Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Абсцисса	точки А равна 5 , абсцисса точки В равна -7 .
	Абсцисса	Алгебра .
	Алгебра	предлагает вам новые возможности .
	Алгебра	возникла и развивалась в недрах арифметики .
Абсцисса	Алгебра	.
	Алгебра	, которую вы теперь изучаете , возникла и развивалась много веков тому назад именно как наука о решении уравнений .
	Алгебра	тесно связана с арифметикой , она возникла в древние времена в результате поисков общих схем решения похожих арифметических задач .
	Алгебраическая сумма	.
	Алгебраическую сумму	одночленов называют многочленом .
	Вероятность	события обозначается большой латинской буквой Р ( от французского слова probabilite , что означает « вероятность » ) .
	Вероятность	какого события равна 1 ?
	Вероятность	случайного события .
558	Возведите	в квадрат и в куб выражение .
	Возведите	в степень .
9	Возведите	в куб выражение .
569	Возведите	в квадрат и в куб выражение .
	Возведите	в степень ( а10)2 .
573	Возведите	дробь в степень .
	Восстановление	— по - арабски аль - джебр .
	Вынесите за скобки	общий множитель .
917	Вынесите за скобки	общий множитель .
919	Вынесите за скобки	общий множитель .
	Вынесите за скобки	множитель -2а .
819	Вынесите за скобки	множитель .
	Выражение	можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
247	Выражение	можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки сложения перед скобками .
	Выражение	с помощью распределительного закона можно представить в виде произведения .
806	Высота	двери на 30 см больше , чем её удвоенная ширина .
	Вычтите	удвоенное задуманное число .
	График	температуры даёт нам много полезной информации .
5	График	температуры воздуха 1 апреля 2010 г. в городе N . а ) В какое время суток температура была равна 0 ° ? .
	График	показывает , как менялось во время движения расстояние между лыжником и местом старта .
	График	зависимости .
5.6	Графики	вокруг нас .
	Графики	зависимостей мы построили по точкам , предварительно заполнив таблицы .
	Графики	реальных зависимостей .
5.4	Графики	.
	Графики	их бега .
5.7	Графики	зависимостей , заданных равенствами с модулями . ( Для тех , кому интересно ) .
	Графики	их бега показаны .
	Двучлен	можно представить в виде разности кубов .
	Двучлен	представляет собой разность квадратов .
	Двучлен	всегда положителен .
	Деление	с остатком . ( Для тех , кому интересно ) .
	Деление с остатком	. ( Для тех , кому интересно ) .
114	Делится	ли на 10 : сумма II11 322 ; разность 7го- 910 ; произведение 1215 1512 ? .
а )	Делится	ли значение выражения .
	Делится	ли .
	Длина	фасада реального дома равна 9 м .
	Длина	окружности маленького обруча 3 м , а большого — 4 м .
	Длина	прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона квадратной формы .
	Длина	окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча .
в )	Длину	ребра куба увеличили в 10 раз .
б )	Длины	рёбер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2 , 3 и 4 раза .
	Доказательство	, приведённое Евклидом , вы можете воспроизвести самостоятельно , воспользовавшись .
	Дробь	- нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби число 0,3 .
	Замкнутый	луч .
	Знак	« - » перед скобкой означает вычитание ; замените вычитание сложением .
	Значение	какого выражения больше .
3	Значение	какого из выражений равно .
	Значение	выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
	Квадрат	со стороной 1 м закрашивают по частям .
	Квадрат	разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
	Квадрат	суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
	Комбинаторные	задачи .
	Координата	точки на прямой .
	Координаты	и графики .
	Корень	уравнения — число 3 .
	Корень	уравнения .
	Корень	уравнения — число 15 .
	Корнем	уравнения называется число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство .
4.2	Корни	уравнения .
1	Корнями	какого уравнения являются числа 2 и -1 ? .
	Коэффициент	произведения .
666	Многочлен	представили в виде разности двучленов .
672	Многочлен	представьте в виде разности двух двучленов всеми возможными способами .
	Многочлен	.
	Многочлен	, оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы разности квадратов .
	Многочлен	на множители разложен , и можно сказать , что поставленная задача решена .
	Многочлена	свободный член .
5.3	Множества	точек на координатной плоскости .
5.1	Множества	точек на координатной прямой .
	Множество	, задаваемое двойным неравенством -1 х 2 , называют отрезком .
	Множество	корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
492	Множество	точек на плоскости задано условиями .
	Множество	точек на координатной плоскости .
493	Множество	точек на плоскости задано условиями .
	Множество	точек , как и соответствующее ему множество чисел , называют интервалом .
	Мода	.
	Мода	— показатель , который широко используется в статистике .
Статистик в этом случае сказал бы иначе : «	Модой	этого ряда является число 5 » .
	Модой	называют число ряда , которое встречается в этом ряду наиболее часто .
	Модуль	положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
	Модуль	отрицательного числа равен противоположному числу .
	Найдем	отношение площадей квадратов .
790	Найдите	все натуральные числа , которые .
	Найдите	координату точки К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
514	Найдите	число х , если .
	Найдите	координаты этих точек .
454 а )	Найдите	координату точки С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
214	Найдите	неизвестный член пропорции .
453	Найдите	длину отрезка MN , если .
45	Найдите	длины отрезков АВ , АС , АО , AD , BD .
414	Найдите	все целые корни уравнения .
	Найдите	координату середины отрезка АВ для каждого случая .
10	Найдите	значение выражения .
	Найдите	объём , если h 15 см , а 20 см , b 10 см .
792	Найдите	значение выражения .
	Найдите	зависимость , связывающую координаты точек построенной прямой , и задайте её алгебраически .
	Найдите	площадь поверхности , если а 5 см , b 7 см , с 9 см .
	Найдите	координату точки М , если известно , что .
	Найдите	корень уравнения .
794	Найдите	значение выражения .
843	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменных .
	Найдите	объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
413	Найдите	натуральный корень уравнения .
б ) Расстояние между соседними километровыми столбами электропоезд проходит за 1 мин 12 с.	Найдите	скорость S — площадь основания электропоезда , выразив её в километрах в час .
	Найдите	расстояние между точками , отмеченными на координатной прямой .
5	Найдите	значение выражения .
	Найдите	координаты точек , которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
	Найдите	азбуку Морзе в Интернете или в литературе и проверьте ваше предположение .
18	Найдите	корни уравнения .
496	Найдите	координаты точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
1	Найдите	значение выражения .
122	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменных .
	Найдите	координаты точек пересечения этих графиков .
	Найдите	а , если известно , что корень уравнения равен .
	Найдите	неизвестный член пропорции .
	Найдите	значение каждого из выражений .
	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменных .
27	Найдите	значение выражения .
	Найдите	N , если n 15 .
	Найдите	длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
120	Найдите	значение выражения .
178	Найдите	неизвестный член пропорции .
3	Найдите	значение выражения .
	Найдите	значение выражения .
189	Найдите	неизвестное число х , если изображён чертёж фасада дома , выполненный в некотором масштабе .
	Найдите	зависимость , которой удовлетворяют координаты точек этой прямой .
	Найдите	размеры дна каждой формы .
	Найдите	по этой формуле скорость пешехода , выразив её в метрах в минуту и в километрах в час , если длина его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов .
240	Найдите	площадь фигуры ( рис .
а )	Найдите	неизвестные длины сторон .
	Найдите	отношение периметров этих фигур .
	Найдите	периметр этого прямоугольника .
	Найдите	отношение х к у .
	Найдите	значение выражения при .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А.	Найдите	: а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
415	Найдите	целые корни уравнения .
	Найдите	значения выражений .
	Найдите	точку с целой положительной координатой , принадлежащую отрезку .
13 Вычислите 14	Найдите	значение выражения .
	Найдите	среднее арифметическое , моду и размах ряда попаданий .
8	Найдите	сумму многочленов .
	Найдите	размах посещаемости и среднюю посещаемость матча , округлив её до сотен .
	Найдите	стороны данного прямоугольника .
906	Найдите	корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
	Найдите	площадь квадрата .
	Найдите	средний рост солдат подразделения и число солдат выше среднего роста .
93	Найдите	размах ряда .
92	Найдите	моду ряда .
910	Найдите	корни уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
	Найдите	корни уравнения .
91	Найдите	среднее арифметическое ряда .
52	Найдите	значения выражений .
	Найдите	частоту рождения мальчиков и частоту рождения девочек в этом месяце .
5	Найдите	неизвестный член пропорции .
	Найдите	объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
	Найдите	площадь кольца , если .
4 Междугородний автобус проезжает 1 км по шоссе за 50 с.	Найдите	скорость автобуса в километрах в час .
	Найдите	среднее арифметическое ряда чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
621	Найдите	.
	Найдите	объём цилиндра при .
	Найдите	значение выражения при заданном значении переменной .
817	Найдите	значение выражения .
	Найдите	частоту события .
618	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменной .
	Найдите	размах и моду ряда оценок .
	Найдите	частоту каждого исхода .
	Найдите	в таблице значения а , при которых выполняется условие .
	Найдите	отношение а к b . 218 Решите задачу , составив пропорцию .
6 Известно , что 55 3125 .	Найдите	5б .
а )	Найдите	среднее арифметическое и моду этого ряда данных .
	Найдите	массу золота в сплаве , содержащем 75 г меди .
	Найдите	среднее число детей в семье и моду ( количество детей в наиболее типичной семье ) .
	Найдите	его перебором .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а )	Найдите	число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
	Найдите	число учащихся в каждой параллели , если известно , что во вторых классах на 8 учеников больше , чем в третьих .
	Найдите	моду ряда отметок и средний результат по контрольной работе .
	Найдите	число учащихся вторых классов , если в первых и третьих вместе учится 102 ученика .
	Найдите	примерное число школьников , сдавших экзамен успешно .
20	Найдите	ответ на вопрос задачи , сформулированной в задании .
	Найдите	в литературе , периодической печати , Интернете информацию о ситуациях , когда важно прогнозировать некоторое событие , оценивать шансы его наступления .
	Найдите	объединение и пересечение этих промежутков .
	Найдите	среднее арифметическое и моду ряда отметок .
	Найдите	: 52 , 53 , 54 , 55 .
814	Найдите	значение выражения .
а )	Найдите	примерное число школьников , сдававших экзамен .
	Найдите	среднее число жителей на 1 км2 .
	Найдите	первоначальные размеры телевизионного экрана .
	Найдите	размеры дна нового аквариума .
	Найдите	площадь нового участка .
	Найдите	частоту следующих событий .
	Найдите	скорость каждого поезда .
	Найдите	скорость каждого автомобиля .
659	Найдите	значение выражения при заданных значениях переменных .
756	Найдите	значение выражения .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N.	Найдите	сумму трёх следующих натуральных чисел .
	Найдите	значение выражения комментируйте каждый шаг .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см.	Найдите	длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
	Найдите	каждое слагаемое этой суммы .
	Найдите	сумму этих чисел .
	Найдите	крутизну спуска дороги , если высота подъёма равна 60 м , а горизонтальная протяжённость 1,5 км .
	Найдите	33 % от 300 р .
	Найдите	размеры и площадь картинки .
	Найдите	стоимость товара , если его 7 % составляют 140 р .
	Найдите	эту разность среди приведённых ниже выражений .
	Найдите	среднее арифметическое всех этих чисел .
	Найдите	его , зная , что среднее арифметическое ряда равно 14 .
	Найдите	недостающие на диаграмме данные и вычислите , сколько человек дали каждый из ответов , если было опрошено 5600 человек .
	Найдите	каждое из чисел .
499	Найдите	координаты общих точек графиков зависимостей .
639	Найдите	значение данного многочлена .
15	Найдите	среднее арифметическое , моду и размах ряда .
638	Найдите	значение выражения .
	Найдите	скорость автомобиля .
580	Найдите	значение выражения .
	Найдите	число с .
	Найдите	средний член трёхчлена , равного .
	Найдите	объём призмы , если а 8 см .
783	Найдите	остаток от деления на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
328	Найдите	значение выражения .
	Найдите	большее из этих чисел .
	Найдите	двумя способами площадь прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
637	Найдите	значение выражения .
7	Найдите	значение степени .
	Найдите	скорость мотоциклиста .
372	Найдите	значение переменной , при котором .
4	Найдите	значение выражения .
	Найдите	эти числа , если одно из них на 66 больше другого .
	Найдите	число а . б )
б	Найдите	значение выражения .
	Найдите	эти числа .
	Найдём	х .
	Найдём	из этого уравнения слагаемое 4х .
	Найдём	неизвестный член пропорции .
	Необходимо	провести дополнительные рассуждения , чтобы проверить , что найдены все возможные решения .
470	Неравенства	х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её точки имеют неотрицательные координаты .
	Обратная	пропорциональность .
Наступление события В означает наступление и события А.	Обратное	неверно : турист может говорить только на одном иностранном языке — на английском .
	Обратной	пропорциональности свойство . — — формула .
	Обратный	путь занимает у него на 10 мин больше , чем путь на работу .
	Одночлен	можно упростить .
	Одночлен	.
3	Опишите	по шагам решение уравнения .
519	Опишите	на алгебраическом языке множества точек координатной плоскости .
	Опишите	на алгебраическом языке каждую из остальных трёх координатных четвертей .
	Опишите	её график .
	Опишите	на алгебраическом языке промежутки , изображённые .
469	Опишите	на алгебраическом языке области координатной плоскости .
464	Опишите	на алгебраическом языке .
	Опишите	свойства этой линии .
463	Опишите	на алгебраическом языке прямые .
	Ордината	.
	Основание	степени может быть любым числом — положительным , отрицательным , нулём .
	Остаток	пуговиц снова удвоили , а затем вновь вынули дюжину пуговиц .
	Отношение	, членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
228	Отрезок	АВ , длина которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в отношении .
12	Отрезок	АВ , длина которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
	Отрезок	.
	Парабола	симметрична относительно оси ординат , так как противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у.
	Парабола	.
	Парабола	расположена в верхней полуплоскости .
	Переменная	величина .
	Перестановки	.
208	Периметр	треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
417	Периметр	прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
809	Периметр	прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
	Площадь	всего участка составляет 100 % , и эти 100 % нужно разделить пропорционально числам 4 , 6 , 7 и 3 , т .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 10 см.	Площадь	обрезков составила 1400 см2 .
	Площадь	квадрата на 63 см2 больше площади прямоугольника .
13	Площадь	прямоугольника равна площади квадрата .
764 а )	Площадь	квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
	Площадь	уменьшенного куска стекла .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 20 см.	Площадь	обрезков составила 3800 см2 .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б )	Площадь	поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
	Площадь	обрезков .
1	Площадь	кольца S можно вычислить по формуле .
	Площадь	этого участка пришлось увеличить на 830 м2 .
При этом мы следовали бы другому мудрому правилу : «	Плюс	лучше минуса » .
	Подобные	выражения обычно используют , когда речь идёт о возможности наступления события , которое в одних и тех же условиях может произойти , а может и не произойти .
969 Готовясь к участию в телеигре «	Поле	чудес » , где по буквам отгадываются слова , Олег задумался : « А какую букву стоит назвать первой , когда в слове ещё не угадано ни одной буквы ? » .
	Порядок	цифр не учитывается .
	Прибавим	и вычтем одно и то же выражение .
Задумайте число :	Прибавьте	к нему 5 .
	Прибавьте	8 .
971	Приведены	данные о продаже фирмой автомобилей за прошлый год .
	Приведите	пример задачи , в которой нужно подсчитать число перестановок .
	Приведите	по три примера достоверных и невозможных событий , а также событий , о которых нельзя сказать , что они обязательно произойдут или обязательно не произойдут .
13	Приведите	подобные слагаемые .
в )	Приведите	пример равновероятных событий .
	Приведите	пример ситуации , в которой вычисляется среднее арифметическое .
	Приведите	пример равновероятных событий при бросании игрального кубика .
	Приведите	свой пример уравнения , решаемого на основе равенства нулю произведения .
	Приведите	примеры .
235	Приведите	три числовых примера , иллюстрирующих буквенное равенство .
	Приведите	подобные члены многочлена .
	Приведите	пример числа каждого вида .
	Приведите	примеры прямо пропорциональных величин .
1	Приведите	пример одночлена стандартного вида .
	Приведите	примеры природных явлений , которые можно считать экспериментами со случайными исходами .
	Приведите	ещё примеры таких чисел .
2	Приведите	подобные слагаемые .
	Приведите	пример пропорции и назовите её крайние и средние члены .
298	Приведите	подобные слагаемые .
	Приведите	пример двучлена ; трёхчлена .
	Приведите	примеры обратно пропорциональных величин .
	Приведите	пример линейного уравнения .
	Произведение	разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
6.1	Произведение	и частное степеней .
	Произведение	всех натуральных чисел от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
	Произведение	двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
2.3	Пропорции	.
	Пропорции	.
	Пропорции	основное свойство .
	Пропорциональное	деление .
2.4	Пропорциональное	деление .
	Пропорция	.
	Пропорция	, то .
156	Процент	р уценки вещи может быть вычислен по формуле .
	Проценты	.
	Прямая	и обратная пропорциональность .
483	Прямая	, которая является графиком зависимости .
2.2	Прямая	пропорциональность .
	Прямой	пропорциональности свойство . — — формула .
518	Прямоугольник	задан условиями .
	Равенство	можно прочитать так : расстояние от точки х до точки -2 равно расстоянию от точки х до точки 10 .
Решим уравнение	Равенство	нулю произведения обращается в нуль при .
	Равенству	у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой прямой , и никакая другая точка координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
	Радиус	Земли приближённо равен 6,37 тыс. км .
	Разделив	обе части уравнения на 5 , получим .
	Разделим	его сторону длиной у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
	Разделим	обе части уравнения на 2 .
	Разделите	число х на части , пропорциональные числам а , b , с .
	Разложение	многочленов на множители .
	Разложение	на множители можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде разности кубов .
	Разложение	на множители - это не только наука , но и искусство , овладев которым можно решить самые разные , в том числе достаточно хитрые , уравнения , в чём вы сможете убедиться не только в этой главе , но и во всём дальнейшем курсе математики .
8.5	Разложение	на множители с применением нескольких способов .
	Разложение	многочлена на множители . — — — — вынесением общего множителя за скобки . — — — — способом группировки .
924	Разложите	на множители .
7	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители трёхчлен .
922	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители .
897	Разложите	выражение на множители двумя способами .
864	Разложите	на множители .
926	Разложите	на множители .
39	Разложите	на простые множители число .
840	Разложите	на множители .
14	Разложите	на множители .
842	Разложите	на множители многочлен .
923	Разложите	на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
	Разложите	на множители многочлен .
837	Разложите	на множители .
933	Разложите	выражение на множители двумя способами .
846	Разложите	на множители трёхчлен .
9	Разложите	на множители .
	Разность	квадратов .
	Разность	квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
	Разность	чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
	Разностью	данных многочленов является многочлен .
	Решение	задач с помощью пропорций .
	Решение	уравнений .
7.6	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	задач .
4.3	Решение	уравнений .
	Решение	.
	Решение	этих задач основано на так называемом правиле умножения .
6.3	Решение	комбинаторных задач .
8.6	Решение	уравнений с помощью разложения на множители .
4.4	Решение	задач с помощью уравнений .
	Решение	уравнения — это поиск тех значений переменной , при которых получается верное равенство .
	Решение	уравнений и задач .
	Система	распределения прибыли , описанная в этой задаче , называется пропорциональной .
	Скобки	, окружающие отрицательный множитель , записанный на первом месте , обычно опускают .
9.4	Сложение	вероятностей . ( Для тех , кому интересно ) .
7.2	Сложение	и вычитание многочленов .
	Сложить	два многочлена или вычесть один из другого очень просто .
11	Собственная	скорость катера v км / ч , скорость течения реки а км / ч .
	Собственная	скорость катера 30 км / ч .
	Собственная	скорость катера 35 км / ч , скорость течения реки .
	Собственная	скорость лодки 8 км / ч , а скорость течения реки 2 км / ч .
925	Сократите	дробь .
3	Сократите	дробь .
10	Сократите	дробь .
6	Сократите	дробь .
	Сократите	дробь .
927	Сократите	дробь .
	Сократите	полученную дробь и сравните её .
920	Сократите	дробь .
	Среднее	арифметическое .
	Среднее	арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 4 .
	Среднее	арифметическое является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
140 а )	Среднее	арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 5 .
141	Среднее	арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
	Среднее	арифметическое ряда , состоящего из 8 чисел , равно 4 .
141	Среднее арифметическое	некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
	Среднее арифметическое	ряда , состоящего из 10 чисел , равно 4 .
	Среднее арифметическое	является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
	Среднее арифметическое	.
	Среднее арифметическое	ряда , состоящего из 8 чисел , равно 4 .
140 а )	Среднее арифметическое	ряда , состоящего из 10 чисел , равно 5 .
	Средним	арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
	Средним арифметическим	ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
	Средняя	масса волнистых попугайчиков школьного живого уголка 42 г. Масса попугайчика Кеши равна 43 г. Верны ли следующие утверждения ? .
6.2	Степень	степени , произведения и дроби .
1.3	Степень	с натуральным показателем .
	Степень	с натуральным показателем .
	Сторону	квадрата увеличили в 3 раза .
	Сумма	двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
	Сумма	трёх чисел равна 192 .
382 а )	Сумма	трёх слагаемых равна 80 .
	Сумма	квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
	Сумма	противоположных чисел равна С .
	Суммой	данных многочленов является многочлен .
642	Сумму	последовательных натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
42В	Сумму	в 2880 р . , отведённую на покупку спортивного инвентаря для школы , распределили следующим образом : на футбольные и волейбольные мячи денег выделили поровну , а на гимнастические скакалки — 20 % суммы , выделенной на все мячи .
648	Сумму	квадратов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
	Сумму	и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
649	Сумму	кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
456	Точка	А имеет координату , равную -4 , а точка В — координату , равную 18 .
	Точки	А и В принадлежат параболе , заданной равенством .
	Точку	( 0 ; 0 ) , в которой сходятся ветви параболы , называют вершиной параболы .
	Трёхчлен	можно разложить на множители , выделив квадрат двучлена .
7.3	Умножение	одночлена на многочлен .
7.4	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножив	многочлен на многочлен , мы получили многочлен .
	Умножим	разность на сумму .
	Умножьте	одночлен на многочлен .
	Умножьте	сумму на 2 .
	Уравнение	нетрудно составить , если понять , что условие задачи можно сформулировать иначе : « Виктор шёл в школу на 8 мин дольше , чем Иван » .
	Уравнение	, которое мы решали в предыдущем пункте , имеет только один корень — число 9 .
	Уравнение	совсем непростое , но его можно решить , если вспомнить , что х — это количество филиалов фирмы , и , значит , это число натуральное .
375	Уравнение	проще решить , если разделить обе его части на 2 .
	Уравнение	вида , где а и b — числа , ах — переменная , называют линейным .
	Уравнение	. — линейное .
376	Уравнение	.
	Уравнения	.
	Уравнения	, которые мы рассматривали , решаются с помощью довольно простого алгоритма , т . е .
	Факториал	.
Значение выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что .	Факториалы	растут удивительно быстро .
Поэтому , руководствуясь неформальным , но мудрым правилом : «	Целое	лучше дроби » , обозначим через х т исходное количество угля на первом складе .
	Центр	симметрии делит её на две ветви , расположенные в I и III координатных четвертях .
457	Четырёхугольник	ABCD , изображённый на рисунке 5.16 , является прямоугольником .
	Числа	, образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
	Числа	и переменные также считают одночленами .
	Числитель	и знаменатель дроби можно разделить на общий множитель а8 .
	Число	перестановок для множества из n элементов обозначают через Рп ( читают : « Р из n » , Р — первая буква французского слова permutation — перестановка ) .
	Число	8 - основание степени , а число 5 - показатель степени .
	Число	а в таком случае называют координатой построенной точки .
	Число	способов , которыми можно составить расписание , равно числу перестановок из шести элементов .
	Число	мячей во второй коробке обозначено буквой х.
	Число	4,4 называют средним арифметическим исходных чисел .
	Число	зёрен , которое потребовал в награду изобретатель шахмат , выражается суммой .
	Число	а называют основанием степени , а число n — показателем степени .
	Число	64 можно по - разному представить в виде степени .
Предложение «	Число	, в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
224	Число	учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
	Число	способов , которыми можно составить расписание из пяти предметов , равно .
641	Число	диагоналей многоугольника с n вершинами вычисляется по формуле .
	Члены	этого многочлена имеют и другие общие множители .
	Чётное	число очков есть на трёх гранях кубика из шести , следовательно , есть три шанса из шести , что событие D произойдёт .
	Чётным	или нечётным является число .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси	абсцисс	будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
500 Постройте параболу , симметричную параболе у — х2 относительно оси	абсцисс	.
и после 10 ч температура была положительной , так как на этих промежутках график расположен выше оси	абсцисс	.
Постройте прямую , симметричную относительно оси	абсцисс	прямой у — 2х .
С 2 ч до 10 ч температура была отрицательной , так как на этом промежутке график лежит ниже оси	абсцисс	.
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси	абсцисс	и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной плоскости прямую , параллельную оси	абсцисс	.
Ось ординат задаётся равенством , а ось	абсцисс	— равенством .
а ) прямую , проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси	абсцисс	.
И в этой же точке , как говорят математики , парабола касается оси	абсцисс	.
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси	абсцисс	точкам полосы , заданной неравенством .
оси	абсцисс	.
Есть ли на этом графике точка ,	абсцисса	которой равна -125 ?
Вообще , если	абсцисса	и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе ,	абсцисса	и ордината — равные числа .
Абсцисса точки А равна 5 ,	абсцисса	точки В равна -7 .
У каждой из этих точек	абсцисса	и ордината — противоположные числа .
в )	абсцисса	на 2 больше ординаты .
Есть ли на графике точка ,	абсцисса	которой равна 245 ?
Что , например , представляет собой множество точек , у которых ордината равна	абсциссе	, т .
а ) ордината равна утроенной	абсциссе	.
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами —	абсциссой	и ординатой .
ордината на 3 больше	абсциссы	.
сумма	абсциссы	и ординаты равна 4 .
Такая	алгебра	, оперировавшая не числами , а отрезками , площадями , объёмами , т . е .
а ) В понедельник в 7 классе 5 уроков :	алгебра	, русский язык , история , биология , физкультура .
Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми ( арифметическими ) выражениями ,	алгебра	- с буквами и буквенными ( алгебраическими ) выражениями .
От этого слова и произошло название	алгебра	.
Во вторник в 7 классе также 5 уроков :	алгебра	, русский язык , география и два урока физкультуры , которые должны идти подряд .
В расписании 7 класса на четверг должно быть шесть предметов : русский язык , литература ,	алгебра	, география , физика , физкультура .
В дальнейшем для краткости вместо слов «	алгебраическая сумма	» мы будем говорить просто « сумма » .
Такие выражения , как , в математике иногда называют	алгебраическими суммами	— суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования	алгебраических выражений	- разложением многочлена на множители .
Заметим , что в	алгебраических суммах	на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
В	алгебраической сумме	, как мы видели , слагаемые « путешествуют » вместе со своими знаками .
247 Выражение можно записать в виде	алгебраической суммы	, опустив знаки сложения перед скобками .
245 Назовите слагаемые	алгебраической суммы	.
Например ,	алгебраическую сумму	заменяют более « красивым » выражением .
Чтобы из некоторого выражения вычесть	алгебраическую сумму	, надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
4 Запишите без скобок	алгебраическую сумму	.
Чтобы умножить некоторое выражение на	алгебраическую сумму	, нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Чтобы к некоторому выражению прибавить	алгебраическую сумму	, надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
246 Составьте	алгебраическую сумму	из следующих слагаемых .
Тест включает 30 задач : 6 задач по арифметике , 1 5 - по	алгебре	, остальные - по геометрии .
Ученик получил в течение четверти следующие отметки по	алгебре	: 5 , 2 , 4 , 5 , 5 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 .
Какова частота события « Ваня получил пятёрку по	алгебре	» ? .
В течение четверти Лена получила следующие отметки по	алгебре	: три двойки , две тройки , четыре четвёрки и одну пятёрку .
Завуч школы подвела итоги контрольной работы по	алгебре	в седьмых классах и представила результаты на круговой диаграмме .
2 Ваня в течение года получил 52 отметки по	алгебре	, из них 13 отметок - пятёрки .
выраженная геометрическим языком , много веков спустя была названа геометрической	алгеброй	.
Введение в	алгебру	.
308 Применяем	алгебру	.
Поэтому	алгебру	тех времён называют риторической или словесной .
Применяем	алгебру	.
французским математиком Франсуа Виетом , который ввёл в	алгебру	современные символы .
Буквенные равенства , выражающие соответствующие свойства , мы теперь будем считать законами	алгебры	.
Мы привели здесь подробную запись , чтобы показать , как работают законы	алгебры	, а на практике промежуточные шаги часто выполняют устно — слагаемые переставляются и группируются не руками , а глазами .
Так , законами	алгебры	являются хорошо известные вам равенства .
Опираясь на законы	алгебры	, мы будем последовательно вводить правила преобразования буквенных выражений .
Заметим , что коэффициент , равный 1 , обычно не пишут : равенство является законом	алгебры	.
На языке	алгебры	это можно записать так : у -х .
Метод координат - это способ перевода геометрической задачи на язык	алгебры	, после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат алгебры .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон	алгебры	.
благодаря серьёзным успехам в области	алгебры	зародился мощный математический инструментарий - метод координат .
Метод координат - это способ перевода геометрической задачи на язык алгебры , после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат	алгебры	.
Кроме того — это равенство является одним из законов	алгебры	.
Правила преобразования буквенных выражений , как вы знаете , основаны на законах	алгебры	.
Запись на языке	алгебры	.
Переход от риторической	алгебры	к символической , в результате которого словесные правила были заменены формулами , а буквенные выражения сами стали предметом исчисления , происходил на протяжении нескольких веков .
3.5 Ещё раз о законах	алгебры	.
Выясните цену вашего учебника	алгебры	и рассчитайте по этой формуле стоимость покупки учебников алгебры для вашего класса .
Придумайте свой арифметический фокус и покажите с помощью	алгебры	, на чём он основан .
Выясните цену вашего учебника алгебры и рассчитайте по этой формуле стоимость покупки учебников	алгебры	для вашего класса .
Какой закон	алгебры	лежит в основе правила умножения одночлена на многочлен ?
Законы	алгебры	.
На языке	алгебры	это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Назовём их основными законами	алгебры	.
Например , претендуя на « 5 » , ученик наверняка будет использовать такой	аргумент	: « Чаще всего в четверти я получал пятёрки ! »
Если масса Земли выражается очень большим числом , то масса	атома	водорода очень мала .
расстояние от Земли до звезды Сириус равно г ) диаметр	атома	водорода равен мм .
В справочниках можно увидеть , что , например , масса Земли равна 5,978 1024 кг , а масса	атома	водорода — 1,674 10 24 г. Понятно , что 1024 — это произведение 24 множителей , равных 10 , т .
Говорят , что эта	биссектриса	— график зависимости у — х .
5 Каким равенством задаётся	биссектриса	II и IV координатных углов ? .
4 Каким равенством задаётся	биссектриса	I и III координатных углов ? .
Изображена	биссектриса	II и IV координатных углов .
Значит , прямая —	биссектриса	II и IV координатных углов — задаётся равенством у -х .
Иными словами , эта	биссектриса	— график зависимости у -х .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит	биссектрисе	I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Мы видим , что все эти точки лежат на одной прямой , являющейся	биссектрисой	I и III координатных углов .
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной плоскости прямую , которая является	биссектрисой	I и III координатных углов .
При решении комбинаторных задач приходится отвечать на вопросы типа : « Сколькими способами ? » , « Сколько существует	вариантов	? » .
Сколько существует различных	вариантов	кода дверного замка , если этот код состоит из двух цифр ? .
Значит , всего будет	вариантов	кода .
Сколько	вариантов	выбора ответов у него существует ?
Сколько	вариантов	выбора ответов наугад существует для теста , в котором n заданий и для каждого задания предлагается 3 ответа ?
Сколько тогда существует	вариантов	кода ? .
б ) Сколько существует	вариантов	выбора спикера и вице - спикера парламента , если всего в парламенте 101 депутат ? .
Сколько есть	вариантов	покупки конверта с маркой ? .
Понятно , что для каждого набора первых двух цифр остаётся восемь	вариантов	выбора третьей цифры .
Сколько	вариантов	в худшем случае ему придётся перебрать , чтобы дозвониться до друга ? .
6 5 ! , то получается только 120 различных	вариантов	.
Сколько , например , существует	вариантов	расположения шести гостей за шестиместным столом ? .
720 различных	вариантов	посадить гостей за стол .
Ясно , что для любого расположения гостей таких одинаковых	вариантов	, получаемых один из другого поворотом , шесть .
Значит , в этом случае всего будет	вариантов	кода .
612 а ) Сколько имеется	вариантов	рассадить президентов « большой восьмёрки » за восьмиместным круглым столом переговоров ? .
Ведь в данном случае мы не перебирали все возможные	варианты	решения , а просто подобрали ответ .
4 Сформулируйте свойство обратно пропорциональных	величин	.
Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных	величин	? .
Решите задачу , обозначив буквой наименьшую из неизвестных	величин	.
Приведите примеры прямо пропорциональных	величин	.
2 Сформулируйте свойство прямо пропорциональных	величин	.
Занимаясь математикой , вы узнали много формул , описывающих зависимости между различными величинами , и научились с их помощью вычислять значения одних	величин	по значениям других .
Особенно часто степени употребляются при записи физических	величин	, которые , как известно , могут быть очень большими и очень маленькими .
Это главное соотношение между расстоянием , скоростью и временем движения позволяет по любым двум из указанных	величин	найти третью с помощью вычислений .
Приведите примеры обратно пропорциональных	величин	.
Вообще любая формула , похожая на формулу , даёт нам два случая прямо пропорциональных	величин	.
Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных	величин	?
Обратите внимание на то , что в ходе вычислений мы обращались с единицами , в которых выражена	величина	, так же , как и с дробями .
Все такие формулы могут быть представлены в виде , где буквами х и у обозначены переменные величины , а буквой k — та	величина	, которую мы считаем постоянной .
Эта	величина	, показывающая , какая работа выполняется в единицу времени , имеет специальное название — производительность работы .
Переменная	величина	.
а ) Какая	величина	обозначена буквой х ? .
Такие изменяющиеся величины называют переменными	величинами	, а буквы в формуле , которыми они обозначены , — переменными .
А сами законы , в свою очередь , основываются на здравом смысле , точнее , на смысле арифметических действий над реальными	величинами	.
Задачи , в которых речь идёт о прямо пропорциональных или обратно пропорциональных	величинах	, удобно решать с помощью пропорций .
Флаг сшивают из трёх одинаковых по	величине	и разных по цвету горизонтальных полос .
а ) со вторым по величине числом . б ) с третьим по	величине	числом .
а ) со вторым по	величине	числом . б ) с третьим по величине числом .
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по	величине	числом .
Для зависимости пути от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную	величину	.
Объясните , как находят	величину	по её известным процентам ( задача 2 ) .
Какую	величину	здесь целесообразно обозначить буквой я ?
Для зависимости времени движения от его скорости , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную	величину	.
180 Обозначьте неизвестную	величину	буквой и составьте разные пропорции по условию задачи .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же	величину	— скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие равенства называют пропорциями .
Решите задачу , обозначив буквой удобную для составления уравнения	величину	.
Теперь можно определить	величину	февральского тиража .
Запишите эту	величину	с помощью степени числа 10 .
59 Запишите	величину	, указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной дроби .
Выразите из формулы заданную	величину	( 148—150 ) .
Часто в качестве неизвестного выбирают искомую	величину	, т .
Выразим эту	величину	в процентах .
Это совсем нетрудно , если помнить , что под процентом понимают часть рассматриваемой	величины	.
Известно , что впервые применил букву для обозначения неизвестной	величины	Диофант Александрийский — древнегреческий математик , живший в III в .
1,2 некоторой величины — это 120 % этой	величины	.
1,2 некоторой	величины	— это 120 % этой величины .
0,001 некоторой величины — это 0,1 % этой	величины	.
7 Придумайте задачу на пропорциональное деление какой - либо	величины	.
11 Соотнесите дроби , которые выражают доли некоторой	величины	, и соответствующие им проценты .
0,001 некоторой	величины	— это 0,1 % этой величины .
Выразим через х другие	величины	.
0,325 некоторой величины — это 32,5 % этой	величины	.
если часть	величины	, заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
0,325 некоторой	величины	— это 32,5 % этой величины .
0,48 некоторой величины — это 48 % этой	величины	.
0,48 некоторой	величины	— это 48 % этой величины .
Основа такого перевода , его первый шаг — введение буквы для обозначения какой - либо неизвестной	величины	.
в )	величины	одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
в ) величины одного из смежных углов от	величины	другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
Для зависимости времени движения от его скорости , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные	величины	, постоянную величину .
Прямо пропорциональные	величины	.
3 Какие	величины	называют обратно пропорциональными ?
Такие изменяющиеся	величины	называют переменными величинами , а буквы в формуле , которыми они обозначены , — переменными .
Обратно пропорциональные	величины	.
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две	величины	обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
Вообще если в формулах , подобных формуле , произведение постоянно , то две переменные	величины	связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Выразите данные	величины	в одних и тех же единицах .
0,1 % некоторой величины — это 0,001 этой	величины	.
120 % некоторой	величины	— это 1,2 этой величины .
При вычислениях по формулам необходимо следить за тем , чтобы единицы , в которых выражены входящие в них	величины	, были согласованы между собой .
Все такие формулы могут быть представлены в виде , где буквами х и у обозначены переменные	величины	, а буквой k — та величина , которую мы считаем постоянной .
Будем последовательно переходить от одного значения	величины	к другому , пока не получим нужный результат : 16 человек за 20 дней собрали 180 т ; 1 человек за 20 дней соберёт в 16 раз меньше .
120 % некоторой величины — это 1,2 этой	величины	.
0,1 % некоторой	величины	— это 0,001 этой величины .
Чтобы выразить в процентах часть	величины	, заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
1 Какие	величины	называют прямо пропорциональными ?
Вместо слов « прямо пропорциональные величины » можно говорить короче : « пропорциональные	величины	» .
Вместо слов « прямо пропорциональные	величины	» можно говорить короче : « пропорциональные величины » .
Две	величины	называют прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз .
Хотя эти формулы связывают разные	величины	и записываются разными буквами , они очень похожи : в левой части записана одна переменная , в правой — произведение двух других .
Введите переменные и запишите формулу зависимости размера пенсионных отчислений от	величины	заработной платы .
Для зависимости пути от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные	величины	, постоянную величину .
Составьте разные уравнения по условию задачи , обозначая буквой различные	величины	.
32,5 % некоторой величины — это 0,325 этой	величины	.
48 % некоторой величины — это 0,48 этой	величины	.
Две	величины	называют обратно пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть	величины	, заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Объясните , как находят несколько процентов от	величины	( задача 1 ) .
Обозначим объём всей работы буквой Р , производительность буквой р , а время работы буквой t. Получим формулу , связывающую эти	величины	.
5 Формула связывает три	величины	: объём выполненной работы Р , производительность р и время выполнения работы t.
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две	величины	прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
32,5 % некоторой	величины	— это 0,325 этой величины .
48 % некоторой	величины	— это 0,48 этой величины .
0,4 % некоторой	величины	- это 0,004 этой величины .
30 % некоторой величины — это 0,3 этой	величины	.
30 % некоторой	величины	— это 0,3 этой величины .
1,5 некоторой величины - это 150 % этой	величины	.
1,5 некоторой	величины	- это 150 % этой величины .
0,75 некоторой величины - это 75 % этой	величины	.
0,75 некоторой	величины	- это 75 % этой величины .
0,4 % некоторой величины - это 0,004 этой	величины	.
Введите переменные и запишите формулу зависимости размера подоходного налога от	величины	заработка .
е . могут произойти одновременно , правило сложения	вероятностей	применять нельзя .
Мы видим , что для ученика вероятность получить « хорошо » или « отлично » равна сумме	вероятностей	двух событий : получить « хорошо » и получить « отлично » .
Это правило называется правилом сложения	вероятностей	.
Вопросами разведения петухов и кур занимаются специалисты в области сельского хозяйства , а вот изучением закономерностей в мире случайного - специальная наука теория	вероятностей	.
Ученик , используя полученные знания в области теории	вероятностей	, решил сделать прогноз своей успеваемости по математике , изучив свои отметки за 5—7 классы .
9.4 Сложение	вероятностей	. ( Для тех , кому интересно ) .
Вообще вероятность получить хотя бы один ( неважно , какой именно ) из нескольких интересующих нас результатов эксперимента равна сумме	вероятностей	каждого из этих результатов , если эти результаты несовместимы между собой .
Вообще по	вероятности	события можно прогнозировать частоту появления этого события в будущем .
Если случайный эксперимент повторять достаточно много раз , то частота интересующего нас события будет близка к его	вероятности	.
Оцените	вероятность	каждого из возможных исходов случайных экспериментов , предложенных в задаче 963 .
в )	вероятность	того , что число выпавших очков не равно 3 .
Среди приведённых ниже событий укажите те , вероятность которых равна 0 и	вероятность	которых равна 1 .
Среди приведённых ниже событий укажите те ,	вероятность	которых равна 0 и вероятность которых равна 1 .
Можно ли утверждать , что	вероятность	этого события равна нулю ? .
Демографы утверждают , что	вероятность	рождения близнецов приблизительно равна 0,012 .
974 Если	вероятность	события А составляет 30 % , то можно ли утверждать , что при проведении 900 соответствующих случайных экспериментов событие А наступит ровно в 270 из них ? .
	Вероятность	того , что выпадет не больше 4 очков .
в ) Какова	вероятность	того , что он не выиграет ? .
Можно ли исходя из этого с уверенностью утверждать , что	вероятность	купить неисправную батарейку равна 0,5 ? .
Оцените	вероятность	каждого из возможных исходов .
Примерная	вероятность	получения отметки .
а )	вероятность	выпадания чётного числа очков .
Какова	вероятность	того , что он выиграет ? .
а ) Какова	вероятность	того , что он выиграет не меньше 1000 р . ? .
Какова	вероятность	того , что очередной ответ ученика будет оценён на « 4 » или « 5 » ? .
Всего ученик получил 188 отметок , из них ответов на « 4 » и « 5 » было 39 78 , значит ,	вероятность	можно оценить как .
Мы видим , что для ученика	вероятность	получить « хорошо » или « отлично » равна сумме вероятностей двух событий : получить « хорошо » и получить « отлично » .
Вообще	вероятность	получить хотя бы один ( неважно , какой именно ) из нескольких интересующих нас результатов эксперимента равна сумме вероятностей каждого из этих результатов , если эти результаты несовместимы между собой .
988 Какова	вероятность	того , что в классе , где учится 25 человек .
Понятно , что	вероятность	случайного события — это число , заключённое между 0 и 1 .
В таких случаях оценить	вероятность	случайного события можно только по его частоте , которая определяется в ходе выполнения многократных экспериментов .
Оцените	вероятность	того , что произвольный покупатель выберет отечественный автомобиль .
Но во многих ситуациях без проведения многократных экспериментов предсказать	вероятность	случайного события практически невозможно .
В случае с подбрасыванием монеты и не проводя экспериментов естественно предположить , что	вероятность	выпадания каждой стороны монеты равна 0,5 .
Тот факт , что	вероятность	появления орла равна 0,5 , конечно , не означает , что если вы несколько раз будете бросать монету , то орёл появится ровно в половине случаев .
Значит ,	вероятность	выпадания кнопки остриём вниз примерно равна 0,45 .
Как связаны частота случайного события и	вероятность	? .
Частота и	вероятность	.
Невозможное событие не происходит ни при каком повторении эксперимента , поэтому	вероятность	невозможного события считают равной 0 .
Иногда	вероятность	выражают в процентах .
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р ( от французского слова probabilite , что означает «	вероятность	» ) .
7 Среди данных событий укажите то ,	вероятность	которого равна 0,5 .
Например , на основе наблюдений за атмосферными явлениями синоптики предсказывают	вероятность	выпадения осадков , в результате в прогнозе погоды мы слышим : « дождь маловероятен » или « вероятность осадков 5 % » .
Например , на основе наблюдений за атмосферными явлениями синоптики предсказывают вероятность выпадения осадков , в результате в прогнозе погоды мы слышим : « дождь маловероятен » или «	вероятность	осадков 5 % » .
Какова	вероятность	купить неисправную батарейку ?
Сколько примерно цветков на этой ветке , если известно , что	вероятность	того , что в выбранном наугад цветке сирени пять лепестков , равна 0,01 ? .
если оно обязательно происходит при каждом повторении эксперимента , то его частота равна 1 , и естественно считать , что и его	вероятность	равна 1 .
Какова	вероятность	того , что купленный телефон будет исправен ? .
Вообще	вероятность	и частота случайного события связаны между собой .
Так как во всех этих сериях экспериментов решка появлялась также примерно в половине случаев , то и	вероятность	выпадания решки равна 0,5 .
В каких границах находится	вероятность	случайного события ?
3 Как оценить	вероятность	случайного события ?
а ) Оцените	вероятность	того , что произвольный покупатель выберет в этом году машину марки В. Ответ округлите до сотых .
Говорят , что	вероятность	выпадания орла равна 0,5 .
При этом чем больше проведено экспериментов , тем точнее можно оценить	вероятность	события .
Какова	вероятность	купить бракованную лампочку ?
Какое наименьшее количество лотерейных билетов надо купить , чтобы выиграть с	вероятностью	, равной 1 ? .
В	вершине	одна ветвь параболы плавно переходит в другую .
а ) Сколько времени турист пробыл на	вершине	горы ? .
Точку ( 0 ; 0 ) , в которой сходятся ветви параболы , называют	вершиной	параболы .
504 Турист поднялся из посёлка на	вершину	горы и затем вернулся обратно в посёлок .
Е :	вес	пачки больше 100 г .
На пачке написан	вес	— 200 г. Расположите на вероятностной шкале следующие события .
В :	вес	пачки меньше 200 г .
С :	вес	пачки ровно 200 г . D : вес пачки меньше 500 г .
С : вес пачки ровно 200 г . D :	вес	пачки меньше 500 г .
А :	вес	пачки больше 200 г .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W —	вес	в фунтах , Н — рост в дюймах .
Затем каждой девочке поставили в соответствие точку на координатной плоскости , отложив по горизонтальной оси рост ( в см ) , а по вертикальной —	вес	( в кг ) .
520 У девочек одного из седьмых классов узнали их рост и	вес	.
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р —	вес	в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
Ездить на даче за покупками для загородных экскурсий хороший способ сбросить	вес	.
Определите , какой	вес	считается нормальным в России и в США для человека ростом 180 см. Сравните полученные результаты .
Например , при решении вопросов , в пачки какого	веса	фасовать масло , какие открывать авиарейсы и т .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального	веса	взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
979 Саша купил в магазине пачку чая и решил взвесить её на лабораторных	весах	( их точность — до 1 миллиграмма ) .
Пользуясь выведенной формулой ,	возведите	в квадрат .
Используя формулу квадрата двучлена ,	возведите	в квадрат трёхчлен .
Вычислить степень числа , или , как говорят ,	возвести	число в степень , можно путём последовательного умножения .
Борис предложил ему	возвести	это число в квадрат , после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
С помощью полученной формулы можно	возводить	в квадрат сумму любых двух выражений .
Итак , при возведении дроби в степень	возводят	в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
Итак , при возведении произведения в степень	возводят	в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
Одно из главных сочинений аль - Хорезми называлось « Китаб аль - джебр вальмукабала » , что в переводе с арабского означает « Книга о	восстановлении	и противопоставлении » .
а ) шестиугольник ; б )	восьмиугольник	; в ) двенадцатиугольник ; г ) стоугольник ? .
5 Какой из одночленов нужно	вписать	вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было разложить на множители способом группировки ? .
В сумме	вынесем за скобки	общий множитель а .
Этот общий множитель	вынесем за скобки	.
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в произведение :	вынесли за скобки	число 17 .
Если можно	вынести за скобки	общий множитель , сделайте это .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы	вынести за скобки	и множитель общий множитель .
1 Укажите общий множитель , который можно	вынести за скобки	в многочлене .
Этот общий множитель можно	вынести за скобки	.
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет	вынести за скобки	.
Объясните на примере многочлена , как	вынести за скобки	общий множитель .
7 Как можно записать короче	выражение	.
Какое	выражение	должно быть записано в скобках .
242 Запишите без скобок	выражение	.
Запишите с отрицательным показателем степени	выражение	.
933 Разложите	выражение	на множители двумя способами .
Выясним теперь , как можно преобразовать степень произведения , например	выражение	( ab)3 .
В этой формулировке	выражение	названо неполным квадратом .
Для выражения назовите несколько пар значений тип , для которых	выражение	не имеет смысла .
528 Упростите	выражение	.
Для каждого выражения из первой строки найдите равное ему	выражение	из второй строки .
719 Докажите , что если . 720 Упростите	выражение	.
722 Дано	выражение	.
Упростите	выражение	.
В действительности , однако , мы должны доказать , что , преобразуя	выражение	по этому правилу , мы всегда будем получать верные равенства .
249 Преобразуйте	выражение	в равное , изменив каким - либо способом порядок слагаемых .
726 Запишите	выражение	в виде трёхчлена , пользуясь нужной формулой .
3 Упростите	выражение	.
744 Упростите	выражение	.
Таким образом ,	выражение	аn означает произведение n множителей , равных а .
Если , например , коэффициент роста будет другим , то достаточно подставить в это	выражение	вместо х его значение и выполнить вычисления .
Понятно , что	выражение	можно заменить выражением .
Разложим	выражение	.
535 Упростите	выражение	.
Нам удалось упростить данное	выражение	, заменив сумму подобных слагаемых одним выражением -4а .
560 Упростите	выражение	.
Первый член трёхчлена — это а2 ,	выражение	10а — это третий член — это 52 .
257 Упростите	выражение	.
710 Упростите	выражение	.
Пользуясь этой формулой , преобразуйте	выражение	.
300 Упростите	выражение	и найдите его значение при указанных значениях букв .
301 Раскройте скобки и упростите	выражение	.
302 Упростите	выражение	.
Представьте	выражение	3 xyz в виде суммы и сгруппируйте члены многочлена .
4 В каких случаях	выражение	разложено на множители правильно ? .
306 Составьте	выражение	по условию задачи и упростите его .
745 Упростите	выражение	.
689 Составьте	выражение	по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
Как называют	выражение	а ” ?
712 Упростите	выражение	.
А чтобы	выражение	имело смысл при любом натуральном n , для случая n 1 принимают специальное соглашение .
Упростим полученное	выражение	. 2 )
Разложим на множители	выражение	.
310 Упростите	выражение	.
928 Представьте	выражение	в виде многочлена , используя формулу разности квадратов .
Преобразуем	выражение	.
Составьте	выражение	для вычисления длины проволоки , которая для этого потребуется .
Возьмём , например ,	выражение	.
Какое	выражение	означает возраст , которого достигли в 2012 г. младшие близнецы ?
248 Замените	выражение	равным , не содержащим скобок .
Запишите	выражение	, означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г. Чему равна записанная сумма ? .
Например ,	выражение	можно записать в виде .
Рассмотрим , например ,	выражение	.
667 Упростите	выражение	, расположив слагаемые в столбик .
735 Упростите	выражение	.
Разложим на множители двучлен Данное	выражение	можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
Воспользовавшись этим образцом , преобразуйте	выражение	.
11 Упростите	выражение	.
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к двучлену	выражение	и вычтем его .
Оказывается , это	выражение	можно разложить на множители .
Упростим	выражение	.
Данное	выражение	— сумма , состоящая из четырёх слагаемых .
897 Разложите	выражение	на множители двумя способами .
553 Представьте	выражение	в виде дроби .
836 Представьте	выражение	в виде произведения .
2 Дано	выражение	Запишите числовое выражение , которое получится в результате подстановки а .
Преобразуйте в трёхчлен	выражение	, взяв за образец пример 1 или пример 2 .
Если	выражение	является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
552 Представьте	выражение	в виде произведения двух или нескольких степеней .
2 Дано выражение Запишите числовое	выражение	, которое получится в результате подстановки а .
Какое	выражение	означает возраст старших близнецов в 2010 г. ?
21 Запишите	выражение	, используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его значение .
Преобразуем в многочлен	выражение	.
Упростите	выражение	( а10)2 .
327 Упростите	выражение	.
Представьте	выражение	в виде многочлена .
Запишите	выражение	по условию задачи и упростите его .
569 Возведите в квадрат и в куб	выражение	.
3 Представьте	выражение	.
Подставим в	выражение	значения и выполним вычисления .
551 Представьте	выражение	в виде степени с основанием у .
1 Упростите	выражение	.
3 Составьте	выражение	по условию задачи .
Упростите	выражение	( в качестве образца используйте пример 3 ) .
Это равенство показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в	выражение	; числовое значение при этом не изменится .
5 Упростите	выражение	.
Так , дробь — в	выражение	частное была преобразована в сумму .
Преобразовать буквенное	выражение	— это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых значениях букв то же значение , что и исходное .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена	выражение	.
Если	выражение	содержит деление на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
3 Какому из выражений равно	выражение	.
5 Каждое	выражение	из верхней строки соотнесите с равными ему выражениями из нижней строки .
7 Упростите	выражение	.
9 Упростите	выражение	.
11 Укажите	выражение	, равное выражению .
Объясните , как разложить на множители	выражение	Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность делится на 200 .
14 Упростите	выражение	.
Подставьте вместо а заданное	выражение	и приведите многочлен к стандартному виду .
В самом деле , при таких значениях а и b пришлось бы делить на 0 , а значит , в этом случае	выражение	не имело бы смысла .
15 Упростите	выражение	.
Использование степеней делает	выражение	более компактным , « обозримым » .
Это	выражение	легко представить в виде степени с тем же основанием .
34 Запишите каждое	выражение	в виде произведения или степени .
Рассмотрим	выражение	( а2)4 .
269 Подставьте в	выражение	аb вместо переменных а и b указанные выражения и выполните преобразования .
Расставьте скобки так , чтобы	выражение	в левой части равенства было равно выражению в правой части .
9 Возведите в куб	выражение	.
35 Запишите	выражение	короче , используя степени .
9 В выражение р - q подставьте и упростите получившееся	выражение	.
286 Упростите	выражение	.
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся	выражение	многочлен .
9 В	выражение	р - q подставьте и упростите получившееся выражение .
695 Составьте	выражение	по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
270 Подставьте в каждое из выражений 2х , х2 , х3 вместо переменной х	выражение	-у и упростите получившееся выражение .
270 Подставьте в каждое из выражений 2х , х2 , х3 вместо переменной х выражение -у и упростите получившееся	выражение	.
4 Упростите	выражение	.
5 Среди выражений , записанных ниже , найдите	выражение	, равное многочлену .
694 Упростите	выражение	.
8 Упростите	выражение	.
Представим	выражение	в виде разности квадратов и воспользуемся соответствующей формулой .
231 Для вычисления площади прямоугольника , изображённого на этом рисунке , можно составить	выражение	или выражение .
260 Упростите	выражение	.
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это	выражение	отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
545 Упростите	выражение	.
231 Для вычисления площади прямоугольника , изображённого на этом рисунке , можно составить выражение или	выражение	.
Чтобы умножить некоторое	выражение	на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
51 Запишите	выражение	и найдите его значение .
Разложение на множители можно выполнить иначе , представив исходное	выражение	в виде разности кубов .
3 Что означает	выражение	аn , где n - натуральное число ?
6 Среди приведённых ниже выражений найдите	выражение	, противоположное многочлену .
Чтобы сложить два многочлена , нужно составить их сумму , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся	выражение	.
Подберите соответствующее буквенное равенство из предыдущего упражнения и , используя его , запишите без скобок следующее	выражение	.
17 Упростите	выражение	.
10 Упростите	выражение	.
542 Упростите	выражение	.
И упростите полученное	выражение	.
и упростите полученное	выражение	.
Иными словами ,	выражение	.
Так как то	выражение	, противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными знаками .
818 Представьте	выражение	в виде произведения двумя способами по следующему образцу .
550 Представьте	выражение	в виде степени с основанием а .
918 Упростите	выражение	, применяя способ вынесения за скобки общего множителя .
А что означает	выражение	1024 ?
В математике это	выражение	тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у степени с натуральным показателем .
690 Составьте	выражение	по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
656 Упростите	выражение	.
Точно так же	выражение	, противоположное , например , сумме есть .
261 Составьте	выражение	по условию задачи и упростите его : а ) Всего в автопарке М машин , g из них — автобусы , a j из этих автобусов — микроавтобусы .
Составьте	выражение	для вычисления суммы , которая будет на вашем счёте сразу после третьего взноса .
Как называют	выражение	аn , число а в этом выражении , число n ?
5 Для каждого выражения из верхней строки укажите равное ему	выражение	из нижней строки .
274 Раскройте скобки и упростите получившееся	выражение	.
620 Какое	выражение	надо подставить вместо а , чтобы полученное равенство было верным .
Покажите , как можно получить второе	выражение	из первого с помощью преобразований .
559 Представьте	выражение	в виде степени с основанием n .
554 Упростите	выражение	.
Например , в пункте а обозначьте буквой х и запишите	выражение	в виде .
Что означает	выражение	аn , если n - натуральное число , не равное 1 ?
Прибавим и вычтем одно и то же	выражение	.
619 Упростите	выражение	.
795 Упростите	выражение	.
2 Какое	выражение	называют многочленом ?
558 Возведите в квадрат и в куб	выражение	.
называли прямоугольником ,	выражение	а2 — квадратом .
Понятно , что выражение можно заменить	выражением	.
Нам удалось упростить данное выражение , заменив сумму подобных слагаемых одним	выражением	-4а .
Мы заменили сумму равным	выражением	, переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой разности квадратов .
Эти выражения записаны с помощью скобок , но каждое из них можно заменить равным	выражением	без скобок .
Это равенство показывает , что разность можно заменить	выражением	или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое значение при этом не изменится .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим	выражением	, принимающим при любых допустимых значениях букв то же значение , что и исходное .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую разность вида можно заменить	выражением	, не содержащим скобки .
Такое название принято из - за его внешнего сходства с	выражением	, равным квадрату суммы .
Например , алгебраическую сумму заменяют более « красивым »	выражением	.
Значит , эту группу слагаемых надо заменить	выражением	2ab .
Раскроем скобки в	выражении	.
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в	выражении	буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом	выражении	в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
15 Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в	выражении	.
Так , в	выражении	-20ху числовой множитель -20 является коэффициентом .
А сколькими способами можно поставить скобки в	выражении	?
Итак , в	выражении	xyz можно поставить скобки двумя способами .
Заменим в данном	выражении	знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
45 Расставьте в	выражении	30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений .
Как называют выражение аn , число а в этом	выражении	, число n ?
287 а ) В	выражении	выполните подстановку .
В	выражении	.
подобные слагаемые в	выражении	.
14 Раскройте скобки в	выражении	.
С помощью этой формулы можно преобразовать произведение разности и суммы любых двух	выражений	.
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько	выражений	, значения которых можно найти , пользуясь таблицей степеней числа 3 .
52 Найдите значения	выражений	.
Из буквенных	выражений	с помощью знаков действий и скобок составляют другие буквенные выражения .
Это правило можно применять для преобразования любых	выражений	— содержащих и буквы , и числа .
Опираясь на законы алгебры , мы будем последовательно вводить правила преобразования буквенных	выражений	.
3.2 Преобразование буквенных	выражений	.
17 Какому из	выражений	равна сумма .
555 Представьте каждое из	выражений	в виде степени .
61 Из	выражений	выберите такое , значение которого равно значению выражения .
Среди приведённых	выражений	выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов .
При каких значениях переменной равны значения	выражений	.
12 Какое из	выражений	можно использовать для вычисления площади фигуры .
Преобразования	выражений	выполняют на основе свойств действий над числами .
Так как вычитание всегда можно заменить сложением , то его можно считать суммой	выражений	.
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух	выражений	.
12 Какое из данных	выражений	нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
произведение	выражений	.
сумма выражений разность	выражений	.
Подчеркните подобные слагаемые в каждом из	выражений	.
Такое преобразование	выражений	называют раскрытием скобок .
Рассмотрим некоторые свойства степени , которые часто используются при преобразовании	выражений	.
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения	выражений	противоположны ? .
сумма	выражений	разность выражений .
3 Значение какого из	выражений	равно .
Найдите значения	выражений	.
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком значении х значения	выражений	противоположны ? .
Какое из этих двух	выражений	более удобно для вычислений с помощью калькулятора ? .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических	выражений	- разложением многочлена на множители .
742 Укажите пары равных	выражений	, пары противоположных выражений .
Здесь к слагаемому 2а прибавляется сумма	выражений	.
Из	выражений	( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны значению выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Найдите эту разность среди приведённых ниже	выражений	.
3 Какому из	выражений	равно выражение .
Арифметика — наука о числах , основные её задачи связаны с вычислением значений числовых	выражений	.
2 Из приведённых	выражений	.
Найдите значение каждого из	выражений	.
С помощью полученной формулы можно возводить в квадрат сумму любых двух	выражений	.
571 Какое из	выражений	нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным показателем , на основе которых выполняются преобразования	выражений	, содержащих степени , а также вычисления .
