Left context	Term	Right context
	Биссектриса	угла — это луч , выходящий из его вершины и делящий угол на два равных .
	Величина	стадия различна , например , вавилонский стадий — около 195 м , аттический стадий — около 185 м .
	Величина	16 см2 есть площадь фигуры , измеренная с недостатком .
	Вершина	С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
	Вершина	; сторона ; угол треугольника .
	Вершину	угла обозначим буквой А .
	Вершины	треугольника , а также соответствующие углы принято обозначать большими латинскими буквами А , В , С или К , L , М и т .
	Вершины	треугольника лежат в узлах клеток .
	Вписанный	в окружность угол , опирающийся на диаметр , равен 90 ° .
	Вписать	в окружность равносторонний треугольник .
	Высотой	в этом случае мы называем измерение , направленное вертикально вверх от земли .
	Гипербола	— это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
	Гипербола	состоит из двух частей ( двух отдельных ветвей ) .
	Гипербола	.
	Гипоциклоиды	.
	Градус	можно определить следующим образом .
	Деление	окружности на части .
58	Диагональ	на самом деле представляет очень узкий четырехугольник площадью 1 .
	Диагональ	квадрата является биссектрисой угла .
Тетраэдр ; Куб ; Октаэдр ;	Додекаэдр	; Икосаэдр .
	Дуги	окружности также измеряются в градусах .
	Единица	измерения угла , как мы знаем , — градус .
	Единичные	отрезки на каждой оси выбираются равными по длине .
	Единичные отрезки	на каждой оси выбираются равными по длине .
	Игра	« Морской бой » .
	Игра	стомахион была известна еще до нашей эры .
	Игра	заканчивается , как только в течение минуты никто не может придумать новый пример .
29	Игра	со спичками .
	Игра	« Остров Сокровищ » .
14	Игра	- конкурс букв и слов .
Тетраэдр ; Куб ; Октаэдр ; Додекаэдр ;	Икосаэдр	.
	Кардиоида	.
	Касательная	АВ симметрична касательной АС .
	Квадрат	8×8 разрезан на части , из которых составлен прямоугольник 13×5 .
	Квадрат	— очень интересный четырехугольник .
	Квадрат	при повороте на 90 ° вокруг его центра совместится сам с собой .
	Квадрат	.
	Квадратная	крышка может провалиться в люк , чего никогда не случится с круглой крышкой .
	Конус	.
	Конус	можно пересечь плоскостью по окружности .
	Координата	времени .
	Координаты	точки плоскости — это пара чисел , из которых одно число является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
	Координаты	на плоскости можно задавать различными способами .
22	Координаты	, координаты , координаты .
25	Кривые	Дракона .
17	Круг	диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу сложить вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
	Круг	.
	Круг	— плоская фигура , его характеризует площадь .
19	Куб	со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд .
	Куб	является представителем большого семейства многогранников .
Тетраэдр ;	Куб	; Октаэдр ; Додекаэдр ; Икосаэдр .
5	Куб	и его свойства .
27 а )	Куб	; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
	Ломаная	А1В1С — отражение АВС .
	Луч	ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой точки — начала луча ( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
	Многогранники	при всем различии имеют ряд общих свойств .
	Многоугольник	всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же площадью .
	Найдем	, во сколько раз отрезок АВ больше отрезка АlВl и , увеличив единичный отрезок во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
	Найдите	три отрезка , три луча , три угла .
5	Найдите	путь к беседке , расположенной в парке .
	Найдите	на этом рисунке девять прямоугольников .
7	Найдите	путь от входа к выходу в пространственном лабиринте .
7	Найдите	звезду .
6	Найдите	47 треугольников в фигуре .
14	Найдите	площади фигур .
	Найдите	эту линию .
5	Найдите	27 треугольников в фигуре .
	Найдите	как можно больше симметричных предметов , сооружений в окружающей обстановке дома и на улице .
	Найдите	сторону двух квадратов , отмеченных знаком вопроса , если сторона маленького черного квадрата равна 1 .
	Найдите	еще несколько пар скрещивающихся ребер куба ABCDA1B1C1D1 .
25	Найдите	площадь треугольника .
	Найдите	равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные , тупоугольные треугольники .
	Найдите	длину отрезка АВ .
	Найдите	еще хотя бы один вариант подобного покрытия квадрата 8×8 с вырезанной серединой .
	Найдите	на прямой такую точку M , чтобы путь из А в В через М был кратчайшим , т .
	Найдите	пять других способов .
8	Найдите	площади каждой части танграма , если сторона клетки равна 1 .
	Найдите	несколько вариантов .
	Найдите	развертки каждого кубика .
	Найдите	на карте место клада .
	Найти	на сторонах угла две точки М и N так , чтобы длина замкнутого пути была наименьшей .
	Обратное	движение эта точка совершает в нижних частях маленьких петель .
3	Обратное	задание : даны проекции ломаных спереди , сверху и слева .
	Окружности	и дуги являются основными элементами готических храмов средневековья .
	Окружность	— удивительно гармоничная фигура , древние греки считали ее самой совершенной .
	Окружность	— единственная кривая , которая может « скользить сама по себе » , вращаясь вокруг центра .
	Окружность	обладает еще одним интересным свойством .
	Окружность	— частный случай эллипса , она получается , если фокусы эллипса совпадают .
	Окружность	— это замкнутая кривая линия .
13	Окружность	.
	Окружность	как совершенная геометрическая форма всегда привлекала к себе внимание художников , архитекторов .
	Окружность	— это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой центром окружности .
Тетраэдр ; Куб ;	Октаэдр	; Додекаэдр ; Икосаэдр .
	Основания	этих перпендикуляров служат вершинами правильного треугольника .
	Отношение	длин двух отрезков есть число , которое не зависит от единицы измерения .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В.	Отрезок	ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
	Отрезок	АА1 короче ломаной АВ0А1 .
2	Отрезок	, соединяющий симметричные точки , перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам .
9	Отрезок	, соединяющий две противоположные вершины куба ( наиболее удаленные друг от друга ) , называется диагональю куба .
	Отрезок	АВ — это часть прямой между двумя точками А и В ( из прямой как бы вырезали кусочек ) .
	Отрезок	АВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр .
	Парабола	.
	Параллелепипед	можно считать символом нашего пространства .
	Параллелограмм	.
	Параллелограмм	— это красивое и звучное слово , напоминающее нам о единицах веса , на самом деле никакого отношения к ним не имеет .
	Параллельные	и перпендикулярные прямые играют очень большую роль в жизни человека : особенности их взаимного расположения используют в строительстве , технике , искусстве .
	Параллельный	перенос .
	Паркеты	настолько часто встречаются в жизни , что мы не замечаем их .
	Перпендикулярные	прямые обладают интересными свойствами .
3	Пирамида	разделится на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
	Пирамида	— « жесткое » геометрическое тело , т .
	Плоские	равновеликие многоугольники также являются равносоставленными .
	Плоский	рисунок может обманывать , изображая невозможное .
7	Плоскость	должна проходить параллельно грани куба .
	Площади	плоских фигур при увеличении их сторон в n раз увеличиваются в n×n раз .
3	Площадь	всего белого квадрата равна 25 клеткам .
	Площадь	, ограниченная окружностью ( т . е .
	Площадь	фигуры с избытком равна 40 см2 .
	Площадь	всего белого квадрата равна 25 клеткам .
	Порядок	изготовления показан на схемах .
23	Порядок	действий : 1 ) правой рукой делаем перекрещенную петлю посередине веревки и держим ее ;
18	Последовательность	укладки : 2 ; 7 ; 5 ; 6 ; 1 ; 3 ;
8	Правильные	многогранники .
	Правильный	.
	Правильный	шестиугольник вписан в окружность , и все стороны равны радиусу этой окружности .
	Правильный шестиугольник	вписан в окружность , и все стороны равны радиусу этой окружности .
	Прибавив	соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной величине , мы вычислим площадь фигуры с недостатком , но уже точнее .
	Приведем	еще некоторые меры длины , которыми пользовались ( а некоторые пользуются и сейчас ) в разных странах .
4	Приведите	примеры кривых , длину которых удобно измерять одним из этих способов .
	Приведите	способ , с помощью которого куб можно разрезать на 64 части за шесть разрезов .
	Приведите	пример .
	Приведите	примеры из литературы .
	Приведите	примеры .
	Приведите	примеры плоских фигур , имеющих центр симметрии , но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
	Прямая	а .
	Прямая	, на которой заданы точка 0 и точка 1 , называется координатной осью или просто осью .
	Прямая	, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса , касается окружности .
	Прямая	, вдоль которой поставлено зеркало , называется осью симметрии .
	Прямая	А1А2 пересечет стороны угла в искомых точках М и N. Объясните это .
	Прямой	угол содержит 90 ° .
	Прямой угол	содержит 90 ° .
	Прямоугольник	— это параллелограмм , у которого все углы прямые .
2	Прямоугольник	ABCD разделен на части прямыми КМ и ОР .
	Прямоугольник	обладает тем свойством , что его диагонали равны между собой и делятся пополам в точке их пересечения .
	Прямоугольник	.
53	Прямоугольники	А и Б имеют равные площади .
5	Равнобедренный	треугольник можно сложить пополам так , чтобы половинки совместились .
	Равнобедренный	.
5	Равнобедренный треугольник	можно сложить пополам так , чтобы половинки совместились .
	Равносторонний	( правильный ) треугольник .
	Равносторонний	многоугольник , вписанный в окружность , называется правильным .
	Разделив	каждый градус на 60 равных частей , получим более мелкую единицу угла — минуту .
	Разделим	его на два равных прямоугольника .
Возьмем произвольную окружность с центром О.	Разделим	ее на 360 равных частей — дуг .
	Разделите	пополам тетрадный лист вертикальной чертой , слева напишите названия тех фигур ( или начертите их ) , которые можно поместить в плоскости , а справа те , которые нельзя .
14	Разделите	фигуры на прямоугольники , найдите по формуле площади этих прямоугольников и результаты сложите .
15	Разделите	лунный серп двумя прямыми линиями на шесть частей .
3	Ребро	куба увеличили в 3 раза .
	Ребро	; грань ; вершина .
	Ребро	АА1 перпендикулярно ребрам АВ , А1В1 , AD и A1D1 .
Постройте треугольник со сторонами 7 см , 5 см , 4 см.	Решение	этой задачи .
	Решение	задачи .
	Решение	( т . е . маршрут , ведущий к цели ) каждого лабиринта может быть найдено одним из трех сравнительно простых методов .
	Решение	следующих задач и выполнение заданий позволит вам обнаружить некоторые свойства куба .
	Ромб	.
	Ромб	— это параллелограмм , у которого все стороны равны .
«	Симметрия	..
32	Симметрия	помогает решать задачи .
	Симметрия	помогает решать задачи .
29	Симметрия	.
	Симметрия	относительно горизонтальной оси + параллельный перенос .
	Синусоида	.
	Система	может вращаться лишь в том случае , если число шестеренок четное .
10	Сложите	из закрашенных и незакрашенных частей одинаковые фигуры .
5	Сложите	такой же треугольник , используя .
	Сложите	из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
2	Сложите	белую полоску .
	Сложите	полоску три раза пополам .
Возьмите полоску бумаги шириной 5 см и длиной около 20 см.	Сложите	ее « гармошкой » и нарисуйте какой - нибудь рисунок , касающийся линии сгиба .
1	Сложите	шесть спичек так , чтобы образовалось четыре треугольника ( сторона каждого треугольника должна быть равной длине спички ) .
	Сложите	самостоятельно полоску четыре и пять раз и запишите , как будут чередоваться изгибы .
1	Сложите	спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей точке пространства .
11	Сложите	из трех « внешних » треугольников один треугольник , равный « внутреннему » .
	Совпадают	ли результаты каких - либо преобразований ?
	Спираль	Архимеда .
	Сторона	ОС у них общая , а стороны ОА и ОD составляют развернутый угол .
	Сторона	равна одной спичке , а ) Переложите четыре спички так , чтобы получилось три квадрата , б ) Переложите три спички так , чтобы получилось три квадрата , в ) Переложите спички , чтобы получилось шесть квадратов .
	Стороны	одного из них являются продолжением сторон другого угла .
	Сумма	расстояний от них до двух заданных точек плоскости ( эти точки называются фокусами эллипса ) постоянна .
12	Тела	составлены из кубиков с ребром в 1 см. Подсчитайте объемы тел .
	Тетраэдр	начинают перекатывать , как показано на рисунке , причем он оставляет след такого же цвета , что и грань , касающаяся бумаги .
6	Тетраэдр	, перекатываясь с грани на грань , возвращается в свое исходное положение .
	Тетраэдр	; Куб ; Октаэдр ; Додекаэдр ; Икосаэдр .
15	Топологические	опыты .
	Топология	является одним из самых « молодых » разделов современной геометрии .
	Точка	М имеет координаты 5 и 2 , что записывается так : М ( 5 ; 2 ) .
	Точка	О — общее начало лучей ОА и ОВ , точка О — вершина угла .
	Точка	С осталась на месте .
	Точка	должна быть слева .
	Точка	пересечения этих прямых является началом координат .
	Точка	А .
	Точка	О — начало луча .
	Точки	В и С окружности симметричны .
	Точки	А и В — концы отрезка АВ .
4	Точки	В и С симметричны относительно диаметра , проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярного ему .
	Третий	метод — правило одной руки .
	Третий	ученик , видя предметы , контролирует и оценивает ответ .
5	Третью	полоску ( красную ) пропустите сзади куба в щель между белой и черной полосками , согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и черной полоской .
	Треугольная	пирамида имеет еще одно название — тетраэдр , т .
8	Треугольник	АВС — правильный , четырехугольник KLMN — квадрат .
	Треугольник	— плоская фигура .
3	Треугольник	, каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
7	Треугольник	.
	Треугольник	.
	Треугольник	АОВ — равнобедренный , один из углов равен 60 ° .
	Треугольник	, как правило , определяется тремя своими элементами .
2	Треугольник	со сторонами 7 см « выложен » треугольными сантиметрами .
2	Треугольник	можно разделить на четыре равных треугольника .
Мы предлагаем еще один невозможный объект —	Треугольник	Пенроуза .
	Треугольник	АОМ — равнобедренный .
	Треугольник	будет разделен на три равнобедренных треугольника .
	Треугольники	можно разделить на группы в зависимости от углов .
	Треугольники	, соединяясь друг с другом , могут образовывать другие фигуры .
	Угол	АОВ — это часть плоскости , ограниченная двумя лучами , выходящими из одной точки .
	Угол	между ребром АА1 и каждым из этих ребер равен 90 ° .
1	Угол	равен 90 ° .
	Угол	квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю квадрата и его сторонами образуются углы по 45 ° .
8	Угол	не изменится .
	Угол	, равный 180 ° , называется развернутым .
6	Угол	АОВ в 2 раза больше угла АСВ .
	Фигура	Маха .
	Фигуры	, имеющие равные площади , называют равновеликими .
	Флексагон	обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет .
	Центры	граней куба образуют октаэдр , а центры граней октаэдра — куб .
	Циклоида	обладает многими замечательными свойствами .
	Циклоида	.
8	Четырехугольник	одним прямолинейным разрезом разделите на две равные части .
	Число	это превышает 4 миллиарда .
	Число	полуоборотов : 0 , 1 , 2 .
Например . I )	Число	изгибов нечетное , причем если на каком - то шаге их было К , то на следующем будет 2К + 1 ; сначала 2×1 + 1 равно 3 изгиба , затем 2×3 + 1 равно 1 , потом 2×7 + 1 равно 15 и т .
	Число	проведенных при этом линий не должно быть больше трех ( третьей должна быть искомая прямая ) .
	Число	1,6 лишь приближенно ( с точностью до 0,1 ) представляет величину золотого сечения .
	Шестиугольник	, как и сам треугольник , плоская фигура .
	Шестиугольник	.
	Эллипс	.
Какой угол образует	биссектриса	этого угла с его сторонами ?
Диагональ квадрата является	биссектрисой	угла .
Для всякого ли угла можно построить	биссектрису	? .
Как вы думаете , можно ли без карандаша и линейки построить	биссектрису	этого угла ?
Найдите еще хотя бы один	вариант	подобного покрытия квадрата 8×8 с вырезанной серединой .
Найдите несколько	вариантов	.
Сколько разных	вариантов	вы можете предложить ?
21 Один из	вариантов	показан .
Возможны и	варианты	правил .
В жизни человеку приходится измерять множество других различных	величин	: время , массу , скорость , громкость звука , силу света и многое другое .
В разделе 11 мы решили несколько практических задач на измерение	величин	.
Придумайте свои задачи на измерение каких - то	величин	, требующие изобретательности .
При решении задач на нахождение тех или иных	величин	большую пользу могут принести формулы , позволяющие выразить искомые величины через другие , известные или легко находимые .
Сказать что - либо определенное об этой единице трудно , поскольку ее	величина	в разных странах меняется от долей миллиметра до 500 м .
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов гиперболы ) есть	величина	постоянная .
Циркуль позволяет . — строить окружности . — сравнивать отрезки по	величине	.
Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной	величине	, мы вычислим площадь фигуры с недостатком , но уже точнее .
Не так уж редки ситуации , когда мы с помощью единицы одного вида измеряем не соответствующую ей	величину	.
Число 1,6 лишь приближенно ( с точностью до 0,1 ) представляет	величину	золотого сечения .
Точность измерения зависит , во - первых , от измерительного инструмента : если мы измеряем длину садового участка метром без делений , то получим эту	величину	с точностью до 1 метра .
Во многих случаях , чтобы измерить какую - то	величину	, приходится проявлять большую изобретательность .
И все же давайте подумаем над вопросом : « Что значит — измерить какую - то	величину	? » .
С этой целью некоторую неизменную	величину	, например Парижский меридиан , надо было измерить в тех и других единицах .
Нам понадобилось задать три	величины	— длину , ширину и высоту .
Объясните , почему ошибка меньше указанной	величины	.
Можно сделать вывод : по стороне и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный треугольник , но при этом	величины	заданных углов не могут быть произвольными .
Итак , измеряя на практике различные	величины	, мы всегда получаем приближенные значения , но погрешность измерения часто не учитываем и считаем полученный результат истинным .
Математики же в своих рассуждениях исходят из того , что отрезки ( и другие	величины	) имеют точную длину ( точное значение ) , .
При решении задач на нахождение тех или иных величин большую пользу могут принести формулы , позволяющие выразить искомые	величины	через другие , известные или легко находимые .
В ходе занятий часто будут встречаться задания начертить какую - либо фигуру , измерить какие - либо	величины	.
3 Пример многогранника , у которого восемь	вершин	и восемь граней , — пирамида , в основании которой лежит семиугольник .
Подсчитаем число	вершин	( В ) , ребер ( Р ) и граней ( Г ) у каждого многогранника и запишем результаты в табличку .
Какое наименьшее число	вершин	может иметь этот многоугольник ? .
3 Если известно , сколько у многоугольника	вершин	, то сразу можно сказать , сколько у него сторон .
Например , у пятиугольника пять	вершин	и пять сторон .
Наименьшее число	вершин	равно числу осей , т .
Как известно , у параллелепипеда восемь	вершин	и шесть граней .
4 Изобразите многогранник , у которого пять	вершин	и пять граней .
А теперь — многогранник , у которого пять	вершин	и шесть граней .
В этом случае плоскость заполняется без промежутков путем поворота треугольников вокруг их	вершин	на 60 ° .
1 Из	вершин	А и В опускаем перпендикуляры на прямую l .
Отсюда следует , что число нечетных	вершин	всегда четно .
Закройте одну из	вершин	этого треугольника , и станет ясно , что одна из его сторон направлена к нам , а другая — от нас , т .
Придумайте какой - нибудь многогранник , у которого также восемь	вершин	, но число граней не равно шести .
д. , а весь треугольник обозначают так : ∆А ВС или ∆KLM ( по буквам	вершин	) .
Ребро ; грань ;	вершина	.
После каждого перекатывания появляется	вершина	с номером , которого не было на предыдущем треугольнике .
Возьмем шесть правильных равных между собой треугольников и расположим их рядом так , чтобы у них была общая	вершина	.
В обозначении угла	вершина	всегда ставится в середине : угол АОВ .
Точка О — общее начало лучей ОА и ОВ , точка О —	вершина	угла .
а )	вершина	угла совпала с черточкой — серединой основания транспортира .
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна	вершина	оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
У них общая	вершина	.
Эта точка —	вершина	конуса .
1 Какие - либо отрезки с концами в	вершинах	куба ( не являющиеся его ребрами ) , такие , чтобы они были : а ) параллельными ; б ) перпендикулярными ; в ) скрещивающимися .
15 В противоположных ( наиболее удаленных друг от друга )	вершинах	куба сидят паук и муха .
7 Поставьте в каждой	вершине	графа число , равное количеству выходящих из него путей .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой	вершине	одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
13 Представьте , что куб стоит на одной своей	вершине	и освещен прямо сверху .
А затем — такой же треугольник с	вершиной	в точке А .
40 Если мы нарисуем прямой угол с	вершиной	на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Проводя прямые , соединяющие всевозможные точки окружности с	вершиной	, получим коническую поверхность .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются углы с	вершиной	в точке пересечения прямых ) ? .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной	вершиной	— усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
4 На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник отрезками , соединяющими какую - либо его	вершину	с остальными вершинами шестиугольника ?
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую	вершину	, образуют правильный шестиугольник .
Общую	вершину	треугольников будем считать центром окружности с радиусом , равным стороне треугольника .
Весь конус состоит из двух частей ( пол ) , имеющих общую	вершину	.
Изобразим прямой угол и продолжим его стороны за	вершину	.
50 б ) возьмем центр окружности , проходящей через	вершины	треугольника , и соединим его с вершинами .
Остальные	вершины	треугольников окажутся на окружности .
Линия сгиба , проходящая через две противоположные	вершины	квадрата , называется диагональю квадрата .
через четыре противоположные	вершины	?
Затем соедините	вершины	так , чтобы получить пяти- , шести- и восьмиконечную звезду .
Вообще , вписанным в окружность называется любой треугольник , все	вершины	которого лежат на этой окружности .
Каждый из них проходит через середину одного ребра куба , соединяющего свободные	вершины	.
Если мы сложим все эти числа , то получим четное число , так как каждый путь , соединяющий две	вершины	, считается дважды .
начертить такой прямоугольник , чтобы	вершины	треугольника лежали на его сторонах , а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
Считаем число узлов внутри многоугольника ( пусть это будет число а ) , а затем число узлов на границе , включая	вершины	( обозначим это число b ) .
9 Отрезок , соединяющий две противоположные	вершины	куба ( наиболее удаленные друг от друга ) , называется диагональю куба .
Биссектриса угла — это луч , выходящий из его	вершины	и делящий угол на два равных .
Взяв три	вершины	шестиугольника через одну , получим треугольник .
Если с	вершины	горы — другой .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в	вершины	треугольника и сходятся в общей точке пространства .
Изображен четырехугольник , противоположные	вершины	которого соединены отрезками .
Эти	вершины	слегка отгибаем вниз .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это многоугольник , у которого три стороны и три	вершины	» , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию « многоугольник » .
5 Пронумеруем	вершины	тетраэдра числами 1 , 2 , 3 , 4 .
Сейчас я встану так , чтобы я мог видеть в этой луже отражение	вершины	дерева .
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять : высоту дерева , собственный	вес	, длину прыжка , время бега и многое другое .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах длины ,	вес	— в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Давно математики пытались решить такую задачу : какой формы должен быть гладкий желоб , соединяющий две точки А и В ( А выше , чем В ) , чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего	веса	за кратчайшее время ?
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах длины , вес — в единицах	веса	, время — в единицах времени и т .
Параллелограмм — это красивое и звучное слово , напоминающее нам о единицах	веса	, на самом деле никакого отношения к ним не имеет .
Этот эталон хранится в Международном бюро мер и	весов	в Севре , недалеко от Парижа .
9 Восемь спичек уложите так , чтобы образовались один	восьмиугольник	, два квадрата и восемь треугольников — все в одной фигуре ! .
Сделайте необходимые вычисления и впишите в окружность равносторонние ( правильные ) пятиугольник , шестиугольник и	восьмиугольник	.
Еще два поворота , и текст	вписан	.
Правильный шестиугольник	вписан	в окружность , и все стороны равны радиусу этой окружности .
Равносторонний многоугольник ,	вписанный	в окружность , называется правильным .
Соединив последовательно точки деления отрезками , получим треугольник ,	вписанный	в окружность .
Вообще ,	вписанным	в окружность называется любой треугольник , все вершины которого лежат на этой окружности .
Зная это , можно	вписывать	в окружность правильные шестиугольники и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Все написанные буквы закрыты , в новые окошечки продолжают	вписывать	текст .
Сделайте необходимые вычисления и	впишите	в окружность равносторонние ( правильные ) пятиугольник , шестиугольник и восьмиугольник .
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и	впишите	окружности разных радиусов в образовавшиеся углы .
Направления	вращений	( по или против часовой стрелки ) можно чередовать произвольным образом .
Кроме того , задается направление	вращения	вокруг 0 , например , против часовой стрелки Таким образом .
Проползая вперед , он одновременно смещается в сторону	вращения	диска .
13 Сделайте картинку , иллюстрирующую ситуацию , описанную в рассказе , и ответьте на вопрос , чему равна	высота	дерева .
Сын спросил отца : « Чему равна	высота	этого дерева ? »
Эти три измерения мы используем ежедневно , говоря об окружающих нас предметах :	высота	дерева , длина дороги , ширина тротуара .
А теперь представим , что	высота	исчезла .
Если a , b и c — длина ,	высота	и ширина прямоугольного параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Значит ,	высота	дерева равна » .
Правда , когда мы говорим « длина , ширина и	высота	» , то имеем в виду измерения параллелепипеда , расположенного конкретным образом на земле ( или на столе ) .
Если мы не знаем , как расположен параллелепипед , то говорить о длине , ширине и	высоте	было бы не совсем верно .
Я знаю свой рост — 180 см. Мне надо знать , на какой	высоте	расположены глаза .
Мы говорим : « Этот дом длиной в три подъезда , шириной в два окна ,	высотой	в шесть этажей » .
Как называется геометрическое тело , полностью описываемое тремя измерениями — длиной , шириной и	высотой	?
Все предметы ( тела ) в окружающем нас мире имеют три измерения , хотя далеко не у всех можно указать длину , ширину ,	высоту	.
Нам понадобилось задать три величины — длину , ширину и	высоту	.
Это был вопрос как раз в его вкусе , и он улыбнулся с видом превосходства . — Ну , конечно , — начал он , — это понятие относительное , если мы будем измерять	высоту	от уровня моря — результат будет один .
А как быть , если требуется измерить	высоту	дерева , ширину реки или объем большого камня , который трудно поднять даже нескольким силачам ?
Вот небольшая история о том , как отец одного школьника сумел измерить	высоту	дерева
На этот вопрос отец ответил : « Давай не будем гадать , а вычислим его	высоту	.
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять :	высоту	дерева , собственный вес , длину прыжка , время бега и многое другое .
В удивительном мире геометрии существует и фигура , которая не имеет измерений — длины , ширины ,	высоты	.
Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам	высшей математики	.
Каждая	геометрическая фигура	, и вы , конечно , это уже поняли , обладает многими интересными свойствами .
27 Изображены некоторые	геометрические тела	.
3 Простейшие	геометрические фигуры	.
Рассматривая основные	геометрические фигуры	, среди всех углов мы выделили прямой угол , равный 90 ° .
Так же как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей , так и сложные	геометрические фигуры	составляются из простейших геометрических фигур .
Какие	геометрические фигуры	могут « жить » в этом мире ?
13 Дано игровое поле 4×4 и 16 квадратов с	геометрическими фигурами	, имеющими ось ( одну или несколько ) симметрии .
Совершенство форм , красивые математические закономерности , присущие правильным многогранникам , явились причиной того , что им приписывались различные магические свойства и все пять	геометрических тел	издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов .
Думается , что и вас , и ваших родных увлечет изготовление моделей	геометрических тел	.
20 Возьмите набор	геометрических тел	( куб , шар , пирамида , конус , цилиндр и др. ) .
Аккуратность и точность при вычерчивании разверток	геометрических тел	— 80 % успеха в изготовлении моделей !
У	геометрических фигур	может быть одна или несколько осей симметрии , а может и не быть вовсе .
Среди множества различных	геометрических фигур	на плоскости выделяется большое семейство многоугольников .
Но нужно помнить свойства	геометрических фигур	, ведь именно они позволяют использовать клеточки в полной мере .
Так же как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей , так и сложные геометрические фигуры составляются из простейших	геометрических фигур	.
Схема , приведенная выше , показывает , как увеличение числа измерений влечет за собой изменение и усложнение	геометрических фигур	.
Названия	геометрических фигур	имеют вполне определенный смысл .
В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть , замечать различные особенности	геометрических фигур	, делать выводы из замеченных особенностей .
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное	геометрическое тело	— пирамида .
Пирамида — « жесткое »	геометрическое тело	, т .
Как называется	геометрическое тело	, полностью описываемое тремя измерениями — длиной , шириной и высотой ?
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде	геометрической фигуры	— угла .
Используя эти свойства , можно совершенно иначе , с неожиданной точки зрения определить хорошо знакомую	геометрическую фигуру	.
Все только что рассмотренные линии ( эллипс ,	гипербола	и парабола ) объединяются общим свойством .
Для этой кривой мы не можем предложить , как в предыдущем случае , достаточно простой «	гиперболический	циркуль » , позволяющий вычерчивать гиперболу и одновременно показывающий ее основное свойство .
Для этой кривой мы не можем предложить , как в предыдущем случае , достаточно простой « гиперболический циркуль » , позволяющий вычерчивать	гиперболу	и одновременно показывающий ее основное свойство .
Поэтому начнем с указания основного свойства , задающего	гиперболу	.
Появятся две ветви , парабола перейдет в	гиперболу	( плоскость 3 ) .
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов	гиперболы	) есть величина постоянная .
Во что превратится	гипоциклоида	, если радиус меньшего круга равен 6 см , а большего — 12 см ?
Как выглядит	гипоциклоида	для кругов с радиусом 8 см , 9 см и 10 см ? .
Получившиеся линии —	гипоциклоиды	.
На поверхности земного шара ( или на его модели —	глобусе	) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Разделив каждый	градус	на 60 равных частей , получим более мелкую единицу угла — минуту .
Единица измерения угла , как мы знаем , —	градус	.
Вторая сторона угла указывает на шкале угол в	градусах	.
В	градусах	измеряют углы и дуги окружностей .
Они показывают географическую широту в	градусах	( удаление ( в градусах ) данной точки от экватора ) .
Они показывают географическую широту в градусах ( удаление ( в	градусах	) данной точки от экватора ) .
Дуги окружности также измеряются в	градусах	.
Шкала транспортира содержит 180 ° ( знак ° заменяет слово «	градусов	» ) .
Обозначается двумя штрихами ″. Запись 78 ° 16′25″ читается так : 78	градусов	16 минут 25 секунд .
Одна часть называется	градусом	.
Подсчитаем число вершин ( В ) , ребер ( Р ) и	граней	( Г ) у каждого многогранника и запишем результаты в табличку .
8 В сечении получается прямоугольник , две стороны которого равны ребрам куба , а две другие — диагоналям	граней	.
Придумайте какой - нибудь многогранник , у которого также восемь вершин , но число	граней	не равно шести .
Как известно , у параллелепипеда восемь вершин и шесть	граней	.
Оказывается , первый из них ( тетраэдр ) стоит немного особняком : если считать центры его	граней	вершинами нового многогранника , то вновь получим тетраэдр .
1 Сколько	граней	у шестигранного карандаша ? .
Центры	граней	куба образуют октаэдр , а центры граней октаэдра — куб .
4 Изобразите многогранник , у которого пять вершин и пять	граней	.
Запишите парами номера противоположных	граней	( противоположные грани не имеют общих ребер ): 1 , 2 , 3 .
3 Пример многогранника , у которого восемь вершин и восемь	граней	, — пирамида , в основании которой лежит семиугольник .
Центры граней куба образуют октаэдр , а центры	граней	октаэдра — куб .
При этом каждые две полоски оказываются зацепленными , а одинаково окрашенными будут пары соседних	граней	.
1 8	граней	, если карандаш не заточен .
А теперь — многогранник , у которого пять вершин и шесть	граней	.
Запишите	грани	, которые соседствуют с гранью 6 .
6 На развертке куба пронумерованы его	грани	.
Перечертив развертку на бумагу , обозначив	грани	и вырезав ее , проверьте себя .
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две	грани	тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
4 Условимся боковые	грани	куба обозначать буквой Б , верхнюю — В , нижнюю — Н. Расставьте на развертках куба буквы в соответствии с уже намеченными .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние	грани	сходятся под равными углами .
две	грани	?
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной плоскости — в плоскости передней	грани	; в этой же плоскости лежат и ребра А , В1 и АВ .
У скольких кубиков окрашены три	грани	?
Запишите парами номера противоположных граней ( противоположные	грани	не имеют общих ребер ): 1 , 2 , 3 .
По две окрашенных	грани	у кубиков , расположенных вдоль ребер исходного куба : по три на каждом ребре .
Если полоски разного цвета , то у получающегося куба противоположные	грани	одинакового цвета .
6 Тетраэдр , перекатываясь с	грани	на грань , возвращается в свое исходное положение .
По три окрашенных	грани	может быть только у угловых кубиков ; их 8 штук .
4 Получим куб , у которого передняя и задняя	грани	белые , а остальные — черные .
7 Плоскость должна проходить параллельно	грани	куба .
Если тетраэдр сначала стоял на оранжевой	грани	, то какого цвета будет последний след ?
по девять штук на каждой	грани	.
5 Дан тетраэдр ,	грани	которого окрашены в серый , оранжевый , розовый и белый цвета .
Так , у каждого из них все	грани	— одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Все его	грани	являются прямоугольниками .
Если сначала нижняя	грань	была оранжевой , то какой она будет после возвращения ?
Только одна закрашенная	грань	у тех кубиков , которые лежат « на поверхности » , исключая кубики , прилегающие к ребрам , т .
Лишь совсем недавно американский геометр Кеннеди сумел построить « хитрый » многогранник , который этим свойством не обладает , а может изменять свою форму так , что каждая его	грань	остается неизменной .
только одна	грань	?
Тетраэдр начинают перекатывать , как показано на рисунке , причем он оставляет след такого же цвета , что и	грань	, касающаяся бумаги .
Задняя грань — белая ; нижняя	грань	.
Даже если мы и видим куб , то всякий раз иначе видим , какая	грань	впереди , а какая сзади .
четырехгранник ( « тетра » — четыре , « эдр » —	грань	) .
Ребро ;	грань	; вершина .
Задняя	грань	— белая ; нижняя грань .
6 Тетраэдр , перекатываясь с грани на	грань	, возвращается в свое исходное положение .
5 Третью полоску ( красную ) пропустите сзади куба в щель между белой и черной полосками , согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой	гранью	и черной полоской .
Граней шесть , таким образом , кубиков с одной окрашенной	гранью	6×9 — 54 .
Запишите грани , которые соседствуют с	гранью	6 .
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью	гранями	) — октаэдр .
Например , поверхность каждого из них состоит из плоских многоугольников , которые называются	гранями	многогранника .
Расставьте на развертках куба числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы сумма чисел на противоположных	гранях	была равна 7 .
7 На видимых	гранях	куба проставлены числа 1 , 2 , 3 .
43 Чему равны углы между отрезками , проведенными на	гранях	куба ? .
Замените комнаты точками , а двери — дугами и постройте соответствующий	граф	.
1 Изображен	граф	, соответствующий условию задачи .
6 Нарисуйте соответствующий	граф	и движение начните из нечетного узла .
3 Ребра куба представляют собой пространственный	граф	.
7 Поставьте в каждой вершине	графа	число , равное количеству выходящих из него путей .
7 Докажите , что число нечетных узлов	графа	всегда четно .
На этом	графе	четыре узла ( они соответствуют берегам С и B и островам А и D ) и семь кривых , которые обозначают мосты a , b , с , d , e , f , g.
Сеть таких кривых называют	графом	( от греческого слова grapho — « пишу » ) .
План города для решения этой задачи можно изобразить	графом	.
Эти предметы расположены на столе так , чтобы , глядя на них из некоторой точки , можно было догадаться , как выглядит эта	группа	предметов с противоположной стороны ( т .
Вместе с очередной	группой	жертв Минотавра он отправился на Крит с целью убить чудовище .
По отношению к нему остальные углы делятся на две	группы	: ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
Треугольники можно разделить на	группы	в зависимости от углов .
Попадают ли какие - либо из них в две	группы	сразу ? .
Все большое семейство треугольников можно разделить на	группы	по числу равных сторон .
чертим прямоугольник так , чтобы	данный	отрезок АВ был его диагональю .
Математики говорят , что плоскость является	двухмерным	пространством .
Золотое сечение — это такое	деление	целого на две неравные части , при котором большая часть относится к целому , как меньшая к большей .
Если длину мерить рулеткой , самое мелкое	деление	которой 1 см ,
односторонней линейкой без	делений	) и циркулем .
Клеточки на бумаге позволяют многие построения проводить только с помощью одной линейки , причем на этой линейке может даже не быть	делений	( шкалы ) .
Линейку без	делений	мы назовем математической .
Точность измерения зависит , во - первых , от измерительного инструмента : если мы измеряем длину садового участка метром без	делений	, то получим эту величину с точностью до 1 метра .
Если мы соединим центр окружности ( точку О ) с точками	деления	, то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
В создании орнаментов с окружностями часто используются приемы	деления	окружности на равные части .
Для этого достаточно циркулем , не меняя раствора , разделить окружность на равные части , а затем точки	деления	соединить последовательно или через одну .
Соединив последовательно точки	деления	отрезками , получим треугольник , вписанный в окружность .
Транспортир , как и линейка с	делениями	, не входит в число традиционно разрешенных инструментов .
4 На какие фигуры	делит	квадрат каждая диагональ ? .
Интересно , что в правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру ,	делит	другую в отношении золотого сечения .
Это следует из того , что диагональ	делит	прямоугольник на равные треугольники .
Изображена раковина : точка С	делит	отрезок АВ приблизительно в золотом отношении .
На какие фигуры она	делит	квадрат ? .
Если номер года делится на 100 , но не	делится	на 400 , то год не является високосным .
Если же	делится	на 400 , то год високосный .
2 Отрезок , соединяющий симметричные точки , перпендикулярен оси симметрии и	делится	ею пополам .
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые	делится	квадрат своей диагональю , равны .
Если номер года	делится	на 100 , но не делится на 400 , то год не является високосным .
По отношению к нему остальные углы	делятся	на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
3 В каком отношении диагонали	делятся	точкой пересечения ? .
Прямоугольник обладает тем свойством , что его диагонали равны между собой и	делятся	пополам в точке их пересечения .
Например , мы знаем , что диагонали прямоугольника при пересечении	делятся	пополам .
Экватору на карте мира соответствует горизонтальная линия ,	делящая	карту пополам .
( Високосные годы имеют номера ,	делящиеся	на 4 .
Биссектриса угла — это луч , выходящий из его вершины и	делящий	угол на два равных .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями ,	делящими	ее ребра пополам ?
13 Сделайте картинку , иллюстрирующую ситуацию , описанную в рассказе , и ответьте на вопрос , чему равна высота	дерева	.
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять : высоту	дерева	, собственный вес , длину прыжка , время бега и многое другое .
Значит , высота	дерева	равна » .
36 Как посадить девять деревьев в десять рядов по три	дерева	в каждом ряду ? .
Эти три измерения мы используем ежедневно , говоря об окружающих нас предметах : высота	дерева	, длина дороги , ширина тротуара .
Так , а чему равно расстояние от лужи до	дерева	?
Пусть , например , из куска	дерева	вырезана замысловатая деталь .
Сын спросил отца : « Чему равна высота этого	дерева	? »
Вот небольшая история о том , как отец одного школьника сумел измерить высоту	дерева
Сказано было оставить 5 рядов по 4	дерева	в каждом .
Так можно измерять длину окружности , обхват	дерева	и др .
А как быть , если требуется измерить высоту	дерева	, ширину реки или объем большого камня , который трудно поднять даже нескольким силачам ?
Сейчас я встану так , чтобы я мог видеть в этой луже отражение вершины	дерева	.
Позвав работника , он дал ему такое распоряжение : « Оставь только пять рядов деревьев , по четыре	дерева	в каждом .
Посреди двора росло большое	дерево	.
4 Пользуясь правилом одной руки , пройдите к	дереву	по лабиринту , построенному в Англии в XIII в .
36 Как посадить девять	деревьев	в десять рядов по три дерева в каждом ряду ? .
В саду росло 49	деревьев	Садовник решил расчистить сад от лишних деревьев для цветников .
В саду росло 49 деревьев Садовник решил расчистить сад от лишних	деревьев	для цветников .
Позвав работника , он дал ему такое распоряжение : « Оставь только пять рядов	деревьев	, по четыре дерева в каждом .
К его огорчению , сад был почти опустошен : вместо 20	деревьев	работник оставил всего только 10 , срубив 39 деревьев .
К его огорчению , сад был почти опустошен : вместо 20 деревьев работник оставил всего только 10 , срубив 39	деревьев	.
Ведь тебе сказано было оставить 20	деревьев	!
Как ухитрился он вырубить 39	деревьев	и все - таки выполнить указание ? .
6 Оставить надо	деревья	, отмеченные крестиком .
Нужно пройти в центр к	деревьям	и скамейкам под ними .
Прямоугольник обладает тем свойством , что его	диагонали	равны между собой и делятся пополам в точке их пересечения .
Получите перегибанием две	диагонали	.
6 Если сложить квадрат вдвое по	диагонали	, то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
53 Через точку на	диагонали	прямоугольника провели прямые , параллельные его сторонам .
Помните , в разделе 5 была дана задача об измерении	диагонали	куба ?
2 Как	диагонали	расположены одна относительно другой ? .
12 Расчертив полоску на семь квадратов , перегните второй и шестой квадраты по	диагонали	, а затем уже сворачивайте полоску в куб .
3 В каком отношении	диагонали	делятся точкой пересечения ? .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по	диагонали	; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
1 Сравните	диагонали	по длине .
Алеша проверил работу иначе : он измерил не стороны , а	диагонали	.
8 Какой формы получится сечение куба , если плоскость провести по	диагонали	, т .
В задании 6 вы складывали квадрат по	диагонали	.
Вырежьте из бумаги квадрат и сложите его вдвое по	диагонали	.
	Диагональ	квадрата разделила его на две равные части .
Как измерить	диагональ	непустого куба , пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же куба ; б ) один такой куб ? .
2 ) проводим в нем вторую	диагональ	.
При решении следующих двух задач вам поможет раскраска доски для « Морского боя » в четыре цвета так , что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет , затем маленькая	диагональ	из двух клеток окрашивается во второй цвет , следующая трехклеточная диагональ — в третий цвет , затем цвет четвертый , потом вновь первый и т .
Это следует из того , что	диагональ	делит прямоугольник на равные треугольники .
При решении следующих двух задач вам поможет раскраска доски для « Морского боя » в четыре цвета так , что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет , затем маленькая диагональ из двух клеток окрашивается во второй цвет , следующая трехклеточная	диагональ	— в третий цвет , затем цвет четвертый , потом вновь первый и т .
6 Нарисуйте квадрат и проведите его	диагональ	.
Проведем	диагональ	одного из них .
Как вы думаете , какие углы образует	диагональ	со сторонами квадрата ?
4 На какие фигуры делит квадрат каждая	диагональ	? .
Поэтому , приложив линейку от точки А до точки В , можно измерить его	диагональ	.
1 Сравните сторону квадрата с его	диагональю	.
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится квадрат своей	диагональю	, равны .
9 Отрезок , соединяющий две противоположные вершины куба ( наиболее удаленные друг от друга ) , называется	диагональю	куба .
чертим прямоугольник так , чтобы данный отрезок АВ был его	диагональю	.
Линия сгиба , проходящая через две противоположные вершины квадрата , называется	диагональю	квадрата .
Угол квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между	диагональю	квадрата и его сторонами образуются углы по 45 ° .
Разрезать можно не только по сторонам , но и по	диагоналям	клеточек .
10 Через точку внутри квадрата проведены прямые по сторонам и	диагоналям	клеток .
Как связаны между собой радиус и	диаметр	одной окружности ? .
Свойство угла , опирающегося на	диаметр	, является частным случаем следующего более общего свойства .
Это	диаметр	окружности ( в переводе с греческого — « поперечник » ) .
На ней лежит	диаметр	, относительно которого окружность симметрична .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим	диаметр	ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Вписанный в окружность угол , опирающийся на	диаметр	, равен 90 ° .
2 Так как окружность симметрична относительно любого своего	диаметра	, то она симметрична и относительно диаметра MN , перпендикулярного прямым АА1 и ВВ1 , точка А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
2 Так как окружность симметрична относительно любого своего диаметра , то она симметрична и относительно	диаметра	MN , перпендикулярного прямым АА1 и ВВ1 , точка А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
Многие свойства окружности следуют из того , что она симметрична относительно любого своего	диаметра	.
4 Точки В и С симметричны относительно	диаметра	, проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярного ему .
Это центр окружности , так как через нее проходят оба	диаметра	.
Надо круг с помощью циркуля или транспортира разделить на двенадцать равных частей ( подумайте , почему на двенадцать ) и свернуть по	диаметрам	в любом порядке .
Если мы построим на АВ как на	диаметре	окружность и возьмем на ней любую точку М , то угол AMВ будет прямым .
Сколько можно провести в окружности радиусов и	диаметров	?
17 Круг	диаметром	b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу сложить вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
Так вот , оказывается , что точка М будет описывать окружность , у которой АВ является	диаметром	.
17 Вырежьте из плотной бумаги ( картона ) круг	диаметром	6 см. Затем в листе обычной бумаги вырежьте круглое отверстие диаметром 4 см. Как вы думаете , можно ли ваш круг , не сминая его , протащить через проделанное в бумаге отверстие ? .
17 Вырежьте из плотной бумаги ( картона ) круг диаметром 6 см. Затем в листе обычной бумаги вырежьте круглое отверстие	диаметром	4 см. Как вы думаете , можно ли ваш круг , не сминая его , протащить через проделанное в бумаге отверстие ? .
Все пять точек ( Р , М , А , В , С ) лежат на одной окружности с	диаметром	РМ .
17 Круг диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие	диаметром	4 см , если бумагу сложить вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
11 На берегу глубокого озера круглой формы	диаметром	100 м вбит колышек А , в середине озера расположен остров , а в его центре вбит колышек В. У человека , который не умеет плавать , есть веревка .
7 Как мы знаем , окружность с	диаметром	СН проходит через А1 и В1 .
17 Круг диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу сложить вдвое по	диаметру	отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
Кроме	длин	, площадей и объемов в геометрии надо еще уметь измерять углы .
Измерим длину отрезка прямой линии в заданных единицах ( измерение	длин	кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Задача измерения	длин	кривых линий , конечно , труднее практически и сложнее теоретически , чем измерение отрезков прямых .
Отношение	длин	двух отрезков есть число , которое не зависит от единицы измерения .
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника , если сумма	длин	двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
Если a , b и c —	длина	, высота и ширина прямоугольного параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Эти три измерения мы используем ежедневно , говоря об окружающих нас предметах : высота дерева ,	длина	дороги , ширина тротуара .
Свойства : длина окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота ,	длина	его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что	длина	отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Свойства :	длина	окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Правда , когда мы говорим «	длина	, ширина и высота » , то имеем в виду измерения параллелепипеда , расположенного конкретным образом на земле ( или на столе ) .
Чему равна	длина	ряда ? .
Ее	длина	немного больше 100 м .
Весь мир стал плоским , как лист бумаги , остались только два измерения —	длина	и ширина .
	Длина	ломаной AMВ была бы наименьшей .
С развитием ремесел и торговли появилась потребность в международных единицах , определяемых через что - то более постоянное , чем , например ,	длина	ступни .
Например ,	длина	участка — около 50 м .
то	длина	участка будет измерена с точностью до 1 см ( например , длина участка около 49 м 68 см ) .
то длина участка будет измерена с точностью до 1 см ( например ,	длина	участка около 49 м 68 см ) .
Можно сказать , что английский фут — это	длина	ступни среднего англичанина .
Но	длина	в попугаях ничего не скажет жителям тайги , да и для соседних джунглей , где живут попугаи другой породы , придется переводить своих попугаев в чужих .
Найти на сторонах угла две точки М и N так , чтобы	длина	замкнутого пути была наименьшей .
Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник , то окажется , что	длина	его больше ширины примерно в 1,6 раза .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на прямой l , то	длина	отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
Если мы не знаем , как расположен параллелепипед , то говорить о	длине	, ширине и высоте было бы не совсем верно .
2 Продолжаем их « за зеркало » на такое же расстояние ( равное	длине	соответствующего отрезка ) .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна	длине	перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
1 Сравните диагонали по	длине	.
Единичные отрезки на каждой оси выбираются равными по	длине	.
1 Сложите шесть спичек так , чтобы образовалось четыре треугольника ( сторона каждого треугольника должна быть равной	длине	спички ) .
Расстояние между соседними равно 1 см. Натяните нитку	длиной	19 см от первого гвоздика до второго так , чтобы она прошла через все гвоздики .
10 Хозяйка , приведя козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с кольцом так , что кольцо может скользить от колышка к колышку , а к кольцу веревкой	длиной	5 м привязала козу .
45 Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из отрезков	длиной	1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все целочисленные отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
Останется одномерное пространство с одним измерением —	длиной	.
Придумайте линейку	длиной	9 см с тремя метками для измерения целочисленных отрезков от 1 см до 9 см. Придумайте линейку длиной 13 см с четырьмя метками внутри , отличную от уже рассмотренной .
Можно ли построить треугольник , стороны которого являются отрезками	длиной	: а ) 7 см , 4 см , 2 см ; б ) 9 см , 5 см , 4 см ? .
45 Рассмотрим линейку	длиной	6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из отрезков длиной 1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все целочисленные отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
39 Вдоль бумажной ленты	длиной	60 см проведена с двух сторон посередине прямая линия .
Мы говорим : « Этот дом	длиной	в три подъезда , шириной в два окна , высотой в шесть этажей » .
Возьмите полоску бумаги шириной 5 см и	длиной	около 20 см. Сложите ее « гармошкой » и нарисуйте какой - нибудь рисунок , касающийся линии сгиба .
Как называется геометрическое тело , полностью описываемое тремя измерениями —	длиной	, шириной и высотой ?
Придумайте линейку длиной 9 см с тремя метками для измерения целочисленных отрезков от 1 см до 9 см. Придумайте линейку	длиной	13 см с четырьмя метками внутри , отличную от уже рассмотренной .
Измерим	длину	отрезка прямой линии в заданных единицах ( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их	длину	; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Если отрезок разделен на две части так , что меньшая имеет длину х , а большая —	длину	у , то в случае золотого сечения .
Если отрезок разделен на две части так , что меньшая имеет	длину	х , а большая — длину у , то в случае золотого сечения .
По существу , именно так мы и поступаем , когда измеряем шагами	длину	дороги .
Так можно измерять	длину	окружности , обхват дерева и др .
Математики же в своих рассуждениях исходят из того , что отрезки ( и другие величины ) имеют точную	длину	( точное значение ) , .
Чтобы получить некоторое представление о топологии , рассмотрим несколько топологических опытов с поверхностями , полученными из бумажной полоски примерно 30 см в	длину	и 3 см в ширину .
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять : высоту дерева , собственный вес ,	длину	прыжка , время бега и многое другое .
Любые измерения производят в каких - то единицах :	длину	измеряют в единицах длины , вес — в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Как известно , герои одного мультфильма измеряли	длину	удава в попугаях .
Каждый раз , измеряя на практике	длину	чего - либо , мы должны выбирать некоторую разумную точность измерения : ведь нет необходимости знать длину участка в миллиметрах или расстояние от Земли до Солнца в метрах .
Она имеет	длину	.
Найдите	длину	отрезка АВ .
Если	длину	мерить рулеткой , самое мелкое деление которой 1 см ,
Точность измерения зависит , во - первых , от измерительного инструмента : если мы измеряем	длину	садового участка метром без делений , то получим эту величину с точностью до 1 метра .
Каждый раз , измеряя на практике длину чего - либо , мы должны выбирать некоторую разумную точность измерения : ведь нет необходимости знать	длину	участка в миллиметрах или расстояние от Земли до Солнца в метрах .
Пусть он удвоит ее	длину	, сохранив прежнюю форму .
4 Приведите примеры кривых ,	длину	которых удобно измерять одним из этих способов .
Нам понадобилось задать три величины —	длину	, ширину и высоту .
Все предметы ( тела ) в окружающем нас мире имеют три измерения , хотя далеко не у всех можно указать	длину	, ширину , высоту .
Берем единицу	длины	, например метр , и откладываем его на нашем отрезке до тех пор , пока остаток не станет меньше него .
После введения метра одни страны сразу приняли его , другие же , славящиеся приверженностью традициям , не спешили отказываться от своих единиц ( и до сих пор Англия , США и некоторые другие страны измеряют	длины	в дюймах , футах , ярдах , милях ) .
Вспомните еще пословицы и поговорки , в которых фигурируют меры	длины	.
3 Если отрезки M1N1 и MN симметричны относительно прямой l , то их	длины	равны .
Так , например , если необходимо забором данной	длины	огородить четырехугольный участок наибольшей площади , то следует выбрать этот участок в виде квадрата .
Вася , вырезая квадрат , проверил его так : он сравнил	длины	сторон .
Таким образом выяснилось , какую часть метра ( или сколько метров ) составляет та или иная мера	длины	( например , английский фут оказался равен 0,3048 м ) .
2 Запишите все известные , а вернее , перечисленные выше единицы	длины	в порядке возрастания .
На Руси в старину мерами	длины	были пядь , шаг , локоть .
Очевидно , что исходить нужно из уже имеющихся единиц	длины	.
— откладывать на прямой отрезки заданной	длины	.
Дюйм — английская мера	длины	, равная 1/12 фута , или 2,54 см .
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника , если сумма длин двух меньших отрезков больше	длины	наибольшего из них .
Более демократична по происхождению другая английская единица	длины	— фут , что по - английски означает « ступня » .
Еще несколько английских мер	длины	.
Ли — единица	длины	, издавна существовавшая в странах Дальнего Востока .
— проводить прямые линии . — измерять отрезки . — строить отрезки заданной	длины	.
12 Вычисление	длины	, площади и объема .
В удивительном мире геометрии существует и фигура , которая не имеет измерений —	длины	, ширины , высоты .
Чтобы завершить наш разговор о единицах измерения , расскажем о старинных русских мерах	длины	и некоторых иностранных .
Если a и b —	длины	сторон прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b квадратных единиц .
Примем каждую из них за единицу	длины	.
15 Нарисуйте овальную линию той же	длины	, но ограничивающую фигуру площадью на 1 см2 больше .
Приведем еще некоторые меры	длины	, которыми пользовались ( а некоторые пользуются и сейчас ) в разных странах .
Все это старинные русские меры	длины	.
10 Измерение	длины	.
15 Дан прямоугольник , ширина которого в два раза меньше	длины	.
8 Кусок бумаги имеет форму прямоугольника , одна сторона которого равна четырем , а другая — девяти единицам	длины	.
будем использовать треугольные пирамиды , все ребра которых равны соответствующей единице	длины	, то столкнемся с большими трудностями .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах	длины	, вес — в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Например , английский король Генрих I ввел в качестве единицы	длины	ярд — расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки .
Стадий — мера	длины	многих древних народов .
Льё ( лье ) — старинная единица	длины	во Франции .
То же происходит с парой	додекаэдр	— икосаэдр .
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс , увлекшись изготовлением моделей многогранников , написал в письме к отцу : « я сделал тетраэдр ,	додекаэдр	и еще два эдра , для которых не знаю правильного названия » .
Изображены правильные многогранники — тетраэдр , куб , октаэдр ,	додекаэдр	и икосаэдр .
Знакомство с другими , например октаэдром ,	додекаэдром	, ожидает вас впереди .
10 Иллюстрация	доказательства	того , что площадь параллелограмма равна площади некоторого прямоугольника .
33 Иллюстрирует еще одно наглядное	доказательство	того , что сумма углов треугольника равна 180 ° .
Каждая из получившихся	дуг	равна 1 ° .
Изображена линия , состоящая из отрезков прямых и	дуг	окружности .
Изменению широты на 1 ° на всех меридианах соответствует один и тот же путь ( одна и та же	дуга	) .
Теперь понятно , почему при перемещении точки М по	дуге	окружности угол AM В остается постоянным ? .
Может быть , желоб следует выгнуть по	дуге	окружности , как думал великий итальянский физик , астроном и математик Галилео Галилей , живший на рубеже XVI – XVII вв . ?
В градусах измеряют углы и	дуги	окружностей .
Рассмотрим на окружности две	дуги	, лежащие между этими прямыми .
Оказывается , эти	дуги	всегда равны .
Торжественность и устремленность ввысь — такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок , представляющих	дуги	окружностей .
Эти радиусы разделят окружность на три равные части —	дуги	по 120 ° .
	Дуги	АВ и А1В1 равны .
Значит , все точки дуги АВ симметричны точкам	дуги	А1В1 т .
Значит , все точки	дуги	АВ симметричны точкам дуги А1В1 т .
Окружности и	дуги	являются основными элементами готических храмов средневековья .
Продолжим основание до пересечения с	дугой	.
Циркулем проведем	дугу	окружности радиусом АВ с центром в точке А .
Значит , угол АВС равен углу АPC , так как эти углы опираются на одну	дугу	окружности , т .
В этой окружности углы НА1В1 и НСВ1 опираются на одну	дугу	.
д. За свою историю человечество придумало огромное количество всевозможных	единиц	, причем каждый народ имел свои .
Если a , b и c — длина , высота и ширина прямоугольного параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических	единиц	.
Их язык ему понятен , но	единиц	измерения он не знает .
Почему для получения	единиц	площадей и объемов мы использовали квадрат и куб ?
Получившееся число целых	единиц	запишем .
Если a и b — длины сторон прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b квадратных	единиц	.
8 Получится квадрат со стороной 6	единиц	.
Очевидно , что исходить нужно из уже имеющихся	единиц	длины .
После введения метра одни страны сразу приняли его , другие же , славящиеся приверженностью традициям , не спешили отказываться от своих	единиц	( и до сих пор Англия , США и некоторые другие страны измеряют длины в дюймах , футах , ярдах , милях ) .
Далеко не сразу человек додумался до квадратных и кубических	единиц	.
Эта	единица	ранее была распространена во многих странах , а сегодня используется главным образом в морском деле , миля морская международная равна 1,852 км .
Ли —	единица	длины , издавна существовавшая в странах Дальнего Востока .
Более демократична по происхождению другая английская	единица	длины — фут , что по - английски означает « ступня » .
Для обитателей тропического леса , в котором живет попугай , эта	единица	не хуже других .
Льё ( лье ) — старинная	единица	длины во Франции .
При помощи песочных часов время измеряется в	единицах	объема — объема пересыпавшегося песка .
Чтобы завершить наш разговор о	единицах	измерения , расскажем о старинных русских мерах длины и некоторых иностранных .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах длины , вес — в	единицах	веса , время — в единицах времени и т .
С этой целью некоторую неизменную величину , например Парижский меридиан , надо было измерить в тех и других	единицах	.
С развитием ремесел и торговли появилась потребность в международных	единицах	, определяемых через что - то более постоянное , чем , например , длина ступни .
Измерим длину отрезка прямой линии в заданных	единицах	( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в	единицах	длины , вес — в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах длины , вес — в единицах веса , время — в	единицах	времени и т .
Любые измерения производят в каких - то	единицах	: длину измеряют в единицах длины , вес — в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Параллелограмм — это красивое и звучное слово , напоминающее нам о	единицах	веса , на самом деле никакого отношения к ним не имеет .
Если a и b — длины сторон прямоугольника ( в каких - то	единицах	) , то его площадь равна a×b квадратных единиц .
Трудно сказать , в каких	единицах	Мэри Поппинс измерила свое совершенство , поэтому мы поговорим о более простом и привычном , а именно об измерении площадей и объемов .
В качестве единицы объема можно выбрать куб с ребром , равным соответствующей линейной	единице	.
Для этого на ней надо выбрать точку 0 , направление возрастания времени и масштаб — отрезок , соответствующий	единице	времени ; это может быть час , неделя , 1000 дней и т .
Сказать что - либо определенное об этой	единице	трудно , поскольку ее величина в разных странах меняется от долей миллиметра до 500 м .
будем использовать треугольные пирамиды , все ребра которых равны соответствующей	единице	длины , то столкнемся с большими трудностями .
Такой	единицей	был дюйм , а также связанные с ним линия и точка .
Для больших расстояний местные жители пользуются	единицей	, которую называют ялим .
Берем	единицу	длины , например метр , и откладываем его на нашем отрезке до тех пор , пока остаток не станет меньше него .
Получим 1 кубическую	единицу	— метр , сантиметр , аршин , фут и т .
Разделив каждый градус на 60 равных частей , получим более мелкую	единицу	угла — минуту .
Теперь разделим нашу	единицу	на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем откладывать часть единицы .
7 Примем площадь одной клетки за	единицу	.
Он взял карту острова , нарисовал на ней оси координат , выбрал	единицу	.
Начертите на клетчатой бумаге оси координат ( за	единицу	можно выбрать расстояние в две клетки ) .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей треугольным сантиметром , взяв за	единицу	треугольник , у которого все стороны равны 1 см ?
Примем каждую из них за	единицу	длины .
Для этого надо дробить квадратную	единицу	.
Что же можно взять в качестве	единицы	площади или объема ?
При решении практических задач на измерение объема не обязательно разбивать пространство на кубические	единицы	, а затем мельчить на меньшие кубики .
Тогда получившееся количество воды ( разумеется , при той же температуре ) и будет соответствовать объему одной кубической	единицы	.
Правда , нет четкой	единицы	измерения , так как год не имеет постоянного числа суток .
Например , английский король Генрих I ввел в качестве	единицы	длины ярд — расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки .
Но если мы таким же образом введем для измерения объемов пирамидальные	единицы	, т .
В качестве	единицы	объема можно выбрать куб с ребром , равным соответствующей линейной единице .
Теперь разделим нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем откладывать часть	единицы	.
Таким образом последовательно получают десятые , сотые доли	единицы	.
Как видим , дольные единицы углов называют , как и	единицы	времени .
2 Запишите все известные , а вернее , перечисленные выше	единицы	длины в порядке возрастания .
Отношение длин двух отрезков есть число , которое не зависит от	единицы	измерения .
Как видим , дольные	единицы	углов называют , как и единицы времени .
Требуется выложить из 12 спичек фигуру , которая охватывала бы площадь в три квадратные	единицы	.
Не так уж редки ситуации , когда мы с помощью	единицы	одного вида измеряем не соответствующую ей величину .
Изготовим сосуд в виде	единичного	куба и заполним его какой - нибудь жидкостью , например водой .
Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая квадрат на части и перекладывая эти части , можно получать фигуры	единичной	площади и различной конфигурации .
Теперь , разливая это количество воды в различные по форме сосуды , мы будем получать	единичные	объемы различной формы .
Найдем , во сколько раз отрезок АВ больше отрезка АlВl и , увеличив	единичный	отрезок во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
Как из нее сложить	единичный	кубик ( т . е .
Найдем , во сколько раз отрезок АВ больше отрезка АlВl и , увеличив	единичный отрезок	во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
Так , иногда добавляют несколько мин в виде	единичных	клеток ( например , 5 мин ) .
Этим свойством «	жесткости	» обладают все известные вам многогранники .
Окружность — это	замкнутая	кривая линия .
42 На бумаге нарисована	замкнутая	линия .
8 Очень сложная	замкнутая	линия ограничивает на плоскости некоторую область .
А теперь попробуйте другим цветом провести какую - нибудь	замкнутую	линию , не проходящую через точки самопересечения уже проведенной линии и не самопересекающуюся на этой линии .
Получившееся целое число от 0 до 9 припишем после	запятой	к полученному ранее целому .
Интересно , что в правильной пятиконечной	звезде	каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру , делит другую в отношении золотого сечения .
7 Найдите	звезду	.
11 Разрежьте правильную шестиконечную	звезду	на четыре части так , чтобы из них можно было составить параллелограмм .
Затем соедините вершины так , чтобы получить пяти- , шести- и восьмиконечную	звезду	.
Шкала транспортира содержит 180 ° (	знак	° заменяет слово « градусов » ) .
Этот факт записывается так : m ‖ n. ( Читаем : m параллельна n. ) Выбор именно такого	знака	достаточно понятен , не так ли ? .
Найдите сторону двух квадратов , отмеченных	знаком	вопроса , если сторона маленького черного квадрата равна 1 .
Получим приближенное	значение	площади 28 см2 .
Северному полюсу соответствует	значение	90 ° северной широты , а Южному — 90 ° южной широты .
Математики же в своих рассуждениях исходят из того , что отрезки ( и другие величины ) имеют точную длину ( точное	значение	) , .
В древности слово « симметрия » употреблялось в	значении	« гармония » , « красота » .
Затем вновь возьмем полусумму полученных	значений	.
Итак , измеряя на практике различные величины , мы всегда получаем приближенные	значения	, но погрешность измерения часто не учитываем и считаем полученный результат истинным .
Понятно , что точкам слева от начального меридиана соответствуют	значения	западной долготы .
Самое лучшее в данной ситуации , если мы в качестве	значения	площади возьмем полусумму измерений с недостатком и избытком .
Ведь кубики — любимая	игра	малышей .
Эта	игра	была придумана в 50-х годах XX в .
1 Представьте , что	игра	в « Морской бой » пришла к позиции .
На занятиях по наглядной геометрии , где вы встретитесь с интересными головоломками и занимательными задачами , бумажными человечками и геометрическими	играми	, вашими постоянными спутниками будут наблюдение и опыт .
Каждый игравший в « Морской бой » знает , что клетки доски в этой	игре	обозначаются парой — буква и число .
Раз уж речь зашла об	игре	« Морской бой » , то попробуйте решить несколько задач , связанных с этой игрой .
Сможете ли вы произвести серию точных выстрелов и выиграть в этой	игре	? .
В этой	игре	разведчик вынужден вести переписку со своими товарищами так , чтобы никто из посторонних не смог прочитать написанного .
Раз уж речь зашла об игре « Морской бой » , то попробуйте решить несколько задач , связанных с этой	игрой	.
Поиграем в эту	игру	и мы , но обозначать клетки будем парой чисел .
А теперь мы предлагаем вам не задачу , а	игру	.
18 Задачи , головоломки ,	игры	.
Напомним правила	игры	( но можно вносить изменения ) .
34 Задачи , головоломки ,	игры	.
Задачи , головоломки ,	игры	.
Изображены правильные многогранники — тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и	икосаэдр	.
То же происходит с парой додекаэдр —	икосаэдр	.
« Ни тридцать лет , ни тридцать столетий не оказывают никакого влияния на ясность или красоту геометрических	истин	» — так сказал английский математик Ч. Л. Доджсон , более известный во всем мире под псевдонимом Льюис Кэрролл , автор сказок о девочке Алисе .
Это	кардиоида	.
( Хотя для	карт	города или района эти искажения незначительны и ими можно пренебречь . ) .
Правда , в 1975 г. ( за год до этого ) в апрельском номере американского журнала « В мире науки » была приведена	карта	, которую , как утверждал ее составитель , нельзя окрасить нужным образом в четыре цвета .
	Карта	острова , на которой видны два ориентира ( два больших камня ) .
Географическая карта ( будь то	карта	мира , одной страны или города ) покрыта сетью тонких линий .
Географическая	карта	( будь то карта мира , одной страны или города ) покрыта сетью тонких линий .
Вертикальные линии на	карте	— это меридианы .
положение точки на	карте	.
Экватору на	карте	мира соответствует горизонтальная линия , делящая карту пополам .
На	карте	также проведем отрезок АВ .
Он взял карту этой местности ( масштаб карты 1:100 000 , что означает уменьшение всех настоящих размеров в 100 000 раз ) и решил отметить на этой	карте	все точки , до которых он может дойти за 1 ч .
Найдите на	карте	место клада .
Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой , но они знают , что камни на этой	карте	имели координаты А ( 2 ; 1 ) , В ( 8 ; 2 ) , а координаты клада ( 6 ; 6 ) .
Выберем , например , две пары точек на	карте	, расстояния между которыми равны , но точки расположены в разных местах карты ( близко к экватору и далеко от него ) .
Современные искатели сокровищ не располагают подлинной	картой	, но они знают , что камни на этой карте имели координаты А ( 2 ; 1 ) , В ( 8 ; 2 ) , а координаты клада ( 6 ; 6 ) .
Покажите , что это всего лишь первоапрельская шутка : раскрасьте эту	карту	из 100 стран в четыре цвета так , чтобы соседние страны были окрашены в разные цвета .
Он взял	карту	этой местности ( масштаб карты 1:100 000 , что означает уменьшение всех настоящих размеров в 100 000 раз ) и решил отметить на этой карте все точки , до которых он может дойти за 1 ч .
Экватору на карте мира соответствует горизонтальная линия , делящая	карту	пополам .
Наложим кальку на	карту	так , чтобы точки А и Аl совпали и отрезок АlВl « пошел » по АВ .
Пусть он восстановит вашу	карту	, а вы в свою очередь восстановите его карту .
Он взял	карту	острова , нарисовал на ней оси координат , выбрал единицу .
А теперь начните заполнять	карту	острова Сокровищ .
Нанесите на	карту	различные объекты ( колодец , наблюдательную вышку , склад , пальмовую рощу и т . д. ) , опишите их положение с помощью координат и сообщите эти координаты соседу по парте .
Они доказали , что любую географическую	карту	можно окрасить в четыре цвета так , что страны , имеющие общую границу , будут окрашены в разные цвета .
Пусть он восстановит вашу карту , а вы в свою очередь восстановите его	карту	.
Он взял карту этой местности ( масштаб	карты	1:100 000 , что означает уменьшение всех настоящих размеров в 100 000 раз ) и решил отметить на этой карте все точки , до которых он может дойти за 1 ч .
Сравните	карты	в классе .
Часть суши в нижней части	карты	, соответствующая Антарктиде , несоизмеримо велика .
Выберем , например , две пары точек на карте , расстояния между которыми равны , но точки расположены в разных местах	карты	( близко к экватору и далеко от него ) .
Пусть одна	касается	окружности в точке В , а другая — в точке С. Имеет место равенство АВ равно АС .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность	касается	прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
Прямая , перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса ,	касается	окружности .
Что	касается	круглого сантиметра , то здесь неудобство сразу бросается в глаза : непересекающимися кругами нельзя заполнить плоскость .
Что	касается	координат на плоскости , то , наверное , все ребята так или иначе с ними знакомы .
3 Расположите пять одинаковых монет так , чтобы каждая из них	касалась	четырех остальных .
6 Расположите шесть спичек так , чтобы каждая спичка	касалась	всех остальных спичек .
8 Расположите три спички на столе так , чтобы их головки не	касались	ни стола , ни друг друга .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он	касался	края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
16 англичан выстраивались в цепочку таким образом , что каждый следующий	касался	концами пальцев своих ног пяток предыдущего .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть	касательная	к окружности .
Касательная АВ симметрична	касательной	АС .
Из этой точки к окружности можно провести две	касательные	.
Тетраэдр начинают перекатывать , как показано на рисунке , причем он оставляет след такого же цвета , что и грань ,	касающаяся	бумаги .
Возьмите полоску бумаги шириной 5 см и длиной около 20 см. Сложите ее « гармошкой » и нарисуйте какой - нибудь рисунок ,	касающийся	линии сгиба .
Можно ли раскрасить их тремя различными красками так , чтобы никакие два соседних (	касающихся	друг друга ) кружочка не были одного цвета ?
Как построить окружность ,	касающуюся	данных прямых и проходящую через данную точку ? .
51 Постройте любую окружность ,	касающуюся	прямых , проведите через точку А прямую , параллельную данным .
6 На столе один пятак лежит неподвижно , а другой катится вокруг первого ,	касаясь	его .
Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него	квадрат	со стороной 10 см. Останется прямоугольник , стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
Да , да , не удивляйтесь , и ромб , и прямоугольник , и	квадрат	— тоже параллелограммы .
Затем от этого прямоугольника отрежьте	квадрат	со стороной 6 см. Останется прямоугольник , одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
5 На какие части надо разрезать	квадрат	, чтобы сложить из них фигуры ?
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же треугольника и	квадрат	со стороной , равной большей стороне треугольника .
2 Разрежьте	квадрат	на четыре равные части разными способами ; на пять равных частей .
6 Нарисуйте	квадрат	и проведите его диагональ .
Этот же	квадрат	разрезан на четыре таких же треугольника и квадрат со стороной , равной большей стороне треугольника .
5 Начертите на клетчатой бумаге	квадрат	, площадь которого равна 2 , 4 , 5 , 8 , 9 , 10 , 16 , 17 , 18 , 20 , 25 , 26 клеткам .
А если взять	квадрат	других размеров — больше или меньше , — изменится ли угол между сторонами квадрата ?
Вырежьте из бумаги	квадрат	и сложите его вдвое по диагонали .
В задании 6 вы складывали	квадрат	по диагонали .
Уберите одну спичку и сделайте из оставшихся спичек один	квадрат	и два ромба .
Как удостовериться , что вырезанная фигура —	квадрат	? .
Добавьте еще только одну спичку так , чтобы концы спичек образовали	квадрат	.
Значит ,	квадрат	— это параллелограмм с прямыми углами , все стороны которого равны .
По мнению Лены , это доказывало , что вырезанный четырехугольник —	квадрат	.
Значит ,	квадрат	— это ромб с прямыми углами .
Возьмем	квадрат	со стороной 1 м .
Сверните прямоугольник так , чтобы получился	квадрат	.
Вырежьте этот	квадрат	и исследуйте его .
Можно ли составить	квадрат	из двух фигур ?
7 Очевидно , что из всех семи фигур составляется	квадрат	.
Значит ,	квадрат	— это прямоугольник , у которого все стороны равны .
4 На какие фигуры делит	квадрат	каждая диагональ ? .
На какие фигуры она делит	квадрат	? .
Если вырезать в середине	квадрат	2×2 , то оставшиеся клетки покрываются двенадцатью фигурками пентамино .
Учитель дал ребятам задание вырезать из цветной бумаги	квадрат	.
Вася , вырезая	квадрат	, проверил его так : он сравнил длины сторон .
Диагонали были равны , и Алеша посчитал	квадрат	вырезанным правильно .
Лена , вырезав	квадрат	, сравнила все четыре отрезка , на которые диагонали разделили одна другую .
Перегните	квадрат	пополам так , чтобы совпали две противоположные стороны .
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится	квадрат	своей диагональю , равны .
Но можно сложить еще один треугольник , используя четыре фигуры : один большой треугольник , два маленьких и	квадрат	.
20 Разрежьте	квадрат	на пять прямоугольников так , чтобы у любых двух соседних прямоугольников стороны не совпадали .
12 Большой	квадрат	разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это	квадрат	, сторона которого в два раза больше стороны исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
31 На горизонтальной прямой расположен квадрат , в котором отмечена точка А. Представьте себе , что	квадрат	начинает перекатываться вдоль прямой .
8 Треугольник АВС — правильный , четырехугольник KLMN —	квадрат	.
31 На горизонтальной прямой расположен	квадрат	, в котором отмечена точка А. Представьте себе , что квадрат начинает перекатываться вдоль прямой .
1 Сколько одинаковых квадратов надо взять , чтобы из них можно было сложить в два раза больший	квадрат	?
Разрежьте этот прямоугольник на две равные части так , чтобы , сложив их определенным образом , получить	квадрат	.
3 ABCD —	квадрат	.
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные фигуры :	квадрат	, треугольник , окружность и т .
в ) на три части так , чтобы из них можно было составить	квадрат	.
Это , например ,	квадрат	, отрезок , круг .
Требовалось построить с помощью циркуля и линейки	квадрат	, площадь которого равна площади данного круга .
15 Надо разрезать фигуру на четыре части и затем переложить их так , чтобы внутри образовался	квадрат	площадью 1 см2 .
6 Если сложить	квадрат	вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
Чтобы составить свою решетку , нужно разбить 64-клеточный	квадрат	на четыре области .
8 Разрезав « кольцо » и сложив из него	квадрат	, увидим , что краски пойдет одинаковое количество ( площади этих фигур равны ) .
1 Если считать , что в два раза больший	квадрат	— это квадрат , сторона которого в два раза больше стороны исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
56 Разрежьте	квадрат	13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять чисел , выражающих стороны прямоугольников , были бы различными целыми числами .
Почему для получения единиц площадей и объемов мы использовали	квадрат	и куб ?
10 Начертите	квадрат	, площадь которого равна а ) 10 клеткам ; б ) 17 клеткам ; в ) 26 клеткам .
Ячейка —	квадрат	3×3 клетки .
8 Получится	квадрат	со стороной 6 единиц .
3 Постройте	квадрат	со стороной А В , где А и В — узлы клетчатой бумаги и отрезок А В не проходит по сторонам клеток .
А читают так же ( накладывая	квадрат	и поворачивая его против часовой стрелки на 90 ° ) .
3 Изготовьте головоломку сами : переведите на плотную бумагу	квадрат	, разделенный на семь частей , и разрежьте его .
Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая	квадрат	на части и перекладывая эти части , можно получать фигуры единичной площади и различной конфигурации .
Если разрезать	квадрат	, как показано на рисунке 66 , то получится популярная китайская головоломка танграм , которую в Китае называют « чи чао ту » , т .
Со всех шести сторон ( спереди и сзади , справа и слева , сверху и снизу ) мы видим	квадрат	3×3 .
Это не	квадрат	, не прямоугольник .
Из плотной бумаги вырежьте	квадрат	, разделите его на 64 квадратика и прорежьте окошечки .
Какое наибольшее число кубиков можно убрать , чтобы со всех сторон был виден	квадрат	3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не развалилась ? .
От	квадрата	отрезаны четыре равных треугольника , площади которых в сумме составляют 12 клеток .
А площадь	квадрата	со стороной 1 см равна 1 квадратному сантиметру .
3 Площадь всего белого	квадрата	равна 25 клеткам .
1 Показан способ разрезания	квадрата	со стороной в четыре клетки по сторонам клеток на две равные части .
Вырезать два одинаковых	квадрата	.
Площадь всего белого	квадрата	равна 25 клеткам .
1 Изменим верхнюю сторону	квадрата	.
2 Перечертите на клетчатую бумагу фигуру и вырежьте ее ( сторона каждого	квадрата	4 см ) .
3 К левой стороне	квадрата	пририсуем треугольник .
Значит , площадь заштрихованного	квадрата	равна 13 клеткам .
Сколько существует способов разрезания	квадрата	на две равные части линиями , идущими по сторонам маленьких квадратиков ? .
Занимательных задач на разрезание	квадрата	— множество .
диагональ	квадрата	разделила его на две равные части .
Найдите еще хотя бы один вариант подобного покрытия	квадрата	8×8 с вырезанной серединой .
Как линия сгиба расположена относительно сторон	квадрата	?
Его ни за что не прочесть человеку , не имеющему шифровального	квадрата	.
Из объяснений понятно , что способ шифровки основан на повороте	квадрата	вокруг его центра .
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это квадрат , сторона которого в два раза больше стороны исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных	квадрата	.
Сторона равна одной спичке , а ) Переложите четыре спички так , чтобы получилось три квадрата , б ) Переложите три спички так , чтобы получилось три	квадрата	, в ) Переложите спички , чтобы получилось шесть квадратов .
Сторона равна одной спичке , а ) Переложите четыре спички так , чтобы получилось три	квадрата	, б ) Переложите три спички так , чтобы получилось три квадрата , в ) Переложите спички , чтобы получилось шесть квадратов .
Каждая же точка внутри	квадрата	при четырех поворотах на 90 ° занимает четыре разных положения .
Чтобы все клеточки 64-клеточного	квадрата	были заполнены буквами , должно быть 16 окошечек .
Начнем с	квадрата	.
Угол квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю	квадрата	и его сторонами образуются углы по 45 ° .
21 Из 12 спичек сложены четыре	квадрата	.
4 Покажите , что площадь	квадрата	на рисунке 75 равна 13 клеткам .
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два	квадрата	со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
Угол	квадрата	( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю квадрата и его сторонами образуются углы по 45 ° .
2 Как изменится площадь	квадрата	, если его сторону увеличить в 2 раза ?
1 Сравните сторону	квадрата	с его диагональю .
12 Четвертые части	квадрата	и правильного треугольника отрезаны , как показано на рисунке 294 .
21 Уберите несколько точек так , чтобы из оставшихся никакие четыре не являлись вершинами	квадрата	.
Найдите сторону двух квадратов , отмеченных знаком вопроса , если сторона маленького черного	квадрата	равна 1 .
Линия сгиба , проходящая через две противоположные вершины квадрата , называется диагональю	квадрата	.
9 Восемь спичек уложите так , чтобы образовались один восьмиугольник , два	квадрата	и восемь треугольников — все в одной фигуре ! .
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это квадрат , сторона которого в два раза больше стороны исходного	квадрата	, то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
Линия сгиба , проходящая через две противоположные вершины	квадрата	, называется диагональю квадрата .
И угол	квадрата	разделился пополам .
Значит , сумма площадей двух маленьких квадратиков равна площади	квадрата	.
Диагональ	квадрата	является биссектрисой угла .
10 Через точку внутри	квадрата	проведены прямые по сторонам и диагоналям клеток .
Половинки	квадрата	( треугольники ) совпали , т .
А если взять квадрат других размеров — больше или меньше , — изменится ли угол между сторонами	квадрата	?
7 Из десяти спичек выложите три	квадрата	.
1 У	квадрата	, как и у ромба , все стороны равны .
2 У	квадрата	, как и у прямоугольника , все углы прямые .
3 У	квадрата	, как и у параллелограмма , стороны попарно параллельны .
Как вы думаете , какие углы образует диагональ со сторонами	квадрата	?
8 На что пойдет больше краски : на окрашивание	квадрата	или этого необычного кольца ? .
Так , например , если необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей площади , то следует выбрать этот участок в виде	квадрата	.
в ) уберите шесть спичек так , чтобы осталось три	квадрата	.
уберите восемь спичек так , чтобы осталось два	квадрата	.
У	квадрата	есть еще целый ряд интересных свойств .
Но в каждом	квадрате	2×2 только один катер , иначе у него будут « соседи » , значит , 26 катеров на поле 10×10 уже не поместятся .
2 Отец , у которого было четыре сына , имел	квадратное	поле .
7 Как провести плоскость , чтобы получить	квадратное	сечение куба ? .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной	квадратной	миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
Тетрадный лист в клеточку — пример паркета с	квадратной	ячейкой .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в	квадратной	версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном	квадратном	километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном	квадратном	ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
28 На	квадратном	участке расположены три дома , а в ограде сделаны три калитки .
А площадь квадрата со стороной 1 см равна 1	квадратному	сантиметру .
Его площадь будем считать равной одному	квадратному	метру ( м2 ) .
Для этого надо дробить	квадратную	единицу .
Например , возьмем за основу	квадратную	решетку .
Требуется выложить из 12 спичек фигуру , которая охватывала бы площадь в три	квадратные	единицы .
Лист бумаги , чаще	квадратный	, но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
Если считать , что одна клетка есть	квадратный	сантиметр , то площадь больше 16 см2 .
6 Дана дощечка с тремя отверстиями :	квадратным	, круглым и треугольным .
Продолжая покрывать фигуру	квадратными	миллиметрами , мы найдем ее площадь с избытком .
Будем продолжать заполнять площадь фигуры	квадратными	миллиметрами до тех пор , пока это возможно .
Основное свойство окружности дает ответ на вопросы , почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми , а не	квадратными	или , например , треугольными .
1 Почему канализационные люки делают круглыми , а не	квадратными	? .
Если a и b — длины сторон прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b	квадратных	единиц .
Нетрудно найти площадь фигуры , составленной из	квадратных	метров или квадратных сантиметров или из тех и других .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре ,	квадратных	аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
Прибавив соответствующее количество	квадратных	миллиметров к ранее найденной величине , мы вычислим площадь фигуры с недостатком , но уже точнее .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде ,	квадратных	километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте ,	квадратных	дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
У нас есть 10	квадратных	карточек со сторонами 10 , 9 , 8 , 7 , 1 .
1 Сколько	квадратных	миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
Далеко не сразу человек додумался до	квадратных	и кубических единиц .
Они ничем не хуже	квадратных	сантиметров .
Нетрудно найти площадь фигуры , составленной из квадратных метров или	квадратных	сантиметров или из тех и других .
Составьте из пяти	квадратов	все 12 фигур пентамино .
а ) уберите четыре спички так , чтобы осталось пять	квадратов	.
Сравните площади заштрихованных	квадратов	.
Эти свойства справедливы не только для	квадратов	, треугольников , кубов .
Сторона равна одной спичке , а ) Переложите четыре спички так , чтобы получилось три квадрата , б ) Переложите три спички так , чтобы получилось три квадрата , в ) Переложите спички , чтобы получилось шесть	квадратов	.
4 Буква Т составлена из шести	квадратов	со стороной 1 см .
Набор пентамино содержит 12 фигурок , каждая из которых составлена из пяти ( « пента » в переводе с греческого означает « пять » ) одинаковых	квадратов	, причем квадраты « соседствуют » друг с другом только сторонами .
А теперь — чтобы получилось шесть	квадратов	.
1 Расположите 12 спичек так , чтобы получилось пять	квадратов	.
Можно проверить себя , вырезав десять таких	квадратов	или нарисовать их в тетради .
12 Расчертив полоску на семь	квадратов	, перегните второй и шестой квадраты по диагонали , а затем уже сворачивайте полоску в куб .
1 Сколько одинаковых	квадратов	надо взять , чтобы из них можно было сложить в два раза больший квадрат ?
Найдите сторону двух	квадратов	, отмеченных знаком вопроса , если сторона маленького черного квадрата равна 1 .
30 Изображены девять	квадратов	.
4 Доску разрезать на линкоры нельзя : при указанной окраске в четыре цвета различных по цвету	квадратов	получается неодинаковое число .
8 Сколько различных	квадратов	с вершинами в данных точках можно начертить ? .
8 20	квадратов	.
13 Дано игровое поле 4×4 и 16	квадратов	с геометрическими фигурами , имеющими ось ( одну или несколько ) симметрии .
54 Докажите , что меньший из	квадратов	имеет площадь в четыре раза меньшую , чем больший .
Дан один из способов плетения куба из трех полосок , разделенных на пять	квадратов	.
Проделаем с этой ячейкой -	квадратом	следующие операции .
С площадью круга связана одна из самых знаменитых задач древности — задача о	квадратуре	круга .
Поиски	квадратуры	круга продолжались четыре тысячелетия !
2 На доске 10×10 может разместиться 25 катеров : игровое поле можно разбить на	квадраты	2×2 , которых будет ровно 25 , и в каждом из них по катеру .
Вокруг вас живут треугольники , окружности ,	квадраты	, отрезки и другие плоские фигуры .
12 Расчертив полоску на семь квадратов , перегните второй и шестой	квадраты	по диагонали , а затем уже сворачивайте полоску в куб .
5 Третью полоску ( красную ) пропустите сзади куба в щель между белой и черной полосками , согните и конечные	квадраты	также пропустите в щель между передней белой гранью и черной полоской .
Набор пентамино содержит 12 фигурок , каждая из которых составлена из пяти ( « пента » в переводе с греческого означает « пять » ) одинаковых квадратов , причем	квадраты	« соседствуют » друг с другом только сторонами .
Разместить	квадраты	в клетках поля так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались фигуры , имеющие одинаковое число осей симметрии .
Обратите внимание на треугольники и	квадраты	.
Нельзя ли выполнить ту же работу , раскрыв меньше	колец	? .
Приготовьте два	кольца	: одно простое и одно перекрученное .
Удастся ли муравью попасть на обратную , изнаночную сторону	кольца	, не переползая через край ?
8 На что пойдет больше краски : на окрашивание квадрата или этого необычного	кольца	? .
Попробуйте провести непрерывную линию по одной из сторон перекрученного	кольца	( будем считать , что это путь муравья ) .
Свойства : длина окружности	кольца	та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Кузнец решил раскрыть четыре	кольца	и снова их заковать .
Представьте муравья , находящегося на поверхности простого	кольца	.
Оказывается , у перекрученного	кольца	( впоследствии его назвали листом Мёбиуса ) имеется только одна сторона !
Результат разрезания : 2	кольца	; 1 кольцо .
Склейте два	кольца	: одно простое и одно перекрученное .
Опыты , которые мы предлагаем вам провести с листом Мёбиуса и подобными ему	кольцами	, продемонстрируют много интересных и неожиданных свойств .
Он обнаружил , что на перекрученном	кольце	линия прошла по обеим сторонам , хотя его карандаш не отрывался от бумаги .
8 Разрезав «	кольцо	» и сложив из него квадрат , увидим , что краски пойдет одинаковое количество ( площади этих фигур равны ) .
4 Существует ли	кольцо	в действительности , или допущена ошибка ? .
10 Хозяйка , приведя козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с кольцом так , что	кольцо	может скользить от колышка к колышку , а к кольцу веревкой длиной 5 м привязала козу .
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное	кольцо	на плоскость , сделаем из него разные фигуры : квадрат , треугольник , окружность и т .
Возьмем веревочку и свяжем ее в	кольцо	, положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные фигуры : квадрат , треугольник , окружность и т .
Разрежьте простое	кольцо	ножницами вдоль .
Свойства : длина окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ;	кольцо	перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Свойства : длина окружности кольца та же , но	кольцо	в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Разрежьте перекрученное на пол - оборота	кольцо	( лист Мёбиуса ) вдоль .
Результат разрезания : 2 кольца ; 1	кольцо	.
Свойства : длина окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и	кольцо	уже исходного .
Перекрученное	кольцо	получите так , как показано на рисунке .
10 Хозяйка , приведя козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с	кольцом	так , что кольцо может скользить от колышка к колышку , а к кольцу веревкой длиной 5 м привязала козу .
А если муравей ползет по перекрученному	кольцу	?
10 Хозяйка , приведя козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с кольцом так , что кольцо может скользить от колышка к колышку , а к	кольцу	веревкой длиной 5 м привязала козу .
Проколов фигуру в предполагаемом центре и обведя ее	контур	, надо повернуть фигуру на 180 ° вокруг иголки .
Маляр передвигает трафарет , переворачивая или не переворачивая его , обводит	контур	, повторяя рисунок , и получает орнамент .
Используя тот же	контур	, но с другим рисунком внутри , можно сделать паркет из таких симпатичных « мордашек » .
34 В скольких точках прямая может пересекать	контур	треугольника ?
Если фигура « вошла » в свой	контур	, то она центрально - симметрична .
Она заключена внутри дракона и своими изгибами обрисовывает его	контур	.
33 После обхода	контура	спичка повернута на 180 ° .
2 Постройте кривую , соответствующую шести сгибам полоски , из кривой в пять сгибов и обрисуйте ее	контуром	дракона .
Весь	конус	состоит из двух частей ( пол ) , имеющих общую вершину .
20 Возьмите набор геометрических тел ( куб , шар , пирамида ,	конус	, цилиндр и др. ) .
Что такое	конус	, надеемся , вы представляете .
Математики определяют	конус	следующим образом .
27 а ) Куб ; б )	конус	; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
Эта точка — вершина	конуса	.
Каждая из них может быть получена при пересечении	конуса	плоскостью .
При этом мы по - прежнему сечением задеваем лишь одну « полу »	конуса	( плоскость 2 ) .
Что касается	координат	на плоскости , то , наверное , все ребята так или иначе с ними знакомы .
Получаем нужную систему	координат	хОу и находим место клада по координатам ( 6 ; 6 ) в новой системе .
При этом для шифровки места клада неоднократно использовался метод	координат	.
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите систему	координат	с кубом , у которого ребро равно 1 .
На плоскости выбирают две перпендикулярные прямые — оси	координат	.
Точка пересечения этих прямых является началом	координат	.
Одну из этих осей , обычно горизонтальную , называют осью х , а вторую — осью у. Такую координатную систему называют декартовой ( по имени великого французского математика Рене Декарта , работы которого положили начало одному из важнейших методов исследования — методу	координат	) .
Чтобы получить декартову систему	координат	в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z , перпендикулярную им , с тем же началом в точке 0 .
Поскольку старый пират получил в свое время неплохое образование , он решил для своих целей воспользоваться методом	координат	.
Он взял карту острова , нарисовал на ней оси	координат	, выбрал единицу .
Начертите на клетчатой бумаге оси	координат	( за единицу можно выбрать расстояние в две клетки ) .
Нанесите на карту различные объекты ( колодец , наблюдательную вышку , склад , пальмовую рощу и т . д. ) , опишите их положение с помощью	координат	и сообщите эти координаты соседу по парте .
В результате каждая клетка шахматной доски имеет собственное « имя » , складывающееся из двух	координат	— буквы и числа , обозначающих столбец и строку , на пересечении которых эта клетка находится .
Наиболее распространенным способом задания	координат	на плоскости , после чего она становится координатной плоскостью , является следующий .
Есть и другие способы задания	координат	на плоскости .
6 Начертим на кальке вспомогательные оси	координат	xlOlyl .
Нужна вторая	координата	— долгота .
На самом деле это тоже	координата	.
9 В качестве упражнения изобразите на одном чертеже шесть точек с	координатами	: О ( 0 ; 0 ; 0 ) , А ( 1 ; 0 ; 0 ) , В ( 0 ; 1 ; 0 ) , С ( 0:0:1 ) , D(1;1;0 ) , E(1;1:1 ) .
Вы без труда можете найти вокруг себя различные примеры , иллюстрирующие прямые с заданными на них	координатами	.
Оказывается , туристы обычно пользуются в походах полярными	координатами	, а азимут — это угол между направлением на север и направлением на некоторый предмет из точки , где находится турист .
Каждая точка плоскости задается двумя полярными	координатами	: углом и расстоянием .
Теперь каждой точке пространства соответствуют три	координаты	, тройка чисел х , у , z.
Точка М имеет	координаты	5 и 2 , что записывается так : М ( 5 ; 2 ) .
В качестве главных ориентиров он указал	координаты	четырех дубов .
22 Координаты , координаты ,	координаты	.
Построите точки , соответствующие местонахождению дубов , и определите	координаты	пещеры с сокровищами .
Нанесите на карту различные объекты ( колодец , наблюдательную вышку , склад , пальмовую рощу и т . д. ) , опишите их положение с помощью координат и сообщите эти	координаты	соседу по парте .
Но мы немного отвлеклись и забыли про	координаты	.
5 Даны	координаты	точек .
22 Координаты ,	координаты	, координаты .
Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой , но они знают , что камни на этой карте имели	координаты	А ( 2 ; 1 ) , В ( 8 ; 2 ) , а координаты клада ( 6 ; 6 ) .
Указывая широту и долготу точки , мы указываем ее	координаты	, т .
Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой , но они знают , что камни на этой карте имели координаты А ( 2 ; 1 ) , В ( 8 ; 2 ) , а	координаты	клада ( 6 ; 6 ) .
Название « танграм » возникло в Европе , вероятнее всего , от слова « тань » ( что означает « китаец » ) и	корня	« грамма » ( в переводе с греческого « буква » ) .
Исключение составляют годы ,	кратные	100 .
Окружность — это замкнутая	кривая	линия .
Окружность — единственная	кривая	, которая может « скользить сама по себе » , вращаясь вокруг центра .
Между ними нарисована	кривая	, идущая от зеркала к зеркалу .
Сколько раз отразится	кривая	в зеркалах ?
Изображена такая	кривая	.
Эта замечательная	кривая	не так уж редка в природе .
2 Постройте кривую , соответствующую шести сгибам полоски , из	кривой	в пять сгибов и обрисуйте ее контуром дракона .
Одна половина нашей	кривой	повернулась на 90 ° , повторив изгибы другой половины .
Для этой	кривой	мы не можем предложить , как в предыдущем случае , достаточно простой « гиперболический циркуль » , позволяющий вычерчивать гиперболу и одновременно показывающий ее основное свойство .
Измерим длину отрезка прямой линии в заданных единицах ( измерение длин кусков	кривой	линии — несколько иная задача ) .
Повторение половины	кривой	при повороте на 90º ( а следовательно , использование кальки для вычерчивания ) можно объяснить с помощью исходной бумажной полоски .
В углах , отмеченных кружочком ( о ) , делается поворот всей предыдущей	кривой	против часовой стрелки , а в углах , отмеченных точкой ( • ) , — по часовой стрелке .
2 Постройте	кривую	, соответствующую шести сгибам полоски , из кривой в пять сгибов и обрисуйте ее контуром дракона .
