Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Абсцисса	.
	Аксиоматический	метод . 1 ) Выбирается перечень первоначальных понятий .
	Алгебра	щедра .
	Алгебра	- это раздел математики , развитие которого связано с решением самых разных уравнений .
	Алгебра	имеет дело с буквенными выражениями и их преобразованиями , поэтому буквенные выражения называют еще алгебраическими .
	Алгебра	— мое основное блюдо , геометрия — десерт .
д )	Алгебраическая сумма	рациональных чисел не зависит от порядка слагаемых .
	Аналитический	способ задания функции ( с помощью формулы ) .
	Аналитический	способ задания функций очень удобен .
	Аргумент	.
	Вариант	ответа .
282 По данным таблиц постройте линейные диаграммы : а )	Величина	прожиточного минимума на одного человека в РФ ; б ) Общая жилплощадь , приходящаяся в среднем на одного жителя РФ ( по со стоянию на конец года ) ; в ) Число высших учебных заведений в РФ ( среднегодовой показатель ) .
	Величина	угла треугольника может принимать только положительные значения , меньшие 180 ° , значит .
	Величина	первого угла треугольника на 40 ° меньше второго и в три раза больше третьего .
	Величина	первого угла треугольника равна , а третьего угла .
	Величина	первого угла треугольника на 30 ° больше второго и на 60 ° меньше третьего .
б )	Величина	первого угла треугольника на 30 градусов меньше второго , а длина третьего — в 4 раза больше , чем второго .
	Величина	первого угла треугольника на 10 ° больше величины второго и на 10 ° меньше величины третьего .
Найдите длину ломаной ABEFD . б )	Величина	первого утла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше третьего .
	Величина	первого угла треугольника на 10 ° больше второго и в два раза меньше третьего .
	Величины	углов треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным числам .
	Величины	прямо пропорциональные .
	Величины	углов треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным числам , кратным трем .
	Величины	всех углов выражены в градусах , поэтому единицы измерения величин соответствуют друг другу .
	Величины	углов треугольника в градусах равны трем последовательным четным числам .
	Величины	.
	Величины	переменные .
	Величины	независимые .
3	Вероятность	события А равна отношению n ( А ) к n .
	Вероятность	события принято обозначать буквой Р. Например , вероятность события А записывают как Р(А ) .
а )	Вероятность	угадать 1 цифру из 37 равна примерно 0,03 ( с точностью до сотых ) .
3	Вероятность	события А равна отношению .
	Вероятность	случайного события .
	Возведите	двучлены в куб .
81	Возведите	в степень .
272	Возведите	трехчлен в квадрат .
	Возведите	в куб двучлены .
378	Возведите	двучлены в куб .
250	Возведите	двучлены в квадрат .
743	Возведите	двучлены в квадрат .
408	Возведите	двучлен в куб .
292	Возведите	двучлен в квадрат .
82	Возведите	выражения а ) в квадрат .
	Возведите	двучлены в квадрат .
749	Возведите	двучлены в куб .
54	Возведите	произведение в степень .
	Выражение	в скобках при любых значениях входящих в него букв является не которым числом .
Теперь , чтобы получить формулу разности кубов , заметим , что	Выражение	а2 плюс ab плюс b2 получило название неполного квадрата суммы а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения ab .
	Выражение	4х2 минус 8х , стоящее во второй скобке , мы также можем разложить на множители , вынося за скобки общий множитель 4х .
	Выражение	в левой части уравнения состоит из трех слагаемых , имеющих общий множитель .
	Выражение	называют также сравнением .
	Выражение	а2 минус аb плюс b2 получило название неполного квадрата разности а и b , так как в отличие от квадрата разности у произведения аb нет множителя 2 .
	Выражение	, записанное как алгебраическая сумма одночленов , называется многочленом .
	Выражение	как раз по определению и будет означать , что .
в )	Высота	Останкинской башни на 216 м больше , чем Эйфелевой .
	Высота	пирамиды Цестия , находящейся в Риме , на его рисунке получилась равной 3,3 дм .
	Высота	крупней шей в Мексике пирамиды Чолула - 7,1 дм , а известной египетской пирамиды Хеопса - 12,8 дм .
3	Вычесть	k из делимого а , в ответе - остаток r .
3	Вычесть	k из делимого а , в ответе - остаток r . 4 .
	Вычитание	многочленов « в столбик » также сводится к сложению , предварительно лишь надо заменить многочлен - вычитаемое противоположным ему .
	Вычитая	первое равенство из второго , получаем .
	График	прямой пропорциональности проходит через точку А(р ; q ) .
	График	прямой пропорциональной зависимости проходит через точку А. Проходит ли он через точку В ? .
	График	прямой пропорциональности проходит через точку А ( р ; q ) .
	График	функции всегда проходит через начало координат — точку О ( 0 ; 0 ) .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 )	График	функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
	График	линейной функции , где k и b — произвольные числа , может быть получен из графика функции путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно .
	График	движения автомобилиста по дороге из пункта А в пункт В. Пользуясь графиком , ответьте на вопросы .
	График	функции .
	Графиком	функции является прямая линия .
	Данный	алгоритм был назван в честь Евклида , жившего в III веке до нашей эры , хотя способ нахождения НОД с помощью этого алгоритма был известен математикам гораздо раньше .
	Данный	способ действия мы можем записать в общем виде .
	Двучлен	.
II	Деление	с остатком .
3	Деление	с остатком .
I	Деление	без остатка .
II	Деление с остатком	.
3	Деление с остатком	.
а ) Если натуральное число больше 5 , то оно больше или равно 6 . б )	Делитель	натурального числа может быть больше этого числа .
	Делится	ли произведение а ) на 14 ; б ) на 42 ?
228	Делится	ли а на b ?
130 а )	Делится	ли произведение на 5 , 3 , 15 , 20 , 45 ?
354	Делится	ли произведение 202 • 273 на 12 , 15 , 17 , 18 , 35 , 36 ?
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б )	Длина	прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины .
	Длина	прямоугольника и его площадь при неизменной ширине .
	Длина	ребра второго куба на 3 см больше длины ребра первого .
	Длина	ломаной AKLN равна 15,6 см. Известно , что АК равно четверти расстояния между ее началом и концом , KL на 0,6 см меньше АК , a LN в 2 раза больше KL .
а )	Длина	одной стороны прямоугольника на 8 см больше длины другой .
а )	Длина	ломаной ABCD равна 54 см. Известно , что длина АВ в 5 раз меньше расстояния между началом и концом ломаной , длина ВС — в 3 раза больше АВ , а длина CD — на 1 см меньше , чем АВ .
	Длина	прямоугольника равна 5 см. Какой должна быть ширина этого прямоугольника , чтобы периметр прямоугольника был меньше 18 см ? .
	Длина	ломаной ABCD равна 13,5 см. Известно , что АВ равно 1/6 расстояния между ее началом и концом , ВС на 5,1 см больше АВ , a CD на 3,6 см меньше ВС. Найдите длину звена АВ этой ломаной .
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б )	Длина	прямоугольного участка земли на 6 м больше его ширины .
а )	Длина	одной стороны прямоугольника на 12 см больше длины другой .
225	Длина	дороги между двумя домами равна 3 км .
а )	Длина	одной стороны прямоугольника на 3 см больше длины другой .
	Длина	ломаной ABCD равна 17,8 см. Известно , что АВ равно половине расстояния между началом ломаной ABCD и ее концом , ВС на 6,7 см меньше АВ , a CD в 2 раза меньше ВС. Чему равно звено ВС этой ломаной ? .
22	Длина	прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого прямоугольника , если его периметр меньше периметра прямоугольника , длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
	Длина	кольцевой беговой дорожки стадиона равна 400 м .
	Длина	ломаной ABCD равна 16 см. Известно , что длина АВ равна трети расстояния между ее началом и концом , ВС — на 0,8 см больше АВ , a CD — на 1,8 см меньше ВС. Чему равна длина звена АВ этой ломаной ? .
II	Доказательство	обратного утверждения .
I	Доказательство	прямого утверждения .
	Доказательство	данной теоремы будет получено позднее в курсе геометрии , пока нам для этого не хватает знаний .
	Доказательство	этой теоремы не входит в содержание нашего курса .
	Доказательство	утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
	Доказательство	.
	Доказательство	существования , при котором предъявляется объект с указанными свойствами , называется прямым .
	Доказательство	: .
д )	Дробь	означает , что целое разделили на 2 равные части и взяли 5 таких частей .
	Дробь	- это не целое число .
	Единица	измерения , килограмм .
	Единица	— положительное число .
	Единица	является делителем всех натуральных чисел .
	Замкнутый	луч .
	Значение	произведения не зависит от порядка действий .
	Значение	суммы не зависит от порядка слагаемых .
	Значение	произведения не зависит от порядка множителей .
	Значение	k .
	Значение	суммы не зависит от порядка действий : .
	Значение	с .
	Значение	аксиом первым оценил Аристотель , величайший древнегреческий философ и ученый .
	Значение	b . B — любое число .
	Игра	.
	Истина	истине не может противоречить .
е )	Квадрат	разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
	Квадрат	любого натурального числа больше самого числа .
	Квадрат	числа вида 3k равен , а это означает , что он делится на 3 .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит ,	Квадрат	трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
1	Квадрат	суммы и разности .
«	Квадрат	- это прямоугольник , у которого все стороны равны » .
	Квадрат	разности некоторых рациональных чисел равен разности их квадратов .
	Квадрат	суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
	Квадрат	числа всегда больше квадрата противоположного ему числа .
	Квадрат	разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
а )	Квадрат	суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
	Квадрат	числа .
«	Квадратом	называется прямоугольник , все стороны которого равны » .
	Ключ	шифра .
	Ключом	к расшифровке текстов данного типа является набор цифр , указанный в первой строке таблицы .
	Комбинаторика	.
	Корень	уравнения .
	Корень	х равно -4 не удовлетворяет неравенству х больше 0 , так как -4 больше 0 - ложно .
Шаг 4	Корень	х равно 6 удовлетворяет всем трем данным неравенствам , так как 6 больше 0 , 6 - 5 больше 0 и 6 плюс 3 больше 0 - истинно .
	Корень	— любое число .
	Корни	алгебры уходят в глубокую древность , а само название происходит от арабского « аль - джебр » ( восполнение , воссоединение , связь ) - приема решения уравнений , описанного в трактате « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми ( ок . 783 - ок .
	Коэффициент	одночлена .
	Коэффициент	пропорциональности .
	Коэффициенты	уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое число , делится на 1 .
	Коэффициенты	членов исходного многочлена равны 3 , 7 , -10 .
	Коэффициенты	членов исходного многочлена равны 1 , 5 , 4 .
	Куб	суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з )	Куб	суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
	Куб	разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
	Куб	числа .
	Куб	разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
3	Куб	суммы и разности .
	Линейная	функция и ее график .
	Линейная	функция .
	Линейная	зависимость задана аналитически ( формулой ) .
	Линейная	зависимость .
	Линейное	уравнение .
	Линейное	неравенство .
	Линейные	уравнения с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать выражения вне знака модуля .
	Линейные	неравенства и их решение .
1	Линейные	уравнения и их решение .
	Линейные	уравнения с двумя переменными х и у , полученные при решении двух рассмотренных задач , в общем виде можно записать так .
	Линейные	неравенства . 1 .
1	Линейные	уравнения .
2	Линейные	процессы и линейная функция .
	Линейным	уравнением с одним неизвестным х называется уравнение , которое при всех значениях х может с помощью равносильных преобразований быть представлено в виде , где k , b — некоторые числа .
	Линейным	неравенством с одним неизвестным х называется неравенство , которое может быть представлено в одном из четырех видов , где k , b — рациональные числа .
	Луч	.
	Луч	открытый .
	Луч	замкнутый .
	Медиана	набора чисел .
	Многочлен	называется противоположным исходному , если его сумма с исходным многочленом равна нулю .
	Многочлен	.
	Множества	заданы характеристическим свойством .
505	Множества	А , В и С заданы перечислением их элементов .
524	Множества	А , В и С заданы перечислением их элементов .
	Множества	А , В и С заданы характеристическим свойством .
	Множество	Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О .
1	Множество	рациональных чисел .
б )	Множество	точек координатной плоскости Т состоит из элементов .
	Множество	решений .
254	Множество	А задано перечислением его элементов .
	Множество	точек числовой прямой .
1	Множество	А является подмножеством множества В.
	Множество	X при этом называется областью определения , а множество Y — областью значений данной функции .
	Множество	В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества С. ( Истинно ) .
2 Множество А является подмножеством множества С.	Множество	В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) .
2	Множество	А является подмножеством множества С. Множество В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) .
	Множество	общих делителей чисел а и b является конечным , так как ни один из общих делителей не может быть больше , чем наименьшее из чисел а и b. Значит , среди общих делителей двух натуральных чисел всегда можно найти наибольший .
	Мода	набора чисел .
	Модой	набора чисел называется число , наиболее часто встречающееся в числовом наборе .
в )	Модулем	числа а называется расстояние от точки , соответствующей данному числу на числовой прямой , до 0 .
Н	Модуль	любого числа больше или равен нулю .
	Модуль	числа больше или равен 10 , если это число либо больше или равно 10 , либо меньше или равно ( -10 ) .
а )	Модуль	разности квадратов а и с . б ) Сумма модулей а , b и с .
а ) Число , обратное 3 , равно -3 . б )	Модуль	числа х может быть равен -х .
	Модуль	числа меньше 3 , если это число принадлежит открытому интервалу от -3 до 3 .
в )	Модуль	разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Число а на 12 больше числа b . г ) Число х в 3 раза меньше числа у . д )	Модуль	числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 .
	Модуль	числа может быть отрицательным .
В силу доказанной выше теоремы и определения	НОД	.
Алгоритм Евклида нахождения	НОД	двух натуральных чисел а и b .
Как вы уже знаете , процесс нахождения	НОД	по данному алгоритму может быть очень трудоемким .
Аналогично определяется	НОД	трех и более натуральных чисел .
Однако данная теорема не позволяет сделать никаких выводов о втором уравнении , ведь его коэффициенты не удовлетворяют условию этой теоремы :	НОД	( 4 ; 6 ) 2 , а число 9 не делится на 2 .
Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно ,	НОД	( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое число , делится на 1 .
206 Найдите	НОД	чисел а и b наиболее рациональным способом .
207 С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	чисел а и b .
Наибольший общий делитель чисел а и b будем , как и ранее , обозначать	НОД	( а ; b ) .
Данный алгоритм был назван в честь Евклида , жившего в III веке до нашей эры , хотя способ нахождения	НОД	с помощью этого алгоритма был известен математикам гораздо раньше .
731 Разложите числа на простые множители и найдите их	НОД	и НОК .
Уравнение , где a , b , с Z , не имеет целых решений , если с не делится на d	НОД	.
Так как d =	НОД	, то числа а и b можно представить в виде , где и при этом НОД .
Так как	НОД	( 5 ; 7 ) 1 , то из полученного равенства следует , что для всех целых х и у , являющихся решением исходного уравнения , кратно 7 , а кратно 5 .
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать	НОД	меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее .
Целое решение уравнения , где a , b , с е Z , всегда существует , если с делится на d =	НОД	.
Понятно , что данный способ поиска	НОД	является менее трудоемким , ведь здесь для получения ответа операцию деления потребовалось выполнить всего 6 раз , а используя прежний алгоритм , ее надо выполнить 51 раз .
С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	чисел а и 6 .
Посмотрим , как полученный вывод может помочь , например , в нахождении	НОД	чисел 71 004 и 154 452 , о которых говорилось выше .
1 Найти d	НОД	.
Нам известен также следующий алгоритм нахождения	НОД	натуральных чисел .
Значит ,	НОД	чисел а и b равен последнему ненулевому остатку в указанной цепочке делений .
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же	НОД	можно продолжать далее .
Поэтому логичным расширением определения	НОД	на случай , когда одно из чисел равно 0 , является следующее определение .
Так как d = НОД , то числа а и b можно представить в виде , где и при этом	НОД	.
При этом	НОД	.
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать	НОД	чисел а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее .
74 С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	данных чисел , а затем найдите их НОК .
С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	чисел а и b .
218 С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	чисел а и b .
137 Найдите	НОД	и НОК чисел а и b .
148 Найдите	НОД	и НОК чисел а и b .
137 Найдите НОД и	НОК	чисел а и b .
74 С помощью алгоритма Евклида найдите НОД данных чисел , а затем найдите их	НОК	.
148 Найдите НОД и	НОК	чисел а и b .
731 Разложите числа на простые множители и найдите их НОД и	НОК	.
	Наибольший общий делитель	чисел k и l равен 2 . д ) Наименьшее общее кратное чисел m и n равно 468 .
	Наибольший общий делитель	чисел а и b будем , как и ранее , обозначать НОД ( а ; b ) .
	Наибольшим общим делителем	чисел 80 и 60 является число 20 .
	Найдем	таким же способом остатки от деления на 7 следующих степеней 3 : .
2	Найдем	корни уравнений .
	Найдем	две точки , принадлежащие графику функции .
7	Найдем	пересечение каждого числового промежутка и соответствующего ему множества решений .
	Найдем	произведение чисел а и b .
	Найдем	их среднее арифметическое .
	Найдите	.
	Найдите	остаток от деления А на В .
661 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
96 ( Устно . )	Найдите	коэффициент одночлена .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно 1 , 3 , -2 .
	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
191	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
{ -12 ; -6 } . 1 )	Найдите	расстояние от начала координат О до точек А и Б координатной прямой .
467	Найдите	остаток от деления числа 6100 на 7 .
	Найдите	периметр прямоугольника , длина которого на 8 см больше ширины , а площадь равна 128 см2 .
	Найдите	длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 70 м2 . б )
	Найдите	, используя запись в столбик , разность многочленов .
	Найдите	выручку каждого из этих филиалов , если известно , что 15 % выручки одного филиала равно 10 % от выручки другого .
	Найдите	координату точки С , если известно .
	Найдите	наименьшее натуральное число , с которым число А сравнимо по модулю В .
	Найдите	все значения а , при которых неравенство истинно при .
	Найдите	сумму n первых натуральных чисел для . а ) n равно 100 . б ) nравно 200 .
66	Найдите	все натуральные значения x , удовлетворяющие равенствам .
272	Найдите	наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
	Найдите	медиану числового набора .
146	Найдите	одно значение переменной , при котором значение многочлена равно А .
65	Найдите	значение выражения .
95	Найдите	наибольший общий делитель чисел .
199 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
96	Найдите	наименьшее общее кратное чисел .
99	Найдите	в указанном множестве чисел пары : а ) обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
430	Найдите	сотую цифру после запятой в десятичной записи числа .
	Найдите	три значения х , таких , что .
	Найдите	остаток от деления 332223 на 7 .
479	Найдите	множество целых решений неравенства .
502	Найдите	значение выражения рациональным способом .
	Найдите	все решения неравенства .
289	Найдите	три значения х , таких , что .
	Найдите	сумму многочленов .
383 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
	Найдите	эти числа , если известно , что 7 % одного из них равно 35 % другого .
	Найдите	множество решений неравенства .
630	Найдите	все натуральные значения х , удовлетворяющие равенствам .
	Найдите	значение этого выражения .
184	Найдите	произведение одночленов и запишите его как одночлен стандартного вида .
	Найдите	все значения х , удовлетворяющие уравнению .
Если корень уравнения .	Найдите	ошибку в решении следующего уравнения .
	Найдите	значение величины зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной .
112	Найдите	значение выражения .
	Найдите	остаток от деления на 19 чисел если .