742 Укажите пары равных выражений , пары противоположных	выражений	.
Какие из следующих	выражений	являются одночленами , а какие нет ? .
280 Составьте два выражения для вычисления площади фигуры и покажите , как одно из этих	выражений	можно преобразовать в другое .
Составьте несколько	выражений	, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы .
Заменив нулём сумму	выражений	, получим уравнение .
671 Выпишите пары противоположных выражений и пары равных	выражений	.
5 Среди	выражений	, записанных ниже , найдите выражение , равное многочлену .
Сравните значения	выражений	.
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся	выражений	.
Там же были рассмотрены и другие примеры преобразования	выражений	.
8 Какое из	выражений	нельзя разложить на множители , используя формулу разности квадратов ? .
Правила преобразования буквенных	выражений	, как вы знаете , основаны на законах алгебры .
Преобразование	выражений	, содержащих степени .
13 Какое из	выражений	противоположно произведению .
324 В выражениях поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных	выражений	.
6 Среди приведённых ниже	выражений	найдите выражение , противоположное многочлену .
123 Сравните значения	выражений	.
326 Составьте сумму и разность	выражений	и упростите их .
847 Какие из	выражений	можно разложить на множители , применив формулу разности квадратов .
Проиллюстрируйте их на примере	выражений	.
241 Составьте несколько различных	выражений	для вычисления площади прямоугольника и запишите цепочку равенств .
671 Выпишите пары противоположных	выражений	и пары равных выражений .
11 Какое из данных	выражений	можно представить в виде .
Укажите номера	выражений	, которые могут быть преобразованы к виду .
270 Подставьте в каждое из	выражений	2х , х2 , х3 вместо переменной х выражение -у и упростите получившееся выражение .
50 Зная , что 282 784 , найдите значение каждого из	выражений	.
531 Какие из данных дробей равны	выражению	а ° ? .
6 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к	выражению	.
4 Какая из дробей равна	выражению	.
Однако такой смысл этому	выражению	придаётся при ( ведь произведений из одного множителя не бывает ) .
5 Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к	выражению	.
Расставьте скобки так , чтобы выражение в левой части равенства было равно	выражению	в правой части .
Можно ли применить формулу разности квадратов к	выражению	.
Чтобы к некоторому	выражению	прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
11 Укажите выражение , равное	выражению	.
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому	выражению	отдельно каждое слагаемое этой суммы .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению	выражения	. б ) значения выражений противоположны ? .
Докажите , что значение	выражения	.
а ) значение выражения в 2 раза больше значения	выражения	.
371 При каком значении переменной . а ) значение	выражения	равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
817 Найдите значение	выражения	.
Вынесите общий множитель за скобки и вычислите значение	выражения	.
Используя рассмотренный способ , найдите значение	выражения	.
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение	выражения	на 2 меньше значения выражения .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения	выражения	.
370 При каких значениях х : а ) значение выражения ; б ) значение	выражения	? .
370 При каких значениях х : а ) значение	выражения	; б ) значение выражения ? .
в ) значение выражения на 10 больше значения	выражения	. г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
Покажите на примере	выражения	, как вынести общий множитель за скобки .
Чему равно значение	выражения	.
значение	выражения	в 3 раза меньше значения выражения .
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения	выражения	3х .
значение выражения в 3 раза меньше значения	выражения	.
814 Найдите значение	выражения	.
в ) значение	выражения	на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
794 Найдите значение	выражения	.
Например , корнем уравнения , в обеих частях которого стоят равные	выражения	, является любое число .
280 Составьте два	выражения	для вычисления площади фигуры и покажите , как одно из этих выражений можно преобразовать в другое .
16 Даны	выражения	.
Чтобы из некоторого	выражения	вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
618 Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменной .
Переход от риторической алгебры к символической , в результате которого словесные правила были заменены формулами , а буквенные	выражения	сами стали предметом исчисления , происходил на протяжении нескольких веков .
Эти	выражения	записаны с помощью скобок , но каждое из них можно заменить равным выражением без скобок .
Такие	выражения	называют одночленами .
Найдите значение	выражения	при заданном значении переменной .
Рассмотрим	выражения	.
Возьмём , например ,	выражения	.
Из буквенных выражений с помощью знаков действий и скобок составляют другие буквенные	выражения	.
13 Вычислите 14 Найдите значение	выражения	.
289 Запишите	выражения	для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
С помощью какого приёма удобно найти значение данного	выражения	?
Составьте два разных	выражения	для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на и запишите соответствующее равенство .
Составьте различные	выражения	для вычисления общей массы проданных орехов и запишите соответствующие равенства .
5 Для каждого	выражения	из верхней строки укажите равное ему выражение из нижней строки .
258 Для каждого	выражения	из верхней строки выберите равное ему из нижней строки и запишите соответствующее равенство .
1 Найдите значение	выражения	.
Для каждого	выражения	из первой строки найдите равное ему выражение из второй строки .
В каком случае преобразование	выражения	выполнено неверно ? .
Исходное и преобразованное	выражения	соединяют знаком « » и называют тождественно равными или просто равными .
С помощью указанного правила можно преобразовывать не только « чистые » суммы , но и смешанные	выражения	, составленные с помощью знаков « » и « - » .
Меняя каким - либо образом эти слагаемые местами , будем получать равные	выражения	.
Такие	выражения	, как , в математике иногда называют алгебраическими суммами — суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
Преобразование буквенного	выражения	часто выполняют с целью приведения его к более простому или к более « красивому » виду .
269 Подставьте в выражение аb вместо переменных а и b указанные	выражения	и выполните преобразования .
Составьте	выражения	, которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
792 Найдите значение	выражения	.
Примените нужную формулу для разложения на множители	выражения	.
843 Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменных .
Значение какого	выражения	больше .
И	выражения	тоже , конечно , уравнениями не являются , потому что они не являются равенствами .
Запишите	выражения	, показывающие .
638 Найдите значение	выражения	.
637 Найдите значение	выражения	.
Покажите на примере	выражения	, как применить эту формулу для разложения его на множители .
4 Найдите значение	выражения	.
Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых и поясните его на примере	выражения	.
а ) Делится ли значение	выражения	.
а ) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного	выражения	каждое из четырёх следующих чисел .
328 Найдите значение	выражения	.
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение	выражения	.
Запишите следующие	выражения	.
723 Выпишите	выражения	, равные произведению .
Укажите	выражения	, противоположные данному ; равные данному .
Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменных .
Почему равны	выражения	.
Значение	выражения	n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Составьте два	выражения	для вычисления площади прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
А значение	выражения	15 ! , которого нет в таблице , превосходит 1012 , а именно .
Может быть , именно из - за быстрого роста факториалов восхищённый изобретатель этого	выражения	использовал восклицательный знак .
Сколько действий надо выполнить , чтобы вычислить значение	выражения	.
Запишите	выражения	для определения будущего урожая картофеля в каждом хозяйстве и общего урожая картофеля во всех трёх хозяйствах , если в среднем с каждой сотки планируется собрать по М кг .
Проиллюстрируйте правило приведения подобных слагаемых на примере	выражения	.
532 Чему равно значение	выражения	? .
Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил значение	выражения	х2 х и получил по условию число 90 .
580 Найдите значение	выражения	.
Докажите , что при этом каждый раз будут получаться равные	выражения	.
а ) значение	выражения	в 2 раза больше значения выражения .
77 Запишите в виде	выражения	.
Для первых двух квадратов записаны по два	выражения	для вычисления площади закрашенной части .
Подобные	выражения	обычно используют , когда речь идёт о возможности наступления события , которое в одних и тех же условиях может произойти , а может и не произойти .
Подставьте вместо букв заданные числа и найдите значение	выражения	.
б Найдите значение	выражения	.
756 Найдите значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	комментируйте каждый шаг .
Пользуясь им как образцом , найдите значение	выражения	.
3 Найдите значение	выражения	.
4 Даны	выражения	.
659 Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменных .
5 Найдите значение	выражения	.
Легко понять , что допустимыми значениями букв а и b для	выражения	— являются любые пары чисел , при которых , т .
10 Найдите значение	выражения	.
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны значению	выражения	( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Заметим , что вычислить значение	выражения	можно не всегда .
61 Из выражений выберите такое , значение которого равно значению	выражения	.
Запишите ответ , используя степень числа 2 , и вычислите значение получившегося	выражения	.
27 Найдите значение	выражения	.
Найдём значение	выражения	.
670 Упростите	выражения	.
669 Упростите	выражения	.
120 Найдите значение	выражения	.
Используйте полученный результат для вычисления значения	выражения	.
По аналогии с формулой , полученной в n. 1 , запишите формулу для преобразования в многочлен	выражения	.
Правило	выражения	процентов десятичной дробью .
Запишите два разных	выражения	для вычисления площади закрашенной части квадрата , получившейся на десятом шаге ; на сотом шаге .
Таким образом , значение	выражения	при равно -2,1 .
31 Убедитесь , что при данных значениях х , у , z значение	выражения	равно 1 .
122 Найдите значение	выражения	при заданных значениях переменных .
Вычислите значение	выражения	при а 1,5 , b 0,7 , с -0,5 .
Запишите соответствующие	выражения	для остальных квадратов на рисунке .
Найдите значение	выражения	.
Тождественно равные	выражения	.
Для	выражения	назовите несколько пар значений тип , для которых выражение не имеет смысла .
Найдите значение	выражения	при .
Преобразование буквенного	выражения	.
Правило	выражения	десятичной дроби в процентах .
658 Составьте сумму и разность многочленов и упростите получившиеся	выражения	.
Точно так же можно преобразовывать и суммы , являющиеся буквенными	выражениями	, например сумму .
5 Каждое выражение из верхней строки соотнесите с равными ему	выражениями	из нижней строки .
Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми ( арифметическими ) выражениями , алгебра - с буквами и буквенными ( алгебраическими )	выражениями	.
Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми ( арифметическими )	выражениями	, алгебра - с буквами и буквенными ( алгебраическими ) выражениями .
324 В	выражениях	поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h —	высота	усечённой пирамиды .
Футболист на тренировке подбрасывает мяч головой вертикально вверх , придавая ему начальную скорость 10 м / с. В этом случае высота , на которой находится мяч , может быть приближённо вычислена по формуле , где h —	высота	полёта ( в метрах ) , t — время ( в секундах ) .
Футболист на тренировке подбрасывает мяч головой вертикально вверх , придавая ему начальную скорость 10 м / с. В этом случае	высота	, на которой находится мяч , может быть приближённо вычислена по формуле , где h — высота полёта ( в метрах ) , t — время ( в секундах ) .
Найдите крутизну спуска дороги , если	высота	подъёма равна 60 м , а горизонтальная протяжённость 1,5 км .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h —	высота	параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На какой	высоте	окажется ракета через 2 с после запуска ?
На какой	высоте	будет находиться мяч через 1 с ?
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его	высоте	, можно приближённо вычислить по формуле .
148 Выразите	высоту	h из формулы а ) площади параллелограмма , б ) объёма цилиндра .
Она заметила , что если заполнить этот аквариум водой на	высоту	30 см , то потребуется на .
6 л больше воды , чем требовалось для старого аквариума при заполнении его на такую же	высоту	.
Выполните на чертеже необходимые измерения и определите а )	высоту	стен реального дома ; б ) высоту дома с учётом крыши .
Выполните на чертеже необходимые измерения и определите а ) высоту стен реального дома ; б )	высоту	дома с учётом крыши .
80 Крутизна спуска дороги — это отношение	высоты	подъёма дороги к её горизонтальной протяжённости , выраженное в процентах .
« Ученик задумал число , умножил его на 4 , из результата	вычел	5 и получил удвоенное задуманное число .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и	вычесть	удвоенное произведение п2 и 2 , т .
Чтобы из одного многочлена	вычесть	другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
Сложить два многочлена или	вычесть	один из другого очень просто .
Чтобы из числа	вычесть	разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Можно , например , разложить этот многочлен на множители , используя тот же приём « прибавить —	вычесть	» , но уже совсем по - другому .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала	вычесть	из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Чтобы из некоторого выражения	вычесть	алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы	вычесть	из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и	вычесть	, чтобы разложить многочлен на множители .
Использованный приём « прибавить —	вычесть	» вам , конечно , известен .
Чтобы	вычесть	из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел ,	вычитаем	из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата	вычитаем	второе слагаемое .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить	вычитаемое	.
Объясните , как выполнить	вычитание	.
Так как	вычитание	всегда можно заменить сложением , то его можно считать суммой выражений .
Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов и	вычитание	из первого многочлена второго .
Знак « - » перед скобкой означает	вычитание	; замените вычитание сложением .
Обратите внимание :	вычитание	мы заменили сложением с многочленом , противоположным второму многочлену .
Для этого заменим	вычитание	сложением , а затем воспользуемся законом , который выражается равенством , и распределительным законом .
7.2 Сложение и	вычитание	многочленов .
Знак « - » перед скобкой означает вычитание ; замените	вычитание	сложением .
сначала	вычитанием	площадей , а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем	вычитанием	.
1 Какое из следующих равенств выражает правило	вычитания	из числа суммы двух чисел ? .
Вообще результатом сложения и	вычитания	многочленов является многочлен .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило	вычитания	из числа суммы двух чисел : для любых чисел а , b , с .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого	вычитают	показатель степени делителя .
Из задуманного числа	вычли	5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
Прибавим и	вычтем	одно и то же выражение .
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к двучлену выражение и	вычтем	его .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и	вычтите	из результата удвоенное задуманное число .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения	вычтите	утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
146 Формула F 1,8С 32 выражает зависимость между температурой в градусах Фаренгейта ( ° F ) и температурой в	градусах	Цельсия ( ° С ) .
2 Используя формулу , выражающую зависимость между температурой , измеряемой по шкале Фаренгейта ( F ) и по шкале Цельсия ( С ) , выразите в	градусах	Фаренгейта температуру кипения воды 100 ° С и температуру замерзания воды .
146 Формула F 1,8С 32 выражает зависимость между температурой в	градусах	Фаренгейта ( ° F ) и температурой в градусах Цельсия ( ° С ) .
Сколько кубиков , у которых покрашено три	грани	? .
Сколько кубиков , у которых покрашено две	грани	? .
Сколько кубиков , у которых покрашена одна	грань	? .
Чётное число очков есть на трёх	гранях	кубика из шести , следовательно , есть три шанса из шести , что событие D произойдёт .
Кстати , на трёх других	гранях	кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
Построен	график	зависимости частоты результата « остриём вниз » от числа экспериментов .
Зависимость на разных промежутках задана разными условиями , поэтому и	график	строится по частям .
484 Известно , что	график	зависимости у — 2х — прямая .
Используя	график	, ответьте на вопросы .
494 Постройте	график	зависимости , если известно .
7 Изобразите на координатной плоскости	график	зависимости .
Представлен	график	движения туриста .
При х 0	график	совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
Опишите её	график	.
509 В экономических исследованиях часто используется кривая спроса —	график	, который показывает , как зависит спрос на товар от его цены .
Изображён	график	роста тиража новой газеты за первые девять месяцев её существования .
Экономисты изображённый	график	называют линией производственных возможностей .
и после 10 ч температура была положительной , так как на этих промежутках	график	расположен выше оси абсцисс .
Говорят , что эта биссектриса —	график	зависимости у — х .
Получился красивый	график	, похожий на чашу .
При	график	совпадает с прямой .
498 Постройте	график	зависимости .
Этот	график	называется параболой .
Иными словами , эта биссектриса —	график	зависимости у -х .
502 Изображён	график	температуры воздуха в городе Лукошкино 19 октября .
С 2 ч до 10 ч температура была отрицательной , так как на этом промежутке	график	лежит ниже оси абсцисс .
С 6 ч до 16 ч температура росла , так как на этом промежутке график идёт вверх , а с 0 ч до 6 ч , с 16 ч до 20 ч и с 22 ч до 24 ч температура понижалась (	график	идёт вниз ) .
Постройте	график	зависимости у х 2 .
Изображён	график	скорости движения автомобиля .
487 Постройте по точкам	график	зависимости .
479 Постройте по точкам	график	зависимости , заданной равенством : а ) у -2х ; б ) у 2-х ; в ) у — х 3 .
6 Изображён	график	движения туриста от турлагеря до станции .
Используя	график	, ответьте на следующие вопросы .
Построим , например ,	график	зависимости .
Теперь понятно , что	график	надо строить по частям , отдельно в правой и в левой полуплоскости .
Как называется	график	зависимости , заданный равенством .
9 Изображён	график	изменения скорости автомобиля .
8 Изобразите на координатной плоскости	график	зависимости .
Таким образом ,	график	зависимости это ломаная , образованная двумя лучами .
Постройте этот	график	и опишите его свойства .
Как , например , построить	график	зависимости , заданной равенством ?
Выполните аналогичное задание , используя	график	.
С 6 ч до 16 ч температура росла , так как на этом промежутке	график	идёт вверх , а с 0 ч до 6 ч , с 16 ч до 20 ч и с 22 ч до 24 ч температура понижалась ( график идёт вниз ) .
4 Постройте	график	зависимости .
Составьте таблицу соответственных значений х и у и постройте по точкам	график	этой зависимости .
6 Как называется	график	зависимости .
Построим теперь	график	зависимости .
Рассмотрите	график	температуры и ответьте на вопросы .
Изображён	график	движения катера в первые 40 мин его работы .
Сколько существует различных анаграмм слова «	график	» ?
Чтобы построить	график	, вычислим сначала координаты нескольких его точек и занесём результаты в таблицу .
Об этом можно было догадаться заранее , ещё до построения	графика	— по самому равенству .
С помощью	графика	определите .
8 Для каждого	графика	укажите его алгебраическое описание .
С помощью	графика	выясните .
С помощью	графика	ответьте на вопросы .
Вы уже знакомы с	графиками	зависимостей .
Есть ли на этом	графике	точка , абсцисса которой равна -125 ?
Есть ли на	графике	точка , абсцисса которой равна 245 ?
508 Изображены	графики	зависимости роста Анны и Бориса от их возраста .
Некоторые	графики	можно строить , используя уже знакомые графики .
Используя	графики	, ответьте на вопросы .
Используя	графики	, определите . а ) Рост каждого из них при рождении , в 3 года , в 17 лет .
Широко используются различные	графики	и в экономике .
Рассмотрите ещё несколько зависимостей , которые задаются равенствами , содержащими знак модуля , и постройте их	графики	.
Некоторые графики можно строить , используя уже знакомые	графики	.
Используя показания сейсмографов — приборов , непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные	графики	— сейсмограммы , геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами .
Координаты и	графики	.
Попробуем теперь рассмотреть более сложные зависимости , которые могут связывать абсциссы и ординаты точек плоскости , и посмотрим , как будут выглядеть соответствующие	графики	.
Такие	графики	метеорологи получают с помощью специального прибора — термографа , отмечающего температуру на движущейся ленте или на экране дисплея .
Найдите координаты точек пересечения этих	графиков	.
5.5 Ещё несколько важных	графиков	.
499 Найдите координаты общих точек	графиков	зависимостей .
а ) Что является	графиком	зависимости , заданной условием у х ?
483 Прямая , которая является	графиком	зависимости .
а ) Что является	графиком	зависимости , заданной условием .
Эту линию называют	графиком	температуры .
По	графику	можно получить и другую полезную информацию : например , когда температура менялась быстрее , а когда медленнее .
, Е(-2 ; 4 ) , F(3 ; 27 ) выберите те , которые принадлежат : а ) параболе ; б ) кубической параболе ; в )	графику	зависимости .
в ) Какие из следующих точек принадлежат этому	графику	.
По	графику	видно , что самая высокая температура за сутки , была в 16 ч , а самая низкая — в 6 ч .
Назовите координаты ещё двух точек , принадлежащих этому	графику	, и двух точек , не принадлежащих ему .
выберите те , которые принадлежат	графику	зависимости .
Например , по	графику	легко узнать , когда температура была положительной , а когда отрицательной , когда она росла , а когда понижалась .
Составьте таблицу соответственных значений х и у по	графику	.
Укажите координаты нескольких точек , принадлежащих этому	графику	.
Назовите координаты нескольких точек , принадлежащих этому	графику	.
Принадлежит ли	графику	зависимости , заданной равенством , точка А(1 ; 0 ) ?
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх	групп	: числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
В каждой ли из этих	групп	заведомо есть призывник , годный к службе в Президентском полку ? .
И последняя цифра числа 2n определяется тем , в какую из этих	групп	попадает показатель n.
Но через полчаса к кинотеатру подъехала	группа	туристов и купила 45 билетов , что составило 20 % билетов , остававшихся в кассе .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой	группе	будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой	группе	средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей	группе	минимальный рост равен 180 см .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй	группе	максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
В	группе	российских туристов , выезжающих за границу , есть несколько человек , которые говорят только по - английски , и несколько человек , которые , кроме английского , говорят ещё на одном иностранном языке .
Если , например , опросить большую	группу	учеников , какой школьный предмет им нравится больше всего , то модой этого ряда ответов окажется тот предмет , который будут называть чаще остальных .
Значит , эту	группу	слагаемых надо заменить выражением 2ab .
В любом произведении множители можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в	группы	.
Отчёт	группы	исследователей был распечатан на принтере за 30 мин .
Есть три	группы	призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Теперь найдём сумму коэффициентов слагаемых второй	группы	.
В этой сумме две	группы	подобных слагаемых .
Значит , в результате приведения подобных слагаемых второй	группы	мы получим 5с .
Найдём сумму коэффициентов подобных слагаемых первой	группы	.
Он выписал число рабочих дней , пропущенных в течение года по болезни каждым сотрудником , предварительно разбив их на две	группы	— курящие и некурящие .
в любой сумме слагаемые можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в	группы	.
Перенесём	данные	таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
А	данный	пример является одним из частных случаев для обоснования этого правила .
Разделим его сторону длиной у на z равных частей и разрежем	данный	прямоугольник .
Теперь ясно , что	данный	трёхчлен может быть получен в результате возведения в квадрат двучлена или двучлена Таким образом .
С помощью букв	данный	приём может быть описан следующим образом .
а ) шестиугольник ; б ) восьмиугольник ; в )	двенадцатиугольник	; г ) стоугольник ? .
662 Какой	двучлен	надо прибавить к данному двучлену , чтобы в сумме получился 0 .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется	двучлен	, то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Разложим на множители	двучлен	Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
В произведении обозначьте	двучлен	буквой х и проведите преобразования , аналогичные рассмотренным в тексте .
Разложим на множители	двучлен	.
12 Какой	двучлен	можно разложить на множители , используя формулу суммы кубов ? .
Действительно ,	двучлен	х - 0,5 с — это сумма х и -0,5 с , поэтому .
Обозначим	двучлен	какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в произведении по правилу умножения одночлена на многочлен .
Специальные названия имеют и многочлены , состоящие из двух и трёх членов —	двучлен	и трёхчлен соответственно .
727 Представьте квадрат	двучлена	в виде трёхчлена .
Теперь ясно , что данный трёхчлен может быть получен в результате возведения в квадрат	двучлена	или двучлена Таким образом .
Трёхчлен можно разложить на множители , выделив квадрат	двучлена	.
705 Запишите степень	двучлена	в виде произведения и выполните умножение .
Выясним , можно ли представить в виде квадрата	двучлена	трёхчлен .
10 Представьте в виде квадрата	двучлена	.
732 Представьте трёхчлен в виде квадрата	двучлена	.
а ) Представьте трёхчлен в виде квадрата	двучлена	.
возведение	двучлена	в квадрат .
Каждый член	двучлена	представьте в виде произведения , в котором есть множитель -3а .
Таким образом , мы видим , что при возведении в квадрат	двучлена	получается трёхчлен .
Заметим , что для возведения в квадрат	двучлена	х - 0,5с можно воспользоваться и формулой квадрата суммы .
Используя формулу квадрата	двучлена	, возведите в квадрат трёхчлен .
750 Представьте в виде квадрата	двучлена	.
Приведите пример	двучлена	; трёхчлена .
Иногда трёхчлен удаётся « свернуть » в квадрат	двучлена	.
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат	двучлена	.
Это , в частности , умножение	двучлена	на самого себя , т . е .
Выделите квадрат	двучлена	.
734 Подберите такое k , чтобы трёхчлен был равен квадрату	двучлена	.
673 Представьте в виде суммы и разности двух каких - либо	двучленов	трёхчлен .
представьте один из	двучленов	, заключённых в скобки , в виде суммы или разности двух других , а затем примените группировку .
665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких - либо	двучленов	( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
676 Представьте в виде суммы двух каких - либо	двучленов	.
Этот многочлен можно представить или в виде суммы трёх	двучленов	, или в виде суммы двух трёхчленов .
672 Многочлен представьте в виде разности двух	двучленов	всеми возможными способами .
666 Многочлен представили в виде разности	двучленов	.
разности двух	двучленов	.
Затем букву х заменим	двучленом	и опять раскроем скобки .
662 Какой двучлен надо прибавить к данному	двучлену	, чтобы в сумме получился 0 .
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к	двучлену	выражение и вычтем его .
Если выражение содержит	деление	на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
7 Придумайте задачу на пропорциональное	деление	какой - либо величины .
534 Выполните	деление	.
Пропорциональное	деление	.
Приём , с помощью которого мы выполнили	деление	, состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
23 Выполните умножение или	деление	.
Если выражение содержит деление на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как	деление	уголком может оказаться бесконечным .
530 Выполните	деление	.
И нетрудно догадаться , что если в первом случае имеется в виду умножение на 1024 , то во втором —	деление	на 1024 считают равным .
2.4 Пропорциональное	деление	.
Она решается	делением	.
786 Каждое из чисел а и b при	делении	на 3 даёт в остатке 1 .
Так , например , число 2201 оканчивается цифрой 2 , так как 201 при	делении	на 4 даёт в остатке 1 , а число 2202 — цифрой 4 , так как .
Например , при	делении	на 3 получаются остатки 0 , 1 и 2 .
Заметим , что даже в том случае , когда а b , можно говорить о	делении	а на b с остатком .
785 Докажите , что если числа а и b при	делении	на число с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
а ) при	делении	на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
Докажите , что а b делится на 7 . б ) Числа а и b при	делении	на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
784 а ) Числа а и b при	делении	на 7 дают в остатке соответственно 3 и 4 .
При	делении	7 на 12 на экране калькулятора высветится длинное число 0,5833333 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при	делении	на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при	делении	на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при	делении	на 8 даёт в остатке 1 .
А именно , если при	делении	числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при	делении	на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
Докажите , что их произведение при	делении	на 3 также даёт в остатке 1 .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при	делении	на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
а ) при	делении	на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Таким образом , при	делении	степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не делится и в результате	деления	получается остаток .
783 Найдите остаток от	деления	на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
Если в качестве знака	деления	использовать черту дроби , то равенство примет такой вид .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака	деления	дробную черту , и найдите его значение .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от	деления	на b ) обязательно меньше b .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком	деления	— двоеточием или чертой дроби .
Заменим в данном выражении знак	деления	дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от	деления	суммы этих чисел на их количество .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от	деления	числа х на число у — это такое число z
322 Запишите равенство , заменив знак	деления	знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от	деления	на заданное число .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от	деления	на 2 ?
сам процесс	деления	, поручим калькулятору .
3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило	деления	степеней с одинаковыми основаниями .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 ,	делим	на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Центр симметрии	делит	её на две ветви , расположенные в I и III координатных четвертях .
Ось симметрии	делит	параболу на две части , называемые ветвями параболы ; эти ветви неограниченно уходят вверх .
Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной , то её знаменатель в качестве простых	делителей	имеет только 2 и 5 .
Перебрав все возможные пары	делителей	, нетрудно увидеть , что условию удовлетворяет только пара чисел 11 и 13 .
Укажите 10	делителей	числа , равного .
Поэтому числа — это	делители	числа 143 .
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые	делители	, отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной , то её знаменатель содержит простые	делители	, отличные от 2 и 5 .
Остаётся найти все натуральные	делители	числа 143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
разделить каждое из входящих в него чисел на их общий	делитель	— число 2 .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени	делителя	.
У числа 143 всего четыре натуральных	делителя	: 1 , 11 , 13 , 143 .
Остаётся найти все натуральные делители числа 143 и выбрать такие два	делителя	, один из которых на 2 больше другого .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа	делится	на следующее за ним число .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами ,	делится	на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не делится на 11 .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел	делится	на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
Докажем , что разность	делится	на 6 .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел	делится	на 5 .
Если а	делится	на b без остатка , то можно записать .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его квадрата	делится	на 2 .
Так как произведение	делится	на 6 , то и разность делится на 6 .
сумма двух последовательных степеней числа 2	делится	на 6 .
Если число а	делится	на число b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
Объясните , как разложить на множители выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность	делится	на 200 .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их разность	делится	на с .
Докажите , что а b	делится	на 7 . б ) Числа а и b при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
Так как произведение делится на 6 , то и разность	делится	на 6 .
б ) Сколько из них не	делится	на 5 ? .
Значит , и всё произведение , а вместе с ним и равная ему сумма	делится	на 2 .
а ) Сколько из них	делится	на 5 ? .
Выясните ,	делится	ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
е .	делится	на 2 .
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не	делится	и в результате деления получается остаток .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке ,	делится	на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим числом	делится	на 6 .
Докажите , что число : а ) записанное тремя одинаковыми цифрами ,	делится	на 37 ; б ) записанное четырьмя одинаковыми цифрами , делится на 11 и на 101 .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5	делится	его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
789 а ) Докажите , что если число не	делится	на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
787 Докажите , что если числа а и n не делятся на 3 , то либо их сумма , либо их разность	делится	на 3 .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не	делится	на 11 .
Докажите , что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи	делится	на 4 .
Докажите , что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи	делится	на 3 .
Докажите , что число : а ) записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 ; б ) записанное четырьмя одинаковыми цифрами ,	делится	на 11 и на 101 .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке ,	делится	на 9 .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами ,	делится	на 37 ; не делится на 11 .
Ясно , что она	делится	на 17 , так как .
В самом деле , при таких значениях а и b пришлось бы	делить	на 0 , а значит , в этом случае выражение не имело бы смысла .
( Здесь а — число , не равное 0 , так как на 0	делить	нельзя . )
Найдите координаты точек , которые	делят	отрезок АВ на четыре равные части .
Многих школьников волнует подобная проблема , и чаще всего ученики решают её следующим естественным образом : складывают все отметки и	делят	сумму на их количество .
787 Докажите , что если числа а и n не	делятся	на 3 , то либо их сумма , либо их разность делится на 3 .
788 Какой вид имеют числа , о которых известно , что они не	делятся	ни на 2 , ни на 3 ? .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и	делятся	на 2 .
591 Сколько существует пятизначных чисел , которые	делятся	на 2 ?
Определите , сколько в саду	деревьев	каждого вида , если известно , что яблонь в 3 раза больше , чем груш , а слив на 10 больше , чем груш . б ) Купили карандаши , кисти и линейки , всего 43 штуки .
401 а ) В саду растут яблони , груши и сливы , всего 130	деревьев	.
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или	десятичной	дроби .
если часть величины , заданную	десятичной	дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Выразите	десятичной	дробью массу снежинки .
11 Выразите	десятичной	дробью : 42 % , 30 % , 8 % , 19,3 % , 0,7 % .
Правило выражения процентов	десятичной	дробью .
Для обратного перехода — от процентов к	десятичной	дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить	десятичной	дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Если несократимую дробь можно записать в виде	десятичной	, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде	десятичной	.
119 Вычислите и запишите ответ в виде	десятичной	дроби .
Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде	десятичной	.
Правило выражения	десятичной	дроби в процентах .
Если несократимую дробь нельзя представить в виде	десятичной	, то её знаменатель содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Если выражение содержит деление на	десятичную	дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
Правда , в некоторых случаях выбирать не приходится , поскольку обыкновенную дробь преобразовать в	десятичную	можно не всегда .
Дробь - нельзя обратить в	десятичную	, поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби число 0,3 .
Расскажите , как сравнивают обыкновенную дробь и	десятичную	.
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в	десятичную	.
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в	десятичную	( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных дробей .
10 Выразите в процентах	десятичные	дроби : 0,7 ; 0,15 ; 0,06 ; 0,075 ; 0,005 .
Выразите эти	десятичные	дроби в процентах .
Значит , нужно уметь сравнивать числа , записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди чисел , с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и	десятичные	дроби .
Теперь нужно упорядочить	десятичные	дроби 0,58 ; 0,53 и 0,54 .
Если среди чисел , с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и	десятичные	дроби , то их надо привести к какой - нибудь одной из этих форм .
Однако дроби в	десятичные	не обращаются .
Конечно , удобнее было бы иметь дело с	десятичными	дробями .
Части городского бюджета , предназначенные для нужд города , выражаются следующими	десятичными	дробями : 0,04 ; 0,27 ; 0,3 ; 0,255 ; 0,0006 .
И всё - таки можно воспользоваться	десятичными	дробями .
Выразите эти проценты	десятичными	дробями .
В самом деле , заменим дроби и 75 их приближёнными	десятичными	значениями .
Какие из следующих дробей можно представить в виде	десятичных	.
Вы уже знаете , что есть два способа записи дробных чисел - в виде обыкновенных и в виде	десятичных	дробей .
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух	десятичных	дробей .
А со сравнением	десятичных	дробей дело обстоит проще .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде	десятков	— цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
( Ответ округлите до	десятков	. ) .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде	десятков	записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра ,	диаметр	основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
С nd , где С — длина окружности , d —	диаметр	окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
расстояние от Земли до звезды Сириус равно г )	диаметр	атома водорода равен мм .
а ) Определите длину окружности ,	диаметр	которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком	диаметре	длина окружности равна 10 см ?
Прочитайте предложение : « Обычно снежинка имеет 5 мм в	диаметре	при массе .
182 В любой окружности отношение длины окружности к её	диаметру	одно и то же и приближённо равно .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к	диаметру	, являющееся одним и тем же для любой окружности .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его	длина	; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На сколько сантиметров	длина	отрезка АР больше длины отрезка КВ ? .
Пусть х см — длина меньшей стороны куска стекла , тогда х 30 см —	длина	другой его стороны .
С nd , где С —	длина	окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
Чему равна	длина	отрезка СВ ? .
Она заменила его большим аквариумом ,	длина	и ширина дна которого на 4 см больше .
Какой английский размер подходит Наташе , если длина стопы у неё равна 30 см , и Игорю , если у него	длина	стопы 35 см ?
Какой английский размер подходит Наташе , если	длина	стопы у неё равна 30 см , и Игорю , если у него длина стопы 35 см ?
Существуют формулы , выражающие эту зависимость для мужских и женских размеров , принятых в некоторых англоговорящих странах : для мужской обуви и для женской обуви , где s — размер обуви , I —	длина	стопы в дюймах .
800 Два спортсмена бегут навстречу друг другу по круговой дорожке ,	длина	которой 1 км .
Найдите по этой формуле скорость пешехода , выразив её в метрах в минуту и в километрах в час , если	длина	его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов .
152 За время t человек ,	длина	шага которого равна Z , сделал n шагов .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а —	длина	ребра .
334 Провод разрезали на четыре части так , что	длина	первой части , равная х м , в 3 раза меньше второй , на 1,5 м меньше третьей и в 2 раза больше четвёртой .
228 Отрезок АВ ,	длина	которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в отношении .
522 Лыжник во время тренировки пробежал дистанцию 3000 м по лыжне , проходящей по лесной просеке ,	длина	которой 500 м .
Какова	длина	всего провода ? .
Пусть х см —	длина	меньшей стороны куска стекла , тогда х 30 см — длина другой его стороны .
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре	длина	окружности равна 10 см ?
12 Отрезок АВ ,	длина	которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
Сколько шерсти потребуется на шарф шириной 36 см и	длиной	1 м ? .
а ) зависимость числа т одинаковых учебников , размещаемых на полке	длиной	90 см , от толщины учебника I ( в см ) .
Разделим его сторону	длиной	у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
405 Провод	длиной	9,9 м разрезали на две части .
б ) Из 180 г шерсти можно связать шарф шириной 12 см и	длиной	2 м .
Чтобы вставить его в оконную раму , его	длину	и ширину пришлось уменьшить на 10 см. Площадь обрезков составила 1400 см2 .
	Длину	отрезка ОА .
453 Найдите	длину	отрезка MN , если .
Определите	длину	каждой части , если известно , что .
а ) Определите	длину	окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
Чтобы вставить его в оконную раму , его	длину	и ширину пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила 3800 см2 .
Определите	длину	окружности каждого обруча .
Найдите	длину	стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
как найти	длину	отрезка АВ ? .
Запишите формулу зависимости	длины	пройденного пути от скорости и времени движения .
а ) Найдите неизвестные	длины	сторон .
а ) Петя и Коля , сравнивая	длины	своих шагов , заметили , что 17 шагов Пети составили 8 м , а 20 шагов Коли составили 11 м .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите	длины	сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от	длины	другой его стороны .
На сколько сантиметров длина отрезка АР больше	длины	отрезка КВ ? .
Составьте выражение для вычисления	длины	проволоки , которая для этого потребуется .
157 Размер обуви зависит от	длины	стопы .
45 Найдите	длины	отрезков АВ , АС , АО , AD , BD .
Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше	длины	окружности большого обруча .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению	длины	окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г )	длины	одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
Например , в известной вам формуле	длины	окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
а ) периметра квадрата от	длины	его стороны .
б ) площади квадрата от	длины	его стороны .
182 В любой окружности отношение	длины	окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
г ) зависимость стоимости Z ( в р . ) рулона ткани от	длины	I ( в м ) этого рулона при цене одного метра 30 р .
Найдите длину стороны квадрата и	длины	сторон прямоугольника .
И оказывается , ваших знаний вполне достаточно для проведения нужных	доказательств	.
Подобрать соответствующую группировку для его	доказательства	достаточно трудно .
Будем при	доказательствах	пользоваться переместительными законами сложения и умножения , сочетательными законами сложения и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Поэтому , чтобы решать задачи на проценты , нужно свободно переходить от	дробей	к процентам и наоборот .
1.1 Сравнение	дробей	.
531 Какие из данных	дробей	равны выражению а ° ? .
Рассмотрим примеры сравнения	дробей	.
Это можно сделать , вычислив каждое из отношений , а можно воспользоваться известным правилом сравнения	дробей	.
1 Сформулируйте перекрёстное правило сравнения	дробей	.
Мы получили правило сравнения обыкновенных	дробей	, которое иногда называют перекрёстным .
Примеры таких	дробей	приведены в таблице .
Определите , сколько из составленных	дробей	меньше .
Какая из данных	дробей	наименьшая ?
Вычисления с целыми числами проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от	дробей	.
Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей	дробей	, т .
Какие из следующих	дробей	можно представить в виде десятичных .
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных	дробей	.
При решении задач на проценты нужно уметь свободно переходить от	дробей	к процентам и наоборот .
Проиллюстрируйте его на примере	дробей	.
Проиллюстрируйте правило на примере сравнения	дробей	.
А со сравнением десятичных	дробей	дело обстоит проще .
4 Какая из	дробей	равна выражению .
Вы уже знаете , что есть два способа записи дробных чисел - в виде обыкновенных и в виде десятичных	дробей	.
Из двух	дробей	с одинаковыми знаменателями больше та , у которой числитель больше .
15 Сколько можно составить различных	дробей	, отличных от 1 , у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37 ?
Правило сравнения обыкновенных	дробей	.
Каким другим способом можно воспользоваться при сравнении данных	дробей	? .
119 Вычислите и запишите ответ в виде десятичной	дроби	.
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной	дроби	.
11 Соотнесите	дроби	, которые выражают доли некоторой величины , и соответствующие им проценты .
Сравнивая две обыкновенные	дроби	, вы пользовались разными приёмами .
Итак , при возведении	дроби	в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
15 Составьте все	дроби	( не равные 1 ) с числителями и знаменателями 11 , 12 , 13 и расположите их в порядке возрастания .
553 Представьте выражение в виде	дроби	.
Правило выражения десятичной	дроби	в процентах .
262 Назовите общий множитель числителя и знаменателя	дроби	и сократите её .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой	дроби	перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Значит , нужно уметь сравнивать числа , записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди чисел , с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные	дроби	.
Полезно также помнить , как выражаются в процентах некоторые	дроби	.
Для обратного перехода — от процентов к десятичной	дроби	— запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Чему равно значение	дроби	, если .
117 Сравните	дроби	.
С понятием	дроби	, как вам уже известно , связано понятие процента .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства	дроби	так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Возьмём	дроби	и выясним , какая из них больше .
Если в качестве знака деления использовать черту	дроби	, то равенство примет такой вид .
Дробь - нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной	дроби	число 0,3 .
Однако	дроби	в десятичные не обращаются .
Вообще шансы имеет смысл сравнивать как дроби : в знаменателе	дроби	— сколько всего возможно исходов , в числителе — сколько из них отвечают конкретному событию .
Можно также представить дробь 0,54 в виде обыкновенной и затем с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные	дроби	попарно .
Если знаменатель несократимой	дроби	не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде десятичной .
В самом деле , заменим	дроби	и 75 их приближёнными десятичными значениями .
Вообще шансы имеет смысл сравнивать как	дроби	: в знаменателе дроби — сколько всего возможно исходов , в числителе — сколько из них отвечают конкретному событию .
Числитель и знаменатель	дроби	можно разделить на общий множитель а8 .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой	дроби	.
6.2 Степень степени , произведения и	дроби	.
Теперь нужно упорядочить десятичные	дроби	0,58 ; 0,53 и 0,54 .
Как с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные	дроби	и ( фрагмент 1 ) ?
Запишите с помощью букв правило обращения смешанной	дроби	в неправильную дробь .
Как ещё можно сравнить эти	дроби	? .
116 В числителе	дроби	запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
Поэтому , руководствуясь неформальным , но мудрым правилом : « Целое лучше	дроби	» , обозначим через х т исходное количество угля на первом складе .
Выразите эти десятичные	дроби	в процентах .
6 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень	дроби	.
10 Выразите в процентах десятичные	дроби	: 0,7 ; 0,15 ; 0,06 ; 0,075 ; 0,005 .
Разложим числитель и знаменатель данной	дроби	на множители .
Пусть даны	дроби	и где a , b , с , d — натуральные числа .
Поскольку проценты выражаются дробями , то задачи на проценты , по существу , являются теми же задачами на	дроби	.
Рассмотрим степень	дроби	.
7 Даны	дроби	.
Так как 130 % соответствуют	дроби	1,3 , то февральский тираж больше январского в 1,3 раза .
Проверьте себя , обратившись к таблице во фрагменте 1 , можете ли вы бегло назвать обыкновенные	дроби	, соответствующие процентам : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 75 % .
2 Даны	дроби	.
Сравним	дроби	и 0,65 .
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от	дроби	к процентам или от процентов к дроби .
Решить эту задачу можно , например , так : записать число 0,65 в виде обыкновенной	дроби	и затем воспользоваться перекрёстным правилом .
Если среди чисел , с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные	дроби	, то их надо привести к какой - нибудь одной из этих форм .
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от дроби к процентам или от процентов к	дроби	.
Сравним	дроби	.
Если знаменатель несократимой	дроби	имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Заменим в данном выражении знак деления	дробной	чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления	дробную	черту , и найдите его значение .
Отношение , членами которого являются	дробные	числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
	Дробным	положительным .
	Дробным	отрицательным .
Вы уже знаете , что есть два способа записи	дробных	чисел - в виде обыкновенных и в виде десятичных дробей .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту	дробь	обратить в десятичную .
573 Возведите	дробь	в степень .
Объясните , как сократить	дробь	( в качестве образца воспользуйтесь примером ) .
Сократим	дробь	.
Чем больше	дробь	, тем вероятнее событие .
Если выражение содержит деление на десятичную	дробь	, то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую	дробь	вида можно заменить суммой частных — и числовое значение останется тем же .
6 Сократите	дробь	.
Сократите	дробь	.
3 Сократите	дробь	.
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту	дробь	нельзя записать в виде десятичной .
Расскажите , как сравнивают обыкновенную	дробь	и десятичную .
Запишите с помощью букв правило обращения смешанной дроби в неправильную	дробь	.
Сократите полученную	дробь	и сравните её .
Правда , в некоторых случаях выбирать не приходится , поскольку обыкновенную	дробь	преобразовать в десятичную можно не всегда .
Теперь ясно , что	дробь	можно сократить на разность .
Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту	дробь	можно записать в виде десятичной .
239 Смешанная	дробь	записана в виде суммы . , где буквами а , b и с обозначены .
Но есть и другая возможность :	дробь	— обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных дробей .
925 Сократите	дробь	.
Если несократимую	дробь	нельзя представить в виде десятичной , то её знаменатель содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Можно также представить	дробь	0,54 в виде обыкновенной и затем с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные дроби попарно .
10 Сократите	дробь	.
Можно ли сократить	дробь	.
Так ,	дробь	— в выражение частное была преобразована в сумму .
Если несократимую	дробь	можно записать в виде десятичной , то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Представим а9 в виде произведения а0а4 , тогда	дробь	можно будет сократить на общий множитель а5 .
920 Сократите	дробь	.
927 Сократите	дробь	.
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную	дробь	с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Выразите десятичной	дробью	массу снежинки .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной	дробью	, то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной	дробью	, нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
11 Выразите десятичной	дробью	: 42 % , 30 % , 8 % , 19,3 % , 0,7 % .
если часть величины , заданную десятичной	дробью	, надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Правило выражения процентов десятичной	дробью	.
Поскольку проценты выражаются	дробями	, то задачи на проценты , по существу , являются теми же задачами на дроби .
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с целыми числами , а с	дробями	.
При этом всегда полезно подумать , с какими	дробями	удобнее иметь дело .
Выразите эти проценты десятичными	дробями	.
Конечно , удобнее было бы иметь дело с десятичными	дробями	.
238 Выполните действия с	дробями	, записанными в буквенном виде .
Обратите внимание на то , что в ходе вычислений мы обращались с единицами , в которых выражена величина , так же , как и с	дробями	.
И всё - таки можно воспользоваться десятичными	дробями	.
Части городского бюджета , предназначенные для нужд города , выражаются следующими десятичными	дробями	: 0,04 ; 0,27 ; 0,3 ; 0,255 ; 0,0006 .
Вычисления с целыми числами проще , чем с	дробями	, поэтому прежде всего избавимся от дробей .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде	единиц	— цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до	единиц	. ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
596 В компьютере каждый символ кодируется последовательностью , состоящей из восьми цифр — нулей и	единиц	.
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде	единиц	- нечётная ? .
( Ответ округлите до	единиц	. ) .
Обратите внимание на то , что в ходе вычислений мы обращались с	единицами	, в которых выражена величина , так же , как и с дробями .
Выразите данные величины в одних и тех же	единицах	.
Эта величина , показывающая , какая работа выполняется в	единицу	времени , имеет специальное название — производительность работы .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на	единицу	.
При вычислениях по формулам необходимо следить за тем , чтобы	единицы	, в которых выражены входящие в них величины , были согласованы между собой .
д. Каждый кубик покрасили и разрезали на	единичные	кубики .
Напомним , что	единичные	отрезки по осям координат берутся равными .
Напомним , что	единичные отрезки	по осям координат берутся равными .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и	единичный	отрезок .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и	единичный отрезок	.
Сколько получилось	единичных	кубиков ? .
а )	замкнутый	луч с началом в точке 2 ( сколько существует таких лучей ? ) .
Неравенствами х 3 и х 3 также задаются лучи — открытый и	замкнутый	.
Такое множество точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют	замкнутым	лучом .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести	запятую	на два знака влево .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби —	запятую	переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести	запятую	на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
расстояние от Земли до	звезды	Сириус равно г ) диаметр атома водорода равен мм .
2	зерна	, на третью — ещё в 2 раза больше , т .
4	зерна	, и т .
Эта сумма равна огромному числу 18 446 744 073 709 551 615 , и она столь велика , что этим количеством	зерна	можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты , включая Мировой океан .
Рассказывают , что изобретатель шахмат в награду за своё изобретение попросил у раджи немного зёрен пшеницы : на первую клетку доски он попросил положить 1	зерно	, на вторую — в 2 раза больше , т .
322 Запишите равенство , заменив	знак	деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Перед скобками стоит	знак	« - » .
Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит знак « » и	знак	« - » .
Заменим в данном выражении	знак	деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит	знак	« » и знак « - » .
48 Не выполняя вычислений , определите	знак	результата .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете ,	знак	умножения не ставится ) .
Вы , наверное , догадались , что	знак	читается как « меньше или равно » ; его также можно прочитать и как « не больше » .
Эти правила называют правилами раскрытия скобок , перед которыми стоит	знак	« » или « - » .
321 Запишите равенство , заменив	знак	« плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
От чего зависит	знак	степени с отрицательным основанием ?
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен	знак	умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Отсюда понятно правило : в уравнении можно перенести слагаемое из одной части в другую , изменив при этом его	знак	на противоположный .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать	знак	% .
Может быть , именно из - за быстрого роста факториалов восхищённый изобретатель этого выражения использовал восклицательный	знак	.
4 Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит	знак	« » или « - » .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а	знак	умножения знаком « плюс » .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот	знак	перед первым слагаемым опускают .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а	знак	« минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
А вместо коэффициента -1 просто ставят	знак	« - » .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части уравнения , при этом его	знак	изменился с « минуса » на « плюс » .
4 Какой	знак	может иметь степень с отрицательным основанием ?
83S Заключите два последних слагаемых в скобки , поставив перед ними	знак	« - » , и затем выполните разложение на множители .
Рассмотрите ещё несколько зависимостей , которые задаются равенствами , содержащими	знак	модуля , и постройте их графики .
Вы знаете , что если перед числом поставить	знак	« - » , то получится число , ему противоположное .
Запишите предложения с помощью	знака	модуля .
С помощью одного	знака	— точки или тире — можно закодировать 2 буквы .
Можно ли обойтись последовательностями не более чем в 4	знака	, чтобы закодировать все буквы русского алфавита ? .
21 Запишите выражение , используя в качестве	знака	деления дробную черту , и найдите его значение .
После первого	знака	опять можно поставить точку или тире .
Прежде всего освободимся от	знака	модуля .
Не меняя ни одного	знака	, расставьте скобки так , чтобы выполнялось равенство .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от	знака	а ) откладывается отрезок , равный .
Если в качестве	знака	деления использовать черту дроби , то равенство примет такой вид .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два	знака	влево .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два	знака	вправо и к полученному числу приписать знак % .
тремя	знаками	можно закодировать букв .
Заметим , что подобные слагаемые можно группировать мысленно , выделяя их специальными	знаками	.
Так как то выражение , противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными	знаками	.
В алгебраической сумме , как мы видели , слагаемые « путешествуют » вместе со своими	знаками	.
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив	знаки	сложения перед скобками .
Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стёрли	знаки	между слагаемыми .
Буквы и другие	знаки	появились в математике не сразу , а в результате её длительного развития .
Перенося члены уравнения из одной части в другую , мы в одной части их « уничтожаем » , но зато в другой « восстанавливаем » , меняя при этом их	знаки	на противоположные .
Сколько	знаков	она наберёт за 5 мин , если будет работать с той же скоростью ? .
Ольга может за 30 с набрать на компьютере 160	знаков	.
Понятно , что , чем короче последовательность	знаков	, обозначающая букву , тем лучше .
С помощью указанного правила можно преобразовывать не только « чистые » суммы , но и смешанные выражения , составленные с помощью	знаков	« » и « - » .
Из буквенных выражений с помощью	знаков	действий и скобок составляют другие буквенные выражения .
А в русском алфавите 33 буквы , значит , придётся использовать последовательности из пяти	знаков	.
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило	знаков	« минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
Итак , последовательностями из одного , двух , трёх или четырёх	знаков	( точек и тире ) можно закодировать букв .
Значит , с помощью двух	знаков	можно закодировать буквы .
С помощью четырёх	знаков	( точек и тире ) можно закодировать букв .
Выскажите предположение , какие буквы русского алфавита в азбуке Морзе кодируются последовательностью из пяти	знаков	.
Из каждой последовательности из двух	знаков	получаются ещё две приписыванием точки или тире , т .
322 Запишите равенство , заменив знак деления	знаком	« минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения	знаком	« плюс » .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед	знаком	% , перенести запятую на два знака влево .
Поэтому , раскрывая скобки , запишем каждое слагаемое а , b и -с с противоположным	знаком	.
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным	знаком	.
Исходное и преобразованное выражения соединяют	знаком	« » и называют тождественно равными или просто равными .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать слагаемое со	знаком	« » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в	знаменателе	— произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
Вообще шансы имеет смысл сравнивать как дроби : в	знаменателе	дроби — сколько всего возможно исходов , в числителе — сколько из них отвечают конкретному событию .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в	знаменателе	оказались целые числа .
Числитель и	знаменатель	дроби можно разделить на общий множитель а8 .
Если	знаменатель	несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде десятичной .
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых числитель и	знаменатель	являются простыми числами от 11 до 37 ?
Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной , то её	знаменатель	содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и	знаменатель	.
Разложим числитель и	знаменатель	данной дроби на множители .
Если	знаменатель	несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Для этого разделим числитель каждой из них на	знаменатель	, причём техническую работу , т .
Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной , то её	знаменатель	в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Для этого приведём их к общему	знаменателю	.
Приведём их к общему	знаменателю	.
262 Назовите общий множитель числителя и	знаменателя	дроби и сократите её .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую дробь вида можно заменить суммой частных — и числовое	значение	останется тем же .
61 Из выражений выберите такое ,	значение	которого равно значению выражения .
814 Найдите	значение	выражения .
50 Зная , что 282 784 , найдите	значение	каждого из выражений .
51 Запишите выражение и найдите его	значение	.
	Значение	выражения в 3 раза меньше значения выражения .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите	значение	каждого из них при заданных значениях переменных .
Вынесите общий множитель за скобки и вычислите	значение	выражения .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г )	значение	выражения на 2 меньше значения выражения .
Числовое	значение	от этого не изменится .
Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил	значение	выражения х2 х и получил по условию число 90 .
Используя рассмотренный способ , найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения при заданном значении переменной .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых значениях букв то же	значение	, что и исходное .
370 При каких значениях х : а )	значение	выражения ; б ) значение выражения ? .
Чему равно	значение	дроби , если .
370 При каких значениях х : а ) значение выражения ; б )	значение	выражения ? .
371 При каком значении переменной . а )	значение	выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
372 Найдите	значение	переменной , при котором .
Запишите ответ , используя степень числа 2 , и вычислите	значение	получившегося выражения .
10 Найдите	значение	выражения .
Таким образом ,	значение	выражения при равно -2,1 .
817 Найдите	значение	выражения .
1 Найдите	значение	выражения .
Чему равно	значение	выражения .
Вспомните , что сочетательный закон сложения гласит : от изменения расстановки скобок в сумме её	значение	не меняется .
639 Найдите	значение	данного многочлена .
580 Найдите	значение	выражения .
Докажите , что	значение	выражения .
756 Найдите	значение	выражения .
7 Найдите	значение	степени .
638 Найдите	значение	выражения .
Разберите , как найдено	значение	степени 28 во фрагменте 1 .
659 Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменных .
и найдите его	значение	.
Числовое	значение	будет одно и то же .
Это равенство показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое	значение	при этом не изменится .
С помощью какого приёма удобно найти	значение	данного выражения ?
3 Найдите	значение	выражения .
5 Найдите	значение	выражения .
843 Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменных .
в )	значение	выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
б Найдите	значение	выражения .
618 Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменной .
13 Вычислите 14 Найдите	значение	выражения .
637 Найдите	значение	выражения .
Парабола симметрична относительно оси ординат , так как противоположным значениям х соответствует одно и то же	значение	у.
а ) Делится ли	значение	выражения .
А	значение	выражения 15 ! , которого нет в таблице , превосходит 1012 , а именно .
122 Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменных .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его	значение	.
Вычислите	значение	выражения при а 1,5 , b 0,7 , с -0,5 .
Если , например , коэффициент роста будет другим , то достаточно подставить в это выражение вместо х его	значение	и выполнить вычисления .
Подставьте вместо букв заданные числа и найдите	значение	выражения .
4 Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	каждого из выражений .
а )	значение	выражения в 2 раза больше значения выражения .
300 Упростите выражение и найдите его	значение	при указанных значениях букв .
27 Найдите	значение	выражения .
Заметим , что вычислить	значение	выражения можно не всегда .
120 Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения при .
31 Убедитесь , что при данных значениях х , у , z	значение	выражения равно 1 .
г ) Что в соответствии с условием задачи означает найденное	значение	х , равное 9 ?
794 Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения комментируйте каждый шаг .
Найдём	значение	выражения .
Найдите	значение	выражения при заданных значениях переменных .
Не забудьте , что , используя найденное	значение	х , надо ещё найти расстояние от дома до школы .
328 Найдите	значение	выражения .
Пользуясь им как образцом , найдите	значение	выражения .
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите	значение	выражения .
792 Найдите	значение	выражения .
532 Чему равно	значение	выражения ? .
Сколько действий надо выполнить , чтобы вычислить	значение	выражения .
371 При каком	значении	переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
Найдите значение выражения при заданном	значении	переменной .
При каком	значении	k верно равенство .
537 При каком	значении	k верно равенство .
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком	значении	х значения выражений противоположны ? .
А вот уравнение вообще не имеет корней , так как при любом	значении	х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
15 При каком	значении	х верно равенство .
Укажите промежутки	значений	х , в которых прямая расположена выше кубической параболы .
Чему равно отношение соответственных	значений	пропорциональных величин ?
Арифметика — наука о числах , основные её задачи связаны с вычислением	значений	числовых выражений .
Найдём несколько пар соответственных	значений	v и t .
Из данных	значений	а назовите какое - нибудь одно , при котором .
Решение уравнения — это поиск тех	значений	переменной , при которых получается верное равенство .
В каждом случае составьте таблицу	значений	х и у.
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных	значений	равно одному и тому же числу .
Составьте таблицу соответственных	значений	х и у и постройте по точкам график этой зависимости .
Каждая переменная в формуле связана с множеством	значений	, которые она может принимать .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных	значений	равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Для этого . Вычислите значения у для указанных	значений	х и заполните таблицу .
Значит , если у нас есть ряд данных , то для обоснованных выводов и надёжных прогнозов на их основе , помимо средних	значений	, надо ещё указать , насколько используемые данные различаются между собой .
Для выражения назовите несколько пар	значений	тип , для которых выражение не имеет смысла .
Выберите из данных	значений	а и b такие , при которых .
Составьте таблицу соответственных	значений	х и у по графику .
Чему равно произведение соответственных	значений	обратно пропорциональных величин ? .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных	значений	переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
61 Из выражений выберите такое , значение которого равно	значению	выражения .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно	значению	выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны	значению	выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений ,	значения	которых можно найти , пользуясь таблицей степеней числа 3 .
Найдите	значения	выражений .
Температура на Меркурии колеблется от наименьшего	значения	-150 ° до наибольшего значения 350 ° .
Найдите в таблице	значения	а , при которых выполняется условие .
Так , в формуле s vt переменные могут принимать только положительные	значения	.
значение выражения в 3 раза меньше	значения	выражения .
Будем последовательно переходить от одного	значения	величины к другому , пока не получим нужный результат : 16 человек за 20 дней собрали 180 т ; 1 человек за 20 дней соберёт в 16 раз меньше .
Более того , эти	значения	находятся в ограниченном промежутке .
Например , если этой формулой описывается движение пешехода , то	значения	скорости v не могут превосходить 5—6 км / ч .
а ) значение выражения в 2 раза больше	значения	выражения .
Какие	значения	могут принимать переменные тип ? .
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком значении х	значения	выражений противоположны ? .
А в формуле Р pt , выражающей зависимость объёма выполненной каменщиком работы от производительности и времени , переменные Р и р могут принимать только натуральные	значения	.
Помимо размаха , во многих случаях важны сами наибольшие или наименьшие	значения	данных .
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите	значения	получившихся выражений .
Какие	значения	могут принимать переменные а и b ? .
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те ,	значения	которых противоположны значению выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Используйте полученный результат для вычисления	значения	выражения .
324 В выражениях поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите	значения	полученных выражений .
Для этого . Вычислите	значения	у для указанных значений х и заполните таблицу .
Какие	значения	могут принимать переменные n и N ?
Подставим в выражение	значения	и выполним вычисления .
в ) значение выражения на 10 больше	значения	выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
Какие	значения	могут принимать переменные в формуле стоимости покупки учебников , которой вы пользовались в предыдущем задании ? .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат —	значения	температуры .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать	значения	времени , а по оси ординат — значения температуры .
52 Найдите	значения	выражений .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б )	значения	выражений противоположны ? .
Чтобы использовать калькулятор для вычисления	значения	многочлена этот многочлен удобно представить в таком виде .
Сравните	значения	выражений .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше	значения	выражения .
Температура на Меркурии колеблется от наименьшего значения -150 ° до наибольшего	значения	350 ° .
При каких значениях переменной равны	значения	выражений .
123 Сравните	значения	выражений .
Такие	значения	переменной , как вы знаете , называют корнями уравнения .
Занимаясь математикой , вы узнали много формул , описывающих зависимости между различными величинами , и научились с их помощью вычислять	значения	одних величин по значениям других .
