Логотип Rulex
При поддержке Института филологии и межкультурных коммуникаций
RU
EN
account_circle
Войти

Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.

Алгебра. 7 класс

Алгебра: Алгебра. 7 класс : учеб. для общеобразоват. организаций / [Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.] - 2-е изд. - М. : Просвещение, 2014. - 287 с. : ил. - ISBN 978-5-09-032509-7.

Левый контекст Термин Правый контекст
Абсцисса точки А равна 5 , абсцисса точки В равна -7 .
Абсцисса Алгебра .
Алгебра предлагает вам новые возможности .
Алгебра возникла и развивалась в недрах арифметики .
Абсцисса Алгебра .
Алгебра , которую вы теперь изучаете , возникла и развивалась много веков тому назад именно как наука о решении уравнений .
Алгебра тесно связана с арифметикой , она возникла в древние времена в результате поисков общих схем решения похожих арифметических задач .
Алгебраическая сумма .
Алгебраическую сумму одночленов называют многочленом .
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р ( от французского слова probabilite , что означает « вероятность » ) .
Вероятность какого события равна 1 ?
Вероятность случайного события .
558 Возведите в квадрат и в куб выражение .
Возведите в степень .
9 Возведите в куб выражение .
569 Возведите в квадрат и в куб выражение .
Возведите в степень ( а10)2 .
573 Возведите дробь в степень .
Восстановление — по - арабски аль - джебр .
Вынесите за скобки общий множитель .
917 Вынесите за скобки общий множитель .
919 Вынесите за скобки общий множитель .
Вынесите за скобки множитель -2а .
819 Вынесите за скобки множитель .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки сложения перед скобками .
Выражение с помощью распределительного закона можно представить в виде произведения .
806 Высота двери на 30 см больше , чем её удвоенная ширина .
Вычтите удвоенное задуманное число .
График температуры даёт нам много полезной информации .
5 График температуры воздуха 1 апреля 2010 г. в городе N . а ) В какое время суток температура была равна 0 ° ? .
График показывает , как менялось во время движения расстояние между лыжником и местом старта .
График зависимости .
5.6 Графики вокруг нас .
Графики зависимостей мы построили по точкам , предварительно заполнив таблицы .
Графики реальных зависимостей .
5.4 Графики .
Графики их бега .
5.7 Графики зависимостей , заданных равенствами с модулями . ( Для тех , кому интересно ) .
Графики их бега показаны .
Двучлен можно представить в виде разности кубов .
Двучлен представляет собой разность квадратов .
Двучлен всегда положителен .
Деление с остатком . ( Для тех , кому интересно ) .
Деление с остатком . ( Для тех , кому интересно ) .
114 Делится ли на 10 : сумма II11 322 ; разность 7го- 910 ; произведение 1215 1512 ? .
а ) Делится ли значение выражения .
Делится ли .
Длина фасада реального дома равна 9 м .
Длина окружности маленького обруча 3 м , а большого — 4 м .
Длина прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона квадратной формы .
Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча .
в ) Длину ребра куба увеличили в 10 раз .
б ) Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2 , 3 и 4 раза .
Доказательство , приведённое Евклидом , вы можете воспроизвести самостоятельно , воспользовавшись .
Дробь - нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби число 0,3 .
Замкнутый луч .
Знак « - » перед скобкой означает вычитание ; замените вычитание сложением .
Значение какого выражения больше .
3 Значение какого из выражений равно .
Значение выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Квадрат со стороной 1 м закрашивают по частям .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Комбинаторные задачи .
Координата точки на прямой .
Координаты и графики .
Корень уравнения — число 3 .
Корень уравнения .
Корень уравнения — число 15 .
Корнем уравнения называется число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство .
4.2 Корни уравнения .
1 Корнями какого уравнения являются числа 2 и -1 ? .
Коэффициент произведения .
666 Многочлен представили в виде разности двучленов .
672 Многочлен представьте в виде разности двух двучленов всеми возможными способами .
Многочлен .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы разности квадратов .
Многочлен на множители разложен , и можно сказать , что поставленная задача решена .
Многочлена свободный член .
5.3 Множества точек на координатной плоскости .
5.1 Множества точек на координатной прямой .
Множество , задаваемое двойным неравенством -1 х 2 , называют отрезком .
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
492 Множество точек на плоскости задано условиями .
Множество точек на координатной плоскости .
493 Множество точек на плоскости задано условиями .
Множество точек , как и соответствующее ему множество чисел , называют интервалом .
Мода .
Мода — показатель , который широко используется в статистике .
Статистик в этом случае сказал бы иначе : « Модой этого ряда является число 5 » .
Модой называют число ряда , которое встречается в этом ряду наиболее часто .
Модуль положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу .
Найдем отношение площадей квадратов .
790 Найдите все натуральные числа , которые .
Найдите координату точки К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
514 Найдите число х , если .
Найдите координаты этих точек .
454 а ) Найдите координату точки С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
214 Найдите неизвестный член пропорции .
453 Найдите длину отрезка MN , если .
45 Найдите длины отрезков АВ , АС , АО , AD , BD .
414 Найдите все целые корни уравнения .
Найдите координату середины отрезка АВ для каждого случая .
10 Найдите значение выражения .
Найдите объём , если h 15 см , а 20 см , b 10 см .
792 Найдите значение выражения .
Найдите зависимость , связывающую координаты точек построенной прямой , и задайте её алгебраически .
Найдите площадь поверхности , если а 5 см , b 7 см , с 9 см .
Найдите координату точки М , если известно , что .
Найдите корень уравнения .
794 Найдите значение выражения .
843 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
413 Найдите натуральный корень уравнения .
б ) Расстояние между соседними километровыми столбами электропоезд проходит за 1 мин 12 с. Найдите скорость S — площадь основания электропоезда , выразив её в километрах в час .
Найдите расстояние между точками , отмеченными на координатной прямой .
5 Найдите значение выражения .
Найдите координаты точек , которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
Найдите азбуку Морзе в Интернете или в литературе и проверьте ваше предположение .
18 Найдите корни уравнения .
496 Найдите координаты точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
1 Найдите значение выражения .
122 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
Найдите координаты точек пересечения этих графиков .
Найдите а , если известно , что корень уравнения равен .
Найдите неизвестный член пропорции .
Найдите значение каждого из выражений .
Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
27 Найдите значение выражения .
Найдите N , если n 15 .
Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
120 Найдите значение выражения .
178 Найдите неизвестный член пропорции .
3 Найдите значение выражения .
Найдите значение выражения .
189 Найдите неизвестное число х , если изображён чертёж фасада дома , выполненный в некотором масштабе .
Найдите зависимость , которой удовлетворяют координаты точек этой прямой .
Найдите размеры дна каждой формы .
Найдите по этой формуле скорость пешехода , выразив её в метрах в минуту и в километрах в час , если длина его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов .
240 Найдите площадь фигуры ( рис .
а ) Найдите неизвестные длины сторон .
Найдите отношение периметров этих фигур .
Найдите периметр этого прямоугольника .
Найдите отношение х к у .
Найдите значение выражения при .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
415 Найдите целые корни уравнения .
Найдите значения выражений .
Найдите точку с целой положительной координатой , принадлежащую отрезку .
13 Вычислите 14 Найдите значение выражения .
Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда попаданий .
8 Найдите сумму многочленов .
Найдите размах посещаемости и среднюю посещаемость матча , округлив её до сотен .
Найдите стороны данного прямоугольника .
906 Найдите корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
Найдите площадь квадрата .
Найдите средний рост солдат подразделения и число солдат выше среднего роста .
93 Найдите размах ряда .
92 Найдите моду ряда .
910 Найдите корни уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
Найдите корни уравнения .
91 Найдите среднее арифметическое ряда .
52 Найдите значения выражений .
Найдите частоту рождения мальчиков и частоту рождения девочек в этом месяце .
5 Найдите неизвестный член пропорции .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
Найдите площадь кольца , если .
4 Междугородний автобус проезжает 1 км по шоссе за 50 с. Найдите скорость автобуса в километрах в час .
Найдите среднее арифметическое ряда чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
621 Найдите .
Найдите объём цилиндра при .
Найдите значение выражения при заданном значении переменной .
817 Найдите значение выражения .
Найдите частоту события .
618 Найдите значение выражения при заданных значениях переменной .
Найдите размах и моду ряда оценок .
Найдите частоту каждого исхода .
Найдите в таблице значения а , при которых выполняется условие .
Найдите отношение а к b . 218 Решите задачу , составив пропорцию .
6 Известно , что 55 3125 . Найдите 5б .
а ) Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда данных .
Найдите массу золота в сплаве , содержащем 75 г меди .
Найдите среднее число детей в семье и моду ( количество детей в наиболее типичной семье ) .
Найдите его перебором .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
Найдите число учащихся в каждой параллели , если известно , что во вторых классах на 8 учеников больше , чем в третьих .
Найдите моду ряда отметок и средний результат по контрольной работе .
Найдите число учащихся вторых классов , если в первых и третьих вместе учится 102 ученика .
Найдите примерное число школьников , сдавших экзамен успешно .
20 Найдите ответ на вопрос задачи , сформулированной в задании .
Найдите в литературе , периодической печати , Интернете информацию о ситуациях , когда важно прогнозировать некоторое событие , оценивать шансы его наступления .
Найдите объединение и пересечение этих промежутков .
Найдите среднее арифметическое и моду ряда отметок .
Найдите : 52 , 53 , 54 , 55 .
814 Найдите значение выражения .
а ) Найдите примерное число школьников , сдававших экзамен .
Найдите среднее число жителей на 1 км2 .
Найдите первоначальные размеры телевизионного экрана .
Найдите размеры дна нового аквариума .
Найдите площадь нового участка .
Найдите частоту следующих событий .
Найдите скорость каждого поезда .
Найдите скорость каждого автомобиля .
659 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
756 Найдите значение выражения .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
Найдите значение выражения комментируйте каждый шаг .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
Найдите каждое слагаемое этой суммы .
Найдите сумму этих чисел .
Найдите крутизну спуска дороги , если высота подъёма равна 60 м , а горизонтальная протяжённость 1,5 км .
Найдите 33 % от 300 р .
Найдите размеры и площадь картинки .
Найдите стоимость товара , если его 7 % составляют 140 р .
Найдите эту разность среди приведённых ниже выражений .
Найдите среднее арифметическое всех этих чисел .
Найдите его , зная , что среднее арифметическое ряда равно 14 .
Найдите недостающие на диаграмме данные и вычислите , сколько человек дали каждый из ответов , если было опрошено 5600 человек .
Найдите каждое из чисел .
499 Найдите координаты общих точек графиков зависимостей .
639 Найдите значение данного многочлена .
15 Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда .
638 Найдите значение выражения .
Найдите скорость автомобиля .
580 Найдите значение выражения .
Найдите число с .
Найдите средний член трёхчлена , равного .
Найдите объём призмы , если а 8 см .
783 Найдите остаток от деления на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
328 Найдите значение выражения .
Найдите большее из этих чисел .
Найдите двумя способами площадь прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
637 Найдите значение выражения .
7 Найдите значение степени .
Найдите скорость мотоциклиста .
372 Найдите значение переменной , при котором .
4 Найдите значение выражения .
Найдите эти числа , если одно из них на 66 больше другого .
Найдите число а . б )
б Найдите значение выражения .
Найдите эти числа .
Найдём х .
Найдём из этого уравнения слагаемое 4х .
Найдём неизвестный член пропорции .
Необходимо провести дополнительные рассуждения , чтобы проверить , что найдены все возможные решения .
470 Неравенства х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её точки имеют неотрицательные координаты .
Обратная пропорциональность .
Наступление события В означает наступление и события А. Обратное неверно : турист может говорить только на одном иностранном языке — на английском .
Обратной пропорциональности свойство . — — формула .
Обратный путь занимает у него на 10 мин больше , чем путь на работу .
Одночлен можно упростить .
Одночлен .
3 Опишите по шагам решение уравнения .
519 Опишите на алгебраическом языке множества точек координатной плоскости .
Опишите на алгебраическом языке каждую из остальных трёх координатных четвертей .
Опишите её график .
Опишите на алгебраическом языке промежутки , изображённые .
469 Опишите на алгебраическом языке области координатной плоскости .
464 Опишите на алгебраическом языке .
Опишите свойства этой линии .
463 Опишите на алгебраическом языке прямые .
Ордината .
Основание степени может быть любым числом — положительным , отрицательным , нулём .
Остаток пуговиц снова удвоили , а затем вновь вынули дюжину пуговиц .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
228 Отрезок АВ , длина которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в отношении .
12 Отрезок АВ , длина которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
Отрезок .
Парабола симметрична относительно оси ординат , так как противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у.
Парабола .
Парабола расположена в верхней полуплоскости .
Переменная величина .
Перестановки .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
Площадь всего участка составляет 100 % , и эти 100 % нужно разделить пропорционально числам 4 , 6 , 7 и 3 , т .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 10 см. Площадь обрезков составила 1400 см2 .
Площадь квадрата на 63 см2 больше площади прямоугольника .
13 Площадь прямоугольника равна площади квадрата .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Площадь уменьшенного куска стекла .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила 3800 см2 .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Площадь обрезков .
1 Площадь кольца S можно вычислить по формуле .
Площадь этого участка пришлось увеличить на 830 м2 .
При этом мы следовали бы другому мудрому правилу : « Плюс лучше минуса » .
Подобные выражения обычно используют , когда речь идёт о возможности наступления события , которое в одних и тех же условиях может произойти , а может и не произойти .
969 Готовясь к участию в телеигре « Поле чудес » , где по буквам отгадываются слова , Олег задумался : « А какую букву стоит назвать первой , когда в слове ещё не угадано ни одной буквы ? » .
Порядок цифр не учитывается .
Прибавим и вычтем одно и то же выражение .
Задумайте число : Прибавьте к нему 5 .
Прибавьте 8 .
971 Приведены данные о продаже фирмой автомобилей за прошлый год .
Приведите пример задачи , в которой нужно подсчитать число перестановок .
Приведите по три примера достоверных и невозможных событий , а также событий , о которых нельзя сказать , что они обязательно произойдут или обязательно не произойдут .
13 Приведите подобные слагаемые .
в ) Приведите пример равновероятных событий .
Приведите пример ситуации , в которой вычисляется среднее арифметическое .
Приведите пример равновероятных событий при бросании игрального кубика .
Приведите свой пример уравнения , решаемого на основе равенства нулю произведения .
Приведите примеры .
235 Приведите три числовых примера , иллюстрирующих буквенное равенство .
Приведите подобные члены многочлена .
Приведите пример числа каждого вида .
Приведите примеры прямо пропорциональных величин .
1 Приведите пример одночлена стандартного вида .
Приведите примеры природных явлений , которые можно считать экспериментами со случайными исходами .
Приведите ещё примеры таких чисел .
2 Приведите подобные слагаемые .
Приведите пример пропорции и назовите её крайние и средние члены .
298 Приведите подобные слагаемые .
Приведите пример двучлена ; трёхчлена .
Приведите примеры обратно пропорциональных величин .
Приведите пример линейного уравнения .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
6.1 Произведение и частное степеней .
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
Произведение двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
2.3 Пропорции .
Пропорции .
Пропорции основное свойство .
Пропорциональное деление .
2.4 Пропорциональное деление .
Пропорция .
Пропорция , то .
156 Процент р уценки вещи может быть вычислен по формуле .
Проценты .
Прямая и обратная пропорциональность .
483 Прямая , которая является графиком зависимости .
2.2 Прямая пропорциональность .
Прямой пропорциональности свойство . — — формула .
518 Прямоугольник задан условиями .
Равенство можно прочитать так : расстояние от точки х до точки -2 равно расстоянию от точки х до точки 10 .
Решим уравнение Равенство нулю произведения обращается в нуль при .
Равенству у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой прямой , и никакая другая точка координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
Радиус Земли приближённо равен 6,37 тыс. км .
Разделив обе части уравнения на 5 , получим .
Разделим его сторону длиной у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
Разделим обе части уравнения на 2 .
Разделите число х на части , пропорциональные числам а , b , с .
Разложение многочленов на множители .
Разложение на множители можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде разности кубов .
Разложение на множители - это не только наука , но и искусство , овладев которым можно решить самые разные , в том числе достаточно хитрые , уравнения , в чём вы сможете убедиться не только в этой главе , но и во всём дальнейшем курсе математики .
8.5 Разложение на множители с применением нескольких способов .
Разложение многочлена на множители . — — — — вынесением общего множителя за скобки . — — — — способом группировки .
924 Разложите на множители .
7 Разложите на множители многочлен .
Разложите на множители трёхчлен .
922 Разложите на множители многочлен .
Разложите на множители .
897 Разложите выражение на множители двумя способами .
864 Разложите на множители .
926 Разложите на множители .
39 Разложите на простые множители число .
840 Разложите на множители .
14 Разложите на множители .
842 Разложите на множители многочлен .
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
Разложите на множители многочлен .
837 Разложите на множители .
933 Разложите выражение на множители двумя способами .
846 Разложите на множители трёхчлен .
9 Разложите на множители .
Разность квадратов .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
Разностью данных многочленов является многочлен .
Решение задач с помощью пропорций .
Решение уравнений .
7.6 Решение задач с помощью уравнений .
Решение задач .
4.3 Решение уравнений .
Решение .
Решение этих задач основано на так называемом правиле умножения .
6.3 Решение комбинаторных задач .
8.6 Решение уравнений с помощью разложения на множители .
4.4 Решение задач с помощью уравнений .
Решение уравнения — это поиск тех значений переменной , при которых получается верное равенство .
Решение уравнений и задач .
Система распределения прибыли , описанная в этой задаче , называется пропорциональной .
Скобки , окружающие отрицательный множитель , записанный на первом месте , обычно опускают .
9.4 Сложение вероятностей . ( Для тех , кому интересно ) .
7.2 Сложение и вычитание многочленов .
Сложить два многочлена или вычесть один из другого очень просто .
11 Собственная скорость катера v км / ч , скорость течения реки а км / ч .
Собственная скорость катера 30 км / ч .
Собственная скорость катера 35 км / ч , скорость течения реки .
Собственная скорость лодки 8 км / ч , а скорость течения реки 2 км / ч .
925 Сократите дробь .
3 Сократите дробь .
10 Сократите дробь .
6 Сократите дробь .
Сократите дробь .
927 Сократите дробь .
Сократите полученную дробь и сравните её .
920 Сократите дробь .
Среднее арифметическое .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 4 .
Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
140 а ) Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 5 .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 8 чисел , равно 4 .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 4 .
Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
Среднее арифметическое .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 8 чисел , равно 4 .
140 а ) Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 5 .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
Средняя масса волнистых попугайчиков школьного живого уголка 42 г. Масса попугайчика Кеши равна 43 г. Верны ли следующие утверждения ? .
6.2 Степень степени , произведения и дроби .
1.3 Степень с натуральным показателем .
Степень с натуральным показателем .
Сторону квадрата увеличили в 3 раза .
Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
Сумма трёх чисел равна 192 .
382 а ) Сумма трёх слагаемых равна 80 .
Сумма квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
Сумма противоположных чисел равна С .
Суммой данных многочленов является многочлен .
642 Сумму последовательных натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
42В Сумму в 2880 р . , отведённую на покупку спортивного инвентаря для школы , распределили следующим образом : на футбольные и волейбольные мячи денег выделили поровну , а на гимнастические скакалки — 20 % суммы , выделенной на все мячи .
648 Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Сумму и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
649 Сумму кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
456 Точка А имеет координату , равную -4 , а точка В — координату , равную 18 .
Точки А и В принадлежат параболе , заданной равенством .
Точку ( 0 ; 0 ) , в которой сходятся ветви параболы , называют вершиной параболы .
Трёхчлен можно разложить на множители , выделив квадрат двучлена .
7.3 Умножение одночлена на многочлен .
7.4 Умножение многочлена на многочлен .
Умножив многочлен на многочлен , мы получили многочлен .
Умножим разность на сумму .
Умножьте одночлен на многочлен .
Умножьте сумму на 2 .
Уравнение нетрудно составить , если понять , что условие задачи можно сформулировать иначе : « Виктор шёл в школу на 8 мин дольше , чем Иван » .
Уравнение , которое мы решали в предыдущем пункте , имеет только один корень — число 9 .
Уравнение совсем непростое , но его можно решить , если вспомнить , что х — это количество филиалов фирмы , и , значит , это число натуральное .
375 Уравнение проще решить , если разделить обе его части на 2 .
Уравнение вида , где а и b — числа , ах — переменная , называют линейным .
Уравнение . — линейное .
376 Уравнение .
Уравнения .
Уравнения , которые мы рассматривали , решаются с помощью довольно простого алгоритма , т . е .
Факториал .
Значение выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Поэтому , руководствуясь неформальным , но мудрым правилом : « Целое лучше дроби » , обозначим через х т исходное количество угля на первом складе .
Центр симметрии делит её на две ветви , расположенные в I и III координатных четвертях .
457 Четырёхугольник ABCD , изображённый на рисунке 5.16 , является прямоугольником .
Числа , образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
Числа и переменные также считают одночленами .
Числитель и знаменатель дроби можно разделить на общий множитель а8 .
Число перестановок для множества из n элементов обозначают через Рп ( читают : « Р из n » , Р — первая буква французского слова permutation — перестановка ) .
Число 8 - основание степени , а число 5 - показатель степени .
Число а в таком случае называют координатой построенной точки .
Число способов , которыми можно составить расписание , равно числу перестановок из шести элементов .
Число мячей во второй коробке обозначено буквой х.
Число 4,4 называют средним арифметическим исходных чисел .
Число зёрен , которое потребовал в награду изобретатель шахмат , выражается суммой .
Число а называют основанием степени , а число n — показателем степени .
Число 64 можно по - разному представить в виде степени .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
Число способов , которыми можно составить расписание из пяти предметов , равно .
641 Число диагоналей многоугольника с n вершинами вычисляется по формуле .
Члены этого многочлена имеют и другие общие множители .
Чётное число очков есть на трёх гранях кубика из шести , следовательно , есть три шанса из шести , что событие D произойдёт .
Чётным или нечётным является число .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
500 Постройте параболу , симметричную параболе у — х2 относительно оси абсцисс .
и после 10 ч температура была положительной , так как на этих промежутках график расположен выше оси абсцисс .
Постройте прямую , симметричную относительно оси абсцисс прямой у — 2х .
С 2 ч до 10 ч температура была отрицательной , так как на этом промежутке график лежит ниже оси абсцисс .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной плоскости прямую , параллельную оси абсцисс .
Ось ординат задаётся равенством , а ось абсцисс — равенством .
а ) прямую , проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси абсцисс .
И в этой же точке , как говорят математики , парабола касается оси абсцисс .
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
оси абсцисс .
Есть ли на этом графике точка , абсцисса которой равна -125 ?
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Абсцисса точки А равна 5 , абсцисса точки В равна -7 .
У каждой из этих точек абсцисса и ордината — противоположные числа .
в ) абсцисса на 2 больше ординаты .
Есть ли на графике точка , абсцисса которой равна 245 ?
Что , например , представляет собой множество точек , у которых ордината равна абсциссе , т .
а ) ордината равна утроенной абсциссе .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
ордината на 3 больше абсциссы .
сумма абсциссы и ординаты равна 4 .
Такая алгебра , оперировавшая не числами , а отрезками , площадями , объёмами , т . е .
а ) В понедельник в 7 классе 5 уроков : алгебра , русский язык , история , биология , физкультура .
Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми ( арифметическими ) выражениями , алгебра - с буквами и буквенными ( алгебраическими ) выражениями .
От этого слова и произошло название алгебра .
Во вторник в 7 классе также 5 уроков : алгебра , русский язык , география и два урока физкультуры , которые должны идти подряд .
В расписании 7 класса на четверг должно быть шесть предметов : русский язык , литература , алгебра , география , физика , физкультура .
В дальнейшем для краткости вместо слов « алгебраическая сумма » мы будем говорить просто « сумма » .
Такие выражения , как , в математике иногда называют алгебраическими суммами — суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических выражений - разложением многочлена на множители .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
В алгебраической сумме , как мы видели , слагаемые « путешествуют » вместе со своими знаками .
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки сложения перед скобками .
245 Назовите слагаемые алгебраической суммы .
Например , алгебраическую сумму заменяют более « красивым » выражением .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
4 Запишите без скобок алгебраическую сумму .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
246 Составьте алгебраическую сумму из следующих слагаемых .
Тест включает 30 задач : 6 задач по арифметике , 1 5 - по алгебре , остальные - по геометрии .
Ученик получил в течение четверти следующие отметки по алгебре : 5 , 2 , 4 , 5 , 5 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 .
Какова частота события « Ваня получил пятёрку по алгебре » ? .
В течение четверти Лена получила следующие отметки по алгебре : три двойки , две тройки , четыре четвёрки и одну пятёрку .
Завуч школы подвела итоги контрольной работы по алгебре в седьмых классах и представила результаты на круговой диаграмме .
2 Ваня в течение года получил 52 отметки по алгебре , из них 13 отметок - пятёрки .
выраженная геометрическим языком , много веков спустя была названа геометрической алгеброй .
Введение в алгебру .
308 Применяем алгебру .
Поэтому алгебру тех времён называют риторической или словесной .
Применяем алгебру .
французским математиком Франсуа Виетом , который ввёл в алгебру современные символы .
Буквенные равенства , выражающие соответствующие свойства , мы теперь будем считать законами алгебры .
Мы привели здесь подробную запись , чтобы показать , как работают законы алгебры , а на практике промежуточные шаги часто выполняют устно — слагаемые переставляются и группируются не руками , а глазами .
Так , законами алгебры являются хорошо известные вам равенства .
Опираясь на законы алгебры , мы будем последовательно вводить правила преобразования буквенных выражений .
Заметим , что коэффициент , равный 1 , обычно не пишут : равенство является законом алгебры .
На языке алгебры это можно записать так : у -х .
Метод координат - это способ перевода геометрической задачи на язык алгебры , после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат алгебры .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
благодаря серьёзным успехам в области алгебры зародился мощный математический инструментарий - метод координат .
Метод координат - это способ перевода геометрической задачи на язык алгебры , после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат алгебры .
Кроме того — это равенство является одним из законов алгебры .
Правила преобразования буквенных выражений , как вы знаете , основаны на законах алгебры .
Запись на языке алгебры .
Переход от риторической алгебры к символической , в результате которого словесные правила были заменены формулами , а буквенные выражения сами стали предметом исчисления , происходил на протяжении нескольких веков .
3.5 Ещё раз о законах алгебры .
Выясните цену вашего учебника алгебры и рассчитайте по этой формуле стоимость покупки учебников алгебры для вашего класса .
Придумайте свой арифметический фокус и покажите с помощью алгебры , на чём он основан .
Выясните цену вашего учебника алгебры и рассчитайте по этой формуле стоимость покупки учебников алгебры для вашего класса .
Какой закон алгебры лежит в основе правила умножения одночлена на многочлен ?
Законы алгебры .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Назовём их основными законами алгебры .
Например , претендуя на « 5 » , ученик наверняка будет использовать такой аргумент : « Чаще всего в четверти я получал пятёрки ! »
Если масса Земли выражается очень большим числом , то масса атома водорода очень мала .
расстояние от Земли до звезды Сириус равно г ) диаметр атома водорода равен мм .
В справочниках можно увидеть , что , например , масса Земли равна 5,978 1024 кг , а масса атома водорода — 1,674 10 24 г. Понятно , что 1024 — это произведение 24 множителей , равных 10 , т .
Говорят , что эта биссектриса — график зависимости у — х .
5 Каким равенством задаётся биссектриса II и IV координатных углов ? .
4 Каким равенством задаётся биссектриса I и III координатных углов ? .
Изображена биссектриса II и IV координатных углов .
Значит , прямая — биссектриса II и IV координатных углов — задаётся равенством у -х .
Иными словами , эта биссектриса — график зависимости у -х .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Мы видим , что все эти точки лежат на одной прямой , являющейся биссектрисой I и III координатных углов .
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной плоскости прямую , которая является биссектрисой I и III координатных углов .
При решении комбинаторных задач приходится отвечать на вопросы типа : « Сколькими способами ? » , « Сколько существует вариантов ? » .
Сколько существует различных вариантов кода дверного замка , если этот код состоит из двух цифр ? .
Значит , всего будет вариантов кода .
Сколько вариантов выбора ответов у него существует ?
Сколько вариантов выбора ответов наугад существует для теста , в котором n заданий и для каждого задания предлагается 3 ответа ?
Сколько тогда существует вариантов кода ? .
б ) Сколько существует вариантов выбора спикера и вице - спикера парламента , если всего в парламенте 101 депутат ? .
Сколько есть вариантов покупки конверта с маркой ? .
Понятно , что для каждого набора первых двух цифр остаётся восемь вариантов выбора третьей цифры .
Сколько вариантов в худшем случае ему придётся перебрать , чтобы дозвониться до друга ? .
6 5 ! , то получается только 120 различных вариантов .
Сколько , например , существует вариантов расположения шести гостей за шестиместным столом ? .
720 различных вариантов посадить гостей за стол .
Ясно , что для любого расположения гостей таких одинаковых вариантов , получаемых один из другого поворотом , шесть .
Значит , в этом случае всего будет вариантов кода .
612 а ) Сколько имеется вариантов рассадить президентов « большой восьмёрки » за восьмиместным круглым столом переговоров ? .
Ведь в данном случае мы не перебирали все возможные варианты решения , а просто подобрали ответ .
4 Сформулируйте свойство обратно пропорциональных величин .
Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин ? .
Решите задачу , обозначив буквой наименьшую из неизвестных величин .
Приведите примеры прямо пропорциональных величин .
2 Сформулируйте свойство прямо пропорциональных величин .
Занимаясь математикой , вы узнали много формул , описывающих зависимости между различными величинами , и научились с их помощью вычислять значения одних величин по значениям других .
Особенно часто степени употребляются при записи физических величин , которые , как известно , могут быть очень большими и очень маленькими .
Это главное соотношение между расстоянием , скоростью и временем движения позволяет по любым двум из указанных величин найти третью с помощью вычислений .
Приведите примеры обратно пропорциональных величин .
Вообще любая формула , похожая на формулу , даёт нам два случая прямо пропорциональных величин .
Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных величин ?
Обратите внимание на то , что в ходе вычислений мы обращались с единицами , в которых выражена величина , так же , как и с дробями .
Все такие формулы могут быть представлены в виде , где буквами х и у обозначены переменные величины , а буквой k — та величина , которую мы считаем постоянной .
Эта величина , показывающая , какая работа выполняется в единицу времени , имеет специальное название — производительность работы .
Переменная величина .
а ) Какая величина обозначена буквой х ? .
Такие изменяющиеся величины называют переменными величинами , а буквы в формуле , которыми они обозначены , — переменными .
А сами законы , в свою очередь , основываются на здравом смысле , точнее , на смысле арифметических действий над реальными величинами .
Задачи , в которых речь идёт о прямо пропорциональных или обратно пропорциональных величинах , удобно решать с помощью пропорций .
Флаг сшивают из трёх одинаковых по величине и разных по цвету горизонтальных полос .
а ) со вторым по величине числом . б ) с третьим по величине числом .
а ) со вторым по величине числом . б ) с третьим по величине числом .
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом .
Для зависимости пути от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную величину .
Объясните , как находят величину по её известным процентам ( задача 2 ) .
Какую величину здесь целесообразно обозначить буквой я ?
Для зависимости времени движения от его скорости , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную величину .
180 Обозначьте неизвестную величину буквой и составьте разные пропорции по условию задачи .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие равенства называют пропорциями .
Решите задачу , обозначив буквой удобную для составления уравнения величину .
Теперь можно определить величину февральского тиража .
Запишите эту величину с помощью степени числа 10 .
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной дроби .
Выразите из формулы заданную величину ( 148—150 ) .
Часто в качестве неизвестного выбирают искомую величину , т .
Выразим эту величину в процентах .
Это совсем нетрудно , если помнить , что под процентом понимают часть рассматриваемой величины .
Известно , что впервые применил букву для обозначения неизвестной величины Диофант Александрийский — древнегреческий математик , живший в III в .
1,2 некоторой величины — это 120 % этой величины .
1,2 некоторой величины — это 120 % этой величины .
0,001 некоторой величины — это 0,1 % этой величины .
7 Придумайте задачу на пропорциональное деление какой - либо величины .
11 Соотнесите дроби , которые выражают доли некоторой величины , и соответствующие им проценты .
0,001 некоторой величины — это 0,1 % этой величины .
Выразим через х другие величины .
0,325 некоторой величины — это 32,5 % этой величины .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
0,325 некоторой величины — это 32,5 % этой величины .
0,48 некоторой величины — это 48 % этой величины .
0,48 некоторой величины — это 48 % этой величины .
Основа такого перевода , его первый шаг — введение буквы для обозначения какой - либо неизвестной величины .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
Для зависимости времени движения от его скорости , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную величину .
Прямо пропорциональные величины .
3 Какие величины называют обратно пропорциональными ?
Такие изменяющиеся величины называют переменными величинами , а буквы в формуле , которыми они обозначены , — переменными .
Обратно пропорциональные величины .
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
Вообще если в формулах , подобных формуле , произведение постоянно , то две переменные величины связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Выразите данные величины в одних и тех же единицах .
0,1 % некоторой величины — это 0,001 этой величины .
120 % некоторой величины — это 1,2 этой величины .
При вычислениях по формулам необходимо следить за тем , чтобы единицы , в которых выражены входящие в них величины , были согласованы между собой .
Все такие формулы могут быть представлены в виде , где буквами х и у обозначены переменные величины , а буквой k — та величина , которую мы считаем постоянной .
Будем последовательно переходить от одного значения величины к другому , пока не получим нужный результат : 16 человек за 20 дней собрали 180 т ; 1 человек за 20 дней соберёт в 16 раз меньше .
120 % некоторой величины — это 1,2 этой величины .
0,1 % некоторой величины — это 0,001 этой величины .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
1 Какие величины называют прямо пропорциональными ?
Вместо слов « прямо пропорциональные величины » можно говорить короче : « пропорциональные величины » .
Вместо слов « прямо пропорциональные величины » можно говорить короче : « пропорциональные величины » .
Две величины называют прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз .
Хотя эти формулы связывают разные величины и записываются разными буквами , они очень похожи : в левой части записана одна переменная , в правой — произведение двух других .
Введите переменные и запишите формулу зависимости размера пенсионных отчислений от величины заработной платы .
Для зависимости пути от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную величину .
Составьте разные уравнения по условию задачи , обозначая буквой различные величины .
32,5 % некоторой величины — это 0,325 этой величины .
48 % некоторой величины — это 0,48 этой величины .
Две величины называют обратно пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Объясните , как находят несколько процентов от величины ( задача 1 ) .
Обозначим объём всей работы буквой Р , производительность буквой р , а время работы буквой t. Получим формулу , связывающую эти величины .
5 Формула связывает три величины : объём выполненной работы Р , производительность р и время выполнения работы t.
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
32,5 % некоторой величины — это 0,325 этой величины .
48 % некоторой величины — это 0,48 этой величины .
0,4 % некоторой величины - это 0,004 этой величины .
30 % некоторой величины — это 0,3 этой величины .
30 % некоторой величины — это 0,3 этой величины .
1,5 некоторой величины - это 150 % этой величины .
1,5 некоторой величины - это 150 % этой величины .
0,75 некоторой величины - это 75 % этой величины .
0,75 некоторой величины - это 75 % этой величины .
0,4 % некоторой величины - это 0,004 этой величины .
Введите переменные и запишите формулу зависимости размера подоходного налога от величины заработка .
е . могут произойти одновременно , правило сложения вероятностей применять нельзя .
Мы видим , что для ученика вероятность получить « хорошо » или « отлично » равна сумме вероятностей двух событий : получить « хорошо » и получить « отлично » .
Это правило называется правилом сложения вероятностей .
Вопросами разведения петухов и кур занимаются специалисты в области сельского хозяйства , а вот изучением закономерностей в мире случайного - специальная наука теория вероятностей .
Ученик , используя полученные знания в области теории вероятностей , решил сделать прогноз своей успеваемости по математике , изучив свои отметки за 5—7 классы .
9.4 Сложение вероятностей . ( Для тех , кому интересно ) .
Вообще вероятность получить хотя бы один ( неважно , какой именно ) из нескольких интересующих нас результатов эксперимента равна сумме вероятностей каждого из этих результатов , если эти результаты несовместимы между собой .
Вообще по вероятности события можно прогнозировать частоту появления этого события в будущем .
Если случайный эксперимент повторять достаточно много раз , то частота интересующего нас события будет близка к его вероятности .
Оцените вероятность каждого из возможных исходов случайных экспериментов , предложенных в задаче 963 .
в ) вероятность того , что число выпавших очков не равно 3 .
Среди приведённых ниже событий укажите те , вероятность которых равна 0 и вероятность которых равна 1 .
Среди приведённых ниже событий укажите те , вероятность которых равна 0 и вероятность которых равна 1 .
Можно ли утверждать , что вероятность этого события равна нулю ? .
Демографы утверждают , что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012 .
974 Если вероятность события А составляет 30 % , то можно ли утверждать , что при проведении 900 соответствующих случайных экспериментов событие А наступит ровно в 270 из них ? .
Вероятность того , что выпадет не больше 4 очков .
в ) Какова вероятность того , что он не выиграет ? .
Можно ли исходя из этого с уверенностью утверждать , что вероятность купить неисправную батарейку равна 0,5 ? .
Оцените вероятность каждого из возможных исходов .
Примерная вероятность получения отметки .
а ) вероятность выпадания чётного числа очков .
Какова вероятность того , что он выиграет ? .
а ) Какова вероятность того , что он выиграет не меньше 1000 р . ? .
Какова вероятность того , что очередной ответ ученика будет оценён на « 4 » или « 5 » ? .
Всего ученик получил 188 отметок , из них ответов на « 4 » и « 5 » было 39 78 , значит , вероятность можно оценить как .
Мы видим , что для ученика вероятность получить « хорошо » или « отлично » равна сумме вероятностей двух событий : получить « хорошо » и получить « отлично » .
Вообще вероятность получить хотя бы один ( неважно , какой именно ) из нескольких интересующих нас результатов эксперимента равна сумме вероятностей каждого из этих результатов , если эти результаты несовместимы между собой .
988 Какова вероятность того , что в классе , где учится 25 человек .
Понятно , что вероятность случайного события — это число , заключённое между 0 и 1 .
В таких случаях оценить вероятность случайного события можно только по его частоте , которая определяется в ходе выполнения многократных экспериментов .
Оцените вероятность того , что произвольный покупатель выберет отечественный автомобиль .
Но во многих ситуациях без проведения многократных экспериментов предсказать вероятность случайного события практически невозможно .
В случае с подбрасыванием монеты и не проводя экспериментов естественно предположить , что вероятность выпадания каждой стороны монеты равна 0,5 .
Тот факт , что вероятность появления орла равна 0,5 , конечно , не означает , что если вы несколько раз будете бросать монету , то орёл появится ровно в половине случаев .
Значит , вероятность выпадания кнопки остриём вниз примерно равна 0,45 .
Как связаны частота случайного события и вероятность ? .
Частота и вероятность .
Невозможное событие не происходит ни при каком повторении эксперимента , поэтому вероятность невозможного события считают равной 0 .
Иногда вероятность выражают в процентах .
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р ( от французского слова probabilite , что означает « вероятность » ) .
7 Среди данных событий укажите то , вероятность которого равна 0,5 .
Например , на основе наблюдений за атмосферными явлениями синоптики предсказывают вероятность выпадения осадков , в результате в прогнозе погоды мы слышим : « дождь маловероятен » или « вероятность осадков 5 % » .
Например , на основе наблюдений за атмосферными явлениями синоптики предсказывают вероятность выпадения осадков , в результате в прогнозе погоды мы слышим : « дождь маловероятен » или « вероятность осадков 5 % » .
Какова вероятность купить неисправную батарейку ?
Сколько примерно цветков на этой ветке , если известно , что вероятность того , что в выбранном наугад цветке сирени пять лепестков , равна 0,01 ? .
если оно обязательно происходит при каждом повторении эксперимента , то его частота равна 1 , и естественно считать , что и его вероятность равна 1 .
Какова вероятность того , что купленный телефон будет исправен ? .
Вообще вероятность и частота случайного события связаны между собой .
Так как во всех этих сериях экспериментов решка появлялась также примерно в половине случаев , то и вероятность выпадания решки равна 0,5 .
В каких границах находится вероятность случайного события ?
3 Как оценить вероятность случайного события ?
а ) Оцените вероятность того , что произвольный покупатель выберет в этом году машину марки В. Ответ округлите до сотых .
Говорят , что вероятность выпадания орла равна 0,5 .
При этом чем больше проведено экспериментов , тем точнее можно оценить вероятность события .
Какова вероятность купить бракованную лампочку ?
Какое наименьшее количество лотерейных билетов надо купить , чтобы выиграть с вероятностью , равной 1 ? .
В вершине одна ветвь параболы плавно переходит в другую .
а ) Сколько времени турист пробыл на вершине горы ? .
Точку ( 0 ; 0 ) , в которой сходятся ветви параболы , называют вершиной параболы .
504 Турист поднялся из посёлка на вершину горы и затем вернулся обратно в посёлок .
Е : вес пачки больше 100 г .
На пачке написан вес — 200 г. Расположите на вероятностной шкале следующие события .
В : вес пачки меньше 200 г .
С : вес пачки ровно 200 г . D : вес пачки меньше 500 г .
С : вес пачки ровно 200 г . D : вес пачки меньше 500 г .
А : вес пачки больше 200 г .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
Затем каждой девочке поставили в соответствие точку на координатной плоскости , отложив по горизонтальной оси рост ( в см ) , а по вертикальной — вес ( в кг ) .
520 У девочек одного из седьмых классов узнали их рост и вес .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
Ездить на даче за покупками для загородных экскурсий хороший способ сбросить вес .
Определите , какой вес считается нормальным в России и в США для человека ростом 180 см. Сравните полученные результаты .
Например , при решении вопросов , в пачки какого веса фасовать масло , какие открывать авиарейсы и т .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
979 Саша купил в магазине пачку чая и решил взвесить её на лабораторных весах ( их точность — до 1 миллиграмма ) .
Пользуясь выведенной формулой , возведите в квадрат .
Используя формулу квадрата двучлена , возведите в квадрат трёхчлен .
Вычислить степень числа , или , как говорят , возвести число в степень , можно путём последовательного умножения .
Борис предложил ему возвести это число в квадрат , после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
С помощью полученной формулы можно возводить в квадрат сумму любых двух выражений .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
Итак , при возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
Одно из главных сочинений аль - Хорезми называлось « Китаб аль - джебр вальмукабала » , что в переводе с арабского означает « Книга о восстановлении и противопоставлении » .
а ) шестиугольник ; б ) восьмиугольник ; в ) двенадцатиугольник ; г ) стоугольник ? .
5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было разложить на множители способом группировки ? .
В сумме вынесем за скобки общий множитель а .
Этот общий множитель вынесем за скобки .
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в произведение : вынесли за скобки число 17 .
Если можно вынести за скобки общий множитель , сделайте это .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
1 Укажите общий множитель , который можно вынести за скобки в многочлене .
Этот общий множитель можно вынести за скобки .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки .
Объясните на примере многочлена , как вынести за скобки общий множитель .
7 Как можно записать короче выражение .
Какое выражение должно быть записано в скобках .
242 Запишите без скобок выражение .
Запишите с отрицательным показателем степени выражение .
933 Разложите выражение на множители двумя способами .
Выясним теперь , как можно преобразовать степень произведения , например выражение ( ab)3 .
В этой формулировке выражение названо неполным квадратом .
Для выражения назовите несколько пар значений тип , для которых выражение не имеет смысла .
528 Упростите выражение .
Для каждого выражения из первой строки найдите равное ему выражение из второй строки .
719 Докажите , что если . 720 Упростите выражение .
722 Дано выражение .
Упростите выражение .
В действительности , однако , мы должны доказать , что , преобразуя выражение по этому правилу , мы всегда будем получать верные равенства .
249 Преобразуйте выражение в равное , изменив каким - либо способом порядок слагаемых .
726 Запишите выражение в виде трёхчлена , пользуясь нужной формулой .
3 Упростите выражение .
744 Упростите выражение .
Таким образом , выражение аn означает произведение n множителей , равных а .
Если , например , коэффициент роста будет другим , то достаточно подставить в это выражение вместо х его значение и выполнить вычисления .
Понятно , что выражение можно заменить выражением .
Разложим выражение .
535 Упростите выражение .
Нам удалось упростить данное выражение , заменив сумму подобных слагаемых одним выражением -4а .
560 Упростите выражение .
Первый член трёхчлена — это а2 , выражение 10а — это третий член — это 52 .
257 Упростите выражение .
710 Упростите выражение .
Пользуясь этой формулой , преобразуйте выражение .
300 Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях букв .
301 Раскройте скобки и упростите выражение .
302 Упростите выражение .
Представьте выражение 3 xyz в виде суммы и сгруппируйте члены многочлена .
4 В каких случаях выражение разложено на множители правильно ? .
306 Составьте выражение по условию задачи и упростите его .
745 Упростите выражение .
689 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
Как называют выражение а ” ?
712 Упростите выражение .
А чтобы выражение имело смысл при любом натуральном n , для случая n 1 принимают специальное соглашение .
Упростим полученное выражение . 2 )
Разложим на множители выражение .
310 Упростите выражение .
928 Представьте выражение в виде многочлена , используя формулу разности квадратов .
Преобразуем выражение .
Составьте выражение для вычисления длины проволоки , которая для этого потребуется .
Возьмём , например , выражение .
Какое выражение означает возраст , которого достигли в 2012 г. младшие близнецы ?
248 Замените выражение равным , не содержащим скобок .
Запишите выражение , означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г. Чему равна записанная сумма ? .
Например , выражение можно записать в виде .
Рассмотрим , например , выражение .
667 Упростите выражение , расположив слагаемые в столбик .
735 Упростите выражение .
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
Воспользовавшись этим образцом , преобразуйте выражение .
11 Упростите выражение .
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к двучлену выражение и вычтем его .
Оказывается , это выражение можно разложить на множители .
Упростим выражение .
Данное выражение — сумма , состоящая из четырёх слагаемых .
897 Разложите выражение на множители двумя способами .
553 Представьте выражение в виде дроби .
836 Представьте выражение в виде произведения .
2 Дано выражение Запишите числовое выражение , которое получится в результате подстановки а .
Преобразуйте в трёхчлен выражение , взяв за образец пример 1 или пример 2 .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
552 Представьте выражение в виде произведения двух или нескольких степеней .
2 Дано выражение Запишите числовое выражение , которое получится в результате подстановки а .
Какое выражение означает возраст старших близнецов в 2010 г. ?
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его значение .
Преобразуем в многочлен выражение .
Упростите выражение ( а10)2 .
327 Упростите выражение .
Представьте выражение в виде многочлена .
Запишите выражение по условию задачи и упростите его .
569 Возведите в квадрат и в куб выражение .
3 Представьте выражение .
Подставим в выражение значения и выполним вычисления .
551 Представьте выражение в виде степени с основанием у .
1 Упростите выражение .
3 Составьте выражение по условию задачи .
Упростите выражение ( в качестве образца используйте пример 3 ) .
Это равенство показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое значение при этом не изменится .
5 Упростите выражение .
Так , дробь — в выражение частное была преобразована в сумму .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых значениях букв то же значение , что и исходное .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена выражение .
Если выражение содержит деление на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
3 Какому из выражений равно выражение .
5 Каждое выражение из верхней строки соотнесите с равными ему выражениями из нижней строки .
7 Упростите выражение .
9 Упростите выражение .
11 Укажите выражение , равное выражению .
Объясните , как разложить на множители выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность делится на 200 .
14 Упростите выражение .
Подставьте вместо а заданное выражение и приведите многочлен к стандартному виду .
В самом деле , при таких значениях а и b пришлось бы делить на 0 , а значит , в этом случае выражение не имело бы смысла .
15 Упростите выражение .
Использование степеней делает выражение более компактным , « обозримым » .
Это выражение легко представить в виде степени с тем же основанием .
34 Запишите каждое выражение в виде произведения или степени .
Рассмотрим выражение ( а2)4 .
269 Подставьте в выражение аb вместо переменных а и b указанные выражения и выполните преобразования .
Расставьте скобки так , чтобы выражение в левой части равенства было равно выражению в правой части .
9 Возведите в куб выражение .
35 Запишите выражение короче , используя степени .
9 В выражение р - q подставьте и упростите получившееся выражение .
286 Упростите выражение .
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
9 В выражение р - q подставьте и упростите получившееся выражение .
695 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
270 Подставьте в каждое из выражений 2х , х2 , х3 вместо переменной х выражение -у и упростите получившееся выражение .
270 Подставьте в каждое из выражений 2х , х2 , х3 вместо переменной х выражение -у и упростите получившееся выражение .
4 Упростите выражение .
5 Среди выражений , записанных ниже , найдите выражение , равное многочлену .
694 Упростите выражение .
8 Упростите выражение .
Представим выражение в виде разности квадратов и воспользуемся соответствующей формулой .
231 Для вычисления площади прямоугольника , изображённого на этом рисунке , можно составить выражение или выражение .
260 Упростите выражение .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
545 Упростите выражение .
231 Для вычисления площади прямоугольника , изображённого на этом рисунке , можно составить выражение или выражение .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
51 Запишите выражение и найдите его значение .
Разложение на множители можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде разности кубов .
3 Что означает выражение аn , где n - натуральное число ?
6 Среди приведённых ниже выражений найдите выражение , противоположное многочлену .
Чтобы сложить два многочлена , нужно составить их сумму , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение .
Подберите соответствующее буквенное равенство из предыдущего упражнения и , используя его , запишите без скобок следующее выражение .
17 Упростите выражение .
10 Упростите выражение .
542 Упростите выражение .
И упростите полученное выражение .
и упростите полученное выражение .
Иными словами , выражение .
Так как то выражение , противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными знаками .
818 Представьте выражение в виде произведения двумя способами по следующему образцу .
550 Представьте выражение в виде степени с основанием а .
918 Упростите выражение , применяя способ вынесения за скобки общего множителя .
А что означает выражение 1024 ?
В математике это выражение тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у степени с натуральным показателем .
690 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
656 Упростите выражение .
Точно так же выражение , противоположное , например , сумме есть .
261 Составьте выражение по условию задачи и упростите его : а ) Всего в автопарке М машин , g из них — автобусы , a j из этих автобусов — микроавтобусы .
Составьте выражение для вычисления суммы , которая будет на вашем счёте сразу после третьего взноса .
Как называют выражение аn , число а в этом выражении , число n ?
5 Для каждого выражения из верхней строки укажите равное ему выражение из нижней строки .
274 Раскройте скобки и упростите получившееся выражение .
620 Какое выражение надо подставить вместо а , чтобы полученное равенство было верным .
Покажите , как можно получить второе выражение из первого с помощью преобразований .
559 Представьте выражение в виде степени с основанием n .
554 Упростите выражение .
Например , в пункте а обозначьте буквой х и запишите выражение в виде .
Что означает выражение аn , если n - натуральное число , не равное 1 ?
Прибавим и вычтем одно и то же выражение .
619 Упростите выражение .
795 Упростите выражение .
2 Какое выражение называют многочленом ?
558 Возведите в квадрат и в куб выражение .
называли прямоугольником , выражение а2 — квадратом .
Понятно , что выражение можно заменить выражением .
Нам удалось упростить данное выражение , заменив сумму подобных слагаемых одним выражением -4а .
Мы заменили сумму равным выражением , переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой разности квадратов .
Эти выражения записаны с помощью скобок , но каждое из них можно заменить равным выражением без скобок .
Это равенство показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое значение при этом не изменится .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых значениях букв то же значение , что и исходное .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую разность вида можно заменить выражением , не содержащим скобки .
Такое название принято из - за его внешнего сходства с выражением , равным квадрату суммы .
Например , алгебраическую сумму заменяют более « красивым » выражением .
Значит , эту группу слагаемых надо заменить выражением 2ab .
Раскроем скобки в выражении .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
15 Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в выражении .
Так , в выражении -20ху числовой множитель -20 является коэффициентом .
А сколькими способами можно поставить скобки в выражении ?
Итак , в выражении xyz можно поставить скобки двумя способами .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений .
Как называют выражение аn , число а в этом выражении , число n ?
287 а ) В выражении выполните подстановку .
В выражении .
подобные слагаемые в выражении .
14 Раскройте скобки в выражении .
С помощью этой формулы можно преобразовать произведение разности и суммы любых двух выражений .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений , значения которых можно найти , пользуясь таблицей степеней числа 3 .
52 Найдите значения выражений .
Из буквенных выражений с помощью знаков действий и скобок составляют другие буквенные выражения .
Это правило можно применять для преобразования любых выражений — содержащих и буквы , и числа .
Опираясь на законы алгебры , мы будем последовательно вводить правила преобразования буквенных выражений .
3.2 Преобразование буквенных выражений .
17 Какому из выражений равна сумма .
555 Представьте каждое из выражений в виде степени .
61 Из выражений выберите такое , значение которого равно значению выражения .
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов .
При каких значениях переменной равны значения выражений .
12 Какое из выражений можно использовать для вычисления площади фигуры .