	Найдите	площадь этого дачного участка , если известно , что изображение выполнено в масштабе 1 к 200 и 0 см меньше а меньше 10 см , b равно 5 см , с равно 3 см .
300	Найдите	два значения х , для которых верно данное сравнение .
	Найдите	остатки от деления на 7 натуральных степеней числа 3 .
	Найдите	ее область определения и область значений .
448	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных : при а равно 11,7 .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно у1 у2 и у3 .
	Найдите	все значения х , удовлетворяющие неравенству .
	Найдите	, чему равно это расстояние .
	Найдите	все решения неравенства , принадлежащие указанному промежутку .
454	Найдите	значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что .
	Найдите	значение зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной .
	Найдите	ошибки в следующих рассуждениях .
453	Найдите	значение выражения а3 минус b3 , если известно , что .
322 а )	Найдите	значения выражений рациональным способом .
	Найдите	все неотрицательные решения неравенства .
309	Найдите	значение выражения : .
	Найдите	неполное частное и остаток при делении на (-8 ) следующих чисел .
297	Найдите	на числовой прямой все числа , находящиеся от числа а на рас стоянии b .
173	Найдите	первое простое число , следующее за числом .
108	Найдите	причину недоразумения .
	Найдите	сумму многочленов Р и Q и запишите ее как многочлен стандартного вида .
102	Найдите	ошибки в следующих рассуждениях .
142	Найдите	ошибку в следующем рекламном объявлении .
641	Найдите	корни уравнения .
	Найдите	область определения и область значений этой зависимости .
	Найдите	периметр прямоугольника , ширина которого на 8 см меньше длины , а площадь равна 240 см2 .
104	Найдите	в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
	Найдите	длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 232 м2 . б )
	Найдите	высказывания , для которых истинны как прямое , так и обратное утверждение .
464	Найдите	множество целых решений неравенства .
506 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
174	Найдите	простые числа , лежащие между числами а и b .
157	Найдите	сумму и разность многочленов А и В. Запишите результат как многочлен стандартного вида .
	Найдите	значение выражения 2х(х минус 3 ) - х2(5 - х ) - ( х3 - 3х2 плюс 6х ) 01 при X равно .
159	Найдите	сумму многочленов А плюс В , располагая слагаемые « в столбик » , если .
509	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -11 ) следующих чисел .
105	Найдите	наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел .
702	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
	Найдите	разность многочленов Р - Q , располагая слагаемые « в столбик » , если .
	Найдите	медиану числового набора : 923 ; 138 ; 915 ; 6 ; 13 ; 57 ; 149 ; 61 .
	Найдите	скорость второго пешехода , если известно , что пешеходы встретились через 9 часов » .
642	Найдите	значение выражения .
379 Проведите классификацию множества А по остаткам от деления его элементов на b . 380	Найдите	остаток от деления а на b . 381 Определите , какой цифрой оканчивается число .
	Найдите	ее значение в точках Составьте таблицу значений функции .
728	Найдите	значение выражения .
б )	Найдите	натуральное число , восьмая часть от которого на 3 меньше его шестой части .
	Найдите	разность между первым и вторым числом .
	Найдите	значение выражения а3 минус b3 , если известно , что а минус равно 4 и а b равно -2,5 .
	Найдите	объединение и пересечение множеств А и В . б )
	Найдите	произведение этих чисел .
	Найдите	величину большего угла этого треугольника .
	Найдите	целое число , которое при увеличении на 6,25 дает тот же результат , что и при умножении на 7,25 .
700	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что .
	Найдите	частное от деления второго числа на первое .
	Найдите	значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -7 и аb равно 6,5 .
343	Найдите	остаток от деления 555222 на 6 .
	Найдите	корни уравнений .
	Найдите	множество решений уравнения .
655	Найдите	значение выражения .
45	Найдите	множество целых решений неравенства .
	Найдите	сумму многочленов Р , Q и R . а ) Мастерская по реставрации картин получила заказ от своего клиента .
	Найдите	девять последовательных целых чисел , сумма первых трех из которых равна сумме шести последних .
Найдите девять последовательных составных чисел ; б )	Найдите	тринадцать последовательных составных чисел .
	Найдите	девять последовательных составных чисел ; б ) Найдите тринадцать последовательных составных чисел .
Длина ломаной ABCD равна 13,5 см. Известно , что АВ равно 1/6 расстояния между ее началом и концом , ВС на 5,1 см больше АВ , a CD на 3,6 см меньше ВС.	Найдите	длину звена АВ этой ломаной .
	Найдите	все неположительные решения неравенства .
	Найдите	остаток при делении числа b на 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 .
	Найдите	его значение при указанных значениях переменных .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно у1 , у2 и у3 .
	Найдите	два решения этого неравенства , большие 2,4 .
83 а )	Найдите	значение выражения .
365	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 591 по модулю .
223	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
82	Найдите	значение выражения .
	Найдите	остаток при делении числа b на 2 , на 7 .
77	Найдите	значение выражения .
	Найдите	собственную скорость движения моторной лодки , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч .
695	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что .
	Найдите	сумму этих чисел .
	Найдите	наибольший общий делитель чисел .
	Найдите	скорости , с которой летели оба эти самолета , если скорость Су-34 была в два раза больше скорости Ил-96 . б ) Из Москвы в Самару вышел теплоход со скоростью 20 км / ч .
	Найдите	эти числа , если известно , что третье число на 55 больше суммы всех остальных .
418	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
	Найдите	собственную скорость лодки , если скорость течения реки равна 2 км / ч . б ) Теплоход проехал 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 час .
	Найдите	сумму многочленов Р , Q и R .
	Найдите	среднюю скорость движения лодки .
	Найдите	расстояние между этими туристическими стоянками , если скорости туристов были равны 5 км / ч и 4 км / ч . б ) Из пунктов А и В , находящихся на реке на расстоянии 130 км друг от друга , отплыли одновременно в противоположных направлениях два катера .
	Найдите	скорость второго автобуса .
	Найдите	эти числа , если известно , что третье число на 36 больше суммы всех остальных .
	Найдите	два решения этого неравенства , меньшие -3,5 .
481	Найдите	остаток от деления числа 38200 на 9 .
	Найдите	область определения и область значений этой функции .
426	Найдите	значение выражения если .
278	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m .
	Найдите	значение выражения .
	Найдите	три значения x , таких , что .
377	Найдите	простые числа , лежащие между числами а и b .
	Найдите	длину ребра первого куба , если объем второго куба равен 343 см3 .
177	Найдите	модуль каждого из указанных чисел .
	Найдите	это число . б ) Числа 3311 , 1935 , 1376 дают равные остатки при делении на натуральное число , большее 1 .
329	Найдите	остаток от деления а на b ? .
	Найдите	равносильные утверждения .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно y1 , у2 и у3 .
	Найдите	расстояние между этими пунктами , если скорости бегунов были равны 12 км / ч и 15 км / ч . б ) Два поезда выехали одновременно в одном направлении из двух разных городов , находящихся на расстоянии 160 км друг от друга .
204	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
714	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что произведение первого и третьего из них равно 20 .
	Найдите	множество целых решений неравенства .
	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
280	Найдите	три значения х , таких , что .
711	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что .
362	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -11 ) следующих чисел .
	Найдите	значения выражения .
494	Найдите	значение выражения рациональным способом .
	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m .
	Найдите	собственную скорость движения катера , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч .
178	Найдите	величину отношений .
	Найдите	средний результат Миши по бегу на 500 м ( с точностью до сотых минуты ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	периметр прямоугольника , длина которого на 6 см больше ширины , а площадь равна 72 см2 .
715	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -6 ) следующих чисел .
	Найдите	это число .
	Найдите	с точностью до сотых среднюю скорость движения катера .
	Найдите	длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины .
127	Найдите	ошибки в записи многочлена в стандартном виде или докажите , что запись сделана верно .
	Найдите	значения х , при которых .
	Найдите	произведение двучленов ( х плюс 1)(х минус 2 ) .
211 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
	Найдите	частное и остаток от деления полученного результата на 7 .
374	Найдите	среднее арифметическое указанных чисел .
	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -12 ) следующих чисел .
237	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
128	Найдите	одно значение переменной , при котором значение многочлена равно А .
	Найдите	сумму квадратов и сумму кубов n первых натуральных чисел для .
91	Найдите	причины следующих недоразумений .
404	Найдите	значение выражения .
	Найдите	среднее арифметическое количества собранных мальчиками постеров ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
277	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 235 по модулю .
89	Найдите	ошибки в следующих рассуждениях .
356	Найдите	первое простое число , следующее за числом .
	Найдите	вероятность того , что случайно названное трехзначное натуральное число окажется равным задуманному .
	Найдите	область определения и область значений этих зависимостей .
	Найдите	ее значение в точках .
250 а )	Найдите	значения выражений .
	Найдите	равносильные высказывания .
	Найдите	все пары чисел тип , для которых это будет верно .
210	Найдите	все делители числа а , которые кратны числу b .
248	Найдите	среднее арифметическое указанных чисел .
	Найдите	значения полученных выражений для чисел : а ) 8 и 2 ; б ) -4 и 3 ; в ) 7 и -5 ; г ) -9 и -6 .
	Найдите	объединение и пересечение множеств А и В. Постройте диаграмму Эйлера - Венна и отметьте на ней все элементы данных множеств .
	Найдите	коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и В , если .
244	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -5 ) следующих чисел .
	Найдите	остаток от деления на 23 числа , если .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 56 . г ) Найдите все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
	Найдите	координату точки С если известно , что .
Найдите остаток от деления этого числа на 28 . б )	Найдите	все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
	Найдите	скорости обоих поездов , если скорость пассажирского поезда в 1,5 раза больше скорости товарного .
	Найдите	сумму всех полученных семи чисел , если шестое число оказалось равно 16 .
	Найдите	корни линейного уравнения ( устно ) .
	Найдите	все пары чисел m и n , для которых это будет верно .
	Найдите	с точностью до сотых км / ч среднюю скорость движения яхты .
	Найдите	собственную скорость движения яхты , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч .
	Найдите	собственную скорость движения катера , если скорость течения реки равнялась 2 км / ч .
	Найдите	с точностью до десятых среднюю скорость движения катера .
	Найдите	значение зависимой переменной для указанных значений независимой переменной а .
240	Найдите	среднее арифметическое указанных чисел .
	Найдите	два решения этого неравенства , меньшие -6 .
238 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
223	Найдите	числа х и у , если известно , что .
540	Найдите	значение выражения .
Найдите остаток от деления этого числа на 56 . г )	Найдите	все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
	Найдите	длину ломаной ABEFD . б ) Величина первого утла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше третьего .
	Найдите	все числа , которые при делении на 3 дают остаток 1 , а при делении на 4 — остаток 3 .
	Найдите	неверные значения и исправьте их .
	Найдите	все значения х , удовлетворяющие равенству .
	Найдите	целое число , которое на 48 больше противоположного себе числа .
302	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
592	Найдите	значение выражения .
	Найдите	значение выражения у1 - 2у2 плюс 3у3 - 4у4 плюс 5у5 если у равно 1 , у равно -1 , у равно 2 .
305	Найдите	все значения х , при которых .
15 а )	Найдите	значение выражения х1 плюс х2 плюс х3 плюс х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 .
391	Найдите	значение выражения .
14	Найдите	значение выражения .
306	Найдите	значение выражения , если известно , что .
	Найдите	ответ на поставленный в задаче вопрос .
	Найдите	загаданные числа .
6	Найдите	значение выражения .
	Найдите	натуральное число , которое больше своей четверти на 81
	Найдите	значение выражения х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
401	Найдите	значение выражения .
312	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m .
	Найдите	рациональное число , среднее арифметическое которого с числом 916 равно 619 .
	Найдите	наименьшее значение выражения .
	Найдите	наибольшее значение выражения .
	Найдите	углы этого треугольника , если сумма первого и третьего углов равна 120 ° .
	Найдите	средний результат Ирины по метанию мяча ( с точностью до десятых метра ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	среднее арифметическое собранных мальчиками значков , моду , размах и медиану представленного числового набора .
206	Найдите	НОД чисел а и b наиболее рациональным способом .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 15 . б )
	Найдите	три точки , принадлежащие графику функции , координаты которых являются целыми числами .
	Найдите	значения полученных выражений для чисел .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 28 . б ) Найдите все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
754	Найдите	значения выражений рациональным способом .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 40 . б )
	Найдите	все числа , которые при делении на 9 дают остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 4 .
	Найдите	все пары чисел k и р , для которых это будет верно .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
346	Найдите	наименьшее значение выражения .
	Найдите	допустимые значения переменных и докажите тождество .
762	Найдите	значение выражений .
560	Найдите	значение выражения .
Выберите из предложенных зависимостей между переменными у и х линейные функции , запишите их в виде и определите коэффициенты k и b.	Найдите	область определения и область значений этих функций .
777	Найдите	значение выражения если известно , что .
422	Найдите	ошибку в рассуждении .
567	Найдите	значение выражения .
	Найдите	: 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если .
148	Найдите	НОД и НОК чисел а и b .
353	Найдите	наибольшее натуральное число , делящееся на 72 , в записи которого по одному разу участвуют все 10 цифр .
	Найдите	длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 6 м больше его ширины .
	Найдите	верные высказывания .
457	Найдите	остаток при делении числа а на 21 , если известно , что .
576	Найдите	значение выражения .
	Найдите	периметр прямоугольника , длина которого на 12 см больше ширины , а площадь равна 133 см2 .
366	Найдите	наибольшее значение выражения .
770	Найдите	все натуральные значения х , удовлетворяющие равенствам .
367	Найдите	наименьшее значение выражения .
	Найдите	два способа построения графика линейной функции и примените их для построения графика функции .
	Найдите	остаток от деления а на b .
447	Найдите	остаток при делении числа а на b , если известно ? .
	Найдите	объединение и пересечение множеств А и В , нарисуйте для них диаграмму Эйлера - Венна .
441	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
768	Найдите	множество целых решений неравенства .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение/. а ) Сколько существует трехзначных чисел , в записи которых встречаются только цифры 3 , 4 , 8 , 9 ?
433	Найдите	и запишите числа , противоположные данным .
345	Найдите	наибольшее значение выражения .
	Найдите	вероятность того , что случайно названное однозначное натуральное число окажется равным задуманному .
344	Найдите	наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел .
342	Найдите	значение выражения .
	Найдите	эти числа .
	Найдите	наименьшее натуральное х , такое , что .
	Найдите	. 1 ) значение у при х , равном а .
137	Найдите	НОД и НОК чисел а и b .
	Найдите	длину данного прямоугольника , если его площадь равна 9 см2 .
786	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что .
	Найдите	остаток от деления на 13 числа .
	Найдите	собственную скорость движения теплохода , если скорость течения реки равнялась 2 км / ч .
332	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях переменных .
233	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -7 ) следующих чисел .
если .	Найдите	значения выражений .
	Найдите	с точностью до сотых среднюю скорость движения теплохода .
551	Найдите	значение выражения .
232	Найдите	неполное частное и остаток при делении на 7 следующих чисел .
338	Найдите	( устно ) значение выражения а2 минус b2 , если известно , что .
	Найдите	два решения этого неравенства , большие 1,5 .
782	Найдите	значение выражения .
504	Найдите	допустимые значения переменных и докажите тождества .
503	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
781	Найдите	наибольшее значение выражения .
481	Найдите	допустимые значения переменных и докажите тождества .
480	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
	Найдите	ее область определения и докажите , что она является функцией .
780	Найдите	наименьшее значение выражения .
756	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
467	Найдите	допустимые значения переменных и докажите тождества .
466	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
	Найдите	длину стороны исходного квадрата .
	Найдите	множества решений неравенств .
460	Найдите	числа , обратные данным при допустимых значениях переменных .
	Найдите	координату точки С , если известно , что .
315	Найдите	два значения х , для которых верно данное сравнение .
516	Найдите	значение выражения .
	Найдите	коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения данного графика на координатной плоскости .
390	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
	Найдите	первое простое число , следующее за числом .
282	Найдите	значение выражения , если известно , что .
	Найдите	эти числа , если 6,5 % одного из них равны 8,5 % другого .
28	Найдите	значение выражения .
	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 214 по модулю .
263	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
	Найдите	значение выражения а1 - а2 плюс а3 - а4 плюс а5 , если а равно 2 , а равно 0 , а равно -1 .
	Найдите	по графику : 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если .
	Найдите	все числа , которые при делении на 8 дают остаток 5 , а при делении на 5 дают остаток 2 .
394 а )	Найдите	значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -6 и ab равно 3,5
	Найдите	коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и .
	Найдите	остаток от деления на 17 чисел , если .
166	Найдите	модуль каждого из указанных чисел .
	Найдите	среднее арифметическое ( с точностью до десятых ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	корни уравнения .
	Найдите	эти числа , если 2,25 % одного из них равны 8 % другого .
	Найдите	длину всего пути .
	Найдите	значение выражения а3 минус b3 , если известно , что а минус b равно 5и ab равно -4,6 .
281	Найдите	значение выражения а2 плюс b2 плюс с2 , если известно , что .
521	Найдите	значение выражения .
	Найдите	все пары чисел т и п , для которых это будет верно .
671	Найдите	значение выражения .
32 а )	Найдите	значения числовых выражений А и В .
	Найдите	средний результат Коли по прыжкам в длину ( с точностью до единиц сантиметров ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
278	Найдите	наименьшее значение выражения .
611	Найдите	все натуральные значения х , удовлетворяющие равенствам .
	Найдите	значение выражения b1 плюс 2 b 2 плюс 3b3 плюс 4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 .
123	Найдите	множество целых решений неравенств .
	Найдите	три числа , сравнимых с А по модулю В .
525 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
279	Найдите	наибольшее значение выражения .
	Найдите	среднее арифметическое собранных девочками открыток ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	ее область определения .
	Найдите	ее значение в точках х1 , х2 и х3 .
734	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
269	Найдите	значение выражения а2 плюс b2 , если известно , что .
161	Найдите	простые числа , лежащие между числами а и b .
	Найдите	среднее арифметическое ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
670	Найдите	корни уравнения .
24	Найдите	значение выражения .
618	Найдите	значение выражения .
732	Найдите	сумму и разность многочленов Р и Q .
	Найдите	простые числа , лежащие между числами а и b .
	Найдите	длину данного прямоугольника , если его площадь равна 9 см2 » .
626	Найдите	значение выражения .
290	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m .
	Найдите	их .
	Найдите	величину меньшего угла этого треугольника .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 63 . б )
	Найдите	вероятность того , что случайно названное двузначное натуральное число окажется равным задуманному .
	Найдите	сумму многочленов Р и Q и запишите получившийся многочлен в стандартном виде .
167	Найдите	величину отношений .
270	Найдите	значение выражения х2 плюс если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
	Найдите	область определения и область значений каждой функции .
	Найдите	больший угол этого треугольника .
Запишите подмножество В четных чисел и подмножество С нечетных чисел множества А.	Найдите	объединение и пересечение подмножеств В и С .
606	Найдите	значение выражения .
	Найдите	средний результат этой команды , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	ее значения в точках x1 , х2 и х3
526	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -9 ) следующих чисел .
19	Найдите	множество целых решений неравенства .
	Найдите	величину второго угла этого треугольника .
	Найдите	три числа , дающих при делении на В такие же остатки , как А .
275	Найдите	все значения х , при которых .
1	Найти	области значений переменных .
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и b . 1	Найти	наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
1	Найти	в уравнении все выражения , содержащиеся под знаком модуля .
	Найти	все решения , удовлетворяющие построенной модели .
1	Найти	d НОД .
	Найти	этот общий множитель и обозначить его С .