Если всмотреться в эти линии , то можно увидеть , что каждую последующую можно получить из предыдущей , добавляя к ней такую же	кривую	, но полученную поворотом на 90 ° по часовой стрелке вокруг последней точки .
Проследите за траекторией , которую опишет при этом точка А , взятая на окружности этого круга Начертите получившуюся	кривую	.
Таким образом , путь муравья представляет	кривую	.
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную	кривую	, которая называется параболой .
Разбиваем измеряемую	кривую	на небольшие участки , каждый из которых можно считать отрезком .
Условимся точки , в которых соединяются	кривые	, называть узлами .
Вид спереди похож на букву Г , вид сверху — на Ч без половины вертикальной палочки , а вид слева — на стилизованную латинскую S. Рассмотрите ломаные и	кривые	линии и начертите в каждом случае три проекции ( вид спереди , сверху и слева ) .
24 Замечательные	кривые	.
10 Сколькими способами можно прочитать слово « шалаш » , двигаясь по прямым ,	кривым	и ломаным дорожкам ? .
На этом графе четыре узла ( они соответствуют берегам С и B и островам А и D ) и семь	кривых	, которые обозначают мосты a , b , с , d , e , f , g.
Если бы существовал искомый маршрут , то эту сеть	кривых	можно было бы вычертить одним росчерком .
4 Приведите примеры	кривых	, длину которых удобно измерять одним из этих способов .
Но все - таки при чем здесь драконы , как следует расшифровывать эти коды для построения	кривых	дракона ?
В этом параграфе вы узнаете о некоторых поистине замечательных	кривых	, населяющих удивительный мир геометрии .
Задача измерения длин	кривых	линий , конечно , труднее практически и сложнее теоретически , чем измерение отрезков прямых .
Оказывается , не обязательно при построении	кривых	дракона всякий раз поворачивать ранее полученную кривую на 90 ° в одном и том же направлении .
Вы получили коды для рисования	кривых	дракона .
Начертите связную сеть	кривых	.
Сеть таких	кривых	называют графом ( от греческого слова grapho — « пишу » ) .
Получится одна из замечательных	кривых	, называемая синусоидой .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем	круг	радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
Надо	круг	с помощью циркуля или транспортира разделить на двенадцать равных частей ( подумайте , почему на двенадцать ) и свернуть по диаметрам в любом порядке .
17 Вырежьте из плотной бумаги ( картона ) круг диаметром 6 см. Затем в листе обычной бумаги вырежьте круглое отверстие диаметром 4 см. Как вы думаете , можно ли ваш	круг	, не сминая его , протащить через проделанное в бумаге отверстие ? .
17 Вырежьте из плотной бумаги ( картона )	круг	диаметром 6 см. Затем в листе обычной бумаги вырежьте круглое отверстие диаметром 4 см. Как вы думаете , можно ли ваш круг , не сминая его , протащить через проделанное в бумаге отверстие ? .
Прокатите без скольжения подвижный	круг	по неподвижному и понаблюдайте , какую линию опишет точка А. Начертите эту линию .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и	круг	, складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
На сколько частей нужно разделить	круг	, чтобы у снежинки было n осей симметрии ? .
3 Если перегнуть	круг	так , чтобы половинки совпали , то линия сгиба пройдет через центр .
3 Дан бумажный	круг	.
Представьте , что по прямой линии без скольжения катится	круг	.
2 Перегните	круг	вместе с листком .
Разметьте бумажный	круг	и вырежьте такую снежинку .
Это , например , квадрат , отрезок ,	круг	.
Проделав эту операцию дважды , найдем центр	круга	.
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого круга , так как радиус маленького круга в два раза меньше радиуса большого	круга	.
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького	круга	точку .
Во что превратится гипоциклоида , если радиус меньшего	круга	равен 6 см , а большего — 12 см ?
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого круга , так как радиус маленького	круга	в два раза меньше радиуса большого круга .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три	круга	радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
Используя тот факт , что если радиус одного	круга	в два раза больше радиуса другого круга , то площадь первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
Проследите за траекторией , которую опишет при этом точка А , взятая на окружности этого	круга	Начертите получившуюся кривую .
Используя тот факт , что если радиус одного круга в два раза больше радиуса другого	круга	, то площадь первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
площадь	круга	) , — наибольшая среди полученных таким образом площадей .
С площадью круга связана одна из самых знаменитых задач древности — задача о квадратуре	круга	.
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого	круга	, так как радиус маленького круга в два раза меньше радиуса большого круга .
Вырежьте два одинаковых картонных	круга	.
Второй приложите к первому , отметьте на его краю точку А , наиболее удаленную от центра первого	круга	.
Поиски квадратуры	круга	продолжались четыре тысячелетия !
Требовалось построить с помощью циркуля и линейки квадрат , площадь которого равна площади данного	круга	.
С площадью	круга	связана одна из самых знаменитых задач древности — задача о квадратуре круга .
Что касается круглого сантиметра , то здесь неудобство сразу бросается в глаза : непересекающимися	кругами	нельзя заполнить плоскость .
Проделайте то же самое со вторым и третьим	кругами	.
Как выглядит гипоциклоида для	кругов	с радиусом 8 см , 9 см и 10 см ? .
Много интересных задач связано с окружностью и	кругом	.
Почему для получения единиц площадей и объемов мы использовали квадрат и	куб	?
Сначала был один	куб	.
Изображены правильные многогранники — тетраэдр ,	куб	, октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .
2 По поверхности стеклянного куба проходит ломаная линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на	куб	спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее проекции .
4 Можно ли	куб	завернуть в букву Т в один слой ?
Пожалуй , трудно найти человека , которому бы не был знаком	куб	.
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его ребро разделили на пять равных частей , после чего	куб	распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного куба .
Изображен	куб	ABCDA1B1C1D1 .
Тонким карандашом нарисуйте	куб	, а на его поверхности проволоку , из которой сделаны эти ломаные ( общий вид ) .
Так как куб один , то полый	куб	, как в случае а ) , можно получить , если отметить на листе бумаги положение куба ( обведя основание ) , а затем сдвинув его .
Так как	куб	один , то полый куб , как в случае а ) , можно получить , если отметить на листе бумаги положение куба ( обведя основание ) , а затем сдвинув его .
17 Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать , чтобы разделить	куб	на 64 маленьких кубика ? .
20 Возьмите набор геометрических тел (	куб	, шар , пирамида , конус , цилиндр и др. ) .
В качестве единицы объема можно выбрать	куб	с ребром , равным соответствующей линейной единице .
Приведите способ , с помощью которого	куб	можно разрезать на 64 части за шесть разрезов .
5 Из данной развертки можно склеить	куб	а .
Постройте фигуру ( сечение ) , по которой плоскость , проходящая через указанные точки , пересечет	куб	.
Возьмите в руки или представьте по рисунку 50 треугольную пирамиду , исследуйте ее так , как вы исследовали когда - то	куб	.
8 Деревянный	куб	покрасили снаружи краской , каждое его ребро разделили на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного куба .
57 Рассмотрим	куб	3×3×3 , составленный из 27 одинаковых кубиков .
Проведите сплошные линии ( видимые ребра ) так , чтобы	куб	был « виден » : а ) слева снизу ; б ) справа сверху ; в ) справа снизу .
Например ,	куб	принято изображать так .
( Как склеить	куб	, сказано в задании 2 ) .
сажень равно 48×48×48	куб	.
На этот	куб	мы смотрели справа сверху .
13 Представьте , что	куб	стоит на одной своей вершине и освещен прямо сверху .
С какой стороны мы смотрим на этот каркасный	куб	? . .
вершков равно 110 592	куб	.
4 Получим	куб	, у которого передняя и задняя грани белые , а остальные — черные .
Центры граней куба образуют октаэдр , а центры граней октаэдра —	куб	.
	Куб	с ребром 1 ) ? .
аршин равно 12,7	куб	.
Сверните из нее	куб	, склейте его .
1	куб	.
10 Что за странный	куб	изображен на нем ?
Научитесь изображать на клетчатой бумаге	куб	и пирамиду .
Даже если мы и видим	куб	, то всякий раз иначе видим , какая грань впереди , а какая сзади .
12 Расчертив полоску на семь квадратов , перегните второй и шестой квадраты по диагонали , а затем уже сворачивайте полоску в	куб	.
14 Имеется	куб	со стороной 3 см. Сколько надо сделать распилов , чтобы распилить его на кубики со стороной 1 см ? .
Если же мы нарисуем его без пунктирных линий , то . можно усомниться , что это	куб	.
Как измерить диагональ непустого куба , пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же куба ; б ) один такой	куб	? .
По две окрашенных грани у кубиков , расположенных вдоль ребер исходного	куба	: по три на каждом ребре .
Каждый из них проходит через середину одного ребра	куба	, соединяющего свободные вершины .
Укажите ее размеры , если ребро	куба	равно 1 см .
Центры граней	куба	образуют октаэдр , а центры граней октаэдра — куб .
15 В противоположных ( наиболее удаленных друг от друга ) вершинах	куба	сидят паук и муха .
2 По поверхности стеклянного	куба	проходит ломаная линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на куб спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее проекции .
Решение следующих задач и выполнение заданий позволит вам обнаружить некоторые свойства	куба	.
Попробуйте найти этот второй способ плетения	куба	самостоятельно .
Дополните , если это понадобится , свой список свойств	куба	теми свойствами , которые заметили ваши одноклассники .
обнаружить путем измерения , наблюдения , подсчета как можно больше свойств	куба	.
Сколько одинаковых кубиков надо для составления в два раза большего	куба	? .
Как измерить диагональ непустого	куба	, пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же куба ; б ) один такой куб ? .
Если полоски разного цвета , то у получающегося	куба	противоположные грани одинакового цвета .
4 Условимся боковые грани куба обозначать буквой Б , верхнюю — В , нижнюю — Н. Расставьте на развертках	куба	буквы в соответствии с уже намеченными .
Изготовим сосуд в виде единичного	куба	и заполним его какой - нибудь жидкостью , например водой .
Придумайте еще несколько разверток	куба	и начертите их в тетради .
5 Третью полоску ( красную ) пропустите сзади	куба	в щель между белой и черной полосками , согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и черной полоской .
9 Какие многоугольники могут получиться при пересечении	куба	плоскостью ?
Существует другой способ плетения	куба	из таких же полосок .
Вырезанная фигура называется разверткой	куба	.
5 Дана развертка	куба	.
Дан один из способов плетения	куба	из трех полосок , разделенных на пять квадратов .
6 На развертке	куба	пронумерованы его грани .
Рассмотрите изображение куба , перечертите его в тетрадь и подпишите названия основных элементов	куба	.
7 На видимых гранях	куба	проставлены числа 1 , 2 , 3 .
27 Развертка какого	куба	дана .
43 Чему равны углы между отрезками , проведенными на гранях	куба	? .
Рассмотрите изображение	куба	, перечертите его в тетрадь и подпишите названия основных элементов куба .
3 Ребро	куба	увеличили в 3 раза .
3 Из фигур выберите те , которые являются развертками	куба	, и перенесите их в тетрадь .
Расставьте на развертках	куба	числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7 .
Сможет ли оса последовательно обойти все 12 ребер	куба	, не проходя дважды по одному ребру ?
9 Отрезок , соединяющий две противоположные вершины	куба	( наиболее удаленные друг от друга ) , называется диагональю куба .
Вы уже встречались с изображением невозможного	куба	.
При этом образуется выемка в форме такого же	куба	.
Через ребра АА1 и СС1 также можно провести плоскость — АА1С1С ( диагональное сечение	куба	) .
15 В решении этой задачи поможет развертка	куба	.
Ребра АА1 и ВВ1	куба	лежат в одной плоскости — в плоскости передней грани ; в этой же плоскости лежат и ребра А , В1 и АВ .
После каждого разреза разрешается перекладывать части	куба	как угодно .
Так как куб один , то полый куб , как в случае а ) , можно получить , если отметить на листе бумаги положение	куба	( обведя основание ) , а затем сдвинув его .
1 Какие - либо отрезки с концами в вершинах	куба	( не являющиеся его ребрами ) , такие , чтобы они были : а ) параллельными ; б ) перпендикулярными ; в ) скрещивающимися .
Обведите ребра	куба	, которые лежат ближе к вам , красным цветом , а дальние — синим .
7 Как провести плоскость , чтобы получить квадратное сечение	куба	? .
8 Какой формы получится сечение	куба	, если плоскость провести по диагонали , т .
Как измерить диагональ непустого куба , пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же	куба	; б ) один такой куб ? .
Найдите еще несколько пар скрещивающихся ребер	куба	ABCDA1B1C1D1 .
8 Пунктирными линиями обозначены невидимые ребра	куба	.
3 Ребра	куба	представляют собой пространственный граф .
Дано изображение	куба	, на поверхности которого указаны три точки .
Помните , в разделе 5 была дана задача об измерении диагонали	куба	?
Среди ребер	куба	можно указать пары параллельных и перпендикулярных ребер .
3 Развертками	куба	.
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его ребро разделили на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного	куба	.
Какая в этом случае получается тень от	куба	? .
Банка имеет форму	куба	.
4 Условимся боковые грани	куба	обозначать буквой Б , верхнюю — В , нижнюю — Н. Расставьте на развертках куба буквы в соответствии с уже намеченными .
7 Плоскость должна проходить параллельно грани	куба	.
Назовите еще две четверки параллельных между собой ребер	куба	.
9 Отрезок , соединяющий две противоположные вершины куба ( наиболее удаленные друг от друга ) , называется диагональю	куба	.
8 В сечении получается прямоугольник , две стороны которого равны ребрам	куба	, а две другие — диагоналям граней .
Первые части этих	кубов	.
Эти свойства справедливы не только для квадратов , треугольников ,	кубов	.
4 Показаны восемь	кубов	, разрезанных на две части .
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите систему координат с	кубом	, у которого ребро равно 1 .
Архитектура православных церквей включает в себя как обязательные элементы	купола	, арки , округлые своды , что зрительно увеличивает пространство , создает эффект полета , легкости .
В качестве единицы объема можно выбрать куб с ребром , равным соответствующей	линейной	единице .
Еще раз напомним , какие преобразования мы использовали для создания	линейных	орнаментов — бордюров .
Кроме рассмотренных	линейных	орнаментов ( бордюров ) существуют плоские орнаменты , заполняющие лист бумаги ( плоскость ) без промежутков .
Склеите	лист Мёбиуса	шириной 5 см .
Из этой ленты склеили	лист Мёбиуса	.
Разрежьте перекрученное на пол - оборота кольцо (	лист Мёбиуса	) вдоль .
Вырежьте из бумаги солдатика и отправьте его вдоль пунктира , идущего по середине	листа Мёбиуса	.
Оказывается , у перекрученного кольца ( впоследствии его назвали	листом Мёбиуса	) имеется только одна сторона !
Опыты , которые мы предлагаем вам провести с	листом Мёбиуса	и подобными ему кольцами , продемонстрируют много интересных и неожиданных свойств .
2 По поверхности стеклянного куба проходит	ломаная	линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на куб спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее проекции .
Определяя многоугольник , мы говорим , что эта фигура ограничена замкнутой	ломаной	линией , звенья которой не пересекают друг друга .
длина	ломаной	AMВ была бы наименьшей .
Построим отражение	ломаной	АВС .
Отрезок АА1 короче	ломаной	АВ0А1 .
Нарисуйте какую - нибудь	ломаную	для соседа по парте .
1 Увеличьте	ломаную	на рисунке 74 , а в 2 раза так , чтобы ее форма не изменилась .
Тонким карандашом нарисуйте куб , а на его поверхности проволоку , из которой сделаны эти	ломаные	( общий вид ) .
Вид спереди похож на букву Г , вид сверху — на Ч без половины вертикальной палочки , а вид слева — на стилизованную латинскую S. Рассмотрите	ломаные	и кривые линии и начертите в каждом случае три проекции ( вид спереди , сверху и слева ) .
10 Сколькими способами можно прочитать слово « шалаш » , двигаясь по прямым , кривым и	ломаным	дорожкам ? .
3 Обратное задание : даны проекции	ломаных	спереди , сверху и слева .
Луч ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой точки — начала луча ( похоже на	луч	фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
Начертите в тетради точку , прямую , отрезок ,	луч	и угол .
Биссектриса угла — это	луч	, выходящий из его вершины и делящий угол на два равных .
На плоскости указывается точка 0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой точки	луч	— полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Луч ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой точки — начала	луча	( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
Найдите три отрезка , три	луча	, три угла .
7 Проведите три	луча	из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите окружности разных радиусов в образовавшиеся углы .
12 На плоскости проведены три	луча	ОА , ОВ , ОС .
Точка О — начало	луча	.
Угол АОВ — это часть плоскости , ограниченная двумя	лучами	, выходящими из одной точки .
Точка О — общее начало	лучей	ОА и ОВ , точка О — вершина угла .
Сколько различных	лучей	вы можете назвать ? .
Так , если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из фокусов источник света , то	лучи	, отразившись от зеркала , соберутся в другом фокусе .
Этот мир полностью лежит на прямой ; жители его — отрезки ,	лучи	, точки .
Это очень сложный	многогранник	.
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » (	многогранник	с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
4 Изобразите	многогранник	, у которого пять вершин и пять граней .
Придумайте какой - нибудь	многогранник	, у которого также восемь вершин , но число граней не равно шести .
А теперь —	многогранник	, у которого пять вершин и шесть граней .
Лишь совсем недавно американский геометр Кеннеди сумел построить « хитрый »	многогранник	, который этим свойством не обладает , а может изменять свою форму так , что каждая его грань остается неизменной .
3 Пример	многогранника	, у которого восемь вершин и восемь граней , — пирамида , в основании которой лежит семиугольник .
В отличие от многоугольников , два	многогранника	, имеющие одинаковый объем , не всегда можно разделить на одинаковые части .
Подсчитаем число вершин ( В ) , ребер ( Р ) и граней ( Г ) у каждого	многогранника	и запишем результаты в табличку .
Например , поверхность каждого из них состоит из плоских многоугольников , которые называются гранями	многогранника	.
Оказывается , первый из них ( тетраэдр ) стоит немного особняком : если считать центры его граней вершинами нового	многогранника	, то вновь получим тетраэдр .
Два соседних плоских многоугольника имеют общую сторону — ребро	многогранника	.
Концы ребер являются вершинами	многогранника	.
Зато четыре оставшихся	многогранника	разбиваются на две пары .
Совершенство форм , красивые математические закономерности , присущие правильным	многогранникам	, явились причиной того , что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов .
Этим свойством « жесткости » обладают все известные вам	многогранники	.
8 Правильные	многогранники	.
Изображены правильные	многогранники	— тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .
В последней колонке для всех	многогранников	получился один и тот же результат : В + Г — Р равно 2 .
Самое удивительное в этой формуле , что она верна не только для правильных , но и для ВСЕХ	многогранников	! .
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс , увлекшись изготовлением моделей	многогранников	, написал в письме к отцу : « я сделал тетраэдр , додекаэдр и еще два эдра , для которых не знаю правильного названия » .
Ради интереса можете проверить это для нескольких наугад взятых	многогранников	.
Это модели правильных	многогранников	, сделанные из цветной бумаги .
Куб является представителем большого семейства	многогранников	.
С некоторыми из	многогранников	вы уже встречались .
Сколько таких	многогранников	вы можете придумать ? .
Есть еще один способ изготовления моделей	многогранников	, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги .
Для	многогранников	( объемных тел ) это не так .
У правильных	многогранников	есть еще одна особенность .
Слово «	многоугольник	» указывает на то , что у всех фигур из этого семейства много углов .
Каким наименьшим числом можно заменить « много » в слове «	многоугольник	» ? .
Определяя	многоугольник	, мы говорим , что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией , звенья которой не пересекают друг друга .
Разрежьте этот	многоугольник	.
Рассмотрим произвольный	многоугольник	с вершинами в узлах .
д. в зависимости от того , на какой .	многоугольник	опираются треугольники ( в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в основании пирамиды ) .
Многоугольник всегда можно перекроить в любой другой	многоугольник	с такой же площадью .
д. в зависимости от того , на какой . многоугольник опираются треугольники ( в геометрии говорят — какой	многоугольник	лежит в основании пирамиды ) .
Другими словами , флексагон — гнущийся	многоугольник	.
Оказывается , эта линия определяется совсем иначе , чем треугольник и вообще	многоугольник	.
Какое наименьшее число вершин может иметь этот	многоугольник	? .
А это , в свою очередь , означает , что понятие «	многоугольник	» должно быть определено раньше .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это многоугольник , у которого три стороны и три вершины » , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию «	многоугольник	» .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это	многоугольник	, у которого три стороны и три вершины » , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию « многоугольник » .
Присмотритесь к слову «	многоугольник	» и скажите , из каких частей оно состоит .
Равносторонний	многоугольник	, вписанный в окружность , называется правильным .
Подставьте в слове «	многоугольник	» вместо части « много » конкретное число , например 5 .
Можно ли выбрать узлы клетчатой бумаги так , что площадь получившегося	многоугольника	была равна ? .
Проверьте справедливость этой формулы для изображенного вами	многоугольника	.
Тогда площадь	многоугольника	равна числу .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного	многоугольника	сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Считаем число узлов внутри	многоугольника	( пусть это будет число а ) , а затем число узлов на границе , включая вершины ( обозначим это число b ) .
Оказывается , существует удобная формула , с помощью которой можно вычислить площадь любого такого	многоугольника	( эта формула названа именем немецкого математика Пика , открывшего ее ) .
2 Две прямые , пересекающиеся под углом 15 ° , являются осями симметрии некоторого	многоугольника	.
3 Если известно , сколько у	многоугольника	вершин , то сразу можно сказать , сколько у него сторон .
Два соседних плоских	многоугольника	имеют общую сторону — ребро многогранника .
Плоские равновеликие	многоугольники	также являются равносоставленными .
Чем отличаются	многоугольники	? .
Какие еще	многоугольники	можно составить ? .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные	многоугольники	, в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
9 Какие	многоугольники	могут получиться при пересечении куба плоскостью ?
В отличие от	многоугольников	, два многогранника , имеющие одинаковый объем , не всегда можно разделить на одинаковые части .
Например , поверхность каждого из них состоит из плоских	многоугольников	, которые называются гранями многогранника .
Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство	многоугольников	.
11 Из семи	многоугольников	, входящих в танграм , сложите фигуры .
Самым простым	многоугольником	является треугольник .
Например , у фигуры много углов , но она не является	многоугольником	.
Среди	множества	различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников .
На каждом шагу	множество	неожиданных переходов , причудливых лестниц и коридоров .
В жизни человеку приходится измерять	множество	других различных величин : время , массу , скорость , громкость звука , силу света и многое другое .
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем	множество	параллельных между собой прямых , прямые тип параллельны .
Занимательных задач на разрезание квадрата —	множество	.
В ней великое	множество	нерешенных задач .
Оказывается , в каждый	момент	времени в этом поезде , более того , в каждом вагоне есть точки , движущиеся в обратном направлении .
д. Теперь каждому	моменту	времени соответствует точка на этой прямой .
Продолжая покрывать фигуру квадратными миллиметрами , мы	найдем	ее площадь с избытком .
Проделав эту операцию дважды ,	найдем	центр круга .
Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее	найденной	величине , мы вычислим площадь фигуры с недостатком , но уже точнее .
Решение ( т . е . маршрут , ведущий к цели ) каждого лабиринта может быть	найдено	одним из трех сравнительно простых методов .
Любой первоклассник без труда	найдет	слова , объясняющие , что такое треугольник .
Внимательно посмотрите на них и	найдете	некоторые закономерности .
Сколько разных объяснений вы	найдете	для каждой из них ? . .
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным угольником ,	найдите	пары параллельных и перпендикулярных прямых .
Для каждой из частей 1—8	найдите	ее пару среди А—3 .
С помощью чертежного угольника	найдите	ее центр .
Гуляя по улицам ,	найдите	различные бордюры на зданиях , в переходах , в метро и т .
14 Разделите фигуры на прямоугольники ,	найдите	по формуле площади этих прямоугольников и результаты сложите .
Перегибанием бумаги	найдите	его центр .
Каждый может	найти	для себя задачу и интересную , и посильную .
Она дала Тесею волшебный клубок , который помог ему	найти	выход из лабиринта .
Вход в пещеру был тщательно замаскирован , и	найти	его мог только старый пират Бен Ган .
Как	найти	площадь этого треугольника , если это . а ) прямоугольный треугольник , две стороны которого проходят по сторонам клеток .
Пожалуй , трудно	найти	человека , которому бы не был знаком куб .
Но если внимательно рассмотреть , то можно	найти	еще три отрезка : AM , КВ и АВ .
Как поступить , чтобы	найти	площадь фигуры точнее ?
Нетрудно	найти	площадь фигуры , составленной из квадратных метров или квадратных сантиметров или из тех и других .
Попробуйте и вы	найти	несколько решений этой проблемы .
Попробуйте	найти	этот второй способ плетения куба самостоятельно .
Вы без труда можете	найти	вокруг себя различные примеры , иллюстрирующие прямые с заданными на них координатами .
А это	необходимо	знать человеку .
Так , например , если	необходимо	забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей площади , то следует выбрать этот участок в виде квадрата .
Эти умения , которые вместе можно назвать « геометрическим зрением » ,	необходимо	постоянно тренировать и развивать .
Пусть	необходимо	передать следующее сообщение : « Наступление планируется 16 сентября пять утра .
Хорошее воображение — это качество ,	необходимое	в равной мере и математику , и поэту .
Все	необходимое	для выполнения этих заданий .
Сделайте	необходимые	вычисления и впишите в окружность равносторонние ( правильные ) пятиугольник , шестиугольник и восьмиугольник .
Ответ	неоднозначен	.
Рисунок относится к	неоднозначным	фигурам .
Как измерить диагональ	непустого	куба , пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же куба ; б ) один такой куб ? .
Часть суши в нижней части карты , соответствующая Антарктиде ,	несоизмеримо	велика .
6 Нарисуйте соответствующий граф и движение начните из	нечетного	узла .
К западному острову ведут пять мостов , а 5 , как и 3 , — число	нечетное	.
Например . I ) Число изгибов	нечетное	, причем если на каком - то шаге их было К , то на следующем будет 2К + 1 ; сначала 2×1 + 1 равно 3 изгиба , затем 2×3 + 1 равно 1 , потом 2×7 + 1 равно 15 и т .
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется четное число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется	нечетное	число линий ) .
Таким образом , четные и	нечетные	слои вырезаются отдельно .
Она содержит девять узлов , пять из которых четные , а четыре —	нечетные	.
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется четное число линий ) , а два	нечетные	( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
Постарайтесь провести линию так , чтобы число точек пересечения линий разного цвета было бы	нечетным	.
Если в фигуре ( на графе ) число	нечетных	узлов больше двух , то ее нельзя нарисовать одним росчерком ! .
7 Докажите , что число	нечетных	узлов графа всегда четно .
Отсюда следует , что число	нечетных	вершин всегда четно .
Подсчитайте в нем количество	нечетных	узлов , и вы сможете ответить на вопрос .
Если сначала	нижняя грань	была оранжевой , то какой она будет после возвращения ?
Задняя грань — белая ;	нижняя грань	.
Такой единицей был дюйм , а также связанные с	ним	линия и точка .
Но и на южный , и на северный берег также ведут по три моста , и к	ним	применимо то же рассуждение .
Вернемся к	ним	, а для этого , как ни странно , попробуйте вспомнить и написать день рождения своей мамы .
Параллелограмм — это красивое и звучное слово , напоминающее нам о единицах веса , на самом деле никакого отношения к	ним	не имеет .
Оставшуюся часть арбуза можно разрезать на «	нормальные	» куски .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к	нулю	у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Добавьте еще только одну спичку так , чтобы концы спичек	образовали	квадрат .
Какую линию	образует	разрез , если развернуть одну из частей трубочки ?
Какой угол	образует	биссектриса этого угла с его сторонами ?
Как вы думаете , какие углы	образует	диагональ со сторонами квадрата ?
Меридианы и параллели	образуют	на поверхности земного шара координатную сетку .
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую вершину ,	образуют	правильный шестиугольник .
Говорят , что его стороны	образуют	золотое сечение .
Центры граней куба	образуют	октаэдр , а центры граней октаэдра — куб .
8 Через некоторую точку плоскости проведены три прямые ,	образующие	между собой углы по 60 ° .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички ,	образующие	первую фигуру так , чтобы получилась вторая фигура , затем третья .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе ,	образуя	треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей точке пространства .
Берем имеющийся код , приписываем к нему букву Н ( под ней удобно поставить точку ) , затем выписываем в	обратном	порядке буквы , предшествующие этому Н , заменяя Н на В и наоборот ( посмотрите на коды , соответствующие четвертому и пятому сгибам ) .
Оказывается , в каждый момент времени в этом поезде , более того , в каждом вагоне есть точки , движущиеся в	обратном	направлении .
Так вот , самая нижняя часть колеса , находящаяся ниже его опорной точки , движется в направлении ,	обратном	движению всего колеса .
Удастся ли муравью попасть на	обратную	, изнаночную сторону кольца , не переползая через край ?
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится	объемное	геометрическое тело — пирамида .
С давних пор люди пытались	объемные	тела изобразить на плоскости так , чтобы их сразу можно было отличить от плоских , чтобы чувствовалась глубина пространства .
Пунктирная линия делает этот рисунок	объемным	и позволяет отличать изображение пирамиды от четырехугольника с диагоналями .
Для многогранников (	объемных	тел ) это не так .
Мы говорим : « Этот дом длиной в три подъезда , шириной в два	окна	, высотой в шесть этажей » .
Вершина С — точка пересечения двух	окружностей	с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Торжественность и устремленность ввысь — такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок , представляющих дуги	окружностей	.
В градусах измеряют углы и дуги	окружностей	.
Вторая точка пересечения этих	окружностей	( точка А1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре .
Две другие фигуры составлены из различных	окружностей	.
Все пять точек ( Р , М , А , В , С ) лежат на одной	окружности	с диаметром РМ .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют	окружности	, параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Проведем в	окружности	три радиуса так , чтобы углы между ними были равны 120 ° .
Представим , что радиус	окружности	— это часовая стрелка на круглом циферблате часов .
Известный математик Гротендик , вспоминая свои школьные годы , заметил , что увлекся математикой после того , когда узнал определение	окружности	.
Но вернемся к	окружности	.
Вообще , вписанным в окружность называется любой треугольник , все вершины которого лежат на этой	окружности	.
Проследите за тем , какую линию опишет отмеченная точка , когда кружок покатится по	окружности	выреза без скольжения .
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите	окружности	разных радиусов в образовавшиеся углы .
Дуги	окружности	также измеряются в градусах .
Рассмотрим на	окружности	две дуги , лежащие между этими прямыми .
Деление	окружности	на части .
Известно , что для изображения	окружности	служит циркуль .
При вычерчивании	окружности	на клетчатой бумаге стоит запомнить одно правило , позволяющее сделать нужное изображение от руки .
Правда , речь идет об изображении	окружности	определенного размера .
50 б ) возьмем центр	окружности	, проходящей через вершины треугольника , и соединим его с вершинами .
Основное свойство	окружности	дает ответ на вопросы , почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми , а не квадратными или , например , треугольными .
Скольким клеткам равен радиус такой	окружности	? .
Соединив плавной линией полученные точки , мы весьма похоже изобразим четверть	окружности	.
Совершенство	окружности	— в расположении всех ее точек на одинаковом расстоянии от центра .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой центром	окружности	.
Как связаны между собой радиус и диаметр одной	окружности	? .
Сколько можно провести в	окружности	радиусов и диаметров ?
Это диаметр	окружности	( в переводе с греческого — « поперечник » ) .
Значит , угол АВС равен углу АPC , так как эти углы опираются на одну дугу	окружности	, т .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на	окружности	, то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Отрезок АВ соединяет две точки	окружности	и проходит через ее центр .
Особую воздушность придают воротам	окружности	, сплетенные в орнамент .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр	окружности	с точкой на окружности .
В создании орнаментов с окружностями часто используются приемы деления	окружности	на равные части .
Если мы соединим центр	окружности	( точку О ) с точками деления , то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на	окружности	.
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на	окружности	маленького круга точку .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на	окружности	, а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
Проследите за траекторией , которую опишет при этом точка А , взятая на	окружности	этого круга Начертите получившуюся кривую .
Это центр	окружности	, так как через нее проходят оба диаметра .
Изображена линия , состоящая из отрезков прямых и дуг	окружности	.
2 Возьмем одну из точек пересечения	окружности	с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой	окружности	с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Прямая , перпендикулярная радиусу	окружности	и проходящая через конец этого радиуса , касается окружности .
Прямая , перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса , касается	окружности	.
Значит , М лежит на	окружности	с центром О и радиусом .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти	окружности	пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Свойства : длина окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его	окружности	в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Для построения перпендикуляра достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные	окружности	с центрами на прямой l.
Конус можно пересечь плоскостью по	окружности	.
33 Одно важное свойство	окружности	.
Вокруг вас живут треугольники ,	окружности	, квадраты , отрезки и другие плоские фигуры .
Проводя прямые , соединяющие всевозможные точки	окружности	с вершиной , получим коническую поверхность .
Свойства : длина	окружности	кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Кстати , именно это свойство симметрии	окружности	мы использовали в разделе 20 при построении параллельных и перпендикулярных прямых .
Многие свойства	окружности	следуют из того , что она симметрична относительно любого своего диаметра .
Попробуйте объяснить ( доказать ) следующие два свойства	окружности	.
Пусть одна касается	окружности	в точке В , а другая — в точке С. Имеет место равенство АВ равно АС .
Из этой точки к	окружности	можно провести две касательные .
Поэтому точки , которых он может достичь за час , расположены на	окружности	с радиусом 4 км и центром в том месте , где Вася находится в начале пути .
Она пересечет построенную окружность в точках В и С. Передвиньте центр построенной	окружности	на АВ или АС .
Циркулем проведем дугу	окружности	радиусом АВ с центром в точке А .
Так можно измерять длину	окружности	, обхват дерева и др .
Общую вершину треугольников будем считать центром	окружности	с радиусом , равным стороне треугольника .
Циркуль позволяет . — строить	окружности	. — сравнивать отрезки по величине .
Более того , если точка О ( центр	окружности	) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
Возьмем окружность и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на	окружности	по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
Точки В и С	окружности	симметричны .
Сформулируйте рекомендации для изображения	окружности	от руки по клеточкам , используя слова : вправо , влево , вверх , вниз .
Может быть , желоб следует выгнуть по дуге	окружности	, как думал великий итальянский физик , астроном и математик Галилео Галилей , живший на рубеже XVI – XVII вв . ?
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к	окружности	.
По существу , мы доказали одно очень важное свойство	окружности	и касательной к ней .
Теперь понятно , почему при перемещении точки М по дуге	окружности	угол AM В остается постоянным ? .
Остальные вершины треугольников окажутся на	окружности	.
6 На	окружности	радиусом 1 взяты три точки А , В , С так , чтобы угол АСВ был равен 30 ° .
Правильный шестиугольник вписан в окружность , и все стороны равны радиусу этой	окружности	.
В этой	окружности	углы НА1В1 и НСВ1 опираются на одну дугу .
Равносторонний многоугольник , вписанный в	окружность	, называется правильным .
Посоревнуйтесь с друзьями , кто из вас лучше изобразит	окружность	без циркуля .
Рассказывают , что великий немецкий художник Альбрехт Дюрер одним движением руки мог столь точно нарисовать	окружность	, что последующая проверка при помощи циркуля не показывала никаких отклонений .
Сделайте необходимые вычисления и впишите в	окружность	равносторонние ( правильные ) пятиугольник , шестиугольник и восьмиугольник .
Конечно , опытные , тренированные люди весьма ловко одним росчерком изображают	окружность	.
Не правда ли , получается какой - то овал , лишь отдаленно напоминающий	окружность	?
7 Как мы знаем ,	окружность	с диаметром СН проходит через А1 и В1 .
4 Ученик нарисовал на доске	окружность	, отметил на ней точки А , В и С и стер ее , оставив лишь эти точки .
Гораздо труднее нарисовать	окружность	от руки .
3 Возьмем	окружность	и точку А вне ее .
Как восстановить	окружность	? .
Как нарисовать	окружность	? .
Как построить	окружность	, касающуюся данных прямых и проходящую через данную точку ? .
Соединив последовательно точки деления отрезками , получим треугольник , вписанный в	окружность	.
Вписать в	окружность	равносторонний треугольник .
Зная это , можно вписывать в	окружность	правильные шестиугольники и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Если мы теперь начертим	окружность	с центром в точке А , проходящую через точку В ( т . е .
Возьмем	окружность	и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на окружности по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
Для этого достаточно циркулем , не меняя раствора , разделить	окружность	на равные части , а затем точки деления соединить последовательно или через одну .
Правильный шестиугольник вписан в	окружность	, и все стороны равны радиусу этой окружности .
Вписанный в	окружность	угол , опирающийся на диаметр , равен 90 ° .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и	окружность	пересекаются не более чем в двух точках .
2 Строим	окружность	с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
2 Две параллельные прямые пересекают	окружность	.
Если мы построим на АВ как на диаметре	окружность	и возьмем на ней любую точку М , то угол AMВ будет прямым .
2 Так как	окружность	симметрична относительно любого своего диаметра , то она симметрична и относительно диаметра MN , перпендикулярного прямым АА1 и ВВ1 , точка А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
Эти радиусы разделят	окружность	на три равные части — дуги по 120 ° .
Так вот , оказывается , что точка М будет описывать	окружность	, у которой АВ является диаметром .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что	окружность	касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
Вообще , вписанным в	окружность	называется любой треугольник , все вершины которого лежат на этой окружности .
Возьмем	окружность	и точку над ее центром .
На ней лежит диаметр , относительно которого	окружность	симметрична .
АВ — радиус ) , то эта	окружность	будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
6 Начертите циркулем	окружность	радиусом 13 клеточек с центром в узле клетки .
1 Проведем через точку А любую	окружность	, пересекающую прямую l .
51 Постройте любую	окружность	, касающуюся прямых , проведите через точку А прямую , параллельную данным .
Что же такое	окружность	? .
Но никак не мог понять , что такое	окружность	.
Она пересечет построенную	окружность	в точках В и С. Передвиньте центр построенной окружности на АВ или АС .
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные фигуры : квадрат , треугольник ,	окружность	и т .
40 На плоскости нарисована	окружность	.
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем	окружность	радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
Но все же не стоит противопоставлять друг другу угол и овал , треугольник и	окружность	.
Кстати , помните ли вы правило , позволяющее изображать от руки	окружность	на клетчатой бумаге ? .
Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные : треугольник и	окружность	.
Изображена	окружность	, отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
Возьмем произвольную	окружность	с центром О. Разделим ее на 360 равных частей — дуг .
Площадь , ограниченная	окружностью	( т . е .
Много интересных задач связано с	окружностью	и кругом .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с	окружностью	, проходит через ее центр .
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) —	октаэдр	.
Центры граней куба образуют	октаэдр	, а центры граней октаэдра — куб .
Изображены правильные многогранники — тетраэдр , куб ,	октаэдр	, додекаэдр и икосаэдр .
Центры граней куба образуют октаэдр , а центры граней	октаэдра	— куб .
Знакомство с другими , например	октаэдром	, додекаэдром , ожидает вас впереди .
Проделаем с этой ячейкой - квадратом следующие	операции	.
Если вначале вилка была вынута ( света нет ) , то после трех таких	операций	вилка окажется в розетке и свет будет включен . )
Проделав эту	операцию	дважды , найдем центр круга .
В 3 ч угол между радиусом и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч радиус возвратится в исходное положение ,	описав	угол 360 ° .
13 Сделайте картинку , иллюстрирующую ситуацию ,	описанную	в рассказе , и ответьте на вопрос , чему равна высота дерева .
Ваша задача —	описать	фигуру так , чтобы ваш приятель смог ее нарисовать .
Представим , что перед нами стоит дом и мы хотим	описать	его , т .
Выигрывает тот , кто подробнее и без ошибок смог	описать	расположение предметов .
7 Нужно	описать	около треугольника прямоугольник , т .
А теперь попробуйте	описать	фигуру .
Как	описать	эту фигуру человеку , который ее не видит ?
Если мы	опишем	около фасада Парфенона прямоугольник , то окажется , что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза .
Проследите за тем , какую линию	опишет	отмеченная точка , когда кружок покатится по окружности выреза без скольжения .
Проследите за траекторией , которую	опишет	при этом точка А , взятая на окружности этого круга Начертите получившуюся кривую .
Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному и понаблюдайте , какую линию	опишет	точка А. Начертите эту линию .
1 Составьте конструкцию из трех - четырех букв Т и , не показывая ее соседу по парте , словесно	опишите	.
Нанесите на карту различные объекты ( колодец , наблюдательную вышку , склад , пальмовую рощу и т . д. ) ,	опишите	их положение с помощью координат и сообщите эти координаты соседу по парте .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем ,	основание	этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
Продолжим	основание	до пересечения с дугой .
Так как куб один , то полый куб , как в случае а ) , можно получить , если отметить на листе бумаги положение куба ( обведя	основание	) , а затем сдвинув его .
3 Если взять один треугольник с большим	основанием	, а другой — с очень маленьким , то можно .
Этот гениальный ученый , родившийся в Швейцарии , почти всю жизнь прожил в России , и мы с полным	основанием	и гордостью можем считать его своим соотечественником .
одна сторона угла совпала с	основанием	транспортира , соответствующим 0 ° .
3 Пример многогранника , у которого восемь вершин и восемь граней , — пирамида , в	основании	которой лежит семиугольник .
д. в зависимости от того , на какой . многоугольник опираются треугольники ( в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в	основании	пирамиды ) .
Если сторона угла совпадает с правой половиной	основания	транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
А , В , С —	основания	перпендикуляров , опущенных из М на данные прямые .
а ) вершина угла совпала с черточкой — серединой	основания	транспортира .
Берем единицу длины , например метр , и откладываем его на нашем отрезке до тех пор , пока	остаток	не станет меньше него .
а ) равнобедренный	остроугольный треугольник	. б ) равнобедренный прямоугольный треугольник .
Все углы острые —	остроугольный треугольник	.
Все углы	острые	— остроугольный треугольник .
5 На плоскости дан	острый	угол и точка А внутри него .
5 На плоскости дан	острый угол	и точка А внутри него .
Берем единицу длины , например метр , и	откладываем	его на нашем отрезке до тех пор , пока остаток не станет меньше него .
Теперь разделим нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем	откладывать	часть единицы .
—	откладывать	на прямой отрезки заданной длины .
2 На сторонах угла	отложим	отрезки АВ равно 5 см и АС равно 3 см ( используем линейку с делениями ) .
Рисунок	относится	к неоднозначным фигурам .
Золотое сечение — это такое деление целого на две неравные части , при котором большая часть	относится	к целому , как меньшая к большей .
К топологическим	относятся	и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком .
Мы начнем с нескольких задач , внешне очень различных , но все они так или иначе	относятся	к геометрии .
Оно называется	отношением	отрезков .
Интересно , что в правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру , делит другую в	отношении	золотого сечения .
3 В каком	отношении	диагонали делятся точкой пересечения ? .
Изображена раковина : точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом	отношении	.
По	отношению	к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
Параллелограмм — это красивое и звучное слово , напоминающее нам о единицах веса , на самом деле никакого	отношения	к ним не имеет .
« Полное совершенство во всех	отношениях	» , — прочитала она , и самодовольная улыбка заиграла на ее лице .. »
В 1899 г. швейцарский историк Генрих Зютер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись « Книга Архимеда о разбиении фигуры стомахиона на 14 частей , находящихся в рациональных	отношениях	» .
Течение времени удобно	отображать	на прямой .
Измерим длину	отрезка	прямой линии в заданных единицах ( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Лена , вырезав квадрат , сравнила все четыре	отрезка	, на которые диагонали разделили одна другую .
Найдем , во сколько раз отрезок АВ больше	отрезка	АlВl и , увеличив единичный отрезок во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
Не существует плоскости , которая бы проходила через оба эти	отрезка	( а также через прямые АА1 и D1C1 ) .
Найдите три	отрезка	, три луча , три угла .
Но если внимательно рассмотреть , то можно найти еще три	отрезка	: AM , КВ и АВ .
Нетрудно понять , что три данных	отрезка	могут служить сторонами треугольника , если сумма длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
4 Точки В и С симметричны относительно диаметра , проходящего через середину	отрезка	ВС и перпендикулярного ему .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина	отрезка	FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Теперь разделим нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого	отрезка	будем откладывать часть единицы .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на прямой l , то длина	отрезка	АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
2 Продолжаем их « за зеркало » на такое же расстояние ( равное длине соответствующего	отрезка	) .
Если мы теперь вернемся к задаче построения треугольника по трем сторонам , то исходными данными для построения будут являться три данных	отрезка	.
И здесь вновь возникает вопрос : любые ли три	отрезка	могут быть сторонами треугольника ?
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два	отрезка	: ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
Найдите длину	отрезка	АВ .
Точки А и В — концы	отрезка	АВ .
Постройте фигуру , получающуюся при отражении заданного	отрезка	в зеркалах .
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив перпендикулярные прямые через середины к	отрезкам	АВ и ВС , мы получим точку их пересечения .
43 Чему равны углы между	отрезками	, проведенными на гранях куба ? .
2 Надо соединить	отрезками	середины сторон треугольника .
Понятно , что на практике мы имеем дело не с прямыми , а лишь с их частями —	отрезками	, лежащими на этих прямых .
Можно ли построить треугольник , стороны которого являются	отрезками	длиной : а ) 7 см , 4 см , 2 см ; б ) 9 см , 5 см , 4 см ? .
Соединив последовательно точки деления	отрезками	, получим треугольник , вписанный в окружность .
Изображен четырехугольник , противоположные вершины которого соединены	отрезками	.
4 На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник	отрезками	, соединяющими какую - либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника ?
Если их соединить	отрезками	, то получится треугольник » .
Берем единицу длины , например метр , и откладываем его на нашем	отрезке	до тех пор , пока остаток не станет меньше него .
1 На	отрезке	АВ взяты точки K и М. Сколько получили разных отрезков ?
Тогда точка В будет лежать на	отрезке	AA1 , АВ равно ВА1 ( свойство 2 ) и AB0 равно B0A1 ( свойство 4 ) .
Значит , и	отрезки	АВ и АС симметричны , а следовательно , равны .
1 Какие - либо	отрезки	с концами в вершинах куба ( не являющиеся его ребрами ) , такие , чтобы они были : а ) параллельными ; б ) перпендикулярными ; в ) скрещивающимися .
2 На сторонах угла отложим	отрезки	АВ равно 5 см и АС равно 3 см ( используем линейку с делениями ) .
Такие	отрезки	и прямые называются скрещивающимися .
В начальных классах вы научились измерять	отрезки	.
Математики же в своих рассуждениях исходят из того , что	отрезки	( и другие величины ) имеют точную длину ( точное значение ) , .
— откладывать на прямой	отрезки	заданной длины .
Циркуль позволяет . — строить окружности . — сравнивать	отрезки	по величине .
Этот мир полностью лежит на прямой ; жители его —	отрезки	, лучи , точки .
4 Если точка А1 симметрична точке А относительно прямой l , то для любой точки В на этой прямой	отрезки	А1В и АВ равны .
Вокруг вас живут треугольники , окружности , квадраты ,	отрезки	и другие плоские фигуры .
45 Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из отрезков длиной 1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все целочисленные	отрезки	от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
7 В треугольнике АВС	отрезки	AA1 , и ВВ1 перпендикулярны сторонам ВС и АС .
— проводить прямые линии . — измерять	отрезки	. — строить отрезки заданной длины .
Единичные	отрезки	на каждой оси выбираются равными по длине .
Эти	отрезки	называются диагоналями .
— проводить прямые линии . — измерять отрезки . — строить	отрезки	заданной длины .
4 Начертите фигуры одним росчерком ( пронумеруйте	отрезки	в той последовательности , в какой вы их проходили ) .
3 Если	отрезки	M1N1 и MN симметричны относительно прямой l , то их длины равны .
Отношение длин двух	отрезков	есть число , которое не зависит от единицы измерения .
45 Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из	отрезков	длиной 1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все целочисленные отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
Оно называется отношением	отрезков	.
Но мы ее решение сводим к измерению	отрезков	.
1 10	отрезков	.
Изображена линия , состоящая из	отрезков	прямых и дуг окружности .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде	отрезков	, а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Придумайте линейку длиной 9 см с тремя метками для измерения целочисленных	отрезков	от 1 см до 9 см. Придумайте линейку длиной 13 см с четырьмя метками внутри , отличную от уже рассмотренной .