Преобразования выражений выполняют на основе свойств действий над числами .
Так как вычитание всегда можно заменить сложением , то его можно считать суммой выражений .
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
12 Какое из данных выражений нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
произведение выражений .
сумма выражений разность выражений .
Подчеркните подобные слагаемые в каждом из выражений .
Такое преобразование выражений называют раскрытием скобок .
Рассмотрим некоторые свойства степени , которые часто используются при преобразовании выражений .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
сумма выражений разность выражений .
3 Значение какого из выражений равно .
Найдите значения выражений .
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком значении х значения выражений противоположны ? .
Какое из этих двух выражений более удобно для вычислений с помощью калькулятора ? .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических выражений - разложением многочлена на множители .
742 Укажите пары равных выражений , пары противоположных выражений .
Здесь к слагаемому 2а прибавляется сумма выражений .
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны значению выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Найдите эту разность среди приведённых ниже выражений .
3 Какому из выражений равно выражение .
Арифметика — наука о числах , основные её задачи связаны с вычислением значений числовых выражений .
2 Из приведённых выражений .
Найдите значение каждого из выражений .
С помощью полученной формулы можно возводить в квадрат сумму любых двух выражений .
571 Какое из выражений нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным показателем , на основе которых выполняются преобразования выражений , содержащих степени , а также вычисления .
742 Укажите пары равных выражений , пары противоположных выражений .
Какие из следующих выражений являются одночленами , а какие нет ? .
280 Составьте два выражения для вычисления площади фигуры и покажите , как одно из этих выражений можно преобразовать в другое .
Составьте несколько выражений , которые можно разложить на множители с помощью этой формулы .
Заменив нулём сумму выражений , получим уравнение .
671 Выпишите пары противоположных выражений и пары равных выражений .
5 Среди выражений , записанных ниже , найдите выражение , равное многочлену .
Сравните значения выражений .
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений .
Там же были рассмотрены и другие примеры преобразования выражений .
8 Какое из выражений нельзя разложить на множители , используя формулу разности квадратов ? .
Правила преобразования буквенных выражений , как вы знаете , основаны на законах алгебры .
Преобразование выражений , содержащих степени .
13 Какое из выражений противоположно произведению .
324 В выражениях поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений .
6 Среди приведённых ниже выражений найдите выражение , противоположное многочлену .
123 Сравните значения выражений .
326 Составьте сумму и разность выражений и упростите их .
847 Какие из выражений можно разложить на множители , применив формулу разности квадратов .
Проиллюстрируйте их на примере выражений .
241 Составьте несколько различных выражений для вычисления площади прямоугольника и запишите цепочку равенств .
671 Выпишите пары противоположных выражений и пары равных выражений .
11 Какое из данных выражений можно представить в виде .
Укажите номера выражений , которые могут быть преобразованы к виду .
270 Подставьте в каждое из выражений 2х , х2 , х3 вместо переменной х выражение -у и упростите получившееся выражение .
50 Зная , что 282 784 , найдите значение каждого из выражений .
531 Какие из данных дробей равны выражению а ° ? .
6 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению .
4 Какая из дробей равна выражению .
Однако такой смысл этому выражению придаётся при ( ведь произведений из одного множителя не бывает ) .
5 Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к выражению .
Расставьте скобки так , чтобы выражение в левой части равенства было равно выражению в правой части .
Можно ли применить формулу разности квадратов к выражению .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
11 Укажите выражение , равное выражению .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
Докажите , что значение выражения .
а ) значение выражения в 2 раза больше значения выражения .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
817 Найдите значение выражения .
Вынесите общий множитель за скобки и вычислите значение выражения .
Используя рассмотренный способ , найдите значение выражения .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
370 При каких значениях х : а ) значение выражения ; б ) значение выражения ? .
370 При каких значениях х : а ) значение выражения ; б ) значение выражения ? .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
Покажите на примере выражения , как вынести общий множитель за скобки .
Чему равно значение выражения .
значение выражения в 3 раза меньше значения выражения .
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
значение выражения в 3 раза меньше значения выражения .
814 Найдите значение выражения .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
794 Найдите значение выражения .
Например , корнем уравнения , в обеих частях которого стоят равные выражения , является любое число .
280 Составьте два выражения для вычисления площади фигуры и покажите , как одно из этих выражений можно преобразовать в другое .
16 Даны выражения .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
618 Найдите значение выражения при заданных значениях переменной .
Переход от риторической алгебры к символической , в результате которого словесные правила были заменены формулами , а буквенные выражения сами стали предметом исчисления , происходил на протяжении нескольких веков .
Эти выражения записаны с помощью скобок , но каждое из них можно заменить равным выражением без скобок .
Такие выражения называют одночленами .
Найдите значение выражения при заданном значении переменной .
Рассмотрим выражения .
Возьмём , например , выражения .
Из буквенных выражений с помощью знаков действий и скобок составляют другие буквенные выражения .
13 Вычислите 14 Найдите значение выражения .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
С помощью какого приёма удобно найти значение данного выражения ?
Составьте два разных выражения для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на и запишите соответствующее равенство .
Составьте различные выражения для вычисления общей массы проданных орехов и запишите соответствующие равенства .
5 Для каждого выражения из верхней строки укажите равное ему выражение из нижней строки .
258 Для каждого выражения из верхней строки выберите равное ему из нижней строки и запишите соответствующее равенство .
1 Найдите значение выражения .
Для каждого выражения из первой строки найдите равное ему выражение из второй строки .
В каком случае преобразование выражения выполнено неверно ? .
Исходное и преобразованное выражения соединяют знаком « » и называют тождественно равными или просто равными .
С помощью указанного правила можно преобразовывать не только « чистые » суммы , но и смешанные выражения , составленные с помощью знаков « » и « - » .
Меняя каким - либо образом эти слагаемые местами , будем получать равные выражения .
Такие выражения , как , в математике иногда называют алгебраическими суммами — суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
Преобразование буквенного выражения часто выполняют с целью приведения его к более простому или к более « красивому » виду .
269 Подставьте в выражение аb вместо переменных а и b указанные выражения и выполните преобразования .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
792 Найдите значение выражения .
Примените нужную формулу для разложения на множители выражения .
843 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
Значение какого выражения больше .
И выражения тоже , конечно , уравнениями не являются , потому что они не являются равенствами .
Запишите выражения , показывающие .
638 Найдите значение выражения .
637 Найдите значение выражения .
Покажите на примере выражения , как применить эту формулу для разложения его на множители .
4 Найдите значение выражения .
Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых и поясните его на примере выражения .
а ) Делится ли значение выражения .
а ) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел .
328 Найдите значение выражения .
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение выражения .
Запишите следующие выражения .
723 Выпишите выражения , равные произведению .
Укажите выражения , противоположные данному ; равные данному .
Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
Почему равны выражения .
Значение выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
А значение выражения 15 ! , которого нет в таблице , превосходит 1012 , а именно .
Может быть , именно из - за быстрого роста факториалов восхищённый изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак .
Сколько действий надо выполнить , чтобы вычислить значение выражения .
Запишите выражения для определения будущего урожая картофеля в каждом хозяйстве и общего урожая картофеля во всех трёх хозяйствах , если в среднем с каждой сотки планируется собрать по М кг .
Проиллюстрируйте правило приведения подобных слагаемых на примере выражения .
532 Чему равно значение выражения ? .
Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил значение выражения х2 х и получил по условию число 90 .
580 Найдите значение выражения .
Докажите , что при этом каждый раз будут получаться равные выражения .
а ) значение выражения в 2 раза больше значения выражения .
77 Запишите в виде выражения .
Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части .
Подобные выражения обычно используют , когда речь идёт о возможности наступления события , которое в одних и тех же условиях может произойти , а может и не произойти .
Подставьте вместо букв заданные числа и найдите значение выражения .
б Найдите значение выражения .
756 Найдите значение выражения .
Найдите значение выражения комментируйте каждый шаг .
Пользуясь им как образцом , найдите значение выражения .
3 Найдите значение выражения .
4 Даны выражения .
659 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
5 Найдите значение выражения .
Легко понять , что допустимыми значениями букв а и b для выражения — являются любые пары чисел , при которых , т .
10 Найдите значение выражения .
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны значению выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Заметим , что вычислить значение выражения можно не всегда .
61 Из выражений выберите такое , значение которого равно значению выражения .
Запишите ответ , используя степень числа 2 , и вычислите значение получившегося выражения .
27 Найдите значение выражения .
Найдём значение выражения .
670 Упростите выражения .
669 Упростите выражения .
120 Найдите значение выражения .
Используйте полученный результат для вычисления значения выражения .
По аналогии с формулой , полученной в n. 1 , запишите формулу для преобразования в многочлен выражения .
Правило выражения процентов десятичной дробью .
Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части квадрата , получившейся на десятом шаге ; на сотом шаге .
Таким образом , значение выражения при равно -2,1 .
31 Убедитесь , что при данных значениях х , у , z значение выражения равно 1 .
122 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
Вычислите значение выражения при а 1,5 , b 0,7 , с -0,5 .
Запишите соответствующие выражения для остальных квадратов на рисунке .
Найдите значение выражения .
Тождественно равные выражения .
Для выражения назовите несколько пар значений тип , для которых выражение не имеет смысла .
Найдите значение выражения при .
Преобразование буквенного выражения .
Правило выражения десятичной дроби в процентах .
658 Составьте сумму и разность многочленов и упростите получившиеся выражения .
Точно так же можно преобразовывать и суммы , являющиеся буквенными выражениями , например сумму .
5 Каждое выражение из верхней строки соотнесите с равными ему выражениями из нижней строки .
Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми ( арифметическими ) выражениями , алгебра - с буквами и буквенными ( алгебраическими ) выражениями .
Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми ( арифметическими ) выражениями , алгебра - с буквами и буквенными ( алгебраическими ) выражениями .
324 В выражениях поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
Футболист на тренировке подбрасывает мяч головой вертикально вверх , придавая ему начальную скорость 10 м / с. В этом случае высота , на которой находится мяч , может быть приближённо вычислена по формуле , где h — высота полёта ( в метрах ) , t — время ( в секундах ) .
Футболист на тренировке подбрасывает мяч головой вертикально вверх , придавая ему начальную скорость 10 м / с. В этом случае высота , на которой находится мяч , может быть приближённо вычислена по формуле , где h — высота полёта ( в метрах ) , t — время ( в секундах ) .
Найдите крутизну спуска дороги , если высота подъёма равна 60 м , а горизонтальная протяжённость 1,5 км .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На какой высоте окажется ракета через 2 с после запуска ?
На какой высоте будет находиться мяч через 1 с ?
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
148 Выразите высоту h из формулы а ) площади параллелограмма , б ) объёма цилиндра .
Она заметила , что если заполнить этот аквариум водой на высоту 30 см , то потребуется на .
6 л больше воды , чем требовалось для старого аквариума при заполнении его на такую же высоту .
Выполните на чертеже необходимые измерения и определите а ) высоту стен реального дома ; б ) высоту дома с учётом крыши .
Выполните на чертеже необходимые измерения и определите а ) высоту стен реального дома ; б ) высоту дома с учётом крыши .
80 Крутизна спуска дороги — это отношение высоты подъёма дороги к её горизонтальной протяжённости , выраженное в процентах .
« Ученик задумал число , умножил его на 4 , из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
Сложить два многочлена или вычесть один из другого очень просто .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Можно , например , разложить этот многочлен на множители , используя тот же приём « прибавить — вычесть » , но уже совсем по - другому .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и вычесть , чтобы разложить многочлен на множители .
Использованный приём « прибавить — вычесть » вам , конечно , известен .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Объясните , как выполнить вычитание .
Так как вычитание всегда можно заменить сложением , то его можно считать суммой выражений .
Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов и вычитание из первого многочлена второго .
Знак « - » перед скобкой означает вычитание ; замените вычитание сложением .
Обратите внимание : вычитание мы заменили сложением с многочленом , противоположным второму многочлену .
Для этого заменим вычитание сложением , а затем воспользуемся законом , который выражается равенством , и распределительным законом .
7.2 Сложение и вычитание многочленов .
Знак « - » перед скобкой означает вычитание ; замените вычитание сложением .
сначала вычитанием площадей , а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел ? .
Вообще результатом сложения и вычитания многочленов является многочлен .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило вычитания из числа суммы двух чисел : для любых чисел а , b , с .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
Из задуманного числа вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
Прибавим и вычтем одно и то же выражение .
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к двучлену выражение и вычтем его .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
146 Формула F 1,8С 32 выражает зависимость между температурой в градусах Фаренгейта ( ° F ) и температурой в градусах Цельсия ( ° С ) .
2 Используя формулу , выражающую зависимость между температурой , измеряемой по шкале Фаренгейта ( F ) и по шкале Цельсия ( С ) , выразите в градусах Фаренгейта температуру кипения воды 100 ° С и температуру замерзания воды .
146 Формула F 1,8С 32 выражает зависимость между температурой в градусах Фаренгейта ( ° F ) и температурой в градусах Цельсия ( ° С ) .
Сколько кубиков , у которых покрашено три грани ? .
Сколько кубиков , у которых покрашено две грани ? .
Сколько кубиков , у которых покрашена одна грань ? .
Чётное число очков есть на трёх гранях кубика из шести , следовательно , есть три шанса из шести , что событие D произойдёт .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
Построен график зависимости частоты результата « остриём вниз » от числа экспериментов .
Зависимость на разных промежутках задана разными условиями , поэтому и график строится по частям .
484 Известно , что график зависимости у — 2х — прямая .
Используя график , ответьте на вопросы .
494 Постройте график зависимости , если известно .
7 Изобразите на координатной плоскости график зависимости .
Представлен график движения туриста .
При х 0 график совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
Опишите её график .
509 В экономических исследованиях часто используется кривая спроса — график , который показывает , как зависит спрос на товар от его цены .
Изображён график роста тиража новой газеты за первые девять месяцев её существования .
Экономисты изображённый график называют линией производственных возможностей .
и после 10 ч температура была положительной , так как на этих промежутках график расположен выше оси абсцисс .
Говорят , что эта биссектриса — график зависимости у — х .
Получился красивый график , похожий на чашу .
При график совпадает с прямой .
498 Постройте график зависимости .
Этот график называется параболой .
Иными словами , эта биссектриса — график зависимости у -х .
502 Изображён график температуры воздуха в городе Лукошкино 19 октября .
С 2 ч до 10 ч температура была отрицательной , так как на этом промежутке график лежит ниже оси абсцисс .
С 6 ч до 16 ч температура росла , так как на этом промежутке график идёт вверх , а с 0 ч до 6 ч , с 16 ч до 20 ч и с 22 ч до 24 ч температура понижалась ( график идёт вниз ) .
Постройте график зависимости у х 2 .
Изображён график скорости движения автомобиля .
487 Постройте по точкам график зависимости .
479 Постройте по точкам график зависимости , заданной равенством : а ) у -2х ; б ) у 2-х ; в ) у — х 3 .
6 Изображён график движения туриста от турлагеря до станции .
Используя график , ответьте на следующие вопросы .
Построим , например , график зависимости .
Теперь понятно , что график надо строить по частям , отдельно в правой и в левой полуплоскости .
Как называется график зависимости , заданный равенством .
9 Изображён график изменения скорости автомобиля .
8 Изобразите на координатной плоскости график зависимости .
Таким образом , график зависимости это ломаная , образованная двумя лучами .
Постройте этот график и опишите его свойства .
Как , например , построить график зависимости , заданной равенством ?
Выполните аналогичное задание , используя график .
С 6 ч до 16 ч температура росла , так как на этом промежутке график идёт вверх , а с 0 ч до 6 ч , с 16 ч до 20 ч и с 22 ч до 24 ч температура понижалась ( график идёт вниз ) .
4 Постройте график зависимости .
Составьте таблицу соответственных значений х и у и постройте по точкам график этой зависимости .
6 Как называется график зависимости .
Построим теперь график зависимости .
Рассмотрите график температуры и ответьте на вопросы .
Изображён график движения катера в первые 40 мин его работы .
Сколько существует различных анаграмм слова « график » ?
Чтобы построить график , вычислим сначала координаты нескольких его точек и занесём результаты в таблицу .
Об этом можно было догадаться заранее , ещё до построения графика — по самому равенству .
С помощью графика определите .
8 Для каждого графика укажите его алгебраическое описание .
С помощью графика выясните .
С помощью графика ответьте на вопросы .
Вы уже знакомы с графиками зависимостей .
Есть ли на этом графике точка , абсцисса которой равна -125 ?
Есть ли на графике точка , абсцисса которой равна 245 ?
508 Изображены графики зависимости роста Анны и Бориса от их возраста .
Некоторые графики можно строить , используя уже знакомые графики .
Используя графики , ответьте на вопросы .
Используя графики , определите . а ) Рост каждого из них при рождении , в 3 года , в 17 лет .
Широко используются различные графики и в экономике .
Рассмотрите ещё несколько зависимостей , которые задаются равенствами , содержащими знак модуля , и постройте их графики .
Некоторые графики можно строить , используя уже знакомые графики .
Используя показания сейсмографов — приборов , непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики — сейсмограммы , геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами .
Координаты и графики .
Попробуем теперь рассмотреть более сложные зависимости , которые могут связывать абсциссы и ординаты точек плоскости , и посмотрим , как будут выглядеть соответствующие графики .
Такие графики метеорологи получают с помощью специального прибора — термографа , отмечающего температуру на движущейся ленте или на экране дисплея .
Найдите координаты точек пересечения этих графиков .
5.5 Ещё несколько важных графиков .
499 Найдите координаты общих точек графиков зависимостей .
а ) Что является графиком зависимости , заданной условием у х ?
483 Прямая , которая является графиком зависимости .
а ) Что является графиком зависимости , заданной условием .
Эту линию называют графиком температуры .
По графику можно получить и другую полезную информацию : например , когда температура менялась быстрее , а когда медленнее .
, Е(-2 ; 4 ) , F(3 ; 27 ) выберите те , которые принадлежат : а ) параболе ; б ) кубической параболе ; в ) графику зависимости .
в ) Какие из следующих точек принадлежат этому графику .
По графику видно , что самая высокая температура за сутки , была в 16 ч , а самая низкая — в 6 ч .
Назовите координаты ещё двух точек , принадлежащих этому графику , и двух точек , не принадлежащих ему .
выберите те , которые принадлежат графику зависимости .
Например , по графику легко узнать , когда температура была положительной , а когда отрицательной , когда она росла , а когда понижалась .
Составьте таблицу соответственных значений х и у по графику .
Укажите координаты нескольких точек , принадлежащих этому графику .
Назовите координаты нескольких точек , принадлежащих этому графику .
Принадлежит ли графику зависимости , заданной равенством , точка А(1 ; 0 ) ?
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
В каждой ли из этих групп заведомо есть призывник , годный к службе в Президентском полку ? .
И последняя цифра числа 2n определяется тем , в какую из этих групп попадает показатель n.
Но через полчаса к кинотеатру подъехала группа туристов и купила 45 билетов , что составило 20 % билетов , остававшихся в кассе .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
В группе российских туристов , выезжающих за границу , есть несколько человек , которые говорят только по - английски , и несколько человек , которые , кроме английского , говорят ещё на одном иностранном языке .
Если , например , опросить большую группу учеников , какой школьный предмет им нравится больше всего , то модой этого ряда ответов окажется тот предмет , который будут называть чаще остальных .
Значит , эту группу слагаемых надо заменить выражением 2ab .
В любом произведении множители можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы .
Отчёт группы исследователей был распечатан на принтере за 30 мин .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Теперь найдём сумму коэффициентов слагаемых второй группы .
В этой сумме две группы подобных слагаемых .
Значит , в результате приведения подобных слагаемых второй группы мы получим 5с .
Найдём сумму коэффициентов подобных слагаемых первой группы .
Он выписал число рабочих дней , пропущенных в течение года по болезни каждым сотрудником , предварительно разбив их на две группы — курящие и некурящие .
в любой сумме слагаемые можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
А данный пример является одним из частных случаев для обоснования этого правила .
Разделим его сторону длиной у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
Теперь ясно , что данный трёхчлен может быть получен в результате возведения в квадрат двучлена или двучлена Таким образом .
С помощью букв данный приём может быть описан следующим образом .
а ) шестиугольник ; б ) восьмиугольник ; в ) двенадцатиугольник ; г ) стоугольник ? .
662 Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену , чтобы в сумме получился 0 .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
В произведении обозначьте двучлен буквой х и проведите преобразования , аналогичные рассмотренным в тексте .
Разложим на множители двучлен .
12 Какой двучлен можно разложить на множители , используя формулу суммы кубов ? .
Действительно , двучлен х - 0,5 с — это сумма х и -0,5 с , поэтому .
Обозначим двучлен какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в произведении по правилу умножения одночлена на многочлен .
Специальные названия имеют и многочлены , состоящие из двух и трёх членов — двучлен и трёхчлен соответственно .
727 Представьте квадрат двучлена в виде трёхчлена .
Теперь ясно , что данный трёхчлен может быть получен в результате возведения в квадрат двучлена или двучлена Таким образом .
Трёхчлен можно разложить на множители , выделив квадрат двучлена .
705 Запишите степень двучлена в виде произведения и выполните умножение .
Выясним , можно ли представить в виде квадрата двучлена трёхчлен .
10 Представьте в виде квадрата двучлена .
732 Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена .
а ) Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена .
возведение двучлена в квадрат .
Каждый член двучлена представьте в виде произведения , в котором есть множитель -3а .
Таким образом , мы видим , что при возведении в квадрат двучлена получается трёхчлен .
Заметим , что для возведения в квадрат двучлена х - 0,5с можно воспользоваться и формулой квадрата суммы .
Используя формулу квадрата двучлена , возведите в квадрат трёхчлен .
750 Представьте в виде квадрата двучлена .
Приведите пример двучлена ; трёхчлена .
Иногда трёхчлен удаётся « свернуть » в квадрат двучлена .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Это , в частности , умножение двучлена на самого себя , т . е .
Выделите квадрат двучлена .
734 Подберите такое k , чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена .
673 Представьте в виде суммы и разности двух каких - либо двучленов трёхчлен .
представьте один из двучленов , заключённых в скобки , в виде суммы или разности двух других , а затем примените группировку .
665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких - либо двучленов ( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
676 Представьте в виде суммы двух каких - либо двучленов .
Этот многочлен можно представить или в виде суммы трёх двучленов , или в виде суммы двух трёхчленов .
672 Многочлен представьте в виде разности двух двучленов всеми возможными способами .
666 Многочлен представили в виде разности двучленов .
разности двух двучленов .
Затем букву х заменим двучленом и опять раскроем скобки .
662 Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену , чтобы в сумме получился 0 .
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к двучлену выражение и вычтем его .
Если выражение содержит деление на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
7 Придумайте задачу на пропорциональное деление какой - либо величины .
534 Выполните деление .
Пропорциональное деление .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
23 Выполните умножение или деление .
Если выражение содержит деление на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
530 Выполните деление .
И нетрудно догадаться , что если в первом случае имеется в виду умножение на 1024 , то во втором — деление на 1024 считают равным .
2.4 Пропорциональное деление .
Она решается делением .
786 Каждое из чисел а и b при делении на 3 даёт в остатке 1 .
Так , например , число 2201 оканчивается цифрой 2 , так как 201 при делении на 4 даёт в остатке 1 , а число 2202 — цифрой 4 , так как .
Например , при делении на 3 получаются остатки 0 , 1 и 2 .
Заметим , что даже в том случае , когда а b , можно говорить о делении а на b с остатком .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
Докажите , что а b делится на 7 . б ) Числа а и b при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
784 а ) Числа а и b при делении на 7 дают в остатке соответственно 3 и 4 .
При делении 7 на 12 на экране калькулятора высветится длинное число 0,5833333 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
Докажите , что их произведение при делении на 3 также даёт в остатке 1 .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не делится и в результате деления получается остаток .
783 Найдите остаток от деления на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
Если в качестве знака деления использовать черту дроби , то равенство примет такой вид .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его значение .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2 ?
сам процесс деления , поручим калькулятору .
3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Центр симметрии делит её на две ветви , расположенные в I и III координатных четвертях .
Ось симметрии делит параболу на две части , называемые ветвями параболы ; эти ветви неограниченно уходят вверх .
Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной , то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Перебрав все возможные пары делителей , нетрудно увидеть , что условию удовлетворяет только пара чисел 11 и 13 .
Укажите 10 делителей числа , равного .
Поэтому числа — это делители числа 143 .
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной , то её знаменатель содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Остаётся найти все натуральные делители числа 143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
разделить каждое из входящих в него чисел на их общий делитель — число 2 .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
У числа 143 всего четыре натуральных делителя : 1 , 11 , 13 , 143 .
Остаётся найти все натуральные делители числа 143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не делится на 11 .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
Докажем , что разность делится на 6 .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
Если а делится на b без остатка , то можно записать .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его квадрата делится на 2 .
Так как произведение делится на 6 , то и разность делится на 6 .
сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6 .
Если число а делится на число b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
Объясните , как разложить на множители выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность делится на 200 .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
Докажите , что а b делится на 7 . б ) Числа а и b при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
Так как произведение делится на 6 , то и разность делится на 6 .
б ) Сколько из них не делится на 5 ? .
Значит , и всё произведение , а вместе с ним и равная ему сумма делится на 2 .
а ) Сколько из них делится на 5 ? .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
е . делится на 2 .
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не делится и в результате деления получается остаток .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6 .
Докажите , что число : а ) записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 ; б ) записанное четырьмя одинаковыми цифрами , делится на 11 и на 101 .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
787 Докажите , что если числа а и n не делятся на 3 , то либо их сумма , либо их разность делится на 3 .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не делится на 11 .
Докажите , что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 4 .
Докажите , что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 3 .
Докажите , что число : а ) записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 ; б ) записанное четырьмя одинаковыми цифрами , делится на 11 и на 101 .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не делится на 11 .
Ясно , что она делится на 17 , так как .
В самом деле , при таких значениях а и b пришлось бы делить на 0 , а значит , в этом случае выражение не имело бы смысла .
( Здесь а — число , не равное 0 , так как на 0 делить нельзя . )
Найдите координаты точек , которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
Многих школьников волнует подобная проблема , и чаще всего ученики решают её следующим естественным образом : складывают все отметки и делят сумму на их количество .
787 Докажите , что если числа а и n не делятся на 3 , то либо их сумма , либо их разность делится на 3 .
788 Какой вид имеют числа , о которых известно , что они не делятся ни на 2 , ни на 3 ? .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
591 Сколько существует пятизначных чисел , которые делятся на 2 ?
Определите , сколько в саду деревьев каждого вида , если известно , что яблонь в 3 раза больше , чем груш , а слив на 10 больше , чем груш . б ) Купили карандаши , кисти и линейки , всего 43 штуки .
401 а ) В саду растут яблони , груши и сливы , всего 130 деревьев .
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной дроби .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Выразите десятичной дробью массу снежинки .
11 Выразите десятичной дробью : 42 % , 30 % , 8 % , 19,3 % , 0,7 % .
Правило выражения процентов десятичной дробью .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной , то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
119 Вычислите и запишите ответ в виде десятичной дроби .
Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде десятичной .
Правило выражения десятичной дроби в процентах .
Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной , то её знаменатель содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Если выражение содержит деление на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
Правда , в некоторых случаях выбирать не приходится , поскольку обыкновенную дробь преобразовать в десятичную можно не всегда .
Дробь - нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби число 0,3 .
Расскажите , как сравнивают обыкновенную дробь и десятичную .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных дробей .
10 Выразите в процентах десятичные дроби : 0,7 ; 0,15 ; 0,06 ; 0,075 ; 0,005 .
Выразите эти десятичные дроби в процентах .
Значит , нужно уметь сравнивать числа , записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди чисел , с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби .
Теперь нужно упорядочить десятичные дроби 0,58 ; 0,53 и 0,54 .
Если среди чисел , с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби , то их надо привести к какой - нибудь одной из этих форм .
Однако дроби в десятичные не обращаются .
Конечно , удобнее было бы иметь дело с десятичными дробями .
Части городского бюджета , предназначенные для нужд города , выражаются следующими десятичными дробями : 0,04 ; 0,27 ; 0,3 ; 0,255 ; 0,0006 .
И всё - таки можно воспользоваться десятичными дробями .
Выразите эти проценты десятичными дробями .
В самом деле , заменим дроби и 75 их приближёнными десятичными значениями .
Какие из следующих дробей можно представить в виде десятичных .
Вы уже знаете , что есть два способа записи дробных чисел - в виде обыкновенных и в виде десятичных дробей .
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных дробей .
А со сравнением десятичных дробей дело обстоит проще .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
( Ответ округлите до десятков . ) .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
расстояние от Земли до звезды Сириус равно г ) диаметр атома водорода равен мм .
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
Прочитайте предложение : « Обычно снежинка имеет 5 мм в диаметре при массе .
182 В любой окружности отношение длины окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На сколько сантиметров длина отрезка АР больше длины отрезка КВ ? .
Пусть х см — длина меньшей стороны куска стекла , тогда х 30 см — длина другой его стороны .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
Чему равна длина отрезка СВ ? .
Она заменила его большим аквариумом , длина и ширина дна которого на 4 см больше .
Какой английский размер подходит Наташе , если длина стопы у неё равна 30 см , и Игорю , если у него длина стопы 35 см ?
Какой английский размер подходит Наташе , если длина стопы у неё равна 30 см , и Игорю , если у него длина стопы 35 см ?
Существуют формулы , выражающие эту зависимость для мужских и женских размеров , принятых в некоторых англоговорящих странах : для мужской обуви и для женской обуви , где s — размер обуви , I — длина стопы в дюймах .
800 Два спортсмена бегут навстречу друг другу по круговой дорожке , длина которой 1 км .
Найдите по этой формуле скорость пешехода , выразив её в метрах в минуту и в километрах в час , если длина его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов .
152 За время t человек , длина шага которого равна Z , сделал n шагов .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина ребра .
334 Провод разрезали на четыре части так , что длина первой части , равная х м , в 3 раза меньше второй , на 1,5 м меньше третьей и в 2 раза больше четвёртой .
228 Отрезок АВ , длина которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в отношении .
522 Лыжник во время тренировки пробежал дистанцию 3000 м по лыжне , проходящей по лесной просеке , длина которой 500 м .
Какова длина всего провода ? .
Пусть х см — длина меньшей стороны куска стекла , тогда х 30 см — длина другой его стороны .
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
12 Отрезок АВ , длина которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
Сколько шерсти потребуется на шарф шириной 36 см и длиной 1 м ? .
а ) зависимость числа т одинаковых учебников , размещаемых на полке длиной 90 см , от толщины учебника I ( в см ) .
Разделим его сторону длиной у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
405 Провод длиной 9,9 м разрезали на две части .
б ) Из 180 г шерсти можно связать шарф шириной 12 см и длиной 2 м .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 10 см. Площадь обрезков составила 1400 см2 .
Длину отрезка ОА .
453 Найдите длину отрезка MN , если .
Определите длину каждой части , если известно , что .
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила 3800 см2 .
Определите длину окружности каждого обруча .
Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
как найти длину отрезка АВ ? .
Запишите формулу зависимости длины пройденного пути от скорости и времени движения .
а ) Найдите неизвестные длины сторон .
а ) Петя и Коля , сравнивая длины своих шагов , заметили , что 17 шагов Пети составили 8 м , а 20 шагов Коли составили 11 м .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
На сколько сантиметров длина отрезка АР больше длины отрезка КВ ? .
Составьте выражение для вычисления длины проволоки , которая для этого потребуется .
157 Размер обуви зависит от длины стопы .
45 Найдите длины отрезков АВ , АС , АО , AD , BD .
Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
а ) периметра квадрата от длины его стороны .
б ) площади квадрата от длины его стороны .
182 В любой окружности отношение длины окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
г ) зависимость стоимости Z ( в р . ) рулона ткани от длины I ( в м ) этого рулона при цене одного метра 30 р .
Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
И оказывается , ваших знаний вполне достаточно для проведения нужных доказательств .
Подобрать соответствующую группировку для его доказательства достаточно трудно .
Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами сложения и умножения , сочетательными законами сложения и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Поэтому , чтобы решать задачи на проценты , нужно свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
1.1 Сравнение дробей .
531 Какие из данных дробей равны выражению а ° ? .
Рассмотрим примеры сравнения дробей .
Это можно сделать , вычислив каждое из отношений , а можно воспользоваться известным правилом сравнения дробей .
1 Сформулируйте перекрёстное правило сравнения дробей .
Мы получили правило сравнения обыкновенных дробей , которое иногда называют перекрёстным .
Примеры таких дробей приведены в таблице .
Определите , сколько из составленных дробей меньше .
Какая из данных дробей наименьшая ?
Вычисления с целыми числами проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от дробей .
Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей , т .
Какие из следующих дробей можно представить в виде десятичных .
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных дробей .
При решении задач на проценты нужно уметь свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
Проиллюстрируйте его на примере дробей .
Проиллюстрируйте правило на примере сравнения дробей .
А со сравнением десятичных дробей дело обстоит проще .
4 Какая из дробей равна выражению .
Вы уже знаете , что есть два способа записи дробных чисел - в виде обыкновенных и в виде десятичных дробей .
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та , у которой числитель больше .
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37 ?
Правило сравнения обыкновенных дробей .
Каким другим способом можно воспользоваться при сравнении данных дробей ? .
119 Вычислите и запишите ответ в виде десятичной дроби .
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной дроби .
11 Соотнесите дроби , которые выражают доли некоторой величины , и соответствующие им проценты .
Сравнивая две обыкновенные дроби , вы пользовались разными приёмами .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
15 Составьте все дроби ( не равные 1 ) с числителями и знаменателями 11 , 12 , 13 и расположите их в порядке возрастания .
553 Представьте выражение в виде дроби .
Правило выражения десятичной дроби в процентах .
262 Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите её .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Значит , нужно уметь сравнивать числа , записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди чисел , с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби .
Полезно также помнить , как выражаются в процентах некоторые дроби .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Чему равно значение дроби , если .
117 Сравните дроби .
С понятием дроби , как вам уже известно , связано понятие процента .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Возьмём дроби и выясним , какая из них больше .
Если в качестве знака деления использовать черту дроби , то равенство примет такой вид .
Дробь - нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби число 0,3 .
Однако дроби в десятичные не обращаются .
Вообще шансы имеет смысл сравнивать как дроби : в знаменателе дроби — сколько всего возможно исходов , в числителе — сколько из них отвечают конкретному событию .
Можно также представить дробь 0,54 в виде обыкновенной и затем с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные дроби попарно .
Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде десятичной .
В самом деле , заменим дроби и 75 их приближёнными десятичными значениями .
Вообще шансы имеет смысл сравнивать как дроби : в знаменателе дроби — сколько всего возможно исходов , в числителе — сколько из них отвечают конкретному событию .
Числитель и знаменатель дроби можно разделить на общий множитель а8 .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
6.2 Степень степени , произведения и дроби .
Теперь нужно упорядочить десятичные дроби 0,58 ; 0,53 и 0,54 .
Как с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные дроби и ( фрагмент 1 ) ?
Запишите с помощью букв правило обращения смешанной дроби в неправильную дробь .
Как ещё можно сравнить эти дроби ? .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
Поэтому , руководствуясь неформальным , но мудрым правилом : « Целое лучше дроби » , обозначим через х т исходное количество угля на первом складе .
Выразите эти десятичные дроби в процентах .
6 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби .
10 Выразите в процентах десятичные дроби : 0,7 ; 0,15 ; 0,06 ; 0,075 ; 0,005 .
Разложим числитель и знаменатель данной дроби на множители .
Пусть даны дроби и где a , b , с , d — натуральные числа .
Поскольку проценты выражаются дробями , то задачи на проценты , по существу , являются теми же задачами на дроби .
Рассмотрим степень дроби .
7 Даны дроби .
Так как 130 % соответствуют дроби 1,3 , то февральский тираж больше январского в 1,3 раза .
Проверьте себя , обратившись к таблице во фрагменте 1 , можете ли вы бегло назвать обыкновенные дроби , соответствующие процентам : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 75 % .
2 Даны дроби .
Сравним дроби и 0,65 .
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от дроби к процентам или от процентов к дроби .
Решить эту задачу можно , например , так : записать число 0,65 в виде обыкновенной дроби и затем воспользоваться перекрёстным правилом .
Если среди чисел , с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби , то их надо привести к какой - нибудь одной из этих форм .
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от дроби к процентам или от процентов к дроби .
Сравним дроби .
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его значение .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
Дробным положительным .
Дробным отрицательным .
Вы уже знаете , что есть два способа записи дробных чисел - в виде обыкновенных и в виде десятичных дробей .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
573 Возведите дробь в степень .
Объясните , как сократить дробь ( в качестве образца воспользуйтесь примером ) .
Сократим дробь .
Чем больше дробь , тем вероятнее событие .
Если выражение содержит деление на десятичную дробь , то лучше перейти к обыкновенным дробям , так как деление уголком может оказаться бесконечным .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую дробь вида можно заменить суммой частных — и числовое значение останется тем же .
6 Сократите дробь .
Сократите дробь .
3 Сократите дробь .
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Расскажите , как сравнивают обыкновенную дробь и десятичную .
Запишите с помощью букв правило обращения смешанной дроби в неправильную дробь .
Сократите полученную дробь и сравните её .
Правда , в некоторых случаях выбирать не приходится , поскольку обыкновенную дробь преобразовать в десятичную можно не всегда .
Теперь ясно , что дробь можно сократить на разность .
Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде десятичной .
239 Смешанная дробь записана в виде суммы . , где буквами а , b и с обозначены .
Но есть и другая возможность : дробь — обращается в десятичную ( объясните почему ) , поэтому задачу можно свести к сравнению двух десятичных дробей .
925 Сократите дробь .
Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной , то её знаменатель содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Можно также представить дробь 0,54 в виде обыкновенной и затем с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные дроби попарно .
10 Сократите дробь .
Можно ли сократить дробь .
Так , дробь — в выражение частное была преобразована в сумму .
Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной , то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Представим а9 в виде произведения а0а4 , тогда дробь можно будет сократить на общий множитель а5 .
920 Сократите дробь .
927 Сократите дробь .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Выразите десятичной дробью массу снежинки .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
11 Выразите десятичной дробью : 42 % , 30 % , 8 % , 19,3 % , 0,7 % .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Правило выражения процентов десятичной дробью .
Поскольку проценты выражаются дробями , то задачи на проценты , по существу , являются теми же задачами на дроби .
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с целыми числами , а с дробями .
При этом всегда полезно подумать , с какими дробями удобнее иметь дело .
Выразите эти проценты десятичными дробями .
Конечно , удобнее было бы иметь дело с десятичными дробями .
238 Выполните действия с дробями , записанными в буквенном виде .
Обратите внимание на то , что в ходе вычислений мы обращались с единицами , в которых выражена величина , так же , как и с дробями .
И всё - таки можно воспользоваться десятичными дробями .
Части городского бюджета , предназначенные для нужд города , выражаются следующими десятичными дробями : 0,04 ; 0,27 ; 0,3 ; 0,255 ; 0,0006 .
Вычисления с целыми числами проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от дробей .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
596 В компьютере каждый символ кодируется последовательностью , состоящей из восьми цифр — нулей и единиц .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
( Ответ округлите до единиц . ) .
Обратите внимание на то , что в ходе вычислений мы обращались с единицами , в которых выражена величина , так же , как и с дробями .
Выразите данные величины в одних и тех же единицах .
Эта величина , показывающая , какая работа выполняется в единицу времени , имеет специальное название — производительность работы .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
При вычислениях по формулам необходимо следить за тем , чтобы единицы , в которых выражены входящие в них величины , были согласованы между собой .
д. Каждый кубик покрасили и разрезали на единичные кубики .
Напомним , что единичные отрезки по осям координат берутся равными .
Напомним , что единичные отрезки по осям координат берутся равными .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и единичный отрезок .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и единичный отрезок .
Сколько получилось единичных кубиков ? .
а ) замкнутый луч с началом в точке 2 ( сколько существует таких лучей ? ) .
Неравенствами х 3 и х 3 также задаются лучи — открытый и замкнутый .
Такое множество точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют замкнутым лучом .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
расстояние от Земли до звезды Сириус равно г ) диаметр атома водорода равен мм .
2 зерна , на третью — ещё в 2 раза больше , т .
4 зерна , и т .
Эта сумма равна огромному числу 18 446 744 073 709 551 615 , и она столь велика , что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты , включая Мировой океан .
Рассказывают , что изобретатель шахмат в награду за своё изобретение попросил у раджи немного зёрен пшеницы : на первую клетку доски он попросил положить 1 зерно , на вторую — в 2 раза больше , т .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Перед скобками стоит знак « - » .
Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит знак « » и знак « - » .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит знак « » и знак « - » .
48 Не выполняя вычислений , определите знак результата .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Вы , наверное , догадались , что знак читается как « меньше или равно » ; его также можно прочитать и как « не больше » .
Эти правила называют правилами раскрытия скобок , перед которыми стоит знак « » или « - » .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
От чего зависит знак степени с отрицательным основанием ?
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Отсюда понятно правило : в уравнении можно перенести слагаемое из одной части в другую , изменив при этом его знак на противоположный .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Может быть , именно из - за быстрого роста факториалов восхищённый изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак .
4 Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит знак « » или « - » .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
А вместо коэффициента -1 просто ставят знак « - » .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части уравнения , при этом его знак изменился с « минуса » на « плюс » .
4 Какой знак может иметь степень с отрицательным основанием ?
83S Заключите два последних слагаемых в скобки , поставив перед ними знак « - » , и затем выполните разложение на множители .
Рассмотрите ещё несколько зависимостей , которые задаются равенствами , содержащими знак модуля , и постройте их графики .
Вы знаете , что если перед числом поставить знак « - » , то получится число , ему противоположное .
Запишите предложения с помощью знака модуля .
С помощью одного знака — точки или тире — можно закодировать 2 буквы .
Можно ли обойтись последовательностями не более чем в 4 знака , чтобы закодировать все буквы русского алфавита ? .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его значение .
После первого знака опять можно поставить точку или тире .
Прежде всего освободимся от знака модуля .
Не меняя ни одного знака , расставьте скобки так , чтобы выполнялось равенство .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от знака а ) откладывается отрезок , равный .
Если в качестве знака деления использовать черту дроби , то равенство примет такой вид .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
тремя знаками можно закодировать букв .
Заметим , что подобные слагаемые можно группировать мысленно , выделяя их специальными знаками .
Так как то выражение , противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными знаками .
В алгебраической сумме , как мы видели , слагаемые « путешествуют » вместе со своими знаками .
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки сложения перед скобками .
Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стёрли знаки между слагаемыми .
Буквы и другие знаки появились в математике не сразу , а в результате её длительного развития .
Перенося члены уравнения из одной части в другую , мы в одной части их « уничтожаем » , но зато в другой « восстанавливаем » , меняя при этом их знаки на противоположные .
Сколько знаков она наберёт за 5 мин , если будет работать с той же скоростью ? .
Ольга может за 30 с набрать на компьютере 160 знаков .
Понятно , что , чем короче последовательность знаков , обозначающая букву , тем лучше .
С помощью указанного правила можно преобразовывать не только « чистые » суммы , но и смешанные выражения , составленные с помощью знаков « » и « - » .
Из буквенных выражений с помощью знаков действий и скобок составляют другие буквенные выражения .
А в русском алфавите 33 буквы , значит , придётся использовать последовательности из пяти знаков .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
Итак , последовательностями из одного , двух , трёх или четырёх знаков ( точек и тире ) можно закодировать букв .
Значит , с помощью двух знаков можно закодировать буквы .
С помощью четырёх знаков ( точек и тире ) можно закодировать букв .
Выскажите предположение , какие буквы русского алфавита в азбуке Морзе кодируются последовательностью из пяти знаков .
Из каждой последовательности из двух знаков получаются ещё две приписыванием точки или тире , т .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Поэтому , раскрывая скобки , запишем каждое слагаемое а , b и -с с противоположным знаком .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Исходное и преобразованное выражения соединяют знаком « » и называют тождественно равными или просто равными .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
Вообще шансы имеет смысл сравнивать как дроби : в знаменателе дроби — сколько всего возможно исходов , в числителе — сколько из них отвечают конкретному событию .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Числитель и знаменатель дроби можно разделить на общий множитель а8 .
Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей , отличных от 2 и 5 , то эту дробь можно записать в виде десятичной .
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37 ?
Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной , то её знаменатель содержит простые делители , отличные от 2 и 5 .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
Разложим числитель и знаменатель данной дроби на множители .
Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители , отличные от 2 и 5 , то эту дробь нельзя записать в виде десятичной .
Для этого разделим числитель каждой из них на знаменатель , причём техническую работу , т .
Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной , то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5 .
Для этого приведём их к общему знаменателю .
Приведём их к общему знаменателю .
262 Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите её .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую дробь вида можно заменить суммой частных — и числовое значение останется тем же .
61 Из выражений выберите такое , значение которого равно значению выражения .
814 Найдите значение выражения .
50 Зная , что 282 784 , найдите значение каждого из выражений .
51 Запишите выражение и найдите его значение .
Значение выражения в 3 раза меньше значения выражения .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных .
Вынесите общий множитель за скобки и вычислите значение выражения .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
Числовое значение от этого не изменится .
Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил значение выражения х2 х и получил по условию число 90 .
Используя рассмотренный способ , найдите значение выражения .
Найдите значение выражения при заданном значении переменной .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых значениях букв то же значение , что и исходное .
370 При каких значениях х : а ) значение выражения ; б ) значение выражения ? .
Чему равно значение дроби , если .
370 При каких значениях х : а ) значение выражения ; б ) значение выражения ? .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
372 Найдите значение переменной , при котором .
Запишите ответ , используя степень числа 2 , и вычислите значение получившегося выражения .
10 Найдите значение выражения .
Таким образом , значение выражения при равно -2,1 .
817 Найдите значение выражения .
1 Найдите значение выражения .
Чему равно значение выражения .
Вспомните , что сочетательный закон сложения гласит : от изменения расстановки скобок в сумме её значение не меняется .
639 Найдите значение данного многочлена .
580 Найдите значение выражения .
Докажите , что значение выражения .
756 Найдите значение выражения .
7 Найдите значение степени .
638 Найдите значение выражения .
Разберите , как найдено значение степени 28 во фрагменте 1 .
659 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
и найдите его значение .
Числовое значение будет одно и то же .
Это равенство показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое значение при этом не изменится .
С помощью какого приёма удобно найти значение данного выражения ?
3 Найдите значение выражения .
5 Найдите значение выражения .
843 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
б Найдите значение выражения .
618 Найдите значение выражения при заданных значениях переменной .
13 Вычислите 14 Найдите значение выражения .
637 Найдите значение выражения .
Парабола симметрична относительно оси ординат , так как противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у.
а ) Делится ли значение выражения .
А значение выражения 15 ! , которого нет в таблице , превосходит 1012 , а именно .
122 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его значение .
Вычислите значение выражения при а 1,5 , b 0,7 , с -0,5 .
Если , например , коэффициент роста будет другим , то достаточно подставить в это выражение вместо х его значение и выполнить вычисления .
Подставьте вместо букв заданные числа и найдите значение выражения .
4 Найдите значение выражения .
Найдите значение каждого из выражений .
а ) значение выражения в 2 раза больше значения выражения .
300 Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях букв .
27 Найдите значение выражения .
Заметим , что вычислить значение выражения можно не всегда .
120 Найдите значение выражения .
Найдите значение выражения при .
31 Убедитесь , что при данных значениях х , у , z значение выражения равно 1 .
г ) Что в соответствии с условием задачи означает найденное значение х , равное 9 ?
794 Найдите значение выражения .
Найдите значение выражения .
Найдите значение выражения комментируйте каждый шаг .
Найдём значение выражения .
Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
Не забудьте , что , используя найденное значение х , надо ещё найти расстояние от дома до школы .
328 Найдите значение выражения .
Пользуясь им как образцом , найдите значение выражения .
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение выражения .
792 Найдите значение выражения .
532 Чему равно значение выражения ? .
Сколько действий надо выполнить , чтобы вычислить значение выражения .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
Найдите значение выражения при заданном значении переменной .
При каком значении k верно равенство .
537 При каком значении k верно равенство .
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком значении х значения выражений противоположны ? .
А вот уравнение вообще не имеет корней , так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
15 При каком значении х верно равенство .
Укажите промежутки значений х , в которых прямая расположена выше кубической параболы .
Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных величин ?
Арифметика — наука о числах , основные её задачи связаны с вычислением значений числовых выражений .
Найдём несколько пар соответственных значений v и t .
Из данных значений а назовите какое - нибудь одно , при котором .
Решение уравнения — это поиск тех значений переменной , при которых получается верное равенство .
В каждом случае составьте таблицу значений х и у.
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
Составьте таблицу соответственных значений х и у и постройте по точкам график этой зависимости .
Каждая переменная в формуле связана с множеством значений , которые она может принимать .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Для этого . Вычислите значения у для указанных значений х и заполните таблицу .
Значит , если у нас есть ряд данных , то для обоснованных выводов и надёжных прогнозов на их основе , помимо средних значений , надо ещё указать , насколько используемые данные различаются между собой .
Для выражения назовите несколько пар значений тип , для которых выражение не имеет смысла .
Выберите из данных значений а и b такие , при которых .
Составьте таблицу соответственных значений х и у по графику .
Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин ? .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
61 Из выражений выберите такое , значение которого равно значению выражения .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны значению выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений , значения которых можно найти , пользуясь таблицей степеней числа 3 .
Найдите значения выражений .
Температура на Меркурии колеблется от наименьшего значения -150 ° до наибольшего значения 350 ° .
Найдите в таблице значения а , при которых выполняется условие .
Так , в формуле s vt переменные могут принимать только положительные значения .
значение выражения в 3 раза меньше значения выражения .
Будем последовательно переходить от одного значения величины к другому , пока не получим нужный результат : 16 человек за 20 дней собрали 180 т ; 1 человек за 20 дней соберёт в 16 раз меньше .
Более того , эти значения находятся в ограниченном промежутке .
Например , если этой формулой описывается движение пешехода , то значения скорости v не могут превосходить 5—6 км / ч .
а ) значение выражения в 2 раза больше значения выражения .
Какие значения могут принимать переменные тип ? .
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком значении х значения выражений противоположны ? .
А в формуле Р pt , выражающей зависимость объёма выполненной каменщиком работы от производительности и времени , переменные Р и р могут принимать только натуральные значения .
Помимо размаха , во многих случаях важны сами наибольшие или наименьшие значения данных .
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений .
Какие значения могут принимать переменные а и b ? .
Из выражений ( 3,4 - 2,8)3 , -(2,8 - 3,4)3 , -(3,4 - 2,8)3 выберите те , значения которых противоположны значению выражения ( 2,8 - 3,4)3 ; равны ему .
Используйте полученный результат для вычисления значения выражения .
324 В выражениях поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений .
Для этого . Вычислите значения у для указанных значений х и заполните таблицу .
Какие значения могут принимать переменные n и N ?
Подставим в выражение значения и выполним вычисления .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
Какие значения могут принимать переменные в формуле стоимости покупки учебников , которой вы пользовались в предыдущем задании ? .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
52 Найдите значения выражений .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
Чтобы использовать калькулятор для вычисления значения многочлена этот многочлен удобно представить в таком виде .
Сравните значения выражений .
в ) значение выражения на 10 больше значения выражения . г ) значение выражения на 2 меньше значения выражения .
Температура на Меркурии колеблется от наименьшего значения -150 ° до наибольшего значения 350 ° .
При каких значениях переменной равны значения выражений .
123 Сравните значения выражений .
Такие значения переменной , как вы знаете , называют корнями уравнения .
Занимаясь математикой , вы узнали много формул , описывающих зависимости между различными величинами , и научились с их помощью вычислять значения одних величин по значениям других .
Занимаясь математикой , вы узнали много формул , описывающих зависимости между различными величинами , и научились с их помощью вычислять значения одних величин по значениям других .
Парабола симметрична относительно оси ординат , так как противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у.
В самом деле , заменим дроби и 75 их приближёнными десятичными значениями .
Легко понять , что допустимыми значениями букв а и b для выражения — являются любые пары чисел , при которых , т .
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных .
При каких значениях х парабола лежит выше прямой ?
370 При каких значениях х : а ) значение выражения ; б ) значение выражения ? .
Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
618 Найдите значение выражения при заданных значениях переменной .
Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим выражением , принимающим при любых допустимых значениях букв то же значение , что и исходное .
В самом деле , при таких значениях а и b пришлось бы делить на 0 , а значит , в этом случае выражение не имело бы смысла .
При каких значениях n событие А — невозможное , а при каких — достоверное ? .
659 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
300 Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях букв .
16 При каких натуральных значениях х верно неравенство .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных .
122 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
При каких значениях переменной равны значения выражений .
При каких значениях х выполняется равенство .
843 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
31 Убедитесь , что при данных значениях х , у , z значение выражения равно 1 .
Рассказывают , что изобретатель шахмат в награду за своё изобретение попросил у раджи немного зёрен пшеницы : на первую клетку доски он попросил положить 1 зерно , на вторую — в 2 раза больше , т .
Число зёрен , которое потребовал в награду изобретатель шахмат , выражается суммой .