	Найти	значение многочлена 4n5 плюс 3n2 минус 8 , если .
2	Найти	все общие простые множители этих чисел и записать их произведение .
	Найти	общий буквенный множитель С всех членов многочлена .
1	Найти	в неравенстве все выражения , содержащиеся под знаком модуля .
3	Найти	точку пересечения этой прямой с графиком функции .
1	Найти	сумму всех зависимых величин .
1	Найти	абсциссу , равную х .
3	Найти	и записать степени переменных .
1	Найти	корни уравнения .
7	Найти	пересечение полученных множеств решений и соответствующих числовых промежутков .
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на b . 1	Найти	наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
	Найти	наибольший общий делитель чисел 71 004 и 154 452 .
2	Найти	корни уравнения .
	Найти	скорость , с которой ехали оба автомобиля , если скорость одного из них была в 1,5 раза больше скорости другого .
2	Найти	долю каждой зависимой величины в общей сумме .
	Натуральная	степень положительного рационального числа представляет собой произведение положительных чисел ( или само число ) .
в )	Натуральное	число является составным , если оно имеет более двух различных делителей .
	Натуральное	число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 .
	Натуральное	число делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 3 .
	Натуральное	число а делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число с , что .
	Натуральное	число , кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому числу .
а )	Натуральное	число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
	Натуральное	число делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
	Натуральное число	а делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число с , что .
	Натуральное число	делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
	Натуральное число	делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 .
	Натуральное число	, кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому числу .
	Натуральное число	делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 3 .
а )	Натуральное число	, кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
в )	Натуральное число	является составным , если оно имеет более двух различных делителей .
	Натуральные	числа появились в процессе счета предметов и измерения величин для ответа на вопрос « Сколько ? » .
	Натуральные числа	появились в процессе счета предметов и измерения величин для ответа на вопрос « Сколько ? » .
Д	Неправильная дробь	больше или равна 1 .
	Неравенства	могут быть всегда истинными или всегда ложными .
	Неравенства	. ( Нет решений ) .
	Неравенство	строгое .
	Неравенство	.
	Неравенство	нестрогое .
	Неравенство	имеет натуральные решения .
	Неравенство	сохранится , если каждое из чисел 65 , 11х и 83 мы разделим на 11 , поэтому .
	Неравенство	верно при любом значении х. Значит , решением исходного неравенства является вся числовая прямая .
г )	Нечетное	число - это натуральное число , которое при делении на 2 дает ос таток 1 .
Можно найти натуральное число , которое делится на 3 . б )	Нечетные	числа при делении на 2 дают остаток 1 .
	Нуль	в любой натуральной степени равен нулю .
	Одночлен	.
М	Окружность	- это не прямая .
а )	Окружность	- это не квадрат . б ) У квадрата все углы равны .
Определите коэффициент пропорциональности функции , проходящей через точку А.	Опишите	расположение ее графика в координатной плоскости .
	Ордината	.
	Основание	степени .
в ) Некоторые натуральные числа , делящиеся на 3 , делятся на 9 . г )	Остаток	при делении натурального числа на 2 равен либо 0 , либо 1 .
	Остаток	денежных средств в кассе первого магазина в 3 раза больше , чем во втором магазине .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г )	Остаток	от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
г ) Четные числа - это натуральные числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е )	Отрезком	называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
	Отрезок	.
	Отрицательное	число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
	Переменная	s в метрах при этом принимает значения из некоторого множества .
в )	Переменной	величиной называется буквенное обозначение для элемента некоторого множества .
	Перестановка	слагаемых .
	Перестановка	слагаемых позволяет избежать ошибок при составлении групп , особенно тогда , когда слагаемых достаточно много .
17	Периметр	прямоугольного участка земли равен 62 м , а разность между его длиной и шириной равна 5 м .
	Периодичность	в повторении остатков , которую мы обнаружили , является общим свойством остатков всех натуральных степеней .
311	Площади	лесных участков номер 1 , 2 и 3 относятся соответственно как , причем площадь третьего участка на 135 га меньше площади первого .
	Площадь	первого квадрата , с одной стороны , равна ( а плюс b)2 , а с другой стороны , равна а2 плюс b2 плюс ab плюс ab .
	Площадь	данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
	Подобные	одночлены .
	Подобными	являются , например , одночлены -3а2b и а2b .
	Показатель	степени .
	Полуинтервал	.
	Порядок	действий как в числовых , так и в буквенных ( алгебраических ) выражениях может быть задан расстановкой скобок разного вида , например круглых или квадратных .
	Порядок	действий в выражениях , содержащих степени .
	Порядок	действий в выражениях , содержащих степени стр. 5 .
	Порядок	освобождает мысль .
	Последовательность	чисел : 3 , 9 , 27 , 81 , 243 , 729 устроена таким образом , что в ней каждое следующее число в три раза больше предыдущего .
Разделим обе его части на х — 5 , получим :	Правая	часть равенства равна 0 , а левая после сокращения на равна 3 .
	Правая	часть равенства равна 0 , а левая после сокращения равна .
	Правая	часть равенства равна 0 , а левая после сокращения на равна 7 .
	Правая	часть равенства равна 0 , а левая после сокращения на равна 2 .
	Правильная	дробь всегда меньше неправильной . з )
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б )	Правильная	дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б )	Правильная дробь	- это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
	Правильная дробь	всегда меньше неправильной . з )
	Приведем	примеры .
	Приведем	данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства , а числа — в правой и упростим полученные выражения .
	Приведем	данное неравенство к виду , где k , с Q. При этом результаты равносильных преобразований будем записывать друг под другом .
	Приведем	каждый из одночленов данной алгебраической суммы к стандартному виду и упростим полученное выражение .
	Приведем	данное неравенство к виду , где k , с е Q , используя правила равносильных преобразований .
76	Приведите	подобные слагаемые .
97	Приведите	одночлен к стандартному виду , определите его коэффициент и степень .
110	Приведите	одночлен к стандартному виду , определите его коэффициент и степень .
	Приведите	два своих примера равносильных высказываний .
	Приведите	примеры других величин , связанных аналогичной зависимостью .
Все положительные числа являются решениями неравенства	Приведите	дроби к общему знаменателю .
561	Приведите	дроби к общему знаменателю .
	Приведите	дроби к общему знаменателю .
	Приведите	свой пример равносильных высказываний .
129	Приведите	пример трехчлена с одной переменной х , значение которого .
	Привести	примеры таких суждений можно , опираясь на простые ситуации из повседневной жизни , где , как и в математике , мы постоянно рассуждаем и делаем разные выводы .
2	Привести	подобные слагаемые .
	Произведение	не кратно 10 .
	Произведение	первого и третьего из них равно ( -6 ) .
2	Произведение	нескольких дробей можно записать как единую дробь , числитель которой равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
	Произведение	и частное степеней .
	Произведение	их полных лет равно 20 677 .
147 Докажите утверждение : а )	Произведение	любых пяти последовательных чисел делится на 60 ; б ) Число , записываемое 80 двойками , 80 единицами и 80 нулями , не может быть точным квадратом .
а )	Произведение	любых шести последовательных целых чисел делится на 360 . б ) Число , записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом .
	Произведение	, состоящее из числовых множителей и множителей - переменных , называется одночленом .
Сумма кратна 9 . д )	Произведение	делится на 25 . е ) Произведение не кратно 9 . ж )
Сумма кратна 9 . д ) Произведение делится на 25 . е )	Произведение	не кратно 9 . ж )
в )	Произведение	любых семи последовательных чисел делится на 2520 . г ) Число , записываемое 100 двойками , 100 единицами и 100 нулями , не может быть точным квадратом .
	Произведение	нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
	Произведение	нескольких множителей тогда и только тогда равно нулю , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
	Произведение	разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
в )	Произведение	двух отрицательных рациональных чисел есть число положительное .
	Произведение	всех числовых множителей одночлена называется коэффициентом одночлена .
	Произведение	степеней . многочлена и одночлена .
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д )	Произведение	модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж )	Произведение	чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
	Произведение	суммы квадратов b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля разности квадратов а и b .
	Произведением	двух натуральных чисел а и b называется сумма b слагаемых , каждое из которых равно а .
	Произведением	двух многочленов называется многочлен , равный сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого многочлена .
	Произведением	одночлена и многочлена называется многочлен , равный сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена .
и )	Простое число	5 является нечетным .
2	Простые числа	.
	Простые числа	до 1000 .
	Простые числа	занимают особое место среди всех натуральных чисел .
Теорема 2	Простых чисел	существует бесконечно много .
1	Прямая	пропорциональность .
	Прямая	пропорциональность задана таблицей .
	Прямая	пропорциональность .
	Прямая	проходит через начало координат и точку А. Является ли эта прямая графиком функции , если .
	Прямая	проходит через точки А и В. Задайте аналитически линейную функцию , графиком которой является эта прямая , и постройте ее график .
Рассчитайте сумму , которую должны заплатить за отопление за апрель эти четыре компании , если известно , что компания , которая платит за электроэнергию больше всех , заплатила за апрель 17 500 р . г )	Прямоугольный	участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 6000 .
	Прямоугольный	участок земли , площадь которого равна 30 000 м2 , изображен на плане .
	Прямоугольный	участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 7000 .
	Прямоугольный	участок земли , площадь которого равна 2700 м2 , изображен на плане .
в )	Прямоугольный	участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1:5000 .
б )	Прямоугольный	участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 9000 .
	Путь	из пункта А в пункт В велосипедист проехал со скоростью v км / ч за t ч .
	Путь	от А до В равен ut км , при этом v больше 0 и t больше 0 .
	Путь	, пройденный в конце данного промежутка времени .
	Равенства	, справедливые при любых значениях входящих в них букв , называют тождествами .
а ) Равенство т(т плюс 1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б )	Равенство	9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k .
56 Докажите прямым и косвенным методом : а )	Равенство	неверно при любом ; натуральном n ; б ) Равенство неверно при любом .
56 Докажите прямым и косвенным методом : а ) Равенство неверно при любом ; натуральном n ; б )	Равенство	неверно при любом .
а )	Равенство	2х(х плюс 1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б ) Равенство 18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у .
	Равенство	.
а )	Равенство	т(т плюс 1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б ) Равенство 9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k .
	Равенство	неверно при любом .
а ) Равенство 2х(х плюс 1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б )	Равенство	18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у .
	Разделив	обе части данного равенства на общий множитель , получаем , что 2 5 .
	Разделив	обе части этого равенства на общий множитель получаем .
	Разделив	последнее равенство на 10 , получаем : 1 см 100 мм .
	Разделив	обе части этого равенства на общий множитель получаем , что .
	Разделив	последнее равенство на 10 , получаем .
	Разделив	обе части данного неравенства на 4 , получим х. И так как по условию х , то х может принимать лишь целые значения из промежутка .
	Разделим	обе части этого равенства на общий множитель .
	Разделим	целые числа на три класса в зависимости от их остатков от деления на 3 .
	Разделим	обе части последнего равенства на 10 .
Разделите число 1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б )	Разделите	число 2438 на четыре части пропорционально числам 3 , 4 , 9 , 10 .
	Разделите	число 2420 на четыре части пропорционально числам 2 , 3 , 8 .
	Разделите	число 1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б ) Разделите число 2438 на четыре части пропорционально числам 3 , 4 , 9 , 10 .
	Разделите	число 2478 на три части пропорционально числам 2 , 5 , 7 .
	Разделить	с остатком А на В .
	Разделить	число а на число b с остатком значит представить число а в виде .
2	Разделить	k на делитель b , в ответе - неполное частное с .
	Разложение	многочлена на множители .
4	Разложение	многочленов на множители с применением нескольких способов .
4	Разложение	многочленов на множители .
545	Разложите	трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов .
	Разложите	на множители многочлен х2 плюс 4х плюс 3 .
	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители многочлен х6 минус 2х3 плюс 1 .
621	Разложите	на множители .
Убедитесь в том , что все члены многочлена не имеют общего буквенного множителя :	Разложите	данный многочлен на множители , группируя члены , имеющие общие множители .
	Разложите	на множители многочлен у3 плюс у2 минус х2 минус х3 .
	Разложите	на множители многочлен 3у2 плюс 7у минус 10 .
	Разложите	на множители .
	Разложите	на множители многочлен х6 плюс 5х3 плюс 4 .
622	Разложите	на множители .
569	Разложите	трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов .
596	Разложите	на множители .
	Разложите	многочлен на множители , используя способ группировки . 2 ) Какой формулой сокращенного умножения можно воспользоваться , чтобы разложить этот многочлен на множители ?
	Разложите	на множители многочлен 3с минус 1 минус 3с2 плюс с3 .
	Разложите	на множители многочлен х4 плюс 4 .
	Разложите	многочлен на множители , используя эту формулу .
	Разложите	на множители многочлен х4 минус 1 .
651	Разложите	на множители .
676	Разложите	на множители .
	Разложите	многочлен на множители .
	Разложите	многочлен на множители , выделяя полный квадрат .
	Разложите	на множители многочлен : а4 плюс ах2 минус а2х минус х4 . 2 )
648	Разложите	трехчлен на множители , выделяя полный квадрат .
	Разложить	многочлен на множители не всегда легко , а порой и невозможно .
1	Разложить	каждое число на простые множители .
	Разложить	многочлен на множители ( на буквенные множители ) — это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов , степень которых больше нуля .
2	Разность	квадратов .
339 а )	Разность	квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 11 .
	Разность	двух чисел равна 58 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д )	Разность	чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
	Разность	двух рациональных чисел равна 438 .
	Разность	многочленов .
а ) Трехзначное число , записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 . б )	Разность	любого четырехзначного числа и четырехзначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
в )	Разность	двух натуральных чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть целым числом .
	Разность	кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы .
	Разность	квадрата числа х и частного чисел у и г .
	Разность	между 98 и увеличенным в девять раз первым натуральным числом равна увеличенному в пять раз второму натуральному числу .
	Разность	двух положительных рациональных чисел может быть числом отрицательным .
	Разность	двух рациональных чисел равна 3 , при этом модуль одного из этих чисел в 2 раза больше модуля другого числа .
	Разность	квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы .
в ) Модуль разности кубов а и b . г )	Разность	модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д )	Разность	квадратов чисел а и b. .
	Разность	квадратов двух последовательных четных чисел равна 28 .
а )	Разностью	двух чисел называется число , такое , что . б ) Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
	Разностью	многочленов называется многочлен , равный сумме уменьшаемого и многочлена , противоположного вычитаемому .
1	Рациональные	числа и законы арифметики .
1	Рациональные числа	и законы арифметики .
644	Рациональным	способом найдите значение выражения .
Теорема 2 (	Рефлексивность	сравнений ) .
Решите уравнение	Решение	.
	Решение	. 1 ) Для того чтобы определить значение температуры в августе 2000 г. , находим в таблице строку , соответствующую 2000 г. , и находим столбец , соответствующий августу .
	Решение	неравенств с модулями .
	Решение	неравенства .
	Решение	уравнений с модулями .
	Решение	.
	Решение	линейных уравнений в целых числах .
	Решение	уравнений требует также и умения упрощать входящие в него выражения .
Решите неравенство :	Решение	.
Решите равнение	Решение	.
	Решение	: Наименьшее значение веса семиклассников равно 35 кг , наибольшее — 55 кг , а размах числового набора равен разности между наибольшим и наименьшим значением , то есть 20 кг .
5	Решение	задач с помощью разложения многочленов на множители .
5	Решение	задач с помощью сравнений .
	Решением	неравенства будет объединение всех полученных решений .
	Решением	исходного неравенства является объединение множеств решений , полученных на всех числовых промежутках .
	Решения	неравенства .
	Решения	.
	Решения	уравнений .
	Решения	линейных неравенств .
	Система	аксиом для множества натуральных чисел была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке .
3	Сложение	и вычитание многочленов .
	Сложите	числа , расположенные в каждой из первых шести строк треугольника Паскаля .
4	Сложить	по « столбцам » подобные слагаемые и записать полученные результаты .
3	Сложить	по « столбцам » подобные слагаемые и записать полученные результаты .
	Собственная	скорость первой яхты равна 25 км / ч , а второй — 30 км / ч .
	Собственная	скорость лодки равна 7 км / ч , а скорость течения реки равна 2 км / ч .
	Собственная	скорость катера равна 14,5 км / ч .
	Собственная	скорость первого катера равна 26 км / ч , а второго — 24 км / ч .
	Собственная	скорость первого теплохода равна 31 км / ч , а второго - 35 км / ч .
	Собственная	скорость лодки равна 6 км / ч .
	Собственная	скорость первого теплохода равна 27 км / ч , а второго - 31,5 км / ч .
332 Найдите значение выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
391	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
604	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
587	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
548	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
495	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
672	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
477	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
613	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
485	Сократите	дробь .
757	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
763	Сократите	дроби .
	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
517	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
264	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
362	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
643	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
508	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
449	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
571	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
419	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
	Среднее	арифметическое указанного числового набора равно .
	Среднее	арифметическое .
	Среднее	арифметическое является своеобразным критерием эффективности работы производства .
	Среднее арифметическое	является своеобразным критерием эффективности работы производства .
	Среднее арифметическое	.
	Средний	из них в 2 раза старше младшего .
511 а )	Средний	возраст 12 игроков баскетбольной команды равен 24 года , а средний возраст этих игроков вместе с тренером равен 25 годам .
6 )	Средний	возраст 20 спортсменов и одного тренера равен 25 годам .
б )	Средний	возраст сотрудников пончиковой компании Антона и Ксюши равен 30 годам .
г )	Средний	возраст врачей и больных в больнице равен 40 лет .
	Средним	арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
	Средним арифметическим	нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
	Средняя	цена одного пончика в пяти городах Центрального региона России равна 15,6 рублей , в восьми городах Северо - Западного региона — 16,8 рублей , а в семи городах Южного региона — 18,6 рублей .
	Средняя	цена одной коробки с пончиками равна 138 р .
	Средняя	скорость одной электрички равна 40 км / ч .
1	Степень	с натуральным показателем .
	Степень	дроби . многочлена .
	Степень	нулевого одночлена не определяется .
	Степень	произведения и частного ( дроби ) .
	Степенью	ненулевого одночлена называется сумма показателей степеней входящих в одночлен переменных .
	Степенью	многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов при записи многочлена в стандартном виде .
Какой могла быть эта цифра , если число делилось на . а )	Сторону	квадрата сначала уменьшили на 40 % , а затем увеличили на 40 % .
	Сумма	цифр загаданного четырехзначного числа равна 25 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 38 .
	Сумма	цифр числа делится на 3 Число делится на 3 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 17 .
а )	Сумма	числа а и частного от деления b на с . б ) Частное от деления произведения чисел х и у на разность чисел m и n .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 28 .
	Сумма	кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
а ) Если натуральное число больше 9 , то оно больше или равно 10 . б )	Сумма	двух натуральных чисел , каждое из которых больше 5 , меньше 9 .
а ) Сумма трех последовательных четных чисел делится на 6 . б )	Сумма	трех последовательных нечетных чисел делится на 3 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е )	Сумма	чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 26 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 55 .
	Сумма	цифр загаданного четырехзначного числа равна 30 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 10 , а их произведение равно 24 .
20 а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 27 .
	Сумма	четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 12 .
	Сумма	углов треугольника равна 180 ° , значит .
	Сумма	любых двух простых чисел - простое число . д ) Всякое простое число не может быть четным .
	Сумма	двух модулей всегда число неотрицательное , а поэтому всегда больше отрицательного числа .
Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г )	Сумма	четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 48 .
а )	Сумма	трех последовательных четных чисел делится на 6 . б ) Сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3 .