д. , а шестую вновь с первой , то каждый из шести	отрезков	ровно один раз пересекается с каким - либо другим отрезком .
Задача измерения длин кривых линий , конечно , труднее практически и сложнее теоретически , чем измерение	отрезков	прямых .
Сколько	отрезков	изображено ? .
1 На отрезке АВ взяты точки K и М. Сколько получили разных	отрезков	?
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника , если сумма длин двух меньших	отрезков	больше длины наибольшего из них .
и соединим их	отрезком	.
Мы бы просто соединили их	отрезком	и на пересечении с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
д. , а шестую вновь с первой , то каждый из шести отрезков ровно один раз пересекается с каким - либо другим	отрезком	.
Разбиваем измеряемую кривую на небольшие участки , каждый из которых можно считать	отрезком	.
3 Три раза нужно выполнить построение перпендикуляра к	отрезку	.
а ) перпендикуляр к	отрезку	, соединившему два любых узла клетчатой бумаги .
б ) перпендикуляр к	отрезку	, проведенный через его конец .
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то	отрезок	АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
Для этого на ней надо выбрать точку 0 , направление возрастания времени и масштаб —	отрезок	, соответствующий единице времени ; это может быть час , неделя , 1000 дней и т .
Возьмем точку В так , чтобы	отрезок	АВ был перпендикулярен l. Пусть В0 — любая другая точка на l. Нам надо доказать , что АВ меньше АВ0 .
1 Возьмем на плоскости какой - нибудь	отрезок	АВ .
Это , например , квадрат ,	отрезок	, круг .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если	отрезок	АВ перпендикулярен l .
Получим точку М. Из этой точки М	отрезок	АВ виден под прямым углом .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем	отрезок	АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
Изображена раковина : точка С делит	отрезок	АВ приблизительно в золотом отношении .
Это свойство поможет нам разделить	отрезок	пополам .
Наложим кальку на карту так , чтобы точки А и Аl совпали и	отрезок	АlВl « пошел » по АВ .
Найдем , во сколько раз	отрезок	АВ больше отрезка АlВl и , увеличив единичный отрезок во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
Найдем , во сколько раз отрезок АВ больше отрезка АlВl и , увеличив единичный	отрезок	во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
3 Постройте квадрат со стороной А В , где А и В — узлы клетчатой бумаги и	отрезок	А В не проходит по сторонам клеток .
чертим прямоугольник так , чтобы данный	отрезок	АВ был его диагональю .
2 Достройте	отрезок	до прямоугольного треугольника и затем поверните его .
Начертите в тетради точку , прямую ,	отрезок	, луч и угол .
3 Проведем	отрезок	СВ ( при помощи линейки ) .
Если	отрезок	разделен на две части так , что меньшая имеет длину х , а большая — длину у , то в случае золотого сечения .
Измеряем каждый	отрезок	и складываем результаты измерений .
Выкладываем нитку или веревку по форме измеряемой кривой , а затем вытягиваем ее в	отрезок	и измеряем .
На карте также проведем	отрезок	АВ .
Появятся две ветви ,	парабола	перейдет в гиперболу ( плоскость 3 ) .
Все только что рассмотренные линии ( эллипс , гипербола и	парабола	) объединяются общим свойством .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется	параболой	.
Например , камень , брошенный человеком под углом к поверхности Земли , описывает	параболу	.
В конце концов эллипс превратится в	параболу	.
28 Определите , из каких разверток можно сложить	параллелепипед	.
Вернее , прямоугольный	параллелепипед	.
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г )	параллелепипед	; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
Если мы не знаем , как расположен	параллелепипед	, то говорить о длине , ширине и высоте было бы не совсем верно .
Это	параллелепипед	.
Это пирамида , прямоугольный	параллелепипед	.
Правда , когда мы говорим « длина , ширина и высота » , то имеем в виду измерения	параллелепипеда	, расположенного конкретным образом на земле ( или на столе ) .
Многие предметы имеют форму	параллелепипеда	.
Простейшие из них — формулы для вычисления площади прямоугольника и объема прямоугольного	параллелепипеда	.
Как известно , у	параллелепипеда	восемь вершин и шесть граней .
Если a , b и c — длина , высота и ширина прямоугольного	параллелепипеда	, то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Горизонтальные линии — это	параллели	.
Это	параллели	и меридианы .
Меридианы и	параллели	образуют на поверхности земного шара координатную сетку .
Значит , квадрат — это	параллелограмм	с прямыми углами , все стороны которого равны .
11 Разрежьте правильную шестиконечную звезду на четыре части так , чтобы из них можно было составить	параллелограмм	.
Прямоугольник — это	параллелограмм	, у которого все углы прямые .
Ромб — это	параллелограмм	, у которого все стороны равны .
а ) один большой треугольник , два маленьких треугольника и	параллелограмм	.
1 Два равных треугольника , положенных рядом определенным образом , составляют	параллелограмм	.
10 Иллюстрация доказательства того , что площадь	параллелограмма	равна площади некоторого прямоугольника .
3 У квадрата , как и у	параллелограмма	, стороны попарно параллельны .
А	параллелограммами	можно замостить плоскость .
Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку параллелограммов мы видим , что орнамент получен параллельными переносами	параллелограммов	, внутри которых проведены некоторые линии .
Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку	параллелограммов	мы видим , что орнамент получен параллельными переносами параллелограммов , внутри которых проведены некоторые линии .
Такой четырехугольник называется	параллелограммом	.
Следовательно , прямоугольник является	параллелограммом	.
А действительно ли прямоугольник является	параллелограммом	?
Этот факт записывается так : m ‖ n. ( Читаем : m	параллельна	n. ) Выбор именно такого знака достаточно понятен , не так ли ? .
Полоски с именами расположите	параллельно	поверхности зеркала .
Пусть два зеркала поставлены	параллельно	друг другу отражающими поверхностями внутрь .
7 Плоскость должна проходить	параллельно	грани куба .
4 Через точку А проведите прямую ,	параллельную	прямой CD .
48 Через каждую из трех точек надо провести прямую ,	параллельную	прямой , проходящей через две другие точки .
51 Постройте любую окружность , касающуюся прямых , проведите через точку А прямую ,	параллельную	данным .
Оно говорит о том , что два перпендикуляра к одной прямой , расположенные в одной плоскости ,	параллельны	между собой .
3 У квадрата , как и у параллелограмма , стороны попарно	параллельны	.
Три четверки его ребер	параллельны	между собой .
На сколько частей разбивают плоскость прямые , из которых никакие две не	параллельны	и никакие три не проходят через одну точку , если прямых : а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем множество параллельных между собой прямых , прямые тип	параллельны	.
37 Три прямые разбивают плоскость на семь частей ( прямые не	параллельны	и не проходят через одну точку ) .
Его стороны попарно	параллельны	: АВ ‖ CD , ВС ‖ AD .
Значит , и ВС ‖ A D. Получилось , что у прямоугольника стороны попарно	параллельны	.
Покажите в нем	параллельные	и перпендикулярные стороны .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности ,	параллельные	экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
С помощью циркуля и линейки также можно строить	параллельные	и перпендикулярные прямые .
51 Даны две	параллельные	прямые и точка А между ними .
53 Через точку на диагонали прямоугольника провели прямые ,	параллельные	его сторонам .
Лучше изучить	параллельные	и перпендикулярные прямые и параллелограммы нам помогут опыты с листом бумаги .
Мы все время говорили : «	параллельные	прямые » , « перпендикулярные прямые » .
Используя линейку и чертежный угольник , можно без труда вычерчивать	параллельные	прямые .
2 Две	параллельные	прямые пересекают окружность .
4 Изображены две	параллельные	прямые , пересекаемые третьей прямой .
Симметрия относительно горизонтальной оси +	параллельный	перенос .
	Параллельный	перенос . 2 ) зеркальная симметрия : а ) с вертикальной осью б ) с горизонтальной осью .
Передвинем трафарет вправо на расстояние , равное ширине трафарета ( такое преобразование называется	параллельным	переносом ) .
Две прямые на плоскости называются	параллельными	, если они не пересекаются .
Отрезки , лежащие на параллельных прямых , также называются	параллельными	, а на перпендикулярных — перпендикулярными .
Расчертив рисунок	параллельными	прямыми и получив таким образом сетку параллелограммов мы видим , что орнамент получен параллельными переносами параллелограммов , внутри которых проведены некоторые линии .
1 Какие - либо отрезки с концами в вершинах куба ( не являющиеся его ребрами ) , такие , чтобы они были : а )	параллельными	; б ) перпендикулярными ; в ) скрещивающимися .
Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку параллелограммов мы видим , что орнамент получен	параллельными	переносами параллелограммов , внутри которых проведены некоторые линии .
Проведение	параллельных	прямых .
Отрезки , лежащие на	параллельных	прямых , также называются параллельными , а на перпендикулярных — перпендикулярными .
Проведем две пары	параллельных	прямых .
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара	параллельных	сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Назовите еще две четверки	параллельных	между собой ребер куба .
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем множество	параллельных	между собой прямых , прямые тип параллельны .
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным угольником , найдите пары	параллельных	и перпендикулярных прямых .
Перегибанием листа бумаги получите пару	параллельных	и пару перпендикулярных прямых .
Теория	параллельных	занимает одно из центральных мест в науке « геометрия » .
Именно свойства	параллельных	прямых определяют основные свойства изучаемого нами пространства .
1 Засеките время и постарайтесь за 10 мин привести как можно больше примеров	параллельных	и перпендикулярных прямых , встречающихся в окружающем нас мире .
Кстати , именно это свойство симметрии окружности мы использовали в разделе 20 при построении	параллельных	и перпендикулярных прямых .
Среди ребер куба можно указать пары	параллельных	и перпендикулярных ребер .
Основная идея — постараться каким - то образом изготовить уменьшенную копию той фигуры ,	параметры	которой надо измерить .
Из каких еще фигурок пентамино можно составить	паркет	?
Фигурки пентамино , похожие на Т , уложены на плоскости без промежутков ( говорят , что из них составлен	паркет	) .
Этот	паркет	составлен вашим сверстником — шестиклассником Борей Сторонкиным .
Придумайте и вы свой	паркет	.
3 Придумайте пятиугольную элементарную ячейку , из которой можно составить	паркет	.
1 Можно ли составить	паркет	из копий произвольного треугольника ?
Используя тот же контур , но с другим рисунком внутри , можно сделать	паркет	из таких симпатичных « мордашек » .
Овладев ими , каждый школьник сможет нарисовать свой неповторимый орнамент (	паркет	) .
Из рассмотренных выше решеток можно сделать	паркет	с более замысловатыми ячейками .
Рассмотрите	паркет	, созданный Морисом Эшером .
Образцы	паркета	, еще раз покажут технологию изготовления плоских орнаментов и , может быть , натолкнут вас на собственное оригинальное решение .
Тетрадный лист в клеточку — пример	паркета	с квадратной ячейкой .
Такие орнаменты называют	паркетами	.
На	паркете	Мориса Эшера нас будут интересовать лишь линии , их изгибы и повторы .
Посмотрите внимательно на получившиеся	паркеты	.
Нарисуйте на клетчатой бумаге эти	паркеты	.
В разделе 6 мы составляли из некоторых фигурок пентамино	паркеты	.
Это такие же	паркеты	, как в наших квартирах , как орнаменты на линолеуме , как рисунки на обоях .
На этой решетке можно составить и другие	паркеты	( их можно назвать решетками ) .
д. , а шестую вновь с первой , то каждый из шести отрезков ровно один раз	пересекается	с каким - либо другим отрезком .
Проведите от каждого домика по одной тропинке к погребу , колодцу и навесу так , чтобы ни одна из этих девяти тропинок не	пересекалась	с другой ( или докажите , что это невозможно ) .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности	пересекаются	в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Драконы не	пересекаются	и последовательно заполняют весь лист бумаги .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность	пересекаются	не более чем в двух точках .
Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не	пересекаются	.
От каждой калитки проложена дорожка к домику с тем же номером , причем эти дорожки не	пересекаются	.
Они перпендикулярны друг к другу , но все меридианы	пересекаются	в одной точке — на полюсе .
Две прямые ,	пересекающиеся	под прямым углом ( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
4 На плоскости даны две	пересекающиеся	прямые .
2 Две прямые ,	пересекающиеся	под углом 15 ° , являются осями симметрии некоторого многоугольника .
Мы получили две прямые ,	пересекающиеся	под прямым углом .
Отражаясь от оси n , ось m перейдет в некоторую прямую m1 тоже являющуюся осью симметрии и	пересекающуюся	с n под углом 15 ° .
Возьмем	пересечение	линий ( узел ) клетчатой бумаги .
При	пересечении	двух прямых образуются две пары равных углов .
33 Какие фигуры могут получиться при	пересечении	двух треугольников ?
Например , мы знаем , что диагонали прямоугольника при	пересечении	делятся пополам .
В результате каждая клетка шахматной доски имеет собственное « имя » , складывающееся из двух координат — буквы и числа , обозначающих столбец и строку , на	пересечении	которых эта клетка находится .
9 Какие многоугольники могут получиться при	пересечении	куба плоскостью ?
Каждая из них может быть получена при	пересечении	конуса плоскостью .
Мы бы просто соединили их отрезком и на	пересечении	с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
33 Показано , как при	пересечении	двух четырехугольников могут образоваться два четырехугольника , три четырехугольника и даже четыре четырехугольника .
Возможно ли , чтобы при	пересечении	двух четырехугольников образовалось два четырехугольника ?
А при	пересечении	двух четырехугольников ?
Это значит , что из среднего домика невозможно без	пересечения	« границы » области попасть либо к навесу ( если домик в первой области ) , либо к погребу ( если домик во второй области ) , либо к колодцу .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное число , а значит , и всего точек	пересечения	четное число .
Продолжим основание до	пересечения	с дугой .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются углы с вершиной в точке	пересечения	прямых ) ? .
Клад находился в точке	пересечения	прямых , соединяющих первый и третий , второй и четвертый дубы .
Вторая точка	пересечения	этих окружностей ( точка А1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре .
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим точку их	пересечения	.
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку	пересечения	этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Прямоугольник обладает тем свойством , что его диагонали равны между собой и делятся пополам в точке их	пересечения	.
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда точка	пересечения	А1В и l будет нужной нам точкой М .
Вершина С — точка	пересечения	двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Точка	пересечения	этих прямых является началом координат .
Постарайтесь провести линию так , чтобы число точек	пересечения	линий разного цвета было бы нечетным .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки	пересечения	его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
3 В каком отношении диагонали делятся точкой	пересечения	? .
2 Возьмем одну из точек	пересечения	окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
Если А — точка на прямой l , а В — точка	пересечения	перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
26 В математических рукописях XVIII в . можно встретить утверждение , что фигуры с равными	периметрами	ограничивают равные площади .
« Я думаю , что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический	период	.
а )	перпендикуляр	к отрезку , соединившему два любых узла клетчатой бумаги .
Подумайте , как провести	перпендикуляр	( с помощью циркуля и линейки ) , если точка А лежит на прямой l .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС —	перпендикуляр	к прямой l .
б )	перпендикуляр	к отрезку , проведенный через его конец .
Проведем через точку А любую прямую и опустим из В	перпендикуляр	на эту прямую .
В самом деле , если опустим из В	перпендикуляр	на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
Для построения	перпендикуляра	достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные окружности с центрами на прямой l.
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине	перпендикуляра	, опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Проведение	перпендикуляра	к прямой .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого	перпендикуляра	должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
3 Три раза нужно выполнить построение	перпендикуляра	к отрезку .
Следует запомнить еще одно важное свойство	перпендикуляра	.
Оно говорит о том , что два	перпендикуляра	к одной прямой , расположенные в одной плоскости , параллельны между собой .
Они будут находиться в пространстве ( вне плоскости листа ) ; это похоже на дорожный столб , стоящий на перекрестке дорог : столб	перпендикулярен	каждой дороге .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ	перпендикулярен	l .
2 Отрезок , соединяющий симметричные точки ,	перпендикулярен	оси симметрии и делится ею пополам .
Возьмем точку В так , чтобы отрезок АВ был	перпендикулярен	l. Пусть В0 — любая другая точка на l. Нам надо доказать , что АВ меньше АВ0 .
Прямая ,	перпендикулярная	радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса , касается окружности .
Два зеркала стоят	перпендикулярно	друг к другу .
В зеркалах , стоящих	перпендикулярно	друг к другу , мы видим себя такими , какими видят нас другие люди .
Ребро АА1	перпендикулярно	ребрам АВ , А1В1 , AD и A1D1 .
4 Точки В и С симметричны относительно диаметра , проходящего через середину отрезка ВС и	перпендикулярного	ему .
Иными словами , кратчайшим путем от точки до прямой является путь по	перпендикулярному	к этой прямой направлению .
1 Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую ,	перпендикулярную	этой прямой и пересекающую ее .
С помощью циркуля и линейки проведите через А прямую ,	перпендикулярную	l.
Чтобы получить декартову систему координат в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z ,	перпендикулярную	им , с тем же началом в точке 0 .
Они	перпендикулярны	друг к другу , но все меридианы пересекаются в одной точке — на полюсе .
То , что прямые m и n	перпендикулярны	, записывается так .
7 В треугольнике АВС отрезки AA1 , и ВВ1	перпендикулярны	сторонам ВС и АС .
Параллельные и	перпендикулярные	прямые играют очень большую роль в жизни человека : особенности их взаимного расположения используют в строительстве , технике , искусстве .
С помощью циркуля и линейки также можно строить параллельные и	перпендикулярные	прямые .
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив	перпендикулярные	прямые через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим точку их пересечения .
3 Две прямые на плоскости ,	перпендикулярные	третьей прямой , не могут пересечься одна с другой .
Лучше изучить параллельные и	перпендикулярные	прямые и параллелограммы нам помогут опыты с листом бумаги .
В этом случае с его помощью можно проводить прямые ,	перпендикулярные	данной прямой .
Покажите в нем параллельные и	перпендикулярные	стороны .
Мы все время говорили : « параллельные прямые » , «	перпендикулярные	прямые » .
Назовите ребра ,	перпендикулярные	: а ) ребру СС1 , б ) ребру DC .
На плоскости выбирают две	перпендикулярные	прямые — оси координат .
Отрезки , лежащие на параллельных прямых , также называются параллельными , а на перпендикулярных —	перпендикулярными	.
1 Засеките время и постарайтесь за 10 мин привести как можно больше примеров параллельных и	перпендикулярных	прямых , встречающихся в окружающем нас мире .
Вспомним свойство трех	перпендикулярных	прямых .
Среди ребер куба можно указать пары параллельных и	перпендикулярных	ребер .
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным угольником , найдите пары параллельных и	перпендикулярных	прямых .
Если начертить прямую в тетради , то одна из прямых ,	перпендикулярных	ей , будет лежать в плоскости тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке .
2 Если точку взять на самой прямой , то через эту точку проходит бесконечное число прямых ,	перпендикулярных	данной прямой .
Кстати , именно это свойство симметрии окружности мы использовали в разделе 20 при построении параллельных и	перпендикулярных	прямых .
Перегибанием листа бумаги получите пару параллельных и пару	перпендикулярных	прямых .
Отрезки , лежащие на параллельных прямых , также называются параллельными , а на	перпендикулярных	— перпендикулярными .
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения	перпендикулярных	прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
А , В , С — основания	перпендикуляров	, опущенных из М на данные прямые .
Основания этих	перпендикуляров	служат вершинами правильного треугольника .
Возьмем любую точку плоскости и опустим на эти три прямые	перпендикуляры	.
1 Из вершин А и В опускаем	перпендикуляры	на прямую l .
Обратное движение эта точка совершает в нижних частях маленьких	петель	.
Как завязать на веревке узел , не снимая	петель	с рук ? .
23 Концы веревки завязаны в виде	петель	.
42 На каждой «	петле	» таких точек будет четное число , а значит , и всего точек пересечения четное число .
2 ) левую руку вдеваем в петлю , как бы завязывая узел так , чтобы « браслет » на левой руке оказался внутри	петли	; 3 ) пропускаем петлю под « браслетом » и вытягиваем ее из - под него ;
Эти	петли	одеваются на левую и правую руку .
4 ) левую руку вынимаем из этой	петли	, отпускаем веревку и растягиваем ее .
2 ) левую руку вдеваем в петлю , как бы завязывая узел так , чтобы « браслет » на левой руке оказался внутри петли ; 3 ) пропускаем	петлю	под « браслетом » и вытягиваем ее из - под него ;
2 ) левую руку вдеваем в	петлю	, как бы завязывая узел так , чтобы « браслет » на левой руке оказался внутри петли ; 3 ) пропускаем петлю под « браслетом » и вытягиваем ее из - под него ;
23 Порядок действий : 1 ) правой рукой делаем перекрещенную	петлю	посередине веревки и держим ее ;
Треугольная	пирамида	имеет еще одно название — тетраэдр , т .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная	пирамида	.
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная	пирамида	плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная	пирамида	; ж ) четырехугольная пирамида .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная	пирамида	; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная	пирамида	со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело —	пирамида	.
27 а ) Куб ; б ) конус ; в )	пирамида	; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
Это	пирамида	, прямоугольный параллелепипед .
20 Возьмите набор геометрических тел ( куб , шар ,	пирамида	, конус , цилиндр и др. ) .
Слово «	пирамида	» происходит от древнеегипетского слова « пурама » ( так пирамиды называли древние египтяне ) .
3 Пример многогранника , у которого восемь вершин и восемь граней , —	пирамида	, в основании которой лежит семиугольник .
Все ли части являются	пирамидами	? .
Оказывается , такими	пирамидами	нельзя заполнить пространство , и вообще , с измерениями в пространстве все обстоит гораздо сложнее , чем на плоскости .
Если от треугольной пирамиды отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины ребер , то будет ли оставшаяся часть также треугольной	пирамидой	? .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную	пирамиду	с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
Возьмите в руки или представьте по рисунку 50 треугольную	пирамиду	, исследуйте ее так , как вы исследовали когда - то куб .
Научитесь изображать на клетчатой бумаге куб и	пирамиду	.
будем использовать треугольные	пирамиды	, все ребра которых равны соответствующей единице длины , то столкнемся с большими трудностями .
Современные египтяне называют	пирамиды	словом « хирам » , которое тоже происходит от этого древнеегипетского слова .
Если каждое ребро	пирамиды	увеличить в 3 раза , то во сколько раз возрастет ее объем ? .
Пунктирная линия делает этот рисунок объемным и позволяет отличать изображение	пирамиды	от четырехугольника с диагоналями .
Слово « пирамида » происходит от древнеегипетского слова « пурама » ( так	пирамиды	называли древние египтяне ) .
1 Сложите спички в виде	пирамиды	— три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей точке пространства .
Если от треугольной	пирамиды	отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины ребер , то будет ли оставшаяся часть также треугольной пирамидой ? .
д. в зависимости от того , на какой . многоугольник опираются треугольники ( в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в основании	пирамиды	) .
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре треугольные	пирамиды	и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
Каждая	плоская	фигура или пространственное тело имеет форму и размеры .
Шестиугольник , как и сам треугольник ,	плоская	фигура .
Круг —	плоская	фигура , его характеризует площадь .
Треугольник —	плоская	фигура .
Если две различные	плоские	фигуры можно разрезать на одинаковые части , то эти фигуры будут иметь равные площади .
Кроме рассмотренных линейных орнаментов ( бордюров ) существуют	плоские	орнаменты , заполняющие лист бумаги ( плоскость ) без промежутков .
Вокруг вас живут треугольники , окружности , квадраты , отрезки и другие	плоские	фигуры .
5 Блин можно разрезать на семь частей ; в отличие от блина каравай не	плоский	и его сначала можно разрезать горизонтально , а потом вертикально Таким образом , каравай можно разрезать на восемь частей .
Вообразите себя	плоским	.
Весь мир стал	плоским	, как лист бумаги , остались только два измерения — длина и ширина .
Вспомним опыт с двумя	плоскими	зеркалами .
Площади	плоских	фигур при увеличении их сторон в n раз увеличиваются в n×n раз .
Сделайте свой калейдоскоп из двух	плоских	зеркал , поставленных на лист белой бумаги под углом друг к другу .
17 Какое минимальное число	плоских	разрезов нужно сделать , чтобы разделить куб на 64 маленьких кубика ? .
Два соседних	плоских	многоугольника имеют общую сторону — ребро многогранника .
Приведите примеры	плоских	фигур , имеющих центр симметрии , но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
Среди всевозможных	плоских	фигур выделяются две главные : треугольник и окружность .
Образцы паркета , еще раз покажут технологию изготовления	плоских	орнаментов и , может быть , натолкнут вас на собственное оригинальное решение .
Например , поверхность каждого из них состоит из	плоских	многоугольников , которые называются гранями многогранника .
С давних пор люди пытались объемные тела изобразить на плоскости так , чтобы их сразу можно было отличить от	плоских	, чтобы чувствовалась глубина пространства .
Если , не меняя формы	плоской	фигуры , увеличить ее размеры в n раз , то ее площадь увеличится в n×n раз .
Рассмотрите , как Вазарели с помощью изгибов линий удалось передать вмятины , выпуклости , капли на	плоском	листе бумаги .
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной	плоскости	— в плоскости передней грани ; в этой же плоскости лежат и ребра А , В1 и АВ .
Что касается координат на	плоскости	, то , наверное , все ребята так или иначе с ними знакомы .
Если А — некоторая точка	плоскости	, а В — точка на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
Возьмем на	плоскости	прямую l и точку F.
Но вернемся к	плоскости	.
Пядь — расстояние между концами большого и указательного пальцев , растянутых в	плоскости	, равна четверти аршина .
Потому такая симметрия называется зеркальной ( или осевой , если речь идет о	плоскости	) .
8 Пусть все три прямые проходят через точку Р , а М — некоторая точка	плоскости	.
На ней образуется пять кусков и добавится пять кусков	плоскости	.
Оно говорит о том , что два перпендикуляра к одной прямой , расположенные в одной	плоскости	, параллельны между собой .
Сумма расстояний от них до двух заданных точек	плоскости	( эти точки называются фокусами эллипса ) постоянна .
Задача 6 похожа на разрезание хлеба : ножом мы тоже проводим некоторые	плоскости	и получаем в разрезе фигуры сечения .
Если начертить прямую в тетради , то одна из прямых , перпендикулярных ей , будет лежать в	плоскости	тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке .
41 Расставьте на	плоскости	шесть точек таким образом , что если соединить первую точку со второй , вторую с третьей и т .
Итак , свойство 3 говорит о том , что на	плоскости	существуют непересекающиеся прямые .
Разделите пополам тетрадный лист вертикальной чертой , слева напишите названия тех фигур ( или начертите их ) , которые можно поместить в	плоскости	, а справа те , которые нельзя .
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек	плоскости	( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
С давних пор люди пытались объемные тела изобразить на	плоскости	так , чтобы их сразу можно было отличить от плоских , чтобы чувствовалась глубина пространства .
12 На	плоскости	проведены три луча ОА , ОВ , ОС .
Две прямые на	плоскости	называются параллельными , если они не пересекаются .
12 В	плоскости	расположены 17 шестеренок — первая зацеплена со второй , вторая — с третьей ..
40 На	плоскости	нарисована окружность .
Соответственно добавятся и четыре куска	плоскости	.
Рассмотрим теперь такие точки М на	плоскости	, которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
А теперь перейдем к	плоскости	.
4 На	плоскости	даны две пересекающиеся прямые .
Возьмем любую точку	плоскости	и опустим на эти три прямые перпендикуляры .
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной плоскости — в	плоскости	передней грани ; в этой же плоскости лежат и ребра А , В1 и АВ .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек	плоскости	, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой центром окружности .
Угол АОВ — это часть	плоскости	, ограниченная двумя лучами , выходящими из одной точки .
1 Возьмем на	плоскости	какой - нибудь отрезок АВ .
1 Для любой точки	плоскости	всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой прямой .
Теперь каждая точка	плоскости	обозначается парой чисел .
Среди множества различных геометрических фигур на	плоскости	выделяется большое семейство многоугольников .
3 Две прямые на	плоскости	, перпендикулярные третьей прямой , не могут пересечься одна с другой .
Из этих свойств симметрии следует важное свойство	плоскости	.
Верно отметив на координатной	плоскости	и соединив последовательно эти точки , вы получите рисунок .
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной плоскости — в плоскости передней грани ; в этой же	плоскости	лежат и ребра А , В1 и АВ .
5 На	плоскости	дан острый угол и точка А внутри него .
Фигурки пентамино , похожие на Т , уложены на	плоскости	без промежутков ( говорят , что из них составлен паркет ) .
Перспектива — не единственное средство изображения трехмерного пространства на	плоскости	.
Каждая точка	плоскости	задается двумя полярными координатами : углом и расстоянием .
Все дело в том , что земля круглая и изобразить ее поверхность на	плоскости	без искажений просто невозможно .
Увеличивая наклон	плоскости	, получаем все более вытянутые эллипсы .
К какому виду решетки сведется такое покрытие	плоскости	? .
На	плоскости	такого не может быть .
Оказывается , такими пирамидами нельзя заполнить пространство , и вообще , с измерениями в пространстве все обстоит гораздо сложнее , чем на	плоскости	.
Изображение пространственного тела на	плоскости	— дело непростое .
Но такое определение удобно лишь для	плоскости	.
На	плоскости	указывается точка 0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой точки луч — полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Координаты на	плоскости	можно задавать различными способами .
8 Очень сложная замкнутая линия ограничивает на	плоскости	некоторую область .
35 Одиннадцать кружочков расположены на	плоскости	.
Не существует	плоскости	, которая бы проходила через оба эти отрезка ( а также через прямые АА1 и D1C1 ) .
8 Через некоторую точку	плоскости	проведены три прямые , образующие между собой углы по 60 ° .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки	плоскости	, называемой центром окружности .
Наиболее распространенным способом задания координат на	плоскости	, после чего она становится координатной плоскостью , является следующий .
На	плоскости	выбирают две перпендикулярные прямые — оси координат .
Есть и другие способы задания координат на	плоскости	.
Координаты точки	плоскости	— это пара чисел , из которых одно число является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
Они будут находиться в пространстве ( вне	плоскости	листа ) ; это похоже на дорожный столб , стоящий на перекрестке дорог : столб перпендикулярен каждой дороге .
Таким образом , пять прямых разобьют	плоскость	на 16 частей .
6 Известно , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести одну	плоскость	.
Постройте фигуру ( сечение ) , по которой	плоскость	, проходящая через указанные точки , пересечет куб .
А параллелограммами можно замостить	плоскость	.
Математики говорят , что	плоскость	является двухмерным пространством .
7 Как провести	плоскость	, чтобы получить квадратное сечение куба ? .
Какую бы	плоскость	мы ни провели через АА1 , обязательно прямая D1C1 либо пересечет ее в какой - либо одной точке , либо не пересечет никогда .
А можно ли одинаковыми треугольниками покрыть	плоскость	без промежутков ?
Что вы увидите , если плоскость , в которой вы находитесь , пересечет шар , движущийся сквозь	плоскость	, как сквозь стену ? .
Через ребра АА1 и СС1 также можно провести	плоскость	— АА1С1С ( диагональное сечение куба ) .
Что вы увидите , если	плоскость	, в которой вы находитесь , пересечет шар , движущийся сквозь плоскость , как сквозь стену ? .
На сколько частей разбивают	плоскость	прямые , из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку , если прямых : а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на	плоскость	, сделаем из него разные фигуры : квадрат , треугольник , окружность и т .
47 Вымащиваем сначала полоску , а затем всю	плоскость	.
4 Можно ли замостить	плоскость	равными шестиугольниками ? .
37 На сколько частей можно разбить	плоскость	двумя прямыми ?
Четыре прямые разобьют	плоскость	на 11 частей .
Если плоскость сечения наклонять , то получим эллипс (	плоскость	1 ) .
2 Покрывается ли	плоскость	копиями произвольного четырехугольника ? .
Если	плоскость	сечения наклонять , то получим эллипс ( плоскость 1 ) .
Наклоняя	плоскость	дальше , мы пересекаем и вторую « полу » .
37 Три прямые разбивают	плоскость	на семь частей ( прямые не параллельны и не проходят через одну точку ) .
47 Замостите	плоскость	одинаковыми « скобками » .
Что касается круглого сантиметра , то здесь неудобство сразу бросается в глаза : непересекающимися кругами нельзя заполнить	плоскость	.
8 Какой формы получится сечение куба , если	плоскость	провести по диагонали , т .
При этом мы по - прежнему сечением задеваем лишь одну « полу » конуса (	плоскость	2 ) .
Кроме рассмотренных линейных орнаментов ( бордюров ) существуют плоские орнаменты , заполняющие лист бумаги (	плоскость	) без промежутков .
В этом случае	плоскость	заполняется без промежутков путем поворота треугольников вокруг их вершин на 60 ° .
Появятся две ветви , парабола перейдет в гиперболу (	плоскость	3 ) .
9 Какие многоугольники могут получиться при пересечении куба	плоскостью	?
Наиболее распространенным способом задания координат на плоскости , после чего она становится координатной	плоскостью	, является следующий .
Конус можно пересечь	плоскостью	по окружности .
Каждая из них может быть получена при пересечении конуса	плоскостью	.
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида	плоскостями	, делящими ее ребра пополам ?
площадь круга ) , — наибольшая среди полученных таким образом	площадей	.
2 В общем , для измерения	площадей	треугольные сантиметры вполне подходят .
Для измерения	площадей	такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая квадрат на части и перекладывая эти части , можно получать фигуры единичной площади и различной конфигурации .
Кроме длин ,	площадей	и объемов в геометрии надо еще уметь измерять углы .
Докажите , что сумма	площадей	закрашенных частей равна сумме площадей незакрашенных частей .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения	площадей	треугольным сантиметром , взяв за единицу треугольник , у которого все стороны равны 1 см ?
Почему для получения единиц	площадей	и объемов мы использовали квадрат и куб ?
Докажите , что сумма площадей закрашенных частей равна сумме	площадей	незакрашенных частей .
Значит , сумма	площадей	двух маленьких квадратиков равна площади квадрата .
Трудно сказать , в каких единицах Мэри Поппинс измерила свое совершенство , поэтому мы поговорим о более простом и привычном , а именно об измерении	площадей	и объемов .
14 Найдите	площади	фигур .
8 Найдите	площади	каждой части танграма , если сторона клетки равна 1 .
12 Вычисление длины ,	площади	и объема .
Значит , суммарная площадь А , В и Г равна	площади	Б , В и Г .
14 Разделите фигуры на прямоугольники , найдите по формуле	площади	этих прямоугольников и результаты сложите .
Что же можно взять в качестве единицы	площади	или объема ?
Так , например , если необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей	площади	, то следует выбрать этот участок в виде квадрата .
Простейшие из них — формулы для вычисления	площади	прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда .
Из этого уравнения видно , что	площади	частей х и у равны .
11 Измерение	площади	и объема .
6 Какая часть	площади	фигур закрашена ? .
Требовалось построить с помощью циркуля и линейки квадрат , площадь которого равна	площади	данного круга .
Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая квадрат на части и перекладывая эти части , можно получать фигуры единичной	площади	и различной конфигурации .
Фигуры , имеющие равные	площади	, называют равновеликими .
Если две различные плоские фигуры можно разрезать на одинаковые части , то эти фигуры будут иметь равные	площади	.
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму правильного треугольника , надо разделить на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по	площади	и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Сравните	площади	заштрихованных квадратов .
Используя тот факт , что если радиус одного круга в два раза больше радиуса другого круга , то площадь первого в четыре раза больше	площади	второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
10 Иллюстрация доказательства того , что площадь параллелограмма равна	площади	некоторого прямоугольника .
От квадрата отрезаны четыре равных треугольника ,	площади	которых в сумме составляют 12 клеток .
Остальную часть обещал отдать сыновьям , если те сумеют разделить поле между собой на равные по	площади	и по форме части .
9 Начертите два разных прямоугольных треугольник	площади	которых равны : а ) 2 клеткам ; б ) 3 клеткам ; в ) 4,5 клетки .
53 Прямоугольники А и Б имеют равные	площади	.
Покажите , что площадь этого треугольника равна половине	площади	шестиугольника .
Получим приближенное значение	площади	28 см2 .
26 В математических рукописях XVIII в . можно встретить утверждение , что фигуры с равными периметрами ограничивают равные	площади	.
Значит , сумма площадей двух маленьких квадратиков равна	площади	квадрата .
9 Покажите , что треугольник и прямоугольник имеют одинаковые	площади	.
Самое лучшее в данной ситуации , если мы в качестве значения	площади	возьмем полусумму измерений с недостатком и избытком .
8 Разрезав « кольцо » и сложив из него квадрат , увидим , что краски пойдет одинаковое количество (	площади	этих фигур равны ) .
Строя жилища и храмы , украшая их орнаментами , размечая землю , измеряя расстояния и	площади	, человек применял свои знания о форме , размерах и взаимном расположении предметов , полученные из наблюдений и опытов .
7 Примем	площадь	одной клетки за единицу .
Используя тот факт , что если радиус одного круга в два раза больше радиуса другого круга , то	площадь	первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
А	площадь	квадрата со стороной 1 см равна 1 квадратному сантиметру .
4 Покажите , что	площадь	квадрата на рисунке 75 равна 13 клеткам .
5 Начертите на клетчатой бумаге квадрат ,	площадь	которого равна 2 , 4 , 5 , 8 , 9 , 10 , 16 , 17 , 18 , 20 , 25 , 26 клеткам .
Тогда	площадь	многоугольника равна числу .
1 Каждая из сторон треугольника равна 7 см. Сколько треугольных сантиметров составляет его	площадь	? .
Ведь нельзя так просто взять и измерить радиус земного шара ,	площадь	океана и многое другое .
	Площадь	круга ) , — наибольшая среди полученных таким образом площадей .
Значит ,	площадь	заштрихованного квадрата равна 13 клеткам .
Величина 16 см2 есть	площадь	фигуры , измеренная с недостатком .
Продолжая этот процесс , можно определить	площадь	еще точнее .
Оказывается , существует удобная формула , с помощью которой можно вычислить	площадь	любого такого многоугольника ( эта формула названа именем немецкого математика Пика , открывшего ее ) .
Круг — плоская фигура , его характеризует	площадь	.
10 Начертите квадрат ,	площадь	которого равна а ) 10 клеткам ; б ) 17 клеткам ; в ) 26 клеткам .
Требовалось построить с помощью циркуля и линейки квадрат ,	площадь	которого равна площади данного круга .
10 Иллюстрация доказательства того , что	площадь	параллелограмма равна площади некоторого прямоугольника .
Требуется выложить из 12 спичек фигуру , которая охватывала бы	площадь	в три квадратные единицы .
Если a и b — длины сторон прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его	площадь	равна a×b квадратных единиц .
Его	площадь	будем считать равной одному квадратному метру ( м2 ) .
2 Как изменится	площадь	квадрата , если его сторону увеличить в 2 раза ?
Будем продолжать заполнять	площадь	фигуры квадратными миллиметрами до тех пор , пока это возможно .
Если , не меняя формы плоской фигуры , увеличить ее размеры в n раз , то ее	площадь	увеличится в n×n раз .
54 Докажите , что меньший из квадратов имеет	площадь	в четыре раза меньшую , чем больший .
У какого прямоугольника , А или Б , больше	площадь	? .
25 Найдите	площадь	треугольника .
Покажите , что	площадь	этого треугольника равна половине площади шестиугольника .
Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной величине , мы вычислим	площадь	фигуры с недостатком , но уже точнее .
Как поступить , чтобы найти	площадь	фигуры точнее ?
Значит , суммарная	площадь	А , В и Г равна площади Б , В и Г .
Нетрудно найти	площадь	фигуры , составленной из квадратных метров или квадратных сантиметров или из тех и других .
Как изменится	площадь	треугольника , если каждую его сторону увеличить в 2 раза ?
Как найти	площадь	этого треугольника , если это . а ) прямоугольный треугольник , две стороны которого проходят по сторонам клеток .
Таким образом ,	площадь	фигуры больше 16 клеток , но меньше 40 .
Если считать , что одна клетка есть квадратный сантиметр , то	площадь	больше 16 см2 .
Чему равна	площадь	каждого из изображенных вами треугольников ? .
Продолжая покрывать фигуру квадратными миллиметрами , мы найдем ее	площадь	с избытком .
Можно ли выбрать узлы клетчатой бумаги так , что	площадь	получившегося многоугольника была равна ? .
15 Надо разрезать фигуру на четыре части и затем переложить их так , чтобы внутри образовался квадрат	площадью	1 см2 .
С	площадью	круга связана одна из самых знаменитых задач древности — задача о квадратуре круга .
Нарисуйте несколько фигур	площадью	3 см2 .
Нарисуйте еще две фигуры	площадью	2 см2 .
58 Диагональ на самом деле представляет очень узкий четырехугольник	площадью	1 .
15 Нарисуйте овальную линию той же длины , но ограничивающую фигуру	площадью	на 1 см2 больше .
7 Изображена фигура	площадью	2 см2 .
Многоугольник всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же	площадью	.
32 Может ли быть треугольник с очень большими сторонами и очень маленькой	площадью	?
Позже математики открыли еще целый ряд односторонних	поверхностей	.
Например , камень , брошенный человеком под углом к	поверхности	Земли , описывает параболу .
Представьте муравья , находящегося на	поверхности	простого кольца .
Этим парам точек будут соответствовать пары точек на	поверхности	земного шара , находящиеся на разном расстоянии одна от другой .
Меридианы и параллели образуют на	поверхности	земного шара координатную сетку .
Оставшийся треугольник подогните вниз , склейте друг с другом две неокрашенные треугольные	поверхности	, и флексагон готов .
Тонким карандашом нарисуйте куб , а на его	поверхности	проволоку , из которой сделаны эти ломаные ( общий вид ) .
2 По	поверхности	стеклянного куба проходит ломаная линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на куб спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее проекции .
На	поверхности	земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Только одна закрашенная грань у тех кубиков , которые лежат « на	поверхности	» , исключая кубики , прилегающие к ребрам , т .
Дано изображение куба , на	поверхности	которого указаны три точки .
Полоски с именами расположите параллельно	поверхности	зеркала .
Все дело в том , что земля круглая и изобразить ее	поверхность	на плоскости без искажений просто невозможно .
Проводя прямые , соединяющие всевозможные точки окружности с вершиной , получим коническую	поверхность	.
б ) последовательность предметов , лежащих на столе , если	поверхность	стола перпендикулярна зеркалу ? .
Например ,	поверхность	каждого из них состоит из плоских многоугольников , которые называются гранями многогранника .
Пусть два зеркала поставлены параллельно друг другу отражающими	поверхностями	внутрь .
Чтобы получить некоторое представление о топологии , рассмотрим несколько топологических опытов с	поверхностями	, полученными из бумажной полоски примерно 30 см в длину и 3 см в ширину .
А вот еще	подобная	задача .
Найдите еще хотя бы один вариант	подобного	покрытия квадрата 8×8 с вырезанной серединой .
Опыты , которые мы предлагаем вам провести с листом Мёбиуса и	подобными	ему кольцами , продемонстрируют много интересных и неожиданных свойств .
В	подобных	задачах требуется начертить какую - либо фигуру , не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии .
Изображено	покрытие	, предложенное Голомбом .
К какому виду решетки сведется такое	покрытие	плоскости ? .
Вырежьте из бумаги несколько одинаковых треугольников и проверьте свое предположение о возможности такого	покрытия	.
Найдите еще хотя бы один вариант подобного	покрытия	квадрата 8×8 с вырезанной серединой .
Но в каждом квадрате 2×2 только один катер , иначе у него будут « соседи » , значит , 26 катеров на	поле	10×10 уже не поместятся .
2 Отец , у которого было четыре сына , имел квадратное	поле	.
Остальную часть обещал отдать сыновьям , если те сумеют разделить	поле	между собой на равные по площади и по форме части .
13 Дано игровое	поле	4×4 и 16 квадратов с геометрическими фигурами , имеющими ось ( одну или несколько ) симметрии .
2 На доске 10×10 может разместиться 25 катеров : игровое	поле	можно разбить на квадраты 2×2 , которых будет ровно 25 , и в каждом из них по катеру .
На 64-клеточном	поле	можно составить более 4 млрд разных секретных решеток ! .
14 Васин дом расположен на берегу реки , с одной стороны которой лес , а с другой —	поле	.
14 Если бы Вася был , например , в	поле	и его скорость была 4 км / ч , то за 1 ч Вася мог бы отойти от начальной точки на 4 км .
Мир , в котором мы живем , наполнен геометрией домов и улиц , гор и	полей	, творениями природы и человека .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые	полуокружности	, проходящие через полюсы .
Шкала транспортира представляет	полуокружность	, разделенную на 180 частей .
Затем вновь возьмем	полусумму	полученных значений .
Самое лучшее в данной ситуации , если мы в качестве значения площади возьмем	полусумму	измерений с недостатком и избытком .
Вася знает , что по лесу он может передвигаться со скоростью 3 км / ч , а по	полю	— со скоростью 4 км / ч .
Расстояние показывает , как далеко точка находится от	полюса	, а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения , когда она пройдет через нужную точку .
Они перпендикулярны друг к другу , но все меридианы пересекаются в одной точке — на	полюсе	.
Большой — у экватора , маленький — у	полюсов	.
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у	полюсов	, в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
На плоскости указывается точка 0 , которая будет называться	полюсом	, выходящий из этой точки луч — полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Северному	полюсу	соответствует значение 90 ° северной широты , а Южному — 90 ° южной широты .
Четверть	поля	он оставил себе .
Двое игроков по очереди выбирают любую из 12 фигурок пентамино и располагают ее на свободных клетках	поля	8×8 .
Разместить квадраты в клетках	поля	так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались фигуры , имеющие одинаковое число осей симметрии .
Изгибы идут в следующем	порядке	: вниз — вниз — вверх .
В первой расставить числа от 1 до 16 в обычном	порядке	.
Берем имеющийся код , приписываем к нему букву Н ( под ней удобно поставить точку ) , затем выписываем в обратном	порядке	буквы , предшествующие этому Н , заменяя Н на В и наоборот ( посмотрите на коды , соответствующие четвертому и пятому сгибам ) .
31 Раскрасим клетки доски в шахматном	порядке	в черный и белый цвета .
2 Запишите все известные , а вернее , перечисленные выше единицы длины в	порядке	возрастания .
Надо круг с помощью циркуля или транспортира разделить на двенадцать равных частей ( подумайте , почему на двенадцать ) и свернуть по диаметрам в любом	порядке	.
есть идея , с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать	порядок	, красоту и совершенство » .
4 Начертите фигуры одним росчерком ( пронумеруйте отрезки в той	последовательности	, в какой вы их проходили ) .
В какой	последовательности	производилась укладка ? .
б )	последовательность	предметов , лежащих на столе , если поверхность стола перпендикулярна зеркалу ? .
Поменялись ли на изображении местами	правая	и левая стороны ?
Какое наименьшее количество точек надо отбросить , чтобы не осталось ни одного	правильного	треугольника ? .
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс , увлекшись изготовлением моделей многогранников , написал в письме к отцу : « я сделал тетраэдр , додекаэдр и еще два эдра , для которых не знаю	правильного	названия » .
Если же к стороне одного	правильного	треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
Основания этих перпендикуляров служат вершинами	правильного	треугольника .
12 Четвертые части квадрата и	правильного	треугольника отрезаны , как показано на рисунке 294 .
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму	правильного	треугольника , надо разделить на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Какое наименьшее количество точек надо отбросить , чтобы не осталось ни одного	правильного треугольника	? .
12 Четвертые части квадрата и	правильного треугольника	отрезаны , как показано на рисунке 294 .
Основания этих перпендикуляров служат вершинами	правильного треугольника	.
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму	правильного треугольника	, надо разделить на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Если же к стороне одного	правильного треугольника	, лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
Интересно , что в	правильной	пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру , делит другую в отношении золотого сечения .
11 Разрежьте	правильную	шестиконечную звезду на четыре части так , чтобы из них можно было составить параллелограмм .
Зная это , можно вписывать в окружность	правильные	шестиугольники и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Сделайте необходимые вычисления и впишите в окружность равносторонние (	правильные	) пятиугольник , шестиугольник и восьмиугольник .
Изображены	правильные	многогранники — тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .
Найдите равнобедренные ,	правильные	, разносторонние , остроугольные , прямоугольные , тупоугольные треугольники .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые	правильные	многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые	правильные многоугольники	, в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Зная это , можно вписывать в окружность	правильные шестиугольники	и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую вершину , образуют	правильный	шестиугольник .
4 АВС —	правильный	треугольник .
8 Треугольник АВС —	правильный	, четырехугольник KLMN — квадрат .
Все стороны равны — равносторонний , или	правильный	, треугольник .
Вместе они составят	правильный	шестиугольник .
52 Разрежьте	правильный	треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Как построить	правильный	шестиугольник ?
46 Из двух таких треугольников можно составить	правильный	треугольник .
Равносторонний (	правильный	) треугольник .
23 Разрежьте	правильный	шестиугольник на девять одинаковых частей разными способами .
За элементарную ячейку можно взять и	правильный	треугольник .
За элементарную ячейку можно взять и	правильный треугольник	.
46 Из двух таких треугольников можно составить	правильный треугольник	.
52 Разрежьте	правильный треугольник	на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
4 АВС —	правильный треугольник	.
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую вершину , образуют	правильный шестиугольник	.
23 Разрежьте	правильный шестиугольник	на девять одинаковых частей разными способами .
Как построить	правильный шестиугольник	?
Вместе они составят	правильный шестиугольник	.
Совершенство форм , красивые математические закономерности , присущие	правильным	многогранникам , явились причиной того , что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов .
Равносторонний многоугольник , вписанный в окружность , называется	правильным	.
Самое удивительное в этой формуле , что она верна не только для	правильных	, но и для ВСЕХ многогранников ! .
Например , шесть	правильных	треугольников , имеющих общую вершину , образуют правильный шестиугольник .
Она состоит из десяти	правильных	треугольников , расположенных так .
У	правильных	многогранников есть еще одна особенность .
Это модели	правильных	многогранников , сделанные из цветной бумаги .
Сколько	правильных	треугольников можно построить , считая эти точки вершинами треугольников ? .
29 15	правильных	треугольников .
Возьмем шесть	правильных	равных между собой треугольников и расположим их рядом так , чтобы у них была общая вершина .
29 15	правильных треугольников	.
Она состоит из десяти	правильных треугольников	, расположенных так .
Сколько	правильных треугольников	можно построить , считая эти точки вершинами треугольников ? .
Например , шесть	правильных треугольников	, имеющих общую вершину , образуют правильный шестиугольник .
Оно состоит в том , что по лабиринту надо двигаться не отрывая одной руки (	правой	или левой ) от стены .
23 Порядок действий : 1 )	правой	рукой делаем перекрещенную петлю посередине веревки и держим ее ;
Если сторона угла совпадает с	правой	половиной основания транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
а ) левую и	правую	стороны , верх и низ , предметы спереди и сзади вас , если вы стоите лицом к зеркалу ?
Эти петли одеваются на левую и	правую	руку .
Потом на нее кладем следующую по размеру карточку ( в	правый	нижний угол ) .
34 Если соединить левый и	правый	домики с колодцем , навесом и погребом , то средний домик окажется в одной из трех образовавшихся областей .
Заменим в коде букву Н на Л ( левый поворот ) , а букву В на П (	правый	поворот ) и продолжим проведенную черточку , следуя командам кода и поворачивая последовательно налево и направо на 90 ° .
Сверните ее пополам , чтобы точка оказалась закрытой , а потом еще пополам ( всякий раз	правый	конец накладываем на левый ) .
Получим	приближенное	значение площади 28 см2 .
Итак , измеряя на практике различные величины , мы всегда получаем	приближенные	значения , но погрешность измерения часто не учитываем и считаем полученный результат истинным .
Правда , в 1975 г. ( за год до этого ) в апрельском номере американского журнала « В мире науки » была	приведена	карта , которую , как утверждал ее составитель , нельзя окрасить нужным образом в четыре цвета .
Схема ,	приведенная	выше , показывает , как увеличение числа измерений влечет за собой изменение и усложнение геометрических фигур .
Попробуйте , не пользуясь бумагой , ответить на вопрос : к какому из результатов	приведет	способ а ?
19 Способ а )	приведет	к третьему результату , способ б ) — ко второму .
Проведенные измерения и наблюдения	приведут	вас к следующему выводу .
10 Хозяйка ,	приведя	козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с кольцом так , что кольцо может скользить от колышка к колышку , а к кольцу веревкой длиной 5 м привязала козу .
1 Засеките время и постарайтесь за 10 мин	привести	как можно больше примеров параллельных и перпендикулярных прямых , встречающихся в окружающем нас мире .
Попытайтесь	привести	другие примеры такого рода .
Стомахион ( «	приводящая	в ярость » ) .
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение треугольника по следующим данным : сторона треугольника равна 6 см , а	прилежащие	к ней углы равны 85 ° и 100 ° .
Можно сделать вывод : по стороне и двум	прилежащим	к ней углам можно построить единственный треугольник , но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два	прилежащих	к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
б ) сторона и два	прилежащих	к ней угла .
Рабочий внимательно рассмотрит эти	проекции	и поймет , какой должна быть деталь .
2 По поверхности стеклянного куба проходит ломаная линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на куб спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее	проекции	.
Вид спереди похож на букву Г , вид сверху — на Ч без половины вертикальной палочки , а вид слева — на стилизованную латинскую S. Рассмотрите ломаные и кривые линии и начертите в каждом случае три	проекции	( вид спереди , сверху и слева ) .
3 Обратное задание : даны	проекции	ломаных спереди , сверху и слева .
Чтобы токарь выточил ее , мы дадим ему не сам рисунок , а именно три	проекции	этой детали : вид спереди , сверху и слева .
В чем состоит метод трех	проекций	?
Для облегчения этой задачи изобрели метод трех	проекций	.
Рассуждая таким образом , устанавливаем , что 16 окошек можно набрать 4×4×4 × .. ×4 раз (	произведение	16 четверок ) .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как	прямая	и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
1 Даны	прямая	l и две точки А и В по одну сторону от нее .
Как расположены друг относительно друга линия сгиба и	прямая	АВ ? .
Число проведенных при этом линий не должно быть больше трех ( третьей должна быть искомая	прямая	) .
Какую бы плоскость мы ни провели через АА1 , обязательно	прямая	D1C1 либо пересечет ее в какой - либо одной точке , либо не пересечет никогда .
Пусть проведена	прямая	l и дана точка А вне этой прямой .
34 В скольких точках	прямая	может пересекать контур треугольника ?
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что	прямая	l есть касательная к окружности .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то	прямая	, соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
39 Вдоль бумажной ленты длиной 60 см проведена с двух сторон посередине	прямая	линия .
Кратчайшее расстояние укажет	прямая	, соединяющая эти точки .
2 Дана	прямая	l и точка А на ней .
39 Вдоль бумажной ленты длиной 60 см проведена с двух сторон посередине	прямая линия	.
4 Возьмите две точки на	прямой	CD и постройте прямоугольный треугольник с вершинами в этих точках .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от	прямой	l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Иными словами , кратчайшим путем от точки до прямой является путь по перпендикулярному к этой	прямой	направлению .
Толщина каждого тома 3,5 см. Книжный червяк прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома ( по	прямой	линии ) .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается	прямой	l или что прямая l есть касательная к окружности .
48 Через каждую из трех точек надо провести прямую , параллельную	прямой	, проходящей через две другие точки .
Представьте , что по	прямой	линии без скольжения катится круг .
4 Изображены две параллельные прямые , пересекаемые третьей	прямой	.
Иными словами , кратчайшим путем от точки до	прямой	является путь по перпендикулярному к этой прямой направлению .
4 Через точку А проведите прямую , параллельную	прямой	CD .
Оно говорит о том , что два перпендикуляра к одной	прямой	, расположенные в одной плоскости , параллельны между собой .
40 Если мы нарисуем	прямой	угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Течение времени удобно отображать на	прямой	.
2 Строим окружность с центром О вне нашей	прямой	, проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с	прямой	l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к	прямой	l .
1 Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой	прямой	.
3 Если отрезки M1N1 и MN симметричны относительно	прямой	l , то их длины равны .
4 Если точка А1 симметрична точке А относительно	прямой	l , то для любой точки В на этой прямой отрезки А1В и АВ равны .
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно	прямой	l , проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
4 Если точка А1 симметрична точке А относительно прямой l , то для любой точки В на этой	прямой	отрезки А1В и АВ равны .
Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке	прямой	, то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой ( такой же , как исходная фигура ) .
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно	прямой	l , А1М равно AM .
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с	прямой	l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на	прямой	l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
Задача решалась бы совсем легко , если бы точки А и В лежали по разные стороны от	прямой	l.
Найдите на	прямой	такую точку M , чтобы путь из А в В через М был кратчайшим , т .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с	прямой	l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания четырехугольник и треугольник , то соответствующие стороны не лежат на одной	прямой	.
Пусть проведена прямая l и дана точка А вне этой	прямой	.
У обычного чертёжного угольника один угол	прямой	.
Ее еще можно назвать	прямой	MN .
Изобразим	прямой	угол и продолжим его стороны за вершину .
Отдыхающие , в каком бы направлении ни отправлялись на загородную прогулку , двигаясь по	прямой	, обязательно приходили к одному из озер .
Итак , если мы хотим из точки А по кратчайшему пути попасть на прямую m , то двигаться надо по перпендикуляру к	прямой	m .
3 Две прямые на плоскости , перпендикулярные третьей	прямой	, не могут пересечься одна с другой .
1 Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую , перпендикулярную этой	прямой	и пересекающую ее .
Этот мир полностью лежит на	прямой	; жители его — отрезки , лучи , точки .
2 Если точку взять на самой	прямой	, то через эту точку проходит бесконечное число прямых , перпендикулярных данной прямой .
Есть	прямой	угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Если А — точка на	прямой	l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
3 Прямая , проходящая через точки А и А1 параллельна	прямой	l .
Подумайте , как провести перпендикуляр ( с помощью циркуля и линейки ) , если точка А лежит на	прямой	l .
Проведение перпендикуляра к	прямой	.
— откладывать на	прямой	отрезки заданной длины .
Для построения перпендикуляра достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные окружности с центрами на	прямой	l.
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до	прямой	m .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с	прямой	— точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
1 Через точку вне данной	прямой	можно провести только одну прямую , перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее .
6 Известно , что через три точки , не лежащие на одной	прямой	, можно провести одну плоскость .
Среди всех углов выделяется	прямой	угол .
Измерим длину отрезка	прямой	линии в заданных единицах ( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Рассматривая основные геометрические фигуры , среди всех углов мы выделили	прямой	угол , равный 90 ° .
В этом случае с его помощью можно проводить прямые , перпендикулярные данной	прямой	.
Отрезок АВ — это часть	прямой	между двумя точками А и В ( из прямой как бы вырезали кусочек ) .
Отрезок АВ — это часть прямой между двумя точками А и В ( из	прямой	как бы вырезали кусочек ) .
31 На горизонтальной прямой расположен квадрат , в котором отмечена точка А. Представьте себе , что квадрат начинает перекатываться вдоль	прямой	.
Луч ОМ — это часть	прямой	по одну сторону от некоторой точки — начала луча ( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
Измерим длину отрезка	прямой линии	в заданных единицах ( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Представьте , что по	прямой линии	без скольжения катится круг .
Толщина каждого тома 3,5 см. Книжный червяк прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома ( по	прямой линии	) .
Среди всех углов выделяется	прямой угол	.
Есть	прямой угол	— прямоугольный треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Рассматривая основные геометрические фигуры , среди всех углов мы выделили	прямой угол	, равный 90 ° .
Изобразим	прямой угол	и продолжим его стороны за вершину .
40 Если мы нарисуем	прямой угол	с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Это не квадрат , не	прямоугольник	.
Вырежьте из бумаги	прямоугольник	со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется прямоугольник , стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
Построите золотой	прямоугольник	с помощью циркуля и линейки по указаниям .
9 Произвольный треугольник разрежьте на три части так , чтобы можно было сложить	прямоугольник	.
Значит , квадрат — это	прямоугольник	, у которого все стороны равны .
Сверните	прямоугольник	так , чтобы получился квадрат .
Разрежьте этот	прямоугольник	на две равные части так , чтобы , сложив их определенным образом , получить квадрат .
Это следует из того , что диагональ делит	прямоугольник	на равные треугольники .
Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется	прямоугольник	, стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
Перемешайте фигуры пентамино на столе , чтобы они лежали произвольно , а затем сложите	прямоугольник	6×10 , не переворачивая ни одной фигурки .
Из листа бумаги произвольной формы сложите и затем вырежьте	прямоугольник	.
Следовательно ,	прямоугольник	является параллелограммом .
Да , да , не удивляйтесь , и ромб , и	прямоугольник	, и квадрат — тоже параллелограммы .
Уложите все 12 фигур пентамино в	прямоугольник	6×10 .
8 В сечении получается	прямоугольник	, две стороны которого равны ребрам куба , а две другие — диагоналям граней .
Затем от этого прямоугольника отрежьте квадрат со стороной 6 см. Останется	прямоугольник	, одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
Квадрат 8×8 разрезан на части , из которых составлен	прямоугольник	13×5 .
15 Дан	прямоугольник	, ширина которого в два раза меньше длины .
Если мы опишем около фасада Парфенона	прямоугольник	, то окажется , что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза .
9 Покажите , что треугольник и	прямоугольник	имеют одинаковые площади .
чертим	прямоугольник	так , чтобы данный отрезок АВ был его диагональю .
А действительно ли	прямоугольник	является параллелограммом ?
Такой	прямоугольник	назвали золотым прямоугольником .
7 Нужно описать около треугольника	прямоугольник	, т .
начертить такой	прямоугольник	, чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах , а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
У какого	прямоугольника	, А или Б , больше площадь ? .
53 Через точку на диагонали	прямоугольника	провели прямые , параллельные его сторонам .
Например , мы знаем , что диагонали	прямоугольника	при пересечении делятся пополам .
Если a и b — длины сторон	прямоугольника	( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b квадратных единиц .
2 У квадрата , как и у	прямоугольника	, все углы прямые .
Значит , и ВС ‖ A D. Получилось , что у	прямоугольника	стороны попарно параллельны .
Постройте два	прямоугольника	5×6 .
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах , а стороны	прямоугольника	шли по сторонам клеточек на бумаге .
Простейшие из них — формулы для вычисления площади	прямоугольника	и объема прямоугольного параллелепипеда .
10 Иллюстрация доказательства того , что площадь параллелограмма равна площади некоторого	прямоугольника	.
Проведем боковую сторону под прямым углом и закончим построение золотого	прямоугольника	.
Достроим прямоугольный треугольник АМВ до	прямоугольника	AMBN .
8 Кусок бумаги имеет форму	прямоугольника	, одна сторона которого равна четырем , а другая — девяти единицам длины .
Затем от этого	прямоугольника	отрежьте квадрат со стороной 6 см. Останется прямоугольник , одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
Видели ли вы когда - нибудь предметы , имеющие форму золотого	прямоугольника	? .
Разделим его на два равных	прямоугольника	.
Если точка О — середина АВ , то ОМ — полдиагонали	прямоугольника	, т .
Все его грани являются	прямоугольниками	.
Затем считаем количество клеток в	прямоугольнике	и отбрасываем лишние .
В	прямоугольнике	ABCD АВ ⊥ AD и CD ⊥ AD .
8 Из каких различных фигур танграма можно составить	прямоугольники	?
На	прямоугольники	, в которых стороны соотносятся приблизительно как 1,6:1 , обратили внимание очень давно .
14 Разделите фигуры на	прямоугольники	, найдите по формуле площади этих прямоугольников и результаты сложите .
20 Разрежьте квадрат на пять прямоугольников так , чтобы у любых двух соседних	прямоугольников	стороны не совпадали .
14 Разделите фигуры на прямоугольники , найдите по формуле площади этих	прямоугольников	и результаты сложите .
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять	прямоугольников	так , чтобы все десять чисел , выражающих стороны прямоугольников , были бы различными целыми числами .
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять чисел , выражающих стороны	прямоугольников	, были бы различными целыми числами .
Найдите на этом рисунке девять	прямоугольников	.
Сколько получилось разных	прямоугольников	?
20 Разрежьте квадрат на пять	прямоугольников	так , чтобы у любых двух соседних прямоугольников стороны не совпадали .
Такой прямоугольник назвали золотым	прямоугольником	.
Простейшие из них — формулы для вычисления площади прямоугольника и объема	прямоугольного	параллелепипеда .
2 Достройте отрезок до	прямоугольного	треугольника и затем поверните его .
Если a , b и c — длина , высота и ширина	прямоугольного	параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Если a , b и c — длина , высота и ширина	прямоугольного параллелепипеда	, то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Простейшие из них — формулы для вычисления площади прямоугольника и объема	прямоугольного параллелепипеда	.
2 Достройте отрезок до	прямоугольного треугольника	и затем поверните его .
46 Докажите , что в	прямоугольном	треугольнике , один из углов которого равен 30 ° , наибольшая сторона в два раза больше наименьшей .
46 Докажите , что в	прямоугольном треугольнике	, один из углов которого равен 30 ° , наибольшая сторона в два раза больше наименьшей .
Найдите равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные ,	прямоугольные	, тупоугольные треугольники .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б ) равнобедренный	прямоугольный	треугольник .
Вернее ,	прямоугольный	параллелепипед .
Как найти площадь этого треугольника , если это . а )	прямоугольный	треугольник , две стороны которого проходят по сторонам клеток .
Достроим	прямоугольный	треугольник АМВ до прямоугольника AMBN .
Это пирамида ,	прямоугольный	параллелепипед .
Есть прямой угол —	прямоугольный	треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
4 Возьмите две точки на прямой CD и постройте	прямоугольный	треугольник с вершинами в этих точках .
а ) на две части так , чтобы из них можно было составить	прямоугольный	треугольник .
1 Начертите произвольный	прямоугольный	треугольник ( 1 ) , а потом поверните его на 90 ° .
2 Возьмите	прямоугольный	листок бумаги , который можно накрыть кругом .
Вернее ,	прямоугольный параллелепипед	.
Это пирамида ,	прямоугольный параллелепипед	.
4 Возьмите две точки на прямой CD и постройте	прямоугольный треугольник	с вершинами в этих точках .
Как найти площадь этого треугольника , если это . а )	прямоугольный треугольник	, две стороны которого проходят по сторонам клеток .
а ) на две части так , чтобы из них можно было составить	прямоугольный треугольник	.
Достроим	прямоугольный треугольник	АМВ до прямоугольника AMBN .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б ) равнобедренный	прямоугольный треугольник	.
1 Начертите произвольный	прямоугольный треугольник	( 1 ) , а потом поверните его на 90 ° .
Есть прямой угол —	прямоугольный треугольник	; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Много полезного можно получить из экспериментов с	прямоугольным	треугольником на клетчатой бумаге .
Много полезного можно получить из экспериментов с	прямоугольным треугольником	на клетчатой бумаге .
Эти половинки будут	прямоугольными	треугольниками .
Эти половинки будут	прямоугольными треугольниками	.
Мастер хочет вырезать из него как можно больше	прямоугольных	заготовок размером 3×5 дм2 .
12 Большой квадрат разрезан на четыре	прямоугольных	треугольника и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
Все фигурки складываются из	прямоугольных	листов бумаги ( одного или двух ) , без помощи ножниц или клея ( клей применяют разве что для склеивания половинок фигур , составленных из двух листов ) .
12 Большой квадрат разрезан на четыре	прямоугольных треугольника	и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
Возьмем на плоскости	прямую	l и точку F.
3 Проведем	прямую	ОА .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на	прямую	l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
1 Из вершин А и В опускаем перпендикуляры на	прямую	l .
51 Постройте любую окружность , касающуюся прямых , проведите через точку А	прямую	, параллельную данным .
1 Через точку вне данной прямой можно провести только одну	прямую	, перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на	прямую	AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
Если начертить	прямую	в тетради , то одна из прямых , перпендикулярных ей , будет лежать в плоскости тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке .
Проведем четвертую	прямую	.
Эти точки разобьют четвертую	прямую	на четыре куска .
Проведем через точку А любую	прямую	и опустим из В перпендикуляр на эту прямую .
Меняя	прямую	, проходящую через точку А , мы будем получать различные точки , которые будут описывать некоторую линию .
Итак , если мы хотим из точки А по кратчайшему пути попасть на	прямую	m , то двигаться надо по перпендикуляру к прямой m .
Проведем через точку А любую прямую и опустим из В перпендикуляр на эту	прямую	.
4 Через точку А проведите	прямую	, параллельную прямой CD .
1 Проведем через точку А любую окружность , пересекающую	прямую	l .
Отражаясь от оси n , ось m перейдет в некоторую	прямую	m1 тоже являющуюся осью симметрии и пересекающуюся с n под углом 15 ° .
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем	прямую	А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
С помощью циркуля и линейки проведите через А	прямую	, перпендикулярную l.
Или , как говорят , опускать на данную	прямую	перпендикуляры или восставлять к ней перпендикуляры .
48 Через каждую из трех точек надо провести	прямую	, параллельную прямой , проходящей через две другие точки .
Начертите в тетради точку ,	прямую	, отрезок , луч и угол .
Перпендикулярные	прямые	обладают интересными свойствами .
Такие отрезки и	прямые	называются скрещивающимися .
5 Изобразите четырехугольник , у которого три угла	прямые	.
Не существует плоскости , которая бы проходила через оба эти отрезка ( а также через	прямые	АА1 и D1C1 ) .
4 Изображены две параллельные	прямые	, пересекаемые третьей прямой .
4 На плоскости даны две пересекающиеся	прямые	.
Мы все время говорили : « параллельные	прямые	» , « перпендикулярные прямые » .
Мы все время говорили : « параллельные прямые » , « перпендикулярные	прямые	» .
Мы получили две	прямые	, пересекающиеся под прямым углом .
На плоскости выбирают две перпендикулярные	прямые	— оси координат .
— проводить	прямые	линии . — измерять отрезки . — строить отрезки заданной длины .
2 Две	прямые	, пересекающиеся под углом 15 ° , являются осями симметрии некоторого многоугольника .
1 Проведите через одну точку три	прямые	.
Изображены три	прямые	и точки на них .
Вы без труда можете найти вокруг себя различные примеры , иллюстрирующие	прямые	с заданными на них координатами .
Параллельные и перпендикулярные	прямые	играют очень большую роль в жизни человека : особенности их взаимного расположения используют в строительстве , технике , искусстве .
Так , отражаясь друг от друга ,	прямые	m и n вернутся в исходное положение .
2 Две параллельные	прямые	пересекают окружность .
8 Пусть все три	прямые	проходят через точку Р , а М — некоторая точка плоскости .
Две	прямые	, пересекающиеся под прямым углом ( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
А , В , С — основания перпендикуляров , опущенных из М на данные	прямые	.
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив перпендикулярные	прямые	через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим точку их пересечения .
Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все углы	прямые	.
Четыре	прямые	разобьют плоскость на 11 частей .
53 Через точку на диагонали прямоугольника провели	прямые	, параллельные его сторонам .
Только еще все они равны и все углы	прямые	.
2 У квадрата , как и у прямоугольника , все углы	прямые	.
3 Две	прямые	на плоскости , перпендикулярные третьей прямой , не могут пересечься одна с другой .
37 Три прямые разбивают плоскость на семь частей (	прямые	не параллельны и не проходят через одну точку ) .
51 Даны две параллельные	прямые	и точка А между ними .
Итак , свойство 3 говорит о том , что на плоскости существуют непересекающиеся	прямые	.
Две	прямые	на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются .
37 Три	прямые	разбивают плоскость на семь частей ( прямые не параллельны и не проходят через одну точку ) .
Используя линейку и чертежный угольник , можно без труда вычерчивать параллельные	прямые	.
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем множество параллельных между собой прямых ,	прямые	тип параллельны .
Проводя	прямые	, соединяющие всевозможные точки окружности с вершиной , получим коническую поверхность .
Две такие	прямые	определят центр .
Только еще все углы	прямые	.
С ее помощью можно лишь проводить	прямые	линии .
10 Через точку внутри квадрата проведены	прямые	по сторонам и диагоналям клеток .
То , что	прямые	m и n перпендикулярны , записывается так .
С помощью циркуля и линейки также можно строить параллельные и перпендикулярные	прямые	.
На сколько частей разбивают плоскость	прямые	, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку , если прямых : а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
8 Через некоторую точку плоскости проведены три	прямые	, образующие между собой углы по 60 ° .
Лучше изучить параллельные и перпендикулярные	прямые	и параллелограммы нам помогут опыты с листом бумаги .
В этом случае с его помощью можно проводить	прямые	, перпендикулярные данной прямой .
Возьмем любую точку плоскости и опустим на эти три	прямые	перпендикуляры .
Но углы А и В тоже	прямые	, т .
— проводить	прямые линии	. — измерять отрезки . — строить отрезки заданной длины .
С ее помощью можно лишь проводить	прямые линии	.
Проведем боковую сторону под	прямым	углом и закончим построение золотого прямоугольника .
Две прямые , пересекающиеся под	прямым	углом ( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
10 Сколькими способами можно прочитать слово « шалаш » , двигаясь по	прямым	, кривым и ломаным дорожкам ? .
Как вы думаете , будет ли и четвертый угол	прямым	? .
Мы получили две прямые , пересекающиеся под	прямым	углом .
2 Так как окружность симметрична относительно любого своего диаметра , то она симметрична и относительно диаметра MN , перпендикулярного	прямым	АА1 и ВВ1 , точка А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
Получим точку М. Из этой точки М отрезок АВ виден под	прямым	углом .
Поставьте два зеркала под	прямым	углом друг к другу .
Если мы построим на АВ как на диаметре окружность и возьмем на ней любую точку М , то угол AMВ будет	прямым	.
Проведем боковую сторону под	прямым углом	и закончим построение золотого прямоугольника .
Получим точку М. Из этой точки М отрезок АВ виден под	прямым углом	.
Две прямые , пересекающиеся под	прямым углом	( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
Мы получили две прямые , пересекающиеся под	прямым углом	.
Поставьте два зеркала под	прямым углом	друг к другу .
Что получится , если угол между	прямыми	равен 33 ° ? .
четырьмя	прямыми	?
Рассмотрим на окружности две дуги , лежащие между этими	прямыми	.
б ) Может ли быть треугольник с двумя	прямыми	углами ? .
Значит , квадрат — это ромб с	прямыми	углами .
Стены должны тянуться пятью	прямыми	линиями , с четырьмя башнями на каждой линии .
Расчертив рисунок параллельными	прямыми	и получив таким образом сетку параллелограммов мы видим , что орнамент получен параллельными переносами параллелограммов , внутри которых проведены некоторые линии .
14 Фигуру разделите на шесть частей двумя	прямыми	.
13 Как четырьмя	прямыми	линиями , не отрывая карандаша от бумаги , перечеркнуть девять точек ? .
тремя	прямыми	?
Значит , квадрат — это параллелограмм с	прямыми	углами , все стороны которого равны .
Понятно , что на практике мы имеем дело не с	прямыми	, а лишь с их частями — отрезками , лежащими на этих прямых .
2 Прямоугольник ABCD разделен на части	прямыми	КМ и ОР .
37 На сколько частей можно разбить плоскость двумя	прямыми	?
15 Разделите лунный серп двумя	прямыми	линиями на шесть частей .
13 Как четырьмя	прямыми линиями	, не отрывая карандаша от бумаги , перечеркнуть девять точек ? .
15 Разделите лунный серп двумя	прямыми линиями	на шесть частей .
Стены должны тянуться пятью	прямыми линиями	, с четырьмя башнями на каждой линии .
Значит , квадрат — это параллелограмм с	прямыми углами	, все стороны которого равны .
б ) Может ли быть треугольник с двумя	прямыми углами	? .
Значит , квадрат — это ромб с	прямыми углами	.
Задача измерения длин кривых линий , конечно , труднее практически и сложнее теоретически , чем измерение отрезков	прямых	.
Клад находился в точке пересечения	прямых	, соединяющих первый и третий , второй и четвертый дубы .
Отрезки	прямых	— дорожки .
Участники поочередно называют примеры таких	прямых	.
При пересечении двух	прямых	образуются две пары равных углов .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются углы с вершиной в точке пересечения	прямых	) ? .
Кстати , именно это свойство симметрии окружности мы использовали в разделе 20 при построении параллельных и перпендикулярных	прямых	.
Точка пересечения этих	прямых	является началом координат .
Как построить окружность , касающуюся данных	прямых	и проходящую через данную точку ? .
Изображена линия , состоящая из отрезков	прямых	и дуг окружности .
На сколько частей разбивают плоскость прямые , из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку , если	прямых	: а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
Изобразите в виде	прямых	два зеркала под углом 90 ° друг к другу .
1 Засеките время и постарайтесь за 10 мин привести как можно больше примеров параллельных и перпендикулярных	прямых	, встречающихся в окружающем нас мире .
Понятно , что на практике мы имеем дело не с прямыми , а лишь с их частями — отрезками , лежащими на этих	прямых	.
Проведем две пары параллельных	прямых	.
Перегибанием листа бумаги получите пару параллельных и пару перпендикулярных	прямых	.
Отрезки , лежащие на параллельных	прямых	, также называются параллельными , а на перпендикулярных — перпендикулярными .
Проведение параллельных	прямых	.
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным угольником , найдите пары параллельных и перпендикулярных	прямых	.
Таким образом , пять	прямых	разобьют плоскость на 16 частей .
Вспомним свойство трех перпендикулярных	прямых	.
Для шести	прямых	число частей составит 22 .
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем множество параллельных между собой	прямых	, прямые тип параллельны .
Если бы они пересеклись , например , в точке С , то мы получили бы треугольник АВС , у которого два	прямых	угла , что невозможно .
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных	прямых	l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
2 Если точку взять на самой прямой , то через эту точку проходит бесконечное число	прямых	, перпендикулярных данной прямой .
51 Постройте любую окружность , касающуюся	прямых	, проведите через точку А прямую , параллельную данным .
Если начертить прямую в тетради , то одна из	прямых	, перпендикулярных ей , будет лежать в плоскости тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке .
Именно свойства параллельных	прямых	определяют основные свойства изучаемого нами пространства .
Если бы они пересеклись , например , в точке С , то мы получили бы треугольник АВС , у которого два	прямых угла	, что невозможно .
7 Поставьте в каждой вершине графа число , равное количеству выходящих из него	путей	.
Каким кратчайшим	путем	паук может доползти до мухи ?
Иными словами , кратчайшим	путем	от точки до прямой является путь по перпендикулярному к этой прямой направлению .
Вторая линейка нужна для измерения	пути	.
Совершая прогулки в воскресные дни , горожане заспорили : можно ли выбрать такой маршрут , чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку	пути	?
Поэтому точки , которых он может достичь за час , расположены на окружности с радиусом 4 км и центром в том месте , где Вася находится в начале	пути	.
Найти на сторонах угла две точки М и N так , чтобы длина замкнутого	пути	была наименьшей .
Изменению долготы на 1 ° на разных параллелях соответствуют разные	пути	.
Верста — старинная русская мера	пути	, равная 500 саженям .
Зависит ли результат от	пути	? .
Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо — описание	пути	, ведущего к кладу , и места , где он спрятан .
Итак , если мы хотим из точки А по кратчайшему	пути	попасть на прямую m , то двигаться надо по перпендикуляру к прямой m .
5 Найдите	путь	к беседке , расположенной в парке .
Выбирайте любой	путь	, а если он заведет вас в тупик , то возвращайтесь назад и начинайте все сначала .
Найдите на прямой такую точку M , чтобы	путь	из А в В через М был кратчайшим , т .
Какой	путь	он проделал ?
Вы можете убедиться , что , когда карандаш поравняется с концом линейки , линейка пройдет	путь	10 см. А значит , наша платформа передвинется на 10 м .
Интересно , что кратчайший	путь	от паука к мухе можно выбрать шестью разными способами .
Значит ,	путь	А1МВ равен AM В. Отсюда и решение .
7 Найдите	путь	от входа к выходу в пространственном лабиринте .
Таким образом ,	путь	муравья представляет кривую .
Попробуйте провести непрерывную линию по одной из сторон перекрученного кольца ( будем считать , что это	путь	муравья ) .
Так что	путь	червяка равен толщине второго тома , т .
Если мы сложим все эти числа , то получим четное число , так как каждый	путь	, соединяющий две вершины , считается дважды .
Какой	путь	проползет муравей вдоль отмеченной линии , пока не вернется в исходную точку ? .
Изменению широты на 1 ° на всех меридианах соответствует один и тот же	путь	( одна и та же дуга ) .
Иными словами , кратчайшим путем от точки до прямой является	путь	по перпендикулярному к этой прямой направлению .
Вы получите	пятиугольник	.
Сделайте необходимые вычисления и впишите в окружность равносторонние ( правильные )	пятиугольник	, шестиугольник и восьмиугольник .
Например , у	пятиугольника	пять вершин и пять сторон .
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых	пятиугольника	.
	Пятиугольника	и т . д. ? .
16 англичан выстраивались в цепочку таким образом , что каждый следующий касался концами пальцев своих ног	пяток	предыдущего .
Пусть одна касается окружности в точке В , а другая — в точке С. Имеет место	равенство	АВ равно АС .
Докажите	равенство	углов HA1В1 и HCВ1 .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в	равнобедренном	треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в	равнобедренном треугольнике	, лежащие против равных сторон , равны .
Найдите	равнобедренные	, правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные , тупоугольные треугольники .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом	равнобедренный	треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
Треугольник АОМ —	равнобедренный	.
5 Постройте	равнобедренный	непрямоугольный треугольник ( любой ) .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б )	равнобедренный	прямоугольный треугольник .
на две части так , чтобы из них можно было составить	равнобедренный	треугольник .
Треугольник АОВ —	равнобедренный	, один из углов равен 60 ° .
Две равные стороны —	равнобедренный	треугольник ( равные стороны называются боковыми ) .
3 Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой	равнобедренный	треугольник с такими же боковыми сторонами ?
	Равнобедренный	тупоугольный треугольник .
а )	равнобедренный	остроугольный треугольник . б ) равнобедренный прямоугольный треугольник .
3 Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой	равнобедренный треугольник	с такими же боковыми сторонами ?
Две равные стороны —	равнобедренный треугольник	( равные стороны называются боковыми ) .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом	равнобедренный треугольник	складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
на две части так , чтобы из них можно было составить	равнобедренный треугольник	.
49 Как разрезать треугольник на два	равнобедренных	треугольника , если его углы равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
Треугольник будет разделен на три	равнобедренных	треугольника .
Треугольник будет разделен на три	равнобедренных треугольника	.
49 Как разрезать треугольник на два	равнобедренных треугольника	, если его углы равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
Плоские	равновеликие	многоугольники также являются равносоставленными .
Фигуры , имеющие равные площади , называют	равновеликими	.
Все стороны равны —	равносторонний	, или правильный , треугольник .
Вписать в окружность	равносторонний	треугольник .
Вписать в окружность	равносторонний треугольник	.
А из этого следует , что этот треугольник является	равносторонним	, АВ равно АО равно 1 .
5 Из спичек сложена фигура , состоящая из шести	равносторонних	треугольников .
22 Для облегчения решения пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных	равносторонних	треугольников тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
Переложите четыре спички так , чтобы получилось три	равносторонних	треугольника .
9 12	равносторонних	треугольников .
9 Сколько различных	равносторонних	треугольников с вершинами в данных точках можно начертить ? .
Переложите четыре спички так , чтобы получилось три	равносторонних треугольника	.
5 Из спичек сложена фигура , состоящая из шести	равносторонних треугольников	.
9 12	равносторонних треугольников	.
22 Для облегчения решения пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных	равносторонних треугольников	тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
9 Сколько различных	равносторонних треугольников	с вершинами в данных точках можно начертить ? .
Во что превратится гипоциклоида , если	радиус	меньшего круга равен 6 см , а большего — 12 см ?
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого круга , так как	радиус	маленького круга в два раза меньше радиуса большого круга .
Как связаны между собой	радиус	и диаметр одной окружности ? .
Ведь нельзя так просто взять и измерить	радиус	земного шара , площадь океана и многое другое .
В 3 ч угол между радиусом и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч	радиус	возвратится в исходное положение , описав угол 360 ° .
АВ —	радиус	) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
Используя тот факт , что если	радиус	одного круга в два раза больше радиуса другого круга , то площадь первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
Представим , что	радиус	окружности — это часовая стрелка на круглом циферблате часов .
Скольким клеткам равен	радиус	такой окружности ? .
Проведем в окружности три	радиуса	так , чтобы углы между ними были равны 120 ° .
Прямая , перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого	радиуса	, касается окружности .
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого круга , так как радиус маленького круга в два раза меньше	радиуса	большого круга .
Используя тот факт , что если радиус одного круга в два раза больше	радиуса	другого круга , то площадь первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с	радиусами	5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга	радиусами	4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите окружности разных	радиусов	в образовавшиеся углы .
Сколько можно провести в окружности	радиусов	и диаметров ?
Как выглядит гипоциклоида для кругов с	радиусом	8 см , 9 см и 10 см ? .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг	радиусом	12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
В 3 ч угол между	радиусом	и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч радиус возвратится в исходное положение , описав угол 360 ° .
Общую вершину треугольников будем считать центром окружности с	радиусом	, равным стороне треугольника .
Значит , М лежит на окружности с центром О и	радиусом	.
6 На окружности	радиусом	1 взяты три точки А , В , С так , чтобы угол АСВ был равен 30 ° .
6 Начертите циркулем окружность	радиусом	13 клеточек с центром в узле клетки .
Циркулем проведем дугу окружности	радиусом	АВ с центром в точке А .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность	радиусом	, равным АВ , с центром в точке В1 .
Он называется	радиусом	( по - латыни radius — « спица в колесе » ) .
Поэтому точки , которых он может достичь за час , расположены на окружности с	радиусом	4 км и центром в том месте , где Вася находится в начале пути .
Правильный шестиугольник вписан в окружность , и все стороны равны	радиусу	этой окружности .
Прямая , перпендикулярная	радиусу	окружности и проходящая через конец этого радиуса , касается окружности .
Пусть по	радиусу	равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муравей .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору ,	радиусы	которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Эти	радиусы	разделят окружность на три равные части — дуги по 120 ° .
2 Прямоугольник ABCD	разделен	на части прямыми КМ и ОР .
Если отрезок	разделен	на две части так , что меньшая имеет длину х , а большая — длину у , то в случае золотого сечения .
Треугольник будет	разделен	на три равнобедренных треугольника .
Оказывается , проведя лишь одну линию , фигуру можно разделить на две равные части , причем на равные части будет	разделена	каждая из частей — черная и белая .
Заданную фигуру , которая для облегчения работы часто	разделена	на равные клеточки , надо разрезать на две или несколько одинаковых частей .
Шкала транспортира представляет полуокружность ,	разделенную	на 180 частей .
3 Изготовьте головоломку сами : переведите на плотную бумагу квадрат ,	разделенный	на семь частей , и разрежьте его .
Дан один из способов плетения куба из трех полосок ,	разделенных	на пять квадратов .
диагональ квадрата	разделила	его на две равные части .
Лена , вырезав квадрат , сравнила все четыре отрезка , на которые диагонали	разделили	одна другую .
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его ребро	разделили	на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного куба .
И угол квадрата	разделился	пополам .
Измерим толщину стопки бумаги , подсчитаем число листов в стопке и	разделим	первое число на второе .
Теперь	разделим	нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем откладывать часть единицы .
8 Четырехугольник одним прямолинейным разрезом	разделите	на две равные части .
Из плотной бумаги вырежьте квадрат ,	разделите	его на 64 квадратика и прорежьте окошечки .
14 Фигуру	разделите	на шесть частей двумя прямыми .
3 Пирамида	разделится	на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
В отличие от многоугольников , два многогранника , имеющие одинаковый объем , не всегда можно	разделить	на одинаковые части .
Это свойство поможет нам	разделить	отрезок пополам .
Для этого достаточно циркулем , не меняя раствора ,	разделить	окружность на равные части , а затем точки деления соединить последовательно или через одну .
2 Треугольник можно	разделить	на четыре равных треугольника .
Все большое семейство треугольников можно	разделить	на группы по числу равных сторон .
Треугольники можно	разделить	на группы в зависимости от углов .
Остальную часть обещал отдать сыновьям , если те сумеют	разделить	поле между собой на равные по площади и по форме части .
Оказывается , проведя лишь одну линию , фигуру можно	разделить	на две равные части , причем на равные части будет разделена каждая из частей — черная и белая .
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму правильного треугольника , надо	разделить	на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Надо круг с помощью циркуля или транспортира	разделить	на двенадцать равных частей ( подумайте , почему на двенадцать ) и свернуть по диаметрам в любом порядке .
17 Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать , чтобы	разделить	куб на 64 маленьких кубика ? .
Каждую из оставшихся частей этих фигур	разделить	на четыре равные части .
На сколько частей нужно	разделить	круг , чтобы у снежинки было n осей симметрии ? .
Эти радиусы	разделят	окружность на три равные части — дуги по 120 ° .
2 Пространство и	размерность	.
Найдите равнобедренные , правильные ,	разносторонние	, остроугольные , прямоугольные , тупоугольные треугольники .
Равных сторон нет —	разносторонний	треугольнику .
Равных сторон нет —	разносторонний треугольнику	.
Все точки одной ветви ближе к одному фокусу ( соответствующим образом берется и	разность	расстояний ) , а другой ветви к другому .
Гипербола — это линия , для всех точек которой	разность	расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
В 1899 г. швейцарский историк Генрих Зютер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись « Книга Архимеда о разбиении фигуры стомахиона на 14 частей , находящихся в	рациональных	отношениях » .
Среди	ребер	куба можно указать пары параллельных и перпендикулярных ребер .
Сможет ли оса последовательно обойти все 12	ребер	куба , не проходя дважды по одному ребру ?
По две окрашенных грани у кубиков , расположенных вдоль	ребер	исходного куба : по три на каждом ребре .
Среди ребер куба можно указать пары параллельных и перпендикулярных	ребер	.
Концы	ребер	являются вершинами многогранника .
Всего	ребер	12 , значит , 3×12 — 36 кубиков .
Запишите парами номера противоположных граней ( противоположные грани не имеют общих	ребер	): 1 , 2 , 3 .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число	ребер	, а соседние грани сходятся под равными углами .
Назовите еще две четверки параллельных между собой	ребер	куба .
Если от треугольной пирамиды отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины	ребер	, то будет ли оставшаяся часть также треугольной пирамидой ? .
Подсчитаем число вершин ( В ) ,	ребер	( Р ) и граней ( Г ) у каждого многогранника и запишем результаты в табличку .
А вот пара	ребер	АА1 и D1C1 особенная .
Угол между ребром АА1 и каждым из этих	ребер	равен 90 ° .
2 Объемы тел при увеличении их	ребер	в n раз увеличиваются n×n×n раз .
Три четверки его	ребер	параллельны между собой .
Найдите еще несколько пар скрещивающихся	ребер	куба ABCDA1B1C1D1 .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее	ребра	пополам ?
Каждый из них проходит через середину одного	ребра	куба , соединяющего свободные вершины .
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной плоскости — в плоскости передней грани ; в этой же плоскости лежат и	ребра	А , В1 и АВ .
8 Пунктирными линиями обозначены невидимые	ребра	куба .
будем использовать треугольные пирамиды , все	ребра	которых равны соответствующей единице длины , то столкнемся с большими трудностями .
Через	ребра	АА1 и СС1 также можно провести плоскость — АА1С1С ( диагональное сечение куба ) .
Назовите	ребра	, перпендикулярные : а ) ребру СС1 , б ) ребру DC .
Обведите	ребра	куба , которые лежат ближе к вам , красным цветом , а дальние — синим .
Какие	ребра	ведут вглубь ?
Проведите сплошные линии ( видимые	ребра	) так , чтобы куб был « виден » : а ) слева снизу ; б ) справа сверху ; в ) справа снизу .
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите систему координат с кубом , у которого	ребро	равно 1 .
Укажите ее размеры , если	ребро	куба равно 1 см .
Два соседних плоских многоугольника имеют общую сторону —	ребро	многогранника .
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его	ребро	разделили на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного куба .
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его ребро разделили на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых	ребро	в пять раз меньше , чем у исходного куба .
Если каждое	ребро	пирамиды увеличить в 3 раза , то во сколько раз возрастет ее объем ? .
Бумага в клеточку облегчит	решение	.
Образцы паркета , еще раз покажут технологию изготовления плоских орнаментов и , может быть , натолкнут вас на собственное оригинальное	решение	.
А	решение	задачи о мостах доказывает , что изображенную фигуру нельзя нарисовать одним росчерком .
Значит , путь А1МВ равен AM В. Отсюда и	решение	.
Но мы ее	решение	сводим к измерению отрезков .
Какие - то из этих фигур вам удалось вычертить почти сразу ,	решение	других пришло через некоторое время , а третьи вообще не рисуются .
При	решении	задач на нахождение тех или иных величин большую пользу могут принести формулы , позволяющие выразить искомые величины через другие , известные или легко находимые .
Они так же важны , как и смекалка и находчивость при	решении	задач .
При	решении	следующих двух задач вам поможет раскраска доски для « Морского боя » в четыре цвета так , что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет , затем маленькая диагональ из двух клеток окрашивается во второй цвет , следующая трехклеточная диагональ — в третий цвет , затем цвет четвертый , потом вновь первый и т .
5 При	решении	этой головоломки не разрешается делать какие - либо рисунки и манипулировать объектами .
15 В	решении	этой задачи поможет развертка куба .
При	решении	практических задач на измерение объема не обязательно разбивать пространство на кубические единицы , а затем мельчить на меньшие кубики .
При	решении	большинства предыдущих задач мы опирались на некоторые свойства фигур .
13 В	решении	задачи вам поможет эксперимент .
Эта пословица предостерегает вас от поспешности в	решении	задан .
Как видим , в случае а ) задача не имеет	решений	; б ) — существуют два треугольника , удовлетворяющих условию задачи ( ∆АВС и ∆АВС1 ) ; в случае в ) такой треугольник один .
Попробуйте и вы найти несколько	решений	этой проблемы .
Образец	решения	: вид снизу ; вид справа ; вид спереди ; вид слева ; вид сверху .
Для их	решения	нужны только смекалка , способность предвидеть результат и , пожалуй , хорошее воображение .
22 Для облегчения	решения	пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных равносторонних треугольников тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
План города для	решения	этой задачи можно изобразить графом .
Подсказки , ответы ,	решения	.
Ниже мы предлагаем несколько задач , две из которых — с готовыми	решениями	.
Значит , квадрат — это	ромб	с прямыми углами .
Да , да , не удивляйтесь , и	ромб	, и прямоугольник , и квадрат — тоже параллелограммы .
1 У квадрата , как и у	ромба	, все стороны равны .
Уберите одну спичку и сделайте из оставшихся спичек один квадрат и два	ромба	.
Позже математики открыли еще целый	ряд	односторонних поверхностей .
У квадрата есть еще целый	ряд	интересных свойств .
Многогранники при всем различии имеют	ряд	общих свойств .
19 Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в	ряд	.
У эллипса есть целый	ряд	свойств , которые могут иметь самые неожиданные применения .
Вы можете заметить	ряд	интересных особенностей , благодаря которым они и получили свое название .
По их поводу у математиков существует целый	ряд	договоренностей и ограничений .
Чему равна длина	ряда	? .
а ) в двух	рядах	было по четыре стула , а в одном шесть . б ) у каждой из четырех стен было по четыре стула .
Сказано было оставить 5	рядов	по 4 дерева в каждом .
36 Как посадить девять деревьев в десять	рядов	по три дерева в каждом ряду ? .
9 Расставьте 24 стула так , чтобы они стояли в шесть	рядов	по пять стульев в каждом ряду .
Позвав работника , он дал ему такое распоряжение : « Оставь только пять	рядов	деревьев , по четыре дерева в каждом .
9 Расставьте 24 стула так , чтобы они стояли в шесть рядов по пять стульев в каждом	ряду	.
36 Как посадить девять деревьев в десять рядов по три дерева в каждом	ряду	? .
Обозначается двумя штрихами ″. Запись 78 ° 16′25″ читается так : 78 градусов 16 минут 25	секунд	.
Минуты обозначают значком ′. Одна шестидесятая часть минуты —	секунда	.
Куб является представителем большого	семейства	многогранников .
Слово « многоугольник » указывает на то , что у всех фигур из этого	семейства	много углов .
Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое	семейство	многоугольников .
Все большое	семейство	треугольников можно разделить на группы по числу равных сторон .
