Левый контекст |
Термин |
Правый контекст |
|
Абсцисса
|
. |
|
Аксиоматический
|
метод . 1 ) Выбирается перечень первоначальных понятий . |
|
Алгебра
|
щедра . |
|
Алгебра
|
- это раздел математики , развитие которого связано с решением самых разных уравнений . |
|
Алгебра
|
имеет дело с буквенными выражениями и их преобразованиями , поэтому буквенные выражения называют еще алгебраическими . |
|
Алгебра
|
— мое основное блюдо , геометрия — десерт . |
д ) |
Алгебраическая сумма
|
рациональных чисел не зависит от порядка слагаемых . |
|
Аналитический
|
способ задания функции ( с помощью формулы ) . |
|
Аналитический
|
способ задания функций очень удобен . |
|
Аргумент
|
. |
|
Вариант
|
ответа . |
282 По данным таблиц постройте линейные диаграммы : а ) |
Величина
|
прожиточного минимума на одного человека в РФ ; б ) Общая жилплощадь , приходящаяся в среднем на одного жителя РФ ( по со стоянию на конец года ) ; в ) Число высших учебных заведений в РФ ( среднегодовой показатель ) . |
|
Величина
|
угла треугольника может принимать только положительные значения , меньшие 180 ° , значит . |
|
Величина
|
первого угла треугольника на 40 ° меньше второго и в три раза больше третьего . |
|
Величина
|
первого угла треугольника равна , а третьего угла . |
|
Величина
|
первого угла треугольника на 30 ° больше второго и на 60 ° меньше третьего . |
б ) |
Величина
|
первого угла треугольника на 30 градусов меньше второго , а длина третьего — в 4 раза больше , чем второго . |
|
Величина
|
первого угла треугольника на 10 ° больше величины второго и на 10 ° меньше величины третьего . |
Найдите длину ломаной ABEFD . б ) |
Величина
|
первого утла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше третьего . |
|
Величина
|
первого угла треугольника на 10 ° больше второго и в два раза меньше третьего . |
|
Величины
|
углов треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным числам . |
|
Величины
|
прямо пропорциональные . |
|
Величины
|
углов треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным числам , кратным трем . |
|
Величины
|
всех углов выражены в градусах , поэтому единицы измерения величин соответствуют друг другу . |
|
Величины
|
углов треугольника в градусах равны трем последовательным четным числам . |
|
Величины
|
. |
|
Величины
|
переменные . |
|
Величины
|
независимые . |
3 |
Вероятность
|
события А равна отношению n ( А ) к n . |
|
Вероятность
|
события принято обозначать буквой Р. Например , вероятность события А записывают как Р(А ) . |
а ) |
Вероятность
|
угадать 1 цифру из 37 равна примерно 0,03 ( с точностью до сотых ) . |
3 |
Вероятность
|
события А равна отношению . |
|
Вероятность
|
случайного события . |
|
Возведите
|
двучлены в куб . |
81 |
Возведите
|
в степень . |
272 |
Возведите
|
трехчлен в квадрат . |
|
Возведите
|
в куб двучлены . |
378 |
Возведите
|
двучлены в куб . |
250 |
Возведите
|
двучлены в квадрат . |
743 |
Возведите
|
двучлены в квадрат . |
408 |
Возведите
|
двучлен в куб . |
292 |
Возведите
|
двучлен в квадрат . |
82 |
Возведите
|
выражения а ) в квадрат . |
|
Возведите
|
двучлены в квадрат . |
749 |
Возведите
|
двучлены в куб . |
54 |
Возведите
|
произведение в степень . |
|
Выражение
|
в скобках при любых значениях входящих в него букв является не которым числом . |
Теперь , чтобы получить формулу разности кубов , заметим , что |
Выражение
|
а2 плюс ab плюс b2 получило название неполного квадрата суммы а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения ab . |
|
Выражение
|
4х2 минус 8х , стоящее во второй скобке , мы также можем разложить на множители , вынося за скобки общий множитель 4х . |
|
Выражение
|
в левой части уравнения состоит из трех слагаемых , имеющих общий множитель . |
|
Выражение
|
называют также сравнением . |
|
Выражение
|
а2 минус аb плюс b2 получило название неполного квадрата разности а и b , так как в отличие от квадрата разности у произведения аb нет множителя 2 . |
|
Выражение
|
, записанное как алгебраическая сумма одночленов , называется многочленом . |
|
Выражение
|
как раз по определению и будет означать , что . |
в ) |
Высота
|
Останкинской башни на 216 м больше , чем Эйфелевой . |
|
Высота
|
пирамиды Цестия , находящейся в Риме , на его рисунке получилась равной 3,3 дм . |
|
Высота
|
крупней шей в Мексике пирамиды Чолула - 7,1 дм , а известной египетской пирамиды Хеопса - 12,8 дм . |
3 |
Вычесть
|
k из делимого а , в ответе - остаток r . |
3 |
Вычесть
|
k из делимого а , в ответе - остаток r . 4 . |
|
Вычитание
|
многочленов « в столбик » также сводится к сложению , предварительно лишь надо заменить многочлен - вычитаемое противоположным ему . |
|
Вычитая
|
первое равенство из второго , получаем . |
|
График
|
прямой пропорциональности проходит через точку А(р ; q ) . |
|
График
|
прямой пропорциональной зависимости проходит через точку А. Проходит ли он через точку В ? . |
|
График
|
прямой пропорциональности проходит через точку А ( р ; q ) . |
|
График
|
функции всегда проходит через начало координат — точку О ( 0 ; 0 ) . |
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) |
График
|
функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов . |
|
График
|
линейной функции , где k и b — произвольные числа , может быть получен из графика функции путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно . |
|
График
|
движения автомобилиста по дороге из пункта А в пункт В. Пользуясь графиком , ответьте на вопросы . |
|
График
|
функции . |
|
Графиком
|
функции является прямая линия . |
|
Данный
|
алгоритм был назван в честь Евклида , жившего в III веке до нашей эры , хотя способ нахождения НОД с помощью этого алгоритма был известен математикам гораздо раньше . |
|
Данный
|
способ действия мы можем записать в общем виде . |
|
Двучлен
|
. |
II |
Деление
|
с остатком . |
3 |
Деление
|
с остатком . |
I |
Деление
|
без остатка . |
II |
Деление с остатком
|
. |
3 |
Деление с остатком
|
. |
а ) Если натуральное число больше 5 , то оно больше или равно 6 . б ) |
Делитель
|
натурального числа может быть больше этого числа . |
|
Делится
|
ли произведение а ) на 14 ; б ) на 42 ? |
228 |
Делится
|
ли а на b ? |
130 а ) |
Делится
|
ли произведение на 5 , 3 , 15 , 20 , 45 ? |
354 |
Делится
|
ли произведение 202 • 273 на 12 , 15 , 17 , 18 , 35 , 36 ? |
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б ) |
Длина
|
прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины . |
|
Длина
|
прямоугольника и его площадь при неизменной ширине . |
|
Длина
|
ребра второго куба на 3 см больше длины ребра первого . |
|
Длина
|
ломаной AKLN равна 15,6 см. Известно , что АК равно четверти расстояния между ее началом и концом , KL на 0,6 см меньше АК , a LN в 2 раза больше KL . |
а ) |
Длина
|
одной стороны прямоугольника на 8 см больше длины другой . |
а ) |
Длина
|
ломаной ABCD равна 54 см. Известно , что длина АВ в 5 раз меньше расстояния между началом и концом ломаной , длина ВС — в 3 раза больше АВ , а длина CD — на 1 см меньше , чем АВ . |
|
Длина
|
прямоугольника равна 5 см. Какой должна быть ширина этого прямоугольника , чтобы периметр прямоугольника был меньше 18 см ? . |
|
Длина
|
ломаной ABCD равна 13,5 см. Известно , что АВ равно 1/6 расстояния между ее началом и концом , ВС на 5,1 см больше АВ , a CD на 3,6 см меньше ВС. Найдите длину звена АВ этой ломаной . |
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б ) |
Длина
|
прямоугольного участка земли на 6 м больше его ширины . |
а ) |
Длина
|
одной стороны прямоугольника на 12 см больше длины другой . |
225 |
Длина
|
дороги между двумя домами равна 3 км . |
а ) |
Длина
|
одной стороны прямоугольника на 3 см больше длины другой . |
|
Длина
|
ломаной ABCD равна 17,8 см. Известно , что АВ равно половине расстояния между началом ломаной ABCD и ее концом , ВС на 6,7 см меньше АВ , a CD в 2 раза меньше ВС. Чему равно звено ВС этой ломаной ? . |
22 |
Длина
|
прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого прямоугольника , если его периметр меньше периметра прямоугольника , длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? . |
|
Длина
|
кольцевой беговой дорожки стадиона равна 400 м . |
|
Длина
|
ломаной ABCD равна 16 см. Известно , что длина АВ равна трети расстояния между ее началом и концом , ВС — на 0,8 см больше АВ , a CD — на 1,8 см меньше ВС. Чему равна длина звена АВ этой ломаной ? . |
II |
Доказательство
|
обратного утверждения . |
I |
Доказательство
|
прямого утверждения . |
|
Доказательство
|
данной теоремы будет получено позднее в курсе геометрии , пока нам для этого не хватает знаний . |
|
Доказательство
|
этой теоремы не входит в содержание нашего курса . |
|
Доказательство
|
утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить . |
|
Доказательство
|
. |
|
Доказательство
|
существования , при котором предъявляется объект с указанными свойствами , называется прямым . |
|
Доказательство
|
: . |
д ) |
Дробь
|
означает , что целое разделили на 2 равные части и взяли 5 таких частей . |
|
Дробь
|
- это не целое число . |
|
Единица
|
измерения , килограмм . |
|
Единица
|
— положительное число . |
|
Единица
|
является делителем всех натуральных чисел . |
|
Замкнутый
|
луч . |
|
Значение
|
произведения не зависит от порядка действий . |
|
Значение
|
суммы не зависит от порядка слагаемых . |
|
Значение
|
произведения не зависит от порядка множителей . |
|
Значение
|
k . |
|
Значение
|
суммы не зависит от порядка действий : . |
|
Значение
|
с . |
|
Значение
|
аксиом первым оценил Аристотель , величайший древнегреческий философ и ученый . |
|
Значение
|
b . B — любое число . |
|
Игра
|
. |
|
Истина
|
истине не может противоречить . |
е ) |
Квадрат
|
разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение . |
|
Квадрат
|
любого натурального числа больше самого числа . |
|
Квадрат
|
числа вида 3k равен , а это означает , что он делится на 3 . |
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит , |
Квадрат
|
трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов . |
1 |
Квадрат
|
суммы и разности . |
« |
Квадрат
|
- это прямоугольник , у которого все стороны равны » . |
|
Квадрат
|
разности некоторых рациональных чисел равен разности их квадратов . |
|
Квадрат
|
суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения . |
|
Квадрат
|
числа всегда больше квадрата противоположного ему числа . |
|
Квадрат
|
разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения . |
а ) |
Квадрат
|
суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа . |
|
Квадрат
|
числа . |
« |
Квадратом
|
называется прямоугольник , все стороны которого равны » . |
|
Ключ
|
шифра . |
|
Ключом
|
к расшифровке текстов данного типа является набор цифр , указанный в первой строке таблицы . |
|
Комбинаторика
|
. |
|
Корень
|
уравнения . |
|
Корень
|
х равно -4 не удовлетворяет неравенству х больше 0 , так как -4 больше 0 - ложно . |
Шаг 4 |
Корень
|
х равно 6 удовлетворяет всем трем данным неравенствам , так как 6 больше 0 , 6 - 5 больше 0 и 6 плюс 3 больше 0 - истинно . |
|
Корень
|
— любое число . |
|
Корни
|
алгебры уходят в глубокую древность , а само название происходит от арабского « аль - джебр » ( восполнение , воссоединение , связь ) - приема решения уравнений , описанного в трактате « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми ( ок . 783 - ок . |
|
Коэффициент
|
одночлена . |
|
Коэффициент
|
пропорциональности . |
|
Коэффициенты
|
уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое число , делится на 1 . |
|
Коэффициенты
|
членов исходного многочлена равны 3 , 7 , -10 . |
|
Коэффициенты
|
членов исходного многочлена равны 1 , 5 , 4 . |
|
Куб
|
суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения . |
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з ) |
Куб
|
суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение . |
|
Куб
|
разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа . |
|
Куб
|
числа . |
|
Куб
|
разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения . |
3 |
Куб
|
суммы и разности . |
|
Линейная
|
функция и ее график . |
|
Линейная
|
функция . |
|
Линейная
|
зависимость задана аналитически ( формулой ) . |
|
Линейная
|
зависимость . |
|
Линейное
|
уравнение . |
|
Линейное
|
неравенство . |
|
Линейные
|
уравнения с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать выражения вне знака модуля . |
|
Линейные
|
неравенства и их решение . |
1 |
Линейные
|
уравнения и их решение . |
|
Линейные
|
уравнения с двумя переменными х и у , полученные при решении двух рассмотренных задач , в общем виде можно записать так . |
|
Линейные
|
неравенства . 1 . |
1 |
Линейные
|
уравнения . |
2 |
Линейные
|
процессы и линейная функция . |
|
Линейным
|
уравнением с одним неизвестным х называется уравнение , которое при всех значениях х может с помощью равносильных преобразований быть представлено в виде , где k , b — некоторые числа . |
|
Линейным
|
неравенством с одним неизвестным х называется неравенство , которое может быть представлено в одном из четырех видов , где k , b — рациональные числа . |
|
Луч
|
. |
|
Луч
|
открытый . |
|
Луч
|
замкнутый . |
|
Медиана
|
набора чисел . |
|
Многочлен
|
называется противоположным исходному , если его сумма с исходным многочленом равна нулю . |
|
Многочлен
|
. |
|
Множества
|
заданы характеристическим свойством . |
505 |
Множества
|
А , В и С заданы перечислением их элементов . |
524 |
Множества
|
А , В и С заданы перечислением их элементов . |
|
Множества
|
А , В и С заданы характеристическим свойством . |
|
Множество
|
Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О . |
1 |
Множество
|
рациональных чисел . |
б ) |
Множество
|
точек координатной плоскости Т состоит из элементов . |
|
Множество
|
решений . |
254 |
Множество
|
А задано перечислением его элементов . |
|
Множество
|
точек числовой прямой . |
1 |
Множество
|
А является подмножеством множества В. |
|
Множество
|
X при этом называется областью определения , а множество Y — областью значений данной функции . |
|
Множество
|
В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества С. ( Истинно ) . |
2 Множество А является подмножеством множества С. |
Множество
|
В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) . |
2 |
Множество
|
А является подмножеством множества С. Множество В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) . |
|
Множество
|
общих делителей чисел а и b является конечным , так как ни один из общих делителей не может быть больше , чем наименьшее из чисел а и b. Значит , среди общих делителей двух натуральных чисел всегда можно найти наибольший . |
|
Мода
|
набора чисел . |
|
Модой
|
набора чисел называется число , наиболее часто встречающееся в числовом наборе . |
в ) |
Модулем
|
числа а называется расстояние от точки , соответствующей данному числу на числовой прямой , до 0 . |
Н |
Модуль
|
любого числа больше или равен нулю . |
|
Модуль
|
числа больше или равен 10 , если это число либо больше или равно 10 , либо меньше или равно ( -10 ) . |
а ) |
Модуль
|
разности квадратов а и с . б ) Сумма модулей а , b и с . |
а ) Число , обратное 3 , равно -3 . б ) |
Модуль
|
числа х может быть равен -х . |
|
Модуль
|
числа меньше 3 , если это число принадлежит открытому интервалу от -3 до 3 . |
в ) |
Модуль
|
разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж ) |
Число а на 12 больше числа b . г ) Число х в 3 раза меньше числа у . д ) |
Модуль
|
числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 . |
|
Модуль
|
числа может быть отрицательным . |
В силу доказанной выше теоремы и определения |
НОД
|
. |
Алгоритм Евклида нахождения |
НОД
|
двух натуральных чисел а и b . |
Как вы уже знаете , процесс нахождения |
НОД
|
по данному алгоритму может быть очень трудоемким . |
Аналогично определяется |
НОД
|
трех и более натуральных чисел . |
Однако данная теорема не позволяет сделать никаких выводов о втором уравнении , ведь его коэффициенты не удовлетворяют условию этой теоремы : |
НОД
|
( 4 ; 6 ) 2 , а число 9 не делится на 2 . |
Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , |
НОД
|
( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое число , делится на 1 . |
206 Найдите |
НОД
|
чисел а и b наиболее рациональным способом . |
207 С помощью алгоритма Евклида найдите |
НОД
|
чисел а и b . |
Наибольший общий делитель чисел а и b будем , как и ранее , обозначать |
НОД
|
( а ; b ) . |
Данный алгоритм был назван в честь Евклида , жившего в III веке до нашей эры , хотя способ нахождения |
НОД
|
с помощью этого алгоритма был известен математикам гораздо раньше . |
731 Разложите числа на простые множители и найдите их |
НОД
|
и НОК . |
Уравнение , где a , b , с Z , не имеет целых решений , если с не делится на d |
НОД
|
. |
Так как d = |
НОД
|
, то числа а и b можно представить в виде , где и при этом НОД . |
Так как |
НОД
|
( 5 ; 7 ) 1 , то из полученного равенства следует , что для всех целых х и у , являющихся решением исходного уравнения , кратно 7 , а кратно 5 . |
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать |
НОД
|
меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее . |
Целое решение уравнения , где a , b , с е Z , всегда существует , если с делится на d = |
НОД
|
. |
Понятно , что данный способ поиска |
НОД
|
является менее трудоемким , ведь здесь для получения ответа операцию деления потребовалось выполнить всего 6 раз , а используя прежний алгоритм , ее надо выполнить 51 раз . |
С помощью алгоритма Евклида найдите |
НОД
|
чисел а и 6 . |
Посмотрим , как полученный вывод может помочь , например , в нахождении |
НОД
|
чисел 71 004 и 154 452 , о которых говорилось выше . |
1 Найти d |
НОД
|
. |
Нам известен также следующий алгоритм нахождения |
НОД
|
натуральных чисел . |
Значит , |
НОД
|
чисел а и b равен последнему ненулевому остатку в указанной цепочке делений . |
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же |
НОД
|
можно продолжать далее . |
Поэтому логичным расширением определения |
НОД
|
на случай , когда одно из чисел равно 0 , является следующее определение . |
Так как d = НОД , то числа а и b можно представить в виде , где и при этом |
НОД
|
. |
При этом |
НОД
|
. |
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать |
НОД
|
чисел а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее . |
74 С помощью алгоритма Евклида найдите |
НОД
|
данных чисел , а затем найдите их НОК . |
С помощью алгоритма Евклида найдите |
НОД
|
чисел а и b . |
218 С помощью алгоритма Евклида найдите |
НОД
|
чисел а и b . |
137 Найдите |
НОД
|
и НОК чисел а и b . |
148 Найдите |
НОД
|
и НОК чисел а и b . |
137 Найдите НОД и |
НОК
|
чисел а и b . |
74 С помощью алгоритма Евклида найдите НОД данных чисел , а затем найдите их |
НОК
|
. |
148 Найдите НОД и |
НОК
|
чисел а и b . |
731 Разложите числа на простые множители и найдите их НОД и |
НОК
|
. |
|
Наибольший общий делитель
|
чисел k и l равен 2 . д ) Наименьшее общее кратное чисел m и n равно 468 . |
|
Наибольший общий делитель
|
чисел а и b будем , как и ранее , обозначать НОД ( а ; b ) . |
|
Наибольшим общим делителем
|
чисел 80 и 60 является число 20 . |
|
Найдем
|
таким же способом остатки от деления на 7 следующих степеней 3 : . |
2 |
Найдем
|
корни уравнений . |
|
Найдем
|
две точки , принадлежащие графику функции . |
7 |
Найдем
|
пересечение каждого числового промежутка и соответствующего ему множества решений . |
|
Найдем
|
произведение чисел а и b . |
|
Найдем
|
их среднее арифметическое . |
|
Найдите
|
. |
|
Найдите
|
остаток от деления А на В . |
661 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение . |
96 ( Устно . ) |
Найдите
|
коэффициент одночлена . |
|
Найдите
|
значение аргумента , при котором значение функции равно 1 , 3 , -2 . |
|
Найдите
|
значение выражения при данных значениях переменных . |
191 |
Найдите
|
значение выражения при указанных значениях переменных . |
{ -12 ; -6 } . 1 ) |
Найдите
|
расстояние от начала координат О до точек А и Б координатной прямой . |
467 |
Найдите
|
остаток от деления числа 6100 на 7 . |
|
Найдите
|
периметр прямоугольника , длина которого на 8 см больше ширины , а площадь равна 128 см2 . |
|
Найдите
|
длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 70 м2 . б ) |
|
Найдите
|
, используя запись в столбик , разность многочленов . |
|
Найдите
|
выручку каждого из этих филиалов , если известно , что 15 % выручки одного филиала равно 10 % от выручки другого . |
|
Найдите
|
координату точки С , если известно . |
|
Найдите
|
наименьшее натуральное число , с которым число А сравнимо по модулю В . |
|
Найдите
|
все значения а , при которых неравенство истинно при . |
|
Найдите
|
сумму n первых натуральных чисел для . а ) n равно 100 . б ) nравно 200 . |
66 |
Найдите
|
все натуральные значения x , удовлетворяющие равенствам . |
272 |
Найдите
|
наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 . |
|
Найдите
|
медиану числового набора . |
146 |
Найдите
|
одно значение переменной , при котором значение многочлена равно А . |
65 |
Найдите
|
значение выражения . |
95 |
Найдите
|
наибольший общий делитель чисел . |
199 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение . |
96 |
Найдите
|
наименьшее общее кратное чисел . |
99 |
Найдите
|
в указанном множестве чисел пары : а ) обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль . |
430 |
Найдите
|
сотую цифру после запятой в десятичной записи числа . |
|
Найдите
|
три значения х , таких , что . |
|
Найдите
|
остаток от деления 332223 на 7 . |
479 |
Найдите
|
множество целых решений неравенства . |
502 |
Найдите
|
значение выражения рациональным способом . |
|
Найдите
|
все решения неравенства . |
289 |
Найдите
|
три значения х , таких , что . |
|
Найдите
|
сумму многочленов . |
383 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение . |
|
Найдите
|
эти числа , если известно , что 7 % одного из них равно 35 % другого . |
|
Найдите
|
множество решений неравенства . |
630 |
Найдите
|
все натуральные значения х , удовлетворяющие равенствам . |
|
Найдите
|
значение этого выражения . |
184 |
Найдите
|
произведение одночленов и запишите его как одночлен стандартного вида . |
|
Найдите
|
все значения х , удовлетворяющие уравнению . |
Если корень уравнения . |
Найдите
|
ошибку в решении следующего уравнения . |
|
Найдите
|
значение величины зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной . |
112 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
остаток от деления на 19 чисел если . |
|
Найдите
|
площадь этого дачного участка , если известно , что изображение выполнено в масштабе 1 к 200 и 0 см меньше а меньше 10 см , b равно 5 см , с равно 3 см . |
300 |
Найдите
|
два значения х , для которых верно данное сравнение . |
|
Найдите
|
остатки от деления на 7 натуральных степеней числа 3 . |
|
Найдите
|
ее область определения и область значений . |
448 |
Найдите
|
значение выражения при данных значениях переменных : при а равно 11,7 . |
|
Найдите
|
значение аргумента , при котором значение функции равно у1 у2 и у3 . |
|
Найдите
|
все значения х , удовлетворяющие неравенству . |
|
Найдите
|
, чему равно это расстояние . |
|
Найдите
|
все решения неравенства , принадлежащие указанному промежутку . |
454 |
Найдите
|
значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что . |
|
Найдите
|
значение зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной . |
|
Найдите
|
ошибки в следующих рассуждениях . |
453 |
Найдите
|
значение выражения а3 минус b3 , если известно , что . |
322 а ) |
Найдите
|
значения выражений рациональным способом . |
|
Найдите
|
все неотрицательные решения неравенства . |
309 |
Найдите
|
значение выражения : . |
|
Найдите
|
неполное частное и остаток при делении на (-8 ) следующих чисел . |
297 |
Найдите
|
на числовой прямой все числа , находящиеся от числа а на рас стоянии b . |
173 |
Найдите
|
первое простое число , следующее за числом . |
108 |
Найдите
|
причину недоразумения . |
|
Найдите
|
сумму многочленов Р и Q и запишите ее как многочлен стандартного вида . |
102 |
Найдите
|
ошибки в следующих рассуждениях . |
142 |
Найдите
|
ошибку в следующем рекламном объявлении . |
641 |
Найдите
|
корни уравнения . |
|
Найдите
|
область определения и область значений этой зависимости . |
|
Найдите
|
периметр прямоугольника , ширина которого на 8 см меньше длины , а площадь равна 240 см2 . |
104 |
Найдите
|
в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль . |
|
Найдите
|
длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 232 м2 . б ) |
|
Найдите
|
высказывания , для которых истинны как прямое , так и обратное утверждение . |
464 |
Найдите
|
множество целых решений неравенства . |
506 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение . |
174 |
Найдите
|
простые числа , лежащие между числами а и b . |
157 |
Найдите
|
сумму и разность многочленов А и В. Запишите результат как многочлен стандартного вида . |
|
Найдите
|
значение выражения 2х(х минус 3 ) - х2(5 - х ) - ( х3 - 3х2 плюс 6х ) 01 при X равно . |
159 |
Найдите
|
