Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Абсцисса	точки А равна 5 , абсцисса точки В равна -7 .
	Абсцисса	Алгебра .
	Алгебра	предлагает вам новые возможности .
	Алгебра	возникла и развивалась в недрах арифметики .
Абсцисса	Алгебра	.
	Алгебра	, которую вы теперь изучаете , возникла и развивалась много веков тому назад именно как наука о решении уравнений .
	Алгебра	тесно связана с арифметикой , она возникла в древние времена в результате поисков общих схем решения похожих арифметических задач .
	Алгебраическая сумма	.
	Алгебраическую сумму	одночленов называют многочленом .
	Вероятность	события обозначается большой латинской буквой Р ( от французского слова probabilite , что означает « вероятность » ) .
	Вероятность	какого события равна 1 ?
	Вероятность	случайного события .
558	Возведите	в квадрат и в куб выражение .
	Возведите	в степень .
9	Возведите	в куб выражение .
569	Возведите	в квадрат и в куб выражение .
	Возведите	в степень ( а10)2 .
573	Возведите	дробь в степень .
	Восстановление	— по - арабски аль - джебр .
	Вынесите за скобки	общий множитель .
917	Вынесите за скобки	общий множитель .
919	Вынесите за скобки	общий множитель .
	Вынесите за скобки	множитель -2а .
819	Вынесите за скобки	множитель .
	Выражение	можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
247	Выражение	можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки сложения перед скобками .
	Выражение	с помощью распределительного закона можно представить в виде произведения .
806	Высота	двери на 30 см больше , чем её удвоенная ширина .
	Вычтите	удвоенное задуманное число .
	График	температуры даёт нам много полезной информации .
5	График	температуры воздуха 1 апреля 2010 г. в городе N . а ) В какое время суток температура была равна 0 ° ? .
	График	показывает , как менялось во время движения расстояние между лыжником и местом старта .
	График	зависимости .
5.6	Графики	вокруг нас .
	Графики	зависимостей мы построили по точкам , предварительно заполнив таблицы .
	Графики	реальных зависимостей .
5.4	Графики	.
	Графики	их бега .
5.7	Графики	зависимостей , заданных равенствами с модулями . ( Для тех , кому интересно ) .
	Графики	их бега показаны .
	Двучлен	можно представить в виде разности кубов .
	Двучлен	представляет собой разность квадратов .
	Двучлен	всегда положителен .
	Деление	с остатком . ( Для тех , кому интересно ) .
	Деление с остатком	. ( Для тех , кому интересно ) .
114	Делится	ли на 10 : сумма II11 322 ; разность 7го- 910 ; произведение 1215 1512 ? .
а )	Делится	ли значение выражения .
	Делится	ли .
	Длина	фасада реального дома равна 9 м .
	Длина	окружности маленького обруча 3 м , а большого — 4 м .
	Длина	прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона квадратной формы .
	Длина	окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча .
в )	Длину	ребра куба увеличили в 10 раз .
б )	Длины	рёбер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2 , 3 и 4 раза .
	Доказательство	, приведённое Евклидом , вы можете воспроизвести самостоятельно , воспользовавшись .
	Дробь	- нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби число 0,3 .
	Замкнутый	луч .
	Знак	« - » перед скобкой означает вычитание ; замените вычитание сложением .
	Значение	какого выражения больше .
3	Значение	какого из выражений равно .
	Значение	выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
	Квадрат	со стороной 1 м закрашивают по частям .
	Квадрат	разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
	Квадрат	суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
	Комбинаторные	задачи .
	Координата	точки на прямой .
	Координаты	и графики .
	Корень	уравнения — число 3 .
	Корень	уравнения .
	Корень	уравнения — число 15 .
	Корнем	уравнения называется число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство .
4.2	Корни	уравнения .
1	Корнями	какого уравнения являются числа 2 и -1 ? .
	Коэффициент	произведения .
666	Многочлен	представили в виде разности двучленов .
672	Многочлен	представьте в виде разности двух двучленов всеми возможными способами .
	Многочлен	.
	Многочлен	, оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы разности квадратов .
	Многочлен	на множители разложен , и можно сказать , что поставленная задача решена .
	Многочлена	свободный член .
5.3	Множества	точек на координатной плоскости .
5.1	Множества	точек на координатной прямой .
	Множество	, задаваемое двойным неравенством -1 х 2 , называют отрезком .
	Множество	корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
492	Множество	точек на плоскости задано условиями .
	Множество	точек на координатной плоскости .
493	Множество	точек на плоскости задано условиями .
	Множество	точек , как и соответствующее ему множество чисел , называют интервалом .
	Мода	.
	Мода	— показатель , который широко используется в статистике .
Статистик в этом случае сказал бы иначе : «	Модой	этого ряда является число 5 » .
	Модой	называют число ряда , которое встречается в этом ряду наиболее часто .
	Модуль	положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
	Модуль	отрицательного числа равен противоположному числу .
	Найдем	отношение площадей квадратов .
790	Найдите	все натуральные числа , которые .
	Найдите	координату точки К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
514	Найдите	число х , если .
	Найдите	координаты этих точек .
454 а )	Найдите	координату точки С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
214	Найдите	неизвестный член пропорции .
453	Найдите	длину отрезка MN , если .
45	Найдите	длины отрезков АВ , АС , АО , AD , BD .
414	Найдите	все целые корни уравнения .
	Найдите	координату середины отрезка АВ для каждого случая .
10	Найдите	значение выражения .
	Найдите	объём , если h 15 см , а 20 см , b 10 см .
792	Найдите	значение выражения .
	Найдите	зависимость , связывающую координаты точек построенной прямой , и задайте её алгебраически .
	Найдите	площадь поверхности , если а 5 см , b 7 см , с 9 см .
	Найдите	координату точки М , если известно , что .
	Найдите	корень уравнения .
794	Найдите	значение выражения .
843	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменных .
	Найдите	объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
413	Найдите	натуральный корень уравнения .
б ) Расстояние между соседними километровыми столбами электропоезд проходит за 1 мин 12 с.	Найдите	скорость S — площадь основания электропоезда , выразив её в километрах в час .
	Найдите	расстояние между точками , отмеченными на координатной прямой .
5	Найдите	значение выражения .
	Найдите	координаты точек , которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
	Найдите	азбуку Морзе в Интернете или в литературе и проверьте ваше предположение .
18	Найдите	корни уравнения .
496	Найдите	координаты точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
1	Найдите	значение выражения .
122	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменных .
	Найдите	координаты точек пересечения этих графиков .
	Найдите	а , если известно , что корень уравнения равен .
	Найдите	неизвестный член пропорции .
	Найдите	значение каждого из выражений .
	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменных .
27	Найдите	значение выражения .
	Найдите	N , если n 15 .
	Найдите	длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
120	Найдите	значение выражения .
178	Найдите	неизвестный член пропорции .
3	Найдите	значение выражения .
	Найдите	значение выражения .
189	Найдите	неизвестное число х , если изображён чертёж фасада дома , выполненный в некотором масштабе .
	Найдите	зависимость , которой удовлетворяют координаты точек этой прямой .
	Найдите	размеры дна каждой формы .
	Найдите	по этой формуле скорость пешехода , выразив её в метрах в минуту и в километрах в час , если длина его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов .
240	Найдите	площадь фигуры ( рис .
а )	Найдите	неизвестные длины сторон .
	Найдите	отношение периметров этих фигур .
	Найдите	периметр этого прямоугольника .
	Найдите	отношение х к у .
	Найдите	значение выражения при .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А.	Найдите	: а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
415	Найдите	целые корни уравнения .
	Найдите	значения выражений .
	Найдите	точку с целой положительной координатой , принадлежащую отрезку .
13 Вычислите 14	Найдите	значение выражения .
	Найдите	среднее арифметическое , моду и размах ряда попаданий .
8	Найдите	сумму многочленов .
	Найдите	размах посещаемости и среднюю посещаемость матча , округлив её до сотен .
	Найдите	стороны данного прямоугольника .
906	Найдите	корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
	Найдите	площадь квадрата .
	Найдите	средний рост солдат подразделения и число солдат выше среднего роста .
93	Найдите	размах ряда .
92	Найдите	моду ряда .
910	Найдите	корни уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
	Найдите	корни уравнения .
91	Найдите	среднее арифметическое ряда .
52	Найдите	значения выражений .
	Найдите	частоту рождения мальчиков и частоту рождения девочек в этом месяце .
5	Найдите	неизвестный член пропорции .
	Найдите	объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
	Найдите	площадь кольца , если .
4 Междугородний автобус проезжает 1 км по шоссе за 50 с.	Найдите	скорость автобуса в километрах в час .
	Найдите	среднее арифметическое ряда чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
621	Найдите	.
	Найдите	объём цилиндра при .
	Найдите	значение выражения при заданном значении переменной .
817	Найдите	значение выражения .
	Найдите	частоту события .
618	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменной .
	Найдите	размах и моду ряда оценок .
	Найдите	частоту каждого исхода .
	Найдите	в таблице значения а , при которых выполняется условие .
	Найдите	отношение а к b . 218 Решите задачу , составив пропорцию .
6 Известно , что 55 3125 .	Найдите	5б .
а )	Найдите	среднее арифметическое и моду этого ряда данных .
	Найдите	массу золота в сплаве , содержащем 75 г меди .
	Найдите	среднее число детей в семье и моду ( количество детей в наиболее типичной семье ) .
	Найдите	его перебором .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а )	Найдите	число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
	Найдите	число учащихся в каждой параллели , если известно , что во вторых классах на 8 учеников больше , чем в третьих .
	Найдите	моду ряда отметок и средний результат по контрольной работе .
	Найдите	число учащихся вторых классов , если в первых и третьих вместе учится 102 ученика .
	Найдите	примерное число школьников , сдавших экзамен успешно .
20	Найдите	ответ на вопрос задачи , сформулированной в задании .
	Найдите	в литературе , периодической печати , Интернете информацию о ситуациях , когда важно прогнозировать некоторое событие , оценивать шансы его наступления .
	Найдите	объединение и пересечение этих промежутков .
	Найдите	среднее арифметическое и моду ряда отметок .
	Найдите	: 52 , 53 , 54 , 55 .
814	Найдите	значение выражения .
а )	Найдите	примерное число школьников , сдававших экзамен .
	Найдите	среднее число жителей на 1 км2 .
	Найдите	первоначальные размеры телевизионного экрана .
	Найдите	размеры дна нового аквариума .
	Найдите	площадь нового участка .
	Найдите	частоту следующих событий .
	Найдите	скорость каждого поезда .
	Найдите	скорость каждого автомобиля .
659	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменных .
756	Найдите	значение выражения .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N.	Найдите	сумму трёх следующих натуральных чисел .
	Найдите	значение выражения комментируйте каждый шаг .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см.	Найдите	длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
	Найдите	каждое слагаемое этой суммы .
	Найдите	сумму этих чисел .
	Найдите	крутизну спуска дороги , если высота подъёма равна 60 м , а горизонтальная протяжённость 1,5 км .
	Найдите	33 % от 300 р .
	Найдите	размеры и площадь картинки .
	Найдите	стоимость товара , если его 7 % составляют 140 р .
	Найдите	эту разность среди приведённых ниже выражений .
	Найдите	среднее арифметическое всех этих чисел .
	Найдите	его , зная , что среднее арифметическое ряда равно 14 .
	Найдите	недостающие на диаграмме данные и вычислите , сколько человек дали каждый из ответов , если было опрошено 5600 человек .
	Найдите	каждое из чисел .
499	Найдите	координаты общих точек графиков зависимостей .
639	Найдите	значение данного многочлена .
15	Найдите	среднее арифметическое , моду и размах ряда .
638	Найдите	значение выражения .
	Найдите	скорость автомобиля .
580	Найдите	значение выражения .
	Найдите	число с .
	Найдите	средний член трёхчлена , равного .
	Найдите	объём призмы , если а 8 см .
783	Найдите	остаток от деления на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
328	Найдите	значение выражения .
	Найдите	большее из этих чисел .
	Найдите	двумя способами площадь прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
637	Найдите	значение выражения .
7	Найдите	значение степени .
	Найдите	скорость мотоциклиста .
372	Найдите	значение переменной , при котором .
4	Найдите	значение выражения .
	Найдите	эти числа , если одно из них на 66 больше другого .
	Найдите	число а . б )
б	Найдите	значение выражения .
	Найдите	эти числа .
	Найдём	х .
	Найдём	из этого уравнения слагаемое 4х .
	Найдём	неизвестный член пропорции .
	Необходимо	провести дополнительные рассуждения , чтобы проверить , что найдены все возможные решения .
470	Неравенства	х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её точки имеют неотрицательные координаты .
	Обратная	пропорциональность .
Наступление события В означает наступление и события А.	Обратное	неверно : турист может говорить только на одном иностранном языке — на английском .
	Обратной	пропорциональности свойство . — — формула .
	Обратный	путь занимает у него на 10 мин больше , чем путь на работу .
	Одночлен	можно упростить .
	Одночлен	.
3	Опишите	по шагам решение уравнения .
519	Опишите	на алгебраическом языке множества точек координатной плоскости .
	Опишите	на алгебраическом языке каждую из остальных трёх координатных четвертей .
	Опишите	её график .
	Опишите	на алгебраическом языке промежутки , изображённые .
469	Опишите	на алгебраическом языке области координатной плоскости .
464	Опишите	на алгебраическом языке .
	Опишите	свойства этой линии .
463	Опишите	на алгебраическом языке прямые .
	Ордината	.
	Основание	степени может быть любым числом — положительным , отрицательным , нулём .
	Остаток	пуговиц снова удвоили , а затем вновь вынули дюжину пуговиц .
	Отношение	, членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
228	Отрезок	АВ , длина которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в отношении .
12	Отрезок	АВ , длина которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
	Отрезок	.
	Парабола	симметрична относительно оси ординат , так как противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у.
	Парабола	.
	Парабола	расположена в верхней полуплоскости .
	Переменная	величина .
	Перестановки	.
208	Периметр	треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
417	Периметр	прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
809	Периметр	прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
	Площадь	всего участка составляет 100 % , и эти 100 % нужно разделить пропорционально числам 4 , 6 , 7 и 3 , т .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 10 см.	Площадь	обрезков составила 1400 см2 .
	Площадь	квадрата на 63 см2 больше площади прямоугольника .
13	Площадь	прямоугольника равна площади квадрата .
764 а )	Площадь	квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
	Площадь	уменьшенного куска стекла .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 20 см.	Площадь	обрезков составила 3800 см2 .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б )	Площадь	поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
	Площадь	обрезков .
1	Площадь	кольца S можно вычислить по формуле .
	Площадь	этого участка пришлось увеличить на 830 м2 .
При этом мы следовали бы другому мудрому правилу : «	Плюс	лучше минуса » .
	Подобные	выражения обычно используют , когда речь идёт о возможности наступления события , которое в одних и тех же условиях может произойти , а может и не произойти .
969 Готовясь к участию в телеигре «	Поле	чудес » , где по буквам отгадываются слова , Олег задумался : « А какую букву стоит назвать первой , когда в слове ещё не угадано ни одной буквы ? » .
	Порядок	цифр не учитывается .
	Прибавим	и вычтем одно и то же выражение .
Задумайте число :	Прибавьте	к нему 5 .
	Прибавьте	8 .
971	Приведены	данные о продаже фирмой автомобилей за прошлый год .
	Приведите	пример задачи , в которой нужно подсчитать число перестановок .
	Приведите	по три примера достоверных и невозможных событий , а также событий , о которых нельзя сказать , что они обязательно произойдут или обязательно не произойдут .
13	Приведите	подобные слагаемые .
в )	Приведите	пример равновероятных событий .
	Приведите	пример ситуации , в которой вычисляется среднее арифметическое .
	Приведите	пример равновероятных событий при бросании игрального кубика .
	Приведите	свой пример уравнения , решаемого на основе равенства нулю произведения .
	Приведите	примеры .
235	Приведите	три числовых примера , иллюстрирующих буквенное равенство .
	Приведите	подобные члены многочлена .
	Приведите	пример числа каждого вида .
	Приведите	примеры прямо пропорциональных величин .
1	Приведите	пример одночлена стандартного вида .
	Приведите	примеры природных явлений , которые можно считать экспериментами со случайными исходами .
	Приведите	ещё примеры таких чисел .
2	Приведите	подобные слагаемые .
	Приведите	пример пропорции и назовите её крайние и средние члены .
298	Приведите	подобные слагаемые .
	Приведите	пример двучлена ; трёхчлена .
	Приведите	примеры обратно пропорциональных величин .
	Приведите	пример линейного уравнения .
	Произведение	разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
6.1	Произведение	и частное степеней .
	Произведение	всех натуральных чисел от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
	Произведение	двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
2.3	Пропорции	.
	Пропорции	.
	Пропорции	основное свойство .
	Пропорциональное	деление .
2.4	Пропорциональное	деление .
	Пропорция	.
	Пропорция	, то .
156	Процент	р уценки вещи может быть вычислен по формуле .
	Проценты	.
	Прямая	и обратная пропорциональность .
483	Прямая	, которая является графиком зависимости .
2.2	Прямая	пропорциональность .
	Прямой	пропорциональности свойство . — — формула .
518	Прямоугольник	задан условиями .
	Равенство	можно прочитать так : расстояние от точки х до точки -2 равно расстоянию от точки х до точки 10 .
Решим уравнение	Равенство	нулю произведения обращается в нуль при .
	Равенству	у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой прямой , и никакая другая точка координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
	Радиус	Земли приближённо равен 6,37 тыс. км .
	Разделив	обе части уравнения на 5 , получим .
	Разделим	его сторону длиной у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
	Разделим	обе части уравнения на 2 .
	Разделите	число х на части , пропорциональные числам а , b , с .
	Разложение	многочленов на множители .
	Разложение	на множители можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде разности кубов .
	Разложение	на множители - это не только наука , но и искусство , овладев которым можно решить самые разные , в том числе достаточно хитрые , уравнения , в чём вы сможете убедиться не только в этой главе , но и во всём дальнейшем курсе математики .
8.5	Разложение	на множители с применением нескольких способов .
	Разложение	многочлена на множители . — — — — вынесением общего множителя за скобки . — — — — способом группировки .
924	Разложите	на множители .
7	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители трёхчлен .
922	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители .
897	Разложите	выражение на множители двумя способами .
864	Разложите	на множители .
926	Разложите	на множители .
39	Разложите	на простые множители число .