	Сумма	двух рациональных чисел равна 8 , при этом модуль одного из этих чисел в 3 раза меньше модуля другого числа .
а )	Сумма	полных лет Антона и Ксюши равна 30 .
	Сумма	данных чисел равна , а их количество 10 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 44 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 45 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 54 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 47 .
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж )	Сумма	кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
	Сумма	кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности .
а ) Модуль разности квадратов а и с . б )	Сумма	модулей а , b и с .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 35 .
	Сумма	цифр загаданного четырехзначного числа равна 22 .
	Сумма	двух рациональных чисел равна 2490 .
	Сумма	увеличенного в семь раз первого натурального числа и удвоенного второго натурального числа равна 39 .
	Сумма	кратна 9 . д ) Произведение делится на 25 . е ) Произведение не кратно 9 . ж )
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 36 .
	Сумма	двух отрицательных рациональных чисел отрицательна .
а )	Сумма	двух чисел не зависит от порядка слагаемых .
	Сумма	длин сторон двух квадратов равна 20 см , а разность их площадей равна 40 см2 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 26 .
4	Сумма	и разность кубов .
	Сумма	многочленов .
	Сумма	выручек двух филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши за март была равна 765 тыс. р .
145	Сумма	n первых натуральных чисел вычисляется по формуле .
	Суммой	многочленов называется многочлен , членами которого являются все члены многочленов слагаемых , взятых с их знаками .
	Сумму	двух целых чисел умножили на их произведение .
	Теорема	Яблоко сладкое .
	Теорема	Лимон кислый .
	Теорема	8 Если .
	Теорема	2 ( Рефлексивность сравнений ) .
	Теорема	7 Если .
	Теорема	3 ( Симметричность сравнений ) .
	Теорема	4 ( Транзитивность сравнений ) .
	Теорема	Картоль квадратный и кислый .
	Теорема	3 .
	Теорема	2 .
	Теорема	о делимости .
	Теорема	9 Если .
	Теорема	6 Если .
	Теорема	1 .
	Теорема	Мандар круглый и сладкий . г )
	Теорема	2 Простых чисел существует бесконечно много .
	Теорема	5 .
	Теорема	.
	Теорема	1 Любое положительное рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби .
	Теорема	2 Любая положительная периодическая десятичная дробь является рациональным числом .
	Теорема	1 Если число а делится на число b , то существует единственное число с , такое , что .
	Теорема	1 Целые числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m .
	Теорема	1 ( Основная теорема арифметики ) .
	Теорема	4 .
	Теорема	о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
	Теорема	о периодичности остатков .
	Теорема	2 Любое натуральное число делится на единицу .
	Теорема	3 Любое натуральное число делится на само себя .
	Теорема	4 Если натуральное число а делится на натуральное число b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то .
	Теоремы	2 и 3 доказываются аналогично теореме 1 .
	Теория вероятностей	.
	Тождество	.
	Точка	А ( р ; q ) принадлежит графику функции .
	Точка	С принадлежит отрезку АВ .
	Точка	А ( р , q ) принадлежит графику функции .
	Точки	1 и ( -4 ) разбивают числовую прямую на три промежутка .
Теорема 4 (	Транзитивность	сравнений ) .
	Третий	— четверть суммы , заплаченной остальными .
	Третье	число получили , сложив первое и второе число .
	Треугольник	Паскаля .
	Трехчлен	.
	Умножение	.
	Умножение	многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
4	Умножение	одночлена на многочлен .
5	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножим	обе части данного уравнения на число 30 — наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей .
	Умножим	левую часть равенства на 10 см , а правую часть — на 100 мм .
	Уравнение	.
	Уравнение	может иметь один корень , два корня и так далее , а может вообще не иметь корней .
	Уравнение	, где a , b , с Z , не имеет целых решений , если с не делится на d НОД .
Шаг 3	Уравнение	( х плюс 1)(х плюс 2)(х плюс 3 ) равно 0 равносильно исходному .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д )	Уравнение	( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
	Уравнения	могут быть с одним неизвестным , двумя , тремя и т .
	Уравнения	данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается выражением аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию .
	Уравнения	, решениями которых являются целые числа , интересовали ученых еще в древности .
	Функцией	называется правило f , по которому каждому элементу х из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент у из множества Y.
	Функции	заданы словесным описанием .
	Функции	заданы таблично .
	Функциональная	зависимость и кодирование информации .
	Функциональная	зависимость между величинами .
	Функцию	задали следующим образом : каждому рациональному числу q поставили в соответствие наибольшее целое число , не превосходящее этого числа .
	Функция	задана формулой .
	Функция	задана формулой , показывающей , как для каждого значения х из области ее определения вычислить соответствующее значение у .
	Функция	.
	Функция	определена ( или задана ) , если нам известно правило соответствия и множество значений переменной , к которому это правило надо применять .
	Функция	задана словесным описанием .
	Функция	задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
	Функция	задана с помощью таблицы .
	Функция	задана с помощью графика .
	Функция	— одно из важнейших понятий математики , и нам важно теперь научиться обозначать функции , а также выяснить , каким образом можно задать функцию .
	Функция	задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 .
	Функция	вида , где k и b — произвольные числа , называется линейной функцией .
	Целое	число а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое целое число с , что .
а )	Целое	число дает при делении на 7 остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 3 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г )	Целое	число при делении на 4 дает в остатке 3 .
а )	Целое	число а кратно 9 .
	Целое	число дает при делении на 4 остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 5 .
	Целое	число при делении на 3 дает остаток 2 .
	Целое	число при делении на 7 дает остаток 2 , а при делении на 8 — остаток 3 .
а )	Целое	число дает при делении на 5 остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
в )	Целое	число при делении на 5 дает в остатке 2 .
	Целое	решение уравнения , где a , b , с е Z , всегда существует , если с делится на d = НОД .
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б )	Целое	число при делении на 5 дает в остатке 4 .
398 а )	Целое	число при делении на 8 дает в остатке 7 .
407 а )	Целое	число а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б )	Целое	число при делении на 9 дает в остатке 7 .
а )	Целое	число а кратно 7 .
	Целое	число b при делении на 36 дает остаток 3 .
а )	Целое	число дает при делении на 8 остаток 3 , а при делении на 5 — остаток 1 .
428 а )	Целое	число а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при делении на 14 дает в остатке 9 .
422 а )	Целое	число при делении на 6 дает в остатке 5 .
	Целое	число b при делении на 14 дает остаток 8 .
	Целое число	дает при делении на 4 остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 5 .
407 а )	Целое число	а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7 .
	Целое число	b при делении на 14 дает остаток 8 .
а )	Целое число	дает при делении на 5 остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
398 а )	Целое число	при делении на 8 дает в остатке 7 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г )	Целое число	при делении на 4 дает в остатке 3 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б )	Целое число	при делении на 5 дает в остатке 4 .
а )	Целое число	дает при делении на 7 остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 3 .
в )	Целое число	при делении на 5 дает в остатке 2 .
а )	Целое число	дает при делении на 8 остаток 3 , а при делении на 5 — остаток 1 .
422 а )	Целое число	при делении на 6 дает в остатке 5 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б )	Целое число	при делении на 9 дает в остатке 7 .
	Целое число	при делении на 3 дает остаток 2 .
	Целое число	а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое целое число с , что .
428 а )	Целое число	а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при делении на 14 дает в остатке 9 .
	Целое число	при делении на 7 дает остаток 2 , а при делении на 8 — остаток 3 .
а )	Целое число	а кратно 7 .
	Целое число	b при делении на 36 дает остаток 3 .
а )	Целое число	а кратно 9 .
	Целые	числа - первоисточник математики .
Теорема 1	Целые	числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m .
а ) Число а противоположно числу b , если . б )	Целые	числа - это натуральные числа , им противоположные и нуль .
	Целые числа	- первоисточник математики .
Теорема 1	Целые числа	а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m .
а ) Число а противоположно числу b , если . б )	Целые числа	- это натуральные числа , им противоположные и нуль .
	Целыми	решениями полученного неравенства являются х 6 и х 7 .
	Четная	степень отрицательного числа содержит четное число отрицательных множителей .
г )	Четные	числа - это натуральные числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
	Четные	числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
в )	Четные	натуральные числа не могут быть простыми .
«	Четырехугольник	, все углы которого равны , называется прямоугольником » .
«	Четырехугольник	- это многоугольник с четырьмя сторонами » .
	Числа	257 , 374 и 478 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число , большее 1 .
	Числа	115 000 и 1 085 000 дают одинаковые остатки при делении на 97 . .
	Числа	1712 , 1807 и 1940 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число , большее 1 .
	Числа	, имеющие одинаковые остатки при делении на некоторое заданное натуральное число , настолько важны в математике , что получили свое специальное название .
	Числа	b и с - делители числа а , число а - кратное чисел b и с .
	Числа	m , n — натуральные .
	Числа	и функции — не произвольные продукты нашего духа , они существуют вне нас с тем же характером необходимости , как вещи объективной реальности .
342	Числа	901 , 1696 , 4293 дают равные остатки при делении на некоторое натуральное число .
а )	Число	а , кратное числу b , не может быть больше b . б ) Любое натуральное число , большее 1 , имеет по крайней мере 2 делителя .
а )	Число	62 458 делится на 11 . б ) Число 100 851 при делении на 17 дает остаток 7 .
а )	Число	261 679 делится на 11 . б ) Число 740 630 при делении на 13 дает остаток 7 .
282 По данным таблиц постройте линейные диаграммы : а ) Величина прожиточного минимума на одного человека в РФ ; б ) Общая жилплощадь , приходящаяся в среднем на одного жителя РФ ( по со стоянию на конец года ) ; в )	Число	высших учебных заведений в РФ ( среднегодовой показатель ) .
а ) Число 62 458 делится на 11 . б )	Число	100 851 при делении на 17 дает остаток 7 .
	Число	а делится ( без остатка ) на число b , если существует такое число с , что .
Число а меньше или равно числу 9 . б )	Число	48 делится на с .
	Число	4 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
а )	Число	804 является делителем числа 566 820 . б )
	Число	90 разделили на то же самое число и получили в остатке 18 .
а )	Число	футболистов , теннисистов и волейболистов , занимающихся в спортивном обществе « Юниор » , относится как 5 к 2 к 7 .
Число а на 12 больше числа b . г )	Число	х в 3 раза меньше числа у . д ) Модуль числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 .
	Число	а на 12 больше числа b . г ) Число х в 3 раза меньше числа у . д ) Модуль числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 .
	Число	, противоположное числу ( -а ) , может быть меньше а .
	Число	( -6 ) не является положительным числом .
	Число	8 является решением неравенства х. Значит , число 8 — положительное .
	Число	1 имеет единственный делитель - само себя , и поэтому оно выделено в ряду натуральных чисел в особую группу : не является ни простым , ни составным .
	Число	0 является натуральным числом .
	Число	0 делится на любое натуральное число .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в )	Число	14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
	Число	( -6 ) не является решением неравенства х. Значит , число ( -6 ) не является положительным числом .
	Число	4 меньше 5 . з ) Все рациональные числа , меньшие 5 , больше ( -100 ) .
а )	Число	, обратное 3 , равно -3 . б ) Модуль числа х может быть равен -х .
	Число	k называется коэффициентом пропорциональности .
	Число	строк на странице на 15 меньше , чем число букв в каждой строке .
а ) Произведение любых шести последовательных целых чисел делится на 360 . б )	Число	, записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом .
	Число	3 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
	Число	тигров более чем на 11 больше , чем число обезьян и крокодилов вместе .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е )	Число	0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
147 Докажите утверждение : а ) Произведение любых пяти последовательных чисел делится на 60 ; б )	Число	, записываемое 80 двойками , 80 единицами и 80 нулями , не может быть точным квадратом .
	Число	28 является простым числом .
а )	Число	11 является составным числом .
Число 9 является делителем числа 24 070 802 301 . г )	Число	3 805 464 400 кратно 8 .
	Число	букв русского алфавита равно 33 .
Докажите , что а ) При любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем уравнения б )	Число	12 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
	Число	100 разделили на некоторое натуральное число и получили в остатке 4 .
	Число	236 235 кратно 3 , но не кратно 9 .
	Число	4 253 696 не кратно ни 5 , ни 10 . г )
	Число	9 является делителем числа 24 070 802 301 . г ) Число 3 805 464 400 кратно 8 .
а ) Число 89 является делителем числа 625 670 . б )	Число	169 491 кратно 3 .
	Число	k называют коэффициентом при неизвестном , а число b — свободным членом линейного уравнения .
а )	Число	89 является делителем числа 625 670 . б ) Число 169 491 кратно 3 .
	Число	11 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
	Число	с называют общим делителем двух натуральных чисел а и b , если оно является делителем и для а , и для b .
	Число	полных лет Антона при делении на 5 дает остаток 1 , а число полных лет Ксюши при делении на 5 дает остаток 4 .
	Число	а меньше или равно числу 9 . б ) Число 48 делится на с .
	Число	28 725 300 108 кратно 2 , 9 и 18 .
Число с составляет 5/6 от числа d . з )	Число	k составляет 35 % от числа t .
	Число	с составляет 5/6 от числа d . з ) Число k составляет 35 % от числа t .
а ) Число 261 679 делится на 11 . б )	Число	740 630 при делении на 13 дает остаток 7 .
	Число	1000 делится на 20 .
а ) Число а делится на число 6 . б )	Число	с при делении на d дает остаток r . в ) Числа p и r взаимно простые .
а )	Число	6 является делителем числа 128 . б ) Число 9 является делителем всех натуральных чисел .
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г )	Число	, противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
Все целые числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в сумме с 6 дает 17 . д )	Число	3 является решением уравнения .
а )	Число	а противоположно числу b , если . б ) Целые числа - это натуральные числа , им противоположные и нуль .
в ) Произведение любых семи последовательных чисел делится на 2520 . г )	Число	, записываемое 100 двойками , 100 единицами и 100 нулями , не может быть точным квадратом .
	Число	0,5 , или называют в данном случае вероятностью выпадения « решки » при подбрасывании монеты .
	Число	благоприятных исходов .
Сумма цифр числа делится на 3	Число	делится на 3 .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б )	Число	362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а )	Число	56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б )	Число	793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в )	Число	678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г )	Число	862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
	Число	а больше каждого из имеющихся простых чисел .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з )	Число	555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и )	Число	143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
	Число	однокомнатных , двухкомнатных , трехкомнатных и четырехкомнатных квартир в доме относится как 5,7 к 5,6 к 2,2 к 1,5 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к )	Число	4 010 532 не делится на 12 .
а )	Число	мужчин , женщин и детей , занимающихся в секции тенниса , относится как 3 к 5 к 9 .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а )	Число	1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
а )	Число	а делится на число 6 . б ) Число с при делении на d дает остаток r . в ) Числа p и r взаимно простые .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а )	Число	156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
	Число	а называется обратным к числу , если .
а ) Число d - делитель числа а , если число а в с раз больше d . б )	Число	k является кратным числа b , если число k в а раз больше .
	Число	т — четное , а число n — нечетное .
	Число	258 делится на 3 - истинно .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б )	Число	16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
а ) Число 6 является делителем числа 128 . б )	Число	9 является делителем всех натуральных чисел .
в )	Число	17 является составным числом .
	Число	, обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
а )	Число	d - делитель числа а , если число а в с раз больше d . б ) Число k является кратным числа b , если число k в а раз больше .
	Числом	является любая последовательность , состоящая не более чем из пяти цифр .
	Члены	многочлена . .
	Шары	положили в мешок и перемешали , а затем , не глядя в мешок , один шар вытащили из него .
	Шары	положили в мешок и перемешали , а затем , не глядя в мешок , из него вытащили один шар .
«	Ширина	прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина на 3 см больше стороны этого же квадрата .
	Ширина	прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина — на 3 см больше стороны этого же квадрата .
В точках с какими координатами этот график пересекает ось	абсцисс	, ось ординат ?
Если же k -0 и b — 0 одновременно , то ее графиком является сама ось	абсцисс	Ох .
параллельная оси	абсцисс	Ох .
В каких точках этот график пересекает ось	абсцисс	, ось ординат ?
С увеличением острый угол между графиком и осью	абсцисс	Ох увеличивается ( график становится « круче » ) , а с уменьшением k — уменьшается ( график более « пологий » ) .
Ах , симметричной точке А относительно оси	абсцисс	Ох .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох (	абсцисса	) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции .
Обычно выбирают одну точку с	абсциссой	0 , а вторую — произвольно , с учетом удобства вычислений , например .
Таким образом , ордината любой точки В графика единицы больше , чем ордината точки А графика с той же	абсциссой	х0 .
1 Найти	абсциссу	, равную х .
Новые утверждения ( теоремы ) доказываются только с помощью	аксиом	и ранее доказанных утверждений .
При этом каждое новое утверждение выводится из	аксиом	или уже доказанных утверждений в соответствии с законами логики .
Основные свойства первоначальных понятий задаются системой	аксиом	.
Как мы уже видели , любая математическая теория строится на базе первоначальных понятий и	аксиом	.
В частности , выбранная система	аксиом	должна быть непротиворечивой , то есть она не должна приводить к противоречащим друг другу выводам .
Действительно , если система	аксиом	некоторой математической теории такова , что в результате логических рассуждений может быть получено , что одно и то же утверждение одновременно верно и неверно , то поиск истины с помощью этой теории теряет смысл .
Все остальные элементы цепи называются теоремами и выводятся из	аксиом	путем логических рассуждений .
Однако в математике доказать какое - либо утверждение - это значит показать , что это утверждение логически следует из уже доказанных утверждений или	аксиом	.
А применить аксиоматический метод в геометрии удалось Евклиду : он создал систему	аксиом	, которая стала основой логического обоснования всех известных на тот момент геометрических утверждений .
Для этих понятий введена следующая система	аксиом	: .
Для этих понятий введена следующая система	аксиом	.
В XIX веке , изменив всего лишь одну аксиому в системе	аксиом	Евклида , великий русский математик Н. И. Лобачевский построил новую непротиворечивую геометрию .
Она выстроена на базе системы основных понятий и	аксиом	, описывает общие законы и тем самым создает возможность для согласования различных мнений и взглядов .
Система	аксиом	для множества натуральных чисел была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке .
Значение	аксиом	первым оценил Аристотель , величайший древнегреческий философ и ученый .
И именно из	аксиом	Пеано следует , что если натуральное число равно n , то следующее за ним равно , а число , следующее за , равно .
Они называются	аксиомами	.
А применить	аксиоматический	метод в геометрии удалось Евклиду : он создал систему аксиом , которая стала основой логического обоснования всех известных на тот момент геометрических утверждений .
Выход из этого противоречия предлагает	аксиоматический	метод построения математической теории .
Если	аксиоматический	метод является стилем современной математики , то потребности практики являются ее фундаментом .
Что же дает	аксиоматический	метод ?
Геометрию Лобачевского назвали неевклидовой , подчеркнув ее отличие от классической геометрии , основанной на	аксиомах	Евклида .
Скорее ,	аксиомы	- это некоторые выбранные свойства первоначальных понятий .
Создатель математической теории может сам выбирать первоначальные понятия и	аксиомы	.
Поэтому	алгебра	изучает также общие свойства арифметических действий , помогающие рационально проводить преобразования выражений .
а ) В седьмом классе одной из школ в расписании занятий в понедельник должны быть следующие предметы :	алгебра	, русский язык , история , физика , география .
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а	алгебраическая сумма	одночленов по определению многочлен .
Мы видим , что данная	алгебраическая сумма	также является многочленом .