сумму многочленов А плюс В , располагая слагаемые « в столбик » , если . |
509 |
Найдите
|
неполное частное и остаток при делении на ( -11 ) следующих чисел . |
105 |
Найдите
|
наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел . |
702 |
Найдите
|
значение выражения при указанных значениях переменных . |
|
Найдите
|
разность многочленов Р - Q , располагая слагаемые « в столбик » , если . |
|
Найдите
|
медиану числового набора : 923 ; 138 ; 915 ; 6 ; 13 ; 57 ; 149 ; 61 . |
|
Найдите
|
скорость второго пешехода , если известно , что пешеходы встретились через 9 часов » . |
642 |
Найдите
|
значение выражения . |
379 Проведите классификацию множества А по остаткам от деления его элементов на b . 380 |
Найдите
|
остаток от деления а на b . 381 Определите , какой цифрой оканчивается число . |
|
Найдите
|
ее значение в точках Составьте таблицу значений функции . |
728 |
Найдите
|
значение выражения . |
б ) |
Найдите
|
натуральное число , восьмая часть от которого на 3 меньше его шестой части . |
|
Найдите
|
разность между первым и вторым числом . |
|
Найдите
|
значение выражения а3 минус b3 , если известно , что а минус равно 4 и а b равно -2,5 . |
|
Найдите
|
объединение и пересечение множеств А и В . б ) |
|
Найдите
|
произведение этих чисел . |
|
Найдите
|
величину большего угла этого треугольника . |
|
Найдите
|
целое число , которое при увеличении на 6,25 дает тот же результат , что и при умножении на 7,25 . |
700 |
Найдите
|
загаданные рациональные числа , если известно , что . |
|
Найдите
|
частное от деления второго числа на первое . |
|
Найдите
|
значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -7 и аb равно 6,5 . |
343 |
Найдите
|
остаток от деления 555222 на 6 . |
|
Найдите
|
корни уравнений . |
|
Найдите
|
множество решений уравнения . |
655 |
Найдите
|
значение выражения . |
45 |
Найдите
|
множество целых решений неравенства . |
|
Найдите
|
сумму многочленов Р , Q и R . а ) Мастерская по реставрации картин получила заказ от своего клиента . |
|
Найдите
|
девять последовательных целых чисел , сумма первых трех из которых равна сумме шести последних . |
Найдите девять последовательных составных чисел ; б ) |
Найдите
|
тринадцать последовательных составных чисел . |
|
Найдите
|
девять последовательных составных чисел ; б ) Найдите тринадцать последовательных составных чисел . |
Длина ломаной ABCD равна 13,5 см. Известно , что АВ равно 1/6 расстояния между ее началом и концом , ВС на 5,1 см больше АВ , a CD на 3,6 см меньше ВС. |
Найдите
|
длину звена АВ этой ломаной . |
|
Найдите
|
все неположительные решения неравенства . |
|
Найдите
|
остаток при делении числа b на 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 . |
|
Найдите
|
его значение при указанных значениях переменных . |
|
Найдите
|
значение аргумента , при котором значение функции равно у1 , у2 и у3 . |
|
Найдите
|
два решения этого неравенства , большие 2,4 . |
83 а ) |
Найдите
|
значение выражения . |
365 |
Найдите
|
наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 591 по модулю . |
223 |
Найдите
|
значение выражения при указанных значениях переменных . |
82 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
остаток при делении числа b на 2 , на 7 . |
77 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
собственную скорость движения моторной лодки , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч . |
695 |
Найдите
|
загаданные рациональные числа , если известно , что . |
|
Найдите
|
сумму этих чисел . |
|
Найдите
|
наибольший общий делитель чисел . |
|
Найдите
|
скорости , с которой летели оба эти самолета , если скорость Су-34 была в два раза больше скорости Ил-96 . б ) Из Москвы в Самару вышел теплоход со скоростью 20 км / ч . |
|
Найдите
|
эти числа , если известно , что третье число на 55 больше суммы всех остальных . |
418 |
Найдите
|
значение выражения при данных значениях переменных . |
|
Найдите
|
собственную скорость лодки , если скорость течения реки равна 2 км / ч . б ) Теплоход проехал 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 час . |
|
Найдите
|
сумму многочленов Р , Q и R . |
|
Найдите
|
среднюю скорость движения лодки . |
|
Найдите
|
расстояние между этими туристическими стоянками , если скорости туристов были равны 5 км / ч и 4 км / ч . б ) Из пунктов А и В , находящихся на реке на расстоянии 130 км друг от друга , отплыли одновременно в противоположных направлениях два катера . |
|
Найдите
|
скорость второго автобуса . |
|
Найдите
|
эти числа , если известно , что третье число на 36 больше суммы всех остальных . |
|
Найдите
|
два решения этого неравенства , меньшие -3,5 . |
481 |
Найдите
|
остаток от деления числа 38200 на 9 . |
|
Найдите
|
область определения и область значений этой функции . |
426 |
Найдите
|
значение выражения если . |
278 |
Найдите
|
наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m . |
|
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
три значения x , таких , что . |
377 |
Найдите
|
простые числа , лежащие между числами а и b . |
|
Найдите
|
длину ребра первого куба , если объем второго куба равен 343 см3 . |
177 |
Найдите
|
модуль каждого из указанных чисел . |
|
Найдите
|
это число . б ) Числа 3311 , 1935 , 1376 дают равные остатки при делении на натуральное число , большее 1 . |
329 |
Найдите
|
остаток от деления а на b ? . |
|
Найдите
|
равносильные утверждения . |
|
Найдите
|
значение аргумента , при котором значение функции равно y1 , у2 и у3 . |
|
Найдите
|
расстояние между этими пунктами , если скорости бегунов были равны 12 км / ч и 15 км / ч . б ) Два поезда выехали одновременно в одном направлении из двух разных городов , находящихся на расстоянии 160 км друг от друга . |
204 |
Найдите
|
значение выражения при указанных значениях переменных . |
714 |
Найдите
|
загаданные рациональные числа , если известно , что произведение первого и третьего из них равно 20 . |
|
Найдите
|
множество целых решений неравенства . |
|
Найдите
|
значение буквенного выражения при указанных значениях букв . |
280 |
Найдите
|
три значения х , таких , что . |
711 |
Найдите
|
загаданные рациональные числа , если известно , что . |
362 |
Найдите
|
неполное частное и остаток при делении на ( -11 ) следующих чисел . |
|
Найдите
|
значения выражения . |
494 |
Найдите
|
значение выражения рациональным способом . |
|
Найдите
|
наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m . |
|
Найдите
|
собственную скорость движения катера , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч . |
178 |
Найдите
|
величину отношений . |
|
Найдите
|
средний результат Миши по бегу на 500 м ( с точностью до сотых минуты ) , моду , размах и медиану представленного числового набора . |
|
Найдите
|
периметр прямоугольника , длина которого на 6 см больше ширины , а площадь равна 72 см2 . |
715 |
Найдите
|
значение выражения при указанных значениях переменных . |
|
Найдите
|
неполное частное и остаток при делении на ( -6 ) следующих чисел . |
|
Найдите
|
это число . |
|
Найдите
|
с точностью до сотых среднюю скорость движения катера . |
|
Найдите
|
длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины . |
127 |
Найдите
|
ошибки в записи многочлена в стандартном виде или докажите , что запись сделана верно . |
|
Найдите
|
значения х , при которых . |
|
Найдите
|
произведение двучленов ( х плюс 1)(х минус 2 ) . |
211 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение . |
|
Найдите
|
частное и остаток от деления полученного результата на 7 . |
374 |
Найдите
|
среднее арифметическое указанных чисел . |
|
Найдите
|
неполное частное и остаток при делении на ( -12 ) следующих чисел . |
237 |
Найдите
|
значение выражения при указанных значениях переменных . |
128 |
Найдите
|
одно значение переменной , при котором значение многочлена равно А . |
|
Найдите
|
сумму квадратов и сумму кубов n первых натуральных чисел для . |
91 |
Найдите
|
причины следующих недоразумений . |
404 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
среднее арифметическое количества собранных мальчиками постеров ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора . |
277 |
Найдите
|
наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 235 по модулю . |
89 |
Найдите
|
ошибки в следующих рассуждениях . |
356 |
Найдите
|
первое простое число , следующее за числом . |
|
Найдите
|
вероятность того , что случайно названное трехзначное натуральное число окажется равным задуманному . |
|
Найдите
|
область определения и область значений этих зависимостей . |
|
Найдите
|
ее значение в точках . |
250 а ) |
Найдите
|
значения выражений . |
|
Найдите
|
равносильные высказывания . |
|
Найдите
|
все пары чисел тип , для которых это будет верно . |
210 |
Найдите
|
все делители числа а , которые кратны числу b . |
248 |
Найдите
|
среднее арифметическое указанных чисел . |
|
Найдите
|
значения полученных выражений для чисел : а ) 8 и 2 ; б ) -4 и 3 ; в ) 7 и -5 ; г ) -9 и -6 . |
|
Найдите
|
объединение и пересечение множеств А и В. Постройте диаграмму Эйлера - Венна и отметьте на ней все элементы данных множеств . |
|
Найдите
|
коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и В , если . |
244 |
Найдите
|
неполное частное и остаток при делении на ( -5 ) следующих чисел . |
|
Найдите
|
остаток от деления на 23 числа , если . |
|
Найдите
|
остаток от деления этого числа на 56 . г ) Найдите все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 . |
|
Найдите
|
координату точки С если известно , что . |
Найдите остаток от деления этого числа на 28 . б ) |
Найдите
|
все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 . |
|
Найдите
|
скорости обоих поездов , если скорость пассажирского поезда в 1,5 раза больше скорости товарного . |
|
Найдите
|
сумму всех полученных семи чисел , если шестое число оказалось равно 16 . |
|
Найдите
|
корни линейного уравнения ( устно ) . |
|
Найдите
|
все пары чисел m и n , для которых это будет верно . |
|
Найдите
|
с точностью до сотых км / ч среднюю скорость движения яхты . |
|
Найдите
|
собственную скорость движения яхты , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч . |
|
Найдите
|
собственную скорость движения катера , если скорость течения реки равнялась 2 км / ч . |
|
Найдите
|
с точностью до десятых среднюю скорость движения катера . |
|
Найдите
|
значение зависимой переменной для указанных значений независимой переменной а . |
240 |
Найдите
|
среднее арифметическое указанных чисел . |
|
Найдите
|
два решения этого неравенства , меньшие -6 . |
238 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение . |
223 |
Найдите
|
числа х и у , если известно , что . |
540 |
Найдите
|
значение выражения . |
Найдите остаток от деления этого числа на 56 . г ) |
Найдите
|
все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 . |
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение . |
|
Найдите
|
длину ломаной ABEFD . б ) Величина первого утла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше третьего . |
|
Найдите
|
все числа , которые при делении на 3 дают остаток 1 , а при делении на 4 — остаток 3 . |
|
Найдите
|
неверные значения и исправьте их . |
|
Найдите
|
все значения х , удовлетворяющие равенству . |
|
Найдите
|
целое число , которое на 48 больше противоположного себе числа . |
302 |
Найдите
|
значение выражения при данных значениях переменных . |
592 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
значение выражения у1 - 2у2 плюс 3у3 - 4у4 плюс 5у5 если у равно 1 , у равно -1 , у равно 2 . |
305 |
Найдите
|
все значения х , при которых . |
15 а ) |
Найдите
|
значение выражения х1 плюс х2 плюс х3 плюс х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 . |
391 |
Найдите
|
значение выражения . |
14 |
Найдите
|
значение выражения . |
306 |
Найдите
|
значение выражения , если известно , что . |
|
Найдите
|
ответ на поставленный в задаче вопрос . |
|
Найдите
|
загаданные числа . |
6 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
натуральное число , которое больше своей четверти на 81 |
|
Найдите
|
значение выражения х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения . |
401 |
Найдите
|
значение выражения . |
312 |
Найдите
|
наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m . |
|
Найдите
|
рациональное число , среднее арифметическое которого с числом 916 равно 619 . |
|
Найдите
|
наименьшее значение выражения . |
|
Найдите
|
наибольшее значение выражения . |
|
Найдите
|
углы этого треугольника , если сумма первого и третьего углов равна 120 ° . |
|
Найдите
|
средний результат Ирины по метанию мяча ( с точностью до десятых метра ) , моду , размах и медиану представленного числового набора . |
|
Найдите
|
среднее арифметическое собранных мальчиками значков , моду , размах и медиану представленного числового набора . |
206 |
Найдите
|
НОД чисел а и b наиболее рациональным способом . |
|
Найдите
|
остаток от деления этого числа на 15 . б ) |
|
Найдите
|
три точки , принадлежащие графику функции , координаты которых являются целыми числами . |
|
Найдите
|
значения полученных выражений для чисел . |
|
Найдите
|
остаток от деления этого числа на 28 . б ) Найдите все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 . |
754 |
Найдите
|
значения выражений рациональным способом . |
|
Найдите
|
остаток от деления этого числа на 40 . б ) |
|
Найдите
|
все числа , которые при делении на 9 дают остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 4 . |
|
Найдите
|
все пары чисел k и р , для которых это будет верно . |
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение . |
346 |
Найдите
|
наименьшее значение выражения . |
|
Найдите
|
допустимые значения переменных и докажите тождество . |
762 |
Найдите
|
значение выражений . |
560 |
Найдите
|
значение выражения . |
Выберите из предложенных зависимостей между переменными у и х линейные функции , запишите их в виде и определите коэффициенты k и b. |
Найдите
|
область определения и область значений этих функций . |
777 |
Найдите
|
значение выражения если известно , что . |
422 |
Найдите
|
ошибку в рассуждении . |
567 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
: 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если . |
148 |
Найдите
|
НОД и НОК чисел а и b . |
353 |
Найдите
|
наибольшее натуральное число , делящееся на 72 , в записи которого по одному разу участвуют все 10 цифр . |
|
Найдите
|
длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 6 м больше его ширины . |
|
Найдите
|
верные высказывания . |
457 |
Найдите
|
остаток при делении числа а на 21 , если известно , что . |
576 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
периметр прямоугольника , длина которого на 12 см больше ширины , а площадь равна 133 см2 . |
366 |
Найдите
|
наибольшее значение выражения . |
770 |
Найдите
|
все натуральные значения х , удовлетворяющие равенствам . |
367 |
Найдите
|
наименьшее значение выражения . |
|
Найдите
|
два способа построения графика линейной функции и примените их для построения графика функции . |
|
Найдите
|
остаток от деления а на b . |
447 |
Найдите
|
остаток при делении числа а на b , если известно ? . |
|
Найдите
|
объединение и пересечение множеств А и В , нарисуйте для них диаграмму Эйлера - Венна . |
441 |
Найдите
|
значение буквенного выражения при указанных значениях букв . |
768 |
Найдите
|
множество целых решений неравенства . |
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение/. а ) Сколько существует трехзначных чисел , в записи которых встречаются только цифры 3 , 4 , 8 , 9 ? |
433 |
Найдите
|
и запишите числа , противоположные данным . |
345 |
Найдите
|
наибольшее значение выражения . |
|
Найдите
|
вероятность того , что случайно названное однозначное натуральное число окажется равным задуманному . |
344 |
Найдите
|
наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел . |
342 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
эти числа . |
|
Найдите
|
наименьшее натуральное х , такое , что . |
|
Найдите
|
. 1 ) значение у при х , равном а . |
137 |
Найдите
|
НОД и НОК чисел а и b . |
|
Найдите
|
длину данного прямоугольника , если его площадь равна 9 см2 . |
786 |
Найдите
|
загаданные рациональные числа , если известно , что . |
|
Найдите
|
остаток от деления на 13 числа . |
|
Найдите
|
собственную скорость движения теплохода , если скорость течения реки равнялась 2 км / ч . |
332 |
Найдите
|
значение выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях переменных . |
233 |
Найдите
|
неполное частное и остаток при делении на ( -7 ) следующих чисел . |
если . |
Найдите
|
значения выражений . |
|
Найдите
|
с точностью до сотых среднюю скорость движения теплохода . |
551 |
Найдите
|
значение выражения . |
232 |
Найдите
|
неполное частное и остаток при делении на 7 следующих чисел . |
338 |
Найдите
|
( устно ) значение выражения а2 минус b2 , если известно , что . |
|
Найдите
|
два решения этого неравенства , большие 1,5 . |
782 |
Найдите
|
значение выражения . |
504 |
Найдите
|
допустимые значения переменных и докажите тождества . |
503 |
Найдите
|
значение буквенного выражения при указанных значениях букв . |
781 |
Найдите
|
наибольшее значение выражения . |
481 |
Найдите
|
допустимые значения переменных и докажите тождества . |
480 |
Найдите
|
значение буквенного выражения при указанных значениях букв . |
|
Найдите
|
ее область определения и докажите , что она является функцией . |
780 |
Найдите
|
наименьшее значение выражения . |
756 |
Найдите
|
значение выражения при данных значениях переменных . |
467 |
Найдите
|
допустимые значения переменных и докажите тождества . |
466 |
Найдите
|
значение буквенного выражения при указанных значениях букв . |
|
Найдите
|
длину стороны исходного квадрата . |
|
Найдите
|
множества решений неравенств . |
460 |
Найдите
|
числа , обратные данным при допустимых значениях переменных . |
|
Найдите
|
координату точки С , если известно , что . |
315 |
Найдите
|
два значения х , для которых верно данное сравнение . |
516 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения данного графика на координатной плоскости . |
390 |
Найдите
|
значение выражения при данных значениях переменных . |
|
Найдите
|
первое простое число , следующее за числом . |
282 |
Найдите
|
значение выражения , если известно , что . |
|
Найдите
|
эти числа , если 6,5 % одного из них равны 8,5 % другого . |
28 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 214 по модулю . |
263 |
Найдите
|
значение выражения при данных значениях переменных . |
|
Найдите
|
значение выражения а1 - а2 плюс а3 - а4 плюс а5 , если а равно 2 , а равно 0 , а равно -1 . |
|
Найдите
|
по графику : 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если . |
|
Найдите
|
все числа , которые при делении на 8 дают остаток 5 , а при делении на 5 дают остаток 2 . |
394 а ) |
Найдите
|
значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -6 и ab равно 3,5 |
|
Найдите
|
коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и . |
|
Найдите
|
остаток от деления на 17 чисел , если . |
166 |
Найдите
|
модуль каждого из указанных чисел . |
|
Найдите
|
среднее арифметическое ( с точностью до десятых ) , моду , размах и медиану представленного числового набора . |
|
Найдите
|
корни уравнения . |
|
Найдите
|
эти числа , если 2,25 % одного из них равны 8 % другого . |
|
Найдите
|
длину всего пути . |
|
Найдите
|
значение выражения а3 минус b3 , если известно , что а минус b равно 5и ab равно -4,6 . |
281 |
Найдите
|
значение выражения а2 плюс b2 плюс с2 , если известно , что . |
521 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
все пары чисел т и п , для которых это будет верно . |
671 |
Найдите
|
значение выражения . |
32 а ) |
Найдите
|
значения числовых выражений А и В . |
|
Найдите
|
средний результат Коли по прыжкам в длину ( с точностью до единиц сантиметров ) , моду , размах и медиану представленного числового набора . |
278 |
Найдите
|
наименьшее значение выражения . |
611 |
Найдите
|
все натуральные значения х , удовлетворяющие равенствам . |
|
Найдите
|
значение выражения b1 плюс 2 b 2 плюс 3b3 плюс 4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 . |
123 |
Найдите
|
множество целых решений неравенств . |
|
Найдите
|
три числа , сравнимых с А по модулю В . |
525 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. |
Найдите
|
их пересечение и объединение . |
279 |
Найдите
|
наибольшее значение выражения . |
|
Найдите
|
среднее арифметическое собранных девочками открыток ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора . |
|
Найдите
|
ее область определения . |
|
Найдите
|
ее значение в точках х1 , х2 и х3 . |
734 |
Найдите
|
значение выражения при указанных значениях переменных . |
269 |
Найдите
|
значение выражения а2 плюс b2 , если известно , что . |
161 |
Найдите
|
простые числа , лежащие между числами а и b . |
|
Найдите
|
среднее арифметическое ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора . |
670 |
Найдите
|
корни уравнения . |
24 |
Найдите
|
значение выражения . |
618 |
Найдите
|
значение выражения . |
732 |
Найдите
|
сумму и разность многочленов Р и Q . |
|
Найдите
|
простые числа , лежащие между числами а и b . |
|
Найдите
|
длину данного прямоугольника , если его площадь равна 9 см2 » . |
626 |
Найдите
|
значение выражения . |
290 |
Найдите
|
наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m . |
|
Найдите
|
их . |
|
Найдите
|
величину меньшего угла этого треугольника . |
|
Найдите
|
остаток от деления этого числа на 63 . б ) |
|
Найдите
|
вероятность того , что случайно названное двузначное натуральное число окажется равным задуманному . |
|
Найдите
|
сумму многочленов Р и Q и запишите получившийся многочлен в стандартном виде . |
167 |
Найдите
|
величину отношений . |
270 |
Найдите
|
значение выражения х2 плюс если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? . |
|
Найдите
|
область определения и область значений каждой функции . |
|
Найдите
|
больший угол этого треугольника . |
Запишите подмножество В четных чисел и подмножество С нечетных чисел множества А. |
Найдите
|
объединение и пересечение подмножеств В и С . |
606 |
Найдите
|
значение выражения . |
|
Найдите
|
средний результат этой команды , моду , размах и медиану представленного числового набора . |
|
Найдите
|
ее значения в точках x1 , х2 и х3 |
526 |
Найдите
|
неполное частное и остаток при делении на ( -9 ) следующих чисел . |
19 |
Найдите
|
множество целых решений неравенства . |
|
Найдите
|
величину второго угла этого треугольника . |
|
Найдите
|
три числа , дающих при делении на В такие же остатки , как А . |
275 |
Найдите
|
все значения х , при которых . |
1 |
Найти
|
области значений переменных . |
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и b . 1 |
Найти
|
наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а . |
1 |
Найти
|
в уравнении все выражения , содержащиеся под знаком модуля . |
|
Найти
|
все решения , удовлетворяющие построенной модели . |
1 |
Найти
|
d НОД . |
|
Найти
|
этот общий множитель и обозначить его С . |
|
Найти
|
значение многочлена 4n5 плюс 3n2 минус 8 , если . |
2 |
Найти
|
все общие простые множители этих чисел и записать их произведение . |
|
Найти
|
общий буквенный множитель С всех членов многочлена . |
1 |
Найти
|
в неравенстве все выражения , содержащиеся под знаком модуля . |
3 |
Найти
|
точку пересечения этой прямой с графиком функции . |
1 |
Найти
|
сумму всех зависимых величин . |
1 |
Найти
|
абсциссу , равную х . |
3 |
Найти
|
и записать степени переменных . |
1 |
Найти
|
корни уравнения . |
7 |
Найти
|
пересечение полученных множеств решений и соответствующих числовых промежутков . |
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на b . 1 |
Найти
|
наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее делимого а . |
|
Найти
|
наибольший общий делитель чисел 71 004 и 154 452 . |
2 |
Найти
|
корни уравнения . |
|
Найти
|
скорость , с которой ехали оба автомобиля , если скорость одного из них была в 1,5 раза больше скорости другого . |
2 |
Найти
|
долю каждой зависимой величины в общей сумме . |
|
Натуральная
|
степень положительного рационального числа представляет собой произведение положительных чисел ( или само число ) . |
в ) |
Натуральное
|
число является составным , если оно имеет более двух различных делителей . |
|
Натуральное
|
число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 . |
|
Натуральное
|
число делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 3 . |
|
Натуральное
|
число а делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число с , что . |
|
Натуральное
|
число , кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому числу . |
а ) |
Натуральное
|
число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя . |
|
Натуральное
|
число делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 . |
|
Натуральное число
|
а делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число с , что . |
|
Натуральное число
|
делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 . |
