Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Абсцисса	.
	Аксиоматический	метод . 1 ) Выбирается перечень первоначальных понятий .
	Алгебра	щедра .
	Алгебра	- это раздел математики , развитие которого связано с решением самых разных уравнений .
	Алгебра	имеет дело с буквенными выражениями и их преобразованиями , поэтому буквенные выражения называют еще алгебраическими .
	Алгебра	— мое основное блюдо , геометрия — десерт .
д )	Алгебраическая сумма	рациональных чисел не зависит от порядка слагаемых .
	Аналитический	способ задания функции ( с помощью формулы ) .
	Аналитический	способ задания функций очень удобен .
	Аргумент	.
	Вариант	ответа .
282 По данным таблиц постройте линейные диаграммы : а )	Величина	прожиточного минимума на одного человека в РФ ; б ) Общая жилплощадь , приходящаяся в среднем на одного жителя РФ ( по со стоянию на конец года ) ; в ) Число высших учебных заведений в РФ ( среднегодовой показатель ) .
	Величина	угла треугольника может принимать только положительные значения , меньшие 180 ° , значит .
	Величина	первого угла треугольника на 40 ° меньше второго и в три раза больше третьего .
	Величина	первого угла треугольника равна , а третьего угла .
	Величина	первого угла треугольника на 30 ° больше второго и на 60 ° меньше третьего .
б )	Величина	первого угла треугольника на 30 градусов меньше второго , а длина третьего — в 4 раза больше , чем второго .
	Величина	первого угла треугольника на 10 ° больше величины второго и на 10 ° меньше величины третьего .
Найдите длину ломаной ABEFD . б )	Величина	первого утла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше третьего .
	Величина	первого угла треугольника на 10 ° больше второго и в два раза меньше третьего .
	Величины	углов треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным числам .
	Величины	прямо пропорциональные .
	Величины	углов треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным числам , кратным трем .
	Величины	всех углов выражены в градусах , поэтому единицы измерения величин соответствуют друг другу .
	Величины	углов треугольника в градусах равны трем последовательным четным числам .
	Величины	.
	Величины	переменные .
	Величины	независимые .
3	Вероятность	события А равна отношению n ( А ) к n .
	Вероятность	события принято обозначать буквой Р. Например , вероятность события А записывают как Р(А ) .
а )	Вероятность	угадать 1 цифру из 37 равна примерно 0,03 ( с точностью до сотых ) .
3	Вероятность	события А равна отношению .
	Вероятность	случайного события .
	Возведите	двучлены в куб .
81	Возведите	в степень .
272	Возведите	трехчлен в квадрат .
	Возведите	в куб двучлены .
378	Возведите	двучлены в куб .
250	Возведите	двучлены в квадрат .
743	Возведите	двучлены в квадрат .
408	Возведите	двучлен в куб .
292	Возведите	двучлен в квадрат .
82	Возведите	выражения а ) в квадрат .
	Возведите	двучлены в квадрат .
749	Возведите	двучлены в куб .
54	Возведите	произведение в степень .
	Выражение	в скобках при любых значениях входящих в него букв является не которым числом .
Теперь , чтобы получить формулу разности кубов , заметим , что	Выражение	а2 плюс ab плюс b2 получило название неполного квадрата суммы а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения ab .
	Выражение	4х2 минус 8х , стоящее во второй скобке , мы также можем разложить на множители , вынося за скобки общий множитель 4х .
	Выражение	в левой части уравнения состоит из трех слагаемых , имеющих общий множитель .
	Выражение	называют также сравнением .
	Выражение	а2 минус аb плюс b2 получило название неполного квадрата разности а и b , так как в отличие от квадрата разности у произведения аb нет множителя 2 .
	Выражение	, записанное как алгебраическая сумма одночленов , называется многочленом .
	Выражение	как раз по определению и будет означать , что .
в )	Высота	Останкинской башни на 216 м больше , чем Эйфелевой .
	Высота	пирамиды Цестия , находящейся в Риме , на его рисунке получилась равной 3,3 дм .
	Высота	крупней шей в Мексике пирамиды Чолула - 7,1 дм , а известной египетской пирамиды Хеопса - 12,8 дм .
3	Вычесть	k из делимого а , в ответе - остаток r .
3	Вычесть	k из делимого а , в ответе - остаток r . 4 .
	Вычитание	многочленов « в столбик » также сводится к сложению , предварительно лишь надо заменить многочлен - вычитаемое противоположным ему .
	Вычитая	первое равенство из второго , получаем .
	График	прямой пропорциональности проходит через точку А(р ; q ) .
	График	прямой пропорциональной зависимости проходит через точку А. Проходит ли он через точку В ? .
	График	прямой пропорциональности проходит через точку А ( р ; q ) .
	График	функции всегда проходит через начало координат — точку О ( 0 ; 0 ) .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 )	График	функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
	График	линейной функции , где k и b — произвольные числа , может быть получен из графика функции путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно .
	График	движения автомобилиста по дороге из пункта А в пункт В. Пользуясь графиком , ответьте на вопросы .
	График	функции .
	Графиком	функции является прямая линия .
	Данный	алгоритм был назван в честь Евклида , жившего в III веке до нашей эры , хотя способ нахождения НОД с помощью этого алгоритма был известен математикам гораздо раньше .
	Данный	способ действия мы можем записать в общем виде .
	Двучлен	.
II	Деление	с остатком .
3	Деление	с остатком .
I	Деление	без остатка .
II	Деление с остатком	.
3	Деление с остатком	.
а ) Если натуральное число больше 5 , то оно больше или равно 6 . б )	Делитель	натурального числа может быть больше этого числа .
	Делится	ли произведение а ) на 14 ; б ) на 42 ?
228	Делится	ли а на b ?
130 а )	Делится	ли произведение на 5 , 3 , 15 , 20 , 45 ?
354	Делится	ли произведение 202 • 273 на 12 , 15 , 17 , 18 , 35 , 36 ?
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б )	Длина	прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины .
	Длина	прямоугольника и его площадь при неизменной ширине .
	Длина	ребра второго куба на 3 см больше длины ребра первого .
	Длина	ломаной AKLN равна 15,6 см. Известно , что АК равно четверти расстояния между ее началом и концом , KL на 0,6 см меньше АК , a LN в 2 раза больше KL .
а )	Длина	одной стороны прямоугольника на 8 см больше длины другой .
а )	Длина	ломаной ABCD равна 54 см. Известно , что длина АВ в 5 раз меньше расстояния между началом и концом ломаной , длина ВС — в 3 раза больше АВ , а длина CD — на 1 см меньше , чем АВ .
	Длина	прямоугольника равна 5 см. Какой должна быть ширина этого прямоугольника , чтобы периметр прямоугольника был меньше 18 см ? .
	Длина	ломаной ABCD равна 13,5 см. Известно , что АВ равно 1/6 расстояния между ее началом и концом , ВС на 5,1 см больше АВ , a CD на 3,6 см меньше ВС. Найдите длину звена АВ этой ломаной .
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б )	Длина	прямоугольного участка земли на 6 м больше его ширины .
а )	Длина	одной стороны прямоугольника на 12 см больше длины другой .
225	Длина	дороги между двумя домами равна 3 км .
а )	Длина	одной стороны прямоугольника на 3 см больше длины другой .
	Длина	ломаной ABCD равна 17,8 см. Известно , что АВ равно половине расстояния между началом ломаной ABCD и ее концом , ВС на 6,7 см меньше АВ , a CD в 2 раза меньше ВС. Чему равно звено ВС этой ломаной ? .
22	Длина	прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого прямоугольника , если его периметр меньше периметра прямоугольника , длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
	Длина	кольцевой беговой дорожки стадиона равна 400 м .
	Длина	ломаной ABCD равна 16 см. Известно , что длина АВ равна трети расстояния между ее началом и концом , ВС — на 0,8 см больше АВ , a CD — на 1,8 см меньше ВС. Чему равна длина звена АВ этой ломаной ? .
II	Доказательство	обратного утверждения .
I	Доказательство	прямого утверждения .
	Доказательство	данной теоремы будет получено позднее в курсе геометрии , пока нам для этого не хватает знаний .
	Доказательство	этой теоремы не входит в содержание нашего курса .
	Доказательство	утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
	Доказательство	.
	Доказательство	существования , при котором предъявляется объект с указанными свойствами , называется прямым .
	Доказательство	: .
д )	Дробь	означает , что целое разделили на 2 равные части и взяли 5 таких частей .
	Дробь	- это не целое число .
	Единица	измерения , килограмм .
	Единица	— положительное число .
	Единица	является делителем всех натуральных чисел .
	Замкнутый	луч .
	Значение	произведения не зависит от порядка действий .
	Значение	суммы не зависит от порядка слагаемых .
	Значение	произведения не зависит от порядка множителей .
	Значение	k .
	Значение	суммы не зависит от порядка действий : .
	Значение	с .
	Значение	аксиом первым оценил Аристотель , величайший древнегреческий философ и ученый .
	Значение	b . B — любое число .
	Игра	.
	Истина	истине не может противоречить .
е )	Квадрат	разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
	Квадрат	любого натурального числа больше самого числа .
	Квадрат	числа вида 3k равен , а это означает , что он делится на 3 .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит ,	Квадрат	трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
1	Квадрат	суммы и разности .
«	Квадрат	- это прямоугольник , у которого все стороны равны » .
	Квадрат	разности некоторых рациональных чисел равен разности их квадратов .
	Квадрат	суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
	Квадрат	числа всегда больше квадрата противоположного ему числа .
	Квадрат	разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
а )	Квадрат	суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
	Квадрат	числа .
«	Квадратом	называется прямоугольник , все стороны которого равны » .
	Ключ	шифра .
	Ключом	к расшифровке текстов данного типа является набор цифр , указанный в первой строке таблицы .
	Комбинаторика	.
	Корень	уравнения .
	Корень	х равно -4 не удовлетворяет неравенству х больше 0 , так как -4 больше 0 - ложно .
Шаг 4	Корень	х равно 6 удовлетворяет всем трем данным неравенствам , так как 6 больше 0 , 6 - 5 больше 0 и 6 плюс 3 больше 0 - истинно .
	Корень	— любое число .
	Корни	алгебры уходят в глубокую древность , а само название происходит от арабского « аль - джебр » ( восполнение , воссоединение , связь ) - приема решения уравнений , описанного в трактате « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми ( ок . 783 - ок .
	Коэффициент	одночлена .
	Коэффициент	пропорциональности .
	Коэффициенты	уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое число , делится на 1 .
	Коэффициенты	членов исходного многочлена равны 3 , 7 , -10 .
	Коэффициенты	членов исходного многочлена равны 1 , 5 , 4 .
	Куб	суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з )	Куб	суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
	Куб	разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
	Куб	числа .
	Куб	разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
3	Куб	суммы и разности .
	Линейная	функция и ее график .
	Линейная	функция .
	Линейная	зависимость задана аналитически ( формулой ) .
	Линейная	зависимость .
	Линейное	уравнение .
	Линейное	неравенство .
	Линейные	уравнения с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать выражения вне знака модуля .
	Линейные	неравенства и их решение .
1	Линейные	уравнения и их решение .
	Линейные	уравнения с двумя переменными х и у , полученные при решении двух рассмотренных задач , в общем виде можно записать так .
	Линейные	неравенства . 1 .
1	Линейные	уравнения .
2	Линейные	процессы и линейная функция .
	Линейным	уравнением с одним неизвестным х называется уравнение , которое при всех значениях х может с помощью равносильных преобразований быть представлено в виде , где k , b — некоторые числа .
	Линейным	неравенством с одним неизвестным х называется неравенство , которое может быть представлено в одном из четырех видов , где k , b — рациональные числа .
	Луч	.
	Луч	открытый .
	Луч	замкнутый .
	Медиана	набора чисел .
	Многочлен	называется противоположным исходному , если его сумма с исходным многочленом равна нулю .
	Многочлен	.
	Множества	заданы характеристическим свойством .
505	Множества	А , В и С заданы перечислением их элементов .
524	Множества	А , В и С заданы перечислением их элементов .
	Множества	А , В и С заданы характеристическим свойством .
	Множество	Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О .
1	Множество	рациональных чисел .
б )	Множество	точек координатной плоскости Т состоит из элементов .
	Множество	решений .
254	Множество	А задано перечислением его элементов .
	Множество	точек числовой прямой .
1	Множество	А является подмножеством множества В.
	Множество	X при этом называется областью определения , а множество Y — областью значений данной функции .
	Множество	В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества С. ( Истинно ) .
2 Множество А является подмножеством множества С.	Множество	В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) .
2	Множество	А является подмножеством множества С. Множество В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) .
	Множество	общих делителей чисел а и b является конечным , так как ни один из общих делителей не может быть больше , чем наименьшее из чисел а и b. Значит , среди общих делителей двух натуральных чисел всегда можно найти наибольший .
	Мода	набора чисел .
	Модой	набора чисел называется число , наиболее часто встречающееся в числовом наборе .
в )	Модулем	числа а называется расстояние от точки , соответствующей данному числу на числовой прямой , до 0 .
Н	Модуль	любого числа больше или равен нулю .
	Модуль	числа больше или равен 10 , если это число либо больше или равно 10 , либо меньше или равно ( -10 ) .
а )	Модуль	разности квадратов а и с . б ) Сумма модулей а , b и с .
а ) Число , обратное 3 , равно -3 . б )	Модуль	числа х может быть равен -х .
	Модуль	числа меньше 3 , если это число принадлежит открытому интервалу от -3 до 3 .
в )	Модуль	разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Число а на 12 больше числа b . г ) Число х в 3 раза меньше числа у . д )	Модуль	числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 .
	Модуль	числа может быть отрицательным .
В силу доказанной выше теоремы и определения	НОД	.
Алгоритм Евклида нахождения	НОД	двух натуральных чисел а и b .
Как вы уже знаете , процесс нахождения	НОД	по данному алгоритму может быть очень трудоемким .
Аналогично определяется	НОД	трех и более натуральных чисел .
Однако данная теорема не позволяет сделать никаких выводов о втором уравнении , ведь его коэффициенты не удовлетворяют условию этой теоремы :	НОД	( 4 ; 6 ) 2 , а число 9 не делится на 2 .
Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно ,	НОД	( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое число , делится на 1 .
206 Найдите	НОД	чисел а и b наиболее рациональным способом .
207 С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	чисел а и b .
Наибольший общий делитель чисел а и b будем , как и ранее , обозначать	НОД	( а ; b ) .
Данный алгоритм был назван в честь Евклида , жившего в III веке до нашей эры , хотя способ нахождения	НОД	с помощью этого алгоритма был известен математикам гораздо раньше .
731 Разложите числа на простые множители и найдите их	НОД	и НОК .
Уравнение , где a , b , с Z , не имеет целых решений , если с не делится на d	НОД	.
Так как d =	НОД	, то числа а и b можно представить в виде , где и при этом НОД .
Так как	НОД	( 5 ; 7 ) 1 , то из полученного равенства следует , что для всех целых х и у , являющихся решением исходного уравнения , кратно 7 , а кратно 5 .
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать	НОД	меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее .
Целое решение уравнения , где a , b , с е Z , всегда существует , если с делится на d =	НОД	.
Понятно , что данный способ поиска	НОД	является менее трудоемким , ведь здесь для получения ответа операцию деления потребовалось выполнить всего 6 раз , а используя прежний алгоритм , ее надо выполнить 51 раз .
С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	чисел а и 6 .
Посмотрим , как полученный вывод может помочь , например , в нахождении	НОД	чисел 71 004 и 154 452 , о которых говорилось выше .
1 Найти d	НОД	.
Нам известен также следующий алгоритм нахождения	НОД	натуральных чисел .
Значит ,	НОД	чисел а и b равен последнему ненулевому остатку в указанной цепочке делений .
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же	НОД	можно продолжать далее .
Поэтому логичным расширением определения	НОД	на случай , когда одно из чисел равно 0 , является следующее определение .
Так как d = НОД , то числа а и b можно представить в виде , где и при этом	НОД	.
При этом	НОД	.
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать	НОД	чисел а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее .
74 С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	данных чисел , а затем найдите их НОК .
С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	чисел а и b .
218 С помощью алгоритма Евклида найдите	НОД	чисел а и b .
137 Найдите	НОД	и НОК чисел а и b .
148 Найдите	НОД	и НОК чисел а и b .
137 Найдите НОД и	НОК	чисел а и b .
74 С помощью алгоритма Евклида найдите НОД данных чисел , а затем найдите их	НОК	.
148 Найдите НОД и	НОК	чисел а и b .
731 Разложите числа на простые множители и найдите их НОД и	НОК	.
	Наибольший общий делитель	чисел k и l равен 2 . д ) Наименьшее общее кратное чисел m и n равно 468 .
	Наибольший общий делитель	чисел а и b будем , как и ранее , обозначать НОД ( а ; b ) .
	Наибольшим общим делителем	чисел 80 и 60 является число 20 .
	Найдем	таким же способом остатки от деления на 7 следующих степеней 3 : .
2	Найдем	корни уравнений .
	Найдем	две точки , принадлежащие графику функции .
7	Найдем	пересечение каждого числового промежутка и соответствующего ему множества решений .
	Найдем	произведение чисел а и b .
	Найдем	их среднее арифметическое .
	Найдите	.
	Найдите	остаток от деления А на В .
661 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
96 ( Устно . )	Найдите	коэффициент одночлена .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно 1 , 3 , -2 .
	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
191	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
{ -12 ; -6 } . 1 )	Найдите	расстояние от начала координат О до точек А и Б координатной прямой .
467	Найдите	остаток от деления числа 6100 на 7 .
	Найдите	периметр прямоугольника , длина которого на 8 см больше ширины , а площадь равна 128 см2 .
	Найдите	длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 70 м2 . б )
	Найдите	, используя запись в столбик , разность многочленов .
	Найдите	выручку каждого из этих филиалов , если известно , что 15 % выручки одного филиала равно 10 % от выручки другого .
	Найдите	координату точки С , если известно .
	Найдите	наименьшее натуральное число , с которым число А сравнимо по модулю В .
	Найдите	все значения а , при которых неравенство истинно при .
	Найдите	сумму n первых натуральных чисел для . а ) n равно 100 . б ) nравно 200 .
66	Найдите	все натуральные значения x , удовлетворяющие равенствам .
272	Найдите	наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
	Найдите	медиану числового набора .
146	Найдите	одно значение переменной , при котором значение многочлена равно А .
65	Найдите	значение выражения .
95	Найдите	наибольший общий делитель чисел .
199 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
96	Найдите	наименьшее общее кратное чисел .
99	Найдите	в указанном множестве чисел пары : а ) обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
430	Найдите	сотую цифру после запятой в десятичной записи числа .
	Найдите	три значения х , таких , что .
	Найдите	остаток от деления 332223 на 7 .
479	Найдите	множество целых решений неравенства .
502	Найдите	значение выражения рациональным способом .
	Найдите	все решения неравенства .
289	Найдите	три значения х , таких , что .
	Найдите	сумму многочленов .
383 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
	Найдите	эти числа , если известно , что 7 % одного из них равно 35 % другого .
	Найдите	множество решений неравенства .
630	Найдите	все натуральные значения х , удовлетворяющие равенствам .
	Найдите	значение этого выражения .
184	Найдите	произведение одночленов и запишите его как одночлен стандартного вида .
	Найдите	все значения х , удовлетворяющие уравнению .
Если корень уравнения .	Найдите	ошибку в решении следующего уравнения .
	Найдите	значение величины зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной .
112	Найдите	значение выражения .
	Найдите	остаток от деления на 19 чисел если .
	Найдите	площадь этого дачного участка , если известно , что изображение выполнено в масштабе 1 к 200 и 0 см меньше а меньше 10 см , b равно 5 см , с равно 3 см .
300	Найдите	два значения х , для которых верно данное сравнение .
	Найдите	остатки от деления на 7 натуральных степеней числа 3 .
	Найдите	ее область определения и область значений .
448	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных : при а равно 11,7 .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно у1 у2 и у3 .
	Найдите	все значения х , удовлетворяющие неравенству .
	Найдите	, чему равно это расстояние .
	Найдите	все решения неравенства , принадлежащие указанному промежутку .
454	Найдите	значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что .
	Найдите	значение зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной .
	Найдите	ошибки в следующих рассуждениях .
453	Найдите	значение выражения а3 минус b3 , если известно , что .
322 а )	Найдите	значения выражений рациональным способом .
	Найдите	все неотрицательные решения неравенства .
309	Найдите	значение выражения : .
	Найдите	неполное частное и остаток при делении на (-8 ) следующих чисел .
297	Найдите	на числовой прямой все числа , находящиеся от числа а на рас стоянии b .
173	Найдите	первое простое число , следующее за числом .
108	Найдите	причину недоразумения .
	Найдите	сумму многочленов Р и Q и запишите ее как многочлен стандартного вида .
102	Найдите	ошибки в следующих рассуждениях .
142	Найдите	ошибку в следующем рекламном объявлении .
641	Найдите	корни уравнения .
	Найдите	область определения и область значений этой зависимости .
	Найдите	периметр прямоугольника , ширина которого на 8 см меньше длины , а площадь равна 240 см2 .
104	Найдите	в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
	Найдите	длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 232 м2 . б )
	Найдите	высказывания , для которых истинны как прямое , так и обратное утверждение .
464	Найдите	множество целых решений неравенства .
506 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
174	Найдите	простые числа , лежащие между числами а и b .
157	Найдите	сумму и разность многочленов А и В. Запишите результат как многочлен стандартного вида .
	Найдите	значение выражения 2х(х минус 3 ) - х2(5 - х ) - ( х3 - 3х2 плюс 6х ) 01 при X равно .
159	Найдите	сумму многочленов А плюс В , располагая слагаемые « в столбик » , если .
509	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -11 ) следующих чисел .
105	Найдите	наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел .
702	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
	Найдите	разность многочленов Р - Q , располагая слагаемые « в столбик » , если .
	Найдите	медиану числового набора : 923 ; 138 ; 915 ; 6 ; 13 ; 57 ; 149 ; 61 .
	Найдите	скорость второго пешехода , если известно , что пешеходы встретились через 9 часов » .
642	Найдите	значение выражения .
379 Проведите классификацию множества А по остаткам от деления его элементов на b . 380	Найдите	остаток от деления а на b . 381 Определите , какой цифрой оканчивается число .
	Найдите	ее значение в точках Составьте таблицу значений функции .
728	Найдите	значение выражения .
б )	Найдите	натуральное число , восьмая часть от которого на 3 меньше его шестой части .
	Найдите	разность между первым и вторым числом .
	Найдите	значение выражения а3 минус b3 , если известно , что а минус равно 4 и а b равно -2,5 .
	Найдите	объединение и пересечение множеств А и В . б )
	Найдите	произведение этих чисел .
	Найдите	величину большего угла этого треугольника .
	Найдите	целое число , которое при увеличении на 6,25 дает тот же результат , что и при умножении на 7,25 .
700	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что .
	Найдите	частное от деления второго числа на первое .
	Найдите	значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -7 и аb равно 6,5 .
343	Найдите	остаток от деления 555222 на 6 .
	Найдите	корни уравнений .
	Найдите	множество решений уравнения .
655	Найдите	значение выражения .
45	Найдите	множество целых решений неравенства .
	Найдите	сумму многочленов Р , Q и R . а ) Мастерская по реставрации картин получила заказ от своего клиента .
	Найдите	девять последовательных целых чисел , сумма первых трех из которых равна сумме шести последних .
Найдите девять последовательных составных чисел ; б )	Найдите	тринадцать последовательных составных чисел .
	Найдите	девять последовательных составных чисел ; б ) Найдите тринадцать последовательных составных чисел .
Длина ломаной ABCD равна 13,5 см. Известно , что АВ равно 1/6 расстояния между ее началом и концом , ВС на 5,1 см больше АВ , a CD на 3,6 см меньше ВС.	Найдите	длину звена АВ этой ломаной .
	Найдите	все неположительные решения неравенства .
	Найдите	остаток при делении числа b на 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 .
	Найдите	его значение при указанных значениях переменных .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно у1 , у2 и у3 .
	Найдите	два решения этого неравенства , большие 2,4 .
83 а )	Найдите	значение выражения .
365	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 591 по модулю .
223	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
82	Найдите	значение выражения .
	Найдите	остаток при делении числа b на 2 , на 7 .
77	Найдите	значение выражения .
	Найдите	собственную скорость движения моторной лодки , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч .
695	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что .
	Найдите	сумму этих чисел .
	Найдите	наибольший общий делитель чисел .
	Найдите	скорости , с которой летели оба эти самолета , если скорость Су-34 была в два раза больше скорости Ил-96 . б ) Из Москвы в Самару вышел теплоход со скоростью 20 км / ч .
	Найдите	эти числа , если известно , что третье число на 55 больше суммы всех остальных .
418	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
	Найдите	собственную скорость лодки , если скорость течения реки равна 2 км / ч . б ) Теплоход проехал 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 час .
	Найдите	сумму многочленов Р , Q и R .
	Найдите	среднюю скорость движения лодки .
	Найдите	расстояние между этими туристическими стоянками , если скорости туристов были равны 5 км / ч и 4 км / ч . б ) Из пунктов А и В , находящихся на реке на расстоянии 130 км друг от друга , отплыли одновременно в противоположных направлениях два катера .
	Найдите	скорость второго автобуса .
	Найдите	эти числа , если известно , что третье число на 36 больше суммы всех остальных .
	Найдите	два решения этого неравенства , меньшие -3,5 .
481	Найдите	остаток от деления числа 38200 на 9 .
	Найдите	область определения и область значений этой функции .
426	Найдите	значение выражения если .
278	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m .
	Найдите	значение выражения .
	Найдите	три значения x , таких , что .
377	Найдите	простые числа , лежащие между числами а и b .
	Найдите	длину ребра первого куба , если объем второго куба равен 343 см3 .
177	Найдите	модуль каждого из указанных чисел .
	Найдите	это число . б ) Числа 3311 , 1935 , 1376 дают равные остатки при делении на натуральное число , большее 1 .
329	Найдите	остаток от деления а на b ? .
	Найдите	равносильные утверждения .
	Найдите	значение аргумента , при котором значение функции равно y1 , у2 и у3 .
	Найдите	расстояние между этими пунктами , если скорости бегунов были равны 12 км / ч и 15 км / ч . б ) Два поезда выехали одновременно в одном направлении из двух разных городов , находящихся на расстоянии 160 км друг от друга .
204	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
714	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что произведение первого и третьего из них равно 20 .
	Найдите	множество целых решений неравенства .
	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
280	Найдите	три значения х , таких , что .
711	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что .
362	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -11 ) следующих чисел .
	Найдите	значения выражения .
494	Найдите	значение выражения рациональным способом .
	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m .
	Найдите	собственную скорость движения катера , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч .
178	Найдите	величину отношений .
	Найдите	средний результат Миши по бегу на 500 м ( с точностью до сотых минуты ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	периметр прямоугольника , длина которого на 6 см больше ширины , а площадь равна 72 см2 .
715	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -6 ) следующих чисел .
	Найдите	это число .
	Найдите	с точностью до сотых среднюю скорость движения катера .
	Найдите	длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины .
127	Найдите	ошибки в записи многочлена в стандартном виде или докажите , что запись сделана верно .
	Найдите	значения х , при которых .
	Найдите	произведение двучленов ( х плюс 1)(х минус 2 ) .
211 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
	Найдите	частное и остаток от деления полученного результата на 7 .
374	Найдите	среднее арифметическое указанных чисел .
	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -12 ) следующих чисел .
237	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
128	Найдите	одно значение переменной , при котором значение многочлена равно А .
	Найдите	сумму квадратов и сумму кубов n первых натуральных чисел для .
91	Найдите	причины следующих недоразумений .
404	Найдите	значение выражения .
	Найдите	среднее арифметическое количества собранных мальчиками постеров ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
277	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 235 по модулю .
89	Найдите	ошибки в следующих рассуждениях .
356	Найдите	первое простое число , следующее за числом .
	Найдите	вероятность того , что случайно названное трехзначное натуральное число окажется равным задуманному .
	Найдите	область определения и область значений этих зависимостей .
	Найдите	ее значение в точках .
250 а )	Найдите	значения выражений .
	Найдите	равносильные высказывания .
	Найдите	все пары чисел тип , для которых это будет верно .
210	Найдите	все делители числа а , которые кратны числу b .
248	Найдите	среднее арифметическое указанных чисел .
	Найдите	значения полученных выражений для чисел : а ) 8 и 2 ; б ) -4 и 3 ; в ) 7 и -5 ; г ) -9 и -6 .
	Найдите	объединение и пересечение множеств А и В. Постройте диаграмму Эйлера - Венна и отметьте на ней все элементы данных множеств .
	Найдите	коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и В , если .
244	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -5 ) следующих чисел .
	Найдите	остаток от деления на 23 числа , если .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 56 . г ) Найдите все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
	Найдите	координату точки С если известно , что .
Найдите остаток от деления этого числа на 28 . б )	Найдите	все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
	Найдите	скорости обоих поездов , если скорость пассажирского поезда в 1,5 раза больше скорости товарного .
	Найдите	сумму всех полученных семи чисел , если шестое число оказалось равно 16 .
	Найдите	корни линейного уравнения ( устно ) .
	Найдите	все пары чисел m и n , для которых это будет верно .
	Найдите	с точностью до сотых км / ч среднюю скорость движения яхты .
	Найдите	собственную скорость движения яхты , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч .
	Найдите	собственную скорость движения катера , если скорость течения реки равнялась 2 км / ч .
	Найдите	с точностью до десятых среднюю скорость движения катера .
	Найдите	значение зависимой переменной для указанных значений независимой переменной а .
240	Найдите	среднее арифметическое указанных чисел .
	Найдите	два решения этого неравенства , меньшие -6 .
238 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
223	Найдите	числа х и у , если известно , что .
540	Найдите	значение выражения .
Найдите остаток от деления этого числа на 56 . г )	Найдите	все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
	Найдите	длину ломаной ABEFD . б ) Величина первого утла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше третьего .
	Найдите	все числа , которые при делении на 3 дают остаток 1 , а при делении на 4 — остаток 3 .
	Найдите	неверные значения и исправьте их .
	Найдите	все значения х , удовлетворяющие равенству .
	Найдите	целое число , которое на 48 больше противоположного себе числа .
302	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
592	Найдите	значение выражения .
	Найдите	значение выражения у1 - 2у2 плюс 3у3 - 4у4 плюс 5у5 если у равно 1 , у равно -1 , у равно 2 .
305	Найдите	все значения х , при которых .
15 а )	Найдите	значение выражения х1 плюс х2 плюс х3 плюс х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 .
391	Найдите	значение выражения .
14	Найдите	значение выражения .
306	Найдите	значение выражения , если известно , что .
	Найдите	ответ на поставленный в задаче вопрос .
	Найдите	загаданные числа .
6	Найдите	значение выражения .
	Найдите	натуральное число , которое больше своей четверти на 81
	Найдите	значение выражения х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
401	Найдите	значение выражения .
312	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m .
	Найдите	рациональное число , среднее арифметическое которого с числом 916 равно 619 .
	Найдите	наименьшее значение выражения .
	Найдите	наибольшее значение выражения .
	Найдите	углы этого треугольника , если сумма первого и третьего углов равна 120 ° .
	Найдите	средний результат Ирины по метанию мяча ( с точностью до десятых метра ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	среднее арифметическое собранных мальчиками значков , моду , размах и медиану представленного числового набора .
206	Найдите	НОД чисел а и b наиболее рациональным способом .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 15 . б )
	Найдите	три точки , принадлежащие графику функции , координаты которых являются целыми числами .
	Найдите	значения полученных выражений для чисел .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 28 . б ) Найдите все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
754	Найдите	значения выражений рациональным способом .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 40 . б )
	Найдите	все числа , которые при делении на 9 дают остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 4 .
	Найдите	все пары чисел k и р , для которых это будет верно .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
346	Найдите	наименьшее значение выражения .
	Найдите	допустимые значения переменных и докажите тождество .
762	Найдите	значение выражений .
560	Найдите	значение выражения .
Выберите из предложенных зависимостей между переменными у и х линейные функции , запишите их в виде и определите коэффициенты k и b.	Найдите	область определения и область значений этих функций .
777	Найдите	значение выражения если известно , что .
422	Найдите	ошибку в рассуждении .
567	Найдите	значение выражения .
	Найдите	: 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если .
148	Найдите	НОД и НОК чисел а и b .
353	Найдите	наибольшее натуральное число , делящееся на 72 , в записи которого по одному разу участвуют все 10 цифр .
	Найдите	длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 6 м больше его ширины .
	Найдите	верные высказывания .
457	Найдите	остаток при делении числа а на 21 , если известно , что .
576	Найдите	значение выражения .
	Найдите	периметр прямоугольника , длина которого на 12 см больше ширины , а площадь равна 133 см2 .
366	Найдите	наибольшее значение выражения .
770	Найдите	все натуральные значения х , удовлетворяющие равенствам .
367	Найдите	наименьшее значение выражения .
	Найдите	два способа построения графика линейной функции и примените их для построения графика функции .
	Найдите	остаток от деления а на b .
447	Найдите	остаток при делении числа а на b , если известно ? .
	Найдите	объединение и пересечение множеств А и В , нарисуйте для них диаграмму Эйлера - Венна .
441	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
768	Найдите	множество целых решений неравенства .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение/. а ) Сколько существует трехзначных чисел , в записи которых встречаются только цифры 3 , 4 , 8 , 9 ?
433	Найдите	и запишите числа , противоположные данным .
345	Найдите	наибольшее значение выражения .
	Найдите	вероятность того , что случайно названное однозначное натуральное число окажется равным задуманному .
344	Найдите	наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел .
342	Найдите	значение выражения .
	Найдите	эти числа .
	Найдите	наименьшее натуральное х , такое , что .
	Найдите	. 1 ) значение у при х , равном а .
137	Найдите	НОД и НОК чисел а и b .
	Найдите	длину данного прямоугольника , если его площадь равна 9 см2 .
786	Найдите	загаданные рациональные числа , если известно , что .
	Найдите	остаток от деления на 13 числа .
	Найдите	собственную скорость движения теплохода , если скорость течения реки равнялась 2 км / ч .
332	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях переменных .
233	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -7 ) следующих чисел .
если .	Найдите	значения выражений .
	Найдите	с точностью до сотых среднюю скорость движения теплохода .
551	Найдите	значение выражения .
232	Найдите	неполное частное и остаток при делении на 7 следующих чисел .
338	Найдите	( устно ) значение выражения а2 минус b2 , если известно , что .
	Найдите	два решения этого неравенства , большие 1,5 .
782	Найдите	значение выражения .
504	Найдите	допустимые значения переменных и докажите тождества .
503	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
781	Найдите	наибольшее значение выражения .
481	Найдите	допустимые значения переменных и докажите тождества .
480	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
	Найдите	ее область определения и докажите , что она является функцией .
780	Найдите	наименьшее значение выражения .
756	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
467	Найдите	допустимые значения переменных и докажите тождества .
466	Найдите	значение буквенного выражения при указанных значениях букв .
	Найдите	длину стороны исходного квадрата .
	Найдите	множества решений неравенств .
460	Найдите	числа , обратные данным при допустимых значениях переменных .
	Найдите	координату точки С , если известно , что .
315	Найдите	два значения х , для которых верно данное сравнение .
516	Найдите	значение выражения .
	Найдите	коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения данного графика на координатной плоскости .
390	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
	Найдите	первое простое число , следующее за числом .
282	Найдите	значение выражения , если известно , что .
	Найдите	эти числа , если 6,5 % одного из них равны 8,5 % другого .
28	Найдите	значение выражения .
	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 214 по модулю .
263	Найдите	значение выражения при данных значениях переменных .
	Найдите	значение выражения а1 - а2 плюс а3 - а4 плюс а5 , если а равно 2 , а равно 0 , а равно -1 .
	Найдите	по графику : 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если .
	Найдите	все числа , которые при делении на 8 дают остаток 5 , а при делении на 5 дают остаток 2 .
394 а )	Найдите	значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -6 и ab равно 3,5
	Найдите	коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и .
	Найдите	остаток от деления на 17 чисел , если .
166	Найдите	модуль каждого из указанных чисел .
	Найдите	среднее арифметическое ( с точностью до десятых ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	корни уравнения .
	Найдите	эти числа , если 2,25 % одного из них равны 8 % другого .
	Найдите	длину всего пути .
	Найдите	значение выражения а3 минус b3 , если известно , что а минус b равно 5и ab равно -4,6 .
281	Найдите	значение выражения а2 плюс b2 плюс с2 , если известно , что .
521	Найдите	значение выражения .
	Найдите	все пары чисел т и п , для которых это будет верно .
671	Найдите	значение выражения .
32 а )	Найдите	значения числовых выражений А и В .
	Найдите	средний результат Коли по прыжкам в длину ( с точностью до единиц сантиметров ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
278	Найдите	наименьшее значение выражения .
611	Найдите	все натуральные значения х , удовлетворяющие равенствам .
	Найдите	значение выражения b1 плюс 2 b 2 плюс 3b3 плюс 4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 .
123	Найдите	множество целых решений неравенств .
	Найдите	три числа , сравнимых с А по модулю В .
525 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В.	Найдите	их пересечение и объединение .
279	Найдите	наибольшее значение выражения .
	Найдите	среднее арифметическое собранных девочками открыток ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	ее область определения .
	Найдите	ее значение в точках х1 , х2 и х3 .
734	Найдите	значение выражения при указанных значениях переменных .
269	Найдите	значение выражения а2 плюс b2 , если известно , что .
161	Найдите	простые числа , лежащие между числами а и b .
	Найдите	среднее арифметическое ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
670	Найдите	корни уравнения .
24	Найдите	значение выражения .
618	Найдите	значение выражения .
732	Найдите	сумму и разность многочленов Р и Q .
	Найдите	простые числа , лежащие между числами а и b .
	Найдите	длину данного прямоугольника , если его площадь равна 9 см2 » .
626	Найдите	значение выражения .
290	Найдите	наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по модулю m .
	Найдите	их .
	Найдите	величину меньшего угла этого треугольника .
	Найдите	остаток от деления этого числа на 63 . б )
	Найдите	вероятность того , что случайно названное двузначное натуральное число окажется равным задуманному .
	Найдите	сумму многочленов Р и Q и запишите получившийся многочлен в стандартном виде .
167	Найдите	величину отношений .
270	Найдите	значение выражения х2 плюс если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
	Найдите	область определения и область значений каждой функции .
	Найдите	больший угол этого треугольника .
Запишите подмножество В четных чисел и подмножество С нечетных чисел множества А.	Найдите	объединение и пересечение подмножеств В и С .
606	Найдите	значение выражения .
	Найдите	средний результат этой команды , моду , размах и медиану представленного числового набора .
	Найдите	ее значения в точках x1 , х2 и х3
526	Найдите	неполное частное и остаток при делении на ( -9 ) следующих чисел .
19	Найдите	множество целых решений неравенства .
	Найдите	величину второго угла этого треугольника .
	Найдите	три числа , дающих при делении на В такие же остатки , как А .
275	Найдите	все значения х , при которых .
1	Найти	области значений переменных .
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и b . 1	Найти	наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
1	Найти	в уравнении все выражения , содержащиеся под знаком модуля .
	Найти	все решения , удовлетворяющие построенной модели .
1	Найти	d НОД .
	Найти	этот общий множитель и обозначить его С .
	Найти	значение многочлена 4n5 плюс 3n2 минус 8 , если .
2	Найти	все общие простые множители этих чисел и записать их произведение .
	Найти	общий буквенный множитель С всех членов многочлена .
1	Найти	в неравенстве все выражения , содержащиеся под знаком модуля .
3	Найти	точку пересечения этой прямой с графиком функции .
1	Найти	сумму всех зависимых величин .
1	Найти	абсциссу , равную х .
3	Найти	и записать степени переменных .
1	Найти	корни уравнения .
7	Найти	пересечение полученных множеств решений и соответствующих числовых промежутков .
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на b . 1	Найти	наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
	Найти	наибольший общий делитель чисел 71 004 и 154 452 .
2	Найти	корни уравнения .
	Найти	скорость , с которой ехали оба автомобиля , если скорость одного из них была в 1,5 раза больше скорости другого .
2	Найти	долю каждой зависимой величины в общей сумме .
	Натуральная	степень положительного рационального числа представляет собой произведение положительных чисел ( или само число ) .
в )	Натуральное	число является составным , если оно имеет более двух различных делителей .
	Натуральное	число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 .
	Натуральное	число делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 3 .
	Натуральное	число а делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число с , что .
	Натуральное	число , кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому числу .
а )	Натуральное	число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
	Натуральное	число делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
	Натуральное число	а делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число с , что .
	Натуральное число	делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
	Натуральное число	делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 .
	Натуральное число	, кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому числу .
	Натуральное число	делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 3 .
а )	Натуральное число	, кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
в )	Натуральное число	является составным , если оно имеет более двух различных делителей .
	Натуральные	числа появились в процессе счета предметов и измерения величин для ответа на вопрос « Сколько ? » .
	Натуральные числа	появились в процессе счета предметов и измерения величин для ответа на вопрос « Сколько ? » .
Д	Неправильная дробь	больше или равна 1 .
	Неравенства	могут быть всегда истинными или всегда ложными .
	Неравенства	. ( Нет решений ) .
	Неравенство	строгое .
	Неравенство	.
	Неравенство	нестрогое .
	Неравенство	имеет натуральные решения .
	Неравенство	сохранится , если каждое из чисел 65 , 11х и 83 мы разделим на 11 , поэтому .
	Неравенство	верно при любом значении х. Значит , решением исходного неравенства является вся числовая прямая .
г )	Нечетное	число - это натуральное число , которое при делении на 2 дает ос таток 1 .
Можно найти натуральное число , которое делится на 3 . б )	Нечетные	числа при делении на 2 дают остаток 1 .
	Нуль	в любой натуральной степени равен нулю .
	Одночлен	.
М	Окружность	- это не прямая .
а )	Окружность	- это не квадрат . б ) У квадрата все углы равны .
Определите коэффициент пропорциональности функции , проходящей через точку А.	Опишите	расположение ее графика в координатной плоскости .
	Ордината	.
	Основание	степени .
в ) Некоторые натуральные числа , делящиеся на 3 , делятся на 9 . г )	Остаток	при делении натурального числа на 2 равен либо 0 , либо 1 .
	Остаток	денежных средств в кассе первого магазина в 3 раза больше , чем во втором магазине .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г )	Остаток	от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
г ) Четные числа - это натуральные числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е )	Отрезком	называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
	Отрезок	.
	Отрицательное	число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
	Переменная	s в метрах при этом принимает значения из некоторого множества .
в )	Переменной	величиной называется буквенное обозначение для элемента некоторого множества .
	Перестановка	слагаемых .
	Перестановка	слагаемых позволяет избежать ошибок при составлении групп , особенно тогда , когда слагаемых достаточно много .
17	Периметр	прямоугольного участка земли равен 62 м , а разность между его длиной и шириной равна 5 м .
	Периодичность	в повторении остатков , которую мы обнаружили , является общим свойством остатков всех натуральных степеней .
311	Площади	лесных участков номер 1 , 2 и 3 относятся соответственно как , причем площадь третьего участка на 135 га меньше площади первого .
	Площадь	первого квадрата , с одной стороны , равна ( а плюс b)2 , а с другой стороны , равна а2 плюс b2 плюс ab плюс ab .
	Площадь	данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
	Подобные	одночлены .
	Подобными	являются , например , одночлены -3а2b и а2b .
	Показатель	степени .
	Полуинтервал	.
	Порядок	действий как в числовых , так и в буквенных ( алгебраических ) выражениях может быть задан расстановкой скобок разного вида , например круглых или квадратных .
	Порядок	действий в выражениях , содержащих степени .
	Порядок	действий в выражениях , содержащих степени стр. 5 .
	Порядок	освобождает мысль .
	Последовательность	чисел : 3 , 9 , 27 , 81 , 243 , 729 устроена таким образом , что в ней каждое следующее число в три раза больше предыдущего .
Разделим обе его части на х — 5 , получим :	Правая	часть равенства равна 0 , а левая после сокращения на равна 3 .
	Правая	часть равенства равна 0 , а левая после сокращения равна .
	Правая	часть равенства равна 0 , а левая после сокращения на равна 7 .
	Правая	часть равенства равна 0 , а левая после сокращения на равна 2 .
	Правильная	дробь всегда меньше неправильной . з )
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б )	Правильная	дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б )	Правильная дробь	- это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
	Правильная дробь	всегда меньше неправильной . з )
	Приведем	примеры .
	Приведем	данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства , а числа — в правой и упростим полученные выражения .
	Приведем	данное неравенство к виду , где k , с Q. При этом результаты равносильных преобразований будем записывать друг под другом .
	Приведем	каждый из одночленов данной алгебраической суммы к стандартному виду и упростим полученное выражение .
	Приведем	данное неравенство к виду , где k , с е Q , используя правила равносильных преобразований .
76	Приведите	подобные слагаемые .
97	Приведите	одночлен к стандартному виду , определите его коэффициент и степень .
110	Приведите	одночлен к стандартному виду , определите его коэффициент и степень .
	Приведите	два своих примера равносильных высказываний .
	Приведите	примеры других величин , связанных аналогичной зависимостью .
Все положительные числа являются решениями неравенства	Приведите	дроби к общему знаменателю .
561	Приведите	дроби к общему знаменателю .
	Приведите	дроби к общему знаменателю .
	Приведите	свой пример равносильных высказываний .
129	Приведите	пример трехчлена с одной переменной х , значение которого .
	Привести	примеры таких суждений можно , опираясь на простые ситуации из повседневной жизни , где , как и в математике , мы постоянно рассуждаем и делаем разные выводы .
2	Привести	подобные слагаемые .
	Произведение	не кратно 10 .
	Произведение	первого и третьего из них равно ( -6 ) .
2	Произведение	нескольких дробей можно записать как единую дробь , числитель которой равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
	Произведение	и частное степеней .
	Произведение	их полных лет равно 20 677 .
147 Докажите утверждение : а )	Произведение	любых пяти последовательных чисел делится на 60 ; б ) Число , записываемое 80 двойками , 80 единицами и 80 нулями , не может быть точным квадратом .
а )	Произведение	любых шести последовательных целых чисел делится на 360 . б ) Число , записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом .
	Произведение	, состоящее из числовых множителей и множителей - переменных , называется одночленом .
Сумма кратна 9 . д )	Произведение	делится на 25 . е ) Произведение не кратно 9 . ж )
Сумма кратна 9 . д ) Произведение делится на 25 . е )	Произведение	не кратно 9 . ж )
в )	Произведение	любых семи последовательных чисел делится на 2520 . г ) Число , записываемое 100 двойками , 100 единицами и 100 нулями , не может быть точным квадратом .
	Произведение	нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
	Произведение	нескольких множителей тогда и только тогда равно нулю , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
	Произведение	разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
в )	Произведение	двух отрицательных рациональных чисел есть число положительное .
	Произведение	всех числовых множителей одночлена называется коэффициентом одночлена .
	Произведение	степеней . многочлена и одночлена .
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д )	Произведение	модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж )	Произведение	чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
	Произведение	суммы квадратов b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля разности квадратов а и b .
	Произведением	двух натуральных чисел а и b называется сумма b слагаемых , каждое из которых равно а .
	Произведением	двух многочленов называется многочлен , равный сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого многочлена .
	Произведением	одночлена и многочлена называется многочлен , равный сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена .
и )	Простое число	5 является нечетным .
2	Простые числа	.
	Простые числа	до 1000 .
	Простые числа	занимают особое место среди всех натуральных чисел .
Теорема 2	Простых чисел	существует бесконечно много .
1	Прямая	пропорциональность .
	Прямая	пропорциональность задана таблицей .
	Прямая	пропорциональность .
	Прямая	проходит через начало координат и точку А. Является ли эта прямая графиком функции , если .
	Прямая	проходит через точки А и В. Задайте аналитически линейную функцию , графиком которой является эта прямая , и постройте ее график .
Рассчитайте сумму , которую должны заплатить за отопление за апрель эти четыре компании , если известно , что компания , которая платит за электроэнергию больше всех , заплатила за апрель 17 500 р . г )	Прямоугольный	участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 6000 .
	Прямоугольный	участок земли , площадь которого равна 30 000 м2 , изображен на плане .
	Прямоугольный	участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 7000 .
	Прямоугольный	участок земли , площадь которого равна 2700 м2 , изображен на плане .
в )	Прямоугольный	участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1:5000 .
б )	Прямоугольный	участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 9000 .
	Путь	из пункта А в пункт В велосипедист проехал со скоростью v км / ч за t ч .
	Путь	от А до В равен ut км , при этом v больше 0 и t больше 0 .
	Путь	, пройденный в конце данного промежутка времени .
	Равенства	, справедливые при любых значениях входящих в них букв , называют тождествами .
а ) Равенство т(т плюс 1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б )	Равенство	9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k .
56 Докажите прямым и косвенным методом : а )	Равенство	неверно при любом ; натуральном n ; б ) Равенство неверно при любом .
56 Докажите прямым и косвенным методом : а ) Равенство неверно при любом ; натуральном n ; б )	Равенство	неверно при любом .
а )	Равенство	2х(х плюс 1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б ) Равенство 18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у .
	Равенство	.
а )	Равенство	т(т плюс 1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б ) Равенство 9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k .
	Равенство	неверно при любом .
а ) Равенство 2х(х плюс 1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б )	Равенство	18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у .
	Разделив	обе части данного равенства на общий множитель , получаем , что 2 5 .
	Разделив	обе части этого равенства на общий множитель получаем .
	Разделив	последнее равенство на 10 , получаем : 1 см 100 мм .
	Разделив	обе части этого равенства на общий множитель получаем , что .
	Разделив	последнее равенство на 10 , получаем .
	Разделив	обе части данного неравенства на 4 , получим х. И так как по условию х , то х может принимать лишь целые значения из промежутка .
	Разделим	обе части этого равенства на общий множитель .
	Разделим	целые числа на три класса в зависимости от их остатков от деления на 3 .
	Разделим	обе части последнего равенства на 10 .
Разделите число 1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б )	Разделите	число 2438 на четыре части пропорционально числам 3 , 4 , 9 , 10 .
	Разделите	число 2420 на четыре части пропорционально числам 2 , 3 , 8 .
	Разделите	число 1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б ) Разделите число 2438 на четыре части пропорционально числам 3 , 4 , 9 , 10 .
	Разделите	число 2478 на три части пропорционально числам 2 , 5 , 7 .
	Разделить	с остатком А на В .
	Разделить	число а на число b с остатком значит представить число а в виде .
2	Разделить	k на делитель b , в ответе - неполное частное с .
	Разложение	многочлена на множители .
4	Разложение	многочленов на множители с применением нескольких способов .
4	Разложение	многочленов на множители .
545	Разложите	трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов .
	Разложите	на множители многочлен х2 плюс 4х плюс 3 .
	Разложите	на множители многочлен .
	Разложите	на множители многочлен х6 минус 2х3 плюс 1 .
621	Разложите	на множители .
Убедитесь в том , что все члены многочлена не имеют общего буквенного множителя :	Разложите	данный многочлен на множители , группируя члены , имеющие общие множители .
	Разложите	на множители многочлен у3 плюс у2 минус х2 минус х3 .
	Разложите	на множители многочлен 3у2 плюс 7у минус 10 .
	Разложите	на множители .
	Разложите	на множители многочлен х6 плюс 5х3 плюс 4 .
622	Разложите	на множители .
569	Разложите	трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов .
596	Разложите	на множители .
	Разложите	многочлен на множители , используя способ группировки . 2 ) Какой формулой сокращенного умножения можно воспользоваться , чтобы разложить этот многочлен на множители ?
	Разложите	на множители многочлен 3с минус 1 минус 3с2 плюс с3 .
	Разложите	на множители многочлен х4 плюс 4 .
	Разложите	многочлен на множители , используя эту формулу .
	Разложите	на множители многочлен х4 минус 1 .
651	Разложите	на множители .
676	Разложите	на множители .
	Разложите	многочлен на множители .
	Разложите	многочлен на множители , выделяя полный квадрат .
	Разложите	на множители многочлен : а4 плюс ах2 минус а2х минус х4 . 2 )
648	Разложите	трехчлен на множители , выделяя полный квадрат .
	Разложить	многочлен на множители не всегда легко , а порой и невозможно .
1	Разложить	каждое число на простые множители .
	Разложить	многочлен на множители ( на буквенные множители ) — это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов , степень которых больше нуля .
2	Разность	квадратов .
339 а )	Разность	квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 11 .
	Разность	двух чисел равна 58 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д )	Разность	чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
	Разность	двух рациональных чисел равна 438 .
	Разность	многочленов .
а ) Трехзначное число , записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 . б )	Разность	любого четырехзначного числа и четырехзначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
в )	Разность	двух натуральных чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть целым числом .
	Разность	кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы .
	Разность	квадрата числа х и частного чисел у и г .
	Разность	между 98 и увеличенным в девять раз первым натуральным числом равна увеличенному в пять раз второму натуральному числу .
	Разность	двух положительных рациональных чисел может быть числом отрицательным .
	Разность	двух рациональных чисел равна 3 , при этом модуль одного из этих чисел в 2 раза больше модуля другого числа .
	Разность	квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы .
в ) Модуль разности кубов а и b . г )	Разность	модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д )	Разность	квадратов чисел а и b. .
	Разность	квадратов двух последовательных четных чисел равна 28 .
а )	Разностью	двух чисел называется число , такое , что . б ) Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
	Разностью	многочленов называется многочлен , равный сумме уменьшаемого и многочлена , противоположного вычитаемому .
1	Рациональные	числа и законы арифметики .
1	Рациональные числа	и законы арифметики .
644	Рациональным	способом найдите значение выражения .
Теорема 2 (	Рефлексивность	сравнений ) .
Решите уравнение	Решение	.
	Решение	. 1 ) Для того чтобы определить значение температуры в августе 2000 г. , находим в таблице строку , соответствующую 2000 г. , и находим столбец , соответствующий августу .
	Решение	неравенств с модулями .
	Решение	неравенства .
	Решение	уравнений с модулями .
	Решение	.
	Решение	линейных уравнений в целых числах .
	Решение	уравнений требует также и умения упрощать входящие в него выражения .
Решите неравенство :	Решение	.
Решите равнение	Решение	.
	Решение	: Наименьшее значение веса семиклассников равно 35 кг , наибольшее — 55 кг , а размах числового набора равен разности между наибольшим и наименьшим значением , то есть 20 кг .
5	Решение	задач с помощью разложения многочленов на множители .
5	Решение	задач с помощью сравнений .
	Решением	неравенства будет объединение всех полученных решений .
	Решением	исходного неравенства является объединение множеств решений , полученных на всех числовых промежутках .
	Решения	неравенства .
	Решения	.
	Решения	уравнений .
	Решения	линейных неравенств .
	Система	аксиом для множества натуральных чисел была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке .
3	Сложение	и вычитание многочленов .
	Сложите	числа , расположенные в каждой из первых шести строк треугольника Паскаля .
4	Сложить	по « столбцам » подобные слагаемые и записать полученные результаты .
3	Сложить	по « столбцам » подобные слагаемые и записать полученные результаты .
	Собственная	скорость первой яхты равна 25 км / ч , а второй — 30 км / ч .
	Собственная	скорость лодки равна 7 км / ч , а скорость течения реки равна 2 км / ч .
	Собственная	скорость катера равна 14,5 км / ч .
	Собственная	скорость первого катера равна 26 км / ч , а второго — 24 км / ч .
	Собственная	скорость первого теплохода равна 31 км / ч , а второго - 35 км / ч .
	Собственная	скорость лодки равна 6 км / ч .
	Собственная	скорость первого теплохода равна 27 км / ч , а второго - 31,5 км / ч .
332 Найдите значение выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
391	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
604	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
587	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
548	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
495	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
672	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
477	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
613	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
485	Сократите	дробь .
757	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
763	Сократите	дроби .
	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
517	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
264	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
362	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
643	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
508	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
449	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
571	Сократите	дроби при допустимых значениях переменных .
419	Сократите	дробь при допустимых значениях переменных .
	Среднее	арифметическое указанного числового набора равно .
	Среднее	арифметическое .
	Среднее	арифметическое является своеобразным критерием эффективности работы производства .
	Среднее арифметическое	является своеобразным критерием эффективности работы производства .
	Среднее арифметическое	.
	Средний	из них в 2 раза старше младшего .
511 а )	Средний	возраст 12 игроков баскетбольной команды равен 24 года , а средний возраст этих игроков вместе с тренером равен 25 годам .
6 )	Средний	возраст 20 спортсменов и одного тренера равен 25 годам .
б )	Средний	возраст сотрудников пончиковой компании Антона и Ксюши равен 30 годам .
г )	Средний	возраст врачей и больных в больнице равен 40 лет .
	Средним	арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
	Средним арифметическим	нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
	Средняя	цена одного пончика в пяти городах Центрального региона России равна 15,6 рублей , в восьми городах Северо - Западного региона — 16,8 рублей , а в семи городах Южного региона — 18,6 рублей .
	Средняя	цена одной коробки с пончиками равна 138 р .
	Средняя	скорость одной электрички равна 40 км / ч .
1	Степень	с натуральным показателем .
	Степень	дроби . многочлена .
	Степень	нулевого одночлена не определяется .
	Степень	произведения и частного ( дроби ) .
	Степенью	ненулевого одночлена называется сумма показателей степеней входящих в одночлен переменных .
	Степенью	многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов при записи многочлена в стандартном виде .
Какой могла быть эта цифра , если число делилось на . а )	Сторону	квадрата сначала уменьшили на 40 % , а затем увеличили на 40 % .
	Сумма	цифр загаданного четырехзначного числа равна 25 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 38 .
	Сумма	цифр числа делится на 3 Число делится на 3 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 17 .
а )	Сумма	числа а и частного от деления b на с . б ) Частное от деления произведения чисел х и у на разность чисел m и n .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 28 .
	Сумма	кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
а ) Если натуральное число больше 9 , то оно больше или равно 10 . б )	Сумма	двух натуральных чисел , каждое из которых больше 5 , меньше 9 .
а ) Сумма трех последовательных четных чисел делится на 6 . б )	Сумма	трех последовательных нечетных чисел делится на 3 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е )	Сумма	чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 26 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 55 .
	Сумма	цифр загаданного четырехзначного числа равна 30 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 10 , а их произведение равно 24 .
20 а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 27 .
	Сумма	четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 12 .
	Сумма	углов треугольника равна 180 ° , значит .
	Сумма	любых двух простых чисел - простое число . д ) Всякое простое число не может быть четным .
	Сумма	двух модулей всегда число неотрицательное , а поэтому всегда больше отрицательного числа .
Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г )	Сумма	четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 48 .
а )	Сумма	трех последовательных четных чисел делится на 6 . б ) Сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3 .
	Сумма	двух рациональных чисел равна 8 , при этом модуль одного из этих чисел в 3 раза меньше модуля другого числа .
а )	Сумма	полных лет Антона и Ксюши равна 30 .
	Сумма	данных чисел равна , а их количество 10 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 44 .
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 45 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 54 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 47 .
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж )	Сумма	кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
	Сумма	кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности .
а ) Модуль разности квадратов а и с . б )	Сумма	модулей а , b и с .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 35 .
	Сумма	цифр загаданного четырехзначного числа равна 22 .
	Сумма	двух рациональных чисел равна 2490 .
	Сумма	увеличенного в семь раз первого натурального числа и удвоенного второго натурального числа равна 39 .
	Сумма	кратна 9 . д ) Произведение делится на 25 . е ) Произведение не кратно 9 . ж )
а )	Сумма	двух натуральных чисел равна 36 .
	Сумма	двух отрицательных рациональных чисел отрицательна .
а )	Сумма	двух чисел не зависит от порядка слагаемых .
	Сумма	длин сторон двух квадратов равна 20 см , а разность их площадей равна 40 см2 .
	Сумма	двух натуральных чисел равна 26 .
4	Сумма	и разность кубов .
	Сумма	многочленов .
	Сумма	выручек двух филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши за март была равна 765 тыс. р .
145	Сумма	n первых натуральных чисел вычисляется по формуле .
	Суммой	многочленов называется многочлен , членами которого являются все члены многочленов слагаемых , взятых с их знаками .
	Сумму	двух целых чисел умножили на их произведение .
	Теорема	Яблоко сладкое .
	Теорема	Лимон кислый .
	Теорема	8 Если .
	Теорема	2 ( Рефлексивность сравнений ) .
	Теорема	7 Если .
	Теорема	3 ( Симметричность сравнений ) .
	Теорема	4 ( Транзитивность сравнений ) .
	Теорема	Картоль квадратный и кислый .
	Теорема	3 .
	Теорема	2 .
	Теорема	о делимости .
	Теорема	9 Если .
	Теорема	6 Если .
	Теорема	1 .
	Теорема	Мандар круглый и сладкий . г )
	Теорема	2 Простых чисел существует бесконечно много .
	Теорема	5 .
	Теорема	.
	Теорема	1 Любое положительное рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби .
	Теорема	2 Любая положительная периодическая десятичная дробь является рациональным числом .
	Теорема	1 Если число а делится на число b , то существует единственное число с , такое , что .
	Теорема	1 Целые числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m .
	Теорема	1 ( Основная теорема арифметики ) .
	Теорема	4 .
	Теорема	о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
	Теорема	о периодичности остатков .
	Теорема	2 Любое натуральное число делится на единицу .
	Теорема	3 Любое натуральное число делится на само себя .
	Теорема	4 Если натуральное число а делится на натуральное число b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то .
	Теоремы	2 и 3 доказываются аналогично теореме 1 .
	Теория вероятностей	.
	Тождество	.
	Точка	А ( р ; q ) принадлежит графику функции .
	Точка	С принадлежит отрезку АВ .
	Точка	А ( р , q ) принадлежит графику функции .
	Точки	1 и ( -4 ) разбивают числовую прямую на три промежутка .
Теорема 4 (	Транзитивность	сравнений ) .
	Третий	— четверть суммы , заплаченной остальными .
	Третье	число получили , сложив первое и второе число .
	Треугольник	Паскаля .
	Трехчлен	.
	Умножение	.
	Умножение	многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
4	Умножение	одночлена на многочлен .
5	Умножение	многочлена на многочлен .
	Умножим	обе части данного уравнения на число 30 — наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей .
	Умножим	левую часть равенства на 10 см , а правую часть — на 100 мм .
	Уравнение	.
	Уравнение	может иметь один корень , два корня и так далее , а может вообще не иметь корней .
	Уравнение	, где a , b , с Z , не имеет целых решений , если с не делится на d НОД .
Шаг 3	Уравнение	( х плюс 1)(х плюс 2)(х плюс 3 ) равно 0 равносильно исходному .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д )	Уравнение	( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
	Уравнения	могут быть с одним неизвестным , двумя , тремя и т .
	Уравнения	данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается выражением аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию .
	Уравнения	, решениями которых являются целые числа , интересовали ученых еще в древности .
	Функцией	называется правило f , по которому каждому элементу х из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент у из множества Y.
	Функции	заданы словесным описанием .
	Функции	заданы таблично .
	Функциональная	зависимость и кодирование информации .
	Функциональная	зависимость между величинами .
	Функцию	задали следующим образом : каждому рациональному числу q поставили в соответствие наибольшее целое число , не превосходящее этого числа .
	Функция	задана формулой .
	Функция	задана формулой , показывающей , как для каждого значения х из области ее определения вычислить соответствующее значение у .
	Функция	.
	Функция	определена ( или задана ) , если нам известно правило соответствия и множество значений переменной , к которому это правило надо применять .
	Функция	задана словесным описанием .
	Функция	задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
	Функция	задана с помощью таблицы .
	Функция	задана с помощью графика .
	Функция	— одно из важнейших понятий математики , и нам важно теперь научиться обозначать функции , а также выяснить , каким образом можно задать функцию .
	Функция	задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 .
	Функция	вида , где k и b — произвольные числа , называется линейной функцией .
	Целое	число а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое целое число с , что .
а )	Целое	число дает при делении на 7 остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 3 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г )	Целое	число при делении на 4 дает в остатке 3 .
а )	Целое	число а кратно 9 .
	Целое	число дает при делении на 4 остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 5 .
	Целое	число при делении на 3 дает остаток 2 .
	Целое	число при делении на 7 дает остаток 2 , а при делении на 8 — остаток 3 .
а )	Целое	число дает при делении на 5 остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
в )	Целое	число при делении на 5 дает в остатке 2 .
	Целое	решение уравнения , где a , b , с е Z , всегда существует , если с делится на d = НОД .
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б )	Целое	число при делении на 5 дает в остатке 4 .
398 а )	Целое	число при делении на 8 дает в остатке 7 .
407 а )	Целое	число а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б )	Целое	число при делении на 9 дает в остатке 7 .
а )	Целое	число а кратно 7 .
	Целое	число b при делении на 36 дает остаток 3 .
а )	Целое	число дает при делении на 8 остаток 3 , а при делении на 5 — остаток 1 .
428 а )	Целое	число а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при делении на 14 дает в остатке 9 .
422 а )	Целое	число при делении на 6 дает в остатке 5 .
	Целое	число b при делении на 14 дает остаток 8 .
	Целое число	дает при делении на 4 остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 5 .
407 а )	Целое число	а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7 .
	Целое число	b при делении на 14 дает остаток 8 .
а )	Целое число	дает при делении на 5 остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
398 а )	Целое число	при делении на 8 дает в остатке 7 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г )	Целое число	при делении на 4 дает в остатке 3 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б )	Целое число	при делении на 5 дает в остатке 4 .
а )	Целое число	дает при делении на 7 остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 3 .
в )	Целое число	при делении на 5 дает в остатке 2 .
а )	Целое число	дает при делении на 8 остаток 3 , а при делении на 5 — остаток 1 .
422 а )	Целое число	при делении на 6 дает в остатке 5 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б )	Целое число	при делении на 9 дает в остатке 7 .
	Целое число	при делении на 3 дает остаток 2 .
	Целое число	а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое целое число с , что .
428 а )	Целое число	а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при делении на 14 дает в остатке 9 .
	Целое число	при делении на 7 дает остаток 2 , а при делении на 8 — остаток 3 .
а )	Целое число	а кратно 7 .
	Целое число	b при делении на 36 дает остаток 3 .
а )	Целое число	а кратно 9 .
	Целые	числа - первоисточник математики .
Теорема 1	Целые	числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m .
а ) Число а противоположно числу b , если . б )	Целые	числа - это натуральные числа , им противоположные и нуль .
	Целые числа	- первоисточник математики .
Теорема 1	Целые числа	а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m .
а ) Число а противоположно числу b , если . б )	Целые числа	- это натуральные числа , им противоположные и нуль .
	Целыми	решениями полученного неравенства являются х 6 и х 7 .
	Четная	степень отрицательного числа содержит четное число отрицательных множителей .
г )	Четные	числа - это натуральные числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
	Четные	числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
в )	Четные	натуральные числа не могут быть простыми .
«	Четырехугольник	, все углы которого равны , называется прямоугольником » .
«	Четырехугольник	- это многоугольник с четырьмя сторонами » .
	Числа	257 , 374 и 478 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число , большее 1 .
	Числа	115 000 и 1 085 000 дают одинаковые остатки при делении на 97 . .
	Числа	1712 , 1807 и 1940 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число , большее 1 .
	Числа	, имеющие одинаковые остатки при делении на некоторое заданное натуральное число , настолько важны в математике , что получили свое специальное название .
	Числа	b и с - делители числа а , число а - кратное чисел b и с .
	Числа	m , n — натуральные .
	Числа	и функции — не произвольные продукты нашего духа , они существуют вне нас с тем же характером необходимости , как вещи объективной реальности .
342	Числа	901 , 1696 , 4293 дают равные остатки при делении на некоторое натуральное число .
а )	Число	а , кратное числу b , не может быть больше b . б ) Любое натуральное число , большее 1 , имеет по крайней мере 2 делителя .
а )	Число	62 458 делится на 11 . б ) Число 100 851 при делении на 17 дает остаток 7 .
а )	Число	261 679 делится на 11 . б ) Число 740 630 при делении на 13 дает остаток 7 .
282 По данным таблиц постройте линейные диаграммы : а ) Величина прожиточного минимума на одного человека в РФ ; б ) Общая жилплощадь , приходящаяся в среднем на одного жителя РФ ( по со стоянию на конец года ) ; в )	Число	высших учебных заведений в РФ ( среднегодовой показатель ) .
а ) Число 62 458 делится на 11 . б )	Число	100 851 при делении на 17 дает остаток 7 .
	Число	а делится ( без остатка ) на число b , если существует такое число с , что .
Число а меньше или равно числу 9 . б )	Число	48 делится на с .
	Число	4 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
а )	Число	804 является делителем числа 566 820 . б )
	Число	90 разделили на то же самое число и получили в остатке 18 .
а )	Число	футболистов , теннисистов и волейболистов , занимающихся в спортивном обществе « Юниор » , относится как 5 к 2 к 7 .
Число а на 12 больше числа b . г )	Число	х в 3 раза меньше числа у . д ) Модуль числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 .
	Число	а на 12 больше числа b . г ) Число х в 3 раза меньше числа у . д ) Модуль числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 .
	Число	, противоположное числу ( -а ) , может быть меньше а .
	Число	( -6 ) не является положительным числом .
	Число	8 является решением неравенства х. Значит , число 8 — положительное .
	Число	1 имеет единственный делитель - само себя , и поэтому оно выделено в ряду натуральных чисел в особую группу : не является ни простым , ни составным .
	Число	0 является натуральным числом .
	Число	0 делится на любое натуральное число .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в )	Число	14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
	Число	( -6 ) не является решением неравенства х. Значит , число ( -6 ) не является положительным числом .
	Число	4 меньше 5 . з ) Все рациональные числа , меньшие 5 , больше ( -100 ) .
а )	Число	, обратное 3 , равно -3 . б ) Модуль числа х может быть равен -х .
	Число	k называется коэффициентом пропорциональности .
	Число	строк на странице на 15 меньше , чем число букв в каждой строке .
а ) Произведение любых шести последовательных целых чисел делится на 360 . б )	Число	, записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом .
	Число	3 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
	Число	тигров более чем на 11 больше , чем число обезьян и крокодилов вместе .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е )	Число	0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
147 Докажите утверждение : а ) Произведение любых пяти последовательных чисел делится на 60 ; б )	Число	, записываемое 80 двойками , 80 единицами и 80 нулями , не может быть точным квадратом .
	Число	28 является простым числом .
а )	Число	11 является составным числом .
Число 9 является делителем числа 24 070 802 301 . г )	Число	3 805 464 400 кратно 8 .
	Число	букв русского алфавита равно 33 .
Докажите , что а ) При любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем уравнения б )	Число	12 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
	Число	100 разделили на некоторое натуральное число и получили в остатке 4 .
	Число	236 235 кратно 3 , но не кратно 9 .
	Число	4 253 696 не кратно ни 5 , ни 10 . г )
	Число	9 является делителем числа 24 070 802 301 . г ) Число 3 805 464 400 кратно 8 .
а ) Число 89 является делителем числа 625 670 . б )	Число	169 491 кратно 3 .
	Число	k называют коэффициентом при неизвестном , а число b — свободным членом линейного уравнения .
а )	Число	89 является делителем числа 625 670 . б ) Число 169 491 кратно 3 .
	Число	11 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
	Число	с называют общим делителем двух натуральных чисел а и b , если оно является делителем и для а , и для b .
	Число	полных лет Антона при делении на 5 дает остаток 1 , а число полных лет Ксюши при делении на 5 дает остаток 4 .
	Число	а меньше или равно числу 9 . б ) Число 48 делится на с .
	Число	28 725 300 108 кратно 2 , 9 и 18 .
Число с составляет 5/6 от числа d . з )	Число	k составляет 35 % от числа t .
	Число	с составляет 5/6 от числа d . з ) Число k составляет 35 % от числа t .
а ) Число 261 679 делится на 11 . б )	Число	740 630 при делении на 13 дает остаток 7 .
	Число	1000 делится на 20 .
а ) Число а делится на число 6 . б )	Число	с при делении на d дает остаток r . в ) Числа p и r взаимно простые .
а )	Число	6 является делителем числа 128 . б ) Число 9 является делителем всех натуральных чисел .
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г )	Число	, противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
Все целые числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в сумме с 6 дает 17 . д )	Число	3 является решением уравнения .
а )	Число	а противоположно числу b , если . б ) Целые числа - это натуральные числа , им противоположные и нуль .
в ) Произведение любых семи последовательных чисел делится на 2520 . г )	Число	, записываемое 100 двойками , 100 единицами и 100 нулями , не может быть точным квадратом .
	Число	0,5 , или называют в данном случае вероятностью выпадения « решки » при подбрасывании монеты .
	Число	благоприятных исходов .
Сумма цифр числа делится на 3	Число	делится на 3 .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б )	Число	362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а )	Число	56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б )	Число	793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в )	Число	678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г )	Число	862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
	Число	а больше каждого из имеющихся простых чисел .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з )	Число	555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и )	Число	143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
	Число	однокомнатных , двухкомнатных , трехкомнатных и четырехкомнатных квартир в доме относится как 5,7 к 5,6 к 2,2 к 1,5 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к )	Число	4 010 532 не делится на 12 .
а )	Число	мужчин , женщин и детей , занимающихся в секции тенниса , относится как 3 к 5 к 9 .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а )	Число	1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
а )	Число	а делится на число 6 . б ) Число с при делении на d дает остаток r . в ) Числа p и r взаимно простые .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а )	Число	156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
	Число	а называется обратным к числу , если .
а ) Число d - делитель числа а , если число а в с раз больше d . б )	Число	k является кратным числа b , если число k в а раз больше .
	Число	т — четное , а число n — нечетное .
	Число	258 делится на 3 - истинно .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б )	Число	16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
а ) Число 6 является делителем числа 128 . б )	Число	9 является делителем всех натуральных чисел .
в )	Число	17 является составным числом .
	Число	, обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
а )	Число	d - делитель числа а , если число а в с раз больше d . б ) Число k является кратным числа b , если число k в а раз больше .
	Числом	является любая последовательность , состоящая не более чем из пяти цифр .
	Члены	многочлена . .
	Шары	положили в мешок и перемешали , а затем , не глядя в мешок , один шар вытащили из него .
	Шары	положили в мешок и перемешали , а затем , не глядя в мешок , из него вытащили один шар .
«	Ширина	прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина на 3 см больше стороны этого же квадрата .
	Ширина	прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина — на 3 см больше стороны этого же квадрата .
В точках с какими координатами этот график пересекает ось	абсцисс	, ось ординат ?
Если же k -0 и b — 0 одновременно , то ее графиком является сама ось	абсцисс	Ох .
параллельная оси	абсцисс	Ох .
В каких точках этот график пересекает ось	абсцисс	, ось ординат ?
С увеличением острый угол между графиком и осью	абсцисс	Ох увеличивается ( график становится « круче » ) , а с уменьшением k — уменьшается ( график более « пологий » ) .
Ах , симметричной точке А относительно оси	абсцисс	Ох .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох (	абсцисса	) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции .
Обычно выбирают одну точку с	абсциссой	0 , а вторую — произвольно , с учетом удобства вычислений , например .
Таким образом , ордината любой точки В графика единицы больше , чем ордината точки А графика с той же	абсциссой	х0 .
1 Найти	абсциссу	, равную х .
Новые утверждения ( теоремы ) доказываются только с помощью	аксиом	и ранее доказанных утверждений .
При этом каждое новое утверждение выводится из	аксиом	или уже доказанных утверждений в соответствии с законами логики .
Основные свойства первоначальных понятий задаются системой	аксиом	.
Как мы уже видели , любая математическая теория строится на базе первоначальных понятий и	аксиом	.
В частности , выбранная система	аксиом	должна быть непротиворечивой , то есть она не должна приводить к противоречащим друг другу выводам .
Действительно , если система	аксиом	некоторой математической теории такова , что в результате логических рассуждений может быть получено , что одно и то же утверждение одновременно верно и неверно , то поиск истины с помощью этой теории теряет смысл .
Все остальные элементы цепи называются теоремами и выводятся из	аксиом	путем логических рассуждений .
Однако в математике доказать какое - либо утверждение - это значит показать , что это утверждение логически следует из уже доказанных утверждений или	аксиом	.
А применить аксиоматический метод в геометрии удалось Евклиду : он создал систему	аксиом	, которая стала основой логического обоснования всех известных на тот момент геометрических утверждений .
Для этих понятий введена следующая система	аксиом	: .
Для этих понятий введена следующая система	аксиом	.
В XIX веке , изменив всего лишь одну аксиому в системе	аксиом	Евклида , великий русский математик Н. И. Лобачевский построил новую непротиворечивую геометрию .
Она выстроена на базе системы основных понятий и	аксиом	, описывает общие законы и тем самым создает возможность для согласования различных мнений и взглядов .
Система	аксиом	для множества натуральных чисел была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке .
Значение	аксиом	первым оценил Аристотель , величайший древнегреческий философ и ученый .
И именно из	аксиом	Пеано следует , что если натуральное число равно n , то следующее за ним равно , а число , следующее за , равно .
Они называются	аксиомами	.
А применить	аксиоматический	метод в геометрии удалось Евклиду : он создал систему аксиом , которая стала основой логического обоснования всех известных на тот момент геометрических утверждений .
Выход из этого противоречия предлагает	аксиоматический	метод построения математической теории .
Если	аксиоматический	метод является стилем современной математики , то потребности практики являются ее фундаментом .
Что же дает	аксиоматический	метод ?
Геометрию Лобачевского назвали неевклидовой , подчеркнув ее отличие от классической геометрии , основанной на	аксиомах	Евклида .
Скорее ,	аксиомы	- это некоторые выбранные свойства первоначальных понятий .
Создатель математической теории может сам выбирать первоначальные понятия и	аксиомы	.
Поэтому	алгебра	изучает также общие свойства арифметических действий , помогающие рационально проводить преобразования выражений .
а ) В седьмом классе одной из школ в расписании занятий в понедельник должны быть следующие предметы :	алгебра	, русский язык , история , физика , география .
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а	алгебраическая сумма	одночленов по определению многочлен .
Мы видим , что данная	алгебраическая сумма	также является многочленом .
Как мы уже знаем ,	алгебраическая сумма	нескольких одночленов является одночленом , только если речь идет о сложении и вычитании подобных одночленов .
Выражение , записанное как	алгебраическая сумма	одночленов , называется многочленом .
Пользуясь правилами равносильных преобразований , мы можем упрощать не только	алгебраические суммы	, но и произведения .
Мы умеем также упрощать	алгебраические суммы	, пользуясь законами арифметических действий .
Но при решении разного рода задач нам часто приходится сталкиваться и с	алгебраическими выражениями	, содержащими произведение и частное нескольких величин .
Мы знаем , что если между двумя числами или двумя	алгебраическими выражениями	стоит знак , то получившееся математическое предложение называют равенством .
Между двумя числами или	алгебраическими выражениями	могут стоять знаки > , < , > или < .
2 Равносильные преобразования	алгебраических выражений	.
Глава 3 Законы равносильных преобразований	алгебраических выражений	.
Поэтому для того , чтобы упрощать такие выражения , мы должны научиться производить равносильные преобразования	алгебраических выражений	со скобками .
411 Назовите слагаемые указанных	алгебраических сумм	и запишите эти суммы , ставя между слагаемыми знак « + » .
Основные законы сложения верны также и для	алгебраических сумм	, то есть выражений , содержащих несколько последовательных действий сложения и вычитания .
Таким образом , мы приходим к следующим правилам раскрытия скобок при равносильных преобразованиях	алгебраических сумм	.
Какие из данных	алгебраических сумм	являются равносильными выражениями ?
434 Назовите слагаемые	алгебраических сумм	и запишите их , ставя между слагаемы ми знак « + » .
Упростим сначала числитель этой дроби , пользуясь правилами преобразования	алгебраических сумм	.
Используя эти законы при преобразованиях	алгебраических сумм	, мы можем моментально найти значение , например , такого выражения .
1 Равносильные преобразования	алгебраических сумм	.
Правила раскрытия скобок в	алгебраических суммах	.
В предыдущем пункте мы разобрались с тем , как раскрывать скобки в	алгебраических суммах	.
Для этого раскроем скобки , используя правило умножения одночлена на многочлен , а затем в полученной	алгебраической сумме	приведем подобные слагаемые .
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 1 , то значение многочлена равно	алгебраической сумме	всех его коэффициентов .
Правило 2 Если в	алгебраической сумме	перед скобкой стоит знак « - » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
Например , составим сумму многочленов а2 - 4аb плюс b2 и -а2 плюс 3аb и в полученной	алгебраической сумме	раскроем скобки .
Переставив слагаемые в данной	алгебраической сумме	, мы получим куб разности чисел с и 1 .
Правило 1 Если в	алгебраической сумме	перед скобкой стоит знак « + » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
1 В любой	алгебраической сумме	можно произвольным образом переставлять слагаемые и объединять их в группы .
Следовательно , значение многочлена будет равно	алгебраической сумме	, состоящей из нулей и свободного члена , и поэтому равно свободному члену , что и требовалось доказать .
А поскольку многочлен является алгебраической суммой своих членов , то его значение будет равно	алгебраической сумме	всех его коэффициентов , что и требовалось доказать .
Заменим в	алгебраической сумме	каждое действие вычитания прибавлением противоположного слагаемого .
А поскольку многочлен является	алгебраической суммой	своих членов , то его значение будет равно алгебраической сумме всех его коэффициентов , что и требовалось доказать .
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление значения многочлена свелось к нахождению	алгебраической суммы	его коэффициентов , а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену .
Приведем каждый из одночленов данной	алгебраической суммы	к стандартному виду и упростим полученное выражение .
162 Выполните действия , записывая « в столбик » многочлены - слагаемые ( записанные в скобках ) данной	алгебраической суммы	.
3 Если несколько слагаемых	алгебраической суммы	имеют общий множитель , то его можно вынести за скобку .
А вот при сложении и вычитании двух одночленов ситуация иная : одночлен в итоге может получиться лишь тогда , когда слагаемые составленной	алгебраической суммы	, записанные в стандартном виде , имеют одинаковую буквенную часть .
При раскрытии скобок каждое слагаемое	алгебраической суммы	, находящейся в скобках , умножится на ( -1 ) ( в соответствии с распределительным законом ) .
3 Определить степень каждого одночлена и записать их	алгебраическую сумму	в порядке убывания степеней .
Как , например , упростить следующую	алгебраическую сумму	.
Рассмотрим	алгебраическую сумму	, в которой перед слагаемыми стоят как знаки « + » , так и знаки « — » .
В принципе , этих правил вполне достаточно для того , чтобы упростить любую	алгебраическую сумму	, в том числе и приведенную выше .
Выявление общих свойств арифметических действий и их компактная запись с помощью букв стали « поворотным пунктом » в развитии математики : переходом от арифметики к	алгебре	.
И не только потому , что Диофант здесь впервые вводит буквенную символику — язык	алгебры	.
Так , в III веке новой эры появляется сочинение « Арифметика » александрийского математика Диофанта , которое становится поворотным пунктом в развитии	алгебры	и теории чисел .
Учитель математики попросил составителя расписания , чтобы его урок	алгебры	был первым или вторым .
Корни	алгебры	уходят в глубокую древность , а само название происходит от арабского « аль - джебр » ( восполнение , воссоединение , связь ) - приема решения уравнений , описанного в трактате « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми ( ок . 783 - ок .
Поскольку значение у зависит от х , а х мы выбираем произвольно из области определения , то х — это независимая переменная , или , как говорят иначе ,	аргумент	функции , а у — зависимая переменная .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно у1 у2 и у3 .
( Шагом называют разность между двумя соседними значениями	аргумента	. ) .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется значение функции , если значение	аргумента	увеличивается на 2 , уменьшается на 1 .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно у1 , у2 и у3 .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно y1 , у2 и у3 .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если значение	аргумента	увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций .
Задайте данную функцию с помощью : а ) словесного описания ; б ) таблицы значений от -3 до 3 с шагом 1 . ( Шагом называют разность между двумя соседними значениями	аргумента	. ) .
Найдите значение	аргумента	, при котором значение функции равно 1 , 3 , -2 .
Математическая логика , как и любая математическая теория , не опирается на такие	аргументы	, как наблюдения , конкретный случай , чьи - то ощущения .
Ведь гораздо проще установить выполнение какого - либо свойства для конечного множества классов , чем для	бесконечного множества	целых чисел .
То есть применим метод перебора не к	бесконечному множеству	целых чисел , а к конечному числу указанных классов .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс	бесконечность	и минус бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс бесконечность и минус	бесконечность	, круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является	биссектрисой	I и III ( II и IV ) координатных углов .
Доля выбравших данный	вариант	ответа .
Предложите другой	вариант	группировки , позволяющий разложить данный многочлен на множители .
Доля выбравших данный	вариант	ответа . Математика , физика , информатика .
Предложите свой	вариант	определения операции « разложение многочлена на множители » .
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой	вариант	определения произведения одночлена и многочлена и соответствующего правила .
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой	вариант	определения разности многочленов и сравните его с определением 3 на стр. 33 .
Предложите свой	вариант	определения суммы многочленов и сравните его с определением 1 на стр. 32 .
Предложите свое название для зависимостей данного вида и дайте свой	вариант	их определения .
Аналогично по два	варианта	получается , если на втором месте стоят цифра 3 и цифра 4 .
( Рассмотрите оба возможных	варианта	. ) .
Способ подсчета	вариантов	, использованный в задаче 1 , состоит в следующем .
На практике нам часто бывает нужно решать задачи , связанные с перебором	вариантов	.
Используя данный способ подсчета	вариантов	в комбинациях с повторениями , решим следующую задачу .
А вот без ключа расшифровать их непросто , так как количество возможных	вариантов	такого шифра равно поэтому даже с помощью быстродействующего компьютера на дешифровку перебором вариантов будет потрачено столько времени , что сообщение уже будет неактуально .
В итоге мы получаем 36 возможных	вариантов	выпадения кубиков .
Значит , получилось 8 различных	вариантов	с брюками и 10 с юбками , а всего — 18 комплектов .
Количество	вариантов	равно количеству точек в последней строке .
В частности , комбинаторика ищет методы решения задач , в которых надо найти число всех возможных	вариантов	выбора объектов с заданными свойствами .
Сколько существует	вариантов	такого кода ? .
Анализируя с помощью данной таблицы частоту появления символов в зашифрованном тексте , а также их взаимное расположение и учитывая особенности построения слов русского языка , можно существенно сократить количество возможных	вариантов	ключей , а значит , сократить время перебора и в конечном счете расшифровать сообщение .
Рассмотрим , например , следующую задачу подсчета числа возможных	вариантов	.
Если на первом кубике выпадает число 1 , то всего имеется шесть различных	вариантов	выпадения двух кубиков , так как на втором кубике могут выпасть числа от 1 до 6 .
4 Если на символы наложены какие - либо ограничения , то надо вычислить количество возможных	вариантов	отдельно для всех символов с различными свойствами , а затем сложить полученные числа .
3 Если по условию задачи каждый из символов может занимать любую позицию , то общее количество возможных	вариантов	равно произведению полученного числа на количество заданных символов .
2 Для выделенного случая вычислить число возможных	вариантов	, используя дерево возможностей , таблицу и др .
Сколько всего возможно	вариантов	такого кода ? .
Конечно , чтобы догадаться о том , какие слагаемые надо добавить и вычесть из многочлена , зачастую нужно попробовать много разных	вариантов	.
При решении многих задач возникает необходимость рассматривать несколько разных	вариантов	возможной взаимосвязи величин .
Таким образом , общее число возможных	вариантов	в случае , когда на первом месте стоит цифра 1 , равно шести .
В предыдущем пункте мы подсчитывали количество возможных	вариантов	в случаях , когда элементы в искомых комбинациях не повторялись .
Иногда в этом случае задачу можно решить , осуществляя перебор всех возможных	вариантов	.
1 Задача подсчета числа	вариантов	.
А вот без ключа расшифровать их непросто , так как количество возможных вариантов такого шифра равно поэтому даже с помощью быстродействующего компьютера на дешифровку перебором	вариантов	будет потрачено столько времени , что сообщение уже будет неактуально .
В итоге мы пришли к следующему уточненному	варианту	алгоритма решения задач методом математического моделирования .
Сравните свои	варианты	со статистическими характеристиками , приведенными в учебнике .
Предложите свои	варианты	определения понятий « равносильные неравенства » и « равносильное преобразование неравенства » .
Перебирая различные	варианты	, убеждаемся в том , что одним из решений данного уравнения является пара чисел .
Возможны ли другие	варианты	записи ? .
Поэтому , проверяя на первых буквах кода разные	варианты	сдвига , достаточно быстро можно найти ключ шифра .
( Рассмотрите все возможные	варианты	. ) .
Имеются ли другие	варианты	решения этой задачи ? .
,	варианты	, различающиеся лишь порядком множителей , считать одинаковыми ) .
739 Сравните значения	величин	.
190 Определите , какие из указанных	величин	связаны прямой пропорциональной зависимостью , а какие – обратной .
При решении многих задач возникает необходимость рассматривать несколько разных вариантов возможной взаимосвязи	величин	.
При построении круговой диаграммы предполагается , что сумма всех зависимых	величин	составляет 360 ° , а доля каждой зависимой величины в их общей сумме .
Общее же у них то , что с увеличением ( уменьшением ) одной из	величин	в несколько раз другая величина увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
Такая зависимость может быть записана с помощью единой формулы , где х и у — соответствующие значения независимой и зависимой	величин	, а число k называется коэффициентом пропорциональности .
Что касается круговых диаграмм , то они показывают зависимость между значениями величин с помощью	величин	центральных углов круга .
Быстро определить наибольшие и наименьшие значения	величин	, сравнить данные в разные периоды времени , а также ответить на многие аналогичные вопросы .
1 Найти сумму всех зависимых	величин	.
Зависимости между величинами , которые позволяют однозначно определять значение искомой величины , занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных	величин	в тех или иных условиях .
Вначале вычислим сумму S ( в тыс. р . ) всех зависимых	величин	.
Что касается круговых диаграмм , то они показывают зависимость между значениями	величин	с помощью величин центральных углов круга .
А так как . Сравните значения	величин	.
Во всех этих примерах мы можем точно и однозначно находить конкретные значения переменных	величин	с помощью изученных нами формул — в данном случае формул пути , стоимости , работы .
Среди переменных	величин	различают независимые и зависимые величины .
Решая задачи и наблюдая за поведением различных	величин	на практике , мы видели , что между некоторыми из них существуют определенные зависимости .
72 Упростите выражение при допустимых значениях	величин	.
Проверяем соответствие единиц измерения	величин	.
Математика — это наука о связи	величин	.
Величины всех углов выражены в градусах , поэтому единицы измерения	величин	соответствуют друг другу .
Мы знаем , что столбчатая диаграмма показывает зависимость между значениями	величин	с помощью высоты столбиков .
Итак , мы можем дать следующее определение прямо пропорциональных	величин	.
18 Сравните значения	величин	.
Составьте выражение для вычисления указанных	величин	и запишите его как многочлен стандартного вида .
Поэтому при решении задач мы , например , можем легко найти значения	величин	по общему правилу нахождения неизвестного множителя .
Сравните значения	величин	.
Но большинство	величин	в реальной жизни ведут себя иначе .
Приведите примеры других	величин	, связанных аналогичной зависимостью .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения	величин	х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
Натуральные числа появились в процессе счета предметов и измерения	величин	для ответа на вопрос « Сколько ? » .
Но при решении разного рода задач нам часто приходится сталкиваться и с алгебраическими выражениями , содержащими произведение и частное нескольких	величин	.
Проверить соответствие единиц измерения	величин	.
Рассмотрим теперь общий способ решения линейного уравнения вида где х — переменная	величина	.
Мы уже знаем , что	величина	, которая может принимать различные числовые значения , называется переменной величиной .
Общее же у них то , что с увеличением ( уменьшением ) одной из величин в несколько раз другая	величина	увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
Но нам встречались уравнения вида ( ах плюс 6)(сх плюс d ) равно 0 , где a , b , с , d — неизвестная	величина	.
Однако зависимость между	величинами	не всегда может быть задана формулой .
Устанавливаем взаимосвязи между известными и неизвестными	величинами	.
Функциональная зависимость между	величинами	.
Установить взаимосвязи между	величинами	( явно заданные в условии и возникающие из свойств моделируемого объекта ) .
Разобравшись с прямой пропорциональностью , рассмотрим теперь более сложную зависимость между	величинами	.
При этом процессы , которые описывает данная функция , характеризовались двумя постоянными	величинами	k и b , которые не меняли своих значений на всей области определения линейной функции ( множестве всех известных нам чисел ) .
Так , например , если вы решили проехать на автобусе несколько остановок , то скорость автобуса , масса бензина в его баке и количество пассажиров будут переменными	величинами	, а количество его колес и окон в течение поездки не изменится , останется постоянным .
Зависимости между	величинами	, которые позволяют однозначно определять значение искомой величины , занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных величин в тех или иных условиях .
Для этого определяется , что известно , что надо найти , устанавливаются взаимосвязи между известными и неизвестными	величинами	, вводятся буквенные обозначения , составляются математические соотношения : уравнения и неравенства .
Таким образом , при построении математической модели необходимо также установить взаимосвязи между	величинами	, возникающие из свойств моделируемого объекта ( если они есть ) .
Установить взаимосвязи между	величинами	.
Чему равна сумма трех средних по	величине	чисел ? .
В задаче дана информация о	величине	выручки в каждый из дней недели с понедельника по пятницу .
4 Построить центральные углы , соответствующие каждой зависимой	величине	.
Мы уже знаем , что величина , которая может принимать различные числовые значения , называется переменной	величиной	.
в ) Переменной	величиной	называется буквенное обозначение для элемента некоторого множества .
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть	величину	второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины .
Найдите	величину	меньшего угла этого треугольника .
178 Найдите	величину	отношений .
3 Вычислить	величину	центрального угла , соответствующую доле каждой зависимой величины .
Найдите	величину	большего угла этого треугольника .
Фиксируем искомую	величину	.
Выберем в качестве признака , на основании которого мы будем проводить классификацию ,	величину	остатка от деления на некоторое заданное число .
167 Найдите	величину	отношений .
После этого , используя свойства уравнения и найденное решение , можно будет выразить значения х и у через некоторую единую переменную	величину	( обозначаемую , например , k ) , принимающую целые значения .
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили множество значений , которые могут принимать неизвестные величины ; проверили , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим уравнением ; зафиксировали искомую	величину	.
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо	величину	меньшего из углов треугольника , то есть величину второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины .
Найдите	величину	второго угла этого треугольника .
Зафиксировать искомую	величину	.
2 Отметить на вертикальной оси соответствующие значения зависимой	величины	.
3 Вычислить величину центрального угла , соответствующую доле каждой зависимой	величины	.
Среди переменных величин различают независимые и зависимые	величины	.
которого равна соответствующему значению зависимой	величины	.
Запишем их все вместе и зафиксируем значение	величины	, которое требуется найти .
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили множество значений , которые могут принимать неизвестные	величины	; проверили , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим уравнением ; зафиксировали искомую величину .
2 Найти долю каждой зависимой	величины	в общей сумме .
Выпишем соотношения , которые мы составили , и зафиксируем искомые	величины	.
Определить множество значений , которые могут принимать неизвестные	величины	.
д. При этом , рассматривая некоторую конкретную ситуацию , мы можем обнаружить , что одни	величины	меняются , а другие остаются неизменными .
Если высоту Останкинской башни увеличить в 3 раза , а из высоты Эйфелевой башни вычесть 134 и сложить полученные	величины	, то получится 1810 .
Величина первого угла треугольника на 10 ° больше величины второго и на 10 ° меньше	величины	третьего .
Требуется найти	величины	каждого из трех углов треугольника , то есть значения .
3 Для каждого значения независимой	величины	построить столбик , высота .
Так , например , она не дает представлений о том , в каких пределах изменяются значения исследуемой	величины	.
67 Сравните	величины	.
Две	величины	х и у называются прямо пропорциональными , если они связаны формулой , где k — некоторое число .
Однако на практике цены на товары , скорость движения автомобиля и другие	величины	обычно со временем меняются , поэтому для описания таких процессов нам нужны будут уже другие функции .
При построении круговой диаграммы предполагается , что сумма всех зависимых величин составляет 360 ° , а доля каждой зависимой	величины	в их общей сумме .
Выбрать неизвестные	величины	и ввести для них буквенные обозначения .
Таким образом ,	величины	у , хх , у , и х2 образуют пропорцию .
1 Отметить на горизонтальной оси значения независимой	величины	.
Тем не менее , если в течение некоторых промежутков времени данные	величины	k и b все же сохраняют свое постоянное значение , процесс на каждом из этих промежутков остается линейным , и поэтому он может быть описан целиком так называемой кусочно - линейной функцией .
Зависимость между величинами х и у называется линейной , если данные	величины	связаны формулой , где k и b — произвольные числа .
Определить , какие	величины	известны и какие надо найти .
Величина первого угла треугольника на 10 ° больше	величины	второго и на 10 ° меньше величины третьего .
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть величину второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные	величины	.
Однако если мы хотим измерять	величины	с хорошей точностью , то чисел натурального ряда нам не хватит .
Для того чтобы записать результат поиска доли каждой зависимой	величины	в общей сумме , используем исходную таблицу .
Как можно назвать данные	величины	? .
Выбираем неизвестные	величины	, которые будем обозначать буквой .
Найдите значение	величины	зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной .
Зависимости между величинами , которые позволяют однозначно определять значение искомой	величины	, занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных величин в тех или иных условиях .
Например , с точки зрения теории	вероятностей	, шахматная партия — это испытание , результат партии ( выигрыш , проигрыш или ничья ) — это исход , а наш выигрыш — это благоприятный для нас исход .
Элементы теории	вероятностей	. 1 .
Наука , изучающая случайные события и закономерности их поведения , называется теорией	вероятностей	.
Такие опыты в теории	вероятностей	называются испытаниями , а результаты этих испытаний — исходами .
Андрей Николаевич Колмогоров ( 1903 - 1987 ) , русский математик , один из основоположников современной теории	вероятностей	.
Глава 7 Введение в комбинаторику , теорию	вероятностей	и статистику .
Теория	вероятностей	.
Поскольку вероятности выпадения на верхних гранях кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения	вероятности	.
Сравнивая решения задач 2 и 3 , заметим , что	вероятности	выпадения на верхних гранях кубиков различных сумм не совпадают .
Предложите свой способ вычисления	вероятности	случайного события в случаях , когда все исходы равновозможные .
Сравните его с классической схемой вычисления	вероятности	, рассмотренной на стр. учебника .
Правило вычисления	вероятности	равновозможных событий .
Поэтому при определении	вероятности	случайного события А в этом случае используют следующую , так называемую классическую , схему .
Поэтому вычислить точное значение	вероятности	такого случайного события удается достаточно редко .
Классическая схема определения	вероятности	случайного события А . 1 Определить число n. 2 Определить число n ( А ) благоприятных исходов , при которых наступает событие А .
Классическая схема определения	вероятности	.
Поскольку	вероятности	выпадения на верхних гранях кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
Так , частота случайного события в серии из большого числа испытаний будет близка к	вероятности	этого события .
Используя классическую схему определения	вероятности	, решим следующие задачи .
Для этого проводят испытание достаточно много раз , вычисляют частоту появления случайного события , которая и будет являться приближенным значением	вероятности	этого события .
Классическая схема определения .	вероятности	.
Поэтому по значению	вероятности	случайного события мы можем сделать предположение о приблизительном значении частоты его появления в серии испытаний , и наоборот .
Поскольку кубики « идеальные » , то выпадение на верхних гранях каждого из них одного из шести чисел события равновозможные , и мы можем воспользоваться классической схемой определения	вероятности	.
Например ,	вероятность	угадывания одного из 32 загаданных чисел равна а вероятность того , что ученик на экзамене вытащит один « желанный » билет из 58 возможных , равна .
Случайные события ,	вероятность	наступления которых одинакова , называют равновозможными .
Чему равна	вероятность	.
Если результатом некоторого испытания могут быть лишь п равновозможных исходов , то	вероятность	каждого из исходов равна .
Вместе с тем , зная , например , что при бросании игрального кубика	вероятность	выпадения числа 5 равна мы не можем сделать вывод о том , что число 5 будет выпадать при каждом шестом броске .
Можно ли на основании этой информации утверждать , что	вероятность	купить сломанную заколку равна 1/3 ? .
Найдите	вероятность	того , что случайно названное однозначное натуральное число окажется равным задуманному .
Вообще ,	вероятность	некоторого случайного события А — это числовая характеристика возможности наступления события А в условиях , которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз .
Вычислите	вероятность	выпадения шести очков на каждой из верхних граней этих двух кубиков .
Поскольку число благоприятных исходов больше или равно нулю и всегда меньше или равно числу всех возможных исходов , то	вероятность	любого случайного события всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1 .
Тогда	вероятность	такого события равна .
Поэтому	вероятность	такого невозможного события равна .
д ) Чему равна	вероятность	выпадения комбинации « орел » — « орел » — « решка » ? .
Тогда	вероятность	его наступления будет в n ( А ) раз больше , чем и , следовательно , равна .
И так как возможность реализации каждого из этих исходов одинакова , то	вероятность	каждого из них , например , выпадения числа 5 , равна .
В этом случае	вероятность	вычисляют приближенно .
г ) В результате многочисленных наблюдений над новорожденными было вычислено , что	вероятность	рождения девочки с точностью до сотых равна 0,49 .
Вычислите вероятность того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана : 1 ) одна из букв слова «	вероятность	» .
Заметим , что частота и	вероятность	одного и того же случайного события связаны между собой .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Олег получит билет , в котором все 3 вопроса он не успел выучить .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Андрей получит билет , который он успел выучить .
Вычислите	вероятность	того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 9 ; б ) делится на 12 ; в ) делится на 9 и на 2 ; г ) делится на 11 и на 3 .
Ответ : при бросании двух кубиков	вероятность	выпадения на верхних гранях в сумме восьми очков равна .
Как мы уже обсуждали в предыдущем пункте , в некоторых случаях мы можем вычислить	вероятность	того или иного случайного события .
Вероятность события принято обозначать буквой Р. Например ,	вероятность	события А записывают как Р(А ) .
Например , вероятность угадывания одного из 32 загаданных чисел равна а	вероятность	того , что ученик на экзамене вытащит один « желанный » билет из 58 возможных , равна .
В частности , если при проведении некоторого испытания мы имеем n равновозможных исходов , то	вероятность	каждого из них равна .
Каким же образом можно вычислить	вероятность	события ? .
Вычислите	вероятность	выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме десяти очков .
Поэтому	вероятность	события А будет равна .
Ответ : при бросании двух кубиков	вероятность	выпадения на верхних гранях в сумме десяти очков равна .
Ответ : при бросании двух кубиков	вероятность	выпадения шести очков на каждой из их верхних граней равна .
Вычислите	вероятность	того , что « орел » выпадет хотя бы три раза .
Вычислите	вероятность	того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана : 1 ) одна из букв слова « вероятность » .
б ) В 2002 году было вычислено , что	вероятность	дожить до возраста 80 - 90 лет у мужчин равна 0,25 .
Частота и	вероятность	случайных событий .
Вычислите	вероятность	выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме восьми очков .
Вычислите	вероятность	выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме семи очков .
Чему равна	вероятность	того , что оно окажется точным квадратом ? .
Чему равна	вероятность	того , что в итоге записи получится слово « мечта » ? .
Вычислите	вероятность	того , что был утерян .
Вычислите	вероятность	того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана одна из букв слова « головоломка » .
Вычислите	вероятность	того , что Гоше попадется билет , в котором оба вопроса он не успел выучить .
Найдите	вероятность	того , что случайно названное трехзначное натуральное число окажется равным задуманному .
Чему равна	вероятность	того , что красный и синий шары окажутся рядом ? .
Вычислите	вероятность	того , что .
Вычислите	вероятность	того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана .
Вычислите	вероятность	выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме пяти очков .
Вычислите	вероятность	того , что среди вытащенных фотокарточек окажется нужная .
Чему равна	вероятность	того , что полученное число : 1 ) делится на 5 ; 2 ) начинается на 7 ? .
Вычислите	вероятность	того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 7 б ) делится на 5 и на 4
Вычислите	вероятность	того , что среди извлеченных шаров окажется синий шар .
Вычислите	вероятность	того , что хотя бы один раз выпадет « орел » .
Чему равна	вероятность	того , что в итоге записи получится слово « море » ? .
Чему равна	вероятность	того , что эклер и бизе окажутся рядом ? .
Вычислите	вероятность	того , что число на вытащенном шаре .
Вычислите	вероятность	того , что число на вытащенном шаре делится на 12 и на 5 .
Чему равна	вероятность	получить пирог с сюрпризом , взяв кусок пирога наугад ? .
Вычислите	вероятность	того , что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана : 1 ) гласная буква ; 2 ) одна из букв слова « математика » .
Вычислите	вероятность	того , что среди вытащенных открыток окажется нужная .
б ) Чему равна	вероятность	того , что первая же карта , вытащенная из обычной карточной колоды , содержащей 36 карт , окажется : 1 ) дамой ; 2 ) пиковой масти ; 3 ) дамой , королем или тузом ? .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Антон вытащит билет , в котором все три вопроса он не успел выучить .
Вычислите	вероятность	того , что среди извлеченных карандашей окажется зеленый .
а ) Чему равна	вероятность	того , что случайным образом выбранное трехзначное число : 1 ) состоит из трех одинаковых цифр ; 2 ) больше 121 и меньше 148 ? .
Чему равна	вероятность	того , что полученное число : 1 ) делится на 2 ; 2 ) начинается на 8 ? .
Вычислите	вероятность	того , что « решка » выпадет хотя бы два раза .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Соня вытащит билет , который она не успела выучить .
Чему равна	вероятность	выиграть в эту лотерею , купив один билет ? .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Ваня вытянет билет , который он успел выучить .
Найдите	вероятность	того , что случайно названное двузначное натуральное число окажется равным задуманному .
Вычислите	вероятность	того , что , взяв экзаменационный билет наугад , Вася возьмет билет , который он успел выучить .
а ) Чему равна	вероятность	того , что случайным образом выбранное двузначное число : 1 ) состоит из одинаковых цифр ; 2 ) больше 35 и меньше 52 ? .
Число 0,5 , или называют в данном случае	вероятностью	выпадения « решки » при подбрасывании монеты .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения шести очков на каждой из их	верхних граней	равна .
Вычислите вероятность выпадения шести очков на каждой из	верхних граней	этих двух кубиков .
Вычислите вероятность выпадения на	верхних гранях	этих кубиков в сумме семи очков .
сумма выпавших на	верхних гранях	очков равна семи , а модуль их разности равен пяти .
Являются ли равновозможными исходами выпадение на	верхних гранях	двух кубиков в сумме 3 очков и 6 очков ?
а ) сумма очков на	верхних гранях	нечетная и на одном из кубиков выпало 4 очка .
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают .
в ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не меньше 5 и не больше 8 .
Поскольку вероятности выпадения на	верхних гранях	кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
сумма выпавших на	верхних гранях	очков равна пяти , а модуль разности очков равен трем .
Вычислите вероятность выпадения на	верхних гранях	этих кубиков в сумме восьми очков .
Пусть А — событие , при котором на	верхних гранях	обоих кубиков в сумме выпадает восемь очков .
Как изменяется сумма очков на	верхних гранях	двух кубиков при их одновременном бросании ?
сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не больше 6 .
в ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на	верхних гранях	в сумме восьми очков равна .
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не меньше 4 и не больше 6 .
в ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 4 и не больше 6 .
сумма выпавших на	верхних гранях	очков равна шести , а их произведение равно восьми
Поскольку кубики « идеальные » , то выпадение на	верхних гранях	каждого из них одного из шести чисел события равновозможные , и мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
Сравнивая решения задач 2 и 3 , заметим , что вероятности выпадения на	верхних гранях	кубиков различных сумм не совпадают .
сумма выпавших на	верхних гранях	очков равна семи , а их произведение равно десяти .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на	верхних гранях	в сумме десяти очков равна .
а ) сумма очков , выпавших на	верхних гранях	кубиков , равна 11 . б ) сумма очков на выпавших гранях нечетная , и на одном из кубиков выпало 2 очка .
а ) на	верхних гранях	этих кубиков выпало в сумме четырех очка .
Пусть А — событие , при котором на	верхних гранях	обоих кубиков выпадает число 6 .
Вычислите вероятность выпадения на	верхних гранях	этих кубиков в сумме пяти очков .
Пусть А — событие , при котором на	верхних гранях	обоих кубиков в сумме выпадает десять очков .
сумма очков , выпавших на	верхних гранях	, не больше 9 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и тщательно перемешивают .
Вычислите вероятность выпадения на	верхних гранях	этих кубиков в сумме десяти очков .
Для того чтобы определить эти коэффициенты , поставим в	вершине	и вдоль боковых сторон некоторого равнобедренного треугольника число 1 .
Для того чтобы найти среднее арифметическое , надо вычислить общий	вес	всех семиклассников и разделить его на число семиклассников .
В каком объеме им надо закупить каждый из продуктов , необходимых для изготовления нужного количества пончиков , если	вес	готового продукта составляет 90 % от веса всех использованных ингредиентов ?
После того как на склад поступило еще 20 ящиков с абрикосами , средний	вес	нетто ящика с абрикосами стал равен 10,5 кг .
Вычислите средний арифметический	вес	семиклассников в этой школе , наибольшее и наименьшее значение их веса , размах в указанном числовом наборе .
Их средний	вес	нетто равен 12,5 кг .
Ответ : средний арифметический	вес	семиклассников равен 44,12 кг .
Общий	вес	всех семиклассников равен .
Докажите , что любой предмет ,	вес	которого выражается целым числом килограммов , большим 7 , можно взвесить на чашечных весах , имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве .
Их средний	вес	нетто равен 10,3 кг .
После того как на склад поступило еще 10 ящиков с яблоками , средний	вес	нетто ящика с яблоками стал равен 13 кг .
Вычислите средний арифметический вес семиклассников в этой школе , наибольшее и наименьшее значение их	веса	, размах в указанном числовом наборе .
Решение : Наименьшее значение	веса	семиклассников равно 35 кг , наибольшее — 55 кг , а размах числового набора равен разности между наибольшим и наименьшим значением , то есть 20 кг .
а ) В результате переработки молока получают сливки , масса которых составляет от первоначального	веса	молока .
Бананы при сушке теряют 12/17 своего	веса	.
в ) Лекарственные растения при сушке теряют своего	веса	.
В данной задаче в таблице весов также обращает на себя внимание значение 44 кг , так как в отличие от других значений	веса	оно встречается чаще всего — у 14 учащихся .
В каком объеме им надо закупить каждый из продуктов , необходимых для изготовления нужного количества пончиков , если вес готового продукта составляет 90 % от	веса	всех использованных ингредиентов ?
а ) Грибы при сушке теряют своего	веса	.
а ) У продавца есть гири весом только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных	весах	за одно взвешивание 3,9 кг яблок , используя в общей сложности наименьшее количество гирь , если класть гири на одну чашку весов ? .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных	весах	за одно взвешивание 4 кг конфет , используя ровно 14 гирек , если он ставит их на одну чашу весов ? .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных	весах	2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу весов ? .
Докажите , что любой предмет , вес которого выражается целым числом килограммов , большим 7 , можно взвесить на чашечных	весах	, имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве .
У Миши есть только консервные банки весом 350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных	весах	за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей , используя в общей сложности наименьшее количество банок , если он кладет банки на одну чашу весов .
В результате диспансеризации , проведенной в седьмых классах , школьный врач получил следующую информацию о	весе	семиклассников .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 4 кг конфет , используя ровно 14 гирек , если он ставит их на одну чашу	весов	? .
а ) У продавца есть гири весом только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 3,9 кг яблок , используя в общей сложности наименьшее количество гирь , если класть гири на одну чашку	весов	? .
У Миши есть только консервные банки весом 350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей , используя в общей сложности наименьшее количество банок , если он кладет банки на одну чашу	весов	.
Правила равносильных преобразований уравнений основываются на известных нам общих свойствах равенств — рефлексивности , симметричности и транзитивности — и правилах преобразований числовых равенств ( правилах «	весов	» ) .
В данной задаче в таблице	весов	также обращает на себя внимание значение 44 кг , так как в отличие от других значений веса оно встречается чаще всего — у 14 учащихся .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу	весов	? .
У продавца на рынке есть только гирьки	весом	200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 4 кг конфет , используя ровно 14 гирек , если он ставит их на одну чашу весов ? .
а ) У продавца есть гири	весом	только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 3,9 кг яблок , используя в общей сложности наименьшее количество гирь , если класть гири на одну чашку весов ? .
У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки	весом	450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу весов ? .
У продавца на рынке есть только гирьки	весом	100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара , используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок , если он ставит их на одну чашу весов ? .
У Миши есть только консервные банки	весом	350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей , используя в общей сложности наименьшее количество банок , если он кладет банки на одну чашу весов .
Согласно порядку действий в выражениях со степенями , сначала	возведем	( -3 ) в степень , затем выполним умножение и деление и после этого — выполним вычитание .
Для доказательства этой гипотезы	возведем	в квадрат двучлен , пользуясь правилом умножения многочленов .
Для этого	возведем	в квадрат несколько различных двучленов .
Значит , в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее произведение : Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем сократим полученную дробь и	возведем	ее в квадрат .
Отрицательное число ,	возведенное	в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число ,	возведенное	в нечетную степень , — число отрицательное .
284 Пользуясь формулами квадрата двучлена и трехчлена ,	возведите	в степень .
Это они построили города ,	возвели	многоэтажные здания , провели канализацию и водопровод , замостили улицы и осветили их электрическими лампами .
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым умножением ,	возвести	двучлен в куб , четвертую и более высокие степени .
Для того чтобы возвести в степень дробь , можно	возвести	в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби .
Так ,	возвести	в квадрат следующие трехчлены можно фактически устно ( не забывая учитывать в формуле знаки членов трехчлена ) .
Для того чтобы	возвести	в степень дробь , можно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби .
4 Для того чтобы возвести в степень произведение , можно	возвести	в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить .
5 а ) Для того чтобы	возвести	в степень частное , можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй .
5 а ) Для того чтобы возвести в степень частное , можно	возвести	в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй .
3 Для того чтобы	возвести	степень в степень , можно основание оставить без изменений , а показатели перемножить .
Для того чтобы	возвести	в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
С помощью формулы суммы квадратов мы можем также получить простейшее правило , которое без труда позволит	возвести	в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 .
4 Для того чтобы	возвести	в степень произведение , можно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить .
А как	возводить	двучлен в четвертую , пятую , шестую и более высокие степени ? .
Оказывается , такие формулы есть , и они позволяют	возводить	двучлен в произвольную натуральную степень , не проводя прямых вычислений .
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро возводить в квадрат двучлены , но и устно	возводить	в квадрат числа , причем не только целые , но и дробные .
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро	возводить	в квадрат двучлены , но и устно возводить в квадрат числа , причем не только целые , но и дробные .
Проверьте результат ,	возводя	полученный двучлен в квадрат .
Как и планировали , в первой группе применим формулу разности квадратов , а во второй —	вынесем за скобки	общий множитель ах .
Тогда если , то	вынесем за скобки	общий множитель с , выполнив следующие равносильные преобразования .
В каждой части равенства	вынесем за скобки	общий числовой множитель , получим .
После этого из каждой группы	вынесем за скобки	общий множитель .
Пользуясь распределительным законом умножения ,	вынесите за скобки	общий числовой множитель тремя различными способами .
Ведь если бы мы	вынесли за скобки	только один из общих множителей , х или 2х минус 1 , это не дало бы нам возможности решить исходное уравнение .
Тогда в каждой группе образуется общий множитель х плюс у , который можно	вынести за скобки	.
Заметим , что в последних трех слагаемых , если добавить к ним х и	вынести за скобки	6 , « спрятана » формула квадрата суммы ( х плюс 1)2 .
Итак , чтобы	вынести за скобки	общий множитель с , мы можем в скобках записать многочлен , каждый член которого получен в результате его деления на с .
Таким образом , каждая из групп будет иметь общий множитель х плюс у , который можно	вынести за скобки	.
Однако , анализируя исходный многочлен , можно заметить , что в группе х2у плюс 2ху2 плюс у3 , состоящей из второго , четвертого и пятого слагаемых , мы можем	вынести за скобки	общий множитель у.
Таким образом , в каждой из образованных двух групп имеется множитель х плюс 1 , который можно	вынести за скобки	.
Для этого достаточно	вынести за скобки	любой числовой множитель , например .
3 Если несколько слагаемых алгебраической суммы имеют общий множитель , то его можно	вынести за скобку	.
Однако можно заметить , что если в множителе ( а2 минус 2ab плюс b2 ) коэффициент 2 заменить на 1 , то при раскрытии скобок подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз	выражение	а3 плюс b3 .
Рассмотрим теперь неравенства , в которых под знаком модуля стоит не х , а	выражение	вида .
760 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
11 Прочитайте	выражение	и найдите его значение .
424 Упростите	выражение	.
Если же , то	выражение	под знаком модуля может принимать значения с и -с .
1 Если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число (	выражение	) , то получим неравенство , равносильное данному .
Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных ( n N ) .
406 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
475 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
2 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (	выражение	) , то получим неравенство , равносильное данному .
252 Запишите	выражение	как трехчлен стандартного вида .
246 Запишите	выражение	.
Если а , b , с , d , то данное	выражение	имеет смысл , поэтому мы можем упростить его .
559 Представьте	выражение	в виде произведения степеней простых чисел и букв .
2 Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (	выражение	) , отличное от нуля , то получим уравнение , равносильное данному .
Определите , при каких значениях переменных имеет смысл	выражение	.
Указание : сделайте замену t равно 4 минус 2а плюс 3а2 и преобразуйте	выражение	.
Таким образом , исходное	выражение	является суммой квадратов .
3 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (	выражение	) и изменить знак неравенства на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному .
40 Запишите в виде степени	выражение	, равное данному .
Значит , исходное	выражение	мы можем записать в виде .
Как , например , упростить следующее	выражение	: .
469 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Представьте	выражение	в виде произведения многочленов степени , большей 0 .
Значит , наше исходное	выражение	равно дроби , в которой числитель и знаменатель имеют общий множитель 9х - 4у , отличный от 0 .
60 Представьте	выражение	в виде степени дроби с показателем , отличным от 1 .
341 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное	выражение	стало многочленом степени n ? .
729 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
143 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
748 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
478 Используя равносильные преобразования , упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
144 Запишите	выражение	как двучлен стандартного вида и определите его степень .
476 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
61 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
Анализируя заданное	выражение	, замечаем , что каждое его слагаемое имеет общий множитель 7 .
Сначала вспомним , что	выражение	« тогда и только тогда » употребляется в тех случаях , когда выполняется как прямое , так и обратное утверждение .
201 Упростите	выражение	.
259 Докажите , что при любом целом х указанное	выражение	делится на а .
394 Запишите	выражение	на математическом языке .
258 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
43 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
478 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
9 Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является	выражение	.
Так как	выражение	имеет смысл для всех х , не равных нулю , то областью определения нашей функции является множество всех известных нам чисел , кроме нуля .
464 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных , вынося при необходимости за скобки общий множитель .
588 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов , используя формулу разности квадратов .
415 Упростите	выражение	.
283 Раскройте скобки и упростите	выражение	.
42 Запишите	выражение	в виде степени при допустимых значениях переменных .
396 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
461 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
388 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
84 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
Замечаем , что данное	выражение	мы можем записать в виде ( x2)2 плюс 22 .
86 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
202 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
432 Представьте	выражение	в виде степени с показателем 3 , если это возможно .
Пользуясь правилом умножения одночлена на многочлен , упростим	выражение	для нахождения площади фигуры .
369 Упростите	выражение	.
445 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
286 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
438 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
170 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
441 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида , используя нужную формулу сокращенного умножения .
439 Упростите	выражение	.
298 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
438 Составьте	выражение	к задаче и , если возможно , упростите его .
436 Упростите	выражение	, выполняя равносильные преобразования .
386 Докажите , что при любом целом х указанное	выражение	делится на а .
299 Докажите , что при любом целом р указанное	выражение	делится на а .
730 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
445 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
456 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Мы получили , что исходное сложное	выражение	при всех значениях х и у равно 1 .
384 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Подставим полученное	выражение	в следующую скобку и выполним дальнейшие упрощения : 2х - 5у + 3(у - 4х ) .
455 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
Упростим сначала	выражение	3у - 2х - 2(х + у ) .
Указание : сначала сделайте замену и преобразуйте	выражение	.
Теперь , пользуясь этими правилами , упростим	выражение	, приведенное в начале пункта : 5х + 5у - ( 4у - 1 - 0,5(2х -5у + 3(3у - 2х - 2(х + у ) ) ) ) .
447 Упростите	выражение	.
Преобразуем	выражение	в квадратных скобках .
178 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
Для этого	выражение	в скобках умножим на ( -1 ) .
Полученное	выражение	запишите как многочлен стандартного вида .
Упростите	выражение	.
Неудобство состоит лишь в том , что каждый раз мы должны записывать упрощаемое	выражение	в виде суммы , то есть заменять в нем вычитание некоторого числа прибавлением противоположного ему числа .
Чтобы	выражение	при этих преобразованиях не изменилось , из него надо вычесть х. Тогда неиспользованные слагаемые образуют группу х3 минус х , в которой есть общий множитель х.
Какое действие над членами данного многочлена надо выполнить , чтобы найти	выражение	в скобках ?
Составьте	выражение	для вычисления указанных величин и запишите его как многочлен стандартного вида .
568 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов степени большей нуля .
187 Упростите	выражение	.
39 Запишите	выражение	а15 в виде произведения .
379 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
349 Упростите	выражение	.
186 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
304 Представьте	выражение	в виде А2 плюс с , где А — двучлен , а c — число .
354 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Какое	выражение	нужно подставить вместо А , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
38 Упростите	выражение	.
590 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и разности кубов .
Мы видим , что исходное	выражение	сильно упростилось .
А полученное нами	выражение	мы уже сможем разложить на множители , используя формулу разности квадратов .
360 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов .
774 Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное	выражение	стало многочленом степени п ? .
361 Упростите	выражение	.
Преобразовав полученное	выражение	, мы приходим к доказательству требуемого утверждения .
451 Составьте	выражение	к задаче и , если возможно , упростите его .
450 Упростите	выражение	.
449 Выполняя равносильные преобразования , упростите	выражение	.
Используя определение степени , запишите	выражение	как произведение двучленов и выполните умножение .
Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных и найдите его значение .
Вначале упростим данное	выражение	, проведя равносильные преобразования .
234 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Анализируя полученное	выражение	, мы замечаем , что зависимость между количеством купленных тетрадей и стоимостью всей покупки не является прямой пропорциональностью — она не может быть описана формулой .
300 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
387 Какое	выражение	надо прибавить к ( а минус b)3 , чтобы получить ( а плюс 6)3 ? .
1 Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число (	выражение	) , то получим уравнение , равносильное данному .
260 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
43 Составьте буквенное	выражение	для нахождения неизвестного числа и найдите его при данных значениях букв .
374 Запишите	выражение	.
616 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и разности кубов .
726 Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является	выражение	.
267 Представьте	выражение	в виде А2 минус В2 , где А и В — некоторые выражения .
56 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
542 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов степени большей нуля .
В общем случае мы получаем новое	выражение	, называемое многочленом .
Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 , при целых значениях переменных .
Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является	выражение	.
Теперь подставим в исходное уравнение вместо числа ( -11 ) полученное	выражение	и выполним цепочку равносильных преобразований .
Теперь подставим в исходное	выражение	вместо скобок вычисленное значение .
324 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида , используя формулы сокращенного умножения .
523 Представьте	выражение	как произведение .
55 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
А значит , данное	выражение	является нулевым одночленом .
273 Выведите формулу для квадрата четырехчлена и , пользуясь ею , запишите данное	выражение	как многочлен стандартного вида .
747 Используя формулу разности квадратов , запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
328 Представьте	выражение	как произведение двух многочленов .
409 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Полученное	выражение	представляет собой разность квадратов .
293 Запишите	выражение	как трехчлен стандартного вида .
63 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
59 Запишите	выражение	в виде частного степеней .
614 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов , используя формулу разности квадратов .
415 Докажите , что при любом целом х указанное	выражение	делится на а .
420 В многочлен 2у3 минус у2 плюс 5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное выражение и запишите полученное	выражение	как многочлен стандартного вида .
268 В многочлен х2 минус 4х минус 7 вместо переменной x подставьте данное	выражение	и запишите результат как многочлен стандартного вида .
Следующий прием разложения многочлена на множители основан на том , что если мы к многочлену прибавим и вычтем из него одно и то же	выражение	, то многочлен от этого не изменится .
499 Представьте	выражение	в виде произведения многочленов .
113 Докажите , что данное	выражение	может быть записано в виде одночлена .
416 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
733 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Как короче можно записать последнее	выражение	? .
95 Прочитайте	выражение	и определите , является ли оно одночленом .
316 Представьте , если это возможно ,	выражение	в виде степени с показателем 2 .
Делим правую и левую части уравнения на одно и то же	выражение	.
Упростим полученное для D	выражение	, используя правило умножения многочленов .
41 Составьте	выражение	и найдите его значение при .
219 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида , используя умножение « в столбик » .
424 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
Запишем	выражение	в квадратных скобках как многочлен стандартного вида .
Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида : ( а минус b)(а плюс b)(а2 плюс b2)(а4 плюс b4 ) . .
33 Учитель дал ученикам задание написать , используя три раза цифру 2 , числовое	выражение	, значение которого будет как можно более большим .
221 Упростите	выражение	.
751 Используя формулы сокращенного умножения , запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
61 Представьте	выражение	в виде степени дроби с показателем , отличным от 1 .
216 Упростите	выражение	.
321 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Например , при возведении двучлена а плюс b в шестую степень получится	выражение	вида : где вместо пропусков стоят некоторые числа .
752 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
393 В многочлен х3 – 3x2 плюс 2х минус 5 вместо переменной х подставьте данное выражение и запишите полученное	выражение	как многочлен стандартного вида .
420 В многочлен 2у3 минус у2 плюс 5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное	выражение	и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
393 В многочлен х3 – 3x2 плюс 2х минус 5 вместо переменной х подставьте данное	выражение	и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
Приведем каждый из одночленов данной алгебраической суммы к стандартному виду и упростим полученное	выражение	.
112 Запишите данное	выражение	как одночлен стандартного вида .
501 Представьте	выражение	как произведение .
Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
50 Представьте в виде степени с показателем , отличным от 1 ,	выражение	.
79 Запишите	выражение	в виде степени с основанием 2 , 3 или 5 .
Запишите полученное	выражение	как многочлен стандартного вида .
280 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
Упростите при	выражение	.
133 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Преобразуя затем	выражение	в квадратных скобках , получаем .
515 Запишите	выражение	в виде произведения многочленов .
Упростим данное	выражение	и проведем равносильные преобразования .
83 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
131 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
25 Определите , каким числом — положительным или отрицательным — является	выражение	.
47 Запишите	выражение	в виде степени с основанием t .
Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
Указание : сначала сделайте замену t равно а2 плюс 3а плюс 4 и преобразуйте	выражение	.
414 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
495 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
Вынесем его за скобки и преобразуем	выражение	, полученное в скобках .
203 Составьте	выражение	для вычисления .
492 Упростите	выражение	, выполняя равносильные преобразования .
46 Представьте	выражение	в виде степени с основанием а .
261 Какое	выражение	надо прибавить к ( а минус b)2 , чтобы получить ( а плюс 6)2 ? .
490 Упростите	выражение	.
103 Докажите , что данное	выражение	может быть записано в виде одночлена .
51 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
784 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
78 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменной .
102 Запишите данное	выражение	как одночлен стандартного вида .
72 Упростите	выражение	при допустимых значениях величин .
122 Исходя из определения многочлена , приведенного на стр. 25 , определите , можно ли указанное	выражение	записать как многочлен .
Определите , можно ли записать данное	выражение	, как одночлен и найдите его значение при n равно -48 , m равно -0,32 , k равно 5,6 .
330 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида .
309 Представьте	выражение	в виде степени с показателем , отличным от 1 .
266 Представьте	выражение	в виде А2 плюс с , где А — двучлен , а с — число .
331 Упростите	выражение	.
А как короче записать , например ,	выражение	0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 ?
371 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
520 Представьте	выражение	в виде произведения двух многочленов .
549 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
2 Запишите числовое	выражение	короче , используя понятие степени .
3 При рациональных значениях переменных запишите буквенное	выражение	короче , используя понятие степени .
52 Запишите	выражение	в виде степени с основанием 2 , 3 или 5 .
308 Запишите	выражение	как многочлен стандартного вида и определите его степень .
84 Упростите	выражение	.
Если мы прибавим к нему , а затем вычтем число 1 , то	выражение	не изменится , но в нем можно будет выделить полный квадрат .
122 Упростите	выражение	при допустимых значениях переменных .
77 Запишите	выражение	в виде степени при допустимых значениях переменных .
Уравнения данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается	выражением	аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию .
45 Замените букву х	выражением	так , чтобы полученное равенство стало тождеством .
Но почему при замене исходного выражения другим , новым	выражением	мы были уверены , что значения их равны ?
Общее во всех этих неравенствах то , что левая их часть является	выражением	вида , где k , b — рациональные числа .
Таким образом , проведенные преобразования очень сильно упростят последующую работу с данным	выражением	.
После раскрытия скобок мы видим , что в	выражении	имеются противоположные слагаемые , которые « взаимно уничтожаются » .
Значит , мы можем сделать это и в нашем	выражении	.
Затем в	выражении	х(с плюс d ) равно хс плюс xd сделаем обратную замену х на а плюс b и вновь раскроем скобки .
И наконец , пользуясь правилом 2 , раскроем последнюю скобку в исходном	выражении	.
И здесь опять возникает вопрос : на основании каких законов можно осуществить равносильные преобразования в этом	выражении	? .
583 Среди представленных	выражений	найдите те , которые являются .
Основные законы сложения верны также и для алгебраических сумм , то есть	выражений	, содержащих несколько последовательных действий сложения и вычитания .
322 а ) Найдите значения	выражений	рациональным способом .
5 Выпишем определение модуля каждого из	выражений	и установим для всех числовых промежутков , чему равно значение модуля .
250 а ) Найдите значения	выражений	.
После вынесения за скобки числа 7 в скобках остается квадрат суммы двух	выражений	, а и 2b .
разность значений	выражений	меньше 5 . д ) удвоенное значение выражения не меньше значения выражения .
710 При каких значениях переменной равны значения	выражений	? .
л ) сумма значений	выражений	и меньше ( -30 ) .
754 Найдите значения	выражений	рациональным способом .
м ) произведение значений	выражений	и больше или равно ( -12 ) .
Например , равносильность приведенных выше	выражений	может быть обоснована с помощью этих правил следующим образом .
сумма значений выражений и меньше 17 . е ) разность значений	выражений	и больше 29 .
762 Найдите значение	выражений	.
сумма значений выражений не больше 20 . е ) разность значений	выражений	не меньше 8 .
716 Сравните значения числовых	выражений	.
сумма значений	выражений	не больше 20 . е ) разность значений выражений не меньше 8 .
741 Сравните значения	выражений	.
сумма значений выражений меньше или равна -6 . д ) разность значений	выражений	не меньше 12 ? .
Не проводя вычислений , сравните значения числовых	выражений	.
сумма значений	выражений	и меньше 17 . е ) разность значений выражений и больше 29 .
Если же в состав	выражений	дополнительно входят буквы , то их называют буквенными выражениями .
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений	выражений	меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения .
сумма значений	выражений	не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения .
2 Равносильные преобразования алгебраических	выражений	.
Глава 3 Законы равносильных преобразований алгебраических	выражений	.
сумма значений	выражений	меньше или равна -6 . д ) разность значений выражений не меньше 12 ? .
Поэтому для того , чтобы упрощать такие выражения , мы должны научиться производить равносильные преобразования алгебраических	выражений	со скобками .
Поэтому алгебра изучает также общие свойства арифметических действий , помогающие рационально проводить преобразования	выражений	.
703 Сравните значения числовых	выражений	.
584 Запишите неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности	выражений	а и b .
к ) разность значений	выражений	и неотрицательна .
Куб суммы двух	выражений	равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
Формула произведения разности и суммы двух	выражений	.
Мы получили , что произведение разности двух	выражений	и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
Для этого можно воспользоваться определением модуля каждого из	выражений	.
91 Сравните значения	выражений	.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго	выражений	, плюс квадрат второго выражения .
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих	выражений	на неполный квадрат их суммы .
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих	выражений	на неполный квадрат их разности .
783 Сравните ( устно ) значения числовых	выражений	.
Мы получили , что произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих	выражений	.
558 Сравните значения числовых	выражений	.
При каких значениях переменной равны значения указанных	выражений	? .
Обоснуйте свой ответ ; б ) Сравните значения числовых	выражений	.
Разность кубов двух	выражений	равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы .
463 Сравните значения числовых	выражений	.
Среди формул сокращенного умножения есть еще одна замечательная формула , которая получается при умножении разности двух	выражений	на их сумму .
Произведение разности двух	выражений	и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
358 Представьте многочлен в виде произведения суммы и разности двух	выражений	.
Мы получили сумму двух	выражений	, каждое из которых имеет множитель а плюс b.
Найдите значения полученных	выражений	для чисел : а ) 8 и 2 ; б ) -4 и 3 ; в ) 7 и -5 ; г ) -9 и -6 .
Поскольку одночлены и многочлены часто встречаются в математических моделях практических задач , то установленные приемы действий с ними помогают в упрощении полученных моделей , при нахождении значений	выражений	, решении уравнений и неравенств .
Сумма кубов двух	выражений	равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности .
Среди данных выражений укажите пары равных и пары противоположных	выражений	.
Сформулируйте правила возведения в квадрат суммы и разности двух	выражений	и сравните свои формулировки с правилами на стр. 52 - 53 учебника .
Умножим , например , сумму двух	выражений	на квадрат их разности .
Квадрат разности двух	выражений	равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
Их использование значительно упрощает различные преобразования	выражений	и вычисления .
Мы перемножили сумму и разность двух	выражений	, и здесь нас ждала удача .
Квадрат суммы двух	выражений	равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных	выражений	, при нахождении значений выражений , решении уравнений и неравенств , доказательстве тождеств .
Среди данных	выражений	укажите пары равных и пары противоположных выражений .
Так как полученные равенства верны при подстановке вместо а и b любых чисел и	выражений	, то они являются тождествами .
26 Сравните значения	выражений	.
137 Сравните значения числовых	выражений	.
Аналогичным образом при вычислении квадрата разности двух	выражений	получаем .
Разность квадратов двух	выражений	равна произведению их разности и суммы .
Сравните значения числовых	выражений	.
148 Сравните значения числовых	выражений	.
если . Найдите значения	выражений	.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих	выражений	.
Язык математики , состоящий , в частности , из чисел , букв и	выражений	, уравнений и неравенств , помогает записать взаимосвязи , лежащие в основе различных процессов .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух	выражений	, а затем — как найти разность квадратов двух выражений .
При этом данное равенство будет верно при подстановке в него вместо а и b любых чисел и	выражений	, то есть оно является тождеством .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух выражений , а затем — как найти разность квадратов двух	выражений	.
Найдите значения полученных	выражений	для чисел .
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами	выражений	можно назвать « одночленами » .
Какие из этих	выражений	являются « степенью числа » , а какие - « числом , противоположным степени числа » ? .
произведения разности и суммы двух	выражений	. разности квадратов . разности кубов .
326 Представьте многочлен в виде произведения суммы и разности двух	выражений	.
Значит , исходный многочлен можно записать в виде суммы двух	выражений	, каждое из которых имеет множителем трехчлен х2 плюс х плюс 1 .
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений	выражений	, решении уравнений и неравенств , доказательстве тождеств .
535 Среди представленных	выражений	найдите те , которые имеют общие буквенные множители .
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из	выражений	, мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения .
Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и	выражений	, не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных слагаемых .
10 Сравните значения	выражений	.
2 Приравнять каждое из этих	выражений	к нулю и найти корни полученных уравнений .
Соотнесите приведенные ниже записи с одним из этих четырех	выражений	, указав возможные А и В .
Таким образом , в результате нашего исследования нам удалось получить формулу суммы кубов двух	выражений	.
452 Сравните значения числовых	выражений	.
Среди составленных учащимися	выражений	были следующие .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго	выражений	, плюс квадрат второго выражения .
Формула разности квадратов , как и все другие формулы сокращенного умножения , сильно упрощает преобразование	выражений	, решение уравнений , проведение вычислений .
Заменяя в полученной формуле b на ( -b ) , приходим к новой формуле сокращенного умножения , которую называют формулой куба разности двух	выражений	.
575 Сравните значения числовых	выражений	.
343 Сравните значения	выражений	.
32 а ) Найдите значения числовых	выражений	А и В .
А при возведении в n - ю степень разности двух	выражений	знаки « плюс » и « минус » будут чередоваться , начиная с « плюс » , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени .
Куб разности двух	выражений	равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
Итак , мы приходим к следующей формуле разности кубов двух	выражений	.
Мы записали исходный многочлен в виде суммы	выражений	, каждое из которых имеет множитель х минус 1 .
365 Сравните значения	выражений	.
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого модуля — самому	выражению	, содержащемуся под знаком модуля , или выражению , противоположному ему .
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого модуля — самому выражению , содержащемуся под знаком модуля , или	выражению	, противоположному ему .
Переходим к следующему	выражению	, снова применяя правило 2 раскрытия скобок и распределительный закон умножения : .
самому выражению , содержащемуся под знаком модуля , или	выражению	, противоположному ему .
Но как убедиться в том , что выполненные преобразования равносильны , то есть что они привели нас к	выражению	, равносильному первоначальному ?
самому	выражению	, содержащемуся под знаком модуля , или выражению , противоположному ему .
734 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
12 Запишите следующие	выражения	: 1 ) сумма кубов двух чисел ;
Найдите значение	выражения	b1 плюс 2 b 2 плюс 3b3 плюс 4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 .
618 Найдите значение	выражения	.
в ) значение	выражения	равно значению выражения . г ) значение выражения противоположно значению выражения .
а ) значение выражения на 3 больше значения	выражения	.
135 Какими многочленами можно заменить А , В , С и D , чтобы указанные	выражения	стали многочленами степени га ? .
Найдите значение	выражения	а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -7 и аb равно 6,5 .
а ) значение	выражения	на 3 больше значения выражения .
значение выражения на 8 больше значения выражения . л ) значение выражения на 12 меньше значения	выражения	.
а ) значение	выражения	меньше значения выражения .
сначала надо выделить числовые промежутки , на которых	выражения	под знаком модуля не меняют свой знак , а затем найти решения неравенств на каждом из выделенных промежутков .
При этом результат возведения двучлена а плюс b в квадрат не изменится , если вместо а и b мы подставим любые числа или вообще любые	выражения	.
Найдите значение	выражения	.
8 Запишите следующие	выражения	: 1 ) сумма квадратов двух чисел ;
Точно так же надо различать	выражения	для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
1 Под знаком модуля находятся	выражения	.
6 Разбейте записи на три группы :	выражения	, уравнения , неравенства .
317 Прочитайте	выражения	.
592 Найдите значение	выражения	.
7 Выразить х и у через k. И , подставив полученные	выражения	для х и у в исходное уравнение , сделать проверку .
Выполняя вычисления и преобразовывая различные	выражения	, мы всегда стремимся получить результат более коротким и удобным способом .
Найдите значение	выражения	у1 - 2у2 плюс 3у3 - 4у4 плюс 5у5 если у равно 1 , у равно -1 , у равно 2 .
15 а ) Найдите значение	выражения	х1 плюс х2 плюс х3 плюс х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 .
значение выражения на 8 больше значения	выражения	. л ) значение выражения на 12 меньше значения выражения .
значение выражения на 8 больше значения выражения . л ) значение	выражения	на 12 меньше значения выражения .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого	выражения	, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
а ) значение выражения меньше значения	выражения	.
Он состоит в том , что мы объединяем члены многочлена в группы таким образом , чтобы после проведения некоторого числа равносильных преобразований у слагаемых нового	выражения	появились общие множители .
Найдите значение	выражения	а1 - а2 плюс а3 - а4 плюс а5 , если а равно 2 , а равно 0 , а равно -1 .
значение	выражения	равно 3 .
Найдите значения	выражения	.
147 Какими многочленами можно заменить соответственно А и В , чтобы указанные	выражения	стали многочленами степени n ? .
г ) значение	выражения	больше значения выражения .
28 Найдите значение	выражения	.
Многочлены часто являются математическими моделями практических задач , поэтому нам надо уметь выполнять арифметические действия с многочленами и приводить такие	выражения	к максимально простому виду .
значение выражения меньше или равно значению	выражения	.
б ) значение	выражения	равно -5 .
Расположите эти	выражения	в порядке возрастания их значений .
а ) значение	выражения	равно 3 .
476 Докажите , что значение	выражения	а ) 683 минус 243 делится на 11 . б ) 3263 плюс 543 делится на 38 .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго	выражения	.
значение	выражения	меньше или равно значению выражения .
Запишите	выражения	Р плюс ( -Q ) и Р - Q как многочлены стандартного вида и сравните полученные результаты .
а ) значение	выражения	равно 31 . б )
606 Найдите значение	выражения	.
г ) значение выражения больше значения	выражения	.
24 Найдите значение	выражения	.
132 Докажите , что данные	выражения	можно преобразовать в двучлены .
в ) значение выражения равно значению	выражения	. г ) значение выражения противоположно значению выражения .
а ) значение	выражения	4а - 9 больше 5 . б ) значение выражения меньше 11 .
а ) значение выражения 4а - 9 больше 5 . б ) значение	выражения	меньше 11 .
б ) значение выражения на 2 меньше значения	выражения	.
Отметим , что выносить за скобки можно не только одночлены , но и более сложные	выражения	, если они являются общими множителями всех слагаемых некоторой суммы .
Найдите значение	выражения	а3 минус b3 , если известно , что а минус b равно 5и ab равно -4,6 .
б ) значение выражения на 6 больше значения	выражения	.
б ) значение	выражения	на 2 меньше значения выражения .
а ) значение выражения на 12 больше значения	выражения	.
в ) значение	выражения	в 7 раз больше значения выражения .
и ) сумма значения	выражения	и числа ( -1 ) неположительна .
б ) значение	выражения	на 6 больше значения выражения .
а ) значение выражения на 2 меньше значения	выражения	.
а ) значение	выражения	на 12 больше значения выражения .
А вот	выражения	х плюс 1 , у2 - 3 и г одночленами не являются , поскольку содержат действия соответственно сложения , вычитания , деления .
287 Упростите	выражения	при допустимых значениях переменных .
а ) значение	выражения	на 2 меньше значения выражения .
д. Поэтому	выражения	, в которых используется только действие умножения , имеют в математике отдельное название и специально изучаются .
302 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
Например , многочленами являются	выражения	.
114 Какие одночлены надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы	выражения	превратились в истинные равенства ? .
77 Найдите значение	выражения	.
282 Найдите значение	выражения	, если известно , что .
270 Найдите значение выражения х2 плюс если известно , что . 271 Какие	выражения	можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
104 Какие одночлены надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы	выражения	превратились в истинные равенства ? .
83 а ) Найдите значение	выражения	.
267 Представьте выражение в виде А2 минус В2 , где А и В — некоторые	выражения	.
Подставим данные	выражения	в формулу деления а на b с остатком .
394 а ) Найдите значение	выражения	а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -6 и ab равно 3,5
82 Найдите значение	выражения	.
значение выражения в 3 раза меньше значения	выражения	.
значение	выражения	в 3 раза меньше значения выражения .
263 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
390 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
278 Найдите наименьшее значение	выражения	.
Как и в предыдущем случае , подставим данные	выражения	в формулу деления а на b с остатком .
279 Найдите наибольшее значение	выражения	.
в ) значение выражения в 7 раз больше значения	выражения	.
671 Найдите значение	выражения	.
Запишите следующие	выражения	.
281 Найдите значение	выражения	а2 плюс b2 плюс с2 , если известно , что .
Таким образом , фактически устно мы получили , что при всех значениях m , n и k ( в том числе и при указанных в условии ) значение данного	выражения	будет равно 0 .
675 Докажите , что значение	выражения	не зависит от значений переменных .
в ) значение выражения равно значению выражения . г ) значение выражения противоположно значению	выражения	.
в ) значение выражения равно значению выражения . г ) значение	выражения	противоположно значению выражения .
з ) разность значения	выражения	и числа 7 положительна .
121 Запишите данные	выражения	в виде суммы одночленов .
Как одним словом можно было бы назвать все эти	выражения	? .
разность значений выражений меньше 5 . д ) удвоенное значение	выражения	не меньше значения выражения .
а ) значение выражения больше 4 . б ) значение	выражения	меньше или равно ( -6 ) .
б ) значение выражения на 7 меньше значения	выражения	.
Запишите следующие	выражения	на математическом языке .
а ) значение	выражения	больше 4 . б ) значение выражения меньше или равно ( -6 ) .
626 Найдите значение	выражения	.
Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
14 Найдите значение	выражения	.
Подставим полученные	выражения	для а и b в исходное уравнение .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго	выражения	.
б ) значение	выражения	на 7 меньше значения выражения .
516 Найдите значение	выражения	.
521 Найдите значение	выражения	.
Проведенные преобразования показывают , что	выражения	равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из выражений , мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого	выражения	, минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
715 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
Подставьте вместо а и b указанные	выражения	и запишите получившийся многочлен в стандартном виде .
112 Найдите значение	выражения	.
утроенное значение	выражения	не больше значения выражения .
82 Возведите	выражения	а ) в квадрат .
306 Найдите значение	выражения	, если известно , что .
значение	выражения	равно 11 .
725 Запишите буквенные	выражения	, используя понятие степени .
Найдите значение	выражения	х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
310 Упростите	выражения	при допустимых значениях переменных .
а ) значение	выражения	равно 6 . б )
494 Найдите значение	выражения	рациональным способом .
496 Докажите , что значение	выражения	кратно а .
65 Найдите значение	выражения	.
502 Найдите значение	выражения	рациональным способом .
утроенное значение выражения не больше значения	выражения	.
Найдите значение этого	выражения	.
728 Найдите значение	выражения	.
44 Докажите , что если к , т , n е N , то значение указанного	выражения	не зависит от значения переменной .
Найдите наименьшее значение	выражения	.
Найдите наибольшее значение	выражения	.
разность значений выражений меньше 5 . д ) удвоенное значение выражения не меньше значения	выражения	.
237 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
Проанализируйте полученные	выражения	и определите , какие возможны ошибки при записи степеней .
значение	выражения	на 8 больше значения выражения . л ) значение выражения на 12 меньше значения выражения .
477 Определите , при каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
409 Введите буквенные обозначения и запишите все данные числовые	выражения	с помощью одного буквенного выражения .
409 Введите буквенные обозначения и запишите все данные числовые выражения с помощью одного буквенного	выражения	.
410 Прочитайте	выражения	и вычислите их значения при указанных значениях букв ( устно ) .
191 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
644 Рациональным способом найдите значение	выражения	.
756 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
значение	выражения	7х в 6 раз больше значения выражения .
413 Определите , являются ли	выражения	А и В равносильными .
значение	выражения	в 5 раз больше значения выражения .
466 Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
414 Составьте по два числовых	выражения	, значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 ) сложения ; 2 ) вычитания ; 3 ) умножения ; 4 ) сложения , вычитания и умножения .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго	выражения	.
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого	выражения	на квадрат второго , минус куб второго выражения .
Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
значение выражения 7х в 6 раз больше значения	выражения	.
значение	выражения	у в 7 раз меньше значения выражения .
480 Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
б ) значение выражения равно значению	выражения	.
г ) значение выражения больше или равно значению	выражения	.
Запишите следующие	выражения	и найдите их значение при .
То есть такие	выражения	, которые при подстановке любых допустимых значений входящих в них букв будут давать одинаковое числовое значение .
в ) значение выражения противоположно значению	выражения	.
а ) значение выражения больше 6 . б ) значение	выражения	меньше 12 .
Линейные уравнения с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать	выражения	вне знака модуля .
в ) значение	выражения	меньше или равно значению выражения .
Как , например , убедиться в том , что	выражения	5х - 2у - Зх + у и 2х - у равносильны ?
551 Найдите значение	выражения	.
391 Найдите значение	выражения	.
Составляя эту запись , мы использовали уже известное нам понятие степени натуральных чисел , что позволяет короче записывать	выражения	, содержащие одинаковые множители .
782 Найдите значение	выражения	.
781 Найдите наибольшее значение	выражения	.
503 Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
780 Найдите наименьшее значение	выражения	.
494 При каких значениях переменной х значение	выражения	равно а ? .
493 Определите , при каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
в ) значение выражения меньше или равно значению	выражения	.
г ) значение	выражения	больше или равно значению выражения .
642 Найдите значение	выражения	.
При решении таких уравнений сначала выделяют промежутки , на которых	выражения	под знаком модуля не меняют свой знак , а затем уже ищут решения на каждом из выделенных промежутков .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого	выражения	на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
417 При каких значениях переменной х значение	выражения	равно а ? .
366 Найдите наибольшее значение	выражения	.
367 Найдите наименьшее значение	выражения	.
Сравните	выражения	: ( а плюс b)(с плюс d ) и х(с плюс d ) .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго	выражения	.
576 Найдите значение	выражения	.
Поэтому для того , чтобы упрощать такие	выражения	, мы должны научиться производить равносильные преобразования алгебраических выражений со скобками .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого	выражения	на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
Упростите	выражения	, выполняя равносильные преобразования .
значение выражения t на 5 больше значения	выражения	.
191 При каких значениях переменных данные	выражения	имеют смысл ?
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого	выражения	на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
650 Докажите , что значение	выражения	не зависит от значений переменных .
418 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных .
441 Найдите значение буквенного	выражения	при указанных значениях букв .
Найдите значение	выражения	а3 минус b3 , если известно , что а минус равно 4 и а b равно -2,5 .
Приведем данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства , а числа — в правой и упростим полученные	выражения	.
Куб суммы двух выражений равен кубу первого	выражения	, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
364 Докажите , что при любом целом р значение	выражения	делится на а .
416 При каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
значение	выражения	t на 5 больше значения выражения .
426 При каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
Куб разности двух выражений равен кубу первого	выражения	, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
655 Найдите значение	выражения	.
462 Определите , при каких значениях переменных имеют смысл	выражения	.
777 Найдите значение	выражения	если известно , что .
б ) значение	выражения	равно значению выражения .
а ) значение	выражения	равно 9 .
204 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
Перечислим правила равносильных преобразований произведений , которыми мы пользовались для упрощения исходного	выражения	.
Таким образом , правила равносильных преобразований позволяют не только упрощать	выражения	, но и доказывать тождества , некоторые из которых для алгебраических преобразований так же важны , как таблица умножения в вычислениях .
560 Найдите значение	выражения	.
значение выражения у в 7 раз меньше значения	выражения	.
е ) значение	выражения	5z на 4 меньше значения выражения .
е ) значение выражения 5z на 4 меньше значения	выражения	.
426 Найдите значение	выражения	если .
423 Определите , являются ли	выражения	А и В равносильными .
567 Найдите значение	выражения	.
223 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
427 При каких значениях переменной у значение	выражения	равно с ? .
Преобразовывая сложные буквенные выражения в более простые , важно помнить о том , что в итоге мы должны получить равносильные	выражения	.
Ведь мы не можем перебрать все рациональные числа и убедиться в том , что оба	выражения	дают одинаковые числовые значения .
а ) значение	выражения	равно 12 . б ) значение выражения равно значению выражения .
значение выражения на 8 больше значения	выражения	. з ) значение выражения равно 5 .
Если	выражения	содержат только числа , знаки арифметических действий и скобки , задающие порядок этих действий , то их называют числовыми .
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение	выражения	больше утроенного значения выражения .
448 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных : при а равно 11,7 .
Преобразуя	выражения	и вычисляя их значения , мы , естественно , стремимся сделать свои действия максимально простыми и удобными .
658 Запишите следующие	выражения	на математическом языке .
Сначала вычислим значение	выражения	в скобках .
Вычислите значение	выражения	.
значение	выражения	на 8 больше значения выражения . з ) значение выражения равно 5 .
Значит , значение данного	выражения	равно ( 1 + 1000 ) + ( 2 + 999 ) + ( 3 + 998 ) + .. + ( 500 + 501 ) = 1001 • 500 = 500 500 .
Но почему при замене исходного	выражения	другим , новым выражением мы были уверены , что значения их равны ?
446 Докажите , что значение	выражения	.
в ) значение выражения больше или равно значению	выражения	.
540 Найдите значение	выражения	.
332 Найдите значение	выражения	при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях переменных .
в ) значение	выражения	больше или равно значению выражения .
На каждом из указанных промежутков данные	выражения	с модулем можно записать без знака модуля .
При решении практических задач мы часто составляем	выражения	, то есть записи , состоящие из различных математических символов .
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения	выражения	.
удвоенное значение	выражения	7 — у не меньше значения выражения .
451 Докажите , что при любом целом q значение	выражения	делится на а .
200 При каких значениях переменных данные	выражения	имеют смысл ?
454 Найдите значение	выражения	а3 плюс b3 , если известно , что .
453 Найдите значение	выражения	а3 минус b3 , если известно , что .
При каких значениях переменной значение	выражения	.
1 Найти в уравнении все	выражения	, содержащиеся под знаком модуля .
6 Найдите значение	выражения	.
319 Зайдите значение	выражения	.
270 Найдите значение	выражения	х2 плюс если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
а ) значение выражения равно 12 . б ) значение	выражения	равно значению выражения .
4 Назовите основание и показатель степени , вычислите значение	выражения	.
з ) удвоенное значение выражения 3 t — 5 меньше или равно утроенному значению	выражения	.
и ) значение выражения равно значению	выражения	.
з ) удвоенное значение	выражения	3 t — 5 меньше или равно утроенному значению выражения .
и ) значение	выражения	равно значению выражения .
значение выражения на 8 больше значения выражения . з ) значение	выражения	равно 5 .
401 Найдите значение	выражения	.
удвоенное значение выражения 7 — у не меньше значения	выражения	.
309 Найдите значение	выражения	: .
404 Найдите значение	выражения	.
а ) значение выражения больше 11 . б ) значение	выражения	меньше 8 .
269 Найдите значение	выражения	а2 плюс b2 , если известно , что .
а ) значение	выражения	больше 11 . б ) значение выражения меньше 8 .
значение	выражения	в 6 раз меньше значения выражения .
342 Найдите значение	выражения	.
А значит , мы не смогли бы вычислить значение	выражения	4с умножить ( а плюс 26 ) минус 2с умножить 2а прямой подстановкой в него значений переменных .
338 Найдите ( устно ) значение	выражения	а2 минус b2 , если известно , что .
1 Запишите решение задачи в виде буквенного	выражения	и найдите его значение для .
335 Докажите , что при любом целом р значение	выражения	делится на а .
При построении математических моделей практических задач , конечно же , могут получаться и более сложные	выражения	, уравнения и неравенства , где применение установленных нами правил упрощает преобразования .
Найдите значение	выражения	2х(х минус 3 ) - х2(5 - х ) - ( х3 - 3х2 плюс 6х ) 01 при X равно .
в ) значение	выражения	противоположно значению выражения .
702 Найдите значение	выражения	при указанных значениях переменных .
а ) значение выражения равно 12 . б ) значение выражения равно значению	выражения	.
Заметим , что проведенные преобразования	выражения	для площади позволили не только упростить вычисления , но и в принципе решить эту задачу , поскольку значение переменной а в условии не дано .
е ) значение выражения на 11 меньше значения	выражения	.
1 Найти в неравенстве все	выражения	, содержащиеся под знаком модуля .
Решение уравнений требует также и умения упрощать входящие в него	выражения	.
значение выражения в 5 раз больше значения	выражения	.
Сначала , пользуясь определением модуля , запишем , что означают	выражения	, содержащие знаки модуля .
значение выражения в 6 раз меньше значения	выражения	.
е ) значение	выражения	на 11 меньше значения выражения .
После того как модель построена , можно в первое уравнение вместо х и у подставить соответствующие им	выражения	и выполнить несложные преобразования полученного уравнения .
345 Найдите наибольшее значение	выражения	.
346 Найдите наименьшее значение	выражения	.
а ) значение	выражения	больше 6 . б ) значение выражения меньше 12 .
433 Прочитайте	выражения	.
Алгебра имеет дело с буквенными выражениями и их преобразованиями , поэтому буквенные	выражения	называют еще алгебраическими .
Преобразовывая сложные буквенные	выражения	в более простые , важно помнить о том , что в итоге мы должны получить равносильные выражения .
Используя эти законы при преобразованиях алгебраических сумм , мы можем моментально найти значение , например , такого	выражения	.
При этом если между	выражениями	стоят знаки > или < , то неравенства называют строгими , а если в них используются знаки > или < , то неравенства называют нестрогими .
Алгебра имеет дело с буквенными	выражениями	и их преобразованиями , поэтому буквенные выражения называют еще алгебраическими .
Между двумя числами или алгебраическими	выражениями	могут стоять знаки > , < , > или < .
Мы знаем , что если между двумя числами или двумя алгебраическими	выражениями	стоит знак , то получившееся математическое предложение называют равенством .
Какие из данных алгебраических сумм являются равносильными	выражениями	?
Но при решении разного рода задач нам часто приходится сталкиваться и с алгебраическими	выражениями	, содержащими произведение и частное нескольких величин .
Оказалось , что где а и b могут быть как любыми числами , так и любыми	выражениями	.
Если же в состав выражений дополнительно входят буквы , то их называют буквенными	выражениями	.
Порядок действий в	выражениях	, содержащих степени .
Это позволяет нам сформулировать следующее правило , устанавливающее порядок действий в	выражениях	, содержащих степени .
5 Замените в	выражениях	степени произведениями .
В	выражениях	со степенями без скобок сначала производят возведение в степень , затем умножение и деление , а уже потом — сложение и вычитание .
23 Замените в	выражениях	степени произведениями .
Если в	выражениях	есть скобки , то сначала в указанном порядке выполняют действия в скобках , а потом в том же порядке — остальные действия .
Теперь нам важно разобраться с тем , какой принят порядок действий в	выражениях	, содержащих степени .
1 В	выражениях	операцию деления на число , отличное от нуля , можно заменить умножением на число , обратное делителю .
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под натуральной степенью любого рационального числа , научились определять знак степени и узнали , в каком порядке проводятся вычисления в	выражениях	со степенью .
Согласно порядку действий в	выражениях	со степенями , сначала возведем ( -3 ) в степень , затем выполним умножение и деление и после этого — выполним вычитание .
Для указания порядка действий здесь также используются скобки , а значит , нам надо научиться раскрывать скобки и в этих	выражениях	.
Порядок действий в	выражениях	, содержащих степени стр. 5 .
Порядок действий как в числовых , так и в буквенных ( алгебраических )	выражениях	может быть задан расстановкой скобок разного вида , например круглых или квадратных .
3 Для каждого значения независимой величины построить столбик ,	высота	.
Так , со временную пирамиду , находящуюся во Франции у входа в Лувр ,	высота	которой равна 21,7 м , он изобразил пирамидой высотой 2 дм .
Если высоту « Тиклио » увеличить в 6 раз и вычесть 3634 м , то получится	высота	« Тангулы » , увеличенная в 5 раз .
Чему равна	высота	Останкинской башни ? .
Какой была бы с точностью до десятых метра	высота	горы Казбек на рисунке художника из пункта а ) , если ее реальная высота равна 5034 м ? .
Какой была бы с точностью до десятых метра высота горы Казбек на рисунке художника из пункта а ) , если ее реальная	высота	равна 5034 м ? .
объем прямоугольного параллелепипеда , длина которого равна 5а дм , ширина — 3b дм , а	высота	— ( а плюс b ) дм .
113 а ) Самая высокая железнодорожная станция в мире « Тангула » , находящаяся в Китае , расположена над уровнем моря на	высоте	на 239 м большей , чем железнодорожная станция « Тиклио » , находящаяся в Перу .
На какой	высоте	над уровнем моря расположена железнодорожная станция « Тангула » ? .
Так , со временную пирамиду , находящуюся во Франции у входа в Лувр , высота которой равна 21,7 м , он изобразил пирамидой	высотой	2 дм .
Определите масштаб рисунка художника и реальную	высоту	нарисованных художником пирамид с точностью до единиц метра .
Если	высоту	« Тиклио » увеличить в 6 раз и вычесть 3634 м , то получится высота « Тангулы » , увеличенная в 5 раз .
Если	высоту	Останкинской башни увеличить в 3 раза , а из высоты Эйфелевой башни вычесть 134 и сложить полученные величины , то получится 1810 .
Мы знаем , что столбчатая диаграмма показывает зависимость между значениями величин с помощью	высоты	столбиков .
Если высоту Останкинской башни увеличить в 3 раза , а из	высоты	Эйфелевой башни вычесть 134 и сложить полученные величины , то получится 1810 .
Затем поставим в соответствие каждому дню недели столбик соответствующей	высоты	.
2 Иванов старше Филатова , но преподавателем он работает меньше , чем преподаватель	высшей математики	.
В университете имени М. В. Ломоносова преподаватели Антонова , Бирюкова , Кузьмина , Дудкин , Иванов и Филатов преподают шесть разных предметов :	высшую математику	, физику , программирование , отечественную историю , общую психологию и английский язык .
Если год открытия Мадагаскара увеличить в 4 раза и	вычесть	из результата 2962 , то получится удвоенный год начала кругосветного путешествия Магеллана .
б ) Когда повара спросили , сколько яиц нужно взять , чтобы приготовить пирог , он ответил : « Если взять на 3 яйца меньше , чем это необходимо , увеличить это число в 5 раз , а затем	вычесть	из полученного результата число , в 2 раза большее необходимого числа яиц , то получится число , на 5 большее искомого » .
из числа , образованного цифрами , стоящими до второго периода ,	вычесть	число , образованное цифрами , стоящими до первого периода , и записать эту разность как числитель .
Он ответил : « Если из моего удвоенного теперешнего возраста	вычесть	утроенный мой возраст , который был восемь лет назад , то получится мой теперешний возраст » .
Так как 5 из 1	вычесть	нельзя , займем единицу из следующего числа , получаем .
2 Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием , не равным нулю , можно основание оставить без изменений , а из показателя делимого	вычесть	показатель делителя .
Чтобы выражение при этих преобразованиях не изменилось , из него надо	вычесть	х. Тогда неиспользованные слагаемые образуют группу х3 минус х , в которой есть общий множитель х.
Если высоту « Тиклио » увеличить в 6 раз и	вычесть	3634 м , то получится высота « Тангулы » , увеличенная в 5 раз .
Конечно , чтобы догадаться о том , какие слагаемые надо добавить и	вычесть	из многочлена , зачастую нужно попробовать много разных вариантов .
1 Если к обеим частям уравнения прибавить или	вычесть	одно и то же число ( выражение ) , то получим уравнение , равносильное данному .
Если высоту Останкинской башни увеличить в 3 раза , а из высоты Эйфелевой башни	вычесть	134 и сложить полученные величины , то получится 1810 .
а ) прибавить число ( -1 ) ; б )	вычесть	число ; в ) умножить на число 3 4 ; г ) разделить на число ( -2 ) ? .
1 Если к обеим частям неравенства прибавить или	вычесть	одно и то же число ( выражение ) , то получим неравенство , равносильное данному .
з ) Если из обеих частей равенства	вычесть	одно и то же число , то равенство не нарушится .
Записываем уменьшаемое в виде суммы натуральных чисел от 5 до 1 , а	вычитаемое	- в виде суммы тех же чисел , взятых в обратном порядке .
прибавление и	вычитание	одного и того же слагаемого .
Согласно порядку действий в выражениях со степенями , сначала возведем ( -3 ) в степень , затем выполним умножение и деление и после этого — выполним	вычитание	.
Неудобство состоит лишь в том , что каждый раз мы должны записывать упрощаемое выражение в виде суммы , то есть заменять в нем	вычитание	некоторого числа прибавлением противоположного ему числа .
Поскольку в основных законах арифметики даны правила только для преобразования сумм и произведений , то естественно свести действие деления к умножению , подобно тому , как мы свели	вычитание	к сложению .
В выражениях со степенями без скобок сначала производят возведение в степень , затем умножение и деление , а уже потом — сложение и	вычитание	.
Поэтому его	вычитание	также можно заменить операцией прибавления противоположного числа .
Мы знаем , что	вычитание	рационального числа можно заменить прибавлением противоположного числа .
3 Сложение и	вычитание	многочленов .
Прибавление и	вычитание	одного и того же слагаемого .
Как свести	вычитание	многочленов к сложению ?
Теперь	вычитание	многочлена ( -а2 плюс 3ab ) из многочлена ( а2 - 4а b плюс b2 ) мы можем свести к действию сложения , поменяв в многочлене - вычитаемом все знаки на противоположные .
При их сложении или	вычитании	, применив распределительный закон умножения , мы вновь получим одночлен , например .
То есть если число а больше числа b , то при сложении и	вычитании	этих чисел с некоторым числом с , а также при умножении и делении их на положительное число с знак неравенства не изменится .
Тогда можно доказать , что при умножении х на 100 запятая сместится на два знака вправо , то есть 100х = 25,(25 ) , и при	вычитании	из второго равенства первого мы сможем избавиться от бесконечного « хвоста » .
Как мы уже знаем , алгебраическая сумма нескольких одночленов является одночленом , только если речь идет о сложении и	вычитании	подобных одночленов .
Чтобы упростить вычисления , мы можем использовать идею « записи в столбик » , аналогичную той , которую мы использовали при сложении и	вычитании	многозначных чисел .
А вот при сложении и	вычитании	двух одночленов ситуация иная : одночлен в итоге может получиться лишь тогда , когда слагаемые составленной алгебраической суммы , записанные в стандартном виде , имеют одинаковую буквенную часть .
Алгоритм	вычитания	многочленов « в столбик » .
Какой шаг следует добавить в алгоритм сложения многочленов « в столбик » , чтобы получить соответствующий алгоритм	вычитания	?
Обсудим теперь операцию	вычитания	многочленов .
Следовательно , результатом	вычитания	данных многочленов является многочлен 3у4 плюс у2 - 5у .
Множество Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция	вычитания	, а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О .
Итак , алгоритм	вычитания	многочленов « в столбик » отличается от соответствующего алгоритма сложения многочленов лишь тем , что в нем появляется один дополнительный шаг — замена многочлена - вычитаемого противоположным ему .
Заменим в алгебраической сумме каждое действие	вычитания	прибавлением противоположного слагаемого .
Заменим каждое действие	вычитания	прибавлением противоположного слагаемого .
	Вычитания	многочленов в столбик .
Запишите в стандартном виде многочлен 2хР - yQ , используя способ умножения и	вычитания	« в столбик » . .
Основные законы сложения верны также и для алгебраических сумм , то есть выражений , содержащих несколько последовательных действий сложения и	вычитания	.
414 Составьте по два числовых выражения , значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 ) сложения ; 2 ) вычитания ; 3 ) умножения ; 4 ) сложения ,	вычитания	и умножения .
414 Составьте по два числовых выражения , значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 ) сложения ; 2 )	вычитания	; 3 ) умножения ; 4 ) сложения , вычитания и умножения .
Ведь операция	вычитания	рационального числа равносильна операции прибавления противоположного числа .
194 Даны многочлены Р и Q. Запишите в стандартном виде многочлен 2хР - 3yQ , используя способ умножения и	вычитания	« в столбик » .
При этом всегда надо помнить , что при выполнении действий над остатками применяется следующее правило : если результат сложения ,	вычитания	, умножения остатков по некоторому модулю m стал отрицательным или больше m , то надо переходить к остатку от деления результата на m .
А вот выражения х плюс 1 , у2 - 3 и г одночленами не являются , поскольку содержат действия соответственно сложения ,	вычитания	, деления .
Аналогичным образом можно ввести операции	вычитания	и умножения остатков .
В данном пункте мы выясним , как складывать и	вычитать	многочлены .
Итак , введенные нами операции позволяют складывать ,	вычитать	и умножать остатки .
Научившись складывать и	вычитать	многочлены , мы можем теперь перейти к изучению умножения многочленов .
Для этого заметим , что слагаемое можно записать как удвоенное произведение и числа Теперь , добавляя и	вычитая	из исходного многочлена ( квадрат числа ) , выделяем полный квадрат .
555 Разложите многочлен на множители , добавляя и	вычитая	слагаемые .
Чтобы проверить выполнение неравенства 2а меньше а плюс 2b , упростим его ,	вычитая	из правой и левой его части одно и то же число а .
Расположим вы читаемое под уменьшаемым и будем вычислять разность ,	вычитая	числа второй строки из чисел первой строки .
Последовательно	вычитая	из натурального числа а натуральное число 3 , мы получим в некоторый момент отрицательное число .
323 Из некоторого натурального числа	вычли	сумму его цифр , затем в получен ном числе зачеркнули одну цифру .
Как и планировали , добавим к исходному многочлену и	вычтем	из него 4х2 , затем воспользуемся формулой квадрата суммы , а после этого применим формулу разности квадратов .
Для этого добавим и	вычтем	1 , а затем воспользуемся формулой разности квадратов .
Следующий прием разложения многочлена на множители основан на том , что если мы к многочлену прибавим и	вычтем	из него одно и то же выражение , то многочлен от этого не изменится .
Чтобы разложить его на множители с помощью группировки , добавим и	вычтем	из него одночлены х4 , х3 , х2 и х , а затем сгруппируем их попарно и вынесем из каждой группы за скобки общий множитель .
5 Если для применения формулы или группировки не хватает какого - либо слагаемого , добавьте и	вычтите	его или разбейте на несколько слагаемых один из членов многочлена .
Величины углов треугольника в	градусах	равны трем последовательным натуральным числам , кратным трем .
Величины углов треугольника в	градусах	равны трем последовательным четным числам .
Величины углов треугольника в	градусах	равны трем последовательным натуральным числам .
Величины всех углов выражены в	градусах	, поэтому единицы измерения величин соответствуют друг другу .
6 ) На сколько	градусов	отличалась температура воздуха в Мадриде от температуры воздуха в Цюрихе ? .
5 ) На сколько	градусов	Цельсия отличалась среднемесячная температура в феврале 1999 г. по сравнению с февралем 2002 г. ? .
б ) Величина первого угла треугольника на 30	градусов	меньше второго , а длина третьего — в 4 раза больше , чем второго .
Найдите длину ломаной ABEFD . б ) Величина первого утла треугольника на 30	градусов	меньше второго и в 2 раза больше третьего .
г ) Игральный кубик , на каждой из шести	граней	которого написаны числа от 1 до 6 , бросают пять раз и записывают подряд все выпадающие числа .
Вычислите вероятность выпадения шести очков на каждой из верхних	граней	этих двух кубиков .
а ) Игральный кубик , на каждой из шести	граней	которого написаны числа от 3 до 8 , бросают четыре раза и записывают подряд все выпадающие числа .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения шести очков на каждой из их верхних	граней	равна .
в ) сумма очков , выпавших на верхних	гранях	, не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на верхних	гранях	в сумме десяти очков равна .
Пусть А — событие , при котором на верхних	гранях	обоих кубиков в сумме выпадает десять очков .
Вычислите вероятность выпадения на верхних	гранях	этих кубиков в сумме десяти очков .
а ) на верхних	гранях	этих кубиков выпало в сумме четырех очка .
сумма очков на выпавших	гранях	четная и на одном из кубиков выпало 5 очков .
Поскольку вероятности выпадения на верхних	гранях	кубиков одного из шести чисел равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
Пусть А — событие , при котором на верхних	гранях	обоих кубиков в сумме выпадает восемь очков .
в ) сумма очков , выпавших на верхних	гранях	, не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 4 и не больше 6 .
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних	гранях	, не меньше 4 и не больше 6 .
сумма выпавших на верхних	гранях	очков равна семи , а модуль их разности равен пяти .
а ) сумма очков на выпавших	гранях	нечетная и на одном из кубиков выпало 3 очка .
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних	гранях	, не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают .
сумма выпавших на верхних	гранях	очков равна шести , а их произведение равно восьми
Сравнивая решения задач 2 и 3 , заметим , что вероятности выпадения на верхних	гранях	кубиков различных сумм не совпадают .
сумма очков , выпавших на верхних	гранях	, не больше 9 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и тщательно перемешивают .
Поскольку кубики « идеальные » , то выпадение на верхних	гранях	каждого из них одного из шести чисел события равновозможные , и мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
а ) сумма очков , выпавших на верхних	гранях	кубиков , равна 11 . б ) сумма очков на выпавших гранях нечетная , и на одном из кубиков выпало 2 очка .
а ) сумма очков , выпавших на верхних гранях кубиков , равна 11 . б ) сумма очков на выпавших	гранях	нечетная , и на одном из кубиков выпало 2 очка .
Пусть А — событие , при котором на верхних	гранях	обоих кубиков выпадает число 6 .
Вычислите вероятность выпадения на верхних	гранях	этих кубиков в сумме восьми очков .
Как изменяется сумма очков на верхних	гранях	двух кубиков при их одновременном бросании ?
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на верхних	гранях	в сумме восьми очков равна .
а ) сумма очков на верхних	гранях	нечетная и на одном из кубиков выпало 4 очка .
Являются ли равновозможными исходами выпадение на верхних	гранях	двух кубиков в сумме 3 очков и 6 очков ?
в ) сумма очков , выпавших на верхних	гранях	, не меньше 5 и не больше 8 .
сумма выпавших на верхних	гранях	очков равна пяти , а модуль разности очков равен трем .
Вычислите вероятность выпадения на верхних	гранях	этих кубиков в сумме пяти очков .
сумма очков , выпавших на верхних	гранях	, не больше 6 .
Вычислите вероятность выпадения на верхних	гранях	этих кубиков в сумме семи очков .
сумма выпавших на верхних	гранях	очков равна семи , а их произведение равно десяти .
470 По таблице установите возможную формулу зависимости между переменными х и у и постройте	график	зависимости у от х на координатной плоскости .
Используя получившийся график , постройте	график	линейной зависимости , если .
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте	график	данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и .
При каких значения b	график	функции проходит через точку А ? .
Затем постройте	график	и проверьте свои выводы .
Значит , указанный	график	проходит через точки с координатами ( 0 ; -1 ) и ( 3 ; -2 ) .
Например , чтобы построить	график	функции , можно взять значение , найти соответствующее значение , а затем провести прямую через полученную точку ( 4 ; -2 ) и начало координат .
Прямая проходит через точки А и В. Задайте аналитически линейную функцию , графиком которой является эта прямая , и постройте ее	график	.
Линейная функция и ее	график	.
Запишите формулу зависимости пути пешехода s ( в километрах ) от времени его движения t ( в часах ) и постройте	график	этой зависимости на координатной плоскости Ost .
Следовательно , чтобы построить	график	, нам надо найти еще лишь одну точку , принадлежащую этому графику .
Постройте	график	прямой пропорциональной зависимости , если .
Если ни одна ломаная линия не является графиком линейной функции , то ни один	график	линейной функции — не ломаная линия .
Так как коэффициент b нашей линейной функции равен , то	график	функции получается из графика функции параллельным переносом вдоль оси Оу на 1 единицу вниз .
Построим , например ,	график	функции .
Для того чтобы построить	график	функции , заметим , что он получается сдвигом графика вдоль оси Оу на 3 единицы вверх .
Постройте	график	функции и определите по графику , как изменяется значение функции у , когда : а ) х возрастает от 2 до 5 ; в ) х убывает от 3 до -2 ; б ) х убывает от 1 до -1 ; г ) х возрастает от -3 до 4 .
Этот способ удобен , когда нами уже построен	график	.
Постройте	график	прямой пропорциональной зависимости .
Используя получившийся	график	, постройте график линейной зависимости , если .
Так как	график	прямой пропорциональности — это прямая , а через две различные точки можно провести ровно одну прямую , то для построения графика функции нам достаточно найти лишь две точки , принадлежащие этой прямой .
Заполните таблицу и постройте ее	график	.
С увеличением острый угол между графиком и осью абсцисс Ох увеличивается (	график	становится « круче » ) , а с уменьшением k — уменьшается ( график более « пологий » ) .
С увеличением острый угол между графиком и осью абсцисс Ох увеличивается ( график становится « круче » ) , а с уменьшением k — уменьшается (	график	более « пологий » ) .
В точках с какими координатами этот	график	пересекает ось абсцисс , ось ординат ?
Используя	график	функции , найти ее значение в некоторой точке х можно следующим образом .
Не выполняя построение графика функции , найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу и после этого постройте	график	.
Постройте	график	кусочно - линейной функции .
Постройте	график	функции .
Мы можем построить этот	график	двумя способами .
Постройте	график	функции , заданной на множестве .
Определите , не строя	график	функции , проходит ли он через точку А .
Запишите формулу зависимости количества выпущенных рабочим деталей n от времени его работы t в часах и постройте	график	этой зависимости на координатной плоскости Ont . г ) Температура воздуха в сауне до нагревания была равна 20 ° С. После того как воздух в сауне начали нагревать , температура его повышалась в течение первых 10 минут на 2 ° С в минуту , а в течение следующих 15 минут — на 3 ° С в минуту .
Запишите формулу зависимости объема воды в бассейне V в м3 от времени его наполнения t в часах и постройте	график	этой зависимости на координатной плоскости OVt .
Запишите формулу зависимости пути s туристов в км от времени их движения t в часах и постройте	график	этой зависимости на координатной плоскости Ost . б ) Бассейн в течение первых 2 часов наполнялся со скоростью 2 м3 в час .
Построим	график	прямой пропорциональности , взяв в качестве примера зависимость .
Определите коэффициент пропорциональности функции , проходящей через точку А. В каких координатных четвертях расположен ее	график	? .
Запишите формулу зависимости длины отремонтированной дороги s ( в км ) от времени работы бригады t ( в днях ) и постройте	график	этой зависимости на координатной плоскости Ost .
В предыдущем пункте мы познакомились с линейной функцией , где k и b — некоторые числа , научились строить ее	график	.
Запишите формулу зависимости температуры воздуха в сауне Т в ° С от времени его нагревания t в минутах и постройте	график	этой зависимости на координатной плоскости OTt .
Для каждого числового промежутка провести через построенные точки , соответствующую часть прямой —	график	на этом промежутке .
Уравнения данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается выражением аналогичного вида и	график	которой представляет собой прямую линию .
Задайте зависимость аналитически ( формулой ) и постройте ее	график	.
6 Для каждого числового промежутка проводим через две точки часть прямой —	график	на этом промежутке .
Запишите формулу зависимости пути велосипедиста s в км от времени его движения t в часах и постройте	график	этой зависимости на координатной плоскости Ost . б ) Бассейн в течение первых 4 часов наполняли со скоростью 30 м3 в час , в течение следующих 2 часов скорость наполнения увеличили до 40 м3 в час , а последние 2 часа он наполнялся со скоростью 50 м3 в час .
Значит , если мы сделаем параллельный перенос графика на 3 единицы вверх вдоль оси Оу , то получим	график	.
Запишите формулу зависимости длины пути s ( в км ) , пройденного туристом , от времени t ( в часах ) и постройте	график	этой зависимости на координатной плоскости Ost .
Докажите , что данная зависимость является прямой пропорциональностью , и постройте ее	график	.
Определите знаки k u b , если	график	линейной функции расположен в следующих четвертях координатной плоскости : а ) в I , II и III четвертях ; в ) в I , III и IV четвертях ; б ) в I , II и IV четвертях ; г ) во II , III и IV четвертях .
6 Для каждого числового промежутка проводим через построенные две точки соответствующую часть прямой —	график	функции s ( t ) на этом промежутке .
Чтобы построить график функции , например , построим сначала знакомый нам	график	прямой пропорциональности .
Рассмотрим еще один пример кусочно - линейной функции — зависимость Вспомним определение модуля числа , докажем , что данная зависимость является функцией , и построим	график	этой функции .
Может ли	график	линейной функции располагаться на координатной плоскости только : а ) в I и II четвертях ; в ) в I и IV четвертях ; д ) во II и IV четвертях .
Расположение графика функции на координатной плоскости зависит от знака коэффициента k. Так , если , то знаки соответствующих значений х и у всегда одинаковы , поэтому	график	располагается в I и III координатных четвертях .
Аналогично при знаки х и у всегда различны , поэтому	график	данной функции располагается во II и IV координатных четвертях .
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте	график	данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и В , если .
Чтобы построить	график	функции , например , построим сначала знакомый нам график прямой пропорциональности .
При каких значениях b	график	функции проходит через данную точку ? .
Для того чтобы построить	график	функции , воспользуемся нашим алгоритмом .
Не строя	график	функции , определите , проходит ли он через точку А .
В каких координатных четвертях расположен	график	функции если .
Отметим , что данный алгоритм построения графика линейной функции может использоваться при любых k и b. А значит , с его помощью может быть построен и график прямой пропорциональной зависимости ( случай , когда b — 0 ) , и	график	прямой ( случай , когда k — 0 ) .
Отметим , что данный алгоритм построения графика линейной функции может использоваться при любых k и b. А значит , с его помощью может быть построен и	график	прямой пропорциональной зависимости ( случай , когда b — 0 ) , и график прямой ( случай , когда k — 0 ) .
Построим теперь с помощью данного алгоритма на координатной плоскости Ost	график	нашей зависимости s от t .
Задайте функцию аналитически , используя ее	график	.
Составление таблиц помогает нам проанализировать условие задачи , построить	график	заданной в таблице зависимости , систематизировать информацию , быстрее найти ответ на интересующий нас вопрос , — например , нужную телевизионную передачу , ведь программа телевидения — это та же таблица .
В каких точках этот	график	пересекает ось абсцисс , ось ординат ?
Итак ,	график	линейной функции также является прямой .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя	график	прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
Значит , если мы сделаем параллельный перенос	графика	на 3 единицы вверх вдоль оси Оу , то получим график .
Исходя из своих наблюдений , составьте алгоритм построения	графика	прямой пропорциональности .
Можно наблюдать и многие другие закономерности расположения	графика	прямой пропорциональности : например , его симметрия относительно начала координат ; особенности его расположения относительно координатных осей и другие .
Так как график прямой пропорциональности — это прямая , а через две различные точки можно провести ровно одну прямую , то для построения	графика	функции нам достаточно найти лишь две точки , принадлежащие этой прямой .
Таким образом , мы можем записать следующий алгоритм построения	графика	линейной функции .
Определите коэффициент пропорциональности функции , проходящей через точку А. Опишите расположение ее	графика	в координатной плоскости .
Не выполняя построение	графика	функции , найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу и после этого постройте график .
Найдите коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения данного	графика	на координатной плоскости .
Не строя	графика	зависимости , определите , в каких координатных четвертях он будет расположен , если .
Таким образом , ордината любой точки В графика единицы больше , чем ордината точки А	графика	с той же абсциссой х0 .
Задайте данную функцию с помощью : а ) таблицы значений от -3 до 3 с шагом 1 ; б )	графика	функции .
Функция задана с помощью	графика	.
Постройте на одной координатной плоскости графики функций , два	графика	прямой пропорциональности , один из которых проходит через точку А , а другой — через точку В.
Пользуясь определением и алгоритмом построения	графика	линейной функции , запишем алгоритм построения графика кусочно - линейной функции .
Можно ли задать каждую из трех данных функций с помощью формулы , таблицы и	графика	? .
Отметим , что данный алгоритм построения	графика	линейной функции может использоваться при любых k и b. А значит , с его помощью может быть построен и график прямой пропорциональной зависимости ( случай , когда b — 0 ) , и график прямой ( случай , когда k — 0 ) .
Таким образом , мы можем записать следующий алгоритм построения	графика	прямой пропорциональности .
Не строя	графика	зависимости , определите , в каких координатных четвертях он будет расположен , если : 1 ) В таблице задана прямая пропорциональность .
Алгоритм построения	графика	кусочно - линейной функции . 1 )
Найдите два способа построения	графика	линейной функции и примените их для построения графика функции .
Пользуясь алгоритмом построения	графика	прямой пропорциональности , постройте на одной координатной плоскости графики зависимости у kx , если .
Не выполняя построение	графика	функции , найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу .
Так как коэффициент b нашей линейной функции равен , то график функции получается из	графика	функции параллельным переносом вдоль оси Оу на 1 единицу вниз .
Пользуясь алгоритмом построения	графика	прямой пропорциональности , постройте на одной координатной плоскости графики зависимости , если .
Не строя	графика	функции , определите , проходит ли он через точку А .
Используя определение кусочно - линейной функции , запишите алгоритм построения	графика	кусочно - линейной функции .
Для того чтобы построить график функции , заметим , что он получается сдвигом	графика	вдоль оси Оу на 3 единицы вверх .
Найдите два способа построения графика линейной функции и примените их для построения	графика	функции .
Используя свой опыт построения	графика	функции , составьте общий алгоритм построения графика линейной функции и сравните его с алгоритмом , приведенным на стр. учебника .
Какое минимальное количество точек нужно отметить на координатной плоскости для построения	графика	прямой пропорциональности ?
Используя свой опыт построения графика функции , составьте общий алгоритм построения	графика	линейной функции и сравните его с алгоритмом , приведенным на стр. учебника .
Сравните полученный вами алгоритм с алгоритмом , приведенным на стр. учебника , и примените его для построения на координатной плоскости Ost	графика	движения пешехода в рассматриваемой задаче .
Пользуясь определением и алгоритмом построения графика линейной функции , запишем алгоритм построения	графика	кусочно - линейной функции .
Для каждой из выбранных функций назовите коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения ее	графика	на координатной плоскости .
Этот способ удобен для построения произвольного	графика	линейной функции .
Алгоритм построения	графика	функции .
Расположение	графика	функции на координатной плоскости зависит от знака коэффициента k. Так , если , то знаки соответствующих значений х и у всегда одинаковы , поэтому график располагается в I и III координатных четвертях .
График линейной функции , где k и b — произвольные числа , может быть получен из	графика	функции путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно .
Определите по	графикам	, на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если значение аргумента увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций .
Определите по	графикам	, на сколько единиц изменяется значение функции , если значение аргумента увеличивается на 2 , уменьшается на 1 .
Задайте аналитически ( формулой ) каждую из функций , представленных на	графике	.
Найденная ордината будет равна значению функции в точке х. Например , на	графике	, представленном выше .
На одной координатной плоскости Оху постройте	графики	линейных функций и найдите координаты их точки пересечения .
Задайте эти функции формулами и постройте их	графики	в одной системе координат Оху .
Постройте	графики	функции .
позволяют такие уже известные нам способы графического представления информации , как	графики	зависимостей , столбчатые и круговые диаграммы .
Постройте на одной координатной плоскости	графики	трех данных функций .
Результатом их работы являются	графики	изменения температуры в зависимости от времени .
Через какую общую точку проходят все их	графики	? .
Постройте	графики	этих функций .
Задайте формулой каждую из функций ,	графики	которых представлены .
Используя таблицы , постройте	графики	этих функций для указанных значений х .
Постройте все данные	графики	на одной координатной плоскости и проверьте правильность своих рассуждений .
В одной координатной плоскости постройте	графики	линейных функций : Для каждой функции определите значения коэффициентов k и b .
Что общего у	графиков	всех этих зависимостей ?
Проанализируйте взаимное расположение	графиков	линейных функций на и задайте данные функции аналитически ( формулами ) .
Проанализируйте расположение на координатной плоскости каждого из построенных	графиков	и их взаимное расположение .
Какие закономерности в расположении данных	графиков	вы наблюдаете ? .
Прямая проходит через начало координат и точку А. Является ли эта прямая	графиком	функции , если .
3 Найти точку пересечения этой прямой с	графиком	функции .
Построенные таким образом точки плоскости образуют множество точек , называемое	графиком	функции .
Значит ,	графиком	прямой пропорциональности в этом случае является ось Ох .
На практике функция изначально может задаваться некоторым	графиком	.
С увеличением острый угол между	графиком	и осью абсцисс Ох увеличивается ( график становится « круче » ) , а с уменьшением k — уменьшается ( график более « пологий » ) .
График движения автомобилиста по дороге из пункта А в пункт В. Пользуясь	графиком	, ответьте на вопросы .
Полученная прямая и будет являться	графиком	указанной зависимости .
Прямая проходит через точки А и В. Задайте аналитически линейную функцию ,	графиком	которой является эта прямая , и постройте ее график .
Если же k -0 и b — 0 одновременно , то ее	графиком	является сама ось абсцисс Ох .
Если ни одна ломаная линия не является	графиком	линейной функции , то ни один график линейной функции — не ломаная линия .
Таким образом , если b 0 , то линейная функция превращается в прямую пропорциональность , а если k 0 , то	графиком	линейной функции является прямая , .
Записать выбранные значения х и вычисленные значения у как упорядоченные пары — координаты точек , принадлежащих	графику	.
Найдем две точки , принадлежащие	графику	функции .
Точка А ( р , q ) принадлежит	графику	функции .
Определите по	графику	, при каких значениях х значение у больше нуля , равно нулю , меньше нуля .
Принадлежат ли	графику	кусочно - линейной функции точки А и В , если .
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли	графику	функции точки А и В , если .
Как по	графику	функции найти значение коэффициента k ? .
если . Принадлежат ли	графику	функции точки А я В , если .
4 Запишем координаты точек , принадлежащих	графику	функции .
Постройте график функции и определите по	графику	, как изменяется значение функции у , когда : а ) х возрастает от 2 до 5 ; в ) х убывает от 3 до -2 ; б ) х убывает от 1 до -1 ; г ) х возрастает от -3 до 4 .
Следовательно , чтобы построить график , нам надо найти еще лишь одну точку , принадлежащую этому	графику	.
4 Запишем координаты точек , принадлежащих	графику	функции s ( t ) .
Найдите три точки , принадлежащие	графику	функции , координаты которых являются целыми числами .
Определите , какие из точек А , В , С и D принадлежат	графику	функции .
Значит , как и в случае прямой пропорциональности , для его построения нам достаточно найти лишь две точки , принадлежащие этому	графику	.
если . Принадлежат ли	графику	функции точки А и В , если .
Найдите по	графику	: 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если .
Определите по	графику	, при каких значениях х значение у равно нулю , больше нуля , меньше нуля .
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли	графику	функции точки А и .
Точка А ( р ; q ) принадлежит	графику	функции .
Теперь в первую группу объединим первые два слагаемых , а во вторую — третье и четвертое , после чего вынесем в каждой из	групп	общие множители .
Он специализировался в области естественнонаучной классификации , наловчился с быстротой акробата пробегать всю лестницу типов ,	групп	, классов , подклассов , отрядов , семейств , родов , подродов , видов и подвидов .
Вместе с опытом выполнения подобных преобразований появляется « особое зрение » , способность разглядеть « спрятанные » в многочленах формулы и общие множители различных	групп	слагаемых .
3 Ищите общие множители	групп	слагаемых , пробуйте их сгруппировать и вынести общий множитель за скобки .
Таким образом , каждая из	групп	будет иметь общий множитель х плюс у , который можно вынести за скобки .
Перестановка слагаемых позволяет избежать ошибок при составлении	групп	, особенно тогда , когда слагаемых достаточно много .
Таким образом , в каждой из образованных двух	групп	имеется множитель х плюс 1 , который можно вынести за скобки .
Вспомните , какими особенностями обладает каждая из этих	групп	.
Если	группа	достаточно длинная , то число возможных перестановок букв достаточно велико .
И так как мы делим все время на одно и то же число , то с момента появления первого повторения в частном будет периодически повторяться одна и та же	группа	цифр .
Мы видим , что после запятой в полученных десятичных дробях одна и та же	группа	цифр с некоторого момента начинает повторяться бесконечное число раз .
Такая	группа	цифр называется периодом бесконечной десятичной дроби и при записи может заключаться в круглые скобки .
Действительно , если бы данная дробь была периодической с периодом , то в ней с некоторого момента одна и та же	группа	из n цифр должна была бы периодически повторяться .
Данная	группа	ошибок связана с применением общего правила в тех случаях , на которые это правило не распространяется .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих	группах	можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Можно ли их разбить на две группы так , чтобы сумма чисел в одной	группе	равнялась сумме чисел в другой группе ? .
Объединим первый и третий члены исходного многочлена в одну группу , а второй , четвертый и пятый — в другую и вынесем в каждой	группе	за скобки общий множитель .
Можно ли их разбить на две группы так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой	группе	? .
Тогда в каждой	группе	образуется общий множитель х плюс у , который можно вынести за скобки .
Разбейте множество { 1 , 3 , 7 , 9 , 25 , 65 , 70 } на две группы так , чтобы сумма чисел в одной	группе	равнялась сумме чисел в другой .
Разбейте множество { 1 , 11 , 13 , 19 , 22 , 44 } на две группы так , чтобы сумма чисел в одной	группе	равнялась сумме чисел в другой .
Однако , анализируя исходный многочлен , можно заметить , что в	группе	х2у плюс 2ху2 плюс у3 , состоящей из второго , четвертого и пятого слагаемых , мы можем вынести за скобки общий множитель у.
Сгруппируем в нашем многочлене слагаемые с коэффициентом 3 и слагаемые с коэффициентом 7 и вынесем в каждой	группе	за скобки общий множитель .
Как и планировали , в первой	группе	применим формулу разности квадратов , а во второй — вынесем за скобки общий множитель ах .
Поэтому для любого натурального n мы всегда сможем найти как группу из n нулей , так и	группу	из n цифр , содержащую нули и двойки .
Поэтому для любого натурального n мы всегда сможем найти как	группу	из n нулей , так и группу из n цифр , содержащую нули и двойки .
Объединим первый и третий члены исходного многочлена в одну	группу	, а второй , четвертый и пятый — в другую и вынесем в каждой группе за скобки общий множитель .
Чтобы выражение при этих преобразованиях не изменилось , из него надо вычесть х. Тогда неиспользованные слагаемые образуют	группу	х3 минус х , в которой есть общий множитель х.
Теперь в первую	группу	объединим первые два слагаемых , а во вторую — третье и четвертое , после чего вынесем в каждой из групп общие множители .
С косвенными доказательствами мы уже с вами встречались , но не выделяли их в отдельную	группу	.
Число 1 имеет единственный делитель - само себя , и поэтому оно выделено в ряду натуральных чисел в особую	группу	: не является ни простым , ни составным .
Например , в первую	группу	объединим первый и второй члены многочлена , а во вторую — третий и четвертый ( при этом если перед вторыми скобками мы поставим знак « минус » , то не забудем поменять знаки слагаемых в скобках на противоположные ) .
Можно ли их разбить на две	группы	так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой группе ? .
Внутри каждой	группы	буквы определенным образом переставляются .
После этого из каждой	группы	вынесем за скобки общий множитель .
В них исходный текст разбивается на	группы	, состоящие из одинакового числа букв .
6 Разбейте записи на три	группы	: выражения , уравнения , неравенства .
Таким образом , в результате проведенных преобразований обе	группы	слагаемых будут иметь общий множитель а минус х .
Чтобы разложить его на множители с помощью группировки , добавим и вычтем из него одночлены х4 , х3 , х2 и х , а затем сгруппируем их попарно и вынесем из каждой	группы	за скобки общий множитель .
Значит , первое ограничение состоит в том , что нам надо выбрать из данных чисел	группы	по три слагаемых , сумма которых равна 12 .
Таким образом , выбрать из указанных чисел	группы	по три слагаемых , сумма которых равна 12 , можно лишь указанными 8 способами .
127 Разбейте данные примеры , имеющие вид(где а и b натуральные числа ) , на две	группы	: 1 ) а делится на b ; 2 ) а не делится на b .
Но мы можем сгруппировать их так , что после некоторых преобразований общий множитель будут иметь образованные нами	группы	.
Нередко члены многочлена , который требуется разложить на множители , нельзя сразу разбить на нужные	группы	.
Если слагаемые , которые мы хотим объединить в	группы	, идут не подряд , то часто бывает удобно поменять их местами .
Начиная с первой буквы фразы , разобьем текст на	группы	по 10 букв в каждой .
Разбейте множество { 1 , 3 , 7 , 9 , 25 , 65 , 70 } на две	группы	так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой .
Разбейте множество { 1 , 11 , 13 , 19 , 22 , 44 } на две	группы	так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой .
На какие две	группы	их можно разбить ? .
132 Докажите , что	данные	выражения можно преобразовать в двучлены .
281 Запишите с помощью кванторов общности ( V ) и существования ( 3 )	данные	утверждения на математическом языке так , чтобы они превратились в истинные высказывания .
164 Представьте	данный	трехчлен в виде суммы и разности двух двучленов .
779 Докажите , что	данный	многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
Через сколько времени они встретятся , если в	данный	момент расстояние между ними 528 км ? .
307 Докажите , что	данный	многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
277 Докажите , что	данный	многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только неотрицательные значения .
Однако для больших чисел	данный	способ решения является слишком громоздким .
Через сколько времени они встретятся , если в	данный	момент расстояние между ними 234 км ? .
Вместе с тем	данный	способ задания функции является достаточно громоздким , трудным для восприятия и осознания , а главное — неудобным для последующего исследования функции и работы с ней .
Найдите значение выражения х2 если известно , что . Докажите , что	данный	многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
Через сколько времени катер догонит плот , если в	данный	момент расстояние между ними 29 км ? .
Можно ли разложить	данный	многочлен на множители , вынося за скобки общий буквенный множитель ?
Через сколько часов они встретятся , если в	данный	момент расстояние между ними 350 км ? .
Предложите другой вариант группировки , позволяющий разложить	данный	многочлен на множители .
98 Представьте	данный	одночлен как степень некоторого одночлена .
Через какое время лодка догонит плот , если в	данный	момент расстояние между ними 18 км ? .
Доля выбравших	данный	вариант ответа . Математика , физика , информатика .
После подсчета оказалось , что частота данного ответа среди всех ответов , полученных на	данный	вопрос , равна 0,35 .
Отметим , что	данный	алгоритм построения графика линейной функции может использоваться при любых k и b. А значит , с его помощью может быть построен и график прямой пропорциональной зависимости ( случай , когда b — 0 ) , и график прямой ( случай , когда k — 0 ) .
Прежде чем описать	данный	способ , рассмотрим две теоремы , которые позволяют сразу же определить , имеет ли целые корни уравнение вида , где a , b , с е Z , или не имеет .
Используя	данный	способ подсчета вариантов в комбинациях с повторениями , решим следующую задачу .
Через какое время они встретятся , если в	данный	момент расстояние между ними 220 км ? .
После подсчета оказалось , что частота данного ответа среди всех ответов , полученных на	данный	вопрос , равна 0,26 .
Понятно , что	данный	способ поиска НОД является менее трудоемким , ведь здесь для получения ответа операцию деления потребовалось выполнить всего 6 раз , а используя прежний алгоритм , ее надо выполнить 51 раз .
Доля выбравших	данный	вариант ответа .
После подсчета оказалось , что частота данного ответа среди всех ответов , полученных на	данный	вопрос , равна 0,17 .
После подсчета оказалось , что частота этого ответа среди всех ответов , полученных на	данный	вопрос , равна 0,09 .
После подсчета оказалось , что частота этого ответа среди всех ответов , полученных на	данный	вопрос , равна 0,19 .
Однако при достаточно большом количестве элементов множества X	данный	способ становится слишком громоздким .
После подсчета оказалось , что частота данного ответа среди всех ответов , полученных на	данный	вопрос , равна 0,14 .
Убедитесь в том , что все члены многочлена не имеют общего буквенного множителя : Разложите	данный	многочлен на множители , группируя члены , имеющие общие множители .
408 Возведите	двучлен	в куб .
Проверьте результат , возводя полученный	двучлен	в квадрат .
Оказывается , такие формулы есть , и они позволяют возводить	двучлен	в произвольную натуральную степень , не проводя прямых вычислений .
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым умножением , возвести	двучлен	в куб , четвертую и более высокие степени .
Обозначим	двучлен	а плюс b какой - либо буквой , например буквой х , и в полученном произведении х(с плюс d ) раскроем скобки .
266 Представьте выражение в виде А2 плюс с , где А —	двучлен	, а с — число .
Например , 2x плюс 3у — это	двучлен	, 5 - а2 плюс 6а - ab2- четырехчлен , 3n2- 8 плюс 4n6- трехчлен .
Так , например , не для всех а и b можно разложить на множители	двучлен	а2 плюс b2 ( хотя , как мы убедились в примере 3 , для некоторых конкретных а и b это разложение может быть найдено ) .
292 Возведите	двучлен	в квадрат .
А как возводить	двучлен	в четвертую , пятую , шестую и более высокие степени ? .
Для доказательства этой гипотезы возведем в квадрат	двучлен	, пользуясь правилом умножения многочленов .
491 Разложите	двучлен	на множители .
144 Запишите выражение как	двучлен	стандартного вида и определите его степень .
304 Представьте выражение в виде А2 плюс с , где А —	двучлен	, а c — число .
257 Подберите А таким образом , чтобы трехчлен можно было записать как квадрат	двучлена	.
Именно в таком порядке и договорились записывать члены многочлена , являющегося результатом возведения	двучлена	в некоторую натуральную степень .
750 Представьте многочлен как куб	двучлена	.
413 Представьте многочлен как куб	двучлена	.
Подберите А таким образом , чтобы трехчлен можно было записать в виде квадрата	двучлена	.
Представьте многочлен как куб	двучлена	.
296 Представьте трехчлен как квадрат	двучлена	.
297 Подберите А таким образом , чтобы трехчлен можно было записать в виде квадрата	двучлена	.
в ) квадрат двучлена х минус 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x : плюс 4 . г ) квадрат двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше квадрата	двучлена	4x минус 5 .
383 Представьте многочлен как куб	двучлена	.
Например , при возведении	двучлена	а плюс b в шестую степень получится выражение вида : где вместо пропусков стоят некоторые числа .
Таким образом , проблема возведения	двучлена	в шестую степень ( как и в любую другую n - ю степень , литров сводится к проблеме нахождения коэффициентов всех членов итогового многочлена .
а ) квадрат	двучлена	2х плюс 5 на 120 больше квадрата двучлена 2х минус 7 . б ) квадрат двучлена 5х минус 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x : плюс 6 .
а ) квадрат	двучлена	3х плюс 2 на 21 больше квадрата двучлена 3х минус 5 . б )
Французский математик Блез Паскаль в своем « Трактате об арифметическом треугольнике » ( 1655 г. ) установил способ , который позволяет достаточно легко найти требуемые коэффициенты при возведении	двучлена	в любую n - ю степень .
Обозначим буквами а и b соответственно первый и второй члены	двучлена	.
а ) квадрат двучлена 3х плюс 2 на 21 больше квадрата	двучлена	3х минус 5 . б )
квадрат	двучлена	2х минус 6 в 4 раза меньше квадрата двучлена 4х минус 8 .
а ) квадрат двучлена 2х плюс 5 на 120 больше квадрата	двучлена	2х минус 7 . б ) квадрат двучлена 5х минус 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x : плюс 6 .
Итак , мы можем записать следующий алгоритм возведения	двучлена	в любую натуральную степень .
256 Запишите трехчлен как квадрат	двучлена	.
746 Подберите А таким образом , чтобы трехчлен можно было записать как квадрат	двучлена	.
в ) квадрат двучлена х минус 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x : плюс 4 . г ) квадрат	двучлена	8х минус 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x минус 5 .
Формулы квадрата суммы и разности хороши , в частности , тем , что позволяют сразу записать результат возведения в квадрат любого	двучлена	.
В нем в каждой ( n плюс 1)-й строке стоят коэффициенты многочлена , полученного при возведении	двучлена	в степень .
744 Представьте трехчлен как квадрат	двучлена	.
квадрат двучлена 2х минус 6 в 4 раза меньше квадрата	двучлена	4х минус 8 .
в ) квадрат двучлена х минус 1 в 9 раз меньше квадрата	двучлена	3 x : плюс 4 . г ) квадрат двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x минус 5 .
Представьте трехчлен как квадрат	двучлена	.
Так , мы видели , что при возведении	двучлена	а плюс b в квадрат получаются слагаемые с буквенной частью , при возведении в куб — слагаемые с буквенной частью .
в ) квадрат	двучлена	х минус 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x : плюс 4 . г ) квадрат двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x минус 5 .
Мы замечаем , что в каждом из этих случаев итоговый многочлен состоит из трех слагаемых , два из которых — квадраты членов исходного	двучлена	, а третье равно удвоенному произведению этих членов .
Алгоритм : возведения	двучлена	в n - ю степень .
284 Пользуясь формулами квадрата	двучлена	и трехчлена , возведите в степень .
а ) квадрат двучлена 2х плюс 5 на 120 больше квадрата двучлена 2х минус 7 . б ) квадрат	двучлена	5х минус 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x : плюс 6 .
У нас пока недостаточно знаний , чтобы строго доказать истинность данного способа нахождения коэффициентов , но мы можем проанализировать , как получаются коэффициенты , например , при возведении	двучлена	в четвертую степень .
Это правило обобщает те закономерности , которые мы наблюдали при возведении	двучлена	в квадрат и в куб .
Продолжая эту закономерность , можно доказать , что при возведении	двучлена	а плюс b в любую натуральную степень литров итоговый многочлен будет состоять только из одночленов , подобных следующим .
При этом результат возведения	двучлена	а плюс b в квадрат не изменится , если вместо а и b мы подставим любые числа или вообще любые выражения .
Алгоритм возведения	двучлена	в n - ю степень . 1 Выписать в установленном порядке все одночлены , которым подобны члены итогового многочлена .
Запишите произведение	двучленов	как многочлен стандартного вида .
Найдите произведение	двучленов	( х плюс 1)(х минус 2 ) .
а ) При каких значениях х произведение	двучленов	х плюс 4 и х минус 4 меньше суммы их квадратов на 52 ? .
б ) При каких значениях у удвоенное произведение	двучленов	у плюс 7 и 7 минус у меньше суммы их квадратов на 14у ! .
Для того чтобы разобраться в том , что значит разложить многочлены на множители и зачем это нужно , вычислим произведение	двучленов	.
Таким образом , мы видим , что полученные нами формулы сокращенного умножения помогают существенно упростить как возведение	двучленов	в квадрат , так и самые различные вычисления .
Мы видим , что в результате умножения наших	двучленов	мы получили многочлен .
Используя определение степени , запишите выражение как произведение	двучленов	и выполните умножение .
164 Представьте данный трехчлен в виде суммы и разности двух	двучленов	.
Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и выражений , не производя каждый раз почленное умножение	двучленов	и приведение подобных слагаемых .
Таким образом , используя установленные формулы , нам не надо представлять квадраты	двучленов	в виде произведения двух множителей , затем выполнять умножение и приведение подобных слагаемых .
Выясним , например , есть ли какие - то закономерности при умножении двух одинаковых	двучленов	или , что то же самое , при возведении их в квадрат .
657 а ) При каких значениях х произведение	двучленов	х плюс 3 и х минус 3 меньше суммы их квадратов на 28 ? .
б ) При каких значениях у удвоенное произведение	двучленов	у плюс 5 и у минус 5 меньше суммы их квадратов на 9у ? .
Для этого возведем в квадрат несколько различных	двучленов	.
При этом многочлен , состоящий из двух одночленов , называют	двучленом	, из трех — трехчленом и т .
132 Докажите , что данные выражения можно преобразовать в	двучлены	.
Проверим теперь , что	деление	выполнено верно , и , наконец , запишем ответ .
Выполним	деление	с остатком сначала данных чисел , а затем последовательно - делителей и полученных остатков .
Если , то мы получим равенство , которое верно для любого с. Поэтому	деление	не определено однозначно : его результатом может быть любое целое число .
Оно позволяет выполнить	деление	с остатком для любых целых чисел , и его результат всегда будет однозначным .
Следовательно ,	деление	на нуль либо неопределенно , либо невозможно .
То есть если два равных числа увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число ( исключая	деление	на 0 ) , то мы вновь получим два равных числа .
В выражениях со степенями без скобок сначала производят возведение в степень , затем умножение и	деление	, а уже потом — сложение и вычитание .
Согласно порядку действий в выражениях со степенями , сначала возведем ( -3 ) в степень , затем выполним умножение и	деление	и после этого — выполним вычитание .
Выполним	деление с остатком	сначала данных чисел , а затем последовательно - делителей и полученных остатков .
Оно позволяет выполнить	деление с остатком	для любых целых чисел , и его результат всегда будет однозначным .
Поэтому умножение обеих частей уравнения на 0 , наряду с	делением	на 0 , так же следует исключить .
Это действие называют	делением	с остатком .
Это действие называют	делением с остатком	.
Действительно , а значит , действие деления с остатком теряет смысл , ведь каждый человек при	делении	будет получать свой ответ .
447 Найдите остаток при	делении	числа а на b , если известно ? .
То есть если число а больше числа b , то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым числом с , а также при умножении и	делении	их на положительное число с знак неравенства не изменится .
а ) число а при	делении	на 5 дает остаток 2 , а при делении на 3 - остаток 1 и b = 15 . б ) число а при делении на 5 дает остаток 1 , а при делении на 3 - остаток 2 и b = 15 .
число а при	делении	на 3 дает остаток 1 , а при делении на 7 - остаток 4 .
число а при делении на 3 дает остаток 1 , а при	делении	на 7 - остаток 4 .
а ) при	делении	на 4 дает остаток 1 для любого целого .
а ) число а при делении на 5 дает остаток 2 , а при	делении	на 3 - остаток 1 и b = 15 . б ) число а при делении на 5 дает остаток 1 , а при делении на 3 - остаток 2 и b = 15 .
Число полных лет Антона при делении на 5 дает остаток 1 , а число полных лет Ксюши при	делении	на 5 дает остаток 4 .
При	делении	натуральных чисел под остатком мы фактически понимали расстояние от делимого а до наибольшего числа , кратного делителю b и не превышающего а , что хорошо видно .
564 Какой остаток при	делении	на 8 дает число .
а ) Если натуральное число делится на 11 , то оно не может при	делении	на 33 давать остаток 17 . б )
а ) число а при делении на 3 дает остаток 2 , а при	делении	на 7 - остаток 5 .
а ) число а при	делении	на 3 дает остаток 2 , а при делении на 7 - остаток 5 .
457 Найдите остаток при	делении	числа а на 21 , если известно , что .
в ) число а при делении на 3 дает остаток 1 , а при делении на 4 - остаток 3 и b = 12 . г ) число а при делении на 3 дает остаток 2 , а при	делении	на 4 - остаток 1 и b = 12 .
Если натуральное число при	делении	на 12 дает остаток 8 , то оно не делится на 27 .
При этом при	делении	на n число остатков равно n - 1 ( остатки от 1 до n - 1 ) .
в ) число а при делении на 3 дает остаток 1 , а при делении на 4 - остаток 3 и b = 12 . г ) число а при	делении	на 3 дает остаток 2 , а при делении на 4 - остаток 1 и b = 12 .
г ) число , делящееся на 9 , при	делении	на 36 давать остаток 28 ? .
в ) число а при делении на 3 дает остаток 1 , а при	делении	на 4 - остаток 3 и b = 12 . г ) число а при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 4 - остаток 1 и b = 12 .
Если же при	делении	m на n на каждом шаге деления мы получаем остаток , не равный 0 , то в результате деления получится бесконечная десятичная дробь .
а ) число а при делении на 5 дает остаток 2 , а при делении на 3 - остаток 1 и b = 15 . б ) число а при	делении	на 5 дает остаток 1 , а при делении на 3 - остаток 2 и b = 15 .
579 Какой остаток при	делении	на 7 дает число 333444 умножить 444333 ? .
в ) число а при	делении	на 3 дает остаток 1 , а при делении на 4 - остаток 3 и b = 12 . г ) число а при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 4 - остаток 1 и b = 12 .
а ) число а при делении на 5 дает остаток 2 , а при делении на 3 - остаток 1 и b = 15 . б ) число а при делении на 5 дает остаток 1 , а при	делении	на 3 - остаток 2 и b = 15 .
Число полных лет Антона при	делении	на 5 дает остаток 1 , а число полных лет Ксюши при делении на 5 дает остаток 4 .
Если все цифры делимого уже использованы , то при	делении	в столбик мы все время приписываем к остатку нуль .
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при	делении	на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
Если целое число при	делении	на ( -3 ) дает остаток 2 , то оно не делится на ( -27 ) .
231 Отметьте на числовой прямой целые числа , которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при	делении	на ( -5 ) дают остаток 2 .
Найдите все числа , которые при делении на 3 дают остаток 1 , а при	делении	на 4 — остаток 3 .
Найдите все числа , которые при	делении	на 3 дают остаток 1 , а при делении на 4 — остаток 3 .
232 Найдите неполное частное и остаток при	делении	на 7 следующих чисел .
а ) Целое число дает при делении на 5 остаток 1 , а при	делении	на 3 — остаток 2 .
Первое число при	делении	на 7 дает остаток 4 , а второе число при делении на 7 дает остаток 2 .
Первое число при делении на 7 дает остаток 4 , а второе число при	делении	на 7 дает остаток 2 .
233 Найдите неполное частное и остаток при	делении	на ( -7 ) следующих чисел .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при	делении	на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при	делении	на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при	делении	на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при	делении	на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Можно найти целое число , которое при	делении	на 3 дает остаток 4 . д ) Есть целые числа , которые не делятся на единицу .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при	делении	на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
а ) Целое число дает при	делении	на 5 остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
231 Отметьте на числовой прямой целые числа , которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при	делении	на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
а ) остаток при	делении	четного числа на 6 быть равным 3 ? .
231 Отметьте на числовой прямой целые числа , которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при	делении	на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
Найдите все числа , которые при	делении	на 9 дают остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 4 .
