10 19 В каком порядке следует выполнять действия в | выражении | без скобок , если в нём содержится по одному разу вычитание , возведение числа в куб и деление ? . |
| Пример 3 Приведём подобные слагаемые в | выражении | 5а + а - 2а . |
| В | выражении | 2 m - 7 m + 3 m все слагаемые имеют общую буквенную часть и отличаются друг от друга только коэффициентами . |
| 8 10 Напишите сумму двух | выражений | и упростите её . |
| Укажите , какой алгоритм соответствует каждому из данных | выражений | . |
| Частное двух чисел или | выражений | , в котором знак деления обозначен чертой , называют дробным выражением . |
| 8 47 Напишите сумму двух | выражений | и упростите её . |
| 6 58 Сравните значения | выражений | . |
| Докажите это свойство в общем виде ( с помощью буквенных | выражений | ) . |
| При сложении дробных | выражений | удобнее сначала представить их в виде обыкновенных дробей , а потом уже выполнять сложение . |
| 8 48 Напишите разность двух | выражений | и упростите её . |
| 8 Разность коэффициентов | выражений | 3х и 5х равна минус двум . |
| 8 11 Напишите разность двух | выражений | и упростите её . |
| 2 25 Составьте задачу по | выражению | . |
| Пример 4 Найдём значение | выражения | . |
| 1 204 Найдите значение | выражения | . |
| Пример 5 Найдём значение | выражения | ( -4 - 20 ) + ( 6 + 13 ) - ( 7 - 8) - 5 . |
| 3 188 Найдите значение | выражения | . |
| Для числового | выражения | ответьте на вопросы ( 1—4 ) . |
| 2 183 Найдите значение | выражения | . |
| Пример 2 Найдём коэффициент | выражения | -а × ( -b ) . |
| Пример 3 Найдём значение | выражения | . |
| Для числового | выражения | ответьте на вопросы ( 5—8 ) . |
| А | выражения | -ах ? . |
| 8 49 Найдите значение | выражения | . |
| 2 182 Найдите значение | выражения | . |
| Найдите коэффициент | выражения | ( 1—6 ) . |
| 1 237 Найдите значение | выражения | . |
| 2 94 Найдите значение | выражения | . |
| 3 180 Найдите значение | выражения | . |
| С помощью циркуля отметьте на луче числа : m + 1 ; m - 1 ; m + m . 1 22 Даны три числовых | выражения | и три алгоритма вычисления их значений на калькуляторе . |
| Может ли быть положительным , отрицательным или нулём значение | выражения | m ; m — n ? . |
| 3 14 Найдите значение | выражения | двумя способами : по правилу умножения обыкновенных дробей и по правилу умножения десятичных дробей . |
| 3 176 Найдите наименьшее и наибольшее значения | выражения | 3х , если х= 12 . |
| Чтобы найти значение | выражения | -(-9 + 5 ) , надо сложить числа -9 и 5 и найти число , противоположное полученной сумме : -(-9 + 5 ) = -(-4 ) = 4 . |
| 3 167 Найдите значение | выражения | . |
| 9 98 Найдите значение | выражения | . |
| 3 54 Найдите значение | выражения | . |
| 3 21 Найдите значение | выражения | . |
| Пример 6 Найдём значение | выражения | . |
| Значение | выражения | 3у -3 + 3 - 1 равно пятнадцати . |
| 3 39 Найдите значение | выражения | . |
| 4 91 Найдите значение | выражения | . |
| Чему равен коэффициент | выражения | ах ? |
| 2 175 Найдите значение | выражения | . |
| Что называют числовым коэффициентом | выражения | ? . |
| 3 155 Найдите значение | выражения | . |
| 3 156 Упростите и найдите значение | выражения | . |
| 8 84 Найдите значение | выражения | , применив распределительное свойство умножения . |
| 4 89 Найдите значение | выражения | . |
| 2 171 Найдите значение | выражения | . |
| 3 40 Найдите значение | выражения | . |
| Как можно найти значение | выражения | , противоположное сумме нескольких чисел ? . |
| Найдите значение получившегося | выражения | при c = 90 ; 63 . |
| 3 163 Найдите значение | выражения | . |
| 3 32 Найдите значение | выражения | . |
| 10 4 Найдите значение | выражения | . |
| 8 44 Найдите значение | выражения | . |
| Так как -а × ( -b ) = ab , то , значит , коэффициентом | выражения | -а × ( -b ) является 1 . |
| 8 46 Найдите значение | выражения | . |
| 7 77 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — натуральное число , значение | выражения | . |
| 9 44 Найдите значение | выражения | . |
| 7 76 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — натуральное число , значение | выражения | . |
| 7 75 Представьте в виде дроби ( где а — целое число , b — натуральное число ) значение | выражения | . |
| 10 122 Найдите значение | выражения | . |
| 4 127 Найдите значение | выражения | . |
| 2 206 Найдите значение | выражения | . |
| 4 100 Найдите значение | выражения | . |
| 10 10 Найдите значение | выражения | . |
| 8 14 Найдите значение | выражения | . |
| 8 6 Раскройте скобки и найдите значение | выражения | . |
| 8 3 Найдите значение | выражения | . |
| 8 22 Найдите значение | выражения | . |
| 3 293 Найдите значение | выражения | . |
| 7 108 Выбрав удобный порядок вычислений , найдите значение | выражения | . |
| 3 294 Найдите значение | выражения | . |
| 7 105 Выбрав удобный порядок вычислений , найдите значение | выражения | . |
| 3 295 Найдите значение | выражения | . |
| Для числового | выражения | 3 - 1 — ответьте на вопросы ( 3—8 ) . |
| 7 103 Сложив сначала противоположные числа , найдите значение | выражения | . |
| если . 3 299 Найдите значение | выражения | . |
| 2 122 Найдите значение | выражения | . |
| 2 123 Найдите значение | выражения | . |
| 2 129 Найдите значение | выражения | . |
| 7 102 Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные числа , найдите значение | выражения | . |
| 7 125 Найдите значение | выражения | . |
| 3 300 Найдите значение | выражения | x , если . |
| 8 73 Назовите коэффициент | выражения | . |
| 3 301 Найти с помощью калькулятора значение | выражения | можно по алгоритму . |
| Постройте алгоритм нахождения значения | выражения | и выполните по ней вычисления . |
| 8 74 Найдите коэффициент | выражения | . |
| 7 126 Выбрав удобный порядок вычислений , найдите значение | выражения | . |
| 3 306 Найдите наибольшее и наименьшее значения | выражения | , если x = 1 . |
| 2 131 Найдите значение | выражения | . |
| 3 317 Найдите значение | выражения | . |
| 8 70 Найдите значение | выражения | 1 - 3 + 5- 7 + 9 -11 + .. + 97 - 99 . |
| 2 132 Найдите значение | выражения | . |
| 7 114 Выбрав удобный порядок вычислений , найдите значение | выражения | . |
| 8 20 Каким числом может быть значение | выражения | х + у , если . |
| 8 15 Найдите значение | выражения | . |
| 2 60 Найдите значение | выражения | . |
| знаменатель дробного | выражения | . |
| числитель дробного | выражения | . |
| Например , дробные | выражения | . |
| Выполнив указанные действия , найдём значение этого | выражения | : 0,75 , или . |
| 7 119 Найдите наибольшее значение | выражения | . |
| Выражение , стоящее над чертой , называют числителем , а выражение , стоящее под чертой , — знаменателем дробного | выражения | . |
| Числителем и знаменателем дробного | выражения | могут быть любые числа , а также числовые или буквенные выражения . |
| Замену | выражения | ( а + b ) × с выражением ас + bc или выражения с × ( а + b ) выражением са + cb также называют раскрытием скобок . |
| Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа , а также числовые или буквенные | выражения | . |
| 3 124 Найдите значение | выражения | . |
| Умножив числитель и знаменатель этого дробного | выражения | на 6 , получим . |
| Дробь 2/3 равна частному 2 : 3 , поэтому частное от деления одного | выражения | на другое можно записать с помощью черты . |
| 19 Дробные | выражения | . |
| 3 123 Найдите значение | выражения | . |
| 9 68 Попробуйте найти простой способ для вычисления значения | выражения | . |
| 3 121 Найдите значение | выражения | . |
| 8 17 Найдите наибольшее значение | выражения | . |
| Используя распределительное свойство умножения , можно упрощать | выражения | вида — a + а и — b - b . |
| 3 290 Назовите числитель и знаменатель | выражения | . |
| 8 64 Найдите значение | выражения | . |
| 3 292 Запишите в виде дробного | выражения | частное . |
| Найдите значение этого | выражения | . |
| 3 152 Найдите значение | выражения | . |
| 3 318 Найдите значение | выражения | . |
| 7 128 Найдите значение | выражения | . |
| 9 86 Найдите значение | выражения | . |
| 7 99 Найдите значение | выражения | . |
| 9 130 Найдите значение | выражения | . |
| Найдите значение получившегося | выражения | , если . |
| 7 95 Представьте в виде дроби , где а — целое число , b — натуральное число , b значение | выражения | . |
| 4 38 Найдите значение | выражения | . |
| Для числового | выражения | 1 + 2 — ответьте на вопросы ( 3—8 ) . |
| Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют упрощать | выражения | . |
| 8 81 Найдите значение | выражения | . |
| 2 150 Найдите значение | выражения | . |
| 9 102 Найдите значение | выражения | . |
| Найдём значение | выражения | . |
| 2 231 Найдите значение | выражения | . |
| 2 151 Значение какого | выражения | будет вычислено на калькуляторе по алгоритму . |
| Замену выражения ( а + b ) × с выражением ас + bc или | выражения | с × ( а + b ) выражением са + cb также называют раскрытием скобок . |
| 2 228 Найдите значение | выражения | . |
| 6 114 Найдите значение | выражения | ( а + b ) — с , |
| 3 233 Найдите значение | выражения | . |
| Коэффициентом такого | выражения | , как а или ab . считают 1 , так как . |
| 7 94 Найдите значение | выражения | . |
| Поэтому , числовым коэффициентом | выражения | -а считают число -7 . |
| 3 205 Найдите значение | выражения | . |
| 2 223 Найдите значение | выражения | . |
| 4 Сумма выражения « икс » минус « игрек » и | выражения | « игрек » минус « икс » . |
| 8 26 Раскройте скобки и найдите значение | выражения | . |
| 3 138 Найдите значение | выражения | . |
| 4 26 Найдите значение | выражения | . |
| 2 133 Используя свойство вычитания числа из суммы , найдите значение | выражения | . |
| 7 Коэффициент | выражения | an равен нулю . |
| Найдите значение получившегося | выражения | при а = 142 . |
| 2 134 Используя свойство вычитания суммы из числа , найдите значение | выражения | . |
| 2 135 Найдите значение | выражения | a + a , если a = 1 ; 2 ; 5 ; 7 . |
| Дробные | выражения | . |
| 6 Найдите значение знаменателя дробного | выражения | при « ка » , равном единице . |
| 3 99 Найдите значение | выражения | . |
| 2 136 Найдите значение | выражения | x если x = 4 ; 5 ; 6 . |
| 8 29 Найдите значение | выражения | . |
| 2 19 Составьте алгоритм вычисления на калькуляторе значения | выражения | . |
| Найдите значение получившегося | выражения | при c = 50 ; 75 . |
| 3 92 Найдите значение | выражения | . |
| 2 15 Найдите значение | выражения | . |
| Найдите значение получившегося | выражения | при а = 1,2 ; 44 . |
| 9 123 Найдите значение | выражения | . |
| 3 276 Найдите значение | выражения | . |
| Найдите значение получившегося | выражения | при m = 1200 ; 300 ; 50 . |
| 3 Разность | выражения | « а » плюс « бэ » и выражения « бэ » минус два » . |
| 8 Чему равно значение данного | выражения | ? . |
| 3 137 Сравните | выражения | . |
| 8 7 Раскройте скобки и найдите значение | выражения | . |
| 3 Разность выражения « а » плюс « бэ » и | выражения | « бэ » минус два » . |
| 4 Сумма | выражения | « икс » минус « игрек » и выражения « игрек » минус « икс » . |
| Пример 2 Найдём значение | выражения | . |
| 6 117 Найдите значение | выражения | . |
| 9 13 Найдите значение | выражения | . |
| 6 31 Сравните значение | выражения | с данным числом . |
| 10 94 Найдите значение | выражения | . |
| 1 187 Найдите значение | выражения | . |
| 6 102 Найдите значение | выражения | . |
| 6 32 Найдите значение | выражения | х + у + ( -16 ) , если . |
| 6 38 Найдите значение | выражения | . |
| 6 97 Найдите значение | выражения | . |
| 6 99 Найдите значение | выражения | . |
| 5 40 Найдите значение | выражения | . |
| 6 48 Найдите значение | выражения | . |
| 6 Найдите значение | выражения | -4 - 7 . |
| 7 6 Найдите значение | выражения | -42у , если у = 0 ; 1 ; – 1 ; 3 ; 5 ; – 30 . |
| 1 106 Найдите значение | выражения | . |
| 7 48 Найдите значение | выражения | . |
| 6 83 Найдите значение | выражения | . |
| 5 25 Найдите значение | выражения | . |
| 7 61 Найдите значение | выражения | . |
| 1 152 Для какого числового | выражения | составлен алгоритм вычислений на калькуляторе . |
| 1 104 Найдите значение | выражения | 4,7k + 5,3k — 0,83 , если k = 0,83 ; 8,3 ; 0,083 . |
| 7 70 Найдите значение | выражения | . |
| 1 160 Найдите значение | выражения | . |
| 6 98 Найдите значение | выражения | . |
| 7 72 Найдите значение | выражения | . |
| 6 59 Найдите значение | выражения | . |
| 6 67 Найдите значение | выражения | . |
| 7 21 Найдите значение | выражения | . |
| 7 53 Найдите значение | выражения | . |
| 10 22 Составьте алгоритм вычислений и с помощью калькулятора найдите значение | выражения | . |
| 10 39 Назовите коэффициент | выражения | . |
| 7 13 Найдите значение | выражения | . |
| 5 143 Найдите значение | выражения | . |
| 10 97 Найдите значение | выражения | . |
| 7 29 Подберите такие отрицательные значения х и у , чтобы значение | выражения | х - у было равно . |
| 10 95 Найдите значение дробного | выражения | . |
| 4 168 Найдите значение | выражения | . |
| 4 173 Найдите значение | выражения | . |
| 3 Найдите значение | выражения | 0,7 × 26 - 16 × 0,7 , применив распределительное свойство умножения . |
| 1 137 Найдите значение | выражения | : ( 15,964 : 5,2 — 1,2 ) 0,1 . |
| 6 3 Найдите значение | выражения | . |
| 10 21 Найдите значение | выражения | . |
| 6 26 Найдите значение | выражения | . |
| 7 33 Найдите значение | выражения | . |
| 6 69 Найдите значение | выражения | . |
| 7 36 Найдите значение | выражения | . |
| 5.90 Найдите значение | выражения | . |
| 5 61 Найдите значение | выражения | . |
| 5 Найдите значение | выражения | -(-15 ) . |
| 8 120 Найдите значение | выражения | . |
| 8 119 Докажите , что при любом значении буквы значение | выражения | . |
| 5 83 Найдите значение | выражения | . |
| 1 67 Найдите значение | выражения | . |
| 6 7 С помощью координатной прямой найдите значение | выражения | . |
| 5 63 Найдите значение | выражения | х , если . |
| 5 66 Найдите значение | выражения | . |
| 5 65 Найдите значение | выражения | . |
| 10 43 При x = 2 ; -2 найдите значение | выражения | . |
| С дробными | выражениями | можно выполнять действия по тем же правилам , что и с обыкновенными дробями . |
| В дальнейшем большой вклад в развитие алгебры внесли европейские учёные Франсуа Виет ( 1540—1603 ) и Рене Декарт , которые ввели в алгебру буквы и разработали правила действий с буквенными | выражениями | . |
| его | высота | 3,5 см и составляет 0,7 ширины , а длина в 2,4 раза больше ширины . |
| Какую высоту имеют ель и сосна , если | высота | берёзы составляет 12 м ? . |
| Чему равна крутизна лестницы , если | высота | ступеньки 18 см , а глубина 30 см ? . |
| Для этого надо нарисовать три столбика , | высота | которых соответствует количеству домов каждого вида . |
| б ) возраст сосны , когда её | высота | была 10 м ; 16 м ; 20 м . в ) на сколько метров выросла сосна за первые 20 лет ; за вторые 20 лет ; за третьи 20 лет . |
| Попробуйте вычислить площадь поверхности цилиндра , если его | высота | 5 см , а радиус оснований 2 см . |
| Длина параллелепипеда равна 3 м , | высота | на 7 м меньше длины , а ширина на 1 м меньше высоты . |
| На сколько изменится | высота | столбика жидкости , если температура воздуха изменится . |
| 3 79 Длина школьного спортивного зала равна 30 м , ширина составляет длины , а | высота | — 0,3 ширины . |
| д ) | высота | ели составляет 80 % высоты сосны ? . |
| Высота | ели составляет 0,4 высоты сосны . | |
| в ) | высота | ели составляет 2/5 высоты сосны . |
| Чему равна высота сосны и чему равна | высота | ели , если известно , что . |
| Чему равна | высота | сосны и чему равна высота ели , если известно , что . |
| 3 19 Длина прямоугольного параллелепипеда равна 7/12 м , ширина 5/14 м , а | высота | 18/25 м . |
| Вычислите объём четырёхугольной пирамиды , в основании которой прямоугольник со сторонами 2/3 дм и 9/10 дм , а | высота | равна 5 дм . |
| 1 123 Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральными числами сантиметров , а | высота | равна 15 см. Можно ли утверждать , что объём ( в кубических сантиметрах ) этого параллелепипеда выражается числом . |
| Пусть | высота | первого столбика 15 мм , второго 45 мм , третьего 30 мм . |
| а ) какой будет уровень воды в кувшине , если в него налить 0,8 л воды ; 2 л воды . б ) сколько воды надо налить в кувшин , чтобы уровень воды оказался на высоте 7 см ; на | высоте | 13 см . |
| а ) какой будет уровень воды в кувшине , если в него налить 0,8 л воды ; 2 л воды . б ) сколько воды надо налить в кувшин , чтобы уровень воды оказался на | высоте | 7 см ; на высоте 13 см . |
| Объём конуса в 3 раза меньше объёма цилиндра с такими же основанием и | высотой | . |
| 9 106 В пустой кувшин наливают воду стаканом , содержащим 0,2 л , и каждый раз отмечают | высоту | воды в кувшине . |
| Найдите | высоту | здания над землёй , если оно заглублено в землю на 15 м и длина здания больше его ширины в 1 5/7раза . |
| 6 20 Стенной шкаф имеет | высоту | 1,8 м . |
| а ) | высоту | сосны в 15 лет ; в 35 лет ; в 75 лет . |
| 1 59 На уроке физкультуры Андрей , Марат , Костя , Саша , Петя и Серёжа готовятся к прыжкам в | высоту | . |
| Какую | высоту | имеют ель и сосна , если высота берёзы составляет 12 м ? . |
| Найдите | высоту | параллелепипеда , если его объём 2,42 дм3 . |
| Длина параллелепипеда равна 3 м , высота на 7 м меньше длины , а ширина на 1 м меньше | высоты | . |
| 4 115 Известно , что объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы такой же | высоты | и с таким же основанием . |
| Если бы каждый дом изображался столбиком в 2 мм , то | высоты | всех трёх столбиков увеличились бы в 2 раза . |
| Вычислите объём цилиндра и объём конуса , у которых | высоты | по 12 см и радиусы оснований по 2 см . |
| 5 10 Найдите по шкале | высоты | гор и глубины морей и океанов . |
| 5 93 Назовите города сначала в порядке возрастания их | высоты | над уровнем Мирового океана , а затем в порядке убывания . |
| д ) высота ели составляет 80 % | высоты | сосны ? . |
| его ширина 2,5 см и составляет | высоты | , а длина в 3,4 раза больше высоты . |
| в ) высота ели составляет 2/5 | высоты | сосны . |
| 2 226 Для экспедиции , работающей в тайге , сбросили с вертолёта упаковку с продуктами , которая упала на землю через 3 с. С какой | высоты | была брошена эта упаковка , если в первую секунду она пролетела 4 — м , а в каждую следующую секунду она пролетала на 94 м больше , чем в предыдущую ? . |
| Постройте график зависимости | высоты | сосны от её возраста . |
| его ширина 2,5 см и составляет высоты , а длина в 3,4 раза больше | высоты | . |
| высота ели составляет 0,4 | высоты | сосны . |
| Его глубина составляет 30 % | высоты | , а ширина — 250 % глубины . |
| Отношение | высоты | фасада здания к его длине равно 0,618 . |
| 6 25 Найдите объём прямоугольного параллелепипеда , длина которого 21 см , а ширина составляет 3 длины и 30 % | высоты | . |
| 6 44 Объём цилиндра равен произведению площади одного его основания и | высоты | . |
| Какой | высоты | должен быть цилиндр с такой же площадью основания , чтобы его объём был равен объёму конуса ? |
| 4 31 Крутизной лестницы называют отношение | высоты | ступеньки к её глубине . |
| 7 52 Яша задумал число , умножил его на 5 , а затем из произведения | вычел | 2,7 . |
| Долгое время такие числа считали « несуществующими » , « ложными » прежде всего из- за того , что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел « имущество — долг » приводило к недоумениям : можно сложить или | вычесть | « имущества » или « долги » , но как понимать произведение или частное « имущества » и « долга » ? . |
| из большего модуля слагаемых | вычесть | меньший . |
| 1 Для того чтобы | вычесть | сумму из числа , можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое , а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое . |
| 1 Для того чтобы вычесть сумму из числа , можно сначала | вычесть | из этого числа первое слагаемое , а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое . |
| Чтобы сложить ( | вычесть | ) десятичные дроби , надо . |
| 6 Какое число надо | вычесть | из одной пятой , чтобы получить одну тридцатую ? . |
| Чтобы из данного числа | вычесть | другое , надо к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому : a - b = a + ( -b ) . |
| 2 Чтобы из суммы | вычесть | число , можно вычесть его из одного слагаемого , а к полученной разности прибавить другое слагаемое . |
| 2 Чтобы из суммы вычесть число , можно | вычесть | его из одного слагаемого , а к полученной разности прибавить другое слагаемое . |
| Чтобы сравнить ( сложить , | вычесть | ) дроби с разными знаменателями , надо . |
| сравнить ( сложить , | вычесть | ) полученные дроби . |
| — из минус семи | вычесть | минус двенадцать . |
| Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой , надо из координаты его правого конца | вычесть | координату его левого конца . |
| Какое число нужно | вычесть | из минус семи , чтобы получить минус десять ? . |
| 3 Из какого числа нужно | вычесть | минус пять , чтобы получить минус пять ? |
| 3 Если из числа | вычесть | нуль , оно не изменится . |
| 4 Если из числа | вычесть | это число , получится нуль . |
| 6 Распределительное свойство умножения относительно вычитания : для того чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения | вычесть | второе . |
| из двух третьих | вычесть | три пятых . |
| 1 Для того чтобы вычесть сумму из числа , можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое , а потом из полученной разности | вычесть | второе слагаемое . |
| Конечно , | вычитаемое | число должно быть меньше слагаемого , из которого его вычитают , или равно ему . |
| греческим математиком Диофантом ( в виде : « вычитаемое , умноженное на прибавляемое , даёт вычитаемое ; | вычитаемое | на вычитаемое даёт прибавляемое » и т . |
| Если уменьшаемое и | вычитаемое | равны , то их разность равна нулю . |
| б ) если уменьшаемое и | вычитаемое | кратны числу а , то и разность кратна числу а ? . |
| греческим математиком Диофантом ( в виде : « вычитаемое , умноженное на прибавляемое , даёт | вычитаемое | ; вычитаемое на вычитаемое даёт прибавляемое » и т . |
| греческим математиком Диофантом ( в виде : « вычитаемое , умноженное на прибавляемое , даёт вычитаемое ; вычитаемое на | вычитаемое | даёт прибавляемое » и т . |
| Каким действием можно заменить | вычитание | числа a из числа b ? |
| Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и | вычитание | положительных чисел : по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое . |
| Вычитание | смешанных чисел . | |
| 6 Сложение и | вычитание | положительных и отрицательных чисел . |
| Расскажите , как выполнить | вычитание | смешанных чисел и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел . |
| 11 Сравнение , сложение и | вычитание | дробей с разными знаменателями . |
| 2 179 Выполните | вычитание | . |
| 2 Сложение и | вычитание | дробей с разными знаменателями . |
| 6 90 Выполните | вычитание | . |
| Расскажите , как выполнить | вычитание | дробей с разными знаменателями . |
| Вычитание | отрицательных и положительных чисел . | |
| Что означает | вычитание | отрицательных чисел ? . |
| Сложение и | вычитание | дробей с разными знаменателями . |
| 2 181 Выполните | вычитание | . |
| 6 88 Выполните | вычитание | . |
| сравнение , сложение , | вычитание | дробей с разными знаменателями . |
| Чтобы выполнить | вычитание | смешанных чисел , надо . |
| 12 Сложение и | вычитание | смешанных чисел . |
| Вычитание | рациональных чисел . з ) | |
| отдельно выполнить | вычитание | целых частей и отдельно дробных частей . |
| 10 19 В каком порядке следует выполнять действия в выражении без скобок , если в нём содержится по одному разу | вычитание | , возведение числа в куб и деление ? . |
| выполнить сложение ( | вычитание | ) , не обращая внимания на запятую . |
| Выполните | вычитание | полученных чисел . |
| Решите задачу двумя способами : сложением и | вычитанием | . |
| При | вычитании | смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы . |
| Это свойство нуля при | вычитании | с помощью букв можно записать так . |
| При | вычитании | дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого , а знаменатель оставляют тот же . |
| При сложении ( | вычитании | ) чисел в смешанной записи целые части складывают ( вычитают ) отдельно , а дробные — отдельно . |
| По свойству | вычитания | суммы из числа имеем . |
| Используя свойство | вычитания | суммы из числа , получим . |
| При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и | вычитания | числа из суммы . |
| Для сложения и | вычитания | дробей верны изученные ранее свойства этих действий . |
| 6 Как называется результат | вычитания | рациональных чисел ? . |
| При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами | вычитания | суммы из числа и вычитания числа из суммы . |
| Диофант умел решать очень сложные уравнения , применял для неизвестных буквенные обозначения , ввёл специальный символ для | вычитания | , использовал сокращения слов . |
| Вот как индийский математик Брахмагупта ( VII в . ) излагал правила сложения и | вычитания | : « Сумма двух имуществ есть имущество » , « Сумма двух долгов есть долг » , « сумма имущества и долга равна их разности » и т . |
| Это свойство называют свойством | вычитания | суммы из числа . |
| 10 23 Сравните числа с помощью | вычитания | . |
| Расскажите , как выполнить вычитание смешанных чисел и на каких свойствах основано правило | вычитания | смешанных чисел . |
| Это свойство называют свойством | вычитания | числа из суммы . |
| Распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно | вычитания | позволяет упрощать вычисления . |
| 6 Распределительное свойство умножения относительно | вычитания | : для того чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе . |
| Любое выражение , содержащее лишь знаки сложения и | вычитания | , можно рассматривать как сумму . |
| 2 133 Используя свойство | вычитания | числа из суммы , найдите значение выражения . |
| 2 134 Используя свойство | вычитания | суммы из числа , найдите значение выражения . |
| Свойства | вычитания | натуральных чисел . |
| Мы умеем сравнивать , складывать и | вычитать | дроби с одинаковыми знаменателями . |
| Складывать и | вычитать | отрицательные числа научились китайские учёные ещё до нашей эры . |
| При сложении ( вычитании ) чисел в смешанной записи целые части складывают ( | вычитают | ) отдельно , а дробные — отдельно . |
| Конечно , вычитаемое число должно быть меньше слагаемого , из которого его | вычитают | , или равно ему . |
| При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого | вычитают | числитель вычитаемого , а знаменатель оставляют тот же . |
| 9 94 Из делителя | вычли | его 4 . |
| 4 142 Некоторое число | вычли | из числителя и прибавили к знаменателю дроби . |
| 4 Какое название имеет | геометрическая фигура | — поверхность шара ? . |
| 2 55 Древнегреческих , а также древнеиндийских математиков интересовали числа , которые соответствовали количеству точек , расположенных в виде некоторой | геометрической фигуры | — треугольника , квадрата и др. |
| В каком масштабе этот | глобус | изображал Землю ? |
| Футбольный мяч , | глобус | , арбуз дают нам представление о шаре . |
| Чему равна длина экватора и меридианов на этом | глобусе | ? . |
| 4 157 Один из самых больших | глобусов | Земли был изготовлен в 1889 г. для Парижской всемирной выставки . |
| 6 Если температура изменилась на минус три градуса , значит , она понизилась на три | градуса | . |
| 6 Если температура изменилась на минус три | градуса | , значит , она понизилась на три градуса . |
| Тогда она станет равной -6 + ( -3 ) | градусам | . |
| Если та же температура воздуха 9 ° С изменилась на -12 ° С ( т . е . понизилась на 12 ° С ) , то она стала равной 9 + ( -12 ) | градусам | . |
| понизилась на 6 ° С ) , то она стала равной 9 + ( -6 ) | градусам | . |
| 5 Ночью температура воздуха была равна минус двенадцати | градусам | , а днём поднялась до минус трёх градусов . |
| На прямой х откладывали время в минутах после включения самовара , а на прямой у — температуру воды в | градусах | Цельсия . |
| Результаты ( в | градусах | Цельсия ) указаны . |
| 6 56 В первую половину дня температура изменилась на -4 ° С , а во вторую — на + 12 ° С. На сколько | градусов | изменилась температура в течение дня ? . |
| 6 28 В первую половину ночи температура изменилась на -5 ° С , во вторую — на -4 ° С. На сколько | градусов | изменилась температура за ночь ? . |
| 6 85 Температура воздуха утром была 5 ° С , а к вечеру она стала равной -2 ° С. На сколько | градусов | изменилась температура воздуха за день ? . |
| 5 106 На улице температура а ° С , а в квартире b ° С. На сколько | градусов | температура в квартире выше , чем на улице ? |
| д ) На сколько | градусов | изменилась температура с 2 до 13 ч ; с 18 до 24 ч ? . |
| 6 Величины прямого угла составляют тридцать | градусов | ? . |
| 5 Ночью температура воздуха была равна минус двенадцати градусам , а днём поднялась до минус трёх | градусов | . |
| На сколько | градусов | изменилась температура воздуха ? . |
| 3 145 Подсчитайте по модели , сколько | граней | , вершин , рёбер у треугольной пирамиды ; у четырёхугольной пирамиды . |
| Попробуйте догадаться , сколько | граней | , вершин , рёбер у шестиугольной пирамиды . |
| У пирамид боковые | грани | — треугольники , а основание — многоугольник . |
| 5 114 Видно , что куб можно составить из шести одинаковых четырёхугольных пирамид , у которых вершина О , а основаниями служат | грани | куба . |
| У прямой призмы боковые | грани | — прямоугольники , а верхнее и нижнее основания — равные многоугольники . |
| ( Пунктирные рёбра | графа | исходят от сестёр , а сплошные — от братьев . ) . |
| Такие схемы называют графами , точки вершинами | графа | , а дуги — рёбрами графа . |
| 8 82 Решите с помощью | графа | задачу : « Марина , Лариса , Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах ( пианино , виолончели , гитаре , скрипке ) , но каждая только на одном . |
| 8 21 Решите с помощью | графа | задачу : « Вера , Нина , Оля и Люба надели платья разных цветов ( красное , синее , белое , голубое ) . |
| ( Ребро | графа | означает « мы знакомы » . ) . |
| Такие схемы называют графами , точки вершинами графа , а дуги — рёбрами | графа | . |
| Такие схемы называют | графами | , точки вершинами графа , а дуги — рёбрами графа . |
| Постройте | график | движения туриста . |
| 9 128 Изображён | график | движения поезда . |
| 9 107 Изображены графики движения двух автомобилей : грузового ( график АВ ) и легкового ( | график | CD ) . |
| 9 104 Изображён | график | изменения температуры воздуха в течение суток . |
| 9 107 Изображены графики движения двух автомобилей : грузового ( | график | АВ ) и легкового ( график CD ) . |
| Например , | график | роста Маши на миллиметровой бумаге показан . |
| 9 129 Изображён | график | движения . |
| Постройте | график | зависимости высоты сосны от её возраста . |
| Изображён получившийся | график | . |
| 9 103 Показан | график | изменения массы Пети в зависимости от его возраста . |
| Получим точки А , В , C , D , E , F и H . | график | движения . |
| График | . | |
| 9 124 Показан | график | температуры воды в электрическом самоваре . |
| 9 107 Изображены | графики | движения двух автомобилей : грузового ( график АВ ) и легкового ( график CD ) . |
| Постройте | графики | движения обеих автомашин . |
| Для большей точности построения | графиков | их чертят на миллиметровой бумаге . |
| Эту прямую называют | графиком | движения поезда . |
| Пользуясь | графиком | , определите . |
| Определите , пользуясь | графиком | . |
| Пользуясь | графиком | , найдите . |
| Например , в 2 года её рост был 90 см. Эту линию называют | графиком | роста Маши . |
| Придумайте рассказ к этому | графику | . |
| По | графику | можно узнать , где находился поезд в 6 ч 30 мин ( он отошёл от г. Ромска на 210 км ) , где он был в 1 ч 30 мин ( он не дошёл до г. Ромска 90 км ) , когда он отошёл от г. Ромска на 270 км ( в 7 ч 30 мин ) и т . |
| Определите по | графику | . |
| Сколько получилось | групп | мальчиков и групп девочек ? . |
| по типу склонения можно разделить на пять | групп | . |
| Сколько получилось групп мальчиков и | групп | девочек ? . |
| Количественные числительные по типу склонения можно разделить на пять | групп | . |
| 3 217 Геологоразведочная | группа | к месту разработки 2 ч летела на вертолёте , а затем ещё 3 ч ехала на вездеходе . |
| Первая | группа | посадила 35 % всех имевшихся саженцев , вторая — 60 % оставшихся саженцев , а третья группа — остальные 104 саженца . |
| С какой скоростью геологоразведочная | группа | передвигалась на вертолёте и на вездеходе , если весь путь равен 504 км ? . |
| 5 2 Из спортивного лагеря выходит | группа | туристов и движется по шоссе . |
| Первая группа посадила 35 % всех имевшихся саженцев , вторая — 60 % оставшихся саженцев , а третья | группа | — остальные 104 саженца . |
| Какое наибольшее количество человек могло быть в каждой | группе | ? |
| И мальчиков , и девочек разбили на группы с одинаковым количеством человек в каждой | группе | . |
| В этих правилах раскрывалось , как найти неизвестную величину через данные числа для | группы | похожих задач . |
| 3 287 Три | группы | школьников посадили деревья вдоль дороги . |
| И мальчиков , и девочек разбили на | группы | с одинаковым количеством человек в каждой группе . |
| Видно , что | данный | прямоугольник можно получить так : разделить одну сторону квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части , а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части . |
| 3 232 Выполните | деление | . |
| после этого выполнить | деление | на натуральное число . |
| Среди задач , которые с давних времён приходилось решать людям , много было похожих , однотипных : вычисление площадей участков , нахождение объёмов фигур определённой формы , | деление | доходов , вычисление стоимости товара , измерение массы с помощью различных единиц и др . |
| 3 227 Выполните | деление | и результат округлите до сотых . |
| 7 67 Выполните | деление | . |
| 7 45 Выполните | деление | . |
| 3 244 Выполните | деление | и округлите ответ до тысячных . |
| 7 43 Выполните | деление | . |
| в ) умножение дробей . г ) | деление | дробей . |
| Деление | дробей . | |
| 1 33 Выполните | деление | с остатком . |
| 3 273 Выполните | деление | . |
| Деление | двух отрицательных чисел . | |
| Деление | двух чисел с разными знаками . | |
| поставить в частном запятую , когда кончится | деление | целой части . |
| 7 40 Верно ли выполнено | деление | . |
| и ) | деление | рациональных чисел с одинаковыми знаками . |
| Золотым сечением и даже « божественной пропорцией » называли математики древности и Средневековья | деление | отрезка , при котором длина его большей части так относится к длине всего отрезка , как длина меньшей части к большей . |
| Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и | деление | положительных чисел : по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель . |
| 10 19 В каком порядке следует выполнять действия в выражении без скобок , если в нём содержится по одному разу вычитание , возведение числа в куб и | деление | ? . |
| 3 189 Выполните | деление | . |
| 7 68 Выполните | деление | . |
| 7 89 Выполните | деление | . |
| 3 168 Выполните | деление | . |
| Как выполняется | деление | смешанных чисел ? . |
| 3 191 Выполните | деление | . |
| 7 Умножение и | деление | положительных и отрицательных чисел . |
| 3 190 Выполните | деление | . |
| 3 Умножение и | деление | обыкновенных дробей . |
| 1 33 Выполните | деление с остатком | . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при | делении | на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| При | делении | большего из них на меньшее в частном получается 3 ив остатке 9 . |
| При таком | делении | квадрат будет состоять из 15 равных частей , а прямоугольник будет состоять из 8 таких частей . |
| 1 При | делении | любого числа на 1 получается это же число . |
| 2 При | делении | числа ( не равного нулю ) на это же число получается единица . |
| При | делении | числа 7 на 7 получаем 1 . |
| 3 При | делении | нуля на число ( не равное нулю ) получается нуль . |
| При | делении | же числа 283 на 10 получаем неполное частное 28 и остаток 3 ( т . |
| При | делении | чисел с разными знаками надо . |
| 1 23 Найдите неполное частное и остаток при | делении | . |
| При | делении | получаем в частном 189 . |
| 1 25 При | делении | числа а на число b получили неполное частное c и остаток г . |
| Например , если будем делить 1 на 3 , то получим сначала нуль целых , потом три десятых , а далее при | делении | всё время будут повторяться остаток 1 и в частном цифра 3 . |
| То же правило и при | делении | ) . |
| При | делении | нуля на любое число , не равное нулю , получается нуль . |
| При | делении | получим число 21 . |
| Узнаем , не выполняя | деления | , можно ли 846 яиц разложить в 9 корзин поровну . |
| Сформулируйте правило | деления | отрицательного числа на отрицательное . |
| Докажите , что частное от | деления | а на b также является делителем числа а . |
| Сформулируйте правило | деления | дробей . |
| Частное двух чисел или выражений , в котором знак | деления | обозначен чертой , называют дробным выражением . |
| Дробь 2/3 равна частному 2 : 3 , поэтому частное от | деления | одного выражения на другое можно записать с помощью черты . |
| Сформулируйте правило | деления | чисел , имеющих разные знаки . |
| В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в произведении — х. По смыслу деления это число равно частному от | деления | числа у на число у. |
| Свойства | деления | натуральных чисел . |
| 3 267 Не выполняя | деления | , сравните . |
| 3 Как называется операция | деления | числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от единицы ? . |
| Чему равен остаток от | деления | первого числа на 6 ? . |
| Однако , несмотря на такие сомнения и недоумения , правила умножения и | деления | положительных и отрицательных чисел были предложены в III в . |
| 1 24 Найдите остаток от | деления | . |
| В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в произведении — х. По смыслу | деления | это число равно частному от деления числа у на число у. |
| Это объяснялось различными соотношениями между единицами измерения : они | делились | и на 12 , и на 16 , и на 40 частей . |
| 1 99 В записи 723 , 536 , 111 вместо звёздочки поставьте такие цифры , чтобы получившиеся числа | делились | на 9 . |
| 1 158 Какие цифры можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное число | делилось | на 12 . |
| 1 128 Какую цифру можно поставить вместо звёздочки , чтобы число | делилось | без остатка на 3 и на 5 . |
| 1 155 Какие цифры можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное число | делилось | на 4 . |
| 1 79 Какие цифры можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное число | делилось | на 6 . |
| Какие цифры можно подставить вместо звёздочки в запись числа 5627 , чтобы это число | делилось | на пять ? . |
| Какую цифру можно подставить вместо звёздочки в запись числа 6412 , чтобы это число | делилось | на девять ? . |
| 1 70 Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи : чтобы получившееся число | делилось | на 3 ? . |
| 1 76 Какую цифру можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное число | делилось | на 9 . |
| 1 91 Какую цифру можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное число | делилось | на 5 . |
| Число 21 также | делим | на 3 , причём получаем в частном простое число 7 . |
| Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное , надо разделить модуль | делимого | модуль . |
| Видим , что это частное равно произведению | делимого | и числа , обратного делителю , т . |
| Проведём вертикальную черту и запишем слева от неё | делимое | 756 , а справа — делитель 2 . |
| 3 201 Представьте | делимое | в виде десятичной дроби и выполните действие . |
| 3 200 Представьте | делимое | в виде обыкновенной дроби и выполните действие . |
| в | делимом | и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе . |
| Изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского , разделённая в таком отношении ( точка C делит отрезок AD , точка B | делит | отрезок AC ) . |
| Изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского , разделённая в таком отношении ( точка C | делит | отрезок AD , точка B делит отрезок AC ) . |
| 3 283 Точка C | делит | отрезок AB на два отрезка AC и CB . |
| Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр , сколько в | делителе | стоит нулей перед единицей ( т . е . |
| д. , надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в | делителе | . |
| в делимом и | делителе | перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в делителе . |
| в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр , сколько их после запятой в | делителе | . |
| Число 18 имеет шесть | делителей | : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 и 18 . |
| 1 Сколько | делителей | имеет число семьдесят один ? . |
| 1 16 Проверьте , что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме | делителей | другого числа , не считая его самого . |
| 1 107 Сколько | делителей | имеет каждое из чисел : 31 , 25 , 100 ? . |
| Число 12 имеет шесть | делителей | : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 и 12 . |
| Так они называли два числа , каждое из которых равно сумме | делителей | другого числа ( не считая самого числа ) . |
| Сколько | делителей | имеет число сорок девять ? . |
| Например , наибольшим общим | делителем | чисел 150 и 150 . 225 является 75 . |
| Говорят , что число 4 является делителем числа 20 , а число 6 не является | делителем | числа 20 . |
| 6 Не существует такого натурального числа , которое являлось бы | делителем | любого из натуральных чисел . |
| Его называют наибольшим общим | делителем | чисел 48 и 36 . |
| 1 13 Докажите , что число 70 525 кратно числу 217 , а число 729 является | делителем | числа 225 261 . |
| Если все данные числа делятся на одно них , то это число и является наибольшим общим | делителем | данных чисел . |
| Говорят , что число 4 является | делителем | числа 20 , а число 6 не является делителем числа 20 . |
| Какое число является | делителем | любого натурального числа ? . |
| Какое число является наибольшим общим | делителем | чисел а и b ? . |
| Например , наибольшим общим | делителем | чисел 15 , 45 , 75 и 180 будет число 15 , так как на него делятся все остальные числа : 45 , 75 и 180 . |
| а ) Какое число называют | делителем | данного числа ? |
| Какое число называют наибольшим общим | делителем | двух натуральных чисел ? . |
| Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка несколько чисел называют наибольшим общим | делителем | этих чисел . |
| 1 54 Число b является | делителем | числа а . |
| Какое число и кратно n , и является | делителем | n ? . |
| Это число и является наибольшим общим | делителем | чисел 48 и 36 . |
| 1 4 Является ли число 15 | делителем | 105 ? |
| Какое число называют | делителем | данного натурального числа ? |
| Число 1 является | делителем | натурального числа . |
| Является ли | делителем | числа 105 частное 105 : 15 ? . |
| Докажите , что частное от деления а на b также является | делителем | числа а . |
| п . — | делители | одиннадцати — числа один и одиннадцать . |
| 1 167 Найдите все общие | делители | чисел . |
| 3 Запишите | делители | восемнадцати , которые являются простыми числами . |
| 3 Запишите | делители | сорока двух , которые являются простыми числами . |
| 1 52 Назовите наименьший и наибольший | делители | числа 24 . |
| 1 6 Напишите все | делители | числа . |
| 1 30 Запишите все | делители | числа 24 и числа 36 . |
| Выпишите в порядке возрастания одинаковые | делители | этих чисел . |
| 10 8 Запишите все | делители | чисел 18 ; 24 ; 45 . |
| Поэтому сначала выпишем все | делители | числа 48 . |
| 1 133 Запишите все | делители | числа 90 . |
| Затем выпишем все | делители | числа 36 . |
| 10 98 Запишите все | делители | числа 28 и числа 36 . |
| Тот же ответ можно получить , сокращая дробь последовательно на общие | делители | чисел 150 и 225 , используя для их нахождения признаки делимости . |
| 3 Как называется операция деления числителя и знаменателя дроби на их общий | делитель | , отличный от единицы ? . |
| 1 215 Найдите наибольший общий | делитель | для числителя и знаменателя дроби . |
| 6 Наибольший общий | делитель | . |
| Наибольший общий | делитель | восьми и шестнадцати равен восьми . |
| Деление числителя и знаменателя на их общий | делитель | , отличный от единицы , называют сокращением дроби . |
| Как найти наибольший общий | делитель | нескольких натуральных чисел ? . |
| 2 22 Найдите наибольший общий | делитель | и наименьшее общее кратное чисел . |
| наибольший общий | делитель | . |
| Чему равны наибольший общий | делитель | и наименьшее общее кратное взаимно простых чисел ? . |
| Найдите | делитель | . |
| Значит , число « бэ » — | делитель | пятнадцати . |
| 1 7 Приведите примеры пары чисел , имеющих | делитель | , равный . |
| Наибольшее число , на которое можно сократить дробь , — это наибольший общий | делитель | её числителя и тещ . |
| 6 Восемнадцать — | делитель | трёх . |
| Наибольший общий | делитель | . |
| Запишите наибольший общий | делитель | ( 1—3 ) . |
| 1 195 Найдите наибольший общий | делитель | чисел а и b , если . |
| 2 31 Найдите наибольший общий | делитель | и наименьшее общее кратное чисел . |
| 2 34 Назовите наибольший общий | делитель | числителя и знаменателя дроби . |
| в ) 17 — | делитель | 152 . е ) 156 — кратное 13 ? . |
| 1 196 Найдите наибольший общий | делитель | чисел . |
| Число 1 имеет только один | делитель | ; само это число , этому его не относят ни к составным , ни к простым , числам . |
| пять — общий | делитель | двадцати и тридцати , в . |
| Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий | делитель | равен 1 . |
| Проведём вертикальную черту и запишем слева от неё делимое 756 , а справа — | делитель | 2 . |
| 1 173 Найдите наибольший общий | делитель | чисел . |
| Чтобы найти наибольший общий | делитель | нескольких натуральных чисел , надо . |
| Наибольший общий | делитель | можно найти , не выписывая всех делителей данных чисел . |
| В предложениях с сочетаниями общий | делитель | , наибольший общий делитель числительные читают в родительном падеже , если перед ними нет слова чисел , и в винительном падеже в противном случае . |
| 1 217 Найдите наибольший общий | делитель | чисел . |
| Найдите наибольший общий | делитель | всех этих чисел . |
| а ) 5 — | делитель | 45 . г ) 27 — кратное 3 . б ) 16 — делитель 8 . д ) 6 — кратное 12 . |
| Так же находят наибольший общий | делитель | трёх и более чисел . |
| 1 171 Найдите наибольший общий | делитель | чисел . |
| 1 170 Найдите наибольший общий | делитель | чисел . |
| п . — число шесть — | делитель | числа тридцать р . |
| Слово | делитель | употребляется с родительным падежом зависимого слова . |
| В предложениях с сочетаниями общий делитель , наибольший общий | делитель | числительные читают в родительном падеже , если перед ними нет слова чисел , и в винительном падеже в противном случае . |
| число пять — наибольший общий | делитель | чисел двадцать и двадцать пять . |
| 1 172 Найдите наибольший общий | делитель | чисел . |
| 2 88 Найдите наибольший общий | делитель | числителя и знаменателя и сократите дробь . |
| 1 174 Найдите наибольший общий | делитель | чисел . |
| п . ( или : шесть — | делитель | тридцати ) . |
| Найдём наибольший общий | делитель | чисел 24 и 35 . |
| а ) 5 — делитель 45 . г ) 27 — кратное 3 . б ) 16 — | делитель | 8 . д ) 6 — кратное 12 . |
| 3 Запишите общий | делитель | двадцати одного и пятидесяти одного . |
| Если | делитель | отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число . |
| Видим , что числа 24 и 35 имеют только один общий | делитель | — число 1 . |
| остаток ( если он есть ) даёт числитель , а | делитель | — знаменатель дробной части . |
| Числом , обратным | делителю | , является 4 , так как 6× 6 = 1 . |
| Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное | делителю | . |
| Видим , что это частное равно произведению делимого и числа , обратного | делителю | , т . |
| 1 145 Найдите по два простых | делителя | каждого из чисел : 54 ; 62 ; 143 ; 182 ; 3333 ; 5005 . |
| 1 169 Найдите разложение на простые множители наибольшего общего | делителя | чисел а и b , если . |
| Другими словами , число 7 имеет только два | делителя | : 1 и 7 . |
| Запишите два наибольших | делителя | ( 1 - 3 ) . |
| 8 Как называется натуральное число , имеющее ровно два | делителя | ? . |
| 9 94 Из | делителя | вычли его 4 . |
| разделить модуль делимого на модуль | делителя | . |
| Натуральное число называют простым , если имеет только два | делителя | : единицу и само это число . |
| Если целая часть меньше | делителя | , то частное начинается с нуля целых . |
| У числа 9 три | делителя | : 1 , 3 и 9 . |
| Общими | делителями | чисел 48 и 36 будут : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 . |
| в ) | делителями | 16 и кратными 4 . г ) кратными 3 и делителями 18 . |
| в ) делителями 16 и кратными 4 . г ) кратными 3 и | делителями | 18 . |
| Делителями числа 24 будут 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 , а | делителями | числа 35 будут 1 , 5 , 7 , 35 . |
| в ) | делителями | 100 и кратными 25 . б ) кратными 25 . |
| а ) | делителями | 20 . б ) кратными 4 . |
| а ) | делителями | 100 . |
| Числа 8 , 16 , 24 делятся на 8 , а 18 на 8 не | делится | . |
| 6 Если девять — последняя цифра в записи натурального числа , то это число | делится | без остатка на девять . |
| Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 : если сумма цифр числа не | делится | на 9 , то и число не делится на 9 . |
| Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно | делится | без остатка на 70 . |
| Оно | делится | на 2 , так как оканчивается чётной цифрой 6 . |
| Если сумма цифр числа делится на 3 , то число | делится | на 3 : если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 . |
| А Если число делится на 10 , то оно | делится | и на 2 , и на 5 . |
| Кратным натурального числа а называют натуральное число , которое | делится | без остатка . |
| Это значит , что число 846 | делится | без остатка на 9 . |
| Заметим , что если одно из данных чисел | делится | остальные числа , то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел . |
| 1 72 Любое ли число , которое оканчивается цифрой 3 , | делится | на 3 ? . |
| Число 78 составное , потому что , кроме 1 и 78 , оно | делится | , например , ещё на 2 . |
| Если сумма цифр числа | делится | на 9 , то и число делится на 9 : если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 . |
| Всякое натуральное число , запись которого оканчивается цифрой 0 , | делится | без остатка на 10 . |
| Верно ли , что если число оканчивается цифрой 6 , то оно | делится | на 6 ? . |
| в ) Если число оканчивается цифрой 0 , то оно | делится | и на 2 , и на 5 . |
| Если сумма цифр числа делится на 3 , то число делится на 3 : если сумма цифр числа не | делится | на 3 , то и число не делится на 3 . |
| Число 63 также | делится | на 3 . |
| Но 189 делится на 3 , так как сумма его цифр ( 1 + 8 + 9 = 18 ) | делится | на 3 . |
| б ) Если число | делится | на 5 , то оно оканчивается цифрой 5 . |
| Но 189 | делится | на 3 , так как сумма его цифр ( 1 + 8 + 9 = 18 ) делится на 3 . |
| 5 Если число кратно девяти , то оно | делится | без остатка на три . |
| Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля , то это число не | делится | без остатка на 10 . |
| Число 189 не | делится | на 2 , так как оканчивается нечётной цифрой . |
| Если сумма цифр числа | делится | на 3 , то число делится на 3 : если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 . |
| Число 378 тоже | делится | на 2 . |
| Б Если число | делится | на 5 , то оно делится на 10 . |
| Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число | делится | на 9 : если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 . |
| Верно ли , что если число | делится | на 6 , то его запись оканчивается цифрой 6 ? . |
| Если запись натурального ч оканчивается цифрой 0 , то это число | делится | без остатка 70 . |
| 1 88 Любое ли число , делящееся на 5 , | делится | и на 10 ? . |
| а ) число , которое | делится | на 10 . |
| Например , 280 | делится | без остатка на 10 , так как 280 : 10 = 28 . |
| а ) Если число | делится | на 2 , то оно чётное . |
| Б Если число делится на 5 , то оно | делится | на 10 . |
| Как по записи натурального числа узнать , | делится | оно на 9 или нет ? . |
| Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 : если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не | делится | на 9 . |
| Число 7 | делится | только на 1 и само на себя . |
| 8 Если число кратно десяти , то оно | делится | и на два , и на пять . |
| Если же запись числа оканчивается иной цифрой , то число без остатка на 5 не | делится | . |
| Число 76 455 | делится | на 9 , так как сумма его цифр : 7 + 6 + 4 + 5 + 5 = 27 — делится на 9 . |
| Как по записи натурального числа узнать , | делится | оно без остатка на 2 или нет ? . |
| 1 78 а ) Какое наименьшее натуральное число , записанное только с помощью цифры 2 , | делится | на 6 ? . |
| 7 Если чётное число кратно трём , то оно | делится | без остатка на шесть . |
| Б Если число делится на 9 , то оно | делится | на 3 . |
| Делителем натурального числа а называю натуральное число , на которое а | делится | без остатка . |
| Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число | делится | без остатка на 5 . |
| 8 Если натуральное число не кратно трём , то оно не | делится | на пятнадцать . |
| Как по записи натурального числа определить , | делится | оно без остатка на 10 или нет ? . |
| Отсюда и любое число , запись которого оканчивается цифрой 0 , | делится | без остатка и на 5 , и на 2 . |
| Слова | делится | ( без остатка ) и кратно заменяют друг друга . |
| 2 Как называется натуральное число , которое не | делится | на два без остатка ? . |
| А Если чётное число делится на 3 , то оно | делится | на 6 . |
| Если число не оканчивается цифрой 0 , то оно не | делится | ни на 2 , ни на 5 . |
| Как по записи натурального числа узнать , | делится | оно без остатка на 5 или нет ? . |
| Как по записи натурального числа узнать , | делится | оно на 3 или нет ? . |
| 1 112 Известно , что число m | делится | на 9 . |
| 1 141 Выясните , | делится | ли число а на число b без остатка , если . |
| 4 Натуральное число « эм » | делится | на натуральное число « а » без остатка . |
| Так как полные десятки делятся на 5 , то и все число | делится | на 5 лишь в том случае , когда на 5 делится число единиц . |
| В случае когда а | делится | на b , найдите частное . |
| Число 76 455 делится на 9 , так как сумма его цифр : 7 + 6 + 4 + 5 + 5 = 27 — | делится | на 9 . |
| Так как полные десятки делятся на 5 , то и все число делится на 5 лишь в том случае , когда на 5 | делится | число единиц . |
| Б Если число | делится | на 9 , то оно делится на 3 . |
| 5 Если число | делится | без остатка на десять , то оно не кратно двум . |
| Докажите , что число m | делится | на 4 . |
| В Если число оканчивается цифрой 3 , то оно не | делится | на 3 . |
| Например , наименьшим общим кратным чисел 12 , 15 , 20 и 60 будет число 60 , так как оно | делится | на все данные числа . |
| Число 51 634 не делится на 9 , так как сумма его цифр : 5 + 1 + 6 + 3 + 4=19 — не | делится | на 9 . |
| Число 51 634 не | делится | на 9 , так как сумма его цифр : 5 + 1 + 6 + 3 + 4=19 — не делится на 9 . |
| А Если число | делится | на 10 , то оно делится и на 2 , и на 5 . |
| А Если чётное число | делится | на 3 , то оно делится на 6 . |
| Г Если число не делится на 3 , то оно не | делится | на 9 . |
| В Если число не оканчивается цифрой 5 , то оно не | делится | на 5 . |
| Г Если число не | делится | на 3 , то оно не делится на 9 . |
| Поэтому число 10 | делится | без остатка и на 2 , и на 5 . |
| Г Если число не | делится | на 2 , то оно нечётное . |
| б ) Существует ли натуральное число , записанное только с помощью цифры 3 , которое | делится | на 6 ? |
| Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то это число чётно ( | делится | без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это число нечетное . |
| Если сумма цифр числа делится на 3 , то число делится на 3 : если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не | делится | на 3 . |
| 8 Если запись натурального числа оканчивается не менее чем двумя нулями , это натуральное число | делится | без остатка на сто . |
| — сорок пять | делится | на девять . — сорок пять кратно девяти . |
| 6 Натуральное число « бэ » | делится | без остатка на пятнадцать . |
| а ) если а кратно b , а b кратно с , то а кратно с . б ) если а и b делятся на 6 , то и а + b | делится | на 6 . |
| Например , если будем | делить | 1 на 3 , то получим сначала нуль целых , потом три десятых , а далее при делении всё время будут повторяться остаток 1 и в частном цифра 3 . |
| Может ли нечётное число | делиться | на чётное число ? . |
| Каждое из чисел 48 и 36 должно | делиться | на число подарков . |
| Например , в школе Пифагора запрещено было | делиться | своими знаниями с непифагорейцами . |
| Может ли чётное число | делиться | на нечётное число ? . |
| Число сантиметров пути должно | делиться | без остатка и на 75 , и на 60 , т . |
| а ) цифры 1 , которые делятся на 3 . б ) цифры 6 , которые | делятся | на 9 . |
| Пользуясь этим признаком , укажите числа , которые | делятся | на 4 . |
| 1 10 Назовите три числа , которые одновременно | делятся | на каждое из чисел : а ) 6 и 8 . б ) 9 и 12 . |
| а ) цифры 1 , которые | делятся | на 3 . б ) цифры 6 , которые делятся на 9 . |
| 1 69 Запишите какие - нибудь три четырёхзначных числа , которые | делятся | на 9 . |
| в ) | делятся | без остатка на 3 и на 5 . |
| Какие из них | делятся | на 1000 ? . |
| 1 156 Какие из чисел 3552 , 4712 , 6576 , 4836 | делятся | на 3 и на 4 ? |
| Как вы думаете , числа , которые | делятся | на 3 и на 4 , делятся на 12 ? |
| Как вы думаете , числа , которые делятся на 3 и на 4 , | делятся | на 12 ? |
| Какие из них | делятся | на 9 ? . |
| 1 68 Какие из чисел 75 432 , 2 772 825 , 5 402 070 | делятся | на 3 ? |
| а ) если а кратно b , а b кратно с , то а кратно с . б ) если а и b | делятся | на 6 , то и а + b делится на 6 . |
| 1 157 Какие из чисел 7284 , 2708 , 3912 , 9096 | делятся | на 12 ? . |
| в ) два чётных числа , которые не | делятся | на 5 . г ) |
| в ) | делятся | на 2 и на 5 . |
| Если все данные числа | делятся | на одно них , то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел . |
| а ) | делятся | на 2 . |
| Числа 8 , 16 , 24 | делятся | на 8 , а 18 на 8 не делится . |
| два нечётных числа , которые не | делятся | на 5 . |
| Делятся | нацело на 9 ? | |
| 1 87 Как быстро узнать , | делятся | ли на 2 . а ) суммы : 37 843 + 54 321 ; 48 345 + 75 634 ; 37 244 + 52 486 . б ) разности : 87 338 - 56 893 ; 153 847 - 112 353 ; 84 537 - 26 237 ? . |
| 1 77 Выпишите все натуральные числа меньшие 100 , которые | делятся | на 6 . |
| 10 9 Какие из чисел 3572 , 81 375 , 158 457 , 237 583 , 67 932 , 2 487 960 | делятся | нацело на 3 ? |
| Проверьте , | делятся | ли эти числа на 2 , на 3 . |
| Делятся | нацело на 5 ? | |
| Укажите наибольшее число , на которое | делятся | числа каждой пары . |
| Делятся | нацело на 15 ? . | |
| Делятся | на 5 . | |
| Так как полные десятки | делятся | на 5 , то и все число делится на 5 лишь в том случае , когда на 5 делится число единиц . |
| Например , числа 870 и 875 делятся без остатка на 5 , а числа 872 и 873 на 5 без остатка не | делятся | . |
| г ) не | делятся | ни на 2 и ни на 5 . |
| Наибольшее натуральное число , на которое | делятся | без остатка несколько чисел называют наибольшим общим делителем этих чисел . |
| Все полные десятки | делятся | на 2 без остатка ( т . е . |
| Например , наибольшим общим делителем чисел 15 , 45 , 75 и 180 будет число 15 , так как на него | делятся | все остальные числа : 45 , 75 и 180 . |
| 1 39 Какие из чисел 200 , 320 , 3000 , 50 000 , 861 , 76 540 | делятся | на 100 ? |
| Например , числа 870 и 875 | делятся | без остатка на 5 , а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся . |
| 1 90 Какой цифрой оканчивается запись числа , | делящегося | на 5 , если оно : а ) чётно . |
| 1 89 Всегда ли запись числа , | делящегося | на 5 , оканчивается цифрой 5 ? |
| 2 101 Жук ползёт вверх по стволу | дерева | со скоростью 6 см / с. По тому же дереву ползёт вниз гусеница . |
| Сколько лет составляет продолжительность жизни мамонтова | дерева | ? . |
| 5 6 Белка вылезла из дупла и бегает по стволу | дерева | вверх и вниз . |
| Сосна живёт в 2 — раза дольше берёзы , а мамонтово | дерево | — в 5 раз дольше сосны . |
| 2 101 Жук ползёт вверх по стволу дерева со скоростью 6 см / с. По тому же | дереву | ползёт вниз гусеница . |
| Сколько лет каждому | дереву | , если возраст сосны составляет 60 % возраста дуба ? . |
| 4 27 На подкормку овощей и фруктовых | деревьев | израсходовано 2/3 из имевшихся 18 ц удобрений . |
| 3 311 Груши составляют 25 % всех деревьев сада , остальные 150 | деревьев | — яблони . |
| Сколько в саду других плодовых | деревьев | ? . |
| Сколько грушевых | деревьев | в саду ? . |
| Яблони составляют 0,6 всех | деревьев | . |
| Сколько всего посадили | деревьев | в парке , если клёнов посадили 480 ? . |
| 3 311 Груши составляют 25 % всех | деревьев | сада , остальные 150 деревьев — яблони . |
| 3 148 В саду 30 плодовых | деревьев | . |
| 10 14 Постройте столбчатую диаграмму сравнительной продолжительности жизни некоторых | деревьев | по следующим данным : баобаб — 5000 лет , кипарис — 3000 лет , кедр — 1200 лет , дуб — 1000 лет , сосна обыкновенная — 600 лет , берёза — 250 лет , рябина — 80 лет . |
| 2 114 В лесопитомнике всех | деревьев | занимают саженцы ели , а 8 — саженцы сосны . |
| Сколько процентов от всех посаженных | деревьев | составляют клёны ? |
| 3 287 Три группы школьников посадили | деревья | вдоль дороги . |
| Сколько гектаров занимают лиственные | деревья | , если площадь всего участка 720 га ? . |
| 3 114 На участке сибирского леса 70 % занимает лиственница , — оставшейся площади занимает кедр , а остальную площадь — лиственные | деревья | . |
| Покажите , что любая | десятичная | дробь является рациональным числом . |
| э . ; д ) позиционная | десятичная | система счисления распространилась в странах Востока в IX в . |
| 2 97 Представьте в виде | десятичной | дроби . |
| 2 75 Запишите в виде | десятичной | дроби , приведя . |
| 7 97 Выразите дроби в виде приближённого значения | десятичной | дроби , округлив результат до тысячных . |
| 7 В виде | десятичной | дроби можно представить только такую обыкновенную дробь , разложение знаменателя которой на простые множители содержит лишь числа « два » и « пять » . |
| 7 78 Выразите в виде | десятичной | или периодической дроби число . |
| Значит , дробь нельзя представить в виде | десятичной | дроби . |
| 2 74 Можно ли представить в виде | десятичной | дроби . |
| Действительно , ответ можно также записать в виде | десятичной | дроби или в процентах : 0,4 = 40 % . |
| 7 92 Можно ли представить в виде | десятичной | дроби числа . |
| 2 Запишите в виде | десятичной | дроби двадцать восемь процентов . |
| Какие из дробей можно представить в виде | десятичной | дроби ? . |
| 2 125 Замените обыкновенную дробь | десятичной | и выполните действие . |
| 3 201 Представьте делимое в виде | десятичной | дроби и выполните действие . |
| В каком случае обыкновенную дробь можно представить в виде | десятичной | ? . |
| Представьте в виде | десятичной | дроби число ( 1—4 ) . |
| 1 203 Представьте в виде | десятичной | дроби числа . |
| 1 193 Выполните действие , записав каждое число в виде | десятичной | дроби . |
| Не все обыкновенные дроби можно представить в виде | десятичной | дроби . |
| 2 Запишите в виде | десятичной | дроби число « семь двадцать пятых » . |
| 4 Запишите в виде | десятичной | дроби сто пятьдесят процентов . |
| 1 192 Представьте в виде обыкновенной дроби числа 0,3 ; 0,13 ; 0,2 и в виде | десятичной | дроби числа . |
| 7 79 Выразите в виде | десятичной | или периодической дроби число . |
| 1 214 Каждую из дробей и , где а и b — натуральные числа , можно представить в виде | десятичной | . |
| была придумана цифра « нуль » и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах | десятичной | записи числа . |
| Представим 3 в виде | десятичной | дроби 3,75 и сократим выражение на 0,75 , имеемх = 1,75 . |
| 7 83 Выразите дроби виде приближённого значения | десятичной | дроби до сотых . |
| 1 Запишите в виде | десятичной | дроби число . |
| в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа , сколько их отделено запятой в | десятичной | дроби . |
| 3 17 Представьте первый множитель в виде | десятичной | дроби и выполните умножение : а ) 0,3 . б ) 6,4 . |
| Представьте в виде | десятичной | дроби ( 1—3 ) . |
| 2 76 Запишите в виде | десятичной | дроби . |
| Любое рациональное число можно записать либо в виде | десятичной | дроби ( в частности , целого числа ) , либо в виде периодической дроби . |
| 3 46 Запишите в виде | десятичной | и в виде обыкновенной дроби : 35 % ; 48 % ; 75 % ; 110 % ; 125 % . |
| Чтобы умножить | десятичную | дробь на 10 , 100 , 1000 и т . |
| Чтобы разделить | десятичную | дробь на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр , сколько в делителе стоит нулей перед единицей ( т . е . |
| Чтобы обратить | десятичную | дробь в проценты , надо её умножить на 100 . |
| 3 Запишите в процентах | десятичную | дробь « одна целая две десятых » . |
| 2 124 Замените | десятичную | дробь обыкновенной дробью и выполните действие . |
| Чтобы разделить | десятичную | дробь на 10 , 100 , 1000 и т . |
| 1 Запишите в процентах | десятичную | дробь « ноль целых семь сотых » . |
| Чтобы перевести проценты в | десятичную | дробь , надо разделить число процентов на 100 . |
| Чтобы разделить число на | десятичную | дробь , надо . |
| Чтобы разделить | десятичную | дробь на натуральное число , надо . |
| Чтобы умножить | десятичную | дробь на натуральное число , надо . |
| Чтобы сравнить две | десятичные | дроби , надо сначала уравнять у них число десятичных знаков , приписав к одной из них справа нули , а потом , отбросив запятую , сравнить получившиеся натуральные числа . |
| в ) | десятичные | дроби появились в Китае в III в .. г ) теория отношений и пропорций была разработана в Древней Греции в IV в . |
| Чтобы облегчить действия с дробями , были придуманы | десятичные | дроби . |
| 7 82 Для дробей 3 и 5 найдите | десятичные | приближения с недостатком и с избытком до . |
| Но потом было замечено , что самыми удобными для вычислений являются | десятичные | дроби . |
| Но если разрешить писать бесконечные | десятичные | дроби , то . |
| Проверочная работа 1 . Повторение : | десятичные | дроби . |
| Чтобы перемножить две | десятичные | дроби , надо . |
| Чтобы сложить ( вычесть ) | десятичные | дроби , надо . |
| 2 64 Представьте в виде обыкновенной несократимой дроби следующие | десятичные | дроби : 0,875 ; 0,75 ; 0,035 . |
| Бесконечные | десятичные | дроби читают так . |
| б ) оба слагаемых были | десятичными | дробями . |
| Такие задачи с натуральными числами или с | десятичными | дробями мы решали с помощью умножения . |
| Вы уже умеете выражать некоторые обыкновенные дроби в виде | десятичных | дробей . |
| 3 14 Найдите значение выражения двумя способами : по правилу умножения обыкновенных дробей и по правилу умножения | десятичных | дробей . |
| Тот же ответ можно получить , если выразить данные числа в | десятичных | дробях = 0,44 , = 0,75 , 0,44 × 0,75 = 0,33 , но 0,33 ц = 33 кг . |
| 2 126 Выполните действия сначала в обыкновенных дробях , а потом в | десятичных | . |
| Чтобы сравнить две десятичные дроби , надо сначала уравнять у них число | десятичных | знаков , приписав к одной из них справа нули , а потом , отбросив запятую , сравнить получившиеся натуральные числа . |
| 1 122 Выразите в виде | десятичных | дробей : 2 % , 5 % , 10 % , 20 % , 50 % , 68 % , 100 % , 130 % . |
| а ) в виде | десятичных | дробей . |
| Проверьте результат , представив эти числа в виде | десятичных | дробей . |
| В числе 846 содержится 8 сотен , 4 | десятка | и 6 единиц . |
| Так как полные | десятки | делятся на 5 , то и все число делится на 5 лишь в том случае , когда на 5 делится число единиц . |
| Все полные | десятки | делятся на 2 без остатка ( т . е . |
| От четырёх | десятков | останется 4 яйца . |
| Не разложенными в корзины останутся 8 яиц от сотен , 4 яйца от | десятков | и ещё 6 яиц : 8 + 4 + 6 = 18 . |
| Каждое число можно представить в виде суммы полных | десятков | и единиц , например : 246 = 240 + 6 , 1435 = 1430 + 5 . |
| Если раскладывать поровну в 9 корзин один | десяток | яиц , то в каждую корзину надо положить одно яйцо и одно яйцо останется . |
| Чему равен | диаметр | окружности , если её длина равна восемнадцати метрам ? |
| Найдите | диаметр | колеса . |
| 4 128 Найдите длину окружности , если её | диаметр | равен 21 см ; 3,5 см ; 10,5 дм . |
| Определите | диаметр | бассейна и его площадь , если на плане радиус бассейна 1 см . |
| 10 116 Отлитый в 1735 г. Царь - колокол , хранящийся в Московском Кремле , имеет | диаметр | 6,6 м . |
| Чему равен радиус окружности , если её | диаметр | равен сорока двум сантиметрам ? . |
| Диаметр | шара . | |
| Чему равен | диаметр | Луны ? |
| 4 130 Определите | диаметр | окружности , если её длина равна 56,52 дм ; 37,68 см ( π = 3,14 ) . |
| Чему равна длина внешней окружности , если её | диаметр | в 2 раза больше диаметра внутренней окружности ? . |
| Какое расстояние она преодолевает , если полярный | диаметр | Земли равен 12 714 км ? . |
| Диаметр планеты Венера в 2,48 раз больше , а | диаметр | планеты Марс составляет — диаметра Венеры . |
| а ) Внутри центрального круга находится центральная ( синяя ) точка вбрасывания диаметром 30 см , а в нейтральной зоне находятся точки вбрасывания ( красные ) , | диаметр | которых в 2 раза больше диаметра центральной точки . |
| Так как | диаметр | окружности вдвое больше её радиуса , то длина окружности с радиусом r равна 2π r . |
| Найдите | диаметр | и площадь арены ( π = 3 ) . |
| 2 Чему равен | диаметр | окружности , если её радиус равен девятнадцати дециметрам ? . |
| Его | диаметр | был 12,7 м . |
| б ) Центральный круг имеет | диаметр | 9 м , а радиус полукруга судейской зоны составляет 2/3 радиуса центрального круга . |
| 4 163 Заполните таблицу ( r — радиус , d — | диаметр | , С — длина окружности , S — площадь круга ) . |
| Чему равна длина внешней окружности , если её диаметр в 2 раза больше | диаметра | внутренней окружности ? . |
| Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её | диаметра | является одним и тем же числом . |
| Длина окружности прямо пропорциональна длине её | диаметра | . |
| Найдите отношение длины окружности к длине | диаметра | и сравните полученный результат с числом π . |
| а ) Внутри центрального круга находится центральная ( синяя ) точка вбрасывания диаметром 30 см , а в нейтральной зоне находятся точки вбрасывания ( красные ) , диаметр которых в 2 раза больше | диаметра | центральной точки . |
| Если обозначить длину окружности буквой С , а длину | диаметра | буквой d , то С : d = π . |
| Диаметр планеты Венера в 2,48 раз больше , а диаметр планеты Марс составляет — | диаметра | Венеры . |
| Напишите формулы для нахождения длины окружности по длине её | диаметра | и по длине её радиуса . |
| 4 149 С помощью тонкой нити измерьте длину какой - нибудь окружности ( на стакане , ведре , тарелке ) , измерьте длину | диаметра | . |
| 10 117 Сколько граммов семян потребуется для посева цветов на круглой клумбе | диаметром | 3,4 м , если на 1 м2 высевают 12 г семян ? |
| Диаметром | шара ? | |
| Отрезок , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара , называют | диаметром | шара . |
| а ) Внутри центрального круга находится центральная ( синяя ) точка вбрасывания | диаметром | 30 см , а в нейтральной зоне находятся точки вбрасывания ( красные ) , диаметр которых в 2 раза больше диаметра центральной точки . |
| 6 Отношение длины окружности к её | диаметру | одинаково для любых окружностей . |
| Чему равно отношение длины окружности к её | диаметру | ? |
| Найдите | диаметры | планет Венера и Марс . |
| Соотношения между единицами измерения | длин | . |
| а ) сумма | длин | всех рёбер выражается простым числом . |
| 4 87 Длина отрезка AB равна 8 дм , а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение | длин | отрезков AB и CD . |
| 1 111 Может ли площадь квадрата выражаться простым числом , если | длина | его стороны выражается натуральным числом ? . |
| Найдите высоту здания над землёй , если оно заглублено в землю на 15 м и | длина | здания больше его ширины в 1 5/7раза . |
| 4 87 Длина отрезка AB равна 8 дм , а | длина | отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение длин отрезков AB и CD . |
| 8 94 На карте отрезок имеет длину 12,6 см. Чему равна | длина | этого отрезка на местности , если масштаб карты 1 : 150 000 ? . |
| 5 км , а | длина | - пути равна 5 × 3 = 15 , т . |
| Найдите ширину другого прямоугольника , | длина | которого 3 м , а площадь равна площади первого прямоугольника . |
| Золотым сечением и даже « божественной пропорцией » называли математики древности и Средневековья деление отрезка , при котором | длина | его большей части так относится к длине всего отрезка , как длина меньшей части к большей . |
| На сколько | длина | окружности экватора больше длины окружности , проходящей через полюса Земли ? . |
| Ответ : | длина | отрезка на карте 4,5 см . |
| 6 25 Найдите объём прямоугольного параллелепипеда , | длина | которого 21 см , а ширина составляет 3 длины и 30 % высоты . |
| Ширина и | длина | одного из них 19 см и 23 см , а ширина второго — 10 см. Чему равна длина второго прямоугольника ? . |
| Ширина и длина одного из них 19 см и 23 см , а ширина второго — 10 см. Чему равна | длина | второго прямоугольника ? . |
| 1 218 Лист картона имеет форму прямоугольника , | длина | которого 48 см , а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты . |
| Таким образом , | длина | другой стороны прямоугольника равна м . |
| 10 114 На карте железная дорога Москва — Санкт - Петербург , имеющая длину 650 км , изображена линией длиной 5 см. Какую длину на этой карте имеет линия , изображающая Байкало - Амурскую магистраль , если | длина | этой магистрали 3145 км ? |
| Золотым сечением и даже « божественной пропорцией » называли математики древности и Средневековья деление отрезка , при котором длина его большей части так относится к длине всего отрезка , как | длина | меньшей части к большей . |
| 4 137 Диаметр циферблата Кремлёвских курантов 6,12 м , | длина | минутной стрелки 2,54 м . |
| Чему равна | длина | этого отрезка на карте , сделанной в масштабе 1 : 100 000 ? . |
| Чему равна | длина | отрезка АВ , если А(-5 ) и В(9 ) ? . |
| Ответ : | длина | отрезка на местности 30 км . |
| Значит , | длина | отрезка равна 14 единичным отрезкам . |
| 4 106 Отрезку на карте , | длина | которого 3,6 см , соответствует расстояние на местности в 72 км . |
| 4 108 Отрезок на местности длиной 3 км изображён на карте отрезком 6 см. Чему равна на карте | длина | отрезка , изображающего отрезок 10 км ? |
| Какую часть длины отрезка AB составляет | длина | отрезка CD ? . |
| Длина | Днепра — 2,2 тыс. км , Дона — 1,9 тыс. км , Днестра — 1,4 тыс. км , Печоры — 1,8 тыс. км , Волги — 3,5 тыс. км . | |
| Чему равна | длина | внешней окружности , если её диаметр в 2 раза больше диаметра внутренней окружности ? . |
| 2 Чему равен радиус окружности , если её | длина | равна двенадцати сантиметрам ? |
| За х дней | длина | тоннеля увеличилась на у м . |
| Чему будет равна | длина | изображения этой детали на чертеже в масштабе « два к одному » ? . |
| 9 71 Найдите радиус окружности , | длина | которой 6,28 мм ; 3,14 см ; 0,0628 м , приняв π = 3,14 . |
| Чему равна | длина | каждого пролёта моста ? . |
| Длина | окружности . | |
| 10 37 Начертите окружность , радиус которой 2,5 см , и отрезок , | длина | которого равна длине окружности ( длину окружности округлите до десятых долей сантиметра ) . |
| 4 163 Заполните таблицу ( r — радиус , d — диаметр , С — | длина | окружности , S — площадь круга ) . |
| Длина первого участка составляла 45 % длины всей дистанции , | длина | второго участка — 0,8 от длины первого участка . |
| Чему равна | длина | всей беговой дистанции , если длина третьего участка составила 380 м ? . |
| Чему равна длина всей беговой дистанции , если | длина | третьего участка составила 380 м ? . |
| Если « опоясать » стакан ниткой , а потом распрямить её , то | длина | нитки будет приближённо равна длине нарисованной окружности . |
| Пропорциональна ли | длина | окружности длине её радиуса ? |
| б ) По какой формуле вычисляется | длина | окружности ? |
| его высота 3,5 см и составляет 0,7 ширины , а | длина | в 2,4 раза больше ширины . |
| Радиус круга равен r , поэтому | длина | стороны квадрата ABCD равна 2r , а его площадь 4r2 . |
| Чему равно с , если | длина | пружины . |
| Чему равен диаметр окружности , если её | длина | равна восемнадцати метрам ? |
| Какой стала | длина | этой пружины ? . |
| Какую часть | длина | первого куска составляет от длины второго куска ? . |
| 4 109 Длина детали на чертеже , сделанном в масштабе 1 : 5 , равна 7,2 см. Чему будет равна | длина | этой детали на другом чертеже , сделанном в масштабе 1:3 ? |
| 4 133 Чему равна | длина | окружности , если её радиус равен 1,54 м ; 5,67 дм ? |
| его ширина 2,5 см и составляет высоты , а | длина | в 3,4 раза больше высоты . |
| Чему равна | длина | всего пути , если второй участок длиннее первого на 36 км ? . |
| 1 116 Может ли выражаться простым числом объём куба , | длина | ребра которого выражается натуральным числом ? . |
| Чему равна | длина | дистанции ? . |
| Чему равна | длина | всей сваи ? . |
| 1 164 Цветочная клумба имеет форму прямоугольника , | длина | которого в 1,8 раза больше ширины . |
| 2 195 Найдите периметр треугольника ABC , если AB = 3 м , BC = 2 м и AC = 2 м . 2 196 Ленту разрезали на две части так , что | длина | одной части равна 63 м , а другой — на 24 м меньше . |
| Чему равна | длина | экватора и меридианов на этом глобусе ? . |
| 8 103 Длина отрезка АВ на 2 см больше , чем | длина | отрезка CD . |
| Чему равна | длина | всей дороги между посёлками ? . |
| 4 124 Длина дома на плане 25 см. Чему равна | длина | дома на местности , если план сделан в масштабе 1 : 300 ? . |
| Так как диаметр окружности вдвое больше её радиуса , то | длина | окружности с радиусом r равна 2π r . |
| 4 126 Длина детали на чертеже , сделанном в масштабе 1 : 3 , равна 2,4 см. Чему будет равна | длина | этой детали на другом чертеже , сделанном в масштабе 2 : 1 ? . |
| Скольким тысячам километров равен радиус и | длина | экватора Земли ? |
| 4 130 Определите диаметр окружности , если её | длина | равна 56,52 дм ; 37,68 см ( π = 3,14 ) . |
| Длина окружности прямо пропорциональна | длине | её диаметра . |
| 5 Объём куба прямо пропорционален | длине | его ребра . |
| Отношение длины отрезка на карте к | длине | соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты . |
| Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к | длине | её диаметра является одним и тем же числом . |
| Если « опоясать » стакан ниткой , а потом распрямить её , то длина нитки будет приближённо равна | длине | нарисованной окружности . |
| 6 Как называется отношение длины отрезка на карте к | длине | соответствующего отрезка на местности ? . |
| Напишите координаты точек M , N , P и K , если единичный отрезок равен | длине | одной клетки тетради ; длине двух клеток тетради . |
| Обозначим длину отрезка на местности ( в сантиметрах ) буквой x и найдём отношение длины отрезка на карте к | длине | отрезка на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу карты . |
| Напишите формулы для нахождения длины окружности по | длине | её диаметра и по длине её радиуса . |
| Напишите координаты точек M , N , P и K , если единичный отрезок равен длине одной клетки тетради ; | длине | двух клеток тетради . |
| Напишите формулы для нахождения длины окружности по длине её диаметра и по | длине | её радиуса . |
| 10 37 Начертите окружность , радиус которой 2,5 см , и отрезок , длина которого равна | длине | окружности ( длину окружности округлите до десятых долей сантиметра ) . |
| Золотым сечением и даже « божественной пропорцией » называли математики древности и Средневековья деление отрезка , при котором длина его большей части так относится к | длине | всего отрезка , как длина меньшей части к большей . |
| 8 Длина окружности обратно пропорциональна | длине | её радиуса . |
| Найдите отношение длины окружности к | длине | диаметра и сравните полученный результат с числом π . |
| Отношение высоты фасада здания к его | длине | равно 0,618 . |
| 5 Отношение длины отрезка на местности к | длине | соответствующего отрезка на карте называется масштабом карты . |
| объёмом куба и | длиной | его ребра . |
| Зависимость между шириной и | длиной | при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная , так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз , то надо ширину во столько же раз уменьшить . |
| в ) площадью квадрата и | длиной | его стороны . г ) массой стального бруска и его объёмом . д ) числом рабочих , выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу , и временем выполнения этой работы . е ) стоимостью товара и его количеством , купленным на определённую сумму денег . |
| и ) периметром квадрата и | длиной | его стороны . |
| Какой отрезок на местности изображается на карте отрезком | длиной | 1,8 см ? . |
| 8 109 Верёвку | длиной | 63 м разрезали на два куска так , что 0,4 длины первого куска были равны 0,3 длины второго куска . |
| 4 108 Отрезок на местности | длиной | 3 км изображён на карте отрезком 6 см. Чему равна на карте длина отрезка , изображающего отрезок 10 км ? |
| 2 119 Начертите координатный луч , приняв отрезок | длиной | в 18 клеток тетради за единичный . |
| 3 78 В 2014 г. было запущено строительство газопровода « Сила Сибири » | длиной | более 6,5 тыс. км . |
| От куска материи | длиной | 5 м отрезали 2 м . |
| 2 190 От рулона полиэтиленовой плёнки длиной 10 м отрезали кусок | длиной | 44 м . |
| 5 34 Начертите шкалу температур от -60 до 60 ° С , приняв отрезок | длиной | 1 см за 10 ° С. Отметьте на этой шкале точку замерзания ртути ( -39 ° C ) , нормальную температуру человеческого тела ( 37 ° С ) , точку замерзания бензина ( -60 ° С ) , точку кипения ацетона ( 56 ° С ) , точку замерзания глицерина ( -20 ° С ) . |
| 5 35 Через реку построен мост | длиной | 234 м . |
| 6 18 От провода | длиной | 13 м отрезали 30 % его длины . |
| 10 114 На карте железная дорога Москва — Санкт - Петербург , имеющая длину 650 км , изображена линией | длиной | 5 см. Какую длину на этой карте имеет линия , изображающая Байкало - Амурскую магистраль , если длина этой магистрали 3145 км ? |
| б ) что больше : 13/14 или 15/16/. 10 25 Здание Государственного Кремлёвского дворца в Москве имеет форму прямоугольного параллелепипеда | длиной | 120 м и общим объёмом 369 600 м3 . |
| 2 190 От рулона полиэтиленовой плёнки | длиной | 10 м отрезали кусок длиной 44 м . |
| 2 4 Начертите два отрезка AB и CD | длиной | по 8 см. Отметьте цветным карандашом 3 отрезка AB и 6 отрезка CD . |
| 4 132 Найдите | длину | окружности , радиус которой равен 24 см ; 4,7 дм ; 18,5 м . |
| 4 129 Диаметр долгоиграющей виниловой пластинки равен 20 см. Найдите | длину | окружности этой пластинки . |
| 9 70 Найдите | длину | окружности , радиус которой 7 см ; 0,7 см ; 0,14 см , приняв π = 22/7 . |
| 8 94 На карте отрезок имеет | длину | 12,6 см. Чему равна длина этого отрезка на местности , если масштаб карты 1 : 150 000 ? . |
| Найдите | длину | этой цепи , если просвет каждого звена 16 мм , а толщина 4 мм . |
| Найдите | длину | окружности , опоясывающей планету Марс , если средний радиус Земли равен 6371 км . |
| Обозначим | длину | другой стороны через x м . |
| 4 136 Окружность арены во всех цирках мира имеет | длину | 40,8 м . |
| 4 122 Измерьте | длину | и ширину своей комнаты . |
| Но 4 шага Пети короче 6 шагов Толи на 54 см. Найдите | длину | шага каждого мальчика . |
| 10 114 На карте железная дорога Москва — Санкт - Петербург , имеющая длину 650 км , изображена линией длиной 5 см. Какую | длину | на этой карте имеет линия , изображающая Байкало - Амурскую магистраль , если длина этой магистрали 3145 км ? |
| 10 53 Периметр треугольника ABC равен 85 см. Сторона АВ меньше стороны ВС на 15 см , а сторона АС больше стороны АВ на 22 см. Найдите | длину | стороны ВС . |
| Обозначим | длину | ( в километрах ) отрезка на карте буквой х и составим пропорцию : х : 4,5 = 1 : 100 000 . |
| 4 128 Найдите | длину | окружности , если её диаметр равен 21 см ; 3,5 см ; 10,5 дм . |
| 10 114 На карте железная дорога Москва — Санкт - Петербург , имеющая | длину | 650 км , изображена линией длиной 5 см. Какую длину на этой карте имеет линия , изображающая Байкало - Амурскую магистраль , если длина этой магистрали 3145 км ? |
| Длина отрезка на карте 3 см. Найдём | длину | соответствующего отрезка на местности , если масштаб карты 1 : 1 000 000 . |
| 2 210 На сколько процентов увеличится объём куба , если | длину | каждого его ребра увеличить на 20 % ? . |
| Если обозначить | длину | окружности буквой С , а длину диаметра буквой d , то С : d = π . |
| Если обозначить длину окружности буквой С , а | длину | диаметра буквой d , то С : d = π . |
| Найдите | длину | другой стороны . |
| 2 192 Когда от верёвки отрезали кусок , то оставшаяся часть имела | длину | 2 м . |
| Обозначим | длину | отрезка на местности ( в сантиметрах ) буквой x и найдём отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу карты . |
| 4 134 Выполните необходимые измерения и найдите | длину | половины окружности , изображённой . |
| Найдите | длину | стороны AC . |
| 4 150 Найдите | длину | окружности , если её радиус равен 36 см ; 0,44 см ; 125 км . |
| Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная , так как если увеличить | длину | прямоугольника в несколько раз , то надо ширину во столько же раз уменьшить . |
| Первый кусок имеет | длину | 9 м , а второй — 14,4 м . |
| Если | длину | отрезка АВ увеличить на 10 см , а длину отрезка CD увеличить в 3 раза , то получатся равные результаты . |
| 10 37 Начертите окружность , радиус которой 2,5 см , и отрезок , длина которого равна длине окружности ( | длину | окружности округлите до десятых долей сантиметра ) . |
| Чтобы найти | длину | отрезка на координатной прямой , надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца . |
| Поэтому если обозначить | длину | отрезка АВ буквой х , то -5 + х = 9 . |
| Найдите | длину | каждого куска верёвки . |
| Найдите | длину | окружности , приняв число « пи » приближённо равным трём ( 3—4 ) , если . |
| Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см , а | длину | отрезка CD увеличить в 3 раза , то получатся равные результаты . |
| 5 49 Начертите координатную прямую , приняв за единичный отрезок | длину | 4 клеток тетради , и отметьте на этой прямой точки A(3/4 ) , B(0,5 ) , С(-1,75 ) , D-2^ ) , E(l1 ) , F(2,25 ) . |
| Каким должен быть масштаб карты , чтобы на ней это расстояние имело | длину | 8,8 см ? . |
| 4 149 С помощью тонкой нити измерьте | длину | какой - нибудь окружности ( на стакане , ведре , тарелке ) , измерьте длину диаметра . |
| 2 18 На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника , если его | длину | увеличить на 30 % , а ширину — на 20 % ? . |
| Найдите | длину | туристического маршрута . |
| 2 29 Начертите координатный луч , приняв за единичный отрезок | длину | 12 клеток тетради . |
| Найдите всю | длину | столба . |
| 4 149 С помощью тонкой нити измерьте длину какой - нибудь окружности ( на стакане , ведре , тарелке ) , измерьте | длину | диаметра . |
| Вычислите | длину | окружности основания Царь - колокола . |
| Найдите | длину | отрезка АВ . |
| Он состоит из пяти пролётов , четыре из которых имеют одинаковую | длину | , а пятый на 14 м длиннее каждого из остальных . |
| 5 33 Приняв за единичный отрезок | длину | 6 клеток тетради , начертите координатную прямую и отметьте на ней точки K , С(-0,5 ) , D(-11/3 ) , E(6 ) , F(6 ) . |
| 8 79 Отрезок на плане , масштаб которого 2 : 7 , имеет | длину | 4,2 см. Какой длины будет этот отрезок на плане , сделанном в масштабе 5 : 3 ? . |
| Как найти | длину | отрезка на координатной прямой ? . |
| 6 Формула | длины | окружности : C = π r . |
| 5 88 Длина первого участка пути составляет — | длины | второго участка . |
| Поэтому для всех окружностей отношение | длины | окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом . |
| 8 76 Отрезком какой | длины | изображается на карте расстояние 35 км , если масштаб карты 1 : 100 000 ? . |
| Какой | длины | была лента первоначально ? . |
| 8 93 Отрезком какой | длины | изображается на карте расстояние 6,5 км , если масштаб карты 1 : 25 000 ? . |
| Какой | длины | была каждая часть пути ? . |
| 3 247 Свая возвышается над водой на 1,5 м , что составляет 3/16 | длины | всей сваи . |
| За 5 дней бригада отремонтировала 3/5 дороги , ремонтируя ежедневно участки дороги одинаковой | длины | . |
| Чему равно отношение | длины | окружности к её диаметру ? |
| Какой | длины | была бы оставшаяся часть , если бы от верёвки отрезали на — м меньше ? |
| Найдите отношение | длины | прямоугольника к его ширине . |
| Напишите формулы для нахождения | длины | окружности по длине её диаметра и по длине её радиуса . |
| Длина параллелепипеда равна 3 м , высота на 7 м меньше | длины | , а ширина на 1 м меньше высоты . |
| Но мы знаем , что площадь прямоугольника равна произведению | длины | и ширины . |
| Какую часть длина первого куска составляет от | длины | второго куска ? . |
| Длина первого участка составляла 45 % длины всей дистанции , длина второго участка — 0,8 от | длины | первого участка . |
| Найдите | длины | отрезков CB и AB , если AC = 3,9 см . |
| Длина отрезка AC составляет 0,65 | длины | отрезка CB . |
| 8 79 Отрезок на плане , масштаб которого 2 : 7 , имеет длину 4,2 см. Какой | длины | будет этот отрезок на плане , сделанном в масштабе 5 : 3 ? . |
| 3 281 Столб , врытый в землю на — своей | длины | , возвышается над землёй на 51 м . |
| 5 Отношение | длины | отрезка на местности к длине соответствующего отрезка на карте называется масштабом карты . |
| Дроби были нужны , чтобы выразить результат измерения | длины | , массы , площади в случаях , когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз . |
| Получили другую формулу | длины | окружности . |
| Формулы | длины | окружности и площади круга читаются так : « цэ » равно « пи дэ » . |
| Длина первого участка составляла 45 % | длины | всей дистанции , длина второго участка — 0,8 от длины первого участка . |
| 5 126 Изменение | длины | пружины равно с мм . |
| 3 79 Длина школьного спортивного зала равна 30 м , ширина составляет | длины | , а высота — 0,3 ширины . |
| 6 Как называется отношение | длины | отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности ? . |
| нахождение | длины | отрезка на координатной прямой . |
| 8 109 Верёвку длиной 63 м разрезали на два куска так , что 0,4 длины первого куска были равны 0,3 | длины | второго куска . |
| 6 25 Найдите объём прямоугольного параллелепипеда , длина которого 21 см , а ширина составляет 3 | длины | и 30 % высоты . |
| Отношение | длины | отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты . |
| 8 109 Верёвку длиной 63 м разрезали на два куска так , что 0,4 | длины | первого куска были равны 0,3 длины второго куска . |
| Например , переплёты многих книг имеют отношение ширины и | длины | , близкое к числу 0,618 . |
| Обозначим длину отрезка на местности ( в сантиметрах ) буквой x и найдём отношение | длины | отрезка на карте к длине отрезка на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу карты . |
| а ) изменение температуры равно t ° С , если t = 28 ; -30 ; -8 ; 4,5 ; -1,7 . б ) изменение | длины | пружины равно х мм , если x = -10 ; 12 ; -9 ; -4 . |
| 6 18 От провода длиной 13 м отрезали 30 % его | длины | . |
| 2 118 Три брата Андрей , Матвей и Тимофей вскапывали грядки одинаковой | длины | . |
| На сколько длина окружности экватора больше | длины | окружности , проходящей через полюса Земли ? . |
| Что значит отрицательное изменение | длины | пружины ? . |
| 6 Отношение | длины | окружности к её диаметру одинаково для любых окружностей . |
| Какой | длины | дорога ? . |
| Найдите отношение | длины | окружности к длине диаметра и сравните полученный результат с числом π . |
| Какой | длины | получится линия , изображающая эту магистраль на карте , сделанной в масштабе . |
| Какую часть | длины | отрезка AB составляет длина отрезка CD ? . |
| Увеличение | длины | пружины будем выражать положительными числами , а уменьшение — отрицательными . |
| 3 214 Снегоуборочная машина до обеда расчистила участок , составляющий 5 от | длины | участка , расчищенного ею после обеда . |
| а ) для | доказательства | , что пропорция верна . б ) для решения уравнения . |
| э . ) , там , в частности , приводится и | доказательство | основного свойства пропорции . |
| 1 56 Какие из | дробей | являются правильными и какие — неправильными ? . |
| 3 20 Представьте в виде произведения двух | дробей | число . |
| а ) в виде разности двух | дробей | со знаменателем 3 ; 18 ; |
| 21 . б ) в виде суммы двух | дробей | со знаменателем 3 ; 9 ; 12 . |
| Сложение и вычитание | дробей | с разными знаменателями . |
| При сложении дробных выражений удобнее сначала представить их в виде обыкновенных | дробей | , а потом уже выполнять сложение . |
| У египтян были особые знаки для | дробей | и общий способ записи для долей ( т . |
| С помощью умножения | дробей | решают такие же задачи , как и с помощью умножения натуральных чисел . |
| Дробей | с числителем 1 ) . | |
| Проверьте результат , представив эти числа в виде десятичных | дробей | . |
| Названия этих новых единиц измерения и стали первыми названиями | дробей | . |
| 8 Не существует | дробей | с числителем восемь , больших , чем восемь девятых . |
| 5 Чему равен наименьший общий знаменатель | дробей | ? . |
| 10 Приведение | дробей | к общему знаменателю . |
| а ) сложение | дробей | с одинаковыми знаменателями . |
| сравнение , сложение , вычитание | дробей | с разными знаменателями . |
| Сокращение | дробей | . |
| б ) сложение | дробей | с разными знаменателями . |
| 1 122 Выразите в виде десятичных | дробей | : 2 % , 5 % , 10 % , 20 % , 50 % , 68 % , 100 % , 130 % . |
| Сформулируйте правило сравнения двух | дробей | с одинаковыми числителями и разными знаменателями . |
| Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных | дробей | . |
| Произведение дробей , квадраты и кубы | дробей | можно прочитать так . |
| 9 Сокращение | дробей | . |
| сумма двух третьих и трёх пятых , к двум третьим прибавить три пятых , сумма | дробей | две третьих и три пятых . |
| Суммы и разности | дробей | можно читать разными способами . |
| При сравнении дробей первую из них можно прочитать в именительном падеже , а вторую — в родительном либо добавить слово дробь и не изменять названия | дробей | . |
| При сравнении | дробей | первую из них можно прочитать в именительном падеже , а вторую — в родительном либо добавить слово дробь и не изменять названия дробей . |
| 3 14 Найдите значение выражения двумя способами : по правилу умножения обыкновенных | дробей | и по правилу умножения десятичных дробей . |
| Расскажите , как выполнить вычитание | дробей | с разными знаменателями . |
| 1 102 Представьте числа в виде неправильных | дробей | . |
| разность | дробей | две третьих и три пятых . |
| Сравнение | дробей | с разными знаменателями . |
| Какими свойствами обладает действие умножения | дробей | ? |
| в ) умножение дробей . г ) деление | дробей | . |
| 2 28 Разделите числитель и знаменатель каждой из | дробей | на 9 . |
| 3 305 Найдите произведение | дробей | и произведение дробей , обратных данным . |
| Расскажите , как выполнить умножение двух | дробей | и как выполнить умножение смешанных чисел . |
| Для сложения и вычитания | дробей | верны изученные ранее свойства этих действий . |
| 3 14 Найдите значение выражения двумя способами : по правилу умножения обыкновенных дробей и по правилу умножения десятичных | дробей | . |
| Умножение | дробей | обладает переместительным сочетательными свойствами . |
| 3 35 Сумму данных | дробей | сложите с их разностью . |
| Произведение | дробей | , квадраты и кубы дробей можно прочитать так . |
| 7 82 Для | дробей | 3 и 5 найдите десятичные приближения с недостатком и с избытком до . |
| 11 Сравнение , сложение и вычитание | дробей | с разными знаменателями . |
| 6 Как называется результат сложения | дробей | ? . |
| При вычитании | дробей | с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого , а знаменатель оставляют тот же . |
| 2 Сложение и вычитание | дробей | с разными знаменателями . |
| 1 94 Запишите в виде неправильных | дробей | . |
| При сложении | дробей | с одинаковыми знаменателями числители складывают , а знаменатель оставляют тот же . |
| Запись | дробей | с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции , только греки знаменатель записывали сверху , а числитель — снизу . |
| найти наименьшее общее кратное знаменателей этих | дробей | , оно и будет их наименьшим общим знаменателем . |
| Деление | дробей | . |
| разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных | дробей | , т . |
| Проверочная работа 1 . Деление | дробей | . |
| 1 214 Каждую из | дробей | и , где а и b — натуральные числа , можно представить в виде десятичной . |
| Равенство двух | дробей | можно читать разными способами . |
| Разложим знаменатели данных | дробей | на простые множители . |
| Какие из | дробей | можно представить в виде десятичной дроби ? . |
| Какое число может служить общим знаменателем двух | дробей | ? |
| 3 Умножение и деление обыкновенных | дробей | . |
| 1 Чему равен наименьший общий знаменатель | дробей | ? . |
| Частное двух | дробей | можно читать разными способами . |
| 2 213 Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для | дробей | с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для натуральных чисел . |
| деление | дробей | . |
| Представим сначала числа 2 и 1 в виде неправильных | дробей | . |
| 4 77 Представьте в виде суммы двух | дробей | с числителем 1 каждую из следующих дробей . |
| 4 77 Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из следующих | дробей | . |
| Вы уже умеете выражать некоторые обыкновенные дроби в виде десятичных | дробей | . |
| 1 65 Выберите из | дробей | и сначала все правильные дроби , а затем неправильные . |
| 13 Умножение | дробей | . |
| 3 305 Найдите произведение дробей и произведение | дробей | , обратных данным . |
| 2 10 Запишите в виде обыкновенных | дробей | частные : 3 : 8 ; 12 : 32 ; 20 : 48 ; 5 : 12 . |
| 7 Если знаменатель одной из двух | дробей | кратен знаменателю второй , то он и является наименьшим общим знаменателем этих дробей . |
| Приведение | дробей | к общему знаменателю . |
| а ) в виде десятичных | дробей | . |
| умножение дроби на дробь . 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих | дробей | . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем . |
| Теперь воспользуемся правилом умножения | дробей | . |
| Какие из полученных | дробей | равны ? . |
| 7 Если знаменатель одной из двух дробей кратен знаменателю второй , то он и является наименьшим общим знаменателем этих | дробей | . |
| Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел , надо их записать в виде неправильных | дробей | , а затем воспользоваться правилом умножения дробей . |
| Умножение | дробей | . |
| б ) в виде обыкновенных | дробей | : 1,2 ; 3,25 ; 0,75 ; 1,125 . |
| 8 Из двух | дробей | с равными числителями больше та , у которой больше знаменатель . |
| в ) умножение | дробей | . г ) деление дробей . |
| Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных | дробей | . |
| Сформулируйте правило деления | дробей | . |
| Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения | дробей | . |
| Общим знаменателем | дробей | может быть любое общее кратное их знаменателей ( например , произведение знаменателей ) . |
| 3 Представьте в виде неправильной | дроби | число три целых четыре седьмых . |
| Нахождение | дроби | от числа . |
| Чему равен дополнительный множитель для первой | дроби | ? . |
| 3 46 Запишите в виде десятичной и в виде обыкновенной | дроби | : 35 % ; 48 % ; 75 % ; 110 % ; 125 % . |
| Представьте в виде неправильной | дроби | число три целых две пятых . |
| В ответе , если это возможно , из | дроби | исключают целую часть . |
| 3 16 Представьте первый множитель в виде обыкновенной | дроби | и выполните умножение . |
| Глава I Обыкновенные | дроби | . |
| 3 17 Представьте первый множитель в виде десятичной | дроби | и выполните умножение : а ) 0,3 . б ) 6,4 . |
| 3 Чему равен дополнительный множитель для второй | дроби | ? . |
| 7 Чему равен дополнительный множитель для второй | дроби | ? . |
| 6 Чему равен дополнительный множитель для первой | дроби | ? . |
| если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой | дроби | и прибавить её к полученной целой части . |
| Представим каждое из этих чисел в виде неправильной | дроби | . |
| умножение | дроби | на натуральное число . |
| Решим ещё две задачи на нахождение | дроби | от числа . |
| 5 Как называется число , на которое умножают числитель и знаменатель | дроби | при приведении её к новому знаменателю ? . |
| 1 Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | две пятых и три четвёртых . |
| 2 161 Сравните | дроби | . |
| 3 Представьте в виде неправильной | дроби | число одна целая семь девятнадцатых . |
| 8 Чтобы найти дробь от числа , нужно вычислить произведение | дроби | и этого числа . |
| 2 156 Запишите в виде неправильной | дроби | дробную часть чисел 33 , уменьшив целую часть на 1 . |
| умножение | дроби | на дробь . 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем . |
| 3 Представьте в виде неправильной | дроби | число одна целая четыре пятнадцатых . |
| Сформулируйте правило нахождения | дроби | от числа . |
| Запишите дробную часть чисел 25 , 713 , 18 в виде неправильной | дроби | , уменьшив целую часть чисел на 1 . |
| Значение правильной | дроби | от числа меньше этого числа . |
| 3 Как называется операция деления числителя и знаменателя | дроби | на их общий делитель , отличный от единицы ? . |
| Повторение : задачи на | дроби | . |
| 2 Представьте в виде неправильной | дроби | число одна целая три одиннадцатых . |
| 2 153 Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | . |
| 1 Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | две девятых и семь восемнадцатых . |
| Такие задачи называют задачами на нахождение | дроби | от числа и решают их с помощью умножения . |
| нахождение | дроби | от числа . |
| 2 154 Сократите , а затем приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | . |
| 14 Нахождение | дроби | от числа . |
| 1 192 Представьте в виде обыкновенной дроби числа 0,3 ; 0,13 ; 0,2 и в виде десятичной | дроби | числа . |
| 2 34 Назовите наибольший общий делитель числителя и знаменателя | дроби | . |
| Умножим числитель и знаменатель данной | дроби | на 5 , получим 2 2×5 10 . |
| приведение | дроби | к наименьшему общему знаменателю . |
| При приведении | дроби | к новому знаменателю её числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель . |
| Число , на которое надо умножить знаменатель | дроби | , чтобы получить новый знаменатель , называют дополнительным множителем . |
| Нахождение числа по его | дроби | . |
| Дробь можно привести к любому знаменателю , кратному знаменателю данной | дроби | . |
| 2 Запишите в виде десятичной | дроби | двадцать восемь процентов . |
| Проверочная работа 1 . Повторение : десятичные | дроби | . |
| Умножим числитель и знаменатель | дроби | на одно и то же число 2 . |
| Вы уже умеете выражать некоторые обыкновенные | дроби | в виде десятичных дробей . |
| приведение | дроби | к новому знаменателю . |
| а ) число 3 в виде | дроби | со знаменателем 5 . б ) число 1 в виде дроби со знаменателем 12 . |
| а ) число 3 в виде дроби со знаменателем 5 . б ) число 1 в виде | дроби | со знаменателем 12 . |
| 1 Запишите в виде десятичной | дроби | число . |
| 4 51 Какое число надо прибавить к числителю и знаменателю | дроби | 7/21 , чтобы получить дробь 3/7 ? . |
| 7 95 Представьте в виде | дроби | , где а — целое число , b — натуральное число , b значение выражения . |
| 2 64 Представьте в виде обыкновенной несократимой дроби следующие десятичные | дроби | : 0,875 ; 0,75 ; 0,035 . |
| 2 64 Представьте в виде обыкновенной несократимой | дроби | следующие десятичные дроби : 0,875 ; 0,75 ; 0,035 . |
| 2 62 Сократите | дроби | . |
| Представим 3 в виде десятичной | дроби | 3,75 и сократим выражение на 0,75 , имеемх = 1,75 . |
| 2 Запишите в виде десятичной | дроби | число « семь двадцать пятых » . |
| Любые две | дроби | можно привести к одному и тому же знаменателю , или , иначе , к общему знаменателю . |
| 7 92 Можно ли представить в виде десятичной | дроби | числа . |
| Обычно | дроби | приводят к наименьшему общему знаменателю . |
| Приведём к наименьшему общему знаменателю | дроби | 3 и 3 4 6 . |
| При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин , да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести « ломаные числа » — обыкновенные | дроби | . |
| Дополнительным множителем для | дроби | — является произведение 2 × 7 , т . |
| 1 222 Запишите в виде | дроби | частное . |
| Не все обыкновенные дроби можно представить в виде десятичной | дроби | . |
| 1 224 Запишите в виде обыкновенной | дроби | частное и выделите целую часть . |
| Приведём | дроби | — и к наименьшему общему знаменателю . |
| Бесконечные десятичные | дроби | читают так . |
| умножить числитель и знаменатель каждой | дроби | на её дополнительный множитель . |
| Не все обыкновенные | дроби | можно представить в виде десятичной дроби . |
| Представьте в виде неправильной | дроби | число две целых одна девятая . |
| 7 97 Выразите | дроби | в виде приближённого значения десятичной дроби , округлив результат до тысячных . |
| найти для каждой | дроби | дополнительный множитель . |
| 18 Нахождение числа по его | дроби | . |
| Чтобы привести | дроби | к наименьшему общему знаменателю , надо . |
| нахождение числа по его | дроби | . |
| 7 83 Выразите дроби виде приближённого значения десятичной | дроби | до сотых . |
| В старину применяли в основном обыкновенные | дроби | . |
| Чтобы привести дробь - к знаменателю 12 , надо числитель и знаменатель этой | дроби | умножить на дополнительный множитель 2 ( 12 : 6 = 2 ) . |
| 1 234 Запишите в виде | дроби | частное и выделите из неё целую часть . |
| Сформулируйте правило нахождения числа по данному значению его | дроби | . |
| 7 91 Можно ли привести к знаменателю 60 | дроби | . |
| Чтобы привести дробь к знаменателю 12 , надо умножить числитель и знаменатель этой | дроби | на дополнительный множитель 3 ( 12 : 4 = 3 ) . |
| 7 83 Выразите | дроби | виде приближённого значения десятичной дроби до сотых . |
| 7 97 Выразите дроби в виде приближённого значения десятичной | дроби | , округлив результат до тысячных . |
| 2 54 Умножьте числитель и знаменатель | дроби | . |
| 2 53 Разделите числитель и знаменатель | дроби | . |
| Чтобы представить смешанное число в виде неправильной | дроби | , надо . |
| д. , надо в этой | дроби | перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы . |
| в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа , сколько их отделено запятой в десятичной | дроби | . |
| Представьте в виде неправильной | дроби | число две целых одна третья . |
| Запишите в виде | дроби | частное ( 1—2 ) . |
| 2 6 Умножьте числитель и знаменатель каждой | дроби | на 5 . |
| Основное свойство | дроби | . |
| 2 7 Разделите числитель и знаменатель каждой | дроби | на 3 . |