|
Натуральное число
|
делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 . |
|
Натуральное число
|
, кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому числу . |
|
Натуральное число
|
делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 3 . |
а ) |
Натуральное число
|
, кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя . |
в ) |
Натуральное число
|
является составным , если оно имеет более двух различных делителей . |
|
Натуральные
|
числа появились в процессе счета предметов и измерения величин для ответа на вопрос « Сколько ? » . |
|
Натуральные числа
|
появились в процессе счета предметов и измерения величин для ответа на вопрос « Сколько ? » . |
Д |
Неправильная дробь
|
больше или равна 1 . |
|
Неравенства
|
могут быть всегда истинными или всегда ложными . |
|
Неравенства
|
. ( Нет решений ) . |
|
Неравенство
|
строгое . |
|
Неравенство
|
. |
|
Неравенство
|
нестрогое . |
|
Неравенство
|
имеет натуральные решения . |
|
Неравенство
|
сохранится , если каждое из чисел 65 , 11х и 83 мы разделим на 11 , поэтому . |
|
Неравенство
|
верно при любом значении х. Значит , решением исходного неравенства является вся числовая прямая . |
г ) |
Нечетное
|
число - это натуральное число , которое при делении на 2 дает ос таток 1 . |
Можно найти натуральное число , которое делится на 3 . б ) |
Нечетные
|
числа при делении на 2 дают остаток 1 . |
|
Нуль
|
в любой натуральной степени равен нулю . |
|
Одночлен
|
. |
М |
Окружность
|
- это не прямая . |
а ) |
Окружность
|
- это не квадрат . б ) У квадрата все углы равны . |
Определите коэффициент пропорциональности функции , проходящей через точку А. |
Опишите
|
расположение ее графика в координатной плоскости . |
|
Ордината
|
. |
|
Основание
|
степени . |
в ) Некоторые натуральные числа , делящиеся на 3 , делятся на 9 . г ) |
Остаток
|
при делении натурального числа на 2 равен либо 0 , либо 1 . |
|
Остаток
|
денежных средств в кассе первого магазина в 3 раза больше , чем во втором магазине . |
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) |
Остаток
|
от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 . |
г ) Четные числа - это натуральные числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) |
Отрезком
|
называется часть прямой , ограниченная двумя точками . |
|
Отрезок
|
. |
|
Отрицательное
|
число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное . |
|
Переменная
|
s в метрах при этом принимает значения из некоторого множества . |
в ) |
Переменной
|
величиной называется буквенное обозначение для элемента некоторого множества . |
|
Перестановка
|
слагаемых . |
|
Перестановка
|
слагаемых позволяет избежать ошибок при составлении групп , особенно тогда , когда слагаемых достаточно много . |
17 |
Периметр
|
прямоугольного участка земли равен 62 м , а разность между его длиной и шириной равна 5 м . |
|
Периодичность
|
в повторении остатков , которую мы обнаружили , является общим свойством остатков всех натуральных степеней . |
311 |
Площади
|
лесных участков номер 1 , 2 и 3 относятся соответственно как , причем площадь третьего участка на 135 га меньше площади первого . |
|
Площадь
|
первого квадрата , с одной стороны , равна ( а плюс b)2 , а с другой стороны , равна а2 плюс b2 плюс ab плюс ab . |
|
Площадь
|
данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . . |
|
Подобные
|
одночлены . |
|
Подобными
|
являются , например , одночлены -3а2b и а2b . |
|
Показатель
|
степени . |
|
Полуинтервал
|
. |
|
Порядок
|
действий как в числовых , так и в буквенных ( алгебраических ) выражениях может быть задан расстановкой скобок разного вида , например круглых или квадратных . |
|
Порядок
|
действий в выражениях , содержащих степени . |
|
Порядок
|
действий в выражениях , содержащих степени стр. 5 . |
|
Порядок
|
освобождает мысль . |
|
Последовательность
|
чисел : 3 , 9 , 27 , 81 , 243 , 729 устроена таким образом , что в ней каждое следующее число в три раза больше предыдущего . |
Разделим обе его части на х — 5 , получим : |
Правая
|
часть равенства равна 0 , а левая после сокращения на равна 3 . |
|
Правая
|
часть равенства равна 0 , а левая после сокращения равна . |
|
Правая
|
часть равенства равна 0 , а левая после сокращения на равна 7 . |
|
Правая
|
часть равенства равна 0 , а левая после сокращения на равна 2 . |
|
Правильная
|
дробь всегда меньше неправильной . з ) |
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) |
Правильная
|
дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя . |
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) |
Правильная дробь
|
- это дробь , числитель которой меньше знаменателя . |
|
Правильная дробь
|
всегда меньше неправильной . з ) |
|
Приведем
|
примеры . |
|
Приведем
|
данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства , а числа — в правой и упростим полученные выражения . |
|
Приведем
|
данное неравенство к виду , где k , с Q. При этом результаты равносильных преобразований будем записывать друг под другом . |
|
Приведем
|
каждый из одночленов данной алгебраической суммы к стандартному виду и упростим полученное выражение . |
|
Приведем
|
данное неравенство к виду , где k , с е Q , используя правила равносильных преобразований . |
76 |
Приведите
|
подобные слагаемые . |
97 |
Приведите
|
одночлен к стандартному виду , определите его коэффициент и степень . |
110 |
Приведите
|
одночлен к стандартному виду , определите его коэффициент и степень . |
|
Приведите
|
два своих примера равносильных высказываний . |
|
Приведите
|
примеры других величин , связанных аналогичной зависимостью . |
Все положительные числа являются решениями неравенства |
Приведите
|
дроби к общему знаменателю . |
561 |
Приведите
|
дроби к общему знаменателю . |
|
Приведите
|
дроби к общему знаменателю . |
|
Приведите
|
свой пример равносильных высказываний . |
129 |
Приведите
|
пример трехчлена с одной переменной х , значение которого . |
|
Привести
|
примеры таких суждений можно , опираясь на простые ситуации из повседневной жизни , где , как и в математике , мы постоянно рассуждаем и делаем разные выводы . |
2 |
Привести
|
подобные слагаемые . |
|
Произведение
|
не кратно 10 . |
|
Произведение
|
первого и третьего из них равно ( -6 ) . |
2 |
Произведение
|
нескольких дробей можно записать как единую дробь , числитель которой равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей . |
|
Произведение
|
и частное степеней . |
|
Произведение
|
их полных лет равно 20 677 . |
147 Докажите утверждение : а ) |
Произведение
|
любых пяти последовательных чисел делится на 60 ; б ) Число , записываемое 80 двойками , 80 единицами и 80 нулями , не может быть точным квадратом . |
а ) |
Произведение
|
любых шести последовательных целых чисел делится на 360 . б ) Число , записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом . |
|
Произведение
|
, состоящее из числовых множителей и множителей - переменных , называется одночленом . |
Сумма кратна 9 . д ) |
Произведение
|
делится на 25 . е ) Произведение не кратно 9 . ж ) |
Сумма кратна 9 . д ) Произведение делится на 25 . е ) |
Произведение
|
не кратно 9 . ж ) |
в ) |
Произведение
|
любых семи последовательных чисел делится на 2520 . г ) Число , записываемое 100 двойками , 100 единицами и 100 нулями , не может быть точным квадратом . |
|
Произведение
|
нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю . |
|
Произведение
|
нескольких множителей тогда и только тогда равно нулю , когда хотя бы один из множителей равен нулю . |
|
Произведение
|
разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений . |
в ) |
Произведение
|
двух отрицательных рациональных чисел есть число положительное . |
|
Произведение
|
всех числовых множителей одночлена называется коэффициентом одночлена . |
|
Произведение
|
степеней . многочлена и одночлена . |
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) |
Произведение
|
модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж ) |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) |
Произведение
|
чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 . |
|
Произведение
|
суммы квадратов b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля разности квадратов а и b . |
|
Произведением
|
двух натуральных чисел а и b называется сумма b слагаемых , каждое из которых равно а . |
|
Произведением
|
двух многочленов называется многочлен , равный сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого многочлена . |
|
Произведением
|
одночлена и многочлена называется многочлен , равный сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена . |
и ) |
Простое число
|
5 является нечетным . |
2 |
Простые числа
|
. |
|
Простые числа
|
до 1000 . |
|
Простые числа
|
занимают особое место среди всех натуральных чисел . |
Теорема 2 |
Простых чисел
|
существует бесконечно много . |
1 |
Прямая
|
пропорциональность . |
|
Прямая
|
пропорциональность задана таблицей . |
|
Прямая
|
пропорциональность . |
|
Прямая
|
проходит через начало координат и точку А. Является ли эта прямая графиком функции , если . |
|
Прямая
|
проходит через точки А и В. Задайте аналитически линейную функцию , графиком которой является эта прямая , и постройте ее график . |
Рассчитайте сумму , которую должны заплатить за отопление за апрель эти четыре компании , если известно , что компания , которая платит за электроэнергию больше всех , заплатила за апрель 17 500 р . г ) |
Прямоугольный
|
участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 6000 . |
|
Прямоугольный
|
участок земли , площадь которого равна 30 000 м2 , изображен на плане . |
|
Прямоугольный
|
участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 7000 . |
|
Прямоугольный
|
участок земли , площадь которого равна 2700 м2 , изображен на плане . |
в ) |
Прямоугольный
|
участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1:5000 . |
б ) |
Прямоугольный
|
участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 9000 . |
|
Путь
|
из пункта А в пункт В велосипедист проехал со скоростью v км / ч за t ч . |
|
Путь
|
от А до В равен ut км , при этом v больше 0 и t больше 0 . |
|
Путь
|
, пройденный в конце данного промежутка времени . |
|
Равенства
|
, справедливые при любых значениях входящих в них букв , называют тождествами . |
а ) Равенство т(т плюс 1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б ) |
Равенство
|
9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k . |
56 Докажите прямым и косвенным методом : а ) |
Равенство
|
неверно при любом ; натуральном n ; б ) Равенство неверно при любом . |
56 Докажите прямым и косвенным методом : а ) Равенство неверно при любом ; натуральном n ; б ) |
Равенство
|
неверно при любом . |
а ) |
Равенство
|
2х(х плюс 1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б ) Равенство 18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у . |
|
Равенство
|
. |
а ) |
Равенство
|
т(т плюс 1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б ) Равенство 9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k . |
|
Равенство
|
неверно при любом . |
а ) Равенство 2х(х плюс 1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б ) |
Равенство
|
18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у . |
|
Разделив
|
обе части данного равенства на общий множитель , получаем , что 2 5 . |
|
Разделив
|
обе части этого равенства на общий множитель получаем . |
|
Разделив
|
последнее равенство на 10 , получаем : 1 см 100 мм . |
|
Разделив
|
обе части этого равенства на общий множитель получаем , что . |
|
Разделив
|
последнее равенство на 10 , получаем . |
|
Разделив
|
обе части данного неравенства на 4 , получим х. И так как по условию х , то х может принимать лишь целые значения из промежутка . |
|
Разделим
|
обе части этого равенства на общий множитель . |
|
Разделим
|
целые числа на три класса в зависимости от их остатков от деления на 3 . |
|
Разделим
|
обе части последнего равенства на 10 . |
Разделите число 1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б ) |
Разделите
|
число 2438 на четыре части пропорционально числам 3 , 4 , 9 , 10 . |
|
Разделите
|
число 2420 на четыре части пропорционально числам 2 , 3 , 8 . |
|
Разделите
|
число 1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б ) Разделите число 2438 на четыре части пропорционально числам 3 , 4 , 9 , 10 . |
|
Разделите
|
число 2478 на три части пропорционально числам 2 , 5 , 7 . |
|
Разделить
|
с остатком А на В . |
|
Разделить
|
число а на число b с остатком значит представить число а в виде . |
2 |
Разделить
|
k на делитель b , в ответе - неполное частное с . |
|
Разложение
|
многочлена на множители . |
4 |
Разложение
|
многочленов на множители с применением нескольких способов . |
4 |
Разложение
|
многочленов на множители . |
545 |
Разложите
|
трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов . |
|
Разложите
|
на множители многочлен х2 плюс 4х плюс 3 . |
|
Разложите
|
на множители многочлен . |
|
Разложите
|
на множители многочлен х6 минус 2х3 плюс 1 . |
621 |
Разложите
|
на множители . |
Убедитесь в том , что все члены многочлена не имеют общего буквенного множителя : |
Разложите
|
данный многочлен на множители , группируя члены , имеющие общие множители . |
|
Разложите
|
на множители многочлен у3 плюс у2 минус х2 минус х3 . |
|
Разложите
|
на множители многочлен 3у2 плюс 7у минус 10 . |
|
Разложите
|
на множители . |
|
Разложите
|
на множители многочлен х6 плюс 5х3 плюс 4 . |
622 |
Разложите
|
на множители . |
569 |
Разложите
|
трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов . |
596 |
Разложите
|
на множители . |
|
Разложите
|
многочлен на множители , используя способ группировки . 2 ) Какой формулой сокращенного умножения можно воспользоваться , чтобы разложить этот многочлен на множители ? |
|
Разложите
|
на множители многочлен 3с минус 1 минус 3с2 плюс с3 . |
|
Разложите
|
на множители многочлен х4 плюс 4 . |
|
Разложите
|
многочлен на множители , используя эту формулу . |
|
Разложите
|
на множители многочлен х4 минус 1 . |
651 |
Разложите
|
на множители . |
676 |
Разложите
|
на множители . |
|
Разложите
|
многочлен на множители . |
|
Разложите
|
многочлен на множители , выделяя полный квадрат . |
|
Разложите
|
на множители многочлен : а4 плюс ах2 минус а2х минус х4 . 2 ) |
648 |
Разложите
|
трехчлен на множители , выделяя полный квадрат . |
|
Разложить
|
многочлен на множители не всегда легко , а порой и невозможно . |
1 |
Разложить
|
каждое число на простые множители . |
|
Разложить
|
многочлен на множители ( на буквенные множители ) — это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов , степень которых больше нуля . |
2 |
Разность
|
квадратов . |
339 а ) |
Разность
|
квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 11 . |
|
Разность
|
двух чисел равна 58 . |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) |
Разность
|
чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 . |
|
Разность
|
двух рациональных чисел равна 438 . |
|
Разность
|
многочленов . |
а ) Трехзначное число , записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 . б ) |
Разность
|
любого четырехзначного числа и четырехзначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 . |
в ) |
Разность
|
двух натуральных чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть целым числом . |
|
Разность
|
кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы . |
|
Разность
|
квадрата числа х и частного чисел у и г . |
|
Разность
|
между 98 и увеличенным в девять раз первым натуральным числом равна увеличенному в пять раз второму натуральному числу . |
|
Разность
|
двух положительных рациональных чисел может быть числом отрицательным . |
|
Разность
|
двух рациональных чисел равна 3 , при этом модуль одного из этих чисел в 2 раза больше модуля другого числа . |
|
Разность
|
квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы . |
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) |
Разность
|
модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж ) |
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) |
Разность
|
квадратов чисел а и b. . |
|
Разность
|
квадратов двух последовательных четных чисел равна 28 . |
а ) |
Разностью
|
двух чисел называется число , такое , что . б ) Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество . |
|
Разностью
|
многочленов называется многочлен , равный сумме уменьшаемого и многочлена , противоположного вычитаемому . |
1 |
Рациональные
|
числа и законы арифметики . |
1 |
Рациональные числа
|
и законы арифметики . |
644 |
Рациональным
|
способом найдите значение выражения . |
Теорема 2 ( |
Рефлексивность
|
сравнений ) . |
Решите уравнение |
Решение
|
. |
|
Решение
|
. 1 ) Для того чтобы определить значение температуры в августе 2000 г. , находим в таблице строку , соответствующую 2000 г. , и находим столбец , соответствующий августу . |
|
Решение
|
неравенств с модулями . |
|
Решение
|
неравенства . |
|
Решение
|
уравнений с модулями . |
|
Решение
|
. |
|
Решение
|
линейных уравнений в целых числах . |
|
Решение
|
уравнений требует также и умения упрощать входящие в него выражения . |
Решите неравенство : |
Решение
|
. |
Решите равнение |
Решение
|
. |
|
Решение
|
: Наименьшее значение веса семиклассников равно 35 кг , наибольшее — 55 кг , а размах числового набора равен разности между наибольшим и наименьшим значением , то есть 20 кг . |
5 |
Решение
|
задач с помощью разложения многочленов на множители . |
5 |
Решение
|
задач с помощью сравнений . |
|
Решением
|
неравенства будет объединение всех полученных решений . |
|
Решением
|
исходного неравенства является объединение множеств решений , полученных на всех числовых промежутках . |
|
Решения
|
неравенства . |
|
Решения
|
. |
|
Решения
|
уравнений . |
|
Решения
|
линейных неравенств . |
|
Система
|
аксиом для множества натуральных чисел была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке . |
3 |
Сложение
|
и вычитание многочленов . |
|
Сложите
|
числа , расположенные в каждой из первых шести строк треугольника Паскаля . |
4 |
Сложить
|
по « столбцам » подобные слагаемые и записать полученные результаты . |
3 |
Сложить
|
по « столбцам » подобные слагаемые и записать полученные результаты . |
|
Собственная
|
скорость первой яхты равна 25 км / ч , а второй — 30 км / ч . |
|
Собственная
|
скорость лодки равна 7 км / ч , а скорость течения реки равна 2 км / ч . |
|
Собственная
|
скорость катера равна 14,5 км / ч . |
|
Собственная
|
скорость первого катера равна 26 км / ч , а второго — 24 км / ч . |
|
Собственная
|
скорость первого теплохода равна 31 км / ч , а второго - 35 км / ч . |
|
Собственная
|
скорость лодки равна 6 км / ч . |
|
Собственная
|
скорость первого теплохода равна 27 км / ч , а второго - 31,5 км / ч . |
332 Найдите значение выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
391 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
604 |
Сократите
|
дроби при допустимых значениях переменных . |
587 |
Сократите
|
дроби при допустимых значениях переменных . |
548 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
495 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
672 |
Сократите
|
дроби при допустимых значениях переменных . |
477 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
613 |
Сократите
|
дроби при допустимых значениях переменных . |
485 |
Сократите
|
дробь . |
757 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
763 |
Сократите
|
дроби . |
|
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
517 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
264 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
362 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
643 |
Сократите
|
дроби при допустимых значениях переменных . |
|
Сократите
|
дроби при допустимых значениях переменных . |
508 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
449 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
571 |
Сократите
|
дроби при допустимых значениях переменных . |
419 |
Сократите
|
дробь при допустимых значениях переменных . |
|
Среднее
|
арифметическое указанного числового набора равно . |
|
Среднее
|
арифметическое . |
|
Среднее
|
арифметическое является своеобразным критерием эффективности работы производства . |
|
Среднее арифметическое
|
является своеобразным критерием эффективности работы производства . |
|
Среднее арифметическое
|
. |
|
Средний
|
из них в 2 раза старше младшего . |
511 а ) |
Средний
|
возраст 12 игроков баскетбольной команды равен 24 года , а средний возраст этих игроков вместе с тренером равен 25 годам . |
6 ) |
Средний
|
возраст 20 спортсменов и одного тренера равен 25 годам . |
б ) |
Средний
|
возраст сотрудников пончиковой компании Антона и Ксюши равен 30 годам . |
г ) |
Средний
|
возраст врачей и больных в больнице равен 40 лет . |
|
Средним
|
арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество . |
|
Средним арифметическим
|
нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество . |
|
Средняя
|
цена одного пончика в пяти городах Центрального региона России равна 15,6 рублей , в восьми городах Северо - Западного региона — 16,8 рублей , а в семи городах Южного региона — 18,6 рублей . |
|
Средняя
|
цена одной коробки с пончиками равна 138 р . |
|
Средняя
|
скорость одной электрички равна 40 км / ч . |
1 |
Степень
|
с натуральным показателем . |
|
Степень
|
дроби . многочлена . |
|
Степень
|
нулевого одночлена не определяется . |
|
Степень
|
произведения и частного ( дроби ) . |
|
Степенью
|
ненулевого одночлена называется сумма показателей степеней входящих в одночлен переменных . |
|
Степенью
|
многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов при записи многочлена в стандартном виде . |
Какой могла быть эта цифра , если число делилось на . а ) |
Сторону
|
квадрата сначала уменьшили на 40 % , а затем увеличили на 40 % . |
|
Сумма
|
цифр загаданного четырехзначного числа равна 25 . |
а ) |
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 38 . |
|
Сумма
|
цифр числа делится на 3 Число делится на 3 . |
а ) |
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 17 . |
а ) |
Сумма
|
числа а и частного от деления b на с . б ) Частное от деления произведения чисел х и у на разность чисел m и n . |
|
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 28 . |
|
Сумма
|
кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » . |
а ) Если натуральное число больше 9 , то оно больше или равно 10 . б ) |
Сумма
|
двух натуральных чисел , каждое из которых больше 5 , меньше 9 . |
а ) Сумма трех последовательных четных чисел делится на 6 . б ) |
Сумма
|
трех последовательных нечетных чисел делится на 3 . |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) |
Сумма
|
чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 . |
а ) |
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 26 . |
а ) |
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 55 . |
|
Сумма
|
цифр загаданного четырехзначного числа равна 30 . |
|
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 10 , а их произведение равно 24 . |
20 а ) |
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 27 . |
|
Сумма
|
четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 . |
а ) |
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 12 . |
|
Сумма
|
углов треугольника равна 180 ° , значит . |
|
Сумма
|
любых двух простых чисел - простое число . д ) Всякое простое число не может быть четным . |
|
Сумма
|
двух модулей всегда число неотрицательное , а поэтому всегда больше отрицательного числа . |
Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г ) |
Сумма
|
четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 . |
|
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 48 . |
а ) |
Сумма
|
трех последовательных четных чисел делится на 6 . б ) Сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3 . |
|
Сумма
|
двух рациональных чисел равна 8 , при этом модуль одного из этих чисел в 3 раза меньше модуля другого числа . |
а ) |
Сумма
|
полных лет Антона и Ксюши равна 30 . |
|
Сумма
|
данных чисел равна , а их количество 10 . |
|
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 44 . |
а ) |
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 45 . |
|
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 54 . |
|
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 47 . |
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж ) |
Сумма
|
кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение . |
|
Сумма
|
кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности . |
а ) Модуль разности квадратов а и с . б ) |
Сумма
|
модулей а , b и с . |
|
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 35 . |
|
Сумма
|
цифр загаданного четырехзначного числа равна 22 . |
|
Сумма
|
двух рациональных чисел равна 2490 . |
|
Сумма
|
увеличенного в семь раз первого натурального числа и удвоенного второго натурального числа равна 39 . |
|
Сумма
|
кратна 9 . д ) Произведение делится на 25 . е ) Произведение не кратно 9 . ж ) |