129 Школьная баскетбольная команда из 16 игр , сыгранных на соревнованиях за год , выиграла 12 .
Сколько игр ей надо выиграть , чтобы её результат в процентном отношении оказался по крайней мере не хуже ? .
Один выигрывает при появлении события А , а другой — при появлении события В. Используя полученные статистические данные , определите , справедлива ли эта игра .
Исходя из статистических данных , полученных в результате экспериментов , определите , справедлива ли такая игра .
Как вы считаете , справедливо ли использование кубика в настольных играх ? .
Понятно , что в такой ситуации выигрышная стратегия — начать игру с самой распространённой в русском языке буквы .
В следующем году она планирует сыграть на соревнованиях 22 игры .
Когда перед началом игры игроки хотят договориться , кто из них сделает первый ход , то обычно подбрасывают монету .
слова « интеграл » ? .
941 Из колоды карт вынимают одну карту .
в ) выпадание одного очка и шести очков при бросании кубика . г ) вынимание из колоды карт туза и вынимание шестёрки . д ) попадание и промах при стрельбе по мишени . е ) выпадение снега и выпадение дождя 1 января в том регионе , где вы живёте ? .
В : из колоды карт вынута карта чёрной масти .
Из колоды в 36 карт наугад вытягивают одну .
Из перетасованной колоды карт вынимают одну карту .
Дама пик — одна из карт пиковой масти , поэтому событие В влечёт за собой событие А. У события С четыре исхода : дама пик , дама крестей , дама червей и дама бубен .
В : вам кто - нибудь позвонит с 5 до 6 часов утра . б ) А : из колоды карт вынута карта красной масти .
В : вам кто - нибудь позвонит с 5 до 6 часов утра . б ) А : из колоды карт вынута карта красной масти .
В : вынута карта бубновой масти . б ) Сколько исходов имеет событие С : вынута карта старше дамы ? .
С : эта карта бубновой масти .
А : вынутая карта — туз .
В : из колоды карт вынута карта чёрной масти .
А : вынута карта пиковой масти .
В : эта карта красной масти .
В : вынута карта бубновой масти . б ) Сколько исходов имеет событие С : вынута карта старше дамы ? .
А : на этой карте — король .
182 Масштаб карты 1 5 000 000 . а ) Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см. Чему равно это расстояние в действительности ? .
Чему равно это расстояние на карте ? .
941 Из колоды карт вынимают одну карту .
дисконтную карту на год , которая даёт право на 10 % скидки при покупке товаров в этом магазине .
Из перетасованной колоды карт вынимают одну карту .
На какую минимальную сумму необходимо приобрести товаров за этот год , чтобы покупка дисконтной карты оправдалась ? .
182 Масштаб карты 1 5 000 000 . а ) Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см. Чему равно это расстояние в действительности ? .
И в этой же точке , как говорят математики , парабола касается оси абсцисс .
Теперь ясно , что данный трёхчлен может быть получен в результате возведения в квадрат двучлена или двучлена Таким образом .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
Пользуясь выведенной формулой , возведите в квадрат .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Выделите квадрат двучлена .
Используя формулу квадрата двучлена , возведите в квадрат трёхчлен .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
558 Возведите в квадрат и в куб выражение .
Иногда трёхчлен удаётся « свернуть » в квадрат двучлена .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Заметим , что для возведения в квадрат двучлена х - 0,5с можно воспользоваться и формулой квадрата суммы .
53 а ) Объём пирамиды , в основании которой квадрат . вычисляется по формуле V -a2h .
727 Представьте квадрат двучлена в виде трёхчлена .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически , изобразив квадрат со стороной .
возведение двучлена в квадрат .
Трёхчлен можно разложить на множители , выделив квадрат двучлена .
Борис предложил ему возвести это число в квадрат , после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
С помощью полученной формулы возведите в квадрат .
Таким образом , мы видим , что при возведении в квадрат двучлена получается трёхчлен .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
в ) квадрат разности т и 3 . г ) разность квадратов а и с .
728 Выполните возведение в квадрат .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
569 Возведите в квадрат и в куб выражение .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
С помощью полученной формулы можно возводить в квадрат сумму любых двух выражений .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Как вы знаете , квадрат любого числа положителен или равен нулю , т .
Докажите , что если сторону квадрата увеличить в 10 раз , то его площадь увеличится в 100 раз .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его квадрата делится на 2 .
Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше , а другая на 6 см меньше стороны квадрата .
7 Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их .
732 Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена .
а ) периметра квадрата от длины его стороны .
б ) площади квадрата от длины его стороны .
Сторону квадрата увеличили в 3 раза .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
а ) Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена .
формула квадрата разности .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
Запишите формулы квадрата суммы и квадрата разности .
Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части квадрата , получившейся на десятом шаге ; на сотом шаге .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Утверждение , которое выражается формулой квадрата суммы , было известно ещё в древности .
Выясним , можно ли представить в виде квадрата двучлена трёхчлен .
12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM1 .
Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
Можно ли представить в виде квадрата суммы или разности трёхчлена .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM1 .
571 Какое из выражений нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
7.5 Формулы квадрата суммы и квадрата разности .
7.5 Формулы квадрата суммы и квадрата разности .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Используя формулу квадрата двучлена , возведите в квадрат трёхчлен .
750 Представьте в виде квадрата двучлена .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена выражение .
Площадь квадрата на 63 см2 больше площади прямоугольника .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
12 Какое из данных выражений нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
Мы получили формулу квадрата суммы .
Найдите площадь квадрата .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Обозначим сторону квадрата буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового квадрата равна .
Заметим , что для возведения в квадрат двучлена х - 0,5с можно воспользоваться и формулой квадрата суммы .
Под строительство был отведён участок земли , имеющий форму квадрата .
Тогда сумма этого числа и его квадрата будет .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны квадрата .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны квадрата .
Аналогично можно получить формулу квадрата разности .
7 Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их .
13 Площадь прямоугольника равна площади квадрата .
Запишите формулы квадрата суммы и квадрата разности .
Формула квадрата разности . — — суммы .
Обозначим сторону квадрата буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового квадрата равна .
808 Если каждую из сторон земельного участка , имеющего форму квадрата , уменьшить на 3 м , то получится участок , площадь которого будет меньше площади исходного участка на 81 м2 .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена выражение .
10 Представьте в виде квадрата двучлена .
13 На сколько процентов площадь квадрата AKLM меньше площади квадрата ABCD ? .
13 На сколько процентов площадь квадрата AKLM меньше площади квадрата ABCD ? .
У одной из них дно квадратное , а у другой — прямоугольное .
777 Картинку квадратной формы наклеили на белую бумагу , в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на 460 см2 больше , чем она занимала без окантовки .
Длина прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона квадратной формы .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
648 Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части .
Запишите соответствующие выражения для остальных квадратов на рисунке .
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
847 Какие из выражений можно разложить на множители , применив формулу разности квадратов .
Найдем отношение площадей квадратов .
928 Представьте выражение в виде многочлена , используя формулу разности квадратов .
Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы разности квадратов .
Сумма квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
группировка . 3 ) формула разности квадратов .
в ) квадрат разности т и 3 . г ) разность квадратов а и с .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
Вам уже известны формулы квадратов суммы и разности , вы не раз применяли их на уроках математики .
Теперь можно воспользоваться формулой разности квадратов .
— разности квадратов . — — кубов . — суммы кубов .
Формула разности квадратов фактически является ещё одной формулой сокращённого умножения .
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности квадратов , суммы и разности кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
4 Запишите формулу разности квадратов и докажите её .
Мы получили формулу разности квадратов .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Приведём примеры применения формулы разности квадратов .
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
Двучлен представляет собой разность квадратов .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
8.3 Формула разности квадратов .
Запишите формулу разности квадратов и прочитайте её ( фрагмент 1 ) .
Можно ли применить формулу разности квадратов к выражению .
Мы заменили сумму равным выражением , переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой разности квадратов .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
Разность квадратов .
применив формулу разности квадратов .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
Это можно сделать , воспользовавшись знакомой вам формулой разности квадратов .
Запишите формулу разности квадратов справа налево и прочитайте её ( фрагмент 2 ) .
8 Какое из выражений нельзя разложить на множители , используя формулу разности квадратов ? .
Представим выражение в виде разности квадратов и воспользуемся соответствующей формулой .
В этой формулировке выражение названо неполным квадратом .
называли прямоугольником , выражение а2 — квадратом .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
Такое название принято из - за его внешнего сходства с выражением , равным квадрату суммы .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
734 Подберите такое k , чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена .
Найдите площадь кольца , если .
1 Площадь кольца S можно вычислить по формуле .
1 Баскетболист на тренировке учился бросать мяч в кольцо .
Какова частота попаданий в кольцо на тренировке ? .
Выполнив 50 бросков , он попал в кольцо 36 раз .
606 Сколько существует анаграмм слова : а ) « факториал » ; б ) « перестановка » ; в ) « комбинаторика » ? .
Правило умножения комбинаторное .
6.3 Решение комбинаторных задач .
Правило умножения очень полезно при решении многих комбинаторных задач , однако его нельзя применять механически , не задумываясь над смыслом и вопросом задачи .
При решении комбинаторных задач приходится отвечать на вопросы типа : « Сколькими способами ? » , « Сколько существует вариантов ? » .
Полученные знания пригодятся вам в самых разных областях математики , в том числе в решении комбинаторных задач , которому посвящена вторая половина главы .
Давайте исследуем эту проблему на примере комбинаторных задач на « перестановки по кругу » .
б ) Сколько компакт - дисков купил Николай , если он заработал в 2 раза больше денег , чем Виктор , и купил диски по цене , в 1,5 раза большей ? .
а ) Сколько компакт - дисков он мог бы купить на эти деньги , если бы их цена была в 1,5 раза меньше ?
168 На заработанные в каникулы деньги Виктор может купить 6 одинаковых по цене компакт - дисков с любимыми фильмами .
Использование степеней делает выражение более компактным , « обозримым » .
А в незнакомой вам пока знаменитой формуле Альберта Эйнштейна Е тс2 , выражающей зависимость между массой тела и энергией , которой оно обладает , буква с — это константа , равная скорости света .
Говорят , что к — это постоянная ( или константа — от латинского constantis , означающего « постоянная » ) .
в ) начала координат .
В той же системе координат постройте « кривую популярности » низкокаблучников .
благодаря серьёзным успехам в области алгебры зародился мощный математический инструментарий - метод координат .
Идея координат принадлежит к числу древнейших достижений человеческой мысли , но только в XVII в .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности их координат .
Метод координат - это способ перевода геометрической задачи на язык алгебры , после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат алгебры .
Обнаружив записку , они смогли разобрать только одну из географических координат — широту того места , где корабль потерпел кораблекрушение .
495 В одной системе координат постройте параболу и прямую .
А пока при изучении этой главы вам предстоит научиться свободно ориентироваться в системе координат , анализировать информацию , представленную графически , приобрести элементарные навыки перевода с геометрического языка на алгебраический и наоборот .
Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями координат .
Вернёмся к прямоугольной системе координат на плоскости .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
А если нам известна только одна из координат точки на плоскости ?
В дальнейшем вы тоже познакомитесь с методом координат .
Кубическая парабола симметрична относительно начала координат .
Напомним , что единичные отрезки по осям координат берутся равными .
Расскажите , как найдена координата середины отрезка в примере из фрагмента 2 .
Напомним , что координата точки записывается в скобках .
Если нам известна координата точки А на прямой , то мы знаем и расстояние от этой точки до начала отсчёта , т .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Пусть задана только одна координата точки , например , известно , что у 2 .
а ) с отрицательными координатами . б ) с неотрицательными координатами .
а ) с отрицательными координатами . б ) с неотрицательными координатами .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Найдите точку с целой положительной координатой , принадлежащую отрезку .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Число а в таком случае называют координатой построенной точки .
Рассмотрим множество точек координатной прямой , имеющих координату , большую 3 , а значит , расположенных правее точки 3 .
Найдём координату середины отрезка , концами которого служат точки А(-11,5 ) и Б(3,9 ) .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Сколько точек имеют целую неотрицательную координату ? .
Найдите координату середины отрезка АВ для каждого случая .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
Найдите координату точки К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
454 а ) Найдите координату точки С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
456 Точка А имеет координату , равную -4 , а точка В — координату , равную 18 .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Найдите координату точки М , если известно , что .
456 Точка А имеет координату , равную -4 , а точка В — координату , равную 18 .
Оказывается , в математике есть специальная формула для решения этой задачи : если точки А и Б имеют соответственно координаты .
Постройте точки , координаты которых занесены в таблицу .
2 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
Найдите координаты этих точек .
499 Найдите координаты общих точек графиков зависимостей .
Каким соотношением связаны координаты точек этой параболы ? .
Например , точки А , В , С , D , имеют соответственно координаты это их « адреса » на координатной прямой .
497 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
490 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
489 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Вычислим координаты нескольких точек , удовлетворяющих равенству у х. и заполним таблицу .
438 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
Отметим на координатной плоскости несколько точек , имеющих равные координаты , например А(0 ; 0 ) , В(1 ; 1 ) , С(-2 ; -2 ) , D(0,5 ; 0,5 ) .
470 Неравенства х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её точки имеют неотрицательные координаты .
467 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
Координаты которых удовлетворяют равенству у х ? .
Координаты которых удовлетворяют равенству .
466 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Чтобы построить график , вычислим сначала координаты нескольких его точек и занесём результаты в таблицу .
Найдите координаты точек пересечения этих графиков .
Назовите координаты каких - нибудь пяти точек , которые принадлежат этому прямоугольнику , и пяти точек , которые ему не принадлежат .
Построим теперь на координатной плоскости множество точек , координаты которых связаны более сложным соотношением — равенством .
Значит , множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Назовите координаты нескольких точек , принадлежащих этому графику .
472 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
496 Найдите координаты точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
Пусть теперь на прямой заданы две произвольные точки А и В. Как , зная их координаты , найти расстояние между ними , т .
Точно так же множество точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
Можно вычислить координаты других точек , удовлетворяющих равенству и отметить их на координатной плоскости .
511 Изобразите на плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
Найдите зависимость , связывающую координаты точек построенной прямой , и задайте её алгебраически .
501 Постройте на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Назовите координаты ещё двух точек , принадлежащих этому графику , и двух точек , не принадлежащих ему .
485 Постройте множество точек плоскости , координаты которых связаны соотношением .
458 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
Найдите координаты точек , которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
Пусть координаты связаны соотношением .
Укажите координаты нескольких точек , принадлежащих этому графику .
Найдите зависимость , которой удовлетворяют координаты точек этой прямой .
Какая зависимость связывает координаты точек этой прямой ?
512 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
единственный корень , равный .
один корень . 2 )
413 Найдите натуральный корень уравнения .
Уравнение , которое мы решали в предыдущем пункте , имеет только один корень — число 9 .
Таким образом , уравнение ; имеет корень , равный 2 .
Русское слово « корень » в данном случае — это яркий пример метафоры в математическом языке : вспомните , как при решении текстовой задачи алгебраическим способом уравнение как бы вырастает из неизвестного числа х .
Найдите корень уравнения .
5 Каким числом является корень уравнения .
Найдите а , если известно , что корень уравнения равен .
два корня . 3 ) нет корней .
При этом множество корней уравнения не изменится .
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
А вот уравнение вообще не имеет корней , так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
Что представляет собой множество корней уравнения .
Итак , подбор одного или даже нескольких корней вовсе не означает , что нет других .
Укажите ещё несколько корней этого уравнения .
2 Соотнесите каждое уравнение с числом его корней .
355 Укажите множество корней уравнения .
уравнение не имеет корней .
353 Объясните , почему уравнение не имеет корней .
416 Один из корней уравнения натуральный .
Можно сказать и так : решить уравнение — значит найти множество его корней .
Определите , является ли число -2 корнем данного уравнения ; обоснуйте ответ .
1 Что называется корнем уравнения ?
Например , корнем уравнения , в обеих частях которого стоят равные выражения , является любое число .
а ) корнем уравнения является любое число .
354 Проверьте , что число 10 является корнем уравнения а число — 10 его корнем не является .
а ) число 4 является корнем уравнения .
354 Проверьте , что число 10 является корнем уравнения а число — 10 его корнем не является .
число — 3 является корнем уравнения .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося уравнения было целое число .
349 Является ли корнем уравнения число .
г ) число -2 является корнем уравнения .
373 Придумайте несколько уравнений , корнем каждого из которых .
Является ли корнем уравнения .
в ) число 4 является корнем уравнения .
Что называется корнем уравнения ?
Найдите корни уравнения .
415 Найдите целые корни уравнения .
906 Найдите корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
425 Имеет ли корни уравнение .
414 Найдите все целые корни уравнения .
Учитывая сказанное , мы можем уточнить смысл слов « решить уравнение » : решить уравнение — значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет .
910 Найдите корни уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
18 Найдите корни уравнения .
Но уравнение может иметь и более одного корня .
Таким образом , уравнение имеет два корня .
Например , у уравнения х2 9 два корня — это числа — 3 и 3 .
два корня . 3 ) нет корней .
82 а ) Представьте в виде круговой диаграммы состав лекарственного сбора : корня солодки — 27 % , корня алтея — 29,8 % , листьев шалфея — 14,4 % , плодов аниса — 14,4 % , почек сосны — 14,4 % .
82 а ) Представьте в виде круговой диаграммы состав лекарственного сбора : корня солодки — 27 % , корня алтея — 29,8 % , листьев шалфея — 14,4 % , плодов аниса — 14,4 % , почек сосны — 14,4 % .
Таким образом , уравнение имеет два корня : -1 и 1 .
350 Какие из чисел 1 , 2 , 0 , — 1 , -2 являются корнями уравнения .
Такие значения переменной , как вы знаете , называют корнями уравнения .
1 Какие из чисел -3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3 являются корнями уравнения .
В рассмотренных линейных уравнениях коэффициент а при переменной отличен от нуля .
Как принято записывать произведение , у которого коэффициент равен 1 ?
Если , например , коэффициент роста будет другим , то достаточно подставить в это выражение вместо х его значение и выполнить вычисления .
Обратите внимание : коэффициент слагаемого аb равен 1 , так как .
Заметьте : коэффициент слагаемого -с равен -1 , так как Таким образом .
Обозначив 1,1 ( коэффициент роста ) буквой х , мы можем записать общую сумму на счёте с помощью многочлена .
Чему равен коэффициент произведения ?
3 Чему равен коэффициент в каждом из произведений .
Чему равен его коэффициент ? .
Заметим , что коэффициент , равный 1 , обычно не пишут : равенство является законом алгебры .
256 Упростите произведение и назовите коэффициент .
Чему равен коэффициент пропорциональности ? .
161 ; Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются прямой пропорциональностью , и объясните смысл коэффициента пропорциональности .
А вместо коэффициента -1 просто ставят знак « - » .
Найдём сумму коэффициентов подобных слагаемых первой группы .
Теперь найдём сумму коэффициентов слагаемых второй группы .
Так , в выражении -20ху числовой множитель -20 является коэффициентом .
Формулу называют формулой прямой пропорциональности , а число k — коэффициентом пропорциональности .
Числовой множитель одночлена , записанного в стандартном виде , называют коэффициентом одночлена .
Представьте , что вы открыли счёт с коэффициентом роста х и один раз в год вносите на этот счёт 1000 р .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
Тогда в скобках остаётся многочлен , члены которого не содержат общих буквенных множителей , а их коэффициенты не имеют общих натуральных делителей , отличных от 1 .
Чтобы привести подобные слагаемые , нужно : сгруппировать эти слагаемые ; сложить их коэффициенты .
Назовите все члены многочлена и коэффициенты членов , содержащих буквенные множители .
Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей , т .
Если бы мы продолжили таблицу , то оно попало бы в столбец , где находятся степени 24 , 28 , 212 , показатели которых кратны четырём .
509 В экономических исследованиях часто используется кривая спроса — график , который показывает , как зависит спрос на товар от его цены .
Представив данные соответствующей таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки , постройте « кривую популярности » высококаблучников .
Представив данные таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки плавной линией , начертите кривую спроса на яблоки .
В той же системе координат постройте « кривую популярности » низкокаблучников .
Сопоставьте эти кривые .
Сколькими различными способами они могут встать в круг ? .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
Изобразим с помощью кругов Эйлера , как соотносятся друг с другом следующие события .
Изобразите с помощью кругов Эйлера , как эти события соотносятся друг с другом .
Изобразите отношение событий С и D из примера 1 с помощью кругов Эйлера .
Когда из наступления события В обязательно следует наступление события А , то говорят , что В влечёт за собой А , и оно , естественно , будет менее вероятно , чем А. С помощью кругов Эйлера такое отношение событий показано .
Давайте исследуем эту проблему на примере комбинаторных задач на « перестановки по кругу » .
558 Возведите в квадрат и в куб выражение .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
9 Возведите в куб выражение .
569 Возведите в квадрат и в куб выражение .
12 Какое из данных выражений нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
747 Выведите формулу куба суммы .
в ) Длину ребра куба увеличили в 10 раз .
б ) Во сколько раз увеличится объём куба , если его ребро увеличить в n раз ? .
748 Выведите формулу куба разности .
571 Какое из выражений нельзя представить ни в виде квадрата , ни в виде куба ? .
5 Запишите формулу разности кубов и докажите её .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
Преобразуйте второй многочлен так , чтобы можно было применить формулу разности или суммы кубов .
Запишите формулы разности кубов и суммы кубов ; прочитайте эти формулы .
Формула суммы кубов выглядит так .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
Выполните умножение , используя формулу суммы кубов или разности кубов .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
Двучлен можно представить в виде разности кубов .
Запишите формулы разности кубов и суммы кубов ; прочитайте эти формулы .
Выполните умножение , используя формулу суммы кубов или разности кубов .
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов .
5 Примените для разложения на множители , если это возможно , формулу суммы или разности кубов .
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности квадратов , суммы и разности кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
6 Запишите формулу суммы кубов и докажите её .
Вспомним , например , известную вам формулу разности кубов .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Формулой разности кубов называют равенство .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Вычислите сумму кубов натуральных чисел для .
8.4 Формулы разности и суммы кубов .
— разности квадратов . — — кубов . — суммы кубов .
649 Сумму кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
12 Какой двучлен можно разложить на множители , используя формулу суммы кубов ? .
— разности квадратов . — — кубов . — суммы кубов .
Теперь применим формулы разности и суммы кубов .
Разложение на множители можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде разности кубов .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6 .
Приведите пример линейного уравнения .
Уравнение . — линейное .
Уравнение вида , где а и b — числа , ах — переменная , называют линейным .
4 Какое уравнение называется линейным ?
В рассмотренных линейных уравнениях коэффициент а при переменной отличен от нуля .
Таким образом , график зависимости это ломаная , образованная двумя лучами .
Полученные точки соединены ломаной , которая при увеличении числа экспериментов становится практически горизонтальной прямой .
516 Постройте ломаную ABCD по описанию её звеньев .
Замкнутый луч .
Этот луч можно задать неравенством х 3 .
Открытый луч .
Луч , расположенный в I координатном углу .
Мы уже знаем , что на координатной прямой неравенству х 3 соответствует открытый луч .
Слово « луч » подсказано геометрией , а открытым его называют потому , что граничная точка 3 ему не принадлежит ( на рисунке такую точку обозначают светлым кружком ) .
а ) замкнутый луч с началом в точке 2 ( сколько существует таких лучей ? ) .
б ) открытый луч с началом в точке -1 ( сколько существует таких лучей ? ) .
Луч , расположенный во II координатном углу .
открытого луча и замкнутого луча ?
открытого луча и замкнутого луча ?
Таким образом , график зависимости это ломаная , образованная двумя лучами .
а ) замкнутый луч с началом в точке 2 ( сколько существует таких лучей ? ) .
б ) открытый луч с началом в точке -1 ( сколько существует таких лучей ? ) .
Неравенствами х 3 и х 3 также задаются лучи — открытый и замкнутый .
Рассмотренные множества — лучи , интервалы и отрезки — называют числовыми промежутками или просто промежутками .
Такое множество точек называют открытым лучом .
Такое множество точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют замкнутым лучом .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
442 Какие из точек 0,4 принадлежат лучу .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части уравнения , при этом его знак изменился с « минуса » на « плюс » .
При этом мы следовали бы другому мудрому правилу : « Плюс лучше минуса » .
641 Число диагоналей многоугольника с n вершинами вычисляется по формуле .
Например , многочлен записывают так .
По аналогии с формулой , полученной в n. 1 , запишите формулу для преобразования в многочлен выражения .
Представим в стандартном виде многочлен .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и вычесть , чтобы разложить многочлен на множители .
Преобразуем в многочлен выражение .
Если многочлен стандартного вида содержит одну переменную , то его члены обычно располагают в порядке убывания её степеней .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
Умножим одночлен на многочлен .
3 На примере многочлена объясните , как приводят многочлен к стандартному виду .
Говорят , что многочлен третьей степени .
729 Преобразуйте в многочлен .
Наибольший показатель степени , в которой переменная входит в этот многочлен , равен 3 .
Так как то выражение , противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными знаками .
922 Разложите на множители многочлен .
Умножьте одночлен на многочлен .
Назовите вместо многоточия такое слагаемое , чтобы многочлен можно было разложить на множители .
« Расшифруйте » каждый многочлен .
Вообще результатом сложения и вычитания многочленов является многочлен .
В результате мы получили многочлен Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно преобразовать в многочлен .
Разностью данных многочленов является многочлен .
634 Представьте в стандартном виде многочлен .
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
635 Запишите многочлен , расположив его члены по убыванию степеней переменной , и укажите его степень .
695 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
Суммой данных многочленов является многочлен .
Используйте формулу для преобразования произведения в многочлен .
636 Расположите многочлен по убывающим степеням буквы а .
Разложив многочлен на множители , полезно убедиться , что преобразование выполнено верно .
Однако можно продолжить преобразования и разложить на множители ещё и многочлен .
Итак , мы разложили многочлен на множители и можем записать данное уравнение в виде .
665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких - либо двучленов ( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
Дан многочлен с одной переменной .
690 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
Можно , например , разложить этот многочлен на множители , используя тот же приём « прибавить — вычесть » , но уже совсем по - другому .
Разложим на множители многочлен .
842 Разложите на множители многочлен .
7.3 Умножение одночлена на многочлен .
Правило умножения многочлена на многочлен .
Правило умножения одночлена на многочлен .
Разложите на множители многочлен .
В результате мы получили многочлен Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно преобразовать в многочлен .
Тогда в скобках остаётся многочлен , члены которого не содержат общих буквенных множителей , а их коэффициенты не имеют общих натуральных делителей , отличных от 1 .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называют членами многочлена .
689 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен .
Запишите многочлен , противоположный многочлену .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Умножив многочлен на многочлен , мы получили многочлен .
832 Преобразуйте в многочлен , применяя вынесение общего множителя за скобки .
а ) Сигнальная ракета выпущена под углом 45 ° к горизонту с начальной скоростью 30 м / с. Высоту ( в метрах ) , на которой находится ракета , можно при этих условиях вычислить , подставив время полёта ( в секундах ) в многочлен .
Попробуем разложить на множители многочлен .
Умножив многочлен на многочлен , мы получили многочлен .
Сравнивая результаты , нетрудно понять , что преобразование можно продолжать , разложив на множители многочлен .
Запишите многочлен , который надо прибавить к трёхчлену чтобы сумма оказалась равной .
Обозначим двучлен какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в произведении по правилу умножения одночлена на многочлен .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Умножив многочлен на многочлен , мы получили многочлен .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
7.4 Умножение многочлена на многочлен .
Этот многочлен можно представить или в виде суммы трёх двучленов , или в виде суммы двух трёхчленов .
Рассмотрим , как можно умножить многочлен на многочлен на примере произведения .
2 Дан многочлен Sab - 10ас .
Выполните умножение одночлена на многочлен и прокомментируйте свои шаги .
Иногда удобно умножать многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый член первого многочлена на второй многочлен .
Этот многочлен состоит из пяти членов .
Преобразуйте второй многочлен так , чтобы можно было применить формулу разности или суммы кубов .
Рассмотрим , как можно умножить многочлен на многочлен на примере произведения .
5 Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к выражению .
647 Дан многочлен .
Какой закон алгебры лежит в основе правила умножения одночлена на многочлен ?
706 Преобразуйте в многочлен .
Чтобы использовать калькулятор для вычисления значения многочлена этот многочлен удобно представить в таком виде .
Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен .
838 Разложите многочлен на множители , группируя одночлены разными способами .
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на множители , и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории многочленов .
3 Какую степень имеет многочлен , равный произведению многочленов .
736 Преобразуйте в многочлен .
Пользуясь этими рекомендациями , разложите на множители многочлен .
5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было разложить на множители способом группировки ? .
6 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению .
7 Какой многочлен надо записать вместо многоточия , чтобы равенство было верным .
7 Разложите на множители многочлен .
Подставьте вместо а заданное выражение и приведите многочлен к стандартному виду .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена выражение .
639 Найдите значение данного многочлена .
Чему равна сумма данного многочлена и противоположного ему ? .
Выполняется оно , как и умножение многочлена на одночлен , на основе распределительного свойства .
Чтобы использовать калькулятор для вычисления значения многочлена этот многочлен удобно представить в таком виде .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
702 Представьте произведение в виде многочлена .
Представьте в виде многочлена .
Каждый член этого многочлена можно представить в виде произведения , в котором один из множителей равен 2ху .
Объясните на примере многочлена , как вынести за скобки общий множитель .
724 Представьте каждое произведение в виде многочлена .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
678 Представьте в виде многочлена стандартного вида .
Так , членами многочлена являются одночлены 3ху , -у , 4х и -7 .
Заметим , что применённый нами способ разложения многочлена на множители вовсе не единственно возможный .
3 Объясните на примере многочлена , как выполняется разложение на множители способом группировки .
684 Представьте в виде многочлена .
Более того , разложение многочлена на множители не всегда возможно .
Чтобы сложить два многочлена , нужно составить их сумму , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называют членами многочлена .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Как проверить , верно или неверно выполнено разложение многочлена на множители ?
7.4 Умножение многочлена на многочлен .
Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен .
Сложить два многочлена или вычесть один из другого очень просто .
Вычтем из многочлена .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
693 Представьте в виде многочлена стандартного вида .
15 Какой из способов не применяется при разложении на множители многочлена .
716 Представьте в виде многочлена .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических выражений - разложением многочлена на множители .
Иногда удобно умножать многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый член первого многочлена на второй многочлен .
Правило умножения многочлена на многочлен .
Назовите все члены многочлена и коэффициенты членов , содержащих буквенные множители .
Представьте выражение в виде многочлена .
Сгруппируйте члены многочлена иначе , чем это сделано в первом случае , и выполните разложение на множители .
Приведите подобные члены многочлена .
910 Найдите корни уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов и вычитание из первого многочлена второго .
928 Представьте выражение в виде многочлена , используя формулу разности квадратов .
3 На примере многочлена объясните , как приводят многочлен к стандартному виду .
При этом свободный член многочлена , т . е .
Прочитайте рекомендации , которых целесообразно придерживаться при разложении многочлена на множители .
подобные члены этого многочлена .
Однако в математике важна и обратная задача — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов , среди которых могут быть и одночлены .
Разложение многочлена на множители . — — — — вынесением общего множителя за скобки . — — — — способом группировки .
2 Какова степень многочлена .
Но , как уже говорилось , общего алгоритма разложения многочлена на множители нет .
Представьте выражение 3 xyz в виде суммы и сгруппируйте члены многочлена .
Такое преобразование называют разложением многочлена на множители .
6 Для разложения многочлена на множители его члены сгруппировали .
Чтобы доказать , что два многочлена противоположны , достаточно убедиться , что их сумма равна 0 .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Вообще , произведение двух многочленов всегда можно представить в виде многочлена .
709 Представьте в виде многочлена .
Члены этого многочлена имеют и другие общие множители .
6 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению .
4 Представьте в виде многочлена произведение .
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
Воспользуемся способом группировки для разложения на множители многочлена .
б Представьте в виде многочлена .
Представим в виде многочлена произведение .
В результате мы получили многочлен Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно преобразовать в многочлен .
2 Представьте в виде многочлена .
С помощью этой формулы представьте в виде многочлена .
Прокомментируйте каждый шаг разложения многочлена на множители .
Обозначив 1,1 ( коэффициент роста ) буквой х , мы можем записать общую сумму на счёте с помощью многочлена .
Приведём пример применения этой формулы для разложения многочлена на множители .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
8 Представьте в виде многочлена .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Так , для многочлена к нужному результату приведёт и группировка первого слагаемого с третьим , а второго — с четвёртым .
Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов и вычитание из первого многочлена второго .
658 Составьте сумму и разность многочленов и упростите получившиеся выражения .
Суммой данных многочленов является многочлен .
3 Какую степень имеет многочлен , равный произведению многочленов .
Вообще , произведение двух многочленов всегда можно представить в виде многочлена .
Проверьте правильность разложения на множители многочленов .
При умножении многочленов встречается несколько особых случаев , знание которых очень полезно .
1 Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете ? .
7.2 Сложение и вычитание многочленов .
Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на множители .
Одночлены принято рассматривать как частный случай многочленов — считают , что это многочлены , состоящие из одного члена .
8 Найдите сумму многочленов .
Разложение многочленов на множители .
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на множители , и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории многочленов .
Вот примеры многочленов .
Однако в математике важна и обратная задача — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов , среди которых могут быть и одночлены .
Разностью данных многочленов является многочлен .
Выполните умножение по правилу умножения многочленов .
4 На примере многочленов покажите , как находят сумму и разность многочленов .
Существует целый ряд приёмов для разложения многочленов на множители .
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью целых чисел .
Сумму и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
Вообще результатом сложения и вычитания многочленов является многочлен .
4 На примере многочленов покажите , как находят сумму и разность многочленов .
Найдём сумму и разность многочленов .
В предыдущей главе рассматривалось умножение многочленов .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
Обратите внимание : вычитание мы заменили сложением с многочленом , противоположным второму многочлену .
2 Какое выражение называют многочленом ?
Алгебраическую сумму одночленов называют многочленом .
Так как то выражение , противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными знаками .
Обратите внимание : вычитание мы заменили сложением с многочленом , противоположным второму многочлену .
6 Среди приведённых ниже выражений найдите выражение , противоположное многочлену .
5 Среди выражений , записанных ниже , найдите выражение , равное многочлену .
Запишите многочлен , противоположный многочлену .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных .
Поэтому убедимся в справедливости этого равенства , перемножив многочлены в правой части .
Специальные названия имеют и многочлены , состоящие из двух и трёх членов — двучлен и трёхчлен соответственно .
Задайте каждое из этих множеств с помощью неравенства .
Как называется каждое из этих множеств ? .
Рассуждая точно так же , можно показать , что для множества из пяти элементов число перестановок равно , а для множества из десяти элементов это число равно .
471 Задайте алгебраически множества точек .
Назовите все перестановки множества , состоящего из трёх букв : « а » , « б » , « в » .
Рассуждая точно так же , можно показать , что для множества из пяти элементов число перестановок равно , а для множества из десяти элементов это число равно .
Теперь мы будем рассматривать множества точек координатной плоскости , абсциссы и ординаты которых связаны какой - либо зависимостью .
Каждое расположение элементов множества в определённом порядке называют перестановкой .
Решив задачу , мы фактически подсчитали число перестановок для множества из четырёх элементов .
519 Опишите на алгебраическом языке множества точек координатной плоскости .
Задайте с помощью неравенств множества точек координатной плоскости .
Рассмотренные множества — лучи , интервалы и отрезки — называют числовыми промежутками или просто промежутками .
Число перестановок для множества из n элементов обозначают через Рп ( читают : « Р из n » , Р — первая буква французского слова permutation — перестановка ) .
Что представляет собой множество корней уравнения .
2 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
355 Укажите множество корней уравнения .
481 Изобразите на координатной плоскости множество точек , удовлетворяющих условиям .
Такое множество точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют замкнутым лучом .
458 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
Такое множество точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют замкнутым лучом .
488 Изобразите на координатной плоскости множество точек .
Что , например , представляет собой множество точек , у которых ордината равна абсциссе , т .
485 Постройте множество точек плоскости , координаты которых связаны соотношением .
Точно так же множество точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2 ?
3 Изобразите на координатной плоскости множество точек , удовлетворяющих условиям .
Задайте двойным неравенством множество точек , удовлетворяющих условию 4 .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
Множество точек , как и соответствующее ему множество чисел , называют интервалом .
489 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
461 Изобразите на координатной прямой множество точек , удовлетворяющих условиям .
480 Задайте на алгебраическом языке и изобразите на координатной плоскости множество точек , у которых .
473 Изобразите на координатной плоскости множество точек , заданное условиями .
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
511 Изобразите на плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
501 Постройте на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
472 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
497 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
436 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное неравенством .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
Рассмотрим множество точек координатной прямой , имеющих координату , большую 3 , а значит , расположенных правее точки 3 .
468 Изобразите на координатной плоскости множество точек , у которых .
( Вспомните , что множество может быть и пустым . ) .
466 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Изобразите это множество точек на координатной плоскости .
513 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное неравенством .
Так же называют и соответствующее множество чисел .
467 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
438 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
512 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
462 Изобразите на координатной плоскости множество точек , которое задаётся равенством .
Построим теперь на координатной плоскости множество точек , координаты которых связаны более сложным соотношением — равенством .
Такое множество точек называют открытым лучом .
При этом множество корней уравнения не изменится .
Значит , множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Чтобы решить уравнение , мы будем преобразовывать его в другое уравнение более простого вида , которое имеет то же множество корней , что и исходное .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Изобразите на координатной прямой множество всех точек .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
490 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Можно сказать и так : решить уравнение — значит найти множество его корней .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
Каждая переменная в формуле связана с множеством значений , которые она может принимать .
Какие из точек ( -1 ; 0 ) , ( 0,6 ; 0,5 ) , ( 1 ; 0 ) , ( 2 ; 2 ) , ( -3 ; -3 ) принадлежат этому множеству ? .
Какие из точек ( 0 ; 0 ) , ( 2 ; 4 ) , ( -2 ; 4 ) , ( 3 ; 1 ) принадлежат этому множеству ? .
Пусть теперь рассматриваемому множеству точек принадлежит и граничная точка 3 .
7 Поставьте в соответствие каждому множеству точек его алгебраическое описание .
Таким образом , выражение аn означает произведение n множителей , равных а .
Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители и запишем вначале произведение числовых множителей , а затем буквенных , расположив их в алфавитном порядке .
это произведение пяти множителей , каждый из которых равен 8 .
20 множителей .
10 множителей 20 множителей .
n множителей .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа , то n слагаемых , n множителей .
10 множителей 20 множителей .
В справочниках можно увидеть , что , например , масса Земли равна 5,978 1024 кг , а масса атома водорода — 1,674 10 24 г. Понятно , что 1024 — это произведение 24 множителей , равных 10 , т .
Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Каждый член этого многочлена можно представить в виде произведения , в котором один из множителей равен 2ху .
n множителей т множителей т множителей n множителей .
n множителей т множителей т множителей n множителей .
n множителей т множителей т множителей n множителей .
Переставив множители и заменив произведение одинаковых множителей степенью , получим .
Вы знаете , что произведение одинаковых множителей записывают короче — в виде степени .
Поэтому для вычисления произведения xyz ( без изменения порядка множителей ) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки , т.е. представить его как или как .
Это свойство справедливо для произведения любого числа множителей .
Тогда в скобках остаётся многочлен , члены которого не содержат общих буквенных множителей , а их коэффициенты не имеют общих натуральных делителей , отличных от 1 .
n множителей т множителей т множителей n множителей .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
926 Разложите на множители .
5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было разложить на множители способом группировки ? .
Объясните , как разложить на множители выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность делится на 200 .
83S Заключите два последних слагаемых в скобки , поставив перед ними знак « - » , и затем выполните разложение на множители .
Какие из этих способов группировки подходят для того , чтобы выполнить разложение на множители ? .
837 Разложите на множители .
7 Разложите на множители многочлен .
8 Какое из выражений нельзя разложить на множители , используя формулу разности квадратов ? .
Сгруппируйте члены многочлена иначе , чем это сделано в первом случае , и выполните разложение на множители .
12 Какой двучлен можно разложить на множители , используя формулу суммы кубов ? .
9 Разложите на множители .
838 Разложите многочлен на множители , группируя одночлены разными способами .
13 Закончите разложение на множители .
Оказывается , это выражение можно разложить на множители .
3 Объясните на примере многочлена , как выполняется разложение на множители способом группировки .
14 Разложите на множители .
Попробуем разложить на множители многочлен .
15 Какой из способов не применяется при разложении на множители многочлена .
Разложим на множители .
Назовите все члены многочлена и коэффициенты членов , содержащих буквенные множители .
1 Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете ? .
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
840 Разложите на множители .
846 Разложите на множители трёхчлен .
Составьте несколько выражений , которые можно разложить на множители с помощью этой формулы .
Разложим разность на множители .
Воспользуемся способом группировки для разложения на множители многочлена .
Разложите на множители .
Прокомментируйте каждый шаг разложения многочлена на множители .
842 Разложите на множители многочлен .
Покажите на примере выражения , как применить эту формулу для разложения его на множители .
Назовите вместо многоточия такое слагаемое , чтобы многочлен можно было разложить на множители .
Как называют применённый здесь способ разложения на множители ? .
4 В каких случаях выражение разложено на множители правильно ? .
933 Разложите выражение на множители двумя способами .
Разложение многочлена на множители . — — — — вынесением общего множителя за скобки . — — — — способом группировки .
Применение нескольких способов разложения на множители .
Способ , который мы применили для разложения на множители , так и называется — способ группировки .
Как проверить , верно или неверно выполнено разложение многочлена на множители ?
6 Для разложения многочлена на множители его члены сгруппировали .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
8.6 Решение уравнений с помощью разложения на множители .
Заметим , что применённый нами способ разложения многочлена на множители вовсе не единственно возможный .
Разложение на множители можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде разности кубов .
5 Примените для разложения на множители , если это возможно , формулу суммы или разности кубов .
Разложим на множители многочлен .
Разложим левую часть уравнения на множители , а затем воспользуемся приёмом , рассмотренным в предыдущем примере .
Разложение на множители - это не только наука , но и искусство , овладев которым можно решить самые разные , в том числе достаточно хитрые , уравнения , в чём вы сможете убедиться не только в этой главе , но и во всём дальнейшем курсе математики .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
39 Разложите на простые множители число .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы разности квадратов .
Члены этого многочлена имеют и другие общие множители .
38 Восстановите число , для которого записано разложение на простые множители .
Примените нужную формулу для разложения на множители выражения .
Разложив многочлен на множители , полезно убедиться , что преобразование выполнено верно .
Разложите на множители многочлен .
Разложение многочленов на множители .
8.5 Разложение на множители с применением нескольких способов .
Многочлен на множители разложен , и можно сказать , что поставленная задача решена .
864 Разложите на множители .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических выражений - разложением многочлена на множители .
Однако можно продолжить преобразования и разложить на множители ещё и многочлен .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
Мы сможем решить это уравнение , если разложим его левую часть на множители .
Можно , например , разложить этот многочлен на множители , используя тот же приём « прибавить — вычесть » , но уже совсем по - другому .
Итак , мы разложили многочлен на множители и можем записать данное уравнение в виде .
Более того , разложение многочлена на множители не всегда возможно .
Когда вы закончили разложение на множители , полезно проверить с помощью умножения , получен ли вами верный результат .
906 Найдите корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
Разложим на множители двучлен .
Сравнивая результаты , нетрудно понять , что преобразование можно продолжать , разложив на множители многочлен .
Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на множители .
Разложим на множители выражение .
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
922 Разложите на множители многочлен .
Прочитайте рекомендации , которых целесообразно придерживаться при разложении многочлена на множители .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Приведём пример применения этой формулы для разложения многочлена на множители .
910 Найдите корни уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
Но , как уже говорилось , общего алгоритма разложения многочлена на множители нет .
Пользуясь этими рекомендациями , разложите на множители многочлен .
В то же время процесс возведения в степень можно сократить , если множители в произведении сгруппировать так , чтобы можно было использовать уже известные результаты .
Разложим числитель и знаменатель данной дроби на множители .
Переставив множители и заменив произведение одинаковых множителей степенью , получим .
924 Разложите на множители .
Трёхчлен можно разложить на множители , выделив квадрат двучлена .
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на множители , и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории многочленов .
В любом произведении множители можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы .
Проверьте правильность разложения на множители многочленов .
Разложите на множители трёхчлен .
Существует целый ряд приёмов для разложения многочленов на множители .
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на множители , и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории многочленов .
Научиться разложению на множители , развить свою фантазию и изобретательность можно только на собственном опыте .
Такое преобразование называют разложением многочлена на множители .
847 Какие из выражений можно разложить на множители , применив формулу разности квадратов .
897 Разложите выражение на множители двумя способами .
Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители и запишем вначале произведение числовых множителей , а затем буквенных , расположив их в алфавитном порядке .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и вычесть , чтобы разложить многочлен на множители .
Объясните на примере многочлена , как вынести за скобки общий множитель .
Числовой множитель одночлена , записанного в стандартном виде , называют коэффициентом одночлена .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки .
Вынесем общий множитель за скобки .
Этот общий множитель вынесем за скобки .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Каждое слагаемое в этой сумме содержит один и тот же множитель а .
Этот общий множитель можно вынести за скобки .
В сумме вынесем за скобки общий множитель а .
Итак , при возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
Вынесите за скобки общий множитель .
В получившемся произведении только один числовой множитель , и он записан на первом месте .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
819 Вынесите за скобки множитель .
Вынесите за скобки множитель -2а .
Каждый член двучлена представьте в виде произведения , в котором есть множитель -3а .
1 Укажите общий множитель , который можно вынести за скобки в многочлене .
Теперь остаётся найти неизвестный множитель х .
919 Вынесите за скобки общий множитель .
Числитель и знаменатель дроби можно разделить на общий множитель а8 .
Вынесите общий множитель за скобки .
917 Вынесите за скобки общий множитель .
Скобки , окружающие отрицательный множитель , записанный на первом месте , обычно опускают .
Представим а9 в виде произведения а0а4 , тогда дробь можно будет сократить на общий множитель а5 .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Если можно вынести за скобки общий множитель , сделайте это .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
Так , в выражении -20ху числовой множитель -20 является коэффициентом .
Вынесите общий множитель за скобки и вычислите значение выражения .
Покажите на примере выражения , как вынести общий множитель за скобки .
262 Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите её .
Отсюда легко найти неизвестный множитель х .
раскройте скобки в первых двух слагаемых , а затем сгруппируйте члены так , чтобы получился общий множитель .
Разложение многочлена на множители . — — — — вынесением общего множителя за скобки . — — — — способом группировки .
Вычислите , применяя вынесение общего множителя за скобки .
2 На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего множителя ?
Один из них — вынесение общего множителя за скобки .
Вынесение общего множителя за скобки приходится выполнять при решении разных задач .
832 Преобразуйте в многочлен , применяя вынесение общего множителя за скобки .
Однако такой смысл этому выражению придаётся при ( ведь произведений из одного множителя не бывает ) .
Запишите распределительное свойство умножения в том виде , как оно применяется для вынесения общего множителя за скобки .
918 Упростите выражение , применяя способ вынесения за скобки общего множителя .
8.1 Вынесение общего множителя за скобки .
вынесение за скобки общего множителя . 2 )
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
Его члены не имеют общего множителя .
3 множителя .
Начнём преобразование с вынесения за скобки общего множителя 36 .
Вынесение общего множителя за скобки .
Такой показатель , как мода , используется не только для числовых данных .
предварительно изучается спрос и выявляется мода — это наиболее часто встречающийся заказ .
Изменятся ли при этом мода и размах ? .
Чему равна мода ряда размеров ?
Если , например , опросить большую группу учеников , какой школьный предмет им нравится больше всего , то модой этого ряда ответов окажется тот предмет , который будут называть чаще остальных .
а ) Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда данных .
Найдите моду ряда отметок и средний результат по контрольной работе .
Найдите среднее арифметическое и моду ряда отметок .
Найдите размах и моду ряда оценок .
15 Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда .
Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда попаданий .
Проведите блицопрос и узнайте , какой школьный предмет нравится учащимся вашего класса больше всего , определив моду полученного ряда .
Найдите среднее число детей в семье и моду ( количество детей в наиболее типичной семье ) .
92 Найдите моду ряда .
Задайте промежуток -6 х 6 с помощью неравенства с модулем .
В самом деле , числа а — b и b — а противоположны и их модули равны .
Если модули двух чисел равны , то эти числа либо равны , либо противоположны .
Если вы знаете , что такое модуль числа и как с ним работать , то вам это будет нетрудно .
Модуль положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности их координат .
Запишите предложения с помощью знака модуля .
Рассмотрите ещё несколько зависимостей , которые задаются равенствами , содержащими знак модуля , и постройте их графики .
Прежде всего освободимся от знака модуля .
5.7 Графики зависимостей , заданных равенствами с модулями . ( Для тех , кому интересно ) .
В отличие от среднего арифметического , которое можно вычислить для любого числового ряда , моды у ряда вообще может не быть .
Однако нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надёжные выводы на основе статистических данных .
Значит , у этого ряда нет моды .
Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса .
В некоторый момент времени они встречаются .
б ) В какой момент Юлю догнала Оля ? .
Сколько всего страниц отчёта осталось распечатать к этому моменту ? .
Расскажите , как найдена координата середины отрезка в примере из фрагмента 2 .
Не забудьте , что , используя найденное значение х , надо ещё найти расстояние от дома до школы .
г ) Что в соответствии с условием задачи означает найденное значение х , равное 9 ?
Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией .
Разберите , как найдено значение степени 28 во фрагменте 1 .
Необходимо провести дополнительные рассуждения , чтобы проверить , что найдены все возможные решения .
Подставьте вместо букв заданные числа и найдите значение выражения .
21 Запишите выражение , используя в качестве знака деления дробную черту , и найдите его значение .
Пользуясь им как образцом , найдите значение выражения .
и найдите его значение .
Используя рассмотренный способ , найдите значение выражения .
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение выражения .
По этой формуле найдите расстояние между точками .
50 Зная , что 282 784 , найдите значение каждого из выражений .
Зная , что 57 78 125 , найдите : 55 ; 58 .
51 Запишите выражение и найдите его значение .
Зная , что 210 1024 , найдите : 212 ; 28 .
188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так , чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию : а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
6 Среди приведённых ниже выражений найдите выражение , противоположное многочлену .
5 Среди выражений , записанных ниже , найдите выражение , равное многочлену .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
Для каждого выражения из первой строки найдите равное ему выражение из второй строки .
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Зная , что , найдите сначала 35 , а затем 38 .
Отбросьте наибольшую и наименьшую оценки и найдите средний балл спортсмена .
300 Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях букв .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных .
Теперь найдём сумму коэффициентов слагаемых второй группы .
Для этого найдём отношение 600 р .
Изобразим на координатной прямой числа -2 и 10 и найдём середину отрезка с концами в точках -2 и 10 .
Найдём 30 % от 250 : 30 % тиража — это 0,3 тиража .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Точно так же найдём , что .
Учитывая сказанное , мы можем уточнить смысл слов « решить уравнение » : решить уравнение — значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет .
Чтобы узнать концентрацию получившегося раствора , нужно найти отношение массы соли к массе раствора и выразить его в процентах .
Попробуем найти зависимость , которая связывает абсциссы и ординаты её точек .
то , что требуется найти в задаче .
Как найти новую стоимость книги ?
Можно сначала найти общие затраты — они равны рублей , а затем найти остаток — он равен рублей .
Можно сказать и так : решить уравнение — значит найти множество его корней .
Не забудьте , что , используя найденное значение х , надо ещё найти расстояние от дома до школы .
Остаётся найти все натуральные делители числа 143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
Это главное соотношение между расстоянием , скоростью и временем движения позволяет по любым двум из указанных величин найти третью с помощью вычислений .
Например , чтобы выделить сектор для изображения 14,4 % , надо найти 14,4 % от 360 ° .
С помощью какого приёма удобно найти значение данного выражения ?
Пусть теперь на прямой заданы две произвольные точки А и В. Как , зная их координаты , найти расстояние между ними , т .
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Но в качестве неизвестного совсем не обязательно выбирать именно то , что требуется найти в задаче .
Изменим , например , условие задачи с кодами : пусть требуется найти число кодов , составленных не из двух , а из трёх различных цифр .
Можно сначала найти общие затраты — они равны рублей , а затем найти остаток — он равен рублей .
Значение выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
выберите те , с помощью которых можно найти площадь фигуры .
Теперь , чтобы найти неизвестное число х , это уравнение надо решить .
Теперь остаётся найти неизвестный множитель х .
В этом примере среднее арифметическое можно было найти немного иначе .
И нам нужно решить знакомую задачу — найти целое по его части .
Отсюда легко найти неизвестный множитель х .
10 Как можно найти неизвестный член пропорции .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений , значения которых можно найти , пользуясь таблицей степеней числа 3 .
Но ещё нужно найти возраст старшей пары близнецов .
Так , чтобы найти 25 , нужно четыре раза выполнить умножение на 2 .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
как найти длину отрезка АВ ? .
