RuLingva - Текстовая аналитика

Левый контекст	Термин	Правый контекст
	*Биссектриса*	угла — это луч , выходящий из его вершины и делящий угол на два равных .
	*Величина*	стадия различна , например , вавилонский стадий — около 195 м , аттический стадий — около 185 м .
	*Величина*	16 см2 есть площадь фигуры , измеренная с недостатком .
	*Вершина*	С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
	*Вершина*	; сторона ; угол треугольника .
	*Вершину*	угла обозначим буквой А .
	*Вершины*	треугольника , а также соответствующие углы принято обозначать большими латинскими буквами А , В , С или К , L , М и т .
	*Вершины*	треугольника лежат в узлах клеток .
	*Вписанный*	в окружность угол , опирающийся на диаметр , равен 90 ° .
	*Вписать*	в окружность равносторонний треугольник .
	*Высотой*	в этом случае мы называем измерение , направленное вертикально вверх от земли .
	*Гипербола*	— это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
	*Гипербола*	состоит из двух частей ( двух отдельных ветвей ) .
	*Гипербола*	.
	*Гипоциклоиды*	.
	*Градус*	можно определить следующим образом .
	*Деление*	окружности на части .
58	*Диагональ*	на самом деле представляет очень узкий четырехугольник площадью 1 .
	*Диагональ*	квадрата является биссектрисой угла .
Тетраэдр ; Куб ; Октаэдр ;	*Додекаэдр*	; Икосаэдр .
	*Дуги*	окружности также измеряются в градусах .
	*Единица*	измерения угла , как мы знаем , — градус .
	*Единичные*	отрезки на каждой оси выбираются равными по длине .
	*Единичные отрезки*	на каждой оси выбираются равными по длине .
	*Игра*	« Морской бой » .
	*Игра*	стомахион была известна еще до нашей эры .
	*Игра*	заканчивается , как только в течение минуты никто не может придумать новый пример .
29	*Игра*	со спичками .
	*Игра*	« Остров Сокровищ » .
14	*Игра*	- конкурс букв и слов .
Тетраэдр ; Куб ; Октаэдр ; Додекаэдр ;	*Икосаэдр*	.
	*Кардиоида*	.
	*Касательная*	АВ симметрична касательной АС .
	*Квадрат*	8×8 разрезан на части , из которых составлен прямоугольник 13×5 .
	*Квадрат*	— очень интересный четырехугольник .
	*Квадрат*	при повороте на 90 ° вокруг его центра совместится сам с собой .
	*Квадрат*	.
	*Квадратная*	крышка может провалиться в люк , чего никогда не случится с круглой крышкой .
	*Конус*	.
	*Конус*	можно пересечь плоскостью по окружности .
	*Координата*	времени .
	*Координаты*	точки плоскости — это пара чисел , из которых одно число является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
	*Координаты*	на плоскости можно задавать различными способами .
22	*Координаты*	, координаты , координаты .
25	*Кривые*	Дракона .
17	*Круг*	диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу сложить вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
	*Круг*	.
	*Круг*	— плоская фигура , его характеризует площадь .
19	*Куб*	со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд .
	*Куб*	является представителем большого семейства многогранников .
Тетраэдр ;	*Куб*	; Октаэдр ; Додекаэдр ; Икосаэдр .
5	*Куб*	и его свойства .
27 а )	*Куб*	; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
	*Ломаная*	А1В1С — отражение АВС .
	*Луч*	ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой точки — начала луча ( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
	*Многогранники*	при всем различии имеют ряд общих свойств .
	*Многоугольник*	всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же площадью .
	*Найдем*	, во сколько раз отрезок АВ больше отрезка АlВl и , увеличив единичный отрезок во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
	*Найдите*	три отрезка , три луча , три угла .
5	*Найдите*	путь к беседке , расположенной в парке .
	*Найдите*	на этом рисунке девять прямоугольников .
7	*Найдите*	путь от входа к выходу в пространственном лабиринте .
7	*Найдите*	звезду .
6	*Найдите*	47 треугольников в фигуре .
14	*Найдите*	площади фигур .
	*Найдите*	эту линию .
5	*Найдите*	27 треугольников в фигуре .
	*Найдите*	как можно больше симметричных предметов , сооружений в окружающей обстановке дома и на улице .
	*Найдите*	сторону двух квадратов , отмеченных знаком вопроса , если сторона маленького черного квадрата равна 1 .
	*Найдите*	еще несколько пар скрещивающихся ребер куба ABCDA1B1C1D1 .
25	*Найдите*	площадь треугольника .
	*Найдите*	равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные , тупоугольные треугольники .
	*Найдите*	длину отрезка АВ .
	*Найдите*	еще хотя бы один вариант подобного покрытия квадрата 8×8 с вырезанной серединой .
	*Найдите*	на прямой такую точку M , чтобы путь из А в В через М был кратчайшим , т .
	*Найдите*	пять других способов .
8	*Найдите*	площади каждой части танграма , если сторона клетки равна 1 .
	*Найдите*	несколько вариантов .
	*Найдите*	развертки каждого кубика .
	*Найдите*	на карте место клада .
	*Найти*	на сторонах угла две точки М и N так , чтобы длина замкнутого пути была наименьшей .
	*Обратное*	движение эта точка совершает в нижних частях маленьких петель .
3	*Обратное*	задание : даны проекции ломаных спереди , сверху и слева .
	*Окружности*	и дуги являются основными элементами готических храмов средневековья .
	*Окружность*	— удивительно гармоничная фигура , древние греки считали ее самой совершенной .
	*Окружность*	— единственная кривая , которая может « скользить сама по себе » , вращаясь вокруг центра .
	*Окружность*	обладает еще одним интересным свойством .
	*Окружность*	— частный случай эллипса , она получается , если фокусы эллипса совпадают .
	*Окружность*	— это замкнутая кривая линия .
13	*Окружность*	.
	*Окружность*	как совершенная геометрическая форма всегда привлекала к себе внимание художников , архитекторов .
	*Окружность*	— это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой центром окружности .
Тетраэдр ; Куб ;	*Октаэдр*	; Додекаэдр ; Икосаэдр .
	*Основания*	этих перпендикуляров служат вершинами правильного треугольника .
	*Отношение*	длин двух отрезков есть число , которое не зависит от единицы измерения .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В.	*Отрезок*	ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
	*Отрезок*	АА1 короче ломаной АВ0А1 .
2	*Отрезок*	, соединяющий симметричные точки , перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам .
9	*Отрезок*	, соединяющий две противоположные вершины куба ( наиболее удаленные друг от друга ) , называется диагональю куба .
	*Отрезок*	АВ — это часть прямой между двумя точками А и В ( из прямой как бы вырезали кусочек ) .
	*Отрезок*	АВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр .
	*Парабола*	.
	*Параллелепипед*	можно считать символом нашего пространства .
	*Параллелограмм*	.
	*Параллелограмм*	— это красивое и звучное слово , напоминающее нам о единицах веса , на самом деле никакого отношения к ним не имеет .
	*Параллельные*	и перпендикулярные прямые играют очень большую роль в жизни человека : особенности их взаимного расположения используют в строительстве , технике , искусстве .
	*Параллельный*	перенос .
	*Паркеты*	настолько часто встречаются в жизни , что мы не замечаем их .
	*Перпендикулярные*	прямые обладают интересными свойствами .
3	*Пирамида*	разделится на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
	*Пирамида*	— « жесткое » геометрическое тело , т .
	*Плоские*	равновеликие многоугольники также являются равносоставленными .
	*Плоский*	рисунок может обманывать , изображая невозможное .
7	*Плоскость*	должна проходить параллельно грани куба .
	*Площади*	плоских фигур при увеличении их сторон в n раз увеличиваются в n×n раз .
3	*Площадь*	всего белого квадрата равна 25 клеткам .
	*Площадь*	, ограниченная окружностью ( т . е .
	*Площадь*	фигуры с избытком равна 40 см2 .
	*Площадь*	всего белого квадрата равна 25 клеткам .
	*Порядок*	изготовления показан на схемах .
23	*Порядок*	действий : 1 ) правой рукой делаем перекрещенную петлю посередине веревки и держим ее ;
18	*Последовательность*	укладки : 2 ; 7 ; 5 ; 6 ; 1 ; 3 ;
8	*Правильные*	многогранники .
	*Правильный*	.
	*Правильный*	шестиугольник вписан в окружность , и все стороны равны радиусу этой окружности .
	*Правильный шестиугольник*	вписан в окружность , и все стороны равны радиусу этой окружности .
	*Прибавив*	соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной величине , мы вычислим площадь фигуры с недостатком , но уже точнее .
	*Приведем*	еще некоторые меры длины , которыми пользовались ( а некоторые пользуются и сейчас ) в разных странах .
4	*Приведите*	примеры кривых , длину которых удобно измерять одним из этих способов .
	*Приведите*	способ , с помощью которого куб можно разрезать на 64 части за шесть разрезов .
	*Приведите*	пример .
	*Приведите*	примеры из литературы .
	*Приведите*	примеры .
	*Приведите*	примеры плоских фигур , имеющих центр симметрии , но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
	*Прямая*	а .
	*Прямая*	, на которой заданы точка 0 и точка 1 , называется координатной осью или просто осью .
	*Прямая*	, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса , касается окружности .
	*Прямая*	, вдоль которой поставлено зеркало , называется осью симметрии .
	*Прямая*	А1А2 пересечет стороны угла в искомых точках М и N. Объясните это .
	*Прямой*	угол содержит 90 ° .
	*Прямой угол*	содержит 90 ° .
	*Прямоугольник*	— это параллелограмм , у которого все углы прямые .
2	*Прямоугольник*	ABCD разделен на части прямыми КМ и ОР .
	*Прямоугольник*	обладает тем свойством , что его диагонали равны между собой и делятся пополам в точке их пересечения .
	*Прямоугольник*	.
53	*Прямоугольники*	А и Б имеют равные площади .
5	*Равнобедренный*	треугольник можно сложить пополам так , чтобы половинки совместились .
	*Равнобедренный*	.
5	*Равнобедренный треугольник*	можно сложить пополам так , чтобы половинки совместились .
	*Равносторонний*	( правильный ) треугольник .
	*Равносторонний*	многоугольник , вписанный в окружность , называется правильным .
	*Разделив*	каждый градус на 60 равных частей , получим более мелкую единицу угла — минуту .
	*Разделим*	его на два равных прямоугольника .
Возьмем произвольную окружность с центром О.	*Разделим*	ее на 360 равных частей — дуг .
	*Разделите*	пополам тетрадный лист вертикальной чертой , слева напишите названия тех фигур ( или начертите их ) , которые можно поместить в плоскости , а справа те , которые нельзя .
14	*Разделите*	фигуры на прямоугольники , найдите по формуле площади этих прямоугольников и результаты сложите .
15	*Разделите*	лунный серп двумя прямыми линиями на шесть частей .
3	*Ребро*	куба увеличили в 3 раза .
	*Ребро*	; грань ; вершина .
	*Ребро*	АА1 перпендикулярно ребрам АВ , А1В1 , AD и A1D1 .
Постройте треугольник со сторонами 7 см , 5 см , 4 см.	*Решение*	этой задачи .
	*Решение*	задачи .
	*Решение*	( т . е . маршрут , ведущий к цели ) каждого лабиринта может быть найдено одним из трех сравнительно простых методов .
	*Решение*	следующих задач и выполнение заданий позволит вам обнаружить некоторые свойства куба .
	*Ромб*	.
	*Ромб*	— это параллелограмм , у которого все стороны равны .
«	*Симметрия*	..
32	*Симметрия*	помогает решать задачи .
	*Симметрия*	помогает решать задачи .
29	*Симметрия*	.
	*Симметрия*	относительно горизонтальной оси + параллельный перенос .
	*Синусоида*	.
	*Система*	может вращаться лишь в том случае , если число шестеренок четное .
10	*Сложите*	из закрашенных и незакрашенных частей одинаковые фигуры .
5	*Сложите*	такой же треугольник , используя .
	*Сложите*	из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
2	*Сложите*	белую полоску .
	*Сложите*	полоску три раза пополам .
Возьмите полоску бумаги шириной 5 см и длиной около 20 см.	*Сложите*	ее « гармошкой » и нарисуйте какой - нибудь рисунок , касающийся линии сгиба .
1	*Сложите*	шесть спичек так , чтобы образовалось четыре треугольника ( сторона каждого треугольника должна быть равной длине спички ) .
	*Сложите*	самостоятельно полоску четыре и пять раз и запишите , как будут чередоваться изгибы .
1	*Сложите*	спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей точке пространства .
11	*Сложите*	из трех « внешних » треугольников один треугольник , равный « внутреннему » .
	*Совпадают*	ли результаты каких - либо преобразований ?
	*Спираль*	Архимеда .
	*Сторона*	ОС у них общая , а стороны ОА и ОD составляют развернутый угол .
	*Сторона*	равна одной спичке , а ) Переложите четыре спички так , чтобы получилось три квадрата , б ) Переложите три спички так , чтобы получилось три квадрата , в ) Переложите спички , чтобы получилось шесть квадратов .
	*Стороны*	одного из них являются продолжением сторон другого угла .
	*Сумма*	расстояний от них до двух заданных точек плоскости ( эти точки называются фокусами эллипса ) постоянна .
12	*Тела*	составлены из кубиков с ребром в 1 см. Подсчитайте объемы тел .
	*Тетраэдр*	начинают перекатывать , как показано на рисунке , причем он оставляет след такого же цвета , что и грань , касающаяся бумаги .
6	*Тетраэдр*	, перекатываясь с грани на грань , возвращается в свое исходное положение .
	*Тетраэдр*	; Куб ; Октаэдр ; Додекаэдр ; Икосаэдр .
15	*Топологические*	опыты .
	*Топология*	является одним из самых « молодых » разделов современной геометрии .
	*Точка*	М имеет координаты 5 и 2 , что записывается так : М ( 5 ; 2 ) .
	*Точка*	О — общее начало лучей ОА и ОВ , точка О — вершина угла .
	*Точка*	С осталась на месте .
	*Точка*	должна быть слева .
	*Точка*	пересечения этих прямых является началом координат .
	*Точка*	А .
	*Точка*	О — начало луча .
	*Точки*	В и С окружности симметричны .
	*Точки*	А и В — концы отрезка АВ .
4	*Точки*	В и С симметричны относительно диаметра , проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярного ему .
	*Третий*	метод — правило одной руки .
	*Третий*	ученик , видя предметы , контролирует и оценивает ответ .
5	*Третью*	полоску ( красную ) пропустите сзади куба в щель между белой и черной полосками , согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и черной полоской .
	*Треугольная*	пирамида имеет еще одно название — тетраэдр , т .
8	*Треугольник*	АВС — правильный , четырехугольник KLMN — квадрат .
	*Треугольник*	— плоская фигура .
3	*Треугольник*	, каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
7	*Треугольник*	.
	*Треугольник*	.
	*Треугольник*	АОВ — равнобедренный , один из углов равен 60 ° .
	*Треугольник*	, как правило , определяется тремя своими элементами .
2	*Треугольник*	со сторонами 7 см « выложен » треугольными сантиметрами .
2	*Треугольник*	можно разделить на четыре равных треугольника .
Мы предлагаем еще один невозможный объект —	*Треугольник*	Пенроуза .
	*Треугольник*	АОМ — равнобедренный .
	*Треугольник*	будет разделен на три равнобедренных треугольника .
	*Треугольники*	можно разделить на группы в зависимости от углов .
	*Треугольники*	, соединяясь друг с другом , могут образовывать другие фигуры .
	*Угол*	АОВ — это часть плоскости , ограниченная двумя лучами , выходящими из одной точки .
	*Угол*	между ребром АА1 и каждым из этих ребер равен 90 ° .
1	*Угол*	равен 90 ° .
	*Угол*	квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю квадрата и его сторонами образуются углы по 45 ° .
8	*Угол*	не изменится .
	*Угол*	, равный 180 ° , называется развернутым .
6	*Угол*	АОВ в 2 раза больше угла АСВ .
	*Фигура*	Маха .
	*Фигуры*	, имеющие равные площади , называют равновеликими .
	*Флексагон*	обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет .
	*Центры*	граней куба образуют октаэдр , а центры граней октаэдра — куб .
	*Циклоида*	обладает многими замечательными свойствами .
	*Циклоида*	.
8	*Четырехугольник*	одним прямолинейным разрезом разделите на две равные части .
	*Число*	это превышает 4 миллиарда .
	*Число*	полуоборотов : 0 , 1 , 2 .
Например . I )	*Число*	изгибов нечетное , причем если на каком - то шаге их было К , то на следующем будет 2К + 1 ; сначала 2×1 + 1 равно 3 изгиба , затем 2×3 + 1 равно 1 , потом 2×7 + 1 равно 15 и т .
	*Число*	проведенных при этом линий не должно быть больше трех ( третьей должна быть искомая прямая ) .
	*Число*	1,6 лишь приближенно ( с точностью до 0,1 ) представляет величину золотого сечения .
	*Шестиугольник*	, как и сам треугольник , плоская фигура .
	*Шестиугольник*	.
	*Эллипс*	.
Какой угол образует	*биссектриса*	этого угла с его сторонами ?
Диагональ квадрата является	*биссектрисой*	угла .
Для всякого ли угла можно построить	*биссектрису*	? .
Как вы думаете , можно ли без карандаша и линейки построить	*биссектрису*	этого угла ?
Найдите еще хотя бы один	*вариант*	подобного покрытия квадрата 8×8 с вырезанной серединой .
Найдите несколько	*вариантов*	.
Сколько разных	*вариантов*	вы можете предложить ?
21 Один из	*вариантов*	показан .
Возможны и	*варианты*	правил .
В жизни человеку приходится измерять множество других различных	*величин*	: время , массу , скорость , громкость звука , силу света и многое другое .
В разделе 11 мы решили несколько практических задач на измерение	*величин*	.
Придумайте свои задачи на измерение каких - то	*величин*	, требующие изобретательности .
При решении задач на нахождение тех или иных	*величин*	большую пользу могут принести формулы , позволяющие выразить искомые величины через другие , известные или легко находимые .
Сказать что - либо определенное об этой единице трудно , поскольку ее	*величина*	в разных странах меняется от долей миллиметра до 500 м .
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов гиперболы ) есть	*величина*	постоянная .
Циркуль позволяет . — строить окружности . — сравнивать отрезки по	*величине*	.
Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной	*величине*	, мы вычислим площадь фигуры с недостатком , но уже точнее .
Не так уж редки ситуации , когда мы с помощью единицы одного вида измеряем не соответствующую ей	*величину*	.
Число 1,6 лишь приближенно ( с точностью до 0,1 ) представляет	*величину*	золотого сечения .
Точность измерения зависит , во - первых , от измерительного инструмента : если мы измеряем длину садового участка метром без делений , то получим эту	*величину*	с точностью до 1 метра .
Во многих случаях , чтобы измерить какую - то	*величину*	, приходится проявлять большую изобретательность .
И все же давайте подумаем над вопросом : « Что значит — измерить какую - то	*величину*	? » .
С этой целью некоторую неизменную	*величину*	, например Парижский меридиан , надо было измерить в тех и других единицах .
Нам понадобилось задать три	*величины*	— длину , ширину и высоту .
Объясните , почему ошибка меньше указанной	*величины*	.
Можно сделать вывод : по стороне и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный треугольник , но при этом	*величины*	заданных углов не могут быть произвольными .
Итак , измеряя на практике различные	*величины*	, мы всегда получаем приближенные значения , но погрешность измерения часто не учитываем и считаем полученный результат истинным .
Математики же в своих рассуждениях исходят из того , что отрезки ( и другие	*величины*	) имеют точную длину ( точное значение ) , .
При решении задач на нахождение тех или иных величин большую пользу могут принести формулы , позволяющие выразить искомые	*величины*	через другие , известные или легко находимые .
В ходе занятий часто будут встречаться задания начертить какую - либо фигуру , измерить какие - либо	*величины*	.
3 Пример многогранника , у которого восемь	*вершин*	и восемь граней , — пирамида , в основании которой лежит семиугольник .
Подсчитаем число	*вершин*	( В ) , ребер ( Р ) и граней ( Г ) у каждого многогранника и запишем результаты в табличку .
Какое наименьшее число	*вершин*	может иметь этот многоугольник ? .
3 Если известно , сколько у многоугольника	*вершин*	, то сразу можно сказать , сколько у него сторон .
Например , у пятиугольника пять	*вершин*	и пять сторон .
Наименьшее число	*вершин*	равно числу осей , т .
Как известно , у параллелепипеда восемь	*вершин*	и шесть граней .
4 Изобразите многогранник , у которого пять	*вершин*	и пять граней .
А теперь — многогранник , у которого пять	*вершин*	и шесть граней .
В этом случае плоскость заполняется без промежутков путем поворота треугольников вокруг их	*вершин*	на 60 ° .
1 Из	*вершин*	А и В опускаем перпендикуляры на прямую l .
Отсюда следует , что число нечетных	*вершин*	всегда четно .
Закройте одну из	*вершин*	этого треугольника , и станет ясно , что одна из его сторон направлена к нам , а другая — от нас , т .
Придумайте какой - нибудь многогранник , у которого также восемь	*вершин*	, но число граней не равно шести .
д. , а весь треугольник обозначают так : ∆А ВС или ∆KLM ( по буквам	*вершин*	) .
Ребро ; грань ;	*вершина*	.
После каждого перекатывания появляется	*вершина*	с номером , которого не было на предыдущем треугольнике .
Возьмем шесть правильных равных между собой треугольников и расположим их рядом так , чтобы у них была общая	*вершина*	.
В обозначении угла	*вершина*	всегда ставится в середине : угол АОВ .
Точка О — общее начало лучей ОА и ОВ , точка О —	*вершина*	угла .
а )	*вершина*	угла совпала с черточкой — серединой основания транспортира .
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна	*вершина*	оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
У них общая	*вершина*	.
Эта точка —	*вершина*	конуса .
1 Какие - либо отрезки с концами в	*вершинах*	куба ( не являющиеся его ребрами ) , такие , чтобы они были : а ) параллельными ; б ) перпендикулярными ; в ) скрещивающимися .
15 В противоположных ( наиболее удаленных друг от друга )	*вершинах*	куба сидят паук и муха .
7 Поставьте в каждой	*вершине*	графа число , равное количеству выходящих из него путей .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой	*вершине*	одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
13 Представьте , что куб стоит на одной своей	*вершине*	и освещен прямо сверху .
А затем — такой же треугольник с	*вершиной*	в точке А .
40 Если мы нарисуем прямой угол с	*вершиной*	на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Проводя прямые , соединяющие всевозможные точки окружности с	*вершиной*	, получим коническую поверхность .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются углы с	*вершиной*	в точке пересечения прямых ) ? .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной	*вершиной*	— усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
4 На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник отрезками , соединяющими какую - либо его	*вершину*	с остальными вершинами шестиугольника ?
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую	*вершину*	, образуют правильный шестиугольник .
Общую	*вершину*	треугольников будем считать центром окружности с радиусом , равным стороне треугольника .
Весь конус состоит из двух частей ( пол ) , имеющих общую	*вершину*	.
Изобразим прямой угол и продолжим его стороны за	*вершину*	.
50 б ) возьмем центр окружности , проходящей через	*вершины*	треугольника , и соединим его с вершинами .
Остальные	*вершины*	треугольников окажутся на окружности .
Линия сгиба , проходящая через две противоположные	*вершины*	квадрата , называется диагональю квадрата .
через четыре противоположные	*вершины*	?
Затем соедините	*вершины*	так , чтобы получить пяти- , шести- и восьмиконечную звезду .
Вообще , вписанным в окружность называется любой треугольник , все	*вершины*	которого лежат на этой окружности .
Каждый из них проходит через середину одного ребра куба , соединяющего свободные	*вершины*	.
Если мы сложим все эти числа , то получим четное число , так как каждый путь , соединяющий две	*вершины*	, считается дважды .
начертить такой прямоугольник , чтобы	*вершины*	треугольника лежали на его сторонах , а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
Считаем число узлов внутри многоугольника ( пусть это будет число а ) , а затем число узлов на границе , включая	*вершины*	( обозначим это число b ) .
9 Отрезок , соединяющий две противоположные	*вершины*	куба ( наиболее удаленные друг от друга ) , называется диагональю куба .
Биссектриса угла — это луч , выходящий из его	*вершины*	и делящий угол на два равных .
Взяв три	*вершины*	шестиугольника через одну , получим треугольник .
Если с	*вершины*	горы — другой .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в	*вершины*	треугольника и сходятся в общей точке пространства .
Изображен четырехугольник , противоположные	*вершины*	которого соединены отрезками .
Эти	*вершины*	слегка отгибаем вниз .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это многоугольник , у которого три стороны и три	*вершины*	» , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию « многоугольник » .
5 Пронумеруем	*вершины*	тетраэдра числами 1 , 2 , 3 , 4 .
Сейчас я встану так , чтобы я мог видеть в этой луже отражение	*вершины*	дерева .
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять : высоту дерева , собственный	*вес*	, длину прыжка , время бега и многое другое .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах длины ,	*вес*	— в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Давно математики пытались решить такую задачу : какой формы должен быть гладкий желоб , соединяющий две точки А и В ( А выше , чем В ) , чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего	*веса*	за кратчайшее время ?
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах длины , вес — в единицах	*веса*	, время — в единицах времени и т .
Параллелограмм — это красивое и звучное слово , напоминающее нам о единицах	*веса*	, на самом деле никакого отношения к ним не имеет .
Этот эталон хранится в Международном бюро мер и	*весов*	в Севре , недалеко от Парижа .
9 Восемь спичек уложите так , чтобы образовались один	*восьмиугольник*	, два квадрата и восемь треугольников — все в одной фигуре ! .
Сделайте необходимые вычисления и впишите в окружность равносторонние ( правильные ) пятиугольник , шестиугольник и	*восьмиугольник*	.
Еще два поворота , и текст	*вписан*	.
Правильный шестиугольник	*вписан*	в окружность , и все стороны равны радиусу этой окружности .
Равносторонний многоугольник ,	*вписанный*	в окружность , называется правильным .
Соединив последовательно точки деления отрезками , получим треугольник ,	*вписанный*	в окружность .
Вообще ,	*вписанным*	в окружность называется любой треугольник , все вершины которого лежат на этой окружности .
Зная это , можно	*вписывать*	в окружность правильные шестиугольники и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Все написанные буквы закрыты , в новые окошечки продолжают	*вписывать*	текст .
Сделайте необходимые вычисления и	*впишите*	в окружность равносторонние ( правильные ) пятиугольник , шестиугольник и восьмиугольник .
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и	*впишите*	окружности разных радиусов в образовавшиеся углы .
Направления	*вращений*	( по или против часовой стрелки ) можно чередовать произвольным образом .
Кроме того , задается направление	*вращения*	вокруг 0 , например , против часовой стрелки Таким образом .
Проползая вперед , он одновременно смещается в сторону	*вращения*	диска .
13 Сделайте картинку , иллюстрирующую ситуацию , описанную в рассказе , и ответьте на вопрос , чему равна	*высота*	дерева .
Сын спросил отца : « Чему равна	*высота*	этого дерева ? »
Эти три измерения мы используем ежедневно , говоря об окружающих нас предметах :	*высота*	дерева , длина дороги , ширина тротуара .
А теперь представим , что	*высота*	исчезла .
Если a , b и c — длина ,	*высота*	и ширина прямоугольного параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Значит ,	*высота*	дерева равна » .
Правда , когда мы говорим « длина , ширина и	*высота*	» , то имеем в виду измерения параллелепипеда , расположенного конкретным образом на земле ( или на столе ) .
Если мы не знаем , как расположен параллелепипед , то говорить о длине , ширине и	*высоте*	было бы не совсем верно .
Я знаю свой рост — 180 см. Мне надо знать , на какой	*высоте*	расположены глаза .
Мы говорим : « Этот дом длиной в три подъезда , шириной в два окна ,	*высотой*	в шесть этажей » .
Как называется геометрическое тело , полностью описываемое тремя измерениями — длиной , шириной и	*высотой*	?
Все предметы ( тела ) в окружающем нас мире имеют три измерения , хотя далеко не у всех можно указать длину , ширину ,	*высоту*	.
Нам понадобилось задать три величины — длину , ширину и	*высоту*	.
Это был вопрос как раз в его вкусе , и он улыбнулся с видом превосходства . — Ну , конечно , — начал он , — это понятие относительное , если мы будем измерять	*высоту*	от уровня моря — результат будет один .
А как быть , если требуется измерить	*высоту*	дерева , ширину реки или объем большого камня , который трудно поднять даже нескольким силачам ?
Вот небольшая история о том , как отец одного школьника сумел измерить	*высоту*	дерева
На этот вопрос отец ответил : « Давай не будем гадать , а вычислим его	*высоту*	.
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять :	*высоту*	дерева , собственный вес , длину прыжка , время бега и многое другое .
В удивительном мире геометрии существует и фигура , которая не имеет измерений — длины , ширины ,	*высоты*	.
Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам	*высшей математики*	.
Каждая	*геометрическая фигура*	, и вы , конечно , это уже поняли , обладает многими интересными свойствами .
27 Изображены некоторые	*геометрические тела*	.
3 Простейшие	*геометрические фигуры*	.
Рассматривая основные	*геометрические фигуры*	, среди всех углов мы выделили прямой угол , равный 90 ° .
Так же как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей , так и сложные	*геометрические фигуры*	составляются из простейших геометрических фигур .
Какие	*геометрические фигуры*	могут « жить » в этом мире ?
13 Дано игровое поле 4×4 и 16 квадратов с	*геометрическими фигурами*	, имеющими ось ( одну или несколько ) симметрии .
Совершенство форм , красивые математические закономерности , присущие правильным многогранникам , явились причиной того , что им приписывались различные магические свойства и все пять	*геометрических тел*	издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов .
Думается , что и вас , и ваших родных увлечет изготовление моделей	*геометрических тел*	.
20 Возьмите набор	*геометрических тел*	( куб , шар , пирамида , конус , цилиндр и др. ) .
Аккуратность и точность при вычерчивании разверток	*геометрических тел*	— 80 % успеха в изготовлении моделей !
У	*геометрических фигур*	может быть одна или несколько осей симметрии , а может и не быть вовсе .
Среди множества различных	*геометрических фигур*	на плоскости выделяется большое семейство многоугольников .
Но нужно помнить свойства	*геометрических фигур*	, ведь именно они позволяют использовать клеточки в полной мере .
Так же как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей , так и сложные геометрические фигуры составляются из простейших	*геометрических фигур*	.
Схема , приведенная выше , показывает , как увеличение числа измерений влечет за собой изменение и усложнение	*геометрических фигур*	.
Названия	*геометрических фигур*	имеют вполне определенный смысл .
В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть , замечать различные особенности	*геометрических фигур*	, делать выводы из замеченных особенностей .
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное	*геометрическое тело*	— пирамида .
Пирамида — « жесткое »	*геометрическое тело*	, т .
Как называется	*геометрическое тело*	, полностью описываемое тремя измерениями — длиной , шириной и высотой ?
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде	*геометрической фигуры*	— угла .
Используя эти свойства , можно совершенно иначе , с неожиданной точки зрения определить хорошо знакомую	*геометрическую фигуру*	.
Все только что рассмотренные линии ( эллипс ,	*гипербола*	и парабола ) объединяются общим свойством .
Для этой кривой мы не можем предложить , как в предыдущем случае , достаточно простой «	*гиперболический*	циркуль » , позволяющий вычерчивать гиперболу и одновременно показывающий ее основное свойство .
Для этой кривой мы не можем предложить , как в предыдущем случае , достаточно простой « гиперболический циркуль » , позволяющий вычерчивать	*гиперболу*	и одновременно показывающий ее основное свойство .
Поэтому начнем с указания основного свойства , задающего	*гиперболу*	.
Появятся две ветви , парабола перейдет в	*гиперболу*	( плоскость 3 ) .
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов	*гиперболы*	) есть величина постоянная .
Во что превратится	*гипоциклоида*	, если радиус меньшего круга равен 6 см , а большего — 12 см ?
Как выглядит	*гипоциклоида*	для кругов с радиусом 8 см , 9 см и 10 см ? .
Получившиеся линии —	*гипоциклоиды*	.
На поверхности земного шара ( или на его модели —	*глобусе*	) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Разделив каждый	*градус*	на 60 равных частей , получим более мелкую единицу угла — минуту .
Единица измерения угла , как мы знаем , —	*градус*	.
Вторая сторона угла указывает на шкале угол в	*градусах*	.
В	*градусах*	измеряют углы и дуги окружностей .
Они показывают географическую широту в	*градусах*	( удаление ( в градусах ) данной точки от экватора ) .
Они показывают географическую широту в градусах ( удаление ( в	*градусах*	) данной точки от экватора ) .
Дуги окружности также измеряются в	*градусах*	.
Шкала транспортира содержит 180 ° ( знак ° заменяет слово «	*градусов*	» ) .
Обозначается двумя штрихами ″. Запись 78 ° 16′25″ читается так : 78	*градусов*	16 минут 25 секунд .
Одна часть называется	*градусом*	.
Подсчитаем число вершин ( В ) , ребер ( Р ) и	*граней*	( Г ) у каждого многогранника и запишем результаты в табличку .
8 В сечении получается прямоугольник , две стороны которого равны ребрам куба , а две другие — диагоналям	*граней*	.
Придумайте какой - нибудь многогранник , у которого также восемь вершин , но число	*граней*	не равно шести .
Как известно , у параллелепипеда восемь вершин и шесть	*граней*	.
Оказывается , первый из них ( тетраэдр ) стоит немного особняком : если считать центры его	*граней*	вершинами нового многогранника , то вновь получим тетраэдр .
1 Сколько	*граней*	у шестигранного карандаша ? .
Центры	*граней*	куба образуют октаэдр , а центры граней октаэдра — куб .
4 Изобразите многогранник , у которого пять вершин и пять	*граней*	.
Запишите парами номера противоположных	*граней*	( противоположные грани не имеют общих ребер ): 1 , 2 , 3 .
3 Пример многогранника , у которого восемь вершин и восемь	*граней*	, — пирамида , в основании которой лежит семиугольник .
Центры граней куба образуют октаэдр , а центры	*граней*	октаэдра — куб .
При этом каждые две полоски оказываются зацепленными , а одинаково окрашенными будут пары соседних	*граней*	.
1 8	*граней*	, если карандаш не заточен .
А теперь — многогранник , у которого пять вершин и шесть	*граней*	.
Запишите	*грани*	, которые соседствуют с гранью 6 .
6 На развертке куба пронумерованы его	*грани*	.
Перечертив развертку на бумагу , обозначив	*грани*	и вырезав ее , проверьте себя .
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две	*грани*	тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
4 Условимся боковые	*грани*	куба обозначать буквой Б , верхнюю — В , нижнюю — Н. Расставьте на развертках куба буквы в соответствии с уже намеченными .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние	*грани*	сходятся под равными углами .
две	*грани*	?
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной плоскости — в плоскости передней	*грани*	; в этой же плоскости лежат и ребра А , В1 и АВ .
У скольких кубиков окрашены три	*грани*	?
Запишите парами номера противоположных граней ( противоположные	*грани*	не имеют общих ребер ): 1 , 2 , 3 .
По две окрашенных	*грани*	у кубиков , расположенных вдоль ребер исходного куба : по три на каждом ребре .
Если полоски разного цвета , то у получающегося куба противоположные	*грани*	одинакового цвета .
6 Тетраэдр , перекатываясь с	*грани*	на грань , возвращается в свое исходное положение .
По три окрашенных	*грани*	может быть только у угловых кубиков ; их 8 штук .
4 Получим куб , у которого передняя и задняя	*грани*	белые , а остальные — черные .
7 Плоскость должна проходить параллельно	*грани*	куба .
Если тетраэдр сначала стоял на оранжевой	*грани*	, то какого цвета будет последний след ?
по девять штук на каждой	*грани*	.
5 Дан тетраэдр ,	*грани*	которого окрашены в серый , оранжевый , розовый и белый цвета .
Так , у каждого из них все	*грани*	— одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Все его	*грани*	являются прямоугольниками .
Если сначала нижняя	*грань*	была оранжевой , то какой она будет после возвращения ?
Только одна закрашенная	*грань*	у тех кубиков , которые лежат « на поверхности » , исключая кубики , прилегающие к ребрам , т .
Лишь совсем недавно американский геометр Кеннеди сумел построить « хитрый » многогранник , который этим свойством не обладает , а может изменять свою форму так , что каждая его	*грань*	остается неизменной .
только одна	*грань*	?
Тетраэдр начинают перекатывать , как показано на рисунке , причем он оставляет след такого же цвета , что и	*грань*	, касающаяся бумаги .
Задняя грань — белая ; нижняя	*грань*	.
Даже если мы и видим куб , то всякий раз иначе видим , какая	*грань*	впереди , а какая сзади .
четырехгранник ( « тетра » — четыре , « эдр » —	*грань*	) .
Ребро ;	*грань*	; вершина .
Задняя	*грань*	— белая ; нижняя грань .
6 Тетраэдр , перекатываясь с грани на	*грань*	, возвращается в свое исходное положение .
5 Третью полоску ( красную ) пропустите сзади куба в щель между белой и черной полосками , согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой	*гранью*	и черной полоской .
Граней шесть , таким образом , кубиков с одной окрашенной	*гранью*	6×9 — 54 .
Запишите грани , которые соседствуют с	*гранью*	6 .
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью	*гранями*	) — октаэдр .
Например , поверхность каждого из них состоит из плоских многоугольников , которые называются	*гранями*	многогранника .
Расставьте на развертках куба числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы сумма чисел на противоположных	*гранях*	была равна 7 .
7 На видимых	*гранях*	куба проставлены числа 1 , 2 , 3 .
43 Чему равны углы между отрезками , проведенными на	*гранях*	куба ? .
Замените комнаты точками , а двери — дугами и постройте соответствующий	*граф*	.
1 Изображен	*граф*	, соответствующий условию задачи .
6 Нарисуйте соответствующий	*граф*	и движение начните из нечетного узла .
3 Ребра куба представляют собой пространственный	*граф*	.
7 Поставьте в каждой вершине	*графа*	число , равное количеству выходящих из него путей .
7 Докажите , что число нечетных узлов	*графа*	всегда четно .
На этом	*графе*	четыре узла ( они соответствуют берегам С и B и островам А и D ) и семь кривых , которые обозначают мосты a , b , с , d , e , f , g.
Сеть таких кривых называют	*графом*	( от греческого слова grapho — « пишу » ) .
План города для решения этой задачи можно изобразить	*графом*	.
Эти предметы расположены на столе так , чтобы , глядя на них из некоторой точки , можно было догадаться , как выглядит эта	*группа*	предметов с противоположной стороны ( т .
Вместе с очередной	*группой*	жертв Минотавра он отправился на Крит с целью убить чудовище .
По отношению к нему остальные углы делятся на две	*группы*	: ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
Треугольники можно разделить на	*группы*	в зависимости от углов .
Попадают ли какие - либо из них в две	*группы*	сразу ? .
Все большое семейство треугольников можно разделить на	*группы*	по числу равных сторон .
чертим прямоугольник так , чтобы	*данный*	отрезок АВ был его диагональю .
Математики говорят , что плоскость является	*двухмерным*	пространством .
Золотое сечение — это такое	*деление*	целого на две неравные части , при котором большая часть относится к целому , как меньшая к большей .
Если длину мерить рулеткой , самое мелкое	*деление*	которой 1 см ,
односторонней линейкой без	*делений*	) и циркулем .
Клеточки на бумаге позволяют многие построения проводить только с помощью одной линейки , причем на этой линейке может даже не быть	*делений*	( шкалы ) .
Линейку без	*делений*	мы назовем математической .
Точность измерения зависит , во - первых , от измерительного инструмента : если мы измеряем длину садового участка метром без	*делений*	, то получим эту величину с точностью до 1 метра .
Если мы соединим центр окружности ( точку О ) с точками	*деления*	, то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
В создании орнаментов с окружностями часто используются приемы	*деления*	окружности на равные части .
Для этого достаточно циркулем , не меняя раствора , разделить окружность на равные части , а затем точки	*деления*	соединить последовательно или через одну .
Соединив последовательно точки	*деления*	отрезками , получим треугольник , вписанный в окружность .
Транспортир , как и линейка с	*делениями*	, не входит в число традиционно разрешенных инструментов .
4 На какие фигуры	*делит*	квадрат каждая диагональ ? .
Интересно , что в правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру ,	*делит*	другую в отношении золотого сечения .
Это следует из того , что диагональ	*делит*	прямоугольник на равные треугольники .
Изображена раковина : точка С	*делит*	отрезок АВ приблизительно в золотом отношении .
На какие фигуры она	*делит*	квадрат ? .
Если номер года делится на 100 , но не	*делится*	на 400 , то год не является високосным .
Если же	*делится*	на 400 , то год високосный .
2 Отрезок , соединяющий симметричные точки , перпендикулярен оси симметрии и	*делится*	ею пополам .
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые	*делится*	квадрат своей диагональю , равны .
Если номер года	*делится*	на 100 , но не делится на 400 , то год не является високосным .
По отношению к нему остальные углы	*делятся*	на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
3 В каком отношении диагонали	*делятся*	точкой пересечения ? .
Прямоугольник обладает тем свойством , что его диагонали равны между собой и	*делятся*	пополам в точке их пересечения .
Например , мы знаем , что диагонали прямоугольника при пересечении	*делятся*	пополам .
Экватору на карте мира соответствует горизонтальная линия ,	*делящая*	карту пополам .
( Високосные годы имеют номера ,	*делящиеся*	на 4 .
Биссектриса угла — это луч , выходящий из его вершины и	*делящий*	угол на два равных .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями ,	*делящими*	ее ребра пополам ?
13 Сделайте картинку , иллюстрирующую ситуацию , описанную в рассказе , и ответьте на вопрос , чему равна высота	*дерева*	.
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять : высоту	*дерева*	, собственный вес , длину прыжка , время бега и многое другое .
Значит , высота	*дерева*	равна » .
36 Как посадить девять деревьев в десять рядов по три	*дерева*	в каждом ряду ? .
Эти три измерения мы используем ежедневно , говоря об окружающих нас предметах : высота	*дерева*	, длина дороги , ширина тротуара .
Так , а чему равно расстояние от лужи до	*дерева*	?
Пусть , например , из куска	*дерева*	вырезана замысловатая деталь .
Сын спросил отца : « Чему равна высота этого	*дерева*	? »
Вот небольшая история о том , как отец одного школьника сумел измерить высоту	*дерева*
Сказано было оставить 5 рядов по 4	*дерева*	в каждом .
Так можно измерять длину окружности , обхват	*дерева*	и др .
А как быть , если требуется измерить высоту	*дерева*	, ширину реки или объем большого камня , который трудно поднять даже нескольким силачам ?
Сейчас я встану так , чтобы я мог видеть в этой луже отражение вершины	*дерева*	.
Позвав работника , он дал ему такое распоряжение : « Оставь только пять рядов деревьев , по четыре	*дерева*	в каждом .
Посреди двора росло большое	*дерево*	.
4 Пользуясь правилом одной руки , пройдите к	*дереву*	по лабиринту , построенному в Англии в XIII в .
36 Как посадить девять	*деревьев*	в десять рядов по три дерева в каждом ряду ? .
В саду росло 49	*деревьев*	Садовник решил расчистить сад от лишних деревьев для цветников .
В саду росло 49 деревьев Садовник решил расчистить сад от лишних	*деревьев*	для цветников .
Позвав работника , он дал ему такое распоряжение : « Оставь только пять рядов	*деревьев*	, по четыре дерева в каждом .
К его огорчению , сад был почти опустошен : вместо 20	*деревьев*	работник оставил всего только 10 , срубив 39 деревьев .
К его огорчению , сад был почти опустошен : вместо 20 деревьев работник оставил всего только 10 , срубив 39	*деревьев*	.
Ведь тебе сказано было оставить 20	*деревьев*	!
Как ухитрился он вырубить 39	*деревьев*	и все - таки выполнить указание ? .
6 Оставить надо	*деревья*	, отмеченные крестиком .
Нужно пройти в центр к	*деревьям*	и скамейкам под ними .
Прямоугольник обладает тем свойством , что его	*диагонали*	равны между собой и делятся пополам в точке их пересечения .
Получите перегибанием две	*диагонали*	.
6 Если сложить квадрат вдвое по	*диагонали*	, то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
53 Через точку на	*диагонали*	прямоугольника провели прямые , параллельные его сторонам .
Помните , в разделе 5 была дана задача об измерении	*диагонали*	куба ?
2 Как	*диагонали*	расположены одна относительно другой ? .
12 Расчертив полоску на семь квадратов , перегните второй и шестой квадраты по	*диагонали*	, а затем уже сворачивайте полоску в куб .
3 В каком отношении	*диагонали*	делятся точкой пересечения ? .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по	*диагонали*	; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
1 Сравните	*диагонали*	по длине .
Алеша проверил работу иначе : он измерил не стороны , а	*диагонали*	.
8 Какой формы получится сечение куба , если плоскость провести по	*диагонали*	, т .
В задании 6 вы складывали квадрат по	*диагонали*	.
Вырежьте из бумаги квадрат и сложите его вдвое по	*диагонали*	.
	*Диагональ*	квадрата разделила его на две равные части .
Как измерить	*диагональ*	непустого куба , пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же куба ; б ) один такой куб ? .
2 ) проводим в нем вторую	*диагональ*	.
При решении следующих двух задач вам поможет раскраска доски для « Морского боя » в четыре цвета так , что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет , затем маленькая	*диагональ*	из двух клеток окрашивается во второй цвет , следующая трехклеточная диагональ — в третий цвет , затем цвет четвертый , потом вновь первый и т .
Это следует из того , что	*диагональ*	делит прямоугольник на равные треугольники .
При решении следующих двух задач вам поможет раскраска доски для « Морского боя » в четыре цвета так , что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет , затем маленькая диагональ из двух клеток окрашивается во второй цвет , следующая трехклеточная	*диагональ*	— в третий цвет , затем цвет четвертый , потом вновь первый и т .
6 Нарисуйте квадрат и проведите его	*диагональ*	.
Проведем	*диагональ*	одного из них .
Как вы думаете , какие углы образует	*диагональ*	со сторонами квадрата ?
4 На какие фигуры делит квадрат каждая	*диагональ*	? .
Поэтому , приложив линейку от точки А до точки В , можно измерить его	*диагональ*	.
1 Сравните сторону квадрата с его	*диагональю*	.
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится квадрат своей	*диагональю*	, равны .
9 Отрезок , соединяющий две противоположные вершины куба ( наиболее удаленные друг от друга ) , называется	*диагональю*	куба .
чертим прямоугольник так , чтобы данный отрезок АВ был его	*диагональю*	.
Линия сгиба , проходящая через две противоположные вершины квадрата , называется	*диагональю*	квадрата .
Угол квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между	*диагональю*	квадрата и его сторонами образуются углы по 45 ° .
Разрезать можно не только по сторонам , но и по	*диагоналям*	клеточек .
10 Через точку внутри квадрата проведены прямые по сторонам и	*диагоналям*	клеток .
Как связаны между собой радиус и	*диаметр*	одной окружности ? .
Свойство угла , опирающегося на	*диаметр*	, является частным случаем следующего более общего свойства .
Это	*диаметр*	окружности ( в переводе с греческого — « поперечник » ) .
На ней лежит	*диаметр*	, относительно которого окружность симметрична .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим	*диаметр*	ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Вписанный в окружность угол , опирающийся на	*диаметр*	, равен 90 ° .
2 Так как окружность симметрична относительно любого своего	*диаметра*	, то она симметрична и относительно диаметра MN , перпендикулярного прямым АА1 и ВВ1 , точка А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
2 Так как окружность симметрична относительно любого своего диаметра , то она симметрична и относительно	*диаметра*	MN , перпендикулярного прямым АА1 и ВВ1 , точка А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
Многие свойства окружности следуют из того , что она симметрична относительно любого своего	*диаметра*	.
4 Точки В и С симметричны относительно	*диаметра*	, проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярного ему .
Это центр окружности , так как через нее проходят оба	*диаметра*	.
Надо круг с помощью циркуля или транспортира разделить на двенадцать равных частей ( подумайте , почему на двенадцать ) и свернуть по	*диаметрам*	в любом порядке .
Если мы построим на АВ как на	*диаметре*	окружность и возьмем на ней любую точку М , то угол AMВ будет прямым .
Сколько можно провести в окружности радиусов и	*диаметров*	?
17 Круг	*диаметром*	b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу сложить вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
Так вот , оказывается , что точка М будет описывать окружность , у которой АВ является	*диаметром*	.
17 Вырежьте из плотной бумаги ( картона ) круг	*диаметром*	6 см. Затем в листе обычной бумаги вырежьте круглое отверстие диаметром 4 см. Как вы думаете , можно ли ваш круг , не сминая его , протащить через проделанное в бумаге отверстие ? .
17 Вырежьте из плотной бумаги ( картона ) круг диаметром 6 см. Затем в листе обычной бумаги вырежьте круглое отверстие	*диаметром*	4 см. Как вы думаете , можно ли ваш круг , не сминая его , протащить через проделанное в бумаге отверстие ? .
Все пять точек ( Р , М , А , В , С ) лежат на одной окружности с	*диаметром*	РМ .
17 Круг диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие	*диаметром*	4 см , если бумагу сложить вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
11 На берегу глубокого озера круглой формы	*диаметром*	100 м вбит колышек А , в середине озера расположен остров , а в его центре вбит колышек В. У человека , который не умеет плавать , есть веревка .
7 Как мы знаем , окружность с	*диаметром*	СН проходит через А1 и В1 .
17 Круг диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу сложить вдвое по	*диаметру*	отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
Кроме	*длин*	, площадей и объемов в геометрии надо еще уметь измерять углы .
Измерим длину отрезка прямой линии в заданных единицах ( измерение	*длин*	кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Задача измерения	*длин*	кривых линий , конечно , труднее практически и сложнее теоретически , чем измерение отрезков прямых .
Отношение	*длин*	двух отрезков есть число , которое не зависит от единицы измерения .
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника , если сумма	*длин*	двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
Если a , b и c —	*длина*	, высота и ширина прямоугольного параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Эти три измерения мы используем ежедневно , говоря об окружающих нас предметах : высота дерева ,	*длина*	дороги , ширина тротуара .
Свойства : длина окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота ,	*длина*	его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что	*длина*	отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Свойства :	*длина*	окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Правда , когда мы говорим «	*длина*	, ширина и высота » , то имеем в виду измерения параллелепипеда , расположенного конкретным образом на земле ( или на столе ) .
Чему равна	*длина*	ряда ? .
Ее	*длина*	немного больше 100 м .
Весь мир стал плоским , как лист бумаги , остались только два измерения —	*длина*	и ширина .
	*Длина*	ломаной AMВ была бы наименьшей .
С развитием ремесел и торговли появилась потребность в международных единицах , определяемых через что - то более постоянное , чем , например ,	*длина*	ступни .
Например ,	*длина*	участка — около 50 м .
то	*длина*	участка будет измерена с точностью до 1 см ( например , длина участка около 49 м 68 см ) .
то длина участка будет измерена с точностью до 1 см ( например ,	*длина*	участка около 49 м 68 см ) .
Можно сказать , что английский фут — это	*длина*	ступни среднего англичанина .
Но	*длина*	в попугаях ничего не скажет жителям тайги , да и для соседних джунглей , где живут попугаи другой породы , придется переводить своих попугаев в чужих .
Найти на сторонах угла две точки М и N так , чтобы	*длина*	замкнутого пути была наименьшей .
Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник , то окажется , что	*длина*	его больше ширины примерно в 1,6 раза .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на прямой l , то	*длина*	отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
Если мы не знаем , как расположен параллелепипед , то говорить о	*длине*	, ширине и высоте было бы не совсем верно .
2 Продолжаем их « за зеркало » на такое же расстояние ( равное	*длине*	соответствующего отрезка ) .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна	*длине*	перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
1 Сравните диагонали по	*длине*	.
Единичные отрезки на каждой оси выбираются равными по	*длине*	.
1 Сложите шесть спичек так , чтобы образовалось четыре треугольника ( сторона каждого треугольника должна быть равной	*длине*	спички ) .
Расстояние между соседними равно 1 см. Натяните нитку	*длиной*	19 см от первого гвоздика до второго так , чтобы она прошла через все гвоздики .
10 Хозяйка , приведя козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с кольцом так , что кольцо может скользить от колышка к колышку , а к кольцу веревкой	*длиной*	5 м привязала козу .