Как мы уже знаем ,	алгебраическая сумма	нескольких одночленов является одночленом , только если речь идет о сложении и вычитании подобных одночленов .
Выражение , записанное как	алгебраическая сумма	одночленов , называется многочленом .
Пользуясь правилами равносильных преобразований , мы можем упрощать не только	алгебраические суммы	, но и произведения .
Мы умеем также упрощать	алгебраические суммы	, пользуясь законами арифметических действий .
Но при решении разного рода задач нам часто приходится сталкиваться и с	алгебраическими выражениями	, содержащими произведение и частное нескольких величин .
Мы знаем , что если между двумя числами или двумя	алгебраическими выражениями	стоит знак , то получившееся математическое предложение называют равенством .
Между двумя числами или	алгебраическими выражениями	могут стоять знаки > , < , > или < .
2 Равносильные преобразования	алгебраических выражений	.
Глава 3 Законы равносильных преобразований	алгебраических выражений	.
Поэтому для того , чтобы упрощать такие выражения , мы должны научиться производить равносильные преобразования	алгебраических выражений	со скобками .
411 Назовите слагаемые указанных	алгебраических сумм	и запишите эти суммы , ставя между слагаемыми знак « + » .
Основные законы сложения верны также и для	алгебраических сумм	, то есть выражений , содержащих несколько последовательных действий сложения и вычитания .
Таким образом , мы приходим к следующим правилам раскрытия скобок при равносильных преобразованиях	алгебраических сумм	.
Какие из данных	алгебраических сумм	являются равносильными выражениями ?
434 Назовите слагаемые	алгебраических сумм	и запишите их , ставя между слагаемы ми знак « + » .
Упростим сначала числитель этой дроби , пользуясь правилами преобразования	алгебраических сумм	.
Используя эти законы при преобразованиях	алгебраических сумм	, мы можем моментально найти значение , например , такого выражения .
1 Равносильные преобразования	алгебраических сумм	.
Правила раскрытия скобок в	алгебраических суммах	.
В предыдущем пункте мы разобрались с тем , как раскрывать скобки в	алгебраических суммах	.
Для этого раскроем скобки , используя правило умножения одночлена на многочлен , а затем в полученной	алгебраической сумме	приведем подобные слагаемые .
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 1 , то значение многочлена равно	алгебраической сумме	всех его коэффициентов .
Правило 2 Если в	алгебраической сумме	перед скобкой стоит знак « - » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
Например , составим сумму многочленов а2 - 4аb плюс b2 и -а2 плюс 3аb и в полученной	алгебраической сумме	раскроем скобки .
Переставив слагаемые в данной	алгебраической сумме	, мы получим куб разности чисел с и 1 .
Правило 1 Если в	алгебраической сумме	перед скобкой стоит знак « + » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
1 В любой	алгебраической сумме	можно произвольным образом переставлять слагаемые и объединять их в группы .
Следовательно , значение многочлена будет равно	алгебраической сумме	, состоящей из нулей и свободного члена , и поэтому равно свободному члену , что и требовалось доказать .
А поскольку многочлен является алгебраической суммой своих членов , то его значение будет равно	алгебраической сумме	всех его коэффициентов , что и требовалось доказать .
Заменим в	алгебраической сумме	каждое действие вычитания прибавлением противоположного слагаемого .
А поскольку многочлен является	алгебраической суммой	своих членов , то его значение будет равно алгебраической сумме всех его коэффициентов , что и требовалось доказать .
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление значения многочлена свелось к нахождению	алгебраической суммы	его коэффициентов , а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену .
Приведем каждый из одночленов данной	алгебраической суммы	к стандартному виду и упростим полученное выражение .
162 Выполните действия , записывая « в столбик » многочлены - слагаемые ( записанные в скобках ) данной	алгебраической суммы	.
3 Если несколько слагаемых	алгебраической суммы	имеют общий множитель , то его можно вынести за скобку .
А вот при сложении и вычитании двух одночленов ситуация иная : одночлен в итоге может получиться лишь тогда , когда слагаемые составленной	алгебраической суммы	, записанные в стандартном виде , имеют одинаковую буквенную часть .
При раскрытии скобок каждое слагаемое	алгебраической суммы	, находящейся в скобках , умножится на ( -1 ) ( в соответствии с распределительным законом ) .
3 Определить степень каждого одночлена и записать их	алгебраическую сумму	в порядке убывания степеней .
Как , например , упростить следующую	алгебраическую сумму	.
Рассмотрим	алгебраическую сумму	, в которой перед слагаемыми стоят как знаки « + » , так и знаки « — » .
В принципе , этих правил вполне достаточно для того , чтобы упростить любую	алгебраическую сумму	, в том числе и приведенную выше .
Выявление общих свойств арифметических действий и их компактная запись с помощью букв стали « поворотным пунктом » в развитии математики : переходом от арифметики к	алгебре	.
И не только потому , что Диофант здесь впервые вводит буквенную символику — язык	алгебры	.
Так , в III веке новой эры появляется сочинение « Арифметика » александрийского математика Диофанта , которое становится поворотным пунктом в развитии	алгебры	и теории чисел .
Учитель математики попросил составителя расписания , чтобы его урок	алгебры	был первым или вторым .
Корни	алгебры	уходят в глубокую древность , а само название происходит от арабского « аль - джебр » ( восполнение , воссоединение , связь ) - приема решения уравнений , описанного в трактате « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми ( ок . 783 - ок .
Поскольку значение у зависит от х , а х мы выбираем произвольно из области определения , то х — это независимая переменная , или , как говорят иначе ,	аргумент	функции , а у — зависимая переменная .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно у1 у2 и у3 .
( Шагом называют разность между двумя соседними значениями	аргумента	. ) .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется значение функции , если значение	аргумента	увеличивается на 2 , уменьшается на 1 .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно у1 , у2 и у3 .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно y1 , у2 и у3 .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если значение	аргумента	увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций .
Задайте данную функцию с помощью : а ) словесного описания ; б ) таблицы значений от -3 до 3 с шагом 1 . ( Шагом называют разность между двумя соседними значениями	аргумента	. ) .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно 1 , 3 , -2 .
Математическая логика , как и любая математическая теория , не опирается на такие	аргументы	, как наблюдения , конкретный случай , чьи - то ощущения .
Ведь гораздо проще установить выполнение какого - либо свойства для конечного множества классов , чем для	бесконечного множества	целых чисел .
То есть применим метод перебора не к	бесконечному множеству	целых чисел , а к конечному числу указанных классов .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс	бесконечность	и минус бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс бесконечность и минус	бесконечность	, круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является	биссектрисой	I и III ( II и IV ) координатных углов .
Доля выбравших данный	вариант	ответа .
Предложите другой	вариант	группировки , позволяющий разложить данный многочлен на множители .
Доля выбравших данный	вариант	ответа . Математика , физика , информатика .
Предложите свой	вариант	определения операции « разложение многочлена на множители » .
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой	вариант	определения произведения одночлена и многочлена и соответствующего правила .
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой	вариант	определения разности многочленов и сравните его с определением 3 на стр. 33 .
Предложите свой	вариант	определения суммы многочленов и сравните его с определением 1 на стр. 32 .
Предложите свое название для зависимостей данного вида и дайте свой	вариант	их определения .
Аналогично по два	варианта	получается , если на втором месте стоят цифра 3 и цифра 4 .
( Рассмотрите оба возможных	варианта	. ) .
Способ подсчета	вариантов	, использованный в задаче 1 , состоит в следующем .
На практике нам часто бывает нужно решать задачи , связанные с перебором	вариантов	.
Используя данный способ подсчета	вариантов	в комбинациях с повторениями , решим следующую задачу .
А вот без ключа расшифровать их непросто , так как количество возможных	вариантов	такого шифра равно поэтому даже с помощью быстродействующего компьютера на дешифровку перебором вариантов будет потрачено столько времени , что сообщение уже будет неактуально .
В итоге мы получаем 36 возможных	вариантов	выпадения кубиков .
Значит , получилось 8 различных	вариантов	с брюками и 10 с юбками , а всего — 18 комплектов .
Количество	вариантов	равно количеству точек в последней строке .
В частности , комбинаторика ищет методы решения задач , в которых надо найти число всех возможных	вариантов	выбора объектов с заданными свойствами .
Сколько существует	вариантов	такого кода ? .
Анализируя с помощью данной таблицы частоту появления символов в зашифрованном тексте , а также их взаимное расположение и учитывая особенности построения слов русского языка , можно существенно сократить количество возможных	вариантов	ключей , а значит , сократить время перебора и в конечном счете расшифровать сообщение .
Рассмотрим , например , следующую задачу подсчета числа возможных	вариантов	.
Если на первом кубике выпадает число 1 , то всего имеется шесть различных	вариантов	выпадения двух кубиков , так как на втором кубике могут выпасть числа от 1 до 6 .
4 Если на символы наложены какие - либо ограничения , то надо вычислить количество возможных	вариантов	отдельно для всех символов с различными свойствами , а затем сложить полученные числа .
3 Если по условию задачи каждый из символов может занимать любую позицию , то общее количество возможных	вариантов	равно произведению полученного числа на количество заданных символов .
2 Для выделенного случая вычислить число возможных	вариантов	, используя дерево возможностей , таблицу и др .
Сколько всего возможно	вариантов	такого кода ? .
Конечно , чтобы догадаться о том , какие слагаемые надо добавить и вычесть из многочлена , зачастую нужно попробовать много разных	вариантов	.
При решении многих задач возникает необходимость рассматривать несколько разных	вариантов	возможной взаимосвязи величин .
Таким образом , общее число возможных	вариантов	в случае , когда на первом месте стоит цифра 1 , равно шести .
В предыдущем пункте мы подсчитывали количество возможных	вариантов	в случаях , когда элементы в искомых комбинациях не повторялись .
Иногда в этом случае задачу можно решить , осуществляя перебор всех возможных	вариантов	.
1 Задача подсчета числа	вариантов	.
А вот без ключа расшифровать их непросто , так как количество возможных вариантов такого шифра равно поэтому даже с помощью быстродействующего компьютера на дешифровку перебором	вариантов	будет потрачено столько времени , что сообщение уже будет неактуально .
В итоге мы пришли к следующему уточненному	варианту	алгоритма решения задач методом математического моделирования .
Сравните свои	варианты	со статистическими характеристиками , приведенными в учебнике .
Предложите свои	варианты	определения понятий « равносильные неравенства » и « равносильное преобразование неравенства » .
Перебирая различные	варианты	, убеждаемся в том , что одним из решений данного уравнения является пара чисел .
Возможны ли другие	варианты	записи ? .
Поэтому , проверяя на первых буквах кода разные	варианты	сдвига , достаточно быстро можно найти ключ шифра .
( Рассмотрите все возможные	варианты	. ) .
Имеются ли другие	варианты	решения этой задачи ? .
,	варианты	, различающиеся лишь порядком множителей , считать одинаковыми ) .
739 Сравните значения	величин	.
190 Определите , какие из указанных	величин	связаны прямой пропорциональной зависимостью , а какие – обратной .
При решении многих задач возникает необходимость рассматривать несколько разных вариантов возможной взаимосвязи	величин	.
При построении круговой диаграммы предполагается , что сумма всех зависимых	величин	составляет 360 ° , а доля каждой зависимой величины в их общей сумме .
Общее же у них то , что с увеличением ( уменьшением ) одной из	величин	в несколько раз другая величина увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
Такая зависимость может быть записана с помощью единой формулы , где х и у — соответствующие значения независимой и зависимой	величин	, а число k называется коэффициентом пропорциональности .
Что касается круговых диаграмм , то они показывают зависимость между значениями величин с помощью	величин	центральных углов круга .
Быстро определить наибольшие и наименьшие значения	величин	, сравнить данные в разные периоды времени , а также ответить на многие аналогичные вопросы .
1 Найти сумму всех зависимых	величин	.
Зависимости между величинами , которые позволяют однозначно определять значение искомой величины , занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных	величин	в тех или иных условиях .
Вначале вычислим сумму S ( в тыс. р . ) всех зависимых	величин	.
Что касается круговых диаграмм , то они показывают зависимость между значениями	величин	с помощью величин центральных углов круга .
А так как . Сравните значения	величин	.
Во всех этих примерах мы можем точно и однозначно находить конкретные значения переменных	величин	с помощью изученных нами формул — в данном случае формул пути , стоимости , работы .
Среди переменных	величин	различают независимые и зависимые величины .
Решая задачи и наблюдая за поведением различных	величин	на практике , мы видели , что между некоторыми из них существуют определенные зависимости .
72 Упростите выражение при допустимых значениях	величин	.
Проверяем соответствие единиц измерения	величин	.
Математика — это наука о связи	величин	.
Величины всех углов выражены в градусах , поэтому единицы измерения	величин	соответствуют друг другу .
Мы знаем , что столбчатая диаграмма показывает зависимость между значениями	величин	с помощью высоты столбиков .
Итак , мы можем дать следующее определение прямо пропорциональных	величин	.
18 Сравните значения	величин	.
Составьте выражение для вычисления указанных	величин	и запишите его как многочлен стандартного вида .
Поэтому при решении задач мы , например , можем легко найти значения	величин	по общему правилу нахождения неизвестного множителя .
Сравните значения	величин	.
Но большинство	величин	в реальной жизни ведут себя иначе .
Приведите примеры других	величин	, связанных аналогичной зависимостью .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения	величин	х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
Натуральные числа появились в процессе счета предметов и измерения	величин	для ответа на вопрос « Сколько ? » .
Но при решении разного рода задач нам часто приходится сталкиваться и с алгебраическими выражениями , содержащими произведение и частное нескольких	величин	.
Проверить соответствие единиц измерения	величин	.
Рассмотрим теперь общий способ решения линейного уравнения вида где х — переменная	величина	.
Мы уже знаем , что	величина	, которая может принимать различные числовые значения , называется переменной величиной .
Общее же у них то , что с увеличением ( уменьшением ) одной из величин в несколько раз другая	величина	увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
Но нам встречались уравнения вида ( ах плюс 6)(сх плюс d ) равно 0 , где a , b , с , d — неизвестная	величина	.
Однако зависимость между	величинами	не всегда может быть задана формулой .
Устанавливаем взаимосвязи между известными и неизвестными	величинами	.
Функциональная зависимость между	величинами	.
Установить взаимосвязи между	величинами	( явно заданные в условии и возникающие из свойств моделируемого объекта ) .
Разобравшись с прямой пропорциональностью , рассмотрим теперь более сложную зависимость между	величинами	.
При этом процессы , которые описывает данная функция , характеризовались двумя постоянными	величинами	k и b , которые не меняли своих значений на всей области определения линейной функции ( множестве всех известных нам чисел ) .
Так , например , если вы решили проехать на автобусе несколько остановок , то скорость автобуса , масса бензина в его баке и количество пассажиров будут переменными	величинами	, а количество его колес и окон в течение поездки не изменится , останется постоянным .
Зависимости между	величинами	, которые позволяют однозначно определять значение искомой величины , занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных величин в тех или иных условиях .
Для этого определяется , что известно , что надо найти , устанавливаются взаимосвязи между известными и неизвестными	величинами	, вводятся буквенные обозначения , составляются математические соотношения : уравнения и неравенства .
Таким образом , при построении математической модели необходимо также установить взаимосвязи между	величинами	, возникающие из свойств моделируемого объекта ( если они есть ) .
Установить взаимосвязи между	величинами	.
Чему равна сумма трех средних по	величине	чисел ? .
В задаче дана информация о	величине	выручки в каждый из дней недели с понедельника по пятницу .
4 Построить центральные углы , соответствующие каждой зависимой	величине	.
Мы уже знаем , что величина , которая может принимать различные числовые значения , называется переменной	величиной	.
в ) Переменной	величиной	называется буквенное обозначение для элемента некоторого множества .
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть	величину	второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины .
Найдите	величину	меньшего угла этого треугольника .
178 Найдите	величину	отношений .
3 Вычислить	величину	центрального угла , соответствующую доле каждой зависимой величины .
Найдите	величину	большего угла этого треугольника .
Фиксируем искомую	величину	.
Выберем в качестве признака , на основании которого мы будем проводить классификацию ,	величину	остатка от деления на некоторое заданное число .
167 Найдите	величину	отношений .
После этого , используя свойства уравнения и найденное решение , можно будет выразить значения х и у через некоторую единую переменную	величину	( обозначаемую , например , k ) , принимающую целые значения .
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили множество значений , которые могут принимать неизвестные величины ; проверили , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим уравнением ; зафиксировали искомую	величину	.
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо	величину	меньшего из углов треугольника , то есть величину второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины .
Найдите	величину	второго угла этого треугольника .
Зафиксировать искомую	величину	.
2 Отметить на вертикальной оси соответствующие значения зависимой	величины	.
3 Вычислить величину центрального угла , соответствующую доле каждой зависимой	величины	.
Среди переменных величин различают независимые и зависимые	величины	.
которого равна соответствующему значению зависимой	величины	.
Запишем их все вместе и зафиксируем значение	величины	, которое требуется найти .
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили множество значений , которые могут принимать неизвестные	величины	; проверили , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим уравнением ; зафиксировали искомую величину .
2 Найти долю каждой зависимой	величины	в общей сумме .
Выпишем соотношения , которые мы составили , и зафиксируем искомые	величины	.
Определить множество значений , которые могут принимать неизвестные	величины	.
д. При этом , рассматривая некоторую конкретную ситуацию , мы можем обнаружить , что одни	величины	меняются , а другие остаются неизменными .
Если высоту Останкинской башни увеличить в 3 раза , а из высоты Эйфелевой башни вычесть 134 и сложить полученные	величины	, то получится 1810 .
Величина первого угла треугольника на 10 ° больше величины второго и на 10 ° меньше	величины	третьего .
Требуется найти	величины	каждого из трех углов треугольника , то есть значения .
3 Для каждого значения независимой	величины	построить столбик , высота .
Так , например , она не дает представлений о том , в каких пределах изменяются значения исследуемой	величины	.
67 Сравните	величины	.
Две	величины	х и у называются прямо пропорциональными , если они связаны формулой , где k — некоторое число .
Однако на практике цены на товары , скорость движения автомобиля и другие	величины	обычно со временем меняются , поэтому для описания таких процессов нам нужны будут уже другие функции .
При построении круговой диаграммы предполагается , что сумма всех зависимых величин составляет 360 ° , а доля каждой зависимой	величины	в их общей сумме .
Выбрать неизвестные	величины	и ввести для них буквенные обозначения .
Таким образом ,	величины	у , хх , у , и х2 образуют пропорцию .
1 Отметить на горизонтальной оси значения независимой	величины	.
Тем не менее , если в течение некоторых промежутков времени данные	величины	k и b все же сохраняют свое постоянное значение , процесс на каждом из этих промежутков остается линейным , и поэтому он может быть описан целиком так называемой кусочно - линейной функцией .
Зависимость между величинами х и у называется линейной , если данные	величины	связаны формулой , где k и b — произвольные числа .
Определить , какие	величины	известны и какие надо найти .
Величина первого угла треугольника на 10 ° больше	величины	второго и на 10 ° меньше величины третьего .
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть величину второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные	величины	.
Однако если мы хотим измерять	величины	с хорошей точностью , то чисел натурального ряда нам не хватит .
Для того чтобы записать результат поиска доли каждой зависимой	величины	в общей сумме , используем исходную таблицу .
Как можно назвать данные	величины	? .
Выбираем неизвестные	величины	, которые будем обозначать буквой .
Найдите значение	величины	зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной .
Зависимости между величинами , которые позволяют однозначно определять значение искомой	величины	, занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных величин в тех или иных условиях .