в ) Если целое число делится на ( -2 ) , то оно не может при	делении	на (-8 ) давать остаток 3 .
244 Найдите неполное частное и остаток при	делении	на ( -5 ) следующих чисел .
Докажите , что числа а и b дают одинаковые остатки при	делении	на с .
а ) Целое число дает при делении на 8 остаток 3 , а при	делении	на 5 — остаток 1 .
а ) Целое число дает при	делении	на 8 остаток 3 , а при делении на 5 — остаток 1 .
Найдите остаток от деления этого числа на 56 . г ) Найдите все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при	делении	на 9 — остаток 5 .
Найдите остаток от деления этого числа на 56 . г ) Найдите все числа , которые при	делении	на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
Целое число при делении на 7 дает остаток 2 , а при	делении	на 8 — остаток 3 .
в ) число , делящееся на 3 , при	делении	на 12 давать остаток 8 ? .
а ) при делении на 3 дают остаток 2 ; б ) при	делении	на ( -6 ) дают остаток 4 .
231 Отметьте на числовой прямой целые числа , которые : а ) при	делении	на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
Целое число при	делении	на 7 дает остаток 2 , а при делении на 8 — остаток 3 .
б ) число , кратное 5 , при	делении	на 15 давать остаток 7 ? .
а ) при	делении	на 3 дают остаток 2 ; б ) при делении на ( -6 ) дают остаток 4 .
Найдите все числа , которые при делении на 9 дают остаток 2 , а при	делении	на 7 — остаток 4 .
422 а ) Целое число при	делении	на 6 дает в остатке 5 .
Числа 257 , 374 и 478 дают одинаковые остатки при	делении	на некоторое натуральное число , большее 1 .
а ) Если целое число делится на ( -3 ) , то оно не может при	делении	на ( -12 ) давать остаток 7 .
Не существует целого числа , которое при	делении	на 8 дает остаток 6 , а при делении на 16 дает остаток 4 .
а ) при	делении	на 12 дает остаток 11 , а при делении на 18 остаток 1 . б ) при делении на 9 дает остаток 7 , а при делении на 27 остаток 13 ? .
« Если целые числа а и b имеют одинаковые остатки при	делении	на m , то их разность а - b делится на m » .
а ) при делении на 12 дает остаток 11 , а при	делении	на 18 остаток 1 . б ) при делении на 9 дает остаток 7 , а при делении на 27 остаток 13 ? .
Тот факт , что числа а и b имеют одинаковые остатки при	делении	на m , может быть записан с помощью формулы деления с остатком следующим образом .
Не существует целого числа , которое при делении на 8 дает остаток 6 , а при	делении	на 16 дает остаток 4 .
Теорема 1 Целые числа а и b имеют одинаковые остатки при	делении	на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m .
а ) при делении на 12 дает остаток 11 , а при делении на 18 остаток 1 . б ) при	делении	на 9 дает остаток 7 , а при делении на 27 остаток 13 ? .
а ) при делении на 15 дает остаток 12 , а при	делении	на 30 остаток 2 . б ) при делении на 21 дает остаток 18 , а при делении на 42 остаток 32 ? .
а ) при делении на 15 дает остаток 12 , а при делении на 30 остаток 2 . б ) при	делении	на 21 дает остаток 18 , а при делении на 42 остаток 32 ? .
« Если разность целых чисел а и b делится на m , то числа а и b имеют одинаковые остатки при	делении	на m » .
а ) при делении на 15 дает остаток 12 , а при делении на 30 остаток 2 . б ) при делении на 21 дает остаток 18 , а при	делении	на 42 остаток 32 ? .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при	делении	на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при	делении	на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
а ) при	делении	на 15 дает остаток 12 , а при делении на 30 остаток 2 . б ) при делении на 21 дает остаток 18 , а при делении на 42 остаток 32 ? .
А это и означает , что число а имеет тот же остаток при	делении	на m , что и число b , что и требовалось доказать . .
458 а ) Два целых числа при	делении	на 4 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
У целых чисел , имеющих одинаковые остатки при	делении	на одно и то же число , есть очень важное свойство , которое часто оказывается полезным при решении разнообразных задач на делимость .
а ) произведение двух последовательных четных чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б ) произведение чисел для любого целого а либо делится на 5 , либо при	делении	на 5 дает остаток 1 или 2 .
327 Какие остатки дают натуральные степени числа а при	делении	на b ? .
Значит , и число 332223 при	делении	на 7 будет иметь остаток 3 .
В задаче 2 данного пункта мы получили , что остаток от деления чисел вида 3n на 7 зависит от того , какой остаток при	делении	на 6 дает показатель степени , а именно .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при	делении	на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое натуральное число А дает тот же остаток при	делении	на 11 , что и разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой цифр , стоящих на нечетных местах , что и требовалось доказать .
Не вычисляя остатков , докажите , что числа а и b дают одинаковые остатки при	делении	на с .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при	делении	на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при	делении	на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при	делении	на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
Ответ : остаток r при	делении	на 7 чисел вида 3n равен .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при	делении	на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при	делении	на 8 дает остаток 7 .
Доказать , что сумма кубов этих чисел делится на 4 . б ) Два целых числа при	делении	на 7 дают в остатке соответственно 2 и 3 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при	делении	на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
Числа 2146 , 1991 , 1805 дают равные остатки при	делении	на натуральное число , большее 1 .
Числа , имеющие одинаковые остатки при	делении	на некоторое заданное натуральное число , настолько важны в математике , что получили свое специальное название .
Если два целых числа а и b имеют одинаковые остатки при	делении	на некоторое целое число m , то говорят , что а и b сравнимы по модулю m , и пишут .
Какой остаток при	делении	на 8 дает квадрат нечетного числа ? .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при	делении	на 11 .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при	делении	на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
в ) если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное , то их произведение делится на 24 . г ) квадрат нечетного числа при	делении	на 8 дает остаток 1 .
428 а ) Целое число а при	делении	на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при делении на 14 дает в остатке 9 .
Очевидно , что числа 747 475 и 74 000 001 дают остаток 1 при	делении	на 74 , значит , они сравнимы по модулю 74 .
Какой остаток дает ас при	делении	на 12 ? .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при	делении	на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
275 Докажите , что числа а и b дают одинаковые остатки при	делении	на с , не вычисляя этих остатков .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при	делении	на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при	делении	на 98 .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при	делении	на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б ) Целое число при	делении	на 9 дает в остатке 7 .
Докажите , что куб этого числа при	делении	на 6 дает в остатке 5 . б ) Целое число при делении на 9 дает в остатке 7 .
Докажите , что куб этого числа при	делении	на 9 дает в остатке 1 .
В первом случае а2 кратен 3 , а в двух остальных - остаток при	делении	а2 на 3 равен 1 , что и требовалось доказать .
428 а ) Целое число а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при	делении	на 14 дает в остатке 9 .
Какой остаток при	делении	на 14 дает ab ? .
Доказать , что квадрат любого целого числа либо кратен 3 , либо дает при	делении	на 3 остаток 1 .
Следовательно , по теореме 1 , п. 2.2.3 , они имеют одинаковые остатки при	делении	на m. Значит , что и требовалось доказать . .
Но и остатком при	делении	на 12 не является .
Пусть теперь некоторые два числа имеют остатки 11 и 4 при	делении	на 12 .
Например , если некоторые два числа имеют остатки 5 и 2 при	делении	на 12 , то сумма этих остатков равна 7 .
Пусть числа А к В при	делении	на m дают соответственно остатки а и b.
407 а ) Целое число а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при	делении	на 12 дает в остатке 7 .
Так как при	делении	на 12 возможны лишь остатки 0 , 1 , 2 , ..
286 Запишите в виде блок - схемы : а ) алгоритм нахождения модуля числа а ; б ) алгоритм определения того , что числа а и b имеют одинаковый остаток при	делении	на m .
429 Докажите , что А я В дают одинаковые остатки при	делении	на 13 .
Какой остаток при	делении	на 3 дает его квадрат ? .
Какие остатки дают натуральные степени числа а при	делении	на b ? .
407 а ) Целое число а при	делении	на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7 .
Целое число при	делении	на 3 дает остаток 2 .
287 Докажите , что числа а и b дают одинаковые остатки при	делении	на с .
Если целое число при	делении	на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не делится на ( -18 ) .
Найдите это число . б ) Числа 3311 , 1935 , 1376 дают равные остатки при	делении	на натуральное число , большее 1 .
а ) произведение двух последовательных четных чисел либо делится на 3 , либо при	делении	на 3 дает остаток 2 . б ) произведение чисел для любого целого а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
Z4(2 ) - числа вида 4k + 2 ( числа , дающие при	делении	на 4 остаток 2 ) .
90 Докажите , что числа А и В имеют одинаковые остатки при	делении	на 7 .
Z4(3 ) - числа вида 4k + 3 ( числа , дающие при	делении	на 4 остаток 3 ) .
Доказать , что квадрат любого целого числа либо кратен 3 , либо при	делении	на 3 дает остаток 1 .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при	делении	на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
Найдите остаток при	делении	числа b на 2 , на 7 .
Z4(l ) - числа вида 4k + 1 ( числа , дающие при	делении	на 4 остаток 1 ) .
Числа 115 000 и 1 085 000 дают одинаковые остатки при	делении	на 97 . .
а ) Число 261 679 делится на 11 . б ) Число 740 630 при	делении	на 13 дает остаток 7 .
Может ли остаток при	делении	этого числа на 27 быть равен 11 ? .
363 Разбейте множество целых чисел на классы по их остаткам при	делении	на ?
362 Найдите неполное частное и остаток при	делении	на ( -11 ) следующих чисел .
в ) при делении на 9 дают остаток 7 . г ) при	делении	на ( -5 ) дают остаток 3 .
в ) при	делении	на 9 дают остаток 7 . г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 3 .
Целое число b при	делении	на 14 дает остаток 8 .
Найдите все числа , которые при делении на 8 дают остаток 5 , а при	делении	на 5 дают остаток 2 .
Z4(0 ) - числа вида 4k ( числа , кратные 4 , то есть дающие при	делении	на 4 остаток 0 ) .
в ) Если натуральное число делится на 3 , то оно не может при	делении	на 6 давать остаток 4 . г ) Если натуральное число при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
526 Найдите неполное частное и остаток при	делении	на ( -9 ) следующих чисел .
в ) Если целое число делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если целое число при	делении	на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
в ) Если целое число делится на ( -5 ) , то при	делении	на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если целое число при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
Если целое число при	делении	на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не делится на ( -4 ) .
а ) Если целое число делится на ( -7 ) , то оно не может при	делении	на ( -14 ) давать остаток 5 .
509 Найдите неполное частное и остаток при	делении	на ( -11 ) следующих чисел .
Тем самым нами произведена классификация множества целых чисел в зависимости от их остатка при	делении	на 4 .
Рассмотрим , например , остатки , получающиеся при	делении	некоторых целых чисел на 4 .
Это означает , что 4х при	делении	на 3 дает остаток 2 .
Объединим все числа , имеющие остаток 3 при	делении	на 4 , в одно подмножество множества целых чисел .
В — множество натуральных чисел , меньших 10 , дающих при	делении	на 3 остаток 2 .
в ) Если натуральное число делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если натуральное число при	делении	на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
Все указанные подмножества не пересекаются друг с другом , так как по теореме делимости при	делении	любого целого числа на 4 не может возникнуть два различных остатка ( единственность ) .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при	делении	на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
Так как остаток является неотрицательным целым числом , меньшим модуля делителя , то при	делении	любого числа на 4 возможны только четыре различных остатка : 0 , 1 , 2 , 3 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г ) Целое число при	делении	на 4 дает в остатке 3 .
а ) при делении на 3 дают остаток 2 . б ) при	делении	на ( -7 ) дают остаток 6 .
а ) при	делении	на 3 дают остаток 2 . б ) при делении на ( -7 ) дают остаток 6 .
117 Докажите , что а3 плюс 4а для любых целых а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 , либо при	делении	на 5 дает остаток 4 .
350 Вычислите и определите , какие остатки дает натуральная степень данного числа при	делении	на 7 .
342 Числа 901 , 1696 , 4293 дают равные остатки при	делении	на некоторое натуральное число .
398 а ) Целое число при	делении	на 8 дает в остатке 7 .
Какие остатки дают натуральные степени числа а при	делении	на b .
Числа 1712 , 1807 и 1940 дают одинаковые остатки при	делении	на некоторое натуральное число , большее 1 .
а ) Если натуральное число делится на 5 , то оно не может при	делении	на 20 давать остаток 16 . б )
Докажите , что куб этого числа при	делении	на 8 дает в остатке 7 . б ) Целое число при делении на 5 дает в остатке 4 .
Найдите остаток при	делении	числа b на 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 .
Целое число b при	делении	на 36 дает остаток 3 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б ) Целое число при	делении	на 5 дает в остатке 4 .
в ) Целое число при	делении	на 5 дает в остатке 2 .
Докажите , что куб этого числа при	делении	на 5 дает в остатке 3 . г ) Целое число при делении на 4 дает в остатке 3 .
Может ли остаток при	делении	этого числа на 14 быть равен 5 ? .
Какой остаток при	делении	на 2 дают числа .
Найдите все числа , которые при	делении	на 8 дают остаток 5 , а при делении на 5 дают остаток 2 .
117 Докажите , что а3 плюс 4а для любых целых а либо делится на 5 , либо при	делении	на 5 дает остаток 1 , либо при делении на 5 дает остаток 4 .
а ) произведение двух последовательных целых чисел либо делится на 3 , либо при	делении	на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
А это означает , что квадрат этого числа при	делении	на 3 дает остаток 1 , то квадрат этого числа равен .
И мы опять получаем , что квадрат данного числа при	делении	на 3 дает остаток 1 .
а ) Целое число дает при делении на 7 остаток 2 , а при	делении	на 9 — остаток 3 .
Доказав для каждого из классов , что квадрат соответствующего целого числа либо делится на 3 , либо дает при	делении	на 3 остаток 1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех целых чисел .
а ) Целое число дает при	делении	на 7 остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 3 .
360 Докажите утверждение : « Если натуральное число при делении на 15 дает остаток 7 , то при	делении	на 3 оно даст остаток 1 » .
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03 плюс 2а2 плюс 3а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3 плюс а2 плюс 5а либо делится на 3 , либо при	делении	на 3 дает остаток 2 .
360 Докажите утверждение : « Если натуральное число при	делении	на 15 дает остаток 7 , то при делении на 3 оно даст остаток 1 » .
Если натуральное число при	делении	на 30 дает остаток 21 , то оно не делится на 10 .
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03 плюс 2а2 плюс 3а либо делится на 4 , либо при	делении	на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3 плюс а2 плюс 5а либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 .
в ) Если натуральное число делится на 8 , то при	делении	на 16 оно не может давать остаток 7 .
Если натуральное число при	делении	на 27 дает остаток 7 , то оно не делится на 9 .
а ) остаток 5 при делении на 7 . б ) остаток 11 при	делении	на 21 .
а ) остаток 5 при	делении	на 7 . б ) остаток 11 при делении на 21 .
остаток 14 при делении на 15 . г ) остаток 21 при	делении	на 48 .
а ) при делении на 12 дает остаток 11 , а при делении на 18 остаток 1 . б ) при делении на 9 дает остаток 7 , а при	делении	на 27 остаток 13 ? .
остаток 14 при	делении	на 15 . г ) остаток 21 при делении на 48 .
196 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при	делении	на 5 дают остаток 3 ; б ) при делении на 9 дают остаток 6 .
183 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при	делении	на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
а ) Если натуральное число делится на 7 , то оно не может при	делении	на 28 давать остаток 9 . б )
а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 . б ) при	делении	на ( -3 ) дают остаток 2 ; г ) при делении на ( -7 ) дают остаток 1 .
Все целые числа , которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют целые числа , которые при	делении	на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
Если целое число при делении на 21 дает остаток 8 , то при	делении	на 7 оно даст остаток 1 .
Все целые числа , которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют целые числа , которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при	делении	на 7 дают остаток 5 .
Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при	делении	на 8 дает остаток 4 .
а ) остаток 4 при делении на 6 ; в ) остаток 13 при делении на 21 . б ) остаток 12 при	делении	на 19 ; г ) остаток 19 при делении на 25 .
б ) число , кратное 11 , при	делении	на 33 давать остаток 4 ? .
Целое число дает при	делении	на 4 остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 5 .
Известно , что количество купленных мамой книг при делении на 3 дает остаток 1 , а количество купленных ею дисков при	делении	на 3 дает остаток 2 .
183 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при	делении	на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
Первое число при	делении	на 9 дает остаток 5 , а второе число при делении на 9 дает остаток 3 .
Первое число при	делении	на 14 дает остаток 2 , а второе число при делении на 14 дает остаток 11 .
Если натуральное число при	делении	на 64 дает остаток 31 , то оно не делится на 8 .
в ) Не существует натурального числа , которое при	делении	на 18 дает остаток 5 , а при делении на 27 дает остаток 3 .
а ) при	делении	на 5 дает остаток 7 , а при делении на 20 дает остаток 13 .
Если целое число при	делении	на 21 дает остаток 8 , то при делении на 7 оно даст остаток 1 .
Первое число при	делении	на 8 дает остаток 5 , а второе число при делении на 8 дает остаток 7 .
в ) делится на 11 , а при	делении	на 22 дает остаток 13 .
Первое число при делении на 7 дает остаток 5 , а второе число при	делении	на 7 дает остаток 2 .
Докажите , что числа а и b дают одинаковые остатки при	делении	на с . а ) Из Москвы и Владивостока , расстояние между которыми 9000 км , вылетели одновременно навстречу друг другу два самолета , Су-34 и Ил-96 .
Найдите неполное частное и остаток при	делении	на (-8 ) следующих чисел .
г ) делится на 9 , а при	делении	на 54 дает остаток 43 ? .
706 Какие остатки дают натуральные степени числа а при	делении	на 6 ? .
Первое число при делении на 8 дает остаток 5 , а второе число при	делении	на 8 дает остаток 7 .
Докажите , что а3 для любого целого числа а либо делится на 4 , либо при	делении	на 4 дает остаток 2 . а ) Колонна демонстрантов растянулась на 800 м .
Известно , что количество купленных мамой книг при	делении	на 3 дает остаток 1 , а количество купленных ею дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; в ) при	делении	на 6 дают остаток 4 . б ) при делении на ( -3 ) дают остаток 2 ; г ) при делении на ( -7 ) дают остаток 1 .
а ) остаток 4 при делении на 6 ; в ) остаток 13 при делении на 21 . б ) остаток 12 при делении на 19 ; г ) остаток 19 при	делении	на 25 .
а ) Если натуральное число делится на 7 , то оно не может при	делении	на 21 давать остаток 5 .
Первое число при	делении	на 11 дает остаток 6 , а второе число при делении на 11 дает остаток 8 .
Первое число при	делении	на 7 дает остаток 5 , а второе число при делении на 7 дает остаток 2 .
а ) Некоторые целые числа при	делении	на 6 дают остаток ( -1 ) .
С другой стороны , заметим , что число а при	делении	на каждое из наших простых чисел дает остаток 1 .
а ) Число а делится на число 6 . б ) Число с при	делении	на d дает остаток r . в ) Числа p и r взаимно простые .
183 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при	делении	на 3 дают остаток 0 .
Первое число при	делении	на 15 дает остаток 11 , а второе число при делении на 15 дает остаток 6 .
Количество книг при делении на 3 дает остаток 1 , количество дисков при	делении	на 3 дает остаток 2 .
Первое число при делении на 14 дает остаток 2 , а второе число при	делении	на 14 дает остаток 11 .
в ) Некоторые натуральные числа , делящиеся на 3 , делятся на 9 . г ) Остаток при	делении	натурального числа на 2 равен либо 0 , либо 1 .
Найдите неполное частное и остаток при	делении	на ( -6 ) следующих чисел .
Так как х при	делении	на 3 дает остаток 1 , то по формуле деления с остатком , где множество натуральных чисел и 0 .
Первое число при делении на 9 дает остаток 5 , а второе число при	делении	на 9 дает остаток 3 .
Докажите , что числа а и b дают одинаковые остатки при	делении	на с . а ) Из двух филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши , расстояние между которыми равно 750 км , выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля .
196 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; б ) при	делении	на 9 дают остаток 6 .
719 Какие остатки дают натуральные степени числа а при	делении	на b .
Первое число при делении на 15 дает остаток 11 , а второе число при	делении	на 15 дает остаток 6 .
Первое число при	делении	на 9 дает остаток 3 , а второе число при делении на 9 дает остаток 5 .
183 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при	делении	на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
Все целые числа , которые при	делении	на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют целые числа , которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
Первое число при делении на 11 дает остаток 9 , а второе число при	делении	на 11 дает остаток 2 .
Если натуральное число при	делении	на 36 дает остаток 4 , то оно не делится на 6 .
Количество книг при	делении	на 3 дает остаток 1 , количество дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
Любое простое число , большее 2 , при	делении	на 4 может иметь остаток либо 1 , либо 3 .
197 Среди натуральных чисел , больших 20 , найдите наименьшее натуральное число , которое : а ) при	делении	на 12 дает остаток 8 ; б ) при делении на 31 дает остаток 3 .
а ) при делении на 5 дает остаток 7 , а при	делении	на 20 дает остаток 13 .
а ) Частное от деления числа 75 само на себя равно 1 . б ) Существуют целые числа , которые при	делении	их на себя дают в частном 2 .
197 Среди натуральных чисел , больших 20 , найдите наименьшее натуральное число , которое : а ) при делении на 12 дает остаток 8 ; б ) при	делении	на 31 дает остаток 3 .
а ) остаток 4 при делении на 6 ; в ) остаток 13 при	делении	на 21 . б ) остаток 12 при делении на 19 ; г ) остаток 19 при делении на 25 .
Первое число при	делении	на 11 дает остаток 9 , а второе число при делении на 11 дает остаток 2 .
а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 . б ) при делении на ( -3 ) дают остаток 2 ; г ) при	делении	на ( -7 ) дают остаток 1 .
Первое число при делении на 11 дает остаток 6 , а второе число при	делении	на 11 дает остаток 8 .
Сумма четырех последовательных натуральных чисел при	делении	на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
а ) остаток 4 при	делении	на 6 ; в ) остаток 13 при делении на 21 . б ) остаток 12 при делении на 19 ; г ) остаток 19 при делении на 25 .
б ) делится на 13 , а при	делении	на 39 дает остаток 27 ? .
Все целые числа при	делении	их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в сумме с 6 дает 17 . д ) Число 3 является решением уравнения .
а ) при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 18 дает остаток 15 . б ) при делении на 7 дает остаток 6 , а при	делении	на 21 дает остаток 12 .
в ) Не существует натурального числа , которое при делении на 18 дает остаток 5 , а при	делении	на 27 дает остаток 3 .
Первое число при делении на 19 дает остаток 14 , а второе число при	делении	на 19 дает остаток 15 .
Можно найти натуральное число , которое делится на 3 . б ) Нечетные числа при	делении	на 2 дают остаток 1 .
Докажите , что числа А и В имеют одинаковые остатки при	делении	на 7 .
Первое число при	делении	на 17 дает остаток 11 , а второе число при делении на 17 дает остаток 9 .
Имеется натуральное число , которое при	делении	на 24 дает остаток 7
Первое число при делении на 11 дает остаток 7 , а второе число при	делении	на 11 дает остаток 9 .
Первое число при делении на 9 дает остаток 3 , а второе число при	делении	на 9 дает остаток 5 .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при	делении	на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при	делении	на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
Первое число при делении на 12 дает остаток 4 , а второе число при	делении	на 12 дает остаток 5 .
в ) Если натуральное число делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если натуральное число при	делении	на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при	делении	на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при	делении	на 26 .
а ) при	делении	на 5 дают остаток 3 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 . б ) при делении на ( -3 ) дают остаток 2 ; г ) при делении на ( -7 ) дают остаток 1 .
Целое число дает при делении на 4 остаток 2 , а при	делении	на 7 — остаток 5 .
Первое число при	делении	на 12 дает остаток 4 , а второе число при делении на 12 дает остаток 5 .
а ) при	делении	на 3 дает остаток 2 , а при делении на 18 дает остаток 15 . б ) при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 21 дает остаток 12 .
Если натуральное число при	делении	на 18 дает остаток 6 , то оно не делится на 9 .
Числа 125 000 и 441 800 дают одинаковые остатки при	делении	на 99 .
а ) Если натуральное число делится на 4 , то оно не может при	делении	на 16 давать остаток 5 .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при	делении	на 3 дает остаток 2 .
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при	делении	на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р .
Нет натуральных чисел , которые при	делении	на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
Все целые числа при	делении	на 17 дают остаток 9 .
а ) Не существует наибольшего натурального числа , которое при	делении	на 5 дает остаток 1 . б )
г ) Нечетное число - это натуральное число , которое при	делении	на 2 дает ос таток 1 .
а ) Число 62 458 делится на 11 . б ) Число 100 851 при	делении	на 17 дает остаток 7 .
Найдите остаток от деления этого числа на 28 . б ) Найдите все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при	делении	на 3 — остаток 2 .
Найдите остаток от деления этого числа на 28 . б ) Найдите все числа , которые при	делении	на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
Первое число при	делении	на 11 дает остаток 7 , а второе число при делении на 11 дает остаток 9 .
Если целое число а не делится на 11 , то число 4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего целого числа , которое при	делении	на 7 дает остаток 2
а ) при делении на 3 дает остаток 2 , а при	делении	на 18 дает остаток 15 . б ) при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 21 дает остаток 12 .
Зависимость задали следующим образом : каждому целому числу поставили в соответствие его остаток при	делении	на целое число а .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при	делении	на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
Разбейте множество целых чисел на классы по их остаткам при	делении	на .
Функция задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при	делении	на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 .
в ) Если натуральное число делится на 7 , то при	делении	на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если натуральное число при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при	делении	на 2 дают остаток 1 .
а ) при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 18 дает остаток 15 . б ) при	делении	на 7 дает остаток 6 , а при делении на 21 дает остаток 12 .
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при	делении	на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
Первое число при делении на 5 дает остаток 3 , а второе число при	делении	на 5 дает остаток 4 .
Найдите три числа , дающих при	делении	на В такие же остатки , как А .
Первое число при	делении	на 19 дает остаток 14 , а второе число при делении на 19 дает остаток 15 .
Найдите неполное частное и остаток при	делении	на ( -12 ) следующих чисел .
Первое число при	делении	на 5 дает остаток 3 , а второе число при делении на 5 дает остаток 4 .
Первое число при делении на 17 дает остаток 11 , а второе число при	делении	на 17 дает остаток 9 .
а ) число , кратное 7 , при	делении	на 49 давать остаток 27 ? .
Значит , НОД чисел а и b равен последнему ненулевому остатку в указанной цепочке	делений	.
Известно , что остаток от	деления	числа А на 23 равен а , а числа В на 23 — равен b.
379 Проведите классификацию множества А по остаткам от	деления	его элементов на b . 380 Найдите остаток от деления а на b . 381 Определите , какой цифрой оканчивается число .
Тогда , согласно теоремам 1 и 3 , п. 2.2.4 , а значит , число А и сумма его цифр имеют одинаковые остатки от	деления	на 9 .
Если на некотором шаге	деления	числителя m этой дроби на знаменатель n получится остаток 0 , то дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Алгоритм	деления	с остатком натурального числа а на b . 1 Найти наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
а ) Сумма числа а и частного от	деления	b на с . б ) Частное от деления произведения чисел х и у на разность чисел m и n .
Если же при делении m на n на каждом шаге	деления	мы получаем остаток , не равный 0 , то в результате деления получится бесконечная десятичная дробь .
467 Найдите остаток от	деления	числа 6100 на 7 .
Найдите остаток от	деления	на 23 числа , если .
266 Проведите классификацию множества А по остаткам от	деления	его эле ментов на 7 .
Теперь , исходя из нашего опыта , построим алгоритм	деления	с остатком .
4 Сделать проверку с помощью формулы	деления	с остатком .
Так как х при делении на 3 дает остаток 1 , то по формуле	деления	с остатком , где множество натуральных чисел и 0 .
А вот выражения х плюс 1 , у2 - 3 и г одночленами не являются , поскольку содержат действия соответственно сложения , вычитания ,	деления	.
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению	деления	с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
Найдите остаток от	деления	этого числа на 15 . б )
Найдем таким же способом остатки от	деления	на 7 следующих степеней 3 : .
Первое из задуманных чисел равно результату от	деления	числа а на 5 , а второе меньше b на 34 .
Если же при делении m на n на каждом шаге деления мы получаем остаток , не равный 0 , то в результате	деления	получится бесконечная десятичная дробь .
Мы уже умеем выполнять арифметические действия с целыми числами и знаем , что операция	деления	на множестве Z выполнима не всегда .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат	деления	с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
Найдите остаток от	деления	а на b .
Выберем в качестве признака , на основании которого мы будем проводить классификацию , величину остатка от	деления	на некоторое заданное число .
Составим , например , таблицу сложения и умножения остатков от	деления	на 4 .
Средним арифметическим нескольких чисел называется результат	деления	суммы этих чисел на их количество .
Найдите остаток от	деления	на 19 чисел если .
а ) произведение двух последовательных целых чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от	деления	на 4 произведения двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
Найдите остаток от	деления	этого числа на 56 . г ) Найдите все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
а ) Сумма числа а и частного от деления b на с . б ) Частное от	деления	произведения чисел х и у на разность чисел m и n .
Понятно , что данный способ поиска НОД является менее трудоемким , ведь здесь для получения ответа операцию	деления	потребовалось выполнить всего 6 раз , а используя прежний алгоритм , ее надо выполнить 51 раз .
Разделим число b на m , то есть представим его с помощью формулы	деления	с остатком в виде .
Разделим целые числа на три класса в зависимости от их остатков от	деления	на 3 .
При этом всегда надо помнить , что при выполнении действий над остатками применяется следующее правило : если результат сложения , вычитания , умножения остатков по некоторому модулю m стал отрицательным или больше m , то надо переходить к остатку от	деления	результата на m .
В таких задачах переход к изучению остатков от	деления	на некоторое число позволяет решить задачи просто и красиво .
198 Для любого определите , чему равен остаток от	деления	.
Тот факт , что числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m , может быть записан с помощью формулы	деления	с остатком следующим образом .
Сделать проверку по формуле	деления	с остатком .
298 Известно , что остаток от	деления	числа А на 19 равен а , а числа В на 19 - равен b.
Проведите классификацию множества А по остаткам от	деления	его элементов на b .
Таким образом , не выполняя громоздких вычислений самих степеней , мы с помощью сравнений смогли быстро найти остатки от	деления	на 7 всех чисел вида 3n .
И так как число целых неотрицательных чисел , меньших b , конечно , то на не котором шаге остаток от	деления	будет равен нулю .
Известно , что остаток от	деления	числа А на 13 равен а , а числа В на 13 — равен b.
Найдите остаток от	деления	на 17 чисел , если .
Для любых натуральных чисел a и m остатки от	деления	a , а2 , .. , аn , .. на m с некоторого момента начинают периодически повторяться .
а ) Частное от	деления	числа 75 само на себя равно 1 . б ) Существуют целые числа , которые при делении их на себя дают в частном 2 .
Найдите остаток от	деления	на 13 числа .
379 Проведите классификацию множества А по остаткам от деления его элементов на b . 380 Найдите остаток от	деления	а на b . 381 Определите , какой цифрой оканчивается число .
234 Для любого определите , чему равен остаток от	деления	.
Полученная нами формула	деления	с остатком дает возможность провести классификацию целых чисел по их остаткам от деления на некоторое число .
Множество Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция	деления	на число , отличное от О .
Найдите частное и остаток от	деления	полученного результата на 7 .
Найдите остаток от	деления	этого числа на 40 . б )
Полученная нами формула деления с остатком дает возможность провести классификацию целых чисел по их остаткам от	деления	на некоторое число .
а ) Первое из задуманных чисел больше а на 32 , а второе равно результату от	деления	числа b на 2,1 .
Найдите остатки от	деления	на 7 натуральных степеней числа 3 .
Рассмотрим простейший случай	деления	с остатком , например , числа 7 на 2 .
2 Классификация целых чисел по остаткам от	деления	.
Так как дни недели повторяются каждые 7 дней , то , выбрав точку отсчета , мы можем каждому целому числу , а поставить в соответствие день недели , определяемый как остаток от	деления	а на 7 .
Сравнения помогают находить остатки от	деления	, не производя подобных вычислений .
В задаче 2 данного пункта мы получили , что остаток от	деления	чисел вида 3n на 7 зависит от того , какой остаток при делении на 6 дает показатель степени , а именно .
Суммой остатков а и b назовем число с , являющееся остатком от	деления	на m .
Найдите остаток от	деления	этого числа на 63 . б )
В случае	деления	с остатком ( -7 ) на ( -2 ) наибольшим целым числом , кратным ( -2 ) и не превышающим ( -7 ) , является число (-8 ) , а расстояние от (-8 ) до ( -7 ) равно .
Найдите остаток от	деления	332223 на 7 .
В процессе указанной операции мы складываем не сами числа , а их остатки от	деления	на некоторое число m.
274 Запишите на математическом языке , используя формулу	деления	с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
Таким образом , в результате	деления	с остатком мы получаем однозначный ответ , который не противоречит аналогичному определению для натуральных чисел .
256 Разбейте множество целых чисел на классы по их остаткам от	деления	на .
Итак , в определении	деления	с остатком на множестве целых чисел изменяется требование не только к делителю , но и к остатку .
Итак , в обоих случаях в результате	деления	m на n получится периодическая десятичная дробь , что и требовалось доказать .
Данное высказывание будет верным , ведь именно так мы и определяли действие	деления	для целых чисел , но .. при условии , что .
Результат	деления	одного натурального числа на другое не всегда будет числом натуральным .
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , то в результате	деления	числителя на знаменатель получится бесконечная десятичная дробь .
257 Проведите классификацию множества А по остаткам от	деления	его элементов на b .
185 Выберите из множества А числа , равные неполному частному и остатку от	деления	а на b .
Разобьем тогда множество целых чисел на три класса по остаткам от	деления	на 3 .
Ведь мы всегда можем записать сумму , разность , произведение и частное нескольких одночленов ( кроме	деления	на нулевой одночлен ) .
Нам известно , что результат	деления	одного целого числа на другое , как и в случае натуральных чисел , не всегда будет числом целым .
Итак , чтобы вынести за скобки общий множитель с , мы можем в скобках записать многочлен , каждый член которого получен в результате его	деления	на с .
343 Найдите остаток от	деления	555222 на 6 .
Аналогичным образом изображаются числа , сравнимые по любому модулю m , только окружность делится соответственно на m равных частей , и около каждой точки	деления	против часовой стрелки последовательно расставляются возможные значения остатков : 0 , 1 , 2 , .. , m - 1 .
329 Найдите остаток от	деления	а на b ? .
Итак , представление , существует , и возможность	деления	с остатком любых натуральных чисел а и b доказана .
Введем на множестве остатков от	деления	на m операцию сложения .
Для случая	деления	без остатка мы получили , что распространить наши знания можно , просто заменив в определении « натуральные числа » на « целые » и исключив случай .
1 В выражениях операцию	деления	на число , отличное от нуля , можно заменить умножением на число , обратное делителю .
Найдите частное от	деления	второго числа на первое .
Поэтому вынесение за скобки общего множителя , в отличие от действия	деления	, возможно для множителей как равных , так и не равных нулю .
Можно ли так же поступить в случае	деления	с остатком ? .
481 Найдите остаток от	деления	числа 38200 на 9 .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от	деления	320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
Разделим с остатком число на , используя формулу	деления	с остатком , аналогичную формуле для натуральных чисел .
Второе из задуманных чисел меньше а на 90 , а первое равно результату от	деления	числа b на 12 .
Как и в предыдущем случае , подставим данные выражения в формулу	деления	а на b с остатком .
Действительно , а значит , действие	деления	с остатком теряет смысл , ведь каждый человек при делении будет получать свой ответ .
Доказательство утверждения о существовании и единственности	деления	с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
Подставим данные выражения в формулу	деления	а на b с остатком .
313 Известно , что остаток от	деления	числа А на 17 равен а , а числа В на 17 - равен b.
Проведите классификацию множества А по остаткам от	деления	его элементов на 3 .
Поскольку в основных законах арифметики даны правила только для преобразования сумм и произведений , то естественно свести действие	деления	к умножению , подобно тому , как мы свели вычитание к сложению .
Поэтому для натуральных чисел наряду с действием	деления	рассматривают и более общее действие , которое всегда выполнимо .
Проведение классификации множества целых чисел по остаткам от	деления	на некоторое число позволяет упростить решение многих задач .
Таким образом , нами доказано существование и единственность	деления	с остатком на множестве натуральных чисел .
Соответственно изменяется и алгоритм	деления	с остатком целых чисел .
а ) Разностью двух чисел называется число , такое , что . б ) Средним арифметическим нескольких чисел называется результат	деления	суммы этих чисел на их количество .
313 Докажите , что А и В имеют одинаковые остатки от	деления	на 17 .
Поэтому для целых чисел , как и для натуральных , возникают два вида	деления	.
Алгоритм	деления	с остатком целых чисел а и b . 1 Найти наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
Найдите остаток от	деления	этого числа на 28 . б ) Найдите все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r — остаток от	деления	а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее .
Найдите остаток от	деления	А на В .
Рассмотрим простейший случай	деления с остатком	, например , числа 7 на 2 .
Тот факт , что числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m , может быть записан с помощью формулы	деления с остатком	следующим образом .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу	деления с остатком	, следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
Таким образом , в результате	деления с остатком	мы получаем однозначный ответ , который не противоречит аналогичному определению для натуральных чисел .
Действительно , а значит , действие	деления с остатком	теряет смысл , ведь каждый человек при делении будет получать свой ответ .
Алгоритм	деления с остатком	целых чисел а и b . 1 Найти наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
4 Сделать проверку с помощью формулы	деления с остатком	.
Разделим число b на m , то есть представим его с помощью формулы	деления с остатком	в виде .
В случае	деления с остатком	( -7 ) на ( -2 ) наибольшим целым числом , кратным ( -2 ) и не превышающим ( -7 ) , является число (-8 ) , а расстояние от (-8 ) до ( -7 ) равно .
Соответственно изменяется и алгоритм	деления с остатком	целых чисел .
Доказательство утверждения о существовании и единственности	деления с остатком	на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению	деления с остатком	его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
Итак , в определении	деления с остатком	на множестве целых чисел изменяется требование не только к делителю , но и к остатку .
Алгоритм	деления с остатком	натурального числа а на b . 1 Найти наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
Теперь , исходя из нашего опыта , построим алгоритм	деления с остатком	.
Сделать проверку по формуле	деления с остатком	.
Так как х при делении на 3 дает остаток 1 , то по формуле	деления с остатком	, где множество натуральных чисел и 0 .
Полученная нами формула	деления с остатком	дает возможность провести классификацию целых чисел по их остаткам от деления на некоторое число .
Итак , представление , существует , и возможность	деления с остатком	любых натуральных чисел а и b доказана .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат	деления с остатком	одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
Таким образом , нами доказано существование и единственность	деления с остатком	на множестве натуральных чисел .
Разделим с остатком число на , используя формулу	деления с остатком	, аналогичную формуле для натуральных чисел .
Можно ли так же поступить в случае	деления с остатком	? .
Разбейте число 168 на три не равных друг другу натуральных слагаемых так , чтобы сумма любых двух этих слагаемых	делилась	на третье .
В нашем же случае , поскольку , мы	делили	на 0 .
На какое число	делили	эти числа ? .
Докажите , что какие бы цифры ни ставил Сережа , Миша всегда сможет добиться того , чтобы полученное число	делилось	на 3 . .
Какой могла быть эта цифра , если число	делилось	на . а ) Сторону квадрата сначала уменьшили на 40 % , а затем увеличили на 40 % .
Докажите , что какие бы цифры ни ставил Андрей , Иван всегда сможет добиться того , чтобы полученное число	делилось	на 9 .
Какой могла быть эта цифра , если число	делилось	на . а ) В магазине имеются велосипеды и мотоциклы .
Поскольку мы все время	делим	на одно и то же число 22 , то после повторного появления остатка 4 будут появляться в том же порядке одни и те же промежуточные делимые .
И так как мы	делим	все время на одно и то же число , то с момента появления первого повторения в частном будет периодически повторяться одна и та же группа цифр .
Так , например , при переводе дроби 7/22 в десятичную мы	делим	7 на 22 .
3 Вычесть k из	делимого	а , в ответе - остаток r . 4 .
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и b . 1 Найти наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее	делимого	а .
Если все цифры	делимого	уже использованы , то при делении в столбик мы все время приписываем к остатку нуль .
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на b . 1 Найти наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее	делимого	а .
При делении натуральных чисел под остатком мы фактически понимали расстояние от	делимого	а до наибольшего числа , кратного делителю b и не превышающего а , что хорошо видно .
3 Вычесть k из	делимого	а , в ответе - остаток r .
2 Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием , не равным нулю , можно основание оставить без изменений , а из показателя	делимого	вычесть показатель делителя .
227 Может ли получиться так , что равны между собой : а )	делимое	и частное ; б ) делимое и делитель ; в ) делитель и частное ; г ) делимое и остаток ; д ) делитель и остаток ; е ) неполное частное и остаток ? .
5 а ) Для того чтобы возвести в степень частное , можно возвести в эту степень отдельно	делимое	и делитель и первый результат разделить на второй .
188 Некоторое натуральное число а разделили с остатком на некоторое натуральное число Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и	делимое	, и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
227 Может ли получиться так , что равны между собой : а ) делимое и частное ; б ) делимое и делитель ; в ) делитель и частное ; г )	делимое	и остаток ; д ) делитель и остаток ; е ) неполное частное и остаток ? .
А значит ,	делимое	меньше делителя , что невозможно на множестве N .
227 Может ли получиться так , что равны между собой : а ) делимое и частное ; б )	делимое	и делитель ; в ) делитель и частное ; г ) делимое и остаток ; д ) делитель и остаток ; е ) неполное частное и остаток ? .
Поскольку мы все время делим на одно и то же число 22 , то после повторного появления остатка 4 будут появляться в том же порядке одни и те же промежуточные	делимые	.
94 Запишите , используя фигурные скобки , множество	делителей	чисел .
д ) У натурального числа не бывает больше 3	делителей	.
Число с называют общим делителем двух натуральных чисел а и b , если оно является	делителем	и для а , и для b .
Из последнего равенства по определению делимости следует , что число d является делителем числа r . 2 ) Теперь докажем , что всякий общий делитель чисел b и r является одновременно	делителем	числа а .
Наибольший из общих делителей натуральных чисел а и b называют их наибольшим общим	делителем	.
Из свойств делимости натуральных чисел и основной теоремы арифметики следует , что если в разложении числа на простые множители нет , например , числа 2 , то никакое число , кратное 2 , не может быть его	делителем	.
Для доказательства теоремы выясним , какими свойствами обладают общие делители чисел а , b и чисел b , r . 1 ) Докажем сначала , что всякий общий делитель чисел а и b является одновременно	делителем	числа r .
Число с называют общим	делителем	двух натуральных чисел а и b , если оно является делителем и для а , и для b .
Пусть q является общим	делителем	b и r. Это значит , что существуют такие натуральные числа m и n .
Пусть d является общим	делителем	а и b.
Последнее равенство означает , что q является также	делителем	а .
а ) Число 804 является	делителем	числа 566 820 . б )
Единица является	делителем	всех натуральных чисел .
Можно найти такое целое число ,	делителем	которого является 7 . д ) Все целые числа , делящиеся на 5 , составные .
а ) Число 6 является делителем числа 128 . б ) Число 9 является	делителем	всех натуральных чисел .
а ) Число 89 является	делителем	числа 625 670 . б ) Число 169 491 кратно 3 .
в ) Существуют натуральные числа ,	делителем	которых является число 5 .
в ) Любое натуральное число является	делителем	самого себя .
а ) Число 6 является	делителем	числа 128 . б ) Число 9 является делителем всех натуральных чисел .
Наибольшим общим	делителем	чисел 80 и 60 является число 20 .
Из последнего равенства по определению делимости следует , что число d является	делителем	числа r . 2 ) Теперь докажем , что всякий общий делитель чисел b и r является одновременно делителем числа а .
Число 9 является	делителем	числа 24 070 802 301 . г ) Число 3 805 464 400 кратно 8 .
Для доказательства теоремы выясним , какими свойствами обладают общие	делители	чисел а , b и чисел b , r . 1 ) Докажем сначала , что всякий общий делитель чисел а и b является одновременно делителем числа r .
Первый игрок называет число , затем игроки по очереди , начиная со второго , называют его	делители	.
При этом повторять уже названные	делители	не разрешается .
Таким образом , чтобы решить данную задачу , нам потребовалось не только де лить многозначные числа , но и искать их простые	делители	в тех случаях , когда известные нам признаки делимости применить невозможно .
210 Найдите все	делители	числа а , которые кратны числу b .
Найдите наибольший общий	делитель	чисел .
Более того , доказательство теорем 1 - 9 из этого пункта для целых чисел проводится аналогично , а значит , все известные нам свойства делимости распространяются и на множество Z ( при условии , что	делитель	) .
Как в этом случае понимать термины « делится » , « не делится » , «	делитель	» , « кратное » , « частное » , « остаток » ? .
105 Найдите наибольший общий	делитель	и наименьшее общее кратное чисел .
227 Может ли получиться так , что равны между собой : а ) делимое и частное ; б ) делимое и	делитель	; в ) делитель и частное ; г ) делимое и остаток ; д ) делитель и остаток ; е ) неполное частное и остаток ? .
а ) Число d -	делитель	числа а , если число а в с раз больше d . б ) Число k является кратным числа b , если число k в а раз больше .
Из последнего равенства по определению делимости следует , что число d является делителем числа r . 2 ) Теперь докажем , что всякий общий	делитель	чисел b и r является одновременно делителем числа а .
Для доказательства теоремы выясним , какими свойствами обладают общие делители чисел а , b и чисел b , r . 1 ) Докажем сначала , что всякий общий	делитель	чисел а и b является одновременно делителем числа r .
Может ли первый игрок наверняка выиграть , если выигрывает тот , кто назвал последний	делитель	? .
Таким образом , мы получили , что множество общих делителей а и b совпадает с множеством общих делителей b u r. Следовательно , совпадает и их наибольший общий	делитель	, что и требовалось доказать . .
188 Некоторое натуральное число а разделили с остатком на некоторое натуральное число Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и делимое , и	делитель	: а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
Число 1 имеет единственный	делитель	- само себя , и поэтому оно выделено в ряду натуральных чисел в особую группу : не является ни простым , ни составным .
5 а ) Для того чтобы возвести в степень частное , можно возвести в эту степень отдельно делимое и	делитель	и первый результат разделить на второй .
Так , чтобы найти простой	делитель	61 чисел 5917 и 154 452 , надо проверить , что эти числа не делятся на 17 простых чисел от 2 до 59 .
Найти наибольший общий	делитель	чисел 71 004 и 154 452 .
95 Найдите наибольший общий	делитель	чисел .
344 Найдите наибольший общий	делитель	и наименьшее общее кратное чисел .
Значит , у любого составного числа всегда имеется отличный от 1	делитель	, квадрат которого меньше самого числа .
2 Разделить k на	делитель	b , в ответе - неполное частное с .
Наибольший общий	делитель	чисел а и b будем , как и ранее , обозначать НОД ( а ; b ) .
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой	делитель	, отличный от 2 и 5 , то в результате деления числителя на знаменатель получится бесконечная десятичная дробь .
Поэтому , называя простые числа , первый игрок гарантированно будет называть последний	делитель	и выигрывать .
227 Может ли получиться так , что равны между собой : а ) делимое и частное ; б ) делимое и делитель ; в ) делитель и частное ; г ) делимое и остаток ; д )	делитель	и остаток ; е ) неполное частное и остаток ? .
Наибольший общий	делитель	чисел k и l равен 2 . д ) Наименьшее общее кратное чисел m и n равно 468 .
227 Может ли получиться так , что равны между собой : а ) делимое и частное ; б ) делимое и делитель ; в )	делитель	и частное ; г ) делимое и остаток ; д ) делитель и остаток ; е ) неполное частное и остаток ? .
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и b . 1 Найти наибольшее целое число k , кратное	делителю	b и не превышающее делимого а .
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на b . 1 Найти наибольшее натуральное число k , кратное	делителю	и не превышающее делимого а .
1 В выражениях операцию деления на число , отличное от нуля , можно заменить умножением на число , обратное	делителю	.
Итак , в определении деления с остатком на множестве целых чисел изменяется требование не только к	делителю	, но и к остатку .
При делении натуральных чисел под остатком мы фактически понимали расстояние от делимого а до наибольшего числа , кратного	делителю	b и не превышающего а , что хорошо видно .
2 Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием , не равным нулю , можно основание оставить без изменений , а из показателя делимого вычесть показатель	делителя	.
Простым называется натуральное число , которое имеет ровно два различных	делителя	: единицу и само это число .
а ) Число а , кратное числу b , не может быть больше b . б ) Любое натуральное число , большее 1 , имеет по крайней мере 2	делителя	.
А значит , делимое меньше	делителя	, что невозможно на множестве N .
Свойства простых чисел позволяют первому игроку быстро найти выигрышную стратегию , ведь эти числа имеют ровно два различных	делителя	.
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего	делителя	двух натуральных чисел .
Так как остаток является неотрицательным целым числом , меньшим модуля	делителя	, то при делении любого числа на 4 возможны только четыре различных остатка : 0 , 1 , 2 , 3 .
Только здесь результаты сложения никогда не превышают	делителя	, то есть рассматриваемого модуля .
сотая доля ; 10 ) частное двух чисел ; 11 ) имеет ровно 2 различных	делителя	; 12 ) истинное равенство .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1	делится	на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
По условию , число а	делится	на число b.
299 Докажите , что при любом целом р указанное выражение	делится	на а .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда	делится	на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
Если число а делится на число с , а число b	делится	на число d , то ab делится на cd ( a , b , с , d е N ) .
а ) если а делится на 7 , то	делится	на 7 .
Если число а делится на число с , а число b делится на число d , то ab	делится	на cd ( a , b , с , d е N ) .
Аналогично , так как число b	делится	на число а , то существует такое число m , что .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда	делится	на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Если число а	делится	на число с , а число b делится на число d , то ab делится на cd ( a , b , с , d е N ) .
а ) Если натуральное число делится на 4 и на 3 , то оно всегда делится на 12 . б ) Если натуральное число делится на 4 и на 6 , то оно всегда	делится	на 24 .
в ) Если натуральное число	делится	на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
154 Докажите , что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковые и сумма его цифр делится на 7 , то это число	делится	на 7 .
в ) Если целое число 3с делится на 8 , то число с	делится	на 8 .
127 Разбейте данные примеры , имеющие вид(где а и b натуральные числа ) , на две группы : 1 ) а	делится	на b ; 2 ) а не делится на b .
а ) Если натуральное число делится на 4 и на 3 , то оно всегда делится на 12 . б ) Если натуральное число	делится	на 4 и на 6 , то оно всегда делится на 24 .
Если целое число b	делится	на 5 , то число 4b делится на 20 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не	делится	на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел	делится	на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
127 Разбейте данные примеры , имеющие вид(где а и b натуральные числа ) , на две группы : 1 ) а делится на b ; 2 ) а не	делится	на b .
Если а	делится	на 7 , 6 делится на 11 , то делится на 77 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052	делится	на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Как можно быстро выяснить ,	делится	ли число на 2 , 3 , 5 , 10 ? .
а ) Если натуральное число	делится	на 5 , то оно не может при делении на 20 давать остаток 16 . б )
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555	делится	на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056	делится	на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
а ) Если целое число а делится на 7 , то число За	делится	на 7 .
Если натуральное число при делении на 27 дает остаток 7 , то оно не	делится	на 9 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678	делится	на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число	делится	на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
а ) Если а , 6 , с делятся на n , то	делится	на 3п .
А чтобы доказать , что число 211 - простое , надо проверить , что оно не	делится	на все простые числа от 2 до 13 .
а ) произведение двух последовательных целых чисел либо	делится	на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891	делится	само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431	делится	на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с	делится	на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
Если целое число b делится на 5 , то число 4b	делится	на 20 .
в ) Если натуральное число	делится	на 8 , то при делении на 16 оно не может давать остаток 7 .
а ) Если целое число а	делится	на 7 , то число За делится на 7 .
3963- 1143	делится	на 141 .
А это , по определению делимости , и означает , что ab	делится	на cd , что и требовалось доказать .
а ) Если целое число а делится на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если целое число 15а делится на 5 , то число а также	делится	на 5 .
а ) Если натуральное число делится на 4 и на 3 , то оно всегда	делится	на 12 . б ) Если натуральное число делится на 4 и на 6 , то оно всегда делится на 24 .
Если натуральное число при делении на 30 дает остаток 21 , то оно не	делится	на 10 .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда	делится	на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
в ) 973 плюс 933	делится	на 19 .
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то натуральное число	делится	на 6 .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2	делится	на 15 , то число d всегда делится на 15 .
а ) 723- 443 делится на 7 . б ) 2153 плюс 943	делится	на 3 .
а ) 723- 443	делится	на 7 . б ) 2153 плюс 943 делится на 3 .
335 Докажите , что при любом целом р значение выражения	делится	на а .
а ) если а	делится	на 7 , то делится на 7 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не	делится	на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не	делится	на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
в ) Если целое число 3с	делится	на 8 , то число с делится на 8 .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда	делится	на 15 .
а ) Если натуральное число	делится	на 4 и на 3 , то оно всегда делится на 12 . б ) Если натуральное число делится на 4 и на 6 , то оно всегда делится на 24 .
в ) Если натуральное число	делится	на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если натуральное число при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b	делится	на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число	делится	на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Докажите , что сумма куба и квадрата этого числа	делится	на 5 .
Последнее равенство означает , что разность	делится	на m. Значит , по теореме 1 , что и требовалось доказать . .
б )	делится	на 13 , а при делении на 39 дает остаток 27 ? .
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр	делится	на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
Если натуральное число	делится	на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
б ) Если а делится на 4 , b делится на 5 , то	делится	на 20 ( a , b е Z ) .
Если натуральное число делится на 19 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36	делится	на 15 , то 6 делится на 5 .
Если натуральное число делится на 19 , то его сумма с любым другим натуральным числом	делится	на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6 делится на 5 .
а ) если	делится	на 2 , то делится на 8 .
144 Известно , что натуральное число а	делится	на натуральное число b.
а ) разность квадратов двух последовательных четных чисел	делится	на 4 .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064	делится	на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
а ) Если натуральное число а не	делится	на 3 , то 5а не делится на 3 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма	делится	на 9 .
Если натуральное число	делится	на 19 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6 делится на 5 .
Натуральное число а	делится	на натуральное число b , если существует такое натуральное число с , что .
Докажите , что 932 — 432	делится	на 65 .
Если натуральное число делится на 19 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6	делится	на 5 .
а ) Трехзначное число , записанное тремя одинаковыми цифрами ,	делится	на 37 . б ) Разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
а ) Трехзначное число , записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 . б ) Разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке ,	делится	на 9 .
в ) Произведение любых семи последовательных чисел	делится	на 2520 . г ) Число , записываемое 100 двойками , 100 единицами и 100 нулями , не может быть точным квадратом .
Тогда и только тогда , когда разность а и b	делится	на m .
к ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число b делится на 7 ,	делится	на 35 .
к ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число b	делится	на 7 , делится на 35 .
а ) число 22 226	делится	на 3 ; б ) число 55 554 делится на 18 .
а ) Число а	делится	на число 6 . б ) Число с при делении на d дает остаток r . в ) Числа p и r взаимно простые .
775 Докажите , что . a ) 515 плюс 513 делится на 13 . б ) 163 минус 45	делится	на 3 .
а ) число 22 226 делится на 3 ; б ) число 55 554	делится	на 18 .
Для любого целого , то указанная разность	делится	на m. Но тогда , по теореме 1 , что и требовалось доказать . .
к ) Если натуральное число а	делится	на 5 , а натуральное число b делится на 7 , делится на 35 .
721 Докажите , что квадрат разности А и В	делится	на 9 .
Мы знаем , что сумма трех последовательных натуральных чисел	делится	на 3 .
б ) Если а делится на 4 , b	делится	на 5 , то делится на 20 ( a , b е Z ) .
, если известно , что оно	делится	на 99 ? .
Определите ,	делится	ли .
а ) Если натуральное число а не делится на 3 , то 5а не	делится	на 3 .
в ) Если натуральное число делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если натуральное число при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не	делится	на 12 .
б ) Если целое число	делится	на 2 , то оно оканчивается на 2 .
а ) Если целое число оканчивается на 0 , то оно	делится	на 2 и на 5 .
в ) если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное , то их произведение	делится	на 24 . г ) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел	делится	на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
б ) если делится на 2 , то	делится	на 48 .
в ) ( 6а плюс 6)2 минус 1	делится	на 12 для любого целого а . г ) ( 8b плюс 5)2 минус 9 делится на 16 для любого целого b .
Если натуральное число при делении на 18 дает остаток 6 , то оно не	делится	на 9 .
Известно , что целое число а	делится	на целое число b.
разность кубов двух последовательных целых чисел не	делится	на 3 .
а ) Если натуральное число	делится	на 4 , то оно не может при делении на 16 давать остаток 5 .
а ) Число 261 679	делится	на 11 . б ) Число 740 630 при делении на 13 дает остаток 7 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число	делится	на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число	делится	на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение	делится	на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) ( 6а плюс 6)2 минус 1 делится на 12 для любого целого а . г ) ( 8b плюс 5)2 минус 9	делится	на 16 для любого целого b .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение	делится	на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Если сумма цифр целого числа	делится	на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если целое число кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
в ) Если сумма цифр целого числа делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно	делится	на 15 . г ) Если целое число кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
а ) если делится на 2 , то	делится	на 8 .
б ) Если 7с делится на 2 , то с	делится	на 2 .
б ) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел	делится	на 8 .
в ) Если натуральное число	делится	на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда	делится	на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
б ) если	делится	на 2 , то делится на 48 .
в ) число 53005300 .. 5300 делится на 25 . г ) число 6363 .. 63	делится	на 9 .
в ) число 53005300 .. 5300	делится	на 25 . г ) число 6363 .. 63 делится на 9 .
а ) число 444 .. 444 не делится на 8 . б ) число 1212 .. 12	делится	на 3 .
в ) Если натуральное число	делится	на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если натуральное число при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
а ) число 444 .. 444 не	делится	на 8 . б ) число 1212 .. 12 делится на 3 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число	делится	на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Аналогичным образом изображаются числа , сравнимые по любому модулю m , только окружность	делится	соответственно на m равных частей , и около каждой точки деления против часовой стрелки последовательно расставляются возможные значения остатков : 0 , 1 , 2 , .. , m - 1 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число	делится	на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Каждое целое число	делится	само на себя .
б ) Если 7с	делится	на 2 , то с делится на 2 .
б ) Если а	делится	на 4 , b делится на 5 , то делится на 20 ( a , b е Z ) .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то	делится	на 35 .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число 6	делится	на 7 , то делится на 35 .
Если число	делится	на 3 и на 15 , то оно всегда делится на 45 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел	делится	на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
а ) если а плюс 1	делится	на 3 , то 2 плюс 5а делится на 3 .
а ) Если число делится на 5 и на 7 , то оно всегда	делится	на 35 .
а ) Если число	делится	на 5 и на 7 , то оно всегда делится на 35 .
а ) если а плюс 1 делится на 3 , то 2 плюс 5а	делится	на 3 .
а ) произведение двух последовательных четных чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б ) произведение чисел для любого целого а либо	делится	на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
б ) если а делится на 9 , то	делится	на 9 .
б ) если а плюс 2 делится на 7 , то 5 плюс 6а	делится	на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма	делится	на 7 .
Докажите , что : а ) для любого целого числа а делится на 3 ; б ) для любого целого числа b	делится	на 4 .
Если натуральное число	делится	на 11 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 11 .
Если натуральное число делится на 11 , то его сумма с любым другим натуральным числом	делится	на 11 .
Докажите , что : а ) для любого целого числа а	делится	на 3 ; б ) для любого целого числа b делится на 4 .
б ) если а плюс 2	делится	на 7 , то 5 плюс 6а делится на 7 .
б ) если а	делится	на 9 , то делится на 9 .
Если число делится на 3 и на 15 , то оно всегда	делится	на 45 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел	делится	на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение	делится	на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если натуральное число при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не	делится	на 3 .
Если целое число а не	делится	на 11 , то число 4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего целого числа , которое при делении на 7 дает остаток 2
632 Докажите , что А2 плюс В2	делится	на 5 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число	делится	на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
154 Докажите , что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковые и сумма его цифр	делится	на 7 , то это число делится на 7 .
Число 0	делится	на любое натуральное число .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число	делится	на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
593 Докажите , что если z3 минус z для любого целого числа z	делится	на 5 , то .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не	делится	на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
а ) Если целое число а делится на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если целое число 15а	делится	на 5 , то число а также делится на 5 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение	делится	на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если число а не	делится	на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
а ) произведение двух последовательных четных чисел либо	делится	на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б ) произведение чисел для любого целого а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
Если целое число а не делится на 11 , то число 4а не	делится	на 11 . д ) Не существует наибольшего целого числа , которое при делении на 7 дает остаток 2
Если а делится на 7 , 6 делится на 11 , то	делится	на 77 .
Докажите , что А	делится	на В .
Докажите , что сумма куба и квадрата этого числа	делится	на 4 .
131 Известно , что натуральное число а	делится	на натуральное число b.
Теорема 4 Если натуральное число а делится на натуральное число b , а число b , в свою очередь ,	делится	на число а , то .
А это по определению делимости и означает , что	делится	на m , что и требовалось доказать .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6	делится	на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
Если натуральное число при делении на 64 дает остаток 31 , то оно не	делится	на 8 .
147 Докажите утверждение : а ) Произведение любых пяти последовательных чисел	делится	на 60 ; б ) Число , записываемое 80 двойками , 80 единицами и 80 нулями , не может быть точным квадратом .
« Если разность целых чисел а и b	делится	на m , то числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m » .
а )	делится	на 120 при любом целом а ; б ) число 8 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
775 Докажите , что . a ) 515 плюс 513	делится	на 13 . б ) 163 минус 45 делится на 3 .
а ) Если целое число а	делится	на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если целое число 15а делится на 5 , то число а также делится на 5 .
г )	делится	на 9 , а при делении на 54 дает остаток 43 ? .
Тот факт , что разность целых чисел а и b	делится	на m , может быть записан по определению делимости следующим образом .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а	делится	на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
Докажите , что	делится	на 21 .
а ) Если натуральное число	делится	на 7 , то оно не может при делении на 28 давать остаток 9 . б )
Докажите , что : а ) делится на 25 ; б )	делится	на 13 .
Докажите , что : а )	делится	на 25 ; б ) делится на 13 .
Если а делится на 7 , 6	делится	на 11 , то делится на 77 .
« Если целые числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m , то их разность а - b	делится	на m » .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d	делится	на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа	делится	на 6 , то натуральное число делится на 6 .
а ) Если натуральное число а не	делится	на 3 , то 2а не делится на 3 .
Если ни одно решение уравнения не	делится	на 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 10 , значит , некоторые числа , кратные 10 , не являются решениями уравнения .
а ) Если натуральное число а не делится на 3 , то 2а не	делится	на 3 .
в )	делится	на 11 , а при делении на 22 дает остаток 13 .
а ) Произведение любых шести последовательных целых чисел	делится	на 360 . б ) Число , записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом .
а ) Если целое число а делится на 3 , то число 10а также	делится	на 3 . б ) Если целое число 15а делится на 5 , то число а также делится на 5 .
Последнее равенство означает , что разность чисел	делится	на m .
б ) Если натуральное число 6 четное , то 3b	делится	на 6 .
Теорема 1 Целые числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность	делится	на m .
а ) число	делится	на 9 ; б ) число делится на 12 .
а ) число делится на 9 ; б ) число	делится	на 12 .
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел	делится	на р .
в ) Если 5с	делится	на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
в ) Если 5с делится на 2 , то с	делится	на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда	делится	на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1	делится	на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
Если натуральное число при делении на 36 дает остаток 4 , то оно не	делится	на 6 .
а ) а2 не	делится	на 3 для любого целого числа а .
Если целое число при делении на ( -3 ) дает остаток 2 , то оно не	делится	на ( -27 ) .
Если натуральное число при делении на 12 дает остаток 8 , то оно не	делится	на 27 .
816 - 321	делится	на 13 .
Если квадрат натурального числа	делится	на 5 , то и само число делится на 5 .
Если произведение двух целых чисел делится на некоторое целое число , то хотя бы один из множителей	делится	на это число .
б ) ( 9 t минус 4)2 минус 16	делится	на 9 для любого целого t .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число	делится	на 4 .
в ) сумма двух последовательных натуральных степеней числа 3 делится на 12 . г ) разность двух последовательных натуральных степеней числа 5	делится	на 20 .
Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма его цифр	делится	на 3 .
а ) Сумма трех последовательных четных чисел делится на 6 . б ) Сумма трех последовательных нечетных чисел	делится	на 3 .
а ) 167 - 225	делится	на 7 .
Натуральное число	делится	на 3 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 3 .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа	делится	на 4 , то и само число делится на 4 .
в ) сумма двух последовательных натуральных степеней числа 3	делится	на 12 . г ) разность двух последовательных натуральных степеней числа 5 делится на 20 .
в ) 793 плюс 953 делится на 58 . г ) 4243 минус 3183	делится	на 53 .
б ) разность куба целого числа и самого числа	делится	на 6 .
б ) Если целое число b делится на (-8 ) , то число 3b	делится	на (-8 ) .
Если а не	делится	на b , объясните почему .
в ) Если натуральное число	делится	на 2 , то оно оканчивается нулем .
б ) Если целое число b	делится	на (-8 ) , то число 3b делится на (-8 ) .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр	делится	на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
а ) Если целое число а не делится на ( -4 ) , то число За не	делится	на ( -4 ) .
в ) Если целое число	делится	на ( -2 ) , то оно не может при делении на (-8 ) давать остаток 3 .
а ) Если целое число а не	делится	на ( -4 ) , то число За не делится на ( -4 ) .
а ) Если натуральное число а не	делится	на 5 , то число 7а не делится на 5 .
Если произведение двух натуральных чисел делится на 15 , то хотя бы одно из этих чисел	делится	на 15 .
б ) если а плюс 2	делится	на 5 , то 1 плюс 3а делится на 5 .
Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое число ,	делится	на 1 .
в ) 256 - 511 делится на 4 . б ) 97 - 310	делится	на 20 . г ) 168 плюс 227 делится на 33 .
б ) если целое число а не	делится	на 5 , то делится на 5 .
б ) если целое число а не делится на 5 , то	делится	на 5 .
а ) Если целое число	делится	на ( -7 ) , то оно не может при делении на ( -14 ) давать остаток 5 .
Если произведение двух натуральных чисел	делится	на 15 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 15 .
Целое решение уравнения , где a , b , с е Z , всегда существует , если с	делится	на d = НОД .
в ) 256 - 511 делится на 4 . б ) 97 - 310 делится на 20 . г ) 168 плюс 227	делится	на 33 .
Докажите , что	делится	на 13 .
а ) Если натуральное число а не делится на 5 , то число 7а не	делится	на 5 .
Как в этом случае понимать термины « делится » , « не	делится	» , « делитель » , « кратное » , « частное » , « остаток » ? .
Он помнил только , что код состоит из 7 цифр - двоек и троек , что двоек больше , чем троек , и что код	делится	и на 3 , и на 4 .
а ) Если натуральное число	делится	на 11 , то оно не может при делении на 33 давать остаток 17 . б )
Следовательно , для того чтобы выяснить , является ли данное число простым , достаточно проверить , что оно не	делится	на все простые числа , меньшие этого числа .
а ) Сумма трех последовательных четных чисел	делится	на 6 . б ) Сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3 .
Натуральное число	делится	на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
Как в этом случае понимать термины «	делится	» , « не делится » , « делитель » , « кратное » , « частное » , « остаток » ? .
а ) Если каждое из двух целых чисел	делится	на некоторое целое число , то и их сумма делится на это число .
а ) Если каждое из двух целых чисел делится на некоторое целое число , то и их сумма	делится	на это число .
Если квадрат натурального числа делится на 5 , то и само число	делится	на 5 .
Если произведение двух целых чисел	делится	на некоторое целое число , то хотя бы один из множителей делится на это число .
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах ,	делится	на 11 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а	делится	на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число	делится	на 6 .
Откуда и следует , что натуральное число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр	делится	на 9 , что и требовалось доказать .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ	делится	на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
г ) если За плюс 2 делится на 11 , то 21а плюс3	делится	на 11 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b	делится	на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Сумма кратна 9 . д ) Произведение	делится	на 25 . е ) Произведение не кратно 9 . ж )
г ) если За плюс 2	делится	на 11 , то 21а плюс3 делится на 11 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с	делится	на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
в ) если 2а плюс 1 делится на 7 , то 12а — 1	делится	на 7 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с	делится	на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не	делится	на ( -15 ) .
в ) если 2а плюс 1	делится	на 7 , то 12а — 1 делится на 7 .
Натуральное число	делится	на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 .
Теорема 4 Если натуральное число а	делится	на натуральное число b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то .
в ) Если целое число	делится	на 4 , то оно делится на 8 .
в ) Если целое число делится на 4 , то оно	делится	на 8 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число	делится	на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не	делится	на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
а ) если а плюс 1	делится	на 3 , то 4 плюс 7а делится на 3 .
а ) если а плюс 1 делится на 3 , то 4 плюс 7а	делится	на 3 .
б ) если а плюс 2 делится на 5 , то 1 плюс 3а	делится	на 5 .
Если целое число	делится	на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число	делится	на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда	делится	на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d	делится	на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не	делится	на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Докажите , что а3 для любого целого числа а либо	делится	на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . а ) Колонна демонстрантов растянулась на 800 м .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа	делится	на с .
з ) Если целое число а	делится	на 4 , то число делится на 8 .
з ) Если целое число а делится на 4 , то число	делится	на 8 .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном шаре : а )	делится	на 7 б ) делится на 5 и на 4
685 Докажите , что А	делится	на В .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 7 б )	делится	на 5 и на 4
Поэтому оно не может быть составным , так как не	делится	ни на одно из указанных простых чисел .
Откуда и следует , что натуральное число	делится	на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 , что и требовалось доказать .
Чему равна вероятность того , что полученное число : 1 )	делится	на 2 ; 2 ) начинается на 8 ? .
230 Не вычисляя частного , определите ,	делится	ли число а на b .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел	делится	на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
Например , проверив , что число 19 не	делится	ни на одно из чисел от 2 до 18 , мы убедимся в том , что оно является простым .
в ) 793 плюс 953	делится	на 58 . г ) 4243 минус 3183 делится на 53 .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число	делится	на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а	делится	на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
476 Докажите , что значение выражения а ) 683 минус 243 делится на 11 . б ) 3263 плюс 543	делится	на 38 .
Если натуральное число оканчивается на 5 или на 0 , то оно	делится	на 5 .
476 Докажите , что значение выражения а ) 683 минус 243	делится	на 11 . б ) 3263 плюс 543 делится на 38 .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно	делится	на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр	делится	на 9 .
Если сумма цифр натурального числа	делится	на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
415 Докажите , что при любом целом х указанное выражение	делится	на а .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не	делится	на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Число 1000	делится	на 20 .
в ) 256 - 511	делится	на 4 . б ) 97 - 310 делится на 20 . г ) 168 плюс 227 делится на 33 .
Если целое число при делении на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не	делится	на ( -4 ) .
Если целое число делится на 25 , то оно	делится	и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном шаре	делится	на 12 и на 5 .
Значит , любое натуральное число	делится	на единицу , что и требовалось доказать . .
а ) Если а , b , с делятся на п , то	делится	на п ( a , b , с , п Z ) .
3 Если с	делится	на d , разделить правую и левую части исходного уравнения на d .
Теорема 2 Любое натуральное число	делится	на единицу .
482 Докажите , что сумма кубов А и В	делится	на 36 .
2 Если с не	делится	на d , записать , что данное уравнение не имеет решений .
Если натуральное число делится на 36 , то сумма его цифр делится на 9 и число , составленное из его двух последних цифр ,	делится	на 4 .
Целое число а	делится	( без остатка ) на целое число , если существует такое целое число с , что .
330 Определите ,	делится	ли число а на b ? .
Теорема 1 Если число а	делится	на число b , то существует единственное число с , такое , что .
Если натуральное число делится на 36 , то сумма его цифр	делится	на 9 и число , составленное из его двух последних цифр , делится на 4 .
Докажите , что : а ) для любого целого числа а делится на 3 ; б ) для любого целого числа b	делится	на 5 .
117 Докажите , что а3 плюс 4а для любых целых а либо	делится	на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 , либо при делении на 5 дает остаток 4 .
г ) Если число	делится	на 10 , то оно делится на 5 .
г ) Если число делится на 10 , то оно	делится	на 5 .
243 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из чисел : а , с , а минус с , 2а минус с	делится	на 3 .
Докажите , что : а ) для любого целого числа а	делится	на 3 ; б ) для любого целого числа b делится на 5 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел	делится	на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Число а меньше или равно числу 9 . б ) Число 48	делится	на с .
328 Определите , не вычисляя частного ,	делится	ли число а на 11 .
в ) Если целое число	делится	на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если целое число при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
259 Докажите , что при любом целом х указанное выражение	делится	на а .
118 Докажите , что разность А и В	делится	на 17 .
Число а	делится	( без остатка ) на число b , если существует такое число с , что .
Можно найти натуральное число , которое	делится	на 3 . б ) Нечетные числа при делении на 2 дают остаток 1 .
Не вычисляя частного , определите ,	делится	ли число а на b .
Сумма цифр числа делится на 3 Число	делится	на 3 .
Определите , не вычисляя частного ,	делится	ли число а на 11 .
Число 258	делится	на 3 - истинно .
В числе 258 сумма цифр	делится	на 3 - истинно .
а ) Любое целое число , отличное от нуля ,	делится	само на себя .
Определите ,	делится	ли число а на b .
Доказав для каждого из классов , что квадрат соответствующего целого числа либо	делится	на 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех целых чисел .
Если натуральное число	делится	на 36 , то сумма его цифр делится на 9 и число , составленное из его двух последних цифр , делится на 4 .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а	делится	на 5 для любого целого числа а .
232 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из чисел : а , c , а плюс c , а минус c , 2а плюс c , 2а минус c	делится	на 5 .
Сумма цифр числа	делится	на 3 Число делится на 3 .
334 Докажите , что для целых чисел а и b верно , что если a2 + b2 делится на 3 , то а делится на 3 и b	делится	на 3 .
451 Докажите , что при любом целом q значение выражения	делится	на а .
334 Докажите , что для целых чисел а и b верно , что если a2 + b2	делится	на 3 , то а делится на 3 и b делится на 3 .
Значит , любое натуральное число	делится	на само себя , что и требовалось доказать .
341 Определите , не вычисляя частного ,	делится	ли число а на 11 .
а ) Если	делится	на , то также делится на .
Квадрат числа вида 3k равен , а это означает , что он	делится	на 3 .
а ) Если делится на , то также	делится	на .
Докажите , что	делится	на 11 .
Теорема 3 Любое натуральное число	делится	на само себя .
344 Определите ,	делится	ли число а на b .
334 Докажите , что для целых чисел а и b верно , что если a2 + b2 делится на 3 , то а	делится	на 3 и b делится на 3 .
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03 плюс 2а2 плюс 3а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3 плюс а2 плюс 5а либо	делится	на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 .
Это число	делится	на 3 , так как существует число 5988 , такое , что .
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03 плюс 2а2 плюс 3а либо	делится	на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3 плюс а2 плюс 5а либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 .
Поэтому , для того чтобы выяснить , является ли число простым , достаточно проверить , что оно не	делится	на простые числа , квадрат которых меньше этого числа .
в ) Если число 7с делится на 5 , то число с	делится	на 5 .
а ) делится на 10 ; б ) делится на 5 ; в )	делится	на 3 и на 7 ; г ) простое .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 9 ; б ) делится на 12 ; в )	делится	на 9 и на 2 ; г ) делится на 11 и на 3 .
в ) Если число 7с	делится	на 5 , то число с делится на 5 .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 9 ; б )	делится	на 12 ; в ) делится на 9 и на 2 ; г ) делится на 11 и на 3 .
141 Докажите , что а ) 85 плюс 211	делится	на 17 .
Левая часть полученного равенства делится на d , а правая — нет , так как по условию с не	делится	на d. Следовательно , не существует таких целых х и у , при которых это равенство было бы возможно , что и требовалось доказать .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном шаре : а )	делится	на 9 ; б ) делится на 12 ; в ) делится на 9 и на 2 ; г ) делится на 11 и на 3 .
Чему равна вероятность того , что полученное число : 1 )	делится	на 5 ; 2 ) начинается на 7 ? .
Однако данная теорема не позволяет сделать никаких выводов о втором уравнении , ведь его коэффициенты не удовлетворяют условию этой теоремы : НОД ( 4 ; 6 ) 2 , а число 9 не	делится	на 2 .
в ) Если целое число делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если целое число при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не	делится	на ( -9 ) .
а ) Если произведение двух натуральных чисел	делится	на 7 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 7 .
Уравнение , где a , b , с Z , не имеет целых решений , если с не	делится	на d НОД .
Если натуральное число b делится на 3 , то число 2b	делится	на 6 .
Следовательно , если натуральное число , большее 1 , не	делится	ни на одно простое число , квадрат которого меньше него , то рассматриваемое число - простое .
а ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 7 , то хотя бы одно из этих чисел	делится	на 7 .
Левая часть полученного равенства	делится	на d , а правая — нет , так как по условию с не делится на d. Следовательно , не существует таких целых х и у , при которых это равенство было бы возможно , что и требовалось доказать .
Если натуральное число b	делится	на 3 , то число 2b делится на 6 .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном шаре : а ) делится на 9 ; б ) делится на 12 ; в ) делится на 9 и на 2 ; г )	делится	на 11 и на 3 .
а ) Число 62 458	делится	на 11 . б ) Число 100 851 при делении на 17 дает остаток 7 .
а ) делится на 10 ; б )	делится	на 5 ; в ) делится на 3 и на 7 ; г ) простое .
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое	делится	на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
а ) Если натуральное число	делится	на 7 , то оно не может при делении на 21 давать остаток 5 .
Доказать , что сумма кубов этих чисел	делится	на 7 .
в ) Если число оканчивается на одну из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно	делится	на 2 .
2 Если а	делится	хотя бы на одно из выписанных чисел , то а — составное .
а )	делится	на 10 ; б ) делится на 5 ; в ) делится на 3 и на 7 ; г ) простое .
Так как 97 не	делится	ни на одно из указанных чисел , то , значит , 97 - простое число .
530 Докажите , что разность кубов А и В	делится	на 29 .
Если целое число при делении на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не	делится	на ( -18 ) .
3 Если а не	делится	ни на одно из выписанных чисел , то а - простое .
460 Докажите , что сумма кубов трех последовательных целых чисел	делится	на 3 .
Так , определив , что 19 не	делится	на 2 и 3 , можно остановить проверку , поскольку следующее простое число 5 .
364 Докажите , что при любом целом р значение выражения	делится	на а .
Если число 45d делится на 9 , то число d не всегда	делится	на 9 .
а ) Если сумма и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел	делится	на р . б ) Любое простое число , большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
Если число 45d	делится	на 9 , то число d не всегда делится на 9 .
Доказать , что сумма кубов этих чисел	делится	на 4 . б ) Два целых числа при делении на 7 дают в остатке соответственно 2 и 3 .
а ) Если целое число	делится	на ( -3 ) , то оно не может при делении на ( -12 ) давать остаток 7 .
386 Докажите , что при любом целом х указанное выражение	делится	на а .
После этого он предложил братьям	делить	всех этих овец в соответствии с завещанием отца .
Как им надо раз	делить	заработанные деньги , если они работали одинаковое время и их часовые ставки оплаты приведены в таблице .
Как им	делить	5 монет на троих ?
Поскольку	делить	на нуль нельзя , то равенство будет иметь смысл .
Откуда взялся запрет , что «	делить	на 0 нельзя » , который мы постоянно повторяем вот уже много лет ? .
120 Несколько друзей нашли клад и начали его	делить	.
В итоге мы и получаем известное нам правило : « На нуль	делить	нельзя » .
Может быть , все - таки иногда	делить	на 0 можно , хотя бы с остатком ? .
Никакая другая отрасль теории чисел не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых чисел , этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят	делиться	нацело ни на какое целое число за исключением себя и единицы .
Ни один из корней уравнения не	делиться	на 6 при любых натуральных а и b .
в ) Некоторые натуральные числа , делящиеся на 3 ,	делятся	на 9 . г ) Остаток при делении натурального числа на 2 равен либо 0 , либо 1 .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х минус 1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые отрицательные числа	делятся	на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х минус 1 больше 0 .
Тогда все остальные натуральные числа являются составными и	делятся	хотя бы на одно из указанных простых чисел .
б ) Все натуральные числа , делящиеся на 9 ,	делятся	на 3 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа	делятся	на 9 , то их сумма делится на 9 .
484 Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел , которые не	делятся	ни на 2 , ни на 3 , ни на 5 , ни на 7 ? .
д ) Если ни одно решение неравенства не больше 10 , а некоторые большие 10 числа	делятся	на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решениями неравенства .
а ) Если сумма и произведение двух чисел	делятся	на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р . б ) Любое простое число , большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 ,	делятся	на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и произведение двух чисел	делятся	на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р .
а ) Если целые числа	делятся	на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа	делятся	на 7 , то их сумма делится на 7 .
209 Сколько среди натуральных чисел от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не делятся на 9 ; д ) делятся на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не	делятся	ни на 9 , ни на 5 ? .
209 Сколько среди натуральных чисел от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не делятся на 9 ; д ) делятся на 9 , но не	делятся	на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
209 Сколько среди натуральных чисел от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не делятся на 9 ; д )	делятся	на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
209 Сколько среди натуральных чисел от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не	делятся	на 9 ; д ) делятся на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
209 Сколько среди натуральных чисел от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г )	делятся	на 5 , но не делятся на 9 ; д ) делятся на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
209 Сколько среди натуральных чисел от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 5 ; в )	делятся	на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не делятся на 9 ; д ) делятся на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
209 Сколько среди натуральных чисел от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б )	делятся	на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не делятся на 9 ; д ) делятся на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
209 Сколько среди натуральных чисел от 1 до 50 включительно таких , которые : а )	делятся	на 9 ; б ) делятся на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не делятся на 9 ; д ) делятся на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не	делятся	на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные числа	делятся	на 7 , то некоторые делящиеся на 7 числа — решения неравенства .
в ) Если ни одно решение уравнения не является четным числом , а некоторые четные числа	делятся	на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9 числа не являются решением уравнения .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не	делятся	на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
Так , чтобы найти простой делитель 61 чисел 5917 и 154 452 , надо проверить , что эти числа не	делятся	на 17 простых чисел от 2 до 59 .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не	делятся	на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
а ) Если а , 6 , с	делятся	на n , то делится на 3п .
Четные числа всегда	делятся	на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
в ) Если ни одно решение уравнения не является нечетным числом , а некоторые нечетные числа	делятся	на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решением уравнения .
Если ни одно решение уравнения не делится на 5 , а некоторые числа , кратные 5 ,	делятся	на 10 , значит , некоторые числа , кратные 10 , не являются решениями уравнения .
Можно найти целое число , которое при делении на 3 дает остаток 4 . д ) Есть целые числа , которые не	делятся	на единицу .
а ) Если а , b , с	делятся	на п , то делится на п ( a , b , с , п Z ) .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не	делятся	на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
в ) число ,	делящееся	на 3 , при делении на 12 давать остаток 8 ? .
Существуют целые числа ,	делящиеся	на нуль .
Можно найти такое целое число , делителем которого является 7 . д ) Все целые числа ,	делящиеся	на 5 , составные .
в ) Сколько четырехзначных чисел ,	делящихся	на 5 , можно составить из цифр 3 , 5 , 6 , 8 , если цифры в искомом числе не повторяются ? .
В — множество целых чисел ,	делящихся	на 5 . 3 )
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел ,	делящихся	на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А , В , С , D , Е . 1 ) А — множество целых чисел ,	делящихся	на 3 .
г ) Сколько пятизначных чисел ,	делящихся	на 2 , можно составить из цифр 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , если цифры в искомом числе не повторяются ? .
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел ,	делящихся	на 45
С — множество целых чисел ,	делящихся	на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
е ) Сколько четырехзначных чисел ,	делящихся	на 2 , можно составить из цифр 2 , 5 , 6 , 7 , 9 , если цифры в искомом числе не повторяются ? .
Рассмотрим сначала случай , когда на первом месте нашего пароля стоит цифра 1 , и составим для этого случая	дерево	возможностей .
Составим	дерево	возможностей , обозначая цвета вещей первыми буквами соответствующих слов , а шелковый и шерстяной платки соответственно цифрами 1 и 2 .
2 Для выделенного случая вычислить число возможных вариантов , используя	дерево	возможностей , таблицу и др .
При этом число тополей более чем в 3 раза больше , чем число всех остальных	деревьев	.
253 Даны множества А и В . а ) А - множество	деревьев	в школьном саду ;
« Отрицать за математическими формулами объективную реальность — это значит не видеть за	деревьями	леса » .
в ) Если все фрукты растут на	деревьях	и некоторые растущие на деревьях предметы - зеленые , то некоторые зеленые предметы - фрукты .
в ) Если все фрукты растут на деревьях и некоторые растущие на	деревьях	предметы - зеленые , то некоторые зеленые предметы - фрукты .
Итак , в обоих случаях в результате деления m на n получится периодическая	десятичная	дробь , что и требовалось доказать .
Если же при делении m на n на каждом шаге деления мы получаем остаток , не равный 0 , то в результате деления получится бесконечная	десятичная	дробь .
Теорема 2 Любая положительная периодическая	десятичная	дробь является рациональным числом .
Любая ли	десятичная	дробь является рациональным числом ( то есть представима в виде обыкновенной дроби ) ?
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , то в результате деления числителя на знаменатель получится бесконечная	десятичная	дробь .
487 Запишите рациональное число в виде периодической	десятичной	дроби .
Такая группа цифр называется периодом бесконечной	десятичной	дроби и при записи может заключаться в круглые скобки .
349 Запишите в	десятичной	системе счисления : а ) 10112 ; б ) 3456 ; в ) 129 ; г ) 5612 ; д ) 7216 .
Теорема 1 Любое положительное рациональное число можно записать в виде периодической	десятичной	дроби .
Если на некотором шаге деления числителя m этой дроби на знаменатель n получится остаток 0 , то дробь можно записать в виде конечной	десятичной	дроби .
388 Запишите данное рациональное число в виде периодической	десятичной	дроби .
В	десятичной	системе счисления любое натуральное число А может быть представлено в виде .
Любое ли рациональное число ( то есть обыкновенную дробь ) можно записать в виде	десятичной	дроби ( конечной или бесконечной ) ?
398 Запишите рациональное число в виде периодической	десятичной	дроби .
А значит , ее можно записать и в виде периодической	десятичной	дроби с периодом 0 , например .
Но нам известен и другой способ записи рациональных чисел - в виде	десятичной	дроби ( конечной или бесконечной ) .
430 Найдите сотую цифру после запятой в	десятичной	записи числа .
Запишите рациональное число в виде периодической	десятичной	дроби .
Что же касается числа 0 , то оно может быть записано и в виде обыкновенной , и в виде периодической	десятичной	дроби .
Можно доказать , что любая обыкновенная дробь представима в виде периодической	десятичной	дроби , и обратно .
На них основано также доказательство и общего правила записи положительной периодической	десятичной	дроби в виде обыкновенной .
Правило 2 Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной	десятичной	, если в разложении на простые множители знаменателя обыкновенной дроби нет множителей , отличных от 2 и 5 .
Очевидно , что те же правила сохранятся и для отрицательных рациональных чисел , так как если мы поставим перед обыкновенной или	десятичной	дробью знак минус , то в записи изменится только знак .
338 Запишите в	десятичной	системе счисления числа : а ) 110012 ; б ) 1869 ; в ) 33214 ; г ) 7612 ; д ) 9516 .
Значит , действительно запись в виде	десятичной	дроби ( конечной или бесконечной периодической ) есть другая форма записи рационального числа .
И если да , то как перевести данную	десятичную	дробь в обыкновенную ? .
Запишите периодическую	десятичную	дробь в виде обыкновенной .
386 Запишите	десятичную	дробь в виде обыкновенной .
Мы уже знаем , что любую конечную	десятичную	дробь можно записать в виде обыкновенной , а вот обратный перевод можно выполнить не всегда .
399 Запишите периодическую	десятичную	дробь в виде обыкновенной .
389 Запишите периодическую	десятичную	дробь в виде обыкновенной .
Правило 1 Чтобы конечную	десятичную	дробь представить в виде обыкновенной , можно записать эту дробь в числителе , отбросив запятую , а в знаменателе записать единицу со столькими нулями , сколько цифр справа от запятой .
Правило 3 Чтобы записать положительную периодическую	десятичную	дробь в виде обыкновенной , можно .
Так , например , при переводе дроби 7/22 в	десятичную	мы делим 7 на 22 .
387 Докажите , что данную обыкновенную дробь можно перевести в	десятичную	, и выполните перевод .
488 Запишите периодическую	десятичную	дробь в виде обыкновенной .
Периодические	десятичные	дроби обладают удивительным свойством .
Такие непериодические бесконечные	десятичные	дроби назвали иррациональными , то есть « нерациональными » , числами .
Конечные	десятичные	дроби .
Бесконечные	десятичные	дроби .
Однако существуют и непериодические	десятичные	дроби , например дробь 2,02002000200002 ..
Итак , мы выяснили , что рациональные числа представляются только периодическими	десятичными	дробями .
Такие дроби называются периодическими	десятичными	дробями .
Чтобы выполнить перевод , можно привести обыкновенную дробь к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи	десятичных	дробей , либо разделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель .
Мы видим , что после запятой в полученных	десятичных	дробях одна и та же группа цифр с некоторого момента начинает повторяться бесконечное число раз .
Это означает , что множество периодических	десятичных	дробей совпадает со множеством рациональных чисел .
Пусть х — количество	десятков	, а у — количество единиц числа полных лет бабушки .
А если мы вычислим длину	диагонали	квадрата со стороной 1 , то получим число 1,4142135 .. , также являющееся иррациональным .
Так как мы имеем всего 8 комбинаций чисел , сумма которых равна 12 , то , следовательно , каждая из них должна занять в искомом магическом квадрате ровно одну позицию — строку , столбец или	диагональ	.
Нарисуйте	диаграмму Эйлера — Венна	для множеств А , В и С и отметьте на ней элементы данных множеств .
Нарисуйте	диаграмму Эйлера — Венна	для множеств А , В , С , D , Е . 1 ) А — множество целых чисел , делящихся на 3 .
Нарисуйте	диаграмму Эйлера — Венна	для множеств А и В. Найдите их пересечение и объединение .
Нарисуйте	диаграмму Эйлера — Венна	для множеств А и В. Найдите их пересечение и объединение/. а ) Сколько существует трехзначных чисел , в записи которых встречаются только цифры 3 , 4 , 8 , 9 ?
Используя	диаграммы Эйлера — Венна	, определите правильность логического вывода .
Проверьте правильность следующих выводов , используя	диаграммы Эйлера — Венна	.
Так , пройденный путь зависит от скорости и времени движения , площадь круга зависит от его	диаметра	, площадь квадрата зависит от длины его стороны и т .
Например , известное нам число пи = 3,14159265 .. , выражающее отношение длины окружности к ее	диаметру	, является одним из примеров иррациональных чисел .
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна произведению	длин	его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
Сумма	длин	сторон двух квадратов равна 20 см , а разность их площадей равна 40 см2 .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению	длин	его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
Какой может быть	длина	этой стороны , если периметр этого прямоугольника меньше 60 см ? .
Например ,	длина	пути , проходимого вами со скоростью 50 м / мин , зависит от времени прогулки , которое вы выберете .
Какой может быть	длина	этой стороны , если периметр этого прямоугольника меньше 24 см ? .
а ) На прямоугольном участке земли ,	длина	которого на 18 м больше его ширины , построили дом , занимающий площадь 210 м2 .
Ответ :	длина	прямоугольника равна 9 см .
Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его	длина	— на 3 см больше стороны этого же квадрата .
22 Длина прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого прямоугольника , если его периметр меньше периметра прямоугольника ,	длина	которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
« Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его	длина	на 3 см больше стороны этого же квадрата .
709 а ) На прямоугольном участке земли ,	длина	которого на 6 м больше его ширины , построили дом , занимающий площадь 120 м2 .
в ) Переднее колесо повозки , длина окружности которого равна 2,4 м , сделало на некотором расстоянии на 2900 оборотов больше , чем заднее колесо ,	длина	окружности которого равна 3,2 м .
189 а ) площадь прямоугольника , ширина которого равна ( m плюс n ) м , а	длина	равна 2k м . б )
18 а ) Расстояние AD между началом и концом ломаной ABCD равно 9,6 см. Известно , что АВ равно четверти AD , ВС на 0,4 см меньше АВ , a CD в 1,5 раза больше ВС. Чему равна	длина	ломаной ABCD ? .
Найдите периметр прямоугольника ,	длина	которого на 8 см больше ширины , а площадь равна 128 см2 .
Найдите периметр прямоугольника ,	длина	которого на 12 см больше ширины , а площадь равна 133 см2 .
Тогда ширина прямоугольника равна ( x минус 5 ) см , а его	длина	— ( x плюс 3 ) см , где х минус 5 больше 0 , x плюс 3 больше 0 .
Какой будет минимальная	длина	дистанции эстафеты и сколько в этом случае в ней будет этапов ? .
Найдите периметр прямоугольника ,	длина	которого на 6 см больше ширины , а площадь равна 72 см2 .
в ) Переднее колесо повозки ,	длина	окружности которого равна 2,4 м , сделало на некотором расстоянии на 2900 оборотов больше , чем заднее колесо , длина окружности которого равна 3,2 м .
Чему равна	длина	CD ? .
а ) Длина ломаной ABCD равна 54 см. Известно , что длина АВ в 5 раз меньше расстояния между началом и концом ломаной ,	длина	ВС — в 3 раза больше АВ , а длина CD — на 1 см меньше , чем АВ .
а ) Длина ломаной ABCD равна 54 см. Известно , что длина АВ в 5 раз меньше расстояния между началом и концом ломаной , длина ВС — в 3 раза больше АВ , а	длина	CD — на 1 см меньше , чем АВ .
Какой может быть	длина	большей стороны , если периметр этого прямоугольника меньше 32 см ? .
а ) Длина ломаной ABCD равна 54 см. Известно , что	длина	АВ в 5 раз меньше расстояния между началом и концом ломаной , длина ВС — в 3 раза больше АВ , а длина CD — на 1 см меньше , чем АВ .
Чему равна	длина	этого участка земли ? .
Длина ломаной ABCD равна 16 см. Известно , что	длина	АВ равна трети расстояния между ее началом и концом , ВС — на 0,8 см больше АВ , a CD — на 1,8 см меньше ВС. Чему равна длина звена АВ этой ломаной ? .
Пассажир , сидящий во втором поезде , заметил , что первый поезд шел мимо него в течение 6 с. Чему равна	длина	первого поезда ? .
Чему равна	длина	этой пробки , если Антон ехал со скоростью 60 км / ч ? .
694 а ) На прямоугольном участке земли ,	длина	которого на 10 м больше его ширины , построили дом , занимающий площадь 100 м2 .
объем прямоугольного параллелепипеда ,	длина	которого равна 5а дм , ширина — 3b дм , а высота — ( а плюс b ) дм .
699 а ) Автомобилист выехал из города на дачу по дороге ,	длина	которой 24 км , а возвратился домой по другой дороге , длиной 30 км .
б ) Величина первого угла треугольника на 30 градусов меньше второго , а	длина	третьего — в 4 раза больше , чем второго .
а ) Расстояние AD между началом и концом ломаной ABEFD равно 76 см. Известно , что	длина	первого звена ломаной в 4 раза меньше AD , второго - на 10 см меньше , чем первого , третьего - на 12 см больше , чем второго , а четвертого - на 9 см меньше , чем третьего .
764 а ) На прямоугольном участке земли ,	длина	которого на 16 м больше его ширины , построили дом , занимающий площадь 140 м2 .
Длина ломаной ABCD равна 16 см. Известно , что длина АВ равна трети расстояния между ее началом и концом , ВС — на 0,8 см больше АВ , a CD — на 1,8 см меньше ВС. Чему равна	длина	звена АВ этой ломаной ? .
Пассажир , смотревший в окно , заметил , что встречный товарный поезд ,	длина	которого равна 500 м , проехал мимо него за 15 с. С какой скоростью ехал товарный поезд ? .
Получим следующие возможные комбинации	длиной	два .
699 а ) Автомобилист выехал из города на дачу по дороге , длина которой 24 км , а возвратился домой по другой дороге ,	длиной	30 км .
Участник соревнования по бегу пробежал дистанцию	длиной	200 м за 25 с. Какое расстояние он пробежит за 1 час ? .
Известно , что код сейфа является последовательностью цифр	длиной	не более шести символов .
В обычной жизни мы постоянно сталкиваемся с разнообразными величинами : температурой , стоимостью , массой , количеством предметов ,	длиной	, площадью , объемом и т .
в ) По окружности	длиной	378 см движутся навстречу друг другу два муравья , один со скоростью 10 см / с , а другой со скоростью 8 см / с. Через какие промежутки времени будут происходить их встречи ?
г ) Известно , что код сейфа является последовательностью цифр 1 , 4 , 9 , 0	длиной	не более шести символов .
17 Периметр прямоугольного участка земли равен 62 м , а разность между его	длиной	и шириной равна 5 м .
65 Землеройная машина за 8 часов работы вырывает канаву шириной 30 см , глуби ной 3 м и	длиной	6 км .
Значит , комбинаций из символов и	длиной	от одного до четырех символов не хватит для того , чтобы зашифровать все буквы русского алфавита .
Значит , общее число возможных комбинаций	длиной	от одного до четырех символов равно .
Сначала мы считаем количество комбинаций , содержащих один символ ( то есть комбинаций	длиной	1 ) .
Нарисуйте квадрат с	длиной	стороны а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата суммы , выведите формулу квадрата разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
Сколько краски потребуется для окраски пола прямоугольной комнаты	длиной	6,3 м и шириной 4,5 м ? .
каждой букве алфавита ставится в соответствие некоторая комбинация из данных символов ,	длиной	от одного до четырех символов .
Вычислим количество комбинаций	длиной	от одного до четырех символов , которые можно составить из данных символов .
Аналогичным образом получаем , что число комбинаций длиной в три символа равно , а число комбинаций	длиной	в четыре символа равно .
б ) Код банковской ячейки является последовательностью цифр	длиной	не более семи символов .
Аналогичным образом получаем , что число комбинаций	длиной	в три символа равно , а число комбинаций длиной в четыре символа равно .
Таким образом , число комбинаций	длиной	два равно .
Из данных символов могут быть составлены лишь 2 различные комбинации	длиной	в один символ .
Комбинации	длиной	в два символа можно получить , приписывая перед комбинациями длиной в один символ .
Комбинации длиной в два символа можно получить , приписывая перед комбинациями	длиной	в один символ .
б ) Известно , что код сейфа является последовательностью цифр	длиной	не более четырех символов .
Найдите	длину	этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 70 м2 . б )
Найдите	длину	этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины .
Найдите	длину	всего пути .
Найдите	длину	данного прямоугольника , если его площадь равна 9 см2 .
Найдите средний результат Коли по прыжкам в	длину	( с точностью до единиц сантиметров ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Найдите	длину	этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 6 м больше его ширины .
Если бы его	длину	уменьшили на 5 м , а ширину увеличили на 5 м , то площадь получившегося участка стала бы в 2 раза меньше , чем площадь исходного , увеличенная на 78 м2 .
Найдите	длину	этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 232 м2 . б )
Найдите	длину	ребра первого куба , если объем второго куба равен 343 см3 .
Если бы его	длину	уменьшили на 7 м , а ширину увеличили на 7 м , то площадь получившегося участка стала бы в 2 раза меньше , чем площадь исходного , увеличенная на 2 м2 .
При организации эстафеты точку старта и финиша решили разместить в одном месте , а	длину	каждого этапа сделать равной 150 м .
А если мы вычислим	длину	диагонали квадрата со стороной 1 , то получим число 1,4142135 .. , также являющееся иррациональным .
Определите	длину	пробки .
Найдите	длину	ломаной ABEFD . б ) Величина первого утла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше третьего .
Определите	длину	праздничной колонны .
Как мы определяли	длину	пути s м , пройденного за данное время t мин со скоростью 50 м / мин ?
а ) В течение учебного года Коля несколько раз участвовал в соревнованиях по прыжкам в	длину	.
Длина ломаной ABCD равна 13,5 см. Известно , что АВ равно 1/6 расстояния между ее началом и концом , ВС на 5,1 см больше АВ , a CD на 3,6 см меньше ВС. Найдите	длину	звена АВ этой ломаной .
Так , например , стоимость покупки из 2 книг по цене x рублей и 3 журналов по цене у рублей или	длину	пути автомобиля , ехавшего 2 ч со скоростью x км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , можно записать с помощью многочлена 2 x плюс 3y .
Найдите	длину	стороны исходного квадрата .
Так , например , умножив ширину прямоугольника , равную 5 см , на его	длину	, равную 6 см , мы получим площадь прямоугольника , выраженную в квадратных сантиметрах .
Найдите	длину	данного прямоугольника , если его площадь равна 9 см2 » .
Например , известное нам число пи = 3,14159265 .. , выражающее отношение	длины	окружности к ее диаметру , является одним из примеров иррациональных чисел .
Запишите формулу зависимости	длины	пути в километрах , пройденного Михаилом , от времени его движения со скоростью 3 км / ч ( в часах ) .
а ) Длина одной стороны прямоугольника на 3 см больше	длины	другой .
Пройдя треть	длины	узкого моста , пешеход увидел позади себя приближающуюся к мосту машину .
Далее , аналогично рассуждая , проводим вычисления до того момента , пока не получим количество комбинаций требуемой	длины	.
Шаг 5 Вычислим искомое значение	длины	прямоугольника .
Ведь далеко не всегда значения	длины	, площади , объема , массы , времени , температуры и т.д. выражаются натуральными числами .
Понятно , что в реальной жизни скорость бегуна зависит от	длины	дистанции .
Чему равны	длины	сторон этих квадратов ? .
К тому же пытающемуся расшифровать зашифрованные сообщения такого вида без ключа неизвестно , на группы какой	длины	разбивался текст .
Запишите формулу зависимости	длины	пути s ( в км ) , пройденного туристом , от времени t ( в часах ) и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost .
Запишите формулу зависимости	длины	отремонтированной дороги s ( в км ) от времени работы бригады t ( в днях ) и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost .
Задайте зависимость объема куба V от	длины	его ребра а .
Нам известно , что площадь прямоугольника равна произведению его	длины	и ширины .
Измерьте	длины	сторон треугольников , вычислите отношения .
Длина ребра второго куба на 3 см больше	длины	ребра первого .
а ) Длина одной стороны прямоугольника на 12 см больше	длины	другой .
Найдите периметр прямоугольника , ширина которого на 8 см меньше	длины	, а площадь равна 240 см2 .
52 Одновременно зажгли две свечи одинаковой	длины	.
Так , пройденный путь зависит от скорости и времени движения , площадь круга зависит от его диаметра , площадь квадрата зависит от	длины	его стороны и т .
а ) Длина одной стороны прямоугольника на 8 см больше	длины	другой .
Запишите формулу зависимости	длины	пути в км , пройденного с постоянной скоростью 3 км / ч , от времени движения в часах .
В математике , как и в других науках , не растеряться перед лицом удивительности некоторых	доказательств	часто значит не менее чем половина нового открытия .
Так и в математической теории сначала выбираются первоначальные понятия и утверждения , принимаемые без	доказательств	, а затем на их основе вводятся новые понятия , а все остальные утверждения доказываются с помощью логических умозаключений .
Обсуждая принципы построения математических теорий и методы	доказательств	в математике , мы использовали термины « логический вывод » , « логические рас суждения » .
Примером хорошо известной нам логической формы , которую мы постоянно используем при проведении	доказательств	, является форма : « Если А - истинно и А , то В - истинно » .
Поиск	доказательств	во многом определяет развитие математики как науки .
Проверить истинность всех используемых в процессе	доказательства	утверждений , помня о том , что на основе ложного исходного утверждения можно доказать что угодно .
Для	доказательства	этой гипотезы возведем в квадрат двучлен , пользуясь правилом умножения многочленов .
Косвенные	доказательства	.
Как мы уже знаем , для	доказательства	такого утверждения можно просто предъявить удовлетворяющий условию объект .
Для	доказательства	некоторых математических утверждений требуются столетия и создание целых теорий .
Тем не менее , в математике есть способы	доказательства	, которые успешно работают при установлении истинности самых разных с виду утверждений .
Алгоритм	доказательства	методом проб и ошибок . 1 ) Подобрать конкретные объекты с заданными свойствами .
126 Используя метод	доказательства	от противного , докажите .
Метод	доказательства	математических теорем от противного весьма эффективен и очень распространен .
Первую из этих теорем мы приведем без	доказательства	, так как для ее обоснования у нас пока недостаточно математических знаний , зато вторую — сможем доказать .
Вот почему в основу математической теории должны быть положены некоторые первоначальные утверждения - утверждения , истинность которых принимается без	доказательства	.
Для	доказательства	теоремы выясним , какими свойствами обладают общие делители чисел а , b и чисел b , r . 1 ) Докажем сначала , что всякий общий делитель чисел а и b является одновременно делителем числа r .
Чаще всего он используется для	доказательства	того , что объекта с заданными свойствами не существует .
63 Используя метод	доказательства	от противного , докажите , что при любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем уравнения .
Алгоритм	доказательства	методом перебора .
Конечно , идеи , использованные при решении примеров 1 и 2 , требуют строгого	доказательства	.
Так называемая великая теорема Ферма была сформулирована Пьером Ферма еще в 1637 году , а доказана лишь в 1995 году английским математиком Эндрю Уайлсом , совершившим в процессе этого	доказательства	прорыв в теории чисел .
Как же находить	доказательства	математических утверждений ? .
57 Используя метод	доказательства	от противного , докажите .
Тем не менее рассмотрим на примерах идеи , используемые при его доказательстве , и на этой основе сформулируем ( без	доказательства	) общее правило представления положительной периодической дроби в виде обыкновенной .
Для	доказательства	воспользуемся методом от противного .
Одним из способов косвенного	доказательства	, получившим широкое распространение , является так называемое доказательство методом от противного .
Если посмотреть определение	доказательства	в ( обычном ) толковом словаре , то мы увидим , что доказательство - это рассуждение , обосновывающее доказываемое утверждение .
2 Некоторые методы математического	доказательства	.
Алгоритм	доказательства	методом от противного .
Так что же такое доказательство и какие методы	доказательства	существуют ? .
63 Используя метод	доказательства от противного	, докажите , что при любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем уравнения .
57 Используя метод	доказательства от противного	, докажите .
126 Используя метод	доказательства от противного	, докажите .
С косвенными	доказательствами	мы уже с вами встречались , но не выделяли их в отдельную группу .
С помощью логических рассуждений , называемых	доказательствами	, устанавливается справедливость всех остальных утверждений теории - теорем .
Он считал , что во всех областях науки имеются высказывания , которые настолько очевидны , что не нуждаются в	доказательствах	.
Какие правила равносильных преобразований неравенств вы использовали при	доказательстве	каждого из утверждений ? .
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений выражений , решении уравнений и неравенств ,	доказательстве	тождеств .
I « Порочный круг » ( попытка доказать некоторое утверждение , используя при	доказательстве	истинность доказываемого утверждения ) .
Тем не менее рассмотрим на примерах идеи , используемые при его	доказательстве	, и на этой основе сформулируем ( без доказательства ) общее правило представления положительной периодической дроби в виде обыкновенной .
Если при	доказательстве	существования объект не указывается , то такое доказательство называется косвенным .
Для того чтобы избежать ошибок при	доказательстве	разного рода утверждений , важно разобраться в том , какие виды ошибок могут быть допущены .
62 Проведите	доказательство	косвенным методом .
Свое	доказательство	мы основывали на том , что сумму трех последовательных натуральных чисел можно записать в виде .
Проведем	доказательство	методом от противного .
Проведем	доказательство	данного утверждения для чисел каждого вида .
54 Проведите	доказательство	косвенным методом .
Одним из способов косвенного доказательства , получившим широкое распространение , является так называемое	доказательство	методом от противного .
Мы говорили о том , что	доказательство	математических утверждений , по сути , состоит из последовательности правильных выводов .
Поскольку обе записи описывают одно и то же арифметическое действие , то достаточно провести	доказательство	для одной из них .
Несмотря на то что эта теорема на первый взгляд кажется очевидной , ее	доказательство	достаточно непросто и не входит в программу нашего курса .
Более того ,	доказательство	теорем 1 - 9 из этого пункта для целых чисел проводится аналогично , а значит , все известные нам свойства делимости распространяются и на множество Z ( при условии , что делитель ) .
С помощью этой теоремы легко доказать признак делимости на 9 , который мы ранее использовали , но общее	доказательство	не приводили .
На них основано также	доказательство	и общего правила записи положительной периодической десятичной дроби в виде обыкновенной .
Если посмотреть определение доказательства в ( обычном ) толковом словаре , то мы увидим , что	доказательство	- это рассуждение , обосновывающее доказываемое утверждение .
Если при доказательстве существования объект не указывается , то такое	доказательство	называется косвенным .
Поэтому	доказательство	методом проб и ошибок в этом случае ограничивается лишь первым шагом алгоритма .
Так что же такое	доказательство	и какие методы доказательства существуют ? .
И хотя этот способ не является строгим	доказательством	, он дает наглядное представление о сделанном высказывании и позволяет разобраться в правильности того или иного рассуждения .
Никакое другое рассуждение , даже подтвержденное сколь угодно большим количеством частных примеров ,	доказательством	не считается .
И хотя приводимое им заключение верно ,	доказательством	оно не является .
Можно ли считать неверные выводы	доказательством	или опровержением данных утверждений ? .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично	доказательству	теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
Приведенные рассуждения являются примерами того , как неточность формулировок , невнимание к условиям , при которых выполнимы те или иные операции и процессы , неравносильность выполняемых преобразований могут привести к	доказательству	ошибочных утверждений .
Преобразовав полученное выражение , мы приходим к	доказательству	требуемого утверждения .
Умножим обе части данного уравнения на число 30 — наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение	дробей	.
Чтобы выполнить перевод , можно привести обыкновенную дробь к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных	дробей	, либо разделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель .
Это означает , что множество периодических десятичных	дробей	совпадает со множеством рациональных чисел .
Вспомним известные нам правила перевода	дробей	, которыми мы пользовались в 5 - 6 классах .
2 Произведение нескольких	дробей	можно записать как единую дробь , числитель которой равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
367 Какие приемы сравнения обыкновенных	дробей	вы знаете ?
Нам известно также , что произведение нескольких	дробей	равно дроби , в числителе которой стоит произведение числителей исходных дробей , а в знаменателе - произведение их знаменателей .
л ) Все учителя — женщины . м ) На прошлом уроке мы изучали правила сложения	дробей	.
Нам известно также , что произведение нескольких дробей равно дроби , в числителе которой стоит произведение числителей исходных	дробей	, а в знаменателе - произведение их знаменателей .
2 Произведение нескольких дробей можно записать как единую дробь , числитель которой равен произведению числителей исходных	дробей	, а знаменатель - произведению их знаменателей .
305 Какие приемы сравнения обыкновенных	дробей	вы знаете ?
149 Выделите целую часть	дроби	.
Любое ли рациональное число ( то есть обыкновенную дробь ) можно записать в виде десятичной	дроби	( конечной или бесконечной ) ?
Из определения рациональных чисел следует , что любое рациональное число можно записать в виде обыкновенной	дроби	.
Тем не менее рассмотрим на примерах идеи , используемые при его доказательстве , и на этой основе сформулируем ( без доказательства ) общее правило представления положительной периодической	дроби	в виде обыкновенной .
Следовательно , в числителе и знаменателе рассматриваемой нами	дроби	мы можем выполнить следующие преобразования .
587 Сократите	дроби	при допустимых значениях переменных .
398 Запишите рациональное число в виде периодической десятичной	дроби	.
Такая группа цифр называется периодом бесконечной десятичной	дроби	и при записи может заключаться в круглые скобки .
Сократите	дроби	при допустимых значениях переменных .
Чтобы выполнить перевод , можно привести обыкновенную дробь к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей , либо разделить числитель обыкновенной	дроби	на ее знаменатель .
Бесконечные десятичные	дроби	.
613 Сократите	дроби	при допустимых значениях переменных .
Рассмотрим запись частного в виде	дроби	.
Значит , в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень	дроби	и вычислить следующее произведение : Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем сократим полученную дробь и возведем ее в квадрат .
б ) Какое рациональное число нужно прибавить к числителю и знаменателю	дроби	, чтобы она стала равна ? .
Любая ли десятичная дробь является рациональным числом ( то есть представима в виде обыкновенной	дроби	) ?
150 Запишите смешанное число в виде неправильной	дроби	.
Запишите рациональное число в виде периодической десятичной	дроби	.
Сравните	дроби	.
388 Запишите данное рациональное число в виде периодической десятичной	дроби	.
Такие непериодические бесконечные десятичные	дроби	назвали иррациональными , то есть « нерациональными » , числами .
Так , например , при переводе	дроби	7/22 в десятичную мы делим 7 на 22 .
Степень произведения и частного (	дроби	) .
571 Сократите	дроби	при допустимых значениях переменных .
672 Сократите	дроби	при допустимых значениях переменных .
Используя это правило , представим число 0,(629 ) в виде обыкновенной	дроби	.
Можно доказать , что любая обыкновенная дробь представима в виде периодической десятичной	дроби	, и обратно .
487 Запишите рациональное число в виде периодической десятичной	дроби	.
А значит , ее можно записать и в виде периодической десятичной	дроби	с периодом 0 , например .
369 Выделите целую часть	дроби	.
Периодические десятичные	дроби	обладают удивительным свойством .
Значит , действительно запись в виде десятичной	дроби	( конечной или бесконечной периодической ) есть другая форма записи рационального числа .
763 Сократите	дроби	.
Приведите	дроби	к общему знаменателю .
Таким образом , любое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической	дроби	, и обратно .
35 Сформулируйте определения : а ) правильной	дроби	; б ) простого числа ; в ) отношения ; г ) пропорции ; д ) четного числа ; е ) процента .
Значит , в числителе искомой	дроби	должна быть разность 629 - 0 .
Если на некотором шаге деления числителя m этой дроби на знаменатель n получится остаток 0 , то дробь можно записать в виде конечной десятичной	дроби	.
3 Если числитель и знаменатель	дроби	имеют общий множитель , отличный от нуля , то дробь на него можно сократить .
643 Сократите	дроби	при допустимых значениях переменных .
60 Представьте выражение в виде степени	дроби	с показателем , отличным от 1 .
61 Представьте выражение в виде степени	дроби	с показателем , отличным от 1 .
Упростим сначала числитель этой	дроби	, пользуясь правилами преобразования алгебраических сумм .
Значит , наше исходное выражение равно	дроби	, в которой числитель и знаменатель имеют общий множитель 9х - 4у , отличный от 0 .
Такие	дроби	называются периодическими десятичными дробями .
Но нам известен и другой способ записи рациональных чисел - в виде десятичной	дроби	( конечной или бесконечной ) .
Что же касается числа 0 , то оно может быть записано и в виде обыкновенной , и в виде периодической десятичной	дроби	.
370 Запишите смешанное число в виде неправильной	дроби	.
Правило 2 Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной , если в разложении на простые множители знаменателя обыкновенной	дроби	нет множителей , отличных от 2 и 5 .
Теорема 1 Любое положительное рациональное число можно записать в виде периодической десятичной	дроби	.
Если знаменатель несократимой обыкновенной	дроби	имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , то в результате деления числителя на знаменатель получится бесконечная десятичная дробь .
Все положительные числа являются решениями неравенства Приведите	дроби	к общему знаменателю .
Представим частное в виде	дроби	и сократим n раз ее числитель и знаменатель на общий множитель а : что и требовалось доказать .
Все решения уравнения могут быть записаны как обыкновенные	дроби	.
Но в записи этой	дроби	количество нулей между двойками последовательно увеличивается на 1 .
По определению , любое положительное рациональное число можно записать в виде обыкновенной	дроби	.
604 Сократите	дроби	при допустимых значениях переменных .
На них основано также доказательство и общего правила записи положительной периодической десятичной	дроби	в виде обыкновенной .
Представьте	дроби	в несократимом виде .
139 Запишите смешанное число в виде неправильной	дроби	.
561 Приведите	дроби	к общему знаменателю .
138 Выделите целую часть	дроби	.
Конечные десятичные	дроби	.
Для того чтобы возвести в степень дробь , можно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель	дроби	.
Если на некотором шаге деления числителя m этой	дроби	на знаменатель n получится остаток 0 , то дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Запишем полученное произведение , представляя целое число или отдельную букву в виде	дроби	со знаменателем 1 .
Однако существуют и непериодические десятичные	дроби	, например дробь 2,02002000200002 ..
Нам известно также , что произведение нескольких дробей равно	дроби	, в числителе которой стоит произведение числителей исходных дробей , а в знаменателе - произведение их знаменателей .
Все правильные	дроби	больше или равны 1 . ж )
Степень	дроби	. многочлена .
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро возводить в квадрат двучлены , но и устно возводить в квадрат числа , причем не только целые , но и	дробные	.
В связи с этим возникает необходимость введения	дробных	и отрицательных чисел .
477 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
Теперь , поскольку мы можем сократить	дробь	на 3а .
449 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
485 Сократите	дробь	.
Любое ли рациональное число ( то есть обыкновенную	дробь	) можно записать в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной ) ?
387 Докажите , что данную обыкновенную	дробь	можно перевести в десятичную , и выполните перевод .
Правильная	дробь	всегда меньше неправильной . з )
Если же при делении m на n на каждом шаге деления мы получаем остаток , не равный 0 , то в результате деления получится бесконечная десятичная	дробь	.
358 Представьте	дробь	в несократимом виде .
Если на некотором шаге деления числителя m этой дроби на знаменатель n получится остаток 0 , то	дробь	можно записать в виде конечной десятичной дроби .
386 Запишите десятичную	дробь	в виде обыкновенной .
Итак , в обоих случаях в результате деления m на n получится периодическая десятичная	дробь	, что и требовалось доказать .
Запишите периодическую десятичную	дробь	в виде обыкновенной .
399 Запишите периодическую десятичную	дробь	в виде обыкновенной .
362 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
Правило 3 Чтобы записать положительную периодическую десятичную	дробь	в виде обыкновенной , можно .
Мы уже знаем , что любую конечную десятичную	дробь	можно записать в виде обыкновенной , а вот обратный перевод можно выполнить не всегда .
Действительно , если бы данная	дробь	была периодической с периодом , то в ней с некоторого момента одна и та же группа из n цифр должна была бы периодически повторяться .
Однако существуют и непериодические десятичные дроби , например	дробь	2,02002000200002 ..
Правило 1 Чтобы конечную десятичную	дробь	представить в виде обыкновенной , можно записать эту дробь в числителе , отбросив запятую , а в знаменателе записать единицу со столькими нулями , сколько цифр справа от запятой .
Правило 1 Чтобы конечную десятичную дробь представить в виде обыкновенной , можно записать эту	дробь	в числителе , отбросив запятую , а в знаменателе записать единицу со столькими нулями , сколько цифр справа от запятой .
Выполним данное преобразование и сократим полученную	дробь	.
508 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
488 Запишите периодическую десятичную	дробь	в виде обыкновенной .
Д Неправильная	дробь	больше или равна 1 .
Можно доказать , что любая обыкновенная	дробь	представима в виде периодической десятичной дроби , и обратно .
Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
2 Произведение нескольких дробей можно записать как единую	дробь	, числитель которой равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
Сократима ли	дробь	? .
495 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
391 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
3 Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , отличный от нуля , то	дробь	на него можно сократить .
219 Представьте	дробь	в несократимом виде .
Аналогично рассуждая , можно записать число 8,21(6 ) как обыкновенную	дробь	.
264 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
Правило 2 Несократимую обыкновенную	дробь	можно представить в виде конечной десятичной , если в разложении на простые множители знаменателя обыкновенной дроби нет множителей , отличных от 2 и 5 .
Сократим на него	дробь	.
Чтобы выполнить перевод , можно привести обыкновенную	дробь	к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей , либо разделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель .
208 Представьте	дробь	в несократимом виде .
548 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
Для того чтобы возвести в степень	дробь	, можно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби .
Сначала представим данную	дробь	в виде , аналогичном рассмотренному в примере 1 , то есть так , чтобы период начинался сразу после запятой .
517 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
Выбирая нужные понятия и свойства из нижеприведенного списка : 1 ) натуральное число ; 2 )	дробь	; 3 ) число ; 4 ) кратное 2 ; 5 ) меньше единицы ; 6 )
Пример 2 Представьте периодическую	дробь	2,1(36 ) в виде обыкновенной .
И если да , то как перевести данную десятичную	дробь	в обыкновенную ? .
757 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
Значит , в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее произведение : Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем сократим полученную	дробь	и возведем ее в квадрат .
332 Найдите значение выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
Сократима ли	дробь	.
Сокращая полученную	дробь	, приходим к ответу .
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , то в результате деления числителя на знаменатель получится бесконечная десятичная	дробь	.
Таким образом ,	дробь	2,02002000200002 .. - непериодическая .
Теорема 2 Любая положительная периодическая десятичная	дробь	является рациональным числом .
419 Сократите	дробь	при допустимых значениях переменных .
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это	дробь	, числитель которой меньше знаменателя .
389 Запишите периодическую десятичную	дробь	в виде обыкновенной .
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная	дробь	- это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
Любая ли десятичная	дробь	является рациональным числом ( то есть представима в виде обыкновенной дроби ) ?
Пример 1 Представьте периодическую	дробь	0,(25 ) в виде обыкновенной .
Очевидно , что те же правила сохранятся и для отрицательных рациональных чисел , так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной	дробью	знак минус , то в записи изменится только знак .
Такие дроби называются периодическими десятичными	дробями	.
Итак , мы выяснили , что рациональные числа представляются только периодическими десятичными	дробями	.
Найдите среднее арифметическое ( с точностью до	единиц	) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Что же касается числа нуль , то оно возникло тогда , когда потребовалось показать отсутствие	единиц	определенного разряда в некотором числе , например 101 , 10 001 и т.д .
Вычислите среднее годовое производство паровых турбин с точностью до	единиц	.
Найдите среднее арифметическое собранных девочками открыток ( с точностью до	единиц	) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
График линейной функции , где k и b — произвольные числа , может быть получен из графика функции путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b	единиц	вниз , если b — отрицательно .
График линейной функции , где k и b — произвольные числа , может быть получен из графика функции путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b	единиц	вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно .
Найдите среднее арифметическое количества собранных мальчиками постеров ( с точностью до	единиц	) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Вычислите среднее количество высших учебных заведений ( с точностью до	единиц	) в каждом из представленных федеральных округов за 2002 - 2009 гг .
Действительно , любое такое число можно записать в виде 10x плюс 5 , где х — число , полученное из первоначального после отбрасывания	единиц	.
Найдите средний результат Коли по прыжкам в длину ( с точностью до	единиц	сантиметров ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Проверяем соответствие	единиц	измерения величин .
Пусть х — количество десятков , а у — количество	единиц	числа полных лет бабушки .
8) На каких маршрутах средняя скорость движения ( с точностью до	единиц	) больше или равна 50 км / ч ? .
Для того чтобы возвести в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания	единиц	, на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
Определите масштаб рисунка художника и реальную высоту нарисованных художником пирамид с точностью до	единиц	метра .
7 ) С какой средней скоростью ( с точностью до	единиц	) движется автобус по маршруту Москва - Муром ? .
Вычислите с точностью до	единиц	среднее количество высших учебных заведений в каждом из указанных федеральных округов в .
« Катя задумала двузначное натуральное число , сумма которого с утроенной цифрой его	единиц	равна 74 .
5 ) Сколько	единиц	товара было продано в этот день ? .
Количество	единиц	проданного товара и его цена при постоянной выручке .
Проверить соответствие	единиц	измерения величин .
Определите по графикам , на сколько	единиц	изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если значение аргумента увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций .
Определите по графикам , на сколько	единиц	изменяется значение функции , если значение аргумента увеличивается на 2 , уменьшается на 1 .
А	единица	и натуральное число относятся к первоначальным понятиям теории чисел .
Значит ,	единица	— решение неравенства . б ) Все решения неравенства положительные числа .
Выполняя действия с именованными числами , мы должны всегда помнить о том , что аналогичные действия необходимо производить и с	единицами	их измерения .
В каждой строке этого треугольника , начиная с третьей , между	единицами	находятся числа , равные сумме двух расположенных над ним чисел .
147 Докажите утверждение : а ) Произведение любых пяти последовательных чисел делится на 60 ; б ) Число , записываемое 80 двойками , 80	единицами	и 80 нулями , не может быть точным квадратом .
а ) Произведение любых шести последовательных целых чисел делится на 360 . б ) Число , записываемое 50 двойками , 50	единицами	и 50 нулями , не может быть точным квадратом .
в ) Произведение любых семи последовательных чисел делится на 2520 . г ) Число , записываемое 100 двойками , 100	единицами	и 100 нулями , не может быть точным квадратом .
Продано ( в установленных	единицах	) .
Постройте круговую диаграмму , показывающую долю продаж каждого наименования ( в установленных	единицах	измерения ) в общих продажах магазина канцелярских товаров 21 .
6 ) Какой товар составил самую большую долю в продажах , самую маленькую долю в продажах ( в установленных	единицах	измерения ) ? .
Так как 5 из 1 вычесть нельзя , займем	единицу	из следующего числа , получаем .
Можно найти целое число , которое при делении на 3 дает остаток 4 . д ) Есть целые числа , которые не делятся на	единицу	.
Значит , любое натуральное число делится на	единицу	, что и требовалось доказать . .
Правило 1 Чтобы конечную десятичную дробь представить в виде обыкновенной , можно записать эту дробь в числителе , отбросив запятую , а в знаменателе записать	единицу	со столькими нулями , сколько цифр справа от запятой .
Прочитайте подряд оставшиеся буквы - и вы узнаете	единицу	измерения вязкости , которая была названа так в честь выдающегося французского физика .
Простым называется натуральное число , которое имеет ровно два различных делителя :	единицу	и само это число .
Цена за	единицу	.
Так как коэффициент b нашей линейной функции равен , то график функции получается из графика функции параллельным переносом вдоль оси Оу на 1	единицу	вниз .
З Производительность - это объем работы , сделанной за	единицу	времени .
Теорема 2 Любое натуральное число делится на	единицу	.
а ) квадрат любого целого числа на	единицу	больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное .
Чтобы найти значение суммы , можно переместиться по числовой окружности от точки 5 на 2	единицы	в направлении отсчета .
Любая натуральная степень	единицы	равна 1 , а при умножении на 1 число не изменяется .
507 Переведите в указанные	единицы	измерения и вычислите .
Значит , если мы сделаем параллельный перенос графика на 3	единицы	вверх вдоль оси Оу , то получим график .
116 Переведите в указанные	единицы	измерения и вычислите : а ) в килограммы ; б ) в миллиметры ; в ) в часы .
Переведите в указанные	единицы	измерения и вычислите .
Таким образом , ордината любой точки В графика	единицы	больше , чем ордината точки А графика с той же абсциссой х0 .
Переведите в указанные	единицы	измерения и вычислите : а ) в килограммы ; б ) в сантиметры ; в ) в часы ; г ) в рубли .
60 Переведите в указанные	единицы	измерения и вычислите : а ) в килограммы ; б ) в сантиметры ; в ) в часы ; г ) в рубли .
Величины всех углов выражены в градусах , поэтому	единицы	измерения величин соответствуют друг другу .
Выберите	единицы	измерения и постройте столбчатую диаграмму , иллюстрирующую зависимость полученной выручки от вида продукта .
Заметим , что исходному многочлену не хватает до полного квадрата	единицы	.
Выбирая нужные понятия и свойства из нижеприведенного списка : 1 ) натуральное число ; 2 ) дробь ; 3 ) число ; 4 ) кратное 2 ; 5 ) меньше	единицы	; 6 )
Никакая другая отрасль теории чисел не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых чисел , этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят делиться нацело ни на какое целое число за исключением себя и	единицы	.
Для того чтобы построить график функции , заметим , что он получается сдвигом графика вдоль оси Оу на 3	единицы	вверх .
Значит , значения всех членов многочлена при	единичных	значениях переменных будут равны их коэффициентам .
Поскольку значение у зависит от х , а х мы выбираем произвольно из области определения , то х — это независимая переменная , или , как говорят иначе , аргумент функции , а у —	зависимая переменная	.
155 Можно ли нарисовать	замкнутую	ломаную линию , состоящую из 15 звеньев , каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев ? .
Луч	замкнутый	.
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он	замкнутый	( соответствующая точка ему принадлежит ) .
Значит , решением исходного неравенства является	замкнутый	луч .
Поэтому в ответе получится не открытый , а	замкнутый	числовой луч или .
226 Могут ли 17 шестеренок , сцепленных в	замкнутый	круг , вращаться одновременно ? . .
Тогда можно доказать , что при умножении х на 100	запятая	сместится на два знака вправо , то есть 100х = 25,(25 ) , и при вычитании из второго равенства первого мы сможем избавиться от бесконечного « хвоста » .
в знаменателе записать цифру девять столько раз , сколько цифр в периоде , и после девяток записать столько нулей , сколько цифр между	запятой	и первым периодом .
И так как между периодом и	запятой	нет цифр , то после девяток нет нулей .
Мы видим , что после	запятой	в полученных десятичных дробях одна и та же группа цифр с некоторого момента начинает повторяться бесконечное число раз .
430 Найдите сотую цифру после	запятой	в десятичной записи числа .
Сначала представим данную дробь в виде , аналогичном рассмотренному в примере 1 , то есть так , чтобы период начинался сразу после	запятой	.
Правило 1 Чтобы конечную десятичную дробь представить в виде обыкновенной , можно записать эту дробь в числителе , отбросив запятую , а в знаменателе записать единицу со столькими нулями , сколько цифр справа от	запятой	.
Правило 1 Чтобы конечную десятичную дробь представить в виде обыкновенной , можно записать эту дробь в числителе , отбросив	запятую	, а в знаменателе записать единицу со столькими нулями , сколько цифр справа от запятой .
Вы узнаете название самой яркой	звезды	на ночном небе .
Сколько надо заготовить тех и других мешков для перевозки 1 тонны	зерна	таким образом , чтобы все мешки были полными ? .
Для перевозки	зерна	используются мешки , в которые входит либо 80 кг , либо 60 кг зерна .
Для перевозки зерна используются мешки , в которые входит либо 80 кг , либо 60 кг	зерна	.
Разрешается одновременно менять	знак	на противоположный во всех клетках одного столбца или одной строки .
623 Какой	знак	неравенства надо поставить вместо , чтобы в результате получилось неравенство , верное при всех значениях переменной ? .
411 Назовите слагаемые указанных алгебраических сумм и запишите эти суммы , ставя между слагаемыми	знак	« + » .
В тождествах с переменными вместо знака часто используют	знак	для того чтобы подчеркнуть , что данное равенство верно при всех значениях переменных .
352 В одной клетке квадратной таблицы стоит	знак	« - » , а в остальных - плюсы .
В нем каждой букве русского алфавита произвольным образом ставится в соответствие некий символ : буква , цифра , картинка и вообще произвольный	знак	.
Если же данные числа а и b умножить или разделить на отрицательное число с ,	знак	неравенства изменится на противоположный .
Например , каждой букве алфавита ставится в соответствие свой индивидуальный символ — цифра , буква , картинка , прочий	знак	.
Для этого перенесем слагаемое b в правую часть равенства , поменяв его	знак	на противоположный .
Если , то обе части неравенства мы можем разделить на k , сохранив	знак	неравенства .
Изменится ли	знак	неравенства , если в левой и правой его частях выполнить следующие преобразования .
Если , то обе части неравенства мы можем разделить на k , изменив	знак	неравенства на противоположный .
Правило 2 Если в алгебраической сумме перед скобкой стоит	знак	« - » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
Определите	знак	числа а ,
сначала надо выделить числовые промежутки , на которых выражения под знаком модуля не меняют свой	знак	, а затем найти решения неравенств на каждом из выделенных промежутков .
434 Назовите слагаемые алгебраических сумм и запишите их , ставя между слагаемы ми	знак	« + » .
Здесь перед скобкой стоит	знак	« + » и множитель 3 , поэтому знаки слагаемых мы менять не будем , просто умножим каждое из них на 3 .
Так как перед скобкой стоит знак « - » и множитель 2 , то каждое слагаемое в скобке умножим на 2 и изменим его	знак	на противоположный , а затем приведем подобные слагаемые .
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под натуральной степенью любого рационального числа , научились определять	знак	степени и узнали , в каком порядке проводятся вычисления в выражениях со степенью .
И , следовательно ,	знак	каждого слагаемого изменится на противоположный , что и требовалось доказать . .
1 Если перед скобкой стоит	знак	« + » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
Так как перед скобкой стоит	знак	« - » и множитель 2 , то каждое слагаемое в скобке умножим на 2 и изменим его знак на противоположный , а затем приведем подобные слагаемые .
Разделим обе части полученного неравенства на отрицательное число ( -3 ) , изменив при этом	знак	неравенства на противоположный .
2 Если перед скобкой стоит	знак	« - » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
Например , в первую группу объединим первый и второй члены многочлена , а во вторую — третий и четвертый ( при этом если перед вторыми скобками мы поставим	знак	« минус » , то не забудем поменять знаки слагаемых в скобках на противоположные ) .
600 Какой	знак	неравенства надо поставить вместо , чтобы в результате получилось неравенство , верное при всех значениях переменной ? .
Мы знаем , что если между двумя числами или двумя алгебраическими выражениями стоит	знак	, то получившееся математическое предложение называют равенством .
Например , можем ли мы , не вычисляя значения самой степени , определить	знак	числа или числа ( -56,799)329 ?
Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую , меняя при этом его	знак	на противоположный .
Для начала ответим на вопрос , можем ли мы сразу определить	знак	любой степени числа , пусть даже с очень большим показателем ?
Вы , наверное , заметили , что обозначение сравнения напоминает	знак	равенства .
Правило 1 Если в алгебраической сумме перед скобкой стоит	знак	« + » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
3 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число ( выражение ) и изменить	знак	неравенства на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному .
При решении таких уравнений сначала выделяют промежутки , на которых выражения под знаком модуля не меняют свой	знак	, а затем уже ищут решения на каждом из выделенных промежутков .
5 При возведении в степень разности ( а минус b)n поставить перед первым одночленом знак « плюс » , перед вторым —	знак	« минус » и далее чередовать знаки « плюс » , « минус » до последнего одночлена .
5 При возведении в степень разности ( а минус b)n поставить перед первым одночленом	знак	« плюс » , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать знаки « плюс » , « минус » до последнего одночлена .
Очевидно , что те же правила сохранятся и для отрицательных рациональных чисел , так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной дробью	знак	минус , то в записи изменится только знак .
4 При возведении в степень суммы ( а плюс b)n поставить перед всеми одночленами	знак	« плюс » .
То есть если число а больше числа b , то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым числом с , а также при умножении и делении их на положительное число с	знак	неравенства не изменится .
Очевидно , что те же правила сохранятся и для отрицательных рациональных чисел , так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной дробью знак минус , то в записи изменится только	знак	.
Расположение графика функции на координатной плоскости зависит от	знака	коэффициента k. Так , если , то знаки соответствующих значений х и у всегда одинаковы , поэтому график располагается в I и III координатных четвертях .
Тогда можно доказать , что при умножении х на 100 запятая сместится на два	знака	вправо , то есть 100х = 25,(25 ) , и при вычитании из второго равенства первого мы сможем избавиться от бесконечного « хвоста » .
На каждом из указанных промежутков данные выражения с модулем можно записать без	знака	модуля .
Линейные уравнения с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать выражения вне	знака	модуля .
Итак , мы ввели новое для нас арифметическое действие для рациональных чисел — возведение в натуральную степень , и установили некоторые правила , упрощающие определение	знака	степени .
В тождествах с переменными вместо	знака	часто используют знак для того чтобы подчеркнуть , что данное равенство верно при всех значениях переменных .
Запишите с помощью	знака	модуля расстояние между точками А и Б и вычислите его .
Суммой многочленов называется многочлен , членами которого являются все члены многочленов слагаемых , взятых с их	знаками	.
1 Если перед скобкой стоит знак « + » , то после раскрытия скобок	знаки	слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
Сначала , пользуясь определением модуля , запишем , что означают выражения , содержащие	знаки	модуля .
Рассмотрим алгебраическую сумму , в которой перед слагаемыми стоят как	знаки	« + » , так и знаки « — » .
Однако при желании можно зашифровать с помощью указанного шифра и	знаки	препинания , и пробелы .
Слагаемые можно переносить из одной части неравенства в другую , меняя при этом их	знаки	на противоположные .
Между двумя числами или алгебраическими выражениями могут стоять	знаки	> , < , > или < .
При этом если между выражениями стоят	знаки	> или < , то неравенства называют строгими , а если в них используются знаки > или < , то неравенства называют нестрогими .
При этом если между выражениями стоят знаки > или < , то неравенства называют строгими , а если в них используются	знаки	> или < , то неравенства называют нестрогими .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение :	знаки	обозначают соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
Так , возвести в квадрат следующие трехчлены можно фактически устно ( не забывая учитывать в формуле	знаки	членов трехчлена ) .
5 При возведении в степень разности ( а минус b)n поставить перед первым одночленом знак « плюс » , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать	знаки	« плюс » , « минус » до последнего одночлена .
А при возведении в n - ю степень разности двух выражений	знаки	« плюс » и « минус » будут чередоваться , начиная с « плюс » , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени .
Если выражения содержат только числа ,	знаки	арифметических действий и скобки , задающие порядок этих действий , то их называют числовыми .
Вспомним , что ранее мы пользовались простыми правилами раскрытия скобок , перед которыми стоят	знаки	« + » и « - » , но не обосновывали их .
Теперь вычитание многочлена ( -а2 плюс 3ab ) из многочлена ( а2 - 4а b плюс b2 ) мы можем свести к действию сложения , поменяв в многочлене - вычитаемом все	знаки	на противоположные .
Значит , все	знаки	исходного многочлена меняются в нем на противоположные .
Аналогично при	знаки	х и у всегда различны , поэтому график данной функции располагается во II и IV координатных четвертях .
Можно заметить также , что в формуле куба разности при указанной записи итогового многочлена	знаки	его членов чередуются : сначала « плюс » , затем « минус » и так далее .
Рассмотрим алгебраическую сумму , в которой перед слагаемыми стоят как знаки « + » , так и	знаки	« — » .
Определите	знаки	k u b , если график линейной функции расположен в следующих четвертях координатной плоскости : а ) в I , II и III четвертях ; в ) в I , III и IV четвертях ; б ) в I , II и IV четвертях ; г ) во II , III и IV четвертях .
Правило 1 Если в алгебраической сумме перед скобкой стоит знак « + » , то после раскрытия скобок	знаки	слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
Здесь перед скобкой стоит знак « + » и множитель 3 , поэтому	знаки	слагаемых мы менять не будем , просто умножим каждое из них на 3 .
Расположение графика функции на координатной плоскости зависит от знака коэффициента k. Так , если , то	знаки	соответствующих значений х и у всегда одинаковы , поэтому график располагается в I и III координатных четвертях .
В соответствии с сочетательным законом сложения мы можем теперь убрать скобки , и	знаки	слагаемых при этом не изменятся .
Правило 2 Если в алгебраической сумме перед скобкой стоит знак « - » , то после раскрытия скобок	знаки	слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
А значит , если бы мы с самого начала просто убрали скобки , то	знаки	слагаемых не изменились бы , что и требовалось доказать .
2 Если перед скобкой стоит знак « - » , то после раскрытия скобок	знаки	слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
Например , в первую группу объединим первый и второй члены многочлена , а во вторую — третий и четвертый ( при этом если перед вторыми скобками мы поставим знак « минус » , то не забудем поменять	знаки	слагаемых в скобках на противоположные ) .
Отметим , что	знаки	препинания и пробелы в шифровках обычно не ставятся .
6 Для каждого числового промежутка записать и решить исходное уравнение без	знаков	модуля .
При этом в каждом из этих неравенств левая часть сравнивается с 0 с помощью	знаков	> , < , > , < .
Подобно тому , как дар слова обогащает нас мнениями других , так язык математических	знаков	служит средством еще более совершенным , более точным и ясным .
Теперь запишем в клетках таблицы по строчкам , начиная со второй строки , буквы шифруемого текста без пропусков и	знаков	препинания .
Математика есть наука о бесконечном , ее целью является постижение человеком , который конечен , бесконечного с помощью	знаков	.
Теперь для каждого числового промежутка запишем и решим уравнение , равносильное исходному и не содержащее	знаков	модуля .
6 Для каждого числового промежутка записать и решить исходное неравенство без	знаков	модуля .
6 Теперь для каждого числового промежутка запишем и решим неравенство без	знаков	модуля , равносильное исходному .
166 Не меняя	знаков	, расставьте скобки так , чтобы равенство стало тождеством .
Решите уравнение , содержащее переменную под	знаком	модуля .
Если же , то выражение под	знаком	модуля может принимать значения с и -с .
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого модуля — самому выражению , содержащемуся под	знаком	модуля , или выражению , противоположному ему .
Используя таблицу частоты появления букв в текстах , расшифруйте высказывание немецкого философа Вильгельма Гумбольдта , если известно , что оно зашифровано шифром замены и	знаком	обозначена буква О , а символом С — буква А .
Рассмотрим теперь неравенства , в которых под	знаком	модуля стоит не х , а выражение вида .
самому выражению , содержащемуся под	знаком	модуля , или выражению , противоположному ему .
1 Под	знаком	модуля находятся выражения .
1 Найти в уравнении все выражения , содержащиеся под	знаком	модуля .
сначала надо выделить числовые промежутки , на которых выражения под	знаком	модуля не меняют свой знак , а затем найти решения неравенств на каждом из выделенных промежутков .
1 Найти в неравенстве все выражения , содержащиеся под	знаком	модуля .
При решении таких уравнений сначала выделяют промежутки , на которых выражения под	знаком	модуля не меняют свой знак , а затем уже ищут решения на каждом из выделенных промежутков .
И наоборот , если в записи одночлена имеются только буквенные множители , то его коэффициент , соответственно стоящему перед ним	знаку	, считают равным либо 1 , либо -1 .
Нам известно также , что произведение нескольких дробей равно дроби , в числителе которой стоит произведение числителей исходных дробей , а в	знаменателе	- произведение их знаменателей .
В периоде три цифры , поэтому в	знаменателе	записываем три девятки .
в	знаменателе	записать цифру девять столько раз , сколько цифр в периоде , и после девяток записать столько нулей , сколько цифр между запятой и первым периодом .
Правило 1 Чтобы конечную десятичную дробь представить в виде обыкновенной , можно записать эту дробь в числителе , отбросив запятую , а в	знаменателе	записать единицу со столькими нулями , сколько цифр справа от запятой .
Следовательно , в числителе и	знаменателе	рассматриваемой нами дроби мы можем выполнить следующие преобразования .
2 Произведение нескольких дробей можно записать как единую дробь , числитель которой равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель - произведению их	знаменателей	.
Нам известно также , что произведение нескольких дробей равно дроби , в числителе которой стоит произведение числителей исходных дробей , а в знаменателе - произведение их	знаменателей	.
Запишем полученное произведение , представляя целое число или отдельную букву в виде дроби со	знаменателем	1 .
Если на некотором шаге деления числителя m этой дроби на	знаменатель	n получится остаток 0 , то дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Значит , наше исходное выражение равно дроби , в которой числитель и	знаменатель	имеют общий множитель 9х - 4у , отличный от 0 .
Представим частное в виде дроби и сократим n раз ее числитель и	знаменатель	на общий множитель а : что и требовалось доказать .
2 Произведение нескольких дробей можно записать как единую дробь , числитель которой равен произведению числителей исходных дробей , а	знаменатель	- произведению их знаменателей .
Для того чтобы возвести в степень дробь , можно возвести в эту степень отдельно числитель и	знаменатель	дроби .
Умножим обе части данного уравнения на число 30 — наименьший общий	знаменатель	всех входящих в уравнение дробей .
Чтобы выполнить перевод , можно привести обыкновенную дробь к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей , либо разделить числитель обыкновенной дроби на ее	знаменатель	.
Если	знаменатель	несократимой обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , то в результате деления числителя на знаменатель получится бесконечная десятичная дробь .
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , то в результате деления числителя на	знаменатель	получится бесконечная десятичная дробь .
3 Если числитель и	знаменатель	дроби имеют общий множитель , отличный от нуля , то дробь на него можно сократить .
561 Приведите дроби к общему	знаменателю	.
Чтобы выполнить перевод , можно привести обыкновенную дробь к	знаменателю	вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей , либо разделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель .
Все положительные числа являются решениями неравенства Приведите дроби к общему	знаменателю	.
Приведите дроби к общему	знаменателю	.
б ) Какое рациональное число нужно прибавить к числителю и	знаменателю	дроби , чтобы она стала равна ? .
Правило 2 Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной , если в разложении на простые множители	знаменателя	обыкновенной дроби нет множителей , отличных от 2 и 5 .
числитель меньше	знаменателя	; 8) произведение двух чисел ; 9 )
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше	знаменателя	.
Вычислите средний арифметический вес семиклассников в этой школе , наибольшее и наименьшее	значение	их веса , размах в указанном числовом наборе .
14 Найдите	значение	выражения .
11 Прочитайте выражение и найдите его	значение	.
448 Найдите	значение	выражения при данных значениях переменных : при а равно 11,7 .
	Значение	выражения меньше или равно значению выражения .
6 Найдите	значение	выражения .
4 Назовите основание и показатель степени , вычислите	значение	выражения .
446 Докажите , что	значение	выражения .
728 Найдите	значение	выражения .
606 Найдите	значение	выражения .
338 Найдите ( устно )	значение	выражения а2 минус b2 , если известно , что .
Теперь подставим в исходное выражение вместо скобок вычисленное	значение	.
1 Запишите решение задачи в виде буквенного выражения и найдите его	значение	для .
335 Докажите , что при любом целом р	значение	выражения делится на а .
Сначала вычислим	значение	выражения в скобках .
15 а ) Найдите	значение	выражения х1 плюс х2 плюс х3 плюс х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 .
Найдите	значение	выражения у1 - 2у2 плюс 3у3 - 4у4 плюс 5у5 если у равно 1 , у равно -1 , у равно 2 .
Найдите	значение	зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной .
451 Докажите , что при любом целом q	значение	выражения делится на а .
33 Учитель дал ученикам задание написать , используя три раза цифру 2 , числовое выражение ,	значение	которого будет как можно более большим .
Найдите	значение	выражения b1 плюс 2 b 2 плюс 3b3 плюс 4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 .
Найдите	значение	выражения а1 - а2 плюс а3 - а4 плюс а5 , если а равно 2 , а равно 0 , а равно -1 .
1 ) значение у при х , равном а ; 2 )	значение	х при у , равном b , если .
28 Найдите	значение	выражения .
24 Найдите	значение	выражения .
342 Найдите	значение	выражения .
675 Докажите , что	значение	выражения не зависит от значений переменных .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых	значение	зависимой переменной у равно -5 ? .
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно	значение	каждого модуля — самому выражению , содержащемуся под знаком модуля , или выражению , противоположному ему .
2 Выбрать некоторое значение х . 3 Вычислить	значение	.
454 Найдите	значение	выражения а3 плюс b3 , если известно , что .
453 Найдите	значение	выражения а3 минус b3 , если известно , что .
2 Выбрать некоторое	значение	х . 3 Вычислить значение .
671 Найдите	значение	выражения .
Вычислите	значение	выражения .
утроенное	значение	выражения не больше значения выражения .
Для прямой пропорциональной зависимости найдите : 1 )	значение	у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b ,
Для прямой пропорциональной зависимости найдите : 1 ) значение у при х , равном а ; 2 )	значение	х при у , равном b ,
2 )	значение	х при у , равном , если .
и )	значение	выражения равно значению выражения .
значение выражения на 8 больше значения выражения . з )	значение	выражения равно 5 .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых	значение	зависимой переменной у равно -18 ? .
	Значение	выражения на 8 больше значения выражения . з ) значение выражения равно 5 .
540 Найдите	значение	выражения .
е )	значение	выражения на 11 меньше значения выражения .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых	значение	зависимой переменной у равно 3 ? .
	Значение	выражения в 6 раз меньше значения выражения .
	Значение	выражения в 5 раз больше значения выражения .
Найдите	значение	зависимой переменной для указанных значений независимой переменной а .
б )	значение	выражения равно значению выражения .
а )	значение	выражения равно 9 .
Найдите . 1 )	значение	у при х , равном а .
	Значение	х при у , равном b ,
	Значение	выражения на 8 больше значения выражения . л ) значение выражения на 12 меньше значения выражения .
1 )	значение	у при х , равном а .
Теперь подставим в него указанное	значение	переменной х .
значение выражения на 8 больше значения выражения . л )	значение	выражения на 12 меньше значения выражения .
разность значений выражений меньше 5 . д ) удвоенное	значение	выражения не меньше значения выражения .
332 Найдите	значение	выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях переменных .
а ) значение выражения больше 4 . б )	значение	выражения меньше или равно ( -6 ) .
а )	значение	выражения больше 4 . б ) значение выражения меньше или равно ( -6 ) .
Теперь вычислим	значение	площади при 0 меньше а меньше 10 , b равно 5 , с равно 3 ( см ) .
Например , чтобы построить график функции , можно взять значение , найти соответствующее	значение	, а затем провести прямую через полученную точку ( 4 ; -2 ) и начало координат .
Наименьшее	значение	.
345 Найдите наибольшее	значение	выражения .
Заметим , что проведенные преобразования выражения для площади позволили не только упростить вычисления , но и в принципе решить эту задачу , поскольку	значение	переменной а в условии не дано .
Например , чтобы построить график функции , можно взять	значение	, найти соответствующее значение , а затем провести прямую через полученную точку ( 4 ; -2 ) и начало координат .
Функция задана формулой , показывающей , как для каждого значения х из области ее определения вычислить соответствующее	значение	у .
Наибольшее	значение	.
Найдите значение аргумента , при котором	значение	функции равно у1 у2 и у3 .
Найдите	значение	выражения 2х(х минус 3 ) - х2(5 - х ) - ( х3 - 3х2 плюс 6х ) 01 при X равно .
Поскольку при умножении любого числа положительных чисел получается положительное число , то	значение	степени будет положительным , что и требовалось доказать . .
Постройте график функции и определите по графику , как изменяется	значение	функции у , когда : а ) х возрастает от 2 до 5 ; в ) х убывает от 3 до -2 ; б ) х убывает от 1 до -1 ; г ) х возрастает от -3 до 4 .
А значит , мы не смогли бы вычислить	значение	выражения 4с умножить ( а плюс 26 ) минус 2с умножить 2а прямой подстановкой в него значений переменных .
При каких значениях х	значение	у равно нулю , больше нуля , меньше нуля ? .
346 Найдите наименьшее	значение	выражения .
655 Найдите	значение	выражения .
77 Найдите	значение	выражения .
82 Найдите	значение	выражения .
83 а ) Найдите	значение	выражения .
Запишите его в стандартном виде и найдите его	значение	при данных значениях букв .
367 Найдите наименьшее	значение	выражения .
366 Найдите наибольшее	значение	выражения .
Зависимости между величинами , которые позволяют однозначно определять	значение	искомой величины , занимают среди всех других зависимостей особое место , так как помогают , например , осуществлять планирование , давать прогноз поведения различных величин в тех или иных условиях .
Запишите следующие выражения и найдите их	значение	при .
364 Докажите , что при любом целом р	значение	выражения делится на а .
Используя график функции , найти ее	значение	в некоторой точке х можно следующим образом .
б )	значение	выражения на 7 меньше значения выражения .
Таким образом , фактически устно мы получили , что при всех значениях m , n и k ( в том числе и при указанных в условии )	значение	данного выражения будет равно 0 .
И так как каждому значению t из области определения ставится в соответствие единственное	значение	s из области ее значений , то данная зависимость является функцией .
618 Найдите	значение	выражения .
734 Найдите	значение	выражения при указанных значениях переменных .
Мы брали некоторое конкретное	значение	t мин ( 5 мин , 12 мин , 20 мин и т . д. ) , затем , пользуясь правилом , умножали t мин на 50 м / мин и получали искомое значение s м ( 250 м , 600 м , 1000 мит .
Определите , можно ли записать данное выражение , как одночлен и найдите его	значение	при n равно -48 , m равно -0,32 , k равно 5,6 .
129 Приведите пример трехчлена с одной переменной х ,	значение	которого .
Следовательно ,	значение	многочлена будет равно алгебраической сумме , состоящей из нулей и свободного члена , и поэтому равно свободному члену , что и требовалось доказать .
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 0 , то	значение	многочлена равно его свободному члену .
А поскольку многочлен является алгебраической суммой своих членов , то его	значение	будет равно алгебраической сумме всех его коэффициентов , что и требовалось доказать .
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 1 , то	значение	многочлена равно алгебраической сумме всех его коэффициентов .
Найти	значение	многочлена 4n5 плюс 3n2 минус 8 , если .
При решении разнообразных задач нам часто приходится вычислять	значение	многочлена при известных значениях входящих в него переменных .
Шаг 5 Вычислим искомое	значение	длины прямоугольника .
а )	значение	выражения равно 6 . б )
	Значение	выражения равно 11 .
в )	значение	выражения равно значению выражения . г ) значение выражения противоположно значению выражения .
в ) значение выражения равно значению выражения . г )	значение	выражения противоположно значению выражения .
а )	значение	выражения на 12 больше значения выражения .
128 Найдите одно	значение	переменной , при котором значение многочлена равно А .
128 Найдите одно значение переменной , при котором	значение	многочлена равно А .
б )	значение	выражения на 2 меньше значения выражения .
Мы брали некоторое конкретное значение t мин ( 5 мин , 12 мин , 20 мин и т . д. ) , затем , пользуясь правилом , умножали t мин на 50 м / мин и получали искомое	значение	s м ( 250 м , 600 м , 1000 мит .
Например , метеорологические приборы автоматически регистрируют	значение	температуры в каждый заданный момент времени суток .
а )	значение	выражения на 3 больше значения выражения .
146 Найдите одно	значение	переменной , при котором значение многочлена равно А .
502 Найдите	значение	выражения рациональным способом .
Найдите	значение	этого выражения .
44 Докажите , что если к , т , n е N , то	значение	указанного выражения не зависит от значения переменной .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых	значение	зависимой переменной у равно 5 ? .
626 Найдите	значение	выражения .
Для того чтобы их построить , отметим на горизонтальной оси дни недели , в которые подсчитывалась выручка магазина , а на вертикальной —	значение	выручки в эти дни .
731 Определите степень , старший и свободный члены многочлена и найдите его	значение	при указанных значениях переменных .
Запишем их все вместе и зафиксируем	значение	величины , которое требуется найти .
112 Найдите	значение	выражения .
1 )	значение	у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если .
Найдите по графику : 1 ) значение у при х , равном а ; 2 )	значение	х при у , равном b , если .
Найдите по графику : 1 )	значение	у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если .
516 Найдите	значение	выражения .
521 Найдите	значение	выражения .
5 Установим для всех числовых промежутков , чему равно	значение	каждого модуля .
Найдите	значение	выражения при данных значениях переменных .
И для каждого х из области ее определения существует и единственное соответствующее	значение	у , которое мы можем вычислить по формуле , задающей функцию .
65 Найдите	значение	выражения .
Если k 0 , то при всех значениях х	значение	у 0 .
146 Найдите одно значение переменной , при котором	значение	многочлена равно А .
В этой книге он предлагает новые способы решения задач , имеющих большое практическое	значение	.
Поэтому для того , чтобы легче было производить действия с одночленами , вычислять их	значение	при известных значениях входящих в них букв , договорились записывать одночлены в так называемом стандартном виде .
Теперь найдем соответствующее ему	значение	у.
Для этого подставим	значение	х 7 в уравнение .
Найденное	значение	у удовлетворяет условиям , заданным в математической модели .
Тем не менее , если в течение некоторых промежутков времени данные величины k и b все же сохраняют свое постоянное	значение	, процесс на каждом из этих промежутков остается линейным , и поэтому он может быть описан целиком так называемой кусочно - линейной функцией .
г )	значение	выражения больше значения выражения .
б )	значение	выражения равно -5 .
476 Докажите , что	значение	выражения а ) 683 минус 243 делится на 11 . б ) 3263 плюс 543 делится на 38 .
Решение . 1 ) Для того чтобы определить	значение	температуры в августе 2000 г. , находим в таблице строку , соответствующую 2000 г. , и находим столбец , соответствующий августу .
Сравнивая значения температур в таблице , определяем , что наибольшее среднемесячное	значение	температуры было равно +25 ° С. Такая температура была в июне 1999 г. и в июле 2002 г. А наименьшее значение -12 ° С было в декабре 2002 г .
Сравнивая значения температур в таблице , определяем , что наибольшее среднемесячное значение температуры было равно +25 ° С. Такая температура была в июне 1999 г. и в июле 2002 г. А наименьшее	значение	-12 ° С было в декабре 2002 г .
Положить новое	значение	С равным произведению C1 и найденного ранее С .
494 Найдите	значение	выражения рациональным способом .
496 Докажите , что	значение	выражения кратно а .
а )	значение	выражения равно 3 .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых	значение	зависимой переменной у равно -6 ? .
Найдите	значение	аргумента , при котором значение функции равно у1 у2 и у3 .
551 Найдите	значение	выражения .
282 Найдите	значение	выражения , если известно , что .
Указать правило f , по которому каждому элементу сопоставляется единственное	значение	функции у .
390 Найдите	значение	выражения при данных значениях переменных .
Искомое	значение	х должно удовлетворять каждому из составленных соотношений .
281 Найдите	значение	выражения а2 плюс b2 плюс с2 , если известно , что .
а )	значение	выражения 4а - 9 больше 5 . б ) значение выражения меньше 11 .
418 Найдите	значение	выражения при данных значениях переменных .
В данной задаче в таблице весов также обращает на себя внимание	значение	44 кг , так как в отличие от других значений веса оно встречается чаще всего — у 14 учащихся .
279 Найдите наибольшее	значение	выражения .
278 Найдите наименьшее	значение	выражения .
а ) значение выражения 4а - 9 больше 5 . б )	значение	выражения меньше 11 .
	Значение	выражения в 3 раза меньше значения выражения .
427 При каких значениях переменной у	значение	выражения равно с ? .
391 Найдите	значение	выражения .
762 Найдите	значение	выражений .
41 Составьте выражение и найдите его	значение	при .
417 При каких значениях переменной х	значение	выражения равно а ? .
в )	значение	выражения в 7 раз больше значения выражения .
б )	значение	выражения на 6 больше значения выражения .
Упростите выражение при допустимых значениях переменных и найдите его	значение	.
306 Найдите	значение	выражения , если известно , что .
В рассмотренной нами выше задаче для каждого натурального значения x мы можем найти соответствующее	значение	стоимости покупки .
576 Найдите	значение	выражения .
302 Найдите	значение	выражения при данных значениях переменных .
303 Пользуясь полученными в задании 5 таблицами умножения , найдите одно	значение	х , такое , что .
Найдите значение аргумента , при котором	значение	функции равно 1 , 3 , -2 .
592 Найдите	значение	выражения .
441 Найдите	значение	буквенного выражения при указанных значениях букв .
309 Найдите	значение	выражения : .
Определите по графику , при каких значениях х	значение	у равно нулю , больше нуля , меньше нуля .
Найдите	значение	выражения а3 минус b3 , если известно , что а минус равно 4 и а b равно -2,5 .
319 Зайдите	значение	выражения .
а )	значение	выражения на 2 меньше значения выражения .
Найдите	значение	выражения а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -7 и аb равно 6,5 .
Найдите его	значение	при указанных значениях переменных .
414 Составьте по два числовых выражения ,	значение	каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 ) сложения ; 2 ) вычитания ; 3 ) умножения ; 4 ) сложения , вычитания и умножения .
	Значение	выражения t на 5 больше значения выражения .
Действительно , найдем	значение	этих функций в произвольной точке х0 .
з ) удвоенное	значение	выражения 3 t — 5 меньше или равно утроенному значению выражения .
Поэтому в статистике для наборов чисел вводятся и другие характеристики : наибольшее и наименьшее	значение	набора чисел , размах набора чисел .
Найдите	значение	выражения а3 минус b3 , если известно , что а минус b равно 5и ab равно -4,6 .
удвоенное	значение	выражения 7 — у не меньше значения выражения .
а ) значение выражения больше 11 . б )	значение	выражения меньше 8 .
Решение : Наименьшее	значение	веса семиклассников равно 35 кг , наибольшее — 55 кг , а размах числового набора равен разности между наибольшим и наименьшим значением , то есть 20 кг .
263 Найдите	значение	выражения при данных значениях переменных .
в )	значение	выражения больше или равно значению выражения .
Таким образом , размах дает представление о разбросе числовых данных , то есть показывает максимальное	значение	, на которое числа в некотором наборе отличаются друг от друга .
Поскольку	значение	у зависит от х , а х мы выбираем произвольно из области определения , то х — это независимая переменная , или , как говорят иначе , аргумент функции , а у — зависимая переменная .
715 Найдите	значение	выражения при указанных значениях переменных .
Значит ,	значение	данного выражения равно ( 1 + 1000 ) + ( 2 + 999 ) + ( 3 + 998 ) + .. + ( 500 + 501 ) = 1001 • 500 = 500 500 .
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е )	значение	выражения больше утроенного значения выражения .
Например , чтобы найти	значение	суммы 1 + 2 + 3 + .. + 1000 , мы не станем складывать подряд все числа от 1 до 1000 , а заметим , что суммы 1 + 1000 , 2 + 999 , 3 + 998 и т.д. равны между собой и что имеется всего 500 таких сумм .
394 а ) Найдите	значение	выражения а3 плюс b3 , если известно , что а плюс b равно -6 и ab равно 3,5
401 Найдите	значение	выражения .
а )	значение	выражения равно 12 . б ) значение выражения равно значению выражения .
а )	значение	выражения больше 11 . б ) значение выражения меньше 8 .
Найдите ее	значение	в точках х1 , х2 и х3 .
756 Найдите	значение	выражения при данных значениях переменных .
223 Найдите	значение	выражения при указанных значениях переменных .
Поэтому вычислить точное	значение	вероятности такого случайного события удается достаточно редко .
При каких значениях переменной	значение	выражения .
е )	значение	выражения 5z на 4 меньше значения выражения .
404 Найдите	значение	выражения .
То есть такие выражения , которые при подстановке любых допустимых значений входящих в них букв будут давать одинаковое числовое	значение	.
426 Найдите	значение	выражения если .
	Значение	выражения у в 7 раз меньше значения выражения .
При положительных k и х данное равенство показывает , что при увеличении ( уменьшении ) значения х в несколько раз	значение	у увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
Используя эти законы при преобразованиях алгебраических сумм , мы можем моментально найти	значение	, например , такого выражения .
269 Найдите	значение	выражения а2 плюс b2 , если известно , что .
	Значение	выражения 7х в 6 раз больше значения выражения .
237 Найдите	значение	выражения при указанных значениях переменных .
в )	значение	выражения противоположно значению выражения .
а ) значение выражения равно 12 . б )	значение	выражения равно значению выражения .
270 Найдите	значение	выражения х2 плюс если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно	значение	каждого модуля .
5 Выпишем определение модуля каждого из выражений и установим для всех числовых промежутков , чему равно	значение	модуля .
702 Найдите	значение	выражения при указанных значениях переменных .
Найдите	значение	буквенного выражения при указанных значениях букв .
Определите по графику , при каких значениях х	значение	у больше нуля , равно нулю , меньше нуля .
	Значение	выражения равно 3 .
Как по графику функции найти	значение	коэффициента k ? .
466 Найдите	значение	буквенного выражения при указанных значениях букв .
Найдите ее	значение	в точках .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если	значение	аргумента увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается )	значение	функции , если значение аргумента увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций .
Найдите ее	значение	в точках Составьте таблицу значений функции .
567 Найдите	значение	выражения .
Можно задать функцию , указав все значения независимой переменной и для каждого из них — соответствующее	значение	зависимой переменной .
644 Рациональным способом найдите	значение	выражения .
642 Найдите	значение	выражения .
г )	значение	выражения больше или равно значению выражения .
Найдите	значение	выражения .
Найдите	значение	величины зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной .
Пусть областью определения функции f является множество и каждому значению сопоставлено	значение	у , указанное в соответствующем столбце таблицы .
Таким образом , для каждого значения существует и единственное соответствующее	значение	у .
Найдите значение аргумента , при котором	значение	функции равно у1 , у2 и у3 .
Найдите	значение	аргумента , при котором значение функции равно у1 , у2 и у3 .
Найдите	значение	аргумента , при котором значение функции равно 1 , 3 , -2 .
782 Найдите	значение	выражения .
503 Найдите	значение	буквенного выражения при указанных значениях букв .
781 Найдите наибольшее	значение	выражения .
а )	значение	выражения меньше значения выражения .
780 Найдите наименьшее	значение	выражения .
191 Найдите	значение	выражения при указанных значениях переменных .
Найдите значение аргумента , при котором	значение	функции равно y1 , у2 и у3 .
650 Докажите , что	значение	выражения не зависит от значений переменных .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется значение функции , если	значение	аргумента увеличивается на 2 , уменьшается на 1 .
Найдите	значение	аргумента , при котором значение функции равно y1 , у2 и у3 .
480 Найдите	значение	буквенного выражения при указанных значениях букв .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется	значение	функции , если значение аргумента увеличивается на 2 , уменьшается на 1 .
а )	значение	выражения равно 31 . б )
494 При каких значениях переменной х	значение	выражения равно а ? .
204 Найдите	значение	выражения при указанных значениях переменных .
560 Найдите	значение	выражения .
а )	значение	выражения больше 6 . б ) значение выражения меньше 12 .
Найдите наибольшее	значение	выражения .
2 Вычислить	значение	.
Найдите наименьшее	значение	выражения .
Найдите : 1 ) значение у при х , равном а ; 2 )	значение	х при у , равном b , если .
777 Найдите	значение	выражения если известно , что .
3 Вычислить	значение	.
Чтобы найти	значение	суммы , можно переместиться по числовой окружности от точки 5 на 2 единицы в направлении отсчета .
а ) значение выражения больше 6 . б )	значение	выражения меньше 12 .
Найдите : 1 )	значение	у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b , если .
в )	значение	выражения меньше или равно значению выражения .
Найдите	значение	выражения х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
На их пересечении мы получаем необходимую для нас информацию : в августе 2000 г. среднемесячная температура воздуха была равна +19 ° С . 2 ) Для того чтобы определить , в какие месяцы среднемесячная температура воздуха была равна +14 ° С , находим все клетки таблицы со	значением	температуры , равным +14 ° С , и определяем , на пересечении какого столбца и какой строки они находятся .
Для этого проводят испытание достаточно много раз , вычисляют частоту появления случайного события , которая и будет являться приближенным	значением	вероятности этого события .
Решение : Наименьшее значение веса семиклассников равно 35 кг , наибольшее — 55 кг , а размах числового набора равен разности между наибольшим и наименьшим	значением	, то есть 20 кг .
При каком	значении	х указанные равенства не имеют смысла ? .
При каком	значении	а уравнение имеет корень , равный .
Такую статистическую характеристику , дающую представление о наиболее часто встречающемся в числовом наборе	значении	, также бывает важно знать .
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление значения многочлена свелось к нахождению алгебраической суммы его коэффициентов , а при нулевом	значении	переменной оно равно свободному члену .
Поэтому по значению вероятности случайного события мы можем сделать предположение о приблизительном	значении	частоты его появления в серии испытаний , и наоборот .
Имеет ли неравенство решения при указанном	значении	а ? .
87 При каком	значении	m верно равенство .
Неравенство верно при любом	значении	х. Значит , решением исходного неравенства является вся числовая прямая .
При каком	значении	а уравнение имеет корень .
49 При каком	значении	n верно равенство .
Полученное уравнение верно при любом	значении	х.
При каком	значении	а уравнение будет иметь корни ? .
Имеет ли уравнение корни при указанном	значении	а ? .
Докажите , что при указанном	значении	а неравенство имеет не менее десяти решений .
Задайте эту функцию таблицей	значений	от -4 до 4 ( с шагом , равным 1 ) и формулой .
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность	значений	выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения .
Примерами таких неравенств являются верные и неверные числовые неравенства , а также неравенства , верные или неверные для любых	значений	входящих в них букв .
8 Если на х и у наложены ограничения , то определить множество	значений	, которые может принимать k .
Итак , отличительной особенностью функциональной зависимости ( функции ) является то , что для каждого элемента из ее области определения 1 ) существует и 2 ) единственный соответствующий элемент из области ее	значений	.
2 Указать множество Y , являющееся областью	значений	.
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении	значений	выражений , решении уравнений и неравенств , доказательстве тождеств .
Это решение будет зависеть от	значений	k и с. При этом возможны три случая .
Укажите область определения и область	значений	для этой зависимости .
Найдите ее область определения и область	значений	.
Теперь из уравнения для указанных	значений	х найдем соответствующие им значения у .
3 Убедиться в том , что каждому элементу из области определения X поставлен в соответствие некоторый элемент из области	значений	Y ( существование ) .
сумма	значений	выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения .
4 Убедиться в том , что в области определения X нет элементов , которым поставлено в соответствие более одного элемента из области	значений	У ( единственность ) .
Найдите область определения и область	значений	этой функции .
70 Изобразите на координатной прямой множество	значений	х , для которых .
Поскольку одночлены и многочлены часто встречаются в математических моделях практических задач , то установленные приемы действий с ними помогают в упрощении полученных моделей , при нахождении	значений	выражений , решении уравнений и неравенств .
Расположите эти выражения в порядке возрастания их	значений	.
9 Если множество	значений	k конечно , то для каждого значения k найти соответствующие значения х и у .
линейная функция , область определения которой состоит из всех	значений	t , удовлетворяющих неравенству .
Найдите ее значение в точках Составьте таблицу	значений	функции .
Отметьте цветным карандашом на оси Ох область определения , а на оси Оу — область	значений	данной функции .
Областью ее	значений	являются все значения s , удовлетворяющие неравенству .
А значит , мы не смогли бы вычислить значение выражения 4с умножить ( а плюс 26 ) минус 2с умножить 2а прямой подстановкой в него	значений	переменных .
Таким образом , все полученные результаты решения неравенств в зависимости от	значений	k и с представим в таблице .
То есть такие выражения , которые при подстановке любых допустимых	значений	входящих в них букв будут давать одинаковое числовое значение .
Выберите из предложенных зависимостей между переменными у и х линейные функции , запишите их в виде и определите коэффициенты k и b. Найдите область определения и область	значений	этих функций .
Найдите область определения и область	значений	этой зависимости .
1 Найти области	значений	переменных .
При этом процессы , которые описывает данная функция , характеризовались двумя постоянными величинами k и b , которые не меняли своих	значений	на всей области определения линейной функции ( множестве всех известных нам чисел ) .
В таблице	значений	некоторой линейной функции два из пяти значений заданы неверно .
На основании установленных в данном пункте правил 1 и 2 мы можем для всех допустимых	значений	х и у записать .
Укажите область определения и область значений этой зависимости для указанных	значений	а .
В таблице значений некоторой линейной функции два из пяти	значений	заданы неверно .
Задайте данную функцию с помощью : а ) таблицы	значений	от -3 до 3 с шагом 1 ; б ) графика функции .
А так как модуль числа всегда больше или равен нулю , то областью	значений	Y этой функции являются все известные нам неотрицательные числа .
Представьте полученные результаты в таблице в зависимости от	значений	k и с .
Укажите область определения и область	значений	этой зависимости для указанных значений а .
И так как каждому значению t из области определения ставится в соответствие единственное значение s из области ее	значений	, то данная зависимость является функцией .
Множество X при этом называется областью определения , а множество Y — областью	значений	данной функции .
650 Докажите , что значение выражения не зависит от	значений	переменных .
Буквой х обозначают произвольный элемент области определения X , буквой у — соответствующий ему элемент области	значений	У , а буквой f — правило , устанавливающее соответствие между х и у .
Для этого составим таблицу соответствующих	значений	переменных X и у .
Определить множество	значений	, которые могут принимать неизвестные величины .
Если область определения явно не указана , то мы будем считать , что функция задана для всех допустимых значений х , то есть тех	значений	х , при которых указанная формула имеет смысл .
м ) произведение	значений	выражений и больше или равно ( -12 ) .
Если область определения явно не указана , то мы будем считать , что функция задана для всех допустимых	значений	х , то есть тех значений х , при которых указанная формула имеет смысл .
л ) сумма	значений	выражений и меньше ( -30 ) .
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили множество	значений	, которые могут принимать неизвестные величины ; проверили , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим уравнением ; зафиксировали искомую величину .
Так , указанное множество	значений	переменной х не может быть описано уравнением , но может быть описано неравенствами .
Расположение графика функции на координатной плоскости зависит от знака коэффициента k. Так , если , то знаки соответствующих	значений	х и у всегда одинаковы , поэтому график располагается в I и III координатных четвертях .
к ) разность	значений	выражений и неотрицательна .
В таблице	значений	некоторой линейной функции два значения из пяти заданы неверно .
разность	значений	выражений меньше 5 . д ) удвоенное значение выражения не меньше значения выражения .
сумма	значений	выражений и меньше 17 . е ) разность значений выражений и больше 29 .
Найдите область определения и область	значений	этих зависимостей .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область	значений	состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
Таким образом , в зависимости от	значений	k и b уравнение имеет следующие корни .
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть величину второго угла . Определяем множество	значений	, которые могут принимать неизвестные величины .
Функция определена ( или задана ) , если нам известно правило соответствия и множество	значений	переменной , к которому это правило надо применять .
сумма значений выражений и меньше 17 . е ) разность	значений	выражений и больше 29 .
Укажите ее область определения и область	значений	.
Задайте данную функцию с помощью : а ) словесного описания ; б ) таблицы	значений	от -3 до 3 с шагом 1 . ( Шагом называют разность между двумя соседними значениями аргумента . ) .
Найдите значение зависимой переменной для указанных	значений	независимой переменной а .
Используя таблицы , постройте графики этих функций для указанных	значений	х .
сумма значений выражений не больше 20 . е ) разность	значений	выражений не меньше 8 .
В данной задаче в таблице весов также обращает на себя внимание значение 44 кг , так как в отличие от других	значений	веса оно встречается чаще всего — у 14 учащихся .
Полученные нами формулы квадрата суммы и квадрата разности для положительных	значений	а и b ( а больше b ) можно проиллюстрировать геометрически .
Составьте таблицу	значений	функции .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью	значений	прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
675 Докажите , что значение выражения не зависит от	значений	переменных .
сумма	значений	выражений меньше или равна -6 . д ) разность значений выражений не меньше 12 ? .
Чему равно множество	значений	каждой из этих функций ?
Задайте эту функцию : а ) таблицей	значений	от -4 до 4 с шагом , равным 1 ; б ) словесным описанием ; в ) формулой .
сумма значений выражений меньше или равна -6 . д ) разность	значений	выражений не меньше 12 ? .
Найдите область определения и область	значений	каждой функции .
сумма	значений	выражений не больше 20 . е ) разность значений выражений не меньше 8 .
в ) значение выражения равно	значению	выражения . г ) значение выражения противоположно значению выражения .
г ) значение выражения больше или равно	значению	выражения .
значение выражения меньше или равно	значению	выражения .
в ) значение выражения меньше или равно	значению	выражения .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному	значению	х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции .
Найденная ордината будет равна	значению	функции в точке х. Например , на графике , представленном выше .
з ) удвоенное значение выражения 3 t — 5 меньше или равно утроенному	значению	выражения .
в ) значение выражения противоположно	значению	выражения .
в ) значение выражения равно значению выражения . г ) значение выражения противоположно	значению	выражения .
а ) значение выражения равно 12 . б ) значение выражения равно	значению	выражения .
в ) значение выражения больше или равно	значению	выражения .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему	значению	функции .
Пусть областью определения функции f является множество и каждому	значению	сопоставлено значение у , указанное в соответствующем столбце таблицы .
Поэтому по	значению	вероятности случайного события мы можем сделать предположение о приблизительном значении частоты его появления в серии испытаний , и наоборот .
б ) значение выражения равно	значению	выражения .
И так как каждому	значению	t из области определения ставится в соответствие единственное значение s из области ее значений , то данная зависимость является функцией .
которого равна соответствующему	значению	зависимой величины .
и ) значение выражения равно	значению	выражения .
Мы уже знаем , что величина , которая может принимать различные числовые	значения	, называется переменной величиной .
сумма значений выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного	значения	выражения .
716 Сравните	значения	числовых выражений .
удвоенное значение выражения 7 — у не меньше	значения	выражения .
Рассмотрим частные случаи функции , когда k и ( или ) b принимают	значения	, равные нулю .
741 Сравните	значения	выражений .
Определите их	значения	в точках хг х2 и х3 . а ) Всем четным числам поставлено в соответствие число 3 , а всем нечетным числам — число ( -3 ) .
Табличный способ задания функции удобен тем , что соответствующие	значения	х и у можно определить сразу , без дополнительных усилий .
9 Если множество значений k конечно , то для каждого значения k найти соответствующие	значения	х и у .
9 Если множество значений k конечно , то для каждого	значения	k найти соответствующие значения х и у .
Найдите три	значения	x , таких , что .
452 Сравните	значения	числовых выражений .
б ) значение выражения на 2 меньше	значения	выражения .
При каких значениях переменной равны	значения	указанных выражений ? .
Возможные	значения	переменной t в мин образуют некоторое множество Т. При этом t не может принимать любые значения .
Так , в приведенных выше уравнениях	значения	k и b равны .
Однако далеко не всегда при поиске целых решений таких уравнений удается выполнить второй шаг — отыскать все возможные	значения	какой - либо из переменных .
Значит , переменная х может принимать лишь следующие	значения	.
В таблице значений некоторой линейной функции два	значения	из пяти заданы неверно .
10 Сравните	значения	выражений .
1 Отметить на горизонтальной оси	значения	независимой величины .
481 Найдите допустимые	значения	переменных и докажите тождества .
Преобразуя выражения и вычисляя их	значения	, мы , естественно , стремимся сделать свои действия максимально простыми и удобными .
250 а ) Найдите	значения	выражений .
22 Длина прямоугольника равна 17 см. Какие	значения	может принимать ширина этого прямоугольника , если его периметр меньше периметра прямоугольника , длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
а ) значение выражения на 2 меньше	значения	выражения .
При положительных k и х данное равенство показывает , что при увеличении ( уменьшении )	значения	х в несколько раз значение у увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
322 а ) Найдите	значения	выражений рациональным способом .
Такие	значения	переменных называют решениями неравенства .
е ) значение выражения на 11 меньше	значения	выражения .
Найдите значение выражения х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные	значения	.
654 Докажите , что многочлен принимает только неотрицательные	значения	при любых числовых значениях переменных .
Возможные значения переменной t в мин образуют некоторое множество Т. При этом t не может принимать любые	значения	.
Областью ее значений являются все	значения	s , удовлетворяющие неравенству .
1 Выбрать два различных	значения	х : хг и х2 .
Если , то равенство не может быть выполнено ни для одного	значения	с , так как слева стоит нуль , а справа - не нуль .
Значит , решениями неравенства будут все	значения	х из интервала .
значение выражения в 5 раз больше	значения	выражения .
Ведь тем самым мы укажем все	значения	переменной , при которых неравенство истинно .
Используя данную формулу зависимости между р и q , вычислите	значения	р для данных q . 1 ) Зависимости между множествами X и У заданы приведенными ниже схемами .
Сравнивая	значения	температур в таблице , определяем , что наибольшее среднемесячное значение температуры было равно +25 ° С. Такая температура была в июне 1999 г. и в июле 2002 г. А наименьшее значение -12 ° С было в декабре 2002 г .
Теперь найдем	значения	х и у , соответствующие найденным значениям k .
Существуют ли	значения	независимой переменной х , при которых значение зависимой переменной у равно -6 ? .
Разделив обе части данного неравенства на 4 , получим х. И так как по условию х , то х может принимать лишь целые	значения	из промежутка .
Аналогичным образом изображаются числа , сравнимые по любому модулю m , только окружность делится соответственно на m равных частей , и около каждой точки деления против часовой стрелки последовательно расставляются возможные	значения	остатков : 0 , 1 , 2 , .. , m - 1 .
Запишите их в виде и определите	значения	k и 6 . 1 )
Следовательно , решениями неравенства будут все	значения	х из интервала .
Существуют ли	значения	независимой переменной х , при которых значение зависимой переменной у равно -18 ? .
Эти	значения	неизвестных называют корнями уравнения .
если . Найдите	значения	выражений .
значение выражения в 6 раз меньше	значения	выражения .
Существуют ли	значения	независимой переменной х , при которых значение зависимой переменной у равно 3 ? .
Переменная s в метрах при этом принимает	значения	из некоторого множества .
а ) значение выражения на 12 больше	значения	выражения .
315 Найдите два	значения	х , для которых верно данное сравнение .
Найдите ее	значения	в точках x1 , х2 и х3
Записать выбранные	значения	х и вычисленные значения у как упорядоченные пары — координаты точек , принадлежащих графику .
И тогда появляется необходимость найти те	значения	переменных , при подстановке которых неравенство превращается в истинное высказывание .
18 Сравните	значения	величин .
Заметив , что для выполнения этого равенства число а должно быть больше 5 , последовательно перебираем все возможные	значения	а и b.
Найдите неверные	значения	и исправьте их .
779 Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные	значения	.
Если же , то выражение под знаком модуля может принимать	значения	с и -с .
Таким образом , для каждого	значения	существует и единственное соответствующее значение у .
2 Отметить на вертикальной оси соответствующие	значения	зависимой величины .
558 Сравните	значения	числовых выражений .
Так , например , она не дает представлений о том , в каких пределах изменяются	значения	исследуемой величины .
а ) значение выражения на 3 больше	значения	выражения .
Записать выбранные значения х и вычисленные	значения	у как упорядоченные пары — координаты точек , принадлежащих графику .
66 Найдите все натуральные	значения	x , удовлетворяющие равенствам .
значение выражения t на 5 больше	значения	выражения .
277 Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только неотрицательные	значения	.
В одной координатной плоскости постройте графики линейных функций : Для каждой функции определите	значения	коэффициентов k и b .
Мы видим , что заданные	значения	а , b и с удовлетворяют условию а больше 0 , b больше 0 , с больше 0 .
Сравните	значения	числовых выражений .
Сравните	значения	величин .
504 Найдите допустимые	значения	переменных и докажите тождества .
Для каждого числового промежутка выбрать два	значения	х , принадлежащих ему .
На координатной плоскости Оху для каждого	значения	х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции .
значение выражения на 8 больше	значения	выражения . л ) значение выражения на 12 меньше значения выражения .
783 Сравните ( устно )	значения	числовых выражений .
214 Отметьте на числовой прямой все	значения	х , для которых .
Во всех этих примерах мы можем точно и однозначно находить конкретные	значения	переменных величин с помощью изученных нами формул — в данном случае формул пути , стоимости , работы .
Обоснуйте свой ответ ; б ) Сравните	значения	числовых выражений .
Вычислить	значения	у , соответствующие выбранным значениям х . 4 )
365 Сравните	значения	выражений .
Действительно , при увеличении	значения	х оба множителя в левой части увеличиваются , а при уменьшении х вплоть до значения оба множителя уменьшаются .
Действительно , при увеличении значения х оба множителя в левой части увеличиваются , а при уменьшении х вплоть до	значения	оба множителя уменьшаются .
Функция задана формулой , показывающей , как для каждого	значения	х из области ее определения вычислить соответствующее значение у .
значение выражения на 8 больше значения выражения . л ) значение выражения на 12 меньше	значения	выражения .
Быстро определить наибольшие и наименьшие	значения	величин , сравнить данные в разные периоды времени , а также ответить на многие аналогичные вопросы .
Теперь из уравнения для указанных значений х найдем соответствующие им	значения	у .
Требуется найти величины каждого из трех углов треугольника , то есть	значения	.
300 Найдите два	значения	х , для которых верно данное сравнение .
770 Найдите все натуральные	значения	х , удовлетворяющие равенствам .
Величина угла треугольника может принимать только положительные	значения	, меньшие 180 ° , значит .
305 Найдите все	значения	х , при которых .
Так как все полученные	значения	у являются неотрицательными целыми числами , то все найденные пары х и у являются решениями нашей задачи .
148 Сравните	значения	числовых выражений .
575 Сравните	значения	числовых выражений .
значение выражения в 3 раза меньше	значения	выражения .
137 Сравните	значения	числовых выражений .
Найдите	значения	х , при которых .
Найдите все	значения	х , удовлетворяющие равенству .
Какие	значения	может принимать .
значение выражения на 8 больше	значения	выражения . з ) значение выражения равно 5 .
б ) значение выражения на 6 больше	значения	выражения .
4 ) Аналогичным образом выбираем из таблицы	значения	температуры больше +20 ° С и определяем соответствующие год и месяц : июнь 1999 г. и июль 1999 - 2003 гг .
А так как . Сравните	значения	величин .
При каких	значения	b график функции проходит через точку А ? .
Вычислите ее	значения	в точках 26 , 70 , -1 , 12 , -8 .
Например , можем ли мы , не вычисляя	значения	самой степени , определить знак числа или числа ( -56,799)329 ?
значение выражения 7х в 6 раз больше	значения	выражения .
307 Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные	значения	.
в ) значение выражения в 7 раз больше	значения	выражения .
и ) сумма	значения	выражения и числа ( -1 ) неположительна .
710 При каких значениях переменной равны	значения	выражений ? .
В рассмотренной нами выше задаче для каждого натурального	значения	x мы можем найти соответствующее значение стоимости покупки .
754 Найдите	значения	выражений рациональным способом .
з ) разность	значения	выражения и числа 7 положительна .
утроенное значение выражения не больше	значения	выражения .
3 Вычислить соответствующие	значения	второй переменной .
Функция задана словесным описанием , найдите ее	значения	в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
410 Прочитайте выражения и вычислите их	значения	при указанных значениях букв ( устно ) .
703 Сравните	значения	числовых выражений .
е ) значение выражения 5z на 4 меньше	значения	выражения .
разность значений выражений меньше 5 . д ) удвоенное значение выражения не меньше	значения	выражения .
2 Используя свойства делимости , найти все возможные	значения	одной из переменных .
3 Для каждого	значения	независимой величины построить столбик , высота .
б ) значение выражения на 7 меньше	значения	выражения .
275 Найдите все	значения	х , при которых .
44 Докажите , что если к , т , n е N , то значение указанного выражения не зависит от	значения	переменной .
Не проводя вычислений , сравните	значения	числовых выражений .
Ведь мы не можем перебрать все рациональные числа и убедиться в том , что оба выражения дают одинаковые числовые	значения	.
значение выражения у в 7 раз меньше	значения	выражения .
Найдите	значения	полученных выражений для чисел : а ) 8 и 2 ; б ) -4 и 3 ; в ) 7 и -5 ; г ) -9 и -6 .
Но почему при замене исходного выражения другим , новым выражением мы были уверены , что	значения	их равны ?
26 Сравните	значения	выражений .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых	значения	величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
Существуют ли	значения	независимой переменной х , при которых значение зависимой переменной у равно 5 ? .
630 Найдите все натуральные	значения	х , удовлетворяющие равенствам .
2 Выбираем для каждого промежутка Т1 , Т2 и Т3 принадлежащие ему два	значения	t .
Существуют ли	значения	независимой переменной х , при которых значение зависимой переменной у равно -5 ? .
382 Отметьте на числовой прямой все	значения	х , для которых .
Например , если в рассмотренном выше уравнении значения х и у должны принадлежать промежуткам , где х , у Z , то k может принимать лишь целые	значения	, удовлетворяющие следующим неравенствам .
Поскольку многочлен уже записан в стандартном виде , подставим в него данные	значения	переменной п .
Если	значения	всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 0 , то значение многочлена равно его свободному члену .
Выберем для каждого числового промежутка Х1 и Х2 по два принадлежащих ему	значения	х .
После этого , используя свойства уравнения и найденное решение , можно будет выразить	значения	х и у через некоторую единую переменную величину ( обозначаемую , например , k ) , принимающую целые значения .
611 Найдите все натуральные	значения	х , удовлетворяющие равенствам .
Найдите	значения	выражения .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные	значения	— натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
Определите коэффициент пропорциональности данной зависимости и найдите недостающие в таблице	значения	.
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут решениями уже не при всех целых значениях k. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и найти все возможные значения k. После этого для каждого найденного	значения	k надо найти соответствующие значения х и у .
Найдите	значения	полученных выражений для чисел .
Поэтому при решении задач мы , например , можем легко найти	значения	величин по общему правилу нахождения неизвестного множителя .
739 Сравните	значения	величин .
Например , если в рассмотренном выше уравнении	значения	х и у должны принадлежать промежуткам , где х , у Z , то k может принимать лишь целые значения , удовлетворяющие следующим неравенствам .
г ) значение выражения больше	значения	выражения .
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут решениями уже не при всех целых значениях k. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и найти все возможные	значения	k. После этого для каждого найденного значения k надо найти соответствующие значения х и у .
289 Найдите три	значения	х , таких , что .
Если , то уравнение не имеет решений , так как модуль числа не может принимать отрицательные	значения	.
Тем самым мы вычисляем наибольшее и наименьшее	значения	и размах числового набора .
3 Вычислим	значения	функции s(t ) в выбранных точках .
Значит ,	значения	всех членов многочлена при единичных значениях переменных будут равны их коэффициентам .
32 а ) Найдите	значения	числовых выражений А и В .
Если	значения	всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 1 , то значение многочлена равно алгебраической сумме всех его коэффициентов .
Найдите допустимые	значения	переменных и докажите тождество .
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление	значения	многочлена свелось к нахождению алгебраической суммы его коэффициентов , а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену .
Поэтому все	значения	переменных х и у , удовлетворяющие данному ограничению , и будут допустимыми значениями .
463 Сравните	значения	числовых выражений .
Ведь далеко не всегда	значения	длины , площади , объема , массы , времени , температуры и т.д. выражаются натуральными числами .
все	значения	а , при которых неравенство истинно при .
Можно задать функцию , указав все	значения	независимой переменной и для каждого из них — соответствующее значение зависимой переменной .
а ) значение выражения меньше	значения	выражения .
Найдите все	значения	х , удовлетворяющие неравенству .
Подставляя затем вместо k в зависимости x и у от k все возможные целые	значения	k , получим все целые решения исходного уравнения .
Значит , при подстановке в многочлен вместо переменных нуля	значения	всех его членов ( кроме свободного ) будут равны 0 .
3 Вычислим	значения	у , соответствующие выбранным значениям х .
Найдите три	значения	х , таких , что .
467 Найдите допустимые	значения	переменных и докажите тождества .
Найдите все	значения	х , удовлетворяющие уравнению .
Найдите все	значения	а , при которых неравенство истинно при .
После этого , используя свойства уравнения и найденное решение , можно будет выразить значения х и у через некоторую единую переменную величину ( обозначаемую , например , k ) , принимающую целые	значения	.
Такая зависимость может быть записана с помощью единой формулы , где х и у — соответствующие	значения	независимой и зависимой величин , а число k называется коэффициентом пропорциональности .
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут решениями уже не при всех целых значениях k. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и найти все возможные значения k. После этого для каждого найденного значения k надо найти соответствующие	значения	х и у .
280 Найдите три	значения	х , таких , что .
Решить уравнение — это значит найти все	значения	входящих в него неизвестных , при которых равенство становится тождеством .
91 Сравните	значения	выражений .
343 Сравните	значения	выражений .
На практике вычисление среднего арифметического , наибольшего и наименьшего	значения	, размаха и моды наборов чисел мы производим очень часто .
Вычислить значения у , соответствующие выбранным	значениям	х . 4 )
3 Вычислим значения у , соответствующие выбранным	значениям	х .
Теперь найдем значения х и у , соответствующие найденным	значениям	k .
( Шагом называют разность между двумя соседними	значениями	аргумента . ) .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными	значениями	могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
Мы знаем , что столбчатая диаграмма показывает зависимость между	значениями	величин с помощью высоты столбиков .
Поэтому все значения переменных х и у , удовлетворяющие данному ограничению , и будут допустимыми	значениями	.
Что касается круговых диаграмм , то они показывают зависимость между	значениями	величин с помощью величин центральных углов круга .
Задайте данную функцию с помощью : а ) словесного описания ; б ) таблицы значений от -3 до 3 с шагом 1 . ( Шагом называют разность между двумя соседними	значениями	аргумента . ) .
756 Найдите значение выражения при данных	значениях	переменных .
391 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
757 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
И поскольку неотрицательное число всегда больше отрицательного , то данное неравенство верно при любых	значениях	х.
416 При каких	значениях	переменных имеют смысл выражения .
495 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут решениями уже не при всех целых	значениях	k. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и найти все возможные значения k. После этого для каждого найденного значения k надо найти соответствующие значения х и у .
417 При каких	значениях	переменной х значение выражения равно а ? .
Запишите его в стандартном виде и найдите его значение при данных	значениях	букв .
Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных и найдите его значение .
332 Найдите значение выражения при данных	значениях	переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях переменных .
448 Найдите значение выражения при данных	значениях	переменных : при а равно 11,7 .
Найдите значение зависимой переменной при указанных	значениях	независимой переменной .
508 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
При каких	значениях	переменной истинно неравенство ? .
310 Упростите выражения при допустимых	значениях	переменных .
3 При рациональных	значениях	переменных запишите буквенное выражение короче , используя понятие степени .
466 Найдите значение буквенного выражения при указанных	значениях	букв .
Но есть неравенства , которые при одних	значениях	переменных истинны , а при других ложны .
При каких	значениях	переменной равны значения указанных выражений ? .
При каких	значениях	переменной указанные равенства являются истинными высказываниями ? .
111 Выполните указанные действия ( при допустимых	значениях	переменных ) и докажите , что в результате их получится одночлен .
191 При каких	значениях	переменных данные выражения имеют смысл ?
42 Запишите выражение в виде степени при допустимых	значениях	переменных .
Упростите их при допустимых	значениях	переменных .
43 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
307 Докажите , что данный многочлен при любых	значениях	входящих в него букв принимает только положительные значения .
710 При каких	значениях	переменной равны значения выражений ? .
493 Определите , при каких	значениях	переменных имеют смысл выражения .
477 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
464 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных , вынося при необходимости за скобки общий множитель .
332 Найдите значение выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
191 Найдите значение выражения при указанных	значениях	переменных .
730 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
702 Найдите значение выражения при указанных	значениях	переменных .
223 Найдите значение выражения при указанных	значениях	переменных .
в ) неравенство верно при всех	значениях	переменной . г ) неравенство не имеет решений .
410 Прочитайте выражения и вычислите их значения при указанных	значениях	букв ( устно ) .
Поэтому для того , чтобы легче было производить действия с одночленами , вычислять их значение при известных	значениях	входящих в них букв , договорились записывать одночлены в так называемом стандартном виде .
Найдите значение буквенного выражения при указанных	значениях	букв .
101 Выполните указанные действия над одночленами ( при допустимых	значениях	переменных ) и докажите , что в результате их получится одночлен .
623 Какой знак неравенства надо поставить вместо , чтобы в результате получилось неравенство , верное при всех	значениях	переменной ? .
495 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
220 Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой прямой с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных	значениях	переменных .
Представьте выражение в виде степени с показателем , отличным от 1 , при целых	значениях	переменных .
43 Составьте буквенное выражение для нахождения неизвестного числа и найдите его при данных	значениях	букв .
Следовательно , данное неравенство не имеет решений ни при каких	значениях	х .
287 Упростите выражения при допустимых	значениях	переменных .
445 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
б ) При каких	значениях	у удвоенное произведение двучленов у плюс 5 и у минус 5 меньше суммы их квадратов на 9у ? .
Найдите значение выражения при данных	значениях	переменных .
462 Определите , при каких	значениях	переменных имеют смысл выражения .
654 Докажите , что многочлен принимает только неотрицательные значения при любых числовых	значениях	переменных .
Если равенство с переменными не является тождеством , то оно верно лишь при некоторых	значениях	букв .
Значит , данное неравенство верно при всех	значениях	х .
При каких	значениях	х значение у равно нулю , больше нуля , меньше нуля ? .
61 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
613 Сократите дроби при допустимых	значениях	переменных .
72 Упростите выражение при допустимых	значениях	величин .
Мы получили , что исходное сложное выражение при всех	значениях	х и у равно 1 .
Тогда при неотрицательных	значениях	с данное неравенство не будет иметь решений , а при отрицательных — его решением будет любое число .
549 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
Определите по графику , при каких	значениях	х значение у равно нулю , больше нуля , меньше нуля .
734 Найдите значение выражения при указанных	значениях	переменных .
548 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
86 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
441 Найдите значение буквенного выражения при указанных	значениях	букв .
463 Определите при допустимых	значениях	переменных , во сколько раз ? .
461 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
77 Запишите выражение в виде степени при допустимых	значениях	переменных .
Таким образом , фактически устно мы получили , что при всех	значениях	m , n и k ( в том числе и при указанных в условии ) значение данного выражения будет равно 0 .
78 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменной .
503 Найдите значение буквенного выражения при указанных	значениях	букв .
Значит , при указанных	значениях	переменных фигура существует .
51 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
213 Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой прямой с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных	значениях	переменных .
Если k 0 , то при всех	значениях	х значение у 0 .
571 Сократите дроби при допустимых	значениях	переменных .
Таким образом , мы получили , то есть при всех допустимых	значениях	переменных х и у , верно равенство , что и требовалось доказать . .
426 При каких	значениях	переменных имеют смысл выражения .
427 При каких	значениях	переменной у значение выражения равно с ? .
Сократите дроби при допустимых	значениях	переменных .
390 Найдите значение выражения при данных	значениях	переменных .
В тождествах с переменными вместо знака часто используют знак для того чтобы подчеркнуть , что данное равенство верно при всех	значениях	переменных .
При каких	значениях	переменной истинно неравенство .
Но прежде убедимся , что при данных	значениях	переменных указанная фигура существует .
Значит , значения всех членов многочлена при единичных	значениях	переменных будут равны их коэффициентам .
Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных ( n N ) .
362 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
517 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
63 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
460 Найдите числа , обратные данным при допустимых	значениях	переменных .
277 Докажите , что данный многочлен при любых	значениях	входящих в него букв принимает только неотрицательные значения .
418 Найдите значение выражения при данных	значениях	переменных .
731 Определите степень , старший и свободный члены многочлена и найдите его значение при указанных	значениях	переменных .
Найдите его значение при указанных	значениях	переменных .
419 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
200 При каких	значениях	переменных данные выражения имеют смысл ?
122 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
Выражение в скобках при любых	значениях	входящих в него букв является не которым числом .
302 Найдите значение выражения при данных	значениях	переменных .
Найдите значение выражения х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых	значениях	входящих в него букв принимает только положительные значения .
494 При каких	значениях	переменной х значение выражения равно а ? .
480 Найдите значение буквенного выражения при указанных	значениях	букв .
Определите , при каких	значениях	переменных имеет смысл выражение .
Найдите значение величины зависимой переменной при указанных	значениях	независимой переменной .
Линейным уравнением с одним неизвестным х называется уравнение , которое при всех	значениях	х может с помощью равносильных преобразований быть представлено в виде , где k , b — некоторые числа .
478 Используя равносильные преобразования , упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
449 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
204 Найдите значение выражения при указанных	значениях	переменных .
При каких	значениях	b график функции проходит через данную точку ? .
263 Найдите значение выражения при данных	значениях	переменных .
Определите по графику , при каких	значениях	х значение у больше нуля , равно нулю , меньше нуля .
При каких	значениях	переменной .
178 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
604 Сократите дроби при допустимых	значениях	переменных .
450 При допустимых	значениях	переменных докажите тождество .
779 Докажите , что данный многочлен при любых	значениях	входящих в него букв принимает только положительные значения .
600 Какой знак неравенства надо поставить вместо , чтобы в результате получилось неравенство , верное при всех	значениях	переменной ? .
Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
Докажите , что данное неравенство будет истинным при любых	значениях	переменной .
477 Определите , при каких	значениях	переменных имеют смысл выражения .
При решении разнообразных задач нам часто приходится вычислять значение многочлена при известных	значениях	входящих в него переменных .
Равенства , справедливые при любых	значениях	входящих в них букв , называют тождествами .
476 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
587 Сократите дроби при допустимых	значениях	переменных .
Итак , пользуясь правилами равносильных преобразований , мы фактически доказали , что при всех допустимых	значениях	переменных ( a , b , с , d ) верно равенство .
При каких	значениях	переменной значение выражения .
При каких	значениях	переменной указанные неравенства являются истинными высказываниями ? .
Докажите , что неравенство верно при всех	значениях	переменной .
237 Найдите значение выражения при указанных	значениях	переменных .
371 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
264 Сократите дробь при допустимых	значениях	переменных .
б ) При каких	значениях	у удвоенное произведение двучленов у плюс 7 и 7 минус у меньше суммы их квадратов на 14у ! .
657 а ) При каких	значениях	х произведение двучленов х плюс 3 и х минус 3 меньше суммы их квадратов на 28 ? .
715 Найдите значение выражения при указанных	значениях	переменных .
672 Сократите дроби при допустимых	значениях	переменных .
643 Сократите дроби при допустимых	значениях	переменных .
170 Упростите выражение при допустимых	значениях	переменных .
Если равенство верно при любых	значениях	входящих в него букв или если это верное числовое равенство , то его называют тождеством .
а ) При каких	значениях	х произведение двучленов х плюс 4 и х минус 4 меньше суммы их квадратов на 52 ? .
В магазине 640 наименований компьютерных	игр	.
Какой процент составляют квесты от общего числа компьютерных	игр	этого магазина ? .
Математика — всего лишь	игра	, в которую играют согласно простым правилам ..
Сколько стоила компьютерная	игра	, если ее стоимость больше 140 р . , но меньше 160 р . ? .
Оказалось , что он выбрал а дисков с компьютерными	играми	, а дисков с музыкой — на 5 больше .
Сколько денег Миша должен заплатить в кассу магазина , если диски с компьютерными	играми	стоили b рублей за штуку , а диски с музыкой были на 50 рублей дешевле ? .
Понятие простого числа может оказаться очень полезным , например , при разработке выигрышной стратегии в следующей	игре	.
при	игре	в моментальную лотерею .
при	игре	в моментальную лотерею . д ) А : Наташа угадала одну из 34 цифр , загаданную ее подругой .
В	игре	участвуют двое .
Все три буквы , х , у и f , объединяют единой записью которая читается как «	игрек	равно эф от икс » .
50 Несколько школьников ; вложив поровну денег , выбрали компьютерную	игру	и решили ее купить .
Баринов , Ермаков и киевлянин - любители играть в теннис , а туляк терпеть не может эту	игру	.
Например , играя в шашки , шахматы или какую - нибудь компьютерную	игру	, требуется выбирать ходы , ведущие к выигрышу .
е ) Если все игры — компьютерные и некоторые компьютерные	игры	- не стратегии , значит , некоторые игры - не стратегии .
Если все компьютерные игры интересные и некоторые интересные вещи любимы школьниками , то некоторые любимые школьниками вещи - компьютерные	игры	. г ) Если все яхты плавают в море и некоторые плавающие в море предметы не имеют парусов , значит , некоторые яхты не имеют парусов .
Если все компьютерные	игры	интересные и некоторые интересные вещи любимы школьниками , то некоторые любимые школьниками вещи - компьютерные игры . г ) Если все яхты плавают в море и некоторые плавающие в море предметы не имеют парусов , значит , некоторые яхты не имеют парусов .
Например , автопилот самолета всегда проще человека — пилота , а компьютерная имитация игры в футбол проще реальной	игры	.
Стратегия	игры	.
г ) На празднике по поводу окончания учебного года концерт занял 2/7 всего праздника , праздничная дискотека — праздника ,	игры	на улице — 1/4 часть праздника , а оставшееся время было посвящено поздравлению школьников .
е ) Если все	игры	— компьютерные и некоторые компьютерные игры - не стратегии , значит , некоторые игры - не стратегии .
Например , автопилот самолета всегда проще человека — пилота , а компьютерная имитация	игры	в футбол проще реальной игры .
е ) Если все игры — компьютерные и некоторые компьютерные игры - не стратегии , значит , некоторые	игры	- не стратегии .
Все три буквы , х , у и f , объединяют единой записью которая читается как « игрек равно эф от	икс	» .
Про	иррациональные	числа мы пока еще ничего не знаем - не умеем выполнять действия с ними , сравнивать их , но они нам уже встречались .
Про	иррациональные числа	мы пока еще ничего не знаем - не умеем выполнять действия с ними , сравнивать их , но они нам уже встречались .
А если мы вычислим длину диагонали квадрата со стороной 1 , то получим число 1,4142135 .. , также являющееся	иррациональным	.
Такие непериодические бесконечные десятичные дроби назвали	иррациональными	, то есть « нерациональными » , числами .
Но , прежде чем изучать свойства	иррациональных	чисел , нам надо разобраться с основными свойствами рациональных чисел и научиться уверенно выполнять все действия с ними .
Например , известное нам число пи = 3,14159265 .. , выражающее отношение длины окружности к ее диаметру , является одним из примеров	иррациональных	чисел .
Например , известное нам число пи = 3,14159265 .. , выражающее отношение длины окружности к ее диаметру , является одним из примеров	иррациональных чисел	.
Но , прежде чем изучать свойства	иррациональных чисел	, нам надо разобраться с основными свойствами рациональных чисел и научиться уверенно выполнять все действия с ними .
Зашифруйте с его помощью высказывание известного английского физика Уильяма Грове : истинная наука не знает ни симпатий , ни антипатий : единственная цель её —	истина	.
Истина	истине	не может противоречить .
Зашифруйте с его помощью высказывание известного итальянского ученого Джордано Бруно : стремление к	истине	— единственное занятие , достойное героя .
Стремиться найти	истину	— заслуга , даже если на этом пути и блуждаешь .
Совершенный образ	истины	- это таблица умножения , точная и достоверная , свободная от всех влияний времени .
Действительно , если система аксиом некоторой математической теории такова , что в результате логических рассуждений может быть получено , что одно и то же утверждение одновременно верно и неверно , то поиск	истины	с помощью этой теории теряет смысл .
Аксиомы в современной математике - это не безусловные	истины	, как иногда принято считать .
б ) Чему равна вероятность того , что первая же карта , вытащенная из обычной карточной колоды , содержащей 36	карт	, окажется : 1 ) дамой ; 2 ) пиковой масти ; 3 ) дамой , королем или тузом ? .
б ) Чему равна вероятность того , что первая же	карта	, вытащенная из обычной карточной колоды , содержащей 36 карт , окажется : 1 ) дамой ; 2 ) пиковой масти ; 3 ) дамой , королем или тузом ? .
Что	касается	неравенств с несколькими модулями , то способ их решения аналогичен способу , который мы использовали при решении уравнений с модулями .
Что же	касается	современного производства , то именно точность прогнозирования во многом определяет его результативность и конкурентоспособность .
Что же	касается	числа нуль , то оно возникло тогда , когда потребовалось показать отсутствие единиц определенного разряда в некотором числе , например 101 , 10 001 и т.д .
Что	касается	круговых диаграмм , то они показывают зависимость между значениями величин с помощью величин центральных углов круга .
Что же	касается	числа 0 , то оно может быть записано и в виде обыкновенной , и в виде периодической десятичной дроби .
Выполните классификацию множества точек Т по их принадлежности	квадрантам	координатной плоскости .
265 а ) Сколько	квадрантов	имеет координатная плоскость ?
Как по координатам точки , не выполняя построений , определить , какому	квадранту	она принадлежит ? .
Не выполняя построения , определите , какому	квадранту	принадлежит каждый элемент множества Т. Постройте данные точки и проверьте свой ответ .
в )	квадрат	суммы чисел c и d больше или равен 25 . г ) разность кубов чисел х и у меньше или равна 32 .
Из квадрата со стороной а вырежем	квадрат	со стороной b.
б ) Расположите числа 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 в клетках квадрата размером так , чтобы	квадрат	стал магическим .
647 Докажите , что а ) если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них , то получится	квадрат	большего из этих чисел .
Умножим , например , сумму двух выражений на	квадрат	их разности .
Для этого заметим , что слагаемое можно записать как удвоенное произведение и числа Теперь , добавляя и вычитая из исходного многочлена ( квадрат числа ) , выделяем полный	квадрат	.
673 Разложите трехчлен на множители , выделяя полный	квадрат	.
2 ) Для чисел вида	квадрат	равен .
82 Возведите выражения а ) в	квадрат	.
Для этого возведем в	квадрат	несколько различных двучленов .
а ) Сколькими способами можно раскрасить	квадрат	, состоящий из четырех одинаковых клеток различного цвета , если имеется 5 красок ? .
Можно найти натуральное число ,	квадрат	которого больше 30 .
А это означает , что	квадрат	этого числа при делении на 3 дает остаток 1 , то квадрат этого числа равен .
в ) если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное , то их произведение делится на 24 . г )	квадрат	нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1 .
Для того чтобы разложить многочлен х2 минус 2х минус 24 на множители , выделим полный	квадрат	.
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г )	квадрат	разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Неполный	квадрат	. разности . суммы .
	Квадрат	суммы двух чисел ; 3 ) разность квадратов двух чисел ; 4 ) квадрат разности двух чисел .
Запишите	квадрат	суммы а и b как многочлен стандартного вида .
296 Представьте трехчлен как	квадрат	двучлена .
Мы видим , что	квадрат	определяется как прямоугольник с особыми свойствами .
Чтобы выяснить , можно ли составить из указанных чисел магический	квадрат	, установим ограничения , которые накладывает на данные числа это условие .
250 Возведите двучлены в	квадрат	.
а )	квадрат	произведения чисел 5 , квадрата числа а , куба числа b . б ) произведение кубов чисел 3 , х , у , 2 , г .
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный	квадрат	их суммы .
Таким образом , мы видим , что полученные нами формулы сокращенного умножения помогают существенно упростить как возведение двучленов в	квадрат	, так и самые различные вычисления .
д )	квадрат	суммы чисел 6 , r , s , t . е ) сумма квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы чисел а , b и с . з ) сумма пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
Формулы квадрата суммы и разности хороши , в частности , тем , что позволяют сразу записать результат возведения в	квадрат	любого двучлена .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс	квадрат	второго выражения .
а ) квадрат суммы а и b . б ) сумма квадратов а и b . в ) квадрат разности с и d . г ) разность квадратов c и d . д )	квадрат	суммы х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
Возведите двучлены в	квадрат	.
а )	квадрат	двучлена 3х плюс 2 на 21 больше квадрата двучлена 3х минус 5 . б )
Для доказательства этой гипотезы возведем в	квадрат	двучлен , пользуясь правилом умножения многочленов .
Решите уравнение , выделяя полный	квадрат	.
Сформулируйте правила возведения в	квадрат	суммы и разности двух выражений и сравните свои формулировки с правилами на стр. 52 - 53 учебника .
256 Запишите трехчлен как	квадрат	двучлена .
а )	квадрат	любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное .
Нарисуйте	квадрат	с длиной стороны а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата суммы , выведите формулу квадрата разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
а ) квадрат суммы а и b . б ) сумма квадратов а и b . в )	квадрат	разности с и d . г ) разность квадратов c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
А это означает , что квадрат этого числа при делении на 3 дает остаток 1 , то	квадрат	этого числа равен .
квадрат суммы двух чисел ; 3 ) разность квадратов двух чисел ; 4 )	квадрат	разности двух чисел .
а ) Если к произведению двух целых чисел , одно из которых на 2 больше другого , прибавить 1 , то получится точный	квадрат	.
292 Возведите двучлен в	квадрат	.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный	квадрат	их разности .
а ) Расположите числа 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 в клетках квадрата размером так , чтобы	квадрат	стал магическим .
а ) Окружность - это не	квадрат	. б ) У квадрата все углы равны .
Доказать , что	квадрат	любого целого числа либо кратен 3 , либо при делении на 3 дает остаток 1 .
Выясним , например , есть ли какие - то закономерности при умножении двух одинаковых двучленов или , что то же самое , при возведении их в	квадрат	.
	Квадрат	двучлена 2х минус 6 в 4 раза меньше квадрата двучлена 4х минус 8 .
Для этого заметим , что слагаемое можно записать как удвоенное произведение и числа Теперь , добавляя и вычитая из исходного многочлена (	квадрат	числа ) , выделяем полный квадрат .
Если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них , то получится	квадрат	большего числа .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на	квадрат	второго , плюс куб второго выражения .
Разложите многочлен на множители , выделяя полный	квадрат	.
При этом результат возведения двучлена а плюс b в	квадрат	не изменится , если вместо а и b мы подставим любые числа или вообще любые выражения .
648 Разложите трехчлен на множители , выделяя полный	квадрат	.