а ) |
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 36 . |
|
Сумма
|
двух отрицательных рациональных чисел отрицательна . |
а ) |
Сумма
|
двух чисел не зависит от порядка слагаемых . |
|
Сумма
|
длин сторон двух квадратов равна 20 см , а разность их площадей равна 40 см2 . |
|
Сумма
|
двух натуральных чисел равна 26 . |
4 |
Сумма
|
и разность кубов . |
|
Сумма
|
многочленов . |
|
Сумма
|
выручек двух филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши за март была равна 765 тыс. р . |
145 |
Сумма
|
n первых натуральных чисел вычисляется по формуле . |
|
Суммой
|
многочленов называется многочлен , членами которого являются все члены многочленов слагаемых , взятых с их знаками . |
|
Сумму
|
двух целых чисел умножили на их произведение . |
|
Теорема
|
Яблоко сладкое . |
|
Теорема
|
Лимон кислый . |
|
Теорема
|
8 Если . |
|
Теорема
|
2 ( Рефлексивность сравнений ) . |
|
Теорема
|
7 Если . |
|
Теорема
|
3 ( Симметричность сравнений ) . |
|
Теорема
|
4 ( Транзитивность сравнений ) . |
|
Теорема
|
Картоль квадратный и кислый . |
|
Теорема
|
3 . |
|
Теорема
|
2 . |
|
Теорема
|
о делимости . |
|
Теорема
|
9 Если . |
|
Теорема
|
6 Если . |
|
Теорема
|
1 . |
|
Теорема
|
Мандар круглый и сладкий . г ) |
|
Теорема
|
2 Простых чисел существует бесконечно много . |
|
Теорема
|
5 . |
|
Теорема
|
. |
|
Теорема
|
1 Любое положительное рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби . |
|
Теорема
|
2 Любая положительная периодическая десятичная дробь является рациональным числом . |
|
Теорема
|
1 Если число а делится на число b , то существует единственное число с , такое , что . |
|
Теорема
|
1 Целые числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m . |
|
Теорема
|
1 ( Основная теорема арифметики ) . |
|
Теорема
|
4 . |
|
Теорема
|
о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел . |
|
Теорема
|
о периодичности остатков . |
|
Теорема
|
2 Любое натуральное число делится на единицу . |
|
Теорема
|
3 Любое натуральное число делится на само себя . |
|
Теорема
|
4 Если натуральное число а делится на натуральное число b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то . |
|
Теоремы
|
2 и 3 доказываются аналогично теореме 1 . |
|
Теория вероятностей
|
. |
|
Тождество
|
. |
|
Точка
|
А ( р ; q ) принадлежит графику функции . |
|
Точка
|
С принадлежит отрезку АВ . |
|
Точка
|
А ( р , q ) принадлежит графику функции . |
|
Точки
|
1 и ( -4 ) разбивают числовую прямую на три промежутка . |
Теорема 4 ( |
Транзитивность
|
сравнений ) . |
|
Третий
|
— четверть суммы , заплаченной остальными . |
|
Третье
|
число получили , сложив первое и второе число . |
|
Треугольник
|
Паскаля . |
|
Трехчлен
|
. |
|
Умножение
|
. |
|
Умножение
|
многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 . |
4 |
Умножение
|
одночлена на многочлен . |
5 |
Умножение
|
многочлена на многочлен . |
|
Умножим
|
обе части данного уравнения на число 30 — наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей . |
|
Умножим
|
левую часть равенства на 10 см , а правую часть — на 100 мм . |
|
Уравнение
|
. |
|
Уравнение
|
может иметь один корень , два корня и так далее , а может вообще не иметь корней . |
|
Уравнение
|
, где a , b , с Z , не имеет целых решений , если с не делится на d НОД . |
Шаг 3 |
Уравнение
|
( х плюс 1)(х плюс 2)(х плюс 3 ) равно 0 равносильно исходному . |
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) |
Уравнение
|
( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 . |
|
Уравнения
|
могут быть с одним неизвестным , двумя , тремя и т . |
|
Уравнения
|
данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается выражением аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию . |
|
Уравнения
|
, решениями которых являются целые числа , интересовали ученых еще в древности . |
|
Функцией
|
называется правило f , по которому каждому элементу х из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент у из множества Y. |
|
Функции
|
заданы словесным описанием . |
|
Функции
|
заданы таблично . |
|
Функциональная
|
зависимость и кодирование информации . |
|
Функциональная
|
зависимость между величинами . |
|
Функцию
|
задали следующим образом : каждому рациональному числу q поставили в соответствие наибольшее целое число , не превосходящее этого числа . |
|
Функция
|
задана формулой . |
|
Функция
|
задана формулой , показывающей , как для каждого значения х из области ее определения вычислить соответствующее значение у . |
|
Функция
|
. |
|
Функция
|
определена ( или задана ) , если нам известно правило соответствия и множество значений переменной , к которому это правило надо применять . |
|
Функция
|
задана словесным описанием . |
|
Функция
|
задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 . |
|
Функция
|
задана с помощью таблицы . |
|
Функция
|
задана с помощью графика . |
|
Функция
|
— одно из важнейших понятий математики , и нам важно теперь научиться обозначать функции , а также выяснить , каким образом можно задать функцию . |
|
Функция
|
задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 . |
|
Функция
|
вида , где k и b — произвольные числа , называется линейной функцией . |
|
Целое
|
число а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое целое число с , что . |
а ) |
Целое
|
число дает при делении на 7 остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 3 . |
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г ) |
Целое
|
число при делении на 4 дает в остатке 3 . |
а ) |
Целое
|
число а кратно 9 . |
|
Целое
|
число дает при делении на 4 остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 5 . |
|
Целое
|
число при делении на 3 дает остаток 2 . |
|
Целое
|
число при делении на 7 дает остаток 2 , а при делении на 8 — остаток 3 . |
а ) |
Целое
|
число дает при делении на 5 остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 . |
в ) |
Целое
|
число при делении на 5 дает в остатке 2 . |
|
Целое
|
решение уравнения , где a , b , с е Z , всегда существует , если с делится на d = НОД . |
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б ) |
Целое
|
число при делении на 5 дает в остатке 4 . |
398 а ) |
Целое
|
число при делении на 8 дает в остатке 7 . |
407 а ) |
Целое
|
число а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7 . |
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б ) |
Целое
|
число при делении на 9 дает в остатке 7 . |
а ) |
Целое
|
число а кратно 7 . |
|
Целое
|
число b при делении на 36 дает остаток 3 . |
а ) |
Целое
|
число дает при делении на 8 остаток 3 , а при делении на 5 — остаток 1 . |
428 а ) |
Целое
|
число а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при делении на 14 дает в остатке 9 . |
422 а ) |
Целое
|
число при делении на 6 дает в остатке 5 . |
|
Целое
|
число b при делении на 14 дает остаток 8 . |
|
Целое число
|
дает при делении на 4 остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 5 . |
407 а ) |
Целое число
|
а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7 . |
|
Целое число
|
b при делении на 14 дает остаток 8 . |
а ) |
Целое число
|
дает при делении на 5 остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 . |
398 а ) |
Целое число
|
при делении на 8 дает в остатке 7 . |
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г ) |
Целое число
|
при делении на 4 дает в остатке 3 . |
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б ) |
Целое число
|
при делении на 5 дает в остатке 4 . |
а ) |
Целое число
|
дает при делении на 7 остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 3 . |
в ) |
Целое число
|
при делении на 5 дает в остатке 2 . |
а ) |
Целое число
|
дает при делении на 8 остаток 3 , а при делении на 5 — остаток 1 . |
422 а ) |
Целое число
|
при делении на 6 дает в остатке 5 . |
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б ) |
Целое число
|
при делении на 9 дает в остатке 7 . |
|
Целое число
|
при делении на 3 дает остаток 2 . |
|
Целое число
|
а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое целое число с , что . |
428 а ) |
Целое число
|
а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при делении на 14 дает в остатке 9 . |
|
Целое число
|
при делении на 7 дает остаток 2 , а при делении на 8 — остаток 3 . |
а ) |
Целое число
|
а кратно 7 . |
|
Целое число
|
b при делении на 36 дает остаток 3 . |
а ) |
Целое число
|
а кратно 9 . |
|
Целые
|
числа - первоисточник математики . |
Теорема 1 |
Целые
|
числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m . |
а ) Число а противоположно числу b , если . б ) |
Целые
|
числа - это натуральные числа , им противоположные и нуль . |
|
Целые числа
|
- первоисточник математики . |
Теорема 1 |
Целые числа
|
а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m . |
а ) Число а противоположно числу b , если . б ) |
Целые числа
|
- это натуральные числа , им противоположные и нуль . |
|
Целыми
|
решениями полученного неравенства являются х 6 и х 7 . |
|
Четная
|
степень отрицательного числа содержит четное число отрицательных множителей . |
г ) |
Четные
|
числа - это натуральные числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя точками . |
|
Четные
|
числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 . |
в ) |
Четные
|
натуральные числа не могут быть простыми . |
« |
Четырехугольник
|
, все углы которого равны , называется прямоугольником » . |
« |
Четырехугольник
|
- это многоугольник с четырьмя сторонами » . |
|
Числа
|
257 , 374 и 478 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число , большее 1 . |
|
Числа
|
115 000 и 1 085 000 дают одинаковые остатки при делении на 97 . . |
|
Числа
|
1712 , 1807 и 1940 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число , большее 1 . |
|
Числа
|
, имеющие одинаковые остатки при делении на некоторое заданное натуральное число , настолько важны в математике , что получили свое специальное название . |
|
Числа
|
b и с - делители числа а , число а - кратное чисел b и с . |
|
Числа
|
m , n — натуральные . |
|
Числа
|
и функции — не произвольные продукты нашего духа , они существуют вне нас с тем же характером необходимости , как вещи объективной реальности . |
342 |
Числа
|
901 , 1696 , 4293 дают равные остатки при делении на некоторое натуральное число . |
а ) |
Число
|
а , кратное числу b , не может быть больше b . б ) Любое натуральное число , большее 1 , имеет по крайней мере 2 делителя . |
а ) |
Число
|
62 458 делится на 11 . б ) Число 100 851 при делении на 17 дает остаток 7 . |
а ) |
Число
|
261 679 делится на 11 . б ) Число 740 630 при делении на 13 дает остаток 7 . |
282 По данным таблиц постройте линейные диаграммы : а ) Величина прожиточного минимума на одного человека в РФ ; б ) Общая жилплощадь , приходящаяся в среднем на одного жителя РФ ( по со стоянию на конец года ) ; в ) |
Число
|
высших учебных заведений в РФ ( среднегодовой показатель ) . |
а ) Число 62 458 делится на 11 . б ) |
Число
|
100 851 при делении на 17 дает остаток 7 . |
|
Число
|
а делится ( без остатка ) на число b , если существует такое число с , что . |
Число а меньше или равно числу 9 . б ) |
Число
|
48 делится на с . |
|
Число
|
4 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b . |
а ) |
Число
|
804 является делителем числа 566 820 . б ) |
|
Число
|
90 разделили на то же самое число и получили в остатке 18 . |
а ) |
Число
|
футболистов , теннисистов и волейболистов , занимающихся в спортивном обществе « Юниор » , относится как 5 к 2 к 7 . |
Число а на 12 больше числа b . г ) |
Число
|
х в 3 раза меньше числа у . д ) Модуль числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 . |
|
Число
|
а на 12 больше числа b . г ) Число х в 3 раза меньше числа у . д ) Модуль числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 . |
|
Число
|
, противоположное числу ( -а ) , может быть меньше а . |
|
Число
|
( -6 ) не является положительным числом . |
|
Число
|
8 является решением неравенства х. Значит , число 8 — положительное . |
|
Число
|
1 имеет единственный делитель - само себя , и поэтому оно выделено в ряду натуральных чисел в особую группу : не является ни простым , ни составным . |
|
Число
|
0 является натуральным числом . |
|
Число
|
0 делится на любое натуральное число . |
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) |
Число
|
14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 . |
|
Число
|
( -6 ) не является решением неравенства х. Значит , число ( -6 ) не является положительным числом . |
|
Число
|
4 меньше 5 . з ) Все рациональные числа , меньшие 5 , больше ( -100 ) . |
а ) |
Число
|
, обратное 3 , равно -3 . б ) Модуль числа х может быть равен -х . |
|
Число
|
k называется коэффициентом пропорциональности . |
|
Число
|
строк на странице на 15 меньше , чем число букв в каждой строке . |
а ) Произведение любых шести последовательных целых чисел делится на 360 . б ) |
Число
|
, записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом . |
|
Число
|
3 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b . |
|
Число
|
тигров более чем на 11 больше , чем число обезьян и крокодилов вместе . |
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) |
Число
|
0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 . |
147 Докажите утверждение : а ) Произведение любых пяти последовательных чисел делится на 60 ; б ) |
Число
|
, записываемое 80 двойками , 80 единицами и 80 нулями , не может быть точным квадратом . |
|
Число
|
28 является простым числом . |
а ) |
Число
|
11 является составным числом . |
Число 9 является делителем числа 24 070 802 301 . г ) |
Число
|
3 805 464 400 кратно 8 . |
|
Число
|
букв русского алфавита равно 33 . |
Докажите , что а ) При любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем уравнения б ) |
Число
|
12 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b . |
|
Число
|
100 разделили на некоторое натуральное число и получили в остатке 4 . |
|
Число
|
236 235 кратно 3 , но не кратно 9 . |
|
Число
|
4 253 696 не кратно ни 5 , ни 10 . г ) |
|
Число
|
9 является делителем числа 24 070 802 301 . г ) Число 3 805 464 400 кратно 8 . |
а ) Число 89 является делителем числа 625 670 . б ) |
Число
|
169 491 кратно 3 . |
|
Число
|
k называют коэффициентом при неизвестном , а число b — свободным членом линейного уравнения . |
а ) |
Число
|
89 является делителем числа 625 670 . б ) Число 169 491 кратно 3 . |
|
Число
|
11 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b . |
|
Число
|
с называют общим делителем двух натуральных чисел а и b , если оно является делителем и для а , и для b . |
|
Число
|
полных лет Антона при делении на 5 дает остаток 1 , а число полных лет Ксюши при делении на 5 дает остаток 4 . |
|
Число
|
а меньше или равно числу 9 . б ) Число 48 делится на с . |
|
Число
|
28 725 300 108 кратно 2 , 9 и 18 . |
Число с составляет 5/6 от числа d . з ) |
Число
|
k составляет 35 % от числа t . |
|
Число
|
с составляет 5/6 от числа d . з ) Число k составляет 35 % от числа t . |
а ) Число 261 679 делится на 11 . б ) |
Число
|
740 630 при делении на 13 дает остаток 7 . |
|
Число
|
1000 делится на 20 . |
а ) Число а делится на число 6 . б ) |
Число
|
с при делении на d дает остаток r . в ) Числа p и r взаимно простые . |
а ) |
Число
|
6 является делителем числа 128 . б ) Число 9 является делителем всех натуральных чисел . |
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г ) |
Число
|
, противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. . |
Все целые числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в сумме с 6 дает 17 . д ) |
Число
|
3 является решением уравнения . |
а ) |
Число
|
а противоположно числу b , если . б ) Целые числа - это натуральные числа , им противоположные и нуль . |
в ) Произведение любых семи последовательных чисел делится на 2520 . г ) |
Число
|
, записываемое 100 двойками , 100 единицами и 100 нулями , не может быть точным квадратом . |
|
Число
|
0,5 , или называют в данном случае вероятностью выпадения « решки » при подбрасывании монеты . |
|
Число
|
благоприятных исходов . |
Сумма цифр числа делится на 3 |
Число
|
делится на 3 . |
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) |
Число
|
362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 . |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) |
Число
|
56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 . |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) |
Число
|
793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 . |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) |
Число
|
678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 . |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) |
Число
|
862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 . |
|
Число
|
а больше каждого из имеющихся простых чисел . |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) |
Число
|
555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 . |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) |
Число
|
143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 . |
|
Число
|
однокомнатных , двухкомнатных , трехкомнатных и четырехкомнатных квартир в доме относится как 5,7 к 5,6 к 2,2 к 1,5 . |
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) |
Число
|
4 010 532 не делится на 12 . |
а ) |
Число
|
мужчин , женщин и детей , занимающихся в секции тенниса , относится как 3 к 5 к 9 . |
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) |
Число
|
1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 . |
а ) |
Число
|
а делится на число 6 . б ) Число с при делении на d дает остаток r . в ) Числа p и r взаимно простые . |
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) |
Число
|
156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 . |
|
Число
|
а называется обратным к числу , если . |
а ) Число d - делитель числа а , если число а в с раз больше d . б ) |
Число
|
k является кратным числа b , если число k в а раз больше . |
|
Число
|
т — четное , а число n — нечетное . |
|
Число
|
258 делится на 3 - истинно . |
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) |
Число
|
16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 . |
а ) Число 6 является делителем числа 128 . б ) |
Число
|
9 является делителем всех натуральных чисел . |
в ) |
Число
|
17 является составным числом . |
|
Число
|
, обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. . |
а ) |
Число
|
d - делитель числа а , если число а в с раз больше d . б ) Число k является кратным числа b , если число k в а раз больше . |
|
Числом
|
является любая последовательность , состоящая не более чем из пяти цифр . |
|
Члены
|
многочлена . . |
|
Шары
|
положили в мешок и перемешали , а затем , не глядя в мешок , один шар вытащили из него . |
|
Шары
|
положили в мешок и перемешали , а затем , не глядя в мешок , из него вытащили один шар . |
« |
Ширина
|
прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина на 3 см больше стороны этого же квадрата . |
|
Ширина
|
прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина — на 3 см больше стороны этого же квадрата . |
В точках с какими координатами этот график пересекает ось |
абсцисс
|
, ось ординат ? |
Если же k -0 и b — 0 одновременно , то ее графиком является сама ось |
абсцисс
|
Ох . |
параллельная оси |
абсцисс
|
Ох . |
В каких точках этот график пересекает ось |
абсцисс
|
, ось ординат ? |
С увеличением острый угол между графиком и осью |
абсцисс
|
Ох увеличивается ( график становится « круче » ) , а с уменьшением k — уменьшается ( график более « пологий » ) . |
Ах , симметричной точке А относительно оси |
абсцисс
|
Ох . |
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох ( |
абсцисса
|
) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции . |
Обычно выбирают одну точку с |
абсциссой
|
0 , а вторую — произвольно , с учетом удобства вычислений , например . |
Таким образом , ордината любой точки В графика единицы больше , чем ордината точки А графика с той же |
абсциссой
|
х0 . |
1 Найти |
абсциссу
|
, равную х . |
Новые утверждения ( теоремы ) доказываются только с помощью |
аксиом
|
и ранее доказанных утверждений . |
При этом каждое новое утверждение выводится из |
аксиом
|
или уже доказанных утверждений в соответствии с законами логики . |
Основные свойства первоначальных понятий задаются системой |
аксиом
|
. |
Как мы уже видели , любая математическая теория строится на базе первоначальных понятий и |
аксиом
|
. |
В частности , выбранная система |
аксиом
|
должна быть непротиворечивой , то есть она не должна приводить к противоречащим друг другу выводам . |
Действительно , если система |
аксиом
|
некоторой математической теории такова , что в результате логических рассуждений может быть получено , что одно и то же утверждение одновременно верно и неверно , то поиск истины с помощью этой теории теряет смысл . |
Все остальные элементы цепи называются теоремами и выводятся из |
аксиом
|
путем логических рассуждений . |
Однако в математике доказать какое - либо утверждение - это значит показать , что это утверждение логически следует из уже доказанных утверждений или |
аксиом
|
. |
А применить аксиоматический метод в геометрии удалось Евклиду : он создал систему |
аксиом
|
, которая стала основой логического обоснования всех известных на тот момент геометрических утверждений . |
Для этих понятий введена следующая система |
аксиом
|
: . |
Для этих понятий введена следующая система |
аксиом
|
. |
В XIX веке , изменив всего лишь одну аксиому в системе |
аксиом
|
Евклида , великий русский математик Н. И. Лобачевский построил новую непротиворечивую геометрию . |
Она выстроена на базе системы основных понятий и |
аксиом
|
, описывает общие законы и тем самым создает возможность для согласования различных мнений и взглядов . |
Система |
аксиом
|
для множества натуральных чисел была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке . |
Значение |
аксиом
|
первым оценил Аристотель , величайший древнегреческий философ и ученый . |
И именно из |
аксиом
|
Пеано следует , что если натуральное число равно n , то следующее за ним равно , а число , следующее за , равно . |
Они называются |
аксиомами
|
. |
А применить |
аксиоматический
|
метод в геометрии удалось Евклиду : он создал систему аксиом , которая стала основой логического обоснования всех известных на тот момент геометрических утверждений . |
Выход из этого противоречия предлагает |
аксиоматический
|
метод построения математической теории . |
Если |
аксиоматический
|
метод является стилем современной математики , то потребности практики являются ее фундаментом . |
Что же дает |
аксиоматический
|
метод ? |
Геометрию Лобачевского назвали неевклидовой , подчеркнув ее отличие от классической геометрии , основанной на |
аксиомах
|
Евклида . |
Скорее , |
аксиомы
|
- это некоторые выбранные свойства первоначальных понятий . |
Создатель математической теории может сам выбирать первоначальные понятия и |
аксиомы
|
. |
Поэтому |
алгебра
|
изучает также общие свойства арифметических действий , помогающие рационально проводить преобразования выражений . |
а ) В седьмом классе одной из школ в расписании занятий в понедельник должны быть следующие предметы : |
алгебра
|
, русский язык , история , физика , география . |
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а |
алгебраическая сумма
|
одночленов по определению многочлен . |
Мы видим , что данная |
алгебраическая сумма
|
также является многочленом . |
Как мы уже знаем , |
алгебраическая сумма
|
нескольких одночленов является одночленом , только если речь идет о сложении и вычитании подобных одночленов . |
Выражение , записанное как |
алгебраическая сумма
|
одночленов , называется многочленом . |
Пользуясь правилами равносильных преобразований , мы можем упрощать не только |
алгебраические суммы
|
, но и произведения . |
Мы умеем также упрощать |
алгебраические суммы
|
, пользуясь законами арифметических действий . |
Но при решении разного рода задач нам часто приходится сталкиваться и с |
алгебраическими выражениями
|
, содержащими произведение и частное нескольких величин . |
Мы знаем , что если между двумя числами или двумя |
алгебраическими выражениями
|
стоит знак , то получившееся математическое предложение называют равенством . |
Между двумя числами или |
алгебраическими выражениями
|
могут стоять знаки > , < , > или < . |
2 Равносильные преобразования |
алгебраических выражений
|
. |
Глава 3 Законы равносильных преобразований |
алгебраических выражений
|
. |
Поэтому для того , чтобы упрощать такие выражения , мы должны научиться производить равносильные преобразования |
алгебраических выражений
|
со скобками . |
411 Назовите слагаемые указанных |
алгебраических сумм
|
и запишите эти суммы , ставя между слагаемыми знак « + » . |
Основные законы сложения верны также и для |
алгебраических сумм
|
, то есть выражений , содержащих несколько последовательных действий сложения и вычитания . |
Таким образом , мы приходим к следующим правилам раскрытия скобок при равносильных преобразованиях |