45 Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из отрезков	*длиной*	1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все целочисленные отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
Останется одномерное пространство с одним измерением —	*длиной*	.
Придумайте линейку	*длиной*	9 см с тремя метками для измерения целочисленных отрезков от 1 см до 9 см. Придумайте линейку длиной 13 см с четырьмя метками внутри , отличную от уже рассмотренной .
Можно ли построить треугольник , стороны которого являются отрезками	*длиной*	: а ) 7 см , 4 см , 2 см ; б ) 9 см , 5 см , 4 см ? .
45 Рассмотрим линейку	*длиной*	6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из отрезков длиной 1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все целочисленные отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
39 Вдоль бумажной ленты	*длиной*	60 см проведена с двух сторон посередине прямая линия .
Мы говорим : « Этот дом	*длиной*	в три подъезда , шириной в два окна , высотой в шесть этажей » .
Возьмите полоску бумаги шириной 5 см и	*длиной*	около 20 см. Сложите ее « гармошкой » и нарисуйте какой - нибудь рисунок , касающийся линии сгиба .
Как называется геометрическое тело , полностью описываемое тремя измерениями —	*длиной*	, шириной и высотой ?
Придумайте линейку длиной 9 см с тремя метками для измерения целочисленных отрезков от 1 см до 9 см. Придумайте линейку	*длиной*	13 см с четырьмя метками внутри , отличную от уже рассмотренной .
Измерим	*длину*	отрезка прямой линии в заданных единицах ( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их	*длину*	; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Если отрезок разделен на две части так , что меньшая имеет длину х , а большая —	*длину*	у , то в случае золотого сечения .
Если отрезок разделен на две части так , что меньшая имеет	*длину*	х , а большая — длину у , то в случае золотого сечения .
По существу , именно так мы и поступаем , когда измеряем шагами	*длину*	дороги .
Так можно измерять	*длину*	окружности , обхват дерева и др .
Математики же в своих рассуждениях исходят из того , что отрезки ( и другие величины ) имеют точную	*длину*	( точное значение ) , .
Чтобы получить некоторое представление о топологии , рассмотрим несколько топологических опытов с поверхностями , полученными из бумажной полоски примерно 30 см в	*длину*	и 3 см в ширину .
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять : высоту дерева , собственный вес ,	*длину*	прыжка , время бега и многое другое .
Любые измерения производят в каких - то единицах :	*длину*	измеряют в единицах длины , вес — в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Как известно , герои одного мультфильма измеряли	*длину*	удава в попугаях .
Каждый раз , измеряя на практике	*длину*	чего - либо , мы должны выбирать некоторую разумную точность измерения : ведь нет необходимости знать длину участка в миллиметрах или расстояние от Земли до Солнца в метрах .
Она имеет	*длину*	.
Найдите	*длину*	отрезка АВ .
Если	*длину*	мерить рулеткой , самое мелкое деление которой 1 см ,
Точность измерения зависит , во - первых , от измерительного инструмента : если мы измеряем	*длину*	садового участка метром без делений , то получим эту величину с точностью до 1 метра .
Каждый раз , измеряя на практике длину чего - либо , мы должны выбирать некоторую разумную точность измерения : ведь нет необходимости знать	*длину*	участка в миллиметрах или расстояние от Земли до Солнца в метрах .
Пусть он удвоит ее	*длину*	, сохранив прежнюю форму .
4 Приведите примеры кривых ,	*длину*	которых удобно измерять одним из этих способов .
Нам понадобилось задать три величины —	*длину*	, ширину и высоту .
Все предметы ( тела ) в окружающем нас мире имеют три измерения , хотя далеко не у всех можно указать	*длину*	, ширину , высоту .
Берем единицу	*длины*	, например метр , и откладываем его на нашем отрезке до тех пор , пока остаток не станет меньше него .
После введения метра одни страны сразу приняли его , другие же , славящиеся приверженностью традициям , не спешили отказываться от своих единиц ( и до сих пор Англия , США и некоторые другие страны измеряют	*длины*	в дюймах , футах , ярдах , милях ) .
Вспомните еще пословицы и поговорки , в которых фигурируют меры	*длины*	.
3 Если отрезки M1N1 и MN симметричны относительно прямой l , то их	*длины*	равны .
Так , например , если необходимо забором данной	*длины*	огородить четырехугольный участок наибольшей площади , то следует выбрать этот участок в виде квадрата .
Вася , вырезая квадрат , проверил его так : он сравнил	*длины*	сторон .
Таким образом выяснилось , какую часть метра ( или сколько метров ) составляет та или иная мера	*длины*	( например , английский фут оказался равен 0,3048 м ) .
2 Запишите все известные , а вернее , перечисленные выше единицы	*длины*	в порядке возрастания .
На Руси в старину мерами	*длины*	были пядь , шаг , локоть .
Очевидно , что исходить нужно из уже имеющихся единиц	*длины*	.
— откладывать на прямой отрезки заданной	*длины*	.
Дюйм — английская мера	*длины*	, равная 1/12 фута , или 2,54 см .
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника , если сумма длин двух меньших отрезков больше	*длины*	наибольшего из них .
Более демократична по происхождению другая английская единица	*длины*	— фут , что по - английски означает « ступня » .
Еще несколько английских мер	*длины*	.
Ли — единица	*длины*	, издавна существовавшая в странах Дальнего Востока .
— проводить прямые линии . — измерять отрезки . — строить отрезки заданной	*длины*	.
12 Вычисление	*длины*	, площади и объема .
В удивительном мире геометрии существует и фигура , которая не имеет измерений —	*длины*	, ширины , высоты .
Чтобы завершить наш разговор о единицах измерения , расскажем о старинных русских мерах	*длины*	и некоторых иностранных .
Если a и b —	*длины*	сторон прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b квадратных единиц .
Примем каждую из них за единицу	*длины*	.
15 Нарисуйте овальную линию той же	*длины*	, но ограничивающую фигуру площадью на 1 см2 больше .
Приведем еще некоторые меры	*длины*	, которыми пользовались ( а некоторые пользуются и сейчас ) в разных странах .
Все это старинные русские меры	*длины*	.
10 Измерение	*длины*	.
15 Дан прямоугольник , ширина которого в два раза меньше	*длины*	.
8 Кусок бумаги имеет форму прямоугольника , одна сторона которого равна четырем , а другая — девяти единицам	*длины*	.
будем использовать треугольные пирамиды , все ребра которых равны соответствующей единице	*длины*	, то столкнемся с большими трудностями .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах	*длины*	, вес — в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Например , английский король Генрих I ввел в качестве единицы	*длины*	ярд — расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки .
Стадий — мера	*длины*	многих древних народов .
Льё ( лье ) — старинная единица	*длины*	во Франции .
То же происходит с парой	*додекаэдр*	— икосаэдр .
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс , увлекшись изготовлением моделей многогранников , написал в письме к отцу : « я сделал тетраэдр ,	*додекаэдр*	и еще два эдра , для которых не знаю правильного названия » .
Изображены правильные многогранники — тетраэдр , куб , октаэдр ,	*додекаэдр*	и икосаэдр .
Знакомство с другими , например октаэдром ,	*додекаэдром*	, ожидает вас впереди .
10 Иллюстрация	*доказательства*	того , что площадь параллелограмма равна площади некоторого прямоугольника .
33 Иллюстрирует еще одно наглядное	*доказательство*	того , что сумма углов треугольника равна 180 ° .
Каждая из получившихся	*дуг*	равна 1 ° .
Изображена линия , состоящая из отрезков прямых и	*дуг*	окружности .
Изменению широты на 1 ° на всех меридианах соответствует один и тот же путь ( одна и та же	*дуга*	) .
Теперь понятно , почему при перемещении точки М по	*дуге*	окружности угол AM В остается постоянным ? .
Может быть , желоб следует выгнуть по	*дуге*	окружности , как думал великий итальянский физик , астроном и математик Галилео Галилей , живший на рубеже XVI – XVII вв . ?
В градусах измеряют углы и	*дуги*	окружностей .
Рассмотрим на окружности две	*дуги*	, лежащие между этими прямыми .
Оказывается , эти	*дуги*	всегда равны .
Торжественность и устремленность ввысь — такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок , представляющих	*дуги*	окружностей .
Эти радиусы разделят окружность на три равные части —	*дуги*	по 120 ° .
	*Дуги*	АВ и А1В1 равны .
Значит , все точки дуги АВ симметричны точкам	*дуги*	А1В1 т .
Значит , все точки	*дуги*	АВ симметричны точкам дуги А1В1 т .
Окружности и	*дуги*	являются основными элементами готических храмов средневековья .
Продолжим основание до пересечения с	*дугой*	.
Циркулем проведем	*дугу*	окружности радиусом АВ с центром в точке А .
Значит , угол АВС равен углу АPC , так как эти углы опираются на одну	*дугу*	окружности , т .
В этой окружности углы НА1В1 и НСВ1 опираются на одну	*дугу*	.
д. За свою историю человечество придумало огромное количество всевозможных	*единиц*	, причем каждый народ имел свои .
Если a , b и c — длина , высота и ширина прямоугольного параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических	*единиц*	.
Их язык ему понятен , но	*единиц*	измерения он не знает .
Почему для получения	*единиц*	площадей и объемов мы использовали квадрат и куб ?
Получившееся число целых	*единиц*	запишем .
Если a и b — длины сторон прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b квадратных	*единиц*	.
8 Получится квадрат со стороной 6	*единиц*	.
Очевидно , что исходить нужно из уже имеющихся	*единиц*	длины .
После введения метра одни страны сразу приняли его , другие же , славящиеся приверженностью традициям , не спешили отказываться от своих	*единиц*	( и до сих пор Англия , США и некоторые другие страны измеряют длины в дюймах , футах , ярдах , милях ) .
Далеко не сразу человек додумался до квадратных и кубических	*единиц*	.
Эта	*единица*	ранее была распространена во многих странах , а сегодня используется главным образом в морском деле , миля морская международная равна 1,852 км .
Ли —	*единица*	длины , издавна существовавшая в странах Дальнего Востока .
Более демократична по происхождению другая английская	*единица*	длины — фут , что по - английски означает « ступня » .
Для обитателей тропического леса , в котором живет попугай , эта	*единица*	не хуже других .
Льё ( лье ) — старинная	*единица*	длины во Франции .
При помощи песочных часов время измеряется в	*единицах*	объема — объема пересыпавшегося песка .
Чтобы завершить наш разговор о	*единицах*	измерения , расскажем о старинных русских мерах длины и некоторых иностранных .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах длины , вес — в	*единицах*	веса , время — в единицах времени и т .
С этой целью некоторую неизменную величину , например Парижский меридиан , надо было измерить в тех и других	*единицах*	.
С развитием ремесел и торговли появилась потребность в международных	*единицах*	, определяемых через что - то более постоянное , чем , например , длина ступни .
Измерим длину отрезка прямой линии в заданных	*единицах*	( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в	*единицах*	длины , вес — в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Любые измерения производят в каких - то единицах : длину измеряют в единицах длины , вес — в единицах веса , время — в	*единицах*	времени и т .
Любые измерения производят в каких - то	*единицах*	: длину измеряют в единицах длины , вес — в единицах веса , время — в единицах времени и т .
Параллелограмм — это красивое и звучное слово , напоминающее нам о	*единицах*	веса , на самом деле никакого отношения к ним не имеет .
Если a и b — длины сторон прямоугольника ( в каких - то	*единицах*	) , то его площадь равна a×b квадратных единиц .
Трудно сказать , в каких	*единицах*	Мэри Поппинс измерила свое совершенство , поэтому мы поговорим о более простом и привычном , а именно об измерении площадей и объемов .
В качестве единицы объема можно выбрать куб с ребром , равным соответствующей линейной	*единице*	.
Для этого на ней надо выбрать точку 0 , направление возрастания времени и масштаб — отрезок , соответствующий	*единице*	времени ; это может быть час , неделя , 1000 дней и т .
Сказать что - либо определенное об этой	*единице*	трудно , поскольку ее величина в разных странах меняется от долей миллиметра до 500 м .
будем использовать треугольные пирамиды , все ребра которых равны соответствующей	*единице*	длины , то столкнемся с большими трудностями .
Такой	*единицей*	был дюйм , а также связанные с ним линия и точка .
Для больших расстояний местные жители пользуются	*единицей*	, которую называют ялим .
Берем	*единицу*	длины , например метр , и откладываем его на нашем отрезке до тех пор , пока остаток не станет меньше него .
Получим 1 кубическую	*единицу*	— метр , сантиметр , аршин , фут и т .
Разделив каждый градус на 60 равных частей , получим более мелкую	*единицу*	угла — минуту .
Теперь разделим нашу	*единицу*	на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем откладывать часть единицы .
7 Примем площадь одной клетки за	*единицу*	.
Он взял карту острова , нарисовал на ней оси координат , выбрал	*единицу*	.
Начертите на клетчатой бумаге оси координат ( за	*единицу*	можно выбрать расстояние в две клетки ) .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей треугольным сантиметром , взяв за	*единицу*	треугольник , у которого все стороны равны 1 см ?
Примем каждую из них за	*единицу*	длины .
Для этого надо дробить квадратную	*единицу*	.
Что же можно взять в качестве	*единицы*	площади или объема ?
При решении практических задач на измерение объема не обязательно разбивать пространство на кубические	*единицы*	, а затем мельчить на меньшие кубики .
Тогда получившееся количество воды ( разумеется , при той же температуре ) и будет соответствовать объему одной кубической	*единицы*	.
Правда , нет четкой	*единицы*	измерения , так как год не имеет постоянного числа суток .
Например , английский король Генрих I ввел в качестве	*единицы*	длины ярд — расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки .
Но если мы таким же образом введем для измерения объемов пирамидальные	*единицы*	, т .
В качестве	*единицы*	объема можно выбрать куб с ребром , равным соответствующей линейной единице .
Теперь разделим нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем откладывать часть	*единицы*	.
Таким образом последовательно получают десятые , сотые доли	*единицы*	.
Как видим , дольные единицы углов называют , как и	*единицы*	времени .
2 Запишите все известные , а вернее , перечисленные выше	*единицы*	длины в порядке возрастания .
Отношение длин двух отрезков есть число , которое не зависит от	*единицы*	измерения .
Как видим , дольные	*единицы*	углов называют , как и единицы времени .
Требуется выложить из 12 спичек фигуру , которая охватывала бы площадь в три квадратные	*единицы*	.
Не так уж редки ситуации , когда мы с помощью	*единицы*	одного вида измеряем не соответствующую ей величину .
Изготовим сосуд в виде	*единичного*	куба и заполним его какой - нибудь жидкостью , например водой .
Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая квадрат на части и перекладывая эти части , можно получать фигуры	*единичной*	площади и различной конфигурации .
Теперь , разливая это количество воды в различные по форме сосуды , мы будем получать	*единичные*	объемы различной формы .
Найдем , во сколько раз отрезок АВ больше отрезка АlВl и , увеличив	*единичный*	отрезок во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
Как из нее сложить	*единичный*	кубик ( т . е .
Найдем , во сколько раз отрезок АВ больше отрезка АlВl и , увеличив	*единичный отрезок*	во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
Так , иногда добавляют несколько мин в виде	*единичных*	клеток ( например , 5 мин ) .
Этим свойством «	*жесткости*	» обладают все известные вам многогранники .
Окружность — это	*замкнутая*	кривая линия .
42 На бумаге нарисована	*замкнутая*	линия .
8 Очень сложная	*замкнутая*	линия ограничивает на плоскости некоторую область .
А теперь попробуйте другим цветом провести какую - нибудь	*замкнутую*	линию , не проходящую через точки самопересечения уже проведенной линии и не самопересекающуюся на этой линии .
Получившееся целое число от 0 до 9 припишем после	*запятой*	к полученному ранее целому .
Интересно , что в правильной пятиконечной	*звезде*	каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру , делит другую в отношении золотого сечения .
7 Найдите	*звезду*	.
11 Разрежьте правильную шестиконечную	*звезду*	на четыре части так , чтобы из них можно было составить параллелограмм .
Затем соедините вершины так , чтобы получить пяти- , шести- и восьмиконечную	*звезду*	.
Шкала транспортира содержит 180 ° (	*знак*	° заменяет слово « градусов » ) .
Этот факт записывается так : m ‖ n. ( Читаем : m параллельна n. ) Выбор именно такого	*знака*	достаточно понятен , не так ли ? .
Найдите сторону двух квадратов , отмеченных	*знаком*	вопроса , если сторона маленького черного квадрата равна 1 .
Получим приближенное	*значение*	площади 28 см2 .
Северному полюсу соответствует	*значение*	90 ° северной широты , а Южному — 90 ° южной широты .
Математики же в своих рассуждениях исходят из того , что отрезки ( и другие величины ) имеют точную длину ( точное	*значение*	) , .
В древности слово « симметрия » употреблялось в	*значении*	« гармония » , « красота » .
Затем вновь возьмем полусумму полученных	*значений*	.
Итак , измеряя на практике различные величины , мы всегда получаем приближенные	*значения*	, но погрешность измерения часто не учитываем и считаем полученный результат истинным .
Понятно , что точкам слева от начального меридиана соответствуют	*значения*	западной долготы .
Самое лучшее в данной ситуации , если мы в качестве	*значения*	площади возьмем полусумму измерений с недостатком и избытком .
Ведь кубики — любимая	*игра*	малышей .
Эта	*игра*	была придумана в 50-х годах XX в .
1 Представьте , что	*игра*	в « Морской бой » пришла к позиции .
На занятиях по наглядной геометрии , где вы встретитесь с интересными головоломками и занимательными задачами , бумажными человечками и геометрическими	*играми*	, вашими постоянными спутниками будут наблюдение и опыт .
Каждый игравший в « Морской бой » знает , что клетки доски в этой	*игре*	обозначаются парой — буква и число .
Раз уж речь зашла об	*игре*	« Морской бой » , то попробуйте решить несколько задач , связанных с этой игрой .
Сможете ли вы произвести серию точных выстрелов и выиграть в этой	*игре*	? .
В этой	*игре*	разведчик вынужден вести переписку со своими товарищами так , чтобы никто из посторонних не смог прочитать написанного .
Раз уж речь зашла об игре « Морской бой » , то попробуйте решить несколько задач , связанных с этой	*игрой*	.
Поиграем в эту	*игру*	и мы , но обозначать клетки будем парой чисел .
А теперь мы предлагаем вам не задачу , а	*игру*	.
18 Задачи , головоломки ,	*игры*	.
Напомним правила	*игры*	( но можно вносить изменения ) .
34 Задачи , головоломки ,	*игры*	.
Задачи , головоломки ,	*игры*	.
Изображены правильные многогранники — тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и	*икосаэдр*	.
То же происходит с парой додекаэдр —	*икосаэдр*	.
« Ни тридцать лет , ни тридцать столетий не оказывают никакого влияния на ясность или красоту геометрических	*истин*	» — так сказал английский математик Ч. Л. Доджсон , более известный во всем мире под псевдонимом Льюис Кэрролл , автор сказок о девочке Алисе .
Это	*кардиоида*	.
( Хотя для	*карт*	города или района эти искажения незначительны и ими можно пренебречь . ) .
Правда , в 1975 г. ( за год до этого ) в апрельском номере американского журнала « В мире науки » была приведена	*карта*	, которую , как утверждал ее составитель , нельзя окрасить нужным образом в четыре цвета .
	*Карта*	острова , на которой видны два ориентира ( два больших камня ) .
Географическая карта ( будь то	*карта*	мира , одной страны или города ) покрыта сетью тонких линий .
Географическая	*карта*	( будь то карта мира , одной страны или города ) покрыта сетью тонких линий .
Вертикальные линии на	*карте*	— это меридианы .
положение точки на	*карте*	.
Экватору на	*карте*	мира соответствует горизонтальная линия , делящая карту пополам .
На	*карте*	также проведем отрезок АВ .
Он взял карту этой местности ( масштаб карты 1:100 000 , что означает уменьшение всех настоящих размеров в 100 000 раз ) и решил отметить на этой	*карте*	все точки , до которых он может дойти за 1 ч .
Найдите на	*карте*	место клада .
Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой , но они знают , что камни на этой	*карте*	имели координаты А ( 2 ; 1 ) , В ( 8 ; 2 ) , а координаты клада ( 6 ; 6 ) .
Выберем , например , две пары точек на	*карте*	, расстояния между которыми равны , но точки расположены в разных местах карты ( близко к экватору и далеко от него ) .
Современные искатели сокровищ не располагают подлинной	*картой*	, но они знают , что камни на этой карте имели координаты А ( 2 ; 1 ) , В ( 8 ; 2 ) , а координаты клада ( 6 ; 6 ) .
Покажите , что это всего лишь первоапрельская шутка : раскрасьте эту	*карту*	из 100 стран в четыре цвета так , чтобы соседние страны были окрашены в разные цвета .
Он взял	*карту*	этой местности ( масштаб карты 1:100 000 , что означает уменьшение всех настоящих размеров в 100 000 раз ) и решил отметить на этой карте все точки , до которых он может дойти за 1 ч .
Экватору на карте мира соответствует горизонтальная линия , делящая	*карту*	пополам .
Наложим кальку на	*карту*	так , чтобы точки А и Аl совпали и отрезок АlВl « пошел » по АВ .
Пусть он восстановит вашу	*карту*	, а вы в свою очередь восстановите его карту .
Он взял	*карту*	острова , нарисовал на ней оси координат , выбрал единицу .
А теперь начните заполнять	*карту*	острова Сокровищ .
Нанесите на	*карту*	различные объекты ( колодец , наблюдательную вышку , склад , пальмовую рощу и т . д. ) , опишите их положение с помощью координат и сообщите эти координаты соседу по парте .
Они доказали , что любую географическую	*карту*	можно окрасить в четыре цвета так , что страны , имеющие общую границу , будут окрашены в разные цвета .
Пусть он восстановит вашу карту , а вы в свою очередь восстановите его	*карту*	.
Он взял карту этой местности ( масштаб	*карты*	1:100 000 , что означает уменьшение всех настоящих размеров в 100 000 раз ) и решил отметить на этой карте все точки , до которых он может дойти за 1 ч .
Сравните	*карты*	в классе .
Часть суши в нижней части	*карты*	, соответствующая Антарктиде , несоизмеримо велика .
Выберем , например , две пары точек на карте , расстояния между которыми равны , но точки расположены в разных местах	*карты*	( близко к экватору и далеко от него ) .
Пусть одна	*касается*	окружности в точке В , а другая — в точке С. Имеет место равенство АВ равно АС .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность	*касается*	прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
Прямая , перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса ,	*касается*	окружности .
Что	*касается*	круглого сантиметра , то здесь неудобство сразу бросается в глаза : непересекающимися кругами нельзя заполнить плоскость .
Что	*касается*	координат на плоскости , то , наверное , все ребята так или иначе с ними знакомы .
3 Расположите пять одинаковых монет так , чтобы каждая из них	*касалась*	четырех остальных .
6 Расположите шесть спичек так , чтобы каждая спичка	*касалась*	всех остальных спичек .
8 Расположите три спички на столе так , чтобы их головки не	*касались*	ни стола , ни друг друга .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он	*касался*	края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
16 англичан выстраивались в цепочку таким образом , что каждый следующий	*касался*	концами пальцев своих ног пяток предыдущего .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть	*касательная*	к окружности .
Касательная АВ симметрична	*касательной*	АС .
Из этой точки к окружности можно провести две	*касательные*	.
Тетраэдр начинают перекатывать , как показано на рисунке , причем он оставляет след такого же цвета , что и грань ,	*касающаяся*	бумаги .
Возьмите полоску бумаги шириной 5 см и длиной около 20 см. Сложите ее « гармошкой » и нарисуйте какой - нибудь рисунок ,	*касающийся*	линии сгиба .
Можно ли раскрасить их тремя различными красками так , чтобы никакие два соседних (	*касающихся*	друг друга ) кружочка не были одного цвета ?
Как построить окружность ,	*касающуюся*	данных прямых и проходящую через данную точку ? .
51 Постройте любую окружность ,	*касающуюся*	прямых , проведите через точку А прямую , параллельную данным .
6 На столе один пятак лежит неподвижно , а другой катится вокруг первого ,	*касаясь*	его .
Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него	*квадрат*	со стороной 10 см. Останется прямоугольник , стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
Да , да , не удивляйтесь , и ромб , и прямоугольник , и	*квадрат*	— тоже параллелограммы .
Затем от этого прямоугольника отрежьте	*квадрат*	со стороной 6 см. Останется прямоугольник , одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
5 На какие части надо разрезать	*квадрат*	, чтобы сложить из них фигуры ?
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же треугольника и	*квадрат*	со стороной , равной большей стороне треугольника .
2 Разрежьте	*квадрат*	на четыре равные части разными способами ; на пять равных частей .
6 Нарисуйте	*квадрат*	и проведите его диагональ .
Этот же	*квадрат*	разрезан на четыре таких же треугольника и квадрат со стороной , равной большей стороне треугольника .
5 Начертите на клетчатой бумаге	*квадрат*	, площадь которого равна 2 , 4 , 5 , 8 , 9 , 10 , 16 , 17 , 18 , 20 , 25 , 26 клеткам .
А если взять	*квадрат*	других размеров — больше или меньше , — изменится ли угол между сторонами квадрата ?
Вырежьте из бумаги	*квадрат*	и сложите его вдвое по диагонали .
В задании 6 вы складывали	*квадрат*	по диагонали .
Уберите одну спичку и сделайте из оставшихся спичек один	*квадрат*	и два ромба .
Как удостовериться , что вырезанная фигура —	*квадрат*	? .
Добавьте еще только одну спичку так , чтобы концы спичек образовали	*квадрат*	.
Значит ,	*квадрат*	— это параллелограмм с прямыми углами , все стороны которого равны .
По мнению Лены , это доказывало , что вырезанный четырехугольник —	*квадрат*	.
Значит ,	*квадрат*	— это ромб с прямыми углами .
Возьмем	*квадрат*	со стороной 1 м .
Сверните прямоугольник так , чтобы получился	*квадрат*	.
Вырежьте этот	*квадрат*	и исследуйте его .
Можно ли составить	*квадрат*	из двух фигур ?
7 Очевидно , что из всех семи фигур составляется	*квадрат*	.
Значит ,	*квадрат*	— это прямоугольник , у которого все стороны равны .
4 На какие фигуры делит	*квадрат*	каждая диагональ ? .
На какие фигуры она делит	*квадрат*	? .
Если вырезать в середине	*квадрат*	2×2 , то оставшиеся клетки покрываются двенадцатью фигурками пентамино .
Учитель дал ребятам задание вырезать из цветной бумаги	*квадрат*	.
Вася , вырезая	*квадрат*	, проверил его так : он сравнил длины сторон .
Диагонали были равны , и Алеша посчитал	*квадрат*	вырезанным правильно .
Лена , вырезав	*квадрат*	, сравнила все четыре отрезка , на которые диагонали разделили одна другую .
Перегните	*квадрат*	пополам так , чтобы совпали две противоположные стороны .
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится	*квадрат*	своей диагональю , равны .
Но можно сложить еще один треугольник , используя четыре фигуры : один большой треугольник , два маленьких и	*квадрат*	.
20 Разрежьте	*квадрат*	на пять прямоугольников так , чтобы у любых двух соседних прямоугольников стороны не совпадали .
12 Большой	*квадрат*	разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это	*квадрат*	, сторона которого в два раза больше стороны исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
31 На горизонтальной прямой расположен квадрат , в котором отмечена точка А. Представьте себе , что	*квадрат*	начинает перекатываться вдоль прямой .
8 Треугольник АВС — правильный , четырехугольник KLMN —	*квадрат*	.
31 На горизонтальной прямой расположен	*квадрат*	, в котором отмечена точка А. Представьте себе , что квадрат начинает перекатываться вдоль прямой .
1 Сколько одинаковых квадратов надо взять , чтобы из них можно было сложить в два раза больший	*квадрат*	?
Разрежьте этот прямоугольник на две равные части так , чтобы , сложив их определенным образом , получить	*квадрат*	.
3 ABCD —	*квадрат*	.
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные фигуры :	*квадрат*	, треугольник , окружность и т .
в ) на три части так , чтобы из них можно было составить	*квадрат*	.
Это , например ,	*квадрат*	, отрезок , круг .
Требовалось построить с помощью циркуля и линейки	*квадрат*	, площадь которого равна площади данного круга .
15 Надо разрезать фигуру на четыре части и затем переложить их так , чтобы внутри образовался	*квадрат*	площадью 1 см2 .
6 Если сложить	*квадрат*	вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
Чтобы составить свою решетку , нужно разбить 64-клеточный	*квадрат*	на четыре области .
8 Разрезав « кольцо » и сложив из него	*квадрат*	, увидим , что краски пойдет одинаковое количество ( площади этих фигур равны ) .
1 Если считать , что в два раза больший	*квадрат*	— это квадрат , сторона которого в два раза больше стороны исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
56 Разрежьте	*квадрат*	13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять чисел , выражающих стороны прямоугольников , были бы различными целыми числами .
Почему для получения единиц площадей и объемов мы использовали	*квадрат*	и куб ?
10 Начертите	*квадрат*	, площадь которого равна а ) 10 клеткам ; б ) 17 клеткам ; в ) 26 клеткам .
Ячейка —	*квадрат*	3×3 клетки .
8 Получится	*квадрат*	со стороной 6 единиц .
3 Постройте	*квадрат*	со стороной А В , где А и В — узлы клетчатой бумаги и отрезок А В не проходит по сторонам клеток .
А читают так же ( накладывая	*квадрат*	и поворачивая его против часовой стрелки на 90 ° ) .
3 Изготовьте головоломку сами : переведите на плотную бумагу	*квадрат*	, разделенный на семь частей , и разрежьте его .
Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая	*квадрат*	на части и перекладывая эти части , можно получать фигуры единичной площади и различной конфигурации .
Если разрезать	*квадрат*	, как показано на рисунке 66 , то получится популярная китайская головоломка танграм , которую в Китае называют « чи чао ту » , т .
Со всех шести сторон ( спереди и сзади , справа и слева , сверху и снизу ) мы видим	*квадрат*	3×3 .
Это не	*квадрат*	, не прямоугольник .
Из плотной бумаги вырежьте	*квадрат*	, разделите его на 64 квадратика и прорежьте окошечки .
Какое наибольшее число кубиков можно убрать , чтобы со всех сторон был виден	*квадрат*	3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не развалилась ? .
От	*квадрата*	отрезаны четыре равных треугольника , площади которых в сумме составляют 12 клеток .
А площадь	*квадрата*	со стороной 1 см равна 1 квадратному сантиметру .
3 Площадь всего белого	*квадрата*	равна 25 клеткам .
1 Показан способ разрезания	*квадрата*	со стороной в четыре клетки по сторонам клеток на две равные части .
Вырезать два одинаковых	*квадрата*	.
Площадь всего белого	*квадрата*	равна 25 клеткам .
1 Изменим верхнюю сторону	*квадрата*	.
2 Перечертите на клетчатую бумагу фигуру и вырежьте ее ( сторона каждого	*квадрата*	4 см ) .
3 К левой стороне	*квадрата*	пририсуем треугольник .
Значит , площадь заштрихованного	*квадрата*	равна 13 клеткам .
Сколько существует способов разрезания	*квадрата*	на две равные части линиями , идущими по сторонам маленьких квадратиков ? .
Занимательных задач на разрезание	*квадрата*	— множество .
диагональ	*квадрата*	разделила его на две равные части .
Найдите еще хотя бы один вариант подобного покрытия	*квадрата*	8×8 с вырезанной серединой .
Как линия сгиба расположена относительно сторон	*квадрата*	?
Его ни за что не прочесть человеку , не имеющему шифровального	*квадрата*	.
Из объяснений понятно , что способ шифровки основан на повороте	*квадрата*	вокруг его центра .
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это квадрат , сторона которого в два раза больше стороны исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных	*квадрата*	.
Сторона равна одной спичке , а ) Переложите четыре спички так , чтобы получилось три квадрата , б ) Переложите три спички так , чтобы получилось три	*квадрата*	, в ) Переложите спички , чтобы получилось шесть квадратов .
Сторона равна одной спичке , а ) Переложите четыре спички так , чтобы получилось три	*квадрата*	, б ) Переложите три спички так , чтобы получилось три квадрата , в ) Переложите спички , чтобы получилось шесть квадратов .
Каждая же точка внутри	*квадрата*	при четырех поворотах на 90 ° занимает четыре разных положения .
Чтобы все клеточки 64-клеточного	*квадрата*	были заполнены буквами , должно быть 16 окошечек .
Начнем с	*квадрата*	.
Угол квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю	*квадрата*	и его сторонами образуются углы по 45 ° .
21 Из 12 спичек сложены четыре	*квадрата*	.
4 Покажите , что площадь	*квадрата*	на рисунке 75 равна 13 клеткам .
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два	*квадрата*	со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
Угол	*квадрата*	( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю квадрата и его сторонами образуются углы по 45 ° .
2 Как изменится площадь	*квадрата*	, если его сторону увеличить в 2 раза ?
1 Сравните сторону	*квадрата*	с его диагональю .
12 Четвертые части	*квадрата*	и правильного треугольника отрезаны , как показано на рисунке 294 .
21 Уберите несколько точек так , чтобы из оставшихся никакие четыре не являлись вершинами	*квадрата*	.
Найдите сторону двух квадратов , отмеченных знаком вопроса , если сторона маленького черного	*квадрата*	равна 1 .
Линия сгиба , проходящая через две противоположные вершины квадрата , называется диагональю	*квадрата*	.
9 Восемь спичек уложите так , чтобы образовались один восьмиугольник , два	*квадрата*	и восемь треугольников — все в одной фигуре ! .
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это квадрат , сторона которого в два раза больше стороны исходного	*квадрата*	, то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
Линия сгиба , проходящая через две противоположные вершины	*квадрата*	, называется диагональю квадрата .
И угол	*квадрата*	разделился пополам .
Значит , сумма площадей двух маленьких квадратиков равна площади	*квадрата*	.
Диагональ	*квадрата*	является биссектрисой угла .
10 Через точку внутри	*квадрата*	проведены прямые по сторонам и диагоналям клеток .
Половинки	*квадрата*	( треугольники ) совпали , т .
А если взять квадрат других размеров — больше или меньше , — изменится ли угол между сторонами	*квадрата*	?
7 Из десяти спичек выложите три	*квадрата*	.
1 У	*квадрата*	, как и у ромба , все стороны равны .
2 У	*квадрата*	, как и у прямоугольника , все углы прямые .
3 У	*квадрата*	, как и у параллелограмма , стороны попарно параллельны .
Как вы думаете , какие углы образует диагональ со сторонами	*квадрата*	?
8 На что пойдет больше краски : на окрашивание	*квадрата*	или этого необычного кольца ? .
Так , например , если необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей площади , то следует выбрать этот участок в виде	*квадрата*	.
в ) уберите шесть спичек так , чтобы осталось три	*квадрата*	.
уберите восемь спичек так , чтобы осталось два	*квадрата*	.
У	*квадрата*	есть еще целый ряд интересных свойств .
Но в каждом	*квадрате*	2×2 только один катер , иначе у него будут « соседи » , значит , 26 катеров на поле 10×10 уже не поместятся .
2 Отец , у которого было четыре сына , имел	*квадратное*	поле .
7 Как провести плоскость , чтобы получить	*квадратное*	сечение куба ? .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной	*квадратной*	миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
Тетрадный лист в клеточку — пример паркета с	*квадратной*	ячейкой .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в	*квадратной*	версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном	*квадратном*	километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном	*квадратном*	ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
28 На	*квадратном*	участке расположены три дома , а в ограде сделаны три калитки .
А площадь квадрата со стороной 1 см равна 1	*квадратному*	сантиметру .
Его площадь будем считать равной одному	*квадратному*	метру ( м2 ) .
Для этого надо дробить	*квадратную*	единицу .
Например , возьмем за основу	*квадратную*	решетку .
Требуется выложить из 12 спичек фигуру , которая охватывала бы площадь в три	*квадратные*	единицы .
Лист бумаги , чаще	*квадратный*	, но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
Если считать , что одна клетка есть	*квадратный*	сантиметр , то площадь больше 16 см2 .
6 Дана дощечка с тремя отверстиями :	*квадратным*	, круглым и треугольным .
Продолжая покрывать фигуру	*квадратными*	миллиметрами , мы найдем ее площадь с избытком .
Будем продолжать заполнять площадь фигуры	*квадратными*	миллиметрами до тех пор , пока это возможно .
Основное свойство окружности дает ответ на вопросы , почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми , а не	*квадратными*	или , например , треугольными .
1 Почему канализационные люки делают круглыми , а не	*квадратными*	? .
Если a и b — длины сторон прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b	*квадратных*	единиц .
Нетрудно найти площадь фигуры , составленной из	*квадратных*	метров или квадратных сантиметров или из тех и других .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре ,	*квадратных*	аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
Прибавив соответствующее количество	*квадратных*	миллиметров к ранее найденной величине , мы вычислим площадь фигуры с недостатком , но уже точнее .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде ,	*квадратных*	километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
1 Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте ,	*квадратных*	дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
У нас есть 10	*квадратных*	карточек со сторонами 10 , 9 , 8 , 7 , 1 .
1 Сколько	*квадратных*	миллиметров в одном квадратном километре , квадратных аршинов в квадратной версте , квадратных дюймов в одном квадратном ярде , квадратных километров в одной квадратной миле , кубических сантиметров в одном кубическом километре , кубических вершков в одной кубической сажени , кубических футов в одном кубическом аршине ? .
Далеко не сразу человек додумался до	*квадратных*	и кубических единиц .
Они ничем не хуже	*квадратных*	сантиметров .
Нетрудно найти площадь фигуры , составленной из квадратных метров или	*квадратных*	сантиметров или из тех и других .
Составьте из пяти	*квадратов*	все 12 фигур пентамино .
а ) уберите четыре спички так , чтобы осталось пять	*квадратов*	.
Сравните площади заштрихованных	*квадратов*	.
Эти свойства справедливы не только для	*квадратов*	, треугольников , кубов .
Сторона равна одной спичке , а ) Переложите четыре спички так , чтобы получилось три квадрата , б ) Переложите три спички так , чтобы получилось три квадрата , в ) Переложите спички , чтобы получилось шесть	*квадратов*	.
4 Буква Т составлена из шести	*квадратов*	со стороной 1 см .
Набор пентамино содержит 12 фигурок , каждая из которых составлена из пяти ( « пента » в переводе с греческого означает « пять » ) одинаковых	*квадратов*	, причем квадраты « соседствуют » друг с другом только сторонами .
А теперь — чтобы получилось шесть	*квадратов*	.
1 Расположите 12 спичек так , чтобы получилось пять	*квадратов*	.
Можно проверить себя , вырезав десять таких	*квадратов*	или нарисовать их в тетради .
12 Расчертив полоску на семь	*квадратов*	, перегните второй и шестой квадраты по диагонали , а затем уже сворачивайте полоску в куб .
1 Сколько одинаковых	*квадратов*	надо взять , чтобы из них можно было сложить в два раза больший квадрат ?
Найдите сторону двух	*квадратов*	, отмеченных знаком вопроса , если сторона маленького черного квадрата равна 1 .
30 Изображены девять	*квадратов*	.
4 Доску разрезать на линкоры нельзя : при указанной окраске в четыре цвета различных по цвету	*квадратов*	получается неодинаковое число .
8 Сколько различных	*квадратов*	с вершинами в данных точках можно начертить ? .
8 20	*квадратов*	.
13 Дано игровое поле 4×4 и 16	*квадратов*	с геометрическими фигурами , имеющими ось ( одну или несколько ) симметрии .
54 Докажите , что меньший из	*квадратов*	имеет площадь в четыре раза меньшую , чем больший .
Дан один из способов плетения куба из трех полосок , разделенных на пять	*квадратов*	.
Проделаем с этой ячейкой -	*квадратом*	следующие операции .
С площадью круга связана одна из самых знаменитых задач древности — задача о	*квадратуре*	круга .
Поиски	*квадратуры*	круга продолжались четыре тысячелетия !
2 На доске 10×10 может разместиться 25 катеров : игровое поле можно разбить на	*квадраты*	2×2 , которых будет ровно 25 , и в каждом из них по катеру .
Вокруг вас живут треугольники , окружности ,	*квадраты*	, отрезки и другие плоские фигуры .
12 Расчертив полоску на семь квадратов , перегните второй и шестой	*квадраты*	по диагонали , а затем уже сворачивайте полоску в куб .
5 Третью полоску ( красную ) пропустите сзади куба в щель между белой и черной полосками , согните и конечные	*квадраты*	также пропустите в щель между передней белой гранью и черной полоской .
Набор пентамино содержит 12 фигурок , каждая из которых составлена из пяти ( « пента » в переводе с греческого означает « пять » ) одинаковых квадратов , причем	*квадраты*	« соседствуют » друг с другом только сторонами .
Разместить	*квадраты*	в клетках поля так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались фигуры , имеющие одинаковое число осей симметрии .
Обратите внимание на треугольники и	*квадраты*	.
Нельзя ли выполнить ту же работу , раскрыв меньше	*колец*	? .
Приготовьте два	*кольца*	: одно простое и одно перекрученное .
Удастся ли муравью попасть на обратную , изнаночную сторону	*кольца*	, не переползая через край ?
8 На что пойдет больше краски : на окрашивание квадрата или этого необычного	*кольца*	? .
Попробуйте провести непрерывную линию по одной из сторон перекрученного	*кольца*	( будем считать , что это путь муравья ) .
Свойства : длина окружности	*кольца*	та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Кузнец решил раскрыть четыре	*кольца*	и снова их заковать .
Представьте муравья , находящегося на поверхности простого	*кольца*	.
Оказывается , у перекрученного	*кольца*	( впоследствии его назвали листом Мёбиуса ) имеется только одна сторона !
Результат разрезания : 2	*кольца*	; 1 кольцо .
Склейте два	*кольца*	: одно простое и одно перекрученное .
Опыты , которые мы предлагаем вам провести с листом Мёбиуса и подобными ему	*кольцами*	, продемонстрируют много интересных и неожиданных свойств .
Он обнаружил , что на перекрученном	*кольце*	линия прошла по обеим сторонам , хотя его карандаш не отрывался от бумаги .
8 Разрезав «	*кольцо*	» и сложив из него квадрат , увидим , что краски пойдет одинаковое количество ( площади этих фигур равны ) .
4 Существует ли	*кольцо*	в действительности , или допущена ошибка ? .
10 Хозяйка , приведя козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с кольцом так , что	*кольцо*	может скользить от колышка к колышку , а к кольцу веревкой длиной 5 м привязала козу .
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное	*кольцо*	на плоскость , сделаем из него разные фигуры : квадрат , треугольник , окружность и т .
Возьмем веревочку и свяжем ее в	*кольцо*	, положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные фигуры : квадрат , треугольник , окружность и т .
Разрежьте простое	*кольцо*	ножницами вдоль .
Свойства : длина окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ;	*кольцо*	перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Свойства : длина окружности кольца та же , но	*кольцо*	в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Разрежьте перекрученное на пол - оборота	*кольцо*	( лист Мёбиуса ) вдоль .
Результат разрезания : 2 кольца ; 1	*кольцо*	.
Свойства : длина окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и	*кольцо*	уже исходного .
Перекрученное	*кольцо*	получите так , как показано на рисунке .
10 Хозяйка , приведя козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с	*кольцом*	так , что кольцо может скользить от колышка к колышку , а к кольцу веревкой длиной 5 м привязала козу .
А если муравей ползет по перекрученному	*кольцу*	?
10 Хозяйка , приведя козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с кольцом так , что кольцо может скользить от колышка к колышку , а к	*кольцу*	веревкой длиной 5 м привязала козу .
Проколов фигуру в предполагаемом центре и обведя ее	*контур*	, надо повернуть фигуру на 180 ° вокруг иголки .
Маляр передвигает трафарет , переворачивая или не переворачивая его , обводит	*контур*	, повторяя рисунок , и получает орнамент .
Используя тот же	*контур*	, но с другим рисунком внутри , можно сделать паркет из таких симпатичных « мордашек » .
34 В скольких точках прямая может пересекать	*контур*	треугольника ?
Если фигура « вошла » в свой	*контур*	, то она центрально - симметрична .
Она заключена внутри дракона и своими изгибами обрисовывает его	*контур*	.
33 После обхода	*контура*	спичка повернута на 180 ° .
2 Постройте кривую , соответствующую шести сгибам полоски , из кривой в пять сгибов и обрисуйте ее	*контуром*	дракона .
Весь	*конус*	состоит из двух частей ( пол ) , имеющих общую вершину .
20 Возьмите набор геометрических тел ( куб , шар , пирамида ,	*конус*	, цилиндр и др. ) .
Что такое	*конус*	, надеемся , вы представляете .
Математики определяют	*конус*	следующим образом .
27 а ) Куб ; б )	*конус*	; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
Эта точка — вершина	*конуса*	.
Каждая из них может быть получена при пересечении	*конуса*	плоскостью .
При этом мы по - прежнему сечением задеваем лишь одну « полу »	*конуса*	( плоскость 2 ) .
Что касается	*координат*	на плоскости , то , наверное , все ребята так или иначе с ними знакомы .
Получаем нужную систему	*координат*	хОу и находим место клада по координатам ( 6 ; 6 ) в новой системе .
При этом для шифровки места клада неоднократно использовался метод	*координат*	.
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите систему	*координат*	с кубом , у которого ребро равно 1 .
На плоскости выбирают две перпендикулярные прямые — оси	*координат*	.
Точка пересечения этих прямых является началом	*координат*	.
Одну из этих осей , обычно горизонтальную , называют осью х , а вторую — осью у. Такую координатную систему называют декартовой ( по имени великого французского математика Рене Декарта , работы которого положили начало одному из важнейших методов исследования — методу	*координат*	) .
Чтобы получить декартову систему	*координат*	в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z , перпендикулярную им , с тем же началом в точке 0 .
Поскольку старый пират получил в свое время неплохое образование , он решил для своих целей воспользоваться методом	*координат*	.
Он взял карту острова , нарисовал на ней оси	*координат*	, выбрал единицу .
Начертите на клетчатой бумаге оси	*координат*	( за единицу можно выбрать расстояние в две клетки ) .
Нанесите на карту различные объекты ( колодец , наблюдательную вышку , склад , пальмовую рощу и т . д. ) , опишите их положение с помощью	*координат*	и сообщите эти координаты соседу по парте .
В результате каждая клетка шахматной доски имеет собственное « имя » , складывающееся из двух	*координат*	— буквы и числа , обозначающих столбец и строку , на пересечении которых эта клетка находится .
Наиболее распространенным способом задания	*координат*	на плоскости , после чего она становится координатной плоскостью , является следующий .
Есть и другие способы задания	*координат*	на плоскости .
6 Начертим на кальке вспомогательные оси	*координат*	xlOlyl .
Нужна вторая	*координата*	— долгота .
На самом деле это тоже	*координата*	.
9 В качестве упражнения изобразите на одном чертеже шесть точек с	*координатами*	: О ( 0 ; 0 ; 0 ) , А ( 1 ; 0 ; 0 ) , В ( 0 ; 1 ; 0 ) , С ( 0:0:1 ) , D(1;1;0 ) , E(1;1:1 ) .
Вы без труда можете найти вокруг себя различные примеры , иллюстрирующие прямые с заданными на них	*координатами*	.
Оказывается , туристы обычно пользуются в походах полярными	*координатами*	, а азимут — это угол между направлением на север и направлением на некоторый предмет из точки , где находится турист .
Каждая точка плоскости задается двумя полярными	*координатами*	: углом и расстоянием .
Теперь каждой точке пространства соответствуют три	*координаты*	, тройка чисел х , у , z.
Точка М имеет	*координаты*	5 и 2 , что записывается так : М ( 5 ; 2 ) .
В качестве главных ориентиров он указал	*координаты*	четырех дубов .
22 Координаты , координаты ,	*координаты*	.
Построите точки , соответствующие местонахождению дубов , и определите	*координаты*	пещеры с сокровищами .
Нанесите на карту различные объекты ( колодец , наблюдательную вышку , склад , пальмовую рощу и т . д. ) , опишите их положение с помощью координат и сообщите эти	*координаты*	соседу по парте .
Но мы немного отвлеклись и забыли про	*координаты*	.
5 Даны	*координаты*	точек .
22 Координаты ,	*координаты*	, координаты .
Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой , но они знают , что камни на этой карте имели	*координаты*	А ( 2 ; 1 ) , В ( 8 ; 2 ) , а координаты клада ( 6 ; 6 ) .
Указывая широту и долготу точки , мы указываем ее	*координаты*	, т .
Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой , но они знают , что камни на этой карте имели координаты А ( 2 ; 1 ) , В ( 8 ; 2 ) , а	*координаты*	клада ( 6 ; 6 ) .
Название « танграм » возникло в Европе , вероятнее всего , от слова « тань » ( что означает « китаец » ) и	*корня*	« грамма » ( в переводе с греческого « буква » ) .
Исключение составляют годы ,	*кратные*	100 .
Окружность — это замкнутая	*кривая*	линия .
Окружность — единственная	*кривая*	, которая может « скользить сама по себе » , вращаясь вокруг центра .
Между ними нарисована	*кривая*	, идущая от зеркала к зеркалу .
Сколько раз отразится	*кривая*	в зеркалах ?
Изображена такая	*кривая*	.
Эта замечательная	*кривая*	не так уж редка в природе .
2 Постройте кривую , соответствующую шести сгибам полоски , из	*кривой*	в пять сгибов и обрисуйте ее контуром дракона .
Одна половина нашей	*кривой*	повернулась на 90 ° , повторив изгибы другой половины .
Для этой	*кривой*	мы не можем предложить , как в предыдущем случае , достаточно простой « гиперболический циркуль » , позволяющий вычерчивать гиперболу и одновременно показывающий ее основное свойство .
Измерим длину отрезка прямой линии в заданных единицах ( измерение длин кусков	*кривой*	линии — несколько иная задача ) .
Повторение половины	*кривой*	при повороте на 90º ( а следовательно , использование кальки для вычерчивания ) можно объяснить с помощью исходной бумажной полоски .
В углах , отмеченных кружочком ( о ) , делается поворот всей предыдущей	*кривой*	против часовой стрелки , а в углах , отмеченных точкой ( • ) , — по часовой стрелке .
2 Постройте	*кривую*	, соответствующую шести сгибам полоски , из кривой в пять сгибов и обрисуйте ее контуром дракона .
Если всмотреться в эти линии , то можно увидеть , что каждую последующую можно получить из предыдущей , добавляя к ней такую же	*кривую*	, но полученную поворотом на 90 ° по часовой стрелке вокруг последней точки .
Проследите за траекторией , которую опишет при этом точка А , взятая на окружности этого круга Начертите получившуюся	*кривую*	.
Таким образом , путь муравья представляет	*кривую*	.
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную	*кривую*	, которая называется параболой .
Разбиваем измеряемую	*кривую*	на небольшие участки , каждый из которых можно считать отрезком .
Условимся точки , в которых соединяются	*кривые*	, называть узлами .
Вид спереди похож на букву Г , вид сверху — на Ч без половины вертикальной палочки , а вид слева — на стилизованную латинскую S. Рассмотрите ломаные и	*кривые*	линии и начертите в каждом случае три проекции ( вид спереди , сверху и слева ) .
24 Замечательные	*кривые*	.
10 Сколькими способами можно прочитать слово « шалаш » , двигаясь по прямым ,	*кривым*	и ломаным дорожкам ? .
На этом графе четыре узла ( они соответствуют берегам С и B и островам А и D ) и семь	*кривых*	, которые обозначают мосты a , b , с , d , e , f , g.
Если бы существовал искомый маршрут , то эту сеть	*кривых*	можно было бы вычертить одним росчерком .
4 Приведите примеры	*кривых*	, длину которых удобно измерять одним из этих способов .
Но все - таки при чем здесь драконы , как следует расшифровывать эти коды для построения	*кривых*	дракона ?
В этом параграфе вы узнаете о некоторых поистине замечательных	*кривых*	, населяющих удивительный мир геометрии .
Задача измерения длин	*кривых*	линий , конечно , труднее практически и сложнее теоретически , чем измерение отрезков прямых .
Оказывается , не обязательно при построении	*кривых*	дракона всякий раз поворачивать ранее полученную кривую на 90 ° в одном и том же направлении .
Вы получили коды для рисования	*кривых*	дракона .
Начертите связную сеть	*кривых*	.
Сеть таких	*кривых*	называют графом ( от греческого слова grapho — « пишу » ) .
Получится одна из замечательных	*кривых*	, называемая синусоидой .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем	*круг*	радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
Надо	*круг*	с помощью циркуля или транспортира разделить на двенадцать равных частей ( подумайте , почему на двенадцать ) и свернуть по диаметрам в любом порядке .