Чтобы узнать мартовский тираж журнала , нужно найти 120 % от февральского тиража и прибавить полученное число к 325 .
Мы живём в мире случайных событий , поэтому важно понимать , можно ли найти какие - то закономерности в мире случайного .
Как найти неизвестный член пропорции .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число .
Значение выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6 .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его квадрата делится на 2 .
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной дроби .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
Значение выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6 .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число .
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной дроби .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его квадрата делится на 2 .
"Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра числа 2 "" , где n —" натуральное число , с изменением показателя n.
В общем случае : если а и b — любые числа , причём , и n — любое натуральное число ,
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не делится и в результате деления получается остаток .
Если число а делится на число b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
64 Подберите наименьшее натуральное число n , такое , при котором выполняется неравенство .
Андрей задумал некоторое натуральное число .
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
3 Что означает выражение аn , где n - натуральное число ?
Вдруг есть ещё какое - нибудь натуральное число , удовлетворяющее условию ?
В общем случае : если а и b — любые числа и n — любое натуральное число .
Уравнение совсем непростое , но его можно решить , если вспомнить , что х — это количество филиалов фирмы , и , значит , это число натуральное .
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Обозначим натуральное число буквой я .
Что означает выражение аn , если n - натуральное число , не равное 1 ?
64 Подберите наименьшее натуральное число n , такое , при котором выполняется неравенство .
Андрей задумал некоторое натуральное число .
Вдруг есть ещё какое - нибудь натуральное число , удовлетворяющее условию ?
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Обозначим натуральное число буквой я .
В общем случае : если а и b — любые числа , причём , и n — любое натуральное число ,
"Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра числа 2 "" , где n —" натуральное число , с изменением показателя n.
3 Что означает выражение аn , где n - натуральное число ?
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не делится и в результате деления получается остаток .
В общем случае : если а и b — любые числа и n — любое натуральное число .
Если число а делится на число b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Что означает выражение аn , если n - натуральное число , не равное 1 ?
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
А чтобы выражение имело смысл при любом натуральном n , для случая n 1 принимают специальное соглашение .
65 При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство .
Пусть даны дроби и где a , b , с , d — натуральные числа .
790 Найдите все натуральные числа , которые .
некоторые натуральные числа .
А в формуле Р pt , выражающей зависимость объёма выполненной каменщиком работы от производительности и времени , переменные Р и р могут принимать только натуральные значения .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
Кроме того , тоже натуральные числа , поскольку каждое из них — это количество компьютеров .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа ,
Остаётся найти все натуральные делители числа 143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
Ну хотя бы потому , что и на « языке денег » , и на « языке расстояний » , и на « языке площадей » мы всегда рассматриваем только положительные числа , а часто даже и натуральные .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа , то n слагаемых , n множителей .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число , не равное 0 , и т и n — любые натуральные числа , причём , то .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа , то n слагаемых , n множителей .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число , не равное 0 , и т и n — любые натуральные числа , причём , то .
Пусть даны дроби и где a , b , с , d — натуральные числа .
Кроме того , тоже натуральные числа , поскольку каждое из них — это количество компьютеров .
некоторые натуральные числа .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа ,
790 Найдите все натуральные числа , которые .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
413 Найдите натуральный корень уравнения .
416 Один из корней уравнения натуральный .
Степень с натуральным показателем .
Напомним , что определение степени с натуральным показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда показатель степени больше 1 и когда он равен 1 .
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение выражения .
Свойства степени с натуральным показателем .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным показателем , на основе которых выполняются преобразования выражений , содержащих степени , а также вычисления .
В математике это выражение тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у степени с натуральным показателем .
Вам уже знакомо понятие степени с натуральным показателем .
1 Сформулируйте определение степени с натуральным показателем .
1.3 Степень с натуральным показателем .
Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных натуральных числа и одно из них обязательно является чётным , т .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
У числа 143 всего четыре натуральных делителя : 1 , 11 , 13 , 143 .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
648 Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
266 Чему равна сумма 15 последовательных натуральных чисел , первое из которых равно n ? .
Поговорим ещё раз о делимости натуральных чисел .
Такие два натуральных числа нетрудно подобрать — это 9 и 10 .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
Вычислите сумму кубов натуральных чисел для .
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
642 Сумму последовательных натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
в ) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для .
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых .
16 При каких натуральных значениях х верно неравенство .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
649 Сумму кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Тогда в скобках остаётся многочлен , члены которого не содержат общих буквенных множителей , а их коэффициенты не имеют общих натуральных делителей , отличных от 1 .
г ) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное .
Используя формулу , вычислите сумму последовательных натуральных чисел : а ) от 1 до 20 ; б ) от 1 до 100 .
Точно так же обстоит дело и для любых натуральных чисел .
Поговорим ещё раз о делимости натуральных чисел .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Точно так же обстоит дело и для любых натуральных чисел .
г ) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное .
в ) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
266 Чему равна сумма 15 последовательных натуральных чисел , первое из которых равно n ? .
648 Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых .
642 Сумму последовательных натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
Вычислите сумму кубов натуральных чисел для .
649 Сумму кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Используя формулу , вычислите сумму последовательных натуральных чисел : а ) от 1 до 20 ; б ) от 1 до 100 .
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных натуральных числа и одно из них обязательно является чётным , т .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
Такие два натуральных числа нетрудно подобрать — это 9 и 10 .
Она нашла банк , который начислял 10 % годовых ( т . е .
Итак , мы нашли неизвестное число , которое обозначили буквой х. Однако это ещё не ответ задачи .
Сколько таких чисел вы нашли в каждом случае ? .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На какую минимальную сумму необходимо приобрести товаров за этот год , чтобы покупка дисконтной карты оправдалась ? .
Чтобы выборы состоялись , необходимо , чтобы в голосовании приняло участие не менее 25 % избирателей , внесённых в списки .
При вычислениях по формулам необходимо следить за тем , чтобы единицы , в которых выражены входящие в них величины , были согласованы между собой .
Например , если для исследования того же Меркурия посылается спутник , необходимо , чтобы приборы работали и при наибольших , и при наименьших возможных температурах .
Выполните на чертеже необходимые измерения и определите а ) высоту стен реального дома ; б ) высоту дома с учётом крыши .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Сколько точек имеют целую неотрицательную координату ? .
При х 0 график совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
470 Неравенства х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её точки имеют неотрицательные координаты .
а ) с отрицательными координатами . б ) с неотрицательными координатами .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2 ?
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
Запишите с помощью букв правило обращения смешанной дроби в неправильную дробь .
16 Какое из следующих неравенств неверно ? .
Какое из неравенств верно ? .
Какое из следующих неравенств неверно ? .
Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3 .
Задайте с помощью неравенств множества точек координатной плоскости .
Запишите соответствующие им неравенства .
Задайте промежуток -6 х 6 с помощью неравенства с модулем .
Задайте каждое из этих множеств с помощью неравенства .
Некоторые полуплоскости и указаны неравенства , которым они соответствуют .
Такие два неравенства обычно записывают в виде двойного неравенства .
Такие два неравенства обычно записывают в виде двойного неравенства .
Значит , любая точка этого интервала удовлетворяет сразу двум неравенствам : х — 1 ( или , что то же самое , -1 х ) и х 2 .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
Для каждого изображения числового промежутка укажите соответствующее ему неравенство или двойное неравенство .
Двойное неравенство 1 х 3 задаёт на координатной плоскости вертикальную полосу , а двойное неравенство горизонтальную полосу .
Для каждого изображения числового промежутка укажите соответствующее ему неравенство или двойное неравенство .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Двойное неравенство 1 х 3 задаёт на координатной плоскости вертикальную полосу , а двойное неравенство горизонтальную полосу .
14 Среди чисел 6 , 8 , 10 и 14 выберите такое , при котором выполняется неравенство .
при любом х выполняется неравенство .
16 При каких натуральных значениях х верно неравенство .
65 При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство .
64 Подберите наименьшее натуральное число n , такое , при котором выполняется неравенство .
Задайте двойным неравенством множество точек , удовлетворяющих условию 4 .
Множество , задаваемое двойным неравенством -1 х 2 , называют отрезком .
Этот луч можно задать неравенством х 3 .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
513 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное неравенством .
436 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное неравенством .
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
Изображена полуплоскость , заданная неравенством .
Мы уже знаем , что на координатной прямой неравенству х 3 соответствует открытый луч .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
438 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
512 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
466 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
467 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
в ) первая цифра кода чётная , а вторая - нечётная ? .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
а ) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное .
а ) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное .
в ) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
264 Известно , что k — нечётное число .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
265 Пусть а — чётное число , а b — нечётное .
В : выпало нечётное число очков .
Мальчики садятся на нечётные места , а девочки — на чётные .
Посадите мальчиков сначала на чётные места , а потом на нечётные .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Это зависит от того , чётным или нечётным числом является показатель степени .
Чётным или нечётным является число .
7 Сколько существует трёхзначных чисел , составленных из нечётных цифр ( все цифры в записи числа различны ) ? .
сумма двух нечётных чисел есть число чётное .
б ) Существуют ли три последовательных нечётных числа , сумма которых равна 69 ? .
Сколько среди них чётных чисел и сколько нечётных ? .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
603 Из нечётных цифр составляют всевозможные пятизначные числа , не содержащие одинаковых цифр .
590 Сколько существует четырёхзначных чисел , составленных из нечётных цифр ?
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число .
Через 20 мин вслед за ним выехал автомобиль со скоростью 60 км / ч .
Через 8 мин вслед за ним из этого же дома выходит Иван и идёт той же дорогой со скоростью 100 м / мин .
К ним относят и самые разные опыты , испытания , наблюдения , измерения , проведённые кем - то другим , а также наблюдения за явлениями природы .
Через 15 мин вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 12 км / ч , обогнал туриста и приехал на станцию на 5 мин раньше его .
Значит , и всё произведение , а вместе с ним и равная ему сумма делится на 2 .
Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал велосипедист , скорость которого на 10 км / ч больше скорости туриста .
Добавьте ещё к ним трёх юношей , из коих Теон самый способный » .
Если вы знаете , что такое модуль числа и как с ним работать , то вам это будет нетрудно .
На устном экзамене ученик берёт один из разложенных перед ним экзаменационных билетов , шансы взять любой из них равны .
Через час вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км / ч .
Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал мотоциклист со скоростью , на 28 км / ч большей скорости велосипедиста .
Через 0,5 ч вслед за ним от этой же станции и по той же дороге отправился велосипедист со скоростью 12 км / ч .
а ) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
В России нормальной температурой тела человека считается 36,6 ° С , а в странах , использующих шкалу Фаренгейта , 98,8 ° F .
Где в качестве нормальной принята более высокая температура тела человека ? .
Определите , какой вес считается нормальным в России и в США для человека ростом 180 см. Сравните полученные результаты .
В нормальных условиях при 0 ° С вода замерзает ; если опрокинуть стакан с водой , то она обязательно выльется .
596 В компьютере каждый символ кодируется последовательностью , состоящей из восьми цифр — нулей и единиц .
Решим уравнение Равенство нулю произведения обращается в нуль при .
Модуль положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
Произведение двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Произведение двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
4 ) если произведение двух чисел не равно нулю , то ни одно из этих чисел не равно нулю .
Решим уравнение Равенство нулю произведения обращается в нуль при .
4 ) если произведение двух чисел не равно нулю , то ни одно из этих чисел не равно нулю .
Можно ли утверждать , что вероятность этого события равна нулю ? .
7 Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких чисел .
3 ) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю , то произведение этих чисел не равно нулю .
2 ) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю , то их произведение равно нулю .
2 ) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю , то их произведение равно нулю .
1 ) если произведение двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
1 ) если произведение двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Приведите свой пример уравнения , решаемого на основе равенства нулю произведения .
Как вы знаете , квадрат любого числа положителен или равен нулю , т .
3 ) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю , то произведение этих чисел не равно нулю .
Числовое равенство не нарушится , если обе его части умножить ( разделить ) на одно и то же число , отличное от нуля .
Модуль положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
На последнем шаге мы воспользовались ещё одним законом , согласно которому от прибавления нуля сумма не меняется .
В рассмотренных линейных уравнениях коэффициент а при переменной отличен от нуля .
Таким образом , график зависимости это ломаная , образованная двумя лучами .
Объясните , как образовано « длинное » отношение 6:4:2 в задаче 1 .
Значит , множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Числа , образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
Однако в математике важна и обратная задача — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов , среди которых могут быть и одночлены .
Это прежде всего прямая пропорциональность и обратная пропорциональность , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
Прямая и обратная пропорциональность .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Для этого достаточно выполнить обратное преобразование : например , в данном случае мысленно умножить .
Заметим , что формулу обратной пропорциональности принято записывать и в другом виде .
а ) Объясните , почему зависимость массы купленных яблок т от их цены с является обратной пропорциональностью .
Её называют формулой обратной пропорциональности .
170 Задайте формулой указанную зависимость и определите , прямой или обратной пропорциональностью она является .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Определите , является прямой или обратной пропорциональностью зависимость .
От дома до пристани он шёл со скоростью 4 км / ч , а на обратном пути его скорость была 6 км / ч .
б ) разность трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
От реки до деревни он ехал со скоростью 10 км / ч , а на обратном пути его скорость была 15 км / ч .
а ) сумму двузначного числа числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
Здесь важно не ошибиться : отношение равно не отношению а обратному отношению Получаем пропорцию .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние члены ; замените каждое отношение обратным .
Запишите с помощью букв правило обращения смешанной дроби в неправильную дробь .
Найдите объединение и пересечение этих промежутков .
Объединение промежутков , заданных неравенствами есть промежуток .
Иными словами , оно является объединением этих прямых .
Решить эту задачу можно , например , так : записать число 0,65 в виде обыкновенной дроби и затем воспользоваться перекрёстным правилом .
Дробь - нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби число 0,3 .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
Расскажите , как сравнивают обыкновенную дробь и десятичную .
Правда , в некоторых случаях выбирать не приходится , поскольку обыкновенную дробь преобразовать в десятичную можно не всегда .
Проверьте себя , обратившись к таблице во фрагменте 1 , можете ли вы бегло назвать обыкновенные дроби , соответствующие процентам : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 75 % .
Можно также представить дробь 0,54 в виде обыкновенной и затем с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные дроби попарно .
Сравнивая две обыкновенные дроби , вы пользовались разными приёмами .
Как с помощью перекрёстного правила сравнить обыкновенные дроби и ( фрагмент 1 ) ?
Мы получили правило сравнения обыкновенных дробей , которое иногда называют перекрёстным .
Правило сравнения обыкновенных дробей .
Не всё так однозначно , ведь это данные за 75 лет , и многое зависит от того , в каком состоянии команды находятся накануне очередной встречи .
Умножьте одночлен на многочлен .
Умножим одночлен на многочлен .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Такой одночлен называют одночленом стандартного вида .
Выполняется оно , как и умножение многочлена на одночлен , на основе распределительного свойства .
В результате мы получили многочлен Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно преобразовать в многочлен .
Чтобы применить группировку , разобьём слагаемое 5ху на два одночлена : ху и 4ху .
К одночленам стандартного вида относятся также числа , переменные , степени переменных .
Какие из следующих выражений являются одночленами , а какие нет ? .
Числа и переменные также считают одночленами .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
Такие выражения называют одночленами .
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было разложить на множители способом группировки ? .
Алгебраическую сумму одночленов называют многочленом .
Такой одночлен называют одночленом стандартного вида .
Найдите размах посещаемости и среднюю посещаемость матча , округлив её до сотен .
а ) Оцените вероятность того , что произвольный покупатель выберет в этом году машину марки В. Ответ округлите до сотых .
( Ответы округляйте до десятых .
( Ответы округляйте до десятых . ) .
Результаты округляйте до целых .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
182 В любой окружности отношение длины окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
182 В любой окружности отношение длины окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
а ) Определите длину окружности , диаметр которой равен 3 см . б ) При каком диаметре длина окружности равна 10 см ?
Длина окружности маленького обруча 3 м , а большого — 4 м .
Определите длину окружности каждого обруча .
Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча .
Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча .
213 Команда из трёх операторов , работая по 6 ч в день , за 4 дня набрала на компьютере 700 страниц рукописи .
Эту операцию проделали и в третий раз .
Заметим , что первым приём преобразования уравнений описал знаменитый арабский математик Мухаммед аль - Хорезми , живший в Хорезме и в Багдаде на рубеже IX и X вв .
С помощью букв данный приём может быть описан следующим образом .
В общем случае обратно пропорциональная зависимость может быть описана формулой где х и у — переменные , k — постоянная .
Какие из данных ниже задач аналогичны той , что описана в примере 2 ? .
Система распределения прибыли , описанная в этой задаче , называется пропорциональной .
962 Проведите в классе эксперимент с кнопкой , описанный в этом пункте .
Сопоставьте свой результат с результатом , описанным в тексте пункта .
Оно описано , например , древнегреческим учёным Евклидом ( III в .
С помощью букв эти действия могут быть описаны так .
Как описать эту прямую на алгебраическом языке ?
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
Запишите соответствующую цепочку числовых равенств , а потом опишите используемый приём с помощью букв .
Назовите ординаты этих точек , опишите свойства кубической параболы .
441 Изобразите на координатной прямой и опишите на алгебраическом языке .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
Постройте этот график и опишите его свойства .
474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую , симметричную точкам прямой .
Точно так же множество точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
а ) прямую , проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси абсцисс .
а ) относительно оси ординат . б ) относительно прямой х — 1 .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
б ) прямую , проходящую через точку ( -5 ; 2 ) и параллельную оси ординат .
Известно , что точки А(2 ; -1 ) и В ( 5 ; а ) расположены на прямой , перпендикулярной оси ординат .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Известно , что точки М(-4 ; 2 ) и N(c ; -3 ) расположены на прямой , параллельной оси ординат .
Парабола симметрична относительно оси ординат , так как противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у.
Ось ординат задаётся равенством , а ось абсцисс — равенством .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Если есть , то какова её ордината ? .
У каждой из этих точек абсцисса и ордината — противоположные числа .
Что , например , представляет собой множество точек , у которых ордината равна абсциссе , т .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
а ) ордината равна утроенной абсциссе .
Ордината на 3 больше абсциссы .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Любая другая точка координатной плоскости имеет ординату , отличную от 2 .
в ) абсцисса на 2 больше ординаты .
Число 8 - основание степени , а число 5 - показатель степени .
551 Представьте выражение в виде степени с основанием у .
Представьте в виде степени с основанием 2 и , если возможно , с основанием -2 .
561 Представьте а30 в виде степени с основанием .
529 Частное степеней замените степенью с тем же основанием .
54 Представьте в виде степени с основанием 10 следующие числа .
а ) двух степеней с основанием 3 . б ) трёх степеней с основанием 3 .
От чего зависит знак степени с отрицательным основанием ?
а ) двух степеней с основанием 3 . б ) трёх степеней с основанием 3 .
в ) четырёх степеней с основанием 3 .
559 Представьте выражение в виде степени с основанием n .
4 Какой знак может иметь степень с отрицательным основанием ?
550 Представьте выражение в виде степени с основанием а .
Представьте в виде степени с основанием 2 и , если возможно , с основанием -2 .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
с основанием 7 произведения . б ) с основанием а произведения .
На примере а12 а5 проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство произведения степеней с одинаковым основанием .
Это выражение легко представить в виде степени с тем же основанием .
На примере проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство частного степеней с одинаковым основанием .
с основанием 7 произведения . б ) с основанием а произведения .
Таким же свойством обладает любая степень с основанием , большим 1 .
Их записывают с помощью степени с основанием 10 .
Оно представляет собой степень с основанием а2 .
Число а называют основанием степени , а число n — показателем степени .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На основании какого закона раскрывают скобки в произведении ?
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
2 На основании каких законов можно утверждать , что выполняется равенство .
53 а ) Объём пирамиды , в основании которой квадрат . вычисляется по формуле V -a2h .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
б ) Расстояние между соседними километровыми столбами электропоезд проходит за 1 мин 12 с. Найдите скорость S — площадь основания электропоезда , выразив её в километрах в час .
3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями .
Рассмотрим теперь частное двух степеней с одинаковыми основаниями , например .
2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями .
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
Возьмём произведение двух степеней с одинаковыми основаниями , например а3а4 .
408 Из корзины отсыпали половину орехов , потом ещё половину остатка , затем половину нового остатка и , наконец , половину следующего остатка .
Если а делится на b без остатка , то можно записать .
133 Собранный урожай яблок распределили следующим образом : 75 % всех яблок засушили , 40 % остатка пошло на варенье , а из оставшихся 3 кг яблок сварили компот .
408 Из корзины отсыпали половину орехов , потом ещё половину остатка , затем половину нового остатка и , наконец , половину следующего остатка .
408 Из корзины отсыпали половину орехов , потом ещё половину остатка , затем половину нового остатка и , наконец , половину следующего остатка .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2 ?
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Докажите , что их произведение при делении на 3 также даёт в остатке 1 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
Докажите , что а b делится на 7 . б ) Числа а и b при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
786 Каждое из чисел а и b при делении на 3 даёт в остатке 1 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
784 а ) Числа а и b при делении на 7 дают в остатке соответственно 3 и 4 .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 5 дают в остатке 4 , а при делении на 2 дают в остатке 1 . б ) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2 .
Так , например , число 2201 оканчивается цифрой 2 , так как 201 при делении на 4 даёт в остатке 1 , а число 2202 — цифрой 4 , так как .
Например , при делении на 3 получаются остатки 0 , 1 и 2 .
Количество таких классов равно количеству возможных остатков .
Заметим , что даже в том случае , когда а b , можно говорить о делении а на b с остатком .
Деление с остатком . ( Для тех , кому интересно ) .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
783 Найдите остаток от деления на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
Получим неполное частное , равное 149 , и остаток , равный 11 .
Подсчитать искомый остаток человек может двумя способами .
Можно сначала найти общие затраты — они равны рублей , а затем найти остаток — он равен рублей .
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не делится и в результате деления получается остаток .
Пусть ; тогда можно считать , что неполное частное равно 0 , а остаток равен 2 , т .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
Поэтому в таком случае удобно считать , что получается нулевой остаток .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от знака а ) откладывается отрезок , равный .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
Затем каждой девочке поставили в соответствие точку на координатной плоскости , отложив по горизонтальной оси рост ( в см ) , а по вертикальной — вес ( в кг ) .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
Помимо дословного перевода с буквенного языка : « отношение а к b равно отношению с к d » , можно говорить иначе : « а так относится к b , как с относится к d » .
б ) В сплаве , состоящем из золота и меди , масса золота относится к массе меди как 6:5 .
а ) 18 так относится к 6 , как 15 относится к 5 .
В то же время сумма , полученная вторым , относится к сумме , полученной третьим , как .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
а ) 18 так относится к 6 , как 15 относится к 5 .
Помимо дословного перевода с буквенного языка : « отношение а к b равно отношению с к d » , можно говорить иначе : « а так относится к b , как с относится к d » .
К одночленам стандартного вида относятся также числа , переменные , степени переменных .
Деньги , вложенные первой и второй фирмами , относятся как 6 к 4 , а второй и третьей — как 4 к 2 .
Чему равно отношение объёма воды ко времени её поступления ? .
Упростите отношение .
Здесь важно не ошибиться : отношение равно не отношению а обратному отношению Получаем пропорцию .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Частотой случайного события в серии экспериментов называют отношение числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу экспериментов .
Отношение общего числа проведённых экспериментов к числу экспериментов , в которых это событие произошло .
Для этого найдём отношение 600 р .
Найдем отношение площадей квадратов .
Когда из наступления события В обязательно следует наступление события А , то говорят , что В влечёт за собой А , и оно , естественно , будет менее вероятно , чем А. С помощью кругов Эйлера такое отношение событий показано .
Отношение числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу проведённых экспериментов .
Тогда мы получили бы более простое отношение 3:2:1 .
Изобразите отношение событий С и D из примера 1 с помощью кругов Эйлера .
Чтобы узнать концентрацию получившегося раствора , нужно найти отношение массы соли к массе раствора и выразить его в процентах .
Найдите отношение периметров этих фигур .
Найдите отношение а к b . 218 Решите задачу , составив пропорцию .
Объясните , как образовано « длинное » отношение 6:4:2 в задаче 1 .
198 Упростите отношение , сократив его .
в ) Чему равно отношение а к 5 , если известно , что .
80 Крутизна спуска дороги — это отношение высоты подъёма дороги к её горизонтальной протяжённости , выраженное в процентах .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние члены ; замените каждое отношение обратным .
Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных величин ?
Найдите отношение х к у .
Помимо дословного перевода с буквенного языка : « отношение а к b равно отношению с к d » , можно говорить иначе : « а так относится к b , как с относится к d » .
б ) отношение 100 к 30 равно отношению 40 к 12 .
В таких случаях вместо двух отношений 6:4 и 4:2 пишут одно « длинное » отношение 6:4:2 и говорят : « как шесть к четырём , к двум » .
Если отношение равно отношению то равенство называют пропорцией .
182 В любой окружности отношение длины окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно .
Заметим , что рассмотренное в задаче отношение 6:4:2 можно было бы сократить , т .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
228 Отрезок АВ , длина которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в отношении .
207 Фирмам А , В и С принадлежит 75 % акций некоторого предприятия , которые распределены между ними в отношении .
Сколько тетрадей получит каждый класс , если число учащихся 1А и 1Б классов находится в отношении 3 4 , а число учащихся 1Б и 1В классов в отношении 8 7 ? .
Именно в таком отношении должна быть распределена полученная прибыль .
В каком отношении в тесте находятся : арифметические , алгебраические и геометрические задачи ? .
Сколько тетрадей получит каждый класс , если число учащихся 1А и 1Б классов находится в отношении 3 4 , а число учащихся 1Б и 1В классов в отношении 8 7 ? .
Сколько процентов выплаченной за работу суммы получил каждый из трёх участников , если она была распределена между ними в отношении ? .
12 Отрезок АВ , длина которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
226 В сплав входят медь , олово и сурьма в отношении .
2 ) Для подготовки викторины « Крупнейшие столицы мира » учащиеся составили вопросы по темам « Географическое положение » , « Климат » , « Экономика » , « Культура » , которые решили взять в отношении 4 2 1 5 .
В выставке собак участвовали собаки больших , средних и мелких пород , число которых находилось в отношении 4:8:3 .
219 а ) В строительстве бассейна используют белый и чёрный кафель в отношении 5:2 .
202 Из лекарственных трав — шалфея , ромашки и валерианы — составили сбор , взяв их в отношении 2:5:3 .
в отношении 4 6 7 3 .
134 Бюджетные деньги , выделенные на школы двух районов , распределили между этими районами в отношении 3:5 .
135 В пансионате имеются однокомнатные и двухкомнатные номера в отношении 5:3 .
Сколько игр ей надо выиграть , чтобы её результат в процентном отношении оказался по крайней мере не хуже ? .
б ) Сколько соли и сколько воды содержится в 200 г раствора соли , если соль и вода входят в него в отношении ? .
Сколько олова и меди содержится в куске бронзы , масса которого 80 кг , если олово и медь входят в неё в отношении ? .
Это можно сделать , вычислив каждое из отношений , а можно воспользоваться известным правилом сравнения дробей .
Для этого умножим каждое из равных отношений .
В таких случаях вместо двух отношений 6:4 и 4:2 пишут одно « длинное » отношение 6:4:2 и говорят : « как шесть к четырём , к двум » .
8 Из каких отношений нельзя составить пропорцию ? .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
Здесь важно не ошибиться : отношение равно не отношению а обратному отношению Получаем пропорцию .
Здесь важно не ошибиться : отношение равно не отношению а обратному отношению Получаем пропорцию .
4 Покажите , как на вероятностной шкале расположены по отношению друг к другу события А , В , С , D , Е , если известно , что Р(А ) 0,5 , событие В — маловероятное , событие С — очень вероятное , событие D — практически невероятное , Р(Е ) 1 .
Если отношение равно отношению то равенство называют пропорцией .
б ) отношение 100 к 30 равно отношению 40 к 12 .
Помимо дословного перевода с буквенного языка : « отношение а к b равно отношению с к d » , можно говорить иначе : « а так относится к b , как с относится к d » .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие равенства называют пропорциями .
Каждое из них показывает , сколько ткани идёт на один костюм , следовательно , эти отношения равны .
Возьмём отношения .
г ) Пять государств установили друг с другом дипломатические отношения , при этом каждое с каждым обменялось послами .
Поэтому отношения равны .
Теперь надо составить равные отношения .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Числовое равенство не нарушится , если к обеим его частям прибавить ( от обеих его частей отнять ) одно и то же число .
Найдём координату середины отрезка , концами которого служат точки А(-11,5 ) и Б(3,9 ) .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Цена альбома меньше цены книги на - этого отрезка .
Найдите координату середины отрезка АВ для каждого случая .
Чем различаются изображения и алгебраическая запись отрезка и интервала ?
Изобразим на координатной прямой числа -2 и 10 и найдём середину отрезка с концами в точках -2 и 10 .
453 Найдите длину отрезка MN , если .
Найдите координату точки К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
На сколько сантиметров длина отрезка АР больше длины отрезка КВ ? .
На сколько сантиметров длина отрезка АР больше длины отрезка КВ ? .
Расскажите , как найдена координата середины отрезка в примере из фрагмента 2 .
Чему равна длина отрезка СВ ? .
длину отрезка ОА .
как найти длину отрезка АВ ? .
454 а ) Найдите координату точки С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
Такая алгебра , оперировавшая не числами , а отрезками , площадями , объёмами , т . е .
д ) Четыре точки , никакие три из которых не лежат на одной прямой , соединили попарно отрезками .
Величины они изображали отрезками , произведение ab .
в ) На каком по счёту отрезке пути лыжник шёл медленнее всего ?
Какова была скорость лыжника на третьем отрезке пути ? .
Сколько таких точек на отрезке ?
Рассмотренные множества — лучи , интервалы и отрезки — называют числовыми промежутками или просто промежутками .
Напомним , что единичные отрезки по осям координат берутся равными .
Сколько всего отрезков было проведено ? .
45 Найдите длины отрезков АВ , АС , АО , AD , BD .
Изобразим её каким - либо отрезком .
Множество , задаваемое двойным неравенством -1 х 2 , называют отрезком .
Она изображена большим отрезком .
446 Назовите наименьшее и наибольшее целое число , принадлежащее указанному промежутку ( если такое существует ): а ) интервалу , б ) отрезку .
Найдите точку с целой положительной координатой , принадлежащую отрезку .
445 Сколько целых чисел принадлежит а ) интервалу ; б ) отрезку .
Найдите координаты точек , которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
Увеличим этот отрезок на 25 % , т .
на его длины ; получим отрезок , соответствующий цене книги .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от знака а ) откладывается отрезок , равный .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и единичный отрезок .
в ) интервал от точки -2 до точки 3 . г ) отрезок с концами в точках -8 и -2 .
Но можно сказать и по - другому : « х не меньше 3 » ( « не меньше » — это отрицание « меньше » ) .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Какое число — положительное или отрицательное - может получиться при возведении в степень отрицательного числа ?
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число , так и отрицательное .
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу .
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении положительного числа и отрицательного ; двух отрицательных чисел .
Например , так как любое положительное число больше любого отрицательного числа ; так как .
Какое число — положительное или отрицательное - может получиться при возведении в степень отрицательного числа ?
10 Пусть х — отрицательное число .
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число , так и отрицательное .
Например , по графику легко узнать , когда температура была положительной , а когда отрицательной , когда она росла , а когда понижалась .
С 2 ч до 10 ч температура была отрицательной , так как на этом промежутке график лежит ниже оси абсцисс .
Отрицательной ? .
Здесь мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых отрицательны , т .
Если же среди чисел есть отрицательные , то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных чисел .
Скобки , окружающие отрицательный множитель , записанный на первом месте , обычно опускают .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Основание степени может быть любым числом — положительным , отрицательным , нулём .
От чего зависит знак степени с отрицательным основанием ?
дробным отрицательным .
целым отрицательным .
4 Какой знак может иметь степень с отрицательным основанием ?
Запишите с отрицательным показателем степени выражение .
а ) с отрицательными координатами . б ) с неотрицательными координатами .
Для этого воспользуемся правилами действий с положительными и отрицательными числами .
Какие из чисел являются отрицательными ? .
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении положительного числа и отрицательного ; двух отрицательных чисел .
Если же среди чисел есть отрицательные , то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных чисел .
Кубическая парабола .
Кубическая парабола симметрична относительно начала координат .
496 Найдите координаты точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
При каких значениях х парабола лежит выше прямой ?
И в этой же точке , как говорят математики , парабола касается оси абсцисс .
500 Постройте параболу , симметричную параболе у — х2 относительно оси абсцисс .
, Е(-2 ; 4 ) , F(3 ; 27 ) выберите те , которые принадлежат : а ) параболе ; б ) кубической параболе ; в ) графику зависимости .
, Е(-2 ; 4 ) , F(3 ; 27 ) выберите те , которые принадлежат : а ) параболе ; б ) кубической параболе ; в ) графику зависимости .
Ведь именно по параболе , несколько искажённой сопротивлением воздуха , летит камень , мяч , снаряд и любое другое тело , брошенное под углом к горизонту .
Точки А и В принадлежат параболе , заданной равенством .
Этот график называется параболой .
Эта линия называется кубической параболой .
Все они попадут на эту параболу .
495 В одной системе координат постройте параболу и прямую .
Ось симметрии делит параболу на две части , называемые ветвями параболы ; эти ветви неограниченно уходят вверх .
500 Постройте параболу , симметричную параболе у — х2 относительно оси абсцисс .
Укажите промежутки значений х , в которых прямая расположена выше кубической параболы .
В вершине одна ветвь параболы плавно переходит в другую .
Каким соотношением связаны координаты точек этой параболы ? .
Назовите ординаты этих точек , опишите свойства кубической параболы .
Точку ( 0 ; 0 ) , в которой сходятся ветви параболы , называют вершиной параболы .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
б ) Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2 , 3 и 4 раза .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Из проволоки нужно согнуть каркас прямоугольного параллелепипеда .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Найдите число учащихся в каждой параллели , если известно , что во вторых классах на 8 учеников больше , чем в третьих .
Поэтому им пришлось обходить всю Землю по 37-й параллели .
148 Выразите высоту h из формулы а ) площади параллелограмма , б ) объёма цилиндра .
Точно так же множество точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Известно , что точки М(-4 ; 2 ) и N(c ; -3 ) расположены на прямой , параллельной оси ординат .
б ) прямую , проходящую через точку ( -5 ; 2 ) и параллельную оси ординат .
а ) прямую , проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси абсцисс .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной плоскости прямую , параллельную оси абсцисс .
10 Дано уравнение , где а — некоторое число , х — переменная .
Буквой в формуле не всегда обозначена переменная .
Уравнение вида , где а и b — числа , ах — переменная , называют линейным .
Хотя эти формулы связывают разные величины и записываются разными буквами , они очень похожи : в левой части записана одна переменная , в правой — произведение двух других .
Объясните , что означает каждая переменная , если покупают учебники .
Каждая переменная ( в соответствующей степени ) содержится в нём тоже только один раз .
Дан многочлен с одной переменной .
372 Найдите значение переменной , при котором .
635 Запишите многочлен , расположив его члены по убыванию степеней переменной , и укажите его степень .
Сумму и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
371 При каком значении переменной . а ) значение выражения равно значению выражения . б ) значения выражений противоположны ? .
При каких значениях переменной равны значения выражений .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
618 Найдите значение выражения при заданных значениях переменной .
В рассмотренных линейных уравнениях коэффициент а при переменной отличен от нуля .
270 Подставьте в каждое из выражений 2х , х2 , х3 вместо переменной х выражение -у и упростите получившееся выражение .
Напротив , числовые равенства уравнениями не являются — в них нет переменной .
Если в уравнение вместо переменной подставить число , то получится числовое равенство .
Действительно , какое бы число мы ни подставили в это уравнение вместо переменной х , получится верное числовое равенство .
Решение уравнения — это поиск тех значений переменной , при которых получается верное равенство .
Найдите значение выражения при заданном значении переменной .
Такие значения переменной , как вы знаете , называют корнями уравнения .
Всякое равенство , содержащее переменную , можно рассматривать как уравнение .
379 Решите уравнение относительно х 380 Выразите из равенства каждую переменную через другие .
150 Из физической формулы выразите переменную т .
Соберём члены уравнения , содержащие переменную , в одной части , а числа в другой .
3 Из геометрической формулы выразите переменную h .
Если многочлен стандартного вида содержит одну переменную , то его члены обычно располагают в порядке убывания её степеней .
Для зависимости пути от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную величину .
Какие значения могут принимать переменные тип ? .
Какие значения могут принимать переменные в формуле стоимости покупки учебников , которой вы пользовались в предыдущем задании ? .
А в формуле Р pt , выражающей зависимость объёма выполненной каменщиком работы от производительности и времени , переменные Р и р могут принимать только натуральные значения .
Какие значения могут принимать переменные n и N ?
Так , в формуле s vt переменные могут принимать только положительные значения .
Введите переменные и запишите формулу зависимости размера подоходного налога от величины заработка .
Числа и переменные также считают одночленами .
Введите переменные и запишите формулу зависимости размера пенсионных отчислений от величины заработной платы .
Какие значения могут принимать переменные а и b ? .
Все такие формулы могут быть представлены в виде , где буквами х и у обозначены переменные величины , а буквой k — та величина , которую мы считаем постоянной .
К одночленам стандартного вида относятся также числа , переменные , степени переменных .
Вообще если в формулах , подобных формуле , произведение постоянно , то две переменные величины связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Для зависимости времени движения от его скорости , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную величину .
В общем случае обратно пропорциональная зависимость может быть описана формулой где х и у — переменные , k — постоянная .
Такие изменяющиеся величины называют переменными величинами , а буквы в формуле , которыми они обозначены , — переменными .
Такие изменяющиеся величины называют переменными величинами , а буквы в формуле , которыми они обозначены , — переменными .
Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Все они составлены из чисел и переменных с помощью одного только действия — умножения .
269 Подставьте в выражение аb вместо переменных а и b указанные выражения и выполните преобразования .
К одночленам стандартного вида относятся также числа , переменные , степени переменных .
Убедитесь в том , что данные многочлены противоположны , и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных .
Составьте формулу , выражающую зависимость его скорости v от переменных t , I и n.
122 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
659 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
843 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных .
Итак , при возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
Итак , при возведении степени в степень показатели перемножают .
Поэтому убедимся в справедливости этого равенства , перемножив многочлены в правой части .
323 Как известно , перемножить непосредственно можно только два числа .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения площади прямоугольника достаточно измерить его стороны и перемножить получившиеся числа .
496 Найдите координаты точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
Пересечение промежутков , заданных неравенствами , есть промежуток .
Найдите объединение и пересечение этих промежутков .
А если потребовать , чтобы выполнялись одновременно оба условия , то на координатной плоскости получится пересечение этих полос — прямоугольник .
Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями координат .
Найдите координаты точек пересечения этих графиков .
606 Сколько существует анаграмм слова : а ) « факториал » ; б ) « перестановка » ; в ) « комбинаторика » ? .
Число перестановок для множества из n элементов обозначают через Рп ( читают : « Р из n » , Р — первая буква французского слова permutation — перестановка ) .
Назовите все перестановки множества , состоящего из трёх букв : « а » , « б » , « в » .
Если считать , что нам важно , кто на каком стуле сидит , то это простая задача на перестановки , и всего будет 6 !
6.5 Круговые перестановки . ( Для тех , кому интересно ) .
Давайте исследуем эту проблему на примере комбинаторных задач на « перестановки по кругу » .
Каждое расположение элементов множества в определённом порядке называют перестановкой .
Далее учтите , что те анаграммы , которые получаются перестановкой букв « а2 » и « а2 » , на самом деле одинаковы .
602 Напомним , что анаграмма — это слово , полученное из данного слова перестановкой его букв ( но необязательно имеющее смысл ) .
Но в каждой из этих перестановок русский язык и литература могут меняться местами .
Число перестановок для множества из n элементов обозначают через Рп ( читают : « Р из n » , Р — первая буква французского слова permutation — перестановка ) .
Число способов , которыми можно составить расписание , равно числу перестановок из шести элементов .
Значит , число таких расписаний равно числу перестановок из пяти элементов .
С помощью символа n принято записывать формулу для подсчёта числа перестановок .
Сколько существует перестановок из трёх элементов ? .
Рассуждая точно так же , можно показать , что для множества из пяти элементов число перестановок равно , а для множества из десяти элементов это число равно .
Приведите пример задачи , в которой нужно подсчитать число перестановок .
7 Запишите формулу для подсчёта числа перестановок .
Решив задачу , мы фактически подсчитали число перестановок для множества из четырёх элементов .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
277 а ) Чему равен периметр прямоугольника , одна сторона которого равна х см , а другая — на 2 см больше ?
Найдите периметр этого прямоугольника .
252 Чему равен периметр фигуры .
Чему равен периметр этого треугольника ? .
б ) Чему равен периметр треугольника , одна сторона которого равна а см , вторая — на 1 см больше первой , а третья — на 2 см меньше второй ? .
Чему равен периметр прямоугольника ? .
а ) периметра квадрата от длины его стороны .
Найдите отношение периметров этих фигур .
Сколько дней они отработали за этот период ? .
а ) Каков был начальный тираж газеты в указанный период ? .
в период с 14 до 20 лет ? .
Известно , что точки А(2 ; -1 ) и В ( 5 ; а ) расположены на прямой , перпендикулярной оси ординат .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
53 а ) Объём пирамиды , в основании которой квадрат . вычисляется по формуле V -a2h .
149 а ) Из формулы площади треугольника выразите . б ) Из формулы объёма пирамиды выразите .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина ребра .
473 Изобразите на координатной плоскости множество точек , заданное условиями .
Теперь мы будем рассматривать множества точек координатной плоскости , абсциссы и ординаты которых связаны какой - либо зависимостью .
474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую , симметричную точкам прямой .
472 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
А на координатной плоскости это же условие задаст уже полуплоскость ; она расположена правее прямой х 3 .
Отметим на координатной плоскости несколько точек , имеющих равные координаты , например А(0 ; 0 ) , В(1 ; 1 ) , С(-2 ; -2 ) , D(0,5 ; 0,5 ) .
480 Задайте на алгебраическом языке и изобразите на координатной плоскости множество точек , у которых .
469 Опишите на алгебраическом языке области координатной плоскости .
468 Изобразите на координатной плоскости множество точек , у которых .
Равенству у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой прямой , и никакая другая точка координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
467 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
Построим теперь на координатной плоскости множество точек , координаты которых связаны более сложным соотношением — равенством .
466 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
481 Изобразите на координатной плоскости множество точек , удовлетворяющих условиям .
Двойное неравенство 1 х 3 задаёт на координатной плоскости вертикальную полосу , а двойное неравенство горизонтальную полосу .
А если потребовать , чтобы выполнялись одновременно оба условия , то на координатной плоскости получится пересечение этих полос — прямоугольник .
462 Изобразите на координатной плоскости множество точек , которое задаётся равенством .
а ) Какое из равенств х 5 или у 5 задаёт в координатной плоскости горизонтальную прямую и какое - вертикальную ?
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной плоскости прямую , которая является биссектрисой I и III координатных углов .
485 Постройте множество точек плоскости , координаты которых связаны соотношением .
8 Изобразите на координатной плоскости график зависимости .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной плоскости прямую , параллельную оси абсцисс .
497 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
Представив данные таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки плавной линией , начертите кривую спроса на яблоки .
Для этого каждая пара чисел таблицы ( число экспериментов — частота ) отмечена точкой на координатной плоскости .
При этом на координатной плоскости мы будем получать всё больше и больше точек .
488 Изобразите на координатной плоскости множество точек .
489 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
А если нам известна только одна из координат точки на плоскости ?
490 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
492 Множество точек на плоскости задано условиями .
501 Постройте на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Изобразите это множество точек на координатной плоскости .
5.3 Множества точек на координатной плоскости .
493 Множество точек на плоскости задано условиями .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
511 Изобразите на плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Представив данные соответствующей таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки , постройте « кривую популярности » высококаблучников .
Вернёмся к прямоугольной системе координат на плоскости .
7 Изобразите на координатной плоскости график зависимости .
2 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
Затем каждой девочке поставили в соответствие точку на координатной плоскости , отложив по горизонтальной оси рост ( в см ) , а по вертикальной — вес ( в кг ) .
519 Опишите на алгебраическом языке множества точек координатной плоскости .
Попробуем теперь рассмотреть более сложные зависимости , которые могут связывать абсциссы и ординаты точек плоскости , и посмотрим , как будут выглядеть соответствующие графики .
Любая другая точка координатной плоскости имеет ординату , отличную от 2 .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией .
Отметим соответствующие точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией .
496 Найдите координаты точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
Можно вычислить координаты других точек , удовлетворяющих равенству и отметить их на координатной плоскости .
Множество точек на координатной плоскости .
3 Изобразите на координатной плоскости множество точек , удовлетворяющих условиям .
Задайте с помощью неравенств множества точек координатной плоскости .
Перенесём данные таблицы на координатную плоскость ; по оси абсцисс будем откладывать значения времени , а по оси ординат — значения температуры .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
Найдем отношение площадей квадратов .
сначала вычитанием площадей , а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство .
сначала вычитанием площадей , а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство .
Интересно , что именно так , используя правила вычисления площадей , получали подобные равенства учёные Древней Греции .
Ну хотя бы потому , что и на « языке денег » , и на « языке расстояний » , и на « языке площадей » мы всегда рассматриваем только положительные числа , а часто даже и натуральные .
Дайте истолкование этого равенства на « языке площадей » .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
Для равенств , связанных с умножением , часто удобна интерпретация на « языке площадей » .
Составьте два разных выражения для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на и запишите соответствующее равенство .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
241 Составьте несколько различных выражений для вычисления площади прямоугольника и запишите цепочку равенств .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части .
148 Выразите высоту h из формулы а ) площади параллелограмма , б ) объёма цилиндра .
Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части квадрата , получившейся на десятом шаге ; на сотом шаге .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения площади прямоугольника достаточно измерить его стороны и перемножить получившиеся числа .
Вы знаете формулу площади прямоугольника S ab , которая выражает соотношение между площадью S и длинами сторон а и b.
Ученик записал различные способы вычисления площади прямоугольника .
Площадь квадрата на 63 см2 больше площади прямоугольника .
12 Какое из выражений можно использовать для вычисления площади фигуры .
231 Для вычисления площади прямоугольника , изображённого на этом рисунке , можно составить выражение или выражение .
13 Площадь прямоугольника равна площади квадрата .
12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM1 .
С другой стороны , всего имеется z слоёв равной площади , а их общая площадь равна ху , и поэтому площадь каждого слоя равна кв. ед .
13 На сколько процентов площадь квадрата AKLM меньше площади квадрата ABCD ? .
149 а ) Из формулы площади треугольника выразите . б ) Из формулы объёма пирамиды выразите .
808 Если каждую из сторон земельного участка , имеющего форму квадрата , уменьшить на 3 м , то получится участок , площадь которого будет меньше площади исходного участка на 81 м2 .
Какой процент площади участка получил каждый фермер ? .
Значит , фермеры получили соответственно 20 % , 30 % , 35 % и 15 % площади участка .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
271 Составьте формулу для вычисления площади S фигуры .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус сферы .
В предыдущем пункте мы рассмотрели формулы площади прямоугольника , пути , стоимости , работы .
б ) площади квадрата от длины его стороны .
280 Составьте два выражения для вычисления площади фигуры и покажите , как одно из этих выражений можно преобразовать в другое .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
Докажите , что если сторону квадрата увеличить в 10 раз , то его площадь увеличится в 100 раз .
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
Найдите размеры и площадь картинки .
Найдите двумя способами площадь прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
Тогда площадь каждого слоя будет равна кв. ед .
Найдите площадь квадрата .
выберите те , с помощью которых можно найти площадь фигуры .
С другой стороны , всего имеется z слоёв равной площади , а их общая площадь равна ху , и поэтому площадь каждого слоя равна кв. ед .
С другой стороны , всего имеется z слоёв равной площади , а их общая площадь равна ху , и поэтому площадь каждого слоя равна кв. ед .
13 На сколько процентов площадь квадрата AKLM меньше площади квадрата ABCD ? .
б ) Расстояние между соседними километровыми столбами электропоезд проходит за 1 мин 12 с. Найдите скорость S — площадь основания электропоезда , выразив её в километрах в час .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус сферы .
Найдите площадь поверхности , если а 5 см , b 7 см , с 9 см .
Таким образом , площадь увеличилась в 9 раз .
Обозначим сторону квадрата буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового квадрата равна .
Обозначим сторону квадрата буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового квадрата равна .
Во сколько раз увеличилась его площадь ? .
Увеличилась или уменьшилась площадь сквера и на сколько процентов ? .
Во сколько раз увеличилась площадь прямоугольника ? .
765 а ) Пекарня использует для выпечки тортов формы двух видов , имеющие одинаковую площадь дна .
Первоначальная площадь куска стекла .
Чему была равна площадь первоначального участка ? .
777 Картинку квадратной формы наклеили на белую бумагу , в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на 460 см2 больше , чем она занимала без окантовки .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM1 .
б ) Чему равна площадь прямоугольника , одна из сторон которого равна х см , а другая на а см меньше ? .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
Найдите площадь кольца , если .
а ) Чему равна площадь прямоугольника , одна из сторон которого равна х см , а другая на 3 см больше ? .
240 Найдите площадь фигуры ( рис .
Найдите площадь нового участка .
808 Если каждую из сторон земельного участка , имеющего форму квадрата , уменьшить на 3 м , то получится участок , площадь которого будет меньше площади исходного участка на 81 м2 .
Если меньшую сторону увеличить на 1 см , а большую — на 2 см , то площадь изображения увеличится на 65 см2 .
Население Китая составляет человек , а площадь его территории равна км2 .
Чтобы вставить дверь в дверной проём , её сделали короче на 10 см и уже на 5 см. При этом площадь обрезков составила 1900 см2 .
Вы знаете формулу площади прямоугольника S ab , которая выражает соотношение между площадью S и длинами сторон а и b.
Такая алгебра , оперировавшая не числами , а отрезками , площадями , объёмами , т . е .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части уравнения , при этом его знак изменился с « минуса » на « плюс » .
в 1,1 раза , плюс добавлялась новая сумма .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Найдите площадь поверхности , если а 5 см , b 7 см , с 9 см .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус сферы .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус сферы .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Эта сумма равна огромному числу 18 446 744 073 709 551 615 , и она столь велика , что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты , включая Мировой океан .
Многих школьников волнует подобная проблема , и чаще всего ученики решают её следующим естественным образом : складывают все отметки и делят сумму на их количество .
Приведите подобные члены многочлена .
У одних общей буквенной частью является произведение ab , у других — буква с. Сгруппируем подобные слагаемые .
Интересно , что именно так , используя правила вычисления площадей , получали подобные равенства учёные Древней Греции .
655 Раскройте скобки и приведите подобные .
Сумму и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
Подобные члены этого многочлена .
298 Приведите подобные слагаемые .
Подобные слагаемые в выражении .
Заметим , что подобные слагаемые можно группировать мысленно , выделяя их специальными знаками .
Для этого достаточно привести подобные слагаемые , т .
Чтобы привести подобные слагаемые , нужно : сгруппировать эти слагаемые ; сложить их коэффициенты .
укажите подобные члены в получившемся после раскрытия скобок выражении и выполните приведение подобных .
13 Приведите подобные слагаемые .
Рассмотрим на примере , как можно приводить подобные слагаемые , используя сформулированное правило .
Подчеркните подобные слагаемые в каждом из выражений .
Раскроем скобки , выполнив умножение -5с на 1 - с , и затем приведём подобные члены ( если они окажутся ) .
15 Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в выражении .
2 Приведите подобные слагаемые .
Какие слагаемые называют подобными ?
Таким образом , слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть , называют подобными слагаемыми .
б Какие слагаемые называют подобными ?
Чтобы понять особенности зависимостей , описываемых подобными формулами , рассмотрим одну из них , а именно формулу пути .
Правило приведения подобных слагаемых .
В этой сумме две группы подобных слагаемых .
Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стёрли знаки между слагаемыми .
Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых .
Найдём сумму коэффициентов подобных слагаемых первой группы .
На каком законе основано приведение подобных слагаемых ? .
Проиллюстрируйте правило приведения подобных слагаемых на примере выражения .
укажите подобные члены в получившемся после раскрытия скобок выражении и выполните приведение подобных .
Такое преобразование называют приведением подобных слагаемых .
Нам удалось упростить данное выражение , заменив сумму подобных слагаемых одним выражением -4а .
3.4 Приведение подобных слагаемых .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
Но , исходя из здравого смысла , можно сразу , не прибегая к арифметике , получать многие правила , например , известное вам правило приведения подобных слагаемых .
Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых и поясните его на примере выражения .
Вообще если в формулах , подобных формуле , произведение постоянно , то две переменные величины связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Значит , в результате приведения подобных слагаемых второй группы мы получим 5с .
Одним из статистических показателей различия , или разброса , данных является размах .
Что характеризует каждый из этих показателей ? .
Вам уже знакомо понятие степени с натуральным показателем .