Так , мы видели , что при возведении двучлена а плюс b в	квадрат	получаются слагаемые с буквенной частью , при возведении в куб — слагаемые с буквенной частью .
Так , возвести в	квадрат	следующие трехчлены можно фактически устно ( не забывая учитывать в формуле знаки членов трехчлена ) .
Для того чтобы возвести в	квадрат	любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
743 Возведите двучлены в	квадрат	.
После вынесения за скобки числа 7 в скобках остается	квадрат	суммы двух выражений , а и 2b .
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро возводить в квадрат двучлены , но и устно возводить в	квадрат	числа , причем не только целые , но и дробные .
Следовательно , если натуральное число , большее 1 , не делится ни на одно простое число ,	квадрат	которого меньше него , то рассматриваемое число - простое .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на	квадрат	второго , минус куб второго выражения .
а )	квадрат	двучлена 2х плюс 5 на 120 больше квадрата двучлена 2х минус 7 . б ) квадрат двучлена 5х минус 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x : плюс 6 .
Расположите числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8 в клетках квадрата размером так , чтобы	квадрат	стал магическим .
Это правило обобщает те закономерности , которые мы наблюдали при возведении двучлена в	квадрат	и в куб .
Правило возведения в	квадрат	натурального числа , оканчивающегося на 5 .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс	квадрат	второго выражения .
744 Представьте трехчлен как	квадрат	двучлена .
Какой остаток при делении на 8 дает	квадрат	нечетного числа ? .
Если мы прибавим к нему , а затем вычтем число 1 , то выражение не изменится , но в нем можно будет выделить полный	квадрат	.
Какой остаток при делении на 3 дает его	квадрат	? .
Представьте трехчлен как	квадрат	двучлена .
б ) Если ни один	квадрат	рационального числа не отрицательный , то ни одно отрицательное число — не квадрат .
Полученная формула позволяет упростить возведение в	квадрат	любых трехчленов .
а ) Расположите числа 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 в клетках квадрата размером 3 х 3 так , чтобы	квадрат	стал магическим .
Правила возведения в	квадрат	натурального числа , оканчивающегося на 5 . вычислений со степенями .
Значит , у любого составного числа всегда имеется отличный от 1 делитель ,	квадрат	которого меньше самого числа .
272 Возведите трехчлен в	квадрат	.
Возведем число 10x плюс 5 в	квадрат	, используя формулу суммы квадратов .
в ) Существуют рациональные числа ,	квадрат	суммы которых равен квадрату их разности .
Значит , в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее произведение : Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем сократим полученную дробь и возведем ее в	квадрат	.
б ) Расположите числа 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 в клетках квадрата размером так , чтобы	квадрат	стал магическим .
215 Профессор Спейс пообещал Драко открыть великую тайну , если тот составит чудесный	квадрат	размером 3 на 3 из чисел 1 , 0 , -1 так , чтобы все суммы по строкам , столбцам и большим диагоналям были различны .
Поэтому , для того чтобы выяснить , является ли число простым , достаточно проверить , что оно не делится на простые числа ,	квадрат	которых меньше этого числа .
721 Докажите , что	квадрат	разности А и В делится на 9 .
Расположите числа 1 , 7 , 13 , 31 , 37 , 43 , 61 , 67 , 73 в клетках квадрата размером так , чтобы	квадрат	стал магическим .
а ) Расположите числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 в клетках квадрата размером так , чтобы	квадрат	стал магическим .
в ) квадрат двучлена х минус 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x : плюс 4 . г )	квадрат	двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x минус 5 .
Заметим , что магический	квадрат	можно составить далеко не из любых девяти чисел , поэтому совершенно не очевидно , что данная задача имеет решение .
6 Если требуется разложить на множители трехчлен вида ах2 плюс bх плюс с , где а , b , с Q , и вы не видите удобного способа разложения , попробуйте выделить полный	квадрат	.
Доказать , что	квадрат	любого целого числа либо кратен 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 .
584 Запишите неполный квадрат суммы и неполный	квадрат	разности выражений а и b .
а )	квадрат	суммы а и b . б ) сумма квадратов а и b . в ) квадрат разности с и d . г ) разность квадратов c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
б ) Расположите числа 5 , 17 , 29 , 47 , 59 , 71 , 89 , 101 , 113 в клетках квадрата размером 3 х 3 так , чтобы	квадрат	стал магическим .
257 Подберите А таким образом , чтобы трехчлен можно было записать как	квадрат	двучлена .
Если	квадрат	натурального числа делится на 5 , то и само число делится на 5 .
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро возводить в	квадрат	двучлены , но и устно возводить в квадрат числа , причем не только целые , но и дробные .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в	квадрат	трехчлена а плюс b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
Проверьте результат , возводя полученный двучлен в	квадрат	.
в )	квадрат	двучлена х минус 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x : плюс 4 . г ) квадрат двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x минус 5 .
584 Запишите неполный	квадрат	суммы и неполный квадрат разности выражений а и b .
г ) Если ни один	квадрат	рационального числа не отрицательный , то ни одно отрицательное число не является квадратом рационального числа .
Напомним , что	квадрат	называют магическим , если сумма чисел , стоящих в его клетках по столбцам , строкам и диагоналям , одинаковая .
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри :	квадрат	со стороной а и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные положительные рациональные числа ( а больше b ) .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если	квадрат	натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
А в скобках как раз окажется	квадрат	суммы х и у.
б ) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный , то ни одно отрицательное число — не	квадрат	.
а ) Квадрат суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс	квадрат	второго числа .
Доказав для каждого из классов , что	квадрат	соответствующего целого числа либо делится на 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех целых чисел .
И мы опять получаем , что	квадрат	данного числа при делении на 3 дает остаток 1 .
а ) квадрат двучлена 2х плюс 5 на 120 больше квадрата двучлена 2х минус 7 . б )	квадрат	двучлена 5х минус 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x : плюс 6 .
746 Подберите А таким образом , чтобы трехчлен можно было записать как	квадрат	двучлена .
С помощью формулы суммы квадратов мы можем также получить простейшее правило , которое без труда позволит возвести в	квадрат	любое натуральное число , оканчивающееся на 5 .
б ) Расположите числа 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 в клетках	квадрата	размером так , чтобы квадрат стал магическим .
Рассмотрим , например , определение	квадрата	.
Теперь в первом слагаемом применим формулу суммы кубов , а во втором — формулу	квадрата	суммы .
А если мы вычислим длину диагонали	квадрата	со стороной 1 , то получим число 1,4142135 .. , также являющееся иррациональным .
Так , пройденный путь зависит от скорости и времени движения , площадь круга зависит от его диаметра , площадь	квадрата	зависит от длины его стороны и т .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение	квадрата	первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
Пусть сторона	квадрата	равна х см , где х больше 0 .
Полученные нами формулы	квадрата	суммы и квадрата разности для положительных значений а и b ( а больше b ) можно проиллюстрировать геометрически .
Значит , для разложения данного многочлена на множители можно воспользоваться формулой	квадрата	разности .
Квадрат числа всегда больше	квадрата	противоположного ему числа .
а ) квадрат произведения чисел 5 ,	квадрата	числа а , куба числа b . б ) произведение кубов чисел 3 , х , у , 2 , г .
Следовательно , сумма чисел в каждой строке , столбце и диагонали нашего магического	квадрата	должна быть равна 12 .
Подберите А таким образом , чтобы трехчлен можно было записать в виде	квадрата	двучлена .
410 Вычислите , используя формулу	квадрата	суммы или квадрата разности .
Аналогично площадь второго	квадрата	, с одной стороны , равна а2 , а с другой — сумме ( а минус b)2 плюс ( ab минус b2 ) плюс ( ab минус b2 ) плюс b2 .
Например , сторона квадрата не прямо пропорциональна его площади : если увеличить сторону	квадрата	в 2 раза , его площадь увеличится не в 2 , а в 4 раза .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного	квадрата	суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Какой могла быть эта цифра , если число делилось на . а ) Сторону	квадрата	сначала уменьшили на 40 % , а затем увеличили на 40 % .
	Квадрата	суммы . квадрата трехчлена .
297 Подберите А таким образом , чтобы трехчлен можно было записать в виде	квадрата	двучлена .
615 Разложите многочлен на множители , используя формулы	квадрата	суммы и квадрата разности .
615 Разложите многочлен на множители , используя формулы квадрата суммы и	квадрата	разности .
а ) Расположите числа 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 в клетках	квадрата	размером так , чтобы квадрат стал магическим .
б ) Расположите числа 5 , 17 , 29 , 47 , 59 , 71 , 89 , 101 , 113 в клетках	квадрата	размером 3 х 3 так , чтобы квадрат стал магическим .
Расположите числа 1 , 7 , 13 , 31 , 37 , 43 , 61 , 67 , 73 в клетках	квадрата	размером так , чтобы квадрат стал магическим .
Докажите , что сумма куба и	квадрата	этого числа делится на 4 .
Нарисуйте квадрат с длиной стороны а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы	квадрата	суммы для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата суммы , выведите формулу квадрата разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
Выделение полного	квадрата	.
Площадь первого	квадрата	, с одной стороны , равна ( а плюс b)2 , а с другой стороны , равна а2 плюс b2 плюс ab плюс ab .
294 Вычислите , используя формулу квадрата суммы или	квадрата	разности .
б ) Расположите числа 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 в клетках	квадрата	размером так , чтобы квадрат стал магическим .
а ) Окружность - это не квадрат . б ) У	квадрата	все углы равны .
а ) произведение	квадрата	суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Расположите числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8 в клетках	квадрата	размером так , чтобы квадрат стал магическим .
Например , сторона	квадрата	не прямо пропорциональна его площади : если увеличить сторону квадрата в 2 раза , его площадь увеличится не в 2 , а в 4 раза .
« Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина на 3 см больше стороны этого же	квадрата	.
Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны	квадрата	, а его длина — на 3 см больше стороны этого же квадрата .
Второе ограничение состоит в том , что число строк	квадрата	равно трем , столбцов — трем , а диагоналей — двум .
Полученные нами формулы квадрата суммы и	квадрата	разности для положительных значений а и b ( а больше b ) можно проиллюстрировать геометрически .
Из	квадрата	со стороной а вырежем квадрат со стороной b.
Формула .	квадрата	разности .
Нарисуйте квадрат с длиной стороны а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата суммы , выведите формулу	квадрата	разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
« Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны	квадрата	, а его длина на 3 см больше стороны этого же квадрата .
Нарисуйте квадрат с длиной стороны а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу	квадрата	суммы , выведите формулу квадрата разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
294 Вычислите , используя формулу	квадрата	суммы или квадрата разности .
Разложим этот многочлен на множители способом выделения полного	квадрата	, который часто используется при разложении на множители многих трехчленов .
Как изменилась сторона	квадрата	? .
284 Пользуясь формулами	квадрата	двучлена и трехчлена , возведите в степень .
Заметим , что в последних трех слагаемых , если добавить к ним х и вынести за скобки 6 , « спрятана » формула	квадрата	суммы ( х плюс 1)2 .
Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина — на 3 см больше стороны этого же	квадрата	.
квадрата суммы .	квадрата	трехчлена .
273 Выведите формулу для	квадрата	четырехчлена и , пользуясь ею , запишите данное выражение как многочлен стандартного вида .
Заметим , что исходному многочлену не хватает до полного	квадрата	единицы .
Каждый член данного многочлена можно представить в виде	квадрата	: х4 равно ( х2)2 , а 1 равно .
Выражение а2 минус аb плюс b2 получило название неполного квадрата разности а и b , так как в отличие от	квадрата	разности у произведения аb нет множителя 2 .
Получив в предыдущих пунктах формулы для	квадрата	суммы и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым умножением , возвести двучлен в куб , четвертую и более высокие степени .
Как и планировали , добавим к исходному многочлену и вычтем из него 4х2 , затем воспользуемся формулой	квадрата	суммы , а после этого применим формулу разности квадратов .
Так , число , стоящее в середине магического	квадрата	, должно встречаться в четырех комбинациях , в углах квадрата — в трех комбинациях , а остальные числа — в двух комбинациях .
а ) Расположите числа 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 в клетках	квадрата	размером 3 х 3 так , чтобы квадрат стал магическим .
г ) Каждую сторону	квадрата	увеличили на 3 см. При этом его площадь увеличилась на 51 см2 .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение	квадрата	первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
Выражение а2 минус аb плюс b2 получило название неполного	квадрата	разности а и b , так как в отличие от квадрата разности у произведения аb нет множителя 2 .
Прежде всего , вычислим , какой должна быть сумма чисел в каждой строке , столбце и диагонали искомого магического	квадрата	.
Одним из способов разложения многочленов на множители с использованием формул сокращенного умножения является способ выделения полного	квадрата	.
В нашем арсенале формул сокращенного умножения уже есть формулы	квадрата	и куба суммы , квадрата и куба разности , а также формула разности квадратов .
а ) сумма целого числа и его	квадрата	есть число четное .
в ) квадрат двучлена х минус 1 в 9 раз меньше	квадрата	двучлена 3 x : плюс 4 . г ) квадрат двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x минус 5 .
57 а ) Докажите , что если сторону	квадрата	увеличить в n раз , то его площадь увеличится в n2 раз .
а ) квадрат двучлена 3х плюс 2 на 21 больше	квадрата	двучлена 3х минус 5 . б )
Так , число , стоящее в середине магического квадрата , должно встречаться в четырех комбинациях , в углах	квадрата	— в трех комбинациях , а остальные числа — в двух комбинациях .
Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от	квадрата	суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
Аналогичным образом при вычислении	квадрата	разности двух выражений получаем .
Значит , для	квадрата	родовым понятием является понятие прямоугольника , а его видовым отличием является то , что у него все стороны равны .
а ) квадрат двучлена 2х плюс 5 на 120 больше	квадрата	двучлена 2х минус 7 . б ) квадрат двучлена 5х минус 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x : плюс 6 .
Найдите длину стороны исходного	квадрата	.
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и	квадрата	второго чисел , минус куб второго числа .
Формула	квадрата	разности .
а ) квадрат двучлена 2х плюс 5 на 120 больше квадрата двучлена 2х минус 7 . б ) квадрат двучлена 5х минус 3 на 72 меньше	квадрата	двучлена 5 x : плюс 6 .
589 Разложите многочлен на множители , используя формулы	квадрата	суммы и разности .
410 Вычислите , используя формулу квадрата суммы или	квадрата	разности .
В нашем арсенале формул сокращенного умножения уже есть формулы квадрата и куба суммы ,	квадрата	и куба разности , а также формула разности квадратов .
Сторону	квадрата	изменили так , что его периметр сначала увеличился на 60 % , а затем уменьшился на 60 % .
Теперь , чтобы получить формулу разности кубов , заметим , что Выражение а2 плюс ab плюс b2 получило название неполного	квадрата	суммы а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения ab .
Формулы	квадрата	суммы и разности хороши , в частности , тем , что позволяют сразу записать результат возведения в квадрат любого двучлена .
квадрат двучлена 2х минус 6 в 4 раза меньше	квадрата	двучлена 4х минус 8 .
Этот же результат мы получим , если в формуле	квадрата	суммы заменим b на ( минус b ) .
Формула	квадрата	суммы формула квадрата разности формула разности квадратов .
в ) квадрат двучлена х минус 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x : плюс 4 . г ) квадрат двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше	квадрата	двучлена 4x минус 5 .
Формула	квадрата	суммы .
Точно так же надо различать выражения для	квадрата	суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
Из таблицы видно , что в центре магического	квадрата	может находиться только число 4 , а в углах — числа 1 , 3 , 5 , 7 .
а ) Расположите числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 в клетках	квадрата	размером так , чтобы квадрат стал магическим .
Формула квадрата суммы формула	квадрата	разности формула разности квадратов .
Докажите , что сумма куба и	квадрата	этого числа делится на 5 .
253 Вычислите , используя формулу квадрата суммы или	квадрата	разности .
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение	квадрата	числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
253 Вычислите , используя формулу	квадрата	суммы или квадрата разности .
Разность	квадрата	числа х и частного чисел у и г .
Запишите произведение суммы а и b и неполного	квадрата	разности а и b как многочлен стандартного вида .
Если бы у нас имелись также слагаемые х2 и у4 , то , сгруппировав их , мы смогли бы применить формулу	квадрата	суммы .
В связи с этим формулы	квадрата	суммы и разности называют также формулами сокращенного умножения .
Произведение суммы квадратов b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное	квадрата	разности а и с и модуля разности квадратов а и b .
Поэтому на диагоналях	квадрата	могут располагаться лишь числа 1 , 4 , 7 и 3 , 4 , 5 .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение	квадрата	первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
Таким образом , мы получаем следующие восемь возможных расположений центрального и угловых элементов в магических	квадратах	.
Значит , всего в указанном	квадрате	должны быть равными 8 сумм .
Так как мы имеем всего 8 комбинаций чисел , сумма которых равна 12 , то , следовательно , каждая из них должна занять в искомом магическом	квадрате	ровно одну позицию — строку , столбец или диагональ .
И наконец , необходимо учесть , что в магическом	квадрате	числа должны встречаться в определенном числе комбинаций .
Для этого найдем сумму всех данных чисел и разделим ее на количество столбцов ( строк ) в	квадрате	, то есть на 3 .
Так , в первом	квадрате	в верхней строке следует поставить число 8 , в нижней — число 0 , в левом столбце — число 6 , а в правом — число 2 .
Так , цифры искомого пароля должны были быть различными , числа в магическом	квадрате	не повторялись , а комплекты одежды Маши не могли содержать одновременно , например , две кофты .
Ведь числа в	квадрате	расположены на пересечении строк , столбцов и диагоналей .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а	квадратная	— о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
352 В одной клетке	квадратной	таблицы стоит знак « - » , а в остальных - плюсы .
в ) Каждая клетка	квадратной	доски размером 3 x 3 клетки может быть покрашена в синий или белый цвет .
Помидор - это	квадратный	банарик .
Теорема Картоль	квадратный	и кислый .
39 В некоторой математической теории введены следующие первоначальные понятия : торик , банарик , сладкий , кислый , круглый ,	квадратный	, мягкий , твердый .
А4 Торики и банарики могут быть как круглыми , так и	квадратными	.
Порядок действий как в числовых , так и в буквенных ( алгебраических ) выражениях может быть задан расстановкой скобок разного вида , например круглых или	квадратных	.
Запишем выражение в	квадратных	скобках как многочлен стандартного вида .
Так , например , умножив ширину прямоугольника , равную 5 см , на его длину , равную 6 см , мы получим площадь прямоугольника , выраженную в	квадратных	сантиметрах .
Преобразуя затем выражение в	квадратных	скобках , получаем .
Преобразуем выражение в	квадратных	скобках .
произведения разности и суммы двух выражений . разности	квадратов	. разности кубов .
8 Запишите следующие выражения : 1 ) сумма	квадратов	двух чисел ;
Вспомним , как мы получили формулу разности	квадратов	.
2 Ищите в исходном многочлене признаки формул сокращенного умножения — удвоенные и утроенные произведения , сумму и разность кубов , разность	квадратов	.
квадрат суммы двух чисел ; 3 ) разность	квадратов	двух чисел ; 4 ) квадрат разности двух чисел .
Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы	квадратов	у нас нет формулы .
В нашем арсенале формул сокращенного умножения уже есть формулы квадрата и куба суммы , квадрата и куба разности , а также формула разности	квадратов	.
Тогда площадь получившейся фигуры будет равна разности площадей большого и маленького	квадратов	то есть а2 минус b2 .
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности	квадратов	этих выражений .
Квадрат разности некоторых рациональных чисел равен разности их	квадратов	.
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности	квадратов	, рассмотри : квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные положительные рациональные числа ( а больше b ) .
Для суммы	квадратов	мы получить формулу не смогли .
2 Разность	квадратов	.
Мы получили , что произведение разности двух выражений и их суммы равно разности	квадратов	этих выражений .
Разность	квадратов	двух выражений равна произведению их разности и суммы .
Формула разности	квадратов	, как и все другие формулы сокращенного умножения , сильно упрощает преобразование выражений , решение уравнений , проведение вычислений .
355 Вычислите , используя формулу разности	квадратов	.
Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы	квадратов	а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
Формула разности	квадратов	.
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности	квадратов	чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Меняя местами левую и правую части полученного равенства , мы приходим к новой формуле сокращенного умножения , называемой формулой разности	квадратов	.
г ) разность	квадратов	двух последовательных четных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
Как и планировали , в первой группе применим формулу разности	квадратов	, а во второй — вынесем за скобки общий множитель ах .
а ) разность	квадратов	двух последовательных четных чисел делится на 4 .
Но формулы для суммы	квадратов	у нас нет , поэтому сразу разложить многочлен на множители нам не удастся .
Произведение суммы	квадратов	b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля разности квадратов а и b .
а ) Модуль разности	квадратов	а и с . б ) Сумма модулей а , b и с .
340 Вычислите произведение , используя формулу разности	квадратов	.
б ) разность	квадратов	двух последовательных нечетных чисел делится на 8 .
а ) квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность	квадратов	двух последовательных целых чисел есть число нечетное .
Аналогичным образом можно заполнить клетки и всех остальных	квадратов	.
После этого он добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х ) и , воспользовавшись формулой суммы	квадратов	, нашел корни уравнения .
а ) квадрат суммы а и b . б ) сумма квадратов а и b . в ) квадрат разности с и d . г ) разность квадратов c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е ) сумма	квадратов	х , у и z .
А полученное нами выражение мы уже сможем разложить на множители , используя формулу разности	квадратов	.
Для этого добавим и вычтем 1 , а затем воспользуемся формулой разности	квадратов	.
Так как а4 равно ( а2)2 , ах4 минус ( х2)2 , то , сгруппировав первое и четвертое слагаемое , мы сможем применить формулу разности	квадратов	.
а ) квадрат суммы а и b . б ) сумма квадратов а и b . в ) квадрат разности с и d . г ) разность	квадратов	c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
Следовательно , для разложения многочлена на множители можно воспользоваться формулой разности	квадратов	.
Ответ : из чисел 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 можно составить 8 магических	квадратов	размером .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и третий члены — разность	квадратов	тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Таким образом , исходное выражение является суммой	квадратов	.
б ) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у плюс 7 и 7 минус у меньше суммы их	квадратов	на 14у ! .
Сколько таких	квадратов	можно составить ? .
Чему равны длины сторон этих	квадратов	? .
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность	квадратов	чисел а и b. .
130 Известны формулы суммы	квадратов	n первых натуральных чисел , а также суммы их кубов .
Сумма длин сторон двух	квадратов	равна 20 см , а разность их площадей равна 40 см2 .
а ) разностью	квадратов	. б ) суммой кубов .
а ) При каких значениях х произведение двучленов х плюс 4 и х минус 4 меньше суммы их	квадратов	на 52 ? .
Произведение суммы квадратов b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля разности	квадратов	а и b .
371 Докажите , что разность	квадратов	А и В равна 84 .
339 а ) Разность	квадратов	двух последовательных натуральных чисел равна 11 .
747 Используя формулу разности	квадратов	, запишите выражение как многочлен стандартного вида .
588 Представьте выражение в виде произведения двух многочленов , используя формулу разности	квадратов	.
Произведение суммы квадратов b и с и модуля разности	квадратов	а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля разности квадратов а и b .
б ) разность квадратов двух рациональных чисел быть больше суммы	квадратов	этих чисел ? .
Найдите сумму	квадратов	и сумму кубов n первых натуральных чисел для .
Полученное выражение представляет собой разность	квадратов	.
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности	квадратов	чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Разность	квадратов	двух последовательных четных чисел равна 28 .
а ) квадрат суммы а и b . б ) сумма	квадратов	а и b . в ) квадрат разности с и d . г ) разность квадратов c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
в ) разность	квадратов	двух последовательных целых чисел равна сумме этих чисел .
614 Представьте выражение в виде произведения многочленов , используя формулу разности	квадратов	.
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух выражений , а затем — как найти разность	квадратов	двух выражений .
319 Пользуясь формулой разности	квадратов	, докажите , что для любых а и b верно равенство .
Формула квадрата суммы формула квадрата разности формула разности	квадратов	.
Таблица	квадратов	натуральных чисел до 100 .
С помощью формулы суммы	квадратов	мы можем также получить простейшее правило , которое без труда позволит возвести в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 .
б ) разность	квадратов	двух рациональных чисел быть больше суммы квадратов этих чисел ? .
Возведем число 10x плюс 5 в квадрат , используя формулу суммы	квадратов	.
322 Вычислите , используя формулу разности	квадратов	.
б ) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у плюс 5 и у минус 5 меньше суммы их	квадратов	на 9у ? .
После вынесения его за скобки в скобках получим разность	квадратов	х2 минус 1 , которую можно разложить на множители ( х плюс 1)(х минус 1 ) .
б ) разность	квадратов	чисел а и b меньше 8 .
Сколько таких	квадратов	можно составить ?
На этой диаграмме мы видим , что множество	квадратов	является подмножеством множества прямоугольников .
657 а ) При каких значениях х произведение двучленов х плюс 3 и х минус 3 меньше суммы их	квадратов	на 28 ? .
После этого для разложения многочлена на множители используем формулу разности	квадратов	.
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме	квадратов	всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
Как и планировали , добавим к исходному многочлену и вычтем из него 4х2 , затем воспользуемся формулой квадрата суммы , а после этого применим формулу разности	квадратов	.
д ) квадрат суммы чисел 6 , r , s , t . е ) сумма	квадратов	чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы чисел а , b и с . з ) сумма пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
а ) разность	квадратов	двух натуральных чисел быть простым числом ? .
в ) Произведение любых семи последовательных чисел делится на 2520 . г ) Число , записываемое 100 двойками , 100 единицами и 100 нулями , не может быть точным	квадратом	.
Чему равна вероятность того , что оно окажется точным	квадратом	? .
147 Докажите утверждение : а ) Произведение любых пяти последовательных чисел делится на 60 ; б ) Число , записываемое 80 двойками , 80 единицами и 80 нулями , не может быть точным	квадратом	.
Как и раньше ,	квадратом	числа будем называть вторую степень этого числа ( а2 равно а умножить а ) , а кубом числа — его третью степень ( а3 равно а умножить а умножить а ) .
а ) Произведение любых шести последовательных целых чисел делится на 360 . б ) Число , записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным	квадратом	.
г ) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный , то ни одно отрицательное число не является	квадратом	рационального числа .
Квадрат суммы двух выражений равен	квадрату	первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
в ) Существуют рациональные числа , квадрат суммы которых равен	квадрату	их разности .
а ) Квадрат суммы двух рациональных чисел равен	квадрату	первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
Квадрат разности двух выражений равен	квадрату	первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
Соотношение между родовым понятием В ( прямоугольники ) и понятием А (	квадраты	) можно изобразить с помощью диаграммы Эйлера - Венн .
Поскольку , то	квадраты	не могут быть одновременно больше а .
а ) Если рациональные числа равны , то равны и	квадраты	этих чисел .
1 Выписать все простые числа ,	квадраты	которых меньше а .
Мы замечаем , что в каждом из этих случаев итоговый многочлен состоит из трех слагаемых , два из которых —	квадраты	членов исходного двучлена , а третье равно удвоенному произведению этих членов .
Выписываем простые числа ,	квадраты	которых меньше 97 .
Таким образом , используя установленные формулы , нам не надо представлять	квадраты	двучленов в виде произведения двух множителей , затем выполнять умножение и приведение подобных слагаемых .
Для тех , у кого есть	ключ	, написание и расшифровка сообщений достаточно просты .
Например , возможен следующий	ключ	.
Положив	ключ	кода 2 , получим начало фразы ЕПТ , которое также не напоминает никакое слово русского языка .
Поэтому , проверяя на первых буквах кода разные варианты сдвига , достаточно быстро можно найти	ключ	шифра .
Судя по всему ,	ключ	1 не подходит .
Предположим , что	ключ	кода 1 .
Имеющему	ключ	это не помешает прочитать текст , а тем , кому он не предназначен , создаст дополнительные трудности и , значит , сделает шифр более надежным .
А взяв	ключ	кода 3 , мы получим следующую фразу : достаточно простой код .
Если же	ключ	не известен , восстановить исходный текст достаточно сложно , ведь буквы остались теми же и анализ частоты встречаемости букв здесь не поможет .
К тому же пытающемуся расшифровать зашифрованные сообщения такого вида без	ключа	неизвестно , на группы какой длины разбивался текст .
А вот без	ключа	расшифровать их непросто , так как количество возможных вариантов такого шифра равно поэтому даже с помощью быстродействующего компьютера на дешифровку перебором вариантов будет потрачено столько времени , что сообщение уже будет неактуально .
Анализируя с помощью данной таблицы частоту появления символов в зашифрованном тексте , а также их взаимное расположение и учитывая особенности построения слов русского языка , можно существенно сократить количество возможных вариантов	ключей	, а значит , сократить время перебора и в конечном счете расшифровать сообщение .
Зашифруйте шифром перестановки с	ключом	78145236 высказывание известного английского ученого и философа Роджера Бэкона : тот , кто не знает математики , не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества .
Расшифруйте высказывание древнегреческого философа Платона , зная , что оно зашифровано шифром перестановки с	ключом	3572461 .
Зашифруйте шифром перестановки с	ключом	951427836 высказывание известного немецкого философа Фридриха Ницше : кто хочет научиться летать , тот должен сперва научиться стоять , и ходить , и бегать , и лазить , и танцевать : нельзя сразу научиться полету .
Это правило называют	ключом	шифра .
Прочитайте , как шифрование связано с понятием функции , что называется	ключом	шифра , какие бывают виды шифров .
Для того чтобы разобраться с тем , как кодируется текст с использованием шифров этого типа , зашифруем с помощью шифра сдвига с	ключом	6 следующую фразу .
Шифр замены задан следующим	ключом	.
Расшифруйте высказывание крупнейшего французского философа , писателя и историка Вольтера , зная , что оно зашифровано шифром перестановки с	ключом	514362 : инешбьуедвлеотсоббхзинкетиешдйнааьллртгыодбхо .
Так , например , в шифре сдвига с	ключом	6 алфавит сдвинут на 6 букв .
Зашифруйте шифром сдвига с	ключом	7 следующее высказывание известного французского математика Рене Декарта : для того чтобы усовершенствовать ум , надо больше размышлять , чем заучивать .
Процесс кодирования в этом случае состоит в том , что каждой букве алфавита ( далее мы будем говорить только о русском алфавите ) ставится в соответствие другая буква , отстоящая от первоначальной на заданное	ключом	число позиций .
Зашифруйте шифром сдвига с	ключом	4 следующее высказывание великого древнегреческого философа и ученого Аристотеля : всего приятнее для нас те слова , которые дают нам какое - нибудь знание .
Шифрование состоит в том , что буквы первоначального сообщения заменяются символами согласно	ключу	.
214 Властелин	колец	ждет , когда каждый из 30 его вассалов , как и в предшествующие годы , преподнесет ему по 30 золотых монет .
Но властелин	колец	знает , что один из них постоянно пытается хитрить и вместо монет по 10 г вручает ему монеты по 9 г. Как с помощью всего лишь одного взвешивания можно обнаружить вассала - хитреца , если тот опять осмелится обмануть своего повелителя ? .
В частности ,	комбинаторика	ищет методы решения задач , в которых надо найти число всех возможных вариантов выбора объектов с заданными свойствами .
одна из букв слова «	комбинаторика	» . б ) На экзамене по информатике 53 билета .
1 Элементы	комбинаторики	.
Глава 7 Введение в	комбинаторику	, теорию вероятностей и статистику .
3 Переместительный (	коммутативный	) закон умножения .
1 Переместительный (	коммутативный	) закон сложения .
Выявление общих свойств арифметических действий и их	компактная	запись с помощью букв стали « поворотным пунктом » в развитии математики : переходом от арифметики к алгебре .
в ) Для изготовления блинов берут муку , молоко , яичный порошок и прочие	компоненты	( сахар , сода , соль ) в отношении 2 к 4 к 0,75 к 0,25 .
Ведь гораздо проще установить выполнение какого - либо свойства для	конечного множества	классов , чем для бесконечного множества целых чисел .
{ -12 ; -6 } . 1 ) Найдите расстояние от начала	координат	О до точек А и Б координатной прямой .
Прямая проходит через начало	координат	и точку А. Является ли эта прямая графиком функции , если .
Не выполняя построение графика функции , найдите координаты его точек пересечения с осями	координат	Ох и Оу .
Определите координаты точек , симметричных данным точкам , относительно координатных осей и центра координат и постройте их в той же системе	координат	.
Не выполняя построение графика функции , найдите координаты его точек пересечения с осями	координат	Ох и Оу и после этого постройте график .
271 а ) Постройте на плоскости прямоугольную систему	координат	и отметьте точки с координатами А ( 2 ; 5 ) , В ( 5 ; -5 ) , С ( -4 ; 5 ) , D ( -5 ; -7 ) , Е ( 4 ; 8) , F ( -4 ; -5 ) .
График функции всегда проходит через начало	координат	— точку О ( 0 ; 0 ) .
260 Постройте на плоскости прямоугольную систему	координат	Оху и отметьте точки с координатами .
Можно наблюдать и многие другие закономерности расположения графика прямой пропорциональности : например , его симметрия относительно начала	координат	; особенности его расположения относительно координатных осей и другие .
261 а ) В прямоугольной системе	координат	Оху постройте точку А ( 2 ; 5 ) .
Например , чтобы построить график функции , можно взять значение , найти соответствующее значение , а затем провести прямую через полученную точку ( 4 ; -2 ) и начало	координат	.
Проведите ломаную ABCDEFGH и определите координаты точек ее пересечения с осями координат Ох и Оу . д ) Как , не выполняя построения , по координатам точки определить , принадлежит ли она оси	координат	, и если да , то какой ? .
Проведите ломаную ABCDEFGH и определите координаты точек ее пересечения с осями	координат	Ох и Оу . д ) Как , не выполняя построения , по координатам точки определить , принадлежит ли она оси координат , и если да , то какой ? .
Задайте эти функции формулами и постройте их графики в одной системе	координат	Оху .
2 ) Ау , симметричной точке А относительно оси ординат Оу . 3 ) А0 , симметричной точке А относительно начала	координат	О .
Как с помощью модуля можно записать расстояние от точек А и Б до начала	координат	? .
Определите координаты точек , симметричных данным точкам , относительно координатных осей и центра	координат	и постройте их в той же системе координат .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному значению х , а	координата	на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка ,	координата	которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции .
5 Отметить на координатной плоскости Оху точку В с	координатами	( х2 ; у2 ) .
4 Отметить на координатной плоскости Оху точку А с	координатами	у , ) .
4 Отметить на координатной плоскости Оху точку А с	координатами	( x1 ; у1 ) .
Значит , указанный график проходит через точки с	координатами	( 0 ; -1 ) и ( 3 ; -2 ) .
260 Постройте на плоскости прямоугольную систему координат Оху и отметьте точки с	координатами	.
В точках с какими	координатами	этот график пересекает ось абсцисс , ось ординат ?
1 Отметить на координатной плоскости Оху точку О с	координатами	( 0 ; 0 ) .
Затем отметим точки с вычисленными	координатами	( x ; у ) на координатной плоскости Оху .
213 Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой прямой с	координатами	а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
220 Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой прямой с	координатами	а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
271 а ) Постройте на плоскости прямоугольную систему координат и отметьте точки с	координатами	А ( 2 ; 5 ) , В ( 5 ; -5 ) , С ( -4 ; 5 ) , D ( -5 ; -7 ) , Е ( 4 ; 8) , F ( -4 ; -5 ) .
Это прямая , проходящая через точки с	координатами	( 0 ; 0 ) и ( 2 ; 1 ) .
Найдите	координату	точки С , если известно , что .
Найдите	координату	точки С , если известно .
Найдите	координату	точки С если известно , что .
Определите	координаты	точек , симметричных данным точкам , относительно координатных осей и центра координат и постройте их в той же системе координат .
Не выполняя построение графика функции , найдите	координаты	его точек пересечения с осями координат Ох и Оу .
4 Запишем	координаты	точек , принадлежащих графику функции .
Не выполняя построение графика функции , найдите	координаты	его точек пересечения с осями координат Ох и Оу и после этого постройте график .
351 Изобразите на координатной прямой Ox множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
Записать выбранные значения х и вычисленные значения у как упорядоченные пары —	координаты	точек , принадлежащих графику .
785 Изобразите на координатной прямой Ox множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
384 Известно , что точки А и В имеют	координаты	( -5 ) и 16 .
628 На координатной плоскости Oxy постройте множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
608 На координатной плоскости Oxy постройте множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
4 Запишем	координаты	точек , принадлежащих графику функции s ( t ) .
На координатной плоскости Оху постройте множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенствам .
215 Известно , что точки А и В имеют соответственно	координаты	( -2 ) и 16 .
Проведите ломаную ABCDEFGH и определите	координаты	точек ее пересечения с осями координат Ох и Оу . д ) Как , не выполняя построения , по координатам точки определить , принадлежит ли она оси координат , и если да , то какой ? .
На одной координатной плоскости Оху постройте графики линейных функций и найдите	координаты	их точки пересечения .
229 Изобразите на координатной прямой Ох множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
230 Изобразите на координатной плоскости Oxy множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
Известно , что точки А и В имеют соответственно	координаты	( -9 ) и 18 .
Изобразите на координатной плоскости множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют равенству .
241 Изобразите на координатной плоскости Oxy множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
Постройте ломаную ABCD и найдите приблизительные	координаты	точек ее пересечения с осями Ох и Оу .
240 Изобразите на координатной прямой Ох множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
Найдите три точки , принадлежащие графику функции ,	координаты	которых являются целыми числами .
Определите	координаты	точек .
370 Изобразите на координатной прямой Ох множество точек ,	координаты	которых удовлетворяют неравенству .
На этой модели мы будем отмечать лишь взаимное расположение интересующих нас точек относительно друг друга и не будем фиксировать точные	координаты	данных точек .
уравнение имеет единственный	корень	.
Если	корень	уравнения . Найдите ошибку в решении следующего уравнения .
Какое число нужно подставить вместо а , чтобы уравнение имело указанный	корень	? .
в ) уравнение имеет единственный	корень	.
Если	корень	уравнения х ; если корень уравнения у если корень уравнения z ; если корень уравнения t .
При каком значении а уравнение имеет	корень	.
А уравнения не равносильны , так как первое имеет только один	корень	, а второе — два корня .
Значит , при k 0 оно имеет единственный	корень	.
Теперь раскроем скобки , выполняя умножение одночлена на многочлен , затем приведем подобные слагаемые и найдем	корень	уравнения .
Так , например , уравнение имеет один	корень	— число 2 , а корнем уравнения является любое рациональное число .
Если корень уравнения х ; если	корень	уравнения у если корень уравнения z ; если корень уравнения t .
452 Упростите уравнение , разделив обе его части на одно и то же число , отличное от нуля , а затем найдите его	корень	.
Так , например , уравнения равносильны , так как имеют один и тот же	корень	.
Уравнение может иметь один	корень	, два корня и так далее , а может вообще не иметь корней .
При каком значении а уравнение имеет	корень	, равный .
Если корень уравнения х ; если корень уравнения у если	корень	уравнения z ; если корень уравнения t .
Единственный	корень	.
Если корень уравнения х ; если корень уравнения у если корень уравнения z ; если	корень	уравнения t .
Докажите , что данное уравнение имеет единственный	корень	.
Следовательно , при k 0 линейное уравнение имеет единственный	корень	.
Значит , мы сразу можем сказать , что уравнение имеет хотя бы один целый	корень	.
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый	корень	. е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Каждый из полученных	корней	проверяем на принадлежность рассматриваемому числовому промежутку .
3 В ответе записать множество найденных	корней	.
Поэтому на данном промежутке уравнение не имеет	корней	.
в ) уравнение не имеет других корней , кроме . г ) уравнение имеет по крайней мере 5	корней	.
Уравнение может иметь один корень , два корня и так далее , а может вообще не иметь	корней	.
Выберем из всех	корней	те , которые удовлетворяют неравенствам х больше 0 .
Докажите , что данное уравнение не имеет	корней	.
8 В ответе записать множество всех получившихся	корней	.
в ) уравнение не имеет	корней	.
Нет	корней	.
а ) неравенство не имеет	корней	.
д ) уравнение имеет не менее 10	корней	.
уравнение не имеет	корней	.
Таким образом , множество	корней	исходного уравнения представляет собой объединение всех чисел полуинтервала ) и числа 1 , то есть числовой отрезок .
а ) уравнение 9х не имеет	корней	.
а ) уравнение не имеет	корней	.
а ) уравнение 17х не имеет	корней	.
Для выбранных	корней	вычислим х плюс 3 и запишем получившийся ответ .
Ни один из	корней	уравнения не делиться на 6 при любых натуральных а и b .
д ) уравнение имеет по меньшей мере 10	корней	.
а ) делится на 120 при любом целом а ; б ) число 8 не может быть	корнем	уравнения при любых натуральных а и b .
а ) При любых натуральных а и b число 17 не может быть	корнем	уравнения .
Так , например , уравнение имеет один корень — число 2 , а	корнем	уравнения является любое рациональное число .
а ) При любых натуральных а и b число 15 не может быть	корнем	уравнения .
а ) число ( -2 ) является	корнем	уравнения .
Число 11 не может быть	корнем	уравнения при любых натуральных а и b .
И так как , то число является	корнем	исходного уравнения .
Следовательно , любое число , принадлежащее промежутку , является	корнем	исходного уравнения .
число 1 не является	корнем	уравнения .
Число 3 не может быть	корнем	уравнения при любых натуральных а и b .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является	корнем	уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Число 4 не может быть	корнем	уравнения при любых натуральных а и b .
а ) При любых натуральных а и b число 11 не может быть	корнем	уравнения .
г ) число ( -2 ) не является	корнем	уравнения .
в ) число 5 является	корнем	уравнения .
Какое число можно подставить вместо b , чтобы	корнем	уравнение было целое число ? .
Какое число можно подставить вместо 6 , чтобы	корнем	уравнение было целое число ? .
Какое число можно подставить вместо с , чтобы	корнем	уравнения было четное число ? .
число -1,5 не является	корнем	уравнения .
После чего мы говорим , что число а является	корнем	исходного уравнения .
а ) число ( -1 ) является	корнем	уравнения .
63 Используя метод доказательства от противного , докажите , что при любых натуральных а и b число 7 не может быть	корнем	уравнения .
в ) число 1 является	корнем	уравнения .
Запишите три уравнения ,	корнем	которых является число а .
б )	корнем	уравнения 5уявляется любое число .
Докажите , что а ) При любых натуральных а и b число 7 не может быть	корнем	уравнения б ) Число 12 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
	Корнем	уравнения является любое число .
Докажите , что а ) При любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем уравнения б ) Число 12 не может быть	корнем	уравнения при любых натуральных а и b .
число 2 не является	корнем	уравнения .
Два уравнения равносильны , если корни первого уравнения являются корнями второго уравнения , а	корни	второго уравнения являются корнями первого уравнения .
641 Найдите	корни	уравнения .
7 Проверить , что полученные	корни	принадлежат числовому промежутку , для которого было записано уравнение .
Каждый из множителей приравняем к нулю и найдем	корни	получившихся уравнений .
Таким образом ,	корни	исходного уравнения .
Найдите	корни	уравнения .
2 Найдем	корни	уравнений .
Проверим , что	корни	уравнений являются рациональными числами .
2 Найти	корни	уравнения .
437 Упростите уравнение , разделив обе его части на одно и то же не равное нулю число , а затем найдите его	корни	.
Найдите	корни	уравнений .
1 Найти	корни	уравнения .
Найдите	корни	линейного уравнения ( устно ) .
Значит , для решения исходного уравнения нам достаточно найти	корни	двух уравнений 1 ) и 2 ) .
Заметим , что уравнения 1 ) и 3 ) равносильны , значит , они имеют одинаковые	корни	.
Все полученные	корни	являются рациональными числами .
При каком значении а уравнение будет иметь	корни	? .
А находить	корни	таких уравнений мы уже умеем .
Имеет ли уравнение	корни	при указанном значении а ? .
г ) Все	корни	уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Затем приравняем каждый из множителей к нулю и найдем	корни	получившихся уравнений .
« Он сначала добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х2 ) , а затем разложил получившийся многочлен на множители и нашел	корни	уравнения .
670 Найдите	корни	уравнения .
Но утверждать это мы можем только тогда , когда уверены , что все уравнения , полученные в результате проведенных преобразований , имеют одни и те же	корни	.
Прежде чем описать данный способ , рассмотрим две теоремы , которые позволяют сразу же определить , имеет ли целые	корни	уравнение вида , где a , b , с е Z , или не имеет .
Два уравнения равносильны , если	корни	первого уравнения являются корнями второго уравнения , а корни второго уравнения являются корнями первого уравнения .
2 Приравнять каждое из этих выражений к нулю и найти	корни	полученных уравнений .
Например , имеет ли смысл искать целые	корни	следующих уравнений или сразу можно сказать , что они не имеют целых решений ? .
3 Отметим найденные	корни	уравнений на « упрощенной » модели числовой прямой и определим непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные числа разбивают числовую прямую .
После этого он добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х ) и , воспользовавшись формулой суммы квадратов , нашел	корни	уравнения .
Таким образом , в зависимости от значений k и b уравнение имеет следующие	корни	.
3 Отметить найденные	корни	уравнений на « упрощенной » модели числовой прямой и определить непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные точки разбивают числовую прямую .
Тем самым мы найдем	корни	исходного уравнения , так как произведение равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
А уравнения не равносильны , так как первое имеет только один корень , а второе — два	корня	.
Уравнение может иметь один корень , два	корня	и так далее , а может вообще не иметь корней .
уравнение имеет ровно два	корня	.
Эти значения неизвестных называют	корнями	уравнения .
Таким образом ,	корнями	нашего уравнения являются .
Два уравнения равносильны , если корни первого уравнения являются корнями второго уравнения , а корни второго уравнения являются	корнями	первого уравнения .
Корни х равно б и х равно -4 данного уравнения являются также	корнями	исходного уравнения , поскольку они получены в результате равносильных преобразований исходного уравнения .
Два уравнения равносильны , если корни первого уравнения являются	корнями	второго уравнения , а корни второго уравнения являются корнями первого уравнения .
Таким образом , мы получили , что	корнями	исходного уравнения являются числа ( -1 ) , ( -2 ) и ( -3 ) .
Теперь , чтобы получить формулу разности кубов , заметим , что Выражение а2 плюс ab плюс b2 получило название неполного квадрата суммы а и b , так как в нем также отсутствует	коэффициент	2 у произведения ab .
Выберите из предложенных зависимостей те , которые являются прямой пропорциональностью , и укажите	коэффициент	пропорциональности k . 1 )
Однако можно заметить , что если в множителе ( а2 минус 2ab плюс b2 )	коэффициент	2 заменить на 1 , то при раскрытии скобок подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз выражение а3 плюс b3 .
Так как	коэффициент	b нашей линейной функции равен , то график функции получается из графика функции параллельным переносом вдоль оси Оу на 1 единицу вниз .
Если	коэффициент	одночлена равен 1 или -1 , то числовой множитель в его записи обычно не указывают .
И наоборот , если в записи одночлена имеются только буквенные множители , то его	коэффициент	, соответственно стоящему перед ним знаку , считают равным либо 1 , либо -1 .
Найдите	коэффициент	пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и .
97 Приведите одночлен к стандартному виду , определите его	коэффициент	и степень .
1 Вычислить произведение всех числовых множителей (	коэффициент	) одночлена и записать его на первом месте .
Найдите	коэффициент	пропорциональности и опишите особенности расположения данного графика на координатной плоскости .
Определите	коэффициент	пропорциональности функции , проходящей через точку А. Опишите расположение ее графика в координатной плоскости .
Для каждой из выбранных функций назовите	коэффициент	пропорциональности и опишите особенности расположения ее графика на координатной плоскости .
Определите	коэффициент	пропорциональности данной зависимости и найдите недостающие в таблице значения .
96 ( Устно . ) Найдите	коэффициент	одночлена .
	Коэффициент	стоит на первом месте .
110 Приведите одночлен к стандартному виду , определите его	коэффициент	и степень .
Выберите из предложенных зависимостей те , которые являются прямой пропорциональностью , и укажите	коэффициент	пропорциональности k .
Определите	коэффициент	пропорциональности функции , проходящей через точку А. В каких координатных четвертях расположен ее график ? .
Найдите	коэффициент	пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции точки А и В , если .
Рассмотрите частные случаи построенной зависимости , когда один или сразу оба	коэффициента	равны нулю .
Как по графику функции найти значение	коэффициента	k ? .
Таким образом , каждый одночлен может быть представлен в виде произведения своего	коэффициента	и степеней входящих в него переменных .
Расположение графика функции на координатной плоскости зависит от знака	коэффициента	k. Так , если , то знаки соответствующих значений х и у всегда одинаковы , поэтому график располагается в I и III координатных четвертях .
Таким образом , мы научились по	коэффициентам	линейных уравнений с двумя неизвестными сразу выделять те из них , которые имеют хотя бы одно целое решение .
Значит , значения всех членов многочлена при единичных значениях переменных будут равны их	коэффициентам	.
По имени Диофанта уравнения с целыми	коэффициентами	, которые требуется решить в целых числах , назвали диофантовыми уравнениями .
Так как 5 равно 1 плюс 4 , представим 5х3 в виде суммы подобных ему одночленов с	коэффициентами	1 и 4 .
Заметим , что при любом	коэффициенте	пропорциональности k , если , то и у 0 .
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление значения многочлена свелось к нахождению алгебраической суммы его	коэффициентов	, а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену .
3 Записать последовательно в качестве	коэффициентов	выписанных одночленов числа из ( n плюс 1)-й строки треугольника Паскаля .
Таким образом , проблема возведения двучлена в шестую степень ( как и в любую другую n - ю степень , литров сводится к проблеме нахождения	коэффициентов	всех членов итогового многочлена .
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 1 , то значение многочлена равно алгебраической сумме всех его	коэффициентов	.
А это , в свою очередь , поможет нам понять логику получения	коэффициентов	в треугольнике Паскаля .
В одной координатной плоскости постройте графики линейных функций : Для каждой функции определите значения	коэффициентов	k и b .
А поскольку многочлен является алгебраической суммой своих членов , то его значение будет равно алгебраической сумме всех его	коэффициентов	, что и требовалось доказать .
У нас пока недостаточно знаний , чтобы строго доказать истинность данного способа нахождения	коэффициентов	, но мы можем проанализировать , как получаются коэффициенты , например , при возведении двучлена в четвертую степень .
Такая зависимость может быть записана с помощью единой формулы , где х и у — соответствующие значения независимой и зависимой величин , а число k называется	коэффициентом	пропорциональности .
Запишите подобный ему одночлен с	коэффициентом	а .
Сгруппируем в нашем многочлене слагаемые с коэффициентом 3 и слагаемые с	коэффициентом	7 и вынесем в каждой группе за скобки общий множитель .
Сгруппируем в нашем многочлене слагаемые с	коэффициентом	3 и слагаемые с коэффициентом 7 и вынесем в каждой группе за скобки общий множитель .
Так , например ,	коэффициентом	одночлена ухххсу умножить ( -0,5 ) является число ( -0,5 ) , а одночлена m умножить 1/8 умножить z5 умножить ( -2k)3 - число 1/8 умножить ( -2)3 равно -1 .
Произведение всех числовых множителей одночлена называется	коэффициентом	одночлена .
Число k называется	коэффициентом	пропорциональности .
Число k называют	коэффициентом	при неизвестном , а число b — свободным членом линейного уравнения .
Для того чтобы определить эти	коэффициенты	, поставим в вершине и вдоль боковых сторон некоторого равнобедренного треугольника число 1 .
Выберите из предложенных зависимостей между переменными у и х линейные функции , запишите их в виде и определите	коэффициенты	k и b. Найдите область определения и область значений этих функций .
В нем в каждой ( n плюс 1)-й строке стоят	коэффициенты	многочлена , полученного при возведении двучлена в степень .
У нас пока недостаточно знаний , чтобы строго доказать истинность данного способа нахождения коэффициентов , но мы можем проанализировать , как получаются	коэффициенты	, например , при возведении двучлена в четвертую степень .
Французский математик Блез Паскаль в своем « Трактате об арифметическом треугольнике » ( 1655 г. ) установил способ , который позволяет достаточно легко найти требуемые	коэффициенты	при возведении двучлена в любую n - ю степень .
При этом	коэффициенты	всех членов получившегося в скобках многочлена — целые числа , которые не имеют общих делителей , отличных от 1 .
При этом	коэффициенты	членов многочлена идут в том порядке , в котором договорились записывать члены итогового многочлена .
Назовите их степени , свободные члены и	коэффициенты	членов , имеющих буквенные множители .
1 Математическими моделями его задач являются уравнения , имеющие целые	коэффициенты	, с двумя и более неизвестными .
Однако данная теорема не позволяет сделать никаких выводов о втором уравнении , ведь его	коэффициенты	не удовлетворяют условию этой теоремы : НОД ( 4 ; 6 ) 2 , а число 9 не делится на 2 .
В первом случае а2	кратен	3 , а в двух остальных - остаток при делении а2 на 3 равен 1 , что и требовалось доказать .
Доказать , что квадрат любого целого числа либо	кратен	3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 .
Доказать , что квадрат любого целого числа либо	кратен	3 , либо при делении на 3 дает остаток 1 .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не	кратен	5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число	кратно	21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
Число 9 является делителем числа 24 070 802 301 . г ) Число 3 805 464 400	кратно	8 .
Число 28 725 300 108	кратно	2 , 9 и 18 .
в ) Если сумма цифр целого числа делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если целое число	кратно	3 и 5 , то оно кратно 15 .
Число 236 235 кратно 3 , но не	кратно	9 .
Сумма кратна 9 . д ) Произведение делится на 25 . е ) Произведение не	кратно	9 . ж )
Определите , не вычисляя частное , каким еще 5 числам	кратно	данное число .
Число 4 253 696 не	кратно	ни 5 , ни 10 . г )
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число	кратно	6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Число 236 235	кратно	3 , но не кратно 9 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а	кратно	7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b	кратно	14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Так как НОД ( 5 ; 7 ) 1 , то из полученного равенства следует , что для всех целых х и у , являющихся решением исходного уравнения , кратно 7 , а	кратно	5 .
Любое натуральное число	кратно	самому себе .
а ) Целое число а	кратно	9 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число	кратно	14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
496 Докажите , что значение выражения	кратно	а .
а ) Число 89 является делителем числа 625 670 . б ) Число 169 491	кратно	3 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b	кратно	6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно	кратно	б и 9 .
Натуральное число , кратное 4 и 25 ,	кратно	100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому числу .
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно	кратно	5 .
Так как НОД ( 5 ; 7 ) 1 , то из полученного равенства следует , что для всех целых х и у , являющихся решением исходного уравнения ,	кратно	7 , а кратно 5 .
в ) Если целое число а	кратно	3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не	кратно	4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число	кратно	54 , то оно кратно б и 9 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не	кратно	9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно	кратно	3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а	кратно	3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а	кратно	7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Произведение не	кратно	10 .
а ) Целое число а	кратно	7 .
в ) Если сумма цифр целого числа делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если целое число кратно 3 и 5 , то оно	кратно	15 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а	кратно	2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а	кратно	7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не	кратно	5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
105 Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее	кратное	чисел .
а ) число ,	кратное	7 , при делении на 49 давать остаток 27 ? .
а ) Число а ,	кратное	числу b , не может быть больше b . б ) Любое натуральное число , большее 1 , имеет по крайней мере 2 делителя .
В : при бросании идеального игрального кубика выпало число , не	кратное	на 4 . г ) А : Вася угадал одну из 56 цифр , загаданных его другом .
Из свойств делимости натуральных чисел и основной теоремы арифметики следует , что если в разложении числа на простые множители нет , например , числа 2 , то никакое число ,	кратное	2 , не может быть его делителем .
б ) число ,	кратное	11 , при делении на 33 давать остаток 4 ? .
в ) А : при бросании идеального игрального кубика выпало число ,	кратное	4 .
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на b . 1 Найти наибольшее натуральное число k ,	кратное	делителю и не превышающее делимого а .
б ) число ,	кратное	5 , при делении на 15 давать остаток 7 ? .
Для того чтобы найти частное и остаток , нам , во - первых , надо найти наибольшее число ,	кратное	2 и не превышающее 7 ( число 6 ) , затем найти неполное частное , после этого надо найти остаток .
Как в этом случае понимать термины « делится » , « не делится » , « делитель » , «	кратное	» , « частное » , « остаток » ? .
Наибольший общий делитель чисел k и l равен 2 . д ) Наименьшее общее	кратное	чисел m и n равно 468 .
Числа b и с - делители числа а , число а -	кратное	чисел b и с .
Выбирая нужные понятия и свойства из нижеприведенного списка : 1 ) натуральное число ; 2 ) дробь ; 3 ) число ; 4 )	кратное	2 ; 5 ) меньше единицы ; 6 )
96 Найдите наименьшее общее	кратное	чисел .
Натуральное число ,	кратное	4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому числу .
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и b . 1 Найти наибольшее целое число k ,	кратное	делителю b и не превышающее делимого а .
344 Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее	кратное	чисел .
а ) Натуральное число ,	кратное	3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
б ) Если все решения уравнения х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа , кратные 3 ,	кратны	9 , то некоторые числа , кратные 9 , — решения уравнения х2 минус 9 равно 0 .
б ) Если все решения уравнения х2 минус 9 равно 0	кратны	3 и некоторые числа , кратные 3 , кратны 9 , то некоторые числа , кратные 9 , — решения уравнения х2 минус 9 равно 0 .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не	кратны	5 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не	кратны	9 .
210 Найдите все делители числа а , которые	кратны	числу b .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0	кратны	7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
Все целые числа , которые при делении на 7 дают остаток 2 ,	кратны	5 . з ) Существуют целые числа , которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа ,	кратные	5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
г ) Четные числа - это натуральные числа ,	кратные	2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
б ) Если все решения уравнения х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа ,	кратные	3 , кратны 9 , то некоторые числа , кратные 9 , — решения уравнения х2 минус 9 равно 0 .
Z4(0 ) - числа вида 4k ( числа ,	кратные	4 , то есть дающие при делении на 4 остаток 0 ) .
Если ни одно решение уравнения не делится на 5 , а некоторые числа ,	кратные	5 , делятся на 10 , значит , некоторые числа , кратные 10 , не являются решениями уравнения .
Есть четные числа ,	кратные	7 и 5
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые	кратные	7 числа не кратны 9 .
Если ни одно решение уравнения не делится на 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 10 , значит , некоторые числа ,	кратные	10 , не являются решениями уравнения .
б ) Если все решения уравнения х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа , кратные 3 , кратны 9 , то некоторые числа ,	кратные	9 , — решения уравнения х2 минус 9 равно 0 .
а ) Число d - делитель числа а , если число а в с раз больше d . б ) Число k является	кратным	числа b , если число k в а раз больше .
Величины углов треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным числам ,	кратным	трем .
Функция задана следующим образом : всем числам ,	кратным	3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 .
В случае деления с остатком ( -7 ) на ( -2 ) наибольшим целым числом ,	кратным	( -2 ) и не превышающим ( -7 ) , является число (-8 ) , а расстояние от (-8 ) до ( -7 ) равно .
При этом расстояние между двумя последовательными числами ,	кратными	( -2 ) , равно | -2 | , и поэтому для остатка возникает требование .
б ) Сколько шестизначных чисел ,	кратных	4 , можно составить из цифр 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , если цифры в искомом числе не повторяются ? .
В множестве А найдите подмножества , состоящие из чисел ,	кратных	.
Сок - это	кривой	воад .
48 В некоторой математической теории введены следующие первоначальные понятия : талл , воад , твердый , жидкий , прямой ,	кривой	.
А2 Таллы и воады могут быть как прямыми , так и	кривыми	.
226 Могут ли 17 шестеренок , сцепленных в замкнутый	круг	, вращаться одновременно ? . .
I « Порочный	круг	» ( попытка доказать некоторое утверждение , используя при доказательстве истинность доказываемого утверждения ) .
Что касается круговых диаграмм , то они показывают зависимость между значениями величин с помощью величин центральных углов	круга	.
Так , пройденный путь зависит от скорости и времени движения , площадь	круга	зависит от его диаметра , площадь квадрата зависит от длины его стороны и т .
« Соприкасаясь постоянно с	кругами	нашего ученого мирка при Ботаническом саде , Консель и сам кое - чему научился .
а )	куб	суммы х и у .
в ) разность кубов гиг . г )	куб	разности гиг .
Возведите в	куб	двучлены .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус	куб	второго выражения .
Представьте многочлен как	куб	двучлена .
а ) Удвоенный	куб	числа а .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на	куб	суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
в	куб	.
Это правило обобщает те закономерности , которые мы наблюдали при возведении двучлена в квадрат и в	куб	.
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым умножением , возвести двучлен в	куб	, четвертую и более высокие степени .
	Куб	суммы двух чисел .
750 Представьте многочлен как	куб	двучлена .
383 Представьте многочлен как	куб	двучлена .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус	куб	второго числа .
Переставив слагаемые в данной алгебраической сумме , мы получим	куб	разности чисел с и 1 .
Докажите , что	куб	этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б ) Целое число при делении на 9 дает в остатке 7 .
413 Представьте многочлен как	куб	двучлена .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс	куб	второго выражения .
Так , мы видели , что при возведении двучлена а плюс b в квадрат получаются слагаемые с буквенной частью , при возведении в	куб	— слагаемые с буквенной частью .
408 Возведите двучлен в	куб	.
Докажите , что	куб	этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б ) Целое число при делении на 5 дает в остатке 4 .
378 Возведите двучлены в	куб	.
749 Возведите двучлены в	куб	.
Докажите , что	куб	этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г ) Целое число при делении на 4 дает в остатке 3 .
Возведите двучлены в	куб	.
Докажите , что	куб	этого числа при делении на 9 дает в остатке 1 .
Найдите длину ребра первого	куба	, если объем второго куба равен 343 см3 .
591 Разложите многочлен на множители , используя формулы	куба	суммы и разности .
Длина ребра второго	куба	на 3 см больше длины ребра первого .
Формула	куба	суммы .
Формула	куба	разности .
Задайте зависимость объема	куба	V от длины его ребра а .
б ) Во сколько раз увеличится объем	куба	, если его сторону увеличить в n раз ?
а ) квадрат произведения чисел 5 , квадрата числа а ,	куба	числа b . б ) произведение кубов чисел 3 , х , у , 2 , г .
б ) разность	куба	целого числа и самого числа делится на 6 .
Найдите длину ребра первого куба , если объем второго	куба	равен 343 см3 .
Докажите , что сумма	куба	и квадрата этого числа делится на 5 .
В нашем арсенале формул сокращенного умножения уже есть формулы квадрата и	куба	суммы , квадрата и куба разности , а также формула разности квадратов .
В нашем арсенале формул сокращенного умножения уже есть формулы квадрата и куба суммы , квадрата и	куба	разности , а также формула разности квадратов .
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и	куба	пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
617 Разложите многочлен на множители , используя формулы	куба	суммы и разности .
Заменяя в полученной формуле b на ( -b ) , приходим к новой формуле сокращенного умножения , которую называют формулой	куба	разности двух выражений .
Можно заметить также , что в формуле	куба	разности при указанной записи итогового многочлена знаки его членов чередуются : сначала « плюс » , затем « минус » и так далее .
Формулы	куба	суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и выражений , не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных слагаемых .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное	куба	суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Докажите , что сумма	куба	и квадрата этого числа делится на 4 .
	Куба	разности .
	Куба	суммы .
Формула куба суммы формула	куба	разности .
И действительно , если нам надо будет , например , разложить на множители многочлен а3 плюс 3а2b плюс 3ab2 4- b3 , то , вспомнив формулу	куба	суммы , мы сразу напишем требуемое разложение .
Заметим , что в формулах	куба	суммы и разности члены итогового многочлена принято записывать в специальном порядке .
Формула	куба	суммы формула куба разности .
377 381 Вычислите , используя формулу куба суммы или	куба	разности .
377 381 Вычислите , используя формулу	куба	суммы или куба разности .
Полученные нами формулы суммы и разности	кубов	, как и все другие формулы сокращенного умножения , рассмотренные ранее , верны для любых а и b , а значит , являются тождествами .
Тем самым получим формулу для суммы	кубов	.
произведения разности и суммы двух выражений . разности квадратов . разности	кубов	.
Найдите сумму квадратов и сумму	кубов	n первых натуральных чисел для .
Итак , мы приходим к следующей формуле разности	кубов	двух выражений .
суммы	кубов	.
Сумма	кубов	чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
в ) квадрат суммы чисел c и d больше или равен 25 . г ) разность	кубов	чисел х и у меньше или равна 32 .
Доказать , что сумма	кубов	этих чисел делится на 4 . б ) Два целых числа при делении на 7 дают в остатке соответственно 2 и 3 .
Таким образом , в результате нашего исследования нам удалось получить формулу суммы	кубов	двух выражений .
Попробуем аналогичным способом действовать и для получения формулы разности	кубов	.
Формула разности	кубов	.
436 Пользуясь формулами суммы и разности	кубов	, докажите , что для любых а и b верно равенство .
Формула суммы	кубов	.
Формула суммы	кубов	формула разности кубов .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность	кубов	у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Формула суммы кубов формула разности	кубов	.
А можно ли получить формулу для суммы и разности	кубов	? .
А если на множители надо разложить многочлен , то , зная формулу суммы	кубов	, мы запишем .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы	кубов	чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
530 Докажите , что разность	кубов	А и В делится на 29 .
Теперь в первом слагаемом применим формулу суммы	кубов	, а во втором — формулу квадрата суммы .
590 Представьте выражение в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и разности	кубов	.
К сожалению , ни сумма , ни разность	кубов	у нас пока не получилась .
Таблица	кубов	натуральных чисел до 60 .
Доказать , что сумма	кубов	этих чисел делится на 7 .
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж ) Сумма	кубов	чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
4 Сумма и разность	кубов	.
Теперь , чтобы получить формулу разности	кубов	, заметим , что Выражение а2 плюс ab плюс b2 получило название неполного квадрата суммы а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения ab .
Если мы вынесем его за скобки , то в скобках останется сумма	кубов	х и y.
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность	кубов	чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
482 Докажите , что сумма	кубов	А и В делится на 36 .
разность	кубов	двух последовательных целых чисел не делится на 3 .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность	кубов	чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Сумма	кубов	двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности .
б ) сумма	кубов	х и у .
в ) разностью	кубов	.
а ) квадрат произведения чисел 5 , квадрата числа а , куба числа b . б ) произведение	кубов	чисел 3 , х , у , 2 , г .
460 Докажите , что сумма	кубов	трех последовательных целых чисел делится на 3 .
12 Запишите следующие выражения : 1 ) сумма	кубов	двух чисел ;
а ) разностью квадратов . б ) суммой	кубов	.
2 Ищите в исходном многочлене признаки формул сокращенного умножения — удвоенные и утроенные произведения , сумму и разность	кубов	, разность квадратов .
в ) разность	кубов	гиг . г ) куб разности гиг .
130 Известны формулы суммы квадратов n первых натуральных чисел , а также суммы их	кубов	.
616 Представьте выражение в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и разности	кубов	.
в ) Модуль разности	кубов	а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Разность	кубов	двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы .
Для начала разберемся с	кубом	суммы и разности .
Как и раньше , квадратом числа будем называть вторую степень этого числа ( а2 равно а умножить а ) , а	кубом	числа — его третью степень ( а3 равно а умножить а умножить а ) .
Куб суммы двух выражений равен	кубу	первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен	кубу	первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
Куб разности двух выражений равен	кубу	первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
б ) Если рациональные числа равны , то равны и	кубы	этих чисел .
Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять	кубы	разных чисел и выражений , не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных слагаемых .
	Линейная	функция , область определения которой состоит из всех значений t , удовлетворяющих неравенству .
2 Линейные процессы и	линейная	функция .
Таким образом , если b 0 , то	линейная	функция превращается в прямую пропорциональность , а если k 0 , то графиком линейной функции является прямая , .
линейная функция с областью определения . 3 )	линейная	функция с областью определения .
Кусочно -	линейная	функция .
	Линейная	функция с областью определения . 3 ) линейная функция с областью определения .
Если область определения функции может быть разбита на конечное число непересекающихся числовых промежутков , объединение которых дает всю область определения , и на каждом из этих промежутков функция	линейная	, то такая функция называется кусочно - линейной .
Значит ,	линейная	зависимость является функциональной ( то есть функцией ) .
Запишем теперь алгоритм решения	линейного	уравнения с одним неизвестным , обозначив для простоты -b с. Тогда .
По аналогии с определением линейного уравнения с одним неизвестным , дайте определение	линейного	неравенства с одним неизвестным .
Найдите корни	линейного	уравнения ( устно ) .
Рассмотрим пример такого алгоритма для	линейного	неравенства , приводящегося к виду .
Алгоритм решения	линейного	уравнения с одним неизвестным .
Алгоритм решения	линейного	неравенства , приводящегося к виду .
Рассмотрим теперь общий способ решения	линейного	уравнения вида где х — переменная величина .
По аналогии с определением	линейного	уравнения с одним неизвестным , дайте определение линейного неравенства с одним неизвестным .
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при решении задач 1 и 2 , множество решений данного	линейного	уравнения получить просто невозможно , так как каждому целому числу k будет соответствовать своя пара целых х и у , удовлетворяющих исходному уравнению .
Используя результаты предыдущего задания , решите в общем виде линейное уравнение , где k , b , Q , и предложите свой алгоритм решения произвольного	линейного	уравнения с одним неизвестным .
Предложите свой алгоритм решения произвольного	линейного	неравенства с одним неизвестным .
Число k называют коэффициентом при неизвестном , а число b — свободным членом	линейного	уравнения .
Решите	линейное	уравнение .
Записать	линейное	уравнение .
Решим	линейное	неравенство в общем виде , рассмотрев для определенности неравенство .
Записать	линейное	неравенство в виде kx .
Используя результаты предыдущего задания , решите в общем виде	линейное	уравнение , где k , b , Q , и предложите свой алгоритм решения произвольного линейного уравнения с одним неизвестным .
Следовательно , при k 0	линейное	уравнение имеет единственный корень .
Таким образом , как только мы представили	линейное	неравенство с одним неизвестным х в виде , мы сразу можем найти его решение .
Решим	линейное	уравнение в общем виде .
Решите в общем виде	линейное	неравенство .
В таблице значений некоторой	линейной	функции два из пяти значений заданы неверно .
Если область определения функции может быть разбита на конечное число непересекающихся числовых промежутков , объединение которых дает всю область определения , и на каждом из этих промежутков функция линейная , то такая функция называется кусочно -	линейной	.
Может ли график	линейной	функции располагаться на координатной плоскости только : а ) в I и II четвертях ; в ) в I и IV четвертях ; д ) во II и IV четвертях .
Таким образом , зависимость пути s ( в километрах ) , пройденного пешеходом , от времени его движения t ( в часах ) может быть записана на каждом временном интервале с помощью своей	линейной	функции .
Используя свой опыт построения графика функции , составьте общий алгоритм построения графика	линейной	функции и сравните его с алгоритмом , приведенным на стр. учебника .
Используя определение кусочно - линейной функции , запишите алгоритм построения графика кусочно -	линейной	функции .
Теперь , систематизировав информацию о числовых промежутках , дадим определение кусочно -	линейной	функции .
Уравнения данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием	линейной	функции , которая задается выражением аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию .
Отметим , что данный алгоритм построения графика	линейной	функции может использоваться при любых k и b. А значит , с его помощью может быть построен и график прямой пропорциональной зависимости ( случай , когда b — 0 ) , и график прямой ( случай , когда k — 0 ) .
Определите знаки k u b , если график	линейной	функции расположен в следующих четвертях координатной плоскости : а ) в I , II и III четвертях ; в ) в I , III и IV четвертях ; б ) в I , II и IV четвертях ; г ) во II , III и IV четвертях .
График	линейной	функции , где k и b — произвольные числа , может быть получен из графика функции путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно .
Пользуясь определением и алгоритмом построения графика	линейной	функции , запишем алгоритм построения графика кусочно - линейной функции .
Пользуясь определением и алгоритмом построения графика линейной функции , запишем алгоритм построения графика кусочно -	линейной	функции .
Итак , график	линейной	функции также является прямой .
В таблице значений некоторой	линейной	функции два значения из пяти заданы неверно .
Этот способ удобен для построения произвольного графика	линейной	функции .
Так как коэффициент b нашей	линейной	функции равен , то график функции получается из графика функции параллельным переносом вдоль оси Оу на 1 единицу вниз .
Постройте график кусочно -	линейной	функции .
А областью определения данной функции , которая получила название	линейной	, являются все известные нам числа .
Найдите два способа построения графика	линейной	функции и примените их для построения графика функции .
Зависимость между величинами х и у называется	линейной	, если данные величины связаны формулой , где k и b — произвольные числа .
Используя определение кусочно -	линейной	функции , запишите алгоритм построения графика кусочно - линейной функции .
Тем не менее , если в течение некоторых промежутков времени данные величины k и b все же сохраняют свое постоянное значение , процесс на каждом из этих промежутков остается линейным , и поэтому он может быть описан целиком так называемой кусочно -	линейной	функцией .
Функция вида , где k и b — произвольные числа , называется	линейной	функцией .
Таким образом , если b 0 , то линейная функция превращается в прямую пропорциональность , а если k 0 , то графиком	линейной	функции является прямая , .
Таким образом , мы можем записать следующий алгоритм построения графика	линейной	функции .
Используя получившийся график , постройте график	линейной	зависимости , если .
Для того чтобы дать точное определение кусочно -	линейной	функции , нам необходимо вначале уточнить понятие числового промежутка — множества чисел , удовлетворяющих некоторому неравенству .
Рассмотрим еще один пример кусочно -	линейной	функции — зависимость Вспомним определение модуля числа , докажем , что данная зависимость является функцией , и построим график этой функции .
Если ни одна ломаная линия не является графиком	линейной	функции , то ни один график линейной функции — не ломаная линия .
Но на каждом ее « куске » , то есть промежутке времени , на котором тип движения не меняется , функция является	линейной	, поэтому ее и называют кусочно - линейной .
Принадлежат ли графику кусочно -	линейной	функции точки А и В , если .
Выделить непересекающиеся числовые промежутки , составляющие всю область определения функции , на каждом из которых функция является	линейной	.
Если ни одна ломаная линия не является графиком линейной функции , то ни один график	линейной	функции — не ломаная линия .
Является ли она	линейной	? .
Прочитайте определение кусочно -	линейной	функции и объясните , почему зависимости подобного вида получили такое название .
В предыдущем пункте мы познакомились с	линейной	функцией , где k и b — некоторые числа , научились строить ее график .
При этом процессы , которые описывает данная функция , характеризовались двумя постоянными величинами k и b , которые не меняли своих значений на всей области определения	линейной	функции ( множестве всех известных нам чисел ) .
Но на каждом ее « куске » , то есть промежутке времени , на котором тип движения не меняется , функция является линейной , поэтому ее и называют кусочно -	линейной	.
Вместе с тем данная функция не является	линейной	, так как на всей области определения она не может быть представлена в виде s , где k и b — некоторые числа .
Алгоритм построения графика кусочно -	линейной	функции . 1 )
Итак , обобщая способ решения неравенства с несколькими модулями , сводящегося к	линейному	, приходим к следующему алгоритму .
Пользуясь формулой , задающей	линейную	зависимость , заполните пустые клетки таблицы .
291 По данным таблицы постройте	линейную	диаграмму , показывающую динамику инвестиций , направленных в РФ на охрану окружающей среды .
Прямая проходит через точки А и В. Задайте аналитически	линейную	функцию , графиком которой является эта прямая , и постройте ее график .
в ) Если все уравнения вида — линейные и некоторые	линейные	уравнения не имеют решений , значит , некоторые уравнения вида не имеют решений .
Решите	линейные	уравнения .
Выберите из предложенных зависимостей между переменными у и х	линейные	функции , запишите их в виде и определите коэффициенты k и b. Найдите область определения и область значений этих функций .
Пользуясь определением , найдите	линейные	уравнения с одной переменной среди уравнений , приведенных ниже .
В предыдущих пунктах мы с вами научились решать	линейные	уравнения и неравенства , уравнения с модулями , сводящиеся к линейным .
Кусочно -	линейные	функции .
г ) Если все неравенства вида	линейные	и некоторые линейные неравенства имеют более пяти решений , значит , некоторые неравенства вида имеют более пяти решений .
в ) Если все уравнения вида —	линейные	и некоторые линейные уравнения не имеют решений , значит , некоторые уравнения вида не имеют решений .
282 По данным таблиц постройте	линейные	диаграммы : а ) Величина прожиточного минимума на одного человека в РФ ; б ) Общая жилплощадь , приходящаяся в среднем на одного жителя РФ ( по со стоянию на конец года ) ; в ) Число высших учебных заведений в РФ ( среднегодовой показатель ) .
г ) Если все неравенства вида линейные и некоторые	линейные	неравенства имеют более пяти решений , значит , некоторые неравенства вида имеют более пяти решений .
В предыдущих пунктах мы с вами научились решать линейные уравнения и неравенства , уравнения с модулями , сводящиеся к	линейным	.
Для того чтобы вывести данную формулу , разобьем все время движения пешехода на три временных промежутка , на каждом из которых его скорость была постоянной и , значит , процесс движения был	линейным	.
Тем не менее , если в течение некоторых промежутков времени данные величины k и b все же сохраняют свое постоянное значение , процесс на каждом из этих промежутков остается	линейным	, и поэтому он может быть описан целиком так называемой кусочно - линейной функцией .
Такие неравенства называют	линейными	неравенствами с одним неизвестным х .
Следовательно , все подобные уравнения также будут	линейными	.
Зависимости такого вида называются	линейными	.
Согласно определению ,	линейными	являются , например , следующие функции .
Прежде чем начать изучение	линейных	уравнений , вспомним , что такое уравнение и что значит решить его .
На одной координатной плоскости Оху постройте графики	линейных	функций и найдите координаты их точки пересечения .
Решение	линейных	уравнений в целых числах .
Глава 6 Введение в теорию	линейных	уравнений и неравенств .
Решения	линейных	неравенств .
Уравнения данного вида получили название	линейных	уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается выражением аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию .
Проанализируйте взаимное расположение графиков	линейных	функций на и задайте данные функции аналитически ( формулами ) .
Установленные способы решения	линейных	неравенств для каждого из четырех выделенных в определении случаев можно представить в виде алгоритма .
Обобщая рассмотренный способ поиска целых решений	линейных	уравнений вида , где а , b , с Z , приходим к следующему алгоритму .
Таким образом , мы научились по коэффициентам	линейных	уравнений с двумя неизвестными сразу выделять те из них , которые имеют хотя бы одно целое решение .
Таким образом , задача решения	линейных	неравенств преобразовалась в задачу приведения их с помощью равносильных преобразований к одному из четырех указанных видов .
В одной координатной плоскости постройте графики	линейных	функций : Для каждой функции определите значения коэффициентов k и b .
Если ни одна ломаная линия не является графиком линейной функции , то ни один график линейной функции — не	ломаная	линия .
Если ни одна	ломаная	линия не является графиком линейной функции , то ни один график линейной функции — не ломаная линия .
18 а ) Расстояние AD между началом и концом	ломаной	ABCD равно 9,6 см. Известно , что АВ равно четверти AD , ВС на 0,4 см меньше АВ , a CD в 1,5 раза больше ВС. Чему равна длина ломаной ABCD ? .
а ) Длина ломаной ABCD равна 54 см. Известно , что длина АВ в 5 раз меньше расстояния между началом и концом	ломаной	, длина ВС — в 3 раза больше АВ , а длина CD — на 1 см меньше , чем АВ .
Длина ломаной ABCD равна 13,5 см. Известно , что АВ равно 1/6 расстояния между ее началом и концом , ВС на 5,1 см больше АВ , a CD на 3,6 см меньше ВС. Найдите длину звена АВ этой	ломаной	.
а ) Расстояние AD между началом и концом	ломаной	ABEFD равно 76 см. Известно , что длина первого звена ломаной в 4 раза меньше AD , второго - на 10 см меньше , чем первого , третьего - на 12 см больше , чем второго , а четвертого - на 9 см меньше , чем третьего .
Длина ломаной ABCD равна 17,8 см. Известно , что АВ равно половине расстояния между началом ломаной ABCD и ее концом , ВС на 6,7 см меньше АВ , a CD в 2 раза меньше ВС. Чему равно звено ВС этой	ломаной	? .
Длина	ломаной	AKLN равна 15,6 см. Известно , что АК равно четверти расстояния между ее началом и концом , KL на 0,6 см меньше АК , a LN в 2 раза больше KL .
Чему равно звено АК этой	ломаной	? .
18 а ) Расстояние AD между началом и концом ломаной ABCD равно 9,6 см. Известно , что АВ равно четверти AD , ВС на 0,4 см меньше АВ , a CD в 1,5 раза больше ВС. Чему равна длина	ломаной	ABCD ? .
Длина	ломаной	ABCD равна 16 см. Известно , что длина АВ равна трети расстояния между ее началом и концом , ВС — на 0,8 см больше АВ , a CD — на 1,8 см меньше ВС. Чему равна длина звена АВ этой ломаной ? .
а ) Расстояние AD между началом и концом ломаной ABEFD равно 76 см. Известно , что длина первого звена	ломаной	в 4 раза меньше AD , второго - на 10 см меньше , чем первого , третьего - на 12 см больше , чем второго , а четвертого - на 9 см меньше , чем третьего .
Длина	ломаной	ABCD равна 17,8 см. Известно , что АВ равно половине расстояния между началом ломаной ABCD и ее концом , ВС на 6,7 см меньше АВ , a CD в 2 раза меньше ВС. Чему равно звено ВС этой ломаной ? .
а ) Длина	ломаной	ABCD равна 54 см. Известно , что длина АВ в 5 раз меньше расстояния между началом и концом ломаной , длина ВС — в 3 раза больше АВ , а длина CD — на 1 см меньше , чем АВ .
Длина ломаной ABCD равна 16 см. Известно , что длина АВ равна трети расстояния между ее началом и концом , ВС — на 0,8 см больше АВ , a CD — на 1,8 см меньше ВС. Чему равна длина звена АВ этой	ломаной	? .
Длина	ломаной	ABCD равна 13,5 см. Известно , что АВ равно 1/6 расстояния между ее началом и концом , ВС на 5,1 см больше АВ , a CD на 3,6 см меньше ВС. Найдите длину звена АВ этой ломаной .
Найдите длину	ломаной	ABEFD . б ) Величина первого утла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше третьего .
Длина ломаной ABCD равна 17,8 см. Известно , что АВ равно половине расстояния между началом	ломаной	ABCD и ее концом , ВС на 6,7 см меньше АВ , a CD в 2 раза меньше ВС. Чему равно звено ВС этой ломаной ? .
Постройте	ломаную	ABCD , удовлетворяющую условию предыдущей задачи .
Проведите	ломаную	ABCDEFGH и определите координаты точек ее пересечения с осями координат Ох и Оу . д ) Как , не выполняя построения , по координатам точки определить , принадлежит ли она оси координат , и если да , то какой ? .
155 Можно ли нарисовать замкнутую	ломаную	линию , состоящую из 15 звеньев , каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев ? .
Постройте	ломаную	ABCD и найдите приблизительные координаты точек ее пересечения с осями Ох и Оу .
Поэтому в ответе получится не открытый , а замкнутый числовой	луч	или .
Открытый	луч	.
Значит , решением нашего неравенства является открытый	луч	.
Значит , решением исходного неравенства является замкнутый	луч	.
Замкнутый	луч	.
Чтобы выяснить , можно ли составить из указанных чисел	магический квадрат	, установим ограничения , которые накладывает на данные числа это условие .
Заметим , что	магический квадрат	можно составить далеко не из любых девяти чисел , поэтому совершенно не очевидно , что данная задача имеет решение .
Таким образом , мы получаем следующие восемь возможных расположений центрального и угловых элементов в	магических квадратах	.
Ответ : из чисел 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 можно составить 8	магических квадратов	размером .
Прежде всего , вычислим , какой должна быть сумма чисел в каждой строке , столбце и диагонали искомого	магического квадрата	.
Так , число , стоящее в середине	магического квадрата	, должно встречаться в четырех комбинациях , в углах квадрата — в трех комбинациях , а остальные числа — в двух комбинациях .
Из таблицы видно , что в центре	магического квадрата	может находиться только число 4 , а в углах — числа 1 , 3 , 5 , 7 .
Следовательно , сумма чисел в каждой строке , столбце и диагонали нашего	магического квадрата	должна быть равна 12 .
Так как мы имеем всего 8 комбинаций чисел , сумма которых равна 12 , то , следовательно , каждая из них должна занять в искомом	магическом квадрате	ровно одну позицию — строку , столбец или диагональ .
Так , цифры искомого пароля должны были быть различными , числа в	магическом квадрате	не повторялись , а комплекты одежды Маши не могли содержать одновременно , например , две кофты .
И наконец , необходимо учесть , что в	магическом квадрате	числа должны встречаться в определенном числе комбинаций .
Как мы уже убедились на примере одночленов , упорядочивание записи	математических объектов	значительно упрощает различные операции с ними .
Какой стала бы средняя цена , мода , размах и	медиана	, если бы все цены увеличились в 4 раза , уменьшились в 2,5 раза ? .
Какой стала бы средняя зарплата , мода , размах и	медиана	, если бы все зарплаты увеличились в 2 раза , уменьшились в 1,5 раза ? .
4 Если n — нечетно , то	медиана	равна числу , расположенному в упорядоченном наборе на месте с номером .
5 Если n — четно , то	медиана	равна среднему арифметическому чисел , стоящих в упорядоченном наборе на местах с номерами .
Какой стала бы средняя цена , мода , размах и	медиана	, если бы все цены увеличились в 2,4 раза , уменьшились в 1,3 раза ? .
Какой стала бы средняя цена , мода , размах и	медиана	, если бы все цены увеличились в 2,5 раза , уменьшились в 3 раза ? .
Какой стала бы средняя зарплата , мода , размах и	медиана	, если бы все зарплаты увеличились в 4 раза , уменьшились в 1,2 раза ? .
Полученный нами при решении задачи результат приводит нас к еще одной статистической характеристике набора чисел , называемой	медианой	.
Для того чтобы понять , как находить	медиану	в этом случае , рассмотрим следующую задачу .
Способ нахождения	медианы	числового набора и ее определение зависят от того , четно или нечетно количество чисел в наборе .
Рассмотрим задачу , иллюстрирующую алгоритм нахождения	медианы	числового набора в этом случае .
Алгоритм нахождения	медианы	набора чисел .
Нахождение	медианы	числового набора бывает полезно в тех случаях , когда необходимо определить среднюю цену , по которой продается некоторый товар в магазинах ; компанию , получившую среднюю прибыль за год среди всех компаний некоторой промышленной отрасли ; спортсмена , показавшего средний результат , и т .
Заметим , что если в числовом наборе имеются одинаковые числа , то способ нахождения	медианы	не изменится .
Поэтому как	минимум	у двух учеников дни рождения совпадают , что и требовалось доказать .
282 По данным таблиц постройте линейные диаграммы : а ) Величина прожиточного	минимума	на одного человека в РФ ; б ) Общая жилплощадь , приходящаяся в среднем на одного жителя РФ ( по со стоянию на конец года ) ; в ) Число высших учебных заведений в РФ ( среднегодовой показатель ) .
Аналогично площадь второго квадрата , с одной стороны , равна а2 , а с другой — сумме ( а минус b)2 плюс ( ab	минус	b2 ) плюс ( ab минус b2 ) плюс b2 .
в ) ( 6а плюс 6)2 минус 1 делится на 12 для любого целого а . г ) ( 8b плюс 5)2	минус	9 делится на 16 для любого целого b .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения ,	минус	удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
Найти значение многочлена 4n5 плюс 3n2	минус	8 , если .
Аналогично площадь второго квадрата , с одной стороны , равна а2 , а с другой — сумме ( а минус b)2 плюс ( ab минус b2 ) плюс ( ab	минус	b2 ) плюс b2 .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс бесконечность и	минус	бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
После вынесения его за скобки в скобках останется многочлен х минус а , равный	минус	( а минус х ) .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х минус 1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые отрицательные числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х	минус	1 больше 0 .
174 Запишите А плюс В , А	минус	В к В минус А как многочлены в стандартном виде , если . .
243 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из чисел : а , с , а минус с , 2а	минус	с делится на 3 .
174 Запишите А плюс В , А минус В к В	минус	А как многочлены в стандартном виде , если . .
После вынесения его за скобки в скобках останется многочлен х	минус	а , равный минус ( а минус х ) .
Если бы мы не узнали , что многочлен х2 минус х	минус	2 можно представить в виде произведения , то не смогли бы решить данное уравнение , так как пока не знаем общего способа решения уравнений такого вида .
251 В формулы ( а плюс b)2 равно а2 плюс 2ab плюс b2 n ( а	минус	b)2 равно а2 - 2ab плюс b2 подставьте b равно а , b равно 2а , b равно 3а и убедитесь в истинности полученных равенств .
б ) ( 9 t минус 4)2	минус	16 делится на 9 для любого целого t .
в ) Если х2 равно 4 , то х	минус	2 или х равно -2 .
176 Даны многочлены : К , М и N. Запишите в стандартном виде многочлен К	минус	М плюс 2N , если .
Таким образом , в результате проведенных преобразований обе группы слагаемых будут иметь общий множитель а	минус	х .
Этот же результат мы получим , если в формуле квадрата суммы заменим b на (	минус	b ) .
Если бы мы не узнали , что многочлен х2	минус	х минус 2 можно представить в виде произведения , то не смогли бы решить данное уравнение , так как пока не знаем общего способа решения уравнений такого вида .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х	минус	1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые отрицательные числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х минус 1 больше 0 .
453 Найдите значение выражения а3	минус	b3 , если известно , что .
Например , в первую группу объединим первый и второй члены многочлена , а во вторую — третий и четвертый ( при этом если перед вторыми скобками мы поставим знак «	минус	» , то не забудем поменять знаки слагаемых в скобках на противоположные ) .
593 Докажите , что если z3	минус	z для любого целого числа z делится на 5 , то .
Так как а4 равно ( а2)2 , ах4	минус	( х2)2 , то , сгруппировав первое и четвертое слагаемое , мы сможем применить формулу разности квадратов .
Найдите значение выражения а3 минус b3 , если известно , что а	минус	b равно 5и ab равно -4,6 .
Очевидно , что те же правила сохранятся и для отрицательных рациональных чисел , так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной дробью знак	минус	, то в записи изменится только знак .
После вынесения его за скобки в скобках останется многочлен х минус а , равный минус ( а	минус	х ) .
б ) ( 9 t	минус	4)2 минус 16 делится на 9 для любого целого t .
Аналогично площадь второго квадрата , с одной стороны , равна а2 , а с другой — сумме ( а	минус	b)2 плюс ( ab минус b2 ) плюс ( ab минус b2 ) плюс b2 .
а ) При каких значениях х произведение двучленов х плюс 4 и х	минус	4 меньше суммы их квадратов на 52 ? .
165 Даны многочлены : Р , Q и R. Запишите в стандартном виде многочлен 3Р	минус	2Q плюс 4R , если .
в ) ( 6а плюс 6)2	минус	1 делится на 12 для любого целого а . г ) ( 8b плюс 5)2 минус 9 делится на 16 для любого целого b .
243 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из чисел : а , с , а	минус	с , 2а минус с делится на 3 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х	минус	1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
Найдите значение выражения а3	минус	b3 , если известно , что а минус b равно 5и ab равно -4,6 .
Найдите значение выражения а3 минус b3 , если известно , что а	минус	равно 4 и а b равно -2,5 .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения ,	минус	утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
657 а ) При каких значениях х произведение двучленов х плюс 3 и х	минус	3 меньше суммы их квадратов на 28 ? .
Представим уравнение ( х минус 5)(х плюс 3 ) равно 9 в виде ( х минус 5)(х плюс 3 )	минус	9 равно 0 и запишем левую часть как многочлен стандартного вида .
Тогда ширина прямоугольника равна ( x	минус	5 ) см , а его длина — ( x плюс 3 ) см , где х минус 5 больше 0 , x плюс 3 больше 0 .
Представим уравнение ( х минус 5)(х плюс 3 ) равно 9 в виде ( х	минус	5)(х плюс 3 ) минус 9 равно 0 и запишем левую часть как многочлен стандартного вида .
Найдите значение выражения а3	минус	b3 , если известно , что а минус равно 4 и а b равно -2,5 .
Тогда ширина прямоугольника равна ( x минус 5 ) см , а его длина — ( x плюс 3 ) см , где х	минус	5 больше 0 , x плюс 3 больше 0 .
а ) квадрат двучлена 3х плюс 2 на 21 больше квадрата двучлена 3х	минус	5 . б )
Значит , исходное уравнение равносильно уравнению 12х(2х	минус	1)(х минус 2 ) равно 0 .
Выражение а2	минус	аb плюс b2 получило название неполного квадрата разности а и b , так как в отличие от квадрата разности у произведения аb нет множителя 2 .
Значит , исходное уравнение равносильно уравнению 12х(2х минус 1)(х	минус	2 ) равно 0 .
квадрат двучлена 2х	минус	6 в 4 раза меньше квадрата двучлена 4х минус 8 .
Представим уравнение ( х	минус	5)(х плюс 3 ) равно 9 в виде ( х минус 5)(х плюс 3 ) минус 9 равно 0 и запишем левую часть как многочлен стандартного вида .
Выражение 4х2	минус	8х , стоящее во второй скобке , мы также можем разложить на множители , вынося за скобки общий множитель 4х .
Ведь если бы мы вынесли за скобки только один из общих множителей , х или 2х	минус	1 , это не дало бы нам возможности решить исходное уравнение .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2	минус	2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2	минус	2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
Найдите значение выражения 2х(х	минус	3 ) - х2(5 - х ) - ( х3 - 3х2 плюс 6х ) 01 при X равно .
Разница D между этими путями равна ( v плюс 5)(t плюс 2 )	минус	vt км .
Разложите на множители многочлен х4	минус	1 .
Для того чтобы разложить многочлен х2 минус 2х	минус	24 на множители , выделим полный квадрат .
Чтобы выражение при этих преобразованиях не изменилось , из него надо вычесть х. Тогда неиспользованные слагаемые образуют группу х3	минус	х , в которой есть общий множитель х.
После вынесения его за скобки в скобках получим разность квадратов х2	минус	1 , которую можно разложить на множители ( х плюс 1)(х минус 1 ) .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2	минус	2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
После вынесения его за скобки в скобках получим разность квадратов х2 минус 1 , которую можно разложить на множители ( х плюс 1)(х	минус	1 ) .
Для того чтобы разложить многочлен х2	минус	2х минус 24 на множители , выделим полный квадрат .
Разложите на множители многочлен х6	минус	2х3 плюс 1 .
б ) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у плюс 5 и у	минус	5 меньше суммы их квадратов на 9у ? .
420 В многочлен 2у3 минус у2 плюс 5у	минус	9 вместо переменной y подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4	минус	2х2 плюс 1 .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2	минус	2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
420 В многочлен 2у3	минус	у2 плюс 5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
квадрат двучлена 2х минус 6 в 4 раза меньше квадрата двучлена 4х	минус	8 .
А с другой стороны , она равна а2	минус	b2 , и , следовательно .
Указание : сделайте замену t равно 4	минус	2а плюс 3а2 и преобразуйте выражение .
476 Докажите , что значение выражения а ) 683	минус	243 делится на 11 . б ) 3263 плюс 543 делится на 38 .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z	минус	l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри : квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а плюс b и а	минус	b , где а и b — произвольные положительные рациональные числа ( а больше b ) .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х	минус	21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
Для ответа на вопрос задачи нам надо решить уравнение ( х	минус	5)(х плюс 3 ) равно 9 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х	минус	7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
а ) Если некоторые решения уравнения х2	минус	1 равно 0 — отрицательные числа , то некоторые отрицательные числа — решения этого уравнения .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у	минус	3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
5 При возведении в степень разности ( а	минус	b)n поставить перед первым одночленом знак « плюс » , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать знаки « плюс » , « минус » до последнего одночлена .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х	минус	2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х	минус	1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x	минус	2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х	минус	2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
б ) Если все решения уравнения х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа , кратные 3 , кратны 9 , то некоторые числа , кратные 9 , — решения уравнения х2	минус	9 равно 0 .
б ) Если все решения уравнения х2	минус	9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа , кратные 3 , кратны 9 , то некоторые числа , кратные 9 , — решения уравнения х2 минус 9 равно 0 .
5 При возведении в степень разности ( а минус b)n поставить перед первым одночленом знак « плюс » , перед вторым — знак «	минус	» и далее чередовать знаки « плюс » , « минус » до последнего одночлена .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел ,	минус	куб второго числа .
Тогда площадь получившейся фигуры будет равна разности площадей большого и маленького квадратов то есть а2	минус	b2 .
775 Докажите , что . a ) 515 плюс 513 делится на 13 . б ) 163	минус	45 делится на 3 .
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон , то есть ( а	минус	b)(а плюс b ) .
Найдите произведение двучленов ( х плюс 1)(х	минус	2 ) .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа ,	минус	утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
375 Докажите , что ( -m)3 равно	минус	m 3 .
в ) 793 плюс 953 делится на 58 . г ) 4243	минус	3183 делится на 53 .
Однако можно заметить , что если в множителе ( а2	минус	2ab плюс b2 ) коэффициент 2 заменить на 1 , то при раскрытии скобок подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз выражение а3 плюс b3 .
А при возведении в n - ю степень разности двух выражений знаки « плюс » и «	минус	» будут чередоваться , начиная с « плюс » , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго ,	минус	куб второго выражения .
Разложите на множители многочлен : а4 плюс ах2	минус	а2х минус х4 . 2 )
Разложите на множители многочлен : а4 плюс ах2 минус а2х	минус	х4 . 2 )
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а	минус	b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
Используя один из способов разложения многочлена х2	минус	х минус 2 на множители , решите уравнение .
Используя один из способов разложения многочлена х2 минус х	минус	2 на множители , решите уравнение .
5 При возведении в степень разности ( а минус b)n поставить перед первым одночленом знак « плюс » , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать знаки « плюс » , «	минус	» до последнего одночлена .
Заметим , что члены исходного многочлена 5х3	минус	10х2 плюс 25х имеют и другие общие буквенные множители и т .
Мы записали исходный многочлен в виде суммы выражений , каждое из которых имеет множитель х	минус	1 .
387 Какое выражение надо прибавить к ( а	минус	b)3 , чтобы получить ( а плюс 6)3 ? .
Значит , этот многочлен мы можем рассматривать как произведение одночлена 5 x . и многочлена x2	минус	2 x плюс 5 .
Разложите на множители многочлен 3у2 плюс 7у	минус	10 .
268 В многочлен х2 минус 4х	минус	7 вместо переменной x подставьте данное выражение и запишите результат как многочлен стандартного вида .
Например , каждый член многочлена 5x3	минус	10 x 2 плюс 25 x : имеет множитель 5x .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у	минус	х , а затем вынести его за скобки .
в часы : 45 минут плюс 2 суток минус 12,25 ч минус 3600 с . г ) в рубли : 6,7 тыс. рублей	минус	1200 коп .
в часы : 45 минут плюс 2 суток минус 12,25 ч	минус	3600 с . г ) в рубли : 6,7 тыс. рублей минус 1200 коп .
в часы : 45 минут плюс 2 суток	минус	12,25 ч минус 3600 с . г ) в рубли : 6,7 тыс. рублей минус 1200 коп .
в килограммы : 0,78 т минус 595 кг плюс 3,2 ц . б ) в сантиметры : 15,9 м минус 215 мм минус 15,9 см	минус	21,4 дм .
в ) квадрат двучлена х	минус	1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x : плюс 4 . г ) квадрат двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x минус 5 .
а ) квадрат двучлена 2х плюс 5 на 120 больше квадрата двучлена 2х минус 7 . б ) квадрат двучлена 5х	минус	3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x : плюс 6 .
а ) квадрат двучлена 2х плюс 5 на 120 больше квадрата двучлена 2х	минус	7 . б ) квадрат двучлена 5х минус 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x : плюс 6 .
в килограммы : 0,78 т минус 595 кг плюс 3,2 ц . б ) в сантиметры : 15,9 м минус 215 мм	минус	15,9 см минус 21,4 дм .
Так , умножив 5x : на многочлен x2 минус 2x плюс 5 , записанный в скобках , мы получим исходный многочлен 5х3	минус	10х2 плюс 25x .
в килограммы : 0,78 т минус 595 кг плюс 3,2 ц . б ) в сантиметры : 15,9 м	минус	215 мм минус 15,9 см минус 21,4 дм .
Так , умножив 5x : на многочлен x2	минус	2x плюс 5 , записанный в скобках , мы получим исходный многочлен 5х3 минус 10х2 плюс 25x .
в килограммы : 0,78 т	минус	595 кг плюс 3,2 ц . б ) в сантиметры : 15,9 м минус 215 мм минус 15,9 см минус 21,4 дм .
393 В многочлен х3 – 3x2 плюс 2х	минус	5 вместо переменной х подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
А значит , мы не смогли бы вычислить значение выражения 4с умножить ( а плюс 26 )	минус	2с умножить 2а прямой подстановкой в него значений переменных .
338 Найдите ( устно ) значение выражения а2	минус	b2 , если известно , что .
в ) квадрат двучлена х минус 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x : плюс 4 . г ) квадрат двучлена 8х	минус	6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x минус 5 .
268 В многочлен х2	минус	4х минус 7 вместо переменной x подставьте данное выражение и запишите результат как многочлен стандартного вида .
плюс 245,3 рубля	минус	90 коп .
Представим 7 у в виде разности одночленов 10у	минус	3у , тогда .
Разложите на множители многочлен у3 плюс у2	минус	х2 минус х3 .
Разложите на множители многочлен у3 плюс у2 минус х2	минус	х3 .
232 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из чисел : а , c , а плюс c , а минус c , 2а плюс c , 2а	минус	c делится на 5 .
в ) квадрат двучлена х минус 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x : плюс 4 . г ) квадрат двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x	минус	5 .
232 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из чисел : а , c , а плюс c , а	минус	c , 2а плюс c , 2а минус c делится на 5 .
Разложите на множители многочлен 3с минус 1	минус	3с2 плюс с3 .
б ) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у плюс 7 и 7	минус	у меньше суммы их квадратов на 14у ! .
Разложите на множители многочлен 3с	минус	1 минус 3с2 плюс с3 .
261 Какое выражение надо прибавить к ( а	минус	b)2 , чтобы получить ( а плюс 6)2 ? .
Можно заметить также , что в формуле куба разности при указанной записи итогового многочлена знаки его членов чередуются : сначала « плюс » , затем «	минус	» и так далее .
2 ) ( х2	минус	2у)3 .
267 Представьте выражение в виде А2	минус	В2 , где А и В — некоторые выражения .
Запишите выражение как многочлен стандартного вида : ( а	минус	b)(а плюс b)(а2 плюс b2)(а4 плюс b4 ) . .
Шаг 3 Чтобы решить уравнение ( х	минус	6)(х плюс 4 ) равно 0 , приравняем к нулю каждый из множителей .
Таким образом , чтобы решить данную задачу , нам потребовалось не только де лить	многозначные	числа , но и искать их простые делители в тех случаях , когда известные нам признаки делимости применить невозможно .
Чтобы упростить вычисления , мы можем использовать идею « записи в столбик » , аналогичную той , которую мы использовали при сложении и вычитании	многозначных	чисел .
При сложении	многозначных	чисел такая запись помогает добиться близкого расположения цифр , стоящих в одинаковых разрядах , а при сложении многочленов — близкого расположения подобных членов .
Используя идею сложения	многозначных	чисел « в столбик » , предложите аналогичный способ сложения многочленов и найдите этим способом сумму А плюс В .
« Четырехугольник - это	многоугольник	с четырьмя сторонами » .
Как можно назвать	многочлен	( -Q ) ? .
Для того чтобы решить данное уравнение , запишем его в виде и разложим	многочлен	в левой его части на множители .
683 Запишите	многочлен	в стандартном виде и определите его степень .
518 Разложите	многочлен	на множители .
Составьте сумму А плюс В данных многочленов и запишите ее как	многочлен	стандартного вида .
Противоположный	многочлен	.
А поскольку	многочлен	является алгебраической суммой своих членов , то его значение будет равно алгебраической сумме всех его коэффициентов , что и требовалось доказать .
Как и при сложении многочленов , мы вновь получим	многочлен	.
Значит , при подстановке в	многочлен	вместо переменных нуля значения всех его членов ( кроме свободного ) будут равны 0 .
При этом	многочлен	, состоящий из двух одночленов , называют двучленом , из трех — трехчленом и т .
Разностью многочленов называется	многочлен	, равный сумме уменьшаемого и многочлена , противоположного вычитаемому .
Заменим	многочлен	- вычитаемое противоположным ему .
Разложить	многочлен	на множители не всегда легко , а порой и невозможно .
123 Дан	многочлен	.
522 Разложите	многочлен	на множители .
490 Разложите	многочлен	на множители тремя различными способами .
Одночлены , из которых составлен	многочлен	, называются членами многочлена .
Вычитание многочленов « в столбик » также сводится к сложению , предварительно лишь надо заменить	многочлен	- вычитаемое противоположным ему .
122 Исходя из определения многочлена , приведенного на стр. 25 , определите , можно ли указанное выражение записать как	многочлен	.
Поэтому , когда мы будем говорить о разложении многочленов на множители , мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные множители ( то есть такие разложения , в которых каждый	многочлен	- множитель имеет степень , большую нуля ) .
469 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
а ) переменную x . б ) переменные а и b. Запишите составленный	многочлен	в стандартном виде и определите его степень .
Представим уравнение х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ] равно -6 в виде х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ] плюс 6 равно 0 и запишем его левую часть как	многочлен	стандартного вида .
125 Запишите	многочлен	в стандартном виде и определите его степень .
133 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Другими словами , противоположный	многочлен	— это исходный многочлен , умноженный на -1 .
514 Разложите	многочлен	на множители .
« Заметив , что	многочлен	в правой части уравнения имеет общий множитель х , он вынес его за скобки .
Следует отметить , что любой	многочлен	мы всегда можем представить в виде произведения некоторого числа и многочлена , причем бесконечным числом способов .
134 Дан	многочлен	a4b - 2a3b2 плюс 4a2b3 - 3ab - 5 .
Другими словами , противоположный многочлен — это исходный	многочлен	, умноженный на -1 .
Разложить	многочлен	на множители ( на буквенные множители ) — это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов , степень которых больше нуля .
Поскольку	многочлен	уже записан в стандартном виде , подставим в него данные значения переменной п .
Если бы мы не узнали , что	многочлен	х2 минус х минус 2 можно представить в виде произведения , то не смогли бы решить данное уравнение , так как пока не знаем общего способа решения уравнений такого вида .
В этом случае в скобках остается	многочлен	, все члены которого не имеют общих буквенных множителей .
Итак , чтобы вынести за скобки общий множитель с , мы можем в скобках записать	многочлен	, каждый член которого получен в результате его деления на с .
4 Записать итоговый	многочлен	.
497 Разложите	многочлен	на множители .
500 Разложите	многочлен	на множители .
Следовательно , результатом вычитания данных многочленов является	многочлен	3у4 плюс у2 - 5у .
Для того чтобы разложить	многочлен	х2 минус 2х минус 24 на множители , выделим полный квадрат .
Записать исходный	многочлен	в виде произведения СА .
2 Заменить	многочлен	- вычитаемое противоположным ему .
Найдите сумму многочленов Р и Q и запишите ее как	многочлен	стандартного вида .
Суммой многочленов называется	многочлен	, членами которого являются все члены многочленов слагаемых , взятых с их знаками .
354 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
одночлена на	многочлен	« в столбик » .
5 Записать итоговый	многочлен	.
126 Составьте свой	многочлен	, содержащий .
многочлена на	многочлен	« в столбик » .
Значит , этот	многочлен	мы можем рассматривать как произведение одночлена 5 x . и многочлена x2 минус 2 x плюс 5 .
Таким образом , мы разложили	многочлен	.
Так , умножив 5x : на	многочлен	x2 минус 2x плюс 5 , записанный в скобках , мы получим исходный многочлен 5х3 минус 10х2 плюс 25x .
Так , умножив 5x : на многочлен x2 минус 2x плюс 5 , записанный в скобках , мы получим исходный	многочлен	5х3 минус 10х2 плюс 25x .
Затем прибавим полученный	многочлен	к многочлену - уменьшаемому . .
Вынеся общий множитель 5х за скобки , в скобках мы записали	многочлен	, каждый член которого мы разделили на 5х .
131 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Представим уравнение ( х минус 5)(х плюс 3 ) равно 9 в виде ( х минус 5)(х плюс 3 ) минус 9 равно 0 и запишем левую часть как	многочлен	стандартного вида .
Разложим полученный	многочлен	на множители .
143 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида и определите его степень .
358 Представьте	многочлен	в виде произведения суммы и разности двух выражений .
Таким образом , результатом сложения исходных многочленов является	многочлен	-х3 плюс х плюс 2 .
473 Представьте	многочлен	в виде произведения двух многочленов .
Например , противоположным к многочлену -а2 плюс 3ab будет	многочлен	.
Подставьте вместо а и b указанные выражения и запишите получившийся	многочлен	в стандартном виде .
Теперь раскроем скобки , выполняя умножение одночлена на	многочлен	, затем приведем подобные слагаемые и найдем корень уравнения .
Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
330 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Разложите на множители	многочлен	3у2 плюс 7у минус 10 .
438 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Запишите произведение суммы а и b и неполного квадрата разности а и b как	многочлен	стандартного вида .
Мы записали исходный	многочлен	в виде суммы двух выражении , каждое из которых имеет множитель у — 1 .
Пользуясь правилом умножения одночлена на	многочлен	, упростим выражение для нахождения площади фигуры .
414 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Таким образом , исходный	многочлен	разложен на множители .
Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида : ( а минус b)(а плюс b)(а2 плюс b2)(а4 плюс b4 ) . .
Чтобы проще было проводить вычисления ,	многочлен	, получающийся на каждом шаге вычислений , лучше приводить к стандартному виду .
Следующий прием разложения многочлена на множители основан на том , что если мы к многочлену прибавим и вычтем из него одно и то же выражение , то	многочлен	от этого не изменится .
д. до тех пор , пока не будет выполнено умножение на последний	многочлен	.
Продолжая эту закономерность , можно доказать , что при возведении двучлена а плюс b в любую натуральную степень литров итоговый	многочлен	будет состоять только из одночленов , подобных следующим .
В этом случае следует сначала умножить первый многочлен на второй , затем полученное произведение умножить на третий	многочлен	и т .
В этом случае следует сначала умножить первый	многочлен	на второй , затем полученное произведение умножить на третий многочлен и т .
416 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Мы записали исходный	многочлен	в виде суммы выражений , каждое из которых имеет множитель х минус 1 .
Разложите на множители	многочлен	х4 минус 1 .
И , наблюдая за тем , как изменяется при этом исходный	многочлен	, какие возможности его разложения появляются , можно в итоге получить искомое разложение .
277 Докажите , что данный	многочлен	при любых значениях входящих в него букв принимает только неотрицательные значения .
280 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида и определите его степень .
388 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
420 В	многочлен	2у3 минус у2 плюс 5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
326 Представьте	многочлен	в виде произведения суммы и разности двух выражений .
Для этого раскроем скобки , используя правило умножения одночлена на	многочлен	, а затем в полученной алгебраической сумме приведем подобные слагаемые .
Разложите на множители	многочлен	3с минус 1 минус 3с2 плюс с3 .
Но формулы для суммы квадратов у нас нет , поэтому сразу разложить	многочлен	на множители нам не удастся .
441 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида , используя нужную формулу сокращенного умножения .
216 Раскройте скобки и запишите результат как	многочлен	стандартного вида .
748 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
268 В многочлен х2 минус 4х минус 7 вместо переменной x подставьте данное выражение и запишите результат как	многочлен	стандартного вида .
667 Разложите	многочлен	на множители .
В данном случае можно было бы разложить	многочлен	на множители и без использования формул сокращенного умножения : разбив слагаемое 4х на два слагаемых х и 3х , а затем проведя группировку .
666 Представьте	многочлен	в виде произведения нескольких многочленов .
750 Представьте	многочлен	как куб двучлена .
Умножим , например , одночлен 4с на	многочлен	а плюс 2b .
751 Используя формулы сокращенного умножения , запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
752 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
273 Выведите формулу для квадрата четырехчлена и , пользуясь ею , запишите данное выражение как	многочлен	стандартного вида .
Разложите на множители	многочлен	х4 плюс 4 .
Разложите на множители	многочлен	х2 плюс 4х плюс 3 .
Запишите	многочлен	в стандартном виде , определите его степень , старший и свободный члены .
664 Запишите	многочлен	в стандартном виде и определите его степень .
393 В	многочлен	х3 – 3x2 плюс 2х минус 5 вместо переменной х подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
219 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида , используя умножение « в столбик » .
409 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
758 Разложите	многочлен	на множители .
Разложите на множители	многочлен	х6 плюс 5х3 плюс 4 .
413 Представьте	многочлен	как куб двучлена .
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а алгебраическая сумма одночленов по определению	многочлен	.
Произведением одночлена и многочлена называется	многочлен	, равный сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена .
Чтобы умножить одночлен на	многочлен	, можно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
443 Представьте	многочлен	в виде произведения двух многочленов .
Разложите на множители	многочлен	у3 плюс у2 минус х2 минус х3 .
Иногда запись умножения одночлена на	многочлен	удобно вести « в столбик » .
227 Даны многочлены Р , Q и R. Запишите	многочлен	PQR в стандартном виде .
747 Используя формулу разности квадратов , запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
324 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида , используя формулы сокращенного умножения .
Предложите другой вариант группировки , позволяющий разложить данный	многочлен	на множители .
555 Разложите	многочлен	на множители , добавляя и вычитая слагаемые .
654 Докажите , что	многочлен	принимает только неотрицательные значения при любых числовых значениях переменных .
300 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
379 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
649 Разложите	многочлен	на множители .
194 Даны многочлены Р и Q. Запишите в стандартном виде	многочлен	2хР - 3yQ , используя способ умножения и вычитания « в столбик » .
779 Докажите , что данный	многочлен	при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
572 Разложите	многочлен	на множители .
Мы видим , что в результате умножения наших двучленов мы получили	многочлен	.
424 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида и определите его степень .
202 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Запишите полученное выражение как	многочлен	стандартного вида .
640 Разложите	многочлен	на множители .
307 Докажите , что данный	многочлен	при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
Запишите в стандартном виде	многочлен	2хР - yQ , используя способ умножения и вычитания « в столбик » . .
308 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида и определите его степень .
638 Разложите	многочлен	на множители .
566 Разложите	многочлен	на множители .
Запишите произведение двучленов как	многочлен	стандартного вида .
565 Разложите	многочлен	на множители способом группировки .
Правило умножения одночлена на	многочлен	, установленное в предыдущем пункте , позволяет перейти к выводу правила умножения многочленов .
Найдите значение выражения х2 если известно , что . Докажите , что данный	многочлен	при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения .
5 Умножение многочлена на	многочлен	.
637 Представьте	многочлен	в виде произведения нескольких многочленов степени большей нуля и назовите приемы разложения многочленов на множители , которые вы использовали .
Разложите на множители	многочлен	: а4 плюс ах2 минус а2х минус х4 . 2 )
784 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Иногда разложить	многочлен	на множители помогают полученные нами в 3 этой главы формулы сокращенного умножения .
553 Разложите	многочлен	на множители .
Составьте выражение для вычисления указанных величин и запишите его как	многочлен	стандартного вида .
420 В многочлен 2у3 минус у2 плюс 5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как	многочлен	стандартного вида .
538 Разложите	многочлен	на множители способом группировки .
615 Разложите	многочлен	на множители , используя формулы квадрата суммы и квадрата разности .
321 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Разложите на множители	многочлен	х6 минус 2х3 плюс 1 .
539 Разложите	многочлен	на множители .
541 Разложите	многочлен	на множители двумя разными способами .
384 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Разложим этот	многочлен	на множители способом выделения полного квадрата , который часто используется при разложении на множители многих трехчленов .
Умножение многочлена на	многочлен	также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
543 Каким одночленом можно заменить А , чтобы полученный в результате замены	многочлен	можно было разложить на множители ? .
544 Разложите	многочлен	на множители способом группировки .
Убедитесь в том , что все члены многочлена не имеют общего буквенного множителя : Разложите данный	многочлен	на множители , группируя члены , имеющие общие множители .
383 Представьте	многочлен	как куб двучлена .
Запишите произведение суммы и разности а и b как	многочлен	стандартного вида .
Чтобы умножить многочлен на	многочлен	, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
2 ) Всегда ли при умножении одночлена на	многочлен	будет получаться многочлен ?
2 ) Всегда ли при умножении одночлена на многочлен будет получаться	многочлен	?
Чтобы умножить	многочлен	на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
А если на множители надо разложить	многочлен	, то , зная формулу суммы кубов , мы запишем .
298 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
И действительно , если нам надо будет , например , разложить на множители	многочлен	а3 плюс 3а2b плюс 3ab2 4- b3 , то , вспомнив формулу куба суммы , мы сразу напишем требуемое разложение .
550 Разложите	многочлен	на множители .
Произведением двух многочленов называется	многочлен	, равный сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого многочлена .
186 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Запишите произведение как	многочлен	стандартного вида .
Выполните умножение и запишите полученный	многочлен	- произведение в стандартном виде .
Сначала научимся умножать одночлен на многочлен ( или	многочлен	на одночлен , что ввиду переместительного закона умножения то же самое ) .
635 Разложите	многочлен	на множители .
624 Разложите	многочлен	на множители .
4 Умножение одночлена на	многочлен	.
Как записать противоположный ему	многочлен	? . .
669 Разложите	многочлен	на множители .
Результат запишите как	многочлен	стандартного вида .
Разложите	многочлен	на множители .
Разложите	многочлен	на множители , выделяя полный квадрат .
733 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
260 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
258 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Разложите многочлен на множители , используя способ группировки . 2 ) Какой формулой сокращенного умножения можно воспользоваться , чтобы разложить этот	многочлен	на множители ?
Разложите	многочлен	на множители , используя эту формулу .
Разложите на множители	многочлен	.
« Он сначала добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х2 ) , а затем разложил получившийся	многочлен	на множители и нашел корни уравнения .
После вынесения его за скобки в скобках останется	многочлен	х минус а , равный минус ( а минус х ) .
Однако , анализируя исходный	многочлен	, можно заметить , что в группе х2у плюс 2ху2 плюс у3 , состоящей из второго , четвертого и пятого слагаемых , мы можем вынести за скобки общий множитель у.
Запишите в стандартном виде	многочлен	, противоположный данному .
176 Даны многочлены : К , М и N. Запишите в стандартном виде	многочлен	К минус М плюс 2N , если .
589 Разложите	многочлен	на множители , используя формулы квадрата суммы и разности .
Запишите разность многочленов Р и Q как	многочлен	стандартного вида .
Запишите квадрат суммы а и b как	многочлен	стандартного вида .
396 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида и определите его степень .
456 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
165 Даны многочлены : Р , Q и R. Запишите в стандартном виде	многочлен	3Р минус 2Q плюс 4R , если .
Запишем выражение в квадратных скобках как	многочлен	стандартного вида .
674 Разложите	многочлен	на множители .
В результате нам удалось разложить исходный	многочлен	на множители .
341 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
617 Разложите	многочлен	на множители , используя формулы куба суммы и разности .
Разложите	многочлен	на множители , используя способ группировки . 2 ) Какой формулой сокращенного умножения можно воспользоваться , чтобы разложить этот многочлен на множители ?
239 Даны многочлены Р , Q и R. Запишите	многочлен	PQR в стандартном виде .
Полученное выражение запишите как	многочлен	стандартного вида .
Сначала научимся умножать одночлен на	многочлен	( или многочлен на одночлен , что ввиду переместительного закона умножения то же самое ) .
Представьте	многочлен	как куб двучлена .
393 В многочлен х3 – 3x2 плюс 2х минус 5 вместо переменной х подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как	многочлен	стандартного вида .
601 Разложите	многочлен	на множители .
268 В	многочлен	х2 минус 4х минус 7 вместо переменной x подставьте данное выражение и запишите результат как многочлен стандартного вида .
157 Найдите сумму и разность многочленов А и В. Запишите результат как	многочлен	стандартного вида .
Можно ли разложить данный	многочлен	на множители , вынося за скобки общий буквенный множитель ?
Мы замечаем , что в каждом из этих случаев итоговый	многочлен	состоит из трех слагаемых , два из которых — квадраты членов исходного двучлена , а третье равно удвоенному произведению этих членов .
598 Каким одночленом можно заменить А , чтобы полученный в результате замены	многочлен	можно было разложить на множители ? .
Найдите сумму многочленов Р и Q и запишите получившийся	многочлен	в стандартном виде .
599 б Разложите	многочлен	на множители .
Значит , исходный	многочлен	можно записать в виде суммы двух выражений , каждое из которых имеет множителем трехчлен х2 плюс х плюс 1 .
Рассмотрим , например ,	многочлен	.
3 ) Как найти	многочлен	, противоположный данному ?
591 Разложите	многочлен	на множители , используя формулы куба суммы и разности .
234 Запишите выражение как	многочлен	стандартного вида .
Таким образом , проблема возведения двучлена в шестую степень ( как и в любую другую n - ю степень , литров сводится к проблеме нахождения коэффициентов всех членов итогового	многочлена	.
Заметим , что все члены	многочлена	, стоящего в числителе , имеют общий множитель 3а .
Произведением двух многочленов называется многочлен , равный сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого	многочлена	.
Степенью	многочлена	называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов при записи многочлена в стандартном виде .
Действительно , умножая многочлены , мы умножаем все члены одного	многочлена	на все члены другого , а затем их складываем .
Следует отметить , что любой многочлен мы всегда можем представить в виде произведения некоторого числа и	многочлена	, причем бесконечным числом способов .
Например , в первую группу объединим первый и второй члены	многочлена	, а во вторую — третий и четвертый ( при этом если перед вторыми скобками мы поставим знак « минус » , то не забудем поменять знаки слагаемых в скобках на противоположные ) .
Найти общий буквенный множитель С всех членов	многочлена	.
Стандартным видом	многочлена	называется запись , при которой все его члены .
Например , каждый член	многочлена	5x3 минус 10 x 2 плюс 25 x : имеет множитель 5x .
В результате мы получаем следующее разложение исходного	многочлена	на множители .
Пользуясь определением стандартного вида	многочлена	, мы можем записать следующий алгоритм .
Алгоритм возведения двучлена в n - ю степень . 1 Выписать в установленном порядке все одночлены , которым подобны члены итогового	многочлена	.
При этом два	многочлена	считаются равными , если один из них может быть получен из другого с помощью равносильных преобразований .
Что естественно было бы считать степенью	многочлена	?
Убедитесь в том , что все члены	многочлена	не имеют общего буквенного множителя : Разложите данный многочлен на множители , группируя члены , имеющие общие множители .
В нем в каждой ( n плюс 1)-й строке стоят коэффициенты	многочлена	, полученного при возведении двучлена в степень .
Значит , для разложения данного	многочлена	на множители можно воспользоваться формулой квадрата разности .
731 Определите степень , старший и свободный члены	многочлена	и найдите его значение при указанных значениях переменных .
Рассмотрим более сложные примеры , в которых для разложения	многочлена	на множители нужно применить несколько разных способов .
Найти значение	многочлена	4n5 плюс 3n2 минус 8 , если .
Алгоритм записи	многочлена	в стандартном виде .
Проанализируйте решение предыдущего примера и сформулируйте идею способа группировки при разложении	многочлена	на множители .
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 1 , то значение	многочлена	равно алгебраической сумме всех его коэффициентов .
Степенью многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов при записи	многочлена	в стандартном виде .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого	многочлена	и полученные произведения сложить .
Именно в таком порядке и договорились записывать члены	многочлена	, являющегося результатом возведения двучлена в некоторую натуральную степень .
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление значения	многочлена	свелось к нахождению алгебраической суммы его коэффициентов , а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену .
Заметим , что в формулах куба суммы и разности члены итогового	многочлена	принято записывать в специальном порядке .
При этом член многочлена , имеющий наибольшую степень , называют старшим членом , а имеющий нулевую степень — свободным членом	многочлена	.
Члены	многочлена	. .
После этого для разложения	многочлена	на множители используем формулу разности квадратов .
Запишите произведение одночлена ( -2ab ) и	многочлена	( а2 - 4 ) .
Старший член	многочлена	.
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного	многочлена	умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой вариант определения произведения одночлена и	многочлена	и соответствующего правила .
Но чаще всего для разложения	многочлена	на множители требуется использование всевозможных комбинаций разных способов .
Дайте определение	многочлена	, противоположного данному .
Для этого заметим , что слагаемое можно записать как удвоенное произведение и числа Теперь , добавляя и вычитая из исходного	многочлена	( квадрат числа ) , выделяем полный квадрат .
Однако чаще всего раскладывать на множители приходится многочлены , которые не являются явными формулами сокращенного умножения , и , прежде чем применить ту или иную формулу , нужно выполнить некоторые преобразования исходного	многочлена	.
Если значения всех переменных , входящих в запись	многочлена	, равны 1 , то значение многочлена равно алгебраической сумме всех его коэффициентов .
Вынесем его за скобки , разделив каждый из членов	многочлена	, стоящего в числителе , на 3а .
Произведением двух многочленов называется многочлен , равный сумме произведений каждого члена одного	многочлена	на каждый член другого многочлена .
При решении разнообразных задач нам часто приходится вычислять значение	многочлена	при известных значениях входящих в него переменных .
При этом коэффициенты членов многочлена идут в том порядке , в котором договорились записывать члены итогового	многочлена	.
При этом коэффициенты членов	многочлена	идут в том порядке , в котором договорились записывать члены итогового многочлена .
Умножение	многочлена	на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
При этом член	многочлена	, имеющий наибольшую степень , называют старшим членом , а имеющий нулевую степень — свободным членом многочлена .
1 Записать все члены	многочлена	в стандартном виде .
При этом коэффициенты всех членов получившегося в скобках	многочлена	— целые числа , которые не имеют общих делителей , отличных от 1 .
Однако вторая запись упорядочивает члены	многочлена	по степеням .
В итоге получаем следующее разложение исходного	многочлена	на множители .
В каких случаях мы говорим , что выполнено разложение	многочлена	на множители ? .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , можно умножить этот одночлен на каждый член	многочлена	и полученные произведения сложить .
128 Найдите одно значение переменной , при котором значение	многочлена	равно А .
Заметим , что первый и четвертый члены	многочлена	образуют разность кубов у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Произведением одночлена и многочлена называется многочлен , равный сумме произведений этого одночлена и каждого члена	многочлена	.
Произведением одночлена и	многочлена	называется многочлен , равный сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена .
Коэффициенты членов исходного	многочлена	равны 1 , 5 , 4 .
Разложение	многочлена	на множители .
Теперь вычитание	многочлена	( -а2 плюс 3ab ) из многочлена ( а2 - 4а b плюс b2 ) мы можем свести к действию сложения , поменяв в многочлене - вычитаемом все знаки на противоположные .
Как можно записать в виде	многочлена	первое произведение , используя результат раскрытия скобок во втором ? .
Теперь вычитание многочлена ( -а2 плюс 3ab ) из	многочлена	( а2 - 4а b плюс b2 ) мы можем свести к действию сложения , поменяв в многочлене - вычитаемом все знаки на противоположные .
Предложите свой вариант определения операции « разложение	многочлена	на множители » .
Следовательно , значение	многочлена	будет равно алгебраической сумме , состоящей из нулей и свободного члена , и поэтому равно свободному члену , что и требовалось доказать .
Действительно , пусть все члены некоторого	многочлена	, имеют общий множитель с.
639 Решите уравнение , используя разложение	многочлена	на множители .
Произведение степеней .	многочлена	и одночлена .
Мы видим , что произведение одночлена и	многочлена	всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а алгебраическая сумма одночленов по определению многочлен .
5 Умножение	многочлена	на многочлен .
122 Исходя из определения	многочлена	, приведенного на стр. 25 , определите , можно ли указанное выражение записать как многочлен .
Таким образом , мы приходим к следующему разложению исходного	многочлена	на множители .
Объединим первый и третий члены исходного	многочлена	в одну группу , а второй , четвертый и пятый — в другую и вынесем в каждой группе за скобки общий множитель .
5 Если для применения формулы или группировки не хватает какого - либо слагаемого , добавьте и вычтите его или разбейте на несколько слагаемых один из членов	многочлена	.
Нередко члены	многочлена	, который требуется разложить на множители , нельзя сразу разбить на нужные группы .
Одним из наиболее простых способов разложения	многочлена	на множители является вынесение общего множителя за скобки .
Проверить правильность разложения	многочлена	на множители можно умножением .
Разностью многочленов называется многочлен , равный сумме уменьшаемого и	многочлена	, противоположного вычитаемому .
Значит , этот многочлен мы можем рассматривать как произведение одночлена 5 x . и	многочлена	x2 минус 2 x плюс 5 .
Таким образом , действуя независимо двумя разными способами , мы получили одно и то же разложение исходного	многочлена	на множители .
Представление члена	многочлена	в виде суммы или разности подобных ему членов .
Конечно , выбор способа , которым производится разложение	многочлена	на множители , — это выбор человека , решающего конкретную задачу .
Поэтому попробуйте сгруппировать члены	многочлена	иначе .
Он состоит в том , что мы объединяем члены	многочлена	в группы таким образом , чтобы после проведения некоторого числа равносильных преобразований у слагаемых нового выражения появились общие множители .
Используя один из способов разложения	многочлена	х2 минус х минус 2 на множители , решите уравнение .
Иногда для использования формул сокращенного умножения при разложении	многочлена	на множители вначале приходится некоторым образом сгруппировать его члены .
Конечно , чтобы догадаться о том , какие слагаемые надо добавить и вычесть из	многочлена	, зачастую нужно попробовать много разных вариантов .
Значит , значения всех членов	многочлена	при единичных значениях переменных будут равны их коэффициентам .
В итоге мы приходим к следующему разложению исходного	многочлена	на множители .
Каждый член данного	многочлена	можно представить в виде квадрата : х4 равно ( х2)2 , а 1 равно .
498 Решите уравнение , используя разложение	многочлена	на множители .
Если все члены	многочлена	имеют общий множитель , вынесите его за скобки .
Заметим , что вовсе не обязательно группировать члены	многочлена	, стоящие рядом .
Какое действие над членами данного	многочлена	надо выполнить , чтобы найти выражение в скобках ?
Подробно разложение	многочлена	х3 плюс 6х2 плюс 11х плюс 6 на множители мы рассмотрели в пункте .
Можно заметить также , что в формуле куба разности при указанной записи итогового	многочлена	знаки его членов чередуются : сначала « плюс » , затем « минус » и так далее .
493 Из блоков , приведенных ниже , постройте алгоритм разложения	многочлена	на множители путем вынесения общего буквенного множителя за скобки .
127 Найдите ошибки в записи	многочлена	в стандартном виде или докажите , что запись сделана верно .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называются членами	многочлена	.
записи	многочлена	в стандартном виде .
Свободный член	многочлена	.
Следовательно , для разложения	многочлена	на множители можно воспользоваться формулой разности квадратов .
Однако далеко не каждая группировка приводит к разложению	многочлена	на множители .
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 0 , то значение	многочлена	равно его свободному члену .
Значит , все знаки исходного	многочлена	меняются в нем на противоположные .
Замечаем , что среди членов нашего	многочлена	есть одночлен 2ху2 .
А значит , если мы добавим и вычтем из исходного	многочлена	одночлен 4х2 , то получим .
Коэффициенты членов исходного	многочлена	равны 3 , 7 , -10 .
Например , операцию представления многочлена 2а плюс 2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать операцией разложения	многочлена	на множители , а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку .
Проанализируйте его запись и предложите свою версию стандартного ( удобного для работы ) способа записи	многочлена	.
146 Найдите одно значение переменной , при котором значение	многочлена	равно А .
Следующий прием разложения	многочлена	на множители основан на том , что если мы к многочлену прибавим и вычтем из него одно и то же выражение , то многочлен от этого не изменится .
Например , операцию представления	многочлена	2а плюс 2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать операцией разложения многочлена на множители , а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку .
Заметим , что члены исходного	многочлена	5х3 минус 10х2 плюс 25х имеют и другие общие буквенные множители и т .
Так , например , стоимость покупки из 2 книг по цене x рублей и 3 журналов по цене у рублей или длину пути автомобиля , ехавшего 2 ч со скоростью x км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , можно записать с помощью	многочлена	2 x плюс 3y .
Если значения всех переменных , входящих в запись	многочлена	, равны 0 , то значение многочлена равно его свободному члену .
147 Какими многочленами можно заменить соответственно А и В , чтобы указанные выражения стали	многочленами	степени n ? .
135 Какими многочленами можно заменить А , В , С и D , чтобы указанные выражения стали	многочленами	степени га ? .
Например ,	многочленами	являются выражения .
Вместе с опытом выполнения подобных преобразований появляется « особое зрение » , способность разглядеть « спрятанные » в	многочленах	формулы и общие множители различных групп слагаемых .
2 Ищите в исходном	многочлене	признаки формул сокращенного умножения — удвоенные и утроенные произведения , сумму и разность кубов , разность квадратов .
В данном	многочлене	всего два члена .
Например , в рассмотренном нами	многочлене	можно было сгруппировать первый член с третьим , а второй — с четвертым .
Сгруппируем в нашем	многочлене	слагаемые с коэффициентом 3 и слагаемые с коэффициентом 7 и вынесем в каждой группе за скобки общий множитель .
Теперь вычитание многочлена ( -а2 плюс 3ab ) из многочлена ( а2 - 4а b плюс b2 ) мы можем свести к действию сложения , поменяв в	многочлене	- вычитаемом все знаки на противоположные .
568 Представьте выражение в виде произведения	многочленов	степени большей нуля .
588 Представьте выражение в виде произведения двух	многочленов	, используя формулу разности квадратов .
Будем последовательно выполнять умножение	многочленов	слева направо .
760 Представьте выражение в виде произведения	многочленов	.
Для этого рассмотрим простейший случай умножения	многочленов	: ( а плюс b)(с плюс d ) .
732 Найдите сумму и разность	многочленов	Р и Q .
Какой из	многочленов	мог бы быть « лишним » ? .
На основе выполненных преобразований предложите свое определение для произведения	многочленов	и соответствующее правило .
Правило умножения одночлена на многочлен , установленное в предыдущем пункте , позволяет перейти к выводу правила умножения	многочленов	.
Аналогичным образом можно найти сумму любого количества	многочленов	.
616 Представьте выражение в виде произведения двух	многочленов	, используя формулы суммы и разности кубов .
218 Вычислите произведение	многочленов	.
614 Представьте выражение в виде произведения	многочленов	, используя формулу разности квадратов .
Таким образом , мы можем дать следующее определение суммы	многочленов	.
220 Вычислите произведение	многочленов	.
4 Разложение	многочленов	на множители .
Разложить многочлен на множители ( на буквенные множители ) — это значит представить его в виде произведения двух или более	многочленов	, степень которых больше нуля .
Одним из способов разложения	многочленов	на множители с использованием формул сокращенного умножения является способ выделения полного квадрата .
Суммой	многочленов	называется многочлен , членами которого являются все члены многочленов слагаемых , взятых с их знаками .
233 Вычислите произведение	многочленов	.
Найдите сумму	многочленов	Р , Q и R . а ) Мастерская по реставрации картин получила заказ от своего клиента .
Запишите разность	многочленов	Р и Q как многочлен стандартного вида .
Изучение свойств	многочленов	крайне важно , так как часто они являются математическими моделями практических задач .
Например , составим сумму	многочленов	а2 - 4аb плюс b2 и -а2 плюс 3аb и в полученной алгебраической сумме раскроем скобки .
Итак , мы приходим к следующему определению произведения двух	многочленов	.
А как найти произведение трех или более	многочленов	? .
Для доказательства этой гипотезы возведем в квадрат двучлен , пользуясь правилом умножения	многочленов	.
Найдите сумму	многочленов	Р , Q и R .
Как мы уже говорили , разложение	многочленов	на множители непростая , а порой — и невыполнимая задача .
Произведением двух	многочленов	называется многочлен , равный сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого многочлена .
В предыдущих пунктах этого параграфа мы с вами рассмотрели несколько способов разложения	многочленов	на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , использование формул сокращенного умножения .
357 Выполните умножение	многочленов	.
При умножении	многочленов	также существуют правила и формулы , позволяющие упростить преобразования .
4 Разложение	многочленов	на множители с применением нескольких способов .
Рассмотрим несколько примеров использования разложения	многочленов	на множители при решении задач .
Именно к такому разложению	многочленов	на множители мы и будем стремиться , вынося общий множитель за скобки .
Рассмотрим несколько примеров , в которых использование формул сокращенного умножения упрощает разложение	многочленов	на множители .
3 Формулы сокращенного умножения и разложение	многочленов	на множители .
Задача разложения на множители требует не только четкого знания формул сокращенного умножения , но и смекалки , умения видеть общие множители и удачно группировать члены	многочленов	.
Представьте выражение в виде произведения	многочленов	степени , большей 0 .
Изученное правило умножения	многочленов	достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений выражений , решении уравнений и неравенств , доказательстве тождеств .
Поэтому , когда мы будем говорить о разложении	многочленов	на множители , мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные множители ( то есть такие разложения , в которых каждый многочлен - множитель имеет степень , большую нуля ) .
360 Представьте выражение в виде произведения двух	многочленов	.
Поэтому , когда мы будем говорить о разложении многочленов на множители , мы будем иметь в виду разложение	многочленов	на буквенные множители ( то есть такие разложения , в которых каждый многочлен - множитель имеет степень , большую нуля ) .
478 Представьте выражение в виде произведения	многочленов	.
3 Сложение и вычитание	многочленов	.
590 Представьте выражение в виде произведения двух	многочленов	, используя формулы суммы и разности кубов .
Упростим полученное для D выражение , используя правило умножения	многочленов	.
Итак , теперь мы знаем , как найти произведение двух	многочленов	.
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой вариант определения разности	многочленов	и сравните его с определением 3 на стр. 33 .
Умение раскладывать многочлены на множители , то есть представлять их в виде произведения двух или более	многочленов	, оказывается очень полезным при решении различных задач .
Ведь , зная различные способы разложения	многочленов	на множители , вы сможете выбрать тот , который вам покажется наиболее эффективным , или придумать новый свой способ , отличающийся от тех , которые уже известны .
157 Найдите сумму и разность	многочленов	А и В. Запишите результат как многочлен стандартного вида .
443 Представьте многочлен в виде произведения двух	многочленов	.
сложения	многочленов	в столбик .
445 Представьте выражение в виде произведения	многочленов	.
473 Представьте многочлен в виде произведения двух	многочленов	.
442 Выполните умножение	многочленов	.
Найдите сумму	многочленов	Р и Q и запишите ее как многочлен стандартного вида .
вычитания	многочленов	в столбик .
Какие из приведенных	многочленов	являются противоположными ? .
Составьте сумму А плюс В данных	многочленов	и запишите ее как многочлен стандартного вида .
159 Найдите сумму	многочленов	А плюс В , располагая слагаемые « в столбик » , если .
Разность	многочленов	.
5 Решение задач с помощью разложения	многочленов	на множители .
499 Представьте выражение в виде произведения	многочленов	.
Используя идею сложения многозначных чисел « в столбик » , предложите аналогичный способ сложения	многочленов	и найдите этим способом сумму А плюс В .
Обсудим теперь операцию вычитания	многочленов	.
В предыдущих пунктах мы изучали разные способы разложения	многочленов	на множители .
Глава 4 Введение в теорию	многочленов	.
Сумма	многочленов	.
Мы видим , что для сложения	многочленов	таким способом является важным их представление в стандартном виде .
В итоге мы приходим к следующему алгоритму сложения	многочленов	« в столбик » .
Алгоритм сложения	многочленов	« в столбик » .
475 Представьте выражение в виде произведения	многочленов	.
Предложите свой вариант определения суммы	многочленов	и сравните его с определением 1 на стр. 32 .
472 Выполните умножение	многочленов	.
Как свести вычитание	многочленов	к сложению ?
Найдите сумму	многочленов	.
320 Вычислите произведение	многочленов	.
325 Выполните умножение	многочленов	.
520 Представьте выражение в виде произведения двух	многочленов	.
При сложении многозначных чисел такая запись помогает добиться близкого расположения цифр , стоящих в одинаковых разрядах , а при сложении	многочленов	— близкого расположения подобных членов .
328 Представьте выражение как произведение двух	многочленов	.
2 ) Всегда ли сумма	многочленов	будет многочленом ?
542 Представьте выражение в виде произведения	многочленов	степени большей нуля .
умножения	многочленов	.
Таким образом , результатом сложения исходных	многочленов	является многочлен -х3 плюс х плюс 2 .
Алгоритм вычитания	многочленов	« в столбик » .
637 Представьте многочлен в виде произведения нескольких многочленов степени большей нуля и назовите приемы разложения	многочленов	на множители , которые вы использовали .
Вычитание	многочленов	« в столбик » также сводится к сложению , предварительно лишь надо заменить многочлен - вычитаемое противоположным ему .
Найдите , используя запись в столбик , разность	многочленов	.
Но количество	многочленов	- слагаемых и их членов может быть достаточно большим , и тогда поиск и приведение подобных членов может оказаться весьма затруднительным .
Найдите сумму	многочленов	Р и Q и запишите получившийся многочлен в стандартном виде .
Научившись складывать и вычитать многочлены , мы можем теперь перейти к изучению умножения	многочленов	.
Итак , алгоритм вычитания	многочленов	« в столбик » отличается от соответствующего алгоритма сложения многочленов лишь тем , что в нем появляется один дополнительный шаг — замена многочлена - вычитаемого противоположным ему .
Суммой многочленов называется многочлен , членами которого являются все члены	многочленов	слагаемых , взятых с их знаками .
Составьте сумму Р плюс ( -Q ) и разность Р - Q данных	многочленов	.
637 Представьте многочлен в виде произведения нескольких	многочленов	степени большей нуля и назовите приемы разложения многочленов на множители , которые вы использовали .
Итак , алгоритм вычитания многочленов « в столбик » отличается от соответствующего алгоритма сложения	многочленов	лишь тем , что в нем появляется один дополнительный шаг — замена многочлена - вычитаемого противоположным ему .
Разностью	многочленов	называется многочлен , равный сумме уменьшаемого и многочлена , противоположного вычитаемому .
515 Запишите выражение в виде произведения	многочленов	.
455 Представьте выражение в виде произведения	многочленов	.
Найдите разность	многочленов	Р - Q , располагая слагаемые « в столбик » , если .
Как и при сложении	многочленов	, мы вновь получим многочлен .
666 Представьте многочлен в виде произведения нескольких	многочленов	.
Следовательно , результатом вычитания данных	многочленов	является многочлен 3у4 плюс у2 - 5у .
Какой шаг следует добавить в алгоритм сложения	многочленов	« в столбик » , чтобы получить соответствующий алгоритм вычитания ?
В общем случае мы получаем новое выражение , называемое	многочленом	.
2 ) Всегда ли сумма многочленов будет	многочленом	?
Мы видим , что данная алгебраическая сумма также является	многочленом	.
774 Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное выражение стало	многочленом	степени п ? .
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является	многочленом	, так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а алгебраическая сумма одночленов по определению многочлен .
774 Каким	многочленом	можно заменить К , чтобы указанное выражение стало многочленом степени п ? .
Каким	многочленом	можно заменить К , чтобы указанное выражение стало многочленом степени n ? .
Многочлен называется противоположным исходному , если его сумма с исходным	многочленом	равна нулю .
Выражение , записанное как алгебраическая сумма одночленов , называется	многочленом	.
Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное выражение стало	многочленом	степени n ? .
Сам одночлен также является	многочленом	, состоящим из одного члена .
При умножении одночленов мы вновь получаем одночлены , а их сумма , по определению , является	многочленом	.
Заметим , что исходному	многочлену	не хватает до полного квадрата единицы .
Затем прибавим полученный многочлен к	многочлену	- уменьшаемому . .
Например , противоположным к	многочлену	-а2 плюс 3ab будет многочлен .
Следующий прием разложения многочлена на множители основан на том , что если мы к	многочлену	прибавим и вычтем из него одно и то же выражение , то многочлен от этого не изменится .
Как и планировали , добавим к исходному	многочлену	и вычтем из него 4х2 , затем воспользуемся формулой квадрата суммы , а после этого применим формулу разности квадратов .
Поскольку одночлены и	многочлены	часто встречаются в математических моделях практических задач , то установленные приемы действий с ними помогают в упрощении полученных моделей , при нахождении значений выражений , решении уравнений и неравенств .
Полученные промежуточные	многочлены	будем приводить к стандартному виду .
1 Записать	многочлены	в стандартном виде .
В некоторых случаях удается разложить на множители и такие	многочлены	, члены которых не имеют общего буквенного множителя .
2 Записать	многочлены	« в столбик » так , чтобы подобные члены стояли под подобными ( если они есть ) .
Научившись складывать и вычитать	многочлены	, мы можем теперь перейти к изучению умножения многочленов .
397 Какие	многочлены	можно поставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
168 Какие	многочлены	можно подставить вместо А , В , С и D , чтобы равенства стали тождествами ? .
В данном пункте мы убедимся в том , что умение раскладывать	многочлены	на множители открывает новые возможности для решения самых разных задач .
Как одним термином можно назвать	многочлены	каждого столбика ? .
Умение раскладывать	многочлены	на множители , то есть представлять их в виде произведения двух или более многочленов , оказывается очень полезным при решении различных задач .
167 Какие	многочлены	можно подставить вместо А и В , чтобы получилось тождество ? .
3 Записать	многочлены	« в столбик » так , чтобы подобные члены стояли под подобными ( если они есть ) .
603 Какие	многочлены	можно поставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
Действительно , умножая	многочлены	, мы умножаем все члены одного многочлена на все члены другого , а затем их складываем .
Таким образом , мы в очередной раз убеждаемся , что умение раскладывать	многочлены	на множители позволяет существенно расширить наши возможности при решении самых разнообразных задач .
Для того чтобы разобраться в том , что значит разложить	многочлены	на множители и зачем это нужно , вычислим произведение двучленов .
Сейчас же , когда вы только начинаете раскладывать	многочлены	на множители , в выборе стратегии решения вам могут пригодиться следующие советы .
124 Докажите , что данные	многочлены	записаны в стандартном виде .
Умножим друг на друга следующие	многочлены	.
Можно ли распространить этот вывод на произвольные	многочлены	?
778 Какие	многочлены	можно поставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
423 Какие	многочлены	можно поставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
246 Составьте список элементов	множеств	A и В , заданных характеристическим свойством .
198 Множества А , В и С заданы перечислением их элементов : 1 ) Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	Л , В и С и отметьте на ней элементы данных множеств .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение .
506 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение .
Назовите множество , являющееся объединением	множеств	А и В .
Тогда рассуждения ( 1 ) и ( 2 ) можно перевести на язык теории	множеств	следующим образом .
Решением исходного неравенства является объединение	множеств	решений , полученных на всех числовых промежутках .
661 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение .
660 Составьте список элементов	множеств	, заданных характеристическим свойством .
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , Б и С и отметьте на ней элементы данных	множеств	.
Решим каждое из двух полученных неравенств , а затем найдем объединение	множеств	их решений .
Проверить правильность данных рассуждений можно , используя язык теории	множеств	.
8 В ответе записать объединение всех получившихся	множеств	решений .
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А , Б и С и отметьте на ней элементы данных множеств .
7 Найти пересечение полученных	множеств	решений и соответствующих числовых промежутков .
Поскольку k должно удовлетворять обоим условиям одновременно , то следует взять пересечение двух полученных	множеств	.
210 Множества А , В и С заданы перечислением их элементов : 1 ) Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С и отметьте на ней элементы данных	множеств	.
Найдите объединение и пересечение	множеств	А и В . б )
210 Множества А , В и С заданы перечислением их элементов : 1 ) Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А , В и С и отметьте на ней элементы данных множеств .
525 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение .
Назовите множество , являющееся пересечением	множеств	А и В .
679 Составьте список элементов	множеств	, заданных характеристическим свойством .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для	множеств	А , В , С , D , Е . 1 ) А — множество целых чисел , делящихся на 3 .
Среди следующих пяти	множеств	найдите все пары « множество — подмножество » .
199 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение .
198 Множества А , В и С заданы перечислением их элементов : 1 ) Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств Л , В и С и отметьте на ней элементы данных	множеств	.
Найдите объединение и пересечение множеств А и В. Постройте диаграмму Эйлера - Венна и отметьте на ней все элементы данных	множеств	.
Найдите объединение и пересечение	множеств	А и В. Постройте диаграмму Эйлера - Венна и отметьте на ней все элементы данных множеств .
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных	множеств	, так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
211 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение .
Отметьте элементы	множеств	А и В на числовой прямой и запишите эти множества с помощью фигурных скобок .
Найдите объединение и пересечение	множеств	А и В , нарисуйте для них диаграмму Эйлера - Венна .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение/. а ) Сколько существует трехзначных чисел , в записи которых встречаются только цифры 3 , 4 , 8 , 9 ?
236 Составьте список элементов данных	множеств	, заданных характеристическим свойством .
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А , В и С и отметьте на ней элементы данных множеств .
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А , В и С и отметьте на ней элементы данных	множеств	.
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А , В и С и отметьте на ней элементы данных	множеств	.
238 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение .
383 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для	множеств	А и В. Найдите их пересечение и объединение .
Перевод рассуждения на язык теории	множеств	.
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для	множеств	А , В и С и отметьте на ней элементы данных множеств .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению	множеств	натуральных чисел N , целых чисел Z , рациональных чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
Проведите классификацию	множества	А по остаткам от деления его элементов на 3 .
2 Множество А является подмножеством	множества	С. Множество В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) .
Действительно , в случаях а и г для каждого элемента из	множества	X существует и единственный соответствующий элемент из множества Y.
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы	множества	( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Множество Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение множества Z до	множества	, где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О .
Тем самым нами произведена классификация	множества	целых чисел в зависимости от их остатка при делении на 4 .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы	множества	( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами	множества	( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
а ) Все элементы	множества	{ -2 .
Множество Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение	множества	Z до множества , где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О .
2 Множество А является подмножеством множества С. Множество В является подмножеством	множества	С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) .
Данную зависимость можно схематически представить следующим образом : где , согласно правилу , каждому элементу t из множества Т ставится в соответствие единственный элемент s из	множества	S .
1 Множество А является подмножеством	множества	В.
Запишите подмножество В четных чисел и подмножество С нечетных чисел	множества	А. Найдите объединение и пересечение подмножеств В и С .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого	множества	не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Проведите классификацию	множества	А по остаткам от деления его элементов на b .
2 Множество А является подмножеством множества С. Множество В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством	множества	В. ( Ложно ) .
Ведь гораздо проще установить выполнение какого - либо свойства для конечного множества классов , чем для бесконечного	множества	целых чисел .
Определите , какие из указанных зависимостей позволяют для каждого элемента из множества X находить единственный соответствующий элемент из	множества	У. Обоснуйте свой ответ .
Определите , какие из указанных зависимостей позволяют для каждого элемента из	множества	X находить единственный соответствующий элемент из множества У. Обоснуйте свой ответ .
Переменная s в метрах при этом принимает значения из некоторого	множества	.
Ведь гораздо проще установить выполнение какого - либо свойства для конечного	множества	классов , чем для бесконечного множества целых чисел .
Проведение классификации	множества	целых чисел по остаткам от деления на некоторое число позволяет упростить решение многих задач .
185 Выберите из	множества	А числа , равные неполному частному и остатку от деления а на b .
Объединим все числа , имеющие остаток 3 при делении на 4 , в одно подмножество	множества	целых чисел .
В случае же б числу 3 из множества X не сопоставлено ни одного элемента из множества Y ( то есть нарушено требование существования соответствующего элемента ) , а в случае в числу 3 соответствуют сразу два элемента , 6 и 7 , из	множества	Y ( то есть нарушено требование единственности соответствующего элемента ) .
Таким образом , разбиение	множества	А на подмножества А1 , А2 , ..
Пусть и зависимость между ними задается следующими схемами , описывающими , какой элемент множества Y соответствует тому или иному элементу	множества	X .
Данную зависимость можно схематически представить следующим образом : где , согласно правилу , каждому элементу t из	множества	Т ставится в соответствие единственный элемент s из множества S .
Для любых натуральных чисел а и b существует единственная пара чисел с и r из	множества	N0 , такая , что .
Классификация - это разбиение	множества	объектов на непересекающиеся подмножества ( классы ) .
253 Даны	множества	А и В . а ) А - множество деревьев в школьном саду ;
В случае же б числу 3 из множества X не сопоставлено ни одного элемента из	множества	Y ( то есть нарушено требование существования соответствующего элемента ) , а в случае в числу 3 соответствуют сразу два элемента , 6 и 7 , из множества Y ( то есть нарушено требование единственности соответствующего элемента ) .
В случае же б числу 3 из	множества	X не сопоставлено ни одного элемента из множества Y ( то есть нарушено требование существования соответствующего элемента ) , а в случае в числу 3 соответствуют сразу два элемента , 6 и 7 , из множества Y ( то есть нарушено требование единственности соответствующего элемента ) .
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество натуральных чисел до	множества	целых чисел , получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными числами , ввели понятие степени .
Для того чтобы дать точное определение кусочно - линейной функции , нам необходимо вначале уточнить понятие числового промежутка —	множества	чисел , удовлетворяющих некоторому неравенству .
Отметьте элементы множеств А и В на числовой прямой и запишите эти	множества	с помощью фигурных скобок .
257 Проведите классификацию	множества	А по остаткам от деления его элементов на b .
Функцией называется правило f , по которому каждому элементу х из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент у из	множества	Y.
Все решения неравенства являются элементами	множества	.
Множество В является подмножеством	множества	С. Следовательно , множество А является подмножеством множества С. ( Истинно ) .
Выполните классификацию	множества	точек Т по их принадлежности квадрантам координатной плоскости .
На этой диаграмме мы видим , что множество квадратов является подмножеством	множества	прямоугольников .
Не выполняя построения , определите , какому квадранту принадлежит каждый элемент	множества	Т. Постройте данные точки и проверьте свой ответ .
Однако при достаточно большом количестве элементов	множества	X данный способ становится слишком громоздким .
Найдите	множества	решений неравенств .
7 Найдем пересечение каждого числового промежутка и соответствующего ему	множества	решений .
Действительно , в случаях а и г для каждого элемента из множества X существует и единственный соответствующий элемент из	множества	Y.
266 Проведите классификацию	множества	А по остаткам от деления его эле ментов на 7 .
Функцией называется правило f , по которому каждому элементу х из некоторого	множества	X ставится в соответствие единственный элемент у из множества Y.
Множество Z можно рассматривать как расширение множества N до	множества	, где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О .
379 Проведите классификацию	множества	А по остаткам от деления его элементов на b . 380 Найдите остаток от деления а на b . 381 Определите , какой цифрой оканчивается число .
Множество Z можно рассматривать как расширение	множества	N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О .
Пусть и зависимость между ними задается следующими схемами , описывающими , какой элемент	множества	Y соответствует тому или иному элементу множества X .
Проверить истинность утверждения для каждого элемента рассматриваемого	множества	.
Запишите	множества	А и В с помощью фигурных скобок и постройте для них диаграмму Эйлера - Венна .
Понятие функции такое же основное и первоначальное , как понятие	множества	.
Проверьте , что каждый элемент	множества	А попал ровно в один класс .
Выберите признак и проведите классификацию	множества	А по данному признаку ( разбейте А по этому признаку на непересекающиеся подмножества , объединением которых является все множество А ) .
в ) Переменной величиной называется буквенное обозначение для элемента некоторого	множества	.
Множество В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством	множества	С. ( Истинно ) .
Система аксиом для	множества	натуральных чисел была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке .
1 Делимость на	множестве	натуральных чисел .
Однако прежде чем приступать к решению неравенств с модулями указанным способом , надо внимательно посмотреть на неравенство , так как иногда только лишь по виду неравенства можно сделать вывод о	множестве	его решений .
Таким образом , нами доказано существование и единственность деления с остатком на	множестве	натуральных чисел .
Полученная зависимость ч от t определена на	множестве	, являющемся объединением всех трех рассмотренных временных промежутков .
Введем на	множестве	остатков от деления на m операцию сложения .
При этом процессы , которые описывает данная функция , характеризовались двумя постоянными величинами k и b , которые не меняли своих значений на всей области определения линейной функции (	множестве	всех известных нам чисел ) .
Мы уже умеем выполнять арифметические действия с целыми числами и знаем , что операция деления на	множестве	Z выполнима не всегда .
Постройте график функции , заданной на	множестве	.
104 Найдите в указанном	множестве	чисел пары : а ) взаимно обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
Итак , в определении деления с остатком на	множестве	целых чисел изменяется требование не только к делителю , но и к остатку .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на	множестве	целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
Мы знаем , что для равенств на	множестве	целых чисел выполняются свойства .
Другими словами , верным ли будет на	множестве	Z высказывание .
Попытка разделить , например , число 564 на 20 на	множестве	натуральных чисел показывает , что нельзя найти такое натуральное число с , чтобы .
99 Найдите в указанном	множестве	чисел пары : а ) обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
А значит , делимое меньше делителя , что невозможно на	множестве	N .
В	множестве	А найдите подмножества , состоящие из чисел , кратных .
Пусть А - множество натуральных решений неравенства , а В -	множество	натуральных решений неравенства .
609 На координатной плоскости Oxy постройте	множество	точек , заданных таблицей .
Пусть А - множество Олиных кубиков , В - множество деревянных предметов , а С -	множество	предметов , которые не тонут в воде .
При этом число с называют неполным частным , а число r - остатком отделения а на b. Здесь и далее N0 -	множество	натуральных чисел и 0 .
158 Разбейте	множество	А на два подмножества : S - подмножество составных чисел , Р - подмножество простых чисел .
Построенные таким образом точки плоскости образуют	множество	точек , называемое графиком функции .
Выберите признак и проведите классификацию множества А по данному признаку ( разбейте А по этому признаку на непересекающиеся подмножества , объединением которых является все	множество	А ) .
С —	множество	нечетных положительных чисел , меньших или равных 11 . 1 )
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е —	множество	целых чисел , делящихся на 45
Решите неравенство и изобразите	множество	его решений на числовой прямой Ох .
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D —	множество	целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
608 На координатной плоскости Oxy постройте	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Множество X при этом называется областью определения , а	множество	Y — областью значений данной функции .
Пусть А - множество Олиных кубиков , В -	множество	деревянных предметов , а С - множество предметов , которые не тонут в воде .
С другой стороны , все	множество	целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
123 Найдите	множество	целых решений неравенств .
628 На координатной плоскости Oxy постройте	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
А —	множество	натуральных чисел , больших 4 и меньших 9 .
Множество Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а	множество	Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О .
Найдите	множество	решений уравнения .
На координатной плоскости Оху постройте	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам .
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при решении задач 1 и 2 ,	множество	решений данного линейного уравнения получить просто невозможно , так как каждому целому числу k будет соответствовать своя пара целых х и у , удовлетворяющих исходному уравнению .
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили	множество	значений , которые могут принимать неизвестные величины ; проверили , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим уравнением ; зафиксировали искомую величину .
464 Найдите	множество	целых решений неравенства .
1 Указать	множество	X , являющееся областью определения .
363 Разбейте	множество	целых чисел на классы по их остаткам при делении на ?
2 Множество А является подмножеством множества С. Множество В является подмножеством множества С. Следовательно ,	множество	А является подмножеством множества В. ( Ложно ) .
Можем ли мы распространить определение делимости натуральных чисел на	множество	целых чисел без всяких изменений ?
В —	множество	натуральных чисел , меньших 10 , дающих при делении на 3 остаток 2 .
Но для желающего что - то узнать не существует препятствий , и тот , кто захочет научиться этому , с радостью пройдет весь путь обучения и научится решать	множество	полезных и красивых задач .
2 Указать	множество	Y , являющееся областью значений .
Значит , эта зависимость является функцией , областью определения X которой является	множество	всех известных нам чисел .
Таким образом , в соответствии с данным признаком	множество	целых чисел можно разбить на четыре класса .
Среди следующих пяти множеств найдите все пары «	множество	— подмножество » .
Пусть А -	множество	Олиных кубиков , В - множество деревянных предметов , а С - множество предметов , которые не тонут в воде .
Пусть А -	множество	натуральных решений неравенства , а В - множество натуральных решений неравенства .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А , В , С , D , Е . 1 ) А —	множество	целых чисел , делящихся на 3 .
8 В ответе записать	множество	всех получившихся корней .
В —	множество	целых чисел , делящихся на 5 . 3 )
Это означает , что	множество	периодических десятичных дробей совпадает со множеством рациональных чисел .
Найдите	множество	целых решений неравенства .
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из выражений , мы сможем получить	множество	всех решений исходного уравнения .
Множество В является подмножеством множества С. Следовательно ,	множество	А является подмножеством множества С. ( Истинно ) .
С —	множество	целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
На этой диаграмме мы видим , что	множество	квадратов является подмножеством множества прямоугольников .
Более того , доказательство теорем 1 - 9 из этого пункта для целых чисел проводится аналогично , а значит , все известные нам свойства делимости распространяются и на	множество	Z ( при условии , что делитель ) .
241 Изобразите на координатной плоскости Oxy	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
442 Пусть А - множество целых решений неравенства , а В -	множество	целых решений неравенства .
На координатной плоскости Оху изобразите	множество	точек , удовлетворяющих неравенству .
442 Пусть А -	множество	целых решений неравенства , а В - множество целых решений неравенства .
3 В ответе записать	множество	найденных корней .
768 Найдите	множество	целых решений неравенства .
70 Изобразите на координатной прямой	множество	значений х , для которых .
Сравнения помогают решать	множество	практических проблем : проверять , на пример , правильность вычислений , составлять расписание занятий и соревнований , устанавливать признаки делимости чисел , определять , какой цифрой заканчивается число , простым или составным оно является и т .
А —	множество	натуральных чисел , меньших 5 .
767 На координатной плоскости Oxy изобразите	множество	точек , удовлетворяющих неравенствам .
Областью определения этой функции является	множество	всех рациональных чисел .
Так , указанное	множество	значений переменной х не может быть описано уравнением , но может быть описано неравенствами .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является	множество	всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
94 Запишите , используя фигурные скобки ,	множество	делителей чисел .
718 На координатной плоскости Oxy изобразите	множество	точек , удовлетворяющих неравенствам .
С —	множество	четных положительных чисел , меньших 8 . 1 )
Функция определена ( или задана ) , если нам известно правило соответствия и	множество	значений переменной , к которому это правило надо применять .
Найдите	множество	решений неравенства .
Чему равно	множество	значений каждой из этих функций ?
Таким образом ,	множество	корней исходного уравнения представляет собой объединение всех чисел полуинтервала ) и числа 1 , то есть числовой отрезок .
Определить	множество	значений , которые могут принимать неизвестные величины .
В —	множество	целых чисел , модуль которых меньше или равен 3 .
256 Разбейте	множество	целых чисел на классы по их остаткам от деления на .
А если	множество	X имеет бесконечное число элементов , то табличный способ не даст полной информации о характере исследуемой зависимости .
Чтобы распространить наши знания о степени на	множество	рациональных чисел , уточним соответствующие определения .
351 Изобразите на координатной прямой Ox	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Все вместе эти числа образуют	множество	Z целых чисел .
Изобразите на координатной плоскости	множество	точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Разбейте	множество	целых чисел на классы по их остаткам при делении на .
Можем ли мы распространить наши знания о делимости натуральных чисел на более широкое	множество	- множество целых чисел ? .
По условию задачи х , у N0 , где Nn —	множество	неотрицательных целых чисел .
Так как х при делении на 3 дает остаток 1 , то по формуле деления с остатком , где	множество	натуральных чисел и 0 .
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть величину второго угла . Определяем	множество	значений , которые могут принимать неизвестные величины .
151 Дано	множество	чисел .
140 Дано	множество	чисел .
704 На координатной плоскости Oxy изобразите	множество	точек , удовлетворяющих неравенствам .
454 Пусть А - множество целых решений неравенства , а В -	множество	целых решений неравенства .
Пусть областью определения функции f является	множество	и каждому значению сопоставлено значение у , указанное в соответствующем столбце таблицы .
454 Пусть А -	множество	целых решений неравенства , а В - множество целых решений неравенства .
479 Найдите	множество	целых решений неравенства .
Разбейте	множество	{ 1 , 11 , 13 , 19 , 22 , 44 } на две группы так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой .
Значит , решить неравенство — это найти	множество	всех его решений либо доказать , что решений нет .
45 Найдите	множество	целых решений неравенства .
785 Изобразите на координатной прямой Ox	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
705 Изобразите на числовой прямой Ох	множество	решений неравенства .
Можем ли мы распространить наши знания о делимости натуральных чисел на более широкое множество -	множество	целых чисел ? .
255 Выберите признак и разбейте множество А на два непересекающихся подмноже ства , объединением которых является	множество	А .
На координатной плоскости Оху изобразите	множество	точек , удовлетворяющих неравенствам .
Например , формула может описывать как прямолинейное равномерное движение , так и равномерную работу и	множество	других равномерных процессов .
В - множество лип . б ) А - множество грибов в муромском лесу ; В -	множество	подосиновиков .
229 Изобразите на координатной прямой Ох	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
В - множество лип . б ) А -	множество	грибов в муромском лесу ; В - множество подосиновиков .
Разбейте	множество	{ 1 , 3 , 7 , 9 , 25 , 65 , 70 } на две группы так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой .
А -	множество	легковых машин марки « Лада Калина » ;
В -	множество	лип . б ) А - множество грибов в муромском лесу ; В - множество подосиновиков .
253 Даны множества А и В . а ) А -	множество	деревьев в школьном саду ;
717 Изобразите на числовой прямой Ох	множество	решений неравенства .
В -	множество	синих машин .
А -	множество	школьников , занимающихся легкой атлетикой ; В - множество школьников , занимающихся плаванием .
А - множество школьников , занимающихся легкой атлетикой ; В -	множество	школьников , занимающихся плаванием .
Назовите	множество	, являющееся пересечением множеств А и В .
370 Изобразите на координатной прямой Ох	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
255 Выберите признак и разбейте	множество	А на два непересекающихся подмноже ства , объединением которых является множество А .
9 Если	множество	значений k конечно , то для каждого значения k найти соответствующие значения х и у .
При этом разбиение производится таким образом , чтобы объединение всех классов составляло все	множество	объектов .
1 Областью определения Т функции s(t ) является	множество	всех t , для которых .
Так как выражение имеет смысл для всех х , не равных нулю , то областью определения нашей функции является	множество	всех известных нам чисел , кроме нуля .
Если же она длилась , например , 30 мин , то	множество	Т можно задать следующим образом .
19 Найдите	множество	целых решений неравенства .
Таким образом , сделанное нами предположение о том , что	множество	простых чисел конечно , привело нас к противоречию .
Разобьем тогда	множество	целых чисел на три класса по остаткам от деления на 3 .
Назовите	множество	, являющееся объединением множеств А и В .
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили	множество	натуральных чисел до множества целых чисел , получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными числами , ввели понятие степени .
Таким образом , мы получили , что	множество	общих делителей а и b совпадает с множеством общих делителей b u r. Следовательно , совпадает и их наибольший общий делитель , что и требовалось доказать . .
В жизни происходит	множество	самых разнообразных событий .
240 Изобразите на координатной прямой Ох	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Наглядным примером классификации является распределение учеников школы в классы : каждый ученик попадает только в один класс , а объединение всех классов представляет собой	множество	всех учеников школы .
8 Если на х и у наложены ограничения , то определить	множество	значений , которые может принимать k .
Возможные значения переменной t в мин образуют некоторое	множество	Т. При этом t не может принимать любые значения .
230 Изобразите на координатной плоскости Oxy	множество	точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Это означает , что множество периодических десятичных дробей совпадает со	множеством	рациональных чисел .
Таким образом , мы получили , что множество общих делителей а и b совпадает с	множеством	общих делителей b u r. Следовательно , совпадает и их наибольший общий делитель , что и требовалось доказать . .
Составьте по три неравенства ,	множеством	решений которых служит числовой промежуток .
1 Закрепить на первом месте комбинации один из символов , принадлежащих	множеству	заданных в задаче символов .
То есть применим метод перебора не к бесконечному	множеству	целых чисел , а к конечному числу указанных классов .
Однако можно заметить , что если в	множителе	( а2 минус 2ab плюс b2 ) коэффициент 2 заменить на 1 , то при раскрытии скобок подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз выражение а3 плюс b3 .
Один из	множителей	уменьшили на 10 % , а другой уменьшили на 30 % .
Любое составное число можно представить в виде произведения простых	множителей	.
Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из	множителей	равен нулю .
При этом два разложения одного и того же числа на простые множители могут отличаться лишь порядком	множителей	.
Поскольку степень фактически представляет собой произведение нескольких	множителей	, то запись степени можно рассматривать как запись произведения , заключенного в скобки .
Поэтому вынесение за скобки общего множителя , в отличие от действия деления , возможно для	множителей	как равных , так и не равных нулю .
Ведь если бы мы вынесли за скобки только один из общих	множителей	, х или 2х минус 1 , это не дало бы нам возможности решить исходное уравнение .
Из основной теоремы арифметики следует важный вывод о том , что различные представления одного и того же составного числа в виде произведения простых чисел связаны только с различием в порядке	множителей	.
, варианты , различающиеся лишь порядком	множителей	, считать одинаковыми ) .
Если произведение двух целых чисел делится на некоторое целое число , то хотя бы один из	множителей	делится на это число .
Шаг 3 Чтобы решить уравнение ( х минус 6)(х плюс 4 ) равно 0 , приравняем к нулю каждый из	множителей	.
Чтобы его решить , приравняем к нулю каждый из	множителей	.
Произведение , состоящее из числовых	множителей	и множителей - переменных , называется одночленом .
Тогда его можно представить в виде произведения двух	множителей	где бис - натуральные числа , отличные от 1 .
Мы знаем , что произведение равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из	множителей	равен нулю .
Сравните способы представления трехчлена в виде произведения нескольких	множителей	, полученных в заданиях 488 ( 1 ) и 488 ( 2 ) .
Произведение всех числовых	множителей	одночлена называется коэффициентом одночлена .
Если среди	множителей	одночлена имеется нуль , то такой одночлен называется нулевым .
Правило 2 Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной , если в разложении на простые множители знаменателя обыкновенной дроби нет	множителей	, отличных от 2 и 5 .
в ) Один из	множителей	увеличили на 10 % , а другой уменьшили на 10 % .
Произведение нескольких	множителей	равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
А нечетная степень отрицательного числа содержит целое число пар отрицательных	множителей	и еще один отрицательный множитель .
4 Для того чтобы возвести в степень произведение , можно возвести в эту степень каждый из	множителей	и результаты перемножить .
Вычисление произведения , состоящего из n	множителей	, каждый из которых равен а , называют возведением числа а в n - ю степень .
Каждый из	множителей	приравняем к нулю и найдем корни получившихся уравнений .
Таким образом , используя установленные формулы , нам не надо представлять квадраты двучленов в виде произведения двух	множителей	, затем выполнять умножение и приведение подобных слагаемых .
Тогда n - й степенью рационального числа а называется произведение n	множителей	, каждый из которых равен а .
Затем приравняем каждый из	множителей	к нулю и найдем корни получившихся уравнений .
Произведение нескольких	множителей	тогда и только тогда равно нулю , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
Произведение нескольких множителей тогда и только тогда равно нулю , когда хотя бы один из	множителей	равен нулю .
В нашем определении мы говорили о натуральном показателе степени , большем 1 , поскольку произведение чисел не может содержать менее двух	множителей	.
Под натуральной степенью n числа а мы понимали произведение n	множителей	, каждый из которых равен а .
При этом повторяющийся множитель а называют основанием степени , а число повторяющихся	множителей	n — показателем степени .
Значение произведения не зависит от порядка	множителей	.
В этом случае в скобках остается многочлен , все члены которого не имеют общих буквенных	множителей	.
Можно доказать , что данные законы верны также для сумм с произвольным числом слагаемых и для произведений с произвольным числом	множителей	.
Натуральной ( n - й ) степенью числа а называется число аn , равное произведению n	множителей	, каждый из которых равен а .
Четная степень отрицательного числа содержит четное число отрицательных	множителей	.
Тем самым мы найдем корни исходного уравнения , так как произведение равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из	множителей	равен нулю .
1 Вычислить произведение всех числовых	множителей	( коэффициент ) одночлена и записать его на первом месте .
в ) Один из	множителей	увеличили на 5 % , а другой уменьшили на 5 % .
Значит , исходный многочлен можно записать в виде суммы двух выражений , каждое из которых имеет	множителем	трехчлен х2 плюс х плюс 1 .
Запишите в каноническом виде разложение чисел на простые	множители	.
Назовите их степени , свободные члены и коэффициенты членов , имеющих буквенные	множители	.
Разложите многочлен на	множители	.
Разложите многочлен на	множители	, выделяя полный квадрат .
534 Среди представленных одночленов найдите пять пар одночленов , имеющих общие буквенные	множители	.
545 Разложите трехчлен на	множители	, представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов .
Составляя эту запись , мы использовали уже известное нам понятие степени натуральных чисел , что позволяет короче записывать выражения , содержащие одинаковые	множители	.
553 Разложите многочлен на	множители	.
550 Разложите многочлен на	множители	.
4 Разложение многочленов на	множители	с применением нескольких способов .
544 Разложите многочлен на	множители	способом группировки .
543 Каким одночленом можно заменить А , чтобы полученный в результате замены многочлен можно было разложить на	множители	? .
555 Разложите многочлен на	множители	, добавляя и вычитая слагаемые .
541 Разложите многочлен на	множители	двумя разными способами .
538 Разложите многочлен на	множители	способом группировки .
Предложите другой вариант группировки , позволяющий разложить данный многочлен на	множители	.
Проанализируйте решение предыдущего примера и сформулируйте идею способа группировки при разложении многочлена на	множители	.
Убедитесь в том , что все члены многочлена не имеют общего буквенного множителя : Разложите данный многочлен на множители , группируя члены , имеющие общие	множители	.
Убедитесь в том , что все члены многочлена не имеют общего буквенного множителя : Разложите данный многочлен на	множители	, группируя члены , имеющие общие множители .
535 Среди представленных выражений найдите те , которые имеют общие буквенные	множители	.
539 Разложите многочлен на	множители	.
Чтобы разложить его на	множители	с помощью группировки , добавим и вычтем из него одночлены х4 , х3 , х2 и х , а затем сгруппируем их попарно и вынесем из каждой группы за скобки общий множитель .
651 Разложите на	множители	.
648 Разложите трехчлен на	множители	, выделяя полный квадрат .
И действительно , если нам надо будет , например , разложить на	множители	многочлен а3 плюс 3а2b плюс 3ab2 4- b3 , то , вспомнив формулу куба суммы , мы сразу напишем требуемое разложение .
Иногда разложить многочлен на	множители	помогают полученные нами в 3 этой главы формулы сокращенного умножения .
635 Разложите многочлен на	множители	.
3 Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на	множители	.
Какие изученные ранее способы разложения на	множители	вы использовали ? .
572 Разложите многочлен на	множители	.
649 Разложите многочлен на	множители	.
Разложите на	множители	многочлен : а4 плюс ах2 минус а2х минус х4 . 2 )
638 Разложите многочлен на	множители	.
639 Решите уравнение , используя разложение многочлена на	множители	.
640 Разложите многочлен на	множители	.
569 Разложите трехчлен на	множители	, представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных членов .
566 Разложите многочлен на	множители	.
565 Разложите многочлен на	множители	способом группировки .
637 Представьте многочлен в виде произведения нескольких многочленов степени большей нуля и назовите приемы разложения многочленов на	множители	, которые вы использовали .
6 Если требуется разложить на	множители	трехчлен вида ах2 плюс bх плюс с , где а , b , с Q , и вы не видите удобного способа разложения , попробуйте выделить полный квадрат .
Следующий прием разложения многочлена на	множители	основан на том , что если мы к многочлену прибавим и вычтем из него одно и то же выражение , то многочлен от этого не изменится .
Разложите на	множители	многочлен 3у2 плюс 7у минус 10 .
676 Разложите на	множители	.
514 Разложите многочлен на	множители	.
Вынесем за скобки в правой и левой частях равенства общие	множители	.
Разложение многочлена на	множители	.
5 Решение задач с помощью разложения многочленов на	множители	.
500 Разложите многочлен на	множители	.
518 Разложите многочлен на	множители	.
498 Решите уравнение , используя разложение многочлена на	множители	.
731 Разложите числа на простые	множители	и найдите их НОД и НОК .
В предыдущих пунктах мы изучали разные способы разложения многочленов на	множители	.
493 Из блоков , приведенных ниже , постройте алгоритм разложения многочлена на	множители	путем вынесения общего буквенного множителя за скобки .
492 Разложите трехчлен на	множители	.
491 Разложите двучлен на	множители	.
В данном пункте мы убедимся в том , что умение раскладывать многочлены на	множители	открывает новые возможности для решения самых разных задач .
497 Разложите многочлен на	множители	.
Таким образом , исходный многочлен разложен на	множители	.
522 Разложите многочлен на	множители	.
673 Разложите трехчлен на	множители	, выделяя полный квадрат .
Теперь в первую группу объединим первые два слагаемых , а во вторую — третье и четвертое , после чего вынесем в каждой из групп общие	множители	.
Разложите на	множители	многочлен х6 плюс 5х3 плюс 4 .
Нередко члены многочлена , который требуется разложить на	множители	, нельзя сразу разбить на нужные группы .
Разложите на	множители	многочлен .
Однако далеко не каждая группировка приводит к разложению многочлена на	множители	.
674 Разложите многочлен на	множители	.
Он состоит в том , что мы объединяем члены многочлена в группы таким образом , чтобы после проведения некоторого числа равносильных преобразований у слагаемых нового выражения появились общие	множители	.
1 Разложить каждое число на простые	множители	.
2 Найти все общие простые	множители	этих чисел и записать их произведение .
В некоторых случаях удается разложить на	множители	и такие многочлены , члены которых не имеют общего буквенного множителя .
667 Разложите многочлен на	множители	.
669 Разложите многочлен на	множители	.
« Он сначала добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х2 ) , а затем разложил получившийся многочлен на	множители	и нашел корни уравнения .
В результате нам удалось разложить исходный многочлен на	множители	.
А если на	множители	надо разложить многочлен , то , зная формулу суммы кубов , мы запишем .
3 Ищите общие	множители	групп слагаемых , пробуйте их сгруппировать и вынести общий множитель за скобки .
Конечно , когда для разложения на	множители	требуется непосредственно применить одну из формул , то ответ мы можем записать сразу .
589 Разложите многочлен на	множители	, используя формулы квадрата суммы и разности .
Таким образом , мы приходим к следующему разложению исходного многочлена на	множители	.
Разложите на	множители	многочлен х4 плюс 4 .
Разложите многочлен на	множители	, используя эту формулу .
Разложите многочлен на множители , используя способ группировки . 2 ) Какой формулой сокращенного умножения можно воспользоваться , чтобы разложить этот многочлен на	множители	?
Разложите многочлен на	множители	, используя способ группировки . 2 ) Какой формулой сокращенного умножения можно воспользоваться , чтобы разложить этот многочлен на множители ?
591 Разложите многочлен на	множители	, используя формулы куба суммы и разности .
Можно ли разложить данный многочлен на	множители	, вынося за скобки общий буквенный множитель ?
Но формулы для суммы квадратов у нас нет , поэтому сразу разложить многочлен на	множители	нам не удастся .
Ведь , зная различные способы разложения многочленов на	множители	, вы сможете выбрать тот , который вам покажется наиболее эффективным , или придумать новый свой способ , отличающийся от тех , которые уже известны .
Конечно , выбор способа , которым производится разложение многочлена на	множители	, — это выбор человека , решающего конкретную задачу .
Таким образом , действуя независимо двумя разными способами , мы получили одно и то же разложение исходного многочлена на	множители	.
В данном случае можно было бы разложить многочлен на	множители	и без использования формул сокращенного умножения : разбив слагаемое 4х на два слагаемых х и 3х , а затем проведя группировку .
А полученное нами выражение мы уже сможем разложить на	множители	, используя формулу разности квадратов .
4 Разложение многочленов на	множители	.
Разложим его на	множители	.
596 Разложите на	множители	.
599 б Разложите многочлен на	множители	.
Но чаще всего для разложения многочлена на	множители	требуется использование всевозможных комбинаций разных способов .
175 Запишите в каноническом виде разложение чисел на простые	множители	.
Разложите на	множители	.
Рассмотрим более сложные примеры , в которых для разложения многочлена на	множители	нужно применить несколько разных способов .
624 Разложите многочлен на	множители	.
622 Разложите на	множители	.
598 Каким одночленом можно заменить А , чтобы полученный в результате замены многочлен можно было разложить на	множители	? .
621 Разложите на	множители	.
615 Разложите многочлен на	множители	, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности .
Правило 2 Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной , если в разложении на простые	множители	знаменателя обыкновенной дроби нет множителей , отличных от 2 и 5 .
162 Запишите в каноническом виде разложение чисел на простые	множители	.
357 Запишите в каноническом виде разложение чисел на простые	множители	.
В итоге получаем следующее разложение исходного многочлена на	множители	.
601 Разложите многочлен на	множители	.
617 Разложите многочлен на	множители	, используя формулы куба суммы и разности .
В итоге мы приходим к следующему разложению исходного многочлена на	множители	.
2 В любом произведении можно как угодно переставлять	множители	и объединять их в группы .
Разложите на	множители	многочлен х2 плюс 4х плюс 3 .
Разложим этот многочлен на множители способом выделения полного квадрата , который часто используется при разложении на	множители	многих трехчленов .
После этого для разложения многочлена на	множители	используем формулу разности квадратов .
Разложите на	множители	многочлен х4 минус 1 .
Итак , разложение на	множители	данного трехчлена имеет вид .
Значит , для разложения данного многочлена на	множители	можно воспользоваться формулой квадрата разности .
Как мы уже говорили , разложение многочленов на	множители	непростая , а порой — и невыполнимая задача .
Разложим этот многочлен на	множители	способом выделения полного квадрата , который часто используется при разложении на множители многих трехчленов .
Так , например , не для всех а и b можно разложить на	множители	двучлен а2 плюс b2 ( хотя , как мы убедились в примере 3 , для некоторых конкретных а и b это разложение может быть найдено ) .
Рассмотрим несколько примеров , в которых использование формул сокращенного умножения упрощает разложение многочленов на	множители	.
Задача разложения на	множители	требует не только четкого знания формул сокращенного умножения , но и смекалки , умения видеть общие множители и удачно группировать члены многочленов .
Задача разложения на множители требует не только четкого знания формул сокращенного умножения , но и смекалки , умения видеть общие	множители	и удачно группировать члены многочленов .
Вместе с опытом выполнения подобных преобразований появляется « особое зрение » , способность разглядеть « спрятанные » в многочленах формулы и общие	множители	различных групп слагаемых .
Сейчас же , когда вы только начинаете раскладывать многочлены на	множители	, в выборе стратегии решения вам могут пригодиться следующие советы .
Однако чаще всего раскладывать на	множители	приходится многочлены , которые не являются явными формулами сокращенного умножения , и , прежде чем применить ту или иную формулу , нужно выполнить некоторые преобразования исходного многочлена .
Разложите на	множители	многочлен х6 минус 2х3 плюс 1 .
Из сочетательного закона сложения следует , что если в обычной сумме перед скобками отсутствуют	множители	, то скобки можно просто убрать .
В результате мы получаем следующее разложение исходного многочлена на	множители	.
Следовательно , для разложения многочлена на	множители	можно воспользоваться формулой разности квадратов .
Одним из способов разложения многочленов на	множители	с использованием формул сокращенного умножения является способ выделения полного квадрата .
Из свойств делимости натуральных чисел и основной теоремы арифметики следует , что если в разложении числа на простые	множители	нет , например , числа 2 , то никакое число , кратное 2 , не может быть его делителем .
Такую упорядоченную запись назвали каноническим разложением числа на простые	множители	.
После вынесения его за скобки в скобках получим разность квадратов х2 минус 1 , которую можно разложить на	множители	( х плюс 1)(х минус 1 ) .
При этом если встречаются одинаковые простые	множители	, то в записи для краткости используют обозначение степени .
Для того чтобы избежать такой неоднозначности , математики решили записывать простые	множители	в разложении натурального числа в порядке возрастания .
Так , например , разложение числа 210 на простые	множители	может иметь вид или .
758 Разложите многочлен на	множители	.
759 Разложите трехчлен на	множители	.
Разложите на	множители	многочлен у3 плюс у2 минус х2 минус х3 .
Иногда для использования формул сокращенного умножения при разложении многочлена на	множители	вначале приходится некоторым образом сгруппировать его члены .
Заметим , что разложением простого числа на простые	множители	принято считать само это число .
При этом два разложения одного и того же числа на простые	множители	могут отличаться лишь порядком множителей .
Разложите на	множители	многочлен 3с минус 1 минус 3с2 плюс с3 .
Часто бывает так , что в многочлене , который надо разложить на	множители	, слагаемые идут не в том порядке , к которому мы привыкли в формуле .
490 Разложите многочлен на	множители	тремя различными способами .
В каких случаях мы говорим , что выполнено разложение многочлена на	множители	? .
В предыдущих пунктах этого параграфа мы с вами рассмотрели несколько способов разложения многочленов на	множители	: вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , использование формул сокращенного умножения .
Разложить многочлен на	множители	( на буквенные множители ) — это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов , степень которых больше нуля .
Подробно разложение многочлена х3 плюс 6х2 плюс 11х плюс 6 на	множители	мы рассмотрели в пункте .
Например , операцию представления многочлена 2а плюс 2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать операцией разложения многочлена на	множители	, а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку .
Предложите свой вариант определения операции « разложение многочлена на	множители	» .
Заметим , что члены исходного многочлена 5х3 минус 10х2 плюс 25х имеют и другие общие буквенные	множители	и т .
Поэтому , когда мы будем говорить о разложении многочленов на множители , мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные	множители	( то есть такие разложения , в которых каждый многочлен - множитель имеет степень , большую нуля ) .
Разложить многочлен на	множители	не всегда легко , а порой и невозможно .
Поэтому , когда мы будем говорить о разложении многочленов на	множители	, мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные множители ( то есть такие разложения , в которых каждый многочлен - множитель имеет степень , большую нуля ) .
Одним из наиболее простых способов разложения многочлена на	множители	является вынесение общего множителя за скобки .
Но такое разложение на	множители	не поможет нам в решении многих задач ( например , в решении уравнения , которое мы только что рассмотрели ) .
Выражение 4х2 минус 8х , стоящее во второй скобке , мы также можем разложить на	множители	, вынося за скобки общий множитель 4х .
Разложить многочлен на множители ( на буквенные	множители	) — это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов , степень которых больше нуля .
Умение раскладывать многочлены на	множители	, то есть представлять их в виде произведения двух или более многочленов , оказывается очень полезным при решении различных задач .
Проверить правильность разложения многочлена на	множители	можно умножением .
Для того чтобы разобраться в том , что значит разложить многочлены на	множители	и зачем это нужно , вычислим произведение двучленов .
Разложим полученный многочлен на	множители	.
И наоборот , если в записи одночлена имеются только буквенные	множители	, то его коэффициент , соответственно стоящему перед ним знаку , считают равным либо 1 , либо -1 .
Используя один из способов разложения многочлена х2 минус х минус 2 на	множители	, решите уравнение .
Для того чтобы разложить многочлен х2 минус 2х минус 24 на	множители	, выделим полный квадрат .
Рассмотрим несколько примеров использования разложения многочленов на	множители	при решении задач .
Таким образом , мы в очередной раз убеждаемся , что умение раскладывать многочлены на	множители	позволяет существенно расширить наши возможности при решении самых разнообразных задач .
Именно к такому разложению многочленов на	множители	мы и будем стремиться , вынося общий множитель за скобки .
Для того чтобы решить данное уравнение , запишем его в виде и разложим многочлен в левой его части на	множители	.
з ) В произведении трех чисел первый	множитель	увеличили на 20 % , второй уменьшили на 25 % , а третий увеличили на 10 % .
Разделим обе части этого равенства на общий	множитель	.
3 Ищите общие множители групп слагаемых , пробуйте их сгруппировать и вынести общий	множитель	за скобки .
г ) В произведении трех чисел первый	множитель	увеличили на 30 % , второй увеличили на 45 % , а третий уменьшили на 50 % .
Заметим , что все члены многочлена , стоящего в числителе , имеют общий	множитель	3а .
464 Упростите выражение при допустимых значениях переменных , вынося при необходимости за скобки общий	множитель	.
Значит , наше исходное выражение равно дроби , в которой числитель и знаменатель имеют общий	множитель	9х - 4у , отличный от 0 .
Пользуясь распределительным законом умножения , вынесите за скобки общий числовой	множитель	тремя различными способами .
3 Если числитель и знаменатель дроби имеют общий	множитель	, отличный от нуля , то дробь на него можно сократить .
Именно к такому разложению многочленов на множители мы и будем стремиться , вынося общий	множитель	за скобки .
в ) В произведении трех чисел первый	множитель	уменьшили на 20 % , второй увеличили на 65 % , а третий уменьшили на 30 % .
489 Вынесите общий	множитель	за скобку и проверьте правильность своего результата , выполнив умножение .
При этом повторяющийся	множитель	а называют основанием степени , а число повторяющихся множителей n — показателем степени .
Если коэффициент одночлена равен 1 или -1 , то числовой	множитель	в его записи обычно не указывают .
513 Вынесите общий	множитель	за скобку и , выполнив умножение , проверьте правильность своего результата .
Представим частное в виде дроби и сократим n раз ее числитель и знаменатель на общий	множитель	а : что и требовалось доказать .
Но мы можем сгруппировать их так , что после некоторых преобразований общий	множитель	будут иметь образованные нами группы .
После этого из каждой группы вынесем за скобки общий	множитель	.
Мы получили сумму двух выражений , каждое из которых имеет	множитель	а плюс b.
Заметим , что при решении примера 2 нам пришлось выносить общий	множитель	за скобки несколько раз .
Разделив обе части данного равенства на общий	множитель	, получаем , что 2 5 .
Сгруппируем в нашем многочлене слагаемые с коэффициентом 3 и слагаемые с коэффициентом 7 и вынесем в каждой группе за скобки общий	множитель	.
« Заметив , что многочлен в правой части уравнения имеет общий	множитель	х , он вынес его за скобки .
Выражение 4х2 минус 8х , стоящее во второй скобке , мы также можем разложить на множители , вынося за скобки общий	множитель	4х .
Каждое из слагаемых полученной суммы имеет	множитель	х3 плюс 1 .
В каждой части равенства вынесем за скобки общий числовой	множитель	, получим .
Мы записали исходный многочлен в виде суммы двух выражении , каждое из которых имеет	множитель	у — 1 .
А нечетная степень отрицательного числа содержит целое число пар отрицательных множителей и еще один отрицательный	множитель	.
Чтобы разложить его на множители с помощью группировки , добавим и вычтем из него одночлены х4 , х3 , х2 и х , а затем сгруппируем их попарно и вынесем из каждой группы за скобки общий	множитель	.
Выражение в левой части уравнения состоит из трех слагаемых , имеющих общий	множитель	.
Разделив обе части этого равенства на общий	множитель	получаем .
Мы записали исходный многочлен в виде суммы выражений , каждое из которых имеет	множитель	х минус 1 .
Итак , чтобы вынести за скобки общий	множитель	с , мы можем в скобках записать многочлен , каждый член которого получен в результате его деления на с .
465 а ) В произведении трех чисел первый	множитель	увеличили на 50 % , а второй увеличили на 33^% .
Можно ли разложить данный многочлен на множители , вынося за скобки общий буквенный	множитель	?
Найти общий буквенный	множитель	С всех членов многочлена .
Для этого достаточно вынести за скобки любой числовой	множитель	, например .
Тогда в каждой группе образуется общий	множитель	х плюс у , который можно вынести за скобки .
Объединим первый и третий члены исходного многочлена в одну группу , а второй , четвертый и пятый — в другую и вынесем в каждой группе за скобки общий	множитель	.
Таким образом , каждая из групп будет иметь общий	множитель	х плюс у , который можно вынести за скобки .
Вынесем за скобки общий	множитель	в каждой части равенства , получим .
Оставшиеся первое и третье слагаемые имеют общий	множитель	х.
Однако , анализируя исходный многочлен , можно заметить , что в группе х2у плюс 2ху2 плюс у3 , состоящей из второго , четвертого и пятого слагаемых , мы можем вынести за скобки общий	множитель	у.
Как и планировали , в первой группе применим формулу разности квадратов , а во второй — вынесем за скобки общий	множитель	ах .
Какой общий буквенный	множитель	удобнее всего выносить за скобки ?
з ) В произведении трех чисел первый	множитель	увеличили на 40 % , второй уменьшили на 65 % , а третий увеличили на 20 % .
Таким образом , в результате проведенных преобразований обе группы слагаемых будут иметь общий	множитель	а минус х .
Теперь сгруппируем второе и третье слагаемое , они имеют общий	множитель	ах .
В правой части уравнения выносим за скобки общий	множитель	2 , а в левой его части — общий множитель 5 .
В правой части уравнения выносим за скобки общий множитель 2 , а в левой его части — общий	множитель	5 .
Разделив обе части этого равенства на общий	множитель	получаем , что .
Если все члены многочлена имеют общий	множитель	, вынесите его за скобки .
Поэтому , когда мы будем говорить о разложении многочленов на множители , мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные множители ( то есть такие разложения , в которых каждый многочлен -	множитель	имеет степень , большую нуля ) .
Имеют ли все члены А общий буквенный	множитель	? .
Вынеся общий	множитель	5х за скобки , в скобках мы записали многочлен , каждый член которого мы разделили на 5х .
Здесь перед скобкой стоит знак « + » и	множитель	3 , поэтому знаки слагаемых мы менять не будем , просто умножим каждое из них на 3 .
Так как перед скобкой стоит знак « - » и	множитель	2 , то каждое слагаемое в скобке умножим на 2 и изменим его знак на противоположный , а затем приведем подобные слагаемые .
Тогда если , то вынесем за скобки общий	множитель	с , выполнив следующие равносильные преобразования .
Из распределительного закона следует , что если перед скобками , в которых записана сумма , стоит множитель , то скобки также можно опустить , умножив на этот	множитель	каждое слагаемое .
Из распределительного закона следует , что если перед скобками , в которых записана сумма , стоит	множитель	, то скобки также можно опустить , умножив на этот множитель каждое слагаемое .
Действительно , пусть все члены некоторого многочлена , имеют общий	множитель	с.
Таким образом , в каждой из образованных двух групп имеется	множитель	х плюс 1 , который можно вынести за скобки .
Например , каждый член многочлена 5x3 минус 10 x 2 плюс 25 x : имеет	множитель	5x .
Как надо изменить третий	множитель	, чтобы произведение не изменилось ? .
Анализируя заданное выражение , замечаем , что каждое его слагаемое имеет общий	множитель	7 .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий	множитель	у минус х , а затем вынести его за скобки .
Чтобы выражение при этих преобразованиях не изменилось , из него надо вычесть х. Тогда неиспользованные слагаемые образуют группу х3 минус х , в которой есть общий	множитель	х.
Найти этот общий	множитель	и обозначить его С .
3 Если несколько слагаемых алгебраической суммы имеют общий	множитель	, то его можно вынести за скобку .
Действительно , при увеличении значения х оба	множителя	в левой части увеличиваются , а при уменьшении х вплоть до значения оба множителя уменьшаются .
В предыдущих пунктах этого параграфа мы с вами рассмотрели несколько способов разложения многочленов на множители : вынесение общего	множителя	за скобки , способ группировки , использование формул сокращенного умножения .
Действительно , при увеличении значения х оба множителя в левой части увеличиваются , а при уменьшении х вплоть до значения оба	множителя	уменьшаются .
Поэтому вынесение за скобки общего	множителя	, в отличие от действия деления , возможно для множителей как равных , так и не равных нулю .
В некоторых случаях удается разложить на множители и такие многочлены , члены которых не имеют общего буквенного	множителя	.
Его члены не имеют общего буквенного	множителя	.
Одним из наиболее простых способов разложения многочлена на множители является вынесение общего	множителя	за скобки .
Полученное равенство невозможно , так как оба	множителя	, отличны от 0 .
Выражение а2 минус аb плюс b2 получило название неполного квадрата разности а и b , так как в отличие от квадрата разности у произведения аb нет	множителя	2 .
Например , операцию представления многочлена 2а плюс 2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать операцией разложения многочлена на множители , а будем считать операцией вынесения числового	множителя	за скобку .
В некоторых примерах формулы сокращенного умножения становятся видны лишь после вынесения за скобки общего	множителя	.
Вынесение общего	множителя	.
Поэтому при решении задач мы , например , можем легко найти значения величин по общему правилу нахождения неизвестного	множителя	.
Убедитесь в том , что все члены многочлена не имеют общего буквенного	множителя	: Разложите данный многочлен на множители , группируя члены , имеющие общие множители .
1 Вынесение общего	множителя	за скобки .
Сколько различных способов вынесения за скобки общего числового	множителя	существует ? .
493 Из блоков , приведенных ниже , постройте алгоритм разложения многочлена на множители путем вынесения общего буквенного	множителя	за скобки .
В некотором наборе чисел может быть несколько	мод	.
Какой стала бы средняя цена ,	мода	, размах и медиана , если бы все цены увеличились в 2,4 раза , уменьшились в 1,3 раза ? .
Какой стала бы средняя зарплата ,	мода	, размах и медиана , если бы все зарплаты увеличились в 2 раза , уменьшились в 1,5 раза ? .
Какой стала бы средняя цена ,	мода	, размах и медиана , если бы все цены увеличились в 2,5 раза , уменьшились в 3 раза ? .
Какой стала бы средняя зарплата ,	мода	, размах и медиана , если бы все зарплаты увеличились в 4 раза , уменьшились в 1,2 раза ? .
Какой стала бы средняя цена ,	мода	, размах и медиана , если бы все цены увеличились в 4 раза , уменьшились в 2,5 раза ? .
Ее называют	модой	набора чисел .
а ) Вычислите среднюю зарплату ( с точностью до копеек ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Вычислите среднее годовое производство электрических плит ( с точностью до тысяч ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
а ) Вычислите среднюю цену ноутбука в этом интернет - магазине ( с точностью до копеек ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Найдите средний результат Ирины по метанию мяча ( с точностью до десятых метра ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Найдите среднее арифметическое собранных мальчиками значков ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Вычислите среднюю цену ( с точностью до копеек ) МРЗ - плеера в этом интернет - магазине ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Найдите средний результат этой команды ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
а ) Вычислите среднюю цену телевизора в этом интернет - магазине ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
в указанных федеральных округах в 2002 г. , 2009 г . б ) в Приволжском федеральном округе в 2002 - 2009 гг . 5 ) Вычислите	моду	количества высших учебных заведений в каждом из представленных федеральных округов в 2002- 2009 гг .
Найдите среднее арифметическое ( с точностью до десятых ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
а ) Вычислите среднюю зарплату ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Найдите среднее арифметическое собранных девочками открыток ( с точностью до единиц ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Найдите среднее арифметическое ( с точностью до единиц ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Нам интересно , каких оценок за контрольную было больше всего , и тем самым мы вычисляем	моду	набора чисел .
Найдите средний результат Миши по бегу на 500 м ( с точностью до сотых минуты ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
в 2003 - 2008 гг . 5 ) Вычислите	моду	численности населения в каждом из представленных регионов в 2002 - 2009 гг .
Найдите среднее арифметическое количества собранных мальчиками постеров ( с точностью до единиц ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Найдите средний результат Коли по прыжкам в длину ( с точностью до единиц сантиметров ) ,	моду	, размах и медиану представленного числового набора .
Какой вывод вы можете сделать о	модуле	противоположных чисел ?
Одно из двух загаданных рациональных чисел на 4 больше другого , а сумма их	модулей	равна 12 .
Сумма двух	модулей	всегда число неотрицательное , а поэтому всегда больше отрицательного числа .
Линейные уравнения с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух	модулей	, содержать выражения вне знака модуля .
а ) Модуль разности квадратов а и с . б ) Сумма	модулей	а , b и с .
Одно из двух загаданных рациональных чисел на 10 больше другого , а сумма их	модулей	равна 16 .
Заметим , что сумма двух	модулей	всегда число неотрицательное , поэтому она не может быть меньше или равна отрицательному числу .
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) Разность	модулей	а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
На каждом из указанных промежутков данные выражения с	модулем	можно записать без знака модуля .
Решите неравенство с	модулем	.
Решите уравнение с	модулем	.
Рассмотрим , как с помощью данного алгоритма можно решить более сложные уравнения , содержащие	модули	.
Решите неравенство , содержащее	модули	.
в ) Если	модули	двух рациональных чисел равны , то равны и сами числа .
сумма выпавших на верхних гранях очков равна пяти , а	модуль	разности очков равен трем .
99 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный	модуль	.
сумма выпавших на верхних гранях очков равна семи , а	модуль	их разности равен пяти .
Одно рациональное число на 5 больше другого , при этом	модуль	одного из этих чисел равен модулю другого .
В — множество целых чисел ,	модуль	которых меньше или равен 3 .
104 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный	модуль	.
В итоге исходная задача свелась к решению уравнения , содержащего	модуль	.
Если , то уравнение не имеет решений , так как	модуль	числа не может принимать отрицательные значения .
а ) Каждому рациональному числу ставится в соответствие его	модуль	.
Натуральное число , кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его	модуль	равен самому числу .
Сумма двух рациональных чисел равна 8 , при этом	модуль	одного из этих чисел в 3 раза меньше модуля другого числа .
Разность двух рациональных чисел равна 3 , при этом	модуль	одного из этих чисел в 2 раза больше модуля другого числа .
По определению ,	модуль	числа х равен х при х>0и равен -х при х < 0 .
166 Найдите	модуль	каждого из указанных чисел .
177 Найдите	модуль	каждого из указанных чисел .
А так как	модуль	числа всегда больше или равен нулю , то областью значений Y этой функции являются все известные нам неотрицательные числа .
631 Выполните указанное действие по	модулю	т .
Известно , что некоторое число сравнимо с числом 747 475 по	модулю	74 .
Если число а сравнимо с числом b по модулю m , а число b сравнимо с числом с по тому же модулю , то число а сравнимо с числом с по	модулю	m .
Если число а сравнимо с числом b по модулю m , а число b сравнимо с числом с по тому же	модулю	, то число а сравнимо с числом с по модулю m .
Если число а сравнимо с числом b по	модулю	m , а число b сравнимо с числом с по тому же модулю , то число а сравнимо с числом с по модулю m .
Если число а сравнимо с числом b по модулю m , то число b сравнимо с числом а по тому же	модулю	.
Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по	модулю	m .
Если число а сравнимо с числом b по	модулю	m , то число b сравнимо с числом а по тому же модулю .
Если два целых числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое целое число m , то говорят , что а и b сравнимы по	модулю	m , и пишут .
Любое число а сравнимо само с собой по	модулю	m .
612 Выполните указанное действие по	модулю	т .
Доказать , что оно сравнимо с числом 74 000 001 по тому же	модулю	.
Одно рациональное число на 5 больше другого , при этом модуль одного из этих чисел равен	модулю	другого .
И это не случайно , так как сравнения по одному и тому же	модулю	обладают многими из тех свойств , которыми обладают обыкновенные равенства .
С помощью данной теоремы удобно определять , сравнимы ли числа а и b по не которому	модулю	.
Так , например , часовая стрелка показывает время по	модулю	12 , а дни недели мы определяем по модулю 7 .
365 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 591 по	модулю	.
366 Выполните указанное действие по	модулю	m .
Так , например , часовая стрелка показывает время по модулю 12 , а дни недели мы определяем по	модулю	7 .
Очевидно , что числа 747 475 и 74 000 001 дают остаток 1 при делении на 74 , значит , они сравнимы по	модулю	74 .
316 Составьте таблицу сложения и умножения остатков по	модулю	.
314 Выполните указанное действие по	модулю	m .
290 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по	модулю	m .
301 Составьте таблицы сложения и умножения остатков по	модулю	: а ) 3 ; б ) 5 ; в ) 6 .
299 Выполните указанное действие по	модулю	m .
Выполните указанное действие по	модулю	m .
108 Выполните указанное действие по	модулю	.
Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 214 по	модулю	.
При этом всегда надо помнить , что при выполнении действий над остатками применяется следующее правило : если результат сложения , вычитания , умножения остатков по некоторому	модулю	m стал отрицательным или больше m , то надо переходить к остатку от деления результата на m .
312 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по	модулю	m .
Аналогичным образом изображаются числа , сравнимые по любому	модулю	m , только окружность делится соответственно на m равных частей , и около каждой точки деления против часовой стрелки последовательно расставляются возможные значения остатков : 0 , 1 , 2 , .. , m - 1 .
Например , при сравнении по	модулю	12 числа 0 , 12 , 24 , .. должны изображаться одной точкой .
Ведь два сравнимых по заданному	модулю	числа имеют одинаковые остатки , и мы хотим их рассматривать как одно число .
Однако для наглядного представления о числах , сравнимых по некоторому	модулю	m , числовая прямая уже не подходит .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же	модулю	.
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по	модулю	15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же	модулю	; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по	модулю	6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же	модулю	; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по	модулю	25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же	модулю	; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по	модулю	9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
Рассмотрим последовательные степени числа 3 и найдем числа , с которыми они сравнимы по	модулю	7 .
277 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с числом 235 по	модулю	.
278 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с числом а по	модулю	m .
Найдите наименьшее натуральное число , с которым число А сравнимо по	модулю	В .
Найдите три числа , сравнимых с А по	модулю	В .
6 Для каждого числового промежутка записать и решить исходное неравенство без знаков	модуля	.
сначала надо выделить числовые промежутки , на которых выражения под знаком	модуля	не меняют свой знак , а затем найти решения неравенств на каждом из выделенных промежутков .
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение	модуля	а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Решите уравнение , пользуясь определением	модуля	.
220 Запишите с помощью	модуля	расстояние между точками числовой прямой с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
При решении таких уравнений сначала выделяют промежутки , на которых выражения под знаком	модуля	не меняют свой знак , а затем уже ищут решения на каждом из выделенных промежутков .
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное	модуля	разности а и b и модуля -с . ж )
Сначала , пользуясь определением	модуля	, запишем , что означают выражения , содержащие знаки модуля .
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и	модуля	-с . ж )
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого модуля — самому выражению , содержащемуся под знаком	модуля	, или выражению , противоположному ему .
Сначала , пользуясь определением модуля , запишем , что означают выражения , содержащие знаки	модуля	.
Произведение суммы квадратов b и с и	модуля	разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля разности квадратов а и b .
Рассмотрим теперь неравенства , в которых под знаком	модуля	стоит не х , а выражение вида .
Теперь для каждого числового промежутка запишем и решим уравнение , равносильное исходному и не содержащее знаков	модуля	.
Так как остаток является неотрицательным целым числом , меньшим	модуля	делителя , то при делении любого числа на 4 возможны только четыре различных остатка : 0 , 1 , 2 , 3 .
Решите уравнение , содержащее переменную под знаком	модуля	.
На каждом из указанных промежутков данные выражения с модулем можно записать без знака	модуля	.
Линейные уравнения с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать выражения вне знака	модуля	.
Запишите с помощью знака	модуля	расстояние между точками А и Б и вычислите его .
Рассмотрим еще один пример кусочно - линейной функции — зависимость Вспомним определение	модуля	числа , докажем , что данная зависимость является функцией , и построим график этой функции .
6 Для каждого числового промежутка записать и решить исходное уравнение без знаков	модуля	.
Эти два случая можно объединить в единой записи , используя понятие	модуля	числа .
Пользуясь определением	модуля	числа , решение этого уравнения можно записать следующим образом .
1 Под знаком	модуля	находятся выражения .
213 Запишите с помощью	модуля	расстояние между точками числовой прямой с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
Решите неравенство , пользуясь определением	модуля	.
Только здесь результаты сложения никогда не превышают делителя , то есть рассматриваемого	модуля	.
самому выражению , содержащемуся под знаком	модуля	, или выражению , противоположному ему .
Если же , то выражение под знаком	модуля	может принимать значения с и -с .
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого	модуля	.
1 Найти в неравенстве все выражения , содержащиеся под знаком	модуля	.
Согласно определению	модуля	указанное равенство возможно в следующих случаях .
Как с помощью	модуля	можно записать расстояние от точек А и Б до начала координат ? .
Разность двух рациональных чисел равна 3 , при этом модуль одного из этих чисел в 2 раза больше	модуля	другого числа .
6 Теперь для каждого числового промежутка запишем и решим неравенство без знаков	модуля	, равносильное исходному .
5 Выпишем определение модуля каждого из выражений и установим для всех числовых промежутков , чему равно значение	модуля	.
5 Выпишем определение	модуля	каждого из выражений и установим для всех числовых промежутков , чему равно значение модуля .
Сумма двух рациональных чисел равна 8 , при этом модуль одного из этих чисел в 3 раза меньше	модуля	другого числа .
Произведение суммы квадратов b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и	модуля	разности квадратов а и b .
5 Установим для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого	модуля	.
286 Запишите в виде блок - схемы : а ) алгоритм нахождения	модуля	числа а ; б ) алгоритм определения того , что числа а и b имеют одинаковый остаток при делении на m .
1 Найти в уравнении все выражения , содержащиеся под знаком	модуля	.
5 Установить для всех числовых промежутков , чему равно значение каждого	модуля	— самому выражению , содержащемуся под знаком модуля , или выражению , противоположному ему .
Для этого можно воспользоваться определением	модуля	каждого из выражений .
Решение уравнений с	модулями	.
Решим неравенство способом , аналогичным тому , который мы использовали при решении уравнений с	модулями	.
Решение неравенств с	модулями	.
В предыдущих пунктах мы с вами научились решать линейные уравнения и неравенства , уравнения с	модулями	, сводящиеся к линейным .
Разберемся теперь с тем , как решать неравенства с	модулями	.
Что касается неравенств с несколькими	модулями	, то способ их решения аналогичен способу , который мы использовали при решении уравнений с модулями .
Поэтому при решении уравнений с	модулями	в дальнейшем мы будем использовать « упрощенную » модель числовой прямой .
Однако прежде чем приступать к решению неравенств с	модулями	указанным способом , надо внимательно посмотреть на неравенство , так как иногда только лишь по виду неравенства можно сделать вывод о множестве его решений .
Решите уравнение с	модулями	.
Алгоритм решения неравенств с	модулями	.
Обобщая рассмотренный нами способ решения уравнения с	модулями	, приходим к следующему алгоритму .
Итак , обобщая способ решения неравенства с несколькими	модулями	, сводящегося к линейному , приходим к следующему алгоритму .
Алгоритм решения уравнения с	модулями	.
Что касается неравенств с несколькими модулями , то способ их решения аналогичен способу , который мы использовали при решении уравнений с	модулями	.
Линейные уравнения с	модулями	могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать выражения вне знака модуля .
Прежде всего , вспомним , какие числовые промежутки являются решениями простейших неравенств с	модулями	.
Действительно , в наборе чисел две	моды	— число 9 и число 39 , так как и то и другое число встречаются в указанном наборе по два раза .
На практике вычисление среднего арифметического , наибольшего и наименьшего значения , размаха и	моды	наборов чисел мы производим очень часто .
Так , например , в наборе чисел , характеризующем ежегодный выпуск мопедов в РФ с 1999 по 2008 г. ,	моды	нет , так как все числа встречаются в нем по одному разу .
У набора чисел может не быть	моды	, если все числа в наборе встречаются одинаковое число раз .
Какое расстояние было между волком и зайцем в тот	момент	, когда волк увидел зайца ? .
Какое расстояние было между милиционером и нарушителем в тот	момент	, когда милиционер начал погоню , если скорость милиционера была равна 200 м / мин , а скорость нарушителя — 180 м / мин ? .
Может возникнуть ощущение , что этот ряд может в какой - то	момент	оборваться .
Через какое время лодка догонит плот , если в данный	момент	расстояние между ними 18 км ? .
Последовательно вычитая из натурального числа а натуральное число 3 , мы получим в некоторый	момент	отрицательное число .
Например , метеорологические приборы автоматически регистрируют значение температуры в каждый заданный	момент	времени суток .
Какое расстояние было между Таней и Наташей в тот	момент	, когда Таня пустилась вдогонку , если скорость Тани была равна 120 м / мин , а скорость Наташи — 50 м / мин ? .
В какой	момент	можно прекращать свое образование ? .
Через какое время они встретятся , если в данный	момент	расстояние между ними 220 км ? .
Формула зависимости пути s пешехода от времени движения t позволит нам определить , какой путь он прошел в каждый указанный в задаче	момент	времени .
Через сколько времени они встретятся , если в данный	момент	расстояние между ними 234 км ? .
В	момент	, когда первый и второй бегун были в одном месте , третий отставал от них на 6 км .
При этом периодическое повторение остатков начинается в тот	момент	, когда в последовательности остатков появляется остаток , совпадающий с одним из уже найденных .
Через сколько времени они встретятся , если в данный	момент	расстояние между ними 528 км ? .
В современном мире наличие необходимой информации в нужный	момент	времени является важным конкурентным преимуществом как для успеха отдельного человека , так и для различных коммерческих и некоммерческих организаций .