В этом разделе мы познакомим вас с одним интересным	семейством	линий , одна из которых нарисована ниже .
3 Пример многогранника , у которого восемь вершин и восемь граней , — пирамида , в основании которой лежит	семиугольник	.
Через ребра АА1 и СС1 также можно провести плоскость — АА1С1С ( диагональное	сечение	куба ) .
8 Какой формы получится	сечение	куба , если плоскость провести по диагонали , т .
Говорят , что его стороны образуют золотое	сечение	.
Постройте фигуру (	сечение	) , по которой плоскость , проходящая через указанные точки , пересечет куб .
Например , когда мы режем наискосок колбасу , то получающееся	сечение	имеет эллиптическую форму .
7 Как провести плоскость , чтобы получить квадратное	сечение	куба ? .
Золотое	сечение	— это такое деление целого на две неравные части , при котором большая часть относится к целому , как меньшая к большей .
При этом мы по - прежнему	сечением	задеваем лишь одну « полу » конуса ( плоскость 2 ) .
8 В	сечении	получается прямоугольник , две стороны которого равны ребрам куба , а две другие — диагоналям граней .
Если трубочку не разворачивать , то в	сечении	будет эллипс .
Математики дают точное определение золотому	сечению	.
Число 1,6 лишь приближенно ( с точностью до 0,1 ) представляет величину золотого	сечения	.
Если отрезок разделен на две части так , что меньшая имеет длину х , а большая — длину у , то в случае золотого	сечения	.
Интересно , что в правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру , делит другую в отношении золотого	сечения	.
Если плоскость	сечения	наклонять , то получим эллипс ( плоскость 1 ) .
Задача 6 похожа на разрезание хлеба : ножом мы тоже проводим некоторые плоскости и получаем в разрезе фигуры	сечения	.
В этот лабиринт , с бесчисленными коридорами , тупиками и переходами , Минос поселил Минотавра ( кровожадное существо с человеческим телом и головой быка ) и потребовал у афинян , убивших его сына , раз в девять лет присылать на съедение чудовищу семерых	сильнейших	юношей и семь красивейших девушек .
Сколько осей	симметрии	имеет полученная фигура ?
У нее нет вертикальных осей	симметрии	.
Сколько осей	симметрии	у каждой из получившихся фигур ? .
Как расположены оси	симметрии	фигуры , если их больше двух ? .
Если трафарет поворачивать вокруг точки О ( центра	симметрии	) на 180 ° , то бордюр уже будет иным .
2 Две прямые , пересекающиеся под углом 15 ° , являются осями	симметрии	некоторого многоугольника .
Приведите примеры плоских фигур , имеющих центр	симметрии	, но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
Приведите примеры плоских фигур , имеющих центр симметрии , но не имеющих оси ( осей )	симметрии	.
А теперь , наоборот , — фигур , имеющих ось ( или оси )	симметрии	, но не имеющих центра симметрии .
А теперь , наоборот , — фигур , имеющих ось ( или оси ) симметрии , но не имеющих центра	симметрии	.
Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл , рассматривают некоторые специальные виды	симметрии	.
Ведь понятие центральной	симметрии	распространяется и на трехмерное пространство .
А для того чтобы освоить « метод	симметрии	» , надо сначала познакомиться с основными свойствами симметрии .
Можно сказать , что точка О является центром	симметрии	, если при повороте вокруг точки О на 180 ° фигура переходит сама в себя .
А для того чтобы освоить « метод симметрии » , надо сначала познакомиться с основными свойствами	симметрии	.
Из этих свойств	симметрии	следует важное свойство плоскости .
Если фигура имеет и оси симметрии , и центр симметрии , то каким может быть число осей	симметрии	такой фигуры ? .
2 Отрезок , соединяющий симметричные точки , перпендикулярен оси	симметрии	и делится ею пополам .
Если фигура имеет и оси	симметрии	, и центр симметрии , то каким может быть число осей симметрии такой фигуры ? .
Значит , осей	симметрии	всего 12 .
Между соседними осями	симметрии	углы по 15 ° .
д ) имеющий две оси	симметрии	.
Отражаясь от оси n , ось m перейдет в некоторую прямую m1 тоже являющуюся осью	симметрии	и пересекающуюся с n под углом 15 ° .
И последний вид трафарета — трафарет , имеющий две оси	симметрии	— вертикальную и горизонтальную .
2 Пусть m и n — оси	симметрии	.
Кроме осевой	симметрии	существует еще и центральная симметрия .
Она лежит на оси	симметрии	.
Если фигура имеет и оси симметрии , и центр	симметрии	, то каким может быть число осей симметрии такой фигуры ? .
Она характеризуется наличием центра	симметрии	— точки О , обладающей определенным свойством .
составьте слова , имеющие ось	симметрии	( горизонтальную или вертикальную ) , например , ТОПОТ , СОН .
Дайте определение центральной	симметрии	, удобное и для пространственных тел .
Разместить квадраты в клетках поля так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались фигуры , имеющие одинаковое число осей	симметрии	.
При однократном перегибании бумаги вырезанная снежинка имеет одну ось	симметрии	.
а ) назовите буквы , имеющие одну , две оси	симметрии	.
Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси	симметрии	, то ее части совпадут .
Сколько осей	симметрии	будет иметь « снежинка » , если бумагу перегнуть 2 , 3 , 4 , 5 раз ?
Дело в том , что у настоящих , природных снежинок всегда шесть осей	симметрии	.
Во сколько раз новое перегибание увеличивает число существующих осей	симметрии	?
Среди фигур выберите симметричные и проведите в них всевозможные оси	симметрии	.
Опыты с зеркалами позволили нам прикоснуться к удивительному математическому явлению —	симметрии	.
Представим , что l — зеркало ( или ось	симметрии	) .
Клякса имеет одну ( вертикальную ) ось	симметрии	.
Например , если зеркала стоят под углом 60 ° друг к другу , то линия отражается шесть раз и полученная фигура имеет три оси	симметрии	.
1 Известно , что фигура имеет две оси	симметрии	.
У « снежинки » несколько линий сгиба , и все они являются осями	симметрии	.
У этой « снежинки » четыре оси	симметрии	.
У геометрических фигур может быть одна или несколько осей	симметрии	, а может и не быть вовсе .
Мысленно перегибая бумагу , определите , сколько осей	симметрии	имеет каждая из фигур .
Линия сгиба — ось	симметрии	кляксы .
Подумайте , как получить « снежинку » с произвольным количеством осей	симметрии	.
Прямая , вдоль которой поставлено зеркало , называется осью	симметрии	.
13 Дано игровое поле 4×4 и 16 квадратов с геометрическими фигурами , имеющими ось ( одну или несколько )	симметрии	.
10 Какое наибольшее число различных сторон может быть в шестиугольнике , имеющем ось	симметрии	? .
На сколько частей нужно разделить круг , чтобы у снежинки было n осей	симметрии	? .
Кстати , именно это свойство	симметрии	окружности мы использовали в разделе 20 при построении параллельных и перпендикулярных прямых .
Издавна человек использовал	симметрию	в архитектуре .
поворотная ( центральная )	симметрия	.
Поворот на 180 ° вокруг точки о ( центральная	симметрия	) .
параллельный перенос . 2 ) зеркальная	симметрия	: а ) с вертикальной осью б ) с горизонтальной осью .
Кроме осевой симметрии существует еще и центральная	симметрия	.
В результате	симметрия	становится мощным средством математических исследований , помогает решать трудные задачи .
Потому такая	симметрия	называется зеркальной ( или осевой , если речь идет о плоскости ) .
В древности слово «	симметрия	» употреблялось в значении « гармония » , « красота » .
В таком широком понимании	симметрия	не имеет математического содержания .
Зеркальная	симметрия	относительно вертикальной оси .
Как вы знаете , слово «	симметрия	» в переводе с греческого означает « одинаковость в расположении частей » .
Получится одна из замечательных кривых , называемая	синусоидой	.
Может ли эта	система	вращаться ? .
Какое наибольшее число кубиков можно убрать , чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся	система	кубиков не развалилась ? .
В этой	системе	отметим точки Аl(2 ; 1 ) и Вl(8 ;
Получаем нужную систему координат хОу и находим место клада по координатам ( 6 ; 6 ) в новой	системе	.
Чтобы получить декартову	систему	координат в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z , перпендикулярную им , с тем же началом в точке 0 .
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите	систему	координат с кубом , у которого ребро равно 1 .
Получаем нужную	систему	координат хОу и находим место клада по координатам ( 6 ; 6 ) в новой системе .
Одну из этих осей , обычно горизонтальную , называют осью х , а вторую — осью у. Такую координатную	систему	называют декартовой ( по имени великого французского математика Рене Декарта , работы которого положили начало одному из важнейших методов исследования — методу координат ) .
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите	систему координат	с кубом , у которого ребро равно 1 .
Чтобы получить декартову	систему координат	в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z , перпендикулярную им , с тем же началом в точке 0 .
Получаем нужную	систему координат	хОу и находим место клада по координатам ( 6 ; 6 ) в новой системе .
Вид	системы	кубиков в этих случаях .
Измеряем каждый отрезок и	складываем	результаты измерений .
Каждый из играющих	складывает	первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую фигуру так , чтобы получилась вторая фигура , затем третья .
В задании 6 вы	складывали	квадрат по диагонали .
47 Замостите плоскость одинаковыми «	скобками	» .
Тетраэдр начинают перекатывать , как показано на рисунке , причем он оставляет	след	такого же цвета , что и грань , касающаяся бумаги .
Если тетраэдр сначала стоял на оранжевой грани , то какого цвета будет последний	след	?
2 Из спичек	сложена	фигура , состоящая из девяти равных треугольников .
4 Из спичек	сложена	фигура .
5 Из спичек	сложена	фигура , состоящая из шести равносторонних треугольников .
Как она должна быть	сложена	?
д. В	сложенной	бумаге вырезается ножницами узор так , чтобы одновременно были прорезаны все слои бумаги .
1 Пользуясь этим правилом , напишите цепочку - код для полоски ,	сложенной	шесть раз .
Следуя этим закономерностям , можно последовательно выписывать цепочки ( коды ) для полосок ,	сложенных	любое число раз .
Может , это просто набор	сложенных	определенным образом треугольников и четырехугольников ?
21 Из 12 спичек	сложены	четыре квадрата .
8 Разрезав « кольцо » и	сложив	из него квадрат , увидим , что краски пойдет одинаковое количество ( площади этих фигур равны ) .
Разрежьте этот прямоугольник на две равные части так , чтобы ,	сложив	их определенным образом , получить квадрат .
Клякса получилась так : на лист бумаги капнули чернил ,	сложили	лист вдвое и затем разогнули .
Если мы	сложим	все эти числа , то получим четное число , так как каждый путь , соединяющий две вершины , считается дважды .
Из листа бумаги произвольной формы	сложите	и затем вырежьте прямоугольник .
Вырежьте из бумаги квадрат и	сложите	его вдвое по диагонали .
14 Разделите фигуры на прямоугольники , найдите по формуле площади этих прямоугольников и результаты	сложите	.
11 Из семи многоугольников , входящих в танграм ,	сложите	фигуры .
Отметьте на листе две точки А и В , а затем	сложите	лист так , чтобы А и В совпали .
Перемешайте фигуры пентамино на столе , чтобы они лежали произвольно , а затем	сложите	прямоугольник 6×10 , не переворачивая ни одной фигурки .
Перегните полоску по сторонам треугольников и	сложите	, как показано .
5 На какие части надо разрезать квадрат , чтобы	сложить	из них фигуры ?
28 Определите , из каких разверток можно	сложить	параллелепипед .
6 Если	сложить	квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
5 Равнобедренный треугольник можно	сложить	пополам так , чтобы половинки совместились .
Но можно	сложить	еще один треугольник , используя четыре фигуры : один большой треугольник , два маленьких и квадрат .
Головоломка состоит в том , чтобы , используя все семь частей ,	сложить	фигурки .
17 Круг диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу	сложить	вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
1 Сколько одинаковых квадратов надо взять , чтобы из них можно было	сложить	в два раза больший квадрат ?
Если симметричную фигуру	сложить	пополам вдоль оси симметрии , то ее части совпадут .
9 Произвольный треугольник разрежьте на три части так , чтобы можно было	сложить	прямоугольник .
Как из нее	сложить	единичный кубик ( т . е .
Если ленту предварительно	сложить	вдвое вдоль , а затем « гармошкой » , то получится лента , симметричная относительно горизонтальной оси .
Образцы паркета , еще раз покажут технологию изготовления плоских орнаментов и , может быть , натолкнут вас на	собственное	оригинальное решение .
« Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо , чем их	собственное	отражение в зеркале ?
В результате каждая клетка шахматной доски имеет	собственное	« имя » , складывающееся из двух координат — буквы и числа , обозначающих столбец и строку , на пересечении которых эта клетка находится .
Правители разных стран любили устанавливать свои меры , часто связанные с	собственной	персоной .
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять : высоту дерева ,	собственный	вес , длину прыжка , время бега и многое другое .
Мы можем взять и трафарет , рисунок которого	совпадает	сам с собой при повороте его на 180 ° вокруг центра ( точки , лежащей внутри рисунка ) .
Если сторона угла	совпадает	с правой половиной основания транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
20 Разрежьте квадрат на пять прямоугольников так , чтобы у любых двух соседних прямоугольников стороны не	совпадали	.
Окружность — частный случай эллипса , она получается , если фокусы эллипса	совпадают	.
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его	совпадут	; треугольники , на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии , то ее части	совпадут	.
Если эти части можно наложить одну на другую так , что они	совпадут	( при этом разрешается переворачивать их наизнанку ) , то задача решена верно .
а ) вершина угла	совпала	с черточкой — серединой основания транспортира .
одна сторона угла	совпала	с основанием транспортира , соответствующим 0 ° .
3 Если перегнуть круг так , чтобы половинки	совпали	, то линия сгиба пройдет через центр .
Отметьте на листе две точки А и В , а затем сложите лист так , чтобы А и В	совпали	.
Перегните квадрат пополам так , чтобы	совпали	две противоположные стороны .
Наложим кальку на карту так , чтобы точки А и Аl	совпали	и отрезок АlВl « пошел » по АВ .
Половинки квадрата ( треугольники )	совпали	, т .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы	совпали	боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
Она называется спиралью Архимеда ( в переводе с латыни	спираль	означает « изгиб » , « извив » ) .
Она называется	спиралью	Архимеда ( в переводе с латыни спираль означает « изгиб » , « извив » ) .
Можно сказать , что английский фут — это длина ступни	среднего	англичанина .
3 ) и самое главное , буквы , равноудаленные от	среднего	Н , всегда различны .
д . 2 ) в середине всегда Н , а сгибы до этого	среднего	Н такие же , как и на предыдущем шаге .
Это значит , что из	среднего	домика невозможно без пересечения « границы » области попасть либо к навесу ( если домик в первой области ) , либо к погребу ( если домик во второй области ) , либо к колодцу .
один большой треугольник , один треугольник	средний	и два маленьких .
34 Если соединить левый и правый домики с колодцем , навесом и погребом , то	средний	домик окажется в одной из трех образовавшихся областей .
7 Вокруг небольшого курортного городка расположены три круглых не соединяющихся между собой озера : большое ,	средних	размеров и маленькое .
Почти все великие ученые древности и	средних	веков были выдающимися геометрами .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его	сторон	с окружностью , проходит через ее центр .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных	сторон	, равны .
3 Если известно , сколько у многоугольника вершин , то сразу можно сказать , сколько у него	сторон	.
Вася , вырезая квадрат , проверил его так : он сравнил длины	сторон	.
Со всех шести	сторон	( спереди и сзади , справа и слева , сверху и снизу ) мы видим квадрат 3×3 .
Заметьте , что сколько углов , столько и	сторон	, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками .
5 Надо построить точки А1 и А2 , симметричные точке А относительно	сторон	угла .
Стороны одного из них являются продолжением	сторон	другого угла .
Вертикальные углы не имеют общих	сторон	.
Мы смотрим на тело с трех	сторон	: спереди , сверху и слева .
2 Надо соединить отрезками середины	сторон	треугольника .
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять стороны такими , чтобы сумма двух	сторон	мало отличалась от третьей стороны .
Все большое семейство треугольников можно разделить на группы по числу равных	сторон	.
Какое наибольшее число кубиков можно убрать , чтобы со всех	сторон	был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не развалилась ? .
Если a и b — длины	сторон	прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b квадратных единиц .
Равных	сторон	нет — разносторонний треугольнику .
Как линия сгиба расположена относительно	сторон	квадрата ?
Ведь надо нарисовать его , чтобы ясно было , как оно выглядит со всех	сторон	.
48 Ученик нарисовал на доске треугольник и отметил середины его	сторон	.
Закройте одну из вершин этого треугольника , и станет ясно , что одна из его	сторон	направлена к нам , а другая — от нас , т .
Например , у пятиугольника пять вершин и пять	сторон	.
Такие ленты вырезаются не ножницами , а ножом или лезвием : бумага « наворачивается » на линейку или другую жесткую основу поперек , с двух	сторон	на ней рисуется .
3 Треугольник , каждая из	сторон	которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных	сторон	) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Попробуйте провести непрерывную линию по одной из	сторон	перекрученного кольца ( будем считать , что это путь муравья ) .
39 Вдоль бумажной ленты длиной 60 см проведена с двух	сторон	посередине прямая линия .
1 Каждая из	сторон	треугольника равна 7 см. Сколько треугольных сантиметров составляет его площадь ? .
10 Какое наибольшее число различных	сторон	может быть в шестиугольнике , имеющем ось симметрии ? .
Площади плоских фигур при увеличении их	сторон	в n раз увеличиваются в n×n раз .
Пусть в треугольнике АВС	сторона	АВ равна 6 см , ∠ВАС равно 70 ° , ∠АВС равно 40 ° .
Пусть	сторона	каждого треугольника равна 3 см. Изготовьте такую полоску и раскрасьте .
Одна	сторона	у него оранжевая , другая серая .
Лицевая сторона ; оборотная	сторона	.
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это квадрат ,	сторона	которого в два раза больше стороны исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
б )	сторона	и два прилежащих к ней угла .
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение треугольника по следующим данным :	сторона	треугольника равна 6 см , а прилежащие к ней углы равны 85 ° и 100 ° .
46 Докажите , что в прямоугольном треугольнике , один из углов которого равен 30 ° , наибольшая	сторона	в два раза больше наименьшей .
1 Сложите шесть спичек так , чтобы образовалось четыре треугольника (	сторона	каждого треугольника должна быть равной длине спички ) .
Лицевая	сторона	; оборотная сторона .
8 Кусок бумаги имеет форму прямоугольника , одна	сторона	которого равна четырем , а другая — девяти единицам длины .
Найдите сторону двух квадратов , отмеченных знаком вопроса , если	сторона	маленького черного квадрата равна 1 .
Оказывается , у перекрученного кольца ( впоследствии его назвали листом Мёбиуса ) имеется только одна	сторона	!
Затем от этого прямоугольника отрежьте квадрат со стороной 6 см. Останется прямоугольник , одна	сторона	которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
б ) треугольник , одна	сторона	которого проходит по сторонам клеток .
8 Найдите площади каждой части танграма , если	сторона	клетки равна 1 .
2 Перечертите на клетчатую бумагу фигуру и вырежьте ее (	сторона	каждого квадрата 4 см ) .
Если	сторона	угла совпадает с правой половиной основания транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
одна	сторона	угла совпала с основанием транспортира , соответствующим 0 ° .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ;	сторона	и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
Пусть в треугольнике АВС угол ВАС равен 40 ° ,	сторона	А В равна 4 см. Рассмотрим три случая : а ) ВС равно 2 см ; б ) ВС равно 3,5 см ; в ) ВС равно 5 см .
2 Начертите при помощи транспортира углы , равные 10 ° , 20 ° , 30 ° , 170 ° , причем так , чтобы одна	сторона	у всех углов была общей .
Вершина ;	сторона	; угол треугольника .
Вторая	сторона	угла указывает на шкале угол в градусах .
Рассмотрим , например , задачу о построении треугольника по двум	сторонам	и углу , но не между данными сторонами .
Как найти площадь этого треугольника , если это . а ) прямоугольный треугольник , две стороны которого проходят по	сторонам	клеток .
б ) треугольник , одна сторона которого проходит по	сторонам	клеток .
10 Через точку внутри квадрата проведены прямые по	сторонам	и диагоналям клеток .
53 Через точку на диагонали прямоугольника провели прямые , параллельные его	сторонам	.
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах , а стороны прямоугольника шли по	сторонам	клеточек на бумаге .
Перегните полоску по	сторонам	треугольников и сложите , как показано .
7 В треугольнике АВС отрезки AA1 , и ВВ1 перпендикулярны	сторонам	ВС и АС .
Разрезать можно не только по	сторонам	, но и по диагоналям клеточек .
Если мы теперь вернемся к задаче построения треугольника по трем	сторонам	, то исходными данными для построения будут являться три данных отрезка .
Построение треугольника по двум	сторонам	и углу между ними .
1 Показан способ разрезания квадрата со стороной в четыре клетки по	сторонам	клеток на две равные части .
Он обнаружил , что на перекрученном кольце линия прошла по обеим	сторонам	, хотя его карандаш не отрывался от бумаги .
Построение треугольника по трем	сторонам	.
Сколько существует способов разрезания квадрата на две равные части линиями , идущими по	сторонам	маленьких квадратиков ? .
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два квадрата со сторонами , равными меньшим	сторонам	треугольника .
3 Постройте квадрат со стороной А В , где А и В — узлы клетчатой бумаги и отрезок А В не проходит по	сторонам	клеток .
9 Начертите на листе бумаги любой угол и вырежьте его по	сторонам	, оставив бумагу между сторонами угла неразрезанной .
3 Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой равнобедренный треугольник с такими же боковыми	сторонами	?
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два квадрата со	сторонами	, равными меньшим сторонам треугольника .
Постройте треугольник со	сторонами	7 см , 5 см , 4 см. Решение этой задачи .
Чему равен угол между большими	сторонами	получившихся треугольников ?
2 Треугольник со	сторонами	7 см « выложен » треугольными сантиметрами .
И здесь вновь возникает вопрос : любые ли три отрезка могут быть	сторонами	треугольника ?
У нас есть 10 квадратных карточек со	сторонами	10 , 9 , 8 , 7 , 1 .
Как вы думаете , какие углы образует диагональ со	сторонами	квадрата ?
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить	сторонами	треугольника , если сумма длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
Рассмотрим , например , задачу о построении треугольника по двум сторонам и углу , но не между данными	сторонами	.
Заметим , что , какими бы мы ни задали две стороны треугольника , существует единственный треугольник с такими	сторонами	и углом .
А если взять квадрат других размеров — больше или меньше , — изменится ли угол между	сторонами	квадрата ?
Набор пентамино содержит 12 фигурок , каждая из которых составлена из пяти ( « пента » в переводе с греческого означает « пять » ) одинаковых квадратов , причем квадраты « соседствуют » друг с другом только	сторонами	.
Какой угол образует биссектриса этого угла с его	сторонами	?
Вырежьте из бумаги прямоугольник со	сторонами	10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется прямоугольник , стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
32 Может ли быть треугольник с очень большими	сторонами	и очень маленькой площадью ?
Угол квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю квадрата и его	сторонами	образуются углы по 45 ° .
9 Начертите на листе бумаги любой угол и вырежьте его по сторонам , оставив бумагу между	сторонами	угла неразрезанной .
2 На	сторонах	угла отложим отрезки АВ равно 5 см и АС равно 3 см ( используем линейку с делениями ) .
Найти на	сторонах	угла две точки М и N так , чтобы длина замкнутого пути была наименьшей .
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины треугольника лежали на его	сторонах	, а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
26 Поскольку на рисунке не видны автобусные двери ( они находятся на невидимой для нас	стороне	автобуса ) , автобус едет влево , т .
3 К левой	стороне	квадрата пририсуем треугольник .
Если же к	стороне	одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
Можно сделать вывод : по	стороне	и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный треугольник , но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными .
Общую вершину треугольников будем считать центром окружности с радиусом , равным	стороне	треугольника .
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же треугольника и квадрат со стороной , равной большей	стороне	треугольника .
Построение треугольника по	стороне	и двум углам .
Возьмем лист клетчатой бумаги и проведем в нем вертикальную черточку по	стороне	одной клетки .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со	стороной	1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
19 Куб со	стороной	1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд .
Изготовьте из картона набор пентамино со	стороной	квадратика , равной 2 см .
А площадь квадрата со	стороной	1 см равна 1 квадратному сантиметру .
19 Куб со стороной 1 м распилили на кубики со	стороной	1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд .
14 Имеется куб со стороной 3 см. Сколько надо сделать распилов , чтобы распилить его на кубики со	стороной	1 см ? .
1 Показан способ разрезания квадрата со	стороной	в четыре клетки по сторонам клеток на две равные части .
4 Буква Т составлена из шести квадратов со	стороной	1 см .
14 Имеется куб со	стороной	3 см. Сколько надо сделать распилов , чтобы распилить его на кубики со стороной 1 см ? .
8 Получится квадрат со	стороной	6 единиц .
Затем на нее положим карточку со	стороной	9 , но не по центру ( в левом верхнем углу ) .
Пары углов с общей	стороной	.
Возьмем квадрат со	стороной	1 м .
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же треугольника и квадрат со	стороной	, равной большей стороне треугольника .
Затем от этого прямоугольника отрежьте квадрат со	стороной	6 см. Останется прямоугольник , одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
3 Постройте квадрат со	стороной	А В , где А и В — узлы клетчатой бумаги и отрезок А В не проходит по сторонам клеток .
Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со	стороной	10 см. Останется прямоугольник , стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
На нее ( в левый нижний угол ) положим черную карточку со	стороной	8 .
черную , со	стороной	10 .
Теперь он имеет розовую	сторону	.
12 Переложите две спички так , чтобы корова смотрела в противоположную	сторону	.
Луч ОМ — это часть прямой по одну	сторону	от некоторой точки — начала луча ( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
Как изменится площадь треугольника , если каждую его	сторону	увеличить в 2 раза ?
Два соседних плоских многоугольника имеют общую	сторону	— ребро многогранника .
2 Как изменится площадь квадрата , если его	сторону	увеличить в 2 раза ?
Возьмем окружность и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на окружности по одну	сторону	от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
1 Сравните	сторону	квадрата с его диагональю .
Если какая - то шестеренка вращается в одну	сторону	, то соседние — в другую .
Проведем боковую	сторону	под прямым углом и закончим построение золотого прямоугольника .
10 Переложите три спички так , чтобы рыбка поплыла в противоположную	сторону	.
1 Даны прямая l и две точки А и В по одну	сторону	от нее .
1 Изменим верхнюю	сторону	квадрата .
Удастся ли муравью попасть на обратную , изнаночную	сторону	кольца , не переползая через край ?
Найдите	сторону	двух квадратов , отмеченных знаком вопроса , если сторона маленького черного квадрата равна 1 .
Оборотную	сторону	раскрасьте также в соответствии с рисунком .
Проползая вперед , он одновременно смещается в	сторону	вращения диска .
2 Тогда , чтобы ячейки « вдвинулись » одна в другую , так же надо изменить и противоположную	сторону	.
Карточки ,	стороны	которых четны , — черного цвета , а остальные — белого .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это многоугольник , у которого три	стороны	и три вершины » , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию « многоугольник » .
Лучи ОА и ОВ —	стороны	угла .
На прямоугольники , в которых	стороны	соотносятся приблизительно как 1,6:1 , обратили внимание очень давно .
Перегните квадрат пополам так , чтобы совпали две противоположные	стороны	.
11 Противоположные	стороны	шестиугольника , равны .
Значит , квадрат — это параллелограмм с прямыми углами , все	стороны	которого равны .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три	стороны	) , то такие треугольники равны .
Ромб — это параллелограмм , у которого все	стороны	равны .
Покажите в нем параллельные и перпендикулярные	стороны	.
Это же сделать с другой	стороны	.
Эти предметы расположены на столе так , чтобы , глядя на них из некоторой точки , можно было догадаться , как выглядит эта группа предметов с противоположной	стороны	( т .
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это квадрат , сторона которого в два раза больше	стороны	исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания четырехугольник и треугольник , то соответствующие	стороны	не лежат на одной прямой .
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять чисел , выражающих	стороны	прямоугольников , были бы различными целыми числами .
Возьмем , например , два треугольника :	стороны	первого 27 , 36 , 48 , а второго 36 , 48 , 64 .
14 Васин дом расположен на берегу реки , с одной	стороны	которой лес , а с другой — поле .
Значит , квадрат — это прямоугольник , у которого все	стороны	равны .
Его	стороны	попарно параллельны : АВ ‖ CD , ВС ‖ AD .
Более того , если точка О ( центр окружности ) лежит с той же	стороны	от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
8 В сечении получается прямоугольник , две	стороны	которого равны ребрам куба , а две другие — диагоналям граней .
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять стороны такими , чтобы сумма двух сторон мало отличалась от третьей	стороны	.
Как найти площадь этого треугольника , если это . а ) прямоугольный треугольник , две	стороны	которого проходят по сторонам клеток .
Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется прямоугольник ,	стороны	которого 6 см и 10 см , т . е .
3 У квадрата , как и у параллелограмма ,	стороны	попарно параллельны .
Учащиеся становятся попарно лицом друг к другу , и один из них вслух описывает , как видит эту композицию его товарищ с противоположной	стороны	.
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые	стороны	; новый треугольник складывается еще раз и т .
Изобразим прямой угол и продолжим его	стороны	за вершину .
По этим договоренностям	стороны	треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Говорят , что его	стороны	образуют золотое сечение .
20 Разрежьте квадрат на пять прямоугольников так , чтобы у любых двух соседних прямоугольников	стороны	не совпадали .
35 Равны ли два угла треугольника , если они имеют по три равных угла и по две равные	стороны	? .
4 Такой же треугольник мы должны вырезать с противоположной	стороны	.
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять	стороны	такими , чтобы сумма двух сторон мало отличалась от третьей стороны .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей треугольным сантиметром , взяв за единицу треугольник , у которого все	стороны	равны 1 см ?
17 Круг диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу сложить вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в	стороны	, слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
а ) две	стороны	и угол между ними .
Задача решалась бы совсем легко , если бы точки А и В лежали по разные	стороны	от прямой l.
в ) три	стороны	.
а ) левую и правую	стороны	, верх и низ , предметы спереди и сзади вас , если вы стоите лицом к зеркалу ?
Можно ли построить треугольник ,	стороны	которого являются отрезками длиной : а ) 7 см , 4 см , 2 см ; б ) 9 см , 5 см , 4 см ? .
Значит , и ВС ‖ A D. Получилось , что у прямоугольника	стороны	попарно параллельны .
Прямая А1А2 пересечет	стороны	угла в искомых точках М и N. Объясните это .
Алеша проверил работу иначе : он измерил не	стороны	, а диагонали .
Две равные	стороны	— равнобедренный треугольник ( равные стороны называются боковыми ) .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две	стороны	и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
1 У квадрата , как и у ромба , все	стороны	равны .
Сторона ОС у них общая , а	стороны	ОА и ОD составляют развернутый угол .
Пусть в треугольнике АВС известны две	стороны	АВ равно 5 см и АС равно 3 см и угол между ними ВАС , равный 50 ° .
Какие тела , если на них посмотреть с соответствующей	стороны	, могут выглядеть , как на рисунке ?
Только еще все	стороны	равны .
Все четыре	стороны	оказались равными , и Вася решил , что справился с заданием .
С какой	стороны	мы смотрим на этот каркасный куб ? . .
Все	стороны	равны — равносторонний , или правильный , треугольник .
Заметим , что , какими бы мы ни задали две	стороны	треугольника , существует единственный треугольник с такими сторонами и углом .
Рассмотрите самостоятельно случай , когда точка О расположена вне треугольника AMВ ( но М и О — с одной	стороны	от АВ ) .
Две равные стороны — равнобедренный треугольник ( равные	стороны	называются боковыми ) .
Поскольку второй треугольник получается из первого увеличением каждой	стороны	в 3/4 раза , то треугольники имеют равные углы .
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах , а	стороны	прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
Поменялись ли на изображении местами правая и левая	стороны	?
Правильный шестиугольник вписан в окружность , и все	стороны	равны радиусу этой окружности .
Циркуль позволяет . —	строить	окружности . — сравнивать отрезки по величине .
— проводить прямые линии . — измерять отрезки . —	строить	отрезки заданной длины .
С помощью циркуля и линейки также можно	строить	параллельные и перпендикулярные прямые .
Значит ,	сумма	площадей двух маленьких квадратиков равна площади квадрата .
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника , если	сумма	длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять стороны такими , чтобы	сумма	двух сторон мало отличалась от третьей стороны .
33 Иллюстрирует еще одно наглядное доказательство того , что	сумма	углов треугольника равна 180 ° .
Подумайте , чему равна	сумма	смежных углов .
1 Геометрическая теория утверждает , что	сумма	углов треугольника равна 180 ° .
а )	сумма	углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
Докажите , что	сумма	площадей закрашенных частей равна сумме площадей незакрашенных частей .
Но	сумма	трех углов , сходящихся в точке О , равна 360 ° .
Конечно , в результате измерения во всех случаях	сумма	углов вряд ли будет равной 180 ° .
Позднее вы узнаете , что соответствующее построение возможно , если	сумма	заданных углов меньше 180 ° .
Расставьте на развертках куба числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы	сумма	чисел на противоположных гранях была равна 7 .
11 Две половинки маленьких кружочков в	сумме	составляют четверть большого круга , так как радиус маленького круга в два раза меньше радиуса большого круга .
Тогда число в каждом следующем узле равно	сумме	чисел предшествующих узлов ( тех , из которых попадаем в этот узел за один переход ) .
Докажите , что сумма площадей закрашенных частей равна	сумме	площадей незакрашенных частей .
Какой вывод о	сумме	углов треугольника вы можете сделать ? .
От квадрата отрезаны четыре равных треугольника , площади которых в	сумме	составляют 12 клеток .
1 Измерьте с помощью транспортира углы треугольников и результаты внесите в таблицу , в последнем столбце которой запишите	сумму	углов .
А вот на	сфере	перпендикуляры ведут себя иначе .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника	сходится	одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
На ней видно , как линии , уходящие вглубь ,	сходятся	в одной точке , а фигура , находящаяся дальше от нас , изображается в виде фигуры меньших размеров .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани	сходятся	под равными углами .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и	сходятся	в общей точке пространства .
Но сумма трех углов ,	сходящихся	в точке О , равна 360 ° .
В работе над задачами можно использовать спички ,	счетные	палочки или просто рисунок на бумаге .
Думается , что и вас , и ваших родных увлечет изготовление моделей геометрических	тел	.
Дайте определение центральной симметрии , удобное и для пространственных	тел	.
Аккуратность и точность при вычерчивании разверток геометрических	тел	— 80 % успеха в изготовлении моделей !
Для многогранников ( объемных	тел	) это не так .
2 Объемы	тел	при увеличении их ребер в n раз увеличиваются n×n×n раз .
20 Возьмите набор геометрических	тел	( куб , шар , пирамида , конус , цилиндр и др. ) .
12 Тела составлены из кубиков с ребром в 1 см. Подсчитайте объемы	тел	.
Совершенство форм , красивые математические закономерности , присущие правильным многогранникам , явились причиной того , что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических	тел	издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов .
11 Сколько различных	тел	можно построить , соединяя два соседних кубика только по граням : а ) из трех кубиков ?
Объемные	тела	, составленные из одинаковых частей , имеют одинаковый объем .
Если , не меняя формы	тела	, увеличить его размеры в n раз , то его объем увеличится в n×n×n раз .
Какие	тела	, если на них посмотреть с соответствующей стороны , могут выглядеть , как на рисунке ?
Все предметы (	тела	) в окружающем нас мире имеют три измерения , хотя далеко не у всех можно указать длину , ширину , высоту .
С давних пор люди пытались объемные	тела	изобразить на плоскости так , чтобы их сразу можно было отличить от плоских , чтобы чувствовалась глубина пространства .
10 Изобразите три	тела	, вырезанных из кубика , девятью способами , как на образце .
27 Изображены некоторые геометрические	тела	.
Изображение пространственного	тела	на плоскости — дело непростое .
А как быть с пространственными фигурами (	телами	) ?
Мы смотрим на	тело	с трех сторон : спереди , сверху и слева .
Каждая плоская фигура или пространственное	тело	имеет форму и размеры .
Как называется геометрическое	тело	, полностью описываемое тремя измерениями — длиной , шириной и высотой ?
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое	тело	— пирамида .
Пирамида — « жесткое » геометрическое	тело	, т .
Надо обладать хорошим пространственным воображением , чтобы суметь представить себе	тело	по его трем проекциям .
В этот лабиринт , с бесчисленными коридорами , тупиками и переходами , Минос поселил Минотавра ( кровожадное существо с человеческим	телом	и головой быка ) и потребовал у афинян , убивших его сына , раз в девять лет присылать на съедение чудовищу семерых сильнейших юношей и семь красивейших девушек .
Какие из рисунков могут соответствовать одному и тому же	телу	? .
12 Рисунок иллюстрирует одну из древнейших	теорем	геометрии — теорему Пифагора .
Именно это и утверждает	теорема	Пифагора .
Может , вы сумеете сами « открыть » эту великую	теорему	? .
12 Рисунок иллюстрирует одну из древнейших теорем геометрии —	теорему	Пифагора .
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс , увлекшись изготовлением моделей многогранников , написал в письме к отцу : « я сделал	тетраэдр	, додекаэдр и еще два эдра , для которых не знаю правильного названия » .
5 Дан	тетраэдр	, грани которого окрашены в серый , оранжевый , розовый и белый цвета .
Если	тетраэдр	сначала стоял на оранжевой грани , то какого цвета будет последний след ?
Показано , как можно сплести	тетраэдр	из двух полосок , состоящих из четырех треугольников .
Изображены правильные многогранники —	тетраэдр	, куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .
Оказывается , первый из них (	тетраэдр	) стоит немного особняком : если считать центры его граней вершинами нового многогранника , то вновь получим тетраэдр .
Треугольная пирамида имеет еще одно название —	тетраэдр	, т .
Сложите из белой	тетраэдр	так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
Оказывается , первый из них ( тетраэдр ) стоит немного особняком : если считать центры его граней вершинами нового многогранника , то вновь получим	тетраэдр	.
Сделайте модель	тетраэдра	из бумаги .
Подумайте , что является разверткой	тетраэдра	, нарисуйте ее .
5 Пронумеруем вершины	тетраэдра	числами 1 , 2 , 3 , 4 .
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани	тетраэдра	и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
Интересно , что с точки зрения	топологии	гайка , макаронина и кружка — одинаковые объекты .
Придумайте еще несколько предметов , одинаковых с гайкой с точки зрения	топологии	.
Чтобы получить некоторое представление о	топологии	, рассмотрим несколько топологических опытов с поверхностями , полученными из бумажной полоски примерно 30 см в длину и 3 см в ширину .
И приняв все это в расчет , а также определив широту и долготу , учитывая данные метеорологии , психологии , геологии ,	топологии	и болтологии , а также астрономии и физиологии , статистики , лингвистики , беллетристики и мистики , мы можем » .
Лист Мёбиуса — один из объектов	топологии	.
К	топологическим	относятся и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком .
Перечислите несколько «	топологических	родственников » шара .
Чтобы получить некоторое представление о топологии , рассмотрим несколько	топологических	опытов с поверхностями , полученными из бумажной полоски примерно 30 см в длину и 3 см в ширину .
Все пять	точек	( Р , М , А , В , С ) лежат на одной окружности с диаметром РМ .
Выберем , например , две пары	точек	на карте , расстояния между которыми равны , но точки расположены в разных местах карты ( близко к экватору и далеко от него ) .
41 Расставьте на плоскости шесть	точек	таким образом , что если соединить первую точку со второй , вторую с третьей и т .
Постарайтесь провести линию так , чтобы число	точек	пересечения линий разного цвета было бы нечетным .
42 На каждой « петле » таких	точек	будет четное число , а значит , и всего точек пересечения четное число .
Гипербола — это линия , для всех	точек	которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных	точек	плоскости ( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
Каким образом можно быстро определить , где ( внутри или вне этой области ) лежит каждая из	точек	? .
13 Как четырьмя прямыми линиями , не отрывая карандаша от бумаги , перечеркнуть девять	точек	? .
29 Десять	точек	.
Нарисуйте фигуру , состоящую из	точек	, до которых может добраться коза .
48 Через каждую из трех	точек	надо провести прямую , параллельную прямой , проходящей через две другие точки .
Окружность — это линия , состоящая из всех	точек	плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой центром окружности .
Какое наименьшее количество	точек	надо отбросить , чтобы не осталось ни одного правильного треугольника ? .
2 Возьмем одну из	точек	пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное число , а значит , и всего	точек	пересечения четное число .
Сумма расстояний от них до двух заданных	точек	плоскости ( эти точки называются фокусами эллипса ) постоянна .
Этим парам точек будут соответствовать пары	точек	на поверхности земного шара , находящиеся на разном расстоянии одна от другой .
9 В качестве упражнения изобразите на одном чертеже шесть	точек	с координатами : О ( 0 ; 0 ; 0 ) , А ( 1 ; 0 ; 0 ) , В ( 0 ; 1 ; 0 ) , С ( 0:0:1 ) , D(1;1;0 ) , E(1;1:1 ) .
22 Уберите несколько	точек	так , чтобы из оставшихся никакие три не являлись вершинами равностороннего треугольника .
И поясняется : в дюйме 10 линий , в линии — 10	точек	.
Этим парам	точек	будут соответствовать пары точек на поверхности земного шара , находящиеся на разном расстоянии одна от другой .
Постарайтесь достичь этого , убрав как можно меньше	точек	.
5 Даны координаты	точек	.
21 Уберите несколько	точек	так , чтобы из оставшихся никакие четыре не являлись вершинами квадрата .
Совершенство окружности — в расположении всех ее	точек	на одинаковом расстоянии от центра .
31 На горизонтальной прямой расположен квадрат , в котором отмечена	точка	А. Представьте себе , что квадрат начинает перекатываться вдоль прямой .
4 Если	точка	А1 симметрична точке А относительно прямой l , то для любой точки В на этой прямой отрезки А1В и АВ равны .
Тогда	точка	В будет лежать на отрезке AA1 , АВ равно ВА1 ( свойство 2 ) и AB0 равно B0A1 ( свойство 4 ) .
Если А — некоторая	точка	плоскости , а В — точка на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
2 Так как окружность симметрична относительно любого своего диаметра , то она симметрична и относительно диаметра MN , перпендикулярного прямым АА1 и ВВ1 ,	точка	А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
Возьмем точку В так , чтобы отрезок АВ был перпендикулярен l. Пусть В0 — любая другая	точка	на l. Нам надо доказать , что АВ меньше АВ0 .
Если А — некоторая точка плоскости , а В —	точка	на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
8 Пусть все три прямые проходят через точку Р , а М — некоторая	точка	плоскости .
В частности , Москве соответствует	точка	, равная 38 ° восточной долготы .
Такой единицей был дюйм , а также связанные с ним линия и	точка	.
Луч ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой точки — начала луча ( похоже на луч фонарика ,	точка	О — как лампочка фонарика ) .
Возможно ,	точка	зрения не очень привычна .
Точка О — общее начало лучей ОА и ОВ ,	точка	О — вершина угла .
Более того , если	точка	О ( центр окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
Расстояние показывает , как далеко	точка	находится от полюса , а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения , когда она пройдет через нужную точку .
Так вот , оказывается , что	точка	М будет описывать окружность , у которой АВ является диаметром .
Каждая	точка	плоскости задается двумя полярными координатами : углом и расстоянием .
Проследите за траекторией , которую опишет при этом	точка	А , взятая на окружности этого круга Начертите получившуюся кривую .
Вершина С —	точка	пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Пусть проведена прямая l и дана	точка	А вне этой прямой .
Если	точка	О — середина АВ , то ОМ — полдиагонали прямоугольника , т .
2 Дана прямая l и	точка	А на ней .
Более того , если точка О ( центр окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и	точка	М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
На плоскости указывается точка 0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой точки луч — полярная ось , на котором отмечена	точка	, находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Пусть	точка	О лежит внутри треугольника AMВ .
Если А — точка на прямой l , а В —	точка	пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
Если А —	точка	на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
Изображена окружность , отмечен ее центр —	точка	О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
Подумайте , как провести перпендикуляр ( с помощью циркуля и линейки ) , если	точка	А лежит на прямой l .
Вторая точка пересечения этих окружностей (	точка	А1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре .
Вторая	точка	пересечения этих окружностей ( точка А1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре .
Эта	точка	— вершина конуса .
Появится	точка	А1 .
Рассмотрите самостоятельно случай , когда	точка	О расположена вне треугольника AMВ ( но М и О — с одной стороны от АВ ) .
На плоскости указывается	точка	0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой точки луч — полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному и понаблюдайте , какую линию опишет	точка	А. Начертите эту линию .
Изображена раковина :	точка	С делит отрезок АВ приблизительно в золотом отношении .
Прямая , на которой заданы точка 0 и	точка	1 , называется координатной осью или просто осью .
51 Даны две параллельные прямые и	точка	А между ними .
Конечно , это	точка	.
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда	точка	пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
Четвертая	точка	находится на расстоянии одной клетки вправо и трех вниз от третьей точки .
Можно сказать , что	точка	О является центром симметрии , если при повороте вокруг точки О на 180 ° фигура переходит сама в себя .
Теперь каждая	точка	плоскости обозначается парой чисел .
Прямая , на которой заданы	точка	0 и точка 1 , называется координатной осью или просто осью .
Проследите за тем , какую линию опишет отмеченная	точка	, когда кружок покатится по окружности выреза без скольжения .
д. Теперь каждому моменту времени соответствует	точка	на этой прямой .
Обратное движение эта	точка	совершает в нижних частях маленьких петель .
Каждая же	точка	внутри квадрата при четырех поворотах на 90 ° занимает четыре разных положения .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее	точка	повернется вокруг некоторой точки на угол поворота .
5 На плоскости дан острый угол и	точка	А внутри него .
Сверните ее пополам , чтобы	точка	оказалась закрытой , а потом еще пополам ( всякий раз правый конец накладываем на левый ) .
Значит , все точки дуги АВ симметричны	точкам	дуги А1В1 т .
Понятно , что	точкам	слева от начального меридиана соответствуют значения западной долготы .
Если мы соединим центр окружности ( точку О ) с	точками	деления , то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
Отрезок АВ — это часть прямой между двумя	точками	А и В ( из прямой как бы вырезали кусочек ) .
Замените комнаты	точками	, а двери — дугами и постройте соответствующий граф .
Сделайте ее и отметьте	точками	местонахождение паука и мухи .
9 Сколько различных равносторонних треугольников с вершинами в данных	точках	можно начертить ? .
8 Сколько различных квадратов с вершинами в данных	точках	можно начертить ? .
4 Возьмите две точки на прямой CD и постройте прямоугольный треугольник с вершинами в этих	точках	.
с тремя предыдущими в трех	точках	.
34 В скольких	точках	прямая может пересекать контур треугольника ?
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух	точках	.
Прямая А1А2 пересечет стороны угла в искомых	точках	М и N. Объясните это .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух	точках	, мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
В	точках	А и Б — вход и выход из сквера .
Она пересечет построенную окружность в	точках	В и С. Передвиньте центр построенной окружности на АВ или АС .
Возьмите плотный лист бумаги , прикрепите к нему в двух	точках	нитку и натяните карандашом эту нитку .
На ней видно , как линии , уходящие вглубь , сходятся в одной	точке	, а фигура , находящаяся дальше от нас , изображается в виде фигуры меньших размеров .
4 Если точка А1 симметрична	точке	А относительно прямой l , то для любой точки В на этой прямой отрезки А1В и АВ равны .
Но сумма трех углов , сходящихся в	точке	О , равна 360 ° .
А затем — такой же треугольник с вершиной в	точке	А .
Прямоугольник обладает тем свойством , что его диагонали равны между собой и делятся пополам в	точке	их пересечения .
Если мы теперь начертим окружность с центром в	точке	А , проходящую через точку В ( т . е .
В результате в	точке	Б получим число 100 .
Пусть одна касается окружности в точке В , а другая — в	точке	С. Имеет место равенство АВ равно АС .
Пусть одна касается окружности в	точке	В , а другая — в точке С. Имеет место равенство АВ равно АС .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются углы с вершиной в	точке	пересечения прямых ) ? .
Построим точку A1 , симметричную	точке	А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной	точке	А относительно прямой l , А1М равно AM .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей	точке	пространства .