840	Разложите	на множители .
14	Разложите	на множители .
842	Разложите	на множители многочлен .
923	Разложите	на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
	Разложите	на множители многочлен .
837	Разложите	на множители .
933	Разложите	выражение на множители двумя способами .
846	Разложите	на множители трёхчлен .
9	Разложите	на множители .
	Разность	квадратов .
	Разность	квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
	Разность	чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
	Разностью	данных многочленов является многочлен .
	Решение	задач с помощью пропорций .
	Решение	уравнений .
7.6	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	задач .
4.3	Решение	уравнений .
	Решение	.
	Решение	этих задач основано на так называемом правиле умножения .
6.3	Решение	комбинаторных задач .
8.6	Решение	уравнений с помощью разложения на множители .
4.4	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	уравнения — это поиск тех значений переменной , при которых получается верное равенство .
	Решение	уравнений и задач .
	Система	распределения прибыли , описанная в этой задаче , называется пропорциональной .
	Скобки	, окружающие отрицательный множитель , записанный на первом месте , обычно опускают .
9.4	Сложение	вероятностей . ( Для тех , кому интересно ) .
7.2	Сложение	и вычитание многочленов .
	Сложить	два многочлена или вычесть один из другого очень просто .
11	Собственная	скорость катера v км / ч , скорость течения реки а км / ч .
	Собственная	скорость катера 30 км / ч .
	Собственная	скорость катера 35 км / ч , скорость течения реки .
	Собственная	скорость лодки 8 км / ч , а скорость течения реки 2 км / ч .
925	Сократите	дробь .
3	Сократите	дробь .
10	Сократите	дробь .
6	Сократите	дробь .
	Сократите	дробь .
927	Сократите	дробь .
	Сократите	полученную дробь и сравните её .
920	Сократите	дробь .
	Среднее	арифметическое .
	Среднее	арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 4 .
	Среднее	арифметическое является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
140 а )	Среднее	арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 5 .
141	Среднее	арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
	Среднее	арифметическое ряда , состоящего из 8 чисел , равно 4 .
141	Среднее арифметическое	некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
	Среднее арифметическое	ряда , состоящего из 10 чисел , равно 4 .
	Среднее арифметическое	является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
	Среднее арифметическое	.
	Среднее арифметическое	ряда , состоящего из 8 чисел , равно 4 .
140 а )	Среднее арифметическое	ряда , состоящего из 10 чисел , равно 5 .
	Средним	арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
	Средним арифметическим	ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
	Средняя	масса волнистых попугайчиков школьного живого уголка 42 г. Масса попугайчика Кеши равна 43 г. Верны ли следующие утверждения ? .
6.2	Степень	степени , произведения и дроби .
1.3	Степень	с натуральным показателем .
	Степень	с натуральным показателем .
	Сторону	квадрата увеличили в 3 раза .
	Сумма	двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
	Сумма	трёх чисел равна 192 .
382 а )	Сумма	трёх слагаемых равна 80 .
	Сумма	квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
	Сумма	противоположных чисел равна С .
	Суммой	данных многочленов является многочлен .
642	Сумму	последовательных натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
42В	Сумму	в 2880 р . , отведённую на покупку спортивного инвентаря для школы , распределили следующим образом : на футбольные и волейбольные мячи денег выделили поровну , а на гимнастические скакалки — 20 % суммы , выделенной на все мячи .
648	Сумму	квадратов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
	Сумму	и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
649	Сумму	кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
456	Точка	А имеет координату , равную -4 , а точка В — координату , равную 18 .
	Точки	А и В принадлежат параболе , заданной равенством .
	Точку	( 0 ; 0 ) , в которой сходятся ветви параболы , называют вершиной параболы .
	Трёхчлен	можно разложить на множители , выделив квадрат двучлена .
7.3	Умножение	одночлена на многочлен .
7.4	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножив	многочлен на многочлен , мы получили многочлен .
	Умножим	разность на сумму .
	Умножьте	одночлен на многочлен .
	Умножьте	сумму на 2 .
	Уравнение	нетрудно составить , если понять , что условие задачи можно сформулировать иначе : « Виктор шёл в школу на 8 мин дольше , чем Иван » .
	Уравнение	, которое мы решали в предыдущем пункте , имеет только один корень — число 9 .
	Уравнение	совсем непростое , но его можно решить , если вспомнить , что х — это количество филиалов фирмы , и , значит , это число натуральное .
375	Уравнение	проще решить , если разделить обе его части на 2 .
	Уравнение	вида , где а и b — числа , ах — переменная , называют линейным .
	Уравнение	. — линейное .
376	Уравнение	.
	Уравнения	.
	Уравнения	, которые мы рассматривали , решаются с помощью довольно простого алгоритма , т . е .
	Факториал	.
Значение выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что .	Факториалы	растут удивительно быстро .
Поэтому , руководствуясь неформальным , но мудрым правилом : «	Целое	лучше дроби » , обозначим через х т исходное количество угля на первом складе .
	Центр	симметрии делит её на две ветви , расположенные в I и III координатных четвертях .
457	Четырёхугольник	ABCD , изображённый на рисунке 5.16 , является прямоугольником .
	Числа	, образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
	Числа	и переменные также считают одночленами .
	Числитель	и знаменатель дроби можно разделить на общий множитель а8 .
	Число	перестановок для множества из n элементов обозначают через Рп ( читают : « Р из n » , Р — первая буква французского слова permutation — перестановка ) .
	Число	8 - основание степени , а число 5 - показатель степени .
	Число	а в таком случае называют координатой построенной точки .
	Число	способов , которыми можно составить расписание , равно числу перестановок из шести элементов .
	Число	мячей во второй коробке обозначено буквой х.
	Число	4,4 называют средним арифметическим исходных чисел .
	Число	зёрен , которое потребовал в награду изобретатель шахмат , выражается суммой .
	Число	а называют основанием степени , а число n — показателем степени .
	Число	64 можно по - разному представить в виде степени .
Предложение «	Число	, в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
224	Число	учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
	Число	способов , которыми можно составить расписание из пяти предметов , равно .
641	Число	диагоналей многоугольника с n вершинами вычисляется по формуле .
	Члены	этого многочлена имеют и другие общие множители .
	Чётное	число очков есть на трёх гранях кубика из шести , следовательно , есть три шанса из шести , что событие D произойдёт .
	Чётным	или нечётным является число .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси	абсцисс	будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
500 Постройте параболу , симметричную параболе у — х2 относительно оси	абсцисс	.
и после 10 ч температура была положительной , так как на этих промежутках график расположен выше оси	абсцисс	.
Постройте прямую , симметричную относительно оси	абсцисс	прямой у — 2х .
С 2 ч до 10 ч температура была отрицательной , так как на этом промежутке график лежит ниже оси	абсцисс	.
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси	абсцисс	и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной плоскости прямую , параллельную оси	абсцисс	.
Ось ординат задаётся равенством , а ось	абсцисс	— равенством .
а ) прямую , проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси	абсцисс	.
И в этой же точке , как говорят математики , парабола касается оси	абсцисс	.
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси	абсцисс	точкам полосы , заданной неравенством .
оси	абсцисс	.
Есть ли на этом графике точка ,	абсцисса	которой равна -125 ?
Вообще , если	абсцисса	и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе ,	абсцисса	и ордината — равные числа .
Абсцисса точки А равна 5 ,	абсцисса	точки В равна -7 .
У каждой из этих точек	абсцисса	и ордината — противоположные числа .
в )	абсцисса	на 2 больше ординаты .
Есть ли на графике точка ,	абсцисса	которой равна 245 ?
Что , например , представляет собой множество точек , у которых ордината равна	абсциссе	, т .
а ) ордината равна утроенной	абсциссе	.
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами —	абсциссой	и ординатой .
ордината на 3 больше	абсциссы	.
сумма	абсциссы	и ординаты равна 4 .
Такая	алгебра	, оперировавшая не числами , а отрезками , площадями , объёмами , т . е .
а ) В понедельник в 7 классе 5 уроков :	алгебра	, русский язык , история , биология , физкультура .
Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми ( арифметическими ) выражениями ,	алгебра	- с буквами и буквенными ( алгебраическими ) выражениями .
От этого слова и произошло название	алгебра	.
Во вторник в 7 классе также 5 уроков :	алгебра	, русский язык , география и два урока физкультуры , которые должны идти подряд .
В расписании 7 класса на четверг должно быть шесть предметов : русский язык , литература ,	алгебра	, география , физика , физкультура .
В дальнейшем для краткости вместо слов «	алгебраическая сумма	» мы будем говорить просто « сумма » .
Такие выражения , как , в математике иногда называют	алгебраическими суммами	— суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования	алгебраических выражений	- разложением многочлена на множители .
Заметим , что в	алгебраических суммах	на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
В	алгебраической сумме	, как мы видели , слагаемые « путешествуют » вместе со своими знаками .
247 Выражение можно записать в виде	алгебраической суммы	, опустив знаки сложения перед скобками .
245 Назовите слагаемые	алгебраической суммы	.
Например ,	алгебраическую сумму	заменяют более « красивым » выражением .
Чтобы из некоторого выражения вычесть	алгебраическую сумму	, надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
4 Запишите без скобок	алгебраическую сумму	.
Чтобы умножить некоторое выражение на	алгебраическую сумму	, нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Чтобы к некоторому выражению прибавить	алгебраическую сумму	, надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
246 Составьте	алгебраическую сумму	из следующих слагаемых .
Тест включает 30 задач : 6 задач по арифметике , 1 5 - по	алгебре	, остальные - по геометрии .
Ученик получил в течение четверти следующие отметки по	алгебре	: 5 , 2 , 4 , 5 , 5 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 .
Какова частота события « Ваня получил пятёрку по	алгебре	» ? .
В течение четверти Лена получила следующие отметки по	алгебре	: три двойки , две тройки , четыре четвёрки и одну пятёрку .
Завуч школы подвела итоги контрольной работы по	алгебре	в седьмых классах и представила результаты на круговой диаграмме .
2 Ваня в течение года получил 52 отметки по	алгебре	, из них 13 отметок - пятёрки .
выраженная геометрическим языком , много веков спустя была названа геометрической	алгеброй	.
Введение в	алгебру	.
308 Применяем	алгебру	.
Поэтому	алгебру	тех времён называют риторической или словесной .
Применяем	алгебру	.
французским математиком Франсуа Виетом , который ввёл в	алгебру	современные символы .
Буквенные равенства , выражающие соответствующие свойства , мы теперь будем считать законами	алгебры	.
Мы привели здесь подробную запись , чтобы показать , как работают законы	алгебры	, а на практике промежуточные шаги часто выполняют устно — слагаемые переставляются и группируются не руками , а глазами .
Так , законами	алгебры	являются хорошо известные вам равенства .
Опираясь на законы	алгебры	, мы будем последовательно вводить правила преобразования буквенных выражений .
Заметим , что коэффициент , равный 1 , обычно не пишут : равенство является законом	алгебры	.
На языке	алгебры	это можно записать так : у -х .
Метод координат - это способ перевода геометрической задачи на язык	алгебры	, после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат алгебры .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон	алгебры	.
благодаря серьёзным успехам в области	алгебры	зародился мощный математический инструментарий - метод координат .
Метод координат - это способ перевода геометрической задачи на язык алгебры , после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат	алгебры	.
Кроме того — это равенство является одним из законов	алгебры	.
Правила преобразования буквенных выражений , как вы знаете , основаны на законах	алгебры	.
Запись на языке	алгебры	.
Переход от риторической	алгебры	к символической , в результате которого словесные правила были заменены формулами , а буквенные выражения сами стали предметом исчисления , происходил на протяжении нескольких веков .
3.5 Ещё раз о законах	алгебры	.
Выясните цену вашего учебника	алгебры	и рассчитайте по этой формуле стоимость покупки учебников алгебры для вашего класса .
Придумайте свой арифметический фокус и покажите с помощью	алгебры	, на чём он основан .
Выясните цену вашего учебника алгебры и рассчитайте по этой формуле стоимость покупки учебников	алгебры	для вашего класса .
Какой закон	алгебры	лежит в основе правила умножения одночлена на многочлен ?
Законы	алгебры	.
На языке	алгебры	это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Назовём их основными законами	алгебры	.
Например , претендуя на « 5 » , ученик наверняка будет использовать такой	аргумент	: « Чаще всего в четверти я получал пятёрки ! »
Если масса Земли выражается очень большим числом , то масса	атома	водорода очень мала .
расстояние от Земли до звезды Сириус равно г ) диаметр	атома	водорода равен мм .
В справочниках можно увидеть , что , например , масса Земли равна 5,978 1024 кг , а масса	атома	водорода — 1,674 10 24 г. Понятно , что 1024 — это произведение 24 множителей , равных 10 , т .
Говорят , что эта	биссектриса	— график зависимости у — х .
5 Каким равенством задаётся	биссектриса	II и IV координатных углов ? .
4 Каким равенством задаётся	биссектриса	I и III координатных углов ? .
Изображена	биссектриса	II и IV координатных углов .
Значит , прямая —	биссектриса	II и IV координатных углов — задаётся равенством у -х .
Иными словами , эта	биссектриса	— график зависимости у -х .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит	биссектрисе	I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Мы видим , что все эти точки лежат на одной прямой , являющейся	биссектрисой	I и III координатных углов .
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной плоскости прямую , которая является	биссектрисой	I и III координатных углов .
При решении комбинаторных задач приходится отвечать на вопросы типа : « Сколькими способами ? » , « Сколько существует	вариантов	? » .
Сколько существует различных	вариантов	кода дверного замка , если этот код состоит из двух цифр ? .
Значит , всего будет	вариантов	кода .
Сколько	вариантов	выбора ответов у него существует ?
Сколько	вариантов	выбора ответов наугад существует для теста , в котором n заданий и для каждого задания предлагается 3 ответа ?
Сколько тогда существует	вариантов	кода ? .
б ) Сколько существует	вариантов	выбора спикера и вице - спикера парламента , если всего в парламенте 101 депутат ? .
Сколько есть	вариантов	покупки конверта с маркой ? .
Понятно , что для каждого набора первых двух цифр остаётся восемь	вариантов	выбора третьей цифры .
Сколько	вариантов	в худшем случае ему придётся перебрать , чтобы дозвониться до друга ? .
6 5 ! , то получается только 120 различных	вариантов	.
Сколько , например , существует	вариантов	расположения шести гостей за шестиместным столом ? .
720 различных	вариантов	посадить гостей за стол .
Ясно , что для любого расположения гостей таких одинаковых	вариантов	, получаемых один из другого поворотом , шесть .
Значит , в этом случае всего будет	вариантов	кода .
612 а ) Сколько имеется	вариантов	рассадить президентов « большой восьмёрки » за восьмиместным круглым столом переговоров ? .
Ведь в данном случае мы не перебирали все возможные	варианты	решения , а просто подобрали ответ .
4 Сформулируйте свойство обратно пропорциональных	величин	.
Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных	величин	? .
Решите задачу , обозначив буквой наименьшую из неизвестных	величин	.
Приведите примеры прямо пропорциональных	величин	.
2 Сформулируйте свойство прямо пропорциональных	величин	.
Занимаясь математикой , вы узнали много формул , описывающих зависимости между различными величинами , и научились с их помощью вычислять значения одних	величин	по значениям других .
Особенно часто степени употребляются при записи физических	величин	, которые , как известно , могут быть очень большими и очень маленькими .
Это главное соотношение между расстоянием , скоростью и временем движения позволяет по любым двум из указанных	величин	найти третью с помощью вычислений .
Приведите примеры обратно пропорциональных	величин	.
Вообще любая формула , похожая на формулу , даёт нам два случая прямо пропорциональных	величин	.
Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных	величин	?
Обратите внимание на то , что в ходе вычислений мы обращались с единицами , в которых выражена	величина	, так же , как и с дробями .
Все такие формулы могут быть представлены в виде , где буквами х и у обозначены переменные величины , а буквой k — та	величина	, которую мы считаем постоянной .
Эта	величина	, показывающая , какая работа выполняется в единицу времени , имеет специальное название — производительность работы .
Переменная	величина	.
а ) Какая	величина	обозначена буквой х ? .
Такие изменяющиеся величины называют переменными	величинами	, а буквы в формуле , которыми они обозначены , — переменными .
А сами законы , в свою очередь , основываются на здравом смысле , точнее , на смысле арифметических действий над реальными	величинами	.
Задачи , в которых речь идёт о прямо пропорциональных или обратно пропорциональных	величинах	, удобно решать с помощью пропорций .
Флаг сшивают из трёх одинаковых по	величине	и разных по цвету горизонтальных полос .
а ) со вторым по величине числом . б ) с третьим по	величине	числом .
а ) со вторым по	величине	числом . б ) с третьим по величине числом .
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по	величине	числом .
Для зависимости пути от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную	величину	.
Объясните , как находят	величину	по её известным процентам ( задача 2 ) .
Какую	величину	здесь целесообразно обозначить буквой я ?
Для зависимости времени движения от его скорости , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную	величину	.
180 Обозначьте неизвестную	величину	буквой и составьте разные пропорции по условию задачи .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же	величину	— скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие равенства называют пропорциями .
Решите задачу , обозначив буквой удобную для составления уравнения	величину	.
Теперь можно определить	величину	февральского тиража .
Запишите эту	величину	с помощью степени числа 10 .
59 Запишите	величину	, указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной дроби .
Выразите из формулы заданную	величину	( 148—150 ) .
Часто в качестве неизвестного выбирают искомую	величину	, т .
Выразим эту	величину	в процентах .
Это совсем нетрудно , если помнить , что под процентом понимают часть рассматриваемой	величины	.
Известно , что впервые применил букву для обозначения неизвестной	величины	Диофант Александрийский — древнегреческий математик , живший в III в .
1,2 некоторой величины — это 120 % этой	величины	.
1,2 некоторой	величины	— это 120 % этой величины .
0,001 некоторой величины — это 0,1 % этой	величины	.
7 Придумайте задачу на пропорциональное деление какой - либо	величины	.
11 Соотнесите дроби , которые выражают доли некоторой	величины	, и соответствующие им проценты .
0,001 некоторой	величины	— это 0,1 % этой величины .
Выразим через х другие	величины	.
0,325 некоторой величины — это 32,5 % этой	величины	.
если часть	величины	, заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
0,325 некоторой	величины	— это 32,5 % этой величины .
0,48 некоторой величины — это 48 % этой	величины	.
0,48 некоторой	величины	— это 48 % этой величины .