В некоторый	момент	времени все мотоциклисты поравнялись друг с другом .
Какое расстояние было между Мишей и Колей в тот	момент	, когда Миша побежал за Колей , если скорость Миши была равна 170 м / мин , а скорость Коли — 80 м / мин ? .
В этом матче был	момент	, когда ЦСКА уже забросил столько мячей , сколько « Динамо » ( Москва ) забросил после этого момента .
В последний	момент	двое отказались участвовать в покупке , поэтому каждому из оставшихся школьников пришлось заплатить на 1 р .
На сколько километров первый обогнал второго в тот	момент	, когда второго бегуна догнал третий ? .
Через сколько часов они встретятся , если в данный	момент	расстояние между ними 350 км ? .
А применить аксиоматический метод в геометрии удалось Евклиду : он создал систему аксиом , которая стала основой логического обоснования всех известных на тот	момент	геометрических утверждений .
Через сколько времени катер догонит плот , если в данный	момент	расстояние между ними 29 км ? .
Часто обязаны созданию и введению новых понятий в тот	момент	, когда к этому вынуждает частое обращение к сложным явлениям .
Сколько времени прошло с	момента	увеличения скорости Антоном до момента его встречи с Ксюшей ? .
В этом матче был момент , когда ЦСКА уже забросил столько мячей , сколько « Динамо » ( Москва ) забросил после этого	момента	.
Сколько раз до этого	момента	первый обогнал четвертого ? .
Известно , что до этого	момента	первый обогнал второго 1 раз , второй обогнал третьего 3 раза , а третий обогнал четвертого 2 раза .
Сколько времени потребуется Антону для этого , если он будет ехать со скоростью 110 км / ч , скорость « газели » 60 км / ч и до	момента	выезда Антона она успела уже проехать 20 км ? .
Мы видим , что после запятой в полученных десятичных дробях одна и та же группа цифр с некоторого	момента	начинает повторяться бесконечное число раз .
6 Преподаватель английского языка работает в университете им. М. В. Ломоносова с того	момента	, как окончил его .
Сколько времени прошло с момента увеличения скорости Антоном до	момента	его встречи с Ксюшей ? .
Для любых натуральных чисел a и m остатки от деления a , а2 , .. , аn , .. на m с некоторого	момента	начинают периодически повторяться .
Далее , аналогично рассуждая , проводим вычисления до того	момента	, пока не получим количество комбинаций требуемой длины .
Действительно , если бы данная дробь была периодической с периодом , то в ней с некоторого	момента	одна и та же группа из n цифр должна была бы периодически повторяться .
Два пловца стартовали одновременно от одного бортика бассейна и стали плавать по одной дорожке вперед и назад без остановки до того	момента	, пока оба одновременно не оказались у того бортика , от которого стартовали .
Сколько времени он должен после этого работать до того	момента	, когда ему останется сделать 4 часть заказа , если он работает с постоянной производительностью ? .
И так как мы делим все время на одно и то же число , то с	момента	появления первого повторения в частном будет периодически повторяться одна и та же группа цифр .
Через сколько времени надо открыть кран с сиропом , чтобы к	моменту	наполнения резервуара воды налилось в 2,5 раза больше , чем сахарного сиропа ? .
Через сколько времени надо открыть кран с родниковой водой , чтобы к	моменту	наполнения бассейна морской воды налилось в 2 раза больше , чем родниковой ? .
К	моменту	, когда удалось вызвать аварийную команду и насосы начали откачивать воду , в комнате оказалось уже 300 ведер воды .
Через сколько времени надо открыть кран с холодной водой , чтобы к	моменту	наполнения ванны горячей воды в ней было в 1,5 раза больше , чем холодной ? .
Сколько мячей к этому	моменту	было в сумме заброшено обеими командами ? .
Затем Ваня дал Пете и Толе столько , сколько у них было , и , наконец , Толя дал Пете и Ване столько , сколько у них к этому	моменту	имелось .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение	наибольшего общего делителя	двух натуральных чисел .
Найдите	наибольший общий делитель	чисел .
105 Найдите	наибольший общий делитель	и наименьшее общее кратное чисел .
95 Найдите	наибольший общий делитель	чисел .
Таким образом , мы получили , что множество общих делителей а и b совпадает с множеством общих делителей b u r. Следовательно , совпадает и их	наибольший общий делитель	, что и требовалось доказать . .
344 Найдите	наибольший общий делитель	и наименьшее общее кратное чисел .
Найти	наибольший общий делитель	чисел 71 004 и 154 452 .
Наибольший из общих делителей натуральных чисел а и b называют их	наибольшим общим делителем	.
Теперь	найдем	значения х и у , соответствующие найденным значениям k .
Для этого	найдем	сумму всех данных чисел и разделим ее на количество столбцов ( строк ) в квадрате , то есть на 3 .
Каждый из множителей приравняем к нулю и	найдем	корни получившихся уравнений .
Затем приравняем каждый из множителей к нулю и	найдем	корни получившихся уравнений .
Теперь	найдем	соответствующее ему значение у.
Решим каждое из двух полученных неравенств , а затем	найдем	объединение множеств их решений .
Действительно ,	найдем	значение этих функций в произвольной точке х0 .
Поэтому , рассматривая подряд n остатков , мы обязательно	найдем	среди них два одинаковых .
Рассмотрим последовательные степени числа 3 и	найдем	числа , с которыми они сравнимы по модулю 7 .
Теперь из уравнения для указанных значений х	найдем	соответствующие им значения у .
Тем самым мы	найдем	корни исходного уравнения , так как произведение равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
Теперь раскроем скобки , выполняя умножение одночлена на многочлен , затем приведем подобные слагаемые и	найдем	корень уравнения .
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут решениями уже не при всех целых значениях k. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и найти все возможные значения k. После этого для каждого	найденного	значения k надо найти соответствующие значения х и у .
Положить новое значение С равным произведению C1 и	найденного	ранее С .
После этого , используя свойства уравнения и	найденное	решение , можно будет выразить значения х и у через некоторую единую переменную величину ( обозначаемую , например , k ) , принимающую целые значения .
Сколько золотых монет было в	найденном	кладе и сколько было друзей , если в процессе указанного дележа все получили поровну ? .
4 Провести через	найденную	точку пересечения прямую , параллельную Ох .
3 Отметить	найденные	корни уравнений на « упрощенной » модели числовой прямой и определить непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные точки разбивают числовую прямую .
Так как все полученные значения у являются неотрицательными целыми числами , то все	найденные	пары х и у являются решениями нашей задачи .
3 Отметим	найденные	корни уравнений на « упрощенной » модели числовой прямой и определим непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные числа разбивают числовую прямую .
Теперь найдем значения х и у , соответствующие	найденным	значениям k .
3 В ответе записать множество	найденных	корней .
При этом периодическое повторение остатков начинается в тот момент , когда в последовательности остатков появляется остаток , совпадающий с одним из уже	найденных	.
4 Выбрать из	найденных	решений уравнения те , которые удовлетворяют условиям задачи .
4 Проверим , что объединение	найденных	числовых промежутков составляет всю числовую прямую .
4 Проверить , что объединение	найденных	числовых промежутков составляет всю числовую прямую .
Так , например , не для всех а и b можно разложить на множители двучлен а2 плюс b2 ( хотя , как мы убедились в примере 3 , для некоторых конкретных а и b это разложение может быть	найдено	) .
Кто не ожидает неожиданного , тот не	найдет	сокровенного и трудно находимого .
644 Рациональным способом	найдите	значение выражения .
Считая , что скорость лифтов постоянная ,	найдите	скорость лифта в здании , в котором находится офис пончиковой компании , если для того , чтобы подняться в квартиру Антона , требуется 40 с .
Запишите его в стандартном виде и	найдите	его значение при данных значениях букв .
218 С помощью алгоритма Евклида	найдите	НОД чисел а и b .
99 Среди указанных одночленов	найдите	подобные .
Используя идею сложения многозначных чисел « в столбик » , предложите аналогичный способ сложения многочленов и	найдите	этим способом сумму А плюс В .
На одной координатной плоскости Оху постройте графики линейных функций и	найдите	координаты их точки пересечения .
1 Запишите решение задачи в виде буквенного выражения и	найдите	его значение для .
437 Упростите уравнение , разделив обе его части на одно и то же не равное нулю число , а затем	найдите	его корни .
Не выполняя построение графика функции ,	найдите	координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу .
Запишите следующие выражения и	найдите	их значение при .
303 Пользуясь полученными в задании 5 таблицами умножения ,	найдите	одно значение х , такое , что .
Не выполняя построение графика функции ,	найдите	координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу и после этого постройте график .
Определите , можно ли записать данное выражение , как одночлен и	найдите	его значение при n равно -48 , m равно -0,32 , k равно 5,6 .
Постройте ломаную ABCD и	найдите	приблизительные координаты точек ее пересечения с осями Ох и Оу .
43 Составьте буквенное выражение для нахождения неизвестного числа и	найдите	его при данных значениях букв .
В множестве А	найдите	подмножества , состоящие из чисел , кратных .
41 Составьте выражение и	найдите	его значение при .
452 Упростите уравнение , разделив обе его части на одно и то же число , отличное от нуля , а затем	найдите	его корень .
С помощью алгоритма Евклида	найдите	НОД чисел а и 6 .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 ,	найдите	наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
Для функции	найдите	.
Для прямой пропорциональной зависимости	найдите	: 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b ,
Упростите выражение при допустимых значениях переменных и	найдите	его значение .
731 Разложите числа на простые множители и	найдите	их НОД и НОК .
74 С помощью алгоритма Евклида найдите НОД данных чисел , а затем	найдите	их НОК .
Определите коэффициент пропорциональности данной зависимости и	найдите	недостающие в таблице значения .
731 Определите степень , старший и свободный члены многочлена и	найдите	его значение при указанных значениях переменных .
11 Прочитайте выражение и	найдите	его значение .
Функция задана словесным описанием ,	найдите	ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
74 С помощью алгоритма Евклида	найдите	НОД данных чисел , а затем найдите их НОК .
197 Среди натуральных чисел , больших 20 ,	найдите	наименьшее натуральное число , которое : а ) при делении на 12 дает остаток 8 ; б ) при делении на 31 дает остаток 3 .
534 Среди представленных одночленов	найдите	пять пар одночленов , имеющих общие буквенные множители .
Пользуясь определением ,	найдите	линейные уравнения с одной переменной среди уравнений , приведенных ниже .
207 С помощью алгоритма Евклида	найдите	НОД чисел а и b .
583 Среди представленных выражений	найдите	те , которые являются .
С помощью алгоритма Евклида	найдите	НОД чисел а и b .
535 Среди представленных выражений	найдите	те , которые имеют общие буквенные множители .
204 Можно ли	найти	два натуральных числа , сумма и произведение которых нечетны ? .
Значит , решить неравенство — это	найти	множество всех его решений либо доказать , что решений нет .
В частности , комбинаторика ищет методы решения задач , в которых надо	найти	число всех возможных вариантов выбора объектов с заданными свойствами .
Решая задачу 1 , нам удалось не только	найти	некоторое ее решение , но и доказать , что данное решение единственное .
Аналогичным образом можно	найти	сумму любого количества многочленов .
Поэтому при решении задач мы , например , можем легко	найти	значения величин по общему правилу нахождения неизвестного множителя .
Например , чтобы	найти	значение суммы 1 + 2 + 3 + .. + 1000 , мы не станем складывать подряд все числа от 1 до 1000 , а заметим , что суммы 1 + 1000 , 2 + 999 , 3 + 998 и т.д. равны между собой и что имеется всего 500 таких сумм .
Множество общих делителей чисел а и b является конечным , так как ни один из общих делителей не может быть больше , чем наименьшее из чисел а и b. Значит , среди общих делителей двух натуральных чисел всегда можно	найти	наибольший .
И тогда появляется необходимость	найти	те значения переменных , при подстановке которых неравенство превращается в истинное высказывание .
Математика имеет целью	найти	общие методы для получения эффективных результатов в различных сферах человеческой деятельности .
В рассмотренной нами выше задаче для каждого натурального значения x мы можем	найти	соответствующее значение стоимости покупки .
Значит , для решения исходного уравнения нам достаточно	найти	корни двух уравнений 1 ) и 2 ) .
Какое действие над членами данного многочлена надо выполнить , чтобы	найти	выражение в скобках ?
Попробуем его	найти	.
Заметим , что эти вопросы в данном случае мы ставим исходя не из какой - либо практической задачи , а из внутренней логики развития самой математики , стремления расширить свои возможности в использовании имеющихся знаний , наконец , из простого любопытства , желания	найти	ответы на « неожиданные » вопросы .
Идея поиска всех целых решений уравнений рассматриваемого вида заключается в следующем : сначала надо	найти	одно произвольное решение данного уравнения .
Следовательно , чтобы построить график , нам надо	найти	еще лишь одну точку , принадлежащую этому графику .
Таким образом , как только мы представили линейное неравенство с одним неизвестным х в виде , мы сразу можем	найти	его решение .
Для этого определяется , что известно , что надо	найти	, устанавливаются взаимосвязи между известными и неизвестными величинами , вводятся буквенные обозначения , составляются математические соотношения : уравнения и неравенства .
Надо	найти	углы этого треугольника .
3 ) Как	найти	многочлен , противоположный данному ?
4 Используя свойства делимости целых чисел ,	найти	одно из решений х0 , у0 уравнения .
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут решениями уже не при всех целых значениях k. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и	найти	все возможные значения k. После этого для каждого найденного значения k надо найти соответствующие значения х и у .
Значит , как и в случае прямой пропорциональности , для его построения нам достаточно	найти	лишь две точки , принадлежащие этому графику .
Можно	найти	целое число , которое при делении на 3 дает остаток 4 . д ) Есть целые числа , которые не делятся на единицу .
9 Если множество значений k конечно , то для каждого значения k	найти	соответствующие значения х и у .
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут решениями уже не при всех целых значениях k. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и найти все возможные значения k. После этого для каждого найденного значения k надо	найти	соответствующие значения х и у .
Составление таблиц помогает нам проанализировать условие задачи , построить график заданной в таблице зависимости , систематизировать информацию , быстрее	найти	ответ на интересующий нас вопрос , — например , нужную телевизионную передачу , ведь программа телевидения — это та же таблица .
Так , чтобы	найти	простой делитель 61 чисел 5917 и 154 452 , надо проверить , что эти числа не делятся на 17 простых чисел от 2 до 59 .
2 Используя свойства делимости ,	найти	все возможные значения одной из переменных .
Решить уравнение — это значит	найти	все значения входящих в него неизвестных , при которых равенство становится тождеством .
Как по графику функции	найти	значение коэффициента k ? .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только	найти	результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
Чтобы	найти	значение суммы , можно переместиться по числовой окружности от точки 5 на 2 единицы в направлении отсчета .
Для того чтобы	найти	среднее арифметическое , надо вычислить общий вес всех семиклассников и разделить его на число семиклассников .
Этот же ответ можно	найти	и с помощью вычислений .
Поэтому для любого натурального n мы всегда сможем	найти	как группу из n нулей , так и группу из n цифр , содержащую нули и двойки .
Определяем , что известно и что надо	найти	.
Так как график прямой пропорциональности — это прямая , а через две различные точки можно провести ровно одну прямую , то для построения графика функции нам достаточно	найти	лишь две точки , принадлежащие этой прямой .
Фиксируем , что известно и что надо	найти	.
Можно	найти	натуральное число , квадрат которого больше 30 .
Стремиться	найти	истину — заслуга , даже если на этом пути и блуждаешь .
А можно ли	найти	способы решения более сложных неравенств , аналогичные способам , используемым нами при решении уравнений ?
Чтобы	найти	среднее арифметическое чисел , представленных в таблице , надо сумму этих чисел разделить на их количество .
Для того чтобы найти частное и остаток , нам , во - первых , надо найти наибольшее число , кратное 2 и не превышающее 7 ( число 6 ) , затем	найти	неполное частное , после этого надо найти остаток .
Как для каждой из указанных функций	найти	.
Можно	найти	натуральное число , которое делится на 3 . б ) Нечетные числа при делении на 2 дают остаток 1 .
Используя график функции ,	найти	ее значение в некоторой точке х можно следующим образом .
2 В задачах требуется	найти	целые решения таких уравнений .
Для того чтобы найти частное и остаток , нам , во - первых , надо	найти	наибольшее число , кратное 2 и не превышающее 7 ( число 6 ) , затем найти неполное частное , после этого надо найти остаток .
сначала надо выделить числовые промежутки , на которых выражения под знаком модуля не меняют свой знак , а затем	найти	решения неравенств на каждом из выделенных промежутков .
Запишем их все вместе и зафиксируем значение величины , которое требуется	найти	.
Нужно	найти	, сколько дисков осталось у Миши .
Поэтому , проверяя на первых буквах кода разные варианты сдвига , достаточно быстро можно	найти	ключ шифра .
Можно	найти	такое целое число , делителем которого является 7 . д ) Все целые числа , делящиеся на 5 , составные .
Например , чтобы построить график функции , можно взять значение ,	найти	соответствующее значение , а затем провести прямую через полученную точку ( 4 ; -2 ) и начало координат .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно	найти	произведение суммы и разности двух выражений , а затем — как найти разность квадратов двух выражений .
Таким образом , не выполняя громоздких вычислений самих степеней , мы с помощью сравнений смогли быстро	найти	остатки от деления на 7 всех чисел вида 3n .
Требуется	найти	величины каждого из трех углов треугольника , то есть значения .
Попытка разделить , например , число 564 на 20 на множестве натуральных чисел показывает , что нельзя	найти	такое натуральное число с , чтобы .
Для того чтобы найти частное и остаток , нам , во - первых , надо найти наибольшее число , кратное 2 и не превышающее 7 ( число 6 ) , затем найти неполное частное , после этого надо	найти	остаток .
А как	найти	произведение трех или более многочленов ? .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух выражений , а затем — как	найти	разность квадратов двух выражений .
Используя эти законы при преобразованиях алгебраических сумм , мы можем моментально	найти	значение , например , такого выражения .
2 Приравнять каждое из этих выражений к нулю и	найти	корни полученных уравнений .
Итак , теперь мы знаем , как	найти	произведение двух многочленов .
Свойства простых чисел позволяют первому игроку быстро	найти	выигрышную стратегию , ведь эти числа имеют ровно два различных делителя .
Определить , какие величины известны и какие надо	найти	.
А можно ли	найти	все простые числа ? .
Французский математик Блез Паскаль в своем « Трактате об арифметическом треугольнике » ( 1655 г. ) установил способ , который позволяет достаточно легко	найти	требуемые коэффициенты при возведении двучлена в любую n - ю степень .
Для того чтобы	найти	частное и остаток , нам , во - первых , надо найти наибольшее число , кратное 2 и не превышающее 7 ( число 6 ) , затем найти неполное частное , после этого надо найти остаток .
Любая	натуральная	степень нуля равна 0 , а при умножении числа на 0 получается 0 .
Любая	натуральная	степень нуля представляет собой произведение нулей ( или само число 0 ) .
350 Вычислите и определите , какие остатки дает	натуральная	степень данного числа при делении на 7 .
Любая	натуральная	степень положительного рационального числа — это число положительное .
Любая	натуральная	степень единицы равна 1 , а при умножении на 1 число не изменяется .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного	натурального	числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
д ) У	натурального	числа не бывает больше 3 делителей .
а ) Не существует наибольшего	натурального	числа , которое при делении на 5 дает остаток 1 . б )
Для того чтобы избежать такой неоднозначности , математики решили записывать простые множители в разложении	натурального	числа в порядке возрастания .
Теперь покажем , что другого	натурального	решения нет .
Сумма увеличенного в семь раз первого	натурального	числа и удвоенного второго натурального числа равна 39 .
Сумма увеличенного в семь раз первого натурального числа и удвоенного второго	натурального	числа равна 39 .
Поэтому для любого	натурального	n мы всегда сможем найти как группу из n нулей , так и группу из n цифр , содержащую нули и двойки .
в ) Некоторые натуральные числа , делящиеся на 3 , делятся на 9 . г ) Остаток при делении	натурального	числа на 2 равен либо 0 , либо 1 .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа « неразрушения » ) , дадим определение первой степени рационального числа , согласованное с определением первой степени	натурального	числа , которое мы использовали раньше .
Если квадрат	натурального	числа делится на 5 , то и само число делится на 5 .
Дайте определение степени	натурального	числа а с натуральным показателем n , если : 1 ) n больше 1 .
Для любых рациональных чисел a и b и любого	натурального	числа n .
Правила возведения в квадрат	натурального	числа , оканчивающегося на 5 . вычислений со степенями .
Результат деления одного	натурального	числа на другое не всегда будет числом натуральным .
Правило возведения в квадрат	натурального	числа , оканчивающегося на 5 .
Значит , оно неверно и мы доказали единственность представления	натурального	числа а в виде .
В рассмотренной нами выше задаче для каждого	натурального	значения x мы можем найти соответствующее значение стоимости покупки .
а ) Если натуральное число больше 5 , то оно больше или равно 6 . б ) Делитель	натурального	числа может быть больше этого числа .
Алгоритм деления с остатком	натурального	числа а на b . 1 Найти наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
Последовательно вычитая из	натурального	числа а натуральное число 3 , мы получим в некоторый момент отрицательное число .
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр	натурального	числа делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат	натурального	числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
323 Из некоторого	натурального	числа вычли сумму его цифр , затем в получен ном числе зачеркнули одну цифру .
в ) Не существует	натурального	числа , которое при делении на 18 дает остаток 5 , а при делении на 27 дает остаток 3 .
Если сумма цифр	натурального	числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Для любых рациональных чисел а и b , где b 0 , и любого	натурального	числа n .
Однако если мы хотим измерять величины с хорошей точностью , то чисел	натурального	ряда нам не хватит .
Квадрат любого	натурального	числа больше самого числа .
Для любых рациональных чисел a и b и любого	натурального числа	n .
Алгоритм деления с остатком	натурального числа	а на b . 1 Найти наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
а ) Не существует наибольшего	натурального числа	, которое при делении на 5 дает остаток 1 . б )
Для того чтобы избежать такой неоднозначности , математики решили записывать простые множители в разложении	натурального числа	в порядке возрастания .
д ) У	натурального числа	не бывает больше 3 делителей .
Последовательно вычитая из	натурального числа	а натуральное число 3 , мы получим в некоторый момент отрицательное число .
323 Из некоторого	натурального числа	вычли сумму его цифр , затем в получен ном числе зачеркнули одну цифру .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат	натурального числа	делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Правило возведения в квадрат	натурального числа	, оканчивающегося на 5 .
а ) Если натуральное число больше 5 , то оно больше или равно 6 . б ) Делитель	натурального числа	может быть больше этого числа .
Для любых рациональных чисел а и b , где b 0 , и любого	натурального числа	n .
Значит , оно неверно и мы доказали единственность представления	натурального числа	а в виде .
Результат деления одного	натурального числа	на другое не всегда будет числом натуральным .
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр	натурального числа	делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
Если сумма цифр	натурального числа	делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Если квадрат	натурального числа	делится на 5 , то и само число делится на 5 .
Квадрат любого	натурального числа	больше самого числа .
Сумма увеличенного в семь раз первого	натурального числа	и удвоенного второго натурального числа равна 39 .
Сумма увеличенного в семь раз первого натурального числа и удвоенного второго	натурального числа	равна 39 .
в ) Не существует	натурального числа	, которое при делении на 18 дает остаток 5 , а при делении на 27 дает остаток 3 .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного	натурального числа	на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
Дайте определение степени	натурального числа	а с натуральным показателем n , если : 1 ) n больше 1 .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа « неразрушения » ) , дадим определение первой степени рационального числа , согласованное с определением первой степени	натурального числа	, которое мы использовали раньше .
Правила возведения в квадрат	натурального числа	, оканчивающегося на 5 . вычислений со степенями .
в ) Некоторые натуральные числа , делящиеся на 3 , делятся на 9 . г ) Остаток при делении	натурального числа	на 2 равен либо 0 , либо 1 .
Найдите это число . б ) Числа 3311 , 1935 , 1376 дают равные остатки при делении на	натуральное	число , большее 1 .
Значит , а -	натуральное	число , меньшее 10 , а b может быть одним из целых чисел от 0 до 9 .
а ) Если	натуральное	число больше 9 , то оно больше или равно 10 . б ) Сумма двух натуральных чисел , каждое из которых больше 5 , меньше 9 .
И именно из аксиом Пеано следует , что если	натуральное	число равно n , то следующее за ним равно , а число , следующее за , равно .
Последовательно вычитая из натурального числа а	натуральное	число 3 , мы получим в некоторый момент отрицательное число .
Имеется	натуральное	число , которое при делении на 24 дает остаток 7
Числа 2146 , 1991 , 1805 дают равные остатки при делении на	натуральное	число , большее 1 .
342 Числа 901 , 1696 , 4293 дают равные остатки при делении на некоторое	натуральное	число .
Найдите вероятность того , что случайно названное трехзначное	натуральное	число окажется равным задуманному .
Можно найти	натуральное	число , которое делится на 3 . б ) Нечетные числа при делении на 2 дают остаток 1 .
Если	натуральное	число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
144 Известно , что	натуральное	число а делится на натуральное число b.
Составным называется	натуральное	число , которое имеет более двух различных делителей .
Выбирая нужные понятия и свойства из нижеприведенного списка : 1 )	натуральное	число ; 2 ) дробь ; 3 ) число ; 4 ) кратное 2 ; 5 ) меньше единицы ; 6 )
1 Любое ли	натуральное	число можно представить в указанном виде ? .
а ) Если	натуральное	число а не делится на 5 , то число 7а не делится на 5 .
а ) Задумали однозначное	натуральное	число .
Если	натуральное	число делится на 36 , то сумма его цифр делится на 9 и число , составленное из его двух последних цифр , делится на 4 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно	натуральное	число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Теорема 4 Если натуральное число а делится на	натуральное	число b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то .
Найдите наименьшее	натуральное	число , сравнимое с числом а по модулю m .
в ) Если	натуральное	число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то	натуральное	число делится на 6 .
а ) Если	натуральное	число делится на 4 и на 3 , то оно всегда делится на 12 . б ) Если натуральное число делится на 4 и на 6 , то оно всегда делится на 24 .
Простым называется	натуральное	число , которое имеет ровно два различных делителя : единицу и само это число .
а ) Если	натуральное	число а не делится на 3 , то 5а не делится на 3 .
Следовательно , если	натуральное	число , большее 1 , не делится ни на одно простое число , квадрат которого меньше него , то рассматриваемое число - простое .
Если	натуральное	число b делится на 3 , то число 2b делится на 6 .
б ) Найдите	натуральное	число , восьмая часть от которого на 3 меньше его шестой части .
144 Известно , что натуральное число а делится на	натуральное	число b.
Найдите	натуральное	число , которое больше своей четверти на 81
Если	натуральное	число при делении на 30 дает остаток 21 , то оно не делится на 10 .
« Катя задумала двузначное	натуральное	число , сумма которого с утроенной цифрой его единиц равна 74 .
а ) Если натуральное число делится на 4 и на 3 , то оно всегда делится на 12 . б ) Если	натуральное	число делится на 4 и на 6 , то оно всегда делится на 24 .
Можно найти	натуральное	число , квадрат которого больше 30 .
Если	натуральное	число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 5 .
Числа , имеющие одинаковые остатки при делении на некоторое заданное	натуральное	число , настолько важны в математике , что получили свое специальное название .
В десятичной системе счисления любое	натуральное	число А может быть представлено в виде .
в ) Любое	натуральное	число является делителем самого себя .
197 Среди натуральных чисел , больших 20 , найдите наименьшее	натуральное	число , которое : а ) при делении на 12 дает остаток 8 ; б ) при делении на 31 дает остаток 3 .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если	натуральное	число а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
Число 0 делится на любое	натуральное	число .
Если	натуральное	число делится на 11 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 11 .
Найдите наименьшее	натуральное	число , сравнимое с числом 214 по модулю .
353 Найдите наибольшее	натуральное	число , делящееся на 72 , в записи которого по одному разу участвуют все 10 цифр .
в ) Если	натуральное	число делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если натуральное число при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
Если все натуральные числа являются целыми и ни одно	натуральное	число не является отрицательным , значит , все целые числа не являются отрицательными .
131 Известно , что	натуральное	число а делится на натуральное число b.
Теперь мы знаем , как определить , является ли	натуральное	число простым .
131 Известно , что натуральное число а делится на	натуральное	число b.
а ) Если	натуральное	число делится на 11 , то оно не может при делении на 33 давать остаток 17 . б )
б ) Если	натуральное	число 6 четное , то 3b делится на 6 .
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на b . 1 Найти наибольшее	натуральное	число k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
а ) Если	натуральное	число больше 5 , то оно больше или равно 6 . б ) Делитель натурального числа может быть больше этого числа .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а	натуральное	число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
в ) Составное число - это	натуральное	число , имеющее более двух различных делителей .
Пусть n —	натуральное	число , большее 1 .
Найдите наименьшее	натуральное	х , такое , что .
в ) Если	натуральное	число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно	натуральное	число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
290 Найдите наименьшее	натуральное	число , сравнимое с числом а по модулю m .
Если	натуральное	число при делении на 36 дает остаток 4 , то оно не делится на 6 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое	натуральное	число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Откуда и следует , что	натуральное	число делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 , что и требовалось доказать .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно	натуральное	число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое	натуральное	число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Но может быть , существует еще какое - то	натуральное	число n , для которого верно ? .
а ) Если	натуральное	число делится на 7 , то оно не может при делении на 21 давать остаток 5 .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое	натуральное	число А дает тот же остаток при делении на 11 , что и разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой цифр , стоящих на нечетных местах , что и требовалось доказать .
Если	натуральное	число при делении на 64 дает остаток 31 , то оно не делится на 8 .
в ) Если	натуральное	число делится на 2 , то оно оканчивается нулем .
а ) Если	натуральное	число делится на 7 , то оно не может при делении на 28 давать остаток 9 . б )
Получим	натуральное	число а .
Ваня загадал	натуральное	число и сообщил своим друзьям , что загаданное им число двузначное .
а ) Если	натуральное	число а не делится на 3 , то 2а не делится на 3 .
Теорема 2 Любое	натуральное	число делится на единицу .
в ) Разность двух натуральных чисел всегда число	натуральное	. г ) Частное двух целых чисел а и b может быть целым числом .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее	натуральное	число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
в ) Если натуральное число делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если	натуральное	число при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
Найдите наименьшее	натуральное	число , с которым число А сравнимо по модулю В .
278 Найдите наименьшее	натуральное	число , сравнимое с числом а по модулю m .
в ) Если натуральное число делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если	натуральное	число при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
Натуральное число а делится на	натуральное	число b , если существует такое натуральное число с , что .
365 Найдите наименьшее	натуральное	число , сравнимое с числом 591 по модулю .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое	натуральное	число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
В свою очередь , это последнее утверждение непосредственно следует из того , что если	натуральное	число равно n , то следующее за ним равно , а число , следующее за , равно .
272 Найдите наименьшее	натуральное	число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
Найдите вероятность того , что случайно названное однозначное	натуральное	число окажется равным задуманному .
к ) Если натуральное число а делится на 5 , а	натуральное	число b делится на 7 , делится на 35 .
Числа 257 , 374 и 478 дают одинаковые остатки при делении на некоторое	натуральное	число , большее 1 .
Натуральное число а делится на натуральное число b , если существует такое	натуральное	число с , что .
Значит , любое	натуральное	число делится на единицу , что и требовалось доказать . .
к ) Если	натуральное	число а делится на 5 , а натуральное число b делится на 7 , делится на 35 .
458 Борис задумал	натуральное	число , умножил его на 13 , зачеркнул последнюю цифру результата .
188 Некоторое натуральное число а разделили с остатком на некоторое	натуральное	число Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и делимое , и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
С помощью формулы суммы квадратов мы можем также получить простейшее правило , которое без труда позволит возвести в квадрат любое	натуральное	число , оканчивающееся на 5 .
Пусть а и b — произвольные рациональные числа , где b≠0 , и n — произвольное	натуральное	число , тогда что и требовалось доказать .
Если	натуральное	число при делении на 12 дает остаток 8 , то оно не делится на 27 .
Число 100 разделили на некоторое	натуральное	число и получили в остатке 4 .
а ) Любое	натуральное	число больше нуля .
Если	натуральное	число при делении на 27 дает остаток 7 , то оно не делится на 9 .
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это	натуральное	число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
Задумали двузначное	натуральное	число .
Любое	натуральное	число кратно самому себе .
в ) Если	натуральное	число делится на 8 , то при делении на 16 оно не может давать остаток 7 .
188 Некоторое	натуральное	число а разделили с остатком на некоторое натуральное число Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и делимое , и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
в ) Задумали трехзначное	натуральное	число .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое	натуральное	число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Действительно , число b -	натуральное	и , значит .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно	натуральное	число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
а ) Если	натуральное	число делится на 4 , то оно не может при делении на 16 давать остаток 5 .
Как мы уже знаем , результатом сложения и умножения натуральных чисел всегда будет	натуральное	число .
Если	натуральное	число делится на 19 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6 делится на 5 .
Значит , любое	натуральное	число делится на само себя , что и требовалось доказать .
Для того чтобы возвести в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним	натуральное	число и к полученному результату приписать справа 25 .
а ) Если	натуральное	число делится на 5 , то оно не может при делении на 20 давать остаток 16 . б )
Числа 1712 , 1807 и 1940 дают одинаковые остатки при делении на некоторое	натуральное	число , большее 1 .
Чему равно это	натуральное	число ? .
Теорема 3 Любое	натуральное	число делится на само себя .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если	натуральное	число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Для того чтобы возвести в квадрат любое	натуральное	число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
а ) Число а , кратное числу b , не может быть больше b . б ) Любое	натуральное	число , большее 1 , имеет по крайней мере 2 делителя .
Найдите вероятность того , что случайно названное двузначное	натуральное	число окажется равным задуманному .
Пусть а и b — произвольные рациональные числа , а n — произвольное	натуральное	число , тогда что и требовалось доказать .
в ) Если	натуральное	число делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если натуральное число при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
г ) Нечетное число - это	натуральное	число , которое при делении на 2 дает ос таток 1 .
277 Найдите наименьшее	натуральное	число , сравнимое с числом 235 по модулю .
А единица и	натуральное	число относятся к первоначальным понятиям теории чисел .
312 Найдите наименьшее	натуральное	число , сравнимое с числом а по модулю m .
Попытка разделить , например , число 564 на 20 на множестве натуральных чисел показывает , что нельзя найти такое	натуральное	число с , чтобы .
360 Докажите утверждение : « Если	натуральное	число при делении на 15 дает остаток 7 , то при делении на 3 оно даст остаток 1 » .
Теорема 4 Если	натуральное	число а делится на натуральное число b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то .
Если	натуральное	число при делении на 18 дает остаток 6 , то оно не делится на 9 .
Следовательно , если	натуральное число	, большее 1 , не делится ни на одно простое число , квадрат которого меньше него , то рассматриваемое число - простое .
131 Известно , что натуральное число а делится на	натуральное число	b.
Для того чтобы возвести в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним	натуральное число	и к полученному результату приписать справа 25 .
а ) Если	натуральное число	делится на 7 , то оно не может при делении на 28 давать остаток 9 . б )
Откуда и следует , что	натуральное число	делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 , что и требовалось доказать .
в ) Если натуральное число делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если	натуральное число	при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
в ) Любое	натуральное число	является делителем самого себя .
В десятичной системе счисления любое	натуральное число	А может быть представлено в виде .
Теперь мы знаем , как определить , является ли	натуральное число	простым .
А единица и	натуральное число	относятся к первоначальным понятиям теории чисел .
в ) Если	натуральное число	делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если натуральное число при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
Число 100 разделили на некоторое	натуральное число	и получили в остатке 4 .
Выбирая нужные понятия и свойства из нижеприведенного списка : 1 )	натуральное число	; 2 ) дробь ; 3 ) число ; 4 ) кратное 2 ; 5 ) меньше единицы ; 6 )
Для того чтобы возвести в квадрат любое	натуральное число	, оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
Числа , имеющие одинаковые остатки при делении на некоторое заданное	натуральное число	, настолько важны в математике , что получили свое специальное название .
Пусть а и b — произвольные рациональные числа , где b≠0 , и n — произвольное	натуральное число	, тогда что и требовалось доказать .
197 Среди натуральных чисел , больших 20 , найдите наименьшее	натуральное число	, которое : а ) при делении на 12 дает остаток 8 ; б ) при делении на 31 дает остаток 3 .
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это	натуральное число	, которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
Если	натуральное число	делится на 11 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 11 .
Но может быть , существует еще какое - то	натуральное число	n , для которого верно ? .
Задумали двузначное	натуральное число	.
131 Известно , что	натуральное число	а делится на натуральное число b.
Если	натуральное число	при делении на 64 дает остаток 31 , то оно не делится на 8 .
Теорема 4 Если	натуральное число	а делится на натуральное число b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то .
г ) Нечетное число - это	натуральное число	, которое при делении на 2 дает ос таток 1 .
1 Любое ли	натуральное число	можно представить в указанном виде ? .
Попытка разделить , например , число 564 на 20 на множестве натуральных чисел показывает , что нельзя найти такое	натуральное число	с , чтобы .
а ) Если	натуральное число	а не делится на 5 , то число 7а не делится на 5 .
« Катя задумала двузначное	натуральное число	, сумма которого с утроенной цифрой его единиц равна 74 .
Как мы уже знаем , результатом сложения и умножения натуральных чисел всегда будет	натуральное число	.
Если	натуральное число	b делится на 3 , то число 2b делится на 6 .
Теорема 3 Любое	натуральное число	делится на само себя .
Числа 1712 , 1807 и 1940 дают одинаковые остатки при делении на некоторое	натуральное число	, большее 1 .
Значит , любое	натуральное число	делится на единицу , что и требовалось доказать . .
Теорема 4 Если натуральное число а делится на	натуральное число	b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то .
а ) Задумали однозначное	натуральное число	.
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то	натуральное число	делится на 6 .
360 Докажите утверждение : « Если	натуральное число	при делении на 15 дает остаток 7 , то при делении на 3 оно даст остаток 1 » .
Пусть а и b — произвольные рациональные числа , а n — произвольное	натуральное число	, тогда что и требовалось доказать .
Найдите наименьшее	натуральное число	, сравнимое с числом а по модулю m .
Если	натуральное число	делится на 36 , то сумма его цифр делится на 9 и число , составленное из его двух последних цифр , делится на 4 .
Ваня загадал	натуральное число	и сообщил своим друзьям , что загаданное им число двузначное .
в ) Задумали трехзначное	натуральное число	.
Значит , любое	натуральное число	делится на само себя , что и требовалось доказать .
И именно из аксиом Пеано следует , что если	натуральное число	равно n , то следующее за ним равно , а число , следующее за , равно .
Если	натуральное число	делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
342 Числа 901 , 1696 , 4293 дают равные остатки при делении на некоторое	натуральное число	.
С помощью формулы суммы квадратов мы можем также получить простейшее правило , которое без труда позволит возвести в квадрат любое	натуральное число	, оканчивающееся на 5 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое	натуральное число	делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно	натуральное число	делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если	натуральное число	делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Получим	натуральное число	а .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое	натуральное число	делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно	натуральное число	делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если	натуральное число	делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
а ) Если	натуральное число	больше 5 , то оно больше или равно 6 . б ) Делитель натурального числа может быть больше этого числа .
В свою очередь , это последнее утверждение непосредственно следует из того , что если	натуральное число	равно n , то следующее за ним равно , а число , следующее за , равно .
а ) Если натуральное число делится на 4 и на 3 , то оно всегда делится на 12 . б ) Если	натуральное число	делится на 4 и на 6 , то оно всегда делится на 24 .
Теорема 2 Любое	натуральное число	делится на единицу .
а ) Если	натуральное число	делится на 4 и на 3 , то оно всегда делится на 12 . б ) Если натуральное число делится на 4 и на 6 , то оно всегда делится на 24 .
Найдите вероятность того , что случайно названное однозначное	натуральное число	окажется равным задуманному .
Числа 2146 , 1991 , 1805 дают равные остатки при делении на	натуральное число	, большее 1 .
365 Найдите наименьшее	натуральное число	, сравнимое с числом 591 по модулю .
Найдите это число . б ) Числа 3311 , 1935 , 1376 дают равные остатки при делении на	натуральное число	, большее 1 .
Последовательно вычитая из натурального числа а	натуральное число	3 , мы получим в некоторый момент отрицательное число .
272 Найдите наименьшее	натуральное число	, которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое	натуральное число	А дает тот же остаток при делении на 11 , что и разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой цифр , стоящих на нечетных местах , что и требовалось доказать .
Чему равно это	натуральное число	? .
Если	натуральное число	при делении на 18 дает остаток 6 , то оно не делится на 9 .
б ) Если	натуральное число	6 четное , то 3b делится на 6 .
а ) Число а , кратное числу b , не может быть больше b . б ) Любое	натуральное число	, большее 1 , имеет по крайней мере 2 делителя .
312 Найдите наименьшее	натуральное число	, сравнимое с числом а по модулю m .
в ) Если	натуральное число	делится на 8 , то при делении на 16 оно не может давать остаток 7 .
Найдите наименьшее	натуральное число	, сравнимое с числом 214 по модулю .
а ) Любое	натуральное число	больше нуля .
Найдите вероятность того , что случайно названное двузначное	натуральное число	окажется равным задуманному .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое	натуральное число	делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно	натуральное число	делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
а ) Если	натуральное число	больше 9 , то оно больше или равно 10 . б ) Сумма двух натуральных чисел , каждое из которых больше 5 , меньше 9 .
в ) Если	натуральное число	делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Если	натуральное число	оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 5 .
а ) Если	натуральное число	а не делится на 3 , то 5а не делится на 3 .
а ) Если	натуральное число	а не делится на 3 , то 2а не делится на 3 .
б ) Найдите	натуральное число	, восьмая часть от которого на 3 меньше его шестой части .
а ) Если	натуральное число	делится на 7 , то оно не может при делении на 21 давать остаток 5 .
144 Известно , что натуральное число а делится на	натуральное число	b.
Простым называется	натуральное число	, которое имеет ровно два различных делителя : единицу и само это число .
Найдите	натуральное число	, которое больше своей четверти на 81
Если	натуральное число	при делении на 30 дает остаток 21 , то оно не делится на 10 .
144 Известно , что	натуральное число	а делится на натуральное число b.
Составным называется	натуральное число	, которое имеет более двух различных делителей .
Найдите вероятность того , что случайно названное трехзначное	натуральное число	окажется равным задуманному .
Имеется	натуральное число	, которое при делении на 24 дает остаток 7
в ) Если	натуральное число	делится на 2 , то оно оканчивается нулем .
Можно найти	натуральное число	, которое делится на 3 . б ) Нечетные числа при делении на 2 дают остаток 1 .
Значит , а -	натуральное число	, меньшее 10 , а b может быть одним из целых чисел от 0 до 9 .
Пусть n —	натуральное число	, большее 1 .
Если	натуральное число	при делении на 36 дает остаток 4 , то оно не делится на 6 .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а	натуральное число	6 делится на 7 , то делится на 35 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно	натуральное число	делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Можно найти	натуральное число	, квадрат которого больше 30 .
Если	натуральное число	при делении на 12 дает остаток 8 , то оно не делится на 27 .
Если	натуральное число	при делении на 27 дает остаток 7 , то оно не делится на 9 .
Если	натуральное число	делится на 19 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6 делится на 5 .
а ) Если	натуральное число	делится на 4 , то оно не может при делении на 16 давать остаток 5 .
Любое	натуральное число	кратно самому себе .
Натуральное число а делится на натуральное число b , если существует такое	натуральное число	с , что .
Натуральное число а делится на	натуральное число	b , если существует такое натуральное число с , что .
Найдите наименьшее	натуральное число	, с которым число А сравнимо по модулю В .
188 Некоторое натуральное число а разделили с остатком на некоторое	натуральное число	Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и делимое , и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
к ) Если	натуральное число	а делится на 5 , а натуральное число b делится на 7 , делится на 35 .
к ) Если натуральное число а делится на 5 , а	натуральное число	b делится на 7 , делится на 35 .
Если все натуральные числа являются целыми и ни одно	натуральное число	не является отрицательным , значит , все целые числа не являются отрицательными .
277 Найдите наименьшее	натуральное число	, сравнимое с числом 235 по модулю .
в ) Если	натуральное число	делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если натуральное число при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
188 Некоторое	натуральное число	а разделили с остатком на некоторое натуральное число Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и делимое , и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
а ) Если	натуральное число	делится на 11 , то оно не может при делении на 33 давать остаток 17 . б )
в ) Если натуральное число делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если	натуральное число	при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
Числа 257 , 374 и 478 дают одинаковые остатки при делении на некоторое	натуральное число	, большее 1 .
Число 0 делится на любое	натуральное число	.
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если	натуральное число	а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
а ) Если	натуральное число	делится на 5 , то оно не может при делении на 20 давать остаток 16 . б )
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое	натуральное число	делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на b . 1 Найти наибольшее	натуральное число	k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
278 Найдите наименьшее	натуральное число	, сравнимое с числом а по модулю m .
353 Найдите наибольшее	натуральное число	, делящееся на 72 , в записи которого по одному разу участвуют все 10 цифр .
458 Борис задумал	натуральное число	, умножил его на 13 , зачеркнул последнюю цифру результата .
в ) Составное число - это	натуральное число	, имеющее более двух различных делителей .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее	натуральное число	: а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
290 Найдите наименьшее	натуральное число	, сравнимое с числом а по модулю m .
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под	натуральной	степенью любого рационального числа , научились определять знак степени и узнали , в каком порядке проводятся вычисления в выражениях со степенью .
Под	натуральной	степенью n числа а мы понимали произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Таким образом , у нас теперь есть определение	натуральной	степени рационального числа , и мы знаем свойства степеней с натуральными показателями .
Теперь « доопределим » понятие	натуральной	степени рационального числа для случая показателя , равного 1 .
Нуль в любой	натуральной	степени равен нулю .
а ) Равенство т(т плюс 1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б ) Равенство 9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом	натуральном	k .
56 Докажите прямым и косвенным методом : а ) Равенство неверно при любом ;	натуральном	n ; б ) Равенство неверно при любом .
а ) Равенство т(т плюс 1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом	натуральном	т . б ) Равенство 9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k .
а ) Равенство 2х(х плюс 1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом	натуральном	х . б ) Равенство 18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у .
а ) Равенство 2х(х плюс 1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б ) Равенство 18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом	натуральном	у .
В нашем определении мы говорили о	натуральном	показателе степени , большем 1 , поскольку произведение чисел не может содержать менее двух множителей .
Разность между 98 и увеличенным в девять раз первым натуральным числом равна увеличенному в пять раз второму	натуральному	числу .
Пусть теперь число благоприятных исходов для события А равно некоторому	натуральному	числу n ( А ) 1 .
Разность между 98 и увеличенным в девять раз первым натуральным числом равна увеличенному в пять раз второму	натуральному числу	.
Пусть теперь число благоприятных исходов для события А равно некоторому	натуральному числу	n ( А ) 1 .
Именно в таком порядке и договорились записывать члены многочлена , являющегося результатом возведения двучлена в некоторую	натуральную	степень .
Оказывается , такие формулы есть , и они позволяют возводить двучлен в произвольную	натуральную	степень , не проводя прямых вычислений .
Продолжая эту закономерность , можно доказать , что при возведении двучлена а плюс b в любую	натуральную	степень литров итоговый многочлен будет состоять только из одночленов , подобных следующим .
Итак , мы ввели новое для нас арифметическое действие для рациональных чисел — возведение в	натуральную	степень , и установили некоторые правила , упрощающие определение знака степени .
Аналогичным образом мы будем понимать и	натуральную	степень рационального числа .
Итак , мы можем записать следующий алгоритм возведения двучлена в любую	натуральную	степень .
Все	натуральные	числа положительные .
770 Найдите все	натуральные	значения х , удовлетворяющие равенствам .
Для случая деления без остатка мы получили , что распространить наши знания можно , просто заменив в определении «	натуральные	числа » на « целые » и исключив случай .
б ) Все	натуральные	числа , делящиеся на 9 , делятся на 3 .
в ) Некоторые	натуральные	числа , делящиеся на 3 , делятся на 9 . г ) Остаток при делении натурального числа на 2 равен либо 0 , либо 1 .
Пусть а — произвольное рациональное число , а m и n - произвольные	натуральные	числа , тогда что и требовалось доказать .
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0 положительные числа и некоторые положительные числа —	натуральные	, то некоторые натуральные числа — решения неравенства 3х больше 0 .
в ) Существуют	натуральные	числа , делителем которых является число 5 .
Это значит , что существуют такие	натуральные	числа k и I .
719 Какие остатки дают	натуральные	степени числа а при делении на b .
а ) Некоторые	натуральные	числа четные .
Пусть а — произвольное рациональное число , отличное от 0 , а m и n — произвольные	натуральные	числа такие , что m больше n.
Все	натуральные	числа , большие 1 , имеют по крайней мере два различных дели теля : 1 и само себя .
611 Найдите все	натуральные	значения х , удовлетворяющие равенствам .
Пусть а — произвольное рациональное число , а m и n — произвольные	натуральные	числа , тогда что и требовалось доказать .
Итак , исходя из сформулированного принципа , попробуем выяснить , как надо изменить основные определения делимости , если мы будем рассматривать не	натуральные	числа , а целые .
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все	натуральные	числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
в ) Четные	натуральные	числа не могут быть простыми .
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0 положительные числа и некоторые положительные числа — натуральные , то некоторые	натуральные	числа — решения неравенства 3х больше 0 .
Тогда все остальные	натуральные	числа являются составными и делятся хотя бы на одно из указанных простых чисел .
66 Найдите все	натуральные	значения x , удовлетворяющие равенствам .
127 Разбейте данные примеры , имеющие вид(где а и b	натуральные	числа ) , на две группы : 1 ) а делится на b ; 2 ) а не делится на b .
Если все	натуральные	числа являются целыми и ни одно натуральное число не является отрицательным , значит , все целые числа не являются отрицательными .
327 Какие остатки дают	натуральные	степени числа а при делении на b ? .
г ) Все решения неравенства —	натуральные	числа . д ) Некоторые положительные числа являются решениями неравенства .
а ) Число а противоположно числу b , если . б ) Целые числа - это	натуральные	числа , им противоположные и нуль .
Числа m , n , m	натуральные	.
Неравенство имеет	натуральные	решения .
Тогда его можно представить в виде произведения двух множителей где бис -	натуральные	числа , отличные от 1 .
531 В строку выписали одно за другим	натуральные	числа от 1 до 60 : 1234567891011 .. 585960 Вычеркните 100 цифр , чтобы оставшееся число было как можно а ) большим .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения —	натуральные	числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
а ) Если некоторые	натуральные	числа четные , то некоторые четные числа — натуральные .
г ) Четные числа - это	натуральные	числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
Какие остатки дают	натуральные	степени числа а при делении на b ? .
Числа m , n —	натуральные	.
Какие остатки дают	натуральные	степени числа а при делении на b .
Числа k , р —	натуральные	.
а ) Если некоторые натуральные числа четные , то некоторые четные числа —	натуральные	.
630 Найдите все	натуральные	значения х , удовлетворяющие равенствам .
Пусть q является общим делителем b и r. Это значит , что существуют такие	натуральные	числа m и n .
706 Какие остатки дают	натуральные	степени числа а при делении на 6 ? .
Числа т , п —	натуральные	.
Это значит , что существуют такие	натуральные числа	k и I .
Тогда его можно представить в виде произведения двух множителей где бис -	натуральные числа	, отличные от 1 .
г ) Все решения неравенства —	натуральные числа	. д ) Некоторые положительные числа являются решениями неравенства .
Пусть а — произвольное рациональное число , а m и n - произвольные	натуральные числа	, тогда что и требовалось доказать .
в ) Четные	натуральные числа	не могут быть простыми .
Пусть а — произвольное рациональное число , отличное от 0 , а m и n — произвольные	натуральные числа	такие , что m больше n.
а ) Число а противоположно числу b , если . б ) Целые числа - это	натуральные числа	, им противоположные и нуль .
Все	натуральные числа	положительные .
Если все	натуральные числа	являются целыми и ни одно натуральное число не является отрицательным , значит , все целые числа не являются отрицательными .
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0 положительные числа и некоторые положительные числа — натуральные , то некоторые	натуральные числа	— решения неравенства 3х больше 0 .
Все	натуральные числа	, большие 1 , имеют по крайней мере два различных дели теля : 1 и само себя .
а ) Если некоторые	натуральные числа	четные , то некоторые четные числа — натуральные .
в ) Существуют	натуральные числа	, делителем которых является число 5 .
Пусть а — произвольное рациональное число , а m и n — произвольные	натуральные числа	, тогда что и требовалось доказать .
а ) Некоторые	натуральные числа	четные .
в ) Некоторые	натуральные числа	, делящиеся на 3 , делятся на 9 . г ) Остаток при делении натурального числа на 2 равен либо 0 , либо 1 .
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все	натуральные числа	, делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения —	натуральные числа	, при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
531 В строку выписали одно за другим	натуральные числа	от 1 до 60 : 1234567891011 .. 585960 Вычеркните 100 цифр , чтобы оставшееся число было как можно а ) большим .
127 Разбейте данные примеры , имеющие вид(где а и b	натуральные числа	) , на две группы : 1 ) а делится на b ; 2 ) а не делится на b .
Для случая деления без остатка мы получили , что распространить наши знания можно , просто заменив в определении «	натуральные числа	» на « целые » и исключив случай .
б ) Все	натуральные числа	, делящиеся на 9 , делятся на 3 .
Тогда все остальные	натуральные числа	являются составными и делятся хотя бы на одно из указанных простых чисел .
Итак , исходя из сформулированного принципа , попробуем выяснить , как надо изменить основные определения делимости , если мы будем рассматривать не	натуральные числа	, а целые .
г ) Четные числа - это	натуральные числа	, кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
Пусть q является общим делителем b и r. Это значит , что существуют такие	натуральные числа	m и n .
Число 0 является	натуральным	числом .
Разность между 98 и увеличенным в девять раз первым	натуральным	числом равна увеличенному в пять раз второму натуральному числу .
1 Степень с	натуральным	показателем .
Если натуральное число делится на 19 , то его сумма с любым другим	натуральным	числом делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6 делится на 5 .
Результат деления одного натурального числа на другое не всегда будет числом	натуральным	.
Величины углов треугольника в градусах равны трем последовательным	натуральным	числам , кратным трем .
Интерес людей к	натуральным	числам всегда был очень велик .
Степенью рационального числа а с	натуральным	показателем 1 называется само это число .
Если натуральное число делится на 11 , то его сумма с любым другим	натуральным	числом делится на 11 .
1 Понятие степени с	натуральным	показателем .
Так , нельзя , например , выразить	натуральным	числом продолжительность солнечных или лунных суток , так же как и результат понижения температуры воздуха на 7 ° , если изначально она была равна 5 ° .
Величины углов треугольника в градусах равны трем последовательным	натуральным	числам .
2 Свойства степени с	натуральным	показателем .
Предложите собственную версию определения степени рационального числа а с	натуральным	показателем п , исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( « принципа неразрушения » ) .
Дайте определение степени натурального числа а с	натуральным	показателем n , если : 1 ) n больше 1 .
Величины углов треугольника в градусах равны трем последовательным	натуральным числам	.
Величины углов треугольника в градусах равны трем последовательным	натуральным числам	, кратным трем .
Интерес людей к	натуральным числам	всегда был очень велик .
Число 0 является	натуральным числом	.
Если натуральное число делится на 11 , то его сумма с любым другим	натуральным числом	делится на 11 .
Разность между 98 и увеличенным в девять раз первым	натуральным числом	равна увеличенному в пять раз второму натуральному числу .
Так , нельзя , например , выразить	натуральным числом	продолжительность солнечных или лунных суток , так же как и результат понижения температуры воздуха на 7 ° , если изначально она была равна 5 ° .
Если натуральное число делится на 19 , то его сумма с любым другим	натуральным числом	делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6 делится на 5 .
Таким образом , у нас теперь есть определение натуральной степени рационального числа , и мы знаем свойства степеней с	натуральными	показателями .
Ведь далеко не всегда значения длины , площади , объема , массы , времени , температуры и т.д. выражаются	натуральными	числами .
Установите общую формулу для вычисления произведения степеней рациональных чисел с общим основанием и	натуральными	показателями .
Нам известно , что результат деления одного целого числа на другое , как и в случае	натуральных	чисел , не всегда будет числом целым .
а ) Ваня загадал два	натуральных	числа .
Можем ли мы распространить определение делимости	натуральных	чисел на множество целых чисел без всяких изменений ?
183 Отметьте на числовой прямой четыре	натуральных	числа , которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
229 Пользуясь признаками делимости	натуральных	чисел на сформулируйте признаки делимости целых чисел на .
Но мы не можем изменять его произвольно , ведь новое определение не должно противоречить введенному ранее определению для	натуральных	чисел .
а ) Сумма двух	натуральных	чисел равна 12 .
в ) Задумали три	натуральных	числа .
Когда мы с вами раньше говорили о делимости чисел , речь всегда шла о	натуральных	числах .
209 Сколько среди	натуральных	чисел от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не делятся на 9 ; д ) делятся на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
196 Отметьте на числовой прямой четыре	натуральных	числа , которые : а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; б ) при делении на 9 дают остаток 6 .
Итак , представление , существует , и возможность деления с остатком любых	натуральных	чисел а и b доказана .
Сумма двух	натуральных	чисел равна 47 .
181 а ) Пять последовательных	натуральных	чисел 24 , 25 , 26 , 27 , 28 являются составными и лежат между двумя простыми числами 23 и 29 .
Разделим с остатком число на , используя формулу деления с остатком , аналогичную формуле для	натуральных	чисел .
Таблица кубов	натуральных	чисел до 60 .
В — множество	натуральных	чисел , меньших 10 , дающих при делении на 3 остаток 2 .
Периодичность в повторении остатков , которую мы обнаружили , является общим свойством остатков всех	натуральных	степеней .
Для любых	натуральных	чисел a и m остатки от деления a , а2 , .. , аn , .. на m с некоторого момента начинают периодически повторяться .
Но мы уже знаем , что кроме	натуральных	чисел , называемых также положительными целыми числами , существуют числа , им противоположные , - отрицательные целые числа и 0 .
204 Можно ли найти два	натуральных	числа , сумма и произведение которых нечетны ? .
А — множество	натуральных	чисел , меньших 5 .
Сумма двух	натуральных	чисел равна 26 .
339 а ) Разность квадратов двух последовательных	натуральных	чисел равна 11 .
Итак , определение делимости целых чисел должно отличаться от аналогичного определения для	натуральных	чисел тем , что в нем дополнительно необходимо указать новое условие .
Можем ли мы распространить наши знания о делимости	натуральных	чисел на более широкое множество - множество целых чисел ? .
197 Среди	натуральных	чисел , больших 20 , найдите наименьшее натуральное число , которое : а ) при делении на 12 дает остаток 8 ; б ) при делении на 31 дает остаток 3 .
Заметим , что это определение полностью согласуется с ранее введенным в п. 2.1.1 определением делимости	натуральных	чисел .
Найдите остатки от деления на 7	натуральных	степеней числа 3 .
Мы знаем , что сумма трех последовательных	натуральных	чисел делится на 3 .
Дадим определение этого действия для	натуральных	чисел а и b .
Одно из	натуральных	чисел в два раза больше другого , а их произведение равно 32 .
Аналогично определяется НОД трех и более	натуральных	чисел .
а ) разность квадратов двух	натуральных	чисел быть простым числом ? .
Сумма двух	натуральных	чисел равна 44 .
А — множество	натуральных	чисел , больших 4 и меньших 9 .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для	натуральных	чисел , и мы не будем его здесь приводить .
При этом число с называют неполным частным , а число r - остатком отделения а на b. Здесь и далее N0 - множество	натуральных	чисел и 0 .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух	натуральных	чисел .
а ) При любых	натуральных	а и b число 11 не может быть корнем уравнения .
359 Запишите три	натуральных	числа , дающих ? .
Разбейте число 168 на три не равных друг другу	натуральных	слагаемых так , чтобы сумма любых двух этих слагаемых делилась на третье .
Нам известен также следующий алгоритм нахождения НОД	натуральных	чисел .
При делении	натуральных	чисел под остатком мы фактически понимали расстояние от делимого а до наибольшего числа , кратного делителю b и не превышающего а , что хорошо видно .
Загадали два	натуральных	числа .
Алгоритм Евклида нахождения НОД двух	натуральных	чисел а и b .
Полученное определение согласуется с аналогичным определением для	натуральных	чисел .
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество	натуральных	чисел до множества целых чисел , получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными числами , ввели понятие степени .
Нет	натуральных	чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
Наибольший из общих делителей	натуральных	чисел а и b называют их наибольшим общим делителем .
Множество общих делителей чисел а и b является конечным , так как ни один из общих делителей не может быть больше , чем наименьшее из чисел а и b. Значит , среди общих делителей двух	натуральных	чисел всегда можно найти наибольший .
Так как х при делении на 3 дает остаток 1 , то по формуле деления с остатком , где множество	натуральных	чисел и 0 .
Попытка разделить , например , число 564 на 20 на множестве	натуральных	чисел показывает , что нельзя найти такое натуральное число с , чтобы .
186 Среди	натуральных	чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
Свое доказательство мы основывали на том , что сумму трех последовательных	натуральных	чисел можно записать в виде .
Сумма двух	натуральных	чисел равна 10 , а их произведение равно 24 .
Таким образом , нами доказано существование и единственность деления с остатком на множестве	натуральных	чисел .
Ни один из корней уравнения не делиться на 6 при любых	натуральных	а и b .
Для любых	натуральных	чисел а и b существует единственная пара чисел с и r из множества N0 , такая , что .
Число с называют общим делителем двух	натуральных	чисел а и b , если оно является делителем и для а , и для b .
Сумма двух	натуральных	чисел равна 28 .
а ) Число 6 является делителем числа 128 . б ) Число 9 является делителем всех	натуральных	чисел .
Поэтому для	натуральных	чисел наряду с действием деления рассматривают и более общее действие , которое всегда выполнимо .
Число 4 не может быть корнем уравнения при любых	натуральных	а и b .
Таким образом , в результате деления с остатком мы получаем однозначный ответ , который не противоречит аналогичному определению для	натуральных	чисел .
а ) делится на 120 при любом целом а ; б ) число 8 не может быть корнем уравнения при любых	натуральных	а и b .
Таблица квадратов	натуральных	чисел до 100 .
Поэтому для целых чисел , как и для	натуральных	, возникают два вида деления .
Сумма двух	натуральных	чисел равна 54 .
Сумма двух	натуральных	чисел равна 48 .
Для любого рационального числа а , отличного от 0 , и любых	натуральных	тип таких , что m больше n .
Число 3 не может быть корнем уравнения при любых	натуральных	а и b .
Сумма четырех последовательных	натуральных	чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
Для любого рационального числа а и любых	натуральных	тип .
а ) Сумма двух	натуральных	чисел равна 45 .
а ) Если произведение двух	натуральных	чисел делится на 7 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 7 .
Докажите , что а ) При любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем уравнения б ) Число 12 не может быть корнем уравнения при любых	натуральных	а и b .
а ) Сумма двух	натуральных	чисел равна 26 .
а ) Сумма двух	натуральных	чисел равна 17 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба	натуральных	числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Из свойств делимости	натуральных	чисел и основной теоремы арифметики следует , что если в разложении числа на простые множители нет , например , числа 2 , то никакое число , кратное 2 , не может быть его делителем .
в ) сумма двух последовательных натуральных степеней числа 3 делится на 12 . г ) разность двух последовательных	натуральных	степеней числа 5 делится на 20 .
в ) сумма двух последовательных	натуральных	степеней числа 3 делится на 12 . г ) разность двух последовательных натуральных степеней числа 5 делится на 20 .
Она , в частности , позволила вывести все известные нам свойства	натуральных	чисел логическим путем .
Единица является делителем всех	натуральных	чисел .
Система аксиом для множества	натуральных	чисел была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке .
Записываем уменьшаемое в виде суммы	натуральных	чисел от 5 до 1 , а вычитаемое - в виде суммы тех же чисел , взятых в обратном порядке .
а ) Если натуральное число больше 9 , то оно больше или равно 10 . б ) Сумма двух	натуральных	чисел , каждое из которых больше 5 , меньше 9 .
Теперь , ознакомившись с идеями , на которых строится математическая теория , мы можем ответить и на вопрос о свойствах	натуральных	чисел , поставивший нас в тупик вначале .
Существуют два	натуральных	числа , одно из которых больше другого на 5 , и их произведение равно 5 .
Для любого рационального числа а и любых	натуральных	mиn .
Найдите сумму n первых	натуральных	чисел для . а ) n равно 100 . б ) nравно 200 .
Сумма двух	натуральных	чисел равна 35 .
а ) При любых	натуральных	а и b число 15 не может быть корнем уравнения .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба	натуральных	числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из	натуральных	чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух	натуральных	чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Составляя эту запись , мы использовали уже известное нам понятие степени	натуральных	чисел , что позволяет короче записывать выражения , содержащие одинаковые множители .
Ответ : 345 . 1 а ) Запишите произведение	натуральных	чисел в виде степени .
Задумали два	натуральных	числа .
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами , можно заметить , что ряд простых чисел устроен достаточно сложно , простые числа то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности	натуральных	чисел довольно долго .
а ) Задумали два	натуральных	числа .
в ) Разность двух	натуральных	чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть целым числом .
20 а ) Сумма двух	натуральных	чисел равна 27 .
а ) Сумма двух	натуральных	чисел равна 38 .
Таким образом , ряд простых чисел , как и ряд	натуральных	чисел , бесконечен .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух	натуральных	чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Существует бесконечно много	натуральных	чисел вида , где .
Докажите , что а ) При любых	натуральных	а и b число 7 не может быть корнем уравнения б ) Число 12 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
Для этого вспомним основные определения , уже известные свойства и докажем некоторые новые свойства делимости	натуральных	чисел .
В центре теории чисел лежит изучение свойств делимости	натуральных	чисел .
1 Делимость на множестве	натуральных	чисел .
Число 11 не может быть корнем уравнения при любых	натуральных	а и b .
а ) При любых	натуральных	а и b число 17 не может быть корнем уравнения .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих	натуральных	чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
б ) Существует бесконечно много	натуральных	чисел вида .
145 Сумма n первых	натуральных	чисел вычисляется по формуле .
Если произведение двух	натуральных	чисел делится на 15 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 15 .
С этим свойством	натуральных	чисел связано важное понятие простого числа .
130 Известны формулы суммы квадратов n первых	натуральных	чисел , а также суммы их кубов .
Как мы уже знаем , результатом сложения и умножения	натуральных	чисел всегда будет натуральное число .
а ) Сумма двух	натуральных	чисел равна 36 .
Пусть А - множество натуральных решений неравенства , а В - множество	натуральных	решений неравенства .
Пусть А - множество	натуральных	решений неравенства , а В - множество натуральных решений неравенства .
Докажите , что существует бесконечно много	натуральных	чисел , имеющих вид , где .
а ) Сумма двух	натуральных	чисел равна 55 .
Простые числа занимают особое место среди всех	натуральных	чисел .
484 Сколько чисел среди первых 100	натуральных	чисел , которые не делятся ни на 2 , ни на 3 , ни на 5 , ни на 7 ? .
Найдите сумму квадратов и сумму кубов n первых	натуральных	чисел для .
63 Используя метод доказательства от противного , докажите , что при любых	натуральных	а и b число 7 не может быть корнем уравнения .
169 Докажите : а ) Два последовательных	натуральных	числа являются взаимно простыми ; б ) Два последовательных нечетных числа являются взаимно простыми .
Произведением двух	натуральных	чисел а и b называется сумма b слагаемых , каждое из которых равно а .
Число 1 имеет единственный делитель - само себя , и поэтому оно выделено в ряду	натуральных	чисел в особую группу : не является ни простым , ни составным .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению множеств	натуральных	чисел N , целых чисел Z , рациональных чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
1 Делимость на множестве	натуральных чисел	.
Заметим , что это определение полностью согласуется с ранее введенным в п. 2.1.1 определением делимости	натуральных чисел	.
339 а ) Разность квадратов двух последовательных	натуральных чисел	равна 11 .
Сумма двух	натуральных чисел	равна 54 .
Разделим с остатком число на , используя формулу деления с остатком , аналогичную формуле для	натуральных чисел	.
Найдите сумму квадратов и сумму кубов n первых	натуральных чисел	для .
Сумма двух	натуральных чисел	равна 35 .
130 Известны формулы суммы квадратов n первых	натуральных чисел	, а также суммы их кубов .
Итак , представление , существует , и возможность деления с остатком любых	натуральных чисел	а и b доказана .
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество	натуральных чисел	до множества целых чисел , получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными числами , ввели понятие степени .
б ) Существует бесконечно много	натуральных чисел	вида .
Можем ли мы распространить наши знания о делимости	натуральных чисел	на более широкое множество - множество целых чисел ? .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих	натуральных чисел	делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
а ) Сумма двух	натуральных чисел	равна 26 .
Для любых	натуральных чисел	a и m остатки от деления a , а2 , .. , аn , .. на m с некоторого момента начинают периодически повторяться .
Сумма двух	натуральных чисел	равна 48 .
В центре теории чисел лежит изучение свойств делимости	натуральных чисел	.
Мы знаем , что сумма трех последовательных	натуральных чисел	делится на 3 .
Для этого вспомним основные определения , уже известные свойства и докажем некоторые новые свойства делимости	натуральных чисел	.
Ответ : 345 . 1 а ) Запишите произведение	натуральных чисел	в виде степени .
484 Сколько чисел среди первых 100	натуральных чисел	, которые не делятся ни на 2 , ни на 3 , ни на 5 , ни на 7 ? .
Сумма двух	натуральных чисел	равна 28 .
а ) Сумма двух	натуральных чисел	равна 36 .
а ) Число 6 является делителем числа 128 . б ) Число 9 является делителем всех	натуральных чисел	.
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух	натуральных чисел	.
Число с называют общим делителем двух	натуральных чисел	а и b , если оно является делителем и для а , и для b .
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами , можно заметить , что ряд простых чисел устроен достаточно сложно , простые числа то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности	натуральных чисел	довольно долго .
а ) Сумма двух	натуральных чисел	равна 55 .
в ) Разность двух	натуральных чисел	всегда число натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть целым числом .
а ) Сумма двух	натуральных чисел	равна 38 .
Множество общих делителей чисел а и b является конечным , так как ни один из общих делителей не может быть больше , чем наименьшее из чисел а и b. Значит , среди общих делителей двух	натуральных чисел	всегда можно найти наибольший .
Таким образом , нами доказано существование и единственность деления с остатком на множестве	натуральных чисел	.
20 а ) Сумма двух	натуральных чисел	равна 27 .
Наибольший из общих делителей	натуральных чисел	а и b называют их наибольшим общим делителем .
а ) Сумма двух	натуральных чисел	равна 12 .
Аналогично определяется НОД трех и более	натуральных чисел	.
Итак , определение делимости целых чисел должно отличаться от аналогичного определения для	натуральных чисел	тем , что в нем дополнительно необходимо указать новое условие .
Таким образом , ряд простых чисел , как и ряд	натуральных чисел	, бесконечен .
Существует бесконечно много	натуральных чисел	вида , где .
С этим свойством	натуральных чисел	связано важное понятие простого числа .
Нам известен также следующий алгоритм нахождения НОД	натуральных чисел	.
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух	натуральных чисел	делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Простые числа занимают особое место среди всех	натуральных чисел	.
Нет	натуральных чисел	, которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
а ) Сумма двух	натуральных чисел	равна 45 .
Сумма двух	натуральных чисел	равна 26 .
Система аксиом для множества	натуральных чисел	была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке .
Как мы уже знаем , результатом сложения и умножения	натуральных чисел	всегда будет натуральное число .
Записываем уменьшаемое в виде суммы	натуральных чисел	от 5 до 1 , а вычитаемое - в виде суммы тех же чисел , взятых в обратном порядке .
Сумма двух	натуральных чисел	равна 10 , а их произведение равно 24 .
Сумма двух	натуральных чисел	равна 44 .
а ) Если натуральное число больше 9 , то оно больше или равно 10 . б ) Сумма двух	натуральных чисел	, каждое из которых больше 5 , меньше 9 .
При этом число с называют неполным частным , а число r - остатком отделения а на b. Здесь и далее N0 - множество	натуральных чисел	и 0 .
Нам известно , что результат деления одного целого числа на другое , как и в случае	натуральных чисел	, не всегда будет числом целым .
Теперь , ознакомившись с идеями , на которых строится математическая теория , мы можем ответить и на вопрос о свойствах	натуральных чисел	, поставивший нас в тупик вначале .
Сумма четырех последовательных	натуральных чисел	при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
Но мы уже знаем , что кроме	натуральных чисел	, называемых также положительными целыми числами , существуют числа , им противоположные , - отрицательные целые числа и 0 .
Поэтому для	натуральных чисел	наряду с действием деления рассматривают и более общее действие , которое всегда выполнимо .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из	натуральных чисел	делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Можем ли мы распространить определение делимости	натуральных чисел	на множество целых чисел без всяких изменений ?
Так как х при делении на 3 дает остаток 1 , то по формуле деления с остатком , где множество	натуральных чисел	и 0 .
Произведением двух	натуральных чисел	а и b называется сумма b слагаемых , каждое из которых равно а .
197 Среди	натуральных чисел	, больших 20 , найдите наименьшее натуральное число , которое : а ) при делении на 12 дает остаток 8 ; б ) при делении на 31 дает остаток 3 .
Полученное определение согласуется с аналогичным определением для	натуральных чисел	.
Найдите сумму n первых	натуральных чисел	для . а ) n равно 100 . б ) nравно 200 .
229 Пользуясь признаками делимости	натуральных чисел	на сформулируйте признаки делимости целых чисел на .
Дадим определение этого действия для	натуральных чисел	а и b .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для	натуральных чисел	, и мы не будем его здесь приводить .
145 Сумма n первых	натуральных чисел	вычисляется по формуле .
Попытка разделить , например , число 564 на 20 на множестве	натуральных чисел	показывает , что нельзя найти такое натуральное число с , чтобы .
Одно из	натуральных чисел	в два раза больше другого , а их произведение равно 32 .
Единица является делителем всех	натуральных чисел	.
Составляя эту запись , мы использовали уже известное нам понятие степени	натуральных чисел	, что позволяет короче записывать выражения , содержащие одинаковые множители .
181 а ) Пять последовательных	натуральных чисел	24 , 25 , 26 , 27 , 28 являются составными и лежат между двумя простыми числами 23 и 29 .
Свое доказательство мы основывали на том , что сумму трех последовательных	натуральных чисел	можно записать в виде .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению множеств	натуральных чисел	N , целых чисел Z , рациональных чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
Но мы не можем изменять его произвольно , ведь новое определение не должно противоречить введенному ранее определению для	натуральных чисел	.
а ) Если произведение двух	натуральных чисел	делится на 7 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 7 .
А — множество	натуральных чисел	, больших 4 и меньших 9 .
Таблица квадратов	натуральных чисел	до 100 .
а ) Сумма двух	натуральных чисел	равна 17 .
Из свойств делимости	натуральных чисел	и основной теоремы арифметики следует , что если в разложении числа на простые множители нет , например , числа 2 , то никакое число , кратное 2 , не может быть его делителем .
Число 1 имеет единственный делитель - само себя , и поэтому оно выделено в ряду	натуральных чисел	в особую группу : не является ни простым , ни составным .
Таким образом , в результате деления с остатком мы получаем однозначный ответ , который не противоречит аналогичному определению для	натуральных чисел	.
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух	натуральных чисел	делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
При делении	натуральных чисел	под остатком мы фактически понимали расстояние от делимого а до наибольшего числа , кратного делителю b и не превышающего а , что хорошо видно .
а ) разность квадратов двух	натуральных чисел	быть простым числом ? .
Сумма двух	натуральных чисел	равна 47 .
Если произведение двух	натуральных чисел	делится на 15 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 15 .
Алгоритм Евклида нахождения НОД двух	натуральных чисел	а и b .
Таблица кубов	натуральных чисел	до 60 .
209 Сколько среди	натуральных чисел	от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не делятся на 9 ; д ) делятся на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
186 Среди	натуральных чисел	, больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
Для любых	натуральных чисел	а и b существует единственная пара чисел с и r из множества N0 , такая , что .
Докажите , что существует бесконечно много	натуральных чисел	, имеющих вид , где .
Она , в частности , позволила вывести все известные нам свойства	натуральных чисел	логическим путем .
В — множество	натуральных чисел	, меньших 10 , дающих при делении на 3 остаток 2 .
А — множество	натуральных чисел	, меньших 5 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба	натуральных числа	делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
204 Можно ли найти два	натуральных числа	, сумма и произведение которых нечетны ? .
196 Отметьте на числовой прямой четыре	натуральных числа	, которые : а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; б ) при делении на 9 дают остаток 6 .
а ) Задумали два	натуральных числа	.
183 Отметьте на числовой прямой четыре	натуральных числа	, которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
169 Докажите : а ) Два последовательных	натуральных числа	являются взаимно простыми ; б ) Два последовательных нечетных числа являются взаимно простыми .
а ) Ваня загадал два	натуральных числа	.
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба	натуральных числа	делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Задумали три	натуральных числа	.
359 Запишите три	натуральных числа	, дающих ? .
Загадали два	натуральных числа	.
Существуют два	натуральных числа	, одно из которых больше другого на 5 , и их произведение равно 5 .
Задумали два	натуральных числа	.
Когда мы с вами раньше говорили о делимости чисел , речь всегда шла о	натуральных числах	.
Никакая другая отрасль теории чисел не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых чисел , этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят делиться	нацело	ни на какое целое число за исключением себя и единицы .
После этого он добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х ) и , воспользовавшись формулой суммы квадратов ,	нашел	корни уравнения .
Ваня	нашел	эти листы и посчитал сумму номеров фото графий на вырванных листах .
« Он сначала добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х2 ) , а затем разложил получившийся многочлен на множители и	нашел	корни уравнения .
Следующая теорема доказывает , что если мы уже	нашли	несколько простых чисел , то всегда можно указать еще одно простое число .
120 Несколько друзей	нашли	клад и начали его делить .
б ) Для нового рецепта пропитки для пончиков	необходим	12%-й сахарный сироп .
Чтобы вычислить частоту случайного события ,	необходимо	количество благоприятных исходов в серии испытаний разделить на общее количество проведенных испытаний .
б ) Для того чтобы испечь 16 порций блинов ,	необходимо	4 яйца .
Выполняя действия с именованными числами , мы должны всегда помнить о том , что аналогичные действия	необходимо	производить и с единицами их измерения .
Нахождение медианы числового набора бывает полезно в тех случаях , когда	необходимо	определить среднюю цену , по которой продается некоторый товар в магазинах ; компанию , получившую среднюю прибыль за год среди всех компаний некоторой промышленной отрасли ; спортсмена , показавшего средний результат , и т .
Для того чтобы дать точное определение кусочно - линейной функции , нам	необходимо	вначале уточнить понятие числового промежутка — множества чисел , удовлетворяющих некоторому неравенству .
Получив решение математической задачи ,	необходимо	его проанализировать , то есть разобраться в его реальном смысле , а затем сделать выводы .
Для выполнения заказа в срок	необходимо	ежедневно выпускать 500 кг пончиков .
Что	необходимо	сделать , чтобы задать функцию ?
Сколько тонн пончиков	необходимо	было изготовить , чтобы выполнить этот заказ ? .
Итак , определение делимости целых чисел должно отличаться от аналогичного определения для натуральных чисел тем , что в нем дополнительно	необходимо	указать новое условие .
При построении новой математической теории существует фундаментальный принцип , которому	необходимо	следовать , чтобы развитие не превратилось в свою противоположность - разрушение .
Сколько рабочих	необходимо	будет принять на завод для того , чтобы сохранить неизменным ежедневный выпуск продукции , считая , что все рабочие работают с одинаковой производительностью ? .
в ) Для того чтобы проехать на автомобиле 75 км ,	необходимо	4,5 литра бензина .
Сколько рабочих	необходимо	будет принять на завод , для того чтобы сохранить неизменным ежедневный выпуск продукции ?
А для того чтобы проводить вычисления с этими числами ,	необходимо	уметь выполнять арифметические действия со степенями .
428 Пекарям пончиковой компании Антона и Ксюши	необходимо	выполнить два заказа : большой - для корпоративного праздника крупной компании , и в 2 раза меньший - для праздника небольшой компании друзей .
арифметического , то	необходимо	проанализировать причины этого и выработать программу действий , предотвращающую спады в будущем .
б ) Антону и Ксюше , владельцам пончиковой компании ,	необходимо	доставить пончики из Москвы в Кострому .
347 Когда Антон проехал одну треть пути от дома до офиса , ему позвонила Ксюша и сообщила , что в офис их пончиковой компании прибыли важные клиенты из Франции и	необходимо	, чтобы Антон приехал как можно быстрее .
И наконец ,	необходимо	учесть , что в магическом квадрате числа должны встречаться в определенном числе комбинаций .
Каждый из этих новых выделенных шагов непосредственно влияет на правильность построения модели и правильность ответа , поэтому	необходимо	дополнить этими шагами построенный ранее алгоритм .
Таким образом , при построении математической модели	необходимо	также установить взаимосвязи между величинами , возникающие из свойств моделируемого объекта ( если они есть ) .
Чтобы добиться какого - нибудь прогресса в науках , безусловно ,	необходимо	заниматься отдельными проблемами .
При этом	необходимо	учесть , что при умножении обеих частей уравнения на 0 равносильность может нарушаться .
б ) Когда повара спросили , сколько яиц нужно взять , чтобы приготовить пирог , он ответил : « Если взять на 3 яйца меньше , чем это	необходимо	, увеличить это число в 5 раз , а затем вычесть из полученного результата число , в 2 раза большее необходимого числа яиц , то получится число , на 5 большее искомого » .
Таким образом , для того , чтобы задать функцию ,	необходимо	.
Как известно , кодирование информации	необходимо	для конфиденциальной передачи данных .
Сколько времени	необходимо	ученику , чтобы выполнить эту работу самостоятельно , если известно , что мастер , работая один , сможет выполнить ее на 8 часов быстрее ? .
и	необходимо	использовать ровно .
Из условия задачи следует , что для существования данной фигуры	необходимо	, чтобы а , b , с были положительными числами и выполнялось неравенство 2а меньше а плюс 2b .
б ) Когда повара спросили , сколько яиц нужно взять , чтобы приготовить пирог , он ответил : « Если взять на 3 яйца меньше , чем это необходимо , увеличить это число в 5 раз , а затем вычесть из полученного результата число , в 2 раза большее	необходимого	числа яиц , то получится число , на 5 большее искомого » .
Ведь даже в быту нам важно уметь рассчитать стоимость покупки или время ,	необходимое	на ту или иную работу .
В современном мире наличие	необходимой	информации в нужный момент времени является важным конкурентным преимуществом как для успеха отдельного человека , так и для различных коммерческих и некоммерческих организаций .
На их пересечении мы получаем	необходимую	для нас информацию : в августе 2000 г. среднемесячная температура воздуха была равна +19 ° С . 2 ) Для того чтобы определить , в какие месяцы среднемесячная температура воздуха была равна +14 ° С , находим все клетки таблицы со значением температуры , равным +14 ° С , и определяем , на пересечении какого столбца и какой строки они находятся .
В каком объеме им надо закупить каждый из продуктов ,	необходимых	для изготовления нужного количества пончиков , если вес готового продукта составляет 90 % от веса всех использованных ингредиентов ?
к ) разность значений выражений и	неотрицательна	.
	Неотрицательно	.
отрицательно ; е )	неотрицательно	.
г )	неотрицательно	з ) положительно ?
Натуральное число , кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число	неотрицательно	, то его модуль равен самому числу .
Но это противоречит нашему выбору наименьшего	неотрицательного	числа .
В этом случае равенство невозможно , так как получается , что	неотрицательное	число равно произведению положительного и отрицательного числа .
И поскольку	неотрицательное	число всегда больше отрицательного , то данное неравенство верно при любых значениях х.
Мы получили	неотрицательное	число вида , которое меньше числа .
Вместе с тем в данной последовательности имеется хотя бы одно	неотрицательное	число ( например , число ) .
Заметим , что сумма двух модулей всегда число	неотрицательное	, поэтому она не может быть меньше или равна отрицательному числу .
И поскольку	неотрицательное	число не может быть меньше или равно отрицательному числу , то данное неравенство всегда неверно .
Сумма двух модулей всегда число	неотрицательное	, а поэтому всегда больше отрицательного числа .
654 Докажите , что многочлен принимает только	неотрицательные	значения при любых числовых значениях переменных .
Найдите все	неотрицательные	решения неравенства .
А так как модуль числа всегда больше или равен нулю , то областью значений Y этой функции являются все известные нам	неотрицательные	числа .
277 Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только	неотрицательные	значения .
Полученные остатки r , r1 , r2 .. - это целые	неотрицательные	числа , которые последовательно уменьшаются .
	Неотрицательные	решения неравенства .
Зададим функцию f следующим образом : « всем	неотрицательным	рациональным числам поставим в соответствие число 1 , а всем отрицательным — число ( -1 ) » .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем	неотрицательным	числам — число 2 .
Так как остаток является	неотрицательным	целым числом , меньшим модуля делителя , то при делении любого числа на 4 возможны только четыре различных остатка : 0 , 1 , 2 , 3 .
Так как все полученные значения у являются	неотрицательными	целыми числами , то все найденные пары х и у являются решениями нашей задачи .
Тогда при	неотрицательных	значениях с данное неравенство не будет иметь решений , а при отрицательных — его решением будет любое число .
Пусть наименьшее из получившихся	неотрицательных	чисел равно Обозначим его r .
И так как число целых	неотрицательных	чисел , меньших b , конечно , то на не котором шаге остаток от деления будет равен нулю .
По условию задачи х , у N0 , где Nn — множество	неотрицательных	целых чисел .
Таким образом , дробь 2,02002000200002 .. -	непериодическая	.
Такие	непериодические	бесконечные десятичные дроби назвали иррациональными , то есть « нерациональными » , числами .
Однако существуют и	непериодические	десятичные дроби , например дробь 2,02002000200002 ..
Найдите все	неположительные	решения неравенства .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем	неположительным	числам — число 5 .
150 Запишите смешанное число в виде	неправильной дроби	.
139 Запишите смешанное число в виде	неправильной дроби	.
370 Запишите смешанное число в виде	неправильной дроби	.
И знаем , что решениями	неравенств	четырех простейших видов , где а , b , с , d Q , являются следующие числовые промежутки .
Данные свойства	неравенств	верны и для всех других видов неравенств , строгих и нестрогих .
Решение	неравенств	с модулями .
Правила равносильных преобразований	неравенств	.
А можно ли найти способы решения более сложных	неравенств	, аналогичные способам , используемым нами при решении уравнений ?
Проанализируйте преобразования , выполненные вами при решении данных неравенств , и сформулируйте правила равносильных преобразований	неравенств	.
Заметим , что первое свойство равносильных преобразований	неравенств	полностью совпадает с аналогичным свойством равносильных преобразований уравнений .
Поскольку одночлены и многочлены часто встречаются в математических моделях практических задач , то установленные приемы действий с ними помогают в упрощении полученных моделей , при нахождении значений выражений , решении уравнений и	неравенств	.
Данные свойства неравенств верны и для всех других видов	неравенств	, строгих и нестрогих .
Запишите в виде	неравенств	следующие высказывания .
Какие правила равносильных преобразований	неравенств	вы использовали при доказательстве каждого из утверждений ? .
Прежде чем ответить на этот вопрос , уточним , что имеют в виду , когда говорят о равносильных преобразованиях	неравенств	.
Прежде всего , вспомним , какие числовые промежутки являются решениями простейших	неравенств	с модулями .
Решим каждое из двух полученных	неравенств	, а затем найдем объединение множеств их решений .
Найдите множества решений	неравенств	.
Используя свойства	неравенств	, запишите еще четыре различных неравенства .
Выполните задание а ) для случая , когда А и В - множества целых решений этих же	неравенств	.
Однако прежде чем приступать к решению	неравенств	с модулями указанным способом , надо внимательно посмотреть на неравенство , так как иногда только лишь по виду неравенства можно сделать вывод о множестве его решений .
При этом в каждом из этих	неравенств	левая часть сравнивается с 0 с помощью знаков > , < , > , < .
Что касается	неравенств	с несколькими модулями , то способ их решения аналогичен способу , который мы использовали при решении уравнений с модулями .
Язык математики , состоящий , в частности , из чисел , букв и выражений , уравнений и	неравенств	, помогает записать взаимосвязи , лежащие в основе различных процессов .
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений выражений , решении уравнений и	неравенств	, доказательстве тождеств .
В итоге мы получили все решения	неравенств	вида , где k , с — рациональные числа .
Таким образом , задача решения линейных	неравенств	преобразовалась в задачу приведения их с помощью равносильных преобразований к одному из четырех указанных видов .
123 Найдите множество целых решений	неравенств	.
Аналогично рассуждая , можно получить следующую таблицу решений	неравенств	.
сначала надо выделить числовые промежутки , на которых выражения под знаком модуля не меняют свой знак , а затем найти решения	неравенств	на каждом из выделенных промежутков .
Правила равносильных преобразований	неравенств	основываются на известных нам свойствах чисел .
Таким образом , все полученные результаты решения	неравенств	в зависимости от значений k и с представим в таблице .
И из них непосредственно следуют правила равносильных преобразований	неравенств	.
Примерами таких	неравенств	являются верные и неверные числовые неравенства , а также неравенства , верные или неверные для любых значений входящих в них букв .
А это , в свою очередь , ведет к развитию математической теории , в частности к развитию теории уравнений и	неравенств	.
Алгоритм решения	неравенств	с модулями .
Решения линейных	неравенств	.
Проанализируйте преобразования , выполненные вами при решении данных	неравенств	, и сформулируйте правила равносильных преобразований неравенств .
Установленные способы решения линейных	неравенств	для каждого из четырех выделенных в определении случаев можно представить в виде алгоритма .
Глава 6 Введение в теорию линейных уравнений и	неравенств	.
Таким образом , математическое моделирование позволяет свести решение большого числа внешне различных практических задач к решению уравнений и	неравенств	.
Пусть А - множество натуральных решений неравенства , а В - множество натуральных решений	неравенства	.
Два	неравенства	равносильны , если все решения первого неравенства являются решениями второго неравенства и , наоборот , все решения второго неравенства являются решениями первого .
Примерами таких неравенств являются верные и неверные числовые	неравенства	, а также неравенства , верные или неверные для любых значений входящих в них букв .
Предложите свой алгоритм решения произвольного линейного	неравенства	с одним неизвестным .
При этом если между выражениями стоят знаки > или < , то неравенства называют строгими , а если в них используются знаки > или < , то	неравенства	называют нестрогими .
По аналогии с определением линейного уравнения с одним неизвестным , дайте определение линейного	неравенства	с одним неизвестным .
При этом если между выражениями стоят знаки > или < , то	неравенства	называют строгими , а если в них используются знаки > или < , то неравенства называют нестрогими .
Примерами таких неравенств являются верные и неверные числовые неравенства , а также	неравенства	, верные или неверные для любых значений входящих в них букв .
Является ли решением этого	неравенства	число .
г ) Все решения	неравенства	х положительные числа .
Такие значения переменных называют решениями	неравенства	.
Число 8 является решением	неравенства	х. Значит , число 8 — положительное .
Ранее мы уже решали простейшие	неравенства	с помощью числовой прямой .
6 Разбейте записи на три группы : выражения , уравнения ,	неравенства	.
При построении математических моделей практических задач , конечно же , могут получаться и более сложные выражения , уравнения и	неравенства	, где применение установленных нами правил упрощает преобразования .
Является ли число 1,5 решением	неравенства	?
а ) 2,4 решением	неравенства	?
Решение	неравенства	.
Чтобы проверить выполнение	неравенства	2а меньше а плюс 2b , упростим его , вычитая из правой и левой его части одно и то же число а .
9 } являются решениями	неравенства	.
Найдите два решения этого	неравенства	, большие 1,5 .
Линейные	неравенства	. 1 .
Существуют ли решения этого	неравенства	, меньшие 1,5 ? .
Линейные	неравенства	и их решение .
2 ) Является ли число -6 решением	неравенства	?
Найдите два решения этого	неравенства	, меньшие -6 .
Но есть	неравенства	, которые при одних значениях переменных истинны , а при других ложны .
Используя	неравенства	, задайте промежутки .
Существуют ли решения этого	неравенства	, большие -6 ? .
Составьте по три	неравенства	, множеством решений которых служит числовой промежуток .
Все решения	неравенства	являются элементами множества .
Число ( -6 ) не является решением	неравенства	х. Значит , число ( -6 ) не является положительным числом .
Решите	неравенства	.
б ) Если все решения неравенства отрицательные числа и некоторые отрицательные числа — нечетные , то некоторые нечетные числа — решения	неравенства	.
г ) число ( -1 ) является решением	неравенства	.
Если ни одно решение	неравенства	не является отрицательным числом , то ни одно отрицательное число не является решением неравенства .
Найдите множество целых решений	неравенства	.
Если ни одно решение неравенства не является отрицательным числом , то ни одно отрицательное число не является решением	неравенства	.
600 Какой знак	неравенства	надо поставить вместо , чтобы в результате получилось неравенство , верное при всех значениях переменной ? .
717 Изобразите на числовой прямой Ох множество решений	неравенства	.
Найдите все неотрицательные решения	неравенства	.
число 6 не является решением	неравенства	.
Разделив обе части данного	неравенства	на 4 , получим х. И так как по условию х , то х может принимать лишь целые значения из промежутка .
е ) число ( -5 ) не является решением	неравенства	.
Существуют ли решения этого	неравенства	, большие -3,5 ? .
Целыми решениями полученного	неравенства	являются х 6 и х 7 .
Найдите два решения этого	неравенства	, меньшие -3,5 .
-3,5 решением	неравенства	?
Равносильны ли	неравенства	? .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х минус 1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые отрицательные числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями	неравенства	5х минус 1 больше 0 .
Запишите три	неравенства	, решением которых является число с .
479 Найдите множество целых решений	неравенства	.
Существуют ли решения этого	неравенства	, меньшие 2,4 ? .
Запишите три	неравенства	, равносильных неравенству .
Найдите два решения этого	неравенства	, большие 2,4 .
в ) Если ни одно решение	неравенства	5х минус 1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые отрицательные числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х минус 1 больше 0 .
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0 положительные числа и некоторые положительные числа — натуральные , то некоторые натуральные числа — решения	неравенства	3х больше 0 .
б ) Если все решения	неравенства	3х больше 0 положительные числа и некоторые положительные числа — натуральные , то некоторые натуральные числа — решения неравенства 3х больше 0 .
число 3 не является решением	неравенства	.
в ) число является решением	неравенства	.
б ) Если все решения	неравенства	отрицательные числа и некоторые отрицательные числа — нечетные , то некоторые нечетные числа — решения неравенства .
решением	неравенства	является любое число .
в ) Все решения	неравенства	х положительные числа .
Найдите множество решений	неравенства	.
Значит , число ( -6 ) не является решением	неравенства	.
Значит , единица — решение неравенства . б ) Все решения	неравенства	положительные числа .
Значит , единица — решение	неравенства	. б ) Все решения неравенства положительные числа .
Равносильные	неравенства	.
Рассмотрим теперь	неравенства	, в которых под знаком модуля стоит не х , а выражение вида .
Решения	неравенства	.
б ) Если все решения	неравенства	положительные числа и некоторые положительные числа — четные , то некоторые четные числа — решения неравенства .
б ) Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные числа — четные , то некоторые четные числа — решения	неравенства	.
Два неравенства равносильны , если все решения первого	неравенства	являются решениями второго неравенства и , наоборот , все решения второго неравенства являются решениями первого .
Разберемся теперь с тем , как решать	неравенства	с модулями .
19 Найдите множество целых решений	неравенства	.
а ) наибольшее решение	неравенства	. б ) наименьшее решение неравенства .
а ) Все решения	неравенства	положительные числа .
В предыдущих пунктах мы с вами научились решать линейные уравнения и	неравенства	, уравнения с модулями , сводящиеся к линейным .
а ) наибольшее решение неравенства . б ) наименьшее решение	неравенства	.
Если ни одно решение неравенства не является положительным числом , то ни одно положительное число не является решением	неравенства	.
наибольшее решение	неравенства	. г ) наименьшее решение неравенства . д ) наибольшее целое решение неравенства . е )
наибольшее решение неравенства . г ) наименьшее решение	неравенства	. д ) наибольшее целое решение неравенства . е )
наибольшее решение неравенства . г ) наименьшее решение неравенства . д ) наибольшее целое решение	неравенства	. е )
наименьшее целое решение	неравенства	.
464 Найдите множество целых решений	неравенства	.
Найдите все неположительные решения	неравенства	.
Тип	неравенства	.
Найдите все решения	неравенства	, принадлежащие указанному промежутку .
Если ни одно решение	неравенства	не является положительным числом , то ни одно положительное число не является решением неравенства .
Два неравенства равносильны , если все решения первого неравенства являются решениями второго	неравенства	и , наоборот , все решения второго неравенства являются решениями первого .
623 Какой знак	неравенства	надо поставить вместо , чтобы в результате получилось неравенство , верное при всех значениях переменной ? .
Два неравенства равносильны , если все решения первого неравенства являются решениями второго неравенства и , наоборот , все решения второго	неравенства	являются решениями первого .
г ) Если все неравенства вида линейные и некоторые линейные	неравенства	имеют более пяти решений , значит , некоторые неравенства вида имеют более пяти решений .
Предложите свои варианты определения понятий « равносильные	неравенства	» и « равносильное преобразование неравенства » .
а ) число ( -1,5 ) является решением	неравенства	.
Итак , обобщая способ решения	неравенства	с несколькими модулями , сводящегося к линейному , приходим к следующему алгоритму .
г ) Если все	неравенства	вида линейные и некоторые линейные неравенства имеют более пяти решений , значит , некоторые неравенства вида имеют более пяти решений .
Рассмотрим теперь	неравенства	.
Решением исходного	неравенства	является объединение множеств решений , полученных на всех числовых промежутках .
Слагаемые можно переносить из одной части	неравенства	в другую , меняя при этом их знаки на противоположные .
Являются ли данные	неравенства	равносильными ? .
число 3 является решением	неравенства	.
Поэтому правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую можно распространить и на	неравенства	.
Вначале перенесем слагаемое b в правую часть данного	неравенства	.
число 2 является решением	неравенства	.
Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные числа делятся на 7 , то некоторые делящиеся на 7 числа — решения	неравенства	.
Изменится ли знак	неравенства	, если в левой и правой его частях выполнить следующие преобразования .
Так как это углы треугольника , то для них также должны выполняться	неравенства	.
Приведем данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части	неравенства	, а числа — в правой и упростим полученные выражения .
Разделим обе части полученного	неравенства	на отрицательное число ( -3 ) , изменив при этом знак неравенства на противоположный .
Правило переноса слагаемых из одной части	неравенства	в другую .
Следовательно , решениями	неравенства	будут все значения х из интервала .
Такие	неравенства	называют линейными неравенствами с одним неизвестным х .
г ) Если все неравенства вида линейные и некоторые линейные неравенства имеют более пяти решений , значит , некоторые	неравенства	вида имеют более пяти решений .
Тем самым мы переходим к решению	неравенства	.
Пусть А - множество натуральных решений	неравенства	, а В - множество натуральных решений неравенства .
г ) Все решения	неравенства	— натуральные числа . д ) Некоторые положительные числа являются решениями неравенства .
Используя правила равносильных преобразований , докажите , что все приведенные ниже	неравенства	равносильны между собой .
д ) Если ни одно решение неравенства не больше 10 , а некоторые большие 10 числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решениями	неравенства	.
442 Пусть А - множество целых решений неравенства , а В - множество целых решений	неравенства	.
45 Найдите множество целых решений	неравенства	.
442 Пусть А - множество целых решений	неравенства	, а В - множество целых решений неравенства .
При каких значениях переменной указанные	неравенства	являются истинными высказываниями ? .
454 Пусть А - множество целых решений	неравенства	, а В - множество целых решений неравенства .
Если , то обе части	неравенства	мы можем разделить на k , сохранив знак неравенства .
454 Пусть А - множество целых решений неравенства , а В - множество целых решений	неравенства	.
д ) Если ни одно решение	неравенства	не больше 10 , а некоторые большие 10 числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решениями неравенства .
Однако прежде чем приступать к решению неравенств с модулями указанным способом , надо внимательно посмотреть на неравенство , так как иногда только лишь по виду	неравенства	можно сделать вывод о множестве его решений .
Если , то обе части неравенства мы можем разделить на k , сохранив знак	неравенства	.
Значит , решениями	неравенства	будут все значения х из интервала .
Если , то обе части	неравенства	мы можем разделить на k , изменив знак неравенства на противоположный .
768 Найдите множество целых решений	неравенства	.
Если , то обе части неравенства мы можем разделить на k , изменив знак	неравенства	на противоположный .
3 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число ( выражение ) и изменить знак	неравенства	на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному .
Используя свойства неравенств , запишите еще четыре различных	неравенства	.
г ) Все решения неравенства — натуральные числа . д ) Некоторые положительные числа являются решениями	неравенства	.
Рассмотрим пример такого алгоритма для линейного	неравенства	, приводящегося к виду .
1 Если к обеим частям	неравенства	прибавить или вычесть одно и то же число ( выражение ) , то получим неравенство , равносильное данному .
Найдите все решения	неравенства	.
Для этого определяется , что известно , что надо найти , устанавливаются взаимосвязи между известными и неизвестными величинами , вводятся буквенные обозначения , составляются математические соотношения : уравнения и	неравенства	.
неотрицательные решения	неравенства	.
Неравенство верно при любом значении х. Значит , решением исходного	неравенства	является вся числовая прямая .
Решением	неравенства	будет объединение всех полученных решений .
Равносильны ли	неравенства	.
Если же данные числа а и b умножить или разделить на отрицательное число с , знак	неравенства	изменится на противоположный .
б ) Если ни одно решение неравенства не является решением неравенства , то ни одно решение неравенства не является решением	неравенства	.
Значит , решением исходного	неравенства	является замкнутый луч .
2 Если обе части	неравенства	умножить или разделить на одно и то же положительное число ( выражение ) , то получим неравенство , равносильное данному .
б ) Если ни одно решение неравенства не является решением неравенства , то ни одно решение	неравенства	не является решением неравенства .
3 Если обе части	неравенства	умножить или разделить на одно и то же отрицательное число ( выражение ) и изменить знак неравенства на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному .
То есть если число а больше числа b , то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым числом с , а также при умножении и делении их на положительное число с знак	неравенства	не изменится .
Преобразование	неравенства	называют равносильным , если оно приводит к неравенству , равносильному данному .
Если все решения	неравенства	положительные числа и некоторые положительные числа делятся на 7 , то некоторые делящиеся на 7 числа — решения неравенства .
Значит , решением нашего	неравенства	является открытый луч .
Разделим обе части полученного неравенства на отрицательное число ( -3 ) , изменив при этом знак	неравенства	на противоположный .
705 Изобразите на числовой прямой Ох множество решений	неравенства	.
Алгоритм решения линейного	неравенства	, приводящегося к виду .
б ) Если ни одно решение неравенства не является решением	неравенства	, то ни одно решение неравенства не является решением неравенства .
Все положительные числа являются решениями	неравенства	Приведите дроби к общему знаменателю .
А	неравенства	не являются равносильными , так как , например , при первое неравенство верно , а второе — нет .
Например ,	неравенства	равносильны , так как оба будут верными в том и только в том случае , если .
б ) Если ни одно решение	неравенства	не является решением неравенства , то ни одно решение неравенства не является решением неравенства .
Предложите свои варианты определения понятий « равносильные неравенства » и « равносильное преобразование	неравенства	» .
Шаг 4 Корень х равно 6 удовлетворяет всем трем данным	неравенствам	, так как 6 больше 0 , 6 - 5 больше 0 и 6 плюс 3 больше 0 - истинно .
Выберем из всех корней те , которые удовлетворяют	неравенствам	х больше 0 .
718 На координатной плоскости Oxy изобразите множество точек , удовлетворяющих	неравенствам	.
Например , если в рассмотренном выше уравнении значения х и у должны принадлежать промежуткам , где х , у Z , то k может принимать лишь целые значения , удовлетворяющие следующим	неравенствам	.
На координатной плоскости Оху изобразите множество точек , удовлетворяющих	неравенствам	.
767 На координатной плоскости Oxy изобразите множество точек , удовлетворяющих	неравенствам	.
704 На координатной плоскости Oxy изобразите множество точек , удовлетворяющих	неравенствам	.
На координатной плоскости Оху постройте множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенствам	.
Общее во всех этих	неравенствах	то , что левая их часть является выражением вида , где k , b — рациональные числа .
Уменьшим в первом	неравенстве	все его части на 2 , а затем разделим их на 7 .
1 Найти в	неравенстве	все выражения , содержащиеся под знаком модуля .
Если , то	неравенство	преобразуется в неравенство .
623 Какой знак неравенства надо поставить вместо , чтобы в результате получилось	неравенство	, верное при всех значениях переменной ? .
600 Какой знак неравенства надо поставить вместо , чтобы в результате получилось	неравенство	, верное при всех значениях переменной ? .
Решите	неравенство	, пользуясь определением модуля .
Докажите , что	неравенство	верно при всех значениях переменной .
Однако прежде чем приступать к решению неравенств с модулями указанным способом , надо внимательно посмотреть на	неравенство	, так как иногда только лишь по виду неравенства можно сделать вывод о множестве его решений .
Приведем данное	неравенство	к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства , а числа — в правой и упростим полученные выражения .
Тогда при неотрицательных значениях с данное	неравенство	не будет иметь решений , а при отрицательных — его решением будет любое число .
Записать линейное	неравенство	в виде kx .
Следовательно , данное	неравенство	не имеет решений ни при каких значениях х .
При каких значениях переменной истинно	неравенство	.
все значения а , при которых	неравенство	истинно при .
Решите	неравенство	и изобразите множество его решений на числовой прямой Ох .
Решите	неравенство	.
Запишите полученное	неравенство	и проверьте свои предположения с помощью вычислений .
6 Для каждого числового промежутка записать и решить исходное	неравенство	без знаков модуля .
Приведем данное	неравенство	к виду , где k , с Q. При этом результаты равносильных преобразований будем записывать друг под другом .
Значит , данное	неравенство	верно при всех значениях х .
Приведем данное	неравенство	к виду , где k , с е Q , используя правила равносильных преобразований .
Если же , то	неравенство	будет истинно при любом и ложно при .
В случае , если	неравенство	нестрогое , то при k 0 число также будет являться его решением .
а )	неравенство	не имеет корней .
Таким образом , как только мы представили линейное	неравенство	с одним неизвестным х в виде , мы сразу можем найти его решение .
Решим	неравенство	способом , аналогичным тому , который мы использовали при решении уравнений с модулями .
Имеет ли	неравенство	решения при указанном значении а ? .
6 Теперь для каждого числового промежутка запишем и решим	неравенство	без знаков модуля , равносильное исходному .
Если , то неравенство преобразуется в	неравенство	.
Линейным неравенством с одним неизвестным х называется	неравенство	, которое может быть представлено в одном из четырех видов , где k , b — рациональные числа .
И тогда появляется необходимость найти те значения переменных , при подстановке которых	неравенство	превращается в истинное высказывание .
	Неравенство	не имеет решений .
То есть можно ли с помощью равносильных преобразований привести исходное	неравенство	к одному из четырех указанных выше простейших видов ?
И поскольку неотрицательное число всегда больше отрицательного , то данное	неравенство	верно при любых значениях х.
А неравенства не являются равносильными , так как , например , при первое	неравенство	верно , а второе — нет .
При каких значениях переменной истинно	неравенство	? .
Докажите , что данное	неравенство	не имеет решений .
И поскольку неотрицательное число не может быть меньше или равно отрицательному числу , то данное	неравенство	всегда неверно .
Решите	неравенство	: Решение .
3 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число ( выражение ) и изменить знак неравенства на противоположный , то получим	неравенство	, равносильное данному .
Из условия задачи следует , что для существования данной фигуры необходимо , чтобы а , b , с были положительными числами и выполнялось	неравенство	2а меньше а плюс 2b .
Решим полученное двойное	неравенство	.
в ) неравенство верно при всех значениях переменной . г )	неравенство	не имеет решений .
Линейное	неравенство	.
Решите в общем виде линейное	неравенство	.
Значит , решить	неравенство	— это найти множество всех его решений либо доказать , что решений нет .
Решите	неравенство	с модулем .
Решите	неравенство	, содержащее модули .
Равносильны ли	неравенство	.
2 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число ( выражение ) , то получим	неравенство	, равносильное данному .
Докажите , что данное	неравенство	будет истинным при любых значениях переменной .
1 Если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число ( выражение ) , то получим	неравенство	, равносильное данному .
Решите	неравенство	, пользуясь правилами равносильных преобразований .
Составить уравнение или	неравенство	( одно или несколько ) и обосновать их .
Докажите , что при указанном значении а	неравенство	имеет не менее десяти решений .
А это и будет означать , что мы решили исходное	неравенство	.
Решим линейное неравенство в общем виде , рассмотрев для определенности	неравенство	.
Найдите все значения а , при которых	неравенство	истинно при .
в )	неравенство	верно при всех значениях переменной . г ) неравенство не имеет решений .
Решим линейное	неравенство	в общем виде , рассмотрев для определенности неравенство .
На основании известных свойств действий с числами	неравенство	сохранится .
Ведь тем самым мы укажем все значения переменной , при которых	неравенство	истинно .
Линейным	неравенством	с одним неизвестным х называется неравенство , которое может быть представлено в одном из четырех видов , где k , b — рациональные числа .
Аналогичные преобразования выполним со вторым	неравенством	.
Найдите все значения х , удовлетворяющие	неравенству	.
линейная функция , область определения которой состоит из всех значений t , удовлетворяющих	неравенству	.
Для того чтобы дать точное определение кусочно - линейной функции , нам необходимо вначале уточнить понятие числового промежутка — множества чисел , удовлетворяющих некоторому	неравенству	.
229 Изобразите на координатной прямой Ох множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
608 На координатной плоскости Oxy постройте множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
785 Изобразите на координатной прямой Ox множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
На координатной плоскости Оху изобразите множество точек , удовлетворяющих	неравенству	.
Областью ее значений являются все значения s , удовлетворяющие	неравенству	.
Запишите три неравенства , равносильных	неравенству	.
351 Изобразите на координатной прямой Ox множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
628 На координатной плоскости Oxy постройте множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
Преобразование неравенства называют равносильным , если оно приводит к	неравенству	, равносильному данному .
Корень х равно -4 не удовлетворяет	неравенству	х больше 0 , так как -4 больше 0 - ложно .
230 Изобразите на координатной плоскости Oxy множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
240 Изобразите на координатной прямой Ох множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
370 Изобразите на координатной прямой Ох множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
241 Изобразите на координатной плоскости Oxy множество точек , координаты которых удовлетворяют	неравенству	.
Поэтому	нечетная	степень отрицательного числа является числом отрицательным , что и требовалось доказать . .
Это происходит потому , что степень одночлена b сначала равна нулю — четная , затем на 1 больше , то есть	нечетная	, и так далее .
а ) сумма очков , выпавших на верхних гранях кубиков , равна 11 . б ) сумма очков на выпавших гранях	нечетная	, и на одном из кубиков выпало 2 очка .
А	нечетная	степень отрицательного числа содержит целое число пар отрицательных множителей и еще один отрицательный множитель .
а ) сумма очков на выпавших гранях	нечетная	и на одном из кубиков выпало 3 очка .
а ) сумма очков на верхних гранях	нечетная	и на одном из кубиков выпало 4 очка .
Способ нахождения медианы числового набора и ее определение зависят от того , четно или	нечетно	количество чисел в наборе .
Значит , n 7 и n —	нечетно	.
4 Если n —	нечетно	, то медиана равна числу , расположенному в упорядоченном наборе на месте с номером .
в ) если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное , то их произведение делится на 24 . г ) квадрат	нечетного	числа при делении на 8 дает остаток 1 .
Какой остаток при делении на 8 дает квадрат	нечетного	числа ? .
Медианой набора , состоящего из	нечетного	количества чисел , называют число , расположенное на месте с номером после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество чисел в наборе ) .
а ) Не существует наибольшего	нечетного	числа .
И так как мы выяснили , что число х —	нечетное	, то , значит , х 7 является единственным решением исходного уравнения .
в ) если сумма трех последовательных целых чисел есть число	нечетное	, то их произведение делится на 24 . г ) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1 .
Число т — четное , а число n —	нечетное	.
Значит , поскольку число 329 -	нечетное	, то ( -56,799)329 равно -56,799329 меньше 0 .
Можно ли с их помощью пронумеровать 2500 книг , поставив в соответствие каждой книге свое	нечетное	число , состоящее не более чем из пяти указанных цифр ? .
Заметим , что 2у — число четное , а 83 —	нечетное	.
Поскольку сумма двух четных чисел всегда число четное , то 11х должно быть нечетным , а значит , и число х —	нечетное	.
а ) квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число	нечетное	.
В : при бросании идеального игрального кубика выпало число 5 . б ) А : при бросании идеального игрального кубика выпало	нечетное	число .
Известно , что каждый из депутатов сделал	нечетное	число рукопожатий .
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в	нечетную	степень , — число отрицательное .
204 Можно ли найти два натуральных числа , сумма и произведение которых	нечетны	? .
Все простые числа	нечетные	.
в ) Если ни одно решение уравнения не является нечетным числом , а некоторые	нечетные	числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решением уравнения .
б ) Если все решения неравенства отрицательные числа и некоторые отрицательные числа — нечетные , то некоторые	нечетные	числа — решения неравенства .
б ) Если все решения неравенства отрицательные числа и некоторые отрицательные числа —	нечетные	, то некоторые нечетные числа — решения неравенства .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) -	нечетные	числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 -	нечетные	числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
з ) Некоторые простые числа	нечетные	.
Поскольку сумма двух четных чисел всегда число четное , то 11х должно быть	нечетным	, а значит , и число х — нечетное .
и ) Простое число 5 является	нечетным	.
Определите их значения в точках хг х2 и х3 . а ) Всем четным числам поставлено в соответствие число 3 , а всем	нечетным	числам — число ( -3 ) .
в ) Если ни одно решение уравнения не является	нечетным	числом , а некоторые нечетные числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решением уравнения .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое натуральное число А дает тот же остаток при делении на 11 , что и разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой цифр , стоящих на	нечетных	местах , что и требовалось доказать .
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на	нечетных	местах , делится на 11 .
б ) разность квадратов двух последовательных	нечетных	чисел делится на 8 .
а ) произведение двух последовательных целых чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных	нечетных	чисел равен 3 .
а ) Сколько	нечетных	номеров , состоящих не более чем из пяти цифр , можно составить из цифр 3 , 4 , 7 , 8 , 9 ? .
а ) Сумма трех последовательных четных чисел делится на 6 . б ) Сумма трех последовательных	нечетных	чисел делится на 3 .
169 Докажите : а ) Два последовательных натуральных числа являются взаимно простыми ; б ) Два последовательных	нечетных	числа являются взаимно простыми .
68 Докажите , что сумма n первых	нечетных	чисел равна .
С — множество	нечетных	положительных чисел , меньших или равных 11 . 1 )
Запишите подмножество В четных чисел и подмножество С	нечетных	чисел множества А. Найдите объединение и пересечение подмножеств В и С .
В каждой строке этого треугольника , начиная с третьей , между единицами находятся числа , равные сумме двух расположенных над	ним	чисел .
в ) Увидев нарушителя , милиционер побежал за	ним	и догнал его через 15 мин .
И наоборот , если в записи одночлена имеются только буквенные множители , то его коэффициент , соответственно стоящему перед	ним	знаку , считают равным либо 1 , либо -1 .
Волк увидел зайца и погнался за	ним	.
И именно из аксиом Пеано следует , что если натуральное число равно n , то следующее за	ним	равно , а число , следующее за , равно .
б ) Из пункта А в пункт В выехал автобус , а через 2 часа вслед за	ним	выехал легковой автомобиль , скорость которого была на 80 км / ч больше скорости автобуса .
Одновременно вместе с	ним	из В навстречу ему выехал мотоциклист .
Через 10 мин после этого вслед за	ним	выехал автомобиль .
д ) Из пункта А в пункт В выехал автобус , а через 8 часов вслед за	ним	выехал легковой автомобиль , скорость которого была на 90 км / ч больше скорости автобуса .
Из Санкт - Петербурга в Москву со скоростью 80 км / ч выехал автомобилист , а через 1 час вслед за	ним	со скоростью 90 км / ч выехал второй автомобилист , который догнал первого по прибытии в Москву .
Для того чтобы возвести в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за	ним	натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
Определите истинность первоначальных высказываний и обратных к	ним	.
Заметим , что в последних трех слагаемых , если добавить к	ним	х и вынести за скобки 6 , « спрятана » формула квадрата суммы ( х плюс 1)2 .
В свою очередь , это последнее утверждение непосредственно следует из того , что если натуральное число равно n , то следующее за	ним	равно , а число , следующее за , равно .
Следовательно , значение многочлена будет равно алгебраической сумме , состоящей из	нулей	и свободного члена , и поэтому равно свободному члену , что и требовалось доказать .
Поэтому для любого натурального n мы всегда сможем найти как группу из n	нулей	, так и группу из n цифр , содержащую нули и двойки .
Но в записи этой дроби количество	нулей	между двойками последовательно увеличивается на 1 .
Любая натуральная степень нуля представляет собой произведение	нулей	( или само число 0 ) .
в знаменателе записать цифру девять столько раз , сколько цифр в периоде , и после девяток записать столько	нулей	, сколько цифр между запятой и первым периодом .
И так как между периодом и запятой нет цифр , то после девяток нет	нулей	.
в ) Если натуральное число делится на 2 , то оно оканчивается	нулем	.
Поэтому для любого натурального n мы всегда сможем найти как группу из n нулей , так и группу из n цифр , содержащую	нули	и двойки .
Если , то равенство не может быть выполнено ни для одного значения с , так как слева стоит нуль , а справа - не	нуль	.
Следовательно , деление на	нуль	либо неопределенно , либо невозможно .
В итоге мы и получаем известное нам правило : « На	нуль	делить нельзя » .
а ) Число а противоположно числу b , если . б ) Целые числа - это натуральные числа , им противоположные и	нуль	.
Поскольку делить на	нуль	нельзя , то равенство будет иметь смысл .
Если , то равенство не может быть выполнено ни для одного значения с , так как слева стоит	нуль	, а справа - не нуль .
Существуют целые числа , делящиеся на	нуль	.
Если все цифры делимого уже использованы , то при делении в столбик мы все время приписываем к остатку	нуль	.
Что же касается числа	нуль	, то оно возникло тогда , когда потребовалось показать отсутствие единиц определенного разряда в некотором числе , например 101 , 10 001 и т.д .
Если среди множителей одночлена имеется	нуль	, то такой одночлен называется нулевым .
Произведение нескольких множителей тогда и только тогда равно	нулю	, когда хотя бы один из множителей равен нулю .
Произведение нескольких множителей тогда и только тогда равно нулю , когда хотя бы один из множителей равен	нулю	.
Определите по графику , при каких значениях х значение у больше нуля , равно	нулю	, меньше нуля .
Шаг 3 Чтобы решить уравнение ( х минус 6)(х плюс 4 ) равно 0 , приравняем к	нулю	каждый из множителей .
Поэтому вынесение за скобки общего множителя , в отличие от действия деления , возможно для множителей как равных , так и не равных	нулю	.
Тем самым мы найдем корни исходного уравнения , так как произведение равно	нулю	тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
Тем самым мы найдем корни исходного уравнения , так как произведение равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен	нулю	.
Затем приравняем каждый из множителей к	нулю	и найдем корни получившихся уравнений .
Н Модуль любого числа больше или равен	нулю	.
Какими должны быть ежемесячные расходы компании , чтобы ее прибыль равнялась	нулю	? .
2 Приравнять каждое из этих выражений к	нулю	и найти корни полученных уравнений .
Так как выражение имеет смысл для всех х , не равных	нулю	, то областью определения нашей функции является множество всех известных нам чисел , кроме нуля .
И так как число целых неотрицательных чисел , меньших b , конечно , то на не котором шаге остаток от деления будет равен	нулю	.
При каких значениях х значение у равно	нулю	, больше нуля , меньше нуля ? .
Например , для любого не равного	нулю	рационального а должно быть верно следующее равенство .
Поэтому логично ввести определение , по которому а0 равно 1 для любого не равного	нулю	рационального числа а .
Если произведение двух рациональных чисел равно 0 , то хотя бы одно из этих чисел равно	нулю	.
Заметим , что если для некоторого испытания все исходы равновозможны и какое - то событие не происходит ни при каком повторении испытания , то число благоприятных исходов для него равна	нулю	.
2 Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием , не равным	нулю	, можно основание оставить без изменений , а из показателя делимого вычесть показатель делителя .
Это происходит потому , что степень одночлена b сначала равна	нулю	— четная , затем на 1 больше , то есть нечетная , и так далее .
437 Упростите уравнение , разделив обе его части на одно и то же не равное	нулю	число , а затем найдите его корни .
Многочлен называется противоположным исходному , если его сумма с исходным многочленом равна	нулю	.
А так как модуль числа всегда больше или равен	нулю	, то областью значений Y этой функции являются все известные нам неотрицательные числа .
Каждое из этих уравнений содержит одно неизвестное х. Левую их часть можно записать в вид , где k и b — некоторые числа , а их правая часть равна	нулю	.
Рассмотрите частные случаи построенной зависимости , когда один или сразу оба коэффициента равны	нулю	.
д ) Два рациональных числа противоположные , если их сумма равна	нулю	.
Нуль в любой натуральной степени равен	нулю	.
На какую сумму будет ежемесячно уменьшаться первоначальная стоимость оборудования , если уменьшение должно происходить равномерно в течение 5 лет , а к концу 5-го года стоимость оборудования должна быть равна	нулю	? .
Определите по графику , при каких значениях х значение у равно	нулю	, больше нуля , меньше нуля .
И каждому из них указанное правило сопоставляет единственное число : любому положительному числу и	нулю	— число 1 , а любому отрицательному числу — число ( -1 ) .
Рассмотрим частные случаи функции , когда k и ( или ) b принимают значения , равные	нулю	.
Поскольку число благоприятных исходов больше или равно	нулю	и всегда меньше или равно числу всех возможных исходов , то вероятность любого случайного события всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1 .
Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен	нулю	.
Мы знаем , что произведение равно	нулю	тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
Произведение нескольких множителей равно	нулю	тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
Мы знаем , что произведение равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен	нулю	.
Чтобы его решить , приравняем к	нулю	каждый из множителей .
Это произведение всегда равно	нулю	, что и требовалось доказать .
Каждый из множителей приравняем к	нулю	и найдем корни получившихся уравнений .
3 Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , отличный от	нуля	, то дробь на него можно сократить .
Если все положительные числа являются рациональными и ни одно положительное число не может быть меньше	нуля	, значит , все рациональные числа не могут быть меньше нуля .
568 Представьте выражение в виде произведения многочленов степени большей	нуля	.
637 Представьте многочлен в виде произведения нескольких многочленов степени большей	нуля	и назовите приемы разложения многочленов на множители , которые вы использовали .
452 Упростите уравнение , разделив обе его части на одно и то же число , отличное от	нуля	, а затем найдите его корень .
Если все положительные числа являются рациональными и ни одно положительное число не может быть меньше нуля , значит , все рациональные числа не могут быть меньше	нуля	.
Определите по графику , при каких значениях х значение у равно нулю , больше нуля , меньше	нуля	.
Любая натуральная степень	нуля	равна 0 , а при умножении числа на 0 получается 0 .
Значит , при подстановке в многочлен вместо переменных	нуля	значения всех его членов ( кроме свободного ) будут равны 0 .
Определите по графику , при каких значениях х значение у равно нулю , больше	нуля	, меньше нуля .
1 В выражениях операцию деления на число , отличное от	нуля	, можно заменить умножением на число , обратное делителю .
542 Представьте выражение в виде произведения многочленов степени большей	нуля	.
а ) Любое натуральное число больше	нуля	.
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от	нуля	, число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
Определите по графику , при каких значениях х значение у больше	нуля	, равно нулю , меньше нуля .
2 Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число ( выражение ) , отличное от	нуля	, то получим уравнение , равносильное данному .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от	нуля	, число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
Как в этом случае будут связаны между собой степени одного и того же отличного от	нуля	числа с противоположными показателями ? .
Нулевой степенью рационального числа а , отличного от	нуля	, называется число 1 .
При каких значениях х значение у равно нулю , больше	нуля	, меньше нуля ? .
Так как выражение имеет смысл для всех х , не равных нулю , то областью определения нашей функции является множество всех известных нам чисел , кроме	нуля	.
Разложить многочлен на множители ( на буквенные множители ) — это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов , степень которых больше	нуля	.
В соответствии с известным правилом равенство не изменится , если мы разделим обе его части на одно и то же число , отличное от	нуля	.
а ) Любое целое число , отличное от	нуля	, делится само на себя .
Любая натуральная степень	нуля	представляет собой произведение нулей ( или само число 0 ) .
При каких значениях х значение у равно нулю , больше нуля , меньше	нуля	? .
Определите по графику , при каких значениях х значение у больше нуля , равно нулю , меньше	нуля	.
из числа ,	образованного	цифрами , стоящими до второго периода , вычесть число , образованное цифрами , стоящими до первого периода , и записать эту разность как числитель .
из числа , образованного цифрами , стоящими до второго периода , вычесть число ,	образованное	цифрами , стоящими до первого периода , и записать эту разность как числитель .
Но мы можем сгруппировать их так , что после некоторых преобразований общий множитель будут иметь	образованные	нами группы .
Таким образом , в каждой из	образованных	двух групп имеется множитель х плюс 1 , который можно вынести за скобки .
Стоимость билетов , предлагаемых различными авиакомпаниями ,	образует	следующий набор чисел .
Чтобы выражение при этих преобразованиях не изменилось , из него надо вычесть х. Тогда неиспользованные слагаемые	образуют	группу х3 минус х , в которой есть общий множитель х.
Возможные значения переменной t в мин	образуют	некоторое множество Т. При этом t не может принимать любые значения .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена	образуют	разность кубов у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Таким образом , величины у , хх , у , и х2	образуют	пропорцию .
Построенные таким образом точки плоскости	образуют	множество точек , называемое графиком функции .
Цифры 0629 , стоящие до второго периода ,	образуют	число 629 .
Все вместе эти числа	образуют	множество Z целых чисел .
Выписанные таким образом числа	образуют	последовательность целых чисел , каждое из которых , кроме первого , на b меньше предыдущего .
Определите истинность исходного и	обратного	к нему высказываний .
II Доказательство	обратного	утверждения .
Определите истинность прямого и	обратного	утверждений .
Найдите высказывания , для которых истинны как прямое , так и	обратное	утверждение .
605 Постройте высказывание ,	обратное	данному .
Верно и	обратное	утверждение .
1 В выражениях операцию деления на число , отличное от нуля , можно заменить умножением на число ,	обратное	делителю .
а ) Число ,	обратное	3 , равно -3 . б ) Модуль числа х может быть равен -х .
Число ,	обратное	произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
Для этого воспользуемся тем , что частное чисел m и n , равно произведению числа m на	обратное	к n : .
196 Запишите высказывание на математическом языке и постройте	обратное	к нему высказывание .
Сначала вспомним , что выражение « тогда и только тогда » употребляется в тех случаях , когда выполняется как прямое , так и	обратное	утверждение .
190 Определите , какие из указанных величин связаны прямой пропорциональной зависимостью , а какие –	обратной	.
Можно ли таким способом переставить все фишки в	обратном	порядке ? .
Если сложить его с числом , записанным теми же цифрами , но в	обратном	порядке , то получится 44 .
Увеличив на	обратном	пути скорость на 2 км / ч , он тем не менее затратил на обратный путь на 6 мин больше , чем на путь на дачу .
а ) На сколько нужно уменьшить число 8642 , чтобы получить число , записанное теми же цифрами в	обратном	порядке ? .
Записываем уменьшаемое в виде суммы натуральных чисел от 5 до 1 , а вычитаемое - в виде суммы тех же чисел , взятых в	обратном	порядке .
По этой дорожке Антон доехал на велосипеде из цеха на склад за 5 минут , а в	обратном	направлении — за 10 минут .
а ) Трехзначное число , записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 . б ) Разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа , записанного теми же цифрами , но в	обратном	порядке , делится на 9 .
Затем в выражении х(с плюс d ) равно хс плюс xd сделаем	обратную	замену х на а плюс b и вновь раскроем скобки .
Прочитайте высказывания и сформулируйте высказывания ,	обратные	данным .
348 Сформулируйте высказывания ,	обратные	данным , и определите истинность прямых и обратных высказываний .
Сформулируйте утверждения ,	обратные	к данным , и определите истинность прямых и обратных утверждений .
88 Постройте утверждения ,	обратные	к данным .
58 Сформулируйте утверждения ,	обратные	к данным , и определите истинность прямых и обратных утверждений .
Сформулируйте высказывания ,	обратные	данным , и определите истинность прямых и обратных высказываний .
106 Решите задачу и придумайте еще 3 задачи ,	обратные	к ней .
64 Сформулируйте утверждения ,	обратные	к данным , и определите истинность пря мых и обратных утверждений .
460 Найдите числа ,	обратные	данным при допустимых значениях переменных .
Если произведение двух рациональных чисел равно 1 , то эти числа взаимно	обратные	.
На	обратный	путь ему потребовалось 6 часов .
На	обратный	путь ему потребовалось 15 часов .
На	обратный	путь ему потребовалось 8 часов .
а ) Моторная лодка при движении по реке прошла расстояние от города А до города В за 4 часа , а на	обратный	путь ей потребовалось 6 часов .
Мы уже знаем , что любую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной , а вот	обратный	перевод можно выполнить не всегда .
На	обратный	путь ей потребовалось 14 часов .
а ) Двигаясь по реке , катер прошел расстояние от города А до города В за 5 часов , а на	обратный	путь ему потребовалось 7 часов .
Поэтому на	обратный	путь он затратил на 20 мин больше , чем на путь от А до В. С какой скоростью ехал автобус из В в А ? .
Увеличив на обратном пути скорость на 2 км / ч , он тем не менее затратил на	обратный	путь на 6 мин больше , чем на путь на дачу .
Докажите , что опять получится пропорция , если : а ) поменять местами крайние члены ; б ) поменять местами средние члены ; в ) заменить каждое отношение	обратным	.
Число а называется	обратным	к числу , если .
а ) Модули взаимно	обратных	чисел равны между собой .
Сформулируйте утверждения , обратные к данным , и определите истинность прямых и	обратных	утверждений .
99 Найдите в указанном множестве чисел пары : а )	обратных	чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
Сформулируйте высказывания , обратные данным , и определите истинность прямых и	обратных	высказываний .
348 Сформулируйте высказывания , обратные данным , и определите истинность прямых и	обратных	высказываний .
64 Сформулируйте утверждения , обратные к данным , и определите истинность пря мых и	обратных	утверждений .
58 Сформулируйте утверждения , обратные к данным , и определите истинность прямых и	обратных	утверждений .
Определите истинность первоначальных высказываний и	обратных	к ним .
104 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно	обратных	чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
а ) Модули взаимно	обратных чисел	равны между собой .
104 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно	обратных чисел	; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
99 Найдите в указанном множестве чисел пары : а )	обратных чисел	; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
Часто обязаны созданию и введению новых понятий в тот момент , когда к этому вынуждает частое	обращение	к сложным явлениям .
199 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и	объединение	.
238 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и	объединение	.
525 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и	объединение	.
Найдите	объединение	и пересечение множеств А и В . б )
Таким образом , множество корней исходного уравнения представляет собой	объединение	всех чисел полуинтервала ) и числа 1 , то есть числовой отрезок .
Запишите подмножество В четных чисел и подмножество С нечетных чисел множества А. Найдите	объединение	и пересечение подмножеств В и С .
Найдите	объединение	и пересечение множеств А и В , нарисуйте для них диаграмму Эйлера - Венна .
Если область определения функции может быть разбита на конечное число непересекающихся числовых промежутков ,	объединение	которых дает всю область определения , и на каждом из этих промежутков функция линейная , то такая функция называется кусочно - линейной .
8 В ответе записать	объединение	всех получившихся множеств решений .
4 Проверить , что	объединение	найденных числовых промежутков составляет всю числовую прямую .
661 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и	объединение	.
4 Проверим , что	объединение	найденных числовых промежутков составляет всю числовую прямую .
Найдите	объединение	и пересечение множеств А и В. Постройте диаграмму Эйлера - Венна и отметьте на ней все элементы данных множеств .
Решением неравенства будет	объединение	всех полученных решений .
211 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и	объединение	.
Решим каждое из двух полученных неравенств , а затем найдем	объединение	множеств их решений .
506 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и	объединение	.
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и	объединение	.
Решением исходного неравенства является	объединение	множеств решений , полученных на всех числовых промежутках .
Наглядным примером классификации является распределение учеников школы в классы : каждый ученик попадает только в один класс , а	объединение	всех классов представляет собой множество всех учеников школы .
383 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и	объединение	.
При этом разбиение производится таким образом , чтобы	объединение	всех классов составляло все множество объектов .
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и	объединение	.
Полученная зависимость ч от t определена на множестве , являющемся	объединением	всех трех рассмотренных временных промежутков .
255 Выберите признак и разбейте множество А на два непересекающихся подмноже ства ,	объединением	которых является множество А .
Назовите множество , являющееся	объединением	множеств А и В .
Выберите признак и проведите классификацию множества А по данному признаку ( разбейте А по этому признаку на непересекающиеся подмножества ,	объединением	которых является все множество А ) .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде	объединения	данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
Можно доказать , что любая	обыкновенная дробь	представима в виде периодической десятичной дроби , и обратно .
Чтобы выполнить перевод , можно привести обыкновенную дробь к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей , либо разделить числитель	обыкновенной дроби	на ее знаменатель .
Любая ли десятичная дробь является рациональным числом ( то есть представима в виде	обыкновенной дроби	) ?
По определению , любое положительное рациональное число можно записать в виде	обыкновенной дроби	.
Правило 2 Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной , если в разложении на простые множители знаменателя	обыкновенной дроби	нет множителей , отличных от 2 и 5 .
Используя это правило , представим число 0,(629 ) в виде	обыкновенной дроби	.
Если знаменатель несократимой	обыкновенной дроби	имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , то в результате деления числителя на знаменатель получится бесконечная десятичная дробь .
Из определения рациональных чисел следует , что любое рациональное число можно записать в виде	обыкновенной дроби	.
Аналогично рассуждая , можно записать число 8,21(6 ) как	обыкновенную дробь	.
Любое ли рациональное число ( то есть	обыкновенную дробь	) можно записать в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной ) ?
387 Докажите , что данную	обыкновенную дробь	можно перевести в десятичную , и выполните перевод .
Чтобы выполнить перевод , можно привести	обыкновенную дробь	к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей , либо разделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель .
Правило 2 Несократимую	обыкновенную дробь	можно представить в виде конечной десятичной , если в разложении на простые множители знаменателя обыкновенной дроби нет множителей , отличных от 2 и 5 .
Все решения уравнения могут быть записаны как	обыкновенные дроби	.
305 Какие приемы сравнения	обыкновенных дробей	вы знаете ?
367 Какие приемы сравнения	обыкновенных дробей	вы знаете ?
Можно ли по этим данным	однозначно	определить код сейфа ? .
Найдите вероятность того , что случайно названное	однозначное	натуральное число окажется равным задуманному .
а ) Задумали	однозначное	натуральное число .
432 Сколько раз к наибольшему	однозначному	числу нужно прибавить наибольшее двузначное , чтобы получить наибольшее трехзначное число ? .
Таким образом , в результате деления с остатком мы получаем	однозначный	ответ , который не противоречит аналогичному определению для натуральных чисел .
Всегда ли ответ будет	однозначным	? .
Оно позволяет выполнить деление с остатком для любых целых чисел , и его результат всегда будет	однозначным	.
Все пароли из двух цифр , не содержащие цифр 1 и 3 , можно получить из указанных	однозначных	, если перед каждым из них мы напишем одну из цифр 0 , 2 , 4 , 5 , б , 7 , 8 , 9 .
Чтобы умножить	одночлен	на многочлен , можно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
101 Выполните указанные действия над одночленами ( при допустимых значениях переменных ) и докажите , что в результате их получится	одночлен	.
А значит , если мы добавим и вычтем из исходного многочлена	одночлен	4х2 , то получим .
98 Представьте данный	одночлен	как степень некоторого одночлена .
97 Приведите	одночлен	к стандартному виду , определите его коэффициент и степень .
102 Запишите данное выражение как	одночлен	стандартного вида .
110 Приведите	одночлен	к стандартному виду , определите его коэффициент и степень .
Равносильное преобразование , в результате которого все подобные между собой одночлены записываются как один	одночлен	, называется приведением подобных слагаемых .
Сам	одночлен	также является многочленом , состоящим из одного члена .
Нулевой	одночлен	.
При их сложении или вычитании , применив распределительный закон умножения , мы вновь получим	одночлен	, например .
112 Запишите данное выражение как	одночлен	стандартного вида .
471 Какой	одночлен	можно подставить вместо А , чтобы получившееся равенство стало тождеством ? .
Запишите подобный ему	одночлен	с коэффициентом а .
Замечаем , что среди членов нашего многочлена есть	одночлен	2ху2 .
111 Выполните указанные действия ( при допустимых значениях переменных ) и докажите , что в результате их получится	одночлен	.
Определите , можно ли записать данное выражение , как	одночлен	и найдите его значение при n равно -48 , m равно -0,32 , k равно 5,6 .
2 Определить , какие переменные входят в	одночлен	, и записать их в алфавитном порядке .
486 Какой	одночлен	надо поставить вместо А , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
Сначала научимся умножать	одночлен	на многочлен ( или многочлен на одночлен , что ввиду переместительного закона умножения то же самое ) .
Сначала научимся умножать одночлен на многочлен ( или многочлен на	одночлен	, что ввиду переместительного закона умножения то же самое ) .
Степенью ненулевого одночлена называется сумма показателей степеней входящих в	одночлен	переменных .
Умножим , например ,	одночлен	4с на многочлен а плюс 2b .
356 Какой	одночлен	можно подставить вместо А , чтобы получившееся равенство стало тождеством ? .
Например ,	одночлен	0 умножить а3 умножить ( -7с3 ) - нулевой .
Сначала записывают	одночлен	а3 , который также может быть записан как .
Таким образом , каждый	одночлен	может быть представлен в виде произведения своего коэффициента и степеней входящих в него переменных .
323 Какой	одночлен	можно подставить вместо А , чтобы получившееся равенство стало тождеством ? .
Если среди множителей одночлена имеется нуль , то такой	одночлен	называется нулевым .
А вот при сложении и вычитании двух одночленов ситуация иная :	одночлен	в итоге может получиться лишь тогда , когда слагаемые составленной алгебраической суммы , записанные в стандартном виде , имеют одинаковую буквенную часть .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , можно умножить этот	одночлен	на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Ведь мы всегда можем записать сумму , разность , произведение и частное нескольких одночленов ( кроме деления на нулевой	одночлен	) .
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим	одночлен	, а алгебраическая сумма одночленов по определению многочлен .
184 Найдите произведение одночленов и запишите его как	одночлен	стандартного вида .
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на	одночлен	мы получим одночлен , а алгебраическая сумма одночленов по определению многочлен .
440 Какой	одночлен	можно подставить вместо А , чтобы получившееся равенство стало тождеством ? .
Стандартным видом ненулевого	одночлена	называется его запись , при которой .
Остальные члены	одночлена	записываются в том же порядке , и так до одночлена .
5 При возведении в степень разности ( а минус b)n поставить перед первым одночленом знак « плюс » , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать знаки « плюс » , « минус » до последнего	одночлена	.
Запишите произведение	одночлена	( -2ab ) и многочлена ( а2 - 4 ) .
96 ( Устно . ) Найдите коэффициент	одночлена	.
Степенью ненулевого	одночлена	называется сумма показателей степеней входящих в одночлен переменных .
103 Докажите , что данное выражение может быть записано в виде	одночлена	.
При этом два	одночлена	считаются равными , если один из них может быть получен из другого с помощью равносильных преобразований .
Одной из важных характеристик	одночлена	является его степень .
Остальные члены одночлена записываются в том же порядке , и так до	одночлена	.
Произведением	одночлена	и многочлена называется многочлен , равный сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена .
Если коэффициент	одночлена	равен 1 или -1 , то числовой множитель в его записи обычно не указывают .
Мы видим , что произведение	одночлена	и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а алгебраическая сумма одночленов по определению многочлен .
Стандартным видом нулевого	одночлена	называется число 0 .
3 Определить степень каждого	одночлена	и записать их алгебраическую сумму в порядке убывания степеней .
Если среди множителей	одночлена	имеется нуль , то такой одночлен называется нулевым .
И наоборот , если в записи	одночлена	имеются только буквенные множители , то его коэффициент , соответственно стоящему перед ним знаку , считают равным либо 1 , либо -1 .
Произведение всех числовых множителей	одночлена	называется коэффициентом одночлена .
Степень нулевого	одночлена	не определяется .
113 Докажите , что данное выражение может быть записано в виде	одночлена	.
Выполнять арифметические действия с	одночленами	достаточно легко .
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать «	одночленами	» .
Поэтому	одночленами	являются , например , следующие произведения .
Поэтому для того , чтобы легче было производить действия с	одночленами	, вычислять их значение при известных значениях входящих в них букв , договорились записывать одночлены в так называемом стандартном виде .
2 ) не являются подобными	одночленами	.
4 При возведении в степень суммы ( а плюс b)n поставить перед всеми	одночленами	знак « плюс » .
1 ) являются	одночленами	стандартного вида .
Отдельные числа и переменные также являются	одночленами	, так как их всегда можно представить в виде произведения , например , d равно d умножить 1 , 14 равно 14 умножить а0 .
В следующем	одночлене	степень а уменьшается на 1 , а степень b увеличивается на 1 .
534 Среди представленных одночленов найдите пять пар	одночленов	, имеющих общие буквенные множители .
А вот при сложении и вычитании двух	одночленов	ситуация иная : одночлен в итоге может получиться лишь тогда , когда слагаемые составленной алгебраической суммы , записанные в стандартном виде , имеют одинаковую буквенную часть .
Продолжая эту закономерность , можно доказать , что при возведении двучлена а плюс b в любую натуральную степень литров итоговый многочлен будет состоять только из	одночленов	, подобных следующим .
Так как 5 равно 1 плюс 4 , представим 5х3 в виде суммы подобных ему	одночленов	с коэффициентами 1 и 4 .
При умножении	одночленов	мы вновь получаем одночлены , а их сумма , по определению , является многочленом .
Приведем каждый из	одночленов	данной алгебраической суммы к стандартному виду и упростим полученное выражение .
При этом многочлен , состоящий из двух	одночленов	, называют двучленом , из трех — трехчленом и т .
Как мы уже убедились на примере	одночленов	, упорядочивание записи математических объектов значительно упрощает различные операции с ними .
3 ) записаны в порядке убывания степеней	одночленов	( одночлены , имеющие одинаковую степень , записываются в произвольном порядке ) .
Приведение	одночленов	к стандартному виду и приведение подобных слагаемых позволяет упрощать решение различных задач и примеров .
Каждый из	одночленов	молено записать несколькими различными способами .
Так , степени рассмотренных нами выше	одночленов	равны соответственно 6 , 12 , 8 , 1 и 0 .
В этом случае можно попробовать представить какой - нибудь из его членов в виде суммы или разности нескольких подобных ему	одночленов	.
534 Среди представленных	одночленов	найдите пять пар одночленов , имеющих общие буквенные множители .
121 Запишите данные выражения в виде суммы	одночленов	.
Выражение , записанное как алгебраическая сумма	одночленов	, называется многочленом .
Исходя из этого наблюдения , сформулируем гипотезу , что для любых	одночленов	а и b .
Как мы уже знаем , алгебраическая сумма нескольких одночленов является одночленом , только если речь идет о сложении и вычитании подобных	одночленов	.
Степенью многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него	одночленов	при записи многочлена в стандартном виде .
Ведь мы всегда можем записать сумму , разность , произведение и частное нескольких	одночленов	( кроме деления на нулевой одночлен ) .
Как мы уже знаем , алгебраическая сумма нескольких	одночленов	является одночленом , только если речь идет о сложении и вычитании подобных одночленов .
184 Найдите произведение	одночленов	и запишите его как одночлен стандартного вида .
99 Среди указанных	одночленов	найдите подобные .
При умножении и возведении в степень	одночленов	в результате всегда будут получаться одночлены , поскольку никаких других действий , кроме умножения , мы при этом не производим .
Например , для	одночленов	одинаковой степени мы можем установить общие методы решения уравнений , в которые эти одночлены входят .
Представим 7 у в виде разности	одночленов	10у минус 3у , тогда .
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а алгебраическая сумма	одночленов	по определению многочлен .
100 Составьте из букв а , b и с восемь подобных между собой	одночленов	шестой степени с буквенными частями , записанными разными способами .
3 Записать последовательно в качестве коэффициентов выписанных	одночленов	числа из ( n плюс 1)-й строки треугольника Паскаля .
Как мы уже знаем , алгебраическая сумма нескольких одночленов является	одночленом	, только если речь идет о сложении и вычитании подобных одночленов .
Произведение , состоящее из числовых множителей и множителей - переменных , называется	одночленом	.
5 При возведении в степень разности ( а минус b)n поставить перед первым	одночленом	знак « плюс » , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать знаки « плюс » , « минус » до последнего одночлена .
598 Каким	одночленом	можно заменить А , чтобы полученный в результате замены многочлен можно было разложить на множители ? .
543 Каким	одночленом	можно заменить А , чтобы полученный в результате замены многочлен можно было разложить на множители ? .
А значит , данное выражение является нулевым	одночленом	.
104 Какие	одночлены	надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы выражения превратились в истинные равенства ? .
385 Какие	одночлены	можно подставить вместо А , В , С и D , чтобы получившееся равенство стало тождеством ? .
745 Какие	одночлены	можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся равенство стало тождеством ? .
3 ) записаны в порядке убывания степеней одночленов (	одночлены	, имеющие одинаковую степень , записываются в произвольном порядке ) .
114 Какие	одночлены	надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы выражения превратились в истинные равенства ? .
105 Какие	одночлены	надо подставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
Равносильное преобразование , в результате которого все подобные между собой	одночлены	записываются как один одночлен , называется приведением подобных слагаемых .
115 Какие	одночлены	надо подставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
Какие	одночлены	можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся равенство стало тождеством ? .
Поэтому для того , чтобы легче было производить действия с одночленами , вычислять их значение при известных значениях входящих в них букв , договорились записывать	одночлены	в так называемом стандартном виде .
773 Какие	одночлены	можно поставить вместо А , В , С и D , чтобы каждое из равенств стало тождеством ? .
412 Какие	одночлены	можно подставить вместо А , В , С и D , чтобы получившееся равенство стало тождеством .
295 Какие	одночлены	можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся равенство стало тождеством ? .
Например , для одночленов одинаковой степени мы можем установить общие методы решения уравнений , в которые эти	одночлены	входят .
255 Какие	одночлены	можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся равенство стало тождеством ? .
Проанализируем , как в рассмотренных примерах мы записывали	одночлены	в стандартном виде , и построим соответствующий алгоритм .
Мы видим , что	одночлены	записаны в таком порядке , что у каждого следующего одночлена показатель степени с основанием а последовательно уменьшается от литров до 0 , а показатель степени с основанием b , наоборот , увеличивается от 0 до л .
При умножении одночленов мы вновь получаем	одночлены	, а их сумма , по определению , является многочленом .
552 Какие	одночлены	можно подставить вместо А , В и С , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
После того как мы научились записывать	одночлены	в стандартном виде , нам становится проще определять некоторые их характеристики и производить с ними арифметические действия .
573 Какие	одночлены	можно подставить вместо А , В и С , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
Пассажир , смотревший в	окно	, заметил , что встречный товарный поезд , длина которого равна 500 м , проехал мимо него за 15 с. С какой скоростью ехал товарный поезд ? .
582 Когда пассажир проехал треть всего пути , он стал смотреть в	окно	и смотрел до тех пор , пока не осталось проехать треть того пути , что он проехал , смотря в окно .
Какую часть всего пути пассажир проехал , смотря в	окно	? . .
582 Когда пассажир проехал треть всего пути , он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор , пока не осталось проехать треть того пути , что он проехал , смотря в	окно	.
Так , например , если вы решили проехать на автобусе несколько остановок , то скорость автобуса , масса бензина в его баке и количество пассажиров будут переменными величинами , а количество его колес и	окон	в течение поездки не изменится , останется постоянным .
Ответ	округлите	с точностью до десятых .
Результат	округлите	до десятых миллионов рублей .
( Ответ	округлите	с точностью до десятых метра в секунду . )
Ответ	округлите	с точностью до десятых процента .
Ответ	округлите	до сотых процента .
При этом , в отличие от часов , отсчет на математической	окружности	принято вести против часовой стрелки .
в ) Переднее колесо повозки , длина	окружности	которого равна 2,4 м , сделало на некотором расстоянии на 2900 оборотов больше , чем заднее колесо , длина окружности которого равна 3,2 м .
в ) Переднее колесо повозки , длина окружности которого равна 2,4 м , сделало на некотором расстоянии на 2900 оборотов больше , чем заднее колесо , длина	окружности	которого равна 3,2 м .
Чтобы найти значение суммы , можно переместиться по числовой	окружности	от точки 5 на 2 единицы в направлении отсчета .
в ) По	окружности	длиной 378 см движутся навстречу друг другу два муравья , один со скоростью 10 см / с , а другой со скоростью 8 см / с. Через какие промежутки времени будут происходить их встречи ?
Например , известное нам число пи = 3,14159265 .. , выражающее отношение длины	окружности	к ее диаметру , является одним из примеров иррациональных чисел .
11 , то каждое целое число сравнимо с одним из них и , следовательно , будет представлено соответствующей точкой данной	окружности	.
Используя числовую	окружность	, получим .
Аналогичным образом изображаются числа , сравнимые по любому модулю m , только	окружность	делится соответственно на m равных частей , и около каждой точки деления против часовой стрелки последовательно расставляются возможные значения остатков : 0 , 1 , 2 , .. , m - 1 .
Сколько часов потребовалось бы первому оператору , чтобы выполнить всю работу самостоятельно , если известно , что второй	оператор	выполняет ее самостоятельно за 22 часа ? .
285 а ) Два	оператора	должны набрать на компьютере некоторый текст .
Сколько часов потребовалось бы первому	оператору	, чтобы выполнить всю работу самостоятельно , если известно , что второй оператор выполняет ее самостоятельно за 22 часа ? .
Например , операцию представления многочлена 2а плюс 2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать операцией разложения многочлена на множители , а будем считать	операцией	вынесения числового множителя за скобку .
Поэтому его вычитание также можно заменить	операцией	прибавления противоположного числа .
Например , операцию представления многочлена 2а плюс 2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать	операцией	разложения многочлена на множители , а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку .
Аналогичным образом можно ввести	операции	вычитания и умножения остатков .
Приведенные рассуждения являются примерами того , как неточность формулировок , невнимание к условиям , при которых выполнимы те или иные	операции	и процессы , неравносильность выполняемых преобразований могут привести к доказательству ошибочных утверждений .
Как мы уже убедились на примере одночленов , упорядочивание записи математических объектов значительно упрощает различные	операции	с ними .
Итак , введенные нами	операции	позволяют складывать , вычитать и умножать остатки .
Ведь операция вычитания рационального числа равносильна	операции	прибавления противоположного числа .
В процессе указанной	операции	мы складываем не сами числа , а их остатки от деления на некоторое число m.
Предложите свой вариант определения	операции	« разложение многочлена на множители » .
Подчинить вычисления своей воле , сгруппировать математические	операции	- вот задачи математиков будущего .
414 Составьте по два числовых выражения , значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом	операции	: 1 ) сложения ; 2 ) вычитания ; 3 ) умножения ; 4 ) сложения , вычитания и умножения .
А так как , то результатом указанной	операции	будет число 3 .
После этих	операций	каждый из братьев получил одинаковое количество бубликов .
Например ,	операцию	представления многочлена 2а плюс 2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать операцией разложения многочлена на множители , а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку .
Введем на множестве остатков от деления на m	операцию	сложения .
Повторив эту	операцию	100 раз , мы получим одно число .
1 В выражениях	операцию	деления на число , отличное от нуля , можно заменить умножением на число , обратное делителю .
Обсудим теперь	операцию	вычитания многочленов .
Понятно , что данный способ поиска НОД является менее трудоемким , ведь здесь для получения ответа	операцию	деления потребовалось выполнить всего 6 раз , а используя прежний алгоритм , ее надо выполнить 51 раз .
Мы уже умеем выполнять арифметические действия с целыми числами и знаем , что	операция	деления на множестве Z выполнима не всегда .
Ведь	операция	вычитания рационального числа равносильна операции прибавления противоположного числа .
Множество Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима	операция	деления на число , отличное от О .
Множество Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима	операция	вычитания , а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция деления на число , отличное от О .
Как называется проведенная вами	операция	? .
По сути ,	операция	сложения остатков сводится к обычному сложению .
8) Проверить , что каждый элемент условия задачи	описан	соответствующим уравнением .
Проверяем , что каждый элемент условия задачи	описан	соответствующим соотношением .
Тем не менее , если в течение некоторых промежутков времени данные величины k и b все же сохраняют свое постоянное значение , процесс на каждом из этих промежутков остается линейным , и поэтому он может быть	описан	целиком так называемой кусочно - линейной функцией .
8) Проверить , что каждый элемент условия задачи	описан	соответствующим соотношением .
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили множество значений , которые могут принимать неизвестные величины ; проверили , что каждый элемент условия задачи	описан	соответствующим уравнением ; зафиксировали искомую величину .
Анализируя полученное выражение , мы замечаем , что зависимость между количеством купленных тетрадей и стоимостью всей покупки не является прямой пропорциональностью — она не может быть	описана	формулой .
Корни алгебры уходят в глубокую древность , а само название происходит от арабского « аль - джебр » ( восполнение , воссоединение , связь ) - приема решения уравнений ,	описанного	в трактате « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми ( ок . 783 - ок .
Так , указанное множество значений переменной х не может быть описано уравнением , но может быть	описано	неравенствами .
Так , указанное множество значений переменной х не может быть	описано	уравнением , но может быть описано неравенствами .
Эти свойства могут быть	описаны	явно в условии задачи .
Все взаимосвязи , заданные в условии задачи ,	описаны	полученными уравнениями .
Прежде чем	описать	данный способ , рассмотрим две теоремы , которые позволяют сразу же определить , имеет ли целые корни уравнение вида , где a , b , с е Z , или не имеет .
Найдите коэффициент пропорциональности и	опишите	особенности расположения данного графика на координатной плоскости .
Для каждой из выбранных функций назовите коэффициент пропорциональности и	опишите	особенности расположения ее графика на координатной плоскости .
В каких точках этот график пересекает ось абсцисс , ось	ординат	?
2 ) Ау , симметричной точке А относительно оси	ординат	Оу . 3 ) А0 , симметричной точке А относительно начала координат О .
В точках с какими координатами этот график пересекает ось абсцисс , ось	ординат	?
Таким образом ,	ордината	любой точки В графика единицы больше , чем ордината точки А графика с той же абсциссой х0 .
Найденная	ордината	будет равна значению функции в точке х. Например , на графике , представленном выше .
Таким образом , ордината любой точки В графика единицы больше , чем	ордината	точки А графика с той же абсциссой х0 .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу (	ордината	) равна соответствующему значению функции .
5 Определить	ординату	этой точки пересечения .
2 Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием , не равным нулю , можно	основание	оставить без изменений , а из показателя делимого вычесть показатель делителя .
4 Назовите	основание	и показатель степени , вычислите значение выражения .
3 Для того чтобы возвести степень в степень , можно	основание	оставить без изменений , а показатели перемножить .
1 Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием , можно	основание	оставить без изменений , а показатели степеней сложить .
При этом повторяющийся множитель а называют	основанием	степени , а число повторяющихся множителей n — показателем степени .
80 Представьте х18 в виде степени с	основанием	.
а ) в виде произведения двух степеней с основанием х и показателем n N0 . б ) в виде произведения трех степеней с	основанием	х и показателем n N0 ? .
2 Для того чтобы разделить степени с одинаковым	основанием	, не равным нулю , можно основание оставить без изменений , а из показателя делимого вычесть показатель делителя .
Установите общую формулу для вычисления произведения степеней рациональных чисел с общим	основанием	и натуральными показателями .
в ) четырех степеней с	основанием	а .
1 Для того чтобы умножить степени с одинаковым	основанием	, можно основание оставить без изменений , а показатели степеней сложить .
а ) в виде произведения двух степеней с	основанием	х и показателем n N0 . б ) в виде произведения трех степеней с основанием х и показателем n N0 ? .
Мы видим , что одночлены записаны в таком порядке , что у каждого следующего одночлена показатель степени с	основанием	а последовательно уменьшается от литров до 0 , а показатель степени с основанием b , наоборот , увеличивается от 0 до л .
46 Представьте выражение в виде степени с	основанием	а .
47 Запишите выражение в виде степени с	основанием	t .
Мы видим , что одночлены записаны в таком порядке , что у каждого следующего одночлена показатель степени с основанием а последовательно уменьшается от литров до 0 , а показатель степени с	основанием	b , наоборот , увеличивается от 0 до л .
52 Запишите выражение в виде степени с	основанием	2 , 3 или 5 .
79 Запишите выражение в виде степени с	основанием	2 , 3 или 5 .
48 Представьте а24 в виде степени с	основанием	.
Здесь первый шаг преобразований выполнен на	основании	правила 2 , а второй - на основе правил умножения рациональных чисел и определения степени числа .
На	основании	установленных в данном пункте правил 1 и 2 мы можем для всех допустимых значений х и у записать .
На	основании	каких правил равносильных преобразований вы действовали ? .
И здесь опять возникает вопрос : на	основании	каких законов можно осуществить равносильные преобразования в этом выражении ? .
Выберем в качестве признака , на	основании	которого мы будем проводить классификацию , величину остатка от деления на некоторое заданное число .
Мы можем это сделать на	основании	переместительного закона сложения .
Для того чтобы информация приносила пользу , ее нужно уметь систематизировать , анализировать и делать на ее	основании	выводы , приводящие к достижению поставленных целей .
Объясните , на	основании	каких правил равносильных преобразований вы действовали ? .
Можно ли на	основании	этой информации утверждать , что вероятность купить сломанную заколку равна 1/3 ? .
На	основании	известных свойств действий с числами неравенство сохранится .
И если да , то объясните , на	основании	каких правил равносильных преобразований вы сделали этот вывод .
Тогда , на	основании	свойств симметричности и транзитивности , если некоторое число сравнимо с одним из этих чисел , значит , оно сравнимо и с другим из них , что и требовалось доказать .
Теперь на	основании	теоремы 2 , не решая уравнение , мы можем утверждать , что оно не имеет целых решений .
Второй взял 200 золотых монет и десятую часть остатка , третий — 300 золотых монет и десятую часть	остатка	, и так до последнего .
Второй взял 200 золотых монет и десятую часть	остатка	, третий — 300 золотых монет и десятую часть остатка , и так до последнего .
Выберем в качестве признака , на основании которого мы будем проводить классификацию , величину	остатка	от деления на некоторое заданное число .
Число а делится ( без	остатка	) на число b , если существует такое число с , что .
Так как остаток является неотрицательным целым числом , меньшим модуля делителя , то при делении любого числа на 4 возможны только четыре различных	остатка	: 0 , 1 , 2 , 3 .
Все указанные подмножества не пересекаются друг с другом , так как по теореме делимости при делении любого целого числа на 4 не может возникнуть два различных	остатка	( единственность ) .
Тем самым нами произведена классификация множества целых чисел в зависимости от их	остатка	при делении на 4 .
Первый взял 100 золотых монет и десятую часть	остатка	.
При этом расстояние между двумя последовательными числами , кратными ( -2 ) , равно | -2 | , и поэтому для	остатка	возникает требование .
В третий день он опять прошел третью часть уже нового	остатка	пути .
Целое число а делится ( без	остатка	) на целое число , если существует такое целое число с , что .
Для случая деления без	остатка	мы получили , что распространить наши знания можно , просто заменив в определении « натуральные числа » на « целые » и исключив случай .
Поскольку мы все время делим на одно и то же число 22 , то после повторного появления	остатка	4 будут появляться в том же порядке одни и те же промежуточные делимые .
I Деление без	остатка	.
Проведение классификации множества целых чисел по	остаткам	от деления на некоторое число позволяет упростить решение многих задач .
Полученная нами формула деления с остатком дает возможность провести классификацию целых чисел по их	остаткам	от деления на некоторое число .
266 Проведите классификацию множества А по	остаткам	от деления его эле ментов на 7 .
Проведите классификацию множества А по	остаткам	от деления его элементов на b .
363 Разбейте множество целых чисел на классы по их	остаткам	при делении на ?
256 Разбейте множество целых чисел на классы по их	остаткам	от деления на .
257 Проведите классификацию множества А по	остаткам	от деления его элементов на b .
Разбейте множество целых чисел на классы по их	остаткам	при делении на .
379 Проведите классификацию множества А по	остаткам	от деления его элементов на b . 380 Найдите остаток от деления а на b . 381 Определите , какой цифрой оканчивается число .
2 Классификация целых чисел по	остаткам	от деления .
Проведите классификацию множества А по	остаткам	от деления его элементов на 3 .
Разобьем тогда множество целых чисел на три класса по	остаткам	от деления на 3 .
При этом всегда надо помнить , что при выполнении действий над	остатками	применяется следующее правило : если результат сложения , вычитания , умножения остатков по некоторому модулю m стал отрицательным или больше m , то надо переходить к остатку от деления результата на m .
Мы видим , что за шестью первыми	остатками	3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 следуют опять остатки 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 .
Докажем теперь , что правила арифметических действий над	остатками	аналогичны обычным правилам .
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в	остатке	3 . г ) Целое число при делении на 4 дает в остатке 3 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б ) Целое число при делении на 9 дает в	остатке	7 .
407 а ) Целое число а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при делении на 12 дает в	остатке	7 .
Доказать , что сумма кубов этих чисел делится на 4 . б ) Два целых числа при делении на 7 дают в	остатке	соответственно 2 и 3 .
Число 90 разделили на то же самое число и получили в	остатке	18 .
407 а ) Целое число а при делении на 12 дает в	остатке	5 , а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в	остатке	5 . б ) Целое число при делении на 9 дает в остатке 7 .
в ) Целое число при делении на 5 дает в	остатке	2 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 9 дает в	остатке	1 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г ) Целое число при делении на 4 дает в	остатке	3 .
422 а ) Целое число при делении на 6 дает в	остатке	5 .
428 а ) Целое число а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при делении на 14 дает в	остатке	9 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в	остатке	7 . б ) Целое число при делении на 5 дает в остатке 4 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б ) Целое число при делении на 5 дает в	остатке	4 .
Число 100 разделили на некоторое натуральное число и получили в	остатке	4 .
398 а ) Целое число при делении на 8 дает в	остатке	7 .
458 а ) Два целых числа при делении на 4 дают в	остатке	соответственно 1 и 3 .
428 а ) Целое число а при делении на 14 дает в	остатке	7 , а целое число b при делении на 14 дает в остатке 9 .
Мы видим , что за шестью первыми остатками 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 следуют опять	остатки	3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые	остатки	при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
Докажите , что числа А и В имеют одинаковые	остатки	при делении на 7 .
Таким образом , не выполняя громоздких вычислений самих степеней , мы с помощью сравнений смогли быстро найти	остатки	от деления на 7 всех чисел вида 3n .
Найдите	остатки	от деления на 7 натуральных степеней числа 3 .
Далее остатки будут периодически повторяться , так как , согласно нашему способу определения остатков , число 3 мы будем опять последовательно умножать на одни и те же	остатки	3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 .
Чтобы находить	остатки	далее , нужно вычислять 35 , 36 , ..
Найдем таким же способом	остатки	от деления на 7 следующих степеней 3 : .
Далее	остатки	будут периодически повторяться , так как , согласно нашему способу определения остатков , число 3 мы будем опять последовательно умножать на одни и те же остатки 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные	остатки	при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
Сравнения помогают находить	остатки	от деления , не производя подобных вычислений .
Докажите , что числа а и b дают одинаковые	остатки	при делении на с . а ) Из двух филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши , расстояние между которыми равно 750 км , выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля .
Полученные	остатки	r , r1 , r2 .. - это целые неотрицательные числа , которые последовательно уменьшаются .
Докажите , что числа а и b дают одинаковые	остатки	при делении на с . а ) Из Москвы и Владивостока , расстояние между которыми 9000 км , вылетели одновременно навстречу друг другу два самолета , Су-34 и Ил-96 .
Числа 257 , 374 и 478 дают одинаковые	остатки	при делении на некоторое натуральное число , большее 1 .
Числа 115 000 и 1 085 000 дают одинаковые	остатки	при делении на 97 . .
90 Докажите , что числа А и В имеют одинаковые	остатки	при делении на 7 .
706 Какие	остатки	дают натуральные степени числа а при делении на 6 ? .
Докажите , что числа а и b дают одинаковые	остатки	при делении на с .
429 Докажите , что А я В дают одинаковые	остатки	при делении на 13 .
При этом при делении на n число остатков равно n - 1 (	остатки	от 1 до n - 1 ) .
Для любых натуральных чисел a и m	остатки	от деления a , а2 , .. , аn , .. на m с некоторого момента начинают периодически повторяться .
350 Вычислите и определите , какие	остатки	дает натуральная степень данного числа при делении на 7 .
Какие	остатки	дают натуральные степени числа а при делении на b .
Найдите это число . б ) Числа 3311 , 1935 , 1376 дают равные	остатки	при делении на натуральное число , большее 1 .
Числа 2146 , 1991 , 1805 дают равные	остатки	при делении на натуральное число , большее 1 .
327 Какие	остатки	дают натуральные степени числа а при делении на b ? .
Числа 125 000 и 441 800 дают одинаковые	остатки	при делении на 99 .
Если два целых числа а и b имеют одинаковые	остатки	при делении на некоторое целое число m , то говорят , что а и b сравнимы по модулю m , и пишут .
313 Докажите , что А и В имеют одинаковые	остатки	от деления на 17 .
Рассмотрим , например ,	остатки	, получающиеся при делении некоторых целых чисел на 4 .
342 Числа 901 , 1696 , 4293 дают равные	остатки	при делении на некоторое натуральное число .
Тогда , согласно теоремам 1 и 3 , п. 2.2.4 , а значит , число А и сумма его цифр имеют одинаковые	остатки	от деления на 9 .
Найдите три числа , дающих при делении на В такие же	остатки	, как А .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные	остатки	при делении на 11 .
« Если целые числа а и b имеют одинаковые	остатки	при делении на m , то их разность а - b делится на m » .
Тот факт , что числа а и b имеют одинаковые	остатки	при делении на m , может быть записан с помощью формулы деления с остатком следующим образом .
У целых чисел , имеющих одинаковые	остатки	при делении на одно и то же число , есть очень важное свойство , которое часто оказывается полезным при решении разнообразных задач на делимость .
Пусть числа А к В при делении на m дают соответственно	остатки	а и b.
Пусть теперь некоторые два числа имеют	остатки	11 и 4 при делении на 12 .
Числа , имеющие одинаковые	остатки	при делении на некоторое заданное натуральное число , настолько важны в математике , что получили свое специальное название .
287 Докажите , что числа а и b дают одинаковые	остатки	при делении на с .
Числа 1712 , 1807 и 1940 дают одинаковые	остатки	при делении на некоторое натуральное число , большее 1 .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает остаток 2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые	остатки	при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
В процессе указанной операции мы складываем не сами числа , а их	остатки	от деления на некоторое число m.
Например , если некоторые два числа имеют	остатки	5 и 2 при делении на 12 , то сумма этих остатков равна 7 .
« Если разность целых чисел а и b делится на m , то числа а и b имеют одинаковые	остатки	при делении на m » .
Действительно , сложив	остатки	11 и 4 , мы получим 15 .
Не вычисляя остатков , докажите , что числа а и b дают одинаковые	остатки	при делении на с .
Какие	остатки	дают натуральные степени числа а при делении на b ? .
Ведь два сравнимых по заданному модулю числа имеют одинаковые	остатки	, и мы хотим их рассматривать как одно число .
275 Докажите , что числа а и b дают одинаковые	остатки	при делении на с , не вычисляя этих остатков .
719 Какие	остатки	дают натуральные степени числа а при делении на b .
Так как при делении на 12 возможны лишь	остатки	0 , 1 , 2 , ..
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые	остатки	при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
Итак , введенные нами операции позволяют складывать , вычитать и умножать	остатки	.
Теорема 1 Целые числа а и b имеют одинаковые	остатки	при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m .
Следовательно , по теореме 1 , п. 2.2.3 , они имеют одинаковые	остатки	при делении на m. Значит , что и требовалось доказать . .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые	остатки	при делении на 98 .
Выполним деление с остатком сначала данных чисел , а затем последовательно - делителей и полученных	остатков	.
Поэтому , рассматривая подряд n	остатков	, мы обязательно найдем среди них два одинаковых .
По сути , операция сложения	остатков	сводится к обычному сложению .
Аналогичным образом можно ввести операции вычитания и умножения	остатков	.
301 Составьте таблицы сложения и умножения	остатков	по модулю : а ) 3 ; б ) 5 ; в ) 6 .
В таких задачах переход к изучению	остатков	от деления на некоторое число позволяет решить задачи просто и красиво .
Разделим целые числа на три класса в зависимости от их	остатков	от деления на 3 .
Не вычисляя	остатков	, докажите , что числа а и b дают одинаковые остатки при делении на с .
Суммой	остатков	а и b назовем число с , являющееся остатком от деления на m .
При этом периодическое повторение остатков начинается в тот момент , когда в последовательности	остатков	появляется остаток , совпадающий с одним из уже найденных .
При этом периодическое повторение	остатков	начинается в тот момент , когда в последовательности остатков появляется остаток , совпадающий с одним из уже найденных .
Например , если некоторые два числа имеют остатки 5 и 2 при делении на 12 , то сумма этих	остатков	равна 7 .
Теорема о периодичности	остатков	.
4 Арифметика	остатков	.
275 Докажите , что числа а и b дают одинаковые остатки при делении на с , не вычисляя этих	остатков	.
Составим , например , таблицу сложения и умножения	остатков	от деления на 4 .
Введем на множестве	остатков	от деления на m операцию сложения .
Так же , как и в обычной арифметике , мы можем составить таблицы сложения и умножения	остатков	.
Чему будет равна сумма этих	остатков	? .
Периодичность в повторении остатков , которую мы обнаружили , является общим свойством	остатков	всех натуральных степеней .
При этом при делении на n число	остатков	равно n - 1 ( остатки от 1 до n - 1 ) .
Далее остатки будут периодически повторяться , так как , согласно нашему способу определения	остатков	, число 3 мы будем опять последовательно умножать на одни и те же остатки 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 .
Аналогичным образом изображаются числа , сравнимые по любому модулю m , только окружность делится соответственно на m равных частей , и около каждой точки деления против часовой стрелки последовательно расставляются возможные значения	остатков	: 0 , 1 , 2 , .. , m - 1 .
316 Составьте таблицу сложения и умножения	остатков	по модулю .
Периодичность в повторении	остатков	, которую мы обнаружили , является общим свойством остатков всех натуральных степеней .
При этом всегда надо помнить , что при выполнении действий над остатками применяется следующее правило : если результат сложения , вычитания , умножения	остатков	по некоторому модулю m стал отрицательным или больше m , то надо переходить к остатку от деления результата на m .
Разделим с остатком число на , используя формулу деления с	остатком	, аналогичную формуле для натуральных чисел .
Разделим число b на m , то есть представим его с помощью формулы деления с	остатком	в виде .
При этом число с называют неполным частным , а число r -	остатком	отделения а на b. Здесь и далее N0 - множество натуральных чисел и 0 .
Действительно , а значит , действие деления с	остатком	теряет смысл , ведь каждый человек при делении будет получать свой ответ .
Разделить число а на число b с	остатком	значит представить число а в виде .
Тот факт , что числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m , может быть записан с помощью формулы деления с	остатком	следующим образом .
При делении натуральных чисел под	остатком	мы фактически понимали расстояние от делимого а до наибольшего числа , кратного делителю b и не превышающего а , что хорошо видно .
4 Сделать проверку с помощью формулы деления с	остатком	.
Алгоритм деления с	остатком	целых чисел а и b . 1 Найти наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
Соответственно изменяется и алгоритм деления с	остатком	целых чисел .
Как разделить одно целое число на другое с	остатком	? .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с	остатком	на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
Может быть , все - таки иногда делить на 0 можно , хотя бы с	остатком	? .
Таким образом , мы можем разделить число 564 на 20 с	остатком	, представив его в виде .
Оно позволяет выполнить деление с	остатком	для любых целых чисел , и его результат всегда будет однозначным .
Разделим с	остатком	число на , используя формулу деления с остатком , аналогичную формуле для натуральных чисел .
Суммой остатков а и b назовем число с , являющееся	остатком	от деления на m .
Можно ли так же поступить в случае деления с	остатком	? .
Итак , в определении деления с	остатком	на множестве целых чисел изменяется требование не только к делителю , но и к остатку .
Таким образом , в результате деления с	остатком	мы получаем однозначный ответ , который не противоречит аналогичному определению для натуральных чисел .
II Деление с	остатком	.
В случае деления с	остатком	( -7 ) на ( -2 ) наибольшим целым числом , кратным ( -2 ) и не превышающим ( -7 ) , является число (-8 ) , а расстояние от (-8 ) до ( -7 ) равно .
Сделать проверку по формуле деления с	остатком	.
А что получится , если число разделить с	остатком	на ? .
Алгоритм деления с	остатком	натурального числа а на b . 1 Найти наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
Рассмотрим простейший случай деления с	остатком	, например , числа 7 на 2 .
Как и в предыдущем случае , подставим данные выражения в формулу деления а на b с	остатком	.
Теперь , исходя из нашего опыта , построим алгоритм деления с	остатком	.
1 Делим а на b с	остатком	.
2 Делим b на r с	остатком	.
Полученная нами формула деления с	остатком	дает возможность провести классификацию целых чисел по их остаткам от деления на некоторое число .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с	остатком	одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
3 Делим г на r с	остатком	.
Так как х при делении на 3 дает остаток 1 , то по формуле деления с	остатком	, где множество натуральных чисел и 0 .
4 Делим r , на r2 с	остатком	.
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с	остатком	его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
Подставим данные выражения в формулу деления а на b с	остатком	.
3 Деление с	остатком	.
Выполним деление с	остатком	сначала данных чисел , а затем последовательно - делителей и полученных остатков .
Таким образом , нами доказано существование и единственность деления с	остатком	на множестве натуральных чисел .
188 Некоторое натуральное число а разделили с	остатком	на некоторое натуральное число Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и делимое , и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
Разделить с	остатком	А на В .
Итак , представление , существует , и возможность деления с	остатком	любых натуральных чисел а и b доказана .
Это действие называют делением с	остатком	.
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с	остатком	, следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
Но и	остатком	при делении на 12 не является .
Итак , в определении деления с остатком на множестве целых чисел изменяется требование не только к делителю , но и к	остатку	.
185 Выберите из множества А числа , равные неполному частному и	остатку	от деления а на b .
Если все цифры делимого уже использованы , то при делении в столбик мы все время приписываем к	остатку	нуль .
Значит , НОД чисел а и b равен последнему ненулевому	остатку	в указанной цепочке делений .
При этом всегда надо помнить , что при выполнении действий над остатками применяется следующее правило : если результат сложения , вычитания , умножения остатков по некоторому модулю m стал отрицательным или больше m , то надо переходить к	остатку	от деления результата на m .
Найдите	остаток	от деления этого числа на 15 . б )
в ) Если целое число делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать	остаток	11 . г ) Если целое число при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
Это означает , что 4х при делении на 3 дает	остаток	2 .
Если целое число а не делится на 11 , то число 4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего целого числа , которое при делении на 7 дает	остаток	2
в ) Если целое число делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если целое число при делении на ( -36 ) дает	остаток	35 , то оно не делится на ( -9 ) .
Зависимость задали следующим образом : каждому целому числу поставили в соответствие его	остаток	при делении на целое число а .
Если целое число при делении на 21 дает	остаток	8 , то при делении на 7 оно даст остаток 1 .
г ) делится на 9 , а при делении на 54 дает	остаток	43 ? .
Найдите все числа , которые при делении на 3 дают	остаток	1 , а при делении на 4 — остаток 3 .
а ) Целое число дает при делении на 5	остаток	1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
Целое число при делении на 7 дает	остаток	2 , а при делении на 8 — остаток 3 .
Найдите все числа , которые при делении на 3 дают остаток 1 , а при делении на 4 —	остаток	3 .
Если целое число при делении на ( -12 ) дает	остаток	5 , то оно не делится на ( -4 ) .
а ) при делении на 5 дает	остаток	7 , а при делении на 20 дает остаток 13 .
Целое число при делении на 7 дает остаток 2 , а при делении на 8 —	остаток	3 .
509 Найдите неполное частное и	остаток	при делении на ( -11 ) следующих чисел .
а ) при делении на 12 дает остаток 11 , а при делении на 18 остаток 1 . б ) при делении на 9 дает остаток 7 , а при делении на 27	остаток	13 ? .
а ) при делении на 12 дает остаток 11 , а при делении на 18 остаток 1 . б ) при делении на 9 дает	остаток	7 , а при делении на 27 остаток 13 ? .
в ) Не существует натурального числа , которое при делении на 18 дает	остаток	5 , а при делении на 27 дает остаток 3 .
а ) Число а делится на число 6 . б ) Число с при делении на d дает	остаток	r . в ) Числа p и r взаимно простые .
а ) при делении на 15 дает	остаток	12 , а при делении на 30 остаток 2 . б ) при делении на 21 дает остаток 18 , а при делении на 42 остаток 32 ? .
а ) при делении на 12 дает остаток 11 , а при делении на 18	остаток	1 . б ) при делении на 9 дает остаток 7 , а при делении на 27 остаток 13 ? .
Если целое число при делении на 21 дает остаток 8 , то при делении на 7 оно даст	остаток	1 .
а ) при делении на 15 дает остаток 12 , а при делении на 30	остаток	2 . б ) при делении на 21 дает остаток 18 , а при делении на 42 остаток 32 ? .
а ) Целое число дает при делении на 5 остаток 1 , а при делении на 3 —	остаток	2 .
а ) при делении на 15 дает остаток 12 , а при делении на 30 остаток 2 . б ) при делении на 21 дает остаток 18 , а при делении на 42	остаток	32 ? .
в ) Не существует натурального числа , которое при делении на 18 дает остаток 5 , а при делении на 27 дает	остаток	3 .
а ) при делении на 12 дает	остаток	11 , а при делении на 18 остаток 1 . б ) при делении на 9 дает остаток 7 , а при делении на 27 остаток 13 ? .
б ) делится на 13 , а при делении на 39 дает	остаток	27 ? .
а ) при делении на 5 дают	остаток	3 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 . б ) при делении на ( -3 ) дают остаток 2 ; г ) при делении на ( -7 ) дают остаток 1 .
а ) Если целое число делится на ( -7 ) , то оно не может при делении на ( -14 ) давать	остаток	5 .
а ) при делении на 5 дает остаток 7 , а при делении на 20 дает	остаток	13 .
а ) при делении на 15 дает остаток 12 , а при делении на 30 остаток 2 . б ) при делении на 21 дает	остаток	18 , а при делении на 42 остаток 32 ? .
Докажите , что а3 для любого целого числа а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает	остаток	2 . а ) Колонна демонстрантов растянулась на 800 м .
Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает	остаток	4 .
а ) число а при делении на 5 дает	остаток	2 , а при делении на 3 - остаток 1 и b = 15 . б ) число а при делении на 5 дает остаток 1 , а при делении на 3 - остаток 2 и b = 15 .
Найдите	остаток	при делении числа b на 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 .
Какой	остаток	при делении на 2 дают числа .
Найдите неполное частное и	остаток	при делении на ( -12 ) следующих чисел .
а )	остаток	4 при делении на 6 ; в ) остаток 13 при делении на 21 . б ) остаток 12 при делении на 19 ; г ) остаток 19 при делении на 25 .
а ) Не существует наибольшего натурального числа , которое при делении на 5 дает	остаток	1 . б )
а ) Некоторые целые числа при делении на 6 дают	остаток	( -1 ) .
Число полных лет Антона при делении на 5 дает	остаток	1 , а число полных лет Ксюши при делении на 5 дает остаток 4 .
а ) остаток 4 при делении на 6 ; в ) остаток 13 при делении на 21 . б ) остаток 12 при делении на 19 ; г )	остаток	19 при делении на 25 .
Найдите остаток от деления этого числа на 56 . г ) Найдите все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 —	остаток	5 .
Найдите остаток от деления этого числа на 56 . г ) Найдите все числа , которые при делении на 4 дают	остаток	2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает	остаток	2 , то оно кратно 5 .
Число полных лет Антона при делении на 5 дает остаток 1 , а число полных лет Ксюши при делении на 5 дает	остаток	4 .
Первое число при делении на 12 дает	остаток	4 , а второе число при делении на 12 дает остаток 5 .
Первое число при делении на 12 дает остаток 4 , а второе число при делении на 12 дает	остаток	5 .
Первое число при делении на 17 дает	остаток	11 , а второе число при делении на 17 дает остаток 9 .
Целое число b при делении на 36 дает	остаток	3 .
Первое число при делении на 7 дает	остаток	4 , а второе число при делении на 7 дает остаток 2 .
Может ли	остаток	при делении этого числа на 14 быть равен 5 ? .
Первое число при делении на 7 дает остаток 4 , а второе число при делении на 7 дает	остаток	2 .
б ) число , кратное 5 , при делении на 15 давать	остаток	7 ? .
481 Найдите	остаток	от деления числа 38200 на 9 .
а ) Если натуральное число делится на 4 , то оно не может при делении на 16 давать	остаток	5 .
а ) Целое число дает при делении на 8	остаток	3 , а при делении на 5 — остаток 1 .
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03 плюс 2а2 плюс 3а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3 плюс а2 плюс 5а либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает	остаток	2 .
в ) число , делящееся на 3 , при делении на 12 давать	остаток	8 ? .
а ) Целое число дает при делении на 8 остаток 3 , а при делении на 5 —	остаток	1 .
Первое число при делении на 17 дает остаток 11 , а второе число при делении на 17 дает	остаток	9 .
Найдите	остаток	от деления этого числа на 40 . б )
Найдите все числа , которые при делении на 9 дают остаток 2 , а при делении на 7 —	остаток	4 .
а ) остаток 4 при делении на 6 ; в )	остаток	13 при делении на 21 . б ) остаток 12 при делении на 19 ; г ) остаток 19 при делении на 25 .
г ) число , делящееся на 9 , при делении на 36 давать	остаток	28 ? .
Функция задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим	остаток	1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 .
а )	остаток	при делении четного числа на 6 быть равным 3 ? .
Все целые числа , которые при делении на 7 дают	остаток	2 , кратны 5 . з ) Существуют целые числа , которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03 плюс 2а2 плюс 3а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает	остаток	2 . б ) 2а3 плюс а2 плюс 5а либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 .
Найдите все числа , которые при делении на 9 дают	остаток	2 , а при делении на 7 — остаток 4 .
Первое число при делении на 19 дает	остаток	14 , а второе число при делении на 19 дает остаток 15 .
Первое число при делении на 19 дает остаток 14 , а второе число при делении на 19 дает	остаток	15 .
Первое число при делении на 7 дает	остаток	5 , а второе число при делении на 7 дает остаток 2 .
а ) число а при делении на 3 дает	остаток	2 , а при делении на 7 - остаток 5 .
457 Найдите	остаток	при делении числа а на 21 , если известно , что .
а ) остаток 4 при делении на 6 ; в ) остаток 13 при делении на 21 . б )	остаток	12 при делении на 19 ; г ) остаток 19 при делении на 25 .
а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; в ) при делении на 6 дают	остаток	4 . б ) при делении на ( -3 ) дают остаток 2 ; г ) при делении на ( -7 ) дают остаток 1 .
в ) число а при делении на 3 дает остаток 1 , а при делении на 4 - остаток 3 и b = 12 . г ) число а при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 4 -	остаток	1 и b = 12 .
в ) число а при делении на 3 дает остаток 1 , а при делении на 4 - остаток 3 и b = 12 . г ) число а при делении на 3 дает	остаток	2 , а при делении на 4 - остаток 1 и b = 12 .
в ) число а при делении на 3 дает остаток 1 , а при делении на 4 -	остаток	3 и b = 12 . г ) число а при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 4 - остаток 1 и b = 12 .
а ) число а при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 7 -	остаток	5 .
в ) число а при делении на 3 дает	остаток	1 , а при делении на 4 - остаток 3 и b = 12 . г ) число а при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 4 - остаток 1 и b = 12 .
Первое число при делении на 11 дает	остаток	6 , а второе число при делении на 11 дает остаток 8 .
579 Какой	остаток	при делении на 7 дает число 333444 умножить 444333 ? .
а ) число а при делении на 5 дает остаток 2 , а при делении на 3 - остаток 1 и b = 15 . б ) число а при делении на 5 дает	остаток	1 , а при делении на 3 - остаток 2 и b = 15 .
Все целые числа при делении на 17 дают	остаток	9 .
а ) число а при делении на 5 дает остаток 2 , а при делении на 3 -	остаток	1 и b = 15 . б ) число а при делении на 5 дает остаток 1 , а при делении на 3 - остаток 2 и b = 15 .
Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает	остаток	2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
Первое число при делении на 11 дает остаток 6 , а второе число при делении на 11 дает	остаток	8 .
а ) число а при делении на 5 дает остаток 2 , а при делении на 3 - остаток 1 и b = 15 . б ) число а при делении на 5 дает остаток 1 , а при делении на 3 -	остаток	2 и b = 15 .
447 Найдите	остаток	при делении числа а на b , если известно ? .
число а при делении на 3 дает	остаток	1 , а при делении на 7 - остаток 4 .
Найдите	остаток	от деления этого числа на 56 . г ) Найдите все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
Первое число при делении на 7 дает остаток 5 , а второе число при делении на 7 дает	остаток	2 .
а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 . б ) при делении на ( -3 ) дают остаток 2 ; г ) при делении на ( -7 ) дают	остаток	1 .
117 Докажите , что а3 плюс 4а для любых целых а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает	остаток	1 , либо при делении на 5 дает остаток 4 .
117 Докажите , что а3 плюс 4а для любых целых а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 , либо при делении на 5 дает	остаток	4 .
Все целые числа , которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют целые числа , которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают	остаток	5 .
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают	остаток	1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
467 Найдите	остаток	от деления числа 6100 на 7 .
число а при делении на 3 дает остаток 1 , а при делении на 7 -	остаток	4 .
Можно найти целое число , которое при делении на 3 дает	остаток	4 . д ) Есть целые числа , которые не делятся на единицу .
а ) Если целое число делится на ( -3 ) , то оно не может при делении на ( -12 ) давать	остаток	7 .
526 Найдите неполное частное и	остаток	при делении на ( -9 ) следующих чисел .
Может ли	остаток	при делении этого числа на 27 быть равен 11 ? .
Целое число b при делении на 14 дает	остаток	8 .
Найдите	остаток	при делении числа b на 2 , на 7 .
а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 . б ) при делении на ( -3 ) дают	остаток	2 ; г ) при делении на ( -7 ) дают остаток 1 .
564 Какой	остаток	при делении на 8 дает число .
Если целое число при делении на ( -12 ) дает	остаток	5 , то оно не делится на ( -18 ) .
Все целые числа , которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют целые числа , которые при делении на 3 дают	остаток	2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
188 Некоторое натуральное число а разделили с остатком на некоторое натуральное число Ъ. Как изменится неполное частное и	остаток	, если и делимое , и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
А это и означает , что число а имеет тот же	остаток	при делении на m , что и число b , что и требовалось доказать . .
а ) Целое число дает при делении на 7	остаток	2 , а при делении на 9 — остаток 3 .
а ) Целое число дает при делении на 7 остаток 2 , а при делении на 9 —	остаток	3 .
И мы опять получаем , что квадрат данного числа при делении на 3 дает	остаток	1 .
Найдите	остаток	от деления этого числа на 63 . б )
А это означает , что квадрат этого числа при делении на 3 дает	остаток	1 , то квадрат этого числа равен .
Найдите все числа , которые при делении на 8 дают	остаток	5 , а при делении на 5 дают остаток 2 .
Найдите все числа , которые при делении на 8 дают остаток 5 , а при делении на 5 дают	остаток	2 .
Доказать , что квадрат любого целого числа либо кратен 3 , либо при делении на 3 дает	остаток	1 .
Z4(3 ) - числа вида 4k + 3 ( числа , дающие при делении на 4	остаток	3 ) .
Z4(2 ) - числа вида 4k + 2 ( числа , дающие при делении на 4	остаток	2 ) .
Z4(l ) - числа вида 4k + 1 ( числа , дающие при делении на 4	остаток	1 ) .
Z4(0 ) - числа вида 4k ( числа , кратные 4 , то есть дающие при делении на 4	остаток	0 ) .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет	остаток	( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
В — множество натуральных чисел , меньших 10 , дающих при делении на 3	остаток	2 .
Объединим все числа , имеющие	остаток	3 при делении на 4 , в одно подмножество множества целых чисел .
Так как	остаток	является неотрицательным целым числом , меньшим модуля делителя , то при делении любого числа на 4 возможны только четыре различных остатка : 0 , 1 , 2 , 3 .
а ) Число 62 458 делится на 11 . б ) Число 100 851 при делении на 17 дает	остаток	7 .
а ) Если натуральное число делится на 7 , то оно не может при делении на 21 давать	остаток	5 .
Если натуральное число при делении на 36 дает	остаток	4 , то оно не делится на 6 .
а ) Если натуральное число делится на 11 , то оно не может при делении на 33 давать	остаток	17 . б )
Если натуральное число при делении на 12 дает	остаток	8 , то оно не делится на 27 .
Если целое число при делении на ( -3 ) дает	остаток	2 , то оно не делится на ( -27 ) .
в ) Если целое число делится на ( -2 ) , то оно не может при делении на (-8 ) давать	остаток	3 .
244 Найдите неполное частное и	остаток	при делении на ( -5 ) следующих чисел .
а ) при делении на 3 дают остаток 2 ; б ) при делении на ( -6 ) дают	остаток	4 .
а ) при делении на 3 дают	остаток	2 ; б ) при делении на ( -6 ) дают остаток 4 .
Известно , что	остаток	от деления числа А на 23 равен а , а числа В на 23 — равен b.
Найдите	остаток	от деления на 23 числа , если .
Для того чтобы найти частное и	остаток	, нам , во - первых , надо найти наибольшее число , кратное 2 и не превышающее 7 ( число 6 ) , затем найти неполное частное , после этого надо найти остаток .
Доказав для каждого из классов , что квадрат соответствующего целого числа либо делится на 3 , либо дает при делении на 3	остаток	1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех целых чисел .
Если натуральное число при делении на 30 дает	остаток	21 , то оно не делится на 10 .
в ) Если натуральное число делится на 8 , то при делении на 16 оно не может давать	остаток	7 .
Если натуральное число при делении на 27 дает	остаток	7 , то оно не делится на 9 .
298 Известно , что	остаток	от деления числа А на 19 равен а , а числа В на 19 - равен b.
В первом случае а2 кратен 3 , а в двух остальных -	остаток	при делении а2 на 3 равен 1 , что и требовалось доказать .
Доказать , что квадрат любого целого числа либо кратен 3 , либо дает при делении на 3	остаток	1 .
Какой	остаток	при делении на 8 дает квадрат нечетного числа ? .
Первое число при делении на 14 дает	остаток	2 , а второе число при делении на 14 дает остаток 11 .
Какой	остаток	дает ас при делении на 12 ? .
Первое число при делении на 14 дает остаток 2 , а второе число при делении на 14 дает	остаток	11 .
Не существует целого числа , которое при делении на 8 дает остаток 6 , а при делении на 16 дает	остаток	4 .
Найдите частное и	остаток	от деления полученного результата на 7 .
Не существует целого числа , которое при делении на 8 дает	остаток	6 , а при делении на 16 дает остаток 4 .
Найдите	остаток	от деления А на В .
286 Запишите в виде блок - схемы : а ) алгоритм нахождения модуля числа а ; б ) алгоритм определения того , что числа а и b имеют одинаковый	остаток	при делении на m .
в ) если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное , то их произведение делится на 24 . г ) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает	остаток	1 .
276 Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истинность : а ) Число 1 133 064 делится на 9 ; б ) Число 16 985 777 не кратно 4 ; в ) Число 14 016 при делении на 7 дает	остаток	2 ; г ) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3 ; д ) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45 ; е ) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает	остаток	39 , то оно не делится на ( -15 ) .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает остаток 2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает	остаток	5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
Очевидно , что числа 747 475 и 74 000 001 дают	остаток	1 при делении на 74 , значит , они сравнимы по модулю 74 .
в ) делится на 11 , а при делении на 22 дает	остаток	13 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает	остаток	7 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает	остаток	6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает	остаток	5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает	остаток	4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает	остаток	3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает	остаток	2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
272 Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 2 дает	остаток	1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
а ) произведение двух последовательных четных чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б ) произведение чисел для любого целого а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает	остаток	1 или 2 .
а ) произведение двух последовательных четных чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает	остаток	2 . б ) произведение чисел для любого целого а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
а ) Если натуральное число делится на 5 , то оно не может при делении на 20 давать	остаток	16 . б )
а ) произведение двух последовательных целых чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б )	остаток	от деления на 4 произведения двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
а ) произведение двух последовательных целых чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает	остаток	2 ; б ) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
274 Запишите на математическом языке , используя формулу деления с остатком , следующие высказывания и докажите их истинность : а ) Число 156 при делении на 11 дает	остаток	2 ; б ) Число 362 при делении на 17 дает остаток 5 ; в ) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54 ; г ) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать	остаток	20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает	остаток	8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать	остаток	7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
183 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают	остаток	0 .
Первое число при делении на 8 дает остаток 5 , а второе число при делении на 8 дает	остаток	7 .
Первое число при делении на 8 дает	остаток	5 , а второе число при делении на 8 дает остаток 7 .
Первое число при делении на 5 дает остаток 3 , а второе число при делении на 5 дает	остаток	4 .
Первое число при делении на 5 дает	остаток	3 , а второе число при делении на 5 дает остаток 4 .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает	остаток	2 .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает	остаток	1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
И так как число целых неотрицательных чисел , меньших b , конечно , то на не котором шаге	остаток	от деления будет равен нулю .
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r —	остаток	от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее	остаток	1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее	остаток	3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее	остаток	8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее	остаток	12 при делении на 26 .
187 Для любого определите , чему равен	остаток	отделения .
183 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают	остаток	4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
Если натуральное число при делении на 64 дает	остаток	31 , то оно не делится на 8 .
Так как х при делении на 3 дает	остаток	1 , то по формуле деления с остатком , где множество натуральных чисел и 0 .
Количество книг при делении на 3 дает остаток 1 , количество дисков при делении на 3 дает	остаток	2 .
Количество книг при делении на 3 дает	остаток	1 , количество дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
Известно , что количество купленных мамой книг при делении на 3 дает остаток 1 , а количество купленных ею дисков при делении на 3 дает	остаток	2 .
Известно , что количество купленных мамой книг при делении на 3 дает	остаток	1 , а количество купленных ею дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
198 Для любого определите , чему равен	остаток	от деления .
197 Среди натуральных чисел , больших 20 , найдите наименьшее натуральное число , которое : а ) при делении на 12 дает остаток 8 ; б ) при делении на 31 дает	остаток	3 .
197 Среди натуральных чисел , больших 20 , найдите наименьшее натуральное число , которое : а ) при делении на 12 дает	остаток	8 ; б ) при делении на 31 дает остаток 3 .
Найдите неполное частное и	остаток	при делении на ( -6 ) следующих чисел .
196 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; б ) при делении на 9 дают	остаток	6 .
196 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 5 дают	остаток	3 ; б ) при делении на 9 дают остаток 6 .
в ) Если натуральное число делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если натуральное число при делении на 60 дает	остаток	19 , то оно не делится на 12 .
в ) Если натуральное число делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать	остаток	9 . г ) Если натуральное число при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
Если натуральное число при делении на 18 дает	остаток	6 , то оно не делится на 9 .
а ) Если натуральное число делится на 7 , то оно не может при делении на 28 давать	остаток	9 . б )
Найдите	остаток	от деления на 19 чисел если .
Как в этом случае понимать термины « делится » , « не делится » , « делитель » , « кратное » , « частное » , «	остаток	» ? .
Первое число при делении на 11 дает	остаток	9 , а второе число при делении на 11 дает остаток 2 .
Известно , что	остаток	от деления числа А на 13 равен а , а числа В на 13 — равен b.
Найдите	остаток	от деления на 13 числа .
234 Для любого определите , чему равен	остаток	от деления .
233 Найдите неполное частное и	остаток	при делении на ( -7 ) следующих чисел .
232 Найдите неполное частное и	остаток	при делении на 7 следующих чисел .
231 Отметьте на числовой прямой целые числа , которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают	остаток	2 .
231 Отметьте на числовой прямой целые числа , которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают	остаток	3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
231 Отметьте на числовой прямой целые числа , которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают	остаток	2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
231 Отметьте на числовой прямой целые числа , которые : а ) при делении на 4 дают	остаток	3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
227 Может ли получиться так , что равны между собой : а ) делимое и частное ; б ) делимое и делитель ; в ) делитель и частное ; г ) делимое и остаток ; д ) делитель и остаток ; е ) неполное частное и	остаток	? .
Для того чтобы найти частное и остаток , нам , во - первых , надо найти наибольшее число , кратное 2 и не превышающее 7 ( число 6 ) , затем найти неполное частное , после этого надо найти	остаток	.
227 Может ли получиться так , что равны между собой : а ) делимое и частное ; б ) делимое и делитель ; в ) делитель и частное ; г ) делимое и остаток ; д ) делитель и	остаток	; е ) неполное частное и остаток ? .
227 Может ли получиться так , что равны между собой : а ) делимое и частное ; б ) делимое и делитель ; в ) делитель и частное ; г ) делимое и	остаток	; д ) делитель и остаток ; е ) неполное частное и остаток ? .
3 Вычесть k из делимого а , в ответе -	остаток	r . 4 .
183 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают	остаток	2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
Целое число дает при делении на 4	остаток	2 , а при делении на 7 — остаток 5 .
Найдите	остаток	от деления этого числа на 28 . б ) Найдите все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
3 Вычесть k из делимого а , в ответе -	остаток	r .
Найдите остаток от деления этого числа на 28 . б ) Найдите все числа , которые при делении на 11 дают	остаток	9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
Найдите остаток от деления этого числа на 28 . б ) Найдите все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 —	остаток	2 .
Найдите неполное частное и	остаток	при делении на (-8 ) следующих чисел .
Можно найти натуральное число , которое делится на 3 . б ) Нечетные числа при делении на 2 дают	остаток	1 .
Имеется натуральное число , которое при делении на 24 дает	остаток	7
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают	остаток	45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78	остаток	0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают	остаток	1 .
Первое число при делении на 15 дает остаток 11 , а второе число при делении на 15 дает	остаток	6 .
Первое число при делении на 15 дает	остаток	11 , а второе число при делении на 15 дает остаток 6 .
183 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 2 дают	остаток	1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
Первое число при делении на 11 дает остаток 9 , а второе число при делении на 11 дает	остаток	2 .
Целое число дает при делении на 4 остаток 2 , а при делении на 7 —	остаток	5 .
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо	остаток	5 ; б ) Если разность и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р .
в ) при делении на 9 дают	остаток	7 . г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 3 .
379 Проведите классификацию множества А по остаткам от деления его элементов на b . 380 Найдите	остаток	от деления а на b . 381 Определите , какой цифрой оканчивается число .
360 Докажите утверждение : « Если натуральное число при делении на 15 дает	остаток	7 , то при делении на 3 оно даст остаток 1 » .
остаток 14 при делении на 15 . г )	остаток	21 при делении на 48 .
а ) остаток 5 при делении на 7 . б )	остаток	11 при делении на 21 .
а )	остаток	5 при делении на 7 . б ) остаток 11 при делении на 21 .
а ) при делении на 3 дает	остаток	2 , а при делении на 18 дает остаток 15 . б ) при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 21 дает остаток 12 .
Первое число при делении на 11 дает	остаток	7 , а второе число при делении на 11 дает остаток 9 .
б ) число , кратное 11 , при делении на 33 давать	остаток	4 ? .
Если на некотором шаге деления числителя m этой дроби на знаменатель n получится	остаток	0 , то дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Какой	остаток	при делении на 3 дает его квадрат ? .
Целое число при делении на 3 дает	остаток	2 .
а ) число , кратное 7 , при делении на 49 давать	остаток	27 ? .
343 Найдите	остаток	от деления 555222 на 6 .
а ) при делении на 4 дает	остаток	1 для любого целого .
Если же при делении m на n на каждом шаге деления мы получаем	остаток	, не равный 0 , то в результате деления получится бесконечная десятичная дробь .
Ответ :	остаток	r при делении на 7 чисел вида 3n равен .
329 Найдите	остаток	от деления а на b ? .
Найдите	остаток	от деления а на b .
При этом периодическое повторение остатков начинается в тот момент , когда в последовательности остатков появляется	остаток	, совпадающий с одним из уже найденных .
Любое простое число , большее 2 , при делении на 4 может иметь	остаток	либо 1 , либо 3 .
Значит , и число 332223 при делении на 7 будет иметь	остаток	3 .
Первое число при делении на 11 дает остаток 7 , а второе число при делении на 11 дает	остаток	9 .
В задаче 2 данного пункта мы получили , что остаток от деления чисел вида 3n на 7 зависит от того , какой	остаток	при делении на 6 дает показатель степени , а именно .
В задаче 2 данного пункта мы получили , что	остаток	от деления чисел вида 3n на 7 зависит от того , какой остаток при делении на 6 дает показатель степени , а именно .
Найдите	остаток	от деления 332223 на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если натуральное число при делении на 27 дает	остаток	8 , то оно не делится на 3 .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое натуральное число А дает тот же	остаток	при делении на 11 , что и разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой цифр , стоящих на нечетных местах , что и требовалось доказать .
Какой	остаток	при делении на 14 дает ab ? .
С другой стороны , заметим , что число а при делении на каждое из наших простых чисел дает	остаток	1 .
	Остаток	14 при делении на 15 . г ) остаток 21 при делении на 48 .
Первое число при делении на 9 дает	остаток	3 , а второе число при делении на 9 дает остаток 5 .
а ) при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 18 дает остаток 15 . б ) при делении на 7 дает	остаток	6 , а при делении на 21 дает остаток 12 .
а ) при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 18 дает	остаток	15 . б ) при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 21 дает остаток 12 .
в ) при делении на 9 дают остаток 7 . г ) при делении на ( -5 ) дают	остаток	3 .
362 Найдите неполное частное и	остаток	при делении на ( -11 ) следующих чисел .
а ) при делении на 3 дают остаток 2 . б ) при делении на ( -7 ) дают	остаток	6 .
Первое число при делении на 9 дает остаток 3 , а второе число при делении на 9 дает	остаток	5 .
Первое число при делении на 9 дает остаток 5 , а второе число при делении на 9 дает	остаток	3 .
Так как дни недели повторяются каждые 7 дней , то , выбрав точку отсчета , мы можем каждому целому числу , а поставить в соответствие день недели , определяемый как	остаток	от деления а на 7 .
а ) при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 18 дает остаток 15 . б ) при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 21 дает	остаток	12 .
Найдите	остаток	от деления на 17 чисел , если .
а ) при делении на 3 дают	остаток	2 . б ) при делении на ( -7 ) дают остаток 6 .
в ) Если натуральное число делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать	остаток	4 . г ) Если натуральное число при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
360 Докажите утверждение : « Если натуральное число при делении на 15 дает остаток 7 , то при делении на 3 оно даст	остаток	1 » .
313 Известно , что	остаток	от деления числа А на 17 равен а , а числа В на 17 - равен b.
а ) Число 261 679 делится на 11 . б ) Число 740 630 при делении на 13 дает	остаток	7 .
Первое число при делении на 9 дает	остаток	5 , а второе число при делении на 9 дает остаток 3 .
В прямоугольном треугольнике два угла	острые	.
С увеличением	острый	угол между графиком и осью абсцисс Ох увеличивается ( график становится « круче » ) , а с уменьшением k — уменьшается ( график более « пологий » ) .
С увеличением	острый угол	между графиком и осью абсцисс Ох увеличивается ( график становится « круче » ) , а с уменьшением k — уменьшается ( график более « пологий » ) .
27 Один из	острых	углов прямоугольного треугольника больше другого на 26 ° .
27 Один из	острых углов	прямоугольного треугольника больше другого на 26 ° .
320 В прошлом году в московском и питерском филиалах пончиковой компании Ан тона и Ксюши объем выпуска пончиков	относился	как 2 : 3 .
При этом число тигров , зебр и слонов в питомнике	относится	как 4,2 к 6,4 к 1,4 .
116 Количество сотрудников пяти филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши — московского , питерского , воронежского , казанского , сочинского —	относится	как 7,25 к 3 к 2 к 1,25 к 2,5 .
При этом количество лет их правления	относится	соответственно как .
Число однокомнатных , двухкомнатных , трехкомнатных и четырехкомнатных квартир в доме	относится	как 5,7 к 5,6 к 2,2 к 1,5 .
а ) Число мужчин , женщин и детей , занимающихся в секции тенниса ,	относится	как 3 к 5 к 9 .
а ) Число футболистов , теннисистов и волейболистов , занимающихся в спортивном обществе « Юниор » ,	относится	как 5 к 2 к 7 .
При этом число медведей , гепардов и антилоп в зоопарке	относится	как 3,5 : 5,2 : 6,3 .
а ) Расходы столовой крупного металлургического комбината на приготовление завтрака , обеда , полдника и ужина	относятся	как .
Расходы каждой из компаний на отопление склада	относятся	как 3 : 4,2 : 5 .
в ) Из четырех чисел первые три	относятся	как 0,5 : 0,3 : 2 , а четвертое составляет 15 % третьего .
Число а на 12 больше числа b . г ) Число х в 3 раза меньше числа у . д ) Модуль числа х равен 7 . е ) Числа тип	относятся	как 2:3 .
а ) Два числа	относятся	одно к другому как 5 к 7 .
А единица и натуральное число	относятся	к первоначальным понятиям теории чисел .
а ) Из четырех чисел первые три	относятся	как 1,4 : 2,6 : 7 , а четвертое составляет 25 % третьего .
Расходы каждой из компаний на электроэнергию	относятся	как .
311 Площади лесных участков номер 1 , 2 и 3	относятся	соответственно как , причем площадь третьего участка на 135 га меньше площади первого .
Оклады шеф - повара , повара и помощника повара	относятся	как 3:2 : 0,5 .
Чему равно	отношение	числа офисных работников пончиковой компании к числу работников на производстве ? .
Частотой случайного события называется	отношение	числа благоприятных исходов к общему числу проведенных испытаний .
Известно , что годовая рентабельность вложений (	отношение	дохода к сумме вложенных денег ) в этом инвестиционном фонде в эти годы была одинаковой .
Например , известное нам число пи = 3,14159265 .. , выражающее	отношение	длины окружности к ее диаметру , является одним из примеров иррациональных чисел .
Докажите , что опять получится пропорция , если : а ) поменять местами крайние члены ; б ) поменять местами средние члены ; в ) заменить каждое	отношение	обратным .
Чему была равна годовая рентабельность продаж ( процентное	отношение	прибыли за период к выручке за тот же период ) в пончиковой компании Антона и Ксюши ?
Было принято решение разделить ее между Антоном , Ксюшей и прочими акционерами в	отношении	.
446 а ) В каком	отношении	нужно смешать 50%-й и 70%-й растворы лимонной кислоты , чтобы получить 65%-й раствор лимонной кислоты ? .
в ) Для изготовления блинов берут муку , молоко , яичный порошок и прочие компоненты ( сахар , сода , соль ) в	отношении	2 к 4 к 0,75 к 0,25 .
г ) В каком	отношении	нужно смешать 20%-й и 15%-й раствор соляной кислоты , чтобы получить 17%-й раствор соляной кислоты ? .
Наследство было разделено между старшим , средним и младшим сыновьями в	отношении	.
В каком	отношении	нужно взять эти сплавы , чтобы , переплавив взятые куски вместе , получить сплав , содержащий 21 % олова ? .
В каком	отношении	нужно смешать 15%-й и 5%-й растворы сахарного сиропа , чтобы получить сироп нужной концентрации ? .
В каком	отношении	нужно взять эти сплавы , чтобы , переплавив взятые куски вместе , получить сплав , содержащий 30 % меди ? .
167 Найдите величину	отношений	.
178 Найдите величину	отношений	.
3 Вероятность события А равна	отношению	n ( А ) к n .
3 Вероятность события А равна	отношению	.
35 Сформулируйте определения : а ) правильной дроби ; б ) простого числа ; в )	отношения	; г ) пропорции ; д ) четного числа ; е ) процента .
Вычислите	отношения	.
два	отношения	; 7 )
Что показывают	отношения	?
Какие еще	отношения	можно составить ? .
Измерьте длины сторон треугольников , вычислите	отношения	.
а ) Если от загаданного рационального числа	отнять	5 , результат умножить на 7 , к полученному произведению прибавить 2 , результат разделить на 6 , а к полученному частному прибавить 4 , то снова получится загаданное число .
Точка С принадлежит	отрезку	АВ .
Таким образом , множество корней исходного уравнения представляет собой объединение всех чисел полуинтервала ) и числа 1 , то есть числовой	отрезок	.
165 Докажите , что высказывание ложно , и постройте его	отрицание	.
Истинность утверждения А доказывают тем , что показывают ложность утверждения (	отрицание	А ) .
Докажите истинные высказывания , а для ложных высказываний постройте их	отрицание	и убедитесь в истинности отрицаний .
Если высказывание ложно , постройте его	отрицание	и докажите истинность отрицания .
Если высказывание ложно , постройте его	отрицание	.
Для ложных высказываний постройте	отрицание	.
Докажите истинные высказывания , а для ложных высказываний постройте их отрицание и убедитесь в истинности	отрицаний	.
Для ложных высказываний постройте их отрицания и убедитесь в истинности	отрицаний	.
Определите истинность данных высказываний и их	отрицаний	.
Для ложных высказываний постройте отрицания и докажите истинность	отрицаний	.
Для ложных высказываний постройте их отрицания и установите истинность	отрицаний	.
Для ложных высказываний постройте их	отрицания	и установите истинность отрицаний .
Докажите истинные высказывания , а для ложных — постройте их	отрицания	.
Докажите истинные высказывания , а для ложных - постройте их	отрицания	.
Для ложных высказываний постройте	отрицания	.
Определите истинность исходного высказывания и его	отрицания	.
75 Постройте	отрицания	данных высказываний .
53 Постройте	отрицания	следующих высказываний .
Для ложных высказываний постройте их	отрицания	: а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте	отрицания	и докажите истинность отрицаний .
Если высказывание ложно , постройте его отрицание и докажите истинность	отрицания	.
Для ложных высказываний постройте их	отрицания	.
Для ложных высказывании построите их	отрицания	.
Для ложных высказываний постройте их	отрицания	и убедитесь в истинности отрицаний .
Сумма двух отрицательных рациональных чисел	отрицательна	.
сумма значении выражении и	отрицательна	.
Сумма двух модулей всегда число неотрицательное , а поэтому всегда больше	отрицательного	числа .
Четная степень	отрицательного	числа содержит четное число отрицательных множителей .
В этом случае равенство невозможно , так как получается , что неотрицательное число равно произведению положительного и	отрицательного	числа .
И поскольку неотрицательное число всегда больше	отрицательного	, то данное неравенство верно при любых значениях х.
Значит , четная степень	отрицательного	числа является числом положительным .
А нечетная степень	отрицательного	числа содержит целое число пар отрицательных множителей и еще один отрицательный множитель .
Поэтому нечетная степень	отрицательного	числа является числом отрицательным , что и требовалось доказать . .
г ) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный , то ни одно	отрицательное	число не является квадратом рационального числа .
3 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же	отрицательное	число ( выражение ) и изменить знак неравенства на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному .
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число	отрицательное	.
Разделим обе части полученного неравенства на	отрицательное	число ( -3 ) , изменив при этом знак неравенства на противоположный .
б ) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный , то ни одно	отрицательное	число — не квадрат .
Если же данные числа а и b умножить или разделить на	отрицательное	число с , знак неравенства изменится на противоположный .
Если ни одно решение неравенства не является отрицательным числом , то ни одно	отрицательное	число не является решением неравенства .
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а	отрицательное	число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
Последовательно вычитая из натурального числа а натуральное число 3 , мы получим в некоторый момент	отрицательное	число .
484 Можно ли расставить числа в таблице так , чтобы сумма в каждой строке была положительной , а в каждом столбце	отрицательной	? .