| записать полученную сумму числителем | дроби | , а знаменатель дробной части оставить без изменения . |
| Чтобы сложить ( вычесть ) десятичные | дроби | , надо . |
| Если числитель и знаменатель | дроби | разделить на 5 , то получится равная ей дробь , т . |
| 7 В виде десятичной | дроби | можно представить только такую обыкновенную дробь , разложение знаменателя которой на простые множители содержит лишь числа « два » и « пять » . |
| Записываем его в виде | дроби | и сокращаем эту дробь на 120 . |
| В самых древних дошедших до нас письменных источниках — вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах — встречаются не только натуральные числа , но и | дроби | . |
| 2 12 Запишите по две | дроби | , равные данной . |
| Записываем это отношение в виде | дроби | и сокращаем её на 120 Получим . |
| Десятичные | дроби | . |
| В Древнем Вавилоне , как вы знаете , | дроби | были шестидесятеричными . |
| Действительно , ответ можно также записать в виде десятичной | дроби | или в процентах : 0,4 = 40 % . |
| Чтобы сравнить две десятичные | дроби | , надо сначала уравнять у них число десятичных знаков , приписав к одной из них справа нули , а потом , отбросив запятую , сравнить получившиеся натуральные числа . |
| Все остальные | дроби | они записывали в виде суммы долей . |
| Черта | дроби | стала общеупотребительной лишь с XVI в . |
| Чтобы найти число по данному значению его | дроби | , надо дробь разделить на это значение . |
| Значит , дробь нельзя представить в виде десятичной | дроби | . |
| Чтобы из неправильной | дроби | выделить целую часть , надо . |
| сокращение | дроби | . |
| 2 51 При каких натуральных значениях букв равны | дроби | . |
| Обыкновенные | дроби | . |
| 2 46 Применив распределительный закон , представьте числитель | дроби | в виде произведения , а затем сократите . |
| Если цифр не хватает , надо сначала приписать в конце | дроби | несколько нулей . |
| 2 38 Представьте в виде обыкновенной несократимой | дроби | . |
| 8 Основное свойство | дроби | . |
| основное свойство | дроби | . |
| 2 35 Сократите | дроби | . |
| Если числитель и знаменатель | дроби | умножить или разделить на одно и то же натуральное число , получится равная ей дробь . |
| Представьте в виде десятичной | дроби | число ( 1—4 ) . |
| 2 2 Объясните , почему равны | дроби | . |
| Что называют сокращением | дроби | ? |
| Иногда удобно при сокращении | дроби | разложить числитель и знаменатель на несколько множителей , а потом уже сократить . |
| Например , две равные | дроби | являются и того же числа . |
| Чтобы перемножить две десятичные | дроби | , надо . |
| Сформулируйте основное свойство | дроби | . |
| д. , надо перенести запятую в этой | дроби | на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе . |
| 4 22 На сколько надо увеличить знаменатель | дроби | , чтобы получить дробь . |
| 2 1 Используя 9 , объясните , почему равны | дроби | . |
| п. д. п . — дробь три седьмых равна | дроби | девять двадцать первых . |
| Деление числителя и знаменателя на их общий делитель , отличный от единицы , называют сокращением | дроби | . |
| — | дроби | три седьмых и девять двадцать первых равны . |
| Это свойство называют основным свойством | дроби | . |
| 1 177 Запишите все правильные | дроби | со знаменателем 12 , у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа . |
| Чтобы найти число по данному значению его | дроби | . |
| Какие из дробей можно представить в виде десятичной | дроби | ? . |
| Чтобы сравнить ( сложить , вычесть ) | дроби | с разными знаменателями , надо . |
| Мы умеем сравнивать , складывать и вычитать | дроби | с одинаковыми знаменателями . |
| 8 Существуют | дроби | , равные своему числителю . |
| б ) число по его | дроби | . |
| 6 Двадцать четыре — знаменатель | дроби | , равной пяти восьмым . |
| 5 Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | три четвёртых и девять десятых . |
| 4 С помощью сокращения приведите | дроби | шесть восемнадцатых и десять двенадцатых к общему знаменателю . |
| 4 142 Некоторое число вычли из числителя и прибавили к знаменателю | дроби | . |
| Представьте в виде десятичной | дроби | ( 1—3 ) . |
| 9 65 Найдите все | дроби | со знаменателем 15 , которые больше и меньше 1 ; 9 . |
| Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | ( 4—6 ) . |
| Но если разрешить писать бесконечные десятичные | дроби | , то . |
| Запишем число 36 в виде неправильной | дроби | . |
| Как записать число , обратное | дроби | ? . |
| 2 100 Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | . |
| 2 99 Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | . |
| 3 221 Найдите число , обратное | дроби | . |
| 2 98 Сократите | дроби | 42 -25 , а потом приведите их к знаменателю 60 . |
| 2 97 Представьте в виде десятичной | дроби | . |
| 7 75 Представьте в виде | дроби | ( где а — целое число , b — натуральное число ) значение выражения . |
| 1 65 Выберите из дробей и сначала все правильные | дроби | , а затем неправильные . |
| 1 203 Представьте в виде десятичной | дроби | числа . |
| привести данные | дроби | к наименьшему общему знаменателю . |
| Проверочная работа 3 . Повторение : обыкновенные | дроби | . |
| сравнить ( сложить , вычесть ) полученные | дроби | . |
| 1 193 Выполните действие , записав каждое число в виде десятичной | дроби | . |
| Отметьте эти | дроби | на координатном луче . |
| 3 Запишите в виде неправильной | дроби | число 2у . |
| 2 113 Запишите все | дроби | со знаменателем 5 , большие , чем , и меньшие , чем 6 . |
| приведя | дроби | к наименьшему общему знаменателю . |
| 2 111 Запишите все | дроби | с числителем 2 , большие , чем . |
| 2 110 Объясните , не приводя | дроби | к общему знаменателю , почему . |
| 1 192 Представьте в виде обыкновенной | дроби | числа 0,3 ; 0,13 ; 0,2 и в виде десятичной дроби числа . |
| 2 108 Расположите в порядке возрастания | дроби | . |
| 2 107 Сравните | дроби | . |
| 8 Для правильной | дроби | обратным числом является неправильная дробь . |
| п. — дробь четыре девяностых меньше | дроби | шесть сорок пятых . |
| Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной дроби ( в частности , целого числа ) , либо в виде периодической | дроби | . |
| 2 104 Сравните | дроби | . |
| Расскажите , как сложить | дроби | с разными знаменателями . |
| Для | дроби | 1- = 0,333 .. число 0,3 является приближённым значением до десятых с недостатком : 0,3 < 1 Число 0,4 является приближённым значением этой дроби до десятых с избытком : 1<0,4 . |
| Как сравнить две | дроби | с разными знаменателями ? . |
| Для дроби 1- = 0,333 .. число 0,3 является приближённым значением до десятых с недостатком : 0,3 < 1 Число 0,4 является приближённым значением этой | дроби | до десятых с избытком : 1<0,4 . |
| Сгруппируем | дроби | , имеющие одинаковые знаменатели . |
| 1 202 Представьте в виде обыкновенной | дроби | числа : 0,5 ; 0,16 ; 0,25 . |
| Приведём | дроби | к общему знаменателю 15 . |
| Сравним | дроби | и . |
| Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной | дроби | ( в частности , целого числа ) , либо в виде периодической дроби . |
| 7 76 Представьте в виде | дроби | , где а — целое число , а b — натуральное число , значение выражения . |
| 3 175 Представьте в виде неправильной | дроби | : 13 ; 13 ; 23 ; 533 3 . |
| 3 192 Представьте в виде | дроби | частное . |
| Сравните полученные | дроби | . |
| Приведите | дроби | 3 и — к наименьшему общему знаменателю . |
| 2 79 Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | . |
| 2 78 Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | . |
| 7 77 Представьте в виде | дроби | , где а — целое число , а b — натуральное число , значение выражения . |
| 2 77 Приведите к наименьшему общему знаменателю | дроби | . |
| 2 76 Запишите в виде десятичной | дроби | . |
| Отрицательные числа появились позднее , чем | дроби | . |
| 2 75 Запишите в виде десятичной | дроби | , приведя . |
| 2 74 Можно ли представить в виде десятичной | дроби | . |
| 2 73 Можно ли привести к знаменателю 36 | дроби | . |
| 2 72 Сократите | дроби | 5 , 13 , 15 , 24 , а потом приведите их к знаменателю 24 . |
| 3 200 Представьте делимое в виде обыкновенной | дроби | и выполните действие . |
| Как привести | дроби | к наименьшему общему знаменателю ? . |
| 3 201 Представьте делимое в виде десятичной | дроби | и выполните действие . |
| Чтобы облегчить действия с дробями , были придуманы десятичные | дроби | . |
| в ) десятичные | дроби | появились в Китае в III в .. г ) теория отношений и пропорций была разработана в Древней Греции в IV в . |
| 10 6 Сформулируйте основное свойство | дроби | . |
| Итак , к какому новому знаменателю можно привести данные | дроби | ? . |
| 7 78 Выразите в виде десятичной или периодической | дроби | число . |
| До сих пор немцы говорят про человека , попавшего в затруднительное положение , что он « попал в | дроби | » . |
| Поэтому для | дроби | таким же способом находим дополнительный множитель 5 . |
| 7 79 Выразите в виде десятичной или периодической | дроби | число . |
| 4 Запишите в виде десятичной | дроби | сто пятьдесят процентов . |
| 1 215 Найдите наибольший общий делитель для числителя и знаменателя | дроби | . |
| Выполняя действия по командам 1 и 2 , сравните | дроби | 11 и . |
| Приведите | дроби | 5 и 3 к наименьшему общему знаменателю . |
| Но потом было замечено , что самыми удобными для вычислений являются десятичные | дроби | . |
| Сложите полученные | дроби | с одинаковыми знаменателями . |
| Выделите целую часть | дроби | . |
| Приведите примеры использования основного свойства | дроби | . |
| Приведите смешанные | дроби | 3 и 1 к наименьшему общему знаменателю . |
| 4 111 Какое число надо отнять от числителя и знаменателя | дроби | , чтобы получить дробь , равную 5/9 ? . |
| Если | дробная | часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого , то надо одну единицу целой части уменьшаемого превратить в дробь с тем же знаменателем . |
| если | дробная | часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть . |
| а ) так , чтобы их | дробная | часть была правильной дробью . |
| в виде натурального числа . б ) 48 , 1512 , 825 так , чтобы их | дробная | часть была правильной дробью . |
| Так как | дробная | часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то уменьшаемое записываем так . |
| 3 292 Запишите в виде | дробного | выражения частное . |
| Числителем и знаменателем | дробного | выражения могут быть любые числа , а также числовые или буквенные выражения . |
| 10 95 Найдите значение | дробного | выражения . |
| Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того , чтобы освободиться от | дробного | коэффициента . |
| Выражение , стоящее над чертой , называют числителем , а выражение , стоящее под чертой , — знаменателем | дробного | выражения . |
| знаменатель | дробного | выражения . |
| 7 19 Вычислите степень | дробного | числа . |
| числитель | дробного | выражения . |
| Умножив числитель и знаменатель этого | дробного | выражения на 6 , получим . |
| 6 Найдите значение знаменателя | дробного | выражения при « ка » , равном единице . |
| 5 Запишите | дробное | выражение , знаменатель которого — число пять , а числитель равен сумме « эм » и пятнадцати . |
| 3 291 Напишите | дробное | выражение , числитель которого 3a — 2b , а знаменатель — 6,7x + у . |
| Дробное | выражение . | |
| умножить его целую часть на знаменатель | дробной | части . |
| Так как дробная часть уменьшаемого меньше | дробной | части вычитаемого , то уменьшаемое записываем так . |
| Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8 , затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и | дробной | частей . |
| 2 193 Запишите все числа , большие — 1 и меньшие 1 , знаменатель | дробной | части которых равен 12 . |
| Приведём дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные числа в виде суммы целой и | дробной | частей . |
| Представим вначале число 2 в виде суммы его целой и | дробной | частей : 2 у = 2 , а затем применим распределительное свойство . |
| к полученному произведению прибавить числитель | дробной | части . |
| записать полученную сумму числителем дроби , а знаменатель | дробной | части оставить без изменения . |
| остаток ( если он есть ) даёт числитель , а делитель — знаменатель | дробной | части . |
| Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше | дробной | части вычитаемого , то надо одну единицу целой части уменьшаемого превратить в дробь с тем же знаменателем . |
| 5 Чему равен дополнительный множитель для | дробной | части второго числа ? . |
| если дробная часть уменьшаемого меньше | дробной | части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть . |
| 4 Чему равен дополнительный множитель для | дробной | части первого числа ? . |
| Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их целой и | дробной | частей , затем раскроем скобки , потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и , наконец , сложим полученные результаты . |
| 2 156 Запишите в виде неправильной дроби | дробную | часть чисел 33 , уменьшив целую часть на 1 . |
| умножить | дробную | часть на это натуральное число . |
| Запишите | дробную | часть чисел 25 , 713 , 18 в виде неправильной дроби , уменьшив целую часть чисел на 1 . |
| Сократите | дробную | часть полученного результата . |
| Приведём | дробные | части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 18 . |
| При сложении ( вычитании ) чисел в смешанной записи целые части складывают ( вычитают ) отдельно , а | дробные | — отдельно . |
| привести | дробные | части этих чисел к наименьшему общему знаменателю . |
| Приведём | дробные | части чисел к наименьшему общему знаменателю 8 , затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной частей . |
| Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их целой и дробной частей , затем раскроем скобки , потом сложим отдельно целые и отдельно | дробные | части и , наконец , сложим полученные результаты . |
| Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12 , затем отдельно складываем целые и | дробные | части . |
| Например , | дробные | выражения . |
| Приведём | дробные | части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные числа в виде суммы целой и дробной частей . |
| Сначала приводим | дробные | части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12 , затем отдельно складываем целые и дробные части . |
| Какое выражение называют | дробным | ? . |
| Частное двух чисел или выражений , в котором знак деления обозначен чертой , называют | дробным | выражением . |
| С | дробными | выражениями можно выполнять действия по тем же правилам , что и с обыкновенными дробями . |
| 3 Чему равен наименьший общий знаменатель | дробных | частей данных чисел ? . |
| В состав | дробных | числительных входят количественные и порядковые числительные . |
| 6 Чему равна разность | дробных | частей данных чисел ? . |
| отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно — | дробных | частей . |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и сложению их | дробных | частей . |
| если при сложении | дробных | частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части . |
| отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно | дробных | частей . |
| При склонении | дробных | числительных изменяются все их части . |
| 6 Чему равна сумма | дробных | частей данных чисел ? . |
| 8 Чтобы в уравнении — y + 2 = — у + 3 освободиться от всех | дробных | коэффициентов , обе части уравнения надо умножить на три . |
| При сложении | дробных | выражений удобнее сначала представить их в виде обыкновенных дробей , а потом уже выполнять сложение . |
| 8 98 С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от | дробных | чисел и решите уравнение . |
| Словарный диктант . 1 Как называется | дробь | , числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа ? . |
| 3 Запишите в процентах десятичную | дробь | « одна целая две десятых » . |
| 7 90 Можно ли привести | дробь | — к знаменателю 20 ; 24 ; 45 ; 75 ; 80 ; 100 ; 1000 ? . |
| надо это значение разделить на | дробь | . |
| если при сложении дробных частей получилась неправильная | дробь | , выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части . |
| Чтобы привести | дробь | - к знаменателю 12 , надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный множитель 2 ( 12 : 6 = 2 ) . |
| 2 Представьте в виде смешанного числа | дробь | сорок одна шестнадцатая . |
| 1 Сократите | дробь | тридцать девять пятьдесят вторых . |
| 1 Представьте в виде смешанного числа | дробь | восемнадцать седьмых . |
| 3 275 Сократите | дробь | . |
| 7 93 Можно ли привести к знаменателю 100 | дробь | , если m = 2 ; 25 ; 3 ; 4 ? . |
| б ) При каких натуральных значениях b | дробь | будет неправильной ? . |
| е . говорят , что мы привели | дробь | к новому знаменателю 8 . |
| 1 Сократите | дробь | девятнадцать пятьдесят седьмых . |
| 7 Если число разделить на правильную | дробь | , то частное окажется меньше этого числа . |
| 1 57 а ) При каких натуральных значениях а | дробь | будет правильной ? . |
| 1 Сократите | дробь | восемнадцать двадцать седьмых . |
| 2 Представьте в виде смешанного числа | дробь | двадцать три восьмых . |
| Рациональным числом будет и любая отрицательная | дробь | , так как , например , можно записать так . |
| 8 Чтобы получить | дробь | , равную данной , всегда можно к её числителю и знаменателю прибавить одно и то же число . |
| 5 21 Какое из чисел — правильная дробь или | дробь | , ей обратная , — на координатном луче расположено ближе к единице ? . |
| 3 37 На координатном луче отмечены | дробь | и число а . |
| 5 21 Какое из чисел — правильная | дробь | или дробь , ей обратная , — на координатном луче расположено ближе к единице ? . |
| 4 51 Какое число надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 7/21 , чтобы получить | дробь | 3/7 ? . |
| Приведём | дробь | к знаменателю 35 . |
| Сократите | дробь | ( 1—3 ) . |
| 1 223 Запишите в виде частного | дробь | . |
| Значит , | дробь | нельзя представить в виде десятичной дроби . |
| п. — | дробь | четыре девяностых меньше дроби шесть сорок пятых . |
| При сравнении дробей первую из них можно прочитать в именительном падеже , а вторую — в родительном либо добавить слово | дробь | и не изменять названия дробей . |
| периодическая | дробь | . |
| 8 Чтобы найти | дробь | от числа , нужно вычислить произведение дроби и этого числа . |
| 2 Представьте в виде смешанного числа | дробь | « двадцать три пятых » . |
| если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную | дробь | , уменьшив на единицу целую часть . |
| 2 124 Замените десятичную | дробь | обыкновенной дробью и выполните действие . |
| 2 125 Замените обыкновенную | дробь | десятичной и выполните действие . |
| После сокращения получили | дробь | . |
| Дробь | от числа . | |
| Покажите , что любая десятичная | дробь | является рациональным числом . |
| Приведите | дробь | ( 1—3 ) . |
| 5 Запишите в процентах обыкновенную | дробь | « три двадцатых » . |
| 2 96 Приведите | дробь | . |
| 2 88 Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и сократите | дробь | . |
| 8 Для правильной дроби обратным числом является неправильная | дробь | . |
| 4 111 Какое число надо отнять от числителя и знаменателя дроби , чтобы получить | дробь | , равную 5/9 ? . |
| Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого , то надо одну единицу целой части уменьшаемого превратить в | дробь | с тем же знаменателем . |
| Чтобы разделить одну | дробь | на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю . |
| В каком случае обыкновенную | дробь | можно представить в виде десятичной ? . |
| 2 69 Приведите | дробь | . |
| Можно ли привести | дробь | — к знаменателю 35 ? |
| Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить число на эту | дробь | . |
| Чтобы найти | дробь | от числа , нужно умножить число на эту дробь . |
| — | дробь | с числителем икс и знаменателем игрек . — дробь : икс , делённый на игрек . |
| — дробь с числителем икс и знаменателем игрек . — | дробь | : икс , делённый на игрек . |
| 3 36 Представьте | дробь | . |
| Получим равную ей | дробь | т . |
| 1 Представьте в виде смешанного числа | дробь | двадцать пять двенадцатых . |
| 7 Как называется | дробь | , большая или равная единице ? . |
| Чтобы разделить десятичную | дробь | на 10 , 100 , 1000 и т . |
| 5 Запишите периодическую | дробь | одна целая и семь в периоде . |
| п. д. п . — | дробь | три седьмых равна дроби девять двадцать первых . |
| Такую | дробь | называют несократимой . |
| разделить | дробь | на это число , не обращая внимания на запятую . |
| 1 Запишите в процентах десятичную | дробь | « ноль целых семь сотых » . |
| Чтобы умножить | дробь | на натуральное число , надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения . |
| несократимая | дробь | . |
| Если числитель и знаменатель дроби разделить на 5 , то получится равная ей | дробь | , т . |
| Чтобы разделить десятичную | дробь | на натуральное число , надо . |
| Чтобы умножить | дробь | на дробь , надо . |
| 4 Представьте в виде смешанного числа | дробь | пятнадцать седьмых . |
| Чтобы умножить дробь на | дробь | , надо . |
| Чтобы умножить десятичную | дробь | на 10 , 100 , 1000 и т . |
| умножить | дробь | на это число , не обращая внимания на запятую . |
| умножение дроби на | дробь | . 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем . |
| 7 В виде десятичной дроби можно представить только такую обыкновенную | дробь | , разложение знаменателя которой на простые множители содержит лишь числа « два » и « пять » . |
| Чтобы умножить десятичную | дробь | на натуральное число , надо . |
| Записываем его в виде дроби и сокращаем эту | дробь | на 120 . |
| Чтобы найти число по данному значению его дроби , надо | дробь | разделить на это значение . |
| Расскажите , как умножить | дробь | на натуральное число . |
| Например , | дробь | 1/2 до сих пор называют « половина » ; у римлян слово « унция » сначала было названием двенадцатой доли единицы массы , но потом унция стала обозначать одну двенадцатую долю любой величины ( говорили : « Семь унций пути » , т . е . |
| Наибольшее число , на которое можно сократить | дробь | , — это наибольший общий делитель её числителя и тещ . |
| 4 22 На сколько надо увеличить знаменатель дроби , чтобы получить | дробь | . |
| Чтобы привести | дробь | к знаменателю 12 , надо умножить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 ( 12 : 4 = 3 ) . |
| Изменится ли | дробь | , если её числитель и знаменатель умножить на 15 , а потом разделить на 3 ? . |
| Какая | дробь | меньше ( 2—5 ) ? . |
| Чтобы перевести проценты в десятичную | дробь | , надо разделить число процентов на 100 . |
| 1 Сократите | дробь | семнадцать пятьдесят первых . |
| 2 Представьте в виде смешанного числа | дробь | сорок одна двенадцатая . |
| Чтобы обратить десятичную | дробь | в проценты , надо её умножить на 100 . |
| Чтобы разделить десятичную | дробь | на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр , сколько в делителе стоит нулей перед единицей ( т . е . |
| Какую | дробь | называют несократимой ? . |
| Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , получится равная ей | дробь | . |
| Чтобы разделить число на десятичную | дробь | , надо . |
| 2 37 Сократите | дробь | . |
| Значит , | дробь | можно сократить на 75 , получим . |
| Тот же ответ можно получить , сокращая | дробь | последовательно на общие делители чисел 150 и 225 , используя для их нахождения признаки делимости . |
| в ) одно из слагаемых было правильной обыкновенной | дробью | . |
| а ) так , чтобы их дробная часть была правильной | дробью | . |
| Какая запись числа называется периодической | дробью | ? . |
| к ) | дробью | и её знаменателем , если числитель не изменяется . л ) дробью и её числителем , если знаменатель не изменяется . |
| к ) дробью и её знаменателем , если числитель не изменяется . л ) | дробью | и её числителем , если знаменатель не изменяется . |
| 2 124 Замените десятичную дробь обыкновенной | дробью | и выполните действие . |
| в виде натурального числа . б ) 48 , 1512 , 825 так , чтобы их дробная часть была правильной | дробью | . |
| 3 61 Выразите обыкновенной | дробью | : 26 % ; 45 % ; 80 % ; 90 % . |
| Действия над | дробями | ещё в Средние века считались самой сложной областью математики . |
| С дробными выражениями можно выполнять действия по тем же правилам , что и с обыкновенными | дробями | . |
| Чтобы облегчить действия с | дробями | , были придуманы десятичные дроби . |
| Такие записи называют периодическими | дробями | . |
| Такие задачи с натуральными числами или с десятичными | дробями | мы решали с помощью умножения . |
| б ) оба слагаемых были десятичными | дробями | . |
| Древнегреческими учёными — последователями Пифагора открыты | дружественные числа | . |
| 2 152 | дружественные числа | . |
| Например , древнегреческим математикам была известна всего одна пара | дружественных чисел | — 220 и 284 . |
| Пифагорейцы знали только одну пару | дружественных чисел | — 220 и 284 . |
| Однако до сих пор неизвестен общий способ нахождения пар | дружественных чисел | . |
| знаменитый математик , член Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашёл ещё 65 пар | дружественных чисел | ( одна из них — 17 296 и 18 416 ) . |
| 2 86 С помощью транспортира разделите одну окружность на 6 , а другую — на 3 равные | дуги | . |
| Такие схемы называют графами , точки вершинами графа , а | дуги | — рёбрами графа . |
| 5 129 На сколько | единиц | переместилась точка Р(4 ) по координатной прямой , если она попала в точку К(-2 ) ? |
| Среди задач , которые с давних времён приходилось решать людям , много было похожих , однотипных : вычисление площадей участков , нахождение объёмов фигур определённой формы , деление доходов , вычисление стоимости товара , измерение массы с помощью различных | единиц | и др . |
| Значит , любое натуральное число чётно лишь в случае , когда в разряде | единиц | стоит чётная цифра , и нечётно , когда в разряде единиц стоит нечётная цифра . |
| б ) 10 | единиц | от числа 4 . г ) 100 единиц от числа 0 . |
| была придумана цифра « нуль » и ею стали обозначать отсутствие | единиц | в разрядах десятичной записи числа . |
| Прибавить к числу , а число b — значит изменить a на b | единиц | . |
| Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и | единиц | , например : 246 = 240 + 6 , 1435 = 1430 + 5 . |
| Названия этих новых | единиц | измерения и стали первыми названиями дробей . |
| В числе 846 содержится 8 сотен , 4 десятка и 6 | единиц | . |
| Значит , любое натуральное число чётно лишь в случае , когда в разряде единиц стоит чётная цифра , и нечётно , когда в разряде | единиц | стоит нечётная цифра . |
| б ) 10 единиц от числа 4 . г ) 100 | единиц | от числа 0 . |
| ( Ответ округлите до | единиц | , считая p = 3,14 . ) . |
| а ) от числа 4 на 5 | единиц | . |
| 7 123 Округлите 5,2853 до тысячных ; до сотых ; до десятых ; до | единиц | . |
| Это возможно только тогда , когда в разряде | единиц | стоит цифра 0 или 5 . |
| а ) 6 | единиц | от числа -9 . |
| Так как полные десятки делятся на 5 , то и все число делится на 5 лишь в том случае , когда на 5 делится число | единиц | . |
| 5 | единиц | . |
| 6 | единиц | . |
| ( Ответ округлите до | единиц | . ) . |
| в ) 10 | единиц | от числа -4 . |
| 7 На координатной прямой между числами минус три и два расположены целые числа минус два , минус один и | единица | . |
| Точка « цэ » с координатами минус четыре и | единица | . |
| 2 При делении числа ( не равного нулю ) на это же число получается | единица | . |
| Дроби были нужны , чтобы выразить результат измерения длины , массы , площади в случаях , когда | единица | измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз . |
| Это объяснялось различными соотношениями между | единицами | измерения : они делились и на 12 , и на 16 , и на 40 частей . |
| Соотношения между | единицами | измерения длин . |
| Если значения двух величин выражены , разными | единицами | измерения , то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения . |
| 6 Найдите значение знаменателя дробного выражения при « ка » , равном | единице | . |
| 7 Как называется дробь , большая или равная | единице | ? . |
| 5 21 Какое из чисел — правильная дробь или дробь , ей обратная , — на координатном луче расположено ближе к | единице | ? . |
| 6 Произведение двух взаимно обратных чисел равно | единице | . |
| 8 Как называют два числа , произведение которых равно | единице | ? . |
| Если значения двух величин выражены , разными единицами измерения , то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной | единице | измерения . |
| Частное единицы и двух седьмых равно | единице | . |
| 7 Отношение двух взаимно обратных чисел равно | единице | . |
| 8 Произведение семи пятнадцатых и единицы равно | единице | . |
| Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр , сколько нулей стоит перед | единицей | в множителе . |
| Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр , сколько в делителе стоит нулей перед | единицей | ( т . е . |
| Если значения двух величин выражены одной и той же | единицей | . |
| если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на | единицу | целую часть . |
| Натуральное число называют простым , если имеет только два делителя : | единицу | и само это число . |
| Тогда вводили новую , меньшую | единицу | измерения . |
| 8 Если к уменьшаемому прибавить минус | единицу | , то разность уменьшится на единицу . |
| Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого , то надо одну | единицу | целой части уменьшаемого превратить в дробь с тем же знаменателем . |
| за | единицу | товара , а продан по цене 480 р . |
| 4 Какое число надо умножить на три восьмых , чтобы получить | единицу | ? . |
| 8 Если к уменьшаемому прибавить минус единицу , то разность уменьшится на | единицу | . |
| Он записывал все числа от 1 до какого - то числа , а потом вычёркивал | единицу | , которая не является ни простым , ни составным числом , затем вычёркивал через одно все числа , идущие после 2 ( числа , кратные 2 , т . |
| 2 Сумма одной третьей « игрек » и | единицы | равна минус двум . |
| Видно , что при перемещении точки А(-2 ) на -4 | единицы | , т . е . |
| Видно , что при перемещении точки А(-7 ) на 4 | единицы | , т . |
| д. , надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после | единицы | в делителе . |
| в ) от числа -6 на 4 единицы . г ) от числа 3 на 2 | единицы | ? . |
| Видно , что при перемещении точки А(4 ) на 4 | единицы | влево она переходит в начало координат 0(0 ) . |
| д. , надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после | единицы | . |
| на 4 | единицы | вправо , она переходит в точку В(-3 ) . |
| на 4 | единицы | влево , она переходит в точку С(-6 ) . |
| 8 Произведение семи пятнадцатых и | единицы | равно единице . |
| Сумма одной второй и одной четвертой меньше | единицы | . |
| 1 Семи девятых и | единицы | . |
| Запишите свойства нуля и | единицы | при умножении . |
| Частное | единицы | и двух седьмых равно единице . |
| 8 Разность пяти целых трёх восьмых и четырёх целых трёх седьмых больше | единицы | . |
| 6 > -4 — шесть больше минус четырёх . -8 < -1 — минус восемь меньше минус | единицы | . |
| Показано , как попасть в точку С с координатами ( -4 ; -3 ): сначала надо пройти по оси х от начала отсчёта влево на 4 | единицы | , а потом пройти на 3 единицы вниз . |
| Показано , как попасть в точку С с координатами ( -4 ; -3 ): сначала надо пройти по оси х от начала отсчёта влево на 4 единицы , а потом пройти на 3 | единицы | вниз . |
| б ) от числа -1 на 3 | единицы | . |
| Деление числителя и знаменателя на их общий делитель , отличный от | единицы | , называют сокращением дроби . |
| в ) от числа -6 на 4 | единицы | . г ) от числа 3 на 2 единицы ? . |
| 3 Как называется операция деления числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от | единицы | ? . |
| 5 67 Точка А лежит от начала отсчёта влево на 5,8 | единицы | , а точка В — вправо на 9,8 единицы . |
| 4 Найдите разность | единицы | и нуля целых пяти сотых . |
| 1 Минус сорока и минус | единицы | . |
| 8 Если некоторое число больше своего обратного , то это число больше | единицы | . |
| Например , дробь 1/2 до сих пор называют « половина » ; у римлян слово « унция » сначала было названием двенадцатой доли | единицы | массы , но потом унция стала обозначать одну двенадцатую долю любой величины ( говорили : « Семь унций пути » , т . е . |
| 5 67 Точка А лежит от начала отсчёта влево на 5,8 единицы , а точка В — вправо на 9,8 | единицы | . |
| 5 12 Выбрав в качестве | единичного | отрезка 2 клетки , изобразите на координатной прямой точки с координатами . |
| Отметьте на этом луче точку A. Отложите вправо от точки A отрезок AC , равный — | единичного | отрезка . |
| Отложите от точки C влево отрезок CD , равный — | единичного | отрезка . |
| Отложите от точки C влево отрезок CD , равный — | единичного отрезка | . |
| Отметьте на этом луче точку A. Отложите вправо от точки A отрезок AC , равный — | единичного отрезка | . |
| 5 12 Выбрав в качестве | единичного отрезка | 2 клетки , изобразите на координатной прямой точки с координатами . |
| Отметьте и обозначьте начало отсчёта и | единичный | отрезок . |
| 2 5 Начертите координатный луч , приняв за | единичный | отрезок 18 клеток тетради . |
| Напишите координаты точек M , N , P и K , если | единичный | отрезок равен длине одной клетки тетради ; длине двух клеток тетради . |
| 2 29 Начертите координатный луч , приняв за | единичный | отрезок длину 12 клеток тетради . |
| 5 49 Начертите координатную прямую , приняв за | единичный | отрезок длину 4 клеток тетради , и отметьте на этой прямой точки A(3/4 ) , B(0,5 ) , С(-1,75 ) , D-2^ ) , E(l1 ) , F(2,25 ) . |
| 5 33 Приняв за | единичный | отрезок длину 6 клеток тетради , начертите координатную прямую и отметьте на ней точки K , С(-0,5 ) , D(-11/3 ) , E(6 ) , F(6 ) . |
| 2 119 Начертите координатный луч , приняв отрезок длиной в 18 клеток тетради за | единичный | . |
| Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника , если | единичный | отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков . |
| Выберем | единичный | отрезок и примем точку O за начало отсчёта . |
| 5 33 Приняв за | единичный отрезок | длину 6 клеток тетради , начертите координатную прямую и отметьте на ней точки K , С(-0,5 ) , D(-11/3 ) , E(6 ) , F(6 ) . |
| Напишите координаты точек M , N , P и K , если | единичный отрезок | равен длине одной клетки тетради ; длине двух клеток тетради . |
| 2 29 Начертите координатный луч , приняв за | единичный отрезок | длину 12 клеток тетради . |
| Отметьте и обозначьте начало отсчёта и | единичный отрезок | . |
| Выберем | единичный отрезок | и примем точку O за начало отсчёта . |
| 5 49 Начертите координатную прямую , приняв за | единичный отрезок | длину 4 клеток тетради , и отметьте на этой прямой точки A(3/4 ) , B(0,5 ) , С(-1,75 ) , D-2^ ) , E(l1 ) , F(2,25 ) . |
| 2 5 Начертите координатный луч , приняв за | единичный отрезок | 18 клеток тетради . |
| Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника , если | единичный отрезок | равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков . |
| 6 Координатной прямой называют прямую с выбранным на ней началом отсчёта и | единичным | отрезком . |
| Начертите окружность с центром А и радиусом , равным 5 | единичным | отрезкам . |
| Расстояние до точки M(-6 ) от начала отсчёта О равно 6 | единичным | отрезкам . |
| 10 69 На координатной плоскости начертите окружность с центром в точке С(-4 ; 0 ) и радиусом , равным 5 | единичным | отрезкам . |
| Длина отрезка на координатной прямой равна шести | единичным | отрезкам . |
| Прямую с выбранными на ней началом отсчёта , | единичным | отрезком и направлением называют координатной прямой . |
| Значит , длина отрезка равна 14 | единичным | отрезкам . |
| Расстояние до точки M(-6 ) от начала отсчёта О равно 6 | единичным отрезкам | . |
| 10 69 На координатной плоскости начертите окружность с центром в точке С(-4 ; 0 ) и радиусом , равным 5 | единичным отрезкам | . |
| Начертите окружность с центром А и радиусом , равным 5 | единичным отрезкам | . |
| Значит , длина отрезка равна 14 | единичным отрезкам | . |
| Длина отрезка на координатной прямой равна шести | единичным отрезкам | . |
| 6 Координатной прямой называют прямую с выбранным на ней началом отсчёта и | единичным отрезком | . |
| Прямую с выбранными на ней началом отсчёта , | единичным отрезком | и направлением называют координатной прямой . |
| 3 Найдите расстояние ( в | единичных | отрезках ) между точками с координатами « минус два » и « плюс один » . |
| 4 Запишите координаты точек , расположенных на расстоянии пять | единичных | отрезков от начала отсчёта . |
| е . удалена от неё на 0 | единичных | отрезков . |
| 4 Запишите координаты точек , лежащих на оси « игрек » на расстоянии в шесть | единичных | отрезков от начала координат . |
| 8 Модуль числа « эм » равен расстоянию ( в | единичных | отрезках ) от начала отсчёта до точки с координатой « эм » . |
| 7 На координатном луче наименьшее кратное натурального числа « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено правее этого числа на расстоянии « эн » | единичных | отрезков . |
| 1 Как называется расстояние ( в | единичных | отрезках ) от точки на координатной прямой до начала отсчёта ? . |
| 2 Точка с отрицательной координатой расположена на расстоянии восемь | единичных | отрезков от начала отсчёта . |
| Модулем числа а называют расстояние ( в | единичных | отрезках ) от начала координат до точки А(а ) . |
| 5 64 Найдите расстояние ( в | единичных | отрезках ) от начала отсчёта до каждой из точек : А(3,7 ) , В(-7,8 ) , С(-200 ) , .0(315,6 ) , E(0 ) , F(-2 ) , K ( ) . |
| Модуль числа 5 равен 5 , так как точка в(5 ) удалена от начала отсчёта на 5 | единичных | отрезков . |
| Чтобы сложить числа -6 и -3 с помощью координатной прямой , надо точку Д(-6 ) переместить влево на 3 | единичных | отрезка . |
| 6 116 Найдите расстояние в | единичных | отрезках между точками . |
| 6 72 Чему равно расстояние ( в | единичных | отрезках ) между точками координатной прямой с координатами . |
| Длина отрезка АВ показывает , на сколько | единичных | отрезков надо переместить вправо точку А , чтобы она перешла в точку В , т . |
| Чтобы сложить числа 9 и -6 с помощью координатной прямой , надо точку 4(9 ) переместить влево на 6 | единичных | отрезков . |
| Найдите расстояние между точками F и B в | единичных | отрезках . |
| Найдите расстояние между точками А и Б в | единичных | отрезках . |
| Чтобы сложить числа -6 и -3 с помощью координатной прямой , надо точку Д(-6 ) переместить влево на 3 | единичных отрезка | . |
| Найдите расстояние между точками F и B в | единичных отрезках | . |
| 5 64 Найдите расстояние ( в | единичных отрезках | ) от начала отсчёта до каждой из точек : А(3,7 ) , В(-7,8 ) , С(-200 ) , .0(315,6 ) , E(0 ) , F(-2 ) , K ( ) . |
| 8 Модуль числа « эм » равен расстоянию ( в | единичных отрезках | ) от начала отсчёта до точки с координатой « эм » . |
| Модулем числа а называют расстояние ( в | единичных отрезках | ) от начала координат до точки А(а ) . |
| Найдите расстояние между точками А и Б в | единичных отрезках | . |
| 3 Найдите расстояние ( в | единичных отрезках | ) между точками с координатами « минус два » и « плюс один » . |
| 1 Как называется расстояние ( в | единичных отрезках | ) от точки на координатной прямой до начала отсчёта ? . |
| 6 72 Чему равно расстояние ( в | единичных отрезках | ) между точками координатной прямой с координатами . |
| 4 Запишите координаты точек , расположенных на расстоянии пять | единичных отрезков | от начала отсчёта . |
| 7 На координатном луче наименьшее кратное натурального числа « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено правее этого числа на расстоянии « эн » | единичных отрезков | . |
| е . удалена от неё на 0 | единичных отрезков | . |
| Чтобы сложить числа 9 и -6 с помощью координатной прямой , надо точку 4(9 ) переместить влево на 6 | единичных отрезков | . |
| 4 Запишите координаты точек , лежащих на оси « игрек » на расстоянии в шесть | единичных отрезков | от начала координат . |
| Модуль числа 5 равен 5 , так как точка в(5 ) удалена от начала отсчёта на 5 | единичных отрезков | . |
| Длина отрезка АВ показывает , на сколько | единичных отрезков | надо переместить вправо точку А , чтобы она перешла в точку В , т . |
| 2 Точка с отрицательной координатой расположена на расстоянии восемь | единичных отрезков | от начала отсчёта . |
| записать их друг под другом так , чтобы | запятая | была записана под запятой . |
| в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа , сколько их отделено | запятой | в десятичной дроби . |
| записать их друг под другом так , чтобы запятая была записана под | запятой | . |
| уравнять в этих дробях количество знаков после | запятой | . |
| в полученном произведении отделить | запятой | столько цифр справа , сколько их отделено запятой в десятичной дроби . |
| отделить | запятой | столько цифр справа , сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе . |
| поставить в ответе запятую под | запятой | в данных дробях . |
| отделить запятой столько цифр справа , сколько их стоит после | запятой | в обоих множителях вместе . |
| Если в произведении получается меньше цифр , чем надо отделить | запятой | , то впереди пишут нуль или несколько нулей . |
| поставить в частном | запятую | , когда кончится деление целой части . |
| выполнить сложение ( вычитание ) , не обращая внимания на | запятую | . |
| поставить в ответе | запятую | под запятой в данных дробях . |
| разделить дробь на это число , не обращая внимания на | запятую | . |
| д. , надо в этой дроби перенести | запятую | на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в множителе после единицы . |
| Чтобы сравнить две десятичные дроби , надо сначала уравнять у них число десятичных знаков , приписав к одной из них справа нули , а потом , отбросив | запятую | , сравнить получившиеся натуральные числа . |
| д. , надо перенести | запятую | в этой дроби на столько цифр влево , сколько нулей стоит после единицы в делителе . |
| умножить дробь на это число , не обращая внимания на | запятую | . |
| 5 119 Какие цифры можно написать вместо | звёздочки | , чтобы получилось верное неравенство . |
| 1 76 Какую цифру можно поставить вместо | звёздочки | , чтобы полученное число делилось на 9 . |
| 5 118 Поставьте вместо | звёздочки | знак > или < так , чтобы получилось верное неравенство . |
| 5 101 Поставьте вместо | звёздочки | знак < или > так , чтобы получилось верное неравенство . |
| 1 128 Какую цифру можно поставить вместо | звёздочки | , чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5 . |
| 5 100 Поставьте вместо | звёздочки | знак < или > так , чтобы получилось верное неравенство . |
| 5 96 Поставьте вместо | звёздочки | знак < или > так , чтобы получилось верное неравенство . |
| 5 39 Поставьте вместо | звёздочки | такое число , чтобы получилось верное равенство . |
| 1 79 Какие цифры можно поставить вместо | звёздочки | , чтобы полученное число делилось на 6 . |
| 1 155 Какие цифры можно поставить вместо | звёздочки | , чтобы полученное число делилось на 4 . |
| 4 141 Какой знак действия надо поставить вместо | звёздочки | , чтобы получилось верное равенство . |
| 4 48 Какой знак действия надо подставить вместо | звёздочки | , чтобы получилось верное равенство . |
| 4 Какую цифру можно подставить вместо | звёздочки | в запись числа 973 , чтобы это число не было кратно трём ? . |
| 6 30 Поставьте вместо | звёздочки | знак < или > так , чтобы получилось верное неравенство . |
| Какую цифру можно подставить вместо | звёздочки | в запись числа 6412 , чтобы это число делилось на девять ? . |
| 1 158 Какие цифры можно поставить вместо | звёздочки | , чтобы полученное число делилось на 12 . |
| 1 70 Какую цифру можно поставить вместо | звёздочки | в записи : чтобы получившееся число делилось на 3 ? . |
| 1 99 В записи 723 , 536 , 111 вместо | звёздочки | поставьте такие цифры , чтобы получившиеся числа делились на 9 . |
| Какие цифры можно подставить вместо | звёздочки | в запись числа 5627 , чтобы это число делилось на пять ? . |
| 1 91 Какую цифру можно поставить вместо | звёздочки | , чтобы полученное число делилось на 5 . |
| 3 96 Нужно срочно доставить 9 пакетов в пункты , указанные на плане | звёздочкой | . |
| 8 105 На первую автомашину погрузили на 0,6 т | зерна | больше , чем на вторую . |
| 10 102 На одном элеваторе было | зерна | в 3 раза больше , чем на другом . |
| 5 137 Из всего собранного | зерна | пшеница составляла 80 % , причём 70 % этой пшеницы была пшеница твёрдых сортов . |
| Сколько тонн | зерна | было на каждом элеваторе первоначально ? . |
| С первого элеватора вывезли 960 т зерна , а на второй привезли 240 т , после чего на обоих элеваторах | зерна | стало поровну . |
| Сколько тонн | зерна | было собрано , если твёрдой пшеницы было собрано 560 т ? . |
| 4 35 Комбайнёр намолотил 76 т | зерна | , превысив задание на 12 т . |
| С первого элеватора вывезли 960 т | зерна | , а на второй привезли 240 т , после чего на обоих элеваторах зерна стало поровну . |
| Какой процент погруженного | зерна | составляла пшеница ? |
| Сколько тонн | зерна | обмолотили в третий день ? . |
| Комбайнёры обмолотили за три дня 434 т | зерна | . |
| Сколько | зерна | намолотили за день ? . |
| 3 248 На элеватор отправили 211,2 т зерна , что составляет 0,88 | зерна | , намолоченного за день . |
| Сколько килограммов муки получилось из этого | зерна | , если 9 % ушло в отходы ? . |
| 3 248 На элеватор отправили 211,2 т | зерна | , что составляет 0,88 зерна , намолоченного за день . |
| 3 115 За три дня на элеватор доставили 651 т | зерна | . |
| В первый день было доставлено 10 всего | зерна | , во второй — 0,9 того , что было доставлено в первый день . |
| Сколько тонн | зерна | было доставлено на элеватор в третий день ? . |
| 4 36 На складе были пшеница , овёс и кукуруза , причём пшеница составляла 64 % всего количества | зерна | , овёс — 16 % . |
| Какой процент погруженного | зерна | составляла бы пшеница , если бы вместо кукурузы погрузили овёс ? . |
| В первый день они обмолотили 10/31 этого количества , во второй день — на 10 % меньше , чем в первый , а в третий день — остальное | зерно | . |
| Если же меняются знаки обоих множителей , то произведение меняет | знак | дважды , и в результате знак произведения не меняется : 8 - 1,1 = 8,8 ; (-8 ) × 1,1 = -8,8 ; (-8 ) × ( -1,1 ) = = -(-8,8 ) = 8,8 . |
| Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах , условились ставить перед координатами на одном луче знак « + » , а перед координатами на другом луче — | знак | « - » . |
| Если же меняются знаки обоих множителей , то произведение меняет знак дважды , и в результате | знак | произведения не меняется : 8 - 1,1 = 8,8 ; (-8 ) × 1,1 = -8,8 ; (-8 ) × ( -1,1 ) = = -(-8,8 ) = 8,8 . |
| Для краткости записи обычно опускают | знак | « + » перед положительными числами и вместо + 7 пишут 7 . |
| Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах , условились ставить перед координатами на одном луче | знак | « + » , а перед координатами на другом луче — знак « - » . |
| Как раскрывают скобки , перед которыми стоит | знак | « + » ? . |
| Определите | знак | произведения ab . |
| 7 110 Определите | знак | произведения . |
| Видим , что корень уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется , если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую , изменив его | знак | на противоположный . |
| Чтобы раскрыть скобки , перед которыми стоит знак « - » , надо заменить этот | знак | « + » , поменяв знаки слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки . |
| Знак | « - » ? . | |
| Сравнивая эти два произведения с произведением 1,2 × 0,3 = 0,36 , можно заметить , что при изменении знака любого множителя | знак | произведения меняется , а его модуль остаётся тем же . |
| Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо перемножить модули этих чисел поставить перед полученным числом | знак | « - » . |
| Это уравнение можно получить из данного , если слагаемое 2х перенести из правой части в левую , изменив его | знак | на противоположный . |
| Как раскрыть скобки , перед которыми стоит | знак | « - » ? . |
| раскрытие скобок , перед которыми стоит | знак | « + » ; |
| Чтобы раскрыть скобки , перед которыми стоит | знак | « - » , надо заменить этот знак « + » , поменяв знаки слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки . |
| 8 37 Определите | знак | коэффициента . |
| Корни уравнения не изменяются , если какое - нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его | знак | . |
| Частное двух чисел или выражений , в котором | знак | деления обозначен чертой , называют дробным выражением . |
| Число 3 имеет тот же | знак | , что и слагаемое 9 , а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и -6 . |
| 5 101 Поставьте вместо звёздочки | знак | < или > так , чтобы получилось верное неравенство . |
| 5 118 Поставьте вместо звёздочки | знак | > или < так , чтобы получилось верное неравенство . |
| Число -3 имеет тот же | знак | , что и слагаемое -12 , а его модуль равен разности модулей слагаемых -12 и 9 . |
| 8 Если сумма нескольких слагаемых заключается в скобки , перед которыми стоит знак « минус » , то | знак | каждого слагаемого меняется на противоположный . |
| поставить перед полученным числом | знак | того слагаемого , модуль которого больше . |
| Обычно сначала определяют и записывают | знак | суммы , а потом находят разность модулей . |
| 5 100 Поставьте вместо звёздочки | знак | < или > так , чтобы получилось верное неравенство . |
| Обычно вначале определяют и записывают | знак | , а потом уже находят модуль частного . |
| 4 141 Какой | знак | действия надо поставить вместо звёздочки , чтобы получилось верное равенство . |
| поставить перед полученным числом | знак | « - » . |
| 5 96 Поставьте вместо звёздочки | знак | < или > так , чтобы получилось верное неравенство . |
| Какой | знак | будет иметь сумма этих чисел , если больший модуль имеет отрицательное число ? |
| Если раскрываются скобки , перед которыми стоит | знак | « плюс » , то знаки слагаемых , стоящих в скобках , изменяются . |
| 6 Выражение — х + 3 заключите в скобки , перед которыми стоит | знак | « минус » . |
| 4 48 Какой | знак | действия надо подставить вместо звёздочки , чтобы получилось верное равенство . |
| 6 30 Поставьте вместо звёздочки | знак | < или > так , чтобы получилось верное неравенство . |
| 7 17 Поставьте вместо | знак | < или > так , чтобы получилось верное равенство . |
| Сначала найдём | знак | числа х. |
| Если перед скобками стоит | знак | « + » , то можно опустить скобки и этот знак « + » , сохранив знаки слагаемых , стоящих в скобках . |
| Если перед скобками стоит знак « + » , то можно опустить скобки и этот | знак | « + » , сохранив знаки слагаемых , стоящих в скобках . |
| 8 Если сумма нескольких слагаемых заключается в скобки , перед которыми стоит | знак | « минус » , то знак каждого слагаемого меняется на противоположный . |
| Если первое слагаемое в скобках записано без | знака | , то его надо записать со знаком « + » . |
| Само слово « алгебра » произошло от слова « аль - джебр » — восполнение : так аль - Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой | знака | . |
| Операции над числами любого | знака | выполняются на калькуляторе так же , как над положительными числами . |
| Чтобы ввести отрицательное число на калькуляторе , надо ввести модуль этого числа , потом нажать клавишу « изменение | знака | » ± или . |
| Сравнивая эти два произведения с произведением 1,2 × 0,3 = 0,36 , можно заметить , что при изменении | знака | любого множителя знак произведения меняется , а его модуль остаётся тем же . |
| умножение двух чисел с разными | знаками | . |
| 3 224 Кроме неравенств со | знаками | > и < , которые называют строгими , используют нестрогие неравенства , для которых введены знаки > ( больше или равно ) и < ( меньше или равно ) . |
| Например , противоположными числами будут 8 и -8 , так как число 8 = +8 , значит , числа 8 и -8 различаются только | знаками | . |
| Сформулируйте правило сложения чисел с разными | знаками | . |
| с разными | знаками | . |
| 8 Сумма двух чисел с разными | знаками | на координатной прямой находится между слагаемыми . |
| Чтобы сложить два числа с разными | знаками | , надо . |
| умножение рациональных чисел с одинаковыми | знаками | . |
| д ) сравнение рациональных чисел . е ) сложение рациональных чисел с одинаковыми | знаками | . |
| сложение чисел с разными | знаками | . |
| Сложение чисел с разными | знаками | . |
| Перенесём с противоположными | знаками | слагаемое 36 из левой части в правую , а слагаемое 3х из правой части в левую : х - 3х = -36 . |
| Частное двух чисел с разными | знаками | — положительное число . |
| Сформулируйте правило умножения двух чисел с разными | знаками | . |
| При делении чисел с разными | знаками | надо . |
| 6 Сумма двух чисел с разными | знаками | всегда отрицательна . |
| Два числа , отличающиеся друг от друга только | знаками | , называют противоположными числами . |
| 33 Сложение чисел с разными | знаками | . |
| Чтобы перемножить два числа с разными | знаками | , надо перемножить модули этих чисел поставить перед полученным числом знак « - » . |
| с разными | знаками | . ж ) |
| деление двух чисел с разными | знаками | . |
| и ) деление рациональных чисел с одинаковыми | знаками | . |
| Если раскрываются скобки , перед которыми стоит знак « плюс » , то | знаки | слагаемых , стоящих в скобках , изменяются . |
| Если перед скобками стоит знак « + » , то можно опустить скобки и этот знак « + » , сохранив | знаки | слагаемых , стоящих в скобках . |
| Числа a и b имеют разные | знаки | . |
| изменить их | знаки | ) , а потом сложить : 9 + ( -5 ) = 4 . |
| Любое выражение , содержащее лишь | знаки | сложения и вычитания , можно рассматривать как сумму . |
| У египтян были особые | знаки | для дробей и общий способ записи для долей ( т . |
| 3 224 Кроме неравенств со знаками > и < , которые называют строгими , используют нестрогие неравенства , для которых введены | знаки | > ( больше или равно ) и < ( меньше или равно ) . |
| Чтобы раскрыть скобки , перед которыми стоит знак « - » , надо заменить этот знак « + » , поменяв | знаки | слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки . |
| Так как при умножении -4 на х получилось отрицательное число -12 , то множители -4 и х должны иметь разные | знаки | . |
| 7 85 Одинаковы ли | знаки | чисел х и у , если верно неравенство . |
| Если же меняются | знаки | обоих множителей , то произведение меняет знак дважды , и в результате знак произведения не меняется : 8 - 1,1 = 8,8 ; (-8 ) × 1,1 = -8,8 ; (-8 ) × ( -1,1 ) = = -(-8,8 ) = 8,8 . |
| Таким образом , чтобы записать сумму , противоположную сумме нескольких слагаемых , надо изменить | знаки | данных слагаемых . |
| При умножении 4 на х получилось отрицательное число -24 , значит , множители 4 и х должны иметь разные | знаки | . |
| Сформулируйте правило деления чисел , имеющих разные | знаки | . |
| уравнять в этих дробях количество | знаков | после запятой . |
| Названия | знаков | « + » и « - » при числе во всех случаях по падежам не склоняют . |
| Чтобы сравнить две десятичные дроби , надо сначала уравнять у них число десятичных | знаков | , приписав к одной из них справа нули , а потом , отбросив запятую , сравнить получившиеся натуральные числа . |
| Числа со | знаком | « + » называют положительными . |
| Числа со | знаком | « - » называют отрицательными . |
| Если первое слагаемое в скобках записано без знака , то его надо записать со | знаком | « + » . |
| умножение дроби на дробь . 1 ) найти произведение числителей и произведение | знаменателей | этих дробей . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем . |
| Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их | знаменателей | ( например , произведение знаменателей ) . |
| Обычно вначале обозначают произведение числителей и произведение | знаменателей | , затем производят сокращение и только потом выполняют умножение . |
| Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей ( например , произведение | знаменателей | ) . |
| Он равен наименьшему общему кратному | знаменателей | данных дробей . |
| Дроби в привычном для нас виде впервые стали записывать индусы около 1500 лет назад , но они не использовали черту между числителем и | знаменателем | . |
| 1 177 Запишите все правильные дроби со | знаменателем | 12 , у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа . |
| Общим | знаменателем | дробей может быть любое общее кратное их знаменателей ( например , произведение знаменателей ) . |
| 21 . б ) в виде суммы двух дробей со | знаменателем | 3 ; 9 ; 12 . |
| 9 65 Найдите все дроби со | знаменателем | 15 , которые больше и меньше 1 ; 9 . |
| Числителем и | знаменателем | дробного выражения могут быть любые числа , а также числовые или буквенные выражения . |
| Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого , то надо одну единицу целой части уменьшаемого превратить в дробь с тем же | знаменателем | . |
| Какое число может служить общим | знаменателем | двух дробей ? |
| а ) число 3 в виде дроби со знаменателем 5 . б ) число 1 в виде дроби со | знаменателем | 12 . |
| а ) число 3 в виде дроби со | знаменателем | 5 . б ) число 1 в виде дроби со знаменателем 12 . |
| а ) в виде разности двух дробей со | знаменателем | 3 ; 18 ; |
| умножение дроби на дробь . 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — | знаменателем | . |
| к ) дробью и её | знаменателем | , если числитель не изменяется . л ) дробью и её числителем , если знаменатель не изменяется . |
| найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей , оно и будет их наименьшим общим | знаменателем | . |
| 7 Если знаменатель одной из двух дробей кратен знаменателю второй , то он и является наименьшим общим | знаменателем | этих дробей . |
| 2 113 Запишите все дроби со | знаменателем | 5 , большие , чем , и меньшие , чем 6 . |
| — дробь с числителем икс и | знаменателем | игрек . — дробь : икс , делённый на игрек . |
| Выражение , стоящее над чертой , называют числителем , а выражение , стоящее под чертой , — | знаменателем | дробного выражения . |
| Сгруппируем дроби , имеющие одинаковые | знаменатели | . |
| разделить наименьший общий знаменатель на | знаменатели | данных дробей , т . |
| 1 177 Запишите все правильные дроби со знаменателем 12 , у которых числитель и | знаменатель | — взаимно простые числа . |
| 1 Чему равен наименьший общий | знаменатель | дробей ? . |
| к ) дробью и её знаменателем , если числитель не изменяется . л ) дробью и её числителем , если | знаменатель | не изменяется . |
| умножить числитель и | знаменатель | каждой дроби на её дополнительный множитель . |
| Умножим числитель и | знаменатель | дроби на одно и то же число 2 . |
| 4 22 На сколько надо увеличить | знаменатель | дроби , чтобы получить дробь . |
| 5 Чему равен наименьший общий | знаменатель | дробей ? . |
| Чтобы привести дробь к знаменателю 12 , надо умножить числитель и | знаменатель | этой дроби на дополнительный множитель 3 ( 12 : 4 = 3 ) . |
| Умножив числитель и | знаменатель | этого дробного выражения на 6 , получим . |
| 8 Дробь семнадцать восемнадцатых имеет простой | знаменатель | и чётный числитель . |
| Знаменатель | дробного выражения . | |
| Изменится ли дробь , если её числитель и | знаменатель | умножить на 15 , а потом разделить на 3 ? . |
| Если числитель и | знаменатель | дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , получится равная ей дробь . |
| 8 Дробь несократима , если её числитель и | знаменатель | — взаимно простые числа . |
| 2 54 Умножьте числитель и | знаменатель | дроби . |
| В сложных случаях наименьший общий | знаменатель | и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители . |
| умножить его целую часть на | знаменатель | дробной части . |
| При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого , а | знаменатель | оставляют тот же . |
| 5 Запишите дробное выражение , | знаменатель | которого — число пять , а числитель равен сумме « эм » и пятнадцати . |
| общий | знаменатель | . |
| Число , на которое надо умножить знаменатель дроби , чтобы получить новый | знаменатель | , называют дополнительным множителем . |
| При приведении дроби к новому знаменателю её числитель и | знаменатель | умножают на дополнительный множитель . |
| разделить с остатком числитель на | знаменатель | . |
| 7 Если | знаменатель | одной из двух дробей кратен знаменателю второй , то он и является наименьшим общим знаменателем этих дробей . |
| остаток ( если он есть ) даёт числитель , а делитель — | знаменатель | дробной части . |
| 3 Чему равен наименьший общий | знаменатель | дробных частей данных чисел ? . |
| Чтобы привести дробь - к знаменателю 12 , надо числитель и | знаменатель | этой дроби умножить на дополнительный множитель 2 ( 12 : 6 = 2 ) . |
| 5 Как называется число , на которое умножают числитель и | знаменатель | дроби при приведении её к новому знаменателю ? . |
| наименьший общий | знаменатель | . |
| 3 291 Напишите дробное выражение , числитель которого 3a — 2b , а | знаменатель | — 6,7x + у . |
| записать полученную сумму числителем дроби , а | знаменатель | дробной части оставить без изменения . |
| Если числитель и | знаменатель | дроби разделить на 5 , то получится равная ей дробь , т . |
| 8 Из двух дробей с равными числителями больше та , у которой больше | знаменатель | . |
| 6 Двадцать четыре — | знаменатель | дроби , равной пяти восьмым . |
| 3 290 Назовите числитель и | знаменатель | выражения . |
| 2 28 Разделите числитель и | знаменатель | каждой из дробей на 9 . |
| 2 6 Умножьте числитель и | знаменатель | каждой дроби на 5 . |
| Найдём наименьший общий | знаменатель | . |
| Словарный диктант . 1 Как называется дробь , числитель и | знаменатель | которой — взаимно простые числа ? . |
| 2 7 Разделите числитель и | знаменатель | каждой дроби на 3 . |
| 2 193 Запишите все числа , большие — 1 и меньшие 1 , | знаменатель | дробной части которых равен 12 . |
| Число , на которое надо умножить | знаменатель | дроби , чтобы получить новый знаменатель , называют дополнительным множителем . |
| Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это число , а | знаменатель | оставить без изменения . |
| 2 53 Разделите числитель и | знаменатель | дроби . |
| разделить наименьший общий | знаменатель | на знаменатели данных дробей , т . |
| Умножим числитель и | знаменатель | данной дроби на 5 , получим 2 2×5 10 . |
| Иногда удобно при сокращении дроби разложить числитель и | знаменатель | на несколько множителей , а потом уже сократить . |
| При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают , а | знаменатель | оставляют тот же . |
| Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции , только греки | знаменатель | записывали сверху , а числитель — снизу . |
| привести данные дроби к наименьшему общему | знаменателю | . |
| 2 100 Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби . |
| приведение дроби к новому | знаменателю | . |
| 10 Приведение дробей к общему | знаменателю | . |
| 7 90 Можно ли привести дробь — к | знаменателю | 20 ; 24 ; 45 ; 75 ; 80 ; 100 ; 1000 ? . |
| Любые две дроби можно привести к одному и тому же | знаменателю | , или , иначе , к общему знаменателю . |
| 7 91 Можно ли привести к | знаменателю | 60 дроби . |
| Приведём дробь к | знаменателю | 35 . |
| 2 99 Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби . |
| Приведём дроби к общему | знаменателю | 15 . |
| 4 51 Какое число надо прибавить к числителю и | знаменателю | дроби 7/21 , чтобы получить дробь 3/7 ? . |
| привести дробные части этих чисел к наименьшему общему | знаменателю | . |
| Дробь можно привести к любому знаменателю , кратному | знаменателю | данной дроби . |
| 2 110 Объясните , не приводя дроби к общему | знаменателю | , почему . |
| 7 93 Можно ли привести к | знаменателю | 100 дробь , если m = 2 ; 25 ; 3 ; 4 ? . |
| 2 98 Сократите дроби 42 -25 , а потом приведите их к | знаменателю | 60 . |
| 1 Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби две пятых и три четвёртых . |
| Приведём дроби — и к наименьшему общему | знаменателю | . |
| Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби ( 4—6 ) . |
| Дробь можно привести к любому | знаменателю | , кратному знаменателю данной дроби . |
| Приведение дробей к общему | знаменателю | . |
| 4 С помощью сокращения приведите дроби шесть восемнадцатых и десять двенадцатых к общему | знаменателю | . |
| 5 Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби три четвёртых и девять десятых . |
| е . говорят , что мы привели дробь к новому | знаменателю | 8 . |
| Восемь шестидесятых к | знаменателю | тридцать . |
| Три четвёртых к | знаменателю | тридцать шесть . |
| 2 153 Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби . |
| Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему | знаменателю | 12 , затем отдельно складываем целые и дробные части . |
| 4 142 Некоторое число вычли из числителя и прибавили к | знаменателю | дроби . |
| приведя дроби к наименьшему общему | знаменателю | . |
| 1 Одна седьмая к | знаменателю | сорок два . |
| приведение дроби к наименьшему общему | знаменателю | . |
| 2 154 Сократите , а затем приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби . |
| 7 Если знаменатель одной из двух дробей кратен | знаменателю | второй , то он и является наименьшим общим знаменателем этих дробей . |
| Обычно дроби приводят к наименьшему общему | знаменателю | . |
| а ) 5 к | знаменателю | 24 . |
| 1 Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби две девятых и семь восемнадцатых . |
| Приведём дробные части к наименьшему общему | знаменателю | 18 и представим данные числа в виде суммы целой и дробной частей . |
| Чтобы привести дроби к наименьшему общему | знаменателю | , надо . |
| к | знаменателю | 1000 . |
| 2 77 Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби . |
| Приведём дробные части чисел к наименьшему общему | знаменателю | 8 , затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной частей . |
| Итак , к какому новому | знаменателю | можно привести данные дроби ? . |
| Чтобы привести дробь к | знаменателю | 12 , надо умножить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 ( 12 : 4 = 3 ) . |
| 2 79 Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби . |
| Приведите дроби 3 и — к наименьшему общему | знаменателю | . |
| 39 к | знаменателю | 100 . |
| Приведите дроби 5 и 3 к наименьшему общему | знаменателю | . |
| Можно ли привести дробь — к | знаменателю | 35 ? |
| к | знаменателю | 25 ? . |
| в ) к | знаменателю | 78 . б ) к знаменателю 60 . г ) 15 к знаменателю 51 . |
| 5 Как называется число , на которое умножают числитель и знаменатель дроби при приведении её к новому | знаменателю | ? . |
| Чтобы привести дробь - к | знаменателю | 12 , надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный множитель 2 ( 12 : 6 = 2 ) . |
| к | знаменателю | 18 . |
| б ) 12 к знаменателю 65 . г ) 12 к | знаменателю | 78 . |
| Как привести дроби к наименьшему общему | знаменателю | ? . |
| Приведём дробные части данных чисел к наименьшему общему | знаменателю | 18 . |
| Приведите смешанные дроби 3 и 1 к наименьшему общему | знаменателю | . |
| а ) 4 1 и 4 к | знаменателю | 10 . б ) |
| 2 78 Приведите к наименьшему общему | знаменателю | дроби . |
| в ) к знаменателю 78 . б ) к | знаменателю | 60 . г ) 15 к знаменателю 51 . |
| в ) 11 к | знаменателю | 57 . |
| 2 72 Сократите дроби 5 , 13 , 15 , 24 , а потом приведите их к | знаменателю | 24 . |
| 8 Чтобы получить дробь , равную данной , всегда можно к её числителю и | знаменателю | прибавить одно и то же число . |
| б ) 12 к | знаменателю | 65 . г ) 12 к знаменателю 78 . |
| в ) к знаменателю 78 . б ) к знаменателю 60 . г ) 15 к | знаменателю | 51 . |
| Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю , или , иначе , к общему | знаменателю | . |
| Приведём к наименьшему общему | знаменателю | дроби 3 и 3 4 6 . |
| 2 73 Можно ли привести к | знаменателю | 36 дроби . |
| 2 34 Назовите наибольший общий делитель числителя и | знаменателя | дроби . |
| 6 Найдите значение | знаменателя | дробного выражения при « ка » , равном единице . |
| Деление числителя и | знаменателя | на их общий делитель , отличный от единицы , называют сокращением дроби . |
| 7 В виде десятичной дроби можно представить только такую обыкновенную дробь , разложение | знаменателя | которой на простые множители содержит лишь числа « два » и « пять » . |
| 3 Как называется операция деления числителя и | знаменателя | дроби на их общий делитель , отличный от единицы ? . |
| произведение тех множителей , которые надо добавить к разложению числа 60 , чтобы получить разложение общего | знаменателя | 840 . |
| 2 88 Найдите наибольший общий делитель числителя и | знаменателя | и сократите дробь . |
| 1 215 Найдите наибольший общий делитель для числителя и | знаменателя | дроби . |
| Запись дробей с помощью числителя и | знаменателя | появилась в Древней Греции , только греки знаменатель записывали сверху , а числитель — снизу . |
| 4 111 Какое число надо отнять от числителя и | знаменателя | дроби , чтобы получить дробь , равную 5/9 ? . |
| Найдите | значение | получившегося выражения при c = 50 ; 75 . |
| 10 10 Найдите | значение | выражения . |
| 5 25 Найдите | значение | выражения . |
| 2 186 Найдите по формуле A = m - 61 . а ) значение A , если m = 63 ; 87 ; 11 . б ) | значение | m , если A = 64 ; 38 ; 0 . |
| 7 6 Найдите | значение | выражения -42у , если у = 0 ; 1 ; – 1 ; 3 ; 5 ; – 30 . |
| 2 129 Найдите | значение | выражения . |
| 8 20 Каким числом может быть | значение | выражения х + у , если . |
| надо это | значение | разделить на дробь . |
| 9 102 Найдите | значение | выражения . |
| 2 186 Найдите по формуле A = m - 61 . а ) | значение | A , если m = 63 ; 87 ; 11 . б ) значение m , если A = 64 ; 38 ; 0 . |
| Здесь буква а может иметь любое | значение | . |
| 2 228 Найдите | значение | выражения . |
| 8 3 Найдите | значение | выражения . |
| 7 75 Представьте в виде дроби ( где а — целое число , b — натуральное число ) | значение | выражения . |
| 2 231 Найдите | значение | выражения . |
| 10 122 Найдите | значение | выражения . |
| Здесь буква а может принимать любые натуральные значения и | значение | 0 . |
| Если | значение | округлить до сотых , то получим значение 3,14 . |
| 3 233 Найдите | значение | выражения . |
| Найдите | значение | получившегося выражения при m = 1200 ; 300 ; 50 . |
| 3 138 Найдите | значение | выражения . |
| 2 182 Найдите | значение | выражения . |
| 2 183 Найдите | значение | выражения . |
| Найдите | значение | получившегося выражения при а = 1,2 ; 44 . |
| То же | значение | можно получить по - другому : вначале записать числа , противоположные данным слагаемым ( т . е . |
| 6 Найдите | значение | выражения -4 - 7 . |
| 8 6 Раскройте скобки и найдите | значение | выражения . |
| 8 22 Найдите | значение | выражения . |
| Если значение округлить до сотых , то получим | значение | 3,14 . |
| 7 94 Найдите | значение | выражения . |
| Составьте выражение для решения задачи , упростите его и найдите | значение | при n = 27 ; 36 ; 333 . |
| 2 136 Найдите | значение | выражения x если x = 4 ; 5 ; 6 . |
| 3 99 Найдите | значение | выражения . |
| 6 99 Найдите | значение | выражения . |
| Найдём | значение | разности 57 - 21 . |
| 7 77 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — натуральное число , | значение | выражения . |
| 6 98 Найдите | значение | выражения . |
| 3 92 Найдите | значение | выражения . |
| Пример 4 Найдём | значение | выражения . |
| 8 14 Найдите | значение | выражения . |
| 1 160 Найдите | значение | выражения . |
| Найдите | значение | у при х = 1 ; 3 ; 7 . |
| 3 121 Найдите | значение | выражения . |
| 1 204 Найдите | значение | выражения . |
| 6 97 Найдите | значение | выражения . |
| Может ли быть положительным , отрицательным или нулём | значение | выражения m ; m — n ? . |
| 4 173 Найдите | значение | выражения . |
| Пример 5 Найдём | значение | выражения ( -4 - 20 ) + ( 6 + 13 ) - ( 7 - 8) - 5 . |
| 8 84 Найдите | значение | выражения , применив распределительное свойство умножения . |
| 1 187 Найдите | значение | выражения . |
| 4 168 Найдите | значение | выражения . |
| Пример 6 Найдём | значение | выражения . |
| 8 17 Найдите наибольшее | значение | выражения . |
| Найдём | значение | произведения . |
| 8 15 Найдите | значение | выражения . |
| 1 85 Какое | значение | получится на калькуляторе по алгоритму . |
| Примерно такую же точность даёт | значение | π = 22/7 . |
| 2 135 Найдите | значение | выражения a + a , если a = 1 ; 2 ; 5 ; 7 . |
| 2 134 Используя свойство вычитания суммы из числа , найдите | значение | выражения . |
| 7 76 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — натуральное число , | значение | выражения . |
| Найдите | значение | получившегося выражения при а = 142 . |
| 6 117 Найдите | значение | выражения . |
| 8 7 Раскройте скобки и найдите | значение | выражения . |
| 2 131 Найдите | значение | выражения . |
| В этом равенстве буквы а и b могут принимать любые натуральные значения и | значение | 0 . |
| 2 132 Найдите | значение | выражения . |
| 10 22 Составьте алгоритм вычислений и с помощью калькулятора найдите | значение | выражения . |
| Как можно найти | значение | выражения , противоположное сумме нескольких чисел ? . |
| 2 150 Найдите | значение | выражения . |
| 6 114 Найдите | значение | выражения ( а + b ) — с , |
| 2 221 Найдите | значение | разности . |
| 2 133 Используя свойство вычитания числа из суммы , найдите | значение | выражения . |
| Подумайте , каким может быть | значение | x и каким быть не может . |
| 2 223 Найдите | значение | выражения . |
| 3 276 Найдите | значение | выражения . |
| 3 124 Найдите | значение | выражения . |
| Пример 3 Найдём | значение | выражения . |
| 3 123 Найдите | значение | выражения . |
| 10 21 Найдите | значение | выражения . |
| Найдём | значение | разности . |
| 2 206 Найдите | значение | выражения . |
| Верно ли , что | значение | площади ( в квадратных метрах ) . |
| 6 102 Найдите | значение | выражения . |
| 3 Найдите | значение | выражения 0,7 × 26 - 16 × 0,7 , применив распределительное свойство умножения . |
| Найдём | значение | выражения . |
| 3 293 Найдите | значение | выражения . |
| 4 127 Найдите | значение | выражения . |
| 3 188 Найдите | значение | выражения . |
| Найдём | значение | суммы 16 + 19 . |
| 2 60 Найдите | значение | выражения . |
| 8 64 Найдите | значение | выражения . |
| 2 122 Найдите | значение | выражения . |
| 1 137 Найдите | значение | выражения : ( 15,964 : 5,2 — 1,2 ) 0,1 . |
| 8 44 Найдите | значение | выражения . |
| 4 26 Найдите | значение | выражения . |
| 7 29 Подберите такие отрицательные значения х и у , чтобы | значение | выражения х - у было равно . |
| 7 102 Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные числа , найдите | значение | выражения . |
| 7 103 Сложив сначала противоположные числа , найдите | значение | выражения . |
| 9 98 Найдите | значение | выражения . |
| 6 48 Найдите | значение | выражения . |
| 7 128 Найдите | значение | выражения . |
| 5 112 Найдите | значение | . |
| 9 86 Найдите | значение | выражения . |
| 9 130 Найдите | значение | выражения . |
| Найдите | значение | получившегося выражения , если . |
| 3 14 Найдите | значение | выражения двумя способами : по правилу умножения обыкновенных дробей и по правилу умножения десятичных дробей . |
| 6 83 Найдите | значение | выражения . |
| 5 80 Найдите | значение | к , если -к равно -3,5 ; 6,8 . |
| 5 83 Найдите | значение | выражения . |
| 2 94 Найдите | значение | выражения . |
| 5.90 Найдите | значение | выражения . |
| 8 46 Найдите | значение | выражения . |
| Найдём | значение | суммы . |
| 8 Если отношение двух чисел равно нулю целых двум десятым , то | значение | обратного отношения равно пяти . |
| Найдите | значение | отношения величин ( 3—6 ) . |
| Запишите | значение | отношения , обратного отношению ( 1—2 ) . |
| Найдите | значение | отношения ( 3—4 ) . |
| 4 38 Найдите | значение | выражения . |
| 10 97 Найдите | значение | выражения . |
| Выразите в процентах | значение | отношения ( 2—3 ) . |
| 7 105 Выбрав удобный порядок вычислений , найдите | значение | выражения . |
| 7 126 Выбрав удобный порядок вычислений , найдите | значение | выражения . |
| 7 108 Выбрав удобный порядок вычислений , найдите | значение | выражения . |
| 3 317 Найдите | значение | выражения . |
| 7 36 Найдите | значение | выражения . |
| 7 119 Найдите наибольшее | значение | выражения . |
| 3 193 Найдите по формуле площади прямоугольника S = ab | значение | . |
| 7 125 Найдите | значение | выражения . |
| 8 119 Докажите , что при любом значении буквы | значение | выражения . |
| 3 318 Найдите | значение | выражения . |
| 8 120 Найдите | значение | выражения . |
| 3 300 Найдите | значение | выражения x , если . |
| если . 3 299 Найдите | значение | выражения . |
| 3 295 Найдите | значение | выражения . |
| 6 3 Найдите | значение | выражения . |
| 3 294 Найдите | значение | выражения . |
| Найдите | значение | этого выражения . |
| 3 301 Найти с помощью калькулятора | значение | выражения можно по алгоритму . |
| 7 114 Выбрав удобный порядок вычислений , найдите | значение | выражения . |
| Найдите | значение | величины ( 3—4 ) . |
| 7 34 Найдите | значение | произведения . |
| Теперь легко найти | значение | х . |
| 9 123 Найдите | значение | выражения . |
| 2 15 Найдите | значение | выражения . |
| 6 38 Найдите | значение | выражения . |
| 6 32 Найдите | значение | выражения х + у + ( -16 ) , если . |
| 3 205 Найдите | значение | выражения . |
| 8 70 Найдите | значение | выражения 1 - 3 + 5- 7 + 9 -11 + .. + 97 - 99 . |
| 5 130 Найдите | значение | неизвестного числа х . |
| 6 31 Сравните | значение | выражения с данным числом . |
| 5 143 Найдите | значение | выражения . |
| 7 33 Найдите | значение | выражения . |
| Чтобы найти число по данному значению его дроби , надо дробь разделить на это | значение | . |
| 6 26 Найдите | значение | выражения . |
| 1 67 Найдите | значение | выражения . |
| 6 Найдите | значение | знаменателя дробного выражения при « ка » , равном единице . |
| Найдите его | значение | при у . |
| 8 Чему равно | значение | разности ? . |
| 3 180 Найдите | значение | выражения . |
| французские математики Рене Декарт и Пьер Ферма впервые открыли | значение | использования координат в математике . |
| 5 40 Найдите | значение | выражения . |
| 7 72 Найдите | значение | выражения . |
| 7 15 Найдите | значение | произведения . |
| 2 171 Найдите | значение | выражения . |
| 3 40 Найдите | значение | выражения . |
| 7 70 Найдите | значение | выражения . |
| 2 175 Найдите | значение | выражения . |
| 3 39 Найдите | значение | выражения . |
| 9 13 Найдите | значение | выражения . |
| 10 4 Найдите | значение | выражения . |
| 6 68 Найдите | значение | суммы . |
| 6 7 С помощью координатной прямой найдите | значение | выражения . |
| 7 99 Найдите | значение | выражения . |
| 4 100 Найдите | значение | выражения . |
| 3 167 Найдите | значение | выражения . |
| 1 106 Найдите | значение | выражения . |
| 6 69 Найдите | значение | выражения . |
| 7 13 Найдите | значение | выражения . |
| 1 104 Найдите | значение | выражения 4,7k + 5,3k — 0,83 , если k = 0,83 ; 8,3 ; 0,083 . |
| 6 80 Найдите | значение | а + b , если . |
| 10 94 Найдите | значение | выражения . |
| 9 44 Найдите | значение | выражения . |
| 8 26 Раскройте скобки и найдите | значение | выражения . |
| 3 152 Найдите | значение | выражения . |
| 8 81 Найдите | значение | выражения . |
| Чтобы найти | значение | выражения -(-9 + 5 ) , надо сложить числа -9 и 5 и найти число , противоположное полученной сумме : -(-9 + 5 ) = -(-4 ) = 4 . |
| 7 95 Представьте в виде дроби , где а — целое число , b — натуральное число , b | значение | выражения . |
| 8 29 Найдите | значение | выражения . |
| 3 156 Упростите и найдите | значение | выражения . |
| Пример 2 Найдём | значение | выражения . |
| Найдите | значение | получившегося выражения при c = 90 ; 63 . |
| 3 163 Найдите | значение | выражения . |
| 3 54 Найдите | значение | выражения . |
| 3 155 Найдите | значение | выражения . |
| 5 57 Найдите | значение | . |
| 6 67 Найдите | значение | выражения . |
| 3 21 Найдите | значение | выражения . |
| Выполнив указанные действия , найдём | значение | этого выражения : 0,75 , или . |
| 7 22 Найдите | значение | . |
| 4 Чему равно | значение | суммы ? . |
| 8 49 Найдите | значение | выражения . |
| 7 48 Найдите | значение | выражения . |
| 5 66 Найдите | значение | выражения . |
| 5 65 Найдите | значение | выражения . |
| 6 59 Найдите | значение | выражения . |
| 5 63 Найдите | значение | выражения х , если . |
| 7 53 Найдите | значение | выражения . |
| 7 21 Найдите | значение | выражения . |
| 4 91 Найдите | значение | выражения . |
| 1 237 Найдите | значение | выражения . |
| 3 25 Найдите по формуле пути s = vt | значение | s , если . |
| 2 123 Найдите | значение | выражения . |
| 4 89 Найдите | значение | выражения . |
| 7 16 Найдите | значение | произведения . |
| 3 26 Найдите по формуле объёма прямоугольного параллелепипеда V = abc | значение | V , если a = 4/5 дм , b = 2 1/2 дм , c = 13/4 дм . |
| 8 Чему равно | значение | данного выражения ? . |
| 5 61 Найдите | значение | выражения . |
| 10 43 При x = 2 ; -2 найдите | значение | выражения . |
| 3 32 Найдите | значение | выражения . |
| 5 Найдите | значение | выражения -(-15 ) . |
| 10 95 Найдите | значение | дробного выражения . |
| 7 61 Найдите | значение | выражения . |
| Для дроби 1- = 0,333 .. число 0,3 является приближённым | значением | до десятых с недостатком : 0,3 < 1 Число 0,4 является приближённым значением этой дроби до десятых с избытком : 1<0,4 . |
| Для дроби 1- = 0,333 .. число 0,3 является приближённым значением до десятых с недостатком : 0,3 < 1 Число 0,4 является приближённым | значением | этой дроби до десятых с избытком : 1<0,4 . |
| Следите за верным употреблением слов кратно и кратное ( в | значении | существительного ) . |
| 2 89 При каком | значении | х верно равенство . |
| 8 119 Докажите , что при любом | значении | буквы значение выражения . |
| Зависимость между шириной и длиной при одном и том же | значении | площади прямоугольника обратно пропорциональная , так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз , то надо ширину во столько же раз уменьшить . |
| 4 80 При каком | значении | x верна пропорция . |
| Если величины обратно пропорциональны , то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих | значений | другой величины . |
| Чему равно отношение соответствующих | значений | второй величины ? . |
| Если величины обратно пропорциональны , то отношение | значений | одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины . |
| Что можно сказать об отношениях соответствующих | значений | таких величин ? |
| Если две величины прямо пропорциональны , то отношения соответствующих | значений | равны . |
| Что можно сказать об отношениях соответствующих | значений | таких величин ? . |
| Составьте таблицу | значений | s для t = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ч . |
| С помощью циркуля отметьте на луче числа : m + 1 ; m - 1 ; m + m . 1 22 Даны три числовых выражения и три алгоритма вычисления их | значений | на калькуляторе . |
| 3 265 Находить число по заданному | значению | его процентов можно с помощью калькулятора . |
| Сформулируйте правило нахождения числа по данному | значению | его дроби . |
| Чтобы найти число по данному | значению | его дроби , надо дробь разделить на это значение . |
| Расскажите , как найти число по данному | значению | его процентов . |
| Чтобы найти число по данному | значению | его дроби . |
| Если | значения | двух величин выражены , разными единицами измерения , то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения . |
| Постройте алгоритм нахождения | значения | выражения и выполните по ней вычисления . |
| 7 29 Подберите такие отрицательные | значения | х и у , чтобы значение выражения х - у было равно . |
| 6 58 Сравните | значения | выражений . |
| 1 165 Подставьте в таблицу подходящие натуральные | значения | x и у и сделайте выводы о чётности или нечётности результата действия в каждом случае . |
| 3 306 Найдите наибольшее и наименьшее | значения | выражения , если x = 1 . |
| понизится на 3 ° С ) , то она станет равной 5 ° С. Будем и в этом случае записывать результат в виде суммы первоначального | значения | и изменения : 8 + ( -3 ) = 5 . |
| Таким образом , температура стала равной сумме первоначального | значения | и изменения . |
| 7 118 Придумайте такие | значения | х и у , при которых верно соотношение . |
| 6 8 По геометрической модели найдите | значения | х и у . |
| 2 19 Составьте алгоритм вычисления на калькуляторе | значения | выражения . |
| 3 176 Найдите наименьшее и наибольшее | значения | выражения 3х , если х= 12 . |
| В этом равенстве буквы а и b могут принимать любые натуральные | значения | и значение 0 . |
| 7 97 Выразите дроби в виде приближённого | значения | десятичной дроби , округлив результат до тысячных . |
| 7 83 Выразите дроби виде приближённого | значения | десятичной дроби до сотых . |
| Если | значения | двух величин выражены одной и той же единицей . |
| Отношения 3,6 : 1,2 и 6,3 : 2,1 равны , так как | значения | частных равны 3 . |
| Здесь буква а может принимать любые натуральные | значения | и значение 0 . |
| 9 68 Попробуйте найти простой способ для вычисления | значения | выражения . |
| 2 209 Найдите натуральные | значения | т , при которых верно неравенство . |
| Кроме того , для любого | значения | a . a · 0 = 0 · a = 0 ; a · 1 = 1 · a = a . |
| 1 43 Подставьте в таблицу подходящие | значения | а и b и сделайте вывод о чётности или нечётности результата действия . |
| б ) При каких натуральных | значениях | b дробь будет неправильной ? . |
| 7 86 При каких | значениях | т верно равенство . |
| 7 56 При каких | значениях | множителей произведение ху равно нулю ? |
| 8 Равенство \-m\ = m верно при любых | значениях | « эм » . |
| Попробуйте доказать , что это равенство верно при любых | значениях | а и b . |
| 1 57 а ) При каких натуральных | значениях | а дробь будет правильной ? . |
| Как доказать , что утверждение « Равенство а : b = b : а верно при любых | значениях | а и b » несправедливо ? . |
| 2 51 При каких натуральных | значениях | букв равны дроби . |
| 6 42 При каких | значениях | т верно неравенство . |
| 1 143 При каких натуральных | значениях | а произведение 23a является простым числом ? . |
| Решите задачу при следующих | значениях | букв . |
| 8 113 При каких | значениях | а верно неравенство . |
| 4 При каких натуральных | значениях | « эм » произведение сорока одного и « эм » — простое число ? . |
| 5 110 При каких | значениях | а верно равенство а + а = 0 и при каких неверно ? . |
| 7 65 При каких целых | значениях | х верно неравенство . |
| Какая | игра | длилась дольше и на сколько ? . |
| 9 46 Шестиклассники участвовали в спортивной | игре | . |
| 4 Запишите координаты точек , лежащих на оси « | игрек | » на расстоянии в шесть единичных отрезков от начала координат . |
| 5 Произведение одной второй « | игрек | » и минус шести . |
| 2 Сумма « | игрек | » и трёх равна минус семи . |
| — сумма минус семи | игрек | и девяти равна сумме минус восьми игрек и минус трёх . |
| — дробь с числителем икс и знаменателем игрек . — дробь : икс , делённый на | игрек | . |
| -20у — минус двадцать | игрек | . |
| — дробь с числителем икс и знаменателем | игрек | . — дробь : икс , делённый на игрек . |
| — произведение минус двадцати и | игрек | . |
| 4 Сумма выражения « икс » минус « игрек » и выражения « | игрек | » минус « икс » . |
| Сумма пяти восьмых « игрек » и трёх восьмых « | игрек | » . |
| 4 Сумма выражения « икс » минус « | игрек | » и выражения « игрек » минус « икс » . |
| — сумма минус семи игрек и девяти равна сумме минус восьми | игрек | и минус трёх . |
| Сумма пяти восьмых « | игрек | » и трёх восьмых « игрек » . |
| — частное икс и | игрек | . |
| 2 Сумма одной третьей « | игрек | » и единицы равна минус двум . |
| 4 Сумма выражения « икс » минус « игрек » и выражения « игрек » минус « | икс | » . |
| 4 Сумма выражения « | икс | » минус « игрек » и выражения « игрек » минус « икс » . |
| 2 Разность семи и суммы « | икс | » и семи . |
| 6 Сумма минус « икс » и минус « | икс | » . |
| 6 Сумма минус « | икс | » и минус « икс » . |
| — минус две седьмых | икс | равны минус четырём одиннадцатым . |
| x = +1,3 ( | икс | равен плюс одной целой трём десятым ) . |
| 5 Запишите уравнение « сумма « | икс | » и одной третьей равна одной второй » и решите его . |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь | икс | минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс . |
| — сумма семи икс , минус трёх | икс | , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс . |
| — сумма семи | икс | , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс . |
| 4 Минус « | икс | » . |
| 1 Разность « | икс | » и восьми равна девяти . |
| 3 Минус два « | икс | » равны минус шести . |
| — частное | икс | и игрек . |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх | икс | . — семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс . |
| 1 Два « | икс | » равны разности « икс » и шести . |
| 1 Два « икс » равны разности « | икс | » и шести . |
| 3 Разность пяти « | икс | » и двадцати одного равна двум « икс » . |
| 3 Разность пяти « икс » и двадцати одного равна двум « | икс | » . |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре | икс | . |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс минус три | икс | плюс шесть икс минус четыре икс . |
| 6 Составьте уравнение для решения задачи : « На одной полке « | икс | » книг , а на другой — втрое больше . |
| — дробь с числителем икс и знаменателем игрек . — дробь : | икс | , делённый на игрек . |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс минус три икс плюс шесть | икс | минус четыре икс . |
| — дробь с числителем | икс | и знаменателем игрек . — дробь : икс , делённый на игрек . |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести | икс | и минус четырёх икс . — семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс . |
| В математике существуют и другие числа — | иррациональные | , комплексные и др. |
| Идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась в древности — прежде всего у астрономов и географов при составлении звёздных и географических | карт | , календаря . |
| 7 62 Показана | карта | мира с часовыми поясами . |
| Говорят , что | карта | сделана в масштабе одна стотысячная . |
| Длина отрезка на | карте | 3 см. Найдём длину соответствующего отрезка на местности , если масштаб карты 1 : 1 000 000 . |
| Какое расстояние на | карте | соответствует расстоянию в десять километров на местности ? . |
| 2 Расстоянию в один сантиметр на | карте | соответствует расстояние в один километр на местности . |
| 1 Расстояние между двумя пунктами на местности в десять тысяч раз больше соответствующего расстояния на | карте | . |
| 5 Отношение длины отрезка на местности к длине соответствующего отрезка на | карте | называется масштабом карты . |
| Каким отрезком будет изображено это расстояние на | карте | , масштаб которой 1 : 10 000 000 ? . |
| 8 76 Отрезком какой длины изображается на | карте | расстояние 35 км , если масштаб карты 1 : 100 000 ? . |
| Какой отрезок на местности изображается на | карте | отрезком длиной 1,8 см ? . |
| 8 77 Расстояние от Новосибирска до Красноярска изображается на | карте | , масштаб которой 1 : 10 000 000 , отрезком 6,3 см. Определите это расстояние на местности . |
| 4 108 Отрезок на местности длиной 3 км изображён на карте отрезком 6 см. Чему равна на | карте | длина отрезка , изображающего отрезок 10 км ? |
| 4 108 Отрезок на местности длиной 3 км изображён на | карте | отрезком 6 см. Чему равна на карте длина отрезка , изображающего отрезок 10 км ? |
| Чему равно расстояние между городами , если на этой | карте | расстояние между ними 12,6 см ? . |
| 4 106 Отрезку на | карте | , длина которого 3,6 см , соответствует расстояние на местности в 72 км . |
| 4 102 Расстояние между городами A и Б на | карте | равно 8,5 см. Найдите расстояние между городами на местности , если масштаб карты 1/100 000 . |
| Например , отрезок 1000 м изображают на | карте | отрезком в 1 см. Так как 1000 м = = 100 000 см , то каждый отрезок на карте в 100 000 раз меньше соответствующего отрезка на местности . |
| 4 101 Определите по | карте | расстояние от опушки леса ( точка A ) до точки пересечения дороги с рекой ( точка Б ) . |
| Ответ : длина отрезка на | карте | 4,5 см . |
| Например , отрезок 1000 м изображают на карте отрезком в 1 см. Так как 1000 м = = 100 000 см , то каждый отрезок на | карте | в 100 000 раз меньше соответствующего отрезка на местности . |
| Отношение длины отрезка на | карте | к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты . |
| Обозначим длину ( в километрах ) отрезка на | карте | буквой х и составим пропорцию : х : 4,5 = 1 : 100 000 . |
| Чему равна длина этого отрезка на | карте | , сделанной в масштабе 1 : 100 000 ? . |
| в ) масштаб карты . г ) расстояние на местности по известному расстоянию на | карте | и масштабу карты ? . |
| Какой длины получится линия , изображающая эту магистраль на | карте | , сделанной в масштабе . |
| Обозначим длину отрезка на местности ( в сантиметрах ) буквой x и найдём отношение длины отрезка на | карте | к длине отрезка на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу карты . |
| 8 93 Отрезком какой длины изображается на | карте | расстояние 6,5 км , если масштаб карты 1 : 25 000 ? . |
| 8 94 На | карте | отрезок имеет длину 12,6 см. Чему равна длина этого отрезка на местности , если масштаб карты 1 : 150 000 ? . |
| 6 Как называется отношение длины отрезка на | карте | к длине соответствующего отрезка на местности ? . |
| Расстояние между пунктами на | карте | . |
| 10 114 На карте железная дорога Москва — Санкт - Петербург , имеющая длину 650 км , изображена линией длиной 5 см. Какую длину на этой | карте | имеет линия , изображающая Байкало - Амурскую магистраль , если длина этой магистрали 3145 км ? |
| 10 114 На | карте | железная дорога Москва — Санкт - Петербург , имеющая длину 650 км , изображена линией длиной 5 см. Какую длину на этой карте имеет линия , изображающая Байкало - Амурскую магистраль , если длина этой магистрали 3145 км ? |
| 8 92 Определите масштаб карты , если расстояние между двумя пунктами на местности 750 м , а на | карте | 25 мм . |
| 4 144 Запишите масштаб карты , если отрезок на местности в 1 км изображается на | карте | отрезком 10 см . |
| 9 47 Возьмите географическую | карту | и назовите широту и долготу городов : Москва , Санкт - Петербург , Екатеринбург , Владивосток . |
| в ) масштаб | карты | . г ) расстояние на местности по известному расстоянию на карте и масштабу карты ? . |
| Что называют масштабом | карты | ? . |
| 4 102 Расстояние между городами A и Б на карте равно 8,5 см. Найдите расстояние между городами на местности , если масштаб | карты | 1/100 000 . |
| Каким должен быть масштаб | карты | , чтобы на ней это расстояние имело длину 8,8 см ? . |
| 8 76 Отрезком какой длины изображается на карте расстояние 35 км , если масштаб | карты | 1 : 100 000 ? . |
| 5 Отношение длины отрезка на местности к длине соответствующего отрезка на карте называется масштабом | карты | . |
| Обозначим длину отрезка на местности ( в сантиметрах ) буквой x и найдём отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу | карты | . |
| Масштаб | карты | 1 : 100 000 . |
| Длина отрезка на карте 3 см. Найдём длину соответствующего отрезка на местности , если масштаб | карты | 1 : 1 000 000 . |
| 8 92 Определите масштаб | карты | , если расстояние между двумя пунктами на местности 750 м , а на карте 25 мм . |
| 3 Масштаб | карты | « одна миллионная » . |
| 8 93 Отрезком какой длины изображается на карте расстояние 6,5 км , если масштаб | карты | 1 : 25 000 ? . |
| В рассмотренном нами примере масштаб | карты | равен 1:100 000 = 1/100 000 . |
| Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом | карты | . |
| 4 144 Запишите масштаб | карты | , если отрезок на местности в 1 км изображается на карте отрезком 10 см . |
| в ) масштаб карты . г ) расстояние на местности по известному расстоянию на карте и масштабу | карты | ? . |
| 4 143 Масштаб | карты | 1 : 100 000 . |
| Определите масштаб | карты | , если . |
| 8 94 На карте отрезок имеет длину 12,6 см. Чему равна длина этого отрезка на местности , если масштаб | карты | 1 : 150 000 ? . |
| 4 121 Найдите с помощью | карты | расстояние от Москвы до Екатеринбурга . |
| « эс » равно « пи эр » | квадрат | . |
| 5 Найдите | квадрат | минус восьми . |
| При таком делении | квадрат | будет состоять из 15 равных частей , а прямоугольник будет состоять из 8 таких частей . |
| 8 Площадь круга « эс » равна произведению числа « пи » и квадрата радиуса круга « эр | квадрат | » . |
| 10 68 Постройте | квадрат | ABCD по координатам его вершин А(0 ; 3 ) , В(3 ; 6 ) , С(6 ; 3 ) и D(3 ; 0 ) . |
| в ) | квадрат | является ромбом . |
| — | квадрат | пяти седьмых . — пять седьмых в квадрате . |
| Квадрат | является прямоугольником . | |
| Квадрат | AMNK от квадрата ABCD . | |
| а ) | квадрат | чётного числа . |
| в ) куб чётного числа . б ) | квадрат | нечётного числа . |
| а ) | квадрат | AEFP от квадрата ABCD . б ) квадрат AEFP от квадрата AMNK . |
| а ) квадрат AEFP от квадрата ABCD . б ) | квадрат | AEFP от квадрата AMNK . |
| Подумайте , является ли правильным многоугольником прямоугольник ; | квадрат | . |
| 3 104 Основанием прямоугольного параллелепипеда служит | квадрат | со стороной 1,1 дм . |
| Чему равна площадь | квадрата | ? . |
| а ) квадрат AEFP от квадрата ABCD . б ) квадрат AEFP от | квадрата | AMNK . |
| квадрат AMNK от | квадрата | ABCD . |
| 8 Площадь круга « эс » равна произведению числа « пи » и | квадрата | радиуса круга « эр квадрат » . |
| 3 10 Сторона | квадрата | 7 м . |
| а ) квадрат AEFP от | квадрата | ABCD . б ) квадрат AEFP от квадрата AMNK . |
| Площадь круга S больше площади квадрата EFKM , но меньше площади | квадрата | ABCD . |
| Найдите периметр | квадрата | . |
| в ) площадью | квадрата | и длиной его стороны . г ) массой стального бруска и его объёмом . д ) числом рабочих , выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу , и временем выполнения этой работы . е ) стоимостью товара и его количеством , купленным на определённую сумму денег . |
| 9 9 Расставьте числа 1 , -2 , 3 , -4 , 5 , -6 , 7 , -8 , 9 в клетках | квадрата | так , чтобы их произведения по всем горизонталям , вертикалям и диагоналям были положительны . |
| 3 2 Сторона | квадрата | 7 м . |
| Площадь круга S больше площади | квадрата | EFKM , но меньше площади квадрата ABCD . |
| и ) периметром | квадрата | и длиной его стороны . |
| Площадь треугольника EOF вдвое меньше площади | квадрата | AEOF , поэтому площадь EFKM вдвое меньше площади квадрата ABCD , т . |
| 1 111 Может ли площадь | квадрата | выражаться простым числом , если длина его стороны выражается натуральным числом ? . |
| 2 55 Древнегреческих , а также древнеиндийских математиков интересовали числа , которые соответствовали количеству точек , расположенных в виде некоторой геометрической фигуры — треугольника , | квадрата | и др. |
| Видно , что данный прямоугольник можно получить так : разделить одну сторону | квадрата | со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части , а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части . |
| Радиус круга равен r , поэтому длина стороны | квадрата | ABCD равна 2r , а его площадь 4r2 . |
| Изображены круг и два | квадрата | ABCD и EFKM . |
| 10 70 Отметьте на координатной плоскости вершины А(-4 ; 2 ) , В(1 ; 7 ) и С(6 ; 2 ) | квадрата | ABCD . |
| Площадь треугольника EOF вдвое меньше площади квадрата AEOF , поэтому площадь EFKM вдвое меньше площади | квадрата | ABCD , т . |
| — квадрат пяти седьмых . — пять седьмых в | квадрате | . |
| 7 Площадь прямоугольника со сторонами одна пятая метра и одна четвёртая метра равна одной десятой | квадратного | метра . |
| Площадь прямоугольника равна пяти седьмым | квадратного | метра , если его стороны равны одной пятой метра и одной седьмой метра . |
| 3,5 % гектара . г ) 0,07 % | квадратного | километра ? . |
| Подумайте , как можно находить треугольные и | квадратные | числа , используя ряд натуральных чисел . |
| 8 Площадь прямоугольника со сторонами четыре метра и одна целая три четвёртых метра равна шести | квадратным | метрам . |
| Например , число 10 называли треугольным , число 16 — | квадратным | . |
| 3 Восьмая часть которой равна сорока | квадратным | метрам . |
| Значит , площадь огорода равна трёмстам двадцати | квадратным | метрам . |
| Используя 13 , попробуйте найти ещё несколько треугольных и | квадратных | чисел . |
| ( Результат округлите до миллионов | квадратных | километров . ) . |
| 8 Площадь теплицы — сорок | квадратных | метров , что составляет одну восьмую площади огорода . |
| 3 44 Сколько | квадратных | метров составляют . |
| Сколько тысяч | квадратных | метров жилья должны были сдать строители ? . |
| Верно ли , что значение площади ( в | квадратных | метрах ) . |
| г ) ромб является | квадратом | ? |
| Квадратом | ? | |
| а ) прямоугольник является | квадратом | . |
| отношение площади круга к | квадрату | его радиуса ? . |
| 5 Площадь круга прямо пропорциональна | квадрату | его радиуса . |
| Произведение дробей , | квадраты | и кубы дробей можно прочитать так . |
| 1 218 Лист картона имеет форму прямоугольника , длина которого 48 см , а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные | квадраты | . |
| Какие наибольшие | квадраты | можно получить из этого листа ? . |
| 10 116 Отлитый в 1735 г. Царь - | колокол | , хранящийся в Московском Кремле , имеет диаметр 6,6 м . |
| Вычислите длину окружности основания Царь - | колокола | . |
| 4 165 Длина внутренней окружности | кольца | равна 3,5 дм . |
| Комбинаторика | . | |
| Такие задачи называют комбинаторными , а раздел математики , занимающийся подобными задачами , — | комбинаторикой | . |
| Такие задачи называют | комбинаторными | , а раздел математики , занимающийся подобными задачами , — комбинаторикой . |
| В математике существуют и другие числа — иррациональные , | комплексные | и др. |
| 5 79 Изображён | конус | . |
| Рассмотрите форму отдельных их частей : использованы ли архитекторами известные вам фигуры — призма , цилиндр , пирамида , | конус | ? . |
| Конус | . | |
| Какой высоты должен быть цилиндр с такой же площадью основания , чтобы его объём был равен объёму | конуса | ? |
| 6 108 Высота | конуса | 24 см , а площадь основания 15 см2 . |
| Вычислите объём цилиндра и объём | конуса | , у которых высоты по 12 см и радиусы оснований по 2 см . |
| Вычислите площадь поверхности | конуса | , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с прямым углом , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| Основание | конуса | — круг , а развёртка боковой поверхности — сектор . |
| Объём | конуса | в 3 раза меньше объёма цилиндра с такими же основанием и высотой . |
| Запишите координаты точек пересечения окружности с осями | координат | . |
| Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые и у , которые пересекаются в начале отсчёта — точке О. Эти прямые задают систему | координат | на плоскости . |
| Две точки координатной плоскости , имеющие противоположные координаты , называют симметричными относительно начала | координат | . |
| Запишите координаты точек пересечения сторон треугольника с осями | координат | . |
| Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках ) от начала | координат | до точки А(а ) . |
| а ) начала | координат | . |
| Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у , образующие систему | координат | на плоскости ? |
| Начало отсчёта ( или начало | координат | ) — точка О изображает 0 ( нуль ) . |
| Видно , что при перемещении точки А(4 ) на 4 единицы влево она переходит в начало | координат | 0(0 ) . |
| Описание применения координат дал в книге « Геометрия » в 1637 г. Р. Декарт , поэтому прямоугольную систему | координат | часто называют декартовой . |
| Точку О называют началом | координат | . |
| Описание применения | координат | дал в книге « Геометрия » в 1637 г. Р. Декарт , поэтому прямоугольную систему координат часто называют декартовой . |
| 4 Запишите координаты точек , лежащих на оси « игрек » на расстоянии в шесть единичных отрезков от начала | координат | . |
| французские математики Рене Декарт и Пьер Ферма впервые открыли значение использования | координат | в математике . |
| Плоскость , на которой выбрана система | координат | , называют координатной плоскостью . |
| система | координат | на плоскости начало координат . |
| система координат на плоскости начало | координат | . |
| древнегреческий астроном Клавдий Птоломей пользовался широтой и долготой в качестве | координат | . |
| 6 На координатной плоскости оси | координат | перпендикулярны . |
| Проверьте , верно ли , что ТЕ Ох и АТ = АЕ , где О — начало | координат | , А — точка пересечения ТЕ с осью абсцисс . |
| Запишите координаты точек пересечения этой окружности с осями | координат | . |
| С помощью линейки выясните , лежат ли точки А , В и О ( начало | координат | ) на одной прямой . |
| 8 Точка с координатой « минус три » на вертикальной координатной прямой находится ниже начала | координат | . |
| б ) слева от начала | координат | ? . |
| Какую координату имеет начало | координат | ? . |
| а ) выше начала | координат | . |
| б ) ниже начала | координат | ? . |
| а ) справа от начала | координат | . |
| 5 Точка с координатой « минус десять » на горизонтальной координатной прямой находится правее начала | координат | . |
| При этом удобнее выбирать разные масштабы на осях | координат | . |
| Чему равна | координата | этой точки ? . |
| Координата | точки на прямой . | |
| Значит , | координата | левого конца равна минус восьми . |
| 6 На координатном луче точка , | координата | которой равна пяти восьмым , лежит правее точки с координатой три четвёртых . |
| 1 Чему равна | координата | начала отсчёта на координатной прямой ? . |
| Чему равна | координата | каждой точки ? |
| 5 43 Заполните пустые места и отметьте на координатной прямой точки , имеющие своими | координатами | числа . |
| Точка « эм » с | координатами | минус два и три расположена правее оси ординат . |
| Какие из этих чисел являются | координатами | одной и той же точки ? . |
| 6 72 Чему равно расстояние ( в единичных отрезках ) между точками координатной прямой с | координатами | . |
| 5 12 Выбрав в качестве единичного отрезка 2 клетки , изобразите на координатной прямой точки с | координатами | . |
| — точка эм с | координатами | минус два и семь . |
| 7 88 Отметьте на координатной прямой точки с целыми | координатами | . |
| В географии положение точек на земной поверхности тоже определяют двумя числами — географическими | координатами | : широтой и долготой . |
| 9 58 Отметьте на координатной плоскости точку А(2 ; 5 ) и точку В с противоположными | координатами | . |
| Точки с | координатами | 5 и -5 одинаково удалены от точки O и находятся по разные стороны от неё . |
| 3 Найдите расстояние ( в единичных отрезках ) между точками с | координатами | « минус два » и « плюс один » . |
| Отметьте на координатном луче точки с | координатами | . |
| Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел : её абсцисса и каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости , для которой эти числа являющаяся | координатами | . |
| Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах , условились ставить перед | координатами | на одном луче знак « + » , а перед координатами на другом луче — знак « - » . |
| Показано , как попасть в точку С с | координатами | ( -4 ; -3 ): сначала надо пройти по оси х от начала отсчёта влево на 4 единицы , а потом пройти на 3 единицы вниз . |
| Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах , условились ставить перед координатами на одном луче знак « + » , а перед | координатами | на другом луче — знак « - » . |