17 Вырежьте из плотной бумаги ( картона ) круг диаметром 6 см. Затем в листе обычной бумаги вырежьте круглое отверстие диаметром 4 см. Как вы думаете , можно ли ваш	*круг*	, не сминая его , протащить через проделанное в бумаге отверстие ? .
17 Вырежьте из плотной бумаги ( картона )	*круг*	диаметром 6 см. Затем в листе обычной бумаги вырежьте круглое отверстие диаметром 4 см. Как вы думаете , можно ли ваш круг , не сминая его , протащить через проделанное в бумаге отверстие ? .
Прокатите без скольжения подвижный	*круг*	по неподвижному и понаблюдайте , какую линию опишет точка А. Начертите эту линию .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и	*круг*	, складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
На сколько частей нужно разделить	*круг*	, чтобы у снежинки было n осей симметрии ? .
3 Если перегнуть	*круг*	так , чтобы половинки совпали , то линия сгиба пройдет через центр .
3 Дан бумажный	*круг*	.
Представьте , что по прямой линии без скольжения катится	*круг*	.
2 Перегните	*круг*	вместе с листком .
Разметьте бумажный	*круг*	и вырежьте такую снежинку .
Это , например , квадрат , отрезок ,	*круг*	.
Проделав эту операцию дважды , найдем центр	*круга*	.
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого круга , так как радиус маленького круга в два раза меньше радиуса большого	*круга*	.
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького	*круга*	точку .
Во что превратится гипоциклоида , если радиус меньшего	*круга*	равен 6 см , а большего — 12 см ?
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого круга , так как радиус маленького	*круга*	в два раза меньше радиуса большого круга .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три	*круга*	радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
Используя тот факт , что если радиус одного	*круга*	в два раза больше радиуса другого круга , то площадь первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
Проследите за траекторией , которую опишет при этом точка А , взятая на окружности этого	*круга*	Начертите получившуюся кривую .
Используя тот факт , что если радиус одного круга в два раза больше радиуса другого	*круга*	, то площадь первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
площадь	*круга*	) , — наибольшая среди полученных таким образом площадей .
С площадью круга связана одна из самых знаменитых задач древности — задача о квадратуре	*круга*	.
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого	*круга*	, так как радиус маленького круга в два раза меньше радиуса большого круга .
Вырежьте два одинаковых картонных	*круга*	.
Второй приложите к первому , отметьте на его краю точку А , наиболее удаленную от центра первого	*круга*	.
Поиски квадратуры	*круга*	продолжались четыре тысячелетия !
Требовалось построить с помощью циркуля и линейки квадрат , площадь которого равна площади данного	*круга*	.
С площадью	*круга*	связана одна из самых знаменитых задач древности — задача о квадратуре круга .
Что касается круглого сантиметра , то здесь неудобство сразу бросается в глаза : непересекающимися	*кругами*	нельзя заполнить плоскость .
Проделайте то же самое со вторым и третьим	*кругами*	.
Как выглядит гипоциклоида для	*кругов*	с радиусом 8 см , 9 см и 10 см ? .
Много интересных задач связано с окружностью и	*кругом*	.
Почему для получения единиц площадей и объемов мы использовали квадрат и	*куб*	?
Сначала был один	*куб*	.
Изображены правильные многогранники — тетраэдр ,	*куб*	, октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .
2 По поверхности стеклянного куба проходит ломаная линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на	*куб*	спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее проекции .
4 Можно ли	*куб*	завернуть в букву Т в один слой ?
Пожалуй , трудно найти человека , которому бы не был знаком	*куб*	.
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его ребро разделили на пять равных частей , после чего	*куб*	распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного куба .
Изображен	*куб*	ABCDA1B1C1D1 .
Тонким карандашом нарисуйте	*куб*	, а на его поверхности проволоку , из которой сделаны эти ломаные ( общий вид ) .
Так как куб один , то полый	*куб*	, как в случае а ) , можно получить , если отметить на листе бумаги положение куба ( обведя основание ) , а затем сдвинув его .
Так как	*куб*	один , то полый куб , как в случае а ) , можно получить , если отметить на листе бумаги положение куба ( обведя основание ) , а затем сдвинув его .
17 Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать , чтобы разделить	*куб*	на 64 маленьких кубика ? .
20 Возьмите набор геометрических тел (	*куб*	, шар , пирамида , конус , цилиндр и др. ) .
В качестве единицы объема можно выбрать	*куб*	с ребром , равным соответствующей линейной единице .
Приведите способ , с помощью которого	*куб*	можно разрезать на 64 части за шесть разрезов .
5 Из данной развертки можно склеить	*куб*	а .
Постройте фигуру ( сечение ) , по которой плоскость , проходящая через указанные точки , пересечет	*куб*	.
Возьмите в руки или представьте по рисунку 50 треугольную пирамиду , исследуйте ее так , как вы исследовали когда - то	*куб*	.
8 Деревянный	*куб*	покрасили снаружи краской , каждое его ребро разделили на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного куба .
57 Рассмотрим	*куб*	3×3×3 , составленный из 27 одинаковых кубиков .
Проведите сплошные линии ( видимые ребра ) так , чтобы	*куб*	был « виден » : а ) слева снизу ; б ) справа сверху ; в ) справа снизу .
Например ,	*куб*	принято изображать так .
( Как склеить	*куб*	, сказано в задании 2 ) .
сажень равно 48×48×48	*куб*	.
На этот	*куб*	мы смотрели справа сверху .
13 Представьте , что	*куб*	стоит на одной своей вершине и освещен прямо сверху .
С какой стороны мы смотрим на этот каркасный	*куб*	? . .
вершков равно 110 592	*куб*	.
4 Получим	*куб*	, у которого передняя и задняя грани белые , а остальные — черные .
Центры граней куба образуют октаэдр , а центры граней октаэдра —	*куб*	.
	*Куб*	с ребром 1 ) ? .
аршин равно 12,7	*куб*	.
Сверните из нее	*куб*	, склейте его .
1	*куб*	.
10 Что за странный	*куб*	изображен на нем ?
Научитесь изображать на клетчатой бумаге	*куб*	и пирамиду .
Даже если мы и видим	*куб*	, то всякий раз иначе видим , какая грань впереди , а какая сзади .
12 Расчертив полоску на семь квадратов , перегните второй и шестой квадраты по диагонали , а затем уже сворачивайте полоску в	*куб*	.
14 Имеется	*куб*	со стороной 3 см. Сколько надо сделать распилов , чтобы распилить его на кубики со стороной 1 см ? .
Если же мы нарисуем его без пунктирных линий , то . можно усомниться , что это	*куб*	.
Как измерить диагональ непустого куба , пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же куба ; б ) один такой	*куб*	? .
По две окрашенных грани у кубиков , расположенных вдоль ребер исходного	*куба*	: по три на каждом ребре .
Каждый из них проходит через середину одного ребра	*куба*	, соединяющего свободные вершины .
Укажите ее размеры , если ребро	*куба*	равно 1 см .
Центры граней	*куба*	образуют октаэдр , а центры граней октаэдра — куб .
15 В противоположных ( наиболее удаленных друг от друга ) вершинах	*куба*	сидят паук и муха .
2 По поверхности стеклянного	*куба*	проходит ломаная линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на куб спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее проекции .
Решение следующих задач и выполнение заданий позволит вам обнаружить некоторые свойства	*куба*	.
Попробуйте найти этот второй способ плетения	*куба*	самостоятельно .
Дополните , если это понадобится , свой список свойств	*куба*	теми свойствами , которые заметили ваши одноклассники .
обнаружить путем измерения , наблюдения , подсчета как можно больше свойств	*куба*	.
Сколько одинаковых кубиков надо для составления в два раза большего	*куба*	? .
Как измерить диагональ непустого	*куба*	, пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же куба ; б ) один такой куб ? .
Если полоски разного цвета , то у получающегося	*куба*	противоположные грани одинакового цвета .
4 Условимся боковые грани куба обозначать буквой Б , верхнюю — В , нижнюю — Н. Расставьте на развертках	*куба*	буквы в соответствии с уже намеченными .
Изготовим сосуд в виде единичного	*куба*	и заполним его какой - нибудь жидкостью , например водой .
Придумайте еще несколько разверток	*куба*	и начертите их в тетради .
5 Третью полоску ( красную ) пропустите сзади	*куба*	в щель между белой и черной полосками , согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и черной полоской .
9 Какие многоугольники могут получиться при пересечении	*куба*	плоскостью ?
Существует другой способ плетения	*куба*	из таких же полосок .
Вырезанная фигура называется разверткой	*куба*	.
5 Дана развертка	*куба*	.
Дан один из способов плетения	*куба*	из трех полосок , разделенных на пять квадратов .
6 На развертке	*куба*	пронумерованы его грани .
Рассмотрите изображение куба , перечертите его в тетрадь и подпишите названия основных элементов	*куба*	.
7 На видимых гранях	*куба*	проставлены числа 1 , 2 , 3 .
27 Развертка какого	*куба*	дана .
43 Чему равны углы между отрезками , проведенными на гранях	*куба*	? .
Рассмотрите изображение	*куба*	, перечертите его в тетрадь и подпишите названия основных элементов куба .
3 Ребро	*куба*	увеличили в 3 раза .
3 Из фигур выберите те , которые являются развертками	*куба*	, и перенесите их в тетрадь .
Расставьте на развертках	*куба*	числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7 .
Сможет ли оса последовательно обойти все 12 ребер	*куба*	, не проходя дважды по одному ребру ?
9 Отрезок , соединяющий две противоположные вершины	*куба*	( наиболее удаленные друг от друга ) , называется диагональю куба .
Вы уже встречались с изображением невозможного	*куба*	.
При этом образуется выемка в форме такого же	*куба*	.
Через ребра АА1 и СС1 также можно провести плоскость — АА1С1С ( диагональное сечение	*куба*	) .
15 В решении этой задачи поможет развертка	*куба*	.
Ребра АА1 и ВВ1	*куба*	лежат в одной плоскости — в плоскости передней грани ; в этой же плоскости лежат и ребра А , В1 и АВ .
После каждого разреза разрешается перекладывать части	*куба*	как угодно .
Так как куб один , то полый куб , как в случае а ) , можно получить , если отметить на листе бумаги положение	*куба*	( обведя основание ) , а затем сдвинув его .
1 Какие - либо отрезки с концами в вершинах	*куба*	( не являющиеся его ребрами ) , такие , чтобы они были : а ) параллельными ; б ) перпендикулярными ; в ) скрещивающимися .
Обведите ребра	*куба*	, которые лежат ближе к вам , красным цветом , а дальние — синим .
7 Как провести плоскость , чтобы получить квадратное сечение	*куба*	? .
8 Какой формы получится сечение	*куба*	, если плоскость провести по диагонали , т .
Как измерить диагональ непустого куба , пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же	*куба*	; б ) один такой куб ? .
Найдите еще несколько пар скрещивающихся ребер	*куба*	ABCDA1B1C1D1 .
8 Пунктирными линиями обозначены невидимые ребра	*куба*	.
3 Ребра	*куба*	представляют собой пространственный граф .
Дано изображение	*куба*	, на поверхности которого указаны три точки .
Помните , в разделе 5 была дана задача об измерении диагонали	*куба*	?
Среди ребер	*куба*	можно указать пары параллельных и перпендикулярных ребер .
3 Развертками	*куба*	.
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его ребро разделили на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного	*куба*	.
Какая в этом случае получается тень от	*куба*	? .
Банка имеет форму	*куба*	.
4 Условимся боковые грани	*куба*	обозначать буквой Б , верхнюю — В , нижнюю — Н. Расставьте на развертках куба буквы в соответствии с уже намеченными .
7 Плоскость должна проходить параллельно грани	*куба*	.
Назовите еще две четверки параллельных между собой ребер	*куба*	.
9 Отрезок , соединяющий две противоположные вершины куба ( наиболее удаленные друг от друга ) , называется диагональю	*куба*	.
8 В сечении получается прямоугольник , две стороны которого равны ребрам	*куба*	, а две другие — диагоналям граней .
Первые части этих	*кубов*	.
Эти свойства справедливы не только для квадратов , треугольников ,	*кубов*	.
4 Показаны восемь	*кубов*	, разрезанных на две части .
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите систему координат с	*кубом*	, у которого ребро равно 1 .
Архитектура православных церквей включает в себя как обязательные элементы	*купола*	, арки , округлые своды , что зрительно увеличивает пространство , создает эффект полета , легкости .
В качестве единицы объема можно выбрать куб с ребром , равным соответствующей	*линейной*	единице .
Еще раз напомним , какие преобразования мы использовали для создания	*линейных*	орнаментов — бордюров .
Кроме рассмотренных	*линейных*	орнаментов ( бордюров ) существуют плоские орнаменты , заполняющие лист бумаги ( плоскость ) без промежутков .
Склеите	*лист Мёбиуса*	шириной 5 см .
Из этой ленты склеили	*лист Мёбиуса*	.
Разрежьте перекрученное на пол - оборота кольцо (	*лист Мёбиуса*	) вдоль .
Вырежьте из бумаги солдатика и отправьте его вдоль пунктира , идущего по середине	*листа Мёбиуса*	.
Оказывается , у перекрученного кольца ( впоследствии его назвали	*листом Мёбиуса*	) имеется только одна сторона !
Опыты , которые мы предлагаем вам провести с	*листом Мёбиуса*	и подобными ему кольцами , продемонстрируют много интересных и неожиданных свойств .
2 По поверхности стеклянного куба проходит	*ломаная*	линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на куб спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее проекции .
Определяя многоугольник , мы говорим , что эта фигура ограничена замкнутой	*ломаной*	линией , звенья которой не пересекают друг друга .
длина	*ломаной*	AMВ была бы наименьшей .
Построим отражение	*ломаной*	АВС .
Отрезок АА1 короче	*ломаной*	АВ0А1 .
Нарисуйте какую - нибудь	*ломаную*	для соседа по парте .
1 Увеличьте	*ломаную*	на рисунке 74 , а в 2 раза так , чтобы ее форма не изменилась .
Тонким карандашом нарисуйте куб , а на его поверхности проволоку , из которой сделаны эти	*ломаные*	( общий вид ) .
Вид спереди похож на букву Г , вид сверху — на Ч без половины вертикальной палочки , а вид слева — на стилизованную латинскую S. Рассмотрите	*ломаные*	и кривые линии и начертите в каждом случае три проекции ( вид спереди , сверху и слева ) .
10 Сколькими способами можно прочитать слово « шалаш » , двигаясь по прямым , кривым и	*ломаным*	дорожкам ? .
3 Обратное задание : даны проекции	*ломаных*	спереди , сверху и слева .
Луч ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой точки — начала луча ( похоже на	*луч*	фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
Начертите в тетради точку , прямую , отрезок ,	*луч*	и угол .
Биссектриса угла — это	*луч*	, выходящий из его вершины и делящий угол на два равных .
На плоскости указывается точка 0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой точки	*луч*	— полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Луч ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой точки — начала	*луча*	( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
Найдите три отрезка , три	*луча*	, три угла .
7 Проведите три	*луча*	из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите окружности разных радиусов в образовавшиеся углы .
12 На плоскости проведены три	*луча*	ОА , ОВ , ОС .
Точка О — начало	*луча*	.
Угол АОВ — это часть плоскости , ограниченная двумя	*лучами*	, выходящими из одной точки .
Точка О — общее начало	*лучей*	ОА и ОВ , точка О — вершина угла .
Сколько различных	*лучей*	вы можете назвать ? .
Так , если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из фокусов источник света , то	*лучи*	, отразившись от зеркала , соберутся в другом фокусе .
Этот мир полностью лежит на прямой ; жители его — отрезки ,	*лучи*	, точки .
Это очень сложный	*многогранник*	.
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » (	*многогранник*	с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
4 Изобразите	*многогранник*	, у которого пять вершин и пять граней .
Придумайте какой - нибудь	*многогранник*	, у которого также восемь вершин , но число граней не равно шести .
А теперь —	*многогранник*	, у которого пять вершин и шесть граней .
Лишь совсем недавно американский геометр Кеннеди сумел построить « хитрый »	*многогранник*	, который этим свойством не обладает , а может изменять свою форму так , что каждая его грань остается неизменной .
3 Пример	*многогранника*	, у которого восемь вершин и восемь граней , — пирамида , в основании которой лежит семиугольник .
В отличие от многоугольников , два	*многогранника*	, имеющие одинаковый объем , не всегда можно разделить на одинаковые части .
Подсчитаем число вершин ( В ) , ребер ( Р ) и граней ( Г ) у каждого	*многогранника*	и запишем результаты в табличку .
Например , поверхность каждого из них состоит из плоских многоугольников , которые называются гранями	*многогранника*	.
Оказывается , первый из них ( тетраэдр ) стоит немного особняком : если считать центры его граней вершинами нового	*многогранника*	, то вновь получим тетраэдр .
Два соседних плоских многоугольника имеют общую сторону — ребро	*многогранника*	.
Концы ребер являются вершинами	*многогранника*	.
Зато четыре оставшихся	*многогранника*	разбиваются на две пары .
Совершенство форм , красивые математические закономерности , присущие правильным	*многогранникам*	, явились причиной того , что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов .
Этим свойством « жесткости » обладают все известные вам	*многогранники*	.
8 Правильные	*многогранники*	.
Изображены правильные	*многогранники*	— тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .
В последней колонке для всех	*многогранников*	получился один и тот же результат : В + Г — Р равно 2 .
Самое удивительное в этой формуле , что она верна не только для правильных , но и для ВСЕХ	*многогранников*	! .
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс , увлекшись изготовлением моделей	*многогранников*	, написал в письме к отцу : « я сделал тетраэдр , додекаэдр и еще два эдра , для которых не знаю правильного названия » .
Ради интереса можете проверить это для нескольких наугад взятых	*многогранников*	.
Это модели правильных	*многогранников*	, сделанные из цветной бумаги .
Куб является представителем большого семейства	*многогранников*	.
С некоторыми из	*многогранников*	вы уже встречались .
Сколько таких	*многогранников*	вы можете придумать ? .
Есть еще один способ изготовления моделей	*многогранников*	, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги .
Для	*многогранников*	( объемных тел ) это не так .
У правильных	*многогранников*	есть еще одна особенность .
Слово «	*многоугольник*	» указывает на то , что у всех фигур из этого семейства много углов .
Каким наименьшим числом можно заменить « много » в слове «	*многоугольник*	» ? .
Определяя	*многоугольник*	, мы говорим , что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией , звенья которой не пересекают друг друга .
Разрежьте этот	*многоугольник*	.
Рассмотрим произвольный	*многоугольник*	с вершинами в узлах .
д. в зависимости от того , на какой .	*многоугольник*	опираются треугольники ( в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в основании пирамиды ) .
Многоугольник всегда можно перекроить в любой другой	*многоугольник*	с такой же площадью .
д. в зависимости от того , на какой . многоугольник опираются треугольники ( в геометрии говорят — какой	*многоугольник*	лежит в основании пирамиды ) .
Другими словами , флексагон — гнущийся	*многоугольник*	.
Оказывается , эта линия определяется совсем иначе , чем треугольник и вообще	*многоугольник*	.
Какое наименьшее число вершин может иметь этот	*многоугольник*	? .
А это , в свою очередь , означает , что понятие «	*многоугольник*	» должно быть определено раньше .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это многоугольник , у которого три стороны и три вершины » , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию «	*многоугольник*	» .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это	*многоугольник*	, у которого три стороны и три вершины » , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию « многоугольник » .
Присмотритесь к слову «	*многоугольник*	» и скажите , из каких частей оно состоит .
Равносторонний	*многоугольник*	, вписанный в окружность , называется правильным .
Подставьте в слове «	*многоугольник*	» вместо части « много » конкретное число , например 5 .
Можно ли выбрать узлы клетчатой бумаги так , что площадь получившегося	*многоугольника*	была равна ? .
Проверьте справедливость этой формулы для изображенного вами	*многоугольника*	.
Тогда площадь	*многоугольника*	равна числу .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного	*многоугольника*	сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Считаем число узлов внутри	*многоугольника*	( пусть это будет число а ) , а затем число узлов на границе , включая вершины ( обозначим это число b ) .
Оказывается , существует удобная формула , с помощью которой можно вычислить площадь любого такого	*многоугольника*	( эта формула названа именем немецкого математика Пика , открывшего ее ) .
2 Две прямые , пересекающиеся под углом 15 ° , являются осями симметрии некоторого	*многоугольника*	.
3 Если известно , сколько у	*многоугольника*	вершин , то сразу можно сказать , сколько у него сторон .
Два соседних плоских	*многоугольника*	имеют общую сторону — ребро многогранника .
Плоские равновеликие	*многоугольники*	также являются равносоставленными .
Чем отличаются	*многоугольники*	? .
Какие еще	*многоугольники*	можно составить ? .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные	*многоугольники*	, в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
9 Какие	*многоугольники*	могут получиться при пересечении куба плоскостью ?
В отличие от	*многоугольников*	, два многогранника , имеющие одинаковый объем , не всегда можно разделить на одинаковые части .
Например , поверхность каждого из них состоит из плоских	*многоугольников*	, которые называются гранями многогранника .
Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство	*многоугольников*	.
11 Из семи	*многоугольников*	, входящих в танграм , сложите фигуры .
Самым простым	*многоугольником*	является треугольник .
Например , у фигуры много углов , но она не является	*многоугольником*	.
Среди	*множества*	различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников .
На каждом шагу	*множество*	неожиданных переходов , причудливых лестниц и коридоров .
В жизни человеку приходится измерять	*множество*	других различных величин : время , массу , скорость , громкость звука , силу света и многое другое .
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем	*множество*	параллельных между собой прямых , прямые тип параллельны .
Занимательных задач на разрезание квадрата —	*множество*	.
В ней великое	*множество*	нерешенных задач .
Оказывается , в каждый	*момент*	времени в этом поезде , более того , в каждом вагоне есть точки , движущиеся в обратном направлении .
д. Теперь каждому	*моменту*	времени соответствует точка на этой прямой .
Продолжая покрывать фигуру квадратными миллиметрами , мы	*найдем*	ее площадь с избытком .
Проделав эту операцию дважды ,	*найдем*	центр круга .
Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее	*найденной*	величине , мы вычислим площадь фигуры с недостатком , но уже точнее .
Решение ( т . е . маршрут , ведущий к цели ) каждого лабиринта может быть	*найдено*	одним из трех сравнительно простых методов .
Любой первоклассник без труда	*найдет*	слова , объясняющие , что такое треугольник .
Внимательно посмотрите на них и	*найдете*	некоторые закономерности .
Сколько разных объяснений вы	*найдете*	для каждой из них ? . .
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным угольником ,	*найдите*	пары параллельных и перпендикулярных прямых .
Для каждой из частей 1—8	*найдите*	ее пару среди А—3 .
С помощью чертежного угольника	*найдите*	ее центр .
Гуляя по улицам ,	*найдите*	различные бордюры на зданиях , в переходах , в метро и т .
14 Разделите фигуры на прямоугольники ,	*найдите*	по формуле площади этих прямоугольников и результаты сложите .
Перегибанием бумаги	*найдите*	его центр .
Каждый может	*найти*	для себя задачу и интересную , и посильную .
Она дала Тесею волшебный клубок , который помог ему	*найти*	выход из лабиринта .
Вход в пещеру был тщательно замаскирован , и	*найти*	его мог только старый пират Бен Ган .
Как	*найти*	площадь этого треугольника , если это . а ) прямоугольный треугольник , две стороны которого проходят по сторонам клеток .
Пожалуй , трудно	*найти*	человека , которому бы не был знаком куб .
Но если внимательно рассмотреть , то можно	*найти*	еще три отрезка : AM , КВ и АВ .
Как поступить , чтобы	*найти*	площадь фигуры точнее ?
Нетрудно	*найти*	площадь фигуры , составленной из квадратных метров или квадратных сантиметров или из тех и других .
Попробуйте и вы	*найти*	несколько решений этой проблемы .
Попробуйте	*найти*	этот второй способ плетения куба самостоятельно .
Вы без труда можете	*найти*	вокруг себя различные примеры , иллюстрирующие прямые с заданными на них координатами .
А это	*необходимо*	знать человеку .
Так , например , если	*необходимо*	забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей площади , то следует выбрать этот участок в виде квадрата .
Эти умения , которые вместе можно назвать « геометрическим зрением » ,	*необходимо*	постоянно тренировать и развивать .
Пусть	*необходимо*	передать следующее сообщение : « Наступление планируется 16 сентября пять утра .
Хорошее воображение — это качество ,	*необходимое*	в равной мере и математику , и поэту .
Все	*необходимое*	для выполнения этих заданий .
Сделайте	*необходимые*	вычисления и впишите в окружность равносторонние ( правильные ) пятиугольник , шестиугольник и восьмиугольник .
Ответ	*неоднозначен*	.
Рисунок относится к	*неоднозначным*	фигурам .
Как измерить диагональ	*непустого*	куба , пользуясь только линейкой и карандашом , если есть : а ) еще два таких же куба ; б ) один такой куб ? .
Часть суши в нижней части карты , соответствующая Антарктиде ,	*несоизмеримо*	велика .
6 Нарисуйте соответствующий граф и движение начните из	*нечетного*	узла .
К западному острову ведут пять мостов , а 5 , как и 3 , — число	*нечетное*	.
Например . I ) Число изгибов	*нечетное*	, причем если на каком - то шаге их было К , то на следующем будет 2К + 1 ; сначала 2×1 + 1 равно 3 изгиба , затем 2×3 + 1 равно 1 , потом 2×7 + 1 равно 15 и т .
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется четное число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется	*нечетное*	число линий ) .
Таким образом , четные и	*нечетные*	слои вырезаются отдельно .
Она содержит девять узлов , пять из которых четные , а четыре —	*нечетные*	.
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется четное число линий ) , а два	*нечетные*	( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
Постарайтесь провести линию так , чтобы число точек пересечения линий разного цвета было бы	*нечетным*	.
Если в фигуре ( на графе ) число	*нечетных*	узлов больше двух , то ее нельзя нарисовать одним росчерком ! .
7 Докажите , что число	*нечетных*	узлов графа всегда четно .
Отсюда следует , что число	*нечетных*	вершин всегда четно .
Подсчитайте в нем количество	*нечетных*	узлов , и вы сможете ответить на вопрос .
Если сначала	*нижняя грань*	была оранжевой , то какой она будет после возвращения ?
Задняя грань — белая ;	*нижняя грань*	.
Такой единицей был дюйм , а также связанные с	*ним*	линия и точка .
Но и на южный , и на северный берег также ведут по три моста , и к	*ним*	применимо то же рассуждение .
Вернемся к	*ним*	, а для этого , как ни странно , попробуйте вспомнить и написать день рождения своей мамы .
Параллелограмм — это красивое и звучное слово , напоминающее нам о единицах веса , на самом деле никакого отношения к	*ним*	не имеет .
Оставшуюся часть арбуза можно разрезать на «	*нормальные*	» куски .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к	*нулю*	у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Добавьте еще только одну спичку так , чтобы концы спичек	*образовали*	квадрат .
Какую линию	*образует*	разрез , если развернуть одну из частей трубочки ?
Какой угол	*образует*	биссектриса этого угла с его сторонами ?
Как вы думаете , какие углы	*образует*	диагональ со сторонами квадрата ?
Меридианы и параллели	*образуют*	на поверхности земного шара координатную сетку .
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую вершину ,	*образуют*	правильный шестиугольник .
Говорят , что его стороны	*образуют*	золотое сечение .
Центры граней куба	*образуют*	октаэдр , а центры граней октаэдра — куб .
8 Через некоторую точку плоскости проведены три прямые ,	*образующие*	между собой углы по 60 ° .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички ,	*образующие*	первую фигуру так , чтобы получилась вторая фигура , затем третья .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе ,	*образуя*	треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей точке пространства .
Берем имеющийся код , приписываем к нему букву Н ( под ней удобно поставить точку ) , затем выписываем в	*обратном*	порядке буквы , предшествующие этому Н , заменяя Н на В и наоборот ( посмотрите на коды , соответствующие четвертому и пятому сгибам ) .
Оказывается , в каждый момент времени в этом поезде , более того , в каждом вагоне есть точки , движущиеся в	*обратном*	направлении .
Так вот , самая нижняя часть колеса , находящаяся ниже его опорной точки , движется в направлении ,	*обратном*	движению всего колеса .
Удастся ли муравью попасть на	*обратную*	, изнаночную сторону кольца , не переползая через край ?
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится	*объемное*	геометрическое тело — пирамида .
С давних пор люди пытались	*объемные*	тела изобразить на плоскости так , чтобы их сразу можно было отличить от плоских , чтобы чувствовалась глубина пространства .
Пунктирная линия делает этот рисунок	*объемным*	и позволяет отличать изображение пирамиды от четырехугольника с диагоналями .
Для многогранников (	*объемных*	тел ) это не так .
Мы говорим : « Этот дом длиной в три подъезда , шириной в два	*окна*	, высотой в шесть этажей » .
Вершина С — точка пересечения двух	*окружностей*	с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Торжественность и устремленность ввысь — такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок , представляющих дуги	*окружностей*	.
В градусах измеряют углы и дуги	*окружностей*	.
Вторая точка пересечения этих	*окружностей*	( точка А1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре .
Две другие фигуры составлены из различных	*окружностей*	.
Все пять точек ( Р , М , А , В , С ) лежат на одной	*окружности*	с диаметром РМ .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют	*окружности*	, параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Проведем в	*окружности*	три радиуса так , чтобы углы между ними были равны 120 ° .
Представим , что радиус	*окружности*	— это часовая стрелка на круглом циферблате часов .
Известный математик Гротендик , вспоминая свои школьные годы , заметил , что увлекся математикой после того , когда узнал определение	*окружности*	.
Но вернемся к	*окружности*	.
Вообще , вписанным в окружность называется любой треугольник , все вершины которого лежат на этой	*окружности*	.
Проследите за тем , какую линию опишет отмеченная точка , когда кружок покатится по	*окружности*	выреза без скольжения .
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите	*окружности*	разных радиусов в образовавшиеся углы .
Дуги	*окружности*	также измеряются в градусах .
Рассмотрим на	*окружности*	две дуги , лежащие между этими прямыми .
Деление	*окружности*	на части .
Известно , что для изображения	*окружности*	служит циркуль .
При вычерчивании	*окружности*	на клетчатой бумаге стоит запомнить одно правило , позволяющее сделать нужное изображение от руки .
Правда , речь идет об изображении	*окружности*	определенного размера .
50 б ) возьмем центр	*окружности*	, проходящей через вершины треугольника , и соединим его с вершинами .
Основное свойство	*окружности*	дает ответ на вопросы , почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми , а не квадратными или , например , треугольными .
Скольким клеткам равен радиус такой	*окружности*	? .
Соединив плавной линией полученные точки , мы весьма похоже изобразим четверть	*окружности*	.
Совершенство	*окружности*	— в расположении всех ее точек на одинаковом расстоянии от центра .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой центром	*окружности*	.
Как связаны между собой радиус и диаметр одной	*окружности*	? .
Сколько можно провести в	*окружности*	радиусов и диаметров ?
Это диаметр	*окружности*	( в переводе с греческого — « поперечник » ) .
Значит , угол АВС равен углу АPC , так как эти углы опираются на одну дугу	*окружности*	, т .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на	*окружности*	, то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Отрезок АВ соединяет две точки	*окружности*	и проходит через ее центр .
Особую воздушность придают воротам	*окружности*	, сплетенные в орнамент .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр	*окружности*	с точкой на окружности .
В создании орнаментов с окружностями часто используются приемы деления	*окружности*	на равные части .
Если мы соединим центр	*окружности*	( точку О ) с точками деления , то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на	*окружности*	.
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на	*окружности*	маленького круга точку .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на	*окружности*	, а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
Проследите за траекторией , которую опишет при этом точка А , взятая на	*окружности*	этого круга Начертите получившуюся кривую .
Это центр	*окружности*	, так как через нее проходят оба диаметра .
Изображена линия , состоящая из отрезков прямых и дуг	*окружности*	.
2 Возьмем одну из точек пересечения	*окружности*	с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой	*окружности*	с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Прямая , перпендикулярная радиусу	*окружности*	и проходящая через конец этого радиуса , касается окружности .
Прямая , перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса , касается	*окружности*	.
Значит , М лежит на	*окружности*	с центром О и радиусом .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти	*окружности*	пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Свойства : длина окружности кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его	*окружности*	в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Для построения перпендикуляра достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные	*окружности*	с центрами на прямой l.
Конус можно пересечь плоскостью по	*окружности*	.
33 Одно важное свойство	*окружности*	.
Вокруг вас живут треугольники ,	*окружности*	, квадраты , отрезки и другие плоские фигуры .
Проводя прямые , соединяющие всевозможные точки	*окружности*	с вершиной , получим коническую поверхность .
Свойства : длина	*окружности*	кольца та же , но кольцо в 2 раза уже ; кольцо перекручено на 2 полуоборота , длина его окружности в 2 раза больше , и кольцо уже исходного .
Кстати , именно это свойство симметрии	*окружности*	мы использовали в разделе 20 при построении параллельных и перпендикулярных прямых .
Многие свойства	*окружности*	следуют из того , что она симметрична относительно любого своего диаметра .
Попробуйте объяснить ( доказать ) следующие два свойства	*окружности*	.
Пусть одна касается	*окружности*	в точке В , а другая — в точке С. Имеет место равенство АВ равно АС .
Из этой точки к	*окружности*	можно провести две касательные .
Поэтому точки , которых он может достичь за час , расположены на	*окружности*	с радиусом 4 км и центром в том месте , где Вася находится в начале пути .
Она пересечет построенную окружность в точках В и С. Передвиньте центр построенной	*окружности*	на АВ или АС .
Циркулем проведем дугу	*окружности*	радиусом АВ с центром в точке А .
Так можно измерять длину	*окружности*	, обхват дерева и др .
Общую вершину треугольников будем считать центром	*окружности*	с радиусом , равным стороне треугольника .
Циркуль позволяет . — строить	*окружности*	. — сравнивать отрезки по величине .
Более того , если точка О ( центр	*окружности*	) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
Возьмем окружность и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на	*окружности*	по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
Точки В и С	*окружности*	симметричны .
Сформулируйте рекомендации для изображения	*окружности*	от руки по клеточкам , используя слова : вправо , влево , вверх , вниз .
Может быть , желоб следует выгнуть по дуге	*окружности*	, как думал великий итальянский физик , астроном и математик Галилео Галилей , живший на рубеже XVI – XVII вв . ?
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к	*окружности*	.
По существу , мы доказали одно очень важное свойство	*окружности*	и касательной к ней .
Теперь понятно , почему при перемещении точки М по дуге	*окружности*	угол AM В остается постоянным ? .
Остальные вершины треугольников окажутся на	*окружности*	.
6 На	*окружности*	радиусом 1 взяты три точки А , В , С так , чтобы угол АСВ был равен 30 ° .
Правильный шестиугольник вписан в окружность , и все стороны равны радиусу этой	*окружности*	.
В этой	*окружности*	углы НА1В1 и НСВ1 опираются на одну дугу .
Равносторонний многоугольник , вписанный в	*окружность*	, называется правильным .
Посоревнуйтесь с друзьями , кто из вас лучше изобразит	*окружность*	без циркуля .
Рассказывают , что великий немецкий художник Альбрехт Дюрер одним движением руки мог столь точно нарисовать	*окружность*	, что последующая проверка при помощи циркуля не показывала никаких отклонений .
Сделайте необходимые вычисления и впишите в	*окружность*	равносторонние ( правильные ) пятиугольник , шестиугольник и восьмиугольник .
Конечно , опытные , тренированные люди весьма ловко одним росчерком изображают	*окружность*	.
Не правда ли , получается какой - то овал , лишь отдаленно напоминающий	*окружность*	?
7 Как мы знаем ,	*окружность*	с диаметром СН проходит через А1 и В1 .
4 Ученик нарисовал на доске	*окружность*	, отметил на ней точки А , В и С и стер ее , оставив лишь эти точки .
Гораздо труднее нарисовать	*окружность*	от руки .
3 Возьмем	*окружность*	и точку А вне ее .
Как восстановить	*окружность*	? .
Как нарисовать	*окружность*	? .
Как построить	*окружность*	, касающуюся данных прямых и проходящую через данную точку ? .
Соединив последовательно точки деления отрезками , получим треугольник , вписанный в	*окружность*	.
Вписать в	*окружность*	равносторонний треугольник .
Зная это , можно вписывать в	*окружность*	правильные шестиугольники и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Если мы теперь начертим	*окружность*	с центром в точке А , проходящую через точку В ( т . е .
Возьмем	*окружность*	и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на окружности по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
Для этого достаточно циркулем , не меняя раствора , разделить	*окружность*	на равные части , а затем точки деления соединить последовательно или через одну .
Правильный шестиугольник вписан в	*окружность*	, и все стороны равны радиусу этой окружности .
Вписанный в	*окружность*	угол , опирающийся на диаметр , равен 90 ° .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и	*окружность*	пересекаются не более чем в двух точках .
2 Строим	*окружность*	с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
2 Две параллельные прямые пересекают	*окружность*	.
Если мы построим на АВ как на диаметре	*окружность*	и возьмем на ней любую точку М , то угол AMВ будет прямым .
2 Так как	*окружность*	симметрична относительно любого своего диаметра , то она симметрична и относительно диаметра MN , перпендикулярного прямым АА1 и ВВ1 , точка А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
Эти радиусы разделят	*окружность*	на три равные части — дуги по 120 ° .
Так вот , оказывается , что точка М будет описывать	*окружность*	, у которой АВ является диаметром .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что	*окружность*	касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
Вообще , вписанным в	*окружность*	называется любой треугольник , все вершины которого лежат на этой окружности .
Возьмем	*окружность*	и точку над ее центром .
На ней лежит диаметр , относительно которого	*окружность*	симметрична .
АВ — радиус ) , то эта	*окружность*	будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
6 Начертите циркулем	*окружность*	радиусом 13 клеточек с центром в узле клетки .
1 Проведем через точку А любую	*окружность*	, пересекающую прямую l .
51 Постройте любую	*окружность*	, касающуюся прямых , проведите через точку А прямую , параллельную данным .
Что же такое	*окружность*	? .
Но никак не мог понять , что такое	*окружность*	.
Она пересечет построенную	*окружность*	в точках В и С. Передвиньте центр построенной окружности на АВ или АС .
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные фигуры : квадрат , треугольник ,	*окружность*	и т .
40 На плоскости нарисована	*окружность*	.
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем	*окружность*	радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
Но все же не стоит противопоставлять друг другу угол и овал , треугольник и	*окружность*	.
Кстати , помните ли вы правило , позволяющее изображать от руки	*окружность*	на клетчатой бумаге ? .
Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные : треугольник и	*окружность*	.
Изображена	*окружность*	, отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
Возьмем произвольную	*окружность*	с центром О. Разделим ее на 360 равных частей — дуг .
Площадь , ограниченная	*окружностью*	( т . е .
Много интересных задач связано с	*окружностью*	и кругом .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с	*окружностью*	, проходит через ее центр .
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) —	*октаэдр*	.
Центры граней куба образуют	*октаэдр*	, а центры граней октаэдра — куб .
Изображены правильные многогранники — тетраэдр , куб ,	*октаэдр*	, додекаэдр и икосаэдр .
Центры граней куба образуют октаэдр , а центры граней	*октаэдра*	— куб .
Знакомство с другими , например	*октаэдром*	, додекаэдром , ожидает вас впереди .
Проделаем с этой ячейкой - квадратом следующие	*операции*	.
Если вначале вилка была вынута ( света нет ) , то после трех таких	*операций*	вилка окажется в розетке и свет будет включен . )
Проделав эту	*операцию*	дважды , найдем центр круга .
В 3 ч угол между радиусом и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч радиус возвратится в исходное положение ,	*описав*	угол 360 ° .
13 Сделайте картинку , иллюстрирующую ситуацию ,	*описанную*	в рассказе , и ответьте на вопрос , чему равна высота дерева .
Ваша задача —	*описать*	фигуру так , чтобы ваш приятель смог ее нарисовать .
Представим , что перед нами стоит дом и мы хотим	*описать*	его , т .
Выигрывает тот , кто подробнее и без ошибок смог	*описать*	расположение предметов .
7 Нужно	*описать*	около треугольника прямоугольник , т .
А теперь попробуйте	*описать*	фигуру .
Как	*описать*	эту фигуру человеку , который ее не видит ?
Если мы	*опишем*	около фасада Парфенона прямоугольник , то окажется , что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза .
Проследите за тем , какую линию	*опишет*	отмеченная точка , когда кружок покатится по окружности выреза без скольжения .
Проследите за траекторией , которую	*опишет*	при этом точка А , взятая на окружности этого круга Начертите получившуюся кривую .
Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному и понаблюдайте , какую линию	*опишет*	точка А. Начертите эту линию .
1 Составьте конструкцию из трех - четырех букв Т и , не показывая ее соседу по парте , словесно	*опишите*	.
Нанесите на карту различные объекты ( колодец , наблюдательную вышку , склад , пальмовую рощу и т . д. ) ,	*опишите*	их положение с помощью координат и сообщите эти координаты соседу по парте .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем ,	*основание*	этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
Продолжим	*основание*	до пересечения с дугой .
Так как куб один , то полый куб , как в случае а ) , можно получить , если отметить на листе бумаги положение куба ( обведя	*основание*	) , а затем сдвинув его .
3 Если взять один треугольник с большим	*основанием*	, а другой — с очень маленьким , то можно .
Этот гениальный ученый , родившийся в Швейцарии , почти всю жизнь прожил в России , и мы с полным	*основанием*	и гордостью можем считать его своим соотечественником .
одна сторона угла совпала с	*основанием*	транспортира , соответствующим 0 ° .
3 Пример многогранника , у которого восемь вершин и восемь граней , — пирамида , в	*основании*	которой лежит семиугольник .
д. в зависимости от того , на какой . многоугольник опираются треугольники ( в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в	*основании*	пирамиды ) .
Если сторона угла совпадает с правой половиной	*основания*	транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
А , В , С —	*основания*	перпендикуляров , опущенных из М на данные прямые .
а ) вершина угла совпала с черточкой — серединой	*основания*	транспортира .
Берем единицу длины , например метр , и откладываем его на нашем отрезке до тех пор , пока	*остаток*	не станет меньше него .
а ) равнобедренный	*остроугольный треугольник*	. б ) равнобедренный прямоугольный треугольник .
Все углы острые —	*остроугольный треугольник*	.
Все углы	*острые*	— остроугольный треугольник .
5 На плоскости дан	*острый*	угол и точка А внутри него .
5 На плоскости дан	*острый угол*	и точка А внутри него .
Берем единицу длины , например метр , и	*откладываем*	его на нашем отрезке до тех пор , пока остаток не станет меньше него .
Теперь разделим нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем	*откладывать*	часть единицы .
—	*откладывать*	на прямой отрезки заданной длины .
2 На сторонах угла	*отложим*	отрезки АВ равно 5 см и АС равно 3 см ( используем линейку с делениями ) .
Рисунок	*относится*	к неоднозначным фигурам .
Золотое сечение — это такое деление целого на две неравные части , при котором большая часть	*относится*	к целому , как меньшая к большей .
К топологическим	*относятся*	и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком .
Мы начнем с нескольких задач , внешне очень различных , но все они так или иначе	*относятся*	к геометрии .
Оно называется	*отношением*	отрезков .
Интересно , что в правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру , делит другую в	*отношении*	золотого сечения .
3 В каком	*отношении*	диагонали делятся точкой пересечения ? .
Изображена раковина : точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом	*отношении*	.
По	*отношению*	к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
Параллелограмм — это красивое и звучное слово , напоминающее нам о единицах веса , на самом деле никакого	*отношения*	к ним не имеет .
« Полное совершенство во всех	*отношениях*	» , — прочитала она , и самодовольная улыбка заиграла на ее лице .. »
В 1899 г. швейцарский историк Генрих Зютер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись « Книга Архимеда о разбиении фигуры стомахиона на 14 частей , находящихся в рациональных	*отношениях*	» .
Течение времени удобно	*отображать*	на прямой .
Измерим длину	*отрезка*	прямой линии в заданных единицах ( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Лена , вырезав квадрат , сравнила все четыре	*отрезка*	, на которые диагонали разделили одна другую .
Найдем , во сколько раз отрезок АВ больше	*отрезка*	АlВl и , увеличив единичный отрезок во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
Не существует плоскости , которая бы проходила через оба эти	*отрезка*	( а также через прямые АА1 и D1C1 ) .
Найдите три	*отрезка*	, три луча , три угла .
Но если внимательно рассмотреть , то можно найти еще три	*отрезка*	: AM , КВ и АВ .
Нетрудно понять , что три данных	*отрезка*	могут служить сторонами треугольника , если сумма длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
4 Точки В и С симметричны относительно диаметра , проходящего через середину	*отрезка*	ВС и перпендикулярного ему .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина	*отрезка*	FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Теперь разделим нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого	*отрезка*	будем откладывать часть единицы .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на прямой l , то длина	*отрезка*	АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
2 Продолжаем их « за зеркало » на такое же расстояние ( равное длине соответствующего	*отрезка*	) .
Если мы теперь вернемся к задаче построения треугольника по трем сторонам , то исходными данными для построения будут являться три данных	*отрезка*	.
И здесь вновь возникает вопрос : любые ли три	*отрезка*	могут быть сторонами треугольника ?
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два	*отрезка*	: ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
Найдите длину	*отрезка*	АВ .
Точки А и В — концы	*отрезка*	АВ .
Постройте фигуру , получающуюся при отражении заданного	*отрезка*	в зеркалах .
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив перпендикулярные прямые через середины к	*отрезкам*	АВ и ВС , мы получим точку их пересечения .
43 Чему равны углы между	*отрезками*	, проведенными на гранях куба ? .
2 Надо соединить	*отрезками*	середины сторон треугольника .
Понятно , что на практике мы имеем дело не с прямыми , а лишь с их частями —	*отрезками*	, лежащими на этих прямых .
Можно ли построить треугольник , стороны которого являются	*отрезками*	длиной : а ) 7 см , 4 см , 2 см ; б ) 9 см , 5 см , 4 см ? .
Соединив последовательно точки деления	*отрезками*	, получим треугольник , вписанный в окружность .
Изображен четырехугольник , противоположные вершины которого соединены	*отрезками*	.
4 На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник	*отрезками*	, соединяющими какую - либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника ?
Если их соединить	*отрезками*	, то получится треугольник » .
Берем единицу длины , например метр , и откладываем его на нашем	*отрезке*	до тех пор , пока остаток не станет меньше него .
1 На	*отрезке*	АВ взяты точки K и М. Сколько получили разных отрезков ?
Тогда точка В будет лежать на	*отрезке*	AA1 , АВ равно ВА1 ( свойство 2 ) и AB0 равно B0A1 ( свойство 4 ) .
Значит , и	*отрезки*	АВ и АС симметричны , а следовательно , равны .
1 Какие - либо	*отрезки*	с концами в вершинах куба ( не являющиеся его ребрами ) , такие , чтобы они были : а ) параллельными ; б ) перпендикулярными ; в ) скрещивающимися .
2 На сторонах угла отложим	*отрезки*	АВ равно 5 см и АС равно 3 см ( используем линейку с делениями ) .
Такие	*отрезки*	и прямые называются скрещивающимися .
В начальных классах вы научились измерять	*отрезки*	.
Математики же в своих рассуждениях исходят из того , что	*отрезки*	( и другие величины ) имеют точную длину ( точное значение ) , .
— откладывать на прямой	*отрезки*	заданной длины .
Циркуль позволяет . — строить окружности . — сравнивать	*отрезки*	по величине .
Этот мир полностью лежит на прямой ; жители его —	*отрезки*	, лучи , точки .
4 Если точка А1 симметрична точке А относительно прямой l , то для любой точки В на этой прямой	*отрезки*	А1В и АВ равны .
Вокруг вас живут треугольники , окружности , квадраты ,	*отрезки*	и другие плоские фигуры .
45 Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из отрезков длиной 1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все целочисленные	*отрезки*	от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
7 В треугольнике АВС	*отрезки*	AA1 , и ВВ1 перпендикулярны сторонам ВС и АС .
— проводить прямые линии . — измерять	*отрезки*	. — строить отрезки заданной длины .
Единичные	*отрезки*	на каждой оси выбираются равными по длине .
Эти	*отрезки*	называются диагоналями .
— проводить прямые линии . — измерять отрезки . — строить	*отрезки*	заданной длины .
4 Начертите фигуры одним росчерком ( пронумеруйте	*отрезки*	в той последовательности , в какой вы их проходили ) .
3 Если	*отрезки*	M1N1 и MN симметричны относительно прямой l , то их длины равны .
Отношение длин двух	*отрезков*	есть число , которое не зависит от единицы измерения .
45 Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из	*отрезков*	длиной 1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все целочисленные отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
Оно называется отношением	*отрезков*	.
Но мы ее решение сводим к измерению	*отрезков*	.
1 10	*отрезков*	.
Изображена линия , состоящая из	*отрезков*	прямых и дуг окружности .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде	*отрезков*	, а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Придумайте линейку длиной 9 см с тремя метками для измерения целочисленных	*отрезков*	от 1 см до 9 см. Придумайте линейку длиной 13 см с четырьмя метками внутри , отличную от уже рассмотренной .
д. , а шестую вновь с первой , то каждый из шести	*отрезков*	ровно один раз пересекается с каким - либо другим отрезком .
Задача измерения длин кривых линий , конечно , труднее практически и сложнее теоретически , чем измерение	*отрезков*	прямых .
Сколько	*отрезков*	изображено ? .
1 На отрезке АВ взяты точки K и М. Сколько получили разных	*отрезков*	?
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника , если сумма длин двух меньших	*отрезков*	больше длины наибольшего из них .
и соединим их	*отрезком*	.
Мы бы просто соединили их	*отрезком*	и на пересечении с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
д. , а шестую вновь с первой , то каждый из шести отрезков ровно один раз пересекается с каким - либо другим	*отрезком*	.
Разбиваем измеряемую кривую на небольшие участки , каждый из которых можно считать	*отрезком*	.
3 Три раза нужно выполнить построение перпендикуляра к	*отрезку*	.
а ) перпендикуляр к	*отрезку*	, соединившему два любых узла клетчатой бумаги .
б ) перпендикуляр к	*отрезку*	, проведенный через его конец .
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то	*отрезок*	АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
Для этого на ней надо выбрать точку 0 , направление возрастания времени и масштаб —	*отрезок*	, соответствующий единице времени ; это может быть час , неделя , 1000 дней и т .
Возьмем точку В так , чтобы	*отрезок*	АВ был перпендикулярен l. Пусть В0 — любая другая точка на l. Нам надо доказать , что АВ меньше АВ0 .
1 Возьмем на плоскости какой - нибудь	*отрезок*	АВ .
Это , например , квадрат ,	*отрезок*	, круг .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если	*отрезок*	АВ перпендикулярен l .
Получим точку М. Из этой точки М	*отрезок*	АВ виден под прямым углом .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем	*отрезок*	АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
Изображена раковина : точка С делит	*отрезок*	АВ приблизительно в золотом отношении .
Это свойство поможет нам разделить	*отрезок*	пополам .
Наложим кальку на карту так , чтобы точки А и Аl совпали и	*отрезок*	АlВl « пошел » по АВ .
Найдем , во сколько раз	*отрезок*	АВ больше отрезка АlВl и , увеличив единичный отрезок во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
Найдем , во сколько раз отрезок АВ больше отрезка АlВl и , увеличив единичный	*отрезок*	во столько же раз , отодвинем вспомогательные оси .
3 Постройте квадрат со стороной А В , где А и В — узлы клетчатой бумаги и	*отрезок*	А В не проходит по сторонам клеток .
чертим прямоугольник так , чтобы данный	*отрезок*	АВ был его диагональю .
2 Достройте	*отрезок*	до прямоугольного треугольника и затем поверните его .
Начертите в тетради точку , прямую ,	*отрезок*	, луч и угол .
3 Проведем	*отрезок*	СВ ( при помощи линейки ) .
Если	*отрезок*	разделен на две части так , что меньшая имеет длину х , а большая — длину у , то в случае золотого сечения .
Измеряем каждый	*отрезок*	и складываем результаты измерений .
Выкладываем нитку или веревку по форме измеряемой кривой , а затем вытягиваем ее в	*отрезок*	и измеряем .
На карте также проведем	*отрезок*	АВ .