В математике это выражение тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у степени с натуральным показателем .
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение выражения .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным показателем , на основе которых выполняются преобразования выражений , содержащих степени , а также вычисления .
Запишите с отрицательным показателем степени выражение .
Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Напомним , что определение степени с натуральным показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда показатель степени больше 1 и когда он равен 1 .
1 Сформулируйте определение степени с натуральным показателем .
Степень с натуральным показателем .
Степенью числа а с показателем , равным 1 , называют само число а .
Свойства степени с натуральным показателем .
1.3 Степень с натуральным показателем .
Число а называют основанием степени , а число n — показателем степени .
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают .
Итак , при возведении степени в степень показатели перемножают .
Если бы мы продолжили таблицу , то оно попало бы в столбец , где находятся степени 24 , 28 , 212 , показатели которых кратны четырём .
Что характеризует этот показатель ? .
И последняя цифра числа 2n определяется тем , в какую из этих групп попадает показатель n.
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
Наибольший показатель степени , в которой переменная входит в этот многочлен , равен 3 .
Напомним , что определение степени с натуральным показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда показатель степени больше 1 и когда он равен 1 .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Такой показатель , как мода , используется не только для числовых данных .
Мода — показатель , который широко используется в статистике .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Число 8 - основание степени , а число 5 - показатель степени .
Это зависит от того , чётным или нечётным числом является показатель степени .
Например . Обратите внимание : степени числа 2 с увеличением показателя возрастают очень быстро .
Исходя из этого статистического показателя можно подумать , что на Меркурии умеренный климат , удобный для жизни людей .
Заметив это , нетрудно определить последнюю цифру степени 2n для любого показателя n .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
"Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра числа 2 "" , где n — натуральное число , с изменением" показателя n.
Сколько потребуется тракторов , чтобы вспахать это поле за 9 ч ?
б ) Три трактора могут вспахать поле за 18 ч .
940 Ваня и Дима решают с помощью вертушки , как им провести воскресенье : если стрелка остановится на белом поле , они пойдут в кино ; если на голубом — на стадион .
952 Вы выигрываете , если стрелка останавливается на белом поле .
Двучлен всегда положителен .
Как вы знаете , квадрат любого числа положителен или равен нулю , т .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Модуль положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении положительного числа и отрицательного ; двух отрицательных чисел .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и единичный отрезок .
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число , так и отрицательное .
Например , так как любое положительное число больше любого отрицательного числа ; так как .
все члены ряда умножить на одно и то же положительное число ? .
Какое число — положительное или отрицательное - может получиться при возведении в степень отрицательного числа ?
Найдите точку с целой положительной координатой , принадлежащую отрезку .
и после 10 ч температура была положительной , так как на этих промежутках график расположен выше оси абсцисс .
Например , по графику легко узнать , когда температура была положительной , а когда отрицательной , когда она росла , а когда понижалась .
б ) Когда в течение суток температура была положительной ?
б ) Когда в течение суток температура была положительной ? .
Ну хотя бы потому , что и на « языке денег » , и на « языке расстояний » , и на « языке площадей » мы всегда рассматриваем только положительные числа , а часто даже и натуральные .
Так , в формуле s vt переменные могут принимать только положительные значения .
Основание степени может быть любым числом — положительным , отрицательным , нулём .
дробным положительным .
целым положительным .
Для этого воспользуемся правилами действий с положительными и отрицательными числами .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
В заключение подчеркнём , что в наших рассуждениях речь шла только о положительных дробях .
Если же среди чисел есть отрицательные , то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных чисел .
Числовые промежутки , которые называют полуинтервалами .
Сколько существует таких полуинтервалов ? .
Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3 .
Поэтому для вычисления произведения xyz ( без изменения порядка множителей ) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки , т.е. представить его как или как .
Если многочлен стандартного вида содержит одну переменную , то его члены обычно располагают в порядке убывания её степеней .
б ) разность трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
а ) сумму двузначного числа числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Каждое расположение элементов множества в определённом порядке называют перестановкой .
Ваня знает , что номер телефона его друга состоит из четырёх цифр 1 , 2 , 3 , 4 , но не помнит , в каком порядке их надо набирать .
62 Расположите в порядке возрастания числа .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Переместительное свойство сложения , которое утверждает , что два числа можно складывать в любом порядке .
Перечислите коробки в порядке возрастания шансов вынуть чёрный шар .
15 Составьте все дроби ( не равные 1 ) с числителями и знаменателями 11 , 12 , 13 и расположите их в порядке возрастания .
124 Расположите в порядке возрастания числа .
10 Расположите в порядке убывания числа .
9 Расположите в порядке возрастания числа .
Расположите в порядке убывания числа .
( Сигналы , составленные из флагов , взятых в разном порядке , считаются различными . ) .
Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители и запишем вначале произведение числовых множителей , а затем буквенных , расположив их в алфавитном порядке .
Расположим их в порядке возрастания .
2 Расположите в порядке возрастания числа .
Никаких общих правил , помогающих установить , какие способы и в каком порядке следует применять , не существует .
У урока физкультуры фиксированное место , поэтому расписания отличаются порядком остальных пяти предметов .
249 Преобразуйте выражение в равное , изменив каким - либо способом порядок слагаемых .
Сколько разных последовательностей из орлов и решек может при этом получиться ? .
В последовательности Фибоначчи каждое число , начиная с третьего , равно сумме двух предыдущих .
а ) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел .
А в русском алфавите 33 буквы , значит , придётся использовать последовательности из пяти знаков .
Докажите , что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 4 .
Докажите , что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 3 .
Из каждой последовательности из двух знаков получаются ещё две приписыванием точки или тире , т .
Будем считать словом любую последовательность , состоящую не более чем из пяти букв .
Понятно , что , чем короче последовательность знаков , обозначающая букву , тем лучше .
Результатом эксперимента является последовательность из пяти цифр .
Выскажите предположение , какие буквы русского алфавита в азбуке Морзе кодируются последовательностью из пяти знаков .
596 В компьютере каждый символ кодируется последовательностью , состоящей из восьми цифр — нулей и единиц .
Итак , последовательностями из одного , двух , трёх или четырёх знаков ( точек и тире ) можно закодировать букв .
Можно ли обойтись последовательностями не более чем в 4 знака , чтобы закодировать все буквы русского алфавита ? .
Любая точка этого интервала лежит правее точки -1 и левее точки 2 .
Рассмотрим множество точек координатной прямой , имеющих координату , большую 3 , а значит , расположенных правее точки 3 .
А на координатной плоскости это же условие задаст уже полуплоскость ; она расположена правее прямой х 3 .
4 В каких случаях выражение разложено на множители правильно ? .
Равновероятным является выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании симметричного игрального кубика , орла или решки при бросании правильной монеты .
И это вовсе не значит , что один из получившихся ответов правильный , а другой нет .
Действительно , чтобы получить правильный результат , надо время выразить в часах .
Только в этом случае формула может дать правильный результат .
Хотя эти формулы связывают разные величины и записываются разными буквами , они очень похожи : в левой части записана одна переменная , в правой — произведение двух других .
Поэтому убедимся в справедливости этого равенства , перемножив многочлены в правой части .
Теперь понятно , что график надо строить по частям , отдельно в правой и в левой полуплоскости .
Воспользовавшись первым правилом , соберём числа в правой части уравнения .
А вот уравнение вообще не имеет корней , так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
Расставьте скобки так , чтобы выражение в левой части равенства было равно выражению в правой части .
Расставьте скобки так , чтобы путём преобразования левой части равенства можно было получить правую часть .
Мы легко доказали эту формулу , преобразовав правую часть и получив левую .
Но если нас интересует только взаимное расположение гостей , то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения , при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом , только левый и правый соседи меняются местами .
Из задуманного числа вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
а ) К задуманному числу прибавили 11 , затем сумму поделили пополам и получили число , которое на 2 больше задуманного .
Чтобы воспользоваться способом группировки , прибавим к двучлену выражение и вычтем его .
Числовое равенство не нарушится , если к обеим его частям прибавить ( от обеих его частей отнять ) одно и то же число .
а ) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Борис предложил ему возвести это число в квадрат , после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Можно , например , разложить этот многочлен на множители , используя тот же приём « прибавить — вычесть » , но уже совсем по - другому .
662 Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену , чтобы в сумме получился 0 .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и вычесть , чтобы разложить многочлен на множители .
Чтобы узнать мартовский тираж журнала , нужно найти 120 % от февральского тиража и прибавить полученное число к 325 .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Запишите многочлен , который надо прибавить к трёхчлену чтобы сумма оказалась равной .
Использованный приём « прибавить — вычесть » вам , конечно , известен .
Далее каждый раз , заполняя следующий столбец таблицы , к результатам предыдущего столбца прибавляли результаты , полученные следующей парой учеников , и подсчитывали соответствующие частоты .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
158 В нашей стране и в США для приближённой прикидки нормального веса взрослого человека пользуются разными формулами : в России , где Р — вес в килограммах , Н — рост в сантиметрах ; в США , где W — вес в фунтах , Н — рост в дюймах .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина ребра .
В самом деле , заменим дроби и 75 их приближёнными десятичными значениями .
В каком случае правильно приведены .
В таблице приведены ещё некоторые примеры приёмов вычислений и дана их буквенная запись .
Вы можете понаблюдать за их изменением , рассмотрев таблицу , в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10 .
Примеры таких дробей приведены в таблице .
Назовите и сформулируйте каждый из них ; приведите иллюстрирующие их числовые примеры .
1 Назовите известные вам числовые промежутки и приведите соответствующие примеры .
655 Раскройте скобки и приведите подобные .
15 Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в выражении .
Подставьте вместо а заданное выражение и приведите многочлен к стандартному виду .
Раскроем скобки , выполнив умножение -5с на 1 - с , и затем приведём подобные члены ( если они окажутся ) .
Для этого приведём их к общему знаменателю .
Из приведённого рассуждения понятно следующее правило .
Доказательство , приведённое Евклидом , вы можете воспроизвести самостоятельно , воспользовавшись .
341 Составьте уравнение по условию задачи , опираясь на приведённый ниже план .
Ответьте на вопрос , воспользовавшись приведённым образцом .
6 Среди приведённых ниже выражений найдите выражение , противоположное многочлену .
Среди приведённых ниже событий укажите те , вероятность которых равна 0 и вероятность которых равна 1 .
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов .
Найдите эту разность среди приведённых ниже выражений .
Определите , какое из приведённых ниже равенств неверно .
2 Из приведённых выражений .
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от дроби к процентам или от процентов к дроби .
Так , для многочлена к нужному результату приведёт и группировка первого слагаемого с третьим , а второго — с четвёртым .
Наши рассуждения привели нас к хорошо знакомой задаче на части .
Мы привели здесь подробную запись , чтобы показать , как работают законы алгебры , а на практике промежуточные шаги часто выполняют устно — слагаемые переставляются и группируются не руками , а глазами .
Чтобы показать это , надо привести пример такой ситуации , или , как говорят , такого исхода , когда данное событие происходит , и такого исхода , когда оно не происходит .
Если среди чисел , с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби , то их надо привести к какой - нибудь одной из этих форм .
Для этого достаточно привести подобные слагаемые , т .
Чтобы привести подобные слагаемые , нужно : сгруппировать эти слагаемые ; сложить их коэффициенты .
Рассмотрим на примере , как можно приводить подобные слагаемые , используя сформулированное правило .
3 На примере многочлена объясните , как приводят многочлен к стандартному виду .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
Найдите объём призмы , если а 8 см .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
702 Представьте произведение в виде многочлена .
Вы знаете , что произведение одинаковых множителей записывают короче — в виде степени .
Докажите , что их произведение при делении на 3 также даёт в остатке 1 .
Фактически перед нами стоит задача : доказать , что произведение есть число , противоположное , или , что то же самое , доказать , что .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
256 Упростите произведение и назовите коэффициент .
Таким образом , выражение аn означает произведение n множителей , равных а .
Величины они изображали отрезками , произведение ab .
1 ) если произведение двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Значит , и всё произведение , а вместе с ним и равная ему сумма делится на 2 .
На произведение буквенных множителей распространяется известное правило знаков « минус на минус даёт плюс » , это закон алгебры .
Переставив множители и заменив произведение одинаковых множителей степенью , получим .
Произведение выражений .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Чему равно произведение цены яблок на их массу ? .
Пользуясь примером 2 как образцом , упростите произведение Запишите подробную цепочку преобразований и объясните каждый шаг .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
С помощью этой формулы можно преобразовать произведение разности и суммы любых двух выражений .
Вообще если в формулах , подобных формуле , произведение постоянно , то две переменные величины связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Как принято записывать произведение , у которого коэффициент равен 1 ?
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
Так как произведение делится на 6 , то и разность делится на 6 .
Возьмём произведение двух степеней с одинаковыми основаниями , например а3а4 .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Значит , произведение .
4 Представьте в виде многочлена произведение .
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в произведение : вынесли за скобки число 17 .
Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин ? .
Точно так же х не может быть меньше 9 , потому что в этом случае произведение будет меньше 90 .
724 Представьте каждое произведение в виде многочлена .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
114 Делится ли на 10 : сумма II11 322 ; разность 7го- 910 ; произведение 1215 1512 ? .
Хотя эти формулы связывают разные величины и записываются разными буквами , они очень похожи : в левой части записана одна переменная , в правой — произведение двух других .
Это свойство распространяется на произведение трёх и более степеней .
В справочниках можно увидеть , что , например , масса Земли равна 5,978 1024 кг , а масса атома водорода — 1,674 10 24 г. Понятно , что 1024 — это произведение 24 множителей , равных 10 , т .
У одних общей буквенной частью является произведение ab , у других — буква с. Сгруппируем подобные слагаемые .
г ) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное .
Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
616 Запишите произведение .
С : сумма выпавших очков не больше 12 . D : произведение выпавших очков больше 40 .
Представим в виде многочлена произведение .
Для этого составим их произведение и с помощью распределительного свойства раскроем скобки .
540 Упростите произведение .
4 ) если произведение двух чисел не равно нулю , то ни одно из этих чисел не равно нулю .
268 Упростите произведение .
3 ) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю , то произведение этих чисел не равно нулю .
В результате мы получили многочлен Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно преобразовать в многочлен .
Вообще , произведение двух многочленов всегда можно представить в виде многочлена .
Упростим произведение .
2 ) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю , то их произведение равно нулю .
Например , такие : если , и тогда произведение больше 90 .
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
это произведение пяти множителей , каждый из которых равен 8 .
259 Упростите произведение .
Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители и запишем вначале произведение числовых множителей , а затем буквенных , расположив их в алфавитном порядке .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Только в данном случае этот закон мы применяем справа налево : заменяем сумму произведением , а не наоборот .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
В то же время процесс возведения в степень можно сократить , если множители в произведении сгруппировать так , чтобы можно было использовать уже известные результаты .
281 Раскройте скобки в произведении .
5 Сформулируйте правило раскрытия скобок в произведении .
Раскрыть скобки в произведении можно с помощью распределительного закона .
В получившемся произведении только один числовой множитель , и он записан на первом месте .
На основании какого закона раскрывают скобки в произведении ?
283 Раскройте скобки в произведении .
В произведении обозначьте двучлен буквой х и проведите преобразования , аналогичные рассмотренным в тексте .
В любом произведении множители можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы .
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Обозначим двучлен какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в произведении по правилу умножения одночлена на многочлен .
Таким образом , задача свелась к сравнению произведений .
Здесь будут рассмотрены правила преобразования сумм и произведений .
Правило преобразования произведений следует из переместительного и сочетательного законов умножения .
Правило преобразования произведений сумм .
3 Чему равен коэффициент в каждом из произведений .
Однако такой смысл этому выражению придаётся при ( ведь произведений из одного множителя не бывает ) .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
723 Выпишите выражения , равные произведению .
Какие из них равны произведению .
3 Какую степень имеет многочлен , равный произведению многочленов .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
13 Какое из выражений противоположно произведению .
Каждый член этого многочлена можно представить в виде произведения , в котором один из множителей равен 2ху .
Итак , при возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
с основанием 7 произведения . б ) с основанием а произведения .
Используйте формулу для преобразования произведения в многочлен .
863 Представьте в виде произведения .
с основанием 7 произведения . б ) с основанием а произведения .
42 Представьте разными способами 38 в виде произведения .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
187 Составьте различные пропорции , используя следующие произведения .
Поэтому для вычисления произведения xyz ( без изменения порядка множителей ) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки , т.е. представить его как или как .
Это свойство справедливо для произведения любого числа множителей .
34 Запишите каждое выражение в виде произведения или степени .
6.2 Степень степени , произведения и дроби .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Приведите свой пример уравнения , решаемого на основе равенства нулю произведения .
Покажите его применение для раскрытия скобок на примере произведения .
Покажем , как это свойство произведения используется для решения уравнений .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
836 Представьте выражение в виде произведения .
705 Запишите степень двучлена в виде произведения и выполните умножение .
Рассмотрим , как можно умножить многочлен на многочлен на примере произведения .
Сформулируйте правило преобразования произведения .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
На примере а12 а5 проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство произведения степеней с одинаковым основанием .
7 Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких чисел .
Каждый член двучлена представьте в виде произведения , в котором есть множитель -3а .
Однако в математике важна и обратная задача — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов , среди которых могут быть и одночлены .
818 Представьте выражение в виде произведения двумя способами по следующему образцу .
5 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень произведения .
Выражение с помощью распределительного закона можно представить в виде произведения .
552 Представьте выражение в виде произведения двух или нескольких степеней .
Чему равен коэффициент произведения ?
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных натуральных числа и одно из них обязательно является чётным , т .
Решим уравнение Равенство нулю произведения обращается в нуль при .
Такие произведения бывают очень длинными и часто выражаются огромными числами .
Выясним теперь , как можно преобразовать степень произведения , например выражение ( ab)3 .
а ) Какое свойство произведения используется для решения уравнения ( сформулируйте это свойство ) ?
В пачки по 150 г и по 250 г фасовали одно и то же количество чая , поэтому произведения 150 30 и 250 х равны .
Примените записанную вами формулу сокращённого умножения для преобразования произведения .
244 Запишите с помощью букв и скобок несколько разных способов вычисления произведения четырёх чисел .
Представим а9 в виде произведения а0а4 , тогда дробь можно будет сократить на общий множитель а5 .
Коэффициент произведения .
Проверьте двумя способами , является ли пропорцией следующее равенство .
А как узнать , является ли равенство вида пропорцией ? .
Например , является ли пропорцией равенство .
Если отношение равно отношению то равенство называют пропорцией .
Какое из следующих равенств пропорцией не является ? .
Сформулированное утверждение называют основным свойством пропорции .
2.5 Задачи на « сложные » пропорции . ( Для тех , кому интересно ) .
Сформулируйте соответствующие свойства пропорции .
Используя доказанное утверждение , составьте две новые пропорции из пропорции .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
С помощью основного свойства пропорции любой её член можно выразить через три других .
214 Найдите неизвестный член пропорции .
Составьте четыре пропорции , членами которых являются те же числа х , у , z и v . 216 Известно , что .
Используя доказанное утверждение , составьте две новые пропорции из пропорции .
Используя пропорцию запишите три новые пропорции .
Это позволяет по трём известным членам пропорции находить неизвестный .
Из пропорции находим х .
5 Дайте определение пропорции .
Из пропорции выразите число а ; число b.
б ) Дополните равенства так , чтобы получились пропорции .
Как найти неизвестный член пропорции .
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции ; неизвестного среднего члена пропорции .
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции ; неизвестного среднего члена пропорции .
6 Сформулируйте основное свойство пропорции .
187 Составьте различные пропорции , используя следующие произведения .
Приведите пример пропорции и назовите её крайние и средние члены .
Сформулируйте определение пропорции .
5 Найдите неизвестный член пропорции .
178 Найдите неизвестный член пропорции .
180 Обозначьте неизвестную величину буквой и составьте разные пропорции по условию задачи .
Найдём неизвестный член пропорции .
10 Как можно найти неизвестный член пропорции .
Составьте две разные пропорции по условию задачи , как это сделано в примере 2 .
Запишите каждое утверждение в виде пропорции , назовите крайние члены и средние члены пропорции .
Из этой пропорции находим неизвестное число х .
Запишите каждое утверждение в виде пропорции , назовите крайние члены и средние члены пропорции .
Найдите неизвестный член пропорции .
а ) Сформулируйте основное свойство пропорции .
По основному свойству пропорции имеем .
Решение задач с помощью пропорций .
Задачи , в которых речь идёт о прямо пропорциональных или обратно пропорциональных величинах , удобно решать с помощью пропорций .
Объём выполненной работы при постоянном времени работы пропорционален производительности .
Объём выполненной работы при постоянной производительности пропорционален времени работы .
Можно сказать также , что скорость движения обратно пропорциональна времени движения .
Точно так же стоимость товара при постоянной цене пропорциональна его количеству ; стоимость товара при одном и том же количестве пропорциональна его цене .
Точно так же стоимость товара при постоянной цене пропорциональна его количеству ; стоимость товара при одном и том же количестве пропорциональна его цене .
В общем случае обратно пропорциональная зависимость может быть описана формулой где х и у — переменные , k — постоянная .
Участок земли разделили между четырьмя фермерами пропорционально количеству членов их семей .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
Количество ткани прямо пропорционально числу костюмов : во сколько раз увеличивается число костюмов , во столько же раз увеличивается и расход ткани .
Распределите 70 билетов между тремя классами пропорционально числам 2 , 3 и 5 .
Б. Время работы при постоянном её объёме пропорционально производительности .
Можно сказать , что прибыль разделили пропорционально суммам , вложенным в проект .
Говорят , что при постоянной скорости расстояние прямо пропорционально времени движения .
Например , при постоянной стоимости количество купленного товара обратно пропорционально его цене ; при постоянном объёме работы время работы обратно пропорционально производительности .
Итак , если движение равномерное , расстояние пропорционально времени движения .
Количество пачек чая обратно пропорционально массе одной пачки : во сколько раз увеличится масса пачки , во столько же раз уменьшится количество пачек .
7 Распределите 3 тыс. рублей пропорционально числам 4 , 3 и 8 .
Очевидно также , что при постоянном времен : расстояние пропорционально скорости движения : если скорость увеличить , например , в 3 раза , то за такое же время будет продела : путь , в 3 раза больший .
Площадь всего участка составляет 100 % , и эти 100 % нужно разделить пропорционально числам 4 , 6 , 7 и 3 , т .
Например , при постоянной стоимости количество купленного товара обратно пропорционально его цене ; при постоянном объёме работы время работы обратно пропорционально производительности .
Говорят , что при постоянном расстоянии время движения обратно пропорционально скорости движения .
7 Придумайте задачу на пропорциональное деление какой - либо величины .
Запишите общую формулу обратно пропорциональной зависимости .
Запишите общую формулу прямо пропорциональной зависимости .
Вообще если в формулах , подобных формуле , произведение постоянно , то две переменные величины связаны обратно пропорциональной зависимостью .
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
Система распределения прибыли , описанная в этой задаче , называется пропорциональной .
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Прямо пропорциональные величины .
Вместо слов « прямо пропорциональные величины » можно говорить короче : « пропорциональные величины » .
Вместо слов « прямо пропорциональные величины » можно говорить короче : « пропорциональные величины » .
Обратно пропорциональные величины .
Разделите число х на части , пропорциональные числам а , b , с .
Слово « пропорциональный » происходит от латинского pro - portione , означающего « соответственно порциям » , « согласно долям » , « по количеству » .
Объясните происхождение и смысл слова « пропорциональный » .
Две величины называют прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз .
1 Какие величины называют прямо пропорциональными ?
Две величины называют обратно пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз .
3 Какие величины называют обратно пропорциональными ?
2 Сформулируйте свойство прямо пропорциональных величин .
Вообще любая формула , похожая на формулу , даёт нам два случая прямо пропорциональных величин .
Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин ? .
4 Сформулируйте свойство обратно пропорциональных величин .
Приведите примеры прямо пропорциональных величин .
Задачи , в которых речь идёт о прямо пропорциональных или обратно пропорциональных величинах , удобно решать с помощью пропорций .
Приведите примеры обратно пропорциональных величин .
Задачи , в которых речь идёт о прямо пропорциональных или обратно пропорциональных величинах , удобно решать с помощью пропорций .
Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных величин ?
Найдите отношение а к b . 218 Решите задачу , составив пропорцию .
Используя пропорцию запишите три новые пропорции .
Решим эту же задачу , составив другую пропорцию .
Происхождение этих терминов станет совершенно понятным , если записать пропорцию в строчку .
188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так , чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию : а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
Составим пропорцию .
Числа , образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние члены ; замените каждое отношение обратным .
Имеем пропорцию .
Читают пропорцию по - разному .
Получаем пропорцию .
Здесь важно не ошибиться : отношение равно не отношению а обратному отношению Получаем пропорцию .
8 Из каких отношений нельзя составить пропорцию ? .
Установите , какая пропорция соответствует условию задачи ( х - число страниц , которое напечатает вторая машинистка ) .
наше равенство — пропорция .
В каком случае пропорция по условию задачи составлена правильно , если буквой х обозначена скорость велосипедиста ( в км / ч ) ? .
а ) Дана пропорция .
9 Дана пропорция .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие равенства называют пропорциями .
Докажите , что если равенство также являются пропорциями .
( Убедитесь в том , что полученные равенства действительно являются пропорциями . )
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37 ?
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу .
У каждой из этих точек абсцисса и ордината — противоположные числа .
Сумма противоположных чисел равна С .
Какой процент этого сбора составляет каждая из трав ? .
Какой процент прибыли получит каждый из них ? .
Какой процент всех читателей составляют школьники ? .
Какой процент автомобилей всего автопарка составляют автомобили ВАЗ ? .
Какой процент площади участка получил каждый фермер ? .
Определите процент жирности полученного творога , если смешали .
Определите , какой процент от всех имевшихся на ярмарке школьных учебников составляют проданные в каждый из этих трёх дней .
С понятием дроби , как вам уже известно , связано понятие процента .
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от дроби к процентам или от процентов к дроби .
Проверьте себя , обратившись к таблице во фрагменте 1 , можете ли вы бегло назвать обыкновенные дроби , соответствующие процентам : 10 % , 20 % , 25 % , 50 % , 75 % .
Объясните , как находят величину по её известным процентам ( задача 2 ) .
При решении задач на проценты нужно уметь свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
Поэтому , чтобы решать задачи на проценты , нужно свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Чтобы выразить в процентах часть величины , заданную обыкновенной дробью , нужно сначала эту дробь обратить в десятичную .
Ответ дайте в процентах .
Полезно также помнить , как выражаются в процентах некоторые дроби .
( Ответ выразите в процентах . ) .
10 Выразите в процентах десятичные дроби : 0,7 ; 0,15 ; 0,06 ; 0,075 ; 0,005 .
Правило выражения десятичной дроби в процентах .
80 Крутизна спуска дороги — это отношение высоты подъёма дороги к её горизонтальной протяжённости , выраженное в процентах .
Частоту принято выражать также и в процентах .
Выразите эти десятичные дроби в процентах .
Выразим эту величину в процентах .
и выразим его в процентах .
Чтобы узнать концентрацию получившегося раствора , нужно найти отношение массы соли к массе раствора и выразить его в процентах .
Иногда вероятность выражают в процентах .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Сколько процентов выплаченной за работу суммы получил каждый из трёх участников , если она была распределена между ними в отношении ? .
Сколько процентов бюджетных денег досталось каждому району ? .
3 ) Сколько процентов в год начисляет банк , если ?
Сколько всего процентов номеров оборудовано для отдыхающих с маленькими детьми ? .
Сколько процентов всех книг составляют книги для взрослых ? .
Увеличилась или уменьшилась площадь сквера и на сколько процентов ? .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
Выясним , сколько процентов приходится на взрослых , не достигших пенсионного возраста .
На сколько процентов была снижена цена куртки на распродаже ? .
Теперь выясним , сколько процентов составляет разница в 600 р .
в ) На сколько примерно процентов вырос тираж газеты за февраль ?
Проверьте утверждения , воспользовавшись одним из правил , приведённых во фрагменте 1,-перехода от дроби к процентам или от процентов к дроби .
Объясните , как находят несколько процентов от величины ( задача 1 ) .
На сколько процентов была снижена цена товара ? » ( задача 4 ) .
На сколько процентов повысилась или понизилась цена каждого товара в декабре по сравнению с майской ценой ?
На сколько процентов майская цена была выше или ниже декабрьской ?
Сколько процентов сплава составляет каждый металл ?
Вычислите , на сколько процентов уценили книгу , если её цену снизили с 80 р .
На сколько процентов повысилась урожайность кустов ?
86 а ) В голосовании на выборах в окружную администрацию приняло участие 65 % избирателей округа , 40 % из них проголосовало за кандидата А. Сколько процентов избирателей данного округа отдало голоса за этого кандидата ? .
На сколько процентов был заполнен бензином бак к концу поездки ? .
Сколько всего процентов школьников занимается в спортивных секциях , если число мальчиков и число девочек в школе одинаково ? .
Сколько всего процентов учащихся школы играет в оркестре , если мальчики составляют всех учащихся школы ? .
На сколько процентов альбом дешевле книги ? .
На сколько процентов тарелка дороже блюдца ? .
Правило выражения процентов десятичной дробью .
На сколько процентов блюдце дешевле чашки ? .
На сколько процентов снизили цену книги в конце года ? .
13 На сколько процентов площадь квадрата AKLM меньше площади квадрата ABCD ? .
12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM1 .
На сколько процентов увеличилось число учащихся школы ? .
На сколько процентов подешевели пряники , если стоимость упаковки осталась прежней ? .
Сколько процентов всего пути ему осталось пройти ? .
Это совсем нетрудно , если помнить , что под процентом понимают часть рассматриваемой величины .
Дроби и проценты .
Поскольку проценты выражаются дробями , то задачи на проценты , по существу , являются теми же задачами на дроби .
Поэтому , чтобы решать задачи на проценты , нужно свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
Задачи на проценты .
Выразите эти проценты десятичными дробями .
1.4 Задачи на проценты .
При решении задач на проценты нужно уметь свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
Поскольку проценты выражаются дробями , то задачи на проценты , по существу , являются теми же задачами на дроби .
11 Соотнесите дроби , которые выражают доли некоторой величины , и соответствующие им проценты .
Точно так же множество точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
Укажите промежутки значений х , в которых прямая расположена выше кубической параболы .
Значит , прямая — биссектриса II и IV координатных углов — задаётся равенством у -х .
484 Известно , что график зависимости у — 2х — прямая .
На каждом из них изображена координатная прямая и отмечены точки А и Б. Найдём , например , для случая б расстояние АВ по рисунку и по формуле и сравним результаты .
Это прежде всего прямая пропорциональность и обратная пропорциональность , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3 .
Найдите зависимость , которой удовлетворяют координаты точек этой прямой .
Постройте прямую , симметричную относительно оси абсцисс прямой у — 2х .
449 Изобразите на координатной прямой указанные промежутки ( используйте для этого разные цветные карандаши ) .
Если нам известна координата точки А на прямой , то мы знаем и расстояние от этой точки до начала отсчёта , т .
439 Изобразите на координатной прямой промежуток .
Это надо уметь ( обязательные результаты обучения ) 1 Изобразите на координатной прямой промежуток .
436 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное неравенством .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
Для этого на прямой , расположенной , как правило , горизонтально , выбирают начало отсчёта , положительное направление и единичный отрезок .
Как вы уже знаете , числа можно изображать точками на прямой .
При х 0 график совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
При х 0 график совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
Изобразите на координатной прямой множество всех точек .
438 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
458 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
Пусть теперь на прямой заданы две произвольные точки А и В. Как , зная их координаты , найти расстояние между ними , т .
а ) относительно оси ординат . б ) относительно прямой х — 1 .
Известно , что точки А(2 ; -1 ) и В ( 5 ; а ) расположены на прямой , перпендикулярной оси ординат .
Ни точки прямой х 3 , ни точки левее этой прямой таким свойством не обладают .
Ни точки прямой х 3 , ни точки левее этой прямой таким свойством не обладают .
Этой прямой принадлежат , например , точки А(2 ; -2 ) , В(1 ; -1 ) , С(-1 ; 1 ) .
А на координатной плоскости это же условие задаст уже полуплоскость ; она расположена правее прямой х 3 .
Равенству у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой прямой , и никакая другая точка координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
Мы уже знаем , что на координатной прямой неравенству х 3 соответствует открытый луч .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
461 Изобразите на координатной прямой множество точек , удовлетворяющих условиям .
При график совпадает с прямой .
Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями координат .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности их координат .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую , симметричную точкам прямой .
Здесь мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых отрицательны , т .
Определите , является прямой или обратной пропорциональностью зависимость .
170 Задайте формулой указанную зависимость и определите , прямой или обратной пропорциональностью она является .
161 ; Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются прямой пропорциональностью , и объясните смысл коэффициента пропорциональности .
Объясните , почему зависимость объёма воды в бассейне от времени работы трубы при постоянной скорости поступления воды является прямой пропорциональностью .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Формулу прямой пропорциональности часто записывают в виде .
Формулу называют формулой прямой пропорциональности , а число k — коэффициентом пропорциональности .
Полученные точки соединены ломаной , которая при увеличении числа экспериментов становится практически горизонтальной прямой .
ниже прямой ? .
3 На координатной прямой отмечены точки А(-1,5 ) .
512 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
513 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное неравенством .
Изобразим на координатной прямой числа -2 и 10 и найдём середину отрезка с концами в точках -2 и 10 .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
Координата точки на прямой .
33 На координатной прямой отмечены числа а , b и с Какое из двух утверждений верно ? .
32 На координатной прямой отмечены числа а , b и с Какое из утверждений неверно ? .
Расстояние между точками координатной прямой .
При каких значениях х парабола лежит выше прямой ?
Известно , что точки М(-4 ; 2 ) и N(c ; -3 ) расположены на прямой , параллельной оси ординат .
Разделим его сторону длиной у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
Рассмотрим прямоугольник со сторонами х и у.
Изображён прямоугольник , заданный условиями .
А если потребовать , чтобы выполнялись одновременно оба условия , то на координатной плоскости получится пересечение этих полос — прямоугольник .
Чему равен периметр прямоугольника ? .
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны квадрата .
Во сколько раз увеличилась площадь прямоугольника ? .
13 Площадь прямоугольника равна площади квадрата .
а ) Одну сторону прямоугольника увеличили в 2 раза , а другую — в 1,5 раза .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
241 Составьте несколько различных выражений для вычисления площади прямоугольника и запишите цепочку равенств .
Вы знаете формулу площади прямоугольника S ab , которая выражает соотношение между площадью S и длинами сторон а и b.
Найдите двумя способами площадь прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
В предыдущем пункте мы рассмотрели формулы площади прямоугольника , пути , стоимости , работы .
Ученик записал различные способы вычисления площади прямоугольника .
Составьте два разных выражения для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на и запишите соответствующее равенство .
Найдите периметр этого прямоугольника .
231 Для вычисления площади прямоугольника , изображённого на этом рисунке , можно составить выражение или выражение .
б ) Чему равна площадь прямоугольника , одна из сторон которого равна х см , а другая на а см меньше ? .
Найдите стороны данного прямоугольника .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
б ) Одна сторона прямоугольника I см , а другая — на т см больше .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
а ) Чему равна площадь прямоугольника , одна из сторон которого равна х см , а другая на 3 см больше ? .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения площади прямоугольника достаточно измерить его стороны и перемножить получившиеся числа .
277 а ) Чему равен периметр прямоугольника , одна сторона которого равна х см , а другая — на 2 см больше ?
Площадь квадрата на 63 см2 больше площади прямоугольника .
Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше , а другая на 6 см меньше стороны квадрата .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
457 Четырёхугольник ABCD , изображённый на рисунке 5.16 , является прямоугольником .
называли прямоугольником , выражение а2 — квадратом .
Назовите координаты каких - нибудь пяти точек , которые принадлежат этому прямоугольнику , и пяти точек , которые ему не принадлежат .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
Из проволоки нужно согнуть каркас прямоугольного параллелепипеда .
б ) Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2 , 3 и 4 раза .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Из проволоки нужно согнуть каркас прямоугольного параллелепипеда .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
б ) Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2 , 3 и 4 раза .
У одной из них дно квадратное , а у другой — прямоугольное .
Длина прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона квадратной формы .
314 В центре городского района планировали разбить сквер прямоугольной формы размером .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Для этого одну из сторон первоначального участка увеличили на 4 м , а другую — на 5 м и получили новый участок прямоугольной формы .
220 Размеры участка земли прямоугольной формы 30 и 50 м .
Вернёмся к прямоугольной системе координат на плоскости .
807 Телевизионный экран имеет прямоугольную форму .
Имеется прямоугольный кусок стекла , одна из сторон которого на 30 см больше другой .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
778 У Наташи есть аквариум с прямоугольным дном , одна сторона которого на 16 см больше другой .
а ) Какое из равенств х 5 или у 5 задаёт в координатной плоскости горизонтальную прямую и какое - вертикальную ?
5 Каким равенством можно задать вертикальную прямую , проходящую через точку М(-2 ; 6 ) ? .
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной плоскости прямую , которая является биссектрисой I и III координатных углов .
а ) прямую , проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси абсцисс .
Как описать эту прямую на алгебраическом языке ?
Постройте прямую , симметричную относительно оси абсцисс прямой у — 2х .
б ) прямую , проходящую через точку ( -5 ; 2 ) и параллельную оси ординат .
Постройте эту прямую по точкам .
б Каким равенством можно задать горизонтальную прямую , проходящую через точку М(а ; 6 ) ? .
495 В одной системе координат постройте параболу и прямую .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной плоскости прямую , параллельную оси абсцисс .
Проведите эту прямую с помощью линейки .
474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую , симметричную точкам прямой .
463 Опишите на алгебраическом языке прямые .
Значит , множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Иными словами , оно является объединением этих прямых .
Поэтому часто приходится делать много попыток , отказываясь от тупиковых идей и путей решения .
192 а ) На участке железнодорожного пути старые 8-метровые рельсы меняют на новые 12-метровые .
б ) зависимость израсходованного бензина V ( в л ) от пройденного автомобилем пути s ( в км ) при расходе 0,08 л бензина на 1 км пути .
б ) зависимость израсходованного бензина V ( в л ) от пройденного автомобилем пути s ( в км ) при расходе 0,08 л бензина на 1 км пути .
в ) Сколько километров турист прошёл за первые полчаса пути ?
Для зависимости пути от времени движения , рассмотренной в объяснительном тексте n. 2.2 , назовите переменные величины , постоянную величину .
315 Автомобиль находился в пути 5 ч .
Формула пути равномерного движения выражает зависимость расстояния s от скорости движения v и времени t.
396 Велосипедист первую половину пути проехал за 3 ч , а вторую половину пути — за 2 ч , так как увеличил скорость на 4 км / ч .
Запишите формулу зависимости длины пройденного пути от скорости и времени движения .
Чтобы понять особенности зависимостей , описываемых подобными формулами , рассмотрим одну из них , а именно формулу пути .
194 Проехав 40 % всего пути за 2,4 ч , водитель автомобиля сделал остановку .
От реки до деревни он ехал со скоростью 10 км / ч , а на обратном пути его скорость была 15 км / ч .
От дома до пристани он шёл со скоростью 4 км / ч , а на обратном пути его скорость была 6 км / ч .
411 После того как путник прошёл 3 версты и ещё треть оставшегося пути , ему осталось пройти половину пути и ещё 1 версту .
Следующую остановку он планирует сделать в пункте , после которого ему останется проехать четверть всего пути .
За первый час пути он прошёл х км , за второй — на 20 км меньше , а за третий — путь , в 1,5 раза больший , чем за предыдущий час .
411 После того как путник прошёл 3 версты и ещё треть оставшегося пути , ему осталось пройти половину пути и ещё 1 версту .
В предыдущем пункте мы рассмотрели формулы площади прямоугольника , пути , стоимости , работы .
396 Велосипедист первую половину пути проехал за 3 ч , а вторую половину пути — за 2 ч , так как увеличил скорость на 4 км / ч .
за следующий час пути ? .
Пройдя х км , что составило большую часть пути , он сделал остановку .
Какова была скорость лыжника на третьем отрезке пути ? .
в ) На каком по счёту отрезке пути лыжник шёл медленнее всего ?
После остановки он увеличил скорость до 45 км / ч и до следующей остановки находился в пути на 1 ч меньше .
88 а ) Автомобиль прошёл 40 % пути , а затем 30 % оставшегося расстояния .
Сколько процентов всего пути ему осталось пройти ? .
Очевидно также , что при постоянном времен : расстояние пропорционально скорости движения : если скорость увеличить , например , в 3 раза , то за такое же время будет продела : путь , в 3 раза больший .
а ) Вычислите тормозной путь автомобиля , который едет со скоростью 60 км / ч ; 100 км / ч . б ) Во сколько раз больше тормозной путь автомобиля при скорости 80 км / ч , чем при скорости 40 км / ч ? .
а ) Вычислите тормозной путь автомобиля , который едет со скоростью 60 км / ч ; 100 км / ч . б ) Во сколько раз больше тормозной путь автомобиля при скорости 80 км / ч , чем при скорости 40 км / ч ? .
в ) В каком из четырёх рейсов паром проплыл свой путь быстрее всего ? .
Какой путь осталось пройти путнику ? .
Определите , какое время затратил на путь велосипедист , если известно , что он прибыл в город на 1,5 ч позже мотоциклиста , б ) Из туристического лагеря к станции вышел пешеход со скоростью 4 км / ч .
Велосипедист проехал этот же путь за 2 ч .
394 Пётр прошёл от дома до пристани и вернулся обратно , затратив на весь путь 1 ч .
393 Андрей доехал на велосипеде от реки до деревни и вернулся обратно , затратив на весь путь 1 ч .
Автобус едет от одного города до другого со скоростью 50 км / ч , а автомобиль — со скоростью 80 км / ч , и весь путь занимает у него на 1,5 ч меньше , чем у автобуса .
763 а ) Лодка проплыла некоторое расстояние от пристани по течению реки и вернулась обратно , затратив на весь путь 8 ч .
Обратный путь занимает у него на 10 мин больше , чем путь на работу .
Обратный путь занимает у него на 10 мин больше , чем путь на работу .
Тогда пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t.
145 Если автомобиль едет со скоростью v км / ч , то его тормозной путь в метрах можно приближённо вычислить по формуле . ( тормозной путь автомобиля — это расстояние , которое он проезжает после того , как водитель нажал на тормоз ) .
Весь путь составил 195 км .
145 Если автомобиль едет со скоростью v км / ч , то его тормозной путь в метрах можно приближённо вычислить по формуле . ( тормозной путь автомобиля — это расстояние , которое он проезжает после того , как водитель нажал на тормоз ) .
Но этот путь весьма трудоёмкий .
За первый час пути он прошёл х км , за второй — на 20 км меньше , а за третий — путь , в 1,5 раза больший , чем за предыдущий час .
Какой путь проехал автомобиль , если по шоссе он ехал со скоростью а км / ч , а по просёлку со скоростью , на 40 км / ч меньшей ? .
Для равенств , связанных с умножением , часто удобна интерпретация на « языке площадей » .
Какое из следующих равенств пропорцией не является ? .
Запишем эти рассуждения с помощью цепочки равенств .
б Какое из следующих равенств неверно ? .
1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел ? .
а ) Какое из равенств х 5 или у 5 задаёт в координатной плоскости горизонтальную прямую и какое - вертикальную ?
— числовых равенств .
Ответ запишите в виде цепочки равенств .
921 Проверьте справедливость равенств .
241 Составьте несколько различных выражений для вычисления площади прямоугольника и запишите цепочку равенств .
273 Какое из следующих равенств верно .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Определите , какое из приведённых ниже равенств неверно .
Запишите соответствующую цепочку числовых равенств , а потом опишите используемый приём с помощью букв .
Правила преобразования уравнений являются следствиями очевидных свойств числовых равенств .
б ) Дополните равенства так , чтобы получились пропорции .
Например , равенства это уравнения .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие равенства называют пропорциями .
Напротив , числовые равенства уравнениями не являются — в них нет переменной .
Расставьте скобки так , чтобы выражение в левой части равенства было равно выражению в правой части .
379 Решите уравнение относительно х 380 Выразите из равенства каждую переменную через другие .
Назовите их и запишите соответствующие равенства с помощью букв .
7 Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких чисел .
( Убедитесь в том , что полученные равенства действительно являются пропорциями . )
Составьте различные выражения для вычисления общей массы проданных орехов и запишите соответствующие равенства .
В действительности , однако , мы должны доказать , что , преобразуя выражение по этому правилу , мы всегда будем получать верные равенства .
Приведите свой пример уравнения , решаемого на основе равенства нулю произведения .
Поэтому убедимся в справедливости этого равенства , перемножив многочлены в правой части .
Дайте истолкование этого равенства на « языке площадей » .
320 С помощью какого - либо « языка » дайте истолкование равенства .
Так , законами алгебры являются хорошо известные вам равенства .
Буквенные равенства , выражающие соответствующие свойства , мы теперь будем считать законами алгебры .
Расставьте скобки так , чтобы путём преобразования левой части равенства можно было получить правую часть .
318 Предложите какую - нибудь интерпретацию равенства — на « языке денег » или на « языке расстояний » .
Интересно , что именно так , используя правила вычисления площадей , получали подобные равенства учёные Древней Греции .
Таким образом , уравнения характеризуются двумя очевидными свойствами , легко определяемыми на глаз : во - первых , уравнение — это равенство ; во - вторых , в этом равенстве имеется буква — в одной из его частей или в обеих .
Если в уравнение вместо переменной подставить число , то получится числовое равенство .
Числовое равенство , как известно , может быть верным или неверным .
Решение уравнения — это поиск тех значений переменной , при которых получается верное равенство .
При каких значениях х выполняется равенство .
331 Докажите равенство .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
Корнем уравнения называется число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство .
И сейчас мы увидим , что это равенство действительно следует из сочетательного закона сложения : что и требовалось доказать .
Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
Докажите , что если равенство также являются пропорциями .
Действительно , какое бы число мы ни подставили в это уравнение вместо переменной х , получится верное числовое равенство .
Докажите это равенство алгебраически .
Таким образом , равенство у 2 задаёт на координатной плоскости прямую , параллельную оси абсцисс .
Разумеется , истолковать данное равенство можно не только на « языке денег » .
Поясните это равенство с помощью рисунка .
Подберите соответствующее буквенное равенство из предыдущего упражнения и , используя его , запишите без скобок следующее выражение .
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
Составьте два разных выражения для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на и запишите соответствующее равенство .
В результате перевода обычно получается равенство , содержащее букву .
Кроме того — это равенство является одним из законов алгебры .
Выберите равенство , которое является переводом условия этой задачи на математический язык .
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной плоскости прямую , которая является биссектрисой I и III координатных углов .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую разность вида можно заменить выражением , не содержащим скобки .
Если в качестве знака деления использовать черту дроби , то равенство примет такой вид .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую дробь вида можно заменить суммой частных — и числовое значение останется тем же .
Таким образом , уравнения характеризуются двумя очевидными свойствами , легко определяемыми на глаз : во - первых , уравнение — это равенство ; во - вторых , в этом равенстве имеется буква — в одной из его частей или в обеих .
7 Какой многочлен надо записать вместо многоточия , чтобы равенство было верным .
215 Дано равенство ху zv .
755 Дополните равенство .
15 При каком значении х верно равенство .
Всякое равенство , содержащее переменную , можно рассматривать как уравнение .
Если данное равенство примет вид .
Рассмотрим равенство .
258 Для каждого выражения из верхней строки выберите равное ему из нижней строки и запишите соответствующее равенство .
2 На основании каких законов можно утверждать , что выполняется равенство .
Докажите это равенство с помощью преобразований .
Заметим , что коэффициент , равный 1 , обычно не пишут : равенство является законом алгебры .
Если тогда данное равенство примет вид у — 0 .
Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически , изобразив квадрат со стороной .
Очевидно , что отношения равны , так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту , поэтому можно записать равенство Такие равенства называют пропорциями .
Значит , при верно равенство .
Найдите двумя способами площадь прямоугольника и запишите соответствующее равенство .
620 Какое выражение надо подставить вместо а , чтобы полученное равенство было верным .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Верно ли полученное равенство ? .
Не меняя ни одного знака , расставьте скобки так , чтобы выполнялось равенство .
На примере проведите рассуждение , иллюстрирующее равенство .
проиллюстрируйте равенство .
На примере ( аb)6 проведите рассуждение , иллюстрирующее равенство .
319 Как можно истолковать на « языке объёмов » равенство .
На примере ( а6)5 проведите рассуждение , иллюстрирующее равенство .
Это равенство показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое значение при этом не изменится .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
если восстановить в этой сумме скобки , то получится равенство .
А как узнать , является ли равенство вида пропорцией ? .
Если отношение равно отношению то равенство называют пропорцией .
наше равенство — пропорция .
Поясните это равенство .
Числовое равенство не нарушится , если к обеим его частям прибавить ( от обеих его частей отнять ) одно и то же число .
Числовое равенство не нарушится , если обе его части умножить ( разделить ) на одно и то же число , отличное от нуля .
752 Докажите равенство .
235 Приведите три числовых примера , иллюстрирующих буквенное равенство .
Например , является ли пропорцией равенство .
Проверьте с помощью умножения , верно ли записанное равенство .
Проверьте двумя способами , является ли пропорцией следующее равенство .
Докажем равенство .
сначала вычитанием площадей , а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство .
При каком значении k верно равенство .
Это равенство , как вы уже знаете , называют уравнением .
537 При каком значении k верно равенство .
Формулой разности кубов называют равенство .
Как называется график зависимости , заданный равенством .
Точки А и В принадлежат параболе , заданной равенством .
Как , например , построить график зависимости , заданной равенством ?
Зависимость задана равенством .
479 Постройте по точкам график зависимости , заданной равенством : а ) у -2х ; б ) у 2-х ; в ) у — х 3 .
Принадлежит ли графику зависимости , заданной равенством , точка А(1 ; 0 ) ?
координаты которых удовлетворяют равенству .
490 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
489 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
координаты которых удовлетворяют равенству у х ? .
511 Изобразите на плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
501 Постройте на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Значит , множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Об этом можно было догадаться заранее , ещё до построения графика — по самому равенству .
Вычислим координаты нескольких точек , удовлетворяющих равенству у х. и заполним таблицу .
Можно вычислить координаты других точек , удовлетворяющих равенству и отметить их на координатной плоскости .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
С nd , где С — длина окружности , d — диаметр окружности . г ) S тиг2 , где S — площадь круга , г — радиус круга .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус сферы .
б ) Два студента взялись набрать рукопись , разделив её между собой на две равные части .
Можно сказать , что прибыль разделили пропорционально суммам , вложенным в проект .
Участок земли разделили между четырьмя фермерами пропорционально количеству членов их семей .
Для этого разделим числитель каждой из них на знаменатель , причём техническую работу , т .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Разделить каждое из входящих в него чисел на их общий делитель — число 2 .
Числовое равенство не нарушится , если обе его части умножить ( разделить ) на одно и то же число , отличное от нуля .
Площадь всего участка составляет 100 % , и эти 100 % нужно разделить пропорционально числам 4 , 6 , 7 и 3 , т .
Как они должны разделить эту прибыль ? .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
375 Уравнение проще решить , если разделить обе его части на 2 .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
надо разделить на 6 .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
Числитель и знаменатель дроби можно разделить на общий множитель а8 .
Как разделить эту сумму между тремя классами ? .
228 Отрезок АВ , длина которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в отношении .
12 Отрезок АВ , длина которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
Многочлен на множители разложен , и можно сказать , что поставленная задача решена .
13 Закончите разложение на множители .
3 Объясните на примере многочлена , как выполняется разложение на множители способом группировки .
Когда вы закончили разложение на множители , полезно проверить с помощью умножения , получен ли вами верный результат .
83S Заключите два последних слагаемых в скобки , поставив перед ними знак « - » , и затем выполните разложение на множители .
906 Найдите корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
Какие из этих способов группировки подходят для того , чтобы выполнить разложение на множители ? .
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на множители , и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории многочленов .
Более того , разложение многочлена на множители не всегда возможно .
38 Восстановите число , для которого записано разложение на простые множители .
Как проверить , верно или неверно выполнено разложение многочлена на множители ?
Сгруппируйте члены многочлена иначе , чем это сделано в первом случае , и выполните разложение на множители .
Такое преобразование называют разложением многочлена на множители .
В этой главе вы познакомитесь с полезным и часто применяемым приёмом преобразования алгебраических выражений - разложением многочлена на множители .
15 Какой из способов не применяется при разложении на множители многочлена .
Прочитайте рекомендации , которых целесообразно придерживаться при разложении многочлена на множители .
Научиться разложению на множители , развить свою фантазию и изобретательность можно только на собственном опыте .
Покажите на примере выражения , как применить эту формулу для разложения его на множители .
8.6 Решение уравнений с помощью разложения на множители .
6 Для разложения многочлена на множители его члены сгруппировали .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
Существует целый ряд приёмов для разложения многочленов на множители .
Как называют применённый здесь способ разложения на множители ? .
1 Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете ? .
Применение нескольких способов разложения на множители .
Способ , который мы применили для разложения на множители , так и называется — способ группировки .