Основа такого перевода , его первый шаг — введение буквы для обозначения какой - либо неизвестной	величины	.
в )	величины	одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
в ) величины одного из смежных углов от	величины	другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
Для зависимости времени движения от его скорости , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные	величины	, постоянную величину .
Прямо пропорциональные	величины	.
3 Какие	величины	называют обратно пропорциональными ?
Такие изменяющиеся	величины	называют переменными величинами , а буквы в формуле , которыми они обозначены , — переменными .
Обратно пропорциональные	величины	.
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две	величины	обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
Вообще если в формулах , подобных формуле , произведение постоянно , то две переменные	величины	связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Выразите данные	величины	в одних и тех же единицах .
0,1 % некоторой величины — это 0,001 этой	величины	.
120 % некоторой	величины	— это 1,2 этой величины .
При вычислениях по формулам необходимо следить за тем , чтобы единицы , в которых выражены входящие в них	величины	, были согласованы между собой .
Все такие формулы могут быть представлены в виде , где буквами х и у обозначены переменные	величины	, а буквой k — та величина , которую мы считаем постоянной .
Будем последовательно переходить от одного значения	величины	к другому , пока не получим нужный результат : 16 человек за 20 дней собрали 180 т ; 1 человек за 20 дней соберёт в 16 раз меньше .
120 % некоторой величины — это 1,2 этой	величины	.
0,1 % некоторой	величины	— это 0,001 этой величины .
Чтобы выразить в процентах часть	величины	, заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
1 Какие	величины	называют прямо пропорциональными ?
Вместо слов « прямо пропорциональные величины » можно говорить короче : « пропорциональные	величины	» .
Вместо слов « прямо пропорциональные	величины	» можно говорить короче : « пропорциональные величины » .
Две	величины	называют прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз .
Хотя эти формулы связывают разные	величины	и записываются разными буквами , они очень похожи : в левой части записана одна переменная , в правой — произведение двух других .
Введите переменные и запишите формулу зависимости размера пенсионных отчислений от	величины	заработной платы .
Для зависимости пути от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные	величины	, постоянную величину .
Составьте разные уравнения по условию задачи , обозначая буквой различные	величины	.
32,5 % некоторой величины — это 0,325 этой	величины	.
48 % некоторой величины — это 0,48 этой	величины	.
Две	величины	называют обратно пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть	величины	, заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Объясните , как находят несколько процентов от	величины	( задача 1 ) .
Обозначим объём всей работы буквой Р , производительность буквой р , а время работы буквой t. Получим формулу , связывающую эти	величины	.
5 Формула связывает три	величины	: объём выполненной работы Р , производительность р и время выполнения работы t.
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две	величины	прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
32,5 % некоторой	величины	— это 0,325 этой величины .
48 % некоторой	величины	— это 0,48 этой величины .
0,4 % некоторой	величины	- это 0,004 этой величины .
30 % некоторой величины — это 0,3 этой	величины	.
30 % некоторой	величины	— это 0,3 этой величины .
1,5 некоторой величины - это 150 % этой	величины	.
1,5 некоторой	величины	- это 150 % этой величины .
0,75 некоторой величины - это 75 % этой	величины	.
0,75 некоторой	величины	- это 75 % этой величины .
0,4 % некоторой величины - это 0,004 этой	величины	.
Введите переменные и запишите формулу зависимости размера подоходного налога от	величины	заработка .
е . могут произойти одновременно , правило сложения	вероятностей	применять нельзя .
Мы видим , что для ученика вероятность получить « хорошо » или « отлично » равна сумме	вероятностей	двух событий : получить « хорошо » и получить « отлично » .
Это правило называется правилом сложения	вероятностей	.
Вопросами разведения петухов и кур занимаются специалисты в области сельского хозяйства , а вот изучением закономерностей в мире случайного - специальная наука теория	вероятностей	.
Ученик , используя полученные знания в области теории	вероятностей	, решил сделать прогноз своей успеваемости по математике , изучив свои отметки за 5—7 классы .
9.4 Сложение	вероятностей	. ( Для тех , кому интересно ) .
Вообще вероятность получить хотя бы один ( неважно , какой именно ) из нескольких интересующих нас результатов эксперимента равна сумме	вероятностей	каждого из этих результатов , если эти результаты несовместимы между собой .
Вообще по	вероятности	события можно прогнозировать частоту появления этого события в будущем .
Если случайный эксперимент повторять достаточно много раз , то частота интересующего нас события будет близка к его	вероятности	.
Оцените	вероятность	каждого из возможных исходов случайных экспериментов , предложенных в задаче 963 .
в )	вероятность	того , что число выпавших очков не равно 3 .
Среди приведённых ниже событий укажите те , вероятность которых равна 0 и	вероятность	которых равна 1 .
Среди приведённых ниже событий укажите те ,	вероятность	которых равна 0 и вероятность которых равна 1 .
Можно ли утверждать , что	вероятность	этого события равна нулю ? .
Демографы утверждают , что	вероятность	рождения близнецов приблизительно равна 0,012 .
974 Если	вероятность	события А составляет 30 % , то можно ли утверждать , что при проведении 900 соответствующих случайных экспериментов событие А наступит ровно в 270 из них ? .
	Вероятность	того , что выпадет не больше 4 очков .
в ) Какова	вероятность	того , что он не выиграет ? .
Можно ли исходя из этого с уверенностью утверждать , что	вероятность	купить неисправную батарейку равна 0,5 ? .
Оцените	вероятность	каждого из возможных исходов .
Примерная	вероятность	получения отметки .
а )	вероятность	выпадания чётного числа очков .
Какова	вероятность	того , что он выиграет ? .
а ) Какова	вероятность	того , что он выиграет не меньше 1000 р . ? .
Какова	вероятность	того , что очередной ответ ученика будет оценён на « 4 » или « 5 » ? .
Всего ученик получил 188 отметок , из них ответов на « 4 » и « 5 » было 39 78 , значит ,	вероятность	можно оценить как .
Мы видим , что для ученика	вероятность	получить « хорошо » или « отлично » равна сумме вероятностей двух событий : получить « хорошо » и получить « отлично » .
Вообще	вероятность	получить хотя бы один ( неважно , какой именно ) из нескольких интересующих нас результатов эксперимента равна сумме вероятностей каждого из этих результатов , если эти результаты несовместимы между собой .
988 Какова	вероятность	того , что в классе , где учится 25 человек .
Понятно , что	вероятность	случайного события — это число , заключённое между 0 и 1 .
В таких случаях оценить	вероятность	случайного события можно только по его частоте , которая определяется в ходе выполнения многократных экспериментов .
Оцените	вероятность	того , что произвольный покупатель выберет отечественный автомобиль .
Но во многих ситуациях без проведения многократных экспериментов предсказать	вероятность	случайного события практически невозможно .
В случае с подбрасыванием монеты и не проводя экспериментов естественно предположить , что	вероятность	выпадания каждой стороны монеты равна 0,5 .
Тот факт , что	вероятность	появления орла равна 0,5 , конечно , не означает , что если вы несколько раз будете бросать монету , то орёл появится ровно в половине случаев .
Значит ,	вероятность	выпадания кнопки остриём вниз примерно равна 0,45 .
Как связаны частота случайного события и	вероятность	? .
Частота и	вероятность	.
Невозможное событие не происходит ни при каком повторении эксперимента , поэтому	вероятность	невозможного события считают равной 0 .
Иногда	вероятность	выражают в процентах .
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р ( от французского слова probabilite , что означает «	вероятность	» ) .
7 Среди данных событий укажите то ,	вероятность	которого равна 0,5 .
Например , на основе наблюдений за атмосферными явлениями синоптики предсказывают	вероятность	выпадения осадков , в результате в прогнозе погоды мы слышим : « дождь маловероятен » или « вероятность осадков 5 % » .
Например , на основе наблюдений за атмосферными явлениями синоптики предсказывают вероятность выпадения осадков , в результате в прогнозе погоды мы слышим : « дождь маловероятен » или «	вероятность	осадков 5 % » .
Какова	вероятность	купить неисправную батарейку ?
Сколько примерно цветков на этой ветке , если известно , что	вероятность	того , что в выбранном наугад цветке сирени пять лепестков , равна 0,01 ? .
если оно обязательно происходит при каждом повторении эксперимента , то его частота равна 1 , и естественно считать , что и его	вероятность	равна 1 .
Какова	вероятность	того , что купленный телефон будет исправен ? .
Вообще	вероятность	и частота случайного события связаны между собой .
Так как во всех этих сериях экспериментов решка появлялась также примерно в половине случаев , то и	вероятность	выпадания решки равна 0,5 .
В каких границах находится	вероятность	случайного события ?
3 Как оценить	вероятность	случайного события ?
а ) Оцените	вероятность	того , что произвольный покупатель выберет в этом году машину марки В. Ответ округлите до сотых .
Говорят , что	вероятность	выпадания орла равна 0,5 .
При этом чем больше проведено экспериментов , тем точнее можно оценить	вероятность	события .
Какова	вероятность	купить бракованную лампочку ?
Какое наименьшее количество лотерейных билетов надо купить , чтобы выиграть с	вероятностью	, равной 1 ? .
В	вершине	одна ветвь параболы плавно переходит в другую .
а ) Сколько времени турист пробыл на	вершине	горы ? .
Точку ( 0 ; 0 ) , в которой сходятся ветви параболы , называют	вершиной	параболы .
504 Турист поднялся из посёлка на	вершину	горы и затем вернулся обратно в посёлок .
Е :	вес	пачки больше 100 г .
На пачке написан	вес	— 200 г. Расположите на вероятностной шкале следующие события .
В :	вес	пачки меньше 200 г .
С :	вес	пачки ровно 200 г . D : вес пачки меньше 500 г .
С : вес пачки ровно 200 г . D :	вес	пачки меньше 500 г .
А :	вес	пачки больше 200 г .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W —	вес	в фунтах , Н — рост в дюймах .
Затем каждой девочке поставили в соответствие точку на координатной плоскости , отложив по горизонтальной оси рост ( в см ) , а по вертикальной —	вес	( в кг ) .
520 У девочек одного из седьмых классов узнали их рост и	вес	.
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р —	вес	в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
Ездить на даче за покупками для загородных экскурсий хороший способ сбросить	вес	.
Определите , какой	вес	считается нормальным в России и в США для человека ростом 180 см. Сравните полученные результаты .
Например , при решении вопросов , в пачки какого	веса	фасовать масло , какие открывать авиарейсы и т .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального	веса	взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
979 Саша купил в магазине пачку чая и решил взвесить её на лабораторных	весах	( их точность — до 1 миллиграмма ) .
Пользуясь выведенной формулой ,	возведите	в квадрат .
Используя формулу квадрата двучлена ,	возведите	в квадрат трёхчлен .
Вычислить степень числа , или , как говорят ,	возвести	число в степень , можно путём последовательного умножения .
Борис предложил ему	возвести	это число в квадрат , после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
С помощью полученной формулы можно	возводить	в квадрат сумму любых двух выражений .
Итак , при возведении дроби в степень	возводят	в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
Итак , при возведении произведения в степень	возводят	в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
Одно из главных сочинений аль - Хорезми называлось « Китаб аль - джебр вальмукабала » , что в переводе с арабского означает « Книга о	восстановлении	и противопоставлении » .
а ) шестиугольник ; б )	восьмиугольник	; в ) двенадцатиугольник ; г ) стоугольник ? .
5 Какой из одночленов нужно	вписать	вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было разложить на множители способом группировки ? .
В сумме	вынесем за скобки	общий множитель а .
Этот общий множитель	вынесем за скобки	.
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в произведение :	вынесли за скобки	число 17 .
Если можно	вынести за скобки	общий множитель , сделайте это .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы	вынести за скобки	и множитель общий множитель .
1 Укажите общий множитель , который можно	вынести за скобки	в многочлене .
Этот общий множитель можно	вынести за скобки	.
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет	вынести за скобки	.
Объясните на примере многочлена , как	вынести за скобки	общий множитель .
7 Как можно записать короче	выражение	.
Какое	выражение	должно быть записано в скобках .
242 Запишите без скобок	выражение	.
Запишите с отрицательным показателем степени	выражение	.
933 Разложите	выражение	на множители двумя способами .
Выясним теперь , как можно преобразовать степень произведения , например	выражение	( ab)3 .
В этой формулировке	выражение	названо неполным квадратом .
Для выражения назовите несколько пар значений тип , для которых	выражение	не имеет смысла .
528 Упростите	выражение	.
Для каждого выражения из первой строки найдите равное ему	выражение	из второй строки .
719 Докажите , что если . 720 Упростите	выражение	.
722 Дано	выражение	.
Упростите	выражение	.
В действительности , однако , мы должны доказать , что , преобразуя	выражение	по этому правилу , мы всегда будем получать верные равенства .
249 Преобразуйте	выражение	в равное , изменив каким - либо способом порядок слагаемых .
726 Запишите	выражение	в виде трёхчлена , пользуясь нужной формулой .
3 Упростите	выражение	.
744 Упростите	выражение	.
Таким образом ,	выражение	аn означает произведение n множителей , равных а .
Если , например , коэффициент роста будет другим , то достаточно подставить в это	выражение	вместо х его значение и выполнить вычисления .
Понятно , что	выражение	можно заменить выражением .
Разложим	выражение	.
535 Упростите	выражение	.
Нам удалось упростить данное	выражение	, заменив сумму подобных слагаемых одним выражением -4а .
560 Упростите	выражение	.
Первый член трёхчлена — это а2 ,	выражение	10а — это третий член — это 52 .
257 Упростите	выражение	.
710 Упростите	выражение	.
Пользуясь этой формулой , преобразуйте	выражение	.
300 Упростите	выражение	и найдите его значение при указанных значениях букв .
301 Раскройте скобки и упростите	выражение	.
302 Упростите	выражение	.
Представьте	выражение	3 xyz в виде суммы и сгруппируйте члены многочлена .
4 В каких случаях	выражение	разложено на множители правильно ? .
306 Составьте	выражение	по условию задачи и упростите его .
745 Упростите	выражение	.
689 Составьте	выражение	по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
Как называют	выражение	а ” ?
712 Упростите	выражение	.
А чтобы	выражение	имело смысл при любом натуральном n , для случая n 1 принимают специальное соглашение .
Упростим полученное	выражение	. 2 )
Разложим на множители	выражение	.
310 Упростите	выражение	.
928 Представьте	выражение	в виде многочлена , используя формулу разности квадратов .
Преобразуем	выражение	.
Составьте	выражение	для вычисления длины проволоки , которая для этого потребуется .
Возьмём , например ,	выражение	.
Какое	выражение	означает возраст , которого достигли в 2012 г. младшие близнецы ?
248 Замените	выражение	равным , не содержащим скобок .
Запишите	выражение	, означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г. Чему равна записанная сумма ? .
Например ,	выражение	можно записать в виде .
Рассмотрим , например ,	выражение	.
667 Упростите	выражение	, расположив слагаемые в столбик .
735 Упростите	выражение	.
Разложим на множители двучлен Данное	выражение	можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
Воспользовавшись этим образцом , преобразуйте	выражение	.
11 Упростите	выражение	.
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к двучлену	выражение	и вычтем его .
Оказывается , это	выражение	можно разложить на множители .
Упростим	выражение	.
Данное	выражение	— сумма , состоящая из четырёх слагаемых .
897 Разложите	выражение	на множители двумя способами .
553 Представьте	выражение	в виде дроби .
836 Представьте	выражение	в виде произведения .
2 Дано	выражение	Запишите числовое выражение , которое получится в результате подстановки а .
Преобразуйте в трёхчлен	выражение	, взяв за образец пример 1 или пример 2 .
Если	выражение	является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
552 Представьте	выражение	в виде произведения двух или нескольких степеней .
2 Дано выражение Запишите числовое	выражение	, которое получится в результате подстановки а .
Какое	выражение	означает возраст старших близнецов в 2010 г. ?
21 Запишите	выражение	, используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его значение .
Преобразуем в многочлен	выражение	.
Упростите	выражение	( а10)2 .
327 Упростите	выражение	.
Представьте	выражение	в виде многочлена .
Запишите	выражение	по условию задачи и упростите его .
569 Возведите в квадрат и в куб	выражение	.
3 Представьте	выражение	.
Подставим в	выражение	значения и выполним вычисления .
551 Представьте	выражение	в виде степени с основанием у .
1 Упростите	выражение	.
3 Составьте	выражение	по условию задачи .
Упростите	выражение	( в качестве образца используйте пример 3 ) .
Это равенство показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в	выражение	; числовое значение при этом не изменится .
5 Упростите	выражение	.
Так , дробь — в	выражение	частное была преобразована в сумму .
Преобразовать буквенное	выражение	— это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых значениях букв то же значение , что и исходное .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена	выражение	.
Если	выражение	содержит деление на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
3 Какому из выражений равно	выражение	.
5 Каждое	выражение	из верхней строки соотнесите с равными ему выражениями из нижней строки .
7 Упростите	выражение	.
9 Упростите	выражение	.
11 Укажите	выражение	, равное выражению .
Объясните , как разложить на множители	выражение	Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность делится на 200 .
14 Упростите	выражение	.
Подставьте вместо а заданное	выражение	и приведите многочлен к стандартному виду .
В самом деле , при таких значениях а и b пришлось бы делить на 0 , а значит , в этом случае	выражение	не имело бы смысла .
15 Упростите	выражение	.
Использование степеней делает	выражение	более компактным , « обозримым » .
Это	выражение	легко представить в виде степени с тем же основанием .
34 Запишите каждое	выражение	в виде произведения или степени .
Рассмотрим	выражение	( а2)4 .
269 Подставьте в	выражение	аb вместо переменных а и b указанные выражения и выполните преобразования .
Расставьте скобки так , чтобы	выражение	в левой части равенства было равно выражению в правой части .
9 Возведите в куб	выражение	.
35 Запишите	выражение	короче , используя степени .
9 В выражение р - q подставьте и упростите получившееся	выражение	.
286 Упростите	выражение	.
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся	выражение	многочлен .
9 В	выражение	р - q подставьте и упростите получившееся выражение .
695 Составьте	выражение	по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
270 Подставьте в каждое из выражений 2х , х2 , х3 вместо переменной х	выражение	-у и упростите получившееся выражение .
270 Подставьте в каждое из выражений 2х , х2 , х3 вместо переменной х выражение -у и упростите получившееся	выражение	.
4 Упростите	выражение	.
5 Среди выражений , записанных ниже , найдите	выражение	, равное многочлену .