Появятся две ветви ,	*парабола*	перейдет в гиперболу ( плоскость 3 ) .
Все только что рассмотренные линии ( эллипс , гипербола и	*парабола*	) объединяются общим свойством .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется	*параболой*	.
Например , камень , брошенный человеком под углом к поверхности Земли , описывает	*параболу*	.
В конце концов эллипс превратится в	*параболу*	.
28 Определите , из каких разверток можно сложить	*параллелепипед*	.
Вернее , прямоугольный	*параллелепипед*	.
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г )	*параллелепипед*	; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
Если мы не знаем , как расположен	*параллелепипед*	, то говорить о длине , ширине и высоте было бы не совсем верно .
Это	*параллелепипед*	.
Это пирамида , прямоугольный	*параллелепипед*	.
Правда , когда мы говорим « длина , ширина и высота » , то имеем в виду измерения	*параллелепипеда*	, расположенного конкретным образом на земле ( или на столе ) .
Многие предметы имеют форму	*параллелепипеда*	.
Простейшие из них — формулы для вычисления площади прямоугольника и объема прямоугольного	*параллелепипеда*	.
Как известно , у	*параллелепипеда*	восемь вершин и шесть граней .
Если a , b и c — длина , высота и ширина прямоугольного	*параллелепипеда*	, то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Горизонтальные линии — это	*параллели*	.
Это	*параллели*	и меридианы .
Меридианы и	*параллели*	образуют на поверхности земного шара координатную сетку .
Значит , квадрат — это	*параллелограмм*	с прямыми углами , все стороны которого равны .
11 Разрежьте правильную шестиконечную звезду на четыре части так , чтобы из них можно было составить	*параллелограмм*	.
Прямоугольник — это	*параллелограмм*	, у которого все углы прямые .
Ромб — это	*параллелограмм*	, у которого все стороны равны .
а ) один большой треугольник , два маленьких треугольника и	*параллелограмм*	.
1 Два равных треугольника , положенных рядом определенным образом , составляют	*параллелограмм*	.
10 Иллюстрация доказательства того , что площадь	*параллелограмма*	равна площади некоторого прямоугольника .
3 У квадрата , как и у	*параллелограмма*	, стороны попарно параллельны .
А	*параллелограммами*	можно замостить плоскость .
Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку параллелограммов мы видим , что орнамент получен параллельными переносами	*параллелограммов*	, внутри которых проведены некоторые линии .
Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку	*параллелограммов*	мы видим , что орнамент получен параллельными переносами параллелограммов , внутри которых проведены некоторые линии .
Такой четырехугольник называется	*параллелограммом*	.
Следовательно , прямоугольник является	*параллелограммом*	.
А действительно ли прямоугольник является	*параллелограммом*	?
Этот факт записывается так : m ‖ n. ( Читаем : m	*параллельна*	n. ) Выбор именно такого знака достаточно понятен , не так ли ? .
Полоски с именами расположите	*параллельно*	поверхности зеркала .
Пусть два зеркала поставлены	*параллельно*	друг другу отражающими поверхностями внутрь .
7 Плоскость должна проходить	*параллельно*	грани куба .
4 Через точку А проведите прямую ,	*параллельную*	прямой CD .
48 Через каждую из трех точек надо провести прямую ,	*параллельную*	прямой , проходящей через две другие точки .
51 Постройте любую окружность , касающуюся прямых , проведите через точку А прямую ,	*параллельную*	данным .
Оно говорит о том , что два перпендикуляра к одной прямой , расположенные в одной плоскости ,	*параллельны*	между собой .
3 У квадрата , как и у параллелограмма , стороны попарно	*параллельны*	.
Три четверки его ребер	*параллельны*	между собой .
На сколько частей разбивают плоскость прямые , из которых никакие две не	*параллельны*	и никакие три не проходят через одну точку , если прямых : а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем множество параллельных между собой прямых , прямые тип	*параллельны*	.
37 Три прямые разбивают плоскость на семь частей ( прямые не	*параллельны*	и не проходят через одну точку ) .
Его стороны попарно	*параллельны*	: АВ ‖ CD , ВС ‖ AD .
Значит , и ВС ‖ A D. Получилось , что у прямоугольника стороны попарно	*параллельны*	.
Покажите в нем	*параллельные*	и перпендикулярные стороны .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности ,	*параллельные*	экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
С помощью циркуля и линейки также можно строить	*параллельные*	и перпендикулярные прямые .
51 Даны две	*параллельные*	прямые и точка А между ними .
53 Через точку на диагонали прямоугольника провели прямые ,	*параллельные*	его сторонам .
Лучше изучить	*параллельные*	и перпендикулярные прямые и параллелограммы нам помогут опыты с листом бумаги .
Мы все время говорили : «	*параллельные*	прямые » , « перпендикулярные прямые » .
Используя линейку и чертежный угольник , можно без труда вычерчивать	*параллельные*	прямые .
2 Две	*параллельные*	прямые пересекают окружность .
4 Изображены две	*параллельные*	прямые , пересекаемые третьей прямой .
Симметрия относительно горизонтальной оси +	*параллельный*	перенос .
	*Параллельный*	перенос . 2 ) зеркальная симметрия : а ) с вертикальной осью б ) с горизонтальной осью .
Передвинем трафарет вправо на расстояние , равное ширине трафарета ( такое преобразование называется	*параллельным*	переносом ) .
Две прямые на плоскости называются	*параллельными*	, если они не пересекаются .
Отрезки , лежащие на параллельных прямых , также называются	*параллельными*	, а на перпендикулярных — перпендикулярными .
Расчертив рисунок	*параллельными*	прямыми и получив таким образом сетку параллелограммов мы видим , что орнамент получен параллельными переносами параллелограммов , внутри которых проведены некоторые линии .
1 Какие - либо отрезки с концами в вершинах куба ( не являющиеся его ребрами ) , такие , чтобы они были : а )	*параллельными*	; б ) перпендикулярными ; в ) скрещивающимися .
Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку параллелограммов мы видим , что орнамент получен	*параллельными*	переносами параллелограммов , внутри которых проведены некоторые линии .
Проведение	*параллельных*	прямых .
Отрезки , лежащие на	*параллельных*	прямых , также называются параллельными , а на перпендикулярных — перпендикулярными .
Проведем две пары	*параллельных*	прямых .
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара	*параллельных*	сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Назовите еще две четверки	*параллельных*	между собой ребер куба .
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем множество	*параллельных*	между собой прямых , прямые тип параллельны .
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным угольником , найдите пары	*параллельных*	и перпендикулярных прямых .
Перегибанием листа бумаги получите пару	*параллельных*	и пару перпендикулярных прямых .
Теория	*параллельных*	занимает одно из центральных мест в науке « геометрия » .
Именно свойства	*параллельных*	прямых определяют основные свойства изучаемого нами пространства .
1 Засеките время и постарайтесь за 10 мин привести как можно больше примеров	*параллельных*	и перпендикулярных прямых , встречающихся в окружающем нас мире .
Кстати , именно это свойство симметрии окружности мы использовали в разделе 20 при построении	*параллельных*	и перпендикулярных прямых .
Среди ребер куба можно указать пары	*параллельных*	и перпендикулярных ребер .
Основная идея — постараться каким - то образом изготовить уменьшенную копию той фигуры ,	*параметры*	которой надо измерить .
Из каких еще фигурок пентамино можно составить	*паркет*	?
Фигурки пентамино , похожие на Т , уложены на плоскости без промежутков ( говорят , что из них составлен	*паркет*	) .
Этот	*паркет*	составлен вашим сверстником — шестиклассником Борей Сторонкиным .
Придумайте и вы свой	*паркет*	.
3 Придумайте пятиугольную элементарную ячейку , из которой можно составить	*паркет*	.
1 Можно ли составить	*паркет*	из копий произвольного треугольника ?
Используя тот же контур , но с другим рисунком внутри , можно сделать	*паркет*	из таких симпатичных « мордашек » .
Овладев ими , каждый школьник сможет нарисовать свой неповторимый орнамент (	*паркет*	) .
Из рассмотренных выше решеток можно сделать	*паркет*	с более замысловатыми ячейками .
Рассмотрите	*паркет*	, созданный Морисом Эшером .
Образцы	*паркета*	, еще раз покажут технологию изготовления плоских орнаментов и , может быть , натолкнут вас на собственное оригинальное решение .
Тетрадный лист в клеточку — пример	*паркета*	с квадратной ячейкой .
Такие орнаменты называют	*паркетами*	.
На	*паркете*	Мориса Эшера нас будут интересовать лишь линии , их изгибы и повторы .
Посмотрите внимательно на получившиеся	*паркеты*	.
Нарисуйте на клетчатой бумаге эти	*паркеты*	.
В разделе 6 мы составляли из некоторых фигурок пентамино	*паркеты*	.
Это такие же	*паркеты*	, как в наших квартирах , как орнаменты на линолеуме , как рисунки на обоях .
На этой решетке можно составить и другие	*паркеты*	( их можно назвать решетками ) .
д. , а шестую вновь с первой , то каждый из шести отрезков ровно один раз	*пересекается*	с каким - либо другим отрезком .
Проведите от каждого домика по одной тропинке к погребу , колодцу и навесу так , чтобы ни одна из этих девяти тропинок не	*пересекалась*	с другой ( или докажите , что это невозможно ) .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности	*пересекаются*	в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Драконы не	*пересекаются*	и последовательно заполняют весь лист бумаги .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность	*пересекаются*	не более чем в двух точках .
Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не	*пересекаются*	.
От каждой калитки проложена дорожка к домику с тем же номером , причем эти дорожки не	*пересекаются*	.
Они перпендикулярны друг к другу , но все меридианы	*пересекаются*	в одной точке — на полюсе .
Две прямые ,	*пересекающиеся*	под прямым углом ( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
4 На плоскости даны две	*пересекающиеся*	прямые .
2 Две прямые ,	*пересекающиеся*	под углом 15 ° , являются осями симметрии некоторого многоугольника .
Мы получили две прямые ,	*пересекающиеся*	под прямым углом .
Отражаясь от оси n , ось m перейдет в некоторую прямую m1 тоже являющуюся осью симметрии и	*пересекающуюся*	с n под углом 15 ° .
Возьмем	*пересечение*	линий ( узел ) клетчатой бумаги .
При	*пересечении*	двух прямых образуются две пары равных углов .
33 Какие фигуры могут получиться при	*пересечении*	двух треугольников ?
Например , мы знаем , что диагонали прямоугольника при	*пересечении*	делятся пополам .
В результате каждая клетка шахматной доски имеет собственное « имя » , складывающееся из двух координат — буквы и числа , обозначающих столбец и строку , на	*пересечении*	которых эта клетка находится .
9 Какие многоугольники могут получиться при	*пересечении*	куба плоскостью ?
Каждая из них может быть получена при	*пересечении*	конуса плоскостью .
Мы бы просто соединили их отрезком и на	*пересечении*	с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
33 Показано , как при	*пересечении*	двух четырехугольников могут образоваться два четырехугольника , три четырехугольника и даже четыре четырехугольника .
Возможно ли , чтобы при	*пересечении*	двух четырехугольников образовалось два четырехугольника ?
А при	*пересечении*	двух четырехугольников ?
Это значит , что из среднего домика невозможно без	*пересечения*	« границы » области попасть либо к навесу ( если домик в первой области ) , либо к погребу ( если домик во второй области ) , либо к колодцу .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное число , а значит , и всего точек	*пересечения*	четное число .
Продолжим основание до	*пересечения*	с дугой .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются углы с вершиной в точке	*пересечения*	прямых ) ? .
Клад находился в точке	*пересечения*	прямых , соединяющих первый и третий , второй и четвертый дубы .
Вторая точка	*пересечения*	этих окружностей ( точка А1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре .
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим точку их	*пересечения*	.
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку	*пересечения*	этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Прямоугольник обладает тем свойством , что его диагонали равны между собой и делятся пополам в точке их	*пересечения*	.
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда точка	*пересечения*	А1В и l будет нужной нам точкой М .
Вершина С — точка	*пересечения*	двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Точка	*пересечения*	этих прямых является началом координат .
Постарайтесь провести линию так , чтобы число точек	*пересечения*	линий разного цвета было бы нечетным .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки	*пересечения*	его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
3 В каком отношении диагонали делятся точкой	*пересечения*	? .
2 Возьмем одну из точек	*пересечения*	окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
Если А — точка на прямой l , а В — точка	*пересечения*	перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
26 В математических рукописях XVIII в . можно встретить утверждение , что фигуры с равными	*периметрами*	ограничивают равные площади .
« Я думаю , что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический	*период*	.
а )	*перпендикуляр*	к отрезку , соединившему два любых узла клетчатой бумаги .
Подумайте , как провести	*перпендикуляр*	( с помощью циркуля и линейки ) , если точка А лежит на прямой l .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС —	*перпендикуляр*	к прямой l .
б )	*перпендикуляр*	к отрезку , проведенный через его конец .
Проведем через точку А любую прямую и опустим из В	*перпендикуляр*	на эту прямую .
В самом деле , если опустим из В	*перпендикуляр*	на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
Для построения	*перпендикуляра*	достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные окружности с центрами на прямой l.
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине	*перпендикуляра*	, опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Проведение	*перпендикуляра*	к прямой .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого	*перпендикуляра*	должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
3 Три раза нужно выполнить построение	*перпендикуляра*	к отрезку .
Следует запомнить еще одно важное свойство	*перпендикуляра*	.
Оно говорит о том , что два	*перпендикуляра*	к одной прямой , расположенные в одной плоскости , параллельны между собой .
Они будут находиться в пространстве ( вне плоскости листа ) ; это похоже на дорожный столб , стоящий на перекрестке дорог : столб	*перпендикулярен*	каждой дороге .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ	*перпендикулярен*	l .
2 Отрезок , соединяющий симметричные точки ,	*перпендикулярен*	оси симметрии и делится ею пополам .
Возьмем точку В так , чтобы отрезок АВ был	*перпендикулярен*	l. Пусть В0 — любая другая точка на l. Нам надо доказать , что АВ меньше АВ0 .
Прямая ,	*перпендикулярная*	радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса , касается окружности .
Два зеркала стоят	*перпендикулярно*	друг к другу .
В зеркалах , стоящих	*перпендикулярно*	друг к другу , мы видим себя такими , какими видят нас другие люди .
Ребро АА1	*перпендикулярно*	ребрам АВ , А1В1 , AD и A1D1 .
4 Точки В и С симметричны относительно диаметра , проходящего через середину отрезка ВС и	*перпендикулярного*	ему .
Иными словами , кратчайшим путем от точки до прямой является путь по	*перпендикулярному*	к этой прямой направлению .
1 Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую ,	*перпендикулярную*	этой прямой и пересекающую ее .
С помощью циркуля и линейки проведите через А прямую ,	*перпендикулярную*	l.
Чтобы получить декартову систему координат в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z ,	*перпендикулярную*	им , с тем же началом в точке 0 .
Они	*перпендикулярны*	друг к другу , но все меридианы пересекаются в одной точке — на полюсе .
То , что прямые m и n	*перпендикулярны*	, записывается так .
7 В треугольнике АВС отрезки AA1 , и ВВ1	*перпендикулярны*	сторонам ВС и АС .
Параллельные и	*перпендикулярные*	прямые играют очень большую роль в жизни человека : особенности их взаимного расположения используют в строительстве , технике , искусстве .
С помощью циркуля и линейки также можно строить параллельные и	*перпендикулярные*	прямые .
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив	*перпендикулярные*	прямые через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим точку их пересечения .
3 Две прямые на плоскости ,	*перпендикулярные*	третьей прямой , не могут пересечься одна с другой .
Лучше изучить параллельные и	*перпендикулярные*	прямые и параллелограммы нам помогут опыты с листом бумаги .
В этом случае с его помощью можно проводить прямые ,	*перпендикулярные*	данной прямой .
Покажите в нем параллельные и	*перпендикулярные*	стороны .
Мы все время говорили : « параллельные прямые » , «	*перпендикулярные*	прямые » .
Назовите ребра ,	*перпендикулярные*	: а ) ребру СС1 , б ) ребру DC .
На плоскости выбирают две	*перпендикулярные*	прямые — оси координат .
Отрезки , лежащие на параллельных прямых , также называются параллельными , а на перпендикулярных —	*перпендикулярными*	.
1 Засеките время и постарайтесь за 10 мин привести как можно больше примеров параллельных и	*перпендикулярных*	прямых , встречающихся в окружающем нас мире .
Вспомним свойство трех	*перпендикулярных*	прямых .
Среди ребер куба можно указать пары параллельных и	*перпендикулярных*	ребер .
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным угольником , найдите пары параллельных и	*перпендикулярных*	прямых .
Если начертить прямую в тетради , то одна из прямых ,	*перпендикулярных*	ей , будет лежать в плоскости тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке .
2 Если точку взять на самой прямой , то через эту точку проходит бесконечное число прямых ,	*перпендикулярных*	данной прямой .
Кстати , именно это свойство симметрии окружности мы использовали в разделе 20 при построении параллельных и	*перпендикулярных*	прямых .
Перегибанием листа бумаги получите пару параллельных и пару	*перпендикулярных*	прямых .
Отрезки , лежащие на параллельных прямых , также называются параллельными , а на	*перпендикулярных*	— перпендикулярными .
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения	*перпендикулярных*	прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
А , В , С — основания	*перпендикуляров*	, опущенных из М на данные прямые .
Основания этих	*перпендикуляров*	служат вершинами правильного треугольника .
Возьмем любую точку плоскости и опустим на эти три прямые	*перпендикуляры*	.
1 Из вершин А и В опускаем	*перпендикуляры*	на прямую l .
Обратное движение эта точка совершает в нижних частях маленьких	*петель*	.
Как завязать на веревке узел , не снимая	*петель*	с рук ? .
23 Концы веревки завязаны в виде	*петель*	.
42 На каждой «	*петле*	» таких точек будет четное число , а значит , и всего точек пересечения четное число .
2 ) левую руку вдеваем в петлю , как бы завязывая узел так , чтобы « браслет » на левой руке оказался внутри	*петли*	; 3 ) пропускаем петлю под « браслетом » и вытягиваем ее из - под него ;
Эти	*петли*	одеваются на левую и правую руку .
4 ) левую руку вынимаем из этой	*петли*	, отпускаем веревку и растягиваем ее .
2 ) левую руку вдеваем в петлю , как бы завязывая узел так , чтобы « браслет » на левой руке оказался внутри петли ; 3 ) пропускаем	*петлю*	под « браслетом » и вытягиваем ее из - под него ;
2 ) левую руку вдеваем в	*петлю*	, как бы завязывая узел так , чтобы « браслет » на левой руке оказался внутри петли ; 3 ) пропускаем петлю под « браслетом » и вытягиваем ее из - под него ;
23 Порядок действий : 1 ) правой рукой делаем перекрещенную	*петлю*	посередине веревки и держим ее ;
Треугольная	*пирамида*	имеет еще одно название — тетраэдр , т .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная	*пирамида*	.
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная	*пирамида*	плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная	*пирамида*	; ж ) четырехугольная пирамида .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная	*пирамида*	; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная	*пирамида*	со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело —	*пирамида*	.
27 а ) Куб ; б ) конус ; в )	*пирамида*	; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
Это	*пирамида*	, прямоугольный параллелепипед .
20 Возьмите набор геометрических тел ( куб , шар ,	*пирамида*	, конус , цилиндр и др. ) .
Слово «	*пирамида*	» происходит от древнеегипетского слова « пурама » ( так пирамиды называли древние египтяне ) .
3 Пример многогранника , у которого восемь вершин и восемь граней , —	*пирамида*	, в основании которой лежит семиугольник .
Все ли части являются	*пирамидами*	? .
Оказывается , такими	*пирамидами*	нельзя заполнить пространство , и вообще , с измерениями в пространстве все обстоит гораздо сложнее , чем на плоскости .
Если от треугольной пирамиды отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины ребер , то будет ли оставшаяся часть также треугольной	*пирамидой*	? .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную	*пирамиду*	с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
Возьмите в руки или представьте по рисунку 50 треугольную	*пирамиду*	, исследуйте ее так , как вы исследовали когда - то куб .
Научитесь изображать на клетчатой бумаге куб и	*пирамиду*	.
будем использовать треугольные	*пирамиды*	, все ребра которых равны соответствующей единице длины , то столкнемся с большими трудностями .
Современные египтяне называют	*пирамиды*	словом « хирам » , которое тоже происходит от этого древнеегипетского слова .
Если каждое ребро	*пирамиды*	увеличить в 3 раза , то во сколько раз возрастет ее объем ? .
Пунктирная линия делает этот рисунок объемным и позволяет отличать изображение	*пирамиды*	от четырехугольника с диагоналями .
Слово « пирамида » происходит от древнеегипетского слова « пурама » ( так	*пирамиды*	называли древние египтяне ) .
1 Сложите спички в виде	*пирамиды*	— три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей точке пространства .
Если от треугольной	*пирамиды*	отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины ребер , то будет ли оставшаяся часть также треугольной пирамидой ? .
д. в зависимости от того , на какой . многоугольник опираются треугольники ( в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в основании	*пирамиды*	) .
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре треугольные	*пирамиды*	и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
Каждая	*плоская*	фигура или пространственное тело имеет форму и размеры .
Шестиугольник , как и сам треугольник ,	*плоская*	фигура .
Круг —	*плоская*	фигура , его характеризует площадь .
Треугольник —	*плоская*	фигура .
Если две различные	*плоские*	фигуры можно разрезать на одинаковые части , то эти фигуры будут иметь равные площади .
Кроме рассмотренных линейных орнаментов ( бордюров ) существуют	*плоские*	орнаменты , заполняющие лист бумаги ( плоскость ) без промежутков .
Вокруг вас живут треугольники , окружности , квадраты , отрезки и другие	*плоские*	фигуры .
5 Блин можно разрезать на семь частей ; в отличие от блина каравай не	*плоский*	и его сначала можно разрезать горизонтально , а потом вертикально Таким образом , каравай можно разрезать на восемь частей .
Вообразите себя	*плоским*	.
Весь мир стал	*плоским*	, как лист бумаги , остались только два измерения — длина и ширина .
Вспомним опыт с двумя	*плоскими*	зеркалами .
Площади	*плоских*	фигур при увеличении их сторон в n раз увеличиваются в n×n раз .
Сделайте свой калейдоскоп из двух	*плоских*	зеркал , поставленных на лист белой бумаги под углом друг к другу .
17 Какое минимальное число	*плоских*	разрезов нужно сделать , чтобы разделить куб на 64 маленьких кубика ? .
Два соседних	*плоских*	многоугольника имеют общую сторону — ребро многогранника .
Приведите примеры	*плоских*	фигур , имеющих центр симметрии , но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
Среди всевозможных	*плоских*	фигур выделяются две главные : треугольник и окружность .
Образцы паркета , еще раз покажут технологию изготовления	*плоских*	орнаментов и , может быть , натолкнут вас на собственное оригинальное решение .
Например , поверхность каждого из них состоит из	*плоских*	многоугольников , которые называются гранями многогранника .
С давних пор люди пытались объемные тела изобразить на плоскости так , чтобы их сразу можно было отличить от	*плоских*	, чтобы чувствовалась глубина пространства .
Если , не меняя формы	*плоской*	фигуры , увеличить ее размеры в n раз , то ее площадь увеличится в n×n раз .
Рассмотрите , как Вазарели с помощью изгибов линий удалось передать вмятины , выпуклости , капли на	*плоском*	листе бумаги .
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной	*плоскости*	— в плоскости передней грани ; в этой же плоскости лежат и ребра А , В1 и АВ .
Что касается координат на	*плоскости*	, то , наверное , все ребята так или иначе с ними знакомы .
Если А — некоторая точка	*плоскости*	, а В — точка на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
Возьмем на	*плоскости*	прямую l и точку F.
Но вернемся к	*плоскости*	.
Пядь — расстояние между концами большого и указательного пальцев , растянутых в	*плоскости*	, равна четверти аршина .
Потому такая симметрия называется зеркальной ( или осевой , если речь идет о	*плоскости*	) .
8 Пусть все три прямые проходят через точку Р , а М — некоторая точка	*плоскости*	.
На ней образуется пять кусков и добавится пять кусков	*плоскости*	.
Оно говорит о том , что два перпендикуляра к одной прямой , расположенные в одной	*плоскости*	, параллельны между собой .
Сумма расстояний от них до двух заданных точек	*плоскости*	( эти точки называются фокусами эллипса ) постоянна .
Задача 6 похожа на разрезание хлеба : ножом мы тоже проводим некоторые	*плоскости*	и получаем в разрезе фигуры сечения .
Если начертить прямую в тетради , то одна из прямых , перпендикулярных ей , будет лежать в	*плоскости*	тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке .
41 Расставьте на	*плоскости*	шесть точек таким образом , что если соединить первую точку со второй , вторую с третьей и т .
Итак , свойство 3 говорит о том , что на	*плоскости*	существуют непересекающиеся прямые .
Разделите пополам тетрадный лист вертикальной чертой , слева напишите названия тех фигур ( или начертите их ) , которые можно поместить в	*плоскости*	, а справа те , которые нельзя .
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек	*плоскости*	( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
С давних пор люди пытались объемные тела изобразить на	*плоскости*	так , чтобы их сразу можно было отличить от плоских , чтобы чувствовалась глубина пространства .
12 На	*плоскости*	проведены три луча ОА , ОВ , ОС .
Две прямые на	*плоскости*	называются параллельными , если они не пересекаются .
12 В	*плоскости*	расположены 17 шестеренок — первая зацеплена со второй , вторая — с третьей ..
40 На	*плоскости*	нарисована окружность .
Соответственно добавятся и четыре куска	*плоскости*	.
Рассмотрим теперь такие точки М на	*плоскости*	, которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
А теперь перейдем к	*плоскости*	.
4 На	*плоскости*	даны две пересекающиеся прямые .
Возьмем любую точку	*плоскости*	и опустим на эти три прямые перпендикуляры .
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной плоскости — в	*плоскости*	передней грани ; в этой же плоскости лежат и ребра А , В1 и АВ .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек	*плоскости*	, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой центром окружности .
Угол АОВ — это часть	*плоскости*	, ограниченная двумя лучами , выходящими из одной точки .
1 Возьмем на	*плоскости*	какой - нибудь отрезок АВ .
1 Для любой точки	*плоскости*	всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой прямой .
Теперь каждая точка	*плоскости*	обозначается парой чисел .
Среди множества различных геометрических фигур на	*плоскости*	выделяется большое семейство многоугольников .
3 Две прямые на	*плоскости*	, перпендикулярные третьей прямой , не могут пересечься одна с другой .
Из этих свойств симметрии следует важное свойство	*плоскости*	.
Верно отметив на координатной	*плоскости*	и соединив последовательно эти точки , вы получите рисунок .
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной плоскости — в плоскости передней грани ; в этой же	*плоскости*	лежат и ребра А , В1 и АВ .
5 На	*плоскости*	дан острый угол и точка А внутри него .
Фигурки пентамино , похожие на Т , уложены на	*плоскости*	без промежутков ( говорят , что из них составлен паркет ) .
Перспектива — не единственное средство изображения трехмерного пространства на	*плоскости*	.
Каждая точка	*плоскости*	задается двумя полярными координатами : углом и расстоянием .
Все дело в том , что земля круглая и изобразить ее поверхность на	*плоскости*	без искажений просто невозможно .
Увеличивая наклон	*плоскости*	, получаем все более вытянутые эллипсы .
К какому виду решетки сведется такое покрытие	*плоскости*	? .
На	*плоскости*	такого не может быть .
Оказывается , такими пирамидами нельзя заполнить пространство , и вообще , с измерениями в пространстве все обстоит гораздо сложнее , чем на	*плоскости*	.
Изображение пространственного тела на	*плоскости*	— дело непростое .
Но такое определение удобно лишь для	*плоскости*	.
На	*плоскости*	указывается точка 0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой точки луч — полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Координаты на	*плоскости*	можно задавать различными способами .
8 Очень сложная замкнутая линия ограничивает на	*плоскости*	некоторую область .
35 Одиннадцать кружочков расположены на	*плоскости*	.
Не существует	*плоскости*	, которая бы проходила через оба эти отрезка ( а также через прямые АА1 и D1C1 ) .
8 Через некоторую точку	*плоскости*	проведены три прямые , образующие между собой углы по 60 ° .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки	*плоскости*	, называемой центром окружности .
Наиболее распространенным способом задания координат на	*плоскости*	, после чего она становится координатной плоскостью , является следующий .
На	*плоскости*	выбирают две перпендикулярные прямые — оси координат .
Есть и другие способы задания координат на	*плоскости*	.
Координаты точки	*плоскости*	— это пара чисел , из которых одно число является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
Они будут находиться в пространстве ( вне	*плоскости*	листа ) ; это похоже на дорожный столб , стоящий на перекрестке дорог : столб перпендикулярен каждой дороге .
Таким образом , пять прямых разобьют	*плоскость*	на 16 частей .
6 Известно , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести одну	*плоскость*	.
Постройте фигуру ( сечение ) , по которой	*плоскость*	, проходящая через указанные точки , пересечет куб .
А параллелограммами можно замостить	*плоскость*	.
Математики говорят , что	*плоскость*	является двухмерным пространством .
7 Как провести	*плоскость*	, чтобы получить квадратное сечение куба ? .
Какую бы	*плоскость*	мы ни провели через АА1 , обязательно прямая D1C1 либо пересечет ее в какой - либо одной точке , либо не пересечет никогда .
А можно ли одинаковыми треугольниками покрыть	*плоскость*	без промежутков ?
Что вы увидите , если плоскость , в которой вы находитесь , пересечет шар , движущийся сквозь	*плоскость*	, как сквозь стену ? .
Через ребра АА1 и СС1 также можно провести	*плоскость*	— АА1С1С ( диагональное сечение куба ) .
Что вы увидите , если	*плоскость*	, в которой вы находитесь , пересечет шар , движущийся сквозь плоскость , как сквозь стену ? .
На сколько частей разбивают	*плоскость*	прямые , из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку , если прямых : а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на	*плоскость*	, сделаем из него разные фигуры : квадрат , треугольник , окружность и т .
47 Вымащиваем сначала полоску , а затем всю	*плоскость*	.
4 Можно ли замостить	*плоскость*	равными шестиугольниками ? .
37 На сколько частей можно разбить	*плоскость*	двумя прямыми ?
Четыре прямые разобьют	*плоскость*	на 11 частей .
Если плоскость сечения наклонять , то получим эллипс (	*плоскость*	1 ) .
2 Покрывается ли	*плоскость*	копиями произвольного четырехугольника ? .
Если	*плоскость*	сечения наклонять , то получим эллипс ( плоскость 1 ) .
Наклоняя	*плоскость*	дальше , мы пересекаем и вторую « полу » .
37 Три прямые разбивают	*плоскость*	на семь частей ( прямые не параллельны и не проходят через одну точку ) .
47 Замостите	*плоскость*	одинаковыми « скобками » .
Что касается круглого сантиметра , то здесь неудобство сразу бросается в глаза : непересекающимися кругами нельзя заполнить	*плоскость*	.
8 Какой формы получится сечение куба , если	*плоскость*	провести по диагонали , т .
При этом мы по - прежнему сечением задеваем лишь одну « полу » конуса (	*плоскость*	2 ) .
Кроме рассмотренных линейных орнаментов ( бордюров ) существуют плоские орнаменты , заполняющие лист бумаги (	*плоскость*	) без промежутков .
В этом случае	*плоскость*	заполняется без промежутков путем поворота треугольников вокруг их вершин на 60 ° .
Появятся две ветви , парабола перейдет в гиперболу (	*плоскость*	3 ) .
9 Какие многоугольники могут получиться при пересечении куба	*плоскостью*	?
Наиболее распространенным способом задания координат на плоскости , после чего она становится координатной	*плоскостью*	, является следующий .
Конус можно пересечь	*плоскостью*	по окружности .
Каждая из них может быть получена при пересечении конуса	*плоскостью*	.
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида	*плоскостями*	, делящими ее ребра пополам ?
площадь круга ) , — наибольшая среди полученных таким образом	*площадей*	.
2 В общем , для измерения	*площадей*	треугольные сантиметры вполне подходят .
Для измерения	*площадей*	такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая квадрат на части и перекладывая эти части , можно получать фигуры единичной площади и различной конфигурации .
Кроме длин ,	*площадей*	и объемов в геометрии надо еще уметь измерять углы .
Докажите , что сумма	*площадей*	закрашенных частей равна сумме площадей незакрашенных частей .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения	*площадей*	треугольным сантиметром , взяв за единицу треугольник , у которого все стороны равны 1 см ?
Почему для получения единиц	*площадей*	и объемов мы использовали квадрат и куб ?
Докажите , что сумма площадей закрашенных частей равна сумме	*площадей*	незакрашенных частей .
Значит , сумма	*площадей*	двух маленьких квадратиков равна площади квадрата .
Трудно сказать , в каких единицах Мэри Поппинс измерила свое совершенство , поэтому мы поговорим о более простом и привычном , а именно об измерении	*площадей*	и объемов .
14 Найдите	*площади*	фигур .
8 Найдите	*площади*	каждой части танграма , если сторона клетки равна 1 .
12 Вычисление длины ,	*площади*	и объема .
Значит , суммарная площадь А , В и Г равна	*площади*	Б , В и Г .
14 Разделите фигуры на прямоугольники , найдите по формуле	*площади*	этих прямоугольников и результаты сложите .
Что же можно взять в качестве единицы	*площади*	или объема ?
Так , например , если необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей	*площади*	, то следует выбрать этот участок в виде квадрата .
Простейшие из них — формулы для вычисления	*площади*	прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда .
Из этого уравнения видно , что	*площади*	частей х и у равны .
11 Измерение	*площади*	и объема .
6 Какая часть	*площади*	фигур закрашена ? .
Требовалось построить с помощью циркуля и линейки квадрат , площадь которого равна	*площади*	данного круга .
Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая квадрат на части и перекладывая эти части , можно получать фигуры единичной	*площади*	и различной конфигурации .
Фигуры , имеющие равные	*площади*	, называют равновеликими .
Если две различные плоские фигуры можно разрезать на одинаковые части , то эти фигуры будут иметь равные	*площади*	.
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму правильного треугольника , надо разделить на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по	*площади*	и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Сравните	*площади*	заштрихованных квадратов .
Используя тот факт , что если радиус одного круга в два раза больше радиуса другого круга , то площадь первого в четыре раза больше	*площади*	второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
10 Иллюстрация доказательства того , что площадь параллелограмма равна	*площади*	некоторого прямоугольника .
От квадрата отрезаны четыре равных треугольника ,	*площади*	которых в сумме составляют 12 клеток .
Остальную часть обещал отдать сыновьям , если те сумеют разделить поле между собой на равные по	*площади*	и по форме части .
9 Начертите два разных прямоугольных треугольник	*площади*	которых равны : а ) 2 клеткам ; б ) 3 клеткам ; в ) 4,5 клетки .
53 Прямоугольники А и Б имеют равные	*площади*	.
Покажите , что площадь этого треугольника равна половине	*площади*	шестиугольника .
Получим приближенное значение	*площади*	28 см2 .
26 В математических рукописях XVIII в . можно встретить утверждение , что фигуры с равными периметрами ограничивают равные	*площади*	.
Значит , сумма площадей двух маленьких квадратиков равна	*площади*	квадрата .
9 Покажите , что треугольник и прямоугольник имеют одинаковые	*площади*	.
Самое лучшее в данной ситуации , если мы в качестве значения	*площади*	возьмем полусумму измерений с недостатком и избытком .
8 Разрезав « кольцо » и сложив из него квадрат , увидим , что краски пойдет одинаковое количество (	*площади*	этих фигур равны ) .
Строя жилища и храмы , украшая их орнаментами , размечая землю , измеряя расстояния и	*площади*	, человек применял свои знания о форме , размерах и взаимном расположении предметов , полученные из наблюдений и опытов .
7 Примем	*площадь*	одной клетки за единицу .
Используя тот факт , что если радиус одного круга в два раза больше радиуса другого круга , то	*площадь*	первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
А	*площадь*	квадрата со стороной 1 см равна 1 квадратному сантиметру .
4 Покажите , что	*площадь*	квадрата на рисунке 75 равна 13 клеткам .
5 Начертите на клетчатой бумаге квадрат ,	*площадь*	которого равна 2 , 4 , 5 , 8 , 9 , 10 , 16 , 17 , 18 , 20 , 25 , 26 клеткам .
Тогда	*площадь*	многоугольника равна числу .
1 Каждая из сторон треугольника равна 7 см. Сколько треугольных сантиметров составляет его	*площадь*	? .
Ведь нельзя так просто взять и измерить радиус земного шара ,	*площадь*	океана и многое другое .
	*Площадь*	круга ) , — наибольшая среди полученных таким образом площадей .
Значит ,	*площадь*	заштрихованного квадрата равна 13 клеткам .
Величина 16 см2 есть	*площадь*	фигуры , измеренная с недостатком .
Продолжая этот процесс , можно определить	*площадь*	еще точнее .
Оказывается , существует удобная формула , с помощью которой можно вычислить	*площадь*	любого такого многоугольника ( эта формула названа именем немецкого математика Пика , открывшего ее ) .
Круг — плоская фигура , его характеризует	*площадь*	.
10 Начертите квадрат ,	*площадь*	которого равна а ) 10 клеткам ; б ) 17 клеткам ; в ) 26 клеткам .
Требовалось построить с помощью циркуля и линейки квадрат ,	*площадь*	которого равна площади данного круга .
10 Иллюстрация доказательства того , что	*площадь*	параллелограмма равна площади некоторого прямоугольника .
Требуется выложить из 12 спичек фигуру , которая охватывала бы	*площадь*	в три квадратные единицы .
Если a и b — длины сторон прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его	*площадь*	равна a×b квадратных единиц .
Его	*площадь*	будем считать равной одному квадратному метру ( м2 ) .
2 Как изменится	*площадь*	квадрата , если его сторону увеличить в 2 раза ?
Будем продолжать заполнять	*площадь*	фигуры квадратными миллиметрами до тех пор , пока это возможно .
Если , не меняя формы плоской фигуры , увеличить ее размеры в n раз , то ее	*площадь*	увеличится в n×n раз .
54 Докажите , что меньший из квадратов имеет	*площадь*	в четыре раза меньшую , чем больший .
У какого прямоугольника , А или Б , больше	*площадь*	? .
25 Найдите	*площадь*	треугольника .
Покажите , что	*площадь*	этого треугольника равна половине площади шестиугольника .
Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной величине , мы вычислим	*площадь*	фигуры с недостатком , но уже точнее .
Как поступить , чтобы найти	*площадь*	фигуры точнее ?
Значит , суммарная	*площадь*	А , В и Г равна площади Б , В и Г .
Нетрудно найти	*площадь*	фигуры , составленной из квадратных метров или квадратных сантиметров или из тех и других .
Как изменится	*площадь*	треугольника , если каждую его сторону увеличить в 2 раза ?
Как найти	*площадь*	этого треугольника , если это . а ) прямоугольный треугольник , две стороны которого проходят по сторонам клеток .
Таким образом ,	*площадь*	фигуры больше 16 клеток , но меньше 40 .
Если считать , что одна клетка есть квадратный сантиметр , то	*площадь*	больше 16 см2 .
Чему равна	*площадь*	каждого из изображенных вами треугольников ? .
Продолжая покрывать фигуру квадратными миллиметрами , мы найдем ее	*площадь*	с избытком .
Можно ли выбрать узлы клетчатой бумаги так , что	*площадь*	получившегося многоугольника была равна ? .
15 Надо разрезать фигуру на четыре части и затем переложить их так , чтобы внутри образовался квадрат	*площадью*	1 см2 .
С	*площадью*	круга связана одна из самых знаменитых задач древности — задача о квадратуре круга .
Нарисуйте несколько фигур	*площадью*	3 см2 .
Нарисуйте еще две фигуры	*площадью*	2 см2 .
58 Диагональ на самом деле представляет очень узкий четырехугольник	*площадью*	1 .
15 Нарисуйте овальную линию той же длины , но ограничивающую фигуру	*площадью*	на 1 см2 больше .
7 Изображена фигура	*площадью*	2 см2 .
Многоугольник всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же	*площадью*	.
32 Может ли быть треугольник с очень большими сторонами и очень маленькой	*площадью*	?
Позже математики открыли еще целый ряд односторонних	*поверхностей*	.
Например , камень , брошенный человеком под углом к	*поверхности*	Земли , описывает параболу .
Представьте муравья , находящегося на	*поверхности*	простого кольца .
Этим парам точек будут соответствовать пары точек на	*поверхности*	земного шара , находящиеся на разном расстоянии одна от другой .
Меридианы и параллели образуют на	*поверхности*	земного шара координатную сетку .
Оставшийся треугольник подогните вниз , склейте друг с другом две неокрашенные треугольные	*поверхности*	, и флексагон готов .
Тонким карандашом нарисуйте куб , а на его	*поверхности*	проволоку , из которой сделаны эти ломаные ( общий вид ) .
2 По	*поверхности*	стеклянного куба проходит ломаная линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на куб спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее проекции .
На	*поверхности*	земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Только одна закрашенная грань у тех кубиков , которые лежат « на	*поверхности*	» , исключая кубики , прилегающие к ребрам , т .
Дано изображение куба , на	*поверхности*	которого указаны три точки .
Полоски с именами расположите параллельно	*поверхности*	зеркала .
Все дело в том , что земля круглая и изобразить ее	*поверхность*	на плоскости без искажений просто невозможно .
Проводя прямые , соединяющие всевозможные точки окружности с вершиной , получим коническую	*поверхность*	.
б ) последовательность предметов , лежащих на столе , если	*поверхность*	стола перпендикулярна зеркалу ? .
Например ,	*поверхность*	каждого из них состоит из плоских многоугольников , которые называются гранями многогранника .
Пусть два зеркала поставлены параллельно друг другу отражающими	*поверхностями*	внутрь .
Чтобы получить некоторое представление о топологии , рассмотрим несколько топологических опытов с	*поверхностями*	, полученными из бумажной полоски примерно 30 см в длину и 3 см в ширину .
А вот еще	*подобная*	задача .
Найдите еще хотя бы один вариант	*подобного*	покрытия квадрата 8×8 с вырезанной серединой .
Опыты , которые мы предлагаем вам провести с листом Мёбиуса и	*подобными*	ему кольцами , продемонстрируют много интересных и неожиданных свойств .
В	*подобных*	задачах требуется начертить какую - либо фигуру , не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии .
Изображено	*покрытие*	, предложенное Голомбом .
К какому виду решетки сведется такое	*покрытие*	плоскости ? .
Вырежьте из бумаги несколько одинаковых треугольников и проверьте свое предположение о возможности такого	*покрытия*	.
Найдите еще хотя бы один вариант подобного	*покрытия*	квадрата 8×8 с вырезанной серединой .
Но в каждом квадрате 2×2 только один катер , иначе у него будут « соседи » , значит , 26 катеров на	*поле*	10×10 уже не поместятся .
2 Отец , у которого было четыре сына , имел квадратное	*поле*	.
Остальную часть обещал отдать сыновьям , если те сумеют разделить	*поле*	между собой на равные по площади и по форме части .
13 Дано игровое	*поле*	4×4 и 16 квадратов с геометрическими фигурами , имеющими ось ( одну или несколько ) симметрии .
2 На доске 10×10 может разместиться 25 катеров : игровое	*поле*	можно разбить на квадраты 2×2 , которых будет ровно 25 , и в каждом из них по катеру .
На 64-клеточном	*поле*	можно составить более 4 млрд разных секретных решеток ! .
14 Васин дом расположен на берегу реки , с одной стороны которой лес , а с другой —	*поле*	.
14 Если бы Вася был , например , в	*поле*	и его скорость была 4 км / ч , то за 1 ч Вася мог бы отойти от начальной точки на 4 км .
Мир , в котором мы живем , наполнен геометрией домов и улиц , гор и	*полей*	, творениями природы и человека .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые	*полуокружности*	, проходящие через полюсы .
Шкала транспортира представляет	*полуокружность*	, разделенную на 180 частей .
Затем вновь возьмем	*полусумму*	полученных значений .
Самое лучшее в данной ситуации , если мы в качестве значения площади возьмем	*полусумму*	измерений с недостатком и избытком .
Вася знает , что по лесу он может передвигаться со скоростью 3 км / ч , а по	*полю*	— со скоростью 4 км / ч .
Расстояние показывает , как далеко точка находится от	*полюса*	, а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения , когда она пройдет через нужную точку .
Они перпендикулярны друг к другу , но все меридианы пересекаются в одной точке — на	*полюсе*	.
Большой — у экватора , маленький — у	*полюсов*	.
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у	*полюсов*	, в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
На плоскости указывается точка 0 , которая будет называться	*полюсом*	, выходящий из этой точки луч — полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Северному	*полюсу*	соответствует значение 90 ° северной широты , а Южному — 90 ° южной широты .
Четверть	*поля*	он оставил себе .
Двое игроков по очереди выбирают любую из 12 фигурок пентамино и располагают ее на свободных клетках	*поля*	8×8 .
Разместить квадраты в клетках	*поля*	так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались фигуры , имеющие одинаковое число осей симметрии .
Изгибы идут в следующем	*порядке*	: вниз — вниз — вверх .
В первой расставить числа от 1 до 16 в обычном	*порядке*	.
Берем имеющийся код , приписываем к нему букву Н ( под ней удобно поставить точку ) , затем выписываем в обратном	*порядке*	буквы , предшествующие этому Н , заменяя Н на В и наоборот ( посмотрите на коды , соответствующие четвертому и пятому сгибам ) .
31 Раскрасим клетки доски в шахматном	*порядке*	в черный и белый цвета .
2 Запишите все известные , а вернее , перечисленные выше единицы длины в	*порядке*	возрастания .
Надо круг с помощью циркуля или транспортира разделить на двенадцать равных частей ( подумайте , почему на двенадцать ) и свернуть по диаметрам в любом	*порядке*	.
есть идея , с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать	*порядок*	, красоту и совершенство » .
4 Начертите фигуры одним росчерком ( пронумеруйте отрезки в той	*последовательности*	, в какой вы их проходили ) .
В какой	*последовательности*	производилась укладка ? .
б )	*последовательность*	предметов , лежащих на столе , если поверхность стола перпендикулярна зеркалу ? .
Поменялись ли на изображении местами	*правая*	и левая стороны ?
Какое наименьшее количество точек надо отбросить , чтобы не осталось ни одного	*правильного*	треугольника ? .
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс , увлекшись изготовлением моделей многогранников , написал в письме к отцу : « я сделал тетраэдр , додекаэдр и еще два эдра , для которых не знаю	*правильного*	названия » .
Если же к стороне одного	*правильного*	треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
Основания этих перпендикуляров служат вершинами	*правильного*	треугольника .
12 Четвертые части квадрата и	*правильного*	треугольника отрезаны , как показано на рисунке 294 .
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму	*правильного*	треугольника , надо разделить на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Какое наименьшее количество точек надо отбросить , чтобы не осталось ни одного	*правильного треугольника*	? .
12 Четвертые части квадрата и	*правильного треугольника*	отрезаны , как показано на рисунке 294 .
Основания этих перпендикуляров служат вершинами	*правильного треугольника*	.
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму	*правильного треугольника*	, надо разделить на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Если же к стороне одного	*правильного треугольника*	, лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
Интересно , что в	*правильной*	пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру , делит другую в отношении золотого сечения .
11 Разрежьте	*правильную*	шестиконечную звезду на четыре части так , чтобы из них можно было составить параллелограмм .
Зная это , можно вписывать в окружность	*правильные*	шестиугольники и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Сделайте необходимые вычисления и впишите в окружность равносторонние (	*правильные*	) пятиугольник , шестиугольник и восьмиугольник .
Изображены	*правильные*	многогранники — тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .
Найдите равнобедренные ,	*правильные*	, разносторонние , остроугольные , прямоугольные , тупоугольные треугольники .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые	*правильные*	многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые	*правильные многоугольники*	, в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Зная это , можно вписывать в окружность	*правильные шестиугольники*	и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую вершину , образуют	*правильный*	шестиугольник .
4 АВС —	*правильный*	треугольник .
8 Треугольник АВС —	*правильный*	, четырехугольник KLMN — квадрат .
Все стороны равны — равносторонний , или	*правильный*	, треугольник .
Вместе они составят	*правильный*	шестиугольник .
52 Разрежьте	*правильный*	треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Как построить	*правильный*	шестиугольник ?
46 Из двух таких треугольников можно составить	*правильный*	треугольник .
Равносторонний (	*правильный*	) треугольник .
23 Разрежьте	*правильный*	шестиугольник на девять одинаковых частей разными способами .
За элементарную ячейку можно взять и	*правильный*	треугольник .
За элементарную ячейку можно взять и	*правильный треугольник*	.
46 Из двух таких треугольников можно составить	*правильный треугольник*	.
52 Разрежьте	*правильный треугольник*	на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
4 АВС —	*правильный треугольник*	.
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую вершину , образуют	*правильный шестиугольник*	.
23 Разрежьте	*правильный шестиугольник*	на девять одинаковых частей разными способами .
Как построить	*правильный шестиугольник*	?
Вместе они составят	*правильный шестиугольник*	.
Совершенство форм , красивые математические закономерности , присущие	*правильным*	многогранникам , явились причиной того , что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов .
Равносторонний многоугольник , вписанный в окружность , называется	*правильным*	.
Самое удивительное в этой формуле , что она верна не только для	*правильных*	, но и для ВСЕХ многогранников ! .
Например , шесть	*правильных*	треугольников , имеющих общую вершину , образуют правильный шестиугольник .
Она состоит из десяти	*правильных*	треугольников , расположенных так .
У	*правильных*	многогранников есть еще одна особенность .
Это модели	*правильных*	многогранников , сделанные из цветной бумаги .
Сколько	*правильных*	треугольников можно построить , считая эти точки вершинами треугольников ? .
29 15	*правильных*	треугольников .
Возьмем шесть	*правильных*	равных между собой треугольников и расположим их рядом так , чтобы у них была общая вершина .
29 15	*правильных треугольников*	.
Она состоит из десяти	*правильных треугольников*	, расположенных так .
Сколько	*правильных треугольников*	можно построить , считая эти точки вершинами треугольников ? .
Например , шесть	*правильных треугольников*	, имеющих общую вершину , образуют правильный шестиугольник .
Оно состоит в том , что по лабиринту надо двигаться не отрывая одной руки (	*правой*	или левой ) от стены .
23 Порядок действий : 1 )	*правой*	рукой делаем перекрещенную петлю посередине веревки и держим ее ;
Если сторона угла совпадает с	*правой*	половиной основания транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
а ) левую и	*правую*	стороны , верх и низ , предметы спереди и сзади вас , если вы стоите лицом к зеркалу ?
Эти петли одеваются на левую и	*правую*	руку .
Потом на нее кладем следующую по размеру карточку ( в	*правый*	нижний угол ) .
34 Если соединить левый и	*правый*	домики с колодцем , навесом и погребом , то средний домик окажется в одной из трех образовавшихся областей .
Заменим в коде букву Н на Л ( левый поворот ) , а букву В на П (	*правый*	поворот ) и продолжим проведенную черточку , следуя командам кода и поворачивая последовательно налево и направо на 90 ° .
Сверните ее пополам , чтобы точка оказалась закрытой , а потом еще пополам ( всякий раз	*правый*	конец накладываем на левый ) .
Получим	*приближенное*	значение площади 28 см2 .
Итак , измеряя на практике различные величины , мы всегда получаем	*приближенные*	значения , но погрешность измерения часто не учитываем и считаем полученный результат истинным .
Правда , в 1975 г. ( за год до этого ) в апрельском номере американского журнала « В мире науки » была	*приведена*	карта , которую , как утверждал ее составитель , нельзя окрасить нужным образом в четыре цвета .
Схема ,	*приведенная*	выше , показывает , как увеличение числа измерений влечет за собой изменение и усложнение геометрических фигур .
Попробуйте , не пользуясь бумагой , ответить на вопрос : к какому из результатов	*приведет*	способ а ?
19 Способ а )	*приведет*	к третьему результату , способ б ) — ко второму .
Проведенные измерения и наблюдения	*приведут*	вас к следующему выводу .
10 Хозяйка ,	*приведя*	козу на пастбище , вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого , натянула между колышками веревку с кольцом так , что кольцо может скользить от колышка к колышку , а к кольцу веревкой длиной 5 м привязала козу .
1 Засеките время и постарайтесь за 10 мин	*привести*	как можно больше примеров параллельных и перпендикулярных прямых , встречающихся в окружающем нас мире .