| Эту пару чисел называют | координатами | точки М. Число 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| Точка « цэ » с | координатами | минус четыре и единица . |
| Точки с | координатами | ( 0 ; -180 ) , ( 1 ; -120 ) ; ( 2 ; -60 ) лежат на одной прямой с ранее найденными точками . |
| Отметьте на луче точки с | координатами | . |
| 8 Точка « дэ » с | координатами | два и минус четыре расположена ниже оси абсцисс . |
| 2 121 На координатном луче отмечены точки A и B. Отметьте на луче точку с | координатами | . |
| На горизонтальной координатной прямой точка с большей | координатой | лежит правее точки с меньшей координатой . |
| На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей | координатой | . |
| 5 13 Треугольный флажок находится в точке с координатой -2 , а прямоугольный — в точке с | координатой | +2 . |
| 5 13 Треугольный флажок находится в точке с | координатой | -2 , а прямоугольный — в точке с координатой +2 . |
| 6 На координатном луче точка , координата которой равна пяти восьмым , лежит правее точки с | координатой | три четвёртых . |
| Тогда положение любой точки на каждом из лучей задаётся её | координатой | . |
| Что называют | координатой | точки на прямой ? . |
| так как точка с | координатой | 0 совпадает с началом отсчёта О. , т . |
| 8 Модуль числа « эм » равен расстоянию ( в единичных отрезках ) от начала отсчёта до точки с | координатой | « эм » . |
| 6 Найдите расстояние между точкой с | координатой | минус четыре и точкой с координатой шесть . |
| 6 Найдите расстояние между точкой с координатой минус четыре и точкой с | координатой | шесть . |
| Можно ли указать на луче точку с | координатой | а ; b ? . |
| 2 Точка с отрицательной | координатой | расположена на расстоянии восемь единичных отрезков от начала отсчёта . |
| 8 Точка М(-2 ) при перемещении на минус два перейдёт в точку с | координатой | минус четыре . |
| 5 Точка с | координатой | « минус десять » на горизонтальной координатной прямой находится правее начала координат . |
| Число , показывающее положение точки на прямой , называют | координатой | этой точки . |
| 8 Точка с | координатой | « минус три » на вертикальной координатной прямой находится ниже начала координат . |
| Так как точка А имеет | координату | 6 , а точка В — координату -5 , то положение точки М определяется парой чисел ( 6 ; -5 ) . |
| Найдите | координату | точки D. Как можно найти координаты точек C и D , не выполняя построений ? . |
| Точка A имеет | координату | , точка B — координату -3,6 , а точка C — координату 3,6 . |
| Точка A имеет координату , точка B — | координату | -3,6 , а точка C — координату 3,6 . |
| 5 11 Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки , имеющие | координату | х , если . |
| Так как точка А имеет координату 6 , а точка В — | координату | -5 , то положение точки М определяется парой чисел ( 6 ; -5 ) . |
| Точка A имеет координату , точка B — координату -3,6 , а точка C — | координату | 3,6 . |
| Найдите | координату | середины С отрезка АВ , если . |
| Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой , надо из координаты его правого конца вычесть | координату | его левого конца . |
| Какую | координату | имеет начало координат ? . |
| Найдите | координату | точки C . |
| 8 19 Найдите | координаты | середины отрезка , если координаты его концов равны . |
| Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой , надо из | координаты | его правого конца вычесть координату его левого конца . |
| Запишите | координаты | точек пересечения окружности с осями координат . |
| Определите | координаты | точки пересечения прямой CD с осью х и координаты точки пересечения прямой КР с осью y . |
| Если переставить | координаты | местами , то получится другая точка — N(-5 ; 6 ) , которая показана . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают | координаты | точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| 8 19 Найдите координаты середины отрезка , если | координаты | его концов равны . |
| 6 11 Назовите | координаты | точек А , K , С , D , М и В . |
| Определите координаты точки пересечения прямой CD с осью х и | координаты | точки пересечения прямой КР с осью y . |
| Запишите | координаты | точек пересечения сторон треугольника с осями координат . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — | координаты | точек , находящихся ниже точки O. |
| Найдите | координаты | точки , в которой пересекаются эти отрезки . |
| Назовите | координаты | точек В , С , D и Е . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают | координаты | точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| Какими числами являются | координаты | точек на горизонтальной прямой , расположенных . |
| Найдите | координаты | середины стороны MN . |
| Запишите | координаты | точек B , Си D . |
| 2 17 Найдите , | координаты | точек A , B , Си D. Есть ли среди этих точек такие , координаты которых — общие кратные чисел m и п ? . |
| Две точки координатной плоскости , имеющие противоположные | координаты | , называют симметричными относительно начала координат . |
| Найдите | координаты | точки пересечения стороны AK с осью ординат . |
| 2 17 Найдите , координаты точек A , B , Си D. Есть ли среди этих точек такие , | координаты | которых — общие кратные чисел m и п ? . |
| 5 71 Запишите | координаты | точки А(х ) , если . |
| Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите | координаты | точки пересечения Е этих отрезков . |
| Запишите | координаты | точек пересечения этой окружности с осями координат . |
| Чему равен модуль каждой | координаты | ? . |
| Найдите | координаты | точки пересечения прямых MN и CD . |
| 1 147 Могут ли быть простыми числами | координаты | точек A , B , C и D , если p — простое число ? . |
| Чтобы отличить друг от друга | координаты | на этих лучах , условились ставить перед координатами на одном луче знак « + » , а перед координатами на другом луче — знак « - » . |
| Найдите | координаты | точек пересечения ломаных ABCDE и MNK . |
| Слова « абсцисса » , « ордината » , « | координаты | » первым начал использовать в конце XVII в . |
| — | координаты | точки эм — пара чисел минус два и семь . |
| Найдите координату точки D. Как можно найти | координаты | точек C и D , не выполняя построений ? . |
| 5 41 Найдите | координаты | точек A , Б и C . |
| Сформулируйте приказы для других звеньев , которые должны попасть из точки О в точки С , D , E , K , М , N. Назовите | координаты | этих точек . |
| Назовите | координаты | точки B , в которую должно попасть это звено . |
| 2 194 На координатном луче отмечена точка A. Отметьте на луче точки , | координаты | которых равны . |
| 4 Запишите | координаты | точек , расположенных на расстоянии пять единичных отрезков от начала отсчёта . |
| 9 55 На миллиметровой бумаге отмечены точки А , В , С , D , Е , F , K и М. Найдите их | координаты | . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — | координаты | точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| Найдите | координаты | точки пересечения отрезков АС и BD . |
| 4 Запишите | координаты | точек , лежащих на оси « игрек » на расстоянии в шесть единичных отрезков от начала координат . |
| Найдите | координаты | точки пересечения прямых АВ и CD . |
| Какая точка имеет | координаты | ( 0 ; 0 ) ? . |
| Напишите | координаты | точек M , N , P и K , если единичный отрезок равен длине одной клетки тетради ; длине двух клеток тетради . |
| 5 108 Определите | координаты | точек и D , если А(m ) . |
| Какими числами обозначают | координаты | точек на вертикальной прямой , расположенных . |
| Найдите | координаты | вершины D . |
| 9 49 Найдите | координаты | точек А , В , С и D . |
| Координаты | точки на плоскости . | |
| 5 9 Запишите | координаты | точек О , A , B , С , D , P , K , M и E. Начало отсчёта — точка О . |
| 9 7 Найдите | корень | уравнения . |
| 5 Каков | корень | уравнения 0,2а = 1 ? . |
| Уравнения 2х + 5 = = 17 и 2х=17 - 5 имеют один и тот же | корень | 6 , так как 2 × 6 + 5= 17 и 2 × 6 = 17- 5 . |
| Видим , что | корень | уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется , если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую , изменив его знак на противоположный . |
| 6 60 Угадайте | корень | уравнения и выполните проверку . |
| 8 100 Найдите | корень | уравнения . |
| Число 2 есть | корень | уравнения 5х - 2х = 6 и уравнения 5х = 2х + 6 , так как 5 × 2 - 2 × 2 = 6 и 5 × 2 = 2 × 2 + 6 . |
| 7 7 Догадайтесь , чему равен | корень | уравнения , и выполните проверку . |
| 7 Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться , что | корней | нет . |
| 7,1 ; -7,1 ; — 7 ; -0,5 является | корнем | уравнения . |
| Число 18 является | корнем | данного уравнения x + 12 = x , так как верно равенство . |
| Число -2 является | корнем | уравнения + 5 = 3 и уравнения 4 × ( х + 5 ) = 12 , так как -2 + 5 = 3 и 4 × ( -2 + 5 ) = 12 . |
| 8 Если обе части уравнения умножить на одно и то же число , не равное нулю , то | корни | уравнения не изменятся . |
| Изменились ли | корни | данного уравнения ? . |
| 6 Изменятся ли | корни | уравнения , если к обеим его частям прибавить одно и то же число ? . |
| 7 Решить уравнение — значит найти все его | корни | или убедиться , что корней нет . |
| 6 Уравнение \x\ = 0 имеет два | корня | . |
| Чему равен | коэффициент | выражения ах ? |
| 8 51 Упростите выражение и подчеркните его числовой | коэффициент | . |
| Пример 2 Найдём | коэффициент | выражения -а × ( -b ) . |
| 10 39 Назовите | коэффициент | выражения . |
| 8 74 Найдите | коэффициент | выражения . |
| 8 73 Назовите | коэффициент | выражения . |
| 8 38 Упростите выражение и подчеркните | коэффициент | . |
| 8 50 Упростите выражение и подчеркните его числовой | коэффициент | . |
| 8 35 Найдите | коэффициент | произведения . |
| Найдите | коэффициент | выражения ( 1—6 ) . |
| 8 34 Найдите | коэффициент | произведения . |
| Числовой | коэффициент | . |
| 8 36 Найдите | коэффициент | произведения . |
| 8 37 Определите знак | коэффициента | . |
| Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того , чтобы освободиться от дробного | коэффициента | . |
| В выражении 2 m - 7 m + 3 m все слагаемые имеют общую буквенную часть и отличаются друг от друга только | коэффициентами | . |
| Подобные слагаемые могут отличаться только | коэффициентами | . |
| 8 Чтобы в уравнении — y + 2 = — у + 3 освободиться от всех дробных | коэффициентов | , обе части уравнения надо умножить на три . |
| В скобках записана сумма | коэффициентов | всех слагаемых . |
| 8 Разность | коэффициентов | выражений 3х и 5х равна минус двум . |
| Так как -а × ( -b ) = ab , то , значит , | коэффициентом | выражения -а × ( -b ) является 1 . |
| Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв , то это число называют числовым | коэффициентом | ( или просто коэффициентом ) . |
| Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв , то это число называют числовым коэффициентом ( или просто | коэффициентом | ) . |
| Число -0,21 называют | коэффициентом | в полученном выражении . |
| Поэтому , числовым | коэффициентом | выражения -а считают число -7 . |
| Что называют числовым | коэффициентом | выражения ? . |
| 4 16 По | коэффициенту | трудового участия ( КТУ ) заработок между тремя рабочими распределили следующим образом : первому — 40 % всех денег , второму — 35 % всех денег , а третьему — остальные 25 % . |
| 8 Привести подобные слагаемые — значит сложить их | коэффициенты | . |
| Чтобы сложить ( или говорят : привести ) подобные слагаемые , надо сложить их | коэффициенты | и результат умножить на общую буквенную часть . |
| Сложим | коэффициенты | : 5 + 1 - 2 = 4 . |
| 7 Если знаменатель одной из двух дробей | кратен | знаменателю второй , то он и является наименьшим общим знаменателем этих дробей . |
| а ) если каждое слагаемое не кратно числу а , то и сумма не | кратна | числу а . |
| а ) если каждое слагаемое кратно числу а , то и сумма кратна числу а . б ) если только одно слагаемое суммы не кратно числу а , то сумма не | кратна | числу а . |
| 4 Какую цифру можно подставить вместо звёздочки в запись числа 973 , чтобы это число не было | кратно | трём ? . |
| Говорят , что числа 8 , 16 , 24 кратны числу 8 , а число 18 не | кратно | числу 8 . |
| 8 Натуральное число , записанное двенадцатью одинаковыми цифрами , | кратно | трём . |
| Следите за верным употреблением слов | кратно | и кратное ( в значении существительного ) . |
| д. п. д. п . — число пятнадцать кратно числу три ( или : пятнадцать | кратно | трём ) . |
| Число a | кратно | числу b. |
| 1 13 Докажите , что число 70 525 | кратно | числу 217 , а число 729 является делителем числа 225 261 . |
| 8 Если число | кратно | десяти , то оно делится и на два , и на пять . |
| Какое число является наименьшим общим кратным чисел и n , если число m | кратно | числу n ? . |
| Слова делится ( без остатка ) и | кратно | заменяют друг друга . |
| а ) если каждое слагаемое | кратно | числу а , то и сумма кратна числу а . б ) если только одно слагаемое суммы не кратно числу а , то сумма не кратна числу а . |
| 5 Если число | кратно | девяти , то оно делится без остатка на три . |
| 1 219 Число m | кратно | 12 . |
| 7 Если чётное число | кратно | трём , то оно делится без остатка на шесть . |
| — сорок пять делится на девять . — сорок пять | кратно | девяти . |
| Число 35 | кратно | 7 , так как 35 : 7 = 5 . |
| а ) если каждое слагаемое кратно числу а , то и сумма кратна числу а . б ) если только одно слагаемое суммы не | кратно | числу а , то сумма не кратна числу а . |
| а ) если а кратно b , а b | кратно | с , то а кратно с . б ) если а и b делятся на 6 , то и а + b делится на 6 . |
| д. п. д. п . — число пятнадцать | кратно | числу три ( или : пятнадцать кратно трём ) . |
| 1 32 Найдите наименьшее число , которое | кратно | каждому из трёх чисел . |
| а ) если каждое слагаемое не | кратно | числу а , то и сумма не кратна числу а . |
| кратно 4 . г ) | кратно | 8 ? . |
| а ) если а кратно b , а b кратно с , то а | кратно | с . б ) если а и b делятся на 6 , то и а + b делится на 6 . |
| Кратно | 4 . г ) кратно 8 ? . | |
| а ) кратно 2 . б ) | кратно | 5 . |
| а ) | кратно | 2 . б ) кратно 5 . |
| 8 Если натуральное число не | кратно | трём , то оно не делится на пятнадцать . |
| 1 17 Докажите , что произведение двух натуральных чисел | кратно | каждому из множителей . |
| Если две последние цифры данного числа образуют число , которое кратно 4 , то и само число | кратно | 4 . |
| а ) если а | кратно | b , а b кратно с , то а кратно с . б ) если а и b делятся на 6 , то и а + b делится на 6 . |
| Если две последние цифры данного числа образуют число , которое | кратно | 4 , то и само число кратно 4 . |
| Какое число и | кратно | n , и является делителем n ? . |
| в ) 6 и 4 . г ) 6 и 9 . 1 11 Назовите наименьшее число , которое | кратно | каждому из пары чисел . |
| 5 Если число делится без остатка на десять , то оно не | кратно | двум . |
| 1 205 Найдите разложение на простые множители наименьшего общего | кратного | чисел а и b , если . |
| Как вы думаете , чему равно наименьшее общее | кратное | чисел каждой пары ? . |
| наименьшее общее | кратное | . |
| 1 Используя только цифру два , запишите наименьшее число , | кратное | трём . |
| Следите за верным употреблением слов кратно и | кратное | ( в значении существительного ) . |
| Общим знаменателем дробей может быть любое общее | кратное | их знаменателей ( например , произведение знаменателей ) . |
| 7 Наименьшее общее | кратное | . |
| Чему равны наибольший общий делитель и наименьшее общее | кратное | взаимно простых чисел ? . |
| 1 207 Найдите наименьшее общее | кратное | чисел . |
| п . — число пятнадцать — | кратное | числа три ( или : пятнадцать — кратное р . |
| Назовите наименьшее | кратное | числу 24 . |
| 2 Какой цифрой оканчивается чётное число , | кратное | пяти ? . |
| 2 22 Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее | кратное | чисел . |
| 1 208 Найдите наименьшее общее | кратное | чисел . |
| 7 Наименьшее общее | кратное | двух взаимно простых чисел равно их произведению . |
| Запишите наименьшее общее | кратное | ( 1—3 ) . |
| Чтобы найти наименьшее общее | кратное | нескольких натуральных чисел , надо . |
| Наименьшее общее | кратное | . |
| найти наименьшее общее | кратное | знаменателей этих дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем . |
| Подумайте , как найти наименьшее общее | кратное | чисел каждой пары . |
| Так же находят наименьшее общее | кратное | для трёх и более чисел . |
| 1 80 Из числа 73 264 871 вычеркните три цифры так , чтобы получилось число , | кратное | . |
| 1 230 Найдите наименьшее общее | кратное | чисел а и b , если . |
| 1 229 Найдите наименьшее общее | кратное | чисел . |
| 2 31 Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее | кратное | чисел . |
| Есть ли у этого числа наибольшее | кратное | ? |
| Найдите наименьшее общее | кратное | данных чисел в каждой паре . |
| п . — число пятнадцать — кратное числа три ( или : пятнадцать — | кратное | р . |
| Назовите какое - нибудь число , | кратное | и 5 , и 12 . |
| а ) 5 — делитель 45 . г ) 27 — кратное 3 . б ) 16 — делитель 8 . д ) 6 — | кратное | 12 . |
| 1 Запишите число , | кратное | пяти , которое на координатном луче расположено между семьюдесятью шестью и восемьюдесятью двумя . |
| а ) 5 — делитель 45 . г ) 27 — | кратное | 3 . б ) 16 — делитель 8 . д ) 6 — кратное 12 . |
| в ) число , | кратное | 5 . б ) |
| 1 206 Найдите наименьшее общее | кратное | чисел а и b , если . |
| в ) 17 — делитель 152 . е ) 156 — | кратное | 13 ? . |
| Наименьшее общее | кратное | чисел 75 и 60 можно найти , и не выписывая подряд кратные этих чисел . |
| 7 На координатном луче наименьшее | кратное | натурального числа « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено правее этого числа на расстоянии « эн » единичных отрезков . |
| Как найти наименьшее общее | кратное | нескольких чисел ? . |
| Дробь можно привести к любому знаменателю , | кратному | знаменателю данной дроби . |
| Он равен наименьшему общему | кратному | знаменателей данных дробей . |
| Кратны | 17 . | |
| не | кратны | 8 . |
| в ) | кратны | числу 9 . |
| г ) | кратны | числу 5 . д ) нечётные . |
| б ) если уменьшаемое и вычитаемое | кратны | числу а , то и разность кратна числу а ? . |
| г ) | кратны | 9 и 2 . |
| а ) | кратны | 7 . |
| 1 98 Какие из чисел 240 , 242 , 244 , 246 , 248 , 250 , 252 | кратны | 3 ? |
| Говорят , что числа 8 , 16 , 24 | кратны | числу 8 , а число 18 не кратно числу 8 . |
| а ) | кратны | числу 7 . |
| б ) | кратны | числу 3 . |
| г ) не | кратны | 2 . |
| а ) | кратны | 3 . |
| Кратны | 9 . | |
| Кратные | 10 . г ) | |
| Выпишем числа , | кратные | 75 . |
| Есть ли среди них числа , | кратные | трём ? |
| а ) | кратные | 2 . б ) |
| Отметьте на этом луче четыре числа , | кратные | числу а . |
| 1 45 Какие числа , | кратные | 5 , удовлетворяют неравенству . |
| Делители и | кратные | . |
| 1 Делители и | кратные | . |
| Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти , и не выписывая подряд | кратные | этих чисел . |
| 5 26 Из цифр 7 , 8 , 3 и 5 составьте четыре различных числа , оканчивающиеся цифрой 7 и | кратные | 3 . |
| Он записывал все числа от 1 до какого - то числа , а потом вычёркивал единицу , которая не является ни простым , ни составным числом , затем вычёркивал через одно все числа , идущие после 2 ( числа , | кратные | 2 , т . |
| Кратные | девяти ? . | |
| 1 9 Напишите все двузначные числа , | кратные | числу : а ) 8 . б ) |
| а ) кратные числу 17 . б ) | кратные | числу 28 . |
| п . — числа девять , двенадцать , пятнадцать — | кратные | трёх . |
| Далее вычёркивались через два все числа , идущие после 3 ( числа , | кратные | 3 , т . |
| 2 17 Найдите , координаты точек A , B , Си D. Есть ли среди этих точек такие , координаты которых — общие | кратные | чисел m и п ? . |
| Затем выпишем числа , | кратные | 60 . |
| Кратные | 5 . | |
| а ) | кратные | числу 17 . б ) кратные числу 28 . |
| Кратным | 3 . | |
| Наименьшим общим | кратным | натуральных и b называют наименьшее натуральное и а , и b . |
| Кратным | данного числа ? | |
| в ) | кратным | 5 ? . |
| Какое число называют | кратным | натуральному числу а ? . |
| оно должно быть | кратным | и 75 , и 60 . |
| Например , наименьшим общим | кратным | чисел 12 , 15 , 20 и 60 будет число 60 , так как оно делится на все данные числа . |
| Какое число называют наименьшим общим | кратным | натуральных чисел а и b ? . |
| Заметим , что если одно из данных чисел делится остальные числа , то это число и является наименьшим общим | кратным | данных чисел . |
| а ) | кратным | 2 . б ) |
| Это число является наименьшим общим | кратным | чисел 75 и 60 . |
| Это число называют наименьшим общим | кратным | чисел 75 и 60 . |
| Какое число является наименьшим общим | кратным | чисел и n , если число m кратно числу n ? . |
| Наименьшим общим | кратным | чисел 4 и 6 является 12 . |
| а ) модуль которых больше 3 и меньше 7,1 . б ) | кратными | двум , модуль которых больше 5 и меньше 10 . |
| в ) делителями 16 и кратными 4 . г ) | кратными | 3 и делителями 18 . |
| а ) делителями 20 . б ) | кратными | 4 . |
| Общими | кратными | чисел 75 и 60 будут числа 300 , 600 . |
| в ) делителями 100 и кратными 25 . б ) | кратными | 25 . |
| в ) делителями 16 и | кратными | 4 . г ) кратными 3 и делителями 18 . |
| в ) делителями 100 и | кратными | 25 . б ) кратными 25 . |
| Запишите два наименьших | кратных | ( 4—5 ) . |
| Наименьшим из | кратных | натурального является само это число . |
| а ) два чётных числа , | кратных | 5 . б ) |
| Например , первые пять чисел , | кратных | 8 , такие : 8 , 16 , 24 , 32 , 40 . |
| 1 93 Сколько существует трёхзначных чисел , | кратных | пяти , в записи которых все цифры различны ? . |
| 1 64 Напишите три четырёхзначных числа , | кратных | 5 . |
| Отметьте на луче два общих | кратных | чисел а и 3 . |
| Одним из | кратных | натурального числа « эм » является число « эм » . |
| Любое натуральное число имеет бесконечно много | кратных | . |
| два нечётных числа , | кратных | 5 . |
| Разделим | круг | на 4 равные части и 3 из них закрасим , а потом каждую четверть круга разделим ещё на 5 равных частей . |
| Тогда весь | круг | окажется разделённым на 4 × 5 = 20 частей , а в трёх закрашенных четвертях круга будет 3 × 5 таких частей . |
| б ) Центральный | круг | имеет диаметр 9 м , а радиус полукруга судейской зоны составляет 2/3 радиуса центрального круга . |
| Основание конуса — | круг | , а развёртка боковой поверхности — сектор . |
| Изображены | круг | и два квадрата ABCD и EFKM . |
| Какая часть круга окажется закрашенной и какая часть | круга | останется незакрашенной ? . |
| Тогда весь круг окажется разделённым на 4 × 5 = 20 частей , а в трёх закрашенных четвертях | круга | будет 3 × 5 таких частей . |
| Разделим круг на 4 равные части и 3 из них закрасим , а потом каждую четверть | круга | разделим ещё на 5 равных частей . |
| 4 171 Найдите площадь | круга | , радиус которого равен 12 см . |
| Какую часть площади центрального | круга | она занимает ? . |
| Сравните её с площадью четверти | круга | , радиус OD которого равен 5 см . |
| б ) Центральный круг имеет диаметр 9 м , а радиус полукруга судейской зоны составляет 2/3 радиуса центрального | круга | . |
| Найдите площадь | круга | , округлив число « пи » до целых ( 3—4 ) , если . |
| а ) Внутри центрального | круга | находится центральная ( синяя ) точка вбрасывания диаметром 30 см , а в нейтральной зоне находятся точки вбрасывания ( красные ) , диаметр которых в 2 раза больше диаметра центральной точки . |
| 4 163 Заполните таблицу ( r — радиус , d — диаметр , С — длина окружности , S — площадь | круга | ) . |
| Закрасьте часть | круга | между этими радиусами . |
| Какая часть | круга | окажется закрашенной и какая часть круга останется незакрашенной ? . |
| 3 Радиус | круга | равен 3 м . |
| 4 Диаметр | круга | равен 4 дм . |
| 5 Площадь | круга | прямо пропорциональна квадрату его радиуса . |
| 4 135 Измерьте радиус и вычислите площадь каждого | круга | . |
| 24 Длина окружности и площадь | круга | . |
| 8 Площадь | круга | « эс » равна произведению числа « пи » и квадрата радиуса круга « эр квадрат » . |
| Радиус | круга | равен r , поэтому длина стороны квадрата ABCD равна 2r , а его площадь 4r2 . |
| Площадь | круга | S больше площади квадрата EFKM , но меньше площади квадрата ABCD . |
| Примерно площадь | круга | равна 3r2 . |
| Напишите формулу площади | круга | . |
| Пропорциональна ли площадь | круга | длине его радиуса ? . |
| Формулы длины окружности и площади | круга | читаются так : « цэ » равно « пи дэ » . |
| 10 38 Сравните площадь | круга | , радиус которого 6 см , и площадь прямоугольника со сторонами 6,5 см и 1,4 дм . |
| Длина окружности и площадь | круга | . |
| 8 Площадь круга « эс » равна произведению числа « пи » и квадрата радиуса | круга | « эр квадрат » . |
| отношение площади | круга | к квадрату его радиуса ? . |
| площадь | круга | ? . |
| Сверху и снизу цилиндр ограничен | кругами | , которые называются основаниями цилиндра . |
| 10 19 В каком порядке следует выполнять действия в выражении без скобок , если в нём содержится по одному разу вычитание , возведение числа в | куб | и деление ? . |
| — | куб | двух пятых . — две пятых в кубе . |
| 5 114 Видно , что | куб | можно составить из шести одинаковых четырёхугольных пирамид , у которых вершина О , а основаниями служат грани куба . |
| в ) | куб | чётного числа . б ) квадрат нечётного числа . |
| 1 182 Существует ли | куб | , ребро которого выражается натуральным числом и у которого . |
| объёмом | куба | и длиной его ребра . |
| 1 116 Может ли выражаться простым числом объём | куба | , длина ребра которого выражается натуральным числом ? . |
| 5 114 Видно , что куб можно составить из шести одинаковых четырёхугольных пирамид , у которых вершина О , а основаниями служат грани | куба | . |
| 2 210 На сколько процентов увеличится объём | куба | , если длину каждого его ребра увеличить на 20 % ? . |
| Найдите объём пирамиды , если ребро | куба | 1,2 см. Найдите ребро куба , если объём одной пирамиды 1/6 см3 . |
| Найдите объём | куба | . |
| 9 74 Найдите объём и площадь поверхности | куба | , ребро которого равно . |
| 3 11 Ребро | куба | равно 5 дм . |
| из точки А в точку С через точку В . б ) из точки A в точку C , который пересекал бы все рёбра | куба | , кроме ребра AC . 1 162 Разложите на простые множители числа . |
| Найдите объём пирамиды , если ребро куба 1,2 см. Найдите ребро | куба | , если объём одной пирамиды 1/6 см3 . |
| Найдите массу стального | куба | , ребро которого 2 дм . |
| 1 161 На поверхности | куба | найдите кратчайший путь . |
| 5 Объём | куба | прямо пропорционален длине его ребра . |
| Квадраты и | кубы | натуральных чисел . |
| Линейное | уравнение . | |
| 5 Является ли | линейным | уравнение в задании 4 ? . |
| Уравнение , которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых , называют | линейным | уравнением с одним неизвестным . |
| Какие уравнения называют | линейными | ? . |
| Получится | ломаная | линия , которая нагляднее показывает , как изменялся рост Маши . |
| Если бы рост Маши измерялся всё время , то получилась бы не | ломаная | , а гладкая линия , такая же , как . |
| При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин , да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести « | ломаные | числа » — обыкновенные дроби . |
| 9 78 Постройте | ломаные | линии ABCDE и MNK по координатам точек А(-6 ; 2 ) , В(-4 ; 6 ) , С(1 ; 1 ) , D(2 ; -5 ) , Е(8 ; -1 ) и М(-5 ; -5 ) , N(-1 ; 7 ) , K(8 ; 4 ) . |
| Найдите координаты точек пересечения | ломаных | ABCDE и MNK . |
| 2 29 Начертите координатный | луч | , приняв за единичный отрезок длину 12 клеток тетради . |
| 2 119 Начертите координатный | луч | , приняв отрезок длиной в 18 клеток тетради за единичный . |
| 2 5 Начертите координатный | луч | , приняв за единичный отрезок 18 клеток тетради . |
| Проведите внутри угла AOC | луч | OB так , чтобы ABOC = 40 ° . |
| 4 3 Внутри угла AOC проведён | луч | OB так , что PAOB = 56 ° и РBOC = 40 ° . |
| 9 16 Начертите два перпендикулярных | луча | так , чтобы они . |
| Точка O на прямой AB разбивает эту прямую на два дополнительных | луча | — OA и OB . |
| Отрезки ( лучи ) , лежащие на параллельных прямых , называют параллельными отрезками ( | лучами | ) . |
| Отрезки ( или лучи ) , лежащие на перпендикулярных прямых , называют перпендикулярными отрезками ( или | лучами | ) . |
| Чтобы отличить друг от друга координаты на этих | лучах | , условились ставить перед координатами на одном луче знак « + » , а перед координатами на другом луче — знак « - » . |
| Отметьте эти дроби на координатном | луче | . |
| Отметьте на | луче | точки с координатами . |
| 3 37 На координатном | луче | отмечены дробь и число а . |
| 2 194 На координатном | луче | отмечена точка A. Отметьте на луче точки , координаты которых равны . |
| Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах , условились ставить перед координатами на одном | луче | знак « + » , а перед координатами на другом луче — знак « - » . |
| 6 На координатном | луче | точка , координата которой равна пяти восьмым , лежит правее точки с координатой три четвёртых . |
| Какие из этих чисел изображаются на координатном | луче | одной и той же точкой ? |
| 2 121 На координатном луче отмечены точки A и B. Отметьте на | луче | точку с координатами . |
| Отметьте на этом | луче | точку A. Отложите вправо от точки A отрезок AC , равный — единичного отрезка . |
| 7 На координатном | луче | наименьшее кратное натурального числа « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено правее этого числа на расстоянии « эн » единичных отрезков . |
| Можно ли указать на | луче | точку с координатой а ; b ? . |
| 2 194 На координатном луче отмечена точка A. Отметьте на | луче | точки , координаты которых равны . |
| Отметьте на координатном | луче | точки с координатами . |
| 3 303 На координатном | луче | отмечены числа а и b. |
| Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах , условились ставить перед координатами на одном луче знак « + » , а перед координатами на другом | луче | — знак « - » . |
| 1 Запишите число , кратное пяти , которое на координатном | луче | расположено между семьюдесятью шестью и восемьюдесятью двумя . |
| 2 121 На координатном | луче | отмечены точки A и B. Отметьте на луче точку с координатами . |
| Отметьте на этом | луче | четыре числа , кратные числу а . |
| 5 21 Какое из чисел — правильная дробь или дробь , ей обратная , — на координатном | луче | расположено ближе к единице ? . |
| Отметьте на | луче | два общих кратных чисел а и 3 . |
| 1 14 На координатном | луче | отмечено число а . |
| 4 82 Где на координатном | луче | должно быть расположено число с , чтобы была верна пропорция a = d ? . |
| Покажите , где расположены на | луче | точки A , B , C , D . |
| С помощью циркуля отметьте на | луче | числа : m + 1 ; m - 1 ; m + m . 1 22 Даны три числовых выражения и три алгоритма вычисления их значений на калькуляторе . |
| 1 21 На координатном | луче | отмечены числа 1 и m. |
| 5 20 Сколько натуральных чисел расположено на координатном | луче | между числами . |
| 2 16 На координатном | луче | отмечены числа а и 3 . |
| Тогда положение любой точки на каждом из | лучей | задаётся её координатой . |
| Какие отрезки и какие | лучи | называют перпендикулярными ? . |
| Поэтому дополнительные | лучи | могут идти не только влево и вправо , но , например , вверх и вниз . |
| параллельные отрезки ( | лучи | ) . |
| Постройте такие | лучи | . |
| Отрезки ( или | лучи | ) , лежащие на перпендикулярных прямых , называют перпендикулярными отрезками ( или лучами ) . |
| перпендикулярные отрезки ( | лучи | ) . |
| Отрезки ( | лучи | ) , лежащие на параллельных прямых , называют параллельными отрезками ( лучами ) . |
| Какие | лучи | считают перпендикулярными ? |
| 7 Модуль суммы минус трёх и | минус | четырёх равен семи . |
| — от | минус | семи отнять минус двенадцать . |
| — если « ка » равно минус семи , то | минус | « ка » равно числу , противоположному минус семи . |
| — число , противоположное числу | минус | а . |
| 1 Найдите сумму минус восемнадцати , | минус | тридцати девяти и восемнадцати . |
| — разность | минус | семи и минус двенадцати . |
| — разность минус семи и | минус | двенадцати . |
| — минус | минус | а . |
| — из | минус | семи вычесть минус двенадцать . |
| — из минус семи вычесть | минус | двенадцать . |
| 1 Найдите сумму | минус | восемнадцати , минус тридцати девяти и восемнадцати . |
| Точка « цэ » с координатами | минус | четыре и единица . |
| — если « ка » равно | минус | семи , то минус « ка » равно числу , противоположному минус семи . |
| 7 Модуль суммы | минус | трёх и минус четырёх равен семи . |
| — | минус | минус а . |
| 1 Сравните числа пять и | минус | сто . |
| — сумма семи икс , | минус | трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс . |
| a = -10 ( а равно | минус | десяти ) . |
| Пишут : -1 , -5 , -2 , -3,6 и читают : « минус один » , « минус пять » , « минус две третьих » , « | минус | две целых одна четвёртая » , « минус три целых шесть десятых » . |
| Пишут : -1 , -5 , -2 , -3,6 и читают : « минус один » , « минус пять » , « минус две третьих » , « минус две целых одна четвёртая » , « | минус | три целых шесть десятых » . |
| Корень этого уравнения — число | минус | двенадцать . |
| 2 Произведение минус пяти и суммы « цэ » и | минус | девяти . |
| Модуль суммы одиннадцати и | минус | пяти равен шести . |
| — сумма минус семи игрек и девяти равна сумме минус восьми игрек и | минус | трёх . |
| Пишут : -1 , -5 , -2 , -3,6 и читают : « минус один » , « минус пять » , « | минус | две третьих » , « минус две целых одна четвёртая » , « минус три целых шесть десятых » . |
| 2 Произведение | минус | пяти и суммы « цэ » и минус девяти . |
| — произведение | минус | двадцати и игрек . |
| 5 Какое число нужно прибавить к | минус | трём , чтобы получить четыре ? . |
| -20у — | минус | двадцать игрек . |
| 2,4 × ( -0,5 ) — произведение двух целых четырёх десятых и минус нуля целых пяти десятых . — две целых четыре десятых умножить на | минус | нуль целых пять десятых . |
| Точка « эм » с координатами | минус | два и три расположена правее оси ординат . |
| 4 Число | минус | шесть изменили на четыре . |
| — сумма | минус | семи игрек и девяти равна сумме минус восьми игрек и минус трёх . |
| — сумма минус семи игрек и девяти равна сумме | минус | восьми игрек и минус трёх . |
| Число | минус | восемь не является рациональным . |
| -15 левее -7 ( | минус | пятнадцать левее минус семи ) . |
| Пишут : -1 , -5 , -2 , -3,6 и читают : « минус один » , « | минус | пять » , « минус две третьих » , « минус две целых одна четвёртая » , « минус три целых шесть десятых » . |
| 8 Частное минус нуля целых одной сотой и | минус | нуля целых одной тысячной равно десяти . |
| 1 Минус сорока и | минус | единицы . |
| 2 Минус сорока двух и | минус | семи . |
| 8 Точка с координатой « | минус | три » на вертикальной координатной прямой находится ниже начала координат . |
| 5 Точка с координатой « | минус | десять » на горизонтальной координатной прямой находится правее начала координат . |
| Девяноста и | минус | десяти . |
| 3 Найдите расстояние ( в единичных отрезках ) между точками с координатами « | минус | два » и « плюс один » . |
| -15 левее -7 ( минус пятнадцать левее | минус | семи ) . |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести икс и | минус | четырёх икс . — семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс . |
| 6 Сумма минус « икс » и | минус | « икс » . |
| Ордината точки « дэ » равна | минус | пяти , а абсцисса — минус трём . |
| 5 Произведение одной второй « игрек » и | минус | шести . |
| 6 Сумма | минус | « икс » и минус « икс » . |
| 5 Сумма | минус | четырёх « эн » и семи « эн » . |
| Пишут : -1 , -5 , -2 , -3,6 и читают : « | минус | один » , « минус пять » , « минус две третьих » , « минус две целых одна четвёртая » , « минус три целых шесть десятых » . |
| Ордината точки « дэ » равна минус пяти , а абсцисса — | минус | трём . |
| 5 Какое число надо разделить на девять , чтобы получить | минус | восемь ? . |
| — если « ка » равно минус семи , то минус « ка » равно числу , противоположному | минус | семи . |
| 8 Разность коэффициентов выражений 3х и 5х равна | минус | двум . |
| — | минус | « ка » равно минус минус семи . |
| 8 Если к уменьшаемому прибавить | минус | единицу , то разность уменьшится на единицу . |
| Минус пятнадцати и | минус | семи . |
| Чему равен модуль числа | минус | « цэ » ? |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс минус три икс плюс шесть икс | минус | четыре икс . |
| 5 Длина пружины была равна двадцати сантиметрам , а затем изменилась на | минус | два сантиметра . |
| 6 Если температура изменилась на | минус | три градуса , значит , она понизилась на три градуса . |
| 7 На координатной прямой между числами | минус | три и два расположены целые числа минус два , минус один и единица . |
| 7 На координатной прямой между числами минус три и два расположены целые числа | минус | два , минус один и единица . |
| Чему равен модуль | минус | шести ? . |
| Разность минус пяти и минус двух равна сумме | минус | пяти и двух . |
| Найдите сумму модуля | минус | девяти и модуля трёх . |
| Разность минус пяти и | минус | двух равна сумме минус пяти и двух . |
| 7 На координатной прямой между числами минус три и два расположены целые числа минус два , | минус | один и единица . |
| 8 Точка М(-2 ) при перемещении на | минус | два перейдёт в точку с координатой минус четыре . |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс | минус | три икс плюс шесть икс минус четыре икс . |
| 5 Двенадцати и | минус | двенадцати . |
| 8 Точка М(-2 ) при перемещении на минус два перейдёт в точку с координатой | минус | четыре . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на | минус | две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное | минус | шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| — от минус семи отнять | минус | двенадцать . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и | минус | трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| 2 Сумма одной третьей « игрек » и единицы равна | минус | двум . |
| Разность | минус | пяти и минус двух равна сумме минус пяти и двух . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — | минус | шесть эм разделить на минус три . |
| 1 Сравните числа минус пять и | минус | восемь . |
| 3 Из какого числа нужно вычесть | минус | пять , чтобы получить минус пять ? |
| 2 Сравните числа нуль и | минус | пятнадцать . |
| 4 Сравните числа « ка » и | минус | « ка » , если « ка » — отрицательное число . |
| Значит , координата левого конца равна | минус | восьми . |
| Координата правого конца отрезка равна | минус | двум . |
| 7 На координатной прямой число | минус | пятнадцать расположено левее числа минус пять . |
| 7 На координатной прямой число минус пятнадцать расположено левее числа | минус | пять . |
| 8 Точка « дэ » с координатами два и | минус | четыре расположена ниже оси абсцисс . |
| 8 Если сумма нескольких слагаемых заключается в скобки , перед которыми стоит знак « | минус | » , то знак каждого слагаемого меняется на противоположный . |
| 6 > -4 — шесть больше минус четырёх . -8 < -1 — минус восемь меньше | минус | единицы . |
| 6 > -4 — шесть больше минус четырёх . -8 < -1 — | минус | восемь меньше минус единицы . |
| 1 Сравните числа | минус | пять и минус восемь . |
| 6 Найдите расстояние между точкой с координатой | минус | четыре и точкой с координатой шесть . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное | минус | пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| 5 Ночью температура воздуха была равна минус двенадцати градусам , а днём поднялась до | минус | трёх градусов . |
| 6 Выражение — х + 3 заключите в скобки , перед которыми стоит знак « | минус | » . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и | минус | двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| 7 Корень уравнения число | минус | четыре . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — | минус | пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| 5 Ночью температура воздуха была равна | минус | двенадцати градусам , а днём поднялась до минус трёх градусов . |
| Какое число нужно вычесть из минус семи , чтобы получить | минус | десять ? . |
| Какое число нужно вычесть из | минус | семи , чтобы получить минус десять ? . |
| 3 Из какого числа нужно вычесть минус пять , чтобы получить | минус | пять ? |
| 6 > -4 — шесть больше | минус | четырёх . -8 < -1 — минус восемь меньше минус единицы . |
| 5 Запишите выражение , противоположное сумме « ка » и | минус | десяти . |
| 3 Семи и | минус | десяти . |
| 2,4 × ( -0,5 ) — произведение двух целых четырёх десятых и | минус | нуля целых пяти десятых . — две целых четыре десятых умножить на минус нуль целых пять десятых . |
| 5 Какое число нужно прибавить к | минус | семи , чтобы получить минус пятнадцать ? . |
| Найдите произведение минус пятидесяти , сорока семи и | минус | двух . |
| — минус « ка » равно минус | минус | семи . |
| 4 Сумма выражения « икс » | минус | « игрек » и выражения « игрек » минус « икс » . |
| 4 Число минус восемь изменили на | минус | шесть . |
| 4 Число | минус | восемь изменили на минус шесть . |
| Выражения , содержащие модули , читают так : -9 = 9 — модуль | минус | девяти целых одной третьей равен девяти целым одной третьей . |
| 2 Минус шести и | минус | трёх . |
| — координаты точки эм — пара чисел | минус | два и семь . |
| 1 Сумма | минус | четырёх и разности четырёх и « эм » . |
| 1 Какое число противоположно | минус | двадцати ? . |
| — точка эм с абсциссой | минус | два и ординатой семь . |
| 8 Если число « бэ » отрицательное , то число | минус | « бэ » положительное . |
| 4 Найдите сумму всех целых чисел от | минус | четырёх до шести . |
| 3 Разность выражения « а » плюс « бэ » и выражения « бэ » | минус | два » . |
| Найдите произведение | минус | пятидесяти , сорока семи и минус двух . |
| Сумму , в которую входят отрицательные числа , читают так : ( -4 ) + ( -6 ) — сумма минус четырёх и минус шести , — к минус четырём прибавить | минус | шесть . |
| Сумму , в которую входят отрицательные числа , читают так : ( -4 ) + ( -6 ) — сумма минус четырёх и минус шести , — к | минус | четырём прибавить минус шесть . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на | минус | три . |
| — | минус | две седьмых икс равны минус четырём одиннадцатым . |
| — минус « ка » равно | минус | минус семи . |
| 5 Найдите квадрат | минус | восьми . |
| 5 Какое число нужно прибавить к минус семи , чтобы получить | минус | пятнадцать ? . |
| Восьми и | минус | десяти . |
| 6 Произведение | минус | « эм » и « эн » . |
| Минус шести и | минус | девяти . |
| 3 Минус два « икс » равны | минус | шести . |
| 2 Сумма « игрек » и трёх равна | минус | семи . |
| 4 Сумма выражения « икс » минус « игрек » и выражения « игрек » | минус | « икс » . |
| 8 Частное | минус | нуля целых одной сотой и минус нуля целых одной тысячной равно десяти . |
| — минус две седьмых икс равны | минус | четырём одиннадцатым . |
| Сумму , в которую входят отрицательные числа , читают так : ( -4 ) + ( -6 ) — сумма | минус | четырёх и минус шести , — к минус четырём прибавить минус шесть . |
| Сумму , в которую входят отрицательные числа , читают так : ( -4 ) + ( -6 ) — сумма минус четырёх и | минус | шести , — к минус четырём прибавить минус шесть . |
| 4 Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами | минус | три и плюс два ? . |
| — точка эм с координатами | минус | два и семь . |
| У пирамид боковые грани — треугольники , а основание — | многоугольник | . |
| Название пирамиды зависит от того , какой | многоугольник | является её основанием . |
| Постройте | многоугольники | . |
| Такие | многоугольники | называют правильными . |
| У прямой призмы боковые грани — прямоугольники , а верхнее и нижнее основания — равные | многоугольники | . |
| У каждого из этих | многоугольников | равны стороны и равны углы . |
| Подумайте , является ли ромб правильным | многоугольником | . |
| Подумайте , является ли правильным | многоугольником | прямоугольник ; квадрат . |
| Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр , сколько нулей стоит перед единицей в | множителе | . |
| д. , надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько нулей стоит в | множителе | после единицы . |
| При любом способе получается одно и то же разложение , если не учитывать порядка записи | множителей | . |
| 8 Произведение двух целых чисел не может быть меньше каждого из | множителей | . |
| Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и деление положительных чисел : по данному произведению и одному из | множителей | находят второй множитель . |
| найти произведение получившихся | множителей | . |
| Способы , при которых произведения отличаются только порядком | множителей | , считайте за один способ . |
| Это выражение является произведением четырёх | множителей | : 0,3 × а × ( -0,7 ) × b. Сгруппировав отдельно числовые и отдельно буквенные множители , получим . |
| Получаем пять | множителей | 2 × 2 × 3 × 5 × 5 , произведение которых равно 300 . |
| 7 56 При каких значениях | множителей | произведение ху равно нулю ? |
| Чему равно произведение тысячи | множителей | , каждый из которых равен -1 ? . |
| а ) из двух одинаковых | множителей | . |
| 16 и 25 в виде произведения двух равных | множителей | . |
| Произведение может быть равно нулю лишь в том случае , когда хотя бы один из | множителей | равен нулю : если a × b = 0 , то либо a = 0 , либо b = 0 ( может случиться , что и a = 0 , и b = 0 ) . |
| Теперь найдём модуль числа х. Так как модуль произведения равен произведению модулей | множителей | , то -12 = -4 × . |
| 1 17 Докажите , что произведение двух натуральных чисел кратно каждому из | множителей | . |
| б ) из трёх одинаковых | множителей | . |
| Из | множителей | , входящих в разложение первого из этих чисел , вычеркнем те , которые не входят в разложение второго числа ( это две двойки ) . |
| найти произведение оставшихся | множителей | . |
| Иногда удобно при сокращении дроби разложить числитель и знаменатель на несколько | множителей | , а потом уже сократить . |
| Если же меняются знаки обоих | множителей | , то произведение меняет знак дважды , и в результате знак произведения не меняется : 8 - 1,1 = 8,8 ; (-8 ) × 1,1 = -8,8 ; (-8 ) × ( -1,1 ) = = -(-8,8 ) = 8,8 . |
| 1 Произведение двух чисел не изменяется при перестановке | множителей | . |
| произведение тех | множителей | , которые надо добавить к разложению числа 60 , чтобы получить разложение общего знаменателя 840 . |
| из | множителей | , входящих в разложение одного из этих чисел , вычеркнуть те , которые не входят в разложение других чисел . |
| Дополнительным | множителем | является число 5 . |
| Какое число называют дополнительным | множителем | ? . |
| Число , на которое надо умножить знаменатель дроби , чтобы получить новый знаменатель , называют дополнительным | множителем | . |
| Дополнительным | множителем | для дроби — является произведение 2 × 7 , т . |
| Для этого разложим числа 75 и 60 на простые | множители | : 75 = 3 × 5 × 5 , а 60 = 2 × 2 × 3 × 5 . |
| Обычно записывают | множители | в порядке их возрастания . |
| Выпишем | множители | , входящие в разложение первого из этих чисел , и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа . |
| Выпишем множители , входящие в разложение первого из этих чисел , и добавим к ним недостающие | множители | 2 и 2 из разложения второго числа . |
| Число 210 можно разложить на простые | множители | иным способом : 210 = 30 × 7 = 10 × 3 × 7 = 5 × 2 × 3 × 7 . |
| разложить их на простые | множители | . |
| из точки А в точку С через точку В . б ) из точки A в точку C , который пересекал бы все рёбра куба , кроме ребра AC . 1 162 Разложите на простые | множители | числа . |
| выписать | множители | , входящие в разложение одного из чисел . |
| 5 Разложение на простые | множители | . |
| Любое составное число можно разложить на простые | множители | . |
| 1 169 Найдите разложение на простые | множители | наибольшего общего делителя чисел а и b , если . |
| добавить к ним недостающие | множители | из разложений остальных чисел . |
| 1 168 Разложите каждое число на простые множители и выпишите общие | множители | . |
| Таким образом , число 210 разложено на простые | множители | . |
| Теперь в произведении 3 × 7 × 2 × 5 все | множители | — простые числа . |
| 7 В виде десятичной дроби можно представить только такую обыкновенную дробь , разложение знаменателя которой на простые | множители | содержит лишь числа « два » и « пять » . |
| Разложение числа на простые | множители | . |
| 1 139 Напишите все двузначные числа , разложение которых на простые | множители | состоит . |
| разложение числа на | множители | . |
| Это выражение является произведением четырёх множителей : 0,3 × а × ( -0,7 ) × b. Сгруппировав отдельно числовые и отдельно буквенные | множители | , получим . |
| 1 138 Разложите на простые | множители | числа . |
| Чем могут отличаться два разложения одного и того же числа на простые | множители | ? . |
| Говорят , что число 78 разложено на | множители | 2 и 39 . |
| Существуют ли составные числа , которые нельзя разложить на простые | множители | ? . |
| Так как при умножении -4 на х получилось отрицательное число -12 , то | множители | -4 и х должны иметь разные знаки . |
| Простое число так разложить на | множители | нельзя . |
| 1 183 Разложите на простые | множители | числа : а ) 875 ; 2376 ; 5625 . б ) |
| Разложение на | множители | закончено . |
| При умножении 4 на х получилось отрицательное число -24 , значит , | множители | 4 и х должны иметь разные знаки . |
| Разложим , например , на простые | множители | число 756 . |
| При разложении чисел на простые | множители | используют признаки делимости . |
| Всякое составное число можно разложить на простые | множители | . |
| 2 21 Разложите на простые | множители | числа . |
| 1 168 Разложите каждое число на простые | множители | и выпишите общие множители . |
| Получились те же самые простые | множители | , только записанные в другом порядке . |
| В сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые | множители | . |
| 1 205 Найдите разложение на простые | множители | наименьшего общего кратного чисел а и b , если . |
| В сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные | множители | находят с помощью разложения на простые множители . |
| 2 Какого множителя недостаёт в разложении ста пяти на простые | множители | . |
| 3 Сколько пятёрок содержится в разложении пятидесяти на простые | множители | ? . |
| Разложим на | множители | числа 48 и 36 , получим . |
| Разложим знаменатели данных дробей на простые | множители | . |
| Разложение на простые | множители | . |
| Остаются | множители | 2 × 2 × 3 . |
| Чтобы привести дробь к знаменателю 12 , надо умножить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный | множитель | 3 ( 12 : 4 = 3 ) . |
| В данном выражении все слагаемые имеют общий | множитель | m. |
| умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный | множитель | . |
| 7 Чему равен дополнительный | множитель | для второй дроби ? . |
| Как найти дополнительный | множитель | ? . |
| 2 Чтобы умножить число на произведение двух чисел , можно сначала умножить его на первый множитель , а потом полученное произведение умножить на второй | множитель | . |
| При приведении дроби к новому знаменателю её числитель и знаменатель умножают на дополнительный | множитель | . |
| 2 Чтобы умножить число на произведение двух чисел , можно сначала умножить его на первый | множитель | , а потом полученное произведение умножить на второй множитель . |
| 3 17 Представьте первый | множитель | в виде десятичной дроби и выполните умножение : а ) 0,3 . б ) 6,4 . |
| 5 Чему равен дополнительный | множитель | для дробной части второго числа ? . |
| Чтобы привести дробь - к знаменателю 12 , надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный | множитель | 2 ( 12 : 6 = 2 ) . |
| Поэтому для дроби таким же способом находим дополнительный | множитель | 5 . |
| 6 Чему равен дополнительный | множитель | для первой дроби ? . |
| 3 16 Представьте первый | множитель | в виде обыкновенной дроби и выполните умножение . |
| 3 Чему равен дополнительный | множитель | для второй дроби ? . |
| Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и деление положительных чисел : по данному произведению и одному из множителей находят второй | множитель | . |
| Так как ( -3 ) × 2 = -(3 × 2 ) , то можно первый | множитель | писать без скобок , т . |
| дополнительный | множитель | . |
| В этой задаче мы нашли неизвестный | множитель | в произведении — х. По смыслу деления это число равно частному от деления числа у на число у. |
| найти для каждой дроби дополнительный | множитель | . |
| Чему равен дополнительный | множитель | для первой дроби ? . |
| 4 Чему равен дополнительный | множитель | для дробной части первого числа ? . |
| 2 Какого | множителя | недостаёт в разложении ста пяти на простые множители . |
| По правилу отыскания неизвестного | множителя | имеем . |
| 1 113 Разложите на два | множителя | числа : 38 ; 77 ; 145 ; 159 . |
| 1 114 Сколькими способами можно разложить на два | множителя | числа : 18 ; 42 ; 55 ? |
| 1 134 Разложите на два | множителя | всеми возможными способами числа 30 , 33 , 42 , 99 . |
| 1 Витя некоторое число разложил на два | множителя | : три и семнадцать . |
| 1 140 Запишите все двузначные числа , которые раскладываются на два различных простых | множителя | , один из которых равен . |
| 1 184 Почему если одно число можно разложить на два простых множителя , а другое — на три простых | множителя | , то эти числа не равны ? . |
| 1 184 Почему если одно число можно разложить на два простых | множителя | , а другое — на три простых множителя , то эти числа не равны ? . |
| Любое составное число можно разложить на два | множителя | , каждый из которых больше 7 . |
| Сравнивая эти два произведения с произведением 1,2 × 0,3 = 0,36 , можно заметить , что при изменении знака любого | множителя | знак произведения меняется , а его модуль остаётся тем же . |
| а ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных | множителям | . |
| в ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных | множителям | . |
| отделить запятой столько цифр справа , сколько их стоит после запятой в обоих | множителях | вместе . |
| Число 3 имеет тот же знак , что и слагаемое 9 , а его модуль равен разности | модулей | слагаемых 9 и -6 . |
| Число -3 имеет тот же знак , что и слагаемое -12 , а его модуль равен разности | модулей | слагаемых -12 и 9 . |
| Обычно сначала определяют и записывают знак суммы , а потом находят разность | модулей | . |
| Теперь найдём модуль числа х. Так как модуль произведения равен произведению | модулей | множителей , то -12 = -4 × . |
| Значит , х — отрицательное число с | модулем | 6 , т . |
| Число 6 называют | модулем | числа -6 . |
| Что называют | модулем | числа ? . |
| 5 84 Отметьте на координатной прямой числа , | модули | которых равны 3 ; 8 ; 1 ; 3,5 . |
| Чтобы перемножить два отрицательных числа , надо перемножить их | модули | . |
| Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо перемножить | модули | этих чисел поставить перед полученным числом знак « - » . |
| 5 85 Сравните | модули | чисел . |
| 4 Как называются два числа , расположенные на координатной прямой по разные стороны от начала отсчёта , | модули | которых равны ? . |
| Выражения , содержащие | модули | , читают так : -9 = 9 — модуль минус девяти целых одной третьей равен девяти целым одной третьей . |
| 5 70 Отметьте на координатной прямой числа , | модули | которых равны 4 ; 2,5 ; 0 . |
| сложить их | модули | . |
| 6 106 Запишите все целые числа , | модули | которых . |
| 3 Чему равен | модуль | числа семьдесят ? . |
| Выражения , содержащие модули , читают так : -9 = 9 — | модуль | минус девяти целых одной третьей равен девяти целым одной третьей . |
| Чему равен | модуль | минус шести ? . |
| разделить | модуль | делимого на модуль делителя . |
| Например , -7,5 < 3 , так как число -7,5 отрицательное , а число 3 положительное ; -15 < -9 , так как числа -15 и -9 отрицательные и | модуль | -15 больше модуля -9 , т . е . |
| Число -3 имеет тот же знак , что и слагаемое -12 , а его | модуль | равен разности модулей слагаемых -12 и 9 . |
| Чему равен | модуль | числа минус « цэ » ? |
| разделить модуль делимого на | модуль | делителя . |
| 5 113 Определите , у какого из двух чисел | модуль | больше . |
| Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное , надо разделить модуль делимого | модуль | . |
| поставить перед полученным числом знак того слагаемого , | модуль | которого больше . |
| Чему равен | модуль | каждой координаты ? . |
| 5 107 Какие числа имеют | модуль | , равный 2 ; 1,7 ; 0 ; 1 ; -(-4 ) ? . |
| 5 75 Из двух чисел выберите то , у которого | модуль | меньше . |
| Как найти | модуль | отрицательного числа ? . |
| 5 62 Найдите | модуль | каждого из чисел : 81 ; 1,3 ; -5,2 . |
| а ) Чему равен | модуль | положительного числа ? |
| Модуль | которых меньше 10 . б ) | |
| Модуль | которых больше 3 и меньше 5,6 . | |
| 5 69 Напишите все числа , имеющие | модуль | . |
| а ) отрицательное число , модуль которого равен 25 ; 7,4 . б ) положительное число , | модуль | которого равен 12 ; 1 ; 3,2 . |
| а ) отрицательное число , | модуль | которого равен 25 ; 7,4 . б ) положительное число , модуль которого равен 12 ; 1 ; 3,2 . |
| Из двух отрицательных чисел меньше то , | модуль | которого больше . |
| Теперь найдём модуль числа х. Так как | модуль | произведения равен произведению модулей множителей , то -12 = -4 × . |
| Теперь найдём | модуль | числа х. Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей , то -12 = -4 × . |
| а ) модуль которых больше 3 и меньше 7,1 . б ) кратными двум , | модуль | которых больше 5 и меньше 10 . |
| Как обозначают | модуль | числа ? . |
| Сравнивая эти два произведения с произведением 1,2 × 0,3 = 0,36 , можно заметить , что при изменении знака любого множителя знак произведения меняется , а его | модуль | остаётся тем же . |
| Как найти | модуль | положительного числа или числа 0 ? . |
| а ) | модуль | которых больше 3 и меньше 7,1 . б ) кратными двум , модуль которых больше 5 и меньше 10 . |
| 5 74 Из двух чисел выберите то , у которого | модуль | больше . |
| Может ли | модуль | какого - нибудь числа быть отрицательным числом ? . |
| Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное , надо разделить | модуль | делимого модуль . |
| Число 3 имеет тот же знак , что и слагаемое 9 , а его | модуль | равен разности модулей слагаемых 9 и -6 . |
| Модуль | числа . | |
| Чему равен | модуль | нуля ? . |
| если меньший | модуль | имеет отрицательное число ? |
| Обычно вначале определяют и записывают знак , а потом уже находят | модуль | частного . |
| если меньший | модуль | имеет положительное число ? . |
| Какой знак будет иметь сумма этих чисел , если больший | модуль | имеет отрицательное число ? |
| если больший | модуль | имеет положительное число ? |
| Чтобы ввести отрицательное число на калькуляторе , надо ввести | модуль | этого числа , потом нажать клавишу « изменение знака » ± или . |
| Например , -7,5 < 3 , так как число -7,5 отрицательное , а число 3 положительное ; -15 < -9 , так как числа -15 и -9 отрицательные и модуль -15 больше | модуля | -9 , т . е . |
| Найдите сумму | модуля | минус девяти и модуля трёх . |
| Найдите сумму модуля минус девяти и | модуля | трёх . |
| из большего | модуля | слагаемых вычесть меньший . |
| б ) | момент | закипания воды в самоваре . |
| В этот | момент | вслед за ним отправилась моторная лодка . |
| д. Следующая показывает расстояние от Ромска до поезда в разные | моменты | времени . |
| 1 169 Найдите разложение на простые множители | наибольшего общего делителя | чисел а и b , если . |
| 2 22 Найдите | наибольший общий делитель | и наименьшее общее кратное чисел . |
| Наибольший общий делитель | . | |
| Натуральные числа называют взаимно простыми , если их | наибольший общий делитель | равен 1 . |
| 1 217 Найдите | наибольший общий делитель | чисел . |
| Наибольшее число , на которое можно сократить дробь , — это | наибольший общий делитель | её числителя и тещ . |
| 1 174 Найдите | наибольший общий делитель | чисел . |
| Найдём | наибольший общий делитель | чисел 24 и 35 . |
| 1 171 Найдите | наибольший общий делитель | чисел . |
| 1 195 Найдите | наибольший общий делитель | чисел а и b , если . |
| 1 170 Найдите | наибольший общий делитель | чисел . |
| 1 215 Найдите | наибольший общий делитель | для числителя и знаменателя дроби . |
| 1 196 Найдите | наибольший общий делитель | чисел . |
| Чему равны | наибольший общий делитель | и наименьшее общее кратное взаимно простых чисел ? . |
| Найдите | наибольший общий делитель | всех этих чисел . |
| Чтобы найти | наибольший общий делитель | нескольких натуральных чисел , надо . |
| 1 173 Найдите | наибольший общий делитель | чисел . |
| 2 34 Назовите | наибольший общий делитель | числителя и знаменателя дроби . |
| Запишите | наибольший общий делитель | ( 1—3 ) . |
| число пять — | наибольший общий делитель | чисел двадцать и двадцать пять . |
| Так же находят | наибольший общий делитель | трёх и более чисел . |
| 1 172 Найдите | наибольший общий делитель | чисел . |
| 2 88 Найдите | наибольший общий делитель | числителя и знаменателя и сократите дробь . |
| Как найти | наибольший общий делитель | нескольких натуральных чисел ? . |
| 2 31 Найдите | наибольший общий делитель | и наименьшее общее кратное чисел . |
| В предложениях с сочетаниями общий делитель , | наибольший общий делитель | числительные читают в родительном падеже , если перед ними нет слова чисел , и в винительном падеже в противном случае . |
| Его называют | наибольшим общим делителем | чисел 48 и 36 . |
| Например , | наибольшим общим делителем | чисел 150 и 150 . 225 является 75 . |
| Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка несколько чисел называют | наибольшим общим делителем | этих чисел . |
| Это число и является | наибольшим общим делителем | чисел 48 и 36 . |
| Какое число является | наибольшим общим делителем | чисел а и b ? . |
| Например , | наибольшим общим делителем | чисел 15 , 45 , 75 и 180 будет число 15 , так как на него делятся все остальные числа : 45 , 75 и 180 . |
| Какое число называют | наибольшим общим делителем | двух натуральных чисел ? . |
| Если все данные числа делятся на одно них , то это число и является | наибольшим общим делителем | данных чисел . |
| В пропорции | найдем | произведение ее крайних членов и произведение средних членов . |
| Точки с координатами ( 0 ; -180 ) , ( 1 ; -120 ) ; ( 2 ; -60 ) лежат на одной прямой с ранее | найденными | точками . |
| Пятое — 33 550 336 было | найдено | в XV в . |
| 2 134 Используя свойство вычитания суммы из числа , | найдите | значение выражения . |
| 7 82 Для дробей 3 и 5 | найдите | десятичные приближения с недостатком и с избытком до . |
| 8 6 Раскройте скобки и | найдите | значение выражения . |
| 1 161 На поверхности куба | найдите | кратчайший путь . |
| 10 43 При x = 2 ; -2 | найдите | значение выражения . |
| 6 8 По геометрической модели | найдите | значения х и у . |
| 4 134 Выполните необходимые измерения и | найдите | длину половины окружности , изображённой . |
| 7 126 Выбрав удобный порядок вычислений , | найдите | значение выражения . |
| 7 103 Сложив сначала противоположные числа , | найдите | значение выражения . |
| 7 114 Выбрав удобный порядок вычислений , | найдите | значение выражения . |
| 8 7 Раскройте скобки и | найдите | значение выражения . |
| 3 156 Упростите и | найдите | значение выражения . |
| 7 102 Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные числа , | найдите | значение выражения . |
| 7 108 Выбрав удобный порядок вычислений , | найдите | значение выражения . |
| 10 22 Составьте алгоритм вычислений и с помощью калькулятора | найдите | значение выражения . |
| В треугольнике ABC | найдите | угол A , если . |
| Составьте выражение для решения задачи , упростите его и | найдите | значение при n = 27 ; 36 ; 333 . |
| Пользуясь графиком , | найдите | . |
| В случае когда а делится на b , | найдите | частное . |
| Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и | найдите | координаты точки пересечения Е этих отрезков . |
| 2 133 Используя свойство вычитания числа из суммы , | найдите | значение выражения . |
| 7 105 Выбрав удобный порядок вычислений , | найдите | значение выражения . |
| 6 7 С помощью координатной прямой | найдите | значение выражения . |
| С помощью калькулятора : а ) | найдите | , сколько процентов составляет 0,0912 от 36,48 и 13,524 от 16,8 . |
| 8 26 Раскройте скобки и | найдите | значение выражения . |
| 2 20 Используя « решето Эратосфена » , | найдите | все простые числа до 100 . |
| 10 31 Сравните числа , | найдя | их отношение . |
| Теперь | найдём | модуль числа х. Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей , то -12 = -4 × . |
| Сначала | найдём | знак числа х. |
| Обозначим длину отрезка на местности ( в сантиметрах ) буквой x и | найдём | отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу карты . |
| Теперь | найдём | неизвестный член пропорции . |
| Выполнив указанные действия , | найдём | значение этого выражения : 0,75 , или . |
| Сначала раскроем скобки , потом | найдём | отдельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех отрицательных чисел и , наконец , сложим полученные результаты . |
| Расскажите , как | найти | несколько процентов от числа . |
| Как | найти | наименьшее общее кратное нескольких чисел ? . |
| 9 68 Попробуйте | найти | простой способ для вычисления значения выражения . |
| Но умножить 4 на натуральное число 5 — значит | найти | сумму пяти слагаемых , каждое из которых равно . |
| Чтобы | найти | число по данному значению его дроби . |
| 8 Чтобы | найти | дробь от числа , нужно вычислить произведение дроби и этого числа . |
| Используя основное свойство пропорции , можно | найти | её неизвестный член , если все остальные члены известны . |
| Чтобы | найти | наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел , надо . |
| Чтобы | найти | число по данному значению его дроби , надо дробь разделить на это значение . |
| 7 Решить уравнение — значит | найти | все его корни или убедиться , что корней нет . |
| умножение дроби на дробь . 1 ) | найти | произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем . |
| Как | найти | модуль отрицательного числа ? . |
| Найти | произведение получившихся множителей . | |
| Чтобы | найти | значение выражения -(-9 + 5 ) , надо сложить числа -9 и 5 и найти число , противоположное полученной сумме : -(-9 + 5 ) = -(-4 ) = 4 . |
| Подумайте , как | найти | наименьшее общее кратное чисел каждой пары . |
| Так как пройденный путь равен произведению скорости и времени , то для решения задачи надо | найти | произведение чисел 9 и 1 . |
| Как | найти | модуль положительного числа или числа 0 ? . |
| Для решения задачи надо | найти | произведение 4 × 5 . |
| Чтобы | найти | наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел , надо . |
| Разделить -24 на 4 — это значит | найти | такое число х , что 4 × х = -24 . |
| Наибольший общий делитель можно | найти | , не выписывая всех делителей данных чисел . |
| Чтобы | найти | искомое слагаемое , можно прибавить к сумме число , противоположное известному слагаемому . |
| Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно | найти | , и не выписывая подряд кратные этих чисел . |
| Как можно | найти | значение выражения , противоположное сумме нескольких чисел ? . |
| Как | найти | наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел ? . |
| Найти | наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей , оно и будет их наименьшим общим знаменателем . | |
| Чтобы | найти | дробь от числа , нужно умножить число на эту дробь . |
| Чтобы найти значение выражения -(-9 + 5 ) , надо сложить числа -9 и 5 и | найти | число , противоположное полученной сумме : -(-9 + 5 ) = -(-4 ) = 4 . |
| Используя 13 , попробуйте | найти | ещё несколько треугольных и квадратных чисел . |
| Теперь легко | найти | значение х . |
| Чтобы | найти | , какая часть дороги электрифицирована , берём отношение 240 : 360 . |
| Как | найти | длину отрезка на координатной прямой ? . |
| Как | найти | дополнительный множитель ? . |
| Например , разделить -12 на -4 — это значит | найти | такое число х , что -4 × х = -12 . |
| 10 57 Как | найти | . |
| Найти | для каждой дроби дополнительный множитель . | |
| Чтобы | найти | длину отрезка на координатной прямой , надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца . |
| 1 185 Можно ли | найти | четыре различных простых числа , чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других ? . |
| Расскажите , как | найти | число по данному значению его процентов . |
| Например , | найти | число , 2,4 % которого составляют 7,68 , можно по следующему алгоритму . |
| Найдите координату точки D. Как можно | найти | координаты точек C и D , не выполняя построений ? . |
| Расскажите , как | найти | абсциссу и ординату точки на координатной плоскости . |
| Например , | найти | 32,5 % от числа 6,24 можно по алгоритму 6.24 0 32.5 % . |
| В этих правилах раскрывалось , как | найти | неизвестную величину через данные числа для группы похожих задач . |
| Найти | произведение оставшихся множителей . | |
| Как по записи | натурального | числа определить , делится оно без остатка на 10 или нет ? . |
| Если запись | натурального | ч оканчивается цифрой 0 , то это число делится без остатка 70 . |
| Одним из кратных | натурального | числа « эм » является число « эм » . |
| Если запись | натурального | числа оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число делится без остатка на 5 . |
| Делителем | натурального | числа а называю натуральное число , на которое а делится без остатка . |
| Как по записи | натурального | числа узнать , делится оно без остатка на 5 или нет ? . |
| Как по записи | натурального | числа узнать , делится оно на 3 или нет ? . |
| Если запись | натурального | числа оканчивается другой цифрой , то оно делится без остатка на 70 . |
| Если запись | натурального | числа оканчивается чётной цифрой , то это число чётно ( делится без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это число нечетное . |
| Наименьшим из кратных | натурального | является само это число . |
| 6 Не существует такого | натурального | числа « эм » , что НОК ( m ; 18 ) = 60 . |
| Какое число называют делителем данного | натурального | числа ? |
| в виде | натурального | числа . б ) 48 , 1512 , 825 так , чтобы их дробная часть была правильной дробью . |
| Какое число является делителем любого | натурального | числа ? . |
| 6 Если девять — последняя цифра в записи | натурального | числа , то это число делится без остатка на девять . |
| Кратным | натурального | числа а называют натуральное число , которое делится без остатка . |
| Поэтому если последняя цифра в записи | натурального | числа отлична от нуля , то это число не делится без остатка на 10 . |
| Как по записи | натурального | числа узнать , делится оно на 9 или нет ? . |
| Число 1 является делителем | натурального | числа . |
| 8 Если запись | натурального | числа оканчивается не менее чем двумя нулями , это натуральное число делится без остатка на сто . |
| 7 На координатном луче наименьшее кратное | натурального | числа « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено правее этого числа на расстоянии « эн » единичных отрезков . |
| 6 Не существует такого | натурального | числа , которое являлось бы делителем любого из натуральных чисел . |
| Как по записи | натурального | числа узнать , делится оно без остатка на 2 или нет ? . |
| Как по записи | натурального числа | узнать , делится оно без остатка на 5 или нет ? . |
| Кратным | натурального числа | а называют натуральное число , которое делится без остатка . |
| Одним из кратных | натурального числа | « эм » является число « эм » . |
| Как по записи | натурального числа | определить , делится оно без остатка на 10 или нет ? . |
| Если запись | натурального числа | оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число делится без остатка на 5 . |
| Как по записи | натурального числа | узнать , делится оно на 3 или нет ? . |
| Число 1 является делителем | натурального числа | . |
| Как по записи | натурального числа | узнать , делится оно на 9 или нет ? . |
| 6 Если девять — последняя цифра в записи | натурального числа | , то это число делится без остатка на девять . |
| 7 На координатном луче наименьшее кратное | натурального числа | « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено правее этого числа на расстоянии « эн » единичных отрезков . |
| Если запись | натурального числа | оканчивается другой цифрой , то оно делится без остатка на 70 . |
| Делителем | натурального числа | а называю натуральное число , на которое а делится без остатка . |
| Как по записи | натурального числа | узнать , делится оно без остатка на 2 или нет ? . |
| Какое число является делителем любого | натурального числа | ? . |
| Если запись | натурального числа | оканчивается чётной цифрой , то это число чётно ( делится без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это число нечетное . |
| 6 Не существует такого | натурального числа | , которое являлось бы делителем любого из натуральных чисел . |
| в виде | натурального числа | . б ) 48 , 1512 , 825 так , чтобы их дробная часть была правильной дробью . |
| 6 Не существует такого | натурального числа | « эм » , что НОК ( m ; 18 ) = 60 . |
| Какое число называют делителем данного | натурального числа | ? |
| 8 Если запись | натурального числа | оканчивается не менее чем двумя нулями , это натуральное число делится без остатка на сто . |
| Поэтому если последняя цифра в записи | натурального числа | отлична от нуля , то это число не делится без остатка на 10 . |
| умножение дроби на | натуральное | число . |
| Наибольшее | натуральное | число , на которое делятся без остатка несколько чисел называют наибольшим общим делителем этих чисел . |
| после этого выполнить деление на | натуральное | число . |
| 2 11 Какое | натуральное | число надо записать вместо буквы , чтобы было верным равенство . |
| Кратным натурального числа а называют | натуральное | число , которое делится без остатка . |
| 7 76 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — | натуральное | число , значение выражения . |
| умножить целую часть на | натуральное | число . |
| 8 Если запись натурального числа оканчивается не менее чем двумя нулями , это | натуральное | число делится без остатка на сто . |
| Но умножить 4 на | натуральное | число 5 — значит найти сумму пяти слагаемых , каждое из которых равно . |
| 7 95 Представьте в виде дроби , где а — целое число , b — | натуральное | число , b значение выражения . |
| 8 Любое | натуральное | число имеет бесконечно много делителей . |
| Значит , любое | натуральное | число чётно лишь в случае , когда в разряде единиц стоит чётная цифра , и нечётно , когда в разряде единиц стоит нечётная цифра . |
| Чтобы разделить десятичную дробь на | натуральное | число , надо . |
| 7 75 Представьте в виде дроби ( где а — целое число , b — | натуральное | число ) значение выражения . |
| умножение смешанного числа на | натуральное | число . |
| Чтобы умножить дробь на | натуральное | число , надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения . |
| б ) Существует ли | натуральное | число , записанное только с помощью цифры 3 , которое делится на 6 ? |
| 4 Натуральное число « эм » делится на | натуральное | число « а » без остатка . |
| 5 Существует такое | натуральное | число « а » , что НОД ( a ; 60 ) = 25 . |
| д ) любое натуральное число и | натуральное | число , не являющееся ни простым , ни составным , обязательно взаимно простые . |
| Чтобы умножить смешанное число на | натуральное | число , можно . |
| 3 Как называется число , которое можно представить в виде отношения « а » к « бэ » , где « а » — целое число , а « бэ » — | натуральное | ? . |
| Чтобы умножить десятичную дробь на | натуральное | число , надо . |
| умножить дробную часть на это | натуральное | число . |
| 7 74 Представьте в виде ( где а — целое число , ап — | натуральное | число ) следующие числа . |
| Расскажите , как можно умножить смешанное число на | натуральное | число . |
| 7 77 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — | натуральное | число , значение выражения . |
| Всякое | натуральное | число , запись которого оканчивается цифрой 0 , делится без остатка на 10 . |
| 2 Как называется | натуральное | число , которое не делится на два без остатка ? . |
| Расскажите , как умножить дробь на | натуральное | число . |
| 8 Если | натуральное | число не кратно трём , то оно не делится на пятнадцать . |
| д ) любое | натуральное | число и натуральное число , не являющееся ни простым , ни составным , обязательно взаимно простые . |
| Наименьшим общим кратным натуральных и b называют наименьшее | натуральное | и а , и b . |
| 1 78 а ) Какое наименьшее | натуральное | число , записанное только с помощью цифры 2 , делится на 6 ? . |
| 1 84 Длина прямоугольника 20 м , ширина — | натуральное | число метров . |
| Число , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — целое число , а n — | натуральное | число , называют рациональным числом . |
| Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же | натуральное | число , получится равная ей дробь . |
| Любое | натуральное | число имеет бесконечно много кратных . |
| 8 Как называется | натуральное | число , имеющее ровно два делителя ? . |
| Делителем натурального числа а называю | натуральное | число , на которое а делится без остатка . |
| 2 Как называется | натуральное число | , которое не делится на два без остатка ? . |
| умножение дроби на | натуральное число | . |
| 7 95 Представьте в виде дроби , где а — целое число , b — | натуральное число | , b значение выражения . |
| Расскажите , как можно умножить смешанное число на | натуральное число | . |
| Делителем натурального числа а называю | натуральное число | , на которое а делится без остатка . |
| Расскажите , как умножить дробь на | натуральное число | . |
| умножение смешанного числа на | натуральное число | . |
| 8 Как называется | натуральное число | , имеющее ровно два делителя ? . |
| Любое | натуральное число | имеет бесконечно много кратных . |
| 1 78 а ) Какое наименьшее | натуральное число | , записанное только с помощью цифры 2 , делится на 6 ? . |
| Чтобы умножить дробь на | натуральное число | , надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения . |
| д ) любое натуральное число и | натуральное число | , не являющееся ни простым , ни составным , обязательно взаимно простые . |
| Наибольшее | натуральное число | , на которое делятся без остатка несколько чисел называют наибольшим общим делителем этих чисел . |
| 7 75 Представьте в виде дроби ( где а — целое число , b — | натуральное число | ) значение выражения . |
| Чтобы умножить десятичную дробь на | натуральное число | , надо . |
| 4 Натуральное число « эм » делится на | натуральное число | « а » без остатка . |
| Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же | натуральное число | , получится равная ей дробь . |
| 8 Любое | натуральное число | имеет бесконечно много делителей . |
| 7 77 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — | натуральное число | , значение выражения . |
| 5 Существует такое | натуральное число | « а » , что НОД ( a ; 60 ) = 25 . |
| умножить дробную часть на это | натуральное число | . |
| 7 74 Представьте в виде ( где а — целое число , ап — | натуральное число | ) следующие числа . |
| 2 11 Какое | натуральное число | надо записать вместо буквы , чтобы было верным равенство . |
| 8 Если | натуральное число | не кратно трём , то оно не делится на пятнадцать . |
| после этого выполнить деление на | натуральное число | . |
| Кратным натурального числа а называют | натуральное число | , которое делится без остатка . |
| Число , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — целое число , а n — | натуральное число | , называют рациональным числом . |
| умножить целую часть на | натуральное число | . |
| Значит , любое | натуральное число | чётно лишь в случае , когда в разряде единиц стоит чётная цифра , и нечётно , когда в разряде единиц стоит нечётная цифра . |
| б ) Существует ли | натуральное число | , записанное только с помощью цифры 3 , которое делится на 6 ? |
| д ) любое | натуральное число | и натуральное число , не являющееся ни простым , ни составным , обязательно взаимно простые . |
| Чтобы умножить смешанное число на | натуральное число | , можно . |
| Чтобы разделить десятичную дробь на | натуральное число | , надо . |
| Но умножить 4 на | натуральное число | 5 — значит найти сумму пяти слагаемых , каждое из которых равно . |
| 1 84 Длина прямоугольника 20 м , ширина — | натуральное число | метров . |
| Всякое | натуральное число | , запись которого оканчивается цифрой 0 , делится без остатка на 10 . |
| 8 Если запись натурального числа оканчивается не менее чем двумя нулями , это | натуральное число | делится без остатка на сто . |
| 7 76 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — | натуральное число | , значение выражения . |
| Как записать число , обратное | натуральному | числу ? . |
| Какое число называют кратным | натуральному | числу а ? . |
| Как записать число , обратное | натуральному числу | ? . |
| Какое число называют кратным | натуральному числу | а ? . |
| Найдите , какую площадь занимает этот стол на кухне в | натуральную | величину . |
| 1 18 Изображён в | натуральную | величину один кадр старой фотоплёнки . |
| 1 165 Подставьте в таблицу подходящие | натуральные | значения x и у и сделайте выводы о чётности или нечётности результата действия в каждом случае . |
| Здесь буква а может принимать любые | натуральные | значения и значение 0 . |
| Какие | натуральные | числа называют простыми ? . |
| 1 48 Какие различные | натуральные | числа надо вписать в кружки , чтобы произведение каждых двух чисел , помещённых в кружках , соединённых отрезком , равнялось 70 ? |
| е ) последовательные | натуральные | числа всегда взаимно простые ? . |
| Вначале при счёте предметов возникли | натуральные | числа . |
| Подумайте , какие | натуральные | числа являются решениями неравенства . |
| 1 77 Выпишите все | натуральные | числа меньшие 100 , которые делятся на 6 . |
| 2 209 Найдите | натуральные | значения т , при которых верно неравенство . |
| 1 36 Запишите | натуральные | числа от 1 до 30 в порядке возрастания и подчеркните красным карандашом каждое второе число , а синим — каждое пятое . |
| Чтобы сравнить две десятичные дроби , надо сначала уравнять у них число десятичных знаков , приписав к одной из них справа нули , а потом , отбросив запятую , сравнить получившиеся | натуральные | числа . |
| Какие | натуральные | числа называют составными ? . |
| 1 214 Каждую из дробей и , где а и b — | натуральные | числа , можно представить в виде десятичной . |
| В самых древних дошедших до нас письменных источниках — вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах — встречаются не только | натуральные | числа , но и дроби . |
| В этом равенстве буквы а и b могут принимать любые | натуральные | значения и значение 0 . |
| простые числа — это как бы кирпичики , из которых строятся остальные | натуральные | числа . |
| Здесь a , b и c — любые | натуральные | числа или нуль . |
| 5 56 Запишите все | натуральные | числа , меньшие 5 , и числа , им противоположные . |
| 5 56 Запишите все | натуральные числа | , меньшие 5 , и числа , им противоположные . |
| 1 77 Выпишите все | натуральные числа | меньшие 100 , которые делятся на 6 . |
| Вначале при счёте предметов возникли | натуральные числа | . |
| простые числа — это как бы кирпичики , из которых строятся остальные | натуральные числа | . |
| 1 48 Какие различные | натуральные числа | надо вписать в кружки , чтобы произведение каждых двух чисел , помещённых в кружках , соединённых отрезком , равнялось 70 ? |
| 1 214 Каждую из дробей и , где а и b — | натуральные числа | , можно представить в виде десятичной . |
| Чтобы сравнить две десятичные дроби , надо сначала уравнять у них число десятичных знаков , приписав к одной из них справа нули , а потом , отбросив запятую , сравнить получившиеся | натуральные числа | . |
| 1 36 Запишите | натуральные числа | от 1 до 30 в порядке возрастания и подчеркните красным карандашом каждое второе число , а синим — каждое пятое . |
| Какие | натуральные числа | называют простыми ? . |
| Подумайте , какие | натуральные числа | являются решениями неравенства . |
| Какие | натуральные числа | называют составными ? . |
| В самых древних дошедших до нас письменных источниках — вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах — встречаются не только | натуральные числа | , но и дроби . |
| е ) последовательные | натуральные числа | всегда взаимно простые ? . |
| Здесь a , b и c — любые | натуральные числа | или нуль . |
| Но долгое время | натуральный | ряд чисел считался конечным : люди думали , что существует самое большое число . |
| 1 111 Может ли площадь квадрата выражаться простым числом , если длина его стороны выражается | натуральным | числом ? . |
| 1 182 Существует ли куб , ребро которого выражается | натуральным | числом и у которого . |
| 1 116 Может ли выражаться простым числом объём куба , длина ребра которого выражается | натуральным | числом ? . |
| 1 111 Может ли площадь квадрата выражаться простым числом , если длина его стороны выражается | натуральным числом | ? . |
| 1 182 Существует ли куб , ребро которого выражается | натуральным числом | и у которого . |
| 1 116 Может ли выражаться простым числом объём куба , длина ребра которого выражается | натуральным числом | ? . |
| 3 100 Между какими последовательными | натуральными | числами расположено число . |
| 1 123 Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются | натуральными | числами сантиметров , а высота равна 15 см. Можно ли утверждать , что объём ( в кубических сантиметрах ) этого параллелепипеда выражается числом . |
| г ) положительных чисел , не являющихся | натуральными | . д ) рациональных чисел , не являющихся целыми . |
| Такие задачи с | натуральными | числами или с десятичными дробями мы решали с помощью умножения . |
| 1 144 Существует ли прямоугольник , стороны которого выражаются | натуральными | числами , а периметр — простым числом ? . |
| Такие задачи с | натуральными числами | или с десятичными дробями мы решали с помощью умножения . |
| 1 144 Существует ли прямоугольник , стороны которого выражаются | натуральными числами | , а периметр — простым числом ? . |
| С помощью умножения дробей решают такие же задачи , как и с помощью умножения | натуральных | чисел . |
| 6 Не существует такого натурального числа , которое являлось бы делителем любого из | натуральных | чисел . |
| 10 7 Из | натуральных | чисел , расположенных между числами 11 и 43 , выпишите те числа , которые . |
| Квадраты | натуральных | чисел . |
| 1 57 а ) При каких | натуральных | значениях а дробь будет правильной ? . |
| 5 20 Сколько | натуральных | чисел расположено на координатном луче между числами . |
| Отрицательные числа появились значительно позже | натуральных | чисел и обыкновенных дробей . |
| 5 Два последовательных | натуральных | числа всегда взаимно простые . |
| б ) | натуральных | чисел . |
| б ) в виде | натуральных | чисел . |
| 1 17 Докажите , что произведение двух | натуральных | чисел кратно каждому из множителей . |
| Свойства вычитания | натуральных | чисел . |
| 4 При каких | натуральных | значениях « эм » произведение сорока одного и « эм » — простое число ? . |
| Наименьшим общим кратным | натуральных | и b называют наименьшее натуральное и а , и b . |
| Подумайте , как можно находить треугольные и квадратные числа , используя ряд | натуральных | чисел . |
| 2 213 Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для | натуральных | чисел . |
| 2 51 При каких | натуральных | значениях букв равны дроби . |
| Сколько таких пар среди первых 500 | натуральных | чисел ? |
| 1 143 При каких | натуральных | значениях а произведение 23a является простым числом ? . |
| Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких | натуральных | чисел , надо . |
| Свойства умножения | натуральных | чисел . |
| Как найти наибольший общий делитель нескольких | натуральных | чисел ? . |
| Кубы | натуральных | чисел . . |
| Кубы | натуральных | чисел . |
| Вы , наверное , обратили внимание , что простые числа в ряду | натуральных | чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше , в других — меньше . |
| Квадраты и кубы | натуральных | чисел . |
| Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких | натуральных | чисел , надо . |
| Свойства деления | натуральных | чисел . |
| б ) При каких | натуральных | значениях b дробь будет неправильной ? . |
| Какое число называют наибольшим общим делителем двух | натуральных | чисел ? . |
| 8 Из любых четырёх | натуральных | чисел можно составить пропорцию . . |
| Какое число называют наименьшим общим кратным | натуральных | чисел а и b ? . |
| Свойства сложения | натуральных | чисел . |
| Подумайте , как можно находить треугольные и квадратные числа , используя ряд | натуральных чисел | . |
| Свойства сложения | натуральных чисел | . |
| б ) в виде | натуральных чисел | . |
| Кубы | натуральных чисел | . |
| Свойства умножения | натуральных чисел | . |
| 1 17 Докажите , что произведение двух | натуральных чисел | кратно каждому из множителей . |
| Сколько таких пар среди первых 500 | натуральных чисел | ? |
| 2 213 Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для | натуральных чисел | . |
| Квадраты и кубы | натуральных чисел | . |
| Квадраты | натуральных чисел | . |
| Какое число называют наименьшим общим кратным | натуральных чисел | а и b ? . |
| С помощью умножения дробей решают такие же задачи , как и с помощью умножения | натуральных чисел | . |
| Как найти наибольший общий делитель нескольких | натуральных чисел | ? . |
| Свойства вычитания | натуральных чисел | . |
| 6 Не существует такого натурального числа , которое являлось бы делителем любого из | натуральных чисел | . |
| б ) | натуральных чисел | . |
| 10 7 Из | натуральных чисел | , расположенных между числами 11 и 43 , выпишите те числа , которые . |
| Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких | натуральных чисел | , надо . |
| 8 Из любых четырёх | натуральных чисел | можно составить пропорцию . . |
| 5 20 Сколько | натуральных чисел | расположено на координатном луче между числами . |
| Отрицательные числа появились значительно позже | натуральных чисел | и обыкновенных дробей . |
| Вы , наверное , обратили внимание , что простые числа в ряду | натуральных чисел | встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше , в других — меньше . |
| Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких | натуральных чисел | , надо . |
| Свойства деления | натуральных чисел | . |
| Какое число называют наибольшим общим делителем двух | натуральных чисел | ? . |
| Кубы | натуральных чисел | . . |
| 5 Два последовательных | натуральных числа | всегда взаимно простые . |
| 10 9 Какие из чисел 3572 , 81 375 , 158 457 , 237 583 , 67 932 , 2 487 960 делятся | нацело | на 3 ? |
| делятся | нацело | на 15 ? . |
| делятся | нацело | на 9 ? |
| делятся | нацело | на 5 ? |
| В этой задаче мы | нашли | неизвестный множитель в произведении — х. По смыслу деления это число равно частному от деления числа у на число у. |
| знаменитый математик , член Петербургской академии наук Леонард Эйлер | нашёл | ещё 65 пар дружественных чисел ( одна из них — 17 296 и 18 416 ) . |
| Математика | необходима | в любой профессии , какую бы вы ни выбрали для себя . |
| Сколько килограммов оливок | необходимо | взять , чтобы в них содержалось 40,5 кг масла ? . |
| 10 41 Какие правила | необходимо | применять для решения уравнения . |
| Математика — самая древняя из наук , она была и остаётся | необходимой | людям . |
| 4 134 Выполните | необходимые | измерения и найдите длину половины окружности , изображённой . |
| г ) | неотрицательные | ; д ) не являющиеся ни положительными , ни отрицательными . |
| в ) | неположительные | . |
| если при сложении дробных частей получилась | неправильная дробь | , выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части . |
| 8 Для правильной дроби обратным числом является | неправильная дробь | . |
| 3 Запишите в виде | неправильной дроби | число 2у . |
| Запишите дробную часть чисел 25 , 713 , 18 в виде | неправильной дроби | , уменьшив целую часть чисел на 1 . |
| 3 175 Представьте в виде | неправильной дроби | : 13 ; 13 ; 23 ; 533 3 . |
| 3 Представьте в виде | неправильной дроби | число одна целая четыре пятнадцатых . |
| Запишем число 36 в виде | неправильной дроби | . |
| Представим каждое из этих чисел в виде | неправильной дроби | . |
| 2 156 Запишите в виде | неправильной дроби | дробную часть чисел 33 , уменьшив целую часть на 1 . |
| 2 Представьте в виде | неправильной дроби | число одна целая три одиннадцатых . |
| 3 Представьте в виде | неправильной дроби | число три целых четыре седьмых . |
| 3 Представьте в виде | неправильной дроби | число одна целая семь девятнадцатых . |
| Представьте в виде | неправильной дроби | число три целых две пятых . |
| Чтобы из | неправильной дроби | выделить целую часть , надо . |
| Представьте в виде | неправильной дроби | число две целых одна третья . |
| Чтобы представить смешанное число в виде | неправильной дроби | , надо . |
| Представьте в виде | неправильной дроби | число две целых одна девятая . |
| если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в | неправильную дробь | , уменьшив на единицу целую часть . |
| Представим сначала числа 2 и 1 в виде | неправильных дробей | . |
| 1 94 Запишите в виде | неправильных дробей | . |
| Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел , надо их записать в виде | неправильных дробей | , а затем воспользоваться правилом умножения дробей . |
| 1 102 Представьте числа в виде | неправильных дробей | . |
| 3 224 Кроме | неравенств | со знаками > и < , которые называют строгими , используют нестрогие неравенства , для которых введены знаки > ( больше или равно ) и < ( меньше или равно ) . |
| 3 224 Кроме неравенств со знаками > и < , которые называют строгими , используют нестрогие | неравенства | , для которых введены знаки > ( больше или равно ) и < ( меньше или равно ) . |
| Подумайте , в чём сходство этой задачи с задачей нахождения решений | неравенства | 2 < х < 6 среди чисел 1 ; 3 ; 5 ; 7 . |
| 3 Запишите в виде | неравенства | предложение « Число « эм » положительное » . |
| 5 95 Сравните числа и результат запишите в виде | неравенства | . |
| 5 97 Сравните числа и результат запишите в виде | неравенства | . |
| Ответ запишите в виде двойного | неравенства | . |
| 9 117 Найдите целые решения | неравенства | . |
| 5 99 Сравните числа и результат запишите в виде | неравенства | . |
| 5 104 Запишите в виде | неравенства | предложение . |
| В чём сходство решения этой задачи с нахождением решений двойного | неравенства | 0 < у < 10 среди чисел 0,12 ; 15 ; 2,7 ; 10,5 ? . |
| 8 43 Найдите наименьшее целое положительное и наибольшее целое отрицательное решения | неравенства | . |
| 1 146 Какие простые числа являются решениями | неравенства | 17 < p < 44 ? . |
| 5 98 Сравните числа и результат запишите в виде | неравенства | . |
| Подумайте , какие натуральные числа являются решениями | неравенства | . |
| 5 94 Сравните числа и результат запишите в виде | неравенства | . |
| Запишите ответ в виде двойного | неравенства | . |
| 9 96 Запишите в виде двойного | неравенства | условия , которым подчиняются . |
| 3 101 Найдите какие - нибудь три решения | неравенства | . |
| 5 132 Верно ли | неравенство | : а > b ; d < а ; b > с ; а > с ; d > b ? . |
| 2 209 Найдите натуральные значения т , при которых верно | неравенство | . |
| 5 100 Поставьте вместо звёздочки знак < или > так , чтобы получилось верное | неравенство | . |
| 5 101 Поставьте вместо звёздочки знак < или > так , чтобы получилось верное | неравенство | . |
| 2 109 Докажите | неравенство | . |
| 7 85 Одинаковы ли знаки чисел х и у , если верно | неравенство | . |
| 6 42 При каких значениях т верно | неравенство | . |
| 6 30 Поставьте вместо звёздочки знак < или > так , чтобы получилось верное | неравенство | . |
| 7 65 При каких целых значениях х верно | неравенство | . |
| 5 96 Поставьте вместо звёздочки знак < или > так , чтобы получилось верное | неравенство | . |
| 8 113 При каких значениях а верно | неравенство | . |
| 5 118 Поставьте вместо звёздочки знак > или < так , чтобы получилось верное | неравенство | . |
| 5 119 Какие цифры можно написать вместо звёздочки , чтобы получилось верное | неравенство | . |
| 1 45 Какие числа , кратные 5 , удовлетворяют | неравенству | . |
| Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то это число чётно ( делится без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это число | нечетное | . |
| Значит , любое натуральное число чётно лишь в случае , когда в разряде единиц стоит чётная цифра , и нечётно , когда в разряде единиц стоит | нечётная | цифра . |
| б ) | нечётно | ? . |
| Значит , любое натуральное число чётно лишь в случае , когда в разряде единиц стоит чётная цифра , и | нечётно | , когда в разряде единиц стоит нечётная цифра . |
| в ) куб чётного числа . б ) квадрат | нечётного | числа . |
| Может ли | нечётное | число делиться на чётное число ? . |
| чётное число | нечётное | число признак делимости на 5 . |
| Так как число | нечётное | , на последнем месте могут быть только цифры 1 или 3 — т . |
| Может ли чётное число делиться на | нечётное | число ? . |
| Г Если число не делится на 2 , то оно | нечётное | . |
| Нечётное | . | |
| чётное и | нечётное | числа всегда взаимно простые . |
| Было высказано предположение , что любое | нечётное | число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел . |
| чётное число . г ) | нечётное | число ? . |
| Разность двух нечётных чисел — число | нечётное | . |
| Число 189 не делится на 2 , так как оканчивается | нечётной | цифрой . |
| Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то это число чётно ( делится без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается | нечётной | цифрой , то это число нечетное . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 | нечётны | . |
| 4 Запишите | нечётные | числа , которые больше трёхсот пятидесяти и меньше трёхсот пятидесяти семи . |
| Нечётные | . | |
| г ) кратны числу 5 . д ) | нечётные | . |
| Например , числа 2 , 60 , 84 , 96 , 308 чётные , а числа 3 , 51 , 85 , 97 , 509 | нечётные | . |
| Но до сих пор учёные не знают , есть ли | нечётные | совершенные числа , есть ли самое большое совершенное число . |
| а ) все чётные числа , большие 10 и меньшие 21 . б ) все | нечётные | числа , большие 12 , но меньшие 23 . |
| Нечётный | . | |
| 1 83 Подумайте , каким числом ( чётным или | нечётным | ) является . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют | нечётными | - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| Поэтому и цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 называют чётными , а цифры 1 , 3 , 5 , 7 , 9 — | нечётными | . |
| 1 124 Сколько | нечётных | четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1 , 2 , 3 , 4 ? . |
| 1 92 Сколько трёхзначных чисел можно составить из различных | нечётных | цифр ? . |
| Разность двух | нечётных | чисел — число нечётное . |
| два | нечётных | числа , которые не делятся на 5 . |
| два | нечётных | числа , кратных 5 . |
| В соответствии с правилом умножения получаем , что | нечётных | четырёхзначных чисел можно составить 4 × 5 × 5 × 2 = 200 . |
| Через 3 ч вслед за | ним | вышла лодка . |
| Через 0,5 ч вслед за | ним | вышла легковая автомашина со скоростью 75 км / ч . |
| Через 0,5 ч вслед за | ним | вылетел другой самолёт со скоростью 750 км / ч . |
| индийские математики начали широко использовать отрицательные числа , но относились к | ним | с некоторым недоверием . |
| Выпишем множители , входящие в разложение первого из этих чисел , и добавим к | ним | недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа . |
| добавить к | ним | недостающие множители из разложений остальных чисел . |
| Скорость впереди идущего автомобиля равна 1,2 км / мин , а следующего за | ним | — 1,7 км / мин . |
| В этот момент вслед за | ним | отправилась моторная лодка . |
| 0,666 .. — | ноль | целых шестьсот шестьдесят шесть тысячных и так далее , 0,(6 ) — ноль целых и шесть в периоде . |
| Именительный | ноль | ( нуль ) целых двести девяносто семь тысячных . |
| 0,666 .. — ноль целых шестьсот шестьдесят шесть тысячных и так далее , 0,(6 ) — | ноль | целых и шесть в периоде . |
| 1 Запишите в процентах десятичную дробь « | ноль | целых семь сотых » . |
| Сколько сантиметров составляют | ноль | целых три десятых от двух метров ? . |
| 5 34 Начертите шкалу температур от -60 до 60 ° С , приняв отрезок длиной 1 см за 10 ° С. Отметьте на этой шкале точку замерзания ртути ( -39 ° C ) , | нормальную | температуру человеческого тела ( 37 ° С ) , точку замерзания бензина ( -60 ° С ) , точку кипения ацетона ( 56 ° С ) , точку замерзания глицерина ( -20 ° С ) . |
| Предложный о | нуле | целых двухстах девяноста семи тысячных . |
| Если цифр не хватает , надо сначала приписать в конце дроби несколько | нулей | . |
| д. , надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо , сколько | нулей | стоит в множителе после единицы . |
| Если в произведении получается меньше цифр , чем надо отделить запятой , то впереди пишут нуль или несколько | нулей | . |
| При этом иногда приходится написать перед целой частью нуль или несколько | нулей | . |
| Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр , сколько | нулей | стоит перед единицей в множителе . |
| д. , надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево , сколько | нулей | стоит после единицы в делителе . |
| Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр , сколько в делителе стоит | нулей | перед единицей ( т . е . |
| Например , если будем делить 1 на 3 , то получим сначала | нуль | целых , потом три десятых , а далее при делении всё время будут повторяться остаток 1 и в частном цифра 3 . |
| Именительный ноль ( | нуль | ) целых двести девяносто семь тысячных . |
| б ) | нуль | . |
| Здесь a , b и c — любые натуральные числа или | нуль | . |
| Натуральные числа , противоположные им числа и | нуль | называют целыми числами . |
| 4 Если из числа вычесть это число , получится | нуль | . |
| При этом иногда приходится написать перед целой частью | нуль | или несколько нулей . |
| 3 Если из числа вычесть | нуль | , оно не изменится . |
| 7 Число | нуль | не является положительным числом . |
| При делении нуля на любое число , не равное нулю , получается | нуль | . |
| Если в произведении получается меньше цифр , чем надо отделить запятой , то впереди пишут | нуль | или несколько нулей . |
| 3 При делении нуля на число ( не равное нулю ) получается | нуль | . |
| Начало отсчёта ( или начало координат ) — точка О изображает 0 ( | нуль | ) . |
| Делить на | нуль | нельзя ! . |
| Может ли при сложении отрицательных чисел получиться | нуль | ? |
| 2,4 × ( -0,5 ) — произведение двух целых четырёх десятых и минус нуля целых пяти десятых . — две целых четыре десятых умножить на минус | нуль | целых пять десятых . |
| была придумана цифра « | нуль | » и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа . |
| Умножение числа на нуль даёт в | нуль | , т . |
| 2 Сравните числа | нуль | и минус пятнадцать . |
| Умножение числа на | нуль | даёт в нуль , т . |
| Дательный | нулю | целых двумстам девяноста семи тысячным . |
| 6 Одна третья этого числа равна | нулю | целых трём десятым . |
| 4 Сумма n слагаемых , каждое из которых равно нулю , равна | нулю | . |
| Произведение может быть равно нулю лишь в том случае , когда хотя бы один из множителей равен | нулю | : если a × b = 0 , то либо a = 0 , либо b = 0 ( может случиться , что и a = 0 , и b = 0 ) . |
| 4 Сумма n слагаемых , каждое из которых равно | нулю | , равна нулю . |
| 7 Коэффициент выражения an равен | нулю | . |
| не равно | нулю | ? . |
| Произведение может быть равно | нулю | лишь в том случае , когда хотя бы один из множителей равен нулю : если a × b = 0 , то либо a = 0 , либо b = 0 ( может случиться , что и a = 0 , и b = 0 ) . |
| В каком случае произведение двух чисел равно | нулю | ? . |
| При делении нуля на любое число , не равное | нулю | , получается нуль . |
| Какое число противоположно | нулю | ? . |
| Если уменьшаемое и вычитаемое равны , то их разность равна | нулю | . |
| 8 Частное нуля целых восьми десятых и одной четвёртой равно | нулю | целых двум десятым . |
| 10 2 При каком условии равно | нулю | . |
| 7 111 Решите уравнение , использовав свойство произведения , равного | нулю | . |
| 8 Одна четвёртая равна | нулю | целых двадцати пяти сотым . |
| 9 8 Сумма трёх последовательных целых чисел равна | нулю | . |
| 7 Если число « эм » составляет двадцать процентов от числа « эн » , то отношение « эм » к « эн » равно | нулю | целых двум десятым . |
| Дательный | нулю | целых двумстам девяноста семи тысячным Винительный как Именительный . |
| 7 56 При каких значениях множителей произведение ху равно | нулю | ? |
| 2 При делении числа ( не равного | нулю | ) на это же число получается единица . |
| 8 Если обе части уравнения умножить на одно и то же число , не равное | нулю | , то корни уравнения не изменятся . |
| Сумма двух противоположных чисел равна | нулю | . |
| У каких точек равна | нулю | ордината ? |
| 9 50 У каких точек на координатной плоскости абсцисса равна | нулю | ? |
| Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число , не равное | нулю | . |
| 3 При делении нуля на число ( не равное | нулю | ) получается нуль . |
| Нуля целых двух десятых к | нулю | целых трём десятым . |
| 8 Если отношение двух чисел равно | нулю | целых двум десятым , то значение обратного отношения равно пяти . |
| Прибавление нуля не меняет числа , сумма противоположных чисел равна | нулю | . |
| На первом месте в записи числа может стоять любая цифра , кроме | нуля | , — 4 варианта . |
| Если делитель отличен от | нуля | , то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число . |
| 5 Во сколько раз одна целая две десятых больше | нуля | целых четырёх сотых ? . |
| 8 Частное | нуля | целых восьми десятых и одной четвёртой равно нулю целых двум десятым . |
| Прибавление | нуля | не меняет числа , сумма противоположных чисел равна нулю . |
| Запишите свойства | нуля | и единицы при умножении . |
| 3 Найдите сумму нуля целых четырёх десятых и | нуля | целых четырёх сотых . |
| 8 Частное минус нуля целых одной сотой и минус | нуля | целых одной тысячной равно десяти . |
| 3 Найдите сумму | нуля | целых четырёх десятых и нуля целых четырёх сотых . |
| 8 Частное минус | нуля | целых одной сотой и минус нуля целых одной тысячной равно десяти . |
| Минус восемнадцати и | нуля | . |
| Чему равен модуль | нуля | ? . |
| От прибавления | нуля | число не . a + 0 = а . |
| 1 Минус тридцати и | нуля | . |
| В дальнейшем будем считать , что все члены пропорции отличны от | нуля | : a не равно 0 , b не равно 0 , с не равно 0 , d не равно 0 . |
| 5 Найдите произведение нуля целых семи десятых и | нуля | целых одной десятой . |
| Для положительного числа и | нуля | он равен самому числу , а для отрицательного — противоположному . |
| в ) свойства | нуля | при сложении . г ) свойства 0 и 1 при умножении рациональных чисел . |
| Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отлична от | нуля | , то это число не делится без остатка на 10 . |
| При делении | нуля | на любое число , не равное нулю , получается нуль . |
| 6 Найдите частное трёх и | нуля | целых пяти десятых . |
| 2,4 × ( -0,5 ) — произведение двух целых четырёх десятых и минус | нуля | целых пяти десятых . — две целых четыре десятых умножить на минус нуль целых пять десятых . |