алгебраических сумм
|
. |
Какие из данных |
алгебраических сумм
|
являются равносильными выражениями ? |
434 Назовите слагаемые |
алгебраических сумм
|
и запишите их , ставя между слагаемы ми знак « + » . |
Упростим сначала числитель этой дроби , пользуясь правилами преобразования |
алгебраических сумм
|
. |
Используя эти законы при преобразованиях |
алгебраических сумм
|
, мы можем моментально найти значение , например , такого выражения . |
1 Равносильные преобразования |
алгебраических сумм
|
. |
Правила раскрытия скобок в |
алгебраических суммах
|
. |
В предыдущем пункте мы разобрались с тем , как раскрывать скобки в |
алгебраических суммах
|
. |
Для этого раскроем скобки , используя правило умножения одночлена на многочлен , а затем в полученной |
алгебраической сумме
|
приведем подобные слагаемые . |
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 1 , то значение многочлена равно |
алгебраической сумме
|
всех его коэффициентов . |
Правило 2 Если в |
алгебраической сумме
|
перед скобкой стоит знак « - » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные . |
Например , составим сумму многочленов а2 - 4аb плюс b2 и -а2 плюс 3аb и в полученной |
алгебраической сумме
|
раскроем скобки . |
Переставив слагаемые в данной |
алгебраической сумме
|
, мы получим куб разности чисел с и 1 . |
Правило 1 Если в |
алгебраической сумме
|
перед скобкой стоит знак « + » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются . |
1 В любой |
алгебраической сумме
|
можно произвольным образом переставлять слагаемые и объединять их в группы . |
Следовательно , значение многочлена будет равно |
алгебраической сумме
|
, состоящей из нулей и свободного члена , и поэтому равно свободному члену , что и требовалось доказать . |
А поскольку многочлен является алгебраической суммой своих членов , то его значение будет равно |
алгебраической сумме
|
всех его коэффициентов , что и требовалось доказать . |
Заменим в |
алгебраической сумме
|
каждое действие вычитания прибавлением противоположного слагаемого . |
А поскольку многочлен является |
алгебраической суммой
|
своих членов , то его значение будет равно алгебраической сумме всех его коэффициентов , что и требовалось доказать . |
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление значения многочлена свелось к нахождению |
алгебраической суммы
|
его коэффициентов , а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену . |
Приведем каждый из одночленов данной |
алгебраической суммы
|
к стандартному виду и упростим полученное выражение . |
162 Выполните действия , записывая « в столбик » многочлены - слагаемые ( записанные в скобках ) данной |
алгебраической суммы
|
. |
3 Если несколько слагаемых |
алгебраической суммы
|
имеют общий множитель , то его можно вынести за скобку . |
А вот при сложении и вычитании двух одночленов ситуация иная : одночлен в итоге может получиться лишь тогда , когда слагаемые составленной |
алгебраической суммы
|
, записанные в стандартном виде , имеют одинаковую буквенную часть . |
При раскрытии скобок каждое слагаемое |
алгебраической суммы
|
, находящейся в скобках , умножится на ( -1 ) ( в соответствии с распределительным законом ) . |
3 Определить степень каждого одночлена и записать их |
алгебраическую сумму
|
в порядке убывания степеней . |
Как , например , упростить следующую |
алгебраическую сумму
|
. |
Рассмотрим |
алгебраическую сумму
|
, в которой перед слагаемыми стоят как знаки « + » , так и знаки « — » . |
В принципе , этих правил вполне достаточно для того , чтобы упростить любую |
алгебраическую сумму
|
, в том числе и приведенную выше . |
Выявление общих свойств арифметических действий и их компактная запись с помощью букв стали « поворотным пунктом » в развитии математики : переходом от арифметики к |
алгебре
|
. |
И не только потому , что Диофант здесь впервые вводит буквенную символику — язык |
алгебры
|
. |
Так , в III веке новой эры появляется сочинение « Арифметика » александрийского математика Диофанта , которое становится поворотным пунктом в развитии |
алгебры
|
и теории чисел . |
Учитель математики попросил составителя расписания , чтобы его урок |
алгебры
|
был первым или вторым . |
Корни |
алгебры
|
уходят в глубокую древность , а само название происходит от арабского « аль - джебр » ( восполнение , воссоединение , связь ) - приема решения уравнений , описанного в трактате « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми ( ок . 783 - ок . |
Поскольку значение у зависит от х , а х мы выбираем произвольно из области определения , то х — это независимая переменная , или , как говорят иначе , |
аргумент
|
функции , а у — зависимая переменная . |
Найдите значение |
аргумента
|
, при котором значение функции равно у1 у2 и у3 . |
( Шагом называют разность между двумя соседними значениями |
аргумента
|
. ) . |
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется значение функции , если значение |
аргумента
|
увеличивается на 2 , уменьшается на 1 . |
Найдите значение |
аргумента
|
, при котором значение функции равно у1 , у2 и у3 . |
Найдите значение |
аргумента
|
, при котором значение функции равно y1 , у2 и у3 . |
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если значение |
аргумента
|
увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций . |
Задайте данную функцию с помощью : а ) словесного описания ; б ) таблицы значений от -3 до 3 с шагом 1 . ( Шагом называют разность между двумя соседними значениями |
аргумента
|
. ) . |
Найдите значение |
аргумента
|
, при котором значение функции равно 1 , 3 , -2 . |
Математическая логика , как и любая математическая теория , не опирается на такие |
аргументы
|
, как наблюдения , конкретный случай , чьи - то ощущения . |
Ведь гораздо проще установить выполнение какого - либо свойства для конечного множества классов , чем для |
бесконечного множества
|
целых чисел . |
То есть применим метод перебора не к |
бесконечному множеству
|
целых чисел , а к конечному числу указанных классов . |
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс |
бесконечность
|
и минус бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) . |
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс бесконечность и минус |
бесконечность
|
, круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) . |
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является |
биссектрисой
|
I и III ( II и IV ) координатных углов . |
Доля выбравших данный |
вариант
|
ответа . |
Предложите другой |
вариант
|
группировки , позволяющий разложить данный многочлен на множители . |
Доля выбравших данный |
вариант
|
ответа . Математика , физика , информатика . |
Предложите свой |
вариант
|
определения операции « разложение многочлена на множители » . |
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой |
вариант
|
определения произведения одночлена и многочлена и соответствующего правила . |
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой |
вариант
|
определения разности многочленов и сравните его с определением 3 на стр. 33 . |
Предложите свой |
вариант
|
определения суммы многочленов и сравните его с определением 1 на стр. 32 . |
Предложите свое название для зависимостей данного вида и дайте свой |
вариант
|
их определения . |
Аналогично по два |
варианта
|
получается , если на втором месте стоят цифра 3 и цифра 4 . |
( Рассмотрите оба возможных |
варианта
|
. ) . |
Способ подсчета |
вариантов
|
, использованный в задаче 1 , состоит в следующем . |
На практике нам часто бывает нужно решать задачи , связанные с перебором |
вариантов
|
. |
Используя данный способ подсчета |
вариантов
|
в комбинациях с повторениями , решим следующую задачу . |
А вот без ключа расшифровать их непросто , так как количество возможных |
вариантов
|
такого шифра равно поэтому даже с помощью быстродействующего компьютера на дешифровку перебором вариантов будет потрачено столько времени , что сообщение уже будет неактуально . |
В итоге мы получаем 36 возможных |
вариантов
|
выпадения кубиков . |
Значит , получилось 8 различных |
вариантов
|
с брюками и 10 с юбками , а всего — 18 комплектов . |
Количество |
вариантов
|
равно количеству точек в последней строке . |
В частности , комбинаторика ищет методы решения задач , в которых надо найти число всех возможных |
вариантов
|
выбора объектов с заданными свойствами . |
Сколько существует |
вариантов
|
такого кода ? . |
Анализируя с помощью данной таблицы частоту появления символов в зашифрованном тексте , а также их взаимное расположение и учитывая особенности построения слов русского языка , можно существенно сократить количество возможных |
вариантов
|
ключей , а значит , сократить время перебора и в конечном счете расшифровать сообщение . |
Рассмотрим , например , следующую задачу подсчета числа возможных |
вариантов
|
. |
Если на первом кубике выпадает число 1 , то всего имеется шесть различных |
вариантов
|
выпадения двух кубиков , так как на втором кубике могут выпасть числа от 1 до 6 . |
4 Если на символы наложены какие - либо ограничения , то надо вычислить количество возможных |
вариантов
|
отдельно для всех символов с различными свойствами , а затем сложить полученные числа . |
3 Если по условию задачи каждый из символов может занимать любую позицию , то общее количество возможных |
вариантов
|
равно произведению полученного числа на количество заданных символов . |
2 Для выделенного случая вычислить число возможных |
вариантов
|
, используя дерево возможностей , таблицу и др . |
Сколько всего возможно |
вариантов
|
такого кода ? . |
Конечно , чтобы догадаться о том , какие слагаемые надо добавить и вычесть из многочлена , зачастую нужно попробовать много разных |
вариантов
|
. |
При решении многих задач возникает необходимость рассматривать несколько разных |
вариантов
|
возможной взаимосвязи величин . |
Таким образом , общее число возможных |
вариантов
|
в случае , когда на первом месте стоит цифра 1 , равно шести . |
В предыдущем пункте мы подсчитывали количество возможных |
вариантов
|
в случаях , когда элементы в искомых комбинациях не повторялись . |
Иногда в этом случае задачу можно решить , осуществляя перебор всех возможных |
вариантов
|
. |
1 Задача подсчета числа |
вариантов
|
. |
А вот без ключа расшифровать их непросто , так как количество возможных вариантов такого шифра равно поэтому даже с помощью быстродействующего компьютера на дешифровку перебором |
вариантов
|
будет потрачено столько времени , что сообщение уже будет неактуально . |
В итоге мы пришли к следующему уточненному |
варианту
|
алгоритма решения задач методом математического моделирования . |
Сравните свои |
варианты
|
со статистическими характеристиками , приведенными в учебнике . |
Предложите свои |
варианты
|
определения понятий « равносильные неравенства » и « равносильное преобразование неравенства » . |
Перебирая различные |
варианты
|
, убеждаемся в том , что одним из решений данного уравнения является пара чисел . |
Возможны ли другие |
варианты
|
записи ? . |
Поэтому , проверяя на первых буквах кода разные |
варианты
|
сдвига , достаточно быстро можно найти ключ шифра . |
( Рассмотрите все возможные |
варианты
|
. ) . |
Имеются ли другие |
варианты
|
решения этой задачи ? . |
, |
варианты
|
, различающиеся лишь порядком множителей , считать одинаковыми ) . |
739 Сравните значения |
величин
|
. |
190 Определите , какие из указанных |
величин
|
связаны прямой пропорциональной зависимостью , а какие – обратной . |
При решении многих задач возникает необходимость рассматривать несколько разных вариантов возможной взаимосвязи |
величин
|
. |
При построении круговой диаграммы предполагается , что сумма всех зависимых |
величин
|
составляет 360 ° , а доля каждой зависимой величины в их общей сумме . |
Общее же у них то , что с увеличением ( уменьшением ) одной из |
величин
|
в несколько раз другая величина увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз . |
Такая зависимость может быть записана с помощью единой формулы , где х и у — соответствующие значения независимой и зависимой |
величин
|
, а число k называется коэффициентом пропорциональности . |
Что касается круговых диаграмм , то они показывают зависимость между значениями величин с помощью |
величин
|
центральных углов круга . |
Быстро определить наибольшие и наименьшие значения |
величин
|
, сравнить данные в разные периоды времени , а также ответить на многие аналогичные вопросы . |
1 Найти сумму всех зависимых |
величин
|
. |
Зависимости между величинами , которые позволяют однозначно определять значение искомой величины , занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных |
величин
|
в тех или иных условиях . |
Вначале вычислим сумму S ( в тыс. р . ) всех зависимых |
величин
|
. |
Что касается круговых диаграмм , то они показывают зависимость между значениями |
величин
|
с помощью величин центральных углов круга . |
А так как . Сравните значения |
величин
|
. |
Во всех этих примерах мы можем точно и однозначно находить конкретные значения переменных |
величин
|
с помощью изученных нами формул — в данном случае формул пути , стоимости , работы . |
Среди переменных |
величин
|
различают независимые и зависимые величины . |
Решая задачи и наблюдая за поведением различных |
величин
|
на практике , мы видели , что между некоторыми из них существуют определенные зависимости . |
72 Упростите выражение при допустимых значениях |
величин
|
. |
Проверяем соответствие единиц измерения |
величин
|
. |
Математика — это наука о связи |
величин
|
. |
Величины всех углов выражены в градусах , поэтому единицы измерения |
величин
|
соответствуют друг другу . |
Мы знаем , что столбчатая диаграмма показывает зависимость между значениями |
величин
|
с помощью высоты столбиков . |
Итак , мы можем дать следующее определение прямо пропорциональных |
величин
|
. |
18 Сравните значения |
величин
|
. |
Составьте выражение для вычисления указанных |
величин
|
и запишите его как многочлен стандартного вида . |
Поэтому при решении задач мы , например , можем легко найти значения |
величин
|
по общему правилу нахождения неизвестного множителя . |
Сравните значения |
величин
|
. |
Но большинство |
величин
|
в реальной жизни ведут себя иначе . |
Приведите примеры других |
величин
|
, связанных аналогичной зависимостью . |
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения |
величин
|
х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 . |
Натуральные числа появились в процессе счета предметов и измерения |
величин
|
для ответа на вопрос « Сколько ? » . |
Но при решении разного рода задач нам часто приходится сталкиваться и с алгебраическими выражениями , содержащими произведение и частное нескольких |
величин
|
. |
Проверить соответствие единиц измерения |
величин
|
. |
Рассмотрим теперь общий способ решения линейного уравнения вида где х — переменная |
величина
|
. |
Мы уже знаем , что |
величина
|
, которая может принимать различные числовые значения , называется переменной величиной . |
Общее же у них то , что с увеличением ( уменьшением ) одной из величин в несколько раз другая |
величина
|
увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз . |
Но нам встречались уравнения вида ( ах плюс 6)(сх плюс d ) равно 0 , где a , b , с , d — неизвестная |
величина
|
. |
Однако зависимость между |
величинами
|
не всегда может быть задана формулой . |
Устанавливаем взаимосвязи между известными и неизвестными |
величинами
|
. |
Функциональная зависимость между |
величинами
|
. |
Установить взаимосвязи между |
величинами
|
( явно заданные в условии и возникающие из свойств моделируемого объекта ) . |
Разобравшись с прямой пропорциональностью , рассмотрим теперь более сложную зависимость между |
величинами
|
. |
При этом процессы , которые описывает данная функция , характеризовались двумя постоянными |
величинами
|
k и b , которые не меняли своих значений на всей области определения линейной функции ( множестве всех известных нам чисел ) . |
Так , например , если вы решили проехать на автобусе несколько остановок , то скорость автобуса , масса бензина в его баке и количество пассажиров будут переменными |
величинами
|
, а количество его колес и окон в течение поездки не изменится , останется постоянным . |
Зависимости между |
величинами
|
, которые позволяют однозначно определять значение искомой величины , занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных величин в тех или иных условиях . |
Для этого определяется , что известно , что надо найти , устанавливаются взаимосвязи между известными и неизвестными |
величинами
|
, вводятся буквенные обозначения , составляются математические соотношения : уравнения и неравенства . |
Таким образом , при построении математической модели необходимо также установить взаимосвязи между |
величинами
|
, возникающие из свойств моделируемого объекта ( если они есть ) . |
Установить взаимосвязи между |
величинами
|
. |
Чему равна сумма трех средних по |
величине
|
чисел ? . |
В задаче дана информация о |
величине
|
выручки в каждый из дней недели с понедельника по пятницу . |
4 Построить центральные углы , соответствующие каждой зависимой |
величине
|
. |
Мы уже знаем , что величина , которая может принимать различные числовые значения , называется переменной |
величиной
|
. |
в ) Переменной |
величиной
|
называется буквенное обозначение для элемента некоторого множества . |
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть |
величину
|
второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины . |
Найдите |
величину
|
меньшего угла этого треугольника . |
178 Найдите |
величину
|
отношений . |
3 Вычислить |
величину
|
центрального угла , соответствующую доле каждой зависимой величины . |
Найдите |
величину
|
большего угла этого треугольника . |
Фиксируем искомую |
величину
|
. |
Выберем в качестве признака , на основании которого мы будем проводить классификацию , |
величину
|
остатка от деления на некоторое заданное число . |
167 Найдите |
величину
|
отношений . |
После этого , используя свойства уравнения и найденное решение , можно будет выразить значения х и у через некоторую единую переменную |
величину
|
( обозначаемую , например , k ) , принимающую целые значения . |
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили множество значений , которые могут принимать неизвестные величины ; проверили , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим уравнением ; зафиксировали искомую |
величину
|
. |
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо |
величину
|
меньшего из углов треугольника , то есть величину второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины . |
Найдите |
величину
|
второго угла этого треугольника . |
Зафиксировать искомую |
величину
|
. |
2 Отметить на вертикальной оси соответствующие значения зависимой |
величины
|
. |
3 Вычислить величину центрального угла , соответствующую доле каждой зависимой |
величины
|
. |
Среди переменных величин различают независимые и зависимые |
величины
|
. |
которого равна соответствующему значению зависимой |
величины
|
. |
Запишем их все вместе и зафиксируем значение |
величины
|
, которое требуется найти . |
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили множество значений , которые могут принимать неизвестные |
величины
|
; проверили , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим уравнением ; зафиксировали искомую величину . |
2 Найти долю каждой зависимой |
величины
|
в общей сумме . |
Выпишем соотношения , которые мы составили , и зафиксируем искомые |
величины
|
. |
Определить множество значений , которые могут принимать неизвестные |
величины
|
. |
д. При этом , рассматривая некоторую конкретную ситуацию , мы можем обнаружить , что одни |
величины
|
меняются , а другие остаются неизменными . |
Если высоту Останкинской башни увеличить в 3 раза , а из высоты Эйфелевой башни вычесть 134 и сложить полученные |
величины
|
, то получится 1810 . |
Величина первого угла треугольника на 10 ° больше величины второго и на 10 ° меньше |
величины
|
третьего . |
Требуется найти |
величины
|
каждого из трех углов треугольника , то есть значения . |
3 Для каждого значения независимой |
величины
|
построить столбик , высота . |
Так , например , она не дает представлений о том , в каких пределах изменяются значения исследуемой |
величины
|
. |
67 Сравните |
величины
|
. |
Две |
величины
|
х и у называются прямо пропорциональными , если они связаны формулой , где k — некоторое число . |
Однако на практике цены на товары , скорость движения автомобиля и другие |
величины
|
обычно со временем меняются , поэтому для описания таких процессов нам нужны будут уже другие функции . |
При построении круговой диаграммы предполагается , что сумма всех зависимых величин составляет 360 ° , а доля каждой зависимой |
величины
|
в их общей сумме . |
Выбрать неизвестные |
величины
|
и ввести для них буквенные обозначения . |
Таким образом , |
величины
|
у , хх , у , и х2 образуют пропорцию . |
1 Отметить на горизонтальной оси значения независимой |
величины
|
. |
Тем не менее , если в течение некоторых промежутков времени данные |
величины
|
k и b все же сохраняют свое постоянное значение , процесс на каждом из этих промежутков остается линейным , и поэтому он может быть описан целиком так называемой кусочно - линейной функцией . |
Зависимость между величинами х и у называется линейной , если данные |
величины
|
связаны формулой , где k и b — произвольные числа . |
Определить , какие |
величины
|
известны и какие надо найти . |
Величина первого угла треугольника на 10 ° больше |
величины
|
второго и на 10 ° меньше величины третьего . |
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть величину второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные |
величины
|
. |
Однако если мы хотим измерять |
величины
|
с хорошей точностью , то чисел натурального ряда нам не хватит . |
Для того чтобы записать результат поиска доли каждой зависимой |
величины
|
в общей сумме , используем исходную таблицу . |
Как можно назвать данные |
величины
|
? . |
Выбираем неизвестные |
величины
|
, которые будем обозначать буквой . |
Найдите значение |
величины
|
зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной . |
Зависимости между величинами , которые позволяют однозначно определять значение искомой |
величины
|
, занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных величин в тех или иных условиях . |
Например , с точки зрения теории |
вероятностей
|
, шахматная партия — это испытание , результат партии ( выигрыш , проигрыш или ничья ) — это исход , а наш выигрыш — это благоприятный для нас исход . |
Элементы теории |
вероятностей
|
. 1 . |
Наука , изучающая случайные события и закономерности их поведения , называется теорией |
вероятностей
|
. |
Такие опыты в теории |
вероятностей
|
называются испытаниями , а результаты этих испытаний — исходами . |
Андрей Николаевич Колмогоров ( 1903 - 1987 ) , русский математик , один из основоположников современной теории |
вероятностей
|
. |
Глава 7 Введение в комбинаторику , теорию |
вероятностей
|
и статистику . |
Теория |
вероятностей
|
. |
Поскольку вероятности выпадения на верхних гранях кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения |
вероятности
|
. |
Сравнивая решения задач 2 и 3 , заметим , что |
вероятности
|
выпадения на верхних гранях кубиков различных сумм не совпадают . |
Предложите свой способ вычисления |
вероятности
|
случайного события в случаях , когда все исходы равновозможные . |
Сравните его с классической схемой вычисления |
вероятности
|
, рассмотренной на стр. учебника . |
Правило вычисления |
вероятности
|
равновозможных событий . |
Поэтому при определении |
вероятности
|
случайного события А в этом случае используют следующую , так называемую классическую , схему . |
Поэтому вычислить точное значение |
вероятности
|
такого случайного события удается достаточно редко . |
Классическая схема определения |
вероятности
|
случайного события А . 1 Определить число n. 2 Определить число n ( А ) благоприятных исходов , при которых наступает событие А . |
Классическая схема определения |
вероятности
|
. |
Поскольку |
вероятности
|
выпадения на верхних гранях кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности . |
Так , частота случайного события в серии из большого числа испытаний будет близка к |
вероятности
|
этого события . |
Используя классическую схему определения |
вероятности
|
, решим следующие задачи . |
Для этого проводят испытание достаточно много раз , вычисляют частоту появления случайного события , которая и будет являться приближенным значением |
вероятности
|
этого события . |
Классическая схема определения . |
вероятности
|
. |
Поэтому по значению |
вероятности
|
случайного события мы можем сделать предположение о приблизительном значении частоты его появления в серии испытаний , и наоборот . |