694 Упростите	выражение	.
8 Упростите	выражение	.
Представим	выражение	в виде разности квадратов и воспользуемся соответствующей формулой .
231 Для вычисления площади прямоугольника , изображённого на этом рисунке , можно составить	выражение	или выражение .
260 Упростите	выражение	.
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это	выражение	отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
545 Упростите	выражение	.
231 Для вычисления площади прямоугольника , изображённого на этом рисунке , можно составить выражение или	выражение	.
Чтобы умножить некоторое	выражение	на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
51 Запишите	выражение	и найдите его значение .
Разложение на множители можно выполнить иначе , представив исходное	выражение	в виде разности кубов .
3 Что означает	выражение	аn , где n - натуральное число ?
6 Среди приведённых ниже выражений найдите	выражение	, противоположное многочлену .
Чтобы сложить два многочлена , нужно составить их сумму , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся	выражение	.
Подберите соответствующее буквенное равенство из предыдущего упражнения и , используя его , запишите без скобок следующее	выражение	.
17 Упростите	выражение	.
10 Упростите	выражение	.
542 Упростите	выражение	.
И упростите полученное	выражение	.
и упростите полученное	выражение	.
Иными словами ,	выражение	.
Так как то	выражение	, противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными знаками .
818 Представьте	выражение	в виде произведения двумя способами по следующему образцу .
550 Представьте	выражение	в виде степени с основанием а .
918 Упростите	выражение	, применяя способ вынесения за скобки общего множителя .
А что означает	выражение	1024 ?
В математике это	выражение	тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у степени с натуральным показателем .
690 Составьте	выражение	по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
656 Упростите	выражение	.
Точно так же	выражение	, противоположное , например , сумме есть .
261 Составьте	выражение	по условию задачи и упростите его : а ) Всего в автопарке М машин , g из них — автобусы , a j из этих автобусов — микроавтобусы .
Составьте	выражение	для вычисления суммы , которая будет на вашем счёте сразу после третьего взноса .
Как называют	выражение	аn , число а в этом выражении , число n ?
5 Для каждого выражения из верхней строки укажите равное ему	выражение	из нижней строки .
274 Раскройте скобки и упростите получившееся	выражение	.
620 Какое	выражение	надо подставить вместо а , чтобы полученное равенство было верным .
Покажите , как можно получить второе	выражение	из первого с помощью преобразований .
559 Представьте	выражение	в виде степени с основанием n .
554 Упростите	выражение	.
Например , в пункте а обозначьте буквой х и запишите	выражение	в виде .
Что означает	выражение	аn , если n - натуральное число , не равное 1 ?
Прибавим и вычтем одно и то же	выражение	.
619 Упростите	выражение	.
795 Упростите	выражение	.
2 Какое	выражение	называют многочленом ?
558 Возведите в квадрат и в куб	выражение	.
называли прямоугольником ,	выражение	а2 — квадратом .
Понятно , что выражение можно заменить	выражением	.
Нам удалось упростить данное выражение , заменив сумму подобных слагаемых одним	выражением	-4а .
Мы заменили сумму равным	выражением	, переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой разности квадратов .
Эти выражения записаны с помощью скобок , но каждое из них можно заменить равным	выражением	без скобок .
Это равенство показывает , что разность можно заменить	выражением	или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое значение при этом не изменится .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим	выражением	, принимающим при любых допустимых значениях букв то же значение , что и исходное .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую разность вида можно заменить	выражением	, не содержащим скобки .
Такое название принято из - за его внешнего сходства с	выражением	, равным квадрату суммы .
Например , алгебраическую сумму заменяют более « красивым »	выражением	.
Значит , эту группу слагаемых надо заменить	выражением	2ab .
Раскроем скобки в	выражении	.
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в	выражении	буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом	выражении	в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
15 Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в	выражении	.
Так , в	выражении	-20ху числовой множитель -20 является коэффициентом .
А сколькими способами можно поставить скобки в	выражении	?
Итак , в	выражении	xyz можно поставить скобки двумя способами .
Заменим в данном	выражении	знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
45 Расставьте в	выражении	30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений .
Как называют выражение аn , число а в этом	выражении	, число n ?
287 а ) В	выражении	выполните подстановку .
В	выражении	.
подобные слагаемые в	выражении	.
14 Раскройте скобки в	выражении	.
С помощью этой формулы можно преобразовать произведение разности и суммы любых двух	выражений	.
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько	выражений	, значения которых можно найти , пользуясь таблицей степеней числа 3 .
52 Найдите значения	выражений	.
Из буквенных	выражений	с помощью знаков действий и скобок составляют другие буквенные выражения .
Это правило можно применять для преобразования любых	выражений	— содержащих и буквы , и числа .
Опираясь на законы алгебры , мы будем последовательно вводить правила преобразования буквенных	выражений	.
3.2 Преобразование буквенных	выражений	.
17 Какому из	выражений	равна сумма .
555 Представьте каждое из	выражений	в виде степени .
61 Из	выражений	выберите такое , значение которого равно значению выражения .
Среди приведённых	выражений	выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов .
При каких значениях переменной равны значения	выражений	.
12 Какое из	выражений	можно использовать для вычисления площади фигуры .
Преобразования	выражений	выполняют на основе свойств действий над числами .
Так как вычитание всегда можно заменить сложением , то его можно считать суммой	выражений	.
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух	выражений	.
12 Какое из данных	выражений	нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
произведение	выражений	.
сумма выражений разность	выражений	.
Подчеркните подобные слагаемые в каждом из	выражений	.
Такое преобразование	выражений	называют раскрытием скобок .
Рассмотрим некоторые свойства степени , которые часто используются при преобразовании	выражений	.
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения	выражений	противоположны ? .
сумма	выражений	разность выражений .
3 Значение какого из	выражений	равно .
Найдите значения	выражений	.
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком значении х значения	выражений	противоположны ? .
Какое из этих двух	выражений	более удобно для вычислений с помощью калькулятора ? .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических	выражений	- разложением многочлена на множители .
742 Укажите пары равных	выражений	, пары противоположных выражений .
Здесь к слагаемому 2а прибавляется сумма	выражений	.
Из	выражений	( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны значению выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Найдите эту разность среди приведённых ниже	выражений	.
3 Какому из	выражений	равно выражение .
Арифметика — наука о числах , основные её задачи связаны с вычислением значений числовых	выражений	.
2 Из приведённых	выражений	.
Найдите значение каждого из	выражений	.
С помощью полученной формулы можно возводить в квадрат сумму любых двух	выражений	.
571 Какое из	выражений	нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным показателем , на основе которых выполняются преобразования	выражений	, содержащих степени , а также вычисления .
742 Укажите пары равных выражений , пары противоположных	выражений	.
Какие из следующих	выражений	являются одночленами , а какие нет ? .
280 Составьте два выражения для вычисления площади фигуры и покажите , как одно из этих	выражений	можно преобразовать в другое .
Составьте несколько	выражений	, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы .
Заменив нулём сумму	выражений	, получим уравнение .
671 Выпишите пары противоположных выражений и пары равных	выражений	.
5 Среди	выражений	, записанных ниже , найдите выражение , равное многочлену .
Сравните значения	выражений	.
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся	выражений	.
Там же были рассмотрены и другие примеры преобразования	выражений	.
8 Какое из	выражений	нельзя разложить на множители , используя формулу разности квадратов ? .
Правила преобразования буквенных	выражений	, как вы знаете , основаны на законах алгебры .
Преобразование	выражений	, содержащих степени .
13 Какое из	выражений	противоположно произведению .
324 В выражениях поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных	выражений	.
6 Среди приведённых ниже	выражений	найдите выражение , противоположное многочлену .
123 Сравните значения	выражений	.
326 Составьте сумму и разность	выражений	и упростите их .
847 Какие из	выражений	можно разложить на множители , применив формулу разности квадратов .
Проиллюстрируйте их на примере	выражений	.
241 Составьте несколько различных	выражений	для вычисления площади прямоугольника и запишите цепочку равенств .
671 Выпишите пары противоположных	выражений	и пары равных выражений .
11 Какое из данных	выражений	можно представить в виде .
Укажите номера	выражений	, которые могут быть преобразованы к виду .
270 Подставьте в каждое из	выражений	2х , х2 , х3 вместо переменной х выражение -у и упростите получившееся выражение .
50 Зная , что 282 784 , найдите значение каждого из	выражений	.
531 Какие из данных дробей равны	выражению	а ° ? .
6 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к	выражению	.
4 Какая из дробей равна	выражению	.
Однако такой смысл этому	выражению	придаётся при ( ведь произведений из одного множителя не бывает ) .
5 Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к	выражению	.
Расставьте скобки так , чтобы выражение в левой части равенства было равно	выражению	в правой части .
Можно ли применить формулу разности квадратов к	выражению	.
Чтобы к некоторому	выражению	прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
11 Укажите выражение , равное	выражению	.
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому	выражению	отдельно каждое слагаемое этой суммы .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению	выражения	. б ) значения выражений противоположны ? .
Докажите , что значение	выражения	.
а ) значение выражения в 2 раза больше значения	выражения	.
371 При каком значении переменной . а ) значение	выражения	равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
817 Найдите значение	выражения	.
Вынесите общий множитель за скобки и вычислите значение	выражения	.
Используя рассмотренный способ , найдите значение	выражения	.
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение	выражения	на 2 меньше значения выражения .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения	выражения	.
370 При каких значениях х : а ) значение выражения ; б ) значение	выражения	? .
370 При каких значениях х : а ) значение	выражения	; б ) значение выражения ? .
в ) значение выражения на 10 больше значения	выражения	. г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
Покажите на примере	выражения	, как вынести общий множитель за скобки .
Чему равно значение	выражения	.
значение	выражения	в 3 раза меньше значения выражения .
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения	выражения	3х .
значение выражения в 3 раза меньше значения	выражения	.
814 Найдите значение	выражения	.
в ) значение	выражения	на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
794 Найдите значение	выражения	.
Например , корнем уравнения , в обеих частях которого стоят равные	выражения	, является любое число .
280 Составьте два	выражения	для вычисления площади фигуры и покажите , как одно из этих выражений можно преобразовать в другое .
16 Даны	выражения	.
Чтобы из некоторого	выражения	вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
618 Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменной .
Переход от риторической алгебры к символической , в результате которого словесные правила были заменены формулами , а буквенные	выражения	сами стали предметом исчисления , происходил на протяжении нескольких веков .
Эти	выражения	записаны с помощью скобок , но каждое из них можно заменить равным выражением без скобок .
Такие	выражения	называют одночленами .
Найдите значение	выражения	при заданном значении переменной .
Рассмотрим	выражения	.
Возьмём , например ,	выражения	.
Из буквенных выражений с помощью знаков действий и скобок составляют другие буквенные	выражения	.
13 Вычислите 14 Найдите значение	выражения	.
289 Запишите	выражения	для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
С помощью какого приёма удобно найти значение данного	выражения	?
Составьте два разных	выражения	для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на и запишите соответствующее равенство .
Составьте различные	выражения	для вычисления общей массы проданных орехов и запишите соответствующие равенства .
5 Для каждого	выражения	из верхней строки укажите равное ему выражение из нижней строки .
258 Для каждого	выражения	из верхней строки выберите равное ему из нижней строки и запишите соответствующее равенство .
1 Найдите значение	выражения	.
Для каждого	выражения	из первой строки найдите равное ему выражение из второй строки .
В каком случае преобразование	выражения	выполнено неверно ? .
Исходное и преобразованное	выражения	соединяют знаком « » и называют тождественно равными или просто равными .
С помощью указанного правила можно преобразовывать не только « чистые » суммы , но и смешанные	выражения	, составленные с помощью знаков « » и « - » .
Меняя каким - либо образом эти слагаемые местами , будем получать равные	выражения	.
Такие	выражения	, как , в математике иногда называют алгебраическими суммами — суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
Преобразование буквенного	выражения	часто выполняют с целью приведения его к более простому или к более « красивому » виду .
269 Подставьте в выражение аb вместо переменных а и b указанные	выражения	и выполните преобразования .
Составьте	выражения	, которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
792 Найдите значение	выражения	.
Примените нужную формулу для разложения на множители	выражения	.
843 Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменных .
Значение какого	выражения	больше .
И	выражения	тоже , конечно , уравнениями не являются , потому что они не являются равенствами .
Запишите	выражения	, показывающие .
638 Найдите значение	выражения	.
637 Найдите значение	выражения	.
Покажите на примере	выражения	, как применить эту формулу для разложения его на множители .
4 Найдите значение	выражения	.
Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых и поясните его на примере	выражения	.
а ) Делится ли значение	выражения	.
а ) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного	выражения	каждое из четырёх следующих чисел .
328 Найдите значение	выражения	.
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение	выражения	.
Запишите следующие	выражения	.
723 Выпишите	выражения	, равные произведению .
Укажите	выражения	, противоположные данному ; равные данному .
Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменных .
Почему равны	выражения	.
Значение	выражения	n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Составьте два	выражения	для вычисления площади прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
А значение	выражения	15 ! , которого нет в таблице , превосходит 1012 , а именно .
Может быть , именно из - за быстрого роста факториалов восхищённый изобретатель этого	выражения	использовал восклицательный знак .
Сколько действий надо выполнить , чтобы вычислить значение	выражения	.
Запишите	выражения	для определения будущего урожая картофеля в каждом хозяйстве и общего урожая картофеля во всех трёх хозяйствах , если в среднем с каждой сотки планируется собрать по М кг .
Проиллюстрируйте правило приведения подобных слагаемых на примере	выражения	.
532 Чему равно значение	выражения	? .
Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил значение	выражения	х2 х и получил по условию число 90 .
580 Найдите значение	выражения	.
Докажите , что при этом каждый раз будут получаться равные	выражения	.
а ) значение	выражения	в 2 раза больше значения выражения .
77 Запишите в виде	выражения	.
Для первых двух квадратов записаны по два	выражения	для вычисления площади закрашенной части .
Подобные	выражения	обычно используют , когда речь идёт о возможности наступления события , которое в одних и тех же условиях может произойти , а может и не произойти .
Подставьте вместо букв заданные числа и найдите значение	выражения	.
б Найдите значение	выражения	.
756 Найдите значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	комментируйте каждый шаг .
Пользуясь им как образцом , найдите значение	выражения	.
3 Найдите значение	выражения	.
4 Даны	выражения	.
659 Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменных .
5 Найдите значение	выражения	.
Легко понять , что допустимыми значениями букв а и b для	выражения	— являются любые пары чисел , при которых , т .
10 Найдите значение	выражения	.
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны значению	выражения	( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Заметим , что вычислить значение	выражения	можно не всегда .
61 Из выражений выберите такое , значение которого равно значению	выражения	.
Запишите ответ , используя степень числа 2 , и вычислите значение получившегося	выражения	.
27 Найдите значение	выражения	.
Найдём значение	выражения	.
670 Упростите	выражения	.
669 Упростите	выражения	.
120 Найдите значение	выражения	.
Используйте полученный результат для вычисления значения	выражения	.
По аналогии с формулой , полученной в n. 1 , запишите формулу для преобразования в многочлен	выражения	.
Правило	выражения	процентов десятичной дробью .
Запишите два разных	выражения	для вычисления площади закрашенной части квадрата , получившейся на десятом шаге ; на сотом шаге .
Таким образом , значение	выражения	при равно -2,1 .
31 Убедитесь , что при данных значениях х , у , z значение	выражения	равно 1 .
122 Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменных .
Вычислите значение	выражения	при а 1,5 , b 0,7 , с -0,5 .
Запишите соответствующие	выражения	для остальных квадратов на рисунке .
Найдите значение	выражения	.
Тождественно равные	выражения	.
Для	выражения	назовите несколько пар значений тип , для которых выражение не имеет смысла .
Найдите значение	выражения	при .
Преобразование буквенного	выражения	.
Правило	выражения	десятичной дроби в процентах .
658 Составьте сумму и разность многочленов и упростите получившиеся	выражения	.
Точно так же можно преобразовывать и суммы , являющиеся буквенными	выражениями	, например сумму .
5 Каждое выражение из верхней строки соотнесите с равными ему	выражениями	из нижней строки .
Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми ( арифметическими ) выражениями , алгебра - с буквами и буквенными ( алгебраическими )	выражениями	.
Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми ( арифметическими )	выражениями	, алгебра - с буквами и буквенными ( алгебраическими ) выражениями .
324 В	выражениях	поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h —	высота	усечённой пирамиды .
Футболист на тренировке подбрасывает мяч головой вертикально вверх , придавая ему начальную скорость 10 м / с. В этом случае высота , на которой находится мяч , может быть приближённо вычислена по формуле , где h —	высота	полёта ( в метрах ) , t — время ( в секундах ) .
Футболист на тренировке подбрасывает мяч головой вертикально вверх , придавая ему начальную скорость 10 м / с. В этом случае	высота	, на которой находится мяч , может быть приближённо вычислена по формуле , где h — высота полёта ( в метрах ) , t — время ( в секундах ) .
Найдите крутизну спуска дороги , если	высота	подъёма равна 60 м , а горизонтальная протяжённость 1,5 км .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h —	высота	параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На какой	высоте	окажется ракета через 2 с после запуска ?
На какой	высоте	будет находиться мяч через 1 с ?
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его	высоте	, можно приближённо вычислить по формуле .
148 Выразите	высоту	h из формулы а ) площади параллелограмма , б ) объёма цилиндра .
Она заметила , что если заполнить этот аквариум водой на	высоту	30 см , то потребуется на .
6 л больше воды , чем требовалось для старого аквариума при заполнении его на такую же	высоту	.
Выполните на чертеже необходимые измерения и определите а )	высоту	стен реального дома ; б ) высоту дома с учётом крыши .
Выполните на чертеже необходимые измерения и определите а ) высоту стен реального дома ; б )	высоту	дома с учётом крыши .
80 Крутизна спуска дороги — это отношение	высоты	подъёма дороги к её горизонтальной протяжённости , выраженное в процентах .
« Ученик задумал число , умножил его на 4 , из результата	вычел	5 и получил удвоенное задуманное число .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и	вычесть	удвоенное произведение п2 и 2 , т .
Чтобы из одного многочлена	вычесть	другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
Сложить два многочлена или	вычесть	один из другого очень просто .
Чтобы из числа	вычесть	разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Можно , например , разложить этот многочлен на множители , используя тот же приём « прибавить —	вычесть	» , но уже совсем по - другому .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала	вычесть	из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Чтобы из некоторого выражения	вычесть	алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы	вычесть	из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и	вычесть	, чтобы разложить многочлен на множители .