| Родительный | нуля | целых двухсот девяноста семи тысячных . |
| 5 Найдите произведение | нуля | целых семи десятых и нуля целых одной десятой . |
| Если целая часть меньше делителя , то частное начинается с | нуля | целых . |
| 3 При делении | нуля | на число ( не равное нулю ) получается нуль . |
| 5 Любое отрицательное число меньше | нуля | . |
| 3 От прибавления | нуля | число не изменяется . |
| Это свойство | нуля | при сложении с помощью букв можно записать так . |
| Это свойство | нуля | при вычитании с помощью букв можно записать так . |
| Минус двадцати и | нуля | . |
| 5 Одну четвёртую от | нуля | целых восьми десятых . |
| Обе части уравнения разделили на одно и то же число , отличное от | нуля | . |
| 4 Найдите разность единицы и | нуля | целых пяти сотых . |
| 9 84 Отметьте точку М и проведите через неё две прямые т и l так , чтобы они | образовали | угол , равный 62 ° . |
| Если две последние цифры данного числа | образуют | число , которое кратно 4 , то и само число кратно 4 . |
| Они | образуют | прямые углы с двумя другими сторонами этого прямоугольника . |
| Две прямые , | образующие | при пересечении прямые углы , называют перпендикулярными . |
| Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у , | образующие | систему координат на плоскости ? |
| 22 Прямая и | обратная | пропорциональные зависимости . |
| 5 21 Какое из чисел — правильная дробь или дробь , ей | обратная | , — на координатном луче расположено ближе к единице ? . |
| Прямая и | обратная | пропорциональные зависимости . |
| 8 Если некоторое число больше своего | обратного | , то это число больше единицы . |
| 3 268 Во сколько раз меньше своего | обратного | числа число 0,3 ? . |
| б ) не имеющее | обратного | ? . |
| 3 269 Придумайте число , которое меньше своего | обратного | числа в 4 раза ; в 9 раз . |
| 8 Если отношение двух чисел равно нулю целых двум десятым , то значение | обратного | отношения равно пяти . |
| Запишите значение отношения , | обратного | отношению ( 1—2 ) . |
| Видим , что это частное равно произведению делимого и числа , | обратного | делителю , т . |
| 3 269 Придумайте число , которое меньше своего | обратного числа | в 4 раза ; в 9 раз . |
| 3 268 Во сколько раз меньше своего | обратного числа | число 0,3 ? . |
| Как записать число , | обратное | натуральному числу ? . |
| 3 221 Найдите число , | обратное | дроби . |
| Как записать число , | обратное | смешанному числу ? . |
| а ) | обратное | самому себе . |
| Запишите число , | обратное | одной целой пяти шестым . |
| б ) число , | обратное | сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных слагаемым . |
| Запишите число , | обратное | ( 1—3 ) . |
| Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , | обратное | делителю . |
| 3 225 Найдите число , | обратное | числу . |
| Умножим обе части равенства на число 4 , | обратное | числу 4 . |
| Другими словами , если а , b и с — любые рациональные числа , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет рационального числа , а произведение числа на | обратное | ему число равно 1 . |
| Как записать число , | обратное | дроби ? . |
| Верно и | обратное | утверждение . |
| Сравните данное число и ему | обратное | . |
| Запишите отношение , | обратное | полученному отношению . |
| 3 166 Найдите число , | обратное | числу . |
| Найдём число , | обратное | числу 35 . |
| 4 5 Отношение а к b равно Найдите | обратное | отношение . |
| 7 Для любого числа существует | обратное | ему число . |
| Значит , если число х сначала умножить на некоторое число a , а потом умножить на число , | обратное | a , то получим опять х . |
| а ) число , | обратное | произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . |
| 3 225 Найдите число , | обратное числу | . |
| Найдём число , | обратное числу | 35 . |
| Умножим обе части равенства на число 4 , | обратное числу | 4 . |
| 3 166 Найдите число , | обратное числу | . |
| Пройденный им путь можно вычислить по формуле s = 3 t. Является ли зависимость пути , пройденного туристом , от времени прямой или | обратной | пропорциональной зависимостью ? |
| В этом случае отношение 80 : 40 будет равно не отношению 6 : 12 , а | обратному | отношению 12 : 6 . |
| Если величины обратно пропорциональны , то отношение значений одной величины равно | обратному | отношению соответствующих значений другой величины . |
| 3 226 Докажите , что числа а и b взаимно | обратны | , если . |
| Числа 2/3 и 3/2 взаимно | обратны | , поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 также называют взаимно обратными . |
| Взаимно | обратные | числа . |
| 16 Взаимно | обратные | числа . |
| взаимно | обратные | отношения . |
| 3 184 Найдите числа , | обратные | числам . |
| д . взаимно | обратные | числа . |
| 6 Числа две девятых и три вторых взаимно | обратные | . |
| д . взаимно | обратные числа | . |
| 16 Взаимно | обратные числа | . |
| Взаимно | обратные числа | . |
| 3 184 Найдите числа , | обратные числам | . |
| Речной трамвай от одной пристани до другой идёт по течению реки 36 мин со скоростью 420 м / мин , а на | обратный | путь он затрачивает 45 мин . |
| Моторная лодка против течения реки шла 48 мин со скоростью 220 м / мин , а на | обратный | путь она затратила 33 мин . |
| 8 Для правильной дроби | обратным | числом является неправильная дробь . |
| Числом , | обратным | делителю , является 4 , так как 6× 6 = 1 . |
| Значит , | обратным | числу 35 будет число 6 . |
| 8 Для правильной дроби | обратным числом | является неправильная дробь . |
| Значит , | обратным числу | 35 будет число 6 . |
| Значит , взаимно | обратными | будут числа 8/15 и 15/8 . |
| Какие числа называют взаимно | обратными | ? . |
| 3 165 Будут ли взаимно | обратными | числа . |
| Два числа , произведение которых равно 1 , называют взаимно | обратными | . |
| Числа 2/3 и 3/2 взаимно обратны , поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 также называют взаимно | обратными | . |
| 3 165 Будут ли взаимно | обратными числа | . |
| 3 305 Найдите произведение дробей и произведение дробей , | обратных | данным . |
| 5 51 Укажите пары взаимно | обратных | чисел : 3/7 ; 1,1 ; 5 ; 2 ; 0,2 . |
| а ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , | обратных | множителям . |
| 6 Произведение двух взаимно | обратных | чисел равно единице . |
| 7 Отношение двух взаимно | обратных | чисел равно единице . |
| Обратных | чисел . | |
| б ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , | обратных | слагаемым . |
| е ) двух рациональных взаимно | обратных | чисел . |
| 7 Отношение двух взаимно | обратных чисел | равно единице . |
| 6 Произведение двух взаимно | обратных чисел | равно единице . |
| е ) двух рациональных взаимно | обратных чисел | . |
| Обратных чисел | . | |
| 5 51 Укажите пары взаимно | обратных чисел | : 3/7 ; 1,1 ; 5 ; 2 ; 0,2 . |
| 1 192 Представьте в виде | обыкновенной дроби | числа 0,3 ; 0,13 ; 0,2 и в виде десятичной дроби числа . |
| 1 224 Запишите в виде | обыкновенной дроби | частное и выделите целую часть . |
| 1 202 Представьте в виде | обыкновенной дроби | числа : 0,5 ; 0,16 ; 0,25 . |
| 3 46 Запишите в виде десятичной и в виде | обыкновенной дроби | : 35 % ; 48 % ; 75 % ; 110 % ; 125 % . |
| 3 16 Представьте первый множитель в виде | обыкновенной дроби | и выполните умножение . |
| 3 200 Представьте делимое в виде | обыкновенной дроби | и выполните действие . |
| 3 61 Выразите | обыкновенной дробью | : 26 % ; 45 % ; 80 % ; 90 % . |
| в ) одно из слагаемых было правильной | обыкновенной дробью | . |
| 2 124 Замените десятичную дробь | обыкновенной дробью | и выполните действие . |
| В каком случае | обыкновенную дробь | можно представить в виде десятичной ? . |
| 5 Запишите в процентах | обыкновенную дробь | « три двадцатых » . |
| 7 В виде десятичной дроби можно представить только такую | обыкновенную дробь | , разложение знаменателя которой на простые множители содержит лишь числа « два » и « пять » . |
| 2 125 Замените | обыкновенную дробь | десятичной и выполните действие . |
| Не все | обыкновенные дроби | можно представить в виде десятичной дроби . |
| При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин , да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести « ломаные числа » — | обыкновенные дроби | . |
| Вы уже умеете выражать некоторые | обыкновенные дроби | в виде десятичных дробей . |
| В старину применяли в основном | обыкновенные дроби | . |
| Проверочная работа 3 . Повторение : | обыкновенные дроби | . |
| С дробными выражениями можно выполнять действия по тем же правилам , что и с | обыкновенными дробями | . |
| 2 10 Запишите в виде | обыкновенных дробей | частные : 3 : 8 ; 12 : 32 ; 20 : 48 ; 5 : 12 . |
| б ) в виде | обыкновенных дробей | : 1,2 ; 3,25 ; 0,75 ; 1,125 . |
| Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и | обыкновенных дробей | . |
| 3 14 Найдите значение выражения двумя способами : по правилу умножения | обыкновенных дробей | и по правилу умножения десятичных дробей . |
| 3 Умножение и деление | обыкновенных дробей | . |
| При сложении дробных выражений удобнее сначала представить их в виде | обыкновенных дробей | , а потом уже выполнять сложение . |
| 1 Запишите | однозначные | составные числа . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из | однозначных | чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| Сколько материалов потребуется для оклейки обоями комнаты , если площадь всех её стен вместе с | окнами | и дверями равна 35,3 м2 , а площадь окон и дверей — 10,2 м2 ? |
| 4 28 На окраску | окон | и дверей было истрачено 3,2 кг белил , что составляет 5/8 всех белил , истраченных на ремонт . |
| Сколько материалов потребуется для оклейки обоями комнаты , если площадь всех её стен вместе с окнами и дверями равна 35,3 м2 , а площадь | окон | и дверей — 10,2 м2 ? |
| в ) Какое получится число при | округлении | числа p до сотых ? . |
| Определите , | округлив | результаты до десятых , сколько процентов составляли деньги , полученные . |
| 7 97 Выразите дроби в виде приближённого значения десятичной дроби , | округлив | результат до тысячных . |
| Найдите площадь круга , | округлив | число « пи » до целых ( 3—4 ) , если . |
| 2 217 Выполните вычисления с помощью калькулятора и результат | округлите | до тысячных . |
| ( Число π = | округлите | до сотых . ) . |
| Ответ | округлите | с избытком до десятых долей килограмма и до целых рулонов . |
| 2 27 Выполните действия с помощью калькулятора и | округлите | ответ до сотых . |
| Ответ | округлите | до десятых долей тонны . |
| Результат | округлите | до десятых долей грамма . |
| ( Результат | округлите | до сотен километров . ) . |
| 3 227 Выполните деление и результат | округлите | до сотых . |
| 3 244 Выполните деление и | округлите | ответ до тысячных . |
| Число р | округлите | до сотых . |
| Число « пи » | округлите | до целых . |
| Результат | округлите | до сотых метра ( π = 3,14 ) . |
| 6 Число 0,(35 ) | округлите | до тысячных . |
| ( Результат | округлите | до миллионов квадратных километров . ) . |
| Найдите численность населения Московской области в 2016 г. Результат | округлите | до десятых . |
| Число p | округлите | до десятых . |
| Если число 5/11 = 0,4545 .. | округлить | до десятых , то получим 5/11 примерно 0,5 , если это число округлить до сотых , то получим 0,45 , а если округлить до тысячных , то получим 0,455 . |
| Если число 5/11 = 0,4545 .. округлить до десятых , то получим 5/11 примерно 0,5 , если это число | округлить | до сотых , то получим 0,45 , а если округлить до тысячных , то получим 0,455 . |
| Если число 5/11 = 0,4545 .. округлить до десятых , то получим 5/11 примерно 0,5 , если это число округлить до сотых , то получим 0,45 , а если | округлить | до тысячных , то получим 0,455 . |
| Если значение | округлить | до сотых , то получим значение 3,14 . |
| Поэтому для всех | окружностей | отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом . |
| 6 Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для любых | окружностей | . |
| 3 Диаметр | окружности | равен 10 м . |
| 10 37 Начертите окружность , радиус которой 2,5 см , и отрезок , длина которого равна длине | окружности | ( длину окружности округлите до десятых долей сантиметра ) . |
| 4 Радиус | окружности | равен 3 дм . |
| 24 Длина | окружности | и площадь круга . |
| Запишите координаты точек пересечения этой | окружности | с осями координат . |
| Если « опоясать » стакан ниткой , а потом распрямить её , то длина нитки будет приближённо равна длине нарисованной | окружности | . |
| 6 Формула длины | окружности | : C = π r . |
| Чему равна длина внешней | окружности | , если её диаметр в 2 раза больше диаметра внутренней окружности ? . |
| 4 165 Длина внутренней | окружности | кольца равна 3,5 дм . |
| 6 Отношение длины | окружности | к её диаметру одинаково для любых окружностей . |
| Чему равен диаметр | окружности | , если её длина равна восемнадцати метрам ? |
| 8 Длина | окружности | обратно пропорциональна длине её радиуса . |
| Чему равна длина внешней окружности , если её диаметр в 2 раза больше диаметра внутренней | окружности | ? . |
| Напишите формулы для нахождения длины | окружности | по длине её диаметра и по длине её радиуса . |
| Длина | окружности | и площадь круга . |
| 2 Чему равен радиус | окружности | , если её длина равна двенадцати сантиметрам ? |
| На сколько длина окружности экватора больше длины | окружности | , проходящей через полюса Земли ? . |
| На сколько длина | окружности | экватора больше длины окружности , проходящей через полюса Земли ? . |
| 9 70 Найдите длину | окружности | , радиус которой 7 см ; 0,7 см ; 0,14 см , приняв π = 22/7 . |
| 4 163 Заполните таблицу ( r — радиус , d — диаметр , С — длина | окружности | , S — площадь круга ) . |
| Найдите длину | окружности | , приняв число « пи » приближённо равным трём ( 3—4 ) , если . |
| Поэтому для всех окружностей отношение длины | окружности | к длине её диаметра является одним и тем же числом . |
| Длина | окружности | прямо пропорциональна длине её диаметра . |
| б ) По какой формуле вычисляется длина | окружности | ? |
| Пропорциональна ли длина | окружности | длине её радиуса ? |
| Чему равно отношение длины | окружности | к её диаметру ? |
| 4 128 Найдите длину | окружности | , если её диаметр равен 21 см ; 3,5 см ; 10,5 дм . |
| Вычислите длину | окружности | основания Царь - колокола . |
| Формулы длины | окружности | и площади круга читаются так : « цэ » равно « пи дэ » . |
| 4 129 Диаметр долгоиграющей виниловой пластинки равен 20 см. Найдите длину | окружности | этой пластинки . |
| 4 130 Определите диаметр | окружности | , если её длина равна 56,52 дм ; 37,68 см ( π = 3,14 ) . |
| 4 132 Найдите длину | окружности | , радиус которой равен 24 см ; 4,7 дм ; 18,5 м . |
| 4 133 Чему равна длина | окружности | , если её радиус равен 1,54 м ; 5,67 дм ? |
| длина | окружности | . |
| 4 134 Выполните необходимые измерения и найдите длину половины | окружности | , изображённой . |
| Найдите длину | окружности | , опоясывающей планету Марс , если средний радиус Земли равен 6371 км . |
| Запишите координаты точек пересечения | окружности | с осями координат . |
| Длина | окружности | переднего колеса была равна 31 м , а заднего — 17 м . |
| 10 37 Начертите окружность , радиус которой 2,5 см , и отрезок , длина которого равна длине окружности ( длину | окружности | округлите до десятых долей сантиметра ) . |
| 4 149 С помощью тонкой нити измерьте длину какой - нибудь | окружности | ( на стакане , ведре , тарелке ) , измерьте длину диаметра . |
| Так как диаметр окружности вдвое больше её радиуса , то длина | окружности | с радиусом r равна 2π r . |
| Найдите отношение длины | окружности | к длине диаметра и сравните полученный результат с числом π . |
| Так как диаметр | окружности | вдвое больше её радиуса , то длина окружности с радиусом r равна 2π r . |
| 9 71 Найдите радиус | окружности | , длина которой 6,28 мм ; 3,14 см ; 0,0628 м , приняв π = 3,14 . |
| 4 150 Найдите длину | окружности | , если её радиус равен 36 см ; 0,44 см ; 125 км . |
| Если обозначить длину | окружности | буквой С , а длину диаметра буквой d , то С : d = π . |
| 2 Чему равен диаметр | окружности | , если её радиус равен девятнадцати дециметрам ? . |
| Получили другую формулу длины | окружности | . |
| Чему равен радиус | окружности | , если её диаметр равен сорока двум сантиметрам ? . |
| Длина | окружности | . |
| 2 86 С помощью транспортира разделите одну | окружность | на 6 , а другую — на 3 равные дуги . |
| На бумаге получится | окружность | . |
| Начертите | окружность | с центром А и радиусом , равным 5 единичным отрезкам . |
| 4 118 Начертите | окружность | и постройте два её радиуса , угол между которыми 120 ° . |
| 10 37 Начертите | окружность | , радиус которой 2,5 см , и отрезок , длина которого равна длине окружности ( длину окружности округлите до десятых долей сантиметра ) . |
| 10 69 На координатной плоскости начертите | окружность | с центром в точке С(-4 ; 0 ) и радиусом , равным 5 единичным отрезкам . |
| Эту | операцию | называют раскрытием скобок . |
| 3 Как называется | операция | деления числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от единицы ? . |
| на оси | ординат | ? . |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью | ординат | . |
| оси | ординат | . |
| Будем на оси абсцисс изображать 1 ч отрезком в 2 клетки , а на оси | ординат | — 60 км отрезком в 2 клетки . |
| Такие точки координатной плоскости называют симметричными относительно оси | ординат | или , другими словами , симметричными относительно оси у. |
| г ) левее оси | ординат | . |
| Найдите координаты точки пересечения стороны AK с осью | ординат | . |
| в ) оси | ординат | . |
| Точка « эм » с координатами минус два и три расположена правее оси | ординат | . |
| б ) левее оси | ординат | ? . |
| абсцисса точки ордината точки ось абсцисс ось | ординат | . |
| в ) правее оси | ординат | . |
| 5 Чему равна | ордината | любой точки оси абсцисс ? . |
| А где расположены точки , | ордината | которых равна -1 ? . |
| Слова « абсцисса » , « | ордината | » , « координаты » первым начал использовать в конце XVII в . |
| Ордината | которой равна 1,8 ; 2,1 ; -1,6 ; -2,5 ; | |
| абсцисса точки | ордината | точки ось абсцисс ось ординат . |
| У каких точек равна нулю | ордината | ? |
| 3 Запишите , чему равна | ордината | точки A ( 2 ; 3 ) . |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют | ординатой | точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| Точку М с абсциссой 6 и | ординатой | -5 обозначают так : М(6 ; -5 ) . |
| Расскажите , как найти абсциссу и | ординату | точки на координатной плоскости . |
| При этом всегда на первом месте пишут абсциссу точки , а на втором — её | ординату | . |
| Назовите абсциссу и | ординату | каждой точки . |
| У пирамид боковые грани — треугольники , а | основание | — многоугольник . |
| Название пирамиды зависит от того , какой многоугольник является её | основанием | . |
| Объём конуса в 3 раза меньше объёма цилиндра с такими же | основанием | и высотой . |
| 4 115 Известно , что объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы такой же высоты и с таким же | основанием | . |
| На | основании | какого свойства умножения выполняют приведение ( сложение ) подобных слагаемых ? . |
| Вычислите объём четырёхугольной пирамиды , в | основании | которой прямоугольник со сторонами 2/3 дм и 9/10 дм , а высота равна 5 дм . |
| Попробуйте вычислить площадь поверхности цилиндра , если его высота 5 см , а радиус | оснований | 2 см . |
| Вычислите объём цилиндра и объём конуса , у которых высоты по 12 см и радиусы | оснований | по 2 см . |
| 6 44 Объём цилиндра равен произведению площади одного его | основания | и высоты . |
| У прямой призмы боковые грани — прямоугольники , а верхнее и нижнее | основания | — равные многоугольники . |
| 6 108 Высота конуса 24 см , а площадь | основания | 15 см2 . |
| Какой высоты должен быть цилиндр с такой же площадью | основания | , чтобы его объём был равен объёму конуса ? |
| в ) стоимости купленных яблок к их массе . г ) объёма прямоугольного параллелепипеда к площади его | основания | ? . |
| Вычислите площадь поверхности конуса , если радиус его | основания | 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с прямым углом , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| Вычислите длину окружности | основания | Царь - колокола . |
| 5 114 Видно , что куб можно составить из шести одинаковых четырёхугольных пирамид , у которых вершина О , а | основаниями | служат грани куба . |
| Сверху и снизу цилиндр ограничен кругами , которые называются | основаниями | цилиндра . |
| 10 86 В кафе в первый день продали 2/7 имевшегося сока , во второй 3/5 | остатка | . |
| Отсюда и любое число , запись которого оканчивается цифрой 0 , делится без | остатка | и на 5 , и на 2 . |
| 8 Если запись натурального числа оканчивается не менее чем двумя нулями , это натуральное число делится без | остатка | на сто . |
| Поэтому число 10 делится без | остатка | и на 2 , и на 5 . |
| Наибольшее натуральное число , на которое делятся без | остатка | несколько чисел называют наибольшим общим делителем этих чисел . |
| 1 128 Какую цифру можно поставить вместо звёздочки , чтобы число делилось без | остатка | на 3 и на 5 . |
| Число сантиметров пути должно делиться без | остатка | и на 75 , и на 60 , т . |
| 3 261 Овощная база в первый день отпустила 40 % всего имевшегося картофеля , во второй день — 60 % | остатка | , а в третий день — остальные 72 т . |
| Все полные десятки делятся на 2 без | остатка | ( т . е . |
| Первый рабочий изготовил 0,3 всех деталей , второй — 0,6 | остатка | , а третий — остальные 84 детали . |
| Числа , делящиеся без | остатка | на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно делится без | остатка | на 70 . |
| Например , числа 870 и 875 делятся без | остатка | на 5 , а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся . |
| 6 Натуральное число « бэ » делится без | остатка | на пятнадцать . |
| Делителем натурального числа а называю натуральное число , на которое а делится без | остатка | . |
| Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то это число чётно ( делится без | остатка | на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это число нечетное . |
| в ) делятся без | остатка | на 3 и на 5 . |
| 9 67 Из корзины взяли 6 яблок , затем треть | остатка | и ещё 6 яблок . |
| Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля , то это число не делится без | остатка | на 10 . |
| Слова делится ( без | остатка | ) и кратно заменяют друг друга . |
| 4 Натуральное число « эм » делится на натуральное число « а » без | остатка | . |
| 6 Если девять — последняя цифра в записи натурального числа , то это число делится без | остатка | на девять . |
| Как по записи натурального числа определить , делится оно без | остатка | на 10 или нет ? . |
| 5 Если число кратно девяти , то оно делится без | остатка | на три . |
| Кратным натурального числа а называют натуральное число , которое делится без | остатка | . |
| Это значит , что число 846 делится без | остатка | на 9 . |
| Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число делится без | остатка | на 5 . |
| Как по записи натурального числа узнать , делится оно без | остатка | на 5 или нет ? . |
| Если запись натурального ч оканчивается цифрой 0 , то это число делится без | остатка | 70 . |
| Например , числа 870 и 875 делятся без остатка на 5 , а числа 872 и 873 на 5 без | остатка | не делятся . |
| 7 Если чётное число кратно трём , то оно делится без | остатка | на шесть . |
| Как по записи натурального числа узнать , делится оно без | остатка | на 2 или нет ? . |
| Если же запись числа оканчивается иной цифрой , то число без | остатка | на 5 не делится . |
| 5 Если число делится без | остатка | на десять , то оно не кратно двум . |
| Например , 280 делится без | остатка | на 10 , так как 280 : 10 = 28 . |
| 1 49 Если к числу прибавить 4 , то полученное число разделится без | остатка | на 6 . |
| Всякое натуральное число , запись которого оканчивается цифрой 0 , делится без | остатка | на 10 . |
| 1 141 Выясните , делится ли число а на число b без | остатка | , если . |
| 3 161 В первый день маслобойня переработала 4 поступившего количества семян подсолнечника , во второй день — 0,6 | остатка | . |
| Кладовщик в первый раз выдал 40 % имевшихся гвоздей , во второй раз — 75 % | остатка | . |
| 2 Как называется натуральное число , которое не делится на два без | остатка | ? . |
| При делении большего из них на меньшее в частном получается 3 ив | остатке | 9 . |
| 1 33 Выполните деление с | остатком | . |
| разделить с | остатком | числитель на знаменатель . |
| В первом случае получили остаток 18 , а во втором случае — | остаток | 4 . |
| 1 25 При делении числа а на число b получили неполное частное c и | остаток | г . |
| При делении же числа 283 на 10 получаем неполное частное 28 и | остаток | 3 ( т . |
| Чему равен | остаток | от деления первого числа на 6 ? . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают | остаток | 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| В первом случае получили | остаток | 18 , а во втором случае — остаток 4 . |
| 1 23 Найдите неполное частное и | остаток | при делении . |
| Остаток | ( если он есть ) даёт числитель , а делитель — знаменатель дробной части . | |
| 1 24 Найдите | остаток | от деления . |
| Например , если будем делить 1 на 3 , то получим сначала нуль целых , потом три десятых , а далее при делении всё время будут повторяться | остаток | 1 и в частном цифра 3 . |
| На прямой х | откладывали | время в минутах после включения самовара , а на прямой у — температуру воды в градусах Цельсия . |
| индийские математики начали широко использовать отрицательные числа , но | относились | к ним с некоторым недоверием . |
| Эти записи читают так : « Отношение а к b равно отношению c к d » или « а так относится к b , как с | относится | к d » . |
| Число восемнадцать так относится к четырём , как двадцать семь | относится | к шести . |
| Эти записи читают так : « Отношение а к b равно отношению c к d » или « а так | относится | к b , как с относится к d » . |
| Число восемнадцать так | относится | к четырём , как двадцать семь относится к шести . |
| Золотым сечением и даже « божественной пропорцией » называли математики древности и Средневековья деление отрезка , при котором длина его большей части так | относится | к длине всего отрезка , как длина меньшей части к большей . |
| б ) 0,9 так | относится | к 1 как 45 относится к 162 . |
| б ) 0,9 так относится к 1 как 45 | относится | к 162 . |
| а ) 5 так | относится | к 3 , как 2 относится к 1,2 . |
| а ) 5 так относится к 3 , как 2 | относится | к 1,2 . |
| Это | отношение | приближённо равно 0,618 . |
| Поэтому для всех окружностей | отношение | длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом . |
| 7 Если число « эм » составляет двадцать пять процентов от числа « эн » , то | отношение | « эн » к « эм » равно четырём . |
| 10 31 Сравните числа , найдя их | отношение | . |
| Чему равно | отношение | длины окружности к её диаметру ? |
| Найдите | отношение | длины окружности к длине диаметра и сравните полученный результат с числом π . |
| Обозначим длину отрезка на местности ( в сантиметрах ) буквой x и найдём | отношение | длины отрезка на карте к длине отрезка на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу карты . |
| 6 Как называется | отношение | длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности ? . |
| Чему равно | отношение | соответствующих значений второй величины ? . |
| 4 31 Крутизной лестницы называют | отношение | высоты ступеньки к её глубине . |
| 4 49 Найдите | отношение | величин . |
| Если величины обратно пропорциональны , то | отношение | значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины . |
| Значит , | отношение | массы электромотора к массе станка равно 0,0375 . |
| Например , переплёты многих книг имеют | отношение | ширины и длины , близкое к числу 0,618 . |
| Что показывает | отношение | . |
| 4 15 Что показывает | отношение | : а ) пути , пройденного автомашиной , ко времени её движения . |
| Что показывает | отношение | двух чисел ? . |
| 4 1 Найдите | отношение | . |
| Возможны разные способы использования термина | отношение | в речи . |
| п . — | отношение | числа тридцать пять к числу двадцать семь . |
| п . — | отношение | чисел тридцать пять и двадцать семь . |
| 4 87 Длина отрезка AB равна 8 дм , а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите | отношение | длин отрезков AB и CD . |
| п. д. п . — | отношение | тридцати пяти к двадцати семи . |
| Чтобы узнать , во сколько раз вся дорога длиннее своей электрифицированной части , берём | отношение | 360 : 240 . |
| Записываем это | отношение | в виде дроби и сокращаем её на 120 Получим . |
| Чтобы найти , какая часть дороги электрифицирована , берём | отношение | 240 : 360 . |
| Найдите | отношение | длины прямоугольника к его ширине . |
| Что показывает это | отношение | ? |
| измерения , то их | отношение | называют также отношением этих величин ( отношением масс , отношением площадей и т . д. ) . |
| Запишите | отношение | , обратное полученному отношению . |
| Что будет показывать это | отношение | ? . |
| В этом случае | отношение | 80 : 40 будет равно не отношению 6 : 12 , а обратному отношению 12 : 6 . |
| Отношение | двух чисел . | |
| Отношение | величин . | |
| 4 5 Отношение а к b равно Найдите обратное | отношение | . |
| Чему будет равно | отношение | m к п , если отношение п к m равно 1,25 ? . |
| Чему будет равно отношение m к п , если | отношение | п к m равно 1,25 ? . |
| Чему равно | отношение | числа девочек к числу мальчиков и что оно показывает ? . |
| в ) | отношение | — к 0,1 равно отношению 14 к 4,9 . |
| 6 Найдите процентное | отношение | восьмидесяти килограммов и одной тонны . |
| 4 81 Найдите | отношение | . |
| Найдите | отношение | массы электромотора к массе станка . |
| 4 37 Длина прямоугольника а см , а ширина b см. Длина другого прямоугольника m см , а ширина n см. Найдите | отношение | площади первого прямоугольника к площади второго . |
| Отношение | площади круга к квадрату его радиуса ? . | |
| 8 Если | отношение | двух чисел равно нулю целых двум десятым , то значение обратного отношения равно пяти . |
| 7 Если число « эм » составляет двадцать процентов от числа « эн » , то | отношение | « эм » к « эн » равно нулю целых двум десятым . |
| Запишите | отношение | ( 1—2 ) . |
| Что называют | отношением | двух чисел ? . |
| измерения , то их отношение называют также | отношением | этих величин ( отношением масс , отношением площадей и т . д. ) . |
| измерения , то их отношение называют также отношением этих величин ( | отношением | масс , отношением площадей и т . д. ) . |
| измерения , то их отношение называют также отношением этих величин ( отношением масс , | отношением | площадей и т . д. ) . |
| Частное двух чисел называют | отношением | этих чисел . |
| В каком | отношении | по массе были взяты ягоды и сахарный песок ? . |
| Проверьте , нет ли элементов , размеры которых находятся в | отношении | золотого сечения . |
| Изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского , разделённая в таком | отношении | ( точка C делит отрезок AD , точка B делит отрезок AC ) . |
| в ) десятичные дроби появились в Китае в III в .. г ) теория | отношений | и пропорций была разработана в Древней Греции в IV в . |
| 4 40 Из каких | отношений | 0,6 : 5 ; 4,2 : 7 ; 4 : 6,25 можно составить верную пропорцию ? . |
| Равенство двух | отношений | называют пропорцией . |
| 3 Как называют равенство двух | отношений | ? . |
| Теория | отношений | и пропорций была подробно изложена в « Началах » Евклида ( III в . |
| Отношение трёх к пяти равно | отношению | двух к семи . |
| в ) отношение — к 0,1 равно | отношению | 14 к 4,9 . |
| Если величины обратно пропорциональны , то отношение значений одной величины равно обратному | отношению | соответствующих значений другой величины . |
| Запишите значение отношения , обратного | отношению | ( 1—2 ) . |
| Где на прямой находится каждая из этих точек по | отношению | к точке O ? . |
| В этом случае отношение 80 : 40 будет равно не отношению 6 : 12 , а обратному | отношению | 12 : 6 . |
| Запишите отношение , обратное полученному | отношению | . |
| 5 30 Где по | отношению | к узлу верёвки находится каждая птица ? |
| Эти записи читают так : « Отношение а к b равно | отношению | c к d » или « а так относится к b , как с относится к d » . |
| В этом случае отношение 80 : 40 будет равно не | отношению | 6 : 12 , а обратному отношению 12 : 6 . |
| 5 3 Находясь в походе , туристы побывали в пунктах K , М и P. Где по | отношению | к лагерю находятся эти пункты ? . |
| Число , которое можно записать в виде | отношения | а / n , где а — целое число , а n — натуральное число , называют рациональным числом . |
| Найдите значение | отношения | ( 3—4 ) . |
| Если две величины прямо пропорциональны , то | отношения | соответствующих значений равны . |
| 3 Как называется число , которое можно представить в виде | отношения | « а » к « бэ » , где « а » — целое число , а « бэ » — натуральное ? . |
| 8 Если отношение двух чисел равно нулю целых двум десятым , то значение обратного | отношения | равно пяти . |
| Значит , равны | отношения | 4 : 2 и 56 : 28 . |
| Проверьте полученные пропорции , определяя | отношения | чисел . |
| Найдите значение | отношения | величин ( 3—6 ) . |
| Выразите в процентах значение | отношения | ( 2—3 ) . |
| а ) | отношения | двух величин . б ) верной пропорции и назовите её крайние и средние члены . |
| Числа 2/3 и 3/2 взаимно обратны , поэтому и | отношения | 2 к 3 и 3 к 2 также называют взаимно обратными . |
| Запишите значение | отношения | , обратного отношению ( 1—2 ) . |
| взаимно обратные | отношения | . |
| Если значения двух величин выражены , разными единицами измерения , то для нахождения | отношения | этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения . |
| Что можно сказать об | отношениях | соответствующих значений таких величин ? |
| Что можно сказать об | отношениях | соответствующих значений таких величин ? . |
| Учение об | отношениях | и пропорциях особенно успешно развивалось в IV в . |
| — от минус семи | отнять | минус двенадцать . |
| 4 111 Какое число надо | отнять | от числителя и знаменателя дроби , чтобы получить дробь , равную 5/9 ? . |
| 3 142 От какого числа надо | отнять | -1 , чтобы получить 1 ; 1 5 ; 17 ? . |
| Если от большего числа | отнять | 54 , а к меньшему прибавить 72 , то получатся равные результаты . |
| Найдите длину | отрезка | АВ . |
| Длина отрезка на карте 3 см. Найдём длину соответствующего | отрезка | на местности , если масштаб карты 1 : 1 000 000 . |
| 5 Отношение длины | отрезка | на местности к длине соответствующего отрезка на карте называется масштабом карты . |
| 8 103 Длина | отрезка | АВ на 2 см больше , чем длина отрезка CD . |
| 2 4 Начертите два | отрезка | AB и CD длиной по 8 см. Отметьте цветным карандашом 3 отрезка AB и 6 отрезка CD . |
| 8 103 Длина отрезка АВ на 2 см больше , чем длина | отрезка | CD . |
| 5 Отношение длины отрезка на местности к длине соответствующего | отрезка | на карте называется масштабом карты . |
| 9 15 Начертите два перпендикулярных | отрезка | АВ и MN так , чтобы они . |
| Обозначим длину | отрезка | на местности ( в сантиметрах ) буквой x и найдём отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу карты . |
| 8 94 На карте отрезок имеет длину 12,6 см. Чему равна длина этого | отрезка | на местности , если масштаб карты 1 : 150 000 ? . |
| Если длину | отрезка | АВ увеличить на 10 см , а длину отрезка CD увеличить в 3 раза , то получатся равные результаты . |
| Чему равна длина этого | отрезка | на карте , сделанной в масштабе 1 : 100 000 ? . |
| Поэтому если обозначить длину | отрезка | АВ буквой х , то -5 + х = 9 . |
| 2 4 Начертите два отрезка AB и CD длиной по 8 см. Отметьте цветным карандашом 3 | отрезка | AB и 6 отрезка CD . |
| 4 87 Длина | отрезка | AB равна 8 дм , а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение длин отрезков AB и CD . |
| Например , отрезок 1000 м изображают на карте отрезком в 1 см. Так как 1000 м = = 100 000 см , то каждый отрезок на карте в 100 000 раз меньше соответствующего | отрезка | на местности . |
| Как найти длину | отрезка | на координатной прямой ? . |
| Длина отрезка AC составляет 0,65 длины | отрезка | CB . |
| Чтобы найти длину | отрезка | на координатной прямой , надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца . |
| Какую часть длины отрезка AB составляет длина | отрезка | CD ? . |
| 6 Как называется отношение длины | отрезка | на карте к длине соответствующего отрезка на местности ? . |
| Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего | отрезка | на местности называют масштабом карты . |
| Длина | отрезка | AC составляет 0,65 длины отрезка CB . |
| Значит , длина | отрезка | равна 14 единичным отрезкам . |
| 5 Какую часть | отрезка | BE составляет отрезок BD ? . |
| 3 283 Точка C делит отрезок AB на два | отрезка | AC и CB . |
| 2 4 Начертите два отрезка AB и CD длиной по 8 см. Отметьте цветным карандашом 3 отрезка AB и 6 | отрезка | CD . |
| Обозначим длину ( в километрах ) | отрезка | на карте буквой х и составим пропорцию : х : 4,5 = 1 : 100 000 . |
| Какую часть длины | отрезка | AB составляет длина отрезка CD ? . |
| Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см , а длину | отрезка | CD увеличить в 3 раза , то получатся равные результаты . |
| 4 87 Длина отрезка AB равна 8 дм , а длина | отрезка | CD равна 2 см. Найдите отношение длин отрезков AB и CD . |
| Обозначьте точку пересечения | отрезка | MK с осью у буквой С. С помощью угольника проверьте , верно ли , что отрезок MK перпендикулярен оси у. |
| Отношение длины | отрезка | на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты . |
| Ответ : длина | отрезка | на карте 4,5 см . |
| Длина | отрезка | на карте 3 см. Найдём длину соответствующего отрезка на местности , если масштаб карты 1 : 1 000 000 . |
| 6 Как называется отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего | отрезка | на местности ? . |
| Какое число соответствует середине | отрезка | АВ ? . |
| 5 12 Выбрав в качестве единичного | отрезка | 2 клетки , изобразите на координатной прямой точки с координатами . |
| Длина | отрезка | АВ показывает , на сколько единичных отрезков надо переместить вправо точку А , чтобы она перешла в точку В , т . |
| а ) отрезок AM от | отрезка | AB . б ) отрезок AM от отрезка AC . |
| Чему равна длина | отрезка | АВ , если А(-5 ) и В(9 ) ? . |
| Обозначим длину отрезка на местности ( в сантиметрах ) буквой x и найдём отношение длины | отрезка | на карте к длине отрезка на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу карты . |
| а ) отрезок AM от отрезка AB . б ) отрезок AM от | отрезка | AC . |
| нахождение длины | отрезка | на координатной прямой . |
| Найдите координату середины С | отрезка | АВ , если . |
| Золотым сечением и даже « божественной пропорцией » называли математики древности и Средневековья деление отрезка , при котором длина его большей части так относится к длине всего | отрезка | , как длина меньшей части к большей . |
| в ) отрезок AM от | отрезка | AN . г ) отрезок AN от отрезка AB . д ) отрезок AN от отрезка AC . е ) отрезок AC от отрезка AB . |
| в ) отрезок AM от отрезка AN . г ) отрезок AN от отрезка AB . д ) отрезок AN от | отрезка | AC . е ) отрезок AC от отрезка AB . |
| Координата правого конца | отрезка | равна минус двум . |
| в ) отрезок AM от отрезка AN . г ) отрезок AN от отрезка AB . д ) отрезок AN от отрезка AC . е ) отрезок AC от | отрезка | AB . |
| Чтобы сложить числа -6 и -3 с помощью координатной прямой , надо точку Д(-6 ) переместить влево на 3 единичных | отрезка | . |
| Отложите от точки C влево отрезок CD , равный — единичного | отрезка | . |
| Отметьте на этом луче точку A. Отложите вправо от точки A отрезок AC , равный — единичного | отрезка | . |
| 4 108 Отрезок на местности длиной 3 км изображён на карте отрезком 6 см. Чему равна на карте длина | отрезка | , изображающего отрезок 10 км ? |
| в ) отрезок AM от отрезка AN . г ) отрезок AN от | отрезка | AB . д ) отрезок AN от отрезка AC . е ) отрезок AC от отрезка AB . |
| 6 Во сколько раз отрезок AB длиннее | отрезка | BC ? . |
| Длина | отрезка | на координатной прямой равна шести единичным отрезкам . |
| Обозначим длину отрезка на местности ( в сантиметрах ) буквой x и найдём отношение длины отрезка на карте к длине | отрезка | на местности : 3 : х , которое и будет равно масштабу карты . |
| Золотым сечением и даже « божественной пропорцией » называли математики древности и Средневековья деление | отрезка | , при котором длина его большей части так относится к длине всего отрезка , как длина меньшей части к большей . |
| Длина | отрезка | на местности 4,5 км . |
| Ответ : длина | отрезка | на местности 30 км . |
| 8 19 Найдите координаты середины | отрезка | , если координаты его концов равны . |
| Значит , длина отрезка равна 14 единичным | отрезкам | . |
| Длина отрезка на координатной прямой равна шести единичным | отрезкам | . |
| 10 69 На координатной плоскости начертите окружность с центром в точке С(-4 ; 0 ) и радиусом , равным 5 единичным | отрезкам | . |
| Начертите окружность с центром А и радиусом , равным 5 единичным | отрезкам | . |
| Расстояние до точки M(-6 ) от начала отсчёта О равно 6 единичным | отрезкам | . |
| Отрезки ( лучи ) , лежащие на параллельных прямых , называют параллельными | отрезками | ( лучами ) . |
| Соединим верхние концы столбиков | отрезками | . |
| Отрезки ( или лучи ) , лежащие на перпендикулярных прямых , называют перпендикулярными | отрезками | ( или лучами ) . |
| Модулем числа а называют расстояние ( в единичных | отрезках | ) от начала координат до точки А(а ) . |
| 5 64 Найдите расстояние ( в единичных | отрезках | ) от начала отсчёта до каждой из точек : А(3,7 ) , В(-7,8 ) , С(-200 ) , .0(315,6 ) , E(0 ) , F(-2 ) , K ( ) . |
| Найдите расстояние между точками А и Б в единичных | отрезках | . |
| 3 Найдите расстояние ( в единичных | отрезках | ) между точками с координатами « минус два » и « плюс один » . |
| 6 72 Чему равно расстояние ( в единичных | отрезках | ) между точками координатной прямой с координатами . |
| Найдите расстояние между точками F и B в единичных | отрезках | . |
| 1 Как называется расстояние ( в единичных | отрезках | ) от точки на координатной прямой до начала отсчёта ? . |
| 8 Модуль числа « эм » равен расстоянию ( в единичных | отрезках | ) от начала отсчёта до точки с координатой « эм » . |
| Какие | отрезки | называют параллельными ? . |
| Проведите | отрезки | АС и BD . |
| Какие | отрезки | считают параллельными ? |
| параллельные | отрезки | ( лучи ) . |
| Какие | отрезки | считают перпендикулярными ? |
| Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите | отрезки | АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков . |
| Найдите координаты точки , в которой пересекаются эти | отрезки | . |
| перпендикулярные | отрезки | ( лучи ) . |
| Постройте такие | отрезки | . |
| Какие | отрезки | и какие лучи называют перпендикулярными ? . |
| Отметьте на этих прямых параллельные | отрезки | . |
| Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих | отрезков | . |
| 4 Запишите координаты точек , расположенных на расстоянии пять единичных | отрезков | от начала отсчёта . |
| Найдите длины | отрезков | CB и AB , если AC = 3,9 см . |
| 4 Запишите координаты точек , лежащих на оси « игрек » на расстоянии в шесть единичных | отрезков | от начала координат . |
| 9 5 Какие из | отрезков | перпендикулярны ? . |
| 4 87 Длина отрезка AB равна 8 дм , а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение длин | отрезков | AB и CD . |
| 2 Точка с отрицательной координатой расположена на расстоянии восемь единичных | отрезков | от начала отсчёта . |
| е . удалена от неё на 0 единичных | отрезков | . |
| Модуль числа 5 равен 5 , так как точка в(5 ) удалена от начала отсчёта на 5 единичных | отрезков | . |
| Чтобы сложить числа 9 и -6 с помощью координатной прямой , надо точку 4(9 ) переместить влево на 6 единичных | отрезков | . |
| 7 На координатном луче наименьшее кратное натурального числа « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено правее этого числа на расстоянии « эн » единичных | отрезков | . |
| Длина отрезка АВ показывает , на сколько единичных | отрезков | надо переместить вправо точку А , чтобы она перешла в точку В , т . |
| Найдите координаты точки пересечения | отрезков | АС и BD . |
| Сравните с помощью циркуля цветные части | отрезков | AB и CD . |
| Например , отрезок 1000 м изображают на карте | отрезком | в 1 см. Так как 1000 м = = 100 000 см , то каждый отрезок на карте в 100 000 раз меньше соответствующего отрезка на местности . |
| Будем на оси абсцисс изображать 1 ч | отрезком | в 2 клетки , а на оси ординат — 60 км отрезком в 2 клетки . |
| 4 108 Отрезок на местности длиной 3 км изображён на карте | отрезком | 6 см. Чему равна на карте длина отрезка , изображающего отрезок 10 км ? |
| 4 123 Расстояние на местности в 20 м изображено на плане | отрезком | 1 см. Определите масштаб плана . |
| ординат — 60 км | отрезком | в 2 клетки . |
| Какой отрезок на местности изображается на карте | отрезком | длиной 1,8 см ? . |
| Каким | отрезком | будет изображено это расстояние на карте , масштаб которой 1 : 10 000 000 ? . |
| Будем на оси абсцисс изображать 1 ч отрезком в 2 клетки , а на оси ординат — 60 км | отрезком | в 2 клетки . |
| 6 Координатной прямой называют прямую с выбранным на ней началом отсчёта и единичным | отрезком | . |
| Изобразите | отрезком | эту дорогу , применив масштаб 1 : 10 000 000 . |
| 4 144 Запишите масштаб карты , если отрезок на местности в 1 км изображается на карте | отрезком | 10 см . |
| 1 48 Какие различные натуральные числа надо вписать в кружки , чтобы произведение каждых двух чисел , помещённых в кружках , соединённых | отрезком | , равнялось 70 ? |
| 8 77 Расстояние от Новосибирска до Красноярска изображается на карте , масштаб которой 1 : 10 000 000 , | отрезком | 6,3 см. Определите это расстояние на местности . |
| Прямую с выбранными на ней началом отсчёта , единичным | отрезком | и направлением называют координатной прямой . |
| Постройте отрезок , симметричный | отрезку | PQ относительно . |
| 4 108 Отрезок на местности длиной 3 км изображён на карте отрезком 6 см. Чему равна на карте длина отрезка , изображающего | отрезок | 10 км ? |
| 3 283 Точка C делит | отрезок | AB на два отрезка AC и CB . |
| 8 94 На карте | отрезок | имеет длину 12,6 см. Чему равна длина этого отрезка на местности , если масштаб карты 1 : 150 000 ? . |
| а ) отрезок AM от отрезка AB . б ) | отрезок | AM от отрезка AC . |
| Например , отрезок 1000 м изображают на карте отрезком в 1 см. Так как 1000 м = = 100 000 см , то каждый | отрезок | на карте в 100 000 раз меньше соответствующего отрезка на местности . |
| 2 29 Начертите координатный луч , приняв за единичный | отрезок | длину 12 клеток тетради . |
| 5 34 Начертите шкалу температур от -60 до 60 ° С , приняв | отрезок | длиной 1 см за 10 ° С. Отметьте на этой шкале точку замерзания ртути ( -39 ° C ) , нормальную температуру человеческого тела ( 37 ° С ) , точку замерзания бензина ( -60 ° С ) , точку кипения ацетона ( 56 ° С ) , точку замерзания глицерина ( -20 ° С ) . |
| Изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского , разделённая в таком отношении ( точка C делит отрезок AD , точка B делит | отрезок | AC ) . |
| в ) | отрезок | AM от отрезка AN . г ) отрезок AN от отрезка AB . д ) отрезок AN от отрезка AC . е ) отрезок AC от отрезка AB . |
| Какой | отрезок | на местности изображается на карте отрезком длиной 1,8 см ? . |
| Изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского , разделённая в таком отношении ( точка C делит | отрезок | AD , точка B делит отрезок AC ) . |
| Отметьте и обозначьте начало отсчёта и единичный | отрезок | . |
| 10 37 Начертите окружность , радиус которой 2,5 см , и | отрезок | , длина которого равна длине окружности ( длину окружности округлите до десятых долей сантиметра ) . |
| Напишите координаты точек M , N , P и K , если единичный | отрезок | равен длине одной клетки тетради ; длине двух клеток тетради . |
| в ) отрезок AM от отрезка AN . г ) | отрезок | AN от отрезка AB . д ) отрезок AN от отрезка AC . е ) отрезок AC от отрезка AB . |
| 3 66 Изображён | отрезок | AB , разделённый на 12 равных частей . |
| в ) отрезок AM от отрезка AN . г ) отрезок AN от отрезка AB . д ) отрезок AN от отрезка AC . е ) | отрезок | AC от отрезка AB . |
| Как называется | отрезок | , соединяющий центр шара с любой точкой его поверхности ? . |
| 5 33 Приняв за единичный | отрезок | длину 6 клеток тетради , начертите координатную прямую и отметьте на ней точки K , С(-0,5 ) , D(-11/3 ) , E(6 ) , F(6 ) . |
| в ) отрезок AM от отрезка AN . г ) отрезок AN от отрезка AB . д ) | отрезок | AN от отрезка AC . е ) отрезок AC от отрезка AB . |
| 9 118 Начертите на координатной плоскости такой | отрезок | , чтобы абсциссы и ординаты его точек удовлетворяли условиям . |
| а ) | отрезок | AM от отрезка AB . б ) отрезок AM от отрезка AC . |
| Выберем единичный | отрезок | и примем точку O за начало отсчёта . |
| Например , | отрезок | 1000 м изображают на карте отрезком в 1 см. Так как 1000 м = = 100 000 см , то каждый отрезок на карте в 100 000 раз меньше соответствующего отрезка на местности . |
| Обозначьте точку пересечения отрезка MK с осью у буквой С. С помощью угольника проверьте , верно ли , что | отрезок | MK перпендикулярен оси у. |
| 4 144 Запишите масштаб карты , если | отрезок | на местности в 1 км изображается на карте отрезком 10 см . |
| 2 5 Начертите координатный луч , приняв за единичный | отрезок | 18 клеток тетради . |
| 6 Во сколько раз | отрезок | AB длиннее отрезка BC ? . |
| 5 Какую часть отрезка BE составляет | отрезок | BD ? . |
| Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника , если единичный | отрезок | равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков . |
| Проведите | отрезок | MK . |
| Отметьте на этом луче точку A. Отложите вправо от точки A | отрезок | AC , равный — единичного отрезка . |
| 5 49 Начертите координатную прямую , приняв за единичный | отрезок | длину 4 клеток тетради , и отметьте на этой прямой точки A(3/4 ) , B(0,5 ) , С(-1,75 ) , D-2^ ) , E(l1 ) , F(2,25 ) . |
| 8 79 Отрезок на плане , масштаб которого 2 : 7 , имеет длину 4,2 см. Какой длины будет этот | отрезок | на плане , сделанном в масштабе 5 : 3 ? . |
| Постройте | отрезок | , симметричный отрезку PQ относительно . |
| Отложите от точки C влево | отрезок | CD , равный — единичного отрезка . |
| 9 62 Постройте на координатной плоскости | отрезок | PQ , если Р(0 ; 5 ) , Q(-5 ; 0 ) . |
| 2 119 Начертите координатный луч , приняв | отрезок | длиной в 18 клеток тетради за единичный . |
| Разность двух чисел положительна , если уменьшаемое больше вычитаемого , и | отрицательна | , если уменьшаемое меньше вычитаемого . |
| 6 Сумма двух чисел с разными знаками всегда | отрицательна | . |
| 8 Разность | отрицательна | , если уменьшаемое больше вычитаемого . |
| Рациональным числом будет и любая | отрицательная | дробь , так как , например , можно записать так . |
| В каком случае изменение температуры положительно , а в каком случае — | отрицательно | ? . |
| в ) | отрицательного | и положительного чисел . |
| Как найти модуль | отрицательного | числа ? . |
| 6 Любое число от прибавления | отрицательного | числа увеличивается . |
| Сформулируйте правило деления | отрицательного | числа на отрицательное . |
| 6 Модуль | отрицательного | числа — число положительное . |
| Отрицательного | числа ? | |
| Для положительного числа и нуля он равен самому числу , а для | отрицательного | — противоположному . |
| Любое число от прибавления положительного числа увеличивается , а от прибавления | отрицательного | числа уменьшается . |
| Попробуйте сформулировать задачу , используя понятие | отрицательного | числа . |
| Нудь больше любого | отрицательного | числа , но меньше любого положительного числа . |
| Какой знак будет иметь сумма этих чисел , если больший модуль имеет | отрицательное | число ? |
| Например , -7,5 < 3 , так как число -7,5 | отрицательное | , а число 3 положительное ; -15 < -9 , так как числа -15 и -9 отрицательные и модуль -15 больше модуля -9 , т . е . |
| 6 Число « а » — положительное , а число « бэ » — | отрицательное | . |
| Чтобы разделить | отрицательное | число на отрицательное , надо разделить модуль делимого модуль . |
| Какое число больше : положительное или | отрицательное | ? . |
| Что означает положительное перемещение точки по координатной прямой и что означает | отрицательное | перемещение точки по этой прямой ? . |
| Любое | отрицательное | число меньше любого положительного числа . |
| Как ввести в калькулятор | отрицательное | число ? . |
| 5 Любое | отрицательное | число меньше нуля . |
| 8 Если число « бэ » | отрицательное | , то число минус « бэ » положительное . |
| в ) а — | отрицательное | число . г ) b — положительное число . |
| Какое из чисел больше : | отрицательное | или 0 ? . |
| Что значит | отрицательное | изменение длины пружины ? . |
| Сформулируйте правило деления отрицательного числа на | отрицательное | . |
| Как изменится число а , если b положительное ; если b | отрицательное | ; если b = 0 ? . |
| 7 Произведение десяти чисел , среди которых три отрицательных , — | отрицательное | число . |
| а ) | отрицательное | число , модуль которого равен 25 ; 7,4 . б ) положительное число , модуль которого равен 12 ; 1 ; 3,2 . |
| а ) -4,3 — | отрицательное | число . |
| если меньший модуль имеет | отрицательное | число ? |
| 5 42 Каким числом является — х , если число х . а ) | отрицательное | . |
| 8 43 Найдите наименьшее целое положительное и наибольшее целое | отрицательное | решения неравенства . |
| При умножении 4 на х получилось | отрицательное | число -24 , значит , множители 4 и х должны иметь разные знаки . |
| 7 109 Положительное или | отрицательное | число получится , если перемножить . |
| Значит , х — | отрицательное | число с модулем 6 , т . |
| Поэтому х — | отрицательное | число . |
| 4 Сравните числа « ка » и минус « ка » , если « ка » — | отрицательное | число . |
| Чтобы разделить отрицательное число на | отрицательное | , надо разделить модуль делимого модуль . |
| Так как при умножении -4 на х получилось | отрицательное | число -12 , то множители -4 и х должны иметь разные знаки . |
| Отрицательное | число ? . | |
| Чтобы ввести | отрицательное | число на калькуляторе , надо ввести модуль этого числа , потом нажать клавишу « изменение знака » ± или . |
| а ) одно | отрицательное | число и два положительных числа . |
| 2 Точка с | отрицательной | координатой расположена на расстоянии восемь единичных отрезков от начала отсчёта . |
| б ) В какие часы температура воздуха была | отрицательной | ? . |
| Время , ч . г ) промежутки времени , когда температура воздуха была положительной ; | отрицательной | . |
| Сейчас он находится в точке О. Если он движется в положительном направлении , то его скорость считают положительной , а если в отрицательном направлении — | отрицательной | . |
| Сейчас он находится в точке О. Если он движется в положительном направлении , то его скорость считают положительной , а если в | отрицательном | направлении — отрицательной . |
| Складывать и вычитать | отрицательные | числа научились китайские учёные ещё до нашей эры . |
| 7 102 Сложив отдельно положительные и отдельно | отрицательные | числа , найдите значение выражения . |
| Произведение , в которое входят | отрицательные | числа , читают так . |
| Сумма , разность и произведение рациональных чисел тоже | отрицательные | числа . |
| Например , -7,5 < 3 , так как число -7,5 отрицательное , а число 3 положительное ; -15 < -9 , так как числа -15 и -9 | отрицательные | и модуль -15 больше модуля -9 , т . е . |
| Частное , в которое входят | отрицательные | числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| 6 Числа « ка » и « пэ » | отрицательные | . |
| Разность , в которую входят | отрицательные | числа , читают так : ( -7 ) - ( -12 ) . |
| 7 29 Подберите такие | отрицательные | значения х и у , чтобы значение выражения х - у было равно . |
| индийские математики начали широко использовать | отрицательные | числа , но относились к ним с некоторым недоверием . |
| 5 103 Известно , что х и у — положительные числа , а m и n — | отрицательные | . |
| 5 Положительные и | отрицательные | числа . |
| Сумму , в которую входят | отрицательные | числа , читают так : ( -4 ) + ( -6 ) — сумма минус четырёх и минус шести , — к минус четырём прибавить минус шесть . |
| 5 18 Из чисел выпишите сначала все | отрицательные | , а потом все положительные числа . |
| 7 Положительные и | отрицательные | числа называют целыми числами . |
| Индийские математики представляли себе положительные числа как имущество , а | отрицательные | числа как долг . |
| Отрицательные | числа стали равноправными с положительными . | |
| б ) | отрицательные | . |
| Положительные числа тогда толковались как имущество , а | отрицательные | — как долг , недостача . |
| Равенство , содержащее | отрицательные | числа , читают так . |
| Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие | отрицательные | числа получили лишь в первой половине XVIII в . |
| Может ли быть положительным , | отрицательным | или нулём значение выражения m ; m — n ? . |
| Модуль числа не может быть | отрицательным | . |
| Само число не является положительным , ни | отрицательным | . |
| Может ли модуль какого - нибудь числа быть | отрицательным | числом ? . |
| 6 14 Может ли быть положительным , | отрицательным | , нулём число , записанное в виде . |
| 8 42 Каким числом : положительным , | отрицательным | или нулём — будет произведение ху , если . |
| Таким образом , увеличение любой выразить положительными числами , а уменьшение , — | отрицательными | . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а | отрицательными | — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а | отрицательными | — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| Было установлено , что свойства действий над | отрицательными | числами те же , что и над положительными ( например , сложение и умножение обладают переместительным свойством ) . |
| г ) неотрицательные ; д ) не являющиеся ни положительными , ни | отрицательными | . |
| Перемещение точки вправо обозначают положительными числами , а перемещение влево — | отрицательными | . |
| В Европе | отрицательными | числами начали пользоваться с XII — XIII вв . , но до XVI в . , как и в древности , они понимались как долги , большинство учёных считали их « ложными » , в отличие от положительных чисел — « истинных » . |
| Шкалу с положительными и | отрицательными | числами и нулём имеют термометры . |
| Повышение температуры выражают положительными числами , а понижение — | отрицательными | . |
| Числа со знаком « - » называют | отрицательными | . |
| Увеличение длины пружины будем выражать положительными числами , а уменьшение — | отрицательными | . |
| 32 Сложение | отрицательных | чисел . |
| При сложении положительных и | отрицательных | чисел можно использовать калькулятор . |
| Сформулируйте правило сложения | отрицательных | чисел . |
| Первые сведения об | отрицательных | числах встречаются у китайских математиков во II в . |
| Из двух | отрицательных | чисел меньше то , модуль которого больше . |
| Может ли при сложении | отрицательных | чисел получиться нуль ? |
| Чтобы сложить два | отрицательных | числа , надо . |
| 6 71 Представьте число -10 в виде суммы двух | отрицательных | слагаемых так , чтобы . |
| Сложение | отрицательных | чисел . |
| вычитание | отрицательных | и положительных чисел . |
| Но ни египтяне , ни вавилоняне , ни древние греки | отрицательных | чисел не знали . |
| Какое из двух | отрицательных | чисел считают большим ? |
| Само слово « алгебра » произошло от слова « аль - джебр » — восполнение : так аль - Хорезми называл перенос | отрицательных | слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака . |
| 7 Произведение десяти чисел , среди которых три | отрицательных | , — отрицательное число . |
| 8 Разность двух | отрицательных | чисел может быть положительной . |
| Тогда же утвердилось и современное обозначение для | отрицательных | чисел . |
| 7 Умножение и деление положительных и | отрицательных | чисел . |
| Произведение двух | отрицательных | чисел — положительное число . |
| 6 Сложение и вычитание положительных и | отрицательных | чисел . |
| Что означает вычитание | отрицательных | чисел ? . |
| Видим , что произведение | отрицательных | чисел есть число положительное . |
| Деление | отрицательных | чисел имеет тот же смысл , что и деление положительных чисел : по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель . |
| Долгое время такие числа считали « несуществующими » , « ложными » прежде всего из- за того , что принятое истолкование для положительных и | отрицательных | чисел « имущество — долг » приводило к недоумениям : можно сложить или вычесть « имущества » или « долги » , но как понимать произведение или частное « имущества » и « долга » ? . |
| Сначала раскроем скобки , потом найдём отдельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех | отрицательных | чисел и , наконец , сложим полученные результаты . |
| деление двух | отрицательных | чисел . |
| умножение двух | отрицательных | чисел . |
| Чтобы перемножить два | отрицательных | числа , надо перемножить их модули . |
| Неравенства , составленные из положительных и | отрицательных | чисел , читают так . |
| б ) два | отрицательных | числа и одно положительное число . |
| Как перемножаются два | отрицательных | числа ? . |
| в ) | отрицательных | чисел , не являющихся целыми . |
| Он предложил геометрическое истолкование положительных и | отрицательных | чисел — ввёл координатную прямую ( 1637 ) . |
| Оно отделяет положительные числа от | отрицательных | . |
| б ) двух | отрицательных | чисел . |
| Признанию | отрицательных | чисел способствовали работы французского математика , физика и философа Рене Декарта ( 1596—1650 ) . |
| в ) 7 | отрицательных | и несколько положительных чисел . г ) 20 отрицательных и несколько положительных чисел ? . |
| Однако , несмотря на такие сомнения и недоумения , правила умножения и деления положительных и | отрицательных | чисел были предложены в III в . |
| 8 Сумма двух | отрицательных | чисел меньше каждого из слагаемых . |
| сравнение | отрицательных | и положительных чисел . |
| Вычитание | отрицательных | чисел имеет тот же смысл , что и вычитание положительных чисел : по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое . |
| в ) 7 отрицательных и несколько положительных чисел . г ) 20 | отрицательных | и несколько положительных чисел ? . |
| 6 73 Радиусы географических | параллелей | земной поверхности , на которых расположены города Афины и Москва , соответственно равны 5040 км и 3580 км . |
| Каждый прямоугольный | параллелепипед | — это четырёхугольная призма . |
| 1 123 Длина и ширина прямоугольного | параллелепипеда | выражаются натуральными числами сантиметров , а высота равна 15 см. Можно ли утверждать , что объём ( в кубических сантиметрах ) этого параллелепипеда выражается числом . |
| Найдите измерения | параллелепипеда | , если ни одно из них не равно 1 см . |
| 1 123 Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральными числами сантиметров , а высота равна 15 см. Можно ли утверждать , что объём ( в кубических сантиметрах ) этого | параллелепипеда | выражается числом . |
| 1 135 Объём прямоугольного | параллелепипеда | равен 1001 см3 . |
| 6 25 Найдите объём прямоугольного | параллелепипеда | , длина которого 21 см , а ширина составляет 3 длины и 30 % высоты . |
| Найдите объём прямоугольного | параллелепипеда | . |
| б ) что больше : 13/14 или 15/16/. 10 25 Здание Государственного Кремлёвского дворца в Москве имеет форму прямоугольного | параллелепипеда | длиной 120 м и общим объёмом 369 600 м3 . |
| 3 19 Длина прямоугольного | параллелепипеда | равна 7/12 м , ширина 5/14 м , а высота 18/25 м . |
| 3 26 Найдите по формуле объёма прямоугольного | параллелепипеда | V = abc значение V , если a = 4/5 дм , b = 2 1/2 дм , c = 13/4 дм . |
| 3 58 Деревянный брус имеет форму прямоугольного | параллелепипеда | , измерения которого равны 6 м , 3 м и 1 м . |
| Длина | параллелепипеда | равна 3 м , высота на 7 м меньше длины , а ширина на 1 м меньше высоты . |
| 4 29 Найдите объём прямоугольного | параллелепипеда | , если . |
| Найдите высоту | параллелепипеда | , если его объём 2,42 дм3 . |
| 2 167 Из металлического уголка требуется изготовить каркас аквариума , имеющего форму прямоугольного | параллелепипеда | . |
| 3 104 Основанием прямоугольного | параллелепипеда | служит квадрат со стороной 1,1 дм . |
| в ) стоимости купленных яблок к их массе . г ) объёма прямоугольного | параллелепипеда | к площади его основания ? . |
| На сколько параллель Москвы короче | параллели | Афин ? . |
| 9 28 Начертите | параллелограмм | , у которого все стороны равны и при этом . |
| Как называют | параллелограмм | , у которого есть прямые углы ? |
| Установите , сколько прямых углов в | параллелограмме | . |
| Полученный четырёхугольник называют | параллелограммом | . |
| На сколько | параллель | Москвы короче параллели Афин ? . |
| 2 Прямая « а дэ » | параллельна | прямой « бэ цэ » . |
| На стороне В А отметьте точку М и проведите через неё две прямые , одна из которых | параллельна | , а другая перпендикулярна стороне ВС . |
| Через вершину С проведите прямую Z , | параллельную | стороне АВ , и прямую т , перпендикулярную стороне АВ . |
| Через точку М , лежащую на стороне OD , проведите прямую m , | параллельную | стороне ОС , а через точку K , лежащую на стороне ОС , проведите прямую п , параллельную стороне OD . |
| 9 21 Начертите треугольник и проведите через каждую вершину прямую , | параллельную | противоположной стороне . |
| Через каждую точку плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести только одну прямую , | параллельную | данной прямой . |
| Показано , как с помощью угольника и линейки можно построить прямую n , | параллельную | прямой m . |
| а ) | параллельную | прямой а . б ) перпендикулярную прямой а . |
| Проведите через точку М прямую CD , | параллельную | прямой АВ , и прямую EF , перпендикулярную прямой АВ . |
| Через точку М , лежащую на стороне OD , проведите прямую m , параллельную стороне ОС , а через точку K , лежащую на стороне ОС , проведите прямую п , | параллельную | стороне OD . |
| Поэтому противоположные стороны любого прямоугольника | параллельны | . |
| 9 26 Начертите трапецию ABCD так , чтобы стороны AD и ВС были | параллельны | , а сторона АВ была перпендикулярна стороне ВС. Будет ли сторона АВ перпендикулярна AD1 Ответ поясните . |
| 9 24 Начертите четырёхугольник так , чтобы две его стороны были параллельны , а две другие не | параллельны | . |
| С помощью угольника и линейки определите , какие из этих прямых | параллельны | и какие перпендикулярны друг другу . |
| 9 24 Начертите четырёхугольник так , чтобы две его стороны были | параллельны | , а две другие не параллельны . |
| Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой , то они | параллельны | . |
| Они | параллельны | друг другу . |
| 9 25 Начертите трапецию ABCD так , чтобы стороны AD и ВС были | параллельны | , а стороны АВ и CD были равны . |
| 9 27 Начертите четырёхугольник так , чтобы его противоположные стороны были | параллельны | и при этом в нём . |
| Постройте три | параллельные | прямые . |
| Отметьте точку М , не лежащую на сторонах этого угла , и проведите через точку М прямые , | параллельные | сторонам угла CDK . |
| Перпендикулярные и | параллельные | прямые . |
| 8 Если даны прямая и точка , не лежащая на этой прямой , то через данную точку можно провести две прямые , | параллельные | данной прямой . |
| Проведите через точки М и K прямые , | параллельные | прямой l . |
| 5 У любого четырёхугольника есть | параллельные | стороны . |
| Отметьте на этих прямых | параллельные | отрезки . |
| Параллельные | отрезки ( лучи ) . | |
| Параллельные | . | |
| Какие отрезки называют | параллельными | ? . |
| Отрезки ( лучи ) , лежащие на параллельных прямых , называют | параллельными | отрезками ( лучами ) . |
| Какие прямые называют | параллельными | ? . |
| Какие отрезки считают | параллельными | ? |
| 10 77 Какие прямые называют | параллельными | ? |
| Две непересекающиеся прямые на плоскости называют | параллельными | . |
| Сколько прямых , | параллельных | данной , можно провести через эту точку ? . |
| 9 22 Найдите с помощью линейки и угольника все пары | параллельных | прямых , изображённых . |
| Отрезки ( лучи ) , лежащие на | параллельных | прямых , называют параллельными отрезками ( лучами ) . |
| 9 19 Начертите пять | параллельных | друг другу прямых . |
| Если прямая перпендикулярна одной из двух | параллельных | прямых , то она перпендикулярна и второй . |
| Чтобы | перемножить | два числа с разными знаками , надо перемножить модули этих чисел поставить перед полученным числом знак « - » . |
| Чтобы | перемножить | две десятичные дроби , надо . |
| Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо | перемножить | модули этих чисел поставить перед полученным числом знак « - » . |
| Чтобы | перемножить | два отрицательных числа , надо перемножить их модули . |
| 7 109 Положительное или отрицательное число получится , если | перемножить | . |
| Чтобы перемножить два отрицательных числа , надо | перемножить | их модули . |
| б ) | пересекались | . |
| а ) не | пересекались | . |
| 6 Две различные прямые на плоскости могут либо | пересекаться | в одной точке , либо не иметь общих точек . |
| Две различные прямые могут либо | пересекаться | в одной точке , либо не пересекаться . |
| Две различные прямые могут либо пересекаться в одной точке , либо не | пересекаться | . |
| Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые и у , которые | пересекаются | в начале отсчёта — точке О. Эти прямые задают систему координат на плоскости . |
| Найдите координаты точки , в которой | пересекаются | эти отрезки . |
| 4 Две прямые , перпендикулярные одной и той же прямой , | пересекаются | . |
| Под каким углом | пересекаются | координатные прямые х и у , образующие систему координат на плоскости ? |
| Измерьте транспортиром углы , образовавшиеся при | пересечении | прямых тип . |
| Две прямые , образующие при | пересечении | прямые углы , называют перпендикулярными . |
| Отметьте точку | пересечения | этих прямых . |
| Найдите координаты точки | пересечения | отрезков АС и BD . |
| Запишите координаты точек | пересечения | окружности с осями координат . |
| Проверьте , верно ли , что ТЕ Ох и АТ = АЕ , где О — начало координат , А — точка | пересечения | ТЕ с осью абсцисс . |
| Найдите координаты точки | пересечения | прямых MN и CD . |
| Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки | пересечения | Е этих отрезков . |
| 4 101 Определите по карте расстояние от опушки леса ( точка A ) до точки | пересечения | дороги с рекой ( точка Б ) . |
| Запишите координаты точек | пересечения | сторон треугольника с осями координат . |
| Запишите координаты точек | пересечения | этой окружности с осями координат . |
| Определите координаты точки | пересечения | прямой CD с осью х и координаты точки пересечения прямой КР с осью y . |
| Обозначьте точку | пересечения | отрезка MK с осью у буквой С. С помощью угольника проверьте , верно ли , что отрезок MK перпендикулярен оси у. |
| Найдите координаты точек | пересечения | ломаных ABCDE и MNK . |
| Как называют точку | пересечения | этих прямых ? |
| Определите координаты точки пересечения прямой CD с осью х и координаты точки | пересечения | прямой КР с осью y . |
| Найдите координаты точки | пересечения | стороны AK с осью ординат . |
| Найдите координаты точки | пересечения | прямых АВ и CD . |
| Она тоже верна , так как при такой | перестановке | произведение крайних и произведение средних членов не изменилось . |
| 1 Сумма чисел не изменяется при | перестановке | слагаемых . |
| 1 Произведение двух чисел не изменяется при | перестановке | множителей . |
| Какие | перестановки | членов пропорции снова приводят к верным пропорциям ? . |
| 1 144 Существует ли прямоугольник , стороны которого выражаются натуральными числами , а | периметр | — простым числом ? . |
| Найдите | периметр | и площадь футбольного поля . |
| 2 195 Найдите | периметр | треугольника ABC , если AB = 3 м , BC = 2 м и AC = 2 м . 2 196 Ленту разрезали на две части так , что длина одной части равна 63 м , а другой — на 24 м меньше . |
| 3 4 Найдите | периметр | треугольника ABC , если AB = 2/15 м , BC больше AB в 4 раза , а AC меньше BC на 1/15 м . |
| Найдите площадь клумбы , если её | периметр | равен 11,2 м . |
| Найдите | периметр | квадрата . |
| Найдите | периметр | и площадь этого четырёхугольника , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков . |
| Найдите | периметр | прямоугольника , если его ширина 3/8 м . |
| Найдите | периметр | прямоугольника . |
| Длина одной его стороны составляет 3 | периметра | . |
| 1 153 Стороны треугольника 12 см , 17 см и x см . а ) Составьте выражение для вычисления | периметра | этого треугольника . |
| и ) | периметром | квадрата и длиной его стороны . |
| По | периметру | участка планируется сделать беговые дорожки шириной 5 м , а в центральной части — футбольное поле . |
| Сколько процентов месячной нормы осадков выпадало ежедневно в | период | с 26 по 28 ноября ? . |
| 2 ) Клюква — очень полезная ягода , богатая витамином С. В сентябре начинается | период | её заготовки . |
| 2,5(3 ) — две целых пять десятых и три в | периоде | . |
| 0,666 .. — ноль целых шестьсот шестьдесят шесть тысячных и так далее , 0,(6 ) — ноль целых и шесть в | периоде | . |
| 5 Запишите периодическую дробь одна целая и семь в | периоде | . |
| Периодическая дробь | . | |
| Такие записи называют | периодическими дробями | . |
| 7 78 Выразите в виде десятичной или | периодической дроби | число . |
| Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной дроби ( в частности , целого числа ) , либо в виде | периодической дроби | . |
| 7 79 Выразите в виде десятичной или | периодической дроби | число . |
| Какая запись числа называется | периодической дробью | ? . |
| 5 Запишите | периодическую дробь | одна целая и семь в периоде . |
| Проведите через точку М | перпендикуляр | к прямой АВ . |
| Обозначьте точку пересечения отрезка MK с осью у буквой С. С помощью угольника проверьте , верно ли , что отрезок MK | перпендикулярен | оси у. |
| Через вершину С проведите прямую Z , параллельную стороне АВ , и прямую т , | перпендикулярную | стороне АВ . |
| Проведите через точку М прямую CD , параллельную прямой АВ , и прямую EF , | перпендикулярную | прямой АВ . |
| Проведите через точку М прямую , | перпендикулярную | стороне ОВ , а через точку N прямую , перпендикулярную стороне ОА . |
| Проведём через неё прямую МА , перпендикулярную координатной прямой х , и прямую MB , | перпендикулярную | координатной прямой у . |
| Проведите через точку М прямую , перпендикулярную стороне ОВ , а через точку N прямую , | перпендикулярную | стороне ОА . |
| Проведём через неё прямую МА , | перпендикулярную | координатной прямой х , и прямую MB , перпендикулярную координатной прямой у . |
| а ) параллельную прямой а . б ) | перпендикулярную | прямой а . |
| Проведите с помощью угольника через точку А прямую , | перпендикулярную | прямой МР . |
| С помощью угольника и линейки определите , какие из этих прямых параллельны и какие | перпендикулярны | друг другу . |
| 9 5 Какие из отрезков | перпендикулярны | ? . |
| 9 2 Сначала определите на глаз , а потом проверьте с помощью угольника , какие пары прямых | перпендикулярны | . |
| Если две прямые на плоскости | перпендикулярны | третьей прямой , то они параллельны . |
| Прямые m и n | перпендикулярны | прямой l. |
| 6 На координатной плоскости оси координат | перпендикулярны | . |
| Для этой цели на плоскости проводят две | перпендикулярные | координатные прямые и у , которые пересекаются в начале отсчёта — точке О. Эти прямые задают систему координат на плоскости . |
| Проведите через точки М и Р прямые , | перпендикулярные | прямой l . |
| Отметьте на сторонах угла по одной точке и проведите через них прямые , | перпендикулярные | сторонам угла . |
| Перпендикулярные | отрезки ( лучи ) . | |
| 4 Две прямые , | перпендикулярные | одной и той же прямой , пересекаются . |
| 9 23 Начертите прямую m и отметьте на ней три точки — А , B и С. Через эти точки проведите прямые , | перпендикулярные | прямой m. |
| С помощью каких чертёжных инструментов строят | перпендикулярные | прямые ? . |
| Могут ли пересечься две прямые , | перпендикулярные | одной и той же прямой ? . |
| Перпендикулярные | . | |
| 9 1 Постройте с помощью транспортира две | перпендикулярные | прямые . |
| Отметьте на стороне РА точку М и проведите через неё прямые , | перпендикулярные | сторонам угла АРК . |
| 10 76 Какие прямые называют | перпендикулярными | ? |
| Какие отрезки считают | перпендикулярными | ? |
| Какие лучи считают | перпендикулярными | ? |
| Какие отрезки и какие лучи называют | перпендикулярными | ? . |
| Какие прямые называют | перпендикулярными | ? . |
| Отрезки ( или лучи ) , лежащие на | перпендикулярных | прямых , называют перпендикулярными отрезками ( или лучами ) . |
| Для построения | перпендикулярных | прямых используют угольник или транспортир . |
| Сколько прямых , | перпендикулярных | МР , можно провести через точку А ? . |
| 9 15 Начертите два | перпендикулярных | отрезка АВ и MN так , чтобы они . |
| 9 16 Начертите два | перпендикулярных | луча так , чтобы они . |
| Его обозначают греческой буквой к ( читается : « | пи | » ) . |
| 7 Число « | пи | » приближённо равно двадцати двум седьмым . |
| Число « | пи | » округлите до целых . |
| Найдите площадь круга , округлив число « | пи | » до целых ( 3—4 ) , если . |
| С точностью до сотых число « | пи | » приближённо равно трём целым четырнадцати сотым . |
| 8 Площадь круга « эс » равна произведению числа « | пи | » и квадрата радиуса круга « эр квадрат » . |
| 5 С точностью до сотых число « | пи | » приближённо равно трём целым четырнадцати сотым . |
| « эс » равно « | пи | эр » квадрат . |
| « цэ » равно двум « | пи | эр » . |
| Формулы длины окружности и площади круга читаются так : « цэ » равно « | пи | дэ » . |
| Найдите длину окружности , приняв число « | пи | » приближённо равным трём ( 3—4 ) , если . |
| 5 114 Видно , что куб можно составить из шести одинаковых четырёхугольных | пирамид | , у которых вершина О , а основаниями служат грани куба . |
| У | пирамид | боковые грани — треугольники , а основание — многоугольник . |
| Изображена треугольная | пирамида | , а на четырёхугольная . |
| Пирамида | . | |
| Рассмотрите форму отдельных их частей : использованы ли архитекторами известные вам фигуры — призма , цилиндр , | пирамида | , конус ? . |
| Эти фигуры называют | пирамидами | . |
| в ) треугольной | пирамиды | ? . |
| 3 145 Подсчитайте по модели , сколько граней , вершин , рёбер у треугольной пирамиды ; у четырёхугольной | пирамиды | . |
| Название | пирамиды | зависит от того , какой многоугольник является её основанием . |
| Попробуйте догадаться , сколько граней , вершин , рёбер у шестиугольной | пирамиды | . |
| 3 145 Подсчитайте по модели , сколько граней , вершин , рёбер у треугольной | пирамиды | ; у четырёхугольной пирамиды . |
| Найдите объём пирамиды , если ребро куба 1,2 см. Найдите ребро куба , если объём одной | пирамиды | 1/6 см3 . |
| 4 115 Известно , что объём | пирамиды | в 3 раза меньше объёма призмы такой же высоты и с таким же основанием . |
| Вычислите объём четырёхугольной | пирамиды | , в основании которой прямоугольник со сторонами 2/3 дм и 9/10 дм , а высота равна 5 дм . |
| Найдите объём | пирамиды | , если ребро куба 1,2 см. Найдите ребро куба , если объём одной пирамиды 1/6 см3 . |
| 9 52 Изобразите на координатной | плоскости | точки А(-2 ; -2 ) , В(-1 ; -1 ) , С(0 ; 0 ) , D(1 ; 1 ) , Е(2 ; 2 ) . |
| 10 107 На координатной | плоскости | отметьте точку А(-3 ; 0 ) . |
| Для этой цели на | плоскости | проводят две перпендикулярные координатные прямые и у , которые пересекаются в начале отсчёта — точке О. Эти прямые задают систему координат на плоскости . |
| Две непересекающиеся прямые на | плоскости | называют параллельными . |
| 9 Координаты на | плоскости | . |
| 10 69 На координатной | плоскости | начертите окружность с центром в точке С(-4 ; 0 ) и радиусом , равным 5 единичным отрезкам . |
| 9 53 Постройте на координатной | плоскости | четырёхугольник ABCD , если А(-10 ; -2 ) , В(-2 ; -2 ) , С(-2 ; -6 ) , D(-10 ; -6 ) . |
| 9 80 Отметьте на координатной | плоскости | точки М(0 ; 5 ) , N(8 ; 1 ) , С(2 ; 2 ) , D(-6 ; -2 ) . |
| Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые и у , которые пересекаются в начале отсчёта — точке О. Эти прямые задают систему координат на | плоскости | . |
| Такие точки координатной | плоскости | называют симметричными относительно оси ординат или , другими словами , симметричными относительно оси у. |
| 10 70 Отметьте на координатной | плоскости | вершины А(-4 ; 2 ) , В(1 ; 7 ) и С(6 ; 2 ) квадрата ABCD . |
| 10 105 Отметьте на координатной | плоскости | точки А(3 ; 6 ) , В(1 ; -4 ) и М(-5 ; 2 ) . |
| д. точками на координатной | плоскости | . |
| 9 59 Отметьте на координатной | плоскости | точки Ми K , имеющие противоположные абсциссы и одинаковые ординаты . |
| Идея задавать положение точки на | плоскости | с помощью чисел зародилась в древности — прежде всего у астрономов и географов при составлении звёздных и географических карт , календаря . |
| Каждой точке М на координатной | плоскости | соответствует пара чисел : её абсцисса и каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости , для которой эти числа являющаяся координатами . |
| 9 51 Где расположены на координатной | плоскости | точки , абсцисса которых равна 4 ? |
| 10 106 Постройте на координатной | плоскости | треугольник CDE , если С(-6 ; -2 ) , D ( 3 ; 1 ) и Е(3 ; -2 ) . |
| 10 104 Постройте в координатной | плоскости | треугольник MKN , если М(-7 ; -5 ) , N ( -3 ; 5 ) , K(7 ; 1 ) . |
| Пусть М — некоторая точка координатной | плоскости | . |
| 9 61 Отметьте на координатной | плоскости | точки А(-1 ; 6 ) , В(7 ; -5 ) , С(-3 ; -3 ) , D(4 ; 0 ) . |
| 9 60 Отметьте на координатной | плоскости | точки Т и Е , имеющие одинаковые абсциссы , но противоположные ординаты . |
| Если две прямые на | плоскости | перпендикулярны третьей прямой , то они параллельны . |
| Постройте на координатной | плоскости | точки : В(-1 ; 4 ) , С(0 ; 5 ) , D(-2 ; 0 ) . |
| 10 67 На координатной | плоскости | начертите треугольник МКР , если М(-5 ; 5 ) , К(-4 ; 9 ) , Р(5 ; 10 ) . |
| 10 80 На координатной | плоскости | отметьте точки А(-5 ; 10 ) , В(3 ; -6 ) , С(-3 ; -4 ) , D(9 ; 2 ) , Е(-7 ; 4 ) , F(3 ; 9 ) , К(4 ; 5 ) , Р(7 ; 14 ) , М(-8 ; -4 ) и N(-6 ; 2 ) . |
| 9 56 На координатной | плоскости | проведена линия . |
| 10 66 На координатной | плоскости | постройте треугольник ABC , если А(-3 ; 6 ) , В(-3 ; -4 ) , С(2 ; -4 ) . |
| Расскажите , как найти абсциссу и ординату точки на координатной | плоскости | . |
| На | плоскости | проведена прямая и отмечена точка , не лежащая на этой прямой . |
| на координатной | плоскости | ? |
| 9 114 Где расположена на координатной | плоскости | точка М(х , у ) , если . |
| Как называют пару чисел , определяющих положение точки на | плоскости | ? |
| 6 Две различные прямые на | плоскости | могут либо пересекаться в одной точке , либо не иметь общих точек . |
| 9 91 На координатной | плоскости | отмечены точки А(2 ; 3 ) , Б(-3 ; 4 ) , С(-5 ; 6 ) , D(3 ; -4 ) , Е(0 ; -5 ) , К(0 ; 3 ) , N(-2 ; 0 ) , М(5 ; 0 ) . |
| 9 118 Начертите на координатной | плоскости | такой отрезок , чтобы абсциссы и ординаты его точек удовлетворяли условиям . |
| 6 На координатной | плоскости | оси координат перпендикулярны . |
| Такие точки координатной | плоскости | называют симметричными относительно оси абсцисс . |
| Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у , образующие систему координат на | плоскости | ? |
| 9 58 Отметьте на координатной | плоскости | точку А(2 ; 5 ) и точку В с противоположными координатами . |
| система координат на | плоскости | начало координат . |
| Через каждую точку | плоскости | , не лежащую на данной прямой , можно провести только одну прямую , параллельную данной прямой . |
| 9 50 У каких точек на координатной | плоскости | абсцисса равна нулю ? |
| Две точки координатной | плоскости | , имеющие противоположные координаты , называют симметричными относительно начала координат . |
| 9 82 Постройте на координатной | плоскости | треугольник АВС , если А(4 ; 4 ) , В(7 ; 0 ) , С(1 ; -2 ) . |
| координаты точки на | плоскости | . |
| Подобным образом можно обозначить и положение точки на | плоскости | . |
| 9 62 Постройте на координатной | плоскости | отрезок PQ , если Р(0 ; 5 ) , Q(-5 ; 0 ) . |
| Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел : её абсцисса и каждой паре чисел соответствует одна точка | плоскости | , для которой эти числа являющаяся координатами . |
| 9 90 Отметьте на координатной | плоскости | точки А(-2 ; 4 ) , В(-4 ; -5 ) , С(8 ; 0 ) , D ( -4 ; 4 ) . |
| координатная . | плоскость | . |
| 45 Координатная | плоскость | . |
| Координатная | плоскость | . |
| Плоскость , на которой выбрана система координат , называют координатной | плоскостью | . |
| измерения , то их отношение называют также отношением этих величин ( отношением масс , отношением | площадей | и т . д. ) . |
| Определите по плану сумму | площадей | двух жилых комнат ( I и II ) и общую площадь остальных помещений этой квартиры . |
| Среди задач , которые с давних времён приходилось решать людям , много было похожих , однотипных : вычисление | площадей | участков , нахождение объёмов фигур определённой формы , деление доходов , вычисление стоимости товара , измерение массы с помощью различных единиц и др . |
| 3 114 На участке сибирского леса 70 % занимает лиственница , — оставшейся | площади | занимает кедр , а остальную площадь — лиственные деревья . |
| 5 23 Площадь поверхности планеты Меркурий равна 75 млн км2 и составляет | площади | поверхности планеты Венера . |
| 6 44 Объём цилиндра равен произведению | площади | одного его основания и высоты . |
| Огурцами было занято | площади | , отведённой под помидоры . |
| Какую жилую площадь имела восьмая квартира , если на этом этаже в среднем на каждую квартиру приходилось по 24,7 м2 жилой | площади | ? . |
| Верно ли , что значение | площади | ( в квадратных метрах ) . |
| Картофелем занято 45 % | площади | этого огорода . |
| а со второго поля , площадь которого в 11/5 раза больше | площади | первого , собирали по 36 ц пшеницы с 1 га . |
| Посевы моркови составляли 1 | площади | , занятой под огурцами . |
| По условию 2 этой | площади | равны 800 м2 , т . |
| Дроби были нужны , чтобы выразить результат измерения длины , массы , | площади | в случаях , когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз . |
| Формулы длины окружности и | площади | круга читаются так : « цэ » равно « пи дэ » . |
| Площадь второго поля на 4,8 га меньше | площади | первого , а площадь третьего поля в 1,6 раза больше площади второго . |
| 3 193 Найдите по формуле | площади | прямоугольника S = ab значение . |
| Площадь треугольника EOF вдвое меньше площади квадрата AEOF , поэтому площадь EFKM вдвое меньше | площади | квадрата ABCD , т . |
| Площадь круга S больше | площади | квадрата EFKM , но меньше площади квадрата ABCD . |
| 3 310 Комбайнёр за 1 ч скосил пшеницу с | площади | 3 га , что составляет 15 % того , что он скосил за день . |
| Площадь второго поля на 4,8 га меньше площади первого , а площадь третьего поля в 1,6 раза больше | площади | второго . |
| Площадь треугольника EOF вдвое меньше | площади | квадрата AEOF , поэтому площадь EFKM вдвое меньше площади квадрата ABCD , т . |
| Во сколько раз площадь красной точки вбрасывания больше | площади | синей точки ? . |
| 8 Площадь теплицы — сорок квадратных метров , что составляет одну восьмую | площади | огорода . |
| 4 159 Площадь поверхности Луны приближённо равна 38 млн км2 , что составляет 0,075 | площади | поверхности Земли . |
| Напишите формулу | площади | круга . |
| 4 37 Длина прямоугольника а см , а ширина b см. Длина другого прямоугольника m см , а ширина n см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к | площади | второго . |
| На сколько площадь одной комнаты меньше | площади | другой ? . |
| Найдите ширину другого прямоугольника , длина которого 3 м , а площадь равна | площади | первого прямоугольника . |
| 4 37 Длина прямоугольника а см , а ширина b см. Длина другого прямоугольника m см , а ширина n см. Найдите отношение | площади | первого прямоугольника к площади второго . |
| Площадь круга S больше площади квадрата EFKM , но меньше | площади | квадрата ABCD . |
| Какую часть | площади | центрального круга она занимает ? . |
| Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении | площади | прямоугольника обратно пропорциональная , так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз , то надо ширину во столько же раз уменьшить . |
| Одна комната составляла 0,36 жилой | площади | , а вторая составляла 5 площади первой комнаты . |
| отношение | площади | круга к квадрату его радиуса ? . |
| По формуле | площади | прямоугольника должно выполняться равенство 4х = 5 . |
| Одна комната составляла 0,36 жилой площади , а вторая составляла 5 | площади | первой комнаты . |
| Комбайнёр перевыполнил план на 15 % и убрал зерновые на | площади | 230 га . |
| Площадь нежилых помещений составляет — | площади | всей квартиры . |
| в ) стоимости купленных яблок к их массе . г ) объёма прямоугольного параллелепипеда к | площади | его основания ? . |
| Два прямоугольника имеют одинаковую | площадь | . |
| Значит , | площадь | огорода равна трёмстам двадцати квадратным метрам . |
| а ) площадь России равна 17,1 млн км2 , площадь КНР — 9,6 млн км2 , площадь Индии — 3,3 млн км2 и | площадь | США — 9,4 млн км2 . б ) |
| Но мы знаем , что | площадь | прямоугольника равна произведению длины и ширины . |
| Найдите | площадь | поверхности Земли . |
| Определите по плану сумму площадей двух жилых комнат ( I и II ) и общую | площадь | остальных помещений этой квартиры . |
| Значит , | площадь | прямоугольника равна — дм2 . |
| Чему равна | площадь | всех трёх полей вместе ? . |
| 4 152 Выполните измерения и вычислите | площадь | каждой заштрихованной фигуры . |
| Найдите | площадь | круга , округлив число « пи » до целых ( 3—4 ) , если . |
| Определите по плану , какие размеры имеют кухня , ванная и комнаты и чему равна их | площадь | в действительности . |
| Сколько материалов потребуется для оклейки обоями комнаты , если | площадь | всех её стен вместе с окнами и дверями равна 35,3 м2 , а площадь окон и дверей — 10,2 м2 ? |
| а ) | площадь | России равна 17,1 млн км2 , площадь КНР — 9,6 млн км2 , площадь Индии — 3,3 млн км2 и площадь США — 9,4 млн км2 . б ) |
| Площадь второго поля на 4,8 га меньше площади первого , а | площадь | третьего поля в 1,6 раза больше площади второго . |
| 10 38 Сравните | площадь | круга , радиус которого 6 см , и площадь прямоугольника со сторонами 6,5 см и 1,4 дм . |
| Чему равна | площадь | прямоугольника ? . |
| Найдите | площадь | прямоугольника . |
| Длина окружности и | площадь | круга . |
| 10 38 Сравните площадь круга , радиус которого 6 см , и | площадь | прямоугольника со сторонами 6,5 см и 1,4 дм . |
| Найдите ширину другого прямоугольника , длина которого 3 м , а | площадь | равна площади первого прямоугольника . |
| Найдите | площадь | каждого участка . |
| Площадь | поверхности выражается простым числом ? . | |
| В одном из хозяйств фруктовые сады занимают | площадь | 36,4 га , в другом — в 1,2 раза больше , чем в первом , а в третьем — на 4,5 га меньше , чем во втором . |
| 2 18 На сколько процентов увеличится | площадь | прямоугольника , если его длину увеличить на 30 % , а ширину — на 20 % ? . |
| Какую | площадь | занимают фруктовые сады в трёх хозяйствах ? . |
| Сколько гектаров занимают лиственные деревья , если | площадь | всего участка 720 га ? . |
| 4 171 Найдите | площадь | круга , радиус которого равен 12 см . |
| Найдите | площадь | каждого участка , если известно , что один из участков . |
| Найдите | площадь | всей квартиры . |
| Жилую | площадь | по 22,8 м2 имели 2 квартиры , по 16,2 м2 — 3 квартиры , по 34 м2 — 2 квартиры . |
| Какую жилую | площадь | имела восьмая квартира , если на этом этаже в среднем на каждую квартиру приходилось по 24,7 м2 жилой площади ? . |
| Чему равна | площадь | всего приусадебного участка ? . |
| 3 74 Дачный участок имеет | площадь | 15 соток . |
| 3 314 Участок земли , площадь которого 6 а , составляет 2/3 сада , а | площадь | сада составляет — всего приусадебного участка . |
| Какую | площадь | занимают сад и огород вместе ? . |
| 3 314 Участок земли , | площадь | которого 6 а , составляет 2/3 сада , а площадь сада составляет — всего приусадебного участка . |
| Найдите | площадь | поверхности планеты Венера . |
| Найдите | площадь | полукруга судейской зоны . |
| Чему равна | площадь | приусадебного участка ? . |
| Какую | площадь | скосил комбайнёр за день ? . |
| 9 74 Найдите объём и | площадь | поверхности куба , ребро которого равно . |
| Попробуйте вычислить | площадь | поверхности цилиндра , если его высота 5 см , а радиус оснований 2 см . |
| Во сколько раз | площадь | красной точки вбрасывания больше площади синей точки ? . |
| Найдите объём и | площадь | спортивного зала . |
| Сколько материалов потребуется для оклейки обоями комнаты , если площадь всех её стен вместе с окнами и дверями равна 35,3 м2 , а | площадь | окон и дверей — 10,2 м2 ? |
| 4 163 Заполните таблицу ( r — радиус , d — диаметр , С — длина окружности , S — | площадь | круга ) . |
| Определите диаметр бассейна и его | площадь | , если на плане радиус бассейна 1 см . |
| 1 111 Может ли | площадь | квадрата выражаться простым числом , если длина его стороны выражается натуральным числом ? . |
| Найдите | площадь | клумбы , если её периметр равен 11,2 м . |
| Чему равна | площадь | квадрата ? . |
| На сколько | площадь | одной комнаты меньше площади другой ? . |
| Найдите | площадь | всего поля . |
| Найдите периметр и | площадь | этого четырёхугольника , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков . |
| 24 Длина окружности и | площадь | круга . |
| Найдите диаметр и | площадь | арены ( π = 3 ) . |
| Чему равна | площадь | двух комнат вместе ? |
| Как велика | площадь | , занятая в отдельности помидорами , огурцами и морковью ? . |
| Обозначим | площадь | катка через x м2 . |
| Найдите , какую | площадь | занимает этот стол на кухне в натуральную величину . |
| Так как 2400 : 0,8 = 24 000 : 8 = 3000 , то | площадь | всего поля равна 3000 га . |
| 3 282 Строители в конце года сдали 432 тыс. м2 жилья , что превысило запланированную | площадь | на 8 % . |
| Площадь | круга ? . | |
| 3 31 С первого поля , | площадь | которого 57 га , собирали с 1 га по 32 ц пшеницы . |
| 10 83 На сколько процентов изменится | площадь | прямоугольника с измерениями 30 см и 20 см , если большую сторону увеличить на 10 % , а другую уменьшить на 10 % ? |
| а ) площадь России равна 17,1 млн км2 , | площадь | КНР — 9,6 млн км2 , площадь Индии — 3,3 млн км2 и площадь США — 9,4 млн км2 . б ) |
| Вычислите | площадь | поверхности конуса , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с прямым углом , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| 4 135 Измерьте радиус и вычислите | площадь | каждого круга . |
| а со второго поля , | площадь | которого в 11/5 раза больше площади первого , собирали по 36 ц пшеницы с 1 га . |
| 6 108 Высота конуса 24 см , а | площадь | основания 15 см2 . |
| Радиус круга равен r , поэтому длина стороны квадрата ABCD равна 2r , а его | площадь | 4r2 . |
| Какую | площадь | занимают яблони , если площадь пришкольного участка составляет 1 га ? . |
| Найдите | площадь | циферблата . |
| Пропорциональна ли | площадь | круга длине его радиуса ? . |
| Найдите | площадь | всего катка . |
| Площадь треугольника EOF вдвое меньше площади квадрата AEOF , поэтому | площадь | EFKM вдвое меньше площади квадрата ABCD , т . |
| 4 138 Выполните измерения и вычислите | площадь | каждой закрашенной фигуры . |
| Примерно | площадь | круга равна 3r2 . |
| Какую площадь занимают яблони , если | площадь | пришкольного участка составляет 1 га ? . |
| а ) площадь России равна 17,1 млн км2 , площадь КНР — 9,6 млн км2 , | площадь | Индии — 3,3 млн км2 и площадь США — 9,4 млн км2 . б ) |
| 3 114 На участке сибирского леса 70 % занимает лиственница , — оставшейся площади занимает кедр , а остальную | площадь | — лиственные деревья . |
| Какая | площадь | осталась невспаханной ? |
| 4 139 Найдите | площадь | пятиугольника OABCD . |
| Найдите периметр и | площадь | футбольного поля . |
| Они разбили газон | площадью | 250 м2 . |
| 3 133 Семья купила двухкомнатную квартиру жилой | площадью | с м2 . |
| в ) | площадью | квадрата и длиной его стороны . г ) массой стального бруска и его объёмом . д ) числом рабочих , выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу , и временем выполнения этой работы . е ) стоимостью товара и его количеством , купленным на определённую сумму денег . |
| Сравните её с | площадью | четверти круга , радиус OD которого равен 5 см . |
| 5 138 Под строительство спортивной площадки отвели поле прямоугольной формы | площадью | 9200 м2 и шириной 80 м . |
| 6 74 Составьте уравнение для решения задачи : « Поле | площадью | 2,4 га разделили на два участка . |
| Какой высоты должен быть цилиндр с такой же | площадью | основания , чтобы его объём был равен объёму конуса ? |
| 3 Найдите расстояние ( в единичных отрезках ) между точками с координатами « минус два » и « | плюс | один » . |
| +1 , +5 , , +2 , +3,6 — и читают : « плюс один » , « плюс пять » , « плюс две третьих » , « | плюс | две целых одна четвёртая » , « плюс три целых шесть десятых » . |
| +1 , +5 , , +2 , +3,6 — и читают : « плюс один » , « | плюс | пять » , « плюс две третьих » , « плюс две целых одна четвёртая » , « плюс три целых шесть десятых » . |
| +1 , +5 , , +2 , +3,6 — и читают : « | плюс | один » , « плюс пять » , « плюс две третьих » , « плюс две целых одна четвёртая » , « плюс три целых шесть десятых » . |
| +1 , +5 , , +2 , +3,6 — и читают : « плюс один » , « плюс пять » , « плюс две третьих » , « плюс две целых одна четвёртая » , « | плюс | три целых шесть десятых » . |
| +1 , +5 , , +2 , +3,6 — и читают : « плюс один » , « плюс пять » , « | плюс | две третьих » , « плюс две целых одна четвёртая » , « плюс три целых шесть десятых » . |
| — сумма семи икс , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс минус три икс | плюс | шесть икс минус четыре икс . |
| 4 Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами минус три и | плюс | два ? . |
| 3 Разность выражения « а » | плюс | « бэ » и выражения « бэ » минус два » . |
| x = +1,3 ( икс равен | плюс | одной целой трём десятым ) . |
| Если раскрываются скобки , перед которыми стоит знак « | плюс | » , то знаки слагаемых , стоящих в скобках , изменяются . |
| Как называется отрезок , соединяющий центр шара с любой точкой его | поверхности | ? . |
| Развёртка боковой | поверхности | цилиндра — прямоугольник . |
| площадь | поверхности | выражается простым числом ? . |
| 9 74 Найдите объём и площадь | поверхности | куба , ребро которого равно . |
| Основание конуса — круг , а развёртка боковой | поверхности | — сектор . |
| 6 73 Радиусы географических параллелей земной | поверхности | , на которых расположены города Афины и Москва , соответственно равны 5040 км и 3580 км . |
| Найдите площадь | поверхности | Земли . |
| Вычислите площадь поверхности конуса , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой | поверхности | — сектор с прямым углом , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| Попробуйте вычислить площадь | поверхности | цилиндра , если его высота 5 см , а радиус оснований 2 см . |
| 5 23 Площадь | поверхности | планеты Меркурий равна 75 млн км2 и составляет площади поверхности планеты Венера . |
| Участки земной | поверхности | изображают на бумаге в уменьшенном виде . |
| Найдите площадь | поверхности | планеты Венера . |
| Все точки | поверхности | шара одинаково удалены от центра шара . |
| 4 159 Площадь поверхности Луны приближённо равна 38 млн км2 , что составляет 0,075 площади | поверхности | Земли . |
| Отрезок , соединяющий точку | поверхности | шара с центром , называют радиусом шара . |
| Отрезок , соединяющий две точки | поверхности | шара и проходящий через центр шара , называют диаметром шара . |
| Вычислите площадь | поверхности | конуса , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с прямым углом , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| 4 159 Площадь | поверхности | Луны приближённо равна 38 млн км2 , что составляет 0,075 площади поверхности Земли . |
| В географии положение точек на земной | поверхности | тоже определяют двумя числами — географическими координатами : широтой и долготой . |
| 5 23 Площадь поверхности планеты Меркурий равна 75 млн км2 и составляет площади | поверхности | планеты Венера . |
| 1 161 На | поверхности | куба найдите кратчайший путь . |
| Изображена развёртка | поверхности | цилиндра . |
| 4 Какое название имеет геометрическая фигура — | поверхность | шара ? . |
| В данной сумме все слагаемые | подобны | , так как у них одинаковая буквенная часть а . |
| 8 86 Приведите | подобные | слагаемые . |
| Пример 3 Приведём | подобные | слагаемые в выражении 5а + а - 2а . |
| 8 87 Раскройте скобки и приведите | подобные | слагаемые . |
| Чтобы сложить ( или говорят : привести ) | подобные | слагаемые , надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть . |
| Чем могут отличаться друг от друга | подобные | слагаемые ? . |
| Приведите | подобные | слагаемые в выражении ( 4—6 ) . |
| 8 88 Раскройте скобки и приведите | подобные | слагаемые . |
| Подобные | слагаемые . | |
| 8 114 Приведите | подобные | слагаемые . |
| 8 60 Сложите | подобные | слагаемые . |
| 8 Привести | подобные | слагаемые — значит сложить их коэффициенты . |
| 8 62 Раскройте скобки и приведите | подобные | слагаемые . |
| 8 85 Приведите | подобные | слагаемые . |
| 8 63 Раскройте скобки и приведите | подобные | слагаемые . |
| 9 32 Приведите | подобные | слагаемые . |
| Какие слагаемые называют | подобными | ? . |
| Такие задачи называют комбинаторными , а раздел математики , занимающийся | подобными | задачами , — комбинаторикой . |
| Такие слагаемые называют | подобными | . |
| Слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть , называют | подобными | слагаемыми . |
| 10 40 Сформулируйте правило приведения | подобных | слагаемых . |
| 8 61 Выполните приведение | подобных | слагаемых . |
| сложение ( приведение ) | подобных | слагаемых . |
| Уравнение , которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения | подобных | слагаемых , называют линейным уравнением с одним неизвестным . |
| На основании какого свойства умножения выполняют приведение ( сложение ) | подобных | слагаемых ? . |
| 2 188 Один комбайн может засеять | поле | за 16 ч , а другой — за 24 ч . |
| По периметру участка планируется сделать беговые дорожки шириной 5 м , а в центральной части — футбольное | поле | . |
| 2 147 Один трактор может вспахать | поле | за 12 ч , а другой — за 15 ч . |
| 5 138 Под строительство спортивной площадки отвели | поле | прямоугольной формы площадью 9200 м2 и шириной 80 м . |
| 8 117 За какое время всё свекловичное | поле | уберёт уборочная машина , если известно , что она за 1 ч убирает . |
| Сколько всего центнеров пшеницы собрали с двух | полей | ? . |
| Чему равна площадь всех трёх | полей | вместе ? . |
| Разность двух чисел | положительна | , если уменьшаемое больше вычитаемого , и отрицательна , если уменьшаемое меньше вычитаемого . |
| Нудь больше любого отрицательного числа , но меньше любого | положительного | числа . |
| а ) Чему равен модуль | положительного | числа ? |
| Любое число от прибавления | положительного | числа увеличивается , а от прибавления отрицательного числа уменьшается . |
| Как найти модуль | положительного | числа или числа 0 ? . |
| Для | положительного | числа и нуля он равен самому числу , а для отрицательного — противоположному . |
| Любое отрицательное число меньше любого | положительного | числа . |
| в ) отрицательного и | положительного | чисел . |
| 8 Если число « бэ » отрицательное , то число минус « бэ » | положительное | . |
| Частное двух чисел с разными знаками — | положительное | число . |
| если больший модуль имеет | положительное | число ? |
| 6 Число « а » — | положительное | , а число « бэ » — отрицательное . |
| если меньший модуль имеет | положительное | число ? . |
| б ) 27,1 — | положительное | число . |
| Например , -7,5 < 3 , так как число -7,5 отрицательное , а число 3 | положительное | ; -15 < -9 , так как числа -15 и -9 отрицательные и модуль -15 больше модуля -9 , т . е . |
| в ) | положительное | ? . |
| Поэтому х — | положительное | число . |
| а ) отрицательное число , модуль которого равен 25 ; 7,4 . б ) | положительное | число , модуль которого равен 12 ; 1 ; 3,2 . |
| Как изменится число а , если b | положительное | ; если b отрицательное ; если b = 0 ? . |
| в ) а — отрицательное число . г ) b — | положительное | число . |
| 6 Модуль отрицательного числа — число | положительное | . |
| 3 Запишите в виде неравенства предложение « Число « эм » | положительное | » . |
| Что означает | положительное | перемещение точки по координатной прямой и что означает отрицательное перемещение точки по этой прямой ? . |
| Видим , что произведение отрицательных чисел есть число | положительное | . |
| б ) два отрицательных числа и одно | положительное | число . |
| 7 Модуль любого числа — число | положительное | . |
| Но так как х — | положительное | число , то x = x. Значит , х = 3 . |
| Произведение двух отрицательных чисел — | положительное | число . |
| Какое из чисел меньше : | положительное | или 0 ? . |
| Какое число больше : | положительное | или отрицательное ? . |
| 8 43 Найдите наименьшее целое | положительное | и наибольшее целое отрицательное решения неравенства . |
| в ) В какие часы температура воздуха была | положительной | ? . |
| Время , ч . г ) промежутки времени , когда температура воздуха была | положительной | ; отрицательной . |
| 8 Разность двух отрицательных чисел может быть | положительной | . |
| Сейчас он находится в точке О. Если он движется в положительном направлении , то его скорость считают | положительной | , а если в отрицательном направлении — отрицательной . |
| Сейчас он находится в точке О. Если он движется в | положительном | направлении , то его скорость считают положительной , а если в отрицательном направлении — отрицательной . |
| 9 9 Расставьте числа 1 , -2 , 3 , -4 , 5 , -6 , 7 , -8 , 9 в клетках квадрата так , чтобы их произведения по всем горизонталям , вертикалям и диагоналям были | положительны | . |
| Индийские математики представляли себе | положительные | числа как имущество , а отрицательные числа как долг . |
| 5 18 Из чисел выпишите сначала все отрицательные , а потом все | положительные | числа . |
| а ) | положительные | . |
| 7 102 Сложив отдельно | положительные | и отдельно отрицательные числа , найдите значение выражения . |
| Оно отделяет | положительные | числа от отрицательных . |
| 6 41 Известно , что х и у — | положительные | числа . |
| 5 103 Известно , что х и у — | положительные | числа , а m и n — отрицательные . |
| Может ли быть | положительным | , отрицательным или нулём значение выражения m ; m — n ? . |
| 7 Число нуль не является | положительным | числом . |
| 6 14 Может ли быть | положительным | , отрицательным , нулём число , записанное в виде . |