Поскольку кубики « идеальные » , то выпадение на верхних гранях каждого из них одного из шести чисел события равновозможные , и мы можем воспользоваться классической схемой определения |
вероятности
|
. |
Например , |
вероятность
|
угадывания одного из 32 загаданных чисел равна а вероятность того , что ученик на экзамене вытащит один « желанный » билет из 58 возможных , равна . |
Случайные события , |
вероятность
|
наступления которых одинакова , называют равновозможными . |
Чему равна |
вероятность
|
. |
Если результатом некоторого испытания могут быть лишь п равновозможных исходов , то |
вероятность
|
каждого из исходов равна . |
Вместе с тем , зная , например , что при бросании игрального кубика |
вероятность
|
выпадения числа 5 равна мы не можем сделать вывод о том , что число 5 будет выпадать при каждом шестом броске . |
Можно ли на основании этой информации утверждать , что |
вероятность
|
купить сломанную заколку равна 1/3 ? . |
Найдите |
вероятность
|
того , что случайно названное однозначное натуральное число окажется равным задуманному . |
Вообще , |
вероятность
|
некоторого случайного события А — это числовая характеристика возможности наступления события А в условиях , которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз . |
Вычислите |
вероятность
|
выпадения шести очков на каждой из верхних граней этих двух кубиков . |
Поскольку число благоприятных исходов больше или равно нулю и всегда меньше или равно числу всех возможных исходов , то |
вероятность
|
любого случайного события всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1 . |
Тогда |
вероятность
|
такого события равна . |
Поэтому |
вероятность
|
такого невозможного события равна . |
д ) Чему равна |
вероятность
|
выпадения комбинации « орел » — « орел » — « решка » ? . |
Тогда |
вероятность
|
его наступления будет в n ( А ) раз больше , чем и , следовательно , равна . |
И так как возможность реализации каждого из этих исходов одинакова , то |
вероятность
|
каждого из них , например , выпадения числа 5 , равна . |
В этом случае |
вероятность
|
вычисляют приближенно . |
г ) В результате многочисленных наблюдений над новорожденными было вычислено , что |
вероятность
|
рождения девочки с точностью до сотых равна 0,49 . |
Вычислите вероятность того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана : 1 ) одна из букв слова « |
вероятность
|
» . |
Заметим , что частота и |
вероятность
|
одного и того же случайного события связаны между собой . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Олег получит билет , в котором все 3 вопроса он не успел выучить . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Андрей получит билет , который он успел выучить . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 9 ; б ) делится на 12 ; в ) делится на 9 и на 2 ; г ) делится на 11 и на 3 . |
Ответ : при бросании двух кубиков |
вероятность
|
выпадения на верхних гранях в сумме восьми очков равна . |
Как мы уже обсуждали в предыдущем пункте , в некоторых случаях мы можем вычислить |
вероятность
|
того или иного случайного события . |
Вероятность события принято обозначать буквой Р. Например , |
вероятность
|
события А записывают как Р(А ) . |
Например , вероятность угадывания одного из 32 загаданных чисел равна а |
вероятность
|
того , что ученик на экзамене вытащит один « желанный » билет из 58 возможных , равна . |
В частности , если при проведении некоторого испытания мы имеем n равновозможных исходов , то |
вероятность
|
каждого из них равна . |
Каким же образом можно вычислить |
вероятность
|
события ? . |
Вычислите |
вероятность
|
выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме десяти очков . |
Поэтому |
вероятность
|
события А будет равна . |
Ответ : при бросании двух кубиков |
вероятность
|
выпадения на верхних гранях в сумме десяти очков равна . |
Ответ : при бросании двух кубиков |
вероятность
|
выпадения шести очков на каждой из их верхних граней равна . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что « орел » выпадет хотя бы три раза . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана : 1 ) одна из букв слова « вероятность » . |
б ) В 2002 году было вычислено , что |
вероятность
|
дожить до возраста 80 - 90 лет у мужчин равна 0,25 . |
Частота и |
вероятность
|
случайных событий . |
Вычислите |
вероятность
|
выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме восьми очков . |
Вычислите |
вероятность
|
выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме семи очков . |
Чему равна |
вероятность
|
того , что оно окажется точным квадратом ? . |
Чему равна |
вероятность
|
того , что в итоге записи получится слово « мечта » ? . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что был утерян . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана одна из букв слова « головоломка » . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что Гоше попадется билет , в котором оба вопроса он не успел выучить . |
Найдите |
вероятность
|
того , что случайно названное трехзначное натуральное число окажется равным задуманному . |
Чему равна |
вероятность
|
того , что красный и синий шары окажутся рядом ? . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана . |
Вычислите |
вероятность
|
выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме пяти очков . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что среди вытащенных фотокарточек окажется нужная . |
Чему равна |
вероятность
|
того , что полученное число : 1 ) делится на 5 ; 2 ) начинается на 7 ? . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 7 б ) делится на 5 и на 4 |
Вычислите |
вероятность
|
того , что среди извлеченных шаров окажется синий шар . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что хотя бы один раз выпадет « орел » . |
Чему равна |
вероятность
|
того , что в итоге записи получится слово « море » ? . |
Чему равна |
вероятность
|
того , что эклер и бизе окажутся рядом ? . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что число на вытащенном шаре . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что число на вытащенном шаре делится на 12 и на 5 . |
Чему равна |
вероятность
|
получить пирог с сюрпризом , взяв кусок пирога наугад ? . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана : 1 ) гласная буква ; 2 ) одна из букв слова « математика » . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что среди вытащенных открыток окажется нужная . |
б ) Чему равна |
вероятность
|
того , что первая же карта , вытащенная из обычной карточной колоды , содержащей 36 карт , окажется : 1 ) дамой ; 2 ) пиковой масти ; 3 ) дамой , королем или тузом ? . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Антон вытащит билет , в котором все три вопроса он не успел выучить . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что среди извлеченных карандашей окажется зеленый . |
а ) Чему равна |
вероятность
|
того , что случайным образом выбранное трехзначное число : 1 ) состоит из трех одинаковых цифр ; 2 ) больше 121 и меньше 148 ? . |
Чему равна |
вероятность
|
того , что полученное число : 1 ) делится на 2 ; 2 ) начинается на 8 ? . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что « решка » выпадет хотя бы два раза . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Соня вытащит билет , который она не успела выучить . |
Чему равна |
вероятность
|
выиграть в эту лотерею , купив один билет ? . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Ваня вытянет билет , который он успел выучить . |
Найдите |
вероятность
|
того , что случайно названное двузначное натуральное число окажется равным задуманному . |
Вычислите |
вероятность
|
того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Вася возьмет билет , который он успел выучить . |
а ) Чему равна |
вероятность
|
того , что случайным образом выбранное двузначное число : 1 ) состоит из одинаковых цифр ; 2 ) больше 35 и меньше 52 ? . |
Число 0,5 , или называют в данном случае |
вероятностью
|
выпадения « решки » при подбрасывании монеты . |
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения шести очков на каждой из их |
верхних граней
|
равна . |
Вычислите вероятность выпадения шести очков на каждой из |
верхних граней
|
этих двух кубиков . |
Вычислите вероятность выпадения на |
верхних гранях
|
этих кубиков в сумме семи очков . |
сумма выпавших на |
верхних гранях
|
очков равна семи , а модуль их разности равен пяти . |
Являются ли равновозможными исходами выпадение на |
верхних гранях
|
двух кубиков в сумме 3 очков и 6 очков ? |
а ) сумма очков на |
верхних гранях
|
нечетная и на одном из кубиков выпало 4 очка . |
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на |
верхних гранях
|
, не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают . |
в ) сумма очков , выпавших на |
верхних гранях
|
, не меньше 5 и не больше 8 . |
Поскольку вероятности выпадения на |
верхних гранях
|
кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности . |
сумма выпавших на |
верхних гранях
|
очков равна пяти , а модуль разности очков равен трем . |
Вычислите вероятность выпадения на |
верхних гранях
|
этих кубиков в сумме восьми очков . |
Пусть А — событие , при котором на |
верхних гранях
|
обоих кубиков в сумме выпадает восемь очков . |
Как изменяется сумма очков на |
верхних гранях
|
двух кубиков при их одновременном бросании ? |
сумма очков , выпавших на |
верхних гранях
|
, не больше 6 . |
в ) сумма очков , выпавших на |
верхних гранях
|
, не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают . |
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на |
верхних гранях
|
в сумме восьми очков равна . |
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на |
верхних гранях
|
, не меньше 4 и не больше 6 . |
в ) сумма очков , выпавших на |
верхних гранях
|
, не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 4 и не больше 6 . |
сумма выпавших на |
верхних гранях
|
очков равна шести , а их произведение равно восьми |
Поскольку кубики « идеальные » , то выпадение на |
верхних гранях
|
каждого из них одного из шести чисел события равновозможные , и мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности . |
Сравнивая решения задач 2 и 3 , заметим , что вероятности выпадения на |
верхних гранях
|
кубиков различных сумм не совпадают . |
сумма выпавших на |
верхних гранях
|
очков равна семи , а их произведение равно десяти . |
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на |
верхних гранях
|
в сумме десяти очков равна . |
а ) сумма очков , выпавших на |
верхних гранях
|
кубиков , равна 11 . б ) сумма очков на выпавших гранях нечетная , и на одном из кубиков выпало 2 очка . |
а ) на |
верхних гранях
|
этих кубиков выпало в сумме четырех очка . |
Пусть А — событие , при котором на |
верхних гранях
|
обоих кубиков выпадает число 6 . |
Вычислите вероятность выпадения на |
верхних гранях
|
этих кубиков в сумме пяти очков . |
Пусть А — событие , при котором на |
верхних гранях
|
обоих кубиков в сумме выпадает десять очков . |
сумма очков , выпавших на |
верхних гранях
|
, не больше 9 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и тщательно перемешивают . |
Вычислите вероятность выпадения на |
верхних гранях
|
этих кубиков в сумме десяти очков . |
Для того чтобы определить эти коэффициенты , поставим в |
вершине
|
и вдоль боковых сторон некоторого равнобедренного треугольника число 1 . |
Для того чтобы найти среднее арифметическое , надо вычислить общий |
вес
|
всех семиклассников и разделить его на число семиклассников . |
В каком объеме им надо закупить каждый из продуктов , необходимых для изготовления нужного количества пончиков , если |
вес
|
готового продукта составляет 90 % от веса всех использованных ингредиентов ? |
После того как на склад поступило еще 20 ящиков с абрикосами , средний |
вес
|
нетто ящика с абрикосами стал равен 10,5 кг . |
Вычислите средний арифметический |
вес
|
семиклассников в этой школе , наибольшее и наименьшее значение их веса , размах в указанном числовом наборе . |
Их средний |
вес
|
нетто равен 12,5 кг . |
Ответ : средний арифметический |
вес
|
семиклассников равен 44,12 кг . |
Общий |
вес
|
всех семиклассников равен . |
Докажите , что любой предмет , |
вес
|
которого выражается целым числом килограммов , большим 7 , можно взвесить на чашечных весах , имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве . |
Их средний |
вес
|
нетто равен 10,3 кг . |
После того как на склад поступило еще 10 ящиков с яблоками , средний |
вес
|
нетто ящика с яблоками стал равен 13 кг . |
Вычислите средний арифметический вес семиклассников в этой школе , наибольшее и наименьшее значение их |
веса
|
, размах в указанном числовом наборе . |
Решение : Наименьшее значение |
веса
|
семиклассников равно 35 кг , наибольшее — 55 кг , а размах числового набора равен разности между наибольшим и наименьшим значением , то есть 20 кг . |
а ) В результате переработки молока получают сливки , масса которых составляет от первоначального |
веса
|
молока . |
Бананы при сушке теряют 12/17 своего |
веса
|
. |
в ) Лекарственные растения при сушке теряют своего |
веса
|
. |
В данной задаче в таблице весов также обращает на себя внимание значение 44 кг , так как в отличие от других значений |
веса
|
оно встречается чаще всего — у 14 учащихся . |
В каком объеме им надо закупить каждый из продуктов , необходимых для изготовления нужного количества пончиков , если вес готового продукта составляет 90 % от |
веса
|
всех использованных ингредиентов ? |
а ) Грибы при сушке теряют своего |
веса
|
. |
а ) У продавца есть гири весом только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных |
весах
|
за одно взвешивание 3,9 кг яблок , используя в общей сложности наименьшее количество гирь , если класть гири на одну чашку весов ? . |
У продавца на рынке есть только гирьки весом 200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных |
весах
|
за одно взвешивание 4 кг конфет , используя ровно 14 гирек , если он ставит их на одну чашу весов ? . |
У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных |
весах
|
2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу весов ? . |
Докажите , что любой предмет , вес которого выражается целым числом килограммов , большим 7 , можно взвесить на чашечных |
весах
|
, имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве . |
У Миши есть только консервные банки весом 350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных |
весах
|
за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей , используя в общей сложности наименьшее количество банок , если он кладет банки на одну чашу весов . |
В результате диспансеризации , проведенной в седьмых классах , школьный врач получил следующую информацию о |
весе
|
семиклассников . |
У продавца на рынке есть только гирьки весом 200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 4 кг конфет , используя ровно 14 гирек , если он ставит их на одну чашу |
весов
|
? . |
а ) У продавца есть гири весом только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 3,9 кг яблок , используя в общей сложности наименьшее количество гирь , если класть гири на одну чашку |
весов
|
? . |
У Миши есть только консервные банки весом 350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей , используя в общей сложности наименьшее количество банок , если он кладет банки на одну чашу |
весов
|
. |
Правила равносильных преобразований уравнений основываются на известных нам общих свойствах равенств — рефлексивности , симметричности и транзитивности — и правилах преобразований числовых равенств ( правилах « |
весов
|
» ) . |
В данной задаче в таблице |
весов
|
также обращает на себя внимание значение 44 кг , так как в отличие от других значений веса оно встречается чаще всего — у 14 учащихся . |
У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу |
весов
|
? . |
У продавца на рынке есть только гирьки |
весом
|
200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 4 кг конфет , используя ровно 14 гирек , если он ставит их на одну чашу весов ? . |
а ) У продавца есть гири |
весом
|
только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 3,9 кг яблок , используя в общей сложности наименьшее количество гирь , если класть гири на одну чашку весов ? . |
У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки |
весом
|
450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу весов ? . |
У продавца на рынке есть только гирьки |
весом
|
100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу весов ? . |
У Миши есть только консервные банки |
весом
|
350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей , используя в общей сложности наименьшее количество банок , если он кладет банки на одну чашу весов . |
Согласно порядку действий в выражениях со степенями , сначала |
возведем
|
( -3 ) в степень , затем выполним умножение и деление и после этого — выполним вычитание . |
Для доказательства этой гипотезы |
возведем
|
в квадрат двучлен , пользуясь правилом умножения многочленов . |
Для этого |
возведем
|
в квадрат несколько различных двучленов . |
Значит , в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее произведение : Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем сократим полученную дробь и |
возведем
|
ее в квадрат . |
Отрицательное число , |
возведенное
|
в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное . |
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , |
возведенное
|
в нечетную степень , — число отрицательное . |
284 Пользуясь формулами квадрата двучлена и трехчлена , |
возведите
|
в степень . |
Это они построили города , |
возвели
|
многоэтажные здания , провели канализацию и водопровод , замостили улицы и осветили их электрическими лампами . |
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым умножением , |
возвести
|
двучлен в куб , четвертую и более высокие степени . |
Для того чтобы возвести в степень дробь , можно |
возвести
|
в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби . |
Так , |
возвести
|
в квадрат следующие трехчлены можно фактически устно ( не забывая учитывать в формуле знаки членов трехчлена ) . |
Для того чтобы |
возвести
|
в степень дробь , можно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби . |
4 Для того чтобы возвести в степень произведение , можно |
возвести
|
в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить . |
5 а ) Для того чтобы |
возвести
|
в степень частное , можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй . |
5 а ) Для того чтобы возвести в степень частное , можно |
возвести
|
в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй . |
3 Для того чтобы |
возвести
|
степень в степень , можно основание оставить без изменений , а показатели перемножить . |
Для того чтобы |
возвести
|
в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 . |
С помощью формулы суммы квадратов мы можем также получить простейшее правило , которое без труда позволит |
возвести
|
в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 . |
4 Для того чтобы |
возвести
|
в степень произведение , можно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить . |
А как |
возводить
|
двучлен в четвертую , пятую , шестую и более высокие степени ? . |
Оказывается , такие формулы есть , и они позволяют |
возводить
|
двучлен в произвольную натуральную степень , не проводя прямых вычислений . |
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро возводить в квадрат двучлены , но и устно |
возводить
|
в квадрат числа , причем не только целые , но и дробные . |
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро |
возводить
|
в квадрат двучлены , но и устно возводить в квадрат числа , причем не только целые , но и дробные . |
Проверьте результат , |
возводя
|
полученный двучлен в квадрат . |
Как и планировали , в первой группе применим формулу разности квадратов , а во второй — |
вынесем за скобки
|
общий множитель ах . |
Тогда если , то |
вынесем за скобки
|
общий множитель с , выполнив следующие равносильные преобразования . |
В каждой части равенства |
вынесем за скобки
|
общий числовой множитель , получим . |
После этого из каждой группы |
вынесем за скобки
|
общий множитель . |
Пользуясь распределительным законом умножения , |
вынесите за скобки
|
общий числовой множитель тремя различными способами . |
Ведь если бы мы |
вынесли за скобки
|
только один из общих множителей , х или 2х минус 1 , это не дало бы нам возможности решить исходное уравнение . |
Тогда в каждой группе образуется общий множитель х плюс у , который можно |
вынести за скобки
|
. |
Заметим , что в последних трех слагаемых , если добавить к ним х и |
вынести за скобки
|
6 , « спрятана » формула квадрата суммы ( х плюс 1)2 . |
Итак , чтобы |
вынести за скобки
|
общий множитель с , мы можем в скобках записать многочлен , каждый член которого получен в результате его деления на с . |
Таким образом , каждая из групп будет иметь общий множитель х плюс у , который можно |
вынести за скобки
|
. |
Однако , анализируя исходный многочлен , можно заметить , что в группе х2у плюс 2ху2 плюс у3 , состоящей из второго , четвертого и пятого слагаемых , мы можем |
вынести за скобки
|
общий множитель у. |
Таким образом , в каждой из образованных двух групп имеется множитель х плюс 1 , который можно |
вынести за скобки
|
. |
Для этого достаточно |
вынести за скобки
|
любой числовой множитель , например . |
3 Если несколько слагаемых алгебраической суммы имеют общий множитель , то его можно |
вынести за скобку
|
. |
Однако можно заметить , что если в множителе ( а2 минус 2ab плюс b2 ) коэффициент 2 заменить на 1 , то при раскрытии скобок подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз |
выражение
|
а3 плюс b3 . |
Рассмотрим теперь неравенства , в которых под знаком модуля стоит не х , а |
выражение
|
вида . |
760 Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов . |
11 Прочитайте |
выражение
|
и найдите его значение . |
424 Упростите |
выражение
|
. |
Если же , то |
выражение
|
под знаком модуля может принимать значения с и -с . |
1 Если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число ( |
выражение
|
) , то получим неравенство , равносильное данному . |
Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных ( n N ) . |
406 Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем , отличным от 1 . |
475 Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов . |
2 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число ( |
выражение
|
) , то получим неравенство , равносильное данному . |
252 Запишите |
выражение
|
как трехчлен стандартного вида . |
246 Запишите |
выражение
|
. |
Если а , b , с , d , то данное |
выражение
|
имеет смысл , поэтому мы можем упростить его . |
559 Представьте |
выражение
|
в виде произведения степеней простых чисел и букв . |
2 Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число ( |
выражение
|
) , отличное от нуля , то получим уравнение , равносильное данному . |
Определите , при каких значениях переменных имеет смысл |
выражение
|
. |
Указание : сделайте замену t равно 4 минус 2а плюс 3а2 и преобразуйте |
выражение
|
. |
Таким образом , исходное |
выражение
|
является суммой квадратов . |
3 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число ( |
выражение
|
) и изменить знак неравенства на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному . |
40 Запишите в виде степени |
выражение
|
, равное данному . |
Значит , исходное |
выражение
|
мы можем записать в виде . |
Как , например , упростить следующее |
выражение
|
: . |
469 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов степени , большей 0 . |
Значит , наше исходное |
выражение
|
равно дроби , в которой числитель и знаменатель имеют общий множитель 9х - 4у , отличный от 0 . |
60 Представьте |
выражение
|
в виде степени дроби с показателем , отличным от 1 . |
341 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное |
выражение
|
стало многочленом степени n ? . |
729 Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем , отличным от 1 . |
143 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида и определите его степень . |
748 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
478 Используя равносильные преобразования , упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
144 Запишите |
выражение
|
как двучлен стандартного вида и определите его степень . |
476 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
61 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
Анализируя заданное |
выражение
|
, замечаем , что каждое его слагаемое имеет общий множитель 7 . |
Сначала вспомним , что |
выражение
|
« тогда и только тогда » употребляется в тех случаях , когда выполняется как прямое , так и обратное утверждение . |
201 Упростите |
выражение
|
. |
259 Докажите , что при любом целом х указанное |
выражение
|
делится на а . |
394 Запишите |
выражение
|
на математическом языке . |
258 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
43 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