Занимаясь математикой , вы узнали много формул , описывающих зависимости между различными величинами , и научились с их помощью вычислять значения одних величин по	значениям	других .
Парабола симметрична относительно оси ординат , так как противоположным	значениям	х соответствует одно и то же значение у.
В самом деле , заменим дроби и 75 их приближёнными десятичными	значениями	.
Легко понять , что допустимыми	значениями	букв а и b для выражения — являются любые пары чисел , при которых , т .
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим	значениями	ряда данных .
При каких	значениях	х парабола лежит выше прямой ?
370 При каких	значениях	х : а ) значение выражения ; б ) значение выражения ? .
Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменных .
618 Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменной .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых	значениях	букв то же значение , что и исходное .
В самом деле , при таких	значениях	а и b пришлось бы делить на 0 , а значит , в этом случае выражение не имело бы смысла .
При каких	значениях	n событие А — невозможное , а при каких — достоверное ? .
659 Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменных .
300 Упростите выражение и найдите его значение при указанных	значениях	букв .
16 При каких натуральных	значениях	х верно неравенство .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите значение каждого из них при заданных	значениях	переменных .
122 Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменных .
При каких	значениях	переменной равны значения выражений .
При каких	значениях	х выполняется равенство .
843 Найдите значение выражения при заданных	значениях	переменных .
31 Убедитесь , что при данных	значениях	х , у , z значение выражения равно 1 .
Рассказывают , что изобретатель шахмат в награду за своё изобретение попросил у раджи немного	зёрен	пшеницы : на первую клетку доски он попросил положить 1 зерно , на вторую — в 2 раза больше , т .
Число	зёрен	, которое потребовал в награду изобретатель шахмат , выражается суммой .
129 Школьная баскетбольная команда из 16	игр	, сыгранных на соревнованиях за год , выиграла 12 .
Сколько	игр	ей надо выиграть , чтобы её результат в процентном отношении оказался по крайней мере не хуже ? .
Один выигрывает при появлении события А , а другой — при появлении события В. Используя полученные статистические данные , определите , справедлива ли эта	игра	.
Исходя из статистических данных , полученных в результате экспериментов , определите , справедлива ли такая	игра	.
Как вы считаете , справедливо ли использование кубика в настольных	играх	? .
Понятно , что в такой ситуации выигрышная стратегия — начать	игру	с самой распространённой в русском языке буквы .
В следующем году она планирует сыграть на соревнованиях 22	игры	.
Когда перед началом	игры	игроки хотят договориться , кто из них сделает первый ход , то обычно подбрасывают монету .
слова «	интеграл	» ? .
941 Из колоды	карт	вынимают одну карту .
в ) выпадание одного очка и шести очков при бросании кубика . г ) вынимание из колоды	карт	туза и вынимание шестёрки . д ) попадание и промах при стрельбе по мишени . е ) выпадение снега и выпадение дождя 1 января в том регионе , где вы живёте ? .
В : из колоды	карт	вынута карта чёрной масти .
Из колоды в 36	карт	наугад вытягивают одну .
Из перетасованной колоды	карт	вынимают одну карту .
Дама пик — одна из	карт	пиковой масти , поэтому событие В влечёт за собой событие А. У события С четыре исхода : дама пик , дама крестей , дама червей и дама бубен .
В : вам кто - нибудь позвонит с 5 до 6 часов утра . б ) А : из колоды	карт	вынута карта красной масти .
В : вам кто - нибудь позвонит с 5 до 6 часов утра . б ) А : из колоды карт вынута	карта	красной масти .
В : вынута карта бубновой масти . б ) Сколько исходов имеет событие С : вынута	карта	старше дамы ? .
С : эта	карта	бубновой масти .
А : вынутая	карта	— туз .
В : из колоды карт вынута	карта	чёрной масти .
А : вынута	карта	пиковой масти .
В : эта	карта	красной масти .
В : вынута	карта	бубновой масти . б ) Сколько исходов имеет событие С : вынута карта старше дамы ? .
А : на этой	карте	— король .
182 Масштаб карты 1 5 000 000 . а ) Расстояние между Москвой и Курском на	карте	равно 9 см. Чему равно это расстояние в действительности ? .
Чему равно это расстояние на	карте	? .
941 Из колоды карт вынимают одну	карту	.
дисконтную	карту	на год , которая даёт право на 10 % скидки при покупке товаров в этом магазине .
Из перетасованной колоды карт вынимают одну	карту	.
На какую минимальную сумму необходимо приобрести товаров за этот год , чтобы покупка дисконтной	карты	оправдалась ? .
182 Масштаб	карты	1 5 000 000 . а ) Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см. Чему равно это расстояние в действительности ? .
И в этой же точке , как говорят математики , парабола	касается	оси абсцисс .
Теперь ясно , что данный трёхчлен может быть получен в результате возведения в	квадрат	двучлена или двучлена Таким образом .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что	квадрат	любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
Пользуясь выведенной формулой , возведите в	квадрат	.
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в	квадрат	чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Выделите	квадрат	двучлена .
Используя формулу квадрата двучлена , возведите в	квадрат	трёхчлен .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его	квадрат	, увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
558 Возведите в	квадрат	и в куб выражение .
Иногда трёхчлен удаётся « свернуть » в	квадрат	двучлена .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс	квадрат	второго числа .
Заметим , что для возведения в	квадрат	двучлена х - 0,5с можно воспользоваться и формулой квадрата суммы .
53 а ) Объём пирамиды , в основании которой	квадрат	. вычисляется по формуле V -a2h .
727 Представьте	квадрат	двучлена в виде трёхчлена .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится	квадрат	большего числа .
Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически , изобразив	квадрат	со стороной .
возведение двучлена в	квадрат	.
Трёхчлен можно разложить на множители , выделив	квадрат	двучлена .
Борис предложил ему возвести это число в	квадрат	, после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс	квадрат	второго числа .
С помощью полученной формулы возведите в	квадрат	.
Таким образом , мы видим , что при возведении в	квадрат	двучлена получается трёхчлен .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится	квадрат	большего числа .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в	квадрат	двучлена .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б )	квадрат	разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
в )	квадрат	разности т и 3 . г ) разность квадратов а и с .
728 Выполните возведение в	квадрат	.
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а )	квадрат	суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
569 Возведите в	квадрат	и в куб выражение .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ;	квадрат	суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
С помощью полученной формулы можно возводить в	квадрат	сумму любых двух выражений .
д ) куб суммы у и r . е )	квадрат	суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Как вы знаете ,	квадрат	любого числа положителен или равен нулю , т .
Докажите , что если сторону	квадрата	увеличить в 10 раз , то его площадь увеличится в 100 раз .
С использованием формул	квадрата	суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его	квадрата	делится на 2 .
Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше , а другая на 6 см меньше стороны	квадрата	.
7 Напишите формулы	квадрата	суммы и квадрата разности и докажите их .
732 Представьте трёхчлен в виде	квадрата	двучлена .
а ) периметра	квадрата	от длины его стороны .
б ) площади	квадрата	от длины его стороны .
Сторону	квадрата	увеличили в 3 раза .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона	квадрата	, лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
а ) Представьте трёхчлен в виде	квадрата	двучлена .
формула	квадрата	разности .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного	квадрата	их разности .
Запишите формулы квадрата суммы и	квадрата	разности .
Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части	квадрата	, получившейся на десятом шаге ; на сотом шаге .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны	квадрата	, а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Утверждение , которое выражается формулой	квадрата	суммы , было известно ещё в древности .
Выясним , можно ли представить в виде	квадрата	двучлена трёхчлен .
12 На сколько процентов площадь	квадрата	ABCD больше площади квадрата AKLM1 .
Найдите длину стороны	квадрата	и длины сторон прямоугольника .
Можно ли представить в виде	квадрата	суммы или разности трёхчлена .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного	квадрата	их суммы .
12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади	квадрата	AKLM1 .
571 Какое из выражений нельзя представить ни в виде	квадрата	, ни в виде куба ? .
7.5 Формулы квадрата суммы и	квадрата	разности .
7.5 Формулы	квадрата	суммы и квадрата разности .
С использованием формул квадрата суммы или	квадрата	разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Используя формулу	квадрата	двучлена , возведите в квадрат трёхчлен .
750 Представьте в виде	квадрата	двучлена .
749 Пользуясь формулами	квадрата	суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена выражение .
Площадь	квадрата	на 63 см2 больше площади прямоугольника .
764 а ) Площадь	квадрата	равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
12 Какое из данных выражений нельзя представить ни в виде	квадрата	, ни в виде куба ? .
Мы получили формулу	квадрата	суммы .
Найдите площадь	квадрата	.
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны	квадрата	.
Обозначим сторону квадрата буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового	квадрата	равна .
Заметим , что для возведения в квадрат двучлена х - 0,5с можно воспользоваться и формулой	квадрата	суммы .
Под строительство был отведён участок земли , имеющий форму	квадрата	.
Тогда сумма этого числа и его	квадрата	будет .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны	квадрата	, а другая на 3 см больше стороны квадрата .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны	квадрата	.
Аналогично можно получить формулу	квадрата	разности .
7 Напишите формулы квадрата суммы и	квадрата	разности и докажите их .
13 Площадь прямоугольника равна площади	квадрата	.
Запишите формулы	квадрата	суммы и квадрата разности .
Формула	квадрата	разности . — — суммы .
Обозначим сторону	квадрата	буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового квадрата равна .
808 Если каждую из сторон земельного участка , имеющего форму	квадрата	, уменьшить на 3 м , то получится участок , площадь которого будет меньше площади исходного участка на 81 м2 .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и	квадрата	разности , представьте в виде многочлена выражение .
10 Представьте в виде	квадрата	двучлена .
13 На сколько процентов площадь квадрата AKLM меньше площади	квадрата	ABCD ? .
13 На сколько процентов площадь	квадрата	AKLM меньше площади квадрата ABCD ? .
У одной из них дно	квадратное	, а у другой — прямоугольное .
777 Картинку	квадратной	формы наклеили на белую бумагу , в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на 460 см2 больше , чем она занимала без окантовки .
Длина прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона	квадратной	формы .
Объём усечённой пирамиды с	квадратными	основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
648 Сумму	квадратов	натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
793 Докажите , что сумма	квадратов	пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
Для первых двух	квадратов	записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части .
Запишите соответствующие выражения для остальных	квадратов	на рисунке .
а ) разность	квадратов	двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
847 Какие из выражений можно разложить на множители , применив формулу разности	квадратов	.
Найдем отношение площадей	квадратов	.
928 Представьте выражение в виде многочлена , используя формулу разности	квадратов	.
Вычислите сумму	квадратов	натуральных чисел для .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы разности	квадратов	.
Сумма	квадратов	двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
группировка . 3 ) формула разности	квадратов	.
в ) квадрат разности т и 3 . г ) разность	квадратов	а и с .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности	квадратов	или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности	квадратов	этих чисел .
Вам уже известны формулы	квадратов	суммы и разности , вы не раз применяли их на уроках математики .
Теперь можно воспользоваться формулой разности	квадратов	.
— разности	квадратов	. — — кубов . — суммы кубов .
Формула разности	квадратов	фактически является ещё одной формулой сокращённого умножения .
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности	квадратов	, суммы и разности кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
4 Запишите формулу разности	квадратов	и докажите её .
Мы получили формулу разности	квадратов	.
Разность	квадратов	двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Приведём примеры применения формулы разности	квадратов	.
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности	квадратов	двух выражений .
Двучлен представляет собой разность	квадратов	.
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму	квадратов	тиn .
8.3 Формула разности	квадратов	.
Запишите формулу разности	квадратов	и прочитайте её ( фрагмент 1 ) .
Можно ли применить формулу разности	квадратов	к выражению .
Мы заменили сумму равным выражением , переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой разности	квадратов	.
а ) сумма	квадратов	чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность	квадратов	чисел 0,3 и 1,3 .
Разность	квадратов	.
применив формулу разности	квадратов	.
Выражение можно записать в виде суммы	квадратов	: Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
Это можно сделать , воспользовавшись знакомой вам формулой разности	квадратов	.
Запишите формулу разности	квадратов	справа налево и прочитайте её ( фрагмент 2 ) .
8 Какое из выражений нельзя разложить на множители , используя формулу разности	квадратов	? .
Представим выражение в виде разности	квадратов	и воспользуемся соответствующей формулой .
В этой формулировке выражение названо неполным	квадратом	.
называли прямоугольником , выражение а2 —	квадратом	.
а ) разность между	квадратом	любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
Такое название принято из - за его внешнего сходства с выражением , равным	квадрату	суммы .
Квадрат суммы двух чисел равен	квадрату	первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно	квадрату	среднего , уменьшенному на единицу .
Квадрат разности двух чисел равен	квадрату	первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
734 Подберите такое k , чтобы трёхчлен был равен	квадрату	двучлена .
Найдите площадь	кольца	, если .
1 Площадь	кольца	S можно вычислить по формуле .
1 Баскетболист на тренировке учился бросать мяч в	кольцо	.
Какова частота попаданий в	кольцо	на тренировке ? .
Выполнив 50 бросков , он попал в	кольцо	36 раз .
606 Сколько существует анаграмм слова : а ) « факториал » ; б ) « перестановка » ; в ) «	комбинаторика	» ? .
Правило умножения	комбинаторное	.
6.3 Решение	комбинаторных	задач .
Правило умножения очень полезно при решении многих	комбинаторных	задач , однако его нельзя применять механически , не задумываясь над смыслом и вопросом задачи .
При решении	комбинаторных	задач приходится отвечать на вопросы типа : « Сколькими способами ? » , « Сколько существует вариантов ? » .
Полученные знания пригодятся вам в самых разных областях математики , в том числе в решении	комбинаторных	задач , которому посвящена вторая половина главы .
Давайте исследуем эту проблему на примере	комбинаторных	задач на « перестановки по кругу » .
б ) Сколько	компакт	- дисков купил Николай , если он заработал в 2 раза больше денег , чем Виктор , и купил диски по цене , в 1,5 раза большей ? .
а ) Сколько	компакт	- дисков он мог бы купить на эти деньги , если бы их цена была в 1,5 раза меньше ?
168 На заработанные в каникулы деньги Виктор может купить 6 одинаковых по цене	компакт	- дисков с любимыми фильмами .
Использование степеней делает выражение более	компактным	, « обозримым » .
А в незнакомой вам пока знаменитой формуле Альберта Эйнштейна Е тс2 , выражающей зависимость между массой тела и энергией , которой оно обладает , буква с — это	константа	, равная скорости света .
Говорят , что к — это постоянная ( или	константа	— от латинского constantis , означающего « постоянная » ) .
в ) начала	координат	.
В той же системе	координат	постройте « кривую популярности » низкокаблучников .
благодаря серьёзным успехам в области алгебры зародился мощный математический инструментарий - метод	координат	.
Идея	координат	принадлежит к числу древнейших достижений человеческой мысли , но только в XVII в .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе	координат	положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности их	координат	.
Метод	координат	- это способ перевода геометрической задачи на язык алгебры , после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат алгебры .
Обнаружив записку , они смогли разобрать только одну из географических	координат	— широту того места , где корабль потерпел кораблекрушение .
495 В одной системе	координат	постройте параболу и прямую .
А пока при изучении этой главы вам предстоит научиться свободно ориентироваться в системе	координат	, анализировать информацию , представленную графически , приобрести элементарные навыки перевода с геометрического языка на алгебраический и наоборот .
Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями	координат	.
Вернёмся к прямоугольной системе	координат	на плоскости .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе	координат	прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
А если нам известна только одна из	координат	точки на плоскости ?
В дальнейшем вы тоже познакомитесь с методом	координат	.
Кубическая парабола симметрична относительно начала	координат	.
Напомним , что единичные отрезки по осям	координат	берутся равными .
Расскажите , как найдена	координата	середины отрезка в примере из фрагмента 2 .
Напомним , что	координата	точки записывается в скобках .
Если нам известна	координата	точки А на прямой , то мы знаем и расстояние от этой точки до начала отсчёта , т .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её	координата	равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Пусть задана только одна	координата	точки , например , известно , что у 2 .
а ) с отрицательными координатами . б ) с неотрицательными	координатами	.
а ) с отрицательными	координатами	. б ) с неотрицательными координатами .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её	координатами	— абсциссой и ординатой .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к	координате	точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Найдите точку с целой положительной	координатой	, принадлежащую отрезку .
На прямой положение точки определяется одной	координатой	, а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Число а в таком случае называют	координатой	построенной точки .
Рассмотрим множество точек координатной прямой , имеющих	координату	, большую 3 , а значит , расположенных правее точки 3 .
Найдём	координату	середины отрезка , концами которого служат точки А(-11,5 ) и Б(3,9 ) .
Например , если точка А имеет	координату	, равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет	координату	говорят просто : « точка 1/3 » .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет	координату	х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Обозначим	координату	середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Сколько точек имеют целую неотрицательную	координату	? .
Найдите	координату	середины отрезка АВ для каждого случая .
455 Зная	координату	точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
Найдите	координату	точки К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите	координату	точки В .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить	координату	точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
454 а ) Найдите	координату	точки С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
456 Точка А имеет	координату	, равную -4 , а точка В — координату , равную 18 .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить	координату	любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Найдите	координату	точки М , если известно , что .
456 Точка А имеет координату , равную -4 , а точка В —	координату	, равную 18 .
Оказывается , в математике есть специальная формула для решения этой задачи : если точки А и Б имеют соответственно	координаты	.
Постройте точки ,	координаты	которых занесены в таблицу .
2 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условию .
Найдите	координаты	этих точек .
499 Найдите	координаты	общих точек графиков зависимостей .
Каким соотношением связаны	координаты	точек этой параболы ? .
Например , точки А , В , С , D , имеют соответственно	координаты	это их « адреса » на координатной прямой .
497 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условиям .
490 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству .
489 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству .
Вычислим	координаты	нескольких точек , удовлетворяющих равенству у х. и заполним таблицу .
438 Изобразите на координатной прямой множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют двойному неравенству .
Отметим на координатной плоскости несколько точек , имеющих равные	координаты	, например А(0 ; 0 ) , В(1 ; 1 ) , С(-2 ; -2 ) , D(0,5 ; 0,5 ) .
470 Неравенства х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её точки имеют неотрицательные	координаты	.
467 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют двойному неравенству .
	Координаты	которых удовлетворяют равенству у х ? .
	Координаты	которых удовлетворяют равенству .
466 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
Чтобы построить график , вычислим сначала	координаты	нескольких его точек и занесём результаты в таблицу .
Найдите	координаты	точек пересечения этих графиков .
Назовите	координаты	каких - нибудь пяти точек , которые принадлежат этому прямоугольнику , и пяти точек , которые ему не принадлежат .
Построим теперь на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых связаны более сложным соотношением — равенством .
Значит , множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Назовите	координаты	нескольких точек , принадлежащих этому графику .
472 Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условиям .
496 Найдите	координаты	точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
Пусть теперь на прямой заданы две произвольные точки А и В. Как , зная их	координаты	, найти расстояние между ними , т .
Точно так же множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
Можно вычислить	координаты	других точек , удовлетворяющих равенству и отметить их на координатной плоскости .
511 Изобразите на плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют этому неравенству .
Найдите зависимость , связывающую	координаты	точек построенной прямой , и задайте её алгебраически .
501 Постройте на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству .
Назовите	координаты	ещё двух точек , принадлежащих этому графику , и двух точек , не принадлежащих ему .
485 Постройте множество точек плоскости ,	координаты	которых связаны соотношением .
458 Изобразите на координатной прямой множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют условию .
Найдите	координаты	точек , которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
Пусть	координаты	связаны соотношением .
Укажите	координаты	нескольких точек , принадлежащих этому графику .
Найдите зависимость , которой удовлетворяют	координаты	точек этой прямой .
Какая зависимость связывает	координаты	точек этой прямой ?
512 Изобразите на координатной прямой множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
единственный	корень	, равный .
один	корень	. 2 )
413 Найдите натуральный	корень	уравнения .
Уравнение , которое мы решали в предыдущем пункте , имеет только один	корень	— число 9 .
Таким образом , уравнение ; имеет	корень	, равный 2 .
Русское слово «	корень	» в данном случае — это яркий пример метафоры в математическом языке : вспомните , как при решении текстовой задачи алгебраическим способом уравнение как бы вырастает из неизвестного числа х .
Найдите	корень	уравнения .
5 Каким числом является	корень	уравнения .
Найдите а , если известно , что	корень	уравнения равен .
два корня . 3 ) нет	корней	.
При этом множество	корней	уравнения не изменится .
Множество	корней	этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
А вот уравнение вообще не имеет	корней	, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
Что представляет собой множество	корней	уравнения .
Итак , подбор одного или даже нескольких	корней	вовсе не означает , что нет других .
Укажите ещё несколько	корней	этого уравнения .
2 Соотнесите каждое уравнение с числом его	корней	.
355 Укажите множество	корней	уравнения .
уравнение не имеет	корней	.
353 Объясните , почему уравнение не имеет	корней	.
416 Один из	корней	уравнения натуральный .
Можно сказать и так : решить уравнение — значит найти множество его	корней	.
Определите , является ли число -2	корнем	данного уравнения ; обоснуйте ответ .
1 Что называется	корнем	уравнения ?
Например ,	корнем	уравнения , в обеих частях которого стоят равные выражения , является любое число .
а )	корнем	уравнения является любое число .
354 Проверьте , что число 10 является корнем уравнения а число — 10 его	корнем	не является .
а ) число 4 является	корнем	уравнения .
354 Проверьте , что число 10 является	корнем	уравнения а число — 10 его корнем не является .
число — 3 является	корнем	уравнения .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы	корнем	получившегося уравнения было целое число .
349 Является ли	корнем	уравнения число .
г ) число -2 является	корнем	уравнения .
373 Придумайте несколько уравнений ,	корнем	каждого из которых .
Является ли	корнем	уравнения .
в ) число 4 является	корнем	уравнения .
Что называется	корнем	уравнения ?
Найдите	корни	уравнения .
415 Найдите целые	корни	уравнения .
906 Найдите	корни	уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
425 Имеет ли	корни	уравнение .
414 Найдите все целые	корни	уравнения .
Учитывая сказанное , мы можем уточнить смысл слов « решить уравнение » : решить уравнение — значит найти все его	корни	или доказать , что корней у него нет .
910 Найдите	корни	уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
18 Найдите	корни	уравнения .
Но уравнение может иметь и более одного	корня	.
Таким образом , уравнение имеет два	корня	.
Например , у уравнения х2 9 два	корня	— это числа — 3 и 3 .
два	корня	. 3 ) нет корней .
82 а ) Представьте в виде круговой диаграммы состав лекарственного сбора :	корня	солодки — 27 % , корня алтея — 29,8 % , листьев шалфея — 14,4 % , плодов аниса — 14,4 % , почек сосны — 14,4 % .
82 а ) Представьте в виде круговой диаграммы состав лекарственного сбора : корня солодки — 27 % ,	корня	алтея — 29,8 % , листьев шалфея — 14,4 % , плодов аниса — 14,4 % , почек сосны — 14,4 % .
Таким образом , уравнение имеет два	корня	: -1 и 1 .
350 Какие из чисел 1 , 2 , 0 , — 1 , -2 являются	корнями	уравнения .
Такие значения переменной , как вы знаете , называют	корнями	уравнения .
1 Какие из чисел -3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3 являются	корнями	уравнения .
В рассмотренных линейных уравнениях	коэффициент	а при переменной отличен от нуля .
Как принято записывать произведение , у которого	коэффициент	равен 1 ?
Если , например ,	коэффициент	роста будет другим , то достаточно подставить в это выражение вместо х его значение и выполнить вычисления .
Обратите внимание :	коэффициент	слагаемого аb равен 1 , так как .
Заметьте :	коэффициент	слагаемого -с равен -1 , так как Таким образом .
Обозначив 1,1 (	коэффициент	роста ) буквой х , мы можем записать общую сумму на счёте с помощью многочлена .
Чему равен	коэффициент	произведения ?
3 Чему равен	коэффициент	в каждом из произведений .
Чему равен его	коэффициент	? .
Заметим , что	коэффициент	, равный 1 , обычно не пишут : равенство является законом алгебры .
256 Упростите произведение и назовите	коэффициент	.
Чему равен	коэффициент	пропорциональности ? .
161 ; Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются прямой пропорциональностью , и объясните смысл	коэффициента	пропорциональности .
А вместо	коэффициента	-1 просто ставят знак « - » .
Найдём сумму	коэффициентов	подобных слагаемых первой группы .
Теперь найдём сумму	коэффициентов	слагаемых второй группы .
Так , в выражении -20ху числовой множитель -20 является	коэффициентом	.
Формулу называют формулой прямой пропорциональности , а число k —	коэффициентом	пропорциональности .
Числовой множитель одночлена , записанного в стандартном виде , называют	коэффициентом	одночлена .
Представьте , что вы открыли счёт с	коэффициентом	роста х и один раз в год вносите на этот счёт 1000 р .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют	коэффициентом	этого произведения .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу —	коэффициенту	пропорциональности .
Назовите	коэффициенты	членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
Тогда в скобках остаётся многочлен , члены которого не содержат общих буквенных множителей , а их	коэффициенты	не имеют общих натуральных делителей , отличных от 1 .
Чтобы привести подобные слагаемые , нужно : сгруппировать эти слагаемые ; сложить их	коэффициенты	.
Назовите все члены многочлена и	коэффициенты	членов , содержащих буквенные множители .
Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее	кратное	знаменателей дробей , т .
Если бы мы продолжили таблицу , то оно попало бы в столбец , где находятся степени 24 , 28 , 212 , показатели которых	кратны	четырём .
509 В экономических исследованиях часто используется	кривая	спроса — график , который показывает , как зависит спрос на товар от его цены .
Представив данные соответствующей таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки , постройте «	кривую	популярности » высококаблучников .
Представив данные таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки плавной линией , начертите	кривую	спроса на яблоки .
В той же системе координат постройте «	кривую	популярности » низкокаблучников .
Сопоставьте эти	кривые	.
Сколькими различными способами они могут встать в	круг	? .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь	круга	, г — радиус круга .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус	круга	.
Изобразим с помощью	кругов	Эйлера , как соотносятся друг с другом следующие события .
Изобразите с помощью	кругов	Эйлера , как эти события соотносятся друг с другом .
Изобразите отношение событий С и D из примера 1 с помощью	кругов	Эйлера .
Когда из наступления события В обязательно следует наступление события А , то говорят , что В влечёт за собой А , и оно , естественно , будет менее вероятно , чем А. С помощью	кругов	Эйлера такое отношение событий показано .
Давайте исследуем эту проблему на примере комбинаторных задач на « перестановки по	кругу	» .
558 Возведите в квадрат и в	куб	выражение .
д )	куб	суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г )	куб	суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ;	куб	разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж )	куб	суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
9 Возведите в	куб	выражение .
569 Возведите в квадрат и в	куб	выражение .
12 Какое из данных выражений нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде	куба	? .
747 Выведите формулу	куба	суммы .
в ) Длину ребра	куба	увеличили в 10 раз .
б ) Во сколько раз увеличится объём	куба	, если его ребро увеличить в n раз ? .
748 Выведите формулу	куба	разности .
571 Какое из выражений нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде	куба	? .
5 Запишите формулу разности	кубов	и докажите её .
Читается эта формула так , разность	кубов	двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
Преобразуйте второй многочлен так , чтобы можно было применить формулу разности или суммы	кубов	.
Запишите формулы разности кубов и суммы	кубов	; прочитайте эти формулы .
Формула суммы	кубов	выглядит так .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы	кубов	или разности кубов , и выполните эти преобразования .
Выполните умножение , используя формулу суммы	кубов	или разности кубов .
сумма	кубов	двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
Двучлен можно представить в виде разности	кубов	.
Запишите формулы разности	кубов	и суммы кубов ; прочитайте эти формулы .
Выполните умножение , используя формулу суммы кубов или разности	кубов	.
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы	кубов	.
5 Примените для разложения на множители , если это возможно , формулу суммы или разности	кубов	.
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности квадратов , суммы и разности	кубов	, с которыми вы познакомитесь в этой главе .
6 Запишите формулу суммы	кубов	и докажите её .
Вспомним , например , известную вам формулу разности	кубов	.
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности	кубов	, и выполните эти преобразования .
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности	кубов	или суммы кубов .
в ) разность	кубов	чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Формулой разности	кубов	называют равенство .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы )	кубов	. — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Вычислите сумму	кубов	натуральных чисел для .
8.4 Формулы разности и суммы	кубов	.
— разности квадратов . — — кубов . — суммы	кубов	.
649 Сумму	кубов	натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
12 Какой двучлен можно разложить на множители , используя формулу суммы	кубов	? .
— разности квадратов . — —	кубов	. — суммы кубов .
Теперь применим формулы разности и суммы	кубов	.
Разложение на множители можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде разности	кубов	.
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма	кубов	чисел 0,3 и -0,1 .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность	кубов	х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Докажите , что разность между	кубом	любого натурального числа и этим числом делится на 6 .
Приведите пример	линейного	уравнения .
Уравнение . —	линейное	.
Уравнение вида , где а и b — числа , ах — переменная , называют	линейным	.
4 Какое уравнение называется	линейным	?
В рассмотренных	линейных	уравнениях коэффициент а при переменной отличен от нуля .
Таким образом , график зависимости это	ломаная	, образованная двумя лучами .
Полученные точки соединены	ломаной	, которая при увеличении числа экспериментов становится практически горизонтальной прямой .
516 Постройте	ломаную	ABCD по описанию её звеньев .
Замкнутый	луч	.
Этот	луч	можно задать неравенством х 3 .
Открытый	луч	.
	Луч	, расположенный в I координатном углу .
Мы уже знаем , что на координатной прямой неравенству х 3 соответствует открытый	луч	.
Слово «	луч	» подсказано геометрией , а открытым его называют потому , что граничная точка 3 ему не принадлежит ( на рисунке такую точку обозначают светлым кружком ) .
а ) замкнутый	луч	с началом в точке 2 ( сколько существует таких лучей ? ) .
б ) открытый	луч	с началом в точке -1 ( сколько существует таких лучей ? ) .
	Луч	, расположенный во II координатном углу .
открытого луча и замкнутого	луча	?
открытого	луча	и замкнутого луча ?
Таким образом , график зависимости это ломаная , образованная двумя	лучами	.
а ) замкнутый луч с началом в точке 2 ( сколько существует таких	лучей	? ) .
б ) открытый луч с началом в точке -1 ( сколько существует таких	лучей	? ) .
Неравенствами х 3 и х 3 также задаются	лучи	— открытый и замкнутый .
Рассмотренные множества —	лучи	, интервалы и отрезки — называют числовыми промежутками или просто промежутками .
Такое множество точек называют открытым	лучом	.
Такое множество точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют замкнутым	лучом	.
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей	лучу	, то получится неверное числовое неравенство .
442 Какие из точек 0,4 принадлежат	лучу	.
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей	лучу	, получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа	минус	удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак «	минус	» знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком «	минус	» , а знак умножения знаком « плюс » .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на	минус	даёт плюс » , это закон алгебры .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков «	минус	на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части уравнения , при этом его знак изменился с «	минуса	» на « плюс » .
При этом мы следовали бы другому мудрому правилу : « Плюс лучше	минуса	» .
641 Число диагоналей	многоугольника	с n вершинами вычисляется по формуле .
Например ,	многочлен	записывают так .
По аналогии с формулой , полученной в n. 1 , запишите формулу для преобразования в	многочлен	выражения .
Представим в стандартном виде	многочлен	.
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и вычесть , чтобы разложить	многочлен	на множители .
Преобразуем в	многочлен	выражение .
Если	многочлен	стандартного вида содержит одну переменную , то его члены обычно располагают в порядке убывания её степеней .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой	многочлен	называют многочленом стандартного вида .
Умножим одночлен на	многочлен	.
3 На примере многочлена объясните , как приводят	многочлен	к стандартному виду .
Говорят , что	многочлен	третьей степени .
729 Преобразуйте в	многочлен	.
Наибольший показатель степени , в которой переменная входит в этот	многочлен	, равен 3 .
Так как то выражение , противоположное многочлену , есть	многочлен	, составленный из тех же членов , но взятых с противоположными знаками .
922 Разложите на множители	многочлен	.
Умножьте одночлен на	многочлен	.
Назовите вместо многоточия такое слагаемое , чтобы	многочлен	можно было разложить на множители .
« Расшифруйте » каждый	многочлен	.
Вообще результатом сложения и вычитания многочленов является	многочлен	.
В результате мы получили	многочлен	Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно преобразовать в многочлен .
Разностью данных многочленов является	многочлен	.
634 Представьте в стандартном виде	многочлен	.
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение	многочлен	.
635 Запишите	многочлен	, расположив его члены по убыванию степеней переменной , и укажите его степень .
695 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в	многочлен	.
Суммой данных многочленов является	многочлен	.
Используйте формулу для преобразования произведения в	многочлен	.
636 Расположите	многочлен	по убывающим степеням буквы а .
Разложив	многочлен	на множители , полезно убедиться , что преобразование выполнено верно .
Однако можно продолжить преобразования и разложить на множители ещё и	многочлен	.
Итак , мы разложили	многочлен	на множители и можем записать данное уравнение в виде .
665 Представьте	многочлен	в виде суммы и в виде разности двух каких - либо двучленов ( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
Дан	многочлен	с одной переменной .
690 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в	многочлен	.
Можно , например , разложить этот	многочлен	на множители , используя тот же приём « прибавить — вычесть » , но уже совсем по - другому .
Разложим на множители	многочлен	.
842 Разложите на множители	многочлен	.
7.3 Умножение одночлена на	многочлен	.
Правило умножения многочлена на	многочлен	.
Правило умножения одночлена на	многочлен	.
Разложите на множители	многочлен	.
В результате мы получили многочлен Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно преобразовать в	многочлен	.
Тогда в скобках остаётся	многочлен	, члены которого не содержат общих буквенных множителей , а их коэффициенты не имеют общих натуральных делителей , отличных от 1 .
Одночлены , из которых составлен	многочлен	, называют членами многочлена .
689 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в	многочлен	.
Запишите	многочлен	, противоположный многочлену .
Чтобы умножить одночлен на	многочлен	, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Умножив многочлен на	многочлен	, мы получили многочлен .
832 Преобразуйте в	многочлен	, применяя вынесение общего множителя за скобки .
а ) Сигнальная ракета выпущена под углом 45 ° к горизонту с начальной скоростью 30 м / с. Высоту ( в метрах ) , на которой находится ракета , можно при этих условиях вычислить , подставив время полёта ( в секундах ) в	многочлен	.
Попробуем разложить на множители	многочлен	.
Умножив многочлен на многочлен , мы получили	многочлен	.
Сравнивая результаты , нетрудно понять , что преобразование можно продолжать , разложив на множители	многочлен	.
Запишите	многочлен	, который надо прибавить к трёхчлену чтобы сумма оказалась равной .
Обозначим двучлен какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в произведении по правилу умножения одночлена на	многочлен	.
Чтобы умножить	многочлен	на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Умножив	многочлен	на многочлен , мы получили многочлен .
Чтобы умножить многочлен на	многочлен	, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых	многочлен	можно разложить на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
7.4 Умножение многочлена на	многочлен	.
Этот	многочлен	можно представить или в виде суммы трёх двучленов , или в виде суммы двух трёхчленов .
Рассмотрим , как можно умножить	многочлен	на многочлен на примере произведения .
2 Дан	многочлен	Sab - 10ас .
Выполните умножение одночлена на	многочлен	и прокомментируйте свои шаги .
Иногда удобно умножать многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый член первого многочлена на второй	многочлен	.
Этот	многочлен	состоит из пяти членов .
Преобразуйте второй	многочлен	так , чтобы можно было применить формулу разности или суммы кубов .
Рассмотрим , как можно умножить многочлен на	многочлен	на примере произведения .
5 Сформулируйте правило умножения одночлена на	многочлен	и примените его к выражению .
647 Дан	многочлен	.
Какой закон алгебры лежит в основе правила умножения одночлена на	многочлен	?
706 Преобразуйте в	многочлен	.
Чтобы использовать калькулятор для вычисления значения многочлена этот	многочлен	удобно представить в таком виде .
Сформулируйте правило умножения многочлена на	многочлен	.
838 Разложите	многочлен	на множители , группируя одночлены разными способами .
И в тех и в других задачах полезно разложить	многочлен	на множители , и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории многочленов .
3 Какую степень имеет	многочлен	, равный произведению многочленов .
736 Преобразуйте в	многочлен	.
Пользуясь этими рекомендациями , разложите на множители	многочлен	.
5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в	многочлен	, чтобы его можно было разложить на множители способом группировки ? .
6 Сформулируйте правило умножения многочлена на	многочлен	и примените его к выражению .
7 Какой	многочлен	надо записать вместо многоточия , чтобы равенство было верным .
7 Разложите на множители	многочлен	.
Подставьте вместо а заданное выражение и приведите	многочлен	к стандартному виду .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности , представьте в виде	многочлена	выражение .
639 Найдите значение данного	многочлена	.
Чему равна сумма данного	многочлена	и противоположного ему ? .
Выполняется оно , как и умножение	многочлена	на одночлен , на основе распределительного свойства .
Чтобы использовать калькулятор для вычисления значения	многочлена	этот многочлен удобно представить в таком виде .
Заметим , что для разложения	многочлена	на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член	многочлена	; определите степень многочлена .
702 Представьте произведение в виде	многочлена	.
Представьте в виде	многочлена	.
Каждый член этого	многочлена	можно представить в виде произведения , в котором один из множителей равен 2ху .
Объясните на примере	многочлена	, как вынести за скобки общий множитель .
724 Представьте каждое произведение в виде	многочлена	.
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде	многочлена	: Представьте в виде многочлена число .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень	многочлена	.
678 Представьте в виде	многочлена	стандартного вида .
Так , членами	многочлена	являются одночлены 3ху , -у , 4х и -7 .
Заметим , что применённый нами способ разложения	многочлена	на множители вовсе не единственно возможный .
3 Объясните на примере	многочлена	, как выполняется разложение на множители способом группировки .
684 Представьте в виде	многочлена	.
Более того , разложение	многочлена	на множители не всегда возможно .
Чтобы сложить два	многочлена	, нужно составить их сумму , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называют членами	многочлена	.
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член	многочлена	и полученные произведения сложить .
Как проверить , верно или неверно выполнено разложение	многочлена	на множители ?
7.4 Умножение	многочлена	на многочлен .
Сформулируйте правило умножения	многочлена	на многочлен .
Сложить два	многочлена	или вычесть один из другого очень просто .
Вычтем из	многочлена	.
Назовите коэффициенты членов	многочлена	, содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
693 Представьте в виде	многочлена	стандартного вида .
15 Какой из способов не применяется при разложении на множители	многочлена	.
716 Представьте в виде	многочлена	.
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических выражений - разложением	многочлена	на множители .
Иногда удобно умножать многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый член первого	многочлена	на второй многочлен .
Правило умножения	многочлена	на многочлен .
Назовите все члены	многочлена	и коэффициенты членов , содержащих буквенные множители .
Представьте выражение в виде	многочлена	.
Сгруппируйте члены	многочлена	иначе , чем это сделано в первом случае , и выполните разложение на множители .
Приведите подобные члены	многочлена	.
910 Найдите корни уравнения ( для разложения	многочлена	на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов и вычитание из первого	многочлена	второго .
928 Представьте выражение в виде	многочлена	, используя формулу разности квадратов .
3 На примере	многочлена	объясните , как приводят многочлен к стандартному виду .
При этом свободный член	многочлена	, т . е .
Прочитайте рекомендации , которых целесообразно придерживаться при разложении	многочлена	на множители .
подобные члены этого	многочлена	.
Однако в математике важна и обратная задача — представление	многочлена	в виде произведения двух или нескольких многочленов , среди которых могут быть и одночлены .
Разложение	многочлена	на множители . — — — — вынесением общего множителя за скобки . — — — — способом группировки .
2 Какова степень	многочлена	.
Но , как уже говорилось , общего алгоритма разложения	многочлена	на множители нет .
Представьте выражение 3 xyz в виде суммы и сгруппируйте члены	многочлена	.
Такое преобразование называют разложением	многочлена	на множители .
6 Для разложения	многочлена	на множители его члены сгруппировали .
Чтобы доказать , что два	многочлена	противоположны , достаточно убедиться , что их сумма равна 0 .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде	многочлена	число .
Вообще , произведение двух многочленов всегда можно представить в виде	многочлена	.
709 Представьте в виде	многочлена	.
Члены этого	многочлена	имеют и другие общие множители .
6 Сформулируйте правило умножения	многочлена	на многочлен и примените его к выражению .
4 Представьте в виде	многочлена	произведение .
Чтобы из одного	многочлена	вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
Воспользуемся способом группировки для разложения на множители	многочлена	.
б Представьте в виде	многочлена	.
Представим в виде	многочлена	произведение .
В результате мы получили многочлен Вообще произведение одночлена и	многочлена	всегда можно преобразовать в многочлен .
2 Представьте в виде	многочлена	.
С помощью этой формулы представьте в виде	многочлена	.
Прокомментируйте каждый шаг разложения	многочлена	на множители .
Обозначив 1,1 ( коэффициент роста ) буквой х , мы можем записать общую сумму на счёте с помощью	многочлена	.
Приведём пример применения этой формулы для разложения	многочлена	на множители .
Если все члены	многочлена	являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
8 Представьте в виде	многочлена	.
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного	многочлена	умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Так , для	многочлена	к нужному результату приведёт и группировка первого слагаемого с третьим , а второго — с четвёртым .
Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение	многочленов	и вычитание из первого многочлена второго .
658 Составьте сумму и разность	многочленов	и упростите получившиеся выражения .
Суммой данных	многочленов	является многочлен .
3 Какую степень имеет многочлен , равный произведению	многочленов	.
Вообще , произведение двух	многочленов	всегда можно представить в виде многочлена .
Проверьте правильность разложения на множители	многочленов	.
При умножении	многочленов	встречается несколько особых случаев , знание которых очень полезно .
1 Какие способы разложения	многочленов	на множители вы знаете ? .
7.2 Сложение и вычитание	многочленов	.
Назовите известные вам приёмы разложения	многочленов	на множители .
Одночлены принято рассматривать как частный случай	многочленов	— считают , что это многочлены , состоящие из одного члена .
8 Найдите сумму	многочленов	.
Разложение	многочленов	на множители .
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на множители , и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории	многочленов	.
Вот примеры	многочленов	.
Однако в математике важна и обратная задача — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких	многочленов	, среди которых могут быть и одночлены .
Разностью данных	многочленов	является многочлен .
Выполните умножение по правилу умножения	многочленов	.
4 На примере	многочленов	покажите , как находят сумму и разность многочленов .
Существует целый ряд приёмов для разложения	многочленов	на множители .
Теория	многочленов	в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью целых чисел .
Сумму и разность	многочленов	с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
Вообще результатом сложения и вычитания	многочленов	является многочлен .
4 На примере многочленов покажите , как находят сумму и разность	многочленов	.
Найдём сумму и разность	многочленов	.
В предыдущей главе рассматривалось умножение	многочленов	.
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют	многочленом	стандартного вида .
Обратите внимание : вычитание мы заменили сложением с	многочленом	, противоположным второму многочлену .
2 Какое выражение называют	многочленом	?
Алгебраическую сумму одночленов называют	многочленом	.
Так как то выражение , противоположное	многочлену	, есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными знаками .
Обратите внимание : вычитание мы заменили сложением с многочленом , противоположным второму	многочлену	.
6 Среди приведённых ниже выражений найдите выражение , противоположное	многочлену	.
5 Среди выражений , записанных ниже , найдите выражение , равное	многочлену	.
Запишите многочлен , противоположный	многочлену	.
Убедитесь в том , что данные	многочлены	противоположны , и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных .
Поэтому убедимся в справедливости этого равенства , перемножив	многочлены	в правой части .
Специальные названия имеют и	многочлены	, состоящие из двух и трёх членов — двучлен и трёхчлен соответственно .
Задайте каждое из этих	множеств	с помощью неравенства .
Как называется каждое из этих	множеств	? .
Рассуждая точно так же , можно показать , что для	множества	из пяти элементов число перестановок равно , а для множества из десяти элементов это число равно .
471 Задайте алгебраически	множества	точек .
Назовите все перестановки	множества	, состоящего из трёх букв : « а » , « б » , « в » .
Рассуждая точно так же , можно показать , что для множества из пяти элементов число перестановок равно , а для	множества	из десяти элементов это число равно .
Теперь мы будем рассматривать	множества	точек координатной плоскости , абсциссы и ординаты которых связаны какой - либо зависимостью .
Каждое расположение элементов	множества	в определённом порядке называют перестановкой .
Решив задачу , мы фактически подсчитали число перестановок для	множества	из четырёх элементов .
519 Опишите на алгебраическом языке	множества	точек координатной плоскости .
Задайте с помощью неравенств	множества	точек координатной плоскости .
Рассмотренные	множества	— лучи , интервалы и отрезки — называют числовыми промежутками или просто промежутками .
Число перестановок для	множества	из n элементов обозначают через Рп ( читают : « Р из n » , Р — первая буква французского слова permutation — перестановка ) .
Что представляет собой	множество	корней уравнения .
2 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют условию .
355 Укажите	множество	корней уравнения .
481 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , удовлетворяющих условиям .
Такое множество точек ( как и соответствующее	множество	чисел ) называют замкнутым лучом .
458 Изобразите на координатной прямой	множество	точек , координаты которых удовлетворяют условию .
Такое	множество	точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют замкнутым лучом .
488 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек .
Что , например , представляет собой	множество	точек , у которых ордината равна абсциссе , т .
485 Постройте	множество	точек плоскости , координаты которых связаны соотношением .
Точно так же	множество	точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
781 На какие классы разбивается	множество	неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2 ?
3 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , удовлетворяющих условиям .
Задайте двойным неравенством	множество	точек , удовлетворяющих условию 4 .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке	множество	точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
Множество точек , как и соответствующее ему	множество	чисел , называют интервалом .
489 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
461 Изобразите на координатной прямой	множество	точек , удовлетворяющих условиям .
480 Задайте на алгебраическом языке и изобразите на координатной плоскости	множество	точек , у которых .
473 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , заданное условиями .
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке	множество	точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
511 Изобразите на плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
501 Постройте на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
472 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
497 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой	множество	точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
436 Изобразите на координатной прямой	множество	точек , заданное неравенством .
Это позволяет разбивать	множество	целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
Рассмотрим	множество	точек координатной прямой , имеющих координату , большую 3 , а значит , расположенных правее точки 3 .
468 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , у которых .
( Вспомните , что	множество	может быть и пустым . ) .
466 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Изобразите это	множество	точек на координатной плоскости .
513 Изобразите на координатной прямой	множество	точек , заданное неравенством .
Так же называют и соответствующее	множество	чисел .
467 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
438 Изобразите на координатной прямой	множество	точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
512 Изобразите на координатной прямой	множество	точек , координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
462 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , которое задаётся равенством .
Построим теперь на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых связаны более сложным соотношением — равенством .
Такое	множество	точек называют открытым лучом .
При этом	множество	корней уравнения не изменится .
Значит ,	множество	точек , координаты которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Чтобы решить уравнение , мы будем преобразовывать его в другое уравнение более простого вида , которое имеет то же	множество	корней , что и исходное .
На языке алгебры это	множество	можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Изобразите на координатной прямой	множество	всех точек .
Поэтому	множество	целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
490 Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Можно сказать и так : решить уравнение — значит найти	множество	его корней .
Вообще если	множество	содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
Каждая переменная в формуле связана с	множеством	значений , которые она может принимать .
Какие из точек ( -1 ; 0 ) , ( 0,6 ; 0,5 ) , ( 1 ; 0 ) , ( 2 ; 2 ) , ( -3 ; -3 ) принадлежат этому	множеству	? .
Какие из точек ( 0 ; 0 ) , ( 2 ; 4 ) , ( -2 ; 4 ) , ( 3 ; 1 ) принадлежат этому	множеству	? .
Пусть теперь рассматриваемому	множеству	точек принадлежит и граничная точка 3 .
7 Поставьте в соответствие каждому	множеству	точек его алгебраическое описание .
Таким образом , выражение аn означает произведение n	множителей	, равных а .
Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители и запишем вначале произведение числовых	множителей	, а затем буквенных , расположив их в алфавитном порядке .
это произведение пяти	множителей	, каждый из которых равен 8 .
20	множителей	.
10 множителей 20	множителей	.
n	множителей	.
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа , то n слагаемых , n	множителей	.
10	множителей	20 множителей .
В справочниках можно увидеть , что , например , масса Земли равна 5,978 1024 кг , а масса атома водорода — 1,674 10 24 г. Понятно , что 1024 — это произведение 24	множителей	, равных 10 , т .
Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n	множителей	, каждый из которых равен а .
Каждый член этого многочлена можно представить в виде произведения , в котором один из	множителей	равен 2ху .
n	множителей	т множителей т множителей n множителей .
n множителей т множителей т множителей n	множителей	.
n множителей т множителей т	множителей	n множителей .
Переставив множители и заменив произведение одинаковых	множителей	степенью , получим .
Вы знаете , что произведение одинаковых	множителей	записывают короче — в виде степени .
Поэтому для вычисления произведения xyz ( без изменения порядка	множителей	) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки , т.е. представить его как или как .
Это свойство справедливо для произведения любого числа	множителей	.
Тогда в скобках остаётся многочлен , члены которого не содержат общих буквенных	множителей	, а их коэффициенты не имеют общих натуральных делителей , отличных от 1 .
n множителей т	множителей	т множителей n множителей .
На произведение буквенных	множителей	распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
926 Разложите на	множители	.
5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было разложить на	множители	способом группировки ? .
Объясните , как разложить на	множители	выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность делится на 200 .
83S Заключите два последних слагаемых в скобки , поставив перед ними знак « - » , и затем выполните разложение на	множители	.
Какие из этих способов группировки подходят для того , чтобы выполнить разложение на	множители	? .
837 Разложите на	множители	.
7 Разложите на	множители	многочлен .
8 Какое из выражений нельзя разложить на	множители	, используя формулу разности квадратов ? .
Сгруппируйте члены многочлена иначе , чем это сделано в первом случае , и выполните разложение на	множители	.
12 Какой двучлен можно разложить на	множители	, используя формулу суммы кубов ? .
9 Разложите на	множители	.
838 Разложите многочлен на	множители	, группируя одночлены разными способами .
13 Закончите разложение на	множители	.
Оказывается , это выражение можно разложить на	множители	.
3 Объясните на примере многочлена , как выполняется разложение на	множители	способом группировки .
14 Разложите на	множители	.
Попробуем разложить на	множители	многочлен .
15 Какой из способов не применяется при разложении на	множители	многочлена .
Разложим на	множители	.
Назовите все члены многочлена и коэффициенты членов , содержащих буквенные	множители	.
1 Какие способы разложения многочленов на	множители	вы знаете ? .
Разложим на	множители	двучлен Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
840 Разложите на	множители	.
846 Разложите на	множители	трёхчлен .
Составьте несколько выражений , которые можно разложить на	множители	с помощью этой формулы .
Разложим разность на	множители	.
Воспользуемся способом группировки для разложения на	множители	многочлена .
Разложите на	множители	.
Прокомментируйте каждый шаг разложения многочлена на	множители	.
842 Разложите на	множители	многочлен .
Покажите на примере выражения , как применить эту формулу для разложения его на	множители	.
Назовите вместо многоточия такое слагаемое , чтобы многочлен можно было разложить на	множители	.
Как называют применённый здесь способ разложения на	множители	? .
4 В каких случаях выражение разложено на	множители	правильно ? .
933 Разложите выражение на	множители	двумя способами .
Разложение многочлена на	множители	. — — — — вынесением общего множителя за скобки . — — — — способом группировки .
Применение нескольких способов разложения на	множители	.
Способ , который мы применили для разложения на	множители	, так и называется — способ группировки .
Как проверить , верно или неверно выполнено разложение многочлена на	множители	?
6 Для разложения многочлена на	множители	его члены сгруппировали .
Заметим , что для разложения многочлена на	множители	можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
8.6 Решение уравнений с помощью разложения на	множители	.
Заметим , что применённый нами способ разложения многочлена на	множители	вовсе не единственно возможный .
Разложение на	множители	можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде разности кубов .
5 Примените для разложения на	множители	, если это возможно , формулу суммы или разности кубов .
Разложим на	множители	многочлен .
Разложим левую часть уравнения на	множители	, а затем воспользуемся приёмом , рассмотренным в предыдущем примере .
Разложение на	множители	- это не только наука , но и искусство , овладев которым можно решить самые разные , в том числе достаточно хитрые , уравнения , в чём вы сможете убедиться не только в этой главе , но и во всём дальнейшем курсе математики .
Составьте выражения , которые можно разложить на	множители	с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
39 Разложите на простые	множители	число .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно разложить на	множители	с применением формулы разности квадратов .
Члены этого многочлена имеют и другие общие	множители	.
38 Восстановите число , для которого записано разложение на простые	множители	.
Примените нужную формулу для разложения на	множители	выражения .
Разложив многочлен на	множители	, полезно убедиться , что преобразование выполнено верно .
Разложите на	множители	многочлен .
Разложение многочленов на	множители	.
8.5 Разложение на	множители	с применением нескольких способов .
Многочлен на	множители	разложен , и можно сказать , что поставленная задача решена .
864 Разложите на	множители	.
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических выражений - разложением многочлена на	множители	.
Однако можно продолжить преобразования и разложить на	множители	ещё и многочлен .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на	множители	: вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
Мы сможем решить это уравнение , если разложим его левую часть на	множители	.
Можно , например , разложить этот многочлен на	множители	, используя тот же приём « прибавить — вычесть » , но уже совсем по - другому .
Итак , мы разложили многочлен на	множители	и можем записать данное уравнение в виде .
Более того , разложение многочлена на	множители	не всегда возможно .
Когда вы закончили разложение на	множители	, полезно проверить с помощью умножения , получен ли вами верный результат .
906 Найдите корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на	множители	.
Разложим на	множители	двучлен .
Сравнивая результаты , нетрудно понять , что преобразование можно продолжать , разложив на	множители	многочлен .
Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на	множители	.
Разложим на	множители	выражение .
923 Разложите на	множители	трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
922 Разложите на	множители	многочлен .
Прочитайте рекомендации , которых целесообразно придерживаться при разложении многочлена на	множители	.
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные	множители	— буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Приведём пример применения этой формулы для разложения многочлена на	множители	.
910 Найдите корни уравнения ( для разложения многочлена на	множители	воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
Но , как уже говорилось , общего алгоритма разложения многочлена на	множители	нет .
Пользуясь этими рекомендациями , разложите на	множители	многочлен .
В то же время процесс возведения в степень можно сократить , если	множители	в произведении сгруппировать так , чтобы можно было использовать уже известные результаты .
Разложим числитель и знаменатель данной дроби на	множители	.
Переставив	множители	и заменив произведение одинаковых множителей степенью , получим .
924 Разложите на	множители	.
Трёхчлен можно разложить на	множители	, выделив квадрат двучлена .
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на множители , и именно поэтому разложение на	множители	является основной задачей теории многочленов .
В любом произведении	множители	можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы .
Проверьте правильность разложения на	множители	многочленов .
Разложите на	множители	трёхчлен .
Существует целый ряд приёмов для разложения многочленов на	множители	.
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на	множители	, и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории многочленов .
Научиться разложению на	множители	, развить свою фантазию и изобретательность можно только на собственном опыте .
Такое преобразование называют разложением многочлена на	множители	.
847 Какие из выражений можно разложить на	множители	, применив формулу разности квадратов .
897 Разложите выражение на	множители	двумя способами .
Сгруппируем отдельно числовые и буквенные	множители	и запишем вначале произведение числовых множителей , а затем буквенных , расположив их в алфавитном порядке .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и вычесть , чтобы разложить многочлен на	множители	.
Объясните на примере многочлена , как вынести за скобки общий	множитель	.
Числовой	множитель	одночлена , записанного в стандартном виде , называют коэффициентом одночлена .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой группе будут иметь общий	множитель	и его можно будет вынести за скобки .
Вынесем общий	множитель	за скобки .
Этот общий	множитель	вынесем за скобки .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой	множитель	.
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один	множитель	, а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Каждое слагаемое в этой сумме содержит один и тот же	множитель	а .
Этот общий	множитель	можно вынести за скобки .
В сумме вынесем за скобки общий	множитель	а .
Итак , при возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый	множитель	и результаты перемножают .
Вынесите за скобки общий	множитель	.
В получившемся произведении только один числовой	множитель	, и он записан на первом месте .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий	множитель	.
819 Вынесите за скобки	множитель	.
Вынесите за скобки	множитель	-2а .
Каждый член двучлена представьте в виде произведения , в котором есть	множитель	-3а .
1 Укажите общий	множитель	, который можно вынести за скобки в многочлене .
Теперь остаётся найти неизвестный	множитель	х .
919 Вынесите за скобки общий	множитель	.
Числитель и знаменатель дроби можно разделить на общий	множитель	а8 .
Вынесите общий	множитель	за скобки .
917 Вынесите за скобки общий	множитель	.
Скобки , окружающие отрицательный	множитель	, записанный на первом месте , обычно опускают .
Представим а9 в виде произведения а0а4 , тогда дробь можно будет сократить на общий	множитель	а5 .
Если выражение является произведением , в котором первый	множитель	— число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Если можно вынести за скобки общий	множитель	, сделайте это .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и	множитель	общий множитель .
Так , в выражении -20ху числовой	множитель	-20 является коэффициентом .
Вынесите общий	множитель	за скобки и вычислите значение выражения .
Покажите на примере выражения , как вынести общий	множитель	за скобки .
262 Назовите общий	множитель	числителя и знаменателя дроби и сократите её .
Отсюда легко найти неизвестный	множитель	х .
раскройте скобки в первых двух слагаемых , а затем сгруппируйте члены так , чтобы получился общий	множитель	.
Разложение многочлена на множители . — — — — вынесением общего	множителя	за скобки . — — — — способом группировки .
Вычислите , применяя вынесение общего	множителя	за скобки .
2 На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего	множителя	?
Один из них — вынесение общего	множителя	за скобки .
Вынесение общего	множителя	за скобки приходится выполнять при решении разных задач .
832 Преобразуйте в многочлен , применяя вынесение общего	множителя	за скобки .
Однако такой смысл этому выражению придаётся при ( ведь произведений из одного	множителя	не бывает ) .
Запишите распределительное свойство умножения в том виде , как оно применяется для вынесения общего	множителя	за скобки .
918 Упростите выражение , применяя способ вынесения за скобки общего	множителя	.
8.1 Вынесение общего	множителя	за скобки .
вынесение за скобки общего	множителя	. 2 )
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на множители : вынесение общего	множителя	за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
Его члены не имеют общего	множителя	.
3	множителя	.
Начнём преобразование с вынесения за скобки общего	множителя	36 .
Вынесение общего	множителя	за скобки .
Такой показатель , как	мода	, используется не только для числовых данных .
предварительно изучается спрос и выявляется	мода	— это наиболее часто встречающийся заказ .
Изменятся ли при этом	мода	и размах ? .
Чему равна	мода	ряда размеров ?
Если , например , опросить большую группу учеников , какой школьный предмет им нравится больше всего , то	модой	этого ряда ответов окажется тот предмет , который будут называть чаще остальных .
а ) Найдите среднее арифметическое и	моду	этого ряда данных .
Найдите	моду	ряда отметок и средний результат по контрольной работе .
Найдите среднее арифметическое и	моду	ряда отметок .
Найдите размах и	моду	ряда оценок .
15 Найдите среднее арифметическое ,	моду	и размах ряда .
Найдите среднее арифметическое ,	моду	и размах ряда попаданий .
Проведите блицопрос и узнайте , какой школьный предмет нравится учащимся вашего класса больше всего , определив	моду	полученного ряда .
Найдите среднее число детей в семье и	моду	( количество детей в наиболее типичной семье ) .
92 Найдите	моду	ряда .
Задайте промежуток -6 х 6 с помощью неравенства с	модулем	.
В самом деле , числа а — b и b — а противоположны и их	модули	равны .
Если	модули	двух чисел равны , то эти числа либо равны , либо противоположны .
Если вы знаете , что такое	модуль	числа и как с ним работать , то вам это будет нетрудно .
Модуль положительного числа равен самому числу ,	модуль	нуля равен нулю , т .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной прямой равно	модулю	разности их координат .
Запишите предложения с помощью знака	модуля	.
Рассмотрите ещё несколько зависимостей , которые задаются равенствами , содержащими знак	модуля	, и постройте их графики .
Прежде всего освободимся от знака	модуля	.
5.7 Графики зависимостей , заданных равенствами с	модулями	. ( Для тех , кому интересно ) .
В отличие от среднего арифметического , которое можно вычислить для любого числового ряда ,	моды	у ряда вообще может не быть .
Однако нахождение среднего арифметического или	моды	далеко не всегда позволяет делать надёжные выводы на основе статистических данных .
Значит , у этого ряда нет	моды	.
Одним из наиболее частых использований	моды	является изучение спроса .
В некоторый	момент	времени они встречаются .
б ) В какой	момент	Юлю догнала Оля ? .
Сколько всего страниц отчёта осталось распечатать к этому	моменту	? .