| 8 42 Каким числом : | положительным | , отрицательным или нулём — будет произведение ху , если . |
| Само число не является | положительным | , ни отрицательным . |
| Перемещение точки вправо обозначают | положительными | числами , а перемещение влево — отрицательными . |
| Таким образом , увеличение любой выразить | положительными | числами , а уменьшение , — отрицательными . |
| Для краткости записи обычно опускают знак « + » перед | положительными | числами и вместо + 7 пишут 7 . |
| Числа со знаком « + » называют | положительными | . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то | положительными | считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| г ) неотрицательные ; д ) не являющиеся ни | положительными | , ни отрицательными . |
| Было установлено , что свойства действий над отрицательными числами те же , что и над | положительными | ( например , сложение и умножение обладают переместительным свойством ) . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно | положительными | считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| отрицательные числа стали равноправными с | положительными | . |
| Повышение температуры выражают | положительными | числами , а понижение — отрицательными . |
| Увеличение длины пружины будем выражать | положительными | числами , а уменьшение — отрицательными . |
| Шкалу с | положительными | и отрицательными числами и нулём имеют термометры . |
| Операции над числами любого знака выполняются на калькуляторе так же , как над | положительными | числами . |
| 7 Умножение и деление | положительных | и отрицательных чисел . |
| При сложении | положительных | и отрицательных чисел можно использовать калькулятор . |
| Сначала раскроем скобки , потом найдём отдельно сумму всех | положительных | и отдельно сумму всех отрицательных чисел и , наконец , сложим полученные результаты . |
| Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и деление | положительных | чисел : по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель . |
| Долгое время такие числа считали « несуществующими » , « ложными » прежде всего из- за того , что принятое истолкование для | положительных | и отрицательных чисел « имущество — долг » приводило к недоумениям : можно сложить или вычесть « имущества » или « долги » , но как понимать произведение или частное « имущества » и « долга » ? . |
| Однако , несмотря на такие сомнения и недоумения , правила умножения и деления | положительных | и отрицательных чисел были предложены в III в . |
| вычитание отрицательных и | положительных | чисел . |
| сравнение отрицательных и | положительных | чисел . |
| а ) одно отрицательное число и два | положительных | числа . |
| В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII — XIII вв . , но до XVI в . , как и в древности , они понимались как долги , большинство учёных считали их « ложными » , в отличие от | положительных | чисел — « истинных » . |
| Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и вычитание | положительных | чисел : по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое . |
| 6 Сложение и вычитание | положительных | и отрицательных чисел . |
| Он предложил геометрическое истолкование | положительных | и отрицательных чисел — ввёл координатную прямую ( 1637 ) . |
| в ) 7 отрицательных и несколько положительных чисел . г ) 20 отрицательных и несколько | положительных | чисел ? . |
| г ) | положительных | чисел , не являющихся натуральными . д ) рациональных чисел , не являющихся целыми . |
| Неравенства , составленные из | положительных | и отрицательных чисел , читают так . |
| а ) двух | положительных | чисел . |
| в ) 7 отрицательных и несколько | положительных | чисел . г ) 20 отрицательных и несколько положительных чисел ? . |
| Найдите площадь | полукруга | судейской зоны . |
| б ) Центральный круг имеет диаметр 9 м , а радиус | полукруга | судейской зоны составляет 2/3 радиуса центрального круга . |
| 3 272 Найдите правило размещения чисел в | полукругах | и вставьте недостающие числа . |
| На сколько длина окружности экватора больше длины окружности , проходящей через | полюса | Земли ? . |
| а со второго | поля | , площадь которого в 11/5 раза больше площади первого , собирали по 36 ц пшеницы с 1 га . |
| Найдите периметр и площадь футбольного | поля | . |
| Какую часть | поля | вспашут оба трактора , если первый будет работать 5 ч , а второй — 8 ч ? . |
| 3 131 Площадь | поля | а га . |
| Так как 2400 : 0,8 = 24 000 : 8 = 3000 , то площадь всего | поля | равна 3000 га . |
| Пшеницей засеяно 2400 га , что составляет 0,8 всего | поля | . |
| Сколько теперь пшеницы собирают с 23 га поливного | поля | ? . |
| В первый день вспахали 1/3 | поля | . |
| 3 280 Использование нового трактора для вспашки | поля | дало экономию времени в 70 % и заняло 42 ч . |
| Какая часть | поля | осталась незасеянной ? . |
| а ) 5 % всего | поля | . |
| Найдите площадь всего | поля | . |
| Площадь второго | поля | на 4,8 га меньше площади первого , а площадь третьего поля в 1,6 раза больше площади второго . |
| б ) 1/6 всего | поля | . |
| 3 31 С первого | поля | , площадь которого 57 га , собирали с 1 га по 32 ц пшеницы . |
| Площадь второго поля на 4,8 га меньше площади первого , а площадь третьего | поля | в 1,6 раза больше площади второго . |
| в ) 0,4 всего | поля | ? . |
| 1 34 Площадь первого | поля | 27,3 га . |
| При любом способе получается одно и то же разложение , если не учитывать | порядка | записи множителей . |
| 2 108 Расположите в | порядке | возрастания дроби . |
| Получились те же самые простые множители , только записанные в другом | порядке | . |
| 1 36 Запишите натуральные числа от 1 до 30 в | порядке | возрастания и подчеркните красным карандашом каждое второе число , а синим — каждое пятое . |
| Обычно записывают множители в | порядке | их возрастания . |
| 5 120 Расположите числа 2,8 ; 0,5 ; 0 ; -1 ; -1,1 ; 0,1 и -1,6 . а ) в | порядке | возрастания . |
| 6 40 Расположите числа -15 ; -8,8 ; 3 ; 5,5 в | порядке | убывания . |
| 10 19 В каком | порядке | следует выполнять действия в выражении без скобок , если в нём содержится по одному разу вычитание , возведение числа в куб и деление ? . |
| в | порядке | убывания . |
| Выпишите в | порядке | возрастания одинаковые делители этих чисел . |
| 5 93 Назовите города сначала в | порядке | возрастания их высоты над уровнем Мирового океана , а затем в порядке убывания . |
| 5 93 Назовите города сначала в порядке возрастания их высоты над уровнем Мирового океана , а затем в | порядке | убывания . |
| С пропорциями связывались представления о красоте , | порядке | и гармонии , о созвучных аккордах в музыке . |
| Способы , при которых произведения отличаются только | порядком | множителей , считайте за один способ . |
| 7 114 Выбрав удобный | порядок | вычислений , найдите значение выражения . |
| 7 126 Выбрав удобный | порядок | вычислений , найдите значение выражения . |
| 7 105 Выбрав удобный | порядок | вычислений , найдите значение выражения . |
| 7 108 Выбрав удобный | порядок | вычислений , найдите значение выражения . |
| 7 На координатном луче наименьшее кратное натурального числа « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено | правее | этого числа на расстоянии « эн » единичных отрезков . |
| 6 На координатном луче точка , координата которой равна пяти восьмым , лежит | правее | точки с координатой три четвёртых . |
| а ) M | правее | O на 14 клеток . |
| K | правее | O на 2 клетки . |
| Видим , что точка В(6 ) лежит правее точки А(-10 ) , а точка А(-10 ) лежит | правее | точки С(-15 ) . |
| На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит | правее | точки с меньшей координатой . |
| а ) | правее | числа 11 . |
| в ) | правее | оси ординат . |
| Видим , что точка В(6 ) лежит | правее | точки А(-10 ) , а точка А(-10 ) лежит правее точки С(-15 ) . |
| левее числа — 820 . б ) левее числа — 8 . г ) | правее | числа — 78 . 5 16 Изобразите вертикальную координатную прямую , обозначьте её t ° C и отметьте на ней числа , соответствующие температуре : — 12 ° C ; — 11 ° C ; — 7 ° C ; +3 ° C ; — 8,5 ° C ; +7,3 ° C . |
| Точка « эм » с координатами минус два и три расположена | правее | оси ординат . |
| а ) A | правее | O на 6 клеток . |
| в ) С | правее | O на 7,5 клетки . |
| 5 78 Какое из чисел на координатной прямой расположено | правее | . |
| 5 Точка с координатой « минус десять » на горизонтальной координатной прямой находится | правее | начала координат . |
| 5 21 Какое из чисел — | правильная | дробь или дробь , ей обратная , — на координатном луче расположено ближе к единице ? . |
| 5 21 Какое из чисел — | правильная дробь | или дробь , ей обратная , — на координатном луче расположено ближе к единице ? . |
| Пропорциональность в природе , искусстве , архитектуре означает соблюдение определённых соотношений между размерами отдельных частей растения , скульптуры , здания и является непременным условием | правильного | и красивого изображения предмета . |
| в виде натурального числа . б ) 48 , 1512 , 825 так , чтобы их дробная часть была | правильной | дробью . |
| а ) так , чтобы их дробная часть была | правильной | дробью . |
| 1 57 а ) При каких натуральных значениях а дробь будет | правильной | ? . |
| 8 Для | правильной | дроби обратным числом является неправильная дробь . |
| в ) одно из слагаемых было | правильной | обыкновенной дробью . |
| Значение | правильной | дроби от числа меньше этого числа . |
| Значение | правильной дроби | от числа меньше этого числа . |
| 8 Для | правильной дроби | обратным числом является неправильная дробь . |
| а ) так , чтобы их дробная часть была | правильной дробью | . |
| в виде натурального числа . б ) 48 , 1512 , 825 так , чтобы их дробная часть была | правильной дробью | . |
| 7 Если число разделить на | правильную | дробь , то частное окажется меньше этого числа . |
| 7 Если число разделить на | правильную дробь | , то частное окажется меньше этого числа . |
| 1 177 Запишите все | правильные | дроби со знаменателем 12 , у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа . |
| 1 65 Выберите из дробей и сначала все | правильные | дроби , а затем неправильные . |
| 1 177 Запишите все | правильные дроби | со знаменателем 12 , у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа . |
| 1 65 Выберите из дробей и сначала все | правильные дроби | , а затем неправильные . |
| Подумайте , является ли ромб | правильным | многоугольником . |
| Подумайте , является ли | правильным | многоугольником прямоугольник ; квадрат . |
| Подумайте , является ли ромб | правильным многоугольником | . |
| Подумайте , является ли | правильным многоугольником | прямоугольник ; квадрат . |
| 1 56 Какие из дробей являются | правильными | и какие — неправильными ? . |
| Такие многоугольники называют | правильными | . |
| Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой , надо из координаты его | правого | конца вычесть координату его левого конца . |
| Координата | правого | конца отрезка равна минус двум . |
| Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую , а слагаемое 3х из | правой | части в левую : х - 3х = -36 . |
| Это уравнение можно получить из данного , если слагаемое 2х перенести из | правой | части в левую , изменив его знак на противоположный . |
| 8 96 Соберите в левой части уравнения все слагаемые , содержащие неизвестное , а в | правой | — не содержащие неизвестное . |
| 8 95 Перенесите из левой части уравнения в | правую | то слагаемое , которое не содержит неизвестного . |
| Умножим левую и | правую | части уравнения на 3 для того , чтобы освободиться от дробного коэффициента . |
| Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в | правую | , а слагаемое 3х из правой части в левую : х - 3х = -36 . |
| Видим , что корень уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется , если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в | правую | , изменив его знак на противоположный . |
| 4 142 Некоторое число вычли из числителя и | прибавили | к знаменателю дроби . |
| К числу а | прибавили | число b. |
| 8 Чтобы получить дробь , равную данной , всегда можно к её числителю и знаменателю | прибавить | одно и то же число . |
| 6 Изменятся ли корни уравнения , если к обеим его частям | прибавить | одно и то же число ? . |
| Что значит | прибавить | к числу а число b ? . |
| 5 Какое число нужно | прибавить | к минус семи , чтобы получить минус пятнадцать ? . |
| 1 49 Если к числу | прибавить | 4 , то полученное число разделится без остатка на 6 . |
| Чтобы из данного числа вычесть другое , надо к уменьшаемому | прибавить | число , противоположное вычитаемому : a - b = a + ( -b ) . |
| 4 51 Какое число надо | прибавить | к числителю и знаменателю дроби 7/21 , чтобы получить дробь 3/7 ? . |
| к полученному произведению | прибавить | числитель дробной части . |
| Сумму , в которую входят отрицательные числа , читают так : ( -4 ) + ( -6 ) — сумма минус четырёх и минус шести , — к минус четырём | прибавить | минус шесть . |
| 3 93 К какому числу надо | прибавить | 2 , чтобы получить 1 ; 2 ; 1 11 ; 11 ? . |
| сколько надо | прибавить | к числу -5 , чтобы получилось число 9 . |
| сумма двух третьих и трёх пятых , к двум третьим | прибавить | три пятых , сумма дробей две третьих и три пятых . |
| Чтобы найти искомое слагаемое , можно | прибавить | к сумме число , противоположное известному слагаемому . |
| Если от большего числа отнять 54 , а к меньшему | прибавить | 72 , то получатся равные результаты . |
| 2 Чтобы из суммы вычесть число , можно вычесть его из одного слагаемого , а к полученной разности | прибавить | другое слагаемое . |
| 3 197 Если задуманное число умножить на 2 и к произведению | прибавить | то получится 85 . |
| 2 Чтобы | прибавить | к числу сумму двух чисел , можно сначала прибавить первое слагаемое , а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое . |
| если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой дроби и | прибавить | её к полученной целой части . |
| 4 61 Если к — неизвестного числа | прибавить | 0,8 , то получится 1,2 . |
| 2 Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел , можно сначала прибавить первое слагаемое , а потом к полученной сумме | прибавить | второе слагаемое . |
| 5 Какое число нужно | прибавить | к минус трём , чтобы получить четыре ? . |
| 2 Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел , можно сначала | прибавить | первое слагаемое , а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое . |
| 8 Если к уменьшаемому | прибавить | минус единицу , то разность уменьшится на единицу . |
| греческим математиком Диофантом ( в виде : « вычитаемое , умноженное на прибавляемое , даёт вычитаемое ; вычитаемое на вычитаемое даёт | прибавляемое | » и т . |
| 7 83 Выразите дроби виде | приближённого | значения десятичной дроби до сотых . |
| 7 97 Выразите дроби в виде | приближённого | значения десятичной дроби , округлив результат до тысячных . |
| Для дроби 1- = 0,333 .. число 0,3 является | приближённым | значением до десятых с недостатком : 0,3 < 1 Число 0,4 является приближённым значением этой дроби до десятых с избытком : 1<0,4 . |
| Для дроби 1- = 0,333 .. число 0,3 является приближённым значением до десятых с недостатком : 0,3 < 1 Число 0,4 является | приближённым | значением этой дроби до десятых с избытком : 1<0,4 . |
| В приложении 1 ( см. с. 148 ) | приведена | таблица простых чисел от 2 до 997 . |
| 8 87 Раскройте скобки и | приведите | подобные слагаемые . |
| ( Если да , | приведите | пример . ) . |
| 2 154 Сократите , а затем | приведите | к наименьшему общему знаменателю дроби . |
| 2 72 Сократите дроби 5 , 13 , 15 , 24 , а потом | приведите | их к знаменателю 24 . |
| 8 63 Раскройте скобки и | приведите | подобные слагаемые . |
| 4 С помощью сокращения | приведите | дроби шесть восемнадцатых и десять двенадцатых к общему знаменателю . |
| 2 98 Сократите дроби 42 -25 , а потом | приведите | их к знаменателю 60 . |
| 8 88 Раскройте скобки и | приведите | подобные слагаемые . |
| 8 62 Раскройте скобки и | приведите | подобные слагаемые . |
| 2 75 Запишите в виде десятичной дроби , | приведя | . |
| Приведя | дроби к наименьшему общему знаменателю . | |
| е . говорят , что мы | привели | дробь к новому знаменателю 8 . |
| Чтобы | привести | дробь - к знаменателю 12 , надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный множитель 2 ( 12 : 6 = 2 ) . |
| Можно ли | привести | дробь — к знаменателю 35 ? |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют | привести | сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и сложению их дробных частей . |
| 7 90 Можно ли | привести | дробь — к знаменателю 20 ; 24 ; 45 ; 75 ; 80 ; 100 ; 1000 ? . |
| Привести | дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю . | |
| Уравнение , которое можно | привести | к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых , называют линейным уравнением с одним неизвестным . |
| Чтобы | привести | дроби к наименьшему общему знаменателю , надо . |
| Чтобы сложить ( или говорят : | привести | ) подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть . |
| 7 93 Можно ли | привести | к знаменателю 100 дробь , если m = 2 ; 25 ; 3 ; 4 ? . |
| 7 91 Можно ли | привести | к знаменателю 60 дроби . |
| Чтобы | привести | дробь к знаменателю 12 , надо умножить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 ( 12 : 4 = 3 ) . |
| 2 73 Можно ли | привести | к знаменателю 36 дроби . |
| Дробь можно | привести | к любому знаменателю , кратному знаменателю данной дроби . |
| Итак , к какому новому знаменателю можно | привести | данные дроби ? . |
| Привести | данные дроби к наименьшему общему знаменателю . | |
| Любые две дроби можно | привести | к одному и тому же знаменателю , или , иначе , к общему знаменателю . |
| Как | привести | дроби к наименьшему общему знаменателю ? . |
| Во всех рассмотренных примерах мы | приводили | данные уравнения к виду ах = b , где а не равно 0 . |
| Долгое время такие числа считали « несуществующими » , « ложными » прежде всего из- за того , что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел « имущество — долг » | приводило | к недоумениям : можно сложить или вычесть « имущества » или « долги » , но как понимать произведение или частное « имущества » и « долга » ? . |
| Сначала | приводим | дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12 , затем отдельно складываем целые и дробные части . |
| 2 110 Объясните , не | приводя | дроби к общему знаменателю , почему . |
| Какие перестановки членов пропорции снова | приводят | к верным пропорциям ? . |
| Обычно дроби | приводят | к наименьшему общему знаменателю . |
| Каждый прямоугольный параллелепипед — это четырёхугольная | призма | . |
| Изображена треугольная | призма | , четырёхугольная . |
| Рассмотрите форму отдельных их частей : использованы ли архитекторами известные вам фигуры — | призма | , цилиндр , пирамида , конус ? . |
| а ) четырёхугольной | призмы | . б ) треугольной призмы . |
| а ) четырёхугольной призмы . б ) треугольной | призмы | . |
| 4 115 Известно , что объём пирамиды в 3 раза меньше объёма | призмы | такой же высоты и с таким же основанием . |
| У прямой | призмы | боковые грани — прямоугольники , а верхнее и нижнее основания — равные многоугольники . |
| д. Математики учат вычислительные машины сочинять стихи и музыку , измерять размеры атомов и | проектировать | плотины электростанций . |
| найти | произведение | получившихся множителей . |
| Найдите | произведение | ( 1—2 ) . |
| 4 При каких натуральных значениях « эм » | произведение | сорока одного и « эм » — простое число ? . |
| в ) | произведение | двух составных чисел есть число составное ? . |
| Найдите | произведение | ( 1—5 ) . |
| а ) | произведение | рациональных чисел . |
| В верной пропорции | произведение | крайних членов давно произведению средних членов . |
| , а позже индийский математик Бхаскара ( XII в . ) выразил те же правила в понятиях « имущество » , « долг » ( « Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество ; | произведение | имущества и долга есть долг » . |
| Она тоже верна , так как при такой перестановке | произведение | крайних и произведение средних членов не изменилось . |
| Она тоже верна , так как при такой перестановке произведение крайних и | произведение | средних членов не изменилось . |
| Найдите | произведение | минус пятидесяти , сорока семи и минус двух . |
| Другими словами , если а , b и с — любые рациональные числа , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет рационального числа , а | произведение | числа на обратное ему число равно 1 . |
| Сравните с нулём | произведение | этих чисел . |
| Чему равно | произведение | тысячи множителей , каждый из которых равен -1 ? . |
| если | произведение | крайних членов равно произведению средних членов пропорции , то и пропорция верна . |
| 3 15 Найдите | произведение | 1 и 3 . |
| 2 Чтобы умножить число на произведение двух чисел , можно сначала умножить его на первый множитель , а потом полученное | произведение | умножить на второй множитель . |
| 3 305 Найдите произведение дробей и | произведение | дробей , обратных данным . |
| 1 117 Найдите | произведение | простых чисел . |
| 2 Чтобы умножить число на | произведение | двух чисел , можно сначала умножить его на первый множитель , а потом полученное произведение умножить на второй множитель . |
| 8 42 Каким числом : положительным , отрицательным или нулём — будет | произведение | ху , если . |
| Таким образом , | произведение | -0,4 и 200 равно -80 , т . е . |
| Видим , что | произведение | отрицательных чисел есть число положительное . |
| Два числа , | произведение | которых равно 1 , называют взаимно обратными . |
| В пропорции найдем произведение ее крайних членов и | произведение | средних членов . |
| Найдите | произведение | ( 1—4 ) . |
| В пропорции найдем | произведение | ее крайних членов и произведение средних членов . |
| Сумма , разность и | произведение | рациональных чисел тоже отрицательные числа . |
| 1 48 Какие различные натуральные числа надо вписать в кружки , чтобы | произведение | каждых двух чисел , помещённых в кружках , соединённых отрезком , равнялось 70 ? |
| Если же меняются знаки обоих множителей , то | произведение | меняет знак дважды , и в результате знак произведения не меняется : 8 - 1,1 = 8,8 ; (-8 ) × 1,1 = -8,8 ; (-8 ) × ( -1,1 ) = = -(-8,8 ) = 8,8 . |
| Какими числами являются сумма , разность , | произведение | рациональных чисел ? |
| умножение дроби на дробь . 1 ) найти произведение числителей и | произведение | знаменателей этих дробей . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем . |
| умножение дроби на дробь . 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей . 2 ) первое | произведение | записать числителем , а второе — знаменателем . |
| 1 185 Можно ли найти четыре различных простых числа , чтобы | произведение | двух из них равнялось произведению двух других ? . |
| Обычно вначале обозначают | произведение | числителей и произведение знаменателей , затем производят сокращение и только потом выполняют умножение . |
| Найдём | произведение | . |
| 3 305 Найдите | произведение | дробей и произведение дробей , обратных данным . |
| 3 164 Найдите | произведение | чисел . |
| найти | произведение | оставшихся множителей . |
| Обычно вначале обозначают произведение числителей и | произведение | знаменателей , затем производят сокращение и только потом выполняют умножение . |
| 1 17 Докажите , что | произведение | двух натуральных чисел кратно каждому из множителей . |
| 7 56 При каких значениях множителей | произведение | ху равно нулю ? |
| Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей ( например , | произведение | знаменателей ) . |
| двух противоположных целых чисел . з ) двух рациональных чисел , | произведение | которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух целых чисел , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| — | произведение | минус двадцати и игрек . |
| Получаем пять множителей 2 × 2 × 3 × 5 × 5 , | произведение | которых равно 300 . |
| 1 110 Может ли | произведение | двух простых чисел быть : а ) простым числом . |
| В каком случае | произведение | двух чисел равно нулю ? . |
| 8 41 Найдите | произведение | всех целых чисел . |
| 8 Чтобы найти дробь от числа , нужно вычислить | произведение | дроби и этого числа . |
| 5 Как называется пропорция , в которой | произведение | крайних членов равно произведению средних ? . |
| Красивейшее | произведение | древнегреческой архитектуры — Парфенон — построено в V в . |
| — | произведение | трёх восьмых и шестнадцати двадцать первых . |
| Так как | произведение | 4×3 равно 1 , то получим , что x = 5 × 4 , или x = 40 . |
| 8 Как называют два числа , | произведение | которых равно единице ? . |
| Для решения задачи надо найти | произведение | 4 × 5 . |
| Найдите | произведение | ( 4—6 ) . |
| Долгое время такие числа считали « несуществующими » , « ложными » прежде всего из- за того , что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел « имущество — долг » приводило к недоумениям : можно сложить или вычесть « имущества » или « долги » , но как понимать | произведение | или частное « имущества » и « долга » ? . |
| умножение дроби на дробь . 1 ) найти | произведение | числителей и произведение знаменателей этих дробей . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем . |
| 1 143 При каких натуральных значениях а | произведение | 23a является простым числом ? . |
| 4 Найдите | произведение | одной шестой и двух пятых . |
| Произведение | тех множителей , которые надо добавить к разложению числа 60 , чтобы получить разложение общего знаменателя 840 . | |
| Так как пройденный путь равен произведению скорости и времени , то для решения задачи надо найти | произведение | чисел 9 и 1 . |
| Дополнительным множителем для дроби — является | произведение | 2 × 7 , т . |
| Их | произведение | равно 12 . |
| Произведение | двух простых чисел есть число простое . | |
| 2,4 × ( -0,5 ) — | произведение | двух целых четырёх десятых и минус нуля целых пяти десятых . — две целых четыре десятых умножить на минус нуль целых пять десятых . |
| 5 Найдите | произведение | нуля целых семи десятых и нуля целых одной десятой . |
| — | произведение | чисел три восьмых и шестнадцать двадцать первых . |
| Если выражение является | произведением | числа и одной или нескольких букв , то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом ) . |
| Число 210 является | произведением | чисел 21 и 10 . |
| Сравнивая эти два произведения с | произведением | 1,2 × 0,3 = 0,36 , можно заметить , что при изменении знака любого множителя знак произведения меняется , а его модуль остаётся тем же . |
| Это выражение является | произведением | четырёх множителей : 0,3 × а × ( -0,7 ) × b. Сгруппировав отдельно числовые и отдельно буквенные множители , получим . |
| Теперь в | произведении | 3 × 7 × 2 × 5 все множители — простые числа . |
| в полученном | произведении | отделить запятой столько цифр справа , сколько их отделено запятой в десятичной дроби . |
| Если в | произведении | получается меньше цифр , чем надо отделить запятой , то впереди пишут нуль или несколько нулей . |
| В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в | произведении | — х. По смыслу деления это число равно частному от деления числа у на число у. |
| Их тоже можно представить в виде | произведений | 21 =3 - 7 , 10 = 2 × 5 . |
| 4 86 Из равенства | произведений | 3 × 24 = 8 × 9 составьте три верные пропорции . |
| к полученному | произведению | прибавить числитель дробной части . |
| а ) число , обратное | произведению | двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . |
| Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и деление положительных чисел : по данному | произведению | и одному из множителей находят второй множитель . |
| Но мы знаем , что площадь прямоугольника равна | произведению | длины и ширины . |
| 7 Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их | произведению | . |
| Так как пройденный путь равен | произведению | скорости и времени , то для решения задачи надо найти произведение чисел 9 и 1 . |
| Теперь найдём модуль числа х. Так как модуль произведения равен | произведению | модулей множителей , то -12 = -4 × . |
| 8 Площадь круга « эс » равна | произведению | числа « пи » и квадрата радиуса круга « эр квадрат » . |
| а ) число , обратное произведению двух чисел , равно | произведению | чисел , обратных множителям . |
| 3 197 Если задуманное число умножить на 2 и к | произведению | прибавить то получится 85 . |
| 6 44 Объём цилиндра равен | произведению | площади одного его основания и высоты . |
| в ) число , противоположное произведению двух чисел , равно | произведению | чисел , противоположных множителям . |
| в ) число , противоположное | произведению | двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям . |
| 5 Как называется пропорция , в которой произведение крайних членов равно | произведению | средних ? . |
| В верной пропорции произведение крайних членов давно | произведению | средних членов . |
| 1 185 Можно ли найти четыре различных простых числа , чтобы произведение двух из них равнялось | произведению | двух других ? . |
| если произведение крайних членов равно | произведению | средних членов пропорции , то и пропорция верна . |
| Видим , что это частное равно | произведению | делимого и числа , обратного делителю , т . |
| Эти | произведения | не изменятся , если в пропорции 20 : 5 = 16 : 4 поменять местами крайние члены . |
| Определите знак | произведения | ab . |
| Интерес древних математиков к простым числам связан с тем , что любое число либо простое , либо может быть представлено в виде | произведения | простых чисел , т . |
| 5 Распределительное свойство умножения относительно сложения : для того чтобы умножить сумму на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся | произведения | . |
| 2 46 Применив распределительный закон , представьте числитель дроби в виде | произведения | , а затем сократите . |
| 3 20 Представьте в виде | произведения | двух дробей число . |
| Найдём значение | произведения | . |
| Теперь найдём модуль числа х. Так как модуль | произведения | равен произведению модулей множителей , то -12 = -4 × . |
| 9 9 Расставьте числа 1 , -2 , 3 , -4 , 5 , -6 , 7 , -8 , 9 в клетках квадрата так , чтобы их | произведения | по всем горизонталям , вертикалям и диагоналям были положительны . |
| 8 36 Найдите коэффициент | произведения | . |
| 11 194 Вы умеете представлять числа в виде | произведения | простых чисел . |
| 16 и 25 в виде | произведения | двух равных множителей . |
| 7 20 Запишите в виде | произведения | сумму . |
| 7 52 Яша задумал число , умножил его на 5 , а затем из | произведения | вычел 2,7 . |
| Каким свойством обладают эти два | произведения | ? |
| 8 35 Найдите коэффициент | произведения | . |
| 7 16 Найдите значение | произведения | . |
| 7 15 Найдите значение | произведения | . |
| 8 34 Найдите коэффициент | произведения | . |
| 7 110 Определите знак | произведения | . |
| Если же меняются знаки обоих множителей , то произведение меняет знак дважды , и в результате знак | произведения | не меняется : 8 - 1,1 = 8,8 ; (-8 ) × 1,1 = -8,8 ; (-8 ) × ( -1,1 ) = = -(-8,8 ) = 8,8 . |
| 7 34 Найдите значение | произведения | . |
| 7 111 Решите уравнение , использовав свойство | произведения | , равного нулю . |
| На основе распределительного свойства умножения представим эту сумму в виде | произведения | суммы и числа . |
| Сравнивая эти два | произведения | с произведением 1,2 × 0,3 = 0,36 , можно заметить , что при изменении знака любого множителя знак произведения меняется , а его модуль остаётся тем же . |
| Сравнивая эти два произведения с произведением 1,2 × 0,3 = 0,36 , можно заметить , что при изменении знака любого множителя знак | произведения | меняется , а его модуль остаётся тем же . |
| 6 Распределительное свойство умножения относительно вычитания : для того чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого | произведения | вычесть второе . |
| Способы , при которых | произведения | отличаются только порядком множителей , считайте за один способ . |
| в Древней Греции , славившейся | произведениями | искусства , архитектуры , развитыми ремёслами . |
| Число книг с художественными | произведениями | составляет 3/4 всех книг библиотеки , число научно - популярных книг составляет от числа художественных , а остальные 160 книг — справочники . |
| Золотое сечение чаще всего применяется в | произведениях | искусства , в архитектуре , встречается в природе . |
| Выигрыш , который даёт рычаг в прилагаемом усилии , определяется | пропорцией | , где M и m — массы грузов , а L и l — « плечи » рычага . |
| Равенство двух отношений называют | пропорцией | . |
| Золотым сечением и даже « божественной | пропорцией | » называли математики древности и Средневековья деление отрезка , при котором длина его большей части так относится к длине всего отрезка , как длина меньшей части к большей . |
| 4 41 Прочитайте пропорции и проверьте , верные ли они , используя основное свойство | пропорции | . |
| а ) отношения двух величин . б ) верной | пропорции | и назовите её крайние и средние члены . |
| 4 45 Переставив средние или крайние члены | пропорции | , составьте три новые верные пропорции из пропорции . |
| 4 45 Переставив средние или крайние члены пропорции , составьте три новые верные | пропорции | из пропорции . |
| 4 41 Прочитайте | пропорции | и проверьте , верные ли они , используя основное свойство пропорции . |
| Проверьте полученные | пропорции | , определяя отношения чисел . |
| 10 29 В чём состоит основное свойство | пропорции | ? |
| 4 46 Используя верное равенство 4 × 9 = 0,2 × 180 , составьте четыре верные | пропорции | . |
| 4 78 Из чисел 3 , 7 , 9 и 21 составьте две верные | пропорции | . |
| 7 54 Найдите неизвестный член | пропорции | . |
| 5 115 Найдите неизвестный член | пропорции | . |
| 4 Отношения и | пропорции | . |
| 8 24 Найдите неизвестный член | пропорции | . |
| Придумайте примеры использования этого свойства | пропорции | . |
| 3 Запишите средние члены | пропорции | 1,5 : 2 = 4,5 : 6 . |
| 4 Запишите крайние члены | пропорции | . |
| 4 86 Из равенства произведений 3 × 24 = 8 × 9 составьте три верные | пропорции | . |
| 8 101 Решите уравнение , используя основное свойство | пропорции | . |
| э . ) , там , в частности , приводится и доказательство основного свойства | пропорции | . |
| 4 45 Переставив средние или крайние члены пропорции , составьте три новые верные пропорции из | пропорции | . |
| 5 122 Найдите неизвестный член | пропорции | 9 : 3,1 = x : 9,3 . |
| 4 79 Средние члены | пропорции | 6 и 10 . |
| Используя основное свойство | пропорции | , 8,75 × 0 75=3×х , получим 8,75 × 0,75 = 34 × x× Отсюда x = . |
| 4 112 Составьте три | пропорции | , используя верное равенство . |
| Как называются числа х и у в | пропорции | х : a = b : у ? . |
| если произведение крайних членов равно произведению средних членов | пропорции | , то и пропорция верна . |
| Используя основное свойство | пропорции | , получим а × 2 = 0,5 × 13 . |
| В | пропорции | найдем произведение ее крайних членов и произведение средних членов . |
| В дальнейшем будем считать , что все члены | пропорции | отличны от нуля : a не равно 0 , b не равно 0 , с не равно 0 , d не равно 0 . |
| Найдем в | пропорции | 0,5 : a = 2 : 13 неизвестный средний член а . |
| Как называются числа m и n в | пропорции | a : m = n : b ? |
| Сформулируйте основное свойство | пропорции | . |
| Это свойство называют основным свойством | пропорции | . |
| В пропорции а : b = с : числа a и d называют крайними членами , а числа b и с средними членами | пропорции | . |
| средние члены | пропорции | . |
| Какие перестановки членов | пропорции | снова приводят к верным пропорциям ? . |
| 8 130 Решите уравнение , используя основное свойство | пропорции | . |
| Если в верной | пропорции | менять местами средние члены иди , крайние члены , то получившиеся новые пропорции тоже верны . |
| В | пропорции | а : b = с : числа a и d называют крайними членами , а числа b и с средними членами пропорции . |
| Эти произведения не изменятся , если в | пропорции | 20 : 5 = 16 : 4 поменять местами крайние члены . |
| Задачи на пропорциональные величины можно решить с помощью | пропорции | . |
| Если в верной пропорции менять местами средние члены иди , крайние члены , то получившиеся новые | пропорции | тоже верны . |
| крайние члены | пропорции | . |
| Используя основное свойство | пропорции | , можно найти её неизвестный член , если все остальные члены известны . |
| 4 155 Найдите неизвестный член | пропорции | . |
| Теперь найдём неизвестный член | пропорции | . |
| Проверьте ваш ответ на | пропорции | 3 : 4 = 9 : 12 . |
| основное свойство | пропорции | . |
| Поменяем местами в этой | пропорции | средние члены . |
| В верной | пропорции | произведение крайних членов давно произведению средних членов . |
| Теория отношений и | пропорций | была подробно изложена в « Началах » Евклида ( III в . |
| в ) десятичные дроби появились в Китае в III в .. г ) теория отношений и | пропорций | была разработана в Древней Греции в IV в . |
| 5 Объём куба прямо | пропорционален | длине его ребра . |
| 8 При постоянной скорости пройденный автобусом путь прямо | пропорционален | времени движения . |
| 5 Рост человека прямо | пропорционален | его возрасту . |
| Зависимость между весом товара и стоимостью покупки прямо | пропорциональна | , так как если купить в несколько раз больше товара , то и стоимость покупки увеличится во столько же раз . |
| 5 Площадь круга прямо | пропорциональна | квадрату его радиуса . |
| 8 Длина окружности обратно | пропорциональна | длине её радиуса . |
| Длина окружности прямо | пропорциональна | длине её диаметра . |
| г ) двух величин , зависимость между которыми обратно | пропорциональная | . |
| в ) двух величин , зависимость между которыми прямо | пропорциональная | . |
| Прямая | пропорциональная | зависимость . |
| Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно | пропорциональная | , так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз , то надо ширину во столько же раз уменьшить . |
| Найдите формулу зависимости а от b. Является ли эта зависимость обратно | пропорциональной | ? . |
| Приведите примеры величин , у которых зависимость не является ни прямо , ни обратно | пропорциональной | . |
| 4 63 Определите , является ли прямо пропорциональной , обратно | пропорциональной | или не является пропорциональной зависимость между величинами . |
| 4 63 Определите , является ли прямо пропорциональной , обратно пропорциональной или не является | пропорциональной | зависимость между величинами . |
| Пройденный им путь можно вычислить по формуле s = 3 t. Является ли зависимость пути , пройденного туристом , от времени прямой или обратной | пропорциональной | зависимостью ? |
| 4 63 Определите , является ли прямо | пропорциональной | , обратно пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между величинами . |
| Если две величины прямо | пропорциональны | , то отношения соответствующих значений равны . |
| 6 Если при уменьшении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз , то эти величины прямо | пропорциональны | . |
| 6 Если при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз , то эти величины прямо | пропорциональны | . |
| 4 Две величины прямо | пропорциональны | . |
| 4 Две величины обратно | пропорциональны | . |
| Если величины обратно | пропорциональны | , то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины . |
| Задачи на | пропорциональные | величины можно решить с помощью пропорции . |
| Прямо | пропорциональные | величины . |
| Прямая и обратная | пропорциональные | зависимости . |
| Обратно | пропорциональные | величины . |
| 22 Прямая и обратная | пропорциональные | зависимости . |
| Не всякие две величины являются прямо | пропорциональными | или обратно пропорциональными . |
| Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно | пропорциональными | . |
| Какие величины называют прямо | пропорциональными | ? |
| Такие величины , как скорость и время , называют обратно | пропорциональными | величинами . |
| Например , рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста , но эти величины не являются | пропорциональными | , так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается . |
| Две величины называют обратно | пропорциональными | , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая уменьшается ( увеличивается ) во столько же раз . |
| Две величины называют прямо | пропорциональными | , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз . |
| Какие величины называют обратно | пропорциональными | ? |
| Такие величины , как время работы станка и число изготовленных деталей , называют прямо | пропорциональными | величинами . |
| 8 Если одна из обратно | пропорциональных | величин увеличивается в несколько раз , то другая уменьшается во столько же раз . |
| Приведите примеры прямо | пропорциональных | величин . |
| Приведите примеры обратно | пропорциональных | величин . |
| 8 Из любых четырёх натуральных чисел можно составить | пропорцию | . . |
| 4 40 Из каких отношений 0,6 : 5 ; 4,2 : 7 ; 4 : 6,25 можно составить верную | пропорцию | ? . |
| Запишем | пропорцию | . |
| Задачи 4 64—4 75 решите , составив | пропорцию | . |
| Запишите | пропорцию | для решения задачи ( 1—4 ) . |
| 4 146 Решите задачу , составив | пропорцию | . |
| Запишите | пропорцию | ( 1—2 ) . |
| 4 85 Можно ли составить верную | пропорцию | из следующих чисел . |
| С помощью букв | пропорцию | записывают так . |
| Получим новую | пропорцию | : 20 : 5 = 16 : 4 . |
| 4 39 Запишите | пропорцию | . |
| Обозначим длину ( в километрах ) отрезка на карте буквой х и составим | пропорцию | : х : 4,5 = 1 : 100 000 . |
| 8 30 Решите задачу , составив | пропорцию | . |
| 5 Как называется | пропорция | , в которой произведение крайних членов равно произведению средних ? . |
| 6 Определите , верна ли | пропорция | в задании 4 . |
| Останется ли | пропорция | верной , если оба средних числа поменять местами с крайними членами ? |
| Следовательно , верна | пропорция | 4 : 2 = 56 : 28 . |
| Слово « | пропорция | » ( от латинского proportio ) означает « соразмерность » , « определённое соотношение частей между собой » . |
| Что такое | пропорция | ? . |
| Следовательно , верна | пропорция | 80 : 40 = 12 : 6 . |
| а ) для доказательства , что | пропорция | верна . б ) для решения уравнения . |
| 4 80 При каком значении x верна | пропорция | . |
| 4 82 Где на координатном луче должно быть расположено число с , чтобы была верна | пропорция | a = d ? . |
| 4 57 Верна ли | пропорция | . |
| если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции , то и | пропорция | верна . |
| Останется ли | пропорция | верной , если поменять местами какой - нибудь средний её член с одним из крайних ? |
| 5 Определите , верна ли | пропорция | в задании 3 . |
| Какие перестановки членов пропорции снова приводят к верным | пропорциям | ? . |
| Учение об отношениях и | пропорциях | особенно успешно развивалось в IV в . |
| 4 Квадрат | простого числа | не может быть простым числом . |
| 5 Единица — | простое число | . |
| 1 147 Могут ли быть простыми числами координаты точек A , B , C и D , если p — | простое число | ? . |
| Простое число | . | |
| Возникает вопрос : существует ли последнее ( самое большое ) | простое число | ? |
| за каждым простым числом есть ещё большее | простое число | . |
| Число 21 также делим на 3 , причём получаем в частном | простое число | 7 . |
| 8 Произведение двух простых чисел — | простое число | . |
| 4 При каких натуральных значениях « эм » произведение сорока одного и « эм » — | простое число | ? . |
| Словарный диктант . 1 Как называется дробь , числитель и знаменатель которой — взаимно | простые числа | ? . |
| Взаимно | простые числа | . |
| 2 20 Используя « решето Эратосфена » , найдите все | простые числа | до 100 . |
| Простые числа | — это как бы кирпичики , из которых строятся остальные натуральные числа . | |
| взаимно | простые числа | . |
| Теперь в произведении 3 × 7 × 2 × 5 все множители — | простые числа | . |
| 2 Запишите все | простые числа | , каждое из которых больше сорока пяти и меньше пятидесяти пяти . |
| 1 146 Какие | простые числа | являются решениями неравенства 17 < p < 44 ? . |
| В конце концов оставались невычеркнутыми только | простые числа | . |
| Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена : в этом решете « отсеиваются » | простые числа | от составных . |
| 1 177 Запишите все правильные дроби со знаменателем 12 , у которых числитель и знаменатель — взаимно | простые числа | . |
| 8 Дробь несократима , если её числитель и знаменатель — взаимно | простые числа | . |
| Вы , наверное , обратили внимание , что | простые числа | в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше , в других — меньше . |
| Чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду , тем реже встречаются | простые числа | . |
| 1 132 С помощью таблицы простых чисел , помещённой в приложении 1 , выберите из чисел 122 , 132 , 153 , 157 , 187 , 499 , 550 , 621 , 881 , 865 и 909 | простые числа | . |
| Интерес древних математиков к | простым числам | связан с тем , что любое число либо простое , либо может быть представлено в виде произведения простых чисел , т . |
| Является ли | простым число | 11 ? |
| 4 Квадрат простого числа не может быть | простым числом | . |
| 1 143 При каких натуральных значениях а произведение 23a является | простым числом | ? . |
| площадь поверхности выражается | простым числом | ? . |
| 1 111 Может ли площадь квадрата выражаться | простым числом | , если длина его стороны выражается натуральным числом ? . |
| 1 110 Может ли произведение двух простых чисел быть : а ) | простым числом | . |
| 1 144 Существует ли прямоугольник , стороны которого выражаются натуральными числами , а периметр — | простым числом | ? . |
| 1 116 Может ли выражаться | простым числом | объём куба , длина ребра которого выражается натуральным числом ? . |
| за каждым | простым числом | есть ещё большее простое число . |
| а ) сумма длин всех рёбер выражается | простым числом | . |
| 1 175 Являются ли взаимно | простыми числа | . |
| 3 Запишите делители сорока двух , которые являются | простыми числами | . |
| Выпишите из них те , которые являются | простыми числами | . |
| 3 Запишите делители восемнадцати , которые являются | простыми числами | . |
| Первыми десятью | простыми числами | являются 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 . |
| 1 228 По таблице простых чисел ( см. приложение 1 ) подсчитайте , сколько | простых чисел | в каждой из первых десяти сотен ( т . е . |
| Чему равны наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное взаимно | простых чисел | ? . |
| Заметили ли вы какие - либо закономерности в расположении | простых чисел | ? |
| Таблица | простых чисел | ( до 997 ) . |
| э . ) в своей книге « Начала » , бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики , доказал , что | простых чисел | бесконечно много , т . |
| А более общее утверждение « любое чётное число , большее 2 , можно представить в виде суммы двух | простых чисел | » ( например : 28 = 11 + 17 , 56 = 19 + 37 , 924 = 311 + 613 ) до сих пор не доказано ( из него добавлением 3 получается предыдущая гипотеза ) . |
| Было высказано предположение , что любое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх | простых чисел | . |
| Для отыскания | простых чисел | другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ . |
| 1 110 Может ли произведение двух | простых чисел | быть : а ) простым числом . |
| 1 132 С помощью таблицы | простых чисел | , помещённой в приложении 1 , выберите из чисел 122 , 132 , 153 , 157 , 187 , 499 , 550 , 621 , 881 , 865 и 909 простые числа . |
| 2 49 Найдите среди чисел 1 , 3 , 10 , 12 , 13 , 15 , 16 , 39 пары взаимно | простых чисел | . |
| 1 108 С помощью таблицы | простых чисел | , помещённой в приложении 1 , определите , какие из чисел 101 , 121 , 253 , 409 , 561 , 563 , 863 , 997 являются простыми , а какие составными . |
| Таким способом и в настоящее время составляют таблицы | простых чисел | , но уже с помощью вычислительных машин . |
| 1 176 Найдите среди чисел 9 , 14 , 15 и 27 три пары взаимно | простых чисел | . |
| 11 194 Вы умеете представлять числа в виде произведения | простых чисел | . |
| 1 117 Найдите произведение | простых чисел | . |
| В приложении 1 ( см. с. 148 ) приведена таблица | простых чисел | от 2 до 997 . |
| Интерес древних математиков к простым числам связан с тем , что любое число либо простое , либо может быть представлено в виде произведения | простых чисел | , т . |
| 6 Произведение двух | простых чисел | всегда число составное . |
| 7 Наименьшее общее кратное двух взаимно | простых чисел | равно их произведению . |
| 8 Произведение двух | простых чисел | — простое число . |
| 1 228 По таблице | простых чисел | ( см. приложение 1 ) подсчитайте , сколько простых чисел в каждой из первых десяти сотен ( т . е . |
| а ) сумма | простых чисел | есть число простое . |
| произведение двух | простых чисел | есть число простое . |
| Два | простых числа | , разность которых равна 2 , называют близнецами . |
| 1 185 Можно ли найти четыре различных | простых числа | , чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других ? . |
| в ) два различных | простых числа | всегда взаимно простые . |
| Какое число | противоположно числу | b ? . |
| Число b | противоположно числу | а . |
| — число , | противоположное числу | минус а . |
| 6 103 Найдите число , | противоположное числу | -7,2 . |
| Запись « -(-15 ) » означает число , | противоположное числу | -15 . |
| Число , | противоположное числу | а , обозначают -а . |
| Так как число , | противоположное числу | -15 , равно 15 , то -(-15 ) = 15 . |
| 5 55 Какие числа | противоположны числам | : 124 ; -124 . |
| Противоположные числа | . | |
| 7 103 Сложив сначала | противоположные числа | , найдите значение выражения . |
| 5 38 Найдите числа , | противоположные числам | . |
| а ) | противоположных чисел | . |
| Чему равна сумма | противоположных чисел | ? |
| Сумма двух | противоположных чисел | равна нулю . |
| Прибавление нуля не меняет числа , сумма | противоположных чисел | равна нулю . |
| Какой | процент | погруженного зерна составляла бы пшеница , если бы вместо кукурузы погрузили овёс ? . |
| 6 Как называется один | процент | центнера ? . |
| 3 111 На пакетике семян огурцов указан | процент | всхожести — 98 % . |
| Какой | процент | горошин дал всходы ( процент всхожести ) ? . |
| Какой процент горошин дал всходы ( | процент | всхожести ) ? . |
| Какой | процент | погруженного зерна составляла пшеница ? |
| Какой | процент | всего проката составит прокат , устойчивый при низких температурах ? . |
| Какой | процент | от всей партии составляют пишущие ручки ? . |
| Какой | процент | всей партии составляют исправные фонарики ? . |
| Какой | процент | участников секции составляют девочки и какой — мальчики ? . |
| Определите | процент | попаданий . |
| Найдите , сколько процентов семян всходит ( | процент | всхожести ) . |
| Ответ округлите до десятых долей | процента | . |
| 4 23 Выразите в | процентах | числа : 0,2 ; 0,15 ; 1 ; 3 . |
| 5 Запишите в | процентах | обыкновенную дробь « три двадцатых » . |
| Выразите в | процентах | значение отношения ( 2—3 ) . |
| Действительно , ответ можно также записать в виде десятичной дроби или в | процентах | : 0,4 = 40 % . |
| 3 Запишите в | процентах | десятичную дробь « одна целая две десятых » . |
| 1 Запишите в | процентах | десятичную дробь « ноль целых семь сотых » . |
| Этот ответ можно выразить в | процентах | : 0,0375 = 3,75 % . |
| 1 121 Выразите в | процентах | числа : 0,01 ; 0,29 ; 0,8 ; 1 . |
| Пятнадцать | процентов | которого равны тридцати . |
| На сколько | процентов | сократился путь ? |
| в ) сколько | процентов | 8 составляет от 40 . |
| Тридцать | процентов | от трёхсот . |
| Расскажите , как найти несколько | процентов | от числа . |
| Разность одной второй и одной четвертой больше двадцати | процентов | . |
| 2 18 На сколько | процентов | увеличится площадь прямоугольника , если его длину увеличить на 30 % , а ширину — на 20 % ? . |
| На сколько | процентов | продавец увеличил цену товара ? . |
| Сколько | процентов | месячной нормы осадков выпадало ежедневно в период с 26 по 28 ноября ? . |
| На сколько | процентов | возросла производительность станка в результате двух усовершенствований ? . |
| Сколько | процентов | всего бюджета составили расходы на спорт и досуг ? . |
| Расскажите , как найти число по данному значению его | процентов | . |
| 10 83 На сколько | процентов | изменится площадь прямоугольника с измерениями 30 см и 20 см , если большую сторону увеличить на 10 % , а другую уменьшить на 10 % ? |
| 3 265 Находить число по заданному значению его | процентов | можно с помощью калькулятора . |
| 2 Запишите в виде десятичной дроби двадцать восемь | процентов | . |
| 2 Двадцать | процентов | этого числа равны десяти . |
| 6 Двенадцать минут составляют двадцать | процентов | одного часа . |
| 2 210 На сколько | процентов | увеличится объём куба , если длину каждого его ребра увеличить на 20 % ? . |
| 8 Если пятнадцать | процентов | некоторого числа равны тридцати , то это число равно двумстам . . |
| Сколько | процентов | плана выполнили , когда скосили двадцать девять гектаров ? . |
| Чтобы перевести проценты в десятичную дробь , надо разделить число | процентов | на 100 . |
| урожай с 1 га ) и на сколько | процентов | ? . |
| На сколько процентов метростроевцы выполнили план и на сколько | процентов | они перевыполнили план ? . |
| На сколько | процентов | метростроевцы выполнили план и на сколько процентов они перевыполнили план ? . |
| 3 90 Найти несколько | процентов | от числа можно с помощью калькулятора при наличии на нём клавиши % . |
| На сколько | процентов | в среднем выросла зарплата рабочего этой бригады , если раньше все имели одинаковую зарплату ? . |
| 7 Если число « эм » составляет двадцать | процентов | от числа « эн » , то отношение « эм » к « эн » равно нулю целых двум десятым . |
| 4 Запишите в виде десятичной дроби сто пятьдесят | процентов | . |
| Сколько | процентов | земли вспахано ? |
| 8 Если рабочий вместо предусмотренных планом ста деталей изготовит сто восемь , значит , он перевыполнит план на восемь | процентов | . |
| На сколько | процентов | повысится производительность труда этой бригады , если на изготовление каждой детали будет затрачиваться 3 мин ? . |
| Пятьдесят | процентов | в четыре раза меньше двух . |
| 8 Если первое число составляет сорок | процентов | второго , то второе число в две целых одну вторую раза больше первого . |
| 3 47 Запишите в виде | процентов | . |
| Значит , за два дня он прошёл больше тридцати | процентов | пути . |
| 5 Сколько | процентов | число « один » составляет от числа « пять » ? . |
| 7 Ноль целых семь десятых больше пятидесяти шести | процентов | . |
| 4 Двадцать пять | процентов | некоторого числа равны девяти . |
| 3 Найдите число , если десять | процентов | этого числа равны трём . |
| На сколько | процентов | была снижена цена ? |
| Сколько | процентов | новая цена составляет от прежней цены ? . |
| Сколько | процентов | от всех посаженных деревьев составляют клёны ? |
| Две третьих меньше шестидесяти | процентов | . |
| 1 Найдите шесть | процентов | от десяти . |
| Сколько | процентов | от оптовой цены составила розничная цена ? |
| 2 Какое число составляет тридцать | процентов | от числа « четыре » ? . |
| Сколько | процентов | участников конкурса состязалось на третьем этапе ? . |
| Сколько | процентов | угля отправят шахтёры за 5 месяцев , если будут работать с той же производительностью ? . |
| Сколько | процентов | всех учащихся получили оценку « 5 » , сколько — « 4 » и сколько — « 3 » ? . |
| 2 Десять | процентов | от шести . |
| в ) какую часть всей продукции она обработает за 8 ч . г ) сколько | процентов | всей продукции она обработает за 9 ч . |
| Как узнать , сколько | процентов | одно число составляет от другого ? . |
| На сколько | процентов | масса утки меньше массы гуся ? . |
| Сколько | процентов | всех учащихся это составляет ? . |
| Найдите , сколько | процентов | семян всходит ( процент всхожести ) . |
| 8 Произведение одной третьей и пятидесяти | процентов | равно одной шестой . |
| 7 Если число « эм » составляет двадцать пять | процентов | от числа « эн » , то отношение « эн » к « эм » равно четырём . |
| На сколько | процентов | увеличилось производство холодильников за смену ? . |
| Определите , округлив результаты до десятых , сколько | процентов | составляли деньги , полученные . |
| 3 62 Запишите в виде | процентов | : 0,23 ; 0,4 ; 0,07 ; |
| а ) какую часть денег получила сестра и какую — брат . б ) сколько | процентов | всех денег получила сестра и сколько — брат . |
| 8 Девять метров составляют девять | процентов | километра . |
| 4 19 Найдите , сколько | процентов | число 9,729 составляет от числа 84,6 . |
| С помощью калькулятора : а ) найдите , сколько | процентов | составляет 0,0912 от 36,48 и 13,524 от 16,8 . |
| Сколько | процентов | земли осталось вспахать ? » |
| На сколько | процентов | комбайнёр перевыполнил задание ? . |
| а ) какую часть всей продукции она обработает за 1 ч . б ) сколько | процентов | всей продукции она обработает за 1 ч . |
| 7 Число « сто пятьдесят » составляет двести | процентов | числа « семьдесят пять » . |
| На сколько | процентов | альбом дешевле книги ? . |
| Сколько | процентов | всех тюльпанов осталось в букете ? . |
| Повторение : задачи на | проценты | . |
| Повторение : | проценты | . |
| Чтобы обратить десятичную дробь в | проценты | , надо её умножить на 100 . |
| Чтобы перевести | проценты | в десятичную дробь , надо разделить число процентов на 100 . |
| 8 Если даны | прямая | и точка , не лежащая на этой прямой , то через данную точку можно провести две прямые , параллельные данной прямой . |
| Если | прямая | перпендикулярна одной из двух параллельных прямых , то она перпендикулярна и второй . |
| Что такое координатная | прямая | ? . |
| Координатная | прямая | . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если | прямая | расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| Если | прямая | расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| На плоскости проведена | прямая | и отмечена точка , не лежащая на этой прямой . |
| 6 Величины | прямого | угла составляют тридцать градусов ? . |
| 6 Величины | прямого угла | составляют тридцать градусов ? . |
| 6 43 На координатной | прямой | отмечены точки А(х ) и В(у ) . |
| Что называют координатой точки на | прямой | ? . |
| Проведите с помощью угольника через точку А прямую , перпендикулярную | прямой | МР . |
| С координатной | прямой | мы встречаемся на уроках истории ( « линия времени » ) . |
| Все эти точки лежат на одной | прямой | . |
| 6 72 Чему равно расстояние ( в единичных отрезках ) между точками координатной | прямой | с координатами . |
| Число , показывающее положение точки на | прямой | , называют координатой этой точки . |
| а ) параллельную | прямой | а . б ) перпендикулярную прямой а . |
| У | прямой | призмы боковые грани — прямоугольники , а верхнее и нижнее основания — равные многоугольники . |
| 5 70 Отметьте на координатной | прямой | числа , модули которых равны 4 ; 2,5 ; 0 . |
| 5 140 Отметьте на координатной | прямой | точку С(-4 ) . |
| 5 128 Отметьте на координатной | прямой | точку А(2 ) . |
| Каким числом выражается перемещение точки на координатной | прямой | влево и каким — вправо ? . |
| Точка O на | прямой | AB разбивает эту прямую на два дополнительных луча — OA и OB . |
| 8 Если даны прямая и точка , не лежащая на этой прямой , то через данную точку можно провести две прямые , параллельные данной | прямой | . |
| 26 Координаты на | прямой | . |
| 5 84 Отметьте на координатной | прямой | числа , модули которых равны 3 ; 8 ; 1 ; 3,5 . |
| Постройте на координатной | прямой | точки : М(-3 ) , K(1 ) , Р(-0,6 ) . |
| 7 На координатной | прямой | число минус пятнадцать расположено левее числа минус пять . |
| Могут ли пересечься две прямые , перпендикулярные одной и той же | прямой | ? . |
| 9 20 Начертите прямую l и отметьте точки М и K вне этой | прямой | . |
| координата точки на | прямой | . |
| Отметьте на этой | прямой | точки A , B , Си K , если известно , что . |
| Где на | прямой | находится каждая из этих точек по отношению к точке O ? . |
| 5 141 Отметьте на координатной | прямой | точку М(-4 ) . |
| 6 1 Найдите с помощью координатной | прямой | сумму чисел . |
| 6 4 На координатной | прямой | отмечены числа а и а + 1 . |
| Изобразите на этой же | прямой | числа . |
| а ) параллельную прямой а . б ) перпендикулярную | прямой | а . |
| 6 5 На координатной | прямой | точке А соответствует число а + 4 , а точке В — число а + ( -4 ) . |
| Эту запись читают : « Прямая АВ параллельна | прямой | MN » . |
| Проведите через точки М и Р прямые , перпендикулярные | прямой | l . |
| 5 43 Заполните пустые места и отметьте на координатной | прямой | точки , имеющие своими координатами числа . |
| Прямые m и n перпендикулярны | прямой | l. |
| Проведите через точку М прямую CD , параллельную прямой АВ , и прямую EF , перпендикулярную | прямой | АВ . |
| Проведём через неё прямую МА , перпендикулярную координатной | прямой | х , и прямую MB , перпендикулярную координатной прямой у . |
| Проведём через неё прямую МА , перпендикулярную координатной прямой х , и прямую MB , перпендикулярную координатной | прямой | у . |
| 8 40 На координатной | прямой | отмечены числа а и b. |
| Выразите у через х. Является ли зависимость у от х | прямой | пропорциональностью ? |
| 6 Координатной | прямой | называют прямую с выбранным на ней началом отсчёта и единичным отрезком . |
| 6 23 Найдите с помощью координатной | прямой | сумму чисел . |
| Координаты на | прямой | . |
| 5 32 Отметьте на координатной | прямой | точки М(-4 ) , N(3 ) , P(-8,5 ) , K(7,5 ) , C(-6 ) , T(6 ) . |
| Отметьте на этой | прямой | точки M , N , P и K , если . |
| На прямой х откладывали время в минутах после включения самовара , а на | прямой | у — температуру воды в градусах Цельсия . |
| Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей | прямой | , то они параллельны . |
| Пройденный им путь можно вычислить по формуле s = 3 t. Является ли зависимость пути , пройденного туристом , от времени | прямой | или обратной пропорциональной зависимостью ? |
| Показано , как с помощью угольника и линейки можно построить прямую n , параллельную | прямой | m . |
| На | прямой | х откладывали время в минутах после включения самовара , а на прямой у — температуру воды в градусах Цельсия . |
| 9 6 Начертите | прямой | угол . |
| 5 12 Выбрав в качестве единичного отрезка 2 клетки , изобразите на координатной | прямой | точки с координатами . |
| Проведите через точку М перпендикуляр к | прямой | АВ . |
| 5 8 Проведите вертикальную прямую и отметьте на ней точку О. Отметьте на этой | прямой | точки P , Q , M , N , если известно , что . |
| 5 49 Начертите координатную прямую , приняв за единичный отрезок длину 4 клеток тетради , и отметьте на этой | прямой | точки A(3/4 ) , B(0,5 ) , С(-1,75 ) , D-2^ ) , E(l1 ) , F(2,25 ) . |
| 9 23 Начертите прямую m и отметьте на ней три точки — А , B и С. Через эти точки проведите прямые , перпендикулярные | прямой | m. |
| 7 88 Отметьте на координатной | прямой | точки с целыми координатами . |
| Определите координаты точки пересечения | прямой | CD с осью х и координаты точки пересечения прямой КР с осью y . |
| Определите координаты точки пересечения прямой CD с осью х и координаты точки пересечения | прямой | КР с осью y . |
| Как расположены на координатной | прямой | точки А(а ) и В(b ) , если а меньше b ? |
| 4 Две прямые , перпендикулярные одной и той же | прямой | , пересекаются . |
| Проведите через точку М прямую CD , параллельную | прямой | АВ , и прямую EF , перпендикулярную прямой АВ . |
| 2 Прямая « а дэ » параллельна | прямой | « бэ цэ » . |
| 1 Прямая « эм эн » перпендикулярна | прямой | « цэ дэ » . |
| Как называется число , показывающее положение точки на | прямой | ? . |
| Эту запись читают : « Прямая АВ перпендикулярна | прямой | MN » . |
| Длина отрезка на координатной | прямой | равна шести единичным отрезкам . |
| Прямая « эм » перпендикулярна | прямой | « ка » . |
| если . 6 115 Отметьте на координатной | прямой | точки А(-4 ) и Б(9 ) . |
| Проведите через точки М и K прямые , параллельные | прямой | l . |
| Проверьте с помощью линейки , лежат ли эти точки на одной | прямой | и лежит ли на этой прямой точка М(-5 ; 5 ) . |
| 5 91 Отметьте на | прямой | числа 0 ; 1 ; -3 ; -5 ; |
| Проверьте с помощью линейки , лежат ли эти точки на одной прямой и лежит ли на этой | прямой | точка М(-5 ; 5 ) . |
| На горизонтальной координатной | прямой | точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой . |
| Точки с координатами ( 0 ; -180 ) , ( 1 ; -120 ) ; ( 2 ; -60 ) лежат на одной | прямой | с ранее найденными точками . |
| 9 6 Начертите | прямой угол | . |
| Развёртка боковой поверхности цилиндра — | прямоугольник | . |
| Видно , что данный | прямоугольник | можно получить так : разделить одну сторону квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части , а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части . |
| Вычислите объём четырёхугольной пирамиды , в основании которой | прямоугольник | со сторонами 2/3 дм и 9/10 дм , а высота равна 5 дм . |
| I | прямоугольник | . |
| а ) | прямоугольник | является квадратом . |
| II | прямоугольник | . |
| Подумайте , является ли правильным многоугольником | прямоугольник | ; квадрат . |
| 1 144 Существует ли | прямоугольник | , стороны которого выражаются натуральными числами , а периметр — простым числом ? . |
| При таком делении квадрат будет состоять из 15 равных частей , а | прямоугольник | будет состоять из 8 таких частей . |
| Найдите периметр | прямоугольника | . |
| 1 84 Длина | прямоугольника | 20 м , ширина — натуральное число метров . |
| Площадь | прямоугольника | равна пяти седьмым квадратного метра , если его стороны равны одной пятой метра и одной седьмой метра . |
| Но мы знаем , что площадь | прямоугольника | равна произведению длины и ширины . |
| Длины сторон | прямоугольника | равны а см и b см. Найдите а , если b = 2 ; 4 ; 6 ; 12 . |
| 4 37 Длина прямоугольника а см , а ширина b см. Длина другого прямоугольника m см , а ширина n см. Найдите отношение площади первого | прямоугольника | к площади второго . |
| 3 198 Площадь | прямоугольника | 15 м2 . |
| 8 78 Стол на плане кухни , выполненном в масштабе 2 : 5 , имеет форму | прямоугольника | со сторонами 38 мм и 26 мм . |
| Они образуют прямые углы с двумя другими сторонами этого | прямоугольника | . |
| 3 193 Найдите по формуле площади | прямоугольника | S = ab значение . |
| 4 37 Длина | прямоугольника | а см , а ширина b см. Длина другого прямоугольника m см , а ширина n см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго . |
| Поэтому противоположные стороны любого | прямоугольника | параллельны . |
| Найдите отношение длины | прямоугольника | к его ширине . |
| Длина этого | прямоугольника | 10,5 дм . |
| 4 4 Площадь | прямоугольника | 22,05 дм2 . |
| Площадь | прямоугольника | 5/7 м . |
| Изобразим весь земельный участок в виде | прямоугольника | ABCD . |
| 2 18 На сколько процентов увеличится площадь | прямоугольника | , если его длину увеличить на 30 % , а ширину — на 20 % ? . |
| Таким образом , длина другой стороны | прямоугольника | равна м . |
| 1 218 Лист картона имеет форму | прямоугольника | , длина которого 48 см , а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты . |
| По формуле площади | прямоугольника | должно выполняться равенство 4х = 5 . |
| 4 37 Длина прямоугольника а см , а ширина b см. Длина другого | прямоугольника | m см , а ширина n см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго . |
| Найдите периметр | прямоугольника | , если его ширина 3/8 м . |
| Ширина и длина одного из них 19 см и 23 см , а ширина второго — 10 см. Чему равна длина второго | прямоугольника | ? . |
| 10 83 На сколько процентов изменится площадь | прямоугольника | с измерениями 30 см и 20 см , если большую сторону увеличить на 10 % , а другую уменьшить на 10 % ? |
| 7 Площадь | прямоугольника | со сторонами одна пятая метра и одна четвёртая метра равна одной десятой квадратного метра . |
| 10 38 Сравните площадь круга , радиус которого 6 см , и площадь | прямоугольника | со сторонами 6,5 см и 1,4 дм . |
| Длина первого | прямоугольника | 3,6 м , а ширина 2,4 м . |
| Найдите ширину другого прямоугольника , длина которого 3 м , а площадь равна площади первого | прямоугольника | . |
| Значит , площадь | прямоугольника | равна — дм2 . |
| Длина второго | прямоугольника | 4,8 м . |
| Найдите ширину второго | прямоугольника | . |
| Чему равна площадь | прямоугольника | ? . |
| Обозначив буквой x ширину ( в метрах ) второго | прямоугольника | , запишем кратко условие задачи . |
| Найдите площадь | прямоугольника | . |
| Длина | прямоугольника | 4 дм , а ширина 2 дм . |
| Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади | прямоугольника | обратно пропорциональная , так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз , то надо ширину во столько же раз уменьшить . |
| Найдите ширину другого | прямоугольника | , длина которого 3 м , а площадь равна площади первого прямоугольника . |
| Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная , так как если увеличить длину | прямоугольника | в несколько раз , то надо ширину во столько же раз уменьшить . |
| 10 33 Площадь | прямоугольника | равна 12 см2 . |
| 3 199 Длина и ширина | прямоугольника | соответственно равны 5 м и 2 м . |
| 1 164 Цветочная клумба имеет форму | прямоугольника | , длина которого в 1,8 раза больше ширины . |
| 1 201 Периметр | прямоугольника | равен 66 дм . |
| 2 139 Одна сторона | прямоугольника | равна -9 м , а другая на 1 м меньше . |
| Два | прямоугольника | имеют одинаковую площадь . |
| 8 Площадь | прямоугольника | со сторонами четыре метра и одна целая три четвёртых метра равна шести квадратным метрам . |
| У прямой призмы боковые грани — | прямоугольники | , а верхнее и нижнее основания — равные многоугольники . |
| квадрат является | прямоугольником | . |
| Является ли он | прямоугольником | ? |
| 2 167 Из металлического уголка требуется изготовить каркас аквариума , имеющего форму | прямоугольного | параллелепипеда . |
| 3 26 Найдите по формуле объёма | прямоугольного | параллелепипеда V = abc значение V , если a = 4/5 дм , b = 2 1/2 дм , c = 13/4 дм . |
| 6 25 Найдите объём | прямоугольного | параллелепипеда , длина которого 21 см , а ширина составляет 3 длины и 30 % высоты . |
| 3 58 Деревянный брус имеет форму | прямоугольного | параллелепипеда , измерения которого равны 6 м , 3 м и 1 м . |
| в ) стоимости купленных яблок к их массе . г ) объёма | прямоугольного | параллелепипеда к площади его основания ? . |
| 1 135 Объём | прямоугольного | параллелепипеда равен 1001 см3 . |
| 1 123 Длина и ширина | прямоугольного | параллелепипеда выражаются натуральными числами сантиметров , а высота равна 15 см. Можно ли утверждать , что объём ( в кубических сантиметрах ) этого параллелепипеда выражается числом . |
| Найдите объём | прямоугольного | параллелепипеда . |
| б ) что больше : 13/14 или 15/16/. 10 25 Здание Государственного Кремлёвского дворца в Москве имеет форму | прямоугольного | параллелепипеда длиной 120 м и общим объёмом 369 600 м3 . |
| 4 29 Найдите объём | прямоугольного | параллелепипеда , если . |
| 3 19 Длина | прямоугольного | параллелепипеда равна 7/12 м , ширина 5/14 м , а высота 18/25 м . |
| 3 104 Основанием | прямоугольного | параллелепипеда служит квадрат со стороной 1,1 дм . |
| 1 135 Объём | прямоугольного параллелепипеда | равен 1001 см3 . |
| 6 25 Найдите объём | прямоугольного параллелепипеда | , длина которого 21 см , а ширина составляет 3 длины и 30 % высоты . |
| 4 29 Найдите объём | прямоугольного параллелепипеда | , если . |
| 3 104 Основанием | прямоугольного параллелепипеда | служит квадрат со стороной 1,1 дм . |
| Найдите объём | прямоугольного параллелепипеда | . |
| в ) стоимости купленных яблок к их массе . г ) объёма | прямоугольного параллелепипеда | к площади его основания ? . |
| 3 26 Найдите по формуле объёма | прямоугольного параллелепипеда | V = abc значение V , если a = 4/5 дм , b = 2 1/2 дм , c = 13/4 дм . |
| 1 123 Длина и ширина | прямоугольного параллелепипеда | выражаются натуральными числами сантиметров , а высота равна 15 см. Можно ли утверждать , что объём ( в кубических сантиметрах ) этого параллелепипеда выражается числом . |
| 2 167 Из металлического уголка требуется изготовить каркас аквариума , имеющего форму | прямоугольного параллелепипеда | . |
| 3 58 Деревянный брус имеет форму | прямоугольного параллелепипеда | , измерения которого равны 6 м , 3 м и 1 м . |
| 3 19 Длина | прямоугольного параллелепипеда | равна 7/12 м , ширина 5/14 м , а высота 18/25 м . |
| б ) что больше : 13/14 или 15/16/. 10 25 Здание Государственного Кремлёвского дворца в Москве имеет форму | прямоугольного параллелепипеда | длиной 120 м и общим объёмом 369 600 м3 . |
| 5 138 Под строительство спортивной площадки отвели поле | прямоугольной | формы площадью 9200 м2 и шириной 80 м . |
| Полученную трапецию называют | прямоугольной | . |
| Описание применения координат дал в книге « Геометрия » в 1637 г. Р. Декарт , поэтому | прямоугольную | систему координат часто называют декартовой . |
| 5 13 Треугольный флажок находится в точке с координатой -2 , а | прямоугольный | — в точке с координатой +2 . |
| Каждый | прямоугольный | параллелепипед — это четырёхугольная призма . |
| Каждый | прямоугольный параллелепипед | — это четырёхугольная призма . |
| Через вершину С проведите прямую Z , параллельную стороне АВ , и | прямую | т , перпендикулярную стороне АВ . |
| Через вершину С проведите | прямую | Z , параллельную стороне АВ , и прямую т , перпендикулярную стороне АВ . |
| 5 49 Начертите координатную | прямую | , приняв за единичный отрезок длину 4 клеток тетради , и отметьте на этой прямой точки A(3/4 ) , B(0,5 ) , С(-1,75 ) , D-2^ ) , E(l1 ) , F(2,25 ) . |
| Проведите через точку K | прямую | . |
| Через точку М , лежащую на стороне OD , проведите | прямую | m , параллельную стороне ОС , а через точку K , лежащую на стороне ОС , проведите прямую п , параллельную стороне OD . |
| Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел — ввёл координатную | прямую | ( 1637 ) . |
| 6 Координатной прямой называют | прямую | с выбранным на ней началом отсчёта и единичным отрезком . |
| 9 21 Начертите треугольник и проведите через каждую вершину | прямую | , параллельную противоположной стороне . |
| 5 31 Начертите в тетради горизонтальную | прямую | и отметьте на ней точку O. |
| Сравните « линию времени » и координатную | прямую | . |
| Проведите через точку М | прямую | , перпендикулярную стороне ОВ , а через точку N прямую , перпендикулярную стороне ОА . |
| Проведём через неё прямую МА , перпендикулярную координатной прямой х , и | прямую | MB , перпендикулярную координатной прямой у . |
| 5 33 Приняв за единичный отрезок длину 6 клеток тетради , начертите координатную | прямую | и отметьте на ней точки K , С(-0,5 ) , D(-11/3 ) , E(6 ) , F(6 ) . |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную | прямую | х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| Через точку М , лежащую на стороне OD , проведите прямую m , параллельную стороне ОС , а через точку K , лежащую на стороне ОС , проведите | прямую | п , параллельную стороне OD . |
| Через каждую точку плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести только одну | прямую | , параллельную данной прямой . |
| левее числа — 820 . б ) левее числа — 8 . г ) правее числа — 78 . 5 16 Изобразите вертикальную координатную | прямую | , обозначьте её t ° C и отметьте на ней числа , соответствующие температуре : — 12 ° C ; — 11 ° C ; — 7 ° C ; +3 ° C ; — 8,5 ° C ; +7,3 ° C . |
| Показано , как с помощью угольника и линейки можно построить | прямую | n , параллельную прямой m . |
| Проведите через точку М | прямую | CD , параллельную прямой АВ , и прямую EF , перпендикулярную прямой АВ . |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную | прямую | у — осью ординат . |
| Проведите через точку М прямую , перпендикулярную стороне ОВ , а через точку N | прямую | , перпендикулярную стороне ОА . |
| Проведём через неё | прямую | МА , перпендикулярную координатной прямой х , и прямую MB , перпендикулярную координатной прямой у . |
| 5 11 Начертите координатную | прямую | и отметьте на ней точки , имеющие координату х , если . |
| 9 23 Начертите | прямую | m и отметьте на ней три точки — А , B и С. Через эти точки проведите прямые , перпендикулярные прямой m. |
| 9 3 Начертите | прямую | МР и отметьте точку А , не лежащую на этой прямой . |
| Проведите с помощью угольника через точку А | прямую | , перпендикулярную прямой МР . |
| 9 4 Начертите в тетради | прямую | АВ и отметьте точку М так , как показано . |
| Проведите через точку М прямую CD , параллельную прямой АВ , и | прямую | EF , перпендикулярную прямой АВ . |
| 5 4 Проведите горизонтальную | прямую | и отметьте на ней точку O. |
| 9 20 Начертите | прямую | l и отметьте точки М и K вне этой прямой . |
| Точка O на прямой AB разбивает эту | прямую | на два дополнительных луча — OA и OB . |
| Какие | прямые | называют перпендикулярными ? . |
| есть | прямые | углы . |
| Отметьте на сторонах угла по одной точке и проведите через них | прямые | , перпендикулярные сторонам угла . |
| Если две | прямые | на плоскости перпендикулярны третьей прямой , то они параллельны . |
| Они образуют | прямые | углы с двумя другими сторонами этого прямоугольника . |
| Отметьте на стороне РА точку М и проведите через неё | прямые | , перпендикулярные сторонам угла АРК . |
| Перпендикулярные и параллельные | прямые | . |
| 6 Две различные | прямые | на плоскости могут либо пересекаться в одной точке , либо не иметь общих точек . |
| 4 Параллельные | прямые | . |
| Могут ли пересечься две | прямые | , перпендикулярные одной и той же прямой ? . |
| были | прямые | углы . |
| 43 Перпендикулярные | прямые | . |
| Постройте три параллельные | прямые | . |
| 4 Две | прямые | , перпендикулярные одной и той же прямой , пересекаются . |
| С помощью каких чертёжных инструментов строят перпендикулярные | прямые | ? . |
| На стороне В А отметьте точку М и проведите через неё две | прямые | , одна из которых параллельна , а другая перпендикулярна стороне ВС . |
| 9 1 Постройте с помощью транспортира две перпендикулярные | прямые | . |
| Как называют параллелограмм , у которого есть | прямые | углы ? |
| Прямые | . | |
| Проведите через точки М и Р | прямые | , перпендикулярные прямой l . |
| Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные | прямые | и у , которые пересекаются в начале отсчёта — точке О. Эти прямые задают систему координат на плоскости . |
| 10 76 Какие | прямые | называют перпендикулярными ? |
| 44 Параллельные | прямые | . |
| Две | прямые | , образующие при пересечении прямые углы , называют перпендикулярными . |
| Под каким углом пересекаются координатные | прямые | х и у , образующие систему координат на плоскости ? |
| Какие | прямые | называют параллельными ? . |
| Две различные | прямые | могут либо пересекаться в одной точке , либо не пересекаться . |
| Две непересекающиеся | прямые | на плоскости называют параллельными . |
| 9 84 Отметьте точку М и проведите через неё две | прямые | т и l так , чтобы они образовали угол , равный 62 ° . |
| Как называют ромб , у которого углы | прямые | ? . |
| 10 77 Какие | прямые | называют параллельными ? |
| 9 48 Постройте координатные | прямые | х и у и отметьте точки А(2 ; 8) , В(3 ; -4 ) , С ( -4 ; 5 ) , D(-3 ; -7 ) , Е(0 ; 5 ) , М(0 ; -4 ) , K(6 ; 0 ) , Р(-7 ; 0 ) . |
| Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые и у , которые пересекаются в начале отсчёта — точке О. Эти | прямые | задают систему координат на плоскости . |
| Отметьте точку М , не лежащую на сторонах этого угла , и проведите через точку М | прямые | , параллельные сторонам угла CDK . |
| Две прямые , образующие при пересечении | прямые | углы , называют перпендикулярными . |
| 8 Если даны прямая и точка , не лежащая на этой прямой , то через данную точку можно провести две | прямые | , параллельные данной прямой . |
| Проведите через точки М и K | прямые | , параллельные прямой l . |
| 9 23 Начертите прямую m и отметьте на ней три точки — А , B и С. Через эти точки проведите | прямые | , перпендикулярные прямой m. |
| Проведите | прямые | АВ , CD , EF , КР и MN . |
| были | прямые углы | . |
| Две прямые , образующие при пересечении | прямые углы | , называют перпендикулярными . |
| есть | прямые углы | . |
| Они образуют | прямые углы | с двумя другими сторонами этого прямоугольника . |
| Как называют параллелограмм , у которого есть | прямые углы | ? |
| 10 128 Начертите треугольник ABC с | прямым | углом В. Как разделить этот треугольник на четыре равных треугольника ? . |
| Вычислите площадь поверхности конуса , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с | прямым | углом , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| 10 128 Начертите треугольник ABC с | прямым углом | В. Как разделить этот треугольник на четыре равных треугольника ? . |
| Вычислите площадь поверхности конуса , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с | прямым углом | , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| 9 19 Начертите пять параллельных друг другу | прямых | . |
| а ) не было | прямых | углов . |
| Отрезки ( лучи ) , лежащие на параллельных | прямых | , называют параллельными отрезками ( лучами ) . |
| На какой из этих | прямых | лежит точка K(0 ; 1 ) ? . |
| Сколько | прямых | , параллельных данной , можно провести через эту точку ? . |
| Отрезки ( или лучи ) , лежащие на перпендикулярных | прямых | , называют перпендикулярными отрезками ( или лучами ) . |
| Для построения перпендикулярных | прямых | используют угольник или транспортир . |
| Отметьте на этих | прямых | параллельные отрезки . |
| С помощью угольника и линейки определите , какие из этих | прямых | параллельны и какие перпендикулярны друг другу . |
| Найдите координаты точки пересечения | прямых | АВ и CD . |
| Найдите координаты точки пересечения | прямых | MN и CD . |
| Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных | прямых | , то она перпендикулярна и второй . |
| 9 2 Сначала определите на глаз , а потом проверьте с помощью угольника , какие пары | прямых | перпендикулярны . |
| а ) нет | прямых | углов . |
| Отметьте точку пересечения этих | прямых | . |
| Сколько | прямых | , перпендикулярных МР , можно провести через точку А ? . |
| Как называют каждую из этих | прямых | ? |
| Установите , сколько | прямых | углов в параллелограмме . |
| Измерьте транспортиром углы , образовавшиеся при пересечении | прямых | тип . |
| Как называют точку пересечения этих | прямых | ? |
| 9 22 Найдите с помощью линейки и угольника все пары параллельных | прямых | , изображённых . |
| а ) не было | прямых углов | . |
| Установите , сколько | прямых углов | в параллелограмме . |
| а ) нет | прямых углов | . |
| Сколько километров | пути | отремонтировала бригада за три дня ? . |
| 4 15 Что показывает отношение : а ) | пути | , пройденного автомашиной , ко времени её движения . |
| После этого ему осталось проехать всего | пути | . |
| 3 264 Автомобиль в первый час прошёл 4/9 всего | пути | , во второй час — 3/5 оставшегося пути , а в третий час — остальной путь . |
| Длина 1/4 | пути | равна 20 : 4 = 5 , т . |
| При встрече оказалось , что пройденный пешеходом путь составляет 11/20 | пути | , проделанного велосипедистом . |
| 2 138 Велосипедист в первый час проехал 1 пути , во второй час | пути | , а в третий час пути . |
| 2 138 Велосипедист в первый час проехал 1 | пути | , во второй час пути , а в третий час пути . |
| 3 286 После того как туристы преодолели на байдарках 0,48 всего | пути | , им осталось пройти ещё 24 км . |
| Сколько часов был в | пути | велосипедист до встречи с пешеходом , если его скорость была на 4,5 км / ч больше скорости пешехода ? . |
| 3 263 Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала — всего участка | пути | , во второй день оставшегося участка пути , а в третий день — . |
| 3 263 Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала — всего участка пути , во второй день оставшегося участка | пути | , а в третий день — . |
| Чему равна протяжённость | пути | туристов ? . |
| В первый день туристы прошли 3 всего пути , а во второй 5/12 | пути | . |
| Какую часть всего | пути | заняло путешествие по реке ? |
| В первый день туристы прошли 3 всего | пути | , а во второй 5/12 пути . |
| 3 116 Путешественники по Африке — всего намеченного пути проехали на верблюдах , — оставшегося | пути | — на автомобиле , а затем на плоту спускались по реке . |
| Например , дробь 1/2 до сих пор называют « половина » ; у римлян слово « унция » сначала было названием двенадцатой доли единицы массы , но потом унция стала обозначать одну двенадцатую долю любой величины ( говорили : « Семь унций | пути | » , т . е . |
| семь двенадцатых | пути | ) . |
| В первый день он прошёл 0,6 всего | пути | . |
| 3 264 Автомобиль в первый час прошёл 4/9 всего пути , во второй час — 3/5 оставшегося | пути | , а в третий час — остальной путь . |
| Какую часть | пути | им осталось пройти в третий день ? . |
| Какую часть | пути | занимает каждый участок ? . |
| 4 32 На | пути | от автовокзала до пункта назначения автобус сделал две остановки . |
| Найдите среднюю скорость катера на всём | пути | , если его собственная скорость 18 км / ч , а скорость течения 2 км / ч . |
| д ) С какой скоростью рыболов шёл в первый и с какой — в последний час | пути | ? |
| 2 144 Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода , и за час они сблизились на 9 | пути | . |
| Какую часть | пути | прошёл другой пешеход ? . |
| 3 87 До обеда путник прошёл 0,75 намеченного | пути | , а после обеда он прошёл 1/3 пути , пройденного до обеда . |
| Сколько километров прошёл М. Ломоносов , догоняя обоз , если в первый день он преодолел 10/29 всего | пути | , во второй день 4/5 пути , пройденного в первый день , а в третий день — остальные 66 км ? . |
| 3 87 До обеда путник прошёл 0,75 намеченного пути , а после обеда он прошёл 1/3 | пути | , пройденного до обеда . |
| Сколько километров прошёл М. Ломоносов , догоняя обоз , если в первый день он преодолел 10/29 всего пути , во второй день 4/5 | пути | , пройденного в первый день , а в третий день — остальные 66 км ? . |
| При этом на автобусе он проехал того | пути | , который он проехал на поезде . |
| Первые три дня | пути | он шёл , догоняя обоз , который отправился из Холмогор на некоторое время раньше . |
| Какую часть | пути | велосипедисту осталось проехать ? . |
| Найдите среднюю скорость поезда на всём | пути | , если стоянка длилась 36 мин . |
| Пройденный им путь можно вычислить по формуле s = 3 t. Является ли зависимость | пути | , пройденного туристом , от времени прямой или обратной пропорциональной зависимостью ? |
| 3 257 Лесник , объезжая верхом на лошади лесные угодья , сначала проехал 18,6 км до сторожки , затем ещё 5 от пройденного | пути | . |
| Междугородний автобус между двумя станциями сделал одну остановку в | пути | . |
| В первый день они прошли 5/11 всего пути , во второй день 2/3 оставшегося | пути | , а в третий день — последние 10 км . |
| В первый день они прошли 5/11 всего | пути | , во второй день 2/3 оставшегося пути , а в третий день — последние 10 км . |
| На сколько километров хватит полного бака бензина объёмом 40 л при движении по городу , если при движении по скоростной трассе на 400 км | пути | расходуется 5/8 бака бензина ? . |
| Найдите расстояние до остановки и после неё , если протяжённость всего | пути | составила 142,4 км . |
| 2 138 Велосипедист в первый час проехал 1 пути , во второй час пути , а в третий час | пути | . |
| Найдите среднюю скорость лодки на всём | пути | , если её собственная скорость 20 км / ч , а скорость течения 4 км / ч . |
| 3 116 Путешественники по Африке — всего намеченного | пути | проехали на верблюдах , — оставшегося пути — на автомобиле , а затем на плоту спускались по реке . |
| Число сантиметров | пути | должно делиться без остатка и на 75 , и на 60 , т . |
| 9 11 В первый день туристы прошли 50 % намеченного пути , во второй день — 60 % пути , пройденного в первый день , а в третий день они преодолели последние 6 км | пути | . |
| Какую часть всего намеченного | пути | прошёл турист в первый день до обеда ? . |
| Какой длины была каждая часть | пути | ? . |
| Чему равна длина всего | пути | , если второй участок длиннее первого на 36 км ? . |
| 4 153 Поезд за 8 ч прошёл 4/15 всего | пути | . |
| 7 В первый день турист прошёл одну восьмую всего пути , во второй — четверть всего | пути | . |
| За какое время он пройдёт 2/3 | пути | ? . |
| 3 149 Турист прошёл в первый день всего намеченного пути , причём до обеда он прошёл | пути | , пройденного за этот день . |
| 3 149 Турист прошёл в первый день всего намеченного | пути | , причём до обеда он прошёл пути , пройденного за этот день . |
| 9 11 В первый день туристы прошли 50 % намеченного пути , во второй день — 60 % | пути | , пройденного в первый день , а в третий день они преодолели последние 6 км пути . |
| 3 132 В первый день туристы прошли 2 всего | пути | , во второй день — 2 всего пути . |
| 7 В первый день турист прошёл одну восьмую всего | пути | , во второй — четверть всего пути . |
| 3 25 Найдите по формуле | пути | s = vt значение s , если . |
| Значит , за два дня он прошёл больше тридцати процентов | пути | . |
| 4 60 Через 2 ч после выхода со станции A тепловоз увеличил скорость на 12 км / ч и через 5 ч после начала движения прибыл в пункт назначения B. Какая была скорость тепловоза в начале | пути | , если расстояние от A до B равно 261 км ? . |
| 9 11 В первый день туристы прошли 50 % намеченного | пути | , во второй день — 60 % пути , пройденного в первый день , а в третий день они преодолели последние 6 км пути . |
| 3 132 В первый день туристы прошли 2 всего пути , во второй день — 2 всего | пути | . |
| 5 88 Длина первого участка | пути | составляет — длины второго участка . |
| После того как была построена Байкало - Амурская магистраль , | путь | сократился на 1000 км . |
| Они начали исследование с озера и проплыли вдоль его берега 18,6 км , затратив на этот | путь | 3 ч . |
| На сколько процентов сократился | путь | ? |
| Какой | путь | пройдёт поезд за 7,5 ч , если будет идти с той же скоростью ? . |
| От пристани до острова на реке турист проплыл на плоту , затратив на весь | путь | 3 ч 45 мин , а обратно он вернулся на катере , который шёл 0,5 ч со скоростью 18 км / ч . |
| 8 При постоянной скорости пройденный автобусом | путь | прямо пропорционален времени движения . |
| 1 161 На поверхности куба найдите кратчайший | путь | . |
| При встрече оказалось , что пройденный пешеходом | путь | составляет 11/20 пути , проделанного велосипедистом . |
| Если бы он проехал на поезде в 8 раз больше , а проплыл на теплоходе в 4 раза больше , чем в действительности , то его | путь | составил бы 1800 км . |
| 3 264 Автомобиль в первый час прошёл 4/9 всего пути , во второй час — 3/5 оставшегося пути , а в третий час — остальной | путь | . |
| С какой скоростью геологоразведочная группа передвигалась на вертолёте и на вездеходе , если весь | путь | равен 504 км ? . |
| При этом на вертолёте она преодолела | путь | в 3 — раза больший , чем на вездеходе . |
| Речной трамвай от одной пристани до другой идёт по течению реки 36 мин со скоростью 420 м / мин , а на обратный | путь | он затрачивает 45 мин . |
| сделать её равной 80 км / ч , то на этот же | путь | поезд затратит вдвое меньше времени , т . |
| Оставшийся | путь | турист проехал на автобусе за 8 ч . |
| Сколько километров путешественники проплыли по реке , если весь их | путь | составил 588 км ? . |
| Пусть | путь | из города A в город B поезд со скоростью 40 км / ч проходит за 12 ч . |
| Какой | путь | он преодолеет за 1/2 мин , 2/3 — мин ? . |
| Если бы скорость машины была на 10 км / ч меньше , то этот | путь | она прошла бы за 1 ч 30 мин . |
| Весь | путь | составил 79,2 км . |
| Сколько километров составляет весь | путь | лесника ? . |
| Сколько километров пройдено за два дня , если весь | путь | n км ? |
| Прошёл ли путник за день весь намеченный | путь | ? . |
| Так как пройденный | путь | равен произведению скорости и времени , то для решения задачи надо найти произведение чисел 9 и 1 . |
| При этом расстояние от начала маршрута до остановки оказалось на 23,7 км больше , чем остальной | путь | . |
| Моторная лодка против течения реки шла 48 мин со скоростью 220 м / мин , а на обратный | путь | она затратила 33 мин . |
| Сколько времени затратит поезд на этот | путь | , если его скорость уменьшится в два раза ? . |
| Какой | путь | проходит конец минутной стрелки курантов за час ? |
| Пройденный им | путь | можно вычислить по формуле s = 3 t. Является ли зависимость пути , пройденного туристом , от времени прямой или обратной пропорциональной зависимостью ? |
| Сколько литров бензина израсходовал автобус на | путь | туда и обратно ? . |
| 1 1 Продавец связывает морковь в одинаковые | пучки | . |
| Сколько | пучков | он может навязать из 30 штук моркови ? . |
| 4 139 Найдите площадь | пятиугольника | OABCD . |
| 4 86 Из | равенства | произведений 3 × 24 = 8 × 9 составьте три верные пропорции . |
| Ответ запишите в виде соответствующего буквенного | равенства | . |
| Запишите вывод в виде | равенства | , содержащего букву . |
| Запишите соответствующие | равенства | . |
| 7 58 Проверьте на примерах справедливость | равенства | \ab\ = \а\ × b. |
| 7 81 Проверьте , что следующие | равенства | верны . |
| 4 164 Цифры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 расставьте в клетки так , чтобы | равенства | были верными . |
| Умножим обе части | равенства | на число 4 , обратное числу 4 . |
| Напишите соответствующие | равенства | . |
| В этом | равенстве | буквы а и b могут принимать любые натуральные значения и значение 0 . |
| 7 17 Поставьте вместо знак < или > так , чтобы получилось верное | равенство | . |
| 4 112 Составьте три пропорции , используя верное | равенство | . |
| Например , | равенство | можно прочитать так : и . |
| 5 110 При каких значениях а верно | равенство | а + а = 0 и при каких неверно ? . |
| Попробуйте доказать , что это | равенство | верно при любых значениях а и b . |
| 4 141 Какой знак действия надо поставить вместо звёздочки , чтобы получилось верное | равенство | . |
| Проверьте | равенство | длительностей : 2 . |
| 2 89 При каком значении х верно | равенство | . |
| Это | равенство | можно записать и так . |
| 7 96 Проверьте , что верно | равенство | . |
| Найдите условие , при котором данное | равенство | верно . |
| 7 57 В каких случаях может быть верно | равенство | . |
| 2 11 Какое натуральное число надо записать вместо буквы , чтобы было верным | равенство | . |
| 2 9 Объясните , почему верно | равенство | . |
| 7 86 При каких значениях т верно | равенство | . |
| Верно ли , что выполняется | равенство | CM = CK ? |
| 3 Как называют | равенство | двух отношений ? . |
| Число 18 является корнем данного уравнения x + 12 = x , так как верно | равенство | . |
| Поэтому верно | равенство | . |
| 7 27 Может ли быть верным | равенство | а - b = b - z ? . |
| 4 48 Какой знак действия надо подставить вместо звёздочки , чтобы получилось верное | равенство | . |
| По формуле площади прямоугольника должно выполняться | равенство | 4х = 5 . |
| 7 87 Может ли быть верным | равенство | а : b = b : а ? . |
| При этом должно выполняться | равенство | 4 × \х\ = -24 . |
| 4 46 Используя верное | равенство | 4 × 9 = 0,2 × 180 , составьте четыре верные пропорции . |
| 5 39 Поставьте вместо звёздочки такое число , чтобы получилось верное | равенство | . |
| 6 87 Проверьте | равенство | а - ( -b ) = а + b , если . |
| Верно ли | равенство | -а = а ? |
| Такую трапецию называют | равнобедренной | или равнобокой . |
| Радиус | шара . | |
| Вычислите площадь поверхности конуса , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с прямым углом , | радиус | этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| Найдите длину окружности , опоясывающей планету Марс , если средний | радиус | Земли равен 6371 км . |
| Вычислите площадь поверхности конуса , если | радиус | его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с прямым углом , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| Сравните её с площадью четверти круга , | радиус | OD которого равен 5 см . |
| 2 Чему равен | радиус | окружности , если её длина равна двенадцати сантиметрам ? |
| Попробуйте вычислить площадь поверхности цилиндра , если его высота 5 см , а | радиус | оснований 2 см . |
| б ) Центральный круг имеет диаметр 9 м , а | радиус | полукруга судейской зоны составляет 2/3 радиуса центрального круга . |
| 2 Чему равен диаметр окружности , если её | радиус | равен девятнадцати дециметрам ? . |
| 10 37 Начертите окружность , | радиус | которой 2,5 см , и отрезок , длина которого равна длине окружности ( длину окружности округлите до десятых долей сантиметра ) . |
| 9 70 Найдите длину окружности , | радиус | которой 7 см ; 0,7 см ; 0,14 см , приняв π = 22/7 . |
| 4 135 Измерьте | радиус | и вычислите площадь каждого круга . |
| Скольким тысячам километров равен | радиус | и длина экватора Земли ? |
| 9 72 Средний | радиус | Марса составляет 0,53 радиуса Земли . |
| 4 171 Найдите площадь круга , | радиус | которого равен 12 см . |
| 9 71 Найдите | радиус | окружности , длина которой 6,28 мм ; 3,14 см ; 0,0628 м , приняв π = 3,14 . |
| 4 133 Чему равна длина окружности , если её | радиус | равен 1,54 м ; 5,67 дм ? |
| 4 150 Найдите длину окружности , если её | радиус | равен 36 см ; 0,44 см ; 125 км . |
| 4 132 Найдите длину окружности , | радиус | которой равен 24 см ; 4,7 дм ; 18,5 м . |
| Чему равен | радиус | окружности , если её диаметр равен сорока двум сантиметрам ? . |
| Определите диаметр бассейна и его площадь , если на плане | радиус | бассейна 1 см . |
| 4 163 Заполните таблицу ( r — | радиус | , d — диаметр , С — длина окружности , S — площадь круга ) . |
| 10 38 Сравните площадь круга , | радиус | которого 6 см , и площадь прямоугольника со сторонами 6,5 см и 1,4 дм . |
| Пропорциональна ли площадь круга длине его | радиуса | ? . |
| Пропорциональна ли длина окружности длине её | радиуса | ? |
| Напишите формулы для нахождения длины окружности по длине её диаметра и по длине её | радиуса | . |
| Так как диаметр окружности вдвое больше её | радиуса | , то длина окружности с радиусом r равна 2π r . |
| 4 118 Начертите окружность и постройте два её | радиуса | , угол между которыми 120 ° . |
| 4 170 Длина экваториального | радиуса | Земли равна 6378 км , а полярного — 6357 км . |
| б ) Центральный круг имеет диаметр 9 м , а радиус полукруга судейской зоны составляет 2/3 | радиуса | центрального круга . |
| 8 Длина окружности обратно пропорциональна длине её | радиуса | . |
| отношение площади круга к квадрату его | радиуса | ? . |
| 9 72 Средний радиус Марса составляет 0,53 | радиуса | Земли . |
| 5 Площадь круга прямо пропорциональна квадрату его | радиуса | . |
| 8 Площадь круга « эс » равна произведению числа « пи » и квадрата | радиуса | круга « эр квадрат » . |
| Диаметр шара равен двум | радиусам | . |
| Закрасьте часть круга между этими | радиусами | . |
| 10 69 На координатной плоскости начертите окружность с центром в точке С(-4 ; 0 ) и | радиусом | , равным 5 единичным отрезкам . |
| Так как диаметр окружности вдвое больше её радиуса , то длина окружности с | радиусом | r равна 2π r . |
| Что называется | радиусом | шара ? |
| Начертите окружность с центром А и | радиусом | , равным 5 единичным отрезкам . |
| Отрезок , соединяющий точку поверхности шара с центром , называют | радиусом | шара . |
| Вычислите объём цилиндра и объём конуса , у которых высоты по 12 см и | радиусы | оснований по 2 см . |
| Разделив 5 на 11 , получим , что , а | разделив | 1 на 15 , получим , что = 0,0666 .. |
| Тот же ответ можно получить , | разделив | 2 на 5 . |
| Это же уравнение можно получить , | разделив | обе части данного уравнения на 4 или умножив обе части на 1 . |
| Луч OM | разделил | развёрнутый угол AOB на два угла : AOM и MOB . |
| 3 210 Луч OM | разделил | угол COK , равный 90 ° , на два угла COM и MOK . |
| 2 ) Луч OK | разделил | развёрнутый угол COD на два угла : COK и KOD . |
| 6 74 Составьте уравнение для решения задачи : « Поле площадью 2,4 га | разделили | на два участка . |
| Обе части уравнения | разделили | на одно и то же число , отличное от нуля . |
| 9 66 Числа 90 и 100 | разделили | на одно и то же число . |
| Разделим круг на 4 равные части и 3 из них закрасим , а потом каждую четверть круга | разделим | ещё на 5 равных частей . |
| Теперь | разделим | обе части уравнения на -2 , получим х = 18 . |
| 2 86 С помощью транспортира | разделите | одну окружность на 6 , а другую — на 3 равные дуги . |
| 1 49 Если к числу прибавить 4 , то полученное число | разделится | без остатка на 6 . |
| 10 128 Начертите треугольник ABC с прямым углом В. Как | разделить | этот треугольник на четыре равных треугольника ? . |
| 6 На какое число надо | разделить | три восьмых , чтобы получить три ? . |
| Видно , что данный прямоугольник можно получить так : разделить одну сторону квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части , а другую сторону | разделить | на 3 одинаковые части и взять 2 такие части . |
| Чтобы | разделить | десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и т . |
| 5 Какое число надо | разделить | на девять , чтобы получить минус восемь ? . |
| Если числитель и знаменатель дроби | разделить | на 5 , то получится равная ей дробь , т . |
| Чтобы | разделить | десятичную дробь на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр , сколько в делителе стоит нулей перед единицей ( т . е . |
| две седьмых | разделить | на одиннадцать четырнадцатых . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм | разделить | на минус три . |
| Если числитель и знаменатель дроби умножить или | разделить | на одно и то же натуральное число , получится равная ей дробь . |
| по типу склонения можно | разделить | на пять групп . |
| Разделить | модуль делимого на модуль делителя . | |
| Чтобы | разделить | десятичную дробь на натуральное число , надо . |
| Разделить | с остатком числитель на знаменатель . | |
| 20 яблок можно | разделить | поровну между 4 ребятами . |
| Умножить число на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 — то же самое , что | разделить | его на 10 , 100 , 1000 . |
| 7 Если число | разделить | на правильную дробь , то частное окажется меньше этого числа . |
| Количественные числительные по типу склонения можно | разделить | на пять групп . |
| Чтобы найти число по данному значению его дроби , надо дробь | разделить | на это значение . |
| Чтобы | разделить | отрицательное число на отрицательное , надо разделить модуль делимого модуль . |
| Разделить | наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей , т . | |
| надо это значение | разделить | на дробь . |
| Чтобы | разделить | число на десятичную дробь , надо . |
| Изменится ли дробь , если её числитель и знаменатель умножить на 15 , а потом | разделить | на 3 ? . |
| Видно , что данный прямоугольник можно получить так : | разделить | одну сторону квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части , а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части . |
| Разделить | дробь на это число , не обращая внимания на запятую . | |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре | разделить | на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| Например , | разделить | -12 на -4 — это значит найти такое число х , что -4 × х = -12 . |
| А если надо | разделить | ( не разрезая ) 20 яблок между 6 ребятами , то каждый получит по 3 яблока , а ещё 2 яблока останутся . |
| Чтобы | разделить | одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю . |
| Чтобы перевести проценты в десятичную дробь , надо | разделить | число процентов на 100 . |
| Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или | разделить | на одно и то же число , не равное нулю . |
| Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное , надо | разделить | модуль делимого модуль . |
| Изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского , | разделённая | в таком отношении ( точка C делит отрезок AD , точка B делит отрезок AC ) . |
| 3 67 Квадрат ABCD , | разделённый | на 16 равных частей . |
| 3 66 Изображён отрезок AB , | разделённый | на 12 равных частей . |
| 1 205 Найдите | разложение | на простые множители наименьшего общего кратного чисел а и b , если . |
| 7 В виде десятичной дроби можно представить только такую обыкновенную дробь , | разложение | знаменателя которой на простые множители содержит лишь числа « два » и « пять » . |
| Из множителей , входящих в разложение первого из этих чисел , вычеркнем те , которые не входят в | разложение | второго числа ( это две двойки ) . |
| Выпишем множители , входящие в | разложение | первого из этих чисел , и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа . |
| При любом способе получается одно и то же | разложение | , если не учитывать порядка записи множителей . |
| 1 139 Напишите все двузначные числа , | разложение | которых на простые множители состоит . |
| из множителей , входящих в | разложение | одного из этих чисел , вычеркнуть те , которые не входят в разложение других чисел . |
| 1 169 Найдите | разложение | на простые множители наибольшего общего делителя чисел а и b , если . |
| выписать множители , входящие в | разложение | одного из чисел . |
| произведение тех множителей , которые надо добавить к разложению числа 60 , чтобы получить | разложение | общего знаменателя 840 . |
| Из множителей , входящих в | разложение | первого из этих чисел , вычеркнем те , которые не входят в разложение второго числа ( это две двойки ) . |
| из множителей , входящих в разложение одного из этих чисел , вычеркнуть те , которые не входят в | разложение | других чисел . |
| Разложение | числа на множители . | |
| При | разложении | чисел на простые множители используют признаки делимости . |
| 2 Какого множителя недостаёт в | разложении | ста пяти на простые множители . |
| 3 Сколько пятёрок содержится в | разложении | пятидесяти на простые множители ? . |
| добавить к ним недостающие множители из | разложений | остальных чисел . |
| произведение тех множителей , которые надо добавить к | разложению | числа 60 , чтобы получить разложение общего знаменателя 840 . |
| Выпишем множители , входящие в разложение первого из этих чисел , и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из | разложения | второго числа . |
| В сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью | разложения | на простые множители . |
| Чем могут отличаться два | разложения | одного и того же числа на простые множители ? . |
| Не | разложенными | в корзины останутся 8 яиц от сотен , 4 яйца от десятков и ещё 6 яиц : 8 + 4 + 6 = 18 . |
| Таким образом , число 210 | разложено | на простые множители . |
| Говорят , что число 78 | разложено | на множители 2 и 39 . |
| 1 Витя некоторое число | разложил | на два множителя : три и семнадцать . |
| 1 75 Собрали 2 ц яблок и часть из них | разложили | в 9 одинаковых ящиков . |
| Для этого | разложим | числа 75 и 60 на простые множители : 75 = 3 × 5 × 5 , а 60 = 2 × 2 × 3 × 5 . |
| Так как 18 яиц можно | разложить | поровну в 9 корзин ( по 2 яйца в каждую ) , то и все 846 яиц можно разложить поровну в 9 корзин . |
| Узнаем , не выполняя деления , можно ли 846 яиц | разложить | в 9 корзин поровну . |
| Разложить | их на простые множители . | |
| Любое составное число можно | разложить | на простые множители . |
| Так как 18 яиц можно разложить поровну в 9 корзин ( по 2 яйца в каждую ) , то и все 846 яиц можно | разложить | поровну в 9 корзин . |
| Любое составное число можно | разложить | на два множителя , каждый из которых больше 7 . |