Использованный приём « прибавить —	вычесть	» вам , конечно , известен .
Чтобы	вычесть	из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел ,	вычитаем	из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата	вычитаем	второе слагаемое .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить	вычитаемое	.
Объясните , как выполнить	вычитание	.
Так как	вычитание	всегда можно заменить сложением , то его можно считать суммой выражений .
Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов и	вычитание	из первого многочлена второго .
Знак « - » перед скобкой означает	вычитание	; замените вычитание сложением .
Обратите внимание :	вычитание	мы заменили сложением с многочленом , противоположным второму многочлену .
Для этого заменим	вычитание	сложением , а затем воспользуемся законом , который выражается равенством , и распределительным законом .
7.2 Сложение и	вычитание	многочленов .
Знак « - » перед скобкой означает вычитание ; замените	вычитание	сложением .
сначала	вычитанием	площадей , а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем	вычитанием	.
1 Какое из следующих равенств выражает правило	вычитания	из числа суммы двух чисел ? .
Вообще результатом сложения и	вычитания	многочленов является многочлен .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило	вычитания	из числа суммы двух чисел : для любых чисел а , b , с .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого	вычитают	показатель степени делителя .
Из задуманного числа	вычли	5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
Прибавим и	вычтем	одно и то же выражение .
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к двучлену выражение и	вычтем	его .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и	вычтите	из результата удвоенное задуманное число .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения	вычтите	утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
146 Формула F 1,8С 32 выражает зависимость между температурой в градусах Фаренгейта ( ° F ) и температурой в	градусах	Цельсия ( ° С ) .
2 Используя формулу , выражающую зависимость между температурой , измеряемой по шкале Фаренгейта ( F ) и по шкале Цельсия ( С ) , выразите в	градусах	Фаренгейта температуру кипения воды 100 ° С и температуру замерзания воды .
146 Формула F 1,8С 32 выражает зависимость между температурой в	градусах	Фаренгейта ( ° F ) и температурой в градусах Цельсия ( ° С ) .
Сколько кубиков , у которых покрашено три	грани	? .
Сколько кубиков , у которых покрашено две	грани	? .
Сколько кубиков , у которых покрашена одна	грань	? .
Чётное число очков есть на трёх	гранях	кубика из шести , следовательно , есть три шанса из шести , что событие D произойдёт .
Кстати , на трёх других	гранях	кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
Построен	график	зависимости частоты результата « остриём вниз » от числа экспериментов .
Зависимость на разных промежутках задана разными условиями , поэтому и	график	строится по частям .
484 Известно , что	график	зависимости у — 2х — прямая .
Используя	график	, ответьте на вопросы .
494 Постройте	график	зависимости , если известно .
7 Изобразите на координатной плоскости	график	зависимости .
Представлен	график	движения туриста .
При х 0	график	совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
Опишите её	график	.
509 В экономических исследованиях часто используется кривая спроса —	график	, который показывает , как зависит спрос на товар от его цены .
Изображён	график	роста тиража новой газеты за первые девять месяцев её существования .
Экономисты изображённый	график	называют линией производственных возможностей .
и после 10 ч температура была положительной , так как на этих промежутках	график	расположен выше оси абсцисс .
Говорят , что эта биссектриса —	график	зависимости у — х .
Получился красивый	график	, похожий на чашу .
При	график	совпадает с прямой .
498 Постройте	график	зависимости .
Этот	график	называется параболой .
Иными словами , эта биссектриса —	график	зависимости у -х .
502 Изображён	график	температуры воздуха в городе Лукошкино 19 октября .
С 2 ч до 10 ч температура была отрицательной , так как на этом промежутке	график	лежит ниже оси абсцисс .
С 6 ч до 16 ч температура росла , так как на этом промежутке график идёт вверх , а с 0 ч до 6 ч , с 16 ч до 20 ч и с 22 ч до 24 ч температура понижалась (	график	идёт вниз ) .
Постройте	график	зависимости у х 2 .
Изображён	график	скорости движения автомобиля .
487 Постройте по точкам	график	зависимости .
479 Постройте по точкам	график	зависимости , заданной равенством : а ) у -2х ; б ) у 2-х ; в ) у — х 3 .
6 Изображён	график	движения туриста от турлагеря до станции .
Используя	график	, ответьте на следующие вопросы .
Построим , например ,	график	зависимости .
Теперь понятно , что	график	надо строить по частям , отдельно в правой и в левой полуплоскости .
Как называется	график	зависимости , заданный равенством .
9 Изображён	график	изменения скорости автомобиля .
8 Изобразите на координатной плоскости	график	зависимости .
Таким образом ,	график	зависимости это ломаная , образованная двумя лучами .
Постройте этот	график	и опишите его свойства .
Как , например , построить	график	зависимости , заданной равенством ?
Выполните аналогичное задание , используя	график	.
С 6 ч до 16 ч температура росла , так как на этом промежутке	график	идёт вверх , а с 0 ч до 6 ч , с 16 ч до 20 ч и с 22 ч до 24 ч температура понижалась ( график идёт вниз ) .
4 Постройте	график	зависимости .
Составьте таблицу соответственных значений х и у и постройте по точкам	график	этой зависимости .
6 Как называется	график	зависимости .
Построим теперь	график	зависимости .
Рассмотрите	график	температуры и ответьте на вопросы .
Изображён	график	движения катера в первые 40 мин его работы .
Сколько существует различных анаграмм слова «	график	» ?
Чтобы построить	график	, вычислим сначала координаты нескольких его точек и занесём результаты в таблицу .
Об этом можно было догадаться заранее , ещё до построения	графика	— по самому равенству .
С помощью	графика	определите .
8 Для каждого	графика	укажите его алгебраическое описание .
С помощью	графика	выясните .
С помощью	графика	ответьте на вопросы .
Вы уже знакомы с	графиками	зависимостей .
Есть ли на этом	графике	точка , абсцисса которой равна -125 ?
Есть ли на	графике	точка , абсцисса которой равна 245 ?
508 Изображены	графики	зависимости роста Анны и Бориса от их возраста .
Некоторые	графики	можно строить , используя уже знакомые графики .
Используя	графики	, ответьте на вопросы .
Используя	графики	, определите . а ) Рост каждого из них при рождении , в 3 года , в 17 лет .
Широко используются различные	графики	и в экономике .
Рассмотрите ещё несколько зависимостей , которые задаются равенствами , содержащими знак модуля , и постройте их	графики	.
Некоторые графики можно строить , используя уже знакомые	графики	.
Используя показания сейсмографов — приборов , непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные	графики	— сейсмограммы , геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами .
Координаты и	графики	.
Попробуем теперь рассмотреть более сложные зависимости , которые могут связывать абсциссы и ординаты точек плоскости , и посмотрим , как будут выглядеть соответствующие	графики	.
Такие	графики	метеорологи получают с помощью специального прибора — термографа , отмечающего температуру на движущейся ленте или на экране дисплея .
Найдите координаты точек пересечения этих	графиков	.
5.5 Ещё несколько важных	графиков	.
499 Найдите координаты общих точек	графиков	зависимостей .
а ) Что является	графиком	зависимости , заданной условием у х ?
483 Прямая , которая является	графиком	зависимости .
а ) Что является	графиком	зависимости , заданной условием .
Эту линию называют	графиком	температуры .
По	графику	можно получить и другую полезную информацию : например , когда температура менялась быстрее , а когда медленнее .
, Е(-2 ; 4 ) , F(3 ; 27 ) выберите те , которые принадлежат : а ) параболе ; б ) кубической параболе ; в )	графику	зависимости .
в ) Какие из следующих точек принадлежат этому	графику	.
По	графику	видно , что самая высокая температура за сутки , была в 16 ч , а самая низкая — в 6 ч .
Назовите координаты ещё двух точек , принадлежащих этому	графику	, и двух точек , не принадлежащих ему .
выберите те , которые принадлежат	графику	зависимости .
Например , по	графику	легко узнать , когда температура была положительной , а когда отрицательной , когда она росла , а когда понижалась .
Составьте таблицу соответственных значений х и у по	графику	.
Укажите координаты нескольких точек , принадлежащих этому	графику	.
Назовите координаты нескольких точек , принадлежащих этому	графику	.
Принадлежит ли	графику	зависимости , заданной равенством , точка А(1 ; 0 ) ?
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх	групп	: числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
В каждой ли из этих	групп	заведомо есть призывник , годный к службе в Президентском полку ? .
И последняя цифра числа 2n определяется тем , в какую из этих	групп	попадает показатель n.
Но через полчаса к кинотеатру подъехала	группа	туристов и купила 45 билетов , что составило 20 % билетов , остававшихся в кассе .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой	группе	будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой	группе	средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей	группе	минимальный рост равен 180 см .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй	группе	максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
В	группе	российских туристов , выезжающих за границу , есть несколько человек , которые говорят только по - английски , и несколько человек , которые , кроме английского , говорят ещё на одном иностранном языке .
Если , например , опросить большую	группу	учеников , какой школьный предмет им нравится больше всего , то модой этого ряда ответов окажется тот предмет , который будут называть чаще остальных .
Значит , эту	группу	слагаемых надо заменить выражением 2ab .
В любом произведении множители можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в	группы	.
Отчёт	группы	исследователей был распечатан на принтере за 30 мин .
Есть три	группы	призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Теперь найдём сумму коэффициентов слагаемых второй	группы	.
В этой сумме две	группы	подобных слагаемых .
Значит , в результате приведения подобных слагаемых второй	группы	мы получим 5с .
Найдём сумму коэффициентов подобных слагаемых первой	группы	.
Он выписал число рабочих дней , пропущенных в течение года по болезни каждым сотрудником , предварительно разбив их на две	группы	— курящие и некурящие .
в любой сумме слагаемые можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в	группы	.
Перенесём	данные	таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
А	данный	пример является одним из частных случаев для обоснования этого правила .
Разделим его сторону длиной у на z равных частей и разрежем	данный	прямоугольник .
Теперь ясно , что	данный	трёхчлен может быть получен в результате возведения в квадрат двучлена или двучлена Таким образом .
С помощью букв	данный	приём может быть описан следующим образом .
а ) шестиугольник ; б ) восьмиугольник ; в )	двенадцатиугольник	; г ) стоугольник ? .
662 Какой	двучлен	надо прибавить к данному двучлену , чтобы в сумме получился 0 .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется	двучлен	, то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Разложим на множители	двучлен	Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
В произведении обозначьте	двучлен	буквой х и проведите преобразования , аналогичные рассмотренным в тексте .
Разложим на множители	двучлен	.
12 Какой	двучлен	можно разложить на множители , используя формулу суммы кубов ? .
Действительно ,	двучлен	х - 0,5 с — это сумма х и -0,5 с , поэтому .
Обозначим	двучлен	какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в произведении по правилу умножения одночлена на многочлен .
Специальные названия имеют и многочлены , состоящие из двух и трёх членов —	двучлен	и трёхчлен соответственно .
727 Представьте квадрат	двучлена	в виде трёхчлена .
Теперь ясно , что данный трёхчлен может быть получен в результате возведения в квадрат	двучлена	или двучлена Таким образом .
Трёхчлен можно разложить на множители , выделив квадрат	двучлена	.
705 Запишите степень	двучлена	в виде произведения и выполните умножение .
Выясним , можно ли представить в виде квадрата	двучлена	трёхчлен .
10 Представьте в виде квадрата	двучлена	.
732 Представьте трёхчлен в виде квадрата	двучлена	.
а ) Представьте трёхчлен в виде квадрата	двучлена	.
возведение	двучлена	в квадрат .
Каждый член	двучлена	представьте в виде произведения , в котором есть множитель -3а .
Таким образом , мы видим , что при возведении в квадрат	двучлена	получается трёхчлен .
Заметим , что для возведения в квадрат	двучлена	х - 0,5с можно воспользоваться и формулой квадрата суммы .
Используя формулу квадрата	двучлена	, возведите в квадрат трёхчлен .
750 Представьте в виде квадрата	двучлена	.
Приведите пример	двучлена	; трёхчлена .
Иногда трёхчлен удаётся « свернуть » в квадрат	двучлена	.
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат	двучлена	.
Это , в частности , умножение	двучлена	на самого себя , т . е .
Выделите квадрат	двучлена	.
734 Подберите такое k , чтобы трёхчлен был равен квадрату	двучлена	.
673 Представьте в виде суммы и разности двух каких - либо	двучленов	трёхчлен .
представьте один из	двучленов	, заключённых в скобки , в виде суммы или разности двух других , а затем примените группировку .
665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких - либо	двучленов	( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
676 Представьте в виде суммы двух каких - либо	двучленов	.
Этот многочлен можно представить или в виде суммы трёх	двучленов	, или в виде суммы двух трёхчленов .
672 Многочлен представьте в виде разности двух	двучленов	всеми возможными способами .
666 Многочлен представили в виде разности	двучленов	.
разности двух	двучленов	.
Затем букву х заменим	двучленом	и опять раскроем скобки .
662 Какой двучлен надо прибавить к данному	двучлену	, чтобы в сумме получился 0 .
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к	двучлену	выражение и вычтем его .
Если выражение содержит	деление	на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
7 Придумайте задачу на пропорциональное	деление	какой - либо величины .
534 Выполните	деление	.
Пропорциональное	деление	.
Приём , с помощью которого мы выполнили	деление	, состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
23 Выполните умножение или	деление	.
Если выражение содержит деление на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как	деление	уголком может оказаться бесконечным .
530 Выполните	деление	.
И нетрудно догадаться , что если в первом случае имеется в виду умножение на 1024 , то во втором —	деление	на 1024 считают равным .
2.4 Пропорциональное	деление	.
Она решается	делением	.
786 Каждое из чисел а и b при	делении	на 3 даёт в остатке 1 .
Так , например , число 2201 оканчивается цифрой 2 , так как 201 при	делении	на 4 даёт в остатке 1 , а число 2202 — цифрой 4 , так как .
Например , при	делении	на 3 получаются остатки 0 , 1 и 2 .
Заметим , что даже в том случае , когда а b , можно говорить о	делении	а на b с остатком .
785 Докажите , что если числа а и b при	делении	на число с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
а ) при	делении	на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
Докажите , что а b делится на 7 . б ) Числа а и b при	делении	на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
784 а ) Числа а и b при	делении	на 7 дают в остатке соответственно 3 и 4 .
При	делении	7 на 12 на экране калькулятора высветится длинное число 0,5833333 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при	делении	на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при	делении	на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при	делении	на 8 даёт в остатке 1 .
А именно , если при	делении	числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при	делении	на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
Докажите , что их произведение при	делении	на 3 также даёт в остатке 1 .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при	делении	на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
а ) при	делении	на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Таким образом , при	делении	степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не делится и в результате	деления	получается остаток .
783 Найдите остаток от	деления	на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
Если в качестве знака	деления	использовать черту дроби , то равенство примет такой вид .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака	деления	дробную черту , и найдите его значение .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от	деления	на b ) обязательно меньше b .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком	деления	— двоеточием или чертой дроби .
Заменим в данном выражении знак	деления	дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от	деления	суммы этих чисел на их количество .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от	деления	числа х на число у — это такое число z
322 Запишите равенство , заменив знак	деления	знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от	деления	на заданное число .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от	деления	на 2 ?
сам процесс	деления	, поручим калькулятору .
3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило	деления	степеней с одинаковыми основаниями .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 ,	делим	на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Центр симметрии	делит	её на две ветви , расположенные в I и III координатных четвертях .
Ось симметрии	делит	параболу на две части , называемые ветвями параболы ; эти ветви неограниченно уходят вверх .
Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной , то её знаменатель в качестве простых	делителей	имеет только 2 и 5 .
Перебрав все возможные пары	делителей	, нетрудно увидеть , что условию удовлетворяет только пара чисел 11 и 13 .
Укажите 10	делителей	числа , равного .
Поэтому числа — это	делители	числа 143 .
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые	делители	, отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной , то её знаменатель содержит простые	делители	, отличные от 2 и 5 .
Остаётся найти все натуральные	делители	числа 143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
разделить каждое из входящих в него чисел на их общий	делитель	— число 2 .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени	делителя	.
У числа 143 всего четыре натуральных	делителя	: 1 , 11 , 13 , 143 .
Остаётся найти все натуральные делители числа 143 и выбрать такие два	делителя	, один из которых на 2 больше другого .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа	делится	на следующее за ним число .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами ,	делится	на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не делится на 11 .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел	делится	на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
Докажем , что разность	делится	на 6 .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел	делится	на 5 .
Если а	делится	на b без остатка , то можно записать .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его квадрата	делится	на 2 .
Так как произведение	делится	на 6 , то и разность делится на 6 .
сумма двух последовательных степеней числа 2	делится	на 6 .
Если число а	делится	на число b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
Объясните , как разложить на множители выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность	делится	на 200 .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их разность	делится	на с .
Докажите , что а b	делится	на 7 . б ) Числа а и b при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
Так как произведение делится на 6 , то и разность	делится	на 6 .
б ) Сколько из них не	делится	на 5 ? .
Значит , и всё произведение , а вместе с ним и равная ему сумма	делится	на 2 .
а ) Сколько из них	делится	на 5 ? .
Выясните ,	делится	ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
е .	делится	на 2 .
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не	делится	и в результате деления получается остаток .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке ,	делится	на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим числом	делится	на 6 .
Докажите , что число : а ) записанное тремя одинаковыми цифрами ,	делится	на 37 ; б ) записанное четырьмя одинаковыми цифрами , делится на 11 и на 101 .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5	делится	его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
789 а ) Докажите , что если число не	делится	на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
787 Докажите , что если числа а и n не делятся на 3 , то либо их сумма , либо их разность	делится	на 3 .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не	делится	на 11 .
Докажите , что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи	делится	на 4 .
Докажите , что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи	делится	на 3 .
Докажите , что число : а ) записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 ; б ) записанное четырьмя одинаковыми цифрами ,	делится	на 11 и на 101 .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке ,	делится	на 9 .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами ,	делится	на 37 ; не делится на 11 .
Ясно , что она	делится	на 17 , так как .
В самом деле , при таких значениях а и b пришлось бы	делить	на 0 , а значит , в этом случае выражение не имело бы смысла .
( Здесь а — число , не равное 0 , так как на 0	делить	нельзя . )
Найдите координаты точек , которые	делят	отрезок АВ на четыре равные части .