Расскажите , как	найдена	координата середины отрезка в примере из фрагмента 2 .
Не забудьте , что , используя	найденное	значение х , надо ещё найти расстояние от дома до школы .
г ) Что в соответствии с условием задачи означает	найденное	значение х , равное 9 ?
Отметим	найденные	точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией .
Разберите , как	найдено	значение степени 28 во фрагменте 1 .
Необходимо провести дополнительные рассуждения , чтобы проверить , что	найдены	все возможные решения .
Подставьте вместо букв заданные числа и	найдите	значение выражения .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления дробную черту , и	найдите	его значение .
Пользуясь им как образцом ,	найдите	значение выражения .
и	найдите	его значение .
Используя рассмотренный способ ,	найдите	значение выражения .
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и	найдите	значение выражения .
По этой формуле	найдите	расстояние между точками .
50 Зная , что 282 784 ,	найдите	значение каждого из выражений .
Зная , что 57 78 125 ,	найдите	: 55 ; 58 .
51 Запишите выражение и	найдите	его значение .
Зная , что 210 1024 ,	найдите	: 212 ; 28 .
188 Для каждой тройки чисел	найдите	четвёртое число так , чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию : а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
6 Среди приведённых ниже выражений	найдите	выражение , противоположное многочлену .
5 Среди выражений , записанных ниже ,	найдите	выражение , равное многочлену .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В ,	найдите	координату точки В .
Для каждого выражения из первой строки	найдите	равное ему выражение из второй строки .
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и	найдите	значения получившихся выражений .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью ,	найдите	произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Зная , что ,	найдите	сначала 35 , а затем 38 .
Отбросьте наибольшую и наименьшую оценки и	найдите	средний балл спортсмена .
300 Упростите выражение и	найдите	его значение при указанных значениях букв .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и	найдите	с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и	найдите	значение каждого из них при заданных значениях переменных .
Теперь	найдём	сумму коэффициентов слагаемых второй группы .
Для этого	найдём	отношение 600 р .
Изобразим на координатной прямой числа -2 и 10 и	найдём	середину отрезка с концами в точках -2 и 10 .
	Найдём	30 % от 250 : 30 % тиража — это 0,3 тиража .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа ,	найдём	искомое частное — число 109 .
Точно так же	найдём	, что .
Учитывая сказанное , мы можем уточнить смысл слов « решить уравнение » : решить уравнение — значит	найти	все его корни или доказать , что корней у него нет .
Чтобы узнать концентрацию получившегося раствора , нужно	найти	отношение массы соли к массе раствора и выразить его в процентах .
Попробуем	найти	зависимость , которая связывает абсциссы и ординаты её точек .
то , что требуется	найти	в задаче .
Как	найти	новую стоимость книги ?
Можно сначала	найти	общие затраты — они равны рублей , а затем найти остаток — он равен рублей .
Можно сказать и так : решить уравнение — значит	найти	множество его корней .
Не забудьте , что , используя найденное значение х , надо ещё	найти	расстояние от дома до школы .
Остаётся	найти	все натуральные делители числа 143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
Это главное соотношение между расстоянием , скоростью и временем движения позволяет по любым двум из указанных величин	найти	третью с помощью вычислений .
Например , чтобы выделить сектор для изображения 14,4 % , надо	найти	14,4 % от 360 ° .
С помощью какого приёма удобно	найти	значение данного выражения ?
Пусть теперь на прямой заданы две произвольные точки А и В. Как , зная их координаты ,	найти	расстояние между ними , т .
Теперь ясно , что надо	найти	натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Но в качестве неизвестного совсем не обязательно выбирать именно то , что требуется	найти	в задаче .
Изменим , например , условие задачи с кодами : пусть требуется	найти	число кодов , составленных не из двух , а из трёх различных цифр .
Можно сначала найти общие затраты — они равны рублей , а затем	найти	остаток — он равен рублей .
Значение выражения n можно	найти	для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
выберите те , с помощью которых можно	найти	площадь фигуры .
Теперь , чтобы	найти	неизвестное число х , это уравнение надо решить .
Теперь остаётся	найти	неизвестный множитель х .
В этом примере среднее арифметическое можно было	найти	немного иначе .
И нам нужно решить знакомую задачу —	найти	целое по его части .
Отсюда легко	найти	неизвестный множитель х .
10 Как можно	найти	неизвестный член пропорции .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений , значения которых можно	найти	, пользуясь таблицей степеней числа 3 .
Но ещё нужно	найти	возраст старшей пары близнецов .
Так , чтобы	найти	25 , нужно четыре раза выполнить умножение на 2 .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы	найти	число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
как	найти	длину отрезка АВ ? .
Чтобы узнать мартовский тираж журнала , нужно	найти	120 % от февральского тиража и прибавить полученное число к 325 .
Мы живём в мире случайных событий , поэтому важно понимать , можно ли	найти	какие - то закономерности в мире случайного .
Как	найти	неизвестный член пропорции .
в ) сумма двух последовательных степеней любого	натурального	числа делится на следующее за ним число .
Значение выражения n можно найти для любого	натурального	числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Докажите , что разность между кубом любого	натурального	числа и этим числом делится на 6 .
Докажем , что сумма любого	натурального	числа и его квадрата делится на 2 .
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью	натурального	числа или десятичной дроби .
а ) разность между квадратом любого	натурального	числа и этим числом является чётным числом .
Значение выражения n можно найти для любого	натурального числа	n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Докажите , что разность между кубом любого	натурального числа	и этим числом делится на 6 .
в ) сумма двух последовательных степеней любого	натурального числа	делится на следующее за ним число .
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью	натурального числа	или десятичной дроби .
а ) разность между квадратом любого	натурального числа	и этим числом является чётным числом .
Докажем , что сумма любого	натурального числа	и его квадрата делится на 2 .
"Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра числа 2 "" , где n —"	натуральное	число , с изменением показателя n.
В общем случае : если а и b — любые числа , причём , и n — любое	натуральное	число ,
Однако чаще всего одно	натуральное	число на другое не делится и в результате деления получается остаток .
Если число а делится на число b , то это значит , что существует такое	натуральное	число q.
64 Подберите наименьшее	натуральное	число n , такое , при котором выполняется неравенство .
Андрей задумал некоторое	натуральное	число .
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо	натуральное	число , меньшее b , либо равно 0 .
Теперь ясно , что надо найти	натуральное	число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
3 Что означает выражение аn , где n -	натуральное	число ?
Вдруг есть ещё какое - нибудь	натуральное	число , удовлетворяющее условию ?
В общем случае : если а и b — любые числа и n — любое	натуральное	число .
Уравнение совсем непростое , но его можно решить , если вспомнить , что х — это количество филиалов фирмы , и , значит , это число	натуральное	.
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее	натуральное	число в произведении получится 90 .
Обозначим	натуральное	число буквой я .
Что означает выражение аn , если n -	натуральное	число , не равное 1 ?
64 Подберите наименьшее	натуральное число	n , такое , при котором выполняется неравенство .
Андрей задумал некоторое	натуральное число	.
Вдруг есть ещё какое - нибудь	натуральное число	, удовлетворяющее условию ?
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее	натуральное число	в произведении получится 90 .
Обозначим	натуральное число	буквой я .
В общем случае : если а и b — любые числа , причём , и n — любое	натуральное число	,
"Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра числа 2 "" , где n —"	натуральное число	, с изменением показателя n.
3 Что означает выражение аn , где n -	натуральное число	?
Однако чаще всего одно	натуральное число	на другое не делится и в результате деления получается остаток .
В общем случае : если а и b — любые числа и n — любое	натуральное число	.
Если число а делится на число b , то это значит , что существует такое	натуральное число	q.
Теперь ясно , что надо найти	натуральное число	х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Что означает выражение аn , если n -	натуральное число	, не равное 1 ?
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо	натуральное число	, меньшее b , либо равно 0 .
А чтобы выражение имело смысл при любом	натуральном	n , для случая n 1 принимают специальное соглашение .
65 При каком наименьшем	натуральном	n выполняется неравенство .
Пусть даны дроби и где a , b , с , d —	натуральные	числа .
790 Найдите все	натуральные	числа , которые .
некоторые	натуральные	числа .
А в формуле Р pt , выражающей зависимость объёма выполненной каменщиком работы от производительности и времени , переменные Р и р могут принимать только	натуральные	значения .
Вообще все	натуральные	числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
Кроме того , тоже	натуральные	числа , поскольку каждое из них — это количество компьютеров .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые	натуральные	числа ,
Остаётся найти все	натуральные	делители числа 143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
Ну хотя бы потому , что и на « языке денег » , и на « языке расстояний » , и на « языке площадей » мы всегда рассматриваем только положительные числа , а часто даже и	натуральные	.
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые	натуральные	числа , то n слагаемых , n множителей .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число , не равное 0 , и т и n — любые	натуральные	числа , причём , то .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые	натуральные числа	, то n слагаемых , n множителей .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число , не равное 0 , и т и n — любые	натуральные числа	, причём , то .
Пусть даны дроби и где a , b , с , d —	натуральные числа	.
Кроме того , тоже	натуральные числа	, поскольку каждое из них — это количество компьютеров .
некоторые	натуральные числа	.
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые	натуральные числа	,
790 Найдите все	натуральные числа	, которые .
Вообще все	натуральные числа	могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
413 Найдите	натуральный	корень уравнения .
416 Один из корней уравнения	натуральный	.
Степень с	натуральным	показателем .
Напомним , что определение степени с	натуральным	показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда показатель степени больше 1 и когда он равен 1 .
Сформулируйте определение степени с	натуральным	показателем и найдите значение выражения .
Свойства степени с	натуральным	показателем .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с	натуральным	показателем , на основе которых выполняются преобразования выражений , содержащих степени , а также вычисления .
В математике это выражение тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у степени с	натуральным	показателем .
Вам уже знакомо понятие степени с	натуральным	показателем .
1 Сформулируйте определение степени с	натуральным	показателем .
1.3 Степень с	натуральным	показателем .
Степенью числа а с	натуральным	показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Произведение всех	натуральных	чисел от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных	натуральных	числа и одно из них обязательно является чётным , т .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных	натуральных	чисел делится на 5 .
У числа 143 всего четыре	натуральных	делителя : 1 , 11 , 13 , 143 .
116 В числителе дроби запишите произведение всех	натуральных	чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
648 Сумму квадратов	натуральных	чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
266 Чему равна сумма 15 последовательных	натуральных	чисел , первое из которых равно n ? .
Поговорим ещё раз о делимости	натуральных	чисел .
Такие два	натуральных	числа нетрудно подобрать — это 9 и 10 .
Докажите , что если к произведению двух последовательных	натуральных	чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных	натуральных	чисел на 6 .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех	натуральных	нечётных чисел , меньших 10 .
Вычислите сумму кубов	натуральных	чисел для .
Другими словами , если есть два	натуральных	числа а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих	натуральных	чисел .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных	натуральных	чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
а ) разность квадратов двух последовательных	натуральных	чисел равна сумме этих чисел .
Возьмите любые три последовательных	натуральных	числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных	натуральных	чисел , среднее из которых равно n .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных	натуральных	чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных	натуральных	чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
642 Сумму последовательных	натуральных	чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных	натуральных	чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
а ) трёх последовательных	натуральных	чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
в ) сумма двух последовательных	натуральных	чисел есть число нечётное .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных	натуральных	чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Вычислите сумму квадратов	натуральных	чисел для .
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных	натуральных	чисел на число слагаемых .
16 При каких	натуральных	значениях х верно неравенство .
291 Пусть сумма трёх последовательных	натуральных	чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных	натуральных	чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных	натуральных	чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
649 Сумму кубов	натуральных	чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Тогда в скобках остаётся многочлен , члены которого не содержат общих буквенных множителей , а их коэффициенты не имеют общих	натуральных	делителей , отличных от 1 .
г ) произведение двух последовательных	натуральных	чисел есть число чётное .
Используя формулу , вычислите сумму последовательных	натуральных	чисел : а ) от 1 до 20 ; б ) от 1 до 100 .
Точно так же обстоит дело и для любых	натуральных	чисел .
Поговорим ещё раз о делимости	натуральных чисел	.
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных	натуральных чисел	прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Точно так же обстоит дело и для любых	натуральных чисел	.
г ) произведение двух последовательных	натуральных чисел	есть число чётное .
в ) сумма двух последовательных	натуральных чисел	есть число нечётное .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных	натуральных чисел	делится на 5 .
266 Чему равна сумма 15 последовательных	натуральных чисел	, первое из которых равно n ? .
648 Сумму квадратов	натуральных чисел	от 1 до n можно вычислить по формуле .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных	натуральных чисел	на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных	натуральных чисел	, среднее из которых равно n .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных	натуральных чисел	на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных	натуральных чисел	на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Докажите , что если к произведению двух последовательных	натуральных чисел	прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных	натуральных чисел	на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих	натуральных чисел	.
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных	натуральных чисел	на число слагаемых .
642 Сумму последовательных	натуральных чисел	от 1 до n можно вычислить по формуле .
291 Пусть сумма трёх последовательных	натуральных чисел	равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
Вычислите сумму кубов	натуральных чисел	для .
649 Сумму кубов	натуральных чисел	от 1 до n можно вычислить по формуле .
Используя формулу , вычислите сумму последовательных	натуральных чисел	: а ) от 1 до 20 ; б ) от 1 до 100 .
а ) разность квадратов двух последовательных	натуральных чисел	равна сумме этих чисел .
а ) трёх последовательных	натуральных чисел	, начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных	натуральных чисел	, начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Вычислите сумму квадратов	натуральных чисел	для .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных	натуральных чисел	, среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Произведение всех	натуральных чисел	от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных	натуральных чисел	на 6 .
Другими словами , если есть два	натуральных числа	а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных	натуральных числа	и одно из них обязательно является чётным , т .
Возьмите любые три последовательных	натуральных числа	и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
Такие два	натуральных числа	нетрудно подобрать — это 9 и 10 .
Она	нашла	банк , который начислял 10 % годовых ( т . е .
Итак , мы	нашли	неизвестное число , которое обозначили буквой х. Однако это ещё не ответ задачи .
Сколько таких чисел вы	нашли	в каждом случае ? .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который	необходимо	перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На какую минимальную сумму	необходимо	приобрести товаров за этот год , чтобы покупка дисконтной карты оправдалась ? .
Чтобы выборы состоялись ,	необходимо	, чтобы в голосовании приняло участие не менее 25 % избирателей , внесённых в списки .
При вычислениях по формулам	необходимо	следить за тем , чтобы единицы , в которых выражены входящие в них величины , были согласованы между собой .
Например , если для исследования того же Меркурия посылается спутник ,	необходимо	, чтобы приборы работали и при наибольших , и при наименьших возможных температурах .
Выполните на чертеже	необходимые	измерения и определите а ) высоту стен реального дома ; б ) высоту дома с учётом крыши .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин ,	необходимых	для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин ,	необходимых	для перевозки груза .
Сколько точек имеют целую	неотрицательную	координату ? .
При х 0 график совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых	неотрицательны	, т .
470 Неравенства х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её точки имеют	неотрицательные	координаты .
а ) с отрицательными координатами . б ) с	неотрицательными	координатами .
781 На какие классы разбивается множество	неотрицательных	целых чисел по остаткам от деления на 2 ?
Это позволяет разбивать множество целых	неотрицательных	чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
Поэтому множество целых	неотрицательных	чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
Запишите с помощью букв правило обращения смешанной дроби в	неправильную дробь	.
16 Какое из следующих	неравенств	неверно ? .
Какое из	неравенств	верно ? .
Какое из следующих	неравенств	неверно ? .
Запишите с помощью двойных	неравенств	и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3 .
Задайте с помощью	неравенств	множества точек координатной плоскости .
Запишите соответствующие им	неравенства	.
Задайте промежуток -6 х 6 с помощью	неравенства	с модулем .
Задайте каждое из этих множеств с помощью	неравенства	.
Некоторые полуплоскости и указаны	неравенства	, которым они соответствуют .
Такие два неравенства обычно записывают в виде двойного	неравенства	.
Такие два	неравенства	обычно записывают в виде двойного неравенства .
Значит , любая точка этого интервала удовлетворяет сразу двум	неравенствам	: х — 1 ( или , что то же самое , -1 х ) и х 2 .
Прочитайте	неравенство	, используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
Для каждого изображения числового промежутка укажите соответствующее ему	неравенство	или двойное неравенство .
Двойное	неравенство	1 х 3 задаёт на координатной плоскости вертикальную полосу , а двойное неравенство горизонтальную полосу .
Для каждого изображения числового промежутка укажите соответствующее ему неравенство или двойное	неравенство	.
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое	неравенство	; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое	неравенство	.
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это	неравенство	вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Двойное неравенство 1 х 3 задаёт на координатной плоскости вертикальную полосу , а двойное	неравенство	горизонтальную полосу .
14 Среди чисел 6 , 8 , 10 и 14 выберите такое , при котором выполняется	неравенство	.
при любом х выполняется	неравенство	.
16 При каких натуральных значениях х верно	неравенство	.
65 При каком наименьшем натуральном n выполняется	неравенство	.
64 Подберите наименьшее натуральное число n , такое , при котором выполняется	неравенство	.
Задайте двойным	неравенством	множество точек , удовлетворяющих условию 4 .
Множество , задаваемое двойным	неравенством	-1 х 2 , называют отрезком .
Этот луч можно задать	неравенством	х 3 .
На языке алгебры это множество можно задать	неравенством	x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
513 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное	неравенством	.
436 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное	неравенством	.
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной	неравенством	.
Изображена полуплоскость , заданная	неравенством	.
Мы уже знаем , что на координатной прямой	неравенству	х 3 соответствует открытый луч .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому	неравенству	.
438 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному	неравенству	.
512 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению или	неравенству	.
466 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
467 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному	неравенству	.
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц -	нечётная	? .
в ) первая цифра кода чётная , а вторая -	нечётная	? .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого	нечётного	числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
а ) сумма чётного и	нечётного	чисел есть число нечётное .
а ) сумма чётного и нечётного чисел есть число	нечётное	.
в ) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число	нечётное	.
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет	нечётное	число очков » равновероятны .
264 Известно , что k —	нечётное	число .
Кстати , на трёх других гранях кубика	нечётное	число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
265 Пусть а — чётное число , а b —	нечётное	.
В : выпало	нечётное	число очков .
Мальчики садятся на	нечётные	места , а девочки — на чётные .
Посадите мальчиков сначала на чётные места , а потом на	нечётные	.
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени	нечётный	.
Это зависит от того , чётным или	нечётным	числом является показатель степени .
Чётным или	нечётным	является число .
7 Сколько существует трёхзначных чисел , составленных из	нечётных	цифр ( все цифры в записи числа различны ) ? .
сумма двух	нечётных	чисел есть число чётное .
б ) Существуют ли три последовательных	нечётных	числа , сумма которых равна 69 ? .
Сколько среди них чётных чисел и сколько	нечётных	? .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих	нечётных	чисел .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных	нечётных	чисел , меньших 10 .
603 Из	нечётных	цифр составляют всевозможные пятизначные числа , не содержащие одинаковых цифр .
590 Сколько существует четырёхзначных чисел , составленных из	нечётных	цифр ?
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за	ним	число .
Через 20 мин вслед за	ним	выехал автомобиль со скоростью 60 км / ч .
Через 8 мин вслед за	ним	из этого же дома выходит Иван и идёт той же дорогой со скоростью 100 м / мин .
К	ним	относят и самые разные опыты , испытания , наблюдения , измерения , проведённые кем - то другим , а также наблюдения за явлениями природы .
Через 15 мин вслед за	ним	выехал велосипедист со скоростью 12 км / ч , обогнал туриста и приехал на станцию на 5 мин раньше его .
Значит , и всё произведение , а вместе с	ним	и равная ему сумма делится на 2 .
Одновременно с	ним	из пункта В в пункт А выехал велосипедист , скорость которого на 10 км / ч больше скорости туриста .
Добавьте ещё к	ним	трёх юношей , из коих Теон самый способный » .
Если вы знаете , что такое модуль числа и как с	ним	работать , то вам это будет нетрудно .
На устном экзамене ученик берёт один из разложенных перед	ним	экзаменационных билетов , шансы взять любой из них равны .
Через час вслед за	ним	выехал велосипедист со скоростью 10 км / ч .
Одновременно с	ним	из пункта В в пункт А выехал мотоциклист со скоростью , на 28 км / ч большей скорости велосипедиста .
Через 0,5 ч вслед за	ним	от этой же станции и по той же дороге отправился велосипедист со скоростью 12 км / ч .
а ) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой а , следующее за	ним	— буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки	нормального	веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
В России	нормальной	температурой тела человека считается 36,6 ° С , а в странах , использующих шкалу Фаренгейта , 98,8 ° F .
Где в качестве	нормальной	принята более высокая температура тела человека ? .
Определите , какой вес считается	нормальным	в России и в США для человека ростом 180 см. Сравните полученные результаты .
В	нормальных	условиях при 0 ° С вода замерзает ; если опрокинуть стакан с водой , то она обязательно выльется .
596 В компьютере каждый символ кодируется последовательностью , состоящей из восьми цифр —	нулей	и единиц .
Решим уравнение Равенство нулю произведения обращается в	нуль	при .
Модуль положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен	нулю	, т .
Произведение двух или нескольких чисел равно	нулю	в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Произведение двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно	нулю	.
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное	нулю	число .
4 ) если произведение двух чисел не равно нулю , то ни одно из этих чисел не равно	нулю	.
Решим уравнение Равенство	нулю	произведения обращается в нуль при .
4 ) если произведение двух чисел не равно	нулю	, то ни одно из этих чисел не равно нулю .
Можно ли утверждать , что вероятность этого события равна	нулю	? .
7 Сформулируйте условие равенства	нулю	произведения двух или нескольких чисел .
3 ) если хотя бы одно из двух чисел не равно	нулю	, то произведение этих чисел не равно нулю .
2 ) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю , то их произведение равно	нулю	.
2 ) если хотя бы одно из двух чисел равно	нулю	, то их произведение равно нулю .
1 ) если произведение двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из этих чисел равно	нулю	.
1 ) если произведение двух чисел равно	нулю	, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Приведите свой пример уравнения , решаемого на основе равенства	нулю	произведения .
Как вы знаете , квадрат любого числа положителен или равен	нулю	, т .
3 ) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю , то произведение этих чисел не равно	нулю	.
Числовое равенство не нарушится , если обе его части умножить ( разделить ) на одно и то же число , отличное от	нуля	.
Модуль положительного числа равен самому числу , модуль	нуля	равен нулю , т .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от	нуля	.
На последнем шаге мы воспользовались ещё одним законом , согласно которому от прибавления	нуля	сумма не меняется .
В рассмотренных линейных уравнениях коэффициент а при переменной отличен от	нуля	.
Таким образом , график зависимости это ломаная ,	образованная	двумя лучами .
Объясните , как	образовано	« длинное » отношение 6:4:2 в задаче 1 .
Значит , множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству ,	образовано	двумя прямыми у х и у -х .
Числа ,	образующие	пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
Однако в математике важна и	обратная	задача — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов , среди которых могут быть и одночлены .
Это прежде всего прямая пропорциональность и	обратная	пропорциональность , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
Прямая и	обратная	пропорциональность .
Для	обратного	перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Для этого достаточно выполнить	обратное	преобразование : например , в данном случае мысленно умножить .
Заметим , что формулу	обратной	пропорциональности принято записывать и в другом виде .
а ) Объясните , почему зависимость массы купленных яблок т от их цены с является	обратной	пропорциональностью .
Её называют формулой	обратной	пропорциональности .
170 Задайте формулой указанную зависимость и определите , прямой или	обратной	пропорциональностью она является .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются	обратной	пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Определите , является прямой или	обратной	пропорциональностью зависимость .
От дома до пристани он шёл со скоростью 4 км / ч , а на	обратном	пути его скорость была 6 км / ч .
б ) разность трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в	обратном	порядке .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в	обратном	порядке .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в	обратном	порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в	обратном	порядке , делится на 9 .
От реки до деревни он ехал со скоростью 10 км / ч , а на	обратном	пути его скорость была 15 км / ч .
а ) сумму двузначного числа числом , записанным теми же цифрами , но в	обратном	порядке .
Здесь важно не ошибиться : отношение равно не отношению а	обратному	отношению Получаем пропорцию .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние члены ; замените каждое отношение	обратным	.
Запишите с помощью букв правило	обращения	смешанной дроби в неправильную дробь .
Найдите	объединение	и пересечение этих промежутков .
	Объединение	промежутков , заданных неравенствами есть промежуток .
Иными словами , оно является	объединением	этих прямых .
Решить эту задачу можно , например , так : записать число 0,65 в виде	обыкновенной дроби	и затем воспользоваться перекрёстным правилом .
Дробь - нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде	обыкновенной дроби	число 0,3 .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную	обыкновенной дробью	, нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
Расскажите , как сравнивают	обыкновенную дробь	и десятичную .
Правда , в некоторых случаях выбирать не приходится , поскольку	обыкновенную дробь	преобразовать в десятичную можно не всегда .
Проверьте себя , обратившись к таблице во фрагменте 1 , можете ли вы бегло назвать	обыкновенные дроби	, соответствующие процентам : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 75 % .
Можно также представить дробь 0,54 в виде обыкновенной и затем с помощью перекрёстного правила сравнить	обыкновенные дроби	попарно .
Сравнивая две	обыкновенные дроби	, вы пользовались разными приёмами .
Как с помощью перекрёстного правила сравнить	обыкновенные дроби	и ( фрагмент 1 ) ?
Мы получили правило сравнения	обыкновенных дробей	, которое иногда называют перекрёстным .
Правило сравнения	обыкновенных дробей	.
Не всё так	однозначно	, ведь это данные за 75 лет , и многое зависит от того , в каком состоянии команды находятся накануне очередной встречи .
Умножьте	одночлен	на многочлен .
Умножим	одночлен	на многочлен .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот	одночлен	на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Чтобы умножить	одночлен	на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Такой	одночлен	называют одночленом стандартного вида .
Выполняется оно , как и умножение многочлена на	одночлен	, на основе распределительного свойства .
В результате мы получили многочлен Вообще произведение	одночлена	и многочлена всегда можно преобразовать в многочлен .
Чтобы применить группировку , разобьём слагаемое 5ху на два	одночлена	: ху и 4ху .
К	одночленам	стандартного вида относятся также числа , переменные , степени переменных .
Какие из следующих выражений являются	одночленами	, а какие нет ? .
Числа и переменные также считают	одночленами	.
Если все члены многочлена являются	одночленами	стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
Такие выражения называют	одночленами	.
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух	одночленов	.
5 Какой из	одночленов	нужно вписать вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было разложить на множители способом группировки ? .
Алгебраическую сумму	одночленов	называют многочленом .
Такой одночлен называют	одночленом	стандартного вида .
Найдите размах посещаемости и среднюю посещаемость матча ,	округлив	её до сотен .
а ) Оцените вероятность того , что произвольный покупатель выберет в этом году машину марки В. Ответ	округлите	до сотых .
( Ответы	округляйте	до десятых .
( Ответы	округляйте	до десятых . ) .
Результаты	округляйте	до целых .
Например , в известной вам формуле длины	окружности	С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой	окружности	.
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр	окружности	. г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
С nd , где С — длина	окружности	, d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины	окружности	к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
182 В любой окружности отношение длины	окружности	к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
а ) Определите длину	окружности	, диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
182 В любой	окружности	отношение длины окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина	окружности	равна 10 см ?
Длина	окружности	маленького обруча 3 м , а большого — 4 м .
Определите длину	окружности	каждого обруча .
Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины	окружности	большого обруча .
Длина	окружности	маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча .
213 Команда из трёх	операторов	, работая по 6 ч в день , за 4 дня набрала на компьютере 700 страниц рукописи .
Эту	операцию	проделали и в третий раз .
Заметим , что первым приём преобразования уравнений	описал	знаменитый арабский математик Мухаммед аль - Хорезми , живший в Хорезме и в Багдаде на рубеже IX и X вв .
С помощью букв данный приём может быть	описан	следующим образом .
В общем случае обратно пропорциональная зависимость может быть	описана	формулой где х и у — переменные , k — постоянная .
Какие из данных ниже задач аналогичны той , что	описана	в примере 2 ? .
Система распределения прибыли ,	описанная	в этой задаче , называется пропорциональной .
962 Проведите в классе эксперимент с кнопкой ,	описанный	в этом пункте .
Сопоставьте свой результат с результатом ,	описанным	в тексте пункта .
Оно	описано	, например , древнегреческим учёным Евклидом ( III в .
С помощью букв эти действия могут быть	описаны	так .
Как	описать	эту прямую на алгебраическом языке ?
475 Изобразите на координатной плоскости и	опишите	на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
Запишите соответствующую цепочку числовых равенств , а потом	опишите	используемый приём с помощью букв .
Назовите ординаты этих точек ,	опишите	свойства кубической параболы .
441 Изобразите на координатной прямой и	опишите	на алгебраическом языке .
Изобразите на координатной плоскости и	опишите	на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
Постройте этот график и	опишите	его свойства .
474 Постройте на координатной плоскости и	опишите	на алгебраическом языке прямую , симметричную точкам прямой .
Точно так же множество точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси	ординат	.
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси	ординат	— значения температуры .
а ) прямую , проходящую через точку 5 оси	ординат	и параллельную оси абсцисс .
а ) относительно оси	ординат	. б ) относительно прямой х — 1 .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси	ординат	.
б ) прямую , проходящую через точку ( -5 ; 2 ) и параллельную оси	ординат	.
Известно , что точки А(2 ; -1 ) и В ( 5 ; а ) расположены на прямой , перпендикулярной оси	ординат	.
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую , симметричную этой прямой относительно оси	ординат	.
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси	ординат	.
Известно , что точки М(-4 ; 2 ) и N(c ; -3 ) расположены на прямой , параллельной оси	ординат	.
Парабола симметрична относительно оси	ординат	, так как противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у.
Ось	ординат	задаётся равенством , а ось абсцисс — равенством .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и	ордината	— равные числа .
Если есть , то какова её	ордината	? .
У каждой из этих точек абсцисса и	ордината	— противоположные числа .
Что , например , представляет собой множество точек , у которых	ордината	равна абсциссе , т .
Вообще , если абсцисса и	ордината	точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
а )	ордината	равна утроенной абсциссе .
	Ордината	на 3 больше абсциссы .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и	ординатой	.
Любая другая точка координатной плоскости имеет	ординату	, отличную от 2 .
в ) абсцисса на 2 больше	ординаты	.
Число 8 -	основание	степени , а число 5 - показатель степени .
551 Представьте выражение в виде степени с	основанием	у .
Представьте в виде степени с основанием 2 и , если возможно , с	основанием	-2 .
561 Представьте а30 в виде степени с	основанием	.
529 Частное степеней замените степенью с тем же	основанием	.
54 Представьте в виде степени с	основанием	10 следующие числа .
а ) двух степеней с основанием 3 . б ) трёх степеней с	основанием	3 .
От чего зависит знак степени с отрицательным	основанием	?
а ) двух степеней с	основанием	3 . б ) трёх степеней с основанием 3 .
в ) четырёх степеней с	основанием	3 .
559 Представьте выражение в виде степени с	основанием	n .
4 Какой знак может иметь степень с отрицательным	основанием	?
550 Представьте выражение в виде степени с	основанием	а .
Представьте в виде степени с	основанием	2 и , если возможно , с основанием -2 .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным	основанием	положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
с основанием 7 произведения . б ) с	основанием	а произведения .
На примере а12 а5 проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство произведения степеней с одинаковым	основанием	.
Это выражение легко представить в виде степени с тем же	основанием	.
На примере проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство частного степеней с одинаковым	основанием	.
с	основанием	7 произведения . б ) с основанием а произведения .
Таким же свойством обладает любая степень с	основанием	, большим 1 .
Их записывают с помощью степени с	основанием	10 .
Оно представляет собой степень с	основанием	а2 .
Число а называют	основанием	степени , а число n — показателем степени .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в	основании	параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На	основании	какого закона раскрывают скобки в произведении ?
9 Объём треугольной призмы , в	основании	которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
2 На	основании	каких законов можно утверждать , что выполняется равенство .
53 а ) Объём пирамиды , в	основании	которой квадрат . вычисляется по формуле V -a2h .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр	основания	которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
б ) Расстояние между соседними километровыми столбами электропоезд проходит за 1 мин 12 с. Найдите скорость S — площадь	основания	электропоезда , выразив её в километрах в час .
3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми	основаниями	.
Рассмотрим теперь частное двух степеней с одинаковыми	основаниями	, например .
2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми	основаниями	.
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми	основаниями	показатели степеней складывают .
Объём усечённой пирамиды с квадратными	основаниями	вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми	основаниями	из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
Возьмём произведение двух степеней с одинаковыми	основаниями	, например а3а4 .
408 Из корзины отсыпали половину орехов , потом ещё половину остатка , затем половину нового остатка и , наконец , половину следующего	остатка	.
Если а делится на b без	остатка	, то можно записать .
133 Собранный урожай яблок распределили следующим образом : 75 % всех яблок засушили , 40 %	остатка	пошло на варенье , а из оставшихся 3 кг яблок сварили компот .
408 Из корзины отсыпали половину орехов , потом ещё половину остатка , затем половину нового	остатка	и , наконец , половину следующего остатка .
408 Из корзины отсыпали половину орехов , потом ещё половину	остатка	, затем половину нового остатка и , наконец , половину следующего остатка .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по	остаткам	от деления на заданное число .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по	остаткам	от деления на 2 ?
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в	остатке	3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в	остатке	1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в	остатке	5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в	остатке	3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Докажите , что их произведение при делении на 3 также даёт в	остатке	1 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в	остатке	5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 5 дают в	остатке	4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
Докажите , что а b делится на 7 . б ) Числа а и b при делении на 6 дают в	остатке	соответственно 1 и 3 .
786 Каждое из чисел а и b при делении на 3 даёт в	остатке	1 .
а ) при делении на 10 число а даёт в	остатке	1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
784 а ) Числа а и b при делении на 7 дают в	остатке	соответственно 3 и 4 .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в	остатке	1 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в	остатке	7 .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в	остатке	3 и делятся на 2 .
Так , например , число 2201 оканчивается цифрой 2 , так как 201 при делении на 4 даёт в	остатке	1 , а число 2202 — цифрой 4 , так как .
Например , при делении на 3 получаются	остатки	0 , 1 и 2 .
Количество таких классов равно количеству возможных	остатков	.
Заметим , что даже в том случае , когда а b , можно говорить о делении а на b с	остатком	.
Деление с	остатком	. ( Для тех , кому интересно ) .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и	остаток	при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4	остаток	, равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или	остаток	, равный 3 .
783 Найдите	остаток	от деления на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 ,	остаток	, равный 2 , или остаток , равный 3 .
Получим неполное частное , равное 149 , и	остаток	, равный 11 .
Подсчитать искомый	остаток	человек может двумя способами .
Можно сначала найти общие затраты — они равны рублей , а затем найти	остаток	— он равен рублей .
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не делится и в результате деления получается	остаток	.
Пусть ; тогда можно считать , что неполное частное равно 0 , а	остаток	равен 2 , т .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как	остаток	от деления на b ) обязательно меньше b .
Поэтому в таком случае удобно считать , что получается нулевой	остаток	.
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же	остаток	, то их разность делится на с .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от знака а )	откладывается	отрезок , равный .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем	откладывать	значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
Затем каждой девочке поставили в соответствие точку на координатной плоскости ,	отложив	по горизонтальной оси рост ( в см ) , а по вертикальной — вес ( в кг ) .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС	относится	к АС как 2 к 3 .
Помимо дословного перевода с буквенного языка : « отношение а к b равно отношению с к d » , можно говорить иначе : « а так относится к b , как с	относится	к d » .
б ) В сплаве , состоящем из золота и меди , масса золота	относится	к массе меди как 6:5 .
а ) 18 так относится к 6 , как 15	относится	к 5 .
В то же время сумма , полученная вторым ,	относится	к сумме , полученной третьим , как .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ	относится	к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
а ) 18 так	относится	к 6 , как 15 относится к 5 .
Помимо дословного перевода с буквенного языка : « отношение а к b равно отношению с к d » , можно говорить иначе : « а так	относится	к b , как с относится к d » .
К одночленам стандартного вида	относятся	также числа , переменные , степени переменных .
Деньги , вложенные первой и второй фирмами ,	относятся	как 6 к 4 , а второй и третьей — как 4 к 2 .
Чему равно	отношение	объёма воды ко времени её поступления ? .
Упростите	отношение	.
Здесь важно не ошибиться :	отношение	равно не отношению а обратному отношению Получаем пропорцию .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то	отношение	их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Частотой случайного события в серии экспериментов называют	отношение	числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу экспериментов .
	Отношение	общего числа проведённых экспериментов к числу экспериментов , в которых это событие произошло .
Для этого найдём	отношение	600 р .
Найдем	отношение	площадей квадратов .
Когда из наступления события В обязательно следует наступление события А , то говорят , что В влечёт за собой А , и оно , естественно , будет менее вероятно , чем А. С помощью кругов Эйлера такое	отношение	событий показано .
	Отношение	числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу проведённых экспериментов .
Тогда мы получили бы более простое	отношение	3:2:1 .
Изобразите	отношение	событий С и D из примера 1 с помощью кругов Эйлера .
Чтобы узнать концентрацию получившегося раствора , нужно найти	отношение	массы соли к массе раствора и выразить его в процентах .
Найдите	отношение	периметров этих фигур .
Найдите	отношение	а к b . 218 Решите задачу , составив пропорцию .
Объясните , как образовано « длинное »	отношение	6:4:2 в задаче 1 .
198 Упростите	отношение	, сократив его .
в ) Чему равно	отношение	а к 5 , если известно , что .
80 Крутизна спуска дороги — это	отношение	высоты подъёма дороги к её горизонтальной протяжённости , выраженное в процентах .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние члены ; замените каждое	отношение	обратным .
Чему равно	отношение	соответственных значений пропорциональных величин ?
Найдите	отношение	х к у .
Помимо дословного перевода с буквенного языка : «	отношение	а к b равно отношению с к d » , можно говорить иначе : « а так относится к b , как с относится к d » .
б )	отношение	100 к 30 равно отношению 40 к 12 .
В таких случаях вместо двух отношений 6:4 и 4:2 пишут одно « длинное »	отношение	6:4:2 и говорят : « как шесть к четырём , к двум » .
Если	отношение	равно отношению то равенство называют пропорцией .
182 В любой окружности	отношение	длины окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
Заметим , что рассмотренное в задаче	отношение	6:4:2 можно было бы сократить , т .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить	отношением	целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
228 Отрезок АВ , длина которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в	отношении	.
207 Фирмам А , В и С принадлежит 75 % акций некоторого предприятия , которые распределены между ними в	отношении	.
Сколько тетрадей получит каждый класс , если число учащихся 1А и 1Б классов находится в отношении 3 4 , а число учащихся 1Б и 1В классов в	отношении	8 7 ? .
Именно в таком	отношении	должна быть распределена полученная прибыль .
В каком	отношении	в тесте находятся : арифметические , алгебраические и геометрические задачи ? .
Сколько тетрадей получит каждый класс , если число учащихся 1А и 1Б классов находится в	отношении	3 4 , а число учащихся 1Б и 1В классов в отношении 8 7 ? .
Сколько процентов выплаченной за работу суммы получил каждый из трёх участников , если она была распределена между ними в	отношении	? .
12 Отрезок АВ , длина которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в	отношении	2:3:5 .
226 В сплав входят медь , олово и сурьма в	отношении	.
2 ) Для подготовки викторины « Крупнейшие столицы мира » учащиеся составили вопросы по темам « Географическое положение » , « Климат » , « Экономика » , « Культура » , которые решили взять в	отношении	4 2 1 5 .
В выставке собак участвовали собаки больших , средних и мелких пород , число которых находилось в	отношении	4:8:3 .
219 а ) В строительстве бассейна используют белый и чёрный кафель в	отношении	5:2 .
202 Из лекарственных трав — шалфея , ромашки и валерианы — составили сбор , взяв их в	отношении	2:5:3 .
в	отношении	4 6 7 3 .
134 Бюджетные деньги , выделенные на школы двух районов , распределили между этими районами в	отношении	3:5 .
135 В пансионате имеются однокомнатные и двухкомнатные номера в	отношении	5:3 .
Сколько игр ей надо выиграть , чтобы её результат в процентном	отношении	оказался по крайней мере не хуже ? .
б ) Сколько соли и сколько воды содержится в 200 г раствора соли , если соль и вода входят в него в	отношении	? .
Сколько олова и меди содержится в куске бронзы , масса которого 80 кг , если олово и медь входят в неё в	отношении	? .
Это можно сделать , вычислив каждое из	отношений	, а можно воспользоваться известным правилом сравнения дробей .
Для этого умножим каждое из равных	отношений	.
В таких случаях вместо двух	отношений	6:4 и 4:2 пишут одно « длинное » отношение 6:4:2 и говорят : « как шесть к четырём , к двум » .
8 Из каких	отношений	нельзя составить пропорцию ? .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное	отношению	длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
Здесь важно не ошибиться : отношение равно не отношению а обратному	отношению	Получаем пропорцию .
Здесь важно не ошибиться : отношение равно не	отношению	а обратному отношению Получаем пропорцию .
4 Покажите , как на вероятностной шкале расположены по	отношению	друг к другу события А , В , С , D , Е , если известно , что Р(А ) 0,5 , событие В — маловероятное , событие С — очень вероятное , событие D — практически невероятное , Р(Е ) 1 .
Если отношение равно	отношению	то равенство называют пропорцией .
б ) отношение 100 к 30 равно	отношению	40 к 12 .
Помимо дословного перевода с буквенного языка : « отношение а к b равно	отношению	с к d » , можно говорить иначе : « а так относится к b , как с относится к d » .
Очевидно , что	отношения	равны , так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие равенства называют пропорциями .
Каждое из них показывает , сколько ткани идёт на один костюм , следовательно , эти	отношения	равны .
Возьмём	отношения	.
г ) Пять государств установили друг с другом дипломатические	отношения	, при этом каждое с каждым обменялось послами .
Поэтому	отношения	равны .
Теперь надо составить равные	отношения	.
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала	отнять	от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата	отнять	число 5 .
Числовое равенство не нарушится , если к обеим его частям прибавить ( от обеих его частей	отнять	) одно и то же число .
Найдём координату середины	отрезка	, концами которого служат точки А(-11,5 ) и Б(3,9 ) .
Обозначим координату середины	отрезка	АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Цена альбома меньше цены книги на - этого	отрезка	.
Найдите координату середины	отрезка	АВ для каждого случая .
Чем различаются изображения и алгебраическая запись	отрезка	и интервала ?
Изобразим на координатной прямой числа -2 и 10 и найдём середину	отрезка	с концами в точках -2 и 10 .
453 Найдите длину	отрезка	MN , если .
Найдите координату точки К , которая является серединой	отрезка	с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
На сколько сантиметров длина	отрезка	АР больше длины отрезка КВ ? .
На сколько сантиметров длина отрезка АР больше длины	отрезка	КВ ? .
Расскажите , как найдена координата середины	отрезка	в примере из фрагмента 2 .
Чему равна длина	отрезка	СВ ? .
длину	отрезка	ОА .
как найти длину	отрезка	АВ ? .
454 а ) Найдите координату точки С , которая является серединой	отрезка	с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
Такая алгебра , оперировавшая не числами , а	отрезками	, площадями , объёмами , т . е .
д ) Четыре точки , никакие три из которых не лежат на одной прямой , соединили попарно	отрезками	.
Величины они изображали	отрезками	, произведение ab .
в ) На каком по счёту	отрезке	пути лыжник шёл медленнее всего ?
Какова была скорость лыжника на третьем	отрезке	пути ? .
Сколько таких точек на	отрезке	?
Рассмотренные множества — лучи , интервалы и	отрезки	— называют числовыми промежутками или просто промежутками .
Напомним , что единичные	отрезки	по осям координат берутся равными .
Сколько всего	отрезков	было проведено ? .
45 Найдите длины	отрезков	АВ , АС , АО , AD , BD .
Изобразим её каким - либо	отрезком	.
Множество , задаваемое двойным неравенством -1 х 2 , называют	отрезком	.
Она изображена большим	отрезком	.
446 Назовите наименьшее и наибольшее целое число , принадлежащее указанному промежутку ( если такое существует ): а ) интервалу , б )	отрезку	.
Найдите точку с целой положительной координатой , принадлежащую	отрезку	.
445 Сколько целых чисел принадлежит а ) интервалу ; б )	отрезку	.
Найдите координаты точек , которые делят	отрезок	АВ на четыре равные части .
Увеличим этот	отрезок	на 25 % , т .
на его длины ; получим	отрезок	, соответствующий цене книги .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от знака а ) откладывается	отрезок	, равный .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и единичный	отрезок	.
в ) интервал от точки -2 до точки 3 . г )	отрезок	с концами в точках -8 и -2 .
Но можно сказать и по - другому : « х не меньше 3 » ( « не меньше » — это	отрицание	« меньше » ) .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и	отрицательна	, если показатель степени нечётный .
Какое число — положительное или отрицательное - может получиться при возведении в степень	отрицательного	числа ?
При возведении в степень	отрицательного	числа в результате может получиться как положительное число , так и отрицательное .
Модуль	отрицательного	числа равен противоположному числу .
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении положительного числа и	отрицательного	; двух отрицательных чисел .
Например , так как любое положительное число больше любого	отрицательного	числа ; так как .
Какое число — положительное или	отрицательное	- может получиться при возведении в степень отрицательного числа ?
10 Пусть х —	отрицательное	число .
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число , так и	отрицательное	.
Например , по графику легко узнать , когда температура была положительной , а когда	отрицательной	, когда она росла , а когда понижалась .
С 2 ч до 10 ч температура была	отрицательной	, так как на этом промежутке график лежит ниже оси абсцисс .
	Отрицательной	? .
Здесь мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых	отрицательны	, т .
Если же среди чисел есть	отрицательные	, то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных чисел .
Скобки , окружающие	отрицательный	множитель , записанный на первом месте , обычно опускают .
Вообще полезно помнить , что степень с	отрицательным	основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы	отрицательным	числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Основание степени может быть любым числом — положительным ,	отрицательным	, нулём .
От чего зависит знак степени с	отрицательным	основанием ?
дробным	отрицательным	.
целым	отрицательным	.
4 Какой знак может иметь степень с	отрицательным	основанием ?
Запишите с	отрицательным	показателем степени выражение .
а ) с	отрицательными	координатами . б ) с неотрицательными координатами .
Для этого воспользуемся правилами действий с положительными и	отрицательными	числами .
Какие из чисел являются	отрицательными	? .
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении положительного числа и отрицательного ; двух	отрицательных	чисел .
Если же среди чисел есть отрицательные , то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и	отрицательных	чисел .
Кубическая	парабола	.
Кубическая	парабола	симметрична относительно начала координат .
496 Найдите координаты точек плоскости , в которых кубическая	парабола	пересекается с прямой .
При каких значениях х	парабола	лежит выше прямой ?
И в этой же точке , как говорят математики ,	парабола	касается оси абсцисс .
500 Постройте параболу , симметричную	параболе	у — х2 относительно оси абсцисс .
, Е(-2 ; 4 ) , F(3 ; 27 ) выберите те , которые принадлежат : а ) параболе ; б ) кубической	параболе	; в ) графику зависимости .
, Е(-2 ; 4 ) , F(3 ; 27 ) выберите те , которые принадлежат : а )	параболе	; б ) кубической параболе ; в ) графику зависимости .
Ведь именно по	параболе	, несколько искажённой сопротивлением воздуха , летит камень , мяч , снаряд и любое другое тело , брошенное под углом к горизонту .
Точки А и В принадлежат	параболе	, заданной равенством .
Этот график называется	параболой	.
Эта линия называется кубической	параболой	.
Все они попадут на эту	параболу	.
495 В одной системе координат постройте	параболу	и прямую .
Ось симметрии делит	параболу	на две части , называемые ветвями параболы ; эти ветви неограниченно уходят вверх .
500 Постройте	параболу	, симметричную параболе у — х2 относительно оси абсцисс .
Укажите промежутки значений х , в которых прямая расположена выше кубической	параболы	.
В вершине одна ветвь	параболы	плавно переходит в другую .
Каким соотношением связаны координаты точек этой	параболы	? .
Назовите ординаты этих точек , опишите свойства кубической	параболы	.
Точку ( 0 ; 0 ) , в которой сходятся ветви	параболы	, называют вершиной параболы .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании	параллелепипеда	, h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
б ) Длины рёбер прямоугольного	параллелепипеда	увеличили соответственно в 2 , 3 и 4 раза .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота	параллелепипеда	; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного	параллелепипеда	вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Из проволоки нужно согнуть каркас прямоугольного	параллелепипеда	.
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения	параллелепипеда	.
Найдите число учащихся в каждой	параллели	, если известно , что во вторых классах на 8 учеников больше , чем в третьих .
Поэтому им пришлось обходить всю Землю по 37-й	параллели	.
148 Выразите высоту h из формулы а ) площади	параллелограмма	, б ) объёма цилиндра .
Точно так же множество точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая ,	параллельная	оси ординат .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой ,	параллельной	оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Известно , что точки М(-4 ; 2 ) и N(c ; -3 ) расположены на прямой ,	параллельной	оси ординат .
б ) прямую , проходящую через точку ( -5 ; 2 ) и	параллельную	оси ординат .
а ) прямую , проходящую через точку 5 оси ординат и	параллельную	оси абсцисс .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной плоскости прямую ,	параллельную	оси абсцисс .
10 Дано уравнение , где а — некоторое число , х —	переменная	.
Буквой в формуле не всегда обозначена	переменная	.
Уравнение вида , где а и b — числа , ах —	переменная	, называют линейным .
Хотя эти формулы связывают разные величины и записываются разными буквами , они очень похожи : в левой части записана одна	переменная	, в правой — произведение двух других .
Объясните , что означает каждая	переменная	, если покупают учебники .
Каждая	переменная	( в соответствующей степени ) содержится в нём тоже только один раз .
Дан многочлен с одной	переменной	.
372 Найдите значение	переменной	, при котором .
635 Запишите многочлен , расположив его члены по убыванию степеней	переменной	, и укажите его степень .
Сумму и разность многочленов с одной	переменной	удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
371 При каком значении	переменной	. а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
При каких значениях	переменной	равны значения выражений .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо	переменной	х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
618 Найдите значение выражения при заданных значениях	переменной	.
В рассмотренных линейных уравнениях коэффициент а при	переменной	отличен от нуля .
270 Подставьте в каждое из выражений 2х , х2 , х3 вместо	переменной	х выражение -у и упростите получившееся выражение .
Напротив , числовые равенства уравнениями не являются — в них нет	переменной	.
Если в уравнение вместо	переменной	подставить число , то получится числовое равенство .
Действительно , какое бы число мы ни подставили в это уравнение вместо	переменной	х , получится верное числовое равенство .
Решение уравнения — это поиск тех значений	переменной	, при которых получается верное равенство .
Найдите значение выражения при заданном значении	переменной	.
Такие значения	переменной	, как вы знаете , называют корнями уравнения .
Всякое равенство , содержащее	переменную	, можно рассматривать как уравнение .
379 Решите уравнение относительно х 380 Выразите из равенства каждую	переменную	через другие .
150 Из физической формулы выразите	переменную	т .
Соберём члены уравнения , содержащие	переменную	, в одной части , а числа в другой .
3 Из геометрической формулы выразите	переменную	h .
Если многочлен стандартного вида содержит одну	переменную	, то его члены обычно располагают в порядке убывания её степеней .
Для зависимости пути от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите	переменные	величины , постоянную величину .
Какие значения могут принимать	переменные	тип ? .
Какие значения могут принимать	переменные	в формуле стоимости покупки учебников , которой вы пользовались в предыдущем задании ? .
А в формуле Р pt , выражающей зависимость объёма выполненной каменщиком работы от производительности и времени ,	переменные	Р и р могут принимать только натуральные значения .
Какие значения могут принимать	переменные	n и N ?
Так , в формуле s vt	переменные	могут принимать только положительные значения .
Введите	переменные	и запишите формулу зависимости размера подоходного налога от величины заработка .
Числа и	переменные	также считают одночленами .
Введите	переменные	и запишите формулу зависимости размера пенсионных отчислений от величины заработной платы .
Какие значения могут принимать	переменные	а и b ? .
Все такие формулы могут быть представлены в виде , где буквами х и у обозначены	переменные	величины , а буквой k — та величина , которую мы считаем постоянной .
К одночленам стандартного вида относятся также числа ,	переменные	, степени переменных .
Вообще если в формулах , подобных формуле , произведение постоянно , то две	переменные	величины связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Для зависимости времени движения от его скорости , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите	переменные	величины , постоянную величину .
В общем случае обратно пропорциональная зависимость может быть описана формулой где х и у —	переменные	, k — постоянная .
Такие изменяющиеся величины называют	переменными	величинами , а буквы в формуле , которыми они обозначены , — переменными .
Такие изменяющиеся величины называют переменными величинами , а буквы в формуле , которыми они обозначены , —	переменными	.
Найдите значение выражения при заданных значениях	переменных	.
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений	переменных	и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Все они составлены из чисел и	переменных	с помощью одного только действия — умножения .
269 Подставьте в выражение аb вместо	переменных	а и b указанные выражения и выполните преобразования .
К одночленам стандартного вида относятся также числа , переменные , степени	переменных	.
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите значение каждого из них при заданных значениях	переменных	.
Составьте формулу , выражающую зависимость его скорости v от	переменных	t , I и n.
122 Найдите значение выражения при заданных значениях	переменных	.
659 Найдите значение выражения при заданных значениях	переменных	.
843 Найдите значение выражения при заданных значениях	переменных	.
Итак , при возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты	перемножают	.
Итак , при возведении степени в степень показатели	перемножают	.
Поэтому убедимся в справедливости этого равенства ,	перемножив	многочлены в правой части .
323 Как известно ,	перемножить	непосредственно можно только два числа .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения площади прямоугольника достаточно измерить его стороны и	перемножить	получившиеся числа .
496 Найдите координаты точек плоскости , в которых кубическая парабола	пересекается	с прямой .
	Пересечение	промежутков , заданных неравенствами , есть промежуток .
Найдите объединение и	пересечение	этих промежутков .
А если потребовать , чтобы выполнялись одновременно оба условия , то на координатной плоскости получится	пересечение	этих полос — прямоугольник .
Отметьте точки	пересечения	построенной прямой с осями координат .
Найдите координаты точек	пересечения	этих графиков .
606 Сколько существует анаграмм слова : а ) « факториал » ; б ) «	перестановка	» ; в ) « комбинаторика » ? .
Число перестановок для множества из n элементов обозначают через Рп ( читают : « Р из n » , Р — первая буква французского слова permutation —	перестановка	) .
Назовите все	перестановки	множества , состоящего из трёх букв : « а » , « б » , « в » .
Если считать , что нам важно , кто на каком стуле сидит , то это простая задача на	перестановки	, и всего будет 6 !
6.5 Круговые	перестановки	. ( Для тех , кому интересно ) .
Давайте исследуем эту проблему на примере комбинаторных задач на «	перестановки	по кругу » .
Каждое расположение элементов множества в определённом порядке называют	перестановкой	.
Далее учтите , что те анаграммы , которые получаются	перестановкой	букв « а2 » и « а2 » , на самом деле одинаковы .
602 Напомним , что анаграмма — это слово , полученное из данного слова	перестановкой	его букв ( но необязательно имеющее смысл ) .
Но в каждой из этих	перестановок	русский язык и литература могут меняться местами .
Число	перестановок	для множества из n элементов обозначают через Рп ( читают : « Р из n » , Р — первая буква французского слова permutation — перестановка ) .
Число способов , которыми можно составить расписание , равно числу	перестановок	из шести элементов .
Значит , число таких расписаний равно числу	перестановок	из пяти элементов .
С помощью символа n принято записывать формулу для подсчёта числа	перестановок	.
Сколько существует	перестановок	из трёх элементов ? .
Рассуждая точно так же , можно показать , что для множества из пяти элементов число	перестановок	равно , а для множества из десяти элементов это число равно .
Приведите пример задачи , в которой нужно подсчитать число	перестановок	.
7 Запишите формулу для подсчёта числа	перестановок	.
Решив задачу , мы фактически подсчитали число	перестановок	для множества из четырёх элементов .
Вообще если множество содержит n элементов , то число	перестановок	равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
277 а ) Чему равен	периметр	прямоугольника , одна сторона которого равна х см , а другая — на 2 см больше ?
Найдите	периметр	этого прямоугольника .
252 Чему равен	периметр	фигуры .
Чему равен	периметр	этого треугольника ? .
б ) Чему равен	периметр	треугольника , одна сторона которого равна а см , вторая — на 1 см больше первой , а третья — на 2 см меньше второй ? .
Чему равен	периметр	прямоугольника ? .
а )	периметра	квадрата от длины его стороны .
Найдите отношение	периметров	этих фигур .
Сколько дней они отработали за этот	период	? .
а ) Каков был начальный тираж газеты в указанный	период	? .
в	период	с 14 до 20 лет ? .
Известно , что точки А(2 ; -1 ) и В ( 5 ; а ) расположены на прямой ,	перпендикулярной	оси ординат .
Объём усечённой	пирамиды	с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
Найдите объём	пирамиды	, если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
53 а ) Объём	пирамиды	, в основании которой квадрат . вычисляется по формуле V -a2h .
149 а ) Из формулы площади треугольника выразите . б ) Из формулы объёма	пирамиды	выразите .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой	пирамиды	.
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной	пирамиды	, все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина ребра .
473 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , заданное условиями .
Теперь мы будем рассматривать множества точек координатной	плоскости	, абсциссы и ординаты которых связаны какой - либо зависимостью .
474 Постройте на координатной	плоскости	и опишите на алгебраическом языке прямую , симметричную точкам прямой .
472 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
А на координатной	плоскости	это же условие задаст уже полуплоскость ; она расположена правее прямой х 3 .
Отметим на координатной	плоскости	несколько точек , имеющих равные координаты , например А(0 ; 0 ) , В(1 ; 1 ) , С(-2 ; -2 ) , D(0,5 ; 0,5 ) .
480 Задайте на алгебраическом языке и изобразите на координатной	плоскости	множество точек , у которых .
469 Опишите на алгебраическом языке области координатной	плоскости	.
468 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , у которых .
Равенству у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой прямой , и никакая другая точка координатной	плоскости	этому условию не удовлетворяет .
467 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
Построим теперь на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых связаны более сложным соотношением — равенством .
466 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
481 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , удовлетворяющих условиям .
Двойное неравенство 1 х 3 задаёт на координатной	плоскости	вертикальную полосу , а двойное неравенство горизонтальную полосу .
А если потребовать , чтобы выполнялись одновременно оба условия , то на координатной	плоскости	получится пересечение этих полос — прямоугольник .
462 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , которое задаётся равенством .
а ) Какое из равенств х 5 или у 5 задаёт в координатной	плоскости	горизонтальную прямую и какое - вертикальную ?
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной	плоскости	прямую , которая является биссектрисой I и III координатных углов .
485 Постройте множество точек	плоскости	, координаты которых связаны соотношением .
8 Изобразите на координатной	плоскости	график зависимости .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной	плоскости	прямую , параллельную оси абсцисс .
497 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
Представив данные таблицы точками на координатной	плоскости	и соединив полученные точки плавной линией , начертите кривую спроса на яблоки .
Для этого каждая пара чисел таблицы ( число экспериментов — частота ) отмечена точкой на координатной	плоскости	.
При этом на координатной	плоскости	мы будем получать всё больше и больше точек .
488 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек .
489 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
А если нам известна только одна из координат точки на	плоскости	?
490 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
492 Множество точек на	плоскости	задано условиями .
501 Постройте на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Изобразите это множество точек на координатной	плоскости	.
5.3 Множества точек на координатной	плоскости	.
493 Множество точек на	плоскости	задано условиями .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на	плоскости	в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
511 Изобразите на	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Представив данные соответствующей таблицы точками на координатной	плоскости	и соединив полученные точки , постройте « кривую популярности » высококаблучников .
Вернёмся к прямоугольной системе координат на	плоскости	.
7 Изобразите на координатной	плоскости	график зависимости .
2 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
Затем каждой девочке поставили в соответствие точку на координатной	плоскости	, отложив по горизонтальной оси рост ( в см ) , а по вертикальной — вес ( в кг ) .
519 Опишите на алгебраическом языке множества точек координатной	плоскости	.
Попробуем теперь рассмотреть более сложные зависимости , которые могут связывать абсциссы и ординаты точек	плоскости	, и посмотрим , как будут выглядеть соответствующие графики .
Любая другая точка координатной	плоскости	имеет ординату , отличную от 2 .
Изобразите на координатной	плоскости	и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
Отметим найденные точки на координатной	плоскости	и соединим их плавной линией .
Отметим соответствующие точки на координатной	плоскости	и соединим их плавной линией .
496 Найдите координаты точек	плоскости	, в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
475 Изобразите на координатной	плоскости	и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
Можно вычислить координаты других точек , удовлетворяющих равенству и отметить их на координатной	плоскости	.