Воспользуемся способом группировки для разложения на множители многочлена .
Прокомментируйте каждый шаг разложения многочлена на множители .
Примените нужную формулу для разложения на множители выражения .
Заметим , что применённый нами способ разложения многочлена на множители вовсе не единственно возможный .
910 Найдите корни уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
5 Примените для разложения на множители , если это возможно , формулу суммы или разности кубов .
Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на множители .
Но , как уже говорилось , общего алгоритма разложения многочлена на множители нет .
Проверьте правильность разложения на множители многочленов .
Приведём пример применения этой формулы для разложения многочлена на множители .
На устном экзамене ученик берёт один из разложенных перед ним экзаменационных билетов , шансы взять любой из них равны .
4 В каких случаях выражение разложено на множители правильно ? .
Сравнивая результаты , нетрудно понять , что преобразование можно продолжать , разложив на множители многочлен .
Продавец разложил гречневую крупу в четыре пакета .
Итак , мы разложили многочлен на множители и можем записать данное уравнение в виде .
Имеющиеся конфеты разложили в коробки по 10 штук в каждую и в пакеты по 8 штук в каждый .
338 В три ящика разложили 23 кг слив .
Мы сможем решить это уравнение , если разложим его левую часть на множители .
Пользуясь этими рекомендациями , разложите на множители многочлен .
Однако главная трудность состоит в неясности , что именно надо прибавить и вычесть , чтобы разложить многочлен на множители .
847 Какие из выражений можно разложить на множители , применив формулу разности квадратов .
Можно , например , разложить этот многочлен на множители , используя тот же приём « прибавить — вычесть » , но уже совсем по - другому .
Оказывается , это выражение можно разложить на множители .
8 Какое из выражений нельзя разложить на множители , используя формулу разности квадратов ? .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
Назовите вместо многоточия такое слагаемое , чтобы многочлен можно было разложить на множители .
И в тех и в других задачах полезно разложить многочлен на множители , и именно поэтому разложение на множители является основной задачей теории многочленов .
Однако можно продолжить преобразования и разложить на множители ещё и многочлен .
Попробуем разложить на множители многочлен .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
Составьте несколько выражений , которые можно разложить на множители с помощью этой формулы .
Объясните , как разложить на множители выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность делится на 200 .
42 В три коробки надо разложить 55 мячей так , чтобы в первой было мячей в 3 раза больше , чем во второй , а в третьей — на 5 мячей больше , чем во второй .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы разности квадратов .
390 а ) В 12 ящиков можно разложить такое же количество яблок , что и в 18 корзин .
Трёхчлен можно разложить на множители , выделив квадрат двучлена .
6 Прочитайте задачу : « В три коробки надо разложить 65 мячей так , чтобы в первой было мячей в 3 раза больше , чем во второй , а в третьей — на 5 мячей меньше , чем в первой .
399 Все имеющиеся апельсины можно разложить в 3 пакета или в 5 коробок .
12 Какой двучлен можно разложить на множители , используя формулу суммы кубов ? .
5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен , чтобы его можно было разложить на множители способом группировки ? .
Разложение на множители можно выполнить иначе , представив исходное выражение в виде разности кубов .
Теперь можно воспользоваться формулой разности квадратов .
Многочлен , оставшийся в скобках , можно разложить на множители с применением формулы разности квадратов .
Представим выражение в виде разности квадратов и воспользуемся соответствующей формулой .
672 Многочлен представьте в виде разности двух двучленов всеми возможными способами .
Вспомним , например , известную вам формулу разности кубов .
Теперь применим формулы разности и суммы кубов .
8 Какое из выражений нельзя разложить на множители , используя формулу разности квадратов ? .
— разности квадратов . — — кубов . — суммы кубов .
Это можно сделать , воспользовавшись знакомой вам формулой разности квадратов .
666 Многочлен представили в виде разности двучленов .
665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких - либо двучленов ( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена выражение .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
928 Представьте выражение в виде многочлена , используя формулу разности квадратов .
представьте один из двучленов , заключённых в скобки , в виде суммы или разности двух других , а затем примените группировку .
4 Запишите формулу разности квадратов и докажите её .
5 Запишите формулу разности кубов и докажите её .
формула квадрата разности .
группировка . 3 ) формула разности квадратов .
применив формулу разности квадратов .
Теперь раскроем скобки в разности .
Формула квадрата разности . — — суммы .
673 Представьте в виде суммы и разности двух каких - либо двучленов трёхчлен .
748 Выведите формулу куба разности .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
Разности двух двучленов .
Запишите формулы разности кубов и суммы кубов ; прочитайте эти формулы .
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов .
Формула разности квадратов фактически является ещё одной формулой сокращённого умножения .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
С помощью этой формулы можно преобразовать произведение разности и суммы любых двух выражений .
Запишите формулы квадрата суммы и квадрата разности .
Запишите формулу разности квадратов справа налево и прочитайте её ( фрагмент 2 ) .
Аналогично можно получить формулу квадрата разности .
5 Примените для разложения на множители , если это возможно , формулу суммы или разности кубов .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
7.5 Формулы квадрата суммы и квадрата разности .
Запишите формулу разности квадратов и прочитайте её ( фрагмент 1 ) .
Вам уже известны формулы квадратов суммы и разности , вы не раз применяли их на уроках математики .
847 Какие из выражений можно разложить на множители , применив формулу разности квадратов .
Можно ли применить формулу разности квадратов к выражению .
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности квадратов , суммы и разности кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
Выполните умножение , используя формулу суммы кубов или разности кубов .
Мы заменили сумму равным выражением , переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой разности квадратов .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности их координат .
Двучлен можно представить в виде разности кубов .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
8.3 Формула разности квадратов .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Можно ли представить в виде квадрата суммы или разности трёхчлена .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
Мы получили формулу разности квадратов .
в ) квадрат разности т и 3 . г ) разность квадратов а и с .
Исходя из определения разности , убедимся в том , что .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности квадратов , суммы и разности кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
7 Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их .
8.4 Формулы разности и суммы кубов .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Преобразуйте второй многочлен так , чтобы можно было применить формулу разности или суммы кубов .
Нам также понадобятся известные вам определения разности и частного .
Формулой разности кубов называют равенство .
Разложим на множители двучлен Данное выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений .
Приведём примеры применения формулы разности квадратов .
114 Делится ли на 10 : сумма II11 322 ; разность 7го- 910 ; произведение 1215 1512 ? .
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
4 На примере многочленов покажите , как находят сумму и разность многочленов .
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6 .
326 Составьте сумму и разность выражений и упростите их .
Двучлен представляет собой разность квадратов .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Это равенство показывает , что разность можно заменить выражением или , как говорят , преобразовать в выражение ; числовое значение при этом не изменится .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую разность вида можно заменить выражением , не содержащим скобки .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
в ) квадрат разности т и 3 . г ) разность квадратов а и с .
Найдите эту разность среди приведённых ниже выражений .
Из задуманного числа вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
787 Докажите , что если числа а и n не делятся на 3 , то либо их сумма , либо их разность делится на 3 .
Разность общего числа проведённых экспериментов и числа экспериментов , в которых это событие произошло .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Докажем , что разность делится на 6 .
658 Составьте сумму и разность многочленов и упростите получившиеся выражения .
б ) разность трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
Разложим разность на множители .
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Так как произведение делится на 6 , то и разность делится на 6 .
сумма выражений разность выражений .
Объясните , как разложить на множители выражение Воспользовавшись примером 2 как образцом , докажите , что разность делится на 200 .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Умножим разность на сумму .
Найдём сумму и разность многочленов .
Сумму и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
Теперь ясно , что дробь можно сократить на разность .
Одно из чисел втрое больше второго , а разность этих чисел равна 62 .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Обозначим двучлен какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в произведении по правилу умножения одночлена на многочлен .
Раскрыв скобки и затем применив группировку .
Чтобы из одного многочлена вычесть другой , нужно составить их разность , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение многочлен .
Чтобы сложить два многочлена , нужно составить их сумму , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение .
Обычно считается , что распределение прибыли должно соответствовать долям средств , внесённых в проект его участниками .
Система распределения прибыли , описанная в этой задаче , называется пропорциональной .
1.2 Вычисления с рациональными числами .
Вычисления с рациональными числами .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина ребра .
в ) Длину ребра куба увеличили в 10 раз .
б ) Во сколько раз увеличится объём куба , если его ребро увеличить в n раз ? .
Тогда решение записывается короче .
Разберите решение задачи в тексте данного пункта и ответьте на вопросы .
3 Опишите по шагам решение уравнения .
Продолжим решение уравнения .
содержится решение уравнения , которое на языке современной математики можно записать так .
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью целых чисел .
Правило умножения очень полезно при решении многих комбинаторных задач , однако его нельзя применять механически , не задумываясь над смыслом и вопросом задачи .
При решении задач на проценты нужно уметь свободно переходить от дробей к процентам и наоборот .
Используя статистические данные , полученные при решении задачи 964 , оцените .
Алгебра , которую вы теперь изучаете , возникла и развивалась много веков тому назад именно как наука о решении уравнений .
При решении комбинаторных задач приходится отвечать на вопросы типа : « Сколькими способами ? » , « Сколько существует вариантов ? » .
Полученные знания пригодятся вам в самых разных областях математики , в том числе в решении комбинаторных задач , которому посвящена вторая половина главы .
Примерно так при решении задач рассуждали математики ещё в Древней Греции .
Например , при решении вопросов , в пачки какого веса фасовать масло , какие открывать авиарейсы и т .
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с целыми числами , а с дробями .
Вынесение общего множителя за скобки приходится выполнять при решении разных задач .
А это особенно важно в наш компьютерный век , когда использование схожих алгоритмов при решении различных задач стало повсеместным .
Русское слово « корень » в данном случае — это яркий пример метафоры в математическом языке : вспомните , как при решении текстовой задачи алгебраическим способом уравнение как бы вырастает из неизвестного числа х .
Рассмотрим некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений .
Для решения этой задачи в разных случаях придумано немало приёмов и формул , некоторые из которых вам уже известны .
Такие рассуждения могут оказаться очень непростыми , и это ограничивает применение метода подбора для решения уравнений .
Частота соответствующих событий позволяет строить обоснованные прогнозы для решения задач , возникающих в жизни .
Ведь в данном случае мы не перебирали все возможные варианты решения , а просто подобрали ответ .
Поэтому часто приходится делать много попыток , отказываясь от тупиковых идей и путей решения .
Рассмотрим примеры решения уравнений .
Учёные древности алгебраические приёмы решения задач описывали словами , с помощью длинных предложений .
Необходимо провести дополнительные рассуждения , чтобы проверить , что найдены все возможные решения .
4.1 Алгебраический способ решения задач .
4.5 Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений . ( Для тех , кому интересно ) .
Ищем способ решения .
а ) Какое свойство произведения используется для решения уравнения ( сформулируйте это свойство ) ?
Разберите пример 3 и ответьте на вопросы : в чём основная идея предложенного решения ?
Эта задача имеет разные решения и соответственно разные ответы в зависимости от того , что понимать под различным расположением гостей за столом .
Однако при переводе условия задачи на математический язык может получиться уравнение , алгоритм решения которого вы ещё не знаете или его вообще нет .
Рассмотрим два основных правила преобразования уравнений на примере решения уравнения .
Примените приём решения уравнения , рассмотренный в примере 2 , для нахождения корней уравнения .
Алгебраический способ решения задач .
Перечислите условия , которым отвечает выполненная в ходе решения числовая подстановка .
Иногда условие задачи можно понять по - разному , и тогда при переводе условия на математический язык получаются разные задачи , в которых не совпадают ни решения , ни ответы .
Разбираем способ решения .
Покажем , как это свойство произведения используется для решения уравнений .
Оказывается , в математике есть специальная формула для решения этой задачи : если точки А и Б имеют соответственно координаты .
Алгебра тесно связана с арифметикой , она возникла в древние времена в результате поисков общих схем решения похожих арифметических задач .
Метод координат - это способ перевода геометрической задачи на язык алгебры , после чего мы получаем возможность использовать для её решения хорошо разработанный символический аппарат алгебры .
5 Разъясните суть алгебраического метода решения задач на примере следующей задачи .
Приведём пример решения задачи с использованием рассмотренной формулы .
Существует целый ряд приёмов для разложения многочленов на множители .
8 Сколькими способами можно построить в ряд 5 человек ? .
Значит , если у нас есть ряд данных , то для обоснованных выводов и надёжных прогнозов на их основе , помимо средних значений , надо ещё указать , насколько используемые данные различаются между собой .
Статистик в этом случае сказал бы иначе : « Модой этого ряда является число 5 » .
В отличие от среднего арифметического , которое можно вычислить для любого числового ряда , моды у ряда вообще может не быть .
В отличие от среднего арифметического , которое можно вычислить для любого числового ряда , моды у ряда вообще может не быть .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
Значит , у этого ряда нет моды .
Модой называют число ряда , которое встречается в этом ряду наиболее часто .
а ) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число .
все члены ряда умножить на одно и то же положительное число ? .
Как изменится среднее арифметическое ряда , если .
136 Все числа ряда равны между собой .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 4 .
Вычислите среднее арифметическое ряда .
а ) Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда данных .
Найдите моду ряда отметок и средний результат по контрольной работе .
Учитель выставляет четвертную отметку по среднему арифметическому ряда отметок .
Найдите среднее арифметическое и моду ряда отметок .
Найдите его , зная , что среднее арифметическое ряда равно 14 .
140 а ) Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 5 .
Найдите размах и моду ряда оценок .
Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда попаданий .
Чему равна мода ряда размеров ?
Если , например , опросить большую группу учеников , какой школьный предмет им нравится больше всего , то модой этого ряда ответов окажется тот предмет , который будут называть чаще остальных .
Из этого ряда вычеркнули число 11 .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 8 чисел , равно 4 .
92 Найдите моду ряда .
15 Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда .
91 Найдите среднее арифметическое ряда .
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных .
Проведите блицопрос и узнайте , какой школьный предмет нравится учащимся вашего класса больше всего , определив моду полученного ряда .
Каким был бы размах ряда , если бы в нём не было двойки ? .
Каков размах исходного ряда отметок из текста ?
93 Найдите размах ряда .
Что называют средним арифметическим ряда чисел ?
Каким было бы среднее арифметическое ряда отметок учащегося , если бы в этом ряду не было двойки ? .
Найдите среднее арифметическое ряда чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
Сколько всего мест в амфитеатре , если он состоит : а ) из 5 рядов ; б ) из 10 рядов ? .
Используя полученный результат , попробуйте догадаться , чему равны средние арифметические следующих рядов .
Сколько всего мест в амфитеатре , если он состоит : а ) из 5 рядов ; б ) из 10 рядов ? .
В ряду чисел 2 , 7 , 10 , х , 18 , 19 , 27 одно число неизвестно .
К этому ряду приписали число 16 .
Можно сказать , что данное число самое « модное » в этом ряду .
Модой называют число ряда , которое встречается в этом ряду наиболее часто .
Например , если ученик получил по русскому языку отметки « 4 » , « 2 » , « 3 » , « 5 » , то каждая отметка встречается в этом ряду только один раз и среди них нет числа , встречающегося чаще других .
Каким было бы среднее арифметическое ряда отметок учащегося , если бы в этом ряду не было двойки ? .
608 Пять мальчиков и пять девочек занимают в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е .
267 В первом ряду амфитеатра а мест , а в каждом следующем на 2 места больше , чем в предыдущем .
Например , чтобы выделить сектор для изображения 14,4 % , надо найти 14,4 % от 360 ° .
За сколько секунд он проезжает расстояние между соседними километровыми столбами ? .
151 Наблюдатель во время грозы считает , сколько секунд ( t ) прошло между вспышкой молнии и раскатом грома , и определяет , на каком расстоянии ( S ) он находится от эпицентра грозы .
в ) Через сколько секунд после начала движения водитель нажал на тормоз ? .
169 За 12 с участник школьных соревнований пробежал 60 м . а ) Если он будет бежать с той же скоростью , то за сколько секунд он пробежит 40 м ?
Выразите скорость света в метрах в секунду и запишите результат с помощью степени числа 10 .
Центр симметрии делит её на две ветви , расположенные в I и III координатных четвертях .
Ось симметрии делит параболу на две части , называемые ветвями параболы ; эти ветви неограниченно уходят вверх .
В той же системе координат постройте « кривую популярности » низкокаблучников .
А пока при изучении этой главы вам предстоит научиться свободно ориентироваться в системе координат , анализировать информацию , представленную графически , приобрести элементарные навыки перевода с геометрического языка на алгебраический и наоборот .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
495 В одной системе координат постройте параболу и прямую .
Вернёмся к прямоугольной системе координат на плоскости .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
495 В одной системе координат постройте параболу и прямую .
В той же системе координат постройте « кривую популярности » низкокаблучников .
Вернёмся к прямоугольной системе координат на плоскости .
А пока при изучении этой главы вам предстоит научиться свободно ориентироваться в системе координат , анализировать информацию , представленную графически , приобрести элементарные навыки перевода с геометрического языка на алгебраический и наоборот .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую , симметричную этой прямой относительно оси ординат .
а ) расстояние от Земли до Плутона — самой далёкой известной планеты Солнечной системы — равно 7,527 - 109 км . б )
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Переместительное свойство сложения , которое утверждает , что два числа можно складывать в любом порядке .
Многих школьников волнует подобная проблема , и чаще всего ученики решают её следующим естественным образом : складывают все отметки и делят сумму на их количество .
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают .
Перед скобками стоит знак « - » .
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки сложения перед скобками .
если восстановить в этой сумме скобки , то получится равенство .
661 Раскройте скобки .
Поэтому для вычисления произведения xyz ( без изменения порядка множителей ) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки , т.е. представить его как или как .
Итак , в выражении xyz можно поставить скобки двумя способами .
45 Расставьте в выражении 30 5 - 103 скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
324 В выражениях поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений .
657 Раскройте скобки .
Раскроем скобки , выполнив умножение -5с на 1 - с , и затем приведём подобные члены ( если они окажутся ) .
14 Раскройте скобки в выражении .
Расставьте скобки так , чтобы выражение в левой части равенства было равно выражению в правой части .
272 Раскройте скобки .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую разность вида можно заменить выражением , не содержащим скобки .
8.1 Вынесение общего множителя за скобки .
Один из них — вынесение общего множителя за скобки .
283 Раскройте скобки в произведении .
вынесение за скобки общего множителя . 2 )
Если можно вынести за скобки общий множитель , сделайте это .
Начнём преобразование с вынесения за скобки общего множителя 36 .
Затем букву х заменим двучленом и опять раскроем скобки .
Раскроем скобки в выражении .
Поэтому , раскрывая скобки , запишем каждое слагаемое а , b и -с с противоположным знаком .
Не меняя ни одного знака , расставьте скобки так , чтобы выполнялось равенство .
Раскрыть скобки в произведении можно с помощью распределительного закона .
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в произведение : вынесли за скобки число 17 .
Однако в случае вынесения за скобки это свойство применяется справа налево .
Раскроем скобки в сумме .
Этот общий множитель можно вынести за скобки .
Разложение многочлена на множители . — — — — вынесением общего множителя за скобки . — — — — способом группировки .
В сумме вынесем за скобки общий множитель а .
288 Раскройте скобки .
665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких - либо двучленов ( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
Расставьте скобки так , чтобы путём преобразования левой части равенства можно было получить правую часть .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
312 Раскройте скобки .
Для этого составим их произведение и с помощью распределительного свойства раскроем скобки .
Теперь раскроем скобки в разности .
819 Вынесите за скобки множитель .
Покажите на примере выражения , как вынести общий множитель за скобки .
Вынесите за скобки множитель -2а .
Вынесите общий множитель за скобки и вычислите значение выражения .
682 Раскройте скобки .
Вынесите за скобки общий множитель .
Вынесение общего множителя за скобки .
83S Заключите два последних слагаемых в скобки , поставив перед ними знак « - » , и затем выполните разложение на множители .
918 Упростите выражение , применяя способ вынесения за скобки общего множителя .
Вынесение общего множителя за скобки приходится выполнять при решении разных задач .
представьте один из двучленов , заключённых в скобки , в виде суммы или разности двух других , а затем примените группировку .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки .
Вынесите общий множитель за скобки .
917 Вынесите за скобки общий множитель .
Но обычно за скобки выносят либо 2ху , либо -2ху .
Запишите распределительное свойство умножения в том виде , как оно применяется для вынесения общего множителя за скобки .
281 Раскройте скобки в произведении .
Вынесем общий множитель за скобки .
Этот общий множитель вынесем за скобки .
Вычислите , применяя вынесение общего множителя за скобки .
832 Преобразуйте в многочлен , применяя вынесение общего множителя за скобки .
Объясните на примере многочлена , как вынести за скобки общий множитель .
2 На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего множителя ?
1 Укажите общий множитель , который можно вынести за скобки в многочлене .
раскройте скобки в первых двух слагаемых , а затем сгруппируйте члены так , чтобы получился общий множитель .
Заметим , что для разложения многочлена на множители можно было бы вынести за скобки и множитель общий множитель .
919 Вынесите за скобки общий множитель .
Знак « - » перед скобкой означает вычитание ; замените вычитание сложением .
Как обосновать правило раскрытия скобок .
244 Запишите с помощью букв и скобок несколько разных способов вычисления произведения четырёх чисел .
248 Замените выражение равным , не содержащим скобок .
Из буквенных выражений с помощью знаков действий и скобок составляют другие буквенные выражения .
Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит знак « » и знак « - » .
3.3 Раскрытие скобок .
Эти выражения записаны с помощью скобок , но каждое из них можно заменить равным выражением без скобок .
Эти выражения записаны с помощью скобок , но каждое из них можно заменить равным выражением без скобок .
Такое преобразование выражений называют раскрытием скобок .
Вспомните , что сочетательный закон сложения гласит : от изменения расстановки скобок в сумме её значение не меняется .
Поэтому сумму принято записывать без скобок .
а ) сформулируйте правило раскрытия скобок , которое использовалось в примере .
укажите подобные члены в получившемся после раскрытия скобок выражении и выполните приведение подобных .
Эти правила называют правилами раскрытия скобок , перед которыми стоит знак « » или « - » .
Правила преобразования уравнений . — раскрытия скобок .
242 Запишите без скобок выражение .
Так как расстановка скобок на результат не влияет , то эти суммы записывают также без скобок .
Этот пример может вызвать некоторое удивление , поскольку мы давно привыкли писать все суммы без скобок и разрешили это себе специальным правилом , вытекающим из сочетательного закона сложения .
Подберите соответствующее буквенное равенство из предыдущего упражнения и , используя его , запишите без скобок следующее выражение .
Так как расстановка скобок на результат не влияет , то эти суммы записывают также без скобок .
4 Запишите без скобок алгебраическую сумму .
Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых .
Покажите его применение для раскрытия скобок на примере произведения .
5 Сформулируйте правило раскрытия скобок в произведении .
4 Сформулируйте правила раскрытия скобок , перед которыми стоит знак « » или « - » .
Найдём из этого уравнения слагаемое 4х .
Чтобы применить группировку , разобьём слагаемое 5ху на два одночлена : ху и 4ху .
Первое слагаемое в 2 раза больше второго , а второе слагаемое в 3 раза больше третьего .
Найдите каждое слагаемое этой суммы .
Каждое слагаемое в этой сумме содержит один и тот же множитель а .
Отсюда понятно правило : в уравнении можно перенести слагаемое из одной части в другую , изменив при этом его знак на противоположный .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Чтобы умножить 2а на сумму , нужно умножить 2а отдельно на каждое слагаемое этой суммы .
Поэтому , раскрывая скобки , запишем каждое слагаемое а , b и -с с противоположным знаком .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части уравнения , при этом его знак изменился с « минуса » на « плюс » .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
Первое слагаемое в 2 раза больше второго , а второе слагаемое в 3 раза больше третьего .
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
Меняя каким - либо образом эти слагаемые местами , будем получать равные выражения .
667 Упростите выражение , расположив слагаемые в столбик .
подобные слагаемые в выражении .
В алгебраической сумме , как мы видели , слагаемые « путешествуют » вместе со своими знаками .
Однако их можно сгруппировать таким образом , что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки .
Значит , в результате приведения подобных слагаемых второй группы мы получим 5с .
На каком законе основано приведение подобных слагаемых ? .
У слагаемых 2а , 4а и -10а
249 Преобразуйте выражение в равное , изменив каким - либо способом порядок слагаемых .
Найдём сумму коэффициентов подобных слагаемых первой группы .
В этой сумме две группы подобных слагаемых .
Проиллюстрируйте правило приведения подобных слагаемых на примере выражения .
Такое преобразование называют приведением подобных слагаемых .
83S Заключите два последних слагаемых в скобки , поставив перед ними знак « - » , и затем выполните разложение на множители .
Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стёрли знаки между слагаемыми .
Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых .
Нам удалось упростить данное выражение , заменив сумму подобных слагаемых одним выражением -4а .
Правило приведения подобных слагаемых .
раскройте скобки в первых двух слагаемых , а затем сгруппируйте члены так , чтобы получился общий множитель .
55 Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число .
100 слагаемых .
Теперь найдём сумму коэффициентов слагаемых второй группы .
Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов и вычитание из первого многочлена второго .
654 Выполните сложение .
Знак « - » перед скобкой означает вычитание ; замените вычитание сложением .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
сначала вычитанием площадей , а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство .
Для этого заменим вычитание сложением , а затем воспользуемся законом , который выражается равенством , и распределительным законом .
Так как вычитание всегда можно заменить сложением , то его можно считать суммой выражений .
Обратите внимание : вычитание мы заменили сложением с многочленом , противоположным второму многочлену .
Сочетательное свойство сложения , согласно которому при сложении трёх чисел можно группировать как первые два слагаемых , так и последние два : для любых чисел а , b и с .
Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами сложения и умножения , сочетательными законами сложения и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Из переместительного и сочетательного законов сложения следует правило .
Этот пример может вызвать некоторое удивление , поскольку мы давно привыкли писать все суммы без скобок и разрешили это себе специальным правилом , вытекающим из сочетательного закона сложения .
1 Назовите и запишите с помощью букв основные свойства сложения и умножения чисел .
е . могут произойти одновременно , правило сложения вероятностей применять нельзя .
Свойство сложения переместительное . — — сочетательное .
С таким применением букв вы познакомились ещё в начальной школе , когда изучали основные свойства сложения и умножения чисел .
Распределительное свойство — совместное свойство действий сложения и умножения : для любых а , b и с .
Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами сложения и умножения , сочетательными законами сложения и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Чему будет равна толщина сложения , если толщина листа бумаги 0,1 мм ?
Переместительное свойство сложения , которое утверждает , что два числа можно складывать в любом порядке .
Вспомните , что сочетательный закон сложения гласит : от изменения расстановки скобок в сумме её значение не меняется .
Это правило называется правилом сложения вероятностей .
Сочетательное свойство сложения , согласно которому при сложении трёх чисел можно группировать как первые два слагаемых , так и последние два : для любых чисел а , b и с .
Назовите и запишите в буквенном виде основные свойства сложения и умножения чисел .
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки сложения перед скобками .
И сейчас мы увидим , что это равенство действительно следует из сочетательного закона сложения : что и требовалось доказать .
Вообще результатом сложения и вычитания многочленов является многочлен .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Чтобы сложить два многочлена , нужно составить их сумму , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Чтобы привести подобные слагаемые , нужно : сгруппировать эти слагаемые ; сложить их коэффициенты .
Если через 2 года я сложу твой возраст и возраст твоей сестры , то результат будет меньше моего возраста в 2 раза » .
Сколько километров она не доплыла до пристани , если её собственная скорость равна v км / ч , а скорость течения реки а км / ч ?
Какое расстояние прошёл катер за это время , если собственная скорость катера х км / ч , а скорость течения реки т км / ч ? .
На каком расстоянии от начала маршрута находится база отдыха , если собственная скорость катера 35 км / ч , скорость течения реки 5 км / ч и возле базы отдыха катер делает остановку на 1,5 ч ? .
Покажите , что собственная скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения .
Зависит ли ответ этой задачи от собственной скорости лодки ? .
Научиться разложению на множители , развить свою фантазию и изобретательность можно только на собственном опыте .
Определите собственную скорость теплохода , если скорость течения реки 2 км / ч .
Определите собственную скорость пловца ( в м / мин ) , если скорость течения реки 30 м / мин .
Распределительное свойство — совместное свойство действий сложения и умножения : для любых а , b и с .
Один из них совпадает с событием Б , а три других нет .
Справедлива ли эта формула , если одна из точек совпадает с началом отсчёта ?
При х 0 график совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
При график совпадает с прямой .
138 Придумайте четыре разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало .
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом .
Но вторая цифра уже не может совпадать с первой .
Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел ?
Заметим , что формула справедлива и в том случае , когда точки А и В совпадают .
Иногда условие задачи можно понять по - разному , и тогда при переводе условия на математический язык получаются разные задачи , в которых не совпадают ни решения , ни ответы .
198 Упростите отношение , сократив его .
Как при этом изменятся расходы Николая на телефон , если он сократит время разговоров в 2 раза ? .
262 Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите её .
На сколько надо увеличить скорость , чтобы сократить время прохождения этого перегона на 2 мин ? .
В то же время процесс возведения в степень можно сократить , если множители в произведении сгруппировать так , чтобы можно было использовать уже известные результаты .
Представим а9 в виде произведения а0а4 , тогда дробь можно будет сократить на общий множитель а5 .
Заметим , что рассмотренное в задаче отношение 6:4:2 можно было бы сократить , т .
Можно ли сократить дробь .
Объясните , как сократить дробь ( в качестве образца воспользуйтесь примером ) .
На сколько километров в час надо увеличить скорость , чтобы сократить это время на полминуты ? .
Теперь ясно , что дробь можно сократить на разность .
Найдите средний рост солдат подразделения и число солдат выше среднего роста .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции ; неизвестного среднего члена пропорции .
Однако нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надёжные выводы на основе статистических данных .
В отличие от среднего арифметического , которое можно вычислить для любого числового ряда , моды у ряда вообще может не быть .
В отличие от среднего арифметического , которое можно вычислить для любого числового ряда , моды у ряда вообще может не быть .
Однако нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надёжные выводы на основе статистических данных .
15 Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда .
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом .
Найдите среднее арифметическое всех этих чисел .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
Чему теперь равно среднее арифметическое ? .
( Обозначьте среднее число буквой n ) .
Найдите его , зная , что среднее арифметическое ряда равно 14 .
138 Придумайте четыре разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало .
Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел ?
Определите среднее число задач , решённых одним учеником .
В этом примере среднее арифметическое можно было найти немного иначе .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Как изменится среднее арифметическое ряда , если .
Найдите среднее число жителей на 1 км2 .
Вычислите среднее арифметическое ряда .
а ) Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда данных .
Найдите среднее число детей в семье и моду ( количество детей в наиболее типичной семье ) .
Найдите среднее арифметическое и моду ряда отметок .
Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда попаданий .
91 Найдите среднее арифметическое ряда .
Приведите пример ситуации , в которой вычисляется среднее арифметическое .
Найдите среднее арифметическое ряда чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
А среднее арифметическое , конечно , есть .
Поэтому среднее арифметическое быстрее подсчитать так .
Чему равно их среднее арифметическое ? .
Каким было бы среднее арифметическое ряда отметок учащегося , если бы в этом ряду не было двойки ? .
Приведите пример ситуации , в которой вычисляется среднее арифметическое .
138 Придумайте четыре разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало .
Найдите среднее арифметическое всех этих чисел .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
Чему теперь равно среднее арифметическое ? .
Найдите его , зная , что среднее арифметическое ряда равно 14 .
Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел ?
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом .
Чему равно их среднее арифметическое ? .
Как изменится среднее арифметическое ряда , если .
Вычислите среднее арифметическое ряда .
Найдите среднее арифметическое и моду ряда отметок .
а ) Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда данных .
А среднее арифметическое , конечно , есть .
В этом примере среднее арифметическое можно было найти немного иначе .
Поэтому среднее арифметическое быстрее подсчитать так .
Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда попаданий .
Найдите среднее арифметическое ряда чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
Каким было бы среднее арифметическое ряда отметок учащегося , если бы в этом ряду не было двойки ? .
15 Найдите среднее арифметическое , моду и размах ряда .
91 Найдите среднее арифметическое ряда .
д ) Кто бежал быстрее всех ( с наибольшей средней скоростью ) ? .
На верхней полке на 8 книг меньше , чем на средней , а на нижней — в 3 раза больше , чем на средней .
( Буквой х обозначено количество книг на средней полке . ) .
На верхней полке на 8 книг меньше , чем на средней , а на нижней — в 3 раза больше , чем на средней .
Учитель выставляет четвертную отметку по среднему арифметическому ряда отметок .
Учитель выставляет четвертную отметку по среднему арифметическому ряда отметок .
Используя полученный результат , попробуйте догадаться , чему равны средние арифметические следующих рядов .
Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
Приведите пример пропорции и назовите её крайние и средние члены .
Запишите каждое утверждение в виде пропорции , назовите крайние члены и средние члены пропорции .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние члены ; замените каждое отношение обратным .
Используя полученный результат , попробуйте догадаться , чему равны средние арифметические следующих рядов .
Для службы в Президентском полку отбирают призывников ростом не менее 175 см и не более 190 см . а ) Можно ли утверждать , что средний рост солдат этого полка равен 182,5 см ? .
Найдите средний рост солдат подразделения и число солдат выше среднего роста .
Найдите моду ряда отметок и средний результат по контрольной работе .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Найдите средний член трёхчлена , равного .
Отбросьте наибольшую и наименьшую оценки и найдите средний балл спортсмена .
Число 4,4 называют средним арифметическим исходных чисел .
Что называют средним арифметическим ряда чисел ?
Что называется средним арифметическим нескольких чисел ?
Число 4,4 называют средним арифметическим исходных чисел .
Что называется средним арифметическим нескольких чисел ?
Что называют средним арифметическим ряда чисел ?
Числа , образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
собак больших и средних пород вместе 36 .
В выставке собак участвовали собаки больших , средних и мелких пород , число которых находилось в отношении 4:8:3 .
Значит , если у нас есть ряд данных , то для обоснованных выводов и надёжных прогнозов на их основе , помимо средних значений , надо ещё указать , насколько используемые данные различаются между собой .
в ) собак средних пород на 20 больше , чем мелких ? .
Найдите размах посещаемости и среднюю посещаемость матча , округлив её до сотен .
Например , известно , что на планете Меркурий средняя температура 15 ° .
Какова его средняя скорость ? .
д ) Какова была средняя скорость туриста ( в км / ч ) на подъёме ?
в ) четырёх степеней с основанием 3 .
а ) двух степеней с основанием 3 . б ) трёх степеней с основанием 3 .
а ) двух степеней с основанием 3 . б ) трёх степеней с основанием 3 .
сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6 .
Если многочлен стандартного вида содержит одну переменную , то его члены обычно располагают в порядке убывания её степеней .
529 Частное степеней замените степенью с тем же основанием .
На примере а12 а5 проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство произведения степеней с одинаковым основанием .
2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
На примере проведите рассуждение , иллюстрирующее свойство частного степеней с одинаковым основанием .
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают .
Дана таблица степеней числа 3 .
552 Представьте выражение в виде произведения двух или нескольких степеней .
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают .
Возьмём произведение двух степеней с одинаковыми основаниями , например а3а4 .
635 Запишите многочлен , расположив его члены по убыванию степеней переменной , и укажите его степень .
6.1 Произведение и частное степеней .
Это свойство распространяется на произведение трёх и более степеней .
Использование степеней делает выражение более компактным , « обозримым » .
Рассмотрим теперь частное двух степеней с одинаковыми основаниями , например .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений , значения которых можно найти , пользуясь таблицей степеней числа 3 .
3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число .
Вам уже знакомо понятие степени с натуральным показателем .
584 Представьте в виде степени .
Представьте в виде степени с основанием 2 и , если возможно , с основанием -2 .
561 Представьте а30 в виде степени с основанием .
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
559 Представьте выражение в виде степени с основанием n .
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
Решите задачу , представив данные с помощью степени числа 10 .
Рассмотрим некоторые свойства степени , которые часто используются при преобразовании выражений .
Если бы мы продолжили таблицу , то оно попало бы в столбец , где находятся степени 24 , 28 , 212 , показатели которых кратны четырём .
Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение выражения .
Это выражение легко представить в виде степени с тем же основанием .
По определению степени .
1 Сформулируйте определение степени с натуральным показателем .
Значит , число 2100 , как и эти степени , оканчивается цифрой 6 .
Итак , при возведении степени в степень показатели перемножают .
Преобразование выражений , содержащих степени .
6.2 Степень степени , произведения и дроби .
7 Найдите значение степени .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
550 Представьте выражение в виде степени с основанием а .
527 Представьте в виде степени .
Докажите соответствующее свойство степени .
Число 8 - основание степени , а число 5 - показатель степени .
551 Представьте выражение в виде степени с основанием у .
Свойства степени с натуральным показателем .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным показателем , на основе которых выполняются преобразования выражений , содержащих степени , а также вычисления .
В этой главе вы познакомитесь со свойствами степени с натуральным показателем , на основе которых выполняются преобразования выражений , содержащих степени , а также вычисления .
1.6 Последняя цифра степени . ( Для тех , кому интересно ) .
Напомним , что определение степени с натуральным показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда показатель степени больше 1 и когда он равен 1 .
Заметив это , нетрудно определить последнюю цифру степени 2n для любого показателя n .
Напомним , что определение степени с натуральным показателем включает в себя разъяснение смысла этого термина для двух случаев : когда показатель степени больше 1 и когда он равен 1 .
524 Запишите в виде степени .
555 Представьте каждое из выражений в виде степени .
Число 8 - основание степени , а число 5 - показатель степени .
109 Какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7 ?
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
Таким образом , при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя .
Например . Обратите внимание : степени числа 2 с увеличением показателя возрастают очень быстро .
Говорят , что многочлен третьей степени .
Эта особенность степени положена в основу древней индийской легенды .
54 Представьте в виде степени с основанием 10 следующие числа .
Основание степени может быть любым числом — положительным , отрицательным , нулём .
4 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень .
Это зависит от того , чётным или нечётным числом является показатель степени .
Каждая переменная ( в соответствующей степени ) содержится в нём тоже только один раз .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
К одночленам стандартного вида относятся также числа , переменные , степени переменных .
Особенно часто степени употребляются при записи физических величин , которые , как известно , могут быть очень большими и очень маленькими .
Их записывают с помощью степени с основанием 10 .
В математике это выражение тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у степени с натуральным показателем .
43 Запишите в виде степени .
Разберите , как найдено значение степени 28 во фрагменте 1 .
Запишите разными способами в виде степени следующее число .
Число 64 можно по - разному представить в виде степени .
От чего зависит знак степени с отрицательным основанием ?
Наибольший показатель степени , в которой переменная входит в этот многочлен , равен 3 .
34 Запишите каждое выражение в виде произведения или степени .
57 Используя степени числа 10 , выразите в метрах 1 см ; 1 мм ; 1 мк ( 1 мк — один микрон , тысячная доля миллиметра ) .
Запишите эту величину с помощью степени числа 10 .
56 Используя степени числа 10 , запишите , сколько в 1 км метров ; сантиметров ; миллиметров .
Выразите скорость света в метрах в секунду и запишите результат с помощью степени числа 10 .
Запишите с отрицательным показателем степени выражение .
Вы знаете , что произведение одинаковых множителей записывают короче — в виде степени .
Число а называют основанием степени , а число n — показателем степени .
Число а называют основанием степени , а число n — показателем степени .
1 Выполните действие , воспользовавшись соответствующим свойством степени .
35 Запишите выражение короче , используя степени .
Таким же свойством обладает любая степень с основанием , большим 1 .
573 Возведите дробь в степень .
4 Какой знак может иметь степень с отрицательным основанием ?
570 Выполните возведение в степень .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
Вычислить степень числа , или , как говорят , возвести число в степень , можно путём последовательного умножения .
2 Какова степень многочлена .
Какое число — положительное или отрицательное - может получиться при возведении в степень отрицательного числа ?
В то же время процесс возведения в степень можно сократить , если множители в произведении сгруппировать так , чтобы можно было использовать уже известные результаты .
Считают , что первая степень любого числа равна самому числу .
108 Какими цифрами могут оканчиваться числа , получающиеся при возведении в степень числа 3 ?
Оно представляет собой степень с основанием а2 .
Укажите ещё какую - нибудь степень числа 3 , которая оканчивается той же цифрой .
112 Назовите какое - нибудь число , отличное от 0 и 1 , любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой .
Возведите в степень .
635 Запишите многочлен , расположив его члены по убыванию степеней переменной , и укажите его степень .
Вычислить степень числа , или , как говорят , возвести число в степень , можно путём последовательного умножения .
3 Какую степень имеет многочлен , равный произведению многочленов .
Выполните возведение в степень .
Выясним теперь , как можно преобразовать степень произведения , например выражение ( ab)3 .
Итак , при возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Итак , при возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают .
Рассмотрим степень дроби .
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число , так и отрицательное .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
Возведите в степень ( а10)2 .
Например , 85 - это степень , т .
Итак , при возведении степени в степень показатели перемножают .
4 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень .
705 Запишите степень двучлена в виде произведения и выполните умножение .
5 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень произведения .
( Напомним , что возведение в степень — это тоже умножение . )
Запишите ответ , используя степень числа 2 , и вычислите значение получившегося выражения .
6 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби .
Переставив множители и заменив произведение одинаковых множителей степенью , получим .
В математике это выражение тоже считается степенью , но смысл у него иной , чем у степени с натуральным показателем .
529 Частное степеней замените степенью с тем же основанием .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны квадрата .
808 Если каждую из сторон земельного участка , имеющего форму квадрата , уменьшить на 3 м , то получится участок , площадь которого будет меньше площади исходного участка на 81 м2 .
Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
Для этого одну из сторон первоначального участка увеличили на 4 м , а другую — на 5 м и получили новый участок прямоугольной формы .
Вы знаете формулу площади прямоугольника S ab , которая выражает соотношение между площадью S и длинами сторон а и b.
Одна из его сторон на 6 см меньше другой .
Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше , а другая на 6 см меньше стороны квадрата .
Имеется прямоугольный кусок стекла , одна из сторон которого на 30 см больше другой .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
а ) Найдите неизвестные длины сторон .
« Имеется кусок стекла , одна из сторон которого в 2 раза больше другой .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
а ) Чему равна площадь прямоугольника , одна из сторон которого равна х см , а другая на 3 см больше ? .
809 Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см , а другую уменьшить на 3 см , то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см2 .
Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
б ) Чему равна площадь прямоугольника , одна из сторон которого равна х см , а другая на а см меньше ? .
е . останутся ли шансы сторон равными ?
277 а ) Чему равен периметр прямоугольника , одна сторона которого равна х см , а другая — на 2 см больше ?
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
б ) Чему равен периметр треугольника , одна сторона которого равна а см , вторая — на 1 см больше первой , а третья — на 2 см меньше второй ? .
б ) Одна сторона прямоугольника I см , а другая — на т см больше .
778 У Наташи есть аквариум с прямоугольным дном , одна сторона которого на 16 см больше другой .
Длина прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона квадратной формы .
Рассмотрим прямоугольник со сторонами х и у.
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 20 м от одного из углов и ширина их будет равна 3 м .
Квадрат со стороной 1 м закрашивают по частям .
Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически , изобразив квадрат со стороной .
Докажите , что если сторону квадрата увеличить в 10 раз , то его площадь увеличится в 100 раз .
а ) Одну сторону прямоугольника увеличили в 2 раза , а другую — в 1,5 раза .
Разделим его сторону длиной у на z равных частей и разрежем данный прямоугольник .
Обозначим сторону квадрата буквой а , тогда его площадь равна а2 , а площадь нового квадрата равна .
В процессе работ одну сторону увеличили на 50 % , а другую уменьшили на 20 % .
Если меньшую сторону увеличить на 1 см , а большую — на 2 см , то площадь изображения увеличится на 65 см2 .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
б ) площади квадрата от длины его стороны .
а ) периметра квадрата от длины его стороны .
Пусть х см — длина меньшей стороны куска стекла , тогда х 30 см — длина другой его стороны .
В случае с подбрасыванием монеты и не проводя экспериментов естественно предположить , что вероятность выпадания каждой стороны монеты равна 0,5 .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения площади прямоугольника достаточно измерить его стороны и перемножить получившиеся числа .
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше , а другая на 6 см меньше стороны квадрата .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
С другой стороны , всего имеется z слоёв равной площади , а их общая площадь равна ху , и поэтому площадь каждого слоя равна кв. ед .
Так поступают потому , что выпадание орла или решки считается равновероятным и заинтересованные стороны имеют равные шансы .
Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
С другой стороны , он предполагал , что у него останется х - у рублей , но z рублей он сэкономил , так что на самом деле у него осталось рублей .
Найдите стороны данного прямоугольника .
764 а ) Площадь квадрата равна площади прямоугольника , одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата , а другая на 2 см больше стороны квадрата .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны квадрата .
С другой стороны , он рассчитывал , что ему останется пройти х - у км , а реально осталось пройти на z км больше , т.е. всего осталось пройти x - y z км .
Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника .
Пусть х см — длина меньшей стороны куска стекла , тогда х 30 см — длина другой его стороны .
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата , а другая на 3 см больше стороны квадрата .
а ) шестиугольник ; б ) восьмиугольник ; в ) двенадцатиугольник ; г ) стоугольник ? .
Теперь понятно , что график надо строить по частям , отдельно в правой и в левой полуплоскости .
Некоторые графики можно строить , используя уже знакомые графики .
Частота соответствующих событий позволяет строить обоснованные прогнозы для решения задач , возникающих в жизни .
Используя показания сейсмографов — приборов , непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики — сейсмограммы , геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами .
Здесь будут рассмотрены правила преобразования сумм и произведений .
Правило преобразования произведений сумм .
На таком применении распределительного закона основан важный приём упрощения сумм , с которым мы познакомимся на следующем примере .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
Запишите многочлен , который надо прибавить к трёхчлену чтобы сумма оказалась равной .
Данное выражение — сумма , состоящая из четырёх слагаемых .
Чтобы доказать , что два многочлена противоположны , достаточно убедиться , что их сумма равна 0 .
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
были присуждены трём призёрам соревнования так , что сумма , полученная вторым , составила от суммы , полученной первым .
Здесь к слагаемому 2а прибавляется сумма выражений .
б ) Существуют ли три последовательных нечётных числа , сумма которых равна 69 ? .
400 а ) Существуют ли три последовательных чётных числа , сумма которых равна 74 ? .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
На последнем шаге мы воспользовались ещё одним законом , согласно которому от прибавления нуля сумма не меняется .
Докажите , что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 3 .
Чему равна сумма данного многочлена и противоположного ему ? .
Докажите , что их сумма есть число чётное .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его квадрата делится на 2 .
Сумма выражений разность выражений .
Эта сумма равна огромному числу 18 446 744 073 709 551 615 , и она столь велика , что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты , включая Мировой океан .
Но полученные при этих способах подсчёта остатки — это одна и та же сумма .
В дальнейшем для краткости вместо слов « алгебраическая сумма » мы будем говорить просто « сумма » .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Пётр заметил , что в этом году он младше отца в 3 раза , отец младше деда в 2 раза , а сумма его возраста , возраста отца и возраста деда составляет 110 лет .
Сумма двух нечётных чисел есть число чётное .
381 а ) Первое число на 27 больше второго , а их сумма равна 95 .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Алгебраическая сумма .
Значит , и всё произведение , а вместе с ним и равная ему сумма делится на 2 .
Сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6 .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число .
114 Делится ли на 10 : сумма II11 322 ; разность 7го- 910 ; произведение 1215 1512 ? .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
А : сумма выпавших очков равна 1 .
В : сумма выпавших очков больше 1 .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
Запишите выражение , означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г. Чему равна записанная сумма ? .
17 Какому из выражений равна сумма .
в ) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное .
В то же время сумма , полученная вторым , относится к сумме , полученной третьим , как .
2 Клиент банка внёс х рублей на вклад , по которому вложенная сумма увеличивается на 5 % за год , и у рублей на вклад , по которому начисляется 8 % годовых .
Докажите , что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 4 .
Действительно , двучлен х - 0,5 с — это сумма х и -0,5 с , поэтому .
Вспомним сначала , что сумма — и вы привыкли к этому ещё в начальной школе — вычисляется слева направо , т .
Вычислите , какой была бы сумма на счёте Маши , если бы банк начислял 12 % годовых .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Сумма абсциссы и ординаты равна 4 .
С : сумма выпавших очков не больше 12 . D : произведение выпавших очков больше 40 .
в 1,1 раза , плюс добавлялась новая сумма .
787 Докажите , что если числа а и n не делятся на 3 , то либо их сумма , либо их разность делится на 3 .
Тогда сумма этого числа и его квадрата будет .
266 Чему равна сумма 15 последовательных натуральных чисел , первое из которых равно n ? .
В дальнейшем для краткости вместо слов « алгебраическая сумма » мы будем говорить просто « сумма » .
а ) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное .
Какая наименьшая и какая наибольшая сумма очков может при этом получиться ? .
388 а ) Одно число составляет другого числа , а их сумма равна 108 .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
Такие выражения , как , в математике иногда называют алгебраическими суммами — суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
Такие выражения , как , в математике иногда называют алгебраическими суммами — суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
Заметим , что в алгебраических суммах на первом месте принято записывать слагаемое со знаком « » ( если , конечно , такое имеется ) , причём этот знак перед первым слагаемым опускают .
Вспомните , что сочетательный закон сложения гласит : от изменения расстановки скобок в сумме её значение не меняется .
В этой сумме естественно сгруппировать последние три слагаемых .
В сумме эти расстояния составляют 22,5 км .
С помощью рисунка 7.3 полученное равенство для положительных можно доказать геометрически : площадь прямоугольника со сторонами равна сумме площадей четырёх прямоугольников , стороны которых равны а и с , b и с , а и d , b и d .
Сумма квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
В алгебраической сумме , как мы видели , слагаемые « путешествуют » вместе со своими знаками .
если восстановить в этой сумме скобки , то получится равенство .
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
Вообще вероятность получить хотя бы один ( неважно , какой именно ) из нескольких интересующих нас результатов эксперимента равна сумме вероятностей каждого из этих результатов , если эти результаты несовместимы между собой .
В этой сумме две группы подобных слагаемых .
В последовательности Фибоначчи каждое число , начиная с третьего , равно сумме двух предыдущих .
В то же время сумма , полученная вторым , относится к сумме , полученной третьим , как .
Точно так же выражение , противоположное , например , сумме есть .
Мы видим , что для ученика вероятность получить « хорошо » или « отлично » равна сумме вероятностей двух событий : получить « хорошо » и получить « отлично » .
Поменяем местами слагаемые в этой сумме .
662 Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену , чтобы в сумме получился 0 .
в любой сумме слагаемые можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы .
Каждое слагаемое в этой сумме содержит один и тот же множитель а .
В сумме вынесем за скобки общий множитель а .
Раскроем скобки в сумме .
Это буквенное равенство говорит о том , что любую дробь вида можно заменить суммой частных — и числовое значение останется тем же .
Так как вычитание всегда можно заменить сложением , то его можно считать суммой выражений .
Число зёрен , которое потребовал в награду изобретатель шахмат , выражается суммой .
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
Алгебраическую сумму одночленов называют многочленом .
Поэтому сумму принято записывать без скобок .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Нам удалось упростить данное выражение , заменив сумму подобных слагаемых одним выражением -4а .
Вычислите сумму кубов натуральных чисел для .
У него есть 100 рублей и две возможности увеличивать эту сумму : или еженедельно добавлять к ней 100 рублей , или еженедельно увеличивать её в 1,4 раза .
Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для .
Упростим сумму .
умножить полученную сумму на их общую буквенную часть .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
Используя формулу , вычислите сумму последовательных натуральных чисел : а ) от 1 до 20 ; б ) от 1 до 100 .
Точно так же можно преобразовывать и суммы , являющиеся буквенными выражениями , например сумму .
Найдём сумму коэффициентов подобных слагаемых первой группы .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
а ) сумму двузначного числа числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
658 Составьте сумму и разность многочленов и упростите получившиеся выражения .
Умножьте сумму на 2 .
Чтобы умножить 2а на сумму , нужно умножить 2а отдельно на каждое слагаемое этой суммы .
в ) сумму всех трёхзначных чисел , которые могут быть записаны цифрами а , b и с так , чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз .
Найдём сумму .
Найдём сумму и разность многочленов .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Так , дробь — в выражение частное была преобразована в сумму .
Чтобы сложить два многочлена , нужно составить их сумму , раскрыть скобки и , если возможно , упростить получившееся выражение .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
Определите эту сумму , если ежегодное начисление составляет 6 % .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Обозначив 1,1 ( коэффициент роста ) буквой х , мы можем записать общую сумму на счёте с помощью многочлена .
Теперь найдём сумму коэффициентов слагаемых второй группы .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
увеличивал на 10 % в год сумму , имеющуюся на счёте ) .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
276 Запишите и упростите сумму .
Какую сумму нужно положить на счёт , чтобы доход составил 1500 р . ? .
Какую сумму он мог бы накопить за полгода в первом и во втором случаях ?