И поскольку неотрицательное число не может быть меньше или равно	отрицательному	числу , то данное неравенство всегда неверно .
И каждому из них указанное правило сопоставляет единственное число : любому положительному числу и нулю — число 1 , а любому	отрицательному	числу — число ( -1 ) .
Заметим , что сумма двух модулей всегда число неотрицательное , поэтому она не может быть меньше или равна	отрицательному	числу .
а ) Если некоторые решения уравнения х2 минус 1 равно 0 —	отрицательные	числа , то некоторые отрицательные числа — решения этого уравнения .
б ) Если все решения неравенства отрицательные числа и некоторые	отрицательные	числа — нечетные , то некоторые нечетные числа — решения неравенства .
а ) Если некоторые решения уравнения	отрицательные	числа , то некоторые отрицательные числа — решения уравнения .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х минус 1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые	отрицательные	числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х минус 1 больше 0 .
228 а ) Если некоторые	отрицательные	числа рациональные , то некоторые рациональные числа — отрицательные .
а ) Если некоторые решения уравнения х2 минус 1 равно 0 — отрицательные числа , то некоторые	отрицательные	числа — решения этого уравнения .
а ) Если некоторые решения уравнения отрицательные числа , то некоторые	отрицательные	числа — решения уравнения .
Если , то уравнение не имеет решений , так как модуль числа не может принимать	отрицательные	значения .
228 а ) Если некоторые отрицательные числа рациональные , то некоторые рациональные числа —	отрицательные	.
г ) Если все решения уравнения отрицательные числа и некоторые	отрицательные	числа четные , то некоторые четные числа не являются решениями уравнения .
г ) Если все решения уравнения	отрицательные	числа и некоторые отрицательные числа четные , то некоторые четные числа не являются решениями уравнения .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных чисел , называемых также положительными целыми числами , существуют числа , им противоположные , -	отрицательные	целые числа и 0 .
б ) Если все решения неравенства	отрицательные	числа и некоторые отрицательные числа — нечетные , то некоторые нечетные числа — решения неравенства .
г ) Если ни один квадрат рационального числа не	отрицательный	, то ни одно отрицательное число не является квадратом рационального числа .
А нечетная степень отрицательного числа содержит целое число пар отрицательных множителей и еще один	отрицательный	множитель .
б ) Если ни один квадрат рационального числа не	отрицательный	, то ни одно отрицательное число — не квадрат .
Если ни одно решение неравенства не является	отрицательным	числом , то ни одно отрицательное число не является решением неравенства .
Разность двух положительных рациональных чисел может быть числом	отрицательным	.
Модуль числа может быть	отрицательным	.
726 Определите , каким числом — положительным или	отрицательным	— является выражение .
Зададим функцию f следующим образом : « всем неотрицательным рациональным числам поставим в соответствие число 1 , а всем	отрицательным	— число ( -1 ) » .
Определите , каким числом — положительным или	отрицательным	— является выражение .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем	отрицательным	рациональным числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х минус 1 больше 0 не является	отрицательным	числом , а некоторые отрицательные числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х минус 1 больше 0 .
Поэтому нечетная степень отрицательного числа является числом	отрицательным	, что и требовалось доказать . .
При этом всегда надо помнить , что при выполнении действий над остатками применяется следующее правило : если результат сложения , вычитания , умножения остатков по некоторому модулю m стал	отрицательным	или больше m , то надо переходить к остатку от деления результата на m .
Если все натуральные числа являются целыми и ни одно натуральное число не является	отрицательным	, значит , все целые числа не являются отрицательными .
25 Определите , каким числом — положительным или	отрицательным	— является выражение .
9 Определите , каким числом — положительным или	отрицательным	— является выражение .
Если все натуральные числа являются целыми и ни одно натуральное число не является отрицательным , значит , все целые числа не являются	отрицательными	.
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество натуральных чисел до множества целых чисел , получили способы выполнения арифметических действий с	отрицательными	числами , ввели понятие степени .
А нечетная степень отрицательного числа содержит целое число пар	отрицательных	множителей и еще один отрицательный множитель .
Из них можно составить целое число пар , в каждой из которых при умножении двух	отрицательных	чисел получается положительное число .
в ) Произведение двух	отрицательных	рациональных чисел есть число положительное .
Четная степень отрицательного числа содержит четное число	отрицательных	множителей .
Тогда при неотрицательных значениях с данное неравенство не будет иметь решений , а при	отрицательных	— его решением будет любое число .
Отметьте на числовой прямой три положительных и три	отрицательных	целых числа , которые .
Сумма двух	отрицательных	рациональных чисел отрицательна .
Очевидно , что те же правила сохранятся и для	отрицательных	рациональных чисел , так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной дробью знак минус , то в записи изменится только знак .
В связи с этим возникает необходимость введения дробных и	отрицательных	чисел .
Запишите три целых	отрицательных	числа , дающих .
Шесть шаров , четыре кубика и три параллелепипеда весят 1200 г , а шесть кубиков , четыре шара и семь параллелепипедов весят 1700 г. Сколько весят кубик , шар и	параллелепипед	вместе ? .
Так , например , объем прямоугольного	параллелепипеда	есть произведение трех его измерений .
объем прямоугольного	параллелепипеда	, длина которого равна 5а дм , ширина — 3b дм , а высота — ( а плюс b ) дм .
Шесть шаров , четыре кубика и три	параллелепипеда	весят 1200 г , а шесть кубиков , четыре шара и семь параллелепипедов весят 1700 г. Сколько весят кубик , шар и параллелепипед вместе ? .
Шесть шаров , четыре кубика и три параллелепипеда весят 1200 г , а шесть кубиков , четыре шара и семь	параллелепипедов	весят 1700 г. Сколько весят кубик , шар и параллелепипед вместе ? .
кубики , шары ,	параллелепипеды	.
	Параллельная	оси абсцисс Ох .
График линейной функции , где k и b — произвольные числа , может быть получен из графика функции путем его	параллельного	переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно .
4 Провести через найденную точку пересечения прямую ,	параллельную	Ох .
2 Провести через нее прямую ,	параллельную	оси Оу .
Какие прямые	параллельны	друг другу ? .
Значит , если мы сделаем	параллельный	перенос графика на 3 единицы вверх вдоль оси Оу , то получим график .
Так как коэффициент b нашей линейной функции равен , то график функции получается из графика функции	параллельным	переносом вдоль оси Оу на 1 единицу вниз .
г ) Два поезда движутся навстречу друг другу по	параллельным	путям - первый со скоростью 60 км / ч , а второй со скоростью 90 км / ч .
Поскольку значение у зависит от х , а х мы выбираем произвольно из области определения , то х — это независимая	переменная	, или , как говорят иначе , аргумент функции , а у — зависимая переменная .
Рассмотрим теперь общий способ решения линейного уравнения вида где х —	переменная	величина .
Поскольку значение у зависит от х , а х мы выбираем произвольно из области определения , то х — это независимая переменная , или , как говорят иначе , аргумент функции , а у — зависимая	переменная	.
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если	переменная	равна 1 , то вычисление значения многочлена свелось к нахождению алгебраической суммы его коэффициентов , а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену .
Значит ,	переменная	х может принимать лишь следующие значения .
При каких значениях	переменной	истинно неравенство ? .
146 Найдите одно значение	переменной	, при котором значение многочлена равно А .
78 Упростите выражение при допустимых значениях	переменной	.
При каких значениях	переменной	указанные равенства являются истинными высказываниями ? .
Найдите значение зависимой переменной при указанных значениях независимой	переменной	.
129 Приведите пример трехчлена с одной	переменной	х , значение которого .
494 При каких значениях	переменной	х значение выражения равно а ? .
При каких значениях	переменной	значение выражения .
Докажите , что неравенство верно при всех значениях	переменной	.
128 Найдите одно значение	переменной	, при котором значение многочлена равно А .
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление значения многочлена свелось к нахождению алгебраической суммы его коэффициентов , а при нулевом значении	переменной	оно равно свободному члену .
3 Вычислить соответствующие значения второй	переменной	.
Поскольку многочлен уже записан в стандартном виде , подставим в него данные значения	переменной	п .
в ) неравенство верно при всех значениях	переменной	. г ) неравенство не имеет решений .
420 В многочлен 2у3 минус у2 плюс 5у минус 9 вместо	переменной	y подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
Докажите , что данное неравенство будет истинным при любых значениях	переменной	.
427 При каких значениях	переменной	у значение выражения равно с ? .
При каких значениях	переменной	указанные неравенства являются истинными высказываниями ? .
44 Докажите , что если к , т , n е N , то значение указанного выражения не зависит от значения	переменной	.
При каких значениях	переменной	равны значения указанных выражений ? .
417 При каких значениях	переменной	х значение выражения равно а ? .
Существуют ли значения независимой	переменной	х , при которых значение зависимой переменной у равно 3 ? .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых значение зависимой	переменной	у равно 5 ? .
Функция определена ( или задана ) , если нам известно правило соответствия и множество значений	переменной	, к которому это правило надо применять .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых значение зависимой	переменной	у равно -18 ? .
Пользуясь определением , найдите линейные уравнения с одной	переменной	среди уравнений , приведенных ниже .
Так , указанное множество значений	переменной	х не может быть описано уравнением , но может быть описано неравенствами .
Можно задать функцию , указав все значения независимой	переменной	и для каждого из них — соответствующее значение зависимой переменной .
600 Какой знак неравенства надо поставить вместо , чтобы в результате получилось неравенство , верное при всех значениях	переменной	? .
Найдите значение зависимой переменной для указанных значений независимой	переменной	а .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых значение зависимой	переменной	у равно -6 ? .
Существуют ли значения независимой	переменной	х , при которых значение зависимой переменной у равно 5 ? .
Мы уже знаем , что величина , которая может принимать различные числовые значения , называется	переменной	величиной .
Ведь тем самым мы укажем все значения	переменной	, при которых неравенство истинно .
Существуют ли значения независимой	переменной	х , при которых значение зависимой переменной у равно -5 ? .
623 Какой знак неравенства надо поставить вместо , чтобы в результате получилось неравенство , верное при всех значениях	переменной	? .
393 В многочлен х3 – 3x2 плюс 2х минус 5 вместо	переменной	х подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
268 В многочлен х2 минус 4х минус 7 вместо	переменной	x подставьте данное выражение и запишите результат как многочлен стандартного вида .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых значение зависимой	переменной	у равно 3 ? .
Теперь подставим в него указанное значение	переменной	х .
Существуют ли значения независимой переменной х , при которых значение зависимой	переменной	у равно -5 ? .
710 При каких значениях	переменной	равны значения выражений ? .
Найдите значение величины зависимой переменной при указанных значениях независимой	переменной	.
Существуют ли значения независимой	переменной	х , при которых значение зависимой переменной у равно -6 ? .
Возможные значения	переменной	t в мин образуют некоторое множество Т. При этом t не может принимать любые значения .
Заметим , что проведенные преобразования выражения для площади позволили не только упростить вычисления , но и в принципе решить эту задачу , поскольку значение	переменной	а в условии не дано .
Приведем данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с	переменной	х соберем в левой части неравенства , а числа — в правой и упростим полученные выражения .
При каких значениях	переменной	истинно неравенство .
При каких значениях	переменной	.
Можно задать функцию , указав все значения независимой переменной и для каждого из них — соответствующее значение зависимой	переменной	.
Существуют ли значения независимой	переменной	х , при которых значение зависимой переменной у равно -18 ? .
Решите уравнение , содержащее	переменную	под знаком модуля .
а )	переменную	x . б ) переменные а и b. Запишите составленный многочлен в стандартном виде и определите его степень .
После этого , используя свойства уравнения и найденное решение , можно будет выразить значения х и у через некоторую единую	переменную	величину ( обозначаемую , например , k ) , принимающую целые значения .
Величины	переменные	.
2 Определить , какие	переменные	входят в одночлен , и записать их в алфавитном порядке .
а ) переменную x . б )	переменные	а и b. Запишите составленный многочлен в стандартном виде и определите его степень .
Отдельные числа и	переменные	также являются одночленами , так как их всегда можно представить в виде произведения , например , d равно d умножить 1 , 14 равно 14 умножить а0 .
Таким образом , мы получили математическую модель , состоящую из трех уравнений и требований к	переменным	, входящим в эти уравнения .
Линейные уравнения с двумя	переменными	х и у , полученные при решении двух рассмотренных задач , в общем виде можно записать так .
Выберите из предложенных зависимостей между	переменными	у и х линейные функции , запишите их в виде и определите коэффициенты k и b. Найдите область определения и область значений этих функций .
Так , например , если вы решили проехать на автобусе несколько остановок , то скорость автобуса , масса бензина в его баке и количество пассажиров будут	переменными	величинами , а количество его колес и окон в течение поездки не изменится , останется постоянным .
470 По таблице установите возможную формулу зависимости между	переменными	х и у и постройте график зависимости у от х на координатной плоскости .
136 Прочитайте высказывания с	переменными	и запишите их на математическом языке .
Если равенство с	переменными	не является тождеством , то оно верно лишь при некоторых значениях букв .
В тождествах с	переменными	вместо знака часто используют знак для того чтобы подчеркнуть , что данное равенство верно при всех значениях переменных .
734 Найдите значение выражения при указанных значениях	переменных	.
332 Найдите значение выражения при данных значениях	переменных	: если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях переменных .
263 Найдите значение выражения при данных значениях	переменных	.
Во всех этих примерах мы можем точно и однозначно находить конкретные значения	переменных	величин с помощью изученных нами формул — в данном случае формул пути , стоимости , работы .
702 Найдите значение выражения при указанных значениях	переменных	.
Среди	переменных	величин различают независимые и зависимые величины .
Итак , пользуясь правилами равносильных преобразований , мы фактически доказали , что при всех допустимых значениях	переменных	( a , b , с , d ) верно равенство .
Найдите значение выражения при данных значениях	переменных	.
Значит , при указанных значениях	переменных	фигура существует .
264 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
Поэтому все значения	переменных	х и у , удовлетворяющие данному ограничению , и будут допустимыми значениями .
Таким образом , мы получили , то есть при всех допустимых значениях	переменных	х и у , верно равенство , что и требовалось доказать . .
111 Выполните указанные действия ( при допустимых значениях	переменных	) и докажите , что в результате их получится одночлен .
460 Найдите числа , обратные данным при допустимых значениях	переменных	.
461 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
462 Определите , при каких значениях	переменных	имеют смысл выражения .
463 Определите при допустимых значениях	переменных	, во сколько раз ? .
731 Определите степень , старший и свободный члены многочлена и найдите его значение при указанных значениях	переменных	.
Найдите допустимые значения	переменных	и докажите тождество .
391 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
756 Найдите значение выражения при данных значениях	переменных	.
3 Найти и записать степени	переменных	.
213 Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой прямой с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях	переменных	.
А значит , мы не смогли бы вычислить значение выражения 4с умножить ( а плюс 26 ) минус 2с умножить 2а прямой подстановкой в него значений	переменных	.
220 Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой прямой с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях	переменных	.
604 Сократите дроби при допустимых значениях	переменных	.
Степенью ненулевого одночлена называется сумма показателей степеней входящих в одночлен	переменных	.
715 Найдите значение выражения при указанных значениях	переменных	.
571 Сократите дроби при допустимых значениях	переменных	.
332 Найдите значение выражения при данных значениях переменных : если если если если . 333 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
643 Сократите дроби при допустимых значениях	переменных	.
61 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
178 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
Представьте выражение в виде степени с показателем , отличным от 1 , при целых значениях	переменных	.
517 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
204 Найдите значение выражения при указанных значениях	переменных	.
450 При допустимых значениях	переменных	докажите тождество .
101 Выполните указанные действия над одночленами ( при допустимых значениях	переменных	) и докажите , что в результате их получится одночлен .
449 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
Найдите его значение при указанных значениях	переменных	.
757 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
464 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	, вынося при необходимости за скобки общий множитель .
467 Найдите допустимые значения	переменных	и докажите тождества .
Если значения всех	переменных	, входящих в запись многочлена , равны 1 , то значение многочлена равно алгебраической сумме всех его коэффициентов .
Значит , значения всех членов многочлена при единичных значениях	переменных	будут равны их коэффициентам .
302 Найдите значение выражения при данных значениях	переменных	.
419 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
Если значения всех	переменных	, входящих в запись многочлена , равны 0 , то значение многочлена равно его свободному члену .
Значит , при подстановке в многочлен вместо	переменных	нуля значения всех его членов ( кроме свободного ) будут равны 0 .
730 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
495 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
122 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
504 Найдите допустимые значения	переменных	и докажите тождества .
418 Найдите значение выражения при данных значениях	переменных	.
416 При каких значениях	переменных	имеют смысл выражения .
223 Найдите значение выражения при указанных значениях	переменных	.
549 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
548 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
310 Упростите выражения при допустимых значениях	переменных	.
477 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
Сократите дроби при допустимых значениях	переменных	.
493 Определите , при каких значениях	переменных	имеют смысл выражения .
При решении разнообразных задач нам часто приходится вычислять значение многочлена при известных значениях входящих в него	переменных	.
86 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
Но прежде убедимся , что при данных значениях	переменных	указанная фигура существует .
Определите , при каких значениях	переменных	имеет смысл выражение .
390 Найдите значение выражения при данных значениях	переменных	.
448 Найдите значение выражения при данных значениях	переменных	: при а равно 11,7 .
426 При каких значениях	переменных	имеют смысл выражения .
Такие значения	переменных	называют решениями неравенства .
476 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
3 При рациональных значениях	переменных	запишите буквенное выражение короче , используя понятие степени .
587 Сократите дроби при допустимых значениях	переменных	.
477 Определите , при каких значениях	переменных	имеют смысл выражения .
481 Найдите допустимые значения	переменных	и докажите тождества .
287 Упростите выражения при допустимых значениях	переменных	.
Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	и найдите его значение .
672 Сократите дроби при допустимых значениях	переменных	.
И тогда появляется необходимость найти те значения	переменных	, при подстановке которых неравенство превращается в истинное высказывание .
Но есть неравенства , которые при одних значениях	переменных	истинны , а при других ложны .
237 Найдите значение выражения при указанных значениях	переменных	.
675 Докажите , что значение выражения не зависит от значений	переменных	.
478 Используя равносильные преобразования , упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
508 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	( n N ) .
362 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
445 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
654 Докажите , что многочлен принимает только неотрицательные значения при любых числовых значениях	переменных	.
Произведение , состоящее из числовых множителей и множителей -	переменных	, называется одночленом .
Для этого составим таблицу соответствующих значений	переменных	X и у .
495 Сократите дробь при допустимых значениях	переменных	.
371 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
42 Запишите выражение в виде степени при допустимых значениях	переменных	.
43 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
200 При каких значениях	переменных	данные выражения имеют смысл ?
2 Используя свойства делимости , найти все возможные значения одной из	переменных	.
63 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
1 Найти области значений	переменных	.
Таким образом , каждый одночлен может быть представлен в виде произведения своего коэффициента и степеней входящих в него	переменных	.
650 Докажите , что значение выражения не зависит от значений	переменных	.
Упростите их при допустимых значениях	переменных	.
51 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
77 Запишите выражение в виде степени при допустимых значениях	переменных	.
191 При каких значениях	переменных	данные выражения имеют смысл ?
Однако далеко не всегда при поиске целых решений таких уравнений удается выполнить второй шаг — отыскать все возможные значения какой - либо из	переменных	.
170 Упростите выражение при допустимых значениях	переменных	.
613 Сократите дроби при допустимых значениях	переменных	.
191 Найдите значение выражения при указанных значениях	переменных	.
В тождествах с переменными вместо знака часто используют знак для того чтобы подчеркнуть , что данное равенство верно при всех значениях	переменных	.
Мы	перемножили	сумму и разность двух выражений , и здесь нас ждала удача .
Теперь	перемножим	все наши простые числа и прибавим к их произведению число 1 .
3 Для того чтобы возвести степень в степень , можно основание оставить без изменений , а показатели	перемножить	.
4 Для того чтобы возвести в степень произведение , можно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты	перемножить	.
155 Можно ли нарисовать замкнутую ломаную линию , состоящую из 15 звеньев , каждое звено которой	пересекается	ровно с одним из остальных звеньев ? .
Все указанные подмножества не	пересекаются	друг с другом , так как по теореме делимости при делении любого целого числа на 4 не может возникнуть два различных остатка ( единственность ) .
Какие из этих прямых	пересекаются	?
Запишите подмножество В четных чисел и подмножество С нечетных чисел множества А. Найдите объединение и	пересечение	подмножеств В и С .
Найдите объединение и	пересечение	множеств А и В , нарисуйте для них диаграмму Эйлера - Венна .
383 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение .
211 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение .
Найдите объединение и	пересечение	множеств А и В . б )
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение/. а ) Сколько существует трехзначных чисел , в записи которых встречаются только цифры 3 , 4 , 8 , 9 ?
525 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение .
Поскольку k должно удовлетворять обоим условиям одновременно , то следует взять	пересечение	двух полученных множеств .
Найдите объединение и	пересечение	множеств А и В. Постройте диаграмму Эйлера - Венна и отметьте на ней все элементы данных множеств .
661 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение .
7 Найти	пересечение	полученных множеств решений и соответствующих числовых промежутков .
7 Найдем	пересечение	каждого числового промежутка и соответствующего ему множества решений .
Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение .
506 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение .
238 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение .
199 Нарисуйте диаграмму Эйлера - Венна для множеств А и В. Найдите их	пересечение	и объединение .
Найдите объединение и	пересечение множеств	А и В , нарисуйте для них диаграмму Эйлера - Венна .
Найдите объединение и	пересечение множеств	А и В. Постройте диаграмму Эйлера - Венна и отметьте на ней все элементы данных множеств .
Найдите объединение и	пересечение множеств	А и В . б )
Назовите множество , являющееся	пересечением	множеств А и В .
Назовите множество , являющееся	пересечением множеств	А и В .
На их пересечении мы получаем необходимую для нас информацию : в августе 2000 г. среднемесячная температура воздуха была равна +19 ° С . 2 ) Для того чтобы определить , в какие месяцы среднемесячная температура воздуха была равна +14 ° С , находим все клетки таблицы со значением температуры , равным +14 ° С , и определяем , на	пересечении	какого столбца и какой строки они находятся .
Ведь числа в квадрате расположены на	пересечении	строк , столбцов и диагоналей .
На их	пересечении	мы получаем необходимую для нас информацию : в августе 2000 г. среднемесячная температура воздуха была равна +19 ° С . 2 ) Для того чтобы определить , в какие месяцы среднемесячная температура воздуха была равна +14 ° С , находим все клетки таблицы со значением температуры , равным +14 ° С , и определяем , на пересечении какого столбца и какой строки они находятся .
Не выполняя построение графика функции , найдите координаты его точек	пересечения	с осями координат Ох и Оу и после этого постройте график .
4 Провести через найденную точку	пересечения	прямую , параллельную Ох .
Не выполняя построение графика функции , найдите координаты его точек	пересечения	с осями координат Ох и Оу .
На одной координатной плоскости Оху постройте графики линейных функций и найдите координаты их точки	пересечения	.
Постройте ломаную ABCD и найдите приблизительные координаты точек ее	пересечения	с осями Ох и Оу .
5 Определить ординату этой точки	пересечения	.
3 Найти точку	пересечения	этой прямой с графиком функции .
Проведите ломаную ABCDEFGH и определите координаты точек ее	пересечения	с осями координат Ох и Оу . д ) Как , не выполняя построения , по координатам точки определить , принадлежит ли она оси координат , и если да , то какой ? .
	Перестановка	слагаемых .
Так , поскольку при	перестановке	слагаемых их сумма не изменяется .
Область математики , которая изучает общие законы комбинирования различных объектов — их	перестановки	, сочетания , размещения , — называется комбинаторикой .
Шифр	перестановки	.
Расшифруйте высказывание древнегреческого философа Платона , зная , что оно зашифровано шифром	перестановки	с ключом 3572461 .
Зашифруйте шифром	перестановки	с ключом 78145236 высказывание известного английского ученого и философа Роджера Бэкона : тот , кто не знает математики , не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества .
Зашифруем с помощью шифра	перестановки	следующую фразу : ум заключается не только в знании , но и в умении прилагать знание на деле .
Одним из видов шифров , позволяющих усложнить расшифровку , являются шифры	перестановки	.
Расшифруйте высказывание крупнейшего французского философа , писателя и историка Вольтера , зная , что оно зашифровано шифром	перестановки	с ключом 514362 : инешбьуедвлеотсоббхзинкетиешдйнааьллртгыодбхо .
Если кто - нибудь « доказывает » , например , равенство ссылаясь на то , что от	перестановки	слагаемых сумма не меняется , то доказывающий лишь повторяет то , что должен доказать .
Зашифруйте шифром	перестановки	с ключом 951427836 высказывание известного немецкого философа Фридриха Ницше : кто хочет научиться летать , тот должен сперва научиться стоять , и ходить , и бегать , и лазить , и танцевать : нельзя сразу научиться полету .
Если группа достаточно длинная , то число возможных	перестановок	букв достаточно велико .
Какой может быть длина этой стороны , если	периметр	этого прямоугольника меньше 60 см ? .
Сторону квадрата изменили так , что его	периметр	сначала увеличился на 60 % , а затем уменьшился на 60 % .
Найдите	периметр	прямоугольника , ширина которого на 8 см меньше длины , а площадь равна 240 см2 .
Какой может быть длина этой стороны , если	периметр	этого прямоугольника меньше 24 см ? .
Какой может быть длина большей стороны , если	периметр	этого прямоугольника меньше 32 см ? .
Длина прямоугольника равна 5 см. Какой должна быть ширина этого прямоугольника , чтобы	периметр	прямоугольника был меньше 18 см ? .
Найдите	периметр	прямоугольника , длина которого на 8 см больше ширины , а площадь равна 128 см2 .
22 Длина прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого прямоугольника , если его	периметр	меньше периметра прямоугольника , длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
Найдите	периметр	прямоугольника , длина которого на 6 см больше ширины , а площадь равна 72 см2 .
Найдите	периметр	прямоугольника , длина которого на 12 см больше ширины , а площадь равна 133 см2 .
22 Длина прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого прямоугольника , если его периметр меньше	периметра	прямоугольника , длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
Чему была равна годовая рентабельность продаж ( процентное отношение прибыли за	период	к выручке за тот же период ) в пончиковой компании Антона и Ксюши ?
Чему была равна годовая рентабельность продаж ( процентное отношение прибыли за период к выручке за тот же	период	) в пончиковой компании Антона и Ксюши ?
Сначала представим данную дробь в виде , аналогичном рассмотренному в примере 1 , то есть так , чтобы	период	начинался сразу после запятой .
Какие автобусы отходят от автовокзала в	период	с 14:00 до 19:00 ? .
5 ) Какие рейсы улетают из Домодедово в	период	с 16:00 до 22:00 ? .
из числа , образованного цифрами , стоящими до второго	периода	, вычесть число , образованное цифрами , стоящими до первого периода , и записать эту разность как числитель .
Цифры 0629 , стоящие до второго	периода	, образуют число 629 .
Выделим теперь цифры , стоящие до второго	периода	: .
До первого	периода	в этом числе стоит цифра 0 .
из числа , образованного цифрами , стоящими до второго периода , вычесть число , образованное цифрами , стоящими до первого	периода	, и записать эту разность как числитель .
В	периоде	три цифры , поэтому в знаменателе записываем три девятки .
в знаменателе записать цифру девять столько раз , сколько цифр в	периоде	, и после девяток записать столько нулей , сколько цифр между запятой и первым периодом .
Тем не менее рассмотрим на примерах идеи , используемые при его доказательстве , и на этой основе сформулируем ( без доказательства ) общее правило представления положительной	периодической дроби	в виде обыкновенной .
Таким образом , любое рациональное число может быть записано в виде бесконечной	периодической дроби	, и обратно .
Пример 1 Представьте	периодическую дробь	0,(25 ) в виде обыкновенной .
Пример 2 Представьте	периодическую дробь	2,1(36 ) в виде обыкновенной .
Теорема о	периодичности	остатков .
Действительно , если бы данная дробь была периодической с	периодом	, то в ней с некоторого момента одна и та же группа из n цифр должна была бы периодически повторяться .
А значит , ее можно записать и в виде периодической десятичной дроби с	периодом	0 , например .
в знаменателе записать цифру девять столько раз , сколько цифр в периоде , и после девяток записать столько нулей , сколько цифр между запятой и первым	периодом	.
Такая группа цифр называется	периодом	бесконечной десятичной дроби и при записи может заключаться в круглые скобки .
И так как между	периодом	и запятой нет цифр , то после девяток нет нулей .
Быстро определить наибольшие и наименьшие значения величин , сравнить данные в разные	периоды	времени , а также ответить на многие аналогичные вопросы .
Например , известное нам число	пи
Определите масштаб рисунка художника и реальную высоту нарисованных художником	пирамид	с точностью до единиц метра .
Так , со временную пирамиду , находящуюся во Франции у входа в Лувр , высота которой равна 21,7 м , он изобразил	пирамидой	высотой 2 дм .
Так , со временную	пирамиду	, находящуюся во Франции у входа в Лувр , высота которой равна 21,7 м , он изобразил пирамидой высотой 2 дм .
193 а ) Художник нарисовал известные	пирамиды	, сохранив их пропорции .
Высота крупней шей в Мексике	пирамиды	Чолула - 7,1 дм , а известной египетской пирамиды Хеопса - 12,8 дм .
Высота крупней шей в Мексике пирамиды Чолула - 7,1 дм , а известной египетской	пирамиды	Хеопса - 12,8 дм .
Высота	пирамиды	Цестия , находящейся в Риме , на его рисунке получилась равной 3,3 дм .
Геометрия Евклида - это геометрия	плоского	пространства , а геометрия Лобачевского - геометрия искривленного пространства , похожего на воронку .
260 Постройте на	плоскости	прямоугольную систему координат Оху и отметьте точки с координатами .
230 Изобразите на координатной	плоскости	Oxy множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Проанализируйте расположение на координатной	плоскости	каждого из построенных графиков и их взаимное расположение .
Запишите формулу зависимости объема воды в бассейне V в м3 от времени его наполнения t в часах и постройте график этой зависимости на координатной	плоскости	OVt .
718 На координатной	плоскости	Oxy изобразите множество точек , удовлетворяющих неравенствам .
241 Изобразите на координатной	плоскости	Oxy множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Например , в классической геометрии основными понятиями являются понятия точки , прямой и	плоскости	.
Найдите коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения данного графика на координатной	плоскости	.
628 На координатной	плоскости	Oxy постройте множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
271 а ) Постройте на	плоскости	прямоугольную систему координат и отметьте точки с координатами А ( 2 ; 5 ) , В ( 5 ; -5 ) , С ( -4 ; 5 ) , D ( -5 ; -7 ) , Е ( 4 ; 8) , F ( -4 ; -5 ) .
5 Построим на координатной	плоскости	Ost полученные точки .
Пользуясь алгоритмом построения графика прямой пропорциональности , постройте на одной координатной	плоскости	графики зависимости у kx , если .
Изобразите на координатной	плоскости	множество точек , координаты которых удовлетворяют равенству .
Расположение графика функции на координатной	плоскости	зависит от знака коэффициента k. Так , если , то знаки соответствующих значений х и у всегда одинаковы , поэтому график располагается в I и III координатных четвертях .
На координатной	плоскости	Оху изобразите множество точек , удовлетворяющих неравенству .
В одной координатной	плоскости	постройте графики линейных функций : Для каждой функции определите значения коэффициентов k и b .
609 На координатной	плоскости	Oxy постройте множество точек , заданных таблицей .
Постройте на одной координатной	плоскости	Оху графики .
Запишите формулу зависимости пути велосипедиста s в км от времени его движения t в часах и постройте график этой зависимости на координатной	плоскости	Ost . б ) Бассейн в течение первых 4 часов наполняли со скоростью 30 м3 в час , в течение следующих 2 часов скорость наполнения увеличили до 40 м3 в час , а последние 2 часа он наполнялся со скоростью 50 м3 в час .
Постройте на одной координатной	плоскости	графики функций , два графика прямой пропорциональности , один из которых проходит через точку А , а другой — через точку В.
Запишите формулу зависимости пути пешехода s ( в километрах ) от времени его движения t ( в часах ) и постройте график этой зависимости на координатной	плоскости	Ost .
Запишите формулу зависимости длины отремонтированной дороги s ( в км ) от времени работы бригады t ( в днях ) и постройте график этой зависимости на координатной	плоскости	Ost .
Какое минимальное количество точек нужно отметить на координатной	плоскости	для построения графика прямой пропорциональности ?
Построим теперь с помощью данного алгоритма на координатной	плоскости	Ost график нашей зависимости s от t .
Постройте на одной координатной	плоскости	графики трех данных функций .
1 Отметить на координатной	плоскости	Оху точку О с координатами ( 0 ; 0 ) .
Построенные таким образом точки	плоскости	образуют множество точек , называемое графиком функции .
На одной координатной	плоскости	Оху постройте графики линейных функций и найдите координаты их точки пересечения .
5 Отметить на координатной	плоскости	Оху точку В с координатами ( х2 ; у2 ) .
Для каждой из выбранных функций назовите коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения ее графика на координатной	плоскости	.
Определите знаки k u b , если график линейной функции расположен в следующих четвертях координатной	плоскости	: а ) в I , II и III четвертях ; в ) в I , III и IV четвертях ; б ) в I , II и IV четвертях ; г ) во II , III и IV четвертях .
4 Отметить на координатной	плоскости	Оху точку А с координатами ( x1 ; у1 ) .
470 По таблице установите возможную формулу зависимости между переменными х и у и постройте график зависимости у от х на координатной	плоскости	.
Построить на координатной	плоскости	Оху полученные точки .
Запишите формулу зависимости температуры воздуха в сауне Т в ° С от времени его нагревания t в минутах и постройте график этой зависимости на координатной	плоскости	OTt .
Запишите формулу зависимости количества выпущенных рабочим деталей n от времени его работы t в часах и постройте график этой зависимости на координатной	плоскости	Ont . г ) Температура воздуха в сауне до нагревания была равна 20 ° С. После того как воздух в сауне начали нагревать , температура его повышалась в течение первых 10 минут на 2 ° С в минуту , а в течение следующих 15 минут — на 3 ° С в минуту .
608 На координатной	плоскости	Oxy постройте множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
5 Построим на координатной	плоскости	Оху полученные точки .
Пользуясь алгоритмом построения графика прямой пропорциональности , постройте на одной координатной	плоскости	графики зависимости , если .
Постройте все данные графики на одной координатной	плоскости	и проверьте правильность своих рассуждений .
Выполните классификацию множества точек Т по их принадлежности квадрантам координатной	плоскости	.
б ) Множество точек координатной	плоскости	Т состоит из элементов .
Запишите формулу зависимости пути s туристов в км от времени их движения t в часах и постройте график этой зависимости на координатной	плоскости	Ost . б ) Бассейн в течение первых 2 часов наполнялся со скоростью 2 м3 в час .
Определите коэффициент пропорциональности функции , проходящей через точку А. Опишите расположение ее графика в координатной	плоскости	.
На координатной	плоскости	Оху изобразите множество точек , удовлетворяющих неравенствам .
Может ли график линейной функции располагаться на координатной	плоскости	только : а ) в I и II четвертях ; в ) в I и IV четвертях ; д ) во II и IV четвертях .
704 На координатной	плоскости	Oxy изобразите множество точек , удовлетворяющих неравенствам .
Постройте на одной координатной	плоскости	графики функций .
Запишите формулу зависимости длины пути s ( в км ) , пройденного туристом , от времени t ( в часах ) и постройте график этой зависимости на координатной	плоскости	Ost .
Затем отметим точки с вычисленными координатами ( x ; у ) на координатной	плоскости	Оху .
767 На координатной	плоскости	Oxy изобразите множество точек , удовлетворяющих неравенствам .
На координатной	плоскости	Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции .
Сравните полученный вами алгоритм с алгоритмом , приведенным на стр. учебника , и примените его для построения на координатной	плоскости	Ost графика движения пешехода в рассматриваемой задаче .
На координатной	плоскости	Оху постройте множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам .
4 Отметить на координатной	плоскости	Оху точку А с координатами у , ) .
265 а ) Сколько квадрантов имеет координатная	плоскость	?
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме	площадей	составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
Тогда площадь получившейся фигуры будет равна разности	площадей	большого и маленького квадратов то есть а2 минус b2 .
Сумма длин сторон двух квадратов равна 20 см , а разность их	площадей	равна 40 см2 .
311 Площади лесных участков номер 1 , 2 и 3 относятся соответственно как , причем площадь третьего участка на 135 га меньше	площади	первого .
Заметим , что проведенные преобразования выражения для	площади	позволили не только упростить вычисления , но и в принципе решить эту задачу , поскольку значение переменной а в условии не дано .
На первом , втором и третьем участках вырубили соответственно 15 % , 10 % и 5 % от их	площади	.
Например , сторона квадрата не прямо пропорциональна его	площади	: если увеличить сторону квадрата в 2 раза , его площадь увеличится не в 2 , а в 4 раза .
На какой	площади	был вырублен лес ? .
Каждые два ковра перекрываются на	площади	1,5 м2 , причем 0,5 м2 из этих 1,5 м2 приходится на участок , перекрываемый всеми тремя коврами .
Введено в эксплуатацию общей	площади	жилых домов и общежитий , в млн м2 ( по состоянию на конец года ) .
Ведь далеко не всегда значения длины ,	площади	, объема , массы , времени , температуры и т.д. выражаются натуральными числами .
Пользуясь правилом умножения одночлена на многочлен , упростим выражение для нахождения	площади	фигуры .
Теперь вычислим значение	площади	при 0 меньше а меньше 10 , b равно 5 , с равно 3 ( см ) .
Прямоугольный участок земли ,	площадь	которого равна 2700 м2 , изображен на плане .
Чему равна реальная	площадь	этого участка , если большая сторона прямоугольника равна на плане 7,5 см , а меньшая составляет от большей ? .
459| На полу площадью 12 м2 лежат три ковра , площадь первого из них равна 5 м2 ,	площадь	второго - 4 м2 , а третьего - 3 м2 .
459| На полу площадью 12 м2 лежат три ковра ,	площадь	первого из них равна 5 м2 , площадь второго - 4 м2 , а третьего - 3 м2 .
Чему равна реальная	площадь	этого участка , если бóльшая сторона прямоугольника равна на плане 5,6 см , а меньшая составляет от большей ? .
Так как изображение выполнено в масштабе 1 к 200 , то реальная	площадь	дачного участка равна .
Найдите периметр прямоугольника , ширина которого на 8 см меньше длины , а	площадь	равна 240 см2 .
Если бы его длину уменьшили на 7 м , а ширину увеличили на 7 м , то площадь получившегося участка стала бы в 2 раза меньше , чем	площадь	исходного , увеличенная на 2 м2 .
Вычислим ее	площадь	на плане .
Если бы его длину уменьшили на 5 м , а ширину увеличили на 5 м , то площадь получившегося участка стала бы в 2 раза меньше , чем	площадь	исходного , увеличенная на 78 м2 .
Общая	площадь	, млн .
Так , пройденный путь зависит от скорости и времени движения ,	площадь	круга зависит от его диаметра , площадь квадрата зависит от длины его стороны и т .
Тогда	площадь	получившейся фигуры будет равна разности площадей большого и маленького квадратов то есть а2 минус b2 .
Найдите длину данного прямоугольника , если его	площадь	равна 9 см2 .
Аналогично	площадь	второго квадрата , с одной стороны , равна а2 , а с другой — сумме ( а минус b)2 плюс ( ab минус b2 ) плюс ( ab минус b2 ) плюс b2 .
Как и на сколько процентов изменилась его	площадь	? .
Если эти условия выполняются , то	площадь	заштрихованной фигуры равна .
Например , сторона квадрата не прямо пропорциональна его площади : если увеличить сторону квадрата в 2 раза , его	площадь	увеличится не в 2 , а в 4 раза .
а ) На прямоугольном участке земли , длина которого на 18 м больше его ширины , построили дом , занимающий	площадь	210 м2 .
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны ,	площадь	этого прямоугольника равна произведению длин его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
Найдите длину этого участка , если известно , что	площадь	участка , не занятая домом , равна 232 м2 . б )
Но ведь это одна и та же	площадь	, поэтому .
Нам известно , что	площадь	прямоугольника равна произведению его длины и ширины .
Найдите длину данного прямоугольника , если его	площадь	равна 9 см2 » .
Так , пройденный путь зависит от скорости и времени движения , площадь круга зависит от его диаметра ,	площадь	квадрата зависит от длины его стороны и т .
Чему равна	площадь	этого участка земли ? .
Чему равна	площадь	пола , не покрытая ни одним ковром ? .
г ) Каждую сторону квадрата увеличили на 3 см. При этом его	площадь	увеличилась на 51 см2 .
Найдите	площадь	этого дачного участка , если известно , что изображение выполнено в масштабе 1 к 200 и 0 см меньше а меньше 10 см , b равно 5 см , с равно 3 см .
Так , например , умножив ширину прямоугольника , равную 5 см , на его длину , равную 6 см , мы получим	площадь	прямоугольника , выраженную в квадратных сантиметрах .
764 а ) На прямоугольном участке земли , длина которого на 16 м больше его ширины , построили дом , занимающий	площадь	140 м2 .
Найдите периметр прямоугольника , длина которого на 6 см больше ширины , а	площадь	равна 72 см2 .
Найдите периметр прямоугольника , длина которого на 8 см больше ширины , а	площадь	равна 128 см2 .
Если бы его длину уменьшили на 5 м , а ширину увеличили на 5 м , то	площадь	получившегося участка стала бы в 2 раза меньше , чем площадь исходного , увеличенная на 78 м2 .
Найдите длину этого участка , если известно , что	площадь	участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины .
Но точно такую же	площадь	имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
Прямоугольный участок земли ,	площадь	которого равна 30 000 м2 , изображен на плане .
Найдите длину этого участка , если известно , что	площадь	участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 6 м больше его ширины .
Чему равна реальная	площадь	этого участка , если большая сторона прямоугольника равна на плане 9,3 см , а меньшая составляет от большей ? .
Найдите длину этого участка , если известно , что	площадь	участка , не занятая домом , равна 70 м2 . б )
694 а ) На прямоугольном участке земли , длина которого на 10 м больше его ширины , построили дом , занимающий	площадь	100 м2 .
Если бы его длину уменьшили на 7 м , а ширину увеличили на 7 м , то	площадь	получившегося участка стала бы в 2 раза меньше , чем площадь исходного , увеличенная на 2 м2 .
57 а ) Докажите , что если сторону квадрата увеличить в n раз , то его	площадь	увеличится в n2 раз .
311 Площади лесных участков номер 1 , 2 и 3 относятся соответственно как , причем	площадь	третьего участка на 135 га меньше площади первого .
Чему равна реальная	площадь	этого участка , если бόльшая сторона прямоугольника равна на плане 5,6 см , а меньшая составляет от бόльшей ?
189 а )	площадь	прямоугольника , ширина которого равна ( m плюс n ) м , а длина равна 2k м . б )
Измерения показали , что на плане	площадь	арендуемого помещения прямоугольной формы равна 42 см2 .
План второго помещения был выполнен в масштабе 1 : 200 , а его	площадь	на плане - 250 см2 .
709 а ) На прямоугольном участке земли , длина которого на 6 м больше его ширины , построили дом , занимающий	площадь	120 м2 .
Найдите периметр прямоугольника , длина которого на 12 см больше ширины , а	площадь	равна 133 см2 .
Длина прямоугольника и его	площадь	при неизменной ширине .
459| На полу	площадью	12 м2 лежат три ковра , площадь первого из них равна 5 м2 , площадь второго - 4 м2 , а третьего - 3 м2 .
В обычной жизни мы постоянно сталкиваемся с разнообразными величинами : температурой , стоимостью , массой , количеством предметов , длиной ,	площадью	, объемом и т .
а ) 723- 443 делится на 7 . б ) 2153	плюс	943 делится на 3 .
Сравните выражения : ( а плюс b)(с	плюс	d ) и х(с плюс d ) .
И действительно , если нам надо будет , например , разложить на множители многочлен а3 плюс 3а2b	плюс	3ab2 4- b3 , то , вспомнив формулу куба суммы , мы сразу напишем требуемое разложение .
И действительно , если нам надо будет , например , разложить на множители многочлен а3	плюс	3а2b плюс 3ab2 4- b3 , то , вспомнив формулу куба суммы , мы сразу напишем требуемое разложение .
Сколько км проплыла эта яхта , если на прохождение дистанции она затратила 2 t	плюс	3 часа ? .
304 Представьте выражение в виде А2	плюс	с , где А — двучлен , а c — число .
в ) 793	плюс	953 делится на 58 . г ) 4243 минус 3183 делится на 53 .
Аналогично площадь второго квадрата , с одной стороны , равна а2 , а с другой — сумме ( а минус b)2 плюс ( ab минус b2 ) плюс ( ab минус b2 )	плюс	b2 .
176 Даны многочлены : К , М и N. Запишите в стандартном виде многочлен К минус М	плюс	2N , если .
Сравните выражения : ( а плюс b)(с плюс d ) и х(с	плюс	d ) .
а ) Квадрат суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа ,	плюс	удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
Указание : сначала сделайте замену t равно а2 плюс 3а	плюс	4 и преобразуйте выражение .
Указание : сначала сделайте замену t равно а2	плюс	3а плюс 4 и преобразуйте выражение .
476 Докажите , что значение выражения а ) 683 минус 243 делится на 11 . б ) 3263	плюс	543 делится на 38 .
232 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из чисел : а , c , а	плюс	c , а минус c , 2а плюс c , 2а минус c делится на 5 .
Аналогично площадь второго квадрата , с одной стороны , равна а2 , а с другой — сумме ( а минус b)2 плюс ( ab минус b2 )	плюс	( ab минус b2 ) плюс b2 .
а ) квадрат двучлена 3х	плюс	2 на 21 больше квадрата двучлена 3х минус 5 . б )
775 Докажите , что . a ) 515	плюс	513 делится на 13 . б ) 163 минус 45 делится на 3 .
в ) 973	плюс	933 делится на 19 .
159 Найдите сумму многочленов А	плюс	В , располагая слагаемые « в столбик » , если .
а ) Квадрат суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел ,	плюс	квадрат второго числа .
Даны многочлены А равно а12	плюс	а — 3и В равно -а2 плюс 6 .
394 а ) Найдите значение выражения а3	плюс	b3 , если известно , что а плюс b равно -6 и ab равно 3,5
394 а ) Найдите значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что а	плюс	b равно -6 и ab равно 3,5
261 Какое выражение надо прибавить к ( а минус b)2 , чтобы получить ( а	плюс	6)2 ? .
Даны многочлены А равно а12 плюс а — 3и В равно -а2	плюс	6 .
Составьте сумму А	плюс	В данных многочленов и запишите ее как многочлен стандартного вида .
251 В формулы ( а плюс b)2 равно а2 плюс 2ab плюс b2 n ( а минус b)2 равно а2 - 2ab	плюс	b2 подставьте b равно а , b равно 2а , b равно 3а и убедитесь в истинности полученных равенств .
Составьте сумму Р	плюс	( -Q ) и разность Р - Q данных многочленов .
251 В формулы ( а плюс b)2 равно а2 плюс 2ab	плюс	b2 n ( а минус b)2 равно а2 - 2ab плюс b2 подставьте b равно а , b равно 2а , b равно 3а и убедитесь в истинности полученных равенств .
Площадь первого квадрата , с одной стороны , равна ( а	плюс	b)2 , а с другой стороны , равна а2 плюс b2 плюс ab плюс ab .
Площадь первого квадрата , с одной стороны , равна ( а плюс b)2 , а с другой стороны , равна а2	плюс	b2 плюс ab плюс ab .
Запишите выражения Р	плюс	( -Q ) и Р - Q как многочлены стандартного вида и сравните полученные результаты .
251 В формулы ( а плюс b)2 равно а2	плюс	2ab плюс b2 n ( а минус b)2 равно а2 - 2ab плюс b2 подставьте b равно а , b равно 2а , b равно 3а и убедитесь в истинности полученных равенств .
251 В формулы ( а	плюс	b)2 равно а2 плюс 2ab плюс b2 n ( а минус b)2 равно а2 - 2ab плюс b2 подставьте b равно а , b равно 2а , b равно 3а и убедитесь в истинности полученных равенств .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений ,	плюс	квадрат второго выражения .
Нарисуйте квадрат с длиной стороны а	плюс	b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата суммы , выведите формулу квадрата разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
Площадь первого квадрата , с одной стороны , равна ( а плюс b)2 , а с другой стороны , равна а2 плюс b2	плюс	ab плюс ab .
Разложите на множители многочлен х6 минус 2х3	плюс	1 .
165 Даны многочлены : Р , Q и R. Запишите в стандартном виде многочлен 3Р минус 2Q	плюс	4R , если .
Даны многочлены А равно х5 - 2х4	плюс	х3 - 4х2 - 7х плюс 2 и В равно -х5 плюс 3х4 - х3 плюс 5х2 плюс 7х — 2 .
Площадь первого квадрата , с одной стороны , равна ( а плюс b)2 , а с другой стороны , равна а2 плюс b2 плюс ab	плюс	ab .
Даны многочлены А равно х5 - 2х4 плюс х3 - 4х2 - 7х	плюс	2 и В равно -х5 плюс 3х4 - х3 плюс 5х2 плюс 7х — 2 .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов	плюс	все попарные удвоенные произведения его членов .
Даны многочлены А равно х5 - 2х4 плюс х3 - 4х2 - 7х плюс 2 и В равно -х5	плюс	3х4 - х3 плюс 5х2 плюс 7х — 2 .
657 а ) При каких значениях х произведение двучленов х	плюс	3 и х минус 3 меньше суммы их квадратов на 28 ? .
Даны многочлены А равно х5 - 2х4 плюс х3 - 4х2 - 7х плюс 2 и В равно -х5 плюс 3х4 - х3	плюс	5х2 плюс 7х — 2 .
Даны многочлены А равно х5 - 2х4 плюс х3 - 4х2 - 7х плюс 2 и В равно -х5 плюс 3х4 - х3 плюс 5х2	плюс	7х — 2 .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b	плюс	с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а	плюс	b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
Используя идею сложения многозначных чисел « в столбик » , предложите аналогичный способ сложения многочленов и найдите этим способом сумму А	плюс	В .
Аналогично площадь второго квадрата , с одной стороны , равна а2 , а с другой — сумме ( а минус b)2	плюс	( ab минус b2 ) плюс ( ab минус b2 ) плюс b2 .
Действительно , любое такое число можно записать в виде 10x	плюс	5 , где х — число , полученное из первоначального после отбрасывания единиц .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений ,	плюс	квадрат второго выражения .
266 Представьте выражение в виде А2	плюс	с , где А — двучлен , а с — число .
Разложите на множители многочлен у3	плюс	у2 минус х2 минус х3 .
6 Если требуется разложить на множители трехчлен вида ах2	плюс	bх плюс с , где а , b , с Q , и вы не видите удобного способа разложения , попробуйте выделить полный квадрат .
Таким образом , результатом сложения исходных многочленов является многочлен -х3	плюс	х плюс 2 .
6 Если требуется разложить на множители трехчлен вида ах2 плюс bх	плюс	с , где а , b , с Q , и вы не видите удобного способа разложения , попробуйте выделить полный квадрат .
Таким образом , результатом сложения исходных многочленов является многочлен -х3 плюс х	плюс	2 .
232 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из чисел : а , c , а плюс c , а минус c , 2а	плюс	c , 2а минус c делится на 5 .
Умножим , например , одночлен 4с на многочлен а	плюс	2b .
( а плюс b)3 . ( а плюс b)4 . ( а	плюс	b)5 подставьте b равно а .
Разложите на множители многочлен : а4	плюс	ах2 минус а2х минус х4 . 2 )
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел ,	плюс	утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
Разложите на множители многочлен 3с минус 1 минус 3с2	плюс	с3 .
( а плюс b)3 . ( а	плюс	b)4 . ( а плюс b)5 подставьте b равно а .
387 Какое выражение надо прибавить к ( а минус b)3 , чтобы получить ( а	плюс	6)3 ? .
281 Найдите значение выражения а2 плюс b2	плюс	с2 , если известно , что .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения ,	плюс	удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
281 Найдите значение выражения а2	плюс	b2 плюс с2 , если известно , что .
Теперь вычитание многочлена ( -а2	плюс	3ab ) из многочлена ( а2 - 4а b плюс b2 ) мы можем свести к действию сложения , поменяв в многочлене - вычитаемом все знаки на противоположные .
Теперь вычитание многочлена ( -а2 плюс 3ab ) из многочлена ( а2 - 4а b	плюс	b2 ) мы можем свести к действию сложения , поменяв в многочлене - вычитаемом все знаки на противоположные .
( а	плюс	b)3 . ( а плюс b)4 . ( а плюс b)5 подставьте b равно а .
в ) квадрат двучлена х минус 1 в 9 раз меньше квадрата двучлена 3 x :	плюс	4 . г ) квадрат двучлена 8х минус 6 в 4 раза больше квадрата двучлена 4x минус 5 .
- у3	плюс	5у2 - 3 .
При этом результат возведения двучлена а	плюс	b в квадрат не изменится , если вместо а и b мы подставим любые числа или вообще любые выражения .
В формулы для ( а	плюс	b)2 .
а ) квадрат двучлена 2х плюс 5 на 120 больше квадрата двучлена 2х минус 7 . б ) квадрат двучлена 5х минус 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x :	плюс	6 .
Следовательно , результатом вычитания данных многочленов является многочлен 3у4	плюс	у2 - 5у .
Возведем число 10x	плюс	5 в квадрат , используя формулу суммы квадратов .
б ) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у	плюс	5 и у минус 5 меньше суммы их квадратов на 9у ? .
393 В многочлен х3 – 3x2	плюс	2х минус 5 вместо переменной х подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
270 Найдите значение выражения х2	плюс	если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в тождество ? .
269 Найдите значение выражения а2	плюс	b2 , если известно , что .
Например , противоположным к многочлену -а2	плюс	3ab будет многочлен .
а ) квадрат двучлена 2х	плюс	5 на 120 больше квадрата двучлена 2х минус 7 . б ) квадрат двучлена 5х минус 3 на 72 меньше квадрата двучлена 5 x : плюс 6 .
Найдите значение выражения а3 плюс b3 , если известно , что а	плюс	b равно -7 и аb равно 6,5 .
Например , составим сумму многочленов а2 - 4аb плюс b2 и -а2	плюс	3аb и в полученной алгебраической сумме раскроем скобки .
Известно , что х [ х(х плюс 6 )	плюс	11 ] равно -6 .
Для этого рассмотрим простейший случай умножения многочленов : ( а	плюс	b)(с плюс d ) .
Так , мы видели , что при возведении двучлена а	плюс	b в квадрат получаются слагаемые с буквенной частью , при возведении в куб — слагаемые с буквенной частью .
Если же с равно 0 , то равенство са1	плюс	са2 плюс ..
Если же с равно 0 , то равенство са1 плюс са2	плюс	..
Тогда в каждой группе образуется общий множитель х	плюс	у , который можно вынести за скобки .
212 Какой цифрой оканчивается число : а ) 727272 . б ) 321123	плюс	654456 ? .
	Плюс	саn равно с ( а , плюс а2 плюс .. ) также будет верно .
плюс саn равно с ( а ,	плюс	а2 плюс .. ) также будет верно .
Известно , что х [ х(х	плюс	6 ) плюс 11 ] равно -6 .
Представим уравнение х [ х(х	плюс	6 ) плюс 11 ] равно -6 в виде х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ] плюс 6 равно 0 и запишем его левую часть как многочлен стандартного вида .
в ) ( 6а	плюс	6)2 минус 1 делится на 12 для любого целого а . г ) ( 8b плюс 5)2 минус 9 делится на 16 для любого целого b .
Представим уравнение х [ х(х плюс 6 )	плюс	11 ] равно -6 в виде х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ] плюс 6 равно 0 и запишем его левую часть как многочлен стандартного вида .
Представим уравнение х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ] равно -6 в виде х [ х(х	плюс	6 ) плюс 11 ] плюс 6 равно 0 и запишем его левую часть как многочлен стандартного вида .
Представим уравнение х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ] равно -6 в виде х [ х(х плюс 6 )	плюс	11 ] плюс 6 равно 0 и запишем его левую часть как многочлен стандартного вида .
Представим уравнение х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ] равно -6 в виде х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ]	плюс	6 равно 0 и запишем его левую часть как многочлен стандартного вида .
Заметим , что члены исходного многочлена 5х3 минус 10х2	плюс	25х имеют и другие общие буквенные множители и т .
1 ) ( х2	плюс	2у)3 .
в ) ( 6а плюс 6)2 минус 1 делится на 12 для любого целого а . г ) ( 8b	плюс	5)2 минус 9 делится на 16 для любого целого b .
Таким образом , каждая из групп будет иметь общий множитель х	плюс	у , который можно вынести за скобки .
плюс саn равно с ( а , плюс а2	плюс	.. ) также будет верно .
Тогда второе рациональное число равно х плюс 6 , а третье равно х(х плюс 6 )	плюс	11 .
Тогда второе рациональное число равно х плюс 6 , а третье равно х(х	плюс	6 ) плюс 11 .
Тогда второе рациональное число равно х	плюс	6 , а третье равно х(х плюс 6 ) плюс 11 .
Затем в выражении х(с плюс d ) равно хс	плюс	xd сделаем обратную замену х на а плюс b и вновь раскроем скобки .
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03 плюс 2а2 плюс 3а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3 плюс а2	плюс	5а либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 .
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03 плюс 2а2 плюс 3а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3	плюс	а2 плюс 5а либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 .
Затем в выражении х(с	плюс	d ) равно хс плюс xd сделаем обратную замену х на а плюс b и вновь раскроем скобки .
Обозначим двучлен а плюс b какой - либо буквой , например буквой х , и в полученном произведении х(с	плюс	d ) раскроем скобки .
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03 плюс 2а2	плюс	3а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3 плюс а2 плюс 5а либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 .
Мы получили сумму двух выражений , каждое из которых имеет множитель а	плюс	b.
109 Докажите , что для любых целых а . а ) 03	плюс	2а2 плюс 3а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3 плюс а2 плюс 5а либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 .
Обозначим двучлен а	плюс	b какой - либо буквой , например буквой х , и в полученном произведении х(с плюс d ) раскроем скобки .
Замечаем , что данное выражение мы можем записать в виде ( x2)2	плюс	22 .
Разложите на множители многочлен х4	плюс	4 .
Так , умножив 5x : на многочлен x2 минус 2x	плюс	5 , записанный в скобках , мы получим исходный многочлен 5х3 минус 10х2 плюс 25x .
Найдите значение выражения а1 - а2	плюс	а3 - а4 плюс а5 , если а равно 2 , а равно 0 , а равно -1 .
Для этого рассмотрим простейший случай умножения многочленов : ( а плюс b)(с	плюс	d ) .
Найдите значение выражения а1 - а2 плюс а3 - а4	плюс	а5 , если а равно 2 , а равно 0 , а равно -1 .
Найдите значение выражения b1	плюс	2 b 2 плюс 3b3 плюс 4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 .
Найдите значение выражения b1 плюс 2 b 2	плюс	3b3 плюс 4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 .
Найдите значение выражения b1 плюс 2 b 2 плюс 3b3	плюс	4 b 4 плюс 5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 .
Так , умножив 5x : на многочлен x2 минус 2x плюс 5 , записанный в скобках , мы получим исходный многочлен 5х3 минус 10х2	плюс	25x .
Найдите значение выражения b1 плюс 2 b 2 плюс 3b3 плюс 4 b 4	плюс	5b5 , если y равно -2 , у равно0,1 , у равно 10 .
Продолжая эту закономерность , можно доказать , что при возведении двучлена а	плюс	b в любую натуральную степень литров итоговый многочлен будет состоять только из одночленов , подобных следующим .
Вычислим х	плюс	6 , х(х плюс 6 ) плюс 11 и запишем получившийся ответ .
Вычислим х плюс 6 , х(х	плюс	6 ) плюс 11 и запишем получившийся ответ .
Вычислим х плюс 6 , х(х плюс 6 )	плюс	11 и запишем получившийся ответ .
Подробно разложение многочлена х3	плюс	6х2 плюс 11х плюс 6 на множители мы рассмотрели в пункте .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у	плюс	5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Найдите произведение двучленов ( х	плюс	1)(х минус 2 ) .
А вот выражения х	плюс	1 , у2 - 3 и г одночленами не являются , поскольку содержат действия соответственно сложения , вычитания , деления .
Однако можно заметить , что если в множителе ( а2 минус 2ab	плюс	b2 ) коэффициент 2 заменить на 1 , то при раскрытии скобок подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз выражение а3 плюс b3 .
Указание : сделайте замену t равно 4 минус 2а	плюс	3а2 и преобразуйте выражение .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго ,	плюс	куб второго выражения .
в ) путь , пройденный за ( m плюс n ) часов со скоростью км / ч . г ) работа , выполненная с производительностью 3х деталей в минуту за время ( х	плюс	у ) минут .
189 а ) площадь прямоугольника , ширина которого равна ( m	плюс	n ) м , а длина равна 2k м . б )
Однако можно заметить , что если в множителе ( а2 минус 2ab плюс b2 ) коэффициент 2 заменить на 1 , то при раскрытии скобок подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз выражение а3	плюс	b3 .
в ) путь , пройденный за ( m	плюс	n ) часов со скоростью км / ч . г ) работа , выполненная с производительностью 3х деталей в минуту за время ( х плюс у ) минут .
г ) Все корни уравнения ( x	плюс	l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
а ) если а	плюс	1 делится на 3 , то 4 плюс 7а делится на 3 .
а ) если а плюс 1 делится на 3 , то 4	плюс	7а делится на 3 .
б ) если а	плюс	2 делится на 5 , то 1 плюс 3а делится на 5 .
б ) если а плюс 2 делится на 5 , то 1	плюс	3а делится на 5 .
в ) если 2а	плюс	1 делится на 7 , то 12а — 1 делится на 7 .
г ) если За	плюс	2 делится на 11 , то 21а плюс3 делится на 11 .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе ,	плюс	утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения ,	плюс	утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
объем прямоугольного параллелепипеда , длина которого равна 5а дм , ширина — 3b дм , а высота — ( а	плюс	b ) дм .
Выражение а2 минус аb	плюс	b2 получило название неполного квадрата разности а и b , так как в отличие от квадрата разности у произведения аb нет множителя 2 .
632 Докажите , что А2	плюс	В2 делится на 5 .
Значит , этот многочлен мы можем рассматривать как произведение одночлена 5 x . и многочлена x2 минус 2 x	плюс	5 .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе ,	плюс	утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
в килограммы : 0,78 т минус 595 кг	плюс	3,2 ц . б ) в сантиметры : 15,9 м минус 215 мм минус 15,9 см минус 21,4 дм .
Однако , анализируя исходный многочлен , можно заметить , что в группе х2у плюс 2ху2	плюс	у3 , состоящей из второго , четвертого и пятого слагаемых , мы можем вынести за скобки общий множитель у.
Подробно разложение многочлена х3 плюс 6х2	плюс	11х плюс 6 на множители мы рассмотрели в пункте .
Подробно разложение многочлена х3 плюс 6х2 плюс 11х	плюс	6 на множители мы рассмотрели в пункте .
Однако , анализируя исходный многочлен , можно заметить , что в группе х2у	плюс	2ху2 плюс у3 , состоящей из второго , четвертого и пятого слагаемых , мы можем вынести за скобки общий множитель у.
а ) стоимости покупки 2а плюс 3с книг по цене 5b рублей за штуку . б ) количества жильцов в доме , в котором 2х	плюс	y квартир , а количество жильцов в каждой квартире равно 3 г .
Шаг 3 Уравнение ( х	плюс	1)(х плюс 2)(х плюс 3 ) равно 0 равносильно исходному .
Шаг 3 Уравнение ( х плюс 1)(х	плюс	2)(х плюс 3 ) равно 0 равносильно исходному .
Шаг 3 Уравнение ( х плюс 1)(х плюс 2)(х	плюс	3 ) равно 0 равносильно исходному .
Можно заметить также , что в формуле куба разности при указанной записи итогового многочлена знаки его членов чередуются : сначала «	плюс	» , затем « минус » и так далее .
А значит , мы не смогли бы вычислить значение выражения 4с умножить ( а	плюс	26 ) минус 2с умножить 2а прямой подстановкой в него значений переменных .
а ) стоимости покупки 2а	плюс	3с книг по цене 5b рублей за штуку . б ) количества жильцов в доме , в котором 2х плюс y квартир , а количество жильцов в каждой квартире равно 3 г .
а ) Равенство 2х(х	плюс	1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б ) Равенство 18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у .
а ) Равенство 2х(х плюс 1 ) ( х	плюс	2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б ) Равенство 18 y ( y плюс 1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у .
а ) Равенство 2х(х плюс 1 ) ( х плюс 2 ) равно 57 916 неверно при любом натуральном х . б ) Равенство 18 y ( y	плюс	1 ) равно 97 506 неверно при любом натуральном у .
690 В контрольной работе по математике нужно было решить уравнение х3	плюс	х равно 2х2 .
Найдите значение выражения 2х(х минус 3 ) - х2(5 - х ) - ( х3 - 3х2	плюс	6х ) 01 при X равно .
Затем он разделил правую и левую части на одно и то же число х и получил уравнение х2	плюс	1 равно 2х .
	Плюс	245,3 рубля минус 90 коп .
Теперь , чтобы получить формулу разности кубов , заметим , что Выражение а2 плюс ab	плюс	b2 получило название неполного квадрата суммы а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения ab .
в часы : 45 минут	плюс	2 суток минус 12,25 ч минус 3600 с . г ) в рубли : 6,7 тыс. рублей минус 1200 коп .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z	плюс	3 ) равно 0 .
Теперь , чтобы получить формулу разности кубов , заметим , что Выражение а2	плюс	ab плюс b2 получило название неполного квадрата суммы а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения ab .
Сравните выражения : ( а	плюс	b)(с плюс d ) и х(с плюс d ) .
Затем в выражении х(с плюс d ) равно хс плюс xd сделаем обратную замену х на а	плюс	b и вновь раскроем скобки .
Шаг 4 Корень х равно 6 удовлетворяет всем трем данным неравенствам , так как 6 больше 0 , 6 - 5 больше 0 и 6	плюс	3 больше 0 - истинно .
а ) если а плюс 1 делится на 3 , то 2	плюс	5а делится на 3 .
Из условия задачи следует , что для существования данной фигуры необходимо , чтобы а , b , с были положительными числами и выполнялось неравенство 2а меньше а	плюс	2b .
Первый из них сказал , что он собрал грибов в два раза меньше , чем второй ,	плюс	еще 30 грибов .
А второй грибник сказал , что он собрал столько же грибов , сколько первый ,	плюс	еще 50 грибов .
а ) если а	плюс	1 делится на 3 , то 2 плюс 5а делится на 3 .
А путь от В до С равен ( v	плюс	5)(t плюс 2 ) км .
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри : квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а	плюс	b и а минус b , где а и b — произвольные положительные рациональные числа ( а больше b ) .
Таким образом , в каждой из образованных двух групп имеется множитель х	плюс	1 , который можно вынести за скобки .
Найти значение многочлена 4n5	плюс	3n2 минус 8 , если .
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а	плюс	b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
А при возведении в n - ю степень разности двух выражений знаки « плюс » и « минус » будут чередоваться , начиная с «	плюс	» , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени .
420 В многочлен 2у3 минус у2	плюс	5у минус 9 вместо переменной y подставьте данное выражение и запишите полученное выражение как многочлен стандартного вида .
После вынесения его за скобки в скобках получим разность квадратов х2 минус 1 , которую можно разложить на множители ( х	плюс	1)(х минус 1 ) .
Тогда ширина прямоугольника равна ( x минус 5 ) см , а его длина — ( x	плюс	3 ) см , где х минус 5 больше 0 , x плюс 3 больше 0 .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2	плюс	1 .
Тогда ширина прямоугольника равна ( x минус 5 ) см , а его длина — ( x плюс 3 ) см , где х минус 5 больше 0 , x	плюс	3 больше 0 .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно	плюс	бесконечность и минус бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
А при возведении в n - ю степень разности двух выражений знаки «	плюс	» и « минус » будут чередоваться , начиная с « плюс » , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х	плюс	1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон , то есть ( а минус b)(а	плюс	b ) .
Разложите на множители многочлен 3у2	плюс	7у минус 10 .
134 Дан многочлен a4b - 2a3b2	плюс	4a2b3 - 3ab - 5 .
Например , каждый член многочлена 5x3 минус 10 x 2	плюс	25 x : имеет множитель 5x .
б ) если а	плюс	2 делится на 7 , то 5 плюс 6а делится на 7 .
б ) если а плюс 2 делится на 7 , то 5	плюс	6а делится на 7 .
Запишите выражение как многочлен стандартного вида : ( а минус b)(а плюс b)(а2 плюс b2)(а4	плюс	b4 ) . .
Например , составим сумму многочленов а2 - 4аb	плюс	b2 и -а2 плюс 3аb и в полученной алгебраической сумме раскроем скобки .
а ) При каких значениях х произведение двучленов х	плюс	4 и х минус 4 меньше суммы их квадратов на 52 ? .
Запишите выражение как многочлен стандартного вида : ( а минус b)(а плюс b)(а2	плюс	b2)(а4 плюс b4 ) . .
Запишите выражение как многочлен стандартного вида : ( а минус b)(а	плюс	b)(а2 плюс b2)(а4 плюс b4 ) . .
5 При возведении в степень разности ( а минус b)n поставить перед первым одночленом знак « плюс » , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать знаки «	плюс	» , « минус » до последнего одночлена .
Так , например , не для всех а и b можно разложить на множители двучлен а2	плюс	b2 ( хотя , как мы убедились в примере 3 , для некоторых конкретных а и b это разложение может быть найдено ) .
б ) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у	плюс	7 и 7 минус у меньше суммы их квадратов на 14у ! .
Разница D между этими путями равна ( v плюс 5)(t	плюс	2 ) минус vt км .
5 При возведении в степень разности ( а минус b)n поставить перед первым одночленом знак «	плюс	» , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать знаки « плюс » , « минус » до последнего одночлена .
Разница D между этими путями равна ( v	плюс	5)(t плюс 2 ) минус vt км .
4 При возведении в степень суммы ( а плюс b)n поставить перед всеми одночленами знак «	плюс	» .
Итоговую экономию может посчитать любой школьник : 40 % плюс 35 %	плюс	25 % равно 100 % .
Итоговую экономию может посчитать любой школьник : 40 %	плюс	35 % плюс 25 % равно 100 % .
в ) 256 - 511 делится на 4 . б ) 97 - 310 делится на 20 . г ) 168	плюс	227 делится на 33 .
Разложите на множители многочлен х2	плюс	4х плюс 3 .
Разложите на множители многочлен х2 плюс 4х	плюс	3 .
141 Докажите , что а ) 85	плюс	211 делится на 17 .
4 При возведении в степень суммы ( а	плюс	b)n поставить перед всеми одночленами знак « плюс » .
3 Записать последовательно в качестве коэффициентов выписанных одночленов числа из ( n	плюс	1)-й строки треугольника Паскаля .
2 Записать треугольник Паскаля до ( n	плюс	1)-й строки .
А путь от В до С равен ( v плюс 5)(t	плюс	2 ) км .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х	плюс	1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
Для ответа на вопрос задачи нам надо решить уравнение ( х минус 5)(х	плюс	3 ) равно 9 .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2	плюс	2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
15 а ) Найдите значение выражения х1	плюс	х2 плюс х3 плюс х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 .
Представим уравнение ( х минус 5)(х	плюс	3 ) равно 9 в виде ( х минус 5)(х плюс 3 ) минус 9 равно 0 и запишем левую часть как многочлен стандартного вида .
15 а ) Найдите значение выражения х1 плюс х2	плюс	х3 плюс х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 .
15 а ) Найдите значение выражения х1 плюс х2 плюс х3	плюс	х4 плюс х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 .
15 а ) Найдите значение выражения х1 плюс х2 плюс х3 плюс х4	плюс	х5 , если х равно -1 , х равно 0 , хравно10 .
В нем в каждой ( n	плюс	1)-й строке стоят коэффициенты многочлена , полученного при возведении двучлена в степень .
Найдите значение выражения у1 - 2у2	плюс	3у3 - 4у4 плюс 5у5 если у равно 1 , у равно -1 , у равно 2 .
Найдите значение выражения у1 - 2у2 плюс 3у3 - 4у4	плюс	5у5 если у равно 1 , у равно -1 , у равно 2 .
Значит , исходный многочлен можно записать в виде суммы двух выражений , каждое из которых имеет множителем трехчлен х2 плюс х	плюс	1 .
Значит , исходный многочлен можно записать в виде суммы двух выражений , каждое из которых имеет множителем трехчлен х2	плюс	х плюс 1 .
Например , операцию представления многочлена 2а плюс 2b в виде 2(а	плюс	b ) мы не будем считать операцией разложения многочлена на множители , а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку .
Представим уравнение ( х минус 5)(х плюс 3 ) равно 9 в виде ( х минус 5)(х	плюс	3 ) минус 9 равно 0 и запишем левую часть как многочлен стандартного вида .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c	плюс	d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о	плюс	b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
117 Докажите , что а3	плюс	4а для любых целых а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 , либо при делении на 5 дает остаток 4 .
а ) Равенство т(т	плюс	1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б ) Равенство 9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k .
а ) Равенство т(т плюс 1 ) ( т	плюс	2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б ) Равенство 9k(k плюс 1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k .
а ) Равенство т(т плюс 1 ) ( т плюс 2 ) равно 71 536 неверно при любом натуральном т . б ) Равенство 9k(k	плюс	1 ) равно 54 621 неверно при любом натуральном k .
х-5 больше 0 , х	плюс	3 больше 0 .
Для выбранных корней вычислим х	плюс	3 и запишем получившийся ответ .
Шаг 3 Чтобы решить уравнение ( х минус 6)(х	плюс	4 ) равно 0 , приравняем к нулю каждый из множителей .
Например , при возведении двучлена а	плюс	b в шестую степень получится выражение вида : где вместо пропусков стоят некоторые числа .
Чтобы проверить выполнение неравенства 2а меньше а	плюс	2b , упростим его , вычитая из правой и левой его части одно и то же число а .
Каждое из слагаемых полученной суммы имеет множитель х3	плюс	1 .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас	плюс	ad плюс be плюс bd . .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad	плюс	be плюс bd . .
Но нам встречались уравнения вида ( ах	плюс	6)(сх плюс d ) равно 0 , где a , b , с , d — неизвестная величина .
Например , 2x плюс 3у — это двучлен , 5 - а2 плюс 6а - ab2- четырехчлен , 3n2- 8	плюс	4n6- трехчлен .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х	плюс	1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х	плюс	1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
Найдите значение выражения а3	плюс	b3 , если известно , что а плюс b равно -7 и аb равно 6,5 .
Но нам встречались уравнения вида ( ах плюс 6)(сх	плюс	d ) равно 0 , где a , b , с , d — неизвестная величина .
Например , 2x плюс 3у — это двучлен , 5 - а2	плюс	6а - ab2- четырехчлен , 3n2- 8 плюс 4n6- трехчлен .
174 Запишите А	плюс	В , А минус В к В минус А как многочлены в стандартном виде , если . .
Например , операцию представления многочлена 2а	плюс	2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать операцией разложения многочлена на множители , а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку .
Так как 5 равно 1	плюс	4 , представим 5х3 в виде суммы подобных ему одночленов с коэффициентами 1 и 4 .
Например , 2x	плюс	3у — это двучлен , 5 - а2 плюс 6а - ab2- четырехчлен , 3n2- 8 плюс 4n6- трехчлен .
Когда у нее спрашивают , сколько у нее кошек , она хитро улыбается и отвечает : « У меня пять шестых моих кошек	плюс	пять шестых кошки » .
Разложите на множители многочлен х6 плюс 5х3	плюс	4 .
Разложите на множители многочлен х6	плюс	5х3 плюс 4 .
Так , например , стоимость покупки из 2 книг по цене x рублей и 3 журналов по цене у рублей или длину пути автомобиля , ехавшего 2 ч со скоростью x км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , можно записать с помощью многочлена 2 x	плюс	3y .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be	плюс	bd . .
Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы ( а	плюс	b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
Заметим , что в последних трех слагаемых , если добавить к ним х и вынести за скобки 6 , « спрятана » формула квадрата суммы ( х	плюс	1)2 .
Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2	плюс	b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а	плюс	b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х	плюс	1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
454 Найдите значение выражения а3	плюс	b3 , если известно , что .
Докажите , что , сколько бы мы ни проводили таких замен , нам не удастся получить таблицу , состоящую из одних	плюсов	.
352 В одной клетке квадратной таблицы стоит знак « - » , а в остальных -	плюсы	.
Значит , каждое целое число обязательно попадет в какое - либо из указанных	подмножеств	, то есть : .
Запишите подмножество В четных чисел и подмножество С нечетных чисел множества А. Найдите объединение и пересечение	подмножеств	В и С .
Выберите признак и проведите классификацию множества А по данному признаку ( разбейте А по этому признаку на непересекающиеся	подмножества	, объединением которых является все множество А ) .
158 Разбейте множество А на два	подмножества	: S - подмножество составных чисел , Р - подмножество простых чисел .
В множестве А найдите	подмножества	, состоящие из чисел , кратных .
Аналогичным образом определим и	подмножества	.
Все указанные	подмножества	не пересекаются друг с другом , так как по теореме делимости при делении любого целого числа на 4 не может возникнуть два различных остатка ( единственность ) .
Классификация - это разбиение множества объектов на непересекающиеся	подмножества	( классы ) .
Таким образом , разбиение множества А на	подмножества	А1 , А2 , ..
158 Разбейте множество А на два подмножества : S - подмножество составных чисел , Р -	подмножество	простых чисел .
Запишите подмножество В четных чисел и	подмножество	С нечетных чисел множества А. Найдите объединение и пересечение подмножеств В и С .
Запишите	подмножество	В четных чисел и подмножество С нечетных чисел множества А. Найдите объединение и пересечение подмножеств В и С .
Среди следующих пяти множеств найдите все пары « множество —	подмножество	» .
Объединим все числа , имеющие остаток 3 при делении на 4 , в одно	подмножество	множества целых чисел .
158 Разбейте множество А на два подмножества : S -	подмножество	составных чисел , Р - подмножество простых чисел .
1 Множество А является	подмножеством	множества В.
Множество В является	подмножеством	множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества С. ( Истинно ) .
Множество В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является	подмножеством	множества С. ( Истинно ) .
2 Множество А является	подмножеством	множества С. Множество В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) .
На этой диаграмме мы видим , что множество квадратов является	подмножеством	множества прямоугольников .
2 Множество А является подмножеством множества С. Множество В является	подмножеством	множества С. Следовательно , множество А является подмножеством множества В. ( Ложно ) .
2 Множество А является подмножеством множества С. Множество В является подмножеством множества С. Следовательно , множество А является	подмножеством	множества В. ( Ложно ) .
Необычайная красота господствует в царстве математики , красота ,	подобная	не столько красоте искусства , сколько красоте природы .
Прочитайте определение кусочно - линейной функции и объясните , почему зависимости	подобного	вида получили такое название .
Мы уже встречались с	подобной	ситуацией , когда говорили о том , что в математике одни понятия определяются через другие , другие через третьи и т .
Алгоритм возведения двучлена в n - ю степень . 1 Выписать в установленном порядке все одночлены , которым	подобны	члены итогового многочлена .
2 Записать многочлены « в столбик » так , чтобы	подобные	члены стояли под подобными ( если они есть ) .
Затем сложим	подобные	члены и запишем результаты под чертой .
3 Сложить по « столбцам »	подобные	слагаемые и записать полученные результаты .
99 Среди указанных одночленов найдите	подобные	.
2 Привести	подобные	слагаемые .
491 Раскройте скобки и приведите	подобные	члены .
Однако можно заметить , что если в множителе ( а2 минус 2ab плюс b2 ) коэффициент 2 заменить на 1 , то при раскрытии скобок	подобные	слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз выражение а3 плюс b3 .
435 Раскройте скобки и приведите	подобные	слагаемые .
Теперь раскроем скобки , выполняя умножение одночлена на многочлен , затем приведем	подобные	слагаемые и найдем корень уравнения .
Запишем многочлены « в столбик » так , чтобы	подобные	члены стояли один под другим .
3 Записать многочлены « в столбик » так , чтобы	подобные	члены стояли под подобными ( если они есть ) .
Так как перед скобкой стоит знак « - » и множитель 2 , то каждое слагаемое в скобке умножим на 2 и изменим его знак на противоположный , а затем приведем	подобные	слагаемые .
Для этого раскроем скобки , используя правило умножения одночлена на многочлен , а затем в полученной алгебраической сумме приведем	подобные	слагаемые .
Почему важно выделять и специально изучать	подобные	зависимости ?
4 Сложить по « столбцам »	подобные	слагаемые и записать полученные результаты .
76 Приведите	подобные	слагаемые .
Равносильное преобразование , в результате которого все	подобные	между собой одночлены записываются как один одночлен , называется приведением подобных слагаемых .
448 Раскройте скобки и приведите	подобные	слагаемые .
Следовательно , все	подобные	уравнения также будут линейными .
Запишите	подобный	ему одночлен с коэффициентом а .
Заметим , что	подобным	образом мы действовали и при сложении чисел на числовой прямой .
3 Записать многочлены « в столбик » так , чтобы подобные члены стояли под	подобными	( если они есть ) .
Одночлены , имеющие в стандартном виде одинаковую буквенную часть , называются	подобными	.
2 Записать многочлены « в столбик » так , чтобы подобные члены стояли под	подобными	( если они есть ) .
2 ) не являются	подобными	одночленами .
При сложении многозначных чисел такая запись помогает добиться близкого расположения цифр , стоящих в одинаковых разрядах , а при сложении многочленов — близкого расположения	подобных	членов .
Как мы уже знаем , алгебраическая сумма нескольких одночленов является одночленом , только если речь идет о сложении и вычитании	подобных	одночленов .
Так как 5 равно 1 плюс 4 , представим 5х3 в виде суммы	подобных	ему одночленов с коэффициентами 1 и 4 .
Сравнения помогают находить остатки от деления , не производя	подобных	вычислений .
Продолжая эту закономерность , можно доказать , что при возведении двучлена а плюс b в любую натуральную степень литров итоговый многочлен будет состоять только из одночленов ,	подобных	следующим .
В этом случае можно попробовать представить какой - нибудь из его членов в виде суммы или разности нескольких	подобных	ему одночленов .
Представление члена многочлена в виде суммы или разности	подобных	ему членов .
Но количество многочленов - слагаемых и их членов может быть достаточно большим , и тогда поиск и приведение	подобных	членов может оказаться весьма затруднительным .
Вместе с опытом выполнения	подобных	преобразований появляется « особое зрение » , способность разглядеть « спрятанные » в многочленах формулы и общие множители различных групп слагаемых .
545 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности	подобных	членов .
Приведение	подобных	слагаемых .
Чтобы избегать	подобных	ошибок или своевременно их отыскивать , можно пользоваться следующими простыми правилами .
Во втором случае мы должны создать новый или усовершенствовать некоторый старый способ таким образом , чтобы получить в итоге решение данной задачи ( и одновременно всех других	подобных	задач ) .
100 Составьте из букв а , b и с восемь	подобных	между собой одночленов шестой степени с буквенными частями , записанными разными способами .
569 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности	подобных	членов .
Приведение одночленов к стандартному виду и приведение	подобных	слагаемых позволяет упрощать решение различных задач и примеров .
Равносильное преобразование , в результате которого все подобные между собой одночлены записываются как один одночлен , называется приведением	подобных	слагаемых .
Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и выражений , не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение	подобных	слагаемых .
Таким образом , используя установленные формулы , нам не надо представлять квадраты двучленов в виде произведения двух множителей , затем выполнять умножение и приведение	подобных	слагаемых .
В нашем определении мы говорили о натуральном	показателе	степени , большем 1 , поскольку произведение чисел не может содержать менее двух множителей .
Степенью ненулевого одночлена называется сумма	показателей	степеней входящих в одночлен переменных .
432 Представьте выражение в виде степени с	показателем	3 , если это возможно .
309 Представьте выражение в виде степени с	показателем	, отличным от 1 .
56 Представьте выражение в виде степени с	показателем	, отличным от 1 .
60 Представьте выражение в виде степени дроби с	показателем	, отличным от 1 .
а ) в виде произведения двух степеней с основанием х и показателем n N0 . б ) в виде произведения трех степеней с основанием х и	показателем	n N0 ? .
55 Представьте выражение в виде степени с	показателем	, отличным от 1 .
Дайте определение степени натурального числа а с натуральным	показателем	n , если : 1 ) n больше 1 .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа неразрушения ) подумайте , как можно было бы дать определение степени рационального числа с целым	показателем	.
Степенью рационального числа а с натуральным	показателем	1 называется само это число .
83 Представьте выражение в виде степени с	показателем	, отличным от 1 .
84 Представьте выражение в виде степени с	показателем	, отличным от 1 .
Для начала ответим на вопрос , можем ли мы сразу определить знак любой степени числа , пусть даже с очень большим	показателем	?
Предложите собственную версию определения степени рационального числа а с натуральным	показателем	п , исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( « принципа неразрушения » ) .
61 Представьте выражение в виде степени дроби с	показателем	, отличным от 1 .
729 Представьте выражение в виде степени с	показателем	, отличным от 1 .
При этом повторяющийся множитель а называют основанием степени , а число повторяющихся множителей n —	показателем	степени .
а ) в виде произведения двух степеней с основанием х и	показателем	n N0 . б ) в виде произведения трех степеней с основанием х и показателем n N0 ? .
316 Представьте , если это возможно , выражение в виде степени с	показателем	2 .
2 Свойства степени с натуральным	показателем	.
286 Представьте выражение в виде степени с	показателем	, отличным от 1 .
406 Представьте выражение в виде степени с	показателем	, отличным от 1 .
Представьте выражение в виде степени с	показателем	, отличным от 1 , при целых значениях переменных .
50 Представьте в виде степени с	показателем	, отличным от 1 , выражение .
1 Понятие степени с натуральным	показателем	.
1 Степень с натуральным	показателем	.
3 Для того чтобы возвести степень в степень , можно основание оставить без изменений , а	показатели	перемножить .
1 Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием , можно основание оставить без изменений , а	показатели	степеней сложить .
Мы видим , что одночлены записаны в таком порядке , что у каждого следующего одночлена	показатель	степени с основанием а последовательно уменьшается от литров до 0 , а показатель степени с основанием b , наоборот , увеличивается от 0 до л .
Мы видим , что одночлены записаны в таком порядке , что у каждого следующего одночлена показатель степени с основанием а последовательно уменьшается от литров до 0 , а	показатель	степени с основанием b , наоборот , увеличивается от 0 до л .
2 Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием , не равным нулю , можно основание оставить без изменений , а из показателя делимого вычесть	показатель	делителя .
4 Назовите основание и	показатель	степени , вычислите значение выражения .
В задаче 2 данного пункта мы получили , что остаток от деления чисел вида 3n на 7 зависит от того , какой остаток при делении на 6 дает	показатель	степени , а именно .
282 По данным таблиц постройте линейные диаграммы : а ) Величина прожиточного минимума на одного человека в РФ ; б ) Общая жилплощадь , приходящаяся в среднем на одного жителя РФ ( по со стоянию на конец года ) ; в ) Число высших учебных заведений в РФ ( среднегодовой	показатель	) .
А можно ли расширить это определение на случай нулевого	показателя	? .
2 Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием , не равным нулю , можно основание оставить без изменений , а из	показателя	делимого вычесть показатель делителя .
Теперь « доопределим » понятие натуральной степени рационального числа для случая	показателя	, равного 1 .
Таким образом , расширим определение понятия степени на случай	показателя	, равного 0 .
Таким образом , у нас теперь есть определение натуральной степени рационального числа , и мы знаем свойства степеней с натуральными	показателями	.
Установите общую формулу для вычисления произведения степеней рациональных чисел с общим основанием и натуральными	показателями	.
Как в этом случае будут связаны между собой степени одного и того же отличного от нуля числа с противоположными	показателями	? .
з ) разность значения выражения и числа 7	положительна	.
Теорема 2 Любая	положительная	периодическая десятичная дробь является рациональным числом .
Представьте теперь , что	положительная	часть числовой прямой как бы намотана на циферблат часов так , что точки 0 , 12 , 24 , .. совпадают .
В этом случае равенство невозможно , так как получается , что неотрицательное число равно произведению	положительного	и отрицательного числа .
Любая натуральная степень	положительного	рационального числа — это число положительное .
Натуральная степень	положительного	рационального числа представляет собой произведение положительных чисел ( или само число ) .
2 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же	положительное	число ( выражение ) , то получим неравенство , равносильное данному .
Если все положительные числа являются рациональными и ни одно	положительное	число не может быть меньше нуля , значит , все рациональные числа не могут быть меньше нуля .
По определению , любое	положительное	рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби .
Единица —	положительное	число .
Теорема 1 Любое	положительное	рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби .
Поскольку при умножении любого числа положительных чисел получается	положительное	число , то значение степени будет положительным , что и требовалось доказать . .
Число 8 является решением неравенства х. Значит , число 8 —	положительное	.
То есть если число а больше числа b , то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым числом с , а также при умножении и делении их на	положительное	число с знак неравенства не изменится .
в ) Произведение двух отрицательных рациональных чисел есть число	положительное	.
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число	положительное	, а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
Если ни одно решение неравенства не является положительным числом , то ни одно	положительное	число не является решением неравенства .
Любая натуральная степень положительного рационального числа — это число	положительное	.
Из них можно составить целое число пар , в каждой из которых при умножении двух отрицательных чисел получается	положительное	число .
На них основано также доказательство и общего правила записи	положительной	периодической десятичной дроби в виде обыкновенной .
Тем не менее рассмотрим на примерах идеи , используемые при его доказательстве , и на этой основе сформулируем ( без доказательства ) общее правило представления	положительной	периодической дроби в виде обыкновенной .
484 Можно ли расставить числа в таблице так , чтобы сумма в каждой строке была	положительной	, а в каждом столбце отрицательной ? .
И каждому из них указанное правило сопоставляет единственное число : любому	положительному	числу и нулю — число 1 , а любому отрицательному числу — число ( -1 ) .
Правило 3 Чтобы записать	положительную	периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной , можно .
779 Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только	положительные	значения .
а ) Если некоторые решения уравнения	положительные	числа , то некоторые положительные числа — решения уравнения .
а ) Если некоторые решения уравнения положительные числа , то некоторые	положительные	числа — решения уравнения .
Найдите значение выражения х2 если известно , что . Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только	положительные	значения .
Если все решения неравенства положительные числа и некоторые	положительные	числа делятся на 7 , то некоторые делящиеся на 7 числа — решения неравенства .
307 Докажите , что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только	положительные	значения .
б ) Если все решения неравенства положительные числа и некоторые	положительные	числа — четные , то некоторые четные числа — решения неравенства .
Если все решения неравенства	положительные	числа и некоторые положительные числа делятся на 7 , то некоторые делящиеся на 7 числа — решения неравенства .
Если все	положительные	числа являются рациональными и ни одно положительное число не может быть меньше нуля , значит , все рациональные числа не могут быть меньше нуля .
б ) Если все решения неравенства	положительные	числа и некоторые положительные числа — четные , то некоторые четные числа — решения неравенства .
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0	положительные	числа и некоторые положительные числа — натуральные , то некоторые натуральные числа — решения неравенства 3х больше 0 .
а ) Все решения неравенства	положительные	числа .
г ) Все решения неравенства х	положительные	числа .
Величина угла треугольника может принимать только	положительные	значения , меньшие 180 ° , значит .
Все натуральные числа	положительные	.
Все	положительные	числа являются решениями неравенства Приведите дроби к общему знаменателю .
г ) Все решения неравенства — натуральные числа . д ) Некоторые	положительные	числа являются решениями неравенства .
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0 положительные числа и некоторые	положительные	числа — натуральные , то некоторые натуральные числа — решения неравенства 3х больше 0 .
Значит , единица — решение неравенства . б ) Все решения неравенства	положительные	числа .
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри : квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные	положительные	рациональные числа ( а больше b ) .
в ) Все решения неравенства х	положительные	числа .
Если ни одно решение неравенства не является	положительным	числом , то ни одно положительное число не является решением неравенства .
Число ( -6 ) не является решением неравенства х. Значит , число ( -6 ) не является	положительным	числом .
Поскольку при умножении любого числа положительных чисел получается положительное число , то значение степени будет	положительным	, что и требовалось доказать . .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем	положительным	рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Число ( -6 ) не является	положительным	числом .
Определите , каким числом —	положительным	или отрицательным — является выражение .
9 Определите , каким числом —	положительным	или отрицательным — является выражение .
726 Определите , каким числом —	положительным	или отрицательным — является выражение .
Значит , четная степень отрицательного числа является числом	положительным	.
25 Определите , каким числом —	положительным	или отрицательным — является выражение .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных чисел , называемых также	положительными	целыми числами , существуют числа , им противоположные , - отрицательные целые числа и 0 .
Из условия задачи следует , что для существования данной фигуры необходимо , чтобы а , b , с были	положительными	числами и выполнялось неравенство 2а меньше а плюс 2b .
С — множество четных	положительных	чисел , меньших 8 . 1 )
При	положительных	k и х данное равенство показывает , что при увеличении ( уменьшении ) значения х в несколько раз значение у увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
Полученные нами формулы квадрата суммы и квадрата разности для	положительных	значений а и b ( а больше b ) можно проиллюстрировать геометрически .
Разность двух	положительных	рациональных чисел может быть числом отрицательным .
Нарисуйте квадрат с длиной стороны а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для	положительных	а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата суммы , выведите формулу квадрата разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
Сначала ответим на эти вопросы для	положительных	рациональных чисел , а затем распространим полученные правила на все рациональные числа .
Отметьте на числовой прямой три	положительных	и три отрицательных целых числа , которые .
С — множество нечетных	положительных	чисел , меньших или равных 11 . 1 )
Натуральная степень положительного рационального числа представляет собой произведение	положительных	чисел ( или само число ) .
Поскольку при умножении любого числа	положительных	чисел получается положительное число , то значение степени будет положительным , что и требовалось доказать . .
Боевиков в этом видеомагазине всегда на 126 меньше , чем комедий , мелодрам - на 68 меньше , чем боевиков , а число документальных фильмов равно	полусумме	числа комедий и боевиков .
194 а ) Для экспедиции на Северный	полюс	был сделан запас продовольствия на 90 дней из расчета на чело века в день 1 кг продовольствия .
в ) Если ни один поезд не летает , то ни один летающий предмет - не поезд . г ) Если ни один пингвин не живет на Северном	полюсе	, то ни один живущий на Северном полюсе - не пингвин . д ) Если все пирожные сладкие и некоторые сладкие предметы из шоколада , то некоторые предметы из шоколада - пирожные . е ) Если все автомобили имеют двигатель и некоторые имеющие двигатель предметы не могут плавать под водой , значит , некоторые автомобили не могут плавать под водой .
в ) Если ни один поезд не летает , то ни один летающий предмет - не поезд . г ) Если ни один пингвин не живет на Северном полюсе , то ни один живущий на Северном	полюсе	- не пингвин . д ) Если все пирожные сладкие и некоторые сладкие предметы из шоколада , то некоторые предметы из шоколада - пирожные . е ) Если все автомобили имеют двигатель и некоторые имеющие двигатель предметы не могут плавать под водой , значит , некоторые автомобили не могут плавать под водой .
Одним из хорошо известных нам способов наведения	порядка	в информации , с которым мы часто встречаемся и в учебе , и в жизни , являются таблицы .
Для указания	порядка	действий здесь также используются скобки , а значит , нам надо научиться раскрывать скобки и в этих выражениях .
Объекты классифицируют в самых различных научных областях - физике , химии , биологии , географии и др. - для своеобразного « наведения	порядка	» , систематизации знаний .
д ) Алгебраическая сумма рациональных чисел не зависит от	порядка	слагаемых .
Значение суммы не зависит от	порядка	слагаемых .
Значение суммы не зависит от	порядка	действий : .
Значение произведения не зависит от	порядка	множителей .
Значение произведения не зависит от	порядка	действий .
Методом перебора устанавливаем все такие комбинации ( с точностью до	порядка	слагаемых ) .
а ) Сумма двух чисел не зависит от	порядка	слагаемых .
3 ) записаны в	порядке	убывания степеней одночленов ( одночлены , имеющие одинаковую степень , записываются в произвольном порядке ) .
Расположите ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставьте их соответствующим буквам - и вы узнаете фамилию маршала армии Наполеона , получившего титул князя Московского .
Записываем уменьшаемое в виде суммы натуральных чисел от 5 до 1 , а вычитаемое - в виде суммы тех же чисел , взятых в обратном	порядке	.
Если сложить его с числом , записанным теми же цифрами , но в обратном	порядке	, то получится 44 .
а ) Трехзначное число , записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 . б ) Разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном	порядке	, делится на 9 .
При этом коэффициенты членов многочлена идут в том	порядке	, в котором договорились записывать члены итогового многочлена .
Алгоритм возведения двучлена в n - ю степень . 1 Выписать в установленном	порядке	все одночлены , которым подобны члены итогового многочлена .
2 Определить , какие переменные входят в одночлен , и записать их в алфавитном	порядке	.
Остальные члены одночлена записываются в том же	порядке	, и так до одночлена .
Заметим , что в формулах куба суммы и разности члены итогового многочлена принято записывать в специальном	порядке	.
2 Записать числа набора в	порядке	возрастания .
3 Определить степень каждого одночлена и записать их алгебраическую сумму в	порядке	убывания степеней .
Если в выражениях есть скобки , то сначала в указанном порядке выполняют действия в скобках , а потом в том же	порядке	— остальные действия .
буквы в записи одночлена ( если они есть ) следуют в алфавитном	порядке	.
Поскольку мы все время делим на одно и то же число 22 , то после повторного появления остатка 4 будут появляться в том же	порядке	одни и те же промежуточные делимые .
3 ) записаны в порядке убывания степеней одночленов ( одночлены , имеющие одинаковую степень , записываются в произвольном	порядке	) .
Если в выражениях есть скобки , то сначала в указанном	порядке	выполняют действия в скобках , а потом в том же порядке — остальные действия .
14 Выполните вычисления и расположите ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
40 Вычислите устно и расположите ответы примеров в	порядке	убывания .
Расположим числа набора в	порядке	возрастания .
а ) На сколько нужно уменьшить число 8642 , чтобы получить число , записанное теми же цифрами в обратном	порядке	? .
Можно ли таким способом переставить все фишки в обратном	порядке	? .
Выполните вычисления и расположите ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам .
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под натуральной степенью любого рационального числа , научились определять знак степени и узнали , в каком	порядке	проводятся вычисления в выражениях со степенью .
И наконец , выписывая буквы этой таблицы по столбцам в указанном	порядке	( сначала из столбца , отмеченного числом 1 , затем — числом 2 и т . д. ) , мы получим следующую шифровку .
Мы видим , что одночлены записаны в таком	порядке	, что у каждого следующего одночлена показатель степени с основанием а последовательно уменьшается от литров до 0 , а показатель степени с основанием b , наоборот , увеличивается от 0 до л .
Именно в таком	порядке	и договорились записывать члены многочлена , являющегося результатом возведения двучлена в некоторую натуральную степень .
Затем нарисуем таблицу с 10 столбцами и в первой ее строке запишем числа от 1 до 10 в произвольном	порядке	.
213 Расположите ответы примеров в	порядке	возрастания , сопоставив их соответствующим буквам , и вы узнаете название быстроходной гребной шлюпки , которое происходит от английского словосочетания « китобойное судно » .
Часто бывает так , что в многочлене , который надо разложить на множители , слагаемые идут не в том	порядке	, к которому мы привыкли в формуле .
Для того чтобы избежать такой неоднозначности , математики решили записывать простые множители в разложении натурального числа в	порядке	возрастания .
Расположите эти выражения в	порядке	возрастания их значений .
Из основной теоремы арифметики следует важный вывод о том , что различные представления одного и того же составного числа в виде произведения простых чисел связаны только с различием в	порядке	множителей .
, варианты , различающиеся лишь	порядком	множителей , считать одинаковыми ) .
При этом два разложения одного и того же числа на простые множители могут отличаться лишь	порядком	множителей .
Согласно	порядку	действий в выражениях со степенями , сначала возведем ( -3 ) в степень , затем выполним умножение и деление и после этого — выполним вычитание .
Это позволяет нам сформулировать следующее правило , устанавливающее	порядок	действий в выражениях , содержащих степени .
Если выражения содержат только числа , знаки арифметических действий и скобки , задающие	порядок	этих действий , то их называют числовыми .
е ) Если в произведении рациональных чисел поменять	порядок	действий , то результат может измениться .
Теперь нам важно разобраться с тем , какой принят	порядок	действий в выражениях , содержащих степени .
Сколько различных	последовательностей	« орлов » и « решек » можно получить в результате такого подбрасывания ? .
Сколько различных	последовательностей	чисел могло быть в результате этого получено , если при третьем броске всегда выпадает число 4 ? .
Сколько различных	последовательностей	чисел можно в результате этого получить , если при втором броске всегда выпадало число 7 ? .
Построение математической теории основано на выстраивании	последовательности	утверждений .
Вместе с тем в данной	последовательности	имеется хотя бы одно неотрицательное число ( например , число ) .
Мы говорили о том , что доказательство математических утверждений , по сути , состоит из	последовательности	правильных выводов .
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами , можно заметить , что ряд простых чисел устроен достаточно сложно , простые числа то идут одно за другим , а то их не встретишь в	последовательности	натуральных чисел довольно долго .
Вторая запись	последовательности	более наглядно показывает ее структуру .
При этом периодическое повторение остатков начинается в тот момент , когда в	последовательности	остатков появляется остаток , совпадающий с одним из уже найденных .
Итак , для решения задачи выполним следующие действия в такой	последовательности	.
Числом является любая	последовательность	, состоящая не более чем из пяти цифр .
Выписанные таким образом числа образуют	последовательность	целых чисел , каждое из которых , кроме первого , на b меньше предыдущего .
Мы уже знаем , что эту же	последовательность	можно записать иначе : 3 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 .
Таким образом , для решения задачи нам надо выполнить следующую	последовательность	действий .
Какой должна быть	последовательность	определения этих понятий при построении математической теории ?
Некоторый алфавит состоит из трех букв — В , Г , Д. Словом в этом языке является любая	последовательность	из четырех букв .
Алфавит туземного племени состоит из букв П , Л , К , М. Словом в этом языке является любая	последовательность	из шести букв .
Словом в этом языке является любая	последовательность	из шести букв .
Словом в этом языке является любая	последовательность	из четырех букв .
Известно , что код сейфа является	последовательностью	цифр длиной не более шести символов .
б ) Известно , что код сейфа является	последовательностью	цифр длиной не более четырех символов .
г ) Известно , что код сейфа является	последовательностью	цифр 1 , 4 , 9 , 0 длиной не более шести символов .
б ) Код банковской ячейки является	последовательностью	цифр длиной не более семи символов .
Большой	поток	информации обрушивается на нас из всевозможных печатных изданий , радио- и телевизионных передач и , конечно , из Интернета .
Каждое из этих уравнений содержит одно неизвестное х. Левую их часть можно записать в вид , где k и b — некоторые числа , а их	правая	часть равна нулю .
Левая часть полученного равенства делится на d , а	правая	— нет , так как по условию с не делится на d. Следовательно , не существует таких целых х и у , при которых это равенство было бы возможно , что и требовалось доказать .
На сколько полученный им результат больше	правильного	? .
На сколько полученный ей результат больше	правильного	? .
На сколько полученный ей результат меньше	правильного	? .
На сколько полученный им результат меньше	правильного	? .
В примере ( 1 ) проведено	правильное	рассуждение , а в примере ( 2 ) - нет .
Может возникнуть вопрос : какую же геометрию считать	правильной	- геометрию Евклида или Лобачевского ?
35 Сформулируйте определения : а )	правильной	дроби ; б ) простого числа ; в ) отношения ; г ) пропорции ; д ) четного числа ; е ) процента .
35 Сформулируйте определения : а )	правильной дроби	; б ) простого числа ; в ) отношения ; г ) пропорции ; д ) четного числа ; е ) процента .
Так , для решения следующего примера сначала нужно выбрать	правильную	группировку .
Все	правильные	дроби больше или равны 1 . ж )
Но как узнать , какие выводы	правильные	, а какие - нет ?
Все	правильные дроби	больше или равны 1 . ж )
в ) Всем	правильным	дробям поставлено в соответствие число 2 , а всем неправильным дробям — число 4 .
Однако нередко рассуждения , построенные , казалось бы , в соответствии с	правильными	логическими формами , приводят в итоге к абсолютно нелепым утверждениям .
Мы говорили о том , что доказательство математических утверждений , по сути , состоит из последовательности	правильных	выводов .
Так , великий древнегреческий философ Аристотель и его ученики начиная с IV века до н.э. исследовали законы конструирования логически	правильных	суждений .
Законы конструирования	правильных	рассуждений изучает специальная наука - логика .
Чтобы проверить выполнение неравенства 2а меньше а плюс 2b , упростим его , вычитая из	правой	и левой его части одно и то же число а .
Поэтому если мы разделим обе части последнего равенства на 35 , то получим в левой и	правой	части некоторое целое число .
« Он сначала добавил к	правой	и левой части уравнения одно и то же число ( -2х2 ) , а затем разложил получившийся многочлен на множители и нашел корни уравнения .
В	правой	части уравнения выносим за скобки общий множитель 2 , а в левой его части — общий множитель 5 .
Приведем данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства , а числа — в	правой	и упростим полученные выражения .
После этого он добавил к	правой	и левой части уравнения одно и то же число ( -2х ) и , воспользовавшись формулой суммы квадратов , нашел корни уравнения .
Вынесем за скобки в	правой	и левой частях равенства общие множители .
« Заметив , что многочлен в	правой	части уравнения имеет общий множитель х , он вынес его за скобки .
Изменится ли знак неравенства , если в левой и	правой	его частях выполнить следующие преобразования .
Делим	правую	и левую части уравнения на одно и то же выражение .
Меняя местами левую и	правую	части полученного равенства , мы приходим к новой формуле сокращенного умножения , называемой формулой разности квадратов .
Вначале перенесем слагаемое b в	правую	часть данного неравенства .
Умножим левую часть равенства на 10 см , а	правую	часть — на 100 мм .
Для этого перенесем слагаемое b в	правую	часть равенства , поменяв его знак на противоположный .
Затем он разделил	правую	и левую части на одно и то же число х и получил уравнение х2 плюс 1 равно 2х .
3 Если с делится на d , разделить	правую	и левую части исходного уравнения на d .
Сложим левые и	правые	части полученных равенств .
Так , например , она не дает представлений о том , в каких	пределах	изменяются значения исследуемой величины .
Однако ,	прибавив	2 к числу n , получим четное число , боль шее , чем n .
Сначала он похудел на 25 % , затем	прибавил	20 % , а потом похудел еще на 10 % .
Теперь перемножим все наши простые числа и	прибавим	к их произведению число 1 .
Затем	прибавим	полученный многочлен к многочлену - уменьшаемому . .
Если мы	прибавим	к нему , а затем вычтем число 1 , то выражение не изменится , но в нем можно будет выделить полный квадрат .
Следующий прием разложения многочлена на множители основан на том , что если мы к многочлену	прибавим	и вычтем из него одно и то же выражение , то многочлен от этого не изменится .
б ) Какое рациональное число нужно	прибавить	к числителю и знаменателю дроби , чтобы она стала равна ? .
1 Если к обеим частям неравенства	прибавить	или вычесть одно и то же число ( выражение ) , то получим неравенство , равносильное данному .
а ) Если от загаданного рационального числа отнять 5 , результат умножить на 7 , к полученному произведению прибавить 2 , результат разделить на 6 , а к полученному частному	прибавить	4 , то снова получится загаданное число .
647 Докажите , что а ) если к произведению двух последовательных целых чисел	прибавить	большее из них , то получится квадрат большего из этих чисел .
б ) Если к числу рабочих на заводе	прибавить	половину их количества и еще 2/3 от их количества , то получится 3510 человек .
Если к половине возраста Сашиного папы	прибавить	8 , то получится его возраст 15 лет назад .
а ) Если от загаданного рационального числа отнять 5 , результат умножить на 7 , к полученному произведению	прибавить	2 , результат разделить на 6 , а к полученному частному прибавить 4 , то снова получится загаданное число .
432 Сколько раз к наибольшему однозначному числу нужно	прибавить	наибольшее двузначное , чтобы получить наибольшее трехзначное число ? .
261 Какое выражение надо	прибавить	к ( а минус b)2 , чтобы получить ( а плюс 6)2 ? .
а )	прибавить	число ( -1 ) ; б ) вычесть число ; в ) умножить на число 3 4 ; г ) разделить на число ( -2 ) ? .
1 Если к обеим частям уравнения	прибавить	или вычесть одно и то же число ( выражение ) , то получим уравнение , равносильное данному .
а ) Если к произведению двух целых чисел , одно из которых на 2 больше другого ,	прибавить	1 , то получится точный квадрат .
Если к произведению двух последовательных целых чисел	прибавить	большее из них , то получится квадрат большего числа .
387 Какое выражение надо	прибавить	к ( а минус b)3 , чтобы получить ( а плюс 6)3 ? .
Разрешается к любым двум числам	прибавлять	по 1 .
Для этого проводят испытание достаточно много раз , вычисляют частоту появления случайного события , которая и будет являться	приближенным	значением вероятности этого события .
Так как перед скобкой стоит знак « - » и множитель 2 , то каждое слагаемое в скобке умножим на 2 и изменим его знак на противоположный , а затем	приведем	подобные слагаемые .
Для этого раскроем скобки , используя правило умножения одночлена на многочлен , а затем в полученной алгебраической сумме	приведем	подобные слагаемые .
Первую из этих теорем мы	приведем	без доказательства , так как для ее обоснования у нас пока недостаточно математических знаний , зато вторую — сможем доказать .
Теперь раскроем скобки , выполняя умножение одночлена на многочлен , затем	приведем	подобные слагаемые и найдем корень уравнения .
В задании	приведен	отрывок из романа Жюля Верна « Двадцать тысяч лье под водой » .
В задании	приведен	отрывок из романа « Золотой теленок » Ильи Ильфа и Евгения Петрова , содержащий 583 буквы .
Таблица ,	приведенная	ниже , является отчетом о дневных продажах в некоторой компании .
122 Исходя из определения многочлена ,	приведенного	на стр. 25 , определите , можно ли указанное выражение записать как многочлен .
Значит , в числителе	приведенного	выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее произведение : Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем сократим полученную дробь и возведем ее в квадрат .
Проверьте свое предположение , используя определение понятия одночлена ,	приведенное	на стр. 19 .
Теперь , пользуясь этими правилами , упростим выражение ,	приведенное	в начале пункта : 5х + 5у - ( 4у - 1 - 0,5(2х -5у + 3(3у - 2х - 2(х + у ) ) ) ) .
Так , в	приведенной	ниже таблице указана средняя частота появления букв русского алфавита в тексте из 1000 букв .
Например , из	приведенной	выше таблицы выпуска мопедов мы можем сделать следующие выводы .
Сравните свой вывод с формулировкой ,	приведенной	на стр. 98 учебника .
Сравните полученные результаты с таблицей частот букв русского алфавита ,	приведенной	на стр. учебника .
Сравните полученные результаты с таблицей частот букв русского алфавита ,	приведенной	на стр. 22 части 3 учебника .
В принципе , этих правил вполне достаточно для того , чтобы упростить любую алгебраическую сумму , в том числе и	приведенную	выше .
Используя	приведенные	данные , определите . 1 ) В каком городе была наименьшая температура воздуха и чему она была равна ? .
Используя правила равносильных преобразований , докажите , что все	приведенные	ниже уравнения равносильны между собой .
Используя	приведенные	данные , определите . 1 ) Какой была наименьшая температура морской воды , в каком море это было и в каком городе ? .
Используя правила равносильных преобразований , докажите , что все	приведенные	ниже неравенства равносильны между собой .
Рассмотрите приемы решения примеров 2 - 5 и прочитайте советы ,	приведенные	.
Соотнесите	приведенные	ниже записи с одним из этих четырех выражений , указав возможные А и В .
Например ,	приведенные	выше одночлены в стандартном виде записываются так .
408 Как называются	приведенные	записи ?
Сравните свое определение с определением ,	приведенным	на стр. 89 учебника .
Сравните полученный вами алгоритм с алгоритмом ,	приведенным	на стр. учебника , и примените его для построения на координатной плоскости Ost графика движения пешехода в рассматриваемой задаче .
Сравните свои ответы с приемами , использованными при решении примера 2 на стр. 33 , и алгоритмом ,	приведенным	на стр. 34 .
Запишите алгоритм его решения , используемый вами , и сравните его с алгоритмом ,	приведенным	на стр. 90 учебника .
Сравните его с алгоритмом ,	приведенным	на стр. учебника .
Сравните свое решение этой задачи с решением ,	приведенным	на стр. 127 - 129 учебника .
Используя свой опыт построения графика функции , составьте общий алгоритм построения графика линейной функции и сравните его с алгоритмом ,	приведенным	на стр. учебника .
Сравните его с определением ,	приведенным	на стр. учебника .
Почему полученные вами частоты не совпадают с данными ,	приведенными	в таблице ?
Почему полученные вами частоты не совпадают с данными ,	приведенными	в таблице ? .
Используя данную формулу зависимости между р и q , вычислите значения р для данных q . 1 ) Зависимости между множествами X и У заданы	приведенными	ниже схемами .
Сравните свои определения с определениями ,	приведенными	на стр. учебника .
Зависимости между множествами X и Y заданы	приведенными	ниже схемами .
Сравните их с правилами преобразований ,	приведенными	на стр. учебника .
Сравните свое решение и алгоритм с таблицей и алгоритмом ,	приведенными	в учебнике .
Сравните свои варианты со статистическими характеристиками ,	приведенными	в учебнике .
Среди	приведенных	высказываний найдите общие высказывания , высказывания о существовании и высказывания , не являющиеся ни теми , ни .
493 Из блоков ,	приведенных	ниже , постройте алгоритм разложения многочлена на множители путем вынесения общего буквенного множителя за скобки .
Пользуясь определением , найдите линейные уравнения с одной переменной среди уравнений ,	приведенных	ниже .
Какие из	приведенных	высказываний являются равносильными ?
504 Какие из	приведенных	ниже высказываний являются общими , а какие — высказываниями о существовании ?
Например , равносильность	приведенных	выше выражений может быть обоснована с помощью этих правил следующим образом .
Из	приведенных	ниже функций выберите те , которые являются прямой пропорциональностью .
Определите , какие из	приведенных	ниже зависимостей являются функциями .
Какие из	приведенных	многочленов являются противоположными ? .
Так , в	приведенных	выше уравнениях значения k и b равны .
В таблице	приведено	расписание движения автобусов от московского автовокзала .
В таблице	приведено	расписание вылета авиарейсов из аэропорта Домодедово ( Москва ) .
В таблице	приведены	данные о численности населения Российской Федерации в 2002 - 2009 гг .
Как им надо раз делить заработанные деньги , если они работали одинаковое время и их часовые ставки оплаты	приведены	в таблице .
В таблице	приведены	данные о температуре воздуха в некоторых городах в 13 часов дня 12 .
В таблице	приведены	данные о ежегодном производстве в Российской Федерации в 1998 - 2008 гг. электрических плит ( тыс. штук ) .
В таблице	приведены	данные о производстве в Российской Федерации сгущенного молока с сахаром ( в млн . банок ) в 2001 - 2008 гг .
В таблице	приведены	данные о производстве в Российской Федерации кукурузных палочек ( в тоннах ) в 1997 - 2006 гг .
Сравните данные вами название и определение с теми , которые	приведены	на стр. учебника .
В таблице	приведены	данные о температуре морской воды в некоторых городах в 14 часов 10 .
В таблице	приведены	данные о ежегодном производстве в Российской Федерации в 1998 - 2008 гг. паровых турбин в штуках .
Сравните свои определения с теми , которые	приведены	на стр. 25 - 26 .
Заметим , что с помощью равносильных преобразований к виду kx — с могут быть	приведены	самые различные уравнения , например .
В случаях , когда такая ситуация возможна ,	приведите	пример , а если это невозможно , то дайте соответствующие объяснения .
491 Раскройте скобки и	приведите	подобные члены .
448 Раскройте скобки и	приведите	подобные слагаемые .
435 Раскройте скобки и	приведите	подобные слагаемые .
Заменив в каждом высказывании буквы на числа ,	приведите	по два примера истинных высказываний .
Но как убедиться в том , что выполненные преобразования равносильны , то есть что они	привели	нас к выражению , равносильному первоначальному ?
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений	привели	к развитию представлений о числе и появлению множеств натуральных чисел N , целых чисел Z , рациональных чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
В каких случаях неправильно построенные выводы	привели	к истинным заключениям ?
Сделанное нами предположение во всех случаях	привело	нас к противоречию .
Таким образом , сделанное нами предположение о том , что множество простых чисел конечно ,	привело	нас к противоречию .
Если вывод некоторого утверждения основывается на неправильном предположении , то это также может	привести	к ошибке .
То есть можно ли с помощью равносильных преобразований	привести	исходное неравенство к одному из четырех указанных выше простейших видов ?
Приведенные рассуждения являются примерами того , как неточность формулировок , невнимание к условиям , при которых выполнимы те или иные операции и процессы , неравносильность выполняемых преобразований могут	привести	к доказательству ошибочных утверждений .
И таких примеров можно	привести	огромное количество .
Составьте задачу , решение которой может	привести	к следующему уравнению .
Чтобы выполнить перевод , можно	привести	обыкновенную дробь к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей , либо разделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель .
Нам часто приходилось сталкиваться с тем , что самые разные практические задачи	приводили	к уравнениям , в которых неизвестные по своему смыслу являлись целыми числами .
С помощью этой теоремы легко доказать признак делимости на 9 , который мы ранее использовали , но общее доказательство не	приводили	.
И хотя	приводимое	им заключение верно , доказательством оно не является .
Преобразование неравенства называют равносильным , если оно	приводит	к неравенству , равносильному данному .
Полученный нами при решении задачи результат	приводит	нас к еще одной статистической характеристике набора чисел , называемой медианой .
Исследуя различные события , мы прежде всего интересуемся тем , насколько часто то или иное событие	приводит	нас к нужному результату .
Преобразование уравнения называют равносильным , если оно	приводит	к уравнению , равносильному данному .
Однако далеко не каждая группировка	приводит	к разложению многочлена на множители .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь	приводить	.
В частности , выбранная система аксиом должна быть непротиворечивой , то есть она не должна	приводить	к противоречащим друг другу выводам .
Полученные промежуточные многочлены будем	приводить	к стандартному виду .
Многочлены часто являются математическими моделями практических задач , поэтому нам надо уметь выполнять арифметические действия с многочленами и	приводить	такие выражения к максимально простому виду .
Чтобы проще было проводить вычисления , многочлен , получающийся на каждом шаге вычислений , лучше	приводить	к стандартному виду .
Однако нередко рассуждения , построенные , казалось бы , в соответствии с правильными логическими формами ,	приводят	в итоге к абсолютно нелепым утверждениям .
Для того чтобы информация приносила пользу , ее нужно уметь систематизировать , анализировать и делать на ее основании выводы ,	приводящие	к достижению поставленных целей .
Но для начала нам надо научиться строить удобные математические модели ,	приводящие	к уравнениям , способ решения которых известен .
Понимание причин ошибок ,	приводящих	к очевидной нелепице , позволяет понять , почему в математике существуют те или иные ограничения и правила .
Рассмотрим задачу ,	приводящую	к таким уравнениям , и решим ее .
Запишем полученное	произведение	, представляя целое число или отдельную букву в виде дроби со знаменателем 1 .
Их	произведение	равно 375 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их	произведение	делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Для этого заметим , что слагаемое можно записать как удвоенное	произведение	и числа Теперь , добавляя и вычитая из исходного многочлена ( квадрат числа ) , выделяем полный квадрат .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их	произведение	делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
233 Вычислите	произведение	многочленов .
Итак , теперь мы знаем , как найти	произведение	двух многочленов .
Нам известно также , что	произведение	нескольких дробей равно дроби , в числителе которой стоит произведение числителей исходных дробей , а в знаменателе - произведение их знаменателей .
Как можно записать в виде многочлена первое	произведение	, используя результат раскрытия скобок во втором ? .
Запишем их	произведение	и , воспользовавшись распределительным законом умножения , раскроем скобки .
б ) Когда Таню попросили дать ее адрес , она сказала : « Номер моего дома на 12 меньше номера моей квартиры , а их	произведение	равно 1728 » .
218 Вычислите	произведение	многочленов .
в ) если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное , то их	произведение	делится на 24 . г ) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если	произведение	двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
А	произведение	количества мальчиков и девочек равно 252 .
220 Вычислите	произведение	многочленов .
Нам известно также , что произведение нескольких дробей равно дроби , в числителе которой стоит произведение числителей исходных дробей , а в знаменателе -	произведение	их знаменателей .
а )	произведение	двух последовательных четных чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б ) произведение чисел для любого целого а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
Нам известно также , что произведение нескольких дробей равно дроби , в числителе которой стоит	произведение	числителей исходных дробей , а в знаменателе - произведение их знаменателей .
Но при решении разного рода задач нам часто приходится сталкиваться и с алгебраическими выражениями , содержащими	произведение	и частное нескольких величин .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их	произведение	делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
А как найти	произведение	трех или более многочленов ? .
714 Найдите загаданные рациональные числа , если известно , что	произведение	первого и третьего из них равно 20 .
657 а ) При каких значениях х	произведение	двучленов х плюс 3 и х минус 3 меньше суммы их квадратов на 28 ? .
а )	произведение	первого и третьего из них равно 63 , второе загаданное число на 7 больше первого , а третье — на 9 меньше произведения первого и второго чисел .
б ) При каких значениях у удвоенное	произведение	двучленов у плюс 5 и у минус 5 меньше суммы их квадратов на 9у ? .
В этом случае следует сначала умножить первый многочлен на второй , затем полученное	произведение	умножить на третий многочлен и т .
их разность равна 1,5 , а их	произведение	равно 10 .
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное	произведение	первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное	произведение	первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
а ) произведение двух последовательных четных чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б )	произведение	чисел для любого целого а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и	произведение	двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р .
130 а ) Делится ли	произведение	на 5 , 3 , 15 , 20 , 45 ?
а ) квадрат произведения чисел 5 , квадрата числа а , куба числа b . б )	произведение	кубов чисел 3 , х , у , 2 , г .
а ) их сумма равна 2,5 , а их	произведение	равно 1,5 .
б )	произведение	первого и третьего из них равно 32 , второе загаданное число на 2 больше первого , а третье — на 16 меньше произведения первого и второго чисел . .
Делится ли	произведение	а ) на 14 ; б ) на 42 ?
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если	произведение	двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Используя определение степени , запишите выражение как	произведение	двучленов и выполните умножение .
Запишите	произведение	суммы а и b и неполного квадрата разности а и b как многочлен стандартного вида .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их	произведение	делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Как изменилось	произведение	? .
Найдем	произведение	чисел а и b .
Мы получили , что	произведение	разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
а )	произведение	двух последовательных целых чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
37 Запишите	произведение	в виде степени .
36 а ) Представьте	произведение	в виде степени .
1 Вычислить	произведение	всех числовых множителей ( коэффициент ) одночлена и записать его на первом месте .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то	произведение	а и любого другого целого числа делится на с .
4 Для того чтобы возвести в степень	произведение	, можно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить .
Одно из натуральных чисел в два раза больше другого , а их	произведение	равно 32 .
Сумма двух натуральных чисел равна 10 , а их	произведение	равно 24 .
Известно , что одно из них на 2 больше другого , а их	произведение	равно 15 .
Запишите	произведение	одночлена ( -2ab ) и многочлена ( а2 - 4 ) .
Ведь мы всегда можем записать сумму , разность ,	произведение	и частное нескольких одночленов ( кроме деления на нулевой одночлен ) .
а ) Если	произведение	двух натуральных чисел делится на 7 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 7 .
Если	произведение	двух натуральных чисел делится на 15 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 15 .
340 Вычислите	произведение	, используя формулу разности квадратов .
Значит , в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее	произведение	: Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем сократим полученную дробь и возведем ее в квадрат .
Если	произведение	двух рациональных чисел равно 1 , то эти числа взаимно обратные .
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное	произведение	квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
м )	произведение	значений выражений и больше или равно ( -12 ) .
Данное свойство можно распространить на	произведение	трех и более степеней .
184 Найдите	произведение	одночленов и запишите его как одночлен стандартного вида .
Тем самым мы найдем корни исходного уравнения , так как	произведение	равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д )	произведение	неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
2 Найти все общие простые множители этих чисел и записать их	произведение	.
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное	произведение	квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
б )	произведение	первого и третьего из них равно 2 , второе число на 2 больше первого , а третье — на 1 меньше произведения первого и второго из загаданных чисел .
а )	произведение	первого и третьего из них равно (-8 ) , второе число на 5 меньше первого , а третье — на 2 больше произведения первого и второго из загаданных чисел .
Биолог предложил математику определить возраст его сыновей и сообщил , что	произведение	полных лет трех его сыновей равно 36 .
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное	произведение	первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
в ) одно число больше другого на 1,6 , а их произведение равно 13,8 . г ) одно число меньше другого на 4 , а их	произведение	равно -1,75 .
в ) одно число больше другого на 1,6 , а их	произведение	равно 13,8 . г ) одно число меньше другого на 4 , а их произведение равно -1,75 .
Так , например , объем прямоугольного параллелепипеда есть	произведение	трех его измерений .
Выполните умножение и запишите полученный многочлен -	произведение	в стандартном виде .
их разность равна 2,2 , а их	произведение	равно 8,4 .
выполненная работа —	произведение	производительности и затраченного времени и т .
54 Возведите	произведение	в степень .
501 Представьте выражение как	произведение	.
В обоих случаях	произведение	будет отлично от 90 .
Найдите	произведение	двучленов ( х плюс 1)(х минус 2 ) .
204 Можно ли найти два натуральных числа , сумма и	произведение	которых нечетны ? .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное	произведение	квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное	произведение	первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
а ) их сумма равна 3,5 , а их	произведение	равно 3 .
Если	произведение	двух рациональных чисел равно 0 , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
523 Представьте выражение как	произведение	.
Значит , этот многочлен мы можем рассматривать как	произведение	одночлена 5 x . и многочлена x2 минус 2 x плюс 5 .
Как надо изменить третий множитель , чтобы	произведение	не изменилось ? .
б ) Сколькими способами можно выбрать из 9 детективов , 11 классических произведений и 7 книг о приключениях три книги : детектив , классическое	произведение	и книгу о приключениях ? .
а )	произведение	квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Если	произведение	двух целых чисел делится на некоторое целое число , то хотя бы один из множителей делится на это число .
В нашем определении мы говорили о натуральном показателе степени , большем 1 , поскольку	произведение	чисел не может содержать менее двух множителей .
б ) При каких значениях у удвоенное	произведение	двучленов у плюс 7 и 7 минус у меньше суммы их квадратов на 14у ! .
Мы видим , что	произведение	одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а алгебраическая сумма одночленов по определению многочлен .
а ) При каких значениях х	произведение	двучленов х плюс 4 и х минус 4 меньше суммы их квадратов на 52 ? .
Запишите	произведение	двучленов как многочлен стандартного вида .
сумма выпавших на верхних гранях очков равна шести , а их	произведение	равно восьми
Тогда n - й степенью рационального числа а называется	произведение	n множителей , каждый из которых равен а .
Под натуральной степенью n числа а мы понимали	произведение	n множителей , каждый из которых равен а .
Найдите	произведение	этих чисел .
а ) Квадрат суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное	произведение	первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
сумма выпавших на верхних гранях очков равна семи , а их	произведение	равно десяти .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное	произведение	квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное	произведение	первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
Для того чтобы разобраться в том , что значит разложить многочлены на множители и зачем это нужно , вычислим	произведение	двучленов .
Любая натуральная степень нуля представляет собой	произведение	нулей ( или само число 0 ) .
Натуральная степень положительного рационального числа представляет собой	произведение	положительных чисел ( или само число ) .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти	произведение	суммы и разности двух выражений , а затем — как найти разность квадратов двух выражений .
Поскольку степень фактически представляет собой	произведение	нескольких множителей , то запись степени можно рассматривать как запись произведения , заключенного в скобки .
Ответ : 345 . 1 а ) Запишите	произведение	натуральных чисел в виде степени .
Существуют два натуральных числа , одно из которых больше другого на 5 , и их	произведение	равно 5 .
Мы знаем , что	произведение	равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
Сумму двух целых чисел умножили на их	произведение	.
а ) Если сумма и	произведение	двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р . б ) Любое простое число , большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
Запишите	произведение	как многочлен стандартного вида .
320 Вычислите	произведение	многочленов .
числитель меньше знаменателя ; 8)	произведение	двух чисел ; 9 )
328 Представьте выражение как	произведение	двух многочленов .
354 Делится ли	произведение	202 • 273 на 12 , 15 , 17 , 18 , 35 , 36 ?
Это	произведение	всегда равно нулю , что и требовалось доказать .
Запишите	произведение	суммы и разности а и b как многочлен стандартного вида .
Заметим , что равно является удвоенным	произведением	х3 и 1 .
Это слагаемое является удвоенным	произведением	х и у2 .
Обозначим двучлен а плюс b какой - либо буквой , например буквой х , и в полученном	произведении	х(с плюс d ) раскроем скобки .
з ) В	произведении	трех чисел первый множитель увеличили на 20 % , второй уменьшили на 25 % , а третий увеличили на 10 % .
е ) Если в	произведении	рациональных чисел поменять порядок действий , то результат может измениться .
з ) В	произведении	трех чисел первый множитель увеличили на 40 % , второй уменьшили на 65 % , а третий увеличили на 20 % .
2 В любом	произведении	можно как угодно переставлять множители и объединять их в группы .
г ) В	произведении	трех чисел первый множитель увеличили на 30 % , второй увеличили на 45 % , а третий уменьшили на 50 % .
в ) В	произведении	трех чисел первый множитель уменьшили на 20 % , второй увеличили на 65 % , а третий уменьшили на 30 % .
Согласно сочетательному закону умножения , в любом	произведении	скобки можно опустить .
465 а ) В	произведении	трех чисел первый множитель увеличили на 50 % , а второй увеличили на 33^% .
Перечислим правила равносильных преобразований	произведений	, которыми мы пользовались для упрощения исходного выражения .
б ) Сколькими способами можно выбрать из 9 детективов , 11 классических	произведений	и 7 книг о приключениях три книги : детектив , классическое произведение и книгу о приключениях ? .
2 Равносильные преобразования	произведений	.
Поскольку в основных законах арифметики даны правила только для преобразования сумм и	произведений	, то естественно свести действие деления к умножению , подобно тому , как мы свели вычитание к сложению .
Произведением одночлена и многочлена называется многочлен , равный сумме	произведений	этого одночлена и каждого члена многочлена .
Правила равносильных преобразований	произведений	.
Произведением двух многочленов называется многочлен , равный сумме	произведений	каждого члена одного многочлена на каждый член другого многочлена .
Можно доказать , что данные законы верны также для сумм с произвольным числом слагаемых и для	произведений	с произвольным числом множителей .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна	произведению	длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
а ) Если от загаданного рационального числа отнять 5 , результат умножить на 7 , к полученному	произведению	прибавить 2 , результат разделить на 6 , а к полученному частному прибавить 4 , то снова получится загаданное число .
В этом случае равенство невозможно , так как получается , что неотрицательное число равно	произведению	положительного и отрицательного числа .
Нам известно , что площадь прямоугольника равна	произведению	его длины и ширины .
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна	произведению	длин его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
б ) Второе из задуманных чисел равно	произведению	числа а на число 3,3 , а первое - произведению числа b и числа 4,7 .
Мы замечаем , что в каждом из этих случаев итоговый многочлен состоит из трех слагаемых , два из которых — квадраты членов исходного двучлена , а третье равно удвоенному	произведению	этих членов .
Разность кубов двух выражений равна	произведению	разности этих выражений на неполный квадрат их суммы .
2 Произведение нескольких дробей можно записать как единую дробь , числитель которой равен	произведению	числителей исходных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
Сумма кубов двух выражений равна	произведению	суммы этих выражений на неполный квадрат их разности .
Для этого воспользуемся тем , что частное чисел m и n , равно	произведению	числа m на обратное к n : .
3 Если по условию задачи каждый из символов может занимать любую позицию , то общее количество возможных вариантов равно	произведению	полученного числа на количество заданных символов .
Положить новое значение С равным	произведению	C1 и найденного ранее С .
б ) Второе из задуманных чисел равно произведению числа а на число 3,3 , а первое -	произведению	числа b и числа 4,7 .
Разность квадратов двух выражений равна	произведению	их разности и суммы .
Если к	произведению	двух последовательных целых чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Натуральной ( n - й ) степенью числа а называется число аn , равное	произведению	n множителей , каждый из которых равен а .
а ) Если к	произведению	двух целых чисел , одно из которых на 2 больше другого , прибавить 1 , то получится точный квадрат .
Число , обратное	произведению	чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
647 Докажите , что а ) если к	произведению	двух последовательных целых чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего из этих чисел .
2 Произведение нескольких дробей можно записать как единую дробь , числитель которой равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель -	произведению	их знаменателей .
Теперь перемножим все наши простые числа и прибавим к их	произведению	число 1 .
443 Представьте многочлен в виде	произведения	двух многочленов .
Если бы мы не узнали , что многочлен х2 минус х минус 2 можно представить в виде	произведения	, то не смогли бы решить данное уравнение , так как пока не знаем общего способа решения уравнений такого вида .
Умение раскладывать многочлены на множители , то есть представлять их в виде	произведения	двух или более многочленов , оказывается очень полезным при решении различных задач .
Следует отметить , что любой многочлен мы всегда можем представить в виде	произведения	некоторого числа и многочлена , причем бесконечным числом способов .
	Произведения	разности и суммы двух выражений . разности квадратов . разности кубов .
Степень	произведения	и частного ( дроби ) .
Разложить многочлен на множители ( на буквенные множители ) — это значит представить его в виде	произведения	двух или более многочленов , степень которых больше нуля .
Поскольку степень фактически представляет собой произведение нескольких множителей , то запись степени можно рассматривать как запись	произведения	, заключенного в скобки .
Известно , что второе загаданное число на б больше первого , а третье — на 11 больше	произведения	первого и второго чисел .
а ) произведение первого и третьего из них равно 63 , второе загаданное число на 7 больше первого , а третье — на 9 меньше	произведения	первого и второго чисел .
455 Представьте выражение в виде	произведения	многочленов .
Таким образом , используя установленные формулы , нам не надо представлять квадраты двучленов в виде	произведения	двух множителей , затем выполнять умножение и приведение подобных слагаемых .
а ) квадрат любого целого числа на единицу больше	произведения	предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное .
Доказать , что среди двузначных чисел есть только два числа , 72 и 94 , которые на 58 больше	произведения	своих цифр .
б ) произведение первого и третьего из них равно 32 , второе загаданное число на 2 больше первого , а третье — на 16 меньше	произведения	первого и второго чисел . .
Второе загаданное число на 5 больше первого , а третье — на 4 меньше	произведения	первого и второго чисел .
22 Запишите	произведения	рациональных чисел короче , используя понятие степени .
сумма произведения чисел 5 и х и	произведения	чисел 4 и с . г ) разность частного чисел 9 иди разности между числом 7 и а .
	Произведения	.
а ) произведение двух последовательных целых чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от деления на 4	произведения	двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
559 Представьте выражение в виде	произведения	степеней простых чисел и букв .
Любое составное число можно представить в виде	произведения	простых множителей .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные	произведения	сложить .
а ) Сумма числа а и частного от деления b на с . б ) Частное от деления	произведения	чисел х и у на разность чисел m и n .
588 Представьте выражение в виде	произведения	двух многочленов , используя формулу разности квадратов .
Итак , мы приходим к следующему определению	произведения	двух многочленов .
590 Представьте выражение в виде	произведения	двух многочленов , используя формулы суммы и разности кубов .
666 Представьте многочлен в виде	произведения	нескольких многочленов .
473 Представьте многочлен в виде	произведения	двух многочленов .
Из основной теоремы арифметики следует важный вывод о том , что различные представления одного и того же составного числа в виде	произведения	простых чисел связаны только с различием в порядке множителей .
а ) квадрат	произведения	чисел 5 , квадрата числа а , куба числа b . б ) произведение кубов чисел 3 , х , у , 2 , г .
475 Представьте выражение в виде	произведения	многочленов .
Значение	произведения	не зависит от порядка множителей .
760 Представьте выражение в виде	произведения	многочленов .
Вычисление	произведения	, состоящего из n множителей , каждый из которых равен а , называют возведением числа а в n - ю степень .
478 Представьте выражение в виде	произведения	многочленов .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные	произведения	его членов .
Значение	произведения	не зависит от порядка действий .
Тогда его можно представить в виде	произведения	двух множителей где бис - натуральные числа , отличные от 1 .
520 Представьте выражение в виде	произведения	двух многочленов .
сумма	произведения	чисел 5 и х и произведения чисел 4 и с . г ) разность частного чисел 9 иди разности между числом 7 и а .
542 Представьте выражение в виде	произведения	многочленов степени большей нуля .
Формула	произведения	разности и суммы двух выражений .
568 Представьте выражение в виде	произведения	многочленов степени большей нуля .
Теперь , чтобы получить формулу разности кубов , заметим , что Выражение а2 плюс ab плюс b2 получило название неполного квадрата суммы а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у	произведения	ab .
326 Представьте многочлен в виде	произведения	суммы и разности двух выражений .
Записать разложение в виде	произведения	СА .
616 Представьте выражение в виде	произведения	двух многочленов , используя формулы суммы и разности кубов .
Сравните способы представления трехчлена в виде	произведения	нескольких множителей , полученных в заданиях 488 ( 1 ) и 488 ( 2 ) .
499 Представьте выражение в виде	произведения	многочленов .
Поэтому одночленами являются , например , следующие	произведения	.
Установите общую формулу для вычисления	произведения	степеней рациональных чисел с общим основанием и натуральными показателями .
Отдельные числа и переменные также являются одночленами , так как их всегда можно представить в виде	произведения	, например , d равно d умножить 1 , 14 равно 14 умножить а0 .
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой вариант определения	произведения	одночлена и многочлена и соответствующего правила .
360 Представьте выражение в виде	произведения	двух многочленов .
637 Представьте многочлен в виде	произведения	нескольких многочленов степени большей нуля и назовите приемы разложения многочленов на множители , которые вы использовали .
358 Представьте многочлен в виде	произведения	суммы и разности двух выражений .
614 Представьте выражение в виде	произведения	многочленов , используя формулу разности квадратов .
Таким образом , каждый одночлен может быть представлен в виде	произведения	своего коэффициента и степеней входящих в него переменных .
а ) в виде	произведения	двух степеней с основанием х и показателем n N0 . б ) в виде произведения трех степеней с основанием х и показателем n N0 ? .
а ) в виде произведения двух степеней с основанием х и показателем n N0 . б ) в виде	произведения	трех степеней с основанием х и показателем n N0 ? .
39 Запишите выражение а15 в виде	произведения	.
На основе выполненных преобразований предложите свое определение для	произведения	многочленов и соответствующее правило .
Пользуясь правилами равносильных преобразований , мы можем упрощать не только алгебраические суммы , но и	произведения	.
Выражение а2 минус аb плюс b2 получило название неполного квадрата разности а и b , так как в отличие от квадрата разности у	произведения	аb нет множителя 2 .
515 Запишите выражение в виде	произведения	многочленов .
Записать исходный многочлен в виде	произведения	СА .
445 Представьте выражение в виде	произведения	многочленов .
2 Ищите в исходном многочлене признаки формул сокращенного умножения — удвоенные и утроенные	произведения	, сумму и разность кубов , разность квадратов .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , можно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные	произведения	сложить .
Представьте выражение в виде	произведения	многочленов степени , большей 0 .
б ) произведение первого и третьего из них равно 2 , второе число на 2 больше первого , а третье — на 1 меньше	произведения	первого и второго из загаданных чисел .
а ) произведение первого и третьего из них равно (-8 ) , второе число на 5 меньше первого , а третье — на 2 больше	произведения	первого и второго из загаданных чисел .
При решении задач мы часто сталкиваемся с	произведениями	различного вида .
5 Замените в выражениях степени	произведениями	.
23 Замените в выражениях степени	произведениями	.
193 а ) Художник нарисовал известные пирамиды , сохранив их	пропорции	.
Назовите ее крайние члены , средние члены , основное свойство	пропорции	.
Какие другие	пропорции	, членами которых являются те же числа х , у , m и n , можно записать ? .
35 Сформулируйте определения : а ) правильной дроби ; б ) простого числа ; в ) отношения ; г )	пропорции	; д ) четного числа ; е ) процента .
Какие другие	пропорции	, членами которых являются те же числа а , b , с и d , можно записать ? .
Решите задачу методом	пропорций	.
Решите задачи методом	пропорций	.
Например , сторона квадрата не прямо	пропорциональна	его площади : если увеличить сторону квадрата в 2 раза , его площадь увеличится не в 2 , а в 4 раза .
Прямо	пропорциональная	зависимость является одной из самых простых .
Прямо	пропорциональная	зависимость , где k — произвольное число , является функциональной зависимостью , или функцией .
Разделите число 1298 на три части	пропорционально	числам 5 , 6 , 11 . б ) Разделите число 2438 на четыре части пропорционально числам 3 , 4 , 9 , 10 .
Разделите число 1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б ) Разделите число 2438 на четыре части	пропорционально	числам 3 , 4 , 9 , 10 .
Разделите число 2420 на четыре части	пропорционально	числам 2 , 3 , 8 .
Разделите число 2478 на три части	пропорционально	числам 2 , 5 , 7 .
190 Определите , какие из указанных величин связаны прямой	пропорциональной	зависимостью , а какие – обратной .
Отметим , что данный алгоритм построения графика линейной функции может использоваться при любых k и b. А значит , с его помощью может быть построен и график прямой	пропорциональной	зависимости ( случай , когда b — 0 ) , и график прямой ( случай , когда k — 0 ) .
Мы уже знаем , что рассмотренный тип зависимости называется прямо	пропорциональной	зависимостью .
График прямой	пропорциональной	зависимости проходит через точку А. Проходит ли он через точку В ? .
Постройте график прямой	пропорциональной	зависимости , если .
Постройте график прямой	пропорциональной	зависимости .
Для прямой	пропорциональной	зависимости найдите : 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b ,
а ) Если некоторые функции являются прямо пропорциональными зависимостями , то некоторые прямо	пропорциональные	зависимости — функции .
Величины прямо	пропорциональные	.
а ) Если некоторые функции являются прямо	пропорциональными	зависимостями , то некоторые прямо пропорциональные зависимости — функции .
Две величины х и у называются прямо	пропорциональными	, если они связаны формулой , где k — некоторое число .
Итак , мы можем дать следующее определение прямо	пропорциональных	величин .
Какие еще преобразования помогут получить из этих же чисел новую	пропорцию	? .
Прочитайте	пропорцию	разными способами .
Таким образом , величины у , хх , у , и х2 образуют	пропорцию	.
Дана	пропорция	.
Докажите , что опять получится	пропорция	, если : а ) поменять местами крайние члены ; б ) поменять местами средние члены ; в ) заменить каждое отношение обратным .
б ) В каких	пропорциях	надо сплавить золото 375 пробы с золотом 750 пробы , чтобы получить золото 500 пробы ? .
С этим свойством натуральных чисел связано важное понятие	простого числа	.
Вспомним определение	простого числа	.
35 Сформулируйте определения : а ) правильной дроби ; б )	простого числа	; в ) отношения ; г ) пропорции ; д ) четного числа ; е ) процента .
Заметим , что разложением	простого числа	на простые множители принято считать само это число .
Понятие	простого числа	может оказаться очень полезным , например , при разработке выигрышной стратегии в следующей игре .
176 Докажите , что : а ) Любое	простое число	, большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р .
а ) Если сумма и произведение двух чисел делятся на	простое число	р , то каждое из этих чисел делится на р . б ) Любое простое число , большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
а ) Если сумма и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р . б ) Любое	простое число	, большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
356 Найдите первое	простое число	, следующее за числом .
Следующая теорема доказывает , что если мы уже нашли несколько простых чисел , то всегда можно указать еще одно	простое число	.
Любое	простое число	, большее 2 , при делении на 4 может иметь остаток либо 1 , либо 3 .
Так , определив , что 19 не делится на 2 и 3 , можно остановить проверку , поскольку следующее	простое число	5 .
173 Найдите первое	простое число	, следующее за числом .
Найдите первое	простое число	, следующее за числом .
Так как 97 не делится ни на одно из указанных чисел , то , значит , 97 -	простое число	.
Сумма любых двух простых чисел -	простое число	. д ) Всякое простое число не может быть четным .
Следовательно , если натуральное число , большее 1 , не делится ни на одно	простое число	, квадрат которого меньше него , то рассматриваемое число - простое .
Сумма любых двух простых чисел - простое число . д ) Всякое	простое число	не может быть четным .
Значит , существует самое большое	простое число	.
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и произведение двух чисел делятся на	простое число	р , то каждое из этих чисел делится на р .
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые	простые числа	при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
377 Найдите	простые числа	, лежащие между числами а и b .
Все	простые числа	нечетные .
А чтобы доказать , что число 211 - простое , надо проверить , что оно не делится на все	простые числа	от 2 до 13 .
Поэтому , для того чтобы выяснить , является ли число простым , достаточно проверить , что оно не делится на	простые числа	, квадрат которых меньше этого числа .
174 Найдите	простые числа	, лежащие между числами а и b .
161 Найдите	простые числа	, лежащие между числами а и b .
Теперь перемножим все наши	простые числа	и прибавим к их произведению число 1 .
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами , можно заметить , что ряд простых чисел устроен достаточно сложно ,	простые числа	то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности натуральных чисел довольно долго .
1 Выписать все	простые числа	, квадраты которых меньше а .
Следовательно , для того чтобы выяснить , является ли данное число простым , достаточно проверить , что оно не делится на все	простые числа	, меньшие этого числа .
Найдите	простые числа	, лежащие между числами а и b .
163 Известно , что р и q - различные	простые числа	.
з ) Некоторые	простые числа	нечетные .
Поэтому , называя	простые числа	, первый игрок гарантированно будет называть последний делитель и выигрывать .
Выписываем	простые числа	, квадраты которых меньше 97 .
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть	простые числа	, которые при делении на 2 дают остаток 1 .
А можно ли найти все	простые числа	? .
Используя указанный алгоритм , проверим , является ли	простым число	97 .
Число 28 является	простым числом	.
а ) разность квадратов двух натуральных чисел быть	простым числом	? .
Наблюдая даже за несколькими первыми	простыми числами	, можно заметить , что ряд простых чисел устроен достаточно сложно , простые числа то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности натуральных чисел довольно долго .
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами , можно заметить , что ряд	простых чисел	устроен достаточно сложно , простые числа то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности натуральных чисел довольно долго .
559 Представьте выражение в виде произведения степеней	простых чисел	и букв .
С другой стороны , заметим , что число а при делении на каждое из наших	простых чисел	дает остаток 1 .
Следующая теорема доказывает , что если мы уже нашли несколько	простых чисел	, то всегда можно указать еще одно простое число .
158 Разбейте множество А на два подмножества : S - подмножество составных чисел , Р - подмножество	простых чисел	.
Свойства	простых чисел	позволяют первому игроку быстро найти выигрышную стратегию , ведь эти числа имеют ровно два различных делителя .
Число а больше каждого из имеющихся	простых чисел	.
Из основной теоремы арифметики следует важный вывод о том , что различные представления одного и того же составного числа в виде произведения	простых чисел	связаны только с различием в порядке множителей .
Следовательно , оно неверно , и поэтому	простых чисел	бесконечно много , что и требовалось доказать .
Предположим , что существует лишь конечное число	простых чисел	и их можно все перечислить : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , .. , р .
Так , чтобы найти простой делитель 61 чисел 5917 и 154 452 , надо проверить , что эти числа не делятся на 17	простых чисел	от 2 до 59 .
Никакая другая отрасль теории чисел не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение	простых чисел	, этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят делиться нацело ни на какое целое число за исключением себя и единицы .
Таким образом , ряд	простых чисел	, как и ряд натуральных чисел , бесконечен .
Однако способ поиска	простых чисел	можно сделать еще проще .
Тогда все остальные натуральные числа являются составными и делятся хотя бы на одно из указанных	простых чисел	.
Сумма любых двух	простых чисел	- простое число . д ) Всякое простое число не может быть четным .
Таким образом , сделанное нами предположение о том , что множество	простых чисел	конечно , привело нас к противоречию .
Поэтому оно не может быть составным , так как не делится ни на одно из указанных	простых чисел	.
а ) Число а	противоположно числу	b , если . б ) Целые числа - это натуральные числа , им противоположные и нуль .
Поэтому его вычитание также можно заменить операцией прибавления	противоположного числа	.
Ведь операция вычитания рационального числа равносильна операции прибавления	противоположного числа	.
Мы знаем , что вычитание рационального числа можно заменить прибавлением	противоположного числа	.
Число ,	противоположное числу	( -а ) , может быть меньше а .
При построении новой математической теории существует фундаментальный принцип , которому необходимо следовать , чтобы развитие не превратилось в свою	противоположность	- разрушение .
104 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно обратных чисел ; б )	противоположных чисел	; в ) чисел , имеющих равный модуль .
Какое свойство	противоположных чисел	может помочь быстрее выполнить это задание ? .
Какой вывод вы можете сделать о модуле	противоположных чисел	?
99 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) обратных чисел ; б )	противоположных чисел	; в ) чисел , имеющих равный модуль .
Используя данное свойство	противоположных чисел	, докажите , что .
г ) Под какой годовой	процент	были размещены в банке 2000 р . , если процентный доход за 2 года составил 420 р . ? .
Чему равен этот	процент	, если известно , что в октябре все пекарни пончиковой компании выпускали 6 т пончиков в месяц , а в декабре ежемесячный выпуск составил 7,26 т в месяц ? .
Какой	процент	свободные места составят от общего количества мест , если на сеанс придут лишь 80 % зрителей , купивших билеты ? .
В действительности за первый год работы объем производства оказался выше запланированного , а в следующем году	процент	его роста по сравнению с запланированным оказался на 10 больше , чем в первом .
Какой	процент	свободные места составят от общего количества мест , если на сеанс придут лишь 90 % зрителей , купивших билеты ? .
Какой	процент	содержания воды в винограде ? .
В действительности в первый год работы объем производства продукции оказался выше запланированного , а в следующем году	процент	его роста по сравнению с запланированным оказался на 25 больше , чем в первом .
Какой	процент	составляют квесты от общего числа компьютерных игр этого магазина ? .
Какой	процент	содержания воды в свежей малине ? .
Чему равен наименьший и наибольший	процент	учащихся , побывавших и в походе , и в театре ? .
Какой наименьший и наибольший	процент	населения этого портового города может изъясняться на всех 4 языках ? .
Какой	процент	составили расходы четвертого квартала от суммы всех расходов за год ?
Какой	процент	содержания воды в свежескошенной траве ? .
Какой	процент	от общего количества мест составили на этом спектакле свободные места ? .
Ответ округлите с точностью до десятых	процента	.
Ответ округлите до сотых	процента	.
35 Сформулируйте определения : а ) правильной дроби ; б ) простого числа ; в ) отношения ; г ) пропорции ; д ) четного числа ; е )	процента	.
Известно , что рентабельность инвестиций по этому проекту ( то есть ежегодный доход ) без учета выплат	процентов	по кредиту составляет 10 % годовых .
На сколько	процентов	изменился суммарный объем выпуска пончиков в этих двух филиалах ? .
Определите , на сколько	процентов	объем производства в первый год превысил запланированный , если известно , что за два года его общий прирост к запланированному составил 48,5 % . б ) В банк положили вклад в размере 10 000 р .
Похудел он или поправился после того , как сел на диету , и на сколько	процентов	? .
Сколько	процентов	голосов набрала партия « Мандарин » на выборах , если ровно 46 % голосовавших любят мандарины ? .
Определите , на сколько	процентов	объем производства в первый год превысил запланированный , если известно , что за два года его общий прирост к запланированному составил 35 % . б ) Количество сотрудников пончиковой компании Антона и Ксюши за год увеличилось на 10 % , а количество топ - менеджеров уменьшилось на 1 % .
На сколько	процентов	нужно в течение этих двух лет снижать ежегодные расходы ? .
Каждый год расходы должны снижаться на одно и то же число	процентов	.
Сколько	процентов	от общего числа сотрудников пончиковой компании составляют теперь топ - менеджеры , если год назад их было 7 % ? .
321 В ноябре и декабре пончиковая компания Антона и Ксюши ежемесячно увеличивала выпуск продукции на одно и то же число	процентов	.
На сколько	процентов	Гоша решил задач больше , чем Антон ? .
Как и на сколько	процентов	изменилась его площадь ? .
На сколько	процентов	число А меньше числа В ?
Чего меньше в коллекции , значков или марок , и на сколько	процентов	? .
На сколько	процентов	число В больше числа А ? .
Чего в магазине меньше — велосипедов или мотоциклов , и на сколько	процентов	? .
Определите , на сколько	процентов	увеличилась годовая выручка компании за эти 5 лет ? .
Определите , на сколько	процентов	увеличилась годовая выручка компании за эти 4 года ? .
Это	прямая	, проходящая через точки с координатами ( 0 ; 0 ) и ( 2 ; 1 ) .
Прямая проходит через начало координат и точку А. Является ли эта	прямая	графиком функции , если .
Графиком функции является	прямая	линия .
М Окружность - это не	прямая	.
Неравенство верно при любом значении х. Значит , решением исходного неравенства является вся числовая	прямая	.
Полученная	прямая	и будет являться графиком указанной зависимости .
Прямая проходит через точки А и В. Задайте аналитически линейную функцию , графиком которой является эта	прямая	, и постройте ее график .
Однако для наглядного представления о числах , сравнимых по некоторому модулю m , числовая	прямая	уже не подходит .
Мы с вами уже знаем , что наглядное представление о целых числах дает числовая	прямая	.
Таким образом , если b 0 , то линейная функция превращается в прямую пропорциональность , а если k 0 , то графиком линейной функции является	прямая	, .
Не строя графика зависимости , определите , в каких координатных четвертях он будет расположен , если : 1 ) В таблице задана	прямая	пропорциональность .
Так как график прямой пропорциональности — это	прямая	, а через две различные точки можно провести ровно одну прямую , то для построения графика функции нам достаточно найти лишь две точки , принадлежащие этой прямой .
Графиком функции является	прямая линия	.
I Доказательство	прямого	утверждения .
Определите истинность	прямого	и обратного утверждений .
Сначала вспомним , что выражение « тогда и только тогда » употребляется в тех случаях , когда выполняется как	прямое	, так и обратное утверждение .
Найдите высказывания , для которых истинны как	прямое	, так и обратное утверждение .
Разобравшись с	прямой	пропорциональностью , рассмотрим теперь более сложную зависимость между величинами .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если значение аргумента увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно	прямой	графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если значение аргумента увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно	прямой	графики функций .
214 Отметьте на числовой	прямой	все значения х , для которых .
213 Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой	прямой	с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
785 Изобразите на координатной	прямой	Ox множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Отметьте на числовой	прямой	три положительных и три отрицательных целых числа , которые .
Поэтому при решении уравнений с модулями в дальнейшем мы будем использовать « упрощенную » модель числовой	прямой	.
Анализируя полученное выражение , мы замечаем , что зависимость между количеством купленных тетрадей и стоимостью всей покупки не является	прямой	пропорциональностью — она не может быть описана формулой .
Представьте теперь , что положительная часть числовой	прямой	как бы намотана на циферблат часов так , что точки 0 , 12 , 24 , .. совпадают .
Выберите из предложенных зависимостей те , которые являются	прямой	пропорциональностью , и укажите коэффициент пропорциональности k . 1 )
382 Отметьте на числовой	прямой	все значения х , для которых .
231 Отметьте на числовой	прямой	целые числа , которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
Пользуясь алгоритмом построения графика	прямой	пропорциональности , постройте на одной координатной плоскости графики зависимости у kx , если .
г ) Четные числа - это натуральные числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть	прямой	, ограниченная двумя точками .
Постройте график	прямой	пропорциональной зависимости , если .
220 Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой	прямой	с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
Постройте на одной координатной плоскости графики функций , два графика	прямой	пропорциональности , один из которых проходит через точку А , а другой — через точку В.
Выберите из предложенных зависимостей те , которые являются	прямой	пропорциональностью , и укажите коэффициент пропорциональности k .
3 Найти точку пересечения этой	прямой	с графиком функции .
Значит , графиком	прямой	пропорциональности в этом случае является ось Ох .
Пользуясь алгоритмом построения графика	прямой	пропорциональности , постройте на одной координатной плоскости графики зависимости , если .
Например , в классической геометрии основными понятиями являются понятия точки ,	прямой	и плоскости .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график	прямой	пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
190 Определите , какие из указанных величин связаны	прямой	пропорциональной зависимостью , а какие – обратной .
Алюминий - это	прямой	талл .
Для	прямой	пропорциональной зависимости найдите : 1 ) значение у при х , равном а ; 2 ) значение х при у , равном b ,
Чтобы построить график функции , например , построим сначала знакомый нам график	прямой	пропорциональности .
Отметим , что данный алгоритм построения графика линейной функции может использоваться при любых k и b. А значит , с его помощью может быть построен и график прямой пропорциональной зависимости ( случай , когда b — 0 ) , и график	прямой	( случай , когда k — 0 ) .
График	прямой	пропорциональности проходит через точку А ( р ; q ) .
351 Изобразите на координатной	прямой	Ox множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .
Можно доказать , что все полученные точки принадлежат некоторой	прямой	, то есть верна следующая теорема .
График	прямой	пропорциональной зависимости проходит через точку А. Проходит ли он через точку В ? .
Заметим , что подобным образом мы действовали и при сложении чисел на числовой	прямой	.
Значит , как и в случае	прямой	пропорциональности , для его построения нам достаточно найти лишь две точки , принадлежащие этому графику .
48 В некоторой математической теории введены следующие первоначальные понятия : талл , воад , твердый , жидкий ,	прямой	, кривой .
А значит , мы не смогли бы вычислить значение выражения 4с умножить ( а плюс 26 ) минус 2с умножить 2а	прямой	подстановкой в него значений переменных .
Какое минимальное количество точек нужно отметить на координатной плоскости для построения графика	прямой	пропорциональности ?
196 Отметьте на числовой	прямой	четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; б ) при делении на 9 дают остаток 6 .
Можно наблюдать и многие другие закономерности расположения графика	прямой	пропорциональности : например , его симметрия относительно начала координат ; особенности его расположения относительно координатных осей и другие .
Исходя из своих наблюдений , составьте алгоритм построения графика	прямой	пропорциональности .
183 Отметьте на числовой	прямой	четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
Построим график	прямой	пропорциональности , взяв в качестве примера зависимость .
6 Для каждого числового промежутка проводим через построенные две точки соответствующую часть	прямой	— график функции s ( t ) на этом промежутке .
Докажите , что данная зависимость является	прямой	пропорциональностью , и постройте ее график .
Для каждого числового промежутка провести через построенные точки , соответствующую часть	прямой	— график на этом промежутке .
Итак , график линейной функции также является	прямой	.
3 Отметим найденные корни уравнений на « упрощенной » модели числовой	прямой	и определим непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные числа разбивают числовую прямую .
6 Для каждого числового промежутка проводим через две точки часть	прямой	— график на этом промежутке .
Множество точек числовой	прямой	.
Отметим выделенные промежутки на числовой	прямой	.
Отметим , что данный алгоритм построения графика линейной функции может использоваться при любых k и b. А значит , с его помощью может быть построен и график	прямой	пропорциональной зависимости ( случай , когда b — 0 ) , и график прямой ( случай , когда k — 0 ) .
Постройте график	прямой	пропорциональной зависимости .
График	прямой	пропорциональности проходит через точку А(р ; q ) .
Составим таблицу , в которой рассмотрим все типы числовых промежутков , их названия , обозначения и геометрическое представление с помощью числовой	прямой	.
{ -12 ; -6 } . 1 ) Найдите расстояние от начала координат О до точек А и Б координатной	прямой	.
Из приведенных ниже функций выберите те , которые являются	прямой	пропорциональностью .
Так как график	прямой	пропорциональности — это прямая , а через две различные точки можно провести ровно одну прямую , то для построения графика функции нам достаточно найти лишь две точки , принадлежащие этой прямой .
70 Изобразите на координатной	прямой	множество значений х , для которых .
Таким образом , мы можем записать следующий алгоритм построения графика	прямой	пропорциональности .
3 Отметить найденные корни уравнений на « упрощенной » модели числовой	прямой	и определить непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные точки разбивают числовую прямую .
361 Отметьте на числовой	прямой	целые числа , которые ? .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений	прямой	пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри : квадрат со стороной а и	прямоугольник	со сторонами а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные положительные рациональные числа ( а больше b ) .
Мы видим , что квадрат определяется как	прямоугольник	с особыми свойствами .
« Квадрат - это	прямоугольник	, у которого все стороны равны » .
Но точно такую же площадь имеет и	прямоугольник	со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
« Квадратом называется	прямоугольник	, все стороны которого равны » .
Тогда ширина	прямоугольника	равна ( x минус 5 ) см , а его длина — ( x плюс 3 ) см , где х минус 5 больше 0 , x плюс 3 больше 0 .
Ответ : длина	прямоугольника	равна 9 см .
Так , например , умножив ширину прямоугольника , равную 5 см , на его длину , равную 6 см , мы получим площадь	прямоугольника	, выраженную в квадратных сантиметрах .
Так , например , умножив ширину	прямоугольника	, равную 5 см , на его длину , равную 6 см , мы получим площадь прямоугольника , выраженную в квадратных сантиметрах .
Какой может быть длина этой стороны , если периметр этого	прямоугольника	меньше 24 см ? .
Площадь данного	прямоугольника	, с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
Нам известно , что площадь	прямоугольника	равна произведению его длины и ширины .
Шаг 5 Вычислим искомое значение длины	прямоугольника	.
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого	прямоугольника	равна произведению длин его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
Известно , что меньшая сторона	прямоугольника	равна большей , а большая равна на плане 5 см. Определите масштаб данного плана .
Значит , для квадрата родовым понятием является понятие	прямоугольника	, а его видовым отличием является то , что у него все стороны равны .
Чему равна реальная площадь этого участка , если большая сторона	прямоугольника	равна на плане 9,3 см , а меньшая составляет от большей ? .
Какой может быть длина большей стороны , если периметр этого	прямоугольника	меньше 32 см ? .
Данное правило для разобранного нами случая можно проиллюстрировать с помощью	прямоугольника	.
а ) Длина одной стороны	прямоугольника	на 12 см больше длины другой .
Найдите периметр	прямоугольника	, ширина которого на 8 см меньше длины , а площадь равна 240 см2 .
Длина	прямоугольника	и его площадь при неизменной ширине .
Какой может быть длина этой стороны , если периметр этого	прямоугольника	меньше 60 см ? .
Найдите периметр	прямоугольника	, длина которого на 12 см больше ширины , а площадь равна 133 см2 .
а ) Длина одной стороны	прямоугольника	на 8 см больше длины другой .
Чему равна реальная площадь этого участка , если большая сторона	прямоугольника	равна на плане 7,5 см , а меньшая составляет от большей ? .
Найдите периметр	прямоугольника	, длина которого на 8 см больше ширины , а площадь равна 128 см2 .
22 Длина	прямоугольника	равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого прямоугольника , если его периметр меньше периметра прямоугольника , длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
Известно , что меньшая сторона	прямоугольника	равна большей , а большая равна на плане 5 см. Чему равен масштаб данного плана ? .
Найдите периметр	прямоугольника	, длина которого на 6 см больше ширины , а площадь равна 72 см2 .
Найдите длину данного	прямоугольника	, если его площадь равна 9 см2 .
22 Длина прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого	прямоугольника	, если его периметр меньше периметра прямоугольника , длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
189 а ) площадь	прямоугольника	, ширина которого равна ( m плюс n ) м , а длина равна 2k м . б )
а ) Длина одной стороны	прямоугольника	на 3 см больше длины другой .
« Ширина	прямоугольника	на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина на 3 см больше стороны этого же квадрата .
Чему равна реальная площадь этого участка , если бόльшая сторона	прямоугольника	равна на плане 5,6 см , а меньшая составляет от бόльшей ?
Длина прямоугольника равна 5 см. Какой должна быть ширина этого	прямоугольника	, чтобы периметр прямоугольника был меньше 18 см ? .
Длина прямоугольника равна 5 см. Какой должна быть ширина этого прямоугольника , чтобы периметр	прямоугольника	был меньше 18 см ? .
22 Длина прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого прямоугольника , если его периметр меньше периметра	прямоугольника	, длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
Ширина	прямоугольника	на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина — на 3 см больше стороны этого же квадрата .
Найдите длину данного	прямоугольника	, если его площадь равна 9 см2 » .
Чему равна реальная площадь этого участка , если бóльшая сторона	прямоугольника	равна на плане 5,6 см , а меньшая составляет от большей ? .
Длина	прямоугольника	равна 5 см. Какой должна быть ширина этого прямоугольника , чтобы периметр прямоугольника был меньше 18 см ? .
Соотношение между родовым понятием В (	прямоугольники	) и понятием А ( квадраты ) можно изобразить с помощью диаграммы Эйлера - Венн .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его	прямоугольников	, то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
На этой диаграмме мы видим , что множество квадратов является подмножеством множества	прямоугольников	.
« Четырехугольник , все углы которого равны , называется	прямоугольником	» .
27 Один из острых углов	прямоугольного	треугольника больше другого на 26 ° .
Так , например , объем	прямоугольного	параллелепипеда есть произведение трех его измерений .
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б ) Длина	прямоугольного	участка земли на 6 м больше его ширины .
17 Периметр	прямоугольного	участка земли равен 62 м , а разность между его длиной и шириной равна 5 м .
объем	прямоугольного	параллелепипеда , длина которого равна 5а дм , ширина — 3b дм , а высота — ( а плюс b ) дм .
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б ) Длина	прямоугольного	участка земли на 8 м больше его ширины .
объем	прямоугольного параллелепипеда	, длина которого равна 5а дм , ширина — 3b дм , а высота — ( а плюс b ) дм .
Так , например , объем	прямоугольного параллелепипеда	есть произведение трех его измерений .
27 Один из острых углов	прямоугольного треугольника	больше другого на 26 ° .
Измерения показали , что на плане площадь арендуемого помещения	прямоугольной	формы равна 42 см2 .
261 а ) В	прямоугольной	системе координат Оху постройте точку А ( 2 ; 5 ) .
Сколько краски потребуется для окраски пола	прямоугольной	комнаты длиной 6,3 м и шириной 4,5 м ? .
764 а ) На	прямоугольном	участке земли , длина которого на 16 м больше его ширины , построили дом , занимающий площадь 140 м2 .
В	прямоугольном	треугольнике два угла острые .
694 а ) На	прямоугольном	участке земли , длина которого на 10 м больше его ширины , построили дом , занимающий площадь 100 м2 .
709 а ) На	прямоугольном	участке земли , длина которого на 6 м больше его ширины , построили дом , занимающий площадь 120 м2 .
а ) На	прямоугольном	участке земли , длина которого на 18 м больше его ширины , построили дом , занимающий площадь 210 м2 .
В	прямоугольном треугольнике	два угла острые .
271 а ) Постройте на плоскости	прямоугольную	систему координат и отметьте точки с координатами А ( 2 ; 5 ) , В ( 5 ; -5 ) , С ( -4 ; 5 ) , D ( -5 ; -7 ) , Е ( 4 ; 8) , F ( -4 ; -5 ) .
260 Постройте на плоскости	прямоугольную	систему координат Оху и отметьте точки с координатами .
3 Отметим найденные корни уравнений на « упрощенной » модели числовой прямой и определим непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные числа разбивают числовую	прямую	.
5 Через точки О и А провести	прямую	.
4 Проверим , что объединение найденных числовых промежутков составляет всю числовую	прямую	.
4 Проверить , что объединение найденных числовых промежутков составляет всю числовую	прямую	.
2 Провести через нее	прямую	, параллельную оси Оу .
Например , чтобы построить график функции , можно взять значение , найти соответствующее значение , а затем провести	прямую	через полученную точку ( 4 ; -2 ) и начало координат .
Заметим , что при решении задачи мы использовали числовую	прямую	лишь для того , чтобы определить на ней взаимное расположение чисел ( -4 ) и 1 и понять , на какие числовые промежутки эти числа разбивают всю числовую прямую .
Построим эти две точки и проведем через них	прямую	.
Уравнения данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается выражением аналогичного вида и график которой представляет собой	прямую	линию .
Точки 1 и ( -4 ) разбивают числовую	прямую	на три промежутка .
4 Провести через найденную точку пересечения	прямую	, параллельную Ох .
Таким образом , если b 0 , то линейная функция превращается в	прямую	пропорциональность , а если k 0 , то графиком линейной функции является прямая , .
6 Через точки А и В провести	прямую	.
Так как график прямой пропорциональности — это прямая , а через две различные точки можно провести ровно одну	прямую	, то для построения графика функции нам достаточно найти лишь две точки , принадлежащие этой прямой .
Уравнения данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции , которая задается выражением аналогичного вида и график которой представляет собой	прямую линию	.
Какие	прямые	параллельны друг другу ? .
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем	прямым	умножением , возвести двучлен в куб , четвертую и более высокие степени .
17 Докажите	прямым	и косвенным методом .
Доказательство существования , при котором предъявляется объект с указанными свойствами , называется	прямым	.
736 Докажите	прямым	и косвенным методом .
56 Докажите	прямым	и косвенным методом : а ) Равенство неверно при любом ; натуральном n ; б ) Равенство неверно при любом .
А2 Таллы и воады могут быть как	прямыми	, так и кривыми .
58 Сформулируйте утверждения , обратные к данным , и определите истинность	прямых	и обратных утверждений .
Сформулируйте высказывания , обратные данным , и определите истинность	прямых	и обратных высказываний .
348 Сформулируйте высказывания , обратные данным , и определите истинность	прямых	и обратных высказываний .
Сформулируйте утверждения , обратные к данным , и определите истинность	прямых	и обратных утверждений .
Оказывается , такие формулы есть , и они позволяют возводить двучлен в произвольную натуральную степень , не проводя	прямых	вычислений .
Какие из этих	прямых	пересекаются ?
Она , в частности , позволила вывести все известные нам свойства натуральных чисел логическим	путем	.
Далее для каждого промежутка построим формулы зависимости	пути	s км от времени движения t ч и вычислим пройденный путь .
Пройдя половину пути с этой скоростью , турист встретил попутную машину и оставшуюся часть	пути	проехал на ней со скоростью 20 км / ч .
Формула зависимости	пути	в км от времени движения t ч .
Таким образом , зависимость	пути	s ( в километрах ) , пройденного пешеходом , от времени его движения t ( в часах ) может быть записана на каждом временном интервале с помощью своей линейной функции .
Проехав половину	пути	, автомобилист уменьшил скорость на 40 % и поэтому прибыл в пункт назначения на 2 часа позже запланированного .
Расстояние от Твери до Ульяновска по водному	пути	составляет 1485 км .
Расстояние от Твери до Нижнего Новгорода по водному	пути	составляет 810 км .
Скорость и время , затрачиваемое на прохождение одного и того же	пути	.
Расстояние от Астрахани до Санкт - Петербурга по водному	пути	составляет 3600 км .
335 а ) Пройдя половину	пути	, пешеход увеличил скорость на 25 % и поэтому прибыл в пункт назначения на полчаса раньше запланированного .
Запишите формулу зависимости длины	пути	s ( в км ) , пройденного туристом , от времени t ( в часах ) и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost .
Задайте зависимость пройденного с постоянной скоростью 5 км / ч	пути	S ( в км ) от времени движения t ( в часах ) .
Запишите формулу зависимости	пути	s туристов в км от времени их движения t в часах и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost . б ) Бассейн в течение первых 2 часов наполнялся со скоростью 2 м3 в час .
В первый день он действительно прошел то расстояние , которое запланировал , но во второй день он прошел лишь третью часть оставшегося	пути	.
Формула зависимости	пути	s пешехода от времени движения t позволит нам определить , какой путь он прошел в каждый указанный в задаче момент времени .
б ) Сколько остановок он сделал в	пути	?
В третий день он опять прошел третью часть уже нового остатка	пути	.
Запишите формулу зависимости	пути	s км пешехода от времени его движения t ч .
Запишите формулу зависимости	пути	пешехода s ( в километрах ) от времени его движения t ( в часах ) и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost .
а ) поезд выехал в 9 часов 30 минут и был в	пути	199 часов .
е ) Является ли зависимость	пути	автомобилиста от времени его движения функциональной ?
в ) Чему была равна скорость автомобилиста на каждом участке	пути	?
поезд выехал в 15 часов 15 минут и был в	пути	180 часов .
Стремиться найти истину — заслуга , даже если на этом	пути	и блуждаешь .
в ) поезд выехал в 23 часа 30 минут и был в	пути	277 часов .
Задайте зависимость	пути	s ( в километрах ) , который проехал автомобиль с постоянной скоростью 80 км / ч , от времени движения t ( в часах ) .
поезд выехал в 7 часов 45 минут и был в	пути	236 часов .
Увеличив на обратном	пути	скорость на 2 км / ч , он тем не менее затратил на обратный путь на 6 мин больше , чем на путь на дачу .
Задайте зависимость	пути	s ( в километрах ) , который проехал автобус с постоянной скоростью 60 км / ч , от времени движения t ( в часах ) .
а ) Когда турист прошел 1/9 всего	пути	, то до середины пути ему оставалось пройти 4 2/3 еще км .
Запишите формулу зависимости	пути	велосипедиста s в км от времени его движения t в часах и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost . б ) Бассейн в течение первых 4 часов наполняли со скоростью 30 м3 в час , в течение следующих 2 часов скорость наполнения увеличили до 40 м3 в час , а последние 2 часа он наполнялся со скоростью 50 м3 в час .
а ) Проехав половину	пути	, автомобилист уменьшил скорость на 15 % и поэтому прибыл в пункт назначения на 0,5 часа позже запланированного .
724 Турист отправился в путь , предполагая проходить каждый день третью часть всего	пути	, запланировав через 3 дня прибыть в пункт назначения .
Как мы определяли длину	пути	s м , пройденного за данное время t мин со скоростью 50 м / мин ?
Пройдя половину	пути	с этой скоростью , турист встретил попутную машину и оставшуюся часть пути проехал на ней со скоростью 20 км / ч .
Запишите формулу зависимости длины	пути	в километрах , пройденного Михаилом , от времени его движения со скоростью 3 км / ч ( в часах ) .
Какую часть всего	пути	пассажир проехал , смотря в окно ? . .
Найдите длину всего	пути	.
а ) Когда турист прошел 1/9 всего пути , то до середины	пути	ему оставалось пройти 4 2/3 еще км .
Первые три часа	пути	турист прошел со скоростью 4 км / ч .
Так , например , стоимость покупки из 2 книг по цене x рублей и 3 журналов по цене у рублей или длину	пути	автомобиля , ехавшего 2 ч со скоростью x км / ч и 3 ч со скоростью у км / ч , можно записать с помощью многочлена 2 x плюс 3y .
347 Когда Антон проехал одну треть	пути	от дома до офиса , ему позвонила Ксюша и сообщила , что в офис их пончиковой компании прибыли важные клиенты из Франции и необходимо , чтобы Антон приехал как можно быстрее .
Сколько времени после этого он должен ехать , чтобы ему осталось проехать часть	пути	, если он едет с постоянной скоростью ? .
582 Когда пассажир проехал треть всего пути , он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор , пока не осталось проехать треть того	пути	, что он проехал , смотря в окно .
582 Когда пассажир проехал треть всего	пути	, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор , пока не осталось проехать треть того пути , что он проехал , смотря в окно .
г ) Какой путь проехал автомобилист за первые 3 часа своего	пути	? .
а ) Автомобилист за 3 часа проехал 1/5 часть своего	пути	.
Расстояние от Самары до Волгограда по водному	пути	составляет 1890 км .
Запишите формулу зависимости длины	пути	в км , пройденного с постоянной скоростью 3 км / ч , от времени движения в часах .
Например , длина	пути	, проходимого вами со скоростью 50 м / мин , зависит от времени прогулки , которое вы выберете .
Во всех этих примерах мы можем точно и однозначно находить конкретные значения переменных величин с помощью изученных нами формул — в данном случае формул	пути	, стоимости , работы .
А из пункта В в пункт С он ехал на 2 ч дольше , при этом его скорость была на 5 км / ч больше , чем по дороге из А в В. На сколько километров	путь	от А до В короче , чем от В до С ? .
При этом на весь	путь	она затратила 8 ч .
в )	путь	, пройденный за ( m плюс n ) часов со скоростью км / ч . г ) работа , выполненная с производительностью 3х деталей в минуту за время ( х плюс у ) минут .
Через 48 мин после их встречи из В в А выехал другой велосипедист , который проезжает этот	путь	за 2 часа .
г ) Какой	путь	проехал автомобилист за первые 3 часа своего пути ? .
За сколько времени проплывет теплоход	путь	от Твери до Ульяновска и обратно , если собственная скорость теплохода будет равна 25 км / ч , средняя скорость течения реки составит 10 % от скорости теплохода , а остановки составят 20 % от всего времени движения ? .
Если мы движемся с постоянной скоростью 70 км / ч , то при увеличении времени движения в два раза пройденный нами	путь	тоже увеличится в два раза .
Но для желающего что - то узнать не существует препятствий , и тот , кто захочет научиться этому , с радостью пройдет весь	путь	обучения и научится решать множество полезных и красивых задач .
При этом на весь	путь	от А до В мотоциклисту потребовалось 2 часа .
На обратный	путь	ему потребовалось 15 часов .
Автомобилист , двигавшийся по встречной полосе со скоростью 60 км / ч , отметил , что	путь	от начала и до конца пробки он проехал за 2 минуты .
При этом Антон заметил , что	путь	от начала и до конца пробки занял у него 12 минут .
Далее для каждого промежутка построим формулы зависимости пути s км от времени движения t ч и вычислим пройденный	путь	.
Затем он остановился у кафе и обедал в течение часа , а потом продолжил	путь	и следующие 2,5 часа шел со скоростью 4 км / ч .
За сколько времени проплывет теплоход	путь	от Самары до Волгограда и обратно , если собственная скорость теплохода будет равна 24 км / ч , средняя скорость течения реки составит 3 км / ч , а остановки составят 20 % от всего времени движения ? .
На обратный	путь	ему потребовалось 8 часов .
При этом на весь	путь	от А до В мотоциклисту потребовался 1 час 40 мин .
Поэтому на обратный	путь	он затратил на 20 мин больше , чем на путь от А до В. С какой скоростью ехал автобус из В в А ? .
Увеличив на обратном пути скорость на 2 км / ч , он тем не менее затратил на обратный путь на 6 мин больше , чем на	путь	на дачу .
Так , пройденный	путь	зависит от скорости и времени движения , площадь круга зависит от его диаметра , площадь квадрата зависит от длины его стороны и т .
А	путь	от В до С равен ( v плюс 5)(t плюс 2 ) км .
Сколько времени потратил бы Антон на оставшийся	путь	, если бы не увеличил скорость ? .
а ) Моторная лодка при движении по реке прошла расстояние от города А до города В за 4 часа , а на обратный	путь	ей потребовалось 6 часов .
За сколько времени автомобилист проехал этот	путь	? .
724 Турист отправился в	путь	, предполагая проходить каждый день третью часть всего пути , запланировав через 3 дня прибыть в пункт назначения .
Водитель машины с телевизионными камерами , двигавшейся навстречу колонне со скоростью 15 км / ч , заметил , что	путь	от начала и до конца колонны занял у него 2 минуты .
Маша же , поднимаясь вверх по тому же эскалатору , насчитала 16 ступенек , а весь	путь	у нее занял 72 с. Сколько ступенек насчитает Ваня , поднимаясь вверх по неподвижному эскалатору , если эскалатор движется с постоянной скоростью ? .
Увеличив на обратном пути скорость на 2 км / ч , он тем не менее затратил на обратный	путь	на 6 мин больше , чем на путь на дачу .
За какое время проплывет теплоход	путь	от Твери до Нижнего Новгорода и обратно , если собственная скорость теплохода будет равна 28,5 км / ч , скорость течения реки равна 1,5 км / ч , а время на остановки составит 20 % от всего времени движения ? .
Водитель машины , двигавшейся по встречной полосе со скоростью 70 км / ч , заметил , что	путь	от начала и до конца пробки занял у него 15 минут .
За сколько времени проплывет теплоход	путь	от Астрахани до Санкт - Петербурга и обратно , если собственная скорость теплохода будет равна 27 км / ч , скорость течения реки равна 3 км / ч , а остановки составят 10 % от всего времени движения ? .
Формула зависимости пути s пешехода от времени движения t позволит нам определить , какой	путь	он прошел в каждый указанный в задаче момент времени .
а ) Двигаясь по реке , катер прошел расстояние от города А до города В за 5 часов , а на обратный	путь	ему потребовалось 7 часов .
Поэтому на обратный путь он затратил на 20 мин больше , чем на	путь	от А до В. С какой скоростью ехал автобус из В в А ? .
На обратный	путь	ей потребовалось 14 часов .
На обратный	путь	ему потребовалось 6 часов .
в ) Поднимаясь вверх по движущемуся эскалатору , Ваня насчитал 20 ступенек , при этом весь	путь	занял у него 60 с.
г ) Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным	путям	- первый со скоростью 60 км / ч , а второй со скоростью 90 км / ч .
Разница D между этими	путями	равна ( v плюс 5)(t плюс 2 ) минус vt км .
532 Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов : белых шестиугольников и черных	пятиугольников	.
773 Какие одночлены можно поставить вместо А , В , С и D , чтобы каждое из	равенств	стало тождеством ? .
Сложим левые и правые части полученных	равенств	.
Правила равносильных преобразований уравнений основываются на известных нам общих свойствах	равенств	— рефлексивности , симметричности и транзитивности — и правилах преобразований числовых равенств ( правилах « весов » ) .
380 В формулы и подставьте и убедитесь в истинности полученных	равенств	.
Правила равносильных преобразований уравнений основываются на известных нам общих свойствах равенств — рефлексивности , симметричности и транзитивности — и правилах преобразований числовых	равенств	( правилах « весов » ) .
Мы знаем , что для	равенств	на множестве целых чисел выполняются свойства .
251 В формулы ( а плюс b)2 равно а2 плюс 2ab плюс b2 n ( а минус b)2 равно а2 - 2ab плюс b2 подставьте b равно а , b равно 2а , b равно 3а и убедитесь в истинности полученных	равенств	.
Вынесем за скобки в правой и левой частях	равенства	общие множители .
207 Какими многочленами нужно заменить А и В , чтобы	равенства	были верными ? .
Разделив обе части этого	равенства	на общий множитель получаем .
195 Какими многочленами нужно заменить А и В , чтобы	равенства	были верными ? .
Разделим обе его части на х — 5 , получим : Правая часть	равенства	равна 0 , а левая после сокращения на равна 3 .
Из последнего	равенства	по определению делимости следует , что число d является делителем числа r . 2 ) Теперь докажем , что всякий общий делитель чисел b и r является одновременно делителем числа а .
Разделим обе части этого	равенства	на общий множитель .
412 Какие законы арифметических действий позволяют утверждать , что данные	равенства	верные ? .
Умножим левую часть	равенства	на 10 см , а правую часть — на 100 мм .
Так как 10 см 100 мм , то при умножении	равенства	на одно и то же число оно не изменится , значит : 1000 мм .
В каждой части	равенства	вынесем за скобки общий числовой множитель , получим .
114 Какие одночлены надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы выражения превратились в истинные	равенства	? .
Вычтем из первого	равенства	второе .
Сложим полученные два	равенства	.
168 Какие многочлены можно подставить вместо А , В , С и D , чтобы	равенства	стали тождествами ? .
и при умножении	равенства	на одно и то же число оно не изменится , получаем .
Разделим обе части последнего	равенства	на 10 .
283 Докажите , что из	равенства	: следует , что следует , что .
Вычтем из первого	равенства	второе , получим .
Теперь заметим , что поскольку у 0 , то из	равенства	следует , что .
Используя полученные	равенства	, сформулируйте соответствующие правила и сравните свои формулировки с формулировками учебника .
Такие	равенства	мы и будем называть уравнениями .
Разделив обе части данного	равенства	на общий множитель , получаем , что 2 5 .
Правая часть	равенства	равна 0 , а левая после сокращения равна .
Тогда можно доказать , что при умножении х на 100 запятая сместится на два знака вправо , то есть 100х = 25,(25 ) , и при вычитании из второго	равенства	первого мы сможем избавиться от бесконечного « хвоста » .
177 Какими многочленами можно заменить А и В , чтобы	равенства	стали тождествами ? .
Тогда указанное в условии свойство можно записать в виде	равенства	: .
Правая часть	равенства	равна 0 , а левая после сокращения на равна 2 .
104 Какие одночлены надо поставить вместо А , В , С и D , чтобы выражения превратились в истинные	равенства	? .
Из данного	равенства	следует , что число а может быть представлено в виде где .
Правая часть	равенства	равна 0 , а левая после сокращения на равна 7 .
При каких значениях переменной указанные	равенства	являются истинными высказываниями ? .
Так как r и при умножении	равенства	на одно и то же число оно не изменится , получаем .
Левая часть полученного	равенства	делится на d , а правая — нет , так как по условию с не делится на d. Следовательно , не существует таких целых х и у , при которых это равенство было бы возможно , что и требовалось доказать .
з ) Если из обеих частей	равенства	вычесть одно и то же число , то равенство не нарушится .
Меняя местами левую и правую части полученного	равенства	, мы приходим к новой формуле сокращенного умножения , называемой формулой разности квадратов .
При каком значении х указанные	равенства	не имеют смысла ? .
Так как НОД ( 5 ; 7 ) 1 , то из полученного	равенства	следует , что для всех целых х и у , являющихся решением исходного уравнения , кратно 7 , а кратно 5 .
Для этого перенесем слагаемое b в правую часть	равенства	, поменяв его знак на противоположный .
Разделив обе части этого	равенства	на общий множитель получаем , что .
Вынесем за скобки общий множитель в каждой части	равенства	, получим .
Тождествами , например , являются следующие	равенства	.
Так как полученные	равенства	верны при подстановке вместо а и b любых чисел и выражений , то они являются тождествами .
И это не случайно , так как сравнения по одному и тому же модулю обладают многими из тех свойств , которыми обладают обыкновенные	равенства	.
Вы , наверное , заметили , что обозначение сравнения напоминает знак	равенства	.
Заметив , что для выполнения этого	равенства	число а должно быть больше 5 , последовательно перебираем все возможные значения а и b.
Поэтому если мы разделим обе части последнего	равенства	на 35 , то получим в левой и правой части некоторое целое число .
770 Найдите все натуральные значения х , удовлетворяющие	равенствам	.
66 Найдите все натуральные значения x , удовлетворяющие	равенствам	.
630 Найдите все натуральные значения х , удовлетворяющие	равенствам	.
611 Найдите все натуральные значения х , удовлетворяющие	равенствам	.
Разделив последнее	равенство	на 10 , получаем .
385 Какие одночлены можно подставить вместо А , В , С и D , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством ? .
Если	равенство	верно при любых значениях входящих в него букв или если это верное числовое равенство , то его называют тождеством .
Полученное	равенство	невозможно , так как оба множителя , отличны от 0 .
Последнее	равенство	означает , что разность чисел делится на m .
В общем случае	равенство	каждому рациональному числу x сопоставляет единственное число у.
Если равенство верно при любых значениях входящих в него букв или если это верное числовое	равенство	, то его называют тождеством .
В этом случае	равенство	невозможно , так как получается , что неотрицательное число равно произведению положительного и отрицательного числа .
255 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством ? .
115 Какие одночлены надо подставить вместо А и В , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
Решить уравнение — это значит найти все значения входящих в него неизвестных , при которых	равенство	становится тождеством .
105 Какие одночлены надо подставить вместо А и В , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
771 Замените х степенью так , чтобы выполнялось	равенство	.
С другой стороны ,	равенство	мы можем записать в следующем виде .
87 При каком значении m верно	равенство	.
В нашем рассуждении мы заменили первоначальное	равенство	неравносильным , так как должны были получить .
Поскольку делить на нуль нельзя , то	равенство	будет иметь смысл .
Таким образом , мы получили , то есть при всех допустимых значениях переменных х и у , верно	равенство	, что и требовалось доказать . .
270 Найдите значение выражения х2 плюс если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
Итак , пользуясь правилами равносильных преобразований , мы фактически доказали , что при всех допустимых значениях переменных ( a , b , с , d ) верно	равенство	.
Если же с равно 0 , то	равенство	са1 плюс са2 плюс ..
Рассмотрим	равенство	.
Тогда	равенство	означает , что .
436 Пользуясь формулами суммы и разности кубов , докажите , что для любых а и b верно	равенство	.
з ) Если из обеих частей равенства вычесть одно и то же число , то	равенство	не нарушится .
Замените х степенью так , чтобы выполнялось	равенство	.
Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством ? .
423 Какие многочлены можно поставить вместо А и В , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
778 Какие многочлены можно поставить вместо А и В , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
166 Не меняя знаков , расставьте скобки так , чтобы	равенство	стало тождеством .
Левая часть полученного равенства делится на d , а правая — нет , так как по условию с не делится на d. Следовательно , не существует таких целых х и у , при которых это	равенство	было бы возможно , что и требовалось доказать .
Например , для любого не равного нулю рационального а должно быть верно следующее	равенство	.
471 Какой одночлен можно подставить вместо А , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством ? .
397 Какие многочлены можно поставить вместо А и В , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
Если , то	равенство	не может быть выполнено ни для одного значения с , так как слева стоит нуль , а справа - не нуль .
Если кто - нибудь « доказывает » , например ,	равенство	ссылаясь на то , что от перестановки слагаемых сумма не меняется , то доказывающий лишь повторяет то , что должен доказать .
Получаем , что указанное	равенство	возможно только для двузначных чисел 72 и 94 , что и требовалось доказать .
Вычитая первое	равенство	из второго , получаем .
Таким образом , мы получили , что 1 см одновременно равен 10 мм и 100 мм . г ) Рассмотрим	равенство	.
457 Какими многочленами можно заменить А , В , С и D , чтобы	равенство	стало тождеством ? .
Для этого рассмотрим	равенство	.
323 Какой одночлен можно подставить вместо А , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством ? .
сотая доля ; 10 ) частное двух чисел ; 11 ) имеет ровно 2 различных делителя ; 12 ) истинное	равенство	.
Разделив последнее	равенство	на 10 , получаем : 1 см 100 мм .
745 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством ? .
В соответствии с известным правилом	равенство	не изменится , если мы разделим обе его части на одно и то же число , отличное от нуля .
356 Какой одночлен можно подставить вместо А , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством ? .
603 Какие многочлены можно поставить вместо А и В , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
Значит , 0 . б ) Рассмотрим	равенство	.
573 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
При положительных k и х данное	равенство	показывает , что при увеличении ( уменьшении ) значения х в несколько раз значение у увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз .
319 Пользуясь формулой разности квадратов , докажите , что для любых а и b верно	равенство	.
Если	равенство	с переменными не является тождеством , то оно верно лишь при некоторых значениях букв .
552 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
45 Замените букву х выражением так , чтобы полученное	равенство	стало тождеством .
Последнее	равенство	означает , что q является также делителем а .
412 Какие одночлены можно подставить вместо А , В , С и D , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством .
Используя полученное	равенство	, сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух выражений , а затем — как найти разность квадратов двух выражений .
295 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством ? .
Какое выражение нужно подставить вместо А , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
При этом данное	равенство	будет верно при подстановке в него вместо а и b любых чисел и выражений , то есть оно является тождеством .
Если , то мы получим	равенство	, которое верно для любого с. Поэтому деление не определено однозначно : его результатом может быть любое целое число .
Последнее	равенство	означает , что разность делится на m. Значит , по теореме 1 , что и требовалось доказать . .
В этом случае	равенство	возможно , только если .
486 Какой одночлен надо поставить вместо А , чтобы	равенство	превратилось в тождество ? .
440 Какой одночлен можно подставить вместо А , чтобы получившееся	равенство	стало тождеством ? .
В тождествах с переменными вместо знака часто используют знак для того чтобы подчеркнуть , что данное	равенство	верно при всех значениях переменных .
49 При каком значении n верно	равенство	.
Согласно определению модуля указанное	равенство	возможно в следующих случаях .
Изобразите на координатной плоскости множество точек , координаты которых удовлетворяют	равенству	.
Во - первых , заметим , что , согласно	равенству	, каждому рациональному числу х сопоставляется единственное число у.
Найдите все значения х , удовлетворяющие	равенству	.
Для того чтобы определить эти коэффициенты , поставим в вершине и вдоль боковых сторон некоторого	равнобедренного	треугольника число 1 .
Для того чтобы определить эти коэффициенты , поставим в вершине и вдоль боковых сторон некоторого	равнобедренного треугольника	число 1 .
Наследство было	разделено	между старшим , средним и младшим сыновьями в отношении .
437 Упростите уравнение ,	разделив	обе его части на одно и то же не равное нулю число , а затем найдите его корни .
Поэтому мы можем упростить уравнение ,	разделив	на 20 обе его части .
452 Упростите уравнение ,	разделив	обе его части на одно и то же число , отличное от нуля , а затем найдите его корень .
Вынесем его за скобки ,	разделив	каждый из членов многочлена , стоящего в числителе , на 3а .
Затем он	разделил	правую и левую части на одно и то же число х и получил уравнение х2 плюс 1 равно 2х .
Число 100	разделили	на некоторое натуральное число и получили в остатке 4 .
Число 90	разделили	на то же самое число и получили в остатке 18 .
а ) Три человека	разделили	между собой некоторую сумму денег .
Какую сумму денег	разделили	? .
д ) Пирог	разделили	на 15 кусков , в двух из которых находятся сюрпризы .
Вынеся общий множитель 5х за скобки , в скобках мы записали многочлен , каждый член которого мы	разделили	на 5х .
188 Некоторое натуральное число а	разделили	с остатком на некоторое натуральное число Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и делимое , и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
д ) Дробь означает , что целое	разделили	на 2 равные части и взяли 5 таких частей .
Половину рабочего дня все пекари выполняли большой заказ , а на вторую половину дня они	разделились	пополам .
В соответствии с известным правилом равенство не изменится , если мы	разделим	обе его части на одно и то же число , отличное от нуля .
Поэтому если мы	разделим	обе части последнего равенства на 35 , то получим в левой и правой части некоторое целое число .
Для этого найдем сумму всех данных чисел и	разделим	ее на количество столбцов ( строк ) в квадрате , то есть на 3 .
Неравенство сохранится , если каждое из чисел 65 , 11х и 83 мы	разделим	на 11 , поэтому .
Уменьшим в первом неравенстве все его части на 2 , а затем	разделим	их на 7 .
Чтобы выполнить перевод , можно привести обыкновенную дробь к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей , либо	разделить	числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель .
Если , то обе части неравенства мы можем	разделить	на k , сохранив знак неравенства .
Попробуем	разделить	число а на число .
Если , то обе части неравенства мы можем	разделить	на k , изменив знак неравенства на противоположный .
Чтобы найти среднее арифметическое чисел , представленных в таблице , надо сумму этих чисел	разделить	на их количество .
а ) прибавить число ( -1 ) ; б ) вычесть число ; в ) умножить на число 3 4 ; г )	разделить	на число ( -2 ) ? .
3 Если с делится на d ,	разделить	правую и левую части исходного уравнения на d .
Глядя на такое благородство , средний и старший братья также решили оставить себе половину своих бубликов , а вторую половину	разделить	поровну между другими братьями .
Если меньшее из них	разделить	на 3 , то результат будет на 16 больше частного большего числа и числа 9 .
2 Для того чтобы	разделить	степени с одинаковым основанием , не равным нулю , можно основание оставить без изменений , а из показателя делимого вычесть показатель делителя .
5 а ) Для того чтобы возвести в степень частное , можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат	разделить	на второй .
Таким образом , мы можем	разделить	число 564 на 20 с остатком , представив его в виде .
Попытка	разделить	, например , число 564 на 20 на множестве натуральных чисел показывает , что нельзя найти такое натуральное число с , чтобы .
723 Отец завещал своим пятерым сыновьям три равноценных дома и велел им	разделить	наследство поровну .
Как им следует	разделить	эти деньги , чтобы каждый получил справедливую долю за свой вклад продуктов ?
а ) Если от загаданного рационального числа отнять 5 , результат умножить на 7 , к полученному произведению прибавить 2 , результат	разделить	на 6 , а к полученному частному прибавить 4 , то снова получится загаданное число .
В результате им была получена выручка в размере . ( 900	разделить	15 ) умножить 90 равно 5400 рублей , то есть на 450 рублей меньше того , что он должен был получить от продажи всех помидоров .
Таким образом , все помидоры из первой коробки стоили 50 умножить ( 450 разделить 10 ) равно 2250 рублей , а из второй — 40 умножить ( 450	разделить	5 ) равно 3600 рублей .
Чтобы вычислить частоту случайного события , необходимо количество благоприятных исходов в серии испытаний	разделить	на общее количество проведенных испытаний .
Таким образом , все помидоры из первой коробки стоили 50 умножить ( 450	разделить	10 ) равно 2250 рублей , а из второй — 40 умножить ( 450 разделить 5 ) равно 3600 рублей .
Как им надо	разделить	заработанные деньги , если они работали одинаковое время и их часовые ставки оплаты .
Если k 0 , то обе части уравнения можно	разделить	на k , тогда .
Для того чтобы найти среднее арифметическое , надо вычислить общий вес всех семиклассников и	разделить	его на число семиклассников .
Было принято решение	разделить	ее между Антоном , Ксюшей и прочими акционерами в отношении .
2 Если обе части неравенства умножить или	разделить	на одно и то же положительное число ( выражение ) , то получим неравенство , равносильное данному .
А что получится , если число	разделить	с остатком на ? .
3 Если обе части неравенства умножить или	разделить	на одно и то же отрицательное число ( выражение ) и изменить знак неравенства на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному .
То есть если два равных числа увеличить , уменьшить , умножить или	разделить	на одно и то же число ( исключая деление на 0 ) , то мы вновь получим два равных числа .
2 Если обе части уравнения умножить или	разделить	на одно и то же число ( выражение ) , отличное от нуля , то получим уравнение , равносильное данному .
109 По завещанию отца три сына должны были	разделить	стадо из 7 овец так , чтобы старшему сыну досталась половина всех овец , среднему - четвертая часть всех овец , а младшему - восьмая .
Завещание отца смутило наследников , так как они не знали , как	разделить	7 овец пополам , - ведь они не хотели резать их на части .
Если же данные числа а и b умножить или	разделить	на отрицательное число с , знак неравенства изменится на противоположный .
Как	разделить	одно целое число на другое с остатком ? .
« Я , — сказал он , — оставляю себе половину бубликов , а вторую половину	разделю	между вами поровну » .
Братья договорились , что каждый из трех старших братьев возьмет себе по дому и заплатит за это младшим братьям некоторую сумму денег , которую они	разделят	между собой .
Таким образом , исходный многочлен	разложен	на множители .
Итак ,	разложение	на множители данного трехчлена имеет вид .
В результате мы получаем следующее	разложение	исходного многочлена на множители .
В каких случаях мы говорим , что выполнено	разложение	многочлена на множители ? .
Записать	разложение	в виде произведения СА .
175 Запишите в каноническом виде	разложение	чисел на простые множители .
Предложите свой вариант определения операции «	разложение	многочлена на множители » .
498 Решите уравнение , используя	разложение	многочлена на множители .
Как мы уже говорили ,	разложение	многочленов на множители непростая , а порой — и невыполнимая задача .
Так , например , не для всех а и b можно разложить на множители двучлен а2 плюс b2 ( хотя , как мы убедились в примере 3 , для некоторых конкретных а и b это	разложение	может быть найдено ) .
7 И самое главное : если не удалось получить	разложение	одним способом — пробуйте другим .
И действительно , если нам надо будет , например , разложить на множители многочлен а3 плюс 3а2b плюс 3ab2 4- b3 , то , вспомнив формулу куба суммы , мы сразу напишем требуемое	разложение	.
Таким образом , действуя независимо двумя разными способами , мы получили одно и то же	разложение	исходного многочлена на множители .
Конечно , выбор способа , которым производится	разложение	многочлена на множители , — это выбор человека , решающего конкретную задачу .
Подробно	разложение	многочлена х3 плюс 6х2 плюс 11х плюс 6 на множители мы рассмотрели в пункте .
639 Решите уравнение , используя	разложение	многочлена на множители .
Запишите в каноническом виде	разложение	чисел на простые множители .
Но такое	разложение	на множители не поможет нам в решении многих задач ( например , в решении уравнения , которое мы только что рассмотрели ) .
357 Запишите в каноническом виде	разложение	чисел на простые множители .
Так , например ,	разложение	числа 210 на простые множители может иметь вид или .
162 Запишите в каноническом виде	разложение	чисел на простые множители .
И , наблюдая за тем , как изменяется при этом исходный многочлен , какие возможности его разложения появляются , можно в итоге получить искомое	разложение	.
Рассмотрим несколько примеров , в которых использование формул сокращенного умножения упрощает	разложение	многочленов на множители .
Например , каноническое	разложение	числа 210 имеет вид , а для числа 90 каноническое разложение таково .
Например , каноническое разложение числа 210 имеет вид , а для числа 90 каноническое	разложение	таково .
3 Формулы сокращенного умножения и	разложение	многочленов на множители .
Поэтому , когда мы будем говорить о разложении многочленов на множители , мы будем иметь в виду	разложение	многочленов на буквенные множители ( то есть такие разложения , в которых каждый многочлен - множитель имеет степень , большую нуля ) .
В итоге получаем следующее	разложение	исходного многочлена на множители .
Такую упорядоченную запись назвали каноническим	разложением	числа на простые множители .
Заметим , что	разложением	простого числа на простые множители принято считать само это число .
Поэтому , когда мы будем говорить о	разложении	многочленов на множители , мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные множители ( то есть такие разложения , в которых каждый многочлен - множитель имеет степень , большую нуля ) .
Правило 2 Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной , если в	разложении	на простые множители знаменателя обыкновенной дроби нет множителей , отличных от 2 и 5 .
Разложим этот многочлен на множители способом выделения полного квадрата , который часто используется при	разложении	на множители многих трехчленов .
Из свойств делимости натуральных чисел и основной теоремы арифметики следует , что если в	разложении	числа на простые множители нет , например , числа 2 , то никакое число , кратное 2 , не может быть его делителем .
Иногда для использования формул сокращенного умножения при	разложении	многочлена на множители вначале приходится некоторым образом сгруппировать его члены .
Для того чтобы избежать такой неоднозначности , математики решили записывать простые множители в	разложении	натурального числа в порядке возрастания .
Проанализируйте решение предыдущего примера и сформулируйте идею способа группировки при	разложении	многочлена на множители .
Таким образом , мы приходим к следующему	разложению	исходного многочлена на множители .
Именно к такому	разложению	многочленов на множители мы и будем стремиться , вынося общий множитель за скобки .
В итоге мы приходим к следующему	разложению	исходного многочлена на множители .
Однако далеко не каждая группировка приводит к	разложению	многочлена на множители .
Используя один из способов	разложения	многочлена х2 минус х минус 2 на множители , решите уравнение .
В предыдущих пунктах этого параграфа мы с вами рассмотрели несколько способов	разложения	многочленов на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , использование формул сокращенного умножения .
Какие изученные ранее способы	разложения	на множители вы использовали ? .
Рассмотрим более сложные примеры , в которых для	разложения	многочлена на множители нужно применить несколько разных способов .
Проверить правильность	разложения	многочлена на множители можно умножением .
При этом два	разложения	одного и того же числа на простые множители могут отличаться лишь порядком множителей .
Задача	разложения	на множители требует не только четкого знания формул сокращенного умножения , но и смекалки , умения видеть общие множители и удачно группировать члены многочленов .
Одним из наиболее простых способов	разложения	многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки .
Поиск соответствующего способа	разложения	— процесс творческий , требующий большой изобретательности .
После этого для	разложения	многочлена на множители используем формулу разности квадратов .
Поэтому , когда мы будем говорить о разложении многочленов на множители , мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные множители ( то есть такие	разложения	, в которых каждый многочлен - множитель имеет степень , большую нуля ) .
Но чаще всего для	разложения	многочлена на множители требуется использование всевозможных комбинаций разных способов .
Рассмотрим несколько примеров использования	разложения	многочленов на множители при решении задач .
Например , операцию представления многочлена 2а плюс 2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать операцией	разложения	многочлена на множители , а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку .
6 Если требуется разложить на множители трехчлен вида ах2 плюс bх плюс с , где а , b , с Q , и вы не видите удобного способа	разложения	, попробуйте выделить полный квадрат .
Какие приемы	разложения	вы здесь использовали ? .
Конечно , когда для	разложения	на множители требуется непосредственно применить одну из формул , то ответ мы можем записать сразу .
И , наблюдая за тем , как изменяется при этом исходный многочлен , какие возможности его	разложения	появляются , можно в итоге получить искомое разложение .
Значит , для	разложения	данного многочлена на множители можно воспользоваться формулой квадрата разности .
В предыдущих пунктах мы изучали разные способы	разложения	многочленов на множители .
5 Решение задач с помощью	разложения	многочленов на множители .
637 Представьте многочлен в виде произведения нескольких многочленов степени большей нуля и назовите приемы	разложения	многочленов на множители , которые вы использовали .
Следовательно , для	разложения	многочлена на множители можно воспользоваться формулой разности квадратов .
Одним из способов	разложения	многочленов на множители с использованием формул сокращенного умножения является способ выделения полного квадрата .
Ведь , зная различные способы	разложения	многочленов на множители , вы сможете выбрать тот , который вам покажется наиболее эффективным , или придумать новый свой способ , отличающийся от тех , которые уже известны .
Следующий прием	разложения	многочлена на множители основан на том , что если мы к многочлену прибавим и вычтем из него одно и то же выражение , то многочлен от этого не изменится .
493 Из блоков , приведенных ниже , постройте алгоритм	разложения	многочлена на множители путем вынесения общего буквенного множителя за скобки .
« Он сначала добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х2 ) , а затем	разложил	получившийся многочлен на множители и нашел корни уравнения .
Он	разложил	свои фотографии в альбом по 8 фото на странице и пронумеровал подряд , начиная с первой , все фотографии .
б ) Катя	разложила	свои 456 фотографий в альбом по 4 фотографии на страницу и пронумеровала их все подряд , начиная с первой .
Ольга	разложила	свои 570 марок в альбом по 6 марок на страницу и пронумеровала их все подряд , начиная с первой .
Таким образом , мы	разложили	многочлен .
Для того чтобы решить данное уравнение , запишем его в виде и	разложим	многочлен в левой его части на множители .
После вынесения его за скобки в скобках получим разность квадратов х2 минус 1 , которую можно	разложить	на множители ( х плюс 1)(х минус 1 ) .
Мама поручила Леше	разложить	168 конфет в две коробки так , чтобы число конфет в первой коробке составляло 60 % числа конфет во второй коробке .
Разложите многочлен на множители , используя способ группировки . 2 ) Какой формулой сокращенного умножения можно воспользоваться , чтобы	разложить	этот многочлен на множители ?
Для того чтобы разобраться в том , что значит	разложить	многочлены на множители и зачем это нужно , вычислим произведение двучленов .
А полученное нами выражение мы уже сможем	разложить	на множители , используя формулу разности квадратов .
Но формулы для суммы квадратов у нас нет , поэтому сразу	разложить	многочлен на множители нам не удастся .
Для того чтобы	разложить	многочлен х2 минус 2х минус 24 на множители , выделим полный квадрат .
а ) Сможет ли мама	разложить	в эти банки 12 л варенья ? .
543 Каким одночленом можно заменить А , чтобы полученный в результате замены многочлен можно было	разложить	на множители ? .
598 Каким одночленом можно заменить А , чтобы полученный в результате замены многочлен можно было	разложить	на множители ? .
б ) Продавцу надо	разложить	585 коробок конфет на две витрины так , чтобы число коробок с конфетами на одной витрине составляло 56 % числа коробок на другой витрине .
Грузчику надо	разложить	680 арбузов в два контейнера так , чтобы число арбузов в одном контейнере составляло 36 % числа арбузов в другом контейнере .
Предложите другой вариант группировки , позволяющий	разложить	данный многочлен на множители .
А если на множители надо	разложить	многочлен , то , зная формулу суммы кубов , мы запишем .
И действительно , если нам надо будет , например ,	разложить	на множители многочлен а3 плюс 3а2b плюс 3ab2 4- b3 , то , вспомнив формулу куба суммы , мы сразу напишем требуемое разложение .
Чтобы	разложить	его на множители с помощью группировки , добавим и вычтем из него одночлены х4 , х3 , х2 и х , а затем сгруппируем их попарно и вынесем из каждой группы за скобки общий множитель .
Часто бывает так , что в многочлене , который надо	разложить	на множители , слагаемые идут не в том порядке , к которому мы привыкли в формуле .
Иногда	разложить	многочлен на множители помогают полученные нами в 3 этой главы формулы сокращенного умножения .
Можно ли	разложить	данный многочлен на множители , вынося за скобки общий буквенный множитель ?
В некоторых случаях удается	разложить	на множители и такие многочлены , члены которых не имеют общего буквенного множителя .
в ) Какое количество и каких банок должен был привезти папа , чтобы мама могла	разложить	в них 17 л варенья так , чтобы при этом количество банок было равно 30 ? .
В данном случае можно было бы	разложить	многочлен на множители и без использования формул сокращенного умножения : разбив слагаемое 4х на два слагаемых х и 3х , а затем проведя группировку .
Выражение 4х2 минус 8х , стоящее во второй скобке , мы также можем	разложить	на множители , вынося за скобки общий множитель 4х .
6 Если требуется	разложить	на множители трехчлен вида ах2 плюс bх плюс с , где а , b , с Q , и вы не видите удобного способа разложения , попробуйте выделить полный квадрат .
б ) Какое количество и каких банок должен был привезти папа , чтобы мама могла	разложить	в них 25 л варенья так , чтобы количество всех банок было равно 44 ? .
Нередко члены многочлена , который требуется	разложить	на множители , нельзя сразу разбить на нужные группы .
Так , например , не для всех а и b можно	разложить	на множители двучлен а2 плюс b2 ( хотя , как мы убедились в примере 3 , для некоторых конкретных а и b это разложение может быть найдено ) .
В результате нам удалось	разложить	исходный многочлен на множители .
436 Пользуясь формулами суммы и	разности	кубов , докажите , что для любых а и b верно равенство .
Запишите произведение суммы а и b и неполного квадрата	разности	а и b как многочлен стандартного вида .
Полученные нами формулы суммы и	разности	кубов , как и все другие формулы сокращенного умножения , рассмотренные ранее , верны для любых а и b , а значит , являются тождествами .
747 Используя формулу	разности	квадратов , запишите выражение как многочлен стандартного вида .
Разность кубов двух выражений равна произведению	разности	этих выражений на неполный квадрат их суммы .
Следовательно , для разложения многочлена на множители можно воспользоваться формулой	разности	квадратов .
Итак , мы приходим к следующей формуле	разности	кубов двух выражений .
Теперь , чтобы получить формулу	разности	кубов , заметим , что Выражение а2 плюс ab плюс b2 получило название неполного квадрата суммы а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения ab .
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их	разности	.
Выражение а2 минус аb плюс b2 получило название неполного квадрата разности а и b , так как в отличие от квадрата	разности	у произведения аb нет множителя 2 .
Квадрат разности некоторых рациональных чисел равен	разности	их квадратов .
614 Представьте выражение в виде произведения многочленов , используя формулу	разности	квадратов .
545 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или	разности	подобных членов .
615 Разложите многочлен на множители , используя формулы квадрата суммы и квадрата	разности	.
Выражение а2 минус аb плюс b2 получило название неполного квадрата	разности	а и b , так как в отличие от квадрата разности у произведения аb нет множителя 2 .
616 Представьте выражение в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и	разности	кубов .
584 Запишите неполный квадрат суммы и неполный квадрат	разности	выражений а и b .
Формула	разности	кубов .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и	разности	квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
589 Разложите многочлен на множители , используя формулы квадрата суммы и	разности	.
произведения	разности	и суммы двух выражений . разности квадратов . разности кубов .
591 Разложите многочлен на множители , используя формулы куба суммы и	разности	.
сумма выпавших на верхних гранях очков равна пяти , а модуль	разности	очков равен трем .
произведения разности и суммы двух выражений .	разности	квадратов . разности кубов .
в ) Существуют рациональные числа , квадрат суммы которых равен квадрату их	разности	.
Переставив слагаемые в данной алгебраической сумме , мы получим куб	разности	чисел с и 1 .
Представим 7 у в виде	разности	одночленов 10у минус 3у , тогда .
произведения разности и суммы двух выражений . разности квадратов .	разности	кубов .
569 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или	разности	подобных членов .