Множество точек на координатной	плоскости	.
3 Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , удовлетворяющих условиям .
Задайте с помощью неравенств множества точек координатной	плоскости	.
Перенесём данные таблицы на координатную	плоскость	; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме	площадей	четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
Найдем отношение	площадей	квадратов .
сначала вычитанием	площадей	, а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство .
сначала вычитанием площадей , а потом сложением	площадей	и запишите соответствующее равенство .
Интересно , что именно так , используя правила вычисления	площадей	, получали подобные равенства учёные Древней Греции .
Ну хотя бы потому , что и на « языке денег » , и на « языке расстояний » , и на « языке	площадей	» мы всегда рассматриваем только положительные числа , а часто даже и натуральные .
Дайте истолкование этого равенства на « языке	площадей	» .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением	площадей	прямоугольников , а затем вычитанием .
Для равенств , связанных с умножением , часто удобна интерпретация на « языке	площадей	» .
Составьте два разных выражения для вычисления	площади	заштрихованной части прямоугольника на и запишите соответствующее равенство .
289 Запишите выражения для вычисления	площади	фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
241 Составьте несколько различных выражений для вычисления	площади	прямоугольника и запишите цепочку равенств .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше	площади	данного прямоугольника на 16 см2 .
Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления	площади	закрашенной части .
148 Выразите высоту h из формулы а )	площади	параллелограмма , б ) объёма цилиндра .
Составьте два выражения для вычисления	площади	прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
Запишите два разных выражения для вычисления	площади	закрашенной части квадрата , получившейся на десятом шаге ; на сотом шаге .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения	площади	прямоугольника достаточно измерить его стороны и перемножить получившиеся числа .
Вы знаете формулу	площади	прямоугольника S ab , которая выражает соотношение между площадью S и длинами сторон а и b.
Ученик записал различные способы вычисления	площади	прямоугольника .
Площадь квадрата на 63 см2 больше	площади	прямоугольника .
12 Какое из выражений можно использовать для вычисления	площади	фигуры .
231 Для вычисления	площади	прямоугольника , изображённого на этом рисунке , можно составить выражение или выражение .
13 Площадь прямоугольника равна	площади	квадрата .
12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше	площади	квадрата AKLM1 .
С другой стороны , всего имеется z слоёв равной	площади	, а их общая площадь равна ху , и поэтому площадь каждого слоя равна кв. ед .
13 На сколько процентов площадь квадрата AKLM меньше	площади	квадрата ABCD ? .
149 а ) Из формулы	площади	треугольника выразите . б ) Из формулы объёма пирамиды выразите .
808 Если каждую из сторон земельного участка , имеющего форму квадрата , уменьшить на 3 м , то получится участок , площадь которого будет меньше	площади	исходного участка на 81 м2 .
Какой процент	площади	участка получил каждый фермер ? .
Значит , фермеры получили соответственно 20 % , 30 % , 35 % и 15 %	площади	участка .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной	площади	от длины другой его стороны .
271 Составьте формулу для вычисления	площади	S фигуры .
764 а ) Площадь квадрата равна	площади	прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле	площади	поверхности сферы , где R — радиус сферы .
В предыдущем пункте мы рассмотрели формулы	площади	прямоугольника , пути , стоимости , работы .
б )	площади	квадрата от длины его стороны .
280 Составьте два выражения для вычисления	площади	фигуры и покажите , как одно из этих выражений можно преобразовать в другое .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S —	площадь	круга , г — радиус круга .
Докажите , что если сторону квадрата увеличить в 10 раз , то его	площадь	увеличится в 100 раз .
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его	площадь	быть равной 33 см2 ?
Найдите размеры и	площадь	картинки .
Найдите двумя способами	площадь	прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
Тогда	площадь	каждого слоя будет равна кв. ед .
Найдите	площадь	квадрата .
выберите те , с помощью которых можно найти	площадь	фигуры .
С другой стороны , всего имеется z слоёв равной площади , а их общая	площадь	равна ху , и поэтому площадь каждого слоя равна кв. ед .
С другой стороны , всего имеется z слоёв равной площади , а их общая площадь равна ху , и поэтому	площадь	каждого слоя равна кв. ед .
13 На сколько процентов	площадь	квадрата AKLM меньше площади квадрата ABCD ? .
б ) Расстояние между соседними километровыми столбами электропоезд проходит за 1 мин 12 с. Найдите скорость S —	площадь	основания электропоезда , выразив её в километрах в час .
Вычислите	площадь	её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус сферы .
Найдите	площадь	поверхности , если а 5 см , b 7 см , с 9 см .
Таким образом ,	площадь	увеличилась в 9 раз .
Обозначим сторону квадрата буквой а , тогда его площадь равна а2 , а	площадь	нового квадрата равна .
Обозначим сторону квадрата буквой а , тогда его	площадь	равна а2 , а площадь нового квадрата равна .
Во сколько раз увеличилась его	площадь	? .
Увеличилась или уменьшилась	площадь	сквера и на сколько процентов ? .
Во сколько раз увеличилась	площадь	прямоугольника ? .
765 а ) Пекарня использует для выпечки тортов формы двух видов , имеющие одинаковую	площадь	дна .
Первоначальная	площадь	куска стекла .
Чему была равна	площадь	первоначального участка ? .
777 Картинку квадратной формы наклеили на белую бумагу , в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме	площадь	на 460 см2 больше , чем она занимала без окантовки .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически :	площадь	прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
12 На сколько процентов	площадь	квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM1 .
б ) Чему равна	площадь	прямоугольника , одна из сторон которого равна х см , а другая на а см меньше ? .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то	площадь	полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
Найдите	площадь	кольца , если .
а ) Чему равна	площадь	прямоугольника , одна из сторон которого равна х см , а другая на 3 см больше ? .
240 Найдите	площадь	фигуры ( рис .
Найдите	площадь	нового участка .
808 Если каждую из сторон земельного участка , имеющего форму квадрата , уменьшить на 3 м , то получится участок ,	площадь	которого будет меньше площади исходного участка на 81 м2 .
Если меньшую сторону увеличить на 1 см , а большую — на 2 см , то	площадь	изображения увеличится на 65 см2 .
Население Китая составляет человек , а	площадь	его территории равна км2 .
Чтобы вставить дверь в дверной проём , её сделали короче на 10 см и уже на 5 см. При этом	площадь	обрезков составила 1900 см2 .
Вы знаете формулу площади прямоугольника S ab , которая выражает соотношение между	площадью	S и длинами сторон а и b.
Такая алгебра , оперировавшая не числами , а отрезками ,	площадями	, объёмами , т . е .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком «	плюс	» .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе	плюс	квадрат второго числа .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части уравнения , при этом его знак изменился с « минуса » на «	плюс	» .
в 1,1 раза ,	плюс	добавлялась новая сумма .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа	плюс	удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
321 Запишите равенство , заменив знак «	плюс	» знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт	плюс	» , это закон алгебры .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе	плюс	квадрат второго числа .
Найдите площадь	поверхности	, если а 5 см , b 7 см , с 9 см .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади	поверхности	сферы , где R — радиус сферы .
Вычислите площадь её	поверхности	( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус сферы .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь	поверхности	прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Эта сумма равна огромному числу 18 446 744 073 709 551 615 , и она столь велика , что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю	поверхность	нашей планеты , включая Мировой океан .
Многих школьников волнует	подобная	проблема , и чаще всего ученики решают её следующим естественным образом : складывают все отметки и делят сумму на их количество .
Приведите	подобные	члены многочлена .
У одних общей буквенной частью является произведение ab , у других — буква с. Сгруппируем	подобные	слагаемые .
Интересно , что именно так , используя правила вычисления площадей , получали	подобные	равенства учёные Древней Греции .
655 Раскройте скобки и приведите	подобные	.
Сумму и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом	подобные	члены .
	Подобные	члены этого многочлена .
298 Приведите	подобные	слагаемые .
	Подобные	слагаемые в выражении .
Заметим , что	подобные	слагаемые можно группировать мысленно , выделяя их специальными знаками .
Для этого достаточно привести	подобные	слагаемые , т .
Чтобы привести	подобные	слагаемые , нужно : сгруппировать эти слагаемые ; сложить их коэффициенты .
укажите	подобные	члены в получившемся после раскрытия скобок выражении и выполните приведение подобных .
13 Приведите	подобные	слагаемые .
Рассмотрим на примере , как можно приводить	подобные	слагаемые , используя сформулированное правило .
Подчеркните	подобные	слагаемые в каждом из выражений .
Раскроем скобки , выполнив умножение -5с на 1 - с , и затем приведём	подобные	члены ( если они окажутся ) .
15 Раскройте скобки и приведите	подобные	слагаемые в выражении .
2 Приведите	подобные	слагаемые .
Какие слагаемые называют	подобными	?
Таким образом , слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть , называют	подобными	слагаемыми .
б Какие слагаемые называют	подобными	?
Чтобы понять особенности зависимостей , описываемых	подобными	формулами , рассмотрим одну из них , а именно формулу пути .
Правило приведения	подобных	слагаемых .
В этой сумме две группы	подобных	слагаемых .
Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение	подобных	слагаемых и затем стёрли знаки между слагаемыми .
Раскрытие скобок и приведение	подобных	слагаемых .
Найдём сумму коэффициентов	подобных	слагаемых первой группы .
На каком законе основано приведение	подобных	слагаемых ? .
Проиллюстрируйте правило приведения	подобных	слагаемых на примере выражения .
укажите подобные члены в получившемся после раскрытия скобок выражении и выполните приведение	подобных	.
Такое преобразование называют приведением	подобных	слагаемых .
Нам удалось упростить данное выражение , заменив сумму	подобных	слагаемых одним выражением -4а .
3.4 Приведение	подобных	слагаемых .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет	подобных	членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
Но , исходя из здравого смысла , можно сразу , не прибегая к арифметике , получать многие правила , например , известное вам правило приведения	подобных	слагаемых .
Сформулируйте правило приведения	подобных	слагаемых и поясните его на примере выражения .
Вообще если в формулах ,	подобных	формуле , произведение постоянно , то две переменные величины связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Значит , в результате приведения	подобных	слагаемых второй группы мы получим 5с .
Одним из статистических	показателей	различия , или разброса , данных является размах .
Что характеризует каждый из этих	показателей	? .
Вам уже знакомо понятие степени с натуральным	показателем	.
В математике это выражение тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у степени с натуральным	показателем	.
Сформулируйте определение степени с натуральным	показателем	и найдите значение выражения .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным	показателем	, на основе которых выполняются преобразования выражений , содержащих степени , а также вычисления .
Запишите с отрицательным	показателем	степени выражение .
Степенью числа а с натуральным	показателем	n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Напомним , что определение степени с натуральным	показателем	включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда показатель степени больше 1 и когда он равен 1 .
1 Сформулируйте определение степени с натуральным	показателем	.
Степень с натуральным	показателем	.
Степенью числа а с	показателем	, равным 1 , называют само число а .
Свойства степени с натуральным	показателем	.
1.3 Степень с натуральным	показателем	.
Число а называют основанием степени , а число n —	показателем	степени .
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми основаниями	показатели	степеней складывают .
Итак , при возведении степени в степень	показатели	перемножают .
Если бы мы продолжили таблицу , то оно попало бы в столбец , где находятся степени 24 , 28 , 212 ,	показатели	которых кратны четырём .
Что характеризует этот	показатель	? .
И последняя цифра числа 2n определяется тем , в какую из этих групп попадает	показатель	n.
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают	показатель	степени делителя .
Наибольший	показатель	степени , в которой переменная входит в этот многочлен , равен 3 .
Напомним , что определение степени с натуральным показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда	показатель	степени больше 1 и когда он равен 1 .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если	показатель	степени нечётный .
Такой	показатель	, как мода , используется не только для числовых данных .
Мода —	показатель	, который широко используется в статистике .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если	показатель	степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Число 8 - основание степени , а число 5 -	показатель	степени .
Это зависит от того , чётным или нечётным числом является	показатель	степени .
Например . Обратите внимание : степени числа 2 с увеличением	показателя	возрастают очень быстро .
Исходя из этого статистического	показателя	можно подумать , что на Меркурии умеренный климат , удобный для жизни людей .
Заметив это , нетрудно определить последнюю цифру степени 2n для любого	показателя	n .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из	показателя	степени делимого вычитают показатель степени делителя .
"Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра числа 2 "" , где n — натуральное число , с изменением"	показателя	n.
Сколько потребуется тракторов , чтобы вспахать это	поле	за 9 ч ?
б ) Три трактора могут вспахать	поле	за 18 ч .
940 Ваня и Дима решают с помощью вертушки , как им провести воскресенье : если стрелка остановится на белом	поле	, они пойдут в кино ; если на голубом — на стадион .
952 Вы выигрываете , если стрелка останавливается на белом	поле	.
Двучлен всегда	положителен	.
Как вы знаете , квадрат любого числа	положителен	или равен нулю , т .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием	положительна	, если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Модуль	положительного	числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении	положительного	числа и отрицательного ; двух отрицательных чисел .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта ,	положительное	направление и единичный отрезок .
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как	положительное	число , так и отрицательное .
Например , так как любое	положительное	число больше любого отрицательного числа ; так как .
все члены ряда умножить на одно и то же	положительное	число ? .
Какое число —	положительное	или отрицательное - может получиться при возведении в степень отрицательного числа ?
Найдите точку с целой	положительной	координатой , принадлежащую отрезку .
и после 10 ч температура была	положительной	, так как на этих промежутках график расположен выше оси абсцисс .
Например , по графику легко узнать , когда температура была	положительной	, а когда отрицательной , когда она росла , а когда понижалась .
б ) Когда в течение суток температура была	положительной	?
б ) Когда в течение суток температура была	положительной	? .
Ну хотя бы потому , что и на « языке денег » , и на « языке расстояний » , и на « языке площадей » мы всегда рассматриваем только	положительные	числа , а часто даже и натуральные .
Так , в формуле s vt переменные могут принимать только	положительные	значения .
Основание степени может быть любым числом —	положительным	, отрицательным , нулём .
дробным	положительным	.
целым	положительным	.
Для этого воспользуемся правилами действий с	положительными	и отрицательными числами .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для	положительных	можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
В заключение подчеркнём , что в наших рассуждениях речь шла только о	положительных	дробях .
Если же среди чисел есть отрицательные , то следует пользоваться общими правилами сравнения	положительных	и отрицательных чисел .
Числовые промежутки , которые называют	полуинтервалами	.
Сколько существует таких	полуинтервалов	? .
Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой	полуинтервалы	от точки 0 до точки 0,3 .
Поэтому для вычисления произведения xyz ( без изменения	порядка	множителей ) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки , т.е. представить его как или как .
Если многочлен стандартного вида содержит одну переменную , то его члены обычно располагают в	порядке	убывания её степеней .
б ) разность трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном	порядке	.
а ) сумму двузначного числа числом , записанным теми же цифрами , но в обратном	порядке	.
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном	порядке	.
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном	порядке	, делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Каждое расположение элементов множества в определённом	порядке	называют перестановкой .
Ваня знает , что номер телефона его друга состоит из четырёх цифр 1 , 2 , 3 , 4 , но не помнит , в каком	порядке	их надо набирать .
62 Расположите в	порядке	возрастания числа .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном	порядке	, делится на 9 .
Переместительное свойство сложения , которое утверждает , что два числа можно складывать в любом	порядке	.
Перечислите коробки в	порядке	возрастания шансов вынуть чёрный шар .
15 Составьте все дроби ( не равные 1 ) с числителями и знаменателями 11 , 12 , 13 и расположите их в	порядке	возрастания .
124 Расположите в	порядке	возрастания числа .
10 Расположите в	порядке	убывания числа .
9 Расположите в	порядке	возрастания числа .
Расположите в	порядке	убывания числа .
( Сигналы , составленные из флагов , взятых в разном	порядке	, считаются различными . ) .
Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители и запишем вначале произведение числовых множителей , а затем буквенных , расположив их в алфавитном	порядке	.
Расположим их в	порядке	возрастания .
2 Расположите в	порядке	возрастания числа .
Никаких общих правил , помогающих установить , какие способы и в каком	порядке	следует применять , не существует .
У урока физкультуры фиксированное место , поэтому расписания отличаются	порядком	остальных пяти предметов .
249 Преобразуйте выражение в равное , изменив каким - либо способом	порядок	слагаемых .
Сколько разных	последовательностей	из орлов и решек может при этом получиться ? .
В	последовательности	Фибоначчи каждое число , начиная с третьего , равно сумме двух предыдущих .
а ) Обозначьте одно из чисел этой	последовательности	буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел .
А в русском алфавите 33 буквы , значит , придётся использовать	последовательности	из пяти знаков .
Докажите , что сумма любых шести последовательных чисел в	последовательности	Фибоначчи делится на 4 .
Докажите , что сумма любых восьми последовательных чисел в	последовательности	Фибоначчи делится на 3 .
Из каждой	последовательности	из двух знаков получаются ещё две приписыванием точки или тире , т .
Будем считать словом любую	последовательность	, состоящую не более чем из пяти букв .
Понятно , что , чем короче	последовательность	знаков , обозначающая букву , тем лучше .
Результатом эксперимента является	последовательность	из пяти цифр .
Выскажите предположение , какие буквы русского алфавита в азбуке Морзе кодируются	последовательностью	из пяти знаков .
596 В компьютере каждый символ кодируется	последовательностью	, состоящей из восьми цифр — нулей и единиц .
Итак ,	последовательностями	из одного , двух , трёх или четырёх знаков ( точек и тире ) можно закодировать букв .
Можно ли обойтись	последовательностями	не более чем в 4 знака , чтобы закодировать все буквы русского алфавита ? .
Любая точка этого интервала лежит	правее	точки -1 и левее точки 2 .
Рассмотрим множество точек координатной прямой , имеющих координату , большую 3 , а значит , расположенных	правее	точки 3 .
А на координатной плоскости это же условие задаст уже полуплоскость ; она расположена	правее	прямой х 3 .
4 В каких случаях выражение разложено на множители	правильно	? .
Равновероятным является выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании симметричного игрального кубика , орла или решки при бросании	правильной	монеты .
И это вовсе не значит , что один из получившихся ответов	правильный	, а другой нет .
Действительно , чтобы получить	правильный	результат , надо время выразить в часах .
Только в этом случае формула может дать	правильный	результат .
Хотя эти формулы связывают разные величины и записываются разными буквами , они очень похожи : в левой части записана одна переменная , в	правой	— произведение двух других .
Поэтому убедимся в справедливости этого равенства , перемножив многочлены в	правой	части .
Теперь понятно , что график надо строить по частям , отдельно в	правой	и в левой полуплоскости .
Воспользовавшись первым правилом , соберём числа в	правой	части уравнения .
А вот уравнение вообще не имеет корней , так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 меньше его	правой	части .
Расставьте скобки так , чтобы выражение в левой части равенства было равно выражению в	правой	части .
Расставьте скобки так , чтобы путём преобразования левой части равенства можно было получить	правую	часть .
Мы легко доказали эту формулу , преобразовав	правую	часть и получив левую .
Но если нас интересует только взаимное расположение гостей , то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения , при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом , только левый и	правый	соседи меняются местами .
Из задуманного числа вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы ,	прибавив	5 к трети задуманного числа .
а ) К задуманному числу	прибавили	11 , затем сумму поделили пополам и получили число , которое на 2 больше задуманного .
Чтобы воспользоваться способом группировки ,	прибавим	к двучлену выражение и вычтем его .
Числовое равенство не нарушится , если к обеим его частям	прибавить	( от обеих его частей отнять ) одно и то же число .
а ) ко всем членам ряда	прибавить	одно и то же число .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо	прибавить	к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел	прибавить	большее из них , то получится квадрат большего числа .
Борис предложил ему возвести это число в квадрат , после чего	прибавить	задуманное число и назвать результат .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо	прибавить	к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Можно , например , разложить этот многочлен на множители , используя тот же приём «	прибавить	— вычесть » , но уже совсем по - другому .
662 Какой двучлен надо	прибавить	к данному двучлену , чтобы в сумме получился 0 .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать	прибавить	и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел	прибавить	большее из них , то получится квадрат большего числа .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату	прибавить	вычитаемое .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо	прибавить	и вычесть , чтобы разложить многочлен на множители .
Чтобы узнать мартовский тираж журнала , нужно найти 120 % от февральского тиража и	прибавить	полученное число к 325 .
Чтобы к некоторому выражению	прибавить	алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А	прибавить	половину расстояния между точками А и Б .
Запишите многочлен , который надо	прибавить	к трёхчлену чтобы сумма оказалась равной .
Использованный приём «	прибавить	— вычесть » вам , конечно , известен .
Далее каждый раз , заполняя следующий столбец таблицы , к результатам предыдущего столбца	прибавляли	результаты , полученные следующей парой учеников , и подсчитывали соответствующие частоты .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число ,	прибавьте	к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число ,	прибавьте	к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
158 В нашей стране и в США для	приближённой	прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по	приближённой	формуле , где а — длина ребра .
В самом деле , заменим дроби и 75 их	приближёнными	десятичными значениями .
В каком случае правильно	приведены	.
В таблице	приведены	ещё некоторые примеры приёмов вычислений и дана их буквенная запись .
Вы можете понаблюдать за их изменением , рассмотрев таблицу , в которой	приведены	факториалы чисел от 1 до 10 .
Примеры таких дробей	приведены	в таблице .
Назовите и сформулируйте каждый из них ;	приведите	иллюстрирующие их числовые примеры .
1 Назовите известные вам числовые промежутки и	приведите	соответствующие примеры .
655 Раскройте скобки и	приведите	подобные .
15 Раскройте скобки и	приведите	подобные слагаемые в выражении .
Подставьте вместо а заданное выражение и	приведите	многочлен к стандартному виду .
Раскроем скобки , выполнив умножение -5с на 1 - с , и затем	приведём	подобные члены ( если они окажутся ) .
Для этого	приведём	их к общему знаменателю .
Из	приведённого	рассуждения понятно следующее правило .
Доказательство ,	приведённое	Евклидом , вы можете воспроизвести самостоятельно , воспользовавшись .
341 Составьте уравнение по условию задачи , опираясь на	приведённый	ниже план .
Ответьте на вопрос , воспользовавшись	приведённым	образцом .
6 Среди	приведённых	ниже выражений найдите выражение , противоположное многочлену .
Среди	приведённых	ниже событий укажите те , вероятность которых равна 0 и вероятность которых равна 1 .
Среди	приведённых	выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов .
Найдите эту разность среди	приведённых	ниже выражений .
Определите , какое из	приведённых	ниже равенств неверно .
2 Из	приведённых	выражений .
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил ,	приведённых	во фрагменте 1,-перехода от дроби к процентам или от процентов к дроби .
Так , для многочлена к нужному результату	приведёт	и группировка первого слагаемого с третьим , а второго — с четвёртым .
Наши рассуждения	привели	нас к хорошо знакомой задаче на части .
Мы	привели	здесь подробную запись , чтобы показать , как работают законы алгебры , а на практике промежуточные шаги часто выполняют устно — слагаемые переставляются и группируются не руками , а глазами .
Чтобы показать это , надо	привести	пример такой ситуации , или , как говорят , такого исхода , когда данное событие происходит , и такого исхода , когда оно не происходит .
Если среди чисел , с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби , то их надо	привести	к какой - нибудь одной из этих форм .
Для этого достаточно	привести	подобные слагаемые , т .
Чтобы	привести	подобные слагаемые , нужно : сгруппировать эти слагаемые ; сложить их коэффициенты .
Рассмотрим на примере , как можно	приводить	подобные слагаемые , используя сформулированное правило .
3 На примере многочлена объясните , как	приводят	многочлен к стандартному виду .
9 Объём треугольной	призмы	, в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
Найдите объём	призмы	, если а 8 см .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное	произведение	первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
702 Представьте	произведение	в виде многочлена .
Вы знаете , что	произведение	одинаковых множителей записывают короче — в виде степени .
Докажите , что их	произведение	при делении на 3 также даёт в остатке 1 .
Фактически перед нами стоит задача : доказать , что	произведение	есть число , противоположное , или , что то же самое , доказать , что .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите	произведение	соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
256 Упростите	произведение	и назовите коэффициент .
Таким образом , выражение аn означает	произведение	n множителей , равных а .
Величины они изображали отрезками ,	произведение	ab .
1 ) если	произведение	двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Значит , и всё	произведение	, а вместе с ним и равная ему сумма делится на 2 .
На	произведение	буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
Переставив множители и заменив	произведение	одинаковых множителей степенью , получим .
	Произведение	выражений .
Чтобы разделить число на	произведение	двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Чему равно	произведение	цены яблок на их массу ? .
Пользуясь примером 2 как образцом , упростите	произведение	Запишите подробную цепочку преобразований и объясните каждый шаг .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное	произведение	п2 и 2 , т .
С помощью этой формулы можно преобразовать	произведение	разности и суммы любых двух выражений .
Вообще если в формулах , подобных формуле ,	произведение	постоянно , то две переменные величины связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Как принято записывать	произведение	, у которого коэффициент равен 1 ?
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что	произведение	крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
Так как	произведение	делится на 6 , то и разность делится на 6 .
Возьмём	произведение	двух степеней с одинаковыми основаниями , например а3а4 .
Любая пропорция обладает следующим свойством :	произведение	крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Значит ,	произведение	.
4 Представьте в виде многочлена	произведение	.
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в	произведение	: вынесли за скобки число 17 .
Чему равно	произведение	соответственных значений обратно пропорциональных величин ? .
Точно так же х не может быть меньше 9 , потому что в этом случае	произведение	будет меньше 90 .
724 Представьте каждое	произведение	в виде многочлена .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе —	произведение	всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
116 В числителе дроби запишите	произведение	всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
114 Делится ли на 10 : сумма II11 322 ; разность 7го- 910 ;	произведение	1215 1512 ? .
Хотя эти формулы связывают разные величины и записываются разными буквами , они очень похожи : в левой части записана одна переменная , в правой —	произведение	двух других .
Это свойство распространяется на	произведение	трёх и более степеней .
В справочниках можно увидеть , что , например , масса Земли равна 5,978 1024 кг , а масса атома водорода — 1,674 10 24 г. Понятно , что 1024 — это	произведение	24 множителей , равных 10 , т .
У одних общей буквенной частью является	произведение	ab , у других — буква с. Сгруппируем подобные слагаемые .
г )	произведение	двух последовательных натуральных чисел есть число чётное .
Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1 , называют	произведение	n множителей , каждый из которых равен а .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное	произведение	первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
616 Запишите	произведение	.
С : сумма выпавших очков не больше 12 . D :	произведение	выпавших очков больше 40 .
Представим в виде многочлена	произведение	.
Для этого составим их	произведение	и с помощью распределительного свойства раскроем скобки .
540 Упростите	произведение	.
4 ) если	произведение	двух чисел не равно нулю , то ни одно из этих чисел не равно нулю .
268 Упростите	произведение	.
3 ) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю , то	произведение	этих чисел не равно нулю .
В результате мы получили многочлен Вообще	произведение	одночлена и многочлена всегда можно преобразовать в многочлен .
Вообще ,	произведение	двух многочленов всегда можно представить в виде многочлена .
Упростим	произведение	.
2 ) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю , то их	произведение	равно нулю .
Например , такие : если , и тогда	произведение	больше 90 .
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то	произведение	их соответственных значений равно одному и тому же числу .
это	произведение	пяти множителей , каждый из которых равен 8 .
259 Упростите	произведение	.
Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители и запишем вначале	произведение	числовых множителей , а затем буквенных , расположив их в алфавитном порядке .
Если выражение является	произведением	, в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Только в данном случае этот закон мы применяем справа налево : заменяем сумму	произведением	, а не наоборот .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом	произведении	можно записать в обратном порядке .
В то же время процесс возведения в степень можно сократить , если множители в	произведении	сгруппировать так , чтобы можно было использовать уже известные результаты .
281 Раскройте скобки в	произведении	.
5 Сформулируйте правило раскрытия скобок в	произведении	.
Раскрыть скобки в	произведении	можно с помощью распределительного закона .
В получившемся	произведении	только один числовой множитель , и он записан на первом месте .
На основании какого закона раскрывают скобки в	произведении	?
283 Раскройте скобки в	произведении	.
В	произведении	обозначьте двучлен буквой х и проведите преобразования , аналогичные рассмотренным в тексте .
В любом	произведении	множители можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы .
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в	произведении	получится 90 .
Обозначим двучлен какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в	произведении	по правилу умножения одночлена на многочлен .
Таким образом , задача свелась к сравнению	произведений	.
Здесь будут рассмотрены правила преобразования сумм и	произведений	.
Правило преобразования	произведений	следует из переместительного и сочетательного законов умножения .
Правило преобразования	произведений	сумм .
3 Чему равен коэффициент в каждом из	произведений	.
Однако такой смысл этому выражению придаётся при ( ведь	произведений	из одного множителя не бывает ) .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к	произведению	прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
Разность квадратов двух чисел равна	произведению	разности этих чисел и их суммы .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно	произведению	, Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
723 Выпишите выражения , равные	произведению	.
Какие из них равны	произведению	.
3 Какую степень имеет многочлен , равный	произведению	многочленов .
сумма кубов двух чисел равна	произведению	суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
751 Докажите , что если к	произведению	двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Докажите , что если к	произведению	двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно	произведению	её средних членов .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна	произведению	разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
13 Какое из выражений противоположно	произведению	.
Каждый член этого многочлена можно представить в виде	произведения	, в котором один из множителей равен 2ху .
Итак , при возведении	произведения	в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
с основанием 7	произведения	. б ) с основанием а произведения .
Используйте формулу для преобразования	произведения	в многочлен .
863 Представьте в виде	произведения	.
с основанием 7 произведения . б ) с основанием а	произведения	.
42 Представьте разными способами 38 в виде	произведения	.
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные	произведения	сложить .
187 Составьте различные пропорции , используя следующие	произведения	.
Поэтому для вычисления	произведения	xyz ( без изменения порядка множителей ) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки , т.е. представить его как или как .
Это свойство справедливо для	произведения	любого числа множителей .
34 Запишите каждое выражение в виде	произведения	или степени .
6.2 Степень степени ,	произведения	и дроби .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из	произведения	вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Приведите свой пример уравнения , решаемого на основе равенства нулю	произведения	.
Покажите его применение для раскрытия скобок на примере	произведения	.
Покажем , как это свойство	произведения	используется для решения уравнений .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные	произведения	сложить .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого	произведения	.
836 Представьте выражение в виде	произведения	.
705 Запишите степень двучлена в виде	произведения	и выполните умножение .
Рассмотрим , как можно умножить многочлен на многочлен на примере	произведения	.
Сформулируйте правило преобразования	произведения	.
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого	произведения	: где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На примере а12 а5 проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство	произведения	степеней с одинаковым основанием .
7 Сформулируйте условие равенства нулю	произведения	двух или нескольких чисел .
Каждый член двучлена представьте в виде	произведения	, в котором есть множитель -3а .
Однако в математике важна и обратная задача — представление многочлена в виде	произведения	двух или нескольких многочленов , среди которых могут быть и одночлены .
818 Представьте выражение в виде	произведения	двумя способами по следующему образцу .
5 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень	произведения	.
Выражение с помощью распределительного закона можно представить в виде	произведения	.
552 Представьте выражение в виде	произведения	двух или нескольких степеней .
Чему равен коэффициент	произведения	?
Мы представили сумму в виде	произведения	— это два последовательных натуральных числа и одно из них обязательно является чётным , т .
Решим уравнение Равенство нулю	произведения	обращается в нуль при .
Такие	произведения	бывают очень длинными и часто выражаются огромными числами .
Выясним теперь , как можно преобразовать степень	произведения	, например выражение ( ab)3 .
а ) Какое свойство	произведения	используется для решения уравнения ( сформулируйте это свойство ) ?
В пачки по 150 г и по 250 г фасовали одно и то же количество чая , поэтому	произведения	150 30 и 250 х равны .
Примените записанную вами формулу сокращённого умножения для преобразования	произведения	.
244 Запишите с помощью букв и скобок несколько разных способов вычисления	произведения	четырёх чисел .
Представим а9 в виде	произведения	а0а4 , тогда дробь можно будет сократить на общий множитель а5 .
Коэффициент	произведения	.
Проверьте двумя способами , является ли	пропорцией	следующее равенство .
А как узнать , является ли равенство вида	пропорцией	? .
Например , является ли	пропорцией	равенство .
Если отношение равно отношению то равенство называют	пропорцией	.
Какое из следующих равенств	пропорцией	не является ? .
Сформулированное утверждение называют основным свойством	пропорции	.
2.5 Задачи на « сложные »	пропорции	. ( Для тех , кому интересно ) .
Сформулируйте соответствующие свойства	пропорции	.
Используя доказанное утверждение , составьте две новые	пропорции	из пропорции .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов	пропорции	равно произведению её средних членов .
С помощью основного свойства	пропорции	любой её член можно выразить через три других .
214 Найдите неизвестный член	пропорции	.
Составьте четыре	пропорции	, членами которых являются те же числа х , у , z и v . 216 Известно , что .
Используя доказанное утверждение , составьте две новые пропорции из	пропорции	.
Используя пропорцию запишите три новые	пропорции	.
Это позволяет по трём известным членам	пропорции	находить неизвестный .
Из	пропорции	находим х .
5 Дайте определение	пропорции	.
Из	пропорции	выразите число а ; число b.
б ) Дополните равенства так , чтобы получились	пропорции	.
Как найти неизвестный член	пропорции	.
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена	пропорции	; неизвестного среднего члена пропорции .
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции ; неизвестного среднего члена	пропорции	.
6 Сформулируйте основное свойство	пропорции	.
187 Составьте различные	пропорции	, используя следующие произведения .
Приведите пример	пропорции	и назовите её крайние и средние члены .
Сформулируйте определение	пропорции	.
5 Найдите неизвестный член	пропорции	.
178 Найдите неизвестный член	пропорции	.
180 Обозначьте неизвестную величину буквой и составьте разные	пропорции	по условию задачи .
Найдём неизвестный член	пропорции	.
10 Как можно найти неизвестный член	пропорции	.
Составьте две разные	пропорции	по условию задачи , как это сделано в примере 2 .
Запишите каждое утверждение в виде	пропорции	, назовите крайние члены и средние члены пропорции .
Из этой	пропорции	находим неизвестное число х .
Запишите каждое утверждение в виде пропорции , назовите крайние члены и средние члены	пропорции	.
Найдите неизвестный член	пропорции	.
а ) Сформулируйте основное свойство	пропорции	.
По основному свойству	пропорции	имеем .
Решение задач с помощью	пропорций	.
Задачи , в которых речь идёт о прямо пропорциональных или обратно пропорциональных величинах , удобно решать с помощью	пропорций	.
Объём выполненной работы при постоянном времени работы	пропорционален	производительности .
Объём выполненной работы при постоянной производительности	пропорционален	времени работы .
Можно сказать также , что скорость движения обратно	пропорциональна	времени движения .
Точно так же стоимость товара при постоянной цене пропорциональна его количеству ; стоимость товара при одном и том же количестве	пропорциональна	его цене .
Точно так же стоимость товара при постоянной цене	пропорциональна	его количеству ; стоимость товара при одном и том же количестве пропорциональна его цене .
В общем случае обратно	пропорциональная	зависимость может быть описана формулой где х и у — переменные , k — постоянная .
Участок земли разделили между четырьмя фермерами	пропорционально	количеству членов их семей .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе	пропорционально	числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
Количество ткани прямо	пропорционально	числу костюмов : во сколько раз увеличивается число костюмов , во столько же раз увеличивается и расход ткани .
Распределите 70 билетов между тремя классами	пропорционально	числам 2 , 3 и 5 .
Б. Время работы при постоянном её объёме	пропорционально	производительности .
Можно сказать , что прибыль разделили	пропорционально	суммам , вложенным в проект .
Говорят , что при постоянной скорости расстояние прямо	пропорционально	времени движения .
Например , при постоянной стоимости количество купленного товара обратно	пропорционально	его цене ; при постоянном объёме работы время работы обратно пропорционально производительности .
Итак , если движение равномерное , расстояние	пропорционально	времени движения .
Количество пачек чая обратно	пропорционально	массе одной пачки : во сколько раз увеличится масса пачки , во столько же раз уменьшится количество пачек .
7 Распределите 3 тыс. рублей	пропорционально	числам 4 , 3 и 8 .
Очевидно также , что при постоянном времен : расстояние	пропорционально	скорости движения : если скорость увеличить , например , в 3 раза , то за такое же время будет продела : путь , в 3 раза больший .
Площадь всего участка составляет 100 % , и эти 100 % нужно разделить	пропорционально	числам 4 , 6 , 7 и 3 , т .
Например , при постоянной стоимости количество купленного товара обратно пропорционально его цене ; при постоянном объёме работы время работы обратно	пропорционально	производительности .
Говорят , что при постоянном расстоянии время движения обратно	пропорционально	скорости движения .
7 Придумайте задачу на	пропорциональное	деление какой - либо величины .
Запишите общую формулу обратно	пропорциональной	зависимости .
Запишите общую формулу прямо	пропорциональной	зависимости .
Вообще если в формулах , подобных формуле , произведение постоянно , то две переменные величины связаны обратно	пропорциональной	зависимостью .
Эта формула выражает важное свойство обратно	пропорциональной	зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
Система распределения прибыли , описанная в этой задаче , называется	пропорциональной	.
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно	пропорциональны	, то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны	пропорциональны	числам 2 , 4 и 5 .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо	пропорциональны	, то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Прямо	пропорциональные	величины .
Вместо слов « прямо пропорциональные величины » можно говорить короче : «	пропорциональные	величины » .
Вместо слов « прямо	пропорциональные	величины » можно говорить короче : « пропорциональные величины » .
Обратно	пропорциональные	величины .
Разделите число х на части ,	пропорциональные	числам а , b , с .
Слово «	пропорциональный	» происходит от латинского pro - portione , означающего « соответственно порциям » , « согласно долям » , « по количеству » .
Объясните происхождение и смысл слова «	пропорциональный	» .
Две величины называют прямо	пропорциональными	, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз .
1 Какие величины называют прямо	пропорциональными	?
Две величины называют обратно	пропорциональными	, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз .
3 Какие величины называют обратно	пропорциональными	?
2 Сформулируйте свойство прямо	пропорциональных	величин .
Вообще любая формула , похожая на формулу , даёт нам два случая прямо	пропорциональных	величин .
Чему равно произведение соответственных значений обратно	пропорциональных	величин ? .
4 Сформулируйте свойство обратно	пропорциональных	величин .
Приведите примеры прямо	пропорциональных	величин .
Задачи , в которых речь идёт о прямо пропорциональных или обратно	пропорциональных	величинах , удобно решать с помощью пропорций .
Приведите примеры обратно	пропорциональных	величин .
Задачи , в которых речь идёт о прямо	пропорциональных	или обратно пропорциональных величинах , удобно решать с помощью пропорций .
Чему равно отношение соответственных значений	пропорциональных	величин ?
Найдите отношение а к b . 218 Решите задачу , составив	пропорцию	.
Используя	пропорцию	запишите три новые пропорции .
Решим эту же задачу , составив другую	пропорцию	.
Происхождение этих терминов станет совершенно понятным , если записать	пропорцию	в строчку .
188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так , чтобы из этих четырёх чисел можно было составить	пропорцию	: а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
Составим	пропорцию	.
Числа , образующие	пропорцию	, имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
Убедитесь , что вы вновь получите	пропорцию	, если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние члены ; замените каждое отношение обратным .
Имеем	пропорцию	.
Читают	пропорцию	по - разному .
Получаем	пропорцию	.
Здесь важно не ошибиться : отношение равно не отношению а обратному отношению Получаем	пропорцию	.
8 Из каких отношений нельзя составить	пропорцию	? .
Установите , какая	пропорция	соответствует условию задачи ( х - число страниц , которое напечатает вторая машинистка ) .
наше равенство —	пропорция	.
В каком случае	пропорция	по условию задачи составлена правильно , если буквой х обозначена скорость велосипедиста ( в км / ч ) ? .
а ) Дана	пропорция	.
9 Дана	пропорция	.
Любая	пропорция	обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие равенства называют	пропорциями	.
Докажите , что если равенство также являются	пропорциями	.
( Убедитесь в том , что полученные равенства действительно являются	пропорциями	. )
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых числитель и знаменатель являются	простыми числами	от 11 до 37 ?
Модуль отрицательного числа равен	противоположному числу	.
У каждой из этих точек абсцисса и ордината —	противоположные числа	.
Сумма	противоположных чисел	равна С .
Какой	процент	этого сбора составляет каждая из трав ? .
Какой	процент	прибыли получит каждый из них ? .
Какой	процент	всех читателей составляют школьники ? .
Какой	процент	автомобилей всего автопарка составляют автомобили ВАЗ ? .
Какой	процент	площади участка получил каждый фермер ? .
Определите	процент	жирности полученного творога , если смешали .
Определите , какой	процент	от всех имевшихся на ярмарке школьных учебников составляют проданные в каждый из этих трёх дней .
С понятием дроби , как вам уже известно , связано понятие	процента	.
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от дроби к	процентам	или от процентов к дроби .
Проверьте себя , обратившись к таблице во фрагменте 1 , можете ли вы бегло назвать обыкновенные дроби , соответствующие	процентам	: 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 75 % .
Объясните , как находят величину по её известным	процентам	( задача 2 ) .
При решении задач на проценты нужно уметь свободно переходить от дробей к	процентам	и наоборот .
Поэтому , чтобы решать задачи на проценты , нужно свободно переходить от дробей к	процентам	и наоборот .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в	процентах	, то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Чтобы выразить в	процентах	часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
Ответ дайте в	процентах	.
Полезно также помнить , как выражаются в	процентах	некоторые дроби .
( Ответ выразите в	процентах	. ) .
10 Выразите в	процентах	десятичные дроби : 0,7 ; 0,15 ; 0,06 ; 0,075 ; 0,005 .
Правило выражения десятичной дроби в	процентах	.
80 Крутизна спуска дороги — это отношение высоты подъёма дороги к её горизонтальной протяжённости , выраженное в	процентах	.
Частоту принято выражать также и в	процентах	.
Выразите эти десятичные дроби в	процентах	.
Выразим эту величину в	процентах	.
и выразим его в	процентах	.
Чтобы узнать концентрацию получившегося раствора , нужно найти отношение массы соли к массе раствора и выразить его в	процентах	.
Иногда вероятность выражают в	процентах	.
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в	процентах	, нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Сколько	процентов	выплаченной за работу суммы получил каждый из трёх участников , если она была распределена между ними в отношении ? .
Сколько	процентов	бюджетных денег досталось каждому району ? .
3 ) Сколько	процентов	в год начисляет банк , если ?
Сколько всего	процентов	номеров оборудовано для отдыхающих с маленькими детьми ? .
Сколько	процентов	всех книг составляют книги для взрослых ? .
Увеличилась или уменьшилась площадь сквера и на сколько	процентов	? .
Для обратного перехода — от	процентов	к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Выясним , сколько	процентов	приходится на взрослых , не достигших пенсионного возраста .
На сколько	процентов	была снижена цена куртки на распродаже ? .
Теперь выясним , сколько	процентов	составляет разница в 600 р .
в ) На сколько примерно	процентов	вырос тираж газеты за февраль ?
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от дроби к процентам или от	процентов	к дроби .
Объясните , как находят несколько	процентов	от величины ( задача 1 ) .
На сколько	процентов	была снижена цена товара ? » ( задача 4 ) .
На сколько	процентов	повысилась или понизилась цена каждого товара в декабре по сравнению с майской ценой ?
На сколько	процентов	майская цена была выше или ниже декабрьской ?
Сколько	процентов	сплава составляет каждый металл ?
Вычислите , на сколько	процентов	уценили книгу , если её цену снизили с 80 р .
На сколько	процентов	повысилась урожайность кустов ?
86 а ) В голосовании на выборах в окружную администрацию приняло участие 65 % избирателей округа , 40 % из них проголосовало за кандидата А. Сколько	процентов	избирателей данного округа отдало голоса за этого кандидата ? .
На сколько	процентов	был заполнен бензином бак к концу поездки ? .
Сколько всего	процентов	школьников занимается в спортивных секциях , если число мальчиков и число девочек в школе одинаково ? .
Сколько всего	процентов	учащихся школы играет в оркестре , если мальчики составляют всех учащихся школы ? .
На сколько	процентов	альбом дешевле книги ? .
На сколько	процентов	тарелка дороже блюдца ? .
Правило выражения	процентов	десятичной дробью .
На сколько	процентов	блюдце дешевле чашки ? .
На сколько	процентов	снизили цену книги в конце года ? .
13 На сколько	процентов	площадь квадрата AKLM меньше площади квадрата ABCD ? .
12 На сколько	процентов	площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM1 .
На сколько	процентов	увеличилось число учащихся школы ? .
На сколько	процентов	подешевели пряники , если стоимость упаковки осталась прежней ? .
Сколько	процентов	всего пути ему осталось пройти ? .
Это совсем нетрудно , если помнить , что под	процентом	понимают часть рассматриваемой величины .
Дроби и	проценты	.
Поскольку	проценты	выражаются дробями , то задачи на проценты , по существу , являются теми же задачами на дроби .
Поэтому , чтобы решать задачи на	проценты	, нужно свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
Задачи на	проценты	.
Выразите эти	проценты	десятичными дробями .
1.4 Задачи на	проценты	.
При решении задач на	проценты	нужно уметь свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
Поскольку проценты выражаются дробями , то задачи на	проценты	, по существу , являются теми же задачами на дроби .
11 Соотнесите дроби , которые выражают доли некоторой величины , и соответствующие им	проценты	.
Точно так же множество точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это	прямая	, параллельная оси ординат .
Укажите промежутки значений х , в которых	прямая	расположена выше кубической параболы .
Значит ,	прямая	— биссектриса II и IV координатных углов — задаётся равенством у -х .
484 Известно , что график зависимости у — 2х —	прямая	.
На каждом из них изображена координатная	прямая	и отмечены точки А и Б. Найдём , например , для случая б расстояние АВ по рисунку и по формуле и сравним результаты .
Это прежде всего	прямая	пропорциональность и обратная пропорциональность , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной	прямой	полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3 .
Найдите зависимость , которой удовлетворяют координаты точек этой	прямой	.
Постройте прямую , симметричную относительно оси абсцисс	прямой	у — 2х .
449 Изобразите на координатной	прямой	указанные промежутки ( используйте для этого разные цветные карандаши ) .
Если нам известна координата точки А на	прямой	, то мы знаем и расстояние от этой точки до начала отсчёта , т .
439 Изобразите на координатной	прямой	промежуток .
Это надо уметь ( обязательные результаты обучения ) 1 Изобразите на координатной	прямой	промежуток .
436 Изобразите на координатной	прямой	множество точек , заданное неравенством .
Соответствие между числами и точками	прямой	для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
Для этого на	прямой	, расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и единичный отрезок .
Как вы уже знаете , числа можно изображать точками на	прямой	.
При х 0 график совпадает с известной нам	прямой	у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
При х 0 график совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой	прямой	, абсциссы которых неотрицательны , т .
Изобразите на координатной	прямой	множество всех точек .
438 Изобразите на координатной	прямой	множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
458 Изобразите на координатной	прямой	множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
Пусть теперь на	прямой	заданы две произвольные точки А и В. Как , зная их координаты , найти расстояние между ними , т .
а ) относительно оси ординат . б ) относительно	прямой	х — 1 .
Известно , что точки А(2 ; -1 ) и В ( 5 ; а ) расположены на	прямой	, перпендикулярной оси ординат .
Ни точки прямой х 3 , ни точки левее этой	прямой	таким свойством не обладают .
Ни точки	прямой	х 3 , ни точки левее этой прямой таким свойством не обладают .
Этой	прямой	принадлежат , например , точки А(2 ; -2 ) , В(1 ; -1 ) , С(-1 ; 1 ) .
А на координатной плоскости это же условие задаст уже полуплоскость ; она расположена правее	прямой	х 3 .
Равенству у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой	прямой	, и никакая другая точка координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
Мы уже знаем , что на координатной	прямой	неравенству х 3 соответствует открытый луч .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на	прямой	, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
На	прямой	положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
461 Изобразите на координатной	прямой	множество точек , удовлетворяющих условиям .
При график совпадает с	прямой	.
Отметьте точки пересечения построенной	прямой	с осями координат .
455 Зная координату точки А на	прямой	и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной	прямой	равно модулю разности их координат .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую , симметричную этой	прямой	относительно оси ординат .
474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую , симметричную точкам	прямой	.
Здесь мы берём только те точки этой	прямой	, абсциссы которых отрицательны , т .
Определите , является	прямой	или обратной пропорциональностью зависимость .
170 Задайте формулой указанную зависимость и определите ,	прямой	или обратной пропорциональностью она является .
161 ; Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются	прямой	пропорциональностью , и объясните смысл коэффициента пропорциональности .
Объясните , почему зависимость объёма воды в бассейне от времени работы трубы при постоянной скорости поступления воды является	прямой	пропорциональностью .
Этим равенством выражается важное свойство	прямой	пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Формулу	прямой	пропорциональности часто записывают в виде .
Формулу называют формулой	прямой	пропорциональности , а число k — коэффициентом пропорциональности .
Полученные точки соединены ломаной , которая при увеличении числа экспериментов становится практически горизонтальной	прямой	.
ниже	прямой	? .
3 На координатной	прямой	отмечены точки А(-1,5 ) .
512 Изобразите на координатной	прямой	множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
513 Изобразите на координатной	прямой	множество точек , заданное неравенством .
Изобразим на координатной	прямой	числа -2 и 10 и найдём середину отрезка с концами в точках -2 и 10 .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной	прямой	множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
Координата точки на	прямой	.
33 На координатной	прямой	отмечены числа а , b и с Какое из двух утверждений верно ? .
32 На координатной	прямой	отмечены числа а , b и с Какое из утверждений неверно ? .
Расстояние между точками координатной	прямой	.
При каких значениях х парабола лежит выше	прямой	?
Известно , что точки М(-4 ; 2 ) и N(c ; -3 ) расположены на	прямой	, параллельной оси ординат .
Разделим его сторону длиной у на z равных частей и разрежем данный	прямоугольник	.
Рассмотрим	прямоугольник	со сторонами х и у.
Изображён	прямоугольник	, заданный условиями .
А если потребовать , чтобы выполнялись одновременно оба условия , то на координатной плоскости получится пересечение этих полос —	прямоугольник	.
Чему равен периметр	прямоугольника	? .
417 Периметр	прямоугольника	, стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
Составьте два выражения для вычисления площади	прямоугольника	и запишите соответствующее равенство .
Одна из сторон	прямоугольника	на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны квадрата .
Во сколько раз увеличилась площадь	прямоугольника	? .
13 Площадь	прямоугольника	равна площади квадрата .
а ) Одну сторону	прямоугольника	увеличили в 2 раза , а другую — в 1,5 раза .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь	прямоугольника	со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
241 Составьте несколько различных выражений для вычисления площади	прямоугольника	и запишите цепочку равенств .
Вы знаете формулу площади	прямоугольника	S ab , которая выражает соотношение между площадью S и длинами сторон а и b.
Найдите двумя способами площадь	прямоугольника	и запишите соответствующее равенство .
В предыдущем пункте мы рассмотрели формулы площади	прямоугольника	, пути , стоимости , работы .
Ученик записал различные способы вычисления площади	прямоугольника	.
Составьте два разных выражения для вычисления площади заштрихованной части	прямоугольника	на и запишите соответствующее равенство .
Найдите периметр этого	прямоугольника	.
231 Для вычисления площади	прямоугольника	, изображённого на этом рисунке , можно составить выражение или выражение .
б ) Чему равна площадь	прямоугольника	, одна из сторон которого равна х см , а другая на а см меньше ? .
Найдите стороны данного	прямоугольника	.
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина	прямоугольника	, а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного	прямоугольника	на 16 см2 .
б ) Одна сторона	прямоугольника	I см , а другая — на т см больше .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного	прямоугольника	будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
809 Периметр	прямоугольника	равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон	прямоугольника	данной площади от длины другой его стороны .
а ) Чему равна площадь	прямоугольника	, одна из сторон которого равна х см , а другая на 3 см больше ? .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения площади	прямоугольника	достаточно измерить его стороны и перемножить получившиеся числа .
277 а ) Чему равен периметр	прямоугольника	, одна сторона которого равна х см , а другая — на 2 см больше ?
Площадь квадрата на 63 см2 больше площади	прямоугольника	.
Найдите длину стороны квадрата и длины сторон	прямоугольника	.
764 а ) Площадь квадрата равна площади	прямоугольника	, одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Одна из сторон	прямоугольника	на 3 см больше , а другая на 6 см меньше стороны квадрата .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх	прямоугольников	, стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей	прямоугольников	, а затем вычитанием .
457 Четырёхугольник ABCD , изображённый на рисунке 5.16 , является	прямоугольником	.
называли	прямоугольником	, выражение а2 — квадратом .
Назовите координаты каких - нибудь пяти точек , которые принадлежат этому	прямоугольнику	, и пяти точек , которые ему не принадлежат .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому	прямоугольнику	относительно : а ) оси ординат .
Из проволоки нужно согнуть каркас	прямоугольного	параллелепипеда .
б ) Длины рёбер	прямоугольного	параллелепипеда увеличили соответственно в 2 , 3 и 4 раза .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности	прямоугольного	параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Из проволоки нужно согнуть каркас	прямоугольного параллелепипеда	.
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности	прямоугольного параллелепипеда	вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
б ) Длины рёбер	прямоугольного параллелепипеда	увеличили соответственно в 2 , 3 и 4 раза .
У одной из них дно квадратное , а у другой —	прямоугольное	.
Длина	прямоугольной	формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона квадратной формы .
314 В центре городского района планировали разбить сквер	прямоугольной	формы размером .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в	прямоугольной	( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Для этого одну из сторон первоначального участка увеличили на 4 м , а другую — на 5 м и получили новый участок	прямоугольной	формы .
220 Размеры участка земли	прямоугольной	формы 30 и 50 м .
Вернёмся к	прямоугольной	системе координат на плоскости .
807 Телевизионный экран имеет	прямоугольную	форму .
Имеется	прямоугольный	кусок стекла , одна из сторон которого на 30 см больше другой .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный	прямоугольный	треугольник , вычисляется по формуле .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный	прямоугольный треугольник	, вычисляется по формуле .
778 У Наташи есть аквариум с	прямоугольным	дном , одна сторона которого на 16 см больше другой .
а ) Какое из равенств х 5 или у 5 задаёт в координатной плоскости горизонтальную	прямую	и какое - вертикальную ?
5 Каким равенством можно задать вертикальную	прямую	, проходящую через точку М(-2 ; 6 ) ? .
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной плоскости	прямую	, которая является биссектрисой I и III координатных углов .
а )	прямую	, проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси абсцисс .
Как описать эту	прямую	на алгебраическом языке ?
Постройте	прямую	, симметричную относительно оси абсцисс прямой у — 2х .
б )	прямую	, проходящую через точку ( -5 ; 2 ) и параллельную оси ординат .
Постройте эту	прямую	по точкам .
б Каким равенством можно задать горизонтальную	прямую	, проходящую через точку М(а ; 6 ) ? .
495 В одной системе координат постройте параболу и	прямую	.
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат	прямую	, симметричную этой прямой относительно оси ординат .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной плоскости	прямую	, параллельную оси абсцисс .
Проведите эту	прямую	с помощью линейки .
474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке	прямую	, симметричную точкам прямой .
463 Опишите на алгебраическом языке	прямые	.
Значит , множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству , образовано двумя	прямыми	у х и у -х .
Иными словами , оно является объединением этих	прямых	.
Поэтому часто приходится делать много попыток , отказываясь от тупиковых идей и	путей	решения .
192 а ) На участке железнодорожного	пути	старые 8-метровые рельсы меняют на новые 12-метровые .
б ) зависимость израсходованного бензина V ( в л ) от пройденного автомобилем пути s ( в км ) при расходе 0,08 л бензина на 1 км	пути	.
б ) зависимость израсходованного бензина V ( в л ) от пройденного автомобилем	пути	s ( в км ) при расходе 0,08 л бензина на 1 км пути .
в ) Сколько километров турист прошёл за первые полчаса	пути	?
Для зависимости	пути	от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную величину .
315 Автомобиль находился в	пути	5 ч .
Формула	пути	равномерного движения выражает зависимость расстояния s от скорости движения v и времени t.
396 Велосипедист первую половину пути проехал за 3 ч , а вторую половину	пути	— за 2 ч , так как увеличил скорость на 4 км / ч .
Запишите формулу зависимости длины пройденного	пути	от скорости и времени движения .
Чтобы понять особенности зависимостей , описываемых подобными формулами , рассмотрим одну из них , а именно формулу	пути	.
194 Проехав 40 % всего	пути	за 2,4 ч , водитель автомобиля сделал остановку .
От реки до деревни он ехал со скоростью 10 км / ч , а на обратном	пути	его скорость была 15 км / ч .
От дома до пристани он шёл со скоростью 4 км / ч , а на обратном	пути	его скорость была 6 км / ч .
411 После того как путник прошёл 3 версты и ещё треть оставшегося пути , ему осталось пройти половину	пути	и ещё 1 версту .
Следующую остановку он планирует сделать в пункте , после которого ему останется проехать четверть всего	пути	.
За первый час	пути	он прошёл х км , за второй — на 20 км меньше , а за третий — путь , в 1,5 раза больший , чем за предыдущий час .
411 После того как путник прошёл 3 версты и ещё треть оставшегося	пути	, ему осталось пройти половину пути и ещё 1 версту .
В предыдущем пункте мы рассмотрели формулы площади прямоугольника ,	пути	, стоимости , работы .
396 Велосипедист первую половину	пути	проехал за 3 ч , а вторую половину пути — за 2 ч , так как увеличил скорость на 4 км / ч .
за следующий час	пути	? .
Пройдя х км , что составило большую часть	пути	, он сделал остановку .
Какова была скорость лыжника на третьем отрезке	пути	? .
в ) На каком по счёту отрезке	пути	лыжник шёл медленнее всего ?
После остановки он увеличил скорость до 45 км / ч и до следующей остановки находился в	пути	на 1 ч меньше .
88 а ) Автомобиль прошёл 40 %	пути	, а затем 30 % оставшегося расстояния .
Сколько процентов всего	пути	ему осталось пройти ? .
Очевидно также , что при постоянном времен : расстояние пропорционально скорости движения : если скорость увеличить , например , в 3 раза , то за такое же время будет продела :	путь	, в 3 раза больший .
а ) Вычислите тормозной	путь	автомобиля , который едет со скоростью 60 км / ч ; 100 км / ч . б ) Во сколько раз больше тормозной путь автомобиля при скорости 80 км / ч , чем при скорости 40 км / ч ? .
а ) Вычислите тормозной путь автомобиля , который едет со скоростью 60 км / ч ; 100 км / ч . б ) Во сколько раз больше тормозной	путь	автомобиля при скорости 80 км / ч , чем при скорости 40 км / ч ? .
в ) В каком из четырёх рейсов паром проплыл свой	путь	быстрее всего ? .
Какой	путь	осталось пройти путнику ? .
Определите , какое время затратил на	путь	велосипедист , если известно , что он прибыл в город на 1,5 ч позже мотоциклиста , б ) Из туристического лагеря к станции вышел пешеход со скоростью 4 км / ч .
Велосипедист проехал этот же	путь	за 2 ч .
394 Пётр прошёл от дома до пристани и вернулся обратно , затратив на весь	путь	1 ч .
393 Андрей доехал на велосипеде от реки до деревни и вернулся обратно , затратив на весь	путь	1 ч .
Автобус едет от одного города до другого со скоростью 50 км / ч , а автомобиль — со скоростью 80 км / ч , и весь	путь	занимает у него на 1,5 ч меньше , чем у автобуса .
763 а ) Лодка проплыла некоторое расстояние от пристани по течению реки и вернулась обратно , затратив на весь	путь	8 ч .
Обратный путь занимает у него на 10 мин больше , чем	путь	на работу .
Обратный	путь	занимает у него на 10 мин больше , чем путь на работу .
Тогда пройденный	путь	s будет зависеть только от времени движения t.
145 Если автомобиль едет со скоростью v км / ч , то его тормозной	путь	в метрах можно приближённо вычислить по формуле . ( тормозной путь автомобиля — это расстояние , которое он проезжает после того , как водитель нажал на тормоз ) .
Весь	путь	составил 195 км .
145 Если автомобиль едет со скоростью v км / ч , то его тормозной путь в метрах можно приближённо вычислить по формуле . ( тормозной	путь	автомобиля — это расстояние , которое он проезжает после того , как водитель нажал на тормоз ) .
Но этот	путь	весьма трудоёмкий .
За первый час пути он прошёл х км , за второй — на 20 км меньше , а за третий —	путь	, в 1,5 раза больший , чем за предыдущий час .
Какой	путь	проехал автомобиль , если по шоссе он ехал со скоростью а км / ч , а по просёлку со скоростью , на 40 км / ч меньшей ? .
Для	равенств	, связанных с умножением , часто удобна интерпретация на « языке площадей » .
Какое из следующих	равенств	пропорцией не является ? .