Например , алгебраическую сумму заменяют более « красивым » выражением .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
Сколько компьютеров , стоимость которых в 1,5 раза меньше , можно было бы купить на эту же сумму ? .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
С помощью полученной формулы можно возводить в квадрат сумму любых двух выражений .
Умножим разность на сумму .
Пользуясь примером 1 как образцом , упростите сумму .
Мы заменили сумму равным выражением , переставив слагаемые , а затем воспользовались формулой разности квадратов .
4 Запишите без скобок алгебраическую сумму .
Восстановите сумму в скобках .
Рассмотрим сумму .
209 Призы на сумму 12 400 р .
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в произведение : вынесли за скобки число 17 .
Как разделить эту сумму между тремя классами ? .
8 Найдите сумму многочленов .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
246 Составьте алгебраическую сумму из следующих слагаемых .
а ) К задуманному числу прибавили 11 , затем сумму поделили пополам и получили число , которое на 2 больше задуманного .
Заменив нулём сумму выражений , получим уравнение .
На какую минимальную сумму необходимо приобрести товаров за этот год , чтобы покупка дисконтной карты оправдалась ? .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Какую сумму надо положить в банк , чтобы по истечении года получить доход в 1000 р . ? .
Найдите сумму этих чисел .
326 Составьте сумму и разность выражений и упростите их .
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных натуральных числа и одно из них обязательно является чётным , т .
Только в данном случае этот закон мы применяем справа налево : заменяем сумму произведением , а не наоборот .
б ) Какую сумму получил в декабре сотрудник , зарплата которого 5000 р . ? .
б ) сумму , 20 % которой составляют а рублей .
Многих школьников волнует подобная проблема , и чаще всего ученики решают её следующим естественным образом : складывают все отметки и делят сумму на их количество .
4 На примере многочленов покажите , как находят сумму и разность многочленов .
Чтобы умножить 2а на сумму , нужно умножить 2а отдельно на каждое слагаемое этой суммы .
783 Найдите остаток от деления на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
Среди приведённых выражений выберите те , к которым можно применить формулу разности кубов или суммы кубов .
Точно так же можно преобразовывать и суммы , являющиеся буквенными выражениями , например сумму .
Теперь применим формулы разности и суммы кубов .
Составьте выражения , которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов , и выполните эти преобразования .
Такие выражения , как , в математике иногда называют алгебраическими суммами — суммами потому , что их всегда можно представить в виде суммы , а алгебраическими потому , что в исходной записи они все же « чистыми » суммами не являются .
Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму , надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы .
Выполните умножение , используя формулу суммы кубов или разности кубов .
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых .
Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму , надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы , взяв его с противоположным знаком .
Сформулируйте правило преобразования суммы .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
5 Примените для разложения на множители , если это возможно , формулу суммы или разности кубов .
245 Назовите слагаемые алгебраической суммы .
Покажите , что собственная скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения .
Поэтому число 3587 можно записать в виде суммы .
247 Выражение можно записать в виде алгебраической суммы , опустив знаки сложения перед скобками .
При этом вам придётся вспомнить свойства делимости суммы .
Преобразуйте второй многочлен так , чтобы можно было применить формулу разности или суммы кубов .
Вам уже известны формулы квадратов суммы и разности , вы не раз применяли их на уроках математики .
Запишите формулы разности кубов и суммы кубов ; прочитайте эти формулы .
673 Представьте в виде суммы и разности двух каких - либо двучленов трёхчлен .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Мы получили формулу квадрата суммы .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
12 Какой двучлен можно разложить на множители , используя формулу суммы кубов ? .
С помощью этой формулы можно преобразовать произведение разности и суммы любых двух выражений .
Утверждение , которое выражается формулой квадрата суммы , было известно ещё в древности .
Заметим , что для возведения в квадрат двучлена х - 0,5с можно воспользоваться и формулой квадрата суммы .
6 Запишите формулу суммы кубов и докажите её .
представьте один из двучленов , заключённых в скобки , в виде суммы или разности двух других , а затем примените группировку .
Запишите формулы квадрата суммы и квадрата разности .
Представьте выражение 3 xyz в виде суммы и сгруппируйте члены многочлена .
Можно ли представить в виде квадрата суммы или разности трёхчлена .
Сколько процентов выплаченной за работу суммы получил каждый из трёх участников , если она была распределена между ними в отношении ? .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Этот многочлен можно представить или в виде суммы трёх двучленов , или в виде суммы двух трёхчленов .
Этот многочлен можно представить или в виде суммы трёх двучленов , или в виде суммы двух трёхчленов .
7.5 Формулы квадрата суммы и квадрата разности .
968 Эксперименты состоят в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков с вычислением каждый раз суммы выпавших на кубиках очков .
676 Представьте в виде суммы двух каких - либо двучленов .
665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких - либо двучленов ( проверьте , раскрыв мысленно скобки , правильно ли вы выполнили задание ) .
— разности квадратов . — — кубов . — суммы кубов .
Формула квадрата разности . — — суммы .
Они имеют на счетах следующие суммы .
Составьте выражение для вычисления суммы , которая будет на вашем счёте сразу после третьего взноса .
Через год после внесения суммы и далее каждый год банк увеличивал её на 10 % , т .
Маша решила накапливать на банковском счёте небольшие денежные суммы , которые она получала в подарок от родственников на Новый год .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
Найдите каждое слагаемое этой суммы .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
55 Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число .
Продолжите заполнение таблицы , в которой приводятся расчёты накопленной суммы при первом и втором способах накопления .
Банк предлагает своим клиентам следующие условия вклада : деньги кладутся на счёт на 31 день , по истечении которых клиент получает доход , равный 7,5 % от вложенной суммы .
1500 р . составляют 7,5 % , или иначе 0,075 , от неизвестной суммы .
а ) 20 % от суммы в а рублей .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
42В Сумму в 2880 р . , отведённую на покупку спортивного инвентаря для школы , распределили следующим образом : на футбольные и волейбольные мячи денег выделили поровну , а на гимнастические скакалки — 20 % суммы , выделенной на все мячи .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
д ) куб суммы у и r . е ) квадрат суммы а , b и с . ж ) куб суммы тп , n и 1 . з ) разность кубов х и r . а ) квадрат суммы х и у . б ) сумму квадратов тиn .
1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел ? .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
С помощью указанного правила можно преобразовывать не только « чистые » суммы , но и смешанные выражения , составленные с помощью знаков « » и « - » .
Формула суммы кубов выглядит так .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило вычитания из числа суммы двух чисел : для любых чисел а , b , с .
Не меньшую пользу принесут вам формулы разности квадратов , суммы и разности кубов , с которыми вы познакомитесь в этой главе .
239 Смешанная дробь записана в виде суммы . , где буквами а , b и с обозначены .
Такое название принято из - за его внешнего сходства с выражением , равным квадрату суммы .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Так как расстановка скобок на результат не влияет , то эти суммы записывают также без скобок .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
8.4 Формулы разности и суммы кубов .
Этот пример может вызвать некоторое удивление , поскольку мы давно привыкли писать все суммы без скобок и разрешили это себе специальным правилом , вытекающим из сочетательного закона сложения .
Выражение можно записать в виде суммы квадратов : Далее естественно попробовать прибавить и вычесть удвоенное произведение п2 и 2 , т .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых .
749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности , представьте в виде многочлена выражение .
747 Выведите формулу куба суммы .
в виде суммы и в виде .
7 Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их .
были присуждены трём призёрам соревнования так , что сумма , полученная вторым , составила от суммы , полученной первым .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус сферы .
Вычислите площадь её поверхности ( в млн кв. км ) по формуле площади поверхности сферы , где R — радиус сферы .
Точку ( 0 ; 0 ) , в которой сходятся ветви параболы , называют вершиной параболы .
Где в качестве нормальной принята более высокая температура тела человека ? .
В России нормальной температурой тела человека считается 36,6 ° С , а в странах , использующих шкалу Фаренгейта , 98,8 ° F .
А в незнакомой вам пока знаменитой формуле Альберта Эйнштейна Е тс2 , выражающей зависимость между массой тела и энергией , которой оно обладает , буква с — это константа , равная скорости света .
Ведь именно по параболе , несколько искажённой сопротивлением воздуха , летит камень , мяч , снаряд и любое другое тело , брошенное под углом к горизонту .
Он очень эффективен , и с его помощью в математике доказывается немало трудных теорем .
Ученик , используя полученные знания в области теории вероятностей , решил сделать прогноз своей успеваемости по математике , изучив свои отметки за 5—7 классы .
Вопросами разведения петухов и кур занимаются специалисты в области сельского хозяйства , а вот изучением закономерностей в мире случайного - специальная наука теория вероятностей .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина ребра .
Найдите объём тетраэдра , если а 6 см ; а 12 см . б ) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле , где а , b и с — измерения параллелепипеда .
Найдите координаты точек , которые делят отрезок АВ на четыре равные части .
5.3 Множества точек на координатной плоскости .
Что , например , представляет собой множество точек , у которых ордината равна абсциссе , т .
458 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
5.1 Множества точек на координатной прямой .
Отметим на координатной плоскости несколько точек , имеющих равные координаты , например А(0 ; 0 ) , В(1 ; 1 ) , С(-2 ; -2 ) , D(0,5 ; 0,5 ) .
Теперь мы будем рассматривать множества точек координатной плоскости , абсциссы и ординаты которых связаны какой - либо зависимостью .
Задайте двойным неравенством множество точек , удовлетворяющих условию 4 .
462 Изобразите на координатной плоскости множество точек , которое задаётся равенством .
461 Изобразите на координатной прямой множество точек , удовлетворяющих условиям .
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
466 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
473 Изобразите на координатной плоскости множество точек , заданное условиями .
Назовите координаты каких - нибудь пяти точек , которые принадлежат этому прямоугольнику , и пяти точек , которые ему не принадлежат .
467 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
468 Изобразите на координатной плоскости множество точек , у которых .
Пусть теперь рассматриваемому множеству точек принадлежит и граничная точка 3 .
Такое множество точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют замкнутым лучом .
Множество точек , как и соответствующее ему множество чисел , называют интервалом .
Какие из следующих точек принадлежат этой полуплоскости .
Такое множество точек называют открытым лучом .
Рассмотрим множество точек координатной прямой , имеющих координату , большую 3 , а значит , расположенных правее точки 3 .
436 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное неравенством .
471 Задайте алгебраически множества точек .
Назовите координаты каких - нибудь пяти точек , которые принадлежат этому прямоугольнику , и пяти точек , которые ему не принадлежат .
438 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют двойному неравенству .
472 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
Справедлива ли эта формула , если одна из точек совпадает с началом отсчёта ?
442 Какие из точек 0,4 принадлежат лучу .
Сколько таких точек на отрезке ?
Сколько точек имеют целую неотрицательную координату ? .
Точно так же множество точек , координаты которых удовлетворяют условию х 4 , — это прямая , параллельная оси ординат .
Изобразите на координатной прямой множество всех точек .
512 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
488 Изобразите на координатной плоскости множество точек .
2 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условию .
481 Изобразите на координатной плоскости множество точек , удовлетворяющих условиям .
Какая зависимость связывает координаты точек этой прямой ?
Найдите зависимость , связывающую координаты точек построенной прямой , и задайте её алгебраически .
497 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям .
( Сколько точек для этого достаточно ? )
Найдите зависимость , которой удовлетворяют координаты точек этой прямой .
496 Найдите координаты точек плоскости , в которых кубическая парабола пересекается с прямой .
485 Постройте множество точек плоскости , координаты которых связаны соотношением .
Попробуем теперь рассмотреть более сложные зависимости , которые могут связывать абсциссы и ординаты точек плоскости , и посмотрим , как будут выглядеть соответствующие графики .
Чтобы построить график , вычислим сначала координаты нескольких его точек и занесём результаты в таблицу .
Найдите координаты точек пересечения этих графиков .
499 Найдите координаты общих точек графиков зависимостей .
Какие из точек ( 0 ; 0 ) , ( 2 ; 4 ) , ( -2 ; 4 ) , ( 3 ; 1 ) принадлежат этому множеству ? .
493 Множество точек на плоскости задано условиями .
Можно вычислить координаты других точек , удовлетворяющих равенству и отметить их на координатной плоскости .
Какие из точек ( -1 ; 0 ) , ( 0,6 ; 0,5 ) , ( 1 ; 0 ) , ( 2 ; 2 ) , ( -3 ; -3 ) принадлежат этому множеству ? .
Вычислим координаты нескольких точек , удовлетворяющих равенству у х. и заполним таблицу .
7 Поставьте в соответствие каждому множеству точек его алгебраическое описание .
Изобразите это множество точек на координатной плоскости .
Укажите координаты нескольких точек , принадлежащих этому графику .
492 Множество точек на плоскости задано условиями .
490 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
489 Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Назовите ординаты этих точек , опишите свойства кубической параболы .
486 Из точек А(0 ; 0 ) , Б(-1 ; 1 ) , С ( 1 ; 1 ) , D(-1 ; -1 )
478 Из точек А(0 ; 5 ) , В(-3 ; 2 ) , С(3 ; -8 ) и Z(—5 ; 0 )
480 Задайте на алгебраическом языке и изобразите на координатной плоскости множество точек , у которых .
Каким соотношением связаны координаты точек этой параболы ? .
513 Изобразите на координатной прямой множество точек , заданное неравенством .
Попробуем найти зависимость , которая связывает абсциссы и ординаты её точек .
511 Изобразите на плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Прочитайте неравенство , используя слово « расстояние » , и найдите с помощью координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют этому неравенству .
У каждой из этих точек абсцисса и ордината — противоположные числа .
Множество точек на координатной плоскости .
Задайте с помощью неравенств множества точек координатной плоскости .
Построим теперь на координатной плоскости множество точек , координаты которых связаны более сложным соотношением — равенством .
Назовите координаты ещё двух точек , принадлежащих этому графику , и двух точек , не принадлежащих ему .
Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных этому прямоугольнику относительно : а ) оси ординат .
Итак , последовательностями из одного , двух , трёх или четырёх знаков ( точек и тире ) можно закодировать букв .
С помощью четырёх знаков ( точек и тире ) можно закодировать букв .
Значит , множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству , образовано двумя прямыми у х и у -х .
Назовите координаты нескольких точек , принадлежащих этому графику .
Назовите координаты ещё двух точек , принадлежащих этому графику , и двух точек , не принадлежащих ему .
Найдите координаты этих точек .
В этой азбуке каждая буква передаётся с помощью точек и тире .
Два мальчика выбегают одновременно навстречу друг другу из двух точек , расстояние между которыми 660 м , и встречаются через 2 мин .
в ) Какие из следующих точек принадлежат этому графику .
На каком расстоянии от точки 0 находится каждая из этих точек ? .
501 Постройте на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
При этом на координатной плоскости мы будем получать всё больше и больше точек .
519 Опишите на алгебраическом языке множества точек координатной плоскости .
3 Изобразите на координатной плоскости множество точек , удовлетворяющих условиям .
Где такая точка может быть расположена ?
Любая точка этого интервала лежит правее точки -1 и левее точки 2 .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Значит , любая точка этого интервала удовлетворяет сразу двум неравенствам : х — 1 ( или , что то же самое , -1 х ) и х 2 .
456 Точка А имеет координату , равную -4 , а точка В — координату , равную 18 .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Есть ли на графике точка , абсцисса которой равна 245 ?
Принадлежит ли графику зависимости , заданной равенством , точка А(1 ; 0 ) ?
Пусть теперь рассматриваемому множеству точек принадлежит и граничная точка 3 .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
Есть ли на этом графике точка , абсцисса которой равна -125 ?
Любая другая точка координатной плоскости имеет ординату , отличную от 2 .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
Слово « луч » подсказано геометрией , а открытым его называют потому , что граничная точка 3 ему не принадлежит ( на рисунке такую точку обозначают светлым кружком ) .
Равенству у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой прямой , и никакая другая точка координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
Равенству у -х удовлетворяет любая точка рассматриваемой прямой , и никакая другая точка координатной плоскости этому условию не удовлетворяет .
487 Постройте по точкам график зависимости .
479 Постройте по точкам график зависимости , заданной равенством : а ) у -2х ; б ) у 2-х ; в ) у — х 3 .
Постройте эту прямую по точкам .
Графики зависимостей мы построили по точкам , предварительно заполнив таблицы .
474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую , симметричную точкам прямой .
Составьте таблицу соответственных значений х и у и постройте по точкам график этой зависимости .
475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек , симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы , заданной неравенством .
Из рисунка видно , что расстояние между точками А(-4 ) и Б(3 ) равно 7 .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
3 Запишите формулу расстояния между точками координатной прямой .
Как вы уже знаете , числа можно изображать точками на прямой .
Вычислим расстояние между точками А и Б .
Словами эту формулу читают так : расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности их координат .
Найдите расстояние между точками , отмеченными на координатной прямой .
Представив данные таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки плавной линией , начертите кривую спроса на яблоки .
а ) расстояние между точками с и 5 равно 8 . б ) расстояние между точками а и 3 больше 1 .
Например , если точка А имеет координату , равную 5 ; если же её координата равна -7 , то ОА 7.Вообще если точка А имеет координату х — а , то расстояние между точками А и О равно .
а ) расстояние между точками с и 5 равно 8 . б ) расстояние между точками а и 3 больше 1 .
Запишите формулу , по которой можно вычислить расстояние между этими точками .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
в ) расстояние между точками b и - 9 меньше или равно 10 . г ) расстояние между точками у и -2 больше или равно 12 .
в ) расстояние между точками b и - 9 меньше или равно 10 . г ) расстояние между точками у и -2 больше или равно 12 .
12 Отрезок АВ , длина которого равна 21 см , точками СиD разделён на три части в отношении 2:3:5 .
По этой формуле найдите расстояние между точками .
5.2 Расстояние между точками координатной прямой .
Представив данные соответствующей таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки , постройте « кривую популярности » высококаблучников .
Расстояние между двумя точками координатной прямой .
Расстояние между точками координатной прямой .
228 Отрезок АВ , длина которого 7 см , разделён точками К , М и Р на 4 части в отношении .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Изобразим на координатной прямой числа -2 и 10 и найдём середину отрезка с концами в точках -2 и 10 .
в ) интервал от точки -2 до точки 3 . г ) отрезок с концами в точках -8 и -2 .
454 а ) Найдите координату точки С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
Найдите координату точки К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
а ) замкнутый луч с началом в точке 2 ( сколько существует таких лучей ? ) .
б ) открытый луч с началом в точке -1 ( сколько существует таких лучей ? ) .
И в этой же точке , как говорят математики , парабола касается оси абсцисс .
С точки зрения математики алгебраические преобразования , которыми мы пользуемся , нуждаются в более строгом обосновании .
В какой день недели завод работал лучше всего , в какой — хуже всего с точки зрения качества выпущенных телевизоров ?
Равенство можно прочитать так : расстояние от точки х до точки -2 равно расстоянию от точки х до точки 10 .
3 На координатной прямой отмечены точки А(-1,5 ) .
Равенство можно прочитать так : расстояние от точки х до точки -2 равно расстоянию от точки х до точки 10 .
Найдите координату точки М , если известно , что .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Координата точки на прямой .
На языке алгебры это множество можно задать неравенством x 3 : если в это неравенство вместо переменной х подставить координату любой точки , принадлежащей лучу , получится верное числовое неравенство ; если же вместо х подставить координату точки , не принадлежащей лучу , то получится неверное числовое неравенство .
Любая точка этого интервала лежит правее точки -1 и левее точки 2 .
Рассмотрим множество точек координатной прямой , имеющих координату , большую 3 , а значит , расположенных правее точки 3 .
д ) Четыре точки , никакие три из которых не лежат на одной прямой , соединили попарно отрезками .
2 На координатной прямой даны точки .
Напомним , что координата точки записывается в скобках .
Например , точки А , В , С , D , имеют соответственно координаты это их « адреса » на координатной прямой .
Любая точка этого интервала лежит правее точки -1 и левее точки 2 .
Число а в таком случае называют координатой построенной точки .
С помощью одного знака — точки или тире — можно закодировать 2 буквы .
Из каждой последовательности из двух знаков получаются ещё две приписыванием точки или тире , т .
в ) интервал от точки -2 до точки 3 . г ) отрезок с концами в точках -8 и -2 .
в ) интервал от точки -2 до точки 3 . г ) отрезок с концами в точках -8 и -2 .
На каком расстоянии от точки 0 находится каждая из этих точек ? .
Полученные точки соединены ломаной , которая при увеличении числа экспериментов становится практически горизонтальной прямой .
Равенство можно прочитать так : расстояние от точки х до точки -2 равно расстоянию от точки х до точки 10 .
Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3 .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
А если нам известна только одна из координат точки на плоскости ?
Пусть задана только одна координата точки , например , известно , что у 2 .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Все точки этой полуплоскости имеют абсциссы , большие 3 .
Ни точки прямой х 3 , ни точки левее этой прямой таким свойством не обладают .
Абсцисса точки А равна 5 , абсцисса точки В равна -7 .
Мы видим , что все эти точки лежат на одной прямой , являющейся биссектрисой I и III координатных углов .
Ни точки прямой х 3 , ни точки левее этой прямой таким свойством не обладают .
Абсцисса точки А равна 5 , абсцисса точки В равна -7 .
Здесь мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых отрицательны , т .
Если вы всё сделали аккуратно , то все точки будут лежать на одной прямой .
Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией .
Известно , что точки А(2 ; -1 ) и В ( 5 ; а ) расположены на прямой , перпендикулярной оси ординат .
Отметим соответствующие точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией .
Известно , что точки М(-4 ; 2 ) и N(c ; -3 ) расположены на прямой , параллельной оси ординат .
470 Неравенства х0 и у0 задают первую координатную четверть — все её точки имеют неотрицательные координаты .
Этой прямой принадлежат , например , точки А(2 ; -2 ) , В(1 ; -1 ) , С(-1 ; 1 ) .
Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями координат .
Равенство можно прочитать так : расстояние от точки х до точки -2 равно расстоянию от точки х до точки 10 .
Постройте точки , координаты которых занесены в таблицу .
На прямой положение точки определяется одной координатой , а на плоскости в прямоугольной ( декартовой ) системе координат положение точки определяется двумя её координатами — абсциссой и ординатой .
Прочитайте данное условие , используя слово « расстояние » , например : 6 — расстояние от точки х до 0 равно 6 .
При х 0 график совпадает с известной нам прямой у х. Понятно , что мы берём только те точки этой прямой , абсциссы которых неотрицательны , т .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
Оказывается , в математике есть специальная формула для решения этой задачи : если точки А и Б имеют соответственно координаты .
Если нам известна координата точки А на прямой , то мы знаем и расстояние от этой точки до начала отсчёта , т .
На каждом из них изображена координатная прямая и отмечены точки А и Б. Найдём , например , для случая б расстояние АВ по рисунку и по формуле и сравним результаты .
Если нам известна координата точки А на прямой , то мы знаем и расстояние от этой точки до начала отсчёта , т .
Заметим , что формула справедлива и в том случае , когда точки А и В совпадают .
Найдём координату середины отрезка , концами которого служат точки А(-11,5 ) и Б(3,9 ) .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3 .
Все построенные таким образом точки намечают некоторую линию .
Представив данные соответствующей таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки , постройте « кривую популярности » высококаблучников .
На координатной прямой заданы точки М(т ) и N(n ) .
454 а ) Найдите координату точки С , которая является серединой отрезка с концами в точках А(-6,8 ) и В ( 12,4 ) .
Найдите координату точки К , которая является серединой отрезка с концами в точках М ( 10,6 ) и N(-2,4 ) .
455 Зная координату точки А на прямой и расстояние между точками А и В , найдите координату точки В .
Представив данные таблицы точками на координатной плоскости и соединив полученные точки плавной линией , начертите кривую спроса на яблоки .
Пусть теперь на прямой заданы две произвольные точки А и В. Как , зная их координаты , найти расстояние между ними , т .
Для этого каждая пара чисел таблицы ( число экспериментов — частота ) отмечена точкой на координатной плоскости .
Например , буква Е закодирована точкой , а буква Т — тире .
После первого знака опять можно поставить точку или тире .
Понятно , что ординату , равную 2 , имеет и точка А , и точка В , и точка С , и вообще все точки , лежащие на прямой , параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 2 на оси ординат .
Затем каждой девочке поставили в соответствие точку на координатной плоскости , отложив по горизонтальной оси рост ( в см ) , а по вертикальной — вес ( в кг ) .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от знака а ) откладывается отрезок , равный .
Найдите точку с целой положительной координатой , принадлежащую отрезку .
Слово « луч » подсказано геометрией , а открытым его называют потому , что граничная точка 3 ему не принадлежит ( на рисунке такую точку обозначают светлым кружком ) .
б ) прямую , проходящую через точку ( -5 ; 2 ) и параллельную оси ординат .
б Каким равенством можно задать горизонтальную прямую , проходящую через точку М(а ; 6 ) ? .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
а ) прямую , проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси абсцисс .
5 Каким равенством можно задать вертикальную прямую , проходящую через точку М(-2 ; 6 ) ? .
в третий и четвёртый , — на 0,5 кг больше , чем во второй .
Первый аквариум вмещает воды в 1,5 раза больше , чем третий , а второй — на 5 л больше , чем третий .
На покупку первый дал втрое больше денег , чем второй , а второй дал вчетверо больше , чем третий .
Первый аквариум вмещает воды в 1,5 раза больше , чем третий , а второй — на 5 л больше , чем третий .
Первый член трёхчлена — это а2 , выражение 10а — это третий член — это 52 .
За первый час пути он прошёл х км , за второй — на 20 км меньше , а за третий — путь , в 1,5 раза больший , чем за предыдущий час .
6 ) Первый игрок выигрывает , если выпадает 4 очка , второй — если выпадает 8 очков , третий — если выпадает 12 очков .
Эту операцию проделали и в третий раз .
В первый год она внесла 300 р . , во второй — 500 р . , в третий — 200 р . , в четвёртый — 700 р .
При этом второе место может занять любой из трёх оставшихся , третье — любой из двух оставшихся , а на четвёртом месте останется последний участник .
Всё это примеры событий , первое из которых произойдёт обязательно , второе событие закончится одним из двух результатов , третье событие не может произойти никогда .
В семье первого фермера 4 человека , в семье второго — 6 человек , третьего — 7 человек и в семье четвёртого фермера — 3 человека .
Первое слагаемое в 2 раза больше второго , а второе слагаемое в 3 раза больше третьего .
В последовательности Фибоначчи каждое число , начиная с третьего , равно сумме двух предыдущих .
Первое число в 5 раз меньше второго , а второе в 2 раза меньше третьего .
Составьте выражение для вычисления суммы , которая будет на вашем счёте сразу после третьего взноса .
В первой строке этой таблицы укажите все возможные исходы , во второй — сколько всего экспериментов завершилось данным исходом , а в третьей — частоту этого исхода .
42 В три коробки надо разложить 55 мячей так , чтобы в первой было мячей в 3 раза больше , чем во второй , а в третьей — на 5 мячей больше , чем во второй .
626 Номера телефонов компании « Мобильная связь » состоят из 11 цифр , причём первой цифрой должна быть цифра 8 , второй — цифра 5 , третьей — цифра 0 .
Говорят , что многочлен третьей степени .
278 а ) На первой полке стоят х книг , на второй — на 3 книги больше , а на третьей — на 5 книг меньше , чем на первой .
Есть три группы призывников , про которые известно , что : в первой группе средний рост равен 180 см , во второй группе максимальный рост равен 180 см ; в третьей группе минимальный рост равен 180 см .
Понятно , что для каждого набора первых двух цифр остаётся восемь вариантов выбора третьей цифры .
А можно считать последовательно : после первой покупки у него осталось х - у рублей , после второй рублей , после третьей рублей .
а ) На одной полке было n книг , на другой — в 3 раза больше , чем на первой , а на третьей — на 5 книг меньше , чем на второй .
6 Прочитайте задачу : « В три коробки надо разложить 65 мячей так , чтобы в первой было мячей в 3 раза больше , чем во второй , а в третьей — на 5 мячей меньше , чем в первой .
334 Провод разрезали на четыре части так , что длина первой части , равная х м , в 3 раза меньше второй , на 1,5 м меньше третьей и в 2 раза больше четвёртой .
Деньги , вложенные первой и второй фирмами , относятся как 6 к 4 , а второй и третьей — как 4 к 2 .
Их надо насыпать в три пакета так , чтобы масса семян в первом пакете составила 50 % массы семян во втором , а масса семян во втором пакете составила 50 % массы семян в третьем .
Какова была скорость лыжника на третьем отрезке пути ? .
Во втором ящике слив в 1,5 раза больше , чем в первом , а в третьем — на 2 кг больше , чем в первом .
В первом книжном шкафу а книг , во втором — на 15 книг меньше , а в третьем — на 40 книг больше , чем во втором .
а ) В одном ведре х л воды , в другом - на 3 л больше , а в третьем — на 4 л меньше , чем в первом .
То же сказал парикмахер и второму , и третьему .
а ) Сколько времени длилась стоянка парома между третьим и четвёртым рейсами ? .
И если с первым и третьим событиями всё понятно , то второе представляет интерес .
В то же время сумма , полученная вторым , относится к сумме , полученной третьим , как .
а ) со вторым по величине числом . б ) с третьим по величине числом .
Так , для многочлена к нужному результату приведёт и группировка первого слагаемого с третьим , а второго — с четвёртым .
Найдите число учащихся вторых классов , если в первых и третьих вместе учится 102 ученика .
Найдите число учащихся в каждой параллели , если известно , что во вторых классах на 8 учеников больше , чем в третьих .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
За каждую из них он дал продавцу одно и то же количество купюр , причём за первую газонокосилку он заплатил купюрами достоинством в 1000 р . , за вторую — в 500 р . , за третью — в 100 р .
2 зерна , на третью — ещё в 2 раза больше , т .
Это главное соотношение между расстоянием , скоростью и временем движения позволяет по любым двум из указанных величин найти третью с помощью вычислений .
Всего имеется частей , поэтому на каждую часть приходится Следовательно , первая фирма должна получить , вторая и третья .
б ) Чему равен периметр треугольника , одна сторона которого равна а см , вторая — на 1 см больше первой , а третья — на 2 см меньше второй ? .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
208 Периметр треугольника АВС равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника , если АВ относится к ВС как 3 к 5 , а ВС относится к АС как 2 к 3 .
149 а ) Из формулы площади треугольника выразите . б ) Из формулы объёма пирамиды выразите .
б ) Чему равен периметр треугольника , одна сторона которого равна а см , вторая — на 1 см больше первой , а третья — на 2 см меньше второй ? .
Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
Чему равен периметр этого треугольника ? .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
144 а ) Объём тетраэдра — треугольной пирамиды , все рёбра которой равны , можно вычислить по приближённой формуле , где а — длина ребра .
9 Объём треугольной призмы , в основании которой равнобедренный прямоугольный треугольник , вычисляется по формуле .
923 Разложите на множители трёхчлен , заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов .
а ) Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена .
Посмотрите , нельзя ли воспользоваться какой - нибудь формулой . — если имеется двучлен , то проверьте , нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности ( суммы ) кубов . — если имеется трёхчлен , то проверьте , нельзя ли свернуть его в квадрат двучлена .
Разложите на множители трёхчлен .
846 Разложите на множители трёхчлен .
673 Представьте в виде суммы и разности двух каких - либо двучленов трёхчлен .
Иногда трёхчлен удаётся « свернуть » в квадрат двучлена .
734 Подберите такое k , чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена .
Таким образом , мы видим , что при возведении в квадрат двучлена получается трёхчлен .
Доказанные формулы позволяют записать этот трёхчлен сразу , не выполняя « длинного » умножения .
732 Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена .
Выясним , можно ли представить в виде квадрата двучлена трёхчлен .
Используя формулу квадрата двучлена , возведите в квадрат трёхчлен .
Специальные названия имеют и многочлены , состоящие из двух и трёх членов — двучлен и трёхчлен соответственно .
Преобразуйте в трёхчлен выражение , взяв за образец пример 1 или пример 2 .
Теперь ясно , что данный трёхчлен может быть получен в результате возведения в квадрат двучлена или двучлена Таким образом .
Представьте в виде трёхчлена .
Найдите средний член трёхчлена , равного .
Первый член трёхчлена — это а2 , выражение 10а — это третий член — это 52 .
726 Запишите выражение в виде трёхчлена , пользуясь нужной формулой .
727 Представьте квадрат двучлена в виде трёхчлена .
Можно ли представить в виде квадрата суммы или разности трёхчлена .
Этот многочлен можно представить или в виде суммы трёх двучленов , или в виде суммы двух трёхчленов .
Запишите многочлен , который надо прибавить к трёхчлену чтобы сумма оказалась равной .
5 Каким равенством задаётся биссектриса II и IV координатных углов ? .
4 Каким равенством задаётся биссектриса I и III координатных углов ? .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 20 м от одного из углов и ширина их будет равна 3 м .
в ) величины одного из смежных углов от величины другого . г ) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны .
Значит , прямая — биссектриса II и IV координатных углов — задаётся равенством у -х .
Изображена биссектриса II и IV координатных углов .
Таким образом , равенство у х задаёт на координатной плоскости прямую , которая является биссектрисой I и III координатных углов .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Мы видим , что все эти точки лежат на одной прямой , являющейся биссектрисой I и III координатных углов .
а ) Сигнальная ракета выпущена под углом 45 ° к горизонту с начальной скоростью 30 м / с. Высоту ( в метрах ) , на которой находится ракета , можно при этих условиях вычислить , подставив время полёта ( в секундах ) в многочлен .
Ведь именно по параболе , несколько искажённой сопротивлением воздуха , летит камень , мяч , снаряд и любое другое тело , брошенное под углом к горизонту .
луч , расположенный в I координатном углу .
луч , расположенный во II координатном углу .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
фигура AlBlC1D1El является копией фигуры ABCDE , полученной с помощью копировальной машины , которая уменьшает все размеры в одно и то же число раз .
Можно получить более точные представления об изменении температуры в течение суток , уменьшая шаг таблицы .
Иногда удобно умножать многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый член первого многочлена на второй многочлен .
Иногда удобно умножать многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый член первого многочлена на второй многочлен .
Каждый человек в повседневной жизни фактически пользуется формулой стоимости покупки , умножая цену товара ( т . е .
12 Выполните умножение .
Так , чтобы найти 25 , нужно четыре раза выполнить умножение на 2 .
( Напомним , что возведение в степень — это тоже умножение . )
Выполните умножение по правилу умножения многочленов .
526 Выполните умножение .
683 Выполните умножение .
В предыдущей главе рассматривалось умножение многочленов .
Раскроем скобки , выполнив умножение -5с на 1 - с , и затем приведём подобные члены ( если они окажутся ) .
Это , в частности , умножение двучлена на самого себя , т . е .
Выполните умножение одночлена на многочлен и прокомментируйте свои шаги .
282 Выполните умножение .
541 Выполните умножение .
705 Запишите степень двучлена в виде произведения и выполните умножение .
И нетрудно догадаться , что если в первом случае имеется в виду умножение на 1024 , то во втором — деление на 1024 считают равным .
Выполните умножение .
Выполните таким образом умножение .
Выполните умножение , используя формулу суммы кубов или разности кубов .
Выполняется оно , как и умножение многочлена на одночлен , на основе распределительного свойства .
23 Выполните умножение или деление .
715 Выполните умножение .
2 Выполните умножение .
Выполните умножение и прокомментируйте свои действия .
Для равенств , связанных с умножением , часто удобна интерпретация на « языке площадей » .
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Так как при умножении равных чисел на одно и то же число получаются равные числа , то ad be .
Таким образом , при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают .
При умножении многочленов встречается несколько особых случаев , знание которых очень полезно .
Правило умножения одночлена на многочлен .
Назовите и запишите в буквенном виде основные свойства сложения и умножения чисел .
Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами сложения и умножения , сочетательными законами сложения и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Обозначим двучлен какой - либо одной буквой , например буквой х , и раскроем скобки в произведении по правилу умножения одночлена на многочлен .
321 Запишите равенство , заменив знак « плюс » знаком умножения , а знак « минус » знаком деления — двоеточием или чертой дроби .
Запишите распределительное свойство умножения в том виде , как оно применяется для вынесения общего множителя за скобки .
Будем рассуждать в соответствии с правилом умножения .
Правило умножения многочлена на многочлен .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Какой закон алгебры лежит в основе правила умножения одночлена на многочлен ?
Иногда удобно вести запись умножения в столбик .
Правило умножения комбинаторное .
Выполните умножение по правилу умножения многочленов .
322 Запишите равенство , заменив знак деления знаком « минус » , а знак умножения знаком « плюс » .
Мы рассмотрели разные приёмы , с помощью которых многочлен можно разложить на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , применение формул сокращённого умножения .
Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен .
5 Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к выражению .
Формула разности квадратов фактически является ещё одной формулой сокращённого умножения .
Поэтому их называют формулами сокращённого умножения .
Доказанные формулы позволяют записать этот трёхчлен сразу , не выполняя « длинного » умножения .
743 Выполните действия , используя формулы сокращённого умножения .
Формулы сокращённого умножения .
Проверьте с помощью умножения , верно ли записанное равенство .
С таким применением букв вы познакомились ещё в начальной школе , когда изучали основные свойства сложения и умножения чисел .
Все они составлены из чисел и переменных с помощью одного только действия — умножения .
Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами сложения и умножения , сочетательными законами сложения и умножения , распределительным законом и некоторыми другими .
Свойство умножения переместительное . — — сочетательное .
Сочетательное свойство умножения : для любых а , b и с . 5 .
Распределительное свойство — совместное свойство действий сложения и умножения : для любых а , b и с .
Когда вы закончили разложение на множители , полезно проверить с помощью умножения , получен ли вами верный результат .
Переместительное свойство умножения : для любых а и b. 4 .
6 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению .
Решение этих задач основано на так называемом правиле умножения .
Заметим , что правило умножения распространяется и на выбор более чем двух элементов .
Правило умножения очень полезно при решении многих комбинаторных задач , однако его нельзя применять механически , не задумываясь над смыслом и вопросом задачи .
Если не удаётся применить формулы сокращённого умножения , то попытайтесь воспользоваться способом группировки .
Примените записанную вами формулу сокращённого умножения для преобразования произведения .
1 Назовите и запишите с помощью букв основные свойства сложения и умножения чисел .
2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями .
Вычислить степень числа , или , как говорят , возвести число в степень , можно путём последовательного умножения .
Правило преобразования произведений следует из переместительного и сочетательного законов умножения .
части . можно решить , умножив на 3 обе его .
« Ученик задумал число , умножил его на 4 , из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число .
Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей , т .
Для этого умножим каждое из равных отношений .
Воспользовавшись вторым правилом , умножим обе части уравнения на 3 .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Чтобы умножить 2а на сумму , нужно умножить 2а отдельно на каждое слагаемое этой суммы .
Числовое равенство не нарушится , если обе его части умножить ( разделить ) на одно и то же число , отличное от нуля .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму , нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
все члены ряда умножить на одно и то же положительное число ? .
Умножить полученную сумму на их общую буквенную часть .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
236 Как можно устно умножить какое - нибудь число на 1,5 ?
Чтобы умножить 2а на сумму , нужно умножить 2а отдельно на каждое слагаемое этой суммы .
Рассмотрим , как можно умножить многочлен на многочлен на примере произведения .
Для этого достаточно выполнить обратное преобразование : например , в данном случае мысленно умножить .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Далее находим 47 % от 36 тыс. Так как 47 % — это 0,47 населения города , то 36 000 нужно умножить на 0,47 .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Для вычисления объёма выполненной работы надо производительность умножить на время .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Какое уравнение соответствует условию задачи ? .
Уравнение не имеет корней .
353 Объясните , почему уравнение не имеет корней .
696 Решите уравнение .
Таким образом , уравнение составлено .
Попробуем решить это уравнение .
Учитывая сказанное , мы можем уточнить смысл слов « решить уравнение » : решить уравнение — значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет .
Теперь , чтобы найти неизвестное число х , это уравнение надо решить .
Мы получили более простое уравнение .
342 Составьте уравнение по условию задачи .
Запишите уравнение .
341 Составьте уравнение по условию задачи , опираясь на приведённый ниже план .
340 Придумайте задачу , переводом которой на язык математики является уравнение .
2 Соотнесите каждое уравнение с числом его корней .
9 В какое уравнение нельзя преобразовать уравнение .
9 В какое уравнение нельзя преобразовать уравнение .
Следовательно , наше уравнение можно заменить таким .
11 Решите уравнение относительно х . 12 При каком значении х значения выражений противоположны ? .
Прочитайте два предложения , разъясняющие смысл слов « решить уравнение » .
Учитывая сказанное , мы можем уточнить смысл слов « решить уравнение » : решить уравнение — значит найти все его корни или доказать , что корней у него нет .
297 Решите уравнение .
А вот уравнение вообще не имеет корней , так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
Действительно , какое бы число мы ни подставили в это уравнение вместо переменной х , получится верное числовое равенство .
Вообще уравнение может иметь сколько угодно корней , их даже может быть бесконечно много .
Но уравнение может иметь и более одного корня .
Русское слово « корень » в данном случае — это яркий пример метафоры в математическом языке : вспомните , как при решении текстовой задачи алгебраическим способом уравнение как бы вырастает из неизвестного числа х .
Корнем уравнения называется число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство .
Если в уравнение вместо переменной подставить число , то получится числовое равенство .
Таким образом , уравнения характеризуются двумя очевидными свойствами , легко определяемыми на глаз : во - первых , уравнение — это равенство ; во - вторых , в этом равенстве имеется буква — в одной из его частей или в обеих .
Всякое равенство , содержащее переменную , можно рассматривать как уравнение .
713 Решите уравнение .
11 Решите уравнение .
Решите уравнение .
Можно сказать и так : решить уравнение — значит найти множество его корней .
Составьте уравнение по условию задачи .
10 Дано уравнение , где а — некоторое число , х — переменная .
Чтобы решить уравнение , мы будем преобразовывать его в другое уравнение более простого вида , которое имеет то же множество корней , что и исходное .
3 Решите уравнение .
Составьте уравнение по условию этой задачи , обозначив буквой х время движения Ивана .
425 Имеет ли корни уравнение .
Составьте уравнение по условию задачи , взяв за образец пример 1 : « Автомобиль и автобус , находящиеся на расстоянии 30 км друг от друга , одновременно начали движение навстречу друг другу .
Решим уравнение Равенство нулю произведения обращается в нуль при .
Наше уравнение распалось на два более простых уравнения .
Таким образом , уравнение имеет два корня .
18 Решите уравнение .
Решите данное уравнение .
По условию разобранной задачи составьте другое уравнение , обозначив .
Решим это уравнение .
Если , то уравнение имеет .
Составим уравнение .
Скажите , каким правилом преобразования уравнений надо воспользоваться , чтобы решить уравнение , и решите его .
Решите уравнение и прокомментируйте каждый шаг , ссылаясь на нужное правило преобразования уравнений .
Сделаем рисунок , который поможет нам составить уравнение .
Чтобы решить уравнение , мы будем преобразовывать его в другое уравнение более простого вида , которое имеет то же множество корней , что и исходное .
374 Решите уравнение .
Решите уравнение , воспользовавшись разобранным способом .
Если буквой х обозначить время движения Виктора ( в мин ) , то получится более простое уравнение .
Решите это уравнение .
912 Решите уравнение относительно х . 8.7 Несколько более сложных примеров .
Составить по условию задачи наиболее простое уравнение помогают некоторые практические правила .
379 Решите уравнение относительно х 380 Выразите из равенства каждую переменную через другие .
По образцу примера 3 сделайте рисунок , моделирующий условие задачи , и составьте уравнение .
Решите задачу ( чтобы легче было составить уравнение , сделайте рисунок .
906 Найдите корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
Решите задачу , составив уравнение двумя способами .
выполнив соответствующую подстановку , решите уравнение .
Сравните получившееся уравнение и исходное .
721 Решите уравнение .
Итак , мы разложили многочлен на множители и можем записать данное уравнение в виде .
717 Решите уравнение .
Что значит « решить уравнение » ? .
Решим уравнение .
Мы сможем решить это уравнение , если разложим его левую часть на множители .
Заменив нулём сумму выражений , получим уравнение .
Получим уравнение .
17 Решите уравнение .
737 Решите уравнение .
4 Решите уравнение .
Таким образом , уравнение ; имеет корень , равный 2 .
915 Решите уравнение .
761 Решите задачу ( переформируйте условие так , чтобы было легче составить уравнение ) .
Однако при переводе условия задачи на математический язык может получиться уравнение , алгоритм решения которого вы ещё не знаете или его вообще нет .
Таким образом , уравнение имеет два корня : -1 и 1 .
4 Какое уравнение называется линейным ?
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
Это равенство , как вы уже знаете , называют уравнением .
Отсюда понятно правило : в уравнении можно перенести слагаемое из одной части в другую , изменив при этом его знак на противоположный .
на языке уравнении .
Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи , если буквой х в нём обозначено время движения туриста в часах ? .
Рассмотрим некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений .
Решение уравнений .
Заметим , что условие « на втором складе угля стало на 620 т меньше , чем на первом » можно было бы перевести на язык уравнений так .
При составлении уравнений по условию задачи часто используют рисунки , схемы , которые помогают проанализировать условие задачи , организовать её данные .
Переводя условия задач на язык математики , решая задачи алгебраическим способом , с помощью уравнений , вы увидите , как один и тот же приём позволяет решать самые разные , внешне совсем не похожие одна на другую задачи .
7.6 Решение задач с помощью уравнений .
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью целых чисел .
4.3 Решение уравнений .
373 Придумайте несколько уравнений , корнем каждого из которых .
Покажем , как это свойство произведения используется для решения уравнений .
Правила преобразования уравнений являются следствиями очевидных свойств числовых равенств .
Рассмотрим два основных правила преобразования уравнений на примере решения уравнения .
4.5 Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений . ( Для тех , кому интересно ) .
2 Сформулируйте два основных правила преобразования уравнений .
Правила преобразования уравнений . — раскрытия скобок .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Заметим , что первым приём преобразования уравнений описал знаменитый арабский математик Мухаммед аль - Хорезми , живший в Хорезме и в Багдаде на рубеже IX и X вв .
Алгебра , которую вы теперь изучаете , возникла и развивалась много веков тому назад именно как наука о решении уравнений .
Рассмотрим примеры решения уравнений .
8.6 Решение уравнений с помощью разложения на множители .
4.4 Решение задач с помощью уравнений .
Каждое из уравнений , которые мы решали , в результате преобразований приводилось к виду .
Такие рассуждения могут оказаться очень непростыми , и это ограничивает применение метода подбора для решения уравнений .
Решение уравнений и задач .
Скажите , каким правилом преобразования уравнений надо воспользоваться , чтобы решить уравнение , и решите его .
Решите уравнение и прокомментируйте каждый шаг , ссылаясь на нужное правило преобразования уравнений .
Мы пришли к уравнению .
512 Изобразите на координатной прямой множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству .
346 Восстановите условие задачи « на задуманное число » по следующему уравнению ( буквой обозначено задуманное число ) .
а ) Какое свойство произведения используется для решения уравнения ( сформулируйте это свойство ) ?
906 Найдите корни уравнения подбором , а затем решите это уравнение , применив разложение на множители .
Составьте разные уравнения по условию задачи , обозначая буквой различные величины .
Найдите корни уравнения .
Является ли корнем уравнения .
Примените приём решения уравнения , рассмотренный в примере 2 , для нахождения корней уравнения .
Примените приём решения уравнения , рассмотренный в примере 2 , для нахождения корней уравнения .
18 Найдите корни уравнения .
Найдём из этого уравнения слагаемое 4х .
С чего начинают составление уравнения по условию задачи ? .
Найдите а , если известно , что корень уравнения равен .
Решим с помощью составления уравнения такую задачу .
Приведите свой пример уравнения , решаемого на основе равенства нулю произведения .
Разложение на множители - это не только наука , но и искусство , овладев которым можно решить самые разные , в том числе достаточно хитрые , уравнения , в чём вы сможете убедиться не только в этой главе , но и во всём дальнейшем курсе математики .
Наше уравнение распалось на два более простых уравнения .
Разложим левую часть уравнения на множители , а затем воспользуемся приёмом , рассмотренным в предыдущем примере .
5 Каким числом является корень уравнения .
910 Найдите корни уравнения ( для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом , рассмотренным в упражнении .
г ) число -2 является корнем уравнения .
Укажите ещё несколько корней этого уравнения .
Разделим обе части уравнения на 2 .
Корень уравнения — число 3 .
Корнем уравнения называется число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство .
416 Один из корней уравнения натуральный .
Такие значения переменной , как вы знаете , называют корнями уравнения .
Решение уравнения — это поиск тех значений переменной , при которых получается верное равенство .
Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей , т .
Вернитесь к примерам : у нас получались уравнения .
Таким образом , уравнения характеризуются двумя очевидными свойствами , легко определяемыми на глаз : во - первых , уравнение — это равенство ; во - вторых , в этом равенстве имеется буква — в одной из его частей или в обеих .
Найдите корень уравнения .
содержится решение уравнения , которое на языке современной математики можно записать так .
1 Что называется корнем уравнения ?
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося уравнения было целое число .
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
Например , равенства это уравнения .
350 Какие из чисел 1 , 2 , 0 , — 1 , -2 являются корнями уравнения .
Однако уравнения в математике рассматривают не только в связи с текстовыми задачами .
Например , у уравнения х2 9 два корня — это числа — 3 и 3 .
349 Является ли корнем уравнения число .
Множество корней этого уравнения не изменится , если его заменить уравнением , которое получается путём прибавления к обеим частям исходного уравнения выражения 3х .
Соберём члены уравнения , содержащие переменную , в одной части , а числа в другой .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
число — 3 является корнем уравнения .
413 Найдите натуральный корень уравнения .
Продолжим решение уравнения .
При этом множество корней уравнения не изменится .
Разделив обе части уравнения на 5 , получим .
В результате проведённого преобразования слагаемое ; оказалось в другой части уравнения , при этом его знак изменился с « минуса » на « плюс » .
а ) число 4 является корнем уравнения .
Изучая предыдущий пункт , вы составляли уравнения по условиям задач .
Перенося члены уравнения из одной части в другую , мы в одной части их « уничтожаем » , но зато в другой « восстанавливаем » , меняя при этом их знаки на противоположные .
в ) число 4 является корнем уравнения .
Воспользовавшись первым правилом , соберём числа в правой части уравнения .
Воспользовавшись вторым правилом , умножим обе части уравнения на 3 .
Что называется корнем уравнения ?
А вот уравнение вообще не имеет корней , так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 меньше его правой части .
3 Опишите по шагам решение уравнения .
Корень уравнения — число 15 .
Например , корнем уравнения , в обеих частях которого стоят равные выражения , является любое число .
Определите , является ли число -2 корнем данного уравнения ; обоснуйте ответ .
Решите задачу с помощью уравнения .
414 Найдите все целые корни уравнения .
354 Проверьте , что число 10 является корнем уравнения а число — 10 его корнем не является .
1 Корнями какого уравнения являются числа 2 и -1 ? .
Составьте разные уравнения по условию задачи , обозначив буквой .
Перевести условие задачи на язык математики можно по - разному , поэтому и уравнения получаются разные .
355 Укажите множество корней уравнения .
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с целыми числами , а с дробями .
415 Найдите целые корни уравнения .
1 Какие из чисел -3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3 являются корнями уравнения .
343 Составьте разные уравнения по условию задачи .
Рассмотрим два основных правила преобразования уравнений на примере решения уравнения .
Корень уравнения .
Что представляет собой множество корней уравнения .
4.2 Корни уравнения .
а ) корнем уравнения является любое число .
Решите задачу , обозначив буквой удобную для составления уравнения величину .
Приведите пример линейного уравнения .
Напротив , числовые равенства уравнениями не являются — в них нет переменной .
И выражения тоже , конечно , уравнениями не являются , потому что они не являются равенствами .
В рассмотренных линейных уравнениях коэффициент а при переменной отличен от нуля .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле , где h — высота усечённой пирамиды .
606 Сколько существует анаграмм слова : а ) « факториал » ; б ) « перестановка » ; в ) « комбинаторика » ? .
Используя термин « факториал » , ответьте , сколькими способами могут распределиться места между четырьмя участниками турнира ?
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
Может быть , именно из - за быстрого роста факториалов восхищённый изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак .
Вы можете понаблюдать за их изменением , рассмотрев таблицу , в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10 .
Найдите отношение периметров этих фигур .
Фигура AlBlC1D1El является копией фигуры ABCDE , полученной с помощью копировальной машины , которая уменьшает все размеры в одно и то же число раз .
выберите те , с помощью которых можно найти площадь фигуры .
271 Составьте формулу для вычисления площади S фигуры .
289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры сначала сложением площадей прямоугольников , а затем вычитанием .
12 Какое из выражений можно использовать для вычисления площади фигуры .
240 Найдите площадь фигуры ( рис .
фигура AlBlC1D1El является копией фигуры ABCDE , полученной с помощью копировальной машины , которая уменьшает все размеры в одно и то же число раз .
280 Составьте два выражения для вычисления площади фигуры и покажите , как одно из этих выражений можно преобразовать в другое .