Попытайтесь	*привести*	другие примеры такого рода .
Стомахион ( «	*приводящая*	в ярость » ) .
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение треугольника по следующим данным : сторона треугольника равна 6 см , а	*прилежащие*	к ней углы равны 85 ° и 100 ° .
Можно сделать вывод : по стороне и двум	*прилежащим*	к ней углам можно построить единственный треугольник , но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два	*прилежащих*	к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
б ) сторона и два	*прилежащих*	к ней угла .
Рабочий внимательно рассмотрит эти	*проекции*	и поймет , какой должна быть деталь .
2 По поверхности стеклянного куба проходит ломаная линия , сделанная из толстой проволоки Глядя на куб спереди , сверху и слева , мы видим , как располагается эта проволока , и можем изобразить три ее	*проекции*	.
Вид спереди похож на букву Г , вид сверху — на Ч без половины вертикальной палочки , а вид слева — на стилизованную латинскую S. Рассмотрите ломаные и кривые линии и начертите в каждом случае три	*проекции*	( вид спереди , сверху и слева ) .
3 Обратное задание : даны	*проекции*	ломаных спереди , сверху и слева .
Чтобы токарь выточил ее , мы дадим ему не сам рисунок , а именно три	*проекции*	этой детали : вид спереди , сверху и слева .
В чем состоит метод трех	*проекций*	?
Для облегчения этой задачи изобрели метод трех	*проекций*	.
Рассуждая таким образом , устанавливаем , что 16 окошек можно набрать 4×4×4 × .. ×4 раз (	*произведение*	16 четверок ) .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как	*прямая*	и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
1 Даны	*прямая*	l и две точки А и В по одну сторону от нее .
Как расположены друг относительно друга линия сгиба и	*прямая*	АВ ? .
Число проведенных при этом линий не должно быть больше трех ( третьей должна быть искомая	*прямая*	) .
Какую бы плоскость мы ни провели через АА1 , обязательно	*прямая*	D1C1 либо пересечет ее в какой - либо одной точке , либо не пересечет никогда .
Пусть проведена	*прямая*	l и дана точка А вне этой прямой .
34 В скольких точках	*прямая*	может пересекать контур треугольника ?
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что	*прямая*	l есть касательная к окружности .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то	*прямая*	, соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
39 Вдоль бумажной ленты длиной 60 см проведена с двух сторон посередине	*прямая*	линия .
Кратчайшее расстояние укажет	*прямая*	, соединяющая эти точки .
2 Дана	*прямая*	l и точка А на ней .
39 Вдоль бумажной ленты длиной 60 см проведена с двух сторон посередине	*прямая линия*	.
4 Возьмите две точки на	*прямой*	CD и постройте прямоугольный треугольник с вершинами в этих точках .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от	*прямой*	l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Иными словами , кратчайшим путем от точки до прямой является путь по перпендикулярному к этой	*прямой*	направлению .
Толщина каждого тома 3,5 см. Книжный червяк прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома ( по	*прямой*	линии ) .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается	*прямой*	l или что прямая l есть касательная к окружности .
48 Через каждую из трех точек надо провести прямую , параллельную	*прямой*	, проходящей через две другие точки .
Представьте , что по	*прямой*	линии без скольжения катится круг .
4 Изображены две параллельные прямые , пересекаемые третьей	*прямой*	.
Иными словами , кратчайшим путем от точки до	*прямой*	является путь по перпендикулярному к этой прямой направлению .
4 Через точку А проведите прямую , параллельную	*прямой*	CD .
Оно говорит о том , что два перпендикуляра к одной	*прямой*	, расположенные в одной плоскости , параллельны между собой .
40 Если мы нарисуем	*прямой*	угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Течение времени удобно отображать на	*прямой*	.
2 Строим окружность с центром О вне нашей	*прямой*	, проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с	*прямой*	l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к	*прямой*	l .
1 Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой	*прямой*	.
3 Если отрезки M1N1 и MN симметричны относительно	*прямой*	l , то их длины равны .
4 Если точка А1 симметрична точке А относительно	*прямой*	l , то для любой точки В на этой прямой отрезки А1В и АВ равны .
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно	*прямой*	l , проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
4 Если точка А1 симметрична точке А относительно прямой l , то для любой точки В на этой	*прямой*	отрезки А1В и АВ равны .
Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке	*прямой*	, то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой ( такой же , как исходная фигура ) .
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно	*прямой*	l , А1М равно AM .
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с	*прямой*	l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
Если А — некоторая точка плоскости , а В — точка на	*прямой*	l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
Задача решалась бы совсем легко , если бы точки А и В лежали по разные стороны от	*прямой*	l.
Найдите на	*прямой*	такую точку M , чтобы путь из А в В через М был кратчайшим , т .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с	*прямой*	l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания четырехугольник и треугольник , то соответствующие стороны не лежат на одной	*прямой*	.
Пусть проведена прямая l и дана точка А вне этой	*прямой*	.
У обычного чертёжного угольника один угол	*прямой*	.
Ее еще можно назвать	*прямой*	MN .
Изобразим	*прямой*	угол и продолжим его стороны за вершину .
Отдыхающие , в каком бы направлении ни отправлялись на загородную прогулку , двигаясь по	*прямой*	, обязательно приходили к одному из озер .
Итак , если мы хотим из точки А по кратчайшему пути попасть на прямую m , то двигаться надо по перпендикуляру к	*прямой*	m .
3 Две прямые на плоскости , перпендикулярные третьей	*прямой*	, не могут пересечься одна с другой .
1 Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую , перпендикулярную этой	*прямой*	и пересекающую ее .
Этот мир полностью лежит на	*прямой*	; жители его — отрезки , лучи , точки .
2 Если точку взять на самой	*прямой*	, то через эту точку проходит бесконечное число прямых , перпендикулярных данной прямой .
Есть	*прямой*	угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Если А — точка на	*прямой*	l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
3 Прямая , проходящая через точки А и А1 параллельна	*прямой*	l .
Подумайте , как провести перпендикуляр ( с помощью циркуля и линейки ) , если точка А лежит на	*прямой*	l .
Проведение перпендикуляра к	*прямой*	.
— откладывать на	*прямой*	отрезки заданной длины .
Для построения перпендикуляра достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные окружности с центрами на	*прямой*	l.
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до	*прямой*	m .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с	*прямой*	— точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
1 Через точку вне данной	*прямой*	можно провести только одну прямую , перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее .
6 Известно , что через три точки , не лежащие на одной	*прямой*	, можно провести одну плоскость .
Среди всех углов выделяется	*прямой*	угол .
Измерим длину отрезка	*прямой*	линии в заданных единицах ( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Рассматривая основные геометрические фигуры , среди всех углов мы выделили	*прямой*	угол , равный 90 ° .
В этом случае с его помощью можно проводить прямые , перпендикулярные данной	*прямой*	.
Отрезок АВ — это часть	*прямой*	между двумя точками А и В ( из прямой как бы вырезали кусочек ) .
Отрезок АВ — это часть прямой между двумя точками А и В ( из	*прямой*	как бы вырезали кусочек ) .
31 На горизонтальной прямой расположен квадрат , в котором отмечена точка А. Представьте себе , что квадрат начинает перекатываться вдоль	*прямой*	.
Луч ОМ — это часть	*прямой*	по одну сторону от некоторой точки — начала луча ( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
Измерим длину отрезка	*прямой линии*	в заданных единицах ( измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача ) .
Представьте , что по	*прямой линии*	без скольжения катится круг .
Толщина каждого тома 3,5 см. Книжный червяк прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома ( по	*прямой линии*	) .
Среди всех углов выделяется	*прямой угол*	.
Есть	*прямой угол*	— прямоугольный треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Рассматривая основные геометрические фигуры , среди всех углов мы выделили	*прямой угол*	, равный 90 ° .
Изобразим	*прямой угол*	и продолжим его стороны за вершину .
40 Если мы нарисуем	*прямой угол*	с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Это не квадрат , не	*прямоугольник*	.
Вырежьте из бумаги	*прямоугольник*	со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется прямоугольник , стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
Построите золотой	*прямоугольник*	с помощью циркуля и линейки по указаниям .
9 Произвольный треугольник разрежьте на три части так , чтобы можно было сложить	*прямоугольник*	.
Значит , квадрат — это	*прямоугольник*	, у которого все стороны равны .
Сверните	*прямоугольник*	так , чтобы получился квадрат .
Разрежьте этот	*прямоугольник*	на две равные части так , чтобы , сложив их определенным образом , получить квадрат .
Это следует из того , что диагональ делит	*прямоугольник*	на равные треугольники .
Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется	*прямоугольник*	, стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
Перемешайте фигуры пентамино на столе , чтобы они лежали произвольно , а затем сложите	*прямоугольник*	6×10 , не переворачивая ни одной фигурки .
Из листа бумаги произвольной формы сложите и затем вырежьте	*прямоугольник*	.
Следовательно ,	*прямоугольник*	является параллелограммом .
Да , да , не удивляйтесь , и ромб , и	*прямоугольник*	, и квадрат — тоже параллелограммы .
Уложите все 12 фигур пентамино в	*прямоугольник*	6×10 .
8 В сечении получается	*прямоугольник*	, две стороны которого равны ребрам куба , а две другие — диагоналям граней .
Затем от этого прямоугольника отрежьте квадрат со стороной 6 см. Останется	*прямоугольник*	, одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
Квадрат 8×8 разрезан на части , из которых составлен	*прямоугольник*	13×5 .
15 Дан	*прямоугольник*	, ширина которого в два раза меньше длины .
Если мы опишем около фасада Парфенона	*прямоугольник*	, то окажется , что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза .
9 Покажите , что треугольник и	*прямоугольник*	имеют одинаковые площади .
чертим	*прямоугольник*	так , чтобы данный отрезок АВ был его диагональю .
А действительно ли	*прямоугольник*	является параллелограммом ?
Такой	*прямоугольник*	назвали золотым прямоугольником .
7 Нужно описать около треугольника	*прямоугольник*	, т .
начертить такой	*прямоугольник*	, чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах , а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
У какого	*прямоугольника*	, А или Б , больше площадь ? .
53 Через точку на диагонали	*прямоугольника*	провели прямые , параллельные его сторонам .
Например , мы знаем , что диагонали	*прямоугольника*	при пересечении делятся пополам .
Если a и b — длины сторон	*прямоугольника*	( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b квадратных единиц .
2 У квадрата , как и у	*прямоугольника*	, все углы прямые .
Значит , и ВС ‖ A D. Получилось , что у	*прямоугольника*	стороны попарно параллельны .
Постройте два	*прямоугольника*	5×6 .
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах , а стороны	*прямоугольника*	шли по сторонам клеточек на бумаге .
Простейшие из них — формулы для вычисления площади	*прямоугольника*	и объема прямоугольного параллелепипеда .
10 Иллюстрация доказательства того , что площадь параллелограмма равна площади некоторого	*прямоугольника*	.
Проведем боковую сторону под прямым углом и закончим построение золотого	*прямоугольника*	.
Достроим прямоугольный треугольник АМВ до	*прямоугольника*	AMBN .
8 Кусок бумаги имеет форму	*прямоугольника*	, одна сторона которого равна четырем , а другая — девяти единицам длины .
Затем от этого	*прямоугольника*	отрежьте квадрат со стороной 6 см. Останется прямоугольник , одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
Видели ли вы когда - нибудь предметы , имеющие форму золотого	*прямоугольника*	? .
Разделим его на два равных	*прямоугольника*	.
Если точка О — середина АВ , то ОМ — полдиагонали	*прямоугольника*	, т .
Все его грани являются	*прямоугольниками*	.
Затем считаем количество клеток в	*прямоугольнике*	и отбрасываем лишние .
В	*прямоугольнике*	ABCD АВ ⊥ AD и CD ⊥ AD .
8 Из каких различных фигур танграма можно составить	*прямоугольники*	?
На	*прямоугольники*	, в которых стороны соотносятся приблизительно как 1,6:1 , обратили внимание очень давно .
14 Разделите фигуры на	*прямоугольники*	, найдите по формуле площади этих прямоугольников и результаты сложите .
20 Разрежьте квадрат на пять прямоугольников так , чтобы у любых двух соседних	*прямоугольников*	стороны не совпадали .
14 Разделите фигуры на прямоугольники , найдите по формуле площади этих	*прямоугольников*	и результаты сложите .
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять	*прямоугольников*	так , чтобы все десять чисел , выражающих стороны прямоугольников , были бы различными целыми числами .
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять чисел , выражающих стороны	*прямоугольников*	, были бы различными целыми числами .
Найдите на этом рисунке девять	*прямоугольников*	.
Сколько получилось разных	*прямоугольников*	?
20 Разрежьте квадрат на пять	*прямоугольников*	так , чтобы у любых двух соседних прямоугольников стороны не совпадали .
Такой прямоугольник назвали золотым	*прямоугольником*	.
Простейшие из них — формулы для вычисления площади прямоугольника и объема	*прямоугольного*	параллелепипеда .
2 Достройте отрезок до	*прямоугольного*	треугольника и затем поверните его .
Если a , b и c — длина , высота и ширина	*прямоугольного*	параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Если a , b и c — длина , высота и ширина	*прямоугольного параллелепипеда*	, то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Простейшие из них — формулы для вычисления площади прямоугольника и объема	*прямоугольного параллелепипеда*	.
2 Достройте отрезок до	*прямоугольного треугольника*	и затем поверните его .
46 Докажите , что в	*прямоугольном*	треугольнике , один из углов которого равен 30 ° , наибольшая сторона в два раза больше наименьшей .
46 Докажите , что в	*прямоугольном треугольнике*	, один из углов которого равен 30 ° , наибольшая сторона в два раза больше наименьшей .
Найдите равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные ,	*прямоугольные*	, тупоугольные треугольники .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б ) равнобедренный	*прямоугольный*	треугольник .
Вернее ,	*прямоугольный*	параллелепипед .
Как найти площадь этого треугольника , если это . а )	*прямоугольный*	треугольник , две стороны которого проходят по сторонам клеток .
Достроим	*прямоугольный*	треугольник АМВ до прямоугольника AMBN .
Это пирамида ,	*прямоугольный*	параллелепипед .
Есть прямой угол —	*прямоугольный*	треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
4 Возьмите две точки на прямой CD и постройте	*прямоугольный*	треугольник с вершинами в этих точках .
а ) на две части так , чтобы из них можно было составить	*прямоугольный*	треугольник .
1 Начертите произвольный	*прямоугольный*	треугольник ( 1 ) , а потом поверните его на 90 ° .
2 Возьмите	*прямоугольный*	листок бумаги , который можно накрыть кругом .
Вернее ,	*прямоугольный параллелепипед*	.
Это пирамида ,	*прямоугольный параллелепипед*	.
4 Возьмите две точки на прямой CD и постройте	*прямоугольный треугольник*	с вершинами в этих точках .
Как найти площадь этого треугольника , если это . а )	*прямоугольный треугольник*	, две стороны которого проходят по сторонам клеток .
а ) на две части так , чтобы из них можно было составить	*прямоугольный треугольник*	.
Достроим	*прямоугольный треугольник*	АМВ до прямоугольника AMBN .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б ) равнобедренный	*прямоугольный треугольник*	.
1 Начертите произвольный	*прямоугольный треугольник*	( 1 ) , а потом поверните его на 90 ° .
Есть прямой угол —	*прямоугольный треугольник*	; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Много полезного можно получить из экспериментов с	*прямоугольным*	треугольником на клетчатой бумаге .
Много полезного можно получить из экспериментов с	*прямоугольным треугольником*	на клетчатой бумаге .
Эти половинки будут	*прямоугольными*	треугольниками .
Эти половинки будут	*прямоугольными треугольниками*	.
Мастер хочет вырезать из него как можно больше	*прямоугольных*	заготовок размером 3×5 дм2 .
12 Большой квадрат разрезан на четыре	*прямоугольных*	треугольника и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
Все фигурки складываются из	*прямоугольных*	листов бумаги ( одного или двух ) , без помощи ножниц или клея ( клей применяют разве что для склеивания половинок фигур , составленных из двух листов ) .
12 Большой квадрат разрезан на четыре	*прямоугольных треугольника*	и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
Возьмем на плоскости	*прямую*	l и точку F.
3 Проведем	*прямую*	ОА .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на	*прямую*	l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
1 Из вершин А и В опускаем перпендикуляры на	*прямую*	l .
51 Постройте любую окружность , касающуюся прямых , проведите через точку А	*прямую*	, параллельную данным .
1 Через точку вне данной прямой можно провести только одну	*прямую*	, перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на	*прямую*	AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
Если начертить	*прямую*	в тетради , то одна из прямых , перпендикулярных ей , будет лежать в плоскости тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке .
Проведем четвертую	*прямую*	.
Эти точки разобьют четвертую	*прямую*	на четыре куска .
Проведем через точку А любую	*прямую*	и опустим из В перпендикуляр на эту прямую .
Меняя	*прямую*	, проходящую через точку А , мы будем получать различные точки , которые будут описывать некоторую линию .
Итак , если мы хотим из точки А по кратчайшему пути попасть на	*прямую*	m , то двигаться надо по перпендикуляру к прямой m .
Проведем через точку А любую прямую и опустим из В перпендикуляр на эту	*прямую*	.
4 Через точку А проведите	*прямую*	, параллельную прямой CD .
1 Проведем через точку А любую окружность , пересекающую	*прямую*	l .
Отражаясь от оси n , ось m перейдет в некоторую	*прямую*	m1 тоже являющуюся осью симметрии и пересекающуюся с n под углом 15 ° .
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем	*прямую*	А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
С помощью циркуля и линейки проведите через А	*прямую*	, перпендикулярную l.
Или , как говорят , опускать на данную	*прямую*	перпендикуляры или восставлять к ней перпендикуляры .
48 Через каждую из трех точек надо провести	*прямую*	, параллельную прямой , проходящей через две другие точки .
Начертите в тетради точку ,	*прямую*	, отрезок , луч и угол .
Перпендикулярные	*прямые*	обладают интересными свойствами .
Такие отрезки и	*прямые*	называются скрещивающимися .
5 Изобразите четырехугольник , у которого три угла	*прямые*	.
Не существует плоскости , которая бы проходила через оба эти отрезка ( а также через	*прямые*	АА1 и D1C1 ) .
4 Изображены две параллельные	*прямые*	, пересекаемые третьей прямой .
4 На плоскости даны две пересекающиеся	*прямые*	.
Мы все время говорили : « параллельные	*прямые*	» , « перпендикулярные прямые » .
Мы все время говорили : « параллельные прямые » , « перпендикулярные	*прямые*	» .
Мы получили две	*прямые*	, пересекающиеся под прямым углом .
На плоскости выбирают две перпендикулярные	*прямые*	— оси координат .
— проводить	*прямые*	линии . — измерять отрезки . — строить отрезки заданной длины .
2 Две	*прямые*	, пересекающиеся под углом 15 ° , являются осями симметрии некоторого многоугольника .
1 Проведите через одну точку три	*прямые*	.
Изображены три	*прямые*	и точки на них .
Вы без труда можете найти вокруг себя различные примеры , иллюстрирующие	*прямые*	с заданными на них координатами .
Параллельные и перпендикулярные	*прямые*	играют очень большую роль в жизни человека : особенности их взаимного расположения используют в строительстве , технике , искусстве .
Так , отражаясь друг от друга ,	*прямые*	m и n вернутся в исходное положение .
2 Две параллельные	*прямые*	пересекают окружность .
8 Пусть все три	*прямые*	проходят через точку Р , а М — некоторая точка плоскости .
Две	*прямые*	, пересекающиеся под прямым углом ( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
А , В , С — основания перпендикуляров , опущенных из М на данные	*прямые*	.
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив перпендикулярные	*прямые*	через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим точку их пересечения .
Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все углы	*прямые*	.
Четыре	*прямые*	разобьют плоскость на 11 частей .
53 Через точку на диагонали прямоугольника провели	*прямые*	, параллельные его сторонам .
Только еще все они равны и все углы	*прямые*	.
2 У квадрата , как и у прямоугольника , все углы	*прямые*	.
3 Две	*прямые*	на плоскости , перпендикулярные третьей прямой , не могут пересечься одна с другой .
37 Три прямые разбивают плоскость на семь частей (	*прямые*	не параллельны и не проходят через одну точку ) .
51 Даны две параллельные	*прямые*	и точка А между ними .
Итак , свойство 3 говорит о том , что на плоскости существуют непересекающиеся	*прямые*	.
Две	*прямые*	на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются .
37 Три	*прямые*	разбивают плоскость на семь частей ( прямые не параллельны и не проходят через одну точку ) .
Используя линейку и чертежный угольник , можно без труда вычерчивать параллельные	*прямые*	.
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем множество параллельных между собой прямых ,	*прямые*	тип параллельны .
Проводя	*прямые*	, соединяющие всевозможные точки окружности с вершиной , получим коническую поверхность .
Две такие	*прямые*	определят центр .
Только еще все углы	*прямые*	.
С ее помощью можно лишь проводить	*прямые*	линии .
10 Через точку внутри квадрата проведены	*прямые*	по сторонам и диагоналям клеток .
То , что	*прямые*	m и n перпендикулярны , записывается так .
С помощью циркуля и линейки также можно строить параллельные и перпендикулярные	*прямые*	.
На сколько частей разбивают плоскость	*прямые*	, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку , если прямых : а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
8 Через некоторую точку плоскости проведены три	*прямые*	, образующие между собой углы по 60 ° .
Лучше изучить параллельные и перпендикулярные	*прямые*	и параллелограммы нам помогут опыты с листом бумаги .
В этом случае с его помощью можно проводить	*прямые*	, перпендикулярные данной прямой .
Возьмем любую точку плоскости и опустим на эти три	*прямые*	перпендикуляры .
Но углы А и В тоже	*прямые*	, т .
— проводить	*прямые линии*	. — измерять отрезки . — строить отрезки заданной длины .
С ее помощью можно лишь проводить	*прямые линии*	.
Проведем боковую сторону под	*прямым*	углом и закончим построение золотого прямоугольника .
Две прямые , пересекающиеся под	*прямым*	углом ( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
10 Сколькими способами можно прочитать слово « шалаш » , двигаясь по	*прямым*	, кривым и ломаным дорожкам ? .
Как вы думаете , будет ли и четвертый угол	*прямым*	? .
Мы получили две прямые , пересекающиеся под	*прямым*	углом .
2 Так как окружность симметрична относительно любого своего диаметра , то она симметрична и относительно диаметра MN , перпендикулярного	*прямым*	АА1 и ВВ1 , точка А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
Получим точку М. Из этой точки М отрезок АВ виден под	*прямым*	углом .
Поставьте два зеркала под	*прямым*	углом друг к другу .
Если мы построим на АВ как на диаметре окружность и возьмем на ней любую точку М , то угол AMВ будет	*прямым*	.
Проведем боковую сторону под	*прямым углом*	и закончим построение золотого прямоугольника .
Получим точку М. Из этой точки М отрезок АВ виден под	*прямым углом*	.
Две прямые , пересекающиеся под	*прямым углом*	( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
Мы получили две прямые , пересекающиеся под	*прямым углом*	.
Поставьте два зеркала под	*прямым углом*	друг к другу .
Что получится , если угол между	*прямыми*	равен 33 ° ? .
четырьмя	*прямыми*	?
Рассмотрим на окружности две дуги , лежащие между этими	*прямыми*	.
б ) Может ли быть треугольник с двумя	*прямыми*	углами ? .
Значит , квадрат — это ромб с	*прямыми*	углами .
Стены должны тянуться пятью	*прямыми*	линиями , с четырьмя башнями на каждой линии .
Расчертив рисунок параллельными	*прямыми*	и получив таким образом сетку параллелограммов мы видим , что орнамент получен параллельными переносами параллелограммов , внутри которых проведены некоторые линии .
14 Фигуру разделите на шесть частей двумя	*прямыми*	.
13 Как четырьмя	*прямыми*	линиями , не отрывая карандаша от бумаги , перечеркнуть девять точек ? .
тремя	*прямыми*	?
Значит , квадрат — это параллелограмм с	*прямыми*	углами , все стороны которого равны .
Понятно , что на практике мы имеем дело не с	*прямыми*	, а лишь с их частями — отрезками , лежащими на этих прямых .
2 Прямоугольник ABCD разделен на части	*прямыми*	КМ и ОР .
37 На сколько частей можно разбить плоскость двумя	*прямыми*	?
15 Разделите лунный серп двумя	*прямыми*	линиями на шесть частей .
13 Как четырьмя	*прямыми линиями*	, не отрывая карандаша от бумаги , перечеркнуть девять точек ? .
15 Разделите лунный серп двумя	*прямыми линиями*	на шесть частей .
Стены должны тянуться пятью	*прямыми линиями*	, с четырьмя башнями на каждой линии .
Значит , квадрат — это параллелограмм с	*прямыми углами*	, все стороны которого равны .
б ) Может ли быть треугольник с двумя	*прямыми углами*	? .
Значит , квадрат — это ромб с	*прямыми углами*	.
Задача измерения длин кривых линий , конечно , труднее практически и сложнее теоретически , чем измерение отрезков	*прямых*	.
Клад находился в точке пересечения	*прямых*	, соединяющих первый и третий , второй и четвертый дубы .
Отрезки	*прямых*	— дорожки .
Участники поочередно называют примеры таких	*прямых*	.
При пересечении двух	*прямых*	образуются две пары равных углов .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются углы с вершиной в точке пересечения	*прямых*	) ? .
Кстати , именно это свойство симметрии окружности мы использовали в разделе 20 при построении параллельных и перпендикулярных	*прямых*	.
Точка пересечения этих	*прямых*	является началом координат .
Как построить окружность , касающуюся данных	*прямых*	и проходящую через данную точку ? .
Изображена линия , состоящая из отрезков	*прямых*	и дуг окружности .
На сколько частей разбивают плоскость прямые , из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку , если	*прямых*	: а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
Изобразите в виде	*прямых*	два зеркала под углом 90 ° друг к другу .
1 Засеките время и постарайтесь за 10 мин привести как можно больше примеров параллельных и перпендикулярных	*прямых*	, встречающихся в окружающем нас мире .
Понятно , что на практике мы имеем дело не с прямыми , а лишь с их частями — отрезками , лежащими на этих	*прямых*	.
Проведем две пары параллельных	*прямых*	.
Перегибанием листа бумаги получите пару параллельных и пару перпендикулярных	*прямых*	.
Отрезки , лежащие на параллельных	*прямых*	, также называются параллельными , а на перпендикулярных — перпендикулярными .
Проведение параллельных	*прямых*	.
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным угольником , найдите пары параллельных и перпендикулярных	*прямых*	.
Таким образом , пять	*прямых*	разобьют плоскость на 16 частей .
Вспомним свойство трех перпендикулярных	*прямых*	.
Для шести	*прямых*	число частей составит 22 .
Передвигая , как показано на рисунке , треугольник вдоль неподвижной линейки , получаем множество параллельных между собой	*прямых*	, прямые тип параллельны .
Если бы они пересеклись , например , в точке С , то мы получили бы треугольник АВС , у которого два	*прямых*	угла , что невозможно .
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных	*прямых*	l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
2 Если точку взять на самой прямой , то через эту точку проходит бесконечное число	*прямых*	, перпендикулярных данной прямой .
51 Постройте любую окружность , касающуюся	*прямых*	, проведите через точку А прямую , параллельную данным .
Если начертить прямую в тетради , то одна из	*прямых*	, перпендикулярных ей , будет лежать в плоскости тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке .
Именно свойства параллельных	*прямых*	определяют основные свойства изучаемого нами пространства .
Если бы они пересеклись , например , в точке С , то мы получили бы треугольник АВС , у которого два	*прямых угла*	, что невозможно .
7 Поставьте в каждой вершине графа число , равное количеству выходящих из него	*путей*	.
Каким кратчайшим	*путем*	паук может доползти до мухи ?
Иными словами , кратчайшим	*путем*	от точки до прямой является путь по перпендикулярному к этой прямой направлению .
Вторая линейка нужна для измерения	*пути*	.
Совершая прогулки в воскресные дни , горожане заспорили : можно ли выбрать такой маршрут , чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку	*пути*	?
Поэтому точки , которых он может достичь за час , расположены на окружности с радиусом 4 км и центром в том месте , где Вася находится в начале	*пути*	.
Найти на сторонах угла две точки М и N так , чтобы длина замкнутого	*пути*	была наименьшей .
Изменению долготы на 1 ° на разных параллелях соответствуют разные	*пути*	.
Верста — старинная русская мера	*пути*	, равная 500 саженям .
Зависит ли результат от	*пути*	? .
Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо — описание	*пути*	, ведущего к кладу , и места , где он спрятан .
Итак , если мы хотим из точки А по кратчайшему	*пути*	попасть на прямую m , то двигаться надо по перпендикуляру к прямой m .
5 Найдите	*путь*	к беседке , расположенной в парке .
Выбирайте любой	*путь*	, а если он заведет вас в тупик , то возвращайтесь назад и начинайте все сначала .
Найдите на прямой такую точку M , чтобы	*путь*	из А в В через М был кратчайшим , т .
Какой	*путь*	он проделал ?
Вы можете убедиться , что , когда карандаш поравняется с концом линейки , линейка пройдет	*путь*	10 см. А значит , наша платформа передвинется на 10 м .
Интересно , что кратчайший	*путь*	от паука к мухе можно выбрать шестью разными способами .
Значит ,	*путь*	А1МВ равен AM В. Отсюда и решение .
7 Найдите	*путь*	от входа к выходу в пространственном лабиринте .
Таким образом ,	*путь*	муравья представляет кривую .
Попробуйте провести непрерывную линию по одной из сторон перекрученного кольца ( будем считать , что это	*путь*	муравья ) .
Так что	*путь*	червяка равен толщине второго тома , т .
Если мы сложим все эти числа , то получим четное число , так как каждый	*путь*	, соединяющий две вершины , считается дважды .
Какой	*путь*	проползет муравей вдоль отмеченной линии , пока не вернется в исходную точку ? .
Изменению широты на 1 ° на всех меридианах соответствует один и тот же	*путь*	( одна и та же дуга ) .
Иными словами , кратчайшим путем от точки до прямой является	*путь*	по перпендикулярному к этой прямой направлению .
Вы получите	*пятиугольник*	.
Сделайте необходимые вычисления и впишите в окружность равносторонние ( правильные )	*пятиугольник*	, шестиугольник и восьмиугольник .
Например , у	*пятиугольника*	пять вершин и пять сторон .
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых	*пятиугольника*	.
	*Пятиугольника*	и т . д. ? .
16 англичан выстраивались в цепочку таким образом , что каждый следующий касался концами пальцев своих ног	*пяток*	предыдущего .
Пусть одна касается окружности в точке В , а другая — в точке С. Имеет место	*равенство*	АВ равно АС .
Докажите	*равенство*	углов HA1В1 и HCВ1 .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в	*равнобедренном*	треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в	*равнобедренном треугольнике*	, лежащие против равных сторон , равны .
Найдите	*равнобедренные*	, правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные , тупоугольные треугольники .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом	*равнобедренный*	треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
Треугольник АОМ —	*равнобедренный*	.
5 Постройте	*равнобедренный*	непрямоугольный треугольник ( любой ) .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б )	*равнобедренный*	прямоугольный треугольник .
на две части так , чтобы из них можно было составить	*равнобедренный*	треугольник .
Треугольник АОВ —	*равнобедренный*	, один из углов равен 60 ° .
Две равные стороны —	*равнобедренный*	треугольник ( равные стороны называются боковыми ) .
3 Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой	*равнобедренный*	треугольник с такими же боковыми сторонами ?
	*Равнобедренный*	тупоугольный треугольник .
а )	*равнобедренный*	остроугольный треугольник . б ) равнобедренный прямоугольный треугольник .
3 Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой	*равнобедренный треугольник*	с такими же боковыми сторонами ?
Две равные стороны —	*равнобедренный треугольник*	( равные стороны называются боковыми ) .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом	*равнобедренный треугольник*	складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
на две части так , чтобы из них можно было составить	*равнобедренный треугольник*	.
49 Как разрезать треугольник на два	*равнобедренных*	треугольника , если его углы равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
Треугольник будет разделен на три	*равнобедренных*	треугольника .
Треугольник будет разделен на три	*равнобедренных треугольника*	.
49 Как разрезать треугольник на два	*равнобедренных треугольника*	, если его углы равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
Плоские	*равновеликие*	многоугольники также являются равносоставленными .
Фигуры , имеющие равные площади , называют	*равновеликими*	.
Все стороны равны —	*равносторонний*	, или правильный , треугольник .
Вписать в окружность	*равносторонний*	треугольник .
Вписать в окружность	*равносторонний треугольник*	.
А из этого следует , что этот треугольник является	*равносторонним*	, АВ равно АО равно 1 .
5 Из спичек сложена фигура , состоящая из шести	*равносторонних*	треугольников .
22 Для облегчения решения пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных	*равносторонних*	треугольников тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
Переложите четыре спички так , чтобы получилось три	*равносторонних*	треугольника .
9 12	*равносторонних*	треугольников .
9 Сколько различных	*равносторонних*	треугольников с вершинами в данных точках можно начертить ? .
Переложите четыре спички так , чтобы получилось три	*равносторонних треугольника*	.
5 Из спичек сложена фигура , состоящая из шести	*равносторонних треугольников*	.
9 12	*равносторонних треугольников*	.
22 Для облегчения решения пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных	*равносторонних треугольников*	тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
9 Сколько различных	*равносторонних треугольников*	с вершинами в данных точках можно начертить ? .
Во что превратится гипоциклоида , если	*радиус*	меньшего круга равен 6 см , а большего — 12 см ?
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого круга , так как	*радиус*	маленького круга в два раза меньше радиуса большого круга .
Как связаны между собой	*радиус*	и диаметр одной окружности ? .
Ведь нельзя так просто взять и измерить	*радиус*	земного шара , площадь океана и многое другое .
В 3 ч угол между радиусом и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч	*радиус*	возвратится в исходное положение , описав угол 360 ° .
АВ —	*радиус*	) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку — точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
Используя тот факт , что если	*радиус*	одного круга в два раза больше радиуса другого круга , то площадь первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
Представим , что	*радиус*	окружности — это часовая стрелка на круглом циферблате часов .
Скольким клеткам равен	*радиус*	такой окружности ? .
Проведем в окружности три	*радиуса*	так , чтобы углы между ними были равны 120 ° .
Прямая , перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого	*радиуса*	, касается окружности .
11 Две половинки маленьких кружочков в сумме составляют четверть большого круга , так как радиус маленького круга в два раза меньше	*радиуса*	большого круга .
Используя тот факт , что если радиус одного круга в два раза больше	*радиуса*	другого круга , то площадь первого в четыре раза больше площади второго , покажите , что для окраски частей этого орнамента потребуется равное количество оранжевой и черной краски .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с	*радиусами*	5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга	*радиусами*	4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите окружности разных	*радиусов*	в образовавшиеся углы .
Сколько можно провести в окружности	*радиусов*	и диаметров ?
Как выглядит гипоциклоида для кругов с	*радиусом*	8 см , 9 см и 10 см ? .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг	*радиусом*	12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга точку .
В 3 ч угол между	*радиусом*	и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч радиус возвратится в исходное положение , описав угол 360 ° .
Общую вершину треугольников будем считать центром окружности с	*радиусом*	, равным стороне треугольника .
Значит , М лежит на окружности с центром О и	*радиусом*	.
6 На окружности	*радиусом*	1 взяты три точки А , В , С так , чтобы угол АСВ был равен 30 ° .
6 Начертите циркулем окружность	*радиусом*	13 клеточек с центром в узле клетки .
Циркулем проведем дугу окружности	*радиусом*	АВ с центром в точке А .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность	*радиусом*	, равным АВ , с центром в точке В1 .
Он называется	*радиусом*	( по - латыни radius — « спица в колесе » ) .
Поэтому точки , которых он может достичь за час , расположены на окружности с	*радиусом*	4 км и центром в том месте , где Вася находится в начале пути .
Правильный шестиугольник вписан в окружность , и все стороны равны	*радиусу*	этой окружности .
Прямая , перпендикулярная	*радиусу*	окружности и проходящая через конец этого радиуса , касается окружности .
Пусть по	*радиусу*	равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муравей .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору ,	*радиусы*	которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Эти	*радиусы*	разделят окружность на три равные части — дуги по 120 ° .
2 Прямоугольник ABCD	*разделен*	на части прямыми КМ и ОР .
Если отрезок	*разделен*	на две части так , что меньшая имеет длину х , а большая — длину у , то в случае золотого сечения .
Треугольник будет	*разделен*	на три равнобедренных треугольника .
Оказывается , проведя лишь одну линию , фигуру можно разделить на две равные части , причем на равные части будет	*разделена*	каждая из частей — черная и белая .
Заданную фигуру , которая для облегчения работы часто	*разделена*	на равные клеточки , надо разрезать на две или несколько одинаковых частей .
Шкала транспортира представляет полуокружность ,	*разделенную*	на 180 частей .
3 Изготовьте головоломку сами : переведите на плотную бумагу квадрат ,	*разделенный*	на семь частей , и разрежьте его .
Дан один из способов плетения куба из трех полосок ,	*разделенных*	на пять квадратов .
диагональ квадрата	*разделила*	его на две равные части .
Лена , вырезав квадрат , сравнила все четыре отрезка , на которые диагонали	*разделили*	одна другую .
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его ребро	*разделили*	на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного куба .
И угол квадрата	*разделился*	пополам .
Измерим толщину стопки бумаги , подсчитаем число листов в стопке и	*разделим*	первое число на второе .
Теперь	*разделим*	нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем откладывать часть единицы .
8 Четырехугольник одним прямолинейным разрезом	*разделите*	на две равные части .
Из плотной бумаги вырежьте квадрат ,	*разделите*	его на 64 квадратика и прорежьте окошечки .
14 Фигуру	*разделите*	на шесть частей двумя прямыми .
3 Пирамида	*разделится*	на пять частей : четыре треугольные пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
В отличие от многоугольников , два многогранника , имеющие одинаковый объем , не всегда можно	*разделить*	на одинаковые части .
Это свойство поможет нам	*разделить*	отрезок пополам .
Для этого достаточно циркулем , не меняя раствора ,	*разделить*	окружность на равные части , а затем точки деления соединить последовательно или через одну .
2 Треугольник можно	*разделить*	на четыре равных треугольника .
Все большое семейство треугольников можно	*разделить*	на группы по числу равных сторон .
Треугольники можно	*разделить*	на группы в зависимости от углов .
Остальную часть обещал отдать сыновьям , если те сумеют	*разделить*	поле между собой на равные по площади и по форме части .
Оказывается , проведя лишь одну линию , фигуру можно	*разделить*	на две равные части , причем на равные части будет разделена каждая из частей — черная и белая .
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму правильного треугольника , надо	*разделить*	на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Надо круг с помощью циркуля или транспортира	*разделить*	на двенадцать равных частей ( подумайте , почему на двенадцать ) и свернуть по диаметрам в любом порядке .
17 Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать , чтобы	*разделить*	куб на 64 маленьких кубика ? .
Каждую из оставшихся частей этих фигур	*разделить*	на четыре равные части .
На сколько частей нужно	*разделить*	круг , чтобы у снежинки было n осей симметрии ? .
Эти радиусы	*разделят*	окружность на три равные части — дуги по 120 ° .
2 Пространство и	*размерность*	.
Найдите равнобедренные , правильные ,	*разносторонние*	, остроугольные , прямоугольные , тупоугольные треугольники .
Равных сторон нет —	*разносторонний*	треугольнику .
Равных сторон нет —	*разносторонний треугольнику*	.
Все точки одной ветви ближе к одному фокусу ( соответствующим образом берется и	*разность*	расстояний ) , а другой ветви к другому .
Гипербола — это линия , для всех точек которой	*разность*	расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
В 1899 г. швейцарский историк Генрих Зютер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись « Книга Архимеда о разбиении фигуры стомахиона на 14 частей , находящихся в	*рациональных*	отношениях » .
Среди	*ребер*	куба можно указать пары параллельных и перпендикулярных ребер .
Сможет ли оса последовательно обойти все 12	*ребер*	куба , не проходя дважды по одному ребру ?
По две окрашенных грани у кубиков , расположенных вдоль	*ребер*	исходного куба : по три на каждом ребре .
Среди ребер куба можно указать пары параллельных и перпендикулярных	*ребер*	.
Концы	*ребер*	являются вершинами многогранника .
Всего	*ребер*	12 , значит , 3×12 — 36 кубиков .
Запишите парами номера противоположных граней ( противоположные грани не имеют общих	*ребер*	): 1 , 2 , 3 .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число	*ребер*	, а соседние грани сходятся под равными углами .
Назовите еще две четверки параллельных между собой	*ребер*	куба .
Если от треугольной пирамиды отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины	*ребер*	, то будет ли оставшаяся часть также треугольной пирамидой ? .
Подсчитаем число вершин ( В ) ,	*ребер*	( Р ) и граней ( Г ) у каждого многогранника и запишем результаты в табличку .
А вот пара	*ребер*	АА1 и D1C1 особенная .
Угол между ребром АА1 и каждым из этих	*ребер*	равен 90 ° .
2 Объемы тел при увеличении их	*ребер*	в n раз увеличиваются n×n×n раз .
Три четверки его	*ребер*	параллельны между собой .
Найдите еще несколько пар скрещивающихся	*ребер*	куба ABCDA1B1C1D1 .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее	*ребра*	пополам ?
Каждый из них проходит через середину одного	*ребра*	куба , соединяющего свободные вершины .
Ребра АА1 и ВВ1 куба лежат в одной плоскости — в плоскости передней грани ; в этой же плоскости лежат и	*ребра*	А , В1 и АВ .
8 Пунктирными линиями обозначены невидимые	*ребра*	куба .
будем использовать треугольные пирамиды , все	*ребра*	которых равны соответствующей единице длины , то столкнемся с большими трудностями .
Через	*ребра*	АА1 и СС1 также можно провести плоскость — АА1С1С ( диагональное сечение куба ) .
Назовите	*ребра*	, перпендикулярные : а ) ребру СС1 , б ) ребру DC .
Обведите	*ребра*	куба , которые лежат ближе к вам , красным цветом , а дальние — синим .
Какие	*ребра*	ведут вглубь ?
Проведите сплошные линии ( видимые	*ребра*	) так , чтобы куб был « виден » : а ) слева снизу ; б ) справа сверху ; в ) справа снизу .
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите систему координат с кубом , у которого	*ребро*	равно 1 .
Укажите ее размеры , если	*ребро*	куба равно 1 см .
Два соседних плоских многоугольника имеют общую сторону —	*ребро*	многогранника .
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его	*ребро*	разделили на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых ребро в пять раз меньше , чем у исходного куба .
8 Деревянный куб покрасили снаружи краской , каждое его ребро разделили на пять равных частей , после чего куб распилили так , что получились маленькие кубики , у которых	*ребро*	в пять раз меньше , чем у исходного куба .
Если каждое	*ребро*	пирамиды увеличить в 3 раза , то во сколько раз возрастет ее объем ? .
Бумага в клеточку облегчит	*решение*	.
Образцы паркета , еще раз покажут технологию изготовления плоских орнаментов и , может быть , натолкнут вас на собственное оригинальное	*решение*	.
А	*решение*	задачи о мостах доказывает , что изображенную фигуру нельзя нарисовать одним росчерком .
Значит , путь А1МВ равен AM В. Отсюда и	*решение*	.
Но мы ее	*решение*	сводим к измерению отрезков .
Какие - то из этих фигур вам удалось вычертить почти сразу ,	*решение*	других пришло через некоторое время , а третьи вообще не рисуются .
При	*решении*	задач на нахождение тех или иных величин большую пользу могут принести формулы , позволяющие выразить искомые величины через другие , известные или легко находимые .
Они так же важны , как и смекалка и находчивость при	*решении*	задач .
При	*решении*	следующих двух задач вам поможет раскраска доски для « Морского боя » в четыре цвета так , что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет , затем маленькая диагональ из двух клеток окрашивается во второй цвет , следующая трехклеточная диагональ — в третий цвет , затем цвет четвертый , потом вновь первый и т .
5 При	*решении*	этой головоломки не разрешается делать какие - либо рисунки и манипулировать объектами .
15 В	*решении*	этой задачи поможет развертка куба .
При	*решении*	практических задач на измерение объема не обязательно разбивать пространство на кубические единицы , а затем мельчить на меньшие кубики .
При	*решении*	большинства предыдущих задач мы опирались на некоторые свойства фигур .
13 В	*решении*	задачи вам поможет эксперимент .
Эта пословица предостерегает вас от поспешности в	*решении*	задан .
Как видим , в случае а ) задача не имеет	*решений*	; б ) — существуют два треугольника , удовлетворяющих условию задачи ( ∆АВС и ∆АВС1 ) ; в случае в ) такой треугольник один .
Попробуйте и вы найти несколько	*решений*	этой проблемы .
Образец	*решения*	: вид снизу ; вид справа ; вид спереди ; вид слева ; вид сверху .
Для их	*решения*	нужны только смекалка , способность предвидеть результат и , пожалуй , хорошее воображение .
22 Для облегчения	*решения*	пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных равносторонних треугольников тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
План города для	*решения*	этой задачи можно изобразить графом .
Подсказки , ответы ,	*решения*	.
Ниже мы предлагаем несколько задач , две из которых — с готовыми	*решениями*	.
Значит , квадрат — это	*ромб*	с прямыми углами .
Да , да , не удивляйтесь , и	*ромб*	, и прямоугольник , и квадрат — тоже параллелограммы .
1 У квадрата , как и у	*ромба*	, все стороны равны .
Уберите одну спичку и сделайте из оставшихся спичек один квадрат и два	*ромба*	.
Позже математики открыли еще целый	*ряд*	односторонних поверхностей .
У квадрата есть еще целый	*ряд*	интересных свойств .
Многогранники при всем различии имеют	*ряд*	общих свойств .
19 Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в	*ряд*	.
У эллипса есть целый	*ряд*	свойств , которые могут иметь самые неожиданные применения .
Вы можете заметить	*ряд*	интересных особенностей , благодаря которым они и получили свое название .
По их поводу у математиков существует целый	*ряд*	договоренностей и ограничений .
Чему равна длина	*ряда*	? .
а ) в двух	*рядах*	было по четыре стула , а в одном шесть . б ) у каждой из четырех стен было по четыре стула .
Сказано было оставить 5	*рядов*	по 4 дерева в каждом .
36 Как посадить девять деревьев в десять	*рядов*	по три дерева в каждом ряду ? .
9 Расставьте 24 стула так , чтобы они стояли в шесть	*рядов*	по пять стульев в каждом ряду .
Позвав работника , он дал ему такое распоряжение : « Оставь только пять	*рядов*	деревьев , по четыре дерева в каждом .
9 Расставьте 24 стула так , чтобы они стояли в шесть рядов по пять стульев в каждом	*ряду*	.
36 Как посадить девять деревьев в десять рядов по три дерева в каждом	*ряду*	? .
Обозначается двумя штрихами ″. Запись 78 ° 16′25″ читается так : 78 градусов 16 минут 25	*секунд*	.
Минуты обозначают значком ′. Одна шестидесятая часть минуты —	*секунда*	.
Куб является представителем большого	*семейства*	многогранников .
Слово « многоугольник » указывает на то , что у всех фигур из этого	*семейства*	много углов .
Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое	*семейство*	многоугольников .
Все большое	*семейство*	треугольников можно разделить на группы по числу равных сторон .
В этом разделе мы познакомим вас с одним интересным	*семейством*	линий , одна из которых нарисована ниже .
3 Пример многогранника , у которого восемь вершин и восемь граней , — пирамида , в основании которой лежит	*семиугольник*	.
Через ребра АА1 и СС1 также можно провести плоскость — АА1С1С ( диагональное	*сечение*	куба ) .
8 Какой формы получится	*сечение*	куба , если плоскость провести по диагонали , т .
Говорят , что его стороны образуют золотое	*сечение*	.
Постройте фигуру (	*сечение*	) , по которой плоскость , проходящая через указанные точки , пересечет куб .
Например , когда мы режем наискосок колбасу , то получающееся	*сечение*	имеет эллиптическую форму .
7 Как провести плоскость , чтобы получить квадратное	*сечение*	куба ? .
Золотое	*сечение*	— это такое деление целого на две неравные части , при котором большая часть относится к целому , как меньшая к большей .
При этом мы по - прежнему	*сечением*	задеваем лишь одну « полу » конуса ( плоскость 2 ) .
8 В	*сечении*	получается прямоугольник , две стороны которого равны ребрам куба , а две другие — диагоналям граней .
Если трубочку не разворачивать , то в	*сечении*	будет эллипс .
Математики дают точное определение золотому	*сечению*	.
Число 1,6 лишь приближенно ( с точностью до 0,1 ) представляет величину золотого	*сечения*	.
Если отрезок разделен на две части так , что меньшая имеет длину х , а большая — длину у , то в случае золотого	*сечения*	.
Интересно , что в правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту фигуру , делит другую в отношении золотого	*сечения*	.
Если плоскость	*сечения*	наклонять , то получим эллипс ( плоскость 1 ) .
Задача 6 похожа на разрезание хлеба : ножом мы тоже проводим некоторые плоскости и получаем в разрезе фигуры	*сечения*	.
В этот лабиринт , с бесчисленными коридорами , тупиками и переходами , Минос поселил Минотавра ( кровожадное существо с человеческим телом и головой быка ) и потребовал у афинян , убивших его сына , раз в девять лет присылать на съедение чудовищу семерых	*сильнейших*	юношей и семь красивейших девушек .
Сколько осей	*симметрии*	имеет полученная фигура ?
У нее нет вертикальных осей	*симметрии*	.
Сколько осей	*симметрии*	у каждой из получившихся фигур ? .
Как расположены оси	*симметрии*	фигуры , если их больше двух ? .
Если трафарет поворачивать вокруг точки О ( центра	*симметрии*	) на 180 ° , то бордюр уже будет иным .
2 Две прямые , пересекающиеся под углом 15 ° , являются осями	*симметрии*	некоторого многоугольника .
Приведите примеры плоских фигур , имеющих центр	*симметрии*	, но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
Приведите примеры плоских фигур , имеющих центр симметрии , но не имеющих оси ( осей )	*симметрии*	.
А теперь , наоборот , — фигур , имеющих ось ( или оси )	*симметрии*	, но не имеющих центра симметрии .
А теперь , наоборот , — фигур , имеющих ось ( или оси ) симметрии , но не имеющих центра	*симметрии*	.
Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл , рассматривают некоторые специальные виды	*симметрии*	.
Ведь понятие центральной	*симметрии*	распространяется и на трехмерное пространство .
А для того чтобы освоить « метод	*симметрии*	» , надо сначала познакомиться с основными свойствами симметрии .
Можно сказать , что точка О является центром	*симметрии*	, если при повороте вокруг точки О на 180 ° фигура переходит сама в себя .
А для того чтобы освоить « метод симметрии » , надо сначала познакомиться с основными свойствами	*симметрии*	.
Из этих свойств	*симметрии*	следует важное свойство плоскости .
Если фигура имеет и оси симметрии , и центр симметрии , то каким может быть число осей	*симметрии*	такой фигуры ? .
2 Отрезок , соединяющий симметричные точки , перпендикулярен оси	*симметрии*	и делится ею пополам .
Если фигура имеет и оси	*симметрии*	, и центр симметрии , то каким может быть число осей симметрии такой фигуры ? .
Значит , осей	*симметрии*	всего 12 .
Между соседними осями	*симметрии*	углы по 15 ° .
д ) имеющий две оси	*симметрии*	.
Отражаясь от оси n , ось m перейдет в некоторую прямую m1 тоже являющуюся осью	*симметрии*	и пересекающуюся с n под углом 15 ° .
И последний вид трафарета — трафарет , имеющий две оси	*симметрии*	— вертикальную и горизонтальную .
2 Пусть m и n — оси	*симметрии*	.
Кроме осевой	*симметрии*	существует еще и центральная симметрия .
Она лежит на оси	*симметрии*	.
Если фигура имеет и оси симметрии , и центр	*симметрии*	, то каким может быть число осей симметрии такой фигуры ? .
Она характеризуется наличием центра	*симметрии*	— точки О , обладающей определенным свойством .
составьте слова , имеющие ось	*симметрии*	( горизонтальную или вертикальную ) , например , ТОПОТ , СОН .
Дайте определение центральной	*симметрии*	, удобное и для пространственных тел .
Разместить квадраты в клетках поля так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались фигуры , имеющие одинаковое число осей	*симметрии*	.