5 Надо построить точки А1 и А2 , симметричные	точке	А относительно сторон угла .
Возьмем точку А1 , симметричную	точке	А относительно l.
Они перпендикулярны друг к другу , но все меридианы пересекаются в одной	точке	— на полюсе .
Если бы они пересеклись , например , в	точке	С , то мы получили бы треугольник АВС , у которого два прямых угла , что невозможно .
Если начертить прямую в тетради , то одна из прямых , перпендикулярных ей , будет лежать в плоскости тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной	точке	.
Ведь эта линия в каждой	точке	загибается ! .
Теперь каждой	точке	пространства соответствуют три координаты , тройка чисел х , у , z.
Чтобы получить декартову систему координат в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z , перпендикулярную им , с тем же началом в	точке	0 .
Циркулем проведем дугу окружности радиусом АВ с центром в	точке	А .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в	точке	В1 .
Клад находился в	точке	пересечения прямых , соединяющих первый и третий , второй и четвертый дубы .
Какую бы плоскость мы ни провели через АА1 , обязательно прямая D1C1 либо пересечет ее в какой - либо одной	точке	, либо не пересечет никогда .
Давно математики пытались решить такую задачу : какой формы должен быть гладкий желоб , соединяющий две	точки	А и В ( А выше , чем В ) , чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время ?
Кратчайшее расстояние укажет прямая , соединяющая эти	точки	.
Отметьте на листе две	точки	А и В , а затем сложите лист так , чтобы А и В совпали .
Задача решалась бы совсем легко , если бы	точки	А и В лежали по разные стороны от прямой l.
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие	точки	М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Четвертая точка находится на расстоянии одной клетки вправо и трех вниз от третьей	точки	.
Интересно , что с	точки	зрения топологии гайка , макаронина и кружка — одинаковые объекты .
Если всмотреться в эти линии , то можно увидеть , что каждую последующую можно получить из предыдущей , добавляя к ней такую же кривую , но полученную поворотом на 90 ° по часовой стрелке вокруг последней	точки	.
Придумайте еще несколько предметов , одинаковых с гайкой с	точки	зрения топологии .
Поворот на 180 ° вокруг	точки	о ( центральная симметрия ) .
Оказывается , в каждый момент времени в этом поезде , более того , в каждом вагоне есть	точки	, движущиеся в обратном направлении .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от	точки	F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
5 Надо построить	точки	А1 и А2 , симметричные точке А относительно сторон угла .
Если трафарет поворачивать вокруг	точки	О ( центра симметрии ) на 180 ° , то бордюр уже будет иным .
Рассмотрим теперь такие	точки	М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
48 Через каждую из трех точек надо провести прямую , параллельную прямой , проходящей через две другие	точки	.
А теперь попробуйте другим цветом провести какую - нибудь замкнутую линию , не проходящую через	точки	самопересечения уже проведенной линии и не самопересекающуюся на этой линии .
Мы можем взять и трафарет , рисунок которого совпадает сам с собой при повороте его на 180 ° вокруг центра (	точки	, лежащей внутри рисунка ) .
Отступая от второй	точки	по одной клетке вправо и вниз , находим третью точку .
Луч ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой	точки	— начала луча ( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
положение	точки	на карте .
Все	точки	одной ветви ближе к одному фокусу ( соответствующим образом берется и разность расстояний ) , а другой ветви к другому .
3 Возьмите лист бумаги и нарисуйте разноцветными карандашами четырех драконов , « вырастающих » из одной	точки	( у первого дракона первая черточка идет вверх , у второго — вправо , у третьего — вниз , у четвертого — влево ) .
1 Даны прямая l и две	точки	А и В по одну сторону от нее .
Меняя прямую , проходящую через точку А , мы будем получать различные	точки	, которые будут описывать некоторую линию .
Выберем , например , две пары точек на карте , расстояния между которыми равны , но	точки	расположены в разных местах карты ( близко к экватору и далеко от него ) .
Соединив плавной линией полученные	точки	, мы весьма похоже изобразим четверть окружности .
Для этого достаточно циркулем , не меняя раствора , разделить окружность на равные части , а затем	точки	деления соединить последовательно или через одну .
4 Ученик нарисовал на доске окружность , отметил на ней	точки	А , В и С и стер ее , оставив лишь эти точки .
4 Ученик нарисовал на доске окружность , отметил на ней точки А , В и С и стер ее , оставив лишь эти	точки	.
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая	точки	пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Найти на сторонах угла две	точки	М и N так , чтобы длина замкнутого пути была наименьшей .
Соединив последовательно	точки	деления отрезками , получим треугольник , вписанный в окружность .
Из этой	точки	к окружности можно провести две касательные .
Он взял карту этой местности ( масштаб карты 1:100 000 , что означает уменьшение всех настоящих размеров в 100 000 раз ) и решил отметить на этой карте все	точки	, до которых он может дойти за 1 ч .
Аналогично и	точки	А и В. Таким образом , построив перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим точку их пересечения .
1 На отрезке АВ взяты	точки	K и М. Сколько получили разных отрезков ?
Используя эти свойства , можно совершенно иначе , с неожиданной	точки	зрения определить хорошо знакомую геометрическую фигуру .
Изображены три прямые и	точки	на них .
Эти предметы расположены на столе так , чтобы , глядя на них из некоторой	точки	, можно было догадаться , как выглядит эта группа предметов с противоположной стороны ( т .
Затем треугольник стерли , но отмеченные	точки	остались .
Проводя прямые , соединяющие всевозможные	точки	окружности с вершиной , получим коническую поверхность .
Давно математики пытались решить такую задачу : какой формы должен быть гладкий желоб , соединяющий две точки А и В ( А выше , чем В ) , чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из	точки	А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время ?
Получим точку М. Из этой	точки	М отрезок АВ виден под прямым углом .
Можно сказать , что точка О является центром симметрии , если при повороте вокруг	точки	О на 180 ° фигура переходит сама в себя .
Поэтому , приложив линейку от	точки	А до точки В , можно измерить его диагональ .
Поэтому , приложив линейку от точки А до	точки	В , можно измерить его диагональ .
3 Соединим полученные	точки	.
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для	точки	А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
Она характеризуется наличием центра симметрии —	точки	О , обладающей определенным свойством .
Так вот , самая нижняя часть колеса , находящаяся ниже его опорной	точки	, движется в направлении , обратном движению всего колеса .
6 На окружности радиусом 1 взяты три	точки	А , В , С так , чтобы угол АСВ был равен 30 ° .
3 Прямая , проходящая через	точки	А и А1 параллельна прямой l .
Возможно , он скажет что - то вроде : « Возьмем три	точки	.
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от	точки	А до прямой m .
Итак , если мы хотим из	точки	А по кратчайшему пути попасть на прямую m , то двигаться надо по перпендикуляру к прямой m .
Поэтому	точки	, которых он может достичь за час , расположены на окружности с радиусом 4 км и центром в том месте , где Вася находится в начале пути .
4 Если точка А1 симметрична точке А относительно прямой l , то для любой	точки	В на этой прямой отрезки А1В и АВ равны .
8 Изобразите в полярных координатах	точки	: а ) А ( 10 ° ; 2 ) , В ( 130 ° ; 2 ) , С ( 250 ° ; 2 ) ; б ) К ( 20 ° ; 3 ) , L(110 ° ; 3 ) , М ( 200 ° ; 3 ) , N ( 290 ° ; 3 ) .
Оказывается , туристы обычно пользуются в походах полярными координатами , а азимут — это угол между направлением на север и направлением на некоторый предмет из	точки	, где находится турист .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой	точки	на угол поворота .
7 Изобразите в полярных координатах	точки	( 60 ° ; 1,5 ) , ( 150 ° ; 3 ) , ( 180 ° ; 1 ) , ( 270 ° ; 5 ) , ( 330 ° ; 2 ) .
Отмечены	точки	( 0 ° ; 3 ) , ( 45 ° ; 2 ) , ( 90 ° ; 1 ) , ( 135 ° ; 4 ) .
Через какие	точки	она проходит ?
На плоскости указывается точка 0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой	точки	луч — полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Этот мир полностью лежит на прямой ; жители его — отрезки , лучи ,	точки	.
2 Отрезок , соединяющий симметричные	точки	, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам .
Можно убрать четыре	точки	.
Верно отметив на координатной плоскости и соединив последовательно эти	точки	, вы получите рисунок .
Для этого сначала надо поставить его на стол так , чтобы он опирался на три нижние	точки	.
Если верхние	точки	флексагона развести в стороны , то он будет готов к новому превращению .
1 Для любой	точки	плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой прямой .
22 Для облегчения решения пронумеруйте	точки	и запишите все 12 возможных равносторонних треугольников тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
Теперь понятно , почему при перемещении	точки	М по дуге окружности угол AM В остается постоянным ? .
д. А затем вычеркивайте	точки	и треугольники , содержащие эти точки , по их номерам .
д. А затем вычеркивайте точки и треугольники , содержащие эти	точки	, по их номерам .
Построите	точки	, соответствующие местонахождению дубов , и определите координаты пещеры с сокровищами .
14 Если бы Вася был , например , в поле и его скорость была 4 км / ч , то за 1 ч Вася мог бы отойти от начальной	точки	на 4 км .
Указывая широту и долготу	точки	, мы указываем ее координаты , т .
Угол АОВ — это часть плоскости , ограниченная двумя лучами , выходящими из одной	точки	.
Они показывают географическую широту в градусах ( удаление ( в градусах ) данной	точки	от экватора ) .
Все	точки	справа ( восточнее ) от него имеют восточную долготу .
6 Известно , что через три	точки	, не лежащие на одной прямой , можно провести одну плоскость .
Из этого дракона также можно получить еще трех , « растущих » из той же	точки	.
4 Возьмите две	точки	на прямой CD и постройте прямоугольный треугольник с вершинами в этих точках .
Отрезок АВ соединяет две	точки	окружности и проходит через ее центр .
Все	точки	экватора имеют нулевую широту .
На чертеже отмечены две	точки	.
Координаты	точки	плоскости — это пара чисел , из которых одно число является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
Постройте фигуру ( сечение ) , по которой плоскость , проходящая через указанные	точки	, пересечет куб .
Наложим кальку на карту так , чтобы	точки	А и Аl совпали и отрезок АlВl « пошел » по АВ .
Условимся	точки	, в которых соединяются кривые , называть узлами .
Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости ( эти	точки	называются фокусами эллипса ) постоянна .
Возьмем окружность и две	точки	на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на окружности по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
Значит , все	точки	дуги АВ симметричны точкам дуги А1В1 т .
Сколько правильных треугольников можно построить , считая эти	точки	вершинами треугольников ? .
Все	точки	эллипса , как видно из построения , обладают одним свойством .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной	точки	плоскости , называемой центром окружности .
В этой системе отметим	точки	Аl(2 ; 1 ) и Вl(8 ;
7 Проведите три луча из одной	точки	( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите окружности разных радиусов в образовавшиеся углы .
Иными словами , кратчайшим путем от	точки	до прямой является путь по перпендикулярному к этой прямой направлению .
По поводу	точки	в словаре Даля сказано , что это « малейшая доля протяженья » .
линия сгиба , по которой надо согнуть лист ребром наружу ( как крыша дома ) линии предыдущих сгибов направление сгиба согнуть и разогнуть разъединить слои бумаги	точки	A и В свести в точку С .
Дано изображение куба , на поверхности которого указаны три	точки	.
Эти	точки	разобьют четвертую прямую на четыре куска .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с	точкой	на окружности .
Возьмите длинную полоску бумаги , левый конец которой пометьте	точкой	.
Изобразите траекторию , описываемую	точкой	А. ( Предварительно перерисуйте в тетрадь рисунок ) .
В углах , отмеченных кружочком ( о ) , делается поворот всей предыдущей кривой против часовой стрелки , а в углах , отмеченных	точкой	( • ) , — по часовой стрелке .
3 В каком отношении диагонали делятся	точкой	пересечения ? .
Ее нельзя путать с	точкой	N ( 2 ; 5 ) .
Это железные дороги ( у нас в стране у большинства железных дорог	точкой	отсчета является Москва ) , улицы городов и т .
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам	точкой	М .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой —	точку	В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
Отступая от второй точки по одной клетке вправо и вниз , находим третью	точку	.
Найдите на прямой такую	точку	M , чтобы путь из А в В через М был кратчайшим , т .
Возьмем	точку	В так , чтобы отрезок АВ был перпендикулярен l. Пусть В0 — любая другая точка на l. Нам надо доказать , что АВ меньше АВ0 .
линия сгиба , по которой надо согнуть лист ребром наружу ( как крыша дома ) линии предыдущих сгибов направление сгиба согнуть и разогнуть разъединить слои бумаги точки A и В свести в	точку	С .
Меняя прямую , проходящую через	точку	А , мы будем получать различные точки , которые будут описывать некоторую линию .
8 Пусть все три прямые проходят через	точку	Р , а М — некоторая точка плоскости .
Если мы теперь начертим окружность с центром в точке А , проходящую через	точку	В ( т . е .
Возьмем окружность и	точку	над ее центром .
Веревка зацепится за колышек на островке , и по возвращении человека в исходную	точку	станет в два раза короче ( как раз от А до В ) и окажется натянутой между кольями .
Построим	точку	A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
Получим	точку	М. Из этой точки М отрезок АВ виден под прямым углом .
37 Три прямые разбивают плоскость на семь частей ( прямые не параллельны и не проходят через одну	точку	) .
Через какую	точку	проходит линия сгиба ?
Для этого на ней надо выбрать	точку	0 , направление возрастания времени и масштаб — отрезок , соответствующий единице времени ; это может быть час , неделя , 1000 дней и т .
Возьмем на плоскости прямую l и	точку	F.
За	точку	отсчета берется начало нашей эры , которая началась с года под номером 1 .
1 Проведите через одну	точку	три прямые .
Возьмем окружность и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы	точку	М на окружности по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
Вторая точка пересечения этих окружностей ( точка А1 ) и даст нам вторую	точку	на перпендикуляре .
Какой путь проползет муравей вдоль отмеченной линии , пока не вернется в исходную	точку	? .
Возьмем	точку	А1 , симметричную точке А относительно l.
Если мы построим на АВ как на диаметре окружность и возьмем на ней любую	точку	М , то угол AMВ будет прямым .
Отступив на три клетки вправо и на одну вниз , поставим вторую	точку	.
На сколько частей разбивают плоскость прямые , из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну	точку	, если прямых : а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку —	точку	В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в	точку	М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую	точку	— точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую	точку	пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Берем имеющийся код , приписываем к нему букву Н ( под ней удобно поставить	точку	) , затем выписываем в обратном порядке буквы , предшествующие этому Н , заменяя Н на В и наоборот ( посмотрите на коды , соответствующие четвертому и пятому сгибам ) .
41 Расставьте на плоскости шесть точек таким образом , что если соединить первую	точку	со второй , вторую с третьей и т .
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с прямой l получили бы	точку	М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
Проведем через	точку	А любую прямую и опустим из В перпендикуляр на эту прямую .
Если мы соединим центр окружности (	точку	О ) с точками деления , то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
Давно математики пытались решить такую задачу : какой формы должен быть гладкий желоб , соединяющий две точки А и В ( А выше , чем В ) , чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в	точку	В под действием своего веса за кратчайшее время ?
3 Возьмем окружность и	точку	А вне ее .
Если выбрать крайнюю	точку	колеса , то линия , описываемая ею , будет выглядеть .
8 Через некоторую	точку	плоскости проведены три прямые , образующие между собой углы по 60 ° .
2 Если точку взять на самой прямой , то через эту	точку	проходит бесконечное число прямых , перпендикулярных данной прямой .
2 Если	точку	взять на самой прямой , то через эту точку проходит бесконечное число прямых , перпендикулярных данной прямой .
Второй приложите к первому , отметьте на его краю	точку	А , наиболее удаленную от центра первого круга .
53 Через	точку	на диагонали прямоугольника провели прямые , параллельные его сторонам .
Возьмем любую	точку	плоскости и опустим на эти три прямые перпендикуляры .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга	точку	.
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим	точку	их пересечения .
1 Через	точку	вне данной прямой можно провести только одну прямую , перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее .
1 Проведем через	точку	А любую окружность , пересекающую прямую l .
Начертите в тетради	точку	, прямую , отрезок , луч и угол .
51 Постройте любую окружность , касающуюся прямых , проведите через	точку	А прямую , параллельную данным .
Последнюю	точку	не соединяйте ни с какой другой .
10 Через	точку	внутри квадрата проведены прямые по сторонам и диагоналям клеток .
Как построить окружность , касающуюся данных прямых и проходящую через данную	точку	? .
4 Через	точку	А проведите прямую , параллельную прямой CD .
1 Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей	точку	относительно некоторой прямой .
Совершая прогулки в воскресные дни , горожане заспорили : можно ли выбрать такой маршрут , чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную	точку	пути ?
Расстояние показывает , как далеко точка находится от полюса , а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения , когда она пройдет через нужную	точку	.
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые	трапеции	( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции (	трапеция	— это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Клад находился в точке пересечения прямых , соединяющих первый и	третий	, второй и четвертый дубы .
Когда афиняне готовили кровавую дань в	третий	раз , сын афинского царя Эгея , Тесей , задумал освободить росной город от позорной обязанности .
57 Нижний слой остается заполненным , а второй и	третий	слой .
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и	третий	— в них соединяется четное число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
При решении следующих двух задач вам поможет раскраска доски для « Морского боя » в четыре цвета так , что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет , затем маленькая диагональ из двух клеток окрашивается во второй цвет , следующая трехклеточная диагональ — в	третий	цвет , затем цвет четвертый , потом вновь первый и т .
Толщина каждого тома 3,5 см. Книжный червяк прополз от первой страницы первого тома до последней страницы	третьего	тома ( по прямой линии ) .
3 Возьмите лист бумаги и нарисуйте разноцветными карандашами четырех драконов , « вырастающих » из одной точки ( у первого дракона первая черточка идет вверх , у второго — вправо , у	третьего	— вниз , у четвертого — влево ) .
30 Первая страница первого тома и последняя страница	третьего	тома примыкают ко второму тому .
3 Две прямые на плоскости , перпендикулярные	третьей	прямой , не могут пересечься одна с другой .
Повернув еще на 90 ° , получим заполнение	третьей	области , при последнем повороте получается заполнение четвертой области .
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять стороны такими , чтобы сумма двух сторон мало отличалась от	третьей	стороны .
12 В плоскости расположены 17 шестеренок — первая зацеплена со второй , вторая — с	третьей	..
Четвертая точка находится на расстоянии одной клетки вправо и трех вниз от	третьей	точки .
4 Изображены две параллельные прямые , пересекаемые	третьей	прямой .
41 Расставьте на плоскости шесть точек таким образом , что если соединить первую точку со второй , вторую с	третьей	и т .
Число проведенных при этом линий не должно быть больше трех (	третьей	должна быть искомая прямая ) .
19 Способ а ) приведет к	третьему	результату , способ б ) — ко второму .
Какие - то из этих фигур вам удалось вычертить почти сразу , решение других пришло через некоторое время , а	третьи	вообще не рисуются .
Проделайте то же самое со вторым и	третьим	кругами .
Отступая от второй точки по одной клетке вправо и вниз , находим	третью	точку .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую фигуру так , чтобы получилась вторая фигура , затем	третья	.
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д )	треугольная	пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
а ) равнобедренный остроугольный	треугольник	. б ) равнобедренный прямоугольный треугольник .
Любой первоклассник без труда найдет слова , объясняющие , что такое	треугольник	.
5 Постройте равнобедренный непрямоугольный	треугольник	( любой ) .
49 Как разрезать	треугольник	на два равнобедренных треугольника , если его углы равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные :	треугольник	и окружность .
Но все же не стоит противопоставлять друг другу угол и овал ,	треугольник	и окружность .
Как найти площадь этого треугольника , если это . а ) прямоугольный	треугольник	, две стороны которого проходят по сторонам клеток .
б )	треугольник	, одна сторона которого проходит по сторонам клеток .
произвольный	треугольник	? .
9 Начертите два разных прямоугольных	треугольник	площади которых равны : а ) 2 клеткам ; б ) 3 клеткам ; в ) 4,5 клетки .
9 Произвольный	треугольник	разрежьте на три части так , чтобы можно было сложить прямоугольник .
Самым простым многоугольником является	треугольник	.
Нельзя ли восстановить	треугольник	? .
Оставшийся	треугольник	подогните вниз , склейте друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности , и флексагон готов .
50 Разрежьте на наименьшее число равнобедренных треугольников	треугольник	с углами : а ) 10 ° , 70 ° , 100 ° ; б ) 50 ° , 60 ° , 70 ° .
Есть прямой угол — прямоугольный	треугольник	; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Соединив последовательно точки деления отрезками , получим	треугольник	, вписанный в окружность .
Вообще , вписанным в окружность называется любой	треугольник	, все вершины которого лежат на этой окружности .
32 Чтобы получить такой	треугольник	, надо взять стороны такими , чтобы сумма двух сторон мало отличалась от третьей стороны .
52 Разрежьте правильный	треугольник	на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Вписать в окружность равносторонний	треугольник	.
Хотя , конечно , не любые три элемента однозначно определяют	треугольник	.
По этим данным и построим	треугольник	АВС .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя	треугольник	, а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей точке пространства .
Все углы острые — остроугольный	треугольник	.
Две равные стороны — равнобедренный	треугольник	( равные стороны называются боковыми ) .
Изображен	треугольник	АВС и указаны основные его элементы .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б ) равнобедренный прямоугольный	треугольник	.
А ведь знакомый всем нам с детства	треугольник	также таит в себе немало интересного и загадочного .
48 Ученик нарисовал на доске	треугольник	и отметил середины его сторон .
11 Сложите из трех « внешних » треугольников один	треугольник	, равный « внутреннему » .
Все стороны равны — равносторонний , или правильный ,	треугольник	.
А из этого следует , что этот	треугольник	является равносторонним , АВ равно АО равно 1 .
г ) Существует ли	треугольник	, все углы которого меньше 50 ° ? .
равнобедренный тупоугольный	треугольник	.
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные фигуры : квадрат ,	треугольник	, окружность и т .
в ) Существует ли	треугольник	, все углы которого больше 70 ° ? .
б ) Может ли быть	треугольник	с двумя прямыми углами ? .
4 Возьмите две точки на прямой CD и постройте прямоугольный	треугольник	с вершинами в этих точках .
А затем — такой же	треугольник	с вершиной в точке А .
6 Составить	треугольник	из шести фигур нельзя .
3 Если взять один	треугольник	с большим основанием , а другой — с очень маленьким , то можно .
Затем	треугольник	стерли , но отмеченные точки остались .
3 Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой равнобедренный	треугольник	с такими же боковыми сторонами ?
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный	треугольник	.
Оказывается , эта линия определяется совсем иначе , чем	треугольник	и вообще многоугольник .
а ) на две части так , чтобы из них можно было составить прямоугольный	треугольник	.
Он понимал , что такое	треугольник	, в смысле высказывания нашего первоклассника .
на две части так , чтобы из них можно было составить равнобедренный	треугольник	.
Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике ( Бермудский	треугольник	находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами , государством Пуэрто - Рико и полуостровом Флорида ) , в котором бесследно исчезают корабли и самолеты ? !
Шестиугольник , как и сам	треугольник	, плоская фигура .
1 Начертите произвольный прямоугольный	треугольник	( 1 ) , а потом поверните его на 90 ° .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это многоугольник , у которого три стороны и три вершины » , это значит , что мы свели понятие «	треугольник	» к более широкому понятию « многоугольник » .
Так , если мы скажем , что «	треугольник	— это многоугольник , у которого три стороны и три вершины » , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию « многоугольник » .
Следует отметить , что математики очень любят давать определения всем встречающимся в их науке понятиям , даже самым общеизвестным , таким , как	треугольник	.
Если их соединить отрезками , то получится	треугольник	» .
5 Равнобедренный	треугольник	можно сложить пополам так , чтобы половинки совместились .
д. , а весь	треугольник	обозначают так : ∆А ВС или ∆KLM ( по буквам вершин ) .
32 Может ли быть	треугольник	с очень большими сторонами и очень маленькой площадью ?
Передвигая , как показано на рисунке ,	треугольник	вдоль неподвижной линейки , получаем множество параллельных между собой прямых , прямые тип параллельны .
Нужный	треугольник	построен .
Постройте	треугольник	со сторонами 7 см , 5 см , 4 см. Решение этой задачи .
Поскольку второй	треугольник	получается из первого увеличением каждой стороны в 3/4 раза , то треугольники имеют равные углы .
Если бы они пересеклись , например , в точке С , то мы получили бы	треугольник	АВС , у которого два прямых угла , что невозможно .
Можно сделать вывод : по стороне и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный	треугольник	, но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными .
46 Из двух таких треугольников можно составить правильный	треугольник	.
один большой треугольник , один	треугольник	средний и два маленьких .
один большой	треугольник	, один треугольник средний и два маленьких .
Постройте	треугольник	по этим данным .
Он изображается без искажений , если , конечно , по заданным величинам можно построить	треугольник	.
а ) один большой	треугольник	, два маленьких треугольника и параллелограмм .
5 Сложите такой же	треугольник	, используя .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей треугольным сантиметром , взяв за единицу	треугольник	, у которого все стороны равны 1 см ?
Но можно сложить еще один треугольник , используя четыре фигуры : один большой	треугольник	, два маленьких и квадрат .
Но можно сложить еще один	треугольник	, используя четыре фигуры : один большой треугольник , два маленьких и квадрат .
9 Покажите , что	треугольник	и прямоугольник имеют одинаковые площади .
Равносторонний ( правильный )	треугольник	.
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной	треугольник	оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
Взяв три вершины шестиугольника через одну , получим	треугольник	.
За элементарную ячейку можно взять и правильный	треугольник	.
Заметим , что , какими бы мы ни задали две стороны треугольника , существует единственный	треугольник	с такими сторонами и углом .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый	треугольник	складывается еще раз и т .
Достроим прямоугольный	треугольник	АМВ до прямоугольника AMBN .
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся	треугольник	вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
Как видим , в случае а ) задача не имеет решений ; б ) — существуют два треугольника , удовлетворяющих условию задачи ( ∆АВС и ∆АВС1 ) ; в случае в ) такой	треугольник	один .
Если во всех рассмотренных выше случаях по трем заданным элементам можно построить	треугольник	, то этот треугольник единственный .
Если во всех рассмотренных выше случаях по трем заданным элементам можно построить треугольник , то этот	треугольник	единственный .
6 Можно ли составить	треугольник	, используя только две фигуры танграма ?
Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания четырехугольник и	треугольник	, то соответствующие стороны не лежат на одной прямой .
4 АВС — правильный	треугольник	.
Можно ли построить	треугольник	, стороны которого являются отрезками длиной : а ) 7 см , 4 см , 2 см ; б ) 9 см , 5 см , 4 см ? .
3 К левой стороне квадрата пририсуем	треугольник	.
4 Такой же	треугольник	мы должны вырезать с противоположной стороны .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный	треугольник	складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких	треугольника	так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами	треугольника	, если сумма длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
50 б ) возьмем центр окружности , проходящей через вершины	треугольника	, и соединим его с вершинами .
49 Как разрезать треугольник на два равнобедренных	треугольника	, если его углы равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
1 Геометрическая теория утверждает , что сумма углов	треугольника	равна 180 ° .
Если же к стороне одного правильного	треугольника	, лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
25 Найдите площадь	треугольника	.
22 Уберите несколько точек так , чтобы из оставшихся никакие три не являлись вершинами равностороннего	треугольника	.
а ) сумма углов	треугольника	равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму правильного	треугольника	, надо разделить на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Построение	треугольника	по стороне и двум углам .
Общую вершину треугольников будем считать центром окружности с радиусом , равным стороне	треугольника	.
Конечно , назвать это описание математически точным определением	треугольника	нельзя .
Пусть точка О лежит внутри	треугольника	AMВ .
2 Достройте отрезок до прямоугольного	треугольника	и затем поверните его .
От квадрата отрезаны четыре равных	треугольника	, площади которых в сумме составляют 12 клеток .
Рассмотрим , например , задачу о построении	треугольника	по двум сторонам и углу , но не между данными сторонами .
Вершина ; сторона ; угол	треугольника	.
Треугольник будет разделен на три равнобедренных	треугольника	.
1 Каждая из сторон	треугольника	равна 7 см. Сколько треугольных сантиметров составляет его площадь ? .
Какое наименьшее количество точек надо отбросить , чтобы не осталось ни одного правильного	треугольника	? .
3 Можно ли внутри равнобедренного	треугольника	поместить другой равнобедренный треугольник с такими же боковыми сторонами ?
1 Два равных	треугольника	, положенных рядом определенным образом , составляют параллелограмм .
Какой вывод о сумме углов	треугольника	вы можете сделать ? .
По этим договоренностям стороны	треугольника	, например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Вершины	треугольника	, а также соответствующие углы принято обозначать большими латинскими буквами А , В , С или К , L , М и т .
Как изменится площадь	треугольника	, если каждую его сторону увеличить в 2 раза ?
Построение	треугольника	по трем сторонам .
И здесь вновь возникает вопрос : любые ли три отрезка могут быть сторонами	треугольника	?
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре	треугольника	со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины	треугольника	лежали на его сторонах , а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
33 Иллюстрирует еще одно наглядное доказательство того , что сумма углов	треугольника	равна 180 ° .
Как видим , в случае а ) задача не имеет решений ; б ) — существуют два	треугольника	, удовлетворяющих условию задачи ( ∆АВС и ∆АВС1 ) ; в случае в ) такой треугольник один .
1 Сложите шесть спичек так , чтобы образовалось четыре треугольника ( сторона каждого	треугольника	должна быть равной длине спички ) .
35 Равны ли два угла	треугольника	, если они имеют по три равных угла и по две равные стороны ? .
34 В скольких точках прямая может пересекать контур	треугольника	?
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение	треугольника	по следующим данным : сторона треугольника равна 6 см , а прилежащие к ней углы равны 85 ° и 100 ° .
Если мы теперь вернемся к задаче построения	треугольника	по трем сторонам , то исходными данными для построения будут являться три данных отрезка .
2 Треугольник можно разделить на четыре равных	треугольника	.
Процесс построения искомого	треугольника	.
7 Нужно описать около	треугольника	прямоугольник , т .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины	треугольника	и сходятся в общей точке пространства .
Закройте одну из вершин этого	треугольника	, и станет ясно , что одна из его сторон направлена к нам , а другая — от нас , т .
2 Надо соединить отрезками середины сторон	треугольника	.
Вершины	треугольника	лежат в узлах клеток .
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение треугольника по следующим данным : сторона	треугольника	равна 6 см , а прилежащие к ней углы равны 85 ° и 100 ° .
1 Сложите шесть спичек так , чтобы образовалось четыре	треугольника	( сторона каждого треугольника должна быть равной длине спички ) .
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же треугольника и квадрат со стороной , равной большей стороне	треугольника	.
Возьмем , например , два	треугольника	: стороны первого 27 , 36 , 48 , а второго 36 , 48 , 64 .
Точно так же покажем , что остальные углы	треугольника	АВС равны 60 ° .
Переложите четыре спички так , чтобы получилось три равносторонних	треугольника	.
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных	треугольника	и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
Пусть сторона каждого	треугольника	равна 3 см. Изготовьте такую полоску и раскрасьте .
Основания этих перпендикуляров служат вершинами правильного	треугольника	.
а ) один большой треугольник , два маленьких	треугольника	и параллелограмм .
1 Можно ли составить паркет из копий произвольного	треугольника	?
12 Четвертые части квадрата и правильного	треугольника	отрезаны , как показано на рисунке 294 .
Заметим , что , какими бы мы ни задали две стороны	треугольника	, существует единственный треугольник с такими сторонами и углом .
Рассмотрите самостоятельно случай , когда точка О расположена вне	треугольника	AMВ ( но М и О — с одной стороны от АВ ) .
Определите вид	треугольника	АВС и четырехугольника KLMN .
Покажите , что площадь этого	треугольника	равна половине площади шестиугольника .
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам	треугольника	.
Как найти площадь этого	треугольника	, если это . а ) прямоугольный треугольник , две стороны которого проходят по сторонам клеток .
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же	треугольника	и квадрат со стороной , равной большей стороне треугольника .
Построение	треугольника	по двум сторонам и углу между ними .
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми	треугольниками	.
Эти половинки будут прямоугольными	треугольниками	.
Посмотрим , что преподнесет нам знакомство с	треугольниками	.
Зато	треугольниками	можно .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном	треугольнике	, лежащие против равных сторон , равны .
Пусть в	треугольнике	АВС сторона АВ равна 6 см , ∠ВАС равно 70 ° , ∠АВС равно 40 ° .
Кто не слышал о загадочном Бермудском	треугольнике	( Бермудский треугольник находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами , государством Пуэрто - Рико и полуостровом Флорида ) , в котором бесследно исчезают корабли и самолеты ? !
Пусть в	треугольнике	АВС угол ВАС равен 40 ° , сторона А В равна 4 см. Рассмотрим три случая : а ) ВС равно 2 см ; б ) ВС равно 3,5 см ; в ) ВС равно 5 см .
46 Докажите , что в прямоугольном	треугольнике	, один из углов которого равен 30 ° , наибольшая сторона в два раза больше наименьшей .
7 В	треугольнике	АВС отрезки AA1 , и ВВ1 перпендикулярны сторонам ВС и АС .
После каждого перекатывания появляется вершина с номером , которого не было на предыдущем	треугольнике	.
Пусть в	треугольнике	АВС известны две стороны АВ равно 5 см и АС равно 3 см и угол между ними ВАС , равный 50 ° .
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ;	треугольники	, на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
Вокруг вас живут	треугольники	, окружности , квадраты , отрезки и другие плоские фигуры .
Зная это , можно вписывать в окружность правильные шестиугольники и	треугольники	без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Половинки квадрата (	треугольники	) совпали , т .
Найдите равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные , тупоугольные	треугольники	.
д. А затем вычеркивайте точки и	треугольники	, содержащие эти точки , по их номерам .
Обратите внимание на	треугольники	и квадраты .
В танграме среди его семи фигур уже имеются	треугольники	трех разных размеров .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся	треугольники	равны .
Поскольку второй треугольник получается из первого увеличением каждой стороны в 3/4 раза , то	треугольники	имеют равные углы .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие	треугольники	равны .
д. в зависимости от того , на какой . многоугольник опираются	треугольники	( в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в основании пирамиды ) .
Это следует из того , что диагональ делит прямоугольник на равные	треугольники	.
Перегните полоску по сторонам	треугольников	и сложите , как показано .
7 Четыре страны имеют форму	треугольников	.
29 15 правильных	треугольников	.
Добиться этого нам поможет умение пользоваться чертежными инструментами и знание способов построения	треугольников	.
9 Сколько различных равносторонних	треугольников	с вершинами в данных точках можно начертить ? .
50 Разрежьте на наименьшее число равнобедренных	треугольников	треугольник с углами : а ) 10 ° , 70 ° , 100 ° ; б ) 50 ° , 60 ° , 70 ° .
9 Восемь спичек уложите так , чтобы образовались один восьмиугольник , два квадрата и восемь	треугольников	— все в одной фигуре ! .
Рассмотрим три основные задачи на построение	треугольников	, если заданы .
33 Какие фигуры могут получиться при пересечении двух	треугольников	?
6 Найдите 47	треугольников	в фигуре .
1 Измерьте с помощью транспортира углы	треугольников	и результаты внесите в таблицу , в последнем столбце которой запишите сумму углов .
5 Из спичек сложена фигура , состоящая из шести равносторонних	треугольников	.
Сколько правильных	треугольников	можно построить , считая эти точки вершинами треугольников ? .
Возьмем шесть правильных равных между собой	треугольников	и расположим их рядом так , чтобы у них была общая вершина .
11 Сложите из трех « внешних »	треугольников	один треугольник , равный « внутреннему » .
Все большое семейство	треугольников	можно разделить на группы по числу равных сторон .
Общую вершину	треугольников	будем считать центром окружности с радиусом , равным стороне треугольника .
Существует интересная геометрическая игрушка , которая состоит из	треугольников	и меняется , выворачиваясь наизнанку .
Эти свойства справедливы не только для квадратов ,	треугольников	, кубов .
В этом случае плоскость заполняется без промежутков путем поворота	треугольников	вокруг их вершин на 60 ° .
Другими словами , если у двух	треугольников	равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
Внимательно рассмотрите рисунок и предложите по нему свое объяснение этого важнейшего свойства	треугольников	.
Показано , как можно сплести тетраэдр из двух полосок , состоящих из четырех	треугольников	.
Она состоит из десяти правильных	треугольников	, расположенных так .
11 Начертите несколько различных	треугольников	с вершинами в узлах , но таких , что ни внутри , ни на границе нет ни одного узла .
Чему равен угол между большими сторонами получившихся	треугольников	?
46 Из двух таких	треугольников	можно составить правильный треугольник .
Уберите пять спичек так , чтобы осталось пять	треугольников	.
Чему равна площадь каждого из изображенных вами	треугольников	? .
4 Сколько	треугольников	? .
Вырежьте из бумаги несколько одинаковых	треугольников	и проверьте свое предположение о возможности такого покрытия .
Например , шесть правильных	треугольников	, имеющих общую вершину , образуют правильный шестиугольник .
2 Из спичек сложена фигура , состоящая из девяти равных	треугольников	.
5 Найдите 27	треугольников	в фигуре .
4 13	треугольников	.
4 На сколько	треугольников	разбивается выпуклый шестиугольник отрезками , соединяющими какую - либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника ?
22 Для облегчения решения пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных равносторонних	треугольников	тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
9 12 равносторонних	треугольников	.
Остальные вершины	треугольников	окажутся на окружности .
Может , это просто набор сложенных определенным образом	треугольников	и четырехугольников ?
Сколько правильных треугольников можно построить , считая эти точки вершинами	треугольников	? .
Подумайте , зависит ли результат от вида	треугольников	.
Много полезного можно получить из экспериментов с прямоугольным	треугольником	на клетчатой бумаге .
Равных сторон нет — разносторонний	треугольнику	.
Если от	треугольной	пирамиды отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины ребер , то будет ли оставшаяся часть также треугольной пирамидой ? .
Если от треугольной пирамиды отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины ребер , то будет ли оставшаяся часть также	треугольной	пирамидой ? .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем	треугольную	пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
Возьмите в руки или представьте по рисунку 50	треугольную	пирамиду , исследуйте ее так , как вы исследовали когда - то куб .
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре	треугольные	пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
будем использовать	треугольные	пирамиды , все ребра которых равны соответствующей единице длины , то столкнемся с большими трудностями .
2 В общем , для измерения площадей	треугольные	сантиметры вполне подходят .
Оставшийся треугольник подогните вниз , склейте друг с другом две неокрашенные	треугольные	поверхности , и флексагон готов .
Пирамиды бывают	треугольные	, четырехугольные , пятиугольные и т .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей	треугольным	сантиметром , взяв за единицу треугольник , у которого все стороны равны 1 см ?
6 Дана дощечка с тремя отверстиями : квадратным , круглым и	треугольным	.
2 Треугольник со сторонами 7 см « выложен »	треугольными	сантиметрами .
Основное свойство окружности дает ответ на вопросы , почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми , а не квадратными или , например ,	треугольными	.
1 Каждая из сторон треугольника равна 7 см. Сколько	треугольных	сантиметров составляет его площадь ? .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть	тупой	угол — тупоугольный треугольник .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть	тупой угол	— тупоугольный треугольник .
Найдите равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные ,	тупоугольные	треугольники .
Найдите равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные ,	тупоугольные треугольники	.
равнобедренный	тупоугольный	треугольник .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой угол —	тупоугольный	треугольник .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой угол —	тупоугольный треугольник	.
равнобедренный	тупоугольный треугольник	.
По отношению к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и	тупые	углы ( больше 90 ° ) .
По отношению к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и	тупые углы	( больше 90 ° ) .
Найти на сторонах	угла	две точки М и N так , чтобы длина замкнутого пути была наименьшей .
Биссектриса	угла	— это луч , выходящий из его вершины и делящий угол на два равных .
б ) сторона и два прилежащих к ней	угла	.
Вторая сторона	угла	указывает на шкале угол в градусах .
Стороны одного из них являются продолжением сторон другого	угла	.
Такие два	угла	называются смежными .
Разделив каждый градус на 60 равных частей , получим более мелкую единицу	угла	— минуту .
5 Изобразите четырехугольник , у которого три	угла	прямые .
Лучи ОА и ОВ — стороны	угла	.
одна сторона	угла	совпала с основанием транспортира , соответствующим 0 ° .
Более того , если точка О ( центр окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине	угла	АОВ .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней	угла	; три стороны ) , то такие треугольники равны .
а ) вершина	угла	совпала с черточкой — серединой основания транспортира .
Диагональ квадрата является биссектрисой	угла	.
Прямая А1А2 пересечет стороны	угла	в искомых точках М и N. Объясните это .
35 Равны ли два угла треугольника , если они имеют по три равных	угла	и по две равные стороны ? .
35 Равны ли два	угла	треугольника , если они имеют по три равных угла и по две равные стороны ? .
Значит , в самом деле угол АОВ в два раза больше	угла	AMВ .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической фигуры —	угла	.
2 На сторонах	угла	отложим отрезки АВ равно 5 см и АС равно 3 см ( используем линейку с делениями ) .
6 Угол АОВ в 2 раза больше	угла	АСВ .
5 Надо построить точки А1 и А2 , симметричные точке А относительно сторон	угла	.
9 Начертите на листе бумаги любой угол и вырежьте его по сторонам , оставив бумагу между сторонами	угла	неразрезанной .
Как зависит рисунок в вашем калейдоскопе от	угла	между зеркалами ?
С какого	угла	нужно начинать ? .
Если бы они пересеклись , например , в точке С , то мы получили бы треугольник АВС , у которого два прямых	угла	, что невозможно .
Единица измерения	угла	, как мы знаем , — градус .
Найдите три отрезка , три луча , три	угла	.
Точка О — общее начало лучей ОА и ОВ , точка О — вершина	угла	.
Свойство	угла	, опирающегося на диаметр , является частным случаем следующего более общего свойства .
В обозначении	угла	вершина всегда ставится в середине : угол АОВ .
Как вы думаете , можно ли без карандаша и линейки построить биссектрису этого	угла	?
Для всякого ли	угла	можно построить биссектрису ? .
Если сторона	угла	совпадает с правой половиной основания транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
Какой угол образует биссектриса этого	угла	с его сторонами ?
Вершину	угла	обозначим буквой А .
Можно сделать вывод : по стороне и двум прилежащим к ней	углам	можно построить единственный треугольник , но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными .
Построение треугольника по стороне и двум	углам	.
б ) Может ли быть треугольник с двумя прямыми	углами	? .
50 Разрежьте на наименьшее число равнобедренных треугольников треугольник с	углами	: а ) 10 ° , 70 ° , 100 ° ; б ) 50 ° , 60 ° , 70 ° .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными	углами	.
Значит , квадрат — это ромб с прямыми	углами	.
Значит , квадрат — это параллелограмм с прямыми	углами	, все стороны которого равны .
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми	углами	друг к другу и впишите окружности разных радиусов в образовавшиеся углы .
При этом корабли не должны соприкасаться даже	углами	.
В	углах	, отмеченных кружочком ( о ) , делается поворот всей предыдущей кривой против часовой стрелки , а в углах , отмеченных точкой ( • ) , — по часовой стрелке .
В углах , отмеченных кружочком ( о ) , делается поворот всей предыдущей кривой против часовой стрелки , а в	углах	, отмеченных точкой ( • ) , — по часовой стрелке .
Среди всех	углов	выделяется прямой угол .
33 Иллюстрирует еще одно наглядное доказательство того , что сумма	углов	треугольника равна 180 ° .
Транспортир используют для измерения и построения	углов	.
2 Начертите при помощи транспортира углы , равные 10 ° , 20 ° , 30 ° , 170 ° , причем так , чтобы одна сторона у всех	углов	была общей .
Один из	углов	между ними равен 28 ° .
Треугольники можно разделить на группы в зависимости от	углов	.
Это — пары вертикальных	углов	.
1 Геометрическая теория утверждает , что сумма	углов	треугольника равна 180 ° .
Конечно , в результате измерения во всех случаях сумма	углов	вряд ли будет равной 180 ° .
Назовите пары вертикальных	углов	.
Слово « многоугольник » указывает на то , что у всех фигур из этого семейства много	углов	.
Затем мы начинаем скручивать полоску с одного из	углов	.
При пересечении двух прямых образуются две пары равных	углов	.
Например , у фигуры много	углов	, но она не является многоугольником .
1 Если считать только углы не больше 180 ° , то образуется 12	углов	.
Заметьте , что сколько	углов	, столько и сторон , поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками .
Подумайте , чему равна сумма смежных	углов	.
Сколько при этом образовалось	углов	( рассматриваются углы с вершиной в точке пересечения прямых ) ? .
Пары	углов	с общей стороной .
а ) сумма	углов	треугольника равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
Треугольник АОВ — равнобедренный , один из	углов	равен 60 ° .
Затем нарисуйте в одном из	углов	какую - либо линию и , не пользуясь настоящими зеркалами , дорисуйте ее до симметричной фигуры , которая получилась бы при отражении в зеркалах .
Если мы соединим центр окружности ( точку О ) с точками деления , то получим 360 равных	углов	, каждый из которых равен 1 ° .
Можно сделать вывод : по стороне и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный треугольник , но при этом величины заданных	углов	не могут быть произвольными .
46 Докажите , что в прямоугольном треугольнике , один из	углов	которого равен 30 ° , наибольшая сторона в два раза больше наименьшей .
Позднее вы узнаете , что соответствующее построение возможно , если сумма заданных	углов	меньше 180 ° .
Докажите равенство	углов	HA1В1 и HCВ1 .
Какой вывод о сумме	углов	треугольника вы можете сделать ? .
Как видим , дольные единицы	углов	называют , как и единицы времени .
Но сумма трех	углов	, сходящихся в точке О , равна 360 ° .
Рассматривая основные геометрические фигуры , среди всех	углов	мы выделили прямой угол , равный 90 ° .
1 Измерьте с помощью транспортира углы треугольников и результаты внесите в таблицу , в последнем столбце которой запишите сумму	углов	.
Получим точку М. Из этой точки М отрезок АВ виден под прямым	углом	.
Каждая точка плоскости задается двумя полярными координатами :	углом	и расстоянием .
Например , если зеркала стоят под	углом	60 ° друг к другу , то линия отражается шесть раз и полученная фигура имеет три оси симметрии .
Сделайте свой калейдоскоп из двух плоских зеркал , поставленных на лист белой бумаги под	углом	друг к другу .
Поставьте два зеркала под прямым	углом	друг к другу .
Изобразите в виде прямых два зеркала под	углом	90 ° друг к другу .
Например , камень , брошенный человеком под	углом	к поверхности Земли , описывает параболу .
Отражаясь от оси n , ось m перейдет в некоторую прямую m1 тоже являющуюся осью симметрии и пересекающуюся с n под	углом	15 ° .
Две прямые , пересекающиеся под прямым	углом	( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
Мы получили две прямые , пересекающиеся под прямым	углом	.
2 Две прямые , пересекающиеся под	углом	15 ° , являются осями симметрии некоторого многоугольника .
Проведем боковую сторону под прямым	углом	и закончим построение золотого прямоугольника .
Заметим , что , какими бы мы ни задали две стороны треугольника , существует единственный треугольник с такими сторонами и	углом	.
Построение треугольника по двум сторонам и	углу	между ними .
Рассмотрим , например , задачу о построении треугольника по двум сторонам и	углу	, но не между данными сторонами .
Значит , угол АВС равен	углу	АPC , так как эти углы опираются на одну дугу окружности , т .
Затем на нее положим карточку со стороной 9 , но не по центру ( в левом верхнем	углу	) .
Приложите транспортир к	углу	так , чтобы .
2 У квадрата , как и у прямоугольника , все	углы	прямые .
4 Углы 1 , 4 , 5 , 7 равны ;	углы	2 , 3 , 6 , 8 равны .
По отношению к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ	углы	( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
По отношению к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые	углы	( больше 90 ° ) .
В градусах измеряют	углы	и дуги окружностей .
Чему равны остальные	углы	? .
1 Если считать только	углы	не больше 180 ° , то образуется 12 углов .