252 Чему равен периметр фигуры .
Придумайте свой арифметический фокус и покажите с помощью алгебры , на чём он основан .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Учитель показал учащимся арифметический фокус .
Какую из этих характеристик Лена предпочла бы использовать при выставлении четвертной отметки ?
Дайте словесные характеристики события А .
В дробях нередко представляют и различные статистические характеристики , с которыми вы также познакомитесь в этой главе .
6 Какие статистические характеристики вы знаете ?
Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
446 Назовите наименьшее и наибольшее целое число , принадлежащее указанному промежутку ( если такое существует ): а ) интервалу , б ) отрезку .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося уравнения было целое число .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося уравнения было целое число .
446 Назовите наименьшее и наибольшее целое число , принадлежащее указанному промежутку ( если такое существует ): а ) интервалу , б ) отрезку .
Найдите точку с целой положительной координатой , принадлежащую отрезку .
Сколько точек имеют целую неотрицательную координату ? .
414 Найдите все целые корни уравнения .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
415 Найдите целые корни уравнения .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Существует целый ряд приёмов для разложения многочленов на множители .
Целым отрицательным .
Целым положительным .
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с целыми числами , а с дробями .
Вычисления с целыми числами проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от дробей .
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с целыми числами , а с дробями .
Вычисления с целыми числами проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от дробей .
445 Сколько целых чисел принадлежит а ) интервалу ; б ) отрезку .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2 ?
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
Результаты округляйте до целых .
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью целых чисел .
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью целых чисел .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2 ?
445 Сколько целых чисел принадлежит а ) интервалу ; б ) отрезку .
314 В центре городского района планировали разбить сквер прямоугольной формы размером .
148 Выразите высоту h из формулы а ) площади параллелограмма , б ) объёма цилиндра .
Найдите объём пирамиды , если а 10 см , h 16 см. ( Ответ округлите до единиц . ) б ) Объём цилиндра , диаметр основания которого равен его высоте , можно приближённо вычислить по формуле .
Найдите объём цилиндра при .
Если модули двух чисел равны , то эти числа либо равны , либо противоположны .
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначают n ; читают : « я факториал » .
Вычислите сумму кубов натуральных чисел для .
110 Какое из чисел : 2100 ; 2101 ; 2102 ; 2103 — оканчивается той же цифрой , что и число 210 ? .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Поговорим ещё раз о делимости натуральных чисел .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
Приведите ещё примеры таких чисел .
649 Сумму кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
Точно так же обстоит дело и для любых натуральных чисел .
4 ) если произведение двух чисел не равно нулю , то ни одно из этих чисел не равно нулю .
266 Чему равна сумма 15 последовательных натуральных чисел , первое из которых равно n ? .
Такое множество точек ( как и соответствующее множество чисел ) называют замкнутым лучом .
3 ) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю , то произведение этих чисел не равно нулю .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
Найдите среднее арифметическое всех этих чисел .
С таким применением букв вы познакомились ещё в начальной школе , когда изучали основные свойства сложения и умножения чисел .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Теория многочленов в математике развивалась в связи с решением уравнений и делимостью целых чисел .
В буквенном виде это свойство записывается так : для любых чисел а и b. 2 .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Если среди чисел , с которыми требуется выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби , то их надо привести к какой - нибудь одной из этих форм .
Сочетательное свойство сложения , согласно которому при сложении трёх чисел можно группировать как первые два слагаемых , так и последние два : для любых чисел а , b и с .
Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел .
1 Какое из данных чисел наименьшее ? .
14 Среди чисел 6 , 8 , 10 и 14 выберите такое , при котором выполняется неравенство .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
в ) сумму всех трёхзначных чисел , которые могут быть записаны цифрами а , b и с так , чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Одно из чисел втрое больше второго , а разность этих чисел равна 62 .
Одно из чисел втрое больше второго , а разность этих чисел равна 62 .
Найдите большее из этих чисел .
Сочетательное свойство сложения , согласно которому при сложении трёх чисел можно группировать как первые два слагаемых , так и последние два : для любых чисел а , b и с .
4 ) если произведение двух чисел не равно нулю , то ни одно из этих чисел не равно нулю .
141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15 , а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14 .
Назовите и запишите в буквенном виде основные свойства сложения и умножения чисел .
591 Сколько существует пятизначных чисел , которые делятся на 2 ?
3 ) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю , то произведение этих чисел не равно нулю .
Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел ?
Сумма противоположных чисел равна С .
679 а ) Докажите , что сумма двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 11 . б ) Докажите , что разность двузначных чисел , записанных одними и теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
2 ) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю , то их произведение равно нулю .
1 ) если произведение двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Произведение двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Произведение двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае , когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило вычитания из числа суммы двух чисел : для любых чисел а , b , с .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 8 чисел , равно 4 .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило вычитания из числа суммы двух чисел : для любых чисел а , b , с .
244 Запишите с помощью букв и скобок несколько разных способов вычисления произведения четырёх чисел .
1 ) если произведение двух чисел равно нулю , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 4 .
7 Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких чисел .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
Найдите сумму этих чисел .
В ряду чисел 2 , 7 , 10 , х , 18 , 19 , 27 одно число неизвестно .
Легко понять , что допустимыми значениями букв а и b для выражения — являются любые пары чисел , при которых , т .
140 а ) Среднее арифметическое ряда , состоящего из 10 чисел , равно 5 .
590 Сколько существует четырёхзначных чисел , составленных из нечётных цифр ?
Найдите каждое из чисел .
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении положительного числа и отрицательного ; двух отрицательных чисел .
Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для .
633 Сколько существует десятизначных чисел , в записи которых имеются хотя бы две одинаковые цифры ? .
632 Сколько существует четырёхзначных чисел , в записи которых встречается хотя бы одна чётная цифра ? .
Значит , нужно уметь сравнивать числа , записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди чисел , с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби .
Мы дважды воспользовались сочетательным законом : в первый раз мы применили его для чисел , а во второй раз — для чисел .
Мы дважды воспользовались сочетательным законом : в первый раз мы применили его для чисел , а во второй раз — для чисел .
Множество точек , как и соответствующее ему множество чисел , называют интервалом .
Сколько среди них чётных чисел и сколько нечётных ? .
627 Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , используя в числе каждую цифру только один раз ?
Число 4,4 называют средним арифметическим исходных чисел .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
Сумма квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество .
625 Сколько можно составить пятизначных чисел , меньших 7000 , из цифр 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ( без повторения цифр ) ? .
443 Какие из чисел принадлежат промежутку .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
445 Сколько целых чисел принадлежит а ) интервалу ; б ) отрезку .
Сколько таких чисел вы нашли в каждом случае ? .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так , чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию : а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
С использованием формул квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора .
Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел , в нашем случае отметок за четверть , но иногда полезно рассматривать и другие средние .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
793 Докажите , что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5 .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
Читается эта формула так , разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы .
сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности .
Так же называют и соответствующее множество чисел .
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
Все они составлены из чисел и переменных с помощью одного только действия — умножения .
Вы уже знаете , что есть два способа записи дробных чисел - в виде обыкновенных и в виде десятичных дробей .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Какие из чисел являются отрицательными ? .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Что называется средним арифметическим нескольких чисел ?
1 Какие из чисел -3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3 являются корнями уравнения .
1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел ? .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Сумма квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
1 Назовите и запишите с помощью букв основные свойства сложения и умножения чисел .
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
а ) сумма квадратов чисел -3 и 4 ; квадрат суммы чисел -3 и 4 . б ) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3 ; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3 .
разделить каждое из входящих в него чисел на их общий делитель — число 2 .
Докажите , что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 3 .
Докажите , что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 4 .
а ) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел .
а ) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой а , следующее за ним — буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел .
7 Сколько существует трёхзначных чисел , составленных из нечётных цифр ( все цифры в записи числа различны ) ? .
а ) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел .
в ) разность кубов чисел 2 и 3 ; куб разности чисел 2 и 3 . г ) куб суммы чисел 0,3 и -0,1 ; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1 .
Перебрав все возможные пары делителей , нетрудно увидеть , что условию удовлетворяет только пара чисел 11 и 13 .
Если же среди чисел есть отрицательные , то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных чисел .
Сумма трёх чисел равна 192 .
г ) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное .
а ) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
а ) Сколько всего таких чисел ? .
642 Сумму последовательных натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
350 Какие из чисел 1 , 2 , 0 , — 1 , -2 являются корнями уравнения .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
Выясните , делится ли сумма : любых двух последовательных натуральных чисел на 2 ; любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 ; любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4 ; любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 ; любых шести последовательных натуральных чисел на 6 .
291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел .
в ) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
Используя формулу , вычислите сумму последовательных натуральных чисел : а ) от 1 до 20 ; б ) от 1 до 100 .
сумма двух нечётных чисел есть число чётное .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
Если же среди чисел есть отрицательные , то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных чисел .
781 На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2 ?
б ) Сколько таких чисел начинается с цифры 1 ? .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так , чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию : а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
Покажите разные способы сравнения чисел 0,35 и — ( пример 2 ) .
Что называют средним арифметическим ряда чисел ?
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Найдите среднее арифметическое ряда чисел : а ) 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ; б ) 4 , 3 , 4 , 3 .
786 Каждое из чисел а и b при делении на 3 даёт в остатке 1 .
648 Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле .
Так как при умножении равных чисел на одно и то же число получаются равные числа , то ad be .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
605 Сколько пятизначных чисел ( без повторения цифр ) можно составить из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ? .
Вы можете понаблюдать за их изменением , рассмотрев таблицу , в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10 .
783 Найдите остаток от деления на 10 суммы чисел а , b и с , если известно , что .
Для этого каждая пара чисел таблицы ( число экспериментов — частота ) отмечена точкой на координатной плоскости .
Практический смысл этой формулы состоит в том , что для нахождения площади прямоугольника достаточно измерить его стороны и перемножить получившиеся числа .
Сравните числа , используя перекрёстное правило .
Составьте формулу , выражающую зависимость числа ступенек N от этажа n.
Сравним числа .
Сравните числа , используя любой удобный вам способ .
2 Сравните числа , используя приём сравнения с « промежуточным » числом .
а ) зависимость числа т одинаковых учебников , размещаемых на полке длиной 90 см , от толщины учебника I ( в см ) .
а ) сумму двузначного числа числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
Например , так как любое положительное число больше любого отрицательного числа ; так как .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа , то n слагаемых , n множителей .
9 Расположите в порядке возрастания числа .
При вычислениях по формулам вместо букв можно подставлять разные числа .
Так как при умножении равных чисел на одно и то же число получаются равные числа , то ad be .
8 Сравните числа , используя калькулятор .
Сравните , используя калькулятор , числа .
Расположите в порядке убывания числа .
б ) разность трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
Вспомните , каким правилом пользуются при сравнении положительного числа и отрицательного ; двух отрицательных чисел .
176 а ) В связи с увеличением числа учащихся школьная столовая стала закупать в 1,2 раза больше муки для пирожков .
Даны числа .
6 Сравните числа .
В общем случае : если а и b — любые числа и n — любое натуральное число .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
б ) разность трёхзначного числа и числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке .
Пусть даны дроби и где a , b , с , d — натуральные числа .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Значит , нужно уметь сравнивать числа , записанные в любой из этих форм , уметь проводить вычисления , если среди чисел , с которыми надо выполнить арифметические действия , есть и обыкновенные , и десятичные дроби .
Это свойство справедливо для произведения любого числа множителей .
10 Расположите в порядке убывания числа .
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
В общем случае : если а и b — любые числа , причём , и n — любое натуральное число ,
56 Используя степени числа 10 , запишите , сколько в 1 км метров ; сантиметров ; миллиметров .
Поданные заявления составили 160 % от этого числа .
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
Какое число — положительное или отрицательное - может получиться при возведении в степень отрицательного числа ?
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
Например , если ученик получил по русскому языку отметки « 4 » , « 2 » , « 3 » , « 5 » , то каждая отметка встречается в этом ряду только один раз и среди них нет числа , встречающегося чаще других .
961 Используя данные таблицы 2 , представьте графически зависимость частоты появления результата « остриём вверх » от числа проведённых экспериментов .
в виде степени числа 2 . б ) в виде степени числа 3 . в ) в виде степени числа 5 . г ) в виде степени числа 0,1 . 617 Выполните действия .
разность общего числа проведённых экспериментов и числа экспериментов , в которых это событие произошло .
б ) После какого числа испытаний частота события « остриём вниз » стала равна 0,45 ? .
В экспериментах со случайными исходами удивительно то , что , хотя результат каждого отдельного испытания зависит от случая , при проведении большого числа таких испытаний выявляются отчётливые закономерности .
Полученные точки соединены ломаной , которая при увеличении числа экспериментов становится практически горизонтальной прямой .
разность общего числа проведённых экспериментов и числа экспериментов , в которых это событие произошло .
отношение числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу проведённых экспериментов .
отношение общего числа проведённых экспериментов к числу экспериментов , в которых это событие произошло .
Построен график зависимости частоты результата « остриём вниз » от числа экспериментов .
Решите задачу , представив данные с помощью степени числа 10 .
Частота события « остриём вниз » стабилизируется около числа 0,45 , а частота события « остриём вверх » — около числа 0,55 .
Нетрудно заметить , что серии экспериментов , проведённые в разные эпохи и в разных странах , дают похожий результат : при многократном подбрасывании монеты частота выпадания орла стабилизируется около числа 0,5 .
а ) Сколько студентов может быть принято на этот факультет , если число мест составляет 75 % от числа поданных заявлений ? .
57 Используя степени числа 10 , выразите в метрах 1 см ; 1 мм ; 1 мк ( 1 мк — один микрон , тысячная доля миллиметра ) .
7 Сколько существует трёхзначных чисел , составленных из нечётных цифр ( все цифры в записи числа различны ) ? .
54 Представьте в виде степени с основанием 10 следующие числа .
Запишите эту величину с помощью степени числа 10 .
К одночленам стандартного вида относятся также числа , переменные , степени переменных .
Выразите скорость света в метрах в секунду и запишите результат с помощью степени числа 10 .
59 Запишите величину , указанную в предложении , с помощью натурального числа или десятичной дроби .
а ) вероятность выпадания чётного числа очков .
62 Расположите в порядке возрастания числа .
63 Сравните числа а и а2 , если известно , что .
7 Запишите формулу для подсчёта числа перестановок .
Запишите ответ , используя степень числа 2 , и вычислите значение получившегося выражения .
Так , при проведении большого числа экспериментов с кнопкой частота появления случайного события С : остриём вниз — стабилизируется около числа 0,45 .
Так , при проведении большого числа экспериментов с кнопкой частота появления случайного события С : остриём вниз — стабилизируется около числа 0,45 .
Пользуясь этой таблицей , вычислите . 2 ) Составьте несколько выражений , значения которых можно найти , пользуясь таблицей степеней числа 3 .
Сколько мест на факультете , если количество заявлений составляет 75 % от числа мест ? .
11 Сравните числа .
Частота события « остриём вниз » стабилизируется около числа 0,45 , а частота события « остриём вверх » — около числа 0,55 .
604 Из цифр 1 , 2 , 3 , 4 , 5 составляются пятизначные числа , в которых все цифры разные .
Вычислить степень числа , или , как говорят , возвести число в степень , можно путём последовательного умножения .
136 Все числа ряда равны между собой .
Считают , что первая степень любого числа равна самому числу .
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом .
138 Придумайте четыре разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало .
33 На координатной прямой отмечены числа а , b и с Какое из двух утверждений верно ? .
32 На координатной прямой отмечены числа а , b и с Какое из утверждений неверно ? .
На координатной прямой отмечены числа а и b. Какое из двух утверждений верно ? .
Подставьте вместо букв заданные числа и найдите значение выражения .
Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так , чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
1 Сравните числа .
2 Расположите в порядке возрастания числа .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа .
124 Расположите в порядке возрастания числа .
При увеличении числа экспериментов частота каждого события выравнивается , или , как говорят , стабилизируется .
Например . Обратите внимание : степени числа 2 с увеличением показателя возрастают очень быстро .
Равновероятным является выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании симметричного игрального кубика , орла или решки при бросании правильной монеты .
Частота показывает , какую часть от общего числа проведённых экспериментов составляют эксперименты , завершившиеся интересующим нас результатом .
Частотой случайного события в серии экспериментов называют отношение числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу экспериментов .
603 Из нечётных цифр составляют всевозможные пятизначные числа , не содержащие одинаковых цифр .
С помощью символа n принято записывать формулу для подсчёта числа перестановок .
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число , так и отрицательное .
Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра числа "2 "" , где n — натуральное число , с изменением показателя n."
Значение выражения n можно найти для любого натурального числа n ( при этом считают , что . Факториалы растут удивительно быстро .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
Вообще все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп : числа , делящиеся на 4 , числа , дающие при делении на 4 остаток , равный 1 , остаток , равный 2 , или остаток , равный 3 .
108 Какими цифрами могут оканчиваться числа , получающиеся при возведении в степень числа 3 ?
108 Какими цифрами могут оканчиваться числа , получающиеся при возведении в степень числа 3 ?
109 Какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7 ?
111 Докажите , что числа оканчиваются одной и той же цифрой .
Укажите ещё какую - нибудь степень числа 3 , которая оканчивается той же цифрой .
113 Сформулируйте условие , при котором числа 4т и 4 ” , где . оканчиваются одной и той же цифрой .
И последняя цифра числа 2n определяется тем , в какую из этих групп попадает показатель n.
Чтобы убедиться в том , что другого такого числа нет , надо провести дополнительные рассуждения .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
810 В классе число отсутствующих учеников составляет пятую часть от числа присутствующих .
В самом деле , числа а — b и b — а противоположны и их модули равны .
790 Найдите все натуральные числа , которые .
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
788 Какой вид имеют числа , о которых известно , что они не делятся ни на 2 , ни на 3 ? .
787 Докажите , что если числа а и n не делятся на 3 , то либо их сумма , либо их разность делится на 3 .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
Приведите пример числа каждого вида .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
Поэтому множество целых неотрицательных чисел делится на три класса : числа вида 3n , числа вида , числа вида .
а ) трёх последовательных натуральных чисел , начиная с числа n . б ) пяти последовательных натуральных чисел , начиная с n . в ) трёх последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n . г ) пяти последовательных натуральных чисел , среднее из которых равно n .
Вообще , если абсцисса и ордината точки равны , то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов , и , наоборот , у всякой точки , принадлежащей этой биссектрисе , абсцисса и ордината — равные числа .
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
Ну хотя бы потому , что и на « языке денег » , и на « языке расстояний » , и на « языке площадей » мы всегда рассматриваем только положительные числа , а часто даже и натуральные .
У каждой из этих точек абсцисса и ордината — противоположные числа .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
Как вы знаете , квадрат любого числа положителен или равен нулю , т .
Модуль положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6 .
Это правило можно применять для преобразования любых выражений — содержащих и буквы , и числа .
При изучении предыдущего пункта вам приходилось записывать с помощью букв правила , по которым можно выполнять вычисления , например , правило вычитания из числа суммы двух чисел : для любых чисел а , b , с .
Если вы знаете , что такое модуль числа и как с ним работать , то вам это будет нетрудно .
некоторые натуральные числа .
Чтобы из числа вычесть разность , можно сначала вычесть из него уменьшаемое и затем к полученному результату прибавить вычитаемое .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Таким образом , независимо от того , какие конкретные числа берутся , мы пользуемся одним и тем же приёмом : чтобы вычесть из некоторого числа сумму двух чисел , вычитаем из него первое слагаемое и из полученного результата вычитаем второе слагаемое .
Изобразим на координатной прямой числа -2 и 10 и найдём середину отрезка с концами в точках -2 и 10 .
Если модули двух чисел равны , то эти числа либо равны , либо противоположны .
Переместительное свойство сложения , которое утверждает , что два числа можно складывать в любом порядке .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
323 Как известно , перемножить непосредственно можно только два числа .
Такие два натуральных числа нетрудно подобрать — это 9 и 10 .
У числа 143 всего четыре натуральных делителя : 1 , 11 , 13 , 143 .
Остаётся найти все натуральные делители числа 143 и выбрать такие два делителя , один из которых на 2 больше другого .
Поэтому числа — это делители числа 143 .
Поэтому числа — это делители числа 143 .
Кроме того , тоже натуральные числа , поскольку каждое из них — это количество компьютеров .
б ) Существуют ли три последовательных нечётных числа , сумма которых равна 69 ? .
400 а ) Существуют ли три последовательных чётных числа , сумма которых равна 74 ? .
Найдите эти числа , если одно из них на 66 больше другого .
388 а ) Одно число составляет другого числа , а их сумма равна 108 .
387 а ) Ученик прочитал 144 страницы , что составляет 36 % числа всех страниц в книге .
Найдите эти числа .
Докажем , что сумма любого натурального числа и его квадрата делится на 2 .
Тогда сумма этого числа и его квадрата будет .
После того как из класса вышел один ученик , число отсутствующих стало равно четверти числа присутствующих .
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных натуральных числа и одно из них обязательно является чётным , т .
Соберём члены уравнения , содержащие переменную , в одной части , а числа в другой .
Воспользовавшись первым правилом , соберём числа в правой части уравнения .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6 .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число .
Например , у уравнения х2 9 два корня — это числа — 3 и 3 .
Русское слово « корень » в данном случае — это яркий пример метафоры в математическом языке : вспомните , как при решении текстовой задачи алгебраическим способом уравнение как бы вырастает из неизвестного числа х .
Из задуманного числа вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
Из задуманного числа вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
1 Корнями какого уравнения являются числа 2 и -1 ? .
1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел ? .
Укажите 10 делителей числа , равного .
Как вы уже знаете , числа можно изображать точками на прямой .
Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том , что произведение крайних из них равно квадрату среднего , уменьшенному на единицу .
Уравнение вида , где а и b — числа , ах — переменная , называют линейным .
751 Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Докажите , что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
217 Известно , что 20 % числа а равны 30 % числа b.
Точно так же и в общем случае , если а — любое число , не равное 0 , и т и n — любые натуральные числа , причём , то .
Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1 , называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа ,
Дана таблица степеней числа 3 .
Степенью числа а с показателем , равным 1 , называют само число а .
217 Известно , что 20 % числа а равны 30 % числа b.
Составьте четыре пропорции , членами которых являются те же числа х , у , z и v . 216 Известно , что .
Площадь всего участка составляет 100 % , и эти 100 % нужно разделить пропорционально числам 4 , 6 , 7 и 3 , т .
Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм , а его стороны пропорциональны числам 2 , 4 и 5 .
Распределите 70 билетов между тремя классами пропорционально числам 2 , 3 и 5 .
Разделите число х на части , пропорциональные числам а , b , с .
7 Распределите 3 тыс. рублей пропорционально числам 4 , 3 и 8 .
Такая алгебра , оперировавшая не числами , а отрезками , площадями , объёмами , т . е .
Точно так же можно поступать и с другими числами .
Однако если через х обозначить количество угля , которое оказалось , например , на первом складе , то дальше при решении уравнения придётся иметь дело не с целыми числами , а с дробями .
Вычисления с целыми числами проще , чем с дробями , поэтому прежде всего избавимся от дробей .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
Преобразования выражений выполняют на основе свойств действий над числами .
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37 ?
Арифметика — наука о числах , основные её задачи связаны с вычислением значений числовых выражений .
96 На диаграмме представлены данные о числе болельщиков , посетивших футбольные матчи на стадионе « Динамо » в Москве за месяц .
Для обратного перехода — от процентов к десятичной дроби — запятую переносят в противоположном направлении : если часть величины , заданную в процентах , нужно выразить десятичной дробью , то можно в числе , стоящем перед знаком % , перенести запятую на два знака влево .
в ) сумму всех трёхзначных чисел , которые могут быть записаны цифрами а , b и с так , чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз .
627 Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , используя в числе каждую цифру только один раз ?
Разложение на множители - это не только наука , но и искусство , овладев которым можно решить самые разные , в том числе достаточно хитрые , уравнения , в чём вы сможете убедиться не только в этой главе , но и во всём дальнейшем курсе математики .
Полученные знания пригодятся вам в самых разных областях математики , в том числе в решении комбинаторных задач , которому посвящена вторая половина главы .
Итак , при возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно её числитель и знаменатель .
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та , у которой числитель больше .
Для этого разделим числитель каждой из них на знаменатель , причём техническую работу , т .
15 Сколько можно составить различных дробей , отличных от 1 , у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37 ?
Разложим числитель и знаменатель данной дроби на множители .
262 Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите её .
10 Дано уравнение , где а — некоторое число , х — переменная .
Из пропорции выразите число а ; число b.
Из задуманного числа вычли 5 , затем разность поделили на 5 и получили число , в 5 раз меньшее , чем получили бы , прибавив 5 к трети задуманного числа .
64 Подберите наименьшее натуральное число n , такое , при котором выполняется неравенство .
а ) число фазанов .
Приведите пример задачи , в которой нужно подсчитать число перестановок .
Если в уравнение вместо переменной подставить число , то получится числовое равенство .
Корнем уравнения называется число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство .
Например , число , записанное двумя одинаковыми цифрами , можно представить в виде .
Соответствие между числами и точками прямой для математиков настолько привычно , что часто число и изображающую его точку не различают и вместо « точка имеет координату говорят просто : « точка 1/3 » .
А : выпало чётное число очков .
В последовательности Фибоначчи каждое число , начиная с третьего , равно сумме двух предыдущих .
346 Восстановите условие задачи « на задуманное число » по следующему уравнению ( буквой обозначено задуманное число ) .
10 Пусть х — отрицательное число .
в ) вероятность того , что число выпавших очков не равно 3 .
Узнайте число фазанов и число кроликов » .
346 Восстановите условие задачи « на задуманное число » по следующему уравнению ( буквой обозначено задуманное число ) .
Какое число было задумано ? .
Теперь , чтобы найти неизвестное число х , это уравнение надо решить .
а ) К задуманному числу прибавили 11 , затем сумму поделили пополам и получили число , которое на 2 больше задуманного .
в ) число ног у фазанов . г ) число ног у кроликов .
Итак , мы нашли неизвестное число , которое обозначили буквой х. Однако это ещё не ответ задачи .
в ) число ног у фазанов . г ) число ног у кроликов .
б ) число кроликов .
В июле число отдыхающих в пансионате возросло по сравнению с июнем в 2,5 раза .
55 Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число .
Узнайте число фазанов и число кроликов » .
Из пропорции выразите число а ; число b.
Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых .
Но если число экспериментов достаточно велико , мы можем сделать прогноз , что орёл выпадет примерно в половине случаев .
Понятно , что вероятность случайного события — это число , заключённое между 0 и 1 .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Какое число проросших семян следует ожидать ? .
Найдите примерное число школьников , сдавших экзамен успешно .
а ) Найдите примерное число школьников , сдававших экзамен .
Вычтите удвоенное задуманное число .
Из этой пропорции находим неизвестное число х .
Статистик в этом случае сказал бы иначе : « Модой этого ряда является число 5 » .
Модой называют число ряда , которое встречается в этом ряду наиболее часто .
Можно сказать , что данное число самое « модное » в этом ряду .
Задумайте число : Прибавьте к нему 5 .
Теперь я отгадаю , какое число у вас получилось .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
Обозначим координату середины отрезка АВ через х. Чтобы найти число х , можно к координате точки А прибавить половину расстояния между точками А и Б .
Количество ткани прямо пропорционально числу костюмов : во сколько раз увеличивается число костюмов , во столько же раз увеличивается и расход ткани .
При таком понимании общее число различных расположений гостей вокруг стола будет ещё вдвое меньше .
446 Назовите наименьшее и наибольшее целое число , принадлежащее указанному промежутку ( если такое существует ): а ) интервалу , б ) отрезку .
Покажите сами с помощью алгебраических преобразований , на чём основан следующий фокус : « Задумайте число , прибавьте к нему 4 , эту сумму умножьте на 3 , из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12 .
Вы получили число 24 » .
Какова плотность населения Ростовской области ( число человек на 1 км2 ) ? .
Чтобы узнать мартовский тираж журнала , нужно найти 120 % от февральского тиража и прибавить полученное число к 325 .
( Обозначьте среднее число буквой n ) .
а ) Каково число возможных результатов эксперимента ? .
а ) Сколько студентов может быть принято на этот факультет , если число мест составляет 75 % от числа поданных заявлений ? .
Фактически перед нами стоит задача : доказать , что произведение есть число , противоположное , или , что то же самое , доказать , что .
631 Игральный кубик подбрасывают 5 раз и каждый раз записывают число выпавших очков .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
Докажите , что число : а ) записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 ; б ) записанное четырьмя одинаковыми цифрами , делится на 11 и на 101 .
Какое число задумал ученик ? » .
Сколько всего процентов школьников занимается в спортивных секциях , если число мальчиков и число девочек в школе одинаково ? .
Сколько всего процентов школьников занимается в спортивных секциях , если число мальчиков и число девочек в школе одинаково ? .
Число 8 - основание степени , а число 5 - показатель степени .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
Это число выражает шансы появления события « выпал орёл » при многократном проведении экспериментов .
После того как из класса вышел один ученик , число отсутствующих стало равно четверти числа присутствующих .
810 В классе число отсутствующих учеников составляет пятую часть от числа присутствующих .
Разность чисел х и у — это такое число 2 , что Частное от деления числа х на число у — это такое число z
В : выпало нечётное число очков .
Как называют выражение аn , число а в этом выражении , число n ?
Запишите разными способами в виде степени следующее число .
Одно число составляет 45 % другого .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа , то n слагаемых , n множителей .
388 а ) Одно число составляет другого числа , а их сумма равна 108 .
Первое число в 5 раз меньше второго , а второе в 2 раза меньше третьего .
Разделите число х на части , пропорциональные числам а , b , с .
381 а ) Первое число на 27 больше второго , а их сумма равна 95 .
Дробь - нельзя обратить в десятичную , поэтому следует записать в виде обыкновенной дроби число 0,3 .
Обозначим натуральное число буквой я .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося уравнения было целое число .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
378 Запишите вместо с такое число , чтобы корнем получившегося уравнения было целое число .
является число .
фигура AlBlC1D1El является копией фигуры ABCDE , полученной с помощью копировальной машины , которая уменьшает все размеры в одно и то же число раз .
Корень уравнения — число 3 .
Найдите среднее число жителей на 1 км2 .
Обозначим исходное число филиалов буквой х. Тогда по условию задачи каждый филиал должен был получить компьютеров .
Уравнение совсем непростое , но его можно решить , если вспомнить , что х — это количество филиалов фирмы , и , значит , это число натуральное .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
разделить каждое из входящих в него чисел на их общий делитель — число 2 .
Вдруг есть ещё какое - нибудь натуральное число , удовлетворяющее условию ?
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Значит , могло быть задумано только число 9 .
Теперь ясно , что надо найти натуральное число х такое , что при умножении его на следующее натуральное число в произведении получится 90 .
Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил значение выражения х2 х и получил по условию число 90 .
Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей , следуя указаниям Бориса , вычислил значение выражения х2 х и получил по условию число 90 .
Как Борису узнать , какое число задумал Андрей ? .
Корень уравнения — число 15 .
Борис предложил ему возвести это число в квадрат , после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
Число .
Число а ?
Борис предложил ему возвести это число в квадрат , после чего прибавить задуманное число и назвать результат .
3 Что означает выражение аn , где n - натуральное число ?
При делении 7 на 12 на экране калькулятора высветится длинное число 0,5833333 .
Андрей задумал некоторое натуральное число .
Например , так как любое положительное число больше любого отрицательного числа ; так как .
Решить эту задачу можно , например , так : записать число 0,65 в виде обыкновенной дроби и затем воспользоваться перекрёстным правилом .
В выставке собак участвовали собаки больших , средних и мелких пород , число которых находилось в отношении 4:8:3 .
Число а называют основанием степени , а число n — показателем степени .
Вы знаете , что если перед числом поставить знак « - » , то получится число , ему противоположное .
Число — 3 является корнем уравнения .
а ) число 4 является корнем уравнения .
Определите , является ли число -2 корнем данного уравнения ; обоснуйте ответ .
Действительно , какое бы число мы ни подставили в это уравнение вместо переменной х , получится верное числовое равенство .
Например , корнем уравнения , в обеих частях которого стоят равные выражения , является любое число .
Число экспериментов , в которых это событие произошло .
Доказываем . б ) Сколькими нулями оканчивается число .
в ) число 4 является корнем уравнения .
Как называют выражение аn , число а в этом выражении , число n ?
( Здесь а — число , не равное 0 , так как на 0 делить нельзя . )
Какое число — положительное или отрицательное - может получиться при возведении в степень отрицательного числа ?
Уравнение , которое мы решали в предыдущем пункте , имеет только один корень — число 9 .
188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так , чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию : а ) 20 , 5 , 7 ; б ) 10 , 16 , 3 .
Сравните с нулём число .
38 Восстановите число , для которого записано разложение на простые множители .
39 Разложите на простые множители число .
Что означает выражение аn , если n - натуральное число , не равное 1 ?
С : выпало число очков , большее трёх .
г ) число -2 является корнем уравнения .
349 Является ли корнем уравнения число .
Из свойств числовых равенств следует ещё одно правило преобразования уравнений : обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля .
Вычислить степень числа , или , как говорят , возвести число в степень , можно путём последовательного умножения .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не делится на 11 .
189 Найдите неизвестное число х , если изображён чертёж фасада дома , выполненный в некотором масштабе .
а ) четырёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 11 . б ) трёхзначное число , записанное одинаковыми цифрами , делится на 37 ; не делится на 11 .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число , не равное 0 , и т и n — любые натуральные числа , причём , то .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
« Ученик задумал число , умножил его на 4 , из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число .
в ) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число .
Числовое равенство не нарушится , если обе его части умножить ( разделить ) на одно и то же число , отличное от нуля .
Числовое равенство не нарушится , если к обеим его частям прибавить ( от обеих его частей отнять ) одно и то же число .
354 Проверьте , что число 10 является корнем уравнения а число — 10 его корнем не является .
354 Проверьте , что число 10 является корнем уравнения а число — 10 его корнем не является .
а ) корнем уравнения является любое число .
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число , так и отрицательное .
« Ученик задумал число , умножил его на 4 , из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число .
Предложение « Число , в котором в разряде сотен записана цифра х , в разряде десятков — цифра у , в разряде единиц — цифра г » коротко записывают так : Такое число может быть представлено в виде многочлена : Представьте в виде многочлена число .
Он сказал : « Задумайте какое - нибудь число , прибавьте к нему 5 , сумму умножьте на 2 , к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число .
N — 30п 20 , где N — стоимость проката велосипеда , n — число дней , на которые был взят велосипед .
Поэтому число 3587 можно записать в виде суммы .
264 Известно , что k — нечётное число .
Однако чаще всего одно натуральное число на другое не делится и в результате деления получается остаток .
D : выпадет чётное число очков .
Рассуждая точно так же , можно показать , что для множества из пяти элементов число перестановок равно , а для множества из десяти элементов это число равно .
Если число а делится на число b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
Если число а делится на число b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
Если число а делится на число b , то это значит , что существует такое натуральное число q.
Рассуждая точно так же , можно показать , что для множества из пяти элементов число перестановок равно , а для множества из десяти элементов это число равно .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Если выражение является произведением , в котором первый множитель — число , а остальные множители — буквы , то это число называют коэффициентом этого произведения .
Решив задачу , мы фактически подсчитали число перестановок для множества из четырёх элементов .
Какое наибольшее число символов может быть таким образом закодировано ? .
224 Число учащихся первых , вторых , третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8 , 10 , 9 и 9 . а ) Найдите число всех учащихся начальной школы , если в третьих классах учится 63 ученика .
В общем случае : если а и b — любые числа и n — любое натуральное число .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
112 Назовите какое - нибудь число , отличное от 0 и 1 , любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой .
Степенью числа а с показателем , равным 1 , называют само число а .
Чётным или нечётным является число .
Вообще если множество содержит n элементов , то число перестановок равно произведению , Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке .
Значит , число 2100 , как и эти степени , оканчивается цифрой 6 .
Это позволяет разбивать множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число .
Другими словами , если есть два натуральных числа а и b , то можно записать равенство где n либо натуральное число , меньшее b , либо равно 0 .
Так , например , число 2201 оканчивается цифрой 2 , так как 201 при делении на 4 даёт в остатке 1 , а число 2202 — цифрой 4 , так как .
Так , например , число 2201 оканчивается цифрой 2 , так как 201 при делении на 4 даёт в остатке 1 , а число 2202 — цифрой 4 , так как .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
Какой цифрой оканчивается число .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
А именно , если при делении числа а на число b получается неполное частное q и остаток при этом число ( как остаток от деления на b ) обязательно меньше b .
Точно так же и в общем случае , если а — любое число и т и n — любые натуральные числа ,
Какой цифрой оканчивается число : 740 ; 761 ; 730 ; 723 ? .
265 Пусть а — чётное число , а b — нечётное .
110 Какое из чисел : 2100 ; 2101 ; 2102 ; 2103 — оканчивается той же цифрой , что и число 210 ? .
Чётное число очков есть на трёх гранях кубика из шести , следовательно , есть три шанса из шести , что событие D произойдёт .
В самом деле , возьмём число 2100 .
вместо буквы с . 243 Запишите с помощью букв приём , используя который можно разделить : а ) сумму трёх чисел на некоторое число ; б ) сумму четырёх чисел на некоторое число .
В ряду чисел 2 , 7 , 10 , х , 18 , 19 , 27 одно число неизвестно .
Определите среднее число задач , решённых одним учеником .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
стоимость одного килограмма , или одной пачки , или одного метра и т . n. ) на количество купленного товара ( число килограммов , пачек , метров и т . n. ) .
Объём выполненной им работы , а именно число уложенных кирпичей , зависит от того , насколько быстро совершается эта работа , т .
Установите , какая пропорция соответствует условию задачи ( х - число страниц , которое напечатает вторая машинистка ) .
Например , в известной вам формуле длины окружности С nd буквой n обозначено число , равное отношению длины окружности к диаметру , являющееся одним и тем же для любой окружности .
В общем случае : если а и b — любые числа , причём , и n — любое натуральное число ,
2 Укажите число , не принадлежащее промежутку .
Сколько тетрадей получит каждый класс , если число учащихся 1А и 1Б классов находится в отношении 3 4 , а число учащихся 1Б и 1В классов в отношении 8 7 ? .
Сколько тетрадей получит каждый класс , если число учащихся 1А и 1Б классов находится в отношении 3 4 , а число учащихся 1Б и 1В классов в отношении 8 7 ? .
Он сосчитал число ступенек , ведущих от входа в подъезд к площадкам каждого из первых пяти этажей , и составил таблицу .
Если бы Олег продолжил заполнение таблицы , какое число он записал бы в клетке , соответствующей 6-му этажу ?
Формулу называют формулой прямой пропорциональности , а число k — коэффициентом пропорциональности .
6 На координатной прямой отмечено число а .
Какое число в этом примере записано вместо буквы а ?
Чтобы вычесть из числа 68 число 35 , можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30 , а затем от получившегося результата отнять число 5 .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Найдите число учащихся в каждой параллели , если известно , что во вторых классах на 8 учеников больше , чем в третьих .
236 Как можно устно умножить какое - нибудь число на 1,5 ?
К этому ряду приписали число 16 .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Из этого ряда вычеркнули число 11 .
514 Найдите число х , если .
Чтобы разделить число на произведение двух чисел , можно сначала разделить это число на один множитель , а затем полученный результат разделить на другой множитель .
Найдём число х , если .
Число партий должно быть сосчитано так .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Приём , с помощью которого мы выполнили деление , состоит в следующем : чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число , отличное от 0 , делим на это число отдельно каждое слагаемое и полученные частные складываем .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Найдите число учащихся вторых классов , если в первых и третьих вместе учится 102 ученика .
Чтобы разделить число 327 на 3 , можно рассуждать так : 327 — это сумма чисел 300 и 27 ; разделим на 3 отдельно каждое слагаемое — получим 100 и 9 ; сложив эти числа , найдём искомое частное — число 109 .
Изменим , например , условие задачи с кодами : пусть требуется найти число кодов , составленных не из двух , а из трёх различных цифр .
На сколько процентов увеличилось число учащихся школы ? .
"Проведём небольшое исследование : выясним , есть ли какая - нибудь закономерность в том , как меняется последняя цифра числа 2 "" , где n — натуральное" число , с изменением показателя n.
789 а ) Докажите , что если число не делится на 5 , то на 5 делится его квадрат , увеличенный или уменьшенный на 1 . б ) Докажите , что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1 .
Так как при умножении равных чисел на одно и то же число получаются равные числа , то ad be .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Найдите средний рост солдат подразделения и число солдат выше среднего роста .
а ) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное .
Чтобы доказать наше утверждение , мы преобразовали сумму в произведение : вынесли за скобки число 17 .
г ) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
В таблице указано число результативных выстрелов каждого из спортсменов .
Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых .
Найдите число с .
в ) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное .
Значит , число таких расписаний равно числу перестановок из пяти элементов .
Найдите среднее число детей в семье и моду ( количество детей в наиболее типичной семье ) .
сумма двух нечётных чисел есть число чётное .
все члены ряда умножить на одно и то же положительное число ? .
Он выписал число рабочих дней , пропущенных в течение года по болезни каждым сотрудником , предварительно разбив их на две группы — курящие и некурящие .
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
Найдите число а . б )
а ) при делении на 10 число а даёт в остатке 1 , число b даёт в остатке 3 и число с даёт в остатке 5 . б ) при делении на 10 число а даёт в остатке 3 , число b даёт в остатке 5 и число с даёт в остатке 7 .
785 Докажите , что если числа а и b при делении на число с дают один и тот же остаток , то их разность делится на с .
а ) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число .
Для этого каждая пара чисел таблицы ( число экспериментов — частота ) отмечена точкой на координатной плоскости .
Поэтому искомое число расписаний вдвое больше .
Докажите , что их сумма есть число чётное .
137 Придумайте три разных числа , таких , чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом .
а ) сумму двузначного числа числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
Обратите внимание на то , как была выполнена числовая подстановка , все содержащиеся в выражении буквы заменили числами ; одинаковые буквы заменили одним и тем же числом ; при замене буквы отрицательным числом это число заключили в скобки , в получившемся числовом выражении в числителе был поставлен знак умножения ( между буквами , как вы знаете , знак умножения не ставится ) .
а ) со вторым по величине числом . б ) с третьим по величине числом .
5 Каким числом является корень уравнения .
Вы знаете , что если перед числом поставить знак « - » , то получится число , ему противоположное .
а ) со вторым по величине числом . б ) с третьим по величине числом .
Это зависит от того , чётным или нечётным числом является показатель степени .
Если масса Земли выражается очень большим числом , то масса атома водорода очень мала .
2 Соотнесите каждое уравнение с числом его корней .
Поскольку , то частота выражается числом от 0 до 1 .
2 Сравните числа , используя приём сравнения с « промежуточным » числом .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
Докажите , что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6 .
Основание степени может быть любым числом — положительным , отрицательным , нулём .
417 Периметр прямоугольника , стороны которого выражены целым числом сантиметров , равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2 ?
4 Каким числом не может выражаться относительная частота случайного события ? .
Считают , что первая степень любого числа равна самому числу .
отношение числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу проведённых экспериментов .
отношение общего числа проведённых экспериментов к числу экспериментов , в которых это событие произошло .
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу .
Значит , число таких расписаний равно числу перестановок из пяти элементов .
Этим равенством выражается важное свойство прямой пропорциональности : если две величины прямо пропорциональны , то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности .
Идея координат принадлежит к числу древнейших достижений человеческой мысли , но только в XVII в .
если часть величины , заданную десятичной дробью , надо выразить в процентах , то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак % .
Чтобы построить точку , соответствующую некоторому числу а , вправо или влево от начала отсчёта ( в зависимости от знака а ) откладывается отрезок , равный .
также равен самому числу .
Частотой случайного события в серии экспериментов называют отношение числа экспериментов , в которых это событие произошло , к общему числу экспериментов .
Эта сумма равна огромному числу 18 446 744 073 709 551 615 , и она столь велика , что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты , включая Мировой океан .
Число способов , которыми можно составить расписание , равно числу перестановок из шести элементов .
а ) К задуманному числу прибавили 11 , затем сумму поделили пополам и получили число , которое на 2 больше задуманного .
Модуль положительного числа равен самому числу , модуль нуля равен нулю , т .
Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости : если две величины обратно пропорциональны , то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу .
Количество ткани прямо пропорционально числу костюмов : во сколько раз увеличивается число костюмов , во столько же раз увеличивается и расход ткани .
Многочлена свободный член .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
5 Найдите неизвестный член пропорции .
10 Как можно найти неизвестный член пропорции .
214 Найдите неизвестный член пропорции .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
С помощью основного свойства пропорции любой её член можно выразить через три других .
Как найти неизвестный член пропорции .
Найдите средний член трёхчлена , равного .
Каждый член этого многочлена можно представить в виде произведения , в котором один из множителей равен 2ху .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить .
Каждый член двучлена представьте в виде произведения , в котором есть множитель -3а .
Иногда удобно умножать многочлены в столбик , подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый член первого многочлена на второй многочлен .
Найдём неизвестный член пропорции .
Первый член трёхчлена — это а2 , выражение 10а — это третий член — это 52 .
178 Найдите неизвестный член пропорции .
Член , не содержащий буквы , помещают на последнем месте .
При этом свободный член многочлена , т . е .
Первый член трёхчлена — это а2 , выражение 10а — это третий член — это 52 .
Найдите неизвестный член пропорции .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции ; неизвестного среднего члена пропорции .
Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции ; неизвестного среднего члена пропорции .
Сгруппировав два первых и три последних члена , получим .
Одночлены принято рассматривать как частный случай многочленов — считают , что это многочлены , состоящие из одного члена .
Это позволяет по трём известным членам пропорции находить неизвестный .
а ) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называют членами многочлена .
Числа , образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
Составьте четыре пропорции , членами которых являются те же числа х , у , z и v . 216 Известно , что .
Так , членами многочлена являются одночлены 3ху , -у , 4х и -7 .
Числа , образующие пропорцию , имеют специальные названия : and называют крайними членами , а b и с — средними членами .
Так как то выражение , противоположное многочлену , есть многочлен , составленный из тех же членов , но взятых с противоположными знаками .
Назовите коэффициенты членов многочлена , содержащих букву ; назовите свободный член многочлена ; определите степень многочлена .
Назовите все члены многочлена и коэффициенты членов , содержащих буквенные множители .
Этот многочлен состоит из пяти членов .
Участок земли разделили между четырьмя фермерами пропорционально количеству членов их семей .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Специальные названия имеют и многочлены , состоящие из двух и трёх членов — двучлен и трёхчлен соответственно .
Любая пропорция обладает следующим свойством : произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
6 Для разложения многочлена на множители его члены сгруппировали .
Назовите все члены многочлена и коэффициенты членов , содержащих буквенные множители .
Тогда в скобках остаётся многочлен , члены которого не содержат общих буквенных множителей , а их коэффициенты не имеют общих натуральных делителей , отличных от 1 .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние члены ; замените каждое отношение обратным .
Запишите каждое утверждение в виде пропорции , назовите крайние члены и средние члены пропорции .
Убедитесь , что вы вновь получите пропорцию , если : поменяете местами крайние члены ; поменяете местами средние члены ; замените каждое отношение обратным .
укажите подобные члены в получившемся после раскрытия скобок выражении и выполните приведение подобных .
подобные члены этого многочлена .
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов , то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .
Представьте выражение 3 xyz в виде суммы и сгруппируйте члены многочлена .
Если многочлен стандартного вида содержит одну переменную , то его члены обычно располагают в порядке убывания её степеней .
Отношение , членами которого являются дробные числа , можно заменить отношением целых чисел , если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число .
раскройте скобки в первых двух слагаемых , а затем сгруппируйте члены так , чтобы получился общий множитель .
все члены ряда умножить на одно и то же положительное число ? .
Перенося члены уравнения из одной части в другую , мы в одной части их « уничтожаем » , но зато в другой « восстанавливаем » , меняя при этом их знаки на противоположные .
Запишите каждое утверждение в виде пропорции , назовите крайние члены и средние члены пропорции .
Сумму и разность многочленов с одной переменной удобно вычислять в столбик , подписывая друг под другом подобные члены .
Приведите пример пропорции и назовите её крайние и средние члены .
Раскроем скобки , выполнив умножение -5с на 1 - с , и затем приведём подобные члены ( если они окажутся ) .
Соберём члены уравнения , содержащие переменную , в одной части , а числа в другой .
635 Запишите многочлен , расположив его члены по убыванию степеней переменной , и укажите его степень .
Приведите подобные члены многочлена .
Его члены не имеют общего множителя .
Сгруппируйте члены многочлена иначе , чем это сделано в первом случае , и выполните разложение на множители .
в ) первая цифра кода чётная , а вторая - нечётная ? .
632 Сколько существует четырёхзначных чисел , в записи которых встречается хотя бы одна чётная цифра ? .
18 Сколько можно составить двузначных чисел , у которых в разряде десятков записана чётная цифра , а в разряде единиц - нечётная ? .
а ) вероятность выпадания чётного числа очков .
а ) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное .
Докажите , что их сумма есть число чётное .
А : выпало чётное число очков .
D : выпадет чётное число очков .
Кстати , на трёх других гранях кубика нечётное число очков , значит , события « выпадет чётное число очков » и « выпадет нечётное число очков » равновероятны .
сумма двух нечётных чисел есть число чётное .
265 Пусть а — чётное число , а b — нечётное .
г ) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное .
Мальчики садятся на нечётные места , а девочки — на чётные .
Посадите мальчиков сначала на чётные места , а потом на нечётные .
Вообще полезно помнить , что степень с отрицательным основанием положительна , если показатель степени чётный , и отрицательна , если показатель степени нечётный .
Мы представили сумму в виде произведения — это два последовательных натуральных числа и одно из них обязательно является чётным , т .
Это зависит от того , чётным или нечётным числом является показатель степени .
а ) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом .
116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел , меньших 10 , а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел , меньших 10 .
400 а ) Существуют ли три последовательных чётных числа , сумма которых равна 74 ? .
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
из чётных цифр ?
292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна А. Найдите : а ) сумму трёх следующих чётных чисел ; б ) сумму трёх следующих нечётных чисел .
Сумма квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
Сколько среди них чётных чисел и сколько нечётных ? .
А : вынут красный или белый шар .
Из каждой коробки не глядя вынимают один шар .
В : вынутый шар — не синий .
Из коробки вынимают наугад один шар .
Перечислите коробки в порядке возрастания шансов вынуть чёрный шар .
В коробке 3 красных , 3 белых и 3 чёрных шара , одинаковых на ощупь .
Из коробки вынимают наугад n шаров .
Рассмотрим следующее событие А : среди вынутых шаров окажутся шары всех трёх цветов .
944 В пяти коробках лежат чёрные и красные шары , одинаковые на ощупь .
С : оставшиеся в коробке шары разных цветов .
Рассмотрим следующее событие А : среди вынутых шаров окажутся шары всех трёх цветов .
947 В коробке красный , синий , белый и чёрный шары , одинаковые на ощупь .
а ) шестиугольник ; б ) восьмиугольник ; в ) двенадцатиугольник ; г ) стоугольник ? .
165 Среди зависимостей , заданных формулой , определите те , которые являются обратной пропорциональностью , найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения : где а — сторона квадрата , лежащего в основании параллелепипеда , h — высота параллелепипеда ; где h — ширина прямоугольника , а — его длина ; где m — грузоподъёмность машины , n — число машин , необходимых для перевозки груза ; где М — масса груза , который необходимо перевезти , n — число машин , необходимых для перевозки груза .
Длина прямоугольной формы на 8 см больше , а ширина на 6 см меньше , чем сторона квадратной формы .
Она заменила его большим аквариумом , длина и ширина дна которого на 4 см больше .
806 Высота двери на 30 см больше , чем её удвоенная ширина .
Укажите на плане возможное расположение ворот , если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 20 м от одного из углов и ширина их будет равна 3 м .
б ) Из 180 г шерсти можно связать шарф шириной 12 см и длиной 2 м .
Сколько шерсти потребуется на шарф шириной 36 см и длиной 1 м ? .
777 Картинку квадратной формы наклеили на белую бумагу , в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на 460 см2 больше , чем она занимала без окантовки .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 10 см. Площадь обрезков составила 1400 см2 .
Чтобы вставить его в оконную раму , его длину и ширину пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила 3800 см2 .
Каждое расположение элементов множества в определённом порядке называют перестановкой .

Введите данные для входа

Введите актуальный логин и пароль для входа или зарегистрируйтесь кликнув по ссылке регистрация

Регистрация Забыли пароль?
Логотип Rulex
При поддержке Института филологии и межкультурных коммуникаций

Наши разработки

Анализатор RuLex Списки терминов Тренажёр функциональной грамотности Тест на вербальный интеллект Психодиагностические методики

О нас

Команда проекта Лаборатория «Текстовая аналитика» Исследования Сайт ИФМК Сайт КФУ Лаборатория «Текстовая аналитика» rulingva@kpfu.ru
*В настоящий момент инструменты платформы реализованы для уровня начальной школы. Последующие уровни находятся в стадии разработки.