При однократном перегибании бумаги вырезанная снежинка имеет одну ось	*симметрии*	.
а ) назовите буквы , имеющие одну , две оси	*симметрии*	.
Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси	*симметрии*	, то ее части совпадут .
Сколько осей	*симметрии*	будет иметь « снежинка » , если бумагу перегнуть 2 , 3 , 4 , 5 раз ?
Дело в том , что у настоящих , природных снежинок всегда шесть осей	*симметрии*	.
Во сколько раз новое перегибание увеличивает число существующих осей	*симметрии*	?
Среди фигур выберите симметричные и проведите в них всевозможные оси	*симметрии*	.
Опыты с зеркалами позволили нам прикоснуться к удивительному математическому явлению —	*симметрии*	.
Представим , что l — зеркало ( или ось	*симметрии*	) .
Клякса имеет одну ( вертикальную ) ось	*симметрии*	.
Например , если зеркала стоят под углом 60 ° друг к другу , то линия отражается шесть раз и полученная фигура имеет три оси	*симметрии*	.
1 Известно , что фигура имеет две оси	*симметрии*	.
У « снежинки » несколько линий сгиба , и все они являются осями	*симметрии*	.
У этой « снежинки » четыре оси	*симметрии*	.
У геометрических фигур может быть одна или несколько осей	*симметрии*	, а может и не быть вовсе .
Мысленно перегибая бумагу , определите , сколько осей	*симметрии*	имеет каждая из фигур .
Линия сгиба — ось	*симметрии*	кляксы .
Подумайте , как получить « снежинку » с произвольным количеством осей	*симметрии*	.
Прямая , вдоль которой поставлено зеркало , называется осью	*симметрии*	.
13 Дано игровое поле 4×4 и 16 квадратов с геометрическими фигурами , имеющими ось ( одну или несколько )	*симметрии*	.
10 Какое наибольшее число различных сторон может быть в шестиугольнике , имеющем ось	*симметрии*	? .
На сколько частей нужно разделить круг , чтобы у снежинки было n осей	*симметрии*	? .
Кстати , именно это свойство	*симметрии*	окружности мы использовали в разделе 20 при построении параллельных и перпендикулярных прямых .
Издавна человек использовал	*симметрию*	в архитектуре .
поворотная ( центральная )	*симметрия*	.
Поворот на 180 ° вокруг точки о ( центральная	*симметрия*	) .
параллельный перенос . 2 ) зеркальная	*симметрия*	: а ) с вертикальной осью б ) с горизонтальной осью .
Кроме осевой симметрии существует еще и центральная	*симметрия*	.
В результате	*симметрия*	становится мощным средством математических исследований , помогает решать трудные задачи .
Потому такая	*симметрия*	называется зеркальной ( или осевой , если речь идет о плоскости ) .
В древности слово «	*симметрия*	» употреблялось в значении « гармония » , « красота » .
В таком широком понимании	*симметрия*	не имеет математического содержания .
Зеркальная	*симметрия*	относительно вертикальной оси .
Как вы знаете , слово «	*симметрия*	» в переводе с греческого означает « одинаковость в расположении частей » .
Получится одна из замечательных кривых , называемая	*синусоидой*	.
Может ли эта	*система*	вращаться ? .
Какое наибольшее число кубиков можно убрать , чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся	*система*	кубиков не развалилась ? .
В этой	*системе*	отметим точки Аl(2 ; 1 ) и Вl(8 ;
Получаем нужную систему координат хОу и находим место клада по координатам ( 6 ; 6 ) в новой	*системе*	.
Чтобы получить декартову	*систему*	координат в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z , перпендикулярную им , с тем же началом в точке 0 .
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите	*систему*	координат с кубом , у которого ребро равно 1 .
Получаем нужную	*систему*	координат хОу и находим место клада по координатам ( 6 ; 6 ) в новой системе .
Одну из этих осей , обычно горизонтальную , называют осью х , а вторую — осью у. Такую координатную	*систему*	называют декартовой ( по имени великого французского математика Рене Декарта , работы которого положили начало одному из важнейших методов исследования — методу координат ) .
Чтобы чертеж получился более наглядным , свяжите	*систему координат*	с кубом , у которого ребро равно 1 .
Чтобы получить декартову	*систему координат*	в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z , перпендикулярную им , с тем же началом в точке 0 .
Получаем нужную	*систему координат*	хОу и находим место клада по координатам ( 6 ; 6 ) в новой системе .
Вид	*системы*	кубиков в этих случаях .
Измеряем каждый отрезок и	*складываем*	результаты измерений .
Каждый из играющих	*складывает*	первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую фигуру так , чтобы получилась вторая фигура , затем третья .
В задании 6 вы	*складывали*	квадрат по диагонали .
47 Замостите плоскость одинаковыми «	*скобками*	» .
Тетраэдр начинают перекатывать , как показано на рисунке , причем он оставляет	*след*	такого же цвета , что и грань , касающаяся бумаги .
Если тетраэдр сначала стоял на оранжевой грани , то какого цвета будет последний	*след*	?
2 Из спичек	*сложена*	фигура , состоящая из девяти равных треугольников .
4 Из спичек	*сложена*	фигура .
5 Из спичек	*сложена*	фигура , состоящая из шести равносторонних треугольников .
Как она должна быть	*сложена*	?
д. В	*сложенной*	бумаге вырезается ножницами узор так , чтобы одновременно были прорезаны все слои бумаги .
1 Пользуясь этим правилом , напишите цепочку - код для полоски ,	*сложенной*	шесть раз .
Следуя этим закономерностям , можно последовательно выписывать цепочки ( коды ) для полосок ,	*сложенных*	любое число раз .
Может , это просто набор	*сложенных*	определенным образом треугольников и четырехугольников ?
21 Из 12 спичек	*сложены*	четыре квадрата .
8 Разрезав « кольцо » и	*сложив*	из него квадрат , увидим , что краски пойдет одинаковое количество ( площади этих фигур равны ) .
Разрежьте этот прямоугольник на две равные части так , чтобы ,	*сложив*	их определенным образом , получить квадрат .
Клякса получилась так : на лист бумаги капнули чернил ,	*сложили*	лист вдвое и затем разогнули .
Если мы	*сложим*	все эти числа , то получим четное число , так как каждый путь , соединяющий две вершины , считается дважды .
Из листа бумаги произвольной формы	*сложите*	и затем вырежьте прямоугольник .
Вырежьте из бумаги квадрат и	*сложите*	его вдвое по диагонали .
14 Разделите фигуры на прямоугольники , найдите по формуле площади этих прямоугольников и результаты	*сложите*	.
11 Из семи многоугольников , входящих в танграм ,	*сложите*	фигуры .
Отметьте на листе две точки А и В , а затем	*сложите*	лист так , чтобы А и В совпали .
Перемешайте фигуры пентамино на столе , чтобы они лежали произвольно , а затем	*сложите*	прямоугольник 6×10 , не переворачивая ни одной фигурки .
Перегните полоску по сторонам треугольников и	*сложите*	, как показано .
5 На какие части надо разрезать квадрат , чтобы	*сложить*	из них фигуры ?
28 Определите , из каких разверток можно	*сложить*	параллелепипед .
6 Если	*сложить*	квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ; треугольники , на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
5 Равнобедренный треугольник можно	*сложить*	пополам так , чтобы половинки совместились .
Но можно	*сложить*	еще один треугольник , используя четыре фигуры : один большой треугольник , два маленьких и квадрат .
Головоломка состоит в том , чтобы , используя все семь частей ,	*сложить*	фигурки .
17 Круг диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу	*сложить*	вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в стороны , слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
1 Сколько одинаковых квадратов надо взять , чтобы из них можно было	*сложить*	в два раза больший квадрат ?
Если симметричную фигуру	*сложить*	пополам вдоль оси симметрии , то ее части совпадут .
9 Произвольный треугольник разрежьте на три части так , чтобы можно было	*сложить*	прямоугольник .
Как из нее	*сложить*	единичный кубик ( т . е .
Если ленту предварительно	*сложить*	вдвое вдоль , а затем « гармошкой » , то получится лента , симметричная относительно горизонтальной оси .
Образцы паркета , еще раз покажут технологию изготовления плоских орнаментов и , может быть , натолкнут вас на	*собственное*	оригинальное решение .
« Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо , чем их	*собственное*	отражение в зеркале ?
В результате каждая клетка шахматной доски имеет	*собственное*	« имя » , складывающееся из двух координат — буквы и числа , обозначающих столбец и строку , на пересечении которых эта клетка находится .
Правители разных стран любили устанавливать свои меры , часто связанные с	*собственной*	персоной .
Не всякому удается сделать это за всю жизнь , но если говорить о чем - то более простом , то с уверенностью можно сказать , что каждому человеку , научившемуся считать и писать , неоднократно приходилось что - либо измерять : высоту дерева ,	*собственный*	вес , длину прыжка , время бега и многое другое .
Мы можем взять и трафарет , рисунок которого	*совпадает*	сам с собой при повороте его на 180 ° вокруг центра ( точки , лежащей внутри рисунка ) .
Если сторона угла	*совпадает*	с правой половиной основания транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
20 Разрежьте квадрат на пять прямоугольников так , чтобы у любых двух соседних прямоугольников стороны не	*совпадали*	.
Окружность — частный случай эллипса , она получается , если фокусы эллипса	*совпадают*	.
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его	*совпадут*	; треугольники , на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии , то ее части	*совпадут*	.
Если эти части можно наложить одну на другую так , что они	*совпадут*	( при этом разрешается переворачивать их наизнанку ) , то задача решена верно .
а ) вершина угла	*совпала*	с черточкой — серединой основания транспортира .
одна сторона угла	*совпала*	с основанием транспортира , соответствующим 0 ° .
3 Если перегнуть круг так , чтобы половинки	*совпали*	, то линия сгиба пройдет через центр .
Отметьте на листе две точки А и В , а затем сложите лист так , чтобы А и В	*совпали*	.
Перегните квадрат пополам так , чтобы	*совпали*	две противоположные стороны .
Наложим кальку на карту так , чтобы точки А и Аl	*совпали*	и отрезок АlВl « пошел » по АВ .
Половинки квадрата ( треугольники )	*совпали*	, т .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы	*совпали*	боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
Она называется спиралью Архимеда ( в переводе с латыни	*спираль*	означает « изгиб » , « извив » ) .
Она называется	*спиралью*	Архимеда ( в переводе с латыни спираль означает « изгиб » , « извив » ) .
Можно сказать , что английский фут — это длина ступни	*среднего*	англичанина .
3 ) и самое главное , буквы , равноудаленные от	*среднего*	Н , всегда различны .
д . 2 ) в середине всегда Н , а сгибы до этого	*среднего*	Н такие же , как и на предыдущем шаге .
Это значит , что из	*среднего*	домика невозможно без пересечения « границы » области попасть либо к навесу ( если домик в первой области ) , либо к погребу ( если домик во второй области ) , либо к колодцу .
один большой треугольник , один треугольник	*средний*	и два маленьких .
34 Если соединить левый и правый домики с колодцем , навесом и погребом , то	*средний*	домик окажется в одной из трех образовавшихся областей .
7 Вокруг небольшого курортного городка расположены три круглых не соединяющихся между собой озера : большое ,	*средних*	размеров и маленькое .
Почти все великие ученые древности и	*средних*	веков были выдающимися геометрами .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его	*сторон*	с окружностью , проходит через ее центр .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных	*сторон*	, равны .
3 Если известно , сколько у многоугольника вершин , то сразу можно сказать , сколько у него	*сторон*	.
Вася , вырезая квадрат , проверил его так : он сравнил длины	*сторон*	.
Со всех шести	*сторон*	( спереди и сзади , справа и слева , сверху и снизу ) мы видим квадрат 3×3 .
Заметьте , что сколько углов , столько и	*сторон*	, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками .
5 Надо построить точки А1 и А2 , симметричные точке А относительно	*сторон*	угла .
Стороны одного из них являются продолжением	*сторон*	другого угла .
Вертикальные углы не имеют общих	*сторон*	.
Мы смотрим на тело с трех	*сторон*	: спереди , сверху и слева .
2 Надо соединить отрезками середины	*сторон*	треугольника .
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять стороны такими , чтобы сумма двух	*сторон*	мало отличалась от третьей стороны .
Все большое семейство треугольников можно разделить на группы по числу равных	*сторон*	.
Какое наибольшее число кубиков можно убрать , чтобы со всех	*сторон*	был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не развалилась ? .
Если a и b — длины	*сторон*	прямоугольника ( в каких - то единицах ) , то его площадь равна a×b квадратных единиц .
Равных	*сторон*	нет — разносторонний треугольнику .
Как линия сгиба расположена относительно	*сторон*	квадрата ?
Ведь надо нарисовать его , чтобы ясно было , как оно выглядит со всех	*сторон*	.
48 Ученик нарисовал на доске треугольник и отметил середины его	*сторон*	.
Закройте одну из вершин этого треугольника , и станет ясно , что одна из его	*сторон*	направлена к нам , а другая — от нас , т .
Например , у пятиугольника пять вершин и пять	*сторон*	.
Такие ленты вырезаются не ножницами , а ножом или лезвием : бумага « наворачивается » на линейку или другую жесткую основу поперек , с двух	*сторон*	на ней рисуется .
3 Треугольник , каждая из	*сторон*	которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных	*сторон*	) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Попробуйте провести непрерывную линию по одной из	*сторон*	перекрученного кольца ( будем считать , что это путь муравья ) .
39 Вдоль бумажной ленты длиной 60 см проведена с двух	*сторон*	посередине прямая линия .
1 Каждая из	*сторон*	треугольника равна 7 см. Сколько треугольных сантиметров составляет его площадь ? .
10 Какое наибольшее число различных	*сторон*	может быть в шестиугольнике , имеющем ось симметрии ? .
Площади плоских фигур при увеличении их	*сторон*	в n раз увеличиваются в n×n раз .
Пусть в треугольнике АВС	*сторона*	АВ равна 6 см , ∠ВАС равно 70 ° , ∠АВС равно 40 ° .
Пусть	*сторона*	каждого треугольника равна 3 см. Изготовьте такую полоску и раскрасьте .
Одна	*сторона*	у него оранжевая , другая серая .
Лицевая сторона ; оборотная	*сторона*	.
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это квадрат ,	*сторона*	которого в два раза больше стороны исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
б )	*сторона*	и два прилежащих к ней угла .
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение треугольника по следующим данным :	*сторона*	треугольника равна 6 см , а прилежащие к ней углы равны 85 ° и 100 ° .
46 Докажите , что в прямоугольном треугольнике , один из углов которого равен 30 ° , наибольшая	*сторона*	в два раза больше наименьшей .
1 Сложите шесть спичек так , чтобы образовалось четыре треугольника (	*сторона*	каждого треугольника должна быть равной длине спички ) .
Лицевая	*сторона*	; оборотная сторона .
8 Кусок бумаги имеет форму прямоугольника , одна	*сторона*	которого равна четырем , а другая — девяти единицам длины .
Найдите сторону двух квадратов , отмеченных знаком вопроса , если	*сторона*	маленького черного квадрата равна 1 .
Оказывается , у перекрученного кольца ( впоследствии его назвали листом Мёбиуса ) имеется только одна	*сторона*	!
Затем от этого прямоугольника отрежьте квадрат со стороной 6 см. Останется прямоугольник , одна	*сторона*	которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
б ) треугольник , одна	*сторона*	которого проходит по сторонам клеток .
8 Найдите площади каждой части танграма , если	*сторона*	клетки равна 1 .
2 Перечертите на клетчатую бумагу фигуру и вырежьте ее (	*сторона*	каждого квадрата 4 см ) .
Если	*сторона*	угла совпадает с правой половиной основания транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
одна	*сторона*	угла совпала с основанием транспортира , соответствующим 0 ° .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ;	*сторона*	и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
Пусть в треугольнике АВС угол ВАС равен 40 ° ,	*сторона*	А В равна 4 см. Рассмотрим три случая : а ) ВС равно 2 см ; б ) ВС равно 3,5 см ; в ) ВС равно 5 см .
2 Начертите при помощи транспортира углы , равные 10 ° , 20 ° , 30 ° , 170 ° , причем так , чтобы одна	*сторона*	у всех углов была общей .
Вершина ;	*сторона*	; угол треугольника .
Вторая	*сторона*	угла указывает на шкале угол в градусах .
Рассмотрим , например , задачу о построении треугольника по двум	*сторонам*	и углу , но не между данными сторонами .
Как найти площадь этого треугольника , если это . а ) прямоугольный треугольник , две стороны которого проходят по	*сторонам*	клеток .
б ) треугольник , одна сторона которого проходит по	*сторонам*	клеток .
10 Через точку внутри квадрата проведены прямые по	*сторонам*	и диагоналям клеток .
53 Через точку на диагонали прямоугольника провели прямые , параллельные его	*сторонам*	.
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах , а стороны прямоугольника шли по	*сторонам*	клеточек на бумаге .
Перегните полоску по	*сторонам*	треугольников и сложите , как показано .
7 В треугольнике АВС отрезки AA1 , и ВВ1 перпендикулярны	*сторонам*	ВС и АС .
Разрезать можно не только по	*сторонам*	, но и по диагоналям клеточек .
Если мы теперь вернемся к задаче построения треугольника по трем	*сторонам*	, то исходными данными для построения будут являться три данных отрезка .
Построение треугольника по двум	*сторонам*	и углу между ними .
1 Показан способ разрезания квадрата со стороной в четыре клетки по	*сторонам*	клеток на две равные части .
Он обнаружил , что на перекрученном кольце линия прошла по обеим	*сторонам*	, хотя его карандаш не отрывался от бумаги .
Построение треугольника по трем	*сторонам*	.
Сколько существует способов разрезания квадрата на две равные части линиями , идущими по	*сторонам*	маленьких квадратиков ? .
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два квадрата со сторонами , равными меньшим	*сторонам*	треугольника .
3 Постройте квадрат со стороной А В , где А и В — узлы клетчатой бумаги и отрезок А В не проходит по	*сторонам*	клеток .
9 Начертите на листе бумаги любой угол и вырежьте его по	*сторонам*	, оставив бумагу между сторонами угла неразрезанной .
3 Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой равнобедренный треугольник с такими же боковыми	*сторонами*	?
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два квадрата со	*сторонами*	, равными меньшим сторонам треугольника .
Постройте треугольник со	*сторонами*	7 см , 5 см , 4 см. Решение этой задачи .
Чему равен угол между большими	*сторонами*	получившихся треугольников ?
2 Треугольник со	*сторонами*	7 см « выложен » треугольными сантиметрами .
И здесь вновь возникает вопрос : любые ли три отрезка могут быть	*сторонами*	треугольника ?
У нас есть 10 квадратных карточек со	*сторонами*	10 , 9 , 8 , 7 , 1 .
Как вы думаете , какие углы образует диагональ со	*сторонами*	квадрата ?
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить	*сторонами*	треугольника , если сумма длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
Рассмотрим , например , задачу о построении треугольника по двум сторонам и углу , но не между данными	*сторонами*	.
Заметим , что , какими бы мы ни задали две стороны треугольника , существует единственный треугольник с такими	*сторонами*	и углом .
А если взять квадрат других размеров — больше или меньше , — изменится ли угол между	*сторонами*	квадрата ?
Набор пентамино содержит 12 фигурок , каждая из которых составлена из пяти ( « пента » в переводе с греческого означает « пять » ) одинаковых квадратов , причем квадраты « соседствуют » друг с другом только	*сторонами*	.
Какой угол образует биссектриса этого угла с его	*сторонами*	?
Вырежьте из бумаги прямоугольник со	*сторонами*	10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется прямоугольник , стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
32 Может ли быть треугольник с очень большими	*сторонами*	и очень маленькой площадью ?
Угол квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю квадрата и его	*сторонами*	образуются углы по 45 ° .
9 Начертите на листе бумаги любой угол и вырежьте его по сторонам , оставив бумагу между	*сторонами*	угла неразрезанной .
2 На	*сторонах*	угла отложим отрезки АВ равно 5 см и АС равно 3 см ( используем линейку с делениями ) .
Найти на	*сторонах*	угла две точки М и N так , чтобы длина замкнутого пути была наименьшей .
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины треугольника лежали на его	*сторонах*	, а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
26 Поскольку на рисунке не видны автобусные двери ( они находятся на невидимой для нас	*стороне*	автобуса ) , автобус едет влево , т .
3 К левой	*стороне*	квадрата пририсуем треугольник .
Если же к	*стороне*	одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
Можно сделать вывод : по	*стороне*	и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный треугольник , но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными .
Общую вершину треугольников будем считать центром окружности с радиусом , равным	*стороне*	треугольника .
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же треугольника и квадрат со стороной , равной большей	*стороне*	треугольника .
Построение треугольника по	*стороне*	и двум углам .
Возьмем лист клетчатой бумаги и проведем в нем вертикальную черточку по	*стороне*	одной клетки .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со	*стороной*	1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
19 Куб со	*стороной*	1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд .
Изготовьте из картона набор пентамино со	*стороной*	квадратика , равной 2 см .
А площадь квадрата со	*стороной*	1 см равна 1 квадратному сантиметру .
19 Куб со стороной 1 м распилили на кубики со	*стороной*	1 см. Получившиеся кубики выложили в ряд .
14 Имеется куб со стороной 3 см. Сколько надо сделать распилов , чтобы распилить его на кубики со	*стороной*	1 см ? .
1 Показан способ разрезания квадрата со	*стороной*	в четыре клетки по сторонам клеток на две равные части .
4 Буква Т составлена из шести квадратов со	*стороной*	1 см .
14 Имеется куб со	*стороной*	3 см. Сколько надо сделать распилов , чтобы распилить его на кубики со стороной 1 см ? .
8 Получится квадрат со	*стороной*	6 единиц .
Затем на нее положим карточку со	*стороной*	9 , но не по центру ( в левом верхнем углу ) .
Пары углов с общей	*стороной*	.
Возьмем квадрат со	*стороной*	1 м .
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же треугольника и квадрат со	*стороной*	, равной большей стороне треугольника .
Затем от этого прямоугольника отрежьте квадрат со	*стороной*	6 см. Останется прямоугольник , одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой .
3 Постройте квадрат со	*стороной*	А В , где А и В — узлы клетчатой бумаги и отрезок А В не проходит по сторонам клеток .
Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со	*стороной*	10 см. Останется прямоугольник , стороны которого 6 см и 10 см , т . е .
На нее ( в левый нижний угол ) положим черную карточку со	*стороной*	8 .
черную , со	*стороной*	10 .
Теперь он имеет розовую	*сторону*	.
12 Переложите две спички так , чтобы корова смотрела в противоположную	*сторону*	.
Луч ОМ — это часть прямой по одну	*сторону*	от некоторой точки — начала луча ( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
Как изменится площадь треугольника , если каждую его	*сторону*	увеличить в 2 раза ?
Два соседних плоских многоугольника имеют общую	*сторону*	— ребро многогранника .
2 Как изменится площадь квадрата , если его	*сторону*	увеличить в 2 раза ?
Возьмем окружность и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на окружности по одну	*сторону*	от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
1 Сравните	*сторону*	квадрата с его диагональю .
Если какая - то шестеренка вращается в одну	*сторону*	, то соседние — в другую .
Проведем боковую	*сторону*	под прямым углом и закончим построение золотого прямоугольника .
10 Переложите три спички так , чтобы рыбка поплыла в противоположную	*сторону*	.
1 Даны прямая l и две точки А и В по одну	*сторону*	от нее .
1 Изменим верхнюю	*сторону*	квадрата .
Удастся ли муравью попасть на обратную , изнаночную	*сторону*	кольца , не переползая через край ?
Найдите	*сторону*	двух квадратов , отмеченных знаком вопроса , если сторона маленького черного квадрата равна 1 .
Оборотную	*сторону*	раскрасьте также в соответствии с рисунком .
Проползая вперед , он одновременно смещается в	*сторону*	вращения диска .
2 Тогда , чтобы ячейки « вдвинулись » одна в другую , так же надо изменить и противоположную	*сторону*	.
Карточки ,	*стороны*	которых четны , — черного цвета , а остальные — белого .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это многоугольник , у которого три	*стороны*	и три вершины » , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию « многоугольник » .
Лучи ОА и ОВ —	*стороны*	угла .
На прямоугольники , в которых	*стороны*	соотносятся приблизительно как 1,6:1 , обратили внимание очень давно .
Перегните квадрат пополам так , чтобы совпали две противоположные	*стороны*	.
11 Противоположные	*стороны*	шестиугольника , равны .
Значит , квадрат — это параллелограмм с прямыми углами , все	*стороны*	которого равны .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три	*стороны*	) , то такие треугольники равны .
Ромб — это параллелограмм , у которого все	*стороны*	равны .
Покажите в нем параллельные и перпендикулярные	*стороны*	.
Это же сделать с другой	*стороны*	.
Эти предметы расположены на столе так , чтобы , глядя на них из некоторой точки , можно было догадаться , как выглядит эта группа предметов с противоположной	*стороны*	( т .
1 Если считать , что в два раза больший квадрат — это квадрат , сторона которого в два раза больше	*стороны*	исходного квадрата , то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата .
Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания четырехугольник и треугольник , то соответствующие	*стороны*	не лежат на одной прямой .
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять чисел , выражающих	*стороны*	прямоугольников , были бы различными целыми числами .
Возьмем , например , два треугольника :	*стороны*	первого 27 , 36 , 48 , а второго 36 , 48 , 64 .
14 Васин дом расположен на берегу реки , с одной	*стороны*	которой лес , а с другой — поле .
Значит , квадрат — это прямоугольник , у которого все	*стороны*	равны .
Его	*стороны*	попарно параллельны : АВ ‖ CD , ВС ‖ AD .
Более того , если точка О ( центр окружности ) лежит с той же	*стороны*	от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
8 В сечении получается прямоугольник , две	*стороны*	которого равны ребрам куба , а две другие — диагоналям граней .
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять стороны такими , чтобы сумма двух сторон мало отличалась от третьей	*стороны*	.
Как найти площадь этого треугольника , если это . а ) прямоугольный треугольник , две	*стороны*	которого проходят по сторонам клеток .
Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется прямоугольник ,	*стороны*	которого 6 см и 10 см , т . е .
3 У квадрата , как и у параллелограмма ,	*стороны*	попарно параллельны .
Учащиеся становятся попарно лицом друг к другу , и один из них вслух описывает , как видит эту композицию его товарищ с противоположной	*стороны*	.
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые	*стороны*	; новый треугольник складывается еще раз и т .
Изобразим прямой угол и продолжим его	*стороны*	за вершину .
По этим договоренностям	*стороны*	треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Говорят , что его	*стороны*	образуют золотое сечение .
20 Разрежьте квадрат на пять прямоугольников так , чтобы у любых двух соседних прямоугольников	*стороны*	не совпадали .
35 Равны ли два угла треугольника , если они имеют по три равных угла и по две равные	*стороны*	? .
4 Такой же треугольник мы должны вырезать с противоположной	*стороны*	.
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять	*стороны*	такими , чтобы сумма двух сторон мало отличалась от третьей стороны .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей треугольным сантиметром , взяв за единицу треугольник , у которого все	*стороны*	равны 1 см ?
17 Круг диаметром b см сможет пройти в вырезанное на бумаге отверстие диаметром 4 см , если бумагу сложить вдвое по диаметру отверстия и растянуть края разреза в	*стороны*	, слегка деформируя ( сминая ) бумагу .
а ) две	*стороны*	и угол между ними .
Задача решалась бы совсем легко , если бы точки А и В лежали по разные	*стороны*	от прямой l.
в ) три	*стороны*	.
а ) левую и правую	*стороны*	, верх и низ , предметы спереди и сзади вас , если вы стоите лицом к зеркалу ?
Можно ли построить треугольник ,	*стороны*	которого являются отрезками длиной : а ) 7 см , 4 см , 2 см ; б ) 9 см , 5 см , 4 см ? .
Значит , и ВС ‖ A D. Получилось , что у прямоугольника	*стороны*	попарно параллельны .
Прямая А1А2 пересечет	*стороны*	угла в искомых точках М и N. Объясните это .
Алеша проверил работу иначе : он измерил не	*стороны*	, а диагонали .
Две равные	*стороны*	— равнобедренный треугольник ( равные стороны называются боковыми ) .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две	*стороны*	и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
1 У квадрата , как и у ромба , все	*стороны*	равны .
Сторона ОС у них общая , а	*стороны*	ОА и ОD составляют развернутый угол .
Пусть в треугольнике АВС известны две	*стороны*	АВ равно 5 см и АС равно 3 см и угол между ними ВАС , равный 50 ° .
Какие тела , если на них посмотреть с соответствующей	*стороны*	, могут выглядеть , как на рисунке ?
Только еще все	*стороны*	равны .
Все четыре	*стороны*	оказались равными , и Вася решил , что справился с заданием .
С какой	*стороны*	мы смотрим на этот каркасный куб ? . .
Все	*стороны*	равны — равносторонний , или правильный , треугольник .
Заметим , что , какими бы мы ни задали две	*стороны*	треугольника , существует единственный треугольник с такими сторонами и углом .
Рассмотрите самостоятельно случай , когда точка О расположена вне треугольника AMВ ( но М и О — с одной	*стороны*	от АВ ) .
Две равные стороны — равнобедренный треугольник ( равные	*стороны*	называются боковыми ) .
Поскольку второй треугольник получается из первого увеличением каждой	*стороны*	в 3/4 раза , то треугольники имеют равные углы .
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины треугольника лежали на его сторонах , а	*стороны*	прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
Поменялись ли на изображении местами правая и левая	*стороны*	?
Правильный шестиугольник вписан в окружность , и все	*стороны*	равны радиусу этой окружности .
Циркуль позволяет . —	*строить*	окружности . — сравнивать отрезки по величине .
— проводить прямые линии . — измерять отрезки . —	*строить*	отрезки заданной длины .
С помощью циркуля и линейки также можно	*строить*	параллельные и перпендикулярные прямые .
Значит ,	*сумма*	площадей двух маленьких квадратиков равна площади квадрата .
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника , если	*сумма*	длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять стороны такими , чтобы	*сумма*	двух сторон мало отличалась от третьей стороны .
33 Иллюстрирует еще одно наглядное доказательство того , что	*сумма*	углов треугольника равна 180 ° .
Подумайте , чему равна	*сумма*	смежных углов .
1 Геометрическая теория утверждает , что	*сумма*	углов треугольника равна 180 ° .
а )	*сумма*	углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
Докажите , что	*сумма*	площадей закрашенных частей равна сумме площадей незакрашенных частей .
Но	*сумма*	трех углов , сходящихся в точке О , равна 360 ° .
Конечно , в результате измерения во всех случаях	*сумма*	углов вряд ли будет равной 180 ° .
Позднее вы узнаете , что соответствующее построение возможно , если	*сумма*	заданных углов меньше 180 ° .
Расставьте на развертках куба числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы	*сумма*	чисел на противоположных гранях была равна 7 .
11 Две половинки маленьких кружочков в	*сумме*	составляют четверть большого круга , так как радиус маленького круга в два раза меньше радиуса большого круга .
Тогда число в каждом следующем узле равно	*сумме*	чисел предшествующих узлов ( тех , из которых попадаем в этот узел за один переход ) .
Докажите , что сумма площадей закрашенных частей равна	*сумме*	площадей незакрашенных частей .
Какой вывод о	*сумме*	углов треугольника вы можете сделать ? .
От квадрата отрезаны четыре равных треугольника , площади которых в	*сумме*	составляют 12 клеток .
1 Измерьте с помощью транспортира углы треугольников и результаты внесите в таблицу , в последнем столбце которой запишите	*сумму*	углов .
А вот на	*сфере*	перпендикуляры ведут себя иначе .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника	*сходится*	одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
На ней видно , как линии , уходящие вглубь ,	*сходятся*	в одной точке , а фигура , находящаяся дальше от нас , изображается в виде фигуры меньших размеров .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани	*сходятся*	под равными углами .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и	*сходятся*	в общей точке пространства .
Но сумма трех углов ,	*сходящихся*	в точке О , равна 360 ° .
В работе над задачами можно использовать спички ,	*счетные*	палочки или просто рисунок на бумаге .
Думается , что и вас , и ваших родных увлечет изготовление моделей геометрических	*тел*	.
Дайте определение центральной симметрии , удобное и для пространственных	*тел*	.
Аккуратность и точность при вычерчивании разверток геометрических	*тел*	— 80 % успеха в изготовлении моделей !
Для многогранников ( объемных	*тел*	) это не так .
2 Объемы	*тел*	при увеличении их ребер в n раз увеличиваются n×n×n раз .
20 Возьмите набор геометрических	*тел*	( куб , шар , пирамида , конус , цилиндр и др. ) .
12 Тела составлены из кубиков с ребром в 1 см. Подсчитайте объемы	*тел*	.
Совершенство форм , красивые математические закономерности , присущие правильным многогранникам , явились причиной того , что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических	*тел*	издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов .
11 Сколько различных	*тел*	можно построить , соединяя два соседних кубика только по граням : а ) из трех кубиков ?
Объемные	*тела*	, составленные из одинаковых частей , имеют одинаковый объем .
Если , не меняя формы	*тела*	, увеличить его размеры в n раз , то его объем увеличится в n×n×n раз .
Какие	*тела*	, если на них посмотреть с соответствующей стороны , могут выглядеть , как на рисунке ?
Все предметы (	*тела*	) в окружающем нас мире имеют три измерения , хотя далеко не у всех можно указать длину , ширину , высоту .
С давних пор люди пытались объемные	*тела*	изобразить на плоскости так , чтобы их сразу можно было отличить от плоских , чтобы чувствовалась глубина пространства .
10 Изобразите три	*тела*	, вырезанных из кубика , девятью способами , как на образце .
27 Изображены некоторые геометрические	*тела*	.
Изображение пространственного	*тела*	на плоскости — дело непростое .
А как быть с пространственными фигурами (	*телами*	) ?
Мы смотрим на	*тело*	с трех сторон : спереди , сверху и слева .
Каждая плоская фигура или пространственное	*тело*	имеет форму и размеры .
Как называется геометрическое	*тело*	, полностью описываемое тремя измерениями — длиной , шириной и высотой ?
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое	*тело*	— пирамида .
Пирамида — « жесткое » геометрическое	*тело*	, т .
Надо обладать хорошим пространственным воображением , чтобы суметь представить себе	*тело*	по его трем проекциям .
В этот лабиринт , с бесчисленными коридорами , тупиками и переходами , Минос поселил Минотавра ( кровожадное существо с человеческим	*телом*	и головой быка ) и потребовал у афинян , убивших его сына , раз в девять лет присылать на съедение чудовищу семерых сильнейших юношей и семь красивейших девушек .
Какие из рисунков могут соответствовать одному и тому же	*телу*	? .
12 Рисунок иллюстрирует одну из древнейших	*теорем*	геометрии — теорему Пифагора .
Именно это и утверждает	*теорема*	Пифагора .
Может , вы сумеете сами « открыть » эту великую	*теорему*	? .
12 Рисунок иллюстрирует одну из древнейших теорем геометрии —	*теорему*	Пифагора .
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс , увлекшись изготовлением моделей многогранников , написал в письме к отцу : « я сделал	*тетраэдр*	, додекаэдр и еще два эдра , для которых не знаю правильного названия » .
5 Дан	*тетраэдр*	, грани которого окрашены в серый , оранжевый , розовый и белый цвета .
Если	*тетраэдр*	сначала стоял на оранжевой грани , то какого цвета будет последний след ?
Показано , как можно сплести	*тетраэдр*	из двух полосок , состоящих из четырех треугольников .
Изображены правильные многогранники —	*тетраэдр*	, куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .
Оказывается , первый из них (	*тетраэдр*	) стоит немного особняком : если считать центры его граней вершинами нового многогранника , то вновь получим тетраэдр .
Треугольная пирамида имеет еще одно название —	*тетраэдр*	, т .
Сложите из белой	*тетраэдр*	так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
Оказывается , первый из них ( тетраэдр ) стоит немного особняком : если считать центры его граней вершинами нового многогранника , то вновь получим	*тетраэдр*	.
Сделайте модель	*тетраэдра*	из бумаги .
Подумайте , что является разверткой	*тетраэдра*	, нарисуйте ее .
5 Пронумеруем вершины	*тетраэдра*	числами 1 , 2 , 3 , 4 .
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани	*тетраэдра*	и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
Интересно , что с точки зрения	*топологии*	гайка , макаронина и кружка — одинаковые объекты .
Придумайте еще несколько предметов , одинаковых с гайкой с точки зрения	*топологии*	.
Чтобы получить некоторое представление о	*топологии*	, рассмотрим несколько топологических опытов с поверхностями , полученными из бумажной полоски примерно 30 см в длину и 3 см в ширину .
И приняв все это в расчет , а также определив широту и долготу , учитывая данные метеорологии , психологии , геологии ,	*топологии*	и болтологии , а также астрономии и физиологии , статистики , лингвистики , беллетристики и мистики , мы можем » .
Лист Мёбиуса — один из объектов	*топологии*	.
К	*топологическим*	относятся и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком .
Перечислите несколько «	*топологических*	родственников » шара .
Чтобы получить некоторое представление о топологии , рассмотрим несколько	*топологических*	опытов с поверхностями , полученными из бумажной полоски примерно 30 см в длину и 3 см в ширину .
Все пять	*точек*	( Р , М , А , В , С ) лежат на одной окружности с диаметром РМ .
Выберем , например , две пары	*точек*	на карте , расстояния между которыми равны , но точки расположены в разных местах карты ( близко к экватору и далеко от него ) .
41 Расставьте на плоскости шесть	*точек*	таким образом , что если соединить первую точку со второй , вторую с третьей и т .
Постарайтесь провести линию так , чтобы число	*точек*	пересечения линий разного цвета было бы нечетным .
42 На каждой « петле » таких	*точек*	будет четное число , а значит , и всего точек пересечения четное число .
Гипербола — это линия , для всех	*точек*	которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости ( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных	*точек*	плоскости ( фокусов гиперболы ) есть величина постоянная .
Каким образом можно быстро определить , где ( внутри или вне этой области ) лежит каждая из	*точек*	? .
13 Как четырьмя прямыми линиями , не отрывая карандаша от бумаги , перечеркнуть девять	*точек*	? .
29 Десять	*точек*	.
Нарисуйте фигуру , состоящую из	*точек*	, до которых может добраться коза .
48 Через каждую из трех	*точек*	надо провести прямую , параллельную прямой , проходящей через две другие точки .
Окружность — это линия , состоящая из всех	*точек*	плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой центром окружности .
Какое наименьшее количество	*точек*	надо отбросить , чтобы не осталось ни одного правильного треугольника ? .
2 Возьмем одну из	*точек*	пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное число , а значит , и всего	*точек*	пересечения четное число .
Сумма расстояний от них до двух заданных	*точек*	плоскости ( эти точки называются фокусами эллипса ) постоянна .
Этим парам точек будут соответствовать пары	*точек*	на поверхности земного шара , находящиеся на разном расстоянии одна от другой .
9 В качестве упражнения изобразите на одном чертеже шесть	*точек*	с координатами : О ( 0 ; 0 ; 0 ) , А ( 1 ; 0 ; 0 ) , В ( 0 ; 1 ; 0 ) , С ( 0:0:1 ) , D(1;1;0 ) , E(1;1:1 ) .
22 Уберите несколько	*точек*	так , чтобы из оставшихся никакие три не являлись вершинами равностороннего треугольника .
И поясняется : в дюйме 10 линий , в линии — 10	*точек*	.
Этим парам	*точек*	будут соответствовать пары точек на поверхности земного шара , находящиеся на разном расстоянии одна от другой .
Постарайтесь достичь этого , убрав как можно меньше	*точек*	.
5 Даны координаты	*точек*	.
21 Уберите несколько	*точек*	так , чтобы из оставшихся никакие четыре не являлись вершинами квадрата .
Совершенство окружности — в расположении всех ее	*точек*	на одинаковом расстоянии от центра .
31 На горизонтальной прямой расположен квадрат , в котором отмечена	*точка*	А. Представьте себе , что квадрат начинает перекатываться вдоль прямой .
4 Если	*точка*	А1 симметрична точке А относительно прямой l , то для любой точки В на этой прямой отрезки А1В и АВ равны .
Тогда	*точка*	В будет лежать на отрезке AA1 , АВ равно ВА1 ( свойство 2 ) и AB0 равно B0A1 ( свойство 4 ) .
Если А — некоторая	*точка*	плоскости , а В — точка на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
2 Так как окружность симметрична относительно любого своего диаметра , то она симметрична и относительно диаметра MN , перпендикулярного прямым АА1 и ВВ1 ,	*точка*	А симметрична А1,точка В симметрична В1 .
Возьмем точку В так , чтобы отрезок АВ был перпендикулярен l. Пусть В0 — любая другая	*точка*	на l. Нам надо доказать , что АВ меньше АВ0 .
Если А — некоторая точка плоскости , а В —	*точка*	на прямой l , то длина отрезка АВ будет наименьшей , если отрезок АВ перпендикулярен l .
8 Пусть все три прямые проходят через точку Р , а М — некоторая	*точка*	плоскости .
В частности , Москве соответствует	*точка*	, равная 38 ° восточной долготы .
Такой единицей был дюйм , а также связанные с ним линия и	*точка*	.
Луч ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой точки — начала луча ( похоже на луч фонарика ,	*точка*	О — как лампочка фонарика ) .
Возможно ,	*точка*	зрения не очень привычна .
Точка О — общее начало лучей ОА и ОВ ,	*точка*	О — вершина угла .
Более того , если	*точка*	О ( центр окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
Расстояние показывает , как далеко	*точка*	находится от полюса , а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения , когда она пройдет через нужную точку .
Так вот , оказывается , что	*точка*	М будет описывать окружность , у которой АВ является диаметром .
Каждая	*точка*	плоскости задается двумя полярными координатами : углом и расстоянием .
Проследите за траекторией , которую опишет при этом	*точка*	А , взятая на окружности этого круга Начертите получившуюся кривую .
Вершина С —	*точка*	пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
Пусть проведена прямая l и дана	*точка*	А вне этой прямой .
Если	*точка*	О — середина АВ , то ОМ — полдиагонали прямоугольника , т .
2 Дана прямая l и	*точка*	А на ней .
Более того , если точка О ( центр окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и	*точка*	М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
На плоскости указывается точка 0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой точки луч — полярная ось , на котором отмечена	*точка*	, находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Пусть	*точка*	О лежит внутри треугольника AMВ .
Если А — точка на прямой l , а В —	*точка*	пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
Если А —	*точка*	на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m .
Изображена окружность , отмечен ее центр —	*точка*	О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
Подумайте , как провести перпендикуляр ( с помощью циркуля и линейки ) , если	*точка*	А лежит на прямой l .
Вторая точка пересечения этих окружностей (	*точка*	А1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре .
Вторая	*точка*	пересечения этих окружностей ( точка А1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре .
Эта	*точка*	— вершина конуса .
Появится	*точка*	А1 .
Рассмотрите самостоятельно случай , когда	*точка*	О расположена вне треугольника AMВ ( но М и О — с одной стороны от АВ ) .
На плоскости указывается	*точка*	0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой точки луч — полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному и понаблюдайте , какую линию опишет	*точка*	А. Начертите эту линию .
Изображена раковина :	*точка*	С делит отрезок АВ приблизительно в золотом отношении .
Прямая , на которой заданы точка 0 и	*точка*	1 , называется координатной осью или просто осью .
51 Даны две параллельные прямые и	*точка*	А между ними .
Конечно , это	*точка*	.
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда	*точка*	пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
Четвертая	*точка*	находится на расстоянии одной клетки вправо и трех вниз от третьей точки .
Можно сказать , что	*точка*	О является центром симметрии , если при повороте вокруг точки О на 180 ° фигура переходит сама в себя .
Теперь каждая	*точка*	плоскости обозначается парой чисел .
Прямая , на которой заданы	*точка*	0 и точка 1 , называется координатной осью или просто осью .
Проследите за тем , какую линию опишет отмеченная	*точка*	, когда кружок покатится по окружности выреза без скольжения .
д. Теперь каждому моменту времени соответствует	*точка*	на этой прямой .
Обратное движение эта	*точка*	совершает в нижних частях маленьких петель .
Каждая же	*точка*	внутри квадрата при четырех поворотах на 90 ° занимает четыре разных положения .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее	*точка*	повернется вокруг некоторой точки на угол поворота .
5 На плоскости дан острый угол и	*точка*	А внутри него .
Сверните ее пополам , чтобы	*точка*	оказалась закрытой , а потом еще пополам ( всякий раз правый конец накладываем на левый ) .
Значит , все точки дуги АВ симметричны	*точкам*	дуги А1В1 т .
Понятно , что	*точкам*	слева от начального меридиана соответствуют значения западной долготы .
Если мы соединим центр окружности ( точку О ) с	*точками*	деления , то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
Отрезок АВ — это часть прямой между двумя	*точками*	А и В ( из прямой как бы вырезали кусочек ) .
Замените комнаты	*точками*	, а двери — дугами и постройте соответствующий граф .
Сделайте ее и отметьте	*точками*	местонахождение паука и мухи .
9 Сколько различных равносторонних треугольников с вершинами в данных	*точках*	можно начертить ? .
8 Сколько различных квадратов с вершинами в данных	*точках*	можно начертить ? .
4 Возьмите две точки на прямой CD и постройте прямоугольный треугольник с вершинами в этих	*точках*	.
с тремя предыдущими в трех	*точках*	.
34 В скольких	*точках*	прямая может пересекать контур треугольника ?
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в точку М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух	*точках*	.
Прямая А1А2 пересечет стороны угла в искомых	*точках*	М и N. Объясните это .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух	*точках*	, мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся треугольники равны .
В	*точках*	А и Б — вход и выход из сквера .
Она пересечет построенную окружность в	*точках*	В и С. Передвиньте центр построенной окружности на АВ или АС .
Возьмите плотный лист бумаги , прикрепите к нему в двух	*точках*	нитку и натяните карандашом эту нитку .
На ней видно , как линии , уходящие вглубь , сходятся в одной	*точке*	, а фигура , находящаяся дальше от нас , изображается в виде фигуры меньших размеров .
4 Если точка А1 симметрична	*точке*	А относительно прямой l , то для любой точки В на этой прямой отрезки А1В и АВ равны .
Но сумма трех углов , сходящихся в	*точке*	О , равна 360 ° .
А затем — такой же треугольник с вершиной в	*точке*	А .
Прямоугольник обладает тем свойством , что его диагонали равны между собой и делятся пополам в	*точке*	их пересечения .
Если мы теперь начертим окружность с центром в	*точке*	А , проходящую через точку В ( т . е .
В результате в	*точке*	Б получим число 100 .
Пусть одна касается окружности в точке В , а другая — в	*точке*	С. Имеет место равенство АВ равно АС .
Пусть одна касается окружности в	*точке*	В , а другая — в точке С. Имеет место равенство АВ равно АС .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются углы с вершиной в	*точке*	пересечения прямых ) ? .
Построим точку A1 , симметричную	*точке*	А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной	*точке*	А относительно прямой l , А1М равно AM .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей	*точке*	пространства .
5 Надо построить точки А1 и А2 , симметричные	*точке*	А относительно сторон угла .
Возьмем точку А1 , симметричную	*точке*	А относительно l.
Они перпендикулярны друг к другу , но все меридианы пересекаются в одной	*точке*	— на полюсе .
Если бы они пересеклись , например , в	*точке*	С , то мы получили бы треугольник АВС , у которого два прямых угла , что невозможно .
Если начертить прямую в тетради , то одна из прямых , перпендикулярных ей , будет лежать в плоскости тетради , а все остальные прокалывать тетрадь в данной	*точке*	.
Ведь эта линия в каждой	*точке*	загибается ! .
Теперь каждой	*точке*	пространства соответствуют три координаты , тройка чисел х , у , z.
Чтобы получить декартову систему координат в пространстве , надо к двум осям х и у добавить еще одну ось z , перпендикулярную им , с тем же началом в	*точке*	0 .
Циркулем проведем дугу окружности радиусом АВ с центром в	*точке*	А .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в	*точке*	В1 .
Клад находился в	*точке*	пересечения прямых , соединяющих первый и третий , второй и четвертый дубы .
Какую бы плоскость мы ни провели через АА1 , обязательно прямая D1C1 либо пересечет ее в какой - либо одной	*точке*	, либо не пересечет никогда .
Давно математики пытались решить такую задачу : какой формы должен быть гладкий желоб , соединяющий две	*точки*	А и В ( А выше , чем В ) , чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время ?
Кратчайшее расстояние укажет прямая , соединяющая эти	*точки*	.
Отметьте на листе две	*точки*	А и В , а затем сложите лист так , чтобы А и В совпали .
Задача решалась бы совсем легко , если бы	*точки*	А и В лежали по разные стороны от прямой l.
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие	*точки*	М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
Четвертая точка находится на расстоянии одной клетки вправо и трех вниз от третьей	*точки*	.
Интересно , что с	*точки*	зрения топологии гайка , макаронина и кружка — одинаковые объекты .
Если всмотреться в эти линии , то можно увидеть , что каждую последующую можно получить из предыдущей , добавляя к ней такую же кривую , но полученную поворотом на 90 ° по часовой стрелке вокруг последней	*точки*	.
Придумайте еще несколько предметов , одинаковых с гайкой с	*точки*	зрения топологии .
Поворот на 180 ° вокруг	*точки*	о ( центральная симметрия ) .
Оказывается , в каждый момент времени в этом поезде , более того , в каждом вагоне есть	*точки*	, движущиеся в обратном направлении .
Рассмотрим теперь такие точки М на плоскости , которые равноудалены от	*точки*	F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
5 Надо построить	*точки*	А1 и А2 , симметричные точке А относительно сторон угла .
Если трафарет поворачивать вокруг	*точки*	О ( центра симметрии ) на 180 ° , то бордюр уже будет иным .
Рассмотрим теперь такие	*точки*	М на плоскости , которые равноудалены от точки F и от прямой l. ( Это значит , что длина отрезка FM равна длине перпендикуляра , опущенного из М на прямую l. ) Такие точки М описывают замечательную кривую , которая называется параболой .
48 Через каждую из трех точек надо провести прямую , параллельную прямой , проходящей через две другие	*точки*	.
А теперь попробуйте другим цветом провести какую - нибудь замкнутую линию , не проходящую через	*точки*	самопересечения уже проведенной линии и не самопересекающуюся на этой линии .
Мы можем взять и трафарет , рисунок которого совпадает сам с собой при повороте его на 180 ° вокруг центра (	*точки*	, лежащей внутри рисунка ) .
Отступая от второй	*точки*	по одной клетке вправо и вниз , находим третью точку .
Луч ОМ — это часть прямой по одну сторону от некоторой	*точки*	— начала луча ( похоже на луч фонарика , точка О — как лампочка фонарика ) .
положение	*точки*	на карте .
Все	*точки*	одной ветви ближе к одному фокусу ( соответствующим образом берется и разность расстояний ) , а другой ветви к другому .
3 Возьмите лист бумаги и нарисуйте разноцветными карандашами четырех драконов , « вырастающих » из одной	*точки*	( у первого дракона первая черточка идет вверх , у второго — вправо , у третьего — вниз , у четвертого — влево ) .
1 Даны прямая l и две	*точки*	А и В по одну сторону от нее .
Меняя прямую , проходящую через точку А , мы будем получать различные	*точки*	, которые будут описывать некоторую линию .
Выберем , например , две пары точек на карте , расстояния между которыми равны , но	*точки*	расположены в разных местах карты ( близко к экватору и далеко от него ) .
Соединив плавной линией полученные	*точки*	, мы весьма похоже изобразим четверть окружности .
Для этого достаточно циркулем , не меняя раствора , разделить окружность на равные части , а затем	*точки*	деления соединить последовательно или через одну .
4 Ученик нарисовал на доске окружность , отметил на ней	*точки*	А , В и С и стер ее , оставив лишь эти точки .
4 Ученик нарисовал на доске окружность , отметил на ней точки А , В и С и стер ее , оставив лишь эти	*точки*	.
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая	*точки*	пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
Найти на сторонах угла две	*точки*	М и N так , чтобы длина замкнутого пути была наименьшей .
Соединив последовательно	*точки*	деления отрезками , получим треугольник , вписанный в окружность .
Из этой	*точки*	к окружности можно провести две касательные .
Он взял карту этой местности ( масштаб карты 1:100 000 , что означает уменьшение всех настоящих размеров в 100 000 раз ) и решил отметить на этой карте все	*точки*	, до которых он может дойти за 1 ч .
Аналогично и	*точки*	А и В. Таким образом , построив перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим точку их пересечения .