Значит , для разложения данного многочлена на множители можно воспользоваться формулой квадрата	разности	.
В этом случае можно попробовать представить какой - нибудь из его членов в виде суммы или	разности	нескольких подобных ему одночленов .
164 Представьте данный трехчлен в виде суммы и	разности	двух двучленов .
590 Представьте выражение в виде произведения двух многочленов , используя формулы суммы и	разности	кубов .
Известно , что утроенное первое число равно	разности	между 58 и вторым числом , увеличенным в четыре раза .
588 Представьте выражение в виде произведения двух многочленов , используя формулу	разности	квадратов .
Основываясь на выполненных преобразованиях , предложите свой вариант определения	разности	многочленов и сравните его с определением 3 на стр. 33 .
куба	разности	.
сумма выпавших на верхних гранях очков равна семи , а модуль их	разности	равен пяти .
Неполный квадрат .	разности	. суммы .
Представление члена многочлена в виде суммы или	разности	подобных ему членов .
е ) Квадрат	разности	чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
Формула . квадрата	разности	.
Умножим , например , сумму двух выражений на квадрат их	разности	.
представление некоторого члена в виде суммы или	разности	.
Куб	разности	двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
Квадрат	разности	некоторых рациональных чисел равен разности их квадратов .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат	разности	чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Мы получили , что произведение	разности	двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
Среди формул сокращенного умножения есть еще одна замечательная формула , которая получается при умножении	разности	двух выражений на их сумму .
в ) разность кубов гиг . г ) куб	разности	гиг .
721 Докажите , что квадрат	разности	А и В делится на 9 .
377 381 Вычислите , используя формулу куба суммы или куба	разности	.
294 Вычислите , используя формулу квадрата суммы или квадрата	разности	.
Что общего в формулах четвертой степени суммы и	разности	? .
253 Вычислите , используя формулу квадрата суммы или квадрата	разности	.
Решение : Наименьшее значение веса семиклассников равно 35 кг , наибольшее — 55 кг , а размах числового набора равен	разности	между наибольшим и наименьшим значением , то есть 20 кг .
Сформулируйте правила возведения в квадрат суммы и	разности	двух выражений и сравните свои формулировки с правилами на стр. 52 - 53 учебника .
сумма произведения чисел 5 и х и произведения чисел 4 и с . г ) разность частного чисел 9 иди	разности	между числом 7 и а .
После этого для разложения многочлена на множители используем формулу	разности	квадратов .
а ) квадрат суммы а и b . б ) сумма квадратов а и b . в ) квадрат	разности	с и d . г ) разность квадратов c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
Формула	разности	квадратов , как и все другие формулы сокращенного умножения , сильно упрощает преобразование выражений , решение уравнений , проведение вычислений .
Заметим , что в формулах куба суммы и	разности	члены итогового многочлена принято записывать в специальном порядке .
В связи с этим формулы квадрата суммы и	разности	называют также формулами сокращенного умножения .
Как и планировали , добавим к исходному многочлену и вычтем из него 4х2 , затем воспользуемся формулой квадрата суммы , а после этого применим формулу	разности	квадратов .
А полученное нами выражение мы уже сможем разложить на множители , используя формулу	разности	квадратов .
Нарисуйте квадрат с длиной стороны а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата суммы , выведите формулу квадрата	разности	а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и	разности	двух выражений , а затем — как найти разность квадратов двух выражений .
Формула	разности	квадратов .
А при возведении в n - ю степень	разности	двух выражений знаки « плюс » и « минус » будут чередоваться , начиная с « плюс » , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени .
Попробуем аналогичным способом действовать и для получения формулы	разности	кубов .
Формула квадрата суммы формула квадрата разности формула	разности	квадратов .
355 Вычислите , используя формулу	разности	квадратов .
358 Представьте многочлен в виде произведения суммы и	разности	двух выражений .
Можно заметить также , что в формуле куба	разности	при указанной записи итогового многочлена знаки его членов чередуются : сначала « плюс » , затем « минус » и так далее .
Меняя местами левую и правую части полученного равенства , мы приходим к новой формуле сокращенного умножения , называемой формулой	разности	квадратов .
Куб	разности	двух выражений равен кубу первого выражения , минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , минус куб второго выражения .
Мы получили , что произведение разности двух выражений и их суммы равно	разности	квадратов этих выражений .
Формула куба	разности	.
Формулы куба суммы и	разности	позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и выражений , не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных слагаемых .
Формула куба суммы формула куба	разности	.
5 При возведении в степень	разности	( а минус b)n поставить перед первым одночленом знак « плюс » , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать знаки « плюс » , « минус » до последнего одночлена .
Произведение	разности	двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений .
Разность квадратов двух выражений равна произведению их	разности	и суммы .
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы	разности	квадратов , рассмотри : квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные положительные рациональные числа ( а больше b ) .
Тогда площадь получившейся фигуры будет равна	разности	площадей большого и маленького квадратов то есть а2 минус b2 .
Формула произведения	разности	и суммы двух выражений .
Произведение разности двух выражений и их суммы равно	разности	квадратов этих выражений .
Формулы квадрата суммы и	разности	хороши , в частности , тем , что позволяют сразу записать результат возведения в квадрат любого двучлена .
Запишите произведение суммы и	разности	а и b как многочлен стандартного вида .
Формула квадрата суммы формула квадрата	разности	формула разности квадратов .
В нашем арсенале формул сокращенного умножения уже есть формулы квадрата и куба суммы , квадрата и куба	разности	, а также формула разности квадратов .
410 Вычислите , используя формулу квадрата суммы или квадрата	разности	.
квадрат суммы двух чисел ; 3 ) разность квадратов двух чисел ; 4 ) квадрат	разности	двух чисел .
3 Куб суммы и	разности	.
340 Вычислите произведение , используя формулу	разности	квадратов .
Для этого добавим и вычтем 1 , а затем воспользуемся формулой	разности	квадратов .
Как и планировали , в первой группе применим формулу	разности	квадратов , а во второй — вынесем за скобки общий множитель ах .
Полученные нами формулы квадрата суммы и квадрата	разности	для положительных значений а и b ( а больше b ) можно проиллюстрировать геометрически .
Произведение суммы квадратов b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата	разности	а и с и модуля разности квадратов а и b .
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и	разности	, у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым умножением , возвести двучлен в куб , четвертую и более высокие степени .
а ) Модуль	разности	квадратов а и с . б ) Сумма модулей а , b и с .
Произведение суммы квадратов b и с и модуля	разности	квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля разности квадратов а и b .
Так как а4 равно ( а2)2 , ах4 минус ( х2)2 , то , сгруппировав первое и четвертое слагаемое , мы сможем применить формулу	разности	квадратов .
в ) Модуль	разности	кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Для начала разберемся с кубом суммы и	разности	.
Аналогичным образом при вычислении квадрата	разности	двух выражений получаем .
1 Квадрат суммы и	разности	.
326 Представьте многочлен в виде произведения суммы и	разности	двух выражений .
319 Пользуясь формулой	разности	квадратов , докажите , что для любых а и b верно равенство .
617 Разложите многочлен на множители , используя формулы куба суммы и	разности	.
Произведение суммы квадратов b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля	разности	квадратов а и b .
Вспомним , как мы получили формулу	разности	квадратов .
Заменяя в полученной формуле b на ( -b ) , приходим к новой формуле сокращенного умножения , которую называют формулой куба	разности	двух выражений .
322 Вычислите , используя формулу	разности	квадратов .
А можно ли получить формулу для суммы и	разности	кубов ? .
Формула суммы кубов формула	разности	кубов .
Квадрат	разности	двух выражений равен квадрату первого выражения , минус удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
В нашем арсенале формул сокращенного умножения уже есть формулы квадрата и куба суммы , квадрата и куба разности , а также формула	разности	квадратов .
Формула квадрата	разности	.
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и	разности	квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение модуля а и суммы b и с . е ) Частное модуля	разности	а и b и модуля -с . ж )
Полученное выражение представляет собой	разность	квадратов .
530 Докажите , что	разность	кубов А и В делится на 29 .
Расположим вы читаемое под уменьшаемым и будем вычислять	разность	, вычитая числа второй строки из чисел первой строки .
квадрат суммы двух чисел ; 3 )	разность	квадратов двух чисел ; 4 ) квадрат разности двух чисел .
Известно , что	разность	между количеством велосипедов и 20 % количества мотоциклов равна 40 % от суммы количества мотоциклов и 50 % количества велосипедов .
Последнее равенство означает , что	разность	делится на m. Значит , по теореме 1 , что и требовалось доказать . .
а ) квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б )	разность	квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное .
в )	разность	квадратов двух последовательных целых чисел равна сумме этих чисел .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение суммы и разности двух выражений , а затем — как найти	разность	квадратов двух выражений .
Рассмотрим	разность	.
	Разность	значений выражений меньше 5 . д ) удвоенное значение выражения не меньше значения выражения .
Теорема 1 Целые числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их	разность	делится на m .
з )	разность	значения выражения и числа 7 положительна .
в ) квадрат суммы чисел c и d больше или равен 25 . г )	разность	кубов чисел х и у меньше или равна 32 .
а )	разность	квадратов двух натуральных чисел быть простым числом ? .
к )	разность	значений выражений и неотрицательна .
Для определенности будем рассматривать	разность	а - b .
б )	разность	квадратов двух рациональных чисел быть больше суммы квадратов этих чисел ? .
б )	разность	квадратов чисел а и b меньше 8 .
« Если целые числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m , то их	разность	а - b делится на m » .
Известно , что	разность	между количеством клюшек и 20 % количества коньков равна 60 % от суммы количества коньков и 20 % количества клюшек .
сумма произведения чисел 5 и х и произведения чисел 4 и с . г )	разность	частного чисел 9 иди разности между числом 7 и а .
их	разность	равна 1,5 , а их произведение равно 10 .
« Если	разность	целых чисел а и b делится на m , то числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m » .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют	разность	кубов у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Тот факт , что	разность	целых чисел а и b делится на m , может быть записан по определению делимости следующим образом .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и третий члены —	разность	квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Для любого целого , то указанная	разность	делится на m. Но тогда , по теореме 1 , что и требовалось доказать . .
Тогда и только тогда , когда	разность	а и b делится на m .
б )	разность	куба целого числа и самого числа делится на 6 .
сумма значений выражений и меньше 17 . е )	разность	значений выражений и больше 29 .
Размахом набора чисел называется	разность	между наибольшим и наименьшим числом из этого набора .
( Шагом называют	разность	между двумя соседними значениями аргумента . ) .
732 Найдите сумму и	разность	многочленов Р и Q .
Найдите	разность	между первым и вторым числом .
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда , когда	разность	между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
б )	разность	квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8 .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое натуральное число А дает тот же остаток при делении на 11 , что и	разность	между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой цифр , стоящих на нечетных местах , что и требовалось доказать .
Найдите , используя запись в столбик ,	разность	многочленов .
Составьте сумму Р плюс ( -Q ) и	разность	Р - Q данных многочленов .
сумма значений выражений меньше или равна -6 . д )	разность	значений выражений не меньше 12 ? .
Разрешается стереть любые два числа и написать их	разность	.
157 Найдите сумму и	разность	многочленов А и В. Запишите результат как многочлен стандартного вида .
Найдите	разность	многочленов Р - Q , располагая слагаемые « в столбик » , если .
Значит , в числителе искомой дроби должна быть	разность	629 - 0 .
из числа , образованного цифрами , стоящими до второго периода , вычесть число , образованное цифрами , стоящими до первого периода , и записать эту	разность	как числитель .
Запишите	разность	многочленов Р и Q как многочлен стандартного вида .
их	разность	равна 2,2 , а их произведение равно 8,4 .
Для того чтобы составить математическую модель задачи , мы должны записать , что	разность	между большим и меньшим числом равна 16 .
4 Сумма и	разность	кубов .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная	разность	кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
К сожалению , ни сумма , ни	разность	кубов у нас пока не получилась .
Мы перемножили сумму и	разность	двух выражений , и здесь нас ждала удача .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на	разность	кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
После вынесения его за скобки в скобках получим	разность	квадратов х2 минус 1 , которую можно разложить на множители ( х плюс 1)(х минус 1 ) .
371 Докажите , что	разность	квадратов А и В равна 84 .
а )	разность	квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4 .
г )	разность	квадратов двух последовательных четных чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
Сумма длин сторон двух квадратов равна 20 см , а	разность	их площадей равна 40 см2 .
Задайте данную функцию с помощью : а ) словесного описания ; б ) таблицы значений от -3 до 3 с шагом 1 . ( Шагом называют	разность	между двумя соседними значениями аргумента . ) .
Известно , что	разность	между количеством значков и 40 % количества марок равна 60 % от суммы количества марок и 20 % количества значков .
сумма значений выражений не больше 20 . е )	разность	значений выражений не меньше 8 .
в )	разность	кубов гиг . г ) куб разности гиг .
а ) Сумма числа а и частного от деления b на с . б ) Частное от деления произведения чисел х и у на	разность	чисел m и n .
	Разность	кубов двух последовательных целых чисел не делится на 3 .
в ) сумма двух последовательных натуральных степеней числа 3 делится на 12 . г )	разность	двух последовательных натуральных степеней числа 5 делится на 20 .
17 Периметр прямоугольного участка земли равен 62 м , а	разность	между его длиной и шириной равна 5 м .
Ведь мы всегда можем записать сумму ,	разность	, произведение и частное нескольких одночленов ( кроме деления на нулевой одночлен ) .
2 Ищите в исходном многочлене признаки формул сокращенного умножения — удвоенные и утроенные произведения , сумму и	разность	кубов , разность квадратов .
Последнее равенство означает , что	разность	чисел делится на m .
а ) квадрат суммы а и b . б ) сумма квадратов а и b . в ) квадрат разности с и d . г )	разность	квадратов c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если	разность	и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р .
118 Докажите , что	разность	А и В делится на 17 .
2 Ищите в исходном многочлене признаки формул сокращенного умножения — удвоенные и утроенные произведения , сумму и разность кубов ,	разность	квадратов .
сумма значений выражений не больше 2 . д )	разность	значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения .
а )	разностью	квадратов . б ) суммой кубов .
в )	разностью	кубов .
Что же касается числа нуль , то оно возникло тогда , когда потребовалось показать отсутствие единиц определенного	разряда	в некотором числе , например 101 , 10 001 и т.д .
При сложении многозначных чисел такая запись помогает добиться близкого расположения цифр , стоящих в одинаковых	разрядах	, а при сложении многочленов — близкого расположения подобных членов .
Наглядным примером классификации является	распределение	учеников школы в классы : каждый ученик попадает только в один класс , а объединение всех классов представляет собой множество всех учеников школы .
Совет директоров пончиковой компании Антона и Ксюши принял решение о	распределении	прибыли в 2010 году .
Если внимательно проанализировать рассуждение администратора , то станет ясно , что второй турист остался без комнаты , так как о его существовании при	распределении	номеров просто забыли .
Нулевая степень	рационального	числа .
Предметный указатель . n -я степень	рационального	числа .
Любая натуральная степень положительного	рационального	числа — это число положительное .
Аналогичным образом мы будем понимать и натуральную степень	рационального	числа .
Степенью	рационального	числа а с натуральным показателем 1 называется само это число .
Теперь « доопределим » понятие натуральной степени	рационального	числа для случая показателя , равного 1 .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа « неразрушения » ) , дадим определение первой степени	рационального	числа , согласованное с определением первой степени натурального числа , которое мы использовали раньше .
Теперь , пользуясь введенным понятием степени	рационального	числа , мы можем записать : 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 равно 0,755 .
Тогда n - й степенью	рационального	числа а называется произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Для любого	рационального	числа а и любых натуральных тип .
Натуральная степень положительного	рационального	числа представляет собой произведение положительных чисел ( или само число ) .
б ) Если ни один квадрат	рационального	числа не отрицательный , то ни одно отрицательное число — не квадрат .
г ) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный , то ни одно отрицательное число не является квадратом	рационального	числа .
г ) Если ни один квадрат	рационального	числа не отрицательный , то ни одно отрицательное число не является квадратом рационального числа .
Мы знаем , что вычитание	рационального	числа можно заменить прибавлением противоположного числа .
а ) Если от загаданного	рационального	числа отнять 5 , результат умножить на 7 , к полученному произведению прибавить 2 , результат разделить на 6 , а к полученному частному прибавить 4 , то снова получится загаданное число .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа неразрушения ) подумайте , как можно было бы дать определение степени	рационального	числа с целым показателем .
Нулевой степенью	рационального	числа а , отличного от нуля , называется число 1 .
Поэтому логично ввести определение , по которому а0 равно 1 для любого не равного нулю	рационального	числа а .
Например , для любого не равного нулю	рационального	а должно быть верно следующее равенство .
Таким образом , у нас теперь есть определение натуральной степени	рационального	числа , и мы знаем свойства степеней с натуральными показателями .
Значит , действительно запись в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной периодической ) есть другая форма записи	рационального	числа .
Для любого	рационального	числа а , отличного от 0 , и любых натуральных тип таких , что m больше n .
Предложите собственную версию определения степени	рационального	числа а с натуральным показателем п , исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( « принципа неразрушения » ) .
Для любого	рационального	числа а и любых натуральных mиn .
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под натуральной степенью любого	рационального	числа , научились определять знак степени и узнали , в каком порядке проводятся вычисления в выражениях со степенью .
Ведь операция вычитания	рационального	числа равносильна операции прибавления противоположного числа .
Для любого	рационального числа	а и любых натуральных тип .
Натуральная степень положительного	рационального числа	представляет собой произведение положительных чисел ( или само число ) .
б ) Если ни один квадрат	рационального числа	не отрицательный , то ни одно отрицательное число — не квадрат .
г ) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный , то ни одно отрицательное число не является квадратом	рационального числа	.
г ) Если ни один квадрат	рационального числа	не отрицательный , то ни одно отрицательное число не является квадратом рационального числа .
Аналогичным образом мы будем понимать и натуральную степень	рационального числа	.
Предложите собственную версию определения степени	рационального числа	а с натуральным показателем п , исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( « принципа неразрушения » ) .
Мы знаем , что вычитание	рационального числа	можно заменить прибавлением противоположного числа .
а ) Если от загаданного	рационального числа	отнять 5 , результат умножить на 7 , к полученному произведению прибавить 2 , результат разделить на 6 , а к полученному частному прибавить 4 , то снова получится загаданное число .
Тогда n - й степенью	рационального числа	а называется произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа неразрушения ) подумайте , как можно было бы дать определение степени	рационального числа	с целым показателем .
Степенью	рационального числа	а с натуральным показателем 1 называется само это число .
Нулевой степенью	рационального числа	а , отличного от нуля , называется число 1 .
Теперь , пользуясь введенным понятием степени	рационального числа	, мы можем записать : 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 равно 0,755 .
Любая натуральная степень положительного	рационального числа	— это число положительное .
Для любого	рационального числа	а и любых натуральных mиn .
Таким образом , у нас теперь есть определение натуральной степени	рационального числа	, и мы знаем свойства степеней с натуральными показателями .
Для любого	рационального числа	а , отличного от 0 , и любых натуральных тип таких , что m больше n .
Теперь « доопределим » понятие натуральной степени	рационального числа	для случая показателя , равного 1 .
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под натуральной степенью любого	рационального числа	, научились определять знак степени и узнали , в каком порядке проводятся вычисления в выражениях со степенью .
Поэтому логично ввести определение , по которому а0 равно 1 для любого не равного нулю	рационального числа	а .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа « неразрушения » ) , дадим определение первой степени	рационального числа	, согласованное с определением первой степени натурального числа , которое мы использовали раньше .
Ведь операция вычитания	рационального числа	равносильна операции прибавления противоположного числа .
Значит , действительно запись в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной периодической ) есть другая форма записи	рационального числа	.
Нулевая степень	рационального числа	.
Предметный указатель . n -я степень	рационального числа	.
388 Запишите данное	рациональное	число в виде периодической десятичной дроби .
По определению , любое положительное	рациональное	число можно записать в виде обыкновенной дроби .
Любое ли	рациональное	число ( то есть обыкновенную дробь ) можно записать в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной ) ?
Пусть а — произвольное	рациональное	число , а m и n - произвольные натуральные числа , тогда что и требовалось доказать .
Таким образом , любое	рациональное	число может быть записано в виде бесконечной периодической дроби , и обратно .
Из определения рациональных чисел следует , что любое	рациональное	число можно записать в виде обыкновенной дроби .
Запишите	рациональное	число в виде периодической десятичной дроби .
б ) Какое	рациональное	число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби , чтобы она стала равна ? .
Одно	рациональное	число на 5 больше другого , при этом модуль одного из этих чисел равен модулю другого .
Найдите	рациональное	число , среднее арифметическое которого с числом 916 равно 619 .
а ) На какое	рациональное	число нужно уменьшить 785 и увеличить 587 , чтобы получить одинаковые числа ? .
398 Запишите	рациональное	число в виде периодической десятичной дроби .
Теорема 1 Любое положительное	рациональное	число можно записать в виде периодической десятичной дроби .
Пусть а — произвольное	рациональное	число , отличное от 0 , а m и n — произвольные натуральные числа такие , что m больше n.
Так , например , уравнение имеет один корень — число 2 , а корнем уравнения является любое	рациональное	число .
Пусть а — произвольное	рациональное	число , а m и n — произвольные натуральные числа , тогда что и требовалось доказать .
487 Запишите	рациональное	число в виде периодической десятичной дроби .
Пусть первое	рациональное	число равно х.
Тогда второе	рациональное	число равно х плюс 6 , а третье равно х(х плюс 6 ) плюс 11 .
Пусть а — произвольное	рациональное число	, а m и n — произвольные натуральные числа , тогда что и требовалось доказать .
Пусть а — произвольное	рациональное число	, а m и n - произвольные натуральные числа , тогда что и требовалось доказать .
Любое ли	рациональное число	( то есть обыкновенную дробь ) можно записать в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной ) ?
По определению , любое положительное	рациональное число	можно записать в виде обыкновенной дроби .
Так , например , уравнение имеет один корень — число 2 , а корнем уравнения является любое	рациональное число	.
Таким образом , любое	рациональное число	может быть записано в виде бесконечной периодической дроби , и обратно .
Из определения рациональных чисел следует , что любое	рациональное число	можно записать в виде обыкновенной дроби .
Тогда второе	рациональное число	равно х плюс 6 , а третье равно х(х плюс 6 ) плюс 11 .
б ) Какое	рациональное число	нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби , чтобы она стала равна ? .
398 Запишите	рациональное число	в виде периодической десятичной дроби .
Пусть первое	рациональное число	равно х.
Пусть а — произвольное	рациональное число	, отличное от 0 , а m и n — произвольные натуральные числа такие , что m больше n.
Одно	рациональное число	на 5 больше другого , при этом модуль одного из этих чисел равен модулю другого .
Найдите	рациональное число	, среднее арифметическое которого с числом 916 равно 619 .
а ) На какое	рациональное число	нужно уменьшить 785 и увеличить 587 , чтобы получить одинаковые числа ? .
Теорема 1 Любое положительное	рациональное число	можно записать в виде периодической десятичной дроби .
388 Запишите данное	рациональное число	в виде периодической десятичной дроби .
487 Запишите	рациональное число	в виде периодической десятичной дроби .
Запишите	рациональное число	в виде периодической десятичной дроби .
б ) Каждому	рациональному	числу х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу .
а ) Каждому	рациональному	числу х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу .
а ) Каждому	рациональному	числу х поставили в соответствие некоторое число у по правилу .
а ) Каждому	рациональному	числу ставится в соответствие его модуль .
Зависимость задали следующим образом , каждому	рациональному	числу а поставили в соответствие наименьшее целое число , большее этого числа .
Функцию задали следующим образом : каждому	рациональному	числу q поставили в соответствие наибольшее целое число , не превосходящее этого числа .
б ) Каждому	рациональному	числу х поставили в соответствие некоторое число у по правилу .
Каждому	рациональному	числу х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу .
Во - первых , заметим , что , согласно равенству , каждому	рациональному	числу х сопоставляется единственное число у.
В общем случае равенство каждому	рациональному	числу x сопоставляет единственное число у.
а ) Каждому	рациональному числу	х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу .
б ) Каждому	рациональному числу	х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу .
а ) Каждому	рациональному числу	ставится в соответствие его модуль .
В общем случае равенство каждому	рациональному числу	x сопоставляет единственное число у.
Каждому	рациональному числу	х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу .
б ) Каждому	рациональному числу	х поставили в соответствие некоторое число у по правилу .
а ) Каждому	рациональному числу	х поставили в соответствие некоторое число у по правилу .
Функцию задали следующим образом : каждому	рациональному числу	q поставили в соответствие наибольшее целое число , не превосходящее этого числа .
Во - первых , заметим , что , согласно равенству , каждому	рациональному числу	х сопоставляется единственное число у.
Зависимость задали следующим образом , каждому	рациональному числу	а поставили в соответствие наименьшее целое число , большее этого числа .
711 Найдите загаданные	рациональные	числа , если известно , что .
695 Найдите загаданные	рациональные	числа , если известно , что .
Пусть а и b — произвольные	рациональные	числа , а n — произвольное натуральное число , тогда что и требовалось доказать .
Пусть а и b — произвольные	рациональные	числа , где b≠0 , и n — произвольное натуральное число , тогда что и требовалось доказать .
Если все положительные числа являются рациональными и ни одно положительное число не может быть меньше нуля , значит , все	рациональные	числа не могут быть меньше нуля .
а ) Если	рациональные	числа равны , то равны и квадраты этих чисел .
714 Найдите загаданные	рациональные	числа , если известно , что произведение первого и третьего из них равно 20 .
Сначала ответим на эти вопросы для положительных рациональных чисел , а затем распространим полученные правила на все	рациональные	числа .
390 Сравните	рациональные	числа .
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри : квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные положительные	рациональные	числа ( а больше b ) .
228 а ) Если некоторые отрицательные числа рациональные , то некоторые	рациональные	числа — отрицательные .
Итак , мы выяснили , что	рациональные	числа представляются только периодическими десятичными дробями .
228 а ) Если некоторые отрицательные числа	рациональные	, то некоторые рациональные числа — отрицательные .
б ) Если	рациональные	числа равны , то равны и кубы этих чисел .
400 Сравните	рациональные	числа .
Ведь мы не можем перебрать все	рациональные	числа и убедиться в том , что оба выражения дают одинаковые числовые значения .
700 Найдите загаданные	рациональные	числа , если известно , что .
Линейным неравенством с одним неизвестным х называется неравенство , которое может быть представлено в одном из четырех видов , где k , b —	рациональные	числа .
489 Сравните	рациональные	числа .
Число 4 меньше 5 . з ) Все	рациональные	числа , меньшие 5 , больше ( -100 ) .
786 Найдите загаданные	рациональные	числа , если известно , что .
В итоге мы получили все решения неравенств вида , где k , с —	рациональные	числа .
и ) Существуют	рациональные	числа , меньшие 7 и большие 2 .
в ) Существуют	рациональные	числа , квадрат суммы которых равен квадрату их разности .
Общее во всех этих неравенствах то , что левая их часть является выражением вида , где k , b —	рациональные	числа .
714 Найдите загаданные	рациональные числа	, если известно , что произведение первого и третьего из них равно 20 .
В итоге мы получили все решения неравенств вида , где k , с —	рациональные числа	.
а ) Если	рациональные числа	равны , то равны и квадраты этих чисел .
б ) Если	рациональные числа	равны , то равны и кубы этих чисел .
Если все положительные числа являются рациональными и ни одно положительное число не может быть меньше нуля , значит , все	рациональные числа	не могут быть меньше нуля .
Сначала ответим на эти вопросы для положительных рациональных чисел , а затем распространим полученные правила на все	рациональные числа	.
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри : квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные положительные	рациональные числа	( а больше b ) .
Число 4 меньше 5 . з ) Все	рациональные числа	, меньшие 5 , больше ( -100 ) .
700 Найдите загаданные	рациональные числа	, если известно , что .
Пусть а и b — произвольные	рациональные числа	, а n — произвольное натуральное число , тогда что и требовалось доказать .
Линейным неравенством с одним неизвестным х называется неравенство , которое может быть представлено в одном из четырех видов , где k , b —	рациональные числа	.
786 Найдите загаданные	рациональные числа	, если известно , что .
Общее во всех этих неравенствах то , что левая их часть является выражением вида , где k , b —	рациональные числа	.
228 а ) Если некоторые отрицательные числа рациональные , то некоторые	рациональные числа	— отрицательные .
Пусть а и b — произвольные	рациональные числа	, где b≠0 , и n — произвольное натуральное число , тогда что и требовалось доказать .
в ) Существуют	рациональные числа	, квадрат суммы которых равен квадрату их разности .
489 Сравните	рациональные числа	.
400 Сравните	рациональные числа	.
695 Найдите загаданные	рациональные числа	, если известно , что .
и ) Существуют	рациональные числа	, меньшие 7 и большие 2 .
Ведь мы не можем перебрать все	рациональные числа	и убедиться в том , что оба выражения дают одинаковые числовые значения .
711 Найдите загаданные	рациональные числа	, если известно , что .
390 Сравните	рациональные числа	.
Итак , мы выяснили , что	рациональные числа	представляются только периодическими десятичными дробями .
Теорема 2 Любая положительная периодическая десятичная дробь является	рациональным	числом .
392 Определите , является ли число	рациональным	, и обоснуйте свой ответ . .
533 Вычислите	рациональным	способом .
393 Вычислите	рациональным	способом .
494 Найдите значение выражения	рациональным	способом .
85 Вычислите	рациональным	способом .
Любая ли десятичная дробь является	рациональным	числом ( то есть представима в виде обыкновенной дроби ) ?
754 Найдите значения выражений	рациональным	способом .
62 Вычислите	рациональным	способом .
58 Вычислите	рациональным	способом .
502 Найдите значение выражения	рациональным	способом .
152 Выполните вычисления	рациональным	способом и расшифруйте фамилию автора высказывания « Для парусника , который не знает , куда плыть , ни один ветер не будет попутным » .
402 Определите , является ли число	рациональным	, и обоснуйте свой ответ .
487 Вычислите	рациональным	способом .
402 Вычислите	рациональным	способом .
Вычислите	рациональным	способом .
501 Определите , является ли число	рациональным	.
206 Найдите НОД чисел а и b наиболее	рациональным	способом .
Зададим функцию f следующим образом : « всем неотрицательным	рациональным	числам поставим в соответствие число 1 , а всем отрицательным — число ( -1 ) » .
337 Вычислите	рациональным	способом .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным	рациональным	числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
322 а ) Найдите значения выражений	рациональным	способом .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным	рациональным	числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Зададим функцию f следующим образом : « всем неотрицательным	рациональным числам	поставим в соответствие число 1 , а всем отрицательным — число ( -1 ) » .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным	рациональным числам	поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным	рациональным числам	поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
Теорема 2 Любая положительная периодическая десятичная дробь является	рациональным числом	.
Любая ли десятичная дробь является	рациональным числом	( то есть представима в виде обыкновенной дроби ) ?
Значит , существуют числа , не являющиеся	рациональными	.
Проверим , что корни уравнений являются	рациональными	числами .
Вспомним основные законы арифметических действий с	рациональными	числами .
Если все положительные числа являются	рациональными	и ни одно положительное число не может быть меньше нуля , значит , все рациональные числа не могут быть меньше нуля .
Первый и последний шаги преобразований выполнены на основе правил арифметических действий с	рациональными	числами , второй шаг - на основе правила равносильных преобразований 1 , а третий - на основе правила 3 .
Все полученные корни являются	рациональными	числами .
Первый и последний шаги преобразований выполнены на основе правил арифметических действий с	рациональными числами	, второй шаг - на основе правила равносильных преобразований 1 , а третий - на основе правила 3 .
Все полученные корни являются	рациональными числами	.
а ) Частное двух	рациональных	чисел равно 2 , при этом одно из этих чисел на 8 больше другого .
Сравните степени	рациональных	чисел .
Разность двух	рациональных	чисел равна 3 , при этом модуль одного из этих чисел в 2 раза больше модуля другого числа .
б ) разность квадратов двух	рациональных	чисел быть больше суммы квадратов этих чисел ? .
Из определения	рациональных	чисел следует , что любое рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби .
е ) Если в произведении	рациональных	чисел поменять порядок действий , то результат может измениться .
д ) Алгебраическая сумма	рациональных	чисел не зависит от порядка слагаемых .
Но , прежде чем изучать свойства иррациональных чисел , нам надо разобраться с основными свойствами	рациональных	чисел и научиться уверенно выполнять все действия с ними .
а ) Частное двух	рациональных	чисел равно 8 , при этом одно из этих чисел на 21 больше другого .
а ) Квадрат суммы двух	рациональных	чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
Одно из двух загаданных	рациональных	чисел на 10 больше другого , а сумма их модулей равна 16 .
Сумма двух	рациональных	чисел равна 8 , при этом модуль одного из этих чисел в 3 раза меньше модуля другого числа .
Ответ : могли загадать следующие тройки	рациональных	чисел : ( -1 ; 5 ; 6 ) , ( -2 ; 4 ; 3 ) , ( -3 ; 3 ; 2 ) .
Куб разности двух	рациональных	чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
И мы можем использовать для	рациональных	чисел ту форму записи , которая нам удобна в каждом рассматриваемом случае .
Частное двух	рациональных	чисел равно 5 .
Если произведение двух	рациональных	чисел равно 0 , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
1 Множество	рациональных	чисел .
3 При	рациональных	значениях переменных запишите буквенное выражение короче , используя понятие степени .
Но нам известен и другой способ записи	рациональных	чисел - в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной ) .
Например , записи 27/1000 и 0,027 являются , по сути , разными обозначениями для од них и тех же	рациональных	чисел .
Если произведение двух	рациональных	чисел равно 1 , то эти числа взаимно обратные .
д ) Два	рациональных	числа противоположные , если их сумма равна нулю .
Чтобы распространить наши знания о степени на множество	рациональных	чисел , уточним соответствующие определения .
в ) Если модули двух	рациональных	чисел равны , то равны и сами числа .
Это означает , что множество периодических десятичных дробей совпадает со множеством	рациональных	чисел .
в ) Частное двух	рациональных	чисел равно 7 , при этом одно из этих чисел на 9 больше другого .
Областью определения этой функции является множество всех	рациональных	чисел .
Одно из двух загаданных	рациональных	чисел на 4 больше другого , а сумма их модулей равна 12 .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению множеств натуральных чисел N , целых чисел Z ,	рациональных	чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
Очевидно , что те же правила сохранятся и для отрицательных	рациональных	чисел , так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной дробью знак минус , то в записи изменится только знак .
Итак , мы ввели новое для нас арифметическое действие для	рациональных	чисел — возведение в натуральную степень , и установили некоторые правила , упрощающие определение знака степени .
Загадали три	рациональных	числа .
Сначала ответим на эти вопросы для положительных	рациональных	чисел , а затем распространим полученные правила на все рациональные числа .
Сумма двух отрицательных	рациональных	чисел отрицательна .
Квадрат разности некоторых	рациональных	чисел равен разности их квадратов .
Установите общую формулу для вычисления произведения степеней	рациональных	чисел с общим основанием и натуральными показателями .
Здесь нам также помогают законы арифметических действий , ведь они верны для любых	рациональных	чисел .
Для любых	рациональных	чисел а и b , где b 0 , и любого натурального числа n .
Для любых	рациональных	чисел a и b и любого натурального числа n .
Здесь первый шаг преобразований выполнен на основании правила 2 , а второй - на основе правил умножения	рациональных	чисел и определения степени числа .
в ) Произведение двух отрицательных	рациональных	чисел есть число положительное .
Сумма двух	рациональных	чисел равна 2490 .
Разность двух	рациональных	чисел равна 438 .
22 Запишите произведения	рациональных	чисел короче , используя понятие степени .
Эти законы верны не только для данных чисел , но и для любых	рациональных	чисел .
Разность двух положительных	рациональных	чисел может быть числом отрицательным .
Областью определения этой функции является множество всех	рациональных чисел	.
Это означает , что множество периодических десятичных дробей совпадает со множеством	рациональных чисел	.
Здесь первый шаг преобразований выполнен на основании правила 2 , а второй - на основе правил умножения	рациональных чисел	и определения степени числа .
д ) Алгебраическая сумма	рациональных чисел	не зависит от порядка слагаемых .
Сумма двух	рациональных чисел	равна 2490 .
Для любых	рациональных чисел	a и b и любого натурального числа n .
Одно из двух загаданных	рациональных чисел	на 4 больше другого , а сумма их модулей равна 12 .
Сумма двух	рациональных чисел	равна 8 , при этом модуль одного из этих чисел в 3 раза меньше модуля другого числа .
Квадрат разности некоторых	рациональных чисел	равен разности их квадратов .
Разность двух	рациональных чисел	равна 3 , при этом модуль одного из этих чисел в 2 раза больше модуля другого числа .
в ) Частное двух	рациональных чисел	равно 7 , при этом одно из этих чисел на 9 больше другого .
а ) Частное двух	рациональных чисел	равно 2 , при этом одно из этих чисел на 8 больше другого .
Для любых	рациональных чисел	а и b , где b 0 , и любого натурального числа n .
Куб разности двух	рациональных чисел	может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
И мы можем использовать для	рациональных чисел	ту форму записи , которая нам удобна в каждом рассматриваемом случае .
Итак , мы ввели новое для нас арифметическое действие для	рациональных чисел	— возведение в натуральную степень , и установили некоторые правила , упрощающие определение знака степени .
Сравните степени	рациональных чисел	.
Эти законы верны не только для данных чисел , но и для любых	рациональных чисел	.
Но нам известен и другой способ записи	рациональных чисел	- в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной ) .
22 Запишите произведения	рациональных чисел	короче , используя понятие степени .
е ) Если в произведении	рациональных чисел	поменять порядок действий , то результат может измениться .
Если произведение двух	рациональных чисел	равно 1 , то эти числа взаимно обратные .
Сумма двух отрицательных	рациональных чисел	отрицательна .
Например , записи 27/1000 и 0,027 являются , по сути , разными обозначениями для од них и тех же	рациональных чисел	.
Разность двух положительных	рациональных чисел	может быть числом отрицательным .
Разность двух	рациональных чисел	равна 438 .
Если произведение двух	рациональных чисел	равно 0 , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
в ) Если модули двух	рациональных чисел	равны , то равны и сами числа .
Одно из двух загаданных	рациональных чисел	на 10 больше другого , а сумма их модулей равна 16 .
в ) Произведение двух отрицательных	рациональных чисел	есть число положительное .
Установите общую формулу для вычисления произведения степеней	рациональных чисел	с общим основанием и натуральными показателями .
Чтобы распространить наши знания о степени на множество	рациональных чисел	, уточним соответствующие определения .
а ) Частное двух	рациональных чисел	равно 8 , при этом одно из этих чисел на 21 больше другого .
Из определения	рациональных чисел	следует , что любое рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби .
а ) Квадрат суммы двух	рациональных чисел	равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
Ответ : могли загадать следующие тройки	рациональных чисел	: ( -1 ; 5 ; 6 ) , ( -2 ; 4 ; 3 ) , ( -3 ; 3 ; 2 ) .
Но , прежде чем изучать свойства иррациональных чисел , нам надо разобраться с основными свойствами	рациональных чисел	и научиться уверенно выполнять все действия с ними .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению множеств натуральных чисел N , целых чисел Z ,	рациональных чисел	Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
б ) разность квадратов двух	рациональных чисел	быть больше суммы квадратов этих чисел ? .
Здесь нам также помогают законы арифметических действий , ведь они верны для любых	рациональных чисел	.
1 Множество	рациональных чисел	.
Сначала ответим на эти вопросы для положительных	рациональных чисел	, а затем распространим полученные правила на все рациональные числа .
Частное двух	рациональных чисел	равно 5 .
Очевидно , что те же правила сохранятся и для отрицательных	рациональных чисел	, так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной дробью знак минус , то в записи изменится только знак .
д ) Два	рациональных числа	противоположные , если их сумма равна нулю .
Загадали три	рациональных числа	.
Задайте зависимость объема куба V от длины его	ребра	а .
Длина	ребра	второго куба на 3 см больше длины ребра первого .
Найдите длину	ребра	первого куба , если объем второго куба равен 343 см3 .
Длина ребра второго куба на 3 см больше длины	ребра	первого .
Правила равносильных преобразований уравнений основываются на известных нам общих свойствах равенств —	рефлексивности	, симметричности и транзитивности — и правилах преобразований числовых равенств ( правилах « весов » ) .
в ) Если ни одно	решение	уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
1 Запишите	решение	задачи в виде буквенного выражения и найдите его значение для .
Таким образом , мы научились по коэффициентам линейных уравнений с двумя неизвестными сразу выделять те из них , которые имеют хотя бы одно целое	решение	.
Если ни одно	решение	неравенства не является положительным числом , то ни одно положительное число не является решением неравенства .
В итоге он записал свое	решение	так .
Сравните свое	решение	этой задачи с решением , приведенным на стр. 127 - 129 учебника .
Совет директоров пончиковой компании Антона и Ксюши принял	решение	о распределении прибыли в 2010 году .
Проанализируйте	решение	предыдущего примера и сформулируйте идею способа группировки при разложении многочлена на множители .
Пользуясь определением модуля числа ,	решение	этого уравнения можно записать следующим образом .
Таким образом , математическое моделирование позволяет свести	решение	большого числа внешне различных практических задач к решению уравнений и неравенств .
Таким образом , как только мы представили линейное неравенство с одним неизвестным х в виде , мы сразу можем найти его	решение	.
Получив	решение	математической задачи , необходимо его проанализировать , то есть разобраться в его реальном смысле , а затем сделать выводы .
Во втором случае мы должны создать новый или усовершенствовать некоторый старый способ таким образом , чтобы получить в итоге	решение	данной задачи ( и одновременно всех других подобных задач ) .
В первом случае мы просто выбираем способ , позволяющий получить	решение	задачи .
имеется математическая теория , позволяющая получить	решение	данной задачи .
Профсоюз рабочих принял	решение	сократить рабочий день с 8 до 7 часов .
А это уже позволяет упростить	решение	многих практических задач .
Ведь если вы сможете разобраться , почему произошла ошибка , то это поможет вам глубже осознать математические законы и значительно облегчит	решение	последующих задач .
Доказать , что уравнение , где , имеет единственное	решение	.
Если ни одно	решение	уравнения 2х равно 1 не является целым числом , то ни одно целое число не является решением уравнения 2х равно 1 .
Профсоюз рабочих принял	решение	сократить рабочий день с 8 часов до 6 часов .
Формула разности квадратов , как и все другие формулы сокращенного умножения , сильно упрощает преобразование выражений ,	решение	уравнений , проведение вычислений .
Сравните свое	решение	и алгоритм с таблицей и алгоритмом , приведенными в учебнике .
Мы уже убедились в том , что оно имеет хотя бы одно	решение	.
И для того чтобы	решение	было получено максимально простым и удобным способом , математическая модель , как и многие полезные инструменты , должна быть достаточно простой .
Сравните свое	решение	с решением примера 1 .
Ведь	решение	задачи , над которой пришлось много трудиться , принесет вам ни с чем не сравнимое удовольствие и радость .
Действительно , если бы мы не учли того , что сумма углов треугольника равна 180 ° , то получили бы	решение	30 ° , 10 ° и 90 ° , которое не отражает объективных законов окружающего мира : треугольников с такими углами не существует .
Проведение классификации множества целых чисел по остаткам от деления на некоторое число позволяет упростить	решение	многих задач .
Заметим , что магический квадрат можно составить далеко не из любых девяти чисел , поэтому совершенно не очевидно , что данная задача имеет	решение	.
Составьте задачу ,	решение	которой может привести к следующему уравнению .
После этого , используя свойства уравнения и найденное	решение	, можно будет выразить значения х и у через некоторую единую переменную величину ( обозначаемую , например , k ) , принимающую целые значения .
Покажем теперь , как сравнения и введенная для них арифметика позволяют при решении задач уйти от громоздких преобразований и тем самым упрощают	решение	.
Идея поиска всех целых решений уравнений рассматриваемого вида заключается в следующем : сначала надо найти одно произвольное	решение	данного уравнения .
Тем самым	решение	уравнения неизвестного вида будет нами сведено к решению уже известных уравнений .
Это	решение	будет зависеть от значений k и с. При этом возможны три случая .
132 Проанализируйте	решение	задачи .
А значит ,	решение	любых задач , примеров , уравнений теряет смысл - ведь в ответе без всяких вычислений сразу можно записать любое число .
85 В связи с увеличением спроса на пончики Антон и Ксюша приняли	решение	взять на работу одну из двух новых бригад пекарей .
в ) Если ни одно	решение	неравенства 5х минус 1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые отрицательные числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х минус 1 больше 0 .
1 Линейные уравнения и их	решение	.
Линейные неравенства и их	решение	.
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно	решение	этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
б ) Если ни одно решение неравенства не является решением неравенства , то ни одно	решение	неравенства не является решением неравенства .
После построения математической модели естественным образом встает вопрос о существовании математической теории , позволяющей получить	решение	исходной задачи .
в ) Если ни одно	решение	уравнения не является четным числом , а некоторые четные числа делятся на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9 числа не являются решением уравнения .
д ) Если ни одно	решение	неравенства не больше 10 , а некоторые большие 10 числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решениями неравенства .
Рабочий день Антона и Ксюши , владельцев пончиковой компании , расписан следующим образом :	решение	производственных проблем на пончиковой фабрике занимает 2/9 всего рабочего дня , 1/6 рабочего дня отведена под переговоры с контрагентами компании , 12/27 рабочего дня Антон и Ксюша решают текущие вопросы с сотрудниками офиса компании , а оставшееся время отведено на встречи с партнерами компании .
Тем самым мы доказали , что	решение	указанного уравнения существует , что и требовалось доказать .
а ) наибольшее	решение	неравенства . б ) наименьшее решение неравенства .
Если ни одно	решение	неравенства не является отрицательным числом , то ни одно отрицательное число не является решением неравенства .
наименьшее целое	решение	неравенства .
наибольшее решение неравенства . г ) наименьшее решение неравенства . д ) наибольшее целое	решение	неравенства . е )
Если ни одно	решение	уравнения не делится на 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 10 , значит , некоторые числа , кратные 10 , не являются решениями уравнения .
наибольшее решение неравенства . г ) наименьшее	решение	неравенства . д ) наибольшее целое решение неравенства . е )
Решая задачу 1 , нам удалось не только найти некоторое ее решение , но и доказать , что данное	решение	единственное .
Было принято	решение	разделить ее между Антоном , Ксюшей и прочими акционерами в отношении .
Доказать , что существует	решение	уравнения .
Значит , уравнение , где , имеет единственное	решение	, что и требовалось доказать .
При решении задач надо всегда делать проверку , проверяя полученное	решение	как на соответствие условиям задачи , так и на соответствие здравому смыслу .
наибольшее	решение	неравенства . г ) наименьшее решение неравенства . д ) наибольшее целое решение неравенства . е )
Будем искать	решение	нашего уравнения на каждом из выделенных числовых промежутков .
Решая задачу 1 , нам удалось не только найти некоторое ее	решение	, но и доказать , что данное решение единственное .
Приведение одночленов к стандартному виду и приведение подобных слагаемых позволяет упрощать	решение	различных задач и примеров .
Значит , единица —	решение	неравенства . б ) Все решения неравенства положительные числа .
а ) наибольшее решение неравенства . б ) наименьшее	решение	неравенства .
Упростить	решение	этой и многих других задач помогает так называемая основная теорема арифметики .
Целое	решение	уравнения , где a , b , с е Z , всегда существует , если с делится на d = НОД .
Тем самым мы доказали , что	решение	указанного уравнения существует .
Сначала разберем	решение	конкретного уравнения такого типа , а затем запишем общий алгоритм .
б ) Если ни одно	решение	неравенства не является решением неравенства , то ни одно решение неравенства не является решением неравенства .
в ) Если ни одно	решение	уравнения не является нечетным числом , а некоторые нечетные числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решением уравнения .
г ) число ( -1 ) является	решением	неравенства .
Значит , число ( -6 ) не является	решением	неравенства .
число 2 является	решением	неравенства .
Если ни одно решение неравенства не является отрицательным числом , то ни одно отрицательное число не является	решением	неравенства .
Сравните свое решение с	решением	примера 1 .
Является ли	решением	этого неравенства число .
е ) число ( -5 ) не является	решением	неравенства .
а ) число ( -1,5 ) является	решением	неравенства .
Значит ,	решением	исходного неравенства является замкнутый луч .
число 3 является	решением	неравенства .
в ) число является	решением	неравенства .
Если ни одно решение неравенства не является положительным числом , то ни одно положительное число не является	решением	неравенства .
Число ( -6 ) не является	решением	неравенства х. Значит , число ( -6 ) не является положительным числом .
	Решением	неравенства является любое число .
Число 8 является	решением	неравенства х. Значит , число 8 — положительное .
Так как НОД ( 5 ; 7 ) 1 , то из полученного равенства следует , что для всех целых х и у , являющихся	решением	исходного уравнения , кратно 7 , а кратно 5 .
б ) Если ни одно решение неравенства не является решением неравенства , то ни одно решение неравенства не является	решением	неравенства .
2 ) Является ли число -6	решением	неравенства ?
2 ) Если k 0 , то уравнение kx -b равносильно уравнению , которое при b 0 не имеет решений , а при b 0 становится тождеством ( то есть его	решением	является любое число ) .
Является ли число 1,5	решением	неравенства ?
Сравните свое решение этой задачи с	решением	, приведенным на стр. 127 - 129 учебника .
в ) Если ни одно решение уравнения не является четным числом , а некоторые четные числа делятся на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9 числа не являются	решением	уравнения .
И так как мы выяснили , что число х — нечетное , то , значит , х 7 является единственным	решением	исходного уравнения .
б ) Если ни одно решение неравенства не является	решением	неравенства , то ни одно решение неравенства не является решением неравенства .
Алгебра - это раздел математики , развитие которого связано с	решением	самых разных уравнений .
Докажите , что	решением	данного уравнения является любое число .
число 6 не является	решением	неравенства .
-3,5	решением	неравенства ?
Значит ,	решением	нашего неравенства является открытый луч .
число 3 не является	решением	неравенства .
Запишите три неравенства ,	решением	которых является число с .
Тогда при неотрицательных значениях с данное неравенство не будет иметь решений , а при отрицательных — его	решением	будет любое число .
В случае , если неравенство нестрогое , то при k 0 число также будет являться его	решением	.
а ) 2,4	решением	неравенства ?
Все целые числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в сумме с 6 дает 17 . д ) Число 3 является	решением	уравнения .
Если ни одно решение уравнения 2х равно 1 не является целым числом , то ни одно целое число не является	решением	уравнения 2х равно 1 .
Неравенство верно при любом значении х. Значит ,	решением	исходного неравенства является вся числовая прямая .
в ) Если ни одно решение уравнения не является нечетным числом , а некоторые нечетные числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются	решением	уравнения .
Но данная теорема крайне важна , и мы будем пользоваться ею при	решении	практических за дач , помня , что в дальнейшем мы должны будем научиться ее доказывать .
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений выражений ,	решении	уравнений и неравенств , доказательстве тождеств .
Какие случаи могут возникнуть при их	решении	? .
Начиная когда - то с простой повседневной потребности в счете , сейчас теория чисел помогает в	решении	таких актуальных проблем , как , например , повышение быстродействия компьютеров .
У целых чисел , имеющих одинаковые остатки при делении на одно и то же число , есть очень важное свойство , которое часто оказывается полезным при	решении	разнообразных задач на делимость .
Линейные уравнения с двумя переменными х и у , полученные при	решении	двух рассмотренных задач , в общем виде можно записать так .
При	решении	задач надо всегда делать проверку , проверяя полученное решение как на соответствие условиям задачи , так и на соответствие здравому смыслу .
Проанализируйте преобразования , выполненные вами при	решении	данных неравенств , и сформулируйте правила равносильных преобразований неравенств .
При	решении	задач мы часто сталкиваемся с произведениями различного вида .
Но такое разложение на множители не поможет нам в	решении	многих задач ( например , в решении уравнения , которое мы только что рассмотрели ) .
При	решении	задачи 1 мы , подсчитывая количество возможных паролей из различных символов , использовали метод систематического перебора , который для задач данного типа состоит в следующем .
Таким образом , мы в очередной раз убеждаемся , что умение раскладывать многочлены на множители позволяет существенно расширить наши возможности при	решении	самых разнообразных задач .
2 ) Какой метод решения уравнений был использован при	решении	данной задачи ?
Какими правилами равносильных преобразований вы пользовались при	решении	этих уравнений ? .
При	решении	разнообразных задач нам часто приходится вычислять значение многочлена при известных значениях входящих в него переменных .
Ранее , при	решении	задач , мы часто сталкивались с уравнениями вида .
При	решении	полученного уравнения возможны два случая .
Умение раскладывать многочлены на множители , то есть представлять их в виде произведения двух или более многочленов , оказывается очень полезным при	решении	различных задач .
Но при этом удивительным образом оказывается , что рас ширяются и наши возможности в	решении	именно практических задач .
Таким образом , при	решении	задачи 1 таблица помогла нам быстро ответить на поставленные вопросы .
Какой прием решения уравнений был использован при	решении	этой задачи ? .
При	решении	многих задач возникает необходимость рассматривать несколько разных вариантов возможной взаимосвязи величин .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при	решении	такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
Покажем теперь , как сравнения и введенная для них арифметика позволяют при	решении	задач уйти от громоздких преобразований и тем самым упрощают решение .
Поэтому при	решении	задач мы , например , можем легко найти значения величин по общему правилу нахождения неизвестного множителя .
Конечно , идеи , использованные при	решении	примеров 1 и 2 , требуют строгого доказательства .
Полученный нами при	решении	задачи результат приводит нас к еще одной статистической характеристике набора чисел , называемой медианой .
Поскольку одночлены и многочлены часто встречаются в математических моделях практических задач , то установленные приемы действий с ними помогают в упрощении полученных моделей , при нахождении значений выражений ,	решении	уравнений и неравенств .
Заметим , что при	решении	примера 2 нам пришлось выносить общий множитель за скобки несколько раз .
Заметим , что при	решении	задачи мы использовали числовую прямую лишь для того , чтобы определить на ней взаимное расположение чисел ( -4 ) и 1 и понять , на какие числовые промежутки эти числа разбивают всю числовую прямую .
Но при	решении	разного рода задач нам часто приходится сталкиваться и с алгебраическими выражениями , содержащими произведение и частное нескольких величин .
Поэтому при	решении	уравнений с модулями в дальнейшем мы будем использовать « упрощенную » модель числовой прямой .
А можно ли найти способы решения более сложных неравенств , аналогичные способам , используемым нами при	решении	уравнений ?
Решим неравенство способом , аналогичным тому , который мы использовали при	решении	уравнений с модулями .
Если корень уравнения . Найдите ошибку в	решении	следующего уравнения .
Дело в том , что при	решении	данной задачи сделано неверное предположение о том , что спортсмен в течение 1 часа будет бежать с той же скоростью , с какой он пробежал дистанцию в 200 м .
Но такое разложение на множители не поможет нам в решении многих задач ( например , в	решении	уравнения , которое мы только что рассмотрели ) .
Что касается неравенств с несколькими модулями , то способ их решения аналогичен способу , который мы использовали при	решении	уравнений с модулями .
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при	решении	задач 1 и 2 , множество решений данного линейного уравнения получить просто невозможно , так как каждому целому числу k будет соответствовать своя пара целых х и у , удовлетворяющих исходному уравнению .
При	решении	таких уравнений сначала выделяют промежутки , на которых выражения под знаком модуля не меняют свой знак , а затем уже ищут решения на каждом из выделенных промежутков .
Сравните предложенный вами способ с тем , который рассмотрен при	решении	примера 1 на стр. 32 .
Сравните свои ответы с приемами , использованными при	решении	примера 2 на стр. 33 , и алгоритмом , приведенным на стр. 34 .
При	решении	практических задач мы часто составляем выражения , то есть записи , состоящие из различных математических символов .
Рассмотрим несколько примеров использования разложения многочленов на множители при	решении	задач .
Тогда при неотрицательных значениях с данное неравенство не будет иметь	решений	, а при отрицательных — его решением будет любое число .
Однако далеко не всегда при поиске целых	решений	таких уравнений удается выполнить второй шаг — отыскать все возможные значения какой - либо из переменных .
Решите неравенство и изобразите множество его	решений	на числовой прямой Ох .
4 Используя свойства делимости целых чисел , найти одно из	решений	х0 , у0 уравнения .
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из выражений , мы сможем получить множество всех	решений	исходного уравнения .
Александрийский математик Диофант еще в III веке нашей эры придумал и обосновал общий способ поиска целых	решений	данных уравнений .
Например , имеет ли смысл искать целые корни следующих уравнений или сразу можно сказать , что они не имеют целых	решений	? .
Теперь на основании теоремы 2 , не решая уравнение , мы можем утверждать , что оно не имеет целых	решений	.
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при решении задач 1 и 2 , множество	решений	данного линейного уравнения получить просто невозможно , так как каждому целому числу k будет соответствовать своя пара целых х и у , удовлетворяющих исходному уравнению .
г ) Если все неравенства вида линейные и некоторые линейные неравенства имеют более пяти	решений	, значит , некоторые неравенства вида имеют более пяти решений .
Аналогично рассуждая , можно получить следующую таблицу	решений	неравенств .
Составьте по три неравенства , множеством	решений	которых служит числовой промежуток .
г ) Если все неравенства вида линейные и некоторые линейные неравенства имеют более пяти решений , значит , некоторые неравенства вида имеют более пяти	решений	.
Если , то уравнение не имеет	решений	, так как модуль числа не может принимать отрицательные значения .
в ) Если все уравнения вида — линейные и некоторые линейные уравнения не имеют решений , значит , некоторые уравнения вида не имеют	решений	.
7 Найти пересечение полученных множеств	решений	и соответствующих числовых промежутков .
7 Найдем пересечение каждого числового промежутка и соответствующего ему множества	решений	.
2 Если с не делится на d , записать , что данное уравнение не имеет	решений	.
Алгоритм	решений	уравнения .
8 В ответе записать объединение всех получившихся множеств	решений	.
Значит , уравнение не имеет	решений	» .
Проиллюстрируем общий способ поиска целых	решений	уравнения вида , где а , b , с Z , на примере уравнения .
неравенство не имеет	решений	.
в ) неравенство верно при всех значениях переменной . г ) неравенство не имеет	решений	.
Следовательно , данное неравенство не имеет	решений	ни при каких значениях х .
Однако прежде чем приступать к решению неравенств с модулями указанным способом , надо внимательно посмотреть на неравенство , так как иногда только лишь по виду неравенства можно сделать вывод о множестве его	решений	.
Докажите , что при указанном значении а неравенство имеет не менее десяти	решений	.
Решением неравенства будет объединение всех полученных	решений	.
Перебирая различные варианты , убеждаемся в том , что одним из	решений	данного уравнения является пара чисел .
Найдите множество целых	решений	неравенства .
Обобщая рассмотренный способ поиска целых	решений	линейных уравнений вида , где а , b , с Z , приходим к следующему алгоритму .
Решим каждое из двух полученных неравенств , а затем найдем объединение множеств их	решений	.
4 Выбрать из найденных	решений	уравнения те , которые удовлетворяют условиям задачи .
Найдите множества	решений	неравенств .
Значит , решить неравенство — это найти множество всех его	решений	либо доказать , что решений нет .
Множество	решений	.
Докажите , что данное неравенство не имеет	решений	.
Найдите множество	решений	неравенства .
Решением исходного неравенства является объединение множеств	решений	, полученных на всех числовых промежутках .
Однако уравнения в целых числах часто имеют несколько	решений	.
Докажите , что данное уравнение имеет не менее десяти	решений	.
в ) Если все уравнения вида — линейные и некоторые линейные уравнения не имеют	решений	, значит , некоторые уравнения вида не имеют решений .
2 ) Если k 0 , то уравнение kx -b равносильно уравнению , которое при b 0 не имеет	решений	, а при b 0 становится тождеством ( то есть его решением является любое число ) .
Найдите множество	решений	уравнения .
Идея поиска всех целых	решений	уравнений рассматриваемого вида заключается в следующем : сначала надо найти одно произвольное решение данного уравнения .
Значит , решить неравенство — это найти множество всех его решений либо доказать , что	решений	нет .
Уравнение , где a , b , с Z , не имеет целых	решений	, если с не делится на d НОД .
Неравенства . ( Нет	решений	) .
45 Найдите множество целых	решений	неравенства .
123 Найдите множество целых	решений	неравенств .
19 Найдите множество целых	решений	неравенства .
464 Найдите множество целых	решений	неравенства .
454 Пусть А - множество целых	решений	неравенства , а В - множество целых решений неравенства .
Выполните задание а ) для случая , когда А и В - множества целых	решений	этих же неравенств .
479 Найдите множество целых	решений	неравенства .
Пусть А - множество натуральных решений неравенства , а В - множество натуральных	решений	неравенства .
454 Пусть А - множество целых решений неравенства , а В - множество целых	решений	неравенства .
442 Пусть А - множество целых решений неравенства , а В - множество целых	решений	неравенства .
717 Изобразите на числовой прямой Ох множество	решений	неравенства .
Таким образом , приходим к выводу , что данная задача не имеет	решений	.
442 Пусть А - множество целых	решений	неравенства , а В - множество целых решений неравенства .
768 Найдите множество целых	решений	неравенства .
Пусть А - множество натуральных	решений	неравенства , а В - множество натуральных решений неравенства .
705 Изобразите на числовой прямой Ох множество	решений	неравенства .
Ведь в противном случае мы не придем к верному	решению	нужной задачи .
Однако прежде чем приступать к	решению	неравенств с модулями указанным способом , надо внимательно посмотреть на неравенство , так как иногда только лишь по виду неравенства можно сделать вывод о множестве его решений .
В итоге исходная задача свелась к	решению	уравнения , содержащего модуль .
Тем самым решение уравнения неизвестного вида будет нами сведено к	решению	уже известных уравнений .
Таким образом , математическое моделирование позволяет свести решение большого числа внешне различных практических задач к	решению	уравнений и неравенств .
Тем самым мы переходим к	решению	неравенства .
Однако для больших чисел данный способ	решения	является слишком громоздким .
Найдите два	решения	этого неравенства , большие 2,4 .
Если все	решения	уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Найти все	решения	, удовлетворяющие построенной модели .
Поэтому мы приходим к следующему уточнению шагов общего алгоритма	решения	задач методом математического моделирования .
Какой прием	решения	уравнений был использован при решении этой задачи ? .
Если все	решения	неравенства положительные числа и некоторые положительные числа делятся на 7 , то некоторые делящиеся на 7 числа — решения неравенства .
Уточните шаги ее	решения	.
Ищем все	решения	, удовлетворяющие построенной модели .
Найдите два	решения	этого неравенства , меньшие -3,5 .
Существуют ли	решения	этого неравенства , большие -3,5 ? .
Для	решения	полученного уравнения вначале упростим его .
Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные числа делятся на 7 , то некоторые делящиеся на 7 числа —	решения	неравенства .
Для	решения	задачи удобно использовать следующую таблицу .
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0 положительные числа и некоторые положительные числа — натуральные , то некоторые натуральные числа —	решения	неравенства 3х больше 0 .
Найдите все неположительные	решения	неравенства .
б ) Если все решения неравенства отрицательные числа и некоторые отрицательные числа — нечетные , то некоторые нечетные числа —	решения	неравенства .
б ) Если все	решения	неравенства 3х больше 0 положительные числа и некоторые положительные числа — натуральные , то некоторые натуральные числа — решения неравенства 3х больше 0 .
б ) Если все	решения	неравенства отрицательные числа и некоторые отрицательные числа — нечетные , то некоторые нечетные числа — решения неравенства .
а ) Если некоторые решения уравнения положительные числа , то некоторые положительные числа —	решения	уравнения .
а ) Если некоторые	решения	уравнения положительные числа , то некоторые положительные числа — решения уравнения .
Существуют ли	решения	этого неравенства , меньшие 2,4 ? .
2 В задачах требуется найти целые	решения	таких уравнений .
Неравенство имеет натуральные	решения	.
В этой книге он предлагает новые способы	решения	задач , имеющих большое практическое значение .
г ) Все	решения	неравенства х положительные числа .
в ) Все	решения	неравенства х положительные числа .
Значит , единица — решение неравенства . б ) Все	решения	неравенства положительные числа .
а ) Все	решения	неравенства положительные числа .
Установленные способы	решения	линейных неравенств для каждого из четырех выделенных в определении случаев можно представить в виде алгоритма .
Таким образом , задача	решения	линейных неравенств преобразовалась в задачу приведения их с помощью равносильных преобразований к одному из четырех указанных видов .
Алгоритм	решения	линейного неравенства , приводящегося к виду .
Поэтому мы будем постепенно пополнять его , увеличивая наши возможности красивого	решения	задач .
Найдите два	решения	этого неравенства , большие 1,5 .
Существуют ли	решения	этого неравенства , меньшие 1,5 ? .
В итоге мы получили все	решения	неравенств вида , где k , с — рациональные числа .
Корни алгебры уходят в глубокую древность , а само название происходит от арабского « аль - джебр » ( восполнение , воссоединение , связь ) - приема	решения	уравнений , описанного в трактате « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми ( ок . 783 - ок .
Метод математического моделирования используется для	решения	разных практических задач .
Найдите два	решения	этого неравенства , меньшие -6 .
Существуют ли	решения	этого неравенства , большие -6 ? .
Все	решения	уравнения могут быть записаны как обыкновенные дроби .
Таким образом , все полученные результаты	решения	неравенств в зависимости от значений k и с представим в таблице .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые	решения	уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Выбор метода	решения	задач всегда играет ключевую роль и во многом определяет успех .
г ) Все	решения	неравенства — натуральные числа . д ) Некоторые положительные числа являются решениями неравенства .
Теперь покажем , что другого натурального	решения	нет .
Все	решения	неравенства являются элементами множества .
Сравнивая	решения	задач 2 и 3 , заметим , что вероятности выпадения на верхних гранях кубиков различных сумм не совпадают .
Например , для одночленов одинаковой степени мы можем установить общие методы	решения	уравнений , в которые эти одночлены входят .
Найдите все	решения	неравенства , принадлежащие указанному промежутку .
Предложите свой алгоритм	решения	уравнения при k 0 , а затем сравните его с алгоритмом , предложенным в учебнике .
Обобщенное описание и последующее исследование зависимостей между величинами позволяет создать общие способы	решения	разнообразных задач данного вида .
Имеет ли неравенство	решения	при указанном значении а ? .
г ) Если все	решения	уравнения отрицательные числа и некоторые отрицательные числа четные , то некоторые четные числа не являются решениями уравнения .
Если бы мы не узнали , что многочлен х2 минус х минус 2 можно представить в виде произведения , то не смогли бы решить данное уравнение , так как пока не знаем общего способа	решения	уравнений такого вида .
Предложите свой алгоритм	решения	произвольного линейного неравенства с одним неизвестным .
Найдите все неотрицательные	решения	неравенства .
Итак , для	решения	задачи выполним следующие действия в такой последовательности .
Алгоритм	решения	уравнений данного типа можно записать следующим образом .
Имеются ли другие варианты	решения	этой задачи ? .
б ) Если все	решения	уравнения х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа , кратные 3 , кратны 9 , то некоторые числа , кратные 9 , — решения уравнения х2 минус 9 равно 0 .
а ) Если некоторые решения уравнения х2 минус 1 равно 0 — отрицательные числа , то некоторые отрицательные числа —	решения	этого уравнения .
а ) Если некоторые	решения	уравнения х2 минус 1 равно 0 — отрицательные числа , то некоторые отрицательные числа — решения этого уравнения .
Два неравенства равносильны , если все	решения	первого неравенства являются решениями второго неравенства и , наоборот , все решения второго неравенства являются решениями первого .
А это , в свою очередь , позволяет существенно расширить возможности	решения	многих задач .
Способ Диофанта дает возможность после нахождения всего лишь одного произвольного решения исходного уравнения записать сразу все остальные его	решения	.
б ) Если все решения уравнения х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа , кратные 3 , кратны 9 , то некоторые числа , кратные 9 , —	решения	уравнения х2 минус 9 равно 0 .
Способ Диофанта дает возможность после нахождения всего лишь одного произвольного	решения	исходного уравнения записать сразу все остальные его решения .
Воспользуемся полученными нами правилами для	решения	следующей задачи . .
Рассмотрим теперь общий способ	решения	линейного уравнения вида где х — переменная величина .
Используя результаты предыдущего задания , решите в общем виде линейное уравнение , где k , b , Q , и предложите свой алгоритм	решения	произвольного линейного уравнения с одним неизвестным .
Следовательно , задача имеет два	решения	: первое — искомые числа равны 4 и 20 , второе — искомые числа равны ( -4 ) и ( -20 ) .
А именно , математическая модель должна отражать все существенные для	решения	задачи свойства объекта .
При решении таких уравнений сначала выделяют промежутки , на которых выражения под знаком модуля не меняют свой знак , а затем уже ищут	решения	на каждом из выделенных промежутков .
А можно ли найти способы	решения	более сложных неравенств , аналогичные способам , используемым нами при решении уравнений ?
Выработка стратегии	решения	.
Убедиться , что полученные	решения	соответствуют смыслу задачи .
Значит , для	решения	исходного уравнения нам достаточно найти корни двух уравнений 1 ) и 2 ) .
Алгоритм	решения	линейного уравнения с одним неизвестным .
Но для начала нам надо научиться строить удобные математические модели , приводящие к уравнениям , способ	решения	которых известен .
Вспомним и уточним известный нам алгоритм	решения	задач методом математического моделирования .
Общий алгоритм	решения	таких уравнений можно записать следующим образом .
В частности , комбинаторика ищет методы	решения	задач , в которых надо найти число всех возможных вариантов выбора объектов с заданными свойствами .
Алгоритм	решения	уравнения вида , где а , b , с , d — некоторые числа .
Запишем теперь алгоритм	решения	линейного уравнения с одним неизвестным , обозначив для простоты -b с. Тогда .
Поэтому для их	решения	можно воспользоваться полученным выше алгоритмом .
Подставляя затем вместо k в зависимости x и у от k все возможные целые значения k , получим все целые	решения	исходного уравнения .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все	решения	уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три	решения	, для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
В итоге мы пришли к следующему уточненному варианту алгоритма	решения	задач методом математического моделирования .
Алгоритм	решения	задач методом математического моделирования .
Так , для	решения	следующего примера сначала нужно выбрать правильную группировку .
Теперь мы рассмотрим способы	решения	задач на вычисление количества комбинаций , в которых возможны повторения элементов .
Алгоритм	решения	уравнения .
Алгоритм	решения	уравнений вида в целых числах методом перебора .
Алгоритм	решения	неравенств с модулями .
Алгоритм	решения	уравнения с модулями .
б ) Если все	решения	неравенства положительные числа и некоторые положительные числа — четные , то некоторые четные числа — решения неравенства .
Обобщая рассмотренный нами способ	решения	уравнения с модулями , приходим к следующему алгоритму .
а ) Если некоторые решения уравнения отрицательные числа , то некоторые отрицательные числа —	решения	уравнения .
Теперь , уточнив понятие уравнения и сформулировав правила равносильных преобразований уравнений , перейдем к изучению общего способа	решения	одного из видов уравнений .
Используемый нами алгоритм	решения	таких уравнений в общем виде можно записать следующим образом .
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут решениями уже не при всех целых значениях k. Поэтому для полного	решения	задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и найти все возможные значения k. После этого для каждого найденного значения k надо найти соответствующие значения х и у .
а ) Если некоторые	решения	уравнения отрицательные числа , то некоторые отрицательные числа — решения уравнения .
Рассмотрите приемы	решения	примеров 2 - 5 и прочитайте советы , приведенные .
Запишите алгоритм его	решения	, используемый вами , и сравните его с алгоритмом , приведенным на стр. 90 учебника .
Сейчас же , когда вы только начинаете раскладывать многочлены на множители , в выборе стратегии	решения	вам могут пригодиться следующие советы .
Итак , обобщая способ	решения	неравенства с несколькими модулями , сводящегося к линейному , приходим к следующему алгоритму .
сначала надо выделить числовые промежутки , на которых выражения под знаком модуля не меняют свой знак , а затем найти	решения	неравенств на каждом из выделенных промежутков .
2 ) Какой метод	решения	уравнений был использован при решении данной задачи ?
Значит , уравнение при условии имеет два	решения	.
Найдите все	решения	неравенства .
Метод	решения	хорош , если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это , — что , следуя этому методу , мы достигнем цели .
неотрицательные	решения	неравенства .
Два неравенства равносильны , если все решения первого неравенства являются решениями второго неравенства и , наоборот , все	решения	второго неравенства являются решениями первого .
В данном пункте мы убедимся в том , что умение раскладывать многочлены на множители открывает новые возможности для	решения	самых разных задач .
Что касается неравенств с несколькими модулями , то способ их	решения	аналогичен способу , который мы использовали при решении уравнений с модулями .
Стратегия	решения	уравнения .
Общий способ	решения	таких уравнений нам пока не известен .
Значит , если мы сможем представить исходное уравнение в указанном виде , то для полного	решения	задачи нам достаточно будет воспользоваться данным правилом , то есть .
Заметим , что в процессе нашего	решения	нам было не важно , какие именно из цифр в четырехзначном цифровом пароле не должны быть использованы .
Таким образом , для	решения	задачи нам надо выполнить следующую последовательность действий .
Трудоемкость	решения	задач такого типа побудила математиков к созданию упрощающего алгоритма .
б ) Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные числа — четные , то некоторые четные числа —	решения	неравенства .
Прежде всего , вспомним , какие числовые промежутки являются	решениями	простейших неравенств с модулями .
580 Докажите , что А и В являются	решениями	уравнения .
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут	решениями	уже не при всех целых значениях k. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и найти все возможные значения k. После этого для каждого найденного значения k надо найти соответствующие значения х и у .
Так как все полученные значения у являются неотрицательными целыми числами , то все найденные пары х и у являются	решениями	нашей задачи .
Если ни одно решение уравнения не делится на 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 10 , значит , некоторые числа , кратные 10 , не являются	решениями	уравнения .
г ) Если все решения уравнения отрицательные числа и некоторые отрицательные числа четные , то некоторые четные числа не являются	решениями	уравнения .
Итак ,	решениями	исходного уравнения являются пары чисел вида , где k Z. Проверим , что эти пары чисел действительно являются решениями первоначального уравнения ( истинно ) .
Итак , решениями исходного уравнения являются пары чисел вида , где k Z. Проверим , что эти пары чисел действительно являются	решениями	первоначального уравнения ( истинно ) .
Например , при k 0	решениями	будут уже известные нам числа при — числа х 72 , у 53 ; при k -100 — числа х -698 , у -497 и т .
д ) Если ни одно решение неравенства не больше 10 , а некоторые большие 10 числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются	решениями	неравенства .
9 } являются	решениями	неравенства .
Целыми	решениями	полученного неравенства являются х 6 и х 7 .
Все положительные числа являются	решениями	неравенства Приведите дроби к общему знаменателю .
Уравнения ,	решениями	которых являются целые числа , интересовали ученых еще в древности .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются	решениями	уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
Следовательно ,	решениями	нашего уравнения являются .
г ) Все решения неравенства — натуральные числа . д ) Некоторые положительные числа являются	решениями	неравенства .
Два неравенства равносильны , если все решения первого неравенства являются	решениями	второго неравенства и , наоборот , все решения второго неравенства являются решениями первого .
Следовательно ,	решениями	неравенства будут все значения х из интервала .
Значит ,	решениями	неравенства будут все значения х из интервала .
Такие значения переменных называют	решениями	неравенства .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х минус 1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые отрицательные числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются	решениями	неравенства 5х минус 1 больше 0 .
И знаем , что	решениями	неравенств четырех простейших видов , где а , b , с , d Q , являются следующие числовые промежутки .
Два неравенства равносильны , если все решения первого неравенства являются решениями второго неравенства и , наоборот , все решения второго неравенства являются	решениями	первого .
б ) Сколькими способами можно выложить в	ряд	четыре кубика красного , синего , черного и зеленого цвета ? .
Сколькими способами он может положить все эти наклейки в	ряд	? .
Если пришедшие на спектакль школьники сядут на каждый	ряд	по 12 человек , то на последний ряд сядет лишь один школьник .
Сколькими способами он может выложить их в	ряд	? .
Может возникнуть ощущение , что этот	ряд	может в какой - то момент оборваться .
Таким образом , ряд простых чисел , как и	ряд	натуральных чисел , бесконечен .
183 В	ряд	стоят 100 фишек .
В	ряд	выложили три пирожных : эклер , корзиночку и бизе .
Если же школьники сядут на каждый	ряд	по 11 человек , то двум школьникам места не хватит .
Таким образом ,	ряд	простых чисел , как и ряд натуральных чисел , бесконечен .
Сколькими способами она может положить все эти значки в	ряд	? .
Сколькими способами она может выложить все эти шары в	ряд	? .
Если пришедшие на спектакль школьники сядут на каждый ряд по 12 человек , то на последний	ряд	сядет лишь один школьник .
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами , можно заметить , что	ряд	простых чисел устроен достаточно сложно , простые числа то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности натуральных чисел довольно долго .
а ) В	ряд	выложили красный , синий и зеленый шары .
Однако если мы хотим измерять величины с хорошей точностью , то чисел натурального	ряда	нам не хватит .
В актовом зале школы несколько	рядов	.
Сколько	рядов	в актовом зале этой школы и сколько школьников пришло на спектакль ? .
б ) Сколькими способами можно разместить в одном	ряду	шесть мальчиков и двух девочек так , чтобы все мальчики сидели рядом ? .
б ) Сколькими способами можно разместить в одном	ряду	двух мальчиков и трех девочек так , чтобы все девочки сидели рядом ? .
Число 1 имеет единственный делитель - само себя , и поэтому оно выделено в	ряду	натуральных чисел в особую группу : не является ни простым , ни составным .
Вскоре после начала марша самый юный из факельщиков вспомнил , что забыл взять факел , который остался у его друга трубача , ехавшего в последнем	ряду	.
д ) Сколькими способами можно разместить в одном	ряду	три различных значка и пять различных марок так , чтобы все марки лежали рядом ? .
а ) Сколькими способами можно разместить в одном	ряду	три бутылки минеральной воды и четыре газированных напитка так , чтобы все бутылки с минеральной водой стояли рядом ? .
Подъем на лифте с первого этажа в офис пончиковой компании занимает на 20	секунд	меньше времени , чем подъем с первого этажа в квартиру Антона .
За сколько	секунд	пробежал четвертый бегун свою часть дистанции ? .
( Ответ округлите с точностью до десятых метра в	секунду	. )
Считая , что на Земле нет людей , возраст которых более 200 лет , докажите , что найдутся по крайней мере 2 человека , которые родились в одну и ту же	секунду	.
Так как за 1	секунду	бегун пробежал 200 м он пробежит 8 м .
Он специализировался в области естественнонаучной классификации , наловчился с быстротой акробата пробегать всю лестницу типов , групп , классов , подклассов , отрядов ,	семейств	, родов , подродов , видов и подвидов .
Можно наблюдать и многие другие закономерности расположения графика прямой пропорциональности : например , его	симметрия	относительно начала координат ; особенности его расположения относительно координатных осей и другие .
В этом пункте мы познакомимся с некоторыми другими важными характеристиками	систем	числовых данных .
Для этих понятий введена следующая	система	аксиом : .
Действительно , если	система	аксиом некоторой математической теории такова , что в результате логических рассуждений может быть получено , что одно и то же утверждение одновременно верно и неверно , то поиск истины с помощью этой теории теряет смысл .
В частности , выбранная	система	аксиом должна быть непротиворечивой , то есть она не должна приводить к противоречащим друг другу выводам .
Для этих понятий введена следующая	система	аксиом .
В десятичной	системе	счисления любое натуральное число А может быть представлено в виде .
Запишите в пятеричной	системе	счисления числа .
Определите координаты точек , симметричных данным точкам , относительно координатных осей и центра координат и постройте их в той же	системе	координат .
В XIX веке , изменив всего лишь одну аксиому в	системе	аксиом Евклида , великий русский математик Н. И. Лобачевский построил новую непротиворечивую геометрию .
Запишите в семеричной	системе	счисления числа .
Задайте эти функции формулами и постройте их графики в одной	системе	координат Оху .
349 Запишите в десятичной	системе	счисления : а ) 10112 ; б ) 3456 ; в ) 129 ; г ) 5612 ; д ) 7216 .
261 а ) В прямоугольной	системе	координат Оху постройте точку А ( 2 ; 5 ) .
348 Запишите в семеричной	системе	счисления числа .
338 Запишите в десятичной	системе	счисления числа : а ) 110012 ; б ) 1869 ; в ) 33214 ; г ) 7612 ; д ) 9516 .
337 Запишите в шестеричной	системе	счисления числа : а ) 3 ; б ) 6 ; в ) 13 ; г ) 19 ; д ) 27 ; е ) 41 .
Задайте эти функции формулами и постройте их графики в одной	системе координат	Оху .
261 а ) В прямоугольной	системе координат	Оху постройте точку А ( 2 ; 5 ) .
Определите координаты точек , симметричных данным точкам , относительно координатных осей и центра координат и постройте их в той же	системе координат	.
Основные свойства первоначальных понятий задаются	системой	аксиом .
271 а ) Постройте на плоскости прямоугольную	систему	координат и отметьте точки с координатами А ( 2 ; 5 ) , В ( 5 ; -5 ) , С ( -4 ; 5 ) , D ( -5 ; -7 ) , Е ( 4 ; 8) , F ( -4 ; -5 ) .
А применить аксиоматический метод в геометрии удалось Евклиду : он создал	систему	аксиом , которая стала основой логического обоснования всех известных на тот момент геометрических утверждений .
260 Постройте на плоскости прямоугольную	систему	координат Оху и отметьте точки с координатами .
260 Постройте на плоскости прямоугольную	систему координат	Оху и отметьте точки с координатами .
271 а ) Постройте на плоскости прямоугольную	систему координат	и отметьте точки с координатами А ( 2 ; 5 ) , В ( 5 ; -5 ) , С ( -4 ; 5 ) , D ( -5 ; -7 ) , Е ( 4 ; 8) , F ( -4 ; -5 ) .
Она выстроена на базе	системы	основных понятий и аксиом , описывает общие законы и тем самым создает возможность для согласования различных мнений и взглядов .
В процессе указанной операции мы	складываем	не сами числа , а их остатки от деления на некоторое число m.
Действительно , умножая многочлены , мы умножаем все члены одного многочлена на все члены другого , а затем их	складываем	.
Научившись	складывать	и вычитать многочлены , мы можем теперь перейти к изучению умножения многочленов .
Итак , введенные нами операции позволяют	складывать	, вычитать и умножать остатки .
В данном пункте мы выясним , как	складывать	и вычитать многочлены .
Например , чтобы найти значение суммы 1 + 2 + 3 + .. + 1000 , мы не станем	складывать	подряд все числа от 1 до 1000 , а заметим , что суммы 1 + 1000 , 2 + 999 , 3 + 998 и т.д. равны между собой и что имеется всего 500 таких сумм .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность , круглая	скобка	говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
( Фигурная	скобка	обозначает , что все уравнения должны выполняться одновременно ) .
Например , в первую группу объединим первый и второй члены многочлена , а во вторую — третий и четвертый ( при этом если перед вторыми	скобками	мы поставим знак « минус » , то не забудем поменять знаки слагаемых в скобках на противоположные ) .
Из сочетательного закона сложения следует , что если в обычной сумме перед	скобками	отсутствуют множители , то скобки можно просто убрать .
Поэтому для того , чтобы упрощать такие выражения , мы должны научиться производить равносильные преобразования алгебраических выражений со	скобками	.
Из распределительного закона следует , что если перед	скобками	, в которых записана сумма , стоит множитель , то скобки также можно опустить , умножив на этот множитель каждое слагаемое .
Выражение в	скобках	при любых значениях входящих в него букв является не которым числом .
При этом коэффициенты всех членов получившегося в	скобках	многочлена — целые числа , которые не имеют общих делителей , отличных от 1 .
Выражение 4х2 минус 8х , стоящее во второй	скобке	, мы также можем разложить на множители , вынося за скобки общий множитель 4х .
В предыдущих пунктах этого параграфа мы с вами рассмотрели несколько способов разложения многочленов на множители : вынесение общего множителя за	скобки	, способ группировки , использование формул сокращенного умножения .
Вынеся общий множитель 5х за	скобки	, в скобках мы записали многочлен , каждый член которого мы разделили на 5х .
Начнем раскрытие скобок со	скобки	, расположенной внутри всех остальных .
Итак , чтобы вынести за	скобки	общий множитель с , мы можем в скобках записать многочлен , каждый член которого получен в результате его деления на с .
Вынесем за	скобки	в правой и левой частях равенства общие множители .
После вынесения его за	скобки	в скобках останется многочлен х минус а , равный минус ( а минус х ) .
166 Не меняя знаков , расставьте	скобки	так , чтобы равенство стало тождеством .
Одним из наиболее простых способов разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за	скобки	.
Для этого достаточно вынести за	скобки	любой числовой множитель , например .
Поэтому вынесение за	скобки	общего множителя , в отличие от действия деления , возможно для множителей как равных , так и не равных нулю .
Тогда если , то вынесем за	скобки	общий множитель с , выполнив следующие равносильные преобразования .
1 Вынесение общего множителя за	скобки	.
Таким образом , каждая из групп будет иметь общий множитель х плюс у , который можно вынести за	скобки	.
Как и планировали , в первой группе применим формулу разности квадратов , а во второй — вынесем за	скобки	общий множитель ах .
Сгруппируем в нашем многочлене слагаемые с коэффициентом 3 и слагаемые с коэффициентом 7 и вынесем в каждой группе за	скобки	общий множитель .
Вынося его за	скобки	, получаем .
Если все члены многочлена имеют общий множитель , вынесите его за	скобки	.
Поскольку степень фактически представляет собой произведение нескольких множителей , то запись степени можно рассматривать как запись произведения , заключенного в	скобки	.
Раскройте	скобки	, используя законы арифметических действий .
3 Ищите общие множители групп слагаемых , пробуйте их сгруппировать и вынести общий множитель за	скобки	.
« Заметив , что многочлен в правой части уравнения имеет общий множитель х , он вынес его за	скобки	.
Таким образом , в каждой из образованных двух групп имеется множитель х плюс 1 , который можно вынести за	скобки	.
После вынесения его за	скобки	в скобках получим разность квадратов х2 минус 1 , которую можно разложить на множители ( х плюс 1)(х минус 1 ) .
В правой части уравнения выносим за	скобки	общий множитель 2 , а в левой его части — общий множитель 5 .
493 Из блоков , приведенных ниже , постройте алгоритм разложения многочлена на множители путем вынесения общего буквенного множителя за	скобки	.
Какой общий буквенный множитель удобнее всего выносить за	скобки	?
Затем в выражении х(с плюс d ) равно хс плюс xd сделаем обратную замену х на а плюс b и вновь раскроем	скобки	.
Заметим , что в последних трех слагаемых , если добавить к ним х и вынести за	скобки	6 , « спрятана » формула квадрата суммы ( х плюс 1)2 .
Чтобы разложить его на множители с помощью группировки , добавим и вычтем из него одночлены х4 , х3 , х2 и х , а затем сгруппируем их попарно и вынесем из каждой группы за	скобки	общий множитель .
Сколько различных способов вынесения за	скобки	общего числового множителя существует ? .
Пользуясь распределительным законом умножения , вынесите за	скобки	общий числовой множитель тремя различными способами .
д. Но за	скобки	удобнее всего выносить 5х или -5 х.
Такая группа цифр называется периодом бесконечной десятичной дроби и при записи может заключаться в круглые	скобки	.
Именно к такому разложению многочленов на множители мы и будем стремиться , вынося общий множитель за	скобки	.
Вынесем его за	скобки	, разделив каждый из членов многочлена , стоящего в числителе , на 3а .
Однако , анализируя исходный многочлен , можно заметить , что в группе х2у плюс 2ху2 плюс у3 , состоящей из второго , четвертого и пятого слагаемых , мы можем вынести за	скобки	общий множитель у.
Если мы вынесем его за	скобки	, то в скобках останется сумма кубов х и y.
Если выражения содержат только числа , знаки арифметических действий и	скобки	, задающие порядок этих действий , то их называют числовыми .
Отметим , что выносить за	скобки	можно не только одночлены , но и более сложные выражения , если они являются общими множителями всех слагаемых некоторой суммы .
Заметим , что при решении примера 2 нам пришлось выносить общий множитель за	скобки	несколько раз .
Ведь если бы мы вынесли за	скобки	только один из общих множителей , х или 2х минус 1 , это не дало бы нам возможности решить исходное уравнение .
Запишем их произведение и , воспользовавшись распределительным законом умножения , раскроем	скобки	.
Объединим первый и третий члены исходного многочлена в одну группу , а второй , четвертый и пятый — в другую и вынесем в каждой группе за	скобки	общий множитель .
Тогда в каждой группе образуется общий множитель х плюс у , который можно вынести за	скобки	.
Обозначим двучлен а плюс b какой - либо буквой , например буквой х , и в полученном произведении х(с плюс d ) раскроем	скобки	.
Выражение 4х2 минус 8х , стоящее во второй скобке , мы также можем разложить на множители , вынося за	скобки	общий множитель 4х .
94 Запишите , используя фигурные	скобки	, множество делителей чисел .
Вынесем его за	скобки	и преобразуем выражение , полученное в скобках .
Вынесем его за	скобки	.
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за	скобки	.
После этого из каждой группы вынесем за	скобки	общий множитель .
Для указания порядка действий здесь также используются скобки , а значит , нам надо научиться раскрывать	скобки	и в этих выражениях .
А значит , если бы мы с самого начала просто убрали	скобки	, то знаки слагаемых не изменились бы , что и требовалось доказать .
Можно ли разложить данный многочлен на множители , вынося за	скобки	общий буквенный множитель ?
В предыдущем пункте мы разобрались с тем , как раскрывать	скобки	в алгебраических суммах .
Из распределительного закона следует , что если перед скобками , в которых записана сумма , стоит множитель , то	скобки	также можно опустить , умножив на этот множитель каждое слагаемое .
В некоторых примерах формулы сокращенного умножения становятся видны лишь после вынесения за	скобки	общего множителя .
464 Упростите выражение при допустимых значениях переменных , вынося при необходимости за	скобки	общий множитель .
Теперь раскроем	скобки	, выполняя умножение одночлена на многочлен , затем приведем подобные слагаемые и найдем корень уравнения .
Для этого раскроем	скобки	, используя правило умножения одночлена на многочлен , а затем в полученной алгебраической сумме приведем подобные слагаемые .
После вынесения за	скобки	числа 7 в скобках остается квадрат суммы двух выражений , а и 2b .
Например , составим сумму многочленов а2 - 4аb плюс b2 и -а2 плюс 3аb и в полученной алгебраической сумме раскроем	скобки	.
Из сочетательного закона сложения следует , что если в обычной сумме перед скобками отсутствуют множители , то	скобки	можно просто убрать .
В соответствии с сочетательным законом сложения мы можем теперь убрать	скобки	, и знаки слагаемых при этом не изменятся .
В каждой части равенства вынесем за	скобки	общий числовой множитель , получим .
Вынесем за	скобки	общий множитель в каждой части равенства , получим .
Правило 2 Если в алгебраической сумме перед	скобкой	стоит знак « - » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
Так как перед	скобкой	стоит знак « - » и множитель 2 , то каждое слагаемое в скобке умножим на 2 и изменим его знак на противоположный , а затем приведем подобные слагаемые .
Правило 1 Если в алгебраической сумме перед	скобкой	стоит знак « + » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
1 Если перед	скобкой	стоит знак « + » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
Здесь перед	скобкой	стоит знак « + » и множитель 3 , поэтому знаки слагаемых мы менять не будем , просто умножим каждое из них на 3 .
2 Если перед	скобкой	стоит знак « - » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
Например , операцию представления многочлена 2а плюс 2b в виде 2(а плюс b ) мы не будем считать операцией разложения многочлена на множители , а будем считать операцией вынесения числового множителя за	скобку	.
И наконец , пользуясь правилом 2 , раскроем последнюю	скобку	в исходном выражении .
489 Вынесите общий множитель за	скобку	и проверьте правильность своего результата , выполнив умножение .
3 Если несколько слагаемых алгебраической суммы имеют общий множитель , то его можно вынести за	скобку	.
513 Вынесите общий множитель за	скобку	и , выполнив умножение , проверьте правильность своего результата .
Подставим полученное выражение в следующую	скобку	и выполним дальнейшие упрощения : 2х - 5у + 3(у - 4х ) .
Для этого вначале выясним , какие существуют правила раскрытия	скобок	.
Однако можно заметить , что если в множителе ( а2 минус 2ab плюс b2 ) коэффициент 2 заменить на 1 , то при раскрытии	скобок	подобные слагаемые взаимно уничтожатся и останется как раз выражение а3 плюс b3 .
Порядок действий как в числовых , так и в буквенных ( алгебраических ) выражениях может быть задан расстановкой	скобок	разного вида , например круглых или квадратных .
1 Если перед скобкой стоит знак « + » , то после раскрытия	скобок	знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
После раскрытия	скобок	мы видим , что в выражении имеются противоположные слагаемые , которые « взаимно уничтожаются » .
Вспомним , что ранее мы пользовались простыми правилами раскрытия	скобок	, перед которыми стоят знаки « + » и « - » , но не обосновывали их .
Правило 1 Если в алгебраической сумме перед скобкой стоит знак « + » , то после раскрытия	скобок	знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
Начнем раскрытие	скобок	со скобки , расположенной внутри всех остальных .
Отметьте элементы множеств А и В на числовой прямой и запишите эти множества с помощью фигурных	скобок	.
Правила раскрытия	скобок	в алгебраических суммах .
2 Если перед скобкой стоит знак « - » , то после раскрытия	скобок	знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
Как можно записать в виде многочлена первое произведение , используя результат раскрытия	скобок	во втором ? .
Переходим к следующему выражению , снова применяя правило 2 раскрытия	скобок	и распределительный закон умножения : .
При раскрытии	скобок	каждое слагаемое алгебраической суммы , находящейся в скобках , умножится на ( -1 ) ( в соответствии с распределительным законом ) .
Таким образом , мы приходим к следующим правилам раскрытия	скобок	при равносильных преобразованиях алгебраических сумм .
Запишите множества А и В с помощью фигурных	скобок	и постройте для них диаграмму Эйлера - Венна .
Правило 2 Если в алгебраической сумме перед скобкой стоит знак « - » , то после раскрытия	скобок	знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
В выражениях со степенями без	скобок	сначала производят возведение в степень , затем умножение и деление , а уже потом — сложение и вычитание .
Теперь подставим в исходное выражение вместо	скобок	вычисленное значение .
Для этого сначала упростим его , а затем	слагаемое	5х разобьем на два слагаемых — 2х и 3х .
Из распределительного закона следует , что если перед скобками , в которых записана сумма , стоит множитель , то скобки также можно опустить , умножив на этот множитель каждое	слагаемое	.
При раскрытии скобок каждое	слагаемое	алгебраической суммы , находящейся в скобках , умножится на ( -1 ) ( в соответствии с распределительным законом ) .
В данном случае можно было бы разложить многочлен на множители и без использования формул сокращенного умножения : разбив	слагаемое	4х на два слагаемых х и 3х , а затем проведя группировку .
Для этого перенесем	слагаемое	b в правую часть равенства , поменяв его знак на противоположный .
Так как перед скобкой стоит знак « - » и множитель 2 , то каждое	слагаемое	в скобке умножим на 2 и изменим его знак на противоположный , а затем приведем подобные слагаемые .
Приведем данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого	слагаемые	с переменной х соберем в левой части неравенства , а числа — в правой и упростим полученные выражения .
А вот при сложении и вычитании двух одночленов ситуация иная : одночлен в итоге может получиться лишь тогда , когда	слагаемые	составленной алгебраической суммы , записанные в стандартном виде , имеют одинаковую буквенную часть .
Так , мы видели , что при возведении двучлена а плюс b в квадрат получаются	слагаемые	с буквенной частью , при возведении в куб — слагаемые с буквенной частью .
Переставив	слагаемые	в данной алгебраической сумме , мы получим куб разности чисел с и 1 .
Равносильное преобразование , в результате которого все подобные между собой одночлены записываются как один одночлен , называется приведением подобных	слагаемых	.
Отметим , что выносить за скобки можно не только одночлены , но и более сложные выражения , если они являются общими множителями всех	слагаемых	некоторой суммы .
Но таких	слагаемых	у нас нет .
Здесь перед скобкой стоит знак « + » и множитель 3 , поэтому знаки	слагаемых	мы менять не будем , просто умножим каждое из них на 3 .
Произведением двух натуральных чисел а и b называется сумма b	слагаемых	, каждое из которых равно а .
Поэтому правило переноса	слагаемых	из одной части уравнения в другую можно распространить и на неравенства .
Суммой многочленов называется многочлен , членами которого являются все члены многочленов	слагаемых	, взятых с их знаками .
Заметим , что в последних трех	слагаемых	, если добавить к ним х и вынести за скобки 6 , « спрятана » формула квадрата суммы ( х плюс 1)2 .
Чтобы умножить число на сумму , можно умножить это число на каждое из	слагаемых	этой суммы и полученные результаты сложить .
Правило переноса	слагаемых	из одной части неравенства в другую .
3 Если несколько	слагаемых	алгебраической суммы имеют общий множитель , то его можно вынести за скобку .
Он состоит в том , что мы объединяем члены многочлена в группы таким образом , чтобы после проведения некоторого числа равносильных преобразований у	слагаемых	нового выражения появились общие множители .
Каждое из	слагаемых	полученной суммы имеет множитель х3 плюс 1 .
Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и выражений , не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных	слагаемых	.
Таким образом , используя установленные формулы , нам не надо представлять квадраты двучленов в виде произведения двух множителей , затем выполнять умножение и приведение подобных	слагаемых	.
Выражение в левой части уравнения состоит из трех	слагаемых	, имеющих общий множитель .
Приведение подобных	слагаемых	.
Например , в первую группу объединим первый и второй члены многочлена , а во вторую — третий и четвертый ( при этом если перед вторыми скобками мы поставим знак « минус » , то не забудем поменять знаки	слагаемых	в скобках на противоположные ) .
В соответствии с сочетательным законом сложения мы можем теперь убрать скобки , и знаки	слагаемых	при этом не изменятся .
Теперь в первую группу объединим первые два	слагаемых	, а во вторую — третье и четвертое , после чего вынесем в каждой из групп общие множители .
Разбейте число 168 на три не равных друг другу натуральных	слагаемых	так , чтобы сумма любых двух этих слагаемых делилась на третье .
Затем выполним возведение в степень , после этого умножение и , наконец , —	сложение	.
В выражениях со степенями без скобок сначала производят возведение в степень , затем умножение и деление , а уже потом —	сложение	и вычитание .
А вот при	сложении	и вычитании двух одночленов ситуация иная : одночлен в итоге может получиться лишь тогда , когда слагаемые составленной алгебраической суммы , записанные в стандартном виде , имеют одинаковую буквенную часть .
Заметим , что подобным образом мы действовали и при	сложении	чисел на числовой прямой .
При их	сложении	или вычитании , применив распределительный закон умножения , мы вновь получим одночлен , например .
При сложении многозначных чисел такая запись помогает добиться близкого расположения цифр , стоящих в одинаковых разрядах , а при	сложении	многочленов — близкого расположения подобных членов .
При	сложении	многозначных чисел такая запись помогает добиться близкого расположения цифр , стоящих в одинаковых разрядах , а при сложении многочленов — близкого расположения подобных членов .
То есть если число а больше числа b , то при	сложении	и вычитании этих чисел с некоторым числом с , а также при умножении и делении их на положительное число с знак неравенства не изменится .
Как мы уже знаем , алгебраическая сумма нескольких одночленов является одночленом , только если речь идет о	сложении	и вычитании подобных одночленов .
Чтобы упростить вычисления , мы можем использовать идею « записи в столбик » , аналогичную той , которую мы использовали при	сложении	и вычитании многозначных чисел .
Как и при	сложении	многочленов , мы вновь получим многочлен .
Вычитание многочленов « в столбик » также сводится к	сложению	, предварительно лишь надо заменить многочлен - вычитаемое противоположным ему .
Как свести вычитание многочленов к	сложению	?
По сути , операция сложения остатков сводится к обычному	сложению	.
Поскольку в основных законах арифметики даны правила только для преобразования сумм и произведений , то естественно свести действие деления к умножению , подобно тому , как мы свели вычитание к	сложению	.
л ) Все учителя — женщины . м ) На прошлом уроке мы изучали правила	сложения	дробей .
Итак , алгоритм вычитания многочленов « в столбик » отличается от соответствующего алгоритма	сложения	многочленов лишь тем , что в нем появляется один дополнительный шаг — замена многочлена - вычитаемого противоположным ему .
Теперь вычитание многочлена ( -а2 плюс 3ab ) из многочлена ( а2 - 4а b плюс b2 ) мы можем свести к действию	сложения	, поменяв в многочлене - вычитаемом все знаки на противоположные .
Мы видим , что для	сложения	многочленов таким способом является важным их представление в стандартном виде .
Введем на множестве остатков от деления на m операцию	сложения	.
Алгоритм	сложения	многочленов « в столбик » .
В итоге мы приходим к следующему алгоритму	сложения	многочленов « в столбик » .
Используя идею	сложения	многозначных чисел « в столбик » , предложите аналогичный способ сложения многочленов и найдите этим способом сумму А плюс В .
В соответствии с сочетательным законом	сложения	мы можем теперь убрать скобки , и знаки слагаемых при этом не изменятся .
Но так как согласно переместительному закону	сложения	мы можем менять слагаемые местами , то это не должно помешать нам увидеть формулу .
Используя идею сложения многозначных чисел « в столбик » , предложите аналогичный способ	сложения	многочленов и найдите этим способом сумму А плюс В .
Только здесь результаты	сложения	никогда не превышают делителя , то есть рассматриваемого модуля .
Таким образом , результатом	сложения	исходных многочленов является многочлен -х3 плюс х плюс 2 .
Основные законы сложения верны также и для алгебраических сумм , то есть выражений , содержащих несколько последовательных действий	сложения	и вычитания .
А вот выражения х плюс 1 , у2 - 3 и г одночленами не являются , поскольку содержат действия соответственно	сложения	, вычитания , деления .
Основные законы	сложения	верны также и для алгебраических сумм , то есть выражений , содержащих несколько последовательных действий сложения и вычитания .
	Сложения	многочленов в столбик .
Мы можем это сделать на основании переместительного закона	сложения	.
2 Сочетательный ( ассоциативный ) закон	сложения	.
Так , в нашем примере , используя сначала переместительный закон	сложения	, а затем распределительный закон , получаем .
При этом всегда надо помнить , что при выполнении действий над остатками применяется следующее правило : если результат	сложения	, вычитания , умножения остатков по некоторому модулю m стал отрицательным или больше m , то надо переходить к остатку от деления результата на m .
1 Переместительный ( коммутативный ) закон	сложения	.
Потому что в процессе преобразований мы использовали законы арифметических действий ( в данном случае переместительный и сочетательный законы	сложения	) .
Так же , как и в обычной арифметике , мы можем составить таблицы	сложения	и умножения остатков .
414 Составьте по два числовых выражения , значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 )	сложения	; 2 ) вычитания ; 3 ) умножения ; 4 ) сложения , вычитания и умножения .
414 Составьте по два числовых выражения , значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 ) сложения ; 2 ) вычитания ; 3 ) умножения ; 4 )	сложения	, вычитания и умножения .
Составим , например , таблицу	сложения	и умножения остатков от деления на 4 .
Из сочетательного закона	сложения	следует , что если в обычной сумме перед скобками отсутствуют множители , то скобки можно просто убрать .
По сути , операция	сложения	остатков сводится к обычному сложению .
301 Составьте таблицы	сложения	и умножения остатков по модулю : а ) 3 ; б ) 5 ; в ) 6 .
Как мы уже знаем , результатом	сложения	и умножения натуральных чисел всегда будет натуральное число .
Какой шаг следует добавить в алгоритм	сложения	многочленов « в столбик » , чтобы получить соответствующий алгоритм вычитания ?
316 Составьте таблицу	сложения	и умножения остатков по модулю .
Третье число получили ,	сложив	первое и второе число .
Четвертое число получили ,	сложив	второе и третье .
Действительно ,	сложив	остатки 11 и 4 , мы получим 15 .
Ее брат Ваня вырвал из ее блокнота 17 листов и	сложил	без ошибок номера указанных на них страниц .
Вова вырвал из этой тетради 37 листов и	сложил	номера указанных на них страниц .
Катя	сложила	номера всех полученных ею в подарок марок .
140 На кофейную фабрику поставщики доставили груз зеленого кофе и	сложили	его во дворе фабрики .
Затем	сложим	подобные члены и запишем результаты под чертой .
1 Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием , можно основание оставить без изменений , а показатели степеней	сложить	.
4 Если на символы наложены какие - либо ограничения , то надо вычислить количество возможных вариантов отдельно для всех символов с различными свойствами , а затем	сложить	полученные числа .
Чтобы умножить число на сумму , можно умножить это число на каждое из слагаемых этой суммы и полученные результаты	сложить	.
Она ответила , что если	сложить	число ее полных лет и обе цифры этого числа , то получится 83 .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения	сложить	.
Если высоту Останкинской башни увеличить в 3 раза , а из высоты Эйфелевой башни вычесть 134 и	сложить	полученные величины , то получится 1810 .
Чтобы узнать стоимость Таниной покупки , надо	сложить	стоимость тетрадей и альбома .
Если	сложить	его с числом , записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится 44 .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , можно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения	сложить	.
139 Запишите	смешанное число	в виде неправильной дроби .
370 Запишите	смешанное число	в виде неправильной дроби .
150 Запишите	смешанное число	в виде неправильной дроби .
Сколько времени потребуется Коле и Оле , чтобы проплыть на лодке от одной пристани до другой и сразу вернуться обратно , если	собственная	скорость лодки равна 6 км / ч , а скорость течения реки составляет 1 км / ч ? .
За сколько времени проплывет теплоход путь от Астрахани до Санкт - Петербурга и обратно , если	собственная	скорость теплохода будет равна 27 км / ч , скорость течения реки равна 3 км / ч , а остановки составят 10 % от всего времени движения ? .
Чему была равна	собственная	скорость яхты , если скорость течения реки 3 км / ч ? .
На какое максимальное расстояние они могут отплыть по реке от пункта проката , чтобы успеть вернуться через 4 часа , если известно , что	собственная	скорость лодки 8 км / ч , а скорость течения реки 3 км / ч ? .
г ) Из пункта А вниз по течению поплыл пловец , через некоторое время он развернулся и через 1 час после старта приплыл обратно в пункт А. Сколько километров проплыл этот пловец , если его	собственная	скорость равна 5 км / ч , а скорость течения равна 1,5 км / ч ? .
За какое время проплывет теплоход путь от Твери до Нижнего Новгорода и обратно , если	собственная	скорость теплохода будет равна 28,5 км / ч , скорость течения реки равна 1,5 км / ч , а время на остановки составит 20 % от всего времени движения ? .
Чему равно расстояние до места пикника , если скорость течения реки равна 3 км / ч , а	собственная	скорость теплохода не менялась и была равна 15 км / ч ? .
За сколько времени проплывет теплоход путь от Твери до Ульяновска и обратно , если	собственная	скорость теплохода будет равна 25 км / ч , средняя скорость течения реки составит 10 % от скорости теплохода , а остановки составят 20 % от всего времени движения ? .
Чему равна	собственная	скорость яхты , если скорость течения реки равна 4 км / ч ? .
Чему равна	собственная	скорость теплохода , если скорость течения реки равна 3 км / ч ? .
Сколько времени будет продолжаться это мероприятие , если	собственная	скорость яхты равна 20 км / ч , средняя скорость течения реки составляет 10 % от собственной скорости яхты , а время на стоянки запланировано в размере 25 % от времени движения яхты ? .
б ) Из пункта А вниз по течению поплыла лодка , через некоторое время она развернулась и через 2 часа после старта приплыла обратно в пункт А. Сколько километров проплыла эта лодка , если ее	собственная	скорость равна 5 км / ч , а скорость течения равна 2 км / ч ? .
За сколько времени проплывет теплоход путь от Самары до Волгограда и обратно , если	собственная	скорость теплохода будет равна 24 км / ч , средняя скорость течения реки составит 3 км / ч , а остановки составят 20 % от всего времени движения ? .
Чему была равна	собственная	скорость лодки , если скорость течения реки 2 км / ч ? .
Сколько километров проплыл теплоход за время этой прогулки , если теплоход плыл с	собственной	скоростью , равной 21 км / ч , а скорость течения равна 2 км / ч .
Через сколько времени после старта они встретятся , если они плывут с одинаковой	собственной	скоростью ? .
в ) Две лодки одновременно отплыли от одной речной пристани и поплыли с одинаковой	собственной	скоростью в противоположных направлениях .
Сколько времени будет продолжаться это мероприятие , если собственная скорость яхты равна 20 км / ч , средняя скорость течения реки составляет 10 % от	собственной	скорости яхты , а время на стоянки запланировано в размере 25 % от времени движения яхты ? .
б ) Из города А против течения реки вышел теплоход с постоянной	собственной	скоростью , равной 25 км / ч .
б ) Из города А против течения реки вышел катер с постоянной	собственной	скоростью , равной 15 км / ч .
а ) Две яхты одновременно стартовали от одной речной пристани с одинаковой	собственной	скоростью в противоположных направлениях .
Найдите	собственную	скорость движения моторной лодки , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч .
Найдите	собственную	скорость движения катера , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч .
Найдите	собственную	скорость движения яхты , если скорость течения реки равнялась 3 км / ч .
Найдите	собственную	скорость движения катера , если скорость течения реки равнялась 2 км / ч .
Найдите	собственную	скорость движения теплохода , если скорость течения реки равнялась 2 км / ч .
Предложите	собственную	версию определения степени рационального числа а с натуральным показателем п , исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( « принципа неразрушения » ) .
Найдите	собственную	скорость лодки , если скорость течения реки равна 2 км / ч . б ) Теплоход проехал 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 час .
Как следует распределить между первым и вторым путниками орехи , подаренные третьим , чтобы взнос каждого из путников в	совместную	трапезу был одинаковым ? .
А их	совместный	выпуск в декабре составил 50 т .
Докажите , что если С не	совпадает	с А , то путешественник , передвигаясь и далее таким способом , никогда не вернется домой .
Это означает , что множество периодических десятичных дробей	совпадает	со множеством рациональных чисел .
Таким образом , мы получили , что множество общих делителей а и b	совпадает	с множеством общих делителей b u r. Следовательно , совпадает и их наибольший общий делитель , что и требовалось доказать . .
Таким образом , мы получили , что множество общих делителей а и b совпадает с множеством общих делителей b u r. Следовательно ,	совпадает	и их наибольший общий делитель , что и требовалось доказать . .
Заметим , что первое свойство равносильных преобразований неравенств полностью	совпадает	с аналогичным свойством равносильных преобразований уравнений .
Поэтому как минимум у двух учеников дни рождения	совпадают	, что и требовалось доказать .
Почему полученные вами частоты не	совпадают	с данными , приведенными в таблице ? .
Представьте теперь , что положительная часть числовой прямой как бы намотана на циферблат часов так , что точки 0 , 12 , 24 , ..	совпадают	.
Сравнивая решения задач 2 и 3 , заметим , что вероятности выпадения на верхних гранях кубиков различных сумм не	совпадают	.
Почему полученные вами частоты не	совпадают	с данными , приведенными в таблице ?
При этом периодическое повторение остатков начинается в тот момент , когда в последовательности остатков появляется остаток ,	совпадающий	с одним из уже найденных .
Во второй год работы они	сократились	на 123,6 тыс. р .
В этом году объем выпуска пончиков в московском филиале увеличился на 40 % , а в питерском	сократился	на 20 % .
Значит , в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее произведение : Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем	сократим	полученную дробь и возведем ее в квадрат .
Представим частное в виде дроби и	сократим	n раз ее числитель и знаменатель на общий множитель а : что и требовалось доказать .
Выполним данное преобразование и	сократим	полученную дробь .
Профсоюз рабочих принял решение	сократить	рабочий день с 8 до 7 часов .
Профсоюз рабочих принял решение	сократить	рабочий день с 8 часов до 6 часов .
3 Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , отличный от нуля , то дробь на него можно	сократить	.
Как	сократить	перебор , используя свойства делимости ?
Анализируя с помощью данной таблицы частоту появления символов в зашифрованном тексте , а также их взаимное расположение и учитывая особенности построения слов русского языка , можно существенно сократить количество возможных вариантов ключей , а значит ,	сократить	время перебора и в конечном счете расшифровать сообщение .
Теперь , поскольку мы можем	сократить	дробь на 3а .
Анализируя с помощью данной таблицы частоту появления символов в зашифрованном тексте , а также их взаимное расположение и учитывая особенности построения слов русского языка , можно существенно	сократить	количество возможных вариантов ключей , а значит , сократить время перебора и в конечном счете расшифровать сообщение .
Область математики , которая изучает общие законы комбинирования различных объектов — их перестановки ,	сочетания	, размещения , — называется комбинаторикой .
Поэтому	спектр	задач , которые можно решить таким способом , весьма ограничен .
Но прежде всего уточним понятие	среднего	арифметического нескольких чисел .
а ) сумма трех последовательных целых чисел больше	среднего	арифметического наибольшего и наименьшего из этих чисел .
373 Пять различных чисел таковы , что сумма трех наименьших равна 10 , трех наибольших — 23 , а сумма наименьшего , наибольшего и	среднего	равна 18 .
На практике вычисление	среднего	арифметического , наибольшего и наименьшего значения , размаха и моды наборов чисел мы производим очень часто .
Так , например , если выпуск продукции в какие - то годы ниже	среднего	.
При этом получается , что сумма чисел средней строки и	среднего	столбца также оказывается равной 12 .
На практике вычисление	среднего арифметического	, наибольшего и наименьшего значения , размаха и моды наборов чисел мы производим очень часто .
а ) сумма трех последовательных целых чисел больше	среднего арифметического	наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Но прежде всего уточним понятие	среднего арифметического	нескольких чисел .
Вычислите	среднее	годовое производство паровых турбин с точностью до единиц .
Вычислите	среднее	число жителей в каждом из этих регионов .
248 Найдите	среднее	арифметическое указанных чисел .
Вычислите с точностью до десятых	среднее	арифметическое чисел .
Вычислим , например ,	среднее	арифметическое ежегодного производства мопедов в Российской Федерации в 1999 - 2008 гг. Для этого используем данные таблицы .
Чтобы найти	среднее	арифметическое чисел , представленных в таблице , надо сумму этих чисел разделить на их количество .
512 Может ли	среднее	арифметическое 27 целых чисел равняться 19,8 ? .
Найдите	среднее	арифметическое ( с точностью до десятых ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Найдите	среднее	арифметическое ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Найдите	среднее	арифметическое собранных девочками открыток ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
529 Может ли	среднее	арифметическое 56 целых чисел равняться 13,2 ? .
Найдите	среднее	арифметическое количества собранных мальчиками постеров ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
374 Найдите	среднее	арифметическое указанных чисел .
Значит ,	среднее	арифметическое равно .
240 Найдите	среднее	арифметическое указанных чисел .
Найдем их	среднее	арифметическое .
Вычислите	среднее	годовое производство электрических плит ( с точностью до тысяч ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Вычислите	среднее	количество высших учебных заведений ( с точностью до единиц ) в каждом из представленных федеральных округов за 2002 - 2009 гг .
Следовательно ,	среднее	арифметическое данных чисел равно .
Вычислите с точностью до единиц	среднее	количество высших учебных заведений в каждом из указанных федеральных округов в .
Найдите рациональное число ,	среднее	арифметическое которого с числом 916 равно 619 .
Найдите	среднее	арифметическое собранных мальчиками значков , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Для того чтобы найти	среднее	арифметическое , надо вычислить общий вес всех семиклассников и разделить его на число семиклассников .
А получив , например , на соревнованиях команд школьного КВН различные оценки пяти судей , нас интересует средний балл , который мы в итоге заработали , поэтому мы вычисляем	среднее	арифметическое полученных оценок .
Значит ,	среднее арифметическое	равно .
Чтобы найти	среднее арифметическое	чисел , представленных в таблице , надо сумму этих чисел разделить на их количество .
А получив , например , на соревнованиях команд школьного КВН различные оценки пяти судей , нас интересует средний балл , который мы в итоге заработали , поэтому мы вычисляем	среднее арифметическое	полученных оценок .
529 Может ли	среднее арифметическое	56 целых чисел равняться 13,2 ? .
Найдем их	среднее арифметическое	.
Следовательно ,	среднее арифметическое	данных чисел равно .
Вычислите с точностью до десятых	среднее арифметическое	чисел .
Для того чтобы найти	среднее арифметическое	, надо вычислить общий вес всех семиклассников и разделить его на число семиклассников .
Найдите	среднее арифметическое	собранных мальчиками значков , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Найдите	среднее арифметическое	собранных девочками открыток ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
374 Найдите	среднее арифметическое	указанных чисел .
Найдите	среднее арифметическое	( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
240 Найдите	среднее арифметическое	указанных чисел .
Найдите	среднее арифметическое	( с точностью до десятых ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Найдите	среднее арифметическое	количества собранных мальчиками постеров ( с точностью до единиц ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Найдите рациональное число ,	среднее арифметическое	которого с числом 916 равно 619 .
248 Найдите	среднее арифметическое	указанных чисел .
512 Может ли	среднее арифметическое	27 целых чисел равняться 19,8 ? .
д ) С какой	средней	скоростью передвигался автомобилист из А в В ? .
По какой	средней	цене продавали пончики в этот месяц ? .
С какой	средней	скоростью должен идти Ваня , чтобы дойти до школы за 24 минуты ? .
б ) По дороге из дома в офис Антон проехал на автомобиле сначала 12,8 км со скоростью 16 м / с , затем 11 км — со скоростью 22 м / с , а последние 20 км — со скоростью 10 м / с. С какой	средней	скоростью Антон ехал из дома в офис ?
693 а ) Велосипедисты на первом этапе соревнований ехали в течение 9 часов со	средней	скоростью х км / ч , а на втором этапе они ехали на х часов больше со средней скоростью на 9 км / ч большей .
С какой	средней	скоростью двигалась колонна демонстрантов ? .
Какая авиакомпания предлагает билет из Москвы в Киев по	средней	цене и сколько он стоит ? .
При этом получается , что сумма чисел	средней	строки и среднего столбца также оказывается равной 12 .
С какой	средней	скоростью передвигался автомобилист по дороге из Москвы в Санкт - Петербург ? .
С какой	средней	скоростью ехали велосипедисты на первом этапе , если на втором этапе они проехали 900 км ? .
Ответ : билет по	средней	цене стоимостью 5050 р .
С какой	средней	скоростью он бежал ?
С какой	средней	скоростью двигались машины в пробке ? .
Поезд , двигаясь со	средней	скоростью 60 км / ч , проехал расстояние между двумя городами за 10 часов .
Например , гласная А встречается чаще согласной М. Проанализировав частоту появления в текстах разных символов , были составлены таблицы	средней	частоты появления каждой буквы .
С какой	средней	скоростью ехал поезд ? .
7 ) С какой	средней	скоростью ( с точностью до единиц ) движется автобус по маршруту Москва - Муром ? .
С какой	средней	скоростью они предполагали передвигаться ? .
С какой	средней	скоростью он ехал ? .
693 а ) Велосипедисты на первом этапе соревнований ехали в течение 9 часов со средней скоростью х км / ч , а на втором этапе они ехали на х часов больше со	средней	скоростью на 9 км / ч большей .
Очевидно , что билет по	средней	цене предлагает компания Трансаэро .
больше , чем во втором , в третьем - в 2,5 раза больше , чем во втором , а в четвертом была равна	среднему	арифметическому выручки первых трех кварталов .
109 По завещанию отца три сына должны были разделить стадо из 7 овец так , чтобы старшему сыну досталась половина всех овец ,	среднему	- четвертая часть всех овец , а младшему - восьмая .
Выпуск автомобилей в первом квартале был равен	среднему	арифметическому их выпуска в трех последующих кварталах .
А старшему столько лет , сколько	среднему	и младшему вместе .
больше , чем во втором , в третьем — в 1,5 раза больше , чем во втором , а в четвертом была равна	среднему	арифметическому выручки первых трех кварталов .
5 Если n — четно , то медиана равна	среднему	арифметическому чисел , стоящих в упорядоченном наборе на местах с номерами .
Медианой набора , состоящего из четного количества чисел , называют число , равное	среднему	арифметическому чисел , стоящих на местах , после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество чисел в наборе ) .
Медианой набора , состоящего из четного количества чисел , называют число , равное	среднему арифметическому	чисел , стоящих на местах , после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество чисел в наборе ) .
больше , чем во втором , в третьем — в 1,5 раза больше , чем во втором , а в четвертом была равна	среднему арифметическому	выручки первых трех кварталов .
5 Если n — четно , то медиана равна	среднему арифметическому	чисел , стоящих в упорядоченном наборе на местах с номерами .
больше , чем во втором , в третьем - в 2,5 раза больше , чем во втором , а в четвертом была равна	среднему арифметическому	выручки первых трех кварталов .
Выпуск автомобилей в первом квартале был равен	среднему арифметическому	их выпуска в трех последующих кварталах .
Назовите ее крайние члены ,	средние	члены , основное свойство пропорции .
Докажите , что опять получится пропорция , если : а ) поменять местами крайние члены ; б ) поменять местами	средние	члены ; в ) заменить каждое отношение обратным .
Глядя на такое благородство ,	средний	и старший братья также решили оставить себе половину своих бубликов , а вторую половину разделить поровну между другими братьями .
Вычислите	средний	арифметический вес семиклассников в этой школе , наибольшее и наименьшее значение их веса , размах в указанном числовом наборе .
При этом	средний	возраст офисных работников — 26 лет , а средний возраст сотрудников на производстве — 35 лет .
При этом средний возраст офисных работников — 26 лет , а	средний	возраст сотрудников на производстве — 35 лет .
Найдите	средний	результат Ирины по метанию мяча ( с точностью до десятых метра ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Определите с точностью до десятитысячных	средний	курс доллара США на этой неделе .
После того как на склад поступило еще 20 ящиков с абрикосами ,	средний	вес нетто ящика с абрикосами стал равен 10,5 кг .
511 а ) Средний возраст 12 игроков баскетбольной команды равен 24 года , а	средний	возраст этих игроков вместе с тренером равен 25 годам .
Старший сын получил половину стада - 4 овцы ,	средний	- четвертую часть , то есть 2 овцы , а младший восьмую часть , то есть 1 овцу .
При этом	средний	возраст врачей равен 35 лет , а средний возраст больных — 50 лет .
Найдите	средний	результат Миши по бегу на 500 м ( с точностью до сотых минуты ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Их	средний	вес нетто равен 10,3 кг .
Нахождение медианы числового набора бывает полезно в тех случаях , когда необходимо определить среднюю цену , по которой продается некоторый товар в магазинах ; компанию , получившую среднюю прибыль за год среди всех компаний некоторой промышленной отрасли ; спортсмена , показавшего	средний	результат , и т .
После того как на склад поступило еще 10 ящиков с яблоками ,	средний	вес нетто ящика с яблоками стал равен 13 кг .
При этом средний возраст врачей равен 35 лет , а	средний	возраст больных — 50 лет .
Найдите	средний	результат Коли по прыжкам в длину ( с точностью до единиц сантиметров ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Найдите	средний	результат этой команды , моду , размах и медиану представленного числового набора .
А получив , например , на соревнованиях команд школьного КВН различные оценки пяти судей , нас интересует	средний	балл , который мы в итоге заработали , поэтому мы вычисляем среднее арифметическое полученных оценок .
Их	средний	вес нетто равен 12,5 кг .
А	средний	возраст этих спортсменов — 24 года .
Ответ :	средний	арифметический вес семиклассников равен 44,12 кг .
Вычислите	средний арифметический	вес семиклассников в этой школе , наибольшее и наименьшее значение их веса , размах в указанном числовом наборе .
Ответ :	средний арифметический	вес семиклассников равен 44,12 кг .
С одной из них —	средним	арифметическим — вы уже знакомы .
Наследство было разделено между старшим ,	средним	и младшим сыновьями в отношении .
С одной из них —	средним арифметическим	— вы уже знакомы .
Чему равна сумма трех	средних	по величине чисел ? .
а ) Вычислите	среднюю	зарплату ( с точностью до копеек ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Вычислите	среднюю	цену ( с точностью до копеек ) МРЗ - плеера в этом интернет - магазине , моду , размах и медиану представленного числового набора .
а ) Вычислите	среднюю	цену телевизора в этом интернет - магазине , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Найдите с точностью до сотых	среднюю	скорость движения катера .
Найдите	среднюю	скорость движения лодки .
а ) Вычислите	среднюю	цену ноутбука в этом интернет - магазине ( с точностью до копеек ) , моду , размах и медиану представленного числового набора .
а ) Вычислите	среднюю	зарплату , моду , размах и медиану представленного числового набора .
Нахождение медианы числового набора бывает полезно в тех случаях , когда необходимо определить	среднюю	цену , по которой продается некоторый товар в магазинах ; компанию , получившую среднюю прибыль за год среди всех компаний некоторой промышленной отрасли ; спортсмена , показавшего средний результат , и т .
Найдите с точностью до десятых	среднюю	скорость движения катера .
Нахождение медианы числового набора бывает полезно в тех случаях , когда необходимо определить среднюю цену , по которой продается некоторый товар в магазинах ; компанию , получившую	среднюю	прибыль за год среди всех компаний некоторой промышленной отрасли ; спортсмена , показавшего средний результат , и т .
Найдите с точностью до сотых	среднюю	скорость движения теплохода .
Найдите с точностью до сотых км / ч	среднюю	скорость движения яхты .
Так , в приведенной ниже таблице указана	средняя	частота появления букв русского алфавита в тексте из 1000 букв .
Их	средняя	цена 256 р .
Чему равна	средняя	стоимость 1 кг картофеля в этих 15 торговых точках города N ? .
После вычислений получилось , что в городе N средняя стоимость 1 кг картофеля в магазинах составляет 19,5 рублей , а	средняя	стоимость картофеля на рынках — 18,3 рублей .
После вычислений получилось , что в городе N	средняя	стоимость 1 кг картофеля в магазинах составляет 19,5 рублей , а средняя стоимость картофеля на рынках — 18,3 рублей .
Сколько стоила одна проданная книга , если	средняя	цена оставшихся книг стала равна 258 р . ? .
Сколько времени будет продолжаться это мероприятие , если собственная скорость яхты равна 20 км / ч ,	средняя	скорость течения реки составляет 10 % от собственной скорости яхты , а время на стоянки запланировано в размере 25 % от времени движения яхты ? .
Сколько времени понадобится для того , чтобы проехать на автомобиле от офиса до склада , если	средняя	скорость движения равна 36 км / ч ? .
Какой стала бы	средняя	цена , мода , размах и медиана , если бы все цены увеличились в 2,5 раза , уменьшились в 3 раза ? .
Какой стала бы	средняя	цена , мода , размах и медиана , если бы все цены увеличились в 2,4 раза , уменьшились в 1,3 раза ? .
В течение дня продали 143 коробки пончиков , при этом	средняя	цена одной коробки пончиков стала равна 142 р .
Какой стала бы	средняя	зарплата , мода , размах и медиана , если бы все зарплаты увеличились в 4 раза , уменьшились в 1,2 раза ? .
На сколько км / ч должна увеличиться	средняя	скорость поезда , чтобы расстояние между этими городами поезд проезжал за 8 часов ? .
За сколько времени проплывет теплоход путь от Твери до Ульяновска и обратно , если собственная скорость теплохода будет равна 25 км / ч ,	средняя	скорость течения реки составит 10 % от скорости теплохода , а остановки составят 20 % от всего времени движения ? .
Чему равна	средняя	скорость второй электрички , если они встретятся через 15 мин ? .
8) На каких маршрутах	средняя	скорость движения ( с точностью до единиц ) больше или равна 50 км / ч ? .
Какой стала бы	средняя	цена , мода , размах и медиана , если бы все цены увеличились в 4 раза , уменьшились в 2,5 раза ? .
Чему равна	средняя	цена одного пончика в этих 20 городах ? .
Известно , что	средняя	скорость теплохода 17 км / ч , а скорость течения реки 3 км / ч .
Какой стала бы	средняя	зарплата , мода , размах и медиана , если бы все зарплаты увеличились в 2 раза , уменьшились в 1,5 раза ? .
Чему была равна	средняя	цена за килограмм проданных в этот день пряников ? .
За сколько времени проплывет теплоход путь от Самары до Волгограда и обратно , если собственная скорость теплохода будет равна 24 км / ч ,	средняя	скорость течения реки составит 3 км / ч , а остановки составят 20 % от всего времени движения ? .
559 Представьте выражение в виде произведения	степеней	простых чисел и букв .
Найдем таким же способом остатки от деления на 7 следующих	степеней	3 : .
1 Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием , можно основание оставить без изменений , а показатели	степеней	сложить .
в ) сумма двух последовательных натуральных степеней числа 3 делится на 12 . г ) разность двух последовательных натуральных	степеней	числа 5 делится на 20 .
Установите общую формулу для вычисления произведения	степеней	рациональных чисел с общим основанием и натуральными показателями .
в ) сумма двух последовательных натуральных	степеней	числа 3 делится на 12 . г ) разность двух последовательных натуральных степеней числа 5 делится на 20 .
а ) в виде произведения двух степеней с основанием х и показателем n N0 . б ) в виде произведения трех	степеней	с основанием х и показателем n N0 ? .
Таким образом , не выполняя громоздких вычислений самих	степеней	, мы с помощью сравнений смогли быстро найти остатки от деления на 7 всех чисел вида 3n .
Произведение	степеней	. многочлена и одночлена .
а ) двух	степеней	.
Степенью ненулевого одночлена называется сумма показателей	степеней	входящих в одночлен переменных .
Таким образом , у нас теперь есть определение натуральной степени рационального числа , и мы знаем свойства	степеней	с натуральными показателями .
а ) в виде произведения двух	степеней	с основанием х и показателем n N0 . б ) в виде произведения трех степеней с основанием х и показателем n N0 ? .
д ) квадрат суммы чисел 6 , r , s , t . е ) сумма квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы чисел а , b и с . з ) сумма пятых	степеней	чисел 2 , 5 и у .
8 Представьте , если возможно , данные числа в виде	степеней	.
Найдите остатки от деления на 7 натуральных	степеней	числа 3 .
Частное	степеней	.
Таким образом , каждый одночлен может быть представлен в виде произведения своего коэффициента и	степеней	входящих в него переменных .
б ) трех	степеней	.
59 Запишите выражение в виде частного	степеней	.
3 Определить степень каждого одночлена и записать их алгебраическую сумму в порядке убывания	степеней	.
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых	степеней	чисел х , у и z .
Проанализируйте полученные выражения и определите , какие возможны ошибки при записи	степеней	.
в ) четырех	степеней	с основанием а .
Степенью многочлена называется наибольшая из	степеней	входящих в него одночленов при записи многочлена в стандартном виде .
Мы видим , что полученные нами свойства	степеней	существенно упрощают вычисления .
Данное свойство можно распространить на произведение трех и более	степеней	.
3 ) записаны в порядке убывания	степеней	одночленов ( одночлены , имеющие одинаковую степень , записываются в произвольном порядке ) .
Для ответа на этот вопрос докажем несколько свойств	степеней	.
Периодичность в повторении остатков , которую мы обнаружили , является общим свойством остатков всех натуральных	степеней	.
Произведение и частное	степеней	.
774 Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное выражение стало многочленом	степени	п ? .
Запишем в стандартном виде рассмотренные нами многочлены и определим их	степени	, а также их старшие и свободные члены .
Основание	степени	.
Запись больших чисел с помощью	степени	очень удобна , поэтому ее часто используют в разных науках , например в астрономии , где расстояния выражаются огромными числами .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа « неразрушения » ) , дадим определение первой степени рационального числа , согласованное с определением первой	степени	натурального числа , которое мы использовали раньше .
Для начала ответим на вопрос , можем ли мы сразу определить знак любой	степени	числа , пусть даже с очень большим показателем ?
406 Представьте выражение в виде	степени	с показателем , отличным от 1 .
316 Представьте , если это возможно , выражение в виде	степени	с показателем 2 .
Например , можем ли мы , не вычисляя значения самой	степени	, определить знак числа или числа ( -56,799)329 ?
Поскольку при умножении любого числа положительных чисел получается положительное число , то значение	степени	будет положительным , что и требовалось доказать . .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа « неразрушения » ) , дадим определение первой	степени	рационального числа , согласованное с определением первой степени натурального числа , которое мы использовали раньше .
Как в этом случае будут связаны между собой	степени	одного и того же отличного от нуля числа с противоположными показателями ? .
Порядок действий в выражениях , содержащих	степени	стр. 5 .
Представьте выражение в виде произведения многочленов	степени	, большей 0 .
147 Какими многочленами можно заменить соответственно А и В , чтобы указанные выражения стали многочленами	степени	n ? .
1 Для того чтобы умножить	степени	с одинаковым основанием , можно основание оставить без изменений , а показатели степеней сложить .
135 Какими многочленами можно заменить А , В , С и D , чтобы указанные выражения стали многочленами	степени	га ? .
А как возводить двучлен в четвертую , пятую , шестую и более высокие	степени	? .
Представьте выражение в виде	степени	с показателем , отличным от 1 , при целых значениях переменных .
Таким образом , у нас теперь есть определение натуральной	степени	рационального числа , и мы знаем свойства степеней с натуральными показателями .
Сравните	степени	рациональных чисел .
А при возведении в n - ю степень разности двух выражений знаки « плюс » и « минус » будут чередоваться , начиная с « плюс » , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й	степени	.
Эта запись читается как « а в	степени	n » .
432 Представьте выражение в виде	степени	с показателем 3 , если это возможно .
568 Представьте выражение в виде произведения многочленов	степени	большей нуля .
Для n - й	степени	числа а , как и раньше , будем использовать обозначение : аn .
Показатель	степени	.
Именно поэтому об уровне развития науки сегодня судят по тому , в какой	степени	в ней применяются математические методы .
2 Для того чтобы разделить	степени	с одинаковым основанием , не равным нулю , можно основание оставить без изменений , а из показателя делимого вычесть показатель делителя .
Возведение	степени	в степень .
Назовите их	степени	, свободные члены и коэффициенты членов , имеющих буквенные множители .
Тогда определение	степени	на математическом языке можно записать следующим образом .
Теперь , пользуясь введенным понятием	степени	рационального числа , мы можем записать : 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 равно 0,755 .
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под натуральной степенью любого рационального числа , научились определять знак	степени	и узнали , в каком порядке проводятся вычисления в выражениях со степенью .
2 Свойства	степени	с натуральным показателем .
36 а ) Представьте произведение в виде	степени	.
37 Запишите произведение в виде	степени	.
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым умножением , возвести двучлен в куб , четвертую и более высокие	степени	.
В нашем определении мы говорили о натуральном показателе	степени	, большем 1 , поскольку произведение чисел не может содержать менее двух множителей .
Теперь « доопределим » понятие натуральной	степени	рационального числа для случая показателя , равного 1 .
Здесь первый шаг преобразований выполнен на основании правила 2 , а второй - на основе правил умножения рациональных чисел и определения	степени	числа .
Свойства	степени	.
Мы видим , что одночлены записаны в таком порядке , что у каждого следующего одночлена показатель	степени	с основанием а последовательно уменьшается от литров до 0 , а показатель степени с основанием b , наоборот , увеличивается от 0 до л .
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой	степени	числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
40 Запишите в виде	степени	выражение , равное данному .
При этом повторяющийся множитель а называют основанием	степени	, а число повторяющихся множителей n — показателем степени .
В задаче 2 данного пункта мы получили , что остаток от деления чисел вида 3n на 7 зависит от того , какой остаток при делении на 6 дает показатель	степени	, а именно .
327 Какие остатки дают натуральные	степени	числа а при делении на b ? .
52 Запишите выражение в виде	степени	с основанием 2 , 3 или 5 .
Порядок действий в выражениях , содержащих	степени	.
637 Представьте многочлен в виде произведения нескольких многочленов	степени	большей нуля и назовите приемы разложения многочленов на множители , которые вы использовали .
309 Представьте выражение в виде	степени	с показателем , отличным от 1 .
Каким многочленом можно заменить К , чтобы указанное выражение стало многочленом	степени	n ? .
50 Представьте в виде	степени	с показателем , отличным от 1 , выражение .
47 Запишите выражение в виде	степени	с основанием t .
46 Представьте выражение в виде	степени	с основанием а .
Какие из этих выражений являются « степенью числа » , а какие - « числом , противоположным	степени	числа » ? .
При этом если встречаются одинаковые простые множители , то в записи для краткости используют обозначение	степени	.
2 ) каждая переменная участвует в записи одночлена лишь один раз в виде соответствующей	степени	.
3 Найти и записать	степени	переменных .
При этом повторяющийся множитель а называют основанием степени , а число повторяющихся множителей n — показателем	степени	.
48 Представьте а24 в виде	степени	с основанием .
55 Представьте выражение в виде	степени	с показателем , отличным от 1 .
84 Представьте выражение в виде	степени	с показателем , отличным от 1 .
83 Представьте выражение в виде	степени	с показателем , отличным от 1 .
286 Представьте выражение в виде	степени	с показателем , отличным от 1 .
77 Запишите выражение в виде	степени	при допустимых значениях переменных .
Дайте определение	степени	натурального числа а с натуральным показателем n , если : 1 ) n больше 1 .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа неразрушения ) подумайте , как можно было бы дать определение	степени	рационального числа с целым показателем .
Предложите собственную версию определения	степени	рационального числа а с натуральным показателем п , исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( « принципа неразрушения » ) .
Рассмотрим последовательные	степени	числа 3 и найдем числа , с которыми они сравнимы по модулю 7 .
2 Запишите числовое выражение короче , используя понятие	степени	.
3 При рациональных значениях переменных запишите буквенное выражение короче , используя понятие	степени	.
Что общего в формулах четвертой	степени	суммы и разности ? .
4 Назовите основание и показатель	степени	, вычислите значение выражения .
5 Замените в выражениях	степени	произведениями .
61 Представьте выражение в виде	степени	дроби с показателем , отличным от 1 .
79 Запишите выражение в виде	степени	с основанием 2 , 3 или 5 .
60 Представьте выражение в виде	степени	дроби с показателем , отличным от 1 .
80 Представьте х18 в виде	степени	с основанием .
Чтобы распространить наши знания о	степени	на множество рациональных чисел , уточним соответствующие определения .
56 Представьте выражение в виде	степени	с показателем , отличным от 1 .
42 Запишите выражение в виде	степени	при допустимых значениях переменных .
Используя определение	степени	, запишите выражение как произведение двучленов и выполните умножение .
Какие остатки дают натуральные	степени	числа а при делении на b .
Это позволяет нам сформулировать следующее правило , устанавливающее порядок действий в выражениях , содержащих	степени	.
100 Составьте из букв а , b и с восемь подобных между собой одночленов шестой	степени	с буквенными частями , записанными разными способами .
729 Представьте выражение в виде	степени	с показателем , отличным от 1 .
725 Запишите буквенные выражения , используя понятие	степени	.
1 Понятие	степени	с натуральным показателем .
Составляя эту запись , мы использовали уже известное нам понятие	степени	натуральных чисел , что позволяет короче записывать выражения , содержащие одинаковые множители .
Ответ : 345 . 1 а ) Запишите произведение натуральных чисел в виде	степени	.
719 Какие остатки дают натуральные	степени	числа а при делении на b .
23 Замените в выражениях	степени	произведениями .
Мы видим , что одночлены записаны в таком порядке , что у каждого следующего одночлена показатель степени с основанием а последовательно уменьшается от литров до 0 , а показатель	степени	с основанием b , наоборот , увеличивается от 0 до л .
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество натуральных чисел до множества целых чисел , получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными числами , ввели понятие	степени	.
22 Запишите произведения рациональных чисел короче , используя понятие	степени	.
706 Какие остатки дают натуральные	степени	числа а при делении на 6 ? .
542 Представьте выражение в виде произведения многочленов	степени	большей нуля .
Какие остатки дают натуральные	степени	числа а при делении на b ? .
Нуль в любой натуральной	степени	равен нулю .
Таким образом , расширим определение понятия	степени	на случай показателя , равного 0 .
Например , для одночленов одинаковой	степени	мы можем установить общие методы решения уравнений , в которые эти одночлены входят .
Итак , мы ввели новое для нас арифметическое действие для рациональных чисел — возведение в натуральную степень , и установили некоторые правила , упрощающие определение знака	степени	.
Поскольку степень фактически представляет собой произведение нескольких множителей , то запись	степени	можно рассматривать как запись произведения , заключенного в скобки .
Так ,	степени	рассмотренных нами выше одночленов равны соответственно 6 , 12 , 8 , 1 и 0 .
Теперь нам важно разобраться с тем , какой принят порядок действий в выражениях , содержащих	степени	.
Поскольку	степень	фактически представляет собой произведение нескольких множителей , то запись степени можно рассматривать как запись произведения , заключенного в скобки .
Пользуясь треугольником Паскаля , запишите формулу для возведения в седьмую	степень	.
А при возведении в n - ю	степень	разности двух выражений знаки « плюс » и « минус » будут чередоваться , начиная с « плюс » , как мы это наблюдали ранее для 2-й и 3-й степени .
Таким образом , проблема возведения двучлена в шестую степень ( как и в любую другую n - ю	степень	, литров сводится к проблеме нахождения коэффициентов всех членов итогового многочлена .
13 Используя	степень	числа 10 , запишите , что .
У нас пока недостаточно знаний , чтобы строго доказать истинность данного способа нахождения коэффициентов , но мы можем проанализировать , как получаются коэффициенты , например , при возведении двучлена в четвертую	степень	.
Любая натуральная	степень	положительного рационального числа — это число положительное .
Значит , четная	степень	отрицательного числа является числом положительным .
Именно в таком порядке и договорились записывать члены многочлена , являющегося результатом возведения двучлена в некоторую натуральную	степень	.
Затем выполним возведение в	степень	, после этого умножение и , наконец , — сложение .
Четная	степень	отрицательного числа содержит четное число отрицательных множителей .
Натуральная	степень	положительного рационального числа представляет собой произведение положительных чисел ( или само число ) .
396 Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его	степень	.
Поэтому , когда мы будем говорить о разложении многочленов на множители , мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные множители ( то есть такие разложения , в которых каждый многочлен - множитель имеет	степень	, большую нуля ) .
424 Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его	степень	.
Разложить многочлен на множители ( на буквенные множители ) — это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов ,	степень	которых больше нуля .
Отрицательное число , возведенное в четную	степень	, есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
Итак , мы можем записать следующий алгоритм возведения двучлена в любую натуральную	степень	.
350 Вычислите и определите , какие остатки дает натуральная	степень	данного числа при делении на 7 .
Согласно порядку действий в выражениях со степенями , сначала возведем ( -3 ) в	степень	, затем выполним умножение и деление и после этого — выполним вычитание .
Итак , мы ввели новое для нас арифметическое действие для рациональных чисел — возведение в натуральную	степень	, и установили некоторые правила , упрощающие определение знака степени .
В следующем одночлене	степень	а уменьшается на 1 , а степень b увеличивается на 1 .
Любая натуральная	степень	нуля представляет собой произведение нулей ( или само число 0 ) .
Как и раньше , квадратом числа будем называть вторую	степень	этого числа ( а2 равно а умножить а ) , а кубом числа — его третью степень ( а3 равно а умножить а умножить а ) .
Как и раньше , квадратом числа будем называть вторую степень этого числа ( а2 равно а умножить а ) , а кубом числа — его третью	степень	( а3 равно а умножить а умножить а ) .
Продолжая эту закономерность , можно доказать , что при возведении двучлена а плюс b в любую натуральную	степень	литров итоговый многочлен будет состоять только из одночленов , подобных следующим .
Поэтому нечетная	степень	отрицательного числа является числом отрицательным , что и требовалось доказать . .
Вычисление произведения , состоящего из n множителей , каждый из которых равен а , называют возведением числа а в n - ю	степень	.
Например , при возведении двучлена а плюс b в шестую	степень	получится выражение вида : где вместо пропусков стоят некоторые числа .
В следующем одночлене степень а уменьшается на 1 , а	степень	b увеличивается на 1 .
Это происходит потому , что	степень	одночлена b сначала равна нулю — четная , затем на 1 больше , то есть нечетная , и так далее .
Аналогичным образом мы будем понимать и натуральную	степень	рационального числа .
В выражениях со степенями без скобок сначала производят возведение в	степень	, затем умножение и деление , а уже потом — сложение и вычитание .
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную	степень	, — число отрицательное .
5 При возведении в	степень	разности ( а минус b)n поставить перед первым одночленом знак « плюс » , перед вторым — знак « минус » и далее чередовать знаки « плюс » , « минус » до последнего одночлена .
Оказывается , такие формулы есть , и они позволяют возводить двучлен в произвольную натуральную	степень	, не проводя прямых вычислений .
Французский математик Блез Паскаль в своем « Трактате об арифметическом треугольнике » ( 1655 г. ) установил способ , который позволяет достаточно легко найти требуемые коэффициенты при возведении двучлена в любую n - ю	степень	.
В нем в каждой ( n плюс 1)-й строке стоят коэффициенты многочлена , полученного при возведении двучлена в	степень	.
Возведение степени в	степень	.
Значит , в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно	степень	дроби и вычислить следующее произведение : Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его , « собрав » все выполненные преобразования вместе , а затем сократим полученную дробь и возведем ее в квадрат .
Таким образом , проблема возведения двучлена в шестую	степень	( как и в любую другую n - ю степень , литров сводится к проблеме нахождения коэффициентов всех членов итогового многочлена .
4 При возведении в	степень	суммы ( а плюс b)n поставить перед всеми одночленами знак « плюс » .
А нечетная	степень	отрицательного числа содержит целое число пар отрицательных множителей и еще один отрицательный множитель .
Алгоритм возведения двучлена в n - ю	степень	. 1 Выписать в установленном порядке все одночлены , которым подобны члены итогового многочлена .
3 Для того чтобы возвести степень в	степень	, можно основание оставить без изменений , а показатели перемножить .
143 Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его	степень	.
54 Возведите произведение в	степень	.
144 Запишите выражение как двучлен стандартного вида и определите его	степень	.
308 Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его	степень	.
3 Для того чтобы возвести	степень	в степень , можно основание оставить без изменений , а показатели перемножить .
3 ) записаны в порядке убывания степеней одночленов ( одночлены , имеющие одинаковую	степень	, записываются в произвольном порядке ) .
Для того чтобы возвести в степень дробь , можно возвести в эту	степень	отдельно числитель и знаменатель дроби .
5 а ) Для того чтобы возвести в степень частное , можно возвести в эту	степень	отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй .
110 Приведите одночлен к стандартному виду , определите его коэффициент и	степень	.
731 Определите	степень	, старший и свободный члены многочлена и найдите его значение при указанных значениях переменных .
98 Представьте данный одночлен как	степень	некоторого одночлена .
4 Для того чтобы возвести в	степень	произведение , можно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить .
д ) квадрат суммы чисел 6 , r , s , t . е ) сумма квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая	степень	суммы чисел а , b и с . з ) сумма пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
Для того чтобы возвести в	степень	дробь , можно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби .
4 Для того чтобы возвести в степень произведение , можно возвести в эту	степень	каждый из множителей и результаты перемножить .
5 а ) Для того чтобы возвести в	степень	частное , можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй .
Напомним , что возведение в	степень	также является умножением .
Запишите многочлен в стандартном виде , определите его	степень	, старший и свободный члены .
При умножении и возведении в	степень	одночленов в результате всегда будут получаться одночлены , поскольку никаких других действий , кроме умножения , мы при этом не производим .
Запишите их в стандартном виде и определите их	степень	.
81 Возведите в	степень	.
125 Запишите многочлен в стандартном виде и определите его	степень	.
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая	степень	суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
а ) переменную x . б ) переменные а и b. Запишите составленный многочлен в стандартном виде и определите его	степень	.
280 Запишите выражение как многочлен стандартного вида и определите его	степень	.
284 Пользуясь формулами квадрата двучлена и трехчлена , возведите в	степень	.
Любая натуральная	степень	нуля равна 0 , а при умножении числа на 0 получается 0 .
Любая натуральная	степень	единицы равна 1 , а при умножении на 1 число не изменяется .
664 Запишите многочлен в стандартном виде и определите его	степень	.
Одной из важных характеристик одночлена является его	степень	.
683 Запишите многочлен в стандартном виде и определите его	степень	.
Возведение в n - ю	степень	стр. 3 .
Алгоритм : возведения двучлена в n - ю	степень	.
Предметный указатель . n -я	степень	рационального числа .
3 Определить	степень	каждого одночлена и записать их алгебраическую сумму в порядке убывания степеней .
При этом член многочлена , имеющий наибольшую степень , называют старшим членом , а имеющий нулевую	степень	— свободным членом многочлена .
При этом член многочлена , имеющий наибольшую	степень	, называют старшим членом , а имеющий нулевую степень — свободным членом многочлена .
Нулевая	степень	рационального числа .
97 Приведите одночлен к стандартному виду , определите его коэффициент и	степень	.
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под натуральной	степенью	любого рационального числа , научились определять знак степени и узнали , в каком порядке проводятся вычисления в выражениях со степенью .
Нулевой	степенью	рационального числа а , отличного от нуля , называется число 1 .
Под натуральной	степенью	n числа а мы понимали произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Что естественно было бы считать	степенью	многочлена ?
Натуральной ( n - й )	степенью	числа а называется число аn , равное произведению n множителей , каждый из которых равен а .
Какие из этих выражений являются «	степенью	числа » , а какие - « числом , противоположным степени числа » ? .
Тогда n - й	степенью	рационального числа а называется произведение n множителей , каждый из которых равен а .
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под натуральной степенью любого рационального числа , научились определять знак степени и узнали , в каком порядке проводятся вычисления в выражениях со	степенью	.
Замените х	степенью	так , чтобы выполнялось равенство .
771 Замените х	степенью	так , чтобы выполнялось равенство .
В выражениях со	степенями	без скобок сначала производят возведение в степень , затем умножение и деление , а уже потом — сложение и вычитание .
В завершение выпишем все правила вычислений со	степенями	, которые следуют из доказанных нами теорем .
Правила вычислений со	степенями	.
Правила возведения в квадрат натурального числа , оканчивающегося на 5 . вычислений со	степенями	.
А для того чтобы проводить вычисления с этими числами , необходимо уметь выполнять арифметические действия со	степенями	.
Согласно порядку действий в выражениях со	степенями	, сначала возведем ( -3 ) в степень , затем выполним умножение и деление и после этого — выполним вычитание .
Сумма длин	сторон	двух квадратов равна 20 см , а разность их площадей равна 40 см2 .
Чему равны длины	сторон	этих квадратов ? .
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна произведению длин его	сторон	, то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
Для того чтобы определить эти коэффициенты , поставим в вершине и вдоль боковых	сторон	некоторого равнобедренного треугольника число 1 .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его	сторон	( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
Измерьте длины	сторон	треугольников , вычислите отношения .
Известно , что меньшая	сторона	прямоугольника равна большей , а большая равна на плане 5 см. Определите масштаб данного плана .
Чему равна реальная площадь этого участка , если большая	сторона	прямоугольника равна на плане 7,5 см , а меньшая составляет от большей ? .
Известно , что меньшая	сторона	прямоугольника равна большей , а большая равна на плане 5 см. Чему равен масштаб данного плана ? .
Пусть	сторона	квадрата равна х см , где х больше 0 .
Чему равна реальная площадь этого участка , если бόльшая	сторона	прямоугольника равна на плане 5,6 см , а меньшая составляет от бόльшей ?
Чему равна реальная площадь этого участка , если большая	сторона	прямоугольника равна на плане 9,3 см , а меньшая составляет от большей ? .
Чему равна реальная площадь этого участка , если бóльшая	сторона	прямоугольника равна на плане 5,6 см , а меньшая составляет от большей ? .
Как изменилась	сторона	квадрата ? .
Например ,	сторона	квадрата не прямо пропорциональна его площади : если увеличить сторону квадрата в 2 раза , его площадь увеличится не в 2 , а в 4 раза .
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри : квадрат со стороной а и прямоугольник со	сторонами	а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные положительные рациональные числа ( а больше b ) .
« Четырехугольник - это многоугольник с четырьмя	сторонами	» .
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со	сторонами	а плюс b и а минус b. Значит , с одной стороны , площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
407 Расставьте числа от 1 до 9 в кружках так , чтобы сумма чисел на каждой	стороне	треугольника равнялась : а ) 17 ; б ) 20 .
А если мы вычислим длину диагонали квадрата со	стороной	1 , то получим число 1,4142135 .. , также являющееся иррациональным .
Из квадрата со	стороной	а вырежем квадрат со стороной b.
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри : квадрат со	стороной	а и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные положительные рациональные числа ( а больше b ) .
Из квадрата со стороной а вырежем квадрат со	стороной	b.
57 а ) Докажите , что если	сторону	квадрата увеличить в n раз , то его площадь увеличится в n2 раз .
Например , сторона квадрата не прямо пропорциональна его площади : если увеличить	сторону	квадрата в 2 раза , его площадь увеличится не в 2 , а в 4 раза .
г ) Каждую	сторону	квадрата увеличили на 3 см. При этом его площадь увеличилась на 51 см2 .
б ) Во сколько раз увеличится объем куба , если его	сторону	увеличить в n раз ?
Площадь первого квадрата , с одной	стороны	, равна ( а плюс b)2 , а с другой стороны , равна а2 плюс b2 плюс ab плюс ab .
Аналогично площадь второго квадрата , с одной	стороны	, равна а2 , а с другой — сумме ( а минус b)2 плюс ( ab минус b2 ) плюс ( ab минус b2 ) плюс b2 .
Площадь данного прямоугольника , с одной	стороны	, равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой — сумме площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
С другой	стороны	, если отца женщины зовут Иван , то из этого вовсе не следует , что она именно Татьяна Ивановна , - ее могут звать также и Мария Ивановна , и Елена Ивановна .
« Квадратом называется прямоугольник , все	стороны	которого равны » .
Площадь первого квадрата , с одной стороны , равна ( а плюс b)2 , а с другой	стороны	, равна а2 плюс b2 плюс ab плюс ab .
Какой может быть длина этой	стороны	, если периметр этого прямоугольника меньше 24 см ? .
а ) Длина одной	стороны	прямоугольника на 8 см больше длины другой .
Какой может быть длина большей	стороны	, если периметр этого прямоугольника меньше 32 см ? .
Так , пройденный путь зависит от скорости и времени движения , площадь круга зависит от его диаметра , площадь квадрата зависит от длины его	стороны	и т .
« Квадрат - это прямоугольник , у которого все	стороны	равны » .
С другой	стороны	, равенство мы можем записать в следующем виде .
« Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина на 3 см больше	стороны	этого же квадрата .
Ширина прямоугольника на 5 см меньше	стороны	квадрата , а его длина — на 3 см больше стороны этого же квадрата .
Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата , а его длина — на 3 см больше	стороны	этого же квадрата .
С другой	стороны	, по условию задачи она равна 9 см2 .
« Ширина прямоугольника на 5 см меньше	стороны	квадрата , а его длина на 3 см больше стороны этого же квадрата .
Нарисуйте квадрат с длиной	стороны	а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата суммы , выведите формулу квадрата разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
а ) Длина одной	стороны	прямоугольника на 3 см больше длины другой .
С другой	стороны	, заметим , что число а при делении на каждое из наших простых чисел дает остаток 1 .
При этом полет в обе	стороны	продолжается одно и то же время .
Значит , для квадрата родовым понятием является понятие прямоугольника , а его видовым отличием является то , что у него все	стороны	равны .
Но точно такую же площадь имеет и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b. Значит , с одной	стороны	, площадь этого прямоугольника равна произведению длин его сторон , то есть ( а минус b)(а плюс b ) .
Найдите длину	стороны	исходного квадрата .
Какой может быть длина этой	стороны	, если периметр этого прямоугольника меньше 60 см ? .
А с другой	стороны	, она равна а2 минус b2 , и , следовательно .
С другой	стороны	, все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
а ) Длина одной	стороны	прямоугольника на 12 см больше длины другой .
Но для начала нам надо научиться	строить	удобные математические модели , приводящие к уравнениям , способ решения которых известен .
Понятно , что для возведения нового здания нужно заложить фундамент и на нем	строить	дом .
В предыдущем пункте мы познакомились с линейной функцией , где k и b — некоторые числа , научились	строить	ее график .
Они являются теми « кирпичиками » , из которых	строят	все остальные числа .
Например , чтобы найти значение суммы 1 + 2 + 3 + .. + 1000 , мы не станем складывать подряд все числа от 1 до 1000 , а заметим , что суммы 1 + 1000 , 2 + 999 , 3 + 998 и т.д. равны между собой и что имеется всего 500 таких	сумм	.
Используя эти законы при преобразованиях алгебраических	сумм	, мы можем моментально найти значение , например , такого выражения .
Можно доказать , что данные законы верны также для	сумм	с произвольным числом слагаемых и для произведений с произвольным числом множителей .
Сравнивая решения задач 2 и 3 , заметим , что вероятности выпадения на верхних гранях кубиков различных	сумм	не совпадают .
434 Назовите слагаемые алгебраических	сумм	и запишите их , ставя между слагаемы ми знак « + » .
411 Назовите слагаемые указанных алгебраических	сумм	и запишите эти суммы , ставя между слагаемыми знак « + » .
Какие из данных алгебраических	сумм	являются равносильными выражениями ?
Значит , всего в указанном квадрате должны быть равными 8	сумм	.
Основные законы сложения верны также и для алгебраических	сумм	, то есть выражений , содержащих несколько последовательных действий сложения и вычитания .
Таким образом , мы приходим к следующим правилам раскрытия скобок при равносильных преобразованиях алгебраических	сумм	.
1 Равносильные преобразования алгебраических	сумм	.
Поскольку в основных законах арифметики даны правила только для преобразования	сумм	и произведений , то естественно свести действие деления к умножению , подобно тому , как мы свели вычитание к сложению .
Упростим сначала числитель этой дроби , пользуясь правилами преобразования алгебраических	сумм	.
Мы видим , что	сумма	очков на двух кубиках равна восьми в пяти случаях .
в )	сумма	очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 5 и не больше 8 .
8 Запишите следующие выражения : 1 )	сумма	квадратов двух чисел ;
Мы видим , что данная алгебраическая	сумма	также является многочленом .
а ) их	сумма	равна 2,5 , а их произведение равно 1,5 .
б )	сумма	кубов х и у .
	Сумма	очков , выпавших на верхних гранях , не больше 6 .
И так как	сумма	чисел , расположенных в каждой из диагоналей , должна быть равна 12 , то на диагоналях могут стоять лишь две комбинации .
Поскольку	сумма	чисел в каждой строке и столбце равна 12 , то расположение остальных чисел определяется однозначно .
а ) Если каждое из двух целых чисел делится на некоторое целое число , то и их	сумма	делится на это число .
При этом получается , что	сумма	чисел средней строки и среднего столбца также оказывается равной 12 .
а )	сумма	очков на верхних гранях нечетная и на одном из кубиков выпало 4 очка .
Также известно , что	сумма	первого и третьего углов равна 120 ° .
	Сумма	четырех последовательных целых чисел больше суммы наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Как изменяется	сумма	очков на верхних гранях двух кубиков при их одновременном бросании ?
Если натуральное число делится на 19 , то его	сумма	с любым другим натуральным числом делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6 делится на 5 .
Если натуральное число делится на 11 , то его	сумма	с любым другим натуральным числом делится на 11 .
Через сколько лет после открытия	сумма	всех расходов компании сравнялась с выручкой ? .
Какой была ежегодная выручка этой компании , если к концу шестого года	сумма	всех расходов компании со дня открытия сравнялась с выручкой за это время ? .
Разбейте множество { 1 , 3 , 7 , 9 , 25 , 65 , 70 } на две группы так , чтобы	сумма	чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой .
а )	сумма	трех последовательных целых чисел больше среднего арифметического наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Поскольку	сумма	двух четных чисел всегда число четное , то 11х должно быть нечетным , а значит , и число х — нечетное .
в )	сумма	двух последовательных натуральных степеней числа 3 делится на 12 . г ) разность двух последовательных натуральных степеней числа 5 делится на 20 .
	Сумма	значений выражений меньше или равна -6 . д ) разность значений выражений не меньше 12 ? .
в ) Если	сумма	цифр целого числа делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если целое число кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
Одно из двух загаданных рациональных чисел на 4 больше другого , а	сумма	их модулей равна 12 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их	сумма	делится на 7 .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж )	сумма	шестых степеней чисел х , у и z .
а ) их	сумма	равна 3,5 , а их произведение равно 3 .
Мы знаем , что	сумма	трех последовательных натуральных чисел делится на 3 .
154 Докажите , что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковые и	сумма	его цифр делится на 7 , то это число делится на 7 .
а )	сумма	целого числа и его квадрата есть число четное .
Это верно , так как данная	сумма	может быть записана в виде , где .
а ) квадрат суммы а и b . б )	сумма	квадратов а и b . в ) квадрат разности с и d . г ) разность квадратов c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
	Сумма	выпавших на верхних гранях очков равна пяти , а модуль разности очков равен трем .
Степенью ненулевого одночлена называется	сумма	показателей степеней входящих в одночлен переменных .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их	сумма	делится на 9 .
а ) квадрат суммы а и b . б ) сумма квадратов а и b . в ) квадрат разности с и d . г ) разность квадратов c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е )	сумма	квадратов х , у и z .
	Сумма	выпавших на верхних гранях очков равна семи , а их произведение равно десяти .
	Сумма	значений выражений не больше 20 . е ) разность значений выражений не меньше 8 .
407 Расставьте числа от 1 до 9 в кружках так , чтобы	сумма	чисел на каждой стороне треугольника равнялась : а ) 17 ; б ) 20 .
373 Пять различных чисел таковы , что сумма трех наименьших равна 10 , трех наибольших — 23 , а	сумма	наименьшего , наибольшего и среднего равна 18 .
Произведением двух натуральных чисел а и b называется	сумма	b слагаемых , каждое из которых равно а .
Напомним , что квадрат называют магическим , если	сумма	чисел , стоящих в его клетках по столбцам , строкам и диагоналям , одинаковая .
Чему равна	сумма	трех средних по величине чисел ? .
а )	сумма	очков , выпавших на верхних гранях кубиков , равна 11 . б ) сумма очков на выпавших гранях нечетная , и на одном из кубиков выпало 2 очка .
а ) сумма очков , выпавших на верхних гранях кубиков , равна 11 . б )	сумма	очков на выпавших гранях нечетная , и на одном из кубиков выпало 2 очка .
в )	сумма	очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают .
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г )	сумма	очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 3 и не больше 5 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают .
К сожалению , ни	сумма	, ни разность кубов у нас пока не получилась .
373 Пять различных чисел таковы , что	сумма	трех наименьших равна 10 , трех наибольших — 23 , а сумма наименьшего , наибольшего и среднего равна 18 .
д ) Алгебраическая	сумма	рациональных чисел не зависит от порядка слагаемых .
460 Докажите , что	сумма	кубов трех последовательных целых чисел делится на 3 .
Доказать , что	сумма	кубов этих чисел делится на 7 .
Если кто - нибудь « доказывает » , например , равенство ссылаясь на то , что от перестановки слагаемых	сумма	не меняется , то доказывающий лишь повторяет то , что должен доказать .
Из распределительного закона следует , что если перед скобками , в которых записана	сумма	, стоит множитель , то скобки также можно опустить , умножив на этот множитель каждое слагаемое .
Доказать , что	сумма	кубов этих чисел делится на 4 . б ) Два целых числа при делении на 7 дают в остатке соответственно 2 и 3 .
В числе 258	сумма	цифр делится на 3 - истинно .
68 Докажите , что	сумма	n первых нечетных чисел равна .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и	сумма	его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Если	сумма	цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
а )	сумма	чисел 2 и 6 больше 5 .
Тогда биолог сообщил , что	сумма	возрастов его детей равна номеру школы , в которой они учились .
Прежде всего , вычислим , какой должна быть	сумма	чисел в каждой строке , столбце и диагонали искомого магического квадрата .
Можно ли их разбить на две группы так , чтобы	сумма	чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой группе ? .
Одно из двух загаданных рациональных чисел на 10 больше другого , а	сумма	их модулей равна 16 .
Как мы уже знаем , алгебраическая	сумма	нескольких одночленов является одночленом , только если речь идет о сложении и вычитании подобных одночленов .
Известно , что их	сумма	равна 960 .
	Сумма	значений выражений не больше 2 . д ) разность значений выражений меньше 15 . е ) значение выражения больше утроенного значения выражения .
Выражение , записанное как алгебраическая	сумма	одночленов , называется многочленом .
Так , поскольку при перестановке слагаемых их	сумма	не изменяется .
	Сумма	значении выражении и отрицательна .
Так как мы имеем всего 8 комбинаций чисел ,	сумма	которых равна 12 , то , следовательно , каждая из них должна занять в искомом магическом квадрате ровно одну позицию — строку , столбец или диагональ .
и )	сумма	значения выражения и числа ( -1 ) неположительна .
л )	сумма	значений выражений и меньше ( -30 ) .
Таким образом , выбрать из указанных чисел группы по три слагаемых ,	сумма	которых равна 12 , можно лишь указанными 8 способами .
	Сумма	очков на выпавших гранях четная и на одном из кубиков выпало 5 очков .
д ) Два рациональных числа противоположные , если их	сумма	равна нулю .
в )	сумма	очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 4 и не больше 6 .
Следовательно ,	сумма	чисел в каждой строке , столбце и диагонали нашего магического квадрата должна быть равна 12 .
в ) сумма очков , выпавших на верхних гранях , не больше 7 . г )	сумма	очков , выпавших на верхних гранях , не меньше 4 и не больше 6 .
482 Докажите , что	сумма	кубов А и В делится на 36 .
По условию ,	сумма	искомых чисел равна 9 , значит .
	Сумма	выпавших на верхних гранях очков равна семи , а модуль их разности равен пяти .
	Сумма	выпавших на верхних гранях очков равна шести , а их произведение равно восьми
Значит , первое ограничение состоит в том , что нам надо выбрать из данных чисел группы по три слагаемых ,	сумма	которых равна 12 .
Найдите девять последовательных целых чисел ,	сумма	первых трех из которых равна сумме шести последних .
2 Для того чтобы определить число благоприятных исходов , составим таблицу возможных исходов при бросании двух кубиков и выделим в ней те случаи , в которых	сумма	очков на двух кубиках равна восьми .
При построении круговой диаграммы предполагается , что	сумма	всех зависимых величин составляет 360 ° , а доля каждой зависимой величины в их общей сумме .
Если натуральное число делится на 15 , то	сумма	его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если	сумма	цифр натурального числа делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
	Сумма	очков , выпавших на верхних гранях , не больше 9 . а ) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и тщательно перемешивают .
Если натуральное число делится на 36 , то	сумма	его цифр делится на 9 и число , составленное из его двух последних цифр , делится на 4 .
Многочлен называется противоположным исходному , если его	сумма	с исходным многочленом равна нулю .
Чему будет равна	сумма	этих остатков ? .
Разбейте множество { 1 , 11 , 13 , 19 , 22 , 44 } на две группы так , чтобы	сумма	чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой .
	Сумма	значений выражений и меньше 17 . е ) разность значений выражений и больше 29 .
Количество рецептов пончиков в пончиковой компании Антона и Ксюши выражается трехзначным числом ,	сумма	цифр которого равна 20 .
а ) Если	сумма	и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р . б ) Любое простое число , большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
Если мы вынесем его за скобки , то в скобках останется	сумма	кубов х и y.
Действительно , если бы мы не учли того , что	сумма	углов треугольника равна 180 ° , то получили бы решение 30 ° , 10 ° и 90 ° , которое не отражает объективных законов окружающего мира : треугольников с такими углами не существует .
в ) если	сумма	трех последовательных целых чисел есть число нечетное , то их произведение делится на 24 . г ) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1 .
в ) Какая	сумма	была положена в банк под 5 % годовых , если через 2 года вклад составил 55 125 р . ? .
Известно , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго , но в три раза меньше третьего , а	сумма	первого и третьего углов равна 120 ° .
484 Можно ли расставить числа в таблице так , чтобы	сумма	в каждой строке была положительной , а в каждом столбце отрицательной ? .
Заметим , что	сумма	двух модулей всегда число неотрицательное , поэтому она не может быть меньше или равна отрицательному числу .
2 ) Всегда ли	сумма	многочленов будет многочленом ?
Какую цифру зачеркнули , если	сумма	оставшихся цифр равна 2009 ? .
д ) квадрат суммы чисел 6 , r , s , t . е ) сумма квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы чисел а , b и с . з )	сумма	пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
Докажите , что	сумма	куба и квадрата этого числа делится на 5 .
Известно , что	сумма	удвоенного первого числа и увеличенного в пять раз второго числа равна 49 .
Найдите углы этого треугольника , если	сумма	первого и третьего углов равна 120 ° .
д ) квадрат суммы чисел 6 , r , s , t . е )	сумма	квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы чисел а , b и с . з ) сумма пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
204 Можно ли найти два натуральных числа ,	сумма	и произведение которых нечетны ? .
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при умножении одночлена на одночлен мы получим одночлен , а алгебраическая	сумма	одночленов по определению многочлен .
Мы зафиксировали , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго и в три раза меньше третьего ,	сумма	первого и третьего углов равна 120 ° и что заданная фигура — треугольник .
12 Запишите следующие выражения : 1 )	сумма	кубов двух чисел ;
По условию ,	сумма	первого и третьего углов равна 120 ° , значит .
	Сумма	произведения чисел 5 и х и произведения чисел 4 и с . г ) разность частного чисел 9 иди разности между числом 7 и а .
В нашем случае объект моделирования — треугольник , а	сумма	углов любого треугольника равна 180 ° .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и	сумма	этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
Тогда , согласно теоремам 1 и 3 , п. 2.2.4 , а значит , число А и	сумма	его цифр имеют одинаковые остатки от деления на 9 .
При умножении одночленов мы вновь получаем одночлены , а их	сумма	, по определению , является многочленом .
Разбейте число 168 на три не равных друг другу натуральных слагаемых так , чтобы	сумма	любых двух этих слагаемых делилась на третье .
Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда , когда	сумма	его цифр делится на 3 .
Докажите , что	сумма	куба и квадрата этого числа делится на 4 .
Например , если некоторые два числа имеют остатки 5 и 2 при делении на 12 , то	сумма	этих остатков равна 7 .
а )	сумма	очков на выпавших гранях нечетная и на одном из кубиков выпало 3 очка .
Откуда и следует , что натуральное число делится на 9 тогда и только тогда , когда	сумма	его цифр делится на 9 , что и требовалось доказать .
« Катя задумала двузначное натуральное число ,	сумма	которого с утроенной цифрой его единиц равна 74 .
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда , когда	сумма	его цифр делится на 9 .
Правила раскрытия скобок в алгебраических	суммах	.
В предыдущем пункте мы разобрались с тем , как раскрывать скобки в алгебраических	суммах	.
г ) разность квадратов двух последовательных четных чисел равна удвоенной	сумме	этих чисел .
Разностью многочленов называется многочлен , равный	сумме	уменьшаемого и многочлена , противоположного вычитаемому .
2 Найти долю каждой зависимой величины в общей	сумме	.
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 1 , то значение многочлена равно алгебраической	сумме	всех его коэффициентов .
Сколько мячей к этому моменту было в	сумме	заброшено обеими командами ? .
Все целые числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в	сумме	с 6 дает 17 . д ) Число 3 является решением уравнения .
Для того чтобы записать результат поиска доли каждой зависимой величины в общей	сумме	, используем исходную таблицу .
Компания разместила свои свободные деньги в	сумме	1800 тыс. р .
а ) на верхних гранях этих кубиков выпало в	сумме	четырех очка .
В каждой строке этого треугольника , начиная с третьей , между единицами находятся числа , равные	сумме	двух расположенных над ним чисел .
Для этого раскроем скобки , используя правило умножения одночлена на многочлен , а затем в полученной алгебраической	сумме	приведем подобные слагаемые .
Известно , что годовая рентабельность вложений ( отношение дохода к	сумме	вложенных денег ) в этом инвестиционном фонде в эти годы была одинаковой .
Например , составим сумму многочленов а2 - 4аb плюс b2 и -а2 плюс 3аb и в полученной алгебраической	сумме	раскроем скобки .
Правило 2 Если в алгебраической	сумме	перед скобкой стоит знак « - » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , изменяются на противоположные .
Могла ли она получить в	сумме	число 6512 ? .
Разбейте множество { 1 , 3 , 7 , 9 , 25 , 65 , 70 } на две группы так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась	сумме	чисел в другой .
1 В любой алгебраической	сумме	можно произвольным образом переставлять слагаемые и объединять их в группы .
Правило 1 Если в алгебраической	сумме	перед скобкой стоит знак « + » , то после раскрытия скобок знаки слагаемых , расположенных в скобках , не изменяются .
Заменим в алгебраической	сумме	каждое действие вычитания прибавлением противоположного слагаемого .
Площадь данного прямоугольника , с одной стороны , равна произведению длин его сторон ( о плюс b)(c плюс d ) , а с другой —	сумме	площадей составляющих его прямоугольников , то есть ас плюс ad плюс be плюс bd . .
Следовательно , значение многочлена будет равно алгебраической	сумме	, состоящей из нулей и свободного члена , и поэтому равно свободному члену , что и требовалось доказать .
Произведением двух многочленов называется многочлен , равный	сумме	произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого многочлена .
в ) разность квадратов двух последовательных целых чисел равна	сумме	этих чисел .
Можно ли их разбить на две группы так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась	сумме	чисел в другой группе ? .
Аналогично площадь второго квадрата , с одной стороны , равна а2 , а с другой —	сумме	( а минус b)2 плюс ( ab минус b2 ) плюс ( ab минус b2 ) плюс b2 .
А число тигров и слонов в	сумме	меньше 16 .
Из сочетательного закона сложения следует , что если в обычной	сумме	перед скобками отсутствуют множители , то скобки можно просто убрать .
Переставив слагаемые в данной алгебраической	сумме	, мы получим куб разности чисел с и 1 .
Вычислите вероятность выпадения на верхних гранях этих кубиков в	сумме	восьми очков .
Могла ли она получить в	сумме	число 4213 ? .
Может ли он получить в	сумме	число 324 ? .
Мог ли он получить в	сумме	1375 ? .
А поскольку многочлен является алгебраической суммой своих членов , то его значение будет равно алгебраической	сумме	всех его коэффициентов , что и требовалось доказать .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен	сумме	квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
Могла ли она получить в	сумме	число 5475 ? .
Может ли он получить в	сумме	число 2354 ? .
Могло ли получиться так , что цистерн в	сумме	было .
Пусть А — событие , при котором на верхних гранях обоих кубиков в	сумме	выпадает восемь очков .
Ежедневно вы не работаете еще 8 ч , то есть в	сумме	121 день 16 ч .
Каждые сутки вы спите 8 ч , что в	сумме	составляет 8 • 365 = 2920 ч , или 121 день 16 ч .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на верхних гранях в	сумме	восьми очков равна .
Вычислите вероятность выпадения на верхних гранях этих кубиков в	сумме	десяти очков .
Найдите девять последовательных целых чисел , сумма первых трех из которых равна	сумме	шести последних .
При построении круговой диаграммы предполагается , что сумма всех зависимых величин составляет 360 ° , а доля каждой зависимой величины в их общей	сумме	.
Пусть А — событие , при котором на верхних гранях обоих кубиков в	сумме	выпадает десять очков .
Могло ли их быть в	сумме	.
Являются ли равновозможными исходами выпадение на верхних гранях двух кубиков в	сумме	3 очков и 6 очков ?
Вычислите вероятность выпадения на верхних гранях этих кубиков в	сумме	семи очков .
Вычислите вероятность выпадения на верхних гранях этих кубиков в	сумме	пяти очков .
Значит , за все помидоры из этих двух коробок планировалось получить выручку в	сумме	5850 рублей .
Произведением одночлена и многочлена называется многочлен , равный	сумме	произведений этого одночлена и каждого члена многочлена .
Ответ : при бросании двух кубиков вероятность выпадения на верхних гранях в	сумме	десяти очков равна .
Разбейте множество { 1 , 11 , 13 , 19 , 22 , 44 } на две группы так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась	сумме	чисел в другой .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое натуральное число А дает тот же остаток при делении на 11 , что и разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и	суммой	цифр , стоящих на нечетных местах , что и требовалось доказать .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое натуральное число А дает тот же остаток при делении на 11 , что и разность между	суммой	его цифр , стоящих на четных местах , и суммой цифр , стоящих на нечетных местах , что и требовалось доказать .
а ) разностью квадратов . б )	суммой	кубов .
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между	суммой	его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
А поскольку многочлен является алгебраической	суммой	своих членов , то его значение будет равно алгебраической сумме всех его коэффициентов , что и требовалось доказать .
Таким образом , исходное выражение является	суммой	квадратов .
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и	суммой	его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
Среди формул сокращенного умножения есть еще одна замечательная формула , которая получается при умножении разности двух выражений на их	сумму	.
е ) Какую	сумму	денежных средств нужно положить в банк , чтобы получить через 2 года доход в размере 14 144 р . , если банк предлагает разместить вклады под 8 % годовых ? .
159 Найдите	сумму	многочленов А плюс В , располагая слагаемые « в столбик » , если .
Именно поэтому мы и имели возможность в предыдущем примере преобразовать исходную	сумму	так , чтобы легко было выполнить громоздкие вычисления .
Например , чтобы выполнить умножение 9 умножить 200 , мы не станем записывать	сумму	9 слагаемых , равных 200 , а сразу запишем результат 1800 .
б ) Какую	сумму	денежных средств нужно положить в банк , чтобы получить через 3 года доход в размере 40 492,8 р . , если банк предлагает разместить вклады под 12 % годовых ? .
3 Определить степень каждого одночлена и записать их алгебраическую	сумму	в порядке убывания степеней .
На сколько дней хватит Антону с Ксюшей закупленных подарков , если они будут дарить подарки на	сумму	на 10 р .
Рассчитайте	сумму	, которую должны заплатить за электроэнергию за апрель эти четыре компании , если известно , что компания , которая платит за электроэнергию меньше всех , заплатила за апрель 3500 р .
Рассчитайте	сумму	, которую должны заплатить за отопление за апрель эти четыре компании , если известно , что компания , которая платит за электроэнергию больше всех , заплатила за апрель 17 500 р . г ) Прямоугольный участок земли изображен на плане , выполненном в масштабе 1 : 6000 .
Как , например , упростить следующую алгебраическую	сумму	.
Для этого найдем	сумму	всех данных чисел и разделим ее на количество столбцов ( строк ) в квадрате , то есть на 3 .
Мы получили	сумму	двух выражений , каждое из которых имеет множитель а плюс b.
Рассмотрим алгебраическую	сумму	, в которой перед слагаемыми стоят как знаки « + » , так и знаки « — » .
2 ) Какую	сумму	денег получили за продажу тетрадей ? .
Вначале вычислим	сумму	S ( в тыс. р . ) всех зависимых величин .
Найдите сумму квадратов и	сумму	кубов n первых натуральных чисел для .
2 Ищите в исходном многочлене признаки формул сокращенного умножения — удвоенные и утроенные произведения ,	сумму	и разность кубов , разность квадратов .
Можно ли набрать	сумму	5000 р . , если имеются купюры достоинством 100 р .
Мы перемножили	сумму	и разность двух выражений , и здесь нас ждала удача .
Найдите	сумму	квадратов и сумму кубов n первых натуральных чисел для .
В принципе , этих правил вполне достаточно для того , чтобы упростить любую алгебраическую	сумму	, в том числе и приведенную выше .
Умножим , например ,	сумму	двух выражений на квадрат их разности .
В течение месяца было продано тех и других пончиков на одинаковую	сумму	.
1 Найти	сумму	всех зависимых величин .
Найдите	сумму	n первых натуральных чисел для . а ) n равно 100 . б ) nравно 200 .
б ) В какую	сумму	превратится вклад в 10 000 р .
Какую	сумму	денег получил Антон , если выплаты прочим акционерам составили 120 тыс. р . ? .
Аналогичным образом можно найти	сумму	любого количества многочленов .
Какую	сумму	компания положила под 10 % годовых , а какую - под 6 % ? .
Составьте	сумму	А плюс В данных многочленов и запишите ее как многочлен стандартного вида .
На какую	сумму	будет ежемесячно уменьшаться первоначальная стоимость оборудования , если уменьшение должно происходить равномерно в течение 5 лет , а к концу 5-го года стоимость оборудования должна быть равна нулю ? .
732 Найдите	сумму	и разность многочленов Р и Q .
На какую	сумму	продали пончиков в течение этого дня ? .
Найдите	сумму	многочленов Р и Q и запишите получившийся многочлен в стандартном виде .
Братья договорились , что каждый из трех старших братьев возьмет себе по дому и заплатит за это младшим братьям некоторую	сумму	денег , которую они разделят между собой .
Можно ли набрать	сумму	1000 р . , если имеются купюры достоинством 10 р .
Найдите	сумму	многочленов Р и Q и запишите ее как многочлен стандартного вида .
Какую	сумму	получит вкладчик , разместивший на депозите 10000 рублей , через : 1 ) 3 месяца .
Найдите	сумму	многочленов Р , Q и R .
а ) Три человека разделили между собой некоторую	сумму	денег .
Ведь мы всегда можем записать	сумму	, разность , произведение и частное нескольких одночленов ( кроме деления на нулевой одночлен ) .
Какую	сумму	дополнительно внес вкладчик на счет в конце первого года ? .
Какую	сумму	потратило предприятие на закупку сырья в марте ? .
В конце первого года вкладчик дополнительно внес на счет некоторую	сумму	.
Затем она верно посчитала	сумму	номеров фотографий на 9 подряд идущих страницах своего альбома .
Ваня нашел эти листы и посчитал	сумму	номеров фото графий на вырванных листах .
рублей на срок 5 лет , с годовой процентной ставкой , равной 12 % , начисляемой ежегодно на первоначальную	сумму	кредита .
Затем она верно посчитала	сумму	номеров марок на 11 подряд идущих страницах своего альбома .
Свое доказательство мы основывали на том , что	сумму	трех последовательных натуральных чисел можно записать в виде .
б ) Какую	сумму	денежных средств нужно инвестировать в развитие производства , чтобы получить через 3 года доход в размере 227,5 тыс. рублей , если рентабельность инвестиций ( то есть ежегодный доход ) по данной инвестиции составляет 20 % ? .
Используя идею сложения многозначных чисел « в столбик » , предложите аналогичный способ сложения многочленов и найдите этим способом	сумму	А плюс В .
2 ) Какую	сумму	денег получили за продажу тостеров ? .
Чтобы умножить число на	сумму	, можно умножить это число на каждое из слагаемых этой суммы и полученные результаты сложить .
а ) Какую	сумму	денежных средств нужно положить в банк , чтобы получить через 2 года доход в размере 12 720 р . , если банк предлагает разместить вклады под 12 % годовых ? .
Найдите	сумму	всех полученных семи чисел , если шестое число оказалось равно 16 .
Найдите	сумму	этих чисел .
157 Найдите	сумму	и разность многочленов А и В. Запишите результат как многочлен стандартного вида .
В течение дня было продано тех и других пряников на одинаковую	сумму	.
Например , составим	сумму	многочленов а2 - 4аb плюс b2 и -а2 плюс 3аb и в полученной алгебраической сумме раскроем скобки .
Отец завещал трем своим сыновьям крупную	сумму	денег .
Какую	сумму	денег разделили ? .
323 Из некоторого натурального числа вычли	сумму	его цифр , затем в получен ном числе зачеркнули одну цифру .
Какую	сумму	денег завещал отец своим сыновьям , если младший получил 270 тыс. р . ? .
Найдите	сумму	многочленов Р , Q и R . а ) Мастерская по реставрации картин получила заказ от своего клиента .
Чтобы найти среднее арифметическое чисел , представленных в таблице , надо	сумму	этих чисел разделить на их количество .
Составьте	сумму	Р плюс ( -Q ) и разность Р - Q данных многочленов .
Найдите	сумму	многочленов .
Формула	суммы	кубов формула разности кубов .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень	суммы	чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
130 Известны формулы	суммы	квадратов n первых натуральных чисел , а также суммы их кубов .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата	суммы	чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Запишите произведение	суммы	а и b и неполного квадрата разности а и b как многочлен стандартного вида .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба	суммы	чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Таким образом , мы можем дать следующее определение	суммы	многочленов .
164 Представьте данный трехчлен в виде	суммы	и разности двух двучленов .
Полученные нами формулы	суммы	и разности кубов , как и все другие формулы сокращенного умножения , рассмотренные ранее , верны для любых а и b , а значит , являются тождествами .
После того как из кассы первого магазина взяли 20 тыс. рублей , а в кассу второго магазина , наоборот , доложили 20 тыс. рублей , оказалось , что количество денег в кассе второго магазина стало равно 5/7 от	суммы	денег в кассе первого магазина .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и	суммы	кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Мы умеем также упрощать алгебраические	суммы	, пользуясь законами арифметических действий .
436 Пользуясь формулами	суммы	и разности кубов , докажите , что для любых а и b верно равенство .
Для	суммы	квадратов мы получить формулу не смогли .
Тем самым получим формулу для	суммы	кубов .
Теперь , чтобы получить формулу разности кубов , заметим , что Выражение а2 плюс ab плюс b2 получило название неполного квадрата	суммы	а и b , так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения ab .
162 Выполните действия , записывая « в столбик » многочлены - слагаемые ( записанные в скобках ) данной алгебраической	суммы	.
В нашем арсенале формул сокращенного умножения уже есть формулы квадрата и куба	суммы	, квадрата и куба разности , а также формула разности квадратов .
Найдите эти числа , если известно , что третье число на 55 больше	суммы	всех остальных .
215 Профессор Спейс пообещал Драко открыть великую тайну , если тот составит чудесный квадрат размером 3 на 3 из чисел 1 , 0 , -1 так , чтобы все	суммы	по строкам , столбцам и большим диагоналям были различны .
4 При возведении в степень	суммы	( а плюс b)n поставить перед всеми одночленами знак « плюс » .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб	суммы	чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Предложите свой вариант определения	суммы	многочленов и сравните его с определением 1 на стр. 32 .
При раскрытии скобок каждое слагаемое алгебраической	суммы	, находящейся в скобках , умножится на ( -1 ) ( в соответствии с распределительным законом ) .
а ) Разностью двух чисел называется число , такое , что . б ) Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления	суммы	этих чисел на их количество .
А можно ли получить формулу для	суммы	и разности кубов ? .
сумма четырех последовательных целых чисел больше	суммы	наибольшего и наименьшего из этих чисел .
а ) куб	суммы	х и у .
а ) произведение квадрата	суммы	чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
130 Известны формулы суммы квадратов n первых натуральных чисел , а также	суммы	их кубов .
410 Вычислите , используя формулу квадрата	суммы	или квадрата разности .
377 381 Вычислите , используя формулу куба	суммы	или куба разности .
Формула квадрата	суммы	формула квадрата разности формула разности квадратов .
Таким образом , в результате нашего исследования нам удалось получить формулу	суммы	кубов двух выражений .
Формула куба	суммы	формула куба разности .
Формула	суммы	кубов .
Сумма кубов двух выражений равна произведению	суммы	этих выражений на неполный квадрат их разности .
квадрат	суммы	двух чисел ; 3 ) разность квадратов двух чисел ; 4 ) квадрат разности двух чисел .
куб	суммы	двух чисел .
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их	суммы	.
Известно , что разность между количеством значков и 40 % количества марок равна 60 % от	суммы	количества марок и 20 % количества значков .
И действительно , если нам надо будет , например , разложить на множители многочлен а3 плюс 3а2b плюс 3ab2 4- b3 , то , вспомнив формулу куба	суммы	, мы сразу напишем требуемое разложение .
Формулы куба	суммы	и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и выражений , не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных слагаемых .
в ) Модуль разности кубов а и b . г ) Разность модулей а и b . д ) Произведение модуля а и	суммы	b и с . е ) Частное модуля разности а и b и модуля -с . ж )
Произведение	суммы	квадратов b и с и модуля разности квадратов а и b . з ) Частное квадрата разности а и с и модуля разности квадратов а и b .
Так как 5 равно 1 плюс 4 , представим 5х3 в виде	суммы	подобных ему одночленов с коэффициентами 1 и 4 .
В этом случае можно попробовать представить какой - нибудь из его членов в виде	суммы	или разности нескольких подобных ему одночленов .
Представление члена многочлена в виде	суммы	или разности подобных ему членов .
Чтобы найти значение	суммы	, можно переместиться по числовой окружности от точки 5 на 2 единицы в направлении отсчета .
Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и	суммы	.
Значит , исходный многочлен можно записать в виде	суммы	двух выражений , каждое из которых имеет множителем трехчлен х2 плюс х плюс 1 .
Произведение разности двух выражений и их	суммы	равно разности квадратов этих выражений .
Формула произведения разности и	суммы	двух выражений .
Мы получили , что произведение разности двух выражений и их	суммы	равно разности квадратов этих выражений .
294 Вычислите , используя формулу квадрата	суммы	или квадрата разности .
657 а ) При каких значениях х произведение двучленов х плюс 3 и х минус 3 меньше	суммы	их квадратов на 28 ? .
Каждое из слагаемых полученной	суммы	имеет множитель х3 плюс 1 .
б ) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у плюс 5 и у минус 5 меньше	суммы	их квадратов на 9у ? .
Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления	суммы	этих чисел на их количество .
д ) квадрат суммы чисел 6 , r , s , t . е ) сумма квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень	суммы	чисел а , b и с . з ) сумма пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
Рассчитайте	суммы	, которые должны заплатить за горячую воду за июнь все жители этого дома , если известно , что семья из квартиры № 5 заплатила 1124 р .
а ) При каких значениях х произведение двучленов х плюс 4 и х минус 4 меньше	суммы	их квадратов на 52 ? .
б ) При каких значениях у удвоенное произведение двучленов у плюс 7 и 7 минус у меньше	суммы	их квадратов на 14у ! .
Что общего в формулах четвертой степени	суммы	и разности ? .
121 Запишите данные выражения в виде	суммы	одночленов .
Первый получил 4 часть этой	суммы	и еще 190 р . , второй — часть суммы и еще 170 р . , а третий — часть суммы и еще 160 р .
Первый получил 4 часть этой суммы и еще 190 р . , второй — часть	суммы	и еще 170 р . , а третий — часть суммы и еще 160 р .
Первый получил 4 часть этой суммы и еще 190 р . , второй — часть суммы и еще 170 р . , а третий — часть	суммы	и еще 160 р .
Первый заплатил половину	суммы	, заплаченной остальными .
Второй — треть	суммы	, заплаченной остальными .
Третий — четверть	суммы	, заплаченной остальными .
д ) квадрат	суммы	чисел 6 , r , s , t . е ) сумма квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы чисел а , b и с . з ) сумма пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
Четвертый — пятую часть	суммы	, заплаченной остальными , а пятый заплатил 450 р .
Заметим , что в последних трех слагаемых , если добавить к ним х и вынести за скобки 6 , « спрятана » формула квадрата	суммы	( х плюс 1)2 .
б ) разность квадратов двух рациональных чисел быть больше	суммы	квадратов этих чисел ? .
А если на множители надо разложить многочлен , то , зная формулу	суммы	кубов , мы запишем .
Известно , что разность между количеством клюшек и 20 % количества коньков равна 60 % от	суммы	количества коньков и 20 % количества клюшек .
569 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде	суммы	или разности подобных членов .
После вынесения за скобки числа 7 в скобках остается квадрат	суммы	двух выражений , а и 2b .
584 Запишите неполный квадрат	суммы	и неполный квадрат разности выражений а и b .
589 Разложите многочлен на множители , используя формулы квадрата	суммы	и разности .
590 Представьте выражение в виде произведения двух многочленов , используя формулы	суммы	и разности кубов .
591 Разложите многочлен на множители , используя формулы куба	суммы	и разности .
326 Представьте многочлен в виде произведения	суммы	и разности двух выражений .
Используя полученное равенство , сформулируйте сначала , как можно найти произведение	суммы	и разности двух выражений , а затем — как найти разность квадратов двух выражений .
Запишите произведение	суммы	и разности а и b как многочлен стандартного вида .
615 Разложите многочлен на множители , используя формулы квадрата	суммы	и квадрата разности .
в ) Существуют рациональные числа , квадрат	суммы	которых равен квадрату их разности .
Мы записали исходный многочлен в виде	суммы	двух выражении , каждое из которых имеет множитель у — 1 .
616 Представьте выражение в виде произведения двух многочленов , используя формулы	суммы	и разности кубов .
Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для	суммы	квадратов у нас нет формулы .
Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы ( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата	суммы	( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
Точно так же надо различать выражения для квадрата суммы ( а плюс b)2 и	суммы	квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
Точно так же надо различать выражения для квадрата	суммы	( а плюс b)2 и суммы квадратов а2 плюс b2 , ведь , в отличие от квадрата суммы ( а плюс b)2 , для суммы квадратов у нас нет формулы .
Если бы у нас имелись также слагаемые х2 и у4 , то , сгруппировав их , мы смогли бы применить формулу квадрата	суммы	.
а ) Квадрат	суммы	двух рациональных чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
А в скобках как раз окажется квадрат	суммы	х и у.
545 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде	суммы	или разности подобных членов .
Теперь в первом слагаемом применим формулу	суммы	кубов , а во втором — формулу квадрата суммы .
Теперь в первом слагаемом применим формулу суммы кубов , а во втором — формулу квадрата	суммы	.
Но формулы для	суммы	квадратов у нас нет , поэтому сразу разложить многочлен на множители нам не удастся .
Мы записали исходный многочлен в виде	суммы	выражений , каждое из которых имеет множитель х минус 1 .
Как и планировали , добавим к исходному многочлену и вычтем из него 4х2 , затем воспользуемся формулой квадрата	суммы	, а после этого применим формулу разности квадратов .
617 Разложите многочлен на множители , используя формулы куба	суммы	и разности .
253 Вычислите , используя формулу квадрата	суммы	или квадрата разности .
Приведем каждый из одночленов данной алгебраической	суммы	к стандартному виду и упростим полученное выражение .
После этого он добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х ) и , воспользовавшись формулой	суммы	квадратов , нашел корни уравнения .
Значение	суммы	не зависит от порядка действий : .
Полученные нами формулы квадрата	суммы	и квадрата разности для положительных значений а и b ( а больше b ) можно проиллюстрировать геометрически .
Этот же результат мы получим , если в формуле квадрата	суммы	заменим b на ( минус b ) .
Квадрат	суммы	двух выражений равен квадрату первого выражения , плюс удвоенное произведение первого и второго выражений , плюс квадрат второго выражения .
Известно , что разность между количеством велосипедов и 20 % количества мотоциклов равна 40 % от	суммы	количества мотоциклов и 50 % количества велосипедов .
Сформулируйте правила возведения в квадрат	суммы	и разности двух выражений и сравните свои формулировки с правилами на стр. 52 - 53 учебника .
Чтобы умножить число на сумму , можно умножить это число на каждое из слагаемых этой	суммы	и полученные результаты сложить .
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление значения многочлена свелось к нахождению алгебраической	суммы	его коэффициентов , а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену .
представление некоторого члена в виде	суммы	или разности .
Записываем уменьшаемое в виде суммы натуральных чисел от 5 до 1 , а вычитаемое - в виде	суммы	тех же чисел , взятых в обратном порядке .
3 Если несколько слагаемых алгебраической	суммы	имеют общий множитель , то его можно вынести за скобку .
Записываем уменьшаемое в виде	суммы	натуральных чисел от 5 до 1 , а вычитаемое - в виде суммы тех же чисел , взятых в обратном порядке .
Неполный квадрат . разности .	суммы	.
Значение	суммы	не зависит от порядка слагаемых .
Пользуясь правилами равносильных преобразований , мы можем упрощать не только алгебраические	суммы	, но и произведения .
3 Куб	суммы	и разности .
квадрата	суммы	. квадрата трехчлена .
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата	суммы	и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым умножением , возвести двучлен в куб , четвертую и более высокие степени .
куба	суммы	.
в ) квадрат	суммы	чисел c и d больше или равен 25 . г ) разность кубов чисел х и у меньше или равна 32 .
произведения разности и	суммы	двух выражений . разности квадратов . разности кубов .
	Суммы	кубов .
Для начала разберемся с кубом	суммы	и разности .
1 Квадрат	суммы	и разности .
Формула куба	суммы	.
Неудобство состоит лишь в том , что каждый раз мы должны записывать упрощаемое выражение в виде	суммы	, то есть заменять в нем вычитание некоторого числа прибавлением противоположного ему числа .
Куб	суммы	двух выражений равен кубу первого выражения , плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе , плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго , плюс куб второго выражения .
Заметим , что в формулах куба	суммы	и разности члены итогового многочлена принято записывать в специальном порядке .
411 Назовите слагаемые указанных алгебраических сумм и запишите эти	суммы	, ставя между слагаемыми знак « + » .
358 Представьте многочлен в виде произведения	суммы	и разности двух выражений .
Формула квадрата	суммы	.
В связи с этим формулы квадрата	суммы	и разности называют также формулами сокращенного умножения .
Нарисуйте квадрат с длиной стороны а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата суммы для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата	суммы	, выведите формулу квадрата разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
Нарисуйте квадрат с длиной стороны а плюс b и объясните геометрический смысл полученной вами формулы квадрата	суммы	для положительных а и b . 2 ) Используя полученную формулу квадрата суммы , выведите формулу квадрата разности а и b и объясните ее геометрический смысл при а больше b больше 0 .
Запишите квадрат	суммы	а и b как многочлен стандартного вида .
Найдите эти числа , если известно , что третье число на 36 больше	суммы	всех остальных .
Формулы квадрата	суммы	и разности хороши , в частности , тем , что позволяют сразу записать результат возведения в квадрат любого двучлена .
Какой процент составили расходы четвертого квартала от	суммы	всех расходов за год ?
а ) квадрат	суммы	а и b . б ) сумма квадратов а и b . в ) квадрат разности с и d . г ) разность квадратов c и d . д ) квадрат суммы х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
А вот при сложении и вычитании двух одночленов ситуация иная : одночлен в итоге может получиться лишь тогда , когда слагаемые составленной алгебраической	суммы	, записанные в стандартном виде , имеют одинаковую буквенную часть .
Отметим , что выносить за скобки можно не только одночлены , но и более сложные выражения , если они являются общими множителями всех слагаемых некоторой	суммы	.
Возведем число 10x плюс 5 в квадрат , используя формулу	суммы	квадратов .
а ) квадрат суммы а и b . б ) сумма квадратов а и b . в ) квадрат разности с и d . г ) разность квадратов c и d . д ) квадрат	суммы	х , у и z . е ) сумма квадратов х , у и z .
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з ) Куб	суммы	чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
Например , чтобы найти значение суммы 1 + 2 + 3 + .. + 1000 , мы не станем складывать подряд все числа от 1 до 1000 , а заметим , что	суммы	1 + 1000 , 2 + 999 , 3 + 998 и т.д. равны между собой и что имеется всего 500 таких сумм .
Например , чтобы найти значение	суммы	1 + 2 + 3 + .. + 1000 , мы не станем складывать подряд все числа от 1 до 1000 , а заметим , что суммы 1 + 1000 , 2 + 999 , 3 + 998 и т.д. равны между собой и что имеется всего 500 таких сумм .
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и	суммы	чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
С помощью формулы	суммы	квадратов мы можем также получить простейшее правило , которое без труда позволит возвести в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 .
Математика имеет целью найти общие методы для получения эффективных результатов в различных	сферах	человеческой деятельности .
Таким образом , правила равносильных преобразований позволяют не только упрощать выражения , но и доказывать тождества , некоторые из которых для алгебраических преобразований так же важны , как	таблица умножения	в вычислениях .
В данном случае упростить вычисления нам помогла	таблица умножения	и установленное нами правило умножения чисел , оканчивающихся нулями .
Совершенный образ истины - это	таблица умножения	, точная и достоверная , свободная от всех влияний времени .
С помощью логических рассуждений , называемых доказательствами , устанавливается справедливость всех остальных утверждений теории -	теорем	.
Метод доказательства математических	теорем	от противного весьма эффективен и очень распространен .
Если 9 математиков доказали 35 теорем , то хотя бы два математика доказали одинаковое число	теорем	.
Первую из этих	теорем	мы приведем без доказательства , так как для ее обоснования у нас пока недостаточно математических знаний , зато вторую — сможем доказать .
Более того , доказательство	теорем	1 - 9 из этого пункта для целых чисел проводится аналогично , а значит , все известные нам свойства делимости распространяются и на множество Z ( при условии , что делитель ) .
Для того чтобы ответить на этот вопрос , докажем несколько	теорем	.
В завершение выпишем все правила вычислений со степенями , которые следуют из доказанных нами	теорем	.
Если 9 математиков доказали 35	теорем	, то хотя бы два математика доказали одинаковое число теорем .
Однако данная	теорема	не позволяет сделать никаких выводов о втором уравнении , ведь его коэффициенты не удовлетворяют условию этой теоремы : НОД ( 4 ; 6 ) 2 , а число 9 не делится на 2 .
Так , упомянутая выше великая	теорема	Ферма была доказана с использованием именно такого метода .
Несмотря на то что эта	теорема	на первый взгляд кажется очевидной , ее доказательство достаточно непросто и не входит в программу нашего курса .
В этом случае на помощь приходит	теорема	2 .
Теорема 1 ( Основная	теорема	арифметики ) .
Упростить решение этой и многих других задач помогает так называемая основная	теорема	арифметики .
Так , справедлива следующая	теорема	.
Но данная	теорема	крайне важна , и мы будем пользоваться ею при решении практических за дач , помня , что в дальнейшем мы должны будем научиться ее доказывать .
Так называемая великая	теорема	Ферма была сформулирована Пьером Ферма еще в 1637 году , а доказана лишь в 1995 году английским математиком Эндрю Уайлсом , совершившим в процессе этого доказательства прорыв в теории чисел .
Можно доказать , что все полученные точки принадлежат некоторой прямой , то есть верна следующая	теорема	.
Ответ на эти вопросы дает следующая	теорема	.
Именно это и утверждает следующая	теорема	.
Следующая	теорема	доказывает , что если мы уже нашли несколько простых чисел , то всегда можно указать еще одно простое число .
Для любого целого , то указанная разность делится на m. Но тогда , по	теореме	1 , что и требовалось доказать . .
Значит , по	теореме	1 , существует такое целое .
Все указанные подмножества не пересекаются друг с другом , так как по	теореме	делимости при делении любого целого числа на 4 не может возникнуть два различных остатка ( единственность ) .
Следовательно , по	теореме	1,что и требовалось доказать . .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по	теореме	делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
Тогда , по	теореме	1 , существуют целые числа k и l , такие , что .
Последнее равенство означает , что разность делится на m. Значит , по	теореме	1 , что и требовалось доказать . .
Теоремы 2 и 3 доказываются аналогично	теореме	1 .
Следовательно , по	теореме	1 , п. 2.2.3 , они имеют одинаковые остатки при делении на m. Значит , что и требовалось доказать . .
Заметим , что 101 = 1 ( mod 9 ) , 102 = 1 ( mod 9 ) , и вообще , в соответствии с нашей	теоремой	, 10k = 1 ( mod 9 ) .
Воспользуемся	теоремой	3 , п. 2.2.3 .
С учетом новых определений докажите указанную	теорему	.
Понятие сравнения позволяет короче записать	теорему	1 .
С учетом новых определений докажите указанную	теорему	: .
Для обоснования этого утверждения рассмотрим две	теоремы	.
Из свойств делимости натуральных чисел и основной	теоремы	арифметики следует , что если в разложении числа на простые множители нет , например , числа 2 , то никакое число , кратное 2 , не может быть его делителем .
Новые утверждения (	теоремы	) доказываются только с помощью аксиом и ранее доказанных утверждений .
Доказательство данной	теоремы	будет получено позднее в курсе геометрии , пока нам для этого не хватает знаний .
Для доказательства	теоремы	выясним , какими свойствами обладают общие делители чисел а , b и чисел b , r . 1 ) Докажем сначала , что всякий общий делитель чисел а и b является одновременно делителем числа r .
В силу доказанной выше	теоремы	и определения НОД .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел (	теоремы	о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
Прежде чем описать данный способ , рассмотрим две	теоремы	, которые позволяют сразу же определить , имеет ли целые корни уравнение вида , где a , b , с е Z , или не имеет .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству	теоремы	о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
Однако данная теорема не позволяет сделать никаких выводов о втором уравнении , ведь его коэффициенты не удовлетворяют условию этой	теоремы	: НОД ( 4 ; 6 ) 2 , а число 9 не делится на 2 .
Теперь на основании	теоремы	2 , не решая уравнение , мы можем утверждать , что оно не имеет целых решений .
С помощью данной	теоремы	удобно определять , сравнимы ли числа а и b по не которому модулю .
По условию	теоремы	.
Доказательство этой	теоремы	не входит в содержание нашего курса .
С помощью этой	теоремы	легко доказать признак делимости на 9 , который мы ранее использовали , но общее доказательство не приводили .
Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию	теоремы	1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое число , делится на 1 .
Из основной	теоремы	арифметики следует важный вывод о том , что различные представления одного и того же составного числа в виде произведения простых чисел связаны только с различием в порядке множителей .
Наука , изучающая случайные события и закономерности их поведения , называется	теорией вероятностей	.
Элементы	теории вероятностей	. 1 .
Такие опыты в	теории вероятностей	называются испытаниями , а результаты этих испытаний — исходами .
Например , с точки зрения	теории вероятностей	, шахматная партия — это испытание , результат партии ( выигрыш , проигрыш или ничья ) — это исход , а наш выигрыш — это благоприятный для нас исход .
Андрей Николаевич Колмогоров ( 1903 - 1987 ) , русский математик , один из основоположников современной	теории вероятностей	.
Так , в III веке новой эры появляется сочинение « Арифметика » александрийского математика Диофанта , которое становится поворотным пунктом в развитии алгебры и	теории чисел	.
В центре	теории чисел	лежит изучение свойств делимости натуральных чисел .
Никакая другая отрасль	теории чисел	не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых чисел , этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят делиться нацело ни на какое целое число за исключением себя и единицы .
Чарующая красота	теории чисел	придала арифметике ту волшебную прелесть , которая сделала ее любимой наукой величайших геометров .
А единица и натуральное число относятся к первоначальным понятиям	теории чисел	.
Время показало возрастающую прикладную роль	теории чисел	.
Так называемая великая теорема Ферма была сформулирована Пьером Ферма еще в 1637 году , а доказана лишь в 1995 году английским математиком Эндрю Уайлсом , совершившим в процессе этого доказательства прорыв в	теории чисел	.
Глава 7 Введение в комбинаторику ,	теорию вероятностей	и статистику .
Это стимулировало математиков развивать	теорию чисел	, детально изучающую их свойства .
Начиная когда - то с простой повседневной потребности в счете , сейчас	теория чисел	помогает в решении таких актуальных проблем , как , например , повышение быстродействия компьютеров .
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений выражений , решении уравнений и неравенств , доказательстве	тождеств	.
467 Найдите допустимые значения переменных и докажите	тождества	.
481 Найдите допустимые значения переменных и докажите	тождества	.
504 Найдите допустимые значения переменных и докажите	тождества	.
Таким образом , правила равносильных преобразований позволяют не только упрощать выражения , но и доказывать	тождества	, некоторые из которых для алгебраических преобразований так же важны , как таблица умножения в вычислениях .
В	тождествах	с переменными вместо знака часто используют знак для того чтобы подчеркнуть , что данное равенство верно при всех значениях переменных .
656 Докажите	тождество	при х у .
652 Докажите	тождество	.
303 Докажите	тождество	.
646 Докажите	тождество	.
397 Какие многочлены можно поставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
459 Докажите	тождество	.
115 Какие одночлены надо подставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
392 Докажите	тождество	.
105 Какие одночлены надо подставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
597 Докажите	тождество	.
Какое выражение нужно подставить вместо А , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
573 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
225 Докажите	тождество	.
334 Докажите	тождество	.
363 Докажите	тождество	.
Найдите допустимые значения переменных и докажите	тождество	.
167 Какие многочлены можно подставить вместо А и В , чтобы получилось	тождество	? .
552 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
547 Докажите	тождество	.
188 Докажите	тождество	.
450 При допустимых значениях переменных докажите	тождество	.
603 Какие многочлены можно поставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
395 Докажите	тождество	.
270 Найдите значение выражения х2 плюс если известно , что . 271 Какие выражения можно поставить вместо А к В , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
778 Какие многочлены можно поставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
742 Докажите	тождество	.
274 Докажите	тождество	.
486 Какой одночлен надо поставить вместо А , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
265 Докажите	тождество	.
423 Какие многочлены можно поставить вместо А и В , чтобы равенство превратилось в	тождество	? .
471 Какой одночлен можно подставить вместо А , чтобы получившееся равенство стало	тождеством	? .
Значит , указанная формула всегда верна и является , по сути ,	тождеством	. .
773 Какие одночлены можно поставить вместо А , В , С и D , чтобы каждое из равенств стало	тождеством	? .
Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся равенство стало	тождеством	? .
385 Какие одночлены можно подставить вместо А , В , С и D , чтобы получившееся равенство стало	тождеством	? .
323 Какой одночлен можно подставить вместо А , чтобы получившееся равенство стало	тождеством	? .
2 ) Если k 0 , то уравнение kx -b равносильно уравнению , которое при b 0 не имеет решений , а при b 0 становится	тождеством	( то есть его решением является любое число ) .
745 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся равенство стало	тождеством	? .
356 Какой одночлен можно подставить вместо А , чтобы получившееся равенство стало	тождеством	? .
440 Какой одночлен можно подставить вместо А , чтобы получившееся равенство стало	тождеством	? .
457 Какими многочленами можно заменить А , В , С и D , чтобы равенство стало	тождеством	? .
255 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся равенство стало	тождеством	? .
Если равенство верно при любых значениях входящих в него букв или если это верное числовое равенство , то его называют	тождеством	.
295 Какие одночлены можно подставить вместо А , В и С , чтобы получившееся равенство стало	тождеством	? .
При этом данное равенство будет верно при подстановке в него вместо а и b любых чисел и выражений , то есть оно является	тождеством	.
45 Замените букву х выражением так , чтобы полученное равенство стало	тождеством	.
Выполните классификацию множества	точек	Т по их принадлежности квадрантам координатной плоскости .
704 На координатной плоскости Oxy изобразите множество	точек	, удовлетворяющих неравенствам .
Проведите ломаную ABCDEFGH и определите координаты	точек	ее пересечения с осями координат Ох и Оу . д ) Как , не выполняя построения , по координатам точки определить , принадлежит ли она оси координат , и если да , то какой ? .
На этой модели мы будем отмечать лишь взаимное расположение интересующих нас	точек	относительно друг друга и не будем фиксировать точные координаты данных точек .
На этой модели мы будем отмечать лишь взаимное расположение интересующих нас точек относительно друг друга и не будем фиксировать точные координаты данных	точек	.
718 На координатной плоскости Oxy изобразите множество	точек	, удовлетворяющих неравенствам .
Изобразите на координатной плоскости множество	точек	, координаты которых удовлетворяют равенству .
Не выполняя построение графика функции , найдите координаты его	точек	пересечения с осями координат Ох и Оу .
767 На координатной плоскости Oxy изобразите множество	точек	, удовлетворяющих неравенствам .
Определите координаты	точек	, симметричных данным точкам , относительно координатных осей и центра координат и постройте их в той же системе координат .
б ) Множество	точек	координатной плоскости Т состоит из элементов .
230 Изобразите на координатной плоскости Oxy множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
Определите координаты	точек	.
Какое минимальное количество	точек	нужно отметить на координатной плоскости для построения графика прямой пропорциональности ?
240 Изобразите на координатной прямой Ох множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
229 Изобразите на координатной прямой Ох множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
628 На координатной плоскости Oxy постройте множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
На координатной плоскости Оху изобразите множество	точек	, удовлетворяющих неравенству .
609 На координатной плоскости Oxy постройте множество	точек	, заданных таблицей .
608 На координатной плоскости Oxy постройте множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
На координатной плоскости Оху изобразите множество	точек	, удовлетворяющих неравенствам .
241 Изобразите на координатной плоскости Oxy множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
На координатной плоскости Оху постройте множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенствам .
Как с помощью модуля можно записать расстояние от	точек	А и Б до начала координат ? .
Количество вариантов равно количеству	точек	в последней строке .
Не выполняя построение графика функции , найдите координаты его	точек	пересечения с осями координат Ох и Оу и после этого постройте график .
785 Изобразите на координатной прямой Ox множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
Постройте ломаную ABCD и найдите приблизительные координаты	точек	ее пересечения с осями Ох и Оу .
Выполните предыдущее задание для	точек	.
{ -12 ; -6 } . 1 ) Найдите расстояние от начала координат О до	точек	А и Б координатной прямой .
Построенные таким образом точки плоскости образуют множество	точек	, называемое графиком функции .
Определите , какие из	точек	А , В , С и D принадлежат графику функции .
370 Изобразите на координатной прямой Ох множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
351 Изобразите на координатной прямой Ox множество	точек	, координаты которых удовлетворяют неравенству .