Запишем эти рассуждения с помощью цепочки	равенств	.
б Какое из следующих	равенств	неверно ? .
1 Какое из следующих	равенств	выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел ? .
а ) Какое из	равенств	х 5 или у 5 задаёт в координатной плоскости горизонтальную прямую и какое - вертикальную ?
— числовых	равенств	.
Ответ запишите в виде цепочки	равенств	.
921 Проверьте справедливость	равенств	.
241 Составьте несколько различных выражений для вычисления площади прямоугольника и запишите цепочку	равенств	.
273 Какое из следующих	равенств	верно .
Из свойств числовых	равенств	следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Определите , какое из приведённых ниже	равенств	неверно .
Запишите соответствующую цепочку числовых	равенств	, а потом опишите используемый приём с помощью букв .
Правила преобразования уравнений являются следствиями очевидных свойств числовых	равенств	.
б ) Дополните	равенства	так , чтобы получились пропорции .
Например ,	равенства	это уравнения .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие	равенства	называют пропорциями .
Напротив , числовые	равенства	уравнениями не являются — в них нет переменной .
Расставьте скобки так , чтобы выражение в левой части	равенства	было равно выражению в правой части .
379 Решите уравнение относительно х 380 Выразите из	равенства	каждую переменную через другие .
Назовите их и запишите соответствующие	равенства	с помощью букв .
7 Сформулируйте условие	равенства	нулю произведения двух или нескольких чисел .
( Убедитесь в том , что полученные	равенства	действительно являются пропорциями . )
Составьте различные выражения для вычисления общей массы проданных орехов и запишите соответствующие	равенства	.
В действительности , однако , мы должны доказать , что , преобразуя выражение по этому правилу , мы всегда будем получать верные	равенства	.
Приведите свой пример уравнения , решаемого на основе	равенства	нулю произведения .
Поэтому убедимся в справедливости этого	равенства	, перемножив многочлены в правой части .
Дайте истолкование этого	равенства	на « языке площадей » .
320 С помощью какого - либо « языка » дайте истолкование	равенства	.
Так , законами алгебры являются хорошо известные вам	равенства	.
Буквенные	равенства	, выражающие соответствующие свойства , мы теперь будем считать законами алгебры .
Расставьте скобки так , чтобы путём преобразования левой части	равенства	можно было получить правую часть .
318 Предложите какую - нибудь интерпретацию	равенства	— на « языке денег » или на « языке расстояний » .
Интересно , что именно так , используя правила вычисления площадей , получали подобные	равенства	учёные Древней Греции .
Таким образом , уравнения характеризуются двумя очевидными свойствами , легко определяемыми на глаз : во - первых , уравнение — это равенство ; во - вторых , в этом	равенстве	имеется буква — в одной из его частей или в обеих .
Если в уравнение вместо переменной подставить число , то получится числовое	равенство	.
Числовое	равенство	, как известно , может быть верным или неверным .
Решение уравнения — это поиск тех значений переменной , при которых получается верное	равенство	.
При каких значениях х выполняется	равенство	.
331 Докажите	равенство	.
С помощью рисунка 7.3 полученное	равенство	для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
Корнем уравнения называется число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое	равенство	.
И сейчас мы увидим , что это	равенство	действительно следует из сочетательного закона сложения : что и требовалось доказать .
Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника и запишите соответствующее	равенство	.
Докажите , что если	равенство	также являются пропорциями .
Действительно , какое бы число мы ни подставили в это уравнение вместо переменной х , получится верное числовое	равенство	.
Докажите это	равенство	алгебраически .
Таким образом ,	равенство	у 2 задаёт на координатной плоскости прямую , параллельную оси абсцисс .
Разумеется , истолковать данное	равенство	можно не только на « языке денег » .
Поясните это	равенство	с помощью рисунка .
Подберите соответствующее буквенное	равенство	из предыдущего упражнения и , используя его , запишите без скобок следующее выражение .
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать	равенство	где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
Составьте два разных выражения для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на и запишите соответствующее	равенство	.
В результате перевода обычно получается	равенство	, содержащее букву .
Кроме того — это	равенство	является одним из законов алгебры .
Выберите	равенство	, которое является переводом условия этой задачи на математический язык .
Таким образом ,	равенство	у х задаёт на координатной плоскости прямую , которая является биссектрисой I и III координатных углов .
Это буквенное	равенство	говорит о том , что любую разность вида можно заменить выражением , не содержащим скобки .
Если в качестве знака деления использовать черту дроби , то	равенство	примет такой вид .
Это буквенное	равенство	говорит о том , что любую дробь вида можно заменить суммой частных — и числовое значение останется тем же .
Таким образом , уравнения характеризуются двумя очевидными свойствами , легко определяемыми на глаз : во - первых , уравнение — это	равенство	; во - вторых , в этом равенстве имеется буква — в одной из его частей или в обеих .
7 Какой многочлен надо записать вместо многоточия , чтобы	равенство	было верным .
215 Дано	равенство	ху zv .
755 Дополните	равенство	.
15 При каком значении х верно	равенство	.
Всякое	равенство	, содержащее переменную , можно рассматривать как уравнение .
Если данное	равенство	примет вид .
Рассмотрим	равенство	.
258 Для каждого выражения из верхней строки выберите равное ему из нижней строки и запишите соответствующее	равенство	.
2 На основании каких законов можно утверждать , что выполняется	равенство	.
Докажите это	равенство	с помощью преобразований .
Заметим , что коэффициент , равный 1 , обычно не пишут :	равенство	является законом алгебры .
Если тогда данное	равенство	примет вид у — 0 .
Проиллюстрируйте полученное	равенство	геометрически , изобразив квадрат со стороной .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать	равенство	Такие равенства называют пропорциями .
Значит , при верно	равенство	.
Найдите двумя способами площадь прямоугольника и запишите соответствующее	равенство	.
620 Какое выражение надо подставить вместо а , чтобы полученное	равенство	было верным .
322 Запишите	равенство	, заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Верно ли полученное	равенство	? .
Не меняя ни одного знака , расставьте скобки так , чтобы выполнялось	равенство	.
На примере проведите рассуждение , иллюстрирующее	равенство	.
проиллюстрируйте	равенство	.
На примере ( аb)6 проведите рассуждение , иллюстрирующее	равенство	.
319 Как можно истолковать на « языке объёмов »	равенство	.
На примере ( а6)5 проведите рассуждение , иллюстрирующее	равенство	.
Это	равенство	показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое значение при этом не изменится .
321 Запишите	равенство	, заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
если восстановить в этой сумме скобки , то получится	равенство	.
А как узнать , является ли	равенство	вида пропорцией ? .
Если отношение равно отношению то	равенство	называют пропорцией .
наше	равенство	— пропорция .
Поясните это	равенство	.
Числовое	равенство	не нарушится , если к обеим его частям прибавить ( от обеих его частей отнять ) одно и то же число .
Числовое	равенство	не нарушится , если обе его части умножить ( разделить ) на одно и то же число , отличное от нуля .
752 Докажите	равенство	.
235 Приведите три числовых примера , иллюстрирующих буквенное	равенство	.
Например , является ли пропорцией	равенство	.
Проверьте с помощью умножения , верно ли записанное	равенство	.
Проверьте двумя способами , является ли пропорцией следующее	равенство	.
Докажем	равенство	.
сначала вычитанием площадей , а потом сложением площадей и запишите соответствующее	равенство	.
При каком значении k верно	равенство	.
Это	равенство	, как вы уже знаете , называют уравнением .
537 При каком значении k верно	равенство	.
Формулой разности кубов называют	равенство	.
Как называется график зависимости , заданный	равенством	.
Точки А и В принадлежат параболе , заданной	равенством	.
Как , например , построить график зависимости , заданной	равенством	?
Зависимость задана	равенством	.
479 Постройте по точкам график зависимости , заданной	равенством	: а ) у -2х ; б ) у 2-х ; в ) у — х 3 .
Принадлежит ли графику зависимости , заданной	равенством	, точка А(1 ; 0 ) ?
координаты которых удовлетворяют	равенству	.
490 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют	равенству	.
489 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют	равенству	.
координаты которых удовлетворяют	равенству	у х ? .
511 Изобразите на плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют	равенству	.
501 Постройте на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют	равенству	.
Значит , множество точек , координаты которых удовлетворяют	равенству	, образовано двумя прямыми у х и у -х .
Об этом можно было догадаться заранее , ещё до построения графика — по самому	равенству	.
Вычислим координаты нескольких точек , удовлетворяющих	равенству	у х. и заполним таблицу .
Можно вычислить координаты других точек , удовлетворяющих	равенству	и отметить их на координатной плоскости .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой	равнобедренный	прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г —	радиус	круга .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R —	радиус	сферы .
б ) Два студента взялись набрать рукопись ,	разделив	её между собой на две равные части .
Можно сказать , что прибыль	разделили	пропорционально суммам , вложенным в проект .
Участок земли	разделили	между четырьмя фермерами пропорционально количеству членов их семей .
Для этого	разделим	числитель каждой из них на знаменатель , причём техническую работу , т .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ;	разделим	на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Чтобы	разделить	число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат	разделить	на другой множитель .
	Разделить	каждое из входящих в него чисел на их общий делитель — число 2 .
Числовое равенство не нарушится , если обе его части умножить (	разделить	) на одно и то же число , отличное от нуля .
Площадь всего участка составляет 100 % , и эти 100 % нужно	разделить	пропорционально числам 4 , 6 , 7 и 3 , т .
Как они должны	разделить	эту прибыль ? .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала	разделить	это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
375 Уравнение проще решить , если	разделить	обе его части на 2 .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы	разделить	сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или	разделить	на одно и то же число , отличное от нуля .
Чтобы	разделить	число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
надо	разделить	на 6 .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно	разделить	: а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
Числитель и знаменатель дроби можно	разделить	на общий множитель а8 .
Как	разделить	эту сумму между тремя классами ? .
228 Отрезок АВ , длина которого 7 см ,	разделён	точками К , М и Р на 4 части в отношении .
12 Отрезок АВ , длина которого равна 21 см , точками СиD	разделён	на три части в отношении 2:3:5 .
Многочлен на множители	разложен	, и можно сказать , что поставленная задача решена .
13 Закончите	разложение	на множители .
3 Объясните на примере многочлена , как выполняется	разложение	на множители способом группировки .
Когда вы закончили	разложение	на множители , полезно проверить с помощью умножения , получен ли вами верный результат .
83S Заключите два последних слагаемых в скобки , поставив перед ними знак « - » , и затем выполните	разложение	на множители .
906 Найдите корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив	разложение	на множители .
Какие из этих способов группировки подходят для того , чтобы выполнить	разложение	на множители ? .
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на множители , и именно поэтому	разложение	на множители является основной задачей теории многочленов .
Более того ,	разложение	многочлена на множители не всегда возможно .
38 Восстановите число , для которого записано	разложение	на простые множители .
Как проверить , верно или неверно выполнено	разложение	многочлена на множители ?
Сгруппируйте члены многочлена иначе , чем это сделано в первом случае , и выполните	разложение	на множители .
Такое преобразование называют	разложением	многочлена на множители .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических выражений -	разложением	многочлена на множители .
15 Какой из способов не применяется при	разложении	на множители многочлена .
Прочитайте рекомендации , которых целесообразно придерживаться при	разложении	многочлена на множители .
Научиться	разложению	на множители , развить свою фантазию и изобретательность можно только на собственном опыте .
Покажите на примере выражения , как применить эту формулу для	разложения	его на множители .
8.6 Решение уравнений с помощью	разложения	на множители .
6 Для	разложения	многочлена на множители его члены сгруппировали .
Заметим , что для	разложения	многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
Существует целый ряд приёмов для	разложения	многочленов на множители .
Как называют применённый здесь способ	разложения	на множители ? .
1 Какие способы	разложения	многочленов на множители вы знаете ? .
Применение нескольких способов	разложения	на множители .
Способ , который мы применили для	разложения	на множители , так и называется — способ группировки .
Воспользуемся способом группировки для	разложения	на множители многочлена .
Прокомментируйте каждый шаг	разложения	многочлена на множители .
Примените нужную формулу для	разложения	на множители выражения .
Заметим , что применённый нами способ	разложения	многочлена на множители вовсе не единственно возможный .
910 Найдите корни уравнения ( для	разложения	многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
5 Примените для	разложения	на множители , если это возможно , формулу суммы или разности кубов .
Назовите известные вам приёмы	разложения	многочленов на множители .
Но , как уже говорилось , общего алгоритма	разложения	многочлена на множители нет .
Проверьте правильность	разложения	на множители многочленов .
Приведём пример применения этой формулы для	разложения	многочлена на множители .
На устном экзамене ученик берёт один из	разложенных	перед ним экзаменационных билетов , шансы взять любой из них равны .
4 В каких случаях выражение	разложено	на множители правильно ? .
Сравнивая результаты , нетрудно понять , что преобразование можно продолжать ,	разложив	на множители многочлен .
Продавец	разложил	гречневую крупу в четыре пакета .
Итак , мы	разложили	многочлен на множители и можем записать данное уравнение в виде .
Имеющиеся конфеты	разложили	в коробки по 10 штук в каждую и в пакеты по 8 штук в каждый .
338 В три ящика	разложили	23 кг слив .
Мы сможем решить это уравнение , если	разложим	его левую часть на множители .
Пользуясь этими рекомендациями ,	разложите	на множители многочлен .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и вычесть , чтобы	разложить	многочлен на множители .
847 Какие из выражений можно	разложить	на множители , применив формулу разности квадратов .
Можно , например ,	разложить	этот многочлен на множители , используя тот же приём « прибавить — вычесть » , но уже совсем по - другому .
Оказывается , это выражение можно	разложить	на множители .
8 Какое из выражений нельзя	разложить	на множители , используя формулу разности квадратов ? .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно	разложить	на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
Назовите вместо многоточия такое слагаемое , чтобы многочлен можно было	разложить	на множители .
И в тех и в других задачах полезно	разложить	многочлен на множители , и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории многочленов .
Однако можно продолжить преобразования и	разложить	на множители ещё и многочлен .
Попробуем	разложить	на множители многочлен .
Составьте выражения , которые можно	разложить	на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
Составьте несколько выражений , которые можно	разложить	на множители с помощью этой формулы .
Объясните , как	разложить	на множители выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность делится на 200 .
42 В три коробки надо	разложить	55 мячей так , чтобы в первой было мячей в 3 раза больше , чем во второй , а в третьей — на 5 мячей больше , чем во второй .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно	разложить	на множители с применением формулы разности квадратов .
390 а ) В 12 ящиков можно	разложить	такое же количество яблок , что и в 18 корзин .
Трёхчлен можно	разложить	на множители , выделив квадрат двучлена .
6 Прочитайте задачу : « В три коробки надо	разложить	65 мячей так , чтобы в первой было мячей в 3 раза больше , чем во второй , а в третьей — на 5 мячей меньше , чем в первой .
399 Все имеющиеся апельсины можно	разложить	в 3 пакета или в 5 коробок .
12 Какой двучлен можно	разложить	на множители , используя формулу суммы кубов ? .
5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было	разложить	на множители способом группировки ? .
Разложение на множители можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде	разности	кубов .
Теперь можно воспользоваться формулой	разности	квадратов .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы	разности	квадратов .
Представим выражение в виде	разности	квадратов и воспользуемся соответствующей формулой .
672 Многочлен представьте в виде	разности	двух двучленов всеми возможными способами .
Вспомним , например , известную вам формулу	разности	кубов .
Теперь применим формулы	разности	и суммы кубов .
8 Какое из выражений нельзя разложить на множители , используя формулу	разности	квадратов ? .
—	разности	квадратов . — — кубов . — суммы кубов .
Это можно сделать , воспользовавшись знакомой вам формулой	разности	квадратов .
666 Многочлен представили в виде	разности	двучленов .
665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде	разности	двух каких - либо двучленов ( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат	разности	чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата	разности	, представьте в виде многочлена выражение .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб	разности	чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
928 Представьте выражение в виде многочлена , используя формулу	разности	квадратов .
представьте один из двучленов , заключённых в скобки , в виде суммы или	разности	двух других , а затем примените группировку .
4 Запишите формулу	разности	квадратов и докажите её .
5 Запишите формулу	разности	кубов и докажите её .
формула квадрата	разности	.
группировка . 3 ) формула	разности	квадратов .
применив формулу	разности	квадратов .
Теперь раскроем скобки в	разности	.
Формула квадрата	разности	. — — суммы .
673 Представьте в виде суммы и	разности	двух каких - либо двучленов трёхчлен .
748 Выведите формулу куба	разности	.
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их	разности	.
	Разности	двух двучленов .
Запишите формулы	разности	кубов и суммы кубов ; прочитайте эти формулы .
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу	разности	кубов или суммы кубов .
Формула	разности	квадратов фактически является ещё одной формулой сокращённого умножения .
Произведение	разности	двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно	разности	квадратов этих чисел .
С помощью этой формулы можно преобразовать произведение	разности	и суммы любых двух выражений .
Запишите формулы квадрата суммы и квадрата	разности	.
Запишите формулу	разности	квадратов справа налево и прочитайте её ( фрагмент 2 ) .
Аналогично можно получить формулу квадрата	разности	.
5 Примените для разложения на множители , если это возможно , формулу суммы или	разности	кубов .
Квадрат	разности	двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
7.5 Формулы квадрата суммы и квадрата	разности	.
Запишите формулу	разности	квадратов и прочитайте её ( фрагмент 1 ) .
Вам уже известны формулы квадратов суммы и	разности	, вы не раз применяли их на уроках математики .
847 Какие из выражений можно разложить на множители , применив формулу	разности	квадратов .
Можно ли применить формулу	разности	квадратов к выражению .
Не меньшую пользу принесут вам формулы	разности	квадратов , суммы и разности кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
Выполните умножение , используя формулу суммы кубов или	разности	кубов .
Мы заменили сумму равным выражением , переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой	разности	квадратов .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю	разности	их координат .
Двучлен можно представить в виде	разности	кубов .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или	разности	кубов , и выполните эти преобразования .
8.3 Формула	разности	квадратов .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата	разности	можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Можно ли представить в виде квадрата суммы или	разности	трёхчлена .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению	разности	этих чисел и неполного квадрата их суммы .
Мы получили формулу	разности	квадратов .
в ) квадрат	разности	т и 3 . г ) разность квадратов а и с .
Исходя из определения	разности	, убедимся в том , что .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу	разности	квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу	разности	( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности квадратов , суммы и	разности	кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
7 Напишите формулы квадрата суммы и квадрата	разности	и докажите их .
8.4 Формулы	разности	и суммы кубов .
Разность квадратов двух чисел равна произведению	разности	этих чисел и их суммы .
Преобразуйте второй многочлен так , чтобы можно было применить формулу	разности	или суммы кубов .
Нам также понадобятся известные вам определения	разности	и частного .
Формулой	разности	кубов называют равенство .
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде	разности	квадратов двух выражений .
Приведём примеры применения формулы	разности	квадратов .
114 Делится ли на 10 : сумма II11 322 ;	разность	7го- 910 ; произведение 1215 1512 ? .
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их	разность	, раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
4 На примере многочленов покажите , как находят сумму и	разность	многочленов .
а )	разность	квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
Читается эта формула так ,	разность	кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
Докажите , что	разность	между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6 .
326 Составьте сумму и	разность	выражений и упростите их .
Двучлен представляет собой	разность	квадратов .
Чтобы из числа вычесть	разность	, можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Это равенство показывает , что	разность	можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое значение при этом не изменится .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую	разность	вида можно заменить выражением , не содержащим скобки .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их	разность	делится на с .
в ) квадрат разности т и 3 . г )	разность	квадратов а и с .
Найдите эту	разность	среди приведённых ниже выражений .
Из задуманного числа вычли 5 , затем	разность	поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
787 Докажите , что если числа а и n не делятся на 3 , то либо их сумма , либо их	разность	делится на 3 .
	Разность	общего числа проведённых экспериментов и числа экспериментов , в которых это событие произошло .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ;	разность	квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
в )	разность	кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Докажем , что	разность	делится на 6 .
658 Составьте сумму и	разность	многочленов и упростите получившиеся выражения .
б )	разность	трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
Разложим	разность	на множители .
Размах — это	разность	между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з )	разность	кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Так как произведение делится на 6 , то и	разность	делится на 6 .
сумма выражений	разность	выражений .
Объясните , как разложить на множители выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что	разность	делится на 200 .
а )	разность	между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что	разность	двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Умножим	разность	на сумму .
Найдём сумму и	разность	многочленов .
Сумму и	разность	многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
Теперь ясно , что дробь можно сократить на	разность	.
Одно из чисел втрое больше второго , а	разность	этих чисел равна 62 .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в	разряде	единиц - нечётная ? .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в	разряде	десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в	разряде	десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в	разряде	единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Предложение « Число , в котором в	разряде	сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Обозначим двучлен какой - либо одной буквой , например буквой х , и	раскроем скобки	в произведении по правилу умножения одночлена на многочлен .
	Раскрыв скобки	и затем применив группировку .
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность ,	раскрыть скобки	и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
Чтобы сложить два многочлена , нужно составить их сумму ,	раскрыть скобки	и , если возможно , упростить получившееся выражение .
Обычно считается , что	распределение	прибыли должно соответствовать долям средств , внесённых в проект его участниками .
Система	распределения	прибыли , описанная в этой задаче , называется пропорциональной .
1.2 Вычисления с	рациональными	числами .
Вычисления с	рациональными	числами .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина	ребра	.
в ) Длину	ребра	куба увеличили в 10 раз .
б ) Во сколько раз увеличится объём куба , если его	ребро	увеличить в n раз ? .
Тогда	решение	записывается короче .
Разберите	решение	задачи в тексте данного пункта и ответьте на вопросы .
3 Опишите по шагам	решение	уравнения .
Продолжим	решение	уравнения .
содержится	решение	уравнения , которое на языке современной математики можно записать так .
Теория многочленов в математике развивалась в связи с	решением	уравнений и делимостью целых чисел .
Правило умножения очень полезно при	решении	многих комбинаторных задач , однако его нельзя применять механически , не задумываясь над смыслом и вопросом задачи .
При	решении	задач на проценты нужно уметь свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
Используя статистические данные , полученные при	решении	задачи 964 , оцените .
Алгебра , которую вы теперь изучаете , возникла и развивалась много веков тому назад именно как наука о	решении	уравнений .
При	решении	комбинаторных задач приходится отвечать на вопросы типа : « Сколькими способами ? » , « Сколько существует вариантов ? » .
Полученные знания пригодятся вам в самых разных областях математики , в том числе в	решении	комбинаторных задач , которому посвящена вторая половина главы .
Примерно так при	решении	задач рассуждали математики ещё в Древней Греции .
Например , при	решении	вопросов , в пачки какого веса фасовать масло , какие открывать авиарейсы и т .
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при	решении	уравнения придётся иметь дело не с целыми числами , а с дробями .
Вынесение общего множителя за скобки приходится выполнять при	решении	разных задач .
А это особенно важно в наш компьютерный век , когда использование схожих алгоритмов при	решении	различных задач стало повсеместным .
Русское слово « корень » в данном случае — это яркий пример метафоры в математическом языке : вспомните , как при	решении	текстовой задачи алгебраическим способом уравнение как бы вырастает из неизвестного числа х .
Рассмотрим некоторые неалгоритмические приёмы	решения	уравнений .
Для	решения	этой задачи в разных случаях придумано немало приёмов и формул , некоторые из которых вам уже известны .
Такие рассуждения могут оказаться очень непростыми , и это ограничивает применение метода подбора для	решения	уравнений .
Частота соответствующих событий позволяет строить обоснованные прогнозы для	решения	задач , возникающих в жизни .
Ведь в данном случае мы не перебирали все возможные варианты	решения	, а просто подобрали ответ .
Поэтому часто приходится делать много попыток , отказываясь от тупиковых идей и путей	решения	.
Рассмотрим примеры	решения	уравнений .
Учёные древности алгебраические приёмы	решения	задач описывали словами , с помощью длинных предложений .
Необходимо провести дополнительные рассуждения , чтобы проверить , что найдены все возможные	решения	.
4.1 Алгебраический способ	решения	задач .
4.5 Некоторые неалгоритмические приёмы	решения	уравнений . ( Для тех , кому интересно ) .
Ищем способ	решения	.
а ) Какое свойство произведения используется для	решения	уравнения ( сформулируйте это свойство ) ?
Разберите пример 3 и ответьте на вопросы : в чём основная идея предложенного	решения	?
Эта задача имеет разные	решения	и соответственно разные ответы в зависимости от того , что понимать под различным расположением гостей за столом .
Однако при переводе условия задачи на математический язык может получиться уравнение , алгоритм	решения	которого вы ещё не знаете или его вообще нет .
Рассмотрим два основных правила преобразования уравнений на примере	решения	уравнения .
Примените приём	решения	уравнения , рассмотренный в примере 2 , для нахождения корней уравнения .
Алгебраический способ	решения	задач .
Перечислите условия , которым отвечает выполненная в ходе	решения	числовая подстановка .
Иногда условие задачи можно понять по - разному , и тогда при переводе условия на математический язык получаются разные задачи , в которых не совпадают ни	решения	, ни ответы .
Разбираем способ	решения	.
Покажем , как это свойство произведения используется для	решения	уравнений .
Оказывается , в математике есть специальная формула для	решения	этой задачи : если точки А и Б имеют соответственно координаты .
Алгебра тесно связана с арифметикой , она возникла в древние времена в результате поисков общих схем	решения	похожих арифметических задач .
Метод координат - это способ перевода геометрической задачи на язык алгебры , после чего мы получаем возможность использовать для её	решения	хорошо разработанный символический аппарат алгебры .
5 Разъясните суть алгебраического метода	решения	задач на примере следующей задачи .
Приведём пример	решения	задачи с использованием рассмотренной формулы .
Существует целый	ряд	приёмов для разложения многочленов на множители .
8 Сколькими способами можно построить в	ряд	5 человек ? .
Значит , если у нас есть	ряд	данных , то для обоснованных выводов и надёжных прогнозов на их основе , помимо средних значений , надо ещё указать , насколько используемые данные различаются между собой .
Статистик в этом случае сказал бы иначе : « Модой этого	ряда	является число 5 » .
В отличие от среднего арифметического , которое можно вычислить для любого числового ряда , моды у	ряда	вообще может не быть .
В отличие от среднего арифметического , которое можно вычислить для любого числового	ряда	, моды у ряда вообще может не быть .
Средним арифметическим	ряда	чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
Среднее арифметическое является важной характеристикой	ряда	чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
Значит , у этого	ряда	нет моды .
Модой называют число	ряда	, которое встречается в этом ряду наиболее часто .
а ) ко всем членам	ряда	прибавить одно и то же число .
все члены	ряда	умножить на одно и то же положительное число ? .
Как изменится среднее арифметическое	ряда	, если .
136 Все числа	ряда	равны между собой .
Среднее арифметическое	ряда	, состоящего из 10 чисел , равно 4 .
Вычислите среднее арифметическое	ряда	.
а ) Найдите среднее арифметическое и моду этого	ряда	данных .
Найдите моду	ряда	отметок и средний результат по контрольной работе .
Учитель выставляет четвертную отметку по среднему арифметическому	ряда	отметок .
Найдите среднее арифметическое и моду	ряда	отметок .
Найдите его , зная , что среднее арифметическое	ряда	равно 14 .
140 а ) Среднее арифметическое	ряда	, состоящего из 10 чисел , равно 5 .
Найдите размах и моду	ряда	оценок .
Найдите среднее арифметическое , моду и размах	ряда	попаданий .
Чему равна мода	ряда	размеров ?
Если , например , опросить большую группу учеников , какой школьный предмет им нравится больше всего , то модой этого	ряда	ответов окажется тот предмет , который будут называть чаще остальных .
Из этого	ряда	вычеркнули число 11 .
Среднее арифметическое	ряда	, состоящего из 8 чисел , равно 4 .
92 Найдите моду	ряда	.
15 Найдите среднее арифметическое , моду и размах	ряда	.
91 Найдите среднее арифметическое	ряда	.
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями	ряда	данных .
Проведите блицопрос и узнайте , какой школьный предмет нравится учащимся вашего класса больше всего , определив моду полученного	ряда	.
Каким был бы размах	ряда	, если бы в нём не было двойки ? .
Каков размах исходного	ряда	отметок из текста ?
93 Найдите размах	ряда	.
Что называют средним арифметическим	ряда	чисел ?
Каким было бы среднее арифметическое	ряда	отметок учащегося , если бы в этом ряду не было двойки ? .
Найдите среднее арифметическое	ряда	чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
Сколько всего мест в амфитеатре , если он состоит : а ) из 5	рядов	; б ) из 10 рядов ? .
Используя полученный результат , попробуйте догадаться , чему равны средние арифметические следующих	рядов	.
Сколько всего мест в амфитеатре , если он состоит : а ) из 5 рядов ; б ) из 10	рядов	? .
В	ряду	чисел 2 , 7 , 10 , х , 18 , 19 , 27 одно число неизвестно .
К этому	ряду	приписали число 16 .
Можно сказать , что данное число самое « модное » в этом	ряду	.
Модой называют число ряда , которое встречается в этом	ряду	наиболее часто .
Например , если ученик получил по русскому языку отметки « 4 » , « 2 » , « 3 » , « 5 » , то каждая отметка встречается в этом	ряду	только один раз и среди них нет числа , встречающегося чаще других .
Каким было бы среднее арифметическое ряда отметок учащегося , если бы в этом	ряду	не было двойки ? .
608 Пять мальчиков и пять девочек занимают в театре в одном	ряду	места с 1-го по 10-е .
267 В первом	ряду	амфитеатра а мест , а в каждом следующем на 2 места больше , чем в предыдущем .
Например , чтобы выделить	сектор	для изображения 14,4 % , надо найти 14,4 % от 360 ° .
За сколько	секунд	он проезжает расстояние между соседними километровыми столбами ? .
151 Наблюдатель во время грозы считает , сколько	секунд	( t ) прошло между вспышкой молнии и раскатом грома , и определяет , на каком расстоянии ( S ) он находится от эпицентра грозы .
в ) Через сколько	секунд	после начала движения водитель нажал на тормоз ? .
169 За 12 с участник школьных соревнований пробежал 60 м . а ) Если он будет бежать с той же скоростью , то за сколько	секунд	он пробежит 40 м ?
Выразите скорость света в метрах в	секунду	и запишите результат с помощью степени числа 10 .
Центр	симметрии	делит её на две ветви , расположенные в I и III координатных четвертях .
Ось	симметрии	делит параболу на две части , называемые ветвями параболы ; эти ветви неограниченно уходят вверх .
В той же	системе	координат постройте « кривую популярности » низкокаблучников .
А пока при изучении этой главы вам предстоит научиться свободно ориентироваться в	системе	координат , анализировать информацию , представленную графически , приобрести элементарные навыки перевода с геометрического языка на алгебраический и наоборот .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же	системе	координат прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
495 В одной	системе	координат постройте параболу и прямую .
Вернёмся к прямоугольной	системе	координат на плоскости .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой )	системе	координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
495 В одной	системе координат	постройте параболу и прямую .
В той же	системе координат	постройте « кривую популярности » низкокаблучников .
Вернёмся к прямоугольной	системе координат	на плоскости .
А пока при изучении этой главы вам предстоит научиться свободно ориентироваться в	системе координат	, анализировать информацию , представленную графически , приобрести элементарные навыки перевода с геометрического языка на алгебраический и наоборот .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой )	системе координат	положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же	системе координат	прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
а ) расстояние от Земли до Плутона — самой далёкой известной планеты Солнечной	системы	— равно 7,527 - 109 км . б )
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные	складываем	.
Переместительное свойство сложения , которое утверждает , что два числа можно	складывать	в любом порядке .
Многих школьников волнует подобная проблема , и чаще всего ученики решают её следующим естественным образом :	складывают	все отметки и делят сумму на их количество .
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней	складывают	.
Перед	скобками	стоит знак « - » .
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки сложения перед	скобками	.
если восстановить в этой сумме	скобки	, то получится равенство .
661 Раскройте	скобки	.
Поэтому для вычисления произведения xyz ( без изменения порядка множителей ) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить	скобки	, т.е. представить его как или как .
Итак , в выражении xyz можно поставить	скобки	двумя способами .
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103	скобки	всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на множители : вынесение общего множителя за	скобки	, способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
324 В выражениях поставьте	скобки	всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений .
657 Раскройте	скобки	.
Раскроем	скобки	, выполнив умножение -5с на 1 - с , и затем приведём подобные члены ( если они окажутся ) .
14 Раскройте	скобки	в выражении .
Расставьте	скобки	так , чтобы выражение в левой части равенства было равно выражению в правой части .
272 Раскройте	скобки	.
Это буквенное равенство говорит о том , что любую разность вида можно заменить выражением , не содержащим	скобки	.
8.1 Вынесение общего множителя за	скобки	.
Один из них — вынесение общего множителя за	скобки	.
283 Раскройте	скобки	в произведении .
вынесение за	скобки	общего множителя . 2 )
Если можно вынести за	скобки	общий множитель , сделайте это .
Начнём преобразование с вынесения за	скобки	общего множителя 36 .
Затем букву х заменим двучленом и опять раскроем	скобки	.
Раскроем	скобки	в выражении .
Поэтому , раскрывая	скобки	, запишем каждое слагаемое а , b и -с с противоположным знаком .
Не меняя ни одного знака , расставьте	скобки	так , чтобы выполнялось равенство .
Раскрыть	скобки	в произведении можно с помощью распределительного закона .
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в произведение : вынесли за	скобки	число 17 .
Однако в случае вынесения за	скобки	это свойство применяется справа налево .
Раскроем	скобки	в сумме .
Этот общий множитель можно вынести за	скобки	.
Разложение многочлена на множители . — — — — вынесением общего множителя за	скобки	. — — — — способом группировки .
В сумме вынесем за	скобки	общий множитель а .
288 Раскройте	скобки	.
665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких - либо двучленов ( проверьте , раскрыв мысленно	скобки	, правильно ли вы выполнили задание ) .
Расставьте	скобки	так , чтобы путём преобразования левой части равенства можно было получить правую часть .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в	скобки	, в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
312 Раскройте	скобки	.
Для этого составим их произведение и с помощью распределительного свойства раскроем	скобки	.
Теперь раскроем	скобки	в разности .
819 Вынесите за	скобки	множитель .
Покажите на примере выражения , как вынести общий множитель за	скобки	.
Вынесите за	скобки	множитель -2а .
Вынесите общий множитель за	скобки	и вычислите значение выражения .
682 Раскройте	скобки	.
Вынесите за	скобки	общий множитель .
Вынесение общего множителя за	скобки	.
83S Заключите два последних слагаемых в	скобки	, поставив перед ними знак « - » , и затем выполните разложение на множители .
918 Упростите выражение , применяя способ вынесения за	скобки	общего множителя .
Вынесение общего множителя за	скобки	приходится выполнять при решении разных задач .
представьте один из двучленов , заключённых в	скобки	, в виде суммы или разности двух других , а затем примените группировку .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за	скобки	.
Вынесите общий множитель за	скобки	.
917 Вынесите за	скобки	общий множитель .
Но обычно за	скобки	выносят либо 2ху , либо -2ху .
Запишите распределительное свойство умножения в том виде , как оно применяется для вынесения общего множителя за	скобки	.
281 Раскройте	скобки	в произведении .
Вынесем общий множитель за	скобки	.
Этот общий множитель вынесем за	скобки	.
Вычислите , применяя вынесение общего множителя за	скобки	.
832 Преобразуйте в многочлен , применяя вынесение общего множителя за	скобки	.
Объясните на примере многочлена , как вынести за	скобки	общий множитель .
2 На основе какого свойства действия выполняется вынесение за	скобки	общего множителя ?
1 Укажите общий множитель , который можно вынести за	скобки	в многочлене .
раскройте	скобки	в первых двух слагаемых , а затем сгруппируйте члены так , чтобы получился общий множитель .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за	скобки	и множитель общий множитель .
919 Вынесите за	скобки	общий множитель .
Знак « - » перед	скобкой	означает вычитание ; замените вычитание сложением .
Как обосновать правило раскрытия	скобок	.
244 Запишите с помощью букв и	скобок	несколько разных способов вычисления произведения четырёх чисел .
248 Замените выражение равным , не содержащим	скобок	.
Из буквенных выражений с помощью знаков действий и	скобок	составляют другие буквенные выражения .
Сформулируйте правила раскрытия	скобок	, перед которыми стоит знак « » и знак « - » .
3.3 Раскрытие	скобок	.
Эти выражения записаны с помощью	скобок	, но каждое из них можно заменить равным выражением без скобок .
Эти выражения записаны с помощью скобок , но каждое из них можно заменить равным выражением без	скобок	.
Такое преобразование выражений называют раскрытием	скобок	.
Вспомните , что сочетательный закон сложения гласит : от изменения расстановки	скобок	в сумме её значение не меняется .
Поэтому сумму принято записывать без	скобок	.
а ) сформулируйте правило раскрытия	скобок	, которое использовалось в примере .
укажите подобные члены в получившемся после раскрытия	скобок	выражении и выполните приведение подобных .
Эти правила называют правилами раскрытия	скобок	, перед которыми стоит знак « » или « - » .
Правила преобразования уравнений . — раскрытия	скобок	.
242 Запишите без	скобок	выражение .
Так как расстановка скобок на результат не влияет , то эти суммы записывают также без	скобок	.
Этот пример может вызвать некоторое удивление , поскольку мы давно привыкли писать все суммы без	скобок	и разрешили это себе специальным правилом , вытекающим из сочетательного закона сложения .
Подберите соответствующее буквенное равенство из предыдущего упражнения и , используя его , запишите без	скобок	следующее выражение .
Так как расстановка	скобок	на результат не влияет , то эти суммы записывают также без скобок .
4 Запишите без	скобок	алгебраическую сумму .
Раскрытие	скобок	и приведение подобных слагаемых .
Покажите его применение для раскрытия	скобок	на примере произведения .
5 Сформулируйте правило раскрытия	скобок	в произведении .
4 Сформулируйте правила раскрытия	скобок	, перед которыми стоит знак « » или « - » .
Найдём из этого уравнения	слагаемое	4х .
Чтобы применить группировку , разобьём	слагаемое	5ху на два одночлена : ху и 4ху .
Первое слагаемое в 2 раза больше второго , а второе	слагаемое	в 3 раза больше третьего .
Найдите каждое	слагаемое	этой суммы .
Каждое	слагаемое	в этой сумме содержит один и тот же множитель а .
Отсюда понятно правило : в уравнении можно перенести	слагаемое	из одной части в другую , изменив при этом его знак на противоположный .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое	слагаемое	этой суммы .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое	слагаемое	суммы и результаты сложить .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое	слагаемое	этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Чтобы умножить 2а на сумму , нужно умножить 2а отдельно на каждое	слагаемое	этой суммы .
Поэтому , раскрывая скобки , запишем каждое	слагаемое	а , b и -с с противоположным знаком .
В результате проведённого преобразования	слагаемое	; оказалось в другой части уравнения , при этом его знак изменился с « минуса » на « плюс » .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать	слагаемое	со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
Первое	слагаемое	в 2 раза больше второго , а второе слагаемое в 3 раза больше третьего .
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее	слагаемое	суммой двух одночленов .
Меняя каким - либо образом эти	слагаемые	местами , будем получать равные выражения .
667 Упростите выражение , расположив	слагаемые	в столбик .
подобные	слагаемые	в выражении .
В алгебраической сумме , как мы видели ,	слагаемые	« путешествуют » вместе со своими знаками .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что	слагаемые	в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки .
Значит , в результате приведения подобных	слагаемых	второй группы мы получим 5с .
На каком законе основано приведение подобных	слагаемых	? .
У	слагаемых	2а , 4а и -10а
249 Преобразуйте выражение в равное , изменив каким - либо способом порядок	слагаемых	.
Найдём сумму коэффициентов подобных	слагаемых	первой группы .
В этой сумме две группы подобных	слагаемых	.
Проиллюстрируйте правило приведения подобных	слагаемых	на примере выражения .
Такое преобразование называют приведением подобных	слагаемых	.
83S Заключите два последних	слагаемых	в скобки , поставив перед ними знак « - » , и затем выполните разложение на множители .
Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных	слагаемых	и затем стёрли знаки между слагаемыми .
Представьте число в виде суммы разрядных	слагаемых	.
Нам удалось упростить данное выражение , заменив сумму подобных	слагаемых	одним выражением -4а .
Правило приведения подобных	слагаемых	.
раскройте скобки в первых двух	слагаемых	, а затем сгруппируйте члены так , чтобы получился общий множитель .
55 Запишите в виде суммы разрядных	слагаемых	число .
100	слагаемых	.
Теперь найдём сумму коэффициентов	слагаемых	второй группы .
Разберите пример 3 и выполните по этому образцу	сложение	многочленов и вычитание из первого многочлена второго .
654 Выполните	сложение	.
Знак « - » перед скобкой означает вычитание ; замените вычитание	сложением	.
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала	сложением	площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
сначала вычитанием площадей , а потом	сложением	площадей и запишите соответствующее равенство .
Для этого заменим вычитание	сложением	, а затем воспользуемся законом , который выражается равенством , и распределительным законом .
Так как вычитание всегда можно заменить	сложением	, то его можно считать суммой выражений .
Обратите внимание : вычитание мы заменили	сложением	с многочленом , противоположным второму многочлену .
Сочетательное свойство сложения , согласно которому при	сложении	трёх чисел можно группировать как первые два слагаемых , так и последние два : для любых чисел а , b и с .
Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами	сложения	и умножения , сочетательными законами сложения и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Из переместительного и сочетательного законов	сложения	следует правило .
Этот пример может вызвать некоторое удивление , поскольку мы давно привыкли писать все суммы без скобок и разрешили это себе специальным правилом , вытекающим из сочетательного закона	сложения	.
1 Назовите и запишите с помощью букв основные свойства	сложения	и умножения чисел .
е . могут произойти одновременно , правило	сложения	вероятностей применять нельзя .
Свойство	сложения	переместительное . — — сочетательное .
С таким применением букв вы познакомились ещё в начальной школе , когда изучали основные свойства	сложения	и умножения чисел .
Распределительное свойство — совместное свойство действий	сложения	и умножения : для любых а , b и с .
Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами сложения и умножения , сочетательными законами	сложения	и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Чему будет равна толщина	сложения	, если толщина листа бумаги 0,1 мм ?
Переместительное свойство	сложения	, которое утверждает , что два числа можно складывать в любом порядке .
Вспомните , что сочетательный закон	сложения	гласит : от изменения расстановки скобок в сумме её значение не меняется .
Это правило называется правилом	сложения	вероятностей .
Сочетательное свойство	сложения	, согласно которому при сложении трёх чисел можно группировать как первые два слагаемых , так и последние два : для любых чисел а , b и с .
Назовите и запишите в буквенном виде основные свойства	сложения	и умножения чисел .
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки	сложения	перед скобками .
И сейчас мы увидим , что это равенство действительно следует из сочетательного закона	сложения	: что и требовалось доказать .
Вообще результатом	сложения	и вычитания многочленов является многочлен .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ;	сложив	эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения	сложить	.
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты	сложить	.
Чтобы	сложить	два многочлена , нужно составить их сумму , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения	сложить	.
Чтобы привести подобные слагаемые , нужно : сгруппировать эти слагаемые ;	сложить	их коэффициенты .
Если через 2 года я	сложу	твой возраст и возраст твоей сестры , то результат будет меньше моего возраста в 2 раза » .
Сколько километров она не доплыла до пристани , если её	собственная	скорость равна v км / ч , а скорость течения реки а км / ч ?
Какое расстояние прошёл катер за это время , если	собственная	скорость катера х км / ч , а скорость течения реки т км / ч ? .
На каком расстоянии от начала маршрута находится база отдыха , если	собственная	скорость катера 35 км / ч , скорость течения реки 5 км / ч и возле базы отдыха катер делает остановку на 1,5 ч ? .
Покажите , что	собственная	скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения .
Зависит ли ответ этой задачи от	собственной	скорости лодки ? .
Научиться разложению на множители , развить свою фантазию и изобретательность можно только на	собственном	опыте .
Определите	собственную	скорость теплохода , если скорость течения реки 2 км / ч .
Определите	собственную	скорость пловца ( в м / мин ) , если скорость течения реки 30 м / мин .
Распределительное свойство —	совместное	свойство действий сложения и умножения : для любых а , b и с .
Один из них	совпадает	с событием Б , а три других нет .
Справедлива ли эта формула , если одна из точек	совпадает	с началом отсчёта ?
При х 0 график	совпадает	с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
При график	совпадает	с прямой .
138 Придумайте четыре разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое	совпадало	.
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое	совпадало	со вторым по величине числом .
Но вторая цифра уже не может	совпадать	с первой .
Может ли среднее арифметическое	совпадать	с наибольшим из трёх чисел ?
Заметим , что формула справедлива и в том случае , когда точки А и В	совпадают	.
Иногда условие задачи можно понять по - разному , и тогда при переводе условия на математический язык получаются разные задачи , в которых не	совпадают	ни решения , ни ответы .
198 Упростите отношение ,	сократив	его .
Как при этом изменятся расходы Николая на телефон , если он	сократит	время разговоров в 2 раза ? .
262 Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и	сократите	её .
На сколько надо увеличить скорость , чтобы	сократить	время прохождения этого перегона на 2 мин ? .
В то же время процесс возведения в степень можно	сократить	, если множители в произведении сгруппировать так , чтобы можно было использовать уже известные результаты .
Представим а9 в виде произведения а0а4 , тогда дробь можно будет	сократить	на общий множитель а5 .
Заметим , что рассмотренное в задаче отношение 6:4:2 можно было бы	сократить	, т .
Можно ли	сократить	дробь .
Объясните , как	сократить	дробь ( в качестве образца воспользуйтесь примером ) .
На сколько километров в час надо увеличить скорость , чтобы	сократить	это время на полминуты ? .
Теперь ясно , что дробь можно	сократить	на разность .
Найдите средний рост солдат подразделения и число солдат выше	среднего	роста .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату	среднего	, уменьшенному на единицу .
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции ; неизвестного	среднего	члена пропорции .
Однако нахождение	среднего	арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надёжные выводы на основе статистических данных .
В отличие от	среднего	арифметического , которое можно вычислить для любого числового ряда , моды у ряда вообще может не быть .
В отличие от	среднего арифметического	, которое можно вычислить для любого числового ряда , моды у ряда вообще может не быть .
Однако нахождение	среднего арифметического	или моды далеко не всегда позволяет делать надёжные выводы на основе статистических данных .
15 Найдите	среднее	арифметическое , моду и размах ряда .
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их	среднее	арифметическое совпадало со вторым по величине числом .
Найдите	среднее	арифметическое всех этих чисел .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а	среднее	арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив	среднее	слагаемое суммой двух одночленов .
Чему теперь равно	среднее	арифметическое ? .
( Обозначьте	среднее	число буквой n ) .
Найдите его , зная , что	среднее	арифметическое ряда равно 14 .
138 Придумайте четыре разных числа , таких , чтобы их	среднее	арифметическое совпадало .
Может ли	среднее	арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел ?
Определите	среднее	число задач , решённых одним учеником .
В этом примере	среднее	арифметическое можно было найти немного иначе .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел ,	среднее	из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел ,	среднее	из которых равно n .
Как изменится	среднее	арифметическое ряда , если .
Найдите	среднее	число жителей на 1 км2 .
Вычислите	среднее	арифметическое ряда .
а ) Найдите	среднее	арифметическое и моду этого ряда данных .
Найдите	среднее	число детей в семье и моду ( количество детей в наиболее типичной семье ) .
Найдите	среднее	арифметическое и моду ряда отметок .
Найдите	среднее	арифметическое , моду и размах ряда попаданий .
91 Найдите	среднее	арифметическое ряда .
Приведите пример ситуации , в которой вычисляется	среднее	арифметическое .
Найдите	среднее	арифметическое ряда чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
А	среднее	арифметическое , конечно , есть .
Поэтому	среднее	арифметическое быстрее подсчитать так .
Чему равно их	среднее	арифметическое ? .
Каким было бы	среднее	арифметическое ряда отметок учащегося , если бы в этом ряду не было двойки ? .
Приведите пример ситуации , в которой вычисляется	среднее арифметическое	.
138 Придумайте четыре разных числа , таких , чтобы их	среднее арифметическое	совпадало .
Найдите	среднее арифметическое	всех этих чисел .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а	среднее арифметическое	других двенадцати чисел равно 14 .
Чему теперь равно	среднее арифметическое	? .
Найдите его , зная , что	среднее арифметическое	ряда равно 14 .
Может ли	среднее арифметическое	совпадать с наибольшим из трёх чисел ?
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их	среднее арифметическое	совпадало со вторым по величине числом .
Чему равно их	среднее арифметическое	? .
Как изменится	среднее арифметическое	ряда , если .
Вычислите	среднее арифметическое	ряда .
Найдите	среднее арифметическое	и моду ряда отметок .
а ) Найдите	среднее арифметическое	и моду этого ряда данных .
А	среднее арифметическое	, конечно , есть .
В этом примере	среднее арифметическое	можно было найти немного иначе .
Поэтому	среднее арифметическое	быстрее подсчитать так .
Найдите	среднее арифметическое	, моду и размах ряда попаданий .
Найдите	среднее арифметическое	ряда чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
Каким было бы	среднее арифметическое	ряда отметок учащегося , если бы в этом ряду не было двойки ? .
15 Найдите	среднее арифметическое	, моду и размах ряда .
91 Найдите	среднее арифметическое	ряда .
д ) Кто бежал быстрее всех ( с наибольшей	средней	скоростью ) ? .
На верхней полке на 8 книг меньше , чем на	средней	, а на нижней — в 3 раза больше , чем на средней .
( Буквой х обозначено количество книг на	средней	полке . ) .
На верхней полке на 8 книг меньше , чем на средней , а на нижней — в 3 раза больше , чем на	средней	.
Учитель выставляет четвертную отметку по	среднему	арифметическому ряда отметок .
Учитель выставляет четвертную отметку по	среднему арифметическому	ряда отметок .
Используя полученный результат , попробуйте догадаться , чему равны	средние	арифметические следующих рядов .
Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие	средние	.
Приведите пример пропорции и назовите её крайние и	средние	члены .
Запишите каждое утверждение в виде пропорции , назовите крайние члены и	средние	члены пропорции .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами	средние	члены ; замените каждое отношение обратным .
Используя полученный результат , попробуйте догадаться , чему равны	средние арифметические	следующих рядов .
Для службы в Президентском полку отбирают призывников ростом не менее 175 см и не более 190 см . а ) Можно ли утверждать , что	средний	рост солдат этого полка равен 182,5 см ? .
Найдите	средний	рост солдат подразделения и число солдат выше среднего роста .
Найдите моду ряда отметок и	средний	результат по контрольной работе .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе	средний	рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Найдите	средний	член трёхчлена , равного .
Отбросьте наибольшую и наименьшую оценки и найдите	средний	балл спортсмена .
Число 4,4 называют	средним	арифметическим исходных чисел .
Что называют	средним	арифметическим ряда чисел ?
Что называется	средним	арифметическим нескольких чисел ?
Число 4,4 называют	средним арифметическим	исходных чисел .
Что называется	средним арифметическим	нескольких чисел ?
Что называют	средним арифметическим	ряда чисел ?
Числа , образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с —	средними	членами .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её	средних	членов .
собак больших и	средних	пород вместе 36 .
В выставке собак участвовали собаки больших ,	средних	и мелких пород , число которых находилось в отношении 4:8:3 .
Значит , если у нас есть ряд данных , то для обоснованных выводов и надёжных прогнозов на их основе , помимо	средних	значений , надо ещё указать , насколько используемые данные различаются между собой .
в ) собак	средних	пород на 20 больше , чем мелких ? .
Найдите размах посещаемости и	среднюю	посещаемость матча , округлив её до сотен .
Например , известно , что на планете Меркурий	средняя	температура 15 ° .
Какова его	средняя	скорость ? .
д ) Какова была	средняя	скорость туриста ( в км / ч ) на подъёме ?
в ) четырёх	степеней	с основанием 3 .
а ) двух степеней с основанием 3 . б ) трёх	степеней	с основанием 3 .
а ) двух	степеней	с основанием 3 . б ) трёх степеней с основанием 3 .
сумма двух последовательных	степеней	числа 2 делится на 6 .
Если многочлен стандартного вида содержит одну переменную , то его члены обычно располагают в порядке убывания её	степеней	.
529 Частное	степеней	замените степенью с тем же основанием .
На примере а12 а5 проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство произведения	степеней	с одинаковым основанием .
2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения	степеней	с одинаковыми основаниями .
Таким образом , при делении	степеней	с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
На примере проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство частного	степеней	с одинаковым основанием .
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели	степеней	складывают .
Дана таблица	степеней	числа 3 .
552 Представьте выражение в виде произведения двух или нескольких	степеней	.
Таким образом , при умножении	степеней	с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают .
Возьмём произведение двух	степеней	с одинаковыми основаниями , например а3а4 .
635 Запишите многочлен , расположив его члены по убыванию	степеней	переменной , и укажите его степень .
6.1 Произведение и частное	степеней	.
Это свойство распространяется на произведение трёх и более	степеней	.
Использование	степеней	делает выражение более компактным , « обозримым » .
Рассмотрим теперь частное двух	степеней	с одинаковыми основаниями , например .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений , значения которых можно найти , пользуясь таблицей	степеней	числа 3 .
3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления	степеней	с одинаковыми основаниями .
в ) сумма двух последовательных	степеней	любого натурального числа делится на следующее за ним число .
Вам уже знакомо понятие	степени	с натуральным показателем .
584 Представьте в виде	степени	.
Представьте в виде	степени	с основанием 2 и , если возможно , с основанием -2 .
561 Представьте а30 в виде	степени	с основанием .
в виде степени числа 2 . б ) в виде	степени	числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
559 Представьте выражение в виде	степени	с основанием n .
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде	степени	числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде	степени	числа 0,1 . 617 Выполните действия .
Решите задачу , представив данные с помощью	степени	числа 10 .
Рассмотрим некоторые свойства	степени	, которые часто используются при преобразовании выражений .
Если бы мы продолжили таблицу , то оно попало бы в столбец , где находятся	степени	24 , 28 , 212 , показатели которых кратны четырём .
Сформулируйте определение	степени	с натуральным показателем и найдите значение выражения .
Это выражение легко представить в виде	степени	с тем же основанием .
По определению	степени	.
1 Сформулируйте определение	степени	с натуральным показателем .
Значит , число 2100 , как и эти	степени	, оканчивается цифрой 6 .
Итак , при возведении	степени	в степень показатели перемножают .
Преобразование выражений , содержащих	степени	.
6.2 Степень	степени	, произведения и дроби .
7 Найдите значение	степени	.
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя	степени	делимого вычитают показатель степени делителя .
550 Представьте выражение в виде	степени	с основанием а .
527 Представьте в виде	степени	.
Докажите соответствующее свойство	степени	.
Число 8 - основание степени , а число 5 - показатель	степени	.
551 Представьте выражение в виде	степени	с основанием у .
Свойства	степени	с натуральным показателем .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами	степени	с натуральным показателем , на основе которых выполняются преобразования выражений , содержащих степени , а также вычисления .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным показателем , на основе которых выполняются преобразования выражений , содержащих	степени	, а также вычисления .
1.6 Последняя цифра	степени	. ( Для тех , кому интересно ) .
Напомним , что определение	степени	с натуральным показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда показатель степени больше 1 и когда он равен 1 .
Заметив это , нетрудно определить последнюю цифру	степени	2n для любого показателя n .
Напомним , что определение степени с натуральным показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда показатель	степени	больше 1 и когда он равен 1 .
524 Запишите в виде	степени	.
555 Представьте каждое из выражений в виде	степени	.
Число 8 - основание	степени	, а число 5 - показатель степени .
109 Какими цифрами могут оканчиваться	степени	числа 7 ?
в виде	степени	числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель	степени	делителя .
Например . Обратите внимание :	степени	числа 2 с увеличением показателя возрастают очень быстро .
Говорят , что многочлен третьей	степени	.
Эта особенность	степени	положена в основу древней индийской легенды .
54 Представьте в виде	степени	с основанием 10 следующие числа .
Основание	степени	может быть любым числом — положительным , отрицательным , нулём .
4 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения	степени	в степень .
Это зависит от того , чётным или нечётным числом является показатель	степени	.
Каждая переменная ( в соответствующей	степени	) содержится в нём тоже только один раз .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель	степени	чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель	степени	нечётный .
К одночленам стандартного вида относятся также числа , переменные ,	степени	переменных .
Особенно часто	степени	употребляются при записи физических величин , которые , как известно , могут быть очень большими и очень маленькими .
Их записывают с помощью	степени	с основанием 10 .
В математике это выражение тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у	степени	с натуральным показателем .
43 Запишите в виде	степени	.
Разберите , как найдено значение	степени	28 во фрагменте 1 .
Запишите разными способами в виде	степени	следующее число .
Число 64 можно по - разному представить в виде	степени	.
От чего зависит знак	степени	с отрицательным основанием ?
Наибольший показатель	степени	, в которой переменная входит в этот многочлен , равен 3 .
34 Запишите каждое выражение в виде произведения или	степени	.
57 Используя	степени	числа 10 , выразите в метрах 1 см ; 1 мм ; 1 мк ( 1 мк — один микрон , тысячная доля миллиметра ) .
Запишите эту величину с помощью	степени	числа 10 .
56 Используя	степени	числа 10 , запишите , сколько в 1 км метров ; сантиметров ; миллиметров .
Выразите скорость света в метрах в секунду и запишите результат с помощью	степени	числа 10 .
Запишите с отрицательным показателем	степени	выражение .
Вы знаете , что произведение одинаковых множителей записывают короче — в виде	степени	.
Число а называют основанием	степени	, а число n — показателем степени .
Число а называют основанием степени , а число n — показателем	степени	.
1 Выполните действие , воспользовавшись соответствующим свойством	степени	.
35 Запишите выражение короче , используя	степени	.
Таким же свойством обладает любая	степень	с основанием , большим 1 .
573 Возведите дробь в	степень	.
4 Какой знак может иметь	степень	с отрицательным основанием ?
570 Выполните возведение в	степень	.
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите	степень	многочлена .
Вычислить степень числа , или , как говорят , возвести число в	степень	, можно путём последовательного умножения .
2 Какова	степень	многочлена .
Какое число — положительное или отрицательное - может получиться при возведении в	степень	отрицательного числа ?
В то же время процесс возведения в	степень	можно сократить , если множители в произведении сгруппировать так , чтобы можно было использовать уже известные результаты .
Считают , что первая	степень	любого числа равна самому числу .
108 Какими цифрами могут оканчиваться числа , получающиеся при возведении в	степень	числа 3 ?
Оно представляет собой	степень	с основанием а2 .
Укажите ещё какую - нибудь	степень	числа 3 , которая оканчивается той же цифрой .
112 Назовите какое - нибудь число , отличное от 0 и 1 , любая	степень	которого оканчивается одной и той же цифрой .
Возведите в	степень	.
635 Запишите многочлен , расположив его члены по убыванию степеней переменной , и укажите его	степень	.
Вычислить	степень	числа , или , как говорят , возвести число в степень , можно путём последовательного умножения .
3 Какую	степень	имеет многочлен , равный произведению многочленов .
Выполните возведение в	степень	.
Выясним теперь , как можно преобразовать	степень	произведения , например выражение ( ab)3 .
Итак , при возведении произведения в	степень	возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
Вообще полезно помнить , что	степень	с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Итак , при возведении произведения в степень возводят в эту	степень	каждый множитель и результаты перемножают .
Рассмотрим	степень	дроби .
При возведении в	степень	отрицательного числа в результате может получиться как положительное число , так и отрицательное .
Итак , при возведении дроби в	степень	возводят в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту	степень	отдельно её числитель и знаменатель .
Возведите в	степень	( а10)2 .
Например , 85 - это	степень	, т .
Итак , при возведении степени в	степень	показатели перемножают .
4 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в	степень	.
705 Запишите	степень	двучлена в виде произведения и выполните умножение .
5 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в	степень	произведения .
( Напомним , что возведение в	степень	— это тоже умножение . )
Запишите ответ , используя	степень	числа 2 , и вычислите значение получившегося выражения .
6 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в	степень	дроби .
Переставив множители и заменив произведение одинаковых множителей	степенью	, получим .
В математике это выражение тоже считается	степенью	, но смысл у него иной , чем у степени с натуральным показателем .
529 Частное степеней замените	степенью	с тем же основанием .
Одна из	сторон	прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны квадрата .
808 Если каждую из	сторон	земельного участка , имеющего форму квадрата , уменьшить на 3 м , то получится участок , площадь которого будет меньше площади исходного участка на 81 м2 .
Сумма двух	сторон	треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
Для этого одну из	сторон	первоначального участка увеличили на 4 м , а другую — на 5 м и получили новый участок прямоугольной формы .
Вы знаете формулу площади прямоугольника S ab , которая выражает соотношение между площадью S и длинами	сторон	а и b.
Одна из его	сторон	на 6 см меньше другой .
Одна из	сторон	прямоугольника на 3 см больше , а другая на 6 см меньше стороны квадрата .