1 Измерьте с помощью транспортира	углы	треугольников и результаты внесите в таблицу , в последнем столбце которой запишите сумму углов .
3 Постарайтесь при помощи одной линейки ( на глазок ) построить	углы	, равные 30 ° , 45 ° , 80 ° , 90 ° , 120 ° .
Обозначим	углы	через x и y , тогда угол АОМ , а угол ВОМ .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б )	углы	в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
Возьмем окружность и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на окружности по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся	углы	АМВ будут равны между собой .
Только еще все они равны и все	углы	прямые .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются	углы	с вершиной в точке пересечения прямых ) ? .
Значит , угол АВС равен углу АPC , так как эти	углы	опираются на одну дугу окружности , т .
г ) Существует ли треугольник , все	углы	которого меньше 50 ° ? .
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение треугольника по следующим данным : сторона треугольника равна 6 см , а прилежащие к ней	углы	равны 85 ° и 100 ° .
Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все	углы	прямые .
А теперь измерьте транспортиром построенные	углы	.
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите окружности разных радиусов в образовавшиеся	углы	.
Точно так же покажем , что остальные	углы	треугольника АВС равны 60 ° .
Измерьте остальные	углы	.
В этой окружности	углы	НА1В1 и НСВ1 опираются на одну дугу .
Значит , все	углы	по 60 ° .
Угол квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю квадрата и его сторонами образуются	углы	по 45 ° .
в ) Существует ли треугольник , все	углы	которого больше 70 ° ? .
По отношению к нему остальные	углы	делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
Но	углы	А и В тоже прямые , т .
Чему равны	углы	АМС , AMD , ВМС ? .
Кроме длин , площадей и объемов в геометрии надо еще уметь измерять	углы	.
Вертикальные	углы	не имеют общих сторон .
Поскольку второй треугольник получается из первого увеличением каждой стороны в 3/4 раза , то треугольники имеют равные	углы	.
Только еще все	углы	прямые .
Как вы думаете , какие	углы	образует диагональ со сторонами квадрата ?
2 Начертите при помощи транспортира	углы	, равные 10 ° , 20 ° , 30 ° , 170 ° , причем так , чтобы одна сторона у всех углов была общей .
Вершины треугольника , а также соответствующие	углы	принято обозначать большими латинскими буквами А , В , С или К , L , М и т .
Проведем в окружности три радиуса так , чтобы	углы	между ними были равны 120 ° .
Это , например ,	углы	АОС и DOC .
Сравните , если угол между зеркалами равен 30 ° , 45 ° , 90 ° , 120 ° ( эти	углы	начертите с помощью транспортира на листе бумаги под зеркалами ) .
43 Чему равны	углы	между отрезками , проведенными на гранях куба ? .
Между соседними осями симметрии	углы	по 15 ° .
49 Как разрезать треугольник на два равнобедренных треугольника , если его	углы	равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
8 Через некоторую точку плоскости проведены три прямые , образующие между собой	углы	по 60 ° .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и	углы	задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Измерьте	углы	в четырехугольнике АВСD .
Все	углы	острые — остроугольный треугольник .
Что получится , если	угол	между прямыми равен 33 ° ? .
Какой	угол	образует биссектриса этого угла с его сторонами ?
Но все же не стоит противопоставлять друг другу	угол	и овал , треугольник и окружность .
10 Начертите в тетради	угол	, равный 60 ° .
Более того , если точка О ( центр окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М ,	угол	АМВ равен половине угла АОВ .
	Угол	АВС равен 60 ° .
Пусть в треугольнике АВС известны две стороны АВ равно 5 см и АС равно 3 см и	угол	между ними ВАС , равный 50 ° .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой точки на	угол	поворота .
Но	угол	AM В равен .
5 Чему равен угол ADC , если	угол	АВС равен 40 ° ? .
11 Начертите в тетради какой - нибудь	угол	, проведите в нем на глаз биссектрису и проверьте измерением .
Найдем	угол	ОАВ .
1 Строим	угол	, равный 50 ° ( используем транспортир и линейку ) .
Чему может равняться	угол	АОС , если : a ) ∠АОВ равно 70 ° , ∠ВОС равно 50 ° ; б ) ∠АОВ равно 102 ° , ∠ВОС равно 84 ° ? .
Среди всех углов выделяется прямой	угол	.
( Почему	угол	АОМ ?
На нее ( в левый нижний	угол	) положим черную карточку со стороной 8 .
Потом на нее кладем следующую по размеру карточку ( в правый нижний	угол	) .
Вторая сторона угла указывает на шкале	угол	в градусах .
Обозначим углы через x и y , тогда угол АОМ , а	угол	ВОМ .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и	угол	между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
Обозначим углы через x и y , тогда	угол	АОМ , а угол ВОМ .
5 На плоскости дан острый	угол	и точка А внутри него .
Сторона ОС у них общая , а стороны ОА и ОD составляют развернутый	угол	.
Значит ,	угол	АВС равен углу АPC , так как эти углы опираются на одну дугу окружности , т .
5 Чему равен	угол	ADC , если угол АВС равен 40 ° ? .
Есть прямой	угол	— прямоугольный треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Чему равен	угол	между большими сторонами получившихся треугольников ?
Вершина ; сторона ;	угол	треугольника .
6 На окружности радиусом 1 взяты три точки А , В , С так , чтобы	угол	АСВ был равен 30 ° .
Чему равен	угол	между осями ? .
Чему равен	угол	AMВ ? .
В 3 ч угол между радиусом и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч радиус возвратится в исходное положение , описав	угол	360 ° .
Сравните , если	угол	между зеркалами равен 30 ° , 45 ° , 90 ° , 120 ° ( эти углы начертите с помощью транспортира на листе бумаги под зеркалами ) .
Рассматривая основные геометрические фигуры , среди всех углов мы выделили прямой	угол	, равный 90 ° .
Пусть в треугольнике АВС	угол	ВАС равен 40 ° , сторона А В равна 4 см. Рассмотрим три случая : а ) ВС равно 2 см ; б ) ВС равно 3,5 см ; в ) ВС равно 5 см .
А если взять квадрат других размеров — больше или меньше , — изменится ли	угол	между сторонами квадрата ?
Расстояние показывает , как далеко точка находится от полюса , а	угол	показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения , когда она пройдет через нужную точку .
Измените	угол	между зеркалами .
Прямой	угол	содержит 90 ° .
Начертите в тетради точку , прямую , отрезок , луч и	угол	.
И	угол	квадрата разделился пополам .
Биссектриса угла — это луч , выходящий из его вершины и делящий	угол	на два равных .
Если мы построим на АВ как на диаметре окружность и возьмем на ней любую точку М , то	угол	AMВ будет прямым .
На данной доске ( если левый нижний	угол	черный ) черных 32 клетки , а белых 30 .
Чему равен	угол	, наблюдаемый сквозь стекло ? .
8 На	угол	в 10 ° смотрят через увеличительное стекло с десятикратным увеличением .
7 Чему равен	угол	между минутной и часовой стрелками на часах в 9 ч , 10 ч , 6 ч , 5 ч , 11 ч 30 мин ? .
40 Если мы нарисуем прямой	угол	с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
а ) две стороны и	угол	между ними .
Теперь понятно , почему при перемещении точки М по дуге окружности	угол	AM В остается постоянным ? .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой	угол	— тупоугольный треугольник .
Можете ли вы объяснить , почему	угол	именно такой ?
Полному повороту соответствует	угол	360 ° , и полярный угол изменяется от 0 до 360 ° .
Значит , в самом деле	угол	АОВ в два раза больше угла AMВ .
Изобразим прямой	угол	и продолжим его стороны за вершину .
У обычного чертёжного угольника один	угол	прямой .
Оказывается , туристы обычно пользуются в походах полярными координатами , а азимут — это	угол	между направлением на север и направлением на некоторый предмет из точки , где находится турист .
Как вы думаете , будет ли и четвертый	угол	прямым ? .
Известно , что	угол	1 равен 52 ° .
В 3 ч	угол	между радиусом и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч радиус возвратится в исходное положение , описав угол 360 ° .
Значит ,	угол	АОВ — 60 ° .
9 Начертите на листе бумаги любой	угол	и вырежьте его по сторонам , оставив бумагу между сторонами угла неразрезанной .
В одном из своих стихотворений поэт Павел Коган сказал : « Я с детства не любил овал , я с детства	угол	рисовал .. »
Вписанный в окружность	угол	, опирающийся на диаметр , равен 90 ° .
А как измерить	угол	? .
Полному повороту соответствует угол 360 ° , и полярный	угол	изменяется от 0 до 360 ° .
В обозначении угла вершина всегда ставится в середине :	угол	АОВ .
Используя линейку и чертежный	угольник	, можно без труда вычерчивать параллельные прямые .
А если взять произвольный n -	угольник	? .
С помощью чертежного	угольника	найдите ее центр .
У обычного чертёжного	угольника	один угол прямой .
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным	угольником	, найдите пары параллельных и перпендикулярных прямых .
Чтобы перевести расстояние из ялимов в километры , надо соответствующее число	умножить	на 4/3 .
Введем обозначения , как на рисунке , и составим	уравнение	.
Из этого	уравнения	видно , что площади частей х и у равны .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной —	усеченная пирамида	; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е )	усеченная пирамида	; ж ) четырехугольная пирамида .
8 Разрезав « кольцо » и сложив из него квадрат , увидим , что краски пойдет одинаковое количество ( площади этих	фигур	равны ) .
Так же как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей , так и сложные геометрические фигуры составляются из простейших геометрических	фигур	.
Покажем это на примере одной известной задачи — задачи « о кенигсбергских мостах » , которая положила начало задачам на вычерчивание	фигур	одним росчерком .
Каждую из оставшихся частей этих	фигур	разделить на четыре равные части .
Все фигурки складываются из прямоугольных листов бумаги ( одного или двух ) , без помощи ножниц или клея ( клей применяют разве что для склеивания половинок	фигур	, составленных из двух листов ) .
Схема , приведенная выше , показывает , как увеличение числа измерений влечет за собой изменение и усложнение геометрических	фигур	.
Мысленно перегибая бумагу , определите , сколько осей симметрии имеет каждая из	фигур	.
У геометрических	фигур	может быть одна или несколько осей симметрии , а может и не быть вовсе .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства	фигур	не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой точки на угол поворота .
Поворот — геометрическое преобразование	фигур	, при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой точки на угол поворота .
Они являются общими свойствами произвольных	фигур	.
все семь	фигур	? .
7 Очевидно , что из всех семи	фигур	составляется квадрат .
При решении большинства предыдущих задач мы опирались на некоторые свойства	фигур	.
Можно ли составить квадрат из двух	фигур	?
Среди	фигур	выберите симметричные и проведите в них всевозможные оси симметрии .
В танграме среди его семи	фигур	уже имеются треугольники трех разных размеров .
14 Найдите площади	фигур	.
Площади плоских	фигур	при увеличении их сторон в n раз увеличиваются в n×n раз .
Она заключается в складывании различных	фигур	из заданного набора пентамино .
8 Из каких различных	фигур	танграма можно составить прямоугольники ?
Геометрия изучает форму и взаимное расположение	фигур	в пространстве .
Сколько осей симметрии у каждой из получившихся	фигур	? .
Названия геометрических	фигур	имеют вполне определенный смысл .
Составьте из пяти квадратов все 12	фигур	пентамино .
Какая	фигур	« самая симметричная » ? .
В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть , замечать различные особенности геометрических	фигур	, делать выводы из замеченных особенностей .
Какие - то из этих	фигур	вам удалось вычертить почти сразу , решение других пришло через некоторое время , а третьи вообще не рисуются .
Надо многое знать — законы природы , свойства	фигур	, математические формулы .
6 Какая часть площади	фигур	закрашена ? .
Задачи на разрезание и складывание	фигур	.
К топологическим относятся и задачи на вычерчивание	фигур	одним росчерком .
16 Разрежьте каждую из	фигур	на четыре равные части .
Слово « многоугольник » указывает на то , что у всех	фигур	из этого семейства много углов .
Испытайте свои силы в вычерчивании одним росчерком	фигур	.
6 Составить треугольник из шести	фигур	нельзя .
3 Из	фигур	выберите те , которые являются развертками куба , и перенесите их в тетрадь .
Что общего у всех	фигур	? .
Разделите пополам тетрадный лист вертикальной чертой , слева напишите названия тех	фигур	( или начертите их ) , которые можно поместить в плоскости , а справа те , которые нельзя .
Уложите все 12	фигур	пентамино в прямоугольник 6×10 .
Но нужно помнить свойства геометрических	фигур	, ведь именно они позволяют использовать клеточки в полной мере .
А теперь , наоборот , —	фигур	, имеющих ось ( или оси ) симметрии , но не имеющих центра симметрии .
Сможете ли вы указать по 10	фигур	в каждой колонке ? .
6 Задачи на разрезание и складывание	фигур	.
Среди множества различных геометрических	фигур	на плоскости выделяется большое семейство многоугольников .
Определите , что общего у	фигур	.
9 Первая слева из трех	фигур	есть « инь и янь » — знаменитый китайский символ равновесия темных и светлых сил в природе .
Среди всевозможных плоских	фигур	выделяются две главные : треугольник и окружность .
Какая из	фигур	лишняя ? .
Приведите примеры плоских	фигур	, имеющих центр симметрии , но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
Нарисуйте несколько	фигур	площадью 3 см2 .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных	фигур	, затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую фигуру так , чтобы получилась вторая фигура , затем третья .
Окружность — удивительно гармоничная	фигура	, древние греки считали ее самой совершенной .
Круг — плоская	фигура	, его характеризует площадь .
7 Изображена	фигура	площадью 2 см2 .
А вот домик с дверью — уже иная	фигура	.
2 Из спичек сложена	фигура	, состоящая из девяти равных треугольников .
Можно сказать , что точка О является центром симметрии , если при повороте вокруг точки О на 180 °	фигура	переходит сама в себя .
3 Возьмите ту же фигуру и переложите шесть спичек так , чтобы получилась	фигура	, состоящая из шести равных четырехугольников .
4 Из спичек сложена	фигура	.
5 Из спичек сложена	фигура	, состоящая из шести равносторонних треугольников .
Каждая геометрическая	фигура	, и вы , конечно , это уже поняли , обладает многими интересными свойствами .
Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой , то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой ( такой же , как исходная	фигура	) .
Если	фигура	« вошла » в свой контур , то она центрально - симметрична .
Если	фигура	имеет и оси симметрии , и центр симметрии , то каким может быть число осей симметрии такой фигуры ? .
Проверить , является	фигура	центрально - симметричной или нет , можно с помощью обычной иголки и кальки .
Определяя многоугольник , мы говорим , что эта	фигура	ограничена замкнутой ломаной линией , звенья которой не пересекают друг друга .
Сколько осей симметрии имеет полученная	фигура	?
Каждая плоская	фигура	или пространственное тело имеет форму и размеры .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую фигуру так , чтобы получилась вторая	фигура	, затем третья .
Треугольник — плоская	фигура	.
2 Эта задача посложнее , так как	фигура	, которую также нужно разрезать на две равные части , не такая простая .
Например , если зеркала стоят под углом 60 ° друг к другу , то линия отражается шесть раз и полученная	фигура	имеет три оси симметрии .
Как удостовериться , что вырезанная	фигура	— квадрат ? .
Шестиугольник , как и сам треугольник , плоская	фигура	.
1 Известно , что	фигура	имеет две оси симметрии .
Вырезанная	фигура	называется разверткой куба .
На ней видно , как линии , уходящие вглубь , сходятся в одной точке , а	фигура	, находящаяся дальше от нас , изображается в виде фигуры меньших размеров .
В удивительном мире геометрии существует и	фигура	, которая не имеет измерений — длины , ширины , высоты .
А как быть , если	фигура	произвольна ? .
13 Дано игровое поле 4×4 и 16 квадратов с геометрическими	фигурами	, имеющими ось ( одну или несколько ) симметрии .
А как быть с пространственными	фигурами	( телами ) ?
6 Найдите 47 треугольников в	фигуре	.
9 Восемь спичек уложите так , чтобы образовались один восьмиугольник , два квадрата и восемь треугольников — все в одной	фигуре	! .
5 Найдите 27 треугольников в	фигуре	.
Если в	фигуре	( на графе ) число нечетных узлов больше двух , то ее нельзя нарисовать одним росчерком ! .
Некоторые из этих свойств оказываются присущими только этой	фигуре	, являются характерными только для нее .
Так же можно поступить и с пространственной	фигурой	.
Проколов фигуру в предполагаемом центре и обведя ее контур , надо повернуть	фигуру	на 180 ° вокруг иголки .
Требуется выложить из 12 спичек	фигуру	, которая охватывала бы площадь в три квадратные единицы .
Нарисуйте	фигуру	, состоящую из точек , до которых может добраться коза .
Как описать эту	фигуру	человеку , который ее не видит ?
Используя эти свойства , можно совершенно иначе , с неожиданной точки зрения определить хорошо знакомую геометрическую	фигуру	.
15 Надо разрезать	фигуру	на четыре части и затем переложить их так , чтобы внутри образовался квадрат площадью 1 см2 .
Оказывается , проведя лишь одну линию ,	фигуру	можно разделить на две равные части , причем на равные части будет разделена каждая из частей — черная и белая .
А самое меньшее число клеток , покрывающих	фигуру	, равно 40 .
Выигрывает тот , кто перемещение спичек закончит быстрее , получив при этом последнюю	фигуру	.
Проколов	фигуру	в предполагаемом центре и обведя ее контур , надо повернуть фигуру на 180 ° вокруг иголки .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую	фигуру	так , чтобы получилась вторая фигура , затем третья .
Ваша задача — описать	фигуру	так , чтобы ваш приятель смог ее нарисовать .
15 Нарисуйте овальную линию той же длины , но ограничивающую	фигуру	площадью на 1 см2 больше .
Эту	фигуру	можно начертить одним росчерком .
Наложим на нашу	фигуру	кальку .
А теперь попробуйте описать	фигуру	.
Если симметричную	фигуру	сложить пополам вдоль оси симметрии , то ее части совпадут .
Вырежьте	фигуру	, оставляя участки на линиях сгиба неразрезанными ( подумайте почему ) , разверните полученную « гармошку » .
2 Перечертите на клетчатую бумагу	фигуру	и вырежьте ее ( сторона каждого квадрата 4 см ) .
В ходе занятий часто будут встречаться задания начертить какую - либо	фигуру	, измерить какие - либо величины .
Интересно , что в правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту	фигуру	, делит другую в отношении золотого сечения .
Возьмем лист клетчатой бумаги и нарисуем на нем какую - нибудь	фигуру	.
Постройте	фигуру	( сечение ) , по которой плоскость , проходящая через указанные точки , пересечет куб .
А решение задачи о мостах доказывает , что изображенную	фигуру	нельзя нарисовать одним росчерком .
На листе между зеркалами нарисуйте какую - нибудь	фигуру	или произвольную линию .
Заданную	фигуру	, которая для облегчения работы часто разделена на равные клеточки , надо разрезать на две или несколько одинаковых частей .
6 Как вырезать из целого листа бумаги	фигуру	?
Продолжая покрывать	фигуру	квадратными миллиметрами , мы найдем ее площадь с избытком .
4 Как разрезать	фигуру	, показанную на рисунке 6 , на две одинаковые части ? .
В подобных задачах требуется начертить какую - либо	фигуру	, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии .
3 Возьмите ту же	фигуру	и переложите шесть спичек так , чтобы получилась фигура , состоящая из шести равных четырехугольников .
Посмотрите на	фигуру	.
Постройте	фигуру	, получающуюся при отражении заданного отрезка в зеркалах .
3 Простейшие геометрические	фигуры	.
Так же как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей , так и сложные геометрические	фигуры	составляются из простейших геометрических фигур .
Какие геометрические	фигуры	могут « жить » в этом мире ?
Вокруг вас живут треугольники , окружности , квадраты , отрезки и другие плоские	фигуры	.
На середину стола кладутся последовательно	фигуры	.
Рассматривая основные геометрические	фигуры	, среди всех углов мы выделили прямой угол , равный 90 ° .
11 Из семи многоугольников , входящих в танграм , сложите	фигуры	.
На ней видно , как линии , уходящие вглубь , сходятся в одной точке , а фигура , находящаяся дальше от нас , изображается в виде	фигуры	меньших размеров .
4 На какие	фигуры	делит квадрат каждая диагональ ? .
Задача 6 похожа на разрезание хлеба : ножом мы тоже проводим некоторые плоскости и получаем в разрезе	фигуры	сечения .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение	фигуры	, так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой точки на угол поворота .
11 Из трех кубиков можно построить в соответствии с условием задачи две различные	фигуры	, а из четырех — семь .
На какие	фигуры	она делит квадрат ? .
5 Какого вида эти	фигуры	? .
Итак , простейшие	фигуры	и их обозначения .
В 1899 г. швейцарский историк Генрих Зютер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись « Книга Архимеда о разбиении	фигуры	стомахиона на 14 частей , находящихся в рациональных отношениях » .
33 Какие	фигуры	могут получиться при пересечении двух треугольников ?
Заметьте , что сколько углов , столько и сторон , поэтому эти	фигуры	вполне можно было бы назвать и многосторонниками .
Затем нарисуйте в одном из углов какую - либо линию и , не пользуясь настоящими зеркалами , дорисуйте ее до симметричной	фигуры	, которая получилась бы при отражении в зеркалах .
А как точно нарисовать отражение	фигуры	в зеркале ? .
Нарисуйте еще две	фигуры	площадью 2 см2 .
Например , у	фигуры	много углов , но она не является многоугольником .
Но для характеристики	фигуры	этого еще недостаточно .
Перемешайте	фигуры	пентамино на столе , чтобы они лежали произвольно , а затем сложите прямоугольник 6×10 , не переворачивая ни одной фигурки .
Зеркально отражаясь , нарисованная на бумаге линия сама « достраивала » себя до некоторой симметричной	фигуры	.
Если фигура имеет и оси симметрии , и центр симметрии , то каким может быть число осей симметрии такой	фигуры	? .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической	фигуры	— угла .
Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной величине , мы вычислим площадь	фигуры	с недостатком , но уже точнее .
Будем продолжать заполнять площадь	фигуры	квадратными миллиметрами до тех пор , пока это возможно .
Как поступить , чтобы найти площадь	фигуры	точнее ?
Площадь	фигуры	с избытком равна 40 см2 .
Величина 16 см2 есть площадь	фигуры	, измеренная с недостатком .
10 Сложите из закрашенных и незакрашенных частей одинаковые	фигуры	.
Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая квадрат на части и перекладывая эти части , можно получать	фигуры	единичной площади и различной конфигурации .
Таким образом , площадь	фигуры	больше 16 клеток , но меньше 40 .
С помощью составленного из двух зеркал калейдоскопа нам удавалось получать симметричные	фигуры	.
Сравним две	фигуры	( кляксу и ажурную бумажную салфетку или « снежинку » ) .
Эти	фигуры	известны нам всем с раннего детства .
Разместить квадраты в клетках поля так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались	фигуры	, имеющие одинаковое число осей симметрии .
Треугольники , соединяясь друг с другом , могут образовывать другие	фигуры	.
26 В математических рукописях XVIII в . можно встретить утверждение , что	фигуры	с равными периметрами ограничивают равные площади .
Основная идея — постараться каким - то образом изготовить уменьшенную копию той	фигуры	, параметры которой надо измерить .
Если , не меняя формы плоской	фигуры	, увеличить ее размеры в n раз , то ее площадь увеличится в n×n раз .
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные	фигуры	: квадрат , треугольник , окружность и т .
Как расположены оси симметрии	фигуры	, если их больше двух ? .
Такие	фигуры	называют равносоставленными .
Если две различные плоские	фигуры	можно разрезать на одинаковые части , то эти фигуры будут иметь равные площади .
Равные фигуры — это	фигуры	, равные по размерам и имеющие одинаковую форму .
Равные	фигуры	— это фигуры , равные по размерам и имеющие одинаковую форму .
5 На какие части надо разрезать квадрат , чтобы сложить из них	фигуры	?
Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой , то отраженная в зеркале половинка	фигуры	дополнит ее до целой ( такой же , как исходная фигура ) .
Две другие	фигуры	составлены из различных окружностей .
Попробуйте понять , как это сделано , и перерисовать	фигуры	.
Если две различные плоские фигуры можно разрезать на одинаковые части , то эти	фигуры	будут иметь равные площади .
14 Разделите	фигуры	на прямоугольники , найдите по формуле площади этих прямоугольников и результаты сложите .
16 Нарисуйте одним росчерком	фигуры	, изображенные .
Как мы видим , ровно 16 целых клеток содержится внутри	фигуры	.
Известно , что	фигуры	состоят из букв Т. Восстановите их вид .
6 Можно ли составить треугольник , используя только две	фигуры	танграма ?
6 Разрежьте	фигуры	на буквы Т такой же формы .
2 На	фигуры	кто - то вылил белую краску .
Но можно сложить еще один треугольник , используя четыре	фигуры	: один большой треугольник , два маленьких и квадрат .
4 Начертите	фигуры	одним росчерком ( пронумеруйте отрезки в той последовательности , в какой вы их проходили ) .
Придумайте и запишите в тетрадь еще два описания этой	фигуры	человеку , который не видит ее , чтобы он понял , что нарисовано .
Так же обосновывается наше правило для любой	фигуры	.
Нетрудно найти площадь	фигуры	, составленной из квадратных метров или квадратных сантиметров или из тех и других .
Так ли изменяется ваш	флексагон	? .
Это игрушка	флексагон	( от английского слова to flex , что означает « складываться , гнуться » ) .
Другими словами ,	флексагон	— гнущийся многоугольник .
Затем осторожно соединяем их , и	флексагон	вывернется наизнанку .
Превратим его в розовый	флексагон	.
Оставшийся треугольник подогните вниз , склейте друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности , и	флексагон	готов .
Если верхние точки	флексагона	развести в стороны , то он будет готов к новому превращению .
Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости ( эти точки называются	фокусами	эллипса ) постоянна .
Так , если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из фокусов источник света , то лучи , отразившись от зеркала , соберутся в другом	фокусе	.
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости (	фокусов	гиперболы ) есть величина постоянная .
Так , если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из	фокусов	источник света , то лучи , отразившись от зеркала , соберутся в другом фокусе .
Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам , причем Солнце находится в одном из	фокусов	.
Все точки одной ветви ближе к одному	фокусу	( соответствующим образом берется и разность расстояний ) , а другой ветви к другому .
Окружность — частный случай эллипса , она получается , если	фокусы	эллипса совпадают .
Но для	характеристики	фигуры этого еще недостаточно .
Золотое сечение — это такое деление	целого	на две неравные части , при котором большая часть относится к целому , как меньшая к большей .
6 Как вырезать из	целого	листа бумаги фигуру ?
Получившееся	целое	число от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее целому .
Получившееся	целое число	от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее целому .
Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой , то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до	целой	( такой же , как исходная фигура ) .
Золотое сечение — это такое деление целого на две неравные части , при котором большая часть относится к	целому	, как меньшая к большей .
Но эта , самая первая , положившая начало	целому	направлению в геометрии , по - прежнему привлекает к себе внимание не только ученых , но и художников .
Получившееся целое число от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее	целому	.
45 Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из отрезков длиной 1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все	целочисленные	отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
Придумайте линейку длиной 9 см с тремя метками для измерения	целочисленных	отрезков от 1 см до 9 см. Придумайте линейку длиной 13 см с четырьмя метками внутри , отличную от уже рассмотренной .
По их поводу у математиков существует	целый	ряд договоренностей и ограничений .
У квадрата есть еще	целый	ряд интересных свойств .
У эллипса есть	целый	ряд свойств , которые могут иметь самые неожиданные применения .
Позже математики открыли еще	целый	ряд односторонних поверхностей .
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять чисел , выражающих стороны прямоугольников , были бы различными	целыми	числами .
Получившееся число	целых	единиц запишем .
Как мы видим , ровно 16	целых	клеток содержится внутри фигуры .
3 Если перегнуть круг так , чтобы половинки совпали , то линия сгиба пройдет через	центр	.
Изображена окружность , отмечен ее	центр	— точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет	центр	окружности с точкой на окружности .
Нужно пройти в	центр	к деревьям и скамейкам под ними .
50 б ) возьмем	центр	окружности , проходящей через вершины треугольника , и соединим его с вершинами .
Более того , если точка О (	центр	окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее	центр	.
Это	центр	окружности , так как через нее проходят оба диаметра .
Она пересечет построенную окружность в точках В и С. Передвиньте	центр	построенной окружности на АВ или АС .
Отрезок АВ соединяет две точки окружности и проходит через ее	центр	.
Перегибанием бумаги найдите его	центр	.
Проделав эту операцию дважды , найдем	центр	круга .
Две такие прямые определят	центр	.
Если мы соединим	центр	окружности ( точку О ) с точками деления , то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
С помощью чертежного угольника найдите ее	центр	.
Если фигура имеет и оси симметрии , и	центр	симметрии , то каким может быть число осей симметрии такой фигуры ? .
Приведите примеры плоских фигур , имеющих	центр	симметрии , но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
Совершенство окружности — в расположении всех ее точек на одинаковом расстоянии от	центра	.
А теперь , наоборот , — фигур , имеющих ось ( или оси ) симметрии , но не имеющих	центра	симметрии .
Окружность — единственная кривая , которая может « скользить сама по себе » , вращаясь вокруг	центра	.
Она характеризуется наличием	центра	симметрии — точки О , обладающей определенным свойством .
Сколько раз он обернется вокруг своего	центра	, прежде чем вернется в исходное положение ? .
Если трафарет поворачивать вокруг точки О (	центра	симметрии ) на 180 ° , то бордюр уже будет иным .
Из объяснений понятно , что способ шифровки основан на повороте квадрата вокруг его	центра	.
Второй приложите к первому , отметьте на его краю точку А , наиболее удаленную от	центра	первого круга .
Мы можем взять и трафарет , рисунок которого совпадает сам с собой при повороте его на 180 ° вокруг	центра	( точки , лежащей внутри рисунка ) .
Квадрат при повороте на 90 ° вокруг его	центра	совместится сам с собой .
Для построения перпендикуляра достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные окружности с	центрами	на прямой l.
В	центре	находится бассейн .
11 На берегу глубокого озера круглой формы диаметром 100 м вбит колышек А , в середине озера расположен остров , а в его	центре	вбит колышек В. У человека , который не умеет плавать , есть веревка .
Проколов фигуру в предполагаемом	центре	и обведя ее контур , надо повернуть фигуру на 180 ° вокруг иголки .
Циркулем проведем дугу окружности радиусом АВ с	центром	в точке А .
Общую вершину треугольников будем считать	центром	окружности с радиусом , равным стороне треугольника .
2 Строим окружность с	центром	О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой	центром	окружности .
Поэтому точки , которых он может достичь за час , расположены на окружности с радиусом 4 км и	центром	в том месте , где Вася находится в начале пути .
Значит , М лежит на окружности с	центром	О и радиусом .
6 Начертите циркулем окружность радиусом 13 клеточек с	центром	в узле клетки .
Если мы теперь начертим окружность с	центром	в точке А , проходящую через точку В ( т . е .
Возьмем окружность и точку над ее	центром	.
Возьмем произвольную окружность с	центром	О. Разделим ее на 360 равных частей — дуг .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с	центром	в точке В1 .
Можно сказать , что точка О является	центром	симметрии , если при повороте вокруг точки О на 180 ° фигура переходит сама в себя .
Затем на нее положим карточку со стороной 9 , но не по	центру	( в левом верхнем углу ) .
Незачеркнутая часть коридоров будет выходом или маршрутом от входа к выходу или к	центру	.
Оказывается , первый из них ( тетраэдр ) стоит немного особняком : если считать	центры	его граней вершинами нового многогранника , то вновь получим тетраэдр .
Центры граней куба образуют октаэдр , а	центры	граней октаэдра — куб .
2 Кузнецу принесли пять	цепей	, по три звена в каждой , и поручили соединить их в одну цепь .
2 Можно раскрыть три звена одной	цепи	, а потом этими звеньями соединить четыре оставшихся куска .
2 Кузнецу принесли пять цепей , по три звена в каждой , и поручили соединить их в одну	цепь	.
В связи с	циклоидами	расскажем об одном интересном парадоксе ( слово « парадокс » означает неожиданное явление , не соответствующее обычным представлениям ) .
Только в 1696 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли установил , что желоб должен быть выгнут по	циклоиде	, опрокинутой вниз .
Она называется	циклоидой	.
20 Возьмите набор геометрических тел ( куб , шар , пирамида , конус ,	цилиндр	и др. ) .
Отсюда следует , что число нечетных вершин всегда	четно	.
7 Докажите , что число нечетных узлов графа всегда	четно	.
Система может вращаться лишь в том случае , если число шестеренок	четное	.
Если мы сложим все эти числа , то получим	четное	число , так как каждый путь , соединяющий две вершины , считается дважды .
42 На каждой « петле » таких точек будет	четное	число , а значит , и всего точек пересечения четное число .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное число , а значит , и всего точек пересечения	четное	число .
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется	четное	число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
Карточки , стороны которых	четны	, — черного цвета , а остальные — белого .
Она содержит девять узлов , пять из которых	четные	, а четыре — нечетные .
На нашем графе пять узлов , причем три из них	четные	( первый , второй и третий — в них соединяется четное число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
Таким образом ,	четные	и нечетные слои вырезаются отдельно .
	Четырехгранник	( « тетра » — четыре , « эдр » — грань ) .
5 Изобразите	четырехугольник	, у которого три угла прямые .
Рассмотрим образовавшийся при этом	четырехугольник	ABCD .
Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания	четырехугольник	и треугольник , то соответствующие стороны не лежат на одной прямой .
58 Диагональ на самом деле представляет очень узкий	четырехугольник	площадью 1 .
По мнению Лены , это доказывало , что вырезанный	четырехугольник	— квадрат .
8 Треугольник АВС — правильный ,	четырехугольник	KLMN — квадрат .
Такой	четырехугольник	называется параллелограммом .
Изображен	четырехугольник	, противоположные вершины которого соединены отрезками .
Квадрат — очень интересный	четырехугольник	.
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это	четырехугольник	, у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
33 Показано , как при пересечении двух четырехугольников могут образоваться два	четырехугольника	, три четырехугольника и даже четыре четырехугольника .
	Четырехугольника	?
А три	четырехугольника	? .
Пунктирная линия делает этот рисунок объемным и позволяет отличать изображение пирамиды от	четырехугольника	с диагоналями .
Возможно ли , чтобы при пересечении двух четырехугольников образовалось два	четырехугольника	?
2 Покрывается ли плоскость копиями произвольного	четырехугольника	? .
33 Показано , как при пересечении двух четырехугольников могут образоваться два четырехугольника , три четырехугольника и даже четыре	четырехугольника	.
Определите вид треугольника АВС и	четырехугольника	KLMN .
33 Показано , как при пересечении двух четырехугольников могут образоваться два четырехугольника , три	четырехугольника	и даже четыре четырехугольника .
Измерьте углы в	четырехугольнике	АВСD .
3 Сколько	четырехугольников	? .
33 Показано , как при пересечении двух	четырехугольников	могут образоваться два четырехугольника , три четырехугольника и даже четыре четырехугольника .
Может , это просто набор сложенных определенным образом треугольников и	четырехугольников	?
3 8	четырехугольников	.
А при пересечении двух	четырехугольников	?
3 Возьмите ту же фигуру и переложите шесть спичек так , чтобы получилась фигура , состоящая из шести равных	четырехугольников	.
Возможно ли , чтобы при пересечении двух	четырехугольников	образовалось два четырехугольника ?
Тогда число в каждом следующем узле равно сумме	чисел	предшествующих узлов ( тех , из которых попадаем в этот узел за один переход ) .
22 Для облегчения решения пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных равносторонних треугольников тройками	чисел	: ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
Поиграем в эту игру и мы , но обозначать клетки будем парой	чисел	.
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять	чисел	, выражающих стороны прямоугольников , были бы различными целыми числами .
Расставьте на развертках куба числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы сумма	чисел	на противоположных гранях была равна 7 .
Координаты точки плоскости — это пара	чисел	, из которых одно число является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
А на развертках — два из названных	чисел	или одно .
Правило это записывается в виде трех пар	чисел	: 3—1 , 1—1 , 1—3 .
Теперь каждой точке пространства соответствуют три координаты , тройка	чисел	х , у , z.
Теперь каждая точка плоскости обозначается парой	чисел	.
Расставьте на развертках куба	числа	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7 .
Правда , нет четкой единицы измерения , так как год не имеет постоянного	числа	суток .
7 На видимых гранях куба проставлены	числа	1 , 2 , 3 .
В первой расставить	числа	от 1 до 16 в обычном порядке .
Наверное , чтобы удобнее было записывать в столбик	числа	.
В результате каждая клетка шахматной доски имеет собственное « имя » , складывающееся из двух координат — буквы и	числа	, обозначающих столбец и строку , на пересечении которых эта клетка находится .
Если мы сложим все эти	числа	, то получим четное число , так как каждый путь , соединяющий две вершины , считается дважды .
Схема , приведенная выше , показывает , как увеличение	числа	измерений влечет за собой изменение и усложнение геометрических фигур .
Затем выбирают для окошечек любые 16 клеток , заботясь лишь о том , чтобы в их	числе	не было клеток с одинаковыми номерами .
Тогда	число	в каждом следующем узле равно сумме чисел предшествующих узлов ( тех , из которых попадаем в этот узел за один переход ) .
Мы легко любую дату можем перевести , скажем , в сутки ( подсчитать	число	суток от начала первого года до этой даты ) или даже в часы , если мы знаем дату и время события .
Чтобы перевести расстояние из ялимов в километры , надо соответствующее	число	умножить на 4/3 .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное число , а значит , и всего точек пересечения четное	число	.
Если мы сложим все эти числа , то получим четное	число	, так как каждый путь , соединяющий две вершины , считается дважды .
Получившееся	число	целых единиц запишем .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное	число	, а значит , и всего точек пересечения четное число .
Продолжайте перекручивание полоски бумаги перед склеиванием , каждый раз увеличивая	число	полуоборотов на один .
Что означает это	число	? .
Какое наименьшее	число	выстрелов надо сделать , чтобы хотя бы один раз наверняка попасть в него ? .
Если фигура имеет и оси симметрии , и центр симметрии , то каким может быть	число	осей симметрии такой фигуры ? .
Подставьте в слове « многоугольник » вместо части « много » конкретное	число	, например 5 .
При этом первое	число	— номер столбца , а второе — номер строки .
Какое наименьшее	число	вершин может иметь этот многоугольник ? .
17 Какое минимальное	число	плоских разрезов нужно сделать , чтобы разделить куб на 64 маленьких кубика ? .
Для шести прямых	число	частей составит 22 .
Отсюда следует , что	число	нечетных вершин всегда четно .
Каждый игравший в « Морской бой » знает , что клетки доски в этой игре обозначаются парой — буква и	число	.
Во сколько раз новое перегибание увеличивает	число	существующих осей симметрии ?
Транспортир , как и линейка с делениями , не входит в	число	традиционно разрешенных инструментов .
Измерим толщину стопки бумаги , подсчитаем	число	листов в стопке и разделим первое число на второе .
55 Будем последовательно двигаться из А и ставить в каждом узле	число	, равное количеству способов , какими можно попасть в этот узел .
Получившееся целое	число	от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее целому .
Система может вращаться лишь в том случае , если	число	шестеренок четное .
Если в фигуре ( на графе )	число	нечетных узлов больше двух , то ее нельзя нарисовать одним росчерком ! .
К западному острову ведут пять мостов , а 5 , как и 3 , —	число	нечетное .
Отношение длин двух отрезков есть	число	, которое не зависит от единицы измерения .
4 Доску разрезать на линкоры нельзя : при указанной окраске в четыре цвета различных по цвету квадратов получается неодинаковое	число	.
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется четное число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное	число	линий ) .
7 Докажите , что	число	нечетных узлов графа всегда четно .
А самое меньшее	число	клеток , покрывающих фигуру , равно 40 .
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется четное	число	линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
В результате в точке Б получим	число	100 .
Наименьшее	число	вершин равно числу осей , т .
Координаты точки плоскости — это пара чисел , из которых одно	число	является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
7 Поставьте в каждой вершине графа	число	, равное количеству выходящих из него путей .
Подсчитаем	число	вершин ( В ) , ребер ( Р ) и граней ( Г ) у каждого многогранника и запишем результаты в табличку .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же	число	ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Измерим толщину стопки бумаги , подсчитаем число листов в стопке и разделим первое	число	на второе .
Подсчитайте их	число	.
Разместить квадраты в клетках поля так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались фигуры , имеющие одинаковое	число	осей симметрии .
Предлагаемые ниже способы построения интересны и тем , что	число	проводимых при построении линий будет наименьшим из возможных .
5 На какое самое большое	число	частей можно разрезать блин тремя разрезами ?
Какое наименьшее и наибольшее	число	кубиков потребуется для постройки ? .
Считаем число узлов внутри многоугольника ( пусть это будет число а ) , а затем число узлов на границе , включая вершины ( обозначим это	число	b ) .
Какое наибольшее	число	кубиков можно убрать , чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не развалилась ? .
17 После каждого разреза	число	частей может возрасти не больше чем в два раза .
Считаем число узлов внутри многоугольника ( пусть это будет число а ) , а затем	число	узлов на границе , включая вершины ( обозначим это число b ) .
10 Какое наибольшее	число	различных сторон может быть в шестиугольнике , имеющем ось симметрии ? .
2 Если точку взять на самой прямой , то через эту точку проходит бесконечное	число	прямых , перпендикулярных данной прямой .
Считаем	число	узлов внутри многоугольника ( пусть это будет число а ) , а затем число узлов на границе , включая вершины ( обозначим это число b ) .
50 Разрежьте на наименьшее	число	равнобедренных треугольников треугольник с углами : а ) 10 ° , 70 ° , 100 ° ; б ) 50 ° , 60 ° , 70 ° .
Считаем число узлов внутри многоугольника ( пусть это будет	число	а ) , а затем число узлов на границе , включая вершины ( обозначим это число b ) .
Какое	число	должно было бы стоять в последнем столбце , если бы все измерения были сделаны абсолютно точно ? .
Следуя этим закономерностям , можно последовательно выписывать цепочки ( коды ) для полосок , сложенных любое	число	раз .
Затем	число	частей может быть 8 , 16 , 32 и 64 .
Придумайте какой - нибудь многогранник , у которого также восемь вершин , но	число	граней не равно шести .
Значит ,	число	разрезов не может быть меньше 6 .
Постарайтесь провести линию так , чтобы	число	точек пересечения линий разного цвета было бы нечетным .
Каким наименьшим	числом	можно заменить « много » в слове « многоугольник » ? .
Тогда площадь многоугольника равна	числу	.
Наименьшее число вершин равно	числу	осей , т .
Все большое семейство треугольников можно разделить на группы по	числу	равных сторон .
Во многих странах есть клубы оригамистов ,	членами	которых являются люди самых разных профессий и возрастов .
Что вы увидите , если плоскость , в которой вы находитесь , пересечет	шар	, движущийся сквозь плоскость , как сквозь стену ? .
20 Возьмите набор геометрических тел ( куб ,	шар	, пирамида , конус , цилиндр и др. ) .
На поверхности земного	шара	( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Меридианы и параллели образуют на поверхности земного	шара	координатную сетку .
Ведь нельзя так просто взять и измерить радиус земного	шара	, площадь океана и многое другое .
Перечислите несколько « топологических родственников »	шара	.
Этим парам точек будут соответствовать пары точек на поверхности земного	шара	, находящиеся на разном расстоянии одна от другой .
Вместе они составят правильный	шестиугольник	.
Как построить правильный	шестиугольник	?
Сделайте необходимые вычисления и впишите в окружность равносторонние ( правильные ) пятиугольник ,	шестиугольник	и восьмиугольник .
13 Тень —	шестиугольник	.
4 На сколько треугольников разбивается выпуклый	шестиугольник	отрезками , соединяющими какую - либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника ?
Правильный	шестиугольник	вписан в окружность , и все стороны равны радиусу этой окружности .
23 Разрежьте правильный	шестиугольник	на девять одинаковых частей разными способами .
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую вершину , образуют правильный	шестиугольник	.
Тогда —	шестиугольник	.
4 На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник отрезками , соединяющими какую - либо его вершину с остальными вершинами	шестиугольника	?
Покажите , что площадь этого треугольника равна половине площади	шестиугольника	.
11 Противоположные стороны	шестиугольника	, равны .
Взяв три вершины	шестиугольника	через одну , получим треугольник .
4 Можно ли замостить плоскость равными	шестиугольниками	? .
10 Какое наибольшее число различных сторон может быть в	шестиугольнике	, имеющем ось симметрии ? .
Зная это , можно вписывать в окружность правильные	шестиугольники	и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Эти три измерения мы используем ежедневно , говоря об окружающих нас предметах : высота дерева , длина дороги ,	ширина	тротуара .
Правда , когда мы говорим « длина ,	ширина	и высота » , то имеем в виду измерения параллелепипеда , расположенного конкретным образом на земле ( или на столе ) .
Весь мир стал плоским , как лист бумаги , остались только два измерения — длина и	ширина	.
15 Дан прямоугольник ,	ширина	которого в два раза меньше длины .
Если a , b и c — длина , высота и	ширина	прямоугольного параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Передвинем трафарет вправо на расстояние , равное	ширине	трафарета ( такое преобразование называется параллельным переносом ) .
Если мы не знаем , как расположен параллелепипед , то говорить о длине ,	ширине	и высоте было бы не совсем верно .
Как называется геометрическое тело , полностью описываемое тремя измерениями — длиной ,	шириной	и высотой ?
Мы говорим : « Этот дом длиной в три подъезда ,	шириной	в два окна , высотой в шесть этажей » .
Склеите лист Мёбиуса	шириной	5 см .
Возьмите полоску бумаги	шириной	5 см и длиной около 20 см. Сложите ее « гармошкой » и нарисуйте какой - нибудь рисунок , касающийся линии сгиба .
Все предметы ( тела ) в окружающем нас мире имеют три измерения , хотя далеко не у всех можно указать длину ,	ширину	, высоту .
Чтобы получить некоторое представление о топологии , рассмотрим несколько топологических опытов с поверхностями , полученными из бумажной полоски примерно 30 см в длину и 3 см в	ширину	.
Уберем теперь и	ширину	.
А как быть , если требуется измерить высоту дерева ,	ширину	реки или объем большого камня , который трудно поднять даже нескольким силачам ?
Нам понадобилось задать три величины — длину ,	ширину	и высоту .
В удивительном мире геометрии существует и фигура , которая не имеет измерений — длины ,	ширины	, высоты .
Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник , то окажется , что длина его больше	ширины	примерно в 1,6 раза .
На него нанесены два	штриха	, расстояние между которыми и составляет 1 метр .
Обозначается двумя	штрихами	″. Запись 78 ° 16′25″ читается так : 78 градусов 16 минут 25 секунд .
Вспомните	экватор	и меридианы .
Большой — у	экватора	, маленький — у полюсов .
Они показывают географическую широту в градусах ( удаление ( в градусах ) данной точки от	экватора	) .
Москва находится севернее	экватора	примерно на широте 56 ° ( говорят : 56 ° северной широты ) .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от	экватора	, стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Все точки	экватора	имеют нулевую широту .
Выберем , например , две пары точек на карте , расстояния между которыми равны , но точки расположены в разных местах карты ( близко к	экватору	и далеко от него ) .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные	экватору	, радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
В конце концов	эллипс	превратится в параболу .
Если трубочку не разворачивать , то в сечении будет	эллипс	.
Все только что рассмотренные линии (	эллипс	, гипербола и парабола ) объединяются общим свойством .
Если плоскость сечения наклонять , то получим	эллипс	( плоскость 1 ) .
Все точки	эллипса	, как видно из построения , обладают одним свойством .
Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости ( эти точки называются фокусами	эллипса	) постоянна .
Так , если мы сделаем зеркало в форме	эллипса	и поместим в одном из фокусов источник света , то лучи , отразившись от зеркала , соберутся в другом фокусе .
Окружность — частный случай	эллипса	, она получается , если фокусы эллипса совпадают .
Окружность — частный случай эллипса , она получается , если фокусы	эллипса	совпадают .
У	эллипса	есть целый ряд свойств , которые могут иметь самые неожиданные применения .
Эта линия называется	эллипсом	.
На самом деле	эллипсы	в нашей жизни встречаются гораздо чаще , чем кажется .
Увеличивая наклон плоскости , получаем все более вытянутые	эллипсы	.