4 Запишем координаты	точек	, принадлежащих графику функции s ( t ) .
Множество	точек	числовой прямой .
Записать выбранные значения х и вычисленные значения у как упорядоченные пары — координаты	точек	, принадлежащих графику .
4 Запишем координаты	точек	, принадлежащих графику функции .
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая точка ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая	точка	ему принадлежит ) .
На этой прямой каждому целому числу поставлена в соответствие определенная	точка	.
Заметим , что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков , их обозначение : знаки обозначают соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность , круглая скобка говорит о том , что числовой промежуток является открытым ( соответствующая	точка	ему не принадлежит ) , а квадратная — о том , что он замкнутый ( соответствующая точка ему принадлежит ) .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится	точка	, координата которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции .
Определите координаты точек , симметричных данным	точкам	, относительно координатных осей и центра координат и постройте их в той же системе координат .
г ) Четные числа - это натуральные числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя	точками	.
220 Запишите с помощью модуля расстояние между	точками	числовой прямой с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
213 Запишите с помощью модуля расстояние между	точками	числовой прямой с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
Запишите с помощью знака модуля расстояние между	точками	А и Б и вычислите его .
Найдите ее значение в	точках	Составьте таблицу значений функции .
Вычислите ее значения в	точках	26 , 70 , -1 , 12 , -8 .
Найдите ее значения в	точках	x1 , х2 и х3
В каких	точках	этот график пересекает ось абсцисс , ось ординат ?
Найдите ее значение в	точках	.
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в	точках	x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Определите их значения в	точках	хг х2 и х3 . а ) Всем четным числам поставлено в соответствие число 3 , а всем нечетным числам — число ( -3 ) .
В	точках	с какими координатами этот график пересекает ось абсцисс , ось ординат ?
3 Вычислим значения функции s(t ) в выбранных	точках	.
Чему равна средняя стоимость 1 кг картофеля в этих 15 торговых	точках	города N ? .
Найдите ее значение в	точках	х1 , х2 и х3 .
Найденная ордината будет равна значению функции в	точке	х. Например , на графике , представленном выше .
2 ) Ау , симметричной точке А относительно оси ординат Оу . 3 ) А0 , симметричной	точке	А относительно начала координат О .
Используя график функции , найти ее значение в некоторой	точке	х можно следующим образом .
Ах , симметричной	точке	А относительно оси абсцисс Ох .
Действительно , найдем значение этих функций в произвольной	точке	х0 .
2 ) Ау , симметричной	точке	А относительно оси ординат Оу . 3 ) А0 , симметричной точке А относительно начала координат О .
если . Принадлежат ли графику функции	точки	А я В , если .
215 Известно , что	точки	А и В имеют соответственно координаты ( -2 ) и 16 .
Это прямая , проходящая через	точки	с координатами ( 0 ; 0 ) и ( 2 ; 1 ) .
На одной координатной плоскости Оху постройте графики линейных функций и найдите координаты их	точки	пересечения .
Таким образом , ордината любой	точки	В графика единицы больше , чем ордината точки А графика с той же абсциссой х0 .
Соедините все построенные	точки	так , чтобы получилась симметричная фигура .
Найдите координату	точки	С если известно , что .
5 Построим на координатной плоскости Ost полученные	точки	.
Проведите ломаную ABCDEFGH и определите координаты точек ее пересечения с осями координат Ох и Оу . д ) Как , не выполняя построения , по координатам	точки	определить , принадлежит ли она оси координат , и если да , то какой ? .
Таким образом , ордината любой точки В графика единицы больше , чем ордината	точки	А графика с той же абсциссой х0 .
Не выполняя построения , определите , какому квадранту принадлежит каждый элемент множества Т. Постройте данные	точки	и проверьте свой ответ .
Значит , как и в случае прямой пропорциональности , для его построения нам достаточно найти лишь две	точки	, принадлежащие этому графику .
Как по координатам	точки	, не выполняя построений , определить , какому квадранту она принадлежит ? .
6 Для каждого числового промежутка проводим через построенные две	точки	соответствующую часть прямой — график функции s ( t ) на этом промежутке .
Постройте	точки	Ах , А и А0 . б )
5 Построим на координатной плоскости Оху полученные	точки	.
Прямая проходит через	точки	А и В. Задайте аналитически линейную функцию , графиком которой является эта прямая , и постройте ее график .
Найдем две	точки	, принадлежащие графику функции .
260 Постройте на плоскости прямоугольную систему координат Оху и отметьте	точки	с координатами .
Значит , указанный график проходит через	точки	с координатами ( 0 ; -1 ) и ( 3 ; -2 ) .
Построим эти две	точки	и проведем через них прямую .
6 Через	точки	А и В провести прямую .
271 а ) Постройте на плоскости прямоугольную систему координат и отметьте	точки	с координатами А ( 2 ; 5 ) , В ( 5 ; -5 ) , С ( -4 ; 5 ) , D ( -5 ; -7 ) , Е ( 4 ; 8) , F ( -4 ; -5 ) .
6 Для каждого числового промежутка проводим через две	точки	часть прямой — график на этом промежутке .
Построить на координатной плоскости Оху полученные	точки	.
5 Определить ординату этой	точки	пересечения .
Затем отметим	точки	с вычисленными координатами ( x ; у ) на координатной плоскости Оху .
Можно доказать , что все полученные	точки	принадлежат некоторой прямой , то есть верна следующая теорема .
Так как график прямой пропорциональности — это прямая , а через две различные	точки	можно провести ровно одну прямую , то для построения графика функции нам достаточно найти лишь две точки , принадлежащие этой прямой .
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции	точки	А и .
Так как график прямой пропорциональности — это прямая , а через две различные точки можно провести ровно одну прямую , то для построения графика функции нам достаточно найти лишь две	точки	, принадлежащие этой прямой .
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику функции	точки	А и В , если .
Известно , что	точки	А и В имеют соответственно координаты ( -9 ) и 18 .
Найдите координату	точки	С , если известно , что .
Принадлежат ли графику кусочно - линейной функции	точки	А и В , если .
3 Отметить найденные корни уравнений на « упрощенной » модели числовой прямой и определить непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные	точки	разбивают числовую прямую .
Например , с	точки	зрения теории вероятностей , шахматная партия — это испытание , результат партии ( выигрыш , проигрыш или ничья ) — это исход , а наш выигрыш — это благоприятный для нас исход .
5 Через	точки	О и А провести прямую .
Построенные таким образом	точки	плоскости образуют множество точек , называемое графиком функции .
в ) Модулем числа а называется расстояние от	точки	, соответствующей данному числу на числовой прямой , до 0 .
Например , в классической геометрии основными понятиями являются понятия	точки	, прямой и плоскости .
Чтобы найти значение суммы , можно переместиться по числовой окружности от	точки	5 на 2 единицы в направлении отсчета .
Найдите координату	точки	С , если известно .
если . Принадлежат ли графику функции	точки	А и В , если .
384 Известно , что	точки	А и В имеют координаты ( -5 ) и 16 .
Для каждого числового промежутка провести через построенные	точки	, соответствующую часть прямой — график на этом промежутке .
Какие	точки	лучше взять ? .
Найдите три	точки	, принадлежащие графику функции , координаты которых являются целыми числами .
Представьте теперь , что положительная часть числовой прямой как бы намотана на циферблат часов так , что	точки	0 , 12 , 24 , .. совпадают .
Аналогичным образом изображаются числа , сравнимые по любому модулю m , только окружность делится соответственно на m равных частей , и около каждой	точки	деления против часовой стрелки последовательно расставляются возможные значения остатков : 0 , 1 , 2 , .. , m - 1 .
Например , при сравнении по модулю 12 числа 0 , 12 , 24 , .. должны изображаться одной	точкой	.
11 , то каждое целое число сравнимо с одним из них и , следовательно , будет представлено соответствующей	точкой	данной окружности .
Обычно выбирают одну	точку	с абсциссой 0 , а вторую — произвольно , с учетом удобства вычислений , например .
4 Провести через найденную	точку	пересечения прямую , параллельную Ох .
4 Отметить на координатной плоскости Оху	точку	А с координатами у , ) .
5 Отметить на координатной плоскости Оху	точку	В с координатами ( х2 ; у2 ) .
3 Найти	точку	пересечения этой прямой с графиком функции .
График прямой пропорциональной зависимости проходит через точку А. Проходит ли он через	точку	В ? .
Например , чтобы построить график функции , можно взять значение , найти соответствующее значение , а затем провести прямую через полученную	точку	( 4 ; -2 ) и начало координат .
График функции всегда проходит через начало координат —	точку	О ( 0 ; 0 ) .
Следовательно , чтобы построить график , нам надо найти еще лишь одну	точку	, принадлежащую этому графику .
Прямая проходит через начало координат и	точку	А. Является ли эта прямая графиком функции , если .
1 Отметить на координатной плоскости Оху	точку	О с координатами ( 0 ; 0 ) .
4 Отметить на координатной плоскости Оху	точку	А с координатами ( x1 ; у1 ) .
Через какую общую	точку	проходят все их графики ? .
Определите коэффициент пропорциональности функции , проходящей через	точку	А. Опишите расположение ее графика в координатной плоскости .
При организации эстафеты	точку	старта и финиша решили разместить в одном месте , а длину каждого этапа сделать равной 150 м .
График прямой пропорциональности проходит через	точку	А(р ; q ) .
Определите коэффициент пропорциональности функции , проходящей через	точку	А. В каких координатных четвертях расположен ее график ? .
График прямой пропорциональности проходит через	точку	А ( р ; q ) .
График прямой пропорциональной зависимости проходит через	точку	А. Проходит ли он через точку В ? .
Определите , не строя график функции , проходит ли он через	точку	А .
Постройте на одной координатной плоскости графики функций , два графика прямой пропорциональности , один из которых проходит через точку А , а другой — через	точку	В.
Постройте на одной координатной плоскости графики функций , два графика прямой пропорциональности , один из которых проходит через	точку	А , а другой — через точку В.
При каких значениях b график функции проходит через данную	точку	? .
Так как дни недели повторяются каждые 7 дней , то , выбрав	точку	отсчета , мы можем каждому целому числу , а поставить в соответствие день недели , определяемый как остаток от деления а на 7 .
Примем за	точку	отсчета 1 сентября 2010 года и , так как это была среда , сопоставим дням недели следующие числа .
При каких значения b график функции проходит через	точку	А ? .
Не строя графика функции , определите , проходит ли он через	точку	А .
Не строя график функции , определите , проходит ли он через	точку	А .
261 а ) В прямоугольной системе координат Оху постройте	точку	А ( 2 ; 5 ) .
Правила равносильных преобразований уравнений основываются на известных нам общих свойствах равенств — рефлексивности , симметричности и	транзитивности	— и правилах преобразований числовых равенств ( правилах « весов » ) .
Тогда , на основании свойств симметричности и	транзитивности	, если некоторое число сравнимо с одним из этих чисел , значит , оно сравнимо и с другим из них , что и требовалось доказать .
Как следует распределить между первым и вторым путниками орехи , подаренные третьим , чтобы взнос каждого из путников в совместную	трапезу	был одинаковым ? .
Первый магазин купил книги в упаковках по 20 штук , второй — в упаковках по 15 штук , а	третий	— в упаковках по 35 штук .
Первый магазин купил банки в упаковках по 60 штук , второй - в упаковках по 70 штук , а	третий	- в упаковках по 15 штук .
В первый филиал мука поступила расфасованной в мешки по 30 кг , во второй - по 25 кг , а в	третий	- по 35 кг .
В итоге такого расселения в первой комнате оказалось два человека ,	третий	турист был помещен во второй комнате , четвертый - в третьей и так до одиннадцатого туриста , помещенного в десятой комнате .
Объединим первый и	третий	члены исходного многочлена в одну группу , а второй , четвертый и пятый — в другую и вынесем в каждой группе за скобки общий множитель .
Первый киоск заказал журналы в упаковках по 14 штук , второй — в упаковках по 21 штуке ,	третий	— в упаковках по 42 штуки , а четвертый — в упаковках по 28 штук .
Известно , что до этого момента первый обогнал второго 1 раз , второй обогнал третьего 3 раза , а	третий	обогнал четвертого 2 раза .
А когда	третий	л первого , второй отставал от них на 3 км .
На сколько километров первый обогнал второго в тот момент , когда второго бегуна догнал	третий	? .
з ) В произведении трех чисел первый множитель увеличили на 40 % , второй уменьшили на 65 % , а	третий	увеличили на 20 % .
Второй взял 200 золотых монет и десятую часть остатка ,	третий	— 300 золотых монет и десятую часть остатка , и так до последнего .
В момент , когда первый и второй бегун были в одном месте ,	третий	отставал от них на 6 км .
В	третий	день он опять прошел третью часть уже нового остатка пути .
Первый биатлонист этой команды прошел дистанцию за х мин , второй - на 10 мин медленнее первого ,	третий	- на 6 мин быстрее второго , а четвертый - на 15 мин быстрее третьего .
Первый получил 4 часть этой суммы и еще 190 р . , второй — часть суммы и еще 170 р . , а	третий	— часть суммы и еще 160 р .
в ) В произведении трех чисел первый множитель уменьшили на 20 % , второй увеличили на 65 % , а	третий	уменьшили на 30 % .
з ) В произведении трех чисел первый множитель увеличили на 20 % , второй уменьшили на 25 % , а	третий	увеличили на 10 % .
г ) В произведении трех чисел первый множитель увеличили на 30 % , второй увеличили на 45 % , а	третий	уменьшили на 50 % .
Например , в первую группу объединим первый и второй члены многочлена , а во вторую —	третий	и четвертый ( при этом если перед вторыми скобками мы поставим знак « минус » , то не забудем поменять знаки слагаемых в скобках на противоположные ) .
В этом случае следует сначала умножить первый многочлен на второй , затем полученное произведение умножить на	третий	многочлен и т .
В другой раз резервуар наполняли иначе : в течение первых 2 часов работали все три насоса , а затем	третий	насос выключили .
За обед	третий	путник заплатил двум другим 20 монет .
Сначала резервуар наполняли следующим образом : в течение первых трех часов работали только первый и	третий	насосы , а затем был включен и второй насос .
В этом состоит	третий	этап математического моделирования .
Первый и последний шаги преобразований выполнены на основе правил арифметических действий с рациональными числами , второй шаг - на основе правила равносильных преобразований 1 , а	третий	- на основе правила 3 .
Как надо изменить	третий	множитель , чтобы произведение не изменилось ? .
Во второй день они прошли на 4,54 км меньше , чем в первый , а в	третий	день - на 5,61 км больше , чем в первый .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и	третий	члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Первый насос может наполнить этот резервуар за 12 часов , второй — за 15 часов , а	третий	— за 20 часов .
а ) произведение первого и третьего из них равно (-8 ) , второе число на 5 меньше первого , а	третье	— на 2 больше произведения первого и второго из загаданных чисел .
б ) произведение первого и третьего из них равно 32 , второе загаданное число на 2 больше первого , а	третье	— на 16 меньше произведения первого и второго чисел . .
Первое изобретение дает 40 % экономии топлива , второе — еще 35 % , а	третье	— дополнительно к первым двум еще 25 % экономии .
Теперь в первую группу объединим первые два слагаемых , а во вторую —	третье	и четвертое , после чего вынесем в каждой из групп общие множители .
Найдите эти числа , если известно , что	третье	число на 55 больше суммы всех остальных .
Мы замечаем , что в каждом из этих случаев итоговый многочлен состоит из трех слагаемых , два из которых — квадраты членов исходного двучлена , а	третье	равно удвоенному произведению этих членов .
а ) произведение первого и третьего из них равно 63 , второе загаданное число на 7 больше первого , а	третье	— на 9 меньше произведения первого и второго чисел .
Второе место заняли часть всех участников , а	третье	часть .
Так , если сегодня , например , первое мая , то мы можем с абсолютной уверенностью сказать , что завтра будет второе мая , а послезавтра —	третье	мая .
Разбейте число 168 на три не равных друг другу натуральных слагаемых так , чтобы сумма любых двух этих слагаемых делилась на	третье	.
Тогда второе рациональное число равно х плюс 6 , а	третье	равно х(х плюс 6 ) плюс 11 .
Известно , что второе загаданное число на б больше первого , а	третье	— на 11 больше произведения первого и второго чисел .
Оставшиеся первое и	третье	слагаемые имеют общий множитель х.
Четвертое число получили , сложив второе и	третье	.
Найдите эти числа , если известно , что	третье	число на 36 больше суммы всех остальных .
Второе загаданное число на 5 больше первого , а	третье	— на 4 меньше произведения первого и второго чисел .
Теперь сгруппируем второе и	третье	слагаемое , они имеют общий множитель ах .
б ) произведение первого и третьего из них равно 2 , второе число на 2 больше первого , а	третье	— на 1 меньше произведения первого и второго из загаданных чисел .
Первый бегун пробежал свою часть дистанции на 3 с быстрее второго , второй - на 2,1 с медленнее	третьего	, а четвертый - на 1,6 с медленнее первого .
Найдите длину ломаной ABEFD . б ) Величина первого утла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше	третьего	.
в ) Из четырех чисел первые три относятся как 0,5 : 0,3 : 2 , а четвертое составляет 15 %	третьего	.
Величина первого угла треугольника на 40 ° меньше второго и в три раза больше	третьего	.
б ) Первый угол треугольника на 30 ° больше второго и в три раза меньше	третьего	.
459| На полу площадью 12 м2 лежат три ковра , площадь первого из них равна 5 м2 , площадь второго - 4 м2 , а	третьего	- 3 м2 .
714 Найдите загаданные рациональные числа , если известно , что произведение первого и	третьего	из них равно 20 .
Также известно , что сумма первого и	третьего	углов равна 120 ° .
Расстояние от первого филиала до второго равно 585 км , от второго до третьего — 916 км , от	третьего	до четвертого — 1154 км , от четвертого до пятого — 517 км , а от пятого до шестого — 2516 км .
б ) Первый угол треугольника на 30 ° меньше второго и в четыре раза меньше	третьего	.
Известно , что до этого момента первый обогнал второго 1 раз , второй обогнал	третьего	3 раза , а третий обогнал четвертого 2 раза .
Величина первого угла треугольника на 10 ° больше второго и в два раза меньше	третьего	.
Расстояние от первого филиала до второго равно 585 км , от второго до	третьего	— 916 км , от третьего до четвертого — 1154 км , от четвертого до пятого — 517 км , а от пятого до шестого — 2516 км .
Произведение первого и	третьего	из них равно ( -6 ) .
Мы зафиксировали , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго и в три раза меньше третьего , сумма первого и	третьего	углов равна 120 ° и что заданная фигура — треугольник .
а ) Расстояние AD между началом и концом ломаной ABEFD равно 76 см. Известно , что длина первого звена ломаной в 4 раза меньше AD , второго - на 10 см меньше , чем первого , третьего - на 12 см больше , чем второго , а четвертого - на 9 см меньше , чем	третьего	.
Первый биатлонист этой команды прошел дистанцию за х мин , второй - на 10 мин медленнее первого , третий - на 6 мин быстрее второго , а четвертый - на 15 мин быстрее	третьего	.
Величина первого угла треугольника равна , а	третьего	угла .
Мы зафиксировали , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго и в три раза меньше	третьего	, сумма первого и третьего углов равна 120 ° и что заданная фигура — треугольник .
а ) произведение первого и	третьего	из них равно (-8 ) , второе число на 5 меньше первого , а третье — на 2 больше произведения первого и второго из загаданных чисел .
Первое число на 36 больше второго , а второе в 2,5 раза больше	третьего	.
б ) произведение первого и	третьего	из них равно 2 , второе число на 2 больше первого , а третье — на 1 меньше произведения первого и второго из загаданных чисел .
Дело в том , что по закону исключенного	третьего	из двух утверждений и одно истинно , а другое - ложно .
Найдите углы этого треугольника , если сумма первого и	третьего	углов равна 120 ° .
б ) Величина первого угла треугольника на 30 градусов меньше второго , а длина	третьего	— в 4 раза больше , чем второго .
311 Площади лесных участков номер 1 , 2 и 3 относятся соответственно как , причем площадь	третьего	участка на 135 га меньше площади первого .
Известно , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго , но в три раза меньше	третьего	, а сумма первого и третьего углов равна 120 ° .
Известно , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго , но в три раза меньше третьего , а сумма первого и	третьего	углов равна 120 ° .
У	третьего	бутербродов не было , поэтому он подарил первым двум за съеденные им бутерброды 36 орехов .
Первый угол треугольника на 20 ° больше второго , но в три раза меньше	третьего	угла .
По условию , сумма первого и	третьего	углов равна 120 ° , значит .
а ) Из четырех чисел первые три относятся как 1,4 : 2,6 : 7 , а четвертое составляет 25 %	третьего	.
б ) произведение первого и	третьего	из них равно 32 , второе загаданное число на 2 больше первого , а третье — на 16 меньше произведения первого и второго чисел . .
Величина первого угла треугольника на 10 ° больше величины второго и на 10 ° меньше величины	третьего	.
Величина первого угла треугольника на 30 ° больше второго и на 60 ° меньше	третьего	.
а ) произведение первого и	третьего	из них равно 63 , второе загаданное число на 7 больше первого , а третье — на 9 меньше произведения первого и второго чисел .
а ) Расстояние AD между началом и концом ломаной ABEFD равно 76 см. Известно , что длина первого звена ломаной в 4 раза меньше AD , второго - на 10 см меньше , чем первого ,	третьего	- на 12 см больше , чем второго , а четвертого - на 9 см меньше , чем третьего .
Проведите 40 испытаний и внесите результаты проведенных испытаний в таблицу , в первой строке которой укажите все возможные исходы , во второй — общее количество проведенных испытаний , в	третьей	— количество испытаний , завершившихся указанным исходом , а в четвертой строке вычислите с точностью до сотых частоту появления каждого исхода ( используйте калькулятор ) .
В каждой строке этого треугольника , начиная с	третьей	, между единицами находятся числа , равные сумме двух расположенных над ним чисел .
Вторая цифра этого числа в 2 раза больше первой , третья — в 4 раза больше первой , а четвертая — на 3 больше	третьей	.
Известно , что во второй коробке пирожных оказалось в 2 раза больше , чем в первой , и на 2 больше , чем в	третьей	.
В итоге такого расселения в первой комнате оказалось два человека , третий турист был помещен во второй комнате , четвертый - в	третьей	и так до одиннадцатого туриста , помещенного в десятой комнате .
больше , чем во втором , в	третьем	— в 1,5 раза больше , чем во втором , а в четвертом была равна среднему арифметическому выручки первых трех кварталов .
Во втором квартале было выпущено на 54 автомобиля меньше , чем в третьем , а в четвертом квартале - в 2 раза больше , чем в	третьем	.
На первом , втором и	третьем	участках вырубили соответственно 15 % , 10 % и 5 % от их площади .
Если на втором месте стоит цифра 2 , то на	третьем	месте могут стоять только цифры 3 и 4 , а на четвертом , соответственно , цифры 4 и 3 .
Известно , что в первом подъезде живет на 12 человек больше , чем во втором , и на 15 человек меньше , чем в	третьем	.
Сколько различных последовательностей чисел могло быть в результате этого получено , если при	третьем	броске всегда выпадает число 4 ? .
Во втором квартале было выпущено на 54 автомобиля меньше , чем в	третьем	, а в четвертом квартале - в 2 раза больше , чем в третьем .
меньше , чем в первом , а в	третьем	- в 1,5 раза больше , чем в первом .
больше , чем во втором , в	третьем	- в 2,5 раза больше , чем во втором , а в четвертом была равна среднему арифметическому выручки первых трех кварталов .
В первом столбце таблицы укажите все возможные исходы , во втором — общее количество проведенных испытаний , в	третьем	— количество испытаний , завершившихся указанным исходом , а в четвертом столбце вычислите с точностью до сотых частоту появления каждого исхода ( используйте калькулятор ) .
На первом из этих домов находится табличка « Винни - Пух » , на втором — « Сова » , а на	третьем	— « Винни - Пух или Пятачок » .
Мы уже встречались с подобной ситуацией , когда говорили о том , что в математике одни понятия определяются через другие , другие через	третьи	и т .
Учитель физики высказал пожелание , чтобы его урок был вторым или	третьим	.
Например , в рассмотренном нами многочлене можно было сгруппировать первый член с	третьим	, а второй — с четвертым .
Учитель информатики попросил , чтобы его урок был	третьим	или пятым .
Учитель биологии высказал пожелание , чтобы его урок был	третьим	или четвертым .
Так , если в рассмотренном нами примере сгруппировать первый член с четвертым , а второй — с	третьим	, то желаемого результата мы не получим .
Как следует распределить между первым и вторым путниками орехи , подаренные	третьим	, чтобы взнос каждого из путников в совместную трапезу был одинаковым ? .
В одну их трех комнат он посадил принцессу , в другую — дракона , а	третью	комнату оставил пустой .
В первый день он действительно прошел то расстояние , которое запланировал , но во второй день он прошел лишь	третью	часть оставшегося пути .
Как и раньше , квадратом числа будем называть вторую степень этого числа ( а2 равно а умножить а ) , а кубом числа — его	третью	степень ( а3 равно а умножить а умножить а ) .
В третий день он опять прошел	третью	часть уже нового остатка пути .
Через первую трубу пустой бассейн наполняется за 27 часов , через вторую — за 18 часов , а через	третью	— за 54 часа .
Владимир , он перенес 8 мешков —	третью	часть оставшихся мешков и также ушел .
724 Турист отправился в путь , предполагая проходить каждый день	третью	часть всего пути , запланировав через 3 дня прибыть в пункт назначения .
Через первую трубу пустой бассейн наполняется за 32 часа , через вторую — за 24 часа , а через	третью	— за 48 часов .
Вторая цифра этого числа в 2 раза больше первой ,	третья	— в 4 раза больше первой , а четвертая — на 3 больше третьей .
Вторая цифра этого числа на 1 меньше первой ,	третья	— в 3 раза больше второй , а четвертая — на 4 больше первой .
Первая линия может выполнить месячный план по производству пончиков за 50 рабочих дней , вторая - за 45 рабочих дней , а	третья	- за 60 рабочих дней .
Вторая цифра этого числа на 5 больше первой , а	третья	— в 2 раза меньше первой .
Вторая цифра этого числа на 1 больше первой ,	третья	— в 4 раза больше второй , а четвертая — на 3 больше первой .
2 Записать	треугольник	Паскаля до ( n плюс 1)-й строки .
Построенный таким образом	треугольник	называется треугольником Паскаля .
В нашем случае объект моделирования —	треугольник	, а сумма углов любого треугольника равна 180 ° .
Мы зафиксировали , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго и в три раза меньше третьего , сумма первого и третьего углов равна 120 ° и что заданная фигура —	треугольник	.
Найдите величину большего угла этого	треугольника	.
Сумма углов	треугольника	равна 180 ° , значит .
Найдите величину меньшего угла этого	треугольника	.
407 Расставьте числа от 1 до 9 в кружках так , чтобы сумма чисел на каждой стороне	треугольника	равнялась : а ) 17 ; б ) 20 .
27 Один из острых углов прямоугольного	треугольника	больше другого на 26 ° .
Мы зафиксировали , что первый угол	треугольника	на 20 ° больше второго и в три раза меньше третьего , сумма первого и третьего углов равна 120 ° и что заданная фигура — треугольник .
При этом строк у этого	треугольника	может быть сколь угодно много .
б ) Первый угол	треугольника	на 30 ° меньше второго и в четыре раза меньше третьего .
Для того чтобы определить эти коэффициенты , поставим в вершине и вдоль боковых сторон некоторого равнобедренного	треугольника	число 1 .
Требуется найти величины каждого из трех углов	треугольника	, то есть значения .
Найдите величину второго угла этого	треугольника	.
Сложите числа , расположенные в каждой из первых шести строк	треугольника	Паскаля .
Величина первого угла	треугольника	на 30 ° больше второго и на 60 ° меньше третьего .
Действительно , если бы мы не учли того , что сумма углов	треугольника	равна 180 ° , то получили бы решение 30 ° , 10 ° и 90 ° , которое не отражает объективных законов окружающего мира : треугольников с такими углами не существует .
Величины углов	треугольника	в градусах равны трем последовательным натуральным числам .
Величины углов	треугольника	в градусах равны трем последовательным натуральным числам , кратным трем .
В каждой строке этого	треугольника	, начиная с третьей , между единицами находятся числа , равные сумме двух расположенных над ним чисел .
Величины углов	треугольника	в градусах равны трем последовательным четным числам .
б ) Величина первого угла	треугольника	на 30 градусов меньше второго , а длина третьего — в 4 раза больше , чем второго .
Величина первого угла	треугольника	на 10 ° больше величины второго и на 10 ° меньше величины третьего .
Найдите длину ломаной ABEFD . б ) Величина первого утла	треугольника	на 30 градусов меньше второго и в 2 раза больше третьего .
В нашем случае объект моделирования — треугольник , а сумма углов любого	треугольника	равна 180 ° .
3 Записать последовательно в качестве коэффициентов выписанных одночленов числа из ( n плюс 1)-й строки	треугольника	Паскаля .
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов	треугольника	, то есть величину второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины .
Известно , что первый угол	треугольника	на 20 ° больше второго , но в три раза меньше третьего , а сумма первого и третьего углов равна 120 ° .
Найдите больший угол этого	треугольника	.
б ) Первый угол	треугольника	на 30 ° больше второго и в три раза меньше третьего .
Надо найти углы этого	треугольника	.
Величина первого угла	треугольника	на 10 ° больше второго и в два раза меньше третьего .
Величина угла	треугольника	может принимать только положительные значения , меньшие 180 ° , значит .
Величина первого угла	треугольника	равна , а третьего угла .
Так как это углы	треугольника	, то для них также должны выполняться неравенства .
Первый угол	треугольника	на 20 ° больше второго , но в три раза меньше третьего угла .
Величина первого угла	треугольника	на 40 ° меньше второго и в три раза больше третьего .
Найдите углы этого	треугольника	, если сумма первого и третьего углов равна 120 ° .
А это , в свою очередь , поможет нам понять логику получения коэффициентов в	треугольнике	Паскаля .
В прямоугольном	треугольнике	два угла острые .
Французский математик Блез Паскаль в своем « Трактате об арифметическом	треугольнике	» ( 1655 г. ) установил способ , который позволяет достаточно легко найти требуемые коэффициенты при возведении двучлена в любую n - ю степень .
Измерьте длины сторон	треугольников	, вычислите отношения .
Действительно , если бы мы не учли того , что сумма углов треугольника равна 180 ° , то получили бы решение 30 ° , 10 ° и 90 ° , которое не отражает объективных законов окружающего мира :	треугольников	с такими углами не существует .
Построенный таким образом треугольник называется	треугольником	Паскаля .
Пользуясь	треугольником	Паскаля , запишите формулу для возведения в седьмую степень .
Запишите ваш	трехчлен	в стандартном виде .
746 Подберите А таким образом , чтобы	трехчлен	можно было записать как квадрат двучлена .
252 Запишите выражение как	трехчлен	стандартного вида .
256 Запишите	трехчлен	как квадрат двучлена .
257 Подберите А таким образом , чтобы	трехчлен	можно было записать как квадрат двучлена .
164 Представьте данный	трехчлен	в виде суммы и разности двух двучленов .
Подберите А таким образом , чтобы	трехчлен	можно было записать в виде квадрата двучлена .
Запишите произвольный	трехчлен	.
293 Запишите выражение как	трехчлен	стандартного вида .
6 Если требуется разложить на множители	трехчлен	вида ах2 плюс bх плюс с , где а , b , с Q , и вы не видите удобного способа разложения , попробуйте выделить полный квадрат .
297 Подберите А таким образом , чтобы	трехчлен	можно было записать в виде квадрата двучлена .
Так , возвести в квадрат следующие трехчлены можно фактически устно ( не забывая учитывать в формуле знаки членов	трехчлена	) .
284 Пользуясь формулами квадрата двучлена и	трехчлена	, возведите в степень .
Сравните способы представления	трехчлена	в виде произведения нескольких множителей , полученных в заданиях 488 ( 1 ) и 488 ( 2 ) .
Итак , разложение на множители данного	трехчлена	имеет вид .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат	трехчлена	а плюс b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит , Квадрат	трехчлена	равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
квадрата суммы . квадрата	трехчлена	.
129 Приведите пример	трехчлена	с одной переменной х , значение которого .
Разложим этот многочлен на множители способом выделения полного квадрата , который часто используется при разложении на множители многих	трехчленов	.
Полученная формула позволяет упростить возведение в квадрат любых	трехчленов	.
При этом многочлен , состоящий из двух одночленов , называют двучленом , из трех —	трехчленом	и т .
Так , возвести в квадрат следующие	трехчлены	можно фактически устно ( не забывая учитывать в формуле знаки членов трехчлена ) .
отображается с помощью соответствующего центрального	угла	.
Найдите величину второго	угла	этого треугольника .
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть величину второго	угла	. Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины .
3 Вычислить величину центрального	угла	, соответствующую доле каждой зависимой величины .
Величина первого	угла	треугольника на 30 ° больше второго и на 60 ° меньше третьего .
Величина первого	угла	треугольника равна , а третьего угла .
Величина	угла	треугольника может принимать только положительные значения , меньшие 180 ° , значит .
Величина первого	угла	треугольника на 10 ° больше второго и в два раза меньше третьего .
Найдите величину меньшего	угла	этого треугольника .
Найдите величину большего	угла	этого треугольника .
Величина первого	угла	треугольника на 40 ° меньше второго и в три раза больше третьего .
б ) Величина первого	угла	треугольника на 30 градусов меньше второго , а длина третьего — в 4 раза больше , чем второго .
В прямоугольном треугольнике два	угла	острые .
Величина первого	угла	треугольника на 10 ° больше величины второго и на 10 ° меньше величины третьего .
Величина первого угла треугольника равна , а третьего	угла	.
Первый угол треугольника на 20 ° больше второго , но в три раза меньше третьего	угла	.
Действительно , если бы мы не учли того , что сумма углов треугольника равна 180 ° , то получили бы решение 30 ° , 10 ° и 90 ° , которое не отражает объективных законов окружающего мира : треугольников с такими	углами	не существует .
Из таблицы видно , что в центре магического квадрата может находиться только число 4 , а в	углах	— числа 1 , 3 , 5 , 7 .
Так , число , стоящее в середине магического квадрата , должно встречаться в четырех комбинациях , в	углах	квадрата — в трех комбинациях , а остальные числа — в двух комбинациях .
27 Один из острых	углов	прямоугольного треугольника больше другого на 26 ° .
Величины	углов	треугольника в градусах равны трем последовательным четным числам .
Величины	углов	треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным числам .
Известно , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго , но в три раза меньше третьего , а сумма первого и третьего	углов	равна 120 ° .
Найдите углы этого треугольника , если сумма первого и третьего	углов	равна 120 ° .
Действительно , если бы мы не учли того , что сумма	углов	треугольника равна 180 ° , то получили бы решение 30 ° , 10 ° и 90 ° , которое не отражает объективных законов окружающего мира : треугольников с такими углами не существует .
Величины	углов	треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным числам , кратным трем .
По условию , сумма первого и третьего	углов	равна 120 ° , значит .
После построения указанных центральных	углов	мы получаем круговую диаграмму .
Требуется найти величины каждого из трех	углов	треугольника , то есть значения .
Также известно , что сумма первого и третьего	углов	равна 120 ° .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных	углов	.
Величины всех	углов	выражены в градусах , поэтому единицы измерения величин соответствуют друг другу .
Для того чтобы получить более простые уравнения , обозначим хо величину меньшего из	углов	треугольника , то есть величину второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины .
Сумма	углов	треугольника равна 180 ° , значит .
Мы зафиксировали , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго и в три раза меньше третьего , сумма первого и третьего	углов	равна 120 ° и что заданная фигура — треугольник .
Что касается круговых диаграмм , то они показывают зависимость между значениями величин с помощью величин центральных	углов	круга .
В нашем случае объект моделирования — треугольник , а сумма	углов	любого треугольника равна 180 ° .
Найдите	углы	этого треугольника , если сумма первого и третьего углов равна 120 ° .
а ) Окружность - это не квадрат . б ) У квадрата все	углы	равны .
« Четырехугольник , все	углы	которого равны , называется прямоугольником » .
Надо найти	углы	этого треугольника .
Так как это	углы	треугольника , то для них также должны выполняться неравенства .
4 Построить центральные	углы	, соответствующие каждой зависимой величине .
С увеличением острый	угол	между графиком и осью абсцисс Ох увеличивается ( график становится « круче » ) , а с уменьшением k — уменьшается ( график более « пологий » ) .
б ) Первый	угол	треугольника на 30 ° больше второго и в три раза меньше третьего .
Мы зафиксировали , что первый	угол	треугольника на 20 ° больше второго и в три раза меньше третьего , сумма первого и третьего углов равна 120 ° и что заданная фигура — треугольник .
Первый	угол	треугольника на 20 ° больше второго , но в три раза меньше третьего угла .
Найдите больший	угол	этого треугольника .
б ) Первый	угол	треугольника на 30 ° меньше второго и в четыре раза меньше третьего .
Известно , что первый	угол	треугольника на 20 ° больше второго , но в три раза меньше третьего , а сумма первого и третьего углов равна 120 ° .
Записываем	уменьшаемое	в виде суммы натуральных чисел от 5 до 1 , а вычитаемое - в виде суммы тех же чисел , взятых в обратном порядке .
Расположим вы читаемое под	уменьшаемым	и будем вычислять разность , вычитая числа второй строки из чисел первой строки .
Действительно , умножая многочлены , мы	умножаем	все члены одного многочлена на все члены другого , а затем их складываем .
Мы брали некоторое конкретное значение t мин ( 5 мин , 12 мин , 20 мин и т . д. ) , затем , пользуясь правилом ,	умножали	t мин на 50 м / мин и получали искомое значение s м ( 250 м , 600 м , 1000 мит .
Сначала научимся	умножать	одночлен на многочлен ( или многочлен на одночлен , что ввиду переместительного закона умножения то же самое ) .
Итак , введенные нами операции позволяют складывать , вычитать и	умножать	остатки .
Далее остатки будут периодически повторяться , так как , согласно нашему способу определения остатков , число 3 мы будем опять последовательно	умножать	на одни и те же остатки 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 .
Действительно ,	умножая	многочлены , мы умножаем все члены одного многочлена на все члены другого , а затем их складываем .
468 Выполните	умножение	.
Поэтому	умножение	обеих частей уравнения на 0 , наряду с делением на 0 , так же следует исключить .
437 Выполните	умножение	.
Согласно порядку действий в выражениях со степенями , сначала возведем ( -3 ) в степень , затем выполним	умножение	и деление и после этого — выполним вычитание .
513 Вынесите общий множитель за скобку и , выполнив	умножение	, проверьте правильность своего результата .
489 Вынесите общий множитель за скобку и проверьте правильность своего результата , выполнив	умножение	.
Теперь раскроем скобки , выполняя	умножение	одночлена на многочлен , затем приведем подобные слагаемые и найдем корень уравнения .
Выполните	умножение	и запишите полученный многочлен - произведение в стандартном виде .
Используя определение степени , запишите выражение как произведение двучленов и выполните	умножение	.
Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных чисел и выражений , не производя каждый раз почленное	умножение	двучленов и приведение подобных слагаемых .
В выражениях со степенями без скобок сначала производят возведение в степень , затем	умножение	и деление , а уже потом — сложение и вычитание .
472 Выполните	умножение	многочленов .
Затем выполним возведение в степень , после этого	умножение	и , наконец , — сложение .
219 Запишите выражение как многочлен стандартного вида , используя	умножение	« в столбик » .
Будем последовательно выполнять	умножение	многочленов слева направо .
442 Выполните	умножение	многочленов .
Например , чтобы выполнить	умножение	9 умножить 200 , мы не станем записывать сумму 9 слагаемых , равных 200 , а сразу запишем результат 1800 .
д. до тех пор , пока не будет выполнено	умножение	на последний многочлен .
325 Выполните	умножение	многочленов .
Таким образом , используя установленные формулы , нам не надо представлять квадраты двучленов в виде произведения двух множителей , затем выполнять	умножение	и приведение подобных слагаемых .
357 Выполните	умножение	многочленов .
1 В выражениях операцию деления на число , отличное от нуля , можно заменить	умножением	на число , обратное делителю .
Получив в предыдущих пунктах формулы для квадрата суммы и разности , у нас естественно возникает вопрос , а можно ли проще , чем прямым	умножением	, возвести двучлен в куб , четвертую и более высокие степени .
Напомним , что возведение в степень также является	умножением	.
Проверить правильность разложения многочлена на множители можно	умножением	.
Найдите целое число , которое при увеличении на 6,25 дает тот же результат , что и при	умножении	на 7,25 .
При этом необходимо учесть , что при	умножении	обеих частей уравнения на 0 равносильность может нарушаться .
Тогда можно доказать , что при	умножении	х на 100 запятая сместится на два знака вправо , то есть 100х = 25,(25 ) , и при вычитании из второго равенства первого мы сможем избавиться от бесконечного « хвоста » .
То есть если число а больше числа b , то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым числом с , а также при	умножении	и делении их на положительное число с знак неравенства не изменится .
Мы видим , что произведение одночлена и многочлена всегда является многочленом , так как при	умножении	одночлена на одночлен мы получим одночлен , а алгебраическая сумма одночленов по определению многочлен .
2 ) Всегда ли при	умножении	одночлена на многочлен будет получаться многочлен ?
При	умножении	одночленов мы вновь получаем одночлены , а их сумма , по определению , является многочленом .
Из них можно составить целое число пар , в каждой из которых при	умножении	двух отрицательных чисел получается положительное число .
Среди формул сокращенного умножения есть еще одна замечательная формула , которая получается при	умножении	разности двух выражений на их сумму .
При	умножении	и возведении в степень одночленов в результате всегда будут получаться одночлены , поскольку никаких других действий , кроме умножения , мы при этом не производим .
Так как 10 см 100 мм , то при	умножении	равенства на одно и то же число оно не изменится , значит : 1000 мм .
Так как r и при	умножении	равенства на одно и то же число оно не изменится , получаем .
Любая натуральная степень нуля равна 0 , а при	умножении	числа на 0 получается 0 .
и при	умножении	равенства на одно и то же число оно не изменится , получаем .
Поскольку при	умножении	любого числа положительных чисел получается положительное число , то значение степени будет положительным , что и требовалось доказать . .
Выясним , например , есть ли какие - то закономерности при	умножении	двух одинаковых двучленов или , что то же самое , при возведении их в квадрат .
При	умножении	многочленов также существуют правила и формулы , позволяющие упростить преобразования .
Любая натуральная степень единицы равна 1 , а при	умножении	на 1 число не изменяется .
Поскольку в основных законах арифметики даны правила только для преобразования сумм и произведений , то естественно свести действие деления к	умножению	, подобно тому , как мы свели вычитание к сложению .
Таким образом , мы приходим к следующей формуле сокращенного	умножения	.
Заменяя в полученной формуле b на ( -b ) , приходим к новой формуле сокращенного	умножения	, которую называют формулой куба разности двух выражений .
470 Вычислите , используя формулы сокращенного	умножения	.
Совершенный образ истины - это таблица	умножения	, точная и достоверная , свободная от всех влияний времени .
3 Формулы сокращенного	умножения	и разложение многочленов на множители .
Рассмотрим несколько примеров , в которых использование формул сокращенного	умножения	упрощает разложение многочленов на множители .
Среди формул сокращенного	умножения	есть еще одна замечательная формула , которая получается при умножении разности двух выражений на их сумму .
Таким образом , правила равносильных преобразований позволяют не только упрощать выражения , но и доказывать тождества , некоторые из которых для алгебраических преобразований так же важны , как таблица	умножения	в вычислениях .
441 Запишите выражение как многочлен стандартного вида , используя нужную формулу сокращенного	умножения	.
Здесь первый шаг преобразований выполнен на основании правила 2 , а второй - на основе правил	умножения	рациональных чисел и определения степени числа .
Аналогичным образом можно ввести операции вычитания и	умножения	остатков .
Для этого раскроем скобки , используя правило	умножения	одночлена на многочлен , а затем в полученной алгебраической сумме приведем подобные слагаемые .
Однако чаще всего раскладывать на множители приходится многочлены , которые не являются явными формулами сокращенного	умножения	, и , прежде чем применить ту или иную формулу , нужно выполнить некоторые преобразования исходного многочлена .
И каждый , кто хорошо знает формулы сокращенного	умножения	, может этому научиться .
Разложите многочлен на множители , используя способ группировки . 2 ) Какой формулой сокращенного	умножения	можно воспользоваться , чтобы разложить этот многочлен на множители ?
В данном случае можно было бы разложить многочлен на множители и без использования формул сокращенного	умножения	: разбив слагаемое 4х на два слагаемых х и 3х , а затем проведя группировку .
439 Вычислите , используя формулы сокращенного	умножения	.
д. Поэтому выражения , в которых используется только действие	умножения	, имеют в математике отдельное название и специально изучаются .
Иногда разложить многочлен на множители помогают полученные нами в 3 этой главы формулы сокращенного	умножения	.
Меняя местами левую и правую части полученного равенства , мы приходим к новой формуле сокращенного	умножения	, называемой формулой разности квадратов .
324 Запишите выражение как многочлен стандартного вида , используя формулы сокращенного	умножения	.
5 Распределительный ( дистрибутивный ) закон	умножения	.
Иногда запись	умножения	одночлена на многочлен удобно вести « в столбик » .
414 Составьте по два числовых выражения , значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 ) сложения ; 2 ) вычитания ; 3 ) умножения ; 4 ) сложения , вычитания и	умножения	.
Формула разности квадратов , как и все другие формулы сокращенного	умножения	, сильно упрощает преобразование выражений , решение уравнений , проведение вычислений .
В предыдущих пунктах этого параграфа мы с вами рассмотрели несколько способов разложения многочленов на множители : вынесение общего множителя за скобки , способ группировки , использование формул сокращенного	умножения	.
4 Сочетательный ( ассоциативный ) закон	умножения	.
Запишем их произведение и , воспользовавшись распределительным законом	умножения	, раскроем скобки .
Сначала научимся умножать одночлен на многочлен ( или многочлен на одночлен , что ввиду переместительного закона	умножения	то же самое ) .
2 Ищите в исходном многочлене признаки формул сокращенного	умножения	— удвоенные и утроенные произведения , сумму и разность кубов , разность квадратов .
Правило	умножения	одночлена на многочлен , установленное в предыдущем пункте , позволяет перейти к выводу правила умножения многочленов .
Для этого рассмотрим простейший случай	умножения	многочленов : ( а плюс b)(с плюс d ) .
3 Переместительный ( коммутативный ) закон	умножения	.
Этот способ основан на распределительном законе	умножения	.
Пользуясь правилом	умножения	одночлена на многочлен , упростим выражение для нахождения площади фигуры .
Научившись складывать и вычитать многочлены , мы можем теперь перейти к изучению	умножения	многочленов .
Мы видим , что в результате	умножения	наших двучленов мы получили многочлен .
Одним из способов разложения многочленов на множители с использованием формул сокращенного	умножения	является способ выделения полного квадрата .
Задача разложения на множители требует не только четкого знания формул сокращенного	умножения	, но и смекалки , умения видеть общие множители и удачно группировать члены многочленов .
Правило умножения одночлена на многочлен , установленное в предыдущем пункте , позволяет перейти к выводу правила	умножения	многочленов .
В некоторых примерах формулы сокращенного	умножения	становятся видны лишь после вынесения за скобки общего множителя .
При этом всегда надо помнить , что при выполнении действий над остатками применяется следующее правило : если результат сложения , вычитания ,	умножения	остатков по некоторому модулю m стал отрицательным или больше m , то надо переходить к остатку от деления результата на m .
Запишите в стандартном виде многочлен 2хР - yQ , используя способ	умножения	и вычитания « в столбик » . .
Полученные нами формулы суммы и разности кубов , как и все другие формулы сокращенного	умножения	, рассмотренные ранее , верны для любых а и b , а значит , являются тождествами .
751 Используя формулы сокращенного	умножения	, запишите выражение как многочлен стандартного вида .
Формулы сокращенного	умножения	позволяют не только быстро возводить в квадрат двучлены , но и устно возводить в квадрат числа , причем не только целые , но и дробные .
В связи с этим формулы квадрата суммы и разности называют также формулами сокращенного	умножения	.
Пользуясь распределительным законом	умножения	, вынесите за скобки общий числовой множитель тремя различными способами .
Для доказательства этой гипотезы возведем в квадрат двучлен , пользуясь правилом	умножения	многочленов .
	Умножения	многочленов .
При их сложении или вычитании , применив распределительный закон	умножения	, мы вновь получим одночлен , например .
Какой закон	умножения	вы при этом использовали ? .
В данном случае упростить вычисления нам помогла таблица	умножения	и установленное нами правило умножения чисел , оканчивающихся нулями .
Формулы сокращенного	умножения	.
Согласно сочетательному закону	умножения	, в любом произведении скобки можно опустить .
3 Формулы сокращенного	умножения	.
Как мы уже знаем , результатом сложения и	умножения	натуральных чисел всегда будет натуральное число .
Решите уравнение , используя формулы сокращенного	умножения	.
194 Даны многочлены Р и Q. Запишите в стандартном виде многочлен 2хР - 3yQ , используя способ	умножения	и вычитания « в столбик » .
В данном случае упростить вычисления нам помогла таблица умножения и установленное нами правило	умножения	чисел , оканчивающихся нулями .
Переходим к следующему выражению , снова применяя правило 2 раскрытия скобок и распределительный закон	умножения	: .
414 Составьте по два числовых выражения , значение каждого из которых равно -7,2 , используя при этом операции : 1 ) сложения ; 2 ) вычитания ; 3 )	умножения	; 4 ) сложения , вычитания и умножения .
Таким образом , мы видим , что полученные нами формулы сокращенного	умножения	помогают существенно упростить как возведение двучленов в квадрат , так и самые различные вычисления .
Так же , как и в обычной арифметике , мы можем составить таблицы сложения и	умножения	остатков .
Упростим полученное для D выражение , используя правило	умножения	многочленов .
Иногда для использования формул сокращенного	умножения	при разложении многочлена на множители вначале приходится некоторым образом сгруппировать его члены .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного	умножения	для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
Составим , например , таблицу сложения и	умножения	остатков от деления на 4 .
В нашем арсенале формул сокращенного	умножения	уже есть формулы квадрата и куба суммы , квадрата и куба разности , а также формула разности квадратов .
301 Составьте таблицы сложения и	умножения	остатков по модулю : а ) 3 ; б ) 5 ; в ) 6 .
316 Составьте таблицу сложения и	умножения	остатков по модулю .
При умножении и возведении в степень одночленов в результате всегда будут получаться одночлены , поскольку никаких других действий , кроме	умножения	, мы при этом не производим .
303 Пользуясь полученными в задании 5 таблицами	умножения	, найдите одно значение х , такое , что .
Изученное правило	умножения	многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений выражений , решении уравнений и неравенств , доказательстве тождеств .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р ,	умноженная	на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Другими словами , противоположный многочлен — это исходный многочлен ,	умноженный	на -1 .
Из распределительного закона следует , что если перед скобками , в которых записана сумма , стоит множитель , то скобки также можно опустить ,	умножив	на этот множитель каждое слагаемое .
Так ,	умножив	5x : на многочлен x2 минус 2x плюс 5 , записанный в скобках , мы получим исходный многочлен 5х3 минус 10х2 плюс 25x .
Так , например ,	умножив	ширину прямоугольника , равную 5 см , на его длину , равную 6 см , мы получим площадь прямоугольника , выраженную в квадратных сантиметрах .
458 Борис задумал натуральное число ,	умножил	его на 13 , зачеркнул последнюю цифру результата .
Полученное число он	умножил	на 8 , опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил 20 .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1	умножили	1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » : умножили х2 на х2 минус 2х плюс 1	умножили	2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
Сумму двух целых чисел	умножили	на их произведение .
Умножение многочлена на многочлен также можно записывать « в столбик » :	умножили	х2 на х2 минус 2х плюс 1 умножили 2х на х2 минус 2х плюс 1 умножили 1 на х2 минус 2х плюс 1 Следовательно , ( х2 плюс 2х плюс 1)(х2 минус 2х плюс 1 ) равно х4 минус 2х2 плюс 1 .
Здесь перед скобкой стоит знак « + » и множитель 3 , поэтому знаки слагаемых мы менять не будем , просто	умножим	каждое из них на 3 .
Так как перед скобкой стоит знак « - » и множитель 2 , то каждое слагаемое в скобке	умножим	на 2 и изменим его знак на противоположный , а затем приведем подобные слагаемые .
Для этого выражение в скобках	умножим	на ( -1 ) .
1 Для того чтобы	умножить	степени с одинаковым основанием , можно основание оставить без изменений , а показатели степеней сложить .
Чтобы умножить число на сумму , можно	умножить	это число на каждое из слагаемых этой суммы и полученные результаты сложить .
А значит , мы не смогли бы вычислить значение выражения 4с	умножить	( а плюс 26 ) минус 2с умножить 2а прямой подстановкой в него значений переменных .
Чтобы	умножить	число на сумму , можно умножить это число на каждое из слагаемых этой суммы и полученные результаты сложить .
А значит , мы не смогли бы вычислить значение выражения 4с умножить ( а плюс 26 ) минус 2с	умножить	2а прямой подстановкой в него значений переменных .
3 Если обе части неравенства	умножить	или разделить на одно и то же отрицательное число ( выражение ) и изменить знак неравенства на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному .
Чтобы	умножить	одночлен на многочлен , можно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
А как короче записать , например , выражение 0,75	умножить	0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 ?
А как короче записать , например , выражение 0,75 умножить 0,75	умножить	0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 ?
А как короче записать , например , выражение 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75	умножить	0,75 умножить 0,75 ?
2 Если обе части неравенства	умножить	или разделить на одно и то же положительное число ( выражение ) , то получим неравенство , равносильное данному .
А как короче записать , например , выражение 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75	умножить	0,75 ?
Если же данные числа а и b	умножить	или разделить на отрицательное число с , знак неравенства изменится на противоположный .
Так , например , коэффициентом одночлена ухххсу умножить ( -0,5 ) является число ( -0,5 ) , а одночлена m умножить 1/8 умножить z5 умножить ( -2k)3 - число 1/8	умножить	( -2)3 равно -1 .
Так , например , коэффициентом одночлена ухххсу умножить ( -0,5 ) является число ( -0,5 ) , а одночлена m умножить 1/8 умножить z5	умножить	( -2k)3 - число 1/8 умножить ( -2)3 равно -1 .
Так , например , коэффициентом одночлена ухххсу умножить ( -0,5 ) является число ( -0,5 ) , а одночлена m умножить 1/8	умножить	z5 умножить ( -2k)3 - число 1/8 умножить ( -2)3 равно -1 .
Так , например , коэффициентом одночлена ухххсу умножить ( -0,5 ) является число ( -0,5 ) , а одночлена m	умножить	1/8 умножить z5 умножить ( -2k)3 - число 1/8 умножить ( -2)3 равно -1 .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , можно	умножить	этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Теперь , пользуясь введенным понятием степени рационального числа , мы можем записать : 0,75	умножить	0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 равно 0,755 .
Например , одночлен 0 умножить а3	умножить	( -7с3 ) - нулевой .
Например , одночлен 0	умножить	а3 умножить ( -7с3 ) - нулевой .
Отдельные числа и переменные также являются одночленами , так как их всегда можно представить в виде произведения , например , d равно d	умножить	1 , 14 равно 14 умножить а0 .
Теперь , пользуясь введенным понятием степени рационального числа , мы можем записать : 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75	умножить	0,75 умножить 0,75 равно 0,755 .
Теперь , пользуясь введенным понятием степени рационального числа , мы можем записать : 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75	умножить	0,75 равно 0,755 .
Как и раньше , квадратом числа будем называть вторую степень этого числа ( а2 равно а	умножить	а ) , а кубом числа — его третью степень ( а3 равно а умножить а умножить а ) .
22	умножить	2 . 3 ) 222 . 4 ) 222 . 5 ) 222 .
Как и раньше , квадратом числа будем называть вторую степень этого числа ( а2 равно а умножить а ) , а кубом числа — его третью степень ( а3 равно а	умножить	а умножить а ) .
Как и раньше , квадратом числа будем называть вторую степень этого числа ( а2 равно а умножить а ) , а кубом числа — его третью степень ( а3 равно а умножить а	умножить	а ) .
а ) прибавить число ( -1 ) ; б ) вычесть число ; в )	умножить	на число 3 4 ; г ) разделить на число ( -2 ) ? .
Так , например , коэффициентом одночлена ухххсу	умножить	( -0,5 ) является число ( -0,5 ) , а одночлена m умножить 1/8 умножить z5 умножить ( -2k)3 - число 1/8 умножить ( -2)3 равно -1 .
Отдельные числа и переменные также являются одночленами , так как их всегда можно представить в виде произведения , например , d равно d умножить 1 , 14 равно 14	умножить	а0 .
Теперь , пользуясь введенным понятием степени рационального числа , мы можем записать : 0,75 умножить 0,75	умножить	0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 равно 0,755 .
В результате им была получена выручка в размере . ( 900 разделить 15 )	умножить	90 равно 5400 рублей , то есть на 450 рублей меньше того , что он должен был получить от продажи всех помидоров .
2 Если обе части уравнения	умножить	или разделить на одно и то же число ( выражение ) , отличное от нуля , то получим уравнение , равносильное данному .
В этом случае следует сначала	умножить	первый многочлен на второй , затем полученное произведение умножить на третий многочлен и т .
Таким образом , все помидоры из первой коробки стоили 50 умножить ( 450 разделить 10 ) равно 2250 рублей , а из второй — 40	умножить	( 450 разделить 5 ) равно 3600 рублей .
То есть если два равных числа увеличить , уменьшить ,	умножить	или разделить на одно и то же число ( исключая деление на 0 ) , то мы вновь получим два равных числа .
Для того чтобы возвести в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно	умножить	число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
В этом случае следует сначала умножить первый многочлен на второй , затем полученное произведение	умножить	на третий многочлен и т .
Например , чтобы выполнить умножение 9	умножить	200 , мы не станем записывать сумму 9 слагаемых , равных 200 , а сразу запишем результат 1800 .
а ) Если от загаданного рационального числа отнять 5 , результат	умножить	на 7 , к полученному произведению прибавить 2 , результат разделить на 6 , а к полученному частному прибавить 4 , то снова получится загаданное число .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена	умножить	на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Таким образом , все помидоры из первой коробки стоили 50	умножить	( 450 разделить 10 ) равно 2250 рублей , а из второй — 40 умножить ( 450 разделить 5 ) равно 3600 рублей .
Чтобы	умножить	многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
579 Какой остаток при делении на 7 дает число 333444	умножить	444333 ? .
Составляем и обосновываем	уравнение	.
Представим	уравнение	х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ] равно -6 в виде х [ х(х плюс 6 ) плюс 11 ] плюс 6 равно 0 и запишем его левую часть как многочлен стандартного вида .
Для того чтобы решить данное	уравнение	, запишем его в виде и разложим многочлен в левой его части на множители .
690 В контрольной работе по математике нужно было решить	уравнение	х3 плюс х равно 2х2 .
Таким образом , в зависимости от значений k и b	уравнение	имеет следующие корни .
Коля решал это	уравнение	следующим образом .
а )	уравнение	9х не имеет корней .
Затем он разделил правую и левую части на одно и то же число х и получил	уравнение	х2 плюс 1 равно 2х .
Теперь для каждого числового промежутка запишем и решим	уравнение	, равносильное исходному и не содержащее знаков модуля .
222 Решите	уравнение	.
224 Решите	уравнение	.
226 Решите	уравнение	.
Саша же решал это	уравнение	иначе .
429 Решите	уравнение	.
Значит ,	уравнение	не имеет решений » .
444 Решите	уравнение	.
359 Решите	уравнение	.
668 Решите	уравнение	.
Решая уравнения , мы производим преобразования , заменяя одно	уравнение	другим , до тех пор , пока не получим уравнение самого простого вида , например .
677 Решите	уравнение	.
Решите	уравнение	с модулями .
6 Записать полученное	уравнение	в виде .
Значит ,	уравнение	, где , имеет единственное решение , что и требовалось доказать .
Решая уравнения , мы производим преобразования , заменяя одно уравнение другим , до тех пор , пока не получим	уравнение	самого простого вида , например .
7 Выразить х и у через k. И , подставив полученные выражения для х и у в исходное	уравнение	, сделать проверку .
При каком значении а	уравнение	имеет корень , равный .
284 Решите	уравнение	.
При каком значении а	уравнение	имеет корень .
290 Решите	уравнение	.
Имеет ли	уравнение	корни при указанном значении а ? .
Значит , если мы сможем представить исходное	уравнение	в указанном виде , то для полного решения задачи нам достаточно будет воспользоваться данным правилом , то есть .
При каком значении а	уравнение	будет иметь корни ? .
6 Для каждого числового промежутка записать и решить исходное	уравнение	без знаков модуля .
Какое число нужно подставить вместо а , чтобы	уравнение	имело указанный корень ? .
7 Проверить , что полученные корни принадлежат числовому промежутку , для которого было записано	уравнение	.
« Дано	уравнение	.
Представим	уравнение	( х минус 5)(х плюс 3 ) равно 9 в виде ( х минус 5)(х плюс 3 ) минус 9 равно 0 и запишем левую часть как многочлен стандартного вида .
Шаг 3 Чтобы решить	уравнение	( х минус 6)(х плюс 4 ) равно 0 , приравняем к нулю каждый из множителей .
308Решите	уравнение	.
Для ответа на вопрос задачи нам надо решить	уравнение	( х минус 5)(х плюс 3 ) равно 9 .
421 Решите	уравнение	.
Какое число можно подставить вместо b , чтобы корнем	уравнение	было целое число ? .
692 Решите	уравнение	.
372 Решите	уравнение	.
Решите	уравнение	, выделяя полный квадрат .
Решите	уравнение	с модулем .
Решите	уравнение	, используя формулы сокращенного умножения .
Так , например ,	уравнение	имеет один корень — число 2 , а корнем уравнения является любое рациональное число .
498 Решите	уравнение	, используя разложение многочлена на множители .
236 Решите	уравнение	.
Используя один из способов разложения многочлена х2 минус х минус 2 на множители , решите	уравнение	.
238 Решите	уравнение	.
474 Решите	уравнение	.
Ведь если бы мы вынесли за скобки только один из общих множителей , х или 2х минус 1 , это не дало бы нам возможности решить исходное	уравнение	.
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите	уравнение	.
403 Решите	уравнение	.
Докажите , что данное	уравнение	имеет не менее десяти решений .
А теперь решим	уравнение	.
149 Решите	уравнение	.
Если бы мы не узнали , что многочлен х2 минус х минус 2 можно представить в виде произведения , то не смогли бы решить данное	уравнение	, так как пока не знаем общего способа решения уравнений такого вида .
138 Решите	уравнение	.
Доказать , что	уравнение	, где , имеет единственное решение .
в ) уравнение не имеет других корней , кроме . г )	уравнение	имеет по крайней мере 5 корней .
Значит , исходное	уравнение	равносильно уравнению 12х(2х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 .
Рассмотрим	уравнение	.
Решите	уравнение	.
30 Решите	уравнение	.
Проанализируйте полученное	уравнение	и докажите , что его можно решить методом перебора .
546 Решите	уравнение	.
318 Решите	уравнение	.
Решите	уравнение	, пользуясь определением модуля .
Решите	уравнение	, содержащее переменную под знаком модуля .
519 Решите	уравнение	.
Составить	уравнение	или неравенство ( одно или несколько ) и обосновать их .
708 Решите	уравнение	.
735 Решите	уравнение	.
755 Решите	уравнение	.
2 Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число ( выражение ) , отличное от нуля , то получим	уравнение	, равносильное данному .
111 Решите	уравнение	.
в )	уравнение	не имеет корней .
107 Решите	уравнение	.
	Уравнение	имеет единственный корень .
1 Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число ( выражение ) , то получим	уравнение	, равносильное данному .
д )	уравнение	имеет по меньшей мере 10 корней .
346 Решите	уравнение	.
	Уравнение	имеет ровно два корня .
98 Решите	уравнение	.
26 Решите	уравнение	.
Какое правило было нарушено и как правильно решить данное	уравнение	? .
13 Решите	уравнение	.
425 Решите	уравнение	.
554 Решите	уравнение	.
Прежде чем описать данный способ , рассмотрим две теоремы , которые позволяют сразу же определить , имеет ли целые корни	уравнение	вида , где a , b , с е Z , или не имеет .
Умножим обе части данного уравнения на число 30 — наименьший общий знаменатель всех входящих в	уравнение	дробей .
Получаем	уравнение	, равносильное данному .
Используя результаты предыдущего задания , решите в общем виде линейное	уравнение	, где k , b , Q , и предложите свой алгоритм решения произвольного линейного уравнения с одним неизвестным .
Решите линейное	уравнение	.
620 Решите	уравнение	.
625 Решите	уравнение	.
После того как модель построена , можно в первое	уравнение	вместо х и у подставить соответствующие им выражения и выполнить несложные преобразования полученного уравнения .
Решим линейное	уравнение	в общем виде .
574 Решите	уравнение	.
417 Решите	уравнение	.
262 Решите	уравнение	.
Решите	уравнение	, предварительно упростив его .
205 Решите	уравнение	.
268 Решите	уравнение	.
Составить	уравнение	и обосновать его .
Линейным уравнением с одним неизвестным х называется	уравнение	, которое при всех значениях х может с помощью равносильных преобразований быть представлено в виде , где k , b — некоторые числа .
Значит , исходное	уравнение	может быть записано в виде .
Поэтому на данном промежутке	уравнение	не имеет корней .
570 Решите	уравнение	.
В этом случае	уравнение	может быть записано в виде .
Если , то	уравнение	не имеет решений , так как модуль числа не может принимать отрицательные значения .
Составляем	уравнение	.
Теперь на основании теоремы 2 , не решая	уравнение	, мы можем утверждать , что оно не имеет целых решений .
Рассмотрим теперь более сложное	уравнение	вида , где а , b , с , d — некоторые числа .
502 Решите	уравнение	.
Подставим полученные выражения для а и b в исходное	уравнение	.
247 Решите	уравнение	.
602 Решите	уравнение	.
Записать линейное	уравнение	.
595 Решите	уравнение	.
2 ) Если k 0 , то	уравнение	kx -b равносильно уравнению , которое при b 0 не имеет решений , а при b 0 становится тождеством ( то есть его решением является любое число ) .
327 Решите	уравнение	.
Решите	уравнение	Решение .
190 Решите	уравнение	.
Теперь подставим в исходное	уравнение	вместо числа ( -11 ) полученное выражение и выполним цепочку равносильных преобразований .
Если , то	уравнение	принимает вид .
Значит , мы сразу можем сказать , что	уравнение	имеет хотя бы один целый корень .
Следовательно , при k 0 линейное	уравнение	имеет единственный корень .
336 Решите	уравнение	.
239 Решите	уравнение	.
479 Решите	уравнение	.
471 Решите	уравнение	.
Решите	уравнение	, где .
Полученное	уравнение	верно при любом значении х.
301 Решите	уравнение	.
д )	уравнение	имеет не менее 10 корней .
389 Решите	уравнение	.
Составьте	уравнение	и решите задачу .
а )	уравнение	не имеет корней .
75 Решите	уравнение	.
453 Решите	уравнение	.
653 Решите	уравнение	.
452 Упростите	уравнение	, разделив обе его части на одно и то же число , отличное от нуля , а затем найдите его корень .
201 Решите	уравнение	.
440 Решите	уравнение	.
465 Решите	уравнение	.
437 Упростите	уравнение	, разделив обе его части на одно и то же не равное нулю число , а затем найдите его корни .
9 Решите	уравнение	.
2 Если с не делится на d , записать , что данное	уравнение	не имеет решений .
Для этого подставим значение х 7 в	уравнение	.
Докажите , что данное	уравнение	имеет единственный корень .
Буквы , входящие в	уравнение	, называют неизвестными .
Докажите , что данное	уравнение	не имеет корней .
Какое число можно подставить вместо 6 , чтобы корнем	уравнение	было целое число ? .
Решить	уравнение	— это значит найти все значения входящих в него неизвестных , при которых равенство становится тождеством .
С помощью равносильных преобразований запишите	уравнение	в виде и решите его .
192 Решите	уравнение	.
а )	уравнение	17х не имеет корней .
Значит ,	уравнение	при условии имеет два решения .
639 Решите	уравнение	, используя разложение многочлена на множители .
Линейное	уравнение	.
Поэтому мы можем упростить	уравнение	, разделив на 20 обе его части .
На данном промежутке	уравнение	принимает вид .
	Уравнение	не имеет корней .
в )	уравнение	имеет единственный корень .
Прежде чем начать изучение линейных уравнений , вспомним , что такое	уравнение	и что значит решить его .
в )	уравнение	не имеет других корней , кроме . г ) уравнение имеет по крайней мере 5 корней .
8) Проверить , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим	уравнением	.
Так , указанное множество значений переменной х не может быть описано	уравнением	, но может быть описано неравенствами .
Линейным	уравнением	с одним неизвестным х называется уравнение , которое при всех значениях х может с помощью равносильных преобразований быть представлено в виде , где k , b — некоторые числа .
Заметим , что в ходе построения математической модели мы выделили три важных шага , которые не были зафиксированы в алгоритме , который использовался нами ранее : мы определили множество значений , которые могут принимать неизвестные величины ; проверили , что каждый элемент условия задачи описан соответствующим	уравнением	; зафиксировали искомую величину .
1 Найти в	уравнении	все выражения , содержащиеся под знаком модуля .
Например , если в рассмотренном выше	уравнении	значения х и у должны принадлежать промежуткам , где х , у Z , то k может принимать лишь целые значения , удовлетворяющие следующим неравенствам .
Однако данная теорема не позволяет сделать никаких выводов о втором	уравнении	, ведь его коэффициенты не удовлетворяют условию этой теоремы : НОД ( 4 ; 6 ) 2 , а число 9 не делится на 2 .
Из данных свойств чисел непосредственно следуют правила равносильных преобразований	уравнений	.
Затем приравняем каждый из множителей к нулю и найдем корни получившихся	уравнений	.
Теперь , уточнив понятие уравнения и сформулировав правила равносильных преобразований уравнений , перейдем к изучению общего способа решения одного из видов	уравнений	.
2 ) Какой метод решения	уравнений	был использован при решении данной задачи ?
Александрийский математик Диофант еще в III веке нашей эры придумал и обосновал общий способ поиска целых решений данных	уравнений	.
Проверим , что корни	уравнений	являются рациональными числами .
Уравнения данного вида получили название линейных	уравнений	по аналогии с названием линейной функции , которая задается выражением аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию .
Найдите корни	уравнений	.
Если бы мы не узнали , что многочлен х2 минус х минус 2 можно представить в виде произведения , то не смогли бы решить данное уравнение , так как пока не знаем общего способа решения	уравнений	такого вида .
Идея поиска всех целых решений	уравнений	рассматриваемого вида заключается в следующем : сначала надо найти одно произвольное решение данного уравнения .
А значит , решение любых задач , примеров ,	уравнений	теряет смысл - ведь в ответе без всяких вычислений сразу можно записать любое число .
Таким образом , мы научились по коэффициентам линейных	уравнений	с двумя неизвестными сразу выделять те из них , которые имеют хотя бы одно целое решение .
Что касается неравенств с несколькими модулями , то способ их решения аналогичен способу , который мы использовали при решении	уравнений	с модулями .
Какой прием решения	уравнений	был использован при решении этой задачи ? .
Обобщая рассмотренный способ поиска целых решений линейных	уравнений	вида , где а , b , с Z , приходим к следующему алгоритму .
Однако далеко не всегда при поиске целых решений таких	уравнений	удается выполнить второй шаг — отыскать все возможные значения какой - либо из переменных .
Решение линейных	уравнений	в целых числах .
Алгоритм решения	уравнений	вида в целых числах методом перебора .
Пользуясь определением , найдите линейные уравнения с одной переменной среди	уравнений	, приведенных ниже .
Дайте определение	уравнений	указанного вида .
Тем самым решение уравнения неизвестного вида будет нами сведено к решению уже известных	уравнений	.
Например , для одночленов одинаковой степени мы можем установить общие методы решения	уравнений	, в которые эти одночлены входят .
Используемый нами алгоритм решения таких	уравнений	в общем виде можно записать следующим образом .
Например , имеет ли смысл искать целые корни следующих	уравнений	или сразу можно сказать , что они не имеют целых решений ? .
Каждый из множителей приравняем к нулю и найдем корни получившихся	уравнений	.
Решим неравенство способом , аналогичным тому , который мы использовали при решении	уравнений	с модулями .
Правила равносильных преобразований	уравнений	.
Дайте определение равносильных	уравнений	и равносильных преобразований уравнений .
Каждое из этих	уравнений	содержит одно неизвестное х. Левую их часть можно записать в вид , где k и b — некоторые числа , а их правая часть равна нулю .
Какими правилами равносильных преобразований вы пользовались при решении этих	уравнений	? .
2 В задачах требуется найти целые решения таких	уравнений	.
Теперь , уточнив понятие уравнения и сформулировав правила равносильных преобразований	уравнений	, перейдем к изучению общего способа решения одного из видов уравнений .
Формула разности квадратов , как и все другие формулы сокращенного умножения , сильно упрощает преобразование выражений , решение	уравнений	, проведение вычислений .
Общий способ решения таких	уравнений	нам пока не известен .
Дайте определение равносильных уравнений и равносильных преобразований	уравнений	.
А находить корни таких	уравнений	мы уже умеем .
Алгоритм решения	уравнений	данного типа можно записать следующим образом .
Общий алгоритм решения таких	уравнений	можно записать следующим образом .
3 Отметить найденные корни	уравнений	на « упрощенной » модели числовой прямой и определить непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные точки разбивают числовую прямую .
2 Приравнять каждое из этих выражений к нулю и найти корни полученных	уравнений	.
А это , в свою очередь , ведет к развитию математической теории , в частности к развитию теории	уравнений	и неравенств .
Изученное правило умножения многочленов достаточно часто используется при выполнении преобразований буквенных выражений , при нахождении значений выражений , решении	уравнений	и неравенств , доказательстве тождеств .
При решении таких	уравнений	сначала выделяют промежутки , на которых выражения под знаком модуля не меняют свой знак , а затем уже ищут решения на каждом из выделенных промежутков .
Прежде чем начать изучение линейных	уравнений	, вспомним , что такое уравнение и что значит решить его .
Алгебра - это раздел математики , развитие которого связано с решением самых разных	уравнений	.
Решение	уравнений	с модулями .
Аналогичное наблюдение может быть сделано относительно	уравнений	2 ) и 4 ) .
Глава 6 Введение в теорию линейных	уравнений	и неравенств .
3 Отметим найденные корни	уравнений	на « упрощенной » модели числовой прямой и определим непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные числа разбивают числовую прямую .
Правила равносильных преобразований	уравнений	основываются на известных нам общих свойствах равенств — рефлексивности , симметричности и транзитивности — и правилах преобразований числовых равенств ( правилах « весов » ) .
Решения	уравнений	.
А можно ли найти способы решения более сложных неравенств , аналогичные способам , используемым нами при решении	уравнений	?
Таким образом , математическое моделирование позволяет свести решение большого числа внешне различных практических задач к решению	уравнений	и неравенств .
Таким образом , мы получили математическую модель , состоящую из трех	уравнений	и требований к переменным , входящим в эти уравнения .
Поэтому при решении	уравнений	с модулями в дальнейшем мы будем использовать « упрощенную » модель числовой прямой .
Корни алгебры уходят в глубокую древность , а само название происходит от арабского « аль - джебр » ( восполнение , воссоединение , связь ) - приема решения	уравнений	, описанного в трактате « Китаб аль - Джебр ва - ль - Мукабаля » арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль - Хорезми ( ок . 783 - ок .
Поскольку одночлены и многочлены часто встречаются в математических моделях практических задач , то установленные приемы действий с ними помогают в упрощении полученных моделей , при нахождении значений выражений , решении	уравнений	и неравенств .
Заметим , что первое свойство равносильных преобразований неравенств полностью совпадает с аналогичным свойством равносильных преобразований	уравнений	.
Решение	уравнений	требует также и умения упрощать входящие в него выражения .
Язык математики , состоящий , в частности , из чисел , букв и выражений ,	уравнений	и неравенств , помогает записать взаимосвязи , лежащие в основе различных процессов .
Значит , для решения исходного уравнения нам достаточно найти корни двух	уравнений	1 ) и 2 ) .
2 Найдем корни	уравнений	.
Значит , исходное уравнение равносильно	уравнению	12х(2х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 .
Преобразование уравнения называют равносильным , если оно приводит к	уравнению	, равносильному данному .
Составьте задачу , решение которой может привести к следующему	уравнению	.
2 ) Если k 0 , то уравнение kx -b равносильно	уравнению	, которое при b 0 не имеет решений , а при b 0 становится тождеством ( то есть его решением является любое число ) .
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при решении задач 1 и 2 , множество решений данного линейного уравнения получить просто невозможно , так как каждому целому числу k будет соответствовать своя пара целых х и у , удовлетворяющих исходному	уравнению	.
Найдите все значения х , удовлетворяющие	уравнению	.
корнем	уравнения	является любое число .
Диофантовы	уравнения	.
Поэтому правило переноса слагаемых из одной части	уравнения	в другую можно распространить и на неравенства .
Таким образом , множество корней исходного	уравнения	представляет собой объединение всех чисел полуинтервала ) и числа 1 , то есть числовой отрезок .
Запишите три	уравнения	, корнем которых является число а .
Корень	уравнения	.
И так как , то число является корнем исходного	уравнения	.
6 Разбейте записи на три группы : выражения ,	уравнения	, неравенства .
Если ни одно решение	уравнения	2х равно 1 не является целым числом , то ни одно целое число не является решением уравнения 2х равно 1 .
Следовательно , любое число , принадлежащее промежутку , является корнем исходного	уравнения	.
Равносильные	уравнения	.
а ) Если некоторые решения	уравнения	х2 минус 1 равно 0 — отрицательные числа , то некоторые отрицательные числа — решения этого уравнения .
а ) Если некоторые решения уравнения х2 минус 1 равно 0 — отрицательные числа , то некоторые отрицательные числа — решения этого	уравнения	.
1 Линейные	уравнения	и их решение .
б ) Если все решения	уравнения	х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа , кратные 3 , кратны 9 , то некоторые числа , кратные 9 , — решения уравнения х2 минус 9 равно 0 .
Будем искать решение нашего	уравнения	на каждом из выделенных числовых промежутков .
В итоге исходная задача свелась к решению	уравнения	, содержащего модуль .
б ) Если все решения уравнения х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа , кратные 3 , кратны 9 , то некоторые числа , кратные 9 , — решения	уравнения	х2 минус 9 равно 0 .
641 Найдите корни	уравнения	.
Однако	уравнения	в целых числах часто имеют несколько решений .
И так как мы выяснили , что число х — нечетное , то , значит , х 7 является единственным решением исходного	уравнения	.
Равносильны ли	уравнения	.
По имени Диофанта	уравнения	с целыми коэффициентами , которые требуется решить в целых числах , назвали диофантовыми уравнениями .
Тем самым решение	уравнения	неизвестного вида будет нами сведено к решению уже известных уравнений .
Такие	уравнения	называются равносильными .
Но утверждать это мы можем только тогда , когда уверены , что все	уравнения	, полученные в результате проведенных преобразований , имеют одни и те же корни .
Но нам встречались	уравнения	вида ( ах плюс 6)(сх плюс d ) равно 0 , где a , b , с , d — неизвестная величина .
Если корень	уравнения	х ; если корень уравнения у если корень уравнения z ; если корень уравнения t .
Если корень уравнения х ; если корень	уравнения	у если корень уравнения z ; если корень уравнения t .
Если корень уравнения х ; если корень уравнения у если корень	уравнения	z ; если корень уравнения t .
Стратегия решения	уравнения	.
Для решения полученного	уравнения	вначале упростим его .
После чего мы говорим , что число а является корнем исходного	уравнения	.
а ) число ( -1 ) является корнем	уравнения	.
Алгоритм решений	уравнения	.
Если корень уравнения х ; если корень уравнения у если корень уравнения z ; если корень	уравнения	t .
Так как у 0 , то из	уравнения	следует , что .
4 Используя свойства делимости целых чисел , найти одно из решений х0 , у0	уравнения	.
Решая	уравнения	, мы производим преобразования , заменяя одно уравнение другим , до тех пор , пока не получим уравнение самого простого вида , например .
3 Если с делится на d , разделить правую и левую части исходного	уравнения	на d .
Докажите , что решением данного	уравнения	является любое число .
Эти значения неизвестных называют корнями	уравнения	.
Алгоритм решения	уравнения	с модулями .
Обобщая рассмотренный нами способ решения	уравнения	с модулями , приходим к следующему алгоритму .
г ) число ( -2 ) не является корнем	уравнения	.
Если ни одно решение уравнения 2х равно 1 не является целым числом , то ни одно целое число не является решением	уравнения	2х равно 1 .
в ) число 1 является корнем	уравнения	.
Следовательно , решениями нашего	уравнения	являются .
670 Найдите корни	уравнения	.
Теперь из	уравнения	для указанных значений х найдем соответствующие им значения у .
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при решении задач 1 и 2 , множество решений данного линейного	уравнения	получить просто невозможно , так как каждому целому числу k будет соответствовать своя пара целых х и у , удовлетворяющих исходному уравнению .
Найдите корни	уравнения	.
Используя правила равносильных преобразований , докажите , что все приведенные ниже	уравнения	равносильны между собой .
2 Найти корни	уравнения	.
Целое решение	уравнения	, где a , b , с е Z , всегда существует , если с делится на d = НОД .
1 Найти корни	уравнения	.
Решите	уравнения	.
Коэффициенты	уравнения	удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое число , делится на 1 .
При решении полученного	уравнения	возможны два случая .
496 Решите	уравнения	.
Если k 0 , то обе части	уравнения	можно разделить на k , тогда .
Алгоритм решения	уравнения	вида , где а , b , с , d — некоторые числа .
Так как НОД ( 5 ; 7 ) 1 , то из полученного равенства следует , что для всех целых х и у , являющихся решением исходного	уравнения	, кратно 7 , а кратно 5 .
д ) Если ни один австралийский абориген не умеет решать	уравнения	, а некоторые умеющие решать уравнения умеют играть в шахматы , значит , некоторые умеющие играть в шахматы - не австралийские аборигены .
Значит , для решения исходного	уравнения	нам достаточно найти корни двух уравнений 1 ) и 2 ) .
Перебирая различные варианты , убеждаемся в том , что одним из решений данного	уравнения	является пара чисел .
Следовательно , все подобные	уравнения	также будут линейными .
Заметим , что с помощью равносильных преобразований к виду kx — с могут быть приведены самые различные	уравнения	, например .
Проиллюстрируем общий способ поиска целых решений уравнения вида , где а , b , с Z , на примере	уравнения	.
Проиллюстрируем общий способ поиска целых решений	уравнения	вида , где а , b , с Z , на примере уравнения .
Подставляя затем вместо k в зависимости x и у от k все возможные целые значения k , получим все целые решения исходного	уравнения	.
Заметим , что	уравнения	1 ) и 3 ) равносильны , значит , они имеют одинаковые корни .
д ) Если ни один австралийский абориген не умеет решать уравнения , а некоторые умеющие решать	уравнения	умеют играть в шахматы , значит , некоторые умеющие играть в шахматы - не австралийские аборигены .
После этого , используя свойства	уравнения	и найденное решение , можно будет выразить значения х и у через некоторую единую переменную величину ( обозначаемую , например , k ) , принимающую целые значения .
Сначала разберем решение конкретного	уравнения	такого типа , а затем запишем общий алгоритм .
Алгоритм решения линейного	уравнения	с одним неизвестным .
Идея поиска всех целых решений уравнений рассматриваемого вида заключается в следующем : сначала надо найти одно произвольное решение данного	уравнения	.
Для этого определяется , что известно , что надо найти , устанавливаются взаимосвязи между известными и неизвестными величинами , вводятся буквенные обозначения , составляются математические соотношения :	уравнения	и неравенства .
Алгоритм решения	уравнения	.
Равносильны ли	уравнения	? .
в ) Если ни одно решение	уравнения	( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из выражений , мы сможем получить множество всех решений исходного	уравнения	.
Запишите в общем виде	уравнения	.
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями	уравнения	( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения	уравнения	( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
1 Линейные	уравнения	.
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого	уравнения	не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
Линейные	уравнения	с двумя переменными х и у , полученные при решении двух рассмотренных задач , в общем виде можно записать так .
Для того чтобы получить более простые	уравнения	, обозначим хо величину меньшего из углов треугольника , то есть величину второго угла . Определяем множество значений , которые могут принимать неизвестные величины .
После того как модель построена , можно в первое уравнение вместо х и у подставить соответствующие им выражения и выполнить несложные преобразования полученного	уравнения	.
Пользуясь определением модуля числа , решение этого	уравнения	можно записать следующим образом .
580 Докажите , что А и В являются решениями	уравнения	.
( Фигурная скобка обозначает , что все	уравнения	должны выполняться одновременно ) .
4 Выбрать из найденных решений	уравнения	те , которые удовлетворяют условиям задачи .
Число k называют коэффициентом при неизвестном , а число b — свободным членом линейного	уравнения	.
Найдите корни линейного	уравнения	( устно ) .
При построении математических моделей практических задач , конечно же , могут получаться и более сложные выражения ,	уравнения	и неравенства , где применение установленных нами правил упрощает преобразования .
а ) делится на 120 при любом целом а ; б ) число 8 не может быть корнем	уравнения	при любых натуральных а и b .
Используя результаты предыдущего задания , решите в общем виде линейное уравнение , где k , b , Q , и предложите свой алгоритм решения произвольного линейного	уравнения	с одним неизвестным .
Упростим левую часть	уравнения	.
Итак , решениями исходного уравнения являются пары чисел вида , где k Z. Проверим , что эти пары чисел действительно являются решениями первоначального	уравнения	( истинно ) .
Рассмотрим теперь общий способ решения линейного	уравнения	вида где х — переменная величина .
Таким образом , мы получили математическую модель , состоящую из трех уравнений и требований к переменным , входящим в эти	уравнения	.
Способ Диофанта дает возможность после нахождения всего лишь одного произвольного решения исходного	уравнения	записать сразу все остальные его решения .
Решите линейные	уравнения	.
Умножим обе части данного	уравнения	на число 30 — наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей .
Пользуясь определением , найдите линейные	уравнения	с одной переменной среди уравнений , приведенных ниже .
Как вы предложили бы назвать	уравнения	данного вида ?
Итак , решениями исходного	уравнения	являются пары чисел вида , где k Z. Проверим , что эти пары чисел действительно являются решениями первоначального уравнения ( истинно ) .
Линейные	уравнения	с модулями могут иметь более сложный вид , например , включать более двух модулей , содержать выражения вне знака модуля .
Теперь раскроем скобки , выполняя умножение одночлена на многочлен , затем приведем подобные слагаемые и найдем корень	уравнения	.
Два	уравнения	равносильны , если корни первого уравнения являются корнями второго уравнения , а корни второго уравнения являются корнями первого уравнения .
1 Если к обеим частям	уравнения	прибавить или вычесть одно и то же число ( выражение ) , то получим уравнение , равносильное данному .
1 Математическими моделями его задач являются	уравнения	, имеющие целые коэффициенты , с двумя и более неизвестными .
2 Если обе части	уравнения	умножить или разделить на одно и то же число ( выражение ) , отличное от нуля , то получим уравнение , равносильное данному .
Все решения	уравнения	могут быть записаны как обыкновенные дроби .
число 1 не является корнем	уравнения	.
332 Решите	уравнения	.
В предыдущих пунктах мы с вами научились решать линейные	уравнения	и неравенства , уравнения с модулями , сводящиеся к линейным .
В предыдущих пунктах мы с вами научились решать линейные уравнения и неравенства ,	уравнения	с модулями , сводящиеся к линейным .
а ) Если некоторые решения уравнения положительные числа , то некоторые положительные числа — решения	уравнения	.
Слагаемое можно переносить из одной части	уравнения	в другую , меняя при этом его знак на противоположный .
Найдите множество решений	уравнения	.
761 Решите	уравнения	.
а ) число ( -2 ) является корнем	уравнения	.
а ) При любых натуральных а и b число 17 не может быть корнем	уравнения	.
Все целые числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в сумме с 6 дает 17 . д ) Число 3 является решением	уравнения	.
а ) Если некоторые решения	уравнения	положительные числа , то некоторые положительные числа — решения уравнения .
а ) Если некоторые решения	уравнения	отрицательные числа , то некоторые отрицательные числа — решения уравнения .
г ) Все корни	уравнения	( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Теперь , уточнив понятие	уравнения	и сформулировав правила равносильных преобразований уравнений , перейдем к изучению общего способа решения одного из видов уравнений .
Какое число можно подставить вместо с , чтобы корнем	уравнения	было четное число ? .
Предложите свой алгоритм решения	уравнения	при k 0 , а затем сравните его с алгоритмом , предложенным в учебнике .
Однако из первого	уравнения	следует , что , а из второго — что , что одновременно выполняться не может .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения	уравнения	х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Два уравнения равносильны , если корни первого уравнения являются корнями второго уравнения , а корни второго уравнения являются корнями первого	уравнения	.
Запишите в общем виде тип	уравнения	, которое вы решали .
Если все решения	уравнения	х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
а ) При любых натуральных а и b число 11 не может быть корнем	уравнения	.
Число 4 не может быть корнем	уравнения	при любых натуральных а и b .
Число 11 не может быть корнем	уравнения	при любых натуральных а и b .
Так , например ,	уравнения	равносильны , так как имеют один и тот же корень .
Если ни одно решение уравнения не делится на 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 10 , значит , некоторые числа , кратные 10 , не являются решениями	уравнения	.
в ) Если ни одно решение	уравнения	не является нечетным числом , а некоторые нечетные числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решением уравнения .
Доказать , что существует решение	уравнения	.
число 2 не является корнем	уравнения	.
в ) Если все уравнения вида — линейные и некоторые линейные уравнения не имеют решений , значит , некоторые	уравнения	вида не имеют решений .
Тем самым мы доказали , что решение указанного	уравнения	существует .
Тем самым мы доказали , что решение указанного	уравнения	существует , что и требовалось доказать .
в ) Если все уравнения вида — линейные и некоторые линейные	уравнения	не имеют решений , значит , некоторые уравнения вида не имеют решений .
Таким образом , корни исходного	уравнения	.
Но мы уже умеем решать такие	уравнения	.
в ) Если все	уравнения	вида — линейные и некоторые линейные уравнения не имеют решений , значит , некоторые уравнения вида не имеют решений .
г ) Если все решения	уравнения	отрицательные числа и некоторые отрицательные числа четные , то некоторые четные числа не являются решениями уравнения .
Но такое разложение на множители не поможет нам в решении многих задач ( например , в решении	уравнения	, которое мы только что рассмотрели ) .
По аналогии с определением линейного	уравнения	с одним неизвестным , дайте определение линейного неравенства с одним неизвестным .
а ) При любых натуральных а и b число 15 не может быть корнем	уравнения	.
Число 3 не может быть корнем	уравнения	при любых натуральных а и b .
Выражение в левой части	уравнения	состоит из трех слагаемых , имеющих общий множитель .
63 Используя метод доказательства от противного , докажите , что при любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем	уравнения	.
г ) Если все решения уравнения отрицательные числа и некоторые отрицательные числа четные , то некоторые четные числа не являются решениями	уравнения	.
Если ни одно решение	уравнения	не делится на 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 10 , значит , некоторые числа , кратные 10 , не являются решениями уравнения .
При этом необходимо учесть , что при умножении обеих частей	уравнения	на 0 равносильность может нарушаться .
Преобразование	уравнения	называют равносильным , если оно приводит к уравнению , равносильному данному .
Так , например , уравнение имеет один корень — число 2 , а корнем	уравнения	является любое рациональное число .
Поэтому умножение обеих частей	уравнения	на 0 , наряду с делением на 0 , так же следует исключить .
А	уравнения	не равносильны , так как первое имеет только один корень , а второе — два корня .
в ) Если ни одно решение уравнения не является нечетным числом , а некоторые нечетные числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решением	уравнения	.
Запишем теперь алгоритм решения линейного	уравнения	с одним неизвестным , обозначив для простоты -b с. Тогда .
Докажите , что а ) При любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем	уравнения	б ) Число 12 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
Докажите , что а ) При любых натуральных а и b число 7 не может быть корнем уравнения б ) Число 12 не может быть корнем	уравнения	при любых натуральных а и b .
в ) Если ни одно решение уравнения не является четным числом , а некоторые четные числа делятся на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9 числа не являются решением	уравнения	.
Таким образом , корнями нашего	уравнения	являются .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем	уравнения	( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Чем данные	уравнения	похожи и чем отличаются ?
Таким образом , мы получили , что корнями исходного	уравнения	являются числа ( -1 ) , ( -2 ) и ( -3 ) .
в ) число 5 является корнем	уравнения	.
Если корень уравнения . Найдите ошибку в решении следующего	уравнения	.
Тем самым мы найдем корни исходного	уравнения	, так как произведение равно нулю тогда и только тогда , когда хотя бы один из множителей равен нулю .
Два уравнения равносильны , если корни первого	уравнения	являются корнями второго уравнения , а корни второго уравнения являются корнями первого уравнения .
Два уравнения равносильны , если корни первого уравнения являются корнями второго	уравнения	, а корни второго уравнения являются корнями первого уравнения .
в ) Если ни одно решение	уравнения	не является четным числом , а некоторые четные числа делятся на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9 числа не являются решением уравнения .
« Он сначала добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х2 ) , а затем разложил получившийся многочлен на множители и нашел корни	уравнения	.
Решите	уравнения	методом проб и ошибок .
Рассмотрим , как с помощью данного алгоритма можно решить более сложные	уравнения	, содержащие модули .
Корни х равно б и х равно -4 данного уравнения являются также корнями исходного уравнения , поскольку они получены в результате равносильных преобразований исходного	уравнения	.
Делим правую и левую части	уравнения	на одно и то же выражение .
число -1,5 не является корнем	уравнения	.
Корни х равно б и х равно -4 данного уравнения являются также корнями исходного	уравнения	, поскольку они получены в результате равносильных преобразований исходного уравнения .
Корни х равно б и х равно -4 данного	уравнения	являются также корнями исходного уравнения , поскольку они получены в результате равносильных преобразований исходного уравнения .
Два уравнения равносильны , если корни первого уравнения являются корнями второго уравнения , а корни второго	уравнения	являются корнями первого уравнения .
689 Решите	уравнения	.
б ) корнем	уравнения	5уявляется любое число .
В правой части	уравнения	выносим за скобки общий множитель 2 , а в левой его части — общий множитель 5 .
« Он сначала добавил к правой и левой части	уравнения	одно и то же число ( -2х2 ) , а затем разложил получившийся многочлен на множители и нашел корни уравнения .
а ) Если некоторые решения уравнения отрицательные числа , то некоторые отрицательные числа — решения	уравнения	.
После этого он добавил к правой и левой части	уравнения	одно и то же число ( -2х ) и , воспользовавшись формулой суммы квадратов , нашел корни уравнения .
« Заметив , что многочлен в правой части	уравнения	имеет общий множитель х , он вынес его за скобки .
Если корень	уравнения	. Найдите ошибку в решении следующего уравнения .
Ни один из корней	уравнения	не делиться на 6 при любых натуральных а и b .
Можно ли решить данные	уравнения	методом перебора ?
После этого он добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число ( -2х ) и , воспользовавшись формулой суммы квадратов , нашел корни	уравнения	.
Ранее , при решении задач , мы часто сталкивались с	уравнениями	вида .
Такие равенства мы и будем называть	уравнениями	.
Все взаимосвязи , заданные в условии задачи , описаны полученными	уравнениями	.
По имени Диофанта уравнения с целыми коэффициентами , которые требуется решить в целых числах , назвали диофантовыми	уравнениями	.
Заметим , что ранее при моделировании задач мы сталкивались лишь с	уравнениями	, но требуемые соотношения могут быть заданы и неравенствами .
Так , в приведенных выше	уравнениях	значения k и b равны .
В конструкторе имеются три вида	фигур	.
Но прежде убедимся , что при данных значениях переменных указанная	фигура	существует .
Мы зафиксировали , что первый угол треугольника на 20 ° больше второго и в три раза меньше третьего , сумма первого и третьего углов равна 120 ° и что заданная	фигура	— треугольник .
Значит , при указанных значениях переменных	фигура	существует .
Соедините все построенные точки так , чтобы получилась симметричная	фигура	.
Все	фигуры	одного вида одинаковые .
Из условия задачи следует , что для существования данной	фигуры	необходимо , чтобы а , b , с были положительными числами и выполнялось неравенство 2а меньше а плюс 2b .
Если эти условия выполняются , то площадь заштрихованной	фигуры	равна .
Тогда площадь получившейся	фигуры	будет равна разности площадей большого и маленького квадратов то есть а2 минус b2 .
Пользуясь правилом умножения одночлена на многочлен , упростим выражение для нахождения площади	фигуры	.
Определите , является ли данная зависимость	функцией	.
В предыдущем пункте мы познакомились с линейной	функцией	, где k и b — некоторые числа , научились строить ее график .
Функция вида , где k и b — произвольные числа , называется линейной	функцией	.
Рассмотрим еще один пример кусочно - линейной функции — зависимость Вспомним определение модуля числа , докажем , что данная зависимость является	функцией	, и построим график этой функции .
Определите , является ли эта зависимость	функцией	.
И так как каждому значению t из области определения ставится в соответствие единственное значение s из области ее значений , то данная зависимость является	функцией	.
Значит , линейная зависимость является функциональной ( то есть	функцией	) .
Прямо пропорциональная зависимость , где k — произвольное число , является функциональной зависимостью , или	функцией	.
Является ли данная зависимость	функцией	?
4 ) Исходя из определения понятия функции , постройте алгоритм , позволяющий установить , является ли данная зависимость	функцией	, или нет .
Определите , является ли эта зависимость	функцией	, и обоснуйте свой ответ .
Значит , эта зависимость является	функцией	, областью определения X которой является множество всех известных нам чисел .
Тем не менее , если в течение некоторых промежутков времени данные величины k и b все же сохраняют свое постоянное значение , процесс на каждом из этих промежутков остается линейным , и поэтому он может быть описан целиком так называемой кусочно - линейной	функцией	.
Таким образом , для того , чтобы определить , является ли данная зависимость	функцией	, надо .
Найдите ее область определения и докажите , что она является	функцией	.
При этом процессы , которые описывает данная функция , характеризовались двумя постоянными величинами k и b , которые не меняли своих значений на всей области определения линейной	функции	( множестве всех известных нам чисел ) .
Выберите из предложенных зависимостей между переменными у и х линейные	функции	, запишите их в виде и определите коэффициенты k и b. Найдите область определения и область значений этих функций .
В таблице значений некоторой линейной	функции	два из пяти значений заданы неверно .
Найдите два способа построения графика линейной	функции	и примените их для построения графика функции .
Может ли график линейной	функции	располагаться на координатной плоскости только : а ) в I и II четвертях ; в ) в I и IV четвертях ; д ) во II и IV четвертях .
Однако на практике цены на товары , скорость движения автомобиля и другие величины обычно со временем меняются , поэтому для описания таких процессов нам нужны будут уже другие	функции	.
Используя определение кусочно - линейной	функции	, запишите алгоритм построения графика кусочно - линейной функции .
Таким образом , зависимость пути s ( в километрах ) , пройденного пешеходом , от времени его движения t ( в часах ) может быть записана на каждом временном интервале с помощью своей линейной	функции	.
Теперь , систематизировав информацию о числовых промежутках , дадим определение кусочно - линейной	функции	.
Определите знаки k u b , если график линейной	функции	расположен в следующих четвертях координатной плоскости : а ) в I , II и III четвертях ; в ) в I , III и IV четвертях ; б ) в I , II и IV четвертях ; г ) во II , III и IV четвертях .
Найдем две точки , принадлежащие графику	функции	.
В каких координатных четвертях расположен график	функции	если .
Прочитайте определение кусочно - линейной	функции	и объясните , почему зависимости подобного вида получили такое название .
Если ни одна ломаная линия не является графиком линейной функции , то ни один график линейной	функции	— не ломаная линия .
Если ни одна ломаная линия не является графиком линейной	функции	, то ни один график линейной функции — не ломаная линия .
а ) Если некоторые функции являются прямо пропорциональными зависимостями , то некоторые прямо пропорциональные зависимости —	функции	.
Таким образом , мы можем записать следующий алгоритм построения графика линейной	функции	.
Найдите три точки , принадлежащие графику	функции	, координаты которых являются целыми числами .
Отметим , что данный алгоритм построения графика линейной	функции	может использоваться при любых k и b. А значит , с его помощью может быть построен и график прямой пропорциональной зависимости ( случай , когда b — 0 ) , и график прямой ( случай , когда k — 0 ) .
Пользуясь определением и алгоритмом построения графика линейной	функции	, запишем алгоритм построения графика кусочно - линейной функции .
а ) Если некоторые	функции	являются прямо пропорциональными зависимостями , то некоторые прямо пропорциональные зависимости — функции .
Используя определение кусочно - линейной функции , запишите алгоритм построения графика кусочно - линейной	функции	.
Пользуясь определением и алгоритмом построения графика линейной функции , запишем алгоритм построения графика кусочно - линейной	функции	.
Алгоритм построения графика кусочно - линейной	функции	. 1 )
Для того чтобы дать точное определение кусочно - линейной	функции	, нам необходимо вначале уточнить понятие числового промежутка — множества чисел , удовлетворяющих некоторому неравенству .
Для того чтобы построить график	функции	, воспользуемся нашим алгоритмом .
Выделить непересекающиеся числовые промежутки , составляющие всю область определения	функции	, на каждом из которых функция является линейной .
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной	функции	, если . Принадлежат ли графику функции точки А и В , если .
Постройте график	функции	, заданной на множестве .
При каких значения b график	функции	проходит через точку А ? .
Отметьте цветным карандашом на оси Ох область определения , а на оси Оу — область значений данной	функции	.
При каких значениях b график	функции	проходит через данную точку ? .
4 Запишем координаты точек , принадлежащих графику	функции	s ( t ) .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение	функции	, если значение аргумента увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций .
Рассмотрим еще один пример кусочно - линейной функции — зависимость Вспомним определение модуля числа , докажем , что данная зависимость является функцией , и построим график этой	функции	.
Постройте график	функции	.
Постройте графики	функции	.
Не строя график	функции	, определите , проходит ли он через точку А .
6 Для каждого числового промежутка проводим через построенные две точки соответствующую часть прямой — график	функции	s ( t ) на этом промежутке .
Проанализируйте взаимное расположение графиков линейных функций на и задайте данные	функции	аналитически ( формулами ) .
Точка А ( р , q ) принадлежит графику	функции	.
Рассмотрим еще один пример кусочно - линейной	функции	— зависимость Вспомним определение модуля числа , докажем , что данная зависимость является функцией , и построим график этой функции .
Не строя графика	функции	, определите , проходит ли он через точку А .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется значение	функции	, если значение аргумента увеличивается на 2 , уменьшается на 1 .
Уравнения данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной	функции	, которая задается выражением аналогичного вида и график которой представляет собой прямую линию .
Как по графику	функции	найти значение коэффициента k ? .
Найдите два способа построения графика линейной функции и примените их для построения графика	функции	.
Не выполняя построение графика	функции	, найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу .
Для	функции	найдите .
В одной координатной плоскости постройте графики линейных функций : Для каждой	функции	определите значения коэффициентов k и b .
Кусочно - линейные	функции	.
Постройте график кусочно - линейной	функции	.
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику	функции	точки А и В , если .
Принадлежат ли графику кусочно - линейной	функции	точки А и В , если .
Постройте график функции и определите по графику , как изменяется значение	функции	у , когда : а ) х возрастает от 2 до 5 ; в ) х убывает от 3 до -2 ; б ) х убывает от 1 до -1 ; г ) х возрастает от -3 до 4 .
Найдите значение аргумента , при котором значение	функции	равно y1 , у2 и у3 .
Определите , какие из точек А , В , С и D принадлежат графику	функции	.
4 Запишем координаты точек , принадлежащих графику	функции	.
Постройте график	функции	и определите по графику , как изменяется значение функции у , когда : а ) х возрастает от 2 до 5 ; в ) х убывает от 3 до -2 ; б ) х убывает от 1 до -1 ; г ) х возрастает от -3 до 4 .
1 Областью определения Т	функции	s(t ) является множество всех t , для которых .
Найдите значение аргумента , при котором значение	функции	равно у1 , у2 и у3 .
А так как модуль числа всегда больше или равен нулю , то областью значений Y этой	функции	являются все известные нам неотрицательные числа .
Определите , не строя график	функции	, проходит ли он через точку А .
Используя свой опыт построения графика	функции	, составьте общий алгоритм построения графика линейной функции и сравните его с алгоритмом , приведенным на стр. учебника .
Используя свой опыт построения графика функции , составьте общий алгоритм построения графика линейной	функции	и сравните его с алгоритмом , приведенным на стр. учебника .
3 Вычислим значения	функции	s(t ) в выбранных точках .
Если область определения	функции	может быть разбита на конечное число непересекающихся числовых промежутков , объединение которых дает всю область определения , и на каждом из этих промежутков функция линейная , то такая функция называется кусочно - линейной .
Для того чтобы построить график	функции	, заметим , что он получается сдвигом графика вдоль оси Оу на 3 единицы вверх .
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной	функции	, если . Принадлежат ли графику функции точки А и .
Пусть областью определения	функции	f является множество и каждому значению сопоставлено значение у , указанное в соответствующем столбце таблицы .
Областью определения данной	функции	являются все известные нам числа .
Задайте данную функцию с помощью : а ) таблицы значений от -3 до 3 с шагом 1 ; б ) графика	функции	.
Табличный способ задания	функции	удобен тем , что соответствующие значения х и у можно определить сразу , без дополнительных усилий .
Найдите область определения и область значений этой	функции	.
Рассмотрим частные случаи	функции	, когда k и ( или ) b принимают значения , равные нулю .
Такой способ задания	функции	называется табличным .
Таким образом , если b 0 , то линейная функция превращается в прямую пропорциональность , а если k 0 , то графиком линейной	функции	является прямая , .
Согласно определению , линейными являются , например , следующие	функции	.
Чтобы построить график	функции	, например , построим сначала знакомый нам график прямой пропорциональности .
График линейной	функции	, где k и b — произвольные числа , может быть получен из графика функции путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно .
Поэтому возникает необходимость в других способах задания	функции	.
Точка А ( р ; q ) принадлежит графику	функции	.
Задание	функции	словесным описанием .
График линейной функции , где k и b — произвольные числа , может быть получен из графика	функции	путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно .
4 ) Исходя из определения понятия	функции	, постройте алгоритм , позволяющий установить , является ли данная зависимость функцией , или нет .
Итак , график линейной	функции	также является прямой .
Построим , например , график	функции	.
Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции , если . Принадлежат ли графику	функции	точки А и .
Найденная ордината будет равна значению	функции	в точке х. Например , на графике , представленном выше .
Аналитический способ задания	функции	( с помощью формулы ) .
Запишите несколько других обозначений	функции	и прочитайте свои записи .
3 Найти точку пересечения этой прямой с графиком	функции	.
А областью определения данной	функции	, которая получила название линейной , являются все известные нам числа .
Понятие	функции	такое же основное и первоначальное , как понятие множества .
Графиком	функции	является прямая линия .
Задание	функции	таблицей .
Вместе с тем данный способ задания	функции	является достаточно громоздким , трудным для восприятия и осознания , а главное — неудобным для последующего исследования функции и работы с ней .
Определите коэффициент пропорциональности	функции	, проходящей через точку А. Опишите расположение ее графика в координатной плоскости .
Задайте эти	функции	формулами и постройте их графики в одной системе координат Оху .
Вместе с тем данный способ задания функции является достаточно громоздким , трудным для восприятия и осознания , а главное — неудобным для последующего исследования	функции	и работы с ней .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График	функции	является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
Аналогично при знаки х и у всегда различны , поэтому график данной	функции	располагается во II и IV координатных четвертях .
Расположение графика	функции	на координатной плоскости зависит от знака коэффициента k. Так , если , то знаки соответствующих значений х и у всегда одинаковы , поэтому график располагается в I и III координатных четвертях .
Задайте данные	функции	аналитически ( формулой ) .
Алгоритм построения графика	функции	.
Найдите ее значение в точках Составьте таблицу значений	функции	.
если . Принадлежат ли графику	функции	точки А и В , если .
Найдите значение аргумента , при котором значение	функции	равно у1 у2 и у3 .
Например , чтобы построить график	функции	, можно взять значение , найти соответствующее значение , а затем провести прямую через полученную точку ( 4 ; -2 ) и начало координат .
Прямая проходит через начало координат и точку А. Является ли эта прямая графиком	функции	, если .
Задание	функции	графически .
Так как график прямой пропорциональности — это прямая , а через две различные точки можно провести ровно одну прямую , то для построения графика	функции	нам достаточно найти лишь две точки , принадлежащие этой прямой .
Задание	функции	аналитически .
Задание	функции	.
Исходя из определения понятия	функции	, установите , какие из этих зависимостей являются функциональными , а какие нет .
В таблице значений некоторой линейной	функции	два значения из пяти заданы неверно .
Не выполняя построение графика	функции	, найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу и после этого постройте график .
Определите коэффициент пропорциональности	функции	, проходящей через точку А. В каких координатных четвертях расположен ее график ? .
График	функции	.
если . Принадлежат ли графику	функции	точки А я В , если .
График	функции	всегда проходит через начало координат — точку О ( 0 ; 0 ) .
Исходя из определения понятия	функции	, мы можем заключить , что зависимости , заданные схемами а и г , являются функциональными , а схемами б и в — нет .
Найдите значение аргумента , при котором значение	функции	равно 1 , 3 , -2 .
Задание	функции	с помощью словесного описания .
2 ) Какие способы задания	функции	были использованы ?
Этот способ удобен для построения произвольного графика линейной	функции	.
Множество X при этом называется областью определения , а множество Y — областью значений данной	функции	.
Функция — одно из важнейших понятий математики , и нам важно теперь научиться обозначать	функции	, а также выяснить , каким образом можно задать функцию .
Используя график	функции	, найти ее значение в некоторой точке х можно следующим образом .
Поскольку значение у зависит от х , а х мы выбираем произвольно из области определения , то х — это независимая переменная , или , как говорят иначе , аргумент	функции	, а у — зависимая переменная .
Табличный способ задания	функции	.
Числа и	функции	— не произвольные продукты нашего духа , они существуют вне нас с тем же характером необходимости , как вещи объективной реальности .
Областью определения этой	функции	является множество всех рациональных чисел .
Так как коэффициент b нашей линейной функции равен , то график функции получается из графика	функции	параллельным переносом вдоль оси Оу на 1 единицу вниз .
Таким образом , мы приходим к следующему определению понятия	функции	, где независимая переменная обозначается буквой х , зависимая — буквой у , а правило соответствия — буквой f .
Графический способ задания	функции	основан на следующем .
Так как коэффициент b нашей линейной функции равен , то график	функции	получается из графика функции параллельным переносом вдоль оси Оу на 1 единицу вниз .
Прежде чем дать определение	функции	, вспомним предыдущий пример .
Построенные таким образом точки плоскости образуют множество точек , называемое графиком	функции	.
Найдите область определения и область значений каждой	функции	.
Так как выражение имеет смысл для всех х , не равных нулю , то областью определения нашей	функции	является множество всех известных нам чисел , кроме нуля .
Указать правило f , по которому каждому элементу сопоставляется единственное значение	функции	у .
Прочитайте , как шифрование связано с понятием	функции	, что называется ключом шифра , какие бывают виды шифров .
Итак , отличительной особенностью функциональной зависимости (	функции	) является то , что для каждого элемента из ее области определения 1 ) существует и 2 ) единственный соответствующий элемент из области ее значений .
Составьте таблицу значений	функции	.
Понятие	функции	и ее практическое применение . 1 .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения	функции	строится точка , координата которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению функции .
На координатной плоскости Оху для каждого значения х из области определения функции строится точка , координата которой на оси Ох ( абсцисса ) равна выбранному значению х , а координата на оси Оу ( ордината ) равна соответствующему значению	функции	.
Так как коэффициент b нашей линейной	функции	равен , то график функции получается из графика функции параллельным переносом вдоль оси Оу на 1 единицу вниз .
Графический способ задания	функции	.
Способы задания	функции	.
Например , запись означает , что s является	функций	от f и правило зависимости s от t обозначено буквой g .
Аналитический способ задания	функций	очень удобен .
Проанализируйте взаимное расположение графиков линейных	функций	на и задайте данные функции аналитически ( формулами ) .
Как мы уже знаем , для обозначения	функций	пользуются буквами , чаще всего х , у и f.
Задайте формулой каждую из	функций	, графики которых представлены .
Задайте аналитически ( формулой ) каждую из	функций	.
Глава 5 Введение в теорию	функций	. 1 .
Задайте аналитически ( формулой ) каждую из	функций	, представленных на графике .
Выберите из предложенных зависимостей между переменными у и х линейные функции , запишите их в виде и определите коэффициенты k и b. Найдите область определения и область значений этих	функций	.
На одной координатной плоскости Оху постройте графики линейных	функций	и найдите координаты их точки пересечения .
В одной координатной плоскости постройте графики линейных	функций	: Для каждой функции определите значения коэффициентов k и b .
Для каждой из выбранных	функций	назовите коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения ее графика на координатной плоскости .
Из приведенных ниже	функций	выберите те , которые являются прямой пропорциональностью .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если значение аргумента увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики функций : 2 ) Как расположены относительно прямой графики	функций	.
Постройте графики этих	функций	.
Как для каждой из указанных	функций	найти .
Постройте на одной координатной плоскости графики	функций	, два графика прямой пропорциональности , один из которых проходит через точку А , а другой — через точку В.
Постройте на одной координатной плоскости графики	функций	.
Постройте на одной координатной плоскости графики трех данных	функций	.
Чему равно множество значений каждой из этих	функций	?
Можно ли задать каждую из трех данных	функций	с помощью формулы , таблицы и графика ? .
Определите по графикам , на сколько единиц изменяется ( уменьшается или увеличивается ) значение функции , если значение аргумента увеличивается на 1 , уменьшается на 2 . 1 ) Как расположены относительно прямой графики	функций	: 2 ) Как расположены относительно прямой графики функций .
Действительно , найдем значение этих	функций	в произвольной точке х0 .
Используя таблицы , постройте графики этих	функций	для указанных значений х .
е ) Является ли зависимость пути автомобилиста от времени его движения	функциональной	?
Является ли данная зависимость	функциональной	?
Является ли данная зависимость	функциональной	? .
Если хотя бы одно из этих двух требований не выполняется , то зависимость не является	функциональной	.
Итак , отличительной особенностью	функциональной	зависимости ( функции ) является то , что для каждого элемента из ее области определения 1 ) существует и 2 ) единственный соответствующий элемент из области ее значений .
Определите , является ли данная зависимость	функциональной	, и обоснуйте свой ответ .
Определите , является ли данная зависимость	функциональной	.
Прямо пропорциональная зависимость , где k — произвольное число , является	функциональной	зависимостью , или функцией .
Является ли эта зависимость	функциональной	? .
Значит , линейная зависимость является	функциональной	( то есть функцией ) .
Для того чтобы выделить их среди всех других зависимостей , их назвали	функциональными	зависимостями , или функциями .
Исходя из определения понятия функции , установите , какие из этих зависимостей являются	функциональными	, а какие нет .
Определите , какие из указанных зависимостей являются	функциональными	, и обоснуйте свой ответ .
Исходя из определения понятия функции , мы можем заключить , что зависимости , заданные схемами а и г , являются	функциональными	, а схемами б и в — нет .
Определите , какие из них являются	функциональными	, а какие нет .
Зададим	функцию	f следующим образом : « всем неотрицательным рациональным числам поставим в соответствие число 1 , а всем отрицательным — число ( -1 ) » .
Задайте	функцию	аналитически , используя ее график .
Задайте эту	функцию	таблицей значений от -4 до 4 ( с шагом , равным 1 ) и формулой .
Задайте эту	функцию	словесным описанием и графически .
Задайте эту	функцию	: а ) таблицей значений от -4 до 4 с шагом , равным 1 ; б ) словесным описанием ; в ) формулой .
Что значит задать ( определить )	функцию	?
Можно задать	функцию	, указав все значения независимой переменной и для каждого из них — соответствующее значение зависимой переменной .
Прямая проходит через точки А и В. Задайте аналитически линейную	функцию	, графиком которой является эта прямая , и постройте ее график .
Задайте данную	функцию	с помощью : а ) словесного описания ; б ) таблицы значений от -3 до 3 с шагом 1 . ( Шагом называют разность между двумя соседними значениями аргумента . ) .
Задайте данную	функцию	с помощью : а ) таблицы значений от -3 до 3 с шагом 1 ; б ) графика функции .
И для каждого х из области ее определения существует и единственное соответствующее значение у , которое мы можем вычислить по формуле , задающей	функцию	.
Таким образом , для того , чтобы задать	функцию	, необходимо .
В этом случае можно задать	функцию	графически .
Функция — одно из важнейших понятий математики , и нам важно теперь научиться обозначать функции , а также выяснить , каким образом можно задать	функцию	.
Что необходимо сделать , чтобы задать	функцию	?
Но на каждом ее « куске » , то есть промежутке времени , на котором тип движения не меняется ,	функция	является линейной , поэтому ее и называют кусочно - линейной .
линейная	функция	с областью определения . 3 ) линейная функция с областью определения .
Вместе с тем данная	функция	не является линейной , так как на всей области определения она не может быть представлена в виде s , где k и b — некоторые числа .
линейная	функция	, область определения которой состоит из всех значений t , удовлетворяющих неравенству .
Фактически при кодировании информации задается некоторая	функция	, правило преобразования текста .
линейная функция с областью определения . 3 ) линейная	функция	с областью определения .
2 Линейные процессы и линейная	функция	.
Данная	функция	преобразовывает исходное сообщение в зашифрованное .
При этом процессы , которые описывает данная	функция	, характеризовались двумя постоянными величинами k и b , которые не меняли своих значений на всей области определения линейной функции ( множестве всех известных нам чисел ) .
Линейная	функция	и ее график .
Какими же способами может быть задана	функция	? .
Линейная	функция	.
Таким образом ,	функция	полностью определена .
Кусочно - линейная	функция	.
Если область определения функции может быть разбита на конечное число непересекающихся числовых промежутков , объединение которых дает всю область определения , и на каждом из этих промежутков	функция	линейная , то такая функция называется кусочно - линейной .
Если область определения явно не указана , то мы будем считать , что	функция	задана для всех допустимых значений х , то есть тех значений х , при которых указанная формула имеет смысл .
Таким образом , если b 0 , то линейная	функция	превращается в прямую пропорциональность , а если k 0 , то графиком линейной функции является прямая , .
Выделить непересекающиеся числовые промежутки , составляющие всю область определения функции , на каждом из которых	функция	является линейной .
Если область определения функции может быть разбита на конечное число непересекающихся числовых промежутков , объединение которых дает всю область определения , и на каждом из этих промежутков функция линейная , то такая	функция	называется кусочно - линейной .
На практике	функция	изначально может задаваться некоторым графиком .
Для того чтобы выделить их среди всех других зависимостей , их назвали функциональными зависимостями , или	функциями	.
Определите , какие из приведенных ниже зависимостей являются	функциями	.
Являются ли данные зависимости	функциями	? .
Полученный вывод имеет общий	характер	.
А если множество X имеет бесконечное число элементов , то табличный способ не даст полной информации о	характере	исследуемой зависимости .
Тем не менее рассмотренных нами статистических	характеристик	иногда бывает недостаточно для того , чтобы получить интересующую нас информацию о числовом наборе .
Одной из важных	характеристик	одночлена является его степень .
Однако данная	характеристика	не является достаточной для полноценного анализа числового набора .
Вообще , вероятность некоторого случайного события А — это числовая	характеристика	возможности наступления события А в условиях , которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз .
В этом пункте мы познакомимся с некоторыми другими важными	характеристиками	систем числовых данных .
Сравните свои варианты со статистическими	характеристиками	, приведенными в учебнике .
Полученный нами при решении задачи результат приводит нас к еще одной статистической	характеристике	набора чисел , называемой медианой .
В математической статистике для описания и анализа имеющихся числовых данных используются статистические	характеристики	.
Статистические	характеристики	.
После того как мы научились записывать одночлены в стандартном виде , нам становится проще определять некоторые их	характеристики	и производить с ними арифметические действия .
Какие еще	характеристики	указанного набора чисел вы могли бы предложить ?
Поэтому в статистике для наборов чисел вводятся и другие	характеристики	: наибольшее и наименьшее значение набора чисел , размах набора чисел .
В результате анализа представленной информации были вычислены следующие статистические	характеристики	.
Такую статистическую	характеристику	, дающую представление о наиболее часто встречающемся в числовом наборе значении , также бывает важно знать .
Определите , какую статистическую	характеристику	могли вычислять в каждом из пунктов .
Числа и функции — не произвольные продукты нашего духа , они существуют вне нас с тем же	характером	необходимости , как вещи объективной реальности .
Доказав для каждого из классов , что квадрат соответствующего	целого	числа либо делится на 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех целых чисел .
а ) квадрат любого	целого	числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное .
Доказать , что квадрат любого	целого	числа либо кратен 3 , либо при делении на 3 дает остаток 1 .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого	целого	числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
в ) ( 6а плюс 6)2 минус 1 делится на 12 для любого целого а . г ) ( 8b плюс 5)2 минус 9 делится на 16 для любого	целого	b .
б ) разность куба	целого	числа и самого числа делится на 6 .
593 Докажите , что если z3 минус z для любого	целого	числа z делится на 5 , то .
в ) ( 6а плюс 6)2 минус 1 делится на 12 для любого	целого	а . г ) ( 8b плюс 5)2 минус 9 делится на 16 для любого целого b .
Докажите , что а3 для любого	целого	числа а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . а ) Колонна демонстрантов растянулась на 800 м .
в ) Если сумма цифр	целого	числа делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если целое число кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
Все указанные подмножества не пересекаются друг с другом , так как по теореме делимости при делении любого	целого	числа на 4 не может возникнуть два различных остатка ( единственность ) .
а ) произведение двух последовательных четных чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б ) произведение чисел для любого	целого	а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
а ) сумма	целого	числа и его квадрата есть число четное .
б ) ( 9 t минус 4)2 минус 16 делится на 9 для любого	целого	t .
Доказать , что квадрат любого	целого	числа либо кратен 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 .
Из 1	целого	яйца получается 1 часть взбитых яиц .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого	целого	числа а .
Докажите , что : а ) для любого	целого	числа а делится на 3 ; б ) для любого целого числа b делится на 4 .
Докажите , что : а ) для любого целого числа а делится на 3 ; б ) для любого	целого	числа b делится на 4 .
Для любого	целого	, то указанная разность делится на m. Но тогда , по теореме 1 , что и требовалось доказать . .
а ) при делении на 4 дает остаток 1 для любого	целого	.
Не существует	целого	числа , которое при делении на 8 дает остаток 6 , а при делении на 16 дает остаток 4 .
Если целое число а не делится на 11 , то число 4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего	целого	числа , которое при делении на 7 дает остаток 2
Докажите , что : а ) для любого целого числа а делится на 3 ; б ) для любого	целого	числа b делится на 5 .
а ) а2 не делится на 3 для любого	целого	числа а .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого	целого	числа делится на с .
Докажите , что : а ) для любого	целого	числа а делится на 3 ; б ) для любого целого числа b делится на 5 .
Нам известно , что результат деления одного	целого	числа на другое , как и в случае натуральных чисел , не всегда будет числом целым .
Не существует	целого числа	, которое при делении на 8 дает остаток 6 , а при делении на 16 дает остаток 4 .
Докажите , что : а ) для любого целого числа а делится на 3 ; б ) для любого	целого числа	b делится на 4 .
Докажите , что : а ) для любого целого числа а делится на 3 ; б ) для любого	целого числа	b делится на 5 .
Докажите , что : а ) для любого	целого числа	а делится на 3 ; б ) для любого целого числа b делится на 4 .
Докажите , что : а ) для любого	целого числа	а делится на 3 ; б ) для любого целого числа b делится на 5 .
Если целое число а не делится на 11 , то число 4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего	целого числа	, которое при делении на 7 дает остаток 2
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого	целого числа	а .
а ) квадрат любого	целого числа	на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное .
Доказать , что квадрат любого	целого числа	либо кратен 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 .
а ) а2 не делится на 3 для любого	целого числа	а .
Доказав для каждого из классов , что квадрат соответствующего	целого числа	либо делится на 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех целых чисел .
Доказать , что квадрат любого	целого числа	либо кратен 3 , либо при делении на 3 дает остаток 1 .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого	целого числа	делится на с .
593 Докажите , что если z3 минус z для любого	целого числа	z делится на 5 , то .
а ) сумма	целого числа	и его квадрата есть число четное .
Нам известно , что результат деления одного	целого числа	на другое , как и в случае натуральных чисел , не всегда будет числом целым .
Докажите , что а3 для любого	целого числа	а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . а ) Колонна демонстрантов растянулась на 800 м .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого	целого числа	при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
б ) разность куба	целого числа	и самого числа делится на 6 .
Все указанные подмножества не пересекаются друг с другом , так как по теореме делимости при делении любого	целого числа	на 4 не может возникнуть два различных остатка ( единственность ) .
в ) Если сумма цифр	целого числа	делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если целое число кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
Значит , каждое	целое	число обязательно попадет в какое - либо из указанных подмножеств , то есть : .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если	целое	число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если	целое	число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Функцию задали следующим образом : каждому рациональному числу q поставили в соответствие наибольшее	целое	число , не превосходящее этого числа .
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если	целое	число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если	целое	число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если	целое	число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Найдите	целое	число , которое на 48 больше противоположного себе числа .
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и b . 1 Найти наибольшее	целое	число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
Зависимость задали следующим образом , каждому рациональному числу а поставили в соответствие наименьшее	целое	число , большее этого числа .
а ) Если	целое	число оканчивается на 0 , то оно делится на 2 и на 5 .
Целое число а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое	целое	число с , что .
Целое число а делится ( без остатка ) на	целое	число , если существует такое целое число с , что .
Если , то мы получим равенство , которое верно для любого с. Поэтому деление не определено однозначно : его результатом может быть любое	целое	число .
Как разделить одно	целое	число на другое с остатком ? .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если	целое	число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если	целое	число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Поэтому любое	целое	число может попасть только в один класс , и у данных классов не будет общих элементов , то есть .
Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое	целое	число , делится на 1 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если	целое	число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а —	целое	число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и	целое	число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
173 Существует ли такое	целое	число , которое .
Таким образом , мы научились по коэффициентам линейных уравнений с двумя неизвестными сразу выделять те из них , которые имеют хотя бы одно	целое	решение .
Если	целое	число при делении на ( -3 ) дает остаток 2 , то оно не делится на ( -27 ) .
в ) Если	целое	число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если	целое	число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Если произведение двух целых чисел делится на некоторое	целое	число , то хотя бы один из множителей делится на это число .
Поэтому если мы разделим обе части последнего равенства на 35 , то получим в левой и правой части некоторое	целое	число .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и	целое	число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
а ) Если каждое из двух целых чисел делится на некоторое	целое	число , то и их сумма делится на это число .
а ) Если	целое	число а делится на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если целое число 15а делится на 5 , то число а также делится на 5 .
Найдите	целое	число , которое при увеличении на 6,25 дает тот же результат , что и при умножении на 7,25 .
б ) Если	целое	число b делится на (-8 ) , то число 3b делится на (-8 ) .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если	целое	число а делится на 3 , то число делится на 6 .
з ) Если	целое	число а делится на 4 , то число делится на 8 .
а ) Если	целое	число а не делится на ( -4 ) , то число За не делится на ( -4 ) .
а ) Если целое число а делится на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если	целое	число 15а делится на 5 , то число а также делится на 5 .
б ) Если	целое	число делится на 2 , то оно оканчивается на 2 .
в ) Если сумма цифр целого числа делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если	целое	число кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
Можно найти такое	целое	число , делителем которого является 7 . д ) Все целые числа , делящиеся на 5 , составные .
Значит , по теореме 1 , существует такое	целое	.
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если	целое	число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
наибольшее решение неравенства . г ) наименьшее решение неравенства . д ) наибольшее	целое	решение неравенства . е )
а ) Если	целое	число делится на ( -3 ) , то оно не может при делении на ( -12 ) давать остаток 7 .
наименьшее	целое	решение неравенства .
А нечетная степень отрицательного числа содержит	целое	число пар отрицательных множителей и еще один отрицательный множитель .
Если число х —	целое	, то число х2 также целое .
в ) Если целое число делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если	целое	число при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
Если число х — целое , то число х2 также	целое	.
Зависимость задали следующим образом : каждому целому числу поставили в соответствие его остаток при делении на	целое	число а .
в ) Если	целое	число делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если целое число при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
б ) если	целое	число а не делится на 5 , то делится на 5 .
Если ни одно решение уравнения 2х равно 1 не является целым числом , то ни одно	целое	число не является решением уравнения 2х равно 1 .
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если	целое	число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
Если число х —	целое	, то число — целое .
г ) Если число х —	целое	, то число х3 также целое .
г ) Если число х — целое , то число х3 также	целое	.
Если	целое	число при делении на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не делится на ( -4 ) .
407 а ) Целое число а при делении на 12 дает в остатке 5 , а	целое	число с при делении на 12 дает в остатке 7 .
в ) Если	целое	число делится на 4 , то оно делится на 8 .
а ) Если	целое	число делится на ( -7 ) , то оно не может при делении на ( -14 ) давать остаток 5 .
Все целые числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое	целое	число , которое в сумме с 6 дает 17 . д ) Число 3 является решением уравнения .
Если	целое	число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
Если	целое	число при делении на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не делится на ( -18 ) .
Если два целых числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое	целое	число m , то говорят , что а и b сравнимы по модулю m , и пишут .
Существует ли такое	целое	число , которое .
Никакая другая отрасль теории чисел не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых чисел , этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят делиться нацело ни на какое	целое	число за исключением себя и единицы .
в ) Каждое	целое	число делится само на себя .
По условию х —	целое	число .
Можно найти	целое	число , которое при делении на 3 дает остаток 4 . д ) Есть целые числа , которые не делятся на единицу .
Дробь - это не	целое	число .
181 Существует ли такое	целое	число , которое .
11 , то каждое	целое	число сравнимо с одним из них и , следовательно , будет представлено соответствующей точкой данной окружности .
Если	целое	число при делении на 21 дает остаток 8 , то при делении на 7 оно даст остаток 1 .
Известно , что	целое	число а делится на целое число b.
Какое число можно подставить вместо b , чтобы корнем уравнение было	целое	число ? .
Известно , что целое число а делится на	целое	число b.
Запишем полученное произведение , представляя	целое	число или отдельную букву в виде дроби со знаменателем 1 .
Из них можно составить	целое	число пар , в каждой из которых при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число .
Если	целое	число а не делится на 11 , то число 4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего целого числа , которое при делении на 7 дает остаток 2
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если	целое	число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
в ) Если	целое	число 3с делится на 8 , то число с делится на 8 .
а ) Любое	целое	число , отличное от нуля , делится само на себя .
Если	целое	число b делится на 5 , то число 4b делится на 20 .
Какое число можно подставить вместо 6 , чтобы корнем уравнение было	целое	число ? .
а ) Если	целое	число а делится на 7 , то число За делится на 7 .
428 а ) Целое число а при делении на 14 дает в остатке 7 , а	целое	число b при делении на 14 дает в остатке 9 .
в ) Если	целое	число делится на ( -2 ) , то оно не может при делении на (-8 ) давать остаток 3 .
в ) Если сумма цифр целого числа делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если	целое число	кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
а ) Если	целое число	оканчивается на 0 , то оно делится на 2 и на 5 .
Запишем полученное произведение , представляя	целое число	или отдельную букву в виде дроби со знаменателем 1 .
б ) Если	целое число	делится на 2 , то оно оканчивается на 2 .
407 а ) Целое число а при делении на 12 дает в остатке 5 , а	целое число	с при делении на 12 дает в остатке 7 .
в ) Если	целое число	делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если целое число при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
Функцию задали следующим образом : каждому рациональному числу q поставили в соответствие наибольшее	целое число	, не превосходящее этого числа .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если	целое число	а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если	целое число	Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если	целое число	делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если	целое число	при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если	целое число	делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если	целое число	при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Значит , каждое	целое число	обязательно попадет в какое - либо из указанных подмножеств , то есть : .
Поэтому любое	целое число	может попасть только в один класс , и у данных классов не будет общих элементов , то есть .
а ) Если целое число а делится на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если	целое число	15а делится на 5 , то число а также делится на 5 .
з ) Если	целое число	а делится на 4 , то число делится на 8 .
а ) Если	целое число	а не делится на ( -4 ) , то число За не делится на ( -4 ) .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если	целое число	а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и	целое число	b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
а ) Если	целое число	а делится на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если целое число 15а делится на 5 , то число а также делится на 5 .
а ) Если каждое из двух целых чисел делится на некоторое	целое число	, то и их сумма делится на это число .
б ) Если	целое число	b делится на (-8 ) , то число 3b делится на (-8 ) .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если	целое число	а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Если произведение двух целых чисел делится на некоторое	целое число	, то хотя бы один из множителей делится на это число .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и	целое число	b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если	целое число	а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Если	целое число	при делении на ( -3 ) дает остаток 2 , то оно не делится на ( -27 ) .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а —	целое число	и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если	целое число	делится на ( -2 ) , то оно не может при делении на (-8 ) давать остаток 3 .
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и b . 1 Найти наибольшее	целое число	k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
Целое число а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое	целое число	с , что .
Целое число а делится ( без остатка ) на	целое число	, если существует такое целое число с , что .
Если , то мы получим равенство , которое верно для любого с. Поэтому деление не определено однозначно : его результатом может быть любое	целое число	.
Можно найти такое	целое число	, делителем которого является 7 . д ) Все целые числа , делящиеся на 5 , составные .
в ) Каждое	целое число	делится само на себя .
Дробь - это не	целое число	.
Если	целое число	при делении на 21 дает остаток 8 , то при делении на 7 оно даст остаток 1 .
Если	целое число	а не делится на 11 , то число 4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего целого числа , которое при делении на 7 дает остаток 2
в ) Если	целое число	3с делится на 8 , то число с делится на 8 .
Если	целое число	b делится на 5 , то число 4b делится на 20 .
а ) Если	целое число	а делится на 7 , то число За делится на 7 .
Зависимость задали следующим образом : каждому целому числу поставили в соответствие его остаток при делении на	целое число	а .
а ) Если	целое число	делится на ( -7 ) , то оно не может при делении на ( -14 ) давать остаток 5 .
Все целые числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое	целое число	, которое в сумме с 6 дает 17 . д ) Число 3 является решением уравнения .
428 а ) Целое число а при делении на 14 дает в остатке 7 , а	целое число	b при делении на 14 дает в остатке 9 .
Если	целое число	при делении на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не делится на ( -4 ) .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если	целое число	а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если	целое число	при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
а ) Если	целое число	делится на ( -3 ) , то оно не может при делении на ( -12 ) давать остаток 7 .
Существует ли такое	целое число	, которое .
Если	целое число	при делении на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не делится на ( -18 ) .
Никакая другая отрасль теории чисел не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых чисел , этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят делиться нацело ни на какое	целое число	за исключением себя и единицы .
Известно , что целое число а делится на	целое число	b.
Известно , что	целое число	а делится на целое число b.
11 , то каждое	целое число	сравнимо с одним из них и , следовательно , будет представлено соответствующей точкой данной окружности .
Если два целых числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое	целое число	m , то говорят , что а и b сравнимы по модулю m , и пишут .
Как разделить одно	целое число	на другое с остатком ? .
б ) если	целое число	а не делится на 5 , то делится на 5 .
Зависимость задали следующим образом , каждому рациональному числу а поставили в соответствие наименьшее	целое число	, большее этого числа .
Если ни одно решение уравнения 2х равно 1 не является целым числом , то ни одно	целое число	не является решением уравнения 2х равно 1 .
181 Существует ли такое	целое число	, которое .
в ) Если	целое число	делится на 4 , то оно делится на 8 .
Поэтому если мы разделим обе части последнего равенства на 35 , то получим в левой и правой части некоторое	целое число	.
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если	целое число	кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
Можно найти	целое число	, которое при делении на 3 дает остаток 4 . д ) Есть целые числа , которые не делятся на единицу .
Какое число можно подставить вместо b , чтобы корнем уравнение было	целое число	? .
Из них можно составить	целое число	пар , в каждой из которых при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число .
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если	целое число	при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое	целое число	, делится на 1 .
Найдите	целое число	, которое на 48 больше противоположного себе числа .
Найдите	целое число	, которое при увеличении на 6,25 дает тот же результат , что и при умножении на 7,25 .
А нечетная степень отрицательного числа содержит	целое число	пар отрицательных множителей и еще один отрицательный множитель .
Какое число можно подставить вместо 6 , чтобы корнем уравнение было	целое число	? .
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если	целое число	кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
Если	целое число	делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если	целое число	а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
173 Существует ли такое	целое число	, которое .
а ) Любое	целое число	, отличное от нуля , делится само на себя .
По условию х —	целое число	.
Зависимость задали следующим образом : каждому	целому	числу поставили в соответствие его остаток при делении на целое число а .
Так как дни недели повторяются каждые 7 дней , то , выбрав точку отсчета , мы можем каждому	целому	числу , а поставить в соответствие день недели , определяемый как остаток от деления а на 7 .
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же	целому	числу k. А значит , приравняв к числу k каждое из выражений , мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения .
На этой прямой каждому	целому	числу поставлена в соответствие определенная точка .
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при решении задач 1 и 2 , множество решений данного линейного уравнения получить просто невозможно , так как каждому	целому	числу k будет соответствовать своя пара целых х и у , удовлетворяющих исходному уравнению .
На этой прямой каждому	целому числу	поставлена в соответствие определенная точка .
Так как дни недели повторяются каждые 7 дней , то , выбрав точку отсчета , мы можем каждому	целому числу	, а поставить в соответствие день недели , определяемый как остаток от деления а на 7 .
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при решении задач 1 и 2 , множество решений данного линейного уравнения получить просто невозможно , так как каждому	целому числу	k будет соответствовать своя пара целых х и у , удовлетворяющих исходному уравнению .
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же	целому числу	k. А значит , приравняв к числу k каждое из выражений , мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения .
Зависимость задали следующим образом : каждому	целому числу	поставили в соответствие его остаток при делении на целое число а .
369 Выделите	целую	часть дроби .
149 Выделите	целую	часть дроби .
138 Выделите	целую	часть дроби .
При этом коэффициенты всех членов получившегося в скобках многочлена —	целые	числа , которые не имеют общих делителей , отличных от 1 .
а ) Если	целые	числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
На шарах написаны	целые	числа от 1 до 100 .
231 Отметьте на числовой прямой	целые	числа , которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
243 Докажите , что какими бы ни были	целые	числа а и с , одно из чисел : а , с , а минус с , 2а минус с делится на 3 .
а ) Некоторые	целые	числа при делении на 6 дают остаток ( -1 ) .
1 Математическими моделями его задач являются уравнения , имеющие	целые	коэффициенты , с двумя и более неизвестными .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных чисел , называемых также положительными целыми числами , существуют числа , им противоположные , - отрицательные	целые	числа и 0 .
Например , если в рассмотренном выше уравнении значения х и у должны принадлежать промежуткам , где х , у Z , то k может принимать лишь	целые	значения , удовлетворяющие следующим неравенствам .
Можно найти такое целое число , делителем которого является 7 . д ) Все	целые	числа , делящиеся на 5 , составные .
Уравнения , решениями которых являются	целые	числа , интересовали ученых еще в древности .
После этого , используя свойства уравнения и найденное решение , можно будет выразить значения х и у через некоторую единую переменную величину ( обозначаемую , например , k ) , принимающую	целые	значения .
Все	целые	числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в сумме с 6 дает 17 . д ) Число 3 является решением уравнения .
Разделив обе части данного неравенства на 4 , получим х. И так как по условию х , то х может принимать лишь	целые	значения из промежутка .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 -	целые	числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Разделим	целые	числа на три класса в зависимости от их остатков от деления на 3 .
Подставляя затем вместо k в зависимости x и у от k все возможные	целые	значения k , получим все целые решения исходного уравнения .
Например , имеет ли смысл искать	целые	корни следующих уравнений или сразу можно сказать , что они не имеют целых решений ? .
Тогда , по теореме 1 , существуют	целые	числа k и l , такие , что .
а ) Частное от деления числа 75 само на себя равно 1 . б ) Существуют	целые	числа , которые при делении их на себя дают в частном 2 .
Существуют	целые	числа , делящиеся на нуль .
Все целые числа , которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют	целые	числа , которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро возводить в квадрат двучлены , но и устно возводить в квадрат числа , причем не только	целые	, но и дробные .
Для случая деления без остатка мы получили , что распространить наши знания можно , просто заменив в определении « натуральные числа » на «	целые	» и исключив случай .
Все	целые	числа при делении на 17 дают остаток 9 .
Полученные остатки r , r1 , r2 .. - это	целые	неотрицательные числа , которые последовательно уменьшаются .
Итак , исходя из сформулированного принципа , попробуем выяснить , как надо изменить основные определения делимости , если мы будем рассматривать не натуральные числа , а	целые	.
Можно найти целое число , которое при делении на 3 дает остаток 4 . д ) Есть	целые	числа , которые не делятся на единицу .
« Если	целые	числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m , то их разность а - b делится на m » .
243 Отметьте на числовой оси	целые	числа , которые .
361 Отметьте на числовой прямой	целые	числа , которые ? .
в ) На шарах написаны	целые	числа от 1 до 250 .
2 В задачах требуется найти	целые	решения таких уравнений .
Все	целые	числа , которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют целые числа , которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
Прежде чем описать данный способ , рассмотрим две теоремы , которые позволяют сразу же определить , имеет ли	целые	корни уравнение вида , где a , b , с е Z , или не имеет .
Если все натуральные числа являются целыми и ни одно натуральное число не является отрицательным , значит , все	целые	числа не являются отрицательными .
232 Докажите , что какими бы ни были	целые	числа а и с , одно из чисел : а , c , а плюс c , а минус c , 2а плюс c , 2а минус c делится на 5 .
Подставляя затем вместо k в зависимости x и у от k все возможные целые значения k , получим все	целые	решения исходного уравнения .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 -	целые числа	. д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Можно найти такое целое число , делителем которого является 7 . д ) Все	целые числа	, делящиеся на 5 , составные .
а ) Некоторые	целые числа	при делении на 6 дают остаток ( -1 ) .
Все	целые числа	при делении на 17 дают остаток 9 .
в ) На шарах написаны	целые числа	от 1 до 250 .
361 Отметьте на числовой прямой	целые числа	, которые ? .
Все	целые числа	, которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют целые числа , которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
231 Отметьте на числовой прямой	целые числа	, которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных чисел , называемых также положительными целыми числами , существуют числа , им противоположные , - отрицательные	целые числа	и 0 .
а ) Если	целые числа	делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
« Если	целые числа	а и b имеют одинаковые остатки при делении на m , то их разность а - b делится на m » .
232 Докажите , что какими бы ни были	целые числа	а и с , одно из чисел : а , c , а плюс c , а минус c , 2а плюс c , 2а минус c делится на 5 .
При этом коэффициенты всех членов получившегося в скобках многочлена —	целые числа	, которые не имеют общих делителей , отличных от 1 .
243 Отметьте на числовой оси	целые числа	, которые .
Все целые числа , которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют	целые числа	, которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
На шарах написаны	целые числа	от 1 до 100 .
243 Докажите , что какими бы ни были	целые числа	а и с , одно из чисел : а , с , а минус с , 2а минус с делится на 3 .
Тогда , по теореме 1 , существуют	целые числа	k и l , такие , что .
Существуют	целые числа	, делящиеся на нуль .
Разделим	целые числа	на три класса в зависимости от их остатков от деления на 3 .
Если все натуральные числа являются целыми и ни одно натуральное число не является отрицательным , значит , все	целые числа	не являются отрицательными .
а ) Частное от деления числа 75 само на себя равно 1 . б ) Существуют	целые числа	, которые при делении их на себя дают в частном 2 .
Уравнения , решениями которых являются	целые числа	, интересовали ученых еще в древности .
Все	целые числа	при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в сумме с 6 дает 17 . д ) Число 3 является решением уравнения .
Можно найти целое число , которое при делении на 3 дает остаток 4 . д ) Есть	целые числа	, которые не делятся на единицу .
Значит , мы сразу можем сказать , что уравнение имеет хотя бы один	целый	корень .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые числа . д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет	целый	корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
в ) Разность двух натуральных чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть	целым	числом .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем	целым	числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
В случае деления с остатком ( -7 ) на ( -2 ) наибольшим	целым	числом , кратным ( -2 ) и не превышающим ( -7 ) , является число (-8 ) , а расстояние от (-8 ) до ( -7 ) равно .
Нам известно , что результат деления одного целого числа на другое , как и в случае натуральных чисел , не всегда будет числом	целым	.
Функция задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным	целым	числам поставлено в соответствие число 2 .
Всем	целым	числам поставлено в соответствие число 1 , а всем нецелым числам — число ( -1 ) .
Докажите , что любой предмет , вес которого выражается	целым	числом килограммов , большим 7 , можно взвесить на чашечных весах , имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем	целым	числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Если ни одно решение уравнения 2х равно 1 не является	целым	числом , то ни одно целое число не является решением уравнения 2х равно 1 .
Так как остаток является неотрицательным	целым	числом , меньшим модуля делителя , то при делении любого числа на 4 возможны только четыре различных остатка : 0 , 1 , 2 , 3 .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа неразрушения ) подумайте , как можно было бы дать определение степени рационального числа с	целым	показателем .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем	целым числам	, которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем	целым числам	, кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Функция задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным	целым числам	поставлено в соответствие число 2 .
Всем	целым числам	поставлено в соответствие число 1 , а всем нецелым числам — число ( -1 ) .
В случае деления с остатком ( -7 ) на ( -2 ) наибольшим	целым числом	, кратным ( -2 ) и не превышающим ( -7 ) , является число (-8 ) , а расстояние от (-8 ) до ( -7 ) равно .
Если ни одно решение уравнения 2х равно 1 не является	целым числом	, то ни одно целое число не является решением уравнения 2х равно 1 .
Докажите , что любой предмет , вес которого выражается	целым числом	килограммов , большим 7 , можно взвесить на чашечных весах , имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве .
Так как остаток является неотрицательным	целым числом	, меньшим модуля делителя , то при делении любого числа на 4 возможны только четыре различных остатка : 0 , 1 , 2 , 3 .
в ) Разность двух натуральных чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть	целым числом	.
По имени Диофанта уравнения с	целыми	коэффициентами , которые требуется решить в целых числах , назвали диофантовыми уравнениями .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных чисел , называемых также положительными	целыми	числами , существуют числа , им противоположные , - отрицательные целые числа и 0 .
Найдите три точки , принадлежащие графику функции , координаты которых являются	целыми	числами .
Так как все полученные значения у являются неотрицательными	целыми	числами , то все найденные пары х и у являются решениями нашей задачи .
Если все натуральные числа являются	целыми	и ни одно натуральное число не является отрицательным , значит , все целые числа не являются отрицательными .
Нам часто приходилось сталкиваться с тем , что самые разные практические задачи приводили к уравнениям , в которых неизвестные по своему смыслу являлись	целыми	числами .
Мы уже умеем выполнять арифметические действия с	целыми	числами и знаем , что операция деления на множестве Z выполнима не всегда .
Так как все полученные значения у являются неотрицательными	целыми числами	, то все найденные пары х и у являются решениями нашей задачи .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных чисел , называемых также положительными	целыми числами	, существуют числа , им противоположные , - отрицательные целые числа и 0 .
Проиллюстрируем общий способ поиска	целых	решений уравнения вида , где а , b , с Z , на примере уравнения .
а ) Если каждое из двух	целых	чисел делится на некоторое целое число , то и их сумма делится на это число .
Проведение классификации множества	целых	чисел по остаткам от деления на некоторое число позволяет упростить решение многих задач .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А , В , С , D , Е . 1 ) А — множество	целых	чисел , делящихся на 3 .
Полученная нами формула деления с остатком дает возможность провести классификацию	целых	чисел по их остаткам от деления на некоторое число .
Ведь гораздо проще установить выполнение какого - либо свойства для конечного множества классов , чем для бесконечного множества	целых	чисел .
В — множество	целых	чисел , делящихся на 5 . 3 )
772 Докажите , что для любых	целых	а .
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при решении задач 1 и 2 , множество решений данного линейного уравнения получить просто невозможно , так как каждому целому числу k будет соответствовать своя пара	целых	х и у , удовлетворяющих исходному уравнению .
разность кубов двух последовательных	целых	чисел не делится на 3 .
768 Найдите множество	целых	решений неравенства .
Если произведение двух	целых	чисел делится на некоторое целое число , то хотя бы один из множителей делится на это число .
е ) Какое количество	целых	мешков с чаем можно перевезти за один раз на машине грузоподъемностью 3,5 тонны , если масса каждого мешка равна 60 кг ? .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению множеств натуральных чисел N ,	целых	чисел Z , рациональных чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
В этом случае полученные зависимости х и у от k будут решениями уже не при всех	целых	значениях k. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на k и найти все возможные значения k. После этого для каждого найденного значения k надо найти соответствующие значения х и у .
Однако уравнения в	целых	числах часто имеют несколько решений .
а ) Если к произведению двух	целых	чисел , одно из которых на 2 больше другого , прибавить 1 , то получится точный квадрат .
256 Разбейте множество	целых	чисел на классы по их остаткам от деления на .
Доказав для каждого из классов , что квадрат соответствующего целого числа либо делится на 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех	целых	чисел .
в ) разность квадратов двух последовательных	целых	чисел равна сумме этих чисел .
Выполните задание а ) для случая , когда А и В - множества	целых	решений этих же неравенств .
Уравнение , где a , b , с Z , не имеет	целых	решений , если с не делится на d НОД .
а ) произведение двух последовательных	целых	чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
458 а ) Два	целых	числа при делении на 4 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
464 Найдите множество	целых	решений неравенства .
363 Разбейте множество	целых	чисел на классы по их остаткам при делении на ?
а ) Произведение любых шести последовательных	целых	чисел делится на 360 . б ) Число , записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом .
Доказать , что сумма кубов этих чисел делится на 4 . б ) Два	целых	числа при делении на 7 дают в остатке соответственно 2 и 3 .
Разбейте множество	целых	чисел на классы по их остаткам при делении на .
Левая часть полученного равенства делится на d , а правая — нет , так как по условию с не делится на d. Следовательно , не существует таких	целых	х и у , при которых это равенство было бы возможно , что и требовалось доказать .
То есть применим метод перебора не к бесконечному множеству	целых	чисел , а к конечному числу указанных классов .
Теперь на основании теоремы 2 , не решая уравнение , мы можем утверждать , что оно не имеет	целых	решений .
Разобьем тогда множество	целых	чисел на три класса по остаткам от деления на 3 .
в ) если сумма трех последовательных	целых	чисел есть число нечетное , то их произведение делится на 24 . г ) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1 .
Представьте выражение в виде степени с показателем , отличным от 1 , при	целых	значениях переменных .
Найдите множество	целых	решений неравенства .
Идея поиска всех	целых	решений уравнений рассматриваемого вида заключается в следующем : сначала надо найти одно произвольное решение данного уравнения .
Так как число	целых	чисел бесконечно , то данную задачу невозможно решить методом их перебора .
460 Докажите , что сумма кубов трех последовательных	целых	чисел делится на 3 .
а ) квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных	целых	чисел есть число нечетное .
Классификация	целых	чисел существенно облегчает изучение их свойств и , в частности , свойств делимости .
Данное высказывание будет верным , ведь именно так мы и определяли действие деления для	целых	чисел , но .. при условии , что .
Отметьте на числовой прямой три положительных и три отрицательных	целых	числа , которые .
Решение линейных уравнений в	целых	числах .
В — множество	целых	чисел , модуль которых меньше или равен 3 .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве	целых	чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
Можем ли мы распространить наши знания о делимости натуральных чисел на более широкое множество - множество	целых	чисел ? .
Рассмотрим , например , остатки , получающиеся при делении некоторых	целых	чисел на 4 .
19 Найдите множество	целых	решений неравенства .
сумма четырех последовательных	целых	чисел больше суммы наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости	целых	чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
С другой стороны , все множество	целых	чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
512 Может ли среднее арифметическое 27	целых	чисел равняться 19,8 ? .
Соответственно изменяется и алгоритм деления с остатком	целых	чисел .
Алгоритм деления с остатком	целых	чисел а и b . 1 Найти наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
123 Найдите множество	целых	решений неравенств .
Выписанные таким образом числа образуют последовательность	целых	чисел , каждое из которых , кроме первого , на b меньше предыдущего .
Мы знаем , что для равенств на множестве	целых	чисел выполняются свойства .
Оно позволяет выполнить деление с остатком для любых	целых	чисел , и его результат всегда будет однозначным .
Если к произведению двух последовательных	целых	чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
4 Используя свойства делимости	целых	чисел , найти одно из решений х0 , у0 уравнения .
529 Может ли среднее арифметическое 56	целых	чисел равняться 13,2 ? .
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество	целых	чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
Можем ли мы распространить определение делимости натуральных чисел на множество	целых	чисел без всяких изменений ?
Итак , определение делимости	целых	чисел должно отличаться от аналогичного определения для натуральных чисел тем , что в нем дополнительно необходимо указать новое условие .
Объединим все числа , имеющие остаток 3 при делении на 4 , в одно подмножество множества	целых	чисел .
в ) Разность двух натуральных чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух	целых	чисел а и b может быть целым числом .
Поэтому для	целых	чисел , как и для натуральных , возникают два вида деления .
Среди	целых	х от 0 до 12 таким свойством обладают лишь числа 2 , 5 , 8 , 11 .
76 Докажите , что для любых	целых	а .
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество	целых	чисел , делящихся на 45
Более того , доказательство теорем 1 - 9 из этого пункта для	целых	чисел проводится аналогично , а значит , все известные нам свойства делимости распространяются и на множество Z ( при условии , что делитель ) .
Мы с вами уже знаем , что наглядное представление о	целых	числах дает числовая прямая .
109 Докажите , что для любых	целых	а . а ) 03 плюс 2а2 плюс 3а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . б ) 2а3 плюс а2 плюс 5а либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 .
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество натуральных чисел до множества	целых	чисел , получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными числами , ввели понятие степени .
117 Докажите , что а3 плюс 4а для любых	целых	а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 , либо при делении на 5 дает остаток 4 .
Так как НОД ( 5 ; 7 ) 1 , то из полученного равенства следует , что для всех	целых	х и у , являющихся решением исходного уравнения , кратно 7 , а кратно 5 .
Итак , в определении деления с остатком на множестве	целых	чисел изменяется требование не только к делителю , но и к остатку .
С — множество	целых	чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
а ) сумма трех последовательных	целых	чисел больше среднего арифметического наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Обобщая рассмотренный способ поиска	целых	решений линейных уравнений вида , где а , b , с Z , приходим к следующему алгоритму .
« Если разность	целых	чисел а и b делится на m , то числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m » .
Все вместе эти числа образуют множество Z	целых	чисел .
454 Пусть А - множество целых решений неравенства , а В - множество	целых	решений неравенства .
454 Пусть А - множество	целых	решений неравенства , а В - множество целых решений неравенства .
У	целых	чисел , имеющих одинаковые остатки при делении на одно и то же число , есть очень важное свойство , которое часто оказывается полезным при решении разнообразных задач на делимость .
Найдите девять последовательных	целых	чисел , сумма первых трех из которых равна сумме шести последних .
334 Докажите , что для	целых	чисел а и b верно , что если a2 + b2 делится на 3 , то а делится на 3 и b делится на 3 .
Таким образом , в соответствии с данным признаком множество	целых	чисел можно разбить на четыре класса .
Тем самым нами произведена классификация множества	целых	чисел в зависимости от их остатка при делении на 4 .
Для доказательства некоторых математических утверждений требуются столетия и создание	целых	теорий .
По условию задачи х , у N0 , где Nn — множество неотрицательных	целых	чисел .
442 Пусть А - множество целых решений неравенства , а В - множество	целых	решений неравенства .
479 Найдите множество	целых	решений неравенства .
647 Докажите , что а ) если к произведению двух последовательных	целых	чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего из этих чисел .
442 Пусть А - множество	целых	решений неравенства , а В - множество целых решений неравенства .
Однако далеко не всегда при поиске	целых	решений таких уравнений удается выполнить второй шаг — отыскать все возможные значения какой - либо из переменных .
Александрийский математик Диофант еще в III веке нашей эры придумал и обосновал общий способ поиска	целых	решений данных уравнений .
Например , имеет ли смысл искать целые корни следующих уравнений или сразу можно сказать , что они не имеют	целых	решений ? .
И так как число	целых	неотрицательных чисел , меньших b , конечно , то на не котором шаге остаток от деления будет равен нулю .
Алгоритм решения уравнений вида в	целых	числах методом перебора .
45 Найдите множество	целых	решений неравенства .
Докажите , что для любых	целых	а .
229 Пользуясь признаками делимости натуральных чисел на сформулируйте признаки делимости	целых	чисел на .
2 Классификация	целых	чисел по остаткам от деления .
kryptos — скрытый , graphos — писание ) — наука о шифрах и их дешифровке — является основой информационной безопасности как отдельных компаний и корпораций , так и	целых	стран .
По имени Диофанта уравнения с целыми коэффициентами , которые требуется решить в	целых	числах , назвали диофантовыми уравнениями .
1 Делимость	целых	чисел .
Если два	целых	числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое целое число m , то говорят , что а и b сравнимы по модулю m , и пишут .
Тот факт , что разность	целых	чисел а и b делится на m , может быть записан по определению делимости следующим образом .
Значит , а - натуральное число , меньшее 10 , а b может быть одним из	целых	чисел от 0 до 9 .
Сумму двух	целых	чисел умножили на их произведение .
Запишите три	целых	отрицательных числа , дающих .
Объединим все числа , имеющие остаток 3 при делении на 4 , в одно подмножество множества	целых чисел	.
Ведь гораздо проще установить выполнение какого - либо свойства для конечного множества классов , чем для бесконечного множества	целых чисел	.
2 Классификация	целых чисел	по остаткам от деления .
Выписанные таким образом числа образуют последовательность	целых чисел	, каждое из которых , кроме первого , на b меньше предыдущего .
В — множество	целых чисел	, делящихся на 5 . 3 )
Классификация	целых чисел	существенно облегчает изучение их свойств и , в частности , свойств делимости .
Таким образом , в соответствии с данным признаком множество	целых чисел	можно разбить на четыре класса .
Рассмотрим , например , остатки , получающиеся при делении некоторых	целых чисел	на 4 .
Значит , а - натуральное число , меньшее 10 , а b может быть одним из	целых чисел	от 0 до 9 .
С — множество	целых чисел	, делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
С другой стороны , все множество	целых чисел	можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество	целых чисел	, делящихся на 45
в ) Разность двух натуральных чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух	целых чисел	а и b может быть целым числом .
В — множество	целых чисел	, модуль которых меньше или равен 3 .
Тем самым нами произведена классификация множества	целых чисел	в зависимости от их остатка при делении на 4 .
Полученная нами формула деления с остатком дает возможность провести классификацию	целых чисел	по их остаткам от деления на некоторое число .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А , В , С , D , Е . 1 ) А — множество	целых чисел	, делящихся на 3 .
Разбейте множество	целых чисел	на классы по их остаткам при делении на .
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество	целых чисел	, делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
Проведение классификации множества	целых чисел	по остаткам от деления на некоторое число позволяет упростить решение многих задач .
529 Может ли среднее арифметическое 56	целых чисел	равняться 13,2 ? .
Итак , в определении деления с остатком на множестве	целых чисел	изменяется требование не только к делителю , но и к остатку .
По условию задачи х , у N0 , где Nn — множество неотрицательных	целых чисел	.
334 Докажите , что для	целых чисел	а и b верно , что если a2 + b2 делится на 3 , то а делится на 3 и b делится на 3 .
Найдите девять последовательных	целых чисел	, сумма первых трех из которых равна сумме шести последних .
У	целых чисел	, имеющих одинаковые остатки при делении на одно и то же число , есть очень важное свойство , которое часто оказывается полезным при решении разнообразных задач на делимость .
« Если разность	целых чисел	а и b делится на m , то числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m » .
а ) Если каждое из двух	целых чисел	делится на некоторое целое число , то и их сумма делится на это число .
Тот факт , что разность	целых чисел	а и b делится на m , может быть записан по определению делимости следующим образом .
1 Делимость	целых чисел	.
4 Используя свойства делимости	целых чисел	, найти одно из решений х0 , у0 уравнения .
Сумму двух	целых чисел	умножили на их произведение .
229 Пользуясь признаками делимости натуральных чисел на сформулируйте признаки делимости	целых чисел	на .
Все вместе эти числа образуют множество Z	целых чисел	.
Мы знаем , что для равенств на множестве	целых чисел	выполняются свойства .
Алгоритм деления с остатком	целых чисел	а и b . 1 Найти наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
Если к произведению двух последовательных	целых чисел	прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
а ) сумма трех последовательных	целых чисел	больше среднего арифметического наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Соответственно изменяется и алгоритм деления с остатком	целых чисел	.
512 Может ли среднее арифметическое 27	целых чисел	равняться 19,8 ? .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости	целых чисел	) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве	целых чисел	( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
сумма четырех последовательных	целых чисел	больше суммы наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество натуральных чисел до множества	целых чисел	, получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными числами , ввели понятие степени .
Можем ли мы распространить наши знания о делимости натуральных чисел на более широкое множество - множество	целых чисел	? .
Оно позволяет выполнить деление с остатком для любых	целых чисел	, и его результат всегда будет однозначным .
разность кубов двух последовательных	целых чисел	не делится на 3 .
460 Докажите , что сумма кубов трех последовательных	целых чисел	делится на 3 .
Если произведение двух	целых чисел	делится на некоторое целое число , то хотя бы один из множителей делится на это число .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению множеств натуральных чисел N ,	целых чисел	Z , рациональных чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
Данное высказывание будет верным , ведь именно так мы и определяли действие деления для	целых чисел	, но .. при условии , что .
Так как число	целых чисел	бесконечно , то данную задачу невозможно решить методом их перебора .
Разобьем тогда множество	целых чисел	на три класса по остаткам от деления на 3 .
То есть применим метод перебора не к бесконечному множеству	целых чисел	, а к конечному числу указанных классов .
а ) Произведение любых шести последовательных	целых чисел	делится на 360 . б ) Число , записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом .
Можем ли мы распространить определение делимости натуральных чисел на множество	целых чисел	без всяких изменений ?
647 Докажите , что а ) если к произведению двух последовательных	целых чисел	прибавить большее из них , то получится квадрат большего из этих чисел .
Доказав для каждого из классов , что квадрат соответствующего целого числа либо делится на 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех	целых чисел	.
в ) разность квадратов двух последовательных	целых чисел	равна сумме этих чисел .
Итак , определение делимости	целых чисел	должно отличаться от аналогичного определения для натуральных чисел тем , что в нем дополнительно необходимо указать новое условие .
256 Разбейте множество	целых чисел	на классы по их остаткам от деления на .
а ) произведение двух последовательных	целых чисел	либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
363 Разбейте множество	целых чисел	на классы по их остаткам при делении на ?
а ) квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных	целых чисел	есть число нечетное .
в ) если сумма трех последовательных	целых чисел	есть число нечетное , то их произведение делится на 24 . г ) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1 .
Поэтому для	целых чисел	, как и для натуральных , возникают два вида деления .
а ) Если к произведению двух	целых чисел	, одно из которых на 2 больше другого , прибавить 1 , то получится точный квадрат .
Более того , доказательство теорем 1 - 9 из этого пункта для	целых чисел	проводится аналогично , а значит , все известные нам свойства делимости распространяются и на множество Z ( при условии , что делитель ) .
458 а ) Два	целых числа	при делении на 4 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
Доказать , что сумма кубов этих чисел делится на 4 . б ) Два	целых числа	при делении на 7 дают в остатке соответственно 2 и 3 .
Отметьте на числовой прямой три положительных и три отрицательных	целых числа	, которые .
Если два	целых числа	а и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое целое число m , то говорят , что а и b сравнимы по модулю m , и пишут .
Мы с вами уже знаем , что наглядное представление о	целых числах	дает числовая прямая .
По имени Диофанта уравнения с целыми коэффициентами , которые требуется решить в	целых числах	, назвали диофантовыми уравнениями .
Однако уравнения в	целых числах	часто имеют несколько решений .
Определите координаты точек , симметричных данным точкам , относительно координатных осей и	центра	координат и постройте их в той же системе координат .
бизнес -	центре	расположены офисы 4 компаний .
В	центре	теории чисел лежит изучение свойств делимости натуральных чисел .
Из таблицы видно , что в	центре	магического квадрата может находиться только число 4 , а в углах — числа 1 , 3 , 5 , 7 .
В торговом	центре	56 магазинов , в которых работают 282 человека .
Докажите , что в этом торговом	центре	есть хотя бы один магазин , в котором работает не менее 6 человек .
Все остальные элементы	цепи	называются теоремами и выводятся из аксиом путем логических рассуждений .
Эти утверждения - начальные звенья в	цепи	математической теории .
Это происходит потому , что степень одночлена b сначала равна нулю —	четная	, затем на 1 больше , то есть нечетная , и так далее .
Значит ,	четная	степень отрицательного числа является числом положительным .
Способ нахождения медианы числового набора и ее определение зависят от того ,	четно	или нечетно количество чисел в наборе .
5 Если n —	четно	, то медиана равна среднему арифметическому чисел , стоящих в упорядоченном наборе на местах с номерами .
Значит , 8 и n —	четно	.
Медианой набора , состоящего из	четного	количества чисел , называют число , равное среднему арифметическому чисел , стоящих на местах , после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество чисел в наборе ) .
Значит , наибольшего	четного	числа не существует , что и требовалось доказать .
а ) остаток при делении	четного	числа на 6 быть равным 3 ? .
Полученное противоречие доказывает , что наше предположение о существовании наибольшего	четного	числа ложно .
а ) Не существует наибольшего	четного	числа .
35 Сформулируйте определения : а ) правильной дроби ; б ) простого числа ; в ) отношения ; г ) пропорции ; д )	четного	числа ; е ) процента .
Докажите , что не существует наибольшего	четного	числа .
Тогда всякое другое	четное	число должно быть меньше n.
Докажите , что число депутатов	четное	.
а ) сумма целого числа и его квадрата есть число	четное	.
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b	четное	, то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
б ) Если натуральное число 6	четное	, то 3b делится на 6 .
Поскольку сумма двух четных чисел всегда число	четное	, то 11х должно быть нечетным , а значит , и число х — нечетное .
Какое число можно подставить вместо с , чтобы корнем уравнения было	четное	число ? .
Число т —	четное	, а число n — нечетное .
В : при бросании идеального игрального кубика выпало	четное	число .
Предположим , что , наоборот , существует наибольшее	четное	число n.
Однако , прибавив 2 к числу n , получим	четное	число , боль шее , чем n .
Можно ли с их помощью занумеровать 160 ячеек , поставив в соответствие каждой ячейке свое	четное	число , состоящее не более чем из четырех указанных цифр ? .
Четная степень отрицательного числа содержит	четное	число отрицательных множителей .
Заметим , что 2у — число	четное	, а 83 — нечетное .
Отрицательное число , возведенное в	четную	степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
а ) Некоторые натуральные числа	четные	.
Есть	четные	числа , кратные 7 и 5
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) —	четные	числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
г ) Если все решения уравнения отрицательные числа и некоторые отрицательные числа четные , то некоторые	четные	числа не являются решениями уравнения .
а ) Если некоторые натуральные числа четные , то некоторые	четные	числа — натуральные .
а ) Если некоторые натуральные числа	четные	, то некоторые четные числа — натуральные .
а ) Если некоторые четные числа больше 3 , то некоторые большие трех числа —	четные	.
б ) Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные числа —	четные	, то некоторые четные числа — решения неравенства .
в ) Если ни одно решение уравнения не является четным числом , а некоторые	четные	числа делятся на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9 числа не являются решением уравнения .
а ) Если некоторые	четные	числа больше 3 , то некоторые большие трех числа — четные .
б ) Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные числа — четные , то некоторые	четные	числа — решения неравенства .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все	четные	числа не кратны 5 .
г ) Если все решения уравнения отрицательные числа и некоторые отрицательные числа	четные	, то некоторые четные числа не являются решениями уравнения .
Величины углов треугольника в градусах равны трем последовательным	четным	числам .
Сумма любых двух простых чисел - простое число . д ) Всякое простое число не может быть	четным	.
Определите их значения в точках хг х2 и х3 . а ) Всем	четным	числам поставлено в соответствие число 3 , а всем нечетным числам — число ( -3 ) .
в ) Если ни одно решение уравнения не является	четным	числом , а некоторые четные числа делятся на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9 числа не являются решением уравнения .
а ) произведение двух последовательных	четных	чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б ) произведение чисел для любого целого а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
б ) Сколько	четных	номеров , состоящих не более чем из четырех цифр , можно составить из цифр 2 , 5 , 6 , 7 , 9 ? .
г ) разность квадратов двух последовательных	четных	чисел равна удвоенной сумме этих чисел .
С — множество	четных	положительных чисел , меньших 8 . 1 )
а ) Сумма трех последовательных	четных	чисел делится на 6 . б ) Сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3 .
Поскольку сумма двух	четных	чисел всегда число четное , то 11х должно быть нечетным , а значит , и число х — нечетное .
Разность квадратов двух последовательных	четных	чисел равна 28 .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое натуральное число А дает тот же остаток при делении на 11 , что и разность между суммой его цифр , стоящих на	четных	местах , и суммой цифр , стоящих на нечетных местах , что и требовалось доказать .
а ) разность квадратов двух последовательных	четных	чисел делится на 4 .
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на	четных	местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
Запишите подмножество В	четных	чисел и подмножество С нечетных чисел множества А. Найдите объединение и пересечение подмножеств В и С .
а ) Сколько	четных	номеров , состоящих не более чем из шести цифр , можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , 5 , 6 ? .
Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных	четных	чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
а ) разность квадратов двух последовательных четных	чисел	делится на 4 .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных	чисел	, называемых также положительными целыми числами , существуют числа , им противоположные , - отрицательные целые числа и 0 .
Когда мы с вами раньше говорили о делимости	чисел	, речь всегда шла о натуральных числах .
232 Найдите неполное частное и остаток при делении на 7 следующих	чисел	.
1 Делимость целых	чисел	.
229 Пользуясь признаками делимости натуральных чисел на сформулируйте признаки делимости целых	чисел	на .
233 Найдите неполное частное и остаток при делении на ( -7 ) следующих	чисел	.
д ) квадрат суммы чисел 6 , r , s , t . е ) сумма квадратов	чисел	8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы чисел а , b и с . з ) сумма пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
Следовательно , среднее арифметическое данных	чисел	равно .
Сумму двух целых	чисел	умножили на их произведение .
229 Пользуясь признаками делимости натуральных	чисел	на сформулируйте признаки делимости целых чисел на .
д ) квадрат суммы чисел 6 , r , s , t . е ) сумма квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы чисел а , b и с . з ) сумма пятых степеней	чисел	2 , 5 и у .
Таким образом , сделанное нами предположение о том , что множество простых	чисел	конечно , привело нас к противоречию .
Одно из двух загаданных рациональных	чисел	на 4 больше другого , а сумма их модулей равна 12 .
Куб разности двух рациональных	чисел	может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных	чисел	, и мы не будем его здесь приводить .
Следовательно , оно неверно , и поэтому простых	чисел	бесконечно много , что и требовалось доказать .
Соответственно изменяется и алгоритм деления с остатком целых	чисел	.
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго	чисел	, плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
Так , в III веке новой эры появляется сочинение « Арифметика » александрийского математика Диофанта , которое становится поворотным пунктом в развитии алгебры и теории	чисел	.
Мы знаем , что для равенств на множестве целых	чисел	выполняются свойства .
Все вместе эти числа образуют множество Z целых	чисел	.
Алгоритм деления с остатком целых	чисел	а и b . 1 Найти наибольшее целое число k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
И так как сумма	чисел	, расположенных в каждой из диагоналей , должна быть равна 12 , то на диагоналях могут стоять лишь две комбинации .
Сумма любых двух простых	чисел	- простое число . д ) Всякое простое число не может быть четным .
д ) квадрат суммы чисел 6 , r , s , t . е ) сумма квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы	чисел	а , b и с . з ) сумма пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
а ) Сумма двух натуральных	чисел	равна 17 .
Объединим все числа , имеющие остаток 3 при делении на 4 , в одно подмножество множества целых	чисел	.
Тот факт , что разность целых	чисел	а и b делится на m , может быть записан по определению делимости следующим образом .
Предположим , что существуют две различные пары	чисел	такие , что .
И так как число целых неотрицательных	чисел	, меньших b , конечно , то на не котором шаге остаток от деления будет равен нулю .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго	чисел	, минус куб второго числа .
в ) Сколько четырехзначных	чисел	, делящихся на 5 , можно составить из цифр 3 , 5 , 6 , 8 , если цифры в искомом числе не повторяются ? .
162 Запишите в каноническом виде разложение	чисел	на простые множители .
Сколько делителей у	чисел	.
При этом данное равенство будет верно при подстановке в него вместо а и b любых	чисел	и выражений , то есть оно является тождеством .
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших	чисел	с тем же НОД можно продолжать далее .
а ) Если сумма и произведение двух	чисел	делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р . б ) Любое простое число , большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
Поэтому в статистике для наборов	чисел	вводятся и другие характеристики : наибольшее и наименьшее значение набора чисел , размах набора чисел .
а ) Если сумма и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих	чисел	делится на р . б ) Любое простое число , большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
22 Запишите произведения рациональных	чисел	короче , используя понятие степени .
Поскольку сумма двух четных	чисел	всегда число четное , то 11х должно быть нечетным , а значит , и число х — нечетное .
Установите общую формулу для вычисления произведения степеней рациональных	чисел	с общим основанием и натуральными показателями .
б ) разность квадратов двух рациональных	чисел	быть больше суммы квадратов этих чисел ? .
Какие еще характеристики указанного набора	чисел	вы могли бы предложить ?
158 Разбейте множество А на два подмножества : S - подмножество составных чисел , Р - подмножество простых	чисел	.
А — множество натуральных	чисел	, меньших 5 .
Значит , НОД	чисел	а и b равен последнему ненулевому остатку в указанной цепочке делений .
Посмотрим , как полученный вывод может помочь , например , в нахождении НОД	чисел	71 004 и 154 452 , о которых говорилось выше .
218 С помощью алгоритма Евклида найдите НОД	чисел	а и b .
По условию задачи х , у N0 , где Nn — множество неотрицательных целых	чисел	.
« Если разность целых	чисел	а и b делится на m , то числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m » .
б ) Сколько различных четырехзначных	чисел	можно составить из цифр 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9 , если цифры не могут повторяться ? .
Итак , представление , существует , и возможность деления с остатком любых натуральных	чисел	а и b доказана .
Используя данное свойство противоположных	чисел	, докажите , что .
209 Сколько среди натуральных	чисел	от 1 до 50 включительно таких , которые : а ) делятся на 9 ; б ) делятся на 5 ; в ) делятся на 9 и на 5 ; г ) делятся на 5 , но не делятся на 9 ; д ) делятся на 9 , но не делятся на 5 ; е ) не делятся ни на 9 , ни на 5 ? .
207 С помощью алгоритма Евклида найдите НОД	чисел	а и b .
157 Какие из следующих	чисел	являются простыми : а ) год вашего рождения ; б ) текущий год ; в ) номер вашей школы ; г ) номер вашего дома ? .
У целых	чисел	, имеющих одинаковые остатки при делении на одно и то же число , есть очень важное свойство , которое часто оказывается полезным при решении разнообразных задач на делимость .
б ) разность квадратов двух рациональных чисел быть больше суммы квадратов этих	чисел	? .
206 Найдите НОД	чисел	а и b наиболее рациональным способом .
158 Разбейте множество А на два подмножества : S - подмножество составных	чисел	, Р - подмножество простых чисел .
Алгоритм Евклида нахождения НОД двух натуральных	чисел	а и b .
Выполним деление с остатком сначала данных	чисел	, а затем последовательно - делителей и полученных остатков .
Перебирая различные варианты , убеждаемся в том , что одним из решений данного уравнения является пара	чисел	.
Поэтому оно не может быть составным , так как не делится ни на одно из указанных простых	чисел	.
в ) Частное двух рациональных	чисел	равно 7 , при этом одно из этих чисел на 9 больше другого .
а ) произведение двух последовательных четных чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б ) произведение	чисел	для любого целого а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
Более того , доказательство теорем 1 - 9 из этого пункта для целых	чисел	проводится аналогично , а значит , все известные нам свойства делимости распространяются и на множество Z ( при условии , что делитель ) .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и объединение/. а ) Сколько существует трехзначных	чисел	, в записи которых встречаются только цифры 3 , 4 , 8 , 9 ?
Разделим с остатком число на , используя формулу деления с остатком , аналогичную формуле для натуральных	чисел	.
Однако здесь мы сталкиваемся с проблемой неоднозначности выбора пар	чисел	сиг .
Но мы не можем изменять его произвольно , ведь новое определение не должно противоречить введенному ранее определению для натуральных	чисел	.
Указанный способ существенно облегчает проверку того , является ли число простым , особенно в случае больших	чисел	.
При делении натуральных	чисел	под остатком мы фактически понимали расстояние от делимого а до наибольшего числа , кратного делителю b и не превышающего а , что хорошо видно .
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество натуральных чисел до множества целых	чисел	, получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными числами , ввели понятие степени .
2 Если а делится хотя бы на одно из выписанных	чисел	, то а — составное .
3 Если а не делится ни на одно из выписанных	чисел	, то а - простое .
Сумма кубов	чисел	m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
Разность квадрата числа х и частного	чисел	у и г .
Сколько различных последовательностей	чисел	могло быть в результате этого получено , если при третьем броске всегда выпадает число 4 ? .
Так как , то получаем следующий список	чисел	: 2 , 3 , 5 , 7 .
Так как 97 не делится ни на одно из указанных	чисел	, то , значит , 97 - простое число .
Заметим , что это определение полностью согласуется с ранее введенным в п. 2.1.1 определением делимости натуральных	чисел	.
74 С помощью алгоритма Евклида найдите НОД данных	чисел	, а затем найдите их НОК .
Нам известно , что результат деления одного целого числа на другое , как и в случае натуральных	чисел	, не всегда будет числом целым .
Итак , определение делимости целых чисел должно отличаться от аналогичного определения для натуральных	чисел	тем , что в нем дополнительно необходимо указать новое условие .
г ) разность квадратов двух последовательных четных чисел равна удвоенной сумме этих	чисел	.
Данное высказывание будет верным , ведь именно так мы и определяли действие деления для целых	чисел	, но .. при условии , что .
Чтобы найти среднее арифметическое чисел , представленных в таблице , надо сумму этих	чисел	разделить на их количество .
Можем ли мы распространить определение делимости натуральных чисел на множество целых	чисел	без всяких изменений ?
Подсчитаем частоту появления	чисел	в наших комбинациях .
Можем ли мы распространить определение делимости натуральных	чисел	на множество целых чисел без всяких изменений ?
Чтобы найти среднее арифметическое	чисел	, представленных в таблице , надо сумму этих чисел разделить на их количество .
Найдите сумму всех полученных семи	чисел	, если шестое число оказалось равно 16 .
Поэтому для целых	чисел	, как и для натуральных , возникают два вида деления .
Из основной теоремы арифметики следует важный вывод о том , что различные представления одного и того же составного числа в виде произведения простых	чисел	связаны только с различием в порядке множителей .
Заметим , что подобным образом мы действовали и при сложении	чисел	на числовой прямой .
Итак , определение делимости целых	чисел	должно отличаться от аналогичного определения для натуральных чисел тем , что в нем дополнительно необходимо указать новое условие .
Из свойств делимости натуральных	чисел	и основной теоремы арифметики следует , что если в разложении числа на простые множители нет , например , числа 2 , то никакое число , кратное 2 , не может быть его делителем .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих	чисел	делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
Например , вероятность угадывания одного из 32 загаданных	чисел	равна а вероятность того , что ученик на экзамене вытащит один « желанный » билет из 58 возможных , равна .
Однако способ поиска простых	чисел	можно сделать еще проще .
Сумма данных	чисел	равна , а их количество 10 .
в ) Частное двух рациональных чисел равно 7 , при этом одно из этих	чисел	на 9 больше другого .
Одно из натуральных	чисел	в два раза больше другого , а их произведение равно 32 .
Ответ : могли загадать следующие тройки рациональных	чисел	: ( -1 ; 5 ; 6 ) , ( -2 ; 4 ; 3 ) , ( -3 ; 3 ; 2 ) .
Полученное определение согласуется с аналогичным определением для натуральных	чисел	.
а ) Сколько существует трехзначных	чисел	, в записи которых встречаются только цифры 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 9 ? .
а ) Квадрат суммы двух рациональных	чисел	равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
Известно , что второе загаданное число на б больше первого , а третье — на 11 больше произведения первого и второго	чисел	.
Можем ли мы распространить наши знания о делимости натуральных чисел на более широкое множество - множество целых	чисел	? .
а ) Квадрат суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго	чисел	, плюс квадрат второго числа .
Число а больше каждого из имеющихся простых	чисел	.
Оно позволяет выполнить деление с остатком для любых целых	чисел	, и его результат всегда будет однозначным .
Можем ли мы распространить наши знания о делимости натуральных	чисел	на более широкое множество - множество целых чисел ? .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых	чисел	( теоремы о делимости целых чисел ) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
20 а ) Сумма двух натуральных	чисел	равна 27 .
Квадрат разности некоторых рациональных	чисел	равен разности их квадратов .
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остатком на множестве целых чисел ( теоремы о делимости целых	чисел	) аналогично доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел , и мы не будем его здесь приводить .
Наибольшим общим делителем	чисел	80 и 60 является число 20 .
С другой стороны , заметим , что число а при делении на каждое из наших простых	чисел	дает остаток 1 .
4 Используя свойства делимости целых	чисел	, найти одно из решений х0 , у0 уравнения .
Тогда все остальные натуральные числа являются составными и делятся хотя бы на одно из указанных простых	чисел	.
Предположим , что существует лишь конечное число простых	чисел	и их можно все перечислить : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , .. , р .
Итак , в определении деления с остатком на множестве целых	чисел	изменяется требование не только к делителю , но и к остатку .
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами , можно заметить , что ряд простых	чисел	устроен достаточно сложно , простые числа то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности натуральных чисел довольно долго .
Тогда , на основании свойств симметричности и транзитивности , если некоторое число сравнимо с одним из этих	чисел	, значит , оно сравнимо и с другим из них , что и требовалось доказать .
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество натуральных	чисел	до множества целых чисел , получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными числами , ввели понятие степени .
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами , можно заметить , что ряд простых чисел устроен достаточно сложно , простые числа то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности натуральных	чисел	довольно долго .
а ) Сумма двух натуральных	чисел	равна 38 .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам	чисел	, а если k — 0 , то область значений состоит из одного числа 0 . 2 ) График функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
Следующая теорема доказывает , что если мы уже нашли несколько простых	чисел	, то всегда можно указать еще одно простое число .
Сумма двух натуральных	чисел	равна 10 , а их произведение равно 24 .
Таким образом , ряд простых	чисел	, как и ряд натуральных чисел , бесконечен .
Сколько различных последовательностей	чисел	можно в результате этого получить , если при втором броске всегда выпадало число 7 ? .
а ) Модули взаимно обратных	чисел	равны между собой .
Если к произведению двух последовательных целых	чисел	прибавить большее из них , то получится квадрат большего числа .
Сколько всего	чисел	у аборигенов этого острова ? .
Теорема 2 Простых	чисел	существует бесконечно много .
Таким образом , в результате деления с остатком мы получаем однозначный ответ , который не противоречит аналогичному определению для натуральных	чисел	.
а ) Аборигены некоторого острова используют для записи	чисел	только цифры 2 , 4 , 6 и 8 .
Таким образом , ряд простых чисел , как и ряд натуральных	чисел	, бесконечен .
а ) произведение двух последовательных четных	чисел	либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 . б ) произведение чисел для любого целого а либо делится на 5 , либо при делении на 5 дает остаток 1 или 2 .
166 Найдите модуль каждого из указанных	чисел	.
647 Докажите , что а ) если к произведению двух последовательных целых	чисел	прибавить большее из них , то получится квадрат большего из этих чисел .
Для любых рациональных	чисел	a и b и любого натурального числа n .
248 Найдите среднее арифметическое указанных	чисел	.
Поэтому для натуральных	чисел	наряду с действием деления рассматривают и более общее действие , которое всегда выполнимо .
Так , например , в наборе	чисел	, характеризующем ежегодный выпуск мопедов в РФ с 1999 по 2008 г. , моды нет , так как все числа встречаются в нем по одному разу .
Дадим определение этого действия для натуральных	чисел	а и b .
а ) Если каждое из двух целых	чисел	делится на некоторое целое число , то и их сумма делится на это число .
Проведение классификации множества целых	чисел	по остаткам от деления на некоторое число позволяет упростить решение многих задач .
У набора	чисел	может не быть моды , если все числа в наборе встречаются одинаковое число раз .
2 Классификация целых	чисел	по остаткам от деления .
Модой набора	чисел	называется число , наиболее часто встречающееся в числовом наборе .
Ее называют модой набора	чисел	.
Переставив слагаемые в данной алгебраической сумме , мы получим куб разности	чисел	с и 1 .
Нет натуральных	чисел	, которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
При этом число с называют неполным частным , а число r - остатком отделения а на b. Здесь и далее N0 - множество натуральных	чисел	и 0 .
в ) Сколько различных четырехзначных	чисел	можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , если цифры не могут повторяться ? .
сумма произведения	чисел	5 и х и произведения чисел 4 и с . г ) разность частного чисел 9 иди разности между числом 7 и а .
В некотором наборе	чисел	может быть несколько мод .
186 Среди натуральных	чисел	, больших 10 , найдите наименьшее натуральное число : а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
197 Среди натуральных	чисел	, больших 20 , найдите наименьшее натуральное число , которое : а ) при делении на 12 дает остаток 8 ; б ) при делении на 31 дает остаток 3 .
Так как число целых	чисел	бесконечно , то данную задачу невозможно решить методом их перебора .
Найдите девять последовательных составных чисел ; б ) Найдите тринадцать последовательных составных	чисел	.
Найдите неполное частное и остаток при делении на ( -6 ) следующих	чисел	.
Стоимость билетов , предлагаемых различными авиакомпаниями , образует следующий набор	чисел	.
Для любых рациональных	чисел	а и b , где b 0 , и любого натурального числа n .
Размахом набора	чисел	называется разность между наибольшим и наименьшим числом из этого набора .
Так как мы имеем всего 8 комбинаций	чисел	, сумма которых равна 12 , то , следовательно , каждая из них должна занять в искомом магическом квадрате ровно одну позицию — строку , столбец или диагональ .
Нам интересно , каких оценок за контрольную было больше всего , и тем самым мы вычисляем моду набора	чисел	.
Чарующая красота теории	чисел	придала арифметике ту волшебную прелесть , которая сделала ее любимой наукой величайших геометров .
На практике вычисление среднего арифметического , наибольшего и наименьшего значения , размаха и моды наборов	чисел	мы производим очень часто .
Попытка разделить , например , число 564 на 20 на множестве натуральных	чисел	показывает , что нельзя найти такое натуральное число с , чтобы .
Действительно , в наборе	чисел	две моды — число 9 и число 39 , так как и то и другое число встречаются в указанном наборе по два раза .
а ) квадрат произведения чисел 5 , квадрата числа а , куба числа b . б ) произведение кубов	чисел	3 , х , у , 2 , г .
Если произведение двух целых	чисел	делится на некоторое целое число , то хотя бы один из множителей делится на это число .
Найдите неполное частное и остаток при делении на (-8 ) следующих	чисел	.
С — множество четных положительных	чисел	, меньших 8 . 1 )
Полученная нами формула деления с остатком дает возможность провести классификацию целых	чисел	по их остаткам от деления на некоторое число .
сумма произведения чисел 5 и х и произведения	чисел	4 и с . г ) разность частного чисел 9 иди разности между числом 7 и а .
Для любых натуральных чисел а и b существует единственная пара	чисел	с и r из множества N0 , такая , что .
Прежде всего , вычислим , какой должна быть сумма	чисел	в каждой строке , столбце и диагонали искомого магического квадрата .
Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих	чисел	на их количество .
339 а ) Разность квадратов двух последовательных натуральных	чисел	равна 11 .
Средним арифметическим нескольких	чисел	называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
Для этого найдем сумму всех данных	чисел	и разделим ее на количество столбцов ( строк ) в квадрате , то есть на 3 .
б ) Если рациональные числа равны , то равны и кубы этих	чисел	.
Но прежде всего уточним понятие среднего арифметического нескольких	чисел	.
б ) разность квадратов двух последовательных нечетных	чисел	делится на 8 .
Следовательно , сумма	чисел	в каждой строке , столбце и диагонали нашего магического квадрата должна быть равна 12 .
Выписанные таким образом числа образуют последовательность целых	чисел	, каждое из которых , кроме первого , на b меньше предыдущего .
Значит , первое ограничение состоит в том , что нам надо выбрать из данных	чисел	группы по три слагаемых , сумма которых равна 12 .
При этом получается , что сумма	чисел	средней строки и среднего столбца также оказывается равной 12 .
С другой стороны , все множество целых	чисел	можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых	чисел	у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
д ) квадрат суммы	чисел	6 , r , s , t . е ) сумма квадратов чисел 8 , m , n , k , l . ж ) четвертая степень суммы чисел а , b и с . з ) сумма пятых степеней чисел 2 , 5 и у .
а ) квадрат произведения	чисел	5 , квадрата числа а , куба числа b . б ) произведение кубов чисел 3 , х , у , 2 , г .
В — множество целых	чисел	, модуль которых меньше или равен 3 .
Ответ : из	чисел	0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 можно составить 8 магических квадратов размером .
Пусть наименьшее из получившихся неотрицательных	чисел	равно Обозначим его r .
Таким образом , в соответствии с данным признаком множество целых	чисел	можно разбить на четыре класса .
г ) Сколько пятизначных	чисел	, делящихся на 2 , можно составить из цифр 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , если цифры в искомом числе не повторяются ? .
г ) разность квадратов двух последовательных четных	чисел	равна удвоенной сумме этих чисел .
Классификация целых	чисел	существенно облегчает изучение их свойств и , в частности , свойств делимости .
сумма произведения чисел 5 и х и произведения чисел 4 и с . г ) разность частного	чисел	9 иди разности между числом 7 и а .
Напомним , что квадрат называют магическим , если сумма	чисел	, стоящих в его клетках по столбцам , строкам и диагоналям , одинаковая .
Поскольку сумма	чисел	в каждой строке и столбце равна 12 , то расположение остальных чисел определяется однозначно .
Тем самым нами произведена классификация множества целых	чисел	в зависимости от их остатка при делении на 4 .
Заметим , что магический квадрат можно составить далеко не из любых девяти	чисел	, поэтому совершенно не очевидно , что данная задача имеет решение .
Какие еще преобразования помогут получить из этих же	чисел	новую пропорцию ? .
Чтобы выяснить , можно ли составить из указанных	чисел	магический квадрат , установим ограничения , которые накладывает на данные числа это условие .
Поскольку сумма чисел в каждой строке и столбце равна 12 , то расположение остальных	чисел	определяется однозначно .
в ) Сколько различных трехзначных	чисел	, цифры в которых не повторяются , можно составить из цифр 5 , 4 , 8 ? .
Ведь гораздо проще установить выполнение какого - либо свойства для конечного множества классов , чем для бесконечного множества целых	чисел	.
Для любых натуральных	чисел	а и b существует единственная пара чисел с и r из множества N0 , такая , что .
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД чисел а и b , можно искать НОД меньших	чисел	– b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее .
Разобьем тогда множество целых	чисел	на три класса по остаткам от деления на 3 .
181 а ) Пять последовательных натуральных	чисел	24 , 25 , 26 , 27 , 28 являются составными и лежат между двумя простыми числами 23 и 29 .
Алгоритм нахождения медианы набора	чисел	.
Для доказательства теоремы выясним , какими свойствами обладают общие делители чисел а , b и	чисел	b , r . 1 ) Докажем сначала , что всякий общий делитель чисел а и b является одновременно делителем числа r .
171 Какие из следующих	чисел	являются простыми : а ) год рождения вашей мамы ; в ) день вашего рождения ; б ) год рождения вашей бабушки ; г ) номер вашей квартиры ? .
34 Даны 6	чисел	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
244 Найдите неполное частное и остаток при делении на ( -5 ) следующих	чисел	.
В указанном наборе 8	чисел	.
Таким образом , нами доказано существование и единственность деления с остатком на множестве натуральных	чисел	.
Поэтому в статистике для наборов чисел вводятся и другие характеристики : наибольшее и наименьшее значение набора чисел , размах набора	чисел	.
а ) произведение двух последовательных целых чисел либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных нечетных	чисел	равен 3 .
а ) произведение двух последовательных целых	чисел	либо делится на 3 , либо при делении на 3 дает остаток 2 ; б ) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных нечетных чисел равен 3 .
344 Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное	чисел	.
в ) если сумма трех последовательных целых	чисел	есть число нечетное , то их произведение делится на 24 . г ) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1 .
а ) квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных целых	чисел	есть число нечетное .
Так , чтобы найти простой делитель 61 чисел 5917 и 154 452 , надо проверить , что эти числа не делятся на 17 простых	чисел	от 2 до 59 .
Для доказательства теоремы выясним , какими свойствами обладают общие делители	чисел	а , b и чисел b , r . 1 ) Докажем сначала , что всякий общий делитель чисел а и b является одновременно делителем числа r .
1 Определить n — количество	чисел	в наборе .
разность кубов двух последовательных целых	чисел	не делится на 3 .
559 Представьте выражение в виде произведения степеней простых	чисел	и букв .
Таким образом , выбрать из указанных	чисел	группы по три слагаемых , сумма которых равна 12 , можно лишь указанными 8 способами .
Из доказанного утверждения следует , что вместо того , чтобы искать НОД	чисел	а и b , можно искать НОД меньших чисел – b и r , где r — остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее .
Вычислите с точностью до десятых среднее арифметическое	чисел	.
Поэтому в статистике для наборов чисел вводятся и другие характеристики : наибольшее и наименьшее значение набора	чисел	, размах набора чисел .
С — множество нечетных положительных	чисел	, меньших или равных 11 . 1 )
В — множество натуральных	чисел	, меньших 10 , дающих при делении на 3 остаток 2 .
а ) разность квадратов двух натуральных	чисел	быть простым числом ? .
647 Докажите , что а ) если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего из этих	чисел	.
240 Найдите среднее арифметическое указанных	чисел	.
5 Если n — четно , то медиана равна среднему арифметическому	чисел	, стоящих в упорядоченном наборе на местах с номерами .
Из последнего равенства по определению делимости следует , что число d является делителем числа r . 2 ) Теперь докажем , что всякий общий делитель	чисел	b и r является одновременно делителем числа а .
А — множество натуральных	чисел	, больших 4 и меньших 9 .
а ) Если к произведению двух целых	чисел	, одно из которых на 2 больше другого , прибавить 1 , то получится точный квадрат .
а ) квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего	чисел	. б ) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное .
Полученные номера — это места	чисел	в наборе .
Рассмотрим , например , остатки , получающиеся при делении некоторых целых	чисел	на 4 .
Медианой набора , состоящего из четного количества чисел , называют число , равное среднему арифметическому чисел , стоящих на местах , после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество	чисел	в наборе ) .
Так , чтобы найти простой делитель 61	чисел	5917 и 154 452 , надо проверить , что эти числа не делятся на 17 простых чисел от 2 до 59 .
Медианой набора , состоящего из четного количества чисел , называют число , равное среднему арифметическому	чисел	, стоящих на местах , после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество чисел в наборе ) .
2 ) Для	чисел	вида квадрат равен .
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих	чисел	делится на р .
Множество общих делителей чисел а и b является конечным , так как ни один из общих делителей не может быть больше , чем наименьшее из	чисел	а и b. Значит , среди общих делителей двух натуральных чисел всегда можно найти наибольший .
Множество общих делителей	чисел	а и b является конечным , так как ни один из общих делителей не может быть больше , чем наименьшее из чисел а и b. Значит , среди общих делителей двух натуральных чисел всегда можно найти наибольший .
То есть применим метод перебора не к бесконечному множеству целых	чисел	, а к конечному числу указанных классов .
Число с называют общим делителем двух натуральных	чисел	а и b , если оно является делителем и для а , и для b .
в ) разность квадратов двух последовательных целых	чисел	равна сумме этих чисел .
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального числа на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных	чисел	.
в ) разность квадратов двух последовательных целых чисел равна сумме этих	чисел	.
Найдите все пары	чисел	т и п , для которых это будет верно .
Проведем доказательство данного утверждения для	чисел	каждого вида .
Разность квадратов двух последовательных четных	чисел	равна 28 .
177 Найдите модуль каждого из указанных	чисел	.
Полученный нами при решении задачи результат приводит нас к еще одной статистической характеристике набора	чисел	, называемой медианой .
Неравенство сохранится , если каждое из	чисел	65 , 11х и 83 мы разделим на 11 , поэтому .
Способ нахождения медианы числового набора и ее определение зависят от того , четно или нечетно количество	чисел	в наборе .
Найдите девять последовательных составных	чисел	; б ) Найдите тринадцать последовательных составных чисел .
Медианой набора , состоящего из нечетного количества	чисел	, называют число , расположенное на месте с номером после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество чисел в наборе ) .
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и произведение двух	чисел	делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р .
Найти наибольший общий делитель	чисел	71 004 и 154 452 .
256 Разбейте множество целых	чисел	на классы по их остаткам от деления на .
2 Найти все общие простые множители этих	чисел	и записать их произведение .
Медианой набора , состоящего из четного количества	чисел	, называют число , равное среднему арифметическому чисел , стоящих на местах , после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество чисел в наборе ) .
Запишите подмножество В четных чисел и подмножество С нечетных	чисел	множества А. Найдите объединение и пересечение подмножеств В и С .
Нам известен также следующий алгоритм нахождения НОД натуральных	чисел	.
Доказав для каждого из классов , что квадрат соответствующего целого числа либо делится на 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех целых	чисел	.
Поэтому логичным расширением определения НОД на случай , когда одно из	чисел	равно 0 , является следующее определение .
Аналогично определяется НОД трех и более натуральных	чисел	.
Итак , решениями исходного уравнения являются пары чисел вида , где k Z. Проверим , что эти пары	чисел	действительно являются решениями первоначального уравнения ( истинно ) .
Наибольший из общих делителей натуральных	чисел	а и b называют их наибольшим общим делителем .
Множество общих делителей чисел а и b является конечным , так как ни один из общих делителей не может быть больше , чем наименьшее из чисел а и b. Значит , среди общих делителей двух натуральных	чисел	всегда можно найти наибольший .
Итак , решениями исходного уравнения являются пары	чисел	вида , где k Z. Проверим , что эти пары чисел действительно являются решениями первоначального уравнения ( истинно ) .
175 Запишите в каноническом виде разложение	чисел	на простые множители .
В указанном наборе 7	чисел	.
Медианой набора , состоящего из нечетного количества чисел , называют число , расположенное на месте с номером после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество	чисел	в наборе ) .
Для доказательства теоремы выясним , какими свойствами обладают общие делители чисел а , b и чисел b , r . 1 ) Докажем сначала , что всякий общий делитель	чисел	а и b является одновременно делителем числа r .
Наибольший общий делитель	чисел	а и b будем , как и ранее , обозначать НОД ( а ; b ) .
Одно из двух загаданных рациональных	чисел	на 10 больше другого , а сумма их модулей равна 16 .
145 Сумма n первых натуральных	чисел	вычисляется по формуле .
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых	чисел	, делящихся на 45
243 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из	чисел	: а , с , а минус с , 2а минус с делится на 3 .
Эти законы верны не только для данных чисел , но и для любых рациональных	чисел	.
Эти законы верны не только для данных	чисел	, но и для любых рациональных чисел .
Найдите сумму квадратов и сумму кубов n первых натуральных	чисел	для .
Для того чтобы дать точное определение кусочно - линейной функции , нам необходимо вначале уточнить понятие числового промежутка — множества	чисел	, удовлетворяющих некоторому неравенству .
С — множество целых чисел , делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых	чисел	, делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
Из них можно составить целое число пар , в каждой из которых при умножении двух отрицательных	чисел	получается положительное число .
130 Известны формулы суммы квадратов n первых натуральных	чисел	, а также суммы их кубов .
407 Расставьте числа от 1 до 9 в кружках так , чтобы сумма	чисел	на каждой стороне треугольника равнялась : а ) 17 ; б ) 20 .
Одно рациональное число на 5 больше другого , при этом модуль одного из этих	чисел	равен модулю другого .
а ) Сумма двух	чисел	не зависит от порядка слагаемых .
Найдите все пары	чисел	m и n , для которых это будет верно .
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов	чисел	х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
е ) Квадрат разности	чисел	а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы чисел х , у и z . 395 Решите уравнение .
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов	чисел	а и b. .
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы	чисел	k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
в ) Разность двух натуральных	чисел	всегда число натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть целым числом .
Число , обратное произведению	чисел	р , q , r . г ) Число , противоположное частному числа d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
а ) Сумма числа а и частного от деления b на с . б ) Частное от деления произведения чисел х и у на разность	чисел	m и n .
а ) Сумма числа а и частного от деления b на с . б ) Частное от деления произведения	чисел	х и у на разность чисел m и n .
в ) Разность двух натуральных чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух целых	чисел	а и b может быть целым числом .
Но , прежде чем изучать свойства иррациональных чисел , нам надо разобраться с основными свойствами рациональных	чисел	и научиться уверенно выполнять все действия с ними .
е ) Квадрат разности чисел а и b . ж ) Сумма кубов чисел х , у и z . з ) Куб суммы	чисел	х , у и z . 395 Решите уравнение .
Но , прежде чем изучать свойства иррациональных	чисел	, нам надо разобраться с основными свойствами рациональных чисел и научиться уверенно выполнять все действия с ними .
484 Сколько чисел среди первых 100 натуральных	чисел	, которые не делятся ни на 2 , ни на 3 , ни на 5 , ни на 7 ? .
Запишите в каноническом виде разложение	чисел	на простые множители .
Сумма двух рациональных	чисел	равна 8 , при этом модуль одного из этих чисел в 3 раза меньше модуля другого числа .
Первое из задуманных	чисел	равно результату от деления числа а на 5 , а второе меньше b на 34 .
Найдите произведение этих	чисел	.
е ) Если в произведении рациональных	чисел	поменять порядок действий , то результат может измениться .
д ) Алгебраическая сумма рациональных	чисел	не зависит от порядка слагаемых .
Второе из задуманных	чисел	меньше а на 90 , а первое равно результату от деления числа b на 12 .
460 Докажите , что сумма кубов трех последовательных целых	чисел	делится на 3 .
Разность двух положительных рациональных	чисел	может быть числом отрицательным .
Сумма двух рациональных чисел равна 8 , при этом модуль одного из этих	чисел	в 3 раза меньше модуля другого числа .
в ) Произведение двух отрицательных рациональных	чисел	есть число положительное .
Разбейте множество целых	чисел	на классы по их остаткам при делении на .
Получаем , что указанное равенство возможно только для двузначных	чисел	72 и 94 , что и требовалось доказать .
Поскольку при умножении любого числа положительных	чисел	получается положительное число , то значение степени будет положительным , что и требовалось доказать . .
Найдите неполное частное и остаток при делении на ( -12 ) следующих	чисел	.
465 а ) В произведении трех	чисел	первый множитель увеличили на 50 % , а второй увеличили на 33^% .
Здесь первый шаг преобразований выполнен на основании правила 2 , а второй - на основе правил умножения рациональных	чисел	и определения степени числа .
Разность двух	чисел	равна 58 .
Произведением двух натуральных	чисел	а и b называется сумма b слагаемых , каждое из которых равно а .
Найдите сумму n первых натуральных	чисел	для . а ) n равно 100 . б ) nравно 200 .
Здесь нам также помогают законы арифметических действий , ведь они верны для любых рациональных	чисел	.
Так называемая великая теорема Ферма была сформулирована Пьером Ферма еще в 1637 году , а доказана лишь в 1995 году английским математиком Эндрю Уайлсом , совершившим в процессе этого доказательства прорыв в теории	чисел	.
Доказать , что среди двузначных	чисел	есть только два числа , 72 и 94 , которые на 58 больше произведения своих цифр .
Значит , а - натуральное число , меньшее 10 , а b может быть одним из целых	чисел	от 0 до 9 .
484 Сколько	чисел	среди первых 100 натуральных чисел , которые не делятся ни на 2 , ни на 3 , ни на 5 , ни на 7 ? .
б ) Существует бесконечно много натуральных	чисел	вида .
в ) квадрат суммы чисел c и d больше или равен 25 . г ) разность кубов	чисел	х и у меньше или равна 32 .
Например , известное нам число пи = 3,14159265 .. , выражающее отношение длины окружности к ее диаметру , является одним из примеров иррациональных	чисел	.
С — множество целых	чисел	, делящихся на 15 . 4 ) D — множество целых чисел , делящихся на 9 . 5 ) Е — множество целых чисел , делящихся на 45
1 Множество рациональных	чисел	.
б ) Сколько шестизначных	чисел	, кратных 4 , можно составить из цифр 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , если цифры в искомом числе не повторяются ? .
Расположим вы читаемое под уменьшаемым и будем вычислять разность , вычитая числа второй строки из	чисел	первой строки .
б ) произведение первого и третьего из них равно 32 , второе загаданное число на 2 больше первого , а третье — на 16 меньше произведения первого и второго	чисел	. .
Итак , мы ввели новое для нас арифметическое действие для рациональных	чисел	— возведение в натуральную степень , и установили некоторые правила , упрощающие определение знака степени .
б ) Сколько различных пятизначных	чисел	, цифры в которых не повторяются , можно составить из цифр 7 , 9 , 3 , 2 , 1 ? .
Можно ли их разбить на две группы так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме	чисел	в другой группе ? .
а ) Произведение любых шести последовательных целых	чисел	делится на 360 . б ) Число , записываемое 50 двойками , 50 единицами и 50 нулями , не может быть точным квадратом .
При этом процессы , которые описывает данная функция , характеризовались двумя постоянными величинами k и b , которые не меняли своих значений на всей области определения линейной функции ( множестве всех известных нам	чисел	) .
Можно ли их разбить на две группы так , чтобы сумма	чисел	в одной группе равнялась сумме чисел в другой группе ? .
Имеется 17 чисел , равных 2,3 , и 19	чисел	, равных 2,33 .
а ) Сколько существует четырехзначных	чисел	, в записи которых встречаются только цифры 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9 ? .
Имеется 17	чисел	, равных 2,3 , и 19 чисел , равных 2,33 .
Из данных свойств	чисел	непосредственно следуют правила равносильных преобразований уравнений .
374 Найдите среднее арифметическое указанных	чисел	.
С помощью алгоритма Евклида найдите НОД	чисел	а и 6 .
94 Запишите , используя фигурные скобки , множество делителей	чисел	.
95 Найдите наибольший общий делитель	чисел	.
96 Найдите наименьшее общее кратное	чисел	.
в ) Из четырех	чисел	первые три относятся как 0,5 : 0,3 : 2 , а четвертое составляет 15 % третьего .
99 Найдите в указанном множестве	чисел	пары : а ) обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
99 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) обратных	чисел	; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
99 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) обратных чисел ; б ) противоположных	чисел	; в ) чисел , имеющих равный модуль .
99 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в )	чисел	, имеющих равный модуль .
Единица является делителем всех натуральных	чисел	.
Существует бесконечно много натуральных	чисел	вида , где .
Однако если мы хотим измерять величины с хорошей точностью , то	чисел	натурального ряда нам не хватит .
Записываем уменьшаемое в виде суммы натуральных	чисел	от 5 до 1 , а вычитаемое - в виде суммы тех же чисел , взятых в обратном порядке .
Последнее равенство означает , что разность	чисел	делится на m .
а ) Если произведение двух натуральных	чисел	делится на 7 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 7 .
а ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 7 , то хотя бы одно из этих	чисел	делится на 7 .
Если произведение двух натуральных	чисел	делится на 15 , то хотя бы одно из этих чисел делится на 15 .
Очевидно , что те же правила сохранятся и для отрицательных рациональных	чисел	, так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной дробью знак минус , то в записи изменится только знак .
Если произведение двух натуральных чисел делится на 15 , то хотя бы одно из этих	чисел	делится на 15 .
Докажите , что существует бесконечно много натуральных	чисел	, имеющих вид , где .
б ) Сколько различных пятизначных	чисел	можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , если цифры не могут повторяться ? .
В — множество целых	чисел	, делящихся на 5 . 3 )
68 Докажите , что сумма n первых нечетных	чисел	равна .
Это означает , что множество периодических десятичных дробей совпадает со множеством рациональных	чисел	.
Записываем уменьшаемое в виде суммы натуральных чисел от 5 до 1 , а вычитаемое - в виде суммы тех же	чисел	, взятых в обратном порядке .
з ) В произведении трех	чисел	первый множитель увеличили на 40 % , второй уменьшили на 65 % , а третий увеличили на 20 % .
Нарисуйте диаграмму Эйлера — Венна для множеств А , В , С , D , Е . 1 ) А — множество целых	чисел	, делящихся на 3 .
Например , записи 27/1000 и 0,027 являются , по сути , разными обозначениями для од них и тех же рациональных	чисел	.
Но нам известен и другой способ записи рациональных	чисел	- в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной ) .
Из определения рациональных	чисел	следует , что любое рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби .
Как мы уже знаем , результатом сложения и умножения натуральных	чисел	всегда будет натуральное число .
а ) Если натуральное число больше 9 , то оно больше или равно 10 . б ) Сумма двух натуральных	чисел	, каждое из которых больше 5 , меньше 9 .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению множеств натуральных чисел N , целых чисел Z , рациональных	чисел	Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению множеств натуральных чисел N , целых	чисел	Z , рациональных чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о числе и появлению множеств натуральных	чисел	N , целых чисел Z , рациональных чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
В данном случае упростить вычисления нам помогла таблица умножения и установленное нами правило умножения	чисел	, оканчивающихся нулями .
В связи с этим возникает необходимость введения дробных и отрицательных	чисел	.
Сначала ответим на эти вопросы для положительных рациональных	чисел	, а затем распространим полученные правила на все рациональные числа .
Натуральная степень положительного рационального числа представляет собой произведение положительных	чисел	( или само число ) .
в ) квадрат суммы	чисел	c и d больше или равен 25 . г ) разность кубов чисел х и у меньше или равна 32 .
Сравните степени рациональных	чисел	.
Таким образом , множество корней исходного уравнения представляет собой объединение всех	чисел	полуинтервала ) и числа 1 , то есть числовой отрезок .
Частное двух рациональных	чисел	равно 5 .
215 Профессор Спейс пообещал Драко открыть великую тайну , если тот составит чудесный квадрат размером 3 на 3 из	чисел	1 , 0 , -1 так , чтобы все суммы по строкам , столбцам и большим диагоналям были различны .
Какие из	чисел	а , b , с и d расположены в промежутке .
Заметим , что при решении задачи мы использовали числовую прямую лишь для того , чтобы определить на ней взаимное расположение	чисел	( -4 ) и 1 и понять , на какие числовые промежутки эти числа разбивают всю числовую прямую .
сумма четырех последовательных целых чисел больше суммы наибольшего и наименьшего из этих	чисел	.
Разбейте множество { 1 , 11 , 13 , 19 , 22 , 44 } на две группы так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме	чисел	в другой .
сумма четырех последовательных целых	чисел	больше суммы наибольшего и наименьшего из этих чисел .
Правила равносильных преобразований неравенств основываются на известных нам свойствах	чисел	.
Разбейте множество { 1 , 11 , 13 , 19 , 22 , 44 } на две группы так , чтобы сумма	чисел	в одной группе равнялась сумме чисел в другой .
8 Запишите следующие выражения : 1 ) сумма квадратов двух	чисел	;
а ) Разностью двух чисел называется число , такое , что . б ) Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих	чисел	на их количество .
квадрат суммы двух	чисел	; 3 ) разность квадратов двух чисел ; 4 ) квадрат разности двух чисел .
квадрат суммы двух чисел ; 3 ) разность квадратов двух	чисел	; 4 ) квадрат разности двух чисел .
квадрат суммы двух чисел ; 3 ) разность квадратов двух чисел ; 4 ) квадрат разности двух	чисел	.
Найдите значения полученных выражений для	чисел	: а ) 8 и 2 ; б ) -4 и 3 ; в ) 7 и -5 ; г ) -9 и -6 .
а ) сумма трех последовательных целых чисел больше среднего арифметического наибольшего и наименьшего из этих	чисел	.