| 1 184 Почему если одно число можно | разложить | на два простых множителя , а другое — на три простых множителя , то эти числа не равны ? . |
| Иногда удобно при сокращении дроби | разложить | числитель и знаменатель на несколько множителей , а потом уже сократить . |
| Существуют ли составные числа , которые нельзя | разложить | на простые множители ? . |
| Число 210 можно | разложить | на простые множители иным способом : 210 = 30 × 7 = 10 × 3 × 7 = 5 × 2 × 3 × 7 . |
| 1 114 Сколькими способами можно | разложить | на два множителя числа : 18 ; 42 ; 55 ? |
| Простое число так | разложить | на множители нельзя . |
| Всякое составное число можно | разложить | на простые множители . |
| Произведение | разности | « ка » и семи и трёх . |
| Найдём значение | разности | 57 - 21 . |
| 5 Сумма двух рациональных чисел не может быть меньше | разности | этих чисел . |
| 7 26 Представьте число -12 в виде | разности | . |
| Число 3 имеет тот же знак , что и слагаемое 9 , а его модуль равен | разности | модулей слагаемых 9 и -6 . |
| 2 Чтобы из суммы вычесть число , можно вычесть его из одного слагаемого , а к полученной | разности | прибавить другое слагаемое . |
| 1 Для того чтобы вычесть сумму из числа , можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое , а потом из полученной | разности | вычесть второе слагаемое . |
| а ) в виде | разности | двух дробей со знаменателем 3 ; 18 ; |
| 8 Чему равно значение | разности | ? . |
| 1 Два « икс » равны | разности | « икс » и шести . |
| 2 221 Найдите значение | разности | . |
| Найдём значение | разности | . |
| Вот как индийский математик Брахмагупта ( VII в . ) излагал правила сложения и вычитания : « Сумма двух имуществ есть имущество » , « Сумма двух долгов есть долг » , « сумма имущества и долга равна их | разности | » и т . |
| 1 87 Как быстро узнать , делятся ли на 2 . а ) суммы : 37 843 + 54 321 ; 48 345 + 75 634 ; 37 244 + 52 486 . б ) | разности | : 87 338 - 56 893 ; 153 847 - 112 353 ; 84 537 - 26 237 ? . |
| Суммы и | разности | дробей можно читать разными способами . |
| 1 Сумма минус четырёх и | разности | четырёх и « эм » . |
| Число -3 имеет тот же знак , что и слагаемое -12 , а его модуль равен | разности | модулей слагаемых -12 и 9 . |
| 6 93 Представьте в виде суммы | разность | . |
| б ) если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу а , то и | разность | кратна числу а ? . |
| Найдите | разность | ( 1—5 ) . |
| 6 Чему равна | разность | дробных частей данных чисел ? . |
| Какими числами являются сумма , | разность | , произведение рациональных чисел ? |
| Найдите | разность | ( 4—6 ) . |
| Обычно сначала определяют и записывают знак суммы , а потом находят | разность | модулей . |
| 7 28 Может ли | разность | двух чисел быть больше их суммы ? . |
| 4 Найдите | разность | единицы и нуля целых пяти сотых . |
| Найдите | разность | ( 3—4 ) . |
| 6 Распределительное свойство умножения относительно вычитания : для того чтобы умножить | разность | на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе . |
| x + -x = x — две третьих х и одна третья х — это х . -x - x = — x — | разность | семи девятых х и пяти девятых х — это две девятых х . |
| Найдите | разность | ( 1 - 2 ) . |
| Сумма , | разность | и произведение рациональных чисел тоже отрицательные числа . |
| 6 Найдите | разность | одной третьей и одной девятой . |
| Найдите | разность | ( 4—5 ) . |
| 8 11 Напишите | разность | двух выражений и упростите её . |
| 6 94 Представьте в виде суммы | разность | . |
| Чему равна | разность | целых частей данных чисел ? . |
| Два простых числа , | разность | которых равна 2 , называют близнецами . |
| 9 95 Какой цифрой оканчивается | разность | . |
| Если уменьшаемое и вычитаемое равны , то их | разность | равна нулю . |
| 8 Если к уменьшаемому прибавить минус единицу , то | разность | уменьшится на единицу . |
| Разность | дробей две третьих и три пятых . | |
| 8 48 Напишите | разность | двух выражений и упростите её . |
| — | разность | минус семи и минус двенадцати . |
| 3 35 Сумму данных дробей сложите с их | разностью | . |
| была придумана цифра « нуль » и ею стали обозначать отсутствие единиц в | разрядах | десятичной записи числа . |
| Значит , любое натуральное число чётно лишь в случае , когда в | разряде | единиц стоит чётная цифра , и нечётно , когда в разряде единиц стоит нечётная цифра . |
| Это возможно только тогда , когда в | разряде | единиц стоит цифра 0 или 5 . |
| Значит , любое натуральное число чётно лишь в случае , когда в разряде единиц стоит чётная цифра , и нечётно , когда в | разряде | единиц стоит нечётная цифра . |
| для любого | рационального | числа а имеем . |
| Значит , для любого | рационального | числа a имеем . |
| Другими словами , если а , b и с — любые рациональные числа , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет | рационального | числа , а произведение числа на обратное ему число равно 1 . |
| Значит , для любого | рационального | числа а имеем a + 0 = a , a + ( – a ) = 0 . |
| для любого | рационального числа | а имеем . |
| Значит , для любого | рационального числа | а имеем a + 0 = a , a + ( – a ) = 0 . |
| Значит , для любого | рационального числа | a имеем . |
| Другими словами , если а , b и с — любые рациональные числа , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет | рационального числа | , а произведение числа на обратное ему число равно 1 . |
| Любое | рациональное | число можно записать либо в виде десятичной дроби ( в частности , целого числа ) , либо в виде периодической дроби . |
| Рациональное | число . | |
| 8 Произведение любых двух рациональных чисел также | рациональное | число . |
| Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже | рациональное | число . |
| Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже | рациональное число | . |
| Рациональное число | . | |
| Любое | рациональное число | можно записать либо в виде десятичной дроби ( в частности , целого числа ) , либо в виде периодической дроби . |
| 8 Произведение любых двух рациональных чисел также | рациональное число | . |
| Числа 0,23 ; 2 ; -3,513 ; -4- тоже | рациональные | числа , так как . |
| Другими словами , если а , b и с — любые | рациональные | числа , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет рационального числа , а произведение числа на обратное ему число равно 1 . |
| Иными словами , если а , b и с — любые | рациональные | числа , |
| Числа 0,23 ; 2 ; -3,513 ; -4- тоже | рациональные числа | , так как . |
| Иными словами , если а , b и с — любые | рациональные числа | , |
| Другими словами , если а , b и с — любые | рациональные числа | , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет рационального числа , а произведение числа на обратное ему число равно 1 . |
| Всегда ли частное двух рациональных чисел является | рациональным | числом ? . |
| Покажите , что любая десятичная дробь является | рациональным | числом . |
| Число минус восемь не является | рациональным | . |
| Покажите , что любое целое число является | рациональным | числом . |
| Любое целое число а является | рациональным | числом как его можно записать в виде . |
| Число , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — целое число , а n — натуральное число , называют | рациональным | числом . |
| Число , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — целое число , а n — натуральное число , называют | рациональным числом | . |
| Покажите , что любое целое число является | рациональным числом | . |
| Всегда ли частное двух рациональных чисел является | рациональным числом | ? . |
| Любое целое число а является | рациональным числом | как его можно записать в виде . |
| Покажите , что любая десятичная дробь является | рациональным числом | . |
| 38 Свойства действий с | рациональными | числами . |
| С | рациональными | числами люди , как вы знаете , знакомились постепенно . |
| Какие числа называют | рациональными | ? . |
| Действия с | рациональными | числами . |
| г ) положительных чисел , не являющихся натуральными . д ) | рациональных | чисел , не являющихся целыми . |
| Другими словами , для любых | рациональных | чисел а , b и с имеем . |
| Сумма , разность и произведение | рациональных | чисел тоже отрицательные числа . |
| а ) свойства сложения | рациональных | чисел . |
| 5 Сумма двух | рациональных | чисел не может быть меньше разности этих чисел . |
| в ) свойства нуля при сложении . г ) свойства 0 и 1 при умножении | рациональных | чисел . |
| е ) двух | рациональных | взаимно обратных чисел . |
| Если делитель отличен от нуля , то частное двух | рациональных | чисел тоже рациональное число . |
| вычитание | рациональных | чисел . з ) |
| 6 Как называется результат вычитания | рациональных | чисел ? . |
| а ) произведение | рациональных | чисел . |
| двух противоположных целых чисел . з ) двух | рациональных | чисел , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух целых чисел , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| Умножение | рациональных | чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения . |
| и ) деление | рациональных | чисел с одинаковыми знаками . |
| б ) частное | рациональных | чисел ? . |
| Умножение | рациональных | чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами . |
| умножение | рациональных | чисел с одинаковыми знаками . |
| б ) свойства умножения | рациональных | чисел . |
| Перечислите свойства сложения | рациональных | чисел . |
| Какими числами являются сумма , разность , произведение | рациональных | чисел ? |
| Всегда ли частное двух | рациональных | чисел является рациональным числом ? . |
| д ) сравнение | рациональных | чисел . е ) сложение рациональных чисел с одинаковыми знаками . |
| 8 Произведение любых двух | рациональных | чисел также рациональное число . |
| д ) сравнение рациональных чисел . е ) сложение | рациональных | чисел с одинаковыми знаками . |
| Перечислите свойства умножения | рациональных | чисел . |
| Сложение | рациональных | чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами . |
| Перечислите свойства сложения | рациональных чисел | . |
| Перечислите свойства умножения | рациональных чисел | . |
| 5 Сумма двух | рациональных чисел | не может быть меньше разности этих чисел . |
| Умножение | рациональных чисел | тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами . |
| вычитание | рациональных чисел | . з ) |
| б ) свойства умножения | рациональных чисел | . |
| а ) свойства сложения | рациональных чисел | . |
| умножение | рациональных чисел | с одинаковыми знаками . |
| и ) деление | рациональных чисел | с одинаковыми знаками . |
| а ) произведение | рациональных чисел | . |
| двух противоположных целых чисел . з ) двух | рациональных чисел | , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух целых чисел , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| 6 Как называется результат вычитания | рациональных чисел | ? . |
| Всегда ли частное двух | рациональных чисел | является рациональным числом ? . |
| Какими числами являются сумма , разность , произведение | рациональных чисел | ? |
| Если делитель отличен от нуля , то частное двух | рациональных чисел | тоже рациональное число . |
| Сложение | рациональных чисел | обладает переместительным и сочетательным свойствами . |
| д ) сравнение | рациональных чисел | . е ) сложение рациональных чисел с одинаковыми знаками . |
| б ) частное | рациональных чисел | ? . |
| г ) положительных чисел , не являющихся натуральными . д ) | рациональных чисел | , не являющихся целыми . |
| Умножение | рациональных чисел | обладает и распределительным свойством относительно сложения . |
| Сумма , разность и произведение | рациональных чисел | тоже отрицательные числа . |
| Другими словами , для любых | рациональных чисел | а , b и с имеем . |
| 8 Произведение любых двух | рациональных чисел | также рациональное число . |
| д ) сравнение рациональных чисел . е ) сложение | рациональных чисел | с одинаковыми знаками . |
| в ) свойства нуля при сложении . г ) свойства 0 и 1 при умножении | рациональных чисел | . |
| 1 116 Может ли выражаться простым числом объём куба , длина | ребра | которого выражается натуральным числом ? . |
| 2 210 На сколько процентов увеличится объём куба , если длину каждого его | ребра | увеличить на 20 % ? . |
| из точки А в точку С через точку В . б ) из точки A в точку C , который пересекал бы все рёбра куба , кроме | ребра | AC . 1 162 Разложите на простые множители числа . |
| 5 Объём куба прямо пропорционален длине его | ребра | . |
| объёмом куба и длиной его | ребра | . |
| Найдите массу стального куба , | ребро | которого 2 дм . |
| 1 182 Существует ли куб , | ребро | которого выражается натуральным числом и у которого . |
| Найдите объём пирамиды , если ребро куба 1,2 см. Найдите | ребро | куба , если объём одной пирамиды 1/6 см3 . |
| 9 74 Найдите объём и площадь поверхности куба , | ребро | которого равно . |
| Найдите объём пирамиды , если | ребро | куба 1,2 см. Найдите ребро куба , если объём одной пирамиды 1/6 см3 . |
| Сколько времени выполняла эту работу Оля , если на | решение | задачи она затратила на ч меньше , а на решение уравнения на ч больше , чем Митя ? . |
| Сколько времени выполняла эту работу Оля , если на решение задачи она затратила на ч меньше , а на | решение | уравнения на ч больше , чем Митя ? . |
| Решение | уравнений . | |
| Так возникла алгебра — один из разделов математики , в котором вначале в основном рассматривалось | решение | различных уравнений . |
| Но | решение | этих проблем иногда настолько сложно , что на него уходят столетия , а на некоторые вопросы ответов нет до сих пор . |
| 2 169 На | решение | задачи и уравнения Митя затратил 4 ч . |
| Подумайте , в чём сходство этой задачи с задачей нахождения | решений | неравенства 2 < х < 6 среди чисел 1 ; 3 ; 5 ; 7 . |
| В чём сходство решения этой задачи с нахождением | решений | двойного неравенства 0 < у < 10 среди чисел 0,12 ; 15 ; 2,7 ; 10,5 ? . |
| 3 101 Найдите какие - нибудь три | решения | неравенства . |
| Для | решения | задачи надо найти произведение 4 × 5 . |
| Так как 45 % = 0,45 , то для | решения | задачи надо умножить 8 на 0,45 . |
| Для | решения | этой задачи мы рассмотрели все возможные варианты расположения цветных полос на флаге или все возможные комбинации . |
| 10 41 Какие правила необходимо применять для | решения | уравнения . |
| 6 74 Составьте уравнение для | решения | задачи : « Поле площадью 2,4 га разделили на два участка . |
| Так как 0,6 = , то для | решения | задачи надо умножить 20 на 6 . |
| Составьте выражение для | решения | задачи , упростите его и найдите значение при n = 27 ; 36 ; 333 . |
| Некоторые алгебраические понятия и общие приёмы | решения | задач знали уже в Древнем Вавилоне и Египте более 4000 лет назад . |
| Для однотипных задач в разное время в разных странах пытались отыскать общие способы , правила | решения | . |
| В чём сходство | решения | этой задачи с нахождением решений двойного неравенства 0 < у < 10 среди чисел 0,12 ; 15 ; 2,7 ; 10,5 ? . |
| 6 Составьте уравнение для | решения | задачи : « На одной полке « икс » книг , а на другой — втрое больше . |
| а ) для доказательства , что пропорция верна . б ) для | решения | уравнения . |
| 8 43 Найдите наименьшее целое положительное и наибольшее целое отрицательное | решения | неравенства . |
| Так как пройденный путь равен произведению скорости и времени , то для | решения | задачи надо найти произведение чисел 9 и 1 . |
| Составьте формулу для | решения | задачи , обозначив искомое расстояние ( в километрах ) буквой s и зная , что a > b. |
| Запишите пропорцию для | решения | задачи ( 1—4 ) . |
| 9 117 Найдите целые | решения | неравенства . |
| Подумайте , какие натуральные числа являются | решениями | неравенства . |
| 1 146 Какие простые числа являются | решениями | неравенства 17 < p < 44 ? . |
| г ) | ромб | является квадратом ? |
| Подумайте , является ли | ромб | правильным многоугольником . |
| Как называют | ромб | , у которого углы прямые ? . |
| в ) квадрат является | ромбом | . |
| Параллелограмм , у которого все стороны равны , называют | ромбом | . |
| 2 212 Четырёхугольник с равными сторонами называют | ромбом | . |
| в колонну по 6 человек в | ряд | ? . |
| Подумайте , как можно находить треугольные и квадратные числа , используя | ряд | натуральных чисел . |
| Но долгое время натуральный | ряд | чисел считался конечным : люди думали , что существует самое большое число . |
| Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами : первым числом обозначают номер | ряда | , а вторым — номер кресла в этом ряду . |
| Вы , наверное , обратили внимание , что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях | ряда | их больше , в других — меньше . |
| Чем дальше мы продвигаемся по числовому | ряду | , тем реже встречаются простые числа . |
| При этом места ( 3 ; 8) и ( 8 ; 3 ) различны : первое является креслом 8 в третьем | ряду | , а второе — креслом 3 в восьмом ряду . |
| Вы , наверное , обратили внимание , что простые числа в | ряду | натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше , в других — меньше . |
| При этом места ( 3 ; 8) и ( 8 ; 3 ) различны : первое является креслом 8 в третьем ряду , а второе — креслом 3 в восьмом | ряду | . |
| Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами : первым числом обозначают номер ряда , а вторым — номер кресла в этом | ряду | . |
| а ) сумма длин всех | рёбер | выражается простым числом . |
| 3 145 Подсчитайте по модели , сколько граней , вершин , | рёбер | у треугольной пирамиды ; у четырёхугольной пирамиды . |
| Попробуйте догадаться , сколько граней , вершин , | рёбер | у шестиугольной пирамиды . |
| Вычислите площадь поверхности конуса , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — | сектор | с прямым углом , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| Основание конуса — круг , а развёртка боковой поверхности — | сектор | . |
| Вычислите площадь поверхности конуса , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с прямым углом , радиус этого | сектора | 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| Двадцать | секунд | равны одной пятой минуты . |
| На несколько | секунд | откройте первую строку и затем , вновь закрыв её , постарайтесь повторить или записать три числа этой строки . |
| 3 Шести | секунд | к одной минуте . |
| 2 226 Для экспедиции , работающей в тайге , сбросили с вертолёта упаковку с продуктами , которая упала на землю через 3 с. С какой высоты была брошена эта упаковка , если в первую | секунду | она пролетела 4 — м , а в каждую следующую секунду она пролетала на 94 м больше , чем в предыдущую ? . |
| 2 226 Для экспедиции , работающей в тайге , сбросили с вертолёта упаковку с продуктами , которая упала на землю через 3 с. С какой высоты была брошена эта упаковка , если в первую секунду она пролетела 4 — м , а в каждую следующую | секунду | она пролетала на 94 м больше , чем в предыдущую ? . |
| золотое | сечение | . |
| Золотое | сечение | чаще всего применяется в произведениях искусства , в архитектуре , встречается в природе . |
| Золотым | сечением | и даже « божественной пропорцией » называли математики древности и Средневековья деление отрезка , при котором длина его большей части так относится к длине всего отрезка , как длина меньшей части к большей . |
| Проверьте , нет ли элементов , размеры которых находятся в отношении золотого | сечения | . |
| б ) , можно заметить , что между каждыми двумя парами листьев ( A и C ) третья расположена в месте золотого | сечения | ( точка B ) . |
| Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого | сечения | . |
| Плоскость , на которой выбрана | система | координат , называют координатной плоскостью . |
| Система | координат на плоскости начало координат . | |
| э . ; д ) позиционная десятичная | система | счисления распространилась в странах Востока в IX в . |
| Плоскость , на которой выбрана | система координат | , называют координатной плоскостью . |
| Система координат | на плоскости начало координат . | |
| И сейчас , когда мы пишем 3 ч 21 мин 47 с , то , по сути дела , записываем доли часа в шестидесятеричной | системе | счисления . |
| Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые и у , которые пересекаются в начале отсчёта — точке О. Эти прямые задают | систему | координат на плоскости . |
| Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у , образующие | систему | координат на плоскости ? |
| Описание применения координат дал в книге « Геометрия » в 1637 г. Р. Декарт , поэтому прямоугольную | систему | координат часто называют декартовой . |
| Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые и у , которые пересекаются в начале отсчёта — точке О. Эти прямые задают | систему координат | на плоскости . |
| Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у , образующие | систему координат | на плоскости ? |
| Описание применения координат дал в книге « Геометрия » в 1637 г. Р. Декарт , поэтому прямоугольную | систему координат | часто называют декартовой . |
| они получили всеобщее распространение , особенно после создания и введения в большинстве стран метрической | системы | мер . |
| Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12 , затем отдельно | складываем | целые и дробные части . |
| Мы умеем сравнивать , | складывать | и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями . |
| При сложении ( вычитании ) чисел в смешанной записи целые части | складывают | ( вычитают ) отдельно , а дробные — отдельно . |
| При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители | складывают | , а знаменатель оставляют тот же . |
| Если перед | скобками | стоит знак « + » , то можно опустить скобки и этот знак « + » , сохранив знаки слагаемых , стоящих в скобках . |
| Как раскрывают | скобки | , перед которыми стоит знак « + » ? . |
| 8 4 Раскройте | скобки | . |
| Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их целой и дробной частей , затем раскроем | скобки | , потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и , наконец , сложим полученные результаты . |
| 8 6 Раскройте | скобки | и найдите значение выражения . |
| Запишите выражение и раскройте в нём | скобки | ( 1—2 ) . |
| Сначала раскроем | скобки | , потом найдём отдельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех отрицательных чисел и , наконец , сложим полученные результаты . |
| Если перед скобками стоит знак « + » , то можно опустить | скобки | и этот знак « + » , сохранив знаки слагаемых , стоящих в скобках . |
| 9 93 Раскройте | скобки | . |
| 8 58 Раскройте | скобки | . |
| 6 Выражение — х + 3 заключите в | скобки | , перед которыми стоит знак « минус » . |
| Пример 1 Раскроем | скобки | в выражении -3 × ( а - 2b ) . |
| 8 1 Раскройте | скобки | . |
| 8 5 Раскройте | скобки | . |
| 8 83 Раскройте | скобки | . |
| Как раскрыть | скобки | , перед которыми стоит знак « - » ? . |
| 8 26 Раскройте | скобки | и найдите значение выражения . |
| 8 Если сумма нескольких слагаемых заключается в | скобки | , перед которыми стоит знак « минус » , то знак каждого слагаемого меняется на противоположный . |
| Чтобы раскрыть | скобки | , перед которыми стоит знак « - » , надо заменить этот знак « + » , поменяв знаки слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки . |
| 8 57 Раскройте | скобки | . |
| Чтобы раскрыть скобки , перед которыми стоит знак « - » , надо заменить этот знак « + » , поменяв знаки слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть | скобки | . |
| Раскрывая | скобки | , получим . |
| Пример 1 Раскроем | скобки | в выражении . |
| 8 2 Раскройте | скобки | . |
| 10 19 В каком порядке следует выполнять действия в выражении без | скобок | , если в нём содержится по одному разу вычитание , возведение числа в куб и деление ? . |
| раскрытие | скобок | , перед которыми стоит знак « + » ; |
| Раскрытие | скобок | . |
| Эту операцию называют раскрытием | скобок | . |
| Замену выражения ( а + b ) × с выражением ас + bc или выражения с × ( а + b ) выражением са + cb также называют раскрытием | скобок | . |
| Так как ( -3 ) × 2 = -(3 × 2 ) , то можно первый множитель писать без | скобок | , т . |
| раскрытие | скобок | . |
| Выражение а + ( b + с ) можно записать без | скобок | : а + ( b + с ) = а + b + с . |
| 39 Раскрытие | скобок | . |
| Раскрытие | скобок | и применение переместительного и сочетательного свойств сложения позволяют упрощать вычисления . |
| Число 3 имеет тот же знак , что и | слагаемое | 9 , а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и -6 . |
| Корни уравнения не изменяются , если какое - нибудь | слагаемое | перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак . |
| Сначала представим каждое | слагаемое | в виде суммы их целой и дробной частей , затем раскроем скобки , потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и , наконец , сложим полученные результаты . |
| 8 95 Перенесите из левой части уравнения в правую то | слагаемое | , которое не содержит неизвестного . |
| 6 95 Назовите каждое | слагаемое | в сумме . |
| а ) если каждое слагаемое кратно числу а , то и сумма кратна числу а . б ) если только одно | слагаемое | суммы не кратно числу а , то сумма не кратна числу а . |
| Видим , что корень уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется , если перенести | слагаемое | 5 из левой части уравнения в правую , изменив его знак на противоположный . |
| Перенесём с противоположными знаками | слагаемое | 36 из левой части в правую , а слагаемое 3х из правой части в левую : х - 3х = -36 . |
| Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую , а | слагаемое | 3х из правой части в левую : х - 3х = -36 . |
| 41 Подобные | слагаемые | . |
| Умножим -3 на каждое из | слагаемых | а и -2b . |
| Уравнение , которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных | слагаемых | , называют линейным уравнением с одним неизвестным . |
| Само слово « алгебра » произошло от слова « аль - джебр » — восполнение : так аль - Хорезми называл перенос отрицательных | слагаемых | из одной части уравнения в другую с переменой знака . |
| Попробуйте представить в виде суммы простых | слагаемых | числа 10 , 36 , 54 , 15 , 27 и 49 так , чтобы слагаемых было возможно меньше . |
| сложение ( приведение ) подобных | слагаемых | . |
| На основании какого свойства умножения выполняют приведение ( сложение ) подобных | слагаемых | ? . |
| 6 79 Представьте в виде суммы двух равных | слагаемых | каждое из чисел . |
| Какие предположения о представлении чисел в виде суммы простых | слагаемых | вы можете высказать ? . |
| Таким образом , чтобы записать сумму , противоположную сумме нескольких | слагаемых | , надо изменить знаки данных слагаемых . |
| Сформулируйте правило переноса | слагаемых | из одной части уравнения в другую . |
| в ) одно из | слагаемых | было правильной обыкновенной дробью . |
| 6 71 Представьте число -10 в виде суммы двух отрицательных | слагаемых | так , чтобы . |
| Чтобы раскрыть скобки , перед которыми стоит знак « - » , надо заменить этот знак « + » , поменяв знаки | слагаемых | в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки . |
| Но умножить 4 на натуральное число 5 — значит найти сумму пяти | слагаемых | , каждое из которых равно . |
| Было установлено , что свойства действий над отрицательными числами те же , что и над положительными ( например , | сложение | и умножение обладают переместительным свойством ) . |
| Сложение | ( приведение ) подобных слагаемых . | |
| отдельно выполнить | сложение | целых частей и отдельно — дробных частей . |
| 6 33 Выполните | сложение | : 6.34 Сравните . |
| 6 36 Выполните | сложение | . |
| 6 66 Выполните | сложение | . |
| 6 29 Выполните | сложение | . |
| Сложение | смешанных чисел . | |
| 6 65 Выполните | сложение | . |
| 6 47 Выполните | сложение | . |
| 6 61 Выполните | сложение | . |
| 6 57 Выполните | сложение | . |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести | сложение | смешанных чисел к сложению их целых частей и сложению их дробных частей . |
| 6 101 Выполните | сложение | . |
| 6 37 Выполните | сложение | . |
| 6 46 Выполните | сложение | . |
| 6 77 Выполните | сложение | . |
| б ) | сложение | дробей с разными знаменателями . |
| выполнить | сложение | ( вычитание ) , не обращая внимания на запятую . |
| сравнение , | сложение | , вычитание дробей с разными знаменателями . |
| Расскажите , как сложить смешанные числа и на каких свойствах сложения основано | сложение | смешанных чисел . |
| При сложении дробных выражений удобнее сначала представить их в виде обыкновенных дробей , а потом уже выполнять | сложение | . |
| а ) | сложение | дробей с одинаковыми знаменателями . |
| На основании какого свойства умножения выполняют приведение ( | сложение | ) подобных слагаемых ? . |
| 6 2 Выполните | сложение | чисел . |
| Сложение | чисел с разными знаками . | |
| 11 Сравнение , | сложение | и вычитание дробей с разными знаменателями . |
| 2 178 Выполните | сложение | . |
| д ) сравнение рациональных чисел . е ) | сложение | рациональных чисел с одинаковыми знаками . |
| 6 78 Выполните | сложение | . |
| Показано | сложение | числа 8 с числами 3 и -3 на координатной прямой . |
| Решите задачу двумя способами : | сложением | и вычитанием . |
| Это свойство нуля при | сложении | с помощью букв можно записать так . |
| При | сложении | ( вычитании ) чисел в смешанной записи целые части складывают ( вычитают ) отдельно , а дробные — отдельно . |
| При | сложении | дробных выражений удобнее сначала представить их в виде обыкновенных дробей , а потом уже выполнять сложение . |
| если при | сложении | дробных частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части . |
| Может ли при | сложении | отрицательных чисел получиться нуль ? |
| в ) свойства нуля при | сложении | . г ) свойства 0 и 1 при умножении рациональных чисел . |
| При | сложении | положительных и отрицательных чисел можно использовать калькулятор . |
| При | сложении | дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают , а знаменатель оставляют тот же . |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и | сложению | их дробных частей . |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к | сложению | их целых частей и сложению их дробных частей . |
| Сформулируйте правило | сложения | отрицательных чисел . |
| Вот как индийский математик Брахмагупта ( VII в . ) излагал правила | сложения | и вычитания : « Сумма двух имуществ есть имущество » , « Сумма двух долгов есть долг » , « сумма имущества и долга равна их разности » и т . |
| Это свойство | сложения | называют переместительным . |
| Для | сложения | и вычитания дробей верны изученные ранее свойства этих действий . |
| Раскрытие скобок и применение переместительного и сочетательного свойств | сложения | позволяют упрощать вычисления . |
| переместительное свойство | сложения | . |
| сочетательное свойство | сложения | . |
| 7 113 Сформулируйте словами распределительное свойство умножения относительно | сложения | ( а + b ) × с = ас + bc и проверьте его . |
| Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно | сложения | . |
| Распределительное свойство умножения относительно | сложения | и относительно вычитания позволяет упрощать вычисления . |
| распределительное свойство умножения относительно | сложения | . |
| Свойства | сложения | натуральных чисел . |
| Это свойство | сложения | называют сочетательным . |
| Переместительное и сочетательное свойства | сложения | позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и сложению их дробных частей . |
| Расскажите , как сложить смешанные числа и на каких свойствах | сложения | основано сложение смешанных чисел . |
| Любое выражение , содержащее лишь знаки | сложения | и вычитания , можно рассматривать как сумму . |
| 5 Распределительное свойство умножения относительно | сложения | : для того чтобы умножить сумму на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения . |
| 2 213 Докажите переместительное и сочетательное свойства | сложения | для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для натуральных чисел . |
| 7 101 Сформулируйте словами сочетательное свойство | сложения | а + ( b + с ) = ( а + b ) + с и проверьте его . |
| 7 100 Сформулируйте словами переместительное свойство | сложения | а + b = b + а и проверьте его . |
| Сформулируйте правило | сложения | чисел с разными знаками . |
| 6 Как называется результат | сложения | дробей ? . |
| а ) свойства | сложения | рациональных чисел . |
| Перечислите свойства | сложения | рациональных чисел . |
| 8 55 Стены дома 8 каменщиков | сложили | за 42 дня . |
| Сначала раскроем скобки , потом найдём отдельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех отрицательных чисел и , наконец , | сложим | полученные результаты . |
| Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их целой и дробной частей , затем раскроем скобки , потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и , наконец , | сложим | полученные результаты . |
| Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их целой и дробной частей , затем раскроем скобки , потом | сложим | отдельно целые и отдельно дробные части и , наконец , сложим полученные результаты . |
| 3 35 Сумму данных дробей | сложите | с их разностью . |
| Сложить | полученные результаты . | |
| Чтобы найти значение выражения -(-9 + 5 ) , надо | сложить | числа -9 и 5 и найти число , противоположное полученной сумме : -(-9 + 5 ) = -(-4 ) = 4 . |
| сравнить ( | сложить | , вычесть ) полученные дроби . |
| Чтобы сравнить ( | сложить | , вычесть ) дроби с разными знаменателями , надо . |
| Расскажите , как | сложить | дроби с разными знаменателями . |
| 8 Привести подобные слагаемые — значит | сложить | их коэффициенты . |
| Чтобы | сложить | ( вычесть ) десятичные дроби , надо . |
| Чтобы | сложить | два числа с разными знаками , надо . |
| Чтобы | сложить | смешанные числа , надо . |
| Чтобы | сложить | ( или говорят : привести ) подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть . |
| Чтобы | сложить | числа 9 и -6 с помощью координатной прямой , надо точку 4(9 ) переместить влево на 6 единичных отрезков . |
| Чтобы сложить ( или говорят : привести ) подобные слагаемые , надо | сложить | их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть . |
| Долгое время такие числа считали « несуществующими » , « ложными » прежде всего из- за того , что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел « имущество — долг » приводило к недоумениям : можно | сложить | или вычесть « имущества » или « долги » , но как понимать произведение или частное « имущества » и « долга » ? . |
| Сколько нужно каменщиков , чтобы | сложить | стены такого же дома за 28 дней ? . |
| Расскажите , как | сложить | смешанные числа и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел . |
| 5 Распределительное свойство умножения относительно сложения : для того чтобы умножить сумму на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и | сложить | получившиеся произведения . |
| изменить их знаки ) , а потом | сложить | : 9 + ( -5 ) = 4 . |
| Сложить | их модули . | |
| Чтобы | сложить | два отрицательных числа , надо . |
| Чтобы | сложить | числа -6 и -3 с помощью координатной прямой , надо точку Д(-6 ) переместить влево на 3 единичных отрезка . |
| 1 Представьте в виде | смешанного числа | дробь восемнадцать седьмых . |
| умножение | смешанного числа | на натуральное число . |
| 2 Представьте в виде | смешанного числа | дробь « двадцать три пятых » . |
| 2 Представьте в виде | смешанного числа | дробь двадцать три восьмых . |
| 1 Представьте в виде | смешанного числа | дробь двадцать пять двенадцатых . |
| 2 Представьте в виде | смешанного числа | дробь сорок одна двенадцатая . |
| 4 Представьте в виде | смешанного числа | дробь пятнадцать седьмых . |
| 2 Представьте в виде | смешанного числа | дробь сорок одна шестнадцатая . |
| Чтобы представить | смешанное число | в виде неправильной дроби , надо . |
| Чтобы умножить | смешанное число | на натуральное число , можно . |
| Расскажите , как можно умножить | смешанное число | на натуральное число . |
| Как записать число , обратное | смешанному числу | ? . |
| Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8 , затем представим | смешанные числа | в виде суммы их целой и дробной частей . |
| Расскажите , как сложить | смешанные числа | и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел . |
| Чтобы сложить | смешанные числа | , надо . |
| Расскажите , как выполнить умножение двух дробей и как выполнить умножение | смешанных чисел | . |
| Для того чтобы выполнить умножение | смешанных чисел | , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей . |
| умножение | смешанных чисел | . |
| Как выполняется деление | смешанных чисел | ? . |
| 12 Сложение и вычитание | смешанных чисел | . |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение | смешанных чисел | к сложению их целых частей и сложению их дробных частей . |
| Вычитание | смешанных чисел | . |
| сложение | смешанных чисел | . |
| Расскажите , как выполнить вычитание | смешанных чисел | и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел . |
| Чтобы выполнить вычитание | смешанных чисел | , надо . |
| При вычитании | смешанных чисел | пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы . |
| Сложение | смешанных чисел | . |
| Расскажите , как выполнить вычитание смешанных чисел и на каких свойствах основано правило вычитания | смешанных чисел | . |
| Расскажите , как сложить смешанные числа и на каких свойствах сложения основано сложение | смешанных чисел | . |
| вычитание | смешанных чисел | . |
| Её | собственная | скорость 9 км / ч . |
| Найдите среднюю скорость катера на всём пути , если его | собственная | скорость 18 км / ч , а скорость течения 2 км / ч . |
| На каком расстоянии от места стоянки лодка догонит плот , если её | собственная | скорость равна 200 м / мин ? . |
| Найдите среднюю скорость лодки на всём пути , если её | собственная | скорость 20 км / ч , а скорость течения 4 км / ч . |
| Найдите скорость течения , если | собственная | скорость теплохода 70 км / ч . 10 127 Найдите 4 числа , каждое из которых , начиная со второго , на 7 больше предыдущего , если среднее арифметическое их равно 25,5 . |
| Найдите | собственную | скорость моторной лодки . |
| Найдите | собственную | скорость катера . |
| Найдите | собственную | скорость лодки и скорость течения реки . |
| Но до сих пор учёные не знают , есть ли нечётные совершенные числа , есть ли самое большое | совершенное число | . |
| Но до сих пор учёные не знают , есть ли нечётные | совершенные числа | , есть ли самое большое совершенное число . |
| Следующие | совершенные числа | — 496 , 8128 , 33 550 336 . |
| К 1983 г. было известно уже 27 | совершенных чисел | . |
| Пифагорейцы знали только первые три | совершенных числа | . |
| Какую часть бассейна останется наполнить после | совместной | работы обеих труб в течение часа ? . |
| так как точка с координатой 0 | совпадает | с началом отсчёта О. , т . |
| После того как была построена Байкало - Амурская магистраль , путь | сократился | на 1000 км . |
| На сколько процентов | сократился | путь ? |
| Представим 3 в виде десятичной дроби 3,75 и | сократим | выражение на 0,75 , имеемх = 1,75 . |
| 2 88 Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и | сократите | дробь . |
| 2 42 Выполните действие и | сократите | результат . |
| 2 65 Выполните действие и | сократите | результат . |
| 2 43 Выполните действие и | сократите | результат . |
| 2 46 Применив распределительный закон , представьте числитель дроби в виде произведения , а затем | сократите | . |
| Наибольшее число , на которое можно | сократить | дробь , — это наибольший общий делитель её числителя и тещ . |
| Иногда удобно при сокращении дроби разложить числитель и знаменатель на несколько множителей , а потом уже | сократить | . |
| Значит , дробь можно | сократить | на 75 , получим . |
| Дробь | сократить | нельзя , так как числа 3 и 4 взаимно простые . |
| Записываем это отношение в виде дроби и | сокращаем | её на 120 Получим . |
| Записываем его в виде дроби и | сокращаем | эту дробь на 120 . |
| Тот же ответ можно получить , | сокращая | дробь последовательно на общие делители чисел 150 и 225 , используя для их нахождения признаки делимости . |
| В предложениях с | сочетаниями | общий делитель , наибольший общий делитель числительные читают в родительном падеже , если перед ними нет слова чисел , и в винительном падеже в противном случае . |
| 1 225 Найдите | среднее | арифметическое чисел : 3,8 ; 4,2 ; 3,5 ; 4,1 . |
| Найдите | среднее | арифметическое этих чисел . |
| Найдите скорость течения , если собственная скорость теплохода 70 км / ч . 10 127 Найдите 4 числа , каждое из которых , начиная со второго , на 7 больше предыдущего , если | среднее | арифметическое их равно 25,5 . |
| Найдите скорость течения , если собственная скорость теплохода 70 км / ч . 10 127 Найдите 4 числа , каждое из которых , начиная со второго , на 7 больше предыдущего , если | среднее арифметическое | их равно 25,5 . |
| Найдите | среднее арифметическое | этих чисел . |
| 1 225 Найдите | среднее арифметическое | чисел : 3,8 ; 4,2 ; 3,5 ; 4,1 . |
| С какой | средней | скоростью двигался турист за время путешествия , если скорость автобуса составляла 4/5 скорости поезда ? . |
| Старшему сыну достались 25 частей стада , | среднему | — 10 частей , а младшему — 1 часть . |
| а ) отношения двух величин . б ) верной пропорции и назовите её крайние и | средние | члены . |
| 4 45 Переставив | средние | или крайние члены пропорции , составьте три новые верные пропорции из пропорции . |
| Средние | члены пропорции . | |
| Средние | крайние . | |
| 3 Запишите | средние | члены пропорции 1,5 : 2 = 4,5 : 6 . |
| Если в верной пропорции менять местами | средние | члены иди , крайние члены , то получившиеся новые пропорции тоже верны . |
| Поменяем местами в этой пропорции | средние | члены . |
| Сколько голов было у Змея Горыныча , если каждая голова погибала после третьего удара мечом и больше всех ударов нанёс младший брат — 14 , меньше всех старший — 10 , а остальные удары нанёс | средний | брат ? . |
| Сколько учеников получили оценку « 2 » , если | средний | балл класса за контрольную работу равен 3,8 ? . |
| Найдите длину окружности , опоясывающей планету Марс , если | средний | радиус Земли равен 6371 км . |
| Сколько овец было в отаре , если | средний | брат получил на 765 овец больше , чем младший ? . |
| Останется ли пропорция верной , если поменять местами какой - нибудь | средний | её член с одним из крайних ? |
| Найдем в пропорции 0,5 : a = 2 : 13 неизвестный | средний | член а . |
| В пропорции а : b = с : числа a и d называют крайними членами , а числа b и с | средними | членами пропорции . |
| Расположите команды по возрастанию их | средних | баллов . |
| 5 Как называется пропорция , в которой произведение крайних членов равно произведению | средних | ? . |
| если произведение крайних членов равно произведению | средних | членов пропорции , то и пропорция верна . |
| В верной пропорции произведение крайних членов давно произведению | средних | членов . |
| В пропорции найдем произведение ее крайних членов и произведение | средних | членов . |
| Она тоже верна , так как при такой перестановке произведение крайних и произведение | средних | членов не изменилось . |
| Останется ли пропорция верной , если оба | средних | числа поменять местами с крайними членами ? |
| в ) расстояние между остановками поезда . г ) | среднюю | скорость движения поезда за 3 ч . |
| Найдите | среднюю | скорость поезда на всём пути , если стоянка длилась 36 мин . |
| Найдите | среднюю | скорость лодки на всём пути , если её собственная скорость 20 км / ч , а скорость течения 4 км / ч . |
| Найдите | среднюю | скорость поезда за эти 5 ч . |
| Найдите | среднюю | скорость катера на всём пути , если его собственная скорость 18 км / ч , а скорость течения 2 км / ч . |
| 8 Если велосипедист проехал пять километров за две пятых часа , то его | средняя | скорость была равна двенадцати целым пяти десятым километра в час . |
| 7 8 Вычислите | степень | числа . |
| 7 19 Вычислите | степень | дробного числа . |
| 7 14 Вычислите | степень | числа . |
| Запишите координаты точек пересечения | сторон | треугольника с осями координат . |
| Длины | сторон | прямоугольника равны а см и b см. Найдите а , если b = 2 ; 4 ; 6 ; 12 . |
| 9 26 Начертите трапецию ABCD так , чтобы стороны AD и ВС были параллельны , а сторона АВ была перпендикулярна стороне ВС. Будет ли | сторона | АВ перпендикулярна AD1 Ответ поясните . |
| 10 53 Периметр треугольника ABC равен 85 см. Сторона АВ меньше стороны ВС на 15 см , а | сторона | АС больше стороны АВ на 22 см. Найдите длину стороны ВС . |
| 9 26 Начертите трапецию ABCD так , чтобы стороны AD и ВС были параллельны , а | сторона | АВ была перпендикулярна стороне ВС. Будет ли сторона АВ перпендикулярна AD1 Ответ поясните . |
| 2 139 Одна | сторона | прямоугольника равна -9 м , а другая на 1 м меньше . |
| Сторона AB равна — м , | сторона | BC на — м короче AB . |
| Отметьте точку М , не лежащую на сторонах этого угла , и проведите через точку М прямые , параллельные | сторонам | угла CDK . |
| Отметьте на сторонах угла по одной точке и проведите через них прямые , перпендикулярные | сторонам | угла . |
| Отметьте на стороне РА точку М и проведите через неё прямые , перпендикулярные | сторонам | угла АРК . |
| 2 212 Четырёхугольник с равными | сторонами | называют ромбом . |
| 8 Площадь прямоугольника со | сторонами | четыре метра и одна целая три четвёртых метра равна шести квадратным метрам . |
| 8 78 Стол на плане кухни , выполненном в масштабе 2 : 5 , имеет форму прямоугольника со | сторонами | 38 мм и 26 мм . |
| Они образуют прямые углы с двумя другими | сторонами | этого прямоугольника . |
| Вычислите объём четырёхугольной пирамиды , в основании которой прямоугольник со | сторонами | 2/3 дм и 9/10 дм , а высота равна 5 дм . |
| 7 Площадь прямоугольника со | сторонами | одна пятая метра и одна четвёртая метра равна одной десятой квадратного метра . |
| 10 38 Сравните площадь круга , радиус которого 6 см , и площадь прямоугольника со | сторонами | 6,5 см и 1,4 дм . |
| Отметьте на | сторонах | угла по одной точке и проведите через них прямые , перпендикулярные сторонам угла . |
| Отметьте точку М , не лежащую на | сторонах | этого угла , и проведите через точку М прямые , параллельные сторонам угла CDK . |
| На стороне В А отметьте точку М и проведите через неё две прямые , одна из которых параллельна , а другая перпендикулярна | стороне | ВС . |
| Через точку М , лежащую на стороне OD , проведите прямую m , параллельную | стороне | ОС , а через точку K , лежащую на стороне ОС , проведите прямую п , параллельную стороне OD . |
| Отметьте точку М на | стороне | ОА и точку N на стороне ОВ . |
| Проведите через точку М прямую , перпендикулярную | стороне | ОВ , а через точку N прямую , перпендикулярную стороне ОА . |
| Через точку М , лежащую на стороне OD , проведите прямую m , параллельную стороне ОС , а через точку K , лежащую на | стороне | ОС , проведите прямую п , параллельную стороне OD . |
| На | стороне | В А отметьте точку М и проведите через неё две прямые , одна из которых параллельна , а другая перпендикулярна стороне ВС . |
| Проведите через точку М прямую , перпендикулярную стороне ОВ , а через точку N прямую , перпендикулярную | стороне | ОА . |
| Отметьте на | стороне | РА точку М и проведите через неё прямые , перпендикулярные сторонам угла АРК . |
| Через точку М , лежащую на | стороне | OD , проведите прямую m , параллельную стороне ОС , а через точку K , лежащую на стороне ОС , проведите прямую п , параллельную стороне OD . |
| Отметьте точку М на стороне ОА и точку N на | стороне | ОВ . |
| Через точку М , лежащую на стороне OD , проведите прямую m , параллельную стороне ОС , а через точку K , лежащую на стороне ОС , проведите прямую п , параллельную | стороне | OD . |
| 9 26 Начертите трапецию ABCD так , чтобы стороны AD и ВС были параллельны , а сторона АВ была перпендикулярна | стороне | ВС. Будет ли сторона АВ перпендикулярна AD1 Ответ поясните . |
| Через вершину С проведите прямую Z , параллельную стороне АВ , и прямую т , перпендикулярную | стороне | АВ . |
| Через вершину С проведите прямую Z , параллельную | стороне | АВ , и прямую т , перпендикулярную стороне АВ . |
| 9 21 Начертите треугольник и проведите через каждую вершину прямую , параллельную противоположной | стороне | . |
| Видно , что данный прямоугольник можно получить так : разделить одну сторону квадрата со | стороной | 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части , а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части . |
| 3 104 Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со | стороной | 1,1 дм . |
| Видно , что данный прямоугольник можно получить так : разделить одну сторону квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части , а другую | сторону | разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части . |
| 10 83 На сколько процентов изменится площадь прямоугольника с измерениями 30 см и 20 см , если большую | сторону | увеличить на 10 % , а другую уменьшить на 10 % ? |
| Видно , что данный прямоугольник можно получить так : разделить одну | сторону | квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части , а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части . |
| 9 28 Начертите параллелограмм , у которого все | стороны | равны и при этом . |
| 1 111 Может ли площадь квадрата выражаться простым числом , если длина его | стороны | выражается натуральным числом ? . |
| 10 53 Периметр треугольника ABC равен 85 см. Сторона АВ меньше стороны ВС на 15 см , а сторона АС больше стороны АВ на 22 см. Найдите длину | стороны | ВС . |
| Радиус круга равен r , поэтому длина | стороны | квадрата ABCD равна 2r , а его площадь 4r2 . |
| 10 53 Периметр треугольника ABC равен 85 см. Сторона АВ меньше стороны ВС на 15 см , а сторона АС больше | стороны | АВ на 22 см. Найдите длину стороны ВС . |
| 10 53 Периметр треугольника ABC равен 85 см. Сторона АВ меньше | стороны | ВС на 15 см , а сторона АС больше стороны АВ на 22 см. Найдите длину стороны ВС . |
| Точки с координатами 5 и -5 одинаково удалены от точки O и находятся по разные | стороны | от неё . |
| Поэтому противоположные | стороны | любого прямоугольника параллельны . |
| Длина одной его | стороны | составляет 3 периметра . |
| Параллелограмм , у которого все | стороны | равны , называют ромбом . |
| Измерьте углы и | стороны | этого треугольника . |
| 9 24 Начертите четырёхугольник так , чтобы две его | стороны | были параллельны , а две другие не параллельны . |
| 9 25 Начертите трапецию ABCD так , чтобы | стороны | AD и ВС были параллельны , а стороны АВ и CD были равны . |
| 9 25 Начертите трапецию ABCD так , чтобы стороны AD и ВС были параллельны , а | стороны | АВ и CD были равны . |
| 9 26 Начертите трапецию ABCD так , чтобы | стороны | AD и ВС были параллельны , а сторона АВ была перпендикулярна стороне ВС. Будет ли сторона АВ перпендикулярна AD1 Ответ поясните . |
| 9 27 Начертите четырёхугольник так , чтобы его противоположные | стороны | были параллельны и при этом в нём . |
| 1 144 Существует ли прямоугольник , | стороны | которого выражаются натуральными числами , а периметр — простым числом ? . |
| и ) периметром квадрата и длиной его | стороны | . |
| 4 Как называются два числа , расположенные на координатной прямой по разные | стороны | от начала отсчёта , модули которых равны ? . |
| 5 У любого четырёхугольника есть параллельные | стороны | . |
| Найдите координаты середины | стороны | MN . |
| С какой | стороны | от начала отсчёта расположено получившееся число ? |
| Длина одной | стороны | 3/4 м . |
| Площадь прямоугольника равна пяти седьмым квадратного метра , если его | стороны | равны одной пятой метра и одной седьмой метра . |
| Найдите длину | стороны | AC . |
| Обозначим длину другой | стороны | через x м . |
| Таким образом , длина другой | стороны | прямоугольника равна м . |
| Найдите длину другой | стороны | . |
| в ) площадью квадрата и длиной его | стороны | . г ) массой стального бруска и его объёмом . д ) числом рабочих , выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу , и временем выполнения этой работы . е ) стоимостью товара и его количеством , купленным на определённую сумму денег . |
| Найдите координаты точки пересечения | стороны | AK с осью ординат . |
| С какой | стороны | от начала отсчёта расположено полученное число ? |
| У каждого из этих многоугольников равны | стороны | и равны углы . |
| 4 9 Две проходческие бригады | строили | тоннель , двигаясь навстречу друг другу . |
| С помощью каких чертёжных инструментов | строят | перпендикулярные прямые ? . |
| Число 51 634 не делится на 9 , так как | сумма | его цифр : 5 + 1 + 6 + 3 + 4=19 — не делится на 9 . |
| Если | сумма | цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 : если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 . |
| Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 : если | сумма | цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 . |
| Какими числами являются | сумма | , разность , произведение рациональных чисел ? |
| 6 Чему равна | сумма | дробных частей данных чисел ? . |
| Если сумма цифр числа делится на 3 , то число делится на 3 : если | сумма | цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 . |
| 4 18 Известно , что | сумма | углов любого треугольника равна 180 ° . |
| Но 189 делится на 3 , так как | сумма | его цифр ( 1 + 8 + 9 = 18 ) делится на 3 . |
| Если | сумма | цифр числа делится на 3 , то число делится на 3 : если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 . |
| Вот как индийский математик Брахмагупта ( VII в . ) излагал правила сложения и вычитания : « Сумма двух имуществ есть имущество » , « Сумма двух долгов есть долг » , « | сумма | имущества и долга равна их разности » и т . |
| Число 76 455 делится на 9 , так как | сумма | его цифр : 7 + 6 + 4 + 5 + 5 = 27 — делится на 9 . |
| В скобках записана | сумма | коэффициентов всех слагаемых . |
| а ) если каждое слагаемое кратно числу а , то и | сумма | кратна числу а . б ) если только одно слагаемое суммы не кратно числу а , то сумма не кратна числу а . |
| — | сумма | минус семи игрек и девяти равна сумме минус восьми игрек и минус трёх . |
| а ) если каждое слагаемое кратно числу а , то и сумма кратна числу а . б ) если только одно слагаемое суммы не кратно числу а , то | сумма | не кратна числу а . |
| Сумма | двух третьих и трёх пятых , к двум третьим прибавить три пятых , сумма дробей две третьих и три пятых . | |
| 8 69 Чему равна | сумма | тысячи слагаемых , каждое из которых равно -1 ? |
| — | сумма | семи икс , минус трёх икс , шести икс и минус четырёх икс . — семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс . |
| двух противоположных целых чисел . з ) двух рациональных чисел , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух целых чисел , | сумма | которых равна 0 ; равна 1 . |
| Чему равна | сумма | -10 и 3 ? . |
| Чему равна | сумма | чисел -2 и -5 ? . |
| 5 Запишите уравнение « | сумма | « икс » и одной третьей равна одной второй » и решите его . |
| а ) | сумма | простых чисел есть число простое . |
| а ) если каждое слагаемое не кратно числу а , то и | сумма | не кратна числу а . |
| 8 Если | сумма | нескольких слагаемых заключается в скобки , перед которыми стоит знак « минус » , то знак каждого слагаемого меняется на противоположный . |
| Прибавление нуля не меняет числа , | сумма | противоположных чисел равна нулю . |
| Чему равна | сумма | -10 и 15 ? . |
| а ) | сумма | длин всех рёбер выражается простым числом . |
| Какой знак будет иметь | сумма | этих чисел , если больший модуль имеет отрицательное число ? |
| 6 107 Может ли | сумма | двух чисел быть меньше . |
| Чему равна | сумма | 10 и -6 ? . |
| Чему равна | сумма | целых частей данных чисел ? . |
| Сумму , в которую входят отрицательные числа , читают так : ( -4 ) + ( -6 ) — | сумма | минус четырёх и минус шести , — к минус четырём прибавить минус шесть . |
| Чему равна | сумма | 6 и -10 ? . |
| сумма двух третьих и трёх пятых , к двум третьим прибавить три пятых , | сумма | дробей две третьих и три пятых . |
| Чему равна | сумма | противоположных чисел ? |
| 1 15 Проверьте , что каждое из чисел 6 , 28 , 496 равно | сумме | всех его делителей , не считая самого числа . |
| Так они называли два числа , каждое из которых равно | сумме | делителей другого числа ( не считая самого числа ) . |
| 5 Запишите выражение , противоположное | сумме | « ка » и минус десяти . |
| 5 Запишите дробное выражение , знаменатель которого — число пять , а числитель равен | сумме | « эм » и пятнадцати . |
| В данной | сумме | все слагаемые подобны , так как у них одинаковая буквенная часть а . |
| Как можно найти значение выражения , противоположное | сумме | нескольких чисел ? . |
| Таким образом , чтобы записать сумму , противоположную | сумме | нескольких слагаемых , надо изменить знаки данных слагаемых . |
| Число , равное | сумме | всех его делителей ( без самого числа ) , они называли совершенным числом . |
| г ) число , противоположное сумме двух чисел , равно | сумме | чисел , противоположных слагаемым ? . |
| г ) число , противоположное | сумме | двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым ? . |
| б ) число , обратное сумме двух чисел , равно | сумме | чисел , обратных слагаемым . |
| 1 16 Проверьте , что каждое из чисел 220 и 284 равно | сумме | делителей другого числа , не считая его самого . |
| 2 Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел , можно сначала прибавить первое слагаемое , а потом к полученной | сумме | прибавить второе слагаемое . |
| Чтобы найти значение выражения -(-9 + 5 ) , надо сложить числа -9 и 5 и найти число , противоположное полученной | сумме | : -(-9 + 5 ) = -(-4 ) = 4 . |
| б ) число , обратное | сумме | двух чисел , равно сумме чисел , обратных слагаемым . |
| Разность минус пяти и минус двух равна | сумме | минус пяти и двух . |
| к сумме — 10 и — 1,3 сумму 5 и 8,7 . г ) к | сумме | 11 и — 6,5 сумму — 3,2 и — 6 . |
| к | сумме | — 10 и — 1,3 сумму 5 и 8,7 . г ) к сумме 11 и — 6,5 сумму — 3,2 и — 6 . |
| 6 95 Назовите каждое слагаемое в | сумме | . |
| Чтобы найти искомое слагаемое , можно прибавить к | сумме | число , противоположное известному слагаемому . |
| Таким образом , температура стала равной | сумме | первоначального значения и изменения . |
| к | сумме | -6 и -12 число 20 . б ) к числу 2,6 сумму — 1,8 и 5,2 . |
| Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и вычитание положительных чисел : по заданной | сумме | и одному из слагаемых находят другое слагаемое . |
| — сумма минус семи игрек и девяти равна | сумме | минус восьми игрек и минус трёх . |
| Число 18 является | суммой | цифр числа 846 . |
| в ) площадью квадрата и длиной его стороны . г ) массой стального бруска и его объёмом . д ) числом рабочих , выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу , и временем выполнения этой работы . е ) стоимостью товара и его количеством , купленным на определённую | сумму | денег . |
| Любое выражение , содержащее лишь знаки сложения и вычитания , можно рассматривать как | сумму | . |
| Определите по плану | сумму | площадей двух жилых комнат ( I и II ) и общую площадь остальных помещений этой квартиры . |
| 8 10 Напишите | сумму | двух выражений и упростите её . |
| 1 Для того чтобы вычесть | сумму | из числа , можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое , а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое . |
| 1 Найдите | сумму | минус восемнадцати , минус тридцати девяти и восемнадцати . |
| Найдите | сумму | ( 2—3 ) . |
| Например , | сумму | -6,1 + 3,8 вычисляют по алгоритму . |
| Какую | сумму | банк затратил на приобретение акций ? . |
| 8 47 Напишите | сумму | двух выражений и упростите её . |
| к сумме — 10 и — 1,3 | сумму | 5 и 8,7 . г ) к сумме 11 и — 6,5 сумму — 3,2 и — 6 . |
| Найдите | сумму | ( 1—3 ) . |
| к сумме -6 и -12 число 20 . б ) к числу 2,6 | сумму | — 1,8 и 5,2 . |
| Пример 4 Найдём | сумму | чисел -5 и 0 . |
| Найдите | сумму | ( 4—5 ) . |
| 6 96 Составьте | сумму | из следующих слагаемых . |
| 4 Найдите | сумму | всех целых чисел от минус четырёх до шести . |
| Пример 3 Найдём | сумму | чисел 4 и -4 . |
| 5 Распределительное свойство умножения относительно сложения : для того чтобы умножить | сумму | на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения . |
| На какую | сумму | был закуплен брус ? . |
| 7 116 Найдите | сумму | всех целых чисел . |
| 2 Чтобы прибавить к числу | сумму | двух чисел , можно сначала прибавить первое слагаемое , а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое . |
| Пример 1 Найдём | сумму | -7 и 4 . |
| Таким образом , чтобы записать | сумму | , противоположную сумме нескольких слагаемых , надо изменить знаки данных слагаемых . |
| Пример 2 Найдём | сумму | чисел -2 и -4 . |
| записать полученную | сумму | числителем дроби , а знаменатель дробной части оставить без изменения . |
| 3 Найдите | сумму | нуля целых четырёх десятых и нуля целых четырёх сотых . |
| На основе распределительного свойства умножения представим эту | сумму | в виде произведения суммы и числа . |
| Найдём | сумму | . |
| к сумме — 10 и — 1,3 сумму 5 и 8,7 . г ) к сумме 11 и — 6,5 | сумму | — 3,2 и — 6 . |
| 7 20 Запишите в виде произведения | сумму | . |
| 6 23 Найдите с помощью координатной прямой | сумму | чисел . |
| Но умножить 4 на натуральное число 5 — значит найти | сумму | пяти слагаемых , каждое из которых равно . |
| 6 1 Найдите с помощью координатной прямой | сумму | чисел . |
| 6 15 Найдите | сумму | . |
| Сначала раскроем скобки , потом найдём отдельно | сумму | всех положительных и отдельно сумму всех отрицательных чисел и , наконец , сложим полученные результаты . |
| Сначала раскроем скобки , потом найдём отдельно сумму всех положительных и отдельно | сумму | всех отрицательных чисел и , наконец , сложим полученные результаты . |
| Найдите | сумму | ( 1—2 ) . |
| Найдите | сумму | модуля минус девяти и модуля трёх . |
| Например . ( Подумайте , как можно быстро находить такую | сумму | . ) . |
| 6 71 Представьте число -10 в виде | суммы | двух отрицательных слагаемых так , чтобы . |
| Это свойство называют свойством вычитания числа из | суммы | . |
| 6 94 Представьте в виде | суммы | разность . |
| Было высказано предположение , что любое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде | суммы | трёх простых чисел . |
| 3 110 Угол А равен 40 ° , а угол В составляет 135 % от угла А. Найдите градусную меру | суммы | углов А и В . |
| Это свойство называют свойством вычитания | суммы | из числа . |
| 7 28 Может ли разность двух чисел быть больше их | суммы | ? . |
| Найдём значение | суммы | . |
| Обычно сначала определяют и записывают знак | суммы | , а потом находят разность модулей . |
| А более общее утверждение « любое чётное число , большее 2 , можно представить в виде | суммы | двух простых чисел » ( например : 28 = 11 + 17 , 56 = 19 + 37 , 924 = 311 + 613 ) до сих пор не доказано ( из него добавлением 3 получается предыдущая гипотеза ) . |
| 2 134 Используя свойство вычитания | суммы | из числа , найдите значение выражения . |
| 6 79 Представьте в виде | суммы | двух равных слагаемых каждое из чисел . |
| 2 133 Используя свойство вычитания числа из | суммы | , найдите значение выражения . |
| Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8 , затем представим смешанные числа в виде | суммы | их целой и дробной частей . |
| 6 93 Представьте в виде | суммы | разность . |
| Найдём значение | суммы | 16 + 19 . |
| понизится на 3 ° С ) , то она станет равной 5 ° С. Будем и в этом случае записывать результат в виде | суммы | первоначального значения и изменения : 8 + ( -3 ) = 5 . |
| 2 Чтобы из | суммы | вычесть число , можно вычесть его из одного слагаемого , а к полученной разности прибавить другое слагаемое . |
| а ) если каждое слагаемое кратно числу а , то и сумма кратна числу а . б ) если только одно слагаемое | суммы | не кратно числу а , то сумма не кратна числу а . |
| 1 87 Как быстро узнать , делятся ли на 2 . а ) | суммы | : 37 843 + 54 321 ; 48 345 + 75 634 ; 37 244 + 52 486 . б ) разности : 87 338 - 56 893 ; 153 847 - 112 353 ; 84 537 - 26 237 ? . |
| 6 68 Найдите значение | суммы | . |
| Сначала представим каждое слагаемое в виде | суммы | их целой и дробной частей , затем раскроем скобки , потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и , наконец , сложим полученные результаты . |
| Приведём дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные числа в виде | суммы | целой и дробной частей . |
| По свойству вычитания | суммы | из числа имеем . |
| Второе число составляет 80 % первого , а третье число составляет 50 % | суммы | первого и второго . |
| 2 Произведение минус пяти и | суммы | « цэ » и минус девяти . |
| При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из | суммы | . |
| 2 Разность семи и | суммы | « икс » и семи . |
| 21 . б ) в виде | суммы | двух дробей со знаменателем 3 ; 9 ; 12 . |
| Используя свойство вычитания | суммы | из числа , получим . |
| Представим вначале число 2 в виде | суммы | его целой и дробной частей : 2 у = 2 , а затем применим распределительное свойство . |
| Попробуйте представить в виде | суммы | простых слагаемых числа 10 , 36 , 54 , 15 , 27 и 49 так , чтобы слагаемых было возможно меньше . |
| Какие предположения о представлении чисел в виде | суммы | простых слагаемых вы можете высказать ? . |
| При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания | суммы | из числа и вычитания числа из суммы . |
| 1 51 Подтвердите примерами следующее свойство | суммы | . |
| в ) угол B составляет 2/3 , а угол C составляет 1/5 | суммы | всех углов треугольника ABC . г ) угол A составляет 5/6 угла B и угол C = 70 ° . |
| 4 77 Представьте в виде | суммы | двух дробей с числителем 1 каждую из следующих дробей . |
| Все остальные дроби они записывали в виде | суммы | долей . |
| Каждое число можно представить в виде | суммы | полных десятков и единиц , например : 246 = 240 + 6 , 1435 = 1430 + 5 . |
| На основе распределительного свойства умножения представим эту сумму в виде произведения | суммы | и числа . |
| 7 Модуль | суммы | минус трёх и минус четырёх равен семи . |
| Модуль | суммы | одиннадцати и минус пяти равен шести . |
| 4 Чему равно значение | суммы | ? . |
| Что такое | сфера | ? . |
| Поверхность шара называют | сферой | . |
| 5 34 Начертите шкалу температур от -60 до 60 ° С , приняв отрезок длиной 1 см за 10 ° С. Отметьте на этой шкале точку замерзания ртути ( -39 ° C ) , нормальную температуру человеческого | тела | ( 37 ° С ) , точку замерзания бензина ( -60 ° С ) , точку кипения ацетона ( 56 ° С ) , точку замерзания глицерина ( -20 ° С ) . |
| Раздел математики , в котором изучаются свойства чисел и действий над ними , называют | теорией чисел | . |
| Некоторые проблемы | теории чисел | формулируются очень просто — их может понять любой шестиклассник . |
| Начало созданию | теории чисел | положили древнегреческие учёные Пифагор , Евклид , Эратосфен и другие . |
| Теория чисел | зародилась в Древней Греции в VI в . | |
| Теория чисел | . | |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты | точек | , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| 2 17 Найдите , координаты | точек | A , B , Си D. Есть ли среди этих точек такие , координаты которых — общие кратные чисел m и п ? . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты | точек | , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| В географии положение | точек | на земной поверхности тоже определяют двумя числами — географическими координатами : широтой и долготой . |
| 5 41 Найдите координаты | точек | A , Б и C . |
| 2 17 Найдите , координаты точек A , B , Си D. Есть ли среди этих | точек | такие , координаты которых — общие кратные чисел m и п ? . |
| 7 120 Решать некоторые математические задачи помогают специальные схемы , состоящие из | точек | и соединяющих их дуг или стрелок . |
| Запишите координаты | точек | B , Си D . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты | точек | , находящихся ниже точки O. |
| 4 Запишите координаты | точек | , расположенных на расстоянии пять единичных отрезков от начала отсчёта . |
| Какими числами обозначают координаты | точек | на вертикальной прямой , расположенных . |
| 9 118 Начертите на координатной плоскости такой отрезок , чтобы абсциссы и ординаты его | точек | удовлетворяли условиям . |
| 5 5 Измерьте в сантиметрах расстояние от точки O до | точек | С и P. |
| Где на прямой находится каждая из этих | точек | по отношению к точке O ? . |
| Напишите координаты | точек | M , N , P и K , если единичный отрезок равен длине одной клетки тетради ; длине двух клеток тетради . |
| 9 78 Постройте ломаные линии ABCDE и MNK по координатам | точек | А(-6 ; 2 ) , В(-4 ; 6 ) , С(1 ; 1 ) , D(2 ; -5 ) , Е(8 ; -1 ) и М(-5 ; -5 ) , N(-1 ; 7 ) , K(8 ; 4 ) . |
| Запишите координаты | точек | пересечения этой окружности с осями координат . |
| 1 147 Могут ли быть простыми числами координаты | точек | A , B , C и D , если p — простое число ? . |
| 5 9 Запишите координаты | точек | О , A , B , С , D , P , K , M и E. Начало отсчёта — точка О . |
| Какие из этих | точек | расположены . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты | точек | , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| Найдите координаты | точек | пересечения ломаных ABCDE и MNK . |
| Какими числами являются координаты | точек | на горизонтальной прямой , расположенных . |
| 9 50 У каких | точек | на координатной плоскости абсцисса равна нулю ? |
| Запишите координаты | точек | пересечения сторон треугольника с осями координат . |
| Назовите координаты | точек | В , С , D и Е . |
| Найдите координату точки D. Как можно найти координаты | точек | C и D , не выполняя построений ? . |
| Запишите координаты | точек | пересечения окружности с осями координат . |
| 6 11 Назовите координаты | точек | А , K , С , D , М и В . |
| 5 108 Определите координаты | точек | и D , если А(m ) . |
| 9 49 Найдите координаты | точек | А , В , С и D . |
| Сформулируйте приказы для других звеньев , которые должны попасть из точки О в точки С , D , E , K , М , N. Назовите координаты этих | точек | . |
| 4 Запишите координаты | точек | , лежащих на оси « игрек » на расстоянии в шесть единичных отрезков от начала координат . |
| У каких | точек | равна нулю ордината ? |
| 5 64 Найдите расстояние ( в единичных отрезках ) от начала отсчёта до каждой из | точек | : А(3,7 ) , В(-7,8 ) , С(-200 ) , .0(315,6 ) , E(0 ) , F(-2 ) , K ( ) . |
| 6 Две различные прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной точке , либо не иметь общих | точек | . |
| 2 55 Древнегреческих , а также древнеиндийских математиков интересовали числа , которые соответствовали количеству | точек | , расположенных в виде некоторой геометрической фигуры — треугольника , квадрата и др. |
| Видим , что точка В(6 ) лежит правее точки А(-10 ) , а | точка | А(-10 ) лежит правее точки С(-15 ) . |
| 5 129 На сколько единиц переместилась | точка | Р(4 ) по координатной прямой , если она попала в точку К(-2 ) ? |
| На плоскости проведена прямая и отмечена | точка | , не лежащая на этой прямой . |
| — | точка | эм с абсциссой минус два и ординатой семь . |
| Видим , что | точка | В(6 ) лежит правее точки А(-10 ) , а точка А(-10 ) лежит правее точки С(-15 ) . |
| Начало отсчёта ( или начало координат ) — | точка | О изображает 0 ( нуль ) . |
| так как | точка | с координатой 0 совпадает с началом отсчёта О. , т . |
| — | точка | эм с координатами минус два и семь . |
| Если переставить координаты местами , то получится другая | точка | — N(-5 ; 6 ) , которая показана . |
| 5 9 Запишите координаты точек О , A , B , С , D , P , K , M и E. Начало отсчёта — | точка | О . |
| На какой из этих прямых лежит | точка | K(0 ; 1 ) ? . |
| Точка | N ниже точки О на 7,5 клеток . | |
| 9 114 Где расположена на координатной плоскости | точка | М(х , у ) , если . |
| в ) | точка | M выше точки О на 2,5 клетки . |
| Точка | Q ниже точки О на 3 клетки . | |
| 8 Если даны прямая и | точка | , не лежащая на этой прямой , то через данную точку можно провести две прямые , параллельные данной прямой . |
| а ) | точка | Р выше точки О на 4 клетки . |
| а ) точку В , в которую перейдёт | точка | А при перемещении на -6 . б ) точку С , в которую перейдёт точка А при перемещении на 6 . |
| а ) точку В , в которую перейдёт точка А при перемещении на -6 . б ) точку С , в которую перейдёт | точка | А при перемещении на 6 . |
| в ) точку D , в которую перейдёт | точка | А при перемещении на -7 . г ) |
| точку E , в которую перейдёт | точка | А при перемещении на 3 . |
| 2 194 На координатном луче отмечена | точка | A. Отметьте на луче точки , координаты которых равны . |
| Изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского , разделённая в таком отношении ( точка C делит отрезок AD , | точка | B делит отрезок AC ) . |
| Точка A имеет координату , точка B — координату -3,6 , а | точка | C — координату 3,6 . |
| Точка A имеет координату , | точка | B — координату -3,6 , а точка C — координату 3,6 . |
| Изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского , разделённая в таком отношении ( | точка | C делит отрезок AD , точка B делит отрезок AC ) . |
| На горизонтальной координатной прямой | точка | с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой . |
| Модуль числа 5 равен 5 , так как | точка | в(5 ) удалена от начала отсчёта на 5 единичных отрезков . |
| Проверьте с помощью линейки , лежат ли эти точки на одной прямой и лежит ли на этой прямой | точка | М(-5 ; 5 ) . |
| а ) Внутри центрального круга находится центральная ( синяя ) | точка | вбрасывания диаметром 30 см , а в нейтральной зоне находятся точки вбрасывания ( красные ) , диаметр которых в 2 раза больше диаметра центральной точки . |
| Укажите точку B , в которую перейдёт | точка | С при перемещении по координатной прямой на -3 , и точку D , в которую перейдёт точка С при перемещении на +9 . |
| б ) , можно заметить , что между каждыми двумя парами листьев ( A и C ) третья расположена в месте золотого сечения ( | точка | B ) . |
| Так как точка А имеет координату 6 , а | точка | В — координату -5 , то положение точки М определяется парой чисел ( 6 ; -5 ) . |
| Проверьте , верно ли , что ТЕ Ох и АТ = АЕ , где О — начало координат , А — | точка | пересечения ТЕ с осью абсцисс . |
| 4 101 Определите по карте расстояние от опушки леса ( точка A ) до точки пересечения дороги с рекой ( | точка | Б ) . |
| 4 101 Определите по карте расстояние от опушки леса ( | точка | A ) до точки пересечения дороги с рекой ( точка Б ) . |
| 5 67 Точка А лежит от начала отсчёта влево на 5,8 единицы , а | точка | В — вправо на 9,8 единицы . |
| 6 На координатном луче | точка | , координата которой равна пяти восьмым , лежит правее точки с координатой три четвёртых . |
| Так как | точка | А имеет координату 6 , а точка В — координату -5 , то положение точки М определяется парой чисел ( 6 ; -5 ) . |
| Центральная | точка | . |
| Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел : её абсцисса и каждой паре чисел соответствует одна | точка | плоскости , для которой эти числа являющаяся координатами . |
| Пусть М — некоторая | точка | координатной плоскости . |
| Какая | точка | имеет координаты ( 0 ; 0 ) ? . |
| Укажите точку B , в которую перейдёт точка С при перемещении по координатной прямой на -3 , и точку D , в которую перейдёт | точка | С при перемещении на +9 . |
| 6 100 Найдите расстояние между | точками | А(а ) и В(b ) , если . |
| 3 Найдите расстояние ( в единичных отрезках ) между | точками | с координатами « минус два » и « плюс один » . |
| д. | точками | на координатной плоскости . |
| 6 116 Найдите расстояние в единичных отрезках между | точками | . |
| Точки с координатами ( 0 ; -180 ) , ( 1 ; -120 ) ; ( 2 ; -60 ) лежат на одной прямой с ранее найденными | точками | . |
| Найдите расстояние между | точками | F и B в единичных отрезках . |
| Найдите расстояние между | точками | А и Б в единичных отрезках . |
| 6 72 Чему равно расстояние ( в единичных отрезках ) между | точками | координатной прямой с координатами . |
| Где на прямой находится каждая из этих точек по отношению к | точке | O ? . |
| Две различные прямые могут либо пересекаться в одной | точке | , либо не пересекаться . |
| Сначала звено было в | точке | О. Командир звена получил приказ : « Идите на восток 5 км , а затем на север 4 км » . |
| Каждой | точке | М на координатной плоскости соответствует пара чисел : её абсцисса и каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости , для которой эти числа являющаяся координатами . |
| 10 69 На координатной плоскости начертите окружность с центром в | точке | С(-4 ; 0 ) и радиусом , равным 5 единичным отрезкам . |
| Отметьте на сторонах угла по одной | точке | и проведите через них прямые , перпендикулярные сторонам угла . |
| 6 5 На координатной прямой | точке | А соответствует число а + 4 , а точке В — число а + ( -4 ) . |
| Сейчас он находится в | точке | О. Если он движется в положительном направлении , то его скорость считают положительной , а если в отрицательном направлении — отрицательной . |
| Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые и у , которые пересекаются в начале отсчёта — | точке | О. Эти прямые задают систему координат на плоскости . |
| 5 13 Треугольный флажок находится в точке с координатой -2 , а прямоугольный — в | точке | с координатой +2 . |
| 5 105 Белка сидит на дереве в точке М(4 ) , а дятел — в | точке | N(-3 ) . |
| 5 13 Треугольный флажок находится в | точке | с координатой -2 , а прямоугольный — в точке с координатой +2 . |
| 5 105 Белка сидит на дереве в | точке | М(4 ) , а дятел — в точке N(-3 ) . |
| 6 5 На координатной прямой точке А соответствует число а + 4 , а | точке | В — число а + ( -4 ) . |
| 6 Две различные прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной | точке | , либо не иметь общих точек . |
| 9 80 Отметьте на координатной плоскости | точки | М(0 ; 5 ) , N(8 ; 1 ) , С(2 ; 2 ) , D(-6 ; -2 ) . |
| Покажите , где расположены на луче | точки | A , B , C , D . |
| 9 23 Начертите прямую m и отметьте на ней три точки — А , B и С. Через эти | точки | проведите прямые , перпендикулярные прямой m. |
| 9 23 Начертите прямую m и отметьте на ней три | точки | — А , B и С. Через эти точки проведите прямые , перпендикулярные прямой m. |
| 6 На координатном луче точка , координата которой равна пяти восьмым , лежит правее | точки | с координатой три четвёртых . |
| Найдите координаты | точки | пересечения отрезков АС и BD . |
| Видно , что при перемещении | точки | А(-7 ) на 4 единицы , т . |
| 4 101 Определите по карте расстояние от опушки леса ( точка A ) до | точки | пересечения дороги с рекой ( точка Б ) . |
| Отметьте на этом луче точку A. Отложите вправо от | точки | A отрезок AC , равный — единичного отрезка . |
| Отметьте на координатном луче | точки | с координатами . |
| Найдите координату | точки | D. Как можно найти координаты точек C и D , не выполняя построений ? . |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют ординатой | точки | М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| Видно , что при перемещении | точки | А(-2 ) на -4 единицы , т . е . |
| Найдите координаты | точки | , в которой пересекаются эти отрезки . |
| 9 60 Отметьте на координатной плоскости | точки | Т и Е , имеющие одинаковые абсциссы , но противоположные ординаты . |
| Такие | точки | координатной плоскости называют симметричными относительно оси ординат или , другими словами , симметричными относительно оси у. |
| Подобным образом можно обозначить и положение | точки | на плоскости . |
| Идея задавать положение | точки | на плоскости с помощью чисел зародилась в древности — прежде всего у астрономов и географов при составлении звёздных и географических карт , календаря . |
| Во сколько раз площадь красной точки вбрасывания больше площади синей | точки | ? . |
| 9 59 Отметьте на координатной плоскости | точки | Ми K , имеющие противоположные абсциссы и одинаковые ординаты . |
| Во сколько раз площадь красной | точки | вбрасывания больше площади синей точки ? . |
| а ) Внутри центрального круга находится центральная ( синяя ) точка вбрасывания диаметром 30 см , а в нейтральной зоне находятся точки вбрасывания ( красные ) , диаметр которых в 2 раза больше диаметра центральной | точки | . |
| а ) Внутри центрального круга находится центральная ( синяя ) точка вбрасывания диаметром 30 см , а в нейтральной зоне находятся | точки | вбрасывания ( красные ) , диаметр которых в 2 раза больше диаметра центральной точки . |
| Координаты | точки | . |
| Такие | точки | координатной плоскости называют симметричными относительно оси абсцисс . |
| Так как точка А имеет координату 6 , а точка В — координату -5 , то положение | точки | М определяется парой чисел ( 6 ; -5 ) . |
| С помощью линейки выясните , лежат ли | точки | А , В и О ( начало координат ) на одной прямой . |
| 9 61 Отметьте на координатной плоскости | точки | А(-1 ; 6 ) , В(7 ; -5 ) , С(-3 ; -3 ) , D(4 ; 0 ) . |
| Постройте | точки | , симметричные данным относительно . |
| Отрезок , соединяющий две | точки | поверхности шара и проходящий через центр шара , называют диаметром шара . |
| Эту пару чисел называют координатами | точки | М. Число 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| абсцисса точки ордината | точки | ось абсцисс ось ординат . |
| Видно , что при перемещении | точки | А(4 ) на 4 единицы влево она переходит в начало координат 0(0 ) . |
| 2 121 На координатном луче отмечены | точки | A и B. Отметьте на луче точку с координатами . |
| абсцисса | точки | ордината точки ось абсцисс ось ординат . |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой | точки | М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| Все | точки | поверхности шара одинаково удалены от центра шара . |
| координаты | точки | на плоскости . |
| 6 43 На координатной прямой отмечены | точки | А(х ) и В(у ) . |
| Две | точки | координатной плоскости , имеющие противоположные координаты , называют симметричными относительно начала координат . |
| При этом всегда на первом месте пишут абсциссу | точки | , а на втором — её ординату . |
| Получим | точки | А , В , C , D , E , F и H . график движения . |
| А где расположены | точки | , ордината которых равна -1 ? . |
| 1 Как называется расстояние ( в единичных отрезках ) от | точки | на координатной прямой до начала отсчёта ? . |
| 3 Запишите , чему равна ордината | точки | A ( 2 ; 3 ) . |
| 9 45 Определите , сколько клеток надо пройти слева направо и сколько — снизу вверх , чтобы попасть из | точки | О в точки M , K , Р и N . |
| 5 71 Запишите координаты | точки | А(х ) , если . |
| Чему равна координата каждой | точки | ? |
| Проверьте с помощью линейки , лежат ли эти | точки | на одной прямой и лежит ли на этой прямой точка М(-5 ; 5 ) . |
| Ордината | точки | « дэ » равна минус пяти , а абсцисса — минус трём . |
| Расскажите , как найти абсциссу и ординату | точки | на координатной плоскости . |
| Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках ) от начала координат до | точки | А(а ) . |
| Проведите через | точки | М и K прямые , параллельные прямой l . |
| Расстояние до | точки | M(-6 ) от начала отсчёта О равно 6 единичным отрезкам . |
| Получим | точки | А , В , C , D , E , F и H . |
| Как называется число , показывающее положение | точки | на прямой ? . |
| 9 55 На миллиметровой бумаге отмечены | точки | А , В , С , D , Е , F , K и М. Найдите их координаты . |
| Проведите через | точки | М и Р прямые , перпендикулярные прямой l . |
| Такие схемы называют графами , | точки | вершинами графа , а дуги — рёбрами графа . |
| а ) абсциссы любой | точки | фигуры . |
| Как называют пару чисел , определяющих положение | точки | на плоскости ? |
| Чтобы попасть из точки O в эти | точки | , надо пройти одинаковые расстояния , но в противоположных направлениях . |
| Чтобы попасть из | точки | O в эти точки , надо пройти одинаковые расстояния , но в противоположных направлениях . |
| Точки с координатами 5 и -5 одинаково удалены от | точки | O и находятся по разные стороны от неё . |
| Чему равна координата этой | точки | ? . |
| 5 33 Приняв за единичный отрезок длину 6 клеток тетради , начертите координатную прямую и отметьте на ней | точки | K , С(-0,5 ) , D(-11/3 ) , E(6 ) , F(6 ) . |
| Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты | точки | пересечения Е этих отрезков . |
| Назовите координаты | точки | B , в которую должно попасть это звено . |
| Сформулируйте приказы для других звеньев , которые должны попасть из | точки | О в точки С , D , E , K , М , N. Назовите координаты этих точек . |
| 9 52 Изобразите на координатной плоскости | точки | А(-2 ; -2 ) , В(-1 ; -1 ) , С(0 ; 0 ) , D(1 ; 1 ) , Е(2 ; 2 ) . |
| 9 51 Где расположены на координатной плоскости | точки | , абсцисса которых равна 4 ? |
| 9 48 Постройте координатные прямые х и у и отметьте | точки | А(2 ; 8) , В(3 ; -4 ) , С ( -4 ; 5 ) , D(-3 ; -7 ) , Е(0 ; 5 ) , М(0 ; -4 ) , K(6 ; 0 ) , Р(-7 ; 0 ) . |
| 9 90 Отметьте на координатной плоскости | точки | А(-2 ; 4 ) , В(-4 ; -5 ) , С(8 ; 0 ) , D ( -4 ; 4 ) . |
| 2 194 На координатном луче отмечена точка A. Отметьте на луче | точки | , координаты которых равны . |
| Определите координаты точки пересечения прямой CD с осью х и координаты | точки | пересечения прямой КР с осью y . |
| — координаты | точки | эм — пара чисел минус два и семь . |
| Каким числом выражается перемещение | точки | на координатной прямой влево и каким — вправо ? . |
| Что означает положительное перемещение точки по координатной прямой и что означает отрицательное перемещение | точки | по этой прямой ? . |
| Что означает положительное перемещение | точки | по координатной прямой и что означает отрицательное перемещение точки по этой прямой ? . |
| Перемещение | точки | вправо обозначают положительными числами , а перемещение влево — отрицательными . |
| 10 105 Отметьте на координатной плоскости | точки | А(3 ; 6 ) , В(1 ; -4 ) и М(-5 ; 2 ) . |
| Назовите абсциссу и ординату каждой | точки | . |
| Постройте на координатной плоскости | точки | : В(-1 ; 4 ) , С(0 ; 5 ) , D(-2 ; 0 ) . |
| 8 Модуль числа « эм » равен расстоянию ( в единичных отрезках ) от начала отсчёта до | точки | с координатой « эм » . |
| Найдите координаты | точки | пересечения прямых АВ и CD . |
| 10 64 Сколькими числами определяется положение | точки | . |
| Определите координаты | точки | пересечения прямой CD с осью х и координаты точки пересечения прямой КР с осью y . |
| 9 91 На координатной плоскости отмечены | точки | А(2 ; 3 ) , Б(-3 ; 4 ) , С(-5 ; 6 ) , D(3 ; -4 ) , Е(0 ; -5 ) , К(0 ; 3 ) , N(-2 ; 0 ) , М(5 ; 0 ) . |
| 5 Чему равна ордината любой | точки | оси абсцисс ? . |
| 2 Координата | точки | . |
| Видим , что точка В(6 ) лежит правее точки А(-10 ) , а точка А(-10 ) лежит правее | точки | С(-15 ) . |
| Видим , что точка В(6 ) лежит правее | точки | А(-10 ) , а точка А(-10 ) лежит правее точки С(-15 ) . |
| На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее | точки | с меньшей координатой . |
| Какие из этих чисел являются координатами одной и той же | точки | ? . |
| Отметьте на луче | точки | с координатами . |
| Отложите от | точки | C влево отрезок CD , равный — единичного отрезка . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже | точки | O. |
| а ) точка Р выше | точки | О на 4 клетки . |
| 9 20 Начертите прямую l и отметьте | точки | М и K вне этой прямой . |
| из | точки | А в точку С через точку В . б ) из точки A в точку C , который пересекал бы все рёбра куба , кроме ребра AC . 1 162 Разложите на простые множители числа . |
| 5 5 Измерьте в сантиметрах расстояние от | точки | O до точек С и P. |
| Все эти | точки | лежат на одной прямой . |
| Тогда положение любой | точки | на каждом из лучей задаётся её координатой . |
| точка Q ниже | точки | О на 3 клетки . |
| координата | точки | на прямой . |
| Найдите координату | точки | C . |
| 10 80 На координатной плоскости отметьте | точки | А(-5 ; 10 ) , В(3 ; -6 ) , С(-3 ; -4 ) , D(9 ; 2 ) , Е(-7 ; 4 ) , F(3 ; 9 ) , К(4 ; 5 ) , Р(7 ; 14 ) , М(-8 ; -4 ) и N(-6 ; 2 ) . |
| Что называют координатой | точки | на прямой ? . |
| Число , показывающее положение точки на прямой , называют координатой этой | точки | . |
| Число , показывающее положение | точки | на прямой , называют координатой этой точки . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от | точки | O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от | точки | O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше точки O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| точка N ниже | точки | О на 7,5 клеток . |
| в ) точка M выше | точки | О на 2,5 клетки . |
| Если прямая расположена горизонтально , то обычно положительными считают координаты точек , расположенных справа от точки O , а отрицательными — координаты точек , расположенных слева от точки O. Если прямая расположена вертикально , то положительными считают координаты точек , находящихся выше | точки | O , а отрицательными — координаты точек , находящихся ниже точки O. |
| -3,2 ; 9 57 Даны | точки | А(1 ; 3 ) , В(-1 ; 4 ) , С(7 ; -5 ) , D(0 ; 6 ) . |
| Найдите координаты | точки | пересечения прямых MN и CD . |
| 5 11 Начертите координатную прямую и отметьте на ней | точки | , имеющие координату х , если . |
| 5 14 На координатной прямой изображены | точки | F(-2 ) и B(7 ) . |
| ординаты любой | точки | фигуры . |
| из точки А в точку С через точку В . б ) из | точки | A в точку C , который пересекал бы все рёбра куба , кроме ребра AC . 1 162 Разложите на простые множители числа . |
| Найдите координаты | точки | пересечения стороны AK с осью ординат . |
| 6 Найдите расстояние между точкой с координатой минус четыре и | точкой | с координатой шесть . |
| 6 Найдите расстояние между | точкой | с координатой минус четыре и точкой с координатой шесть . |
| Как называется отрезок , соединяющий центр шара с любой | точкой | его поверхности ? . |
| Какие из этих чисел изображаются на координатном луче одной и той же | точкой | ? |
| 5 140 Отметьте на координатной прямой | точку | С(-4 ) . |
| Сколько прямых , параллельных данной , можно провести через эту | точку | ? . |
| Проведите через | точку | K прямую . |
| Укажите точку B , в которую перейдёт точка С при перемещении по координатной прямой на -3 , и | точку | D , в которую перейдёт точка С при перемещении на +9 . |
| на 4 единицы вправо , она переходит в | точку | В(-3 ) . |
| Проведите через | точку | М прямую CD , параллельную прямой АВ , и прямую EF , перпендикулярную прямой АВ . |
| 5 141 Отметьте на координатной прямой | точку | М(-4 ) . |
| После перемещения по координатной прямой она попала в | точку | С(3 ) . |
| Чтобы сложить числа 9 и -6 с помощью координатной прямой , надо | точку | 4(9 ) переместить влево на 6 единичных отрезков . |
| 8 Точка М(-2 ) при перемещении на минус два перейдёт в | точку | с координатой минус четыре . |
| Укажите | точку | B , в которую перейдёт точка С при перемещении по координатной прямой на -3 , и точку D , в которую перейдёт точка С при перемещении на +9 . |
| Выберем единичный отрезок и примем | точку | O за начало отсчёта . |
| 5 129 На сколько единиц переместилась точка Р(4 ) по координатной прямой , если она попала в | точку | К(-2 ) ? |
| 9 58 Отметьте на координатной плоскости точку А(2 ; 5 ) и | точку | В с противоположными координатами . |
| Чтобы сложить числа -6 и -3 с помощью координатной прямой , надо | точку | Д(-6 ) переместить влево на 3 единичных отрезка . |
| Точку | E , в которую перейдёт точка А при перемещении на 3 . | |
| в ) | точку | D , в которую перейдёт точка А при перемещении на -7 . г ) |
| а ) точку В , в которую перейдёт точка А при перемещении на -6 . б ) | точку | С , в которую перейдёт точка А при перемещении на 6 . |
| Отметьте на этом луче | точку | A. Отложите вправо от точки A отрезок AC , равный — единичного отрезка . |
| Получим | точку | В(-9 ) . |
| Показано , как попасть в | точку | С с координатами ( -4 ; -3 ): сначала надо пройти по оси х от начала отсчёта влево на 4 единицы , а потом пройти на 3 единицы вниз . |
| а ) | точку | В , в которую перейдёт точка А при перемещении на -6 . б ) точку С , в которую перейдёт точка А при перемещении на 6 . |
| Проведите через точку М прямую , перпендикулярную стороне ОВ , а через | точку | N прямую , перпендикулярную стороне ОА . |
| из точки А в точку С через точку В . б ) из точки A в | точку | C , который пересекал бы все рёбра куба , кроме ребра AC . 1 162 Разложите на простые множители числа . |
| из точки А в точку С через | точку | В . б ) из точки A в точку C , который пересекал бы все рёбра куба , кроме ребра AC . 1 162 Разложите на простые множители числа . |
| На стороне В А отметьте | точку | М и проведите через неё две прямые , одна из которых параллельна , а другая перпендикулярна стороне ВС . |
| из точки А в | точку | С через точку В . б ) из точки A в точку C , который пересекал бы все рёбра куба , кроме ребра AC . 1 162 Разложите на простые множители числа . |
| А если она попала в | точку | Т'(б ) ? . |
| 5 128 Отметьте на координатной прямой | точку | А(2 ) . |
| 8 Если даны прямая и точка , не лежащая на этой прямой , то через данную | точку | можно провести две прямые , параллельные данной прямой . |
| Найдите на этой линии | точку | . |
| Как называют | точку | пересечения этих прямых ? |
| Обозначьте | точку | пересечения отрезка MK с осью у буквой С. С помощью угольника проверьте , верно ли , что отрезок MK перпендикулярен оси у. |
| Отрезок , соединяющий | точку | поверхности шара с центром , называют радиусом шара . |
| Через | точку | М , лежащую на стороне OD , проведите прямую m , параллельную стороне ОС , а через точку K , лежащую на стороне ОС , проведите прямую п , параллельную стороне OD . |
| Можно ли указать на луче | точку | с координатой а ; b ? . |
| Отметьте точку М , не лежащую на сторонах этого угла , и проведите через | точку | М прямые , параллельные сторонам угла CDK . |
| Длина отрезка АВ показывает , на сколько единичных отрезков надо переместить вправо точку А , чтобы она перешла в | точку | В , т . |
| 9 84 Отметьте | точку | М и проведите через неё две прямые т и l так , чтобы они образовали угол , равный 62 ° . |
| Отметьте | точку | М , не лежащую на сторонах этого угла , и проведите через точку М прямые , параллельные сторонам угла CDK . |
| Длина отрезка АВ показывает , на сколько единичных отрезков надо переместить вправо | точку | А , чтобы она перешла в точку В , т . |
| 10 107 На координатной плоскости отметьте | точку | А(-3 ; 0 ) . |
| 5 34 Начертите шкалу температур от -60 до 60 ° С , приняв отрезок длиной 1 см за 10 ° С. Отметьте на этой шкале точку замерзания ртути ( -39 ° C ) , нормальную температуру человеческого тела ( 37 ° С ) , точку замерзания бензина ( -60 ° С ) , точку кипения ацетона ( 56 ° С ) , | точку | замерзания глицерина ( -20 ° С ) . |
| 5 34 Начертите шкалу температур от -60 до 60 ° С , приняв отрезок длиной 1 см за 10 ° С. Отметьте на этой шкале точку замерзания ртути ( -39 ° C ) , нормальную температуру человеческого тела ( 37 ° С ) , точку замерзания бензина ( -60 ° С ) , | точку | кипения ацетона ( 56 ° С ) , точку замерзания глицерина ( -20 ° С ) . |
| 5 34 Начертите шкалу температур от -60 до 60 ° С , приняв отрезок длиной 1 см за 10 ° С. Отметьте на этой шкале точку замерзания ртути ( -39 ° C ) , нормальную температуру человеческого тела ( 37 ° С ) , | точку | замерзания бензина ( -60 ° С ) , точку кипения ацетона ( 56 ° С ) , точку замерзания глицерина ( -20 ° С ) . |
| 5 34 Начертите шкалу температур от -60 до 60 ° С , приняв отрезок длиной 1 см за 10 ° С. Отметьте на этой шкале | точку | замерзания ртути ( -39 ° C ) , нормальную температуру человеческого тела ( 37 ° С ) , точку замерзания бензина ( -60 ° С ) , точку кипения ацетона ( 56 ° С ) , точку замерзания глицерина ( -20 ° С ) . |
| Отметьте на стороне РА | точку | М и проведите через неё прямые , перпендикулярные сторонам угла АРК . |
| 5 31 Начертите в тетради горизонтальную прямую и отметьте на ней | точку | O. |
| Через каждую | точку | плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести только одну прямую , параллельную данной прямой . |
| Отметьте | точку | пересечения этих прямых . |
| Проведите через | точку | М перпендикуляр к прямой АВ . |
| Через точку М , лежащую на стороне OD , проведите прямую m , параллельную стороне ОС , а через | точку | K , лежащую на стороне ОС , проведите прямую п , параллельную стороне OD . |
| Сколько прямых , перпендикулярных МР , можно провести через | точку | А ? . |
| Проведите через | точку | М прямую , перпендикулярную стороне ОВ , а через точку N прямую , перпендикулярную стороне ОА . |
| Отметьте точку М на стороне ОА и | точку | N на стороне ОВ . |
| 2 121 На координатном луче отмечены точки A и B. Отметьте на луче | точку | с координатами . |
| Получим | точку | 6(3 ) . |
| Отметьте | точку | М на стороне ОА и точку N на стороне ОВ . |
| 9 4 Начертите в тетради прямую АВ и отметьте | точку | М так , как показано . |
| 5 4 Проведите горизонтальную прямую и отметьте на ней | точку | O. |
| 9 3 Начертите прямую МР и отметьте | точку | А , не лежащую на этой прямой . |
| 9 58 Отметьте на координатной плоскости | точку | А(2 ; 5 ) и точку В с противоположными координатами . |
| Проведите с помощью угольника через | точку | А прямую , перпендикулярную прямой МР . |
| на 4 единицы влево , она переходит в | точку | С(-6 ) . |
| Расскажите , как построить | точку | по её координатам . |
| 5 8 Проведите вертикальную прямую и отметьте на ней | точку | О. Отметьте на этой прямой точки P , Q , M , N , если известно , что . |
| Полученный четырёхугольник называют | трапецией | . |
| Полученную | трапецию | называют прямоугольной . |
| Такую | трапецию | называют равнобедренной или равнобокой . |
| 9 26 Начертите | трапецию | ABCD так , чтобы стороны AD и ВС были параллельны , а сторона АВ была перпендикулярна стороне ВС. Будет ли сторона АВ перпендикулярна AD1 Ответ поясните . |
| 9 25 Начертите | трапецию | ABCD так , чтобы стороны AD и ВС были параллельны , а стороны АВ и CD были равны . |
| Известно , что в | третий | час он прошёл на 40 км меньше , чем во второй час . |
| 3 264 Автомобиль в первый час прошёл 4/9 всего пути , во второй час — 3/5 оставшегося пути , а в | третий | час — остальной путь . |
| По результатам первого этапа 40 % участников не прошли на второй этап , а по результатам второго этапа 75 % оставшихся участников не попали на | третий | этап . |
| В первый день они прошли 5/11 всего пути , во второй день 2/3 оставшегося пути , а в | третий | день — последние 10 км . |
| Сколько деталей изготовила бригада в | третий | день ? . |
| В первый день путешественники проехали 240 км , во второй день — 140 км , в | третий | день они проехали в 3 раза больше , чем во второй , а в четвёртый день они отдыхали . |
| За одно и то же время один вскопал — грядки , другой — — грядки , а | третий | грядки . |
| 3 263 Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала — всего участка пути , во второй день оставшегося участка пути , а в | третий | день — . |
| Первый рабочий изготовил 0,3 всех деталей , второй — 0,6 остатка , а | третий | — остальные 84 детали . |
| Сколько километров прошёл М. Ломоносов , догоняя обоз , если в первый день он преодолел 10/29 всего пути , во второй день 4/5 пути , пройденного в первый день , а в | третий | день — остальные 66 км ? . |
| 3 261 Овощная база в первый день отпустила 40 % всего имевшегося картофеля , во второй день — 60 % остатка , а в | третий | день — остальные 72 т . |
| В первый налили 0,1 всего молока , во второй — 0,3 всего молока , а в | третий | — 0,6 всего молока . |
| Во сколько раз расстояние , пройденное в | третий | час , больше расстояния , пройденного во второй час ? |
| 9 122 В первый день магазином было продано 4/9 привезённой моркови , во второй день 3/8 оставшейся моркови , а в | третий | день — последние 70 кг . |
| Какую часть расстояние , пройденное в первый час , составляет от расстояния , пройденного в | третий | час ? . |
| При этом пик — 2 выпавших осадков пришёлся на 27 ноября , а наименьшее количество осадков — 0,4 оставшейся части выпало в | третий | день . |
| В первый день они обмолотили 10/31 этого количества , во второй день — на 10 % меньше , чем в первый , а в | третий | день — остальное зерно . |
| Какую часть котлована останется выкопать после того , как первый экскаватор отработает 3 дня , второй — 5 дней , а | третий | — 2 дня ? . |
| 2 189 Котлован под фундамент нового здания один экскаватор может выкопать за 8 дней , второй — за 12 дней , а | третий | — за 15 дней . |
| В первый мешок вошло 5/ 18 всей полученной пшеницы , во второй 1/3 всей пшеницы , а в | третий | на 10 кг больше , чем во второй . |
| 10 85 За первый месяц было построено — всей дороги от туристической базы до шоссе , во второй месяц всей дороги , а в | третий | месяц остальные 13 км . |
| 5 58 В первый день магазин продал в 3 раза больше апельсинов , чем во второй , а в | третий | — в 2 раза больше , чем во второй . |
| Во второй день продали на 30 кг меньше , чем в первый , а в | третий | — в 3 раза больше , чем во второй . |
| 2 138 Велосипедист в первый час проехал 1 пути , во второй час пути , а в | третий | час пути . |
| 10 112 Андрей в первый день прочитал 30 % всей книги , во второй день — 25 % всей книги , в | третий | день — остальные 180 страниц . |
| 9 11 В первый день туристы прошли 50 % намеченного пути , во второй день — 60 % пути , пройденного в первый день , а в | третий | день они преодолели последние 6 км пути . |
| Какую часть пути им осталось пройти в | третий | день ? . |
| В первый бидон вошло всего масла , во второй всего масла , а в | третий | на 6 л меньше , чем в первый бидон . |
| больше , чем в первый , а в | третий | день на меньше , чем за два предыдущих дня вместе . |
| Сколько тонн зерна обмолотили в | третий | день ? . |
| 1 212 В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса , первый из которых длится 15 суток , второй — 20 суток и | третий | — 12 суток . |
| Сколько килограммов клюквы артель собрала в | третий | день ? . |
| Сколько тонн зерна было доставлено на элеватор в | третий | день ? . |
| Найдите эти числа , если второе число больше первого на 0,9 , а | третье | число больше первого в 2 раза . |
| Второе число составляет 80 % первого , а | третье | число составляет 50 % суммы первого и второго . |
| Одно эко - хозяйство заготовило 15,6 т клюквы , другое — в 1,5 раза меньше , чем первое , а | третье | — на 7,8 т больше , чем второе . |
| Найдите эти числа , если второе больше первого в 1,5 раза , | третье | больше первого в 1,2 раза и , наконец , четвёртое больше первого в 1,8 раза . |
| Чему равна длина всей беговой дистанции , если длина | третьего | участка составила 380 м ? . |
| Площадь второго поля на 4,8 га меньше площади первого , а площадь | третьего | поля в 1,6 раза больше площади второго . |
| Масса гвоздей | третьего | ящика составляет — массы гвоздей второго ящика . |
| Сколько голов было у Змея Горыныча , если каждая голова погибала после | третьего | удара мечом и больше всех ударов нанёс младший брат — 14 , меньше всех старший — 10 , а остальные удары нанёс средний брат ? . |
| Пусть высота первого столбика 15 мм , второго 45 мм , | третьего | 30 мм . |
| Наташа прочла первый рассказ за 1 ч , на чтение второго рассказа она потратила на 1 ч больше , а чтение | третьего | рассказа заняло на — ч меньше , чем чтение первого и второго рассказов вместе . |
| Найдите массу каждого из этих спутников , если масса второго была больше массы первого на 424,7 кг , а масса | третьего | больше массы второго на 818,7 кг . |
| Масса | третьего | сазана составляла 50 % массы первого , масса второго была в 1,5 раза больше массы первого . |
| К утру | третьего | дня в цистерне осталось 9,1 т керосина . |
| Зарплата первого рабочего увеличилась на 10 % , второго — на 20 % , | третьего | — на 30 % , а у четвёртого и пятого осталась прежней . |
| Для строительства спортивной площадки первый самосвал привёз несколько тонн песка , второй — ещё 4,2 т , а после разгрузки | третьего | самосвала объём привезённого песка увеличился в 4 раза . |
| Выражения , содержащие модули , читают так : -9 = 9 — модуль минус девяти целых одной третьей равен девяти целым одной | третьей | . |
| 4 Разность одной | третьей | « эм » и одной шестой « эм » . |
| Выражения , содержащие модули , читают так : -9 = 9 — модуль минус девяти целых одной | третьей | равен девяти целым одной третьей . |
| 1 Одной | третьей | . |
| 6 Четырех целых одной | третьей | и одной шестой . |
| Сколько заданий распечатали на | третьей | машине , если всего было 240 заданий ? . |
| 8 Произведение одной | третьей | и пятидесяти процентов равно одной шестой . |
| Если две прямые на плоскости перпендикулярны | третьей | прямой , то они параллельны . |
| На первой полке книг в 2 раза больше , чем на второй , а на | третьей | на 5 книг меньше , чем на первой . |
| 6 Найдите разность одной | третьей | и одной девятой . |
| 1 Семи и одной | третьей | . |
| Одной четвёртой и одной | третьей | . |
| 2 Сумма одной | третьей | « игрек » и единицы равна минус двум . |
| 6 Одной пятой и одной | третьей | . |
| Сумму одной | третьей | и одной шестой умножьте на шесть . |
| 5 Сумму одной | третьей | и одной седьмой умножьте на двадцать один . |
| 3 Одной | третьей | и одной шестой . |
| Одной второй и одной | третьей | . |
| Четырёх пятых и одной | третьей | . |
| Одной | третьей | и одной четвёртой . |
| 5 Запишите уравнение « сумма « икс » и одной | третьей | равна одной второй » и решите его . |
| Сколько процентов участников конкурса состязалось на | третьем | этапе ? . |
| При этом места ( 3 ; 8) и ( 8 ; 3 ) различны : первое является креслом 8 в | третьем | ряду , а второе — креслом 3 в восьмом ряду . |
| В первом и втором бидонах было 63 л , а во втором и | третьем | — 5 — л молока . |
| Во втором ящике было в 2 раза больше , чем в первом , а в | третьем | — на 8 кг больше вишни , чем в первом . |
| б ) В первом классе 42 ученика , во втором — на 3 ученика меньше , чем в | третьем | . |
| В одном из хозяйств фруктовые сады занимают площадь 36,4 га , в другом — в 1,2 раза больше , чем в первом , а в | третьем | — на 4,5 га меньше , чем во втором . |
| Сколько учеников в | третьем | классе , если всего в этих трёх классах 125 учеников ? . |
| На втором и на | третьем | местах — любая из этих пяти цифр . |
| 4 16 По коэффициенту трудового участия ( КТУ ) заработок между тремя рабочими распределили следующим образом : первому — 40 % всех денег , второму — 35 % всех денег , а | третьему | — остальные 25 % . |
| б ) возраст сосны , когда её высота была 10 м ; 16 м ; 20 м . в ) на сколько метров выросла сосна за первые 20 лет ; за вторые 20 лет ; за | третьи | 20 лет . |
| 7 Десять пятнадцатых равны двум | третьим | . |
| сумма двух третьих и трёх пятых , к двум | третьим | прибавить три пятых , сумма дробей две третьих и три пятых . |
| 4 113 Две трети от двух третьих числа равны двум | третьим | . |
| в ) первым рабочим , от денег , полученных вторым . г ) вторым рабочим , от денег , полученных первым . д ) | третьим | рабочим , от денег , полученных первым . |
| 6 Сто минут равны одной целой двум | третьим | часа . |
| +1 , +5 , , +2 , +3,6 — и читают : « плюс один » , « плюс пять » , « плюс две | третьих | » , « плюс две целых одна четвёртая » , « плюс три целых шесть десятых » . |
| 3 Одной пятой и двух | третьих | . |
| 1 Найдите две | третьих | от двенадцати . |
| Пишут : -1 , -5 , -2 , -3,6 и читают : « минус один » , « минус пять » , « минус две | третьих | » , « минус две целых одна четвёртая » , « минус три целых шесть десятых » . |
| Корень уравнения 3 × x = 2 — число две | третьих | . |
| 2 Двух | третьих | и одной второй . |
| x + -x = x — две | третьих | х и одна третья х — это х . -x - x = — x — разность семи девятых х и пяти девятых х — это две девятых х . |