Например , с точки зрения теории	вероятностей	, шахматная партия — это испытание , результат партии ( выигрыш , проигрыш или ничья ) — это исход , а наш выигрыш — это благоприятный для нас исход .
Элементы теории	вероятностей	. 1 .
Наука , изучающая случайные события и закономерности их поведения , называется теорией	вероятностей	.
Такие опыты в теории	вероятностей	называются испытаниями , а результаты этих испытаний — исходами .
Андрей Николаевич Колмогоров ( 1903 - 1987 ) , русский математик , один из основоположников современной теории	вероятностей	.
Глава 7 Введение в комбинаторику , теорию	вероятностей	и статистику .
Теория	вероятностей	.
Поскольку вероятности выпадения на верхних гранях кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения	вероятности	.
Сравнивая решения задач 2 и 3 , заметим , что	вероятности	выпадения на верхних гранях кубиков различных сумм не совпадают .
Предложите свой способ вычисления	вероятности	случайного события в случаях , когда все исходы равновозможные .
Сравните его с классической схемой вычисления	вероятности	, рассмотренной на стр. учебника .
Правило вычисления	вероятности	равновозможных событий .
Поэтому при определении	вероятности	случайного события А в этом случае используют следующую , так называемую классическую , схему .
Поэтому вычислить точное значение	вероятности	такого случайного события удается достаточно редко .
Классическая схема определения	вероятности	случайного события А . 1 Определить число n. 2 Определить число n ( А ) благоприятных исходов , при которых наступает событие А .
Классическая схема определения	вероятности	.
Поскольку	вероятности	выпадения на верхних гранях кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
Так , частота случайного события в серии из большого числа испытаний будет близка к	вероятности	этого события .
Используя классическую схему определения	вероятности	, решим следующие задачи .
Для этого проводят испытание достаточно много раз , вычисляют частоту появления случайного события , которая и будет являться приближенным значением	вероятности	этого события .
Классическая схема определения .	вероятности	.
Поэтому по значению	вероятности	случайного события мы можем сделать предположение о приблизительном значении частоты его появления в серии испытаний , и наоборот .
Поскольку кубики « идеальные » , то выпадение на верхних гранях каждого из них одного из шести чисел события равновозможные , и мы можем воспользоваться классической схемой определения	вероятности	.
Например ,	вероятность	угадывания одного из 32 загаданных чисел равна а вероятность того , что ученик на экзамене вытащит один « желанный » билет из 58 возможных , равна .
Случайные события ,	вероятность	наступления которых одинакова , называют равновозможными .
Чему равна	вероятность	.
Если результатом некоторого испытания могут быть лишь п равновозможных исходов , то	вероятность	каждого из исходов равна .
Вместе с тем , зная , например , что при бросании игрального кубика	вероятность	выпадения числа 5 равна мы не можем сделать вывод о том , что число 5 будет выпадать при каждом шестом броске .
Можно ли на основании этой информации утверждать , что	вероятность	купить сломанную заколку равна 1/3 ? .
Найдите	вероятность	того , что случайно названное однозначное натуральное число окажется равным задуманному .
Вообще ,	вероятность	некоторого случайного события А — это числовая характеристика возможности наступления события А в условиях , которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз .
Вычислите	вероятность	выпадения шести очков на каждой из верхних граней этих двух кубиков .
Поскольку число благоприятных исходов больше или равно нулю и всегда меньше или равно числу всех возможных исходов , то	вероятность	любого случайного события всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1 .
Тогда	вероятность	такого события равна .
Поэтому	вероятность	такого невозможного события равна .
д ) Чему равна	вероятность	выпадения комбинации « орел » — « орел » — « решка » ? .
Тогда	вероятность	его наступления будет в n ( А ) раз больше , чем и , следовательно , равна .
И так как возможность реализации каждого из этих исходов одинакова , то	вероятность	каждого из них , например , выпадения числа 5 , равна .
В этом случае	вероятность	вычисляют приближенно .
г ) В результате многочисленных наблюдений над новорожденными было вычислено , что	вероятность	рождения девочки с точностью до сотых равна 0,49 .
Вычислите вероятность того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана : 1 ) одна из букв слова «	вероятность	» .
Заметим , что частота и	вероятность	одного и того же случайного события связаны между собой .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Олег получит билет , в котором все 3 вопроса он не успел выучить .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Андрей получит билет , который он успел выучить .
Вычислите	вероятность	того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 9 ; б ) делится на 12 ; в ) делится на 9 и на 2 ; г ) делится на 11 и на 3 .
Ответ : при бросании двух кубиков	вероятность	выпадения на верхних гранях в сумме восьми очков равна .
Как мы уже обсуждали в предыдущем пункте , в некоторых случаях мы можем вычислить	вероятность	того или иного случайного события .
Вероятность события принято обозначать буквой Р. Например ,	вероятность	события А записывают как Р(А ) .
Например , вероятность угадывания одного из 32 загаданных чисел равна а	вероятность	того , что ученик на экзамене вытащит один « желанный » билет из 58 возможных , равна .
В частности , если при проведении некоторого испытания мы имеем n равновозможных исходов , то	вероятность	каждого из них равна .
Каким же образом можно вычислить	вероятность	события ? .
Вычислите	вероятность	выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме десяти очков .
Поэтому	вероятность	события А будет равна .
Ответ : при бросании двух кубиков	вероятность	выпадения на верхних гранях в сумме десяти очков равна .
Ответ : при бросании двух кубиков	вероятность	выпадения шести очков на каждой из их верхних граней равна .
Вычислите	вероятность	того , что « орел » выпадет хотя бы три раза .
Вычислите	вероятность	того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана : 1 ) одна из букв слова « вероятность » .
б ) В 2002 году было вычислено , что	вероятность	дожить до возраста 80 - 90 лет у мужчин равна 0,25 .
Частота и	вероятность	случайных событий .
Вычислите	вероятность	выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме восьми очков .
Вычислите	вероятность	выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме семи очков .
Чему равна	вероятность	того , что оно окажется точным квадратом ? .
Чему равна	вероятность	того , что в итоге записи получится слово « мечта » ? .
Вычислите	вероятность	того , что был утерян .
Вычислите	вероятность	того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана одна из букв слова « головоломка » .
Вычислите	вероятность	того , что Гоше попадется билет , в котором оба вопроса он не успел выучить .
Найдите	вероятность	того , что случайно названное трехзначное натуральное число окажется равным задуманному .
Чему равна	вероятность	того , что красный и синий шары окажутся рядом ? .
Вычислите	вероятность	того , что .
Вычислите	вероятность	того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана .
Вычислите	вероятность	выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме пяти очков .
Вычислите	вероятность	того , что среди вытащенных фотокарточек окажется нужная .
Чему равна	вероятность	того , что полученное число : 1 ) делится на 5 ; 2 ) начинается на 7 ? .
Вычислите	вероятность	того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 7 б ) делится на 5 и на 4
Вычислите	вероятность	того , что среди извлеченных шаров окажется синий шар .
Вычислите	вероятность	того , что хотя бы один раз выпадет « орел » .
Чему равна	вероятность	того , что в итоге записи получится слово « море » ? .
Чему равна	вероятность	того , что эклер и бизе окажутся рядом ? .
Вычислите	вероятность	того , что число на вытащенном шаре .
Вычислите	вероятность	того , что число на вытащенном шаре делится на 12 и на 5 .
Чему равна	вероятность	получить пирог с сюрпризом , взяв кусок пирога наугад ? .
Вычислите	вероятность	того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана : 1 ) гласная буква ; 2 ) одна из букв слова « математика » .
Вычислите	вероятность	того , что среди вытащенных открыток окажется нужная .
б ) Чему равна	вероятность	того , что первая же карта , вытащенная из обычной карточной колоды , содержащей 36 карт , окажется : 1 ) дамой ; 2 ) пиковой масти ; 3 ) дамой , королем или тузом ? .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Антон вытащит билет , в котором все три вопроса он не успел выучить .
Вычислите	вероятность	того , что среди извлеченных карандашей окажется зеленый .
а ) Чему равна	вероятность	того , что случайным образом выбранное трехзначное число : 1 ) состоит из трех одинаковых цифр ; 2 ) больше 121 и меньше 148 ? .
Чему равна	вероятность	того , что полученное число : 1 ) делится на 2 ; 2 ) начинается на 8 ? .
Вычислите	вероятность	того , что « решка » выпадет хотя бы два раза .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Соня вытащит билет , который она не успела выучить .
Чему равна	вероятность	выиграть в эту лотерею , купив один билет ? .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Ваня вытянет билет , который он успел выучить .
Найдите	вероятность	того , что случайно названное двузначное натуральное число окажется равным задуманному .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Вася возьмет билет , который он успел выучить .
а ) Чему равна	вероятность	того , что случайным образом выбранное двузначное число : 1 ) состоит из одинаковых цифр ; 2 ) больше 35 и меньше 52 ? .
Число 0,5 , или называют в данном случае	вероятностью	выпадения « решки » при подбрасывании монеты .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения шести очков на каждой из их	верхних граней	равна .
Вычислите вероятность выпадения шести очков на каждой из	верхних граней	этих двух кубиков .
Вычислите вероятность выпадения на	верхних гранях	этих кубиков в сумме семи очков .
сумма выпавших на	верхних гранях	очков равна семи , а модуль их разности равен пяти .
Являются ли равновозможными исходами выпадение на	верхних гранях	двух кубиков в сумме 3 очков и 6 очков ?
а ) сумма очков на	верхних гранях	нечетная и на одном из кубиков выпало 4 очка .
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают .
в ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не меньше 5 и не больше 8 .
Поскольку вероятности выпадения на	верхних гранях	кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
сумма выпавших на	верхних гранях	очков равна пяти , а модуль разности очков равен трем .
Вычислите вероятность выпадения на	верхних гранях	этих кубиков в сумме восьми очков .
Пусть А — событие , при котором на	верхних гранях	обоих кубиков в сумме выпадает восемь очков .
Как изменяется сумма очков на	верхних гранях	двух кубиков при их одновременном бросании ?
сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не больше 6 .
в ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на	верхних гранях	в сумме восьми очков равна .
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не меньше 4 и не больше 6 .
в ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 4 и не больше 6 .
сумма выпавших на	верхних гранях	очков равна шести , а их произведение равно восьми
Поскольку кубики « идеальные » , то выпадение на	верхних гранях	каждого из них одного из шести чисел события равновозможные , и мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
Сравнивая решения задач 2 и 3 , заметим , что вероятности выпадения на	верхних гранях	кубиков различных сумм не совпадают .
сумма выпавших на	верхних гранях	очков равна семи , а их произведение равно десяти .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на	верхних гранях	в сумме десяти очков равна .
а ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	кубиков , равна 11 . б ) сумма очков на выпавших гранях нечетная , и на одном из кубиков выпало 2 очка .
а ) на	верхних гранях	этих кубиков выпало в сумме четырех очка .
Пусть А — событие , при котором на	верхних гранях	обоих кубиков выпадает число 6 .
Вычислите вероятность выпадения на	верхних гранях	этих кубиков в сумме пяти очков .
Пусть А — событие , при котором на	верхних гранях	обоих кубиков в сумме выпадает десять очков .
сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не больше 9 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и тщательно перемешивают .
Вычислите вероятность выпадения на	верхних гранях	этих кубиков в сумме десяти очков .
Для того чтобы определить эти коэффициенты , поставим в	вершине	и вдоль боковых сторон некоторого равнобедренного треугольника число 1 .
Для того чтобы найти среднее арифметическое , надо вычислить общий	вес	всех семиклассников и разделить его на число семиклассников .
В каком объеме им надо закупить каждый из продуктов , необходимых для изготовления нужного количества пончиков , если	вес	готового продукта составляет 90 % от веса всех использованных ингредиентов ?
После того как на склад поступило еще 20 ящиков с абрикосами , средний	вес	нетто ящика с абрикосами стал равен 10,5 кг .
Вычислите средний арифметический	вес	семиклассников в этой школе , наибольшее и наименьшее значение их веса , размах в указанном числовом наборе .
Их средний	вес	нетто равен 12,5 кг .
Ответ : средний арифметический	вес	семиклассников равен 44,12 кг .
Общий	вес	всех семиклассников равен .
Докажите , что любой предмет ,	вес	которого выражается целым числом килограммов , большим 7 , можно взвесить на чашечных весах , имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве .
Их средний	вес	нетто равен 10,3 кг .
После того как на склад поступило еще 10 ящиков с яблоками , средний	вес	нетто ящика с яблоками стал равен 13 кг .
Вычислите средний арифметический вес семиклассников в этой школе , наибольшее и наименьшее значение их	веса	, размах в указанном числовом наборе .
Решение : Наименьшее значение	веса	семиклассников равно 35 кг , наибольшее — 55 кг , а размах числового набора равен разности между наибольшим и наименьшим значением , то есть 20 кг .
а ) В результате переработки молока получают сливки , масса которых составляет от первоначального	веса	молока .
Бананы при сушке теряют 12/17 своего	веса	.
в ) Лекарственные растения при сушке теряют своего	веса	.
В данной задаче в таблице весов также обращает на себя внимание значение 44 кг , так как в отличие от других значений	веса	оно встречается чаще всего — у 14 учащихся .
В каком объеме им надо закупить каждый из продуктов , необходимых для изготовления нужного количества пончиков , если вес готового продукта составляет 90 % от	веса	всех использованных ингредиентов ?
а ) Грибы при сушке теряют своего	веса	.
а ) У продавца есть гири весом только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных	весах	за одно взвешивание 3,9 кг яблок , используя в общей сложности наименьшее количество гирь , если класть гири на одну чашку весов ? .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных	весах	за одно взвешивание 4 кг конфет , используя ровно 14 гирек , если он ставит их на одну чашу весов ? .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных	весах	2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу весов ? .
Докажите , что любой предмет , вес которого выражается целым числом килограммов , большим 7 , можно взвесить на чашечных	весах	, имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве .
У Миши есть только консервные банки весом 350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных	весах	за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей , используя в общей сложности наименьшее количество банок , если он кладет банки на одну чашу весов .
В результате диспансеризации , проведенной в седьмых классах , школьный врач получил следующую информацию о	весе	семиклассников .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 4 кг конфет , используя ровно 14 гирек , если он ставит их на одну чашу	весов	? .
а ) У продавца есть гири весом только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 3,9 кг яблок , используя в общей сложности наименьшее количество гирь , если класть гири на одну чашку	весов	? .
У Миши есть только консервные банки весом 350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей , используя в общей сложности наименьшее количество банок , если он кладет банки на одну чашу	весов	.
Правила равносильных преобразований уравнений основываются на известных нам общих свойствах равенств — рефлексивности , симметричности и транзитивности — и правилах преобразований числовых равенств ( правилах «	весов	» ) .
В данной задаче в таблице	весов	также обращает на себя внимание значение 44 кг , так как в отличие от других значений веса оно встречается чаще всего — у 14 учащихся .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу	весов	? .
У продавца на рынке есть только гирьки	весом	200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 4 кг конфет , используя ровно 14 гирек , если он ставит их на одну чашу весов ? .
а ) У продавца есть гири	весом	только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 3,9 кг яблок , используя в общей сложности наименьшее количество гирь , если класть гири на одну чашку весов ? .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки	весом	450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу весов ? .
У продавца на рынке есть только гирьки	весом	100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу весов ? .
У Миши есть только консервные банки	весом	350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей , используя в общей сложности наименьшее количество банок , если он кладет банки на одну чашу весов .
Согласно порядку действий в выражениях со степенями , сначала	возведем	( -3 ) в степень , затем выполним умножение и деление и после этого — выполним вычитание .
Для доказательства этой гипотезы	возведем	в квадрат двучлен , пользуясь правилом умножения многочленов .
Для этого	возведем	в квадрат несколько различных двучленов .
Значит , в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее произведение : Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем сократим полученную дробь и	возведем	ее в квадрат .
Отрицательное число ,	возведенное	в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число ,	возведенное	в нечетную степень , — число отрицательное .
284 Пользуясь формулами квадрата двучлена и трехчлена ,	возведите	в степень .
Это они построили города ,	возвели	многоэтажные здания , провели канализацию и водопровод , замостили улицы и осветили их электрическими лампами .
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым умножением ,	возвести	двучлен в куб , четвертую и более высокие степени .
Для того чтобы возвести в степень дробь , можно	возвести	в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби .
Так ,	возвести	в квадрат следующие трехчлены можно фактически устно ( не забывая учитывать в формуле знаки членов трехчлена ) .
Для того чтобы	возвести	в степень дробь , можно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби .
4 Для того чтобы возвести в степень произведение , можно	возвести	в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить .
5 а ) Для того чтобы	возвести	в степень частное , можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй .
5 а ) Для того чтобы возвести в степень частное , можно	возвести	в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй .
3 Для того чтобы	возвести	степень в степень , можно основание оставить без изменений , а показатели перемножить .
Для того чтобы	возвести	в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
С помощью формулы суммы квадратов мы можем также получить простейшее правило , которое без труда позволит	возвести	в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 .
4 Для того чтобы	возвести	в степень произведение , можно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить .
А как	возводить	двучлен в четвертую , пятую , шестую и более высокие степени ? .
Оказывается , такие формулы есть , и они позволяют	возводить	двучлен в произвольную натуральную степень , не проводя прямых вычислений .
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро возводить в квадрат двучлены , но и устно	возводить	в квадрат числа , причем не только целые , но и дробные .
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро	возводить	в квадрат двучлены , но и устно возводить в квадрат числа , причем не только целые , но и дробные .
Проверьте результат ,	возводя	полученный двучлен в квадрат .
Как и планировали , в первой группе применим формулу разности квадратов , а во второй —	вынесем за скобки	общий множитель ах .
Тогда если , то	вынесем за скобки	общий множитель с , выполнив следующие равносильные преобразования .
В каждой части равенства	вынесем за скобки	общий числовой множитель , получим .
После этого из каждой группы	вынесем за скобки	общий множитель .
Пользуясь распределительным законом умножения ,	вынесите за скобки	общий числовой множитель тремя различными способами .
Ведь если бы мы	вынесли за скобки	только один из общих множителей , х или 2х минус 1 , это не дало бы нам возможности решить исходное уравнение .
Тогда в каждой группе образуется общий множитель х плюс у , который можно	вынести за скобки	.
Заметим , что в последних трех слагаемых , если добавить к ним х и	вынести за скобки	6 , « спрятана » формула квадрата суммы ( х плюс 1)2 .
Итак , чтобы	вынести за скобки	общий множитель с , мы можем в скобках записать многочлен , каждый член которого получен в результате его деления на с .
Таким образом , каждая из групп будет иметь общий множитель х плюс у , который можно	вынести за скобки	.
Однако , анализируя исходный многочлен , можно заметить , что в группе х2у плюс 2ху2 плюс у3 , состоящей из второго , четвертого и пятого слагаемых , мы можем	вынести за скобки	общий множитель у.
Таким образом , в каждой из образованных двух групп имеется множитель х плюс 1 , который можно	вынести за скобки	.
Для этого достаточно	вынести за скобки	любой числовой множитель , например .
3 Если несколько слагаемых алгебраической суммы имеют общий множитель , то его можно	вынести за скобку	.
Однако можно заметить , что если в множителе ( а2 минус 2ab плюс b2 ) коэффициент 2 заменить на 1 , то при раскрытии скобок подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз	выражение	а3 плюс b3 .
Рассмотрим теперь неравенства , в которых под знаком модуля стоит не х , а	выражение	вида .
760 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
11 Прочитайте	выражение	и найдите его значение .
424 Упростите	выражение	.