Найдите все пары	чисел	тип , для которых это будет верно .
а ) сумма трех последовательных целых	чисел	больше среднего арифметического наибольшего и наименьшего из этих чисел .
12 Запишите следующие выражения : 1 ) сумма кубов двух	чисел	;
куб суммы двух	чисел	.
Найдите значения полученных выражений для	чисел	.
Областью определения этой функции является множество всех рациональных	чисел	.
Используя идею сложения многозначных	чисел	« в столбик » , предложите аналогичный способ сложения многочленов и найдите этим способом сумму А плюс В .
То есть если число а больше числа b , то при сложении и вычитании этих	чисел	с некоторым числом с , а также при умножении и делении их на положительное число с знак неравенства не изменится .
Найдите все пары	чисел	k и р , для которых это будет верно .
Известно , что одно из этих	чисел	на 16 больше другого .
а ) Разностью двух чисел называется число , такое , что . б ) Средним арифметическим нескольких	чисел	называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
Язык математики , состоящий , в частности , из	чисел	, букв и выражений , уравнений и неравенств , помогает записать взаимосвязи , лежащие в основе различных процессов .
Составляя эту запись , мы использовали уже известное нам понятие степени натуральных	чисел	, что позволяет короче записывать выражения , содержащие одинаковые множители .
в ) Если модули двух рациональных	чисел	равны , то равны и сами числа .
Последовательность	чисел	: 3 , 9 , 27 , 81 , 243 , 729 устроена таким образом , что в ней каждое следующее число в три раза больше предыдущего .
а ) Если рациональные числа равны , то равны и квадраты этих	чисел	.
Чтобы распространить наши знания о степени на множество рациональных	чисел	, уточним соответствующие определения .
Если произведение двух рациональных	чисел	равно 1 , то эти числа взаимно обратные .
Так как х при делении на 3 дает остаток 1 , то по формуле деления с остатком , где множество натуральных	чисел	и 0 .
По условию , сумма искомых	чисел	равна 9 , значит .
Сумма двух отрицательных рациональных	чисел	отрицательна .
Если произведение двух рациональных	чисел	равно 0 , то хотя бы одно из этих чисел равно нулю .
Обозначим одно из	чисел	через х , где х Q , тогда второе число равно 5х .
Если произведение двух рациональных чисел равно 0 , то хотя бы одно из этих	чисел	равно нулю .
Так как выражение имеет смысл для всех х , не равных нулю , то областью определения нашей функции является множество всех известных нам	чисел	, кроме нуля .
Таблица квадратов натуральных	чисел	до 100 .
В каждой строке этого треугольника , начиная с третьей , между единицами находятся числа , равные сумме двух расположенных над ним	чисел	.
Размах набора	чисел	.
а ) Сумма двух натуральных	чисел	равна 12 .
Мода набора	чисел	.
Сумма двух натуральных	чисел	равна 28 .
Медиана набора	чисел	.
Сумма двух натуральных	чисел	равна 44 .
Сумма двух натуральных	чисел	равна 47 .
а ) Разностью двух	чисел	называется число , такое , что . б ) Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
Таблица кубов натуральных	чисел	до 60 .
Формулы куба суммы и разности позволяют быстро вычислять кубы разных	чисел	и выражений , не производя каждый раз почленное умножение двучленов и приведение подобных слагаемых .
Для этого воспользуемся тем , что частное	чисел	m и n , равно произведению числа m на обратное к n : .
а ) Сумма двух натуральных	чисел	равна 55 .
Чему равна сумма трех средних по величине	чисел	? .
Теперь , ознакомившись с идеями , на которых строится математическая теория , мы можем ответить и на вопрос о свойствах натуральных	чисел	, поставивший нас в тупик вначале .
Система аксиом для множества натуральных	чисел	была сформулирована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке .
Она , в частности , позволила вывести все известные нам свойства натуральных	чисел	логическим путем .
числитель меньше знаменателя ; 8) произведение двух	чисел	; 9 )
сотая доля ; 10 ) частное двух	чисел	; 11 ) имеет ровно 2 различных делителя ; 12 ) истинное равенство .
Запись больших	чисел	с помощью степени очень удобна , поэтому ее часто используют в разных науках , например в астрономии , где расстояния выражаются огромными числами .
232 Докажите , что какими бы ни были целые числа а и с , одно из	чисел	: а , c , а плюс c , а минус c , 2а плюс c , 2а минус c делится на 5 .
Какие из	чисел	а , b , с и d расположены в указанном промежутке ? .
а ) Из четырех	чисел	первые три относятся как 1,4 : 2,6 : 7 , а четвертое составляет 25 % третьего .
373 Пять различных	чисел	таковы , что сумма трех наименьших равна 10 , трех наибольших — 23 , а сумма наименьшего , наибольшего и среднего равна 18 .
В нашем определении мы говорили о натуральном показателе степени , большем 1 , поскольку произведение	чисел	не может содержать менее двух множителей .
а ) Сумма трех последовательных четных	чисел	делится на 6 . б ) Сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3 .
Сумма четырех последовательных натуральных	чисел	при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных чисел при делении на 8 дает остаток 4 .
Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2 . г ) Сумма четырех последовательных четных	чисел	при делении на 8 дает остаток 4 .
Разность двух рациональных чисел равна 3 , при этом модуль одного из этих	чисел	в 2 раза больше модуля другого числа .
а ) Первое из задуманных	чисел	больше а на 32 , а второе равно результату от деления числа b на 2,1 .
Доказать , что сумма кубов этих	чисел	делится на 4 . б ) Два целых числа при делении на 7 дают в остатке соответственно 2 и 3 .
Найдите сумму этих	чисел	.
б ) Второе из задуманных	чисел	равно произведению числа а на число 3,3 , а первое - произведению числа b и числа 4,7 .
Доказать , что сумма кубов этих	чисел	делится на 7 .
Значит , эта зависимость является функцией , областью определения X которой является множество всех известных нам	чисел	.
а ) сумма	чисел	2 и 6 больше 5 .
б ) разность квадратов	чисел	а и b меньше 8 .
а ) Сумма трех последовательных четных чисел делится на 6 . б ) Сумма трех последовательных нечетных	чисел	делится на 3 .
Разность двух рациональных	чисел	равна 3 , при этом модуль одного из этих чисел в 2 раза больше модуля другого числа .
Так как полученные равенства верны при подстановке вместо а и b любых	чисел	и выражений , то они являются тождествами .
а ) Частное двух рациональных чисел равно 2 , при этом одно из этих	чисел	на 8 больше другого .
Сумма двух натуральных	чисел	равна 26 .
а ) произведение квадрата суммы	чисел	7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов	чисел	b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы	чисел	9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов	чисел	3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
а ) Сколько существует пятизначных	чисел	, в записи которых встречаются только цифры 1 , 4 , 7 ? .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов	чисел	6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
е ) Сколько четырехзначных	чисел	, делящихся на 2 , можно составить из цифр 2 , 5 , 6 , 7 , 9 , если цифры в искомом числе не повторяются ? .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы	чисел	2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Одно из этих	чисел	на 10 больше другого числа .
При сложении многозначных	чисел	такая запись помогает добиться близкого расположения цифр , стоящих в одинаковых разрядах , а при сложении многочленов — близкого расположения подобных членов .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности	чисел	r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
Разбейте множество { 1 , 3 , 7 , 9 , 25 , 65 , 70 } на две группы так , чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме	чисел	в другой .
Чтобы упростить вычисления , мы можем использовать идею « записи в столбик » , аналогичную той , которую мы использовали при сложении и вычитании многозначных	чисел	.
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов	чисел	t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы	чисел	m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов	чисел	а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы	чисел	4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней чисел х , у и z .
а ) произведение квадрата суммы чисел 7 и а и разности квадратов чисел b и с . б ) частное куба суммы чисел 9 , х , у и суммы кубов чисел 3 и z . в ) удвоенная разность кубов чисел 6 и р , умноженная на куб суммы чисел 2 и q . г ) квадрат разности чисел r и s , деленный на разность кубов чисел t и k . д ) произведение неполного квадрата суммы чисел m и n и разности квадратов чисел а и b . е ) шестая степень суммы чисел 4 , m , n , k . ж ) сумма шестых степеней	чисел	х , у и z .
Мы знаем , что сумма трех последовательных натуральных	чисел	делится на 3 .
Свое доказательство мы основывали на том , что сумму трех последовательных натуральных	чисел	можно записать в виде .
а ) Сумма двух натуральных	чисел	равна 36 .
А единица и натуральное число относятся к первоначальным понятиям теории	чисел	.
Разбейте множество { 1 , 3 , 7 , 9 , 25 , 65 , 70 } на две группы так , чтобы сумма	чисел	в одной группе равнялась сумме чисел в другой .
а ) Частное двух рациональных	чисел	равно 2 , при этом одно из этих чисел на 8 больше другого .
Найдите наибольший общий делитель	чисел	.
Какой вывод вы можете сделать о модуле противоположных	чисел	?
И мы можем использовать для рациональных	чисел	ту форму записи , которая нам удобна в каждом рассматриваемом случае .
363 Разбейте множество целых	чисел	на классы по их остаткам при делении на ?
Простые числа занимают особое место среди всех натуральных	чисел	.
Поскольку кубики « идеальные » , то выпадение на верхних гранях каждого из них одного из шести	чисел	события равновозможные , и мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
Аналогичный вывод можно сделать и при выпадении на первом кубике	чисел	2 , 3 , 4 , 5 и 6 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных	чисел	делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных	чисел	делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение	чисел	не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
В задаче 2 данного пункта мы получили , что остаток от деления	чисел	вида 3n на 7 зависит от того , какой остаток при делении на 6 дает показатель степени , а именно .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма	чисел	делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Для ложных высказываний постройте их отрицания : а ) Число 56 789 976 431 делится на 1 ; б ) Число 793 457 891 делится само на себя ; в ) Число 678 делится на 983 ; г ) Число 862 056 делится на 9 ; д ) Разность	чисел	398 470 - 125 052 делится на 5 ; е ) Сумма чисел делится на 3 ; ж ) Произведение чисел не делится на 18 ; з ) Число 555 555 делится на 15 ; и ) Число 143 526 не делится на 6 ; к ) Число 4 010 532 не делится на 12 .
Поскольку вероятности выпадения на верхних гранях кубиков одного из шести	чисел	равны , то мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности .
Найдем произведение	чисел	а и b .
Числа b и с - делители числа а , число а - кратное	чисел	b и с .
Для этого вспомним основные определения , уже известные свойства и докажем некоторые новые свойства делимости натуральных	чисел	.
в ) Произведение любых семи последовательных	чисел	делится на 2520 . г ) Число , записываемое 100 двойками , 100 единицами и 100 нулями , не может быть точным квадратом .
В центре теории чисел лежит изучение свойств делимости натуральных	чисел	.
334 Докажите , что для целых	чисел	а и b верно , что если a2 + b2 делится на 3 , то а делится на 3 и b делится на 3 .
В центре теории	чисел	лежит изучение свойств делимости натуральных чисел .
Второе загаданное число на 5 больше первого , а третье — на 4 меньше произведения первого и второго	чисел	.
Ответ : 345 . 1 а ) Запишите произведение натуральных	чисел	в виде степени .
Число 1 имеет единственный делитель - само себя , и поэтому оно выделено в ряду натуральных	чисел	в особую группу : не является ни простым , ни составным .
Свойства простых	чисел	позволяют первому игроку быстро найти выигрышную стратегию , ведь эти числа имеют ровно два различных делителя .
Начиная когда - то с простой повседневной потребности в счете , сейчас теория	чисел	помогает в решении таких актуальных проблем , как , например , повышение быстродействия компьютеров .
Подобно тому , как изучение	чисел	позволяет нам применять их свойства , не задумываясь о том , что именно мы считаем — тетради , деньги , размеры дома или скорость ракеты .
Время показало возрастающую прикладную роль теории	чисел	.
Это стимулировало математиков развивать теорию	чисел	, детально изучающую их свойства .
509 Найдите неполное частное и остаток при делении на ( -11 ) следующих	чисел	.
Красота и даже магия	чисел	, заключающаяся в удивительных закономерностях , связанных с ними , завораживала .
1 Делимость	чисел	и ее свойства .
Найдите девять последовательных целых	чисел	, сумма первых трех из которых равна сумме шести последних .
Наибольший общий делитель	чисел	k и l равен 2 . д ) Наименьшее общее кратное чисел m и n равно 468 .
Наибольший общий делитель чисел k и l равен 2 . д ) Наименьшее общее кратное	чисел	m и n равно 468 .
137 Найдите НОД и НОК	чисел	а и b .
151 Дано множество	чисел	.
Сравнения помогают решать множество практических проблем : проверять , на пример , правильность вычислений , составлять расписание занятий и соревнований , устанавливать признаки делимости	чисел	, определять , какой цифрой заканчивается число , простым или составным оно является и т .
а ) произведение первого и третьего из них равно (-8 ) , второе число на 5 меньше первого , а третье — на 2 больше произведения первого и второго из загаданных	чисел	.
148 Найдите НОД и НОК	чисел	а и b .
147 Докажите утверждение : а ) Произведение любых пяти последовательных	чисел	делится на 60 ; б ) Число , записываемое 80 двойками , 80 единицами и 80 нулями , не может быть точным квадратом .
г ) В произведении трех	чисел	первый множитель увеличили на 30 % , второй увеличили на 45 % , а третий уменьшили на 50 % .
б ) произведение первого и третьего из них равно 2 , второе число на 2 больше первого , а третье — на 1 меньше произведения первого и второго из загаданных	чисел	.
а ) Число 6 является делителем числа 128 . б ) Число 9 является делителем всех натуральных	чисел	.
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных	чисел	делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных	чисел	делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
а ) Частное двух рациональных	чисел	равно 8 , при этом одно из этих чисел на 21 больше другого .
526 Найдите неполное частное и остаток при делении на ( -9 ) следующих	чисел	.
Никакая другая отрасль теории	чисел	не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых чисел , этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят делиться нацело ни на какое целое число за исключением себя и единицы .
Никакая другая отрасль теории чисел не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых	чисел	, этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят делиться нацело ни на какое целое число за исключением себя и единицы .
Никакая другая отрасль теории чисел не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых чисел , этих непокорных , раздражающих	чисел	, которые не хотят делиться нацело ни на какое целое число за исключением себя и единицы .
в ) угадать одно число из 52	чисел	.
а ) Частное двух рациональных чисел равно 8 , при этом одно из этих	чисел	на 21 больше другого .
з ) В произведении трех	чисел	первый множитель увеличили на 20 % , второй уменьшили на 25 % , а третий увеличили на 10 % .
Сумма двух рациональных	чисел	равна 2490 .
Найдите остаток от деления на 17	чисел	, если .
Таким образом , не выполняя громоздких вычислений самих степеней , мы с помощью сравнений смогли быстро найти остатки от деления на 7 всех	чисел	вида 3n .
Ответ : остаток r при делении на 7	чисел	вида 3n равен .
С этим свойством натуральных	чисел	связано важное понятие простого числа .
512 Может ли среднее арифметическое 27 целых	чисел	равняться 19,8 ? .
В множестве А найдите подмножества , состоящие из	чисел	, кратных .
Для любых натуральных	чисел	a и m остатки от деления a , а2 , .. , аn , .. на m с некоторого момента начинают периодически повторяться .
Разность двух рациональных	чисел	равна 438 .
140 Дано множество	чисел	.
в ) В произведении трех	чисел	первый множитель уменьшили на 20 % , второй увеличили на 65 % , а третий уменьшили на 30 % .
1 Делимость на множестве натуральных	чисел	.
а ) Сумма двух натуральных	чисел	равна 26 .
529 Может ли среднее арифметическое 56 целых	чисел	равняться 13,2 ? .
Однако для больших	чисел	данный способ решения является слишком громоздким .
Существует бесконечно много	чисел	вида , где .
357 Запишите в каноническом виде разложение	чисел	на простые множители .
105 Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное	чисел	.
Например , проверив , что число 19 не делится ни на одно из	чисел	от 2 до 18 , мы убедимся в том , что оно является простым .
С помощью алгоритма Евклида найдите НОД	чисел	а и b .
а ) Сумма двух натуральных	чисел	равна 45 .
Какое свойство противоположных	чисел	может помочь быстрее выполнить это задание ? .
104 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в )	чисел	, имеющих равный модуль .
Сумма двух натуральных	чисел	равна 54 .
104 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно обратных чисел ; б ) противоположных	чисел	; в ) чисел , имеющих равный модуль .
104 Найдите в указанном множестве чисел пары : а ) взаимно обратных	чисел	; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
104 Найдите в указанном множестве	чисел	пары : а ) взаимно обратных чисел ; б ) противоположных чисел ; в ) чисел , имеющих равный модуль .
а ) произведение первого и третьего из них равно 63 , второе загаданное число на 7 больше первого , а третье — на 9 меньше произведения первого и второго	чисел	.
Сумма двух натуральных	чисел	равна 35 .
Сумма двух натуральных	чисел	равна 48 .
Найдите остаток от деления на 19	чисел	если .
362 Найдите неполное частное и остаток при делении на ( -11 ) следующих	чисел	.
Одно из этих чисел на 10 больше другого	числа	.
Какие	числа	загадал Ваня ? .
а ) Если некоторые четные числа больше 3 , то некоторые большие трех	числа	— четные .
в ) Если модули двух рациональных чисел равны , то равны и сами	числа	.
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные	числа	не кратны 5 .
Полученные остатки r , r1 , r2 .. - это целые неотрицательные	числа	, которые последовательно уменьшаются .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные	числа	и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Все натуральные	числа	положительные .
Все натуральные	числа	, большие 1 , имеют по крайней мере два различных дели теля : 1 и само себя .
Но ее можно записать в виде , где b — произвольные	числа	.
д ) Если ни одно решение неравенства не больше 10 , а некоторые большие 10	числа	делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решениями неравенства .
а ) Если рациональные	числа	равны , то равны и квадраты этих чисел .
д ) Если ни одно решение неравенства не больше 10 , а некоторые большие 10 числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5	числа	не являются решениями неравенства .
Выписываем простые	числа	, квадраты которых меньше 97 .
Может ли остаток при делении этого	числа	на 27 быть равен 11 ? .
д ) Два рациональных	числа	противоположные , если их сумма равна нулю .
С этим свойством натуральных чисел связано важное понятие простого	числа	.
Для того чтобы избежать такой неоднозначности , математики решили записывать простые множители в разложении натурального	числа	в порядке возрастания .
Такую упорядоченную запись назвали каноническим разложением	числа	на простые множители .
Если произведение двух рациональных чисел равно 1 , то эти	числа	взаимно обратные .
Частотой случайного события называется отношение	числа	благоприятных исходов к общему числу проведенных испытаний .
Простые	числа	занимают особое место среди всех натуральных чисел .
Если , то уравнение не имеет решений , так как модуль	числа	не может принимать отрицательные значения .
Вычислите частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение	числа	1 ; б ) выпадение числа 2 ; в ) выпадение числа 3 ; г ) выпадение числа 4 ; д ) выпадение числа 5 ; е ) выпадение числа 6 .
Нам известно , что результат деления одного целого	числа	на другое , как и в случае натуральных чисел , не всегда будет числом целым .
210 Найдите все делители	числа	а , которые кратны числу b .
Так , например , разложение	числа	210 на простые множители может иметь вид или .
А областью определения данной функции , которая получила название линейной , являются все известные нам	числа	.
211Найдите	числа	х и у , если известно , что .
1 Выписать все простые	числа	, квадраты которых меньше а .
Алгоритм решения уравнения вида , где а , b , с , d — некоторые	числа	.
Вычислите частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; б ) выпадение	числа	2 ; в ) выпадение числа 3 ; г ) выпадение числа 4 ; д ) выпадение числа 5 ; е ) выпадение числа 6 .
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата	числа	b и куба пятой степени числа с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
а ) Ваня загадал два натуральных	числа	.
Из свойств делимости натуральных чисел и основной теоремы арифметики следует , что если в разложении	числа	на простые множители нет , например , числа 2 , то никакое число , кратное 2 , не может быть его делителем .
б ) Если рациональные	числа	равны , то равны и кубы этих чисел .
Если все положительные	числа	являются рациональными и ни одно положительное число не может быть меньше нуля , значит , все рациональные числа не могут быть меньше нуля .
Докажите , что : а ) для любого целого числа а делится на 3 ; б ) для любого целого	числа	b делится на 5 .
Найдите остаток при делении	числа	b на 2 , на 7 .
2 Простые	числа	.
При этом два разложения одного и того же	числа	на простые множители могут отличаться лишь порядком множителей .
Это значит , что существуют такие натуральные	числа	k и I .
Все целые	числа	, которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют целые числа , которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами , можно заметить , что ряд простых чисел устроен достаточно сложно , простые	числа	то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности натуральных чисел довольно долго .
Если все положительные числа являются рациональными и ни одно положительное число не может быть меньше нуля , значит , все рациональные	числа	не могут быть меньше нуля .
153 Докажите , что	числа	А и В взаимно простые .
Для доказательства теоремы выясним , какими свойствами обладают общие делители чисел а , b и чисел b , r . 1 ) Докажем сначала , что всякий общий делитель чисел а и b является одновременно делителем	числа	r .
Правило возведения в квадрат натурального	числа	, оканчивающегося на 5 .
г ) Четные	числа	- это натуральные числа , кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
г ) Четные числа - это натуральные	числа	, кратные 2 . д ) Арифметика - это царица математики . е ) Отрезком называется часть прямой , ограниченная двумя точками .
Есть четные	числа	, кратные 7 и 5
35 Сформулируйте определения : а ) правильной дроби ; б ) простого	числа	; в ) отношения ; г ) пропорции ; д ) четного числа ; е ) процента .
Из последнего равенства по определению делимости следует , что число d является делителем	числа	r . 2 ) Теперь докажем , что всякий общий делитель чисел b и r является одновременно делителем числа а .
90 Докажите , что	числа	А и В имеют одинаковые остатки при делении на 7 .
232 Докажите , что какими бы ни были целые	числа	а и с , одно из чисел : а , c , а плюс c , а минус c , 2а плюс c , 2а минус c делится на 5 .
а ) Если некоторые четные	числа	больше 3 , то некоторые большие трех числа — четные .
Таким образом , математическое моделирование позволяет свести решение большого	числа	внешне различных практических задач к решению уравнений и неравенств .
Разность квадрата	числа	х и частного чисел у и г .
Докажите , что	числа	а и b дают одинаковые остатки при делении на с . а ) Из Москвы и Владивостока , расстояние между которыми 9000 км , вылетели одновременно навстречу друг другу два самолета , Су-34 и Ил-96 .
а ) Удвоенный куб	числа	а .
Функцию задали следующим образом : каждому рациональному числу q поставили в соответствие наибольшее целое число , не превосходящее этого	числа	.
Все целые числа , которые при делении на 7 дают остаток 2 , кратны 5 . з ) Существуют целые	числа	, которые при делении на 3 дают остаток 2 , а при делении на 7 дают остаток 5 .
Заметим , что разложением простого	числа	на простые множители принято считать само это число .
Из основной теоремы арифметики следует важный вывод о том , что различные представления одного и того же составного	числа	в виде произведения простых чисел связаны только с различием в порядке множителей .
А можно ли найти все простые	числа	? .
Какие другие пропорции , членами которых являются те же	числа	х , у , m и n , можно записать ? .
Для этого заметим , что слагаемое можно записать как удвоенное произведение и	числа	Теперь , добавляя и вычитая из исходного многочлена ( квадрат числа ) , выделяем полный квадрат .
Пусть q является общим делителем b и r. Это значит , что существуют такие натуральные	числа	m и n .
Загадали два натуральных	числа	.
Из последнего равенства по определению делимости следует , что число d является делителем числа r . 2 ) Теперь докажем , что всякий общий делитель чисел b и r является одновременно делителем	числа	а .
Рассмотрим теперь более сложное уравнение вида , где а , b , с , d — некоторые	числа	.
Таким образом , мы получили , что корнями исходного уравнения являются	числа	( -1 ) , ( -2 ) и ( -3 ) .
Докажите , что : а ) для любого целого	числа	а делится на 3 ; б ) для любого целого числа b делится на 5 .
Зависимость между величинами х и у называется линейной , если данные величины связаны формулой , где k и b — произвольные	числа	.
в ) На шарах написаны целые	числа	от 1 до 250 .
Используя калькулятор , вычислите ( с точностью до сотых ) частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; г ) выпадение числа 4 ; б ) выпадение числа 2 ; д ) выпадение числа 5 ; в ) выпадение числа 3 ; е ) выпадение	числа	6 .
Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные	числа	делятся на 7 , то некоторые делящиеся на 7 числа — решения неравенства .
Значит , у любого составного	числа	всегда имеется отличный от 1 делитель , квадрат которого меньше самого числа .
И так как возможность реализации каждого из этих исходов одинакова , то вероятность каждого из них , например , выпадения	числа	5 , равна .
Значит , у любого составного числа всегда имеется отличный от 1 делитель , квадрат которого меньше самого	числа	.
Сумма кубов чисел m , n и k . г ) Утроенное произведение квадрата числа b и куба пятой степени	числа	с . 2 ) Исходя из смысла слов русского языка , выскажите предположение , какие из записанных вами выражений можно назвать « одночленами » .
Для небольшого	числа	это сделать нетрудно .
Поэтому , для того чтобы выяснить , является ли число простым , достаточно проверить , что оно не делится на простые	числа	, квадрат которых меньше этого числа .
Поэтому , для того чтобы выяснить , является ли число простым , достаточно проверить , что оно не делится на простые числа , квадрат которых меньше этого	числа	.
Эти два случая можно объединить в единой записи , используя понятие модуля	числа	.
Выпадение	числа	6 .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные	числа	, при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
Выпадение	числа	5 .
Выпадение	числа	4 .
Простые	числа	до 1000 .
в ) Задумали три натуральных	числа	.
Какие	числа	задумали ? .
Выпадение	числа	3 .
Если все решения неравенства положительные	числа	и некоторые положительные числа делятся на 7 , то некоторые делящиеся на 7 числа — решения неравенства .
б ) Когда повара спросили , сколько яиц нужно взять , чтобы приготовить пирог , он ответил : « Если взять на 3 яйца меньше , чем это необходимо , увеличить это число в 5 раз , а затем вычесть из полученного результата число , в 2 раза большее необходимого	числа	яиц , то получится число , на 5 большее искомого » .
Например , каноническое разложение	числа	210 имеет вид , а для числа 90 каноническое разложение таково .
Тогда его можно представить в виде произведения двух множителей где бис - натуральные	числа	, отличные от 1 .
Свойства простых чисел позволяют первому игроку быстро найти выигрышную стратегию , ведь эти	числа	имеют ровно два различных делителя .
Если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них , то получится квадрат большего	числа	.
Но если кубик бросать очень много раз , то частота выпадения	числа	5 будет близка к .
Вместе с тем , зная , например , что при бросании игрального кубика вероятность выпадения	числа	5 равна мы не можем сделать вывод о том , что число 5 будет выпадать при каждом шестом броске .
Следовательно , для того чтобы выяснить , является ли данное число простым , достаточно проверить , что оно не делится на все простые	числа	, меньшие этого числа .
Например , каноническое разложение числа 210 имеет вид , а для	числа	90 каноническое разложение таково .
Следовательно , для того чтобы выяснить , является ли данное число простым , достаточно проверить , что оно не делится на все простые числа , меньшие этого	числа	.
Например , для	числа	19 это числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , а не все числа от 2 до 18 .
Найдите остаток от деления этого числа на 28 . б ) Найдите все	числа	, которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
Так , частота случайного события в серии из большого	числа	испытаний будет близка к вероятности этого события .
Натуральной ( n - й ) степенью	числа	а называется число аn , равное произведению n множителей , каждый из которых равен а .
Таким образом , множество корней исходного уравнения представляет собой объединение всех чисел полуинтервала ) и	числа	1 , то есть числовой отрезок .
Например , для числа 19 это	числа	2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , а не все числа от 2 до 18 .
Например , для числа 19 это числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , а не все	числа	от 2 до 18 .
а ) Игральный кубик , на каждой из шести граней которого написаны числа от 3 до 8 , бросают четыре раза и записывают подряд все выпадающие	числа	.
Понятие простого	числа	может оказаться очень полезным , например , при разработке выигрышной стратегии в следующей игре .
Заметим , что при решении задачи мы использовали числовую прямую лишь для того , чтобы определить на ней взаимное расположение чисел ( -4 ) и 1 и понять , на какие числовые промежутки эти	числа	разбивают всю числовую прямую .
а ) Игральный кубик , на каждой из шести граней которого написаны	числа	от 3 до 8 , бросают четыре раза и записывают подряд все выпадающие числа .
Найдите эти	числа	.
Используя калькулятор , вычислите ( с точностью до сотых ) частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение	числа	1 ; г ) выпадение числа 4 ; б ) выпадение числа 2 ; д ) выпадение числа 5 ; в ) выпадение числа 3 ; е ) выпадение числа 6 .
Найдите остаток от деления этого	числа	на 28 . б ) Найдите все числа , которые при делении на 11 дают остаток 9 , а при делении на 3 — остаток 2 .
Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные числа делятся на 7 , то некоторые делящиеся на 7	числа	— решения неравенства .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных чисел , называемых также положительными целыми числами , существуют	числа	, им противоположные , - отрицательные целые числа и 0 .
Используя калькулятор , вычислите ( с точностью до сотых ) частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; г ) выпадение числа 4 ; б ) выпадение	числа	2 ; д ) выпадение числа 5 ; в ) выпадение числа 3 ; е ) выпадение числа 6 .
Найдите три	числа	, дающих при делении на В такие же остатки , как А .
228 а ) Если некоторые отрицательные	числа	рациональные , то некоторые рациональные числа — отрицательные .
228 а ) Если некоторые отрицательные числа рациональные , то некоторые рациональные	числа	— отрицательные .
б ) Если ни один квадрат рационального	числа	не отрицательный , то ни одно отрицательное число — не квадрат .
Найдите простые	числа	, лежащие между числами а и b .
Вычислите частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; б ) выпадение числа 2 ; в ) выпадение числа 3 ; г ) выпадение числа 4 ; д ) выпадение	числа	5 ; е ) выпадение числа 6 .
Итак , исходя из сформулированного принципа , попробуем выяснить , как надо изменить основные определения делимости , если мы будем рассматривать не натуральные	числа	, а целые .
Используя калькулятор , вычислите ( с точностью до сотых ) частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; г ) выпадение числа 4 ; б ) выпадение числа 2 ; д ) выпадение	числа	5 ; в ) выпадение числа 3 ; е ) выпадение числа 6 .
Мы знаем , что вычитание рационального	числа	можно заменить прибавлением противоположного числа .
Следовательно , задача имеет два решения : первое — искомые числа равны 4 и 20 , второе — искомые	числа	равны ( -4 ) и ( -20 ) .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные	числа	, значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные	числа	. г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
Вычислите частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; б ) выпадение числа 2 ; в ) выпадение числа 3 ; г ) выпадение	числа	4 ; д ) выпадение числа 5 ; е ) выпадение числа 6 .
Используя калькулятор , вычислите ( с точностью до сотых ) частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; г ) выпадение числа 4 ; б ) выпадение числа 2 ; д ) выпадение числа 5 ; в ) выпадение	числа	3 ; е ) выпадение числа 6 .
Из свойств делимости натуральных чисел и основной теоремы арифметики следует , что если в разложении числа на простые множители нет , например ,	числа	2 , то никакое число , кратное 2 , не может быть его делителем .
223 Найдите	числа	х и у , если известно , что .
Мы знаем , что вычитание рационального числа можно заменить прибавлением противоположного	числа	.
Вычислите частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; б ) выпадение числа 2 ; в ) выпадение	числа	3 ; г ) выпадение числа 4 ; д ) выпадение числа 5 ; е ) выпадение числа 6 .
3 Отметим найденные корни уравнений на « упрощенной » модели числовой прямой и определим непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные	числа	разбивают числовую прямую .
Пользуясь определением модуля	числа	, решение этого уравнения можно записать следующим образом .
Вспомним определение простого	числа	.
Выпадение	числа	2 .
Чему равно отношение	числа	офисных работников пончиковой компании к числу работников на производстве ? .
Выпадение	числа	1 .
Число с составляет 5/6 от числа d . з ) Число k составляет 35 % от	числа	t .
Число с составляет 5/6 от	числа	d . з ) Число k составляет 35 % от числа t .
Все вместе эти	числа	образуют множество Z целых чисел .
35 Сформулируйте определения : а ) правильной дроби ; б ) простого числа ; в ) отношения ; г ) пропорции ; д ) четного	числа	; е ) процента .
Следовательно , задача имеет два решения : первое — искомые	числа	равны 4 и 20 , второе — искомые числа равны ( -4 ) и ( -20 ) .
Число а на 12 больше числа b . г ) Число х в 3 раза меньше числа у . д ) Модуль	числа	х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 .
Число а на 12 больше	числа	b . г ) Число х в 3 раза меньше числа у . д ) Модуль числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 .
На сколько процентов число В больше	числа	А ? .
На сколько процентов число А меньше	числа	В ?
Они являются теми « кирпичиками » , из которых строят все остальные	числа	.
Вычислите частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; б ) выпадение числа 2 ; в ) выпадение числа 3 ; г ) выпадение числа 4 ; д ) выпадение числа 5 ; е ) выпадение	числа	6 .
Для этого заметим , что слагаемое можно записать как удвоенное произведение и числа Теперь , добавляя и вычитая из исходного многочлена ( квадрат	числа	) , выделяем полный квадрат .
695 Найдите загаданные рациональные	числа	, если известно , что .
Используя калькулятор , вычислите ( с точностью до сотых ) частоту наступления следующих случайных событий : а ) выпадение числа 1 ; г ) выпадение	числа	4 ; б ) выпадение числа 2 ; д ) выпадение числа 5 ; в ) выпадение числа 3 ; е ) выпадение числа 6 .
Число а на 12 больше числа b . г ) Число х в 3 раза меньше	числа	у . д ) Модуль числа х равен 7 . е ) Числа тип относятся как 2:3 .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных чисел , называемых также положительными целыми числами , существуют числа , им противоположные , - отрицательные целые	числа	и 0 .
196 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных	числа	, которые : а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; б ) при делении на 9 дают остаток 6 .
а ) Число а противоположно числу b , если . б ) Целые	числа	- это натуральные числа , им противоположные и нуль .
Докажите , что	числа	А и В имеют одинаковые остатки при делении на 7 .
163 Известно , что р и q - различные простые	числа	.
Если сумма цифр натурального	числа	делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального	числа	делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Если квадрат натурального	числа	делится на 5 , то и само число делится на 5 .
719 Какие остатки дают натуральные степени	числа	а при делении на b .
Если с занятия уйдет один спортсмен , то число отсутствующих станет равно 1/5	числа	присутствующих .
б ) Расположите	числа	5 , 17 , 29 , 47 , 59 , 71 , 89 , 101 , 113 в клетках квадрата размером 3 х 3 так , чтобы квадрат стал магическим .
Будем выписывать подряд следующие	числа	.
а ) Расположите	числа	21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 в клетках квадрата размером 3 х 3 так , чтобы квадрат стал магическим .
Сумма цифр	числа	делится на 3 Число делится на 3 .
Любая натуральная степень нуля равна 0 , а при умножении	числа	на 0 получается 0 .
2 Может ли быть несколько таких представлений для одного и того же	числа	?
Какой остаток при делении на 2 дают	числа	.
В них исходный текст разбивается на группы , состоящие из одинакового	числа	букв .
Квадрат любого натурального	числа	больше самого числа .
У набора чисел может не быть моды , если все	числа	в наборе встречаются одинаковое число раз .
Квадрат любого натурального числа больше самого	числа	.
Найдите остаток при делении	числа	b на 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 .
Существуют два натуральных	числа	, одно из которых больше другого на 5 , и их произведение равно 5 .
Выписанные таким образом	числа	образуют последовательность целых чисел , каждое из которых , кроме первого , на b меньше предыдущего .
Может ли остаток при делении этого	числа	на 14 быть равен 5 ? .
в ) Все решения неравенства х положительные	числа	.
Но это противоречит нашему выбору наименьшего неотрицательного	числа	.
711 Найдите загаданные рациональные	числа	, если известно , что .
Мы получили неотрицательное число вида , которое меньше	числа	.
Оказывается , что другого такого	числа	не существует .
Пусть х — количество десятков , а у — количество единиц	числа	полных лет бабушки .
Числа b и с - делители	числа	а , число а - кратное чисел b и с .
Значит , единица — решение неравенства . б ) Все решения неравенства положительные	числа	.
Докажите , что : а ) для любого целого числа а делится на 3 ; б ) для любого целого	числа	b делится на 4 .
714 Найдите загаданные рациональные	числа	, если известно , что произведение первого и третьего из них равно 20 .
Модуль	числа	может быть отрицательным .
а ) Не существует наибольшего нечетного	числа	.
а ) Все решения неравенства положительные	числа	.
в ) Не существует натурального	числа	, которое при делении на 18 дает остаток 5 , а при делении на 27 дает остаток 3 .
159 Определите , простыми или составными являются следующие	числа	.
Последовательно вычитая из натурального	числа	а натуральное число 3 , мы получим в некоторый момент отрицательное число .
Докажите , что : а ) для любого целого	числа	а делится на 3 ; б ) для любого целого числа b делится на 4 .
161 Найдите простые	числа	, лежащие между числами а и b .
Таким образом , размах дает представление о разбросе числовых данных , то есть показывает максимальное значение , на которое	числа	в некотором наборе отличаются друг от друга .
Она ответила , что если сложить число ее полных лет и обе цифры этого	числа	, то получится 83 .
Так , например , в наборе чисел , характеризующем ежегодный выпуск мопедов в РФ с 1999 по 2008 г. , моды нет , так как все	числа	встречаются в нем по одному разу .
Затем нарисуем таблицу с 10 столбцами и в первой ее строке запишем	числа	от 1 до 10 в произвольном порядке .
и ) Существуют рациональные	числа	, меньшие 7 и большие 2 .
а ) Если натуральное число больше 5 , то оно больше или равно 6 . б ) Делитель натурального	числа	может быть больше этого числа .
Число 4 меньше 5 . з ) Все рациональные	числа	, меньшие 5 , больше ( -100 ) .
а ) Если натуральное число больше 5 , то оно больше или равно 6 . б ) Делитель натурального числа может быть больше этого	числа	.
786 Найдите загаданные рациональные	числа	, если известно , что .
3 Пронумеровать подряд все	числа	упорядоченного набора , обозначив номером 1 меньшее число .
а ) Частное от деления числа 75 само на себя равно 1 . б ) Существуют целые	числа	, которые при делении их на себя дают в частном 2 .
2 Записать	числа	набора в порядке возрастания .
а ) Два	числа	относятся одно к другому как 5 к 7 .
При этом результат возведения двучлена а плюс b в квадрат не изменится , если вместо а и b мы подставим любые	числа	или вообще любые выражения .
а ) Число 89 является делителем	числа	625 670 . б ) Число 169 491 кратно 3 .
Докажите , что а3 для любого целого	числа	а либо делится на 4 , либо при делении на 4 дает остаток 2 . а ) Колонна демонстрантов растянулась на 800 м .
Расположим	числа	набора в порядке возрастания .
Число 9 является делителем	числа	24 070 802 301 . г ) Число 3 805 464 400 кратно 8 .
174 Найдите простые	числа	, лежащие между числами а и b .
Все целые	числа	при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое число , которое в сумме с 6 дает 17 . д ) Число 3 является решением уравнения .
172 Определите , простыми или составными являются следующие	числа	.
На месте с номерами 5 находятся	числа	61 и 138 .
д ) У натурального	числа	не бывает больше 3 делителей .
На шарах написаны целые	числа	от 1 до 100 .
Если меньшее из них разделить на 3 , то результат будет на 16 больше частного большего	числа	и числа 9 .
Если меньшее из них разделить на 3 , то результат будет на 16 больше частного большего числа и	числа	9 .
А остальные	числа	встречаются лишь один раз .
Правила возведения в квадрат натурального	числа	, оканчивающегося на 5 . вычислений со степенями .
Результат деления одного натурального	числа	на другое не всегда будет числом натуральным .
Нулевая степень рационального	числа	.
Сумма цифр загаданного четырехзначного	числа	равна 25 .
Куб	числа	.
Вторая цифра этого	числа	в 2 раза больше первой , третья — в 4 раза больше первой , а четвертая — на 3 больше третьей .
Квадрат	числа	.
а ) Частное от деления	числа	75 само на себя равно 1 . б ) Существуют целые числа , которые при делении их на себя дают в частном 2 .
а ) Не существует наибольшего натурального	числа	, которое при делении на 5 дает остаток 1 . б )
Просто при упорядочивании набора мы должны будем записать одинаковые	числа	одно за другим .
169 Докажите : а ) Два последовательных натуральных числа являются взаимно простыми ; б ) Два последовательных нечетных	числа	являются взаимно простыми .
Расположим вы читаемое под уменьшаемым и будем вычислять разность , вычитая	числа	второй строки из чисел первой строки .
Предметный указатель . n -я степень рационального	числа	.
Заметим , что если в числовом наборе имеются одинаковые	числа	, то способ нахождения медианы не изменится .
Так как 5 из 1 вычесть нельзя , займем единицу из следующего	числа	, получаем .
765 Сравните	числа	.
а ) а2 не делится на 3 для любого целого	числа	а .
169 Докажите : а ) Два последовательных натуральных	числа	являются взаимно простыми ; б ) Два последовательных нечетных числа являются взаимно простыми .
Пред положим , что существует два различных	числа	и с2 , та ких , что и bс2 , где .
706 Какие остатки дают натуральные степени	числа	а при делении на 6 ? .
з ) Некоторые простые	числа	нечетные .
в ) Некоторые натуральные числа , делящиеся на 3 , делятся на 9 . г ) Остаток при делении натурального	числа	на 2 равен либо 0 , либо 1 .
Не существует целого	числа	, которое при делении на 8 дает остаток 6 , а при делении на 16 дает остаток 4 .
б ) Второе из задуманных чисел равно произведению числа а на число 3,3 , а первое - произведению	числа	b и числа 4,7 .
в ) Некоторые натуральные	числа	, делящиеся на 3 , делятся на 9 . г ) Остаток при делении натурального числа на 2 равен либо 0 , либо 1 .
Теперь перемножим все наши простые	числа	и прибавим к их произведению число 1 .
б ) Все натуральные	числа	, делящиеся на 9 , делятся на 3 .
а ) квадрат произведения чисел 5 , квадрата	числа	а , куба числа b . б ) произведение кубов чисел 3 , х , у , 2 , г .
Загадали три рациональных	числа	.
а ) Число 804 является делителем	числа	566 820 . б )
а ) Некоторые натуральные	числа	четные .
Областью определения данной функции являются все известные нам	числа	.
б ) Второе из задуманных чисел равно произведению числа а на число 3,3 , а первое - произведению числа b и	числа	4,7 .
Вторая цифра этого	числа	на 1 больше первой , третья — в 4 раза больше второй , а четвертая — на 3 больше первой .
Первое из задуманных чисел равно результату от деления	числа	а на 5 , а второе меньше b на 34 .
185 Выберите из множества А	числа	, равные неполному частному и остатку от деления а на b .
Сумма цифр загаданного четырехзначного	числа	равна 22 .
Какие другие пропорции , членами которых являются те же	числа	а , b , с и d , можно записать ? .
183 Отметьте на числовой прямой четыре натуральных	числа	, которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
а ) квадрат произведения чисел 5 , квадрата числа а , куба	числа	b . б ) произведение кубов чисел 3 , х , у , 2 , г .
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные числа , делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые	числа	, которые при делении на 2 дают остаток 1 .
в ) Существуют натуральные	числа	, делителем которых является число 5 .
204 Можно ли найти два натуральных	числа	, сумма и произведение которых нечетны ? .
а ) Число а противоположно числу b , если . б ) Целые числа - это натуральные	числа	, им противоположные и нуль .
А чтобы доказать , что число 211 - простое , надо проверить , что оно не делится на все простые	числа	от 2 до 13 .
в ) Модулем	числа	а называется расстояние от точки , соответствующей данному числу на числовой прямой , до 0 .
Так , чтобы найти простой делитель 61 чисел 5917 и 154 452 , надо проверить , что эти	числа	не делятся на 17 простых чисел от 2 до 59 .
Можно найти такое целое число , делителем которого является 7 . д ) Все целые	числа	, делящиеся на 5 , составные .
Таким образом , чтобы решить данную задачу , нам потребовалось не только де лить многозначные	числа	, но и искать их простые делители в тех случаях , когда известные нам признаки делимости применить невозможно .
Наблюдая за тем , как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности , можно заметить различные закономерности , например . 1 ) Если k 0 , то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел , а если k — 0 , то область значений состоит из одного	числа	0 . 2 ) График функции является биссектрисой I и III ( II и IV ) координатных углов .
Найдите эти	числа	, если известно , что третье число на 55 больше суммы всех остальных .
б ) Второе из задуманных чисел равно произведению	числа	а на число 3,3 , а первое - произведению числа b и числа 4,7 .
а ) Если от загаданного рационального	числа	отнять 5 , результат умножить на 7 , к полученному произведению прибавить 2 , результат разделить на 6 , а к полученному частному прибавить 4 , то снова получится загаданное число .
б ) Продавцу надо разложить 585 коробок конфет на две витрины так , чтобы число коробок с конфетами на одной витрине составляло 56 %	числа	коробок на другой витрине .
Тогда все остальные натуральные	числа	являются составными и делятся хотя бы на одно из указанных простых чисел .
а ) Число 6 является делителем	числа	128 . б ) Число 9 является делителем всех натуральных чисел .
а ) Первое из задуманных чисел больше а на 32 , а второе равно результату от деления	числа	b на 2,1 .
Разность двух рациональных чисел равна 3 , при этом модуль одного из этих чисел в 2 раза больше модуля другого	числа	.
Теорема о делимости , доказанная в предыдущем пункте , помогает не только найти результат деления с остатком одного натурального	числа	на другое , но , например , может быть использована при решении такой задачи , как нахождение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных	числа	делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное , то их произведение делится на 24 . г ) квадрат нечетного	числа	при делении на 8 дает остаток 1 .
Зависимость задали следующим образом , каждому рациональному числу а поставили в соответствие наименьшее целое число , большее этого	числа	.
Мама поручила Леше разложить 168 конфет в две коробки так , чтобы число конфет в первой коробке составляло 60 %	числа	конфет во второй коробке .
Второе из задуманных чисел меньше а на 90 , а первое равно результату от деления	числа	b на 12 .
Найдите частное от деления второго	числа	на первое .
Алгоритм деления с остатком натурального	числа	а на b . 1 Найти наибольшее натуральное число k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
а ) Не существует наибольшего четного	числа	.
Рассмотрим простейший случай деления с остатком , например ,	числа	7 на 2 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных	числа	делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Если целое число а не делится на 11 , то число 4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего целого	числа	, которое при делении на 7 дает остаток 2
243 Докажите , что какими бы ни были целые	числа	а и с , одно из чисел : а , с , а минус с , 2а минус с делится на 3 .
Докажите , что	числа	а и b дают одинаковые остатки при делении на с . а ) Из двух филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши , расстояние между которыми равно 750 км , выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля .
г ) Все корни уравнения ( x плюс l)(x минус 2 ) равно 0 - целые	числа	. д ) Уравнение ( 3у плюс 5)(2у минус 3 ) равно 0 имеет целый корень . е ) Число 0,5 является корнем уравнения ( 2z минус l)(z плюс 3 ) равно 0 .
Если на первом кубике выпадает число 1 , то всего имеется шесть различных вариантов выпадения двух кубиков , так как на втором кубике могут выпасть	числа	от 1 до 6 .
Докажите , что не существует наибольшего четного	числа	.
Значит , оно неверно и мы доказали единственность представления натурального	числа	а в виде .
Все простые	числа	нечетные .
г ) Все решения неравенства х положительные	числа	.
Полученное противоречие доказывает , что наше предположение о существовании наибольшего четного	числа	ложно .
Значит , наибольшего четного	числа	не существует , что и требовалось доказать .
127 Разбейте данные примеры , имеющие вид(где а и b натуральные	числа	) , на две группы : 1 ) а делится на b ; 2 ) а не делится на b .
По определению делимости , существуют такие	числа	n и m .
В этом случае равенство невозможно , так как получается , что неотрицательное число равно произведению положительного и отрицательного	числа	.
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального	числа	делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
Например , невозможным событием является выпадение	числа	7 при бросании обычного игрального кубика .
а ) Трехзначное число , записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 . б ) Разность любого четырехзначного	числа	и четырехзначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
а ) Трехзначное число , записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 . б ) Разность любого четырехзначного числа и четырехзначного	числа	, записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Нет натуральных чисел , которые при делении на 38 дают остаток 45 . д ) Все натуральные	числа	, делящиеся на 78 , дают при делении на 78 остаток 0 . е ) Есть простые числа , которые при делении на 2 дают остаток 1 .
43 Составьте буквенное выражение для нахождения неизвестного	числа	и найдите его при данных значениях букв .
46 Сравните	числа	А и В .
Какой процент составляют квесты от общего	числа	компьютерных игр этого магазина ? .
Можно найти натуральное число , которое делится на 3 . б ) Нечетные	числа	при делении на 2 дают остаток 1 .
Формулы сокращенного умножения позволяют не только быстро возводить в квадрат двучлены , но и устно возводить в квадрат	числа	, причем не только целые , но и дробные .
Отдельные	числа	и переменные также являются одночленами , так как их всегда можно представить в виде произведения , например , d равно d умножить 1 , 14 равно 14 умножить а0 .
Уравнения , решениями которых являются целые	числа	, интересовали ученых еще в древности .
Все целые	числа	при делении на 17 дают остаток 9 .
Сумма двух рациональных чисел равна 8 , при этом модуль одного из этих чисел в 3 раза меньше модуля другого	числа	.
Н Модуль любого	числа	больше или равен нулю .
а ) Число d - делитель	числа	а , если число а в с раз больше d . б ) Число k является кратным числа b , если число k в а раз больше .
Отметьте на числовой прямой три положительных и три отрицательных целых	числа	, которые .
а ) Число d - делитель числа а , если число а в с раз больше d . б ) Число k является кратным	числа	b , если число k в а раз больше .
а ) Некоторые целые	числа	при делении на 6 дают остаток ( -1 ) .
Заменив в каждом высказывании буквы на	числа	, приведите по два примера истинных высказываний .
Доказать , что среди двузначных чисел есть только два	числа	, 72 и 94 , которые на 58 больше произведения своих цифр .
Любое двузначное число можно представить в виде , где а и b - соответственно первая и вторая цифры этого	числа	.
Запишите три целых отрицательных	числа	, дающих .
700 Найдите загаданные рациональные	числа	, если известно , что .
Поэтому , называя простые	числа	, первый игрок гарантированно будет называть последний делитель и выигрывать .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого	числа	при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только числа 0 , 1,2 , 3 .
Теорема 1 Целые	числа	а и b имеют одинаковые остатки при делении на m тогда и только тогда , когда их разность делится на m .
Докажите , что куб этого	числа	при делении на 9 дает в остатке 1 .
8 Представьте , если возможно , данные	числа	в виде степеней .
Докажите , что куб этого	числа	при делении на 6 дает в остатке 5 . б ) Целое число при делении на 9 дает в остатке 7 .
Например , при k 0 решениями будут уже известные нам числа при — числа х 72 , у 53 ; при k -100 —	числа	х -698 , у -497 и т .
а ) сумма целого	числа	и его квадрата есть число четное .
Найдите эти	числа	, если известно , что третье число на 36 больше суммы всех остальных .
Например , при k 0 решениями будут уже известные нам числа при —	числа	х 72 , у 53 ; при k -100 — числа х -698 , у -497 и т .
Например , при k 0 решениями будут уже известные нам	числа	при — числа х 72 , у 53 ; при k -100 — числа х -698 , у -497 и т .
В итоге мы получили все решения неравенств вида , где k , с — рациональные	числа	.
Теперь « доопределим » понятие натуральной степени рационального	числа	для случая показателя , равного 1 .
Доказав для каждого из классов , что квадрат соответствующего целого	числа	либо делится на 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 , мы тем самым доказали это утверждение и для всех целых чисел .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа « неразрушения » ) , дадим определение первой степени рационального	числа	, согласованное с определением первой степени натурального числа , которое мы использовали раньше .
И мы опять получаем , что квадрат данного	числа	при делении на 3 дает остаток 1 .
Какой остаток при делении на 8 дает квадрат нечетного	числа	? .
А это означает , что квадрат этого числа при делении на 3 дает остаток 1 , то квадрат этого	числа	равен .
Найдите остаток от деления этого	числа	на 63 . б )
А это означает , что квадрат этого	числа	при делении на 3 дает остаток 1 , то квадрат этого числа равен .
531 В строку выписали одно за другим натуральные	числа	от 1 до 60 : 1234567891011 .. 585960 Вычеркните 100 цифр , чтобы оставшееся число было как можно а ) большим .
Найдите все	числа	, которые при делении на 8 дают остаток 5 , а при делении на 5 дают остаток 2 .
Квадрат	числа	вида 3k равен , а это означает , что он делится на 3 .
В результате данного разбиения мы получим числа трех видов : 1 ) числа вида 3k ; 2 ) числа вида ; 3 )	числа	вида .
Как и раньше , квадратом числа будем называть вторую степень этого числа ( а2 равно а умножить а ) , а кубом	числа	— его третью степень ( а3 равно а умножить а умножить а ) .
В результате данного разбиения мы получим числа трех видов : 1 ) числа вида 3k ; 2 )	числа	вида ; 3 ) числа вида .
1 Задача подсчета	числа	вариантов .
323 Из некоторого натурального	числа	вычли сумму его цифр , затем в получен ном числе зачеркнули одну цифру .
В результате данного разбиения мы получим числа трех видов : 1 )	числа	вида 3k ; 2 ) числа вида ; 3 ) числа вида .
Можно ли сделать все	числа	равными ? .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа « неразрушения » ) , дадим определение первой степени рационального числа , согласованное с определением первой степени натурального	числа	, которое мы использовали раньше .
Каждое из этих уравнений содержит одно неизвестное х. Левую их часть можно записать в вид , где k и b — некоторые	числа	, а их правая часть равна нулю .
Любая натуральная степень положительного рационального	числа	— это число положительное .
Например , можем ли мы , не вычисляя значения самой степени , определить знак числа или	числа	( -56,799)329 ?
Например , можем ли мы , не вычисляя значения самой степени , определить знак	числа	или числа ( -56,799)329 ?
Для начала ответим на вопрос , можем ли мы сразу определить знак любой степени	числа	, пусть даже с очень большим показателем ?
Линейным уравнением с одним неизвестным х называется уравнение , которое при всех значениях х может с помощью равносильных преобразований быть представлено в виде , где k , b — некоторые	числа	.
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого	числа	а .
Вторая цифра этого	числа	на 5 больше первой , а третья — в 2 раза меньше первой .
В предыдущем пункте мы познакомились с линейной функцией , где k и b — некоторые	числа	, научились строить ее график .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые	числа	, кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3	числа	не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7 числа не кратны 9 .
Сумма двух модулей всегда число неотрицательное , а поэтому всегда больше отрицательного	числа	.
Все положительные	числа	являются решениями неравенства Приведите дроби к общему знаменателю .
в ) Если ни одно решение уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 не кратно 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями уравнения ( х минус 1)(х минус 2 ) равно 0 . г ) Если все решения уравнения ( х минус 7)(х минус 21 ) равно 0 кратны 7 и ни одно решение этого уравнения не кратно 9 , то некоторые кратные 7	числа	не кратны 9 .
430 Найдите сотую цифру после запятой в десятичной записи	числа	.
Найдите все	числа	, которые при делении на 3 дают остаток 1 , а при делении на 4 — остаток 3 .
з ) разность значения выражения и	числа	7 положительна .
313 Известно , что остаток от деления	числа	А на 17 равен а , а числа В на 17 - равен b.
Поэтому его вычитание также можно заменить операцией прибавления противоположного	числа	.
313 Известно , что остаток от деления числа А на 17 равен а , а	числа	В на 17 - равен b.
и ) сумма значения выражения и	числа	( -1 ) неположительна .
Найдите остаток от деления этого	числа	на 15 . б )
Приведем данное неравенство к виду , где k , с Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства , а	числа	— в правой и упростим полученные выражения .
Степенью рационального	числа	а с натуральным показателем 1 называется само это число .
Найдите три	числа	, сравнимых с А по модулю В .
Неудобство состоит лишь в том , что каждый раз мы должны записывать упрощаемое выражение в виде суммы , то есть заменять в нем вычитание некоторого числа прибавлением противоположного ему	числа	.
В результате данного разбиения мы получим	числа	трех видов : 1 ) числа вида 3k ; 2 ) числа вида ; 3 ) числа вида .
Найдите остаток от деления этого	числа	на 40 . б )
Z4(0 ) -	числа	вида 4k ( числа , кратные 4 , то есть дающие при делении на 4 остаток 0 ) .
Найдите остатки от деления на 7 натуральных степеней	числа	3 .
Чтобы выяснить , можно ли составить из указанных чисел магический квадрат , установим ограничения , которые накладывает на данные	числа	это условие .
Запишите в семеричной системе счисления	числа	.
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0 положительные числа и некоторые положительные числа — натуральные , то некоторые натуральные	числа	— решения неравенства 3х больше 0 .
447 Найдите остаток при делении	числа	а на b , если известно ? .
С другой стороны , все множество целых чисел можно представить в виде объединения данных множеств , так как по теореме делимости у каждого целого числа при делении на 4 будет остаток ( существование ) , и по определению деления с остатком его возможными значениями могут быть только	числа	0 , 1,2 , 3 .
359 Запишите три натуральных	числа	, дающих ? .
Для любого рационального	числа	а и любых натуральных mиn .
Известно , что сумма удвоенного первого	числа	и увеличенного в пять раз второго числа равна 49 .
Рассмотрим последовательные степени	числа	3 и найдем числа , с которыми они сравнимы по модулю 7 .
Z4(0 ) - числа вида 4k (	числа	, кратные 4 , то есть дающие при делении на 4 остаток 0 ) .
После вынесения за скобки	числа	7 в скобках остается квадрат суммы двух выражений , а и 2b .
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0 положительные числа и некоторые положительные	числа	— натуральные , то некоторые натуральные числа — решения неравенства 3х больше 0 .
Рассмотрим последовательные степени числа 3 и найдем	числа	, с которыми они сравнимы по модулю 7 .
Пусть а — произвольное рациональное число , а m и n - произвольные натуральные	числа	, тогда что и требовалось доказать .
Для любого рационального	числа	а , отличного от 0 , и любых натуральных тип таких , что m больше n .
Известно , что сумма удвоенного первого числа и увеличенного в пять раз второго	числа	равна 49 .
Все указанные подмножества не пересекаются друг с другом , так как по теореме делимости при делении любого целого	числа	на 4 не может возникнуть два различных остатка ( единственность ) .
Теперь подставим в исходное уравнение вместо	числа	( -11 ) полученное выражение и выполним цепочку равносильных преобразований .
И наконец , необходимо учесть , что в магическом квадрате	числа	должны встречаться в определенном числе комбинаций .
б ) разность куба целого числа и самого	числа	делится на 6 .
Ведь	числа	в квадрате расположены на пересечении строк , столбцов и диагоналей .
б ) Если все решения неравенства 3х больше 0 положительные	числа	и некоторые положительные числа — натуральные , то некоторые натуральные числа — решения неравенства 3х больше 0 .
Как и раньше , квадратом	числа	будем называть вторую степень этого числа ( а2 равно а умножить а ) , а кубом числа — его третью степень ( а3 равно а умножить а умножить а ) .
Грузчику надо разложить 680 арбузов в два контейнера так , чтобы число арбузов в одном контейнере составляло 36 %	числа	арбузов в другом контейнере .
Расположите	числа	0,1,2,3,4,5,6,7,8 в клетках квадрата размером так , чтобы квадрат стал магическим .
Примем за точку отсчета 1 сентября 2010 года и , так как это была среда , сопоставим дням недели следующие	числа	.
Не вычисляя остатков , докажите , что	числа	а и b дают одинаковые остатки при делении на с .
Рассмотрим , например , следующую задачу подсчета	числа	возможных вариантов .
Как и раньше , квадратом числа будем называть вторую степень этого	числа	( а2 равно а умножить а ) , а кубом числа — его третью степень ( а3 равно а умножить а умножить а ) .
г ) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный , то ни одно отрицательное число не является квадратом рационального	числа	.
Доказать , что квадрат любого целого	числа	либо кратен 3 , либо при делении на 3 дает остаток 1 .
В предыдущем пункте мы узнали , что понимается в математике под натуральной степенью любого рационального	числа	, научились определять знак степени и узнали , в каком порядке проводятся вычисления в выражениях со степенью .
433 Найдите и запишите	числа	, противоположные данным .
г ) Если ни один квадрат рационального	числа	не отрицательный , то ни одно отрицательное число не является квадратом рационального числа .
Найдите все	числа	, которые при делении на 9 дают остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 4 .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х минус 1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые отрицательные числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3	числа	не являются решениями неравенства 5х минус 1 больше 0 .
в ) В городе N мужчины составляют от	числа	проживающих там женщин .
а ) Задумали два натуральных	числа	.
Метод систематического перебора ( подсчет	числа	комбинаций из различных символов ) .
Z4(3 ) -	числа	вида 4k + 3 ( числа , дающие при делении на 4 остаток 3 ) .
3 Если по условию задачи каждый из символов может занимать любую позицию , то общее количество возможных вариантов равно произведению полученного	числа	на количество заданных символов .
Z4(2 ) - числа вида 4k + 2 (	числа	, дающие при делении на 4 остаток 2 ) .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х минус 1 больше 0 не является отрицательным числом , а некоторые отрицательные	числа	делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х минус 1 больше 0 .
Z4(2 ) -	числа	вида 4k + 2 ( числа , дающие при делении на 4 остаток 2 ) .
Какие из этих выражений являются « степенью числа » , а какие - « числом , противоположным степени	числа	» ? .
Z4(l ) - числа вида 4k + 1 (	числа	, дающие при делении на 4 остаток 1 ) .
Боевиков в этом видеомагазине всегда на 126 меньше , чем комедий , мелодрам - на 68 меньше , чем боевиков , а число документальных фильмов равно полусумме	числа	комедий и боевиков .
361 Отметьте на числовой прямой целые	числа	, которые ? .
Z4(l ) -	числа	вида 4k + 1 ( числа , дающие при делении на 4 остаток 1 ) .
б ) разность куба целого	числа	и самого числа делится на 6 .
Z4(3 ) - числа вида 4k + 3 (	числа	, дающие при делении на 4 остаток 3 ) .
б ) Если все решения уравнения х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые числа , кратные 3 , кратны 9 , то некоторые	числа	, кратные 9 , — решения уравнения х2 минус 9 равно 0 .
Неудобство состоит лишь в том , что каждый раз мы должны записывать упрощаемое выражение в виде суммы , то есть заменять в нем вычитание некоторого	числа	прибавлением противоположного ему числа .
б ) Если все решения уравнения х2 минус 9 равно 0 кратны 3 и некоторые	числа	, кратные 3 , кратны 9 , то некоторые числа , кратные 9 , — решения уравнения х2 минус 9 равно 0 .
Если выражения содержат только	числа	, знаки арифметических действий и скобки , задающие порядок этих действий , то их называют числовыми .
Пусть теперь некоторые два	числа	имеют остатки 11 и 4 при делении на 12 .
Например , чтобы найти значение суммы 1 + 2 + 3 + .. + 1000 , мы не станем складывать подряд все	числа	от 1 до 1000 , а заметим , что суммы 1 + 1000 , 2 + 999 , 3 + 998 и т.д. равны между собой и что имеется всего 500 таких сумм .
Он состоит в том , что мы объединяем члены многочлена в группы таким образом , чтобы после проведения некоторого	числа	равносильных преобразований у слагаемых нового выражения появились общие множители .
275 Докажите , что	числа	а и b дают одинаковые остатки при делении на с , не вычисляя этих остатков .
Можно найти целое число , которое при делении на 3 дает остаток 4 . д ) Есть целые	числа	, которые не делятся на единицу .
Четные	числа	всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
а ) Если некоторые решения уравнения отрицательные	числа	, то некоторые отрицательные числа — решения уравнения .
Очевидно , что	числа	747 475 и 74 000 001 дают остаток 1 при делении на 74 , значит , они сравнимы по модулю 74 .
Следует отметить , что любой многочлен мы всегда можем представить в виде произведения некоторого	числа	и многочлена , причем бесконечным числом способов .
а ) Если некоторые решения уравнения отрицательные числа , то некоторые отрицательные	числа	— решения уравнения .
Вместе с тем данная функция не является линейной , так как на всей области определения она не может быть представлена в виде s , где k и b — некоторые	числа	.
б ) Если все решения неравенства положительные	числа	и некоторые положительные числа — четные , то некоторые четные числа — решения неравенства .
Найдите остаток от деления этого числа на 56 . г ) Найдите все	числа	, которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
350 Сравните	числа	.
Тогда , по теореме 1 , существуют целые	числа	k и l , такие , что .
б ) Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные	числа	— четные , то некоторые четные числа — решения неравенства .
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые	числа	при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое число при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
б ) Если все решения неравенства положительные числа и некоторые положительные числа — четные , то некоторые четные	числа	— решения неравенства .
Найдите остаток от деления этого	числа	на 56 . г ) Найдите все числа , которые при делении на 4 дают остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 5 .
г ) Если все решения уравнения отрицательные	числа	и некоторые отрицательные числа четные , то некоторые четные числа не являются решениями уравнения .
а ) Квадрат суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого	числа	, плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго числа .
г ) Если все решения уравнения отрицательные числа и некоторые отрицательные	числа	четные , то некоторые четные числа не являются решениями уравнения .
481 Найдите остаток от деления	числа	38200 на 9 .
Четная степень отрицательного	числа	содержит четное число отрицательных множителей .
г ) Если все решения уравнения отрицательные числа и некоторые отрицательные числа четные , то некоторые четные	числа	не являются решениями уравнения .
407 Расставьте	числа	от 1 до 9 в кружках так , чтобы сумма чисел на каждой стороне треугольника равнялась : а ) 17 ; б ) 20 .
Сначала ответим на эти вопросы для положительных рациональных чисел , а затем распространим полученные правила на все рациональные	числа	.
Ведь два сравнимых по заданному модулю	числа	имеют одинаковые остатки , и мы хотим их рассматривать как одно число .
Например , при сравнении по модулю 12	числа	0 , 12 , 24 , .. должны изображаться одной точкой .
Существуют целые	числа	, делящиеся на нуль .
в ) Четные натуральные	числа	не могут быть простыми .
Аналогичным образом изображаются	числа	, сравнимые по любому модулю m , только окружность делится соответственно на m равных частей , и около каждой точки деления против часовой стрелки последовательно расставляются возможные значения остатков : 0 , 1 , 2 , .. , m - 1 .
Что же касается	числа	0 , то оно может быть записано и в виде обыкновенной , и в виде периодической десятичной дроби .
Пусть	числа	А к В при делении на m дают соответственно остатки а и b.
Значит , действительно запись в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной периодической ) есть другая форма записи рационального	числа	.
Итак , мы выяснили , что рациональные	числа	представляются только периодическими десятичными дробями .
Значит , существуют	числа	, не являющиеся рациональными .
287 Докажите , что	числа	а и b дают одинаковые остатки при делении на с .
400 Сравните рациональные	числа	.
Про иррациональные	числа	мы пока еще ничего не знаем - не умеем выполнять действия с ними , сравнивать их , но они нам уже встречались .
286 Запишите в виде блок - схемы : а ) алгоритм нахождения модуля	числа	а ; б ) алгоритм определения того , что числа а и b имеют одинаковый остаток при делении на m .
А нечетная степень отрицательного	числа	содержит целое число пар отрицательных множителей и еще один отрицательный множитель .
При этом коэффициенты всех членов получившегося в скобках многочлена — целые	числа	, которые не имеют общих делителей , отличных от 1 .
В процессе указанной операции мы складываем не сами	числа	, а их остатки от деления на некоторое число m.
Например , если некоторые два	числа	имеют остатки 5 и 2 при делении на 12 , то сумма этих остатков равна 7 .
390 Сравните рациональные	числа	.
а ) Сумма	числа	а и частного от деления b на с . б ) Частное от деления произведения чисел х и у на разность чисел m и n .
Число , обратное произведению чисел р , q , r . г ) Число , противоположное частному	числа	d и суммы чисел k и l . д ) Разность квадратов чисел а и b. .
Какие остатки дают натуральные степени	числа	а при делении на b ? .
Значит , четная степень отрицательного	числа	является числом положительным .
То есть если два равных	числа	увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число ( исключая деление на 0 ) , то мы вновь получим два равных числа .
286 Запишите в виде блок - схемы : а ) алгоритм нахождения модуля числа а ; б ) алгоритм определения того , что	числа	а и b имеют одинаковый остаток при делении на m .
Ведь операция вычитания рационального	числа	равносильна операции прибавления противоположного числа .
Ведь операция вычитания рационального числа равносильна операции прибавления противоположного	числа	.
480 а ) В начале 2008 года число мужчин , работавших в одном из филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши , составляло 60 % от	числа	всех сотрудников этого филиала .
« Если разность целых чисел а и b делится на m , то	числа	а и b имеют одинаковые остатки при делении на m » .
в ) Если ни одно решение уравнения не является четным числом , а некоторые четные числа делятся на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9	числа	не являются решением уравнения .
Тот факт , что	числа	а и b имеют одинаковые остатки при делении на m , может быть записан с помощью формулы деления с остатком следующим образом .
Рассмотрим еще один пример кусочно - линейной функции — зависимость Вспомним определение модуля	числа	, докажем , что данная зависимость является функцией , и построим график этой функции .
« Если целые	числа	а и b имеют одинаковые остатки при делении на m , то их разность а - b делится на m » .
Если все натуральные числа являются целыми и ни одно натуральное число не является отрицательным , значит , все целые	числа	не являются отрицательными .
304 Докажите , что : а ) Если	числа	а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
Сумма цифр загаданного четырехзначного	числа	равна 30 .
Вторая цифра этого	числа	на 1 меньше первой , третья — в 3 раза больше второй , а четвертая — на 4 больше первой .
По определению , модуль	числа	х равен х при х>0и равен -х при х < 0 .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если	числа	а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
298 Известно , что остаток от деления числа А на 19 равен а , а	числа	В на 19 - равен b.
377 Найдите простые	числа	, лежащие между числами а и b .
А так как модуль	числа	всегда больше или равен нулю , то областью значений Y этой функции являются все известные нам неотрицательные числа .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого числа , минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго	числа	.
а ) остаток при делении четного	числа	на 6 быть равным 3 ? .
а ) Если некоторые решения уравнения х2 минус 1 равно 0 — отрицательные	числа	, то некоторые отрицательные числа — решения этого уравнения .
а ) Если некоторые решения уравнения х2 минус 1 равно 0 — отрицательные числа , то некоторые отрицательные	числа	— решения этого уравнения .
Натуральная степень положительного рационального	числа	представляет собой произведение положительных чисел ( или само число ) .
Доказать , что сумма кубов этих чисел делится на 4 . б ) Два целых	числа	при делении на 7 дают в остатке соответственно 2 и 3 .
А так как модуль числа всегда больше или равен нулю , то областью значений Y этой функции являются все известные нам неотрицательные	числа	.
г ) Все решения неравенства — натуральные числа . д ) Некоторые положительные	числа	являются решениями неравенства .
458 а ) Два целых	числа	при делении на 4 дают в остатке соответственно 1 и 3 .
То есть если два равных числа увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же число ( исключая деление на 0 ) , то мы вновь получим два равных	числа	.
г ) Все решения неравенства — натуральные	числа	. д ) Некоторые положительные числа являются решениями неравенства .
298 Известно , что остаток от деления	числа	А на 19 равен а , а числа В на 19 - равен b.
а ) Число , обратное 3 , равно -3 . б ) Модуль	числа	х может быть равен -х .
Поскольку при умножении любого	числа	положительных чисел получается положительное число , то значение степени будет положительным , что и требовалось доказать . .
а ) Квадрат суммы двух рациональных чисел равен квадрату первого числа , плюс удвоенное произведение первого и второго чисел , плюс квадрат второго	числа	.
Определите знак	числа	а ,
Если ни одно решение уравнения не делится на 5 , а некоторые	числа	, кратные 5 , делятся на 10 , значит , некоторые числа , кратные 10 , не являются решениями уравнения .
Если ни одно решение уравнения не делится на 5 , а некоторые числа , кратные 5 , делятся на 10 , значит , некоторые	числа	, кратные 10 , не являются решениями уравнения .
Что же касается	числа	нуль , то оно возникло тогда , когда потребовалось показать отсутствие единиц определенного разряда в некотором числе , например 101 , 10 001 и т.д .
Ведь мы не можем перебрать все рациональные	числа	и убедиться в том , что оба выражения дают одинаковые числовые значения .
в ) Существуют рациональные	числа	, квадрат суммы которых равен квадрату их разности .
Поэтому нечетная степень отрицательного	числа	является числом отрицательным , что и требовалось доказать . .
467 Найдите остаток от деления	числа	6100 на 7 .
Натуральные	числа	появились в процессе счета предметов и измерения величин для ответа на вопрос « Сколько ? » .
В начале января число женщин , работавших в магазине , составляло 80 % от	числа	всех сотрудников этого магазина .
Куб разности двух рациональных чисел может быть не равен кубу первого	числа	, минус утроенное произведение квадрата первого и второго чисел , плюс утроенное произведение первого и квадрата второго чисел , минус куб второго числа .
1 Рациональные	числа	и законы арифметики .
а ) Если целые	числа	делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
13 Используя степень	числа	10 , запишите , что .
Доказать , что квадрат любого целого	числа	либо кратен 3 , либо дает при делении на 3 остаток 1 .
Разделим целые	числа	на три класса в зависимости от их остатков от деления на 3 .
297 Найдите на числовой прямой все	числа	, находящиеся от числа а на рас стоянии b .
в ) Если ни одно решение уравнения не является четным числом , а некоторые четные	числа	делятся на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9 числа не являются решением уравнения .
С помощью данной теоремы удобно определять , сравнимы ли	числа	а и b по не которому модулю .
Найдите эти	числа	, если известно , что 7 % одного из них равно 35 % другого .
297 Найдите на числовой прямой все числа , находящиеся от	числа	а на рас стоянии b .
Здесь первый шаг преобразований выполнен на основании правила 2 , а второй - на основе правил умножения рациональных чисел и определения степени	числа	.
Если все натуральные	числа	являются целыми и ни одно натуральное число не является отрицательным , значит , все целые числа не являются отрицательными .
Если два целых	числа	а и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое целое число m , то говорят , что а и b сравнимы по модулю m , и пишут .
Линейным неравенством с одним неизвестным х называется неравенство , которое может быть представлено в одном из четырех видов , где k , b — рациональные	числа	.
Объединим все	числа	, имеющие остаток 3 при делении на 4 , в одно подмножество множества целых чисел .
4 Если на символы наложены какие - либо ограничения , то надо вычислить количество возможных вариантов отдельно для всех символов с различными свойствами , а затем сложить полученные	числа	.
Так как остаток является неотрицательным целым числом , меньшим модуля делителя , то при делении любого	числа	на 4 возможны только четыре различных остатка : 0 , 1 , 2 , 3 .
460 Найдите	числа	, обратные данным при допустимых значениях переменных .
а ) квадрат любого целого	числа	на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное .
Если же данные	числа	а и b умножить или разделить на отрицательное число с , знак неравенства изменится на противоположный .
Пусть а — произвольное рациональное число , отличное от 0 , а m и n — произвольные натуральные	числа	такие , что m больше n.
в ) Если ни одно решение уравнения не является нечетным числом , а некоторые нечетные	числа	делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решением уравнения .
Чтобы выяснить геометрический смысл формулы разности квадратов , рассмотри : квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а плюс b и а минус b , где а и b — произвольные положительные рациональные	числа	( а больше b ) .
а ) На какое рациональное число нужно уменьшить 785 и увеличить 587 , чтобы получить одинаковые	числа	? .
Найдите остаток от деления на 23	числа	, если .
То есть если число а больше	числа	b , то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым числом с , а также при умножении и делении их на положительное число с знак неравенства не изменится .
а ) Расположите	числа	0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 в клетках квадрата размером так , чтобы квадрат стал магическим .
б ) Расположите	числа	11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 в клетках квадрата размером так , чтобы квадрат стал магическим .
3 Записать последовательно в качестве коэффициентов выписанных одночленов	числа	из ( n плюс 1)-й строки треугольника Паскаля .
а ) Если некоторые решения уравнения положительные числа , то некоторые положительные	числа	— решения уравнения .
Для n - й степени	числа	а , как и раньше , будем использовать обозначение : аn .
Вычисление произведения , состоящего из n множителей , каждый из которых равен а , называют возведением	числа	а в n - ю степень .
Известно , что остаток от деления	числа	А на 13 равен а , а числа В на 13 — равен b.
а ) Если некоторые решения уравнения положительные	числа	, то некоторые положительные числа — решения уравнения .
Известно , что остаток от деления числа А на 13 равен а , а	числа	В на 13 — равен b.
Известно , что остаток от деления числа А на 23 равен а , а	числа	В на 23 — равен b.
243 Отметьте на числовой оси целые	числа	, которые .
Для любых рациональных чисел а и b , где b 0 , и любого натурального	числа	n .
Пусть а и b — произвольные рациональные	числа	, где b≠0 , и n — произвольное натуральное число , тогда что и требовалось доказать .
Разрешается стереть любые два	числа	и написать их разность .
Докажите , что сумма куба и квадрата этого	числа	делится на 5 .
353 На доске написаны	числа	1 , 2 , 3 , ..
Докажите , что куб этого	числа	при делении на 8 дает в остатке 7 . б ) Целое число при делении на 5 дает в остатке 4 .
350 Вычислите и определите , какие остатки дает натуральная степень данного	числа	при делении на 7 .
Известно , что остаток от деления	числа	А на 23 равен а , а числа В на 23 — равен b.
Таким образом , у нас теперь есть определение натуральной степени рационального	числа	, и мы знаем свойства степеней с натуральными показателями .
Нулевой степенью рационального	числа	а , отличного от нуля , называется число 1 .
в ) сумма двух последовательных натуральных степеней	числа	3 делится на 12 . г ) разность двух последовательных натуральных степеней числа 5 делится на 20 .
Так как d = НОД , то	числа	а и b можно представить в виде , где и при этом НОД .
348 Запишите в семеричной системе счисления	числа	.
в ) Если ни одно решение уравнения не является нечетным числом , а некоторые нечетные числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5	числа	не являются решением уравнения .
в ) сумма двух последовательных натуральных степеней числа 3 делится на 12 . г ) разность двух последовательных натуральных степеней	числа	5 делится на 20 .
Сравните	числа	.
Поэтому логично ввести определение , по которому а0 равно 1 для любого не равного нулю рационального	числа	а .
Какие остатки дают натуральные степени	числа	а при делении на b .
338 Запишите в десятичной системе счисления	числа	: а ) 110012 ; б ) 1869 ; в ) 33214 ; г ) 7612 ; д ) 9516 .
Сумма увеличенного в семь раз первого натурального	числа	и удвоенного второго натурального числа равна 39 .
г ) Игральный кубик , на каждой из шести граней которого написаны	числа	от 1 до 6 , бросают пять раз и записывают подряд все выпадающие числа .
г ) Игральный кубик , на каждой из шести граней которого написаны числа от 1 до 6 , бросают пять раз и записывают подряд все выпадающие	числа	.
При делении натуральных чисел под остатком мы фактически понимали расстояние от делимого а до наибольшего	числа	, кратного делителю b и не превышающего а , что хорошо видно .
Исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( принципа неразрушения ) подумайте , как можно было бы дать определение степени рационального	числа	с целым показателем .
Дайте определение степени натурального	числа	а с натуральным показателем n , если : 1 ) n больше 1 .
Сколько процентов от общего	числа	сотрудников пончиковой компании составляют теперь топ - менеджеры , если год назад их было 7 % ? .
Для случая деления без остатка мы получили , что распространить наши знания можно , просто заменив в определении « натуральные	числа	» на « целые » и исключив случай .
Функция вида , где k и b — произвольные	числа	, называется линейной функцией .
484 Можно ли расставить	числа	в таблице так , чтобы сумма в каждой строке была положительной , а в каждом столбце отрицательной ? .
В каждой строке этого треугольника , начиная с третьей , между единицами находятся	числа	, равные сумме двух расположенных над ним чисел .
489 Сравните рациональные	числа	.
Как в этом случае будут связаны между собой степени одного и того же отличного от нуля	числа	с противоположными показателями ? .
Квадрат числа всегда больше квадрата противоположного ему	числа	.
Квадрат	числа	всегда больше квадрата противоположного ему числа .
505 Какой цифрой оканчиваются	числа	.
731 Разложите	числа	на простые множители и найдите их НОД и НОК .
Среди целых х от 0 до 12 таким свойством обладают лишь	числа	2 , 5 , 8 , 11 .
Докажите , что	числа	а и b дают одинаковые остатки при делении на с .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого	числа	делится на с .
Способ подсчета	числа	комбинаций с повторениями .
337 Запишите в шестеричной системе счисления	числа	: а ) 3 ; б ) 6 ; в ) 13 ; г ) 19 ; д ) 27 ; е ) 41 .
Тогда n - й степенью рационального	числа	а называется произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Найдите остаток от деления на 13	числа	.
Предложите собственную версию определения степени рационального	числа	а с натуральным показателем п , исходя из фундаментального принципа развития математической теории ( « принципа неразрушения » ) .
Сумма увеличенного в семь раз первого натурального числа и удвоенного второго натурального	числа	равна 39 .
б ) Если все решения неравенства отрицательные	числа	и некоторые отрицательные числа — нечетные , то некоторые нечетные числа — решения неравенства .
б ) Если все решения неравенства отрицательные числа и некоторые отрицательные числа — нечетные , то некоторые нечетные	числа	— решения неравенства .
График линейной функции , где k и b — произвольные	числа	, может быть получен из графика функции путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на b единиц вверх , если b — положительно , или на b единиц вниз , если b — отрицательно .
231 Отметьте на числовой прямой целые	числа	, которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
в ) Если сумма цифр целого	числа	делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если целое число кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
Аналогичным образом мы будем понимать и натуральную степень рационального	числа	.
Так , цифры искомого пароля должны были быть различными ,	числа	в магическом квадрате не повторялись , а комплекты одежды Маши не могли содержать одновременно , например , две кофты .
б ) Если все решения неравенства отрицательные числа и некоторые отрицательные	числа	— нечетные , то некоторые нечетные числа — решения неравенства .
Например , при возведении двучлена а плюс b в шестую степень получится выражение вида : где вместо пропусков стоят некоторые	числа	.
327 Какие остатки дают натуральные степени	числа	а при делении на b ? .
Найдите целое число , которое на 48 больше противоположного себе	числа	.
Под натуральной степенью n	числа	а мы понимали произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Задумали два натуральных	числа	.
Пусть а и b — произвольные рациональные	числа	, а n — произвольное натуральное число , тогда что и требовалось доказать .
Теперь , пользуясь введенным понятием степени рационального	числа	, мы можем записать : 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 умножить 0,75 равно 0,755 .
из	числа	, образованного цифрами , стоящими до второго периода , вычесть число , образованное цифрами , стоящими до первого периода , и записать эту разность как числитель .
457 Найдите остаток при делении	числа	а на 21 , если известно , что .
Докажите , что куб этого	числа	при делении на 5 дает в остатке 3 . г ) Целое число при делении на 4 дает в остатке 3 .
593 Докажите , что если z3 минус z для любого целого	числа	z делится на 5 , то .
Поэтому на диагоналях квадрата могут располагаться лишь	числа	1 , 4 , 7 и 3 , 4 , 5 .
Для любых рациональных чисел a и b и любого натурального	числа	n .
Для этого воспользуемся тем , что частное чисел m и n , равно произведению	числа	m на обратное к n : .
Какие из этих выражений являются « степенью	числа	» , а какие - « числом , противоположным степени числа » ? .
Модуль	числа	меньше 3 , если это число принадлежит открытому интервалу от -3 до 3 .
Пусть а — произвольное рациональное число , а m и n — произвольные натуральные	числа	, тогда что и требовалось доказать .
Докажите , что сумма куба и квадрата этого	числа	делится на 4 .
Для любого рационального	числа	а и любых натуральных тип .
Целые	числа	- первоисточник математики .
Расположите	числа	1 , 7 , 13 , 31 , 37 , 43 , 61 , 67 , 73 в клетках квадрата размером так , чтобы квадрат стал магическим .
Найдите эти	числа	, если 6,5 % одного из них равны 8,5 % другого .
б ) Расположите	числа	10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 в клетках квадрата размером так , чтобы квадрат стал магическим .
Сложите	числа	, расположенные в каждой из первых шести строк треугольника Паскаля .
Найдите загаданные	числа	.
а ) Расположите	числа	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 в клетках квадрата размером так , чтобы квадрат стал магическим .
а ) Если некоторые натуральные	числа	четные , то некоторые четные числа — натуральные .
Общее во всех этих неравенствах то , что левая их часть является выражением вида , где k , b — рациональные	числа	.
Запишите в пятеричной системе счисления	числа	.
Из таблицы видно , что в центре магического квадрата может находиться только число 4 , а в углах —	числа	1 , 3 , 5 , 7 .
а ) Если некоторые натуральные числа четные , то некоторые четные	числа	— натуральные .
Найдите эти	числа	, если 2,25 % одного из них равны 8 % другого .
а ) В краснодарском филиале пончиковой компании Антона и Ксюши женщины составляют от	числа	работающих там мужчин .
Так , число , стоящее в середине магического квадрата , должно встречаться в четырех комбинациях , в углах квадрата — в трех комбинациях , а остальные	числа	— в двух комбинациях .
На какое число делили эти	числа	? .
Модуль	числа	больше или равен 10 , если это число либо больше или равно 10 , либо меньше или равно ( -10 ) .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем	числам	, которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным рациональным	числам	поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
. а ) Всем	числам	, кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
Всем целым числам поставлено в соответствие число 1 , а всем нецелым	числам	— число ( -1 ) .
Функция задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым	числам	поставлено в соответствие число 2 .
Величины углов треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным	числам	, кратным трем .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным	числам	— число 2 .
Всем целым	числам	поставлено в соответствие число 1 , а всем нецелым числам — число ( -1 ) .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым	числам	, кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Интерес людей к натуральным	числам	всегда был очень велик .
Функция задана следующим образом : всем	числам	, кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным	числам	— число 5 .
Разделите число 2420 на четыре части пропорционально	числам	2 , 3 , 8 .
Величины углов треугольника в градусах равны трем последовательным натуральным	числам	.
Разделите число 2478 на три части пропорционально	числам	2 , 5 , 7 .
Определите их значения в точках хг х2 и х3 . а ) Всем четным числам поставлено в соответствие число 3 , а всем нечетным	числам	— число ( -3 ) .
Зададим функцию f следующим образом : « всем неотрицательным рациональным	числам	поставим в соответствие число 1 , а всем отрицательным — число ( -1 ) » .
Функция задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем	числам	, дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 .
Разделите число 1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б ) Разделите число 2438 на четыре части пропорционально	числам	3 , 4 , 9 , 10 .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым	числам	, которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Определите их значения в точках хг х2 и х3 . а ) Всем четным	числам	поставлено в соответствие число 3 , а всем нечетным числам — число ( -3 ) .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным	числам	поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
Величины углов треугольника в градусах равны трем последовательным четным	числам	.
Отвечая на аналогичные вопросы , мы в свое время расширили множество натуральных чисел до множества целых чисел , получили способы выполнения арифметических действий с отрицательными	числами	, ввели понятие степени .
Оказалось , что где а и b могут быть как любыми	числами	, так и любыми выражениями .
Мы знаем , что если между двумя	числами	или двумя алгебраическими выражениями стоит знак , то получившееся математическое предложение называют равенством .
А для того чтобы проводить вычисления с этими	числами	, необходимо уметь выполнять арифметические действия со степенями .
Выполняя действия с именованными	числами	, мы должны всегда помнить о том , что аналогичные действия необходимо производить и с единицами их измерения .
При этом расстояние между двумя последовательными	числами	, кратными ( -2 ) , равно | -2 | , и поэтому для остатка возникает требование .
Все полученные корни являются рациональными	числами	.
Между двумя	числами	или алгебраическими выражениями могут стоять знаки > , < , > или < .
Так как все полученные значения у являются неотрицательными целыми	числами	, то все найденные пары х и у являются решениями нашей задачи .
Первый и последний шаги преобразований выполнены на основе правил арифметических действий с рациональными	числами	, второй шаг - на основе правила равносильных преобразований 1 , а третий - на основе правила 3 .
Но мы уже знаем , что кроме натуральных чисел , называемых также положительными целыми	числами	, существуют числа , им противоположные , - отрицательные целые числа и 0 .
Такие непериодические бесконечные десятичные дроби назвали иррациональными , то есть « нерациональными » ,	числами	.
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми	числами	, можно заметить , что ряд простых чисел устроен достаточно сложно , простые числа то идут одно за другим , а то их не встретишь в последовательности натуральных чисел довольно долго .
Из условия задачи следует , что для существования данной фигуры необходимо , чтобы а , b , с были положительными	числами	и выполнялось неравенство 2а меньше а плюс 2b .
Мы с вами уже знаем , что наглядное представление о целых	числах	дает числовая прямая .
По имени Диофанта уравнения с целыми коэффициентами , которые требуется решить в целых	числах	, назвали диофантовыми уравнениями .
Однако для наглядного представления о	числах	, сравнимых по некоторому модулю m , числовая прямая уже не подходит .
Однако уравнения в целых	числах	часто имеют несколько решений .
Когда мы с вами раньше говорили о делимости чисел , речь всегда шла о натуральных	числах	.
Таким образом , потребности практических измерений и вычислений привели к развитию представлений о	числе	и появлению множеств натуральных чисел N , целых чисел Z , рациональных чисел Q , которые мы изучали в 5 - 6 классах .
Что же касается числа нуль , то оно возникло тогда , когда потребовалось показать отсутствие единиц определенного разряда в некотором	числе	, например 101 , 10 001 и т.д .
Делали мы это в том	числе	и для того , чтобы научиться решать те задачи , которые были недоступны нам ранее .
в ) Сколько четырехзначных чисел , делящихся на 5 , можно составить из цифр 3 , 5 , 6 , 8 , если цифры в искомом	числе	не повторяются ? .
323 Из некоторого натурального числа вычли сумму его цифр , затем в получен ном	числе	зачеркнули одну цифру .
г ) Сколько пятизначных чисел , делящихся на 2 , можно составить из цифр 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , если цифры в искомом	числе	не повторяются ? .
е ) Сколько четырехзначных чисел , делящихся на 2 , можно составить из цифр 2 , 5 , 6 , 7 , 9 , если цифры в искомом	числе	не повторяются ? .
До первого периода в этом	числе	стоит цифра 0 .
В	числе	7 654 32 _ стерли последнюю цифру .
б ) Сколько шестизначных чисел , кратных 4 , можно составить из цифр 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , если цифры в искомом	числе	не повторяются ? .
В	числе	стерли последнюю цифру .
154 Докажите , что если в трехзначном	числе	две последние цифры одинаковые и сумма его цифр делится на 7 , то это число делится на 7 .
483 ) Какое минимальное количество цифр может быть в	числе	111 ..
В принципе , этих правил вполне достаточно для того , чтобы упростить любую алгебраическую сумму , в том	числе	и приведенную выше .
В	числе	258 сумма цифр делится на 3 - истинно .
И наконец , необходимо учесть , что в магическом квадрате числа должны встречаться в определенном	числе	комбинаций .
Таким образом , фактически устно мы получили , что при всех значениях m , n и k ( в том	числе	и при указанных в условии ) значение данного выражения будет равно 0 .
Нам известно также , что произведение нескольких дробей равно дроби , в числителе которой стоит произведение	числителей	исходных дробей , а в знаменателе - произведение их знаменателей .
2 Произведение нескольких дробей можно записать как единую дробь , числитель которой равен произведению	числителей	исходных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
2 Произведение нескольких дробей можно записать как единую дробь ,	числитель	которой равен произведению числителей исходных дробей , а знаменатель - произведению их знаменателей .
3 Если	числитель	и знаменатель дроби имеют общий множитель , отличный от нуля , то дробь на него можно сократить .
Упростим сначала	числитель	этой дроби , пользуясь правилами преобразования алгебраических сумм .
Чтобы выполнить перевод , можно привести обыкновенную дробь к знаменателю вида 10n , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей , либо разделить	числитель	обыкновенной дроби на ее знаменатель .
Значит , наше исходное выражение равно дроби , в которой	числитель	и знаменатель имеют общий множитель 9х - 4у , отличный от 0 .
Представим частное в виде дроби и сократим n раз ее	числитель	и знаменатель на общий множитель а : что и требовалось доказать .
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь ,	числитель	которой меньше знаменателя .
	Числитель	меньше знаменателя ; 8) произведение двух чисел ; 9 )
из числа , образованного цифрами , стоящими до второго периода , вычесть число , образованное цифрами , стоящими до первого периода , и записать эту разность как	числитель	.
Для того чтобы возвести в степень дробь , можно возвести в эту степень отдельно	числитель	и знаменатель дроби .
Значит , в нашем примере мы можем сразу упростить	числитель	.
б ) Какое рациональное число нужно прибавить к	числителю	и знаменателю дроби , чтобы она стала равна ? .
Если на некотором шаге деления	числителя	m этой дроби на знаменатель n получится остаток 0 , то дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби .
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель , отличный от 2 и 5 , то в результате деления	числителя	на знаменатель получится бесконечная десятичная дробь .
Найдите вероятность того , что случайно названное однозначное натуральное	число	окажется равным задуманному .
Процесс кодирования в этом случае состоит в том , что каждой букве алфавита ( далее мы будем говорить только о русском алфавите ) ставится в соответствие другая буква , отстоящая от первоначальной на заданное ключом	число	позиций .
Действительно ,	число	b - натуральное и , значит .
Если группа достаточно длинная , то	число	возможных перестановок букв достаточно велико .
Теорема 2 Любое натуральное	число	делится на единицу .
а ) Если натуральное	число	больше 9 , то оно больше или равно 10 . б ) Сумма двух натуральных чисел , каждое из которых больше 5 , меньше 9 .
в ) Если число 7с делится на 5 , то	число	с делится на 5 .
Значит , любое натуральное	число	делится на единицу , что и требовалось доказать . .
Теорема 1 Любое положительное рациональное	число	можно записать в виде периодической десятичной дроби .
Как мы уже знаем , результатом сложения и умножения натуральных чисел всегда будет натуральное	число	.
Целое	число	b при делении на 36 дает остаток 3 .
Но может быть , существует еще какое - то натуральное	число	n , для которого верно ? .
Если	число	45d делится на 9 , то число d не всегда делится на 9 .
Рассмотрим , например ,	число	17 964 .
Таким образом , существует единственное	число	с , такое , что , что и требовалось доказать .
Числа b и с - делители числа а ,	число	а - кратное чисел b и с .
Это число делится на 3 , так как существует	число	5988 , такое , что .
Натуральное	число	, кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому числу .
Найдите это число . б ) Числа 3311 , 1935 , 1376 дают равные остатки при делении на натуральное	число	, большее 1 .
Это	число	делится на 3 , так как существует число 5988 , такое , что .
По определению , любое положительное рациональное	число	можно записать в виде обыкновенной дроби .
Найдите вероятность того , что случайно названное трехзначное натуральное	число	окажется равным задуманному .
з ) Если из обеих частей равенства вычесть одно и то же	число	, то равенство не нарушится .
63 Используя метод доказательства от противного , докажите , что при любых натуральных а и b	число	7 не может быть корнем уравнения .
г ) Если число х — целое , то	число	х3 также целое .
г ) Если	число	делится на 10 , то оно делится на 5 .
И так как мы делим все время на одно и то же	число	, то с момента появления первого повторения в частном будет периодически повторяться одна и та же группа цифр .
Из определения рациональных чисел следует , что любое рациональное	число	можно записать в виде обыкновенной дроби .
Если	число	х — целое , то число — целое .
а ) произведение первого и третьего из них равно 63 , второе загаданное	число	на 7 больше первого , а третье — на 9 меньше произведения первого и второго чисел .
Теорема 1 Если число а делится на число b , то существует единственное	число	с , такое , что .
В соответствии с известным правилом равенство не изменится , если мы разделим обе его части на одно и то же	число	, отличное от нуля .
Теорема 1 Если число а делится на	число	b , то существует единственное число с , такое , что .
А нечетная степень отрицательного числа содержит целое	число	пар отрицательных множителей и еще один отрицательный множитель .
Можно ли с их помощью занумеровать 160 ячеек , поставив в соответствие каждой ячейке свое четное	число	, состоящее не более чем из четырех указанных цифр ? .
По определению делимости , существует	число	а , такое , что .
Если число 45d делится на 9 , то	число	d не всегда делится на 9 .
и при умножении равенства на одно и то же	число	оно не изменится , получаем .
Теорема 1 Если	число	а делится на число b , то существует единственное число с , такое , что .
Найдите вероятность того , что случайно названное двузначное натуральное	число	окажется равным задуманному .
в ) Если	число	оканчивается на одну из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно делится на 2 .
776 Какой цифрой оканчивается	число	? .
Запишите три неравенства , решением которых является	число	с .
Можно найти натуральное	число	, квадрат которого больше 30 .
Любое ли рациональное	число	( то есть обыкновенную дробь ) можно записать в виде десятичной дроби ( конечной или бесконечной ) ?
а ) Любое натуральное	число	больше нуля .
Мы видим , что после запятой в полученных десятичных дробях одна и та же группа цифр с некоторого момента начинает повторяться бесконечное	число	раз .
в ) Задумали трехзначное натуральное	число	.
Найдите это	число	. б ) Числа 3311 , 1935 , 1376 дают равные остатки при делении на натуральное число , большее 1 .
Числа 2146 , 1991 , 1805 дают равные остатки при делении на натуральное	число	, большее 1 .
При этом при делении на n	число	остатков равно n - 1 ( остатки от 1 до n - 1 ) .
356 Найдите первое простое	число	, следующее за числом .
Число т — четное , а	число	n — нечетное .
Задумали двузначное натуральное	число	.
Вычислите вероятность того , что	число	на вытащенном шаре : а ) делится на 9 ; б ) делится на 12 ; в ) делится на 9 и на 2 ; г ) делится на 11 и на 3 .
Множество Z можно рассматривать как расширение множества N до множества , где всегда выполнима операция вычитания , а множество Q - расширение множества Z до множества , где всегда выполнима операция деления на	число	, отличное от О .
Поскольку мы все время делим на одно и то же	число	22 , то после повторного появления остатка 4 будут появляться в том же порядке одни и те же промежуточные делимые .
Чему равна вероятность того , что полученное	число	: 1 ) делится на 2 ; 2 ) начинается на 8 ? .
б )	число	, кратное 11 , при делении на 33 давать остаток 4 ? .
б ) произведение первого и третьего из них равно 32 , второе загаданное	число	на 2 больше первого , а третье — на 16 меньше произведения первого и второго чисел . .
Вычислите вероятность того , что	число	на вытащенном шаре : а ) делится на 7 б ) делится на 5 и на 4
а ) Натуральное	число	, кратное 3 , - это натуральное число , которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
Определите , не вычисляя частное , каким еще 5 числам кратно данное	число	.
а ) Число а , кратное числу b , не может быть больше b . б ) Любое натуральное	число	, большее 1 , имеет по крайней мере 2 делителя .
Так , например , уравнение имеет один корень —	число	2 , а корнем уравнения является любое рациональное число .
а ) Целое	число	дает при делении на 5 остаток 1 , а при делении на 3 — остаток 2 .
Докажите , что среди любого количества людей в некотором зале хотя бы двое имеют одинаковое	число	знакомых среди присутствующих .
Числа 1712 , 1807 и 1940 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное	число	, большее 1 .
Первое число при делении на 12 дает остаток 4 , а второе	число	при делении на 12 дает остаток 5 .
Любое натуральное	число	кратно самому себе .
Первое	число	при делении на 17 дает остаток 11 , а второе число при делении на 17 дает остаток 9 .
Первое число при делении на 17 дает остаток 11 , а второе	число	при делении на 17 дает остаток 9 .
365 Найдите наименьшее натуральное	число	, сравнимое с числом 591 по модулю .
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое	число	кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
Первое	число	при делении на 19 дает остаток 14 , а второе число при делении на 19 дает остаток 15 .
Первое число при делении на 19 дает остаток 14 , а второе	число	при делении на 19 дает остаток 15 .
а ) Если натуральное	число	а не делится на 5 , то число 7а не делится на 5 .
а ) Если натуральное число а не делится на 5 , то	число	7а не делится на 5 .
Первое	число	при делении на 12 дает остаток 4 , а второе число при делении на 12 дает остаток 5 .
Чему равно это натуральное	число	? .
	Число	3 не является решением неравенства .
Вычислите вероятность того , что	число	на вытащенном шаре .
в ) Составное число - это натуральное	число	, имеющее более двух различных делителей .
Грузчику надо разложить 680 арбузов в два контейнера так , чтобы	число	арбузов в одном контейнере составляло 36 % числа арбузов в другом контейнере .
а ) Чему равна вероятность того , что случайным образом выбранное двузначное	число	: 1 ) состоит из одинаковых цифр ; 2 ) больше 35 и меньше 52 ? .
а ) Чему равна вероятность того , что случайным образом выбранное трехзначное	число	: 1 ) состоит из трех одинаковых цифр ; 2 ) больше 121 и меньше 148 ? .
г ) Нечетное	число	- это натуральное число , которое при делении на 2 дает ос таток 1 .
г ) Нечетное число - это натуральное	число	, которое при делении на 2 дает ос таток 1 .
Если целое	число	делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое число кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
Чему равна вероятность того , что полученное	число	: 1 ) делится на 5 ; 2 ) начинается на 7 ? .
Докажите , что это	число	не может быть равным 0 .
в ) Из цифр 5 , 7 , 9 случайным образом составили трехзначное	число	, используя все цифры .
Повторив эту операцию 100 раз , мы получим одно	число	.
Если число х — целое , то	число	х2 также целое .
Наугад выбрано	число	от 1 до 400 .
Если 9 математиков доказали 35 теорем , то хотя бы два математика доказали одинаковое	число	теорем .
а ) Натуральное число , кратное 3 , - это натуральное	число	, которое делится на 3 . б ) Правильная дробь - это дробь , числитель которой меньше знаменателя .
а ) сумма целого числа и его квадрата есть	число	четное .
б ) Из цифр 3 , 4 , 8 случайным образом составили трехзначное	число	, используя все цифры .
370 Запишите смешанное	число	в виде неправильной дроби .
Первое число при делении на 9 дает остаток 5 , а второе	число	при делении на 9 дает остаток 3 .
Найдите эти числа , если известно , что третье	число	на 36 больше суммы всех остальных .
угадать одно	число	из 78 . д ) выбрать , не глядя , из 20 разноцветных шаров шар определенного цвета ? .
Является ли	число	.
Первое	число	при делении на 7 дает остаток 5 , а второе число при делении на 7 дает остаток 2 .
в ) Составное	число	- это натуральное число , имеющее более двух различных делителей .
Такая зависимость может быть записана с помощью единой формулы , где х и у — соответствующие значения независимой и зависимой величин , а	число	k называется коэффициентом пропорциональности .
Если число х — целое , то	число	— целое .
а ) Если целое	число	делится на ( -7 ) , то оно не может при делении на ( -14 ) давать остаток 5 .
б ) если целое	число	а не делится на 5 , то делится на 5 .
Если натуральное число b делится на 3 , то	число	2b делится на 6 .
Второе загаданное	число	на 5 больше первого , а третье — на 4 меньше произведения первого и второго чисел .
в ) Если	число	7с делится на 5 , то число с делится на 5 .
Число а делится ( без остатка ) на	число	b , если существует такое число с , что .
Так как r и при умножении равенства на одно и то же	число	оно не изменится , получаем .
Любая натуральная степень единицы равна 1 , а при умножении на 1	число	не изменяется .
в ) А : при бросании идеального игрального кубика выпало	число	, кратное 4 .
Число а делится ( без остатка ) на число b , если существует такое	число	с , что .
Все целые числа при делении их на себя дают в частном 3 . г ) Существует такое целое	число	, которое в сумме с 6 дает 17 . д ) Число 3 является решением уравнения .
Если ни одно решение неравенства не является отрицательным числом , то ни одно отрицательное	число	не является решением неравенства .
а )	число	, кратное 7 , при делении на 49 давать остаток 27 ? .
В : при бросании идеального игрального кубика выпало	число	, не кратное на 4 . г ) А : Вася угадал одну из 56 цифр , загаданных его другом .
Натуральное число , кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если	число	неотрицательно , то его модуль равен самому числу .
Найдите это	число	.
341 Определите , не вычисляя частного , делится ли	число	а на 11 .
в ) Если целое	число	делится на 4 , то оно делится на 8 .
Какое число можно подставить вместо с , чтобы корнем уравнения было четное	число	? .
Значит , поскольку	число	329 - нечетное , то ( -56,799)329 равно -56,799329 меньше 0 .
в ) Любое натуральное	число	является делителем самого себя .
Первое	число	при делении на 9 дает остаток 5 , а второе число при делении на 9 дает остаток 3 .
Первое число при делении на 7 дает остаток 5 , а второе	число	при делении на 7 дает остаток 2 .
а ) При любых натуральных а и b	число	17 не может быть корнем уравнения .
345 Определите , какой цифрой оканчивается	число	: а ) 555777 ; б ) 333 ЗЗЗ222 222 .
344 Определите , делится ли	число	а на b .
Если натуральное	число	b делится на 3 , то число 2b делится на 6 .
При этом	число	тигров , зебр и слонов в питомнике относится как 4,2 к 6,4 к 1,4 .
Целое	число	при делении на 7 дает остаток 2 , а при делении на 8 — остаток 3 .
в ) Если натуральное	число	делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если натуральное число при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
в ) Если натуральное число делится на 3 , то оно не может при делении на 6 давать остаток 4 . г ) Если натуральное	число	при делении на 27 дает остаток 8 , то оно не делится на 3 .
342 Числа 901 , 1696 , 4293 дают равные остатки при делении на некоторое натуральное	число	.
а ) Если натуральное	число	больше 5 , то оно больше или равно 6 . б ) Делитель натурального числа может быть больше этого числа .
379 Проведите классификацию множества А по остаткам от деления его элементов на b . 380 Найдите остаток от деления а на b . 381 Определите , какой цифрой оканчивается	число	.
Любая натуральная степень нуля представляет собой произведение нулей ( или само	число	0 ) .
Так , например , уравнение имеет один корень — число 2 , а корнем уравнения является любое рациональное	число	.
То есть если два равных числа увеличить , уменьшить , умножить или разделить на одно и то же	число	( исключая деление на 0 ) , то мы вновь получим два равных числа .
г ) Если	число	х — целое , то число х3 также целое .
Если	число	х — целое , то число х2 также целое .
360 Докажите утверждение : « Если натуральное	число	при делении на 15 дает остаток 7 , то при делении на 3 оно даст остаток 1 » .
1 Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же	число	( выражение ) , то получим уравнение , равносильное данному .
Попробуем разделить	число	а на число .
Если квадрат натурального числа делится на 5 , то и само	число	делится на 5 .
а ) Если натуральное	число	делится на 7 , то оно не может при делении на 21 давать остаток 5 .
На какое	число	делили эти числа ? .
б ) корнем уравнения 5уявляется любое	число	.
в )	число	5 является корнем уравнения .
Если натуральное	число	при делении на 36 дает остаток 4 , то оно не делится на 6 .
Запишем полученное произведение , представляя целое	число	или отдельную букву в виде дроби со знаменателем 1 .
	Число	-1,5 не является корнем уравнения .
а ) На сколько нужно уменьшить	число	8642 , чтобы получить число , записанное теми же цифрами в обратном порядке ? .
а ) На сколько нужно уменьшить число 8642 , чтобы получить	число	, записанное теми же цифрами в обратном порядке ? .
б ) Найдите натуральное	число	, восьмая часть от которого на 3 меньше его шестой части .
Найдите целое	число	, которое при увеличении на 6,25 дает тот же результат , что и при умножении на 7,25 .
в ) Всем правильным дробям поставлено в соответствие число 2 , а всем неправильным дробям —	число	4 .
На сколько процентов	число	А меньше числа В ?
Докажите , что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3 . г ) Целое	число	при делении на 4 дает в остатке 3 .
3 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное	число	( выражение ) и изменить знак неравенства на противоположный , то получим неравенство , равносильное данному .
На сколько процентов	число	В больше числа А ? .
а )	число	22 226 делится на 3 ; б ) число 55 554 делится на 18 .
в ) Целое	число	при делении на 5 дает в остатке 2 .
Всем целым числам поставлено в соответствие число 1 , а всем нецелым числам —	число	( -1 ) .
Всем целым числам поставлено в соответствие	число	1 , а всем нецелым числам — число ( -1 ) .
Докажите , что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7 . б ) Целое	число	при делении на 5 дает в остатке 4 .
Определите их значения в точках хг х2 и х3 . а ) Всем четным числам поставлено в соответствие число 3 , а всем нечетным числам —	число	( -3 ) .
1 В выражениях операцию деления на	число	, отличное от нуля , можно заменить умножением на число , обратное делителю .
Определите их значения в точках хг х2 и х3 . а ) Всем четным числам поставлено в соответствие	число	3 , а всем нечетным числам — число ( -3 ) .
2 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное	число	( выражение ) , то получим неравенство , равносильное данному .
398 а ) Целое	число	при делении на 8 дает в остатке 7 .
1 В выражениях операцию деления на число , отличное от нуля , можно заменить умножением на	число	, обратное делителю .
Зададим функцию f следующим образом : « всем неотрицательным рациональным числам поставим в соответствие	число	1 , а всем отрицательным — число ( -1 ) » .
в ) Всем правильным дробям поставлено в соответствие	число	2 , а всем неправильным дробям — число 4 .
б ) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный , то ни одно отрицательное	число	— не квадрат .
Число 90 разделили на то же самое	число	и получили в остатке 18 .
Найдите наименьшее натуральное	число	, сравнимое с числом 214 по модулю .
Докажите , что а ) При любых натуральных а и b	число	7 не может быть корнем уравнения б ) Число 12 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
Тогда при неотрицательных значениях с данное неравенство не будет иметь решений , а при отрицательных — его решением будет любое	число	.
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие	число	( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам —	число	2 .
а )	число	а при делении на 5 дает остаток 2 , а при делении на 3 - остаток 1 и b = 15 . б ) число а при делении на 5 дает остаток 1 , а при делении на 3 - остаток 2 и b = 15 .
а ) число а при делении на 5 дает остаток 2 , а при делении на 3 - остаток 1 и b = 15 . б )	число	а при делении на 5 дает остаток 1 , а при делении на 3 - остаток 2 и b = 15 .
в )	число	а при делении на 3 дает остаток 1 , а при делении на 4 - остаток 3 и b = 12 . г ) число а при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 4 - остаток 1 и b = 12 .
в ) число а при делении на 3 дает остаток 1 , а при делении на 4 - остаток 3 и b = 12 . г )	число	а при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 4 - остаток 1 и b = 12 .
	Число	1 не является корнем уравнения .
452 Упростите уравнение , разделив обе его части на одно и то же	число	, отличное от нуля , а затем найдите его корень .
А	число	тигров и слонов в сумме меньше 16 .
Число тигров более чем на 11 больше , чем	число	обезьян и крокодилов вместе .
А	число	кленов и тополей меньше 12 .
При этом число тополей более чем в 3 раза больше , чем	число	всех остальных деревьев .
При этом	число	тополей более чем в 3 раза больше , чем число всех остальных деревьев .
а )	число	( -2 ) является корнем уравнения .
Функцию задали следующим образом : каждому рациональному числу q поставили в соответствие наибольшее целое	число	, не превосходящее этого числа .
а )	число	а при делении на 3 дает остаток 2 , а при делении на 7 - остаток 5 .
	Число	а при делении на 3 дает остаток 1 , а при делении на 7 - остаток 4 .
458 Борис задумал натуральное	число	, умножил его на 13 , зачеркнул последнюю цифру результата .
Полученное	число	он умножил на 8 , опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил 20 .
а ) Каждому рациональному числу х поставили в соответствие некоторое	число	у по правилу .
Вычислите вероятность того , что	число	на вытащенном шаре делится на 12 и на 5 .
Какое	число	задумал Борис ? .
б ) Каждому рациональному числу х поставили в соответствие некоторое	число	у по правилу .
Первое	число	при делении на 14 дает остаток 2 , а второе число при делении на 14 дает остаток 11 .
Первое число при делении на 14 дает остаток 2 , а второе	число	при делении на 14 дает остаток 11 .
Число 100 разделили на некоторое натуральное	число	и получили в остатке 4 .
а ) При любых натуральных а и b	число	11 не может быть корнем уравнения .
Зададим функцию f следующим образом : « всем неотрицательным рациональным числам поставим в соответствие число 1 , а всем отрицательным —	число	( -1 ) » .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие число 0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие	число	-1 . б ) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
И каждому из них указанное правило сопоставляет единственное	число	: любому положительному числу и нулю — число 1 , а любому отрицательному числу — число ( -1 ) .
173 Существует ли такое целое	число	, которое .
Первое число при делении на 5 дает остаток 3 , а второе	число	при делении на 5 дает остаток 4 .
Первое	число	при делении на 5 дает остаток 3 , а второе число при делении на 5 дает остаток 4 .
А если множество X имеет бесконечное	число	элементов , то табличный способ не даст полной информации о характере исследуемой зависимости .
б ) Когда повара спросили , сколько яиц нужно взять , чтобы приготовить пирог , он ответил : « Если взять на 3 яйца меньше , чем это необходимо , увеличить это число в 5 раз , а затем вычесть из полученного результата число , в 2 раза большее необходимого числа яиц , то получится	число	, на 5 большее искомого » .
Следовательно , любое	число	, принадлежащее промежутку , является корнем исходного уравнения .
б ) Когда повара спросили , сколько яиц нужно взять , чтобы приготовить пирог , он ответил : « Если взять на 3 яйца меньше , чем это необходимо , увеличить это число в 5 раз , а затем вычесть из полученного результата	число	, в 2 раза большее необходимого числа яиц , то получится число , на 5 большее искомого » .
б ) Когда повара спросили , сколько яиц нужно взять , чтобы приготовить пирог , он ответил : « Если взять на 3 яйца меньше , чем это необходимо , увеличить это	число	в 5 раз , а затем вычесть из полученного результата число , в 2 раза большее необходимого числа яиц , то получится число , на 5 большее искомого » .
в ) Если сумма цифр целого числа делится на 3 и число оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если целое	число	кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
Однако полученное	число	-4 не принадлежит рассматриваемому промежутку .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях число книг при делении на 3 дает остаток 1 , а	число	дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
Итак , мы получили , что данная задача имеет три решения , для каждого из которых значения величин х и у соответствуют условию задачи : полученные значения — натуральные числа , при этом во всех указанных случаях	число	книг при делении на 3 дает остаток 1 , а число дисков при делении на 3 дает остаток 2 .
200 Какой цифрой оканчивается	число	.
Чтобы проверить выполнение неравенства 2а меньше а плюс 2b , упростим его , вычитая из правой и левой его части одно и то же	число	а .
в ) Если сумма цифр целого числа делится на 3 и	число	оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 15 . г ) Если целое число кратно 3 и 5 , то оно кратно 15 .
а )	число	444 .. 444 не делится на 8 . б ) число 1212 .. 12 делится на 3 .
в )	число	53005300 .. 5300 делится на 25 . г ) число 6363 .. 63 делится на 9 .
в ) число 53005300 .. 5300 делится на 25 . г )	число	6363 .. 63 делится на 9 .
475 а ) Миша и Сережа записывают двенадцатизначное	число	, ставя по очереди цифры .
Докажите , что какие бы цифры ни ставил Сережа , Миша всегда сможет добиться того , чтобы полученное	число	делилось на 3 . .
Андрей и Иван записывают двадцатизначное	число	, ставя по очереди цифры .
Умножим обе части данного уравнения на	число	30 — наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей .
Докажите , что какие бы цифры ни ставил Андрей , Иван всегда сможет добиться того , чтобы полученное	число	делилось на 9 .
487 Запишите рациональное	число	в виде периодической десятичной дроби .
501 Определите , является ли	число	рациональным .
Каждому рациональному числу х поставили в соответствие некоторое	число	у по следующему правилу .
Значение b . B — любое	число	.
Последовательность чисел : 3 , 9 , 27 , 81 , 243 , 729 устроена таким образом , что в ней каждое следующее	число	в три раза больше предыдущего .
Для того чтобы определить эти коэффициенты , поставим в вершине и вдоль боковых сторон некоторого равнобедренного треугольника	число	1 .
а ) число 444 .. 444 не делится на 8 . б )	число	1212 .. 12 делится на 3 .
Пусть n — натуральное	число	, большее 1 .
Первое	число	при делении на 8 дает остаток 5 , а второе число при делении на 8 дает остаток 7 .
Первое число при делении на 8 дает остаток 5 , а второе	число	при делении на 8 дает остаток 7 .
И каждому из них указанное правило сопоставляет единственное число : любому положительному числу и нулю — число 1 , а любому отрицательному числу —	число	( -1 ) .
Целое	число	дает при делении на 4 остаток 2 , а при делении на 7 — остаток 5 .
1 Если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же	число	( выражение ) , то получим неравенство , равносильное данному .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие	число	2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
181 Существует ли такое целое	число	, которое .
Если же данные числа а и b умножить или разделить на отрицательное	число	с , знак неравенства изменится на противоположный .
Какое	число	можно подставить вместо 6 , чтобы корнем уравнение было целое число ? .
Первое	число	на 36 больше второго , а второе в 2,5 раза больше третьего .
Какое число можно подставить вместо 6 , чтобы корнем уравнение было целое	число	? .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие	число	-2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам — число 5 .
То есть если число а больше числа b , то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым числом с , а также при умножении и делении их на положительное	число	с знак неравенства не изменится .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие	число	10 , а всем неположительным числам — число 5 .
То есть если	число	а больше числа b , то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым числом с , а также при умножении и делении их на положительное число с знак неравенства не изменится .
Натуральной ( n - й ) степенью числа а называется	число	аn , равное произведению n множителей , каждый из которых равен а .
Функция задана словесным описанием , найдите ее значения в точках x1 , х2 и х3 . а ) Всем целым числам , кратным 6 , поставлено в соответствие число 2 , а всем целым числам , которые не делятся на 6 , поставлено в соответствие число -2 . б ) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10 , а всем неположительным числам —	число	5 .
а ) число 22 226 делится на 3 ; б )	число	55 554 делится на 18 .
Какой могла быть эта цифра , если	число	делилось на . а ) Сторону квадрата сначала уменьшили на 40 % , а затем увеличили на 40 % .
а ) Если целое	число	оканчивается на 0 , то оно делится на 2 и на 5 .
При этом повторяющийся множитель а называют основанием степени , а	число	повторяющихся множителей n — показателем степени .
а ) Разностью двух чисел называется	число	, такое , что . б ) Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество .
Обозначим одно из чисел через х , где х Q , тогда второе	число	равно 5х .
б ) Если целое	число	делится на 2 , то оно оканчивается на 2 .
212 Какой цифрой оканчивается	число	: а ) 727272 . б ) 321123 плюс 654456 ? .
И так как , то	число	является корнем исходного уравнения .
Первое число при делении на 15 дает остаток 11 , а второе	число	при делении на 15 дает остаток 6 .
Первое	число	при делении на 15 дает остаток 11 , а второе число при делении на 15 дает остаток 6 .
Первое число при делении на 11 дает остаток 9 , а второе	число	при делении на 11 дает остаток 2 .
Первое	число	при делении на 11 дает остаток 9 , а второе число при делении на 11 дает остаток 2 .
а ) делится на 120 при любом целом а ; б )	число	8 не может быть корнем уравнения при любых натуральных а и b .
И каждому из них указанное правило сопоставляет единственное число : любому положительному числу и нулю —	число	1 , а любому отрицательному числу — число ( -1 ) .
из числа , образованного цифрами , стоящими до второго периода , вычесть	число	, образованное цифрами , стоящими до первого периода , и записать эту разность как числитель .
Не вычисляя частного , определите , делится ли	число	а на b .
Боевиков в этом видеомагазине всегда на 126 меньше , чем комедий , мелодрам - на 68 меньше , чем боевиков , а	число	документальных фильмов равно полусумме числа комедий и боевиков .
Тогда всякое другое четное	число	должно быть меньше n.
а ) Если целое число а делится на 7 , то	число	За делится на 7 .
Если целое	число	b делится на 5 , то число 4b делится на 20 .
Предположим , что , наоборот , существует наибольшее четное	число	n.
Если целое число b делится на 5 , то	число	4b делится на 20 .
в ) Если целое	число	3с делится на 8 , то число с делится на 8 .
в ) Если целое число 3с делится на 8 , то	число	с делится на 8 .
Если целое число делится на 25 , то оно делится и на 5 . д ) Если целое число кратно 21 , то оно кратно 3 и 7 . е ) Если целое	число	кратно 54 , то оно кратно б и 9 .
Если целое	число	а не делится на 11 , то число 4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего целого числа , которое при делении на 7 дает остаток 2
Если целое число а не делится на 11 , то	число	4а не делится на 11 . д ) Не существует наибольшего целого числа , которое при делении на 7 дает остаток 2
Из них можно составить целое	число	пар , в каждой из которых при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число .
Четная степень отрицательного числа содержит четное	число	отрицательных множителей .
Чтобы умножить	число	на сумму , можно умножить это число на каждое из слагаемых этой суммы и полученные результаты сложить .
а ) Если целое	число	а делится на 7 , то число За делится на 7 .
Если область определения функции может быть разбита на конечное	число	непересекающихся числовых промежутков , объединение которых дает всю область определения , и на каждом из этих промежутков функция линейная , то такая функция называется кусочно - линейной .
Чтобы умножить число на сумму , можно умножить это	число	на каждое из слагаемых этой суммы и полученные результаты сложить .
Если целое	число	при делении на 21 дает остаток 8 , то при делении на 7 оно даст остаток 1 .
а )	число	( -1 ) является корнем уравнения .
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , —	число	отрицательное .
Заметив , что для выполнения этого равенства	число	а должно быть больше 5 , последовательно перебираем все возможные значения а и b.
Является ли решением этого неравенства	число	.
Значит , а - натуральное	число	, меньшее 10 , а b может быть одним из целых чисел от 0 до 9 .
Любое двузначное	число	можно представить в виде , где а и b - соответственно первая и вторая цифры этого числа .
353 Найдите наибольшее натуральное	число	, делящееся на 72 , в записи которого по одному разу участвуют все 10 цифр .
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное	число	, возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
Отрицательное число , возведенное в четную степень , есть	число	положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
2 ) Является ли	число	-6 решением неравенства ?
480 а ) В начале 2008 года	число	мужчин , работавших в одном из филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши , составляло 60 % от числа всех сотрудников этого филиала .
	Число	2 не является корнем уравнения .
Из них можно составить целое число пар , в каждой из которых при умножении двух отрицательных чисел получается положительное	число	.
Число 8 является решением неравенства х. Значит ,	число	8 — положительное .
Однако , прибавив 2 к числу n , получим четное	число	, боль шее , чем n .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное число делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само	число	делится на 4 .
Используя это правило , представим	число	0,(629 ) в виде обыкновенной дроби .
е )	число	( -5 ) не является решением неравенства .
Если сумма цифр натурального числа делится на 9 , то оно делится на 3 . е ) Если натуральное	число	делится на 9 , то и сумма его цифр делится на 9 . ж ) Если квадрат натурального числа делится на 4 , то и само число делится на 4 .
Если натуральное	число	оканчивается на 5 или на 0 , то оно делится на 5 .
в ) Если натуральное	число	делится на 2 , то оно оканчивается нулем .
Цифры 0629 , стоящие до второго периода , образуют	число	629 .
	Число	6 не является решением неравенства .
Аналогично рассуждая , можно записать	число	8,21(6 ) как обыкновенную дробь .
г )	число	( -1 ) является решением неравенства .
Таким образом , любое рациональное	число	может быть записано в виде бесконечной периодической дроби , и обратно .
в )	число	является решением неравенства .
Зависимость задали следующим образом : каждому целому числу поставили в соответствие его остаток при делении на целое	число	а .
решением неравенства является любое	число	.
а ) Целое	число	а кратно 7 .
а ) При любых натуральных а и b	число	15 не может быть корнем уравнения .
Например , известное нам	число	пи = 3,14159265 .. , выражающее отношение длины окружности к ее диаметру , является одним из примеров иррациональных чисел .
Единица — положительное	число	.
Какое наименьшее	число	шаров надо вынуть из этого мешка , чтобы среди них гарантированно было не менее 10 шаров одного цвета ? .
А если мы вычислим длину диагонали квадрата со стороной 1 , то получим	число	1,4142135 .. , также являющееся иррациональным .
388 Запишите данное рациональное	число	в виде периодической десятичной дроби .
392 Определите , является ли	число	рациональным , и обоснуйте свой ответ . .
Значит ,	число	( -6 ) не является решением неравенства .
в ) Разность двух натуральных чисел всегда	число	натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть целым числом .
а ) Каждому рациональному числу х поставили в соответствие некоторое	число	у по следующему правилу .
Число ( -6 ) не является решением неравенства х. Значит ,	число	( -6 ) не является положительным числом .
398 Запишите рациональное	число	в виде периодической десятичной дроби .
б ) Каждому рациональному числу х поставили в соответствие некоторое	число	у по следующему правилу .
402 Определите , является ли	число	рациональным , и обоснуйте свой ответ .
Отрицательное	число	, возведенное в четную степень , есть число положительное , а отрицательное число , возведенное в нечетную степень , — число отрицательное .
. а ) Всем числам , кратным 7 , поставлено в соответствие	число	0 , а всем числам , которые не делятся на 7 , поставлено в соответствие число -1 . б ) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие число ( -2 ) , а всем неотрицательным числам — число 2 .
После того как в феврале уволились 8 женщин , а 10 мужчин были приняты на работу ,	число	мужчин и женщин , работающих в этом магазине , стало одинаковым .
Дробь - это не целое	число	.
Функция задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие	число	2 .
Выбирая нужные понятия и свойства из нижеприведенного списка : 1 ) натуральное	число	; 2 ) дробь ; 3 ) число ; 4 ) кратное 2 ; 5 ) меньше единицы ; 6 )
Степенью рационального числа а с натуральным показателем 1 называется само это	число	.
428 а ) Целое	число	а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое число b при делении на 14 дает в остатке 9 .
Функция задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие число 0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие	число	1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 .
Докажите , что куб этого числа при делении на 6 дает в остатке 5 . б ) Целое	число	при делении на 9 дает в остатке 7 .
в ) Натуральное	число	является составным , если оно имеет более двух различных делителей .
И именно из аксиом Пеано следует , что если натуральное число равно n , то следующее за ним равно , а	число	, следующее за , равно .
И именно из аксиом Пеано следует , что если натуральное	число	равно n , то следующее за ним равно , а число , следующее за , равно .
422 а ) Целое	число	при делении на 6 дает в остатке 5 .
Функция задана следующим образом : всем числам , кратным 3 , поставлено в соответствие	число	0 ; всем числам , дающим остаток 1 при делении на 3 , поставлено в соответствие число 1 , а всем остальным целым числам поставлено в соответствие число 2 .
407 а ) Целое число а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое	число	с при делении на 12 дает в остатке 7 .
а ) Целое	число	дает при делении на 8 остаток 3 , а при делении на 5 — остаток 1 .
Выбирая нужные понятия и свойства из нижеприведенного списка : 1 ) натуральное число ; 2 ) дробь ; 3 )	число	; 4 ) кратное 2 ; 5 ) меньше единицы ; 6 )
407 а ) Целое	число	а при делении на 12 дает в остатке 5 , а целое число с при делении на 12 дает в остатке 7 .
В случае , если неравенство нестрогое , то при k 0	число	также будет являться его решением .
г ) Если ни один квадрат рационального числа не отрицательный , то ни одно отрицательное	число	не является квадратом рационального числа .
А единица и натуральное	число	относятся к первоначальным понятиям теории чисел .
Найдите наименьшее натуральное	число	, сравнимое с числом а по модулю m .
В свою очередь , это последнее утверждение непосредственно следует из того , что если натуральное число равно n , то следующее за ним равно , а	число	, следующее за , равно .
В свою очередь , это последнее утверждение непосредственно следует из того , что если натуральное	число	равно n , то следующее за ним равно , а число , следующее за , равно .
Первое	число	при делении на 11 дает остаток 6 , а второе число при делении на 11 дает остаток 8 .
Первое число при делении на 11 дает остаток 6 , а второе	число	при делении на 11 дает остаток 8 .
437 Упростите уравнение , разделив обе его части на одно и то же не равное нулю	число	, а затем найдите его корни .
Наташа должна была уменьшить	число	2 8/11 на 4 , а она уменьшила его в 4 раза .
в ) Алексей должен был уменьшить	число	12 6/7 в 3 раза , а он уменьшил его на 3 .
б ) Катя должна была увеличить	число	27 5/6 на 7 , а она увеличила его в 7 раз .
29 а ) Иван должен был увеличить	число	34 3/17 в 18 раз , а он увеличил его на 18 .
Если ни одно решение уравнения 2х равно 1 не является целым числом , то ни одно целое	число	не является решением уравнения 2х равно 1 .
428 а ) Целое число а при делении на 14 дает в остатке 7 , а целое	число	b при делении на 14 дает в остатке 9 .
Целое	число	при делении на 3 дает остаток 2 .
Разделим обе части полученного неравенства на отрицательное	число	( -3 ) , изменив при этом знак неравенства на противоположный .
Одно рациональное	число	на 5 больше другого , при этом модуль одного из этих чисел равен модулю другого .
В начале января	число	женщин , работавших в магазине , составляло 80 % от числа всех сотрудников этого магазина .
Натуральное число а делится на натуральное число b , если существует такое натуральное	число	с , что .
Натуральное число а делится на натуральное	число	b , если существует такое натуральное число с , что .
Натуральное	число	а делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число с , что .
Поскольку при умножении любого числа положительных чисел получается положительное	число	, то значение степени будет положительным , что и требовалось доказать . .
Если все натуральные числа являются целыми и ни одно натуральное	число	не является отрицательным , значит , все целые числа не являются отрицательными .
в ) Произведение двух отрицательных рациональных чисел есть	число	положительное .
а ) прибавить число ( -1 ) ; б ) вычесть число ; в ) умножить на число 3 4 ; г ) разделить на	число	( -2 ) ? .
в ) Каждое целое	число	делится само на себя .
Запишите рациональное	число	в виде периодической десятичной дроби .
а ) прибавить число ( -1 ) ; б ) вычесть число ; в ) умножить на	число	3 4 ; г ) разделить на число ( -2 ) ? .
а ) прибавить число ( -1 ) ; б ) вычесть	число	; в ) умножить на число 3 4 ; г ) разделить на число ( -2 ) ? .
а ) прибавить	число	( -1 ) ; б ) вычесть число ; в ) умножить на число 3 4 ; г ) разделить на число ( -2 ) ? .
Теорема 3 Любое натуральное	число	делится на само себя .
Натуральная степень положительного рационального числа представляет собой произведение положительных чисел ( или само	число	) .
а )	число	делится на 9 ; б ) число делится на 12 .
432 Сколько раз к наибольшему однозначному числу нужно прибавить наибольшее двузначное , чтобы получить наибольшее трехзначное	число	? .
Данная зависимость каждому числу х ставит в соответствие единственное	число	у.
б ) Второе из задуманных чисел равно произведению числа а на	число	3,3 , а первое - произведению числа b и числа 4,7 .
а ) число делится на 9 ; б )	число	делится на 12 .
Можно найти такое целое	число	, делителем которого является 7 . д ) Все целые числа , делящиеся на 5 , составные .
Какой могла быть эта цифра , если	число	делилось на . а ) В магазине имеются велосипеды и мотоциклы .
Любая натуральная степень положительного рационального числа — это	число	положительное .
б ) Продавцу надо разложить 585 коробок конфет на две витрины так , чтобы	число	коробок с конфетами на одной витрине составляло 56 % числа коробок на другой витрине .
После чего мы говорим , что	число	а является корнем исходного уравнения .
Найдите эти числа , если известно , что третье	число	на 55 больше суммы всех остальных .
431 На какую цифру оканчивается	число	222222222 ? .
При этом	число	медведей , гепардов и антилоп в зоопарке относится как 3,5 : 5,2 : 6,3 .
Является ли	число	1,5 решением неравенства ?
По определению делимости , существует	число	1 , такое , что .
Если	число	а делится на число с , а число b делится на число d , то ab делится на cd ( a , b , с , d е N ) .
Значит , любое натуральное	число	делится на само себя , что и требовалось доказать .
Поскольку сумма двух четных чисел всегда число четное , то 11х должно быть нечетным , а значит , и	число	х — нечетное .
Если уменьшить	число	букв в каждой строке на 3 и убрать после этого 5 строк , то число всех букв уменьшится на 300 .
Если натуральное	число	при делении на 30 дает остаток 21 , то оно не делится на 10 .
3 Пронумеровать подряд все числа упорядоченного набора , обозначив номером 1 меньшее	число	.
Каждый год расходы должны снижаться на одно и то же	число	процентов .
в ) Если натуральное	число	делится на 8 , то при делении на 16 оно не может давать остаток 7 .
Если уменьшить число букв в каждой строке на 3 и убрать после этого 5 строк , то	число	всех букв уменьшится на 300 .
564 Какой остаток при делении на 8 дает	число	.
Если натуральное	число	при делении на 27 дает остаток 7 , то оно не делится на 9 .
а ) Если натуральное	число	делится на 5 , то оно не может при делении на 20 давать остаток 16 . б )
Известно , что в последние два года	число	сотрудников пончиковой компании ежегодно увеличивалось на 20 % .
579 Какой остаток при делении на 7 дает	число	333444 умножить 444333 ? .
173 Найдите первое простое	число	, следующее за числом .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то	число	d всегда делится на 15 .
Значит , по определению , медианой этого набора является	число	99,5 .
Число k называют коэффициентом при неизвестном , а	число	b — свободным членом линейного уравнения .
а ) Если натуральное	число	делится на 11 , то оно не может при делении на 33 давать остаток 17 . б )
Если натуральное	число	при делении на 12 дает остаток 8 , то оно не делится на 27 .
Найдите первое простое	число	, следующее за числом .
Какое	число	загадали ? .
Запишите три уравнения , корнем которых является	число	а .
Если с занятия уйдет один спортсмен , то	число	отсутствующих станет равно 1/5 числа присутствующих .
б )	число	, кратное 5 , при делении на 15 давать остаток 7 ? .
а ) Если сумма и произведение двух чисел делятся на простое	число	р , то каждое из этих чисел делится на р . б ) Любое простое число , большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
Заметим , что 2у —	число	четное , а 83 — нечетное .
в )	число	, делящееся на 3 , при делении на 12 давать остаток 8 ? .
г )	число	, делящееся на 9 , при делении на 36 давать остаток 28 ? .
а ) Если сумма и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р . б ) Любое простое	число	, большее 5 , может заканчиваться только цифрами 1 , 3 , 7 , 9 .
Вычислите среднее	число	жителей в каждом из этих регионов .
Любое простое	число	, большее 2 , при делении на 4 может иметь остаток либо 1 , либо 3 .
Поскольку сумма двух четных чисел всегда	число	четное , то 11х должно быть нечетным , а значит , и число х — нечетное .
687 На занятиях в спортивной секции	число	отсутствующих спортсменов составляет 1/6 часть присутствующих .
Число полных лет Антона при делении на 5 дает остаток 1 , а	число	полных лет Ксюши при делении на 5 дает остаток 4 .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если	число	18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
272 Найдите наименьшее натуральное	число	, которое при делении на 2 дает остаток 1 , при делении на 3 дает остаток 2 , при делении на 4 дает остаток 3 , при делении на 5 дает остаток 4 , при делении на 6 дает остаток 5 , при делении на 7 дает остаток 6 , а при делении на 8 дает остаток 7 .
Медианой набора , состоящего из четного количества чисел , называют	число	, равное среднему арифметическому чисел , стоящих на местах , после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество чисел в наборе ) .
На месте с номером 4 находится	число	567 .
Действительно , в наборе чисел две моды — число 9 и	число	39 , так как и то и другое число встречаются в указанном наборе по два раза .
Действительно , в наборе чисел две моды —	число	9 и число 39 , так как и то и другое число встречаются в указанном наборе по два раза .
Итак , общее	число	возможных паролей равно 24 .
Проведение классификации множества целых чисел по остаткам от деления на некоторое	число	позволяет упростить решение многих задач .
Попытка разделить , например , число 564 на 20 на множестве натуральных чисел показывает , что нельзя найти такое натуральное	число	с , чтобы .
2 Для выделенного случая вычислить	число	возможных вариантов , используя дерево возможностей , таблицу и др .
Действительно , в наборе чисел две моды — число 9 и число 39 , так как и то и другое	число	встречаются в указанном наборе по два раза .
У набора чисел может не быть моды , если все числа в наборе встречаются одинаковое	число	раз .
Разделить	число	а на число b с остатком значит представить число а в виде .
Разделить число а на	число	b с остатком значит представить число а в виде .
Разделить число а на число b с остатком значит представить	число	а в виде .
Докажите , что решением данного уравнения является любое	число	.
При этом	число	с называют неполным частным , а число r - остатком отделения а на b. Здесь и далее N0 - множество натуральных чисел и 0 .
При этом число с называют неполным частным , а	число	r - остатком отделения а на b. Здесь и далее N0 - множество натуральных чисел и 0 .
Модой набора чисел называется	число	, наиболее часто встречающееся в числовом наборе .
в ) Если	число	а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
в ) Если число а не делится на 4 , то	число	5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
Попытка разделить , например ,	число	564 на 20 на множестве натуральных чисел показывает , что нельзя найти такое натуральное число с , чтобы .
а ) Целое	число	дает при делении на 7 остаток 2 , а при делении на 9 — остаток 3 .
Если	число	представлено в виде .
176 Докажите , что : а ) Любое простое	число	, большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и произведение двух чисел делятся на простое число р , то каждое из этих чисел делится на р .
Медианой набора , состоящего из нечетного количества чисел , называют	число	, расположенное на месте с номером после упорядочивания данного числового набора по возрастанию ( n — количество чисел в наборе ) .
176 Докажите , что : а ) Любое простое число , большее 3 , при делении на 6 может иметь либо оста ток 1 , либо остаток 5 ; б ) Если разность и произведение двух чисел делятся на простое	число	р , то каждое из этих чисел делится на р .
Так , например , коэффициентом одночлена ухххсу умножить ( -0,5 ) является число ( -0,5 ) , а одночлена m умножить 1/8 умножить z5 умножить ( -2k)3 -	число	1/8 умножить ( -2)3 равно -1 .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то	число	с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если	число	8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
В частности , комбинаторика ищет методы решения задач , в которых надо найти	число	всех возможных вариантов выбора объектов с заданными свойствами .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если число b четное , то	число	7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
Число строк на странице на 15 меньше , чем	число	букв в каждой строке .
в ) Если число а не делится на 4 , то число 5а не делится на 4 . г ) Если	число	b четное , то число 7b всегда делится на 14 . д ) Если число 8с делится на 7 , то число с всегда делится на 7 . е ) Если число 18 меньше 2 делится на 15 , то число d всегда делится на 15 .
Так как	число	целых чисел бесконечно , то данную задачу невозможно решить методом их перебора .
По условию х — целое	число	.
Таким образом , общее	число	возможных вариантов в случае , когда на первом месте стоит цифра 1 , равно шести .
Значит , по определению , медианой этого набора является	число	567 .
Таким образом , мы можем разделить	число	564 на 20 с остатком , представив его в виде .
У целых чисел , имеющих одинаковые остатки при делении на одно и то же	число	, есть очень важное свойство , которое часто оказывается полезным при решении разнообразных задач на делимость .
Если натуральное число делится на 36 , то сумма его цифр делится на 9 и	число	, составленное из его двух последних цифр , делится на 4 .
а ) Если от загаданного рационального числа отнять 5 , результат умножить на 7 , к полученному произведению прибавить 2 , результат разделить на 6 , а к полученному частному прибавить 4 , то снова получится загаданное	число	.
277 Найдите наименьшее натуральное	число	, сравнимое с числом 235 по модулю .
Первое число при делении на 11 дает остаток 7 , а второе	число	при делении на 11 дает остаток 9 .
Первое	число	при делении на 11 дает остаток 7 , а второе число при делении на 11 дает остаток 9 .
Тогда , на основании свойств симметричности и транзитивности , если некоторое	число	сравнимо с одним из этих чисел , значит , оно сравнимо и с другим из них , что и требовалось доказать .
Следующая теорема доказывает , что если мы уже нашли несколько простых чисел , то всегда можно указать еще одно простое	число	.
278 Найдите наименьшее натуральное	число	, сравнимое с числом а по модулю m .
Для того чтобы возвести в квадрат любое натуральное	число	, оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
Известно , что некоторое	число	сравнимо с числом 747 475 по модулю 74 .
Для того чтобы возвести в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить	число	, полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное число и к полученному результату приписать справа 25 .
Тогда второе рациональное	число	равно х плюс 6 , а третье равно х(х плюс 6 ) плюс 11 .
Предположим , что существует лишь конечное	число	простых чисел и их можно все перечислить : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , .. , р .
Пусть первое рациональное	число	равно х.
Значит , существует самое большое простое	число	.
Числа 257 , 374 и 478 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное	число	, большее 1 .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое	число	сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
Могла ли она получить в сумме	число	6512 ? .
Третье	число	получили , сложив первое и второе число .
После этого он добавил к правой и левой части уравнения одно и то же	число	( -2х ) и , воспользовавшись формулой суммы квадратов , нашел корни уравнения .
Используя указанный алгоритм , проверим , является ли простым	число	97 .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое	число	сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое	число	сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
Целое	число	b при делении на 14 дает остаток 8 .
Затем он разделил правую и левую части на одно и то же	число	х и получил уравнение х2 плюс 1 равно 2х .
Так как 97 не делится ни на одно из указанных чисел , то , значит , 97 - простое	число	.
Найдите сумму всех полученных семи чисел , если шестое	число	оказалось равно 16 .
Действительно , любое такое число можно записать в виде 10x плюс 5 , где х —	число	, полученное из первоначального после отбрасывания единиц .
Теперь мы знаем , как определить , является ли натуральное	число	простым .
Таким же образом получили пятое , шестое и седьмое	число	.
Возведем	число	10x плюс 5 в квадрат , используя формулу суммы квадратов .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое	число	сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
Четвертое	число	получили , сложив второе и третье .
Третье число получили , сложив первое и второе	число	.
Если число а сравнимо с числом b по модулю m , а число b сравнимо с числом с по тому же модулю , то	число	а сравнимо с числом с по модулю m .
Стандартным видом нулевого одночлена называется	число	0 .
Разбейте	число	168 на три не равных друг другу натуральных слагаемых так , чтобы сумма любых двух этих слагаемых делилась на третье .
Известно , что второе загаданное	число	на б больше первого , а третье — на 11 больше произведения первого и второго чисел .
Сумма любых двух простых чисел - простое	число	. д ) Всякое простое число не может быть четным .
Сумма любых двух простых чисел - простое число . д ) Всякое простое	число	не может быть четным .
Известно , что целое число а делится на целое	число	b.
Если два целых числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое целое	число	m , то говорят , что а и b сравнимы по модулю m , и пишут .
Известно , что целое	число	а делится на целое число b.
Какое	число	нужно подставить вместо а , чтобы уравнение имело указанный корень ? .
Любое	число	а сравнимо само с собой по модулю m .
Числа , имеющие одинаковые остатки при делении на некоторое заданное натуральное	число	, настолько важны в математике , что получили свое специальное название .
А это и означает , что число а имеет тот же остаток при делении на m , что и	число	b , что и требовалось доказать . .
А это и означает , что	число	а имеет тот же остаток при делении на m , что и число b , что и требовалось доказать . .
Разделим	число	b на m , то есть представим его с помощью формулы деления с остатком в виде .
Если натуральное число делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то натуральное	число	делится на 6 .
Если натуральное	число	делится на 36 , то сумма его цифр делится на 9 и число , составленное из его двух последних цифр , делится на 4 .
Она ответила , что если сложить	число	ее полных лет и обе цифры этого числа , то получится 83 .
Если натуральное	число	делится на 15 , то сумма его цифр делится на 3 и оно оканчивается на 5 . ж ) Если сумма цифр натурального числа делится на 6 , то натуральное число делится на 6 .
Первое	число	при делении на 9 дает остаток 3 , а второе число при делении на 9 дает остаток 5 .
а ) Число d - делитель числа а , если число а в с раз больше d . б ) Число k является кратным числа b , если	число	k в а раз больше .
Первое число при делении на 9 дает остаток 3 , а второе	число	при делении на 9 дает остаток 5 .
Получим натуральное	число	а .
Четные числа всегда делятся на 3 . ж ) Некоторые простые числа при делении на 2 дают остаток 1 . з ) Если целое	число	при делении на 3 дает остаток 2 , то оно кратно 5 .
Могла ли она получить в сумме	число	4213 ? .
Для того чтобы возвести в квадрат любое натуральное число , оканчивающееся на 5 , можно умножить число , полученное после отбрасывания единиц , на следующее за ним натуральное	число	и к полученному результату приписать справа 25 .
Если число а сравнимо с числом b по модулю m , а	число	b сравнимо с числом с по тому же модулю , то число а сравнимо с числом с по модулю m .
Значит , исходя из нашего предположения , это	число	должно быть составным .
Может ли он получить в сумме	число	324 ? .
Если	число	а сравнимо с числом b по модулю m , а число b сравнимо с числом с по тому же модулю , то число а сравнимо с числом с по модулю m .
Первое	число	при делении на 7 дает остаток 4 , а второе число при делении на 7 дает остаток 2 .
С другой стороны , заметим , что	число	а при делении на каждое из наших простых чисел дает остаток 1 .
Первое число при делении на 7 дает остаток 4 , а второе	число	при делении на 7 дает остаток 2 .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля ,	число	с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
а ) Задумали однозначное натуральное	число	.
Если	число	а сравнимо с числом b по модулю m , то число b сравнимо с числом а по тому же модулю .
а ) Число d - делитель числа а , если	число	а в с раз больше d . б ) Число k является кратным числа b , если число k в а раз больше .
Теперь перемножим все наши простые числа и прибавим к их произведению	число	1 .
Алгоритм ответа на вопрос « Является ли	число	а простым ? » .
1 Любое ли натуральное	число	можно представить в указанном виде ? .
а ) Если	число	делится на 5 и на 7 , то оно всегда делится на 35 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое	число	делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое	число	при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое	число	делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
а ) На какое рациональное	число	нужно уменьшить 785 и увеличить 587 , чтобы получить одинаковые числа ? .
И так как	число	целых неотрицательных чисел , меньших b , конечно , то на не котором шаге остаток от деления будет равен нулю .
312 Найдите наименьшее натуральное	число	, сравнимое с числом а по модулю m .
Ответ : х — любое	число	. 1 )
Найдите рациональное	число	, среднее арифметическое которого с числом 916 равно 619 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если	число	72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то	число	с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если	число	9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то	число	2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое	число	Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то	число	4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то	число	d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое число а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое	число	при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а	число	-11 , как и любое целое число , делится на 1 .
Разделите	число	2420 на четыре части пропорционально числам 2 , 3 , 8 .
а ) Если целое число а не делится на ( -4 ) , то	число	За не делится на ( -4 ) .
а ) квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и следующего чисел . б ) разность квадратов двух последовательных целых чисел есть	число	нечетное .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое	число	а делится на 3 , то число делится на 6 .
а ) Если целое	число	а не делится на ( -4 ) , то число За не делится на ( -4 ) .
А чтобы доказать , что	число	211 - простое , надо проверить , что оно не делится на все простые числа от 2 до 13 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то	число	делится на 6 .
Корень — любое	число	.
з ) Если целое	число	а делится на 4 , то число делится на 8 .
Однако данная теорема не позволяет сделать никаких выводов о втором уравнении , ведь его коэффициенты не удовлетворяют условию этой теоремы : НОД ( 4 ; 6 ) 2 , а	число	9 не делится на 2 .
з ) Если целое число а делится на 4 , то	число	делится на 8 .
Из последнего равенства по определению делимости следует , что	число	d является делителем числа r . 2 ) Теперь докажем , что всякий общий делитель чисел b и r является одновременно делителем числа а .
а ) Если целое число а делится на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если целое	число	15а делится на 5 , то число а также делится на 5 .
а ) Если целое число а делится на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если целое число 15а делится на 5 , то	число	а также делится на 5 .
Разделите	число	2478 на три части пропорционально числам 2 , 5 , 7 .
Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию теоремы 1 : действительно , НОД ( 5 ; 7 ) , а число -11 , как и любое целое	число	, делится на 1 .
235 Убедитесь в истинности высказывания : а ) Если целое	число	а не делится на ( -7 ) , то число 4а не делится на ( -7 ) ; б ) Если целое число Ъ делится на ( -4 ) , то число 2b делится на ( -4 ) ; в ) Если число 9с делится на ( -5 ) , то число с делится на ( -5 ) ; г ) Если число 72d делится на ( -9 ) , то число d не всегда делится на ( -9 ) ; д ) Если целое число делится на ( -5 ) , то оно не может при делении на ( -10 ) давать остаток 7 ; е ) Если целое число при делении на ( -9 ) дает остаток 8 , то оно не делится на ( -3 ) ; ж ) Если целое число делится на ( -7 ) , то при делении на ( -21 ) оно не может давать остаток 20 ; з ) Если целое число при делении на ( -45 ) дает остаток 39 , то оно не делится на ( -15 ) .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то	число	кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Известно , что каждый из депутатов сделал нечетное	число	рукопожатий .
304 Представьте выражение в виде А2 плюс с , где А — двучлен , а c —	число	.
Можно ли с их помощью пронумеровать 2500 книг , поставив в соответствие каждой книге свое нечетное	число	, состоящее не более чем из пяти указанных цифр ? .
Сколько различных последовательностей чисел могло быть в результате этого получено , если при третьем броске всегда выпадает	число	4 ? .
Для этого представим	число	в виде .
Разделим с остатком	число	на , используя формулу деления с остатком , аналогичную формуле для натуральных чисел .
Целое число а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое целое	число	с , что .
290 Найдите наименьшее натуральное	число	, сравнимое с числом а по модулю m .
Сколько различных последовательностей чисел можно в результате этого получить , если при втором броске всегда выпадало	число	7 ? .
Определите , делится ли	число	а на b .
Определите , не вычисляя частного , делится ли	число	а на 11 .
Целое	число	а делится ( без остатка ) на целое число , если существует такое целое число с , что .
А значит , решение любых задач , примеров , уравнений теряет смысл - ведь в ответе без всяких вычислений сразу можно записать любое	число	.
Если , то мы получим равенство , которое верно для любого с. Поэтому деление не определено однозначно : его результатом может быть любое целое	число	.
Тогда , чтобы данное нами определение было общим , нам надо подобрать такое	число	с , чтобы .
Попробуем разделить число а на	число	.
Целое число а делится ( без остатка ) на целое	число	, если существует такое целое число с , что .
А что получится , если	число	разделить с остатком на ? .
Как разделить одно целое	число	на другое с остатком ? .
В случае деления с остатком ( -7 ) на ( -2 ) наибольшим целым числом , кратным ( -2 ) и не превышающим ( -7 ) , является	число	(-8 ) , а расстояние от (-8 ) до ( -7 ) равно .
Найдите натуральное	число	, которое больше своей четверти на 81
Разделите	число	1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б ) Разделите число 2438 на четыре части пропорционально числам 3 , 4 , 9 , 10 .
Разделите число 1298 на три части пропорционально числам 5 , 6 , 11 . б ) Разделите	число	2438 на четыре части пропорционально числам 3 , 4 , 9 , 10 .
230 Не вычисляя частного , определите , делится ли	число	а на b .
Могло ли получиться	число	2517 ? .
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и b . 1 Найти наибольшее целое	число	k , кратное делителю b и не превышающее делимого а .
Найдите целое	число	, которое на 48 больше противоположного себе числа .
Затем , приписывая последовательно перед каждой полученной комбинацией по одному из возможных символов , мы вычисляем	число	комбинаций , состоящих из двух символов .
В общем случае равенство каждому рациональному числу x сопоставляет единственное	число	у.
Наибольшим общим делителем чисел 80 и 60 является	число	20 .
Таким образом ,	число	комбинаций длиной два равно .
Аналогичным образом получаем , что	число	комбинаций длиной в три символа равно , а число комбинаций длиной в четыре символа равно .
Аналогичным образом получаем , что число комбинаций длиной в три символа равно , а	число	комбинаций длиной в четыре символа равно .
Значит , общее	число	возможных комбинаций длиной от одного до четырех символов равно .
б ) Какое максимальное	число	квартир может быть в доме , если номера квартир состоят не более чем из четырех цифр и не содержат цифры 0 , 5 и 9 ? .
Докажите , что	число	депутатов четное .
Если	число	делится на 3 и на 15 , то оно всегда делится на 45 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое	число	b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Нулевой степенью рационального числа а , отличного от нуля , называется	число	1 .
Из таблицы видно , что в центре магического квадрата может находиться только	число	4 , а в углах — числа 1 , 3 , 5 , 7 .
Так , в первом квадрате в верхней строке следует поставить	число	8 , в нижней — число 0 , в левом столбце — число 6 , а в правом — число 2 .
Так , в первом квадрате в верхней строке следует поставить число 8 , в нижней —	число	0 , в левом столбце — число 6 , а в правом — число 2 .
Для того чтобы найти частное и остаток , нам , во - первых , надо найти наибольшее	число	, кратное 2 и не превышающее 7 ( число 6 ) , затем найти неполное частное , после этого надо найти остаток .
Так , в первом квадрате в верхней строке следует поставить число 8 , в нижней — число 0 , в левом столбце —	число	6 , а в правом — число 2 .
Для того чтобы найти частное и остаток , нам , во - первых , надо найти наибольшее число , кратное 2 и не превышающее 7 (	число	6 ) , затем найти неполное частное , после этого надо найти остаток .
Так ,	число	, стоящее в середине магического квадрата , должно встречаться в четырех комбинациях , в углах квадрата — в трех комбинациях , а остальные числа — в двух комбинациях .
Так , в первом квадрате в верхней строке следует поставить число 8 , в нижней — число 0 , в левом столбце — число 6 , а в правом —	число	2 .
г )	число	( -2 ) не является корнем уравнения .
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на b . 1 Найти наибольшее натуральное	число	k , кратное делителю и не превышающее делимого а .
Полученная нами формула деления с остатком дает возможность провести классификацию целых чисел по их остаткам от деления на некоторое	число	.
Можно найти натуральное	число	, которое делится на 3 . б ) Нечетные числа при делении на 2 дают остаток 1 .
Имеется натуральное	число	, которое при делении на 24 дает остаток 7
Пусть а — произвольное рациональное	число	, а m и n — произвольные натуральные числа , тогда что и требовалось доказать .
Выберем в качестве признака , на основании которого мы будем проводить классификацию , величину остатка от деления на некоторое заданное	число	.
В этом случае равенство невозможно , так как получается , что неотрицательное	число	равно произведению положительного и отрицательного числа .
266 Представьте выражение в виде А2 плюс с , где А — двучлен , а с —	число	.
Пусть а — произвольное рациональное	число	, отличное от 0 , а m и n — произвольные натуральные числа такие , что m больше n.
Для того чтобы найти среднее арифметическое , надо вычислить общий вес всех семиклассников и разделить его на	число	семиклассников .
Значит , каждое целое	число	обязательно попадет в какое - либо из указанных подмножеств , то есть : .
И так как мы выяснили , что	число	х — нечетное , то , значит , х 7 является единственным решением исходного уравнения .
Поэтому если мы разделим обе части последнего равенства на 35 , то получим в левой и правой части некоторое целое	число	.
Пусть а — произвольное рациональное	число	, а m и n - произвольные натуральные числа , тогда что и требовалось доказать .
Последовательно вычитая из натурального числа а натуральное	число	3 , мы получим в некоторый момент отрицательное число .
Последовательно вычитая из натурального числа а натуральное число 3 , мы получим в некоторый момент отрицательное	число	.
Второе ограничение состоит в том , что	число	строк квадрата равно трем , столбцов — трем , а диагоналей — двум .
Вместе с тем в данной последовательности имеется хотя бы одно неотрицательное	число	( например , число ) .
Вместе с тем в данной последовательности имеется хотя бы одно неотрицательное число ( например ,	число	) .
Поэтому любое целое	число	может попасть только в один класс , и у данных классов не будет общих элементов , то есть .
Из данного равенства следует , что	число	а может быть представлено в виде где .
Если мы прибавим к нему , а затем вычтем	число	1 , то выражение не изменится , но в нем можно будет выделить полный квадрат .
Мы получили неотрицательное	число	вида , которое меньше числа .
Так , например , коэффициентом одночлена ухххсу умножить ( -0,5 ) является	число	( -0,5 ) , а одночлена m умножить 1/8 умножить z5 умножить ( -2k)3 - число 1/8 умножить ( -2)3 равно -1 .
а ) Если каждое из двух целых чисел делится на некоторое целое	число	, то и их сумма делится на это число .
1 Разложить каждое	число	на простые множители .
а ) Если целое	число	а делится на 3 , то число 10а также делится на 3 . б ) Если целое число 15а делится на 5 , то число а также делится на 5 .
а ) Если целое число а делится на 3 , то	число	10а также делится на 3 . б ) Если целое число 15а делится на 5 , то число а также делится на 5 .
Если натуральное	число	при делении на 64 дает остаток 31 , то оно не делится на 8 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое	число	и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
корнем уравнения является любое	число	.
в ) Если целое	число	делится на ( -2 ) , то оно не может при делении на (-8 ) давать остаток 3 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то	число	а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое	число	а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
а ) Если натуральное	число	делится на 7 , то оно не может при делении на 28 давать остаток 9 . б )
Так как 10 см 100 мм , то при умножении равенства на одно и то же	число	оно не изменится , значит : 1000 мм .
в ) если сумма трех последовательных целых чисел есть	число	нечетное , то их произведение делится на 24 . г ) квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1 .
б ) Если целое число b делится на (-8 ) , то	число	3b делится на (-8 ) .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то	число	кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
б ) Если целое	число	b делится на (-8 ) , то число 3b делится на (-8 ) .
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое	число	а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Число 0 делится на любое натуральное	число	.
в ) Если целое число а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое	число	b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
197 Среди натуральных чисел , больших 20 , найдите наименьшее натуральное	число	, которое : а ) при делении на 12 дает остаток 8 ; б ) при делении на 31 дает остаток 3 .
2 ) Если k 0 , то уравнение kx -b равносильно уравнению , которое при b 0 не имеет решений , а при b 0 становится тождеством ( то есть его решением является любое	число	) .
Пусть а и b — произвольные рациональные числа , где b≠0 , и n — произвольное натуральное	число	, тогда что и требовалось доказать .
186 Среди натуральных чисел , больших 10 , найдите наименьшее натуральное	число	: а ) дающее остаток 1 при делении на 2 ; б ) дающее остаток 3 при делении на 13 ; в ) дающее остаток 8 при делении на 17 ; г ) дающее остаток 12 при делении на 26 .
188 Некоторое натуральное	число	а разделили с остатком на некоторое натуральное число Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и делимое , и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
188 Некоторое натуральное число а разделили с остатком на некоторое натуральное	число	Ъ. Как изменится неполное частное и остаток , если и делимое , и делитель : а ) увеличить в 2 раза ; б ) увеличить в 5 раз ; в ) увеличить в к раз ?
а ) Если натуральное	число	делится на 4 , то оно не может при делении на 16 давать остаток 5 .
Если натуральное	число	при делении на 18 дает остаток 6 , то оно не делится на 9 .
в ) Если натуральное	число	делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если натуральное число при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
в ) Если натуральное число делится на 7 , то при делении на 14 оно не может давать остаток 9 . г ) Если натуральное	число	при делении на 60 дает остаток 19 , то оно не делится на 12 .
в )	число	1 является корнем уравнения .
Пусть а и b — произвольные рациональные числа , а n — произвольное натуральное	число	, тогда что и требовалось доказать .
Если произведение двух целых чисел делится на некоторое целое	число	, то хотя бы один из множителей делится на это число .
Если целое	число	при делении на ( -3 ) дает остаток 2 , то оно не делится на ( -27 ) .
Если произведение двух целых чисел делится на некоторое целое число , то хотя бы один из множителей делится на это	число	.
в ) Если целое	число	а кратно 3 , то число 12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
в ) Если целое число а кратно 3 , то	число	12а кратно 3 . г ) Если а — целое число и 5а кратно 7 , то число а кратно 7 . д ) Если целое число а кратно 2 и целое число b кратно 6 , то число кратно 6 . е ) Если целое число а кратно 7 и целое число b кратно 14 , то число кратно 14 . ж ) Если целое число а делится на 3 , то число делится на 6 .
Определите , какой цифрой оканчивается	число	.
а ) Если каждое из двух целых чисел делится на некоторое целое число , то и их сумма делится на это	число	.
Указанный способ существенно облегчает проверку того , является ли	число	простым , особенно в случае больших чисел .
Если число а сравнимо с числом b по модулю m , то	число	b сравнимо с числом а по тому же модулю .
Зависимость задали следующим образом , каждому рациональному числу а поставили в соответствие наименьшее целое	число	, большее этого числа .
а ) Целое	число	а кратно 9 .
Тогда , согласно теоремам 1 и 3 , п. 2.2.4 , а значит ,	число	А и сумма его цифр имеют одинаковые остатки от деления на 9 .
Известно , что утроенное первое	число	равно разности между 58 и вторым числом , увеличенным в четыре раза .
Можно ли утверждать , что , сделав 100 попыток , мы угадаем загаданное	число	? .
В десятичной системе счисления любое натуральное	число	А может быть представлено в виде .
а ) Число а делится на	число	6 . б ) Число с при делении на d дает остаток r . в ) Числа p и r взаимно простые .
Пусть теперь	число	благоприятных исходов для события А равно некоторому натуральному числу n ( А ) 1 .
в ) Если целое число делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если целое	число	при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
Действительно , любое такое	число	можно записать в виде 10x плюс 5 , где х — число , полученное из первоначального после отбрасывания единиц .
Модуль числа больше или равен 10 , если это	число	либо больше или равно 10 , либо меньше или равно ( -10 ) .
Заметим , что разложением простого числа на простые множители принято считать само это	число	.
С помощью формулы суммы квадратов мы можем также получить простейшее правило , которое без труда позволит возвести в квадрат любое натуральное	число	, оканчивающееся на 5 .
Являются ли равновозможными события А и В . а ) А : при бросании идеального игрального кубика выпало	число	2 .
Натуральное	число	делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 .
В : при бросании идеального игрального кубика выпало	число	5 . б ) А : при бросании идеального игрального кубика выпало нечетное число .
Любое составное	число	можно представить в виде произведения простых множителей .
139 Запишите смешанное	число	в виде неправильной дроби .
В : при бросании идеального игрального кубика выпало число 5 . б ) А : при бросании идеального игрального кубика выпало нечетное	число	.
Модуль числа меньше 3 , если это	число	принадлежит открытому интервалу от -3 до 3 .
Мама поручила Леше разложить 168 конфет в две коробки так , чтобы	число	конфет в первой коробке составляло 60 % числа конфет во второй коробке .
Какое	число	можно подставить вместо с , чтобы корнем уравнения было четное число ? .
Классическая схема определения вероятности случайного события А . 1 Определить	число	n. 2 Определить число n ( А ) благоприятных исходов , при которых наступает событие А .
144 Известно , что натуральное	число	а делится на натуральное число b.
Классическая схема определения вероятности случайного события А . 1 Определить число n. 2 Определить	число	n ( А ) благоприятных исходов , при которых наступает событие А .
Могла ли она получить в сумме	число	5475 ? .
а ) Если натуральное	число	а не делится на 3 , то 2а не делится на 3 .
б ) Если натуральное	число	6 четное , то 3b делится на 6 .
Откуда и следует , что натуральное	число	делится на 9 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 9 , что и требовалось доказать .
При этом	число	1 выпало 158 раз , число 2 — 100 раз , число 3 — 115 раз , число 4 — 146 раз , число 5 — 129 раз , а число 6 — 122 раза .
При этом число 1 выпало 158 раз ,	число	2 — 100 раз , число 3 — 115 раз , число 4 — 146 раз , число 5 — 129 раз , а число 6 — 122 раза .
При этом число 1 выпало 158 раз , число 2 — 100 раз ,	число	3 — 115 раз , число 4 — 146 раз , число 5 — 129 раз , а число 6 — 122 раза .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное	число	а делится на 5 , а натуральное число 6 делится на 7 , то делится на 35 .
При этом число 1 выпало 158 раз , число 2 — 100 раз , число 3 — 115 раз ,	число	4 — 146 раз , число 5 — 129 раз , а число 6 — 122 раза .
в ) одно	число	больше другого на 1,6 , а их произведение равно 13,8 . г ) одно число меньше другого на 4 , а их произведение равно -1,75 .
При этом число 1 выпало 158 раз , число 2 — 100 раз , число 3 — 115 раз , число 4 — 146 раз ,	число	5 — 129 раз , а число 6 — 122 раза .
Во - первых , заметим , что , согласно равенству , каждому рациональному числу х сопоставляется единственное	число	у.
При этом число 1 выпало 158 раз , число 2 — 100 раз , число 3 — 115 раз , число 4 — 146 раз , число 5 — 129 раз , а	число	6 — 122 раза .
Поскольку	число	благоприятных исходов больше или равно нулю и всегда меньше или равно числу всех возможных исходов , то вероятность любого случайного события всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1 .
Может ли он получить в сумме	число	2354 ? .
Если же какое - то событие происходит при любом повторении испытания , то есть если событие является достоверным , то	число	благоприятных исходов для него .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое число а делится на некоторое , отличное от нуля ,	число	с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
И поскольку неотрицательное	число	не может быть меньше или равно отрицательному числу , то данное неравенство всегда неверно .
Прямо пропорциональная зависимость , где k — произвольное	число	, является функциональной зависимостью , или функцией .
А так как , то результатом указанной операции будет	число	3 .
а ) Любое целое	число	, отличное от нуля , делится само на себя .
Заметим , что если для некоторого испытания все исходы равновозможны и какое - то событие не происходит ни при каком повторении испытания , то	число	благоприятных исходов для него равна нулю .
а ) Трехзначное	число	, записанное тремя одинаковыми цифрами , делится на 37 . б ) Разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа , записанного теми же цифрами , но в обратном порядке , делится на 9 .
Могут ли Ванины друзья узнать , какое	число	он загадал ? .
В : при бросании идеального игрального кубика выпало четное	число	.
в ) А : при бросании идеального игрального кубика выпало	число	, делящееся на 3 .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то	число	ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то число ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
Заметим , что сумма двух модулей всегда	число	неотрицательное , поэтому она не может быть меньше или равна отрицательному числу .
Составным называется натуральное	число	, которое имеет более двух различных делителей .
Можно найти целое	число	, которое при делении на 3 дает остаток 4 . д ) Есть целые числа , которые не делятся на единицу .
а ) произведение первого и третьего из них равно (-8 ) , второе	число	на 5 меньше первого , а третье — на 2 больше произведения первого и второго из загаданных чисел .
304 Докажите , что : а ) Если числа а и b не делятся на 3 , но дают одинаковые остатки при делении на 3 , то число ab - 1 делится на 3 ; б ) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3 , то	число	ab + 1 делится на 3 ; в ) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а .
Будь благословенно божественное	число	, породившее богов и людей .
« Катя задумала двузначное натуральное	число	, сумма которого с утроенной цифрой его единиц равна 74 .
Простым называется натуральное число , которое имеет ровно два различных делителя : единицу и само это	число	.
в ) одно число больше другого на 1,6 , а их произведение равно 13,8 . г ) одно	число	меньше другого на 4 , а их произведение равно -1,75 .
Простым называется натуральное	число	, которое имеет ровно два различных делителя : единицу и само это число .
Существует ли такое целое	число	, которое .
Какое максимальное	число	людей правительство может ожидать на митинге ? .
Если ни одно решение неравенства не является положительным числом , то ни одно положительное	число	не является решением неравенства .
154 Докажите , что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковые и сумма его цифр делится на 7 , то это	число	делится на 7 .
321 В ноябре и декабре пончиковая компания Антона и Ксюши ежемесячно увеличивала выпуск продукции на одно и то же	число	процентов .
Какое	число	задумала Катя ? » .
Если все положительные числа являются рациональными и ни одно положительное	число	не может быть меньше нуля , значит , все рациональные числа не могут быть меньше нуля .
Сумма двух модулей всегда	число	неотрицательное , а поэтому всегда больше отрицательного числа .
531 В строку выписали одно за другим натуральные числа от 1 до 60 : 1234567891011 .. 585960 Вычеркните 100 цифр , чтобы оставшееся	число	было как можно а ) большим .
а ) Если целые числа делятся на некоторое , отличное от нуля , число с , то и сумма этих чисел делится на с . б ) Если целое	число	а делится на некоторое , отличное от нуля , число с , то произведение а и любого другого целого числа делится на с .
150 Запишите смешанное	число	в виде неправильной дроби .
Сравнения помогают решать множество практических проблем : проверять , на пример , правильность вычислений , составлять расписание занятий и соревнований , устанавливать признаки делимости чисел , определять , какой цифрой заканчивается	число	, простым или составным оно является и т .
В таких задачах переход к изучению остатков от деления на некоторое	число	позволяет решить задачи просто и красиво .
Если целое	число	при делении на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не делится на ( -18 ) .
Далее остатки будут периодически повторяться , так как , согласно нашему способу определения остатков ,	число	3 мы будем опять последовательно умножать на одни и те же остатки 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1 .
В : при бросании идеального игрального кубика выпало	число	, не делящееся на 3 . г ) А : Миша выиграл 100 р .
в ) угадать одно	число	из 52 чисел .
в ) Существуют натуральные числа , делителем которых является	число	5 .
144 Известно , что натуральное число а делится на натуральное	число	b.
Какое	число	можно подставить вместо b , чтобы корнем уравнение было целое число ? .
а ) Если натуральное	число	а не делится на 3 , то 5а не делится на 3 .
в ) Если натуральное	число	делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное	число	делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное	число	делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
131 Известно , что натуральное число а делится на натуральное	число	b.
Угадать одно	число	из 49 ? .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное число делится на 6 , а другое натуральное	число	делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
а ) Если целое	число	делится на ( -3 ) , то оно не может при делении на ( -12 ) давать остаток 7 .
Если натуральное	число	делится на 19 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6 делится на 5 .
Какое число можно подставить вместо b , чтобы корнем уравнение было целое	число	? .
Например , проверив , что	число	19 не делится ни на одно из чисел от 2 до 18 , мы убедимся в том , что оно является простым .
к ) Если натуральное	число	а делится на 5 , а натуральное число b делится на 7 , делится на 35 .
Таким образом , для первого игрока становится важным научиться определять , является	число	простым или нет .
Первый игрок называет	число	, затем игроки по очереди , начиная со второго , называют его делители .
к ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное	число	b делится на 7 , делится на 35 .
б ) произведение первого и третьего из них равно 2 , второе	число	на 2 больше первого , а третье — на 1 меньше произведения первого и второго из загаданных чисел .
в ) Если натуральное число делится на 48 , то оно всегда делится на 12 . г ) Если одно натуральное число делится на 9 , а другое натуральное число делится на 8 , то их произведение делится на 72 . д ) Если одно натуральное	число	делится на 6 , а другое натуральное число делится на 4 , то их произведение делится на 24 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25 , то хотя бы одно из этих натуральных чисел делится на 25 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 9 , то их сумма делится на 9 .
Пусть А — событие , при котором на верхних гранях обоих кубиков выпадает	число	6 .
в ) Если 5с делится на 2 , то с делится на 2 . г ) Если 21 d делится на 7 , то d не всегда делится на 7 . д ) Если 6а + 3b делится на 6 , то 6 делится на 2 . е ) Если натуральное число а делится на 5 , а натуральное	число	6 делится на 7 , то делится на 35 .
Как можно быстро выяснить , делится ли	число	на 2 , 3 , 5 , 10 ? .
	Число	2 является решением неравенства .
	Число	3 является решением неравенства .
Общее	число	испытаний .
Так , определив , что 19 не делится на 2 и 3 , можно остановить проверку , поскольку следующее простое	число	5 .
б ) Какое рациональное	число	нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби , чтобы она стала равна ? .
330 Определите , делится ли	число	а на b ? .
328 Определите , не вычисляя частного , делится ли	число	а на 11 .
2 Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же	число	( выражение ) , отличное от нуля , то получим уравнение , равносильное данному .
Следовательно ,	число	благоприятных исходов для события А равно 5 .
2 Для того чтобы определить	число	благоприятных исходов , составим таблицу возможных исходов при бросании двух кубиков и выделим в ней те случаи , в которых сумма очков на двух кубиках равна восьми .
1 Общее	число	п возможных исходов при бросании двух кубиков мы вычислили в задаче 1 , оно равно 36 .
а )	число	( -1,5 ) является решением неравенства .
131 Известно , что натуральное	число	а делится на натуральное число b.
Если целое	число	при делении на ( -12 ) дает остаток 5 , то оно не делится на ( -4 ) .
Поэтому , для того чтобы выяснить , является ли	число	простым , достаточно проверить , что оно не делится на простые числа , квадрат которых меньше этого числа .
Ведь два сравнимых по заданному модулю числа имеют одинаковые остатки , и мы хотим их рассматривать как одно	число	.
Следовательно , если натуральное число , большее 1 , не делится ни на одно простое число , квадрат которого меньше него , то рассматриваемое	число	- простое .
Значит , и	число	332223 при делении на 7 будет иметь остаток 3 .
а ) Если натуральное	число	делится на 4 и на 3 , то оно всегда делится на 12 . б ) Если натуральное число делится на 4 и на 6 , то оно всегда делится на 24 .
Найдите наименьшее натуральное число , с которым	число	А сравнимо по модулю В .
Если число а делится на число с , а число b делится на	число	d , то ab делится на cd ( a , b , с , d е N ) .
Найдите наименьшее натуральное	число	, с которым число А сравнимо по модулю В .
Если число а делится на число с , а	число	b делится на число d , то ab делится на cd ( a , b , с , d е N ) .
При этом	число	1 выпало 20 раз , число 2 — 15 раз , число 3 — 25 раз , число 4 — 10 раз , число 5 — 12 раз , а число 6 — 18 раз .
Теорема 4 Если натуральное	число	а делится на натуральное число b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то .
Теорема 4 Если натуральное число а делится на натуральное	число	b , а число b , в свою очередь , делится на число а , то .
При этом число 1 выпало 20 раз ,	число	2 — 15 раз , число 3 — 25 раз , число 4 — 10 раз , число 5 — 12 раз , а число 6 — 18 раз .
Две величины х и у называются прямо пропорциональными , если они связаны формулой , где k — некоторое	число	.
Теорема 4 Если натуральное число а делится на натуральное число b , а	число	b , в свою очередь , делится на число а , то .
Теорема 4 Если натуральное число а делится на натуральное число b , а число b , в свою очередь , делится на	число	а , то .
При этом число 1 выпало 20 раз , число 2 — 15 раз ,	число	3 — 25 раз , число 4 — 10 раз , число 5 — 12 раз , а число 6 — 18 раз .
При этом число 1 выпало 20 раз , число 2 — 15 раз , число 3 — 25 раз ,	число	4 — 10 раз , число 5 — 12 раз , а число 6 — 18 раз .
Следовательно , если натуральное число , большее 1 , не делится ни на одно простое	число	, квадрат которого меньше него , то рассматриваемое число - простое .
По условию ,	число	а делится на число b.
При этом число 1 выпало 20 раз , число 2 — 15 раз , число 3 — 25 раз , число 4 — 10 раз ,	число	5 — 12 раз , а число 6 — 18 раз .
Следовательно , по определению дели мости , существует такое	число	n , что .
Аналогично , так как	число	b делится на число а , то существует такое число m , что .
Аналогично , так как число b делится на	число	а , то существует такое число m , что .
При этом число 1 выпало 20 раз , число 2 — 15 раз , число 3 — 25 раз , число 4 — 10 раз , число 5 — 12 раз , а	число	6 — 18 раз .
331 Определите , какой цифрой оканчивается	число	? .
Аналогично , так как число b делится на число а , то существует такое	число	m , что .
и ) Простое	число	5 является нечетным .
Если число а делится на	число	с , а число b делится на число d , то ab делится на cd ( a , b , с , d е N ) .
По условию , число а делится на	число	b.
а ) Если натуральное число делится на 4 и на 3 , то оно всегда делится на 12 . б ) Если натуральное	число	делится на 4 и на 6 , то оно всегда делится на 24 .
Никакая другая отрасль теории чисел не насыщена настолько таинственностью и элегантностью , как изучение простых чисел , этих непокорных , раздражающих чисел , которые не хотят делиться нацело ни на какое целое	число	за исключением себя и единицы .
11 , то каждое целое	число	сравнимо с одним из них и , следовательно , будет представлено соответствующей точкой данной окружности .
Значит , в обоих случаях мы получили , что всякое натуральное	число	А дает тот же остаток при делении на 11 , что и разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой цифр , стоящих на нечетных местах , что и требовалось доказать .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное	число	делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное	число	делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Если на первом кубике выпадает	число	1 , то всего имеется шесть различных вариантов выпадения двух кубиков , так как на втором кубике могут выпасть числа от 1 до 6 .
Пусть	число	а - составное .
Ваня загадал натуральное число и сообщил своим друзьям , что загаданное им	число	двузначное .
В процессе указанной операции мы складываем не сами числа , а их остатки от деления на некоторое	число	m.
Вначале определим общее	число	n возможных исходов при бросании двух кубиков .
« Он сначала добавил к правой и левой части уравнения одно и то же	число	( -2х2 ) , а затем разложил получившийся многочлен на множители и нашел корни уравнения .
Вместе с тем , зная , например , что при бросании игрального кубика вероятность выпадения числа 5 равна мы не можем сделать вывод о том , что	число	5 будет выпадать при каждом шестом броске .
Натуральное	число	делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма его цифр делится на 3 .
в ) Если целое	число	делится на ( -5 ) , то при делении на ( -15 ) оно не может давать остаток 11 . г ) Если целое число при делении на ( -36 ) дает остаток 35 , то оно не делится на ( -9 ) .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное	число	делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Для этого вычислим	число	всех комбинаций , которые при этом могут возникнуть .
Если натуральное	число	делится на 11 , то его сумма с любым другим натуральным числом делится на 11 .
в ) Если натуральное	число	делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное число делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
в ) Если натуральное число делится на 12 , то оно всегда делится на 3 . г ) Если одно натуральное	число	делится на 5 , а другое натуральное число делится на 7 , то их произведение делится на 35 . д ) Если одно натуральное число делится на 8 , а другое натуральное число делится на 10 , то их произведение делится на 80 . е ) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9 , то хотя бы одно из натуральных чисел делится на 9 . ж ) Если оба натуральных числа делятся на 7 , то их сумма делится на 7 .
Натуральное	число	делится на 11 тогда и только тогда , когда разность между суммой его цифр , стоящих на четных местах , и суммой его цифр , стоящих на нечетных местах , делится на 11 .
Следовательно , если натуральное	число	, большее 1 , не делится ни на одно простое число , квадрат которого меньше него , то рассматриваемое число - простое .
Ваня загадал натуральное	число	и сообщил своим друзьям , что загаданное им число двузначное .
Следовательно , для того чтобы выяснить , является ли данное	число	простым , достаточно проверить , что оно не делится на все простые числа , меньшие этого числа .
Суммой остатков а и b назовем	число	с , являющееся остатком от деления на m .
И поскольку неотрицательное	число	всегда больше отрицательного , то данное неравенство верно при любых значениях х.
Из свойств делимости натуральных чисел и основной теоремы арифметики следует , что если в разложении числа на простые множители нет , например , числа 2 , то никакое	число	, кратное 2 , не может быть его делителем .
Однако для наглядного представления о числах , сравнимых по некоторому модулю m ,	числовая прямая	уже не подходит .
Мы с вами уже знаем , что наглядное представление о целых числах дает	числовая прямая	.
Неравенство верно при любом значении х. Значит , решением исходного неравенства является вся	числовая прямая	.
243 Отметьте на	числовой оси	целые числа , которые .
361 Отметьте на	числовой прямой	целые числа , которые ? .
382 Отметьте на	числовой прямой	все значения х , для которых .
Заметим , что подобным образом мы действовали и при сложении чисел на	числовой прямой	.
Отметьте на	числовой прямой	три положительных и три отрицательных целых числа , которые .
3 Отметить найденные корни уравнений на « упрощенной » модели	числовой прямой	и определить непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные точки разбивают числовую прямую .
Поэтому при решении уравнений с модулями в дальнейшем мы будем использовать « упрощенную » модель	числовой прямой	.
Составим таблицу , в которой рассмотрим все типы числовых промежутков , их названия , обозначения и геометрическое представление с помощью	числовой прямой	.
213 Запишите с помощью модуля расстояние между точками	числовой прямой	с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
Отметим выделенные промежутки на	числовой прямой	.
214 Отметьте на	числовой прямой	все значения х , для которых .
3 Отметим найденные корни уравнений на « упрощенной » модели	числовой прямой	и определим непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные числа разбивают числовую прямую .
196 Отметьте на	числовой прямой	четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 5 дают остаток 3 ; б ) при делении на 9 дают остаток 6 .
183 Отметьте на	числовой прямой	четыре натуральных числа , которые : а ) при делении на 2 дают остаток 1 ; б ) при делении на 4 дают остаток 2 ; в ) при делении на 6 дают остаток 4 ; г ) при делении на 3 дают остаток 0 .
220 Запишите с помощью модуля расстояние между точками	числовой прямой	с координатами а и b. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных .
231 Отметьте на	числовой прямой	целые числа , которые : а ) при делении на 4 дают остаток 3 ; б ) при делении на 5 дают остаток 2 ; в ) при делении на ( -4 ) дают остаток 3 ; г ) при делении на ( -5 ) дают остаток 2 .
Множество точек	числовой прямой	.
Представьте теперь , что положительная часть	числовой прямой	как бы намотана на циферблат часов так , что точки 0 , 12 , 24 , .. совпадают .
3 Отметим найденные корни уравнений на « упрощенной » модели числовой прямой и определим непересекающиеся числовые промежутки , на которые данные числа разбивают	числовую прямую	.
Точки 1 и ( -4 ) разбивают	числовую прямую	на три промежутка .
4 Проверим , что объединение найденных числовых промежутков составляет всю	числовую прямую	.
Заметим , что при решении задачи мы использовали	числовую прямую	лишь для того , чтобы определить на ней взаимное расположение чисел ( -4 ) и 1 и понять , на какие числовые промежутки эти числа разбивают всю числовую прямую .
4 Проверить , что объединение найденных числовых промежутков составляет всю	числовую прямую	.
Известно , что утроенное первое число равно разности между 58 и вторым	числом	, увеличенным в четыре раза .
Нам известно , что мама купила общим	числом	9 книг и дисков .
Докажите , что любой предмет , вес которого выражается целым	числом	килограммов , большим 7 , можно взвесить на чашечных весах , имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве .
Если ни одно решение неравенства не является положительным	числом	, то ни одно положительное число не является решением неравенства .
Нам известно , что результат деления одного целого числа на другое , как и в случае натуральных чисел , не всегда будет	числом	целым .
То есть если число а больше числа b , то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым	числом	с , а также при умножении и делении их на положительное число с знак неравенства не изменится .
Если ни одно решение неравенства не является отрицательным	числом	, то ни одно отрицательное число не является решением неравенства .
в ) Если ни одно решение неравенства 5х минус 1 больше 0 не является отрицательным	числом	, а некоторые отрицательные числа делятся на 3 , значит , некоторые делящиеся на 3 числа не являются решениями неравенства 5х минус 1 больше 0 .
Какие из этих выражений являются « степенью числа » , а какие - «	числом	, противоположным степени числа » ? .
в ) Если ни одно решение уравнения не является нечетным	числом	, а некоторые нечетные числа делятся на 5 , значит , некоторые делящиеся на 5 числа не являются решением уравнения .
Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с	числом	214 по модулю .
Разность между 98 и увеличенным в девять раз первым натуральным	числом	равна увеличенному в пять раз второму натуральному числу .
726 Определите , каким	числом	— положительным или отрицательным — является выражение .
Для того чтобы составить математическую модель задачи , мы должны записать , что разность между большим и меньшим	числом	равна 16 .
312 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с	числом	а по модулю m .
сумма произведения чисел 5 и х и произведения чисел 4 и с . г ) разность частного чисел 9 иди разности между	числом	7 и а .
356 Найдите первое простое число , следующее за	числом	.
Так как остаток является неотрицательным целым	числом	, меньшим модуля делителя , то при делении любого числа на 4 возможны только четыре различных остатка : 0 , 1 , 2 , 3 .
290 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с	числом	а по модулю m .
Если натуральное число делится на 19 , то его сумма с любым другим натуральным	числом	делится на 19 . и ) Если 15а 4- 36 делится на 15 , то 6 делится на 5 .
Размахом набора чисел называется разность между наибольшим и наименьшим	числом	из этого набора .
В случае деления с остатком ( -7 ) на ( -2 ) наибольшим целым	числом	, кратным ( -2 ) и не превышающим ( -7 ) , является число (-8 ) , а расстояние от (-8 ) до ( -7 ) равно .
Найдите рациональное число , среднее арифметическое которого с	числом	916 равно 619 .
Если натуральное число делится на 11 , то его сумма с любым другим натуральным	числом	делится на 11 .
365 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с	числом	591 по модулю .
Определите , каким	числом	— положительным или отрицательным — является выражение .
Известно , что некоторое число сравнимо с	числом	747 475 по модулю 74 .
Если число а сравнимо с числом b по модулю m , а число b сравнимо с числом с по тому же модулю , то число а сравнимо с	числом	с по модулю m .
Теорема 2 Любая положительная периодическая десятичная дробь является рациональным	числом	.
Можно доказать , что данные законы верны также для сумм с произвольным	числом	слагаемых и для произведений с произвольным числом множителей .
Если число а сравнимо с числом b по модулю m , а число b сравнимо с	числом	с по тому же модулю , то число а сравнимо с числом с по модулю m .
Если число а сравнимо с	числом	b по модулю m , а число b сравнимо с числом с по тому же модулю , то число а сравнимо с числом с по модулю m .
Если число а сравнимо с числом b по модулю m , то число b сравнимо с	числом	а по тому же модулю .
Если число а сравнимо с	числом	b по модулю m , то число b сравнимо с числом а по тому же модулю .
в ) Число 17 является составным	числом	.
Если сложить его с	числом	, записанным теми же цифрами , но в обратном порядке , то получится 44 .
Любая ли десятичная дробь является рациональным	числом	( то есть представима в виде обыкновенной дроби ) ?
173 Найдите первое простое число , следующее за	числом	.
Разность двух положительных рациональных чисел может быть	числом	отрицательным .
Найдите разность между первым и вторым	числом	.
Найдите первое простое число , следующее за	числом	.
Поэтому нечетная степень отрицательного числа является	числом	отрицательным , что и требовалось доказать . .
Так , нельзя , например , выразить натуральным	числом	продолжительность солнечных или лунных суток , так же как и результат понижения температуры воздуха на 7 ° , если изначально она была равна 5 ° .
а ) Число 11 является составным	числом	.
25 Определите , каким	числом	— положительным или отрицательным — является выражение .
Число 28 является простым	числом	.
Количество рецептов пончиков в пончиковой компании Антона и Ксюши выражается трехзначным	числом	, сумма цифр которого равна 20 .
в ) Если ни одно решение уравнения не является четным	числом	, а некоторые четные числа делятся на 9 , значит , некоторые делящиеся на 9 числа не являются решением уравнения .
И наконец , выписывая буквы этой таблицы по столбцам в указанном порядке ( сначала из столбца , отмеченного числом 1 , затем —	числом	2 и т . д. ) , мы получим следующую шифровку .
а ) разность квадратов двух натуральных чисел быть простым	числом	? .
И наконец , выписывая буквы этой таблицы по столбцам в указанном порядке ( сначала из столбца , отмеченного	числом	1 , затем — числом 2 и т . д. ) , мы получим следующую шифровку .
Доказать , что оно сравнимо с	числом	74 000 001 по тому же модулю .
Следует отметить , что любой многочлен мы всегда можем представить в виде произведения некоторого числа и многочлена , причем бесконечным	числом	способов .
Можно доказать , что данные законы верны также для сумм с произвольным числом слагаемых и для произведений с произвольным	числом	множителей .
Выражение в скобках при любых значениях входящих в него букв является не которым	числом	.
в ) Разность двух натуральных чисел всегда число натуральное . г ) Частное двух целых чисел а и b может быть целым	числом	.
277 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с	числом	235 по модулю .
Число ( -6 ) не является положительным	числом	.
Значит , четная степень отрицательного числа является	числом	положительным .
9 Определите , каким	числом	— положительным или отрицательным — является выражение .
Число 0 является натуральным	числом	.
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с	числом	35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
Результат деления одного натурального числа на другое не всегда будет	числом	натуральным .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с	числом	104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с	числом	198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
Если ни одно решение уравнения 2х равно 1 не является целым	числом	, то ни одно целое число не является решением уравнения 2х равно 1 .
Число ( -6 ) не является решением неравенства х. Значит , число ( -6 ) не является положительным	числом	.
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с	числом	18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с	числом	а по модулю m .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с	числом	581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с	числом	734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
278 Найдите наименьшее натуральное число , сравнимое с	числом	а по модулю m .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с	числом	502 334 по этому же модулю .
279 Докажите , что : а ) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9 , то оно сравнимо и с числом 18 626 по этому же модулю ; б ) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25 , то оно сравнимо и с числом 35 648 по этому же модулю ; в ) Если некоторое число сравнимо с	числом	400 по модулю 6 , то оно сравнимо и с числом 104 902 поэтому же модулю ; г ) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15 , то оно сравнимо и с числом 502 334 по этому же модулю .
в ) Модулем числа а называется расстояние от точки , соответствующей данному	числу	на числовой прямой , до 0 .
Каждому рациональному	числу	х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу .
Зависимость задали следующим образом , каждому рациональному	числу	а поставили в соответствие наименьшее целое число , большее этого числа .
Натуральное число , кратное 4 и 25 , кратно 100 . г ) Если число неотрицательно , то его модуль равен самому	числу	.
Число а меньше или равно	числу	9 . б ) Число 48 делится на с .
Пусть теперь число благоприятных исходов для события А равно некоторому натуральному	числу	n ( А ) 1 .
И поскольку неотрицательное число не может быть меньше или равно отрицательному	числу	, то данное неравенство всегда неверно .
Число , противоположное	числу	( -а ) , может быть меньше а .
Разность между 98 и увеличенным в девять раз первым натуральным числом равна увеличенному в пять раз второму натуральному	числу	.
432 Сколько раз к наибольшему однозначному	числу	нужно прибавить наибольшее двузначное , чтобы получить наибольшее трехзначное число ? .
В общем случае равенство каждому рациональному	числу	x сопоставляет единственное число у.
На этой прямой каждому целому	числу	поставлена в соответствие определенная точка .
Зависимость задали следующим образом : каждому целому	числу	поставили в соответствие его остаток при делении на целое число а .
210 Найдите все делители числа а , которые кратны	числу	b .
Однако , прибавив 2 к	числу	n , получим четное число , боль шее , чем n .
4 Если n — нечетно , то медиана равна	числу	, расположенному в упорядоченном наборе на месте с номером .
В случае же б	числу	3 из множества X не сопоставлено ни одного элемента из множества Y ( то есть нарушено требование существования соответствующего элемента ) , а в случае в числу 3 соответствуют сразу два элемента , 6 и 7 , из множества Y ( то есть нарушено требование единственности соответствующего элемента ) .
б ) Каждому рациональному	числу	х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу .
Чему равно отношение числа офисных работников пончиковой компании к	числу	работников на производстве ? .
Во - первых , заметим , что , согласно равенству , каждому рациональному	числу	х сопоставляется единственное число у.
а ) Каждому рациональному	числу	х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу .
Поскольку число благоприятных исходов больше или равно нулю и всегда меньше или равно	числу	всех возможных исходов , то вероятность любого случайного события всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1 .
Число а называется обратным к	числу	, если .
И каждому из них указанное правило сопоставляет единственное число : любому положительному	числу	и нулю — число 1 , а любому отрицательному числу — число ( -1 ) .
а ) Каждому рациональному	числу	ставится в соответствие его модуль .
Данная зависимость каждому	числу	х ставит в соответствие единственное число у.
И каждому из них указанное правило сопоставляет единственное число : любому положительному числу и нулю — число 1 , а любому отрицательному	числу	— число ( -1 ) .
Частотой случайного события называется отношение числа благоприятных исходов к общему	числу	проведенных испытаний .
Заметим , что сумма двух модулей всегда число неотрицательное , поэтому она не может быть меньше или равна отрицательному	числу	.
а ) Число а , кратное	числу	b , не может быть больше b . б ) Любое натуральное число , большее 1 , имеет по крайней мере 2 делителя .
а ) Число а противоположно	числу	b , если . б ) Целые числа - это натуральные числа , им противоположные и нуль .
Функцию задали следующим образом : каждому рациональному	числу	q поставили в соответствие наибольшее целое число , не превосходящее этого числа .
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же целому	числу	k. А значит , приравняв к числу k каждое из выражений , мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения .
д. Понятно , что простым перебором , который мы использовали при решении задач 1 и 2 , множество решений данного линейного уравнения получить просто невозможно , так как каждому целому	числу	k будет соответствовать своя пара целых х и у , удовлетворяющих исходному уравнению .
а ) Каждому рациональному	числу	х поставили в соответствие некоторое число у по правилу .
б ) Если к	числу	рабочих на заводе прибавить половину их количества и еще 2/3 от их количества , то получится 3510 человек .
То есть применим метод перебора не к бесконечному множеству целых чисел , а к конечному	числу	указанных классов .
Проведенные преобразования показывают , что выражения равны одному и тому же целому числу k. А значит , приравняв к	числу	k каждое из выражений , мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения .
Так как дни недели повторяются каждые 7 дней , то , выбрав точку отсчета , мы можем каждому целому	числу	, а поставить в соответствие день недели , определяемый как остаток от деления а на 7 .
б ) Каждому рациональному	числу	х поставили в соответствие некоторое число у по правилу .
Каждый	член	данного многочлена можно представить в виде квадрата : х4 равно ( х2)2 , а 1 равно .
Так , если в рассмотренном нами примере сгруппировать первый	член	с четвертым , а второй — с третьим , то желаемого результата мы не получим .
Старший	член	многочлена .
При этом	член	многочлена , имеющий наибольшую степень , называют старшим членом , а имеющий нулевую степень — свободным членом многочлена .
Например , каждый	член	многочлена 5x3 минус 10 x 2 плюс 25 x : имеет множитель 5x .
Чтобы умножить одночлен на многочлен , можно умножить этот одночлен на каждый	член	многочлена и полученные произведения сложить .
Итак , чтобы вынести за скобки общий множитель с , мы можем в скобках записать многочлен , каждый	член	которого получен в результате его деления на с .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый член одного многочлена умножить на каждый	член	другого многочлена и полученные произведения сложить .
Вынеся общий множитель 5х за скобки , в скобках мы записали многочлен , каждый	член	которого мы разделили на 5х .
Произведением двух многочленов называется многочлен , равный сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый	член	другого многочлена .
Свободный	член	многочлена .
Чтобы умножить многочлен на многочлен , можно каждый	член	одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Например , в рассмотренном нами многочлене можно было сгруппировать первый	член	с третьим , а второй — с четвертым .
представление некоторого	члена	в виде суммы или разности .
В данном многочлене всего два	члена	.
Следовательно , значение многочлена будет равно алгебраической сумме , состоящей из нулей и свободного	члена	, и поэтому равно свободному члену , что и требовалось доказать .
Сам одночлен также является многочленом , состоящим из одного	члена	.
Произведением двух многочленов называется многочлен , равный сумме произведений каждого	члена	одного многочлена на каждый член другого многочлена .
Представление	члена	многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов .
Произведением одночлена и многочлена называется многочлен , равный сумме произведений этого одночлена и каждого	члена	многочлена .
Какие другие пропорции ,	членами	которых являются те же числа а , b , с и d , можно записать ? .
Суммой многочленов называется многочлен ,	членами	которого являются все члены многочленов слагаемых , взятых с их знаками .
Какое действие над	членами	данного многочлена надо выполнить , чтобы найти выражение в скобках ?
Какие другие пропорции ,	членами	которых являются те же числа х , у , m и n , можно записать ? .
Одночлены , из которых составлен многочлен , называются	членами	многочлена .
Так , возвести в квадрат следующие трехчлены можно фактически устно ( не забывая учитывать в формуле знаки	членов	трехчлена ) .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс все попарные удвоенные произведения его	членов	.
Представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему	членов	.
А поскольку многочлен является алгебраической суммой своих	членов	, то его значение будет равно алгебраической сумме всех его коэффициентов , что и требовалось доказать .
Аналогичным образом можно получить формулу сокращенного умножения для возведения в квадрат трехчлена а плюс b плюс с. Значит , Квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его	членов	плюс все попарные удвоенные произведения его членов .
В этом случае можно попробовать представить какой - нибудь из его	членов	в виде суммы или разности нескольких подобных ему одночленов .
5 Если для применения формулы или группировки не хватает какого - либо слагаемого , добавьте и вычтите его или разбейте на несколько слагаемых один из	членов	многочлена .
Коэффициенты	членов	исходного многочлена равны 1 , 5 , 4 .
Какой из его	членов	можно было бы назвать « свободным членом » ? .
545 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных	членов	.
При этом коэффициенты всех	членов	получившегося в скобках многочлена — целые числа , которые не имеют общих делителей , отличных от 1 .
При этом коэффициенты	членов	многочлена идут в том порядке , в котором договорились записывать члены итогового многочлена .
545 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его	членов	в виде суммы или разности подобных членов .
Замечаем , что среди	членов	нашего многочлена есть одночлен 2ху2 .
Коэффициенты	членов	исходного многочлена равны 3 , 7 , -10 .
Значит , при подстановке в многочлен вместо переменных нуля значения всех его	членов	( кроме свободного ) будут равны 0 .
Назовите их степени , свободные члены и коэффициенты	членов	, имеющих буквенные множители .
При сложении многозначных чисел такая запись помогает добиться близкого расположения цифр , стоящих в одинаковых разрядах , а при сложении многочленов — близкого расположения подобных	членов	.
Значит , значения всех	членов	многочлена при единичных значениях переменных будут равны их коэффициентам .
Вынесем его за скобки , разделив каждый из	членов	многочлена , стоящего в числителе , на 3а .
Найти общий буквенный множитель С всех	членов	многочлена .
569 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его	членов	в виде суммы или разности подобных членов .
569 Разложите трехчлен на множители , представляя один из его членов в виде суммы или разности подобных	членов	.
Но количество многочленов - слагаемых и их членов может быть достаточно большим , и тогда поиск и приведение подобных	членов	может оказаться весьма затруднительным .
Но количество многочленов - слагаемых и их	членов	может быть достаточно большим , и тогда поиск и приведение подобных членов может оказаться весьма затруднительным .
Мы замечаем , что в каждом из этих случаев итоговый многочлен состоит из трех слагаемых , два из которых — квадраты членов исходного двучлена , а третье равно удвоенному произведению этих	членов	.
Можно заметить также , что в формуле куба разности при указанной записи итогового многочлена знаки его	членов	чередуются : сначала « плюс » , затем « минус » и так далее .
Мы замечаем , что в каждом из этих случаев итоговый многочлен состоит из трех слагаемых , два из которых — квадраты	членов	исходного двучлена , а третье равно удвоенному произведению этих членов .
Таким образом , проблема возведения двучлена в шестую степень ( как и в любую другую n - ю степень , литров сводится к проблеме нахождения коэффициентов всех	членов	итогового многочлена .
Какой из его членов можно было бы назвать « свободным	членом	» ? .
При этом член многочлена , имеющий наибольшую степень , называют старшим	членом	, а имеющий нулевую степень — свободным членом многочлена .
При этом член многочлена , имеющий наибольшую степень , называют старшим членом , а имеющий нулевую степень — свободным	членом	многочлена .
Число k называют коэффициентом при неизвестном , а число b — свободным	членом	линейного уравнения .
Анализируя полученные результаты , мы видим , что если переменная равна 1 , то вычисление значения многочлена свелось к нахождению алгебраической суммы его коэффициентов , а при нулевом значении переменной оно равно свободному	члену	.
Если значения всех переменных , входящих в запись многочлена , равны 0 , то значение многочлена равно его свободному	члену	.
Следовательно , значение многочлена будет равно алгебраической сумме , состоящей из нулей и свободного члена , и поэтому равно свободному	члену	, что и требовалось доказать .
Однако вторая запись упорядочивает	члены	многочлена по степеням .
Остальные	члены	одночлена записываются в том же порядке , и так до одночлена .
Докажите , что опять получится пропорция , если : а ) поменять местами крайние	члены	; б ) поменять местами средние члены ; в ) заменить каждое отношение обратным .
Алгоритм возведения двучлена в n - ю степень . 1 Выписать в установленном порядке все одночлены , которым подобны	члены	итогового многочлена .
Иногда для использования формул сокращенного умножения при разложении многочлена на множители вначале приходится некоторым образом сгруппировать его	члены	.
731 Определите степень , старший и свободный	члены	многочлена и найдите его значение при указанных значениях переменных .
Имеют ли все	члены	А общий буквенный множитель ? .
Именно в таком порядке и договорились записывать	члены	многочлена , являющегося результатом возведения двучлена в некоторую натуральную степень .
Обозначим буквами а и b соответственно первый и второй	члены	двучлена .
Поэтому попробуйте сгруппировать	члены	многочлена иначе .
Если все	члены	многочлена имеют общий множитель , вынесите его за скобки .
3 Записать многочлены « в столбик » так , чтобы подобные	члены	стояли под подобными ( если они есть ) .
Убедитесь в том , что все	члены	многочлена не имеют общего буквенного множителя : Разложите данный многочлен на множители , группируя члены , имеющие общие множители .
Задача разложения на множители требует не только четкого знания формул сокращенного умножения , но и смекалки , умения видеть общие множители и удачно группировать	члены	многочленов .
Заметим , что вовсе не обязательно группировать	члены	многочлена , стоящие рядом .
1 Записать все	члены	многочлена в стандартном виде .
Затем сложим подобные	члены	и запишем результаты под чертой .
В некоторых случаях удается разложить на множители и такие многочлены ,	члены	которых не имеют общего буквенного множителя .
Заметим , что первый и четвертый	члены	многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и третий члены — разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Суммой многочленов называется многочлен , членами которого являются все	члены	многочленов слагаемых , взятых с их знаками .
При этом коэффициенты членов многочлена идут в том порядке , в котором договорились записывать	члены	итогового многочлена .
Заметим , что первый и четвертый члены многочлена образуют разность кубов у и х , а второй и третий	члены	— разность квадратов тех же самых чисел у и х. Значит , в обеих группах можно выделить общий множитель у минус х , а затем вынести его за скобки .
Действительно , пусть все	члены	некоторого многочлена , имеют общий множитель с.
2 Записать многочлены « в столбик » так , чтобы подобные	члены	стояли под подобными ( если они есть ) .
Объединим первый и третий	члены	исходного многочлена в одну группу , а второй , четвертый и пятый — в другую и вынесем в каждой группе за скобки общий множитель .
Запишем в стандартном виде рассмотренные нами многочлены и определим их степени , а также их старшие и свободные	члены	.
Убедитесь в том , что все члены многочлена не имеют общего буквенного множителя : Разложите данный многочлен на множители , группируя	члены	, имеющие общие множители .
Запишем многочлены « в столбик » так , чтобы подобные	члены	стояли один под другим .
491 Раскройте скобки и приведите подобные	члены	.
Запишите многочлен в стандартном виде , определите его степень , старший и свободный	члены	.
Нередко	члены	многочлена , который требуется разложить на множители , нельзя сразу разбить на нужные группы .
Назовите их степени , свободные	члены	и коэффициенты членов , имеющих буквенные множители .
Например , в первую группу объединим первый и второй	члены	многочлена , а во вторую — третий и четвертый ( при этом если перед вторыми скобками мы поставим знак « минус » , то не забудем поменять знаки слагаемых в скобках на противоположные ) .
Заметим , что	члены	исходного многочлена 5х3 минус 10х2 плюс 25х имеют и другие общие буквенные множители и т .
Докажите , что опять получится пропорция , если : а ) поменять местами крайние члены ; б ) поменять местами средние	члены	; в ) заменить каждое отношение обратным .
Действительно , умножая многочлены , мы умножаем все члены одного многочлена на все	члены	другого , а затем их складываем .
Действительно , умножая многочлены , мы умножаем все	члены	одного многочлена на все члены другого , а затем их складываем .
Заметим , что в формулах куба суммы и разности	члены	итогового многочлена принято записывать в специальном порядке .
Заметим , что все	члены	многочлена , стоящего в числителе , имеют общий множитель 3а .
Он состоит в том , что мы объединяем	члены	многочлена в группы таким образом , чтобы после проведения некоторого числа равносильных преобразований у слагаемых нового выражения появились общие множители .
Его	члены	не имеют общего буквенного множителя .
Назовите ее крайние члены , средние	члены	, основное свойство пропорции .
Стандартным видом многочлена называется запись , при которой все его	члены	.
В этом случае в скобках остается многочлен , все	члены	которого не имеют общих буквенных множителей .
Назовите ее крайние	члены	, средние члены , основное свойство пропорции .
Выбрать , не глядя , из 10 разноцветных шаров	шар	определенного цвета ? .
выбрать , не глядя , из 15 разноцветных шаров	шар	определенного цвета ? .
Вычислите вероятность того , что среди извлеченных шаров окажется синий	шар	.
Шары положили в мешок и перемешали , а затем , не глядя в мешок , из него вытащили один	шар	.
угадать одно число из 78 . д ) выбрать , не глядя , из 20 разноцветных шаров	шар	определенного цвета ? .
Шесть шаров , четыре кубика и три параллелепипеда весят 1200 г , а шесть кубиков , четыре шара и семь параллелепипедов весят 1700 г. Сколько весят кубик ,	шар	и параллелепипед вместе ? .
Шары положили в мешок и перемешали , а затем , не глядя в мешок , один	шар	вытащили из него .
Шесть шаров , четыре кубика и три параллелепипеда весят 1200 г , а шесть кубиков , четыре	шара	и семь параллелепипедов весят 1700 г. Сколько весят кубик , шар и параллелепипед вместе ? .
Из нее наугад выбирают 3	шара	.
На	шарах	написаны целые числа от 1 до 100 .
в ) На	шарах	написаны целые числа от 1 до 250 .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном	шаре	: а ) делится на 7 б ) делится на 5 и на 4
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном	шаре	делится на 12 и на 5 .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном	шаре	: а ) делится на 9 ; б ) делится на 12 ; в ) делится на 9 и на 2 ; г ) делится на 11 и на 3 .
Вычислите вероятность того , что число на вытащенном	шаре	.
выбрать , не глядя , из 15 разноцветных	шаров	шар определенного цвета ? .
Вычислите вероятность того , что среди извлеченных	шаров	окажется синий шар .
Какое наименьшее число шаров надо вынуть из этого мешка , чтобы среди них гарантированно было не менее 10	шаров	одного цвета ? .
Выбрать , не глядя , из 10 разноцветных	шаров	шар определенного цвета ? .
244 В мешке 70	шаров	: 20 красных , 20 синих , 20 желтых , а остальные черные и белые .
угадать одно число из 78 . д ) выбрать , не глядя , из 20 разноцветных	шаров	шар определенного цвета ? .
В коробке лежит 6 разноцветных	шаров	: красный , синий , желтый , зеленый , белый и черный .
Какое наименьшее число	шаров	надо вынуть из этого мешка , чтобы среди них гарантированно было не менее 10 шаров одного цвета ? .
Шесть	шаров	, четыре кубика и три параллелепипеда весят 1200 г , а шесть кубиков , четыре шара и семь параллелепипедов весят 1700 г. Сколько весят кубик , шар и параллелепипед вместе ? .
в ) У Наташи имеются красный , синий , желтый , оранжевый , фиолетовый и зеленый	шары	.
а ) В ряд выложили красный , синий и зеленый	шары	.
Сколькими способами она может выложить все эти	шары	в ряд ? .
Чему равна вероятность того , что красный и синий	шары	окажутся рядом ? .
кубики ,	шары	, параллелепипеды .
532 Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов : белых	шестиугольников	и черных пятиугольников .
22 Длина прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина этого прямоугольника , если его периметр меньше периметра прямоугольника , длина которого равна 15 см , а	ширина	— 13 см ? .
22 Длина прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать	ширина	этого прямоугольника , если его периметр меньше периметра прямоугольника , длина которого равна 15 см , а ширина — 13 см ? .
189 а ) площадь прямоугольника ,	ширина	которого равна ( m плюс n ) м , а длина равна 2k м . б )
Длина прямоугольника равна 5 см. Какой должна быть	ширина	этого прямоугольника , чтобы периметр прямоугольника был меньше 18 см ? .
объем прямоугольного параллелепипеда , длина которого равна 5а дм ,	ширина	— 3b дм , а высота — ( а плюс b ) дм .
Найдите периметр прямоугольника ,	ширина	которого на 8 см меньше длины , а площадь равна 240 см2 .
Тогда	ширина	прямоугольника равна ( x минус 5 ) см , а его длина — ( x плюс 3 ) см , где х минус 5 больше 0 , x плюс 3 больше 0 .
Длина прямоугольника и его площадь при неизменной	ширине	.
Сколько краски потребуется для окраски пола прямоугольной комнаты длиной 6,3 м и	шириной	4,5 м ? .
17 Периметр прямоугольного участка земли равен 62 м , а разность между его длиной и	шириной	равна 5 м .
65 Землеройная машина за 8 часов работы вырывает канаву	шириной	30 см , глуби ной 3 м и длиной 6 км .
Если бы его длину уменьшили на 5 м , а	ширину	увеличили на 5 м , то площадь получившегося участка стала бы в 2 раза меньше , чем площадь исходного , увеличенная на 78 м2 .
Если бы его длину уменьшили на 7 м , а	ширину	увеличили на 7 м , то площадь получившегося участка стала бы в 2 раза меньше , чем площадь исходного , увеличенная на 2 м2 .
Так , например , умножив	ширину	прямоугольника , равную 5 см , на его длину , равную 6 см , мы получим площадь прямоугольника , выраженную в квадратных сантиметрах .
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 120 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 6 м больше его	ширины	.
764 а ) На прямоугольном участке земли , длина которого на 16 м больше его	ширины	, построили дом , занимающий площадь 140 м2 .
694 а ) На прямоугольном участке земли , длина которого на 10 м больше его	ширины	, построили дом , занимающий площадь 100 м2 .
709 а ) На прямоугольном участке земли , длина которого на 6 м больше его	ширины	, построили дом , занимающий площадь 120 м2 .
Нам известно , что площадь прямоугольника равна произведению его длины и	ширины	.
Найдите периметр прямоугольника , длина которого на 8 см больше	ширины	, а площадь равна 128 см2 .
Найдите длину этого участка , если известно , что площадь участка , не занятая домом , равна 164 м2 . б ) Длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его	ширины	.
а ) На прямоугольном участке земли , длина которого на 18 м больше его	ширины	, построили дом , занимающий площадь 210 м2 .
Найдите периметр прямоугольника , длина которого на 6 см больше	ширины	, а площадь равна 72 см2 .
Найдите периметр прямоугольника , длина которого на 12 см больше	ширины	, а площадь равна 133 см2 .
Проверьте , что каждый	элемент множества	А попал ровно в один класс .
Пусть и зависимость между ними задается следующими схемами , описывающими , какой	элемент множества	Y соответствует тому или иному элементу множества X .
Не выполняя построения , определите , какому квадранту принадлежит каждый	элемент множества	Т. Постройте данные точки и проверьте свой ответ .
Все решения неравенства являются	элементами множества	.
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются	элементами множества	( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
246 Составьте список	элементов множеств	A и В , заданных характеристическим свойством .
679 Составьте список	элементов множеств	, заданных характеристическим свойством .
660 Составьте список	элементов множеств	, заданных характеристическим свойством .
Однако при достаточно большом количестве	элементов множества	X данный способ становится слишком громоздким .
Пусть и зависимость между ними задается следующими схемами , описывающими , какой элемент множества Y соответствует тому или иному	элементу множества	X .
Отметьте	элементы множеств	А и В на числовой прямой и запишите эти множества с помощью фигурных скобок .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые элементы множества ( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все	элементы множества	( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .
а ) Все	элементы множества	{ -2 .
Если все решения уравнения х2 равно 1 являются элементами множества ( -1 . 0 . 1 ) и некоторые	элементы множества	( -1 . 0 . 1 ) - нечетные числа , значит , некоторые решения уравнения х2 равно 1 - нечетные числа . г ) Если все элементы множества ( -4 . 0 . 4 ) — четные числа и ни один элемент этого множества не кратен 5 , значит , все четные числа не кратны 5 .