1 На отрезке АВ взяты	*точки*	K и М. Сколько получили разных отрезков ?
Используя эти свойства , можно совершенно иначе , с неожиданной	*точки*	зрения определить хорошо знакомую геометрическую фигуру .
Изображены три прямые и	*точки*	на них .
Эти предметы расположены на столе так , чтобы , глядя на них из некоторой	*точки*	, можно было догадаться , как выглядит эта группа предметов с противоположной стороны ( т .
Затем треугольник стерли , но отмеченные	*точки*	остались .
Проводя прямые , соединяющие всевозможные	*точки*	окружности с вершиной , получим коническую поверхность .
Давно математики пытались решить такую задачу : какой формы должен быть гладкий желоб , соединяющий две точки А и В ( А выше , чем В ) , чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из	*точки*	А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время ?
Получим точку М. Из этой	*точки*	М отрезок АВ виден под прямым углом .
Можно сказать , что точка О является центром симметрии , если при повороте вокруг	*точки*	О на 180 ° фигура переходит сама в себя .
Поэтому , приложив линейку от	*точки*	А до точки В , можно измерить его диагональ .
Поэтому , приложив линейку от точки А до	*точки*	В , можно измерить его диагональ .
3 Соединим полученные	*точки*	.
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с прямой l получили бы точку М. Но мы знаем , что для	*точки*	А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
Она характеризуется наличием центра симметрии —	*точки*	О , обладающей определенным свойством .
Так вот , самая нижняя часть колеса , находящаяся ниже его опорной	*точки*	, движется в направлении , обратном движению всего колеса .
6 На окружности радиусом 1 взяты три	*точки*	А , В , С так , чтобы угол АСВ был равен 30 ° .
3 Прямая , проходящая через	*точки*	А и А1 параллельна прямой l .
Возможно , он скажет что - то вроде : « Возьмем три	*точки*	.
Если А — точка на прямой l , а В — точка пересечения перпендикулярных прямых l и m , то отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от	*точки*	А до прямой m .
Итак , если мы хотим из	*точки*	А по кратчайшему пути попасть на прямую m , то двигаться надо по перпендикуляру к прямой m .
Поэтому	*точки*	, которых он может достичь за час , расположены на окружности с радиусом 4 км и центром в том месте , где Вася находится в начале пути .
4 Если точка А1 симметрична точке А относительно прямой l , то для любой	*точки*	В на этой прямой отрезки А1В и АВ равны .
8 Изобразите в полярных координатах	*точки*	: а ) А ( 10 ° ; 2 ) , В ( 130 ° ; 2 ) , С ( 250 ° ; 2 ) ; б ) К ( 20 ° ; 3 ) , L(110 ° ; 3 ) , М ( 200 ° ; 3 ) , N ( 290 ° ; 3 ) .
Оказывается , туристы обычно пользуются в походах полярными координатами , а азимут — это угол между направлением на север и направлением на некоторый предмет из	*точки*	, где находится турист .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой	*точки*	на угол поворота .
7 Изобразите в полярных координатах	*точки*	( 60 ° ; 1,5 ) , ( 150 ° ; 3 ) , ( 180 ° ; 1 ) , ( 270 ° ; 5 ) , ( 330 ° ; 2 ) .
Отмечены	*точки*	( 0 ° ; 3 ) , ( 45 ° ; 2 ) , ( 90 ° ; 1 ) , ( 135 ° ; 4 ) .
Через какие	*точки*	она проходит ?
На плоскости указывается точка 0 , которая будет называться полюсом , выходящий из этой	*точки*	луч — полярная ось , на котором отмечена точка , находящаяся на расстоянии 1 от 0 .
Этот мир полностью лежит на прямой ; жители его — отрезки , лучи ,	*точки*	.
2 Отрезок , соединяющий симметричные	*точки*	, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам .
Можно убрать четыре	*точки*	.
Верно отметив на координатной плоскости и соединив последовательно эти	*точки*	, вы получите рисунок .
Для этого сначала надо поставить его на стол так , чтобы он опирался на три нижние	*точки*	.
Если верхние	*точки*	флексагона развести в стороны , то он будет готов к новому превращению .
1 Для любой	*точки*	плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой прямой .
22 Для облегчения решения пронумеруйте	*точки*	и запишите все 12 возможных равносторонних треугольников тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
Теперь понятно , почему при перемещении	*точки*	М по дуге окружности угол AM В остается постоянным ? .
д. А затем вычеркивайте	*точки*	и треугольники , содержащие эти точки , по их номерам .
д. А затем вычеркивайте точки и треугольники , содержащие эти	*точки*	, по их номерам .
Построите	*точки*	, соответствующие местонахождению дубов , и определите координаты пещеры с сокровищами .
14 Если бы Вася был , например , в поле и его скорость была 4 км / ч , то за 1 ч Вася мог бы отойти от начальной	*точки*	на 4 км .
Указывая широту и долготу	*точки*	, мы указываем ее координаты , т .
Угол АОВ — это часть плоскости , ограниченная двумя лучами , выходящими из одной	*точки*	.
Они показывают географическую широту в градусах ( удаление ( в градусах ) данной	*точки*	от экватора ) .
Все	*точки*	справа ( восточнее ) от него имеют восточную долготу .
6 Известно , что через три	*точки*	, не лежащие на одной прямой , можно провести одну плоскость .
Из этого дракона также можно получить еще трех , « растущих » из той же	*точки*	.
4 Возьмите две	*точки*	на прямой CD и постройте прямоугольный треугольник с вершинами в этих точках .
Отрезок АВ соединяет две	*точки*	окружности и проходит через ее центр .
Все	*точки*	экватора имеют нулевую широту .
На чертеже отмечены две	*точки*	.
Координаты	*точки*	плоскости — это пара чисел , из которых одно число является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
Постройте фигуру ( сечение ) , по которой плоскость , проходящая через указанные	*точки*	, пересечет куб .
Наложим кальку на карту так , чтобы	*точки*	А и Аl совпали и отрезок АlВl « пошел » по АВ .
Условимся	*точки*	, в которых соединяются кривые , называть узлами .
Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости ( эти	*точки*	называются фокусами эллипса ) постоянна .
Возьмем окружность и две	*точки*	на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на окружности по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
Значит , все	*точки*	дуги АВ симметричны точкам дуги А1В1 т .
Сколько правильных треугольников можно построить , считая эти	*точки*	вершинами треугольников ? .
Все	*точки*	эллипса , как видно из построения , обладают одним свойством .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной	*точки*	плоскости , называемой центром окружности .
В этой системе отметим	*точки*	Аl(2 ; 1 ) и Вl(8 ;
7 Проведите три луча из одной	*точки*	( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите окружности разных радиусов в образовавшиеся углы .
Иными словами , кратчайшим путем от	*точки*	до прямой является путь по перпендикулярному к этой прямой направлению .
По поводу	*точки*	в словаре Даля сказано , что это « малейшая доля протяженья » .
линия сгиба , по которой надо согнуть лист ребром наружу ( как крыша дома ) линии предыдущих сгибов направление сгиба согнуть и разогнуть разъединить слои бумаги	*точки*	A и В свести в точку С .
Дано изображение куба , на поверхности которого указаны три	*точки*	.
Эти	*точки*	разобьют четвертую прямую на четыре куска .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с	*точкой*	на окружности .
Возьмите длинную полоску бумаги , левый конец которой пометьте	*точкой*	.
Изобразите траекторию , описываемую	*точкой*	А. ( Предварительно перерисуйте в тетрадь рисунок ) .
В углах , отмеченных кружочком ( о ) , делается поворот всей предыдущей кривой против часовой стрелки , а в углах , отмеченных	*точкой*	( • ) , — по часовой стрелке .
3 В каком отношении диагонали делятся	*точкой*	пересечения ? .
Ее нельзя путать с	*точкой*	N ( 2 ; 5 ) .
Это железные дороги ( у нас в стране у большинства железных дорог	*точкой*	отсчета является Москва ) , улицы городов и т .
Построим точку A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам	*точкой*	М .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой —	*точку*	В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с центром в точке В1 .
Отступая от второй точки по одной клетке вправо и вниз , находим третью	*точку*	.
Найдите на прямой такую	*точку*	M , чтобы путь из А в В через М был кратчайшим , т .
Возьмем	*точку*	В так , чтобы отрезок АВ был перпендикулярен l. Пусть В0 — любая другая точка на l. Нам надо доказать , что АВ меньше АВ0 .
линия сгиба , по которой надо согнуть лист ребром наружу ( как крыша дома ) линии предыдущих сгибов направление сгиба согнуть и разогнуть разъединить слои бумаги точки A и В свести в	*точку*	С .
Меняя прямую , проходящую через	*точку*	А , мы будем получать различные точки , которые будут описывать некоторую линию .
8 Пусть все три прямые проходят через	*точку*	Р , а М — некоторая точка плоскости .
Если мы теперь начертим окружность с центром в точке А , проходящую через	*точку*	В ( т . е .
Возьмем окружность и	*точку*	над ее центром .
Веревка зацепится за колышек на островке , и по возвращении человека в исходную	*точку*	станет в два раза короче ( как раз от А до В ) и окажется натянутой между кольями .
Построим	*точку*	A1 , симметричную точке А относительно прямой l , проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой М .
Получим	*точку*	М. Из этой точки М отрезок АВ виден под прямым углом .
37 Три прямые разбивают плоскость на семь частей ( прямые не параллельны и не проходят через одну	*точку*	) .
Через какую	*точку*	проходит линия сгиба ?
Для этого на ней надо выбрать	*точку*	0 , направление возрастания времени и масштаб — отрезок , соответствующий единице времени ; это может быть час , неделя , 1000 дней и т .
Возьмем на плоскости прямую l и	*точку*	F.
За	*точку*	отсчета берется начало нашей эры , которая началась с года под номером 1 .
1 Проведите через одну	*точку*	три прямые .
Возьмем окружность и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы	*точку*	М на окружности по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся углы АМВ будут равны между собой .
Вторая точка пересечения этих окружностей ( точка А1 ) и даст нам вторую	*точку*	на перпендикуляре .
Какой путь проползет муравей вдоль отмеченной линии , пока не вернется в исходную	*точку*	? .
Возьмем	*точку*	А1 , симметричную точке А относительно l.
Если мы построим на АВ как на диаметре окружность и возьмем на ней любую	*точку*	М , то угол AMВ будет прямым .
Отступив на три клетки вправо и на одну вниз , поставим вторую	*точку*	.
На сколько частей разбивают плоскость прямые , из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну	*точку*	, если прямых : а ) четыре ; б ) пять ; в ) шесть ? .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку —	*точку*	В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
В самом деле , если опустим из В перпендикуляр на прямую AM , то , как мы уже знаем , основание этого перпендикуляра должно лежать на окружности , а значит , оно должно попасть в	*точку*	М , так как прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках .
АВ — радиус ) , то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую	*точку*	— точку В. В этом случае говорят , что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности .
2 Строим окружность с центром О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую	*точку*	пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Берем имеющийся код , приписываем к нему букву Н ( под ней удобно поставить	*точку*	) , затем выписываем в обратном порядке буквы , предшествующие этому Н , заменяя Н на В и наоборот ( посмотрите на коды , соответствующие четвертому и пятому сгибам ) .
41 Расставьте на плоскости шесть точек таким образом , что если соединить первую	*точку*	со второй , вторую с третьей и т .
Мы бы просто соединили их отрезком и на пересечении с прямой l получили бы	*точку*	М. Но мы знаем , что для точки А1 , симметричной точке А относительно прямой l , А1М равно AM .
Проведем через	*точку*	А любую прямую и опустим из В перпендикуляр на эту прямую .
Если мы соединим центр окружности (	*точку*	О ) с точками деления , то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
Давно математики пытались решить такую задачу : какой формы должен быть гладкий желоб , соединяющий две точки А и В ( А выше , чем В ) , чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в	*точку*	В под действием своего веса за кратчайшее время ?
3 Возьмем окружность и	*точку*	А вне ее .
Если выбрать крайнюю	*точку*	колеса , то линия , описываемая ею , будет выглядеть .
8 Через некоторую	*точку*	плоскости проведены три прямые , образующие между собой углы по 60 ° .
2 Если точку взять на самой прямой , то через эту	*точку*	проходит бесконечное число прямых , перпендикулярных данной прямой .
2 Если	*точку*	взять на самой прямой , то через эту точку проходит бесконечное число прямых , перпендикулярных данной прямой .
Второй приложите к первому , отметьте на его краю	*точку*	А , наиболее удаленную от центра первого круга .
53 Через	*точку*	на диагонали прямоугольника провели прямые , параллельные его сторонам .
Возьмем любую	*точку*	плоскости и опустим на эти три прямые перпендикуляры .
Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см , 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги , вложите в этот вырез первый из трех кружков , чтобы он касался края , и отметьте на окружности маленького круга	*точку*	.
Аналогично и точки А и В. Таким образом , построив перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС , мы получим	*точку*	их пересечения .
1 Через	*точку*	вне данной прямой можно провести только одну прямую , перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее .
1 Проведем через	*точку*	А любую окружность , пересекающую прямую l .
Начертите в тетради	*точку*	, прямую , отрезок , луч и угол .
51 Постройте любую окружность , касающуюся прямых , проведите через	*точку*	А прямую , параллельную данным .
Последнюю	*точку*	не соединяйте ни с какой другой .
10 Через	*точку*	внутри квадрата проведены прямые по сторонам и диагоналям клеток .
Как построить окружность , касающуюся данных прямых и проходящую через данную	*точку*	? .
4 Через	*точку*	А проведите прямую , параллельную прямой CD .
1 Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей	*точку*	относительно некоторой прямой .
Совершая прогулки в воскресные дни , горожане заспорили : можно ли выбрать такой маршрут , чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную	*точку*	пути ?
Расстояние показывает , как далеко точка находится от полюса , а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения , когда она пройдет через нужную	*точку*	.
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые	*трапеции*	( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции (	*трапеция*	— это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Клад находился в точке пересечения прямых , соединяющих первый и	*третий*	, второй и четвертый дубы .
Когда афиняне готовили кровавую дань в	*третий*	раз , сын афинского царя Эгея , Тесей , задумал освободить росной город от позорной обязанности .
57 Нижний слой остается заполненным , а второй и	*третий*	слой .
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и	*третий*	— в них соединяется четное число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
При решении следующих двух задач вам поможет раскраска доски для « Морского боя » в четыре цвета так , что нижняя левая клетка окрашивается в первый цвет , затем маленькая диагональ из двух клеток окрашивается во второй цвет , следующая трехклеточная диагональ — в	*третий*	цвет , затем цвет четвертый , потом вновь первый и т .
Толщина каждого тома 3,5 см. Книжный червяк прополз от первой страницы первого тома до последней страницы	*третьего*	тома ( по прямой линии ) .
3 Возьмите лист бумаги и нарисуйте разноцветными карандашами четырех драконов , « вырастающих » из одной точки ( у первого дракона первая черточка идет вверх , у второго — вправо , у	*третьего*	— вниз , у четвертого — влево ) .
30 Первая страница первого тома и последняя страница	*третьего*	тома примыкают ко второму тому .
3 Две прямые на плоскости , перпендикулярные	*третьей*	прямой , не могут пересечься одна с другой .
Повернув еще на 90 ° , получим заполнение	*третьей*	области , при последнем повороте получается заполнение четвертой области .
32 Чтобы получить такой треугольник , надо взять стороны такими , чтобы сумма двух сторон мало отличалась от	*третьей*	стороны .
12 В плоскости расположены 17 шестеренок — первая зацеплена со второй , вторая — с	*третьей*	..
Четвертая точка находится на расстоянии одной клетки вправо и трех вниз от	*третьей*	точки .
4 Изображены две параллельные прямые , пересекаемые	*третьей*	прямой .
41 Расставьте на плоскости шесть точек таким образом , что если соединить первую точку со второй , вторую с	*третьей*	и т .
Число проведенных при этом линий не должно быть больше трех (	*третьей*	должна быть искомая прямая ) .
19 Способ а ) приведет к	*третьему*	результату , способ б ) — ко второму .
Какие - то из этих фигур вам удалось вычертить почти сразу , решение других пришло через некоторое время , а	*третьи*	вообще не рисуются .
Проделайте то же самое со вторым и	*третьим*	кругами .
Отступая от второй точки по одной клетке вправо и вниз , находим	*третью*	точку .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую фигуру так , чтобы получилась вторая фигура , затем	*третья*	.
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д )	*треугольная*	пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
а ) равнобедренный остроугольный	*треугольник*	. б ) равнобедренный прямоугольный треугольник .
Любой первоклассник без труда найдет слова , объясняющие , что такое	*треугольник*	.
5 Постройте равнобедренный непрямоугольный	*треугольник*	( любой ) .
49 Как разрезать	*треугольник*	на два равнобедренных треугольника , если его углы равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные :	*треугольник*	и окружность .
Но все же не стоит противопоставлять друг другу угол и овал ,	*треугольник*	и окружность .
Как найти площадь этого треугольника , если это . а ) прямоугольный	*треугольник*	, две стороны которого проходят по сторонам клеток .
б )	*треугольник*	, одна сторона которого проходит по сторонам клеток .
произвольный	*треугольник*	? .
9 Начертите два разных прямоугольных	*треугольник*	площади которых равны : а ) 2 клеткам ; б ) 3 клеткам ; в ) 4,5 клетки .
9 Произвольный	*треугольник*	разрежьте на три части так , чтобы можно было сложить прямоугольник .
Самым простым многоугольником является	*треугольник*	.
Нельзя ли восстановить	*треугольник*	? .
Оставшийся	*треугольник*	подогните вниз , склейте друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности , и флексагон готов .
50 Разрежьте на наименьшее число равнобедренных треугольников	*треугольник*	с углами : а ) 10 ° , 70 ° , 100 ° ; б ) 50 ° , 60 ° , 70 ° .
Есть прямой угол — прямоугольный	*треугольник*	; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Соединив последовательно точки деления отрезками , получим	*треугольник*	, вписанный в окружность .
Вообще , вписанным в окружность называется любой	*треугольник*	, все вершины которого лежат на этой окружности .
32 Чтобы получить такой	*треугольник*	, надо взять стороны такими , чтобы сумма двух сторон мало отличалась от третьей стороны .
52 Разрежьте правильный	*треугольник*	на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это четырехугольник , у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
Вписать в окружность равносторонний	*треугольник*	.
Хотя , конечно , не любые три элемента однозначно определяют	*треугольник*	.
По этим данным и построим	*треугольник*	АВС .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя	*треугольник*	, а три оставшиеся концами упираются в вершины треугольника и сходятся в общей точке пространства .
Все углы острые — остроугольный	*треугольник*	.
Две равные стороны — равнобедренный	*треугольник*	( равные стороны называются боковыми ) .
Изображен	*треугольник*	АВС и указаны основные его элементы .
а ) равнобедренный остроугольный треугольник . б ) равнобедренный прямоугольный	*треугольник*	.
А ведь знакомый всем нам с детства	*треугольник*	также таит в себе немало интересного и загадочного .
48 Ученик нарисовал на доске	*треугольник*	и отметил середины его сторон .
11 Сложите из трех « внешних » треугольников один	*треугольник*	, равный « внутреннему » .
Все стороны равны — равносторонний , или правильный ,	*треугольник*	.
А из этого следует , что этот	*треугольник*	является равносторонним , АВ равно АО равно 1 .
г ) Существует ли	*треугольник*	, все углы которого меньше 50 ° ? .
равнобедренный тупоугольный	*треугольник*	.
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные фигуры : квадрат ,	*треугольник*	, окружность и т .
в ) Существует ли	*треугольник*	, все углы которого больше 70 ° ? .
б ) Может ли быть	*треугольник*	с двумя прямыми углами ? .
4 Возьмите две точки на прямой CD и постройте прямоугольный	*треугольник*	с вершинами в этих точках .
А затем — такой же	*треугольник*	с вершиной в точке А .
6 Составить	*треугольник*	из шести фигур нельзя .
3 Если взять один	*треугольник*	с большим основанием , а другой — с очень маленьким , то можно .
Затем	*треугольник*	стерли , но отмеченные точки остались .
3 Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой равнобедренный	*треугольник*	с такими же боковыми сторонами ?
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный	*треугольник*	.
Оказывается , эта линия определяется совсем иначе , чем	*треугольник*	и вообще многоугольник .
а ) на две части так , чтобы из них можно было составить прямоугольный	*треугольник*	.
Он понимал , что такое	*треугольник*	, в смысле высказывания нашего первоклассника .
на две части так , чтобы из них можно было составить равнобедренный	*треугольник*	.
Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике ( Бермудский	*треугольник*	находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами , государством Пуэрто - Рико и полуостровом Флорида ) , в котором бесследно исчезают корабли и самолеты ? !
Шестиугольник , как и сам	*треугольник*	, плоская фигура .
1 Начертите произвольный прямоугольный	*треугольник*	( 1 ) , а потом поверните его на 90 ° .
Так , если мы скажем , что « треугольник — это многоугольник , у которого три стороны и три вершины » , это значит , что мы свели понятие «	*треугольник*	» к более широкому понятию « многоугольник » .
Так , если мы скажем , что «	*треугольник*	— это многоугольник , у которого три стороны и три вершины » , это значит , что мы свели понятие « треугольник » к более широкому понятию « многоугольник » .
Следует отметить , что математики очень любят давать определения всем встречающимся в их науке понятиям , даже самым общеизвестным , таким , как	*треугольник*	.
Если их соединить отрезками , то получится	*треугольник*	» .
5 Равнобедренный	*треугольник*	можно сложить пополам так , чтобы половинки совместились .
д. , а весь	*треугольник*	обозначают так : ∆А ВС или ∆KLM ( по буквам вершин ) .
32 Может ли быть	*треугольник*	с очень большими сторонами и очень маленькой площадью ?
Передвигая , как показано на рисунке ,	*треугольник*	вдоль неподвижной линейки , получаем множество параллельных между собой прямых , прямые тип параллельны .
Нужный	*треугольник*	построен .
Постройте	*треугольник*	со сторонами 7 см , 5 см , 4 см. Решение этой задачи .
Поскольку второй	*треугольник*	получается из первого увеличением каждой стороны в 3/4 раза , то треугольники имеют равные углы .
Если бы они пересеклись , например , в точке С , то мы получили бы	*треугольник*	АВС , у которого два прямых угла , что невозможно .
Можно сделать вывод : по стороне и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный	*треугольник*	, но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными .
46 Из двух таких треугольников можно составить правильный	*треугольник*	.
один большой треугольник , один	*треугольник*	средний и два маленьких .
один большой	*треугольник*	, один треугольник средний и два маленьких .
Постройте	*треугольник*	по этим данным .
Он изображается без искажений , если , конечно , по заданным величинам можно построить	*треугольник*	.
а ) один большой	*треугольник*	, два маленьких треугольника и параллелограмм .
5 Сложите такой же	*треугольник*	, используя .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей треугольным сантиметром , взяв за единицу	*треугольник*	, у которого все стороны равны 1 см ?
Но можно сложить еще один треугольник , используя четыре фигуры : один большой	*треугольник*	, два маленьких и квадрат .
Но можно сложить еще один	*треугольник*	, используя четыре фигуры : один большой треугольник , два маленьких и квадрат .
9 Покажите , что	*треугольник*	и прямоугольник имеют одинаковые площади .
Равносторонний ( правильный )	*треугольник*	.
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной	*треугольник*	оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
Взяв три вершины шестиугольника через одну , получим	*треугольник*	.
За элементарную ячейку можно взять и правильный	*треугольник*	.
Заметим , что , какими бы мы ни задали две стороны треугольника , существует единственный	*треугольник*	с такими сторонами и углом .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый	*треугольник*	складывается еще раз и т .
Достроим прямоугольный	*треугольник*	АМВ до прямоугольника AMBN .
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся	*треугольник*	вставьте в щель между двумя белыми треугольниками .
Как видим , в случае а ) задача не имеет решений ; б ) — существуют два треугольника , удовлетворяющих условию задачи ( ∆АВС и ∆АВС1 ) ; в случае в ) такой	*треугольник*	один .
Если во всех рассмотренных выше случаях по трем заданным элементам можно построить	*треугольник*	, то этот треугольник единственный .
Если во всех рассмотренных выше случаях по трем заданным элементам можно построить треугольник , то этот	*треугольник*	единственный .
6 Можно ли составить	*треугольник*	, используя только две фигуры танграма ?
Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания четырехугольник и	*треугольник*	, то соответствующие стороны не лежат на одной прямой .
4 АВС — правильный	*треугольник*	.
Можно ли построить	*треугольник*	, стороны которого являются отрезками длиной : а ) 7 см , 4 см , 2 см ; б ) 9 см , 5 см , 4 см ? .
3 К левой стороне квадрата пририсуем	*треугольник*	.
4 Такой же	*треугольник*	мы должны вырезать с противоположной стороны .
Лист бумаги , чаще квадратный , но можно и круг , складывается вдвое по диагонали ; полученный таким образом равнобедренный	*треугольник*	складывается пополам так , чтобы совпали боковые стороны ; новый треугольник складывается еще раз и т .
Если же к стороне одного правильного треугольника , лежащего на столе , приставить еще три таких	*треугольника*	так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
Нетрудно понять , что три данных отрезка могут служить сторонами	*треугольника*	, если сумма длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них .
50 б ) возьмем центр окружности , проходящей через вершины	*треугольника*	, и соединим его с вершинами .
49 Как разрезать треугольник на два равнобедренных	*треугольника*	, если его углы равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
1 Геометрическая теория утверждает , что сумма углов	*треугольника*	равна 180 ° .
Если же к стороне одного правильного	*треугольника*	, лежащего на столе , приставить еще три таких треугольника так , чтобы одна вершина оказалась общей , то получится объемное геометрическое тело — пирамида .
25 Найдите площадь	*треугольника*	.
22 Уберите несколько точек так , чтобы из оставшихся никакие три не являлись вершинами равностороннего	*треугольника*	.
а ) сумма углов	*треугольника*	равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
12 Участок с четырьмя колодцами , имеющий форму правильного	*треугольника*	, надо разделить на такие участки , чтобы они были одинаковы по форме , равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу .
Построение	*треугольника*	по стороне и двум углам .
Общую вершину треугольников будем считать центром окружности с радиусом , равным стороне	*треугольника*	.
Конечно , назвать это описание математически точным определением	*треугольника*	нельзя .
Пусть точка О лежит внутри	*треугольника*	AMВ .
2 Достройте отрезок до прямоугольного	*треугольника*	и затем поверните его .
От квадрата отрезаны четыре равных	*треугольника*	, площади которых в сумме составляют 12 клеток .
Рассмотрим , например , задачу о построении	*треугольника*	по двум сторонам и углу , но не между данными сторонами .
Вершина ; сторона ; угол	*треугольника*	.
Треугольник будет разделен на три равнобедренных	*треугольника*	.
1 Каждая из сторон	*треугольника*	равна 7 см. Сколько треугольных сантиметров составляет его площадь ? .
Какое наименьшее количество точек надо отбросить , чтобы не осталось ни одного правильного	*треугольника*	? .
3 Можно ли внутри равнобедренного	*треугольника*	поместить другой равнобедренный треугольник с такими же боковыми сторонами ?
1 Два равных	*треугольника*	, положенных рядом определенным образом , составляют параллелограмм .
Какой вывод о сумме углов	*треугольника*	вы можете сделать ? .
По этим договоренностям стороны	*треугольника*	, например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Вершины	*треугольника*	, а также соответствующие углы принято обозначать большими латинскими буквами А , В , С или К , L , М и т .
Как изменится площадь	*треугольника*	, если каждую его сторону увеличить в 2 раза ?
Построение	*треугольника*	по трем сторонам .
И здесь вновь возникает вопрос : любые ли три отрезка могут быть сторонами	*треугольника*	?
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре	*треугольника*	со стороной 1 см. А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
начертить такой прямоугольник , чтобы вершины	*треугольника*	лежали на его сторонах , а стороны прямоугольника шли по сторонам клеточек на бумаге .
33 Иллюстрирует еще одно наглядное доказательство того , что сумма углов	*треугольника*	равна 180 ° .
Как видим , в случае а ) задача не имеет решений ; б ) — существуют два	*треугольника*	, удовлетворяющих условию задачи ( ∆АВС и ∆АВС1 ) ; в случае в ) такой треугольник один .
1 Сложите шесть спичек так , чтобы образовалось четыре треугольника ( сторона каждого	*треугольника*	должна быть равной длине спички ) .
35 Равны ли два угла	*треугольника*	, если они имеют по три равных угла и по две равные стороны ? .
34 В скольких точках прямая может пересекать контур	*треугольника*	?
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение	*треугольника*	по следующим данным : сторона треугольника равна 6 см , а прилежащие к ней углы равны 85 ° и 100 ° .
Если мы теперь вернемся к задаче построения	*треугольника*	по трем сторонам , то исходными данными для построения будут являться три данных отрезка .
2 Треугольник можно разделить на четыре равных	*треугольника*	.
Процесс построения искомого	*треугольника*	.
7 Нужно описать около	*треугольника*	прямоугольник , т .
1 Сложите спички в виде пирамиды — три спички лежат на столе , образуя треугольник , а три оставшиеся концами упираются в вершины	*треугольника*	и сходятся в общей точке пространства .
Закройте одну из вершин этого	*треугольника*	, и станет ясно , что одна из его сторон направлена к нам , а другая — от нас , т .
2 Надо соединить отрезками середины сторон	*треугольника*	.
Вершины	*треугольника*	лежат в узлах клеток .
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение треугольника по следующим данным : сторона	*треугольника*	равна 6 см , а прилежащие к ней углы равны 85 ° и 100 ° .
1 Сложите шесть спичек так , чтобы образовалось четыре	*треугольника*	( сторона каждого треугольника должна быть равной длине спички ) .
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же треугольника и квадрат со стороной , равной большей стороне	*треугольника*	.
Возьмем , например , два	*треугольника*	: стороны первого 27 , 36 , 48 , а второго 36 , 48 , 64 .
Точно так же покажем , что остальные углы	*треугольника*	АВС равны 60 ° .
Переложите четыре спички так , чтобы получилось три равносторонних	*треугольника*	.
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных	*треугольника*	и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам треугольника .
Пусть сторона каждого	*треугольника*	равна 3 см. Изготовьте такую полоску и раскрасьте .
Основания этих перпендикуляров служат вершинами правильного	*треугольника*	.
а ) один большой треугольник , два маленьких	*треугольника*	и параллелограмм .
1 Можно ли составить паркет из копий произвольного	*треугольника*	?
12 Четвертые части квадрата и правильного	*треугольника*	отрезаны , как показано на рисунке 294 .
Заметим , что , какими бы мы ни задали две стороны	*треугольника*	, существует единственный треугольник с такими сторонами и углом .
Рассмотрите самостоятельно случай , когда точка О расположена вне	*треугольника*	AMВ ( но М и О — с одной стороны от АВ ) .
Определите вид	*треугольника*	АВС и четырехугольника KLMN .
Покажите , что площадь этого	*треугольника*	равна половине площади шестиугольника .
12 Большой квадрат разрезан на четыре прямоугольных треугольника и два квадрата со сторонами , равными меньшим сторонам	*треугольника*	.
Как найти площадь этого	*треугольника*	, если это . а ) прямоугольный треугольник , две стороны которого проходят по сторонам клеток .
Этот же квадрат разрезан на четыре таких же	*треугольника*	и квадрат со стороной , равной большей стороне треугольника .
Построение	*треугольника*	по двум сторонам и углу между ними .
Сложите из белой тетраэдр так , чтобы цветной треугольник оказался внутри него , затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми	*треугольниками*	.
Эти половинки будут прямоугольными	*треугольниками*	.
Посмотрим , что преподнесет нам знакомство с	*треугольниками*	.
Зато	*треугольниками*	можно .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном	*треугольнике*	, лежащие против равных сторон , равны .
Пусть в	*треугольнике*	АВС сторона АВ равна 6 см , ∠ВАС равно 70 ° , ∠АВС равно 40 ° .
Кто не слышал о загадочном Бермудском	*треугольнике*	( Бермудский треугольник находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами , государством Пуэрто - Рико и полуостровом Флорида ) , в котором бесследно исчезают корабли и самолеты ? !
Пусть в	*треугольнике*	АВС угол ВАС равен 40 ° , сторона А В равна 4 см. Рассмотрим три случая : а ) ВС равно 2 см ; б ) ВС равно 3,5 см ; в ) ВС равно 5 см .
46 Докажите , что в прямоугольном	*треугольнике*	, один из углов которого равен 30 ° , наибольшая сторона в два раза больше наименьшей .
7 В	*треугольнике*	АВС отрезки AA1 , и ВВ1 перпендикулярны сторонам ВС и АС .
После каждого перекатывания появляется вершина с номером , которого не было на предыдущем	*треугольнике*	.
Пусть в	*треугольнике*	АВС известны две стороны АВ равно 5 см и АС равно 3 см и угол между ними ВАС , равный 50 ° .
6 Если сложить квадрат вдвое по диагонали , то половинки его совпадут ;	*треугольники*	, на которые делится квадрат своей диагональю , равны .
Вокруг вас живут	*треугольники*	, окружности , квадраты , отрезки и другие плоские фигуры .
Зная это , можно вписывать в окружность правильные шестиугольники и	*треугольники*	без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Половинки квадрата (	*треугольники*	) совпали , т .
Найдите равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные , тупоугольные	*треугольники*	.
д. А затем вычеркивайте точки и	*треугольники*	, содержащие эти точки , по их номерам .
Обратите внимание на	*треугольники*	и квадраты .
В танграме среди его семи фигур уже имеются	*треугольники*	трех разных размеров .
Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см. И хотя эти окружности пересекаются в двух точках , мы можем выбрать любую из них , поскольку получающиеся	*треугольники*	равны .
Поскольку второй треугольник получается из первого увеличением каждой стороны в 3/4 раза , то	*треугольники*	имеют равные углы .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие	*треугольники*	равны .
д. в зависимости от того , на какой . многоугольник опираются	*треугольники*	( в геометрии говорят — какой многоугольник лежит в основании пирамиды ) .
Это следует из того , что диагональ делит прямоугольник на равные	*треугольники*	.
Перегните полоску по сторонам	*треугольников*	и сложите , как показано .
7 Четыре страны имеют форму	*треугольников*	.
29 15 правильных	*треугольников*	.
Добиться этого нам поможет умение пользоваться чертежными инструментами и знание способов построения	*треугольников*	.
9 Сколько различных равносторонних	*треугольников*	с вершинами в данных точках можно начертить ? .
50 Разрежьте на наименьшее число равнобедренных	*треугольников*	треугольник с углами : а ) 10 ° , 70 ° , 100 ° ; б ) 50 ° , 60 ° , 70 ° .
9 Восемь спичек уложите так , чтобы образовались один восьмиугольник , два квадрата и восемь	*треугольников*	— все в одной фигуре ! .
Рассмотрим три основные задачи на построение	*треугольников*	, если заданы .
33 Какие фигуры могут получиться при пересечении двух	*треугольников*	?
6 Найдите 47	*треугольников*	в фигуре .
1 Измерьте с помощью транспортира углы	*треугольников*	и результаты внесите в таблицу , в последнем столбце которой запишите сумму углов .
5 Из спичек сложена фигура , состоящая из шести равносторонних	*треугольников*	.
Сколько правильных	*треугольников*	можно построить , считая эти точки вершинами треугольников ? .
Возьмем шесть правильных равных между собой	*треугольников*	и расположим их рядом так , чтобы у них была общая вершина .
11 Сложите из трех « внешних »	*треугольников*	один треугольник , равный « внутреннему » .
Все большое семейство	*треугольников*	можно разделить на группы по числу равных сторон .
Общую вершину	*треугольников*	будем считать центром окружности с радиусом , равным стороне треугольника .
Существует интересная геометрическая игрушка , которая состоит из	*треугольников*	и меняется , выворачиваясь наизнанку .
Эти свойства справедливы не только для квадратов ,	*треугольников*	, кубов .
В этом случае плоскость заполняется без промежутков путем поворота	*треугольников*	вокруг их вершин на 60 ° .
Другими словами , если у двух	*треугольников*	равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
Внимательно рассмотрите рисунок и предложите по нему свое объяснение этого важнейшего свойства	*треугольников*	.
Показано , как можно сплести тетраэдр из двух полосок , состоящих из четырех	*треугольников*	.
Она состоит из десяти правильных	*треугольников*	, расположенных так .
11 Начертите несколько различных	*треугольников*	с вершинами в узлах , но таких , что ни внутри , ни на границе нет ни одного узла .
Чему равен угол между большими сторонами получившихся	*треугольников*	?
46 Из двух таких	*треугольников*	можно составить правильный треугольник .
Уберите пять спичек так , чтобы осталось пять	*треугольников*	.
Чему равна площадь каждого из изображенных вами	*треугольников*	? .
4 Сколько	*треугольников*	? .
Вырежьте из бумаги несколько одинаковых	*треугольников*	и проверьте свое предположение о возможности такого покрытия .
Например , шесть правильных	*треугольников*	, имеющих общую вершину , образуют правильный шестиугольник .
2 Из спичек сложена фигура , состоящая из девяти равных	*треугольников*	.
5 Найдите 27	*треугольников*	в фигуре .
4 13	*треугольников*	.
4 На сколько	*треугольников*	разбивается выпуклый шестиугольник отрезками , соединяющими какую - либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника ?
22 Для облегчения решения пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных равносторонних	*треугольников*	тройками чисел : ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
9 12 равносторонних	*треугольников*	.
Остальные вершины	*треугольников*	окажутся на окружности .
Может , это просто набор сложенных определенным образом	*треугольников*	и четырехугольников ?
Сколько правильных треугольников можно построить , считая эти точки вершинами	*треугольников*	? .
Подумайте , зависит ли результат от вида	*треугольников*	.
Много полезного можно получить из экспериментов с прямоугольным	*треугольником*	на клетчатой бумаге .
Равных сторон нет — разносторонний	*треугольнику*	.
Если от	*треугольной*	пирамиды отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины ребер , то будет ли оставшаяся часть также треугольной пирамидой ? .
Если от треугольной пирамиды отрезать четыре ее уголка , проведя разрезы через середины ребер , то будет ли оставшаяся часть также	*треугольной*	пирамидой ? .
3 Треугольник , каждая из сторон которого 2 см , легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см. А теперь возьмем	*треугольную*	пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями , делящими ее ребра пополам ?
Возьмите в руки или представьте по рисунку 50	*треугольную*	пирамиду , исследуйте ее так , как вы исследовали когда - то куб .
3 Пирамида разделится на пять частей : четыре	*треугольные*	пирамиды и « внутренность » ( многогранник с шестью вершинами , двенадцатью ребрами и восемью гранями ) — октаэдр .
будем использовать	*треугольные*	пирамиды , все ребра которых равны соответствующей единице длины , то столкнемся с большими трудностями .
2 В общем , для измерения площадей	*треугольные*	сантиметры вполне подходят .
Оставшийся треугольник подогните вниз , склейте друг с другом две неокрашенные	*треугольные*	поверхности , и флексагон готов .
Пирамиды бывают	*треугольные*	, четырехугольные , пятиугольные и т .
Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей	*треугольным*	сантиметром , взяв за единицу треугольник , у которого все стороны равны 1 см ?
6 Дана дощечка с тремя отверстиями : квадратным , круглым и	*треугольным*	.
2 Треугольник со сторонами 7 см « выложен »	*треугольными*	сантиметрами .
Основное свойство окружности дает ответ на вопросы , почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми , а не квадратными или , например ,	*треугольными*	.
1 Каждая из сторон треугольника равна 7 см. Сколько	*треугольных*	сантиметров составляет его площадь ? .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть	*тупой*	угол — тупоугольный треугольник .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть	*тупой угол*	— тупоугольный треугольник .
Найдите равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные ,	*тупоугольные*	треугольники .
Найдите равнобедренные , правильные , разносторонние , остроугольные , прямоугольные ,	*тупоугольные треугольники*	.
равнобедренный	*тупоугольный*	треугольник .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой угол —	*тупоугольный*	треугольник .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой угол —	*тупоугольный треугольник*	.
равнобедренный	*тупоугольный треугольник*	.
По отношению к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и	*тупые*	углы ( больше 90 ° ) .
По отношению к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и	*тупые углы*	( больше 90 ° ) .
Найти на сторонах	*угла*	две точки М и N так , чтобы длина замкнутого пути была наименьшей .
Биссектриса	*угла*	— это луч , выходящий из его вершины и делящий угол на два равных .
б ) сторона и два прилежащих к ней	*угла*	.
Вторая сторона	*угла*	указывает на шкале угол в градусах .
Стороны одного из них являются продолжением сторон другого	*угла*	.
Такие два	*угла*	называются смежными .
Разделив каждый градус на 60 равных частей , получим более мелкую единицу	*угла*	— минуту .
5 Изобразите четырехугольник , у которого три	*угла*	прямые .
Лучи ОА и ОВ — стороны	*угла*	.
одна сторона	*угла*	совпала с основанием транспортира , соответствующим 0 ° .
Более того , если точка О ( центр окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине	*угла*	АОВ .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и угол между ними ; сторона и два прилежащих к ней	*угла*	; три стороны ) , то такие треугольники равны .
а ) вершина	*угла*	совпала с черточкой — серединой основания транспортира .
Диагональ квадрата является биссектрисой	*угла*	.
Прямая А1А2 пересечет стороны	*угла*	в искомых точках М и N. Объясните это .
35 Равны ли два угла треугольника , если они имеют по три равных	*угла*	и по две равные стороны ? .
35 Равны ли два	*угла*	треугольника , если они имеют по три равных угла и по две равные стороны ? .
Значит , в самом деле угол АОВ в два раза больше	*угла*	AMВ .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической фигуры —	*угла*	.
2 На сторонах	*угла*	отложим отрезки АВ равно 5 см и АС равно 3 см ( используем линейку с делениями ) .
6 Угол АОВ в 2 раза больше	*угла*	АСВ .
5 Надо построить точки А1 и А2 , симметричные точке А относительно сторон	*угла*	.
9 Начертите на листе бумаги любой угол и вырежьте его по сторонам , оставив бумагу между сторонами	*угла*	неразрезанной .
Как зависит рисунок в вашем калейдоскопе от	*угла*	между зеркалами ?
С какого	*угла*	нужно начинать ? .
Если бы они пересеклись , например , в точке С , то мы получили бы треугольник АВС , у которого два прямых	*угла*	, что невозможно .
Единица измерения	*угла*	, как мы знаем , — градус .
Найдите три отрезка , три луча , три	*угла*	.
Точка О — общее начало лучей ОА и ОВ , точка О — вершина	*угла*	.
Свойство	*угла*	, опирающегося на диаметр , является частным случаем следующего более общего свойства .
В обозначении	*угла*	вершина всегда ставится в середине : угол АОВ .
Как вы думаете , можно ли без карандаша и линейки построить биссектрису этого	*угла*	?
Для всякого ли	*угла*	можно построить биссектрису ? .
Если сторона	*угла*	совпадает с правой половиной основания транспортира , то используют внутреннюю шкалу , а если с левой половиной , то внешнюю ! .
Какой угол образует биссектриса этого	*угла*	с его сторонами ?
Вершину	*угла*	обозначим буквой А .
Можно сделать вывод : по стороне и двум прилежащим к ней	*углам*	можно построить единственный треугольник , но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными .
Построение треугольника по стороне и двум	*углам*	.
б ) Может ли быть треугольник с двумя прямыми	*углами*	? .
50 Разрежьте на наименьшее число равнобедренных треугольников треугольник с	*углами*	: а ) 10 ° , 70 ° , 100 ° ; б ) 50 ° , 60 ° , 70 ° .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер , а соседние грани сходятся под равными	*углами*	.
Значит , квадрат — это ромб с прямыми	*углами*	.
Значит , квадрат — это параллелограмм с прямыми	*углами*	, все стороны которого равны .
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми	*углами*	друг к другу и впишите окружности разных радиусов в образовавшиеся углы .
При этом корабли не должны соприкасаться даже	*углами*	.
В	*углах*	, отмеченных кружочком ( о ) , делается поворот всей предыдущей кривой против часовой стрелки , а в углах , отмеченных точкой ( • ) , — по часовой стрелке .
В углах , отмеченных кружочком ( о ) , делается поворот всей предыдущей кривой против часовой стрелки , а в	*углах*	, отмеченных точкой ( • ) , — по часовой стрелке .
Среди всех	*углов*	выделяется прямой угол .
33 Иллюстрирует еще одно наглядное доказательство того , что сумма	*углов*	треугольника равна 180 ° .
Транспортир используют для измерения и построения	*углов*	.
2 Начертите при помощи транспортира углы , равные 10 ° , 20 ° , 30 ° , 170 ° , причем так , чтобы одна сторона у всех	*углов*	была общей .
Один из	*углов*	между ними равен 28 ° .
Треугольники можно разделить на группы в зависимости от	*углов*	.
Это — пары вертикальных	*углов*	.
1 Геометрическая теория утверждает , что сумма	*углов*	треугольника равна 180 ° .
Конечно , в результате измерения во всех случаях сумма	*углов*	вряд ли будет равной 180 ° .
Назовите пары вертикальных	*углов*	.
Слово « многоугольник » указывает на то , что у всех фигур из этого семейства много	*углов*	.
Затем мы начинаем скручивать полоску с одного из	*углов*	.
При пересечении двух прямых образуются две пары равных	*углов*	.
Например , у фигуры много	*углов*	, но она не является многоугольником .
1 Если считать только углы не больше 180 ° , то образуется 12	*углов*	.
Заметьте , что сколько	*углов*	, столько и сторон , поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками .
Подумайте , чему равна сумма смежных	*углов*	.
Сколько при этом образовалось	*углов*	( рассматриваются углы с вершиной в точке пересечения прямых ) ? .
Пары	*углов*	с общей стороной .
а ) сумма	*углов*	треугольника равна 180 ° . б ) углы в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
Треугольник АОВ — равнобедренный , один из	*углов*	равен 60 ° .
Затем нарисуйте в одном из	*углов*	какую - либо линию и , не пользуясь настоящими зеркалами , дорисуйте ее до симметричной фигуры , которая получилась бы при отражении в зеркалах .
Если мы соединим центр окружности ( точку О ) с точками деления , то получим 360 равных	*углов*	, каждый из которых равен 1 ° .
Можно сделать вывод : по стороне и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный треугольник , но при этом величины заданных	*углов*	не могут быть произвольными .
46 Докажите , что в прямоугольном треугольнике , один из	*углов*	которого равен 30 ° , наибольшая сторона в два раза больше наименьшей .
Позднее вы узнаете , что соответствующее построение возможно , если сумма заданных	*углов*	меньше 180 ° .
Докажите равенство	*углов*	HA1В1 и HCВ1 .
Какой вывод о сумме	*углов*	треугольника вы можете сделать ? .
Как видим , дольные единицы	*углов*	называют , как и единицы времени .
Но сумма трех	*углов*	, сходящихся в точке О , равна 360 ° .
Рассматривая основные геометрические фигуры , среди всех	*углов*	мы выделили прямой угол , равный 90 ° .
1 Измерьте с помощью транспортира углы треугольников и результаты внесите в таблицу , в последнем столбце которой запишите сумму	*углов*	.
Получим точку М. Из этой точки М отрезок АВ виден под прямым	*углом*	.
Каждая точка плоскости задается двумя полярными координатами :	*углом*	и расстоянием .
Например , если зеркала стоят под	*углом*	60 ° друг к другу , то линия отражается шесть раз и полученная фигура имеет три оси симметрии .
Сделайте свой калейдоскоп из двух плоских зеркал , поставленных на лист белой бумаги под	*углом*	друг к другу .
Поставьте два зеркала под прямым	*углом*	друг к другу .
Изобразите в виде прямых два зеркала под	*углом*	90 ° друг к другу .
Например , камень , брошенный человеком под	*углом*	к поверхности Земли , описывает параболу .
Отражаясь от оси n , ось m перейдет в некоторую прямую m1 тоже являющуюся осью симметрии и пересекающуюся с n под	*углом*	15 ° .
Две прямые , пересекающиеся под прямым	*углом*	( 90 ° ) , называются перпендикулярными .
Мы получили две прямые , пересекающиеся под прямым	*углом*	.
2 Две прямые , пересекающиеся под	*углом*	15 ° , являются осями симметрии некоторого многоугольника .
Проведем боковую сторону под прямым	*углом*	и закончим построение золотого прямоугольника .
Заметим , что , какими бы мы ни задали две стороны треугольника , существует единственный треугольник с такими сторонами и	*углом*	.
Построение треугольника по двум сторонам и	*углу*	между ними .
Рассмотрим , например , задачу о построении треугольника по двум сторонам и	*углу*	, но не между данными сторонами .
Значит , угол АВС равен	*углу*	АPC , так как эти углы опираются на одну дугу окружности , т .
Затем на нее положим карточку со стороной 9 , но не по центру ( в левом верхнем	*углу*	) .
Приложите транспортир к	*углу*	так , чтобы .
2 У квадрата , как и у прямоугольника , все	*углы*	прямые .
4 Углы 1 , 4 , 5 , 7 равны ;	*углы*	2 , 3 , 6 , 8 равны .
По отношению к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ	*углы*	( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
По отношению к нему остальные углы делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые	*углы*	( больше 90 ° ) .
В градусах измеряют	*углы*	и дуги окружностей .
Чему равны остальные	*углы*	? .
1 Если считать только	*углы*	не больше 180 ° , то образуется 12 углов .
1 Измерьте с помощью транспортира	*углы*	треугольников и результаты внесите в таблицу , в последнем столбце которой запишите сумму углов .
3 Постарайтесь при помощи одной линейки ( на глазок ) построить	*углы*	, равные 30 ° , 45 ° , 80 ° , 90 ° , 120 ° .
Обозначим	*углы*	через x и y , тогда угол АОМ , а угол ВОМ .
а ) сумма углов треугольника равна 180 ° . б )	*углы*	в равнобедренном треугольнике , лежащие против равных сторон , равны .
Возьмем окружность и две точки на ней А и В. Оказывается , какую бы точку М на окружности по одну сторону от АВ мы ни взяли , все образующиеся	*углы*	АМВ будут равны между собой .
Только еще все они равны и все	*углы*	прямые .
Сколько при этом образовалось углов ( рассматриваются	*углы*	с вершиной в точке пересечения прямых ) ? .
Значит , угол АВС равен углу АPC , так как эти	*углы*	опираются на одну дугу окружности , т .
г ) Существует ли треугольник , все	*углы*	которого меньше 50 ° ? .
Прежде чем ответить на него , попробуйте решить задачу на построение треугольника по следующим данным : сторона треугольника равна 6 см , а прилежащие к ней	*углы*	равны 85 ° и 100 ° .
Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все	*углы*	прямые .
А теперь измерьте транспортиром построенные	*углы*	.
7 Проведите три луча из одной точки ( городка ) под одинаковыми углами друг к другу и впишите окружности разных радиусов в образовавшиеся	*углы*	.
Точно так же покажем , что остальные	*углы*	треугольника АВС равны 60 ° .
Измерьте остальные	*углы*	.
В этой окружности	*углы*	НА1В1 и НСВ1 опираются на одну дугу .
Значит , все	*углы*	по 60 ° .
Угол квадрата ( 90 ° ) также складывается пополам ; значит , между диагональю квадрата и его сторонами образуются	*углы*	по 45 ° .
в ) Существует ли треугольник , все	*углы*	которого больше 70 ° ? .
По отношению к нему остальные	*углы*	делятся на две группы : ОСТРЫЕ углы ( меньше 90º ) и тупые углы ( больше 90 ° ) .
Но	*углы*	А и В тоже прямые , т .
Чему равны	*углы*	АМС , AMD , ВМС ? .
Кроме длин , площадей и объемов в геометрии надо еще уметь измерять	*углы*	.
Вертикальные	*углы*	не имеют общих сторон .
Поскольку второй треугольник получается из первого увеличением каждой стороны в 3/4 раза , то треугольники имеют равные	*углы*	.
Только еще все	*углы*	прямые .
Как вы думаете , какие	*углы*	образует диагональ со сторонами квадрата ?
2 Начертите при помощи транспортира	*углы*	, равные 10 ° , 20 ° , 30 ° , 170 ° , причем так , чтобы одна сторона у всех углов была общей .
Вершины треугольника , а также соответствующие	*углы*	принято обозначать большими латинскими буквами А , В , С или К , L , М и т .
Проведем в окружности три радиуса так , чтобы	*углы*	между ними были равны 120 ° .
Это , например ,	*углы*	АОС и DOC .