Если же , то	выражение	под знаком модуля может принимать значения с и -с .
1 Если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число (	выражение	) , то получим неравенство , равносильное данному .
Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных ( n N ) .
406 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
475 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
2 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (	выражение	) , то получим неравенство , равносильное данному .
252 Запишите	выражение	как трехчлен стандартного вида .
246 Запишите	выражение	.
Если а , b , с , d , то данное	выражение	имеет смысл , поэтому мы можем упростить его .
559 Представьте	выражение	в виде произведения степеней простых чисел и букв .
2 Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (	выражение	) , отличное от нуля , то получим уравнение , равносильное данному .
Определите , при каких значениях переменных имеет смысл	выражение	.
Указание : сделайте замену t равно 4 минус 2а плюс 3а2 и преобразуйте	выражение	.
Таким образом , исходное	выражение	является суммой квадратов .
3 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (	выражение	) и изменить знак неравенства на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному .
40 Запишите в виде степени	выражение	, равное данному .
Значит , исходное	выражение	мы можем записать в виде .
Как , например , упростить следующее	выражение	: .
469 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Представьте	выражение	в виде произведения многочленов степени , большей 0 .
Значит , наше исходное	выражение	равно дроби , в которой числитель и знаменатель имеют общий множитель 9х - 4у , отличный от 0 .
60 Представьте	выражение	в виде степени дроби с показателем , отличным от 1 .
341 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное	выражение	стало многочленом степени n ? .
729 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
143 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
748 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
478 Используя равносильные преобразования , упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
144 Запишите	выражение	как двучлен стандартного вида и определите его степень .
476 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
61 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
Анализируя заданное	выражение	, замечаем , что каждое его слагаемое имеет общий множитель 7 .
Сначала вспомним , что	выражение	« тогда и только тогда » употребляется в тех случаях , когда выполняется как прямое , так и обратное утверждение .
201 Упростите	выражение	.
259 Докажите , что при любом целом х указанное	выражение	делится на а .
394 Запишите	выражение	на математическом языке .
258 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
43 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
478 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
9 Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является	выражение	.
Так как	выражение	имеет смысл для всех х , не равных нулю , то областью определения нашей функции является множество всех известных нам чисел , кроме нуля .
464 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных , вынося при необходимости за скобки общий множитель .
588 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов , используя формулу разности квадратов .
415 Упростите	выражение	.
283 Раскройте скобки и упростите	выражение	.
42 Запишите	выражение	в виде степени при допустимых значениях переменных .
396 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
461 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
388 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
84 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
Замечаем , что данное	выражение	мы можем записать в виде ( x2)2 плюс 22 .
86 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
202 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
432 Представьте	выражение	в виде степени с показателем 3 , если это возможно .
Пользуясь правилом умножения одночлена на многочлен , упростим	выражение	для нахождения площади фигуры .
369 Упростите	выражение	.
445 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
286 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
438 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
170 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
441 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида , используя нужную формулу сокращенного умножения .
439 Упростите	выражение	.
298 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
438 Составьте	выражение	к задаче и , если возможно , упростите его .
436 Упростите	выражение	, выполняя равносильные преобразования .
386 Докажите , что при любом целом х указанное	выражение	делится на а .
299 Докажите , что при любом целом р указанное	выражение	делится на а .
730 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
445 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
456 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Мы получили , что исходное сложное	выражение	при всех значениях х и у равно 1 .
384 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Подставим полученное	выражение	в следующую скобку и выполним дальнейшие упрощения : 2х - 5у + 3(у - 4х ) .
455 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
Упростим сначала	выражение	3у - 2х - 2(х + у ) .
Указание : сначала сделайте замену и преобразуйте	выражение	.
Теперь , пользуясь этими правилами , упростим	выражение	, приведенное в начале пункта : 5х + 5у - ( 4у - 1 - 0,5(2х -5у + 3(3у - 2х - 2(х + у ) ) ) ) .
447 Упростите	выражение	.
Преобразуем	выражение	в квадратных скобках .
178 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
Для этого	выражение	в скобках умножим на ( -1 ) .
Полученное	выражение	запишите как многочлен стандартного вида .
Упростите	выражение	.
Неудобство состоит лишь в том , что каждый раз мы должны записывать упрощаемое	выражение	в виде суммы , то есть заменять в нем вычитание некоторого числа прибавлением противоположного ему числа .
Чтобы	выражение	при этих преобразованиях не изменилось , из него надо вычесть х. Тогда неиспользованные слагаемые образуют группу х3 минус х , в которой есть общий множитель х.
Какое действие над членами данного многочлена надо выполнить , чтобы найти	выражение	в скобках ?
Составьте	выражение	для вычисления указанных величин и запишите его как многочлен стандартного вида .
568 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов степени большей нуля .
187 Упростите	выражение	.
39 Запишите	выражение	а15 в виде произведения .
379 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
349 Упростите	выражение	.
186 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
304 Представьте	выражение	в виде А2 плюс с , где А — двучлен , а c — число .
354 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Какое	выражение	нужно подставить вместо А , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
38 Упростите	выражение	.
590 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и разности кубов .
Мы видим , что исходное	выражение	сильно упростилось .
А полученное нами	выражение	мы уже сможем разложить на множители , используя формулу разности квадратов .
360 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов .
774 Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное	выражение	стало многочленом степени п ? .
361 Упростите	выражение	.
Преобразовав полученное	выражение	, мы приходим к доказательству требуемого утверждения .
451 Составьте	выражение	к задаче и , если возможно , упростите его .
450 Упростите	выражение	.
449 Выполняя равносильные преобразования , упростите	выражение	.
Используя определение степени , запишите	выражение	как произведение двучленов и выполните умножение .
Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных и найдите его значение .
Вначале упростим данное	выражение	, проведя равносильные преобразования .
234 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Анализируя полученное	выражение	, мы замечаем , что зависимость между количеством купленных тетрадей и стоимостью всей покупки не является прямой пропорциональностью — она не может быть описана формулой .
300 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
387 Какое	выражение	надо прибавить к ( а минус b)3 , чтобы получить ( а плюс 6)3 ? .
1 Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число (	выражение	) , то получим уравнение , равносильное данному .
260 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
43 Составьте буквенное	выражение	для нахождения неизвестного числа и найдите его при данных значениях букв .
374 Запишите	выражение	.
616 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и разности кубов .
726 Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является	выражение	.
267 Представьте	выражение	в виде А2 минус В2 , где А и В — некоторые выражения .
56 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
542 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов степени большей нуля .
В общем случае мы получаем новое	выражение	, называемое многочленом .
Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 , при целых значениях переменных .
Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является	выражение	.
Теперь подставим в исходное уравнение вместо числа ( -11 ) полученное	выражение	и выполним цепочку равносильных преобразований .
Теперь подставим в исходное	выражение	вместо скобок вычисленное значение .
324 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида , используя формулы сокращенного умножения .
523 Представьте	выражение	как произведение .
55 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
А значит , данное	выражение	является нулевым одночленом .
273 Выведите формулу для квадрата четырехчлена и , пользуясь ею , запишите данное	выражение	как многочлен стандартного вида .
747 Используя формулу разности квадратов , запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
328 Представьте	выражение	как произведение двух многочленов .
409 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Полученное	выражение	представляет собой разность квадратов .
293 Запишите	выражение	как трехчлен стандартного вида .
63 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
59 Запишите	выражение	в виде частного степеней .
614 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов , используя формулу разности квадратов .
415 Докажите , что при любом целом х указанное	выражение	делится на а .
420 В многочлен 2у3 минус у2 плюс 5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное выражение и запишите полученное	выражение	как многочлен стандартного вида .
268 В многочлен х2 минус 4х минус 7 вместо переменной x подставьте данное	выражение	и запишите результат как многочлен стандартного вида .
Следующий прием разложения многочлена на множители основан на том , что если мы к многочлену прибавим и вычтем из него одно и то же	выражение	, то многочлен от этого не изменится .
499 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
113 Докажите , что данное	выражение	может быть записано в виде одночлена .
416 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
733 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Как короче можно записать последнее	выражение	? .
95 Прочитайте	выражение	и определите , является ли оно одночленом .
316 Представьте , если это возможно ,	выражение	в виде степени с показателем 2 .
Делим правую и левую части уравнения на одно и то же	выражение	.
Упростим полученное для D	выражение	, используя правило умножения многочленов .
41 Составьте	выражение	и найдите его значение при .
219 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида , используя умножение « в столбик » .
424 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
Запишем	выражение	в квадратных скобках как многочлен стандартного вида .
Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида : ( а минус b)(а плюс b)(а2 плюс b2)(а4 плюс b4 ) . .
33 Учитель дал ученикам задание написать , используя три раза цифру 2 , числовое	выражение	, значение которого будет как можно более большим .
221 Упростите	выражение	.
751 Используя формулы сокращенного умножения , запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
61 Представьте	выражение	в виде степени дроби с показателем , отличным от 1 .
216 Упростите	выражение	.
321 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Например , при возведении двучлена а плюс b в шестую степень получится	выражение	вида : где вместо пропусков стоят некоторые числа .
752 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
393 В многочлен х3 – 3x2 плюс 2х минус 5 вместо переменной х подставьте данное выражение и запишите полученное	выражение	как многочлен стандартного вида .
420 В многочлен 2у3 минус у2 плюс 5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное	выражение	и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
393 В многочлен х3 – 3x2 плюс 2х минус 5 вместо переменной х подставьте данное	выражение	и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
Приведем каждый из одночленов данной алгебраической суммы к стандартному виду и упростим полученное	выражение	.
112 Запишите данное	выражение	как одночлен стандартного вида .
501 Представьте	выражение	как произведение .
Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
50 Представьте в виде степени с показателем , отличным от 1 ,	выражение	.
79 Запишите	выражение	в виде степени с основанием 2 , 3 или 5 .
Запишите полученное	выражение	как многочлен стандартного вида .
280 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
Упростите при	выражение	.
133 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Преобразуя затем	выражение	в квадратных скобках , получаем .
515 Запишите	выражение	в виде произведения многочленов .
Упростим данное	выражение	и проведем равносильные преобразования .
83 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
131 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
25 Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является	выражение	.
47 Запишите	выражение	в виде степени с основанием t .
Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Указание : сначала сделайте замену t равно а2 плюс 3а плюс 4 и преобразуйте	выражение	.
414 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
495 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
Вынесем его за скобки и преобразуем	выражение	, полученное в скобках .
203 Составьте	выражение	для вычисления .
492 Упростите	выражение	, выполняя равносильные преобразования .
46 Представьте	выражение	в виде степени с основанием а .
261 Какое	выражение	надо прибавить к ( а минус b)2 , чтобы получить ( а плюс 6)2 ? .
490 Упростите	выражение	.
103 Докажите , что данное	выражение	может быть записано в виде одночлена .
51 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
784 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
78 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменной .
102 Запишите данное	выражение	как одночлен стандартного вида .
72 Упростите	выражение	при допустимых значениях величин .
122 Исходя из определения многочлена , приведенного на стр. 25 , определите , можно ли указанное	выражение	записать как многочлен .
Определите , можно ли записать данное	выражение	, как одночлен и найдите его значение при n равно -48 , m равно -0,32 , k равно 5,6 .
330 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
309 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
266 Представьте	выражение	в виде А2 плюс с , где А — двучлен , а с — число .
331 Упростите	выражение	.
А как короче записать , например ,	выражение	0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 ?
371 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
520 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов .
549 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
2 Запишите числовое	выражение	короче , используя понятие степени .
3 При рациональных значениях переменных запишите буквенное	выражение	короче , используя понятие степени .
52 Запишите	выражение	в виде степени с основанием 2 , 3 или 5 .
308 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
84 Упростите	выражение	.
Если мы прибавим к нему , а затем вычтем число 1 , то	выражение	не изменится , но в нем можно будет выделить полный квадрат .
122 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
77 Запишите	выражение	в виде степени при допустимых значениях переменных .
Уравнения данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается	выражением	аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию .
45 Замените букву х	выражением	так , чтобы полученное равенство стало тождеством .
Но почему при замене исходного выражения другим , новым	выражением	мы были уверены , что значения их равны ?
Общее во всех этих неравенствах то , что левая их часть является	выражением	вида , где k , b — рациональные числа .
Таким образом , проведенные преобразования очень сильно упростят последующую работу с данным	выражением	.
После раскрытия скобок мы видим , что в	выражении	имеются противоположные слагаемые , которые « взаимно уничтожаются » .
Значит , мы можем сделать это и в нашем	выражении	.
Затем в	выражении	х(с плюс d ) равно хс плюс xd сделаем обратную замену х на а плюс b и вновь раскроем скобки .
И наконец , пользуясь правилом 2 , раскроем последнюю скобку в исходном	выражении	.
И здесь опять возникает вопрос : на основании каких законов можно осуществить равносильные преобразования в этом	выражении	? .
583 Среди представленных	выражений	найдите те , которые являются .
Основные законы сложения верны также и для алгебраических сумм , то есть	выражений	, содержащих несколько последовательных действий сложения и вычитания .
322 а ) Найдите значения	выражений	рациональным способом .
5 Выпишем определение модуля каждого из	выражений	и установим для всех числовых промежутков , чему равно значение модуля .
250 а ) Найдите значения	выражений	.
После вынесения за скобки числа 7 в скобках остается квадрат суммы двух	выражений	, а и 2b .
разность значений	выражений	меньше 5 . д ) удвоенное значение выражения не меньше значения выражения .
710 При каких значениях переменной равны значения	выражений	? .
л ) сумма значений	выражений	и меньше ( -30 ) .
754 Найдите значения	выражений	рациональным способом .
м ) произведение значений	выражений	и больше или равно ( -12 ) .
Например , равносильность приведенных выше	выражений	может быть обоснована с помощью этих правил следующим образом .
сумма значений выражений и меньше 17 . е ) разность значений	выражений	и больше 29 .
762 Найдите значение	выражений	.
сумма значений выражений не больше 20 . е ) разность значений	выражений	не меньше 8 .
716 Сравните значения числовых	выражений	.
сумма значений	выражений	не больше 20 . е ) разность значений выражений не меньше 8 .
741 Сравните значения	выражений	.
сумма значений выражений меньше или равна -6 . д ) разность значений	выражений	не меньше 12 ? .
Не проводя вычислений , сравните значения числовых	выражений	.
сумма значений	выражений	и меньше 17 . е ) разность значений выражений и больше 29 .
Если же в состав	выражений	дополнительно входят буквы , то их называют буквенными выражениями .
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений	выражений	меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения .
сумма значений	выражений	не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения .
2 Равносильные преобразования алгебраических	выражений	.
Глава 3 Законы равносильных преобразований алгебраических	выражений	.
сумма значений	выражений	меньше или равна -6 . д ) разность значений выражений не меньше 12 ? .
Поэтому для того , чтобы упрощать такие выражения , мы должны научиться производить равносильные преобразования алгебраических	выражений	со скобками .
Поэтому алгебра изучает также общие свойства арифметических действий , помогающие рационально проводить преобразования	выражений	.
703 Сравните значения числовых	выражений	.
584 Запишите неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности	выражений	а и b .
к ) разность значений	выражений	и неотрицательна .
Куб суммы двух	выражений	равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
Формула произведения разности и суммы двух	выражений	.
Мы получили , что произведение разности двух	выражений	и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
Для этого можно воспользоваться определением модуля каждого из	выражений	.
91 Сравните значения	выражений	.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго	выражений	, плюс квадрат второго выражения .
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих	выражений	на неполный квадрат их суммы .
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих	выражений	на неполный квадрат их разности .
783 Сравните ( устно ) значения числовых	выражений	.
Мы получили , что произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих	выражений	.
558 Сравните значения числовых	выражений	.
При каких значениях переменной равны значения указанных	выражений	? .
Обоснуйте свой ответ ; б ) Сравните значения числовых	выражений	.
Разность кубов двух	выражений	равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы .
463 Сравните значения числовых	выражений	.
Среди формул сокращенного умножения есть еще одна замечательная формула , которая получается при умножении разности двух	выражений	на их сумму .
Произведение разности двух	выражений	и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
358 Представьте многочлен в виде произведения суммы и разности двух	выражений	.
Мы получили сумму двух	выражений	, каждое из которых имеет множитель а плюс b.
Найдите значения полученных	выражений	для чисел : а ) 8 и 2 ; б ) -4 и 3 ; в ) 7 и -5 ; г ) -9 и -6 .
Поскольку одночлены и многочлены часто встречаются в математических моделях практических задач , то установленные приемы действий с ними помогают в упрощении полученных моделей , при нахождении значений	выражений	, решении уравнений и неравенств .
Сумма кубов двух	выражений	равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности .
Среди данных выражений укажите пары равных и пары противоположных	выражений	.
Сформулируйте правила возведения в квадрат суммы и разности двух	выражений	и сравните свои формулировки с правилами на стр. 52 - 53 учебника .
Умножим , например , сумму двух	выражений	на квадрат их разности .
Квадрат разности двух	выражений	равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
Их использование значительно упрощает различные преобразования	выражений	и вычисления .
Мы перемножили сумму и разность двух	выражений	, и здесь нас ждала удача .
Квадрат суммы двух	выражений	равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных	выражений	, при нахождении значений выражений , решении уравнений и неравенств , доказательстве тождеств .
Среди данных	выражений	укажите пары равных и пары противоположных выражений .
Так как полученные равенства верны при подстановке вместо а и b любых чисел и	выражений	, то они являются тождествами .
26 Сравните значения	выражений	.
137 Сравните значения числовых	выражений	.
Аналогичным образом при вычислении квадрата разности двух	выражений	получаем .
Разность квадратов двух	выражений	равна произведению их разности и суммы .
Сравните значения числовых	выражений	.
148 Сравните значения числовых	выражений	.
если . Найдите значения	выражений	.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих	выражений	.
Язык математики , состоящий , в частности , из чисел , букв и	выражений	, уравнений и неравенств , помогает записать взаимосвязи , лежащие в основе различных процессов .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух	выражений	, а затем — как найти разность квадратов двух выражений .
При этом данное равенство будет верно при подстановке в него вместо а и b любых чисел и	выражений	, то есть оно является тождеством .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух выражений , а затем — как найти разность квадратов двух	выражений	.
Найдите значения полученных	выражений	для чисел .
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами	выражений	можно назвать « одночленами » .
Какие из этих	выражений	являются « степенью числа » , а какие - « числом , противоположным степени числа » ? .
произведения разности и суммы двух	выражений	. разности квадратов . разности кубов .
326 Представьте многочлен в виде произведения суммы и разности двух	выражений	.
Значит , исходный многочлен можно записать в виде суммы двух	выражений	, каждое из которых имеет множителем трехчлен х2 плюс х плюс 1 .
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений	выражений	, решении уравнений и неравенств , доказательстве тождеств .
535 Среди представленных	выражений	найдите те , которые имеют общие буквенные множители .
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из	выражений	, мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения .
Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и	выражений	, не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных слагаемых .
10 Сравните значения	выражений	.
2 Приравнять каждое из этих	выражений	к нулю и найти корни полученных уравнений .
Соотнесите приведенные ниже записи с одним из этих четырех	выражений	, указав возможные А и В .
Таким образом , в результате нашего исследования нам удалось получить формулу суммы кубов двух	выражений	.
452 Сравните значения числовых	выражений	.
Среди составленных учащимися	выражений	были следующие .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго	выражений	, плюс квадрат второго выражения .
Формула разности квадратов , как и все другие формулы сокращенного умножения , сильно упрощает преобразование	выражений	, решение уравнений , проведение вычислений .
Заменяя в полученной формуле b на ( -b ) , приходим к новой формуле сокращенного умножения , которую называют формулой куба разности двух	выражений	.