Многих школьников волнует подобная проблема , и чаще всего ученики решают её следующим естественным образом : складывают все отметки и	делят	сумму на их количество .
787 Докажите , что если числа а и n не	делятся	на 3 , то либо их сумма , либо их разность делится на 3 .
788 Какой вид имеют числа , о которых известно , что они не	делятся	ни на 2 , ни на 3 ? .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и	делятся	на 2 .
591 Сколько существует пятизначных чисел , которые	делятся	на 2 ?
Определите , сколько в саду	деревьев	каждого вида , если известно , что яблонь в 3 раза больше , чем груш , а слив на 10 больше , чем груш . б ) Купили карандаши , кисти и линейки , всего 43 штуки .
401 а ) В саду растут яблони , груши и сливы , всего 130	деревьев	.
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или	десятичной	дроби .
если часть величины , заданную	десятичной	дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Выразите	десятичной	дробью массу снежинки .
11 Выразите	десятичной	дробью : 42 % , 30 % , 8 % , 19,3 % , 0,7 % .
Правило выражения процентов	десятичной	дробью .
Для обратного перехода — от процентов к	десятичной	дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить	десятичной	дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Если несократимую дробь можно записать в виде	десятичной	, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде	десятичной	.
119 Вычислите и запишите ответ в виде	десятичной	дроби .
Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде	десятичной	.
Правило выражения	десятичной	дроби в процентах .
Если несократимую дробь нельзя представить в виде	десятичной	, то её знаменатель содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Если выражение содержит деление на	десятичную	дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
Правда , в некоторых случаях выбирать не приходится , поскольку обыкновенную дробь преобразовать в	десятичную	можно не всегда .
Дробь - нельзя обратить в	десятичную	, поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби число 0,3 .
Расскажите , как сравнивают обыкновенную дробь и	десятичную	.
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в	десятичную	.
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в	десятичную	( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных дробей .
10 Выразите в процентах	десятичные	дроби : 0,7 ; 0,15 ; 0,06 ; 0,075 ; 0,005 .
Выразите эти	десятичные	дроби в процентах .
Значит , нужно уметь сравнивать числа , записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди чисел , с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и	десятичные	дроби .
Теперь нужно упорядочить	десятичные	дроби 0,58 ; 0,53 и 0,54 .
Если среди чисел , с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и	десятичные	дроби , то их надо привести к какой - нибудь одной из этих форм .
Однако дроби в	десятичные	не обращаются .
Конечно , удобнее было бы иметь дело с	десятичными	дробями .
Части городского бюджета , предназначенные для нужд города , выражаются следующими	десятичными	дробями : 0,04 ; 0,27 ; 0,3 ; 0,255 ; 0,0006 .
И всё - таки можно воспользоваться	десятичными	дробями .
Выразите эти проценты	десятичными	дробями .
В самом деле , заменим дроби и 75 их приближёнными	десятичными	значениями .
Какие из следующих дробей можно представить в виде	десятичных	.
Вы уже знаете , что есть два способа записи дробных чисел - в виде обыкновенных и в виде	десятичных	дробей .
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух	десятичных	дробей .
А со сравнением	десятичных	дробей дело обстоит проще .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде	десятков	— цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
( Ответ округлите до	десятков	. ) .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде	десятков	записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра ,	диаметр	основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
С nd , где С — длина окружности , d —	диаметр	окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
расстояние от Земли до звезды Сириус равно г )	диаметр	атома водорода равен мм .
а ) Определите длину окружности ,	диаметр	которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком	диаметре	длина окружности равна 10 см ?
Прочитайте предложение : « Обычно снежинка имеет 5 мм в	диаметре	при массе .
182 В любой окружности отношение длины окружности к её	диаметру	одно и то же и приближённо равно .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к	диаметру	, являющееся одним и тем же для любой окружности .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его	длина	; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На сколько сантиметров	длина	отрезка АР больше длины отрезка КВ ? .
Пусть х см — длина меньшей стороны куска стекла , тогда х 30 см —	длина	другой его стороны .
С nd , где С —	длина	окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
Чему равна	длина	отрезка СВ ? .
Она заменила его большим аквариумом ,	длина	и ширина дна которого на 4 см больше .
Какой английский размер подходит Наташе , если длина стопы у неё равна 30 см , и Игорю , если у него	длина	стопы 35 см ?
Какой английский размер подходит Наташе , если	длина	стопы у неё равна 30 см , и Игорю , если у него длина стопы 35 см ?
Существуют формулы , выражающие эту зависимость для мужских и женских размеров , принятых в некоторых англоговорящих странах : для мужской обуви и для женской обуви , где s — размер обуви , I —	длина	стопы в дюймах .
800 Два спортсмена бегут навстречу друг другу по круговой дорожке ,	длина	которой 1 км .
Найдите по этой формуле скорость пешехода , выразив её в метрах в минуту и в километрах в час , если	длина	его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов .
152 За время t человек ,	длина	шага которого равна Z , сделал n шагов .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а —	длина	ребра .
334 Провод разрезали на четыре части так , что	длина	первой части , равная х м , в 3 раза меньше второй , на 1,5 м меньше третьей и в 2 раза больше четвёртой .
228 Отрезок АВ ,	длина	которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в отношении .
522 Лыжник во время тренировки пробежал дистанцию 3000 м по лыжне , проходящей по лесной просеке ,	длина	которой 500 м .
Какова	длина	всего провода ? .
Пусть х см —	длина	меньшей стороны куска стекла , тогда х 30 см — длина другой его стороны .
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре	длина	окружности равна 10 см ?
12 Отрезок АВ ,	длина	которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
Сколько шерсти потребуется на шарф шириной 36 см и	длиной	1 м ? .
а ) зависимость числа т одинаковых учебников , размещаемых на полке	длиной	90 см , от толщины учебника I ( в см ) .
Разделим его сторону	длиной	у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
405 Провод	длиной	9,9 м разрезали на две части .
б ) Из 180 г шерсти можно связать шарф шириной 12 см и	длиной	2 м .
Чтобы вставить его в оконную раму , его	длину	и ширину пришлось уменьшить на 10 см. Площадь обрезков составила 1400 см2 .
	Длину	отрезка ОА .
453 Найдите	длину	отрезка MN , если .
Определите	длину	каждой части , если известно , что .
а ) Определите	длину	окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
Чтобы вставить его в оконную раму , его	длину	и ширину пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила 3800 см2 .
Определите	длину	окружности каждого обруча .
Найдите	длину	стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
как найти	длину	отрезка АВ ? .
Запишите формулу зависимости	длины	пройденного пути от скорости и времени движения .
а ) Найдите неизвестные	длины	сторон .
а ) Петя и Коля , сравнивая	длины	своих шагов , заметили , что 17 шагов Пети составили 8 м , а 20 шагов Коли составили 11 м .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите	длины	сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от	длины	другой его стороны .
На сколько сантиметров длина отрезка АР больше	длины	отрезка КВ ? .
Составьте выражение для вычисления	длины	проволоки , которая для этого потребуется .
157 Размер обуви зависит от	длины	стопы .
45 Найдите	длины	отрезков АВ , АС , АО , AD , BD .
Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше	длины	окружности большого обруча .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению	длины	окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г )	длины	одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
Например , в известной вам формуле	длины	окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
а ) периметра квадрата от	длины	его стороны .
б ) площади квадрата от	длины	его стороны .
182 В любой окружности отношение	длины	окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
г ) зависимость стоимости Z ( в р . ) рулона ткани от	длины	I ( в м ) этого рулона при цене одного метра 30 р .
Найдите длину стороны квадрата и	длины	сторон прямоугольника .
И оказывается , ваших знаний вполне достаточно для проведения нужных	доказательств	.
Подобрать соответствующую группировку для его	доказательства	достаточно трудно .
Будем при	доказательствах	пользоваться переместительными законами сложения и умножения , сочетательными законами сложения и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Поэтому , чтобы решать задачи на проценты , нужно свободно переходить от	дробей	к процентам и наоборот .
1.1 Сравнение	дробей	.
531 Какие из данных	дробей	равны выражению а ° ? .
Рассмотрим примеры сравнения	дробей	.
Это можно сделать , вычислив каждое из отношений , а можно воспользоваться известным правилом сравнения	дробей	.
1 Сформулируйте перекрёстное правило сравнения	дробей	.
Мы получили правило сравнения обыкновенных	дробей	, которое иногда называют перекрёстным .
Примеры таких	дробей	приведены в таблице .
Определите , сколько из составленных	дробей	меньше .
Какая из данных	дробей	наименьшая ?
Вычисления с целыми числами проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от	дробей	.
Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей	дробей	, т .
Какие из следующих	дробей	можно представить в виде десятичных .
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных	дробей	.
При решении задач на проценты нужно уметь свободно переходить от	дробей	к процентам и наоборот .
Проиллюстрируйте его на примере	дробей	.
Проиллюстрируйте правило на примере сравнения	дробей	.
А со сравнением десятичных	дробей	дело обстоит проще .
4 Какая из	дробей	равна выражению .
Вы уже знаете , что есть два способа записи дробных чисел - в виде обыкновенных и в виде десятичных	дробей	.
Из двух	дробей	с одинаковыми знаменателями больше та , у которой числитель больше .
15 Сколько можно составить различных	дробей	, отличных от 1 , у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37 ?
Правило сравнения обыкновенных	дробей	.
Каким другим способом можно воспользоваться при сравнении данных	дробей	? .
119 Вычислите и запишите ответ в виде десятичной	дроби	.
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной	дроби	.
11 Соотнесите	дроби	, которые выражают доли некоторой величины , и соответствующие им проценты .
Сравнивая две обыкновенные	дроби	, вы пользовались разными приёмами .
Итак , при возведении	дроби	в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
15 Составьте все	дроби	( не равные 1 ) с числителями и знаменателями 11 , 12 , 13 и расположите их в порядке возрастания .
553 Представьте выражение в виде	дроби	.
Правило выражения десятичной	дроби	в процентах .
262 Назовите общий множитель числителя и знаменателя	дроби	и сократите её .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой	дроби	перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Значит , нужно уметь сравнивать числа , записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди чисел , с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные	дроби	.
Полезно также помнить , как выражаются в процентах некоторые	дроби	.
Для обратного перехода — от процентов к десятичной	дроби	— запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Чему равно значение	дроби	, если .
117 Сравните	дроби	.
С понятием	дроби	, как вам уже известно , связано понятие процента .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства	дроби	так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Возьмём	дроби	и выясним , какая из них больше .
Если в качестве знака деления использовать черту	дроби	, то равенство примет такой вид .
Дробь - нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной	дроби	число 0,3 .
Однако	дроби	в десятичные не обращаются .
Вообще шансы имеет смысл сравнивать как дроби : в знаменателе	дроби	— сколько всего возможно исходов , в числителе — сколько из них отвечают конкретному событию .
Можно также представить дробь 0,54 в виде обыкновенной и затем с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные	дроби	попарно .
Если знаменатель несократимой	дроби	не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде десятичной .
В самом деле , заменим	дроби	и 75 их приближёнными десятичными значениями .
Вообще шансы имеет смысл сравнивать как	дроби	: в знаменателе дроби — сколько всего возможно исходов , в числителе — сколько из них отвечают конкретному событию .
Числитель и знаменатель	дроби	можно разделить на общий множитель а8 .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой	дроби	.
6.2 Степень степени , произведения и	дроби	.
Теперь нужно упорядочить десятичные	дроби	0,58 ; 0,53 и 0,54 .
Как с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные	дроби	и ( фрагмент 1 ) ?
Запишите с помощью букв правило обращения смешанной	дроби	в неправильную дробь .
Как ещё можно сравнить эти	дроби	? .
116 В числителе	дроби	запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
Поэтому , руководствуясь неформальным , но мудрым правилом : « Целое лучше	дроби	» , обозначим через х т исходное количество угля на первом складе .
Выразите эти десятичные	дроби	в процентах .
6 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень	дроби	.
10 Выразите в процентах десятичные	дроби	: 0,7 ; 0,15 ; 0,06 ; 0,075 ; 0,005 .
Разложим числитель и знаменатель данной	дроби	на множители .
Пусть даны	дроби	и где a , b , с , d — натуральные числа .
Поскольку проценты выражаются дробями , то задачи на проценты , по существу , являются теми же задачами на	дроби	.
Рассмотрим степень	дроби	.
7 Даны	дроби	.
Так как 130 % соответствуют	дроби	1,3 , то февральский тираж больше январского в 1,3 раза .
Проверьте себя , обратившись к таблице во фрагменте 1 , можете ли вы бегло назвать обыкновенные	дроби	, соответствующие процентам : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 75 % .
2 Даны	дроби	.
Сравним	дроби	и 0,65 .
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от	дроби	к процентам или от процентов к дроби .
Решить эту задачу можно , например , так : записать число 0,65 в виде обыкновенной	дроби	и затем воспользоваться перекрёстным правилом .
Если среди чисел , с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные	дроби	, то их надо привести к какой - нибудь одной из этих форм .
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от дроби к процентам или от процентов к	дроби	.
Сравним	дроби	.
Если знаменатель несократимой	дроби	имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Заменим в данном выражении знак деления	дробной	чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления	дробную	черту , и найдите его значение .
Отношение , членами которого являются	дробные	числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
	Дробным	положительным .
	Дробным	отрицательным .
Вы уже знаете , что есть два способа записи	дробных	чисел - в виде обыкновенных и в виде десятичных дробей .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту	дробь	обратить в десятичную .
573 Возведите	дробь	в степень .
Объясните , как сократить	дробь	( в качестве образца воспользуйтесь примером ) .
Сократим	дробь	.
Чем больше	дробь	, тем вероятнее событие .
Если выражение содержит деление на десятичную	дробь	, то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую	дробь	вида можно заменить суммой частных — и числовое значение останется тем же .
6 Сократите	дробь	.
Сократите	дробь	.
3 Сократите	дробь	.
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту	дробь	нельзя записать в виде десятичной .
Расскажите , как сравнивают обыкновенную	дробь	и десятичную .
Запишите с помощью букв правило обращения смешанной дроби в неправильную	дробь	.
Сократите полученную	дробь	и сравните её .
Правда , в некоторых случаях выбирать не приходится , поскольку обыкновенную	дробь	преобразовать в десятичную можно не всегда .
Теперь ясно , что	дробь	можно сократить на разность .
Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту	дробь	можно записать в виде десятичной .
239 Смешанная	дробь	записана в виде суммы . , где буквами а , b и с обозначены .
Но есть и другая возможность :	дробь	— обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных дробей .
925 Сократите	дробь	.
Если несократимую	дробь	нельзя представить в виде десятичной , то её знаменатель содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Можно также представить	дробь	0,54 в виде обыкновенной и затем с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные дроби попарно .
10 Сократите	дробь	.
Можно ли сократить	дробь	.
Так ,	дробь	— в выражение частное была преобразована в сумму .
Если несократимую	дробь	можно записать в виде десятичной , то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Представим а9 в виде произведения а0а4 , тогда	дробь	можно будет сократить на общий множитель а5 .
920 Сократите	дробь	.
927 Сократите	дробь	.
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную	дробь	с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Выразите десятичной	дробью	массу снежинки .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной	дробью	, то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной	дробью	, нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
11 Выразите десятичной	дробью	: 42 % , 30 % , 8 % , 19,3 % , 0,7 % .
если часть величины , заданную десятичной	дробью	, надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Правило выражения процентов десятичной	дробью	.
Поскольку проценты выражаются	дробями	, то задачи на проценты , по существу , являются теми же задачами на дроби .
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с целыми числами , а с	дробями	.
При этом всегда полезно подумать , с какими	дробями	удобнее иметь дело .
Выразите эти проценты десятичными	дробями	.
Конечно , удобнее было бы иметь дело с десятичными	дробями	.
238 Выполните действия с	дробями	, записанными в буквенном виде .
Обратите внимание на то , что в ходе вычислений мы обращались с единицами , в которых выражена величина , так же , как и с	дробями	.
И всё - таки можно воспользоваться десятичными	дробями	.
Части городского бюджета , предназначенные для нужд города , выражаются следующими десятичными	дробями	: 0,04 ; 0,27 ; 0,3 ; 0,255 ; 0,0006 .
Вычисления с целыми числами проще , чем с	дробями	, поэтому прежде всего избавимся от дробей .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде	единиц	— цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до	единиц	. ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
596 В компьютере каждый символ кодируется последовательностью , состоящей из восьми цифр — нулей и	единиц	.
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде	единиц	- нечётная ? .
( Ответ округлите до	единиц	. ) .
Обратите внимание на то , что в ходе вычислений мы обращались с	единицами	, в которых выражена величина , так же , как и с дробями .
Выразите данные величины в одних и тех же	единицах	.
Эта величина , показывающая , какая работа выполняется в	единицу	времени , имеет специальное название — производительность работы .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на	единицу	.
При вычислениях по формулам необходимо следить за тем , чтобы	единицы	, в которых выражены входящие в них величины , были согласованы между собой .
д. Каждый кубик покрасили и разрезали на	единичные	кубики .
Напомним , что	единичные	отрезки по осям координат берутся равными .
Напомним , что	единичные отрезки	по осям координат берутся равными .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и	единичный	отрезок .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и	единичный отрезок	.
Сколько получилось	единичных	кубиков ? .
а )	замкнутый	луч с началом в точке 2 ( сколько существует таких лучей ? ) .
Неравенствами х 3 и х 3 также задаются лучи — открытый и	замкнутый	.
Такое множество точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют	замкнутым	лучом .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести	запятую	на два знака влево .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби —	запятую	переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести	запятую	на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
расстояние от Земли до	звезды	Сириус равно г ) диаметр атома водорода равен мм .
2	зерна	, на третью — ещё в 2 раза больше , т .
4	зерна	, и т .
Эта сумма равна огромному числу 18 446 744 073 709 551 615 , и она столь велика , что этим количеством	зерна	можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты , включая Мировой океан .
Рассказывают , что изобретатель шахмат в награду за своё изобретение попросил у раджи немного зёрен пшеницы : на первую клетку доски он попросил положить 1	зерно	, на вторую — в 2 раза больше , т .
322 Запишите равенство , заменив	знак	деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Перед скобками стоит	знак	« - » .
Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит знак « » и	знак	« - » .
Заменим в данном выражении	знак	деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит	знак	« » и знак « - » .