Сравните , если угол между зеркалами равен 30 ° , 45 ° , 90 ° , 120 ° ( эти	*углы*	начертите с помощью транспортира на листе бумаги под зеркалами ) .
43 Чему равны	*углы*	между отрезками , проведенными на гранях куба ? .
Между соседними осями симметрии	*углы*	по 15 ° .
49 Как разрезать треугольник на два равнобедренных треугольника , если его	*углы*	равны : а ) 20 ° , 40 ° , 120 ° ; б ) 20 ° , 60 ° , 100 ° ? .
8 Через некоторую точку плоскости проведены три прямые , образующие между собой	*углы*	по 60 ° .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и	*углы*	задаются в виде геометрической фигуры — угла .
Измерьте	*углы*	в четырехугольнике АВСD .
Все	*углы*	острые — остроугольный треугольник .
Что получится , если	*угол*	между прямыми равен 33 ° ? .
Какой	*угол*	образует биссектриса этого угла с его сторонами ?
Но все же не стоит противопоставлять друг другу	*угол*	и овал , треугольник и окружность .
10 Начертите в тетради	*угол*	, равный 60 ° .
Более того , если точка О ( центр окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М ,	*угол*	АМВ равен половине угла АОВ .
	*Угол*	АВС равен 60 ° .
Пусть в треугольнике АВС известны две стороны АВ равно 5 см и АС равно 3 см и	*угол*	между ними ВАС , равный 50 ° .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой точки на	*угол*	поворота .
Но	*угол*	AM В равен .
5 Чему равен угол ADC , если	*угол*	АВС равен 40 ° ? .
11 Начертите в тетради какой - нибудь	*угол*	, проведите в нем на глаз биссектрису и проверьте измерением .
Найдем	*угол*	ОАВ .
1 Строим	*угол*	, равный 50 ° ( используем транспортир и линейку ) .
Чему может равняться	*угол*	АОС , если : a ) ∠АОВ равно 70 ° , ∠ВОС равно 50 ° ; б ) ∠АОВ равно 102 ° , ∠ВОС равно 84 ° ? .
Среди всех углов выделяется прямой	*угол*	.
( Почему	*угол*	АОМ ?
На нее ( в левый нижний	*угол*	) положим черную карточку со стороной 8 .
Потом на нее кладем следующую по размеру карточку ( в правый нижний	*угол*	) .
Вторая сторона угла указывает на шкале	*угол*	в градусах .
Обозначим углы через x и y , тогда угол АОМ , а	*угол*	ВОМ .
Другими словами , если у двух треугольников равны три соответствующих элемента ( две стороны и	*угол*	между ними ; сторона и два прилежащих к ней угла ; три стороны ) , то такие треугольники равны .
Обозначим углы через x и y , тогда	*угол*	АОМ , а угол ВОМ .
5 На плоскости дан острый	*угол*	и точка А внутри него .
Сторона ОС у них общая , а стороны ОА и ОD составляют развернутый	*угол*	.
Значит ,	*угол*	АВС равен углу АPC , так как эти углы опираются на одну дугу окружности , т .
5 Чему равен	*угол*	ADC , если угол АВС равен 40 ° ? .
Есть прямой	*угол*	— прямоугольный треугольник ; есть тупой угол — тупоугольный треугольник .
Чему равен	*угол*	между большими сторонами получившихся треугольников ?
Вершина ; сторона ;	*угол*	треугольника .
6 На окружности радиусом 1 взяты три точки А , В , С так , чтобы	*угол*	АСВ был равен 30 ° .
Чему равен	*угол*	между осями ? .
Чему равен	*угол*	AMВ ? .
В 3 ч угол между радиусом и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч радиус возвратится в исходное положение , описав	*угол*	360 ° .
Сравните , если	*угол*	между зеркалами равен 30 ° , 45 ° , 90 ° , 120 ° ( эти углы начертите с помощью транспортира на листе бумаги под зеркалами ) .
Рассматривая основные геометрические фигуры , среди всех углов мы выделили прямой	*угол*	, равный 90 ° .
Пусть в треугольнике АВС	*угол*	ВАС равен 40 ° , сторона А В равна 4 см. Рассмотрим три случая : а ) ВС равно 2 см ; б ) ВС равно 3,5 см ; в ) ВС равно 5 см .
А если взять квадрат других размеров — больше или меньше , — изменится ли	*угол*	между сторонами квадрата ?
Расстояние показывает , как далеко точка находится от полюса , а	*угол*	показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения , когда она пройдет через нужную точку .
Измените	*угол*	между зеркалами .
Прямой	*угол*	содержит 90 ° .
Начертите в тетради точку , прямую , отрезок , луч и	*угол*	.
И	*угол*	квадрата разделился пополам .
Биссектриса угла — это луч , выходящий из его вершины и делящий	*угол*	на два равных .
Если мы построим на АВ как на диаметре окружность и возьмем на ней любую точку М , то	*угол*	AMВ будет прямым .
На данной доске ( если левый нижний	*угол*	черный ) черных 32 клетки , а белых 30 .
Чему равен	*угол*	, наблюдаемый сквозь стекло ? .
8 На	*угол*	в 10 ° смотрят через увеличительное стекло с десятикратным увеличением .
7 Чему равен	*угол*	между минутной и часовой стрелками на часах в 9 ч , 10 ч , 6 ч , 5 ч , 11 ч 30 мин ? .
40 Если мы нарисуем прямой	*угол*	с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее центр .
а ) две стороны и	*угол*	между ними .
Теперь понятно , почему при перемещении точки М по дуге окружности	*угол*	AM В остается постоянным ? .
Есть прямой угол — прямоугольный треугольник ; есть тупой	*угол*	— тупоугольный треугольник .
Можете ли вы объяснить , почему	*угол*	именно такой ?
Полному повороту соответствует	*угол*	360 ° , и полярный угол изменяется от 0 до 360 ° .
Значит , в самом деле	*угол*	АОВ в два раза больше угла AMВ .
Изобразим прямой	*угол*	и продолжим его стороны за вершину .
У обычного чертёжного угольника один	*угол*	прямой .
Оказывается , туристы обычно пользуются в походах полярными координатами , а азимут — это	*угол*	между направлением на север и направлением на некоторый предмет из точки , где находится турист .
Как вы думаете , будет ли и четвертый	*угол*	прямым ? .
Известно , что	*угол*	1 равен 52 ° .
В 3 ч	*угол*	между радиусом и его начальным положением равен 90 ° , в 6 ч — 180 ° , а за 12 ч радиус возвратится в исходное положение , описав угол 360 ° .
Значит ,	*угол*	АОВ — 60 ° .
9 Начертите на листе бумаги любой	*угол*	и вырежьте его по сторонам , оставив бумагу между сторонами угла неразрезанной .
В одном из своих стихотворений поэт Павел Коган сказал : « Я с детства не любил овал , я с детства	*угол*	рисовал .. »
Вписанный в окружность	*угол*	, опирающийся на диаметр , равен 90 ° .
А как измерить	*угол*	? .
Полному повороту соответствует угол 360 ° , и полярный	*угол*	изменяется от 0 до 360 ° .
В обозначении угла вершина всегда ставится в середине :	*угол*	АОВ .
Используя линейку и чертежный	*угольник*	, можно без труда вычерчивать параллельные прямые .
А если взять произвольный n -	*угольник*	? .
С помощью чертежного	*угольника*	найдите ее центр .
У обычного чертёжного	*угольника*	один угол прямой .
3 Пользуясь линейкой , транспортиром и чертежным	*угольником*	, найдите пары параллельных и перпендикулярных прямых .
Чтобы перевести расстояние из ялимов в километры , надо соответствующее число	*умножить*	на 4/3 .
Введем обозначения , как на рисунке , и составим	*уравнение*	.
Из этого	*уравнения*	видно , что площади частей х и у равны .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной —	*усеченная пирамида*	; е ) усеченная пирамида ; ж ) четырехугольная пирамида .
27 а ) Куб ; б ) конус ; в ) пирамида ; г ) параллелепипед ; д ) треугольная пирамида со срезанной вершиной — усеченная пирамида ; е )	*усеченная пирамида*	; ж ) четырехугольная пирамида .
8 Разрезав « кольцо » и сложив из него квадрат , увидим , что краски пойдет одинаковое количество ( площади этих	*фигур*	равны ) .
Так же как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей , так и сложные геометрические фигуры составляются из простейших геометрических	*фигур*	.
Покажем это на примере одной известной задачи — задачи « о кенигсбергских мостах » , которая положила начало задачам на вычерчивание	*фигур*	одним росчерком .
Каждую из оставшихся частей этих	*фигур*	разделить на четыре равные части .
Все фигурки складываются из прямоугольных листов бумаги ( одного или двух ) , без помощи ножниц или клея ( клей применяют разве что для склеивания половинок	*фигур*	, составленных из двух листов ) .
Схема , приведенная выше , показывает , как увеличение числа измерений влечет за собой изменение и усложнение геометрических	*фигур*	.
Мысленно перегибая бумагу , определите , сколько осей симметрии имеет каждая из	*фигур*	.
У геометрических	*фигур*	может быть одна или несколько осей симметрии , а может и не быть вовсе .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства	*фигур*	не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой точки на угол поворота .
Поворот — геометрическое преобразование	*фигур*	, при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение фигуры , так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой точки на угол поворота .
Они являются общими свойствами произвольных	*фигур*	.
все семь	*фигур*	? .
7 Очевидно , что из всех семи	*фигур*	составляется квадрат .
При решении большинства предыдущих задач мы опирались на некоторые свойства	*фигур*	.
Можно ли составить квадрат из двух	*фигур*	?
Среди	*фигур*	выберите симметричные и проведите в них всевозможные оси симметрии .
В танграме среди его семи	*фигур*	уже имеются треугольники трех разных размеров .
14 Найдите площади	*фигур*	.
Площади плоских	*фигур*	при увеличении их сторон в n раз увеличиваются в n×n раз .
Она заключается в складывании различных	*фигур*	из заданного набора пентамино .
8 Из каких различных	*фигур*	танграма можно составить прямоугольники ?
Геометрия изучает форму и взаимное расположение	*фигур*	в пространстве .
Сколько осей симметрии у каждой из получившихся	*фигур*	? .
Названия геометрических	*фигур*	имеют вполне определенный смысл .
Составьте из пяти квадратов все 12	*фигур*	пентамино .
Какая	*фигур*	« самая симметричная » ? .
В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть , замечать различные особенности геометрических	*фигур*	, делать выводы из замеченных особенностей .
Какие - то из этих	*фигур*	вам удалось вычертить почти сразу , решение других пришло через некоторое время , а третьи вообще не рисуются .
Надо многое знать — законы природы , свойства	*фигур*	, математические формулы .
6 Какая часть площади	*фигур*	закрашена ? .
Задачи на разрезание и складывание	*фигур*	.
К топологическим относятся и задачи на вычерчивание	*фигур*	одним росчерком .
16 Разрежьте каждую из	*фигур*	на четыре равные части .
Слово « многоугольник » указывает на то , что у всех	*фигур*	из этого семейства много углов .
Испытайте свои силы в вычерчивании одним росчерком	*фигур*	.
6 Составить треугольник из шести	*фигур*	нельзя .
3 Из	*фигур*	выберите те , которые являются развертками куба , и перенесите их в тетрадь .
Что общего у всех	*фигур*	? .
Разделите пополам тетрадный лист вертикальной чертой , слева напишите названия тех	*фигур*	( или начертите их ) , которые можно поместить в плоскости , а справа те , которые нельзя .
Уложите все 12	*фигур*	пентамино в прямоугольник 6×10 .
Но нужно помнить свойства геометрических	*фигур*	, ведь именно они позволяют использовать клеточки в полной мере .
А теперь , наоборот , —	*фигур*	, имеющих ось ( или оси ) симметрии , но не имеющих центра симметрии .
Сможете ли вы указать по 10	*фигур*	в каждой колонке ? .
6 Задачи на разрезание и складывание	*фигур*	.
Среди множества различных геометрических	*фигур*	на плоскости выделяется большое семейство многоугольников .
Определите , что общего у	*фигур*	.
9 Первая слева из трех	*фигур*	есть « инь и янь » — знаменитый китайский символ равновесия темных и светлых сил в природе .
Среди всевозможных плоских	*фигур*	выделяются две главные : треугольник и окружность .
Какая из	*фигур*	лишняя ? .
Приведите примеры плоских	*фигур*	, имеющих центр симметрии , но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
Нарисуйте несколько	*фигур*	площадью 3 см2 .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных	*фигур*	, затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую фигуру так , чтобы получилась вторая фигура , затем третья .
Окружность — удивительно гармоничная	*фигура*	, древние греки считали ее самой совершенной .
Круг — плоская	*фигура*	, его характеризует площадь .
7 Изображена	*фигура*	площадью 2 см2 .
А вот домик с дверью — уже иная	*фигура*	.
2 Из спичек сложена	*фигура*	, состоящая из девяти равных треугольников .
Можно сказать , что точка О является центром симметрии , если при повороте вокруг точки О на 180 °	*фигура*	переходит сама в себя .
3 Возьмите ту же фигуру и переложите шесть спичек так , чтобы получилась	*фигура*	, состоящая из шести равных четырехугольников .
4 Из спичек сложена	*фигура*	.
5 Из спичек сложена	*фигура*	, состоящая из шести равносторонних треугольников .
Каждая геометрическая	*фигура*	, и вы , конечно , это уже поняли , обладает многими интересными свойствами .
Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой , то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой ( такой же , как исходная	*фигура*	) .
Если	*фигура*	« вошла » в свой контур , то она центрально - симметрична .
Если	*фигура*	имеет и оси симметрии , и центр симметрии , то каким может быть число осей симметрии такой фигуры ? .
Проверить , является	*фигура*	центрально - симметричной или нет , можно с помощью обычной иголки и кальки .
Определяя многоугольник , мы говорим , что эта	*фигура*	ограничена замкнутой ломаной линией , звенья которой не пересекают друг друга .
Сколько осей симметрии имеет полученная	*фигура*	?
Каждая плоская	*фигура*	или пространственное тело имеет форму и размеры .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую фигуру так , чтобы получилась вторая	*фигура*	, затем третья .
Треугольник — плоская	*фигура*	.
2 Эта задача посложнее , так как	*фигура*	, которую также нужно разрезать на две равные части , не такая простая .
Например , если зеркала стоят под углом 60 ° друг к другу , то линия отражается шесть раз и полученная	*фигура*	имеет три оси симметрии .
Как удостовериться , что вырезанная	*фигура*	— квадрат ? .
Шестиугольник , как и сам треугольник , плоская	*фигура*	.
1 Известно , что	*фигура*	имеет две оси симметрии .
Вырезанная	*фигура*	называется разверткой куба .
На ней видно , как линии , уходящие вглубь , сходятся в одной точке , а	*фигура*	, находящаяся дальше от нас , изображается в виде фигуры меньших размеров .
В удивительном мире геометрии существует и	*фигура*	, которая не имеет измерений — длины , ширины , высоты .
А как быть , если	*фигура*	произвольна ? .
13 Дано игровое поле 4×4 и 16 квадратов с геометрическими	*фигурами*	, имеющими ось ( одну или несколько ) симметрии .
А как быть с пространственными	*фигурами*	( телами ) ?
6 Найдите 47 треугольников в	*фигуре*	.
9 Восемь спичек уложите так , чтобы образовались один восьмиугольник , два квадрата и восемь треугольников — все в одной	*фигуре*	! .
5 Найдите 27 треугольников в	*фигуре*	.
Если в	*фигуре*	( на графе ) число нечетных узлов больше двух , то ее нельзя нарисовать одним росчерком ! .
Некоторые из этих свойств оказываются присущими только этой	*фигуре*	, являются характерными только для нее .
Так же можно поступить и с пространственной	*фигурой*	.
Проколов фигуру в предполагаемом центре и обведя ее контур , надо повернуть	*фигуру*	на 180 ° вокруг иголки .
Требуется выложить из 12 спичек	*фигуру*	, которая охватывала бы площадь в три квадратные единицы .
Нарисуйте	*фигуру*	, состоящую из точек , до которых может добраться коза .
Как описать эту	*фигуру*	человеку , который ее не видит ?
Используя эти свойства , можно совершенно иначе , с неожиданной точки зрения определить хорошо знакомую геометрическую	*фигуру*	.
15 Надо разрезать	*фигуру*	на четыре части и затем переложить их так , чтобы внутри образовался квадрат площадью 1 см2 .
Оказывается , проведя лишь одну линию ,	*фигуру*	можно разделить на две равные части , причем на равные части будет разделена каждая из частей — черная и белая .
А самое меньшее число клеток , покрывающих	*фигуру*	, равно 40 .
Выигрывает тот , кто перемещение спичек закончит быстрее , получив при этом последнюю	*фигуру*	.
Проколов	*фигуру*	в предполагаемом центре и обведя ее контур , надо повернуть фигуру на 180 ° вокруг иголки .
Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур , затем берет в руку еще одну спичку и по команде ведущего передвигает ею спички , образующие первую	*фигуру*	так , чтобы получилась вторая фигура , затем третья .
Ваша задача — описать	*фигуру*	так , чтобы ваш приятель смог ее нарисовать .
15 Нарисуйте овальную линию той же длины , но ограничивающую	*фигуру*	площадью на 1 см2 больше .
Эту	*фигуру*	можно начертить одним росчерком .
Наложим на нашу	*фигуру*	кальку .
А теперь попробуйте описать	*фигуру*	.
Если симметричную	*фигуру*	сложить пополам вдоль оси симметрии , то ее части совпадут .
Вырежьте	*фигуру*	, оставляя участки на линиях сгиба неразрезанными ( подумайте почему ) , разверните полученную « гармошку » .
2 Перечертите на клетчатую бумагу	*фигуру*	и вырежьте ее ( сторона каждого квадрата 4 см ) .
В ходе занятий часто будут встречаться задания начертить какую - либо	*фигуру*	, измерить какие - либо величины .
Интересно , что в правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий , составляющих эту	*фигуру*	, делит другую в отношении золотого сечения .
Возьмем лист клетчатой бумаги и нарисуем на нем какую - нибудь	*фигуру*	.
Постройте	*фигуру*	( сечение ) , по которой плоскость , проходящая через указанные точки , пересечет куб .
А решение задачи о мостах доказывает , что изображенную	*фигуру*	нельзя нарисовать одним росчерком .
На листе между зеркалами нарисуйте какую - нибудь	*фигуру*	или произвольную линию .
Заданную	*фигуру*	, которая для облегчения работы часто разделена на равные клеточки , надо разрезать на две или несколько одинаковых частей .
6 Как вырезать из целого листа бумаги	*фигуру*	?
Продолжая покрывать	*фигуру*	квадратными миллиметрами , мы найдем ее площадь с избытком .
4 Как разрезать	*фигуру*	, показанную на рисунке 6 , на две одинаковые части ? .
В подобных задачах требуется начертить какую - либо	*фигуру*	, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии .
3 Возьмите ту же	*фигуру*	и переложите шесть спичек так , чтобы получилась фигура , состоящая из шести равных четырехугольников .
Посмотрите на	*фигуру*	.
Постройте	*фигуру*	, получающуюся при отражении заданного отрезка в зеркалах .
3 Простейшие геометрические	*фигуры*	.
Так же как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей , так и сложные геометрические	*фигуры*	составляются из простейших геометрических фигур .
Какие геометрические	*фигуры*	могут « жить » в этом мире ?
Вокруг вас живут треугольники , окружности , квадраты , отрезки и другие плоские	*фигуры*	.
На середину стола кладутся последовательно	*фигуры*	.
Рассматривая основные геометрические	*фигуры*	, среди всех углов мы выделили прямой угол , равный 90 ° .
11 Из семи многоугольников , входящих в танграм , сложите	*фигуры*	.
На ней видно , как линии , уходящие вглубь , сходятся в одной точке , а фигура , находящаяся дальше от нас , изображается в виде	*фигуры*	меньших размеров .
4 На какие	*фигуры*	делит квадрат каждая диагональ ? .
Задача 6 похожа на разрезание хлеба : ножом мы тоже проводим некоторые плоскости и получаем в разрезе	*фигуры*	сечения .
Поворот — геометрическое преобразование фигур , при котором свойства фигур не меняются , может измениться лишь положение	*фигуры*	, так как каждая ее точка повернется вокруг некоторой точки на угол поворота .
11 Из трех кубиков можно построить в соответствии с условием задачи две различные	*фигуры*	, а из четырех — семь .
На какие	*фигуры*	она делит квадрат ? .
5 Какого вида эти	*фигуры*	? .
Итак , простейшие	*фигуры*	и их обозначения .
В 1899 г. швейцарский историк Генрих Зютер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись « Книга Архимеда о разбиении	*фигуры*	стомахиона на 14 частей , находящихся в рациональных отношениях » .
33 Какие	*фигуры*	могут получиться при пересечении двух треугольников ?
Заметьте , что сколько углов , столько и сторон , поэтому эти	*фигуры*	вполне можно было бы назвать и многосторонниками .
Затем нарисуйте в одном из углов какую - либо линию и , не пользуясь настоящими зеркалами , дорисуйте ее до симметричной	*фигуры*	, которая получилась бы при отражении в зеркалах .
А как точно нарисовать отражение	*фигуры*	в зеркале ? .
Нарисуйте еще две	*фигуры*	площадью 2 см2 .
Например , у	*фигуры*	много углов , но она не является многоугольником .
Но для характеристики	*фигуры*	этого еще недостаточно .
Перемешайте	*фигуры*	пентамино на столе , чтобы они лежали произвольно , а затем сложите прямоугольник 6×10 , не переворачивая ни одной фигурки .
Зеркально отражаясь , нарисованная на бумаге линия сама « достраивала » себя до некоторой симметричной	*фигуры*	.
Если фигура имеет и оси симметрии , и центр симметрии , то каким может быть число осей симметрии такой	*фигуры*	? .
По этим договоренностям стороны треугольника , например , задаются в виде отрезков , а не числами , определяющими их длину ; также и углы задаются в виде геометрической	*фигуры*	— угла .
Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной величине , мы вычислим площадь	*фигуры*	с недостатком , но уже точнее .
Будем продолжать заполнять площадь	*фигуры*	квадратными миллиметрами до тех пор , пока это возможно .
Как поступить , чтобы найти площадь	*фигуры*	точнее ?
Площадь	*фигуры*	с избытком равна 40 см2 .
Величина 16 см2 есть площадь	*фигуры*	, измеренная с недостатком .
10 Сложите из закрашенных и незакрашенных частей одинаковые	*фигуры*	.
Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем , хотя здесь также , разрезая квадрат на части и перекладывая эти части , можно получать	*фигуры*	единичной площади и различной конфигурации .
Таким образом , площадь	*фигуры*	больше 16 клеток , но меньше 40 .
С помощью составленного из двух зеркал калейдоскопа нам удавалось получать симметричные	*фигуры*	.
Сравним две	*фигуры*	( кляксу и ажурную бумажную салфетку или « снежинку » ) .
Эти	*фигуры*	известны нам всем с раннего детства .
Разместить квадраты в клетках поля так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались	*фигуры*	, имеющие одинаковое число осей симметрии .
Треугольники , соединяясь друг с другом , могут образовывать другие	*фигуры*	.
26 В математических рукописях XVIII в . можно встретить утверждение , что	*фигуры*	с равными периметрами ограничивают равные площади .
Основная идея — постараться каким - то образом изготовить уменьшенную копию той	*фигуры*	, параметры которой надо измерить .
Если , не меняя формы плоской	*фигуры*	, увеличить ее размеры в n раз , то ее площадь увеличится в n×n раз .
Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо , положив полученное кольцо на плоскость , сделаем из него разные	*фигуры*	: квадрат , треугольник , окружность и т .
Как расположены оси симметрии	*фигуры*	, если их больше двух ? .
Такие	*фигуры*	называют равносоставленными .
Если две различные плоские	*фигуры*	можно разрезать на одинаковые части , то эти фигуры будут иметь равные площади .
Равные фигуры — это	*фигуры*	, равные по размерам и имеющие одинаковую форму .
Равные	*фигуры*	— это фигуры , равные по размерам и имеющие одинаковую форму .
5 На какие части надо разрезать квадрат , чтобы сложить из них	*фигуры*	?
Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой , то отраженная в зеркале половинка	*фигуры*	дополнит ее до целой ( такой же , как исходная фигура ) .
Две другие	*фигуры*	составлены из различных окружностей .
Попробуйте понять , как это сделано , и перерисовать	*фигуры*	.
Если две различные плоские фигуры можно разрезать на одинаковые части , то эти	*фигуры*	будут иметь равные площади .
14 Разделите	*фигуры*	на прямоугольники , найдите по формуле площади этих прямоугольников и результаты сложите .
16 Нарисуйте одним росчерком	*фигуры*	, изображенные .
Как мы видим , ровно 16 целых клеток содержится внутри	*фигуры*	.
Известно , что	*фигуры*	состоят из букв Т. Восстановите их вид .
6 Можно ли составить треугольник , используя только две	*фигуры*	танграма ?
6 Разрежьте	*фигуры*	на буквы Т такой же формы .
2 На	*фигуры*	кто - то вылил белую краску .
Но можно сложить еще один треугольник , используя четыре	*фигуры*	: один большой треугольник , два маленьких и квадрат .
4 Начертите	*фигуры*	одним росчерком ( пронумеруйте отрезки в той последовательности , в какой вы их проходили ) .
Придумайте и запишите в тетрадь еще два описания этой	*фигуры*	человеку , который не видит ее , чтобы он понял , что нарисовано .
Так же обосновывается наше правило для любой	*фигуры*	.
Нетрудно найти площадь	*фигуры*	, составленной из квадратных метров или квадратных сантиметров или из тех и других .
Так ли изменяется ваш	*флексагон*	? .
Это игрушка	*флексагон*	( от английского слова to flex , что означает « складываться , гнуться » ) .
Другими словами ,	*флексагон*	— гнущийся многоугольник .
Затем осторожно соединяем их , и	*флексагон*	вывернется наизнанку .
Превратим его в розовый	*флексагон*	.
Оставшийся треугольник подогните вниз , склейте друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности , и	*флексагон*	готов .
Если верхние точки	*флексагона*	развести в стороны , то он будет готов к новому превращению .
Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости ( эти точки называются	*фокусами*	эллипса ) постоянна .
Так , если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из фокусов источник света , то лучи , отразившись от зеркала , соберутся в другом	*фокусе*	.
Гипербола — это линия , для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости (	*фокусов*	гиперболы ) есть величина постоянная .
Так , если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из	*фокусов*	источник света , то лучи , отразившись от зеркала , соберутся в другом фокусе .
Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам , причем Солнце находится в одном из	*фокусов*	.
Все точки одной ветви ближе к одному	*фокусу*	( соответствующим образом берется и разность расстояний ) , а другой ветви к другому .
Окружность — частный случай эллипса , она получается , если	*фокусы*	эллипса совпадают .
Но для	*характеристики*	фигуры этого еще недостаточно .
Золотое сечение — это такое деление	*целого*	на две неравные части , при котором большая часть относится к целому , как меньшая к большей .
6 Как вырезать из	*целого*	листа бумаги фигуру ?
Получившееся	*целое*	число от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее целому .
Получившееся	*целое число*	от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее целому .
Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой , то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до	*целой*	( такой же , как исходная фигура ) .
Золотое сечение — это такое деление целого на две неравные части , при котором большая часть относится к	*целому*	, как меньшая к большей .
Но эта , самая первая , положившая начало	*целому*	направлению в геометрии , по - прежнему привлекает к себе внимание не только ученых , но и художников .
Получившееся целое число от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее	*целому*	.
45 Рассмотрим линейку длиной 6 см. Если поставить на ней две метки : одну на расстоянии 1 см от одного края , а вторую на расстоянии 2 см от другого , то с помощью этой линейки , сдвигая ее определенным образом , мы можем измерить любой из отрезков длиной 1 см , 2 см , 3 см , 4 см , 5 см и 6 см. С помощью линейки можно измерить все	*целочисленные*	отрезки от 1 см до 13 см. Убедитесь в этом .
Придумайте линейку длиной 9 см с тремя метками для измерения	*целочисленных*	отрезков от 1 см до 9 см. Придумайте линейку длиной 13 см с четырьмя метками внутри , отличную от уже рассмотренной .
По их поводу у математиков существует	*целый*	ряд договоренностей и ограничений .
У квадрата есть еще	*целый*	ряд интересных свойств .
У эллипса есть	*целый*	ряд свойств , которые могут иметь самые неожиданные применения .
Позже математики открыли еще	*целый*	ряд односторонних поверхностей .
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять чисел , выражающих стороны прямоугольников , были бы различными	*целыми*	числами .
Получившееся число	*целых*	единиц запишем .
Как мы видим , ровно 16	*целых*	клеток содержится внутри фигуры .
3 Если перегнуть круг так , чтобы половинки совпали , то линия сгиба пройдет через	*центр*	.
Изображена окружность , отмечен ее	*центр*	— точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности .
Изображена окружность , отмечен ее центр — точка О , проведены два отрезка : ОС и А В. Отрезок ОС соединяет	*центр*	окружности с точкой на окружности .
Нужно пройти в	*центр*	к деревьям и скамейкам под ними .
50 б ) возьмем	*центр*	окружности , проходящей через вершины треугольника , и соединим его с вершинами .
Более того , если точка О (	*центр*	окружности ) лежит с той же стороны от АВ , что и точка М , угол АМВ равен половине угла АОВ .
40 Если мы нарисуем прямой угол с вершиной на окружности , то прямая , соединяющая точки пересечения его сторон с окружностью , проходит через ее	*центр*	.
Это	*центр*	окружности , так как через нее проходят оба диаметра .
Она пересечет построенную окружность в точках В и С. Передвиньте	*центр*	построенной окружности на АВ или АС .
Отрезок АВ соединяет две точки окружности и проходит через ее	*центр*	.
Перегибанием бумаги найдите его	*центр*	.
Проделав эту операцию дважды , найдем	*центр*	круга .
Две такие прямые определят	*центр*	.
Если мы соединим	*центр*	окружности ( точку О ) с точками деления , то получим 360 равных углов , каждый из которых равен 1 ° .
С помощью чертежного угольника найдите ее	*центр*	.
Если фигура имеет и оси симметрии , и	*центр*	симметрии , то каким может быть число осей симметрии такой фигуры ? .
Приведите примеры плоских фигур , имеющих	*центр*	симметрии , но не имеющих оси ( осей ) симметрии .
Совершенство окружности — в расположении всех ее точек на одинаковом расстоянии от	*центра*	.
А теперь , наоборот , — фигур , имеющих ось ( или оси ) симметрии , но не имеющих	*центра*	симметрии .
Окружность — единственная кривая , которая может « скользить сама по себе » , вращаясь вокруг	*центра*	.
Она характеризуется наличием	*центра*	симметрии — точки О , обладающей определенным свойством .
Сколько раз он обернется вокруг своего	*центра*	, прежде чем вернется в исходное положение ? .
Если трафарет поворачивать вокруг точки О (	*центра*	симметрии ) на 180 ° , то бордюр уже будет иным .
Из объяснений понятно , что способ шифровки основан на повороте квадрата вокруг его	*центра*	.
Второй приложите к первому , отметьте на его краю точку А , наиболее удаленную от	*центра*	первого круга .
Мы можем взять и трафарет , рисунок которого совпадает сам с собой при повороте его на 180 ° вокруг	*центра*	( точки , лежащей внутри рисунка ) .
Квадрат при повороте на 90 ° вокруг его	*центра*	совместится сам с собой .
Для построения перпендикуляра достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные окружности с	*центрами*	на прямой l.
В	*центре*	находится бассейн .
11 На берегу глубокого озера круглой формы диаметром 100 м вбит колышек А , в середине озера расположен остров , а в его	*центре*	вбит колышек В. У человека , который не умеет плавать , есть веревка .
Проколов фигуру в предполагаемом	*центре*	и обведя ее контур , надо повернуть фигуру на 180 ° вокруг иголки .
Циркулем проведем дугу окружности радиусом АВ с	*центром*	в точке А .
Общую вершину треугольников будем считать	*центром*	окружности с радиусом , равным стороне треугольника .
2 Строим окружность с	*центром*	О вне нашей прямой , проходящей через А. Через В ( вторую точку пересечения этой окружности с прямой l ) проводим диаметр ВС. Тогда АС — перпендикуляр к прямой l .
Окружность — это линия , состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости , называемой	*центром*	окружности .
Поэтому точки , которых он может достичь за час , расположены на окружности с радиусом 4 км и	*центром*	в том месте , где Вася находится в начале пути .
Значит , М лежит на окружности с	*центром*	О и радиусом .
6 Начертите циркулем окружность радиусом 13 клеточек с	*центром*	в узле клетки .
Если мы теперь начертим окружность с	*центром*	в точке А , проходящую через точку В ( т . е .
Возьмем окружность и точку над ее	*центром*	.
Возьмем произвольную окружность с	*центром*	О. Разделим ее на 360 равных частей — дуг .
2 Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В , измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом , равным АВ , с	*центром*	в точке В1 .
Можно сказать , что точка О является	*центром*	симметрии , если при повороте вокруг точки О на 180 ° фигура переходит сама в себя .
Затем на нее положим карточку со стороной 9 , но не по	*центру*	( в левом верхнем углу ) .
Незачеркнутая часть коридоров будет выходом или маршрутом от входа к выходу или к	*центру*	.
Оказывается , первый из них ( тетраэдр ) стоит немного особняком : если считать	*центры*	его граней вершинами нового многогранника , то вновь получим тетраэдр .
Центры граней куба образуют октаэдр , а	*центры*	граней октаэдра — куб .
2 Кузнецу принесли пять	*цепей*	, по три звена в каждой , и поручили соединить их в одну цепь .
2 Можно раскрыть три звена одной	*цепи*	, а потом этими звеньями соединить четыре оставшихся куска .
2 Кузнецу принесли пять цепей , по три звена в каждой , и поручили соединить их в одну	*цепь*	.
В связи с	*циклоидами*	расскажем об одном интересном парадоксе ( слово « парадокс » означает неожиданное явление , не соответствующее обычным представлениям ) .
Только в 1696 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли установил , что желоб должен быть выгнут по	*циклоиде*	, опрокинутой вниз .
Она называется	*циклоидой*	.
20 Возьмите набор геометрических тел ( куб , шар , пирамида , конус ,	*цилиндр*	и др. ) .
Отсюда следует , что число нечетных вершин всегда	*четно*	.
7 Докажите , что число нечетных узлов графа всегда	*четно*	.
Система может вращаться лишь в том случае , если число шестеренок	*четное*	.
Если мы сложим все эти числа , то получим	*четное*	число , так как каждый путь , соединяющий две вершины , считается дважды .
42 На каждой « петле » таких точек будет	*четное*	число , а значит , и всего точек пересечения четное число .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное число , а значит , и всего точек пересечения	*четное*	число .
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется	*четное*	число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
Карточки , стороны которых	*четны*	, — черного цвета , а остальные — белого .
Она содержит девять узлов , пять из которых	*четные*	, а четыре — нечетные .
На нашем графе пять узлов , причем три из них	*четные*	( первый , второй и третий — в них соединяется четное число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
Таким образом ,	*четные*	и нечетные слои вырезаются отдельно .
	*Четырехгранник*	( « тетра » — четыре , « эдр » — грань ) .
5 Изобразите	*четырехугольник*	, у которого три угла прямые .
Рассмотрим образовавшийся при этом	*четырехугольник*	ABCD .
Если приложить друг к другу получившиеся после разрезания	*четырехугольник*	и треугольник , то соответствующие стороны не лежат на одной прямой .
58 Диагональ на самом деле представляет очень узкий	*четырехугольник*	площадью 1 .
По мнению Лены , это доказывало , что вырезанный	*четырехугольник*	— квадрат .
8 Треугольник АВС — правильный ,	*четырехугольник*	KLMN — квадрат .
Такой	*четырехугольник*	называется параллелограммом .
Изображен	*четырехугольник*	, противоположные вершины которого соединены отрезками .
Квадрат — очень интересный	*четырехугольник*	.
52 Разрежьте правильный треугольник на : а ) три одинаковые трапеции ( трапеция — это	*четырехугольник*	, у которого есть одна пара параллельных сторон ) ; б ) три одинаковых пятиугольника .
33 Показано , как при пересечении двух четырехугольников могут образоваться два	*четырехугольника*	, три четырехугольника и даже четыре четырехугольника .
	*Четырехугольника*	?
А три	*четырехугольника*	? .
Пунктирная линия делает этот рисунок объемным и позволяет отличать изображение пирамиды от	*четырехугольника*	с диагоналями .
Возможно ли , чтобы при пересечении двух четырехугольников образовалось два	*четырехугольника*	?
2 Покрывается ли плоскость копиями произвольного	*четырехугольника*	? .
33 Показано , как при пересечении двух четырехугольников могут образоваться два четырехугольника , три четырехугольника и даже четыре	*четырехугольника*	.
Определите вид треугольника АВС и	*четырехугольника*	KLMN .
33 Показано , как при пересечении двух четырехугольников могут образоваться два четырехугольника , три	*четырехугольника*	и даже четыре четырехугольника .
Измерьте углы в	*четырехугольнике*	АВСD .
3 Сколько	*четырехугольников*	? .
33 Показано , как при пересечении двух	*четырехугольников*	могут образоваться два четырехугольника , три четырехугольника и даже четыре четырехугольника .
Может , это просто набор сложенных определенным образом треугольников и	*четырехугольников*	?
3 8	*четырехугольников*	.
А при пересечении двух	*четырехугольников*	?
3 Возьмите ту же фигуру и переложите шесть спичек так , чтобы получилась фигура , состоящая из шести равных	*четырехугольников*	.
Возможно ли , чтобы при пересечении двух	*четырехугольников*	образовалось два четырехугольника ?
Тогда число в каждом следующем узле равно сумме	*чисел*	предшествующих узлов ( тех , из которых попадаем в этот узел за один переход ) .
22 Для облегчения решения пронумеруйте точки и запишите все 12 возможных равносторонних треугольников тройками	*чисел*	: ( 1 ; 2 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ; 5 ) , ( 2 ; 4 ; 5 ) и т .
Поиграем в эту игру и мы , но обозначать клетки будем парой	*чисел*	.
56 Разрежьте квадрат 13×13 на пять прямоугольников так , чтобы все десять	*чисел*	, выражающих стороны прямоугольников , были бы различными целыми числами .
Расставьте на развертках куба числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы сумма	*чисел*	на противоположных гранях была равна 7 .
Координаты точки плоскости — это пара	*чисел*	, из которых одно число является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
А на развертках — два из названных	*чисел*	или одно .
Правило это записывается в виде трех пар	*чисел*	: 3—1 , 1—1 , 1—3 .
Теперь каждой точке пространства соответствуют три координаты , тройка	*чисел*	х , у , z.
Теперь каждая точка плоскости обозначается парой	*чисел*	.
Расставьте на развертках куба	*числа*	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7 .
Правда , нет четкой единицы измерения , так как год не имеет постоянного	*числа*	суток .
7 На видимых гранях куба проставлены	*числа*	1 , 2 , 3 .
В первой расставить	*числа*	от 1 до 16 в обычном порядке .
Наверное , чтобы удобнее было записывать в столбик	*числа*	.
В результате каждая клетка шахматной доски имеет собственное « имя » , складывающееся из двух координат — буквы и	*числа*	, обозначающих столбец и строку , на пересечении которых эта клетка находится .
Если мы сложим все эти	*числа*	, то получим четное число , так как каждый путь , соединяющий две вершины , считается дважды .
Схема , приведенная выше , показывает , как увеличение	*числа*	измерений влечет за собой изменение и усложнение геометрических фигур .
Затем выбирают для окошечек любые 16 клеток , заботясь лишь о том , чтобы в их	*числе*	не было клеток с одинаковыми номерами .
Тогда	*число*	в каждом следующем узле равно сумме чисел предшествующих узлов ( тех , из которых попадаем в этот узел за один переход ) .
Мы легко любую дату можем перевести , скажем , в сутки ( подсчитать	*число*	суток от начала первого года до этой даты ) или даже в часы , если мы знаем дату и время события .
Чтобы перевести расстояние из ялимов в километры , надо соответствующее	*число*	умножить на 4/3 .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное число , а значит , и всего точек пересечения четное	*число*	.
Если мы сложим все эти числа , то получим четное	*число*	, так как каждый путь , соединяющий две вершины , считается дважды .
Получившееся	*число*	целых единиц запишем .
42 На каждой « петле » таких точек будет четное	*число*	, а значит , и всего точек пересечения четное число .
Продолжайте перекручивание полоски бумаги перед склеиванием , каждый раз увеличивая	*число*	полуоборотов на один .
Что означает это	*число*	? .
Какое наименьшее	*число*	выстрелов надо сделать , чтобы хотя бы один раз наверняка попасть в него ? .
Если фигура имеет и оси симметрии , и центр симметрии , то каким может быть	*число*	осей симметрии такой фигуры ? .
Подставьте в слове « многоугольник » вместо части « много » конкретное	*число*	, например 5 .
При этом первое	*число*	— номер столбца , а второе — номер строки .
Какое наименьшее	*число*	вершин может иметь этот многоугольник ? .
17 Какое минимальное	*число*	плоских разрезов нужно сделать , чтобы разделить куб на 64 маленьких кубика ? .
Для шести прямых	*число*	частей составит 22 .
Отсюда следует , что	*число*	нечетных вершин всегда четно .
Каждый игравший в « Морской бой » знает , что клетки доски в этой игре обозначаются парой — буква и	*число*	.
Во сколько раз новое перегибание увеличивает	*число*	существующих осей симметрии ?
Транспортир , как и линейка с делениями , не входит в	*число*	традиционно разрешенных инструментов .
Измерим толщину стопки бумаги , подсчитаем	*число*	листов в стопке и разделим первое число на второе .
55 Будем последовательно двигаться из А и ставить в каждом узле	*число*	, равное количеству способов , какими можно попасть в этот узел .
Получившееся целое	*число*	от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее целому .
Система может вращаться лишь в том случае , если	*число*	шестеренок четное .
Если в фигуре ( на графе )	*число*	нечетных узлов больше двух , то ее нельзя нарисовать одним росчерком ! .
К западному острову ведут пять мостов , а 5 , как и 3 , —	*число*	нечетное .
Отношение длин двух отрезков есть	*число*	, которое не зависит от единицы измерения .
4 Доску разрезать на линкоры нельзя : при указанной окраске в четыре цвета различных по цвету квадратов получается неодинаковое	*число*	.
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется четное число линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное	*число*	линий ) .
7 Докажите , что	*число*	нечетных узлов графа всегда четно .
А самое меньшее	*число*	клеток , покрывающих фигуру , равно 40 .
На нашем графе пять узлов , причем три из них четные ( первый , второй и третий — в них соединяется четное	*число*	линий ) , а два нечетные ( четвертый и пятый — в них соединяется нечетное число линий ) .
В результате в точке Б получим	*число*	100 .
Наименьшее	*число*	вершин равно числу осей , т .
Координаты точки плоскости — это пара чисел , из которых одно	*число*	является первым и указывается первым , а другое соответственно вторым .
7 Поставьте в каждой вершине графа	*число*	, равное количеству выходящих из него путей .
Подсчитаем	*число*	вершин ( В ) , ребер ( Р ) и граней ( Г ) у каждого многогранника и запишем результаты в табличку .
Так , у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники , в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же	*число*	ребер , а соседние грани сходятся под равными углами .
Измерим толщину стопки бумаги , подсчитаем число листов в стопке и разделим первое	*число*	на второе .
Подсчитайте их	*число*	.
Разместить квадраты в клетках поля так , чтобы ни по горизонтали , ни по вертикали не встречались фигуры , имеющие одинаковое	*число*	осей симметрии .
Предлагаемые ниже способы построения интересны и тем , что	*число*	проводимых при построении линий будет наименьшим из возможных .
5 На какое самое большое	*число*	частей можно разрезать блин тремя разрезами ?
Какое наименьшее и наибольшее	*число*	кубиков потребуется для постройки ? .
Считаем число узлов внутри многоугольника ( пусть это будет число а ) , а затем число узлов на границе , включая вершины ( обозначим это	*число*	b ) .
Какое наибольшее	*число*	кубиков можно убрать , чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не развалилась ? .
17 После каждого разреза	*число*	частей может возрасти не больше чем в два раза .
Считаем число узлов внутри многоугольника ( пусть это будет число а ) , а затем	*число*	узлов на границе , включая вершины ( обозначим это число b ) .
10 Какое наибольшее	*число*	различных сторон может быть в шестиугольнике , имеющем ось симметрии ? .
2 Если точку взять на самой прямой , то через эту точку проходит бесконечное	*число*	прямых , перпендикулярных данной прямой .
Считаем	*число*	узлов внутри многоугольника ( пусть это будет число а ) , а затем число узлов на границе , включая вершины ( обозначим это число b ) .
50 Разрежьте на наименьшее	*число*	равнобедренных треугольников треугольник с углами : а ) 10 ° , 70 ° , 100 ° ; б ) 50 ° , 60 ° , 70 ° .
Считаем число узлов внутри многоугольника ( пусть это будет	*число*	а ) , а затем число узлов на границе , включая вершины ( обозначим это число b ) .
Какое	*число*	должно было бы стоять в последнем столбце , если бы все измерения были сделаны абсолютно точно ? .
Следуя этим закономерностям , можно последовательно выписывать цепочки ( коды ) для полосок , сложенных любое	*число*	раз .
Затем	*число*	частей может быть 8 , 16 , 32 и 64 .
Придумайте какой - нибудь многогранник , у которого также восемь вершин , но	*число*	граней не равно шести .
Значит ,	*число*	разрезов не может быть меньше 6 .
Постарайтесь провести линию так , чтобы	*число*	точек пересечения линий разного цвета было бы нечетным .
Каким наименьшим	*числом*	можно заменить « много » в слове « многоугольник » ? .
Тогда площадь многоугольника равна	*числу*	.
Наименьшее число вершин равно	*числу*	осей , т .
Все большое семейство треугольников можно разделить на группы по	*числу*	равных сторон .
Во многих странах есть клубы оригамистов ,	*членами*	которых являются люди самых разных профессий и возрастов .
Что вы увидите , если плоскость , в которой вы находитесь , пересечет	*шар*	, движущийся сквозь плоскость , как сквозь стену ? .
20 Возьмите набор геометрических тел ( куб ,	*шар*	, пирамида , конус , цилиндр и др. ) .
На поверхности земного	*шара*	( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Меридианы и параллели образуют на поверхности земного	*шара*	координатную сетку .
Ведь нельзя так просто взять и измерить радиус земного	*шара*	, площадь океана и многое другое .
Перечислите несколько « топологических родственников »	*шара*	.
Этим парам точек будут соответствовать пары точек на поверхности земного	*шара*	, находящиеся на разном расстоянии одна от другой .
Вместе они составят правильный	*шестиугольник*	.
Как построить правильный	*шестиугольник*	?
Сделайте необходимые вычисления и впишите в окружность равносторонние ( правильные ) пятиугольник ,	*шестиугольник*	и восьмиугольник .
13 Тень —	*шестиугольник*	.
4 На сколько треугольников разбивается выпуклый	*шестиугольник*	отрезками , соединяющими какую - либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника ?
Правильный	*шестиугольник*	вписан в окружность , и все стороны равны радиусу этой окружности .
23 Разрежьте правильный	*шестиугольник*	на девять одинаковых частей разными способами .
Например , шесть правильных треугольников , имеющих общую вершину , образуют правильный	*шестиугольник*	.
Тогда —	*шестиугольник*	.
4 На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник отрезками , соединяющими какую - либо его вершину с остальными вершинами	*шестиугольника*	?
Покажите , что площадь этого треугольника равна половине площади	*шестиугольника*	.
11 Противоположные стороны	*шестиугольника*	, равны .
Взяв три вершины	*шестиугольника*	через одну , получим треугольник .
4 Можно ли замостить плоскость равными	*шестиугольниками*	? .
10 Какое наибольшее число различных сторон может быть в	*шестиугольнике*	, имеющем ось симметрии ? .
Зная это , можно вписывать в окружность правильные	*шестиугольники*	и треугольники без транспортира , по всем классическим правилам , пользуясь только циркулем и линейкой .
Эти три измерения мы используем ежедневно , говоря об окружающих нас предметах : высота дерева , длина дороги ,	*ширина*	тротуара .
Правда , когда мы говорим « длина ,	*ширина*	и высота » , то имеем в виду измерения параллелепипеда , расположенного конкретным образом на земле ( или на столе ) .
Весь мир стал плоским , как лист бумаги , остались только два измерения — длина и	*ширина*	.
15 Дан прямоугольник ,	*ширина*	которого в два раза меньше длины .
Если a , b и c — длина , высота и	*ширина*	прямоугольного параллелепипеда , то его объем равен a×b×c кубических единиц .
Передвинем трафарет вправо на расстояние , равное	*ширине*	трафарета ( такое преобразование называется параллельным переносом ) .
Если мы не знаем , как расположен параллелепипед , то говорить о длине ,	*ширине*	и высоте было бы не совсем верно .
Как называется геометрическое тело , полностью описываемое тремя измерениями — длиной ,	*шириной*	и высотой ?
Мы говорим : « Этот дом длиной в три подъезда ,	*шириной*	в два окна , высотой в шесть этажей » .
Склеите лист Мёбиуса	*шириной*	5 см .
Возьмите полоску бумаги	*шириной*	5 см и длиной около 20 см. Сложите ее « гармошкой » и нарисуйте какой - нибудь рисунок , касающийся линии сгиба .
Все предметы ( тела ) в окружающем нас мире имеют три измерения , хотя далеко не у всех можно указать длину ,	*ширину*	, высоту .
Чтобы получить некоторое представление о топологии , рассмотрим несколько топологических опытов с поверхностями , полученными из бумажной полоски примерно 30 см в длину и 3 см в	*ширину*	.
Уберем теперь и	*ширину*	.
А как быть , если требуется измерить высоту дерева ,	*ширину*	реки или объем большого камня , который трудно поднять даже нескольким силачам ?
Нам понадобилось задать три величины — длину ,	*ширину*	и высоту .
В удивительном мире геометрии существует и фигура , которая не имеет измерений — длины ,	*ширины*	, высоты .
Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник , то окажется , что длина его больше	*ширины*	примерно в 1,6 раза .
На него нанесены два	*штриха*	, расстояние между которыми и составляет 1 метр .
Обозначается двумя	*штрихами*	″. Запись 78 ° 16′25″ читается так : 78 градусов 16 минут 25 секунд .
Вспомните	*экватор*	и меридианы .
Большой — у	*экватора*	, маленький — у полюсов .
Они показывают географическую широту в градусах ( удаление ( в градусах ) данной точки от	*экватора*	) .
Москва находится севернее	*экватора*	примерно на широте 56 ° ( говорят : 56 ° северной широты ) .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные экватору , радиусы которых уменьшаются по мере удаления от	*экватора*	, стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
Все точки	*экватора*	имеют нулевую широту .
Выберем , например , две пары точек на карте , расстояния между которыми равны , но точки расположены в разных местах карты ( близко к	*экватору*	и далеко от него ) .
На поверхности земного шара ( или на его модели — глобусе ) параллелям соответствуют окружности , параллельные	*экватору*	, радиусы которых уменьшаются по мере удаления от экватора , стягиваясь к нулю у полюсов , в то время как меридианам соответствуют одинаковые полуокружности , проходящие через полюсы .
В конце концов	*эллипс*	превратится в параболу .
Если трубочку не разворачивать , то в сечении будет	*эллипс*	.
Все только что рассмотренные линии (	*эллипс*	, гипербола и парабола ) объединяются общим свойством .
Если плоскость сечения наклонять , то получим	*эллипс*	( плоскость 1 ) .
Все точки	*эллипса*	, как видно из построения , обладают одним свойством .
Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости ( эти точки называются фокусами	*эллипса*	) постоянна .
Так , если мы сделаем зеркало в форме	*эллипса*	и поместим в одном из фокусов источник света , то лучи , отразившись от зеркала , соберутся в другом фокусе .
Окружность — частный случай	*эллипса*	, она получается , если фокусы эллипса совпадают .
Окружность — частный случай эллипса , она получается , если фокусы	*эллипса*	совпадают .
У	*эллипса*	есть целый ряд свойств , которые могут иметь самые неожиданные применения .
Эта линия называется	*эллипсом*	.
На самом деле	*эллипсы*	в нашей жизни встречаются гораздо чаще , чем кажется .
Увеличивая наклон плоскости , получаем все более вытянутые	*эллипсы*	.

И. Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева

Математика : Наглядная геометрия. 5—6 кл