575 Сравните значения числовых	выражений	.
343 Сравните значения	выражений	.
32 а ) Найдите значения числовых	выражений	А и В .
А при возведении в n - ю степень разности двух	выражений	знаки « плюс » и « минус » будут чередоваться , начиная с « плюс » , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени .
Куб разности двух	выражений	равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
Итак , мы приходим к следующей формуле разности кубов двух	выражений	.
Мы записали исходный многочлен в виде суммы	выражений	, каждое из которых имеет множитель х минус 1 .
365 Сравните значения	выражений	.
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого модуля — самому	выражению	, содержащемуся под знаком модуля , или выражению , противоположному ему .
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого модуля — самому выражению , содержащемуся под знаком модуля , или	выражению	, противоположному ему .
Переходим к следующему	выражению	, снова применяя правило 2 раскрытия скобок и распределительный закон умножения : .
самому выражению , содержащемуся под знаком модуля , или	выражению	, противоположному ему .
Но как убедиться в том , что выполненные преобразования равносильны , то есть что они привели нас к	выражению	, равносильному первоначальному ?
самому	выражению	, содержащемуся под знаком модуля , или выражению , противоположному ему .
734 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
12 Запишите следующие	выражения	: 1 ) сумма кубов двух чисел ;
Найдите значение	выражения	b1 плюс 2 b 2 плюс 3b3 плюс 4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 .
618 Найдите значение	выражения	.
в ) значение	выражения	равно значению выражения . г ) значение выражения противоположно значению выражения .
а ) значение выражения на 3 больше значения	выражения	.
135 Какими многочленами можно заменить А , В , С и D , чтобы указанные	выражения	стали многочленами степени га ? .
Найдите значение	выражения	а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -7 и аb равно 6,5 .
а ) значение	выражения	на 3 больше значения выражения .
значение выражения на 8 больше значения выражения . л ) значение выражения на 12 меньше значения	выражения	.
а ) значение	выражения	меньше значения выражения .
сначала надо выделить числовые промежутки , на которых	выражения	под знаком модуля не меняют свой знак , а затем найти решения неравенств на каждом из выделенных промежутков .
При этом результат возведения двучлена а плюс b в квадрат не изменится , если вместо а и b мы подставим любые числа или вообще любые	выражения	.
Найдите значение	выражения	.
8 Запишите следующие	выражения	: 1 ) сумма квадратов двух чисел ;
Точно так же надо различать	выражения	для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
1 Под знаком модуля находятся	выражения	.
6 Разбейте записи на три группы :	выражения	, уравнения , неравенства .
317 Прочитайте	выражения	.
592 Найдите значение	выражения	.
7 Выразить х и у через k. И , подставив полученные	выражения	для х и у в исходное уравнение , сделать проверку .
Выполняя вычисления и преобразовывая различные	выражения	, мы всегда стремимся получить результат более коротким и удобным способом .
Найдите значение	выражения	у1 - 2у2 плюс 3у3 - 4у4 плюс 5у5 если у равно 1 , у равно -1 , у равно 2 .
15 а ) Найдите значение	выражения	х1 плюс х2 плюс х3 плюс х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 .
значение выражения на 8 больше значения	выражения	. л ) значение выражения на 12 меньше значения выражения .
значение выражения на 8 больше значения выражения . л ) значение	выражения	на 12 меньше значения выражения .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого	выражения	, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
а ) значение выражения меньше значения	выражения	.
Он состоит в том , что мы объединяем члены многочлена в группы таким образом , чтобы после проведения некоторого числа равносильных преобразований у слагаемых нового	выражения	появились общие множители .
Найдите значение	выражения	а1 - а2 плюс а3 - а4 плюс а5 , если а равно 2 , а равно 0 , а равно -1 .
значение	выражения	равно 3 .
Найдите значения	выражения	.
147 Какими многочленами можно заменить соответственно А и В , чтобы указанные	выражения	стали многочленами степени n ? .
г ) значение	выражения	больше значения выражения .
28 Найдите значение	выражения	.
Многочлены часто являются математическими моделями практических задач , поэтому нам надо уметь выполнять арифметические действия с многочленами и приводить такие	выражения	к максимально простому виду .
значение выражения меньше или равно значению	выражения	.
б ) значение	выражения	равно -5 .
Расположите эти	выражения	в порядке возрастания их значений .
а ) значение	выражения	равно 3 .
476 Докажите , что значение	выражения	а ) 683 минус 243 делится на 11 . б ) 3263 плюс 543 делится на 38 .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго	выражения	.
значение	выражения	меньше или равно значению выражения .
Запишите	выражения	Р плюс ( -Q ) и Р - Q как многочлены стандартного вида и сравните полученные результаты .
а ) значение	выражения	равно 31 . б )
606 Найдите значение	выражения	.
г ) значение выражения больше значения	выражения	.
24 Найдите значение	выражения	.
132 Докажите , что данные	выражения	можно преобразовать в двучлены .
в ) значение выражения равно значению	выражения	. г ) значение выражения противоположно значению выражения .
а ) значение	выражения	4а - 9 больше 5 . б ) значение выражения меньше 11 .
а ) значение выражения 4а - 9 больше 5 . б ) значение	выражения	меньше 11 .
б ) значение выражения на 2 меньше значения	выражения	.
Отметим , что выносить за скобки можно не только одночлены , но и более сложные	выражения	, если они являются общими множителями всех слагаемых некоторой суммы .
Найдите значение	выражения	а3 минус b3 , если известно , что а минус b равно 5и ab равно -4,6 .
б ) значение выражения на 6 больше значения	выражения	.
б ) значение	выражения	на 2 меньше значения выражения .
а ) значение выражения на 12 больше значения	выражения	.
в ) значение	выражения	в 7 раз больше значения выражения .
и ) сумма значения	выражения	и числа ( -1 ) неположительна .
б ) значение	выражения	на 6 больше значения выражения .
а ) значение выражения на 2 меньше значения	выражения	.
а ) значение	выражения	на 12 больше значения выражения .
А вот	выражения	х плюс 1 , у2 - 3 и г одночленами не являются , поскольку содержат действия соответственно сложения , вычитания , деления .
287 Упростите	выражения	при допустимых значениях переменных .
а ) значение	выражения	на 2 меньше значения выражения .
д. Поэтому	выражения	, в которых используется только действие умножения , имеют в математике отдельное название и специально изучаются .
302 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
Например , многочленами являются	выражения	.
114 Какие одночлены надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы	выражения	превратились в истинные равенства ? .
77 Найдите значение	выражения	.
282 Найдите значение	выражения	, если известно , что .
270 Найдите значение выражения х2 плюс если известно , что . 271 Какие	выражения	можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
104 Какие одночлены надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы	выражения	превратились в истинные равенства ? .
83 а ) Найдите значение	выражения	.
267 Представьте выражение в виде А2 минус В2 , где А и В — некоторые	выражения	.
Подставим данные	выражения	в формулу деления а на b с остатком .
394 а ) Найдите значение	выражения	а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -6 и ab равно 3,5
82 Найдите значение	выражения	.
значение выражения в 3 раза меньше значения	выражения	.
значение	выражения	в 3 раза меньше значения выражения .
263 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
390 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
278 Найдите наименьшее значение	выражения	.
Как и в предыдущем случае , подставим данные	выражения	в формулу деления а на b с остатком .
279 Найдите наибольшее значение	выражения	.
в ) значение выражения в 7 раз больше значения	выражения	.
671 Найдите значение	выражения	.
Запишите следующие	выражения	.
281 Найдите значение	выражения	а2 плюс b2 плюс с2 , если известно , что .
Таким образом , фактически устно мы получили , что при всех значениях m , n и k ( в том числе и при указанных в условии ) значение данного	выражения	будет равно 0 .
675 Докажите , что значение	выражения	не зависит от значений переменных .
в ) значение выражения равно значению выражения . г ) значение выражения противоположно значению	выражения	.
в ) значение выражения равно значению выражения . г ) значение	выражения	противоположно значению выражения .
з ) разность значения	выражения	и числа 7 положительна .
121 Запишите данные	выражения	в виде суммы одночленов .
Как одним словом можно было бы назвать все эти	выражения	? .
разность значений выражений меньше 5 . д ) удвоенное значение	выражения	не меньше значения выражения .
а ) значение выражения больше 4 . б ) значение	выражения	меньше или равно ( -6 ) .
б ) значение выражения на 7 меньше значения	выражения	.
Запишите следующие	выражения	на математическом языке .
а ) значение	выражения	больше 4 . б ) значение выражения меньше или равно ( -6 ) .
626 Найдите значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
14 Найдите значение	выражения	.
Подставим полученные	выражения	для а и b в исходное уравнение .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго	выражения	.
б ) значение	выражения	на 7 меньше значения выражения .
516 Найдите значение	выражения	.
521 Найдите значение	выражения	.
Проведенные преобразования показывают , что	выражения	равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из выражений , мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого	выражения	, минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
715 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
Подставьте вместо а и b указанные	выражения	и запишите получившийся многочлен в стандартном виде .
112 Найдите значение	выражения	.
утроенное значение	выражения	не больше значения выражения .
82 Возведите	выражения	а ) в квадрат .
306 Найдите значение	выражения	, если известно , что .
значение	выражения	равно 11 .
725 Запишите буквенные	выражения	, используя понятие степени .
Найдите значение	выражения	х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
310 Упростите	выражения	при допустимых значениях переменных .
а ) значение	выражения	равно 6 . б )
494 Найдите значение	выражения	рациональным способом .
496 Докажите , что значение	выражения	кратно а .
65 Найдите значение	выражения	.
502 Найдите значение	выражения	рациональным способом .
утроенное значение выражения не больше значения	выражения	.
Найдите значение этого	выражения	.
728 Найдите значение	выражения	.
44 Докажите , что если к , т , n е N , то значение указанного	выражения	не зависит от значения переменной .
Найдите наименьшее значение	выражения	.
Найдите наибольшее значение	выражения	.
разность значений выражений меньше 5 . д ) удвоенное значение выражения не меньше значения	выражения	.
237 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
Проанализируйте полученные	выражения	и определите , какие возможны ошибки при записи степеней .
значение	выражения	на 8 больше значения выражения . л ) значение выражения на 12 меньше значения выражения .
477 Определите , при каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
409 Введите буквенные обозначения и запишите все данные числовые	выражения	с помощью одного буквенного выражения .
409 Введите буквенные обозначения и запишите все данные числовые выражения с помощью одного буквенного	выражения	.
410 Прочитайте	выражения	и вычислите их значения при указанных значениях букв ( устно ) .
191 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
644 Рациональным способом найдите значение	выражения	.
756 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
значение	выражения	7х в 6 раз больше значения выражения .
413 Определите , являются ли	выражения	А и В равносильными .
значение	выражения	в 5 раз больше значения выражения .
466 Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
414 Составьте по два числовых	выражения	, значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 ) сложения ; 2 ) вычитания ; 3 ) умножения ; 4 ) сложения , вычитания и умножения .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго	выражения	.
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого	выражения	на квадрат второго , минус куб второго выражения .
Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
значение выражения 7х в 6 раз больше значения	выражения	.
значение	выражения	у в 7 раз меньше значения выражения .
480 Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
б ) значение выражения равно значению	выражения	.
г ) значение выражения больше или равно значению	выражения	.
Запишите следующие	выражения	и найдите их значение при .
То есть такие	выражения	, которые при подстановке любых допустимых значений входящих в них букв будут давать одинаковое числовое значение .
в ) значение выражения противоположно значению	выражения	.
а ) значение выражения больше 6 . б ) значение	выражения	меньше 12 .
Линейные уравнения с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать	выражения	вне знака модуля .
в ) значение	выражения	меньше или равно значению выражения .
Как , например , убедиться в том , что	выражения	5х - 2у - Зх + у и 2х - у равносильны ?
551 Найдите значение	выражения	.
391 Найдите значение	выражения	.
Составляя эту запись , мы использовали уже известное нам понятие степени натуральных чисел , что позволяет короче записывать	выражения	, содержащие одинаковые множители .
782 Найдите значение	выражения	.
781 Найдите наибольшее значение	выражения	.
503 Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
780 Найдите наименьшее значение	выражения	.
494 При каких значениях переменной х значение	выражения	равно а ? .
493 Определите , при каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
в ) значение выражения меньше или равно значению	выражения	.
г ) значение	выражения	больше или равно значению выражения .
642 Найдите значение	выражения	.
При решении таких уравнений сначала выделяют промежутки , на которых	выражения	под знаком модуля не меняют свой знак , а затем уже ищут решения на каждом из выделенных промежутков .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого	выражения	на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
417 При каких значениях переменной х значение	выражения	равно а ? .
366 Найдите наибольшее значение	выражения	.
367 Найдите наименьшее значение	выражения	.
Сравните	выражения	: ( а плюс b)(с плюс d ) и х(с плюс d ) .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго	выражения	.
576 Найдите значение	выражения	.
Поэтому для того , чтобы упрощать такие	выражения	, мы должны научиться производить равносильные преобразования алгебраических выражений со скобками .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого	выражения	на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
Упростите	выражения	, выполняя равносильные преобразования .
значение выражения t на 5 больше значения	выражения	.
191 При каких значениях переменных данные	выражения	имеют смысл ?
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого	выражения	на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
650 Докажите , что значение	выражения	не зависит от значений переменных .
418 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
441 Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
Найдите значение	выражения	а3 минус b3 , если известно , что а минус равно 4 и а b равно -2,5 .
Приведем данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства , а числа — в правой и упростим полученные	выражения	.
Куб суммы двух выражений равен кубу первого	выражения	, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
364 Докажите , что при любом целом р значение	выражения	делится на а .
416 При каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
значение	выражения	t на 5 больше значения выражения .
426 При каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
Куб разности двух выражений равен кубу первого	выражения	, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
655 Найдите значение	выражения	.
462 Определите , при каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
777 Найдите значение	выражения	если известно , что .
б ) значение	выражения	равно значению выражения .
а ) значение	выражения	равно 9 .
204 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
Перечислим правила равносильных преобразований произведений , которыми мы пользовались для упрощения исходного	выражения	.
Таким образом , правила равносильных преобразований позволяют не только упрощать	выражения	, но и доказывать тождества , некоторые из которых для алгебраических преобразований так же важны , как таблица умножения в вычислениях .
560 Найдите значение	выражения	.
значение выражения у в 7 раз меньше значения	выражения	.
е ) значение	выражения	5z на 4 меньше значения выражения .
е ) значение выражения 5z на 4 меньше значения	выражения	.
426 Найдите значение	выражения	если .
423 Определите , являются ли	выражения	А и В равносильными .
567 Найдите значение	выражения	.
223 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
427 При каких значениях переменной у значение	выражения	равно с ? .
Преобразовывая сложные буквенные выражения в более простые , важно помнить о том , что в итоге мы должны получить равносильные	выражения	.
Ведь мы не можем перебрать все рациональные числа и убедиться в том , что оба	выражения	дают одинаковые числовые значения .
а ) значение	выражения	равно 12 . б ) значение выражения равно значению выражения .
значение выражения на 8 больше значения	выражения	. з ) значение выражения равно 5 .
Если	выражения	содержат только числа , знаки арифметических действий и скобки , задающие порядок этих действий , то их называют числовыми .
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение	выражения	больше утроенного значения выражения .
448 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных : при а равно 11,7 .
Преобразуя	выражения	и вычисляя их значения , мы , естественно , стремимся сделать свои действия максимально простыми и удобными .
658 Запишите следующие	выражения	на математическом языке .
Сначала вычислим значение	выражения	в скобках .
Вычислите значение	выражения	.
значение	выражения	на 8 больше значения выражения . з ) значение выражения равно 5 .
Значит , значение данного	выражения	равно ( 1 + 1000 ) + ( 2 + 999 ) + ( 3 + 998 ) + .. + ( 500 + 501 ) = 1001 • 500 = 500 500 .
Но почему при замене исходного	выражения	другим , новым выражением мы были уверены , что значения их равны ?
446 Докажите , что значение	выражения	.
в ) значение выражения больше или равно значению	выражения	.
540 Найдите значение	выражения	.
332 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях переменных .
в ) значение	выражения	больше или равно значению выражения .
На каждом из указанных промежутков данные	выражения	с модулем можно записать без знака модуля .
При решении практических задач мы часто составляем	выражения	, то есть записи , состоящие из различных математических символов .
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения	выражения	.
удвоенное значение	выражения	7 — у не меньше значения выражения .
451 Докажите , что при любом целом q значение	выражения	делится на а .
200 При каких значениях переменных данные	выражения	имеют смысл ?
454 Найдите значение	выражения	а3 плюс b3 , если известно , что .
453 Найдите значение	выражения	а3 минус b3 , если известно , что .
При каких значениях переменной значение	выражения	.
1 Найти в уравнении все	выражения	, содержащиеся под знаком модуля .
6 Найдите значение	выражения	.
319 Зайдите значение	выражения	.
270 Найдите значение	выражения	х2 плюс если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
а ) значение выражения равно 12 . б ) значение	выражения	равно значению выражения .
4 Назовите основание и показатель степени , вычислите значение	выражения	.
з ) удвоенное значение выражения 3 t — 5 меньше или равно утроенному значению	выражения	.
и ) значение выражения равно значению	выражения	.
з ) удвоенное значение	выражения	3 t — 5 меньше или равно утроенному значению выражения .
и ) значение	выражения	равно значению выражения .
значение выражения на 8 больше значения выражения . з ) значение	выражения	равно 5 .
401 Найдите значение	выражения	.
удвоенное значение выражения 7 — у не меньше значения	выражения	.
309 Найдите значение	выражения	: .
404 Найдите значение	выражения	.
а ) значение выражения больше 11 . б ) значение	выражения	меньше 8 .
269 Найдите значение	выражения	а2 плюс b2 , если известно , что .
а ) значение	выражения	больше 11 . б ) значение выражения меньше 8 .
значение	выражения	в 6 раз меньше значения выражения .
342 Найдите значение	выражения	.
А значит , мы не смогли бы вычислить значение	выражения	4с умножить ( а плюс 26 ) минус 2с умножить 2а прямой подстановкой в него значений переменных .
338 Найдите ( устно ) значение	выражения	а2 минус b2 , если известно , что .
1 Запишите решение задачи в виде буквенного	выражения	и найдите его значение для .
335 Докажите , что при любом целом р значение	выражения	делится на а .
При построении математических моделей практических задач , конечно же , могут получаться и более сложные	выражения	, уравнения и неравенства , где применение установленных нами правил упрощает преобразования .
Найдите значение	выражения	2х(х минус 3 ) - х2(5 - х ) - ( х3 - 3х2 плюс 6х ) 01 при X равно .
в ) значение	выражения	противоположно значению выражения .
702 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
а ) значение выражения равно 12 . б ) значение выражения равно значению	выражения	.
Заметим , что проведенные преобразования	выражения	для площади позволили не только упростить вычисления , но и в принципе решить эту задачу , поскольку значение переменной а в условии не дано .
е ) значение выражения на 11 меньше значения	выражения	.
1 Найти в неравенстве все	выражения	, содержащиеся под знаком модуля .
Решение уравнений требует также и умения упрощать входящие в него	выражения	.
значение выражения в 5 раз больше значения	выражения	.
Сначала , пользуясь определением модуля , запишем , что означают	выражения	, содержащие знаки модуля .
значение выражения в 6 раз меньше значения	выражения	.
е ) значение	выражения	на 11 меньше значения выражения .
После того как модель построена , можно в первое уравнение вместо х и у подставить соответствующие им	выражения	и выполнить несложные преобра