Имеется прямоугольный кусок стекла , одна из	сторон	которого на 30 см больше другой .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины	сторон	этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
а ) Найдите неизвестные длины	сторон	.
« Имеется кусок стекла , одна из	сторон	которого в 2 раза больше другой .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из	сторон	прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из	сторон	которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
а ) Чему равна площадь прямоугольника , одна из	сторон	которого равна х см , а другая на 3 см больше ? .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его	сторон	увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
Найдите длину стороны квадрата и длины	сторон	прямоугольника .
б ) Чему равна площадь прямоугольника , одна из	сторон	которого равна х см , а другая на а см меньше ? .
е . останутся ли шансы	сторон	равными ?
277 а ) Чему равен периметр прямоугольника , одна	сторона	которого равна х см , а другая — на 2 см больше ?
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а —	сторона	квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
б ) Чему равен периметр треугольника , одна	сторона	которого равна а см , вторая — на 1 см больше первой , а третья — на 2 см меньше второй ? .
б ) Одна	сторона	прямоугольника I см , а другая — на т см больше .
778 У Наташи есть аквариум с прямоугольным дном , одна	сторона	которого на 16 см больше другой .
Длина прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем	сторона	квадратной формы .
Рассмотрим прямоугольник со	сторонами	х и у.
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со	сторонами	равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной	стороне	участка на расстоянии 20 м от одного из углов и ширина их будет равна 3 м .
Квадрат со	стороной	1 м закрашивают по частям .
Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически , изобразив квадрат со	стороной	.
Докажите , что если	сторону	квадрата увеличить в 10 раз , то его площадь увеличится в 100 раз .
а ) Одну	сторону	прямоугольника увеличили в 2 раза , а другую — в 1,5 раза .
Разделим его	сторону	длиной у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
Обозначим	сторону	квадрата буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового квадрата равна .
В процессе работ одну	сторону	увеличили на 50 % , а другую уменьшили на 20 % .
Если меньшую	сторону	увеличить на 1 см , а большую — на 2 см , то площадь изображения увеличится на 65 см2 .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше	стороны	квадрата .
б ) площади квадрата от длины его	стороны	.
а ) периметра квадрата от длины его	стороны	.
Пусть х см — длина меньшей стороны куска стекла , тогда х 30 см — длина другой его	стороны	.
В случае с подбрасыванием монеты и не проводя экспериментов естественно предположить , что вероятность выпадания каждой	стороны	монеты равна 0,5 .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения площади прямоугольника достаточно измерить его	стороны	и перемножить получившиеся числа .
417 Периметр прямоугольника ,	стороны	которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше , а другая на 6 см меньше	стороны	квадрата .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников ,	стороны	которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его	стороны	.
С другой	стороны	, всего имеется z слоёв равной площади , а их общая площадь равна ху , и поэтому площадь каждого слоя равна кв. ед .
Так поступают потому , что выпадание орла или решки считается равновероятным и заинтересованные	стороны	имеют равные шансы .
Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его	стороны	пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
С другой	стороны	, он предполагал , что у него останется х - у рублей , но z рублей он сэкономил , так что на самом деле у него осталось рублей .
Найдите	стороны	данного прямоугольника .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше	стороны	квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше	стороны	квадрата , а другая на 3 см больше стороны квадрата .
С другой	стороны	, он рассчитывал , что ему останется пройти х - у км , а реально осталось пройти на z км больше , т.е. всего осталось пройти x - y z км .
Найдите длину	стороны	квадрата и длины сторон прямоугольника .
Пусть х см — длина меньшей	стороны	куска стекла , тогда х 30 см — длина другой его стороны .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше	стороны	квадрата .
а ) шестиугольник ; б ) восьмиугольник ; в ) двенадцатиугольник ; г )	стоугольник	? .
Теперь понятно , что график надо	строить	по частям , отдельно в правой и в левой полуплоскости .
Некоторые графики можно	строить	, используя уже знакомые графики .
Частота соответствующих событий позволяет	строить	обоснованные прогнозы для решения задач , возникающих в жизни .
Используя показания сейсмографов — приборов , непрерывно фиксирующих колебания почвы и	строящих	специальные графики — сейсмограммы , геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами .
Здесь будут рассмотрены правила преобразования	сумм	и произведений .
Правило преобразования произведений	сумм	.
На таком применении распределительного закона основан важный приём упрощения	сумм	, с которым мы познакомимся на следующем примере .
793 Докажите , что	сумма	квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
Запишите многочлен , который надо прибавить к трёхчлену чтобы	сумма	оказалась равной .
Данное выражение —	сумма	, состоящая из четырёх слагаемых .
Чтобы доказать , что два многочлена противоположны , достаточно убедиться , что их	сумма	равна 0 .
	Сумма	кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
были присуждены трём призёрам соревнования так , что	сумма	, полученная вторым , составила от суммы , полученной первым .
Здесь к слагаемому 2а прибавляется	сумма	выражений .
б ) Существуют ли три последовательных нечётных числа ,	сумма	которых равна 69 ? .
400 а ) Существуют ли три последовательных чётных числа ,	сумма	которых равна 74 ? .
679 а ) Докажите , что	сумма	двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
На последнем шаге мы воспользовались ещё одним законом , согласно которому от прибавления нуля	сумма	не меняется .
Докажите , что	сумма	любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 3 .
Чему равна	сумма	данного многочлена и противоположного ему ? .
Докажите , что их	сумма	есть число чётное .
Докажем , что	сумма	любого натурального числа и его квадрата делится на 2 .
	Сумма	выражений разность выражений .
Эта	сумма	равна огромному числу 18 446 744 073 709 551 615 , и она столь велика , что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты , включая Мировой океан .
Но полученные при этих способах подсчёта остатки — это одна и та же	сумма	.
В дальнейшем для краткости вместо слов « алгебраическая	сумма	» мы будем говорить просто « сумма » .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ;	сумма	кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Пётр заметил , что в этом году он младше отца в 3 раза , отец младше деда в 2 раза , а	сумма	его возраста , возраста отца и возраста деда составляет 110 лет .
	Сумма	двух нечётных чисел есть число чётное .
381 а ) Первое число на 27 больше второго , а их	сумма	равна 95 .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это	сумма	чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Алгебраическая	сумма	.
Значит , и всё произведение , а вместе с ним и равная ему	сумма	делится на 2 .
	Сумма	двух последовательных степеней числа 2 делится на 6 .
в )	сумма	двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число .
114 Делится ли на 10 :	сумма	II11 322 ; разность 7го- 910 ; произведение 1215 1512 ? .
а )	сумма	квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
А :	сумма	выпавших очков равна 1 .
В :	сумма	выпавших очков больше 1 .
291 Пусть	сумма	трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
Запишите выражение , означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г. Чему равна записанная	сумма	? .
17 Какому из выражений равна	сумма	.
в )	сумма	двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное .
В то же время	сумма	, полученная вторым , относится к сумме , полученной третьим , как .
2 Клиент банка внёс х рублей на вклад , по которому вложенная	сумма	увеличивается на 5 % за год , и у рублей на вклад , по которому начисляется 8 % годовых .
Докажите , что	сумма	любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 4 .
Действительно , двучлен х - 0,5 с — это	сумма	х и -0,5 с , поэтому .
Вспомним сначала , что	сумма	— и вы привыкли к этому ещё в начальной школе — вычисляется слева направо , т .
Вычислите , какой была бы	сумма	на счёте Маши , если бы банк начислял 12 % годовых .
Выясните , делится ли	сумма	: любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
	Сумма	абсциссы и ординаты равна 4 .
С :	сумма	выпавших очков не больше 12 . D : произведение выпавших очков больше 40 .
в 1,1 раза , плюс добавлялась новая	сумма	.
787 Докажите , что если числа а и n не делятся на 3 , то либо их	сумма	, либо их разность делится на 3 .
Тогда	сумма	этого числа и его квадрата будет .
266 Чему равна	сумма	15 последовательных натуральных чисел , первое из которых равно n ? .
В дальнейшем для краткости вместо слов « алгебраическая сумма » мы будем говорить просто «	сумма	» .
а )	сумма	чётного и нечётного чисел есть число нечётное .
Какая наименьшая и какая наибольшая	сумма	очков может при этом получиться ? .
388 а ) Одно число составляет другого числа , а их	сумма	равна 108 .
292 Пусть	сумма	трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
Такие выражения , как , в математике иногда называют алгебраическими суммами — суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми »	суммами	не являются .
Такие выражения , как , в математике иногда называют алгебраическими	суммами	— суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
Заметим , что в алгебраических	суммах	на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
Вспомните , что сочетательный закон сложения гласит : от изменения расстановки скобок в	сумме	её значение не меняется .
В этой	сумме	естественно сгруппировать последние три слагаемых .
В	сумме	эти расстояния составляют 22,5 км .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна	сумме	площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
Сумма квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной	сумме	этих чисел .
В алгебраической	сумме	, как мы видели , слагаемые « путешествуют » вместе со своими знаками .
если восстановить в этой	сумме	скобки , то получится равенство .
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна	сумме	этих чисел .
Вообще вероятность получить хотя бы один ( неважно , какой именно ) из нескольких интересующих нас результатов эксперимента равна	сумме	вероятностей каждого из этих результатов , если эти результаты несовместимы между собой .
В этой	сумме	две группы подобных слагаемых .
В последовательности Фибоначчи каждое число , начиная с третьего , равно	сумме	двух предыдущих .
В то же время сумма , полученная вторым , относится к	сумме	, полученной третьим , как .
Точно так же выражение , противоположное , например ,	сумме	есть .
Мы видим , что для ученика вероятность получить « хорошо » или « отлично » равна	сумме	вероятностей двух событий : получить « хорошо » и получить « отлично » .
Поменяем местами слагаемые в этой	сумме	.
662 Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену , чтобы в	сумме	получился 0 .
в любой	сумме	слагаемые можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы .
Каждое слагаемое в этой	сумме	содержит один и тот же множитель а .
В	сумме	вынесем за скобки общий множитель а .
Раскроем скобки в	сумме	.
Это буквенное равенство говорит о том , что любую дробь вида можно заменить	суммой	частных — и числовое значение останется тем же .
Так как вычитание всегда можно заменить сложением , то его можно считать	суммой	выражений .
Число зёрен , которое потребовал в награду изобретатель шахмат , выражается	суммой	.
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое	суммой	двух одночленов .
Алгебраическую	сумму	одночленов называют многочленом .
Поэтому	сумму	принято записывать без скобок .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа	сумму	двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Нам удалось упростить данное выражение , заменив	сумму	подобных слагаемых одним выражением -4а .
Вычислите	сумму	кубов натуральных чисел для .
У него есть 100 рублей и две возможности увеличивать эту	сумму	: или еженедельно добавлять к ней 100 рублей , или еженедельно увеличивать её в 1,4 раза .
Вычислите	сумму	квадратов натуральных чисел для .
Упростим	сумму	.
умножить полученную	сумму	на их общую буквенную часть .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую	сумму	, надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
Используя формулу , вычислите	сумму	последовательных натуральных чисел : а ) от 1 до 20 ; б ) от 1 до 100 .
Точно так же можно преобразовывать и суммы , являющиеся буквенными выражениями , например	сумму	.
Найдём	сумму	коэффициентов подобных слагаемых первой группы .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую	сумму	, нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
а )	сумму	двузначного числа числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
658 Составьте	сумму	и разность многочленов и упростите получившиеся выражения .
Умножьте	сумму	на 2 .
Чтобы умножить 2а на	сумму	, нужно умножить 2а отдельно на каждое слагаемое этой суммы .
в )	сумму	всех трёхзначных чисел , которые могут быть записаны цифрами а , b и с так , чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз .
Найдём	сумму	.
Найдём	сумму	и разность многочленов .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить	сумму	двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Так , дробь — в выражение частное была преобразована в	сумму	.
Чтобы сложить два многочлена , нужно составить их	сумму	, раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б )	сумму	четырёх чисел на некоторое число .
Определите эту	сумму	, если ежегодное начисление составляет 6 % .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую	сумму	, надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Обозначив 1,1 ( коэффициент роста ) буквой х , мы можем записать общую	сумму	на счёте с помощью многочлена .
Теперь найдём	сумму	коэффициентов слагаемых второй группы .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а )	сумму	трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
увеличивал на 10 % в год	сумму	, имеющуюся на счёте ) .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту	сумму	умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
276 Запишите и упростите	сумму	.
Какую	сумму	нужно положить на счёт , чтобы доход составил 1500 р . ? .
Какую	сумму	он мог бы накопить за полгода в первом и во втором случаях ?
Например , алгебраическую	сумму	заменяют более « красивым » выражением .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 ,	сумму	умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
Сколько компьютеров , стоимость которых в 1,5 раза меньше , можно было бы купить на эту же	сумму	? .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а )	сумму	трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б )	сумму	трёх следующих нечётных чисел .
С помощью полученной формулы можно возводить в квадрат	сумму	любых двух выражений .
Умножим разность на	сумму	.
Пользуясь примером 1 как образцом , упростите	сумму	.
Мы заменили	сумму	равным выражением , переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой разности квадратов .
4 Запишите без скобок алгебраическую	сумму	.
Восстановите	сумму	в скобках .
Рассмотрим	сумму	.
209 Призы на	сумму	12 400 р .
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали	сумму	в произведение : вынесли за скобки число 17 .
Как разделить эту	сумму	между тремя классами ? .
8 Найдите	сумму	многочленов .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите	сумму	трёх следующих натуральных чисел .
246 Составьте алгебраическую	сумму	из следующих слагаемых .
а ) К задуманному числу прибавили 11 , затем	сумму	поделили пополам и получили число , которое на 2 больше задуманного .
Заменив нулём	сумму	выражений , получим уравнение .
На какую минимальную	сумму	необходимо приобрести товаров за этот год , чтобы покупка дисконтной карты оправдалась ? .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б )	сумму	квадратов тиn .
Какую	сумму	надо положить в банк , чтобы по истечении года получить доход в 1000 р . ? .
Найдите	сумму	этих чисел .
326 Составьте	сумму	и разность выражений и упростите их .
Мы представили	сумму	в виде произведения — это два последовательных натуральных числа и одно из них обязательно является чётным , т .
Только в данном случае этот закон мы применяем справа налево : заменяем	сумму	произведением , а не наоборот .
б ) Какую	сумму	получил в декабре сотрудник , зарплата которого 5000 р . ? .
б )	сумму	, 20 % которой составляют а рублей .
Многих школьников волнует подобная проблема , и чаще всего ученики решают её следующим естественным образом : складывают все отметки и делят	сумму	на их количество .
4 На примере многочленов покажите , как находят	сумму	и разность многочленов .
Чтобы умножить 2а на сумму , нужно умножить 2а отдельно на каждое слагаемое этой	суммы	.
783 Найдите остаток от деления на 10	суммы	чисел а , b и с , если известно , что .
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или	суммы	кубов .
Точно так же можно преобразовывать и	суммы	, являющиеся буквенными выражениями , например сумму .
Теперь применим формулы разности и	суммы	кубов .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул	суммы	кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
Такие выражения , как , в математике иногда называют алгебраическими суммами — суммами потому , что их всегда можно представить в виде	суммы	, а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой	суммы	.
Выполните умножение , используя формулу	суммы	кубов или разности кубов .
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости	суммы	последовательных натуральных чисел на число слагаемых .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой	суммы	, взяв его с противоположным знаком .
Сформулируйте правило преобразования	суммы	.
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности (	суммы	) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
5 Примените для разложения на множители , если это возможно , формулу	суммы	или разности кубов .
245 Назовите слагаемые алгебраической	суммы	.
Покажите , что собственная скорость лодки равна половине	суммы	скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения .
Поэтому число 3587 можно записать в виде	суммы	.
247 Выражение можно записать в виде алгебраической	суммы	, опустив знаки сложения перед скобками .
При этом вам придётся вспомнить свойства делимости	суммы	.
Преобразуйте второй многочлен так , чтобы можно было применить формулу разности или	суммы	кубов .
Вам уже известны формулы квадратов	суммы	и разности , вы не раз применяли их на уроках математики .
Запишите формулы разности кубов и	суммы	кубов ; прочитайте эти формулы .
673 Представьте в виде	суммы	и разности двух каких - либо двучленов трёхчлен .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их	суммы	.
Мы получили формулу квадрата	суммы	.
Произведение разности двух чисел и их	суммы	равно разности квадратов этих чисел .
Квадрат	суммы	двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
12 Какой двучлен можно разложить на множители , используя формулу	суммы	кубов ? .
С помощью этой формулы можно преобразовать произведение разности и	суммы	любых двух выражений .
Утверждение , которое выражается формулой квадрата	суммы	, было известно ещё в древности .
Заметим , что для возведения в квадрат двучлена х - 0,5с можно воспользоваться и формулой квадрата	суммы	.
6 Запишите формулу	суммы	кубов и докажите её .
представьте один из двучленов , заключённых в скобки , в виде	суммы	или разности двух других , а затем примените группировку .
Запишите формулы квадрата	суммы	и квадрата разности .
Представьте выражение 3 xyz в виде	суммы	и сгруппируйте члены многочлена .
Можно ли представить в виде квадрата	суммы	или разности трёхчлена .
Сколько процентов выплаченной за работу	суммы	получил каждый из трёх участников , если она была распределена между ними в отношении ? .
д ) куб	суммы	у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат	суммы	а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Этот многочлен можно представить или в виде суммы трёх двучленов , или в виде	суммы	двух трёхчленов .
Этот многочлен можно представить или в виде	суммы	трёх двучленов , или в виде суммы двух трёхчленов .
7.5 Формулы квадрата	суммы	и квадрата разности .
968 Эксперименты состоят в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков с вычислением каждый раз	суммы	выпавших на кубиках очков .
676 Представьте в виде	суммы	двух каких - либо двучленов .
665 Представьте многочлен в виде	суммы	и в виде разности двух каких - либо двучленов ( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
— разности квадратов . — — кубов . —	суммы	кубов .
Формула квадрата разности . — —	суммы	.
Они имеют на счетах следующие	суммы	.
Составьте выражение для вычисления	суммы	, которая будет на вашем счёте сразу после третьего взноса .
Через год после внесения	суммы	и далее каждый год банк увеличивал её на 10 % , т .
Маша решила накапливать на банковском счёте небольшие денежные	суммы	, которые она получала в подарок от родственников на Новый год .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб	суммы	тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Найдите каждое слагаемое этой	суммы	.
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб	суммы	чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
55 Запишите в виде	суммы	разрядных слагаемых число .
Продолжите заполнение таблицы , в которой приводятся расчёты накопленной	суммы	при первом и втором способах накопления .
Банк предлагает своим клиентам следующие условия вклада : деньги кладутся на счёт на 31 день , по истечении которых клиент получает доход , равный 7,5 % от вложенной	суммы	.
1500 р . составляют 7,5 % , или иначе 0,075 , от неизвестной	суммы	.
а ) 20 % от	суммы	в а рублей .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления	суммы	этих чисел на их количество .
42В Сумму в 2880 р . , отведённую на покупку спортивного инвентаря для школы , распределили следующим образом : на футбольные и волейбольные мячи денег выделили поровну , а на гимнастические скакалки — 20 %	суммы	, выделенной на все мячи .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат	суммы	чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат	суммы	х и у . б ) сумму квадратов тиn .
1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа	суммы	двух чисел ? .
С использованием формул квадрата	суммы	или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
сумма кубов двух чисел равна произведению	суммы	этих чисел и неполного квадрата их разности .
С помощью указанного правила можно преобразовывать не только « чистые »	суммы	, но и смешанные выражения , составленные с помощью знаков « » и « - » .
Формула	суммы	кубов выглядит так .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило вычитания из числа	суммы	двух чисел : для любых чисел а , b , с .
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности квадратов ,	суммы	и разности кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
239 Смешанная дробь записана в виде	суммы	. , где буквами а , b и с обозначены .
Такое название принято из - за его внешнего сходства с выражением , равным квадрату	суммы	.
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде	суммы	чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Так как расстановка скобок на результат не влияет , то эти	суммы	записывают также без скобок .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их	суммы	.
8.4 Формулы разности и	суммы	кубов .
Этот пример может вызвать некоторое удивление , поскольку мы давно привыкли писать все	суммы	без скобок и разрешили это себе специальным правилом , вытекающим из сочетательного закона сложения .
Выражение можно записать в виде	суммы	квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое	суммы	и результаты сложить .
Представьте число в виде	суммы	разрядных слагаемых .
749 Пользуясь формулами квадрата	суммы	и квадрата разности , представьте в виде многочлена выражение .
747 Выведите формулу куба	суммы	.
в виде	суммы	и в виде .
7 Напишите формулы квадрата	суммы	и квадрата разности и докажите их .
были присуждены трём призёрам соревнования так , что сумма , полученная вторым , составила от	суммы	, полученной первым .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности	сферы	, где R — радиус сферы .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус	сферы	.
Точку ( 0 ; 0 ) , в которой	сходятся	ветви параболы , называют вершиной параболы .
Где в качестве нормальной принята более высокая температура	тела	человека ? .
В России нормальной температурой	тела	человека считается 36,6 ° С , а в странах , использующих шкалу Фаренгейта , 98,8 ° F .
А в незнакомой вам пока знаменитой формуле Альберта Эйнштейна Е тс2 , выражающей зависимость между массой	тела	и энергией , которой оно обладает , буква с — это константа , равная скорости света .
Ведь именно по параболе , несколько искажённой сопротивлением воздуха , летит камень , мяч , снаряд и любое другое	тело	, брошенное под углом к горизонту .
Он очень эффективен , и с его помощью в математике доказывается немало трудных	теорем	.
Ученик , используя полученные знания в области	теории вероятностей	, решил сделать прогноз своей успеваемости по математике , изучив свои отметки за 5—7 классы .
Вопросами разведения петухов и кур занимаются специалисты в области сельского хозяйства , а вот изучением закономерностей в мире случайного - специальная наука	теория вероятностей	.
144 а ) Объём	тетраэдра	— треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина ребра .
Найдите объём	тетраэдра	, если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Найдите координаты	точек	, которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
5.3 Множества	точек	на координатной плоскости .
Что , например , представляет собой множество	точек	, у которых ордината равна абсциссе , т .
458 Изобразите на координатной прямой множество	точек	, координаты которых удовлетворяют условию .
5.1 Множества	точек	на координатной прямой .
Отметим на координатной плоскости несколько	точек	, имеющих равные координаты , например А(0 ; 0 ) , В(1 ; 1 ) , С(-2 ; -2 ) , D(0,5 ; 0,5 ) .
Теперь мы будем рассматривать множества	точек	координатной плоскости , абсциссы и ординаты которых связаны какой - либо зависимостью .
Задайте двойным неравенством множество	точек	, удовлетворяющих условию 4 .
462 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, которое задаётся равенством .
461 Изобразите на координатной прямой множество	точек	, удовлетворяющих условиям .
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество	точек	, симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
466 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
473 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, заданное условиями .
Назовите координаты каких - нибудь пяти	точек	, которые принадлежат этому прямоугольнику , и пяти точек , которые ему не принадлежат .
467 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
468 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, у которых .
Пусть теперь рассматриваемому множеству	точек	принадлежит и граничная точка 3 .
Такое множество	точек	( как и соответствующее множество чисел ) называют замкнутым лучом .
Множество	точек	, как и соответствующее ему множество чисел , называют интервалом .
Какие из следующих	точек	принадлежат этой полуплоскости .
Такое множество	точек	называют открытым лучом .
Рассмотрим множество	точек	координатной прямой , имеющих координату , большую 3 , а значит , расположенных правее точки 3 .
436 Изобразите на координатной прямой множество	точек	, заданное неравенством .
471 Задайте алгебраически множества	точек	.
Назовите координаты каких - нибудь пяти точек , которые принадлежат этому прямоугольнику , и пяти	точек	, которые ему не принадлежат .
438 Изобразите на координатной прямой множество	точек	, координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
472 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют условиям .
Справедлива ли эта формула , если одна из	точек	совпадает с началом отсчёта ?
442 Какие из	точек	0,4 принадлежат лучу .
Сколько таких	точек	на отрезке ?
Сколько	точек	имеют целую неотрицательную координату ? .
Точно так же множество	точек	, координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
Изобразите на координатной прямой множество всех	точек	.
512 Изобразите на координатной прямой множество	точек	, координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
488 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	.
2 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют условию .
481 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, удовлетворяющих условиям .
Какая зависимость связывает координаты	точек	этой прямой ?
Найдите зависимость , связывающую координаты	точек	построенной прямой , и задайте её алгебраически .
497 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют условиям .
( Сколько	точек	для этого достаточно ? )
Найдите зависимость , которой удовлетворяют координаты	точек	этой прямой .
496 Найдите координаты	точек	плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
485 Постройте множество	точек	плоскости , координаты которых связаны соотношением .
Попробуем теперь рассмотреть более сложные зависимости , которые могут связывать абсциссы и ординаты	точек	плоскости , и посмотрим , как будут выглядеть соответствующие графики .
Чтобы построить график , вычислим сначала координаты нескольких его	точек	и занесём результаты в таблицу .
Найдите координаты	точек	пересечения этих графиков .
499 Найдите координаты общих	точек	графиков зависимостей .
Какие из	точек	( 0 ; 0 ) , ( 2 ; 4 ) , ( -2 ; 4 ) , ( 3 ; 1 ) принадлежат этому множеству ? .
493 Множество	точек	на плоскости задано условиями .
Можно вычислить координаты других	точек	, удовлетворяющих равенству и отметить их на координатной плоскости .
Какие из	точек	( -1 ; 0 ) , ( 0,6 ; 0,5 ) , ( 1 ; 0 ) , ( 2 ; 2 ) , ( -3 ; -3 ) принадлежат этому множеству ? .
Вычислим координаты нескольких	точек	, удовлетворяющих равенству у х. и заполним таблицу .
7 Поставьте в соответствие каждому множеству	точек	его алгебраическое описание .
Изобразите это множество	точек	на координатной плоскости .
Укажите координаты нескольких	точек	, принадлежащих этому графику .
492 Множество	точек	на плоскости задано условиями .
490 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют равенству .
489 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют равенству .
Назовите ординаты этих	точек	, опишите свойства кубической параболы .
486 Из	точек	А(0 ; 0 ) , Б(-1 ; 1 ) , С ( 1 ; 1 ) , D(-1 ; -1 )
478 Из	точек	А(0 ; 5 ) , В(-3 ; 2 ) , С(3 ; -8 ) и Z(—5 ; 0 )
480 Задайте на алгебраическом языке и изобразите на координатной плоскости множество	точек	, у которых .
Каким соотношением связаны координаты	точек	этой параболы ? .
513 Изобразите на координатной прямой множество	точек	, заданное неравенством .
Попробуем найти зависимость , которая связывает абсциссы и ординаты её	точек	.
511 Изобразите на плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют равенству .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество	точек	, координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
У каждой из этих	точек	абсцисса и ордината — противоположные числа .
Множество	точек	на координатной плоскости .
Задайте с помощью неравенств множества	точек	координатной плоскости .
Построим теперь на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых связаны более сложным соотношением — равенством .
Назовите координаты ещё двух точек , принадлежащих этому графику , и двух	точек	, не принадлежащих ему .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество	точек	, симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
Итак , последовательностями из одного , двух , трёх или четырёх знаков (	точек	и тире ) можно закодировать букв .
С помощью четырёх знаков (	точек	и тире ) можно закодировать букв .
Значит , множество	точек	, координаты которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Назовите координаты нескольких	точек	, принадлежащих этому графику .
Назовите координаты ещё двух	точек	, принадлежащих этому графику , и двух точек , не принадлежащих ему .
Найдите координаты этих	точек	.
В этой азбуке каждая буква передаётся с помощью	точек	и тире .
Два мальчика выбегают одновременно навстречу друг другу из двух	точек	, расстояние между которыми 660 м , и встречаются через 2 мин .
в ) Какие из следующих	точек	принадлежат этому графику .
На каком расстоянии от точки 0 находится каждая из этих	точек	? .
501 Постройте на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют равенству .
При этом на координатной плоскости мы будем получать всё больше и больше	точек	.
519 Опишите на алгебраическом языке множества	точек	координатной плоскости .
3 Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, удовлетворяющих условиям .
Где такая	точка	может быть расположена ?
Любая	точка	этого интервала лежит правее точки -1 и левее точки 2 .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если	точка	А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и	точка	А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Значит , любая	точка	этого интервала удовлетворяет сразу двум неравенствам : х — 1 ( или , что то же самое , -1 х ) и х 2 .
456 Точка А имеет координату , равную -4 , а	точка	В — координату , равную 18 .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и	точка	В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и	точка	С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Например , если	точка	А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта	точка	принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Есть ли на графике	точка	, абсцисса которой равна 245 ?
Принадлежит ли графику зависимости , заданной равенством ,	точка	А(1 ; 0 ) ?
Пусть теперь рассматриваемому множеству точек принадлежит и граничная	точка	3 .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо «	точка	имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
Есть ли на этом графике	точка	, абсцисса которой равна -125 ?
Любая другая	точка	координатной плоскости имеет ординату , отличную от 2 .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : «	точка	1/3 » .
Слово « луч » подсказано геометрией , а открытым его называют потому , что граничная	точка	3 ему не принадлежит ( на рисунке такую точку обозначают светлым кружком ) .
Равенству у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой прямой , и никакая другая	точка	координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
Равенству у -х удовлетворяет любая	точка	рассматриваемой прямой , и никакая другая точка координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
487 Постройте по	точкам	график зависимости .
479 Постройте по	точкам	график зависимости , заданной равенством : а ) у -2х ; б ) у 2-х ; в ) у — х 3 .
Постройте эту прямую по	точкам	.
Графики зависимостей мы построили по	точкам	, предварительно заполнив таблицы .
474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую , симметричную	точкам	прямой .
Составьте таблицу соответственных значений х и у и постройте по	точкам	график этой зависимости .
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс	точкам	полосы , заданной неравенством .
Из рисунка видно , что расстояние между	точками	А(-4 ) и Б(3 ) равно 7 .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между	точками	А и В , найдите координату точки В .
3 Запишите формулу расстояния между	точками	координатной прямой .
Как вы уже знаете , числа можно изображать	точками	на прямой .
Вычислим расстояние между	точками	А и Б .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя	точками	координатной прямой равно модулю разности их координат .
Найдите расстояние между	точками	, отмеченными на координатной прямой .
Представив данные таблицы	точками	на координатной плоскости и соединив полученные точки плавной линией , начертите кривую спроса на яблоки .
а ) расстояние между точками с и 5 равно 8 . б ) расстояние между	точками	а и 3 больше 1 .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между	точками	А и О равно .
а ) расстояние между	точками	с и 5 равно 8 . б ) расстояние между точками а и 3 больше 1 .
Запишите формулу , по которой можно вычислить расстояние между этими	точками	.
Соответствие между числами и	точками	прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
в ) расстояние между	точками	b и - 9 меньше или равно 10 . г ) расстояние между точками у и -2 больше или равно 12 .
в ) расстояние между точками b и - 9 меньше или равно 10 . г ) расстояние между	точками	у и -2 больше или равно 12 .
12 Отрезок АВ , длина которого равна 21 см ,	точками	СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
По этой формуле найдите расстояние между	точками	.
5.2 Расстояние между	точками	координатной прямой .
Представив данные соответствующей таблицы	точками	на координатной плоскости и соединив полученные точки , постройте « кривую популярности » высококаблучников .
Расстояние между двумя	точками	координатной прямой .
Расстояние между	точками	координатной прямой .
228 Отрезок АВ , длина которого 7 см , разделён	точками	К , М и Р на 4 части в отношении .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между	точками	А и Б .
Изобразим на координатной прямой числа -2 и 10 и найдём середину отрезка с концами в	точках	-2 и 10 .
в ) интервал от точки -2 до точки 3 . г ) отрезок с концами в	точках	-8 и -2 .
454 а ) Найдите координату точки С , которая является серединой отрезка с концами в	точках	А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
Найдите координату точки К , которая является серединой отрезка с концами в	точках	М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
а ) замкнутый луч с началом в	точке	2 ( сколько существует таких лучей ? ) .
б ) открытый луч с началом в	точке	-1 ( сколько существует таких лучей ? ) .
И в этой же	точке	, как говорят математики , парабола касается оси абсцисс .
С	точки	зрения математики алгебраические преобразования , которыми мы пользуемся , нуждаются в более строгом обосновании .
В какой день недели завод работал лучше всего , в какой — хуже всего с	точки	зрения качества выпущенных телевизоров ?
Равенство можно прочитать так : расстояние от точки х до точки -2 равно расстоянию от	точки	х до точки 10 .
3 На координатной прямой отмечены	точки	А(-1,5 ) .
Равенство можно прочитать так : расстояние от точки х до точки -2 равно расстоянию от точки х до	точки	10 .
Найдите координату	точки	М , если известно , что .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату	точки	, не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Координата	точки	на прямой .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой	точки	, принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Любая точка этого интервала лежит правее	точки	-1 и левее точки 2 .
Рассмотрим множество точек координатной прямой , имеющих координату , большую 3 , а значит , расположенных правее	точки	3 .
д ) Четыре	точки	, никакие три из которых не лежат на одной прямой , соединили попарно отрезками .
2 На координатной прямой даны	точки	.
Напомним , что координата	точки	записывается в скобках .
Например ,	точки	А , В , С , D , имеют соответственно координаты это их « адреса » на координатной прямой .
Любая точка этого интервала лежит правее точки -1 и левее	точки	2 .
Число а в таком случае называют координатой построенной	точки	.
С помощью одного знака —	точки	или тире — можно закодировать 2 буквы .
Из каждой последовательности из двух знаков получаются ещё две приписыванием	точки	или тире , т .
в ) интервал от точки -2 до	точки	3 . г ) отрезок с концами в точках -8 и -2 .
в ) интервал от	точки	-2 до точки 3 . г ) отрезок с концами в точках -8 и -2 .
На каком расстоянии от	точки	0 находится каждая из этих точек ? .
Полученные	точки	соединены ломаной , которая при увеличении числа экспериментов становится практически горизонтальной прямой .
Равенство можно прочитать так : расстояние от точки х до	точки	-2 равно расстоянию от точки х до точки 10 .
Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до	точки	0,3 .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате	точки	А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение	точки	определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
А если нам известна только одна из координат	точки	на плоскости ?
Пусть задана только одна координата	точки	, например , известно , что у 2 .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все	точки	, лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Все	точки	этой полуплоскости имеют абсциссы , большие 3 .
Ни	точки	прямой х 3 , ни точки левее этой прямой таким свойством не обладают .
Абсцисса точки А равна 5 , абсцисса	точки	В равна -7 .
Мы видим , что все эти	точки	лежат на одной прямой , являющейся биссектрисой I и III координатных углов .
Ни точки прямой х 3 , ни	точки	левее этой прямой таким свойством не обладают .
Абсцисса	точки	А равна 5 , абсцисса точки В равна -7 .
Здесь мы берём только те	точки	этой прямой , абсциссы которых отрицательны , т .
Если вы всё сделали аккуратно , то все	точки	будут лежать на одной прямой .
Отметим найденные	точки	на координатной плоскости и соединим их плавной линией .
Известно , что	точки	А(2 ; -1 ) и В ( 5 ; а ) расположены на прямой , перпендикулярной оси ординат .
Отметим соответствующие	точки	на координатной плоскости и соединим их плавной линией .
Известно , что	точки	М(-4 ; 2 ) и N(c ; -3 ) расположены на прямой , параллельной оси ординат .
470 Неравенства х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её	точки	имеют неотрицательные координаты .
Этой прямой принадлежат , например ,	точки	А(2 ; -2 ) , В(1 ; -1 ) , С(-1 ; 1 ) .
Отметьте	точки	пересечения построенной прямой с осями координат .
Равенство можно прочитать так : расстояние от	точки	х до точки -2 равно расстоянию от точки х до точки 10 .
Постройте	точки	, координаты которых занесены в таблицу .
На прямой положение	точки	определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Прочитайте данное условие , используя слово « расстояние » , например : 6 — расстояние от	точки	х до 0 равно 6 .
При х 0 график совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те	точки	этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
Вообще , если абсцисса и ордината	точки	равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату	точки	В .
Оказывается , в математике есть специальная формула для решения этой задачи : если	точки	А и Б имеют соответственно координаты .
Если нам известна координата точки А на прямой , то мы знаем и расстояние от этой	точки	до начала отсчёта , т .
На каждом из них изображена координатная прямая и отмечены	точки	А и Б. Найдём , например , для случая б расстояние АВ по рисунку и по формуле и сравним результаты .
Если нам известна координата	точки	А на прямой , то мы знаем и расстояние от этой точки до начала отсчёта , т .
Заметим , что формула справедлива и в том случае , когда	точки	А и В совпадают .
Найдём координату середины отрезка , концами которого служат	точки	А(-11,5 ) и Б(3,9 ) .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой	точки	, принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от	точки	0 до точки 0,3 .
Все построенные таким образом	точки	намечают некоторую линию .
Представив данные соответствующей таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные	точки	, постройте « кривую популярности » высококаблучников .
На координатной прямой заданы	точки	М(т ) и N(n ) .
454 а ) Найдите координату	точки	С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
Найдите координату	точки	К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
455 Зная координату	точки	А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
Представив данные таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные	точки	плавной линией , начертите кривую спроса на яблоки .
Пусть теперь на прямой заданы две произвольные	точки	А и В. Как , зная их координаты , найти расстояние между ними , т .
Для этого каждая пара чисел таблицы ( число экспериментов — частота ) отмечена	точкой	на координатной плоскости .
Например , буква Е закодирована	точкой	, а буква Т — тире .
После первого знака опять можно поставить	точку	или тире .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через	точку	2 на оси ординат .
Затем каждой девочке поставили в соответствие	точку	на координатной плоскости , отложив по горизонтальной оси рост ( в см ) , а по вертикальной — вес ( в кг ) .
Чтобы построить	точку	, соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от знака а ) откладывается отрезок , равный .
Найдите	точку	с целой положительной координатой , принадлежащую отрезку .
Слово « луч » подсказано геометрией , а открытым его называют потому , что граничная точка 3 ему не принадлежит ( на рисунке такую	точку	обозначают светлым кружком ) .
б ) прямую , проходящую через	точку	( -5 ; 2 ) и параллельную оси ординат .
б Каким равенством можно задать горизонтальную прямую , проходящую через	точку	М(а ; 6 ) ? .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его	точку	не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
а ) прямую , проходящую через	точку	5 оси ординат и параллельную оси абсцисс .
5 Каким равенством можно задать вертикальную прямую , проходящую через	точку	М(-2 ; 6 ) ? .
в	третий	и четвёртый , — на 0,5 кг больше , чем во второй .
Первый аквариум вмещает воды в 1,5 раза больше , чем третий , а второй — на 5 л больше , чем	третий	.
На покупку первый дал втрое больше денег , чем второй , а второй дал вчетверо больше , чем	третий	.
Первый аквариум вмещает воды в 1,5 раза больше , чем	третий	, а второй — на 5 л больше , чем третий .
Первый член трёхчлена — это а2 , выражение 10а — это	третий	член — это 52 .
За первый час пути он прошёл х км , за второй — на 20 км меньше , а за	третий	— путь , в 1,5 раза больший , чем за предыдущий час .
6 ) Первый игрок выигрывает , если выпадает 4 очка , второй — если выпадает 8 очков ,	третий	— если выпадает 12 очков .
Эту операцию проделали и в	третий	раз .
В первый год она внесла 300 р . , во второй — 500 р . , в	третий	— 200 р . , в четвёртый — 700 р .
При этом второе место может занять любой из трёх оставшихся ,	третье	— любой из двух оставшихся , а на четвёртом месте останется последний участник .
Всё это примеры событий , первое из которых произойдёт обязательно , второе событие закончится одним из двух результатов ,	третье	событие не может произойти никогда .
В семье первого фермера 4 человека , в семье второго — 6 человек ,	третьего	— 7 человек и в семье четвёртого фермера — 3 человека .
Первое слагаемое в 2 раза больше второго , а второе слагаемое в 3 раза больше	третьего	.
В последовательности Фибоначчи каждое число , начиная с	третьего	, равно сумме двух предыдущих .
Первое число в 5 раз меньше второго , а второе в 2 раза меньше	третьего	.
Составьте выражение для вычисления суммы , которая будет на вашем счёте сразу после	третьего	взноса .
В первой строке этой таблицы укажите все возможные исходы , во второй — сколько всего экспериментов завершилось данным исходом , а в	третьей	— частоту этого исхода .
42 В три коробки надо разложить 55 мячей так , чтобы в первой было мячей в 3 раза больше , чем во второй , а в	третьей	— на 5 мячей больше , чем во второй .
626 Номера телефонов компании « Мобильная связь » состоят из 11 цифр , причём первой цифрой должна быть цифра 8 , второй — цифра 5 ,	третьей	— цифра 0 .
Говорят , что многочлен	третьей	степени .
278 а ) На первой полке стоят х книг , на второй — на 3 книги больше , а на	третьей	— на 5 книг меньше , чем на первой .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в	третьей	группе минимальный рост равен 180 см .
Понятно , что для каждого набора первых двух цифр остаётся восемь вариантов выбора	третьей	цифры .
А можно считать последовательно : после первой покупки у него осталось х - у рублей , после второй рублей , после	третьей	рублей .
а ) На одной полке было n книг , на другой — в 3 раза больше , чем на первой , а на	третьей	— на 5 книг меньше , чем на второй .
6 Прочитайте задачу : « В три коробки надо разложить 65 мячей так , чтобы в первой было мячей в 3 раза больше , чем во второй , а в	третьей	— на 5 мячей меньше , чем в первой .
334 Провод разрезали на четыре части так , что длина первой части , равная х м , в 3 раза меньше второй , на 1,5 м меньше	третьей	и в 2 раза больше четвёртой .
Деньги , вложенные первой и второй фирмами , относятся как 6 к 4 , а второй и	третьей	— как 4 к 2 .
Их надо насыпать в три пакета так , чтобы масса семян в первом пакете составила 50 % массы семян во втором , а масса семян во втором пакете составила 50 % массы семян в	третьем	.
Какова была скорость лыжника на	третьем	отрезке пути ? .
Во втором ящике слив в 1,5 раза больше , чем в первом , а в	третьем	— на 2 кг больше , чем в первом .
В первом книжном шкафу а книг , во втором — на 15 книг меньше , а в	третьем	— на 40 книг больше , чем во втором .
а ) В одном ведре х л воды , в другом - на 3 л больше , а в	третьем	— на 4 л меньше , чем в первом .
То же сказал парикмахер и второму , и	третьему	.
а ) Сколько времени длилась стоянка парома между	третьим	и четвёртым рейсами ? .
И если с первым и	третьим	событиями всё понятно , то второе представляет интерес .
В то же время сумма , полученная вторым , относится к сумме , полученной	третьим	, как .
а ) со вторым по величине числом . б ) с	третьим	по величине числом .
Так , для многочлена к нужному результату приведёт и группировка первого слагаемого с	третьим	, а второго — с четвёртым .
Найдите число учащихся вторых классов , если в первых и	третьих	вместе учится 102 ученика .
Найдите число учащихся в каждой параллели , если известно , что во вторых классах на 8 учеников больше , чем в	третьих	.
224 Число учащихся первых , вторых ,	третьих	и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в	третьих	классах учится 63 ученика .
За каждую из них он дал продавцу одно и то же количество купюр , причём за первую газонокосилку он заплатил купюрами достоинством в 1000 р . , за вторую — в 500 р . , за	третью	— в 100 р .
2 зерна , на	третью	— ещё в 2 раза больше , т .
Это главное соотношение между расстоянием , скоростью и временем движения позволяет по любым двум из указанных величин найти	третью	с помощью вычислений .
Всего имеется частей , поэтому на каждую часть приходится Следовательно , первая фирма должна получить , вторая и	третья	.
б ) Чему равен периметр треугольника , одна сторона которого равна а см , вторая — на 1 см больше первой , а	третья	— на 2 см меньше второй ? .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный	треугольник	, вычисляется по формуле .
208 Периметр	треугольника	АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого	треугольника	, если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
149 а ) Из формулы площади	треугольника	выразите . б ) Из формулы объёма пирамиды выразите .
б ) Чему равен периметр	треугольника	, одна сторона которого равна а см , вторая — на 1 см больше первой , а третья — на 2 см меньше второй ? .
Сумма двух сторон	треугольника	— большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
Чему равен периметр этого	треугольника	? .
9 Объём	треугольной	призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
144 а ) Объём тетраэдра —	треугольной	пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина ребра .
9 Объём	треугольной призмы	, в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
923 Разложите на множители	трёхчлен	, заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
а ) Представьте	трёхчлен	в виде квадрата двучлена .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется	трёхчлен	, то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Разложите на множители	трёхчлен	.
846 Разложите на множители	трёхчлен	.
673 Представьте в виде суммы и разности двух каких - либо двучленов	трёхчлен	.
Иногда	трёхчлен	удаётся « свернуть » в квадрат двучлена .
734 Подберите такое k , чтобы	трёхчлен	был равен квадрату двучлена .
Таким образом , мы видим , что при возведении в квадрат двучлена получается	трёхчлен	.
Доказанные формулы позволяют записать этот	трёхчлен	сразу , не выполняя « длинного » умножения .
732 Представьте	трёхчлен	в виде квадрата двучлена .
Выясним , можно ли представить в виде квадрата двучлена	трёхчлен	.
Используя формулу квадрата двучлена , возведите в квадрат	трёхчлен	.
Специальные названия имеют и многочлены , состоящие из двух и трёх членов — двучлен и	трёхчлен	соответственно .
Преобразуйте в	трёхчлен	выражение , взяв за образец пример 1 или пример 2 .
Теперь ясно , что данный	трёхчлен	может быть получен в результате возведения в квадрат двучлена или двучлена Таким образом .
Представьте в виде	трёхчлена	.
Найдите средний член	трёхчлена	, равного .
Первый член	трёхчлена	— это а2 , выражение 10а — это третий член — это 52 .
726 Запишите выражение в виде	трёхчлена	, пользуясь нужной формулой .
727 Представьте квадрат двучлена в виде	трёхчлена	.
Можно ли представить в виде квадрата суммы или разности	трёхчлена	.
Этот многочлен можно представить или в виде суммы трёх двучленов , или в виде суммы двух	трёхчленов	.
Запишите многочлен , который надо прибавить к	трёхчлену	чтобы сумма оказалась равной .
5 Каким равенством задаётся биссектриса II и IV координатных	углов	? .
4 Каким равенством задаётся биссектриса I и III координатных	углов	? .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 20 м от одного из	углов	и ширина их будет равна 3 м .
в ) величины одного из смежных	углов	от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
Значит , прямая — биссектриса II и IV координатных	углов	— задаётся равенством у -х .
Изображена биссектриса II и IV координатных	углов	.
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной плоскости прямую , которая является биссектрисой I и III координатных	углов	.
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных	углов	, и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Мы видим , что все эти точки лежат на одной прямой , являющейся биссектрисой I и III координатных	углов	.
а ) Сигнальная ракета выпущена под	углом	45 ° к горизонту с начальной скоростью 30 м / с. Высоту ( в метрах ) , на которой находится ракета , можно при этих условиях вычислить , подставив время полёта ( в секундах ) в многочлен .
Ведь именно по параболе , несколько искажённой сопротивлением воздуха , летит камень , мяч , снаряд и любое другое тело , брошенное под	углом	к горизонту .
луч , расположенный в I координатном	углу	.
луч , расположенный во II координатном	углу	.
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него	уменьшаемое	и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
фигура AlBlC1D1El является копией фигуры ABCDE , полученной с помощью копировальной машины , которая	уменьшает	все размеры в одно и то же число раз .
Можно получить более точные представления об изменении температуры в течение суток ,	уменьшая	шаг таблицы .
Иногда удобно	умножать	многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый член первого многочлена на второй многочлен .
Иногда удобно умножать многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и	умножая	по очереди слева направо каждый член первого многочлена на второй многочлен .
Каждый человек в повседневной жизни фактически пользуется формулой стоимости покупки ,	умножая	цену товара ( т . е .
12 Выполните	умножение	.
Так , чтобы найти 25 , нужно четыре раза выполнить	умножение	на 2 .
( Напомним , что возведение в степень — это тоже	умножение	. )
Выполните	умножение	по правилу умножения многочленов .
526 Выполните	умножение	.
683 Выполните	умножение	.
В предыдущей главе рассматривалось	умножение	многочленов .
Раскроем скобки , выполнив	умножение	-5с на 1 - с , и затем приведём подобные члены ( если они окажутся ) .
Это , в частности ,	умножение	двучлена на самого себя , т . е .
Выполните	умножение	одночлена на многочлен и прокомментируйте свои шаги .
282 Выполните	умножение	.
541 Выполните	умножение	.
705 Запишите степень двучлена в виде произведения и выполните	умножение	.
И нетрудно догадаться , что если в первом случае имеется в виду	умножение	на 1024 , то во втором — деление на 1024 считают равным .
Выполните	умножение	.
Выполните таким образом	умножение	.
Выполните	умножение	, используя формулу суммы кубов или разности кубов .
Выполняется оно , как и	умножение	многочлена на одночлен , на основе распределительного свойства .
23 Выполните	умножение	или деление .
715 Выполните	умножение	.
2 Выполните	умножение	.
Выполните	умножение	и прокомментируйте свои действия .
Для равенств , связанных с	умножением	, часто удобна интерпретация на « языке площадей » .
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при	умножении	его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Так как при	умножении	равных чисел на одно и то же число получаются равные числа , то ad be .
Таким образом , при	умножении	степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают .
При	умножении	многочленов встречается несколько особых случаев , знание которых очень полезно .
Правило	умножения	одночлена на многочлен .
Назовите и запишите в буквенном виде основные свойства сложения и	умножения	чисел .
Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами сложения и	умножения	, сочетательными законами сложения и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак	умножения	не ставится ) .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак	умножения	( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Обозначим двучлен какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в произведении по правилу	умножения	одночлена на многочлен .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком	умножения	, а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
Запишите распределительное свойство	умножения	в том виде , как оно применяется для вынесения общего множителя за скобки .
Будем рассуждать в соответствии с правилом	умножения	.
Правило	умножения	многочлена на многочлен .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без	умножения	столбиком и без калькулятора .
Какой закон алгебры лежит в основе правила	умножения	одночлена на многочлен ?
Иногда удобно вести запись	умножения	в столбик .
Правило	умножения	комбинаторное .
Выполните умножение по правилу	умножения	многочленов .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак	умножения	знаком « плюс » .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого	умножения	.
Сформулируйте правило	умножения	многочлена на многочлен .
5 Сформулируйте правило	умножения	одночлена на многочлен и примените его к выражению .
Формула разности квадратов фактически является ещё одной формулой сокращённого	умножения	.
Поэтому их называют формулами сокращённого	умножения	.
Доказанные формулы позволяют записать этот трёхчлен сразу , не выполняя « длинного »	умножения	.
743 Выполните действия , используя формулы сокращённого	умножения	.
Формулы сокращённого	умножения	.
Проверьте с помощью	умножения	, верно ли записанное равенство .
С таким применением букв вы познакомились ещё в начальной школе , когда изучали основные свойства сложения и	умножения	чисел .
Все они составлены из чисел и переменных с помощью одного только действия —	умножения	.
Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами сложения и умножения , сочетательными законами сложения и	умножения	, распределительным законом и некоторыми другими .
Свойство	умножения	переместительное . — — сочетательное .
Сочетательное свойство	умножения	: для любых а , b и с . 5 .
Распределительное свойство — совместное свойство действий сложения и	умножения	: для любых а , b и с .
Когда вы закончили разложение на множители , полезно проверить с помощью	умножения	, получен ли вами верный результат .
Переместительное свойство	умножения	: для любых а и b. 4 .
6 Сформулируйте правило	умножения	многочлена на многочлен и примените его к выражению .
Решение этих задач основано на так называемом правиле	умножения	.
Заметим , что правило	умножения	распространяется и на выбор более чем двух элементов .
Правило	умножения	очень полезно при решении многих комбинаторных задач , однако его нельзя применять механически , не задумываясь над смыслом и вопросом задачи .
Если не удаётся применить формулы сокращённого	умножения	, то попытайтесь воспользоваться способом группировки .
Примените записанную вами формулу сокращённого	умножения	для преобразования произведения .
1 Назовите и запишите с помощью букв основные свойства сложения и	умножения	чисел .
2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило	умножения	степеней с одинаковыми основаниями .
Вычислить степень числа , или , как говорят , возвести число в степень , можно путём последовательного	умножения	.
Правило преобразования произведений следует из переместительного и сочетательного законов	умножения	.
части . можно решить ,	умножив	на 3 обе его .
« Ученик задумал число ,	умножил	его на 4 , из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число .
Для этого	умножим	обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей , т .
Для этого	умножим	каждое из равных отношений .
Воспользовавшись вторым правилом ,	умножим	обе части уравнения на 3 .
Чтобы	умножить	некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Чтобы	умножить	2а на сумму , нужно умножить 2а отдельно на каждое слагаемое этой суммы .
Числовое равенство не нарушится , если обе его части	умножить	( разделить ) на одно и то же число , отличное от нуля .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно	умножить	или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно	умножить	это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо	умножить	этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
все члены ряда	умножить	на одно и то же положительное число ? .
	Умножить	полученную сумму на их общую буквенную часть .
Чтобы	умножить	одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
236 Как можно устно	умножить	какое - нибудь число на 1,5 ?
Чтобы умножить 2а на сумму , нужно	умножить	2а отдельно на каждое слагаемое этой суммы .
Рассмотрим , как можно	умножить	многочлен на многочлен на примере произведения .
Для этого достаточно выполнить обратное преобразование : например , в данном случае мысленно	умножить	.
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена	умножить	на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Далее находим 47 % от 36 тыс. Так как 47 % — это 0,47 населения города , то 36 000 нужно	умножить	на 0,47 .
Чтобы	умножить	многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Для вычисления объёма выполненной работы надо производительность	умножить	на время .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если	умножить	все его члены на одно и то же не равное нулю число .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму	умножьте	на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму	умножьте	на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Какое	уравнение	соответствует условию задачи ? .
	Уравнение	не имеет корней .
353 Объясните , почему	уравнение	не имеет корней .
696 Решите	уравнение	.
Таким образом ,	уравнение	составлено .
Попробуем решить это	уравнение	.
Учитывая сказанное , мы можем уточнить смысл слов « решить уравнение » : решить	уравнение	— значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет .
Теперь , чтобы найти неизвестное число х , это	уравнение	надо решить .
Мы получили более простое	уравнение	.
342 Составьте	уравнение	по условию задачи .
Запишите	уравнение	.
341 Составьте	уравнение	по условию задачи , опираясь на приведённый ниже план .
340 Придумайте задачу , переводом которой на язык математики является	уравнение	.
2 Соотнесите каждое	уравнение	с числом его корней .
9 В какое	уравнение	нельзя преобразовать уравнение .
9 В какое уравнение нельзя преобразовать	уравнение	.
Следовательно , наше	уравнение	можно заменить таким .
11 Решите	уравнение	относительно х . 12 При каком значении х значения выражений противоположны ? .
Прочитайте два предложения , разъясняющие смысл слов « решить	уравнение	» .
Учитывая сказанное , мы можем уточнить смысл слов « решить	уравнение	» : решить уравнение — значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет .
297 Решите	уравнение	.
А вот	уравнение	вообще не имеет корней , так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
Действительно , какое бы число мы ни подставили в это	уравнение	вместо переменной х , получится верное числовое равенство .
Вообще	уравнение	может иметь сколько угодно корней , их даже может быть бесконечно много .
Но	уравнение	может иметь и более одного корня .
Русское слово « корень » в данном случае — это яркий пример метафоры в математическом языке : вспомните , как при решении текстовой задачи алгебраическим способом	уравнение	как бы вырастает из неизвестного числа х .
Корнем уравнения называется число , при подстановке которого в	уравнение	получается верное числовое равенство .
Если в	уравнение	вместо переменной подставить число , то получится числовое равенство .
Таким образом , уравнения характеризуются двумя очевидными свойствами , легко определяемыми на глаз : во - первых ,	уравнение	— это равенство ; во - вторых , в этом равенстве имеется буква — в одной из его частей или в обеих .
Всякое равенство , содержащее переменную , можно рассматривать как	уравнение	.
713 Решите	уравнение	.
11 Решите	уравнение	.
Решите	уравнение	.
Можно сказать и так : решить	уравнение	— значит найти множество его корней .
Составьте	уравнение	по условию задачи .
10 Дано	уравнение	, где а — некоторое число , х — переменная .
Чтобы решить	уравнение	, мы будем преобразовывать его в другое уравнение более простого вида , которое имеет то же множество корней , что и исходное .
3 Решите	уравнение	.
Составьте	уравнение	по условию этой задачи , обозначив буквой х время движения Ивана .
425 Имеет ли корни	уравнение	.
Составьте	уравнение	по условию задачи , взяв за образец пример 1 : « Автомобиль и автобус , находящиеся на расстоянии 30 км друг от друга , одновременно начали движение навстречу друг другу .
Решим	уравнение	Равенство нулю произведения обращается в нуль при .
Наше	уравнение	распалось на два более простых уравнения .
Таким образом ,	уравнение	имеет два корня .
18 Решите	уравнение	.
Решите данное	уравнение	.
По условию разобранной задачи составьте другое	уравнение	, обозначив .
Решим это	уравнение	.
Если , то	уравнение	имеет .
Составим	уравнение	.
Скажите , каким правилом преобразования уравнений надо воспользоваться , чтобы решить	уравнение	, и решите его .
Решите	уравнение	и прокомментируйте каждый шаг , ссылаясь на нужное правило преобразования уравнений .
Сделаем рисунок , который поможет нам составить	уравнение	.
Чтобы решить уравнение , мы будем преобразовывать его в другое	уравнение	более простого вида , которое имеет то же множество корней , что и исходное .
374 Решите	уравнение	.
Решите	уравнение	, воспользовавшись разобранным способом .
Если буквой х обозначить время движения Виктора ( в мин ) , то получится более простое	уравнение	.
Решите это	уравнение	.
912 Решите	уравнение	относительно х . 8.7 Несколько более сложных примеров .
Составить по условию задачи наиболее простое	уравнение	помогают некоторые практические правила .
379 Решите	уравнение	относительно х 380 Выразите из равенства каждую переменную через другие .
По образцу примера 3 сделайте рисунок , моделирующий условие задачи , и составьте	уравнение	.
Решите задачу ( чтобы легче было составить	уравнение	, сделайте рисунок .
906 Найдите корни уравнения подбором , а затем решите это	уравнение	, применив разложение на множители .
Решите задачу , составив	уравнение	двумя способами .
выполнив соответствующую подстановку , решите	уравнение	.
Сравните получившееся	уравнение	и исходное .
721 Решите	уравнение	.
Итак , мы разложили многочлен на множители и можем записать данное	уравнение	в виде .
717 Решите	уравнение	.
Что значит « решить	уравнение	» ? .
Решим	уравнение	.
Мы сможем решить это	уравнение	, если разложим его левую часть на множители .
Заменив нулём сумму выражений , получим	уравнение	.
Получим	уравнение	.
17 Решите	уравнение	.
737 Решите	уравнение	.
4 Решите	уравнение	.
Таким образом ,	уравнение	; имеет корень , равный 2 .
915 Решите	уравнение	.
761 Решите задачу ( переформируйте условие так , чтобы было легче составить	уравнение	) .
Однако при переводе условия задачи на математический язык может получиться	уравнение	, алгоритм решения которого вы ещё не знаете или его вообще нет .
Таким образом ,	уравнение	имеет два корня : -1 и 1 .
4 Какое	уравнение	называется линейным ?
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить	уравнением	, которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
Это равенство , как вы уже знаете , называют	уравнением	.
Отсюда понятно правило : в	уравнении	можно перенести слагаемое из одной части в другую , изменив при этом его знак на противоположный .
на языке	уравнении	.
Какое из следующих	уравнений	соответствует условию задачи , если буквой х в нём обозначено время движения туриста в часах ? .
Рассмотрим некоторые неалгоритмические приёмы решения	уравнений	.
Решение	уравнений	.
Заметим , что условие « на втором складе угля стало на 620 т меньше , чем на первом » можно было бы перевести на язык	уравнений	так .
При составлении	уравнений	по условию задачи часто используют рисунки , схемы , которые помогают проанализировать условие задачи , организовать её данные .
Переводя условия задач на язык математики , решая задачи алгебраическим способом , с помощью	уравнений	, вы увидите , как один и тот же приём позволяет решать самые разные , внешне совсем не похожие одна на другую задачи .
7.6 Решение задач с помощью	уравнений	.
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением	уравнений	и делимостью целых чисел .
4.3 Решение	уравнений	.
373 Придумайте несколько	уравнений	, корнем каждого из которых .
Покажем , как это свойство произведения используется для решения	уравнений	.
Правила преобразования	уравнений	являются следствиями очевидных свойств числовых равенств .
Рассмотрим два основных правила преобразования	уравнений	на примере решения уравнения .
4.5 Некоторые неалгоритмические приёмы решения	уравнений	. ( Для тех , кому интересно ) .
2 Сформулируйте два основных правила преобразования	уравнений	.