| разность дробей две | третьих | и три пятых . |
| из двух | третьих | вычесть три пятых . |
| 3 Найдите число , если две | третьих | этого числа равны двенадцати . |
| 5 Одной шестой и пяти целых двух | третьих | . |
| сумма двух третьих и трёх пятых , к двум третьим прибавить три пятых , сумма дробей две | третьих | и три пятых . |
| Две | третьих | меньше шестидесяти процентов . |
| сумма двух | третьих | и трёх пятых , к двум третьим прибавить три пятых , сумма дробей две третьих и три пятых . |
| 4 113 Две трети от двух | третьих | числа равны двум третьим . |
| 6 Одну | третью | от шести седьмых . |
| 8 108 Маркетинговая служба торгового центра проводила анализ продаж мобильных устройств в течение месяца и установила , что в первую декаду месяца было продано 0,56 всех мобильных устройств , во вторую декаду того , что было продано в первую , а в | третью | декаду — остальные 240 устройств . |
| 5 Две пятых или одна | третья | . |
| 3 Одна | третья | или одна четвёртая . |
| Представьте в виде неправильной дроби число две целых одна | третья | . |
| x + -x = x — две третьих х и одна | третья | х — это х . -x - x = — x — разность семи девятых х и пяти девятых х — это две девятых х . |
| Сколько времени длилась | третья | партия , если на все три партии было затрачено 3 ч ? . |
| 6 Одна | третья | этого числа равна нулю целых трём десятым . |
| Первая группа посадила 35 % всех имевшихся саженцев , вторая — 60 % оставшихся саженцев , а | третья | группа — остальные 104 саженца . |
| 4 Одна | третья | и одна пятая . |
| б ) , можно заметить , что между каждыми двумя парами листьев ( A и C ) | третья | расположена в месте золотого сечения ( точка B ) . |
| Изображена | треугольная | призма , четырёхугольная . |
| Изображена | треугольная | пирамида , а на четырёхугольная . |
| Изображена | треугольная призма | , четырёхугольная . |
| 9 69 Начертите какой - нибудь | треугольник | АВС . |
| 10 128 Начертите | треугольник | ABC с прямым углом В. Как разделить этот треугольник на четыре равных треугольника ? . |
| 9 21 Начертите | треугольник | и проведите через каждую вершину прямую , параллельную противоположной стороне . |
| 10 106 Постройте на координатной плоскости | треугольник | CDE , если С(-6 ; -2 ) , D ( 3 ; 1 ) и Е(3 ; -2 ) . |
| 10 66 На координатной плоскости постройте | треугольник | ABC , если А(-3 ; 6 ) , В(-3 ; -4 ) , С(2 ; -4 ) . |
| 10 67 На координатной плоскости начертите | треугольник | МКР , если М(-5 ; 5 ) , К(-4 ; 9 ) , Р(5 ; 10 ) . |
| 9 81 Постройте | треугольник | ABK по координатам его вершин А(-2 ; -2 ) , В(1 ; 5 ) , K(6 ; -2 ) . |
| 10 104 Постройте в координатной плоскости | треугольник | MKN , если М(-7 ; -5 ) , N ( -3 ; 5 ) , K(7 ; 1 ) . |
| Постройте | треугольник | , симметричный треугольнику АВС относительно . |
| 9 82 Постройте на координатной плоскости | треугольник | АВС , если А(4 ; 4 ) , В(7 ; 0 ) , С(1 ; -2 ) . |
| 10 128 Начертите треугольник ABC с прямым углом В. Как разделить этот | треугольник | на четыре равных треугольника ? . |
| 9 54 Постройте | треугольник | ОВС , где О(0 ; 0 ) , В(4 ; 6 ) , С(1 ; 5 ) . |
| 2 195 Найдите периметр | треугольника | ABC , если AB = 3 м , BC = 2 м и AC = 2 м . 2 196 Ленту разрезали на две части так , что длина одной части равна 63 м , а другой — на 24 м меньше . |
| 10 53 Периметр | треугольника | ABC равен 85 см. Сторона АВ меньше стороны ВС на 15 см , а сторона АС больше стороны АВ на 22 см. Найдите длину стороны ВС . |
| в ) угол B составляет 2/3 , а угол C составляет 1/5 суммы всех углов | треугольника | ABC . г ) угол A составляет 5/6 угла B и угол C = 70 ° . |
| 3 4 Найдите периметр | треугольника | ABC , если AB = 2/15 м , BC больше AB в 4 раза , а AC меньше BC на 1/15 м . |
| Площадь | треугольника | EOF вдвое меньше площади квадрата AEOF , поэтому площадь EFKM вдвое меньше площади квадрата ABCD , т . |
| Измерьте углы и стороны этого | треугольника | . |
| 2 55 Древнегреческих , а также древнеиндийских математиков интересовали числа , которые соответствовали количеству точек , расположенных в виде некоторой геометрической фигуры — | треугольника | , квадрата и др. |
| Измерьте транспортиром углы этого | треугольника | . |
| 2 140 Периметр | треугольника | ABC равен — м . |
| 4 18 Известно , что сумма углов любого | треугольника | равна 180 ° . |
| 1 153 Стороны | треугольника | 12 см , 17 см и x см . а ) Составьте выражение для вычисления периметра этого треугольника . |
| 10 128 Начертите треугольник ABC с прямым углом В. Как разделить этот треугольник на четыре равных | треугольника | ? . |
| 1 153 Стороны треугольника 12 см , 17 см и x см . а ) Составьте выражение для вычисления периметра этого | треугольника | . |
| Запишите координаты точек пересечения сторон | треугольника | с осями координат . |
| В | треугольнике | ABC найдите угол A , если . |
| У пирамид боковые грани — | треугольники | , а основание — многоугольник . |
| Постройте треугольник , симметричный | треугольнику | АВС относительно . |
| в ) | треугольной | пирамиды ? . |
| 3 145 Подсчитайте по модели , сколько граней , вершин , рёбер у | треугольной | пирамиды ; у четырёхугольной пирамиды . |
| а ) четырёхугольной призмы . б ) | треугольной | призмы . |
| а ) четырёхугольной призмы . б ) | треугольной призмы | . |
| Подумайте , как можно находить | треугольные | и квадратные числа , используя ряд натуральных чисел . |
| Например , число 10 называли | треугольным | , число 16 — квадратным . |
| Используя 13 , попробуйте найти ещё несколько | треугольных | и квадратных чисел . |
| 2 40 Какую часть развёрнутого | угла | составляют 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° ? . |
| 3 210 Луч OM разделил угол COK , равный 90 ° , на два | угла | COM и MOK . |
| Угол COM больше | угла | MOK в 2 раза . |
| Отметьте на сторонах | угла | по одной точке и проведите через них прямые , перпендикулярные сторонам угла . |
| Отметьте на сторонах угла по одной точке и проведите через них прямые , перпендикулярные сторонам | угла | . |
| При этом угол АОВ в 1 — раза больше | угла | ВОС . |
| 6 Величины прямого | угла | составляют тридцать градусов ? . |
| 4 3 Внутри | угла | AOC проведён луч OB так , что PAOB = 56 ° и РBOC = 40 ° . |
| 3 110 Угол А равен 40 ° , а угол В составляет 135 % от | угла | А. Найдите градусную меру суммы углов А и В . |
| Отметьте точку М , не лежащую на сторонах этого | угла | , и проведите через точку М прямые , параллельные сторонам угла CDK . |
| в ) угол B составляет 2/3 , а угол C составляет 1/5 суммы всех углов треугольника ABC . г ) угол A составляет 5/6 | угла | B и угол C = 70 ° . |
| Какую часть | угла | AOC составляет угол AOB ; угол BOC ? |
| а ) РВ = 75 ° , PC = 80 ° . б ) угол A больше угла B на 20 ° и меньше | угла | C на 40 ° . |
| Угол AOM в 3 раза больше | угла | MOB . |
| Какую часть от | угла | B составляет угол A ? |
| Луч OM разделил развёрнутый угол AOB на два | угла | : AOM и MOB . |
| Во сколько раз угол B больше | угла | A ? . |
| 2 ) Луч OK разделил развёрнутый угол COD на два | угла | : COK и KOD . |
| Угол COK в 4 раза меньше | угла | KOD . |
| Проведите внутри | угла | AOC луч OB так , чтобы ABOC = 40 ° . |
| Отметьте точку М , не лежащую на сторонах этого угла , и проведите через точку М прямые , параллельные сторонам | угла | CDK . |
| Отметьте на стороне РА точку М и проведите через неё прямые , перпендикулярные сторонам | угла | АРК . |
| а ) РВ = 75 ° , PC = 80 ° . б ) угол A больше | угла | B на 20 ° и меньше угла C на 40 ° . |
| 3 110 Угол А равен 40 ° , а угол В составляет 135 % от угла А. Найдите градусную меру суммы | углов | А и В . |
| Установите , сколько прямых | углов | в параллелограмме . |
| а ) не было прямых | углов | . |
| в ) угол B составляет 2/3 , а угол C составляет 1/5 суммы всех | углов | треугольника ABC . г ) угол A составляет 5/6 угла B и угол C = 70 ° . |
| а ) нет прямых | углов | . |
| 4 18 Известно , что сумма | углов | любого треугольника равна 180 ° . |
| Найдите градусные меры | углов | АОВ и ВОС . |
| Выполните построение этих | углов | с помощью транспортира . |
| Под каким | углом | пересекаются координатные прямые х и у , образующие систему координат на плоскости ? |
| 10 128 Начертите треугольник ABC с прямым | углом | В. Как разделить этот треугольник на четыре равных треугольника ? . |
| Вычислите площадь поверхности конуса , если радиус его основания 3 см , а развёртка боковой поверхности — сектор с прямым | углом | , радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние данные ? . |
| Постройте эти | углы | . |
| Две прямые , образующие при пересечении прямые | углы | , называют перпендикулярными . |
| Чему равны | углы | AOM и ? |
| Чему равны | углы | COK и KOD ? |
| Как называют ромб , у которого | углы | прямые ? . |
| есть прямые | углы | . |
| Они образуют прямые | углы | с двумя другими сторонами этого прямоугольника . |
| У каждого из этих многоугольников равны стороны и равны | углы | . |
| Как называют параллелограмм , у которого есть прямые | углы | ? |
| Измерьте транспортиром | углы | этого треугольника . |
| Измерьте транспортиром | углы | , образовавшиеся при пересечении прямых тип . |
| были прямые | углы | . |
| Чему равны | углы | COM и MOK ? |
| Измерьте | углы | и стороны этого треугольника . |
| Постройте эти | углы | с помощью транспортира . |
| 9 6 Начертите прямой | угол | . |
| 2 ) Луч OK разделил развёрнутый | угол | COD на два угла : COK и KOD . |
| 9 84 Отметьте точку М и проведите через неё две прямые т и l так , чтобы они образовали | угол | , равный 62 ° . |
| При этом | угол | АОВ в 1 — раза больше угла ВОС . |
| Во сколько раз | угол | B больше угла A ? . |
| Какую часть от угла B составляет | угол | A ? |
| в ) | угол | B составляет 2/3 , а угол C составляет 1/5 суммы всех углов треугольника ABC . г ) угол A составляет 5/6 угла B и угол C = 70 ° . |
| 1 199 Постройте | угол | AOC , равный 130 ° . |
| в ) угол B составляет 2/3 , а | угол | C составляет 1/5 суммы всех углов треугольника ABC . г ) угол A составляет 5/6 угла B и угол C = 70 ° . |
| 4 54 Угол A равен 30 ° , а | угол | B равен 50 ° . |
| 3 209 Углы АОВ и ВОС вместе составляют развёрнутый | угол | АОС . |
| Какую часть угла AOC составляет угол AOB ; | угол | BOC ? |
| в ) угол B составляет 2/3 , а угол C составляет 1/5 суммы всех углов треугольника ABC . г ) | угол | A составляет 5/6 угла B и угол C = 70 ° . |
| 3 110 Угол А равен 40 ° , а | угол | В составляет 135 % от угла А. Найдите градусную меру суммы углов А и В . |
| Какую часть угла AOC составляет | угол | AOB ; угол BOC ? |
| а ) РВ = 75 ° , PC = 80 ° . б ) | угол | A больше угла B на 20 ° и меньше угла C на 40 ° . |
| 9 40 Начертите | угол | ABC , равный 75 ° . |
| Луч OM разделил развёрнутый | угол | AOB на два угла : AOM и MOB . |
| 9 30 Постройте | угол | АОВ , равный 35 ° . |
| 10 78 Начертите | угол | CDK , равный 130 ° . |
| 4 118 Начертите окружность и постройте два её радиуса , | угол | между которыми 120 ° . |
| 9 85 Постройте | угол | COD , равный 50 ° . |
| в ) угол B составляет 2/3 , а угол C составляет 1/5 суммы всех углов треугольника ABC . г ) угол A составляет 5/6 угла B и | угол | C = 70 ° . |
| 3 210 Луч OM разделил | угол | COK , равный 90 ° , на два угла COM и MOK . |
| 10 79 Начертите | угол | АРК , равный 80 ° . |
| Измерьте | угол | AOB . |
| В треугольнике ABC найдите | угол | A , если . |
| Для построения перпендикулярных прямых используют | угольник | или транспортир . |
| 9 22 Найдите с помощью линейки и | угольника | все пары параллельных прямых , изображённых . |
| С помощью | угольника | и линейки определите , какие из этих прямых параллельны и какие перпендикулярны друг другу . |
| 9 2 Сначала определите на глаз , а потом проверьте с помощью | угольника | , какие пары прямых перпендикулярны . |
| Проведите с помощью | угольника | через точку А прямую , перпендикулярную прямой МР . |
| Обозначьте точку пересечения отрезка MK с осью у буквой С. С помощью | угольника | проверьте , верно ли , что отрезок MK перпендикулярен оси у. |
| Показано , как с помощью | угольника | и линейки можно построить прямую n , параллельную прямой m . |
| 5 142 Для поощрения участников математического конкурса были куплены линейки , | угольники | и транспортиры . |
| Линейки составляли 4 всех инструментов , а | угольники | — 0,6 оставшихся инструментов . |
| б ) если | уменьшаемое | и вычитаемое кратны числу а , то и разность кратна числу а ? . |
| Разность двух чисел положительна , если | уменьшаемое | больше вычитаемого , и отрицательна , если уменьшаемое меньше вычитаемого . |
| Разность двух чисел положительна , если уменьшаемое больше вычитаемого , и отрицательна , если | уменьшаемое | меньше вычитаемого . |
| Если | уменьшаемое | и вычитаемое равны , то их разность равна нулю . |
| Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то | уменьшаемое | записываем так . |
| 8 Разность отрицательна , если | уменьшаемое | больше вычитаемого . |
| 6 Распределительное свойство умножения относительно вычитания : для того чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число | уменьшаемое | и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе . |
| При приведении дроби к новому знаменателю её числитель и знаменатель | умножают | на дополнительный множитель . |
| 5 Как называется число , на которое | умножают | числитель и знаменатель дроби при приведении её к новому знаменателю ? . |
| 3 24 Выполните | умножение | . |
| 3 51 Выполните | умножение | . |
| 3 53 Выполните | умножение | . |
| 7 11 Выполните | умножение | . |
| Умножение | двух отрицательных чисел . | |
| Умножение | рациональных чисел с одинаковыми знаками . | |
| в ) | умножение | дробей . г ) деление дробей . |
| 7 12 Выполните | умножение | и сделайте вывод . |
| Умножение | смешанного числа на натуральное число . | |
| 3 122 Выполните | умножение | . |
| 7 35 Выполните | умножение | . |
| 3 140 Выполните | умножение | устно . |
| 3 154 Выполните | умножение | . |
| 1 20 Найдите пропущенные числа ( знаком х обозначается | умножение | ) . |
| Было установлено , что свойства действий над отрицательными числами те же , что и над положительными ( например , сложение и | умножение | обладают переместительным свойством ) . |
| 7 4 Выполните | умножение | . |
| 3 179 Выполните | умножение | . |
| 3 22 Выполните | умножение | . |
| 7 5 Выполните | умножение | . |
| 3 17 Представьте первый множитель в виде десятичной дроби и выполните | умножение | : а ) 0,3 . б ) 6,4 . |
| выполнить | умножение | , не обращая внимания на запятые . |
| Умножение | двух чисел с разными знаками . | |
| Умножение | дроби на натуральное число . | |
| Умножение | смешанных чисел . | |
| Умножение | дроби на дробь . 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем . | |
| Обычно вначале обозначают произведение числителей и произведение знаменателей , затем производят сокращение и только потом выполняют | умножение | . |
| 3 16 Представьте первый множитель в виде обыкновенной дроби и выполните | умножение | . |
| Расскажите , как выполнить | умножение | двух дробей и как выполнить умножение смешанных чисел . |
| Для того чтобы выполнить | умножение | смешанных чисел , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей . |
| Расскажите , как выполнить умножение двух дробей и как выполнить | умножение | смешанных чисел . |
| 3 1 Выполните | умножение | . |
| 3 5 Выполните | умножение | . |
| 3 8 Выполните | умножение | . |
| 7 10 Выполните | умножение | . |
| 7 9 Выполните | умножение | . |
| 8 72 Выполните | умножение | . |
| Решим и эту задачу | умножением | . |
| Следовательно , число можно получить | умножением | 4 на 2 . |
| в ) свойства нуля при сложении . г ) свойства 0 и 1 при | умножении | рациональных чисел . |
| При | умножении | -1 на любое число а получается число -а . |
| Запишите свойства нуля и единицы при | умножении | . |
| Точно так же 1 получится при | умножении | 7 на 1 , 75 на 75 и т . |
| При | умножении | 4 на х получилось отрицательное число -24 , значит , множители 4 и х должны иметь разные знаки . |
| Так как при | умножении | -4 на х получилось отрицательное число -12 , то множители -4 и х должны иметь разные знаки . |
| Свойства | умножения | натуральных чисел . |
| Сформулируйте правило | умножения | двух чисел с разными знаками . |
| 7 113 Сформулируйте словами распределительное свойство | умножения | относительно сложения ( а + b ) × с = ас + bc и проверьте его . |
| Теперь воспользуемся правилом | умножения | дробей . |
| Распределительное свойство | умножения | относительно сложения и относительно вычитания позволяет упрощать вычисления . |
| 3 223 Не выполняя | умножения | , сравните . |
| 3 14 Найдите значение выражения двумя способами : по правилу умножения обыкновенных дробей и по правилу | умножения | десятичных дробей . |
| 3 14 Найдите значение выражения двумя способами : по правилу | умножения | обыкновенных дробей и по правилу умножения десятичных дробей . |
| б ) свойства | умножения | рациональных чисел . |
| На основе распределительного свойства | умножения | представим эту сумму в виде произведения суммы и числа . |
| Используя распределительное свойство | умножения | , можно упрощать выражения вида — a + а и — b - b . |
| 8 84 Найдите значение выражения , применив распределительное свойство | умножения | . |
| распределительное свойство | умножения | относительно сложения . |
| Переместительное и сочетательное свойства | умножения | позволяют упрощать выражения . |
| 8 59 Выполните действия , применив распределительное свойство | умножения | . |
| Какими свойствами обладает действие | умножения | дробей ? |
| сочетательное свойство | умножения | . |
| переместительное свойство | умножения | . |
| Такие задачи с натуральными числами или с десятичными дробями мы решали с помощью | умножения | . |
| 3 Найдите значение выражения 0,7 × 26 - 16 × 0,7 , применив распределительное свойство | умножения | . |
| С помощью умножения дробей решают такие же задачи , как и с помощью | умножения | натуральных чисел . |
| С помощью | умножения | дробей решают такие же задачи , как и с помощью умножения натуральных чисел . |
| Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом | умножения | дробей . |
| Применение распределительного свойства | умножения | . |
| 6 Распределительное свойство | умножения | относительно вычитания : для того чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе . |
| 15 Применение распределительного свойства | умножения | . |
| Это свойство | умножения | называют переместительным . |
| На основании какого свойства | умножения | выполняют приведение ( сложение ) подобных слагаемых ? . |
| Значит , по распределительному свойству | умножения | 2 m - 7 m + 3 m = m × ( 2 - 7 + 3 ) . |
| 7 107 Сформулируйте словами сочетательное свойство | умножения | a(bc ) = ( ab)c и проверьте его . |
| 7 106 Сформулируйте словами переместительное свойство | умножения | ab = ba и проверьте его . |
| В соответствии с правилом | умножения | получаем , что нечётных четырёхзначных чисел можно составить 4 × 5 × 5 × 2 = 200 . |
| Перечислите свойства | умножения | рациональных чисел . |
| Это свойство | умножения | называют сочетательным . |
| Однако , несмотря на такие сомнения и недоумения , правила | умножения | и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в . |
| 8 98 С помощью | умножения | обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от дробных чисел и решите уравнение . |
| Распределительное свойство | умножения | ( a + b ) × с = = ас + bc справедливо для любых чисел a , b и с . |
| Такие задачи называют задачами на нахождение дроби от числа и решают их с помощью | умножения | . |
| 5 Распределительное свойство | умножения | относительно сложения : для того чтобы умножить сумму на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения . |
| греческим математиком Диофантом ( в виде : « вычитаемое , | умноженное | на прибавляемое , даёт вычитаемое ; вычитаемое на вычитаемое даёт прибавляемое » и т . |
| Это же уравнение можно получить , разделив обе части данного уравнения на 4 или | умножив | обе части на 1 . |
| 7 52 Яша задумал число , | умножил | его на 5 , а затем из произведения вычел 2,7 . |
| Обе части уравнения | умножили | на число , не равное 0 . |
| Умножить | дробь на это число , не обращая внимания на запятую . | |
| 2 Чтобы | умножить | число на произведение двух чисел , можно сначала умножить его на первый множитель , а потом полученное произведение умножить на второй множитель . |
| 2 Чтобы умножить число на произведение двух чисел , можно сначала | умножить | его на первый множитель , а потом полученное произведение умножить на второй множитель . |
| 2 Чтобы умножить число на произведение двух чисел , можно сначала умножить его на первый множитель , а потом полученное произведение | умножить | на второй множитель . |
| Так как 45 % = 0,45 , то для решения задачи надо | умножить | 8 на 0,45 . |
| Чтобы привести дробь к знаменателю 12 , надо | умножить | числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 ( 12 : 4 = 3 ) . |
| 8 Если обе части уравнения | умножить | на одно и то же число , не равное нулю , то корни уравнения не изменятся . |
| 6 Распределительное свойство умножения относительно вычитания : для того чтобы | умножить | разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе . |
| 6 Распределительное свойство умножения относительно вычитания : для того чтобы умножить разность на число , можно | умножить | на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе . |
| Расскажите , как | умножить | дробь на натуральное число . |
| Расскажите , как можно | умножить | смешанное число на натуральное число . |
| 5 Распределительное свойство умножения относительно сложения : для того чтобы умножить сумму на число , можно | умножить | на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения . |
| 5 Распределительное свойство умножения относительно сложения : для того чтобы | умножить | сумму на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения . |
| Умножить | его целую часть на знаменатель дробной части . | |
| Тот же ответ получится , если | умножить | 20 на 0,6 . |
| Так как 0,6 = , то для решения задачи надо | умножить | 20 на 6 . |
| Чтобы найти дробь от числа , нужно | умножить | число на эту дробь . |
| Умножить | числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель . | |
| 2,4 × ( -0,5 ) — произведение двух целых четырёх десятых и минус нуля целых пяти десятых . — две целых четыре десятых | умножить | на минус нуль целых пять десятых . |
| Чтобы | умножить | десятичную дробь на натуральное число , надо . |
| Умножить | дробную часть на это натуральное число . | |
| Чтобы обратить десятичную дробь в проценты , надо её | умножить | на 100 . |
| Тот же ответ получится , если 20 | умножить | на , т . |
| Умножить | целую часть на натуральное число . | |
| — три восьмых | умножить | на шестнадцать двадцать первых . |
| Умножить | её на 10 , 100 , 1000 ) . | |
| Тот же ответ можно получить , если | умножить | на 53 . |
| Чтобы | умножить | смешанное число на натуральное число , можно . |
| Чтобы | умножить | десятичную дробь на 10 , 100 , 1000 и т . |
| 6 На какое число надо | умножить | пять шестых , чтобы получить десять ? . |
| Чтобы сложить ( или говорят : привести ) подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и результат | умножить | на общую буквенную часть . |
| Чтобы | умножить | дробь на дробь , надо . |
| Значит , если число х сначала умножить на некоторое число a , а потом | умножить | на число , обратное a , то получим опять х . |
| Значит , если число х сначала | умножить | на некоторое число a , а потом умножить на число , обратное a , то получим опять х . |
| 3 197 Если задуманное число | умножить | на 2 и к произведению прибавить то получится 85 . |
| Поэтому , чтобы решить задачу , надо | умножить | 0,4 на 200 . |
| Число , на которое надо | умножить | знаменатель дроби , чтобы получить новый знаменатель , называют дополнительным множителем . |
| Если | умножить | — на , то получится 1 . |
| 8 Чтобы в уравнении — y + 2 = — у + 3 освободиться от всех дробных коэффициентов , обе части уравнения надо | умножить | на три . |
| Если числитель и знаменатель дроби | умножить | или разделить на одно и то же натуральное число , получится равная ей дробь . |
| Но | умножить | 4 на натуральное число 5 — значит найти сумму пяти слагаемых , каждое из которых равно . |
| 4 Какое число надо | умножить | на три восьмых , чтобы получить единицу ? . |
| 2 14 Какое число надо | умножить | на 3 , чтобы получить . |
| 2 85 На какое число надо | умножить | 24 ; 8 ; 16 ; 6 ; 12 , чтобы получить 48 ? . |
| Изменится ли дробь , если её числитель и знаменатель | умножить | на 15 , а потом разделить на 3 ? . |
| Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения | умножить | или разделить на одно и то же число , не равное нулю . |
| Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель | умножить | на это число , а знаменатель оставить без изменения . |
| Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое | умножить | на число , обратное делителю . |
| Чтобы | умножить | дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения . |
| Чтобы привести дробь - к знаменателю 12 , надо числитель и знаменатель этой дроби | умножить | на дополнительный множитель 2 ( 12 : 6 = 2 ) . |
| 5 Сумму одной третьей и одной седьмой | умножьте | на двадцать один . |
| Четыре целых три пятых | умножьте | на пять . |
| Сумму одной третьей и одной шестой | умножьте | на шесть . |
| 6 Две целых одну пятую | умножьте | на три . |
| Пример 3 Решим | уравнение | 5х = 2х + 6 . |
| 3 64 Решите | уравнение | . |
| 8 28 Решите | уравнение | . |
| Это же | уравнение | можно получить , разделив обе части данного уравнения на 4 или умножив обе части на 1 . |
| 8 65 Решите | уравнение | . |
| 8 25 Решите | уравнение | . |
| 6 Составьте | уравнение | для решения задачи : « На одной полке « икс » книг , а на другой — втрое больше . |
| 8 53 Решите | уравнение | . |
| Пример 2 Решим | уравнение | 2х + 5 = 17 . |
| 2 185 Решите | уравнение | . |
| линейное | уравнение | . |
| 2 222 Решите | уравнение | . |
| 3 Решите | уравнение | 17 × ( x - 3 ) = 0 . |
| 9 75 Решите | уравнение | . |
| 3 Решите | уравнение | k = -7 . |
| 9 77 Решите | уравнение | . |
| 2 232 Решите | уравнение | . |
| 4 Решите | уравнение | а = 11 . |
| Пример 1 Решим | уравнение | 4 × ( х + 5 ) = 12 . |
| 8 32 Решите | уравнение | . |
| 10 34 Решите | уравнение | . |
| 7 73 Решите | уравнение | . |
| 5 44 Решите | уравнение | . |
| 9 83 Решите | уравнение | . |
| 10 108 Решите | уравнение | . |
| 5 Запишите | уравнение | « сумма « икс » и одной третьей равна одной второй » и решите его . |
| Пример 4 Решим | уравнение | 1 x + 12 = x . |
| 7 69 Решите | уравнение | . |
| 3 235 Решите | уравнение | . |
| 5 60 Составьте по каждой схеме | уравнение | и решите его . |
| 6 104 Решите | уравнение | . |
| 1 58 Решите | уравнение | . |
| 2 33 Решите | уравнение | . |
| 3 231 Решите | уравнение | . |
| 10 115 Решите | уравнение | . |
| 7 51 Решите | уравнение | . |
| 7 50 Решите | уравнение | и выполните проверку . |
| 5 72 Решите | уравнение | . |
| 4 Решите | уравнение | 3у - 4 = у + 8 . |
| 5 81 Решите | уравнение | . |
| 9 116 Решите | уравнение | . |
| 10 45 Решите | уравнение | . |
| 6 74 Составьте | уравнение | для решения задачи : « Поле площадью 2,4 га разделили на два участка . |
| 10 50 Решите | уравнение | . |
| 3 49 Решите | уравнение | . |
| 7 117 Решите | уравнение | . |
| 9 115 Решите | уравнение | . |
| 6 92 Решите | уравнение | и выполните проверку . |
| 8 71 Решите устно | уравнение | . |
| 8 123 Решите | уравнение | . |
| 1 96 Решите | уравнение | . |
| 8 124 Решите | уравнение | . |
| 3 208 Решите | уравнение | . |
| Решая дальше | уравнение | 5х - 2х = 6 , получим 3х = 6 и х = 2 . |
| 4 120 Решите | уравнение | . |
| Решив | уравнение | , получим х = 4,5 : 100 000 = 0,000045 . |
| Решив | уравнение | , получим . |
| 8 122 Решите | уравнение | и выполните проверку . |
| 7 112 Решите | уравнение | . |
| 3 207 Решите | уравнение | . |
| 3 127 Решите | уравнение | . |
| 4 84 Решите | уравнение | . |
| 10 100 Решите | уравнение | . |
| 8 98 С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от дробных чисел и решите | уравнение | . |
| 9 31 Решите | уравнение | . |
| 1 233 Решите | уравнение | . |
| 8 99 Решите | уравнение | и выполните проверку . |
| 6 51 Решите | уравнение | . |
| 7 31 Решите | уравнение | . |
| 7 111 Решите | уравнение | , использовав свойство произведения , равного нулю . |
| 3 170 Решите | уравнение | . |
| 3 159 Олег решал | уравнение | в течение 1 ч . |
| Задачу он решал на 1 ч дольше , чем | уравнение | . |
| Сколько времени Олег решал | уравнение | и задачу ? . |
| 1 105 Решите | уравнение | . |
| 4 58 Решите | уравнение | . |
| 4 44 Решите | уравнение | . |
| Решим | уравнение | . |
| 4 43 Решите | уравнение | . |
| 4 42 Решите | уравнение | . |
| 3 206 Решите | уравнение | . |
| 6 9 С помощью координатной прямой решите | уравнение | . |
| 8 101 Решите | уравнение | , используя основное свойство пропорции . |
| 7 Решить | уравнение | — значит найти все его корни или убедиться , что корней нет . |
| Запишите | уравнение | и решите его ( 1—3 ) . |
| 2 130 Решите | уравнение | . |
| 8 130 Решите | уравнение | , используя основное свойство пропорции . |
| 4 Решите | уравнение | 5y = 3у + 16 . |
| 1 66 Решите | уравнение | . |
| 5 Является ли линейным | уравнение | в задании 4 ? . |
| 3 107 Решите | уравнение | . |
| 8 12 Решите | уравнение | . |
| 8 97 Решите | уравнение | . |
| 8 89 Решите | уравнение | . |
| Это | уравнение | можно получить из данного , если слагаемое 2х перенести из правой части в левую , изменив его знак на противоположный . |
| Уравнение , которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых , называют линейным | уравнением | с одним неизвестным . |
| 8 Чтобы в | уравнении | — y + 2 = — у + 3 освободиться от всех дробных коэффициентов , обе части уравнения надо умножить на три . |
| 1 Решение | уравнений | . |
| 42 Решение | уравнений | . |
| 2 Решение | уравнений | . |
| решение | уравнений | . |
| 8 Решение | уравнений | . |
| Так возникла алгебра — один из разделов математики , в котором вначале в основном рассматривалось решение различных | уравнений | . |
| 3 307 Составьте задачу по | уравнению | . |
| Корни | уравнения | не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю . |
| Диофант умел решать очень сложные | уравнения | , применял для неизвестных буквенные обозначения , ввёл специальный символ для вычитания , использовал сокращения слов . |
| Корни | уравнения | не изменяются , если какое - нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак . |
| 7,1 ; -7,1 ; — 7 ; -0,5 является корнем | уравнения | . |
| Корень | уравнения | 2 - у = 14 — число три пятых . |
| Умножим левую и правую части | уравнения | на 3 для того , чтобы освободиться от дробного коэффициента . |
| Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части | уравнения | в другую . |
| Число 2 есть корень уравнения 5х - 2х = 6 и | уравнения | 5х = 2х + 6 , так как 5 × 2 - 2 × 2 = 6 и 5 × 2 = 2 × 2 + 6 . |
| 7 Корень | уравнения | число два . |
| 8 Чтобы в уравнении — y + 2 = — у + 3 освободиться от всех дробных коэффициентов , обе части | уравнения | надо умножить на три . |
| 8 100 Найдите корень | уравнения | . |
| Упростим левую часть | уравнения | : -2х = -36 . |
| 7 Корень | уравнения | 2 : у = 4 — число одна вторая . |
| Корни уравнения не изменяются , если обе части | уравнения | умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю . |
| Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные | уравнения | к виду ах = b , где а не равно 0 . |
| Корень этого | уравнения | — число минус двенадцать . |
| 7 7 Догадайтесь , чему равен корень | уравнения | , и выполните проверку . |
| 1 60 Решите задачу двумя способами ( с помощью | уравнения | и без составления уравнения ) . |
| Это же уравнение можно получить , разделив обе части данного | уравнения | на 4 или умножив обе части на 1 . |
| Само слово « алгебра » произошло от слова « аль - джебр » — восполнение : так аль - Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части | уравнения | в другую с переменой знака . |
| Теперь разделим обе части | уравнения | на -2 , получим х = 18 . |
| 8 96 Соберите в левой части | уравнения | все слагаемые , содержащие неизвестное , а в правой — не содержащие неизвестное . |
| Сколько времени выполняла эту работу Оля , если на решение задачи она затратила на ч меньше , а на решение | уравнения | на ч больше , чем Митя ? . |
| 7 Корень | уравнения | число минус четыре . |
| 6 Изменятся ли корни | уравнения | , если к обеим его частям прибавить одно и то же число ? . |
| 8 95 Перенесите из левой части | уравнения | в правую то слагаемое , которое не содержит неизвестного . |
| Обе части | уравнения | умножили на число , не равное 0 . |
| Видим , что корень уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется , если перенести слагаемое 5 из левой части | уравнения | в правую , изменив его знак на противоположный . |
| Число 18 является корнем данного | уравнения | x + 12 = x , так как верно равенство . |
| 9 7 Найдите корень | уравнения | . |
| Число -2 является корнем уравнения + 5 = 3 и | уравнения | 4 × ( х + 5 ) = 12 , так как -2 + 5 = 3 и 4 × ( -2 + 5 ) = 12 . |
| 7 Корни | уравнения | . |
| Число 2 есть корень | уравнения | 5х - 2х = 6 и уравнения 5х = 2х + 6 , так как 5 × 2 - 2 × 2 = 6 и 5 × 2 = 2 × 2 + 6 . |
| Корни уравнения не изменяются , если какое - нибудь слагаемое перенести из одной части | уравнения | в другую , изменив при этом его знак . |
| 8 98 С помощью умножения обеих частей | уравнения | на одно и то же число освободитесь от дробных чисел и решите уравнение . |
| Число -2 является корнем | уравнения | + 5 = 3 и уравнения 4 × ( х + 5 ) = 12 , так как -2 + 5 = 3 и 4 × ( -2 + 5 ) = 12 . |
| Изменились ли корни данного | уравнения | ? . |
| 6 60 Угадайте корень | уравнения | и выполните проверку . |
| Корень | уравнения | 3 × x = 2 — число две третьих . |
| Какие | уравнения | называют линейными ? . |
| 8 Если обе части уравнения умножить на одно и то же число , не равное нулю , то корни | уравнения | не изменятся . |
| Вычтем из обеих частей | уравнения | по 2х ( снимем с обеих чашек весов по два батона хлеба ) . |
| а ) для доказательства , что пропорция верна . б ) для решения | уравнения | . |
| 1 60 Решите задачу двумя способами ( с помощью уравнения и без составления | уравнения | ) . |
| Корень | уравнения | y + 2 = 4 — число две целых три пятых . |
| 10 41 Какие правила необходимо применять для решения | уравнения | . |
| 5 Каков корень | уравнения | 0,2а = 1 ? . |
| 8 Если обе части | уравнения | умножить на одно и то же число , не равное нулю , то корни уравнения не изменятся . |
| 8 13 Решите с помощью | уравнения | задачу . |
| Обе части | уравнения | разделили на одно и то же число , отличное от нуля . |
| 2 169 На решение задачи и | уравнения | Митя затратил 4 ч . |
| 7 Корень | уравнения | 3x + 2x = 5 — число семь . |
| Видим , что корень | уравнения | 2х + 5 = 17 не изменяется , если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую , изменив его знак на противоположный . |
| 4 52 Какие из | фигур | являются развёртками . |
| Среди задач , которые с давних времён приходилось решать людям , много было похожих , однотипных : вычисление площадей участков , нахождение объёмов | фигур | определённой формы , деление доходов , вычисление стоимости товара , измерение массы с помощью различных единиц и др . |
| Какая это может быть | фигура | ? . |
| 4 Какое название имеет геометрическая | фигура | — поверхность шара ? . |
| 4 145 Запишите масштаб , если он изображает | фигуру | , увеличивая её в 50 раз . |
| 2 55 Древнегреческих , а также древнеиндийских математиков интересовали числа , которые соответствовали количеству точек , расположенных в виде некоторой геометрической | фигуры | — треугольника , квадрата и др. |
| 4 138 Выполните измерения и вычислите площадь каждой закрашенной | фигуры | . |
| Эти | фигуры | называют призмами . |
| 5 133 Под цифрой 1 показан вид | фигуры | спереди , а под цифрой 2 — вид сверху . |
| Эти | фигуры | называют пирамидами . |
| 3 120 Вырежьте из плотной бумаги фигуры , показанные , и склейте | фигуры | , изображённые . |
| а ) абсциссы любой точки | фигуры | . |
| 3 120 Вырежьте из плотной бумаги | фигуры | , показанные , и склейте фигуры , изображённые . |
| Рассмотрите форму отдельных их частей : использованы ли архитекторами известные вам | фигуры | — призма , цилиндр , пирамида , конус ? . |
| 4 152 Выполните измерения и вычислите площадь каждой заштрихованной | фигуры | . |
| 3 323 Вырежьте из плотной бумаги | фигуры | , изображённые , и склейте фигуры , изображённые . |
| ординаты любой точки | фигуры | . |
| 3 323 Вырежьте из плотной бумаги фигуры , изображённые , и склейте | фигуры | , изображённые . |
| 3 Запишите в процентах десятичную дробь « одна | целая | две десятых » . |
| 3 Представьте в виде неправильной дроби число одна | целая | четыре пятнадцатых . |
| 8 Площадь прямоугольника со сторонами четыре метра и одна | целая | три четвёртых метра равна шести квадратным метрам . |
| 2 Представьте в виде неправильной дроби число одна | целая | три одиннадцатых . |
| 5 Во сколько раз одна | целая | две десятых больше нуля целых четырёх сотых ? . |
| 1 Одна | целая | одна пятая . |
| 7 Число « одна | целая | две пятых » обратно числу « пять седьмых » . ! ! ! ! ! |
| Если | целая | часть меньше делителя , то частное начинается с нуля целых . |
| 2 Одна | целая | две пятых . |
| 5 Запишите периодическую дробь одна | целая | и семь в периоде . |
| 3 Представьте в виде неправильной дроби число одна | целая | семь девятнадцатых . |
| Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной дроби ( в частности , | целого | числа ) , либо в виде периодической дроби . |
| Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной дроби ( в частности , | целого числа | ) , либо в виде периодической дроби . |
| 7 75 Представьте в виде дроби ( где а — | целое | число , b — натуральное число ) значение выражения . |
| Любое | целое | число а является рациональным числом как его можно записать в виде . |
| Дроби были нужны , чтобы выразить результат измерения длины , массы , площади в случаях , когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине | целое | число раз . |
| 3 Как называется число , которое можно представить в виде отношения « а » к « бэ » , где « а » — | целое | число , а « бэ » — натуральное ? . |
| Покажите , что любое | целое | число является рациональным числом . |
| 7 77 Представьте в виде дроби , где а — | целое | число , а b — натуральное число , значение выражения . |
| 8 43 Найдите наименьшее | целое | положительное и наибольшее целое отрицательное решения неравенства . |
| 8 43 Найдите наименьшее целое положительное и наибольшее | целое | отрицательное решения неравенства . |
| 7 95 Представьте в виде дроби , где а — | целое | число , b — натуральное число , b значение выражения . |
| 7 76 Представьте в виде дроби , где а — | целое | число , а b — натуральное число , значение выражения . |
| Значит , наименьшим расстоянием , на котором Володя и Катя сделают | целое | число шагов , будет 300 см. При этом Володя сделает 4 шага ( 300 : 75 = 4 ) , а Катя — 5 шагов ( 300 : 60 = 5 ) . |
| 7 74 Представьте в виде ( где а — | целое | число , ап — натуральное число ) следующие числа . |
| Число , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — | целое | число , а n — натуральное число , называют рациональным числом . |
| Дроби были нужны , чтобы выразить результат измерения длины , массы , площади в случаях , когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине | целое число | раз . |
| 7 75 Представьте в виде дроби ( где а — | целое число | , b — натуральное число ) значение выражения . |
| Число , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — | целое число | , а n — натуральное число , называют рациональным числом . |
| Значит , наименьшим расстоянием , на котором Володя и Катя сделают | целое число | шагов , будет 300 см. При этом Володя сделает 4 шага ( 300 : 75 = 4 ) , а Катя — 5 шагов ( 300 : 60 = 5 ) . |
| 7 74 Представьте в виде ( где а — | целое число | , ап — натуральное число ) следующие числа . |
| 7 76 Представьте в виде дроби , где а — | целое число | , а b — натуральное число , значение выражения . |
| 7 77 Представьте в виде дроби , где а — | целое число | , а b — натуральное число , значение выражения . |
| 7 95 Представьте в виде дроби , где а — | целое число | , b — натуральное число , b значение выражения . |
| 3 Как называется число , которое можно представить в виде отношения « а » к « бэ » , где « а » — | целое число | , а « бэ » — натуральное ? . |
| Покажите , что любое | целое число | является рациональным числом . |
| Любое | целое число | а является рациональным числом как его можно записать в виде . |
| При этом иногда приходится написать перед | целой | частью нуль или несколько нулей . |
| поставить в частном запятую , когда кончится деление | целой | части . |
| Запишите число , обратное одной | целой | пяти шестым . |
| Приведём дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные числа в виде суммы | целой | и дробной частей . |
| если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь , выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной | целой | части . |
| Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их | целой | и дробной частей , затем раскроем скобки , потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и , наконец , сложим полученные результаты . |
| Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого , то надо одну единицу | целой | части уменьшаемого превратить в дробь с тем же знаменателем . |
| Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8 , затем представим смешанные числа в виде суммы их | целой | и дробной частей . |
| 4 Нуля целых четырёх десятых к одной | целой | двум десятым . |
| Представим вначале число 2 в виде суммы его | целой | и дробной частей : 2 у = 2 , а затем применим распределительное свойство . |
| 2 ) неполное частное будет | целой | частью . |
| 6 Сто минут равны одной | целой | двум третьим часа . |
| x = +1,3 ( икс равен плюс одной | целой | трём десятым ) . |
| Шаг Володи 75 см , а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они сделают по | целому | числу шагов ? . |
| Шаг Володи 75 см , а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они сделают по | целому числу | шагов ? . |
| умножить его | целую | часть на знаменатель дробной части . |
| Чтобы из неправильной дроби выделить | целую | часть , надо . |
| если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , превратить её в неправильную дробь , уменьшив на единицу | целую | часть . |
| Выделите | целую | часть дроби . |
| Запишите дробную часть чисел 25 , 713 , 18 в виде неправильной дроби , уменьшив | целую | часть чисел на 1 . |
| 2 156 Запишите в виде неправильной дроби дробную часть чисел 33 , уменьшив | целую | часть на 1 . |
| 1 224 Запишите в виде обыкновенной дроби частное и выделите | целую | часть . |
| 1 95 Исключите | целую | часть из чисел . |
| умножить | целую | часть на натуральное число . |
| 1 234 Запишите в виде дроби частное и выделите из неё | целую | часть . |
| 1 103 Исключите | целую | часть из чисел . 11 18 226 14 . |
| В ответе , если это возможно , из дроби исключают | целую | часть . |
| если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь , выделить | целую | часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части . |
| Знаком о обозначают | целую | , ноту вдвое короче ( половинную ) , четвертную восьмую , шестнадцатую . |
| Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их целой и дробной частей , затем раскроем скобки , потом сложим отдельно | целые | и отдельно дробные части и , наконец , сложим полученные результаты . |
| 9 117 Найдите | целые | решения неравенства . |
| При сложении ( вычитании ) чисел в смешанной записи | целые | части складывают ( вычитают ) отдельно , а дробные — отдельно . |
| 4 Какие | целые | числа расположены на координатной прямой между числами минус три и плюс два ? . |
| 7 На координатной прямой между числами минус три и два расположены | целые | числа минус два , минус один и единица . |
| 5 135 Какие | целые | числа заключены между числами . |
| Целые | числа . | |
| 5 45 Найдите | целые | числа , расположенные на координатной прямой между числами . |
| Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12 , затем отдельно складываем | целые | и дробные части . |
| 6 106 Запишите все | целые | числа , модули которых . |
| 4 Какие | целые числа | расположены на координатной прямой между числами минус три и плюс два ? . |
| 5 135 Какие | целые числа | заключены между числами . |
| Целые числа | . | |
| 7 На координатной прямой между числами минус три и два расположены | целые числа | минус два , минус один и единица . |
| 5 45 Найдите | целые числа | , расположенные на координатной прямой между числами . |
| 6 106 Запишите все | целые числа | , модули которых . |
| 8 Сумма равна трём | целым | шести восьмым . |
| Дательный двум | целым | тридцати семи сто семьдесят девятым . |
| 5 С точностью до сотых число « пи » приближённо равно трём | целым | четырнадцати сотым . |
| Дательный двум | целым | тридцати семи сто семьдесят девятым Винительный как И . |
| С точностью до сотых число « пи » приближённо равно трём | целым | четырнадцати сотым . |
| Выражения , содержащие модули , читают так : -9 = 9 — модуль минус девяти целых одной третьей равен девяти | целым | одной третьей . |
| « Пи приближённо равно трём | целым | четырнадцати сотым » . |
| 8 Если велосипедист проехал пять километров за две пятых часа , то его средняя скорость была равна двенадцати | целым | пяти десятым километра в час . |
| в ) отрицательных чисел , не являющихся | целыми | . |
| г ) положительных чисел , не являющихся натуральными . д ) рациональных чисел , не являющихся | целыми | . |
| 7 88 Отметьте на координатной прямой точки с | целыми | координатами . |
| Творительный двумя | целыми | тридцатью семью сто семьдесят девятыми . |
| 6 105 Между какими соседними | целыми | числами расположено число . |
| Натуральные числа , противоположные им числа и нуль называют | целыми | числами . |
| Какие числа называют | целыми | ? . |
| 5 47 Между какими | целыми | числами на координатной прямой расположено число . |
| а ) оба слагаемых были | целыми | числами . |
| 5 102 Между какими соседними | целыми | числами заключено число . |
| 7 Положительные и отрицательные числа называют | целыми | числами . |
| 2,4 × ( -0,5 ) — произведение двух целых четырёх десятых и минус нуля целых пяти десятых . — две целых четыре десятых умножить на минус нуль | целых | пять десятых . |
| 5 Во сколько раз одна целая две десятых больше нуля | целых | четырёх сотых ? . |
| 1 Запишите в процентах десятичную дробь « ноль | целых | семь сотых » . |
| 4 Восьми | целых | шести седьмых и пяти . |
| 6 Четырех | целых | одной третьей и одной шестой . |
| 8 Одна четвёртая равна нулю | целых | двадцати пяти сотым . |
| Представьте в виде неправильной дроби число две | целых | одна третья . |
| Например , если будем делить 1 на 3 , то получим сначала нуль | целых | , потом три десятых , а далее при делении всё время будут повторяться остаток 1 и в частном цифра 3 . |
| 8 Разность пяти | целых | трёх восьмых и четырёх целых трёх седьмых больше единицы . |
| 8 Разность пяти целых трёх восьмых и четырёх | целых | трёх седьмых больше единицы . |
| 10 54 Сумма четырёх последовательных | целых | чисел равна 2 . |
| 7 Если число « эм » составляет двадцать процентов от числа « эн » , то отношение « эм » к « эн » равно нулю | целых | двум десятым . |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их | целых | частей и сложению их дробных частей . |
| 6 13 Сколько | целых | чисел расположено между числами -50,5 и 50,5 ? . |
| 8 Произведение двух | целых | чисел не может быть меньше каждого из множителей . |
| Число « пи » округлите до | целых | . |
| 7 Ноль | целых | семь десятых больше пятидесяти шести процентов . |
| Найдите площадь круга , округлив число « пи » до | целых | ( 3—4 ) , если . |
| отдельно выполнить сложение | целых | частей и отдельно — дробных частей . |
| а ) | целых | чисел . |
| 0,666 .. — ноль | целых | шестьсот шестьдесят шесть тысячных и так далее , 0,(6 ) — ноль целых и шесть в периоде . |
| 0,666 .. — ноль целых шестьсот шестьдесят шесть тысячных и так далее , 0,(6 ) — ноль | целых | и шесть в периоде . |
| — две | целых | пять тысяч триста тридцать три десятитысячных и так далее . |
| 2,5(3 ) — две | целых | пять десятых и три в периоде . |
| 8 Частное нуля | целых | восьми десятых и одной четвёртой равно нулю целых двум десятым . |
| 1 Запишите число « три | целых | семь двести пятидесятых » . |
| 6 Найдите частное трёх и нуля | целых | пяти десятых . |
| отдельно выполнить вычитание | целых | частей и отдельно дробных частей . |
| 5 Шести | целых | трёх пятых и трёх . |
| 8 Частное нуля целых восьми десятых и одной четвёртой равно нулю | целых | двум десятым . |
| Чему равна разность | целых | частей данных чисел ? . |
| 4 Ноль | целых | четыре десятых некоторого числа равны восьми . |
| 3 Найдите сумму нуля | целых | четырёх десятых и нуля целых четырёх сотых . |
| 3 Найдите сумму нуля целых четырёх десятых и нуля | целых | четырёх сотых . |
| 2,4 × ( -0,5 ) — произведение двух целых четырёх десятых и минус нуля целых пяти десятых . — две | целых | четыре десятых умножить на минус нуль целых пять десятых . |
| 5 Найдите произведение нуля целых семи десятых и нуля | целых | одной десятой . |
| 2,4 × ( -0,5 ) — произведение двух целых четырёх десятых и минус нуля | целых | пяти десятых . — две целых четыре десятых умножить на минус нуль целых пять десятых . |
| 2,4 × ( -0,5 ) — произведение двух | целых | четырёх десятых и минус нуля целых пяти десятых . — две целых четыре десятых умножить на минус нуль целых пять десятых . |
| Ответ округлите с избытком до десятых долей килограмма и до | целых | рулонов . |
| 5 Найдите произведение нуля | целых | семи десятых и нуля целых одной десятой . |
| Чему равна сумма | целых | частей данных чисел ? . |
| 1 Нуль | целых | три десятых этого числа равны шести . |
| 3 Представьте в виде неправильной дроби число три | целых | четыре седьмых . |
| 4 Двух | целых | четырёх девятых и пяти . |
| Представьте в виде неправильной дроби число три | целых | две пятых . |
| Нуля | целых | двух десятых к нулю целых трём десятым . |
| Нуля целых двух десятых к нулю | целых | трём десятым . |
| 4 Нуля | целых | четырёх десятых к одной целой двум десятым . |
| 5 Одной шестой и пяти | целых | двух третьих . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух | целых | семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| Частное , в которое входят отрицательные числа , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две | целых | семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| Корень уравнения y + 2 = 4 — число две | целых | три пятых . |
| Сколько сантиметров составляют ноль | целых | три десятых от двух метров ? . |
| 8 Если отношение двух чисел равно нулю | целых | двум десятым , то значение обратного отношения равно пяти . |
| 8 Сумма четырёх | целых | трёх пятых и трёх целых пяти шестых больше восьми . |
| 4 Найдите разность единицы и нуля | целых | пяти сотых . |
| 7 65 При каких | целых | значениях х верно неравенство . |
| Минус две | целых | три двадцать пятых . |
| 7 Ноль | целых | сорок пять сотых равны девяти двадцатым . |
| 8 Сумма четырёх целых трёх пятых и трёх | целых | пяти шестых больше восьми . |
| 8 Если первое число составляет сорок процентов второго , то второе число в две | целых | одну вторую раза больше первого . |
| 10 55 Сумма пяти последовательных | целых | чисел равна -10 . |
| 8 Частное двух | целых | чисел не может быть больше каждого из этих чисел . |
| 6 Одна третья этого числа равна нулю | целых | трём десятым . |
| Представьте в виде неправильной дроби число две | целых | одна девятая . |
| 4 Ноль | целых | четыре десятых которой равны двенадцати минутам . |
| Дательный нулю | целых | двумстам девяноста семи тысячным . |
| 8 41 Найдите произведение всех | целых | чисел . |
| 6 Произведение шести | целых | одной девятнадцатой и семи больше сорока двух . |
| 6 Две | целых | одну пятую умножьте на три . |
| 8 Частное минус нуля | целых | одной сотой и минус нуля целых одной тысячной равно десяти . |
| 8 Произведение пяти и трёх | целых | четырёх пятых равно девятнадцати . |
| 1 Ноль | целых | три десятых от тридцати . |
| Родительный двух | целых | тридцати семи сто семьдесят девятых . |
| Четыре | целых | три пятых умножьте на пять . |
| 1 Ноль | целых | две десятых от пяти . |
| Родительный нуля | целых | двухсот девяноста семи тысячных . |
| Предложный о нуле | целых | двухстах девяноста семи тысячных . |
| 7 116 Найдите сумму всех | целых | чисел . |
| 5 Двух | целых | трёх пятых и пяти . |
| 4 Найдите сумму всех | целых | чисел от минус четырёх до шести . |
| Пишут : -1 , -5 , -2 , -3,6 и читают : « минус один » , « минус пять » , « минус две третьих » , « минус две целых одна четвёртая » , « минус три | целых | шесть десятых » . |
| Выражения , содержащие модули , читают так : -9 = 9 — модуль минус девяти | целых | одной третьей равен девяти целым одной третьей . |
| Пишут : -1 , -5 , -2 , -3,6 и читают : « минус один » , « минус пять » , « минус две третьих » , « минус две | целых | одна четвёртая » , « минус три целых шесть десятых » . |
| 5 Одну четвёртую от нуля | целых | восьми десятых . |
| +1 , +5 , , +2 , +3,6 — и читают : « плюс один » , « плюс пять » , « плюс две третьих » , « плюс две целых одна четвёртая » , « плюс три | целых | шесть десятых » . |
| Если целая часть меньше делителя , то частное начинается с нуля | целых | . |
| 8 Частное минус нуля целых одной сотой и минус нуля | целых | одной тысячной равно десяти . |
| 2 Нуля | целых | двух десятых и одной второй . |
| Творительный нулём | целых | двумястами девяноста семью тысячными . |
| двух противоположных | целых | чисел . з ) двух рациональных чисел , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух целых чисел , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| Именительный две | целых | тридцать семь сто семьдесят девятых . |
| двух противоположных целых чисел . з ) двух рациональных чисел , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух | целых | чисел , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| Предложный о двух | целых | тридцати семи сто семьдесят девятых . |
| Именительный ноль ( нуль ) | целых | двести девяносто семь тысячных . |
| 8 18 Укажите четыре последовательных | целых | числа , если . |
| 6 70 Сколько | целых | чисел расположено между числами . |
| 9 8 Сумма трёх последовательных | целых | чисел равна нулю . |
| Дательный нулю | целых | двумстам девяноста семи тысячным Винительный как Именительный . |
| +1 , +5 , , +2 , +3,6 — и читают : « плюс один » , « плюс пять » , « плюс две третьих » , « плюс две | целых | одна четвёртая » , « плюс три целых шесть десятых » . |
| а ) | целых чисел | . |
| 8 Частное двух | целых чисел | не может быть больше каждого из этих чисел . |
| 8 41 Найдите произведение всех | целых чисел | . |
| 10 55 Сумма пяти последовательных | целых чисел | равна -10 . |
| двух противоположных | целых чисел | . з ) двух рациональных чисел , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух целых чисел , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| 6 13 Сколько | целых чисел | расположено между числами -50,5 и 50,5 ? . |
| 8 Произведение двух | целых чисел | не может быть меньше каждого из множителей . |
| 4 Найдите сумму всех | целых чисел | от минус четырёх до шести . |
| 7 116 Найдите сумму всех | целых чисел | . |
| 9 8 Сумма трёх последовательных | целых чисел | равна нулю . |
| 6 70 Сколько | целых чисел | расположено между числами . |
| двух противоположных целых чисел . з ) двух рациональных чисел , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух | целых чисел | , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| 10 54 Сумма четырёх последовательных | целых чисел | равна 2 . |
| 8 18 Укажите четыре последовательных | целых числа | , если . |
| Отрезок , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через | центр | шара , называют диаметром шара . |
| Как называется отрезок , соединяющий | центр | шара с любой точкой его поверхности ? . |
| Центр | шара . | |
| 8 108 Маркетинговая служба торгового | центра | проводила анализ продаж мобильных устройств в течение месяца и установила , что в первую декаду месяца было продано 0,56 всех мобильных устройств , во вторую декаду того , что было продано в первую , а в третью декаду — остальные 240 устройств . |
| Все точки поверхности шара одинаково удалены от | центра | шара . |
| 3 143 Подумайте , как из числа , записанного в | центре | , можно получить числа , записанные в кружках . |
| 7 131 Автобус отправился от автовокзала , расположенного в | центре | города , в районный посёлок . |
| Начертите окружность с | центром | А и радиусом , равным 5 единичным отрезкам . |
| мировым | центром | наук становится Средняя Азия , подарившая миру много учёных - математиков . |
| 10 69 На координатной плоскости начертите окружность с | центром | в точке С(-4 ; 0 ) и радиусом , равным 5 единичным отрезкам . |
| Отрезок , соединяющий точку поверхности шара с | центром | , называют радиусом шара . |
| Найдите длину этой | цепи | , если просвет каждого звена 16 мм , а толщина 4 мм . |
| 9 37 Из пятидесяти звеньев составлена | цепь | . |
| Рассмотрите форму отдельных их частей : использованы ли архитекторами известные вам фигуры — призма , | цилиндр | , пирамида , конус ? . |
| Цилиндр | . | |
| 5 27 Изображён | цилиндр | . |
| Сверху и снизу | цилиндр | ограничен кругами , которые называются основаниями цилиндра . |
| Какой высоты должен быть | цилиндр | с такой же площадью основания , чтобы его объём был равен объёму конуса ? |
| Вычислите объём | цилиндра | и объём конуса , у которых высоты по 12 см и радиусы оснований по 2 см . |
| Объём конуса в 3 раза меньше объёма | цилиндра | с такими же основанием и высотой . |
| 6 44 Объём | цилиндра | равен произведению площади одного его основания и высоты . |
| Попробуйте вычислить площадь поверхности | цилиндра | , если его высота 5 см , а радиус оснований 2 см . |
| Развёртка боковой поверхности | цилиндра | — прямоугольник . |
| Сверху и снизу цилиндр ограничен кругами , которые называются основаниями | цилиндра | . |
| Изображена развёртка поверхности | цилиндра | . |
| 9 79 Постройте | четырёхугольник | ABCD по координатам его вершин А(-8 ; 6 ) , В(6 ; 5 ) , С(1 ; — 3 ) , D(—7 ; 1 ) . |
| 9 27 Начертите | четырёхугольник | так , чтобы его противоположные стороны были параллельны и при этом в нём . |
| Полученный | четырёхугольник | называют параллелограммом . |
| Полученный | четырёхугольник | называют трапецией . |
| Что за | четырёхугольник | получился на чертеже ? . |
| 9 53 Постройте на координатной плоскости | четырёхугольник | ABCD , если А(-10 ; -2 ) , В(-2 ; -2 ) , С(-2 ; -6 ) , D(-10 ; -6 ) . |
| 9 24 Начертите | четырёхугольник | так , чтобы две его стороны были параллельны , а две другие не параллельны . |
| 5 У любого | четырёхугольника | есть параллельные стороны . |
| Найдите периметр и площадь этого | четырёхугольника | , если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков . |
| Как называют пару | чисел | , определяющих положение точки на плоскости ? |
| Частное двух | чисел | или выражений , в котором знак деления обозначен чертой , называют дробным выражением . |
| 10 55 Сумма пяти последовательных целых | чисел | равна -10 . |
| Число 210 является произведением | чисел | 21 и 10 . |
| — координаты точки эм — пара | чисел | минус два и семь . |
| При разложении | чисел | на простые множители используют признаки делимости . |
| 3 272 Найдите правило размещения | чисел | в полукругах и вставьте недостающие числа . |
| 1 156 Какие из | чисел | 3552 , 4712 , 6576 , 4836 делятся на 3 и на 4 ? |
| 10 54 Сумма четырёх последовательных целых | чисел | равна 2 . |
| 3 164 Найдите произведение | чисел | . |
| 3 182 Среднее арифметическое трёх | чисел | равно 3,1 . |
| 3 187 Среднее арифметическое четырёх | чисел | равно 2,75 . |
| 6 Произведение двух простых | чисел | всегда число составное . |
| 1 145 Найдите по два простых делителя каждого из | чисел | : 54 ; 62 ; 143 ; 182 ; 3333 ; 5005 . |
| Как выполняется деление смешанных | чисел | ? . |
| частное | чисел | две седьмых и одиннадцать четырнадцатых . |
| 3 196 Сумма двух | чисел | равна 1 . |
| 1 157 Какие из | чисел | 7284 , 2708 , 3912 , 9096 делятся на 12 ? . |
| Кубы натуральных | чисел | . . |
| В приложении 1 ( см. с. 148 ) приведена таблица простых | чисел | от 2 до 997 . |
| Частное двух | чисел | называют отношением этих чисел . |
| 1 Произведение двух | чисел | не изменяется при перестановке множителей . |
| Свойства умножения натуральных | чисел | . |
| Свойства вычитания натуральных | чисел | . |
| 2 Чтобы прибавить к числу сумму двух | чисел | , можно сначала прибавить первое слагаемое , а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое . |
| 1 Сумма | чисел | не изменяется при перестановке слагаемых . |
| Свойства сложения натуральных | чисел | . |
| 2 Чтобы умножить число на произведение двух | чисел | , можно сначала умножить его на первый множитель , а потом полученное произведение умножить на второй множитель . |
| Кубы натуральных | чисел | . |
| Квадраты и кубы натуральных | чисел | . |
| Таблица простых | чисел | ( до 997 ) . |
| 1 68 Какие из | чисел | 75 432 , 2 772 825 , 5 402 070 делятся на 3 ? |
| 1 Как иначе называется частное двух | чисел | ? . |
| 1 92 Сколько трёхзначных | чисел | можно составить из различных нечётных цифр ? . |
| 1 93 Сколько существует трёхзначных | чисел | , кратных пяти , в записи которых все цифры различны ? . |
| Квадраты натуральных | чисел | . |
| 1 95 Исключите целую часть из | чисел | . |
| Свойства деления натуральных | чисел | . |
| 6 Сложение и вычитание положительных и отрицательных | чисел | . |
| 5 76 Среди | чисел | -(-7 ) ; -3 ; -7 . |
| 5 75 Из двух | чисел | выберите то , у которого модуль меньше . |
| 5 74 Из двух | чисел | выберите то , у которого модуль больше . |
| 5 62 Найдите модуль каждого из | чисел | : 81 ; 1,3 ; -5,2 . |
| 1 48 Какие различные натуральные числа надо вписать в кружки , чтобы произведение каждых двух | чисел | , помещённых в кружках , соединённых отрезком , равнялось 70 ? |
| 9 8 Сумма трёх последовательных целых | чисел | равна нулю . |
| При сложении ( вычитании ) | чисел | в смешанной записи целые части складывают ( вычитают ) отдельно , а дробные — отдельно . |
| 5 51 Укажите пары взаимно обратных | чисел | : 3/7 ; 1,1 ; 5 ; 2 ; 0,2 . |
| Подумайте , как можно назвать набор | чисел | , оказавшихся в кружках . |
| 1 61 Найдите среди | чисел | 154 , 161 , 174 , 178 , 191 , 315 , 320 , 346 , 425 , 475 числа . |
| 5 21 Какое из | чисел | — правильная дробь или дробь , ей обратная , — на координатном луче расположено ближе к единице ? . |
| 5 20 Сколько натуральных | чисел | расположено на координатном луче между числами . |
| 5 18 Из | чисел | выпишите сначала все отрицательные , а потом все положительные числа . |
| 7 Умножение и деление положительных и отрицательных | чисел | . |
| теория | чисел | зародилась в Древней Греции в VI в . |
| отношение двух | чисел | . |
| 1 98 Какие из | чисел | 240 , 242 , 244 , 246 , 248 , 250 , 252 кратны 3 ? |
| Разность двух | чисел | 1,5 , причём 1 большего числа равна меньшему числу . |
| Отношение двух | чисел | увеличится , если каждое из них удвоить . |
| В соответствии с правилом умножения получаем , что нечётных четырёхзначных | чисел | можно составить 4 × 5 × 5 × 2 = 200 . |
| Так как точка А имеет координату 6 , а точка В — координату -5 , то положение точки М определяется парой | чисел | ( 6 ; -5 ) . |
| Эту пару | чисел | называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М , а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| 1 126 Выпишите из | чисел | 215 783 , 3 289 775 , 21 112 221 , 44 856 , 555 444 , 757 575 , 835 743 те , которые . |
| п . — отношение | чисел | тридцать пять и двадцать семь . |
| 8 Если отношение двух | чисел | равно нулю целых двум десятым , то значение обратного отношения равно пяти . |
| Подумайте , в чём сходство этой задачи с задачей нахождения решений неравенства 2 < х < 6 среди | чисел | 1 ; 3 ; 5 ; 7 . |
| Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел : её абсцисса и каждой паре | чисел | соответствует одна точка плоскости , для которой эти числа являющаяся координатами . |
| Что показывает отношение двух | чисел | ? . |
| Что называют отношением двух | чисел | ? . |
| 1 132 С помощью таблицы простых | чисел | , помещённой в приложении 1 , выберите из чисел 122 , 132 , 153 , 157 , 187 , 499 , 550 , 621 , 881 , 865 и 909 простые числа . |
| 1 132 С помощью таблицы простых чисел , помещённой в приложении 1 , выберите из | чисел | 122 , 132 , 153 , 157 , 187 , 499 , 550 , 621 , 881 , 865 и 909 простые числа . |
| Частное двух чисел называют отношением этих | чисел | . |
| Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара | чисел | : её абсцисса и каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости , для которой эти числа являющаяся координатами . |
| 1 103 Исключите целую часть из | чисел | . 11 18 226 14 . |
| 7 Отношение двух взаимно обратных | чисел | равно единице . |
| 1 117 Найдите произведение простых | чисел | . |
| в ) произведение двух составных | чисел | есть число составное ? . |
| Сумма двух | чисел | 7,2 , причём 1 большего числа равна меньшему числу . |
| 4 85 Можно ли составить верную пропорцию из следующих | чисел | . |
| Если вы можете без ошибок воспроизвести не менее пяти двузначных | чисел | , у вас хорошая память . |
| Если в какой - либо строке допущена ошибка , сами напишите несколько наборов из такого же , как в строке , количества двузначных | чисел | и тренируйтесь в их запоминании . |
| Разность двух нечётных | чисел | — число нечётное . |
| 1 124 Сколько нечётных четырёхзначных | чисел | можно составить из цифр 0,1 , 2 , 3 , 4 ? . |
| 4 78 Из | чисел | 3 , 7 , 9 и 21 составьте две верные пропорции . |
| 10 72 Сумма двух | чисел | равна 177 . |
| Проверьте полученные пропорции , определяя отношения | чисел | . |
| 1 107 Сколько делителей имеет каждое из | чисел | : 31 , 25 , 100 ? . |
| 1 108 С помощью таблицы простых | чисел | , помещённой в приложении 1 , определите , какие из чисел 101 , 121 , 253 , 409 , 561 , 563 , 863 , 997 являются простыми , а какие составными . |
| 1 108 С помощью таблицы простых чисел , помещённой в приложении 1 , определите , какие из | чисел | 101 , 121 , 253 , 409 , 561 , 563 , 863 , 997 являются простыми , а какие составными . |
| 1 110 Может ли произведение двух простых | чисел | быть : а ) простым числом . |
| 8 Из любых четырёх натуральных | чисел | можно составить пропорцию . . |
| Каждое из | чисел | 48 и 36 должно делиться на число подарков . |
| Некоторые проблемы теории | чисел | формулируются очень просто — их может понять любой шестиклассник . |
| Общими делителями | чисел | 48 и 36 будут : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 . |
| Учёные до сих пор не знают , есть ли самая большая пара | чисел | - близнецов . |
| е ) двух рациональных взаимно обратных | чисел | . |
| двух противоположных целых | чисел | . з ) двух рациональных чисел , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух целых чисел , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| среди | чисел | от 500 до 1000 ? |
| Сколько таких пар среди первых 500 натуральных | чисел | ? |
| двух противоположных целых чисел . з ) двух рациональных | чисел | , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух целых чисел , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| Найдите в таблице все пары | чисел | - близнецов . |
| двух противоположных целых чисел . з ) двух рациональных чисел , произведение которых равно 0 ; равно 1 . и ) двух целых | чисел | , сумма которых равна 0 ; равна 1 . |
| Заметили ли вы какие - либо закономерности в расположении простых | чисел | ? |
| среди | чисел | от 1 до 100 , от 101 до 200 и т . д. ) . |
| 1 228 По таблице простых чисел ( см. приложение 1 ) подсчитайте , сколько простых | чисел | в каждой из первых десяти сотен ( т . е . |
| 1 228 По таблице простых | чисел | ( см. приложение 1 ) подсчитайте , сколько простых чисел в каждой из первых десяти сотен ( т . е . |
| а ) произведение рациональных | чисел | . |
| 11 194 Вы умеете представлять числа в виде произведения простых | чисел | . |
| б ) частное рациональных | чисел | ? . |
| 1 226 Среднее арифметическое двух | чисел | равно 54 . |
| 1 225 Найдите среднее арифметическое | чисел | : 3,8 ; 4,2 ; 3,5 ; 4,1 . |
| а ) число , обратное произведению двух | чисел | , равно произведению чисел , обратных множителям . |
| Какие предположения о представлении | чисел | в виде суммы простых слагаемых вы можете высказать ? . |
| 1 229 Найдите наименьшее общее кратное | чисел | . |
| а ) число , обратное произведению двух чисел , равно произведению | чисел | , обратных множителям . |
| 1 230 Найдите наименьшее общее кратное | чисел | а и b , если . |
| 7 Наименьшее общее кратное двух взаимно простых | чисел | равно их произведению . |
| 2 17 Найдите , координаты точек A , B , Си D. Есть ли среди этих точек такие , координаты которых — общие кратные | чисел | m и п ? . |
| Отметьте на луче два общих кратных | чисел | а и 3 . |
| д ) сравнение рациональных чисел . е ) сложение рациональных | чисел | с одинаковыми знаками . |
| Какие из этих | чисел | изображаются на координатном луче одной и той же точкой ? |
| Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых | чисел | , но уже с помощью вычислительных машин . |
| Простыми числами от 2 до 60 являются 17 | чисел | : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 . |
| д ) сравнение рациональных | чисел | . е ) сложение рациональных чисел с одинаковыми знаками . |
| Для отыскания простых | чисел | другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ . |
| э . ) в своей книге « Начала » , бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики , доказал , что простых | чисел | бесконечно много , т . |
| Вы , наверное , обратили внимание , что простые числа в ряду натуральных | чисел | встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше , в других — меньше . |
| Идея задавать положение точки на плоскости с помощью | чисел | зародилась в древности — прежде всего у астрономов и географов при составлении звёздных и географических карт , календаря . |
| Интерес древних математиков к простым числам связан с тем , что любое число либо простое , либо может быть представлено в виде произведения простых | чисел | , т . |
| К 1983 г. было известно уже 27 совершенных | чисел | . |
| а ) целых | чисел | . |
| и его ученики изучали вопрос о делимости | чисел | . |
| б ) натуральных | чисел | . |
| в ) отрицательных | чисел | , не являющихся целыми . |
| 8 Произведение двух простых | чисел | — простое число . |
| г ) положительных | чисел | , не являющихся натуральными . д ) рациональных чисел , не являющихся целыми . |
| г ) положительных чисел , не являющихся натуральными . д ) рациональных | чисел | , не являющихся целыми . |
| 1 176 Найдите среди чисел 9 , 14 , 15 и 27 три пары взаимно простых | чисел | . |
| 1 221 Сколько трёхзначных | чисел | можно составить из чётных цифр ? . |
| 1 195 Найдите наибольший общий делитель | чисел | а и b , если . |
| б ) свойства умножения рациональных | чисел | . |
| Наименьшее общее кратное | чисел | 75 и 60 можно найти , и не выписывая подряд кратные этих чисел . |
| Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти , и не выписывая подряд кратные этих | чисел | . |
| Какое число является наименьшим общим кратным | чисел | и n , если число m кратно числу n ? . |
| 10 8 Запишите все делители | чисел | 18 ; 24 ; 45 . |
| 10 9 Какие из | чисел | 3572 , 81 375 , 158 457 , 237 583 , 67 932 , 2 487 960 делятся нацело на 3 ? |
| а ) свойства сложения рациональных | чисел | . |
| Как найти наименьшее общее кратное нескольких | чисел | ? . |
| Какое число называют наименьшим общим кратным натуральных | чисел | а и b ? . |
| Выпишем множители , входящие в разложение первого из этих | чисел | , и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа . |
| Например , наименьшим общим кратным | чисел | 12 , 15 , 20 и 60 будет число 60 , так как оно делится на все данные числа . |
| Заметим , что если одно из данных чисел делится остальные числа , то это число и является наименьшим общим кратным данных | чисел | . |
| Заметим , что если одно из данных | чисел | делится остальные числа , то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел . |
| добавить к ним недостающие множители из разложений остальных | чисел | . |
| выписать множители , входящие в разложение одного из | чисел | . |
| а ) сумма простых | чисел | есть число простое . |
| Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных | чисел | , надо . |
| Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более | чисел | . |
| произведение двух простых | чисел | есть число простое . |
| 1 205 Найдите разложение на простые множители наименьшего общего кратного | чисел | а и b , если . |
| Найдите наибольший общий делитель всех этих | чисел | . |
| 1 206 Найдите наименьшее общее кратное | чисел | а и b , если . |
| 1 207 Найдите наименьшее общее кратное | чисел | . |
| 1 196 Найдите наибольший общий делитель | чисел | . |
| б ) число , обратное сумме двух | чисел | , равно сумме чисел , обратных слагаемым . |
| б ) число , обратное сумме двух чисел , равно сумме | чисел | , обратных слагаемым . |
| 1 217 Найдите наибольший общий делитель | чисел | . |
| в ) число , противоположное произведению двух | чисел | , равно произведению чисел , противоположных множителям . |
| в ) число , противоположное произведению двух чисел , равно произведению | чисел | , противоположных множителям . |
| г ) число , противоположное сумме двух | чисел | , равно сумме чисел , противоположных слагаемым ? . |
| г ) число , противоположное сумме двух чисел , равно сумме | чисел | , противоположных слагаемым ? . |
| в ) свойства нуля при сложении . г ) свойства 0 и 1 при умножении рациональных | чисел | . |
| Общими кратными | чисел | 75 и 60 будут числа 300 , 600 . |
| Как вы думаете , чему равно наименьшее общее кратное | чисел | каждой пары ? . |
| Какая особенность объединяет эти пары | чисел | ? |
| 1 210 Рассмотрите пары | чисел | . |
| Чему равны наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное взаимно простых | чисел | ? . |
| Найдите наименьшее общее кратное данных | чисел | в каждой паре . |
| Подумайте , как найти наименьшее общее кратное | чисел | каждой пары . |
| 1 209 Рассмотрите пары | чисел | . |
| 1 208 Найдите наименьшее общее кратное | чисел | . |
| 10 7 Из натуральных | чисел | , расположенных между числами 11 и 43 , выпишите те числа , которые . |
| Это число называют наименьшим общим кратным | чисел | 75 и 60 . |
| Распределительное свойство умножения ( a + b ) × с = = ас + bc справедливо для любых | чисел | a , b и с . |
| 2 22 Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное | чисел | . |
| 1 176 Найдите среди | чисел | 9 , 14 , 15 и 27 три пары взаимно простых чисел . |
| Например , древнегреческим математикам была известна всего одна пара дружественных | чисел | — 220 и 284 . |
| а ) противоположных | чисел | . |
| Начало созданию теории | чисел | положили древнегреческие учёные Пифагор , Евклид , Эратосфен и другие . |
| Раздел математики , в котором изучаются свойства чисел и действий над ними , называют теорией | чисел | . |
| Раздел математики , в котором изучаются свойства | чисел | и действий над ними , называют теорией чисел . |
| теория | чисел | . |
| Если все данные числа делятся на одно них , то это число и является наибольшим общим делителем данных | чисел | . |
| Чему равна разность целых частей данных | чисел | ? . |
| 6 Чему равна разность дробных частей данных | чисел | ? . |
| Например , наибольшим общим делителем | чисел | 15 , 45 , 75 и 180 будет число 15 , так как на него делятся все остальные числа : 45 , 75 и 180 . |
| Вычитание смешанных | чисел | . |
| Чему равна сумма целых частей данных | чисел | ? . |
| 6 Чему равна сумма дробных частей данных | чисел | ? . |
| 3 Чему равен наименьший общий знаменатель дробных частей данных | чисел | ? . |
| Сложение смешанных | чисел | . |
| 2 213 Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для натуральных | чисел | . |
| В чём сходство решения этой задачи с нахождением решений двойного неравенства 0 < у < 10 среди | чисел | 0,12 ; 15 ; 2,7 ; 10,5 ? . |
| Расскажите , как выполнить вычитание смешанных чисел и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных | чисел | . |
| Расскажите , как выполнить вычитание смешанных | чисел | и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел . |
| знаменитый математик , член Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных | чисел | ( одна из них — 17 296 и 18 416 ) . |
| Расскажите , как сложить смешанные числа и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных | чисел | . |
| Однако до сих пор неизвестен общий способ нахождения пар дружественных | чисел | . |
| из множителей , входящих в разложение одного из этих чисел , вычеркнуть те , которые не входят в разложение других | чисел | . |
| Видим , что наибольшим из этих | чисел | является 12 . |
| Его называют наибольшим общим делителем | чисел | 48 и 36 . |
| Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка несколько | чисел | называют наибольшим общим делителем этих чисел . |
| Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка несколько чисел называют наибольшим общим делителем этих | чисел | . |
| Найдём наибольший общий делитель | чисел | 24 и 35 . |
| — произведение | чисел | три восьмых и шестнадцать двадцать первых . |
| Расскажите , как выполнить умножение двух дробей и как выполнить умножение смешанных | чисел | . |
| Наибольший общий делитель можно найти , не выписывая всех делителей данных | чисел | . |
| С помощью умножения дробей решают такие же задачи , как и с помощью умножения натуральных | чисел | . |
| Для того чтобы выполнить умножение смешанных | чисел | , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей . |
| Представим каждое из этих | чисел | в виде неправильной дроби . |
| Так как пройденный путь равен произведению скорости и времени , то для решения задачи надо найти произведение | чисел | 9 и 1 . |
| умножение смешанных | чисел | . |
| Из множителей , входящих в разложение первого из этих | чисел | , вычеркнем те , которые не входят в разложение второго числа ( это две двойки ) . |
| Это число и является наибольшим общим делителем | чисел | 48 и 36 . |
| Так же находят наибольший общий делитель трёх и более | чисел | . |
| Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных | чисел | , надо . |
| А более общее утверждение « любое чётное число , большее 2 , можно представить в виде суммы двух простых | чисел | » ( например : 28 = 11 + 17 , 56 = 19 + 37 , 924 = 311 + 613 ) до сих пор не доказано ( из него добавлением 3 получается предыдущая гипотеза ) . |
| из множителей , входящих в разложение одного из этих | чисел | , вычеркнуть те , которые не входят в разложение других чисел . |
| Было высказано предположение , что любое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых | чисел | . |
| 9 119 Сумма двух | чисел | равна 75 , причём одного числа равны — другого . |
| Чтобы выполнить вычитание смешанных | чисел | , надо . |
| Приведём дробные части данных | чисел | к наименьшему общему знаменателю 18 . |
| число пять — наибольший общий делитель | чисел | двадцать и двадцать пять . |
| 1 170 Найдите наибольший общий делитель | чисел | . |
| 1 171 Найдите наибольший общий делитель | чисел | . |
| умножение рациональных | чисел | с одинаковыми знаками . |
| 2 56 Сколько пятизначных | чисел | можно составить из чётных цифр , если цифры в записи числа не повторяются ? . |
| Подумайте , как можно находить треугольные и квадратные числа , используя ряд натуральных | чисел | . |
| Используя 13 , попробуйте найти ещё несколько треугольных и квадратных | чисел | . |
| Такое представление помогало древним учёным изучать свойства | чисел | . |
| 1 172 Найдите наибольший общий делитель | чисел | . |
| 1 173 Найдите наибольший общий делитель | чисел | . |
| 2 50 Найдите равные среди | чисел | . |
| 2 49 Найдите среди чисел 1 , 3 , 10 , 12 , 13 , 15 , 16 , 39 пары взаимно простых | чисел | . |
| 2 49 Найдите среди | чисел | 1 , 3 , 10 , 12 , 13 , 15 , 16 , 39 пары взаимно простых чисел . |
| Тот же ответ можно получить , сокращая дробь последовательно на общие делители | чисел | 150 и 225 , используя для их нахождения признаки делимости . |
| Например , наибольшим общим делителем | чисел | 150 и 150 . 225 является 75 . |
| 1 174 Найдите наибольший общий делитель | чисел | . |
| вычитание рациональных | чисел | . з ) |
| 2 31 Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное | чисел | . |
| Какие из этих | чисел | являются координатами одной и той же точки ? . |
| Наименьшим общим кратным | чисел | 4 и 6 является 12 . |
| вычитание смешанных | чисел | . |
| В предложениях с сочетаниями общий делитель , наибольший общий делитель числительные читают в родительном падеже , если перед ними нет слова | чисел | , и в винительном падеже в противном случае . |
| и ) деление рациональных | чисел | с одинаковыми знаками . |
| При вычитании смешанных | чисел | пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы . |
| привести дробные части этих | чисел | к наименьшему общему знаменателю . |
| сложение смешанных | чисел | . |
| Сначала приводим дробные части данных | чисел | к наименьшему общему знаменателю 12 , затем отдельно складываем целые и дробные части . |
| Приведём дробные части | чисел | к наименьшему общему знаменателю 8 , затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной частей . |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных | чисел | к сложению их целых частей и сложению их дробных частей . |
| 12 Сложение и вычитание смешанных | чисел | . |
| Какое число называют наибольшим общим делителем двух натуральных | чисел | ? . |
| Как найти наибольший общий делитель нескольких натуральных | чисел | ? . |
| Какое число является наибольшим общим делителем | чисел | а и b ? . |
| 1 167 Найдите все общие делители | чисел | . |
| Запишите дробную часть чисел 25 , 713 , 18 в виде неправильной дроби , уменьшив целую часть | чисел | на 1 . |
| Запишите дробную часть | чисел | 25 , 713 , 18 в виде неправильной дроби , уменьшив целую часть чисел на 1 . |
| 2 156 Запишите в виде неправильной дроби дробную часть | чисел | 33 , уменьшив целую часть на 1 . |
| б ) в виде натуральных | чисел | . |
| Пифагорейцы знали только одну пару дружественных | чисел | — 220 и 284 . |
| Изобразим пары | чисел | ( 3 ; 0 ) , ( 4 ; 60 ) , ( 5 ; 120 ) и т . |
| 2 92 Сколько чётных пятизначных | чисел | можно составить из цифр 0 , 3 , 5 , 6 , 8 ? |
| 1 169 Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя | чисел | а и b , если . |
| Выполните вычитание полученных | чисел | . |
| обратных | чисел | . |
| Это число является наименьшим общим кратным | чисел | 75 и 60 . |
| сложение | чисел | с разными знаками . |
| Всегда ли частное двух рациональных | чисел | является рациональным числом ? . |
| Какими числами являются сумма , разность , произведение рациональных | чисел | ? |
| Сложение | чисел | с разными знаками . |
| Выпишите в порядке возрастания одинаковые делители этих | чисел | . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных | чисел | числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| Пример 4 Найдём сумму | чисел | -5 и 0 . |
| 5 113 Определите , у какого из двух | чисел | модуль больше . |
| Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных | чисел | тоже рациональное число . |
| Сумма , разность и произведение рациональных | чисел | тоже отрицательные числа . |
| 6 Сумма двух | чисел | с разными знаками всегда отрицательна . |
| Сравнение | чисел | . |
| 8 Сумма двух | чисел | с разными знаками на координатной прямой находится между слагаемыми . |
| Вычитание отрицательных | чисел | имеет тот же смысл , что и вычитание положительных чисел : по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое . |
| Сумма двух противоположных | чисел | равна нулю . |
| Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и вычитание положительных | чисел | : по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое . |
| 8 Частное двух целых чисел не может быть больше каждого из этих | чисел | . |
| 8 Частное двух целых | чисел | не может быть больше каждого из этих чисел . |
| 1 31 Выберите из | чисел | 14 , 21 , 31 , 42 , 51 , 63 , 68 , 75 те , которые . |
| 6 79 Представьте в виде суммы двух равных слагаемых каждое из | чисел | . |
| Чему равна сумма противоположных | чисел | ? |
| 6 1 Найдите с помощью координатной прямой сумму | чисел | . |
| Прибавление нуля не меняет числа , сумма противоположных | чисел | равна нулю . |
| Какой знак будет иметь сумма этих | чисел | , если больший модуль имеет отрицательное число ? |
| Сложение рациональных | чисел | обладает переместительным и сочетательным свойствами . |
| Какое из двух отрицательных | чисел | считают большим ? |
| Какое из | чисел | больше : отрицательное или 0 ? . |
| Какое из | чисел | меньше : положительное или 0 ? . |
| 8 Произведение любых двух рациональных | чисел | также рациональное число . |
| Неравенства , составленные из положительных и отрицательных | чисел | , читают так . |
| Пример 3 Найдём сумму | чисел | 4 и -4 . |
| Сформулируйте правило сложения | чисел | с разными знаками . |
| Например , первые пять | чисел | , кратных 8 , такие : 8 , 16 , 24 , 32 , 40 . |
| 7 85 Одинаковы ли знаки | чисел | х и у , если верно неравенство . |
| 8 98 С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от дробных | чисел | и решите уравнение . |
| 6 Не существует такого натурального числа , которое являлось бы делителем любого из натуральных | чисел | . |
| 6 63 Какое из | чисел | 8 . |
| 1 32 Найдите наименьшее число , которое кратно каждому из трёх | чисел | . |
| 6 70 Сколько целых | чисел | расположено между числами . |
| 6 2 Выполните сложение | чисел | . |
| Сложение | чисел | выполняйте с помощью координатной прямой . |
| вычитание отрицательных и положительных | чисел | . |
| Частное двух | чисел | с разными знаками — положительное число . |
| Сравните с нулём частное этих | чисел | . |
| 8 Произведение двух целых | чисел | не может быть меньше каждого из множителей . |
| Произведение двух отрицательных | чисел | — положительное число . |
| 31 Сложение | чисел | с помощью координатной прямой . |
| умножение двух отрицательных | чисел | . |
| Сформулируйте правило умножения двух | чисел | с разными знаками . |
| Сравните с нулём произведение этих | чисел | . |
| 7 39 Среднее арифметическое двух | чисел | равно 12,32 . |
| Найдите среднее арифметическое этих | чисел | . |
| Деление отрицательных | чисел | имеет тот же смысл , что и деление положительных чисел : по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель . |
| Отрицательные числа появились значительно позже натуральных | чисел | и обыкновенных дробей . |
| 1 15 Проверьте , что каждое из | чисел | 6 , 28 , 496 равно сумме всех его делителей , не считая самого числа . |
| Но ни египтяне , ни вавилоняне , ни древние греки отрицательных | чисел | не знали . |
| 7 28 Может ли разность двух | чисел | быть больше их суммы ? . |
| в ) отрицательного и положительного | чисел | . |
| б ) двух отрицательных | чисел | . |
| Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных | чисел | — ввёл координатную прямую ( 1637 ) . |
| а ) двух положительных | чисел | . |
| В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII — XIII вв . , но до XVI в . , как и в древности , они понимались как долги , большинство учёных считали их « ложными » , в отличие от положительных | чисел | — « истинных » . |
| Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных | чисел | . |
| Умножение рациональных | чисел | тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами . |
| Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл , что и деление положительных | чисел | : по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель . |
| 1 16 Проверьте , что каждое из | чисел | 220 и 284 равно сумме делителей другого числа , не считая его самого . |
| Разность двух | чисел | положительна , если уменьшаемое больше вычитаемого , и отрицательна , если уменьшаемое меньше вычитаемого . |
| Сформулируйте правило деления | чисел | , имеющих разные знаки . |
| Что означает вычитание отрицательных | чисел | ? . |
| 1 5 Выберите из | чисел | 15 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 те , которые являются . |
| Пример 2 Найдём сумму | чисел | -2 и -4 . |
| При делении | чисел | с разными знаками надо . |
| 5 131 Среди | чисел | 1,6 ; -2 - 1 ; 0 ; 12 ; -19 укажите числа . |
| 1 17 Докажите , что произведение двух натуральных | чисел | кратно каждому из множителей . |
| Видим , что произведение отрицательных | чисел | есть число положительное . |
| 6 107 Может ли сумма двух | чисел | быть меньше . |
| 1 7 Приведите примеры пары | чисел | , имеющих делитель , равный . |
| 1 8 Найдите все одинаковые ( общие ) делители пары | чисел | . |
| деление двух отрицательных | чисел | . |
| деление двух | чисел | с разными знаками . |
| 1 10 Назовите три числа , которые одновременно делятся на каждое из | чисел | : а ) 6 и 8 . б ) 9 и 12 . |
| умножение двух | чисел | с разными знаками . |
| Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо перемножить модули этих | чисел | поставить перед полученным числом знак « - » . |
| в ) 6 и 4 . г ) 6 и 9 . 1 11 Назовите наименьшее число , которое кратно каждому из пары | чисел | . |
| 8 Разность двух отрицательных | чисел | может быть положительной . |
| Умножение рациональных | чисел | обладает и распределительным свойством относительно сложения . |
| Признанию отрицательных | чисел | способствовали работы французского математика , физика и философа Рене Декарта ( 1596—1650 ) . |
| Из двух отрицательных | чисел | меньше то , модуль которого больше . |
| Долгое время такие числа считали « несуществующими » , « ложными » прежде всего из- за того , что принятое истолкование для положительных и отрицательных | чисел | « имущество — долг » приводило к недоумениям : можно сложить или вычесть « имущества » или « долги » , но как понимать произведение или частное « имущества » и « долга » ? . |
| 7 116 Найдите сумму всех целых | чисел | . |
| Может ли при сложении отрицательных | чисел | получиться нуль ? |
| Сформулируйте правило сложения отрицательных | чисел | . |
| 4 Найдите сумму всех целых | чисел | от минус четырёх до шести . |
| 8 Сумма двух отрицательных | чисел | меньше каждого из слагаемых . |
| 5 Сумма двух рациональных | чисел | не может быть меньше разности этих чисел . |
| э . ) придумал способ описания громадных | чисел | . |
| сравнение отрицательных и положительных | чисел | . |
| 5 Сумма двух рациональных чисел не может быть меньше разности этих | чисел | . |
| Но долгое время натуральный ряд | чисел | считался конечным : люди думали , что существует самое большое число . |
| Однако , несмотря на такие сомнения и недоумения , правила умножения и деления положительных и отрицательных | чисел | были предложены в III в . |
| При сложении положительных и отрицательных | чисел | можно использовать калькулятор . |
| 6 Произведение двух взаимно обратных | чисел | равно единице . |
| Учёные полагают , что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад , для обозначения тысячи — 6000 лет назад , а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных | чисел | — до миллиона . |
| 7 Произведение десяти | чисел | , среди которых три отрицательных , — отрицательное число . |
| Так , ещё недавно у туземцев островов в Торресовом проливе ( отделяющем Новую Гвинею от Австралии ) были в языке названия только двух | чисел | : « урапун » ( один ) и « оказа » ( два ) . |
| 32 Сложение отрицательных | чисел | . |
| 6 Как называется результат вычитания рациональных | чисел | ? . |
| 33 Сложение | чисел | с разными знаками . |
| 29 Сравнение | чисел | . |
| Другими словами , для любых рациональных | чисел | а , b и с имеем . |
| 5 78 Какое из | чисел | на координатной прямой расположено правее . |
| 6 23 Найдите с помощью координатной прямой сумму | чисел | . |
| 1 39 Какие из | чисел | 200 , 320 , 3000 , 50 000 , 861 , 76 540 делятся на 100 ? |
| Сложение отрицательных | чисел | . |
| Перечислите свойства умножения рациональных | чисел | . |
| 1 Делимость | чисел | . |
| Перечислите свойства сложения рациональных | чисел | . |
| 8 41 Найдите произведение всех целых | чисел | . |
| Сначала раскроем скобки , потом найдём отдельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех отрицательных | чисел | и , наконец , сложим полученные результаты . |
| в ) 7 отрицательных и несколько положительных | чисел | . г ) 20 отрицательных и несколько положительных чисел ? . |
| Чему равна сумма | чисел | -2 и -5 ? . |
| В каком случае произведение двух | чисел | равно нулю ? . |
| Как можно найти значение выражения , противоположное сумме нескольких | чисел | ? . |
| в ) 7 отрицательных и несколько положительных чисел . г ) 20 отрицательных и несколько положительных | чисел | ? . |
| 5 85 Сравните модули | чисел | . |
| 6 13 Сколько целых | чисел | расположено между числами -50,5 и 50,5 ? . |
| Разложение | числа | на простые множители . |
| Подумайте , какие натуральные | числа | являются решениями неравенства . |
| 1 21 На координатном луче отмечены | числа | 1 и m. |
| 6 106 Запишите все целые | числа | , модули которых . |
| 3 258 Найдите число , если известно , что 1 этого числа равна 0,6 от | числа | 18 . |
| Если все данные | числа | делятся на одно них , то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел . |
| 3 259 Найдите число , если известно , что 45 % этого | числа | составляют 28 % от числа 180 . |
| Число билетов на балкон составило 0,4 от | числа | билетов в бельэтаж . |
| 1 20 Найдите пропущенные | числа | ( знаком х обозначается умножение ) . |
| 6 41 Известно , что х и у — положительные | числа | . |
| При этом поделки составляли 30 % от | числа | рисунков . |
| Каким действием можно заменить вычитание | числа | a из числа b ? |
| 3 259 Найдите число , если известно , что 45 % этого числа составляют 28 % от | числа | 180 . |
| Бельчонок собрал 75 % | числа | грибов , собранных белкой . |
| С помощью циркуля отметьте на луче | числа | : m + 1 ; m - 1 ; m + m . 1 22 Даны три числовых выражения и три алгоритма вычисления их значений на калькуляторе . |
| 7 14 Вычислите степень | числа | . |
| При делении | числа | 7 на 7 получаем 1 . |
| 1 25 При делении | числа | а на число b получили неполное частное c и остаток г . |
| Из множителей , входящих в разложение первого из этих чисел , вычеркнем те , которые не входят в разложение второго | числа | ( это две двойки ) . |
| Существуют ли составные | числа | , которые нельзя разложить на простые множители ? . |
| Разложим на множители | числа | 48 и 36 , получим . |
| 1 30 Запишите все делители | числа | 24 и числа 36 . |
| Разность , в которую входят отрицательные | числа | , читают так : ( -7 ) - ( -12 ) . |
| Каким действием можно заменить вычитание числа a из | числа | b ? |
| 7 8 Вычислите степень | числа | . |
| 3 226 Докажите , что | числа | а и b взаимно обратны , если . |
| 18 Нахождение | числа | по его дроби . |
| 7 В виде десятичной дроби можно представить только такую обыкновенную дробь , разложение знаменателя которой на простые множители содержит лишь | числа | « два » и « пять » . |
| нахождение | числа | по его дроби . |
| 1 15 Проверьте , что каждое из чисел 6 , 28 , 496 равно сумме всех его делителей , не считая самого | числа | . |
| 2 Запишите все простые | числа | , каждое из которых больше сорока пяти и меньше пятидесяти пяти . |
| 4 Квадрат простого | числа | не может быть простым числом . |
| 6 Любое число от прибавления отрицательного | числа | увеличивается . |
| 1 Представьте в виде смешанного | числа | дробь двадцать пять двенадцатых . |
| При этом число тетрадей в линейку составляло от | числа | тетрадей в клетку . |
| Как перемножаются два отрицательных | числа | ? . |
| Произведение , в которое входят отрицательные | числа | , читают так . |
| Чтобы перемножить два | числа | с разными знаками , надо перемножить модули этих чисел поставить перед полученным числом знак « - » . |
| Теперь в произведении 3 × 7 × 2 × 5 все множители — простые | числа | . |
| Сформулируйте правило нахождения | числа | по данному значению его дроби . |
| Чтобы из данного | числа | вычесть другое , надо к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому : a - b = a + ( -b ) . |
| 8 Если запись натурального | числа | оканчивается не менее чем двумя нулями , это натуральное число делится без остатка на сто . |
| 3 228 Округлите | числа | . |
| 3 258 Найдите число , если известно , что 1 этого | числа | равна 0,6 от числа 18 . |
| 2 Представьте в виде смешанного | числа | дробь двадцать три восьмых . |
| Индийские математики представляли себе положительные числа как имущество , а отрицательные | числа | как долг . |
| Индийские математики представляли себе положительные | числа | как имущество , а отрицательные числа как долг . |
| Складывать и вычитать отрицательные | числа | научились китайские учёные ещё до нашей эры . |
| 10 23 Сравните | числа | с помощью вычитания . |
| 1 16 Проверьте , что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делителей другого | числа | , не считая его самого . |
| Чтобы перемножить два отрицательных | числа | , надо перемножить их модули . |
| 3 Из какого | числа | нужно вычесть минус пять , чтобы получить минус пять ? |
| Например , наибольшим общим делителем чисел 15 , 45 , 75 и 180 будет число 15 , так как на него делятся все остальные | числа | : 45 , 75 и 180 . |
| 2 Представьте в виде смешанного | числа | дробь сорок одна двенадцатая . |
| Как вы думаете , | числа | , которые делятся на 3 и на 4 , делятся на 12 ? |
| Сложив | числа | 9 и -12 с помощью координатной прямой , получим 9 + ( -12 ) |
| 3 142 От какого | числа | надо отнять -1 , чтобы получить 1 ; 1 5 ; 17 ? . |
| Взаимно простые | числа | . |
| На основе распределительного свойства умножения представим эту сумму в виде произведения суммы и | числа | . |
| Поэтому сначала выпишем все делители | числа | 48 . |
| Одним из кратных натурального | числа | « эм » является число « эм » . |
| Затем выпишем все делители | числа | 36 . |
| После этого в корзине осталась половина первоначального | числа | яблок . |
| умножение смешанного | числа | на натуральное число . |
| 6 Не существует такого натурального | числа | , которое являлось бы делителем любого из натуральных чисел . |
| 8 Если две седьмых некоторого | числа | равны одной второй , то это число равно восьми девятым . |
| Значение правильной дроби от числа меньше этого | числа | . |
| Значение правильной дроби от | числа | меньше этого числа . |
| 7 19 Вычислите степень дробного | числа | . |
| 8 Чтобы найти дробь от | числа | , нужно вычислить произведение дроби и этого числа . |
| Найдите эти | числа | , если второе число больше первого на 0,9 , а третье число больше первого в 2 раза . |
| 3 143 Подумайте , как из | числа | , записанного в центре , можно получить числа , записанные в кружках . |
| 3 143 Подумайте , как из числа , записанного в центре , можно получить | числа | , записанные в кружках . |
| Поэтому если последняя цифра в записи натурального | числа | отлична от нуля , то это число не делится без остатка на 10 . |
| из точки А в точку С через точку В . б ) из точки A в точку C , который пересекал бы все рёбра куба , кроме ребра AC . 1 162 Разложите на простые множители | числа | . |
| 1 Запишите однозначные составные | числа | . |
| 10 31 Сравните | числа | , найдя их отношение . |
| в ) Какое получится число при округлении | числа | p до сотых ? . |
| Значит , взаимно обратными будут | числа | 8/15 и 15/8 . |
| Два | числа | , произведение которых равно 1 , называют взаимно обратными . |
| д . взаимно обратные | числа | . |
| 16 Взаимно обратные | числа | . |
| Какие | числа | называют взаимно обратными ? . |
| последнюю цифру записи этого | числа | ) . |
| Пользуясь этим признаком , укажите | числа | , которые делятся на 4 . |
| Чтобы ввести отрицательное число на калькуляторе , надо ввести модуль этого | числа | , потом нажать клавишу « изменение знака » ± или . |
| 3 165 Будут ли взаимно обратными | числа | . |
| При делении же | числа | 283 на 10 получаем неполное частное 28 и остаток 3 ( т . |
| Если две последние цифры данного | числа | образуют число , которое кратно 4 , то и само число кратно 4 . |
| 3 184 Найдите | числа | , обратные числам . |
| Нахождение дроби от | числа | . |
| 3 94 Найдите пропущенные | числа | . |
| взаимно простые | числа | . |
| Найдите в таблице последовательно все | числа | от 1 до 25 . |
| 3 34 Найдите пропущенные | числа | . |
| Такие | числа | называют взаимно простыми . |
| 7 Для любого | числа | существует обратное ему число . |
| Натуральные | числа | называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 . |
| Проверьте результат , представив эти | числа | в виде десятичных дробей . |
| 1 140 Запишите все двузначные | числа | , которые раскладываются на два различных простых множителя , один из которых равен . |
| 1 139 Напишите все двузначные | числа | , разложение которых на простые множители состоит . |
| В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в произведении — х. По смыслу деления это число равно частному от деления | числа | у на число у. |
| 1 138 Разложите на простые множители | числа | . |
| Тот же ответ можно получить , если выразить данные | числа | в десятичных дробях = 0,44 , = 0,75 , 0,44 × 0,75 = 0,33 , но 0,33 ц = 33 кг . |
| Видим , что это частное равно произведению делимого и | числа | , обратного делителю , т . |
| Чем могут отличаться два разложения одного и того же | числа | на простые множители ? . |
| Представим сначала | числа | 2 и 1 в виде неправильных дробей . |
| 1 30 Запишите все делители числа 24 и | числа | 36 . |
| Видим , что | числа | 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1 . |
| Чтобы сложить | числа | 9 и -6 с помощью координатной прямой , надо точку 4(9 ) переместить влево на 6 единичных отрезков . |
| Чтобы сложить два | числа | с разными знаками , надо . |
| 2 Представьте в виде смешанного | числа | дробь сорок одна шестнадцатая . |
| Например , найти 32,5 % от | числа | 6,24 можно по алгоритму 6.24 0 32.5 % . |
| 3 90 Найти несколько процентов от | числа | можно с помощью калькулятора при наличии на нём клавиши % . |
| Расскажите , как найти несколько процентов от | числа | . |
| Сформулируйте правило нахождения дроби от | числа | . |
| Решим ещё две задачи на нахождение дроби от | числа | . |
| Чтобы найти дробь от | числа | , нужно умножить число на эту дробь . |
| нахождение дроби от | числа | . |
| Найдите эти | числа | , если второе больше первого в 1,5 раза , третье больше первого в 1,2 раза и , наконец , четвёртое больше первого в 1,8 раза . |
| Такие задачи называют задачами на нахождение дроби от | числа | и решают их с помощью умножения . |
| 14 Нахождение дроби от | числа | . |
| Крытых вагонов было в 1,2 раза больше , чем платформ , а число цистерн составляло | числа | платформ . |
| Делителями | числа | 24 будут 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 , а делителями числа 35 будут 1 , 5 , 7 , 35 . |
| Взаимно обратные | числа | . |
| Делителями числа 24 будут 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 , а делителями | числа | 35 будут 1 , 5 , 7 , 35 . |
| 1 146 Какие простые | числа | являются решениями неравенства 17 < p < 44 ? . |
| 3 45 Запишите , какую часть | числа | составляют : 1 % ; 3 % ; 15 % ; 25 % ; 10 % ; 20 % ; 50 % . |
| 8 Чтобы найти дробь от числа , нужно вычислить произведение дроби и этого | числа | . |
| Словарный диктант . 1 Как называется дробь , числитель и знаменатель которой — взаимно простые | числа | ? . |
| 4 Чему равен дополнительный множитель для дробной части первого | числа | ? . |
| Другими словами , если а , b и с — любые рациональные | числа | , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет рационального числа , а произведение числа на обратное ему число равно 1 . |
| Другими словами , если а , b и с — любые рациональные числа , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет рационального | числа | , а произведение числа на обратное ему число равно 1 . |
| Другими словами , если а , b и с — любые рациональные числа , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет рационального числа , а произведение | числа | на обратное ему число равно 1 . |
| Значит , для любого рационального | числа | a имеем . |
| Умножение | числа | на нуль даёт в нуль , т . |
| Два простых | числа | , разность которых равна 2 , называют близнецами . |
| для любого рационального | числа | а имеем . |
| Найдите эти | числа | . |
| Значит , для любого рационального | числа | а имеем a + 0 = a , a + ( – a ) = 0 . |
| 7 102 Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные | числа | , найдите значение выражения . |
| 7 103 Сложив сначала противоположные | числа | , найдите значение выражения . |
| Кратным натурального | числа | а называют натуральное число , которое делится без остатка . |
| а ) одно отрицательное число и два положительных | числа | . |
| б ) два отрицательных | числа | и одно положительное число . |
| Говорят , что | числа | 8 , 16 , 24 кратны числу 8 , а число 18 не кратно числу 8 . |
| 1 220 Назовите все двузначные | числа | , записанные одинаковыми цифрами . |
| 1 197 Докажите , что | числа | 864 и 875 взаимно простые . |
| 1 198 Сравните | числа | . |
| Попробуйте представить в виде суммы простых слагаемых | числа | 10 , 36 , 54 , 15 , 27 и 49 так , чтобы слагаемых было возможно меньше . |
| Прибавление нуля не меняет | числа | , сумма противоположных чисел равна нулю . |
| Иными словами , если а , b и с — любые рациональные | числа | , |
| 7 Число « сто пятьдесят » составляет двести процентов | числа | « семьдесят пять » . |
| Вы , наверное , обратили внимание , что простые | числа | в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше , в других — меньше . |
| простые числа — это как бы кирпичики , из которых строятся остальные натуральные | числа | . |
| простые | числа | — это как бы кирпичики , из которых строятся остальные натуральные числа . |
| 3 Найдите число , если десять процентов этого | числа | равны трём . |
| 1 188 Сравните | числа | . |
| 1 192 Представьте в виде обыкновенной дроби | числа | 0,3 ; 0,13 ; 0,2 и в виде десятичной дроби числа . |
| Но до сих пор учёные не знают , есть ли нечётные совершенные | числа | , есть ли самое большое совершенное число . |
| 4 Двадцать пять процентов некоторого | числа | равны девяти . |
| Пифагорейцы знали только первые три совершенных | числа | . |
| Следующие совершенные | числа | — 496 , 8128 , 33 550 336 . |
| Например , | числа | 6 ( 6 = 1 +2 + 3 ) , 28 ( 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ) совершенные . |
| 1 192 Представьте в виде обыкновенной дроби числа 0,3 ; 0,13 ; 0,2 и в виде десятичной дроби | числа | . |
| 5 Сколько процентов число « один » составляет от | числа | « пять » ? . |
| Число , равное сумме всех его делителей ( без самого | числа | ) , они называли совершенным числом . |
| Какое число называют делителем данного натурального | числа | ? |
| 7 92 Можно ли представить в виде десятичной дроби | числа | . |
| 6 Не существует такого натурального | числа | « эм » , что НОК ( m ; 18 ) = 60 . |
| 11 194 Вы умеете представлять | числа | в виде произведения простых чисел . |