478 Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов . |
9 Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является |
выражение
|
. |
Так как |
выражение
|
имеет смысл для всех х , не равных нулю , то областью определения нашей функции является множество всех известных нам чисел , кроме нуля . |
464 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных , вынося при необходимости за скобки общий множитель . |
588 Представьте |
выражение
|
в виде произведения двух многочленов , используя формулу разности квадратов . |
415 Упростите |
выражение
|
. |
283 Раскройте скобки и упростите |
выражение
|
. |
42 Запишите |
выражение
|
в виде степени при допустимых значениях переменных . |
396 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида и определите его степень . |
461 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
388 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
84 Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем , отличным от 1 . |
Замечаем , что данное |
выражение
|
мы можем записать в виде ( x2)2 плюс 22 . |
86 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
202 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
432 Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем 3 , если это возможно . |
Пользуясь правилом умножения одночлена на многочлен , упростим |
выражение
|
для нахождения площади фигуры . |
369 Упростите |
выражение
|
. |
445 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
286 Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем , отличным от 1 . |
438 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
170 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
441 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида , используя нужную формулу сокращенного умножения . |
439 Упростите |
выражение
|
. |
298 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
438 Составьте |
выражение
|
к задаче и , если возможно , упростите его . |
436 Упростите |
выражение
|
, выполняя равносильные преобразования . |
386 Докажите , что при любом целом х указанное |
выражение
|
делится на а . |
299 Докажите , что при любом целом р указанное |
выражение
|
делится на а . |
730 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
445 Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов . |
456 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Мы получили , что исходное сложное |
выражение
|
при всех значениях х и у равно 1 . |
384 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Подставим полученное |
выражение
|
в следующую скобку и выполним дальнейшие упрощения : 2х - 5у + 3(у - 4х ) . |
455 Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов . |
Упростим сначала |
выражение
|
3у - 2х - 2(х + у ) . |
Указание : сначала сделайте замену и преобразуйте |
выражение
|
. |
Теперь , пользуясь этими правилами , упростим |
выражение
|
, приведенное в начале пункта : 5х + 5у - ( 4у - 1 - 0,5(2х -5у + 3(3у - 2х - 2(х + у ) ) ) ) . |
447 Упростите |
выражение
|
. |
Преобразуем |
выражение
|
в квадратных скобках . |
178 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
Для этого |
выражение
|
в скобках умножим на ( -1 ) . |
Полученное |
выражение
|
запишите как многочлен стандартного вида . |
Упростите |
выражение
|
. |
Неудобство состоит лишь в том , что каждый раз мы должны записывать упрощаемое |
выражение
|
в виде суммы , то есть заменять в нем вычитание некоторого числа прибавлением противоположного ему числа . |
Чтобы |
выражение
|
при этих преобразованиях не изменилось , из него надо вычесть х. Тогда неиспользованные слагаемые образуют группу х3 минус х , в которой есть общий множитель х. |
Какое действие над членами данного многочлена надо выполнить , чтобы найти |
выражение
|
в скобках ? |
Составьте |
выражение
|
для вычисления указанных величин и запишите его как многочлен стандартного вида . |
568 Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов степени большей нуля . |
187 Упростите |
выражение
|
. |
39 Запишите |
выражение
|
а15 в виде произведения . |
379 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
349 Упростите |
выражение
|
. |
186 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
304 Представьте |
выражение
|
в виде А2 плюс с , где А — двучлен , а c — число . |
354 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Какое |
выражение
|
нужно подставить вместо А , чтобы равенство превратилось в тождество ? . |
38 Упростите |
выражение
|
. |
590 Представьте |
выражение
|
в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и разности кубов . |
Мы видим , что исходное |
выражение
|
сильно упростилось . |
А полученное нами |
выражение
|
мы уже сможем разложить на множители , используя формулу разности квадратов . |
360 Представьте |
выражение
|
в виде произведения двух многочленов . |
774 Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное |
выражение
|
стало многочленом степени п ? . |
361 Упростите |
выражение
|
. |
Преобразовав полученное |
выражение
|
, мы приходим к доказательству требуемого утверждения . |
451 Составьте |
выражение
|
к задаче и , если возможно , упростите его . |
450 Упростите |
выражение
|
. |
449 Выполняя равносильные преобразования , упростите |
выражение
|
. |
Используя определение степени , запишите |
выражение
|
как произведение двучленов и выполните умножение . |
Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных и найдите его значение . |
Вначале упростим данное |
выражение
|
, проведя равносильные преобразования . |
234 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Анализируя полученное |
выражение
|
, мы замечаем , что зависимость между количеством купленных тетрадей и стоимостью всей покупки не является прямой пропорциональностью — она не может быть описана формулой . |
300 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
387 Какое |
выражение
|
надо прибавить к ( а минус b)3 , чтобы получить ( а плюс 6)3 ? . |
1 Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число ( |
выражение
|
) , то получим уравнение , равносильное данному . |
260 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
43 Составьте буквенное |
выражение
|
для нахождения неизвестного числа и найдите его при данных значениях букв . |
374 Запишите |
выражение
|
. |
616 Представьте |
выражение
|
в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и разности кубов . |
726 Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является |
выражение
|
. |
267 Представьте |
выражение
|
в виде А2 минус В2 , где А и В — некоторые выражения . |
56 Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем , отличным от 1 . |
542 Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов степени большей нуля . |
В общем случае мы получаем новое |
выражение
|
, называемое многочленом . |
Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем , отличным от 1 , при целых значениях переменных . |
Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является |
выражение
|
. |
Теперь подставим в исходное уравнение вместо числа ( -11 ) полученное |
выражение
|
и выполним цепочку равносильных преобразований . |
Теперь подставим в исходное |
выражение
|
вместо скобок вычисленное значение . |
324 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида , используя формулы сокращенного умножения . |
523 Представьте |
выражение
|
как произведение . |
55 Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем , отличным от 1 . |
А значит , данное |
выражение
|
является нулевым одночленом . |
273 Выведите формулу для квадрата четырехчлена и , пользуясь ею , запишите данное |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
747 Используя формулу разности квадратов , запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
328 Представьте |
выражение
|
как произведение двух многочленов . |
409 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Полученное |
выражение
|
представляет собой разность квадратов . |
293 Запишите |
выражение
|
как трехчлен стандартного вида . |
63 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
59 Запишите |
выражение
|
в виде частного степеней . |
614 Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов , используя формулу разности квадратов . |
415 Докажите , что при любом целом х указанное |
выражение
|
делится на а . |
420 В многочлен 2у3 минус у2 плюс 5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное выражение и запишите полученное |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
268 В многочлен х2 минус 4х минус 7 вместо переменной x подставьте данное |
выражение
|
и запишите результат как многочлен стандартного вида . |
Следующий прием разложения многочлена на множители основан на том , что если мы к многочлену прибавим и вычтем из него одно и то же |
выражение
|
, то многочлен от этого не изменится . |
499 Представьте |
выражение
|
в виде произведения многочленов . |
113 Докажите , что данное |
выражение
|
может быть записано в виде одночлена . |
416 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
733 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Как короче можно записать последнее |
выражение
|
? . |
95 Прочитайте |
выражение
|
и определите , является ли оно одночленом . |
316 Представьте , если это возможно , |
выражение
|
в виде степени с показателем 2 . |
Делим правую и левую части уравнения на одно и то же |
выражение
|
. |
Упростим полученное для D |
выражение
|
, используя правило умножения многочленов . |
41 Составьте |
выражение
|
и найдите его значение при . |
219 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида , используя умножение « в столбик » . |
424 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида и определите его степень . |
Запишем |
выражение
|
в квадратных скобках как многочлен стандартного вида . |
Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида : ( а минус b)(а плюс b)(а2 плюс b2)(а4 плюс b4 ) . . |
33 Учитель дал ученикам задание написать , используя три раза цифру 2 , числовое |
выражение
|
, значение которого будет как можно более большим . |
221 Упростите |
выражение
|
. |
751 Используя формулы сокращенного умножения , запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
61 Представьте |
выражение
|
в виде степени дроби с показателем , отличным от 1 . |
216 Упростите |
выражение
|
. |
321 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Например , при возведении двучлена а плюс b в шестую степень получится |
выражение
|
вида : где вместо пропусков стоят некоторые числа . |
752 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
393 В многочлен х3 – 3x2 плюс 2х минус 5 вместо переменной х подставьте данное выражение и запишите полученное |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
420 В многочлен 2у3 минус у2 плюс 5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное |
выражение
|
и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида . |
393 В многочлен х3 – 3x2 плюс 2х минус 5 вместо переменной х подставьте данное |
выражение
|
и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида . |
Приведем каждый из одночленов данной алгебраической суммы к стандартному виду и упростим полученное |
выражение
|
. |
112 Запишите данное |
выражение
|
как одночлен стандартного вида . |
501 Представьте |
выражение
|
как произведение . |
Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
50 Представьте в виде степени с показателем , отличным от 1 , |
выражение
|
. |
79 Запишите |
выражение
|
в виде степени с основанием 2 , 3 или 5 . |
Запишите полученное |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
280 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида и определите его степень . |
Упростите при |
выражение
|
. |
133 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Преобразуя затем |
выражение
|
в квадратных скобках , получаем . |
515 Запишите |
выражение
|
в виде произведения многочленов . |
Упростим данное |
выражение
|
и проведем равносильные преобразования . |
83 Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем , отличным от 1 . |
131 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
25 Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является |
выражение
|
. |
47 Запишите |
выражение
|
в виде степени с основанием t . |
Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
Указание : сначала сделайте замену t равно а2 плюс 3а плюс 4 и преобразуйте |
выражение
|
. |
414 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
495 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
Вынесем его за скобки и преобразуем |
выражение
|
, полученное в скобках . |
203 Составьте |
выражение
|
для вычисления . |
492 Упростите |
выражение
|
, выполняя равносильные преобразования . |
46 Представьте |
выражение
|
в виде степени с основанием а . |
261 Какое |
выражение
|
надо прибавить к ( а минус b)2 , чтобы получить ( а плюс 6)2 ? . |
490 Упростите |
выражение
|
. |
103 Докажите , что данное |
выражение
|
может быть записано в виде одночлена . |
51 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
784 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
78 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменной . |
102 Запишите данное |
выражение
|
как одночлен стандартного вида . |
72 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях величин . |
122 Исходя из определения многочлена , приведенного на стр. 25 , определите , можно ли указанное |
выражение
|
записать как многочлен . |
Определите , можно ли записать данное |
выражение
|
, как одночлен и найдите его значение при n равно -48 , m равно -0,32 , k равно 5,6 . |
330 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида . |
309 Представьте |
выражение
|
в виде степени с показателем , отличным от 1 . |
266 Представьте |
выражение
|
в виде А2 плюс с , где А — двучлен , а с — число . |
331 Упростите |
выражение
|
. |
А как короче записать , например , |
выражение
|
0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 ? |
371 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
520 Представьте |
выражение
|
в виде произведения двух многочленов . |
549 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
2 Запишите числовое |
выражение
|
короче , используя понятие степени . |
3 При рациональных значениях переменных запишите буквенное |
выражение
|
короче , используя понятие степени . |
52 Запишите |
выражение
|
в виде степени с основанием 2 , 3 или 5 . |
308 Запишите |
выражение
|
как многочлен стандартного вида и определите его степень . |
84 Упростите |
выражение
|
. |
Если мы прибавим к нему , а затем вычтем число 1 , то |
выражение
|
не изменится , но в нем можно будет выделить полный квадрат . |
122 Упростите |
выражение
|
при допустимых значениях переменных . |
77 Запишите |
выражение
|
в виде степени при допустимых значениях переменных . |
Уравнения данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается |
выражением
|
аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию . |
45 Замените букву х |
выражением
|
так , чтобы полученное равенство стало тождеством . |
Но почему при замене исходного выражения другим , новым |
выражением
|
мы были уверены , что значения их равны ? |
Общее во всех этих неравенствах то , что левая их часть является |
выражением
|
вида , где k , b — рациональные числа . |
Таким образом , проведенные преобразования очень сильно упростят последующую работу с данным |
выражением
|
. |
После раскрытия скобок мы видим , что в |
выражении
|
имеются противоположные слагаемые , которые « взаимно уничтожаются » . |
Значит , мы можем сделать это и в нашем |
выражении
|
. |
Затем в |
выражении
|
х(с плюс d ) равно хс плюс xd сделаем обратную замену х на а плюс b и вновь раскроем скобки . |
И наконец , пользуясь правилом 2 , раскроем последнюю скобку в исходном |
выражении
|
. |
И здесь опять возникает вопрос : на основании каких законов можно осуществить равносильные преобразования в этом |
выражении
|
? . |
583 Среди представленных |
выражений
|
найдите те , которые являются . |
Основные законы сложения верны также и для алгебраических сумм , то есть |
выражений
|
, содержащих несколько последовательных действий сложения и вычитания . |
322 а ) Найдите значения |
выражений
|
рациональным способом . |
5 Выпишем определение модуля каждого из |
выражений
|
и установим для всех числовых промежутков , чему равно значение модуля . |
250 а ) Найдите значения |
выражений
|
. |
После вынесения за скобки числа 7 в скобках остается квадрат суммы двух |
выражений
|
, а и 2b . |
разность значений |
выражений
|
меньше 5 . д ) удвоенное значение выражения не меньше значения выражения . |
710 При каких значениях переменной равны значения |
выражений
|
? . |
л ) сумма значений |
выражений
|
и меньше ( -30 ) . |
754 Найдите значения |
выражений
|
рациональным способом . |
м ) произведение значений |
выражений
|
и больше или равно ( -12 ) . |
Например , равносильность приведенных выше |
выражений
|
может быть обоснована с помощью этих правил следующим образом . |
сумма значений выражений и меньше 17 . е ) разность значений |
выражений
|
и больше 29 . |
762 Найдите значение |
выражений
|
. |
сумма значений выражений не больше 20 . е ) разность значений |
выражений
|
не меньше 8 . |
716 Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
сумма значений |
выражений
|
не больше 20 . е ) разность значений выражений не меньше 8 . |
741 Сравните значения |
выражений
|
. |
сумма значений выражений меньше или равна -6 . д ) разность значений |
выражений
|
не меньше 12 ? . |
Не проводя вычислений , сравните значения числовых |
выражений
|
. |
сумма значений |
выражений
|
и меньше 17 . е ) разность значений выражений и больше 29 . |
Если же в состав |
выражений
|
дополнительно входят буквы , то их называют буквенными выражениями . |
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений |
выражений
|
меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения . |
сумма значений |
выражений
|
не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения . |
2 Равносильные преобразования алгебраических |
выражений
|
. |
Глава 3 Законы равносильных преобразований алгебраических |
выражений
|
. |
сумма значений |
выражений
|
меньше или равна -6 . д ) разность значений выражений не меньше 12 ? . |
Поэтому для того , чтобы упрощать такие выражения , мы должны научиться производить равносильные преобразования алгебраических |
выражений
|
со скобками . |
Поэтому алгебра изучает также общие свойства арифметических действий , помогающие рационально проводить преобразования |
выражений
|
. |
703 Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
584 Запишите неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности |
выражений
|
а и b . |
к ) разность значений |
выражений
|
и неотрицательна . |
Куб суммы двух |
выражений
|
равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения . |
Формула произведения разности и суммы двух |
выражений
|
. |
Мы получили , что произведение разности двух |
выражений
|
и их суммы равно разности квадратов этих выражений . |
Для этого можно воспользоваться определением модуля каждого из |
выражений
|
. |
91 Сравните значения |
выражений
|
. |
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго |
выражений
|
, плюс квадрат второго выражения . |
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих |
выражений
|
на неполный квадрат их суммы . |
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих |
выражений
|
на неполный квадрат их разности . |
783 Сравните ( устно ) значения числовых |
выражений
|
. |
Мы получили , что произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих |
выражений
|
. |
558 Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
При каких значениях переменной равны значения указанных |
выражений
|
? . |
Обоснуйте свой ответ ; б ) Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
Разность кубов двух |
выражений
|
равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы . |
463 Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
Среди формул сокращенного умножения есть еще одна замечательная формула , которая получается при умножении разности двух |
выражений
|
на их сумму . |
Произведение разности двух |
выражений
|
и их суммы равно разности квадратов этих выражений . |
358 Представьте многочлен в виде произведения суммы и разности двух |
выражений
|
. |
Мы получили сумму двух |
выражений
|
, каждое из которых имеет множитель а плюс b. |
Найдите значения полученных |
выражений
|
для чисел : а ) 8 и 2 ; б ) -4 и 3 ; в ) 7 и -5 ; г ) -9 и -6 . |
Поскольку одночлены и многочлены часто встречаются в математических моделях практических задач , то установленные приемы действий с ними помогают в упрощении полученных моделей , при нахождении значений |
выражений
|
, решении уравнений и неравенств . |
Сумма кубов двух |
выражений
|
равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности . |
Среди данных выражений укажите пары равных и пары противоположных |
выражений
|
. |
Сформулируйте правила возведения в квадрат суммы и разности двух |
выражений
|
и сравните свои формулировки с правилами на стр. 52 - 53 учебника . |
Умножим , например , сумму двух |
выражений
|
на квадрат их разности . |
Квадрат разности двух |
выражений
|
равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения . |
Их использование значительно упрощает различные преобразования |
выражений
|
и вычисления . |
Мы перемножили сумму и разность двух |
выражений
|
, и здесь нас ждала удача . |
Квадрат суммы двух |
выражений
|
равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения . |
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных |
выражений
|
, при нахождении значений выражений , решении уравнений и неравенств , доказательстве тождеств . |
Среди данных |
выражений
|
укажите пары равных и пары противоположных выражений . |
Так как полученные равенства верны при подстановке вместо а и b любых чисел и |
выражений
|
, то они являются тождествами . |
26 Сравните значения |
выражений
|
. |
137 Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
Аналогичным образом при вычислении квадрата разности двух |
выражений
|
получаем . |
Разность квадратов двух |
выражений
|
равна произведению их разности и суммы . |
Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
148 Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
если . Найдите значения |
выражений
|
. |
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих |
выражений
|
. |
Язык математики , состоящий , в частности , из чисел , букв и |
выражений
|
, уравнений и неравенств , помогает записать взаимосвязи , лежащие в основе различных процессов . |
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух |
выражений
|
, а затем — как найти разность квадратов двух выражений . |
При этом данное равенство будет верно при подстановке в него вместо а и b любых чисел и |
выражений
|
, то есть оно является тождеством . |
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух выражений , а затем — как найти разность квадратов двух |
выражений
|
. |
Найдите значения полученных |
выражений
|
для чисел . |
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами |
выражений
|
можно назвать « одночленами » . |
Какие из этих |
выражений
|
являются « степенью числа » , а какие - « числом , противоположным степени числа » ? . |
произведения разности и суммы двух |
выражений
|
. разности квадратов . разности кубов . |
326 Представьте многочлен в виде произведения суммы и разности двух |
выражений
|
. |
Значит , исходный многочлен можно записать в виде суммы двух |
выражений
|
, каждое из которых имеет множителем трехчлен х2 плюс х плюс 1 . |
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений |
выражений
|
, решении уравнений и неравенств , доказательстве тождеств . |
535 Среди представленных |
выражений
|
найдите те , которые имеют общие буквенные множители . |
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из |
выражений
|
, мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения . |
Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и |
выражений
|
, не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных слагаемых . |
10 Сравните значения |
выражений
|
. |
2 Приравнять каждое из этих |
выражений
|
к нулю и найти корни полученных уравнений . |
Соотнесите приведенные ниже записи с одним из этих четырех |
выражений
|
, указав возможные А и В . |
Таким образом , в результате нашего исследования нам удалось получить формулу суммы кубов двух |
выражений
|
. |
452 Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
Среди составленных учащимися |
выражений
|
были следующие . |
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго |
выражений
|
, плюс квадрат второго выражения . |
Формула разности квадратов , как и все другие формулы сокращенного умножения , сильно упрощает преобразование |
выражений
|
, решение уравнений , проведение вычислений . |
Заменяя в полученной формуле b на ( -b ) , приходим к новой формуле сокращенного умножения , которую называют формулой куба разности двух |