Правила преобразования	уравнений	. — раскрытия скобок .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования	уравнений	: обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Заметим , что первым приём преобразования	уравнений	описал знаменитый арабский математик Мухаммед аль - Хорезми , живший в Хорезме и в Багдаде на рубеже IX и X вв .
Алгебра , которую вы теперь изучаете , возникла и развивалась много веков тому назад именно как наука о решении	уравнений	.
Рассмотрим примеры решения	уравнений	.
8.6 Решение	уравнений	с помощью разложения на множители .
4.4 Решение задач с помощью	уравнений	.
Каждое из	уравнений	, которые мы решали , в результате преобразований приводилось к виду .
Такие рассуждения могут оказаться очень непростыми , и это ограничивает применение метода подбора для решения	уравнений	.
Решение	уравнений	и задач .
Скажите , каким правилом преобразования	уравнений	надо воспользоваться , чтобы решить уравнение , и решите его .
Решите уравнение и прокомментируйте каждый шаг , ссылаясь на нужное правило преобразования	уравнений	.
Мы пришли к	уравнению	.
512 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют	уравнению	или неравенству .
346 Восстановите условие задачи « на задуманное число » по следующему	уравнению	( буквой обозначено задуманное число ) .
а ) Какое свойство произведения используется для решения	уравнения	( сформулируйте это свойство ) ?
906 Найдите корни	уравнения	подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
Составьте разные	уравнения	по условию задачи , обозначая буквой различные величины .
Найдите корни	уравнения	.
Является ли корнем	уравнения	.
Примените приём решения уравнения , рассмотренный в примере 2 , для нахождения корней	уравнения	.
Примените приём решения	уравнения	, рассмотренный в примере 2 , для нахождения корней уравнения .
18 Найдите корни	уравнения	.
Найдём из этого	уравнения	слагаемое 4х .
С чего начинают составление	уравнения	по условию задачи ? .
Найдите а , если известно , что корень	уравнения	равен .
Решим с помощью составления	уравнения	такую задачу .
Приведите свой пример	уравнения	, решаемого на основе равенства нулю произведения .
Разложение на множители - это не только наука , но и искусство , овладев которым можно решить самые разные , в том числе достаточно хитрые ,	уравнения	, в чём вы сможете убедиться не только в этой главе , но и во всём дальнейшем курсе математики .
Наше уравнение распалось на два более простых	уравнения	.
Разложим левую часть	уравнения	на множители , а затем воспользуемся приёмом , рассмотренным в предыдущем примере .
5 Каким числом является корень	уравнения	.
910 Найдите корни	уравнения	( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
г ) число -2 является корнем	уравнения	.
Укажите ещё несколько корней этого	уравнения	.
Разделим обе части	уравнения	на 2 .
Корень	уравнения	— число 3 .
Корнем	уравнения	называется число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство .
416 Один из корней	уравнения	натуральный .
Такие значения переменной , как вы знаете , называют корнями	уравнения	.
Решение	уравнения	— это поиск тех значений переменной , при которых получается верное равенство .
Для этого умножим обе части	уравнения	на наименьшее общее кратное знаменателей дробей , т .
Вернитесь к примерам : у нас получались	уравнения	.
Таким образом ,	уравнения	характеризуются двумя очевидными свойствами , легко определяемыми на глаз : во - первых , уравнение — это равенство ; во - вторых , в этом равенстве имеется буква — в одной из его частей или в обеих .
Найдите корень	уравнения	.
содержится решение	уравнения	, которое на языке современной математики можно записать так .
1 Что называется корнем	уравнения	?
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося	уравнения	было целое число .
Множество корней этого	уравнения	не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
Например , равенства это	уравнения	.
350 Какие из чисел 1 , 2 , 0 , — 1 , -2 являются корнями	уравнения	.
Однако	уравнения	в математике рассматривают не только в связи с текстовыми задачами .
Например , у	уравнения	х2 9 два корня — это числа — 3 и 3 .
349 Является ли корнем	уравнения	число .
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного	уравнения	выражения 3х .
Соберём члены	уравнения	, содержащие переменную , в одной части , а числа в другой .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части	уравнения	можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
число — 3 является корнем	уравнения	.
413 Найдите натуральный корень	уравнения	.
Продолжим решение	уравнения	.
При этом множество корней	уравнения	не изменится .
Разделив обе части	уравнения	на 5 , получим .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части	уравнения	, при этом его знак изменился с « минуса » на « плюс » .
а ) число 4 является корнем	уравнения	.
Изучая предыдущий пункт , вы составляли	уравнения	по условиям задач .
Перенося члены	уравнения	из одной части в другую , мы в одной части их « уничтожаем » , но зато в другой « восстанавливаем » , меняя при этом их знаки на противоположные .
в ) число 4 является корнем	уравнения	.
Воспользовавшись первым правилом , соберём числа в правой части	уравнения	.
Воспользовавшись вторым правилом , умножим обе части	уравнения	на 3 .
Что называется корнем	уравнения	?
А вот уравнение вообще не имеет корней , так как при любом значении х левая часть	уравнения	на 2 меньше его правой части .
3 Опишите по шагам решение	уравнения	.
Корень	уравнения	— число 15 .
Например , корнем	уравнения	, в обеих частях которого стоят равные выражения , является любое число .
Определите , является ли число -2 корнем данного	уравнения	; обоснуйте ответ .
Решите задачу с помощью	уравнения	.
414 Найдите все целые корни	уравнения	.
354 Проверьте , что число 10 является корнем	уравнения	а число — 10 его корнем не является .
1 Корнями какого	уравнения	являются числа 2 и -1 ? .
Составьте разные	уравнения	по условию задачи , обозначив буквой .
Перевести условие задачи на язык математики можно по - разному , поэтому и	уравнения	получаются разные .
355 Укажите множество корней	уравнения	.
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении	уравнения	придётся иметь дело не с целыми числами , а с дробями .
415 Найдите целые корни	уравнения	.
1 Какие из чисел -3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3 являются корнями	уравнения	.
343 Составьте разные	уравнения	по условию задачи .
Рассмотрим два основных правила преобразования уравнений на примере решения	уравнения	.
Корень	уравнения	.
Что представляет собой множество корней	уравнения	.
4.2 Корни	уравнения	.
а ) корнем	уравнения	является любое число .
Решите задачу , обозначив буквой удобную для составления	уравнения	величину .
Приведите пример линейного	уравнения	.
Напротив , числовые равенства	уравнениями	не являются — в них нет переменной .
И выражения тоже , конечно ,	уравнениями	не являются , потому что они не являются равенствами .
В рассмотренных линейных	уравнениях	коэффициент а при переменной отличен от нуля .
Объём	усечённой пирамиды	с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота	усечённой пирамиды	.
606 Сколько существует анаграмм слова : а ) «	факториал	» ; б ) « перестановка » ; в ) « комбинаторика » ? .
Используя термин «	факториал	» , ответьте , сколькими способами могут распределиться места между четырьмя участниками турнира ?
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначают n ; читают : « я	факториал	» .
Может быть , именно из - за быстрого роста	факториалов	восхищённый изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак .
Вы можете понаблюдать за их изменением , рассмотрев таблицу , в которой приведены	факториалы	чисел от 1 до 10 .
Найдите отношение периметров этих	фигур	.
	Фигура	AlBlC1D1El является копией фигуры ABCDE , полученной с помощью копировальной машины , которая уменьшает все размеры в одно и то же число раз .
выберите те , с помощью которых можно найти площадь	фигуры	.
271 Составьте формулу для вычисления площади S	фигуры	.
289 Запишите выражения для вычисления площади	фигуры	сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
12 Какое из выражений можно использовать для вычисления площади	фигуры	.
240 Найдите площадь	фигуры	( рис .
фигура AlBlC1D1El является копией	фигуры	ABCDE , полученной с помощью копировальной машины , которая уменьшает все размеры в одно и то же число раз .
280 Составьте два выражения для вычисления площади	фигуры	и покажите , как одно из этих выражений можно преобразовать в другое .
252 Чему равен периметр	фигуры	.
Придумайте свой арифметический	фокус	и покажите с помощью алгебры , на чём он основан .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий	фокус	: « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Учитель показал учащимся арифметический	фокус	.
Какую из этих	характеристик	Лена предпочла бы использовать при выставлении четвертной отметки ?
Дайте словесные	характеристики	события А .
В дробях нередко представляют и различные статистические	характеристики	, с которыми вы также познакомитесь в этой главе .
6 Какие статистические	характеристики	вы знаете ?
Среднее арифметическое является важной	характеристикой	ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
446 Назовите наименьшее и наибольшее	целое	число , принадлежащее указанному промежутку ( если такое существует ): а ) интервалу , б ) отрезку .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося уравнения было	целое	число .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося уравнения было	целое число	.
446 Назовите наименьшее и наибольшее	целое число	, принадлежащее указанному промежутку ( если такое существует ): а ) интервалу , б ) отрезку .
Найдите точку с	целой	положительной координатой , принадлежащую отрезку .
Сколько точек имеют	целую	неотрицательную координату ? .
414 Найдите все	целые	корни уравнения .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались	целые	числа .
415 Найдите	целые	корни уравнения .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались	целые числа	.
Существует	целый	ряд приёмов для разложения многочленов на множители .
	Целым	отрицательным .
	Целым	положительным .
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены	целым	числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены	целым числом	сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с	целыми	числами , а с дробями .
Вычисления с	целыми	числами проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от дробей .
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с	целыми числами	, а с дробями .
Вычисления с	целыми числами	проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от дробей .
445 Сколько	целых	чисел принадлежит а ) интервалу ; б ) отрезку .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением	целых	чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
Поэтому множество	целых	неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных	целых	чисел по остаткам от деления на 2 ?
Это позволяет разбивать множество	целых	неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
Результаты округляйте до	целых	.
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью	целых	чисел .
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью	целых чисел	.
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением	целых чисел	, если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных	целых чисел	по остаткам от деления на 2 ?
445 Сколько	целых чисел	принадлежит а ) интервалу ; б ) отрезку .
314 В	центре	городского района планировали разбить сквер прямоугольной формы размером .
148 Выразите высоту h из формулы а ) площади параллелограмма , б ) объёма	цилиндра	.
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём	цилиндра	, диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
Найдите объём	цилиндра	при .
Если модули двух	чисел	равны , то эти числа либо равны , либо противоположны .
Произведение всех натуральных	чисел	от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
Вычислите сумму кубов натуральных	чисел	для .
110 Какое из	чисел	: 2100 ; 2101 ; 2102 ; 2103 — оканчивается той же цифрой , что и число 210 ? .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных	чисел	прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Поговорим ещё раз о делимости натуральных	чисел	.
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных	чисел	, меньших 10 .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных	чисел	, меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
Приведите ещё примеры таких	чисел	.
649 Сумму кубов натуральных	чисел	от 1 до n можно вычислить по формуле .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих	чисел	.
Точно так же обстоит дело и для любых натуральных	чисел	.
4 ) если произведение двух чисел не равно нулю , то ни одно из этих	чисел	не равно нулю .
266 Чему равна сумма 15 последовательных натуральных	чисел	, первое из которых равно n ? .
Такое множество точек ( как и соответствующее множество	чисел	) называют замкнутым лучом .
3 ) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю , то произведение этих	чисел	не равно нулю .
Квадрат суммы двух	чисел	равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати	чисел	равно 14 .
Найдите среднее арифметическое всех этих	чисел	.
С таким применением букв вы познакомились ещё в начальной школе , когда изучали основные свойства сложения и умножения	чисел	.
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух	чисел	на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма	чисел	300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных	чисел	, записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью целых	чисел	.
В буквенном виде это свойство записывается так : для любых	чисел	а и b. 2 .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух	чисел	, вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Чтобы разделить число на произведение двух	чисел	, можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Если среди	чисел	, с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби , то их надо привести к какой - нибудь одной из этих форм .
Сочетательное свойство сложения , согласно которому при сложении трёх чисел можно группировать как первые два слагаемых , так и последние два : для любых	чисел	а , b и с .
Укажите наименьшее и наибольшее из этих	чисел	.
1 Какое из данных	чисел	наименьшее ? .
14 Среди	чисел	6 , 8 , 10 и 14 выберите такое , при котором выполняется неравенство .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы	чисел	30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
в ) сумму всех трёхзначных	чисел	, которые могут быть записаны цифрами а , b и с так , чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз .
Квадрат разности двух	чисел	равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Одно из	чисел	втрое больше второго , а разность этих чисел равна 62 .
Одно из чисел втрое больше второго , а разность этих	чисел	равна 62 .
Найдите большее из этих	чисел	.
Сочетательное свойство сложения , согласно которому при сложении трёх	чисел	можно группировать как первые два слагаемых , так и последние два : для любых чисел а , b и с .
4 ) если произведение двух	чисел	не равно нулю , то ни одно из этих чисел не равно нулю .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми	чисел	равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
Назовите и запишите в буквенном виде основные свойства сложения и умножения	чисел	.
591 Сколько существует пятизначных	чисел	, которые делятся на 2 ?
3 ) если хотя бы одно из двух	чисел	не равно нулю , то произведение этих чисел не равно нулю .
Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх	чисел	?
Сумма противоположных	чисел	равна С .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных	чисел	, записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
2 ) если хотя бы одно из двух	чисел	равно нулю , то их произведение равно нулю .
1 ) если произведение двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из этих	чисел	равно нулю .
Произведение двух или нескольких	чисел	равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Произведение двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих	чисел	равно нулю .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило вычитания из числа суммы двух чисел : для любых	чисел	а , b , с .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 8	чисел	, равно 4 .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило вычитания из числа суммы двух	чисел	: для любых чисел а , b , с .
244 Запишите с помощью букв и скобок несколько разных способов вычисления произведения четырёх	чисел	.
1 ) если произведение двух	чисел	равно нулю , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх	чисел	на некоторое число .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10	чисел	, равно 4 .
7 Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких	чисел	.
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх	чисел	на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
Найдите сумму этих	чисел	.
В ряду	чисел	2 , 7 , 10 , х , 18 , 19 , 27 одно число неизвестно .
Легко понять , что допустимыми значениями букв а и b для выражения — являются любые пары	чисел	, при которых , т .
140 а ) Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10	чисел	, равно 5 .
590 Сколько существует четырёхзначных	чисел	, составленных из нечётных цифр ?
Найдите каждое из	чисел	.
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении положительного числа и отрицательного ; двух отрицательных	чисел	.
Вычислите сумму квадратов натуральных	чисел	для .
633 Сколько существует десятизначных	чисел	, в записи которых имеются хотя бы две одинаковые цифры ? .
632 Сколько существует четырёхзначных	чисел	, в записи которых встречается хотя бы одна чётная цифра ? .
Значит , нужно уметь сравнивать числа , записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди	чисел	, с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби .
Мы дважды воспользовались сочетательным законом : в первый раз мы применили его для чисел , а во второй раз — для	чисел	.
Мы дважды воспользовались сочетательным законом : в первый раз мы применили его для	чисел	, а во второй раз — для чисел .
Множество точек , как и соответствующее ему множество	чисел	, называют интервалом .
Сколько среди них чётных	чисел	и сколько нечётных ? .
627 Сколько шестизначных	чисел	можно составить из цифр 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , используя в числе каждую цифру только один раз ?
Число 4,4 называют средним арифметическим исходных	чисел	.
Разность	чисел	х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы	чисел	-3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
Средним арифметическим ряда	чисел	называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
Сумма квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих	чисел	.
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих	чисел	на их количество .
625 Сколько можно составить пятизначных	чисел	, меньших 7000 , из цифр 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ( без повторения цифр ) ? .
443 Какие из	чисел	принадлежат промежутку .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих	чисел	и неполного квадрата их суммы .
445 Сколько целых	чисел	принадлежит а ) интервалу ; б ) отрезку .
Сколько таких	чисел	вы нашли в каждом случае ? .
а ) сумма квадратов	чисел	-3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так , чтобы из этих четырёх	чисел	можно было составить пропорцию : а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат	чисел	без умножения столбиком и без калькулятора .
Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда	чисел	, в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
сумма кубов двух	чисел	равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных	чисел	делится на 5 .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных	чисел	на классы по остаткам от деления на заданное число .
Читается эта формула так , разность кубов двух	чисел	равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих	чисел	и неполного квадрата их разности .
Так же называют и соответствующее множество	чисел	.
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих	чисел	.
18 Сколько можно составить двузначных	чисел	, у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
Произведение разности двух	чисел	и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых	чисел	, если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
Все они составлены из	чисел	и переменных с помощью одного только действия — умножения .
Вы уже знаете , что есть два способа записи дробных	чисел	- в виде обыкновенных и в виде десятичных дробей .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов	чисел	0,3 и -0,1 .
Какие из	чисел	являются отрицательными ? .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы	чисел	0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Что называется средним арифметическим нескольких	чисел	?
1 Какие из	чисел	-3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3 являются корнями уравнения .
1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух	чисел	? .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих	чисел	и их суммы .
Сумма квадратов двух последовательных чётных	чисел	равна удвоенной сумме этих чисел .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности	чисел	2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
1 Назовите и запишите с помощью букв основные свойства сложения и умножения	чисел	.
Разность квадратов двух	чисел	равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных	чисел	прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов	чисел	0,3 и 1,3 .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности	чисел	0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
разделить каждое из входящих в него	чисел	на их общий делитель — число 2 .
Докажите , что сумма любых восьми последовательных	чисел	в последовательности Фибоначчи делится на 3 .
Докажите , что сумма любых шести последовательных	чисел	в последовательности Фибоначчи делится на 4 .
а ) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих	чисел	.
а ) Обозначьте одно из	чисел	этой последовательности буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел .
7 Сколько существует трёхзначных	чисел	, составленных из нечётных цифр ( все цифры в записи числа различны ) ? .
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных	чисел	равна сумме этих чисел .
в ) разность кубов	чисел	2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Перебрав все возможные пары делителей , нетрудно увидеть , что условию удовлетворяет только пара	чисел	11 и 13 .
Если же среди	чисел	есть отрицательные , то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных чисел .
Сумма трёх	чисел	равна 192 .
г ) произведение двух последовательных натуральных	чисел	есть число чётное .
а ) сумма чётного и нечётного	чисел	есть число нечётное .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных	чисел	равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
а ) Сколько всего таких	чисел	? .
642 Сумму последовательных натуральных	чисел	от 1 до n можно вычислить по формуле .
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных	чисел	на число слагаемых .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных	чисел	на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных	чисел	на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
350 Какие из	чисел	1 , 2 , 0 , — 1 , -2 являются корнями уравнения .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных	чисел	на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных	чисел	на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных	чисел	на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных	чисел	.
в ) сумма двух последовательных натуральных	чисел	есть число нечётное .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных	чисел	.
Используя формулу , вычислите сумму последовательных натуральных	чисел	: а ) от 1 до 20 ; б ) от 1 до 100 .
сумма двух нечётных	чисел	есть число чётное .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных	чисел	; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
Если же среди чисел есть отрицательные , то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных	чисел	.
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых	чисел	по остаткам от деления на 2 ?
б ) Сколько таких	чисел	начинается с цифры 1 ? .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных	чисел	, начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
188 Для каждой тройки	чисел	найдите четвёртое число так , чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию : а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
Покажите разные способы сравнения	чисел	0,35 и — ( пример 2 ) .
Что называют средним арифметическим ряда	чисел	?
а ) трёх последовательных натуральных	чисел	, начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Найдите среднее арифметическое ряда	чисел	: а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
786 Каждое из	чисел	а и b при делении на 3 даёт в остатке 1 .
648 Сумму квадратов натуральных	чисел	от 1 до n можно вычислить по формуле .
Так как при умножении равных	чисел	на одно и то же число получаются равные числа , то ad be .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных	чисел	, среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных	чисел	равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных	чисел	, среднее из которых равно n .
Поэтому множество целых неотрицательных	чисел	делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
605 Сколько пятизначных	чисел	( без повторения цифр ) можно составить из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ? .
Вы можете понаблюдать за их изменением , рассмотрев таблицу , в которой приведены факториалы	чисел	от 1 до 10 .
783 Найдите остаток от деления на 10 суммы	чисел	а , b и с , если известно , что .
Для этого каждая пара	чисел	таблицы ( число экспериментов — частота ) отмечена точкой на координатной плоскости .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения площади прямоугольника достаточно измерить его стороны и перемножить получившиеся	числа	.
Сравните	числа	, используя перекрёстное правило .
Составьте формулу , выражающую зависимость	числа	ступенек N от этажа n.
Сравним	числа	.
Сравните	числа	, используя любой удобный вам способ .
2 Сравните	числа	, используя приём сравнения с « промежуточным » числом .
а ) зависимость	числа	т одинаковых учебников , размещаемых на полке длиной 90 см , от толщины учебника I ( в см ) .
а ) сумму двузначного	числа	числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
Например , так как любое положительное число больше любого отрицательного	числа	; так как .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные	числа	, то n слагаемых , n множителей .
9 Расположите в порядке возрастания	числа	.
При вычислениях по формулам вместо букв можно подставлять разные	числа	.
Так как при умножении равных чисел на одно и то же число получаются равные	числа	, то ad be .
8 Сравните	числа	, используя калькулятор .
Сравните , используя калькулятор ,	числа	.
Расположите в порядке убывания	числа	.
б ) разность трёхзначного числа и	числа	, записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении положительного	числа	и отрицательного ; двух отрицательных чисел .
176 а ) В связи с увеличением	числа	учащихся школьная столовая стала закупать в 1,2 раза больше муки для пирожков .
Даны	числа	.
6 Сравните	числа	.
В общем случае : если а и b — любые	числа	и n — любое натуральное число .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого	числа	на второе плюс квадрат второго числа .
б ) разность трёхзначного	числа	и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
Пусть даны дроби и где a , b , с , d — натуральные	числа	.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго	числа	.
Значит , нужно уметь сравнивать	числа	, записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди чисел , с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби .
Это свойство справедливо для произведения любого	числа	множителей .
10 Расположите в порядке убывания	числа	.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого	числа	минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
В общем случае : если а и b — любые	числа	, причём , и n — любое натуральное число ,
56 Используя степени	числа	10 , запишите , сколько в 1 км метров ; сантиметров ; миллиметров .
Поданные заявления составили 160 % от этого	числа	.
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени	числа	0,1 . 617 Выполните действия .
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени	числа	5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
Какое число — положительное или отрицательное - может получиться при возведении в степень отрицательного	числа	?
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени	числа	3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
Например , если ученик получил по русскому языку отметки « 4 » , « 2 » , « 3 » , « 5 » , то каждая отметка встречается в этом ряду только один раз и среди них нет	числа	, встречающегося чаще других .
961 Используя данные таблицы 2 , представьте графически зависимость частоты появления результата « остриём вверх » от	числа	проведённых экспериментов .
в виде степени	числа	2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
разность общего	числа	проведённых экспериментов и числа экспериментов , в которых это событие произошло .
б ) После какого	числа	испытаний частота события « остриём вниз » стала равна 0,45 ? .
В экспериментах со случайными исходами удивительно то , что , хотя результат каждого отдельного испытания зависит от случая , при проведении большого	числа	таких испытаний выявляются отчётливые закономерности .
Полученные точки соединены ломаной , которая при увеличении	числа	экспериментов становится практически горизонтальной прямой .
разность общего числа проведённых экспериментов и	числа	экспериментов , в которых это событие произошло .
отношение	числа	экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу проведённых экспериментов .
отношение общего	числа	проведённых экспериментов к числу экспериментов , в которых это событие произошло .
Построен график зависимости частоты результата « остриём вниз » от	числа	экспериментов .
Решите задачу , представив данные с помощью степени	числа	10 .
Частота события « остриём вниз » стабилизируется около числа 0,45 , а частота события « остриём вверх » — около	числа	0,55 .
Нетрудно заметить , что серии экспериментов , проведённые в разные эпохи и в разных странах , дают похожий результат : при многократном подбрасывании монеты частота выпадания орла стабилизируется около	числа	0,5 .
а ) Сколько студентов может быть принято на этот факультет , если число мест составляет 75 % от	числа	поданных заявлений ? .
57 Используя степени	числа	10 , выразите в метрах 1 см ; 1 мм ; 1 мк ( 1 мк — один микрон , тысячная доля миллиметра ) .
7 Сколько существует трёхзначных чисел , составленных из нечётных цифр ( все цифры в записи	числа	различны ) ? .
54 Представьте в виде степени с основанием 10 следующие	числа	.
Запишите эту величину с помощью степени	числа	10 .
К одночленам стандартного вида относятся также	числа	, переменные , степени переменных .
Выразите скорость света в метрах в секунду и запишите результат с помощью степени	числа	10 .
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального	числа	или десятичной дроби .
а ) вероятность выпадания чётного	числа	очков .
62 Расположите в порядке возрастания	числа	.
63 Сравните	числа	а и а2 , если известно , что .
7 Запишите формулу для подсчёта	числа	перестановок .
Запишите ответ , используя степень	числа	2 , и вычислите значение получившегося выражения .
Так , при проведении большого числа экспериментов с кнопкой частота появления случайного события С : остриём вниз — стабилизируется около	числа	0,45 .
Так , при проведении большого	числа	экспериментов с кнопкой частота появления случайного события С : остриём вниз — стабилизируется около числа 0,45 .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений , значения которых можно найти , пользуясь таблицей степеней	числа	3 .
Сколько мест на факультете , если количество заявлений составляет 75 % от	числа	мест ? .
11 Сравните	числа	.
Частота события « остриём вниз » стабилизируется около	числа	0,45 , а частота события « остриём вверх » — около числа 0,55 .
604 Из цифр 1 , 2 , 3 , 4 , 5 составляются пятизначные	числа	, в которых все цифры разные .
Вычислить степень	числа	, или , как говорят , возвести число в степень , можно путём последовательного умножения .
136 Все	числа	ряда равны между собой .
Считают , что первая степень любого	числа	равна самому числу .
137 Придумайте три разных	числа	, таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом .
138 Придумайте четыре разных	числа	, таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало .
33 На координатной прямой отмечены	числа	а , b и с Какое из двух утверждений верно ? .
32 На координатной прямой отмечены	числа	а , b и с Какое из утверждений неверно ? .
На координатной прямой отмечены	числа	а и b. Какое из двух утверждений верно ? .
Подставьте вместо букв заданные	числа	и найдите значение выражения .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые	числа	.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого	числа	плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
1 Сравните	числа	.
2 Расположите в порядке возрастания	числа	.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого	числа	на второе плюс квадрат второго числа .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго	числа	.
124 Расположите в порядке возрастания	числа	.
При увеличении	числа	экспериментов частота каждого события выравнивается , или , как говорят , стабилизируется .
Например . Обратите внимание : степени	числа	2 с увеличением показателя возрастают очень быстро .
Равновероятным является выпадение любого	числа	очков от 1 до 6 при бросании симметричного игрального кубика , орла или решки при бросании правильной монеты .
Частота показывает , какую часть от общего	числа	проведённых экспериментов составляют эксперименты , завершившиеся интересующим нас результатом .
Частотой случайного события в серии экспериментов называют отношение	числа	экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу экспериментов .
603 Из нечётных цифр составляют всевозможные пятизначные	числа	, не содержащие одинаковых цифр .
С помощью символа n принято записывать формулу для подсчёта	числа	перестановок .
При возведении в степень отрицательного	числа	в результате может получиться как положительное число , так и отрицательное .
Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра	числа	"2 "" , где n — натуральное число , с изменением показателя n."
Значение выражения n можно найти для любого натурального	числа	n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Вообще все натуральные	числа	могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп :	числа	, делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 ,	числа	, дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
108 Какими цифрами могут оканчиваться	числа	, получающиеся при возведении в степень числа 3 ?
108 Какими цифрами могут оканчиваться числа , получающиеся при возведении в степень	числа	3 ?
109 Какими цифрами могут оканчиваться степени	числа	7 ?
111 Докажите , что	числа	оканчиваются одной и той же цифрой .
Укажите ещё какую - нибудь степень	числа	3 , которая оканчивается той же цифрой .
113 Сформулируйте условие , при котором	числа	4т и 4 ” , где . оканчиваются одной и той же цифрой .
И последняя цифра	числа	2n определяется тем , в какую из этих групп попадает показатель n.
Чтобы убедиться в том , что другого такого	числа	нет , надо провести дополнительные рассуждения .
Отношение , членами которого являются дробные	числа	, можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
810 В классе число отсутствующих учеников составляет пятую часть от	числа	присутствующих .
В самом деле ,	числа	а — b и b — а противоположны и их модули равны .
790 Найдите все натуральные	числа	, которые .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного	числа	при делении на 8 даёт в остатке 1 .
788 Какой вид имеют	числа	, о которых известно , что они не делятся ни на 2 , ни на 3 ? .
787 Докажите , что если	числа	а и n не делятся на 3 , то либо их сумма , либо их разность делится на 3 .
785 Докажите , что если	числа	а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
Приведите пример	числа	каждого вида .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида ,	числа	вида .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n ,	числа	вида , числа вида .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса :	числа	вида 3n , числа вида , числа вида .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с	числа	n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные	числа	.
Другими словами , если есть два натуральных	числа	а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
Ну хотя бы потому , что и на « языке денег » , и на « языке расстояний » , и на « языке площадей » мы всегда рассматриваем только положительные	числа	, а часто даже и натуральные .
У каждой из этих точек абсцисса и ордината — противоположные	числа	.
А именно , если при делении	числа	а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
Как вы знаете , квадрат любого	числа	положителен или равен нулю , т .
Модуль положительного	числа	равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
Модуль отрицательного	числа	равен противоположному числу .
Докажите , что разность между кубом любого натурального	числа	и этим числом делится на 6 .
Это правило можно применять для преобразования любых выражений — содержащих и буквы , и	числа	.
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило вычитания из	числа	суммы двух чисел : для любых чисел а , b , с .
Если вы знаете , что такое модуль	числа	и как с ним работать , то вам это будет нетрудно .
некоторые натуральные	числа	.
Чтобы из	числа	вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти	числа	, найдём искомое частное — число 109 .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого	числа	сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные	числа	берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Изобразим на координатной прямой	числа	-2 и 10 и найдём середину отрезка с концами в точках -2 и 10 .
Если модули двух чисел равны , то эти	числа	либо равны , либо противоположны .
Переместительное свойство сложения , которое утверждает , что два	числа	можно складывать в любом порядке .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления	числа	х на число у — это такое число z
323 Как известно , перемножить непосредственно можно только два	числа	.
Такие два натуральных	числа	нетрудно подобрать — это 9 и 10 .
У	числа	143 всего четыре натуральных делителя : 1 , 11 , 13 , 143 .
Остаётся найти все натуральные делители	числа	143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
Поэтому числа — это делители	числа	143 .
Поэтому	числа	— это делители числа 143 .
Кроме того , тоже натуральные	числа	, поскольку каждое из них — это количество компьютеров .
б ) Существуют ли три последовательных нечётных	числа	, сумма которых равна 69 ? .
400 а ) Существуют ли три последовательных чётных	числа	, сумма которых равна 74 ? .
Найдите эти	числа	, если одно из них на 66 больше другого .
388 а ) Одно число составляет другого	числа	, а их сумма равна 108 .
387 а ) Ученик прочитал 144 страницы , что составляет 36 %	числа	всех страниц в книге .
Найдите эти	числа	.
Докажем , что сумма любого натурального	числа	и его квадрата делится на 2 .
Тогда сумма этого	числа	и его квадрата будет .
После того как из класса вышел один ученик , число отсутствующих стало равно четверти	числа	присутствующих .
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных натуральных	числа	и одно из них обязательно является чётным , т .
Соберём члены уравнения , содержащие переменную , в одной части , а	числа	в другой .
Воспользовавшись первым правилом , соберём	числа	в правой части уравнения .
а ) разность между квадратом любого натурального	числа	и этим числом является чётным числом .
сумма двух последовательных степеней	числа	2 делится на 6 .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального	числа	делится на следующее за ним число .
Например , у уравнения х2 9 два корня — это	числа	— 3 и 3 .
Русское слово « корень » в данном случае — это яркий пример метафоры в математическом языке : вспомните , как при решении текстовой задачи алгебраическим способом уравнение как бы вырастает из неизвестного	числа	х .
Из задуманного числа вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного	числа	.
Из задуманного	числа	вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
1 Корнями какого уравнения являются	числа	2 и -1 ? .
1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из	числа	суммы двух чисел ? .
Укажите 10 делителей	числа	, равного .
Как вы уже знаете ,	числа	можно изображать точками на прямой .
Возьмите любые три последовательных натуральных	числа	и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
Уравнение вида , где а и b —	числа	, ах — переменная , называют линейным .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего	числа	.
Чтобы вычесть из	числа	68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего	числа	.
217 Известно , что 20 % числа а равны 30 %	числа	b.
Точно так же и в общем случае , если а — любое число , не равное 0 , и т и n — любые натуральные	числа	, причём , то .
Степенью	числа	а с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные	числа	,
Дана таблица степеней	числа	3 .
Степенью	числа	а с показателем , равным 1 , называют само число а .
217 Известно , что 20 %	числа	а равны 30 % числа b.
Составьте четыре пропорции , членами которых являются те же	числа	х , у , z и v . 216 Известно , что .
Площадь всего участка составляет 100 % , и эти 100 % нужно разделить пропорционально	числам	4 , 6 , 7 и 3 , т .
Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны	числам	2 , 4 и 5 .
Распределите 70 билетов между тремя классами пропорционально	числам	2 , 3 и 5 .
Разделите число х на части , пропорциональные	числам	а , b , с .
7 Распределите 3 тыс. рублей пропорционально	числам	4 , 3 и 8 .
Такая алгебра , оперировавшая не	числами	, а отрезками , площадями , объёмами , т . е .
Точно так же можно поступать и с другими	числами	.
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с целыми	числами	, а с дробями .
Вычисления с целыми	числами	проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от дробей .
Соответствие между	числами	и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
Преобразования выражений выполняют на основе свойств действий над	числами	.
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых числитель и знаменатель являются простыми	числами	от 11 до 37 ?
Арифметика — наука о	числах	, основные её задачи связаны с вычислением значений числовых выражений .
96 На диаграмме представлены данные о	числе	болельщиков , посетивших футбольные матчи на стадионе « Динамо » в Москве за месяц .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в	числе	, стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
в ) сумму всех трёхзначных чисел , которые могут быть записаны цифрами а , b и с так , чтобы каждая из них содержалась в	числе	только один раз .
627 Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , используя в	числе	каждую цифру только один раз ?
Разложение на множители - это не только наука , но и искусство , овладев которым можно решить самые разные , в том	числе	достаточно хитрые , уравнения , в чём вы сможете убедиться не только в этой главе , но и во всём дальнейшем курсе математики .
Полученные знания пригодятся вам в самых разных областях математики , в том	числе	в решении комбинаторных задач , которому посвящена вторая половина главы .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно её	числитель	и знаменатель .
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та , у которой	числитель	больше .
Для этого разделим	числитель	каждой из них на знаменатель , причём техническую работу , т .
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых	числитель	и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37 ?
Разложим	числитель	и знаменатель данной дроби на множители .
262 Назовите общий множитель	числителя	и знаменателя дроби и сократите её .
10 Дано уравнение , где а — некоторое	число	, х — переменная .
Из пропорции выразите	число	а ; число b.
Из задуманного числа вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили	число	, в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
64 Подберите наименьшее натуральное	число	n , такое , при котором выполняется неравенство .
а )	число	фазанов .
Приведите пример задачи , в которой нужно подсчитать	число	перестановок .
Если в уравнение вместо переменной подставить	число	, то получится числовое равенство .
Корнем уравнения называется	число	, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство .
Например ,	число	, записанное двумя одинаковыми цифрами , можно представить в виде .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто	число	и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
А : выпало чётное	число	очков .
В последовательности Фибоначчи каждое	число	, начиная с третьего , равно сумме двух предыдущих .
346 Восстановите условие задачи « на задуманное число » по следующему уравнению ( буквой обозначено задуманное	число	) .
10 Пусть х — отрицательное	число	.
в ) вероятность того , что	число	выпавших очков не равно 3 .
Узнайте число фазанов и	число	кроликов » .
346 Восстановите условие задачи « на задуманное	число	» по следующему уравнению ( буквой обозначено задуманное число ) .
Какое	число	было задумано ? .
Теперь , чтобы найти неизвестное	число	х , это уравнение надо решить .
а ) К задуманному числу прибавили 11 , затем сумму поделили пополам и получили	число	, которое на 2 больше задуманного .
в ) число ног у фазанов . г )	число	ног у кроликов .
Итак , мы нашли неизвестное	число	, которое обозначили буквой х. Однако это ещё не ответ задачи .
в )	число	ног у фазанов . г ) число ног у кроликов .
б )	число	кроликов .
В июле	число	отдыхающих в пансионате возросло по сравнению с июнем в 2,5 раза .
55 Запишите в виде суммы разрядных слагаемых	число	.
Узнайте	число	фазанов и число кроликов » .
Из пропорции выразите число а ;	число	b.
Представьте	число	в виде суммы разрядных слагаемых .
Но если	число	экспериментов достаточно велико , мы можем сделать прогноз , что орёл выпадет примерно в половине случаев .
Понятно , что вероятность случайного события — это	число	, заключённое между 0 и 1 .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте	число	, прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Какое	число	проросших семян следует ожидать ? .
Найдите примерное	число	школьников , сдавших экзамен успешно .
а ) Найдите примерное	число	школьников , сдававших экзамен .
Вычтите удвоенное задуманное	число	.
Из этой пропорции находим неизвестное	число	х .
Статистик в этом случае сказал бы иначе : « Модой этого ряда является	число	5 » .
Модой называют	число	ряда , которое встречается в этом ряду наиболее часто .
Можно сказать , что данное	число	самое « модное » в этом ряду .
Задумайте	число	: Прибавьте к нему 5 .
Теперь я отгадаю , какое	число	у вас получилось .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное	число	.
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти	число	х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Количество ткани прямо пропорционально числу костюмов : во сколько раз увеличивается	число	костюмов , во столько же раз увеличивается и расход ткани .
При таком понимании общее	число	различных расположений гостей вокруг стола будет ещё вдвое меньше .
446 Назовите наименьшее и наибольшее целое	число	, принадлежащее указанному промежутку ( если такое существует ): а ) интервалу , б ) отрезку .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное	число	и к результату прибавьте 12 .
Вы получили	число	24 » .
Какова плотность населения Ростовской области (	число	человек на 1 км2 ) ? .
Чтобы узнать мартовский тираж журнала , нужно найти 120 % от февральского тиража и прибавить полученное	число	к 325 .
( Обозначьте среднее	число	буквой n ) .
а ) Каково	число	возможных результатов эксперимента ? .
а ) Сколько студентов может быть принято на этот факультет , если	число	мест составляет 75 % от числа поданных заявлений ? .
Фактически перед нами стоит задача : доказать , что произведение есть	число	, противоположное , или , что то же самое , доказать , что .
631 Игральный кубик подбрасывают 5 раз и каждый раз записывают	число	выпавших очков .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое	число	z
Докажите , что	число	: а ) записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 ; б ) записанное четырьмя одинаковыми цифрами , делится на 11 и на 101 .
Какое	число	задумал ученик ? » .
Сколько всего процентов школьников занимается в спортивных секциях , если	число	мальчиков и число девочек в школе одинаково ? .
Сколько всего процентов школьников занимается в спортивных секциях , если число мальчиков и	число	девочек в школе одинаково ? .
Число 8 - основание степени , а	число	5 - показатель степени .
Разность чисел х и у — это такое	число	2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
Это	число	выражает шансы появления события « выпал орёл » при многократном проведении экспериментов .
После того как из класса вышел один ученик ,	число	отсутствующих стало равно четверти числа присутствующих .
810 В классе	число	отсутствующих учеников составляет пятую часть от числа присутствующих .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на	число	у — это такое число z
В : выпало нечётное	число	очков .
Как называют выражение аn ,	число	а в этом выражении , число n ?
Запишите разными способами в виде степени следующее	число	.
Одно	число	составляет 45 % другого .
Точно так же и в общем случае , если а — любое	число	и т и n — любые натуральные числа , то n слагаемых , n множителей .
388 а ) Одно	число	составляет другого числа , а их сумма равна 108 .
Первое	число	в 5 раз меньше второго , а второе в 2 раза меньше третьего .
Разделите	число	х на части , пропорциональные числам а , b , с .
381 а ) Первое	число	на 27 больше второго , а их сумма равна 95 .
Дробь - нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби	число	0,3 .
Обозначим натуральное	число	буквой я .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося уравнения было целое	число	.
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это	число	заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
378 Запишите вместо с такое	число	, чтобы корнем получившегося уравнения было целое число .
является	число	.
фигура AlBlC1D1El является копией фигуры ABCDE , полученной с помощью копировальной машины , которая уменьшает все размеры в одно и то же	число	раз .
Корень уравнения —	число	3 .
Найдите среднее	число	жителей на 1 км2 .
Обозначим исходное	число	филиалов буквой х. Тогда по условию задачи каждый филиал должен был получить компьютеров .
Уравнение совсем непростое , но его можно решить , если вспомнить , что х — это количество филиалов фирмы , и , значит , это	число	натуральное .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю	число	.
разделить каждое из входящих в него чисел на их общий делитель —	число	2 .
Вдруг есть ещё какое - нибудь натуральное	число	, удовлетворяющее условию ?
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное	число	в произведении получится 90 .
Значит , могло быть задумано только	число	9 .
Теперь ясно , что надо найти натуральное	число	х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил значение выражения х2 х и получил по условию	число	90 .
Обозначим задуманное	число	буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил значение выражения х2 х и получил по условию число 90 .
Как Борису узнать , какое	число	задумал Андрей ? .
Корень уравнения —	число	15 .
Борис предложил ему возвести это число в квадрат , после чего прибавить задуманное	число	и назвать результат .
	Число	.
	Число	а ?
Борис предложил ему возвести это	число	в квадрат , после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
3 Что означает выражение аn , где n - натуральное	число	?
При делении 7 на 12 на экране калькулятора высветится длинное	число	0,5833333 .
Андрей задумал некоторое натуральное	число	.
Например , так как любое положительное	число	больше любого отрицательного числа ; так как .
Решить эту задачу можно , например , так : записать	число	0,65 в виде обыкновенной дроби и затем воспользоваться перекрёстным правилом .
В выставке собак участвовали собаки больших , средних и мелких пород ,	число	которых находилось в отношении 4:8:3 .
Число а называют основанием степени , а	число	n — показателем степени .
Вы знаете , что если перед числом поставить знак « - » , то получится	число	, ему противоположное .
	Число	— 3 является корнем уравнения .
а )	число	4 является корнем уравнения .
Определите , является ли	число	-2 корнем данного уравнения ; обоснуйте ответ .
Действительно , какое бы	число	мы ни подставили в это уравнение вместо переменной х , получится верное числовое равенство .
Например , корнем уравнения , в обеих частях которого стоят равные выражения , является любое	число	.
	Число	экспериментов , в которых это событие произошло .
Доказываем . б ) Сколькими нулями оканчивается	число	.
в )	число	4 является корнем уравнения .
Как называют выражение аn , число а в этом выражении ,	число	n ?
( Здесь а —	число	, не равное 0 , так как на 0 делить нельзя . )
Какое	число	— положительное или отрицательное - может получиться при возведении в степень отрицательного числа ?
Уравнение , которое мы решали в предыдущем пункте , имеет только один корень —	число	9 .
188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое	число	так , чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию : а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
Сравните с нулём	число	.
38 Восстановите	число	, для которого записано разложение на простые множители .
39 Разложите на простые множители	число	.
Что означает выражение аn , если n - натуральное	число	, не равное 1 ?
С : выпало	число	очков , большее трёх .
г )	число	-2 является корнем уравнения .
349 Является ли корнем уравнения	число	.
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же	число	, отличное от нуля .
Вычислить степень числа , или , как говорят , возвести	число	в степень , можно путём последовательного умножения .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное	число	, записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не делится на 11 .
189 Найдите неизвестное	число	х , если изображён чертёж фасада дома , выполненный в некотором масштабе .
а ) четырёхзначное	число	, записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не делится на 11 .
Точно так же и в общем случае , если а — любое	число	, не равное 0 , и т и n — любые натуральные числа , причём , то .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена	число	.
« Ученик задумал число , умножил его на 4 , из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное	число	.
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним	число	.
Числовое равенство не нарушится , если обе его части умножить ( разделить ) на одно и то же	число	, отличное от нуля .
Числовое равенство не нарушится , если к обеим его частям прибавить ( от обеих его частей отнять ) одно и то же	число	.
354 Проверьте , что число 10 является корнем уравнения а	число	— 10 его корнем не является .
354 Проверьте , что	число	10 является корнем уравнения а число — 10 его корнем не является .
а ) корнем уравнения является любое	число	.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное	число	, так и отрицательное .
« Ученик задумал	число	, умножил его на 4 , из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое	число	может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь	число	, прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
N — 30п 20 , где N — стоимость проката велосипеда , n —	число	дней , на которые был взят велосипед .
Поэтому	число	3587 можно записать в виде суммы .
264 Известно , что k — нечётное	число	.
Однако чаще всего одно натуральное	число	на другое не делится и в результате деления получается остаток .
D : выпадет чётное	число	очков .
Рассуждая точно так же , можно показать , что для множества из пяти элементов число перестановок равно , а для множества из десяти элементов это	число	равно .
Если число а делится на число b , то это значит , что существует такое натуральное	число	q.
Если число а делится на	число	b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
Если	число	а делится на число b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
Рассуждая точно так же , можно показать , что для множества из пяти элементов	число	перестановок равно , а для множества из десяти элементов это число равно .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это	число	называют коэффициентом этого произведения .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель —	число	, а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Решив задачу , мы фактически подсчитали	число	перестановок для множества из четырёх элементов .
Какое наибольшее	число	символов может быть таким образом закодировано ? .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите	число	всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
В общем случае : если а и b — любые числа и n — любое натуральное	число	.
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое	число	.
112 Назовите какое - нибудь	число	, отличное от 0 и 1 , любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой .
Степенью числа а с показателем , равным 1 , называют само	число	а .
Чётным или нечётным является	число	.
Вообще если множество содержит n элементов , то	число	перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
Значит ,	число	2100 , как и эти степени , оканчивается цифрой 6 .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное	число	.
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное	число	, меньшее b , либо равно 0 .
Так , например ,	число	2201 оканчивается цифрой 2 , так как 201 при делении на 4 даёт в остатке 1 , а число 2202 — цифрой 4 , так как .
Так , например , число 2201 оканчивается цифрой 2 , так как 201 при делении на 4 даёт в остатке 1 , а	число	2202 — цифрой 4 , так как .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом	число	( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное	число	очков » равновероятны .
Какой цифрой оканчивается	число	.
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное	число	очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное	число	очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
А именно , если при делении числа а на	число	b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
Точно так же и в общем случае , если а — любое	число	и т и n — любые натуральные числа ,
Какой цифрой оканчивается	число	: 740 ; 761 ; 730 ; 723 ? .
265 Пусть а — чётное	число	, а b — нечётное .
110 Какое из чисел : 2100 ; 2101 ; 2102 ; 2103 — оканчивается той же цифрой , что и	число	210 ? .
Чётное	число	очков есть на трёх гранях кубика из шести , следовательно , есть три шанса из шести , что событие D произойдёт .
В самом деле , возьмём	число	2100 .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое	число	; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
В ряду чисел 2 , 7 , 10 , х , 18 , 19 , 27 одно	число	неизвестно .
Определите среднее	число	задач , решённых одним учеником .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68	число	30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Чтобы вычесть из числа 68	число	35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n —	число	машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
стоимость одного килограмма , или одной пачки , или одного метра и т . n. ) на количество купленного товара (	число	килограммов , пачек , метров и т . n. ) .
Объём выполненной им работы , а именно	число	уложенных кирпичей , зависит от того , насколько быстро совершается эта работа , т .
Установите , какая пропорция соответствует условию задачи ( х -	число	страниц , которое напечатает вторая машинистка ) .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено	число	, равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
В общем случае : если а и b — любые числа , причём , и n — любое натуральное	число	,
2 Укажите	число	, не принадлежащее промежутку .
Сколько тетрадей получит каждый класс , если число учащихся 1А и 1Б классов находится в отношении 3 4 , а	число	учащихся 1Б и 1В классов в отношении 8 7 ? .
Сколько тетрадей получит каждый класс , если	число	учащихся 1А и 1Б классов находится в отношении 3 4 , а число учащихся 1Б и 1В классов в отношении 8 7 ? .
Он сосчитал	число	ступенек , ведущих от входа в подъезд к площадкам каждого из первых пяти этажей , и составил таблицу .
Если бы Олег продолжил заполнение таблицы , какое	число	он записал бы в клетке , соответствующей 6-му этажу ?
Формулу называют формулой прямой пропорциональности , а	число	k — коэффициентом пропорциональности .
6 На координатной прямой отмечено	число	а .
Какое	число	в этом примере записано вместо буквы а ?
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять	число	5 .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n —	число	машин , необходимых для перевозки груза .
Найдите	число	учащихся в каждой параллели , если известно , что во вторых классах на 8 учеников больше , чем в третьих .
236 Как можно устно умножить какое - нибудь	число	на 1,5 ?
К этому ряду приписали	число	16 .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это	число	на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Из этого ряда вычеркнули	число	11 .
514 Найдите	число	х , если .
Чтобы разделить	число	на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Найдём	число	х , если .
	Число	партий должно быть сосчитано так .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это	число	отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое	число	, отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное —	число	109 .
Найдите	число	учащихся вторых классов , если в первых и третьих вместе учится 102 ученика .
Чтобы разделить	число	327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Изменим , например , условие задачи с кодами : пусть требуется найти	число	кодов , составленных не из двух , а из трёх различных цифр .
На сколько процентов увеличилось	число	учащихся школы ? .
"Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра числа 2 "" , где n — натуральное"	число	, с изменением показателя n.
789 а ) Докажите , что если	число	не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
Так как при умножении равных чисел на одно и то же	число	получаются равные числа , то ad be .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и	число	с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 ,	число	b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 10	число	а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Найдите средний рост солдат подразделения и	число	солдат выше среднего роста .
а ) сумма чётного и нечётного чисел есть	число	нечётное .
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в произведение : вынесли за скобки	число	17 .
г ) произведение двух последовательных натуральных чисел есть	число	чётное .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10	число	а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
В таблице указано	число	результативных выстрелов каждого из спортсменов .
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на	число	слагаемых .
Найдите	число	с .
в ) сумма двух последовательных натуральных чисел есть	число	нечётное .
Значит ,	число	таких расписаний равно числу перестановок из пяти элементов .
Найдите среднее	число	детей в семье и моду ( количество детей в наиболее типичной семье ) .
сумма двух нечётных чисел есть	число	чётное .
все члены ряда умножить на одно и то же положительное	число	? .
Он выписал	число	рабочих дней , пропущенных в течение года по болезни каждым сотрудником , предварительно разбив их на две группы — курящие и некурящие .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 ,	число	b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Найдите	число	а . б )
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и	число	с даёт в остатке 7 .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на	число	с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
а ) ко всем членам ряда прибавить одно и то же	число	.
Для этого каждая пара чисел таблицы (	число	экспериментов — частота ) отмечена точкой на координатной плоскости .
Поэтому искомое	число	расписаний вдвое больше .
Докажите , что их сумма есть	число	чётное .
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине	числом	.
а ) сумму двузначного числа	числом	, записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным	числом	.
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным	числом	это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же	числом	; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
а ) со вторым по величине	числом	. б ) с третьим по величине числом .
5 Каким	числом	является корень уравнения .
Вы знаете , что если перед	числом	поставить знак « - » , то получится число , ему противоположное .
а ) со вторым по величине числом . б ) с третьим по величине	числом	.
Это зависит от того , чётным или нечётным	числом	является показатель степени .
Если масса Земли выражается очень большим	числом	, то масса атома водорода очень мала .
2 Соотнесите каждое уравнение с	числом	его корней .
Поскольку , то частота выражается	числом	от 0 до 1 .
2 Сравните числа , используя приём сравнения с « промежуточным »	числом	.
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим	числом	является чётным числом .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим	числом	делится на 6 .
Основание степени может быть любым	числом	— положительным , отрицательным , нулём .
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены целым	числом	сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
4 Каким	числом	не может выражаться относительная частота случайного события ? .
Считают , что первая степень любого числа равна самому	числу	.
отношение числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему	числу	проведённых экспериментов .
отношение общего числа проведённых экспериментов к	числу	экспериментов , в которых это событие произошло .
Модуль отрицательного числа равен противоположному	числу	.
Значит , число таких расписаний равно	числу	перестановок из пяти элементов .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же	числу	— коэффициенту пропорциональности .
Идея координат принадлежит к	числу	древнейших достижений человеческой мысли , но только в XVII в .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному	числу	приписать знак % .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому	числу	а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от знака а ) откладывается отрезок , равный .
также равен самому	числу	.
Частотой случайного события в серии экспериментов называют отношение числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему	числу	экспериментов .
Эта сумма равна огромному	числу	18 446 744 073 709 551 615 , и она столь велика , что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты , включая Мировой океан .
Число способов , которыми можно составить расписание , равно	числу	перестановок из шести элементов .
а ) К задуманному	числу	прибавили 11 , затем сумму поделили пополам и получили число , которое на 2 больше задуманного .
Модуль положительного числа равен самому	числу	, модуль нуля равен нулю , т .
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же	числу	.
Количество ткани прямо пропорционально	числу	костюмов : во сколько раз увеличивается число костюмов , во столько же раз увеличивается и расход ткани .
Многочлена свободный	член	.
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый	член	многочлена и полученные произведения сложить .
5 Найдите неизвестный	член	пропорции .
10 Как можно найти неизвестный	член	пропорции .
214 Найдите неизвестный	член	пропорции .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый	член	одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
С помощью основного свойства пропорции любой её	член	можно выразить через три других .
Как найти неизвестный	член	пропорции .
Найдите средний	член	трёхчлена , равного .
Каждый	член	этого многочлена можно представить в виде произведения , в котором один из множителей равен 2ху .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый	член	другого и полученные произведения сложить .
Каждый	член	двучлена представьте в виде произведения , в котором есть множитель -3а .
Иногда удобно умножать многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый	член	первого многочлена на второй многочлен .
Найдём неизвестный	член	пропорции .
Первый	член	трёхчлена — это а2 , выражение 10а — это третий член — это 52 .
178 Найдите неизвестный	член	пропорции .
	Член	, не содержащий буквы , помещают на последнем месте .
При этом свободный	член	многочлена , т . е .
Первый член трёхчлена — это а2 , выражение 10а — это третий	член	— это 52 .
Найдите неизвестный	член	пропорции .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный	член	многочлена ; определите степень многочлена .
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции ; неизвестного среднего	члена	пропорции .
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего	члена	пропорции ; неизвестного среднего члена пропорции .
Сгруппировав два первых и три последних	члена	, получим .
Одночлены принято рассматривать как частный случай многочленов — считают , что это многочлены , состоящие из одного	члена	.
Это позволяет по трём известным	членам	пропорции находить неизвестный .
а ) ко всем	членам	ряда прибавить одно и то же число .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называют	членами	многочлена .
Числа , образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними	членами	, а b и с — средними членами .
Отношение ,	членами	которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
Составьте четыре пропорции ,	членами	которых являются те же числа х , у , z и v . 216 Известно , что .
Так ,	членами	многочлена являются одночлены 3ху , -у , 4х и -7 .
Числа , образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними	членами	.
Так как то выражение , противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же	членов	, но взятых с противоположными знаками .
Назовите коэффициенты	членов	многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
Назовите все члены многочлена и коэффициенты	членов	, содержащих буквенные множители .
Этот многочлен состоит из пяти	членов	.
Участок земли разделили между четырьмя фермерами пропорционально количеству	членов	их семей .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних	членов	.
Специальные названия имеют и многочлены , состоящие из двух и трёх	членов	— двучлен и трёхчлен соответственно .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних	членов	пропорции равно произведению её средних членов .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных	членов	, то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
6 Для разложения многочлена на множители его	члены	сгруппировали .
Назовите все	члены	многочлена и коэффициенты членов , содержащих буквенные множители .
Тогда в скобках остаётся многочлен ,	члены	которого не содержат общих буквенных множителей , а их коэффициенты не имеют общих натуральных делителей , отличных от 1 .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние	члены	; замените каждое отношение обратным .
Запишите каждое утверждение в виде пропорции , назовите крайние	члены	и средние члены пропорции .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние	члены	; поменяете местами средние члены ; замените каждое отношение обратным .
укажите подобные	члены	в получившемся после раскрытия скобок выражении и выполните приведение подобных .
подобные	члены	этого многочлена .
Если все	члены	многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
Представьте выражение 3 xyz в виде суммы и сгруппируйте	члены	многочлена .
Если многочлен стандартного вида содержит одну переменную , то его	члены	обычно располагают в порядке убывания её степеней .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его	члены	на одно и то же не равное нулю число .
раскройте скобки в первых двух слагаемых , а затем сгруппируйте	члены	так , чтобы получился общий множитель .
все	члены	ряда умножить на одно и то же положительное число ? .
Перенося	члены	уравнения из одной части в другую , мы в одной части их « уничтожаем » , но зато в другой « восстанавливаем » , меняя при этом их знаки на противоположные .
Запишите каждое утверждение в виде пропорции , назовите крайние члены и средние	члены	пропорции .
Сумму и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные	члены	.
Приведите пример пропорции и назовите её крайние и средние	члены	.
Раскроем скобки , выполнив умножение -5с на 1 - с , и затем приведём подобные	члены	( если они окажутся ) .
Соберём	члены	уравнения , содержащие переменную , в одной части , а числа в другой .
635 Запишите многочлен , расположив его	члены	по убыванию степеней переменной , и укажите его степень .
Приведите подобные	члены	многочлена .
Его	члены	не имеют общего множителя .
Сгруппируйте	члены	многочлена иначе , чем это сделано в первом случае , и выполните разложение на множители .
в ) первая цифра кода	чётная	, а вторая - нечётная ? .
632 Сколько существует четырёхзначных чисел , в записи которых встречается хотя бы одна	чётная	цифра ? .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана	чётная	цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
а ) вероятность выпадания	чётного	числа очков .
а ) сумма	чётного	и нечётного чисел есть число нечётное .
Докажите , что их сумма есть число	чётное	.
А : выпало	чётное	число очков .
D : выпадет	чётное	число очков .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет	чётное	число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
сумма двух нечётных чисел есть число	чётное	.
265 Пусть а —	чётное	число , а b — нечётное .
г ) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число	чётное	.
Мальчики садятся на нечётные места , а девочки — на	чётные	.
Посадите мальчиков сначала на	чётные	места , а потом на нечётные .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени	чётный	, и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных натуральных числа и одно из них обязательно является	чётным	, т .
Это зависит от того ,	чётным	или нечётным числом является показатель степени .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является	чётным	числом .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных	чётных	чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
400 а ) Существуют ли три последовательных	чётных	числа , сумма которых равна 74 ? .
292 Пусть сумма трёх последовательных	чётных	чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
из	чётных	цифр ?
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих	чётных	чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
Сумма квадратов двух последовательных	чётных	чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
Сколько среди них	чётных	чисел и сколько нечётных ? .
А : вынут красный или белый	шар	.
Из каждой коробки не глядя вынимают один	шар	.
В : вынутый	шар	— не синий .
Из коробки вынимают наугад один	шар	.
Перечислите коробки в порядке возрастания шансов вынуть чёрный	шар	.
В коробке 3 красных , 3 белых и 3 чёрных	шара	, одинаковых на ощупь .
Из коробки вынимают наугад n	шаров	.
Рассмотрим следующее событие А : среди вынутых	шаров	окажутся шары всех трёх цветов .
944 В пяти коробках лежат чёрные и красные	шары	, одинаковые на ощупь .
С : оставшиеся в коробке	шары	разных цветов .
Рассмотрим следующее событие А : среди вынутых шаров окажутся	шары	всех трёх цветов .
947 В коробке красный , синий , белый и чёрный	шары	, одинаковые на ощупь .
а )	шестиугольник	; б ) восьмиугольник ; в ) двенадцатиугольник ; г ) стоугольник ? .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h —	ширина	прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Длина прямоугольной формы на 8 см больше , а	ширина	на 6 см меньше , чем сторона квадратной формы .
Она заменила его большим аквариумом , длина и	ширина	дна которого на 4 см больше .
806 Высота двери на 30 см больше , чем её удвоенная	ширина	.
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 20 м от одного из углов и	ширина	их будет равна 3 м .
б ) Из 180 г шерсти можно связать шарф	шириной	12 см и длиной 2 м .
Сколько шерсти потребуется на шарф	шириной	36 см и длиной 1 м ? .
777 Картинку квадратной формы наклеили на белую бумагу , в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки	шириной	5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на 460 см2 больше , чем она занимала без окантовки .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и	ширину	пришлось уменьшить на 10 см. Площадь обрезков составила 1400 см2 .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и	ширину	пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила 3800 см2 .
Каждое расположение	элементов множества	в определённом порядке называют перестановкой .