| Рациональные | числа | . |
| е ) последовательные натуральные | числа | всегда взаимно простые ? . |
| 7 74 Представьте в виде ( где а — целое число , ап — натуральное число ) следующие | числа | . |
| 1 202 Представьте в виде обыкновенной дроби | числа | : 0,5 ; 0,16 ; 0,25 . |
| г ) простое и составное | числа | могут быть взаимно простыми . |
| Говорят , что число 4 является делителем числа 20 , а число 6 не является делителем | числа | 20 . |
| Но записывать такие громадные | числа | ещё не умели . |
| была придумана цифра « нуль » и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи | числа | . |
| При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин , да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести « ломаные | числа | » — обыкновенные дроби . |
| Отрицательные | числа | появились позднее , чем дроби . |
| Долгое время такие | числа | считали « несуществующими » , « ложными » прежде всего из- за того , что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел « имущество — долг » приводило к недоумениям : можно сложить или вычесть « имущества » или « долги » , но как понимать произведение или частное « имущества » и « долга » ? . |
| Для этого разложим | числа | 75 и 60 на простые множители : 75 = 3 × 5 × 5 , а 60 = 2 × 2 × 3 × 5 . |
| отрицательные | числа | стали равноправными с положительными . |
| 10 7 Из натуральных чисел , расположенных между числами 11 и 43 , выпишите те | числа | , которые . |
| В математике существуют и другие | числа | — иррациональные , комплексные и др. |
| То же значение можно получить по - другому : вначале записать | числа | , противоположные данным слагаемым ( т . е . |
| Например , наименьшим общим кратным чисел 12 , 15 , 20 и 60 будет число 60 , так как оно делится на все данные | числа | . |
| Выпишем множители , входящие в разложение первого из этих чисел , и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго | числа | . |
| 8 18 Укажите четыре последовательных целых | числа | , если . |
| Заметим , что если одно из данных чисел делится остальные | числа | , то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел . |
| Если выражение является произведением | числа | и одной или нескольких букв , то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом ) . |
| Говорят , что число 4 является делителем | числа | 20 , а число 6 не является делителем числа 20 . |
| 8 40 На координатной прямой отмечены | числа | а и b. |
| Чтобы найти значение выражения -(-9 + 5 ) , надо сложить | числа | -9 и 5 и найти число , противоположное полученной сумме : -(-9 + 5 ) = -(-4 ) = 4 . |
| д. Все | числа | , начиная с семи , туземцы называли словом , обозначавшим « много » . |
| Как называют | числа | , представленные в каждой паре ? |
| Вначале при счёте предметов возникли натуральные | числа | . |
| Число 1 является делителем натурального | числа | . |
| в ) два различных простых | числа | всегда взаимно простые . |
| чётное и нечётное | числа | всегда взаимно простые . |
| отрицательного | числа | ? |
| а ) два чётных | числа | не могут быть взаимно простыми . |
| 5 Два последовательных натуральных | числа | всегда взаимно простые . |
| а ) Чему равен модуль положительного | числа | ? |
| а ) Какое число называют делителем данного | числа | ? |
| кратным данного | числа | ? |
| Выпишем | числа | , кратные 75 . |
| Затем выпишем | числа | , кратные 60 . |
| Могут ли два одинаковых | числа | быть взаимно простыми ? . |
| Делителем натурального | числа | а называю натуральное число , на которое а делится без остатка . |
| Общими кратными чисел 75 и 60 будут | числа | 300 , 600 . |
| д ) Какие | числа | называют взаимно простыми ? |
| 1 214 Каждую из дробей и , где а и b — натуральные | числа | , можно представить в виде десятичной . |
| 4 Как называются два | числа | , расположенные на координатной прямой по разные стороны от начала отсчёта , модули которых равны ? . |
| 5 Как называется такая запись | числа | : 4,2(31 ) ? . |
| 7 Как можно назвать | числа | : пятнадцать , сто шесть ? |
| 1 203 Представьте в виде десятичной дроби | числа | . |
| Чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду , тем реже встречаются простые | числа | . |
| 1 185 Можно ли найти четыре различных простых | числа | , чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других ? . |
| 1 184 Почему если одно число можно разложить на два простых множителя , а другое — на три простых множителя , то эти | числа | не равны ? . |
| 2 155 Запишите | числа | . |
| Проверьте , что эти | числа | действительно дружественные . |
| Так они называли два числа , каждое из которых равно сумме делителей другого числа ( не считая самого | числа | ) . |
| Так они называли два числа , каждое из которых равно сумме делителей другого | числа | ( не считая самого числа ) . |
| Так они называли два | числа | , каждое из которых равно сумме делителей другого числа ( не считая самого числа ) . |
| Древнегреческими учёными — последователями Пифагора открыты дружественные | числа | . |
| 2 152 дружественные | числа | . |
| 2 149 Найдите пропущенные | числа | . |
| 1 9 Напишите все двузначные | числа | , кратные числу : а ) 8 . б ) |
| 2 134 Используя свойство вычитания суммы из | числа | , найдите значение выражения . |
| Используя свойство вычитания суммы из | числа | , получим . |
| 8 Дробь несократима , если её числитель и знаменатель — взаимно простые | числа | . |
| Есть ли среди них | числа | , кратные трём ? |
| 1 6 Напишите все делители | числа | . |
| Укажите наибольшее число , на которое делятся | числа | каждой пары . |
| Сформулируйте правило деления отрицательного | числа | на отрицательное . |
| 2 84 Найдите пропущенные | числа | , если х = 0,8 ; 0,16 ; 0,06 ; 1 . |
| Частное , в которое входят отрицательные | числа | , читают так . -54 : ( -2,7 ) — частное минус пятидесяти четырёх и минус двух целых семи десятых . — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых . ( -6 m ) : ( -3 ) — частное минус шести эм и минус трёх . — минус шесть эм разделить на минус три . |
| 2 133 Используя свойство вычитания | числа | из суммы , найдите значение выражения . |
| 1 10 Назовите три | числа | , которые одновременно делятся на каждое из чисел : а ) 6 и 8 . б ) 9 и 12 . |
| 2 176 Запишите | числа | . |
| в виде натурального | числа | . б ) 48 , 1512 , 825 так , чтобы их дробная часть была правильной дробью . |
| 1 Представьте в виде смешанного | числа | дробь восемнадцать седьмых . |
| 2 208 Найдите пропущенные | числа | . |
| 2 193 Запишите все | числа | , большие — 1 и меньшие 1 , знаменатель дробной части которых равен 12 . |
| 2 Представьте в виде смешанного | числа | дробь « двадцать три пятых » . |
| По - другому эти | числа | можно изобразить с помощью столбчатой диаграммы . |
| Расскажите , как сложить смешанные | числа | и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел . |
| Отметьте на этом луче четыре | числа | , кратные числу а . |
| По свойству вычитания суммы из | числа | имеем . |
| Приведём дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные | числа | в виде суммы целой и дробной частей . |
| При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания | числа | из суммы . |
| При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из | числа | и вычитания числа из суммы . |
| Чтобы сложить смешанные | числа | , надо . |
| Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8 , затем представим смешанные | числа | в виде суммы их целой и дробной частей . |
| 1 13 Докажите , что число 70 525 кратно числу 217 , а число 729 является делителем | числа | 225 261 . |
| Сначала найдём знак | числа | х. |
| Какие два | числа | называют взаимно простыми ? . |
| Теперь найдём модуль | числа | х. Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей , то -12 = -4 × . |
| 10 19 В каком порядке следует выполнять действия в выражении без скобок , если в нём содержится по одному разу вычитание , возведение | числа | в куб и деление ? . |
| 7 Квадрат чётного | числа | — число чётное . |
| произведение тех множителей , которые надо добавить к разложению | числа | 60 , чтобы получить разложение общего знаменателя 840 . |
| Равенство , содержащее отрицательные | числа | , читают так . |
| Является ли делителем | числа | 105 частное 105 : 15 ? . |
| 7 60 Представьте | числа | 9 . |
| 2 20 Используя « решето Эратосфена » , найдите все простые | числа | до 100 . |
| Какие | числа | называют рациональными ? . |
| 2 16 На координатном луче отмечены | числа | а и 3 . |
| 1 177 Запишите все правильные дроби со знаменателем 12 , у которых числитель и знаменатель — взаимно простые | числа | . |
| Например , две равные дроби являются и того же | числа | . |
| 1 181 С помощью 7 определите , являются ли | числа | a , b и c простыми . |
| 2 Какое число составляет тридцать процентов от | числа | « четыре » ? . |
| Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена : в этом решете « отсеиваются » простые | числа | от составных . |
| Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе , а | числа | не вычёркивали , а выкалывали иглой , то таблица к конце вычислений напоминала решето . |
| В конце концов оставались невычеркнутыми только простые | числа | . |
| Далее вычёркивались через два все числа , идущие после 3 ( | числа | , кратные 3 , т . |
| Далее вычёркивались через два все | числа | , идущие после 3 ( числа , кратные 3 , т . |
| Какая запись | числа | называется периодической дробью ? . |
| Он записывал все числа от 1 до какого - то числа , а потом вычёркивал единицу , которая не является ни простым , ни составным числом , затем вычёркивал через одно все числа , идущие после 2 ( | числа | , кратные 2 , т . |
| Он записывал все числа от 1 до какого - то числа , а потом вычёркивал единицу , которая не является ни простым , ни составным числом , затем вычёркивал через одно все | числа | , идущие после 2 ( числа , кратные 2 , т . |
| 1 183 Разложите на простые множители | числа | : а ) 875 ; 2376 ; 5625 . б ) |
| Он записывал все числа от 1 до какого - то | числа | , а потом вычёркивал единицу , которая не является ни простым , ни составным числом , затем вычёркивал через одно все числа , идущие после 2 ( числа , кратные 2 , т . |
| Он записывал все | числа | от 1 до какого - то числа , а потом вычёркивал единицу , которая не является ни простым , ни составным числом , затем вычёркивал через одно все числа , идущие после 2 ( числа , кратные 2 , т . |
| Какое число является делителем любого натурального | числа | ? . |
| 2 21 Разложите на простые множители | числа | . |
| 5 Чему равен дополнительный множитель для дробной части второго | числа | ? . |
| Кратное ( какого | числа | ? ) . |
| п . — число пятнадцать — кратное | числа | три ( или : пятнадцать — кратное р . |
| 2 56 Сколько пятизначных чисел можно составить из чётных цифр , если цифры в записи | числа | не повторяются ? . |
| 3 Найдите число , если две третьих этого | числа | равны двенадцати . |
| Подумайте , как можно находить треугольные и квадратные | числа | , используя ряд натуральных чисел . |
| Какими свойствами обладают эти | числа | ? |
| 37 Рациональные | числа | . |
| п . — делители одиннадцати — | числа | один и одиннадцать . |
| Такие | числа | называли фигурными . |
| 2 55 Древнегреческих , а также древнеиндийских математиков интересовали | числа | , которые соответствовали количеству точек , расположенных в виде некоторой геометрической фигуры — треугольника , квадрата и др. |
| 4 Ноль целых четыре десятых некоторого | числа | равны восьми . |
| п . — число шесть — делитель | числа | тридцать р . |
| 2 48 Найдите пропущенные | числа | . |
| Числа 0,23 ; 2 ; -3,513 ; -4- тоже рациональные | числа | , так как . |
| Сумма , разность и произведение рациональных чисел тоже отрицательные | числа | . |
| Дробь сократить нельзя , так как | числа | 3 и 4 взаимно простые . |
| 4 Представьте в виде смешанного | числа | дробь пятнадцать седьмых . |
| 6 Какую часть число « тринадцать » составляет от | числа | « девятнадцать » ? . |
| 1 175 Являются ли взаимно простыми | числа | . |
| п . — | числа | девять , двенадцать , пятнадцать — кратные трёх . |
| Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной дроби ( в частности , целого | числа | ) , либо в виде периодической дроби . |
| 9 119 Сумма двух чисел равна 75 , причём одного | числа | равны — другого . |
| Если запись натурального | числа | оканчивается другой цифрой , то оно делится без остатка на 70 . |
| 5 84 Отметьте на координатной прямой | числа | , модули которых равны 3 ; 8 ; 1 ; 3,5 . |
| Какую цифру можно подставить вместо звёздочки в запись | числа | 6412 , чтобы это число делилось на девять ? . |
| Например , противоположными числами будут 8 и -8 , так как число 8 = +8 , значит , | числа | 8 и -8 различаются только знаками . |
| Для каждого | числа | есть только одно противоположное ему число . |
| 7 Модуль | числа | . |
| 8 Площадь круга « эс » равна произведению | числа | « пи » и квадрата радиуса круга « эр квадрат » . |
| 8 Противоположные | числа | . |
| Отрицательные | числа | появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей . |
| Положительные | числа | тогда толковались как имущество , а отрицательные — как долг , недостача . |
| индийские математики начали широко использовать отрицательные | числа | , но относились к ним с некоторым недоверием . |
| 1 99 В записи 723 , 536 , 111 вместо звёздочки поставьте такие цифры , чтобы получившиеся | числа | делились на 9 . |
| а ) все чётные числа , большие 10 и меньшие 21 . б ) все нечётные | числа | , большие 12 , но меньшие 23 . |
| а ) все чётные | числа | , большие 10 и меньшие 21 . б ) все нечётные числа , большие 12 , но меньшие 23 . |
| Значение | числа | π возьмите равным . |
| 1 102 Представьте | числа | в виде неправильных дробей . |
| Натуральные | числа | , противоположные им числа и нуль называют целыми числами . |
| Разность двух чисел 1,5 , причём 1 большего | числа | равна меньшему числу . |
| 9 35 5/7 некоторого числа равны 7 этого | числа | . |
| Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные | числа | получили лишь в первой половине XVIII в . |
| 9 35 5/7 некоторого | числа | равны 7 этого числа . |
| 1 90 Какой цифрой оканчивается запись | числа | , делящегося на 5 , если оно : а ) чётно . |
| в ) два чётных | числа | , которые не делятся на 5 . г ) |
| Трёхкомнатные квартиры составляют 15 % всех квартир и 2/3 | числа | однокомнатных квартир . |
| 1 82 Найдите пропущенные | числа | . |
| а ) квадрат чётного | числа | . |
| Трёхместные лодки составляли 14 % всех лодок и — | числа | пятиместных лодок . |
| 27 Противоположные | числа | . |
| в ) куб чётного | числа | . б ) квадрат нечётного числа . |
| в ) куб чётного числа . б ) квадрат нечётного | числа | . |
| Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то это число чётно ( делится без остатка на 2 ) , а если запись | числа | оканчивается нечётной цифрой , то это число нечетное . |
| целые | числа | . |
| противоположные | числа | . |
| 1 Сравните | числа | минус пять и минус восемь . |
| 1 89 Всегда ли запись | числа | , делящегося на 5 , оканчивается цифрой 5 ? |
| Два | числа | , отличающиеся друг от друга только знаками , называют противоположными числами . |
| 1 64 Напишите три четырёхзначных | числа | , кратных 5 . |
| 7 На координатной прямой между числами минус три и два расположены целые | числа | минус два , минус один и единица . |
| 1 80 Из | числа | 73 264 871 вычеркните три цифры так , чтобы получилось число , кратное . |
| Сумма двух чисел 7,2 , причём 1 большего | числа | равна меньшему числу . |
| Натуральные числа , противоположные им | числа | и нуль называют целыми числами . |
| У | числа | 9 три делителя : 1 , 3 и 9 . |
| Какие | числа | называют целыми ? . |
| разложение | числа | на множители . |
| 5 38 Найдите | числа | , противоположные числам . |
| После остановки в первом вагоне стало на 20 пассажиров меньше , а во втором — на 10 пассажиров меньше и число пассажиров в первом вагоне составило — | числа | пассажиров во втором вагоне . |
| Такие | числа | , как 9 и 18 , называют составными числами , а такие , как 7 , — простыми числами . |
| Любое число от прибавления положительного числа увеличивается , а от прибавления отрицательного | числа | уменьшается . |
| Есть ли у этого | числа | наибольшее кратное ? |
| 1 52 Назовите наименьший и наибольший делители | числа | 24 . |
| 4 61 Если к — неизвестного | числа | прибавить 0,8 , то получится 1,2 . |
| Подумайте , какие | числа | будут появляться на индикаторе после каждого нажатия клавиши при выполнении алгоритма . |
| 4 50 5/9 числа равны 3/17 этого | числа | . |
| 4 50 5/9 | числа | равны 3/17 этого числа . |
| Останется ли пропорция верной , если оба средних | числа | поменять местами с крайними членами ? |
| Чему равен остаток от деления первого | числа | на 6 ? . |
| Существует ли число , имеющее два противоположных ему | числа | ? |
| 4 113 Две трети от двух третьих | числа | равны двум третьим . |
| Простые и составные | числа | . |
| 1 54 Число b является делителем | числа | а . |
| 7 Если число « эм » составляет двадцать пять процентов от | числа | « эн » , то отношение « эн » к « эм » равно четырём . |
| Например , -7,5 < 3 , так как число -7,5 отрицательное , а число 3 положительное ; -15 < -9 , так как | числа | -15 и -9 отрицательные и модуль -15 больше модуля -9 , т . е . |
| 4 Какую цифру можно подставить вместо звёздочки в запись | числа | 973 , чтобы это число не было кратно трём ? . |
| Какие | числа | называют противоположными ? . |
| 7 Если число « эм » составляет двадцать процентов от | числа | « эн » , то отношение « эм » к « эн » равно нулю целых двум десятым . |
| 1 61 Найдите среди чисел 154 , 161 , 174 , 178 , 191 , 315 , 320 , 346 , 425 , 475 | числа | . |
| Показано сложение | числа | 8 с числами 3 и -3 на координатной прямой . |
| Если запись натурального | числа | оканчивается чётной цифрой , то это число чётно ( делится без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это число нечетное . |
| два нечётных | числа | , которые не делятся на 5 . |
| Если вы верно воспроизвели все | числа | , переходите ко второй строке таблицы . |
| На несколько секунд откройте первую строку и затем , вновь закрыв её , постарайтесь повторить или записать три | числа | этой строки . |
| Положительные | числа | . |
| Докажите , что частное от деления а на b также является делителем | числа | а . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а | числа | 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| Любое число от прибавления положительного | числа | увеличивается , а от прибавления отрицательного числа уменьшается . |
| 1 53 Запишите все двузначные | числа | , являющиеся . |
| 5 91 Отметьте на прямой | числа | 0 ; 1 ; -3 ; -5 ; |
| 5 94 Сравните | числа | и результат запишите в виде неравенства . |
| 5 26 Из цифр 7 , 8 , 3 и 5 составьте четыре различных | числа | , оканчивающиеся цифрой 7 и кратные 3 . |
| 10 98 Запишите все делители | числа | 28 и числа 36 . |
| 2 При делении | числа | ( не равного нулю ) на это же число получается единица . |
| Попробуйте сформулировать задачу , используя понятие отрицательного | числа | . |
| Число 18 является суммой цифр | числа | 846 . |
| 1 При делении любого | числа | на 1 получается это же число . |
| Какие | числа | окажутся подчёркнуты красным карандашом , какие — синим ? |
| 5 15 Назовите какие - нибудь три | числа | , расположенные на координатной прямой . |
| Если сумма цифр | числа | делится на 9 , то и число делится на 9 : если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 . |
| а ) правее | числа | 11 . |
| Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 : если сумма цифр | числа | не делится на 9 , то и число не делится на 9 . |
| 5 120 Расположите | числа | 2,8 ; 0,5 ; 0 ; -1 ; -1,1 ; 0,1 и -1,6 . а ) в порядке возрастания . |
| левее | числа | — 820 . б ) левее числа — 8 . г ) правее числа — 78 . 5 16 Изобразите вертикальную координатную прямую , обозначьте её t ° C и отметьте на ней числа , соответствующие температуре : — 12 ° C ; — 11 ° C ; — 7 ° C ; +3 ° C ; — 8,5 ° C ; +7,3 ° C . |
| левее числа — 820 . б ) левее | числа | — 8 . г ) правее числа — 78 . 5 16 Изобразите вертикальную координатную прямую , обозначьте её t ° C и отметьте на ней числа , соответствующие температуре : — 12 ° C ; — 11 ° C ; — 7 ° C ; +3 ° C ; — 8,5 ° C ; +7,3 ° C . |
| Если сумма цифр | числа | делится на 3 , то число делится на 3 : если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 . |
| 4 Если из | числа | вычесть это число , получится нуль . |
| Дробные | числа | . |
| 3 Если из | числа | вычесть нуль , оно не изменится . |
| Оно отделяет положительные | числа | от отрицательных . |
| 5 107 Какие | числа | имеют модуль , равный 2 ; 1,7 ; 0 ; 1 ; -(-4 ) ? . |
| 1 37 Назовите три | числа | , которые . |
| 5 103 Известно , что х и у — положительные | числа | , а m и n — отрицательные . |
| Назовите | числа | , не делящиеся ни на 2 , ни на 5 . |
| Отрицательные | числа | . |
| 5 Положительные и отрицательные | числа | . |
| Глава II Рациональные | числа | . |
| два нечётных | числа | , кратных 5 . |
| 4 Запишите нечётные | числа | , которые больше трёхсот пятидесяти и меньше трёхсот пятидесяти семи . |
| 5 99 Сравните | числа | и результат запишите в виде неравенства . |
| Какие | числа | подчёркнуты обоими цветами ? . |
| 7 На координатном луче наименьшее кратное натурального | числа | « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено правее этого числа на расстоянии « эн » единичных отрезков . |
| 7 На координатном луче наименьшее кратное натурального числа « эн » , не равное самому числу « эн » , расположено правее этого | числа | на расстоянии « эн » единичных отрезков . |
| Какие цифры можно подставить вместо звёздочки в запись | числа | 5627 , чтобы это число делилось на пять ? . |
| Чтобы сравнить две десятичные дроби , надо сначала уравнять у них число десятичных знаков , приписав к одной из них справа нули , а потом , отбросив запятую , сравнить получившиеся натуральные | числа | . |
| 10 99 Запишите все двузначные | числа | . |
| 10 98 Запишите все делители числа 28 и | числа | 36 . |
| Это свойство называют свойством вычитания | числа | из суммы . |
| левее числа — 820 . б ) левее числа — 8 . г ) правее | числа | — 78 . 5 16 Изобразите вертикальную координатную прямую , обозначьте её t ° C и отметьте на ней числа , соответствующие температуре : — 12 ° C ; — 11 ° C ; — 7 ° C ; +3 ° C ; — 8,5 ° C ; +7,3 ° C . |
| Если сумма цифр числа делится на 3 , то число делится на 3 : если сумма цифр | числа | не делится на 3 , то и число не делится на 3 . |
| 5 131 Среди чисел 1,6 ; -2 - 1 ; 0 ; 12 ; -19 укажите | числа | . |
| 5 134 Сравните | числа | . |
| Как по записи натурального | числа | узнать , делится оно на 3 или нет ? . |
| 5 135 Какие целые | числа | заключены между числами . |
| 8 Как называют два | числа | , произведение которых равно единице ? . |
| 1 69 Запишите какие - нибудь три четырёхзначных | числа | , которые делятся на 9 . |
| Например , числа 2 , 60 , 84 , 96 , 308 чётные , а | числа | 3 , 51 , 85 , 97 , 509 нечётные . |
| 5 98 Сравните | числа | и результат запишите в виде неравенства . |
| 1 71 Напишите три | числа | , записанные только с помощью . |
| Например , | числа | 2 , 60 , 84 , 96 , 308 чётные , а числа 3 , 51 , 85 , 97 , 509 нечётные . |
| 5 18 Из чисел выпишите сначала все отрицательные , а потом все положительные | числа | . |
| 5 97 Сравните | числа | и результат запишите в виде неравенства . |
| 1 77 Выпишите все натуральные | числа | меньшие 100 , которые делятся на 6 . |
| Проверьте , делятся ли эти | числа | на 2 , на 3 . |
| 5 95 Сравните | числа | и результат запишите в виде неравенства . |
| 5 130 Найдите значение неизвестного | числа | х . |
| Найдите скорость течения , если собственная скорость теплохода 70 км / ч . 10 127 Найдите 4 | числа | , каждое из которых , начиная со второго , на 7 больше предыдущего , если среднее арифметическое их равно 25,5 . |
| 8 Модуль | числа | « эм » равен расстоянию ( в единичных отрезках ) от начала отсчёта до точки с координатой « эм » . |
| 7 На координатной прямой число минус пятнадцать расположено левее | числа | минус пять . |
| Это свойство называют свойством вычитания суммы из | числа | . |
| 1 Сравните | числа | пять и минус сто . |
| 1 Для того чтобы вычесть сумму из числа , можно сначала вычесть из этого | числа | первое слагаемое , а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое . |
| 1 Для того чтобы вычесть сумму из | числа | , можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое , а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое . |
| 2 Сравните | числа | нуль и минус пятнадцать . |
| Здесь a , b и c — любые натуральные | числа | или нуль . |
| 4 Сравните | числа | « ка » и минус « ка » , если « ка » — отрицательное число . |
| Как называются | числа | m и n в пропорции a : m = n : b ? |
| Как по записи натурального | числа | узнать , делится оно на 9 или нет ? . |
| Как по записи натурального | числа | узнать , делится оно без остатка на 2 или нет ? . |
| левее числа — 820 . б ) левее числа — 8 . г ) правее числа — 78 . 5 16 Изобразите вертикальную координатную прямую , обозначьте её t ° C и отметьте на ней | числа | , соответствующие температуре : — 12 ° C ; — 11 ° C ; — 7 ° C ; +3 ° C ; — 8,5 ° C ; +7,3 ° C . |
| 6 Модуль отрицательного | числа | — число положительное . |
| Натуральные | числа | . |
| Как по записи натурального | числа | узнать , делится оно без остатка на 5 или нет ? . |
| В этих правилах раскрывалось , как найти неизвестную величину через данные | числа | для группы похожих задач . |
| Как по записи натурального | числа | определить , делится оно без остатка на 10 или нет ? . |
| 1 36 Запишите натуральные | числа | от 1 до 30 в порядке возрастания и подчеркните красным карандашом каждое второе число , а синим — каждое пятое . |
| Как называются | числа | х и у в пропорции х : a = b : у ? . |
| 6 Если девять — последняя цифра в записи натурального | числа | , то это число делится без остатка на девять . |
| 5 43 Заполните пустые места и отметьте на координатной прямой точки , имеющие своими координатами | числа | . |
| в ) от числа -6 на 4 единицы . г ) от | числа | 3 на 2 единицы ? . |
| 28 Модуль | числа | . |
| 6 16 Сравните | числа | . |
| Число 6 называют модулем | числа | -6 . |
| модуль | числа | . |
| Модулем | числа | а называют расстояние ( в единичных отрезках ) от начала координат до точки А(а ) . |
| в ) от | числа | -6 на 4 единицы . г ) от числа 3 на 2 единицы ? . |
| 1 132 С помощью таблицы простых чисел , помещённой в приложении 1 , выберите из чисел 122 , 132 , 153 , 157 , 187 , 499 , 550 , 621 , 881 , 865 и 909 простые | числа | . |
| Модуль | числа | 0 равен 0 . |
| 1 133 Запишите все делители | числа | 90 . |
| В самых древних дошедших до нас письменных источниках — вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах — встречаются не только натуральные | числа | , но и дроби . |
| Модуль | числа | не может быть отрицательным . |
| 1 134 Разложите на два множителя всеми возможными способами | числа | 30 , 33 , 42 , 99 . |
| Для положительного | числа | и нуля он равен самому числу , а для отрицательного — противоположному . |
| Модуль | числа | 5 равен 5 , так как точка в(5 ) удалена от начала отсчёта на 5 единичных отрезков . |
| Противоположные | числа | имеют равные модули:-а = а . |
| б ) от | числа | -1 на 3 единицы . |
| а ) от | числа | 4 на 5 единиц . |
| Как называют эти | числа | ? . |
| Чему равно отношение | числа | девочек к числу мальчиков и что оно показывает ? . |
| 5 56 Запишите все натуральные числа , меньшие 5 , и | числа | , им противоположные . |
| Противоположные | числа | . |
| 1 48 Какие различные натуральные | числа | надо вписать в кружки , чтобы произведение каждых двух чисел , помещённых в кружках , соединённых отрезком , равнялось 70 ? |
| 4 Какие целые | числа | расположены на координатной прямой между числами минус три и плюс два ? . |
| Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел : её абсцисса и каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости , для которой эти | числа | являющаяся координатами . |
| 6 Для любого | числа | можно указать противоположное ему число . |
| Если от большего | числа | отнять 54 , а к меньшему прибавить 72 , то получатся равные результаты . |
| 7 Положительные и отрицательные | числа | называют целыми числами . |
| Как узнать , какую часть число a составляет от | числа | b ? . |
| 6 12 Какие | числа | на координатной прямой удалены . |
| 1 131 Докажите , что | числа | 575 , 10 053 , 3627 , 565 656 являются составными . |
| 7 Модуль любого | числа | — число положительное . |
| п . — отношение | числа | тридцать пять к числу двадцать семь . |
| Чтобы сложить | числа | -6 и -3 с помощью координатной прямой , надо точку Д(-6 ) переместить влево на 3 единичных отрезка . |
| дробь от | числа | . |
| 3 303 На координатном луче отмечены | числа | а и b. |
| 5 Половина этого | числа | равна трём седьмым . |
| 4 Три пятых этого | числа | равны пятнадцати . |
| 5 69 Напишите все | числа | , имеющие модуль . |
| Нахождение | числа | по его дроби . |
| В результате выяснилось , что 5 всех шестиклассников выбрали плавание , 0,6 от их | числа | выбрали гимнастику , а остальные выбрали карате . |
| 3 272 Найдите правило размещения чисел в полукругах и вставьте недостающие | числа | . |
| 3 Чему равен модуль | числа | семьдесят ? . |
| 5 70 Отметьте на координатной прямой | числа | , модули которых равны 4 ; 2,5 ; 0 . |
| Остаток в этом , случае равен последней цифре | числа | . |
| 3 269 Придумайте число , которое меньше своего обратного | числа | в 4 раза ; в 9 раз . |
| 6 40 Расположите | числа | -15 ; -8,8 ; 3 ; 5,5 в порядке убывания . |
| Число книг с художественными произведениями составляет 3/4 всех книг библиотеки , число научно - популярных книг составляет от | числа | художественных , а остальные 160 книг — справочники . |
| 3 268 Во сколько раз меньше своего обратного | числа | число 0,3 ? . |
| Модуль | числа | . |
| 3 270 Разделите устно центральное число на | числа | в кружочках . |
| 6 Одна третья этого | числа | равна нулю целых трём десятым . |
| 5 Модуль | числа | « цэ » равен семи . |
| 1 Нуль целых три десятых этого | числа | равны шести . |
| Что называют модулем | числа | ? . |
| Как обозначают модуль | числа | ? . |
| Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые | числа | , а также числовые или буквенные выражения . |
| Как найти модуль положительного | числа | или числа 0 ? . |
| Как найти модуль положительного числа или | числа | 0 ? . |
| Как найти модуль отрицательного | числа | ? . |
| Может ли модуль какого - нибудь | числа | быть отрицательным числом ? . |
| 8 Если пятнадцать процентов некоторого | числа | равны тридцати , то это число равно двумстам . . |
| 7 Если число разделить на правильную дробь , то частное окажется меньше этого | числа | . |
| 1 45 Какие | числа | , кратные 5 , удовлетворяют неравенству . |
| Чтобы сложить два отрицательных | числа | , надо . |
| 4 Три четвёртых этого | числа | равны трёмстам . |
| Чему равен модуль | числа | минус « цэ » ? |
| 3 Девятая часть этого | числа | равна девяти . |
| 2 Двадцать процентов этого | числа | равны десяти . |
| Числа | деталей , изготовленных станком - автоматом , ко времени его работы . | |
| 5 56 Запишите все натуральные | числа | , меньшие 5 , и числа , им противоположные . |
| а ) два чётных | числа | , кратных 5 . б ) |
| 5 55 Какие | числа | противоположны числам : 124 ; -124 . |
| 1 109 Докажите , что | числа | 2968 , 3600 , 888 888 , 676 767 являются составными . |
| 5 48 Найдите | числа | , которые на координатной прямой находятся на расстоянии . |
| Если запись натурального | числа | оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число делится без остатка на 5 . |
| Любое отрицательное число меньше любого положительного | числа | . |
| Изобразите на этой же прямой | числа | . |
| Нудь больше любого отрицательного числа , но меньше любого положительного | числа | . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а | числа | , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| Нудь больше любого отрицательного | числа | , но меньше любого положительного числа . |
| 6 4 На координатной прямой отмечены | числа | а и а + 1 . |
| б ) 10 единиц от числа 4 . г ) 100 единиц от | числа | 0 . |
| б ) 10 единиц от | числа | 4 . г ) 100 единиц от числа 0 . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел | числа | 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| 1 113 Разложите на два множителя | числа | : 38 ; 77 ; 145 ; 159 . |
| На первом месте в записи | числа | может стоять любая цифра , кроме нуля , — 4 варианта . |
| 1 114 Сколькими способами можно разложить на два множителя | числа | : 18 ; 42 ; 55 ? |
| 1 115 Верно ли , что все чётные | числа | являются составными ? . |
| В пропорции а : b = с : числа a и d называют крайними членами , а | числа | b и с средними членами пропорции . |
| Например , числа 870 и 875 делятся без остатка на 5 , а | числа | 872 и 873 на 5 без остатка не делятся . |
| В пропорции а : b = с : | числа | a и d называют крайними членами , а числа b и с средними членами пропорции . |
| Если же запись | числа | оканчивается иной цифрой , то число без остатка на 5 не делится . |
| 1 120 Найдите пропущенные | числа | , если a = 33 ; 42 ; 75 . |
| в ) 10 единиц от | числа | -4 . |
| а ) 6 единиц от | числа | -9 . |
| 1 121 Выразите в процентах | числа | : 0,01 ; 0,29 ; 0,8 ; 1 . |
| Сумму , в которую входят отрицательные | числа | , читают так : ( -4 ) + ( -6 ) — сумма минус четырёх и минус шести , — к минус четырём прибавить минус шесть . |
| Найдите для каждого мальчика , какую часть составляли попадания от | числа | бросков . |
| Например , | числа | 870 и 875 делятся без остатка на 5 , а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся . |
| 1 40 Напишите все трёхзначные | числа | , в запись которых входят лишь цифры 0 , 2 , 5 и которые . |
| 4 24 Половина от половины | числа | равна половине . |
| 4 21 Найдите пропущенные | числа | . |
| Какие натуральные | числа | называют простыми ? . |
| Найдите в таблице последовательно все | числа | от 26 до 50 . |
| 5 45 Найдите целые | числа | , расположенные на координатной прямой между числами . |
| 4 19 Найдите , сколько процентов число 9,729 составляет от | числа | 84,6 . |
| Какие это | числа | ? . |
| 4 23 Выразите в процентах | числа | : 0,2 ; 0,15 ; 1 ; 3 . |
| 9 9 Расставьте | числа | 1 , -2 , 3 , -4 , 5 , -6 , 7 , -8 , 9 в клетках квадрата так , чтобы их произведения по всем горизонталям , вертикалям и диагоналям были положительны . |
| Чему равны эти | числа | ? . |
| Какие натуральные | числа | называют составными ? . |
| Число -10 меньше | числа | 5 . |
| Число 18 меньше | числа | 21 . |
| 5 38 Найдите числа , противоположные | числам | . |
| Интерес древних математиков к простым | числам | связан с тем , что любое число либо простое , либо может быть представлено в виде произведения простых чисел , т . |
| 5 55 Какие числа противоположны | числам | : 124 ; -124 . |
| Число 1 имеет только один делитель ; само это число , этому его не относят ни к составным , ни к простым , | числам | . |
| 3 184 Найдите числа , обратные | числам | . |
| Увеличение длины пружины будем выражать положительными | числами | , а уменьшение — отрицательными . |
| Первыми десятью простыми | числами | являются 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 . |
| Повышение температуры выражают положительными | числами | , а понижение — отрицательными . |
| Таким образом , увеличение любой выразить положительными | числами | , а уменьшение , — отрицательными . |
| Такие задачи с натуральными | числами | или с десятичными дробями мы решали с помощью умножения . |
| Перемещение точки вправо обозначают положительными | числами | , а перемещение влево — отрицательными . |
| Шкалу с положительными и отрицательными | числами | и нулём имеют термометры . |
| 3 Запишите делители сорока двух , которые являются простыми | числами | . |
| Для краткости записи обычно опускают знак « + » перед положительными | числами | и вместо + 7 пишут 7 . |
| Такие числа , как 9 и 18 , называют составными | числами | , а такие , как 7 , — простыми числами . |
| В географии положение точек на земной поверхности тоже определяют двумя | числами | — географическими координатами : широтой и долготой . |
| 3 Запишите делители восемнадцати , которые являются простыми | числами | . |
| 5 45 Найдите целые числа , расположенные на координатной прямой между | числами | . |
| 1 144 Существует ли прямоугольник , стороны которого выражаются натуральными | числами | , а периметр — простым числом ? . |
| Операции над | числами | любого знака выполняются на калькуляторе так же , как над положительными числами . |
| Выпишите из них те , которые являются простыми | числами | . |
| Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя | числами | : первым числом обозначают номер ряда , а вторым — номер кресла в этом ряду . |
| Первые сведения об отрицательных | числах | встречаются у китайских математиков во II в . |
| В | числе | 846 содержится 8 сотен , 4 десятка и 6 единиц . |
| Названия знаков « + » и « - » при | числе | во всех случаях по падежам не склоняют . |
| умножение дроби на дробь . 1 ) найти произведение | числителей | и произведение знаменателей этих дробей . 2 ) первое произведение записать числителем , а второе — знаменателем . |
| Обычно вначале обозначают произведение | числителей | и произведение знаменателей , затем производят сокращение и только потом выполняют умножение . |
| Выражение , стоящее над чертой , называют | числителем | , а выражение , стоящее под чертой , — знаменателем дробного выражения . |
| записать полученную сумму | числителем | дроби , а знаменатель дробной части оставить без изменения . |
| умножение дроби на дробь . 1 ) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей . 2 ) первое произведение записать | числителем | , а второе — знаменателем . |
| — дробь с | числителем | икс и знаменателем игрек . — дробь : икс , делённый на игрек . |
| 2 111 Запишите все дроби с | числителем | 2 , большие , чем . |
| дробей с | числителем | 1 ) . |
| 8 Не существует дробей с | числителем | восемь , больших , чем восемь девятых . |
| к ) дробью и её знаменателем , если числитель не изменяется . л ) дробью и её | числителем | , если знаменатель не изменяется . |
| Дроби в привычном для нас виде впервые стали записывать индусы около 1500 лет назад , но они не использовали черту между | числителем | и знаменателем . |
| 4 77 Представьте в виде суммы двух дробей с | числителем | 1 каждую из следующих дробей . |
| При сложении дробей с одинаковыми знаменателями | числители | складывают , а знаменатель оставляют тот же . |
| Изменится ли дробь , если её | числитель | и знаменатель умножить на 15 , а потом разделить на 3 ? . |
| 2 6 Умножьте | числитель | и знаменатель каждой дроби на 5 . |
| 2 7 Разделите | числитель | и знаменатель каждой дроби на 3 . |
| 2 46 Применив распределительный закон , представьте | числитель | дроби в виде произведения , а затем сократите . |
| остаток ( если он есть ) даёт | числитель | , а делитель — знаменатель дробной части . |
| Иногда удобно при сокращении дроби разложить | числитель | и знаменатель на несколько множителей , а потом уже сократить . |
| Чтобы привести дробь - к знаменателю 12 , надо | числитель | и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный множитель 2 ( 12 : 6 = 2 ) . |
| 2 53 Разделите | числитель | и знаменатель дроби . |
| Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции , только греки знаменатель записывали сверху , а | числитель | — снизу . |
| При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают | числитель | вычитаемого , а знаменатель оставляют тот же . |
| Если | числитель | и знаменатель дроби разделить на 5 , то получится равная ей дробь , т . |
| Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её | числитель | умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения . |
| умножить | числитель | и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель . |
| Словарный диктант . 1 Как называется дробь , | числитель | и знаменатель которой — взаимно простые числа ? . |
| разделить с остатком | числитель | на знаменатель . |
| 1 177 Запишите все правильные дроби со знаменателем 12 , у которых | числитель | и знаменатель — взаимно простые числа . |
| 2 54 Умножьте | числитель | и знаменатель дроби . |
| 8 Дробь семнадцать восемнадцатых имеет простой знаменатель и чётный | числитель | . |
| Умножим | числитель | и знаменатель дроби на одно и то же число 2 . |
| 3 291 Напишите дробное выражение , | числитель | которого 3a — 2b , а знаменатель — 6,7x + у . |
| к ) дробью и её знаменателем , если | числитель | не изменяется . л ) дробью и её числителем , если знаменатель не изменяется . |
| 2 28 Разделите | числитель | и знаменатель каждой из дробей на 9 . |
| 5 Как называется число , на которое умножают | числитель | и знаменатель дроби при приведении её к новому знаменателю ? . |
| 3 290 Назовите | числитель | и знаменатель выражения . |
| Умножим | числитель | и знаменатель данной дроби на 5 , получим 2 2×5 10 . |
| Чтобы привести дробь к знаменателю 12 , надо умножить | числитель | и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 ( 12 : 4 = 3 ) . |
| Если | числитель | и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , получится равная ей дробь . |
| Числитель | дробного выражения . | |
| к полученному произведению прибавить | числитель | дробной части . |
| 5 Запишите дробное выражение , знаменатель которого — число пять , а | числитель | равен сумме « эм » и пятнадцати . |
| 8 Дробь несократима , если её | числитель | и знаменатель — взаимно простые числа . |
| Чему равен её | числитель | ? . |
| Умножив | числитель | и знаменатель этого дробного выражения на 6 , получим . |
| При приведении дроби к новому знаменателю её | числитель | и знаменатель умножают на дополнительный множитель . |
| 4 51 Какое число надо прибавить к | числителю | и знаменателю дроби 7/21 , чтобы получить дробь 3/7 ? . |
| 8 Существуют дроби , равные своему | числителю | . |
| 8 Чтобы получить дробь , равную данной , всегда можно к её | числителю | и знаменателю прибавить одно и то же число . |
| При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из | числителя | уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого , а знаменатель оставляют тот же . |
| 4 111 Какое число надо отнять от | числителя | и знаменателя дроби , чтобы получить дробь , равную 5/9 ? . |
| 4 142 Некоторое число вычли из | числителя | и прибавили к знаменателю дроби . |
| 3 Как называется операция деления | числителя | и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от единицы ? . |
| 1 215 Найдите наибольший общий делитель для | числителя | и знаменателя дроби . |
| Запись дробей с помощью | числителя | и знаменателя появилась в Древней Греции , только греки знаменатель записывали сверху , а числитель — снизу . |
| 2 88 Найдите наибольший общий делитель | числителя | и знаменателя и сократите дробь . |
| Наибольшее число , на которое можно сократить дробь , — это наибольший общий делитель её | числителя | и тещ . |
| 2 34 Назовите наибольший общий делитель | числителя | и знаменателя дроби . |
| Деление | числителя | и знаменателя на их общий делитель , отличный от единицы , называют сокращением дроби . |
| Кратным натурального числа а называют натуральное | число | , которое делится без остатка . |
| Г Если | число | не делится на 2 , то оно нечётное . |
| в ) | число | , кратное 5 . б ) |
| В Если | число | не оканчивается цифрой 5 , то оно не делится на 5 . |
| 1 Запишите | число | , кратное пяти , которое на координатном луче расположено между семьюдесятью шестью и восемьюдесятью двумя . |
| Б Если | число | делится на 5 , то оно делится на 10 . |
| 4 Запишите двузначное | число | , меньшее двенадцати , взаимно простое с двенадцатью . |
| Если | число | не оканчивается цифрой 0 , то оно не делится ни на 2 , ни на 5 . |
| А Если | число | делится на 10 , то оно делится и на 2 , и на 5 . |
| Делителем натурального числа а называю натуральное | число | , на которое а делится без остатка . |
| а ) | число | , которое делится на 10 . |
| в ) Если | число | оканчивается цифрой 0 , то оно делится и на 2 , и на 5 . |
| в ) произведение двух составных чисел есть | число | составное ? . |
| Это | число | называют наименьшим общим кратным чисел 75 и 60 . |
| Попробуйте объяснить , почему получилось такое | число | . |
| Говорят , что число 4 является делителем числа 20 , а | число | 6 не является делителем числа 20 . |
| 1 193 Выполните действие , записав каждое | число | в виде десятичной дроби . |
| Это | число | является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60 . |
| Наименьшим из кратных натурального является само это | число | . |
| Назовите какое - нибудь | число | , кратное и 5 , и 12 . |
| Любое натуральное | число | имеет бесконечно много кратных . |
| 1 49 Если к числу прибавить 4 , то полученное | число | разделится без остатка на 6 . |
| Какое | число | называют кратным натуральному числу а ? . |
| Говорят , что | число | 4 является делителем числа 20 , а число 6 не является делителем числа 20 . |
| 2 Какой цифрой оканчивается чётное | число | , кратное пяти ? . |
| Значит , наименьшим расстоянием , на котором Володя и Катя сделают целое | число | шагов , будет 300 см. При этом Володя сделает 4 шага ( 300 : 75 = 4 ) , а Катя — 5 шагов ( 300 : 60 = 5 ) . |
| чётное | число | . г ) нечётное число ? . |
| Говорят , что числа 8 , 16 , 24 кратны числу 8 , а | число | 18 не кратно числу 8 . |
| б ) Если | число | делится на 5 , то оно оканчивается цифрой 5 . |
| а ) Если | число | делится на 2 , то оно чётное . |
| чётное число . г ) нечётное | число | ? . |
| 5 Сколько процентов | число | « один » составляет от числа « пять » ? . |
| Какое | число | называют делителем данного натурального числа ? |
| 4 Тридцать четыре — | число | составное . |
| 3 Найдите | число | , если десять процентов этого числа равны трём . |
| 5 Простое | число | не имеет делителей . |
| Всякое натуральное | число | , запись которого оканчивается цифрой 0 , делится без остатка на 10 . |
| 6 Наибольшее двузначное составное | число | — это девяносто девять . |
| 8 Любое натуральное | число | имеет бесконечно много делителей . |
| 1 128 Какую цифру можно поставить вместо звёздочки , чтобы | число | делилось без остатка на 3 и на 5 . |
| Может ли чётное число делиться на нечётное | число | ? . |
| Одним из кратных натурального числа « эм » является | число | « эм » . |
| Любое составное | число | можно разложить на простые множители . |
| 1 Простое | число | . |
| Может ли чётное | число | делиться на нечётное число ? . |
| Какое наибольшее | число | одинаковых подарков можно составить из 48 конфет « Ласточка » и 36 конфет « Дюшес » , если надо использовать все конфеты ? . |
| Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на | число | подарков . |
| Может ли нечётное число делиться на чётное | число | ? . |
| Может ли нечётное | число | делиться на чётное число ? . |
| Так как полные десятки делятся на 5 , то и все | число | делится на 5 лишь в том случае , когда на 5 делится число единиц . |
| Верно ли , что если | число | делится на 6 , то его запись оканчивается цифрой 6 ? . |
| 1 125 Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа , чтобы получилось четырёхзначное | число | , делящееся : а ) на 9 . б ) на 3 . |
| Так как полные десятки делятся на 5 , то и все число делится на 5 лишь в том случае , когда на 5 делится | число | единиц . |
| Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5 , то это | число | делится без остатка на 5 . |
| 1 32 Найдите наименьшее | число | , которое кратно каждому из трёх чисел . |
| Так как | число | нечётное , на последнем месте могут быть только цифры 1 или 3 — т . |
| Наибольшее натуральное | число | , на которое делятся без остатка несколько чисел называют наибольшим общим делителем этих чисел . |
| Если же запись числа оканчивается иной цифрой , то | число | без остатка на 5 не делится . |
| чётное | число | . нет . |
| Простым или составным является | число | т ? . |
| 1 112 Известно , что | число | m делится на 9 . |
| 2 Запишите в виде десятичной дроби | число | « семь двадцать пятых » . |
| Почему | число | 1 не является ни простым , ни составным ? . |
| Видим , что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — | число | 1 . |
| Простое | число | так разложить на множители нельзя . |
| Верно ли , что если | число | оканчивается цифрой 6 , то оно делится на 6 ? . |
| в ) Какое получится | число | при округлении числа p до сотых ? . |
| 4 При каких натуральных значениях « эм » произведение сорока одного и « эм » — простое | число | ? . |
| 1 158 Какие цифры можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное | число | делилось на 12 . |
| 6 Произведение двух простых чисел всегда | число | составное . |
| 7 Квадрат чётного числа — | число | чётное . |
| 8 Если запись натурального числа оканчивается не менее чем двумя нулями , это натуральное | число | делится без остатка на сто . |
| 1 Сколько делителей имеет | число | семьдесят один ? . |
| чётное | число | нечётное число признак делимости на 5 . |
| чётное число нечётное | число | признак делимости на 5 . |
| Если запись натурального ч оканчивается цифрой 0 , то это | число | делится без остатка 70 . |
| 5 Простое | число | не может быть чётным . |
| Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля , то это | число | не делится без остатка на 10 . |
| 7 Если чётное | число | кратно трём , то оно делится без остатка на шесть . |
| 8 Если натуральное | число | не кратно трём , то оно не делится на пятнадцать . |
| Поэтому | число | 10 делится без остатка и на 2 , и на 5 . |
| Таким образом , | число | 210 разложено на простые множители . |
| Всякое составное | число | можно разложить на простые множители . |
| Разложим , например , на простые множители | число | 756 . |
| При делении получим | число | 21 . |
| Число 21 также делим на 3 , причём получаем в частном простое | число | 7 . |
| Каждое | число | можно представить в виде суммы полных десятков и единиц , например : 246 = 240 + 6 , 1435 = 1430 + 5 . |
| 1 155 Какие цифры можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное | число | делилось на 4 . |
| Если две последние цифры данного числа образуют число , которое кратно 4 , то и само | число | кратно 4 . |
| Если две последние цифры данного числа образуют | число | , которое кратно 4 , то и само число кратно 4 . |
| а ) число 3 в виде дроби со знаменателем 5 . б ) | число | 1 в виде дроби со знаменателем 12 . |
| а ) | число | 3 в виде дроби со знаменателем 5 . б ) число 1 в виде дроби со знаменателем 12 . |
| Любое составное | число | можно разложить на два множителя , каждый из которых больше 7 . |
| 1 147 Могут ли быть простыми числами координаты точек A , B , C и D , если p — простое | число | ? . |
| б ) | число | по его дроби . |
| 1 141 Выясните , делится ли число а на | число | b без остатка , если . |
| 1 141 Выясните , делится ли | число | а на число b без остатка , если . |
| 1 Витя некоторое | число | разложил на два множителя : три и семнадцать . |
| Что это за | число | ? . |
| Сколько делителей имеет | число | сорок девять ? . |
| Отсюда и любое | число | , запись которого оканчивается цифрой 0 , делится без остатка и на 5 , и на 2 . |
| Говорят , что | число | 78 разложено на множители 2 и 39 . |
| Число 1 имеет только один делитель ; само это | число | , этому его не относят ни к составным , ни к простым , числам . |
| Натуральное | число | называют составным , если оно имеет более двух делителей . |
| Какое | число | является наибольшим общим делителем чисел а и b ? . |
| в ) 6 и 4 . г ) 6 и 9 . 1 11 Назовите наименьшее | число | , которое кратно каждому из пары чисел . |
| 1 79 Какие цифры можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное | число | делилось на 6 . |
| 1 168 Разложите каждое | число | на простые множители и выпишите общие множители . |
| б ) Существует ли натуральное | число | , записанное только с помощью цифры 3 , которое делится на 6 ? |
| 5 Единица — простое | число | . |
| Укажите наибольшее | число | , на которое делятся числа каждой пары . |
| 1 76 Какую цифру можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное | число | делилось на 9 . |
| 1 72 Любое ли | число | , которое оканчивается цифрой 3 , делится на 3 ? . |
| 1 70 Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи : чтобы получившееся | число | делилось на 3 ? . |
| Число | пять — наибольший общий делитель чисел двадцать и двадцать пять . | |
| 3 Найдите | число | , если две третьих этого числа равны двенадцати . |
| 1 4 Является ли | число | 15 делителем 105 ? |
| Если сумма цифр числа делится на 3 , то число делится на 3 : если сумма цифр числа не делится на 3 , то и | число | не делится на 3 . |
| Если сумма цифр числа делится на 3 , то | число | делится на 3 : если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 . |
| 1 36 Запишите натуральные числа от 1 до 30 в порядке возрастания и подчеркните красным карандашом каждое второе | число | , а синим — каждое пятое . |
| п . — | число | шесть — делитель числа тридцать р . |
| 1 184 Почему если одно | число | можно разложить на два простых множителя , а другое — на три простых множителя , то эти числа не равны ? . |
| Какие цифры можно подставить вместо звёздочки в запись числа 5627 , чтобы это | число | делилось на пять ? . |
| 5 Если | число | делится без остатка на десять , то оно не кратно двум . |
| 6 Натуральное | число | « бэ » делится без остатка на пятнадцать . |
| Значит , | число | « бэ » — делитель пятнадцати . |
| 8 Если | число | кратно десяти , то оно делится и на два , и на пять . |
| 1 80 Из числа 73 264 871 вычеркните три цифры так , чтобы получилось | число | , кратное . |
| Какое | число | и кратно n , и является делителем n ? . |
| д. п. д. п . — | число | пятнадцать кратно числу три ( или : пятнадцать кратно трём ) . |
| п . — | число | пятнадцать — кратное числа три ( или : пятнадцать — кратное р . |
| Это значит , что | число | 846 делится без остатка на 9 . |
| Если сумма цифр числа делится на 9 , то и | число | делится на 9 : если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 . |
| 6 Какую часть | число | « тринадцать » составляет от числа « девятнадцать » ? . |
| Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 : если сумма цифр числа не делится на 9 , то и | число | не делится на 9 . |
| 2 Какое | число | составляет тридцать процентов от числа « четыре » ? . |
| Какое | число | является делителем любого натурального числа ? . |
| Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то это число чётно ( делится без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это | число | нечетное . |
| 1 13 Докажите , что число 70 525 кратно числу 217 , а | число | 729 является делителем числа 225 261 . |
| Это | число | и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36 . |
| 1 25 При делении числа а на | число | b получили неполное частное c и остаток г . |
| Натуральное число называют простым , если имеет только два делителя : единицу и само это | число | . |
| Натуральное | число | называют простым , если имеет только два делителя : единицу и само это число . |
| простое | число | . |
| составное | число | . |
| Если все данные числа делятся на одно них , то это | число | и является наибольшим общим делителем данных чисел . |
| Другими словами , | число | 7 имеет только два делителя : 1 и 7 . |
| 8 Натуральное | число | , записанное двенадцатью одинаковыми цифрами , кратно трём . |
| Разность двух нечётных чисел — | число | нечётное . |
| 6 Если девять — последняя цифра в записи натурального числа , то это | число | делится без остатка на девять . |
| 1 Запишите в виде десятичной дроби | число | . |
| Значит , любое натуральное | число | чётно лишь в случае , когда в разряде единиц стоит чётная цифра , и нечётно , когда в разряде единиц стоит нечётная цифра . |
| 5 Если | число | кратно девяти , то оно делится без остатка на три . |
| 4 Какую цифру можно подставить вместо звёздочки в запись числа 973 , чтобы это | число | не было кратно трём ? . |
| Например , наибольшим общим делителем чисел 15 , 45 , 75 и 180 будет | число | 15 , так как на него делятся все остальные числа : 45 , 75 и 180 . |
| Какую цифру можно подставить вместо звёздочки в запись числа 6412 , чтобы это | число | делилось на девять ? . |
| 1 84 Длина прямоугольника 20 м , ширина — натуральное | число | метров . |
| 1 88 Любое ли | число | , делящееся на 5 , делится и на 10 ? . |
| 3 Запишите в виде неправильной дроби | число | 2у . |
| Может ли | число | , не делящееся на 5 , оканчиваться цифрой 5 ? . |
| 1 91 Какую цифру можно поставить вместо звёздочки , чтобы полученное | число | делилось на 5 . |
| 1 14 На координатном луче отмечено | число | а . |
| 1 13 Докажите , что | число | 70 525 кратно числу 217 , а число 729 является делителем числа 225 261 . |
| Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то это | число | чётно ( делится без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это число нечетное . |
| Б Если | число | делится на 9 , то оно делится на 3 . |
| В Если | число | оканчивается цифрой 3 , то оно не делится на 3 . |
| Какое | число | называют наибольшим общим делителем двух натуральных чисел ? . |
| 1 Запишите | число | « три целых семь двести пятидесятых » . |
| Г Если | число | не делится на 3 , то оно не делится на 9 . |
| 1 Используя только цифру два , запишите наименьшее | число | , кратное трём . |
| А Если чётное | число | делится на 3 , то оно делится на 6 . |
| 1 78 а ) Какое наименьшее натуральное | число | , записанное только с помощью цифры 2 , делится на 6 ? . |
| Чтобы умножить смешанное | число | на натуральное число , можно . |
| а ) сумма простых чисел есть | число | простое . |
| 1 Какое | число | противоположно самому себе ? . |
| а ) отрицательное число , модуль которого равен 25 ; 7,4 . б ) положительное | число | , модуль которого равен 12 ; 1 ; 3,2 . |
| а ) отрицательное | число | , модуль которого равен 25 ; 7,4 . б ) положительное число , модуль которого равен 12 ; 1 ; 3,2 . |
| 8 Если число « бэ » отрицательное , то | число | минус « бэ » положительное . |
| 8 Если | число | « бэ » отрицательное , то число минус « бэ » положительное . |
| 6 Для любого числа можно указать противоположное ему | число | . |
| Какое | число | противоположно девяноста ? . |
| 1 Какое | число | противоположно минус двадцати ? . |
| 5 47 Между какими целыми числами на координатной прямой расположено | число | . |
| 7 Модуль любого числа — | число | положительное . |
| 5 42 Каким числом является — х , если | число | х . а ) отрицательное . |
| 5 39 Поставьте вместо звёздочки такое | число | , чтобы получилось верное равенство . |
| 9 17 В каждом из двух вагонов трамвая было одинаковое | число | пассажиров . |
| После остановки в первом вагоне стало на 20 пассажиров меньше , а во втором — на 10 пассажиров меньше и | число | пассажиров в первом вагоне составило — числа пассажиров во втором вагоне . |
| Существует ли | число | , имеющее два противоположных ему числа ? |
| Какое | число | противоположно нулю ? . |
| Какое | число | противоположно числу b ? . |
| Так как | число | , противоположное числу -15 , равно 15 , то -(-15 ) = 15 . |
| Запись « -(-15 ) » означает | число | , противоположное числу -15 . |
| Для каждого числа есть только одно противоположное ему | число | . |
| — | число | , противоположное числу минус а . |
| Любое отрицательное | число | меньше любого положительного числа . |
| Например , -7,5 < 3 , так как | число | -7,5 отрицательное , а число 3 положительное ; -15 < -9 , так как числа -15 и -9 отрицательные и модуль -15 больше модуля -9 , т . е . |
| Например , -7,5 < 3 , так как число -7,5 отрицательное , а | число | 3 положительное ; -15 < -9 , так как числа -15 и -9 отрицательные и модуль -15 больше модуля -9 , т . е . |
| От прибавления нуля | число | не . a + 0 = а . |
| Другими словами , оставить | число | -5 без изменения . |
| Прибавить к числу -5 число 0 — значит изменить | число | -5 на 0 . |
| Прибавить к числу -5 | число | 0 — значит изменить число -5 на 0 . |
| 6 Изменятся ли корни уравнения , если к обеим его частям прибавить одно и то же | число | ? . |
| Любое | число | от прибавления положительного числа увеличивается , а от прибавления отрицательного числа уменьшается . |
| 8 Если обе части уравнения умножить на одно и то же | число | , не равное нулю , то корни уравнения не изменятся . |
| Прибавить к числу , а | число | b — значит изменить a на b единиц . |
| 4 Положительное | число | . |
| 7 Корень уравнения | число | минус четыре . |
| 5 136 Назовите какое - нибудь | число | , которое . |
| 7 На координатной прямой | число | минус пятнадцать расположено левее числа минус пять . |
| 6 Модуль отрицательного числа — | число | положительное . |
| 5 Любое отрицательное | число | меньше нуля . |
| 4 Сравните числа « ка » и минус « ка » , если « ка » — отрицательное | число | . |
| в ) а — отрицательное число . г ) b — положительное | число | . |
| в ) а — отрицательное | число | . г ) b — положительное число . |
| б ) 27,1 — положительное | число | . |
| а ) -4,3 — отрицательное | число | . |
| 5 102 Между какими соседними целыми числами заключено | число | . |
| Какое | число | больше : положительное или отрицательное ? . |
| Например , противоположными числами будут 8 и -8 , так как | число | 8 = +8 , значит , числа 8 и -8 различаются только знаками . |
| Само | число | не является положительным , ни отрицательным . |
| + 7 и 7 — это одно и то же | число | , только по - разному обозначенное . |
| Чтобы перевести проценты в десятичную дробь , надо разделить | число | процентов на 100 . |
| 4 142 Некоторое | число | вычли из числителя и прибавили к знаменателю дроби . |
| Сколько было столов с тремя ящиками и сколько столов с четырьмя ящиками , если общее | число | всех ящиков равно 91 ? . |
| 4 111 Какое | число | надо отнять от числителя и знаменателя дроби , чтобы получить дробь , равную 5/9 ? . |
| 7 Если | число | « эм » составляет двадцать пять процентов от числа « эн » , то отношение « эн » к « эм » равно четырём . |
| 7 Если | число | « эм » составляет двадцать процентов от числа « эн » , то отношение « эм » к « эн » равно нулю целых двум десятым . |
| 4 82 Где на координатном луче должно быть расположено | число | с , чтобы была верна пропорция a = d ? . |
| Такие величины , как время работы станка и | число | изготовленных деталей , называют прямо пропорциональными величинами . |
| 7 Корень уравнения | число | два . |
| Найдите неизвестное | число | . |
| 4 51 Какое | число | надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 7/21 , чтобы получить дробь 3/7 ? . |
| Какое это | число | ? . |
| 8 Если первое число составляет сорок процентов второго , то второе | число | в две целых одну вторую раза больше первого . |
| 8 Если первое | число | составляет сорок процентов второго , то второе число в две целых одну вторую раза больше первого . |
| 1 Какую часть | число | двенадцать составляет от четырнадцати ? . |
| 5 Какую часть | число | семь составляет от девяти ? . |
| Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М , а | число | -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а координатную прямую у — осью ординат . |
| Найдите это | число | . |
| 4 19 Найдите , сколько процентов | число | 9,729 составляет от числа 84,6 . |
| Как узнать , сколько процентов одно | число | составляет от другого ? . |
| Как узнать , какую часть | число | a составляет от числа b ? . |
| Отношение показывающее во сколько число второго , или какую часть первое | число | составляет от второго . |
| Найдите длину окружности , приняв | число | « пи » приближённо равным трём ( 3—4 ) , если . |
| Что значит прибавить к числу а | число | b ? . |
| произведение двух простых чисел есть | число | простое . |
| С точностью до сотых | число | « пи » приближённо равно трём целым четырнадцати сотым . |
| после этого выполнить деление на натуральное | число | . |
| Чтобы разделить | число | на десятичную дробь , надо . |
| Умножить | число | на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 — то же самое , что разделить его на 10 , 100 , 1000 . |
| разделить дробь на это | число | , не обращая внимания на запятую . |
| Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное | число | , надо . |
| умножить дробь на это | число | , не обращая внимания на запятую . |
| Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное | число | , надо . |
| Чтобы сравнить две десятичные дроби , надо сначала уравнять у них | число | десятичных знаков , приписав к одной из них справа нули , а потом , отбросив запятую , сравнить получившиеся натуральные числа . |
| Чтобы представить смешанное | число | в виде неправильной дроби , надо . |
| 3 При делении нуля на | число | ( не равное нулю ) получается нуль . |
| 2 При делении числа ( не равного нулю ) на это же | число | получается единица . |
| 1 При делении любого числа на 1 получается это же | число | . |
| 6 Распределительное свойство умножения относительно вычитания : для того чтобы умножить разность на число , можно умножить на это | число | уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе . |
| 6 Распределительное свойство умножения относительно вычитания : для того чтобы умножить разность на | число | , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе . |
| 5 Распределительное свойство умножения относительно сложения : для того чтобы умножить сумму на число , можно умножить на это | число | каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения . |
| 5 Распределительное свойство умножения относительно сложения : для того чтобы умножить сумму на | число | , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения . |
| 2 Чтобы умножить | число | на произведение двух чисел , можно сначала умножить его на первый множитель , а потом полученное произведение умножить на второй множитель . |
| 4 Если из числа вычесть это | число | , получится нуль . |
| Конечно , вычитаемое | число | должно быть меньше слагаемого , из которого его вычитают , или равно ему . |
| 2 Чтобы из суммы вычесть | число | , можно вычесть его из одного слагаемого , а к полученной разности прибавить другое слагаемое . |
| 3 От прибавления нуля | число | не изменяется . |
| Найдите площадь круга , округлив | число | « пи » до целых ( 3—4 ) , если . |
| К числу а прибавили | число | b. |
| Как изменится | число | а , если b положительное ; если b отрицательное ; если b = 0 ? . |
| 6 5 На координатной прямой точке А соответствует | число | а + 4 , а точке В — число а + ( -4 ) . |
| 7 75 Представьте в виде дроби ( где а — целое число , b — натуральное | число | ) значение выражения . |
| 7 75 Представьте в виде дроби ( где а — целое | число | , b — натуральное число ) значение выражения . |
| 7 74 Представьте в виде ( где а — целое число , ап — натуральное | число | ) следующие числа . |
| 7 74 Представьте в виде ( где а — целое | число | , ап — натуральное число ) следующие числа . |
| Покажите , что любое целое | число | является рациональным числом . |
| Если число 5/11 = 0,4545 .. округлить до десятых , то получим 5/11 примерно 0,5 , если это | число | округлить до сотых , то получим 0,45 , а если округлить до тысячных , то получим 0,455 . |
| Если | число | 5/11 = 0,4545 .. округлить до десятых , то получим 5/11 примерно 0,5 , если это число округлить до сотых , то получим 0,45 , а если округлить до тысячных , то получим 0,455 . |
| Для дроби 1- = 0,333 .. | число | 0,3 является приближённым значением до десятых с недостатком : 0,3 < 1 Число 0,4 является приближённым значением этой дроби до десятых с избытком : 1<0,4 . |
| Любое рациональное | число | можно записать либо в виде десятичной дроби ( в частности , целого числа ) , либо в виде периодической дроби . |
| Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже рациональное | число | . |
| Любое целое | число | а является рациональным числом как его можно записать в виде . |
| Число , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — целое число , а n — натуральное | число | , называют рациональным числом . |
| Число , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — целое | число | , а n — натуральное число , называют рациональным числом . |
| рациональное | число | . |
| Частное двух чисел с разными знаками — положительное | число | . |
| 5 Какое | число | надо разделить на девять , чтобы получить минус восемь ? . |
| Какое | число | Яша задумал ? . |
| 7 52 Яша задумал | число | , умножил его на 5 , а затем из произведения вычел 2,7 . |
| При делении нуля на любое | число | , не равное нулю , получается нуль . |
| Значит , х — отрицательное | число | с модулем 6 , т . |
| Поэтому х — отрицательное | число | . |
| 7 76 Представьте в виде дроби , где а — целое | число | , а b — натуральное число , значение выражения . |
| При умножении 4 на х получилось отрицательное | число | -24 , значит , множители 4 и х должны иметь разные знаки . |
| 7 76 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — натуральное | число | , значение выражения . |
| 7 77 Представьте в виде дроби , где а — целое число , а b — натуральное | число | , значение выражения . |
| Поэтому , числовым коэффициентом выражения -а считают | число | -7 . |
| При умножении -1 на любое число а получается | число | -а . |
| При умножении -1 на любое | число | а получается число -а . |
| Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв , то это | число | называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом ) . |
| Чтобы найти значение выражения -(-9 + 5 ) , надо сложить числа -9 и 5 и найти | число | , противоположное полученной сумме : -(-9 + 5 ) = -(-4 ) = 4 . |
| Самое большое | число | , которое умел называть Архимед , было настолько велико , что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее , чем расстояние от Земли до Солнца . |
| Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным : люди думали , что существует самое большое | число | . |
| 3 Как называется число , которое можно представить в виде отношения « а » к « бэ » , где « а » — целое | число | , а « бэ » — натуральное ? . |
| 3 Как называется | число | , которое можно представить в виде отношения « а » к « бэ » , где « а » — целое число , а « бэ » — натуральное ? . |
| Как называется | число | , показывающее положение точки на прямой ? . |
| 7 Произведение десяти чисел , среди которых три отрицательных , — отрицательное | число | . |
| б ) два отрицательных числа и одно положительное | число | . |
| а ) одно отрицательное | число | и два положительных числа . |
| 7 109 Положительное или отрицательное | число | получится , если перемножить . |
| Другими словами , если а , b и с — любые рациональные числа , то ab = ba , a(bc ) = ( ab)с . Умножение на 1 не изменяет рационального числа , а произведение числа на обратное ему | число | равно 1 . |
| 8 Произведение любых двух рациональных чисел также рациональное | число | . |
| Представьте в виде десятичной дроби | число | ( 1—4 ) . |
| 7 95 Представьте в виде дроби , где а — целое число , b — натуральное | число | , b значение выражения . |
| 7 95 Представьте в виде дроби , где а — целое | число | , b — натуральное число , b значение выражения . |
| 7 79 Выразите в виде десятичной или периодической дроби | число | . |
| 7 78 Выразите в виде десятичной или периодической дроби | число | . |
| 7 77 Представьте в виде дроби , где а — целое | число | , а b — натуральное число , значение выражения . |
| Отношение показывающее во сколько | число | второго , или какую часть первое число составляет от второго . |
| Разделить -24 на 4 — это значит найти такое | число | х , что 4 × х = -24 . |
| Но так как х — положительное | число | , то x = x. Значит , х = 3 . |
| 8 98 С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же | число | освободитесь от дробных чисел и решите уравнение . |
| С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся | число | ? |
| Как ввести в калькулятор отрицательное | число | ? . |
| если меньший модуль имеет положительное | число | ? . |
| если больший модуль имеет положительное | число | ? |
| если меньший модуль имеет отрицательное | число | ? |
| Какой знак будет иметь сумма этих чисел , если больший модуль имеет отрицательное | число | ? |
| Например , чтобы ввести | число | -56,81 , надо последовательно нажимать клавиши . |
| Чтобы ввести отрицательное | число | на калькуляторе , надо ввести модуль этого числа , потом нажать клавишу « изменение знака » ± или . |
| 6 Любое | число | от прибавления отрицательного числа увеличивается . |
| 5 Какое | число | нужно прибавить к минус семи , чтобы получить минус пятнадцать ? . |
| Какое | число | получили ? . |
| Число книг с художественными произведениями составляет 3/4 всех книг библиотеки , | число | научно - популярных книг составляет от числа художественных , а остальные 160 книг — справочники . |
| С какой стороны от начала отсчёта расположено полученное | число | ? |
| отрицательное | число | ? . |
| 6 14 Может ли быть положительным , отрицательным , нулём | число | , записанное в виде . |
| 8 125 Одно | число | больше другого в 4,5 раза . |
| Какое | число | соответствует середине отрезка АВ ? . |
| 8 127 У Миши и Коли в коллекциях было одинаковое | число | марок . |
| Когда Миша подарил часть своих марок младшему брату , а Коля в 1,4 раза меньшее | число | своих марок отдал на выставку , у Миши осталось 20 марок , а у Коли — 40 марок . |
| 6 5 На координатной прямой точке А соответствует число а + 4 , а точке В — | число | а + ( -4 ) . |
| к сумме -6 и -12 | число | 20 . б ) к числу 2,6 сумму — 1,8 и 5,2 . |
| Чтобы разделить отрицательное | число | на отрицательное , надо разделить модуль делимого модуль . |
| Корень этого уравнения — | число | минус двенадцать . |
| Крытых вагонов было в 1,2 раза больше , чем платформ , а | число | цистерн составляло числа платформ . |
| Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же | число | , не равное нулю . |
| Поэтому х — положительное | число | . |
| Так как при умножении -4 на х получилось отрицательное | число | -12 , то множители -4 и х должны иметь разные знаки . |
| Например , разделить -12 на -4 — это значит найти такое | число | х , что -4 × х = -12 . |
| Произведение двух отрицательных чисел — положительное | число | . |
| 6 Число « а » — положительное , а | число | « бэ » — отрицательное . |
| Найдите каждое | число | . |
| Второе число составляет 80 % первого , а третье | число | составляет 50 % суммы первого и второго . |
| Второе | число | составляет 80 % первого , а третье число составляет 50 % суммы первого и второго . |
| 7 38 Первое | число | 60 . |
| 7 26 Представьте | число | -12 в виде разности . |
| Видим , что произведение отрицательных чисел есть | число | положительное . |
| Какое | число | нужно вычесть из минус семи , чтобы получить минус десять ? . |
| 6 105 Между какими соседними целыми числами расположено | число | . |
| 6 103 Найдите | число | , противоположное числу -7,2 . |
| Обе части уравнения умножили на | число | , не равное 0 . |
| Обе части уравнения разделили на одно и то же | число | , отличное от нуля . |
| сколько надо прибавить к числу -5 , чтобы получилось | число | 9 . |
| Чтобы из данного числа вычесть другое , надо к уменьшаемому прибавить | число | , противоположное вычитаемому : a - b = a + ( -b ) . |
| Чтобы найти искомое слагаемое , можно прибавить к сумме | число | , противоположное известному слагаемому . |
| 5 Какое | число | нужно прибавить к минус трём , чтобы получить четыре ? . |
| 6 71 Представьте | число | -10 в виде суммы двух отрицательных слагаемых так , чтобы . |
| Используя современные обозначения , | число | можно было бы записать , например , в виде 4;52;03 . |
| 5 С точностью до сотых | число | « пи » приближённо равно трём целым четырнадцати сотым . |
| Чтобы найти | число | по данному значению его дроби , надо дробь разделить на это значение . |
| Числу , где а 0 и b 0 , обратно | число | . |
| 7 Корень уравнения 3x + 2x = 5 — | число | семь . |
| 9 66 Числа 90 и 100 разделили на одно и то же | число | . |
| Расскажите , как можно умножить смешанное число на натуральное | число | . |
| Расскажите , как можно умножить смешанное | число | на натуральное число . |
| умножить дробную часть на это натуральное | число | . |
| умножить целую часть на натуральное | число | . |
| Чтобы умножить смешанное число на натуральное | число | , можно . |
| умножение смешанного числа на натуральное | число | . |
| Представим вначале | число | 2 в виде суммы его целой и дробной частей : 2 у = 2 , а затем применим распределительное свойство . |
| 8 Если две седьмых некоторого числа равны одной второй , то это | число | равно восьми девятым . |
| Найдём | число | , обратное числу 35 . |
| 3 100 Между какими последовательными натуральными числами расположено | число | . |
| 6 На какое | число | надо умножить пять шестых , чтобы получить десять ? . |
| Корень уравнения 3 × x = 2 — | число | две третьих . |
| 3 Представьте в виде неправильной дроби | число | одна целая семь девятнадцатых . |
| Какое наибольшее | число | слов может быть в языке племени Аоку ? |
| 3 37 На координатном луче отмечены дробь и | число | а . |
| 3 20 Представьте в виде произведения двух дробей | число | . |
| Расскажите , как умножить дробь на натуральное | число | . |
| Следовательно , | число | можно получить умножением 4 на 2 . |
| Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это | число | , а знаменатель оставить без изменения . |
| Чтобы умножить дробь на натуральное | число | , надо её числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения . |
| умножение дроби на натуральное | число | . |
| Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить | число | на эту дробь . |
| Запишем | число | 36 в виде неправильной дроби . |
| Значит , обратным числу 35 будет | число | 6 . |
| Значит , если | число | х сначала умножить на некоторое число a , а потом умножить на число , обратное a , то получим опять х . |
| 7 Корень уравнения 2 : у = 4 — | число | одна вторая . |
| Запишите | число | , обратное одной целой пяти шестым . |
| Представьте в виде неправильной дроби | число | две целых одна девятая . |
| При этом | число | тетрадей в линейку составляло от числа тетрадей в клетку . |
| 3 225 Найдите | число | , обратное числу . |
| 3 222 Существует ли | число | . |
| Сравните данное | число | и ему обратное . |
| 3 221 Найдите | число | , обратное дроби . |
| Найдите задуманное | число | . |
| 3 197 Если задуманное | число | умножить на 2 и к произведению прибавить то получится 85 . |
| Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на | число | , обратное делителю . |
| В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в произведении — х. По смыслу деления это число равно частному от деления числа у на | число | у. |
| В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в произведении — х. По смыслу деления это | число | равно частному от деления числа у на число у. |
| Умножим обе части равенства на | число | 4 , обратное числу 4 . |
| 7 Для любого числа существует обратное ему | число | . |
| 4 Какое | число | надо умножить на три восьмых , чтобы получить единицу ? . |
| Запишите | число | , обратное ( 1—3 ) . |
| Найдите эти числа , если второе число больше первого на 0,9 , а третье | число | больше первого в 2 раза . |
| Найдите эти числа , если второе | число | больше первого на 0,9 , а третье число больше первого в 2 раза . |
| 3 166 Найдите | число | , обратное числу . |
| Как записать | число | , обратное смешанному числу ? . |
| Как записать | число | , обратное натуральному числу ? . |
| Как записать | число | , обратное дроби ? . |
| Дроби были нужны , чтобы выразить результат измерения длины , массы , площади в случаях , когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое | число | раз . |
| Значит , если число х сначала умножить на некоторое | число | a , а потом умножить на число , обратное a , то получим опять х . |
| Но умножить 4 на натуральное | число | 5 — значит найти сумму пяти слагаемых , каждое из которых равно . |
| 8 Если некоторое | число | больше своего обратного , то это число больше единицы . |
| А более общее утверждение « любое чётное | число | , большее 2 , можно представить в виде суммы двух простых чисел » ( например : 28 = 11 + 17 , 56 = 19 + 37 , 924 = 311 + 613 ) до сих пор не доказано ( из него добавлением 3 получается предыдущая гипотеза ) . |
| Корень уравнения 2 - у = 14 — | число | три пятых . |
| Возникает вопрос : существует ли последнее ( самое большое ) простое | число | ? |
| Интерес древних математиков к простым числам связан с тем , что любое | число | либо простое , либо может быть представлено в виде произведения простых чисел , т . |
| Но до сих пор учёные не знают , есть ли нечётные совершенные числа , есть ли самое большое совершенное | число | . |
| 8 Произведение двух простых чисел — простое | число | . |
| 5 Существует такое натуральное | число | « а » , что НОД ( a ; 60 ) = 25 . |
| Одно | число | в 2 раза больше другого . |
| а ) | число | , обратное произведению двух чисел , равно произведению чисел , обратных множителям . |
| б ) | число | , обратное сумме двух чисел , равно сумме чисел , обратных слагаемым . |
| Докажите , что | число | m делится на 4 . |
| в ) | число | , противоположное произведению двух чисел , равно произведению чисел , противоположных множителям . |
| д ) любое натуральное число и натуральное | число | , не являющееся ни простым , ни составным , обязательно взаимно простые . |
| за каждым простым числом есть ещё большее простое | число | . |
| д ) любое натуральное | число | и натуральное число , не являющееся ни простым , ни составным , обязательно взаимно простые . |
| а ) Какое | число | называют делителем данного числа ? |
| Какое | число | называют чётным ? |
| Какое | число | называют простым ? |
| Является ли простым | число | 11 ? |
| Число | 2 ? | |
| Число | 1 ? . | |
| Какое число является наименьшим общим кратным чисел и n , если | число | m кратно числу n ? . |
| Какое | число | является наименьшим общим кратным чисел и n , если число m кратно числу n ? . |
| Какое | число | называют наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b ? . |
| Например , наименьшим общим кратным чисел 12 , 15 , 20 и 60 будет | число | 60 , так как оно делится на все данные числа . |
| Заметим , что если одно из данных чисел делится остальные числа , то это | число | и является наименьшим общим кратным данных чисел . |
| г ) | число | , противоположное сумме двух чисел , равно сумме чисел , противоположных слагаемым ? . |
| Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное | число | , получится равная ей дробь . |
| 2 11 Какое натуральное | число | надо записать вместо буквы , чтобы было верным равенство . |
| 2 14 Какое | число | надо умножить на 3 , чтобы получить . |
| 3 Представьте в виде неправильной дроби | число | одна целая четыре пятнадцатых . |
| 2 Представьте в виде неправильной дроби | число | одна целая три одиннадцатых . |
| Корень уравнения y + 2 = 4 — | число | две целых три пятых . |
| 3 Представьте в виде неправильной дроби | число | три целых четыре седьмых . |
| Представьте в виде неправильной дроби | число | три целых две пятых . |
| 8 Как называется натуральное | число | , имеющее ровно два делителя ? . |
| 5 Как называется | число | , на которое умножают числитель и знаменатель дроби при приведении её к новому знаменателю ? . |
| Как в этом случае называется | число | « а » ? . |
| 4 Натуральное число « эм » делится на натуральное | число | « а » без остатка . |
| 4 Натуральное | число | « эм » делится на натуральное число « а » без остатка . |
| 2 Как называется натуральное | число | , которое не делится на два без остатка ? . |
| 6 Какое | число | надо вычесть из одной пятой , чтобы получить одну тридцатую ? . |
| 2 85 На какое | число | надо умножить 24 ; 8 ; 16 ; 6 ; 12 , чтобы получить 48 ? . |
| Число | . | |
| Какое | число | может служить общим знаменателем двух дробей ? |
| Какое | число | называют дополнительным множителем ? . |
| Дополнительным множителем является | число | 5 . |
| Умножим числитель и знаменатель дроби на одно и то же | число | 2 . |
| 8 Чтобы получить дробь , равную данной , всегда можно к её числителю и знаменателю прибавить одно и то же | число | . |
| Например , число 10 называли треугольным , | число | 16 — квадратным . |
| Например , | число | 10 называли треугольным , число 16 — квадратным . |
| 9 111 Найдите | число | , если . |
| Наибольшее | число | , на которое можно сократить дробь , — это наибольший общий делитель её числителя и тещ . |
| Представьте в виде неправильной дроби | число | две целых одна третья . |
| Кратно ли | число | а трём ? |
| Было высказано предположение , что любое нечётное | число | , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел . |
| 8 Если некоторое число больше своего обратного , то это | число | больше единицы . |
| Значит , если число х сначала умножить на некоторое число a , а потом умножить на | число | , обратное a , то получим опять х . |
| Найдите | число | ( 1—4 ) , если . |
| Какое | число | втрое меньше шести седьмых ? . |
| Как называют второе | число | ? |
| а ) число , 12,7 % которого равны 4,5212 . б ) | число | , 8,52 % которого равны 3,0246 . |
| 3 268 Во сколько раз меньше своего обратного числа | число | 0,3 ? . |
| 3 269 Придумайте | число | , которое меньше своего обратного числа в 4 раза ; в 9 раз . |
| 3 270 Разделите устно центральное | число | на числа в кружочках . |
| Как называют первое | число | ? |
| Найдите | число | ( 4—6 ) , если . |
| 8 Если пятнадцать процентов некоторого числа равны тридцати , то это | число | равно двумстам . . |
| Например , найти | число | , 2,4 % которого составляют 7,68 , можно по следующему алгоритму . |
| 3 265 Находить | число | по заданному значению его процентов можно с помощью калькулятора . |
| 3 262 Трое рабочих изготовили некоторое | число | деталей . |
| а ) | число | , 12,7 % которого равны 4,5212 . б ) число , 8,52 % которого равны 3,0246 . |
| 5 Запишите дробное выражение , знаменатель которого — | число | пять , а числитель равен сумме « эм » и пятнадцати . |
| Найдите | число | ( 1—2 ) . |
| 6 На какое | число | надо разделить три восьмых , чтобы получить три ? . |
| Чтобы найти | число | по данному значению его дроби . |
| Расскажите , как найти | число | по данному значению его процентов . |
| 7 Если | число | разделить на правильную дробь , то частное окажется меньше этого числа . |
| 3 313 Найдите | число | , если . |
| 3 258 Найдите | число | , если известно , что 1 этого числа равна 0,6 от числа 18 . |
| 3 259 Найдите | число | , если известно , что 45 % этого числа составляют 28 % от числа 180 . |
| поставить перед полученным | числом | знак « - » . |
| Рациональным | числом | будет и любая отрицательная дробь , так как , например , можно записать так . |
| 8 Для правильной дроби обратным | числом | является неправильная дробь . |
| Число , равное сумме всех его делителей ( без самого числа ) , они называли совершенным | числом | . |
| 1 143 При каких натуральных значениях а произведение 23a является простым | числом | ? . |
| 1 123 Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральными числами сантиметров , а высота равна 15 см. Можно ли утверждать , что объём ( в кубических сантиметрах ) этого параллелепипеда выражается | числом | . |
| Может ли модуль какого - нибудь числа быть отрицательным | числом | ? . |
| Покажите , что любая десятичная дробь является рациональным | числом | . |
| 1 144 Существует ли прямоугольник , стороны которого выражаются натуральными числами , а периметр — простым | числом | ? . |
| Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же | числом | . |
| Любое целое число а является рациональным | числом | как его можно записать в виде . |
| Покажите , что любое целое число является рациональным | числом | . |
| Всегда ли частное двух рациональных чисел является рациональным | числом | ? . |
| 5 42 Каким | числом | является — х , если число х . а ) отрицательное . |
| Каким | числом | выражается перемещение точки на координатной прямой влево и каким — вправо ? . |
| в ) площадью квадрата и длиной его стороны . г ) массой стального бруска и его объёмом . д ) | числом | рабочих , выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу , и временем выполнения этой работы . е ) стоимостью товара и его количеством , купленным на определённую сумму денег . |
| 8 42 Каким | числом | : положительным , отрицательным или нулём — будет произведение ху , если . |
| 7 Число нуль не является положительным | числом | . |
| Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами : первым | числом | обозначают номер ряда , а вторым — номер кресла в этом ряду . |
| 1 116 Может ли выражаться простым числом объём куба , длина ребра которого выражается натуральным | числом | ? . |
| 1 116 Может ли выражаться простым | числом | объём куба , длина ребра которого выражается натуральным числом ? . |
| 8 20 Каким | числом | может быть значение выражения х + у , если . |
| 1 182 Существует ли куб , ребро которого выражается натуральным | числом | и у которого . |
| 1 111 Может ли площадь квадрата выражаться простым числом , если длина его стороны выражается натуральным | числом | ? . |
| 1 111 Может ли площадь квадрата выражаться простым | числом | , если длина его стороны выражается натуральным числом ? . |
| 4 Квадрат простого числа не может быть простым | числом | . |
| составным | числом | ? . |
| 1 110 Может ли произведение двух простых чисел быть : а ) простым | числом | . |
| Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо перемножить модули этих чисел поставить перед полученным | числом | знак « - » . |
| 1 83 Подумайте , каким | числом | ( чётным или нечётным ) является . |
| Найдите отношение длины окружности к длине диаметра и сравните полученный результат с | числом | π . |
| а ) сумма длин всех рёбер выражается простым | числом | . |
| Число , которое можно записать в виде отношения а / n , где а — целое число , а n — натуральное число , называют рациональным | числом | . |
| за каждым простым | числом | есть ещё большее простое число . |
| поставить перед полученным | числом | . |
| Он записывал все числа от 1 до какого - то числа , а потом вычёркивал единицу , которая не является ни простым , ни составным | числом | , затем вычёркивал через одно все числа , идущие после 2 ( числа , кратные 2 , т . |
| поставить перед полученным | числом | знак того слагаемого , модуль которого больше . |
| Частное запишем под | числом | 756 . |
| 6 31 Сравните значение выражения с данным | числом | . |
| Первым оставшимся | числом | после 2 было 3 . |
| площадь поверхности выражается простым | числом | ? . |
| д. п. д. п . — число пятнадцать кратно | числу | три ( или : пятнадцать кратно трём ) . |
| Найдём число , обратное | числу | 35 . |
| 1 9 Напишите все двузначные числа , кратные | числу | : а ) 8 . б ) |
| 7 Число « одна целая две пятых » обратно | числу | « пять седьмых » . ! ! ! ! ! |
| 1 13 Докажите , что число 70 525 кратно | числу | 217 , а число 729 является делителем числа 225 261 . |
| Отметьте на этом луче четыре числа , кратные | числу | а . |
| Разность двух чисел 1,5 , причём 1 большего числа равна меньшему | числу | . |
| Что значит прибавить к | числу | а число b ? . |
| к сумме -6 и -12 число 20 . б ) к | числу | 2,6 сумму — 1,8 и 5,2 . |
| Кратно ( какому | числу | ? ) . |
| Число a кратно | числу | b. |
| Прибавить к | числу | , а число b — значит изменить a на b единиц . |
| 6 103 Найдите число , противоположное | числу | -7,2 . |
| сколько надо прибавить к | числу | -5 , чтобы получилось число 9 . |
| Прибавить к | числу | -5 число 0 — значит изменить число -5 на 0 . |
| 3 93 К какому | числу | надо прибавить 2 , чтобы получить 1 ; 2 ; 1 11 ; 11 ? . |
| К | числу | а прибавили число b. |
| Значит , обратным | числу | 35 будет число 6 . |
| Сумма двух чисел 7,2 , причём 1 большего числа равна меньшему | числу | . |
| б ) кратны | числу | 3 . |
| 3 166 Найдите число , обратное | числу | . |
| Назовите наименьшее кратное | числу | 24 . |
| 2 Чтобы прибавить к | числу | сумму двух чисел , можно сначала прибавить первое слагаемое , а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое . |
| в ) кратны | числу | 9 . |
| Какое число противоположно | числу | b ? . |
| Шаг Володи 75 см , а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они сделают по целому | числу | шагов ? . |
| Число b противоположно | числу | а . |
| Так как число , противоположное | числу | -15 , равно 15 , то -(-15 ) = 15 . |
| Запись « -(-15 ) » означает число , противоположное | числу | -15 . |
| а ) кратны | числу | 7 . |
| а ) если каждое слагаемое кратно числу а , то и сумма кратна числу а . б ) если только одно слагаемое суммы не кратно числу а , то сумма не кратна | числу | а . |
| Число , противоположное | числу | а , обозначают -а . |
| Умножим обе части равенства на число 4 , обратное | числу | 4 . |
| б ) если уменьшаемое и вычитаемое кратны | числу | а , то и разность кратна числу а ? . |
| а ) если каждое слагаемое не кратно числу а , то и сумма не кратна | числу | а . |
| а ) если каждое слагаемое не кратно | числу | а , то и сумма не кратна числу а . |
| Говорят , что числа 8 , 16 , 24 кратны числу 8 , а число 18 не кратно | числу | 8 . |
| 7 На координатном луче наименьшее кратное натурального числа « эн » , не равное самому | числу | « эн » , расположено правее этого числа на расстоянии « эн » единичных отрезков . |
| а ) кратные числу 17 . б ) кратные | числу | 28 . |
| а ) кратные | числу | 17 . б ) кратные числу 28 . |
| 3 225 Найдите число , обратное | числу | . |
| Говорят , что числа 8 , 16 , 24 кратны | числу | 8 , а число 18 не кратно числу 8 . |
| б ) если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу а , то и разность кратна | числу | а ? . |
| а ) если каждое слагаемое кратно числу а , то и сумма кратна числу а . б ) если только одно слагаемое суммы не кратно | числу | а , то сумма не кратна числу а . |
| Чему равно отношение числа девочек к | числу | мальчиков и что оно показывает ? . |
| Какое число называют кратным натуральному | числу | а ? . |
| а ) если каждое слагаемое кратно числу а , то и сумма кратна | числу | а . б ) если только одно слагаемое суммы не кратно числу а , то сумма не кратна числу а . |
| Для положительного числа и нуля он равен самому | числу | , а для отрицательного — противоположному . |
| г ) кратны | числу | 5 . д ) нечётные . |
| Как записать число , обратное натуральному | числу | ? . |
| 1 125 Какую цифру нужно приписать к | числу | 10 слева и справа , чтобы получилось четырёхзначное число , делящееся : а ) на 9 . б ) на 3 . |
| Как записать число , обратное смешанному | числу | ? . |
| 1 49 Если к | числу | прибавить 4 , то полученное число разделится без остатка на 6 . |
| — если « ка » равно минус семи , то минус « ка » равно | числу | , противоположному минус семи . |
| Например , переплёты многих книг имеют отношение ширины и длины , близкое к | числу | 0,618 . |
| п . — отношение числа тридцать пять к | числу | двадцать семь . |
| Какое число является наименьшим общим кратным чисел и n , если число m кратно | числу | n ? . |
| — число , противоположное | числу | минус а . |
| а ) если каждое слагаемое кратно | числу | а , то и сумма кратна числу а . б ) если только одно слагаемое суммы не кратно числу а , то сумма не кратна числу а . |
| 8 24 Найдите неизвестный | член | пропорции . |
| Используя основное свойство пропорции , можно найти её неизвестный | член | , если все остальные члены известны . |
| Найдем в пропорции 0,5 : a = 2 : 13 неизвестный средний | член | а . |
| Теперь найдём неизвестный | член | пропорции . |
| 4 155 Найдите неизвестный | член | пропорции . |
| 5 115 Найдите неизвестный | член | пропорции . |
| 7 54 Найдите неизвестный | член | пропорции . |
| 5 122 Найдите неизвестный | член | пропорции 9 : 3,1 = x : 9,3 . |
| Останется ли пропорция верной , если поменять местами какой - нибудь средний её | член | с одним из крайних ? |
| знаменитый математик , | член | Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел ( одна из них — 17 296 и 18 416 ) . |
| Сколькими способами четыре | члена | команды могут распределить между собой этапы эстафеты ? . |
| Останется ли пропорция верной , если оба средних числа поменять местами с крайними | членами | ? |
| В пропорции а : b = с : числа a и d называют крайними | членами | , а числа b и с средними членами пропорции . |
| В пропорции а : b = с : числа a и d называют крайними членами , а числа b и с средними | членами | пропорции . |
| Она тоже верна , так как при такой перестановке произведение крайних и произведение средних | членов | не изменилось . |
| 5 Как называется пропорция , в которой произведение крайних | членов | равно произведению средних ? . |
| если произведение крайних членов равно произведению средних | членов | пропорции , то и пропорция верна . |
| Какие перестановки | членов | пропорции снова приводят к верным пропорциям ? . |
| В пропорции найдем произведение ее крайних | членов | и произведение средних членов . |
| если произведение крайних | членов | равно произведению средних членов пропорции , то и пропорция верна . |
| В пропорции найдем произведение ее крайних членов и произведение средних | членов | . |
| В верной пропорции произведение крайних | членов | давно произведению средних членов . |
| В верной пропорции произведение крайних членов давно произведению средних | членов | . |
| 4 79 Средние | члены | пропорции 6 и 10 . |
| Эти произведения не изменятся , если в пропорции 20 : 5 = 16 : 4 поменять местами крайние | члены | . |
| Если в верной пропорции менять местами средние | члены | иди , крайние члены , то получившиеся новые пропорции тоже верны . |
| Если в верной пропорции менять местами средние члены иди , крайние | члены | , то получившиеся новые пропорции тоже верны . |
| Используя основное свойство пропорции , можно найти её неизвестный член , если все остальные | члены | известны . |
| Какими могут быть крайние | члены | ? |
| 4 45 Переставив средние или крайние | члены | пропорции , составьте три новые верные пропорции из пропорции . |
| средние | члены | пропорции . |
| В дальнейшем будем считать , что все | члены | пропорции отличны от нуля : a не равно 0 , b не равно 0 , с не равно 0 , d не равно 0 . |
| 3 Запишите средние | члены | пропорции 1,5 : 2 = 4,5 : 6 . |
| 4 Запишите крайние | члены | пропорции . |
| а ) отношения двух величин . б ) верной пропорции и назовите её крайние и средние | члены | . |
| крайние | члены | пропорции . |
| Поменяем местами в этой пропорции средние | члены | . |
| Значит , любое натуральное число чётно лишь в случае , когда в разряде единиц стоит | чётная | цифра , и нечётно , когда в разряде единиц стоит нечётная цифра . |
| Значит , любое натуральное число | чётно | лишь в случае , когда в разряде единиц стоит чётная цифра , и нечётно , когда в разряде единиц стоит нечётная цифра . |
| Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой , то это число | чётно | ( делится без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это число нечетное . |
| 1 90 Какой цифрой оканчивается запись числа , делящегося на 5 , если оно : а ) | чётно | . |
| 7 Квадрат | чётного | числа — число чётное . |
| в ) куб | чётного | числа . б ) квадрат нечётного числа . |
| а ) квадрат | чётного | числа . |
| 7 Если | чётное | число кратно трём , то оно делится без остатка на шесть . |
| Чётное | . | |
| А более общее утверждение « любое | чётное | число , большее 2 , можно представить в виде суммы двух простых чисел » ( например : 28 = 11 + 17 , 56 = 19 + 37 , 924 = 311 + 613 ) до сих пор не доказано ( из него добавлением 3 получается предыдущая гипотеза ) . |
| Чётное | число . г ) нечётное число ? . | |
| 7 Квадрат чётного числа — число | чётное | . |
| А Если | чётное | число делится на 3 , то оно делится на 6 . |
| а ) Если число делится на 2 , то оно | чётное | . |
| Может ли | чётное | число делиться на нечётное число ? . |
| Чётное | и нечётное числа всегда взаимно простые . | |
| 2 Какой цифрой оканчивается | чётное | число , кратное пяти ? . |
| Может ли нечётное число делиться на | чётное | число ? . |
| Чётное | число . нет . | |
| Чётное | число нечётное число признак делимости на 5 . | |
| Оно делится на 2 , так как оканчивается | чётной | цифрой 6 . |
| Если запись натурального числа оканчивается | чётной | цифрой , то это число чётно ( делится без остатка на 2 ) , а если запись числа оканчивается нечётной цифрой , то это число нечетное . |
| 1 165 Подставьте в таблицу подходящие натуральные значения x и у и сделайте выводы о | чётности | или нечётности результата действия в каждом случае . |
| 1 43 Подставьте в таблицу подходящие значения а и b и сделайте вывод о | чётности | или нечётности результата действия . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют чётными , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 | чётны | , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| они | чётны | ) . |
| Например , числа 2 , 60 , 84 , 96 , 308 | чётные | , а числа 3 , 51 , 85 , 97 , 509 нечётные . |
| а ) все | чётные | числа , большие 10 и меньшие 21 . б ) все нечётные числа , большие 12 , но меньшие 23 . |
| 1 115 Верно ли , что все | чётные | числа являются составными ? . |
| Чётный | . | |
| 8 Дробь семнадцать восемнадцатых имеет простой знаменатель и | чётный | числитель . |
| 5 Простое число не может быть | чётным | . |
| 1 83 Подумайте , каким числом ( | чётным | или нечётным ) является . |
| Какое число называют | чётным | ? |
| Поэтому и цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 называют | чётными | , а цифры 1 , 3 , 5 , 7 , 9 — нечётными . |
| Числа , делящиеся без остатка на 2 , называют | чётными | , а числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 , называют нечётными - Из однозначных чисел числа 0 , 2 , 4 , 6 и 8 чётны , а числа 1 , 3 , 5 , 7 и 9 нечётны . |
| 2 56 Сколько пятизначных чисел можно составить из | чётных | цифр , если цифры в записи числа не повторяются ? . |
| в ) два | чётных | числа , которые не делятся на 5 . г ) |
| 1 221 Сколько трёхзначных чисел можно составить из | чётных | цифр ? . |
| а ) два | чётных | числа не могут быть взаимно простыми . |
| а ) два | чётных | числа , кратных 5 . б ) |
| 2 92 Сколько | чётных | пятизначных чисел можно составить из цифр 0 , 3 , 5 , 6 , 8 ? |
| диаметром | шара | ? |
| Что называется радиусом | шара | ? |
| Все точки поверхности | шара | одинаково удалены от центра шара . |
| Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра | шара | . |
| Отрезок , соединяющий точку поверхности | шара | с центром , называют радиусом шара . |
| центр | шара | . |
| радиус | шара | . |
| Отрезок , соединяющий две точки поверхности | шара | и проходящий через центр шара , называют диаметром шара . |
| Отрезок , соединяющий точку поверхности шара с центром , называют радиусом | шара | . |
| Отрезок , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара , называют диаметром | шара | . |
| Диаметр | шара | равен двум радиусам . |
| Поверхность | шара | называют сферой . |
| Как называется отрезок , соединяющий центр | шара | с любой точкой его поверхности ? . |
| 4 Какое название имеет геометрическая фигура — поверхность | шара | ? . |
| 4 156 Диаметр земного | шара | приближённо равен 12,7 тыс. км . |
| Отрезок , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр | шара | , называют диаметром шара . |
| диаметр | шара | . |
| Футбольный мяч , глобус , арбуз дают нам представление о | шаре | . |
| 1 218 Лист картона имеет форму прямоугольника , длина которого 48 см , а | ширина | 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты . |
| его | ширина | 2,5 см и составляет высоты , а длина в 3,4 раза больше высоты . |
| Длина параллелепипеда равна 3 м , высота на 7 м меньше длины , а | ширина | на 1 м меньше высоты . |
| Найдите периметр прямоугольника , если его | ширина | 3/8 м . |
| 3 199 Длина и | ширина | прямоугольника соответственно равны 5 м и 2 м . |
| 1 84 Длина прямоугольника 20 м , | ширина | — натуральное число метров . |
| 4 37 Длина прямоугольника а см , а ширина b см. Длина другого прямоугольника m см , а | ширина | n см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго . |
| 4 37 Длина прямоугольника а см , а | ширина | b см. Длина другого прямоугольника m см , а ширина n см. Найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго . |
| Длина первого прямоугольника 3,6 м , а | ширина | 2,4 м . |
| Длина меньшей комнаты 4 м , а | ширина | 33 м . |
| Длина большей комнаты 5 м , а | ширина | 4 м . |
| Длина прямоугольника 4 дм , а | ширина | 2 дм . |
| 6 25 Найдите объём прямоугольного параллелепипеда , длина которого 21 см , а | ширина | составляет 3 длины и 30 % высоты . |
| Ширина и длина одного из них 19 см и 23 см , а | ширина | второго — 10 см. Чему равна длина второго прямоугольника ? . |
| Его глубина составляет 30 % высоты , а | ширина | — 250 % глубины . |
| 3 79 Длина школьного спортивного зала равна 30 м , | ширина | составляет длины , а высота — 0,3 ширины . |
| 3 19 Длина прямоугольного параллелепипеда равна 7/12 м , | ширина | 5/14 м , а высота 18/25 м . |
| 1 123 Длина и | ширина | прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральными числами сантиметров , а высота равна 15 см. Можно ли утверждать , что объём ( в кубических сантиметрах ) этого параллелепипеда выражается числом . |
| Найдите отношение длины прямоугольника к его | ширине | . |
| 5 138 Под строительство спортивной площадки отвели поле прямоугольной формы площадью 9200 м2 и | шириной | 80 м . |
| По периметру участка планируется сделать беговые дорожки | шириной | 5 м , а в центральной части — футбольное поле . |
| Зависимость между | шириной | и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная , так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз , то надо ширину во столько же раз уменьшить . |
| Найдите | ширину | другого прямоугольника , длина которого 3 м , а площадь равна площади первого прямоугольника . |
| 4 122 Измерьте длину и | ширину | своей комнаты . |
| 2 18 На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника , если его длину увеличить на 30 % , а | ширину | — на 20 % ? . |
| Найдите | ширину | второго прямоугольника . |
| Обозначив буквой x | ширину | ( в метрах ) второго прямоугольника , запишем кратко условие задачи . |
| Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная , так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз , то надо | ширину | во столько же раз уменьшить . |
| его высота 3,5 см и составляет 0,7 | ширины | , а длина в 2,4 раза больше ширины . |
| Но мы знаем , что площадь прямоугольника равна произведению длины и | ширины | . |
| его высота 3,5 см и составляет 0,7 ширины , а длина в 2,4 раза больше | ширины | . |
| Например , переплёты многих книг имеют отношение | ширины | и длины , близкое к числу 0,618 . |
| Найдите высоту здания над землёй , если оно заглублено в землю на 15 м и длина здания больше его | ширины | в 1 5/7раза . |
| 1 28 Сколько существует флагов , составленных из трёх горизонтальных полос одинаковой | ширины | и различных цветов — белого , зелёного , красного и синего ? |
| Сколько могло бы быть различных государственных флагов , состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой | ширины | и разного цвета — белого , красного и синего ? . |
| 3 79 Длина школьного спортивного зала равна 30 м , ширина составляет длины , а высота — 0,3 | ширины | . |
| 1 164 Цветочная клумба имеет форму прямоугольника , длина которого в 1,8 раза больше | ширины | . |
| На сколько длина окружности | экватора | больше длины окружности , проходящей через полюса Земли ? . |
| 4 169 Длина | экватора | Луны приближённо равна 10,9 тыс. км . |
| Чему равна длина | экватора | и меридианов на этом глобусе ? . |
| Скольким тысячам километров равен радиус и длина | экватора | Земли ? |