выражений
|
. |
575 Сравните значения числовых |
выражений
|
. |
343 Сравните значения |
выражений
|
. |
32 а ) Найдите значения числовых |
выражений
|
А и В . |
А при возведении в n - ю степень разности двух |
выражений
|
знаки « плюс » и « минус » будут чередоваться , начиная с « плюс » , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени . |
Куб разности двух |
выражений
|
равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения . |
Итак , мы приходим к следующей формуле разности кубов двух |
выражений
|
. |
Мы записали исходный многочлен в виде суммы |
выражений
|
, каждое из которых имеет множитель х минус 1 . |
365 Сравните значения |
выражений
|
. |
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого модуля — самому |
выражению
|
, содержащемуся под знаком модуля , или выражению , противоположному ему . |
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого модуля — самому выражению , содержащемуся под знаком модуля , или |
выражению
|
, противоположному ему . |
Переходим к следующему |
выражению
|
, снова применяя правило 2 раскрытия скобок и распределительный закон умножения : . |
самому выражению , содержащемуся под знаком модуля , или |
выражению
|
, противоположному ему . |
Но как убедиться в том , что выполненные преобразования равносильны , то есть что они привели нас к |
выражению
|
, равносильному первоначальному ? |
самому |
выражению
|
, содержащемуся под знаком модуля , или выражению , противоположному ему . |
734 Найдите значение |
выражения
|
при указанных значениях переменных . |
12 Запишите следующие |
выражения
|
: 1 ) сумма кубов двух чисел ; |
Найдите значение |
выражения
|
b1 плюс 2 b 2 плюс 3b3 плюс 4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 . |
618 Найдите значение |
выражения
|
. |
в ) значение |
выражения
|
равно значению выражения . г ) значение выражения противоположно значению выражения . |
а ) значение выражения на 3 больше значения |
выражения
|
. |
135 Какими многочленами можно заменить А , В , С и D , чтобы указанные |
выражения
|
стали многочленами степени га ? . |
Найдите значение |
выражения
|
а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -7 и аb равно 6,5 . |
а ) значение |
выражения
|
на 3 больше значения выражения . |
значение выражения на 8 больше значения выражения . л ) значение выражения на 12 меньше значения |
выражения
|
. |
а ) значение |
выражения
|
меньше значения выражения . |
сначала надо выделить числовые промежутки , на которых |
выражения
|
под знаком модуля не меняют свой знак , а затем найти решения неравенств на каждом из выделенных промежутков . |
При этом результат возведения двучлена а плюс b в квадрат не изменится , если вместо а и b мы подставим любые числа или вообще любые |
выражения
|
. |
Найдите значение |
выражения
|
. |
8 Запишите следующие |
выражения
|
: 1 ) сумма квадратов двух чисел ; |
Точно так же надо различать |
выражения
|
для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы . |
1 Под знаком модуля находятся |
выражения
|
. |
6 Разбейте записи на три группы : |
выражения
|
, уравнения , неравенства . |
317 Прочитайте |
выражения
|
. |
592 Найдите значение |
выражения
|
. |
7 Выразить х и у через k. И , подставив полученные |
выражения
|
для х и у в исходное уравнение , сделать проверку . |
Выполняя вычисления и преобразовывая различные |
выражения
|
, мы всегда стремимся получить результат более коротким и удобным способом . |
Найдите значение |
выражения
|
у1 - 2у2 плюс 3у3 - 4у4 плюс 5у5 если у равно 1 , у равно -1 , у равно 2 . |
15 а ) Найдите значение |
выражения
|
х1 плюс х2 плюс х3 плюс х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 . |
значение выражения на 8 больше значения |
выражения
|
. л ) значение выражения на 12 меньше значения выражения . |
значение выражения на 8 больше значения выражения . л ) значение |
выражения
|
на 12 меньше значения выражения . |
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого |
выражения
|
, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения . |
а ) значение выражения меньше значения |
выражения
|
. |
Он состоит в том , что мы объединяем члены многочлена в группы таким образом , чтобы после проведения некоторого числа равносильных преобразований у слагаемых нового |
выражения
|
появились общие множители . |
Найдите значение |
выражения
|
а1 - а2 плюс а3 - а4 плюс а5 , если а равно 2 , а равно 0 , а равно -1 . |
значение |
выражения
|
равно 3 . |
Найдите значения |
выражения
|
. |
147 Какими многочленами можно заменить соответственно А и В , чтобы указанные |
выражения
|
стали многочленами степени n ? . |
г ) значение |
выражения
|
больше значения выражения . |
28 Найдите значение |
выражения
|
. |
Многочлены часто являются математическими моделями практических задач , поэтому нам надо уметь выполнять арифметические действия с многочленами и приводить такие |
выражения
|
к максимально простому виду . |
значение выражения меньше или равно значению |
выражения
|
. |
б ) значение |
выражения
|
равно -5 . |
Расположите эти |
выражения
|
в порядке возрастания их значений . |
а ) значение |
выражения
|
равно 3 . |
476 Докажите , что значение |
выражения
|
а ) 683 минус 243 делится на 11 . б ) 3263 плюс 543 делится на 38 . |
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго |
выражения
|
. |
значение |
выражения
|
меньше или равно значению выражения . |
Запишите |
выражения
|
Р плюс ( -Q ) и Р - Q как многочлены стандартного вида и сравните полученные результаты . |
а ) значение |
выражения
|
равно 31 . б ) |
606 Найдите значение |
выражения
|
. |
г ) значение выражения больше значения |
выражения
|
. |
24 Найдите значение |
выражения
|
. |
132 Докажите , что данные |
выражения
|
можно преобразовать в двучлены . |
в ) значение выражения равно значению |
выражения
|
. г ) значение выражения противоположно значению выражения . |
а ) значение |
выражения
|
4а - 9 больше 5 . б ) значение выражения меньше 11 . |
а ) значение выражения 4а - 9 больше 5 . б ) значение |
выражения
|
меньше 11 . |
б ) значение выражения на 2 меньше значения |
выражения
|
. |
Отметим , что выносить за скобки можно не только одночлены , но и более сложные |
выражения
|
, если они являются общими множителями всех слагаемых некоторой суммы . |
Найдите значение |
выражения
|
а3 минус b3 , если известно , что а минус b равно 5и ab равно -4,6 . |
б ) значение выражения на 6 больше значения |
выражения
|
. |
б ) значение |
выражения
|
на 2 меньше значения выражения . |
а ) значение выражения на 12 больше значения |
выражения
|
. |
в ) значение |
выражения
|
в 7 раз больше значения выражения . |
и ) сумма значения |
выражения
|
и числа ( -1 ) неположительна . |
б ) значение |
выражения
|
на 6 больше значения выражения . |
а ) значение выражения на 2 меньше значения |
выражения
|
. |
а ) значение |
выражения
|
на 12 больше значения выражения . |
А вот |
выражения
|
х плюс 1 , у2 - 3 и г одночленами не являются , поскольку содержат действия соответственно сложения , вычитания , деления . |
287 Упростите |
выражения
|
при допустимых значениях переменных . |
а ) значение |
выражения
|
на 2 меньше значения выражения . |
д. Поэтому |
выражения
|
, в которых используется только действие умножения , имеют в математике отдельное название и специально изучаются . |
302 Найдите значение |
выражения
|
при данных значениях переменных . |
Например , многочленами являются |
выражения
|
. |
114 Какие одночлены надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы |
выражения
|
превратились в истинные равенства ? . |
77 Найдите значение |
выражения
|
. |
282 Найдите значение |
выражения
|
, если известно , что . |
270 Найдите значение выражения х2 плюс если известно , что . 271 Какие |
выражения
|
можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? . |
104 Какие одночлены надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы |
выражения
|
превратились в истинные равенства ? . |
83 а ) Найдите значение |
выражения
|
. |
267 Представьте выражение в виде А2 минус В2 , где А и В — некоторые |
выражения
|
. |
Подставим данные |
выражения
|
в формулу деления а на b с остатком . |
394 а ) Найдите значение |
выражения
|
а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -6 и ab равно 3,5 |
82 Найдите значение |
выражения
|
. |
значение выражения в 3 раза меньше значения |
выражения
|
. |
значение |
выражения
|
в 3 раза меньше значения выражения . |
263 Найдите значение |
выражения
|
при данных значениях переменных . |
390 Найдите значение |
выражения
|
при данных значениях переменных . |
278 Найдите наименьшее значение |
выражения
|
. |
Как и в предыдущем случае , подставим данные |
выражения
|
в формулу деления а на b с остатком . |
279 Найдите наибольшее значение |
выражения
|
. |
в ) значение выражения в 7 раз больше значения |
выражения
|
. |
671 Найдите значение |
выражения
|
. |
Запишите следующие |
выражения
|
. |
281 Найдите значение |
выражения
|
а2 плюс b2 плюс с2 , если известно , что . |
Таким образом , фактически устно мы получили , что при всех значениях m , n и k ( в том числе и при указанных в условии ) значение данного |
выражения
|
будет равно 0 . |
675 Докажите , что значение |
выражения
|
не зависит от значений переменных . |
в ) значение выражения равно значению выражения . г ) значение выражения противоположно значению |
выражения
|
. |
в ) значение выражения равно значению выражения . г ) значение |
выражения
|
противоположно значению выражения . |
з ) разность значения |
выражения
|
и числа 7 положительна . |
121 Запишите данные |
выражения
|
в виде суммы одночленов . |
Как одним словом можно было бы назвать все эти |
выражения
|
? . |
разность значений выражений меньше 5 . д ) удвоенное значение |
выражения
|
не меньше значения выражения . |
а ) значение выражения больше 4 . б ) значение |
выражения
|
меньше или равно ( -6 ) . |
б ) значение выражения на 7 меньше значения |
выражения
|
. |
Запишите следующие |
выражения
|
на математическом языке . |
а ) значение |
выражения
|
больше 4 . б ) значение выражения меньше или равно ( -6 ) . |
626 Найдите значение |
выражения
|
. |
Найдите значение |
выражения
|
при данных значениях переменных . |
14 Найдите значение |
выражения
|
. |
Подставим полученные |
выражения
|
для а и b в исходное уравнение . |
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго |
выражения
|
. |
б ) значение |
выражения
|
на 7 меньше значения выражения . |
516 Найдите значение |
выражения
|
. |
521 Найдите значение |
выражения
|
. |
Проведенные преобразования показывают , что |
выражения
|
равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из выражений , мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения . |
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого |
выражения
|
, минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения . |
715 Найдите значение |
выражения
|
при указанных значениях переменных . |
Подставьте вместо а и b указанные |
выражения
|
и запишите получившийся многочлен в стандартном виде . |
112 Найдите значение |
выражения
|
. |
утроенное значение |
выражения
|
не больше значения выражения . |
82 Возведите |
выражения
|
а ) в квадрат . |
306 Найдите значение |
выражения
|
, если известно , что . |
значение |
выражения
|
равно 11 . |
725 Запишите буквенные |
выражения
|
, используя понятие степени . |
Найдите значение |
выражения
|
х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения . |
310 Упростите |
выражения
|
при допустимых значениях переменных . |
а ) значение |
выражения
|
равно 6 . б ) |
494 Найдите значение |
выражения
|
рациональным способом . |
496 Докажите , что значение |
выражения
|
кратно а . |
65 Найдите значение |
выражения
|
. |
502 Найдите значение |
выражения
|
рациональным способом . |
утроенное значение выражения не больше значения |
выражения
|
. |
Найдите значение этого |
выражения
|
. |
728 Найдите значение |
выражения
|
. |
44 Докажите , что если к , т , n е N , то значение указанного |
выражения
|
не зависит от значения переменной . |
Найдите наименьшее значение |
выражения
|
. |
Найдите наибольшее значение |
выражения
|
. |
разность значений выражений меньше 5 . д ) удвоенное значение выражения не меньше значения |
выражения
|
. |
237 Найдите значение |
выражения
|
при указанных значениях переменных . |
Проанализируйте полученные |
выражения
|
и определите , какие возможны ошибки при записи степеней . |
значение |
выражения
|
на 8 больше значения выражения . л ) значение выражения на 12 меньше значения выражения . |
477 Определите , при каких значениях переменных имеют смысл |
выражения
|
. |
409 Введите буквенные обозначения и запишите все данные числовые |
выражения
|
с помощью одного буквенного выражения . |
409 Введите буквенные обозначения и запишите все данные числовые выражения с помощью одного буквенного |
выражения
|
. |
410 Прочитайте |
выражения
|
и вычислите их значения при указанных значениях букв ( устно ) . |
191 Найдите значение |
выражения
|
при указанных значениях переменных . |
644 Рациональным способом найдите значение |
выражения
|
. |
756 Найдите значение |
выражения
|
при данных значениях переменных . |
значение |
выражения
|
7х в 6 раз больше значения выражения . |
413 Определите , являются ли |
выражения
|
А и В равносильными . |
значение |
выражения
|
в 5 раз больше значения выражения . |
466 Найдите значение буквенного |
выражения
|
при указанных значениях букв . |
414 Составьте по два числовых |
выражения
|
, значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 ) сложения ; 2 ) вычитания ; 3 ) умножения ; 4 ) сложения , вычитания и умножения . |
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго |
выражения
|
. |
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого |
выражения
|
на квадрат второго , минус куб второго выражения . |
Найдите значение буквенного |
выражения
|
при указанных значениях букв . |
значение выражения 7х в 6 раз больше значения |
выражения
|
. |
значение |
выражения
|
у в 7 раз меньше значения выражения . |
480 Найдите значение буквенного |
выражения
|
при указанных значениях букв . |
б ) значение выражения равно значению |
выражения
|
. |
г ) значение выражения больше или равно значению |
выражения
|
. |
Запишите следующие |
выражения
|
и найдите их значение при . |
То есть такие |
выражения
|
, которые при подстановке любых допустимых значений входящих в них букв будут давать одинаковое числовое значение . |
в ) значение выражения противоположно значению |
выражения
|
. |
а ) значение выражения больше 6 . б ) значение |
выражения
|
меньше 12 . |
Линейные уравнения с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать |
выражения
|
вне знака модуля . |
в ) значение |
выражения
|
меньше или равно значению выражения . |
Как , например , убедиться в том , что |
выражения
|
5х - 2у - Зх + у и 2х - у равносильны ? |
551 Найдите значение |
выражения
|
. |
391 Найдите значение |
выражения
|
. |
Составляя эту запись , мы использовали уже известное нам понятие степени натуральных чисел , что позволяет короче записывать |
выражения
|
, содержащие одинаковые множители . |
782 Найдите значение |
выражения
|
. |
781 Найдите наибольшее значение |
выражения
|
. |
503 Найдите значение буквенного |
выражения
|
при указанных значениях букв . |
780 Найдите наименьшее значение |
выражения
|
. |
494 При каких значениях переменной х значение |
выражения
|
равно а ? . |
493 Определите , при каких значениях переменных имеют смысл |
выражения
|
. |
в ) значение выражения меньше или равно значению |
выражения
|
. |
г ) значение |
выражения
|
больше или равно значению выражения . |
642 Найдите значение |
выражения
|
. |
При решении таких уравнений сначала выделяют промежутки , на которых |
выражения
|
под знаком модуля не меняют свой знак , а затем уже ищут решения на каждом из выделенных промежутков . |
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого |
выражения
|
на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения . |
417 При каких значениях переменной х значение |
выражения
|
равно а ? . |
366 Найдите наибольшее значение |
выражения
|
. |
367 Найдите наименьшее значение |
выражения
|
. |
Сравните |
выражения
|
: ( а плюс b)(с плюс d ) и х(с плюс d ) . |
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго |
выражения
|
. |
576 Найдите значение |
выражения
|
. |
Поэтому для того , чтобы упрощать такие |
выражения
|
, мы должны научиться производить равносильные преобразования алгебраических выражений со скобками . |
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого |
выражения
|
на квадрат второго , плюс куб второго выражения . |
Упростите |
выражения
|
, выполняя равносильные преобразования . |
значение выражения t на 5 больше значения |
выражения
|
. |
191 При каких значениях переменных данные |
выражения
|
имеют смысл ? |
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого |
выражения
|
на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения . |
650 Докажите , что значение |
выражения
|
не зависит от значений переменных . |
418 Найдите значение |
выражения
|
при данных значениях переменных . |
441 Найдите значение буквенного |
выражения
|
при указанных значениях букв . |
Найдите значение |
выражения
|
а3 минус b3 , если известно , что а минус равно 4 и а b равно -2,5 . |
Приведем данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства , а числа — в правой и упростим полученные |
выражения
|
. |
Куб суммы двух выражений равен кубу первого |
выражения
|
, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения . |
364 Докажите , что при любом целом р значение |
выражения
|
делится на а . |
416 При каких значениях переменных имеют смысл |
выражения
|
. |
значение |
выражения
|
t на 5 больше значения выражения . |
426 При каких значениях переменных имеют смысл |
выражения
|
. |
Куб разности двух выражений равен кубу первого |
выражения
|
, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения . |
655 Найдите значение |
выражения
|
. |
462 Определите , при каких значениях переменных имеют смысл |
выражения
|
. |
777 Найдите значение |
выражения
|
если известно , что . |
б ) значение |
выражения
|
равно значению выражения . |
а ) значение |
выражения
|
равно 9 . |
204 Найдите значение |
выражения
|
при указанных значениях переменных . |
Перечислим правила равносильных преобразований произведений , которыми мы пользовались для упрощения исходного |
выражения
|
. |
Таким образом , правила равносильных преобразований позволяют не только упрощать |
выражения
|
, но и доказывать тождества , некоторые из которых для алгебраических преобразований так же важны , как таблица умножения в вычислениях . |
560 Найдите значение |
выражения
|
. |
значение выражения у в 7 раз меньше значения |
выражения
|
. |
е ) значение |
выражения
|
5z на 4 меньше значения выражения . |
е ) значение выражения 5z на 4 меньше значения |
выражения
|
. |
426 Найдите значение |
выражения
|
если . |
423 Определите , являются ли |
выражения
|
А и В равносильными . |
567 Найдите значение |
выражения
|
. |
223 Найдите значение |
выражения
|
при указанных значениях переменных . |
427 При каких значениях переменной у значение |
выражения
|
равно с ? . |
Преобразовывая сложные буквенные выражения в более простые , важно помнить о том , что в итоге мы должны получить равносильные |
выражения
|
. |
Ведь мы не можем перебрать все рациональные числа и убедиться в том , что оба |
выражения
|
дают одинаковые числовые значения . |
а ) значение |
выражения
|
равно 12 . б ) значение выражения равно значению выражения . |
значение выражения на 8 больше значения |
выражения
|
. з ) значение выражения равно 5 . |
Если |
выражения
|
содержат только числа , знаки арифметических действий и скобки , задающие порядок этих действий , то их называют числовыми . |
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение |
выражения
|
больше утроенного значения выражения . |
448 Найдите значение |
выражения
|
при данных значениях переменных : при а равно 11,7 . |
Преобразуя |
выражения
|
и вычисляя их значения , мы , естественно , стремимся сделать свои действия максимально простыми и удобными . |
658 Запишите следующие |
выражения
|
на математическом языке . |
Сначала вычислим значение |
выражения
|
в скобках . |
Вычислите значение |
выражения
|
. |
значение |
выражения
|
на 8 больше значения выражения . з ) значение выражения равно 5 . |
Значит , значение данного |
выражения
|
равно ( 1 + 1000 ) + ( 2 + 999 ) + ( 3 + 998 ) + .. + ( 500 + 501 ) = 1001 • 500 = 500 500 . |
Но почему при замене исходного |
выражения
|
другим , новым выражением мы были уверены , что значения их равны ? |
446 Докажите , что значение |
выражения
|
. |
в ) значение выражения больше или равно значению |
выражения
|
. |
540 Найдите значение |
выражения
|
. |
332 Найдите значение |
выражения
|
при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях переменных . |
в ) значение |
выражения
|
больше или равно значению выражения . |
На каждом из указанных промежутков данные |
выражения
|
с модулем можно записать без знака модуля . |
При решении практических задач мы часто составляем |
выражения
|
, то есть записи , состоящие из различных математических символов . |
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения |
выражения
|
. |
удвоенное значение |
выражения
|
7 — у не меньше значения выражения . |
451 Докажите , что при любом целом q значение |
выражения
|
делится на а . |
200 При каких значениях переменных данные |
выражения
|
имеют смысл ? |
454 Найдите значение |
выражения
|
а3 плюс b3 , если известно , что . |
453 Найдите значение |
выражения
|
а3 минус b3 , если известно , что . |
При каких значениях переменной значение |
выражения
|
. |
1 Найти в уравнении все |
выражения
|
, содержащиеся под знаком модуля . |
6 Найдите значение |
выражения
|
. |
319 Зайдите значение |
выражения
|
. |
270 Найдите значение |
выражения
|
х2 плюс если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? . |
а ) значение выражения равно 12 . б ) значение |
выражения
|
равно значению выражения . |
4 Назовите основание и показатель степени , вычислите значение |
выражения
|
. |
з ) удвоенное значение выражения 3 t — 5 меньше или равно утроенному значению |
выражения
|
. |
и ) значение выражения равно значению |
выражения
|
. |
з ) удвоенное значение |
выражения
|
3 t — 5 меньше или равно утроенному значению выражения . |
и ) значение |
выражения
|
равно значению выражения . |
значение выражения на 8 больше значения выражения . з ) значение |
выражения
|
равно 5 . |
401 Найдите значение |
выражения
|
. |
удвоенное значение выражения 7 — у не меньше значения |
выражения
|
. |
309 Найдите значение |
выражения
|
: . |
404 Найдите значение |
выражения
|
. |
а ) значение выражения больше 11 . б ) значение |
выражения
|
меньше 8 . |
269 Найдите значение |
выражения
|
а2 плюс b2 , если известно , что . |
а ) значение |
выражения
|
больше 11 . б ) значение выражения меньше 8 . |
значение |
выражения
|
в 6 раз меньше значения выражения . |
342 Найдите значение |
выражения
|
. |
А значит , мы не смогли бы вычислить значение |
выражения
|
4с умножить ( а плюс 26 ) минус 2с умножить 2а прямой подстановкой в него значений переменных . |
338 Найдите ( устно ) значение |
выражения
|
а2 минус b2 , если известно , что . |
1 Запишите решение задачи в виде буквенного |
выражения
|
и найдите его значение для . |
335 Докажите , что при любом целом р значение |
выражения
|
делится на а . |
При построении математических моделей практических задач , конечно же , могут получаться и более сложные |
выражения
|
, уравнения и неравенства , где применение установленных нами правил упрощает преобразования . |
Найдите значение |
выражения
|
2х(х минус 3 ) - х2(5 - х ) - ( х3 - 3х2 плюс 6х ) 01 при X равно . |
в ) значение |
выражения
|
противоположно значению выражения . |
702 Найдите значение |
выражения
|
при указанных значениях переменных . |
а ) значение выражения равно 12 . б ) значение выражения равно значению |
выражения
|
. |
Заметим , что проведенные преобразования |
выражения
|
для площади позволили не только упростить вычисления , но и в принципе решить эту задачу , поскольку значение переменной а в условии не дано . |
е ) значение выражения на 11 меньше значения |
выражения
|
. |
1 Найти в неравенстве все |
выражения
|
, содержащиеся под знаком модуля . |
Решение уравнений требует также и умения упрощать входящие в него |
выражения
|
. |
значение выражения в 5 раз больше значения |
выражения
|
. |
Сначала , пользуясь определением модуля , запишем , что означают |
выражения
|
, содержащие знаки модуля . |
значение выражения в 6 раз меньше значения |
выражения
|
. |
е ) значение |
выражения
|
на 11 меньше значения выражения . |
После того как модель построена , можно в первое уравнение вместо х и у подставить соответствующие им |
выражения
|
и выполнить несложные преобра |