48 Не выполняя вычислений , определите	знак	результата .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете ,	знак	умножения не ставится ) .
Вы , наверное , догадались , что	знак	читается как « меньше или равно » ; его также можно прочитать и как « не больше » .
Эти правила называют правилами раскрытия скобок , перед которыми стоит	знак	« » или « - » .
321 Запишите равенство , заменив	знак	« плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
От чего зависит	знак	степени с отрицательным основанием ?
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен	знак	умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Отсюда понятно правило : в уравнении можно перенести слагаемое из одной части в другую , изменив при этом его	знак	на противоположный .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать	знак	% .
Может быть , именно из - за быстрого роста факториалов восхищённый изобретатель этого выражения использовал восклицательный	знак	.
4 Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит	знак	« » или « - » .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а	знак	умножения знаком « плюс » .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот	знак	перед первым слагаемым опускают .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а	знак	« минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
А вместо коэффициента -1 просто ставят	знак	« - » .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части уравнения , при этом его	знак	изменился с « минуса » на « плюс » .
4 Какой	знак	может иметь степень с отрицательным основанием ?
83S Заключите два последних слагаемых в скобки , поставив перед ними	знак	« - » , и затем выполните разложение на множители .
Рассмотрите ещё несколько зависимостей , которые задаются равенствами , содержащими	знак	модуля , и постройте их графики .
Вы знаете , что если перед числом поставить	знак	« - » , то получится число , ему противоположное .
Запишите предложения с помощью	знака	модуля .
С помощью одного	знака	— точки или тире — можно закодировать 2 буквы .
Можно ли обойтись последовательностями не более чем в 4	знака	, чтобы закодировать все буквы русского алфавита ? .
21 Запишите выражение , используя в качестве	знака	деления дробную черту , и найдите его значение .
После первого	знака	опять можно поставить точку или тире .
Прежде всего освободимся от	знака	модуля .
Не меняя ни одного	знака	, расставьте скобки так , чтобы выполнялось равенство .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от	знака	а ) откладывается отрезок , равный .
Если в качестве	знака	деления использовать черту дроби , то равенство примет такой вид .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два	знака	влево .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два	знака	вправо и к полученному числу приписать знак % .
тремя	знаками	можно закодировать букв .
Заметим , что подобные слагаемые можно группировать мысленно , выделяя их специальными	знаками	.
Так как то выражение , противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными	знаками	.
В алгебраической сумме , как мы видели , слагаемые « путешествуют » вместе со своими	знаками	.
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив	знаки	сложения перед скобками .
Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стёрли	знаки	между слагаемыми .
Буквы и другие	знаки	появились в математике не сразу , а в результате её длительного развития .
Перенося члены уравнения из одной части в другую , мы в одной части их « уничтожаем » , но зато в другой « восстанавливаем » , меняя при этом их	знаки	на противоположные .
Сколько	знаков	она наберёт за 5 мин , если будет работать с той же скоростью ? .
Ольга может за 30 с набрать на компьютере 160	знаков	.
Понятно , что , чем короче последовательность	знаков	, обозначающая букву , тем лучше .
С помощью указанного правила можно преобразовывать не только « чистые » суммы , но и смешанные выражения , составленные с помощью	знаков	« » и « - » .
Из буквенных выражений с помощью	знаков	действий и скобок составляют другие буквенные выражения .
А в русском алфавите 33 буквы , значит , придётся использовать последовательности из пяти	знаков	.
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило	знаков	« минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
Итак , последовательностями из одного , двух , трёх или четырёх	знаков	( точек и тире ) можно закодировать букв .
Значит , с помощью двух	знаков	можно закодировать буквы .
С помощью четырёх	знаков	( точек и тире ) можно закодировать букв .
Выскажите предположение , какие буквы русского алфавита в азбуке Морзе кодируются последовательностью из пяти	знаков	.
Из каждой последовательности из двух	знаков	получаются ещё две приписыванием точки или тире , т .
322 Запишите равенство , заменив знак деления	знаком	« минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения	знаком	« плюс » .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед	знаком	% , перенести запятую на два знака влево .
Поэтому , раскрывая скобки , запишем каждое слагаемое а , b и -с с противоположным	знаком	.
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным	знаком	.
Исходное и преобразованное выражения соединяют	знаком	« » и называют тождественно равными или просто равными .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать слагаемое со	знаком	« » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в	знаменателе	— произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
Вообще шансы имеет смысл сравнивать как дроби : в	знаменателе	дроби — сколько всего возможно исходов , в числителе — сколько из них отвечают конкретному событию .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в	знаменателе	оказались целые числа .
Числитель и	знаменатель	дроби можно разделить на общий множитель а8 .
Если	знаменатель	несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде десятичной .
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых числитель и	знаменатель	являются простыми числами от 11 до 37 ?
Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной , то её	знаменатель	содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и	знаменатель	.
Разложим числитель и	знаменатель	данной дроби на множители .
Если	знаменатель	несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Для этого разделим числитель каждой из них на	знаменатель	, причём техническую работу , т .
Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной , то её	знаменатель	в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Для этого приведём их к общему	знаменателю	.
Приведём их к общему	знаменателю	.
262 Назовите общий множитель числителя и	знаменателя	дроби и сократите её .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую дробь вида можно заменить суммой частных — и числовое	значение	останется тем же .
61 Из выражений выберите такое ,	значение	которого равно значению выражения .
814 Найдите	значение	выражения .
50 Зная , что 282 784 , найдите	значение	каждого из выражений .
51 Запишите выражение и найдите его	значение	.
	Значение	выражения в 3 раза меньше значения выражения .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите	значение	каждого из них при заданных значениях переменных .
Вынесите общий множитель за скобки и вычислите	значение	выражения .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г )	значение	выражения на 2 меньше значения выражения .
Числовое	значение	от этого не изменится .
Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил	значение	выражения х2 х и получил по условию число 90 .
Используя рассмотренный способ , найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения при заданном значении переменной .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых значениях букв то же	значение	, что и исходное .
370 При каких значениях х : а )	значение	выражения ; б ) значение выражения ? .
Чему равно	значение	дроби , если .
370 При каких значениях х : а ) значение выражения ; б )	значение	выражения ? .
371 При каком значении переменной . а )	значение	выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
372 Найдите	значение	переменной , при котором .
Запишите ответ , используя степень числа 2 , и вычислите	значение	получившегося выражения .
10 Найдите	значение	выражения .
Таким образом ,	значение	выражения при равно -2,1 .
817 Найдите	значение	выражения .
1 Найдите	значение	выражения .
Чему равно	значение	выражения .
Вспомните , что сочетательный закон сложения гласит : от изменения расстановки скобок в сумме её	значение	не меняется .
639 Найдите	значение	данного многочлена .
580 Найдите	значение	выражения .
Докажите , что	значение	выражения .
756 Найдите	значение	выражения .
7 Найдите	значение	степени .
638 Найдите	значение	выражения .
Разберите , как найдено	значение	степени 28 во фрагменте 1 .
659 Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменных .
и найдите его	значение	.
Числовое	значение	будет одно и то же .
Это равенство показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое	значение	при этом не изменится .
С помощью какого приёма удобно найти	значение	данного выражения ?
3 Найдите	значение	выражения .
5 Найдите	значение	выражения .
843 Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменных .
в )	значение	выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
б Найдите	значение	выражения .
618 Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменной .
13 Вычислите 14 Найдите	значение	выражения .
637 Найдите	значение	выражения .
Парабола симметрична относительно оси ординат , так как противоположным значениям х соответствует одно и то же	значение	у.
а ) Делится ли	значение	выражения .
А	значение	выражения 15 ! , которого нет в таблице , превосходит 1012 , а именно .
122 Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменных .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его	значение	.
Вычислите	значение	выражения при а 1,5 , b 0,7 , с -0,5 .
Если , например , коэффициент роста будет другим , то достаточно подставить в это выражение вместо х его	значение	и выполнить вычисления .
Подставьте вместо букв заданные числа и найдите	значение	выражения .
4 Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	каждого из выражений .
а )	значение	выражения в 2 раза больше значения выражения .
300 Упростите выражение и найдите его	значение	при указанных значениях букв .
27 Найдите	значение	выражения .
Заметим , что вычислить	значение	выражения можно не всегда .
120 Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения при .
31 Убедитесь , что при данных значениях х , у , z	значение	выражения равно 1 .
г ) Что в соответствии с условием задачи означает найденное	значение	х , равное 9 ?
794 Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения комментируйте каждый шаг .
Найдём	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменных .
Не забудьте , что , используя найденное	значение	х , надо ещё найти расстояние от дома до школы .
328 Найдите	значение	выражения .
Пользуясь им как образцом , найдите	значение	выражения .
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите	значение	выражения .
792 Найдите	значение	выражения .
532 Чему равно	значение	выражения ? .
Сколько действий надо выполнить , чтобы вычислить	значение	выражения .
371 При каком	значении	переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
Найдите значение выражения при заданном	значении	переменной .
При каком	значении	k верно равенство .
537 При каком	значении	k верно равенство .
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком	значении	х значения выражений противоположны ? .
А вот уравнение вообще не имеет корней , так как при любом	значении	х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
15 При каком	значении	х верно равенство .
Укажите промежутки	значений	х , в которых прямая расположена выше кубической параболы .
Чему равно отношение соответственных	значений	пропорциональных величин ?
Арифметика — наука о числах , основные её задачи связаны с вычислением	значений	числовых выражений .
Найдём несколько пар соответственных	значений	v и t .
Из данных	значений	а назовите какое - нибудь одно , при котором .
Решение уравнения — это поиск тех	значений	переменной , при которых получается верное равенство .
В каждом случае составьте таблицу	значений	х и у.
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных	значений	равно одному и тому же числу .
Составьте таблицу соответственных	значений	х и у и постройте по точкам график этой зависимости .
Каждая переменная в формуле связана с множеством	значений	, которые она может принимать .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных	значений	равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Для этого . Вычислите значения у для указанных	значений	х и заполните таблицу .
Значит , если у нас есть ряд данных , то для обоснованных выводов и надёжных прогнозов на их основе , помимо средних	значений	, надо ещё указать , насколько используемые данные различаются между собой .
Для выражения назовите несколько пар	значений	тип , для которых выражение не имеет смысла .
Выберите из данных	значений	а и b такие , при которых .
Составьте таблицу соответственных	значений	х и у по графику .
Чему равно произведение соответственных	значений	обратно пропорциональных величин ? .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных	значений	переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
61 Из выражений выберите такое , значение которого равно	значению	выражения .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно	значению	выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны	значению	выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений ,	значения	которых можно найти , пользуясь таблицей степеней числа 3 .
Найдите	значения	выражений .
Температура на Меркурии колеблется от наименьшего	значения	-150 ° до наибольшего значения 350 ° .
Найдите в таблице	значения	а , при которых выполняется условие .
Так , в формуле s vt переменные могут принимать только положительные	значения	.
значение выражения в 3 раза меньше	значения	выражения .
Будем последовательно переходить от одного	значения	величины к другому , пока не получим нужный результат : 16 человек за 20 дней собрали 180 т ; 1 человек за 20 дней соберёт в 16 раз меньше .
Более того , эти	значения	находятся в ограниченном промежутке .
Например , если этой формулой описывается движение пешехода , то	значения	скорости v не могут превосходить 5—6 км / ч .
а ) значение выражения в 2 раза больше	значения	выражения .
Какие	значения	могут принимать переменные тип ? .
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком значении х	значения	выражений противоположны ? .
А в формуле Р pt , выражающей зависимость объёма выполненной каменщиком работы от производительности и времени , переменные Р и р могут принимать только натуральные	значения	.
Помимо размаха , во многих случаях важны сами наибольшие или наименьшие	значения	данных .
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите	значения	получившихся выражений .
Какие	значения	могут принимать переменные а и b ? .
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те ,	значения	которых противоположны значению выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Используйте полученный результат для вычисления	значения	выражения .
324 В выражениях поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите	значения	полученных выражений .
Для этого . Вычислите	значения	у для указанных значений х и заполните таблицу .
Какие	значения	могут принимать переменные n и N ?
Подставим в выражение	значения	и выполним вычисления .
в ) значение выражения на 10 больше	значения	выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
Какие	значения	могут принимать переменные в формуле стоимости покупки учебников , которой вы пользовались в предыдущем задании ? .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат —	значения	температуры .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать	значения	времени , а по оси ординат — значения температуры .
52 Найдите	значения	выражений .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б )	значения	выражений противоположны ? .
Чтобы использовать калькулятор для вычисления	значения	многочлена этот многочлен удобно представить в таком виде .
Сравните	значения	выражений .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше	значения	выражения .
Температура на Меркурии колеблется от наименьшего значения -150 ° до наибольшего	значения	350 ° .
При каких значениях переменной равны	значения	выражений .
123 Сравните	значения	выражений .
Такие	значения	переменной , как вы знаете , называют корнями уравнения .
Занимаясь математикой , вы узнали много формул , описывающих зависимости между различными величинами , и научились с их помощью вычислять	значения	одних величин по значениям других .
Занимаясь математикой , вы узнали много формул , описывающих зависимости между различными величинами , и научились с их помощью вычислять значения одних величин по	значениям	других .
Парабола симметрична относительно оси ординат , так как противоположным	значениям	х соответствует одно и то же значение у.
В самом деле , заменим дроби и 75 их приближёнными десятичными	значениями	.
Легко понять , что допустимыми	значениями	букв а и b для выражения — являются любые пары чисел , при которых , т .
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим	значениями	ряда данных .
При каких	значениях	х парабола лежит выше прямой ?
370 При каких	значениях	х : а ) значение выражения ; б ) значение выражения ? .
Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменных .
618 Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменной .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых	значениях	букв то же значение , что и исходное .
В самом деле , при таких	значениях	а и b пришлось бы делить на 0 , а значит , в этом случае выражение не имело бы смысла .
При каких	значениях	n событие А — невозможное , а при каких — достоверное ? .
659 Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменных .
300 Упростите выражение и найдите его значение при указанных	значениях	букв .
16 При каких натуральных	значениях	х верно неравенство .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите значение каждого из них при заданных	значениях	переменных .
122 Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменных .
При каких	значениях	переменной равны значения выражений .
При каких	значениях	х выполняется равенство .
843 Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменных .
31 Убедитесь , что при данных	значениях	х , у , z значение выражения равно 1 .
Рассказывают , что изобретатель шахмат в награду за своё изобретение попросил у раджи немного	зёрен	пшеницы : на первую клетку доски он попросил положить 1 зерно , на вторую — в 2 раза больше , т .
Число	зёрен	, которое потребовал в награду изобретатель шахмат , выражается суммой .
129 Школьная баскетбольная команда из 16	игр	, сыгранных на соревнованиях за год , выиграла 12 .
Сколько	игр	ей надо выиграть , чтобы её результат в процентном отношении оказался по крайней мере не хуже ? .
Один выигрывает при появлении события А , а другой — при появлении события В. Используя полученные статистические данные , определите , справедлива ли эта	игра	.
Исходя из статистических данных , полученных в результате экспериментов , определите , справедлива ли такая	игра	.
Как вы считаете , справедливо ли использование кубика в настольных	играх	? .
Понятно , что в такой ситуации выигрышная стратегия — начать	игру	с самой распространённой в русском языке буквы .
В следующем году она планирует сыграть на соревнованиях 22	игры	.
Когда перед началом	игры	игроки хотят договориться , кто из них сделает первый ход , то обычно подбрасывают монету .
слова «	интеграл	» ? .
941 Из колоды	карт	вынимают одну карту .
в ) выпадание одного очка и шести очков при бросании кубика . г ) вынимание из колоды	карт	туза и вынимание шестёрки . д ) попадание и промах при стрельбе по мишени . е ) выпадение снега и выпадение дождя 1 января в том регионе , где вы живёте ? .
В : из колоды	карт	вынута карта чёрной масти .
Из колоды в 36	карт	наугад вытягивают одну .
Из перетасованной колоды	карт	вынимают одну карту .
Дама пик — одна из	карт	пиковой масти , поэтому событие В влечёт за собой событие А. У события С четыре исхода : дама пик , дама крестей , дама червей и дама бубен .
В : вам кто - нибудь позвонит с 5 до 6 часов утра . б ) А : из колоды	карт	вынута карта красной масти .
В : вам кто - нибудь позвонит с 5 до 6 часов утра . б ) А : из колоды карт вынута	карта	красной масти .
В : вынута карта бубновой масти . б ) Сколько исходов имеет событие С : вынута	карта	старше дамы ? .
С : эта	карта	бубновой масти .
А : вынутая	карта	— туз .
В : из колоды карт вынута	карта	чёрной масти .
А : вынута	карта	пиковой масти .
В : эта	карта	красной масти .
В : вынута	карта	бубновой масти . б ) Сколько исходов имеет событие С : вынута карта старше дамы ? .
А : на этой	карте	— король .
182 Масштаб карты 1 5 000 000 . а ) Расстояние между Москвой и Курском на	карте	равно 9 см. Чему равно это расстояние в действительности ? .
Чему равно это расстояние на	карте	? .
941 Из колоды карт вынимают одну	карту	.
дисконтную	карту	на год , которая даёт право на 10 % скидки при покупке товаров в этом магазине .
Из перетасованной колоды карт вынимают одну	карту	.
На какую минимальную сумму необходимо приобрести товаров за этот год , чтобы покупка дисконтной	карты	оправдалась ? .
182 Масштаб	карты	1 5 000 000 . а ) Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см. Чему равно это расстояние в действительности ? .
И в этой же точке , как говорят математики , парабола	касается	оси абсцисс .
Теперь ясно , что данный трёхчлен может быть получен в результате возведения в	квадрат	двучлена или двучлена Таким образом .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что	квадрат	любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
Пользуясь выведенной формулой , возведите в	квадрат	.
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в	квадрат	чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Выделите	квадрат	двучлена .
Используя формулу квадрата двучлена , возведите в	квадрат	трёхчлен .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его	квадрат	, увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
558 Возведите в	квадрат	и в куб выражение .
Иногда трёхчлен удаётся « свернуть » в	квадрат	двучлена .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс	квадрат	второго числа .
Заметим , что для возведения в	квадрат	двучлена х - 0,5с можно воспользоваться и формулой квадрата суммы .
53 а ) Объём пирамиды , в основании которой	квадрат	. вычисляется по формуле V -a2h .
727 Представьте	квадрат	двучлена в виде трёхчлена .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится	квадрат	большего числа .
Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически , изобразив	квадрат	со стороной .
возведение двучлена в	квадрат	.
Трёхчлен можно разложить на множители , выделив	квадрат	двучлена .
Борис предложил ему возвести это число в	квадрат	, после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс	квадрат	второго числа .
С помощью полученной формулы возведите в	квадрат	.
Таким образом , мы видим , что при возведении в	квадрат	двучлена получается трёхчлен .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится	квадрат	большего числа .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в	квадрат	двучлена .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б )	квадрат	разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
в )	квадрат	разности т и 3 . г ) разность квадратов а и с .
728 Выполните возведение в	квадрат	.
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а )	квадрат	суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
569 Возведите в	квадрат	и в куб выражение .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ;	квадрат	суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
С помощью полученной формулы можно возводить в	квадрат	сумму любых двух выражений .
д ) куб суммы у и r . е )	квадрат	суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Как вы знаете ,	квадрат	любого числа положителен или равен нулю , т .
Докажите , что если сторону	квадрата	увеличить в 10 раз , то его площадь увеличится в 100 раз .
С использованием формул	квадрата	суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его	квадрата	делится на 2 .
Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше , а другая на 6 см меньше стороны	квадрата	.
7 Напишите формулы	квадрата	суммы и квадрата разности и докажите их .
732 Представьте трёхчлен в виде	квадрата	двучлена .
а ) периметра	квадрата	от длины его стороны .
б ) площади	квадрата	от длины его стороны .
Сторону	квадрата	увеличили в 3 раза .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона	квадрата	, лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
а ) Представьте трёхчлен в виде	квадрата	двучлена .
формула	квадрата	разности .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного	квадрата	их разности .
Запишите формулы квадрата суммы и	квадрата	разности .
Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части	квадрата	, получившейся на десятом шаге ; на сотом шаге .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны	квадрата	, а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Утверждение , которое выражается формулой	квадрата	суммы , было известно ещё в древности .
Выясним , можно ли представить в виде	квадрата	двучлена трёхчлен .
12 На сколько процентов площадь	квадрата	ABCD больше площади квадрата AKLM1 .
Найдите длину стороны	квадрата	и длины сторон прямоугольника .
Можно ли представить в виде	квадрата	суммы или разности трёхчлена .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного	квадрата	их суммы .
12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади	квадрата	AKLM1 .
571 Какое из выражений нельзя представить ни в виде	квадрата	, ни в виде куба ? .
7.5 Формулы квадрата суммы и	квадрата	разности .
7.5 Формулы	квадрата	суммы и квадрата разности .
С использованием формул квадрата суммы или	квадрата	разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Используя формулу	квадрата	двучлена , возведите в квадрат трёхчлен .
750 Представьте в виде	квадрата	двучлена .
749 Пользуясь формулами	квадрата	суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена выражение .
Площадь	квадрата	на 63 см2 больше площади прямоугольника .
764 а ) Площадь	квадрата	равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
12 Какое из данных выражений нельзя представить ни в виде	квадрата	, ни в виде куба ? .
Мы получили формулу	квадрата	суммы .
Найдите площадь	квадрата	.
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны	квадрата	.
Обозначим сторону квадрата буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового	квадрата	равна .
Заметим , что для возведения в квадрат двучлена х - 0,5с можно воспользоваться и формулой	квадрата	суммы .
Под строительство был отведён участок земли , имеющий форму	квадрата	.
Тогда сумма этого числа и его	квадрата	будет .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны	квадрата	, а другая на 3 см больше стороны квадрата .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны	квадрата	.
Аналогично можно получить формулу	квадрата	разности .
7 Напишите формулы квадрата суммы и	квадрата	разности и докажите их .
13 Площадь прямоугольника равна площади	квадрата	.
Запишите формулы	квадрата	суммы и квадрата разности .
Формула	квадрата	разности . — — суммы .
Обозначим сторону	квадрата	буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового квадрата равна .
808 Если каждую из сторон земельного участка , имеющего форму	квадрата	, уменьшить на 3 м , то получится участок , площадь которого будет меньше площади исходного участка на 81 м2 .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и	квадрата	разности , представьте в виде многочлена выражение .
10 Представьте в виде	квадрата	двучлена .
13 На сколько процентов площадь квадрата AKLM меньше площади	квадрата	ABCD ? .
13 На сколько процентов площадь	квадрата	AKLM меньше площади квадрата ABCD ? .
У одной из них дно	квадратное	, а у другой — прямоугольное .
777 Картинку	квадратной	формы наклеили на белую бумагу , в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на 460 см2 больше , чем она занимала без окантовки .
Длина прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона	квадратной	формы .
Объём усечённой пирамиды с	квадратными	основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
648 Сумму	квадратов	натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
793 Докажите , что сумма	квадратов	пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
Для первых двух	квадратов	записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части .
Запишите соответствующие выражения для остальных	квадратов	на рисунке .
а ) разность	квадратов	двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
847 Какие из выражений можно разложить на множители , применив формулу разности	квадратов	.
Найдем отношение площадей	квадратов	.
928 Представьте выражение в виде многочлена , используя формулу разности	квадратов	.
Вычислите сумму	квадратов	натуральных чисел для .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы разности	квадратов	.
Сумма	квадратов	двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
группировка . 3 ) формула разности	квадратов	.
в ) квадрат разности т и 3 . г ) разность	квадратов	а и с .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности	квадратов	или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности	квадратов	этих чисел .
Вам уже известны формулы	квадратов	суммы и разности , вы не раз применяли их на уроках математики .
Теперь можно воспользоваться формулой разности	квадратов	.
— разности	квадратов	. — — кубов . — суммы кубов .
Формула разности	квадратов	фактически является ещё одной формулой сокращённого умножения .
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности	квадратов	, суммы и разности кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
4 Запишите формулу разности	квадратов	и докажите её .
Мы получили формулу разности	квадратов	.
Разность	квадратов	двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Приведём примеры применения формулы разности	квадратов	.
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности	квадратов	двух выражений .
Двучлен представляет собой разность	квадратов	.
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму	квадратов	тиn .
8.3 Формула разности	квадратов	.
Запишите формулу разности	квадратов	и прочитайте её ( фрагмент 1 ) .
Можно ли применить формулу разности	квадратов	к выражению .
Мы заменили сумму равным выражением , переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой разности	квадратов	.
а ) сумма	квадратов	чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность	квадратов	чисел 0,3 и 1,3 .
Разность	квадратов	.
применив формулу разности	квадратов	.
Выражение можно записать в виде суммы	квадратов	: Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
Это можно сделать , воспользовавшись знакомой вам формулой разности	квадратов	.
Запишите формулу разности	квадратов	справа налево и прочитайте её ( фрагмент 2 ) .
8 Какое из выражений нельзя разложить на множители , используя формулу разности	квадратов	? .
Представим выражение в виде разности	квадратов	и воспользуемся соответствующей формулой .
В этой формулировке выражение названо неполным	квадратом	.
называли прямоугольником , выражение а2 —	квадратом	.
а ) разность между	квадратом	любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
Такое название принято из - за его внешнего сходства с выражением , равным	квадрату	суммы .
Квадрат суммы двух чисел равен	квадрату	первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно	квадрату	среднего , уменьшенному на единицу .
Квадрат разности двух чисел равен	квадрату	первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
734 Подберите такое k , чтобы трёхчлен был равен	квадрату	двучлена .
Найдите площадь	кольца	, если .
1 Площадь	кольца	S можно вычислить по формуле .
1 Баскетболист на тренировке учился бросать мяч в	кольцо	.
Какова частота попаданий в	кольцо	на тренировке ? .
Выполнив 50 бросков , он попал в	кольцо	36 раз .
606 Сколько существует анаграмм слова : а ) « факториал » ; б ) « перестановка » ; в ) «	комбинаторика	» ? .
Правило умножения	комбинаторное	.
6.3 Решение	комбинаторных	задач .
Правило умножения очень полезно при решении многих	комбинаторных	задач , однако его нельзя применять механически , не задумываясь над смыслом и вопросом задачи .
При решении	комбинаторных	задач приходится отвечать на вопросы типа : « Сколькими способами ? » , « Сколько существует вариантов ? » .
Полученные знания пригодятся вам в самых разных областях математики , в том числе в решении	комбинаторных	задач , которому посвящена вторая половина главы .
Давайте исследуем эту проблему на примере	комбинаторных	задач на « перестановки по кругу » .
б ) Сколько	компакт	- дисков купил Николай , если он заработал в 2 раза больше денег , чем Виктор , и купил диски по цене , в 1,5 раза большей ? .
а ) Сколько	компакт	- дисков он мог бы купить на эти деньги , если бы их цена была в 1,5 раза меньше ?
168 На заработанные в каникулы деньги Виктор может купить 6 одинаковых по цене	компакт	- дисков с любимыми фильмами .
Использование степеней делает выражение более	компактным	, « обозримым » .
А в незнакомой вам пока знаменитой формуле Альберта Эйнштейна Е тс2 , выражающей зависимость между массой тела и энергией , которой оно обладает , буква с — это	константа	, равная скорости света .
Говорят , что к — это постоянная ( или	константа	— от латинского constantis , означающего « постоянная » ) .
в ) начала	координат	.
В той же системе	координат	постройте « кривую популярности » низкокаблучников .
благодаря серьёзным успехам в области алгебры зародился мощный математический инструментарий - метод	координат	.
Идея	координат	принадлежит к числу древнейших достижений человеческой мысли , но только в XVII в .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе	координат	положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности их	координат	.
Метод	координат	- это способ перевода геометрической задачи на язык алгебры , после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат алгебры .
Обнаружив записку , они смогли разобрать только одну из географических	координат	— широту того места , где корабль потерпел кораблекрушение .
495 В одной системе	координат	постройте параболу и прямую .
А пока при изучении этой главы вам предстоит научиться свободно ориентироваться в системе	координат	, анализировать информацию , представленную графически , приобрести элементарные навыки перевода с геометрического языка на алгебраический и наоборот .
Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями	координат	.
Вернёмся к прямоугольной системе	координат	на плоскости .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе	координат	прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
А если нам известна только одна из	координат	точки на плоскости ?
В дальнейшем вы тоже познакомитесь с методом	координат	.
Кубическая парабола симметрична относительно начала	координат	.
Напомним , что единичные отрезки по осям	координат	берутся равными .
Расскажите , как найдена	координата	середины отрезка в примере из фрагмента 2 .
Напомним , что	координата	точки записывается в скобках .
Если нам известна	координата	точки А на прямой , то мы знаем и расстояние от этой точки до начала отсчёта , т .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её	координата	равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Пусть задана только одна	координата	точки , например , известно , что у 2 .
а ) с отрицательными координатами . б ) с неотрицательными	координатами	.
а ) с отрицательными	координатами	. б ) с неотрицательными координатами .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её	координатами	— абсциссой и ординатой .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к	координате	точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Найдите точку с целой положительной	координатой	, принадлежащую отрезку .
На прямой положение точки определяется одной	координатой	, а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Число а в таком случае называют	координатой	построенной точки .
Рассмотрим множество точек координатной прямой , имеющих	координату	, большую 3 , а значит , расположенных правее точки 3 .
Найдём	координату	середины отрезка , концами которого служат точки А(-11,5 ) и Б(3,9 ) .
Например , если точка А имеет	координату	, равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет	координату	говорят просто : « точка 1/3 » .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет	координату	х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Обозначим	координату	середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Сколько точек имеют целую неотрицательную	координату	? .
Найдите	координату	середины отрезка АВ для каждого случая .
455 Зная	координату	точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
Найдите	координату	точки К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите	координату	точки В .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить	координату	точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
454 а ) Найдите	координату	точки С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
456 Точка А имеет	координату	, равную -4 , а точка В — координату , равную 18 .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить	координату	любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Найдите	координату	точки М , если известно , что .
456 Точка А имеет координату , равную -4 , а точка В —	координату	, равную 18 .
Оказывается , в математике есть специальная формула для решения этой задачи : если точки А и Б имеют соответственно	координаты	.
Постройте точки ,	координаты	которых занесены в таблицу .
2 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условию .
Найдите	координаты	этих точек .
499 Найдите	координаты	общих точек графиков зависимостей .
Каким соотношением связаны	координаты	точек этой параболы ? .
Например , точки А , В , С , D , имеют соответственно	координаты	это их « адреса » на координатной прямой .
497 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условиям .
490 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству .
489 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству .
Вычислим	координаты	нескольких точек , удовлетворяющих равенству у х. и заполним таблицу .
438 Изобразите на координатной прямой множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют двойному неравенству .
Отметим на координатной плоскости несколько точек , имеющих равные	координаты	, например А(0 ; 0 ) , В(1 ; 1 ) , С(-2 ; -2 ) , D(0,5 ; 0,5 ) .
470 Неравенства х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её точки имеют неотрицательные	координаты	.
467 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют двойному неравенству .
	Координаты	которых удовлетворяют равенству у х ? .
	Координаты	которых удовлетворяют равенству .
466 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
Чтобы построить график , вычислим сначала	координаты	нескольких его точек и занесём результаты в таблицу .
Найдите	координаты	точек пересечения этих графиков .
Назовите	координаты	каких - нибудь пяти точек , которые принадлежат этому прямоугольнику , и пяти точек , которые ему не принадлежат .
Построим теперь на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых связаны более сложным соотношением — равенством .
Значит , множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Назовите	координаты	нескольких точек , принадлежащих этому графику .
472 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условиям .
496 Найдите	координаты	точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
Пусть теперь на прямой заданы две произвольные точки А и В. Как , зная их	координаты	, найти расстояние между ними , т .
Точно так же множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
Можно вычислить	координаты	других точек , удовлетворяющих равенству и отметить их на координатной плоскости .
511 Изобразите на плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют этому неравенству .
Найдите зависимость , связывающую	координаты	точек построенной прямой , и задайте её алгебраически .
501 Постройте на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству .
Назовите	координаты	ещё двух точек , принадлежащих этому графику , и двух точек , не принадлежащих ему .
485 Постройте множество точек плоскости ,	координаты	которых связаны соотношением .
458 Изобразите на координатной прямой множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условию .
Найдите	координаты	точек , которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
Пусть	координаты	связаны соотношением .
Укажите	координаты	нескольких точек , принадлежащих этому графику .
Найдите зависимость , которой удовлетворяют	координаты	точек этой прямой .
Какая зависимость связывает	координаты	точек этой прямой ?
512 Изобразите на координатной прямой множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
единственный	корень	, равный .
один	корень	. 2 )
413 Найдите натуральный	корень	уравнения .
Уравнение , которое мы решали в предыдущем пункте , имеет только один	корень	— число 9 .
Таким образом , уравнение ; имеет	корень	, равный 2 .
Русское слово «	корень	» в данном случае — это яркий пример метафоры в математическом языке : вспомните , как при решении текстовой задачи алгебраическим способом уравнение как бы вырастает из неизвестного числа х .
Найдите	корень	уравнения .
5 Каким числом является	корень	уравнения .
Найдите а , если известно , что	корень	уравнения равен .
два корня . 3 ) нет	корней	.
При этом множество	корней	уравнения не изменится .
Множество	корней	этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
А вот уравнение вообще не имеет	корней	, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
Что представляет собой множество	корней	уравнения .
Итак , подбор одного или даже нескольких	корней	вовсе не означает , что нет других .
Укажите ещё несколько	корней	этого уравнения .
2 Соотнесите каждое уравнение с числом его	корней	.
355 Укажите множество	корней	уравнения .
уравнение не имеет	корней	.
353 Объясните , почему уравнение не имеет	корней	.
416 Один из	корней	уравнения натуральный .
Можно сказать и так : решить уравнение — значит найти множество его	корней	.
Определите , является ли число -2	корнем	данного уравнения ; обоснуйте ответ .
1 Что называется	корнем	уравнения ?
Например ,	корнем	уравнения , в обеих частях которого стоят равные выражения , является любое число .
а )	корнем	уравнения является любое число .
354 Проверьте , что число 10 является корнем уравнения а число — 10 его	корнем	не является .
а ) число 4 является	корнем	уравнения .
354 Проверьте , что число 10 является	корнем	уравнения а число — 10 его корнем не является .
число — 3 является	корнем	уравнения .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы	корнем	получившегося уравнения было целое число .
349 Является ли	корнем	уравнения число .
г ) число -2 является	корнем	уравнения .
373 Придумайте несколько уравнений ,	корнем	каждого из которых .
Является ли	корнем	уравнения .
в ) число 4 является	корнем	уравнения .
Что называется	корнем	уравнения ?
Найдите	корни	уравнения .
415 Найдите целые	корни	уравнения .
906 Найдите	корни	уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
425 Имеет ли	корни	уравнение .
414 Найдите все целые	корни	уравнения .
Учитывая сказанное , мы можем уточнить смысл слов « решить уравнение » : решить уравнение — значит найти все его	корни	или доказать , что корней у него нет .
910 Найдите	корни	уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
18 Найдите	корни	уравнения .
Но уравнение может иметь и более одного	корня	.
Таким образом , уравнение имеет два	корня	.
Например , у уравнения х2 9 два	корня	— это числа — 3 и 3 .
два	корня	. 3 ) нет корней .
82 а ) Представьте в виде круговой диаграммы состав лекарственного сбора :	корня	солодки — 27 % , корня алтея — 29,8 % , листьев шалфея — 14,4 % , плодов аниса — 14,4 % , почек сосны — 14,4 % .
82 а ) Представьте в виде круговой диаграммы состав лекарственного сбора : корня солодки — 27 % ,	корня	алтея — 29,8 % , листьев шалфея — 14,4 % , плодов аниса — 14,4 % , почек сосны — 14,4 % .
Таким образом , уравнение имеет два	корня	: -1 и 1 .
350 Какие из чисел 1 , 2 , 0 , — 1 , -2 являются	корнями	уравнения .
Такие значения переменной , как вы знаете , называют	корнями	уравнения .
1 Какие из чисел -3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3 являются	корнями	уравнения .
В рассмотренных линейных уравнениях	коэффициент	а при переменной отличен от нуля .
Как принято записывать произведение , у которого	коэффициент	равен 1 ?
Если , например ,	коэффициент	роста будет другим , то достаточно подставить в это выражение вместо х его значение и выполнить вычисления .
Обратите внимание :	коэффициент	слагаемого аb равен 1 , так как .
Заметьте :	коэффициент	слагаемого -